Tài liệu chủ đề cấp số cộng

Tài liệu gồm 34 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề cấp số cộng, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.

39 20 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

34 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Khi đó, số d được gọi là công sai của cấp số
cộng.
2) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai d thì số hạng tổng quát
n
được xác định bởi công
thức
1
1
n
u u n d
với
2
n
.
3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng
đứng kề với nó, nghĩa là
1 1
2
k k
k
u u
u
với
2
k
.
Chú ý: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
2
a c b
.
4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng
n
u
. Đặt
1 2 3
...
n n
S u u u u
. Khi đó
1
2
n
n
n u u
S
.
Chú ý: Vì
1
1
n
u u n d
nên công thức trên có thể viết lại là
1
1
2
n
n n
S nu d
.
Chứng minh: Gọi
1 2 3
, , ,...,
n
u u u u
lần lượt là các số hạng của cấp số cộng. Ta có
2
3
1
1 1 1 1 1
2 ... 2 1
n n
n
u
u
u u
S u u d u d u n d u n d
2
3
1
1 1 1 1 1
1 2 ... 2
n n
n
u
u
u u
S u n d u n d u d u d u
1 1 1 1
2 2 1 2 1 2 1 ... 2 1
n
S u n d u n d u n d u n d
Do đó
1 1
2 2 1 2 1
2
n n
n
S n u n d S u n d
.
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng
Ví dụ 1. Tính số hạng đầu
1
u
và công sai d của một cấp số cộng biết
a)
4
7
10
19
u
u
b)
3
14
15
18
u
u
Lời giải:
Trang 2
a) Ta có
4
1
1
7 1
10 3 10
3
1
19
6 19
u u d
d
uu
u d
b) Ta có
3
1
1
114
15 2 15
3
21
13 1818
u u d
d
u du
u
Ví dụ 2. Tính số hạng đầu
1
u
và công sai d của một cấp số cộng biết
a)
1 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
b)
1 5 3
1 6
10
7
u u u
u u
Lời giải:
a)
1 3 5
1 1 1 1
1
1 6 1
1 1
10
2 4 10 2 10
16
17 2 5 17
3
5 17
u u u
u d u d u d
u
u u u d
d
u u d
u
b)
1 5 3
1 1 1 1
1
1 6 1
1 1
10
4 2 10 2 10
36
7 2 5 7
13
5 7
u u u
u u d u d u d
u
u u u d
d
u u d
Ví dụ 3. Tính số hạng đầu
1
u
và công sai d của một cấp số cộng biết
a)
7 15
2 2
4 12
60
1170
u u
u u
b)
1 2 3
2 2 2
1 2 3
27
275
u u u
u u u
Lời giải:
a)
1 1 1
7 15
2 2 2 2
2 2
4 12
1 1
6 14 60 30 10
60
1170
3 11 1170 30 7 30 1170
u d u d u d
u u
u u
u d u d d d
1
1
1
2
1
1
30 10
4,2
30 10
12; 4,2
0; 3
1800 50 360 1170 30 10
3
u d
d
u d
u d
u d
d d u d
d
b)
2 2
1 2 3
2
2 2
2 2 2 2 2
2
1 2 3 2
2 2 2
2 27
27
9
275 3 2 275
275
u u
u u u
u
u u u u d
u d u d u
2
1
1
2
9
4
5; 4
13; 4
9
4
u
d
u d
u d
u
d
Ví dụ 3. Cho dãy số
n
u
với
11 10
n
u n
.
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh dãy số
n
u
là cấp số cộng. Chỉ rõ
1
u
và d.
Lời giải:
a) 5 số hạng đầu của dãy là
1, 9,19, 29, 39
.
Trang 3
b) Xét hiệu
1
11 10 1 11 10 10
n n
u u n n
.
Do đó
1
5
n n
u u
, suy ra dãy số
n
u
là cấp số cộng với
1
1; 10
u d
.
Ví dụ 4:
a) Viết năm số xen giữa hai số 1 và 25 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng các số hạng
của cấp số này.
b) Viết sáu số hạng xen giữa hai số 30 và 2 để được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số hạng thứ 50 của
cấp số này là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Theo bài ra, ta có
1 8
3, 24
u u
. Từ công thức
1
1
n
u u n d
Suy ra
1
25 1
4
1 7 1
n
u u
d
n
. Vậy 5 số phải viết thêm là
5,9,13,17,21
.
b) Ta có
1
2 30
4
1 8 1
n
u u
d
n
. Vậy 6 số phải viết thêm là
26,22,18,14,10,6
.
Lại có
1 50
1 30 50 1 . 4 166
n
u u n d u .
Ví dụ 5: Cho hai cấp số cộng
: 4,7,10,13,16,19,...
n
x
:1,6,11,16,21, 26,...
n
y
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?
Lời giải:
Ta có
4 1 3 3 1
n
x n n
với
1 100
n
.
1 1 5 5 4
k
y k k
với
1 100
k
.
Để một số là số hạng chung, ta phải có
3 1 5 4 3 5 1
n k n k
Suy ra n chia hết cho 5, tức
5
n t
và
3 1
k t
với
t Z
.
Vì
1 100
n
nên
1 20
t
. Ứng với 20 giá trị của t, ta tìm được 20 số hạng chung.
Chẳng hạn, với
1
t
thì
5, 4
n k
, khi đó
5 4
16
x y
.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số
1 1 1
, ,
b c c a a b
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Ba số
1 1 1
, ,
b c c a a b
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
1 1 1 1
c a b c a b b c
b a c b
c a b c a b c a
Trang 4
b a b a c b c b
, ,
b a c b a b c
lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 7: Chu vi của một đa giác là 45 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
3
d cm
. Biết cạnh lớn nhất là 15 cm, tính số cạnh của đa giác đó.
Lời giải:
Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là
1
u
và số cạnh của đa giác là n.
Ta có
1
15 1 .3
u n hay
1
18 3 0 6
u n n
.
Tổng các cạnh (tức là chu vi đa giác) là 45 cm, ta có
15 18 3
45
2
n n
hay
2
3 33 90 0
n n
.
Giải phương trình với
*
; 6
n N n
, ta được
5
n
.
Ví dụ 8: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết
a)
7
15
27
59
u
u
b)
9 2
13 6
5
2 5
u u
u u
c)
2 4 6
8 7 4
7
2
u u u
u u u
d)
3 7
2 7
8
. 75
u u
u u
Lời giải:
Gọi số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng lần lượt là
1
,
u d
.
Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng có dạng
1
1
n
u u n d
.
a) Ta có
7
1
1
15 1
27
6 27
3
59 14 59
8
u
u d
u
u u d
d
. Vậy
1
3
8
u
d
.
b) Ta có
1 1
9 2 1
1
13 6 1
1 1
8 5
5
4 3 0
3
2 5 2 5
4
12 2 5 5
u d u d
u u
u d
u
u u u d
d
u d u d
.
c) Ta có
1 1 1
2 4 6
8 7 4
1 1 1
3 5 7
7
2
7 6 2 3
u d u d u d
u u u
u u u
u d u d u d
1
1
1
7
5
2 5 0
2
u d
u
u d
d
. Vậy số hạng đầu
1
5
u
và công sai
2
d
.
d) Ta có
3 7 1 1
8 2 6 8 4 8 2
u u u d u d d d
.
Mặt khác
2 7 1 1 1 1
. 75 6 75 2 12 75
u u u d u d u u
1
2
2 1
1
3
14 51 0
17
u
u u
u
. Vậy
1
3
2
u
d
hoặc
1
17
2
u
d
.
Ví dụ 9: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết rằng
a)
12
18
36
45
S
S
b)
5
10
10
5
u
S
Lời giải:
Trang 5
Gọi
1
u
, d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
1
2 1
2
n
n u n d
S
a) Ta có
1
12 1
12. 2 11
36 2 11 6
2
u d
S u d
1
.
Và
1
18 1
18 2 17
45 2 17 5
2
u d
S u d
2
.
Từ
1 , 2
suy ra
1
1
1
47
2 11 6
12
.
1
2 17 5
6
u
u d
u d
d
b) Ta có
1
5 1
1
1
10 1
4 10
10
4 10
86
.
2 9
10. 5
5 2 9 1
19
2
u d
u
u d
u
u d
S u d
d
Ví dụ 10: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết rằng:
a) Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 105.
b) Tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155.
Lời giải:
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là
, , 2 *
a b c a c b
.
a) Theo bài ra, ta có
15
105
a b c
abc
, kết hợp với
*
, ta được
15
2
105
a b c
a c b
abc
3 15 5 3
2 10 5
105 7
5 10 105
b b a
a c b c a b
abc c
a a
hoặc
7
5
3
a
b
c
.
b) Theo bài ra, ta có
2 2 2
21
155
a b c
a b c
, kết hợp với
*
, ta được
2 2 2
21
2
155
a b c
a c b
a b c
2 2 2 2
2 2
3 21 7 5
2 14 7
9
155
14 7 155
b b a
a c b c a b
c
a b c
a a
hoặc
9
7
5
a
b
c
.
Ví dụ 11: Tìm giá trị của x để ba số
2
10 3 , 2 3, 7 4
a x b x c x
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Vì ba số a,b,c lập thành cấp số cộng nên
2
a c b
.
Trang 6
Khi đó
2 2
1
10 3 7 4 2 2 3 4 7 11 0 .
11
4
x
x x x x x
x
Vậy
1
x
hoặc
11
4
x
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 12: Tìm số nguyên dương n biết
1 2 3
, ,3
n n n
C C C
tương ứng với số hạng thứ 1, số hạng thứ 4, và số
hạng thứ 19 của cấp số cộng.
Lời giải:
Theo bài ra, ta có
4 1 4 1
4 19 1
19 1 19 1
3 6 6 18
6 5 .
18 18
u u d u u d
u u u
u u d u u d
Kết hợp với điều kiện
1 2 3
1 4 19
; ; 3
n n n
u C u C u C
, ta được
2 3 1
3 2
3
3
6 3 5 6.
1 2
9 18 0
3 1 5
2
n n n
n
n
C C C n
n n n
n n n
n n n
Ví dụ 13: Tìm giá trị x dương nhỏ nhất thỏa mãn ba số
sin ,sin 2 , 3 cos
x x x
lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Theo bài ra, ba số
sin ,sin 2 , 3 cos
x x x
lập thành cấp số cộng nên suy ra
1 3
sin 3 cos 2sin 2 sin cos sin .cos sin .cos sin 2
2 2 3 3
x x x x x x x x
2 2 2
3 3
sin sin 2
2 2
3
2 2
3 9 3
x x k x k
x x k Z
k
x x k x
Nghiệm dương x nhỏ nhất sẽ ứng với
0
k
. Vậy
3
x
hoặc
2
9
x
.
Ví dụ 14: Cho ba số a,b,c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng
2 2
2 2
a bc c ab
và
2
2
8 2
a bc b c
.
Lời giải:
Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra
2
a c b
.
Ta có
2 2
2 2 2 2 0
a bc c ab a c a c b c a a c a c b
Suy ra
2 2 2 2
2 2 0 2 2
a bc c ab a bc c ab
điều phải chứng minh.
Lại có
2 2
2 2 2 2 2 2
8 2 4 2 4 4 4 4
a bc b c a a c c a c a ac c a ac c
Suy ra
2 2
2 2
8 2 0 8 2a bc b c a bc b c
điều phải chứng minh.
Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có
tan ,tan ,tan
2 2 2
A B C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng
cos ,cos ,cos
A B C
theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng.
Trang 7
Lời giải:
Vì ba số
tan ,tan ,tan
2 2 2
A B C
lập thành cấp số cộng
tan tan 2 tan .
2 2 2
A C B
Sử dụng công thức:
sin sin .cos sin .cos
a b a b b a
, ta được
sin sin sin .cos sin .cos sin
2 2 2 2 2 2 2
tan tan .
2 2
cos cos cos .cos cos .cos
2 2 2 2 2 2
A C A C C A A C
A C
A C A C A C
Kết hợp với
2 2 2
A C B
suy ra
sin
cos sin
2 2
2 2
2
cos .cos cos .cos cos
2 2 2 2 2
B
B B
A C A C B
2
2
cos 2.sin .cos .cos sin cos
2 2 2 2 2
B B A C B A
Ví dụ 16: Tìm tham số m để phương trình
3 2
3 1 2 0
x m x mx
có ba nghiệm phân biệt lập thành
cấp số cộng?
Lời giải:
Phương trình
3 2 2
3 1 2 0 3 1 2 0
x m x mx x x m x m
2
0
3 1 2 0 *
x
x m x m
. Đặt
2
3 1 2 .
f x x m x m
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
*
có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
2
*
0
2 0
0.
9 2 1 0
3 1 4.2 0
f x
m
m
m m
m m
Khi đó, gọi
1
0
x
và
2 3 2 3
,
x x x x
là hai nghiệm của phương trình
*
.
Theo hệ thức Viet, ta có
2 3
3 1
x x m
và
2 3
2 .
x x m
TH1. Ba số
3 1 2
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
2 3 1 2 3
1
2 0 .
3
x x x x x m
TH2. Ba số
1 3 2
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
1 2 3 3 2
2 2 0.
x x x x x
Khi đó, ta có hệ
2
3 2
2 3 3
2 3
2 3
6 2
3
2 0
3 1 6 2 3 1
3 1 . 2
3 3 3
2
2
m
x
x x
m m m
x x m x m
x x m
x x m
TH3. Ba số
3 2 1
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
1 3 2 2 3
2 2 0.
x x x x x
Trang 8
Khi đó, ta có hệ phương trình
2
2 3
2 3 3
2 3
2 3
3 1
3
2 0
6 2 6 2 3 1
3 1 . 2
3 3 3
2
2
m
x
x x
m m m
x x m x m
x x m
x x m
Cả hai trường hợp TH2-TH3 đều không cho giá trị của tham số m.
Vậy
1
3
m
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 17: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
4 2
10 9 0
x mx m
có bốn nhiệm phân biệt
lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Đặt
2
0
t x
, phương trình
4 2 2
10 9 0 10 9 0 *
x mx m t mt m .
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
*
có hai nghiệm dương phân biệt.
2
*
1 2
2
1 2
5 9 0
0
0
9
10 0
25 9 0
25
25 9 0
9 0
m m
m
m
t t m m
m m
m m
t t m
Giả sử
1 2
t t
, khi đó 4 nghiệm phân biệt của phương trình là
2 1 1 2
, , , .
t t t t
Theo bài ra, ta có
2 1 1 2 1 2 1
2 3 9 .
t t t t t t t
Suy ra hệ phương trình
1 2 1
2
2 1 2
1 2 1 2
10 9
0
9 9 9 .
1
9 9
t t m t m
m L
t t t m m m
m C
t t m t t m
Vậy
1
m
là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng
Ví dụ 1: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười
hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?
Lời giải:
Ta có
11
12
1
12
1 12
111 23
23
2312
144
144 2
2 11
uu d
u
u
S
u u d
.
Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó.
Lời giải:
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng
*
3
n n N
nên chúng lập thành cấp số cộng với
1
50
3
3
150
n
u
u n
u
. Vậy
50 1 50
50
. 3825
2
S u u .
Trang 9
Chú ý: Công thức tính tổng
1 1
1
.
2 2
n
n n
n
S u u nu d
Ví dụ 3:
a) Cho một cấp số cộng
n
u
có
6
18
S
và
10
110
S
. Tính
20
.
S
b) Cho một cấp số cộng
n
u
có
3 28
100
u u
. Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
đó.
Lời giải:
a) Ta có
1
2 1
2
n
n u n d
S
suy ra
6 1
10 1
3 2 5 18
5 2 9 110
S u d
S u d
.
1
1
1
2 5 6
7
2 9 22
4
u d
u
u d
d
. Vậy
20 1
10 2 19 10 2. 7 19.4 620.
S u d
b) Ta có
3 28 1 1 1
2 27 2 29 100.
u u u d u d u d
Khi đó, tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
30 1
15 2 29 1500.
S u d
Ví dụ 4: Một công viên hình tam giác được trồng cây xanh theo hàng có quy luật của một cấp số cộng
như sau: Hàng thứ nhất có 9 cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối cùng có 2014 cây. Hỏi công viên đó
có tất cả bao nhiêu hàng cây được trồng?
Lời giải:
Gọi n là số hàng cây được trồng trong công viên.
Vì cây trong công viên được trồng theo hàng có quy luật là một cấp số cộng nên gọi
1 2
, ,...,
n
u u u
lần
lượt là số cây của hàng. Khi đó
1 10
9, 54
u u
và
2014.
n
u
Ta có
1 1
10 1
1
9 9
9 54 5 1 401 402.
9 5 1 2014
1 2014
n
u u
u u d d n n
n
u u n d
Ví dụ 5: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các công nhân được tuyển dụng. Công ty liên doanh D đề
xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, đó là
PA1. Người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức
lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
PA2. Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý đầu tiên và kể tự quý làm việc thứ hai
mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý.
Nếu bạn là người lao động, bạn sẽ chọn phương án nào?
Lời giải:
Kí hiệu X là người lao động. xét mỗi phương án mà công ty đưa ra, ta có:
PA1. Năm thứ nhất, X nhận được 36 triệu đồng, tức là
1
36.
u
Năm thứ hai, X nhận được 36+3=39 triệu đồng, tức là
2
39.
u
Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với
1
36, 3.
u d
Trang 10
Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là
10 1
5. 2 9 495
S u d triệu đồng.
PA2. Quý đầu tiên, X nhận được 7 triệu đồng, tức là
1
7.
u
Sang quý thứ hai, X nhận được 7+0,5=7,5 triệu đồng, tức là
2
7,5.
u
Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với
1
7, 0,5
u d
Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là
40 1
20. 2 39 670
S u d triệu đồng.
Vậy ta thấy nếu kí hợp đồng theo PA2 thì số tiền lương nhận được sẽ cao hơn và chắc chắn ta sẽ chọn
PA2.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)
1 6 11 16 21 ... 970.
x
b)
1 4 7 ... 28 155.
x x x x
Lời giải:
a) Xét dãy số
1,6,11,16,21,...,
x
là dãy số có số hạng đầu
1
1
u
và công sai
5
d
nên tổng n số hạng
đầu tiên của dãy là
1
2 1 2 5 1
2 2
n
n u n d n n
S
Do đó
2
5 3
1 6 11 16 21 ... 970 5 3 1940 0 20.
2
n n
x n n n
Vậy
1
1 1 20 1 .5 96
n
x u u n d
là giá trị cần tìm.
b) Xét dãy số
1, 4, 7,.., 28
x x x x
là dãy số có số hạng đầu
1
1
u x
, số hạng cuối
28
n
u x
và
1
3 1 28 1 3 1 10.
n
d u u n d x x n n
Do đó
1
1
10 2 9
1 4 7 ... 28 10 45
2
n
u d
S x x x x u d
Vậy
10 1 45.3 155 10 1 20 1
x x x
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hai cấp số cộng
n
u
và
v
có tổng n số hạng đầu tiên là
n
S
và
n
T
. Biết rằng
6 1
9 1
n
n
S
n
T n
. Tìm
11
11
u
v
.
Lời giải:
Gọi
1 1
,
u a
lần lượt là số hạng đầu của
n
u
và
n
v
.
Và
1 1
,
d h
lần lượt là công sai của hai cấp số cộng
n
u
và
n
v
.
Ta có
1 1
2 1
2
n
n u n d
S
và
1 1
2 1
.
2
n
n a n h
T
Say ra
1 1
21 1 1
1 1 21 1 1
2 1
2 206 1 6 1 127
* .
9 1 2 1 9 1 2 20 190
n
n
u n d
S
S u dn n
T n a n h n T a h
Lại có
11 1 1
11 1 1
10
10
u u d
v a h
, kết hợp với
*
, ta được
11
11
127
.
190
u
v
Trang 11
Ví dụ 8: Cho cấp số cộng
n
u
, chứng minh rằng
2
2
m
n
S
m
S n
thì
2 1
2 1
m
n
u
m
u n
.
Lời giải:
Ta có
1
2 1
2
m
u m d
S m
và
1
2 1
2
n
u n d
S n
.
Theo giả thiết, ta được
2
1
2
1
2 1
.
2 1
m
n
u m d m
S
m
S n
u n d n
Suy ra
1
1 1
1
2 1
2 2
2 1
u m d
m
nu mn n d mu mn m d
u n d n
1 1
2 0 2 0
m n u m n d m n u d
với
.
m n
Từ đó suy ra
1
2
d
u
. Vậy
1
1
1
1
2 1
2
.
1 2 1
1
2
m
n
d
m d
u m d
u
m
d
u u n d n
n d
Ví dụ 9: Chứng minh rằng nếu
2 3
, ,
n n n
S S S
tương ứng là tổng của
,2 ,3
n n n
số hạng đầu tiên của một cấp
số cộng thì
3 2
3
n n n
S S S
.
Lời giải:
Sử dụng các công thức
1 1
2
n n
n
u u
u
và
1
2
n
n
u u n
S
Ta có
1 2 1 2 2
1 2
;
2 2 2
n n n n n
n
S u u S u u S
u u
n n n
và
3 1 3
3 2
n n
S u u
n
Khi đó
3 1 1 3 1 3
2
3 2 2 2
n n n n n n
S S u u u u u u u
n n
mà
3
2
.
2
n n
n
u u
u
3 1 2 2 3
1 2 2 3 2
2 2
3 .
3 2 3
n n n n n
n n n n n n
S S u u S S
u u S S S S S
n n n
Vậy ta có điều phải chứng minh.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A.
1; 3; 7; 11; 15;...
B.
1; 3; 6; 9; 12;...
C.
1; 2; 4; 6; 8;...
D.
1; 3; 5; 7; 9;...
Câu 2. Dãy số sau nào sau đây không phải là một cấp số cộng?
A.
2 1 1 2 4
; ;0; ; ;1;
3 3 3 3 3
B.
15 2;12 2;9 2;6 2
C.
4 7 9 11
;1; ; ;
5 5 5 5
D.
1 2 3 4 3 5
; ; 3; ;
3 3
3 3
Câu 3. Cho dãy số
1 1 3
;0; ; 1; ;...
2 2 2
là cấp số cộng với:
Trang 12
A. Số hạng đầu tiên là
1
2
, công sai là
1
2
B. Số hạng đầu tiên là
1
2
, công sai là
1
2
C. Số hạng đầu tiên là
0
, công sai là
1
2
D. Số hạng đầu tiên là
0
, công sai là
1
2
Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu
1
1
2
u
, công sai
1
2
d
. Năm số hạng liên tiếp của cấp số này
là:
A.
1 1
;0;1; ;1
2 2
B.
1 1 1
;0; ;0;
2 2 2
C.
1 3 5
;1; ;2;
2 2 2
D.
1 1 3
;0; ;1;
2 2 2
Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
A.
7;12;17
B.
6;10;14
C.
8;13;18
D.
6;12;18
Câu 6. Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng
có công sai
2
d
. Tìm n.
A.
12
n
B.
13
n
C.
14
n
D.
15
n
Câu 7. Cho các số
4;1;6;
x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
A.
7
x
B.
10
x
C.
11
x
D.
12
x
Câu 8. Biết các số
1 2 3
, ,
n n n
C C C
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với
3
n
. Tìm n
A.
2
n
B.
7
n
C.
9
n
D.
11
n
Câu 9. Nếu
5 ;7 2 ;17
m m m
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
A.
2
m
B.
3
m
C.
4
m
D.
5
m
Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số
7; ;11;
x y
theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng?
A.
1; 21
x y
B.
2; 20
x y
C.
3; 19
x y
D.
4; 18
x y
Câu 11. Cho cấp số cộng
n
u
có các số hạng đầu lần lượt là
5;9;13;17,...
Tìm số hạng tổng quát
n
u
của
cấp số cộng.
A.
5 1
n
u n
B.
5 1
n
u n
C.
4 1
n
u n
D.
4 1
n
u n
Câu 12. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
3
u
và
1
2
d
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
3 1 .
2
n
u n
B.
1
3 1
2
n
u n
C.
1
3 1 .
2
n
u n
D.
1
3 1 .
4
n
u n
Câu 13. Cho cấp số cộng
n
u
có
3
15
u
và
2
d
. Tìm
n
u
A.
2 21
n
u n
B.
3
12
2
n
u n
C.
3 17
n
u n
D.
2
3
4
2
n
u n
Câu 14. Trong các dãy số được cho bên dưới, dãy số nào là cấp số cộng?
Trang 13
A.
7 3
n
u n
B.
7 3
n
n
u
C.
7
3
n
u
n
D.
7.3 .
n
n
u
Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A.
1 2 1
n
n
u n
B.
sin
4
n
u
C.
1
1
1
1
n n
u
u u
D.
1
1
1
2
n n
u
u u
Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không là cấp số cộng?
A.
4 9
n
u n
B.
2 19
n
u n
C.
2 21
n
u n
D.
2 15
n
n
u
Câu 17. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
5
u
và
3
d
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. Thứ 15 B. Thứ 20 C. Thứ 35 D. Thứ 36
Câu 18. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
5
u
và
3
d
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
15
34
u
B.
15
45
u
C.
13
31
u
D.
10
35
u
Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ 8 là 40. Khi đó công sai d của cấp
số cộng đó là bao nhiêu?
A.
4
d
B.
5
d
C.
6
d
D.
7
d
Câu 20. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
4
u
và
5
d
. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A.
100
24350
S
B.
100
24350
S
C.
100
24600
S
D.
100
24600
S
Câu 21. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
1
4
u
và
1
4
d
. Gọi
5
S
là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
5
5
4
S
B.
5
4
5
S
C.
5
5
4
S
D.
5
4
5
S
Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là
3 4
n
u n
với
*
n N
. Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
3 1
2
n
n
S
B.
7 3 1
2
n
n
S
C.
2
3 5
2
n
n n
S
D.
2
3 11
2
n
n n
S
Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
A. 7650. B. 7500. C. 3900 D. 3825.
Câu 24. Cho cấp số cộng
n
u
có
2
d
và
8
72
S
. Tìm số hạng đầu tiên
1
u
A.
1
16
u
B.
1
16
u
C.
1
1
16
u D.
1
1
16
u
Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số
hạng thứ n của cấp số cộng đó là
n
có giá trị là bao nhiêu?
A.
57
n
u
B.
61
n
u
C.
65
n
u
D.
69
n
u
Trang 14
Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười
hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?
A.
2
d
B.
3
d
C.
4
d
D.
5
d
Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
2
3 19
4
n
n n
S
với
*
n N
. Tìm số hạng đầu
tiên
1
u
và công sai d của cấp số cộng đã cho.
A.
1
1
2;
2
u d
B.
1
3
4;
2
u d
C.
1
3
; 2
2
u d
D.
1
5 1
;
2 2
u d
Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
2
4
n
S n n
với
*
n N
. Tìm số hạng đầu tiên
n
u
của cấp số cộng đã cho
A.
2 3
n
u n
B.
3 2
n
u n
C.
1
5.3
n
n
u
D.
1
8
5.
5
n
n
u
Câu 29. Tính tổng
1 2 3 4 5 ... 2 1 2
S n n
với
1
n
và
n N
.
A.
0
S
B.
1
S
C.
S n
D.
S n
Câu 30. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
2 8 9 15
100
u u u u
. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp
số cộng đã cho.
A.
16
100
S
B.
16
200
S
C.
16
300
S
D.
16
400
S
Câu 31. Cho cấp số cộng
n
u
có
4
12
u
và
14
18
u
. Tìm số hạng đầu tiên
1
u
và công sai d của cấp
số cộng đã cho.
A.
1
21; 3
u d
B.
1
20; 3
u d
C.
1
22; 3
u d
D.
1
21; 3
u d
Câu 32. Cho cấp số cộng
n
u
có
2
2001
u
và
5
1995
u
. Khi đó
1001
u
bằng:
A.
1001
4005
u
B.
1001
4003
u
C.
1001
3
u
D.
1001
1
u
Câu 33. Cho cấp số cộng
n
u
, biết
1
1, 8
n n
u u
. Tính công sai d của cấp số cộng đó
A.
9
d
B.
7
d
C.
7
d
D.
9
d
Câu 34. Cho cấp số cộng
n
u
. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
10 20
5 10
2
u u
u u
B.
90 210 150
2
u u u
C.
10 30 20
.
u u u
D.
10 30
20
.
.
2
u u
u
Câu 35. Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và -2. Tìm số hạng thứ 5.
A.
5
4
u
B.
5
2
u
C.
5
0
u
D.
5
2
u
Câu 36. Cho cấp số cộng
n
u
biết
1
5, 2
u d
. Số 93 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 100 B. 44 C. 50 D. 75
Câu 37. Cho một cấp số cộng có
1 6
3; 27
u u
công sai d bằng
Trang 15
A.
7
d
B.
8
d
C.
5
d
D.
6
d
Câu 38. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
2 23
60
u u
. Tính tổng
24
S
của 24 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng đã cho.
A.
24
60
S
B.
24
120
S
C.
24
720
S
D.
24
1440
S
Câu 39. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.
A.
2
d
B.
3
d
C.
4
d
D.
5
d
Câu 40. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
7 3
2 7
8
57
u u
u u
. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.
A.
1
2
d
B.
1
3
d
C.
2
d
D.
3
d
Câu 41. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
1 7
2 2
2 6
26
466
u u
u u
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
13
3
u
d
B.
1
10
3
u
d
C.
1
1
4
u
d
D.
1
13
4
u
d
Câu 42. Cho cấp số cộng
n
u
có các số hạng đầu
1
2
u
và công sai
5
d
. Giá trị của
4
u
bằng
A. 22 B. 17 C. 12 D. 250
Câu 43. Cho cấp số cộng
n
u
có các số hạng lần lượt
5;9;13;17;...
Tìm công thức số hạng tổng quát
n
của cấp số cộng đó?
A.
5 1
n
u n
B.
5 1
n
u n
C.
4 1
n
u n
D.
4 1
n
u n
Câu 44. Cho cấp số cộng
n
u
với số hạng đầu
1
2
u
và công sai
2
d
. Tìm
2018
u
.
A.
2018
2018
2
u B.
2017
2018
2
u C.
2018
4036
u
D.
2018
4038
u
Câu 45. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
1 4
3 2
8
2
u u
u u
. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên.
A. 100 B. 110 C. 10 D. 90
Câu 46. Nếu cấp số cộng
n
u
với công sai d có
5 10
0; 10
u u
thì
A.
1
8; 2
u d
B.
1
8; 2
u d
C.
1
8; 2
u d
D.
1
8; 2
u d
Câu 47. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
2 3 5
1 6
7
12
u u u
u u
.
A.
2 3
n
u n
B.
2 1
n
u n
C.
2 1
n
u n
D.
2 3
n
u n
Câu 48. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A.
5;0;0;0;0
B.
1;4;6;7;10
C.
3;9;27;81;243
D.
1; 4; 9; 14; 19
Trang 16
Câu 49. Cho cấp số cộng
n
u
biết
5 3
n
u n
. Số hạng đầu
1
u
và công sai d của cấp số cộng đó là
A.
1
2; 3
u d
B.
1
2; 5
u d
C.
1
2; 5
u d
D.
1
8; 5
u d
Câu 50. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A.
1
:
n n
u u
n
B.
1
: 2, 2
n n n
u u u n
C.
: 2 1
n
n n
u u
D.
1
: 2 , 2
n n n
u u u n
Câu 51. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
A.
1, 1
n
u n n
B.
2 3, 1
n
u n n
C.
2
1, 1
n
u n n
D.
1
2 , 1
n
n
u n
Câu 52. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A.
2
3 2017
n
u n
B.
3 2018
n
u n
C.
3
n
n
u
D.
1
3
n
n
u
Câu 53. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng?
A.
1
3
n
n
u
B.
2
1
n
u
n
C.
2
1
n
u n
D.
5 2
3
n
n
u
Câu 54. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A.
2
2 3
n
u n
B.
3
n
n
u
C.
1
n
u n
D.
2 5
n
u n
Câu 55. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
1 3 5
1 6
15
27
u u u
u u
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
A.
1
21
3
u
d
B.
1
21
3
u
d
C.
1
18
3
u
d
D.
1
21
4
u
d
Câu 56. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa
2 4 6
2 3
36
54
u u u
u u
. Tìm công sai d của cấp số cộng
n
u
biết
10
d
.
A.
3
d
B.
4
d
C.
5
d
D.
6
d
Câu 57. Tính tổng
15 20 25 ... 7515.
T
A.
5651265.
T
B.
5651256
T
C.
5651625
T
D.
5651526
T
Câu 58. Tính tổng
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 ... 2 1
T
A.
500500
T
B.
500005
T
C.
505000
T
D.
500050
T
Câu 59. Xác định
a
để 3 số
2
1 2 ;2 1; 2
a a a
theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của
a
B.
3
4
a
C.
3
a
D.
3
2
a
Trang 17
Câu 60. Cho cấp số cộng
n
u
và gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của nó. Tìm số hạng tổng quát của
n
u
biết
4 12
32, 192
S S
.
A.
5 4
n
u n
B.
3 2
n
u n
C.
2 3
n
u n
D.
4 5
n
u n
Câu 61. Dãy số
1
n
n
u

là cấp số cộng, công sai d. Tính tổng
100 1 2 100 1
... , 0
S u u u u
là
A.
100 1
2 99
S u d
B.
100 100
50
S u
C.
100 1 100
50
S u u
D.
100 1 100
100
S u u
Câu 62. Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
2
d
và biểu thức
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là
số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng
n
u
?
A. 1011 B. 1014 C. 1013 D. 1012
Câu 63. Công thức nào sau đây đúng với cấp số cộng có số hạng đầu
1
u
, công sai d?
A.
1n
u u d
B.
1
1
n
u u n d
C.
1
1
n
u u n d
D.
1
1
n
u u n d
Câu 64. Cho 2 cấp số cộng
:1;6;11;...
n
u và
: 4;7;10;...
n
v Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu số
có mặt trong cả hai dãy số trên
A. 403 B. 402 C. 672 D. 504
Câu 65. Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là
4,7,10,13,16,...
và
1,6,11,16,21,...
Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?
A. 20 B. 18 C. 21 D. 19
Câu 66. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
3
u
và công sai
7
d
. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số
hạng
n
u
đều lớn hơn 2018?
A. 288 B. 286 C. 287 D. 289
Câu 67. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét thứ 2 giá của mỗi mét khoan
tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có
nước. Vậy hỏi trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. 5.250.000 đồng B. 10.125.000 đồng C. 4.000.000 đồng D. 4.245.000 đồng
Câu 68. Cho
n
u
là cấp số cộng có công sai
,
n
d S
là tổng của n số hạng đầu tiên. Tìm số khẳng định
đúng trong các khẳng định sau
i)
1
, 2,
n n
u u d n n N
ii)
*
1
,
n
u u nd n N
Trang 18
iii)
1 1
, 2,
2
n n
n
u u
u n n N
iv)
*
1
2 1 ,
2
n
n
S u n d n N
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
Câu 69. Cho cấp số cộng
1 2 3
; ; ;...;
n
u u u u
có công sai d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0.
Với giá trị nào của d thì dãy số
1 2 3
1 1 1 1
; ; ;...;
n
u u u u
là một cấp số cộng?
A.
1
d
B.
0
d
C.
1
d
D.
2
d
Câu 70. Nếu
; ;
a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng?
A.
2 2 2
2 ; ;
b a c
B.
2 ; 2 ; 2
b a c
C.
2 ; ;
b a c
D.
2 ; ;
b a c
Câu 71. Nếu
1 1 1
; ;
b c c a a b
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số
cộng?
A.
2 2 2
; ;
b a c
B.
2 2 2
; ;
c a b
C.
2 2 2
; ;
a b c
D.
2 2 2
; ;
a c b
Câu 72. Cho
; ;
a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2 2 2
2 4
a c ac b
B.
2 2
2 2
a c ab bc
C.
2 2
a c ab bc
D.
2 2
2 2
a c ab bc
Câu 73. Cho một cấp số cộng
n
u
có
1
1
u
và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính
1 2 2 3 49 50
1 1 1
...S
u u u u u u
A.
9
246
S B.
4
23
S C.
123
S
D.
49
246
S
Câu 74. Cho cấp số cộng
v
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
1 10 2 9
v v v v
B.
3 7 5
2
v v v
C.
2 13 6 7
v v v v
D.
5 8 1 12
v v v v
Câu 75. Cho dãy số
1
1
1
2 1
n n
u
u u n
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
9
u
B.
3
4
u
C.
2
2
u
D.
6
13
u
Câu 76. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
5 3 2
7 4
3 21
3 2 34
u u u
u u
. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng
n
u
A. -285 B. -244 C. -253 D. -274
Câu 77. Xác định số hạng đầu tiên
1
u
và công sai d của cấp số cộng
n
u
có
9 2
5
u u
và
13 6
2 5
u u
Trang 19
A.
1
3, 4
u d
B.
1
3, 5
u d
C.
1
4, 5
u d
D.
1
4, 3
u d
Câu 78. . Cho cấp số cộng
:1;6;11;...
n
u có 2018 số hạng. Tính
100
u
A.
100
496
u
B.
100
491
u
C.
100
481
u
D.
100
486
u
Câu 79. Tìm tất cả giá trị thực của x để
1
cos 2 , cos 4 ,cos6
2
x x x
là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
cộng
A.
, ,
8 2 6
x k x k k Z
B.
, ,
8 4 6
x k x k k Z
C.
, 2 ,
2 3
x k x k k Z
D.
, 2 ,
8 6
x k x k k Z
Câu 80. Cho dãy số
n
u
là một cấp số cộng, biết
2 21
50
u u
. Tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy.
A. 1100 B. 50 C. 550 D. 2018
Câu 81. Cho cấp số cộng
n
u
có
5 20
15; 60
u u
. Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A.
20
250
S
B.
20
200
S
C.
20
200
S
D.
20
25
S
Câu 82. Trong các dãy số
n
u
sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A.
0;1;3;7;...
B.
*
2 ,
n
n
u n N
C.
1; 1;1; 1;1;...
D.
1
*
1
1
,
2
n n
u
n N
u u
Câu 83. Cho cấp số cộng
n
u
biết
2
3
u
và
4
7
u
. Giá trị của
2019
u
bằng
A. 4040 B. 4400 C. 4038 D. 4037
Câu 84. Cho cấp số cộng
n
u
,
*
n N
có số hạng tổng quát
1 3
n
u n
. Tổng của 10 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng bằng
A. -59408 B. -59049 C. -155 D. -310
Câu 85. Cho cấp số cộng
n
u
với số hạng đầu tiên là
1
2017
u
và công sai
3
d
. Bắt đầu từ số hạng
nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?
A.
674
u
B.
672
u
C.
675
u
D.
673
u
Câu 86. Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng
thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ 3 trồng 3 cây,… cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng
cây được trồng là
A. 77 B. 79 C. 76 D. 78
Câu 87. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng
thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu
hàng cây?
Trang 20
A. 81 B. 82 C. 80 D. 79
Câu 88. Biết bốn số
5; ;15;
x y
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức
3 2
x y
bằng
A. 50 B. 70 C. 30 D. 80
Câu 89. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ)
là:
A.
20
o
và
70
o
B.
45
o
và
45
o
C.
0
20
và
45
o
D.
30
o
và
60
o
Câu 90. Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 32 và tổng các bình phương của chúng bằng 336.
Tích của bốn số đó là
A. 5760 B. 15120 C. 1920 D. 1680
Câu 91. Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
4
o
d
. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó.
A.
126
o
B.
26
o
C.
60
o
D.
162
o
Câu 92. Ba góc
, ,
A B C A B C
của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé
nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất bằng:
A.
40
o
B.
45
o
C.
60
o
D.
80
o
Câu 93. Một đa giác có n cạnh và có chu vi bằng 158 cm. Biết số đo các cạnh của đa giác lập thành một
cấp số cộng với công sai
3
d
cm và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm. Đa giác có số cạnh
5
n
bằng
A.
7
n
B.
5
n
C.
6
n
D.
4
n
Câu 94. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các
cạnh của tam giác đó là:
A.
1 3
;1;
2 2
B.
1
;1;
3 3
C.
3 5
;1;
4 4
D.
1 7
;1;
4 4
Câu 95. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin 2 4sin 2cos 2 0
x x x
trong đoạn
0;100
A.
2499
B.
100
C.
2475
D.
2745
Câu 96. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng
0;2018
của phương trình lượng giác
3 1 cos 2 sin 2 4cos 8 4 3 1 sin
x x x x
. Tổng tất cả các phần tử của S là
A.
310408
3
B.
102827
C.
312341
3
D.
104760
Câu 97. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng
0;100
của phương trình
2
sin cos 3 cos 3
2 2
x x
x
. Tính tổng các phần tử của S là
A.
7400
3
B.
7525
3
C.
7375
3
D.
7550
3
Trang 21
Câu 98. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
0;100
x để ba số
2
sin ,cos ,sin 3
x x x
theo thứ tự đó lập
thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của tập S
A.
1008
B.
496
C.
512
D.
1272
Câu 99. Một người muốn chia 1.000.000 đồng cho bốn người con, đứa lớn hơn đứa nhỏ kế tiếp 100.000
đồng. Hỏi đứa con lớn nhất được bao nhiêu tiền?
A. 200.000 đồng B. 300.000 đồng C. 400.000 đồng D. 100.000 đồng
Câu 100. Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn
nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 sau đó cứ tiếp tục ngày sau hơn
ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã được tích lũy bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ
ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016).
A. 738.100 đồng B. 726.000 đồng C. 714.000 đồng D. 750.300 đồng
Câu 101. Sinh nhật của An vào ngày 01 tháng 5. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá khoảng 600
000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn ấy quyết định bỏ tiết kiệm 10000 đồng vào ngày 1
tháng 1 năm đó, sau đó cứ tiếp tục ngày sau, mỗi ngày bạn bỏ ống tiết kiệm 5000 đồng. Biết trong năm
đó, tháng 1 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày, tháng 3 có 31 ngày và tháng 4 có 30 ngày. Gọi a (đồng) là số
tiền sinh nhật của mình (ngày sinh nhật An không bỏ tiền vào ống). khi đó ta có
A.
610000;615000
a B.
605000;610000
a
C.
600000;605000
a D.
595000;600000
a
Câu 102. Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng
a
. Biết
6 9
S S
, tỉ số
3
5
a
a
bằng
A.
9
5
B.
5
9
C.
5
3
D.
3
5
Câu 103. Cho cấp số cộng
n
u
biết
5
18
u
và
2
4
n n
S S
. Tìm số hạng đầu
1
u
và công sai d của cấp số
cộng
A.
1
3, 2
u d
B.
1
2, 3
u d
C.
1
2, 2
u d
D.
1
2, 4
u d
Câu 104. Cho cấp số cộng
n
u
. Gọi
1 2
...
n n
S u u u
. Biết rằng
2
2
p
q
S
p
S q
với
*
, ,
p q p q N
. Tính
giá trị biểu thức
2018
2019
u
u
.
A.
2
2
2018
2019
B.
4033
4035
C.
4035
4037
D.
4037
4039
Câu 105. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
3 *
1
1
,
n n
u
u u n n N
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho
1 2039190
n
u .
Trang 22
A.
2017
n
B.
2020
n
C.
2018
n
D.
2019
n
Câu 106. Cho cấp số cộng
n
u
có các số hạng đều dương, số hạng đầu
1
1
u
, tổng của 100 số hạng đầu
tiên bằng 14950. Tính giá trị của tổng
2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018
1 1 1
...S
u u u u u u u u u u u u
A. 1 B. 2018 C.
1
1
6052
D.
1 1
1
3
6052
Câu 107. Trong một lớp có
2 3
n
học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý
các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến
2 3
n
, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất
để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là
17
1155
. Số học sinh của lớp là
A. 27 B. 25 C. 45 D. 35
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-A 2-C 3-B 4-D 5-A 6-A 7-C 8-B 9-C 10-B
11-C 12-C 13-A 14-A 15-C 16-D 17-D 18-C 19-B 20-B
21-A 22-D 23-D 24-A 25-C 26-A 27-B 28-A 29-D 30-D
31-A 32-C 33-D 34-B 35-D 36-C 37-D 38-C 39-B 40-C
41-C 42-B 43-D 44-C 45-A 46-D 47-B 48-B 49-C 50-B
51-B 52-B 53-D 54-D 55-B 56-A 57-A 58-A 59-D 60-B
61-C 62-D 63-D 64-A 65-A 66-D 67-B 68-B 69-B 70-B
71-C 72-A 73-D 74-C 75-A 76-A 77-A 78-A 79-B 80-C
81-A 82-D 83-D 84-C 85-A 86-A 87-C 88-B 89-D 90-D
91-A 92-A 93-D 94-C 95-C 96-A 97-C 98-A 99-C 100-B
101-B 102-C 103-D 104-C 105-B 106-D 107-D 108- 109- 110-
Câu 1: Kiểm tra
2 1 3 2 4 3
...
u u u u u u
ở các đáp án. Chọn A.
Câu 2: Kiểm tra
2 1 3 2 4 3
...
u u u u u u
ở các đáp án. Chọn C.
Câu 3: Ta có
2 1
1 2
1 1
; 0
2 1 2
u u
u u d
. Chọn B.
Câu 4: Ta có
2 1 3 2 5
1 3
0; ;...
2 2
u u d u u d u
. Chọn D.
Câu 5: Ta có
1 5
2; 22
u u
và cần tìm
2 3 4
, ,
u u u
Lại có
2 1
5 1
5 1 3 1
4 1
7
22 2
4 5 2 12
4 4
3 17
u u d
u u
u u d d u u d
u u d
. Chọn A.
Trang 23
Câu 6: Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có
2
n
số hạng với
1
2
3
23
n
u
u
Khi đó
2 1
2 1
23 3
1 1 13 12
2
n
n
u u
u u n d n n
d
. Chọn A.
Câu 7: Ta có
1 2.6 11
x x
. Chọn C.
Câu 8: Theo bài ra, ta có
1 3 2
2 1 1
2 2.
6 2
n n n
n n n n n
C C C n
2
2
2
3 2
1 1 9 14 7 3
7
6
n
n n
n n n n n
n
. Chọn B.
Câu 9: Theo bài ra, ta có
5 17 2. 7 2 4
m m m m
. Chọn C.
Câu 10: Theo bài ra, ta có
7 11 2 2 2
2.11 22 20
x x x
x y y x y
. Chọn B.
Câu 11: Ta có
1 2 2 1
5; 9 4
u u d u u
nên
1
1 5 1 .4 4 1
n
u u n d n n
. Chọn C.
Câu 12: Ta có
1
1
1 . 3 . 1
2
n
u u n d n
. Chọn C.
Câu 13: Ta có
3 1 1 1
2 15 2. 2 19
u u d u u
Suy ra
1
1 . 19 1 . 2 2 21
n
u u n d n n
. Chọn A.
Câu 14: Chọn A.
Câu 15: Xét đáp án C. Ta có
1 2 1 3 2
1 1 0; 1 1
n
u u u u u u
là cấp số cộng. Chọn C.
Câu 16: Để
n
u
là cấp số cộng thì n là bậc nhất. Chọn D.
Câu 17: Ta có
1
1 100 5 3. 1 36.
n
u u n d n n Chọn D.
Câu 18: Ta có
1
15 13 10
5
3 8 37; 31; 22
3
n
u
u n u u u
d
. Chọn C.
Câu 19: Ta có
1 1
8 1
5
5
5
40 7 40
u
u
d
u u d
. Chọn B.
Câu 20: Ta có
1
100
2 1 100 2.4 100 1 . 5
24350
2 2
n u n d
S
. Chọn B.
Câu 21: Ta có
1
100
1 1
5. 2. 5 1 .
. 2 1
4 4
5
2 2 4
n u n d
S
. Chọn A.
Câu 22: Ta có
1 1
1 1
4 7
1 . 4 3
3 3
n
u d u
u u n d u d n d n
d d
Vậy
2
1
. 2 1 . 2.7 1 .3
3 11
2 2 2
n
n u n d n n
n n
S
. Chọn D.
Trang 24
Câu 23: Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng
*
3
n n N
nên chúng lập thành cấp số cộng
Do đó
1
1 50
50
50
3
50.
3 3825
150
2
n
u
u u
u n S
u
. Chọn D.
Câu 24: Ta có
1 1
8 1
2
72 8 28. 2 16
8.7
72 8
2
d
u u
S u d
. Chọn A.
Câu 25: Ta có
1
2
2
1
1, 4
561 .4 2 561 0 17.
1
2
561
2
n
u d
n n
n n n n
n n
S nu d
Vậy
17 1
16 1 16.4 65
n
u u u d
. Chọn C.
Câu 26: Ta có
11
12
1
12
1 12
111 23
23
2312
144
144 2.
2 11
uu d
u
u
S
u u d
. Chọn A.
Câu 27: Ta có
2 2
2 2
1 1
3 19 3 19
4 4 4 2 2 2
n
n n n n d d
n n S nu d n u n
1
1
3
4
2 4
.
3
19
2
2 4
d
u
d
d
u
Chọn B
Câu 28: Ta có
1
2 2
1
1
1
5
2
4 2 3.
22 2
4
2
n n
d
u
d d
n n S n u n u n
d
d
u
Chọn A.
Câu 29: Ta có
1;3;5;...;2 1
n
và
2;4;6;...;2
n
là cấp số cộng có n số hạng
Do đó
1 3 5 ... 2 1 2 4 6 ... 2
S n n
2 2
. 1 2 1 . 2 2 .
2 2
n n
n n n n n n
Chọn D.
Câu 30: Ta có
2 8 9 15 1 1
100 4 30 100 2 15 50
u u u u u d u d
Khi đó
1 16
16 1
16.
8. 2 15 8.50 400.
2
u u
S u d
Chọn D.
Câu 31:
4 1
1
14 1
12 3 12
21
.
18 13 18
3
u u d
u
u u d
d
Chọn A.
Câu 32:
2
1
1
1001 1
5 1
2001 2001
2003
1000 3.
1995
4 1995
2
u u d
u
u u d
u
u d
d
Chọn C.
Câu 33: Ta có
1
8 1 9.
n n
d u u
Chọn D.
Câu 34:
Trang 25
Xét đáp án A:
10 30
1 1
1
5 10 1 1 2
9 29
19
2 2
4 9 2 13
u u
u d u d
u d
u u u d u d u d
loại A.
Xét đáp án B:
90 210 1 1
150 1
2 298 2 149
.
2 2 159
u u u d u d
u u d
Chọn B.
Câu 35: Theo bài ra ta có:
3
1
1
7 1
6
2 6
10
2 6 2
2
u
u d
u
u u d
d
Do đó
5 1
4 2
u u d
. Chọn D.
Câu 36: Số hạng tổng quát của dãy là
1
1 5 2 1
n
u u n d n
Giải
5 2 2 93 50.
n n
Chọn C.
Câu 37: Ta có:
6 1
6 1
5 6.
5
u u
u u d d
Chọn D.
Câu 38:
2 23 2 23
1 24
24
60
.24 .24 .24 .24 720.
2 2 2 2
u d u d u uu u
S
Chọn C.
Câu 39: Ta có
1 6 1 1
1
1 1 12 4
17
2 5 17 2 5 17
1
.
3 14 2 4 14
14
3
u u
u d u d
u
u d u d u d
u u
d
Chọn B.
Câu 40: Ta có
7 3
7 3
4 2.
4
u u
u u d d
Chọn C.
Câu 41: Ta có
1 1 1
1 7
2 2 2 2
2 2
2 6
1 1 1 1
6 26 3 13
26
466
5 466 5 466
u u d u d
u u
u u
u d u d u d u d
1
1
1
2 2
2
1
1
13 3
4
13 3
.
8 128
25
13 2 13 2 466
4
u
u d
d
u d
d u
d d
d
Chọn C.
Câu 42: Ta có
4 1
3 2 3.5 17.
u u d
Chọn B.
Câu 43:
n
u
là cấp số cộng có
1
5
5 1 .4 4 1.
4
n
u
u n n
d
Chọn D.
Câu 44: Ta có
2018 1
2017 2 2017.2 4036.
u u d
Chọn C.
Câu 45: Ta có
1 4
1 1 1 1
3 2
8
3 8 2 3 8 1
.
2
2 2 2
u u
u u d u d u
u u
d d d
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là
1 10
1
10
2 9
.10 .10 100.
2 2
u u u d
S
Chọn A.
Câu 46: Ta có
5 1
1
10 1
4 0
2
.
8
9 10
u u d
d
u
u u d
Chọn D.
Trang 26
Câu 47: Ta có
2 3 5
1 1 1 1
1
1 6 1
1 1
7
2 4 7 3 7
1
.
12 2 5 12
5 12
u u u
u d u d u d u d
u
u u u d
d
u u d
Do đó
1
1 1 2 1 2 1.
n
u u n d n n
Chọn B.
Câu 48: Dãy
1;4;6;7;10
là cấp số cộng với
1
1
u
và
3.
d
Chọn B.
Câu 49: Ta có
1
5.1 3 2
u
và
5.
d
Chọn C.
Câu 50: Dãy số
1
: 2, 2
n n n
u u u n
là cấp số cộng với
2.
d
Chọn B.
Câu 51: Cấp số cộng
1
1
n
u u n d
và có dạng
n
u an b
Vậy
2 3, 1
n
u n n
là cấp số cộng. Chọn B.
Câu 52: Cấp số cộng
1
1
n
u u n d
và có dạng
n
u an b
Vậy
3 2018
n
u n
là cấp số cộng. Chọn B.
Câu 53: : Cấp số cộng
1
1
n
u u n d
và có dạng
n
u an b
Vậy
5 2
3
n
n
u
là cấp số cộng. Chọn D.
Câu 54: Cấp số cộng
1
1
n
u u n d
và có dạng
n
u an b
Vậy
2 5
n
u n
là cấp số cộng. Chọn D.
Câu 55:
1 3 5
1 1 1 1
1
1 6 1
1 1
15
2 4 15 2 15
21
.
27 2 5 27
3
5 27
u u u
u u d u d u d
u
u u u d
d
u u d
Chọn B.
Câu 56: Ta có
1 1 1 1
2 4 6
1 1 1 12 3
3 5 36 3 9 36
36
2 54 2 54
54
u d u d u d u d
u u u
u d u d u d u du u
1
1
10
2
12 3
12 3
3.
12 2 12 54
2 36 90 0
d
u d
u d
d
d d
d d

Chọn A.
Câu 57: T là tổng của cấp số cộng với
1
15, 5
u d
Số hạng tổng quát của dãy là
15 1 .5
n
u n
Giải
15 1 .5 7515 1501
n
u n n
Do đó
1 1501
.1501 5651265.
2
n
u u
S
Chọn A.
Câu 58:
1000 999 1000 999 998 997 998 997 ... 2 1 2 1
T
1 1000
1000 999 998 997 ... 2 1 .1000 500500.
2
Chọn A.
Câu 59: Để
2
1 2 ;2 1; 2
a a a
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì
2
1 2 2 2 2 1
a a a
Trang 27
2 2
3
4 2 1 4 3 .
2
a a a Chọn D.
Câu 60: Ta có
1 4
4 1 4 1 1
12 1 12 1 12 1 1
.4 32
32 16 3 16
2
192 32 11 32
.12 192
2
u u
S u u u u d
S u u u u u u d
1
1
1
2 3 16
5
2 11 32
2
u d
u
u d
d
Do đó
1
1 5 1 .2 2 3.
n
u u n d n n
Chọn B.
Câu 61:
1 100
100 1 100
.100 50 .
2
u u
S u u
Chọn C.
Câu 62: Ta có
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 3 3 3 3 3
3 2 3 8 8
u u u u d u u d u d u
Dấu bằng xảy ra
3 3
0 3 2 3
n
u u u n d n
Giải
2 3 2018 1012.
n n Chọn D.
Câu 63:
1
1 .
n
u u n d
Chọn D.
Câu 64: Ta có
1 1 .5 5 4
4 1 .3 3 1
n
m
u n n
v m m
với
1 , 2018
m n
Giải điều kiện
3
5 4 3 1 5 3 5 1
5
n m
m
u v n m n m n
Do đó
5
m
tức là
5
m k
, giải điều kiện
3 1 1;2018
1 5 2018
n k
k
0 672
1 403
k
k
có 403 giá trị
k
nên 2 dãy số trên có 403 số chung. Chọn A.
Câu 65: Ta có
4 1 .3 3 1
1 1 .5 5 4
n
m
u n n
v m m
với
1 , 100
m n
Giải điều kiện
3
3 1 5 4 3 5 5 1
5
n m
n
u v n m n m m
Do đó
5
n
tức là
5
n k
, giải điều kiện
3 1 1;100
1 5 100
m k
k
0 33
1 20
k
k
có 20 giá trị
k
nên 2 dãy số trên có 20 số chung. Chọn A.
Câu 66: Số hạng tổng quát của dãy số là:
1
1 3 1 .7 7 4
n
u u n d n n
Giải
7 4 2018 289.
n n
Chọn D.
Trang 28
Câu 67: Số tiền để khoan giếng là cấp số cộng với
1
80
u
(nghìn đồng) và công sai
5
d
(nghìn đồng)
Do đó số tiền để khoan 50 m giếng là
1 50
1 1
49
.50 .50 10.125
2 2
u u u u d
T
(nghìn đồng).
Chọn B.
Câu 68: Chỉ có khẳng định ii) sai. Chọn B.
Câu 69: Ta có
2 1
3 2
u u d
u u d
2 1 1 2 3 2 2 3
1 1 1 1
;
d d
u u u u u u u u
Theo bài ra, ta được
1 3 1
2 1 3 2
1 3
0
0
1 1 1 1
0.
1 1
2
d
d
d
u u u d
u u u u
u u
Chọn B.
Câu 70: Ta có
2 2. 2. 2 2 2 2. 2 .
c a b c a b c a b
Chọn B.
Câu 71: Theo bài ra, ta có
1 1 2 2 2
.
a c b
b c a b c a a b b c a c
2
2 2
2 . 2. 2 . 2.
a c b a c ab ac b bc a c b a c ab ac b bc
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
a ac c ab bc ab ac b bc a c b
Suy ra
2 2 2
; ;
a b c
lập thành cấp số cộng. Chọn C
Câu 72: Ta có
, ,
a b c
lập thành cấp số cộng khi
2
a c b
Xét đáp án A:
2 2
2 2 2
2
2 4 2 .
2
a c b
a c ac b a c b
a c b
Chọn A.
Câu 73: Ta có
1
100
100. 2 99
24850 24850 5
2
u d
S d
Do đó
3 2 50 49
2 1
1 2 2 3 49 50 1 2 3 2 49 50
5 5 5
5 ... ...
. . . . . .
u u u u
u u
S
u u u u u u u u u u u u
1 2 2 3 49 50 1 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 245 49
... .
1 1 49.5 246 246
S
u u u u u u u u
Chọn D.
Câu 74:
2 13 1
2 13 6 7
6 7 1
2 13
.
2 11
v v v d
v v v v
v v v d
Chọn C.
Câu 75:
n
u
là cấp số cộng với
1
1, 2
u d
Do đó
1
1 1 1 .2 2 1
n
u u n d n n
Khi đó
5 3 2 6
9, 5, 3, 11.
u u u u
Chọn A.
Câu 76: Theo bài ra ta có:
1 1 1
1
1
1
1 1
4 3 2 21
3 9 21
2
12 34
3
3 6 2 3 34
u d u d u d
u d
u
u d
d
u d u d
Do đó
1 15
15 1 15
14 40 .15 285.
2
u u
u u d S
Chọn A.
Trang 29
Câu 77:
1 1
9 2
1
1
13 6 1
1 1
8 5
5
4 3 0
3
.
2 5 2 5
4
12 2 5 5
u d u d
u u
u d
u
u u u d
d
u d u d
ChọnA.
Câu 78: Cấp số cộng đã cho có
1
1
u
và công sai
5
d
Do đó
100 1
99 496.
u u d
Chọn A.
Câu 79: Để
1
cos 2 , cos 4 ,cos6
2
x x x
là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng thì ta có:
1
cos 2 cos6 2. cos 4 2cos 4 cos 2 cos 4
2
x x x x x x
cos4 0
4
8 4
2
cos4 2cos 2 1 0 .
1
cos2
2 2
2
3
6
k
x
x
x k
x x
x
x k
x k
Chọn B.
Câu 80:
2 21
22 1 22 1 22
.22 11. 11 550.
2
u u
S u d u d u u
Chọn C.
Câu 81: Ta có
5 1
1
20 1
4 15
35
19 60
5
u u d
u
u u d
d
Suy ra
1 20
1
20
35 19
.20 .20 250.
2 2
u u u d
S
Chọn A.
Câu 82: Dãy số
1
*
1
1
,
2
n n
u
n N
u u
là cấp số cộng với
1
1
u
và công sai
2
d
. Chọn D.
Câu 83: Ta có
1
1
1
3
2
1
3 7
u d
d
u
u d
Do đó
2019 1
2018 4037.
u u d
Chọn D.
Câu 84: Ta có
1 2
2, 1 3.2 5 3
u u d
Khi đó
1 10
1
10
2 9
.10 .10 155.
2 2
u u u d
S
Chọn C.
Câu 85: Ta có
1
1 2017 3 1
n
u u n d n
Giải điều kiện
0 3 2020 0 673,33
n n
u u n n
Vậy từ số hạng
674
u
trở đi thì các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương. Chọn A.
Câu 86: Theo bài ra, ta có
1 2
1; 2;...; 3003 1
n
u u S d
Do đó
1
2
2 1 2.1 1 .1
3003 6006 0 77.
2 2
n
n u n d n n
S n n n
Chọn A.
Câu 87: Theo bài ra, ta có
1 2
1; 2;... 3240 1
n
u u S d
Do đó
1
2 1 2.1 1 .1
3240
2 2
n
n u n d n n
S
Trang 30
2
6480 0 80.
n n n
Chọn C.
Câu 88: Theo bài ra, ta có
5 15 2 10 10
.
2.15 30 20
x x x
x y x y y
Chọn B.
Câu 89: Gọi số đo 3 góc của tam giác vuông lần lượt là
, ,90
o
a b
Theo bài ra, ta có
90 90 30
.
90 2 2 90 60
o o o
o o o
a b a b a
a b a b b
Chọn D.
Câu 90: Gọi bốn số cần tìm là
1 2 3 4
; ; ;
u u u u
với công sai d
Theo bài ra, ta có
1
1 2 3 4
2 2 2
2 2 2 2
2
1 2 3 4
1 1 1 1
4 6 32
32
336
2 3 336
u d
u u u u
u u u u
u u d u d u d
1
1
2
2 2
2
1 1
16 3
2 3 16
2
16.3 16 3
4 12 14 336
4. 12 . 14 336
2 2
d
u
u d
d d
u u d d
d d
1
2 3 4
1
2 3 4
1
1
2
4
4
6; 10; 14
4
1680.
10; 6; 2
14
16 3
4
2
u
d
d
u u u
d
u
u u u
u
d
u
d
Chọn D.
Câu 91: Đa giác lồi có 10 cạnh
Đa giác có 10 góc
Tổng các góc là
10 2 .180 1440
o o
Theo bài ra, ta có
1
1
10
4
4
126
.
10. 2 9
1440
4
1440
2
o
o
o
o
o
o
d
d u
u d
S
d
Chọn A.
Câu 92: Ba góc A,B,C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng
2
2
C A
C A B
.
Ta có
60 40
180 3 180
2 2 120 60 40
2 2 2
80
O O
O O
O O O
O
B A
A B C B
A C B A C B A C B C A
C A C A C A
C
Chọn A.
Câu 93: Theo bài ra, ta có
1
1
3
3; 1 . 44
44
2 1
158
158
2
n
n
d d u n d
u
n u n d
S
1
3; 47 3
. 91 3 316 4.
2. 47 3 3. 1
158
2
d u n
n n n
n n n
Chọn D.
Trang 31
Câu 94: Ba cạnh
, ,
a b c a b c
của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu
cầu thì
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 1
2 2 2 2
a b c a b c a b c
a b c b b
a c b a c b a b c c
Ta có
2
1, 22 2 2 2
3
4
5
2 1 4 5 0 1 .
4
5
4
b a c
a
a b c c c c c b
c
Chọn C.
Câu 95: Ta có
2sin .cos 4sin 2cos 4 0 2cos . sin 1 4 sin 1 0
x x x x x x x
2sin 4 . sin 1 0 sin 1 2
2
x x x x k k Z
Mà
1 199
0 100 0 2 100 ;
2 4 4
x k k
nên
0;1;2;...;49
k
Vậy
100 49
0 0
100.101
2 .50 2 4 ... 98 2475 .
2 2 2
k k
x k
Chọn C.
Câu 96: Ta có
2
2 3 sin 2sin .cos 4cos 8 4 3sin 4sin
x x x x x x
2 3 sin . sin 2 2cos . sin 2 4 sin 8 3 sin cos 2
x x x x x x x
3 1
sin cos 1 sin 1 2 2
2 2 6 6 2 3
x x x x k x k
Mà
0 2018
x
nên
1
0 2 2018 321,01 0;1;2;...;321
3 6
k k k
Vậy tổng các nghiệm cần tính là
321
0
310408
2 .322 2 4 ... 642 .
3 3 3
k
k
Chọn A.
Câu 97: Phương trình trở thành:
1 sin 3 cos 3 sin 3 cos 2
x x x x
1 3
.sin cos 1 sin 1 2 2
2 2 3 3 2 6
x x x x k x k
Ta có
1 599
0 100 0 2 100 0;1;2;3;...;49
6 12 12
k Z
x k k k

Do đó
49
0
7375
2 .50 2 4 ... 98 .
6 6 3
k
x k
Chọn C.
Câu 98: Ta có
2 2 2
cos 0
sin sin 3 2cos 4sin .cos 2cos
1
sin
2
x
x x x x x x
x
Trang 32
TH1. Với
cos 0
2
x x k
mà
1
0;100 0 100 31,33
2 2
x k k
Kết hợp
0;1;2;...;31
k Z k
31 31
0 0
.32 2 ... 31 512
2 2
k k
x k
TH2. Với
2
6
x k
mà
1
0;100 0 2 100 15,83
6 12
x k k
Kết hợp
0;1;2;...;15
k Z k
15 15
0 0
728
2 .16 2 4 ... 30
6 6 3
k k
x k
TH3. Với
5
2
6
x k
mà
5 5
0;100 0 100 15, 49
6 12
x k k
Kết hợp
0;1;2;...;15
k Z k
15 15
0 0
5 5 760
2 .16 2 4 ... 30
6 6 3
k k
x k
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
1008
. Chọn A.
Câu 99: Gọi
a
(nghìn đồng) là số tiền đứa con bé nhất được nhận
Suy ra số tiền của ba người con còn lại là
100; 200; 300
a a a
Vì tổng số tiền là 1.000.000 đồng nên
100 200 300 1000 100
a a a a a
Vậy số tiền mà người con lớn nhất nhận được là 400.000 đồng. Chọn C.
Câu 100: Theo bài ra, ta có
1
100; 100
u d
và
120
n
120
120 2.100 120 1 .100
726000
2
S
đồng. Chọn B.
Câu 101: Theo giả thiết, An bỏ ống tiết kiệm từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 30 tháng 4 nên tổng số ngày tiết
kiệm là 120 ngày. Ngày thứ nhất An bỏ ống: 10 000 đồng
Và 119 ngày sau bỏ ống số tiền là
119 5000 600000 5000
đồng
Vậy tổng số tiền tiết kiệm là
600000 5000 10000 605000
a
đồng. Chọn B.
Câu 102: Theo bài ra, ta có
1 1
6 9 1 1
6. 2 5 9. 2 8
12 30 18 72
2 2
u d u d
S S u d u d
3 1
1 1
5 1
2
7 2 5
6 42 0 7 .
4 7 4 3
u u d
d d
u d u d
u u d d d
Chọn C.
Câu 103: Ta có
1 1
2
4 2 1 2 2 2 1
4
2 2
n n
n u n d n u n d
S S
1 1 1
4 2 2 2 2 1 2
u n d u n d u d
mà
1
5 1
2
4 18 .
4
u
u u d
d
Chọn D.
Trang 33
Câu 104: Ta có
1
2 2
1
2 2
1
1
2 1
2 1
2
2 1
. 2 1
2
p
q
p u p d
S
u p d
p p p
S q q u q d q
q u q d
1 1 1 1
2 . 2 . 2 . . 2
q u pq q d p u pq p d u q p q p d d u
Do đó
2018
1 1 1
2019 1 1 1
2017 2017.2
1 2017.2 1 2017.2 4035
.
2018 2018.2 1 2018.2 1 2018.2 4037
u
u d u u
u u d u u
Chọn C.
Câu 105: Ta có
1
3
2 1
3
3 2
3
1
1
1
2 ,
.....................
1
n n
u
u u
u u
u u n
cộng vế theo vế ta được
3
3 3 3
1 1 2 3 ... 1
n
u n
Mặt khác ta chứng minh được
3 2
3 3 3
1 1 2 3 ... 1 1 1 2 3 ... 1
n n
2
1
1
2
n n
Do đó
2
1
1 2039190 2039190 4078380 2020
2
n
n n
u n n n
Vậy
min
2020.
n
Chọn B.
Câu 106: Ta có:
1 100
100 1
.100 14950 50 2 99 14950 3
2
u u
S u d d
Ta có:
1
1 1
1 1 1 1
1 1
3
n n
n n n n
n n n n n n n n
u u
u u u u
u u u u u u u u
1
1 1
1 1 1 1
3 3
n n
n n n n
u u
u u u u
Khi đó
2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018
1 1 1
...S
u u u u u u u u u u u u
1 2 2 3 2017 2018
1 1 1 1 1 1 1
...
3
u u u u u u
2018 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 .
3 3 3
2017 6052
u u d
Chọn D.
Câu 107: Số cách các xếp học sinh vào ghế là
2 3 !
n
Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a,b,c lập thành một cấp số cộng thì
2
a c b
nên
a c
là số chẵn. Như
vậy
,
a c
phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Trang 34
Từ 1 đến
2 3
n
có
1
n
số chẵn và
2
n
số lẻ.
Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ
tiến hành như sau:
Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình
vào ghế chính giữa. Bước này có
2 2
1 2
n n
A A
cách.
Bước 2: Xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại. Bước này có
2 !
n
Như vậy số cách xếp thỏa theo yêu cầu này là
2 2
1 2
. 2 !
n n
A A n
Ta có phương trình
2 2
1 2
. 2 !
1 1 2
17 17
2 3 ! 1155 2 1 2 2 2 3 1155
n n
A A n
n n n n
n n n n
2
16
68 1019 1104 0
69
68
n
n n
n
Vậy số học sinh của lớp là 35. Chọn D.
| 1/34
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Khi đó, số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u được xác định bởi công n  1 n
thức u  u  n 1 d với n  2 . n 1  
3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng u  u
đứng kề với nó, nghĩa là k 1 k 1 u    với k  2 . k 2
Chú ý: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì a  c  2b .
4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng nu  u 1 n 
Cho cấp số cộng u . Đặt S  u  u  u ... u . Khi đó S  . n  n 1 2 3 n n 2 nn   1
Chú ý: Vì u  u  n 1 d nên công thức trên có thể viết lại là S  nu  d . n 1   n 1 2
Chứng minh: Gọi u ,u ,u ,...,u lần lượt là các số hạng của cấp số cộng. Ta có 1 2 3 n
S  u  u  d  u  2d  ... u  n  2 d  u  n 1 d n 1  1 1 1   1       u2 3 u un 1 u  n
S  u  n 1 d  u  n  2 d  ...  u  2d  u  d  u n 1   1   1
     1 1 u u u 2 u n n 1  3
2S  2u  n 1 d   2u  n 1 d   2u  n 1 d   ... 2u  n 1 d  n  1     1     1     1    n
Do đó 2S  n 2u  n 1 d   S  2u  n 1 d  n  1    n  1   2  .
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng
Ví dụ 1. Tính số hạng đầu u và công sai d của một cấp số cộng biết 1 u  10 u   15 a) 4  b) 3  u  19  u  18 7  14 Lời giải: Trang 1 u   10 u   3d  10 d  3 a) Ta có 4 1      u  19 u  6d  19 u  1  7  1  1 u   15 u   2d  15 d  3 b) Ta có 3 1      u  18 u 13d  18  2  1  u 14  1  1
Ví dụ 2. Tính số hạng đầu u và công sai d của một cấp số cộng biết 1 u   u  u  10 u   u  u  10 a) 1 3 5  b) 1 5 3  u  u  17  u  u  7 1 6  1 6 Lời giải: u   u  u  10
u  u  2d  u  4d 10 u   2d  10 u   16 1 3 5 1  1  a) 1 1 1        u  u  17  u   u  5d  17 2u  5d  17   d  3  1 6 1 1 1 u   u  u  10 u
  u  4d  u  2d 10 u   2d  10 u  36 1 5 3 1 1  1  b) 1 1        u  u  7  u   u  5d  7 2u  5d  7   d  13 1 6 1 1 1
Ví dụ 3. Tính số hạng đầu u và công sai d của một cấp số cộng biết 1 u   u  60 u   u  u  27  a) 7 15  b) 1 2 3  2 2 u  u  1170  2 2 2 u   u  u  275 4 12  1 2 3 Lời giải: u   u  60 u   6d  u 14d  60 u  30 10d   a) 7 15 1 1 1      2 2 u  u  1170 
 u  3d  u 11d  1170 
 30  7d  30  d 1170 4 12  1 2  1 2  2  2  u   30 10d 1  u   30 10d d  4, 2 u  12;d  4,2 1 1     2  1
 800  50d  360d 1170  u   30 10d u  0; d  3 1  1  d  3 u   u  u  27 2u  u  27  u   9 b) 1 2 3 2 2 2      2 2 2 u   u  u  275 
 u  d  u  d  u  275 3u  2d  275 1 2 3   2 2  2 2 2 2 2 2  2  u   9 2  d  4 u  5;d  4 1     u   9 u  13;d  4  2  1  d  4
Ví dụ 3. Cho dãy số u với u 1110n . n  n
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh dãy số u là cấp số cộng. Chỉ rõ u và d. n  1 Lời giải:
a) 5 số hạng đầu của dãy là 1, 9,19, 29, 39 . Trang 2 b) Xét hiệu u
 u 1110 n 1  1110n  1  0 . n 1  n     Do đó u
 u  5 , suy ra dãy số u là cấp số cộng với u 1;d  10 . n  n 1  n 1 Ví dụ 4:
a) Viết năm số xen giữa hai số 1 và 25 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số này.
b) Viết sáu số hạng xen giữa hai số 30 và 2 để được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số hạng thứ 50 của
cấp số này là bao nhiêu? Lời giải:
a) Theo bài ra, ta có u  3,u  24 . Từ công thức u  u  n 1 d n 1   1 8 u  u 25 1 Suy ra n 1 d  
 4. Vậy 5 số phải viết thêm là 5,9,13,17,21. n 1 7 1 u  u 2  30 b) Ta có n 1 d    4
 . Vậy 6 số phải viết thêm là 26, 22,18,14,10,6 . n 1 8 1
Lại có u  u  n 1 d  u  30  50 1 . 4   1  66 . n 1   50    
Ví dụ 5: Cho hai cấp số cộng x :4,7,10,13,16,19,... n  y :1,6,11,16,21,26,... n
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung? Lời giải:
Ta có x  4  n  
1 3  3n 1 với 1  n  100 . n y  1 k  
1 5  5k  4 với 1  k  100 . k
Để một số là số hạng chung, ta phải có 3n 1  5k  4  3n  5k   1
Suy ra n chia hết cho 5, tức n  5t và k  3t 1với t  Z .
Vì 1  n  100 nên 1  t  20 . Ứng với 20 giá trị của t, ta tìm được 20 số hạng chung.
Chẳng hạn, với t  1 thì n  5, k  4 , khi đó x  y  16 . 5 4
Ví dụ 6: Chứng minh rằng ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 , ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. b  c c  a a  b Lời giải: 1 1 1 Ba số , ,
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b  c c  a a  b 1 1 1 1    c  a b  c a  b b  c b  a c  b   
c  a  b  c   a  b c  a  Trang 3
  b  a  b  a    c  b c  b
 b  a  c  b  a, ,
b c lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 7: Chu vi của một đa giác là 45 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
d  3cm . Biết cạnh lớn nhất là 15 cm, tính số cạnh của đa giác đó. Lời giải:
Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là u và số cạnh của đa giác là n. 1
Ta có 15  u  n 1 .3 hay u  18  3n  0  n  6 . 1   1
Tổng các cạnh (tức là chu vi đa giác) là 45 cm, ta có n 15 18 3n 45  hay 2 3n  33n  90  0 . 2 Giải phương trình với *
n  N ;n  6 , ta được n  5.
Ví dụ 8: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết u   27 u   5u u   u  u  7  u   u  8 a) 7  b) 9 2  c) 2 4 6  d) 3 7  u  59  u  2u  5 u  u  2u u .u  75 15  13 6  8 7 4  2 7 Lời giải:
Gọi số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng lần lượt là u , d . 1
Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng có dạng u  u  n 1 d . n 1   u   27 u   6d  27 u   3 u   3 a) Ta có 7 1 1      . Vậy 1  . u  59 u 14d  59   d  8 d  8 15 1 u   5u u  8d  5 u  d  4u  3d  0 u   3 9 2 1  1  b) Ta có 1 1        . u  2u  5 
u 12d  2 u  5d  5 u  2d  5    d  4 13 6 1  1  1 u   u  u  7 u
  d  u  3d  u  5d  7 2 4 6  1 1  1  c) Ta có    u  u  2u  u
  7d  u  6d  2 u  3d 8 7 4  1  1   1  u   d  7 u   5  1 1    
. Vậy số hạng đầu u  5 và công sai d  2 . 2u  5d  0  d  2 1 1 d) Ta có u  u  8
  u  2d  u  6d  8  4d  8  d  2 . 3 7 1  1 
Mặt khác u .u  75  u  d u  6d  75  u  2 u 12  75 2 7  1  1   1  1  u  3 u   3 u   17 2 1  u 14u  51  0  . Vậy 1 hoặc 1 . 2 1    u  1  7  d  2 d  2 1
Ví dụ 9: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết rằng S  36 u   10 a) 12  b) 5  S  45  S  5 18  10 Lời giải: Trang 4
Gọi u , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng. 1 n 2u  n 1 d   1  
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S   n 2 12.2u 11d 1  a) Ta có S 
 36  2u 11d  6   1 . 12 1 2 182u 17d 1  Và S 
 45  2u 17d  5 2 . 18 1 2  47 u      1 2u 11d 6  Từ   1 ,2 suy ra 1 12    . 2u 17d  5 1  1 d    6 u   4d  10 1 u  10  u   4d  10 u   86 b) Ta có 5 1 1     2u  9d      . 1 S  5 10.  5 2u  9d  1      d  1  9 10 1   2 
Ví dụ 10: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết rằng:
a) Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 105.
b) Tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155. Lời giải:
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a,b,c  a  c  2b* . a  b  c  15 a  b  c  15  a) Theo bài ra, ta có 
, kết hợp với * , ta được a  c  2b abc  105 abc 105  3  b  15 b   5 a  3 a  7     
a  c  2b  c  10  a  b   5 hoặc b   5 . abc 105   5  a  10  a  105   c  7  c  3  a  b  c  21 a  b  c  21  b) Theo bài ra, ta có 
, kết hợp với * , ta được a  c  2b 2 2 2 a  b  c 155  2 2 2 a  b  c 155 3b 21 b     7 a  5 a  9      a  c  2b  c 14  a  b   7 hoặc b   7 .  2 2 2  a  b  c  155   a    14 a2 2 2 c  9  7  155  c 5 
Ví dụ 11: Tìm giá trị của x để ba số 2
a  10  3x,b  2x  3, c  7  4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lời giải:
Vì ba số a,b,c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b . Trang 5 x  1 Khi đó 10 3x 7 4x 2 2 2x 3 2 4x 7x 11 0            11. x    4 11 Vậy x  1 hoặc x  
là các giá trị cần tìm. 4
Ví dụ 12: Tìm số nguyên dương n biết 1 2 3
C ,C ,3C tương ứng với số hạng thứ 1, số hạng thứ 4, và số n n n
hạng thứ 19 của cấp số cộng. Lời giải: u   u  3d 6u  6u 18d Theo bài ra, ta có 4 1 4 1     6u  u  5u . 4 19 1 u  u 18d u  u 18d  19 1  19 1
Kết hợp với điều kiện 1 2 3
u  C ;u  C ;u  3C , ta được 1 n 4 n 19 n n  3  n  3 2 3 1 6C  3C  5C   n n  n     n  n n n 3n  n     1  2 6. 3 2 1   5n n  9n 18n  0  2
Ví dụ 13: Tìm giá trị x dương nhỏ nhất thỏa mãn ba số sin x,sin 2x, 3 cos x lập thành cấp số cộng. Lời giải:
Theo bài ra, ba số sin x,sin 2x, 3 cos x lập thành cấp số cộng nên suy ra 1 3  
sin x  3 cos x  2sin 2x  sin x  cos x  sin . x cos  sin .cos x  sin 2x 2 2 3 3     2x  x   k2 x   k2   3    3  sin x   sin 2x       k Z   3    2   k2 2x    x   k2 x    3  9 3  2
Nghiệm dương x nhỏ nhất sẽ ứng với k  0 . Vậy x  hoặc x  . 3 9
Ví dụ 14: Cho ba số a,b,c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng 2 2
a  2bc  c  2ab và a  bc   b  c2 2 8 2 . Lời giải:
Vì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra a  c  2b . Ta có 2 2
a  2bc  c  2ab  a  ca  c  2bc  a  a  ca  c  2b  0 Suy ra 2 2 2 2
a  2bc  c  2ab  0  a  2bc  c  2ab  điều phải chứng minh.
Lại có a  bc   b  c2  a  a  cc  a  c2 2 2 2 2 2 2 8 2 4 2
 a  4ac  4c  a  4ac  4c
Suy ra a  bc   b  c2   a  bc   b  c2 2 2 8 2 0 8 2
 điều phải chứng minh. A B C
Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có tan , tan , tan
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng 2 2 2 cos ,
A cos B, cos C theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng. Trang 6 Lời giải: A B C A C B Vì ba số tan , tan , tan
lập thành cấp số cộng  tan  tan  2 tan . 2 2 2 2 2 2
Sử dụng công thức: sin a  b  sin . a cos b  sin . b cos a , ta được A C A C C A A  C sin sin sin .cos  sin .cos sin A C 2 2 2 2 2 2 2 tan  tan     . 2 2 A C A C A C cos cos cos .cos cos .cos 2 2 2 2 2 2   B  sin B B  A  C  B   cos sin  2 2 Kết hợp với   suy ra  2 2   2 2 2 2 A C A C B cos .cos cos .cos cos 2 2 2 2 2 B B A C B  A  2 2   cos  2.sin .cos .cos  sin cos   2 2 2 2 2  
Ví dụ 16: Tìm tham số m để phương trình 3 x   m   2 3
1 x  2mx  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng? Lời giải: Phương trình 3 x   m   2 2 3
1 x  2mx  0  x x  3m   1 x  2m  0   x  0   . Đặt f  x 2  x  3m   1 x  2 . m 2 x   3m   1 x  2m  0*
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt   
* có hai nghiệm phân biệt khác 0  f x  0  2m  0      m  0.   3m 1  4.2m  0 9   m  2m 1  0 *  2 2   
Khi đó, gọi x  0 và x , x x  x là hai nghiệm của phương trình * . 2 3  2 3  1
Theo hệ thức Viet, ta có x  x  3m 1 và x x  2 . m 2 3 2 3 1
TH1. Ba số x , x , x lập thành cấp số cộng  x  x  2x  x  x  0  m   . 3 1 2 2 3 1 2 3 3
TH2. Ba số x , x , x lập thành cấp số cộng  x  x  2x  2x  x  0. 1 3 2 1 2 3 3 2  6m  2 x   2 3 2x  x  0 3 2    3m 1 6m  2 3m 1
Khi đó, ta có hệ x  x  3m 1  x   .  2m 2 3 3 3 3 3 x x 2m    2 3 x x  2m 2 3 
TH3. Ba số x , x , x lập thành cấp số cộng  x  x  2x  2x  x  0. 3 2 1 1 3 2 2 3 Trang 7  3m 1 x   2 3 2x  x  0 2 3    6m  2 6m  2 3m 1
Khi đó, ta có hệ phương trình x  x  3m 1  x   .  2m 2 3 3 3 3 3 x x 2m    2 3 x x  2m 2 3 
Cả hai trường hợp TH2-TH3 đều không cho giá trị của tham số m. 1
Vậy m   là giá trị cần tìm. 3
Ví dụ 17: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x 10mx  9m  0 có bốn nhiệm phân biệt
lập thành cấp số cộng. Lời giải: Đặt 2
t  x  0 , phương trình 4 2 2
x 10mx  9m  0  t 10mt  9m  0* .
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt   
* có hai nghiệm dương phân biệt.   5m  9m  0 *  2    m  0 m  0  9  t  t 10m  0      m  1 2 2  25m  9m  0 m  25m  9  0 25 t t  9m  0 1 2 
Giả sử t  t , khi đó 4 nghiệm phân biệt của phương trình là  t ,  t , t , t . 1 2 2 1 1 2
Theo bài ra, ta có  t  t  2 t  t  3 t  t  9t . 2 1 1 2 1 2 1 t   t  10m t   9m 1 2 1 m  0   L Suy ra hệ phương trình 2 t   9t  t
  m  9m  9m   . 2 1 2   m 1  C t t  9m t t  9m  1 2  1 2
Vậy m  1 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng
Ví dụ 1: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười
hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? Lời giải: u 11d  23 u  1 1 1 u   23   Ta có 12   12    u . S  144   u  u  23 1 144 d   2 12 1 12 2    11
Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó. Lời giải:
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng  *
3n n  N  nên chúng lập thành cấp số cộng với u   3 1 50 u  3n  . Vậy S  . u  u  3825 . 50  1 50  n u 150  2 50 Trang 8 n n n 1
Chú ý: Công thức tính tổng S  u  u  nu  d n    . 1 1 2 2 Ví dụ 3:
a) Cho một cấp số cộng u có S 18 và S 110 . Tính S . n  6 10 20
b) Cho một cấp số cộng u có u  u 100 . Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n  3 28 đó. Lời giải: n 2u  n 1 d   S  3 2u  5d 18  6  1  1   a) Ta có S   suy ra . n  2 S  5 2u  9d  110  10  1  2u  5d  6 u   7  1 1    
. Vậy S  10 2u 19d  10 2. 7  19.4  620. 20  1     2u  9d  22   d  4 1
b) Ta có u  u  u  2d  u  27d  2u  29d  100. 3 28 1 1 1
Khi đó, tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là S  15 2u  29d  1500. 30  1 
Ví dụ 4: Một công viên hình tam giác được trồng cây xanh theo hàng có quy luật của một cấp số cộng
như sau: Hàng thứ nhất có 9 cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối cùng có 2014 cây. Hỏi công viên đó
có tất cả bao nhiêu hàng cây được trồng? Lời giải:
Gọi n là số hàng cây được trồng trong công viên.
Vì cây trong công viên được trồng theo hàng có quy luật là một cấp số cộng nên gọi u ,u ,...,u lần 1 2 n
lượt là số cây của hàng. Khi đó u  9,u  54 và u  2014. 1 10 n u   9 u   9 1 1   Ta có u   u  9d  54  d  5
 n 1  401  n  402. 10 1 u   u  n1 d  2014 9  5 n 1  2014  n 1     
Ví dụ 5: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các công nhân được tuyển dụng. Công ty liên doanh D đề
xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, đó là
 PA1. Người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức
lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
 PA2. Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý đầu tiên và kể tự quý làm việc thứ hai
mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý.
Nếu bạn là người lao động, bạn sẽ chọn phương án nào? Lời giải:
Kí hiệu X là người lao động. xét mỗi phương án mà công ty đưa ra, ta có:
 PA1. Năm thứ nhất, X nhận được 36 triệu đồng, tức là u  36. 1
Năm thứ hai, X nhận được 36+3=39 triệu đồng, tức là u  39. 2
Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với u  36, d  3. 1 Trang 9
Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là S  5. 2u  9d  495 triệu đồng. 10  1 
 PA2. Quý đầu tiên, X nhận được 7 triệu đồng, tức là u  7. 1
Sang quý thứ hai, X nhận được 7+0,5=7,5 triệu đồng, tức là u  7,5. 2
Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với u  7, d  0,5 1
Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là S  20. 2u  39d  670 triệu đồng. 40  1 
Vậy ta thấy nếu kí hợp đồng theo PA2 thì số tiền lương nhận được sẽ cao hơn và chắc chắn ta sẽ chọn PA2.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a) 1 6 1116  21 ...  x  970. b)  x  
1   x  4   x  7 ...  x  28 155. Lời giải:
a) Xét dãy số 1,6,11,16, 21,..., x là dãy số có số hạng đầu u  1 và công sai d  5 nên tổng n số hạng 1 n 2u  n 1 d  n 2  5 n 1   1       đầu tiên của dãy là S    n 2 2 n5n  3 Do đó 2
1 6 1116  21 ...  x 
 970  5n  3n 1940  0  n  20. 2
Vậy x  u  u  n 1 d  1 20 1 .5  96 là giá trị cần tìm. n 1    
b) Xét dãy số x 1, x  4, x  7,.., x  28 là dãy số có số hạng đầu u  x 1, số hạng cuối u  x  28 1 n
và d  3  u  u  n 1 d  x  28  x 1 3 n 1  n  10. n 1     10 2u  9d Do đó S  x   x   x    x    u  d n 
1  4  7 ...  28  1  10 45 1 2 Vậy 10 x  
1  45.3  155  10 x  
1  20  x  1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hai cấp số cộng u và v có tổng n số hạng đầu tiên là S và T . Biết rằng n  n  n n S 6n 1 u n  . Tìm 11 . T 9n 1 v n 11 Lời giải:
Gọi u , a lần lượt là số hạng đầu của u và v . n  n  1 1
Và d , h lần lượt là công sai của hai cấp số cộng u và v . n  n  1 1 n 2u  n 1 d   n 2a  n 1 h   1   1   Ta có 1 S   và 1 T   . n 2 n 2 S 6n 1 2u  n 1 d 6n 1 S 2u  20d 127 n 1   Say ra 1 21 1 1       * . T 9n 1 2a  n 1 h 9n 1 T 2a  20h 190 n 1     1 21 1 1 u u 10d u 127 Lại có 11 1 1  , kết hợp với   * , ta được 11  . v a 10h v 190 11 1 1 11 Trang 10 2 S m u 2m 1
Ví dụ 8: Cho cấp số cộng u , chứng minh rằng m  thì m  . n  2 S n u 2n 1 n n Lời giải: 2u  m 1 d 2u  n 1 d 1   1   Ta có S  m và S  n . m 2 n 2 S 2u  m 1 d  m  1   2  m
Theo giả thiết, ta được m   S 2u  n  d  n n n    . 2 1 1  2u  m 1 d m 1   Suy ra 
 2nu  mn  n d  2mu  mn  m d 2u  n 1 d n 1   1   1  
 2m  nu  m  n d  0  m  n 2u  d  0 với m  n. 1     1  d m  d 1 u  1 d u m d m  m 1   2 1 Từ đó suy ra u  . Vậy 2    . 1 2 u u  n 1 d d 2n 1 n 1    n   1 d 2
Ví dụ 9: Chứng minh rằng nếu S , S , S tương ứng là tổng của n, 2n,3n số hạng đầu tiên của một cấp n 2n 3n
số cộng thì S  3 S  S . 3n  2n n  Lời giải: u  u u u n 1 n  Sử dụng các công thức n 1 n 1 u    và S  n 2 n 2 S u  u S u  u S S u  u Ta có n 1 n 2n 1 2n 2  ; n    u  u và 3n 1 3n  1 2 n 2 2n 2 n n 3n 2 S S u  u u  u 2u  u  u u  u Khi đó n 3n 1 n 1 3n 1 n 3n     mà n 3n u  . n 3n 2 2 2 2n 2 S S 2u  2u S S n 3n 1 2n 2n 3n     u  u   S   S  S  3 S  S . 1 2n n 2n 3n  2n n  n 3n 2 n 3
Vậy ta có điều phải chứng minh. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 3  ; 7  ; 1  1; 1  5;... B. 1; 3  ; 6  ; 9  ; 1  2;...
C. 1; 2; 4;6; 8;... D. 1;3; 5  ; 7  ;9;...
Câu 2. Dãy số sau nào sau đây không phải là một cấp số cộng? 2 1 1 2 4 A.  ;  ;0; ; ;1; B. 15 2;12 2;9 2;6 2 3 3 3 3 3 4 7 9 11 1 2 3 4 3 5 C. ;1; ; ; D. ; ; 3; ; 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 3
Câu 3. Cho dãy số ;0;  ;1;  ;... là cấp số cộng với: 2 2 2 Trang 11 1 1 1 1
A. Số hạng đầu tiên là , công sai là
B. Số hạng đầu tiên là , công sai là  2 2 2 2 1 1
C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là
D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là  2 2 1 1
Câu 4. Cho cấp số cộng có số hạng đầu u   , công sai d  . Năm số hạng liên tiếp của cấp số này 1 2 2 là: 1 1 1 1 1 1 3 5 1 1 3 A.  ;0;1; ;1 B.  ;0; ;0; C. ;1; ; 2; D.  ;0; ;1; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 5. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7;12;17 B. 6;10;14 C. 8;13;18 D. 6;12;18
Câu 6. Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng
có công sai d  2 . Tìm n. A. n  12 B. n  13 C. n  14 D. n  15
Câu 7. Cho các số 4;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x. A. x  7 B. x  10 C. x  11 D. x  12 Câu 8. Biết các số 1 2 3
C ,C ,C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n  3. Tìm n n n n A. n  2 B. n  7 C. n  9 D. n  11 Câu 9. Nếu 5  ; m 7  2 ;
m 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. m  2 B. m  3 C. m  4 D. m  5
Câu 10. Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ;
x 11; y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng? A. x  1; y  21 B. x  2; y  20 C. x  3; y  19 D. x  4; y  18
Câu 11. Cho cấp số cộng u có các số hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17,... Tìm số hạng tổng quát u của n  n cấp số cộng. A. u  5n 1 B. u  5n 1 C. u  4n 1 D. u  4n 1 n n n n 1
Câu 12. Cho cấp số cộng u có u  3 và d  . Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1 2 1 1 A. u  3   n  B. u  3   n 1 n  1. 2 n 2 1 1 C. u  3   n  D. u  3   n  n   1 . n   1 . 2 4
Câu 13. Cho cấp số cộng u có u  15 và d  2 . Tìm u n  3 n 3 3 A. u  2  n  21 B. u   n 12 C. u  3  n 17 D. 2 u   n  4 n n 2 n n 2
Câu 14. Trong các dãy số được cho bên dưới, dãy số nào là cấp số cộng? Trang 12 7 A. u  7  3n B. u  7  3n C. u  D. u  7.3 .n n n n 3n n
Câu 15. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?  u  1 u  1 A. u    1 n n  B. u  sin C. 1 D. 1 n 2  1 n   4 u  u 1  u  2u n n 1   n n 1 
Câu 16. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không là cấp số cộng? A. u  4  n  9 B. u  2  n 19 C. u  2n  21 D. u  2n  15 n n n n
Câu 17. Cho cấp số cộng u có u  5 và d  3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? n  1 A. Thứ 15 B. Thứ 20 C. Thứ 35 D. Thứ 36
Câu 18. Cho cấp số cộng u có u  5 và d  3. Mệnh đề nào sau đây đúng? n  1 A. u  34 B. u  45 C. u  31 D. u  35 15 15 13 10
Câu 19. Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ 8 là 40. Khi đó công sai d của cấp
số cộng đó là bao nhiêu? A. d  4 B. d  5 C. d  6 D. d  7
Câu 20. Cho cấp số cộng u có u  4 và d  5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. n  1 A. S  24350 B. S  24350 C. S  24600 D. S  24600 100 100 100 100 1 1 
Câu 21. Cho cấp số cộng u có u  và d 
. Gọi S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n  1 4 4 5
đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 4 5 4 A. S   B. S  C. S  D. S   5 4 5 5 5 4 5 5
Câu 22. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là u  3n  4 với *
n  N . Gọi S là tổng n số hạng đầu n n
tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n 1 7 3n   1 2 3n  5n 2 3n 11n A. S  B. S  C. S  D. S  n 2 n 2 n 2 n 2
Câu 23. Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: A. 7650. B. 7500. C. 3900 D. 3825.
Câu 24. Cho cấp số cộng u có d  2 và S  72 . Tìm số hạng đầu tiên u n  8 1 1 1  A. u  16 B. u  1  6 C. u  D. u  1 1 1 16 1 16
Câu 25. Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số
hạng thứ n của cấp số cộng đó là u có giá trị là bao nhiêu? n A. u  57 B. u  61 C. u  65 D. u  69 n n n n Trang 13
Câu 26. Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười
hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. d  2 B. d  3 C. d  4 D. d  5 2 3n 19n
Câu 27. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S  với *
n  N . Tìm số hạng đầu n 4
tiên u và công sai d của cấp số cộng đã cho. 1 1 3 3 5 1 A. u  2;d   B. u  4  ;d  C. u   ; d  2  D. u  ; d  1 2 1 2 1 2 1 2 2
Câu 28. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 S  n  4n với *
n  N . Tìm số hạng đầu tiên n
u của cấp số cộng đã cho n n 1 8    A. u  2n  3 B. u  3n  2 C. 1 u 5.3n  D. u  5. n n n n    5 
Câu 29. Tính tổng S  1 2  3  4  5  ... 2n  
1  2n với n  1 và n  N . A. S  0 B. S  1 C. S  n D. S  n
Câu 30. Cho cấp số cộng u thỏa mãn u  u  u  u  100 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp n  2 8 9 15 số cộng đã cho. A. S  100 B. S  200 C. S  300 D. S  400 16 16 16 16
Câu 31. Cho cấp số cộng u có u  1
 2 và u 18 . Tìm số hạng đầu tiên u và công sai d của cấp n  4 14 1 số cộng đã cho. A. u  21; d  3 B. u  2  0;d  3  C. u  22; d  3 D. u  21; d  3 1 1 1 1
Câu 32. Cho cấp số cộng u có u  2001 và u  1995 . Khi đó u bằng: n  2 5 1001 A. u  4005 B. u  4003 C. u  3 D. u  1 1001 1001 1001 1001
Câu 33. Cho cấp số cộng u , biết u  1
 ,u  8 . Tính công sai d của cấp số cộng đó n  n n 1  A. d  9 B. d  7 C. d  7 D. d  9
Câu 34. Cho cấp số cộng u . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: n  u  u u .u A. 10 20  u  u B. u  u  2u C. u .u  u D. 10 30  u . 5 10 2 90 210 150 10 30 20 20 2
Câu 35. Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và -2. Tìm số hạng thứ 5. A. u  4 B. u  2 C. u  0 D. u  2 5 5 5 5
Câu 36. Cho cấp số cộng u biết u  5,d  2 . Số 93 là số hạng thứ bao nhiêu? n  1 A. 100 B. 44 C. 50 D. 75
Câu 37. Cho một cấp số cộng có u  3
 ;u  27 công sai d bằng 1 6 Trang 14 A. d  7 B. d  8 C. d  5 D. d  6
Câu 38. Cho cấp số cộng u thỏa mãn u  u  60 . Tính tổng S của 24 số hạng đầu tiên của cấp số n  2 23 24 cộng đã cho. A. S  60 B. S  120 C. S  720 D. S  1440 24 24 24 24
Câu 39. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho. A. d  2 B. d  3 C. d  4 D. d  5 u   u  8
Câu 40. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 7 3
. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho. n  u u  57  2 7 1 1 A. d  B. d  C. d  2 D. d  3 2 3 u   u  26 
Câu 41. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 1 7
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n   2 2 u   u  466  2 6 u   13 u   10 u   1 u   13 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  d  3 d  3 d  4 d  4
Câu 42. Cho cấp số cộng u có các số hạng đầu u  2 và công sai d  5. Giá trị của u bằng n  1 4 A. 22 B. 17 C. 12 D. 250
Câu 43. Cho cấp số cộng u có các số hạng lần lượt 5;9;13;17;... Tìm công thức số hạng tổng quát u n  n của cấp số cộng đó? A. u  5n 1 B. u  5n 1 C. u  4n 1 D. u  4n 1 n n n n
Câu 44. Cho cấp số cộng u với số hạng đầu u  2 và công sai d  2 . Tìm u . n  1 2018 A. 2018 u  2 B. 2017 u  2 C. u  4036 D. u  4038 2018 2018 2018 2018 u   u  8
Câu 45. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 1 4
. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. n  u u  2  3 2 A. 100 B. 110 C. 10 D. 90
Câu 46. Nếu cấp số cộng u với công sai d có u  0;u  10 thì n  5 10 A. u  8  ;d  2 B. u  8; d  2 C. u  8; d  2 D. u  8; d  2 1 1 1 1 u   u  u  7
Câu 47. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u thỏa mãn 2 3 5 . n  u u 12  1 6 A. u  2n  3 B. u  2n 1 C. u  2n 1 D. u  2n  3 n n n n
Câu 48. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 5;0; 0;0;0 B. 1; 4;6;7;10 C. 3;9; 27;81; 243 D. 1;4; 9; 14;19 Trang 15
Câu 49. Cho cấp số cộng u biết u  5n  3. Số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng đó là n  n 1 A. u  2; d  3 B. u  2; d  5 C. u  2; d  5 D. u  8; d  5 1 1 1 1
Câu 50. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. u  1 : u  B. u u  u  n   n  : 2, 2 n n n n n 1  C. u u   D. u u  u n   n  : 2 , 2 n  : 2n 1 n n n 1 
Câu 51. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng? A. u  n 1, n  1 B. u  2n  3, n  1 n n C. 2 u  n 1, n  1 D. u    n  n  n 1 2 , 1 n
Câu 52. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 2 u  3n  2017 B. u  3n  2018 C. u  3n D. u    n   1 3 n n n n
Câu 53. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng? 2 5n  2 A. 1 u 3n  B. u  C. 2 u  n 1 D. u  n n n 1 n n 3
Câu 54. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 2 u  2n  3 B. u  3n C. u  n 1 D. u  2n  5 n n n n u   u  u  15
Câu 55. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 1 3 5
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định n  u u  27  1 6 sau? u   21 u   21 u  18 u   21 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  d  3 d  3  d  3 d  4 u   u  u  36
Câu 56. Cho cấp số cộng u thỏa 2 4 6
. Tìm công sai d của cấp số cộng u biết d  10 . n  n  u u  54  2 3 A. d  3 B. d  4 C. d  5 D. d  6
Câu 57. Tính tổng T  15  20  25  ... 7515. A. T  5651265. B. T  5651256 C. T  5651625 D. T  5651526 Câu 58. Tính tổng 2 2 2 2 2 2
T  1000  999  998  997  ...  2 1 A. T  500500 B. T  500005 C. T  505000 D. T  500050
Câu 59. Xác định a để 3 số 2 1 2 ; a 2a 1; 2
 a theo thứ tự lập thành cấp số cộng? 3
A. Không có giá trị nào của a B. a   4 3 C. a  3 D. a   2 Trang 16
Câu 60. Cho cấp số cộng u và gọi S là tổng n số hạng đầu của nó. Tìm số hạng tổng quát của u biết n  n n S  32, S  192 . 4 12 A. u  5  4n B. u  3  2n C. u  2  3n D. u  4  5n n n n n
Câu 61. Dãy số u  là cấp số cộng, công sai d. Tính tổng S  u  u ... u ,u  0 là n n 1  100 1 2 100 1 A. S  2u  99d B. S  50u 100 1 100 100 C. S  50 u  u D. S 100 u  u 100  1 100 100  1 100 
Câu 62. Cho cấp số cộng u có công sai d  2 và biểu thức 2 2 2
u  u  u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là n  2 3 4
số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u ? n  A. 1011 B. 1014 C. 1013 D. 1012
Câu 63. Công thức nào sau đây đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d? 1 A. u  u  d B. u  u  n 1 d n 1   n 1 C. u  u  n 1 d D. u  u  n 1 d n 1   n 1  
Câu 64. Cho 2 cấp số cộng u  :1;6;11;... và v
Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu số n  : 4; 7;10;... n
có mặt trong cả hai dãy số trên A. 403 B. 402 C. 672 D. 504
Câu 65. Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4,7,10,13,16,... và
1,6,11,16, 21,... Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên? A. 20 B. 18 C. 21 D. 19
Câu 66. Cho cấp số cộng u có u  3 và công sai d  7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số n  1
hạng u đều lớn hơn 2018? n  A. 288 B. 286 C. 287 D. 289
Câu 67. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét thứ 2 giá của mỗi mét khoan
tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có
nước. Vậy hỏi trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.250.000 đồng B. 10.125.000 đồng C. 4.000.000 đồng D. 4.245.000 đồng
Câu 68. Cho u là cấp số cộng có công sai d,S là tổng của n số hạng đầu tiên. Tìm số khẳng định n  n 
đúng trong các khẳng định sau i) u  u  d, n   2, n  N n n 1  ii) * u  u  nd, n   N n 1 Trang 17 u  u iii) n 1  n 1 u   , n   2, n N n 2 n
iv) S  2u  n  d  n   N n    * 1 , 1 2  A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
Câu 69. Cho cấp số cộng u ;u ;u ;...;u có công sai d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. 1 2 3 n 1 1 1 1
Với giá trị nào của d thì dãy số ; ; ;...; là một cấp số cộng? u u u u 1 2 3 n A. d  1 B. d  0 C. d  1 D. d  2 Câu 70. Nếu ; a ;
b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? A. 2 2 2 2b ;a ;c B. 2 ; b 2  ; a 2c C. 2 ; b a;c D. 2 ; b a;c 1 1 1 Câu 71. Nếu ; ;
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số b  c c  a a  b cộng? A. 2 2 2 b ; a ;c B. 2 2 2 c ; a ;b C. 2 2 2 a ;b ;c D. 2 2 2 a ;c ;b Câu 72. Cho a; ;
b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2 2 a  c  2ac  4b B. 2 2 a  c  2ab  2bc C. 2 2 a  c  ab  bc D. 2 2 a  c  2ab  2bc
Câu 73. Cho một cấp số cộng u có u  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính n  1 1 1 1 S    ... u u u u u u 1 2 2 3 49 50 9 4 49 A. S  B. S  C. S  123 D. S  246 23 246
Câu 74. Cho cấp số cộng v . Khẳng định nào sau đây sai? n  A. v  v  v  v B. v  v  2v C. v  v  v  v D. v  v  v  v 1 10 2 9 3 7 5 2 13 6 7 5 8 1 12 u   1  Câu 75. Cho dãy số 1 
. Khẳng định nào sau đây đúng? u   u  2 n 1  n n 1    A. u  9 B. u  4 C. u  2 D. u  13 5 3 2 6 u   3u  u  2  1
Câu 76. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 5 3 2
. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số n  3u 2u  34  7 4 cộng u n  A. -285 B. -244 C. -253 D. -274
Câu 77. Xác định số hạng đầu tiên u và công sai d của cấp số cộng u có u  5u và u  2u  5 n  1 9 2 13 6 Trang 18 A. u  3, d  4 B. u  3, d  5 C. u  4, d  5 D. u  4, d  3 1 1 1 1
Câu 78. . Cho cấp số cộng u  :1;6;11;... có 2018 số hạng. Tính u n 100 A. u  496 B. u  491 C. u  481 D. u  486 100 100 100 100 1
Câu 79. Tìm tất cả giá trị thực của x để cos 2x, cos 4x,cos 6x là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số 2 cộng       A. x 
 k , x    k ,k  Z B. x 
 k , x    k ,k  Z 8 2 6 8 4 6     C. x 
 k , x    k2 , k  Z D. x 
 k , x    k2 ,k  Z 2 3 8 6
Câu 80. Cho dãy số u là một cấp số cộng, biết u  u  50 . Tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy. n  2 21 A. 1100 B. 50 C. 550 D. 2018
Câu 81. Cho cấp số cộng u có u  1
 5;u  60 . Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là n  5 20 A. S  250 B. S  200 C. S  2  00 D. S  2  5 20 20 20 20
Câu 82. Trong các dãy số u sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? n  A. 0;1;3;7;... B. n * u  2 , n   N n u   1  C. 1; 1;1; 1;1;... D. 1 *  , n   N u  u  2  n 1 n
Câu 83. Cho cấp số cộng u biết u  3 và u  7 . Giá trị của u bằng n  2 4 2019 A. 4040 B. 4400 C. 4038 D. 4037
Câu 84. Cho cấp số cộng u , *
n  N có số hạng tổng quát u  1 3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên n  n
của cấp số cộng bằng A. -59408 B. -59049 C. -155 D. -310
Câu 85. Cho cấp số cộng u với số hạng đầu tiên là u  2
 017 và công sai d  3. Bắt đầu từ số hạng n  1
nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương? A. u B. u C. u D. u 674 672 675 673
Câu 86. Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng
thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ 3 trồng 3 cây,… cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 B. 79 C. 76 D. 78
Câu 87. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng
thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? Trang 19 A. 81 B. 82 C. 80 D. 79
Câu 88. Biết bốn số 5; ;
x 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x  2 y bằng A. 50 B. 70 C. 30 D. 80
Câu 89. Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20o và 70o B. 45o và 45o C. 0 20 và 45o D. 30o và 60o
Câu 90. Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 32 và tổng các bình phương của chúng bằng 336.
Tích của bốn số đó là A. 5760 B. 15120 C. 1920 D. 1680
Câu 91. Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai 4o d 
. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó. A. 126o B. 26o C. 60o D. 162o Câu 92. Ba góc ,
A B,C  A  B  C của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé
nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất bằng: A. 40o B. 45o C. 60o D. 80o
Câu 93. Một đa giác có n cạnh và có chu vi bằng 158 cm. Biết số đo các cạnh của đa giác lập thành một
cấp số cộng với công sai d  3 cm và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm. Đa giác có số cạnh n  5 bằng A. n  7 B. n  5 C. n  6 D. n  4
Câu 94. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các
cạnh của tam giác đó là: 1 3 1  3 5 1 7 A. ;1; B. ;1; C. ;1; D. ;1; 2 2 3 3 4 4 4 4
Câu 95. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 2x  4sin x  2cos x  2  0 trong đoạn 0;100  A. 2499 B. 100 C. 2475 D. 2745
Câu 96. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình lượng giác
3 1 cos 2x  sin 2x  4cos x  8  4 3  
1 sin x . Tổng tất cả các phần tử của S là 310408 312341 A.  B. 102827 C.  D. 104760 3 3
Câu 97. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;100  của phương trình 2  x x  sin  cos  3 cos x  3  
. Tính tổng các phần tử của S là  2 2  7400 7525 7375 7550 A.  B.  C.  D.  3 3 3 3 Trang 20
Câu 98. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của x 0;100 để ba số 2
sin x, cos x,sin 3x theo thứ tự đó lập
thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của tập S A. 1008 B. 496 C. 512 D. 1272
Câu 99. Một người muốn chia 1.000.000 đồng cho bốn người con, đứa lớn hơn đứa nhỏ kế tiếp 100.000
đồng. Hỏi đứa con lớn nhất được bao nhiêu tiền? A. 200.000 đồng B. 300.000 đồng C. 400.000 đồng D. 100.000 đồng
Câu 100. Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn
nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 sau đó cứ tiếp tục ngày sau hơn
ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã được tích lũy bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ
ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016). A. 738.100 đồng B. 726.000 đồng C. 714.000 đồng D. 750.300 đồng
Câu 101. Sinh nhật của An vào ngày 01 tháng 5. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá khoảng 600
000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn ấy quyết định bỏ tiết kiệm 10000 đồng vào ngày 1
tháng 1 năm đó, sau đó cứ tiếp tục ngày sau, mỗi ngày bạn bỏ ống tiết kiệm 5000 đồng. Biết trong năm
đó, tháng 1 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày, tháng 3 có 31 ngày và tháng 4 có 30 ngày. Gọi a (đồng) là số
tiền sinh nhật của mình (ngày sinh nhật An không bỏ tiền vào ống). khi đó ta có A. a 610000;615000 B. a 605000;610000 C. a 600000;605000 D. a 595000;600000 a
Câu 102. Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng a . Biết S  S , tỉ số 3 bằng n  n 6 9 a5 9 5 5 3 A. B. C. D. 5 9 3 5
Câu 103. Cho cấp số cộng u biết u  18 và 4S  S . Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số n  5 n 2n 1 cộng A. u  3, d  2 B. u  2, d  3 C. u  2, d  2 D. u  2, d  4 1 1 1 1 2 S p
Câu 104. Cho cấp số cộng u . Gọi S  u  u ... u . Biết rằng p  với * p  q, p, q  N . Tính n  n 1 2 n 2 S q q u
giá trị biểu thức 2018 . u2019 2 2018 4033 4035 4037 A. B. C. D. 2 2019 4035 4037 4039 u  1
Câu 105. Cho dãy số u xác định bởi 1
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao n   3 * u  u  n , n   N  n 1 n cho u 1  2039190 . n Trang 21 A. n  2017 B. n  2020 C. n  2018 D. n  2019
Câu 106. Cho cấp số cộng u có các số hạng đều dương, số hạng đầu u  1, tổng của 100 số hạng đầu n  1
tiên bằng 14950. Tính giá trị của tổng 1 1 1 S   ... u u  u u u u  u u u u  u u 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1 1  1  A. 1 B. 2018 C. 1 D. 1   6052 3  6052 
Câu 107. Trong một lớp có 2n  3 học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý
các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến 2n  3 , mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất 17
để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là
. Số học sinh của lớp là 1155 A. 27 B. 25 C. 45 D. 35
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-C 3-B 4-D 5-A 6-A 7-C 8-B 9-C 10-B 11-C 12-C 13-A 14-A 15-C 16-D 17-D 18-C 19-B 20-B 21-A 22-D 23-D 24-A 25-C 26-A 27-B 28-A 29-D 30-D 31-A 32-C 33-D 34-B 35-D 36-C 37-D 38-C 39-B 40-C 41-C 42-B 43-D 44-C 45-A 46-D 47-B 48-B 49-C 50-B 51-B 52-B 53-D 54-D 55-B 56-A 57-A 58-A 59-D 60-B 61-C 62-D 63-D 64-A 65-A 66-D 67-B 68-B 69-B 70-B 71-C 72-A 73-D 74-C 75-A 76-A 77-A 78-A 79-B 80-C 81-A 82-D 83-D 84-C 85-A 86-A 87-C 88-B 89-D 90-D 91-A 92-A 93-D 94-C 95-C 96-A 97-C 98-A 99-C 100-B 101-B 102-C 103-D 104-C 105-B 106-D 107-D 108- 109- 110-
Câu 1: Kiểm tra u  u  u  u  u  u  ... ở các đáp án. Chọn A. 2 1 3 2 4 3
Câu 2: Kiểm tra u  u  u  u  u  u  ... ở các đáp án. Chọn C. 2 1 3 2 4 3 1 u  u 1 Câu 3: Ta có 2 1 u  ;u  0  d    . Chọn B. 1 2 2 1 2 1 3
Câu 4: Ta có u  u  d  0;u  u  d  ;...u  . Chọn D. 2 1 3 2 5 2 2
Câu 5: Ta có u  2;u  22 và cần tìm u ,u ,u 1 5 2 3 4 u   u  d  7 2 1 u  u 22  2  Lại có 5 1 u  u  4d  d    5  u
  u  2d 12 . Chọn A. 5 1 3 1 4 4 u   u  3d 17  4 1 Trang 22 u   3 
Câu 6: Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n  2 số hạng với 1  u  23  n2 u  u 23  3 Khi đó u  u  n 1 d  n 1 n  
13  n  12 . Chọn A. n2 1   2 1   d 2
Câu 7: Ta có 1 x  2.6  x  11. Chọn C. n  2 n 1 n n 1 n 1 3 2     
Câu 8: Theo bài ra, ta có C  C  2C  n   2. n n n 6 2 2 n  3n  2 n  2 2  1
 n 1  n  9n 14   n  7  n  3. Chọn B. 6 n  7
Câu 9: Theo bài ra, ta có 5  m 17  m  2.7  2m  m  4 . Chọn C. 7 11  2x x  2 x  2
Câu 10: Theo bài ra, ta có      . Chọn B. x  y  2.11  y  22  x y  20
Câu 11: Ta có u  5;u  9  d  u  u  4 nên u  u  n 1 d  5  n 1 .4  4n 1. Chọn C. n 1     1 2 2 1 1
Câu 12: Ta có u  u  n 1 .d  3  . n 1 . Chọn C. n 1     2
Câu 13: Ta có u  u  2d  15  u  2. 2   u  19 3 1 1   1
Suy ra u  u  n 1 .d  19  n 1 . 2   2  n  21. Chọn A. n 1       Câu 14: Chọn A.
Câu 15: Xét đáp án C. Ta có u  1  u  u 1  0;u  u 1  1
  u là cấp số cộng. Chọn C. 1 2 1 3 2 n
Câu 16: Để u là cấp số cộng thì n là bậc nhất. Chọn D. n
Câu 17: Ta có u  u  n 1 d  100  5  3. n 1  n  36. Chọn D. n 1     u   5  Câu 18: Ta có 1 
 u  3n  8  u  37;u  31;u  22 . Chọn C. 15 13 10 d  3 n u   5 u   5 Câu 19: Ta có 1 1     d  5 . Chọn B. u  40 u  7d  40  8  1
n 2u  n 1 d  100 2.4  100 1 . 5    1         Câu 20: Ta có S     2  4350 . Chọn B. 100 2 2  1  1  5. 2.  5 1 .  . n 2u n 1 d        1       4  4  5 Câu 21: Ta có S     . Chọn A. 100 2 2 4 u   d  4 u   7
Câu 22: Ta có u  u  n  d  u  d  n d   n    n   1 1 1 . 4 3 1 1  d  3 d  3 . n 2u  n 1 d  . n 2.7  n 1 .3  1       2  3n 11n Vậy S    . Chọn D. n 2 2 2 Trang 23
Câu 23: Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng  *
3n n  N  nên chúng lập thành cấp số cộng u   3 50. u  u 1  1 50 Do đó u  3n    S   3825 . Chọn D. n 50 u  150 2  50 d  2   Câu 24: Ta có  8.7  72  8u  28. 2   u  16 . Chọn A. 1   1 72  S  8u  d  8 1  2 u  1, d  4 1 2  n  n Câu 25: Ta có  nn   2 1  561  n 
.4  2n  n  561  0  n  17. 5  61  S  nu  d 2 n 1  2
Vậy u  u  u 16d  116.4  65 . Chọn C. n 17 1 u  11d  23 u  1 1 1 u   23   Câu 26: Ta có 12   1  2    u . Chọn A. S  144   u  u  23 1 144 d   2. 12 1 12 2    11 2 2 3n 19n 3 19 n  n d  d  Câu 27: Ta có 2 2  n  n  S  nu  d  n  u  n n 1  1  4 4 4 2 2  2  d 3  u   4  1  2 4      3 . Chọn B d 19 d  u      1  2  2 4 d 1 d  d    u   5 Câu 28: Ta có 2 2 2 1 n  4n  S  n  u  n        u  2n  3. Chọn A. n 1 2  2  d  d  2 n u   4 1  2
Câu 29: Ta có 1;3;5;...; 2n 1 và 2; 4;6;...; 2n là cấp số cộng có n số hạng
Do đó S  1 3 5 ... 2n  
1  2  4  6 ... 2n n      n n    n 2  n   2 . 1 2 1 . 2 2 n  n   . n Chọn D. 2 2
Câu 30: Ta có u  u  u  u  100  4u  3
 0d  100  2u 15d  50 2 8 9 15 1 1 16.u  u 1 16  Khi đó S 
 8. 2u 15d  8.50  400. Chọn D. 16  1  2 u   1  2 u   3d  1  2 u   21 Câu 31: 4 1 1      . Chọn A. u  18 u 13d  18   d  3 14 1 u   2001 u  d  2001 u   2003 Câu 32: 2 1 1       u
 u 1000d  3. Chọn C. 1001 1 u  1995 u  4d  1995   d  2  5 1 Câu 33: Ta có d  u  u  8  1   9. Chọn D. n 1  n   Câu 34: Trang 24 u  u u  9d  u  29d 10 30 1 1    u 19d Xét đáp án A: 1  2 2  loại A. u
  u  u  4d  u  9d  2u 13d  5 10 1 1 2 u 
 u  2u  298d  2 u 149d  90 210 1  1  Xét đáp án B:  . Chọn B. 2u  2 u 159d  150  1  u   6 u   2d  6 u  10 Câu 35: Theo bài ra ta có: 3 1 1      u  2  u  6d  2    d  2  7 1
Do đó u  u  4d  2 . Chọn D. 5 1
Câu 36: Số hạng tổng quát của dãy là u  u  n 1 d  5  2 n 1 n 1    
Giải 5  2n  2  93  n  50. Chọn C. u  u Câu 37: Ta có: 6 1 u  u  5d  d   6. Chọn D. 6 1 5 u  u u  d  u  d u  u 60 Câu 38: 1 24 2 23 2 23 S  .24  .24  .24  .24  720. Chọn C. 24 2 2 2 2 u   u  17 2u  5d 17 2u  5d 17 u   1 Câu 39: Ta có 1 6 1 1 1        . Chọn B. u  u  14 u  d  u  3d  14 2u  4d  14    d  3 2 4 1 1 1 u  u Câu 40: Ta có 7 3 u  u  4d  d   2. Chọn C. 7 3 4 u   u  26 u  u  6d  26 u  3d 13   Câu 41: Ta có 1 7 1 1 1      2 2 u   u  466 
 u  d  u  5d  466 
 u  d  u  5d  466 2 6  1 2  1 2  1 2  1 2  u  1 1 u  13  3d        1 u 13 3d d 4 1       Chọn C.  13  2d   . 2  13 2d 2 2  466 8  d 128   u   25 1  d  4
Câu 42: Ta có u  u  3d  2  3.5  17. Chọn B. 4 1 u   5
Câu 43: u là cấp số cộng có 1   u  5  n   1 .4  4n 1. Chọn D. n  d  4 n Câu 44: Ta có u
 u  2017d  2  2017.2  4036. Chọn C. 2018 1 u   u  8 u   u  3d  8 2u  3d  8 u   1 Câu 45: Ta có 1 4 1 1 1 1        . u  u  2  d  2 d  2 d  2 3 2 u  u 2u  9d
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là 1 10 1 S  .10  .10  100. Chọn A. 10 2 2 u   u  4d  0 d  2 Câu 46: Ta có 5 1    . Chọn D. u  u  9d  10 u  8  10 1  1 Trang 25 u   u  u  7 u
  d  u  2d  u  4d  7 u   3d  7 u  1 2 3 5 1  1  Câu 47: Ta có 1 1 1        . u  u  12  u   u  5d  12 2u  5d  12   d  2 1 6 1 1 1
Do đó u  u  n 1 d  1 2 n 1  2n 1. Chọn B. n 1    
Câu 48: Dãy 1; 4;6;7;10 là cấp số cộng với u  1 và d  3. Chọn B. 1
Câu 49: Ta có u  5.1 3  2 và d  5. Chọn C. 1
Câu 50: Dãy số u  : u  u  2, n
  2 là cấp số cộng với d  2. Chọn B. n n n 1 
Câu 51: Cấp số cộng u  u  n 1 d và có dạng u  an  b n 1   n
Vậy u  2n  3, n  1 là cấp số cộng. Chọn B. n
Câu 52: Cấp số cộng u  u  n 1 d và có dạng u  an  b n 1   n
Vậy u  3n  2018 là cấp số cộng. Chọn B. n
Câu 53: : Cấp số cộng u  u  n 1 d và có dạng u  an  b n 1   n 5n  2 Vậy u 
là cấp số cộng. Chọn D. n 3
Câu 54: Cấp số cộng u  u  n 1 d và có dạng u  an  b n 1   n
Vậy u  2n  5 là cấp số cộng. Chọn D. n u   u  u  15 u
  u  2d  u  4d 15 u   2d  15 u   21 1 3 5 1  1  Câu 55: 1 1 1        . Chọn B. u  u  27  u   u  5d  27 2u  5d  27   d  3  1 6 1 1 1 u   u  u  36 u
  d  u  3d  u  5d  36  3u  9d  36  Câu 56: Ta có 2 4 6 1 1 1 1      u u  54   u  d u  2d  54   u  d u  2d  54 2 3  1  1   1  1  u   12  3d  u  12  3d 1 1 d 1  0       d  Chọn A.  12  2d  12  d  3. 2  54 2d  36d  90  0
Câu 57: T là tổng của cấp số cộng với u  15, d  5 1
Số hạng tổng quát của dãy là u  15  n   1 .5 n
Giải u  15  n   1 .5  7515  n  1501 n u  u Do đó 1 1501 S  .1501  5651265. Chọn A. n 2
Câu 58: T  1000  9991000  999  998  997998  997 ... 2   1 2   1 11000
 1000  999  998  997 ... 2 1  .1000  500500. Chọn A. 2 Câu 59: Để 2 1 2 ;
a 2a 1; 2a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì  a   a   2 1 2 2 2 2a   1 Trang 26 3 2 2
 4a  2  1  4a  3  a   . Chọn D. 2 u  u 1 4 .4  32 S  32  u   u  16 u   u  3d  16 Câu 60: Ta có 4 2 1 4 1 1        S  192 u  u u  u  32 u  u 11d  32  12  1 12  1 12  1 1 .12  192  2 2u  3d 16 u  5 1 1     2u 11d  32  d  2 1
Do đó u  u  n 1 d  5  n 1 .2  2n  3. Chọn B. n 1     u  u Câu 61: 1 100 S  .100  50 u  u . Chọn C. 100  1 100  2
Câu 62: Ta có u  u  u  u  d 2  u  u  d 2 2 2 2 2 2 2 2
 3u  2d  3u  8  8 2 3 4 3 3 3 3 3
Dấu bằng xảy ra  u  0  u  u  n  3 d  2 n  3 3 n 3    
Giải 2n  3  2018  n 1012. Chọn D.
Câu 63: u  u  n 1 d. Chọn D. n 1   u   1 n   n   n  1.5 5 4 Câu 64: Ta có  với 1  , m n  2018 v  4  m   m   m  1.3 3 1 3m
Giải điều kiện u  v  5n  4  3m 1  5n  3m  5  n  1 n m 5
n  3k 11;2018
Do đó m5 tức là m  5k , giải điều kiện  1   5k  2018 0  k  672  
 có 403 giá trị k nên 2 dãy số trên có 403 số chung. Chọn A. 1   k  403 u   4  n   n   n   1 .3 3 1 Câu 65: Ta có  với 1  m,n 100 v 1 m   m   m  1.5 5 4 3n
Giải điều kiện u  v  3n 1  5m  4  3n  5m  5  m  1 n m 5
m  3k 11;100
Do đó n5 tức là n  5k , giải điều kiện  1   5k 100 0  k  33  
 có 20 giá trị k nên 2 dãy số trên có 20 số chung. Chọn A. 1   k  20
Câu 66: Số hạng tổng quát của dãy số là: u  u  n 1 d  3  n 1 .7  7n  4 n 1    
Giải 7n  4  2018  n  289. Chọn D. Trang 27
Câu 67: Số tiền để khoan giếng là cấp số cộng với u  80 (nghìn đồng) và công sai d  5 (nghìn đồng) 1 u  u u  u  49d
Do đó số tiền để khoan 50 m giếng là 1 50 1 1 T  .50 
.50  10.125 (nghìn đồng). 2 2 Chọn B.
Câu 68: Chỉ có khẳng định ii) sai. Chọn B. u   u  d 1 1 d 1 1 d Câu 69: Ta có 2 1      ;    u  u  d  u u u u u u u u 3 2 2 1 1 2 3 2 2 3 d  0 1 1 1 1 d  0 Theo bài ra, ta được      1 1   d  0. Chọn B. u u u u    u  u  u  2d 2 1 3 2  1 3 1 u u  1 3
Câu 70: Ta có c  a  2b  2.c  a  2  .2b   2
 c  2a  2. 2  b. Chọn B. 1 1 2 a  c  2b 2 Câu 71: Theo bài ra, ta có     b  c a  b c  a
a  b.b  c a  c
 a  c  b a  c  ab  ac  b  bc  a  c2 2  b a  c   2 2 . 2. 2 . 2. ab  ac  b  bc 2 2 2 2 2 2
 a  2ac  c  2ab  2bc  2ab  2ac  2b  2bc  a  c  2b Suy ra 2 2 2
a ;b ;c lập thành cấp số cộng. Chọn C
Câu 72: Ta có a,b,c lập thành cấp số cộng khi a  c  2b a  c  2b
Xét đáp án A: a  c  2ac  4b  a  c2  2b2 2 2 2  .  Chọn A. a  c  2b 100.2u  99d 1  Câu 73: Ta có S  24850   24850  d  5 100 2 5 5 5 u  u u  u u  u Do đó 2 1 3 2 50 49 5S    ...    ... u .u u .u u .u u .u u .u u .u 1 2 2 3 49 50 1 2 3 2 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 245 49      ...        S  . Chọn D. u u u u u u u u 1 1 49.5 246 246 1 2 2 3 49 50 1 50 v  v  2v 13d Câu 74: 2 13 1 
 v  v  v  v . Chọn C. 2 13 6 7 v  v  2v 11d  6 7 1
Câu 75: u là cấp số cộng với u 1,d  2 n  1
Do đó u  u  n 1 d  1 n 1 .2  2n 1 n 1    
Khi đó u  9,u  5,u  3,u  11. Chọn A. 5 3 2 6 u
  4d  3 u  2d  u  d  21  3  u  9d  2  1   1  1  u 2 Câu 76: Theo bài ra ta có: 1 1 1      3
 u  6d  2 u  3d  34 u 12d  34  d  3 1   1  1 u  u Do đó 1 15 u  u 14d  4  0  S  .15  285. Chọn A. 15 1 15 2 Trang 28 u   5u u   8d  5 u  d  4u  3d  0 u   3 9 2 1  1  Câu 77: 1 1        . ChọnA. u  2u  5  u
 12d  2 u  5d  5 u  2d  5   d  4 13 6 1  1  1
Câu 78: Cấp số cộng đã cho có u  1 và công sai d  5 1 Do đó u
 u  99d  496. Chọn A. 100 1 1
Câu 79: Để cos 2x, cos 4x,cos 6x là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng thì ta có: 2 1
cos 2x  cos 6x  2. cos 4x  2cos 4x cos 2x  cos 4x 2     k cos 4x  0 4x   k x      cos 4x2cos 2x    2 8 4 1  0  1     . Chọn B. cos 2x       2 2x    k2 x    k  3  6 u  u Câu 80: 2 21 S 
.22  11. u  d  u  d  11 u  u  550. Chọn C. 22  1 22   1 22 2 u   u  4d  15 u   35 Câu 81: Ta có 5 1 1    u  u 19d  60  d  5 20 1 u  u 3  5  u 19d Suy ra 1 20 1 S  .20  .20  250. Chọn A. 20 2 2 u   1  Câu 82: Dãy số 1 *  , n
  N là cấp số cộng với u  1 và công sai d  2 . Chọn D. u  u  2  1 n 1  n u   d  3 d  2 Câu 83: Ta có 1    u  3d  7 u  1  1  1 Do đó u
 u  2018d  4037. Chọn D. 2019 1
Câu 84: Ta có u  2,u  1 3.2  5   d  3 1 2 u  u 2u  9d Khi đó 1 10 1 S  .10  .10  1  55. Chọn C. 10 2 2
Câu 85: Ta có u  u  n 1 d  2017  3 n 1 n 1    
Giải điều kiện u  0  u  3n  2020  0  n  673,33 n n
Vậy từ số hạng u trở đi thì các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương. Chọn A. 674
Câu 86: Theo bài ra, ta có u  1;u  2;...; S  3003  d  1 1 2 n n 2u  n 1 d  n 2.1 n 1 .1  1       Do đó  2 S  
 3003  n  n  6006  0  n  77. Chọn A. n 2 2
Câu 87: Theo bài ra, ta có u  1;u  2;...S  3240  d  1 1 2 n n 2u  n 1 d  n 2.1 n 1 .1  1       Do đó S     3240 n 2 2 Trang 29 2
 n  n  6480  0  n  80. Chọn C. 5  15  2x x 10 x 10
Câu 88: Theo bài ra, ta có      . Chọn B. x  y  2.15 x  y  30 y  20
Câu 89: Gọi số đo 3 góc của tam giác vuông lần lượt là , ,90o a b a  b  90o a  b  90o a  30o Theo bài ra, ta có      . Chọn D. a  90o  2b a  2b  90o b   60o
Câu 90: Gọi bốn số cần tìm là u ;u ;u ;u với công sai d 1 2 3 4 u   u  u  u  32 4u  6d  32   Theo bài ra, ta có 1 2 3 4 1    2 2 2 2 2 u   u  u  u  336  u
  u  d  u  2d  u  3d  336 1 2 3 4  1  1 2  1 2  1 2  16  3d u   1 2u  3d  16 1  2     2 2 2 4u 12u d 14d  336  16.3d  16  3d 1 1  2 4. 12d. 14d  336     2  2  u     2 d 4 1      d  4 d 4 u  6;u  10;u 14 2 3 4      u 1680.  Chọn D. 1  16  3d  u  14 u  10;u  6;u  2 1  2 3 4 u   1  2 d  4
Câu 91: Đa giác lồi có 10 cạnh  Đa giác có 10 góc
 Tổng các góc là 10 2.180o 1440o     o d 4o d  4  u  126o Theo bài ra, ta có    u  d   Chọn A. o   1 . 10. 2 9 1 S  1440    1440o d   4o 10  2 C   2A
Câu 92: Ba góc A,B,C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  . C   A  2B A  B  C  180O 3  B 180O B  60O A  40O     Ta có A  C  2B
 A  C  2B  A  C 120O  B  60O  C  A  40O C  2A C  2A C  2A     C  80O     Chọn A. d  3
d  3;u  n 1 .d  44 1    
Câu 93: Theo bài ra, ta có u   44  n n 2u  n 1 d   1       158 S  158  n  2 d  3;u  47  3n 1   n 2.
 47  3n  3.n   1   .
n 91 3n  316  n  4.  Chọn D.  158  2 Trang 30
Câu 94: Ba cạnh a,b,c a  b  c của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa yêu 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a  b  c a  b  c a  b  c   
cầu thì a  b  c  3  3b  3  b   1 a c 2b a c 2b      a  2b  c  2  c     3 a   4  b a c 5 Ta có 2 2 2
a  b  c 2  c2 1, 2 2
1  c  4c  5  0  c   b 1 . Chọn C. 4  5 c   4 Câu 95: Ta có 2sin .
x cos x  4sin x  2 cos x  4  0  2cos . x sin x   1  4sin x   1  0   
2sin x  4.sin x  
1  0  sin x  1  x   k2 k  Z  2  1 199 Mà 0 x 100 0 k2 100          k   ; nên k  0;1;2;...;4  9 2  4 4    100 49     100.101 Vậy  x  
 k2  .50  2  4 ... 98   2475.   Chọn C. k 0 k 0  2  2 2 Câu 96: Ta có 2 2 3 sin x  2sin .
x cos x  4cos x  8  4 3 sin x  4sin x  2 3 sin . x sin x  2  2cos .
x sin x  2  4sin x  8  3 sin x  cos x  2 3 1       
sin x  cos x  1  sin x 
 1  x    k2  x   k2   2 2  6  6 2 3  1
Mà 0  x  2018 nên 0 
 k2  2018    k  321,01 k  0;1;2;...;32  1 3 6 321     310408
Vậy tổng các nghiệm cần tính là 
 k2  .322  2  4 ... 642  .   k 0  3  3 3 Chọn A.
Câu 97: Phương trình trở thành: 1 sin x  3 cos x  3  sin x  3 cos x  2 1 3        .sin x  cos x  1  sin x 
 1  x    k2  x   k2   2 2  3  3 2 6  1 599 Ta có 0 100 0 2 100 k Z x k  k              k  0;1;2;3;...;4  9 6 12 12 49     7375 Do đó  x  
 k2  .50  2  4 ... 98  .   Chọn C. k 0  6  6 3 cos x  0 Câu 98: Ta có 2 2 2 sin x sin 3x 2 cos x 4sin . x cos x 2cos x       1 sin x   2 Trang 31  
 TH1. Với cos x  0  x   k mà x   1 0;100  0 
 k  100    k  31,33 2 2 2
Kết hợp k  Z  k  0;1;2;...;3  1 31 31       x  
 k  .32    2  ... 31  512   k 0 k 0  2  2  
 TH2. Với x   k2 mà x   1 0;100  0   k2 100    k  15,83 6 6 12
Kết hợp k  Z  k  0;1;2;...;1  5 15 15     728   x  
 k2  .16  2  4 ... 30    k 0 k 0  6  6 3    5 TH3. Với x   k2 mà x   5 5 0;100  0   k  100    k 15, 49 6 6 12
Kết hợp k  Z  k  0;1;2;...;1  5 15 15  5  5 760   x    k2 
.16  2  4  ... 30    k 0 k 0  6  6 3
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1008 . Chọn A.
Câu 99: Gọi a (nghìn đồng) là số tiền đứa con bé nhất được nhận
Suy ra số tiền của ba người con còn lại là a 100; a  200; a  300
Vì tổng số tiền là 1.000.000 đồng nên a  a 100  a  200  a  300  1000  a  100
Vậy số tiền mà người con lớn nhất nhận được là 400.000 đồng. Chọn C.
Câu 100: Theo bài ra, ta có u  100; d  100 và n  120 1 120 2.100   120   1 .100 S     726000 đồng. Chọn B. 120 2
Câu 101: Theo giả thiết, An bỏ ống tiết kiệm từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 30 tháng 4 nên tổng số ngày tiết
kiệm là 120 ngày. Ngày thứ nhất An bỏ ống: 10 000 đồng
Và 119 ngày sau bỏ ống số tiền là 119 5000  600000  5000 đồng
Vậy tổng số tiền tiết kiệm là a  600000  5000 10000  605000 đồng. Chọn B. 6.2u  5d 9. 2u  8d 1   1 
Câu 102: Theo bài ra, ta có S  S  
 12u  30d  18u  72d 6 9 1 1 2 2 u u  2d 7d  2d 5 3 1
 6u  42d  0  u  7d     . Chọn C. 1 1 u u  4d 7d  4d 3 5 1 4n 2u  n 1 d  2n 2u  2n 1 d   1     1   Câu 103: Ta có 4S S     n 2n 2 2 u   2
 4u  2n  2 d  2u  2n 1 d  2u  d mà 1 u  u  4d  18   . Chọn D. 1   1   1 5 1 d  4 Trang 32 p 2u  p 1 d   1    2 2 S p p u  p  d p 2 1 2 1   p Câu 104: Ta có      2 S q . q 2u  q 1 d  q 2u  q 1 d q q  1   2  1   2  2 . q u  pq  q d  2 .
p u  pq  p d  2u . q  p  q  p .d  d  2u 1   1   1     1 u u  2017d u  2017.2u 1 2017.2 1 2017.2 4035 Do đó 2018 1 1 1      . Chọn C. u u  2018d u  2018.2u 1 2018.2 1 2018.2 4037 2019 1 1 1 u  1 1  3 u  u 1  2 1  Câu 105: Ta có 3 u   u  2
, cộng vế theo vế ta được u       n  n  3 3 3 3 1 1 2 3 ... 1 3 2 .  ....................  u   u  n    3 1 n n 1
Mặt khác ta chứng minh được  
   n  3        n  2 3 3 3 1 1 2 3 ... 1 1 1 2 3 ... 1  nn   2 1   1    2   n n   1 Do đó 2 u 1  2039190 
 2039190  n  n  4078380  n  2020 n 2 Vậy n  2020. Chọn B. min u  u Câu 106: Ta có: 1 100 S 
.100  14950  50 2u  99d 14950  d  3 100  1  2 1 1 u  u Ta có:    u u  u u   u u u  u u u u  u n n  n n  n n n n n n 3 n n  1 1 1 1 1 1 n 1  n  1  u  u    n 1  n 1 1 1        3  u u  3  u u   n n 1    n n 1   1 1 1 Khi đó S   ... u u  u u u u  u u u u  u u 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1  1 1 1 1 1 1       ...   3  u u u u u u   1 2 2 3 2017 2018  1  1  1  1  1  1   1   1   1 . Chọn D. 3    u  3 u  2017d  3      6052  2018 1
Câu 107: Số cách các xếp học sinh vào ghế là 2n  3!
Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a,b,c lập thành một cấp số cộng thì a  c  2b nên a  c là số chẵn. Như
vậy a, c phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Trang 33
Từ 1 đến 2n  3 có n 1 số chẵn và n  2 số lẻ.
Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau:
 Bước 1: Chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình
vào ghế chính giữa. Bước này có 2 2 A  A cách. n 1  n2
 Bước 2: Xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại. Bước này có 2n!
Như vậy số cách xếp thỏa theo yêu cầu này là  2 2 A  A . 2n ! n 1  n2     2 2 A  A . 2n !     n 1  n2    17 nn  1 n 1n 2 17 Ta có phương trình     2n  3! 1155
2n  12n  22n 3 1155 n 16 2 68n 1019n 1104 0       69 n    68
Vậy số học sinh của lớp là 35. Chọn D. Trang 34