Tài liệu chủ đề dãy số
Tài liệu gồm 31 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHỦ ĐỀ DÃY SỐ I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : n u n
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u ,u ,u ,...,u ,..., , trong đó u u n hoặc viết tắt là n 1 2 3 n
u , và gọi u là số hạng đầu, u là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. n 1 n
2) Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1 { ,2,3,..., }
m với m * được gọi là một dãy số hữu hạn.
3) Dãy số tăng và dãy số giảm
+) Dãy số u được gọi là tăng nếu u u , n *. n n 1 n
+) Dãy số u được gọi là giảm nếu u u , n * n n 1 n 4) Dãy số bị chặn
+) Dãy số u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u M , n *. n n
+) Dãy số u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u , m n * n n
+) Dãy số u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số M, m n sao cho m u M , n *. n
Các dấu " =" nêu trên không nhất thiết phải xảy ra.
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Xác định dãy số
Ví dụ 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức u và chứng minh công thức đó bằng n phương pháp quy nạp? u 1 u 1 a) 1 b) 1 u u 2n 1;n 1 u u 3;n 1 n 1 n n 1 n Lời giải: u 1 a) 1
u 1;u u 3 4;u u 5 9;u u 7 16;u u 9 25 1 2 1 3 2 4 3 5 4 u u 2n 1 n 1 n
Từ đó ta có thể nhận thấy 2 u n ;n 1, n Trang 1
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u 1, vậy * đúng. 1
+) Giả sử * với n k , tức là 2 u k , k 1. k
+) Ta cần chứng minh * với n k 1, tức là u k 2 1 ;k 0 k 1 Thật vậy 2 2 u
u 2k 1 k 2k 1 (k 1) * đúng. k 1 k Vậy 2 u n ;n 1. n u 1 b) 1 u 1
;u u 3 2;u u 3 5;u u 3 8;u u 3 11 1 2 1 3 2 4 3 5 4 u u 3 n 1 n
Từ đó ta có thể nhận thấy u 3n 4, * n
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u 1, vậy * đúng với n 1. 1 +) Giả sử
* với n k , tức là u 3k 4 . k
+) Ta cần chứng minh * đúng với n k 1, tức là u 3 k 1 4 k 1 Thật vậy u
u 3 3k 4 3 3k 1 3(k 1) 4 * đúng. k 1 k Vậy u 3n 4 . n u 3 1 Ví dụ 2. Cho dãy số
. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. 2 u 1 u ;n 1 n 1 n
Dự đoán công thức u và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp? n Lời giải: u 3 1 Từ giả thiết ta có: 2 2 2 u
1 u u 3 9;u 1 u 10;u 1 u 11 n 1 n 1 2 1 3 2 2 2
u 1 u 12;u 1 u 13 . Ta nhận thấyu n 8 , * 4 3 5 4 n
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u 3 , vậy * đúng với n 1. 1
+) Giả sử * đúng với n k , tức là u k 8 . k
+) Ta cần chứng minh * đúng với n k 1, tức là u k 1 8 k 9 k 1 Thật vậy 2 u
1 u 1 k 8 k 9 * đúng. k 1 k Vậy u n 8 . n Trang 2 u 1 1
Ví dụ 3. Cho dãy số u xác định bởi công thức n 3 2 5 u u u 1;n 1 n 1 2 n 2 n a) Tính u ;u ;u . 2 3 4 b) Chứng minh rằng u u , n *. n3 n Lời giải: a) Ta có: u 1 1 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 5
u u u 1 2;u u u 1 0;u u u 1 1 2 2 1 1 3 2 2 4 3 3 u u u 1 2 2 2 2 2 2 1 n 2 n 2 n b) Ta chứng minh u
u , * n * bằng quy nạp. n3 n
+) Với n 1 ta có u u , đúng theo phần a. 4 1
+) Giả sử * với n k , tức là u u . k 3 k
+) Ta cần chứng minh
* với n k 1, tức cần chứng minh u u k 4 k 1 3 5 3 5
Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có 2 2 u u u
1 u u 1 u * đúng. k 4 k 3 k 3 k k k 1 2 2 2 2 Vậy u u , n *. n3 n
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của dãy số. Phương pháp giải:
• Dãy số (un) được gọi là tăng nếu u u ; n N *. n nl
• Dãy số (un) được gọi là giảm nếu u u ; n
N *. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một n nl dãy số
■ Phương pháp 1: Xét hiệu H u u n 1 n
+) Nếu H > 0 thì dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu H < 0 thì dãy số đã cho là dãy giảm. u
■ Phương pháp 2: Nếu u 0 thì ta lập tỉ số n 1 T n un +) Nếu T 1 u
u dãy số đã cho là dãy tăng. n 1 n +) Nếu T 1 u
u dãy số đã cho là dãy giảm. n 1 n Trang 3
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: n a) u 2n 3 b) u n n 2n Lời giải: a) Ta có: u 2n 3;u
2(n 1) 3 2n 5 u u (2n 5) (2n 3) 0 n n 1 n 1 n Suy ra u
u dãy số đã cho là dãy tăng. n 1 n n n 1 u n 1 2n 1 n 1 1 n 1 b) Ta có: n 1 u ;u n n n 1 n 1 n 1 2 2 u 2 n 2 n 2 n n u 1 n 1 1 n 1 Giả sử: n 1 1
1 n 1 4n 3n 1 vô lý. u 2 n 4 n n u Vậy n 1 1 u
u dãy số đã cho là dãy số giảm. n 1 n un
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: n n 1 n a) u b) u n 2 n 1 n n Lời giải: n n 1 n 1 a) Ta có: u ;u n 2 n 1 2 2 n 1 (n 1) 1 n 2n 2 n 1 n (n 1) 2 n 1 n 2 n 2n 2 u u n 1 n 2 2 n 2n 2 n 1
2n 1 2n 2n 2 3 2 3 2 2
n n n 1 n 2n 2n n n 1 0 n
1 u là dãy số giảm. 2 n 1 2 n 2n 2
2n 1 2n 2n 2 n n 1 n n 1 n 2 b) u 1 u 1 n n 1 n n n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n n 2 (n 1) n 1 Khi đó ta có: u u 1 1 n 1 n n 1 n n 1 n n(n 1) Giả sử: u
u 0 n n 2 (n 1) n 1 0 n n 2 (n 1) n 1 n 1 n 2 3 3 2 3 2 2
n (n 2) (n 1) n 2n n 3n 3n 1 n 3n 1 0 vô lý. Vậy u
u 0 u là dãy số giảm. n 1 n n
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: 1 n 1 a) u 2 b) u n n n n 1 Lời giải: Trang 4 1 1 1 1 1 a) u 2 u 2 u u 2 2 0 u u n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n nn n 1 1 n
Vậy dãy số u là dãy số giảm. n n 1 2 b) u 1 n n 1 n 1 2 2 2 2 Khi đó: u 1 u u 1 1 0 u u n 1 n 1 n 2 n n 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n
Vậy dãy số u là dãy số tăng. n
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: 2n 1 a) u b) 2 u 2n 5 n 5n 2 n Lời giải: 2n 1 2 1 2 1 a) u u n 5n 2 3 55n 2 n 1 5 55n 7 2 1 2 1 1 Khi đó: u u 0 u u . n 1 n 5 5 5n 7 5 5 5n 2 5n 25n 7 n 1 n
Vậy u là dãy số giảm. n b) u 2n 5 u 2n 2 2 1 5 n n 1 Khi đó u u 2 n n
n u u u là dãy số tăng n 2 1 5 2 2 5 4 2 0 n 1 n 1 n n
Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: 2 2n 1 a) u b) u n 1 n n 2 n 1 n Lời giải: 2 2n 1 3 3 a) u 2 u 2 n 2 2 n 1 n 1 n 1 n 2 1 1 1 1 3 3
Với n N n 2 * 2 1 n 2 2 u u n 2 2 1 1 n 1 n 2 2 n 1 1 1 n 1 n u là dãy số tăng. n 1 1 b) u n 1 n u n n 1 n n 1 n 1 n 2 1 1
Do n * nên n 2 n 1 n 1 n u u n 1 n 2 n 1 n n 1 n Trang 5
u u u là dãy số giảm. n 1 n n
Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: 2 3n 2n 1 n 1 1 a) u b) u n n 1 n n Lời giải: 2 3n 2n 1 6 6 a) u 3n 5 u 3n 2 n n 1 n 1 n 1 n 1 6 6 6 Khi đó: u u 3n 2 3n 5 3 n 1 n n 2 n 1 (n 1)(n 2) n 1 6 6 Với
(n 1)(n 2) 6 1 3 2 u u 1 n N (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) n n
u là dãy số tăng. n n 1 1 n 1 b) Ta có: u n n n n 1 1 n 1 1
Khi n tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm. 3n
Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n n 1 2 Lời giải: n 1 n 1 n 1 3 u 3 2 3 Ta có: n 1 u 1 n 1 n2 n2 2 u 2 3n 2 n Do * * u 0, n u u , n u tăng. n n 1 n n n
Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n 2n Lời giải: n 1 u n 1 2n 1 n 1 1 1 Ta có: n 1 u 1 n 1 n 1 n 1 2 u 2 n 2 n 2 n n 1 u 1 Với * n 1 n n 1 1 2 1 n u 2 n Mà * * u 0, n u u , n u giảm. n n 1 n n 3n
Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u . n n 2 n Lời giải: Trang 6 2 2 n 1 n 1 2 3 u 3 n n u 1 1 Ta có: n 1 u 3 n 1 n 1 2 2 (n 1) u (n 1) 3n n 1 u 3 n n n 1 u 1 1 1 Khi đó: n 1 1 3 3 1 n mà * n n 1. u n n n 3 1 1 u 1 1 1 n
1 1 3 3 1 n mà * n n 2 . u n n n 3 1 1 u u n 1 Hơn nữa * u 0, n nên n 1 n n u u n 2 n 1 n
Do đó u u và u u u u
u không tăng và cũng không giảm. 2 3 n n 1 n 1 2
Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số u với u n n 1 . n n Lời giải: Ta có: u
n 1 n u u n 1 2 n n 1 . n 1 n 1 n 2 2
Lại có: n n n 2 n n n 2 n n * 1 1 2 2 2 1 4 2 1 0, n * *
n 1 n 1 2 n,n u u 0,n u giảm. n 1 n n na 2
Ví dụ 11. Với giá trị nào của a thì dãy số u , với u n n n 1 a) là dãy số tăng. b) là dãy số giảm. Lời giải: na 2 2 a 2 a a 2 Ta có: u a u 2 u u . n n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n n 1n 2 a 2
a) Để u là dãy số tăng thì u u 0 a 2 . n n 1 n n 1n 2 a 2
b) Để u là dãy số giảm thì u u 0 a 2 n n 1 n n 1n 2 2 n a
Ví dụ 12. Cho dãy số ( u ) với u
( a là tham số thực). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của a n n n 1 để dãy số u tăng. n A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Lời giải: 2 2 a 1 a 1 Ta có u 1 u 1 n n1 n 1 n 2 Trang 7 u u a a n n 2 1 1 2 1 1 1 1 n 2 n 1 (n 1)(n 2) 1
Mà u tăng nên u u 0 a 1 0 a 1 0 1 a 1. n1 n 2 2 n (n 1)(n 2)
Hơn nữa a a 0. Chọn B.
Ví dụ 13. Cho các dãy số u ,v , w Với 2 1 u n ,v , w 3n .
n Hỏi có bao nhiêu dãy số là n n n n n n 1 n dãy số tăng ? A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Lời giải: Ta có 2 * u
(n 1) u u 2n 1 0, n u tăng. n1 n 1 n n 1 1 1 1 * v v v 0, n v giảm. n 1 n1 n n n 2 n 1 n n(n 1) n 1 w
3 (n 1) 3.3n n 1 w w 2.3n 1 n 1 n 1 n Với * * n
n 1 w w 0, n
w tăng. Chọn A. n 1 n n
Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp giải:
• Dãy số (un) được gọi bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u M ;n N *. n
• Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u ; m n N *. n
• Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu tồn tại một số M và m sao cho m u M ; n N *. n Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘ ’
+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u . 1 1
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 n 1 7n 5 a) u b) u n 2 2n 3 n 5n 7 Lời giải: 2 3 n 5 1 5
a) Viết lại u dưới dạng: 2 u n n 2 2n 3 2 2 2n 3 2 2 2 2n 3 Trang 8 1 n 0 u 0 3
Với n 1 u 2 u 2 1 n 2 1 n
2 2n 3 0 u n 2 2 2 u (n 1) 1 2n 3 Xét: n 1 2 2 u 2(n 1) 3 n 1 n u Nhận thấy u
0 thì n 1 1 2 n 2n 2 2 2n 3 2 n 1 2 2n 4n 1 n un 4 2 3 2 4 3 2 2 2 2
4n 3n 4n 6n 4n 6 4n 4n n 2n 4n 1 n 6n 6 n 4n 1 0 10n 5 * n Do đó: u u u 1 n 1 n 2
Vậy 2 u 1 u bị chặn. n n 7 24 (5n 7) 7n 5 7 24 7 5
b) Viết lại u dưới dạng 5 5 u n u n n 5n 7 5n 7 5 5(5n 7) 5 n 7 5 7 Do đó, u u bị chặn n n 7 5
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 1 a) u b) u n 2 2n 3 n nn 1 Lời giải: 1 n 0 u 0 3 a) Với n 1 u 1 u 1 1 n 2 n
2 2n 3 0, u 0 n 2 u 2n 3 Xét n 1 1 n n 1 2 u 2(n 1) 3 n 1 1 Do đó, suy ra: u u
u . Vậy 1 u u bị chặn. n n n n 1 2 5 5 b) Ta dễ dàng thấy:
u 0 do đó nó bị chặn dưới. n 1
Vì n(n 1) 2 u
do đó nó bị chặn trên. n 2 1
Vậy ta được 0 u , do đó nó bị chặn. n 2 Trang 9
Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 n 1 a) u b) u n 2 2n 1 n 2 n 1 Lời giải: a) Với * 2 n 0 u 1 n
N : 2n 1 0 nên u 0 0 n do đó: u 1 n n 2 u 2n 1 Xét n 1 1 n n 1 2 u 2(n 1) 1 n Do đó, suy ra u u u u 1 n n 1 2 1
Vậy 1 u 1 u bị chặn. n n b) Với * n 0 u 1 n N : n 1 0 và 2 n 1 0 nên u 0 0 n do đó u 1 n n n 1 Và n , 1
, vậy 1 u 1 u bị chặn. n n 2 n 1
Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 2n 2 2n 2n 1 a) u . b) u . n 2 n 1 n 2 n n 4 Lời giải: 2 2n 0 a) Vì n N u 0 2 n 1 0 n 2 2 n 1 2 2 Mặt khác, u 2
2. Vậy 0 u 2 u bị chặn. n n n 2 2 n 1 n 1 2 2n 2n 1 2 2 n 1 1 0 b) Vì n N u 0 2 n n
n 4 n(n 1) 4 0 2 n n 2 2 n n 4 7 2 2 1 7 Mặt khác, u 2 2 n 2 2 2 n n 4 n n 4 n n 4
Vậy 0 u 2 u bị chặn. n n 3n ( 1 )n
Ví dụ 5. Cho dãy số u , với u n n n1 4n ( 1 )
a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số. 3n 4 b) Tính u và u
. Chứng minh rằng 0 u . 2n 2n1 n 4n 1 Trang 10 Lời giải: 2 8 13 16 19
a) Ta có: u ;u 1;u ;u ;u ;u
, nhận xét thấy dãy số không tăng cũng không 1 2 3 4 5 6 5 13 15 21 23 giảm. 6n 1 u 2n b) Ta có 8n 1 6n 2 u 2n 1 8n 5 3n 1 3n 1
Tổng quát, với n 2k(k 1,k Z ) u 0 u n 4n 1 n 4n 1 u 0 3n 1 n 3n 4
Vói n 2k 1(k 0, k Z ) u n n n u n 3 1 3 4 3 4 0 4n 1 n u 4n 1 n 4n 1 4n 1 4n 1 3n 4
Vậy với mọi n thì 0 u n 4n 1
Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( u ) cho bởi: n 2n 3 1 a) u b) u n n 2 n n(n 1) Lời giải: 2n 5 2n 3 1 a) u u
0 nên dãy là dãy tăng. n1 n n 3 n 2 (n 3)(n 2) 2n 3 2(n 2) 1 1 5 Hơn nữa u 2
1 u bị chặn trên bởi 2, chặn dưới bởi u . n n 2 n 2 n 2 n 1 3
Vậy dãy đã cho bị chặn. u n(n 1) n 1 b) n 1
1 dãy là dãy giảm và bị chặn trên bởi u . u (n 1)(n 2) n 2 1 2 n
Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số u cho bởi: n 2 n 2n n a) u b) u n 2 n n 1 n 2 n 2n n Lời giải: 2 2 2 2 n 2n 1 2n 2 n 2n n 4n 3 n 2n a) u u 0 và n1 n 2 2 2 2
n 2n 1 n 1 1 n n 1 n 3n 3 n n 1 2 2 n 2n n n 1 n n u 1 1 n 2 2 2 n n 1 n n 1 n n 1
Nên dãy đã cho là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1. 2 2 n n( n 2n n) n 2n n b) Ta có u 0 . Lại có n 2 n 2n n 2n 2 Trang 11 2 u n 4n 3 n 1 n 1 2 2
1 n 4n 3 n 2n 1 2 un n 2n n 2 2 2 2 2 2
n 4n 3 n 2n 1 2 n 2n n 1 n 2n n 2n 1 n 2n (*) 1
Do (*) hiển nhiên đúng nên ta có dãy đã cho là dãy tăng, và bị chặn dưới bởi u . 1 3 1 n n Hơn nữa u
1 u bị chặn trên bởi 1. Vậy dãy đã cho bị chặn. n 2 n n 2n n n n 3
Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số u giảm và bị chặn. n n 1 Lời giải: n 4 n 3 n 4n
1 n 2n 3 Xét: u u n 1 n n 2 n 1 n 2n 1 2 2
n 5n 4 n 5n 6 2 = n 2n 1 n 2n 1 Nhận thấy u u 0 u
u , do đó, dãy số u giảm n1 n n 1 n n 2
Viết lại u dưới dạng u 1
1 u bị chặn dưới n n n n 1 1 1 1 1
Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số u tăng và bị chặn trên. n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Lời giải: Viết lại u dưới dạng n 2 1 3 2 4 3 (n 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 u
1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 1 1 1 Xét hiệu: u u 1 1 0 u tăng n1 n n n 2 n 1 n 1 n 2 1 Nhận thấy u 1
1 u bị chặn trên. n n n 1 2 n 1
Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số u
là một dãy số bị chặn. n 2 2n 3 Lời giải: 2 3 n 5 1 5 Viết lại u dưới dạng 2 u n n 2 2n 3 2 2 2n 3 2 2 2 2n 3 Trang 12 1 n 0 u 0 3 Với n 1 u 2 u 2 1 n 2 1
n 2 2n 3 0 u n 2 2 2 u (n 1) 1 2n 3 Xét n1 2 2 u 2(n 1) 3 n 1 n u Nhận thấy: với u
0 thì n1 1 2 n 2n 2 2 2n 3 2 n 1 2 2n 4n 1 n un 4 2 3 2 4 3 2 2 2 2
4n 3n 4n 6n 4n 6 4n 4n n 2n 4n 1 n 6n 6 n 4n 1 0 10n 5 n N Do đó, u
u u 1. Vậy 2 u 1 u bị chặn n n n1 n 2 u 0 1
Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số 1 u u 4 n 1 2 n
a) Chúng minh rằng u 8 .
b) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn. n Lời giải:
a) Giả sử tồn tại u 8 u 2 u 4 8 n n 1 n
Như vậy nếu tồn tại u 8 thì u
8, cũng suy ra u ,u u ,u 8 Vô lí do u 0 8. Nên điều n n 1 n2 n3 2 1 1
giả sử là sai. Suy ra u 8 n 1 u 8 u b) Xét u u u 4 u 4 n n 0 u u n1 n n n n 1 2 2 2 n
Suy ra dãy tăng. Mà u 8 và u 0 u 0. Suy ra dãy bị chặn dưới. n 1 n
Vậy dãy tăng và bị chặn. u 1 1
Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số u 2 n u n1 u 1 n
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số 3
b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 2 Lời giải: 3 7 17 2 2 2 1 2 3 7 17 41 a) 2 5 12 u 1;u ;u ;u ;u 1 2 3 4 5 1 1 2 3 5 7 12 17 29 1 1 1 2 5 12 Trang 13 1
b) u 1 0 u 0 suy ra u 1 1 1 n n1 u 1 n v 1 2 1 Đặt u v 2 , ta có n n v 2 2 v (1 2) 1 1 1 2 v 2 n n v n 1 n1 v 2 1 v 1 2 v v n n n 1 2 1 n 1 x 1 2 Đặt 1 x n vn x 1 2 (1 2)x n 1 n 2 (1 2) 1 2 y Đặt 1 y x n n 2 2 y (1 2)y n 1 n 2 n1 (1 2) n (1 2)
Do y là cấp số nhân công bội 1 1 2 y (1 2) n n 2 2 n 1 1 2 (1 2) 2 2 Suy ra x v u 2 n n n 1 n n1 2 2 1 2 (1 2) 1 2 (1 2) Vậy ta có đpcm. u 2
Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số 1
tăng và bị chăn trên bởi 2. u u 2 n1 n Lời giải: Ta có u 1 n
Giả sử tồn tại u 2 u 2 2 u 2 n n 1 n 1
Như vậy, nếu tồn tại u 2 thì suy ra u
2 , từ đó cũng suy ra được u ,u u ,u 2 vô lý n n 1 n2 n3 2 1
Do u 2 2. Nên điều giả sử là sai. 1 Suy ra u 2 n 2 u 2 u u u n n 2 n 1 n Xét u u u 2 u 0 n1 n n n u 2 u u 2 u n n n n Suy ra u
u , nên đây là dãy tăng. n1 n
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.
Ví dụ 14. Cho dãy số u xác đinh bởi u 1 và u u 7;n 1 n 1 n1 n a) Tính u ,u và u 2 4 6
b) Chứng minh rằng: u 7n 6; n 1 n Lời giải:
a) u u 7 8,u u 7 u 7 7 8 14 22,u u 7 u 7 7 22 14 36 2 1 4 3 2 6 5 4 Trang 14
b) Xét mệnh đề u 7n 6 với n 1 n Với n 1,u 1 đúng. 1
Giả sử mệnh đề đúng với n k, tức là u 7k 6, ta chứng minh đúng với n k 1, tức là k u
7(k 1) 6 7k 1 k 1 Thật vậy, u
u 7 7k 6 7 7k 1. (đpcm). k 1 k Vậy u 7n 6 n
Ví dụ 15. Cho dãy số u xác định bởi u 2 và u 5u n 1 n 1 n1 n a) Tính u ,u và u 2 4 6 b) Chứng minh rằng: n 1 u 2.5 ;n 1 n Lời giải:
a) u 5u 10,u 5u 5.5u 25u 2500,u 25u 2500.25 62500 2 1 4 3 2 2 6 4 b) Xét mệnh đề 1 u 2.5n với n 1 n
Với n 1, u 2, mệnh đề đúng. 1
Giả sử mệnh đề đúng với n k, tức là k 1 u 2.5
, ta chứng minh đúng với n k 1, hay là chứng minh k u 2.5k . k 1 Thật vậy, k 1 u
5u 2.5 .5 2.5k k 1 k Vây ta có đpcm. Suy ra 1 u 2.5n . n
Ví dụ 16. Cho dãy số u xác định bởi u 2 và u 3u 2n 1; n 1 n 1 n1 n
Chứng minh rằng: u 3n ; n n 1 n Lời giải:
Xét mệnh đề u 3n n với n 1 n
Với n 1 thì u 2, mệnh đề đúng. 1
Giả sử mệnh đề đúng với n k, tức là u 3k k, ta sẽ chứng minh đúng với n k 1, hay là chứng k minh k 1 u 3 k 1. k 1 Thật vậy u 3u 2k 1 3 k k k k k 3k k 1 2 1 3 ( 1) 1
Vậy ta có đpcm. Suy ra u 3n n . n 2 u 4
Ví dụ 17. Cho dãy số u xác định bởi u 2 và n u , n
1 Chứng minh rằng u là một n n 1 n1 4 dãy không đổi. Lời giải: Trang 15 2 u 4 Ta có n u
,n 1 u 2;u 2 nên bài toán dúng với n 1;2;3 n1 2 3 4 2 u 4 2 u 4 4 4 Dãy không đổi với k n k u
2. Với n k 1 thì k 1 u 2 k 1 4 k 2 4 4
Do đó dãy không đổi với mọi số tự nhiên n. 1 u
Ví dụ 18. Cho dãy số u xác định bởi 1 3 n u 4u 7 n1 n a) Tính u ,u và u 2 3 4 2k 1 2 7 b) Chứng minh rằng u k 3 Lời giải: 1 u 25 121 505 a) Ta có 1 3 u ;u ;u . 2 3 4 3 3 3 u 4u 7 n1 n 2n 1 2 7 b) Ta có u đúng với n 1;2;3;4 . n 3 2k 1 2 7
Giả sử công thức đúng với n k, suy ra u k 3
Ta chứng minh đúng với n k 1. 2k 1 2 2k 1 2(k 1) 1 2 7 2 2 28 21 2 7 Thật vậy u 4u 7 4 7 k 1 k 3 3 3
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm. u 6
Ví dụ 19. Cho dãy số u xác định bởi công thức 1 n u u 6 n 1 n Chứng minh rằng u 3, n . n Lời giải:
Ta có u 6 3;u 6 6 6 9 3 1 2
Giả sử bài toán đúng với n k u 3. Ta chứng minh đúng với n k 1. Thật vậy n u u 6 3 6 3 n1 n
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm. n ( 1 )n
Ví dụ 20. Cho dãy số ( u ) xác định bởi u . n n 2n 1
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Trang 16
b) Chứng minh rằng ( u ) bị chặn. n Lời giải: n ( 1 )n 3 2 5 4 a) Ta có u
u 0;u ;u ;u ;u . n 1 2 3 4 5 2n 1 5 7 9 11 b) Ta có ( 1
)n {1;1} n (1)n 0 u 0 nên dãy bị chặn dưới bởi 0. n
Quan sát thấy dãy không tăng không giảm. n ( 1 )n 2n 1 n ( 1 )n 1 n 1 ( 1 )n Hơn nữa u 1 . n 2n 1 2n 1 2n 1 n 1 ( 1 )n n 1 1 1 Xét hai trường hợp n 2n 1 2n 1 1 ( 1 ) {0;2} n 1 ( 1 )n n 2 1 1 1 2n 1 2n 1
Do đó dãy bị chặn trên bởi 1. Kết luận dãy số ban đầu bị chặn. BÀI TẬP TỰ LUYỆN n
Câu 1. Cho dãy số u , biết u
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là số nào dưới n n n 1 đây? 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6
A. ; ; ; ; B. ; ; ; ; C. ; ; ; ; D. ; ; ; ; 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 n
Câu 2. Cho dãy số u , biết u
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào n n 3n 1 dưới đây? 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 A. ; ; B. ; ; C. ; ; D. ; ; 2 4 8 2 4 26 2 4 16 2 3 4 u 1
Câu 3. Cho dãy số u , biết n
với n 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là n u u 3 n 1 n
những số nào dưới đây? A. 1; 2;5 B.1;4;7 C. 4;7;10 D. 1;3;7 2 2n 1
Câu 4. Cho dãy số u , biết u . Tìm số hạng u . n n 2 n 3 5 1 17 7 71 A. u B. u C. u D. u 5 4 5 12 5 4 5 39
Câu 5. Cho dãy số u , biết u ( 1
)n.2n . Mệnh đề nào sau đây sai? n n A. u 2 B. u 4. C. u 6. D. u 8 1 2 3 4 Trang 17 n n 2
Câu 6. Cho dãy số u , biết u ( 1 ) .. Tìm số hạng u . n n n 3 8 8 A. u B. u 2 C. u 2 D. u 3 3 3 3 3 3 u 2 1
Câu 7. Cho dãy số u , biết . Tìm số hạng u . n 1 u (u 1) 4 n 1 3 n 5 2 14 A. u B. u 1 C. u D. u 4 9 4 4 3 4 27 u 3 1
Câu 8. Cho dãy số u , biết
. Mệnh đề nào sau đây là sai. n un u 2 n 1 2 5 15 31 63 A. u B. u C. u D. u 2 2 3 4 4 8 5 16 n 1 8
Câu 9. Cho dãy số u , biết u . Số
là số hạng thứ mấy của dãy số? n n 2n 1 15 A. 8 B. 6 C. 5 D. 7
Câu 10. Cho dãy số u , biết u 2n . Tìm số hạng u . n n n 1 A. u 2 .n2 B. u 2n 1 C. u 2 n 1 D. u 2n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
Câu 11. Cho dãy số u , biết u 3n . Tìm số hạng u . n n 2n 1 A. 2 u 3 .3n 1 B. n n 1 u 3 .3 C. 2 u 3 n 1 D. 2 1 u 3 n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
Câu 12. Cho dãy số u , biết 1 u 5n . Tìm số hạng u . n n n 1 A. 1 u 5n B. u 5n C. 1 u 5.5n D. 1 u 5.5n n 1 n 1 n 1 n 1 2n3 n 1
Câu 13. Cho dãy số u , biết u . Tìm số hạng u . n n n 1 n 1 2n 1 3 n 1 2n 1 3 n 1 2n3 n 2n5 n A. u B. u C. u D. u n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 1 2 3 4
Câu 14. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? 2 3 4 5 n 1 n n 1 2 n n A. u B. u C. u D. u n n n n 1 n n n n 1
Câu 15. Dãy số có các số hạng đầu là: 1;1;1;1;1... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. u 1 B. u 1 C. u D. u . n 1 1 n n 1 n n n
Câu 16. Dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2; 4;6;...Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? Trang 18 A. u 2 n B. u n 2 C. u 2 (n 1) D. u 2n 4 n n n n u 2
Câu 17. Cho dãy số u , biết 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới đây? n u 2u n n 1 n A. n 1 u n B. u 2n C. 1 u 2n D. u 2 n n n n 1 u
Câu 18. Cho dãy số u , biết 1
Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới đây? n 2 n u u 2 n 1 n 1 1 1 1 A. u 2(n 1) B. u 2(n 1) C. u 2n D. u 2n n 2 n 2 n 2 n 2 u 2
Câu 19. Cho dãy số u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng n u u 2n1 n n 1 n nào dưới đây? A. 2 u 2 (n 1) B. 2 u 2 n C. 2 C u 2 (n 1) D. 2 u 2 (n 1) n n n n u 1
Câu 20. Cho dãy số u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n 2 u u n n n 1 n dưới đây? n(n 1)(2n 1) n(n 1)(2n 2) A. u 1 B. u 1 n 6 n 6 n(n 1)(2n 1) n(n 1)(2n 2) C. u 1 D. u 1 n 6 n 6 u 2 1
Câu 21. Cho dãy số u , được xác định
1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng n u 2 n n 1 u n nào dưới đây? n 1 n 1 n 1 n A. u B. u C. u D. u n n n n n n n n 1 u 1
Câu 22. Cho dãy số u , được xác định 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng n 2 u u (1) n n n 1 n nào dưới đây? A. u 1 n B. u 1 n C. 2 C u 1 ( 1 ) n D. u n n n n n
Câu 23. : Cho dãy số u có số hạng tổng quát là u 2.3n với *
n . Công thức truy hồi của dãy số n n đó là u 6 u 6 u 3 u 3 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 u 6u , n 1 u 3u , n 1 u 3u , n 1 u 6u , n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Trang 19 a 3 1
Câu 24. Cho dãy số a , được xác định
. Mệnh đề nào sau đây sai? n 1 a a , n 1 a 1 2 n 93 3
A. a a a a a B. a 1 2 3 4 5 16 10 512 9 3 C. a a D. a n 1 n 2n n 2n
Câu 25. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 1;1;1;1;1;1; B. 1; ; ; ; C. 1;3;5;7;9; D. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 2 4 8 16
Câu 26. Trong các dãy số ( u ) cho bởi số hạng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n n 1 1 n 5 2n 1 A. u B. u C. u D. u n 2n n n n 3n 1 n n 1
Câu 27. Trong các dãy số u cho bởi số hạng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n n 2 3 A. u B. u C. 2n u D. ( 2)n u n 3n n n n n
Câu 28. Trong các dãy số u cho bởi số hạng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n n 1 3n 1 A. u B. u C. 2 u n D. u n 2 n 2n n n 1 n n
Câu 29. Trong các dãy số u cho bởi số hạng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n n 2 n 1 A. u sin x B. u
C. Cu n n 1 D. u (1)n n 2n 1 n n n n
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1
A. Dãy số u 2 là dãy tăng. B. Dãy số u ( 1
)n 2n là dãy giảm. n 1 n n n 1 1 C. Dãy số u là dãy giảm.
D. Dãy số u 2n cos là dãy tăng. n n 1 n n
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 n A. Dãy số u là dãy giảm. B. Dãy số 2
u 2n 5 là dãy tăng. n n n 1 n C. Dãy số u 1 là dãy giảm. D. Dãy số 2
u n sin n là dãy tăng. n n n 3n 1
Câu 32. Cho dãy số u , biết
. Dãy số u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? n n 3n 1 1 1 A. B.1 C. D. 0 3 2
Câu 33. Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào bị chặn trên? n n Trang 20 1 A. 2 u n B. u 2n C. u D. u n 1 n n n n n
Câu 34. Cho dãy số u , biết u cos n sin n . Dãy số u bị chặn trên bởi số nào dưới đây? n n n A. 0 B. 1 C. 2 D. Không bị chặn dưới
Câu 35. Cho dãy số u , biết u sin n cos .
n Dãy số u bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? n n n A. 0 B. 1 C. 2 D. Không bị chặn trên.
Câu 36. Cho dãy số u , biết u 3 cos n sin .
n Dãy số u bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi n n n
các số m và M nào dưới đây? 1 A. m 2 ; M 2 B. m ; M 3 1 2 1 1
C. m 3 1; M 3 1 D. m ; M 2 2
Câu 37. Cho dãy số u , biết n 2n5 u (1) 5
Mệnh đề nào sau đây đúng? n n
A. Dãy số u bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n n
C. Dãy số u bị chặn.
D. Dãy số u không bị chặn. n n 1 1 1
Câu 38. Cho dãy số u , với u , n
1;2;3 Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 1.4 2.5 n(n 3)
A. Dãy số u bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n n
C. Dãy số u bị chặn.
D. Dãy số u không bị chặn. n n 1 1 1
Câu 39. Cho dãy số u , với u , n
2;3;4; Mệnh đề nào sau đây đúng? n n 2 2 2 2 3 n
A. Dãy số u bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n n
C. Dãy số u bị chặn.
D. Dãy số u không bị chặn. n n
Câu 40. Trong các dãy số ( u ) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? n 1 n A. 2 u n 1 B. u n C. u 2n 1 D. u n n n n n n 1
Câu 41. Trong các dãy số ( u ) cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào bị chặn? n n 1 A. u B. u 3n C. u n 1 D. 2 u n n 2n n n n u 6
Câu 42. Cho dãy số ( u ), xác định bởi 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng? n * u 6 u , n n 1 n 5 A. 6 u . B. 6 u 3. C. 6 u 2 . D. 6 u 2 3 . n 2 n n n Trang 21
Câu 43. Cho dãy số u , với u sin
. Khằng định nào sau đây là đúng? n n n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy là u sin
B. Dãy số u là dãy số bị chặn. n n 1 n 1
C. Dãy số u là một dãy số tăng.
D. Dãy số u không tăng không giảm. n n
Câu 44. Cho dãy số u , với u ( 1
)n. Mệnh đề nào sau đây đúng? n n
A. Dãy số u là dãy số tăng.
B. Dãy số u là dãy số giảm. n n
C. Dãy số u là dãy số bị chặn.
D. Dãy số u là dãy số không bị chặn. n n
Câu 45. Cho dãy số ( u ) với u ( 5
)n . Khằng định nào sau đây đúng? n n A. u 625 B. u 125 C. u 1 5625 D. 8 u 5 4 3 6 8 u 1 Câu 46. Cho dãy số 1
(n 1), tính số hạng thứ 33 của dãy. 3 u u n n 1 n A. 278788 B. 278786 C. 278787 D. 278785
Câu 47. Cho dãy số u thỏa mãn u 2 và u 2 u với mọi n 1. Tim u . n 1 n 1 n 2018 A. u 2 cos B. u 2cos C. u 2 cos D. u 2 2018 2017 2 2018 2019 2 2018 2018 2 2018 n
Câu 48. Cho dãy số u có số hạng tổng quát u sin với *
n . Đặt S u u u Tìm n n 2 n 1 2 n
khẳng định đúng trong các khằng định sau. A. S 0 B. S 0 C. S 0 D. S 0 2020 2019 2017 2018 u
Câu 49. Cho dãy số u thỏa mãn u 2018 và n u
với mọi n 1. Giá trị nhỏ nhất của n để n 1 n 1 2 1 un 1 u bằng n 2018 A. 4072326 B. 4072324 C. 4072325 D. 4072327
Câu 50. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm 2n 1 A. 2 u n B. u 2n C. 3 u n 1 D. u n n n n n 1
Câu 51. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn 2n 1 A. u B. u 2n sin n C. 2 u n D. 3 u n 1 n n 1 n n n
Câu 52. Trong các dãy số u sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn. n 1 n A. 2 u n 1 B. u 2n 1 C. u n D. u n n n n n n 1 Trang 22
Câu 53. Trong các số hạng tổng quát sau, đâu là số hạng tổng quát của một dãy số giảm? 2n 1 A. u B. 3 u n 1 C. 2 u n D. u 2n n n n n n
Câu 54. Dãy số nào sau đây giảm? n 5 5 3n A. u , n B. u , n n * n * 4n 1 2n 3 C. 3 u n * 2 3, n D. u n * cos(2 1), n n n n 1 ( 1)
Câu 55. Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
B. Dãy số u bị chặn. n 10 1
C. Dãy số u là một dãy số giảm.
D. Số hạng thứ 10 của dãy số là . n 11
Câu 56. Trong các dãy số ( u ) sau, dãy số nào không phải là dãy đơn điệu? n 1 1 A. 2n 1 u ( 1) 3n B. u C. 2 3 u 3n n D. u n 1 n n n n n 1 n n u 0
Câu 57. Cho dãy số u xác định bởi 1
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để u 1024 n u 2u 2, n 1 n n 1 n A.10 B. 12 C. 11 D. 13
Câu 58. Cho dãy số ( u ) với u 3n . Khi đó, số hạng u bằng n n 2n 1 A. n n 1 3 3 B. 2n 1 3 1 C. 2 3 n 1 D. 2 3 3n 1
Câu 59. Cho dãy số u ( 1
)n . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? n A. Bị chặn. B. Dãy số tăng. C. Dãy số giảm. D. Không bị chặn.
Câu 60. Cho dãy số có công thức tổng quát là u 2n thì số hạng thứ n 3 là n A. 3 u 2 B. u 6n C. u 6.2n D. u 8.2n n3 n3 n3 n3 u 1,u 2
Câu 61. Cho dãy số u thỏa mãn 1 2
. Số hạng tổng quát của n
u 2u u 3(n N,n 2) n 1 n n 1 2 an bn c dãy số có dạng u ( n
,n 3). Khi đó a b c bằng n 2 A. 2 B. 16 C. 4 D. 6
Câu 62. Trong các dãy số ( u ) có số hạng tổng quát u dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn? n n n 2 A. 2 u n 2 B. u C. u 3n 1 D. u n n n 2n 1 n n n n 2
Câu 63. Cho dãy số u với u
, n 1. Tìm khẳng định sai. n n 3n 1 Trang 23 1 8 19 47 A. u B. u C. u D. u 3 10 10 31 21 64 50 150
Câu 64. Cho dãy số u xác định bởi * u 3 ,u u n, n
. Tìm số hạng thứ 2019. n 1 n 1 n A. 2037168 B. 2037171 C. 2037176 D. 2035158
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-A 4-C 5-D 6-C 7-A 8-A 9-D 10-A 11-B 12-B 13-A 14-C 15-C 16-D 17-C 18-B 19-A 20-C 21-C 22-D 23-B 24-B 25-C 26-D 27-C 28-A 29-C 30-D 31-C 32-B 33-C 34-C 35-C 36-A 37-D 38-C 39-C 40-D 41-A 42-D 43-B 44-C 45-A 46-D 47-B 48-A 49-A 50-D 51-A 52-D 53-A 54-B 55-C 56-C 57-C 58-A 59-A 60-D 61-A 62-B 63-D 64-A LỜI GIẢI CHI TIẾT 1 2 2 3 4 5
Câu 1: 5 số hạng đầu tiên của dãy số là u ,u ,u ,u và u 1 2 3 4 2 2 1 3 4 5 5 6 Chọn A. 1 1 2 2 1 3 3
Câu 2: Ba số hạng đầu tiên của dãy là u ,u và u 1 1 2 2 3 1 2 3 1 8 4 3 3 3 1 26 Chọn B.
Câu 3: Ba số hạng đầu tiên của dãy là u 1
,u u 3 2,u u 3 5. Chọn A. 1 2 1 3 2 2 2.5 1 49 7 Câu 4: Ta có u . Chọn C. 5 2 5 3 28 4 Câu 5: Ta có: 1 2 3 u ( 1 ) .2(1) 2,u ( 1
) 2.2 4,u (1) .2.3 6 và 4 u ( 1 ) .2.4 8 1 2 3 4
Mệnh đề sai là D. Chọn D. 2.3 Câu 6: Ta có 3 u ( 1 ) 2. Chọn C. 3 3 1 1 2 1 5 Câu 7: Ta có u u 1 1,u u 1 và u u 1 . Chọn A. 4 3 2 1 3 2 3 3 3 3 9 u 3 7 u 15 u 31 63 Câu 8: Ta có 1 2 4 u 2 2 ,u 2 ,u 2 và u . Chọn A. 2 3 4 2 2 2 2 4 2 8 5 16 n 1 8 Câu 9: Giải u
15n 15 16n 8 n 7. Chọn D. n 2n 1 15 Câu 10: Ta có n 1 u
2 2.2 .n Chọn A. n 1 Câu 11: Ta có 2n 1 n n 1 u 3 3 .3 . Chọn B. 2n 1 Trang 24 Câu 12: Ta có n 1 1 u 5 5 .n Chọn B. n 1 2(n1)3 2n5 n 1 n 1 Câu 13: Ta có u Chọn A. n1 n 1 n 1 11 1 2 1 2 3 1 n 1 Câu 14: Dễ thấy 0 , , . . Do đó u . Chọn C. 1 2 2 3 3 n n Câu 15: Ta có 1 2
u 1 (1) ,u (1) suy ra u ( 1 )n. Chọn C. 1 2 n
Câu 16: Ta có: u 2 2(1 2),u 0 2(2 2),u 2 2(3 2) 1 2 3
Do đó u 2(n 2) 2n 4. Chọn D. n u 2 1
Câu 17: u là cấp số nhân có n n n1 u
u u q 2.2 2 . Chọn C. n n 1 n1 q 2 n 1
Câu 18: u là cấp số cộng với u , công sai d 2 n 1 2 1 5
Do đó u u (n 1)d (n 1) ( 2 ) 2 n Chọn B. n 1 2 2 u 2 1 u u 2.11 2 1 Câu 19: Ta có: u u 2.2 1 3 2 . u u 2(n1)1 n n 1 1 n 1
Cộng vế theo vế ta được u 2 (1 2 3 (n 1)) 2 (n 1) 2 (n 1) 2 n 1 n 2 2 2
n(n 1) 3 n n 2n 3 (n 1) 2. Chọn A. Câu 20: Ta có 2 2 2 2
u 1;u u 1 ;u u 2 ;u u 3 ;u u (n 1) 1 2 1 3 2 4 3 n n 1 n n n
Cộng vế với vế, ta được 2 2 2 2 ( 1) (2 1)
u 1 1 2 3 (n 1) 1 . Chọn C. n 6 1 1 3 2 1 Câu 21: Ta có u 2 2 2 u 2 2 2 1 1 1 4 3 1 Và u 2 2 3 u 3 3 3 2 2 n 1
Công thức tổng quát của dãy số là u . Chọn C. n n
Câu 22: Kiểm tra u 1 ta loại đáp án A, B và C. Chọn D. 1 Câu 23: Ta có n 1 u 2.3 u 2.3 6 n 1 Trang 25 u 2.3n n1 u 2.3n Lại có n
3 u 3u . Chọn B. n 2 n n 1 1 n u u 2 2.3 .3 n n 1 n 1 .3 3 3 u u u u u u 3 Câu 24: Ta có 1 2 1 3 1 1 a 3;a ;a ;a , . u 1 2 3 2 4 3 n n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 Do đó a . Chọn B. 10 10 1 9 2 2 512 Câu 25: Chọn C. 2n 1 3 1 1 Câu 26: Ta có u 2 u u 3 0. Chọn D. n n1 n 1 n 1 n n 1 n 2 Câu 27: Ta có n n 1 u 2 u
u 2 2n 2n 0. Chọn C. n n 1 n Câu 28: 1
Xét đáp án A. Vì 2n là dãy dương và tăng nên
là dãy giảm nên A đúng. 2n u 1 1 3n 1 Xét đáp án B. u u u nên B sai. n 5 1 2 n 1 u 2 3 Xét đáp án C. 2 2 2 u n u
u (n 1) n 2n 1 0 nên C sai. n n 1 n 1
Xét đáp án D. u n 2 u
u n 3 n 2 0 nên D sai. n n 1 n n 3 n 2 Chọn A. Câu 29: 1 1
Xét đáp án A. u sin n u u 2cos n
sin có thể dương hoặc âm phụ thuộc n n n1 n 2 2 nên đáp án A sai. 2 2 n 1 1 1 1 n n 1 Xét đáp án B. u n u u 1
0 nên dãy đã cho tăng n n 1 n n n n 1 n n(n 1) nên B sai. 1
Xét đáp án C. u n n 1
, dãy n n 1 0 là dãy tăng nên suy ra u n n n 1 n giảm nên C đúng.
Xét đáp án D. u (1)n 2n là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Chọn C. n 1 Câu 30: 1 1 1
Xét đáp án A: u 2 u u 0 loại A n n 1 n n n 1 n Trang 26
Xét đáp án B: u (1)n 2n là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B. n 1 n 1 2 1 1 Xét đáp án C: u 1 u u 2 0 loại C. n n1 n 1 n 1 n n 1 n 2 1 1 1
Xét đáp án D: u 2n cos u u 2 cos cos 0 nên Chọn D. n n1 n n n 1 n 2 Câu 31: 1 n 1 1 1 Xét đáp án A: u n u u
n n 1 0 nên dãy u là dãy n n n 1 n n n n 1 n giảm Xét đáp án B: 2 u 2n 5 u
u 2(2n 1) 0 nên u là dãy tăng. n n n 1 n n n n 1 n 1 u n 2 n 2 Xét đáp án C: n 1 u 1 0
1 nên u là dãy tăng n n n n u n 1 n n Xét đáp án D: 2 2 2 u n sin n u u 1
sin (n 1) sin n 0 u là dãy tăng n n1 n nên n Chọn C. 3n 1 2 5 1 1 Câu 32: Ta có u 1
1. Mặt khác u 0 nên suy ra dãy u bị n n 3n 1 3n 1 2 7 2 2
chặn trên bởi số 1. Chọn B. 1 Câu 33: Ta có u 1 với mọi n
nên bị chặn trên bởi 1. Chọn C. n n
Câu 34: Ta có u sin n cos n 2 sin n 2 . Chọn C. n 4
Câu 35: Ta có u sin n cos n 2 sin n 2. Chọn C. n 4 3 1 Câu 36: Ta có u 2
sin n cos n 2sin n 2 u 2. Chọn A. n 2 2 6 n Câu 37: TH1. Nếu n chẵn thì 2n1 u 5
0 tăng lên vô hạn () nên không bị chặn trên. n TH2. Nếu n lẻ thì 2n1 u 5
0 giảm xuống vô hạn () nên không bị chặn dưới n
Vậy dãy số đã cho không bị chặn. Chọn D.
Câu 38: : Ta có u 0 u bị chặn dưới bởi 0 n n 1 1 1 1 Mặt khác (k ) nên suy ra: k(k 3) k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u
1 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 2 3 2 4 n n 1 n 1 Trang 27
Nên dãy u bị chặn trên, do đó dãy u bị chặn. Chọn C. n n
Câu 39: Ta có u 0 u bị chặn dưới bởi 0 n n 1 1 1 1 Mặt khác *
k ,k 2 nên suy ra: 2 k (k 1)k k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u
1 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 2 3 2 4 n n 1 n 1
Nên dãy u bị chặn trên, do đó dãy u bị chặn. Chọn C. n n n 1 Câu 40: Ta có 0 u 1 1. Chọn D. n n 1 n 1 1 1 Câu 41: Ta có 0 u . Chọn A. n 2n 2 u 6 u 6 u 6 Câu 42: Ta có 1 1 1 u 0 u 6 u 6 u u 0 n u u n n n 6 6 n 1 1 n 1 n
Lại có u 2 3;u 2 3 u 6 u
6 2 3 6 6 2 3 1 k k 1 k 1
Vậy 6 u 2 3 . Chọn D. n Câu 43: Ta có u sin u sin sin A sai n n1 n 1 (n 1) 1 n 2 Lại có u sin 1 u 1 B đúng n n 1 n Và u u sin sin 0 0 C,D sai. Chọn B. n1 n n 2 n 1 n 2 n 1 2
Câu 44: Ta có u (1)n là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm A, B sai. n
Tập giá trị của dãy u (1)n là {1;1} 1 u 1. Chọn C. n n Câu 45: 4 3 6 u (5) 625,u ( 5
) 125,u (5) 15625 và 8 8 u ( 5 ) 5 . Chọn A. 4 3 6 8 u 1 1 3 u u 1 2 1 Câu 46: Ta có: 3 u u 2 3 2 3 u u 32 33 32
Cộng vế theo vế ta được u u u 1 u u u 3 3 3 1 2 32 1 2 33 1 2 32 1 1 2 . 32 32 3 3 3 3 1 CASIO u
X 278785 chọn D. 33 1 2 Câu 47: Đặt u 2 2 2cos 2cos 1 2 2 4 2 Trang 28 Suy ra 2 u 2 u 2 1 cos 2.2cos 2cos 2cos 2 1 3 4 8 8 2
Tương tự ta có: u 2cos . suy ra u 2cos . Chọn B. 3 4 2 2018 2019 2 Câu 48:
Với n 2k thì u sin k 0 n 3
Với n 4k 3 thì u sin k2 1 n 2
Với n 4k 1 thì u sin k2 1 n 2
Do đó S 0, S 0S 0,S 0,S 1,S 1. Chọn A. 4 8 2020 2019 2017 2018 1 1 1 2 2 u u 2 1 1 1 2 1 1 u 1 1 Câu 49: Ta có n 1 . Do đó 2 2 u u 2 2 2 u u u 3 2 n1 n n . . 1 1 1 2 2 u u n n 1 1 1 1 1
Cộng vế với vế ta được n 1 n 1 2 2 2 u u u 2018 n 1 n 1 1 1 1 Giải u 2018 n 1 2018 n 4072325 n 2 2 2018 u 2018 2018 n Do đó n 4072326. Chọn A. min 2n 1 2(n 1) 3 3 3 Câu 50: u 2 u 2 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 3 3 2n 1 Do u u nên u
là dãy số giảm. Chọn D. 1 n n 1 n n n n 1 2n 1 2(n 1) 1 1 Câu 51: u 2 2 n n 1 n 1 n 1 2n 1 1 1 3 Mặt khác u 2 2 n n 1 n 1 1 1 2 3 2n 1
Do đó u 2 nên dãy số u
là dãy số bị chặn. Chọn A. 2 n n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 Câu 52: u 1 1, mặt khác 1 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 2 2 1 n
Suy ra u 2 nên dãy số u
là dãy số bị chặn. Chọn D. 2 n n n 1 Trang 29 2n 1 1 Câu 53: u 2 n n n 1 1 2n 1 Do nên u u do đó u
là dãy số giảm. Chọn A. n 1 n n1 n n n 1 21 (4n 1) n 5 1 21 Câu 54: 4 4 u n 4n 1 4n 1 4 4(4n 1) 21 n 5 Khi n tăng thì tăng nên u là dãy số tăng 4(4n 1) n 4n 1 3 7 (2n 3) 5 3n 3 7 Xét dãy số 2 2 u n 2n 3 2n 3 2 2(2n 3) 7 5 3n Khi n tăng thì giảm nên u
là dãy số giảm. Chọn B. 2(2n 3) n 2n 3 8 9 (1) 1 (1) 1 Câu 55: u ,u 9 10 9 1 10 10 1 11 n 1 1 1 ( 1) 1 1 Mặt khác
nên u là dãy số bị chặn 2 n 1 n 1 n 1 2 n
Dãy số u là dãy số không tăng không giảm. Chọn C. n Câu 56: Ta có: 2n1 n 2 u (1) .3 ( 1 ) n ( 1
).3n 3n là dãy số giảm. n 1 1 1 1 1 1 Xét u , ta có u u n n n 1 n n 1 n n 1 n(n 1) (n 1)(n 2) u n Suy ra n1
1 nên u là dãy số giảm u n 2 n n u 2 1 Xét dãy số 2 3 2 3 u 3n n u
4 Dãy u 3n n không phải dãy đơn điệu. Chọn C. n 2 n u 0 3 Câu 57: Ta có: u
2u 2 u 2 2 u 2 n1 n n 1 n v u 2 2 Đặt v u 2 thi 1 1 n 1 n 1 v v q 2.2 n n n 1 v 2v n 1 n Do đó n 1 u v 2 2.2
2 1024 2n 1026 n 10 n n Vậy n 11. Chọn C. min Câu 58: Ta có 2n 1 n n 1 u 3 3 .3 . Chọn A. 2n 1 1 khi n 2k Câu 59: Ta có u ( 1 )n n 1 khi n 2k 1
Suy ra 1 u 1 nên u là dãy số bị chặn. Chọn A. n n Trang 30 Câu 60: Ta có u 2n thì n3 n 3 u 2 2 .2 8.2 .n Chọn D. n n3 Câu 61: Ta có u 2u u 3 u u u u 3 n1 n n 1
n 1 n n n 1 v 1 Đặt v u u ta có: 1
v v (n 1)d 1 3(n 1) 3n 2 n n1 n 1 v v 3 n d n n 1 u 1 1 u u 3.1 2 u 1 2 1 Suy ra 1 do đó u u 3.2 2 u u 3n 2 3 2 n 1 n . u u 3(n1)2 n n 1
Cộng vế theo vế ta được u 1 3(1 2 3 .
. n 1) 2.(n 1) n 2 2 . n (n 1) 2 3n 3n 4n 4 3n 7n 6 u 1 3 2n 2 n 2 2 2
Do đó a 3,b 7,c 6 a b c 2 . Chọn A. 1 1 (2n 1) n 1 1 1 Câu 62: 2 2 u n 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2 1 1 1 1 1 Mặt khác 2 2(2n 1) 2 2.(2.1 1) 3 1 1 n Do đó u nên u
là dãy số bị chặn. Chọn B. 3 n 2 n 2n 1 3 2 1 10 2 8 21 2 19 50 2 48 Câu 63: u ,u ,u và u 3 10 21 3.3 1 10 3.10 1 31 3.21 1 64 50 50.3 1 151
Khẳng định sai là D. Chọn D. u 3 1 u u 1 2 1
Câu 64: Theo giả thiết bài toán, ta có: u u 2
. Cộng vế theo vế ta được 3 2 u u 2018 2019 2018 2019.2018 u
3 1 2 3 4 2019 3 2037168. Chọn A. 2019 2 Trang 31