Slide Chương 6: Tính trực giao và bình phương bé nhất | Môn Linear algebra and Algebraic structures - Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 58759230 Chương 6. TÍNH TRỰC GIAO VÀ BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 1
6.1. Tích vô hướng, độ dài và tính trực giao lOMoAR cPSD| 58759230 6.2. Tập trực giao
6.3. Phép chiếu trực giao
6.4. Quá trình Gram - Schmidt 2
6.1. Tích vô hướng, độ dài và tính trực giao u1 v lOMoAR cPSD| 58759230 Cho u , v 1 . un vn
Tích vô hướng của u và v là v1 uv. u u1 n v n uv1 1 u vn n 2 2
Độ dài của vectơ v là v vv.v1 vn
Khoảng cách giữa u và v là lOMoAR cPSD| 58759230 dist , u v u v Định lý 1
Cho uvw, , n và số c . Khi đó (1) uv vu. . (2) u v w uw vw . . .
(3) cu v . c uv u v. . c (4) uu. 0 uu. 0 u 0
(5) cv c. v Chú ý: lOMoAR cPSD| 58759230
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị
Cho trước véctơ v 0 . Khi đó, véctơ đơn vị cùng hướng với v là véctơ 1 u .v. v VÍ DỤ 1
Tìm vectơ đơn vị u cùng hướng với v 2,1, 3,5 . GIẢI v 1 Vậy u .v v lOMoAR cPSD| 58759230 Tính trực giao
Ta nói uv, n là trực giao (với nhau) nếu uv. 0. lOMoAR cPSD| 58759230 Tính trực giao
Ta nói uv, n là trực giao (với nhau) nếu uv. 0. Cho z
n và W là không gian con của n.
z trực giao với W nếu z trực giao với mọi vectơ trong W.
Phần bù trực giao của W, ký hiệu W , là tập hợp chứa tất cả các
vectơ z trong n mà z trực giao với W. Tính trực giao
Ta nói uv, n là trực giao (với nhau) nếu uv. 0. Cho z
n và W là không gian con của n. lOMoAR cPSD| 58759230
z trực giao với W nếu z trực giao với mọi vectơ trong W.
Phần bù trực giao của W, ký hiệu W , là tập hợp chứa tất cả các
vectơ z trong n mà z trực giao với W. Chú ý:
(1) x W x trực giao với mọi vectơ thuộc hệ sinh của W
(2) W là một không gian con của n. 1 3
VÍ DỤ 2 Cho W Span u u1 2, , với u1 3 , u2 2 . 4 5 lOMoAR cPSD| 58759230 7 Hỏi u 17
có thuộc phần bù trực giao của W không? 11 Chú ý:
(1) x W x trực giao với mọi vectơ thuộc hệ sinh của W
(2) W là một không gian con của n. lOMoAR cPSD| 58759230 1 3
VÍ DỤ 2 Cho W Span u u1 2, , với u1 3 , u2 2 . 4 5 7 Hỏi u 17
có thuộc phần bù trực giao của W không? 11 lOMoAR cPSD| 58759230 GIẢI Vì u u u u1.
2. 0 nên u trực giao với W, tức là u thuộc phần bù trực
giao của W. (u W ) 6.2. Tập trực giao Định nghĩa
u1, ,up là tập trực giao nếu u um. k 0, m k lOMoAR cPSD| 58759230 6.2. Tập trực giao Định nghĩa
u1, ,up là tập trực giao nếu u um. k 0, m k
u1, ,up là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
u1, ,up đều có độ dài bằng 1. lOMoAR cPSD| 58759230 6.2. Tập trực giao Định nghĩa
u1, ,up là tập trực giao nếu u um. k 0, m k
u1, ,up là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
u1, ,up đều có độ dài bằng 1. 1 1 1 VÍ DỤ 3Tập u1 2 ,u2 1 ,u3 0 là tập trực giao. lOMoAR cPSD| 58759230 1 1 1 6.2. Tập trực giao Định nghĩa
u1, ,up là tập trực giao nếu u um. k 0, m k
u1, ,up là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
u1, ,up đều có độ dài bằng 1. lOMoAR cPSD| 58759230 VÍ DỤ 3 Tập 11 u2 11 ,u3 01 là tập trực giao. u1 2 , 1 1
Cơ sở trực +Cơ sở giao +Tập trực giao 6.2. Tập trực giao lOMoAR cPSD| 58759230 Định nghĩa
u1, ,up là tập trực giao nếu u um. k 0, m k
u1, ,up là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
u1, ,up đều có độ dài bằng 1. VÍ DỤ 3 Tập 11 u2 11 ,u3 01 là tập trực giao. u1 2 , 1 1 lOMoAR cPSD| 58759230
Cơ sở trực +Cơ sở giao Cơ sở trực +Cơ sở +Tập trực giao chuẩn +Tập trực chuẩn Định lý 4: Nếu S
u1, ,up là tập trực giao và mọi vectơ trong S đều khác 0 thì S độc lập
tuyến tính (khi đó, một cơ sở của Span u1, ,up là u1, ,up , và gọi là cơ sở trực giao) lOMoAR cPSD| 58759230 Định lý 4: Nếu S
u1, ,up là tập trực giao và mọi vectơ trong S đều khác 0 thì S độc lập
tuyến tính (khi đó, một cơ sở của Span u1, ,up là u1, ,up , và gọi là cơ sở trực giao) Định lý 5:
Cho u1, ,up là một cơ sở trực giao của không gian con W của n. Với mỗi y W ,
trọng số trong tổ hợp tuyến tính
y c1 1u cp pu được cho bởi yu.
ck u uk k. k k 1, ,p lOMoAR cPSD| 58759230
VÍ DỤ 4Tập S u1 211 ,u2 111 ,u3 101 là một cơ sở trực 3
giao của 3. Biểu diễn y 5 thành tổ hợp tuyến 7
tính của các vectơ trong S. S VÍ DỤ 4Tập 1 21 u2 11 ,u3 01 là một cơ sở trực lOMoAR cPSD| 58759230 u , 1 1 1 3
giao của 3. Biểu diễn y 5 thành tổ hợp tuyến 7
tính của các vectơ trong S.
GIẢI Vì S là cơ sở trực giao nên, theo định lý 5, ta có y
c1 1u c2 2u c3 3u