Sưu tầm vật lý bán cổ điển - sadad | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Gv: Lê Đình Khiết, Lớp BDNK Vật Lý – 12A Trung Yên 6 BÀI TẬP SƯU TẦM
ST Lý thuyết Bohr và hệ t ức Moseley h
Năm 1913 nhà vật lý người Đan Mạch Niels Bohr đã đưa ra lý thuyết của mình về nguyên tử Hidro gọi
là lý thuyết Bohr. Lý thuyết Bohr không chỉ giải thích được sự tồn tại của các vạch quang phổ của hidro
mà còn tính được chính xác các bước sóng của chúng. Lý thuyết Bohr cũng áp dụng được cho các ion
tương tự hidro (chỉ có 1 electron ở lớp vỏ).
1. Theo lý thuyết Bohr, electrong trong nguyên tử hidro chuyển động trên quỹ đạo tròn với bán kính
r quanh hạt nhân. Lực tương tác giữa electron và hạt nhân là lực hút Coulomb. Bohr cho rằng mô
men động lượng L của electron trên quỹ đạo chỉ nhận các giá trị thoả mãn: 𝐿 = 𝑛. ! , với n là các "#
số tự nhiên, còn h là hằng số Planck.
a) Giả thiết khối l ợng ư
m của electron là rất nhỏ so với k i hố lượng M của ạt h nhân. Chứng minh
rằng năng lượng 𝐸$ của nguyên tử hidro là tổng của ộng đ
năng và thế năng electron tương !
tác với hạt nhân, ở trạng thái có số lượng tử chính là n, thì nó là: 𝐸 = − '"# %!&"'( ( . $ !! $!
Trong đó, k là hằng số Coulomb, e và m lần lượt là điện tích nguyên tố và khối lượng electron. b) Bohr giả thiết ằng r
nguyên tử chỉ phát xạ khi nó chuyển từ trạng thái 𝐸 về trạng thái có mức $
năng lượng thấp hơn là 𝐸 , tương ứng với electron chuyển động từ quỹ đạo có số lượng tử '
chính n về quỹ đạo có số lượng tử chính m. Năng lượng của photon phát xạ 𝜀 = 𝐸 − 𝐸 . Sử $ '
dụng kết quả của câu (a) chứng mình rằng bước sóng λ trong chân không của ạch v phổ do
nguyên tử hidro phát ra thoả mãn hệ thức: ( = 𝑅 ' ( − ( (, với R được gọi là hằng số ) '! $!
Rydberg. Xác định giá trị của R. c) Trong thực ế,
t có sự ảnh hưởng của khối lượng M của ạt nhân. h Đối ới nguyên v tử hidro, tỷ
số γ = ' ≈ ( , hãy xác định lại giá trị của R để phù hợp với thực tế. * (+,-
2. Khi một electron có năng lượng lớn đập vào một nguyên tử của bia rắn, làm bật ra một electron
nằm sâu trong nguyên tử đó và để lại một ỗ
l trống. Một trong số các electron ở lớp vỏ ngoài sẽ
dịch chuyển đến và lấp đầy lỗ trống, và trong quá trình đó nguyên tử phát xạ photon tia X đặc
trưng. Nếu electron chuyển dời từ lớp vỏ L ề lỗ v
trống ở lớp K, tương ứng với lỗ trống ở lớp vỏ
K sang lớp vỏ L thì photon phát ra thuộc vạch 𝐾 của phổ tia X đặc trưng. .
a) Hãy vận dụng lý thuyết Bohr áp dụng cho sự chuyển dời của ỗ
l trống, chứng minh rằng tần
số f của vạch phổ 𝐾 thoả mãn hệ thức Moseley: .
. 𝑓 = α(𝑍 − 1) với Z là nguyên tử số của
vật liệu làm bia, α là 1 hằng số. Xác định giá trị của α. 1
Gv: Lê Đình Khiết, Lớp BDNK Vật Lý – 12A Trung Yên 6
b) Một bia làm bằng Coban (Co27) có lẫn tạp chất, được bắn phá bởi các electron có năng lượng
lớn để phát ra tia X. Người ta đo được bước sóng của ạch phổ v
𝐾 của Coban và tạp chất lần .
lượt là: 178,99p𝑚 và 143,59𝑝𝑚. Xác định nguyên tử số của tạp chất.
ST Sự hình thành ngôi sao
Ta hãy mô hình hoá sự hình thành của ột
m ngôi sao như sau: Một đám mây chứa khí loãng giữa các vì
sao đầu tiên ở trạng thái nghỉ, bắt ầu co lại do đ
lực ấp dẫn của chính nó. Bán kính ban đầu của quả cầu h
là 𝑟 , tổng khối lượng đám mây là m. Nhiệt ộ
đ của môi trường xung quanh (môi trường này loãng hơn /
rất nhiều so với môi trường đám mây khí) và nhiệt ộ
đ ban đầu của đám khí cùng là 𝑇 . Khí có thể được /
xem là lý tưởng, khối l ợng ư
mol trung bình là μ và hệ số đoạn nhiệt γ > 4/3. Giả thiết ằng r 01' ≫ 𝑅𝑇 , 2 / #
trong đó R là hằng số khí lý tưởng, G là hằng số hấp dẫn.
a) Trong phần lớn quá trình co lại, khối khí là trong suốt, sao cho nhiệt sinh ra được bức ạ x ngay ra
bên ngoài, tức là khối khí nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt ộng vớ đ i môi trường xung quanh.
Áp suất khí tăng lên bao nhiêu lần khi bán kính giảm đi còn một ửa n
so với ban đầu? Giả thiết
rằng trong quá trình này mật độ hạt khí luôn đồng nhất tại mọi điểm trong quả cầu.
b) Hãy ước tính thời gian t2 cần thiết để bán kính co lại từ ro đến 𝑟 = 0,9 𝑟 5 . " /
c) Giả thiết rằng áp suất luôn giữ ở giá trị nhỏ không đáng kể, hãy tìm tới gian 𝑡 cần thiết để quả 2→4
cầu co lại từ bán kính 𝑟 tới lân cận tâm. /
d) Ở một bán kính 𝑟 ≪ 𝑟 nào đó, mật ộ khí đủ đ
cao, nên khối khí là không trong suốt đối với bức , /
xạ. Hãy xác định nhiệt l ợng ư
Q bực xạ ra ngoài trong quá trình co lại từ bán kính 𝑟 đến bán kính / 𝑟 . ,
e) Với các bán kính nhỏ hơn 𝑟, chúng ta có thể bỏ qua sự bức ạ nhiệt. x
Hãy xác định sự phụ thuộc
của nhiệt độ T của quả cầu vào bán kính 𝑟 < 𝑟, của nó.
f) Thực tế, ta không thể bỏ qua áp suất, và sự co lại dừng khi 𝑟 = 𝑟 ≪ 𝑟 5
, . Ở đây, vẫn bỏ qua sự
bức xạ, nhiệt độ của đám khí là chưa đủ cao để gây ra phản ứng tổng hợp hạt nhân. Áp t suấ khí
của tiền ngôi sao là không đồng nhất, nhưng với phép gần đúng thô, có thể giả sử là đồng nhất
trong toàn bộ khối khí. Hãy ước tính bán kính 𝑟 và nhiệt độ tương ứng 𝑇 . 5 5 ST Khí thực
Xét một lượng khí thực đơn nguyên tử chứa N nguyên tử có kích thước nhỏ hơn rất nhiều so với quãng
đường tự do trung bình. Khối khí nằm cân bằng trong một bình chứa hình lập phương thể tích V. Trong 2
Gv: Lê Đình Khiết, Lớp BDNK Vật Lý – 12A Trung Yên 6
khí thực này, lực tương tác giữa các hạt là nhỏ, nhưng không thể bỏ qua. Vì có thể bỏ qua kích thước nên
chúng ta có thể giả thiết các hạt không va chạm với nhau.
a) Xét một nguyên tử nằm sâu trong lòng bình chứa có thể tích V. Giả thiết th a ế năng tương tác giữ
2 hạt khi chúng nằm cách nhau một khoảng r cho bởi : 0 𝑟 < 𝑑 𝑢(𝑟) = J 𝑑 - −𝜀 L𝑟M 𝑟 ≥ 𝑑
Trong đó 𝑑 ≪ 𝑉(/, là khoảng cách nhỏ nhất mà hai nguyên tử có thể t ến lạ i i ần g nhau, còn ϵ là
một hằng số dương. Giả thiết khí phân bố đồng nhất trong bình chứa, tìm thế năng trung bình của
nguyên tử này. Viết đáp số theo các đại lượng: 𝑎7 = "#8$9, N và V. ,
b) Giả thiết đa số các nguyên tử nằm trong lòng bình chứa, tìm tổng năng lượng của các nguyên tử trong bình.
c) Bây giờ, xét một bình chứa cách nhiệt có vách ngăn chia làm hai nửa, mỗi ửa có n thể tích V. Ta
bơm một ngăn với N nguyên tử khí thực ở nhiệt độ T, còn ngăn kia ở chân không. Sau đó ta nhanh
chóng rút vách ngăn ra và để khí giãn rồi chiếm toàn bộ thể tích bình chứa.
1. Tìm nhiệt độ cuối cùng của khí sau khi giãn.
2. Tìm độ biến thiên Entropy của khí sau khi giãn.
Gợi ý: Có thể sử dụng định luật Bernouli 𝑃 + 𝑈 + :;! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, trong đó P là áp suất, U là mật "
độ thế năng, ρ là mật độ khối lượng, v là vận tốc chất lưu.
ST Chất khí tự hấp dẫn
Xét khối khí lý tưởng đơn nguyên tử tại nhiệt độ T có thể tự giữ hình dạng cân bằng ở dạng đối xứng cầu
nhờ trường hấp dẫn riêng của nó. Gọi khối l ợng toàn ư phần của c ất
h khí là 𝑀/ và khối l ợng ư mol μ. Ta
sẽ mô tả hàm phân bố của khối lượng theo bán kính M (𝑟) và áp suất theo hàm của khoảng cách tính từ tâm đám khí.
a) Tìm điều kiện cân bằng cho một phần nhỏ của khối khí, khối lượng m, thể tích v tại khoảng cách
r từ tâm đám khí thông qua gradient áp suất 8<, khối lượng theo bán kính 𝑀(𝑟) và các hằng số 82 thích hợp.
b) Chứng minh rằng năng lượng nhiệt toàn phần của chất khí có thể biểu diễn bằng 𝑈 = −α ∫ 𝑉 . 𝑑𝑝,
trong đó 𝑉 = 5 π𝑟,; α là th a
ừ số tích phân lấy từ tâm đám mây đến khoảng cách rất xa (hệ số ,
chuẩn hoá). Tìm giá trị của α. 3
Gv: Lê Đình Khiết, Lớp BDNK Vật Lý – 12A Trung Yên 6
c) Dựa vào kết quả của phần trên, chứng tỏ rằng 𝑈 = −β𝐸 trong đó 𝐸 là thế hấp dẫn của chất khí, 1 1
β là 1 số dương bé hơn 1. Tìm β.
d) Đánh giá một cách định tính nhiệt ộ và bán kính đặc trưng của khối khí sẽ thay đổi như thế nào đ
theo thời gian nếu xả ra bức ạ
x nhiệt. Bán kính đặc trưng 𝑅 được ịnh đ nghĩa là bán kính chiếm =
một nửa khối lượng khối khí.
e) Xét khối khí plasma đã bị ion hoá hoàn toàn. Giả sử khối plasma trung hoà điện tích chỉ gồm
electron và proton. Tính thừa ố
s tỉ lệ giữa thế năng hấp dẫn toàn phần và năng lượng nhiệt toàn
phần đối với khí plasma.
ST Mẫu nguyên tử Bohr
Năm 1913 Neils Bohr đã vận dụng thuyết l ợng ư
tử vào hệ thống nguyên tử và đề ra một ẫu nguyên tử m mới ọ
g i là mẫu nguyên tử Bohr. Mẫu này giải thích thành công sự tạo thành quang phổ vạch phát xạ của
nguyên tử hidro. Đặc biệt, bằng lý thuyết của mình, Bohr đã thu được công thức ãy d gần như trung khớp
với công thức dãy đã thu được bằng thực nghiệm : >( ( = 𝑅 𝑍" '1 + '' ( , 𝑅
' ( − ( (, 𝑅 = "#!''%!&" = 1,097.10?𝑚>( $' = 𝑅 ) $' / / %& *() '! $! !$=
Trong các công thức trên m và n là các số tự nhiên (𝑛 > 𝑚 ≥ 1), λ$' là bước sóng của phép chuyển 𝑛 → 𝑚, 𝑅 𝑀 / gọi là ằng số h
Rydberg, @A là khối l ợng hạt ư
nhân nguyên tử. Trong bài toán này chúng ta
áp dụng công thức dãy của Bohr để nghiên cứu mối liên hệ giữa việc phân tích quang phổ nguyên tử với
việc phân tích cấu trúc hạt nhân do sự xuất hiện khối lượng hạt nhân nguyên tử trong công thức quang phổ của nguyên tử.
a) Hạt nhân nguyên tử của một nguyên tố có số khối A được cấu tạo bởi Z proton và (A–Z) neutron
(Z nhỏ để có thể áp dụng được lý thuyết Bohr). Bằng phép phân tích quang phổ Ion tương tự
hidro của nguyên tố này người ta có thể đo được bước sóng của phép chuyển 𝑛 → 𝑚. Giả sử bước
sóng này sai khác với bước sóng lý thuyết (bước chuyển của cùng phép chuyển được tính bằng
công thức dãy nếu bỏ qua năng lượng liên kết của ạt
h nhân) một lượng Δλ. Hãy xây dựng công
thức tính năng lượng liên kết c a
ủ hạt nhân này qua Δλ, 𝑅$' và các giá trị thực nghiệm cho ở dưới.
b) Áp dụng kết quả tính toán cho Deuteri (đồng vị của hidro với A=2). Biết bước sóng của vạch 𝐻 .
(là vạch đầu tiên trong dãy quang phổ nhìn thấy của Deuteri ứng với sự chuyển mức từ trạng thái
M về trạng thái L) sai khác với bước sóng lý thuyết một lượng Δλ=0,0165 nm. Tính năng lượng
liên kết của Deuteri và so sánh nó với kết quả thực nghiệm.
c) Bây giờ ta hãy xét cấu trúc nguyên tử hidro theo lý thuyết Bohr nhưng coi như hạt nhân nguyên
tử đứng yên và tính đến hiệu ứng tương đối tính trong chuyển động của electron. Trong trường 4
Gv: Lê Đình Khiết, Lớp BDNK Vật Lý – 12A Trung Yên 6
hợp này các nhà thực nghiệm đưa vào đại l ợng ư
α = "#%&! = 0,00729 gọi là ằng số cấu trúc h tế != >(/"
vi. Do hiệu ứng tương đối tính nên năng lượng của electrong là 𝐸 = γ𝑚 𝑐" ( & với γ = '1 − ;! . =!
Gọi ΔE là độ chênh lệch năng lượng giữa t ạng r
thái chuyển động với vận tốc v và trạng thái nghỉ
của electron. Tính tỉ số ΔE/E theo α đến bậc 1 của v/c.
Cho các giá trị thực nghiệm: T c
ố độ ánh sáng trong chân không 𝑐 = 2,99792.10+𝑚/𝑠, đơn vị khối lượng
nguyên tử: 1𝑢 = 931,45 *&B, khối lượng nghỉ của electron, neutron, proton, Deuteri lần lượt là 𝑚 = =! &
5,48579.10>5𝑢, 𝑚 = 1,00867𝑢 = 1,00728𝑢 = 2,01410𝑢 $ , 𝑚< , 𝑚C . 5