
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
a) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì
vuông góc với mặt phăng còn lại;
b) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc
cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Lời giải
a) Giả sử có hai mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba. Khi đó, các mặt phẳng này sẽ tạo
thành một hình hộp chữ nhật. Giả sử chúng không song song với nhau, tức là cắt nhau theo một
đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Khi đó, ta có thể kết nối hai điểm thuộc hai mặt
phẳng vuông góc này và kết quả là ta sẽ thu được một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng
thứ ba, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vì vậy, hai mặt phẳng này phải song song với nhau hoặc cắt
nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
b) Giả sử có hai mặt phẳng song song và một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó.
Khi đó, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó sẽ song song với mặt phẳng còn lại. Điều này có
thể được chứng minh như sau: Ta chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng đó, và sau đó kết nối điểm đó
với một điểm bất kỳ trên mặt phẳng còn lại. Khi đó, ta thu được một đường thẳng nằm trên mặt
phẳng đó và cắt mặt phẳng còn lại theo một giao tuyến. Vì hai mặt phẳng song song nên đường thẳng
này sẽ song song với mặt phẳng còn lại, và do đó đường thẳng này cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
còn lại. Vậy mặt phẳng ban đầu cũng phải vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Bài 4. Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy
nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Lời giải
Giả sử đường thẳng đó là
và mặt phẳng cho trước là
. Gọi
là một điểm trên đường thẳng
. Theo
định nghĩa, ta có thể vẽ một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
và đi qua điểm
, gọi đường
thẳng đó là d'. Vì d' và
vuông góc với nhau nên chúng tạo thành một góc vuông tại
.
Để chứng minh tồn tại mặt phẳng vuông góc với
và chứa đường thẳng
, ta chỉ cần chứng minh rằng
mặt phẳng chứa
cũng vuông góc với
. Điều này tương đương với việc chứng minh rằng đường thẳng
nằm trên mặt phẳng chứa
' và vuông góc với mặt phẳng
.
Giả sử tồn tại một mặt phẳng khác
cũng vuông góc với mặt phẳng
và chứa đường thẳng
. Vì
nằm trên
, nên
cũng nằm trên
, vì nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
và qua điểm
trên
. Như vậy,
và
cùng chứa đường thẳng
, do đó chúng trùng nhau, suy ra
cũng chứa d'.
Tức là mặt phẳng
trùng với mặt phẳng chứa
, và vì thế mặt phẳng
cũng vuông góc với
.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
và chứa
đường thẳng
.
Bài 5. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, mặt phẳng
vuông góc với mặt
đáy, tam giác
vuông cân tại
. Gọi
là trung điểm của
. Chứng minh rằng:
a)
; b)
; c)
.
Lời giải