Tài liệu chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tài liệu gồm 53 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

80 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

53 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng
P
nếu
d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
P
.
b) Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng
P
thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
P
.
c) Các tính chất
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng
P
đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
đường thẳng a cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt
phẳng
P
cho trước.
Tính chất 3:
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường
thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 được viết gọn là:
a // b
P b
P a
.
a P
b P a // b
a b
Tính chất 4:
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng
còn lại.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4 được viết gọn là:
P // Q
a Q
a P
.
Trang 2
a P
b P P // Q
P Q
.
Tính chất 5:
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng
P
song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với
P
thì
cũng song song với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường
thẳng thì chúng song song với nhau.
Tính chất 5 được viết gọn là:
a // P
a b
b P
.
a P
a b a // P
P b
.
d) Định lý ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
P
và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng
P
.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu
a
của a trên
P
.
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trang 3
a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
P
thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
và mặt phẳng
P
bằng
90
(hình 1).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
P
thì góc giữa a và hình chiếu
a
của nó trên
P
được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
P
(hình 2).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá
90
.
b) Phương pháp xác định và tính góc:
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tìm hình chiếu
a
của a trên mặt phẳng
P
ta có thể làm
như sau:
Tìm giao điểm
M a P
.
Tìm một điểm A tùy ý trên đường thẳng a
A M
và xác định
hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng
P
. Khi đó,
a
là
đường thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta có:
;
a P AMH
.
Xét tam giác vuông AMH ta có:
cos
tan
;
sin
HM
AM
AH
MH
d A P
AH
AM AM
(trong đó
;
d A P
là khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng
P
).
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp giải:
Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
P
ta chứng minh:
d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
P
.
d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với
P
.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là
trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh
BC ADI
.
b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng
AH BCD
.
Lời giải:
Trang 4
a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A
và D ta có:
AI BC
DI BC
(trong tam giác cân đường trung tuyến
đồng thời là đường cao).
Do đó
BC AID
.
b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên
AH DI
.
Mặt khác
BC AID BC AH
.
Do đó
AH BCD
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA ABCD
. Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng
,
BC SAB CD SAD
.
b) Chứng minh rằng
,
AM SBC AN SCD
.
c) Chứng minh rằng
SC AMN
và
MN // BD
.
d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng
AMN
. Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo
vuông góc.
Lời giải:
a) Do
SA ABCD SA BC
.
Mặt khác ABCD là hình vuông nên
BC AB
.
Khi đó
BC AB
BC SAB
BC SA
.
Tương tự chứng minh trên ta có:
CD SAD
.
b) Do
BC SAB BC AM
.
Mặt khác
AM SB AM SBC
Tương tự ta có:
AN SCD
.
c) Do
AM SBC
AM SC
SC AMN
AN SC
AN SCD
.
Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên
CM DN
.
Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên
MN // BD
.
d) Do ABCD là hình vuông nên
AC BD
, mặt khác
SA BD BD SAC
.
Do
MN // BD MN SAC MN AK
.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng
BCD
trùng với trực tâm của tam giác
BCD.
Trang 5
b) Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AB AC AD
.
c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn.
Lời giải:
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng
BCD
thì
AH BCD
.
Ta có:
AD AB
AD ABC AD BC
AD AC
.
Mặt khác
AH BC BC ADH BC DH
Tương tự chứng minh trên ta có:
BH CD
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.
b) Gọi
E DH BC
, do
BC ADH BC AE
.
Xét
ABC
vuông tại A có đường cao AE ta có:
2 2 2
1 1 1
AE AB AC
.
Lại có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AH AD AE AB AC AD
(đpcm).
c) Đặt
;
AB x AC y
và
AD z
. Ta có:
2 2
2 2
2 2
BC x y
BD x z
CD y z
Khi đó
2 2 2 2
cos 0 90
2. . .
BC BD CD x
B CBD
BC BD BC BD
Tương tự chứng minh trên ta cũng có
90
90
BDC
BCD
tam giác BCD có 3 góc nhọn.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
, các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H
và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy.
b)
SC BHK
.
c)
HK SBC
.
Lời giải:
a) Giả sử
AH BC
tại M.
Ta có:
BC AM
BC SAM BC SM
BC SA
Mặt khác
, ,
SK BC S K M
thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M.
b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên
BH AC
Trang 6
Mặt khác
BH SA BH SAC BH SC
.
Lại có:
BK SC SC BHK
.
c) Do
SC BHK SC HK
, mặt khác
BC SAM BC HK
.
Do đó
HK SBC
.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có
,
SA SC SB SD
.
a) Chứng minh rằng
SO ABCD
.
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng
IK SBD
và
IK SD
.
Lời giải:
a) Do
SA AC SAC
cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là
đường cao suy ra
SO AC
.
Tương tự ta có:
SO BD SO ABCD
.
b) Do ABCD là hình thoi nên
AC BD
Mặt khác
SO ABCD AC SO
Do vậy
AC SBD
.
IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên
IK // AC
mà
AC SBD IK SBD
.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam
giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông.
b) Chứng minh rằng
;
SI SCD SJ SAB
.
c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng
SH ABCD
.
Lời giải:
a) Ta có:
SAB
đều cạnh a nên
3
2
a
SI
Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên
IJ BC a
.
SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S
2 2
CD a
SJ
.
Do đó
2 2 2 2
SJ SI IJ a SIJ
vuông tại S.
b) Do
SCD
cân tại S nên
SJ CD
Do
AB // CD SJ AB
.
Mặt khác
SJ SI SJ SAB
.
Chứng minh tương tự ta có:
SI SCD
.
Trang 7
c) Do
SI SCD SI CD
Mặt khác
CD IJ CD SIJ CD SH
.
Do
SH IJ SH ABCD
.
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của
AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
2
MC MI
,
2
NA NS
. Biết
SH ABC
, chứng minh
MN ABC
.
Lời giải:
Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và
2
MC MI
M là trọng tâm tam giác ABC
M AH CI
.
Ta có:
2
NA MA
MN // SH
NS MH
.
Mặt khác
SH ABC MN ABC
.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
Phương pháp giải:
Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng
chứa đường
thẳng b sao cho việc chứng minh
a
dễ thực hiện.
Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau
từng đôi một.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB.
Tứ diện ABCD đều nên
ABD
và
ABC
là các tam giác đều suy
ra
DM AB
AB MCD
CM AB
.
Do đó
AB CD
.
Chứng minh tương tự ta cũng có
,
BC AD AC BD
.
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và đáy ABCD là hình thang
Trang 8
vuông tại A và D với
2
AB
AD CD
.
a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh
CI AB
và
DI SC
.
b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
Lời giải:
a) Đặt
2
AB a AD CD a
.
Do
2
AB CD AI AD CD CI a
.
Khi đó AICD là hình vuông cạnh a.
Do
CI AB
.
Mặt khác
AC DI
DI SAC DI SC
DI SA
.
b) Do
,
SA ABCD SAD SAB
vuông tại S.
Mặt khác
CD AD
CD SAD CD SD
CD SA
nên
SCD
vuông tại D.
Xét
ACD
có trung tuyến
1
2
CI AB ACD
vuông tại C
BC AC
.
Mặt khác
BC SA BC SAC BC SC SCB
vuông tại C.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên
CC
vuông góc
với đáy và
CC a
.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
AI BC
.
b) Gọi M là trung điểm của
BB
. Chứng minh
BC AM
.
c) Gọi K là điểm trên đoạn
A B
sao cho
4
a
B K
và J là trung điểm của
B C
. Chứng minh rằng:
AM MK
và
AM KJ
.
Lời giải:
a) Do
ABC
là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên
AI BC
.
Mặt khác
AI CC AI BCC B AI BC
.
b) Dễ thấy
BCC B
là hình vuông nên
B C BC
.
Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác
B BC
nên
MI // B C
suy ra
MI BC
.
Lại có:
AI BC BC AIM BC AM
.
c) Ta có:
1
tan ; tan 2
2
KB AB
KMB AMB
MB BM
Suy ra
tan cot 90
KMB AMB KMB AMB
.
Do đó
90
AMK AM MK
.
Trang 9
Mặt khác
AM BC
AM MJ
MJ // BC
.
Suy ra
AM MKJ AM KJ
.
Dạng 3: Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Loại 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy
ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy
ABC
.
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên
ABC
.
Vậy
; ;
SA ABC SA HA SAH
.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có
; 3
AB a BC a
. Biết
SA ABC
, SB tạo với đáy một góc
60
và M là trung điểm của BC.
a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng
ABC
.
b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng
ABC
.
Lời giải:
a) Do
; 60
SA ABC SB ABC SBA .
Do đó
tan tan 60 3
SA AB SBA a a
.
Ta có:
2 2
2 ; ;
AC AB BC a SC ABC SCA
.
Khi đó:
2 2 2 2
2 2
cos
7
3 4
AC AC a
SCA
SC
SA AC a a
.
b) Do
;
SA ABC SM ABC SMA
.
Ta có:
2
2 2 2
3 7
2 2
a a
AM AB BM a .
Khi đó
2 2
133
cos
19
AM AM
SM
SA AM
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có
2 ;
AB a AD a
. Tam giác
SAB
đều và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng
ABCD
.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng
ABCD
.
Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB ta có:
SH AB
.
Trang 10
Mặt khác
SAB ABCD
SH ABCD
AB SAB ABCD
.
Tam giác SAB đều cạnh 2a nên
3
SH a
.
2 2
2
HC HB BC a
.
Do
; 60
SH ABCD SB ABCD SBH
;
SC ABCD SCH
và
3
tan
2
SH
SCH
HC
.
b) Ta có:
2
2 2 2
5
2 2
a a
HI HB BI a
.
Mặt khác
;
SI ABCD SIH
và
5 2 15
tan 3 :
2 5
SH a
SIH a
SI
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a,
2
AD a
. Biết
SA ABCD
và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc
45
.
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy
ABCD
.
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng
ABCD
.
Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của AD
OABC
là hình thoi cạnh a
1
2
CO a AD ACD
vuông tại C.
Do
; 45
SA ABCD SB ABCD SBA .
Do đó
tan 45
SA AB a
2 2
3 cos ; cos
AC AD CD a SC ABC SCA
2 2 2 2
3 3
2
3
AC AC a
SC
SA AC a a
.
2 2
2
cos ; cos
5
AD
SD ABCD SDA
SA AD
.
b) Ta có:
2
2 2 2
13
3
2 2
a a
AI AC CI a
.
Do đó
2
tan ; tan
13
SA
SI ABCD SIA
AI
.
Loại 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng
SHA
với
SHA ABH
.
Dựng
BK AH
, có
BK SH BK SHA
.
Trang 11
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng
SAH
.
Vậy
; ;
SB SAH SB SK BSK
.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có
, 3,
AB a AD a SA ABCD
. Biết SC
tạo với đáy một góc
60
. Tính cosin góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng
SAB
; SC và mặt phẳng
SAD
.
b) SD và mặt phẳng
SAC
.
Lời giải:
a) Do
; 60
SA ABCD SC ABCD SCA .
Lại có:
2 2
2 tan 60 2 3
AC AB AD a SA AC a
.
Khi đó
2 2
2 2
2 2
13
15
4
SB SA AB a
SD SA AD a
SC SA AC a
Do
;
CB SA
CB SAB SC SAB CSB
CB AB
.
Mặt khác
13
cos
4
SB
CSB
SC
.
Tương tự
;
CD SAD SC SAD CSD
và
15
cos
4
SD
CSD
SC
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
3,
BD a SA ABCD
. Biết SC tạo
với đáy một góc
60
. Tính tan góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng
SAB
. b) SD và mặt phẳng
SAC
.
Lời giải:
a) Ta có:
AC BD
tại O. Khi đó
,
OA OC OB OD
.
Xét tam giác vuông OAB ta có:
3
sin
2
OB
OAB
AB
60
OAB ABC
đều cạnh a.
Mặt khác
; 60
SA ABCD SC ABCD SCA .
Suy ra
tan 60 3
SA AC a
.
Dựng
;
CH AB CH SAB SC SAB CSH
.
Do
ABC
đều cạnh a nên H là trung điểm của AB.
Ta có:
3
tan
2
a CH
CH CSH
SH
trong đó
2 2
13
2
a
SH SA AH
.
Trang 12
Do đó
3 39
tan
13
13
CSH .
b) Ta có:
;
DO AC
SD SAC DSO
DO SA
và
tan
OD
DSO
SO
.
Trong đó
2 2
3 13 39
; tan
2 2 13
a a
OD SO SA OA DSO .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt
đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2

HB HA
. Biết
3, 6
AB AD
và
2
SH
. Tính tan góc tạo
bởi:
a) SA và mặt phẳng
SHD
. b) SB và mặt phẳng
SHC
.
Lời giải:
a) Ta có:
2 2
2 2
5
1, 2
2 2
SA SH AH
AH HB
SB SH HB
Dựng
;
AE DH AE SHD SA SHD ASE
Mặt khác
2 2
. 6
37
AH AD
AE
AH AD
Suy ra
6
tan
185
AE
ASE
SA
.
b) Dựng
BF HC BF SHC
.
Khi đó
;
SB SHC BSF
,
2 2
. 3 10
5
BH BC
BF
BH BC
.
Ta có:
3 5
tan ; tan
10
BF
SB SHC BSF
SB
.
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ .
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật có
2 , 2 3
AB a AD a
,
hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABCD
trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết
cạnh bên
AA
tạo với đáy một góc
60
. Tính cosin góc tạo với
A C
và mặt phẳng
A BD
.
Lời giải:
Ta có:
2 2
4 2
AC AB BC a OA a OC
.
Do
; 60
A O ABCD A O ABCD A AO .
tan 60 2 3
A O OA a
Dựng
CH BD CH A BD
;
A C A BD CA H
.
Trang 13
Ta có:
2 2
.
3
BC CD
CH a
BC CD
,
2 2 2 2
' 12 4 4
A C OA OC a a a
.
Suy ra
2 2 2 2
16 3 13
cos
4 4
A H A C HC a a
CA H
A C A C a
.
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính góc tạo bởi
A C
và
mặt phẳng
ABB A
biết
2
2
a
AA
.
Lời giải:
Dựng
3
2
a
CH AB CH .
Do
;
CH AB
CH ABB A A C ABB A CA H
CH AA
.
Lại có:
2
2
2 2
3
'
2 2 4
a a a
A H AA AH
.
Do đó
tan 1 45
CH
CA H CA H
A H
.
Vậy
; 45
A C ABB A CA H .
Loại 3: Góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng
SAB
.
Dựng
,
HE AB HF SE
.
Ta có:
AB SH AB SHE AB HF
.
Mặt khác
HF SE HF SAB F
là hình chiếu vuông góc
của H trên mặt phẳng
SAB
.
Vậy
; ;
SH SAB HF SF HSF
.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên
3
SA a
và vuông góc
với đáy. Tính góc giữa SA và mặt phẳng
SBC
.
Lời giải:
Từ A kẻ AK vuông góc với BC tại K.
Ta có:
SA BC
và
AK BC BC SAK
.
Kẻ
,
AH SK H SK
. Mà
BC AH
.
Suy ra
;
AH SBC SA SBC ASH ASK
.
Tam giác SAK vuông tại A, có
3
SA AK a
.
Trang 14
tam giác SAK vuông cân tại A nên
45
ASK
.
Vậy
; 45
SA SBC .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có
, 2 , 2
AB a AD a SA a
và
SA ABCD
.
Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng
,
SBC SBD
và
SCD
.
Lời giải:
Do
BC AB
BC SAB
BC SA
.
Dựng
AM SB AM SBC M
là hình chiếu vuông góc
của A trên
SBC
.
Khi đó:
;
SA SBC ASM ASB
.
Do đó
1
tan
2
AB
SA
.
Tương tự ta có:
;
SA SCD ASD
và
tan 1
AD
SA
.
Dựng
,
AE BD AF SE
ta có:
BD AE
BD SAE BD AF
BD SA
.
Mặt khác
;
AF SE AF SBD SA SBD ASF ASE
.
Khi đó
tan
AE
ASE
SA
, trong đó
2 2
. 2 1
tan
5 5
AB AD a AE
AE ASE
SA
AB AD
.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có
2 2 2
AD AB CD a
và
SA ABCD
. Biết rằng SC tạo với đáy một góc
60
. Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng
,
SBC SCD
và
SBD
.
Lời giải:
Ta có:
2 2
2
AC AB BC a
Do
; 60
SA ABCD SC ABCD SCA .
Suy ra
tan 60 6
SA AC a
.
Dựng
AM SB
, có
BC SA
BC AM
BC AB
.
Do đó
AM SBC M
là hình chiếu của A trên
mặt phẳng
SBC
.
Suy ra:
;
SA SBC ASM ASB
.
Ta có:
1
tan
6 6
AB a
ASB
SA
a
.
Trang 15
Gọi I là trung điểm của AD
ABCI
là hình vuông cạnh a
2
AD
CI a ACD
vuông tại C. Khi
đó
CD SA
CD SAC
CD AC
.
Dựng
;
AN SC SA SCD ASN ASC
. Ta có:
2 1
tan
6 3
AC a
ASC
SA
a
.
Dựng
;
AE BD
SA SBD ASF ASE
AF SE
.
Mặt khác
2 2
. 2 30
tan
15
5
AB AD a AE
AE ASE
SA
AB AD
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a,
2
AD a
. Biết
SA ABCD
và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc
60
.
a) Tính tan góc tạo bởi SA và
SBC
. b) Tính góc tạo bởi SA và
SCD
.
Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của AD
OABC
là hình thoi cạnh
a
1
2
CO a AD ACD
vuông tại C.
Do
; 60
SA ABCD SB ABCD SBA .
2 2
tan 60 3, 3
SA AB a AC AD CD a
.
Dựng
, ;
AE BC AF SE SA SBC ASF ASE
.
Do
120 60
ABE ABE
.
Mặt khác
3
sin sin 60
2
a
AE AB ABE AB .
Suy ra
1
tan ; tan
2
AE
SA SBC ASE
SA
.
b) Do
CD SA
CD SAC
CD AC
. Dựng
AK SC AK SCD
Khi đó
;
SA SCD ASK ASC
.
Ta có:
3
tan 1 45
3
AC a
SA
a
. Vậy
; 45
SA SCD .
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của
B
lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao
3
4
a
B H . Tính cosin góc giữa đường
thẳng
B H
và mặt phẳng
BCC B
.
Trang 16
Lời giải:
Dựng
,
HE BC HF B E
ta có:
BC B H
BC HE
suy ra
;
BC HF HF B BCC B H BCC B
HB F HB E
.
Ta có:
3
sin sin 60
2 4
a a
HE HB HBE
Do đó
2 2
3
cos
2
B H B H
HB E
B E
B H HE
.
Loại 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên (Nâng cao)
Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng
SAB
. Đặt
; 0 90
SC SAB
.
Ta có công thức:
;
sin
d C SAB
SC
.
Từ đó suy ra các giá trị
cos
hoặc
tan
nếu đề bài yêu cầu.
Chú ý: Để hiểu được nội dung này các bạn phải nắm được kiến thức về khoảng cách, nếu chưa rõ thì sau
khi học xong khoảng cách quay lại nghiên cứu nội dung này nhé!
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
2 , 2
AD a AB a
. Tam giác SAD
cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc
30
. Tính sin góc
tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng
SBC
. b) SD và mặt phẳng
SAC
.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD ta có:
SH AD
Lại có:
SAD ABCD SH ABCD
.
Ta có:
2 2
; 3
HA a HB HA AB a
Do
; 30
SH ABCD SB ABCD SBH
Suy ra
tan 30
SH HB a
.
a) Do
AD // BC AD // SBC
.
Do vậy
; ;
d A SBC d H SBC
.
Dựng
HE BC
HF SE
ta có:
BC HF
từ đó suy ra
HF SBC
; ;
d H SBC HF d A SBC
. Ta có:
2 2
2
SA SH SA a SD
.
Mặt khác:
2 2 2
;
1 1 1 6 3
sin ;
3 3
d A SBC
a
HF SA SBC
HF SH HE SA
.
Trang 17
b) Dựng
HN AC AC SHN
, dựng
HI SN HI SAC
Do
;
2 ; 2 ; 2
;
d D SAC
DA
d D SAC d H SAC HI
HA
d H SAC
Dựng
2 2
2 2 .
;
2
6 3
a a HN SH a
DM AC DM HN HI d D SAC a
HN SH
.
Ta có:
;
1
sin ;
2 2
d D SAC
a
SD SAC
SD
a
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có
3;
AB a AD a
, tam giác SBD là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi
SA và mặt phẳng
SBC
.
Lời giải:
Gọi O là trung điểm của BD ta có:
SO BC
mặt khác
SBD ABC SO ABC
Ta có:
2 2
1
2
2
BD AB AD a SO BD a
.
Dựng
,
OE BC OF SE OF SBC
.
; 2 ; 2
d D SBC d O SBC HF
Ta có:
1 3
2 2
a
HE AB
2 2
. 3 21
7 7
SH OE a
OF a
SH OE
Suy ra
2 21
;
7
a
d A SBC
. Mặt khác
2 2
2
SA SO OA a
.
Do đó
;
42
sin ;
7
d A SBC
SA SBC
SA
.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông tại A với
; 3
AB a AC a
, hình
chiếu vuông góc của
A
lên mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết
2
A H a
. Tính cosin góc tạo
bởi
A B
với mặt phẳng
ACC A
.
Lời giải:
Dựng
HE AC
và
HF A E
Ta có:
AC A H
AC HF HF AA C
AC HE
.
Khi đó
;
d H A AC HF
.
Lại có
2
BC HC
nên
; 2 ;
d B AA C d H AA C
.
Trang 18
Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC nên
2 2
AB a
ME
.
Khi đó:
2 2
. 2
3
HE A M a
HF
HE A M
.
Suy ra
2 2
2 2
; ; 2
3
a
d B AA C BC AB AC a
.
Lại có
2 2
3
A B A H HB a
.
Suy ra
2
;
2 6 57
sin ; sin cos 1 sin
9 9
d B A AC
A B A AC
BA
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung
điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng
MN BD
.
Lời giải:
Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao
điểm của AC và BD.
Ta có:
IN // AC
BD IN
AC BD
(1).
Mặt khác
IM // BE
IM PO
BE PO
(*).
Mà
PO BD
(**) (Do
BPD
là tam giác cân tại P có
đường trung tuyến PO).
Từ (*) và (**) ta có:
BD IM
(2).
Từ (1) và (2) ta có:
BD IMN BD MN
.
Dạng 4: Thiết diện vuông góc với một đường thẳng cho trước
Phương pháp giải:
Giả sử thiết diện là một phần của mặt phẳng
P
và
P d
. Khi đó ta tìm mặt trung gian
dễ thấy
và
d // P
và quy về thiết diện có yếu tố song song đã biết.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có
ABC
vuông cân tại B,
SA ABC
và
AB BC a
,
3
2
a
SA
.
Điểm
, 0
M AB AM x x a
, mặt phẳng
đi qua M vuông góc với AB.
a) Dựng thiết diện được tạo bởi hình chóp với mặt phẳng
.
b) Tính thiết diện của thiết diện theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Lời giải:
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt SB tại Q.
Vì
AB BC BC // mp
, kẻ MN song song với BC (
N BC
).
Trang 19
Vì
SA AB SA // mp
, kẻ NP song song với SA (
P SC
).
Suy ra mp
cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Dễ thấy MNPQ là hình chữ nhật
.
MNPQ
S MN MQ
3
1 1
2
MQ BM AM
BMQ BAS MQ x
SA AB AB
∽
.
2
3
2
MNPQ
MN AM
AMN ABC MN x S x x
BC AB
∽
.
Mà
2
2
1 1 1 3 1 3
.
4 2 4 2 4 8
MNPQ
x x x S
. Vậy
max
3
8
S .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có
BCD
đều, gọi BH là đường cao của
BCD
, O là trung điểm của BH và
, 2
AO BCD AO BH a
, trên OH lấy điểm I sao cho
2
BI x a x a
, mặt phẳng
đi qua I
và vuông góc OH. Dựng và tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi
.
Lời giải:
Vì
AO BCD AO OH
Qua I kẻ
IK // AH K AH
.
Tam giác BCD đều
BH CD
, qua K kẻ đường thẳng d song song
với đường thẳng CD cắt SC, SD lần lượt tại M, N.
Qua I kẻ đường thẳng Δ song song với đường thẳng CD cắt BC, BD lần
lượt tại Q, P.
Suy ra mp
cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Diện tích hình thang MNPQ là
1
.
2
MNPQ
S IK MN PQ
.
Tam giác BCD, có
4 3 2 3
.
2 3 3
PQ BI x a x
PQ
CD BH a
.
Tam giác ACD, có
. 4 3
3
MN AK OI OI CD
MN x a
CD AH OH OH
.
Tam giác AHO, có
.
2 2
IK IH IH AO
IK a x
AO OH OH
.
Vậy diện tích hình thang MNPQ là
1 2 3 4 3 2 3
.2 2 2 3 2
2 3 3 3
x
S a x x a a x x a
.
Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,
6
,
2
a
SO ABCD SO
. Mặt
phẳng
P
đi qua A và vuông góc với SC. Xác định và tính diện tích thiết diện của
P
với hình chóp.
Lời giải:
Kẻ
AN SC N SC
và
AN SO I
Trang 20
Ta có
BD SAC BD SC
, qua I kẻ đường thẳng d song
song với BD cắt SB, SC lần lượt tại M, P
mp P AMNP
.
Suy ra mp
P
cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác AMNP.
Tam giác SAO có
2 2
2
SA SO OA a AC
Tam giác SAC đều
N là trung điểm của SC
I là trọng tâm tam giác SAC
2 2 2
3 3
MP SI a
MP
BD SO
.
Vậy diện tích tứ giác AMNP là
2
1 1 2 2 6 3
. . .
2 2 3 2 3
AMNP
a a a
S MP AN
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều bằng
3
2
a
. Gọi I là
trung điểm của BC,
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SI. Hãy xác định thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng
.
Lời giải:
Gọi O là tâm của tam giác ABC
SO ABC
.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SI tại H.
Ta có
SI BC BC // mp
, qua H kẻ đường thẳng d song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N
mp
cắt khối chóp theo thiết
diện là tam giác cân AMN.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy,
2
SA a
.
Kẻ AH vuông góc với SB.
a) Chứng minh
2
3
SH
SB
.
b) Mặt phẳng
P
qua A vuông góc với SB cắt SC tại M. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
P
và tính
thiết diện đó.
Lời giải:
a) Tam giác SAB vuông tại A, có
2 2
. 6
3
SA AB a
AH
SA AB
.
Tam giác SAH vuông tại H, có
2 2
2 3
3
a
SH SA AH
Trang 21
Suy ra
2 2
2 3 2 2
: 3
3 3 3
SH SH a SH
a
SB SB
SA AB
.
b) Ta có
SA ABCD SA BC
mà
AB BC
Suy ra
BC SAB BC SB BC // mp P
.
Kẻ HK song song với BC
M SC mp P
cắt khối chóp đã cho
theo thiết diện là tứ giác AHMD.
Dễ thấy
AH SBC AH MH
và
MH // AD AHMD
là
hình thang vuông.
Lại có
2 2 2
3 3 3
SH MH a
SHM SBC MH BC
SB BC
∽ .
Diện tích hình thang vuông AHMD là
2
1 1 6 2 5 6
.
2 2 3 3 18
a a a
S AH HM AD a .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Cạnh
2
AB a
,
AD DC a
,
,
SA ABCD SA a
.
a) Chứng minh
SBC SAC
.
b) Gọi
là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mp
SAC
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
. Tính diện tích thiết diện ấy.
c) Mp
đi qua trung điểm M của SA và
N AD
,
0
AN x x a
, vuông góc với
SAD
. Xác định
và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp
theo a và x.
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của AB
1
2
IC AB
Suy ra
ABC
vuông tại C
AC BC
mà
SA ABCD
.
BC SAC SAC SBC Điều phải chứng minh.
b) Vì ADCI là hình vuông
AC DI
nên thiết diện cắt bởi
mặt phẳng
và hình chóp S.ABCD là tam giác SDI.
Tam giác SDI có
2
3
2
2
SDI
a
SD SI DI a S (đvdt).
c) Dễ thấy
AB // CD
và
AB mp SAD
.
Qua M, N lần lượt kẻ đường thẳng
1 2
,
d d
song song với AB và cắt SB, BC tại P, Q suy ra MNPQ là hình
thang vuông.
Do đó, MNPQ là thiết diện cắt bởi mặt phẳng
và hình chóp S.ABCD.
Tam giác AMN vuông tại A, có
2
2 2 2
4
a
MN AM AN x .
Trang 22
Vì
1
2 2
MQ SM AB
MQ // AB MQ a
AB SA
;
2
NP DN a x
NP // AB NP a x
AB DA a
.
Vậy diện tích hình thang MNPQ là
2
2
1 3 2
. . .
2 2 4
a x a
S MN MQ NP x
.
Ví dụ 7. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O;
2
SO a
. Gọi M là điểm
thuộc đoạn AO (
;
M A M O
). Mặt phẳng
đi qua M và vuông góc với AO. Đặt
AM x
. Tính diện
tích S của thiết diện tạo bởi
với hình chóp S.ABC.
A.
2
2
S a
. B.
2
2
S x
. C.
2
3
2
S a x
. D.
2
2
S a x
.
Lời giải:
Vì S.ABC là hình chóp đều nên
SO ABC
(O là tâm của tam giác ABC).
Do đó
SO AA
mà
AA
suy ra
SO //
.
Tương tự ta cũng có
BC //
.
Qua M kẻ
IJ // BC
với
,
I AB J AC
;
Kẻ
MK // SO
với
K SA
.
Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác KIJ.
Diện tích tam giác IJK là
1
.
2
IJK
S IJ MK
.
Trong tam giác ABC, ta có
2 2 3
3 3
IJ x
IJ
BC
.
Tương tự trong tam giác SAO, ta có
MK AM
SO AO
Suy ra
.
2 3
AM SO
MK x
AO
. Vậy
2
1 2 3
. .2 3 2
2 3
IJK
x
S x x
. Chọn B.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA a
và vuông góc với đáy. Mặt
phẳng
đi qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. Tính diện tích S của thiết diện tạo
bởi
với hình chóp đã cho.
A.
2
2 21
49
a
S
. B.
2
4 21
49
a
S
. C.
2
21
7
a
S
. D.
2
2 21
7
a
S
.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC
AI BC
.
Kẻ
AK SI K SI
.
Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N → thiết diện là tam giác AMN.
Trang 23
Ta có
BC AI
BC SAI BC AK MN AK
BC SA
.
Tam giác vuông SAI, có
2 2
. 21
7
SA AI a
AK
SA AI
.
Tam giác SBC, có
2
2
4 4
7 7
MN SK SA a
MN
BC SI SI
.
Vậy diện tích
2
1 2 21
.
2 49
AMN
a
S AK MN . Chọn A.
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA a
và vuông góc với đáy. Mặt
phẳng
đi qua trung điểm E của SC và vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi
với hình chóp đã cho.
A.
2
5 3
16
a
S
. B.
2
7
32
a
S
. C.
2
5 3
32
a
S
. D.
2
5 2
16
a
S
.
Lời giải:
Gọi F là trung điểm AC →
EF // SA
.
Do
SA ABC SA AB
nên
EF AB
.
Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.
Suy ra
CJ AB
và
FG // CJ
nên
FG AB
.
Trong
SAB
kẻ
GH // SA H SB GH AB
.
Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH.
Do đó
1
.
2
EFGH
S EF GH FG
.
Ta có
1 1 3
;
2 2 2 4
a a
EF SA FG CJ ;
Và
3
4
GH BG a
GH BG
SA BA
.
Vậy
2
1 3 3 5 3
.
2 2 4 4 32
EFGH
a a a a
S
. Chọn C.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
2
SA a
và vuông góc với đáy. Gọi
là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi
với hình
chóp đã cho.
A.
2
15
10
a
S
. B.
2
5
8
a
S
. C.
2
3
12
a
S
. D.
2
15
20
a
S
.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AC
BI AC
.
Trang 24
Ta có
BI AC
BI SAC BI SC
BI SA
.
Kẻ
IH SC H SC SC BIH
.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH.
Do
BI SAC BI IH
nên
IBH
vuông tại I.
Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS suy ra
2 2
. . 5
5
IH CI CI SA CI SA a
IH
SA CS CS
SA AC
.
Vậy diện tích cần tính là
2
1 15
.
2 20
BIH
a
S BI IH
. Chọn D.
Trang 25
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
thì d vuông góc với bất
kì đường thẳng nào nằm trong
.
B. Nếu đường thẳng
d
thì d vuông góc với hai đường thẳng trong
.
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong
thì
d
.
D. Nếu
d
và
a //
thì
d a
.
Câu 2. Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng
P
, đường thẳng Δ được gọi
là vuông góc với mặt phẳng
P
nếu
A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng
P
.
B. vuông góc với đường a mà a song song với mặt phẳng
P
.
C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
P
.
D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
P
.
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Câu 4. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng
P
, trong đó
a P
. Chọn mệnh đề sai trong
các mệnh đề dưới đây?
A. Nếu
b P
thì
a // b
. B. Nếu
b // a
thì
b P
.
C. Nếu
b P
thì
b a
. D. Nếu
a b
thì
b // P
.
Câu 5. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng
P
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu
a P
và
b a
thì
b // P
. B. Nếu
a // P
và
b P
thì
b a
.
C. Nếu
a // P
và
b a
thì
b // P
. D. Nếu
a // P
và
b a
thì
b P
.
Câu 6. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Nếu
a b
và
b c
thì
a // c
.
B. Nếu
a
và
b //
thì
a b
.
C. Nếu
a // b, b c
thì
c a
.
Trang 26
D. Nếu
,
a b b c
và a cắt c thì
,
b a c
.
Câu 7. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.
C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho
trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với
mặt phẳng kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Với mỗi điểm
A
và mỗi điểm
B
thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d
của
và
.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b, với
b P
.
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
Q
thì
P // Q
.
D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng
P
thì
a // b
.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên
SA ABC
. Gọi H, K lần
lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
CH AK
B.
CH SB
C.
CH SA
D.
AK SB
Trang 27
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA ABC
. Gọi H là chân đường
cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
SA BC
B.
AH BC
C.
AH AC
D.
AH SC
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và
AH BCD
. Khẳng định nào dưới
đây đúng?
A.
CD BD
B.
AC BD
C.
AB CD
D.
AB CD
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng
,
SA SC SB SD
. Khẳng
định nào dưới đây đúng?
A.
AB SAC
B.
CD AC
C.
SO ABCD
D.
CD ABCD
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên
SA ABCD
. Khẳng
định nào dưới đây sai?
A.
SA BD
B.
SC BD
C.
SO BD
D.
AD SC
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,
SA ABCD
. Gọi I là trung
điểm SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
SO ABCD
B.
BC SB
C.
SCD
vuông tại D D.
SAC
là mặt phẳng trung trực của BD
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D,
, 2
AD CD a AB a
.
Cạnh bên
SA ABCD
, E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
A.
CE SAB
B.
CB SAC
C.
SDC
vuông tại D D.
CE SDC
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên
SA ABCD
. Gọi AE, AF
lần lượt là đường cao của
SAB
và
SAD
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
SC AFB
B.
SC AEC
C.
SC AED
D.
SC AEF
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
. Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC, ABC.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
BC SAH
B.
SB CHK
C.
HK SBC
D.
BC SAB
Câu 20. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Đường thẳng
AC
vuông góc với mặt phẳng nào sau
đây?
A.
A BD
B.
A DC
C.
A CD
D.
A B CD
Câu 21. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O
trên mặt phẳng
ABC
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Trang 28
A.
OA BC
B.
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
C. H là trực tâm
ABC
D.
2 2 2 2
3
OH AB AC BC
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA ABCD
. Gọi I, J, K lần lượt là trung
điểm của AB, BC, SB. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
IJK // SAC
B.
, 60
SC BD
C.
BD IJK
D.
BD SAC
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
,
CD ABD CBD
B.
,
AC BCD ACB
C.
,
AD ABC ADB
D.
,
AC ABD CBA
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA ABC
. Gọi O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của O trên
ABC
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. H là trung điểm của cạnh AB.
B. H là trung điểm của cạnh BC.
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
D. H là trọng tâm của
ABC
.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn,
SA SB SC
. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của S trên
ABC
. Khi đó
A. H là trực tâm của
ABC
.
B. H là trọng tâm của
ABC
.
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
D. H là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
.
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có
120 , 60 , 90
BSC CSA ASB
và
SA SB SC
. Gọi I là hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABC
, khi đó
A. I là trung điểm của AB. B. I là trọng tâm của tam giác ABC.
C. I là trung điểm của AC. D. I là trung điểm của BC.
Câu 27. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O,
60
BAD
và
A A A B A D
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABCD
là
A. trung điểm của AO. B. trọng tâm của tam giác ABD.
C. tâm O của hình thoi ABCD. D. trọng tâm của tam giác BCD.
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng
ABC
là
A. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trang 29
B. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. trọng tâm của tam giác ABC.
D. giao điểm của hai đường thẳng AC và BD.
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA ABCD
. Gọi M là hình chiếu của A
lên SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
AM SD
B.
AM SCD
C.
AM CD
D.
AM SBC
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA ABCD
. Biết
2
SA a
. Tính góc giữa SC và
ABCD
.
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
75
.
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA ABCD
. Biết
6
3
a
SA
. Tính góc giữa SC và
ABCD
.
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
75
.
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có
SA ABCD
và đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi I là trung
điểm của SC. Xét các khẳng định sau
(1).
OI ABCD
.
(2).
BD SC
.
(3).
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
(4).
SB SC SD
.
Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là
A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 33. Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
, đường thẳng
1
AC
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A.
1 1
A DC
. B.
1
A BD
. C.
1 1
ACD
. D.
1 1
A B CD
.
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và
,
AB a, BC b CD c
. Độ
dài đoạn thẳng AD bằng
A.
2 2 2
a b c
. B.
2 2 2
a b c
. C.
2 2 2
a b c
. D.
2 2 2
a b c
.
Câu 35. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây cách đều
bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD?
A. Trung điểm của cạnh BD. B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. Trung điểm của cạnh AD. D. Trọng tâm của tam giác ACD.
Trang 30
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh
, 2
AB a BC a
. Hai mặt bên
SAB
và
SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
ABCD
, cạnh
15
SA a
. Tính góc tạo bởi
đường thẳng SC và mặt phẳng
ABD
.
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên
2
SA a
và vuông
góc với mặt đáy
ABCD
. Gọi
là góc giữa SO và mặt phẳng
ABCD
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
tan 2 2
. B.
60
. C.
tan 2
. D.
45
.
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a,
SA a
vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tang của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng
SAB
bằng
A.
2
. B.
5
5
. C.
5
. D.
2
2
.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
60
ABC
, tam giác SBC là tam
giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Góc giữa đường thẳng SA và mặt
phẳng đáy
ABC
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
. Gọi
là góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy
ABCD
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
5
cot
15
. B.
15
cot
5
. C.
30
. D.
3
cot
2
.
Câu 41. Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi
là góc giữa cạnh bên và
mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
tan 7
. B.
60
. C.
45
. D.
14
tan
2
.
Câu 42. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi
là góc giữa AB và mặt phẳng
BCD
. Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A.
3
cos
3
. B.
3
cos
4
. C.
cos 0
. D.
3
cos
2
.
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng
định nào sau đây sai?
A.
CD SBC
. B.
SA ABC
. C.
BC SAB
. D.
BD SAC
.
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O,
,
SA SC SB SD
. Khẳng định
nào sau đây đúng?
Trang 31
A.
SA ABCD
B.
SO ABCD
C.
SC ABCD
D.
SB ABCD
Câu 45. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu
a //
và
b a
thì
b //
. B. Nếu
a //
và
b a
thì
b
.
C. Nếu
a //
và
b
thì
b a
. D. Nếu
a //
và
b // a
thì
b //
.
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và SB. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
CM AN
B.
AN BC
C.
CM SB
D.
MN MC
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
SA ABCD
. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng
ABCD
là
A.
SCD
B.
CAS
C.
SCA
D.
ASC
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
A. SB B. SD C. SC D. CD
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
, 6
SA ABCD SA a
. Gọi
là góc giữa SC và mặt phẳng
ABCD
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
45
B.
60
C.
3
cos
3
D.
30
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA ABCD
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
SA BD
B.
CD SD
C.
SD AC
D.
BC SB
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 3
AB a AD a
. Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Góc
là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng
SBC
.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
7
tan
7
. B.
1
tan
7
. C.
tan 7
. D.
7
tan
7
.
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và
SA a
. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
ABCD
là
. Khi đó
tan
bằng
A.
2
. B.
1
3
. C. 1. D.
2
2
.
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng BD với mặt phẳng
SAD
. Tính
sin
.
A.
3
2
B.
1
2
C.
6
4
D.
10
4
Trang 32
Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
2
SB a
. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A.
30
B.
90
C.
60
D.
45
Câu 55. Cho tứ diện ABCD có
,
AB AC DB DC
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
AB BC
B.
CD ABD
C.
BC AD
D.
AB ABC
Câu 56. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi điểm M là điểm trên SD sao
cho
2
SM MD
. Tan góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
ABCD
là
A.
3
3
. B.
1
5
. C.
5
5
. D.
1
3
.
Câu 57. Cho khối chóp S.ABC có
SA ABC
, tam giác ABC vuông tại B,
2 ,
AC a BC a
,
2 3
SB a
. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
SBC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 58. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA ABC
. Số các mặt của hình chóp
S.ABC là tam giác vuông là
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA ABCD
. Biết
6
3
a
SA .
Tính góc giữa SC và
ABCD
A.
30
B.
60
C.
75
D.
45
Câu 60. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là
trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ). Tan của góc giữa hai đường
thẳng BM và mặt phẳng
ABCD
bằng
A.
2
2
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
Câu 61. Cho tứ diện đều ABCD. Tính cosin của góc giữa AB và
BCD
.
A.
3
3
B.
6
3
C.
1
2
D.
3
2
Câu 62. Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng a. Điểm M và N tương ứng là trung
điểm của các cạnh AC,
BB
. Cosin góc giữa đường thẳng MN và
BA C
bằng
Trang 33
A.
3 21
14
B.
4 21
21
C.
105
21
D.
7
14
Câu 63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
2, 2 2
AB BC
, I là trung điểm của
AB. Biết
SI ABCD
và
SAB
đều. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
ABCD
A.
30
B.
45
C.
75
D.
60
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
2
SA a
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa SC và
ABCD
bằng
A.
45
B.
30
C.
60
D.
90
Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
60 , 2
ABC SA a
và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và
SAC
A.
90
B.
30
C.
45
D.
60
Câu 66. Cho hình chóp tam giác đều, có tất cả các cạnh bằng a. Tính cotan của góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy của hình chóp
A.
3
2
B.
1
2
C.
2
2
D.
2
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc
60 , , 3
ABC SA ABCD SA a
.
Gọi a là góc giữa SA và mặt phẳng
SCD
. Tính
tan
.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
5
.
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
cùng vuông góc với đáy
ABCD
và
2
SA a
. Tính cô- sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
SAD
.
A.
1
2
. B. 1. C.
5
5
. D.
2 5
5
.
Câu 69. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có mặt đáy là tam giác đều cạnh
2
AB a
. Hình chiếu vuông góc
của
A
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm H của AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
. Góc giữa đường thẳng
A C
và
ABC
là
A.
4
. B.
3
. C.
1
arcsin
4
. D.
6
.
Trang 34
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a,
60 , 3
ABC SA a
và
SA ABCD
.
Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
SBD
.
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Câu 71. Cho hình chóp S.ABC có
6 2
, 2, ,
2 2
a a
SA SC SB a AB BC AC a
. Tính góc
,
SB ABC
.
A.
90
B.
45
C.
30
D.
60
Câu 72. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E, M lần lượt là trung điểm
của BC và SA. Gọi
là góc tạo bởi EM và
SBD
. Khi đó
tan
bằng
A. 1 B. 2 C.
2
D.
3
Câu 73. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB, P là
điểm trên cạnh BD sao cho
2
BP PD
. Diện tích của thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng
MNP
là
A.
2
5 147
2
a
B.
2
5 147
4
a
C.
2
5 51
2
a
D.
2
5 51
4
a
Câu 74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a,
SA ABCD
,
5
SB a
. Tính sin của
góc giữa SC và
ABCD
A.
2 2
3
B.
3 2
4
C.
3 17
17
D.
2 34
17
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA a
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD,
là góc giữa đường thẳng MN và
SAC
. Giá trị
tan
là
A.
6
3
B.
6
2
C.
3
2
D.
2
3
Câu 76. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Mặt phẳng
đi qua A và
vuông góc với SC. Tìm hệ thức giữa a và b để
cắt SC tại điểm
1
C
nằm giữa S và C
A.
2
a b
B.
3
a b
C.
2
a b
D.
3
a b
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2
AB a BC a
. Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng
đi qua S vuông góc với AB. Tính diện tích S
của thiết diện tạo bởi
với hình chóp đã cho.
A.
2
3
4
a
S . B.
2
3
2
a
S . C.
2
3
S a . D.
2
2
a
S .
Trang 35
Câu 78. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA ABC
. Cho
, 3, 2
AB a BC a SA a
. Mặt phẳng
P
qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng
P
.
A.
2
3
3
a
. B.
2
6
4
a
. C.
2
6
3
a
. D.
2
6
5
a
.
Câu 79. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a,
SA ABC
và
3
SA a
.
Gọi M là trung điểm BC, gọi
P
là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SM. Tính diện tích thiết diện
của
P
và hình chóp S.ABC.
A.
2
6
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
6
4
a
. D.
2
3
4
a
.
Câu 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn
8, 6
AD BC
, SA
vuông góc với mặt phẳng
, 6
ABCD SA
. Gọi M là trung điểm của AB. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua M
và vuông góc với AB. Thiết diện của
P
và hình chóp có diện tích bằng
A. 10 B. 20 C. 15 D. 16
Câu 81. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O, đường cao
; 2
AA SO a
. Gọi M là điểm thuộc đoạn
;
OA M A M O
. Mặt phẳng
đi qua M và vuông góc
với
AA
. Đặt
AM x
. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi
với hình chóp S.ABC.
A.
2 2
2 8 6 3 3
x ax a
B.
2 2
2 8 6 3 3
x ax a
C.
2
3
2
a x
D.
2
2
a x
Trang 36
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-C 2-D 3-B 4-D 5-B 6-A 7-C 8-D 9-B 10-A
11-D 12-C 13-D 14-C 15-D 16-D 17-C 18-D 19-D 20-A
21-D 22-B 23-B 24-C 25-C 26-D 27-B 28-A 29-D 30-C
31-A 32-A 33-B 34-A 35-C 36-C 37-A 38-B 39-C 40-B
41-D 42-A 43-A 44-B 45-C 46-B 47-C 48-C 49-B 50-C
51-A 52-D 53-C 54-C 55-C 56-B 57-B 58-B 59-A 60-D
61-A 62-D 63-A 64-A 65-B 66-C 67-A 68-D 69-A 70-C
71-B 72-C 73-D 74-D 75-A 76-C 77-B 78-D 79-C 80-C
81-A
Câu 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
thì
d
. Khẳng
định sai là C. Chọn C.
Câu 2: Đường thẳng
P
nếu Δ vuông góc hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
P
khi đó Δ vuông
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
P
. Chọn D.
Câu 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song hoặc chéo
nhau. Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 4: Nếu
a b
thì
b // P
hoặc
b P
nên khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 5: Nếu
a P
và
b a
thì
b // P
hoặc
b P
.
Nếu
a // P
và
b P
thì
b a
nên mệnh đề B đúng.
Nếu
a // P
và
b a
thì b nằm trong mặt phẳng vuông góc với
P
nên C và D sai.
Chọn B.
Câu 6: Nếu
a b
và
b c
thì
a // c
hoặc a chéo c nên mệnh đề A sai. Chọn A.
Câu 7: Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, các
đường thẳng này nằm trên cùng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước. Chọn C.
Câu 8: Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Khẳng định D sai. Chọn D.
Câu 9: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Chọn
B.
Câu 10: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng đã cho. Chọn A.
Trang 37
Câu 11: CH là đường trung tuyến trong tam giác ABC là tam giác cân tại C.
Do đó
CH AB
, mặt khác
CH SA CH SAB
.
Vậy
, ,
CH AK CH SB CH SA
.
Chưa thể kết luận
AK SB
nên khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 12: Ta có
SA ABC SA BC
Mặt khác
CB AB
CB SAB
CB SA
Khi đó
CB AH
, do
AH SB AH SBC
Vậy
AH SC
AH BC
. Khẳng định sai là C. Chọn C.
Câu 13: Do
AH BCD AH CD
Tam giác BCD có 2 đường chéo là BE và CF
Ta có:
CD AH
CD SBE CD AB
CD BE
. Chọn D.
Câu 14: Tam giác SAC cân tại S có đường trung tuyến SO nên
SO AC
.
Tương tự ta có
SO BD
Vậy
SO ABCD
. Chọn C.
Câu 15: Ta có
SA ABCD SA BD
ABCD là hình thoi nên
AC BD
mặt khác
BD SA
nên
BD SAC
Do đó
SC BD
và
SO BD
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Trang 38
Câu 16: Do
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
Tương tự ta có
CD SAD CD SD
nên
SCD
vuông tại D.
Mặt khác
AC BD
tại trung điểm O và
BD SA
nên
BD SAC
nên
SAC
là mặt phẳng trung trực của BD.
Chọn D.
Câu 17: Ta có ADCE là hình vuông nên
CE AB
Mặt khác
CE SA
suy ra
CE SAB
Lại có
1
2
CE AB ACB
vuông tại C
Khi đó
AC BC
, mặt khác
SA BC
nên
BC SAC
CD SA
CD SAD SDC
CD AD
vuông tại D.
Chọn C.
Câu 18:
CD SA
CD SAD CD AF
CD AD
Mặt khác
AF SD AF SCD
do đó
AF SC
Tương tự ta có
AE SC
suy ra
AEF SC
.
Chọn D.
Câu 19: Dựng
AI BC
mà
SA BC
nên
BC SAI
Do đó
BC SI H SI
, vậy
BC SAH
Lại có:
CK AB
CK SAB CK SB
CK SA
Mặt khác
CH SB
nên
SB CHK SB KH
Tương tự ta có
SC KH
nên
HK SBC
Vậy các khẳng định A, B, C đúng.
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 20: Ta có
BD AC
BD A AC C
BD AA
Trang 39
Do đó
BD AC
(1), lại có
A B AB
A B AB C
A B B C
Suy ra
A B AC
(2), từ (1) và (2) suy ra
AC A BD
.
Chọn A.
Câu 21: Ta có: OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên
OA OB
và
OA OC OA OBC OA BC
Mặt khác H là hình chiếu của O trên mặt phẳng
ABC
nên
OH ABC OH BC
, gọi
E AH BC
Do đó
BC OAE AE BC
, tương tự ta có
BH AC
suy ra H là
trực tâm tam giác
ABC
Mặt khác
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
,
OH OA OE OE OB OC
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
Các khẳng định đúng là A, B, C. Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 22: Dễ thấy IJ là đường trung bình trong tam giác ABC nên
IJ // AC
, tương tự
KI // SA
suy ra
IJK // SAC
(1).
Mặt khác
BD AC
BD SAC
BD SA
(2)
Do đó
BD SC
.
Từ (1) và (2) suy ra
BD IJK
.
Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 23: Ta có
CB BA
CB ABD
CB BD
Do đó
,
CD ABD CDB
Tương tự ta có
, , ,
AC BCD ACB AD ABC DAB
và
,
AC ABD CAB
Do đó khẳng định đúng là B. Chọn B.
Câu 24: Ta có
CB AB
CB SAB CB SB
CB SA
Tam giác SBC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC
là trung điểm cạnh huyền SC
Trang 40
Do
,
SA ABC OH ABC OH // SA H
là trung điểm của cạnh AC nên H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông
ABC
vuông tại B. Chọn C.
Câu 25: Do H là hình chiếu vuông góc của S trên
ABC
nên các tam
giác SHA, SHB, SHC là các tam giác vuông.
Ta có
SHA SHB SHC
(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Do đó
HA HB HC
.
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
. Chọn C.
Câu 26: Do I là hình chiếu vuông góc của S trên
ABC
nên các tam
giác SHA, SHB, SHC là các tam giác vuông.
Ta có
SIA SIB SIC
(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Do đó
IA IB IC
.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Đặt
,
SA SB SC a SAC
đều nên
AC a
,
SAB
vuông tại S nên
2
AB a
.
Lại có
2 2
2 . cos 3
BC SB SC SB SC BSC a
Suy ra
2 2 2 2
3
AB AC BC a ABC
vuông tại A nên I là trung điểm của cạnh huyền BC.
Chọn D.
Câu 27: Do
A A A B A D
nên hình chiếu vuông góc H của
A
lên
mặt phẳng
ABCD
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Lại có
60
AB AD
BAD
nên tam giác ABD đều.
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cũng là trọng tâm
tam giác ABD đều. Chọn B.
Câu 28: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy
ABC
Gọi E, F, G lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB,
BC và CA.
Khi đó theo giả thiết bài toán ta có
SEH SFH SGH
Các tam giác vuông
SHE SHF SHG
nên
HE HF HG H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chọn A.
Trang 41
Câu 29: Ta có
SA CD
CD SAD CD AM
AD CD
Mà
AM SD AM SCD
. Chọn D.
Câu 30: Ta có AC là hình chiếu của SC trên
; ;
ABCD SC ABCD SC AC SCA
Tam giác SAC vuông tại S, có
2 45
SA AC a SCA
. Chọn C.
Câu 31: AC là hình chiếu của SC trên
; ;
ABCD SC ABCD SC AC SCA
Tam giác SAC vuông tại S, có
6 3
tan : 2 30
3 3
SA a
SCA a SCA
AC
. Chọn A.
Câu 32:
Vì OI là đường trung bình của tam giác SAC
OI // SA
mà
SA ABCD OI ABCD
.
Ta có
SA BD
BD SAC BD SC
AC BD
.
Vì BD đi qua trung điểm O của AC.
Suy ra
SAC
là mặt phẳng trung trực của BD.
SB SD SC
. Chọn A.
Câu 33: Ta có
1 1 1 1 1
;
AA AB AD C A C B C D
Suy ra
1
,
A C
cách đều ba đỉnh của tam giác
1
A BD
Do đó
1
AC
là trục đường tròn ngoại tiếp
1
A BD
Vậy
1 1
AC A BD
. Chọn B.
Câu 34: Ta có
AB BC
AB BCD
AB CD
Tam giác BCD vuông tại C vì
BC CD
Do đó
2 2 2 2 2
BD BC CD b c
Lại có
2 2 2 2 2 2
AD AB BD a b c
Vậy
2 2 2
AD a b c
. Chọn A.
Trang 42
Câu 35: Ta có
AB BC
AB BCD AB BD
AB CD
Mặt khác
DC BC
DC ABC DC AC
DC AB
Gọi O là trung điểm của AD, do
ABD
vuông tại B nên
OA OB OD
Tương tự ta có
ACD
vuông tại C nên
OA OC OD
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD.
Chọn C.
Câu 36:
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SA SAB SAD
Khi đó
;
SC ABCD SCA
Mặt khác
2 2
5
AC AB AD a
Suy ra
tan 3 ; 60
SA
SCA SC ABCD SCA
AC
Chọn C.
Câu 37:
2
2
2
a
AC a OA
Do
;
SA ABCD SO ABCD SOA
Mặt khác
2
tan 2 2
2
2
SA a
SOA
OA
a
. Chọn A.
Câu 38: Gọi I là trung điểm AB
OI // AD
Mà
SA AD
AD SAB OI SAB
AB AD
Do đó
; ;
SO SAB SO SI ISO
Tam giác SAI vuông tại A
2 2
5
2
a
SI SA AI
Tam giác SOI vuông tại I
5
tan
5
OI
ISO
SI
. Chọn B.
Trang 43
Câu 39: Gọi H là trung điểm của BC thì
SH BC
Mặt khác
SBC ABC SH ABC
Ta có
3
3,
2 2
SB BC
SH a AH a
(tính chất đường trung bình
trong tam giác vuông)
Khi đó
tan 3 60
SH
SAH SAH
AH
Do đó
; 60
SA ABC SAH
. Chọn C.
Câu 40: Gọi H là trung điểm của BC thì
SH BC
Mặt khác
SBC ABC SH ABC
Do đó
;
SD ABCD SDH
.
Ta có:
2 2
3 3 5
,
2 2 2
AB a a
SH HD AD AH
3 5 15
cot :
2 2 5
SH a a
SDH
DH
Suy ra
15
cot
5
. Chọn B.
Câu 41: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì
SO ABCD
Ta có:
2 2 2
AC OA
2 2
7
SO SA OA
Khi đó:
;SA ABCD SAO
Ta có:
7 14
tan
2
2
SO
OA
. Chọn D.
Câu 42: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó
AH BCD
.
Gọi M là trung điểm của CD và đặt
AB a
thì ta có:
3 2 3
,
2 3 3
a a
BM BH BM
Do đó
;AB BCD ABH
Suy ra
3
cos
3
BH
AB
. Chọn A.
Trang 44
Câu 43: Ta có
SA ABCD
B đúng.
BC SA
BC SAB
BC AB
C đúng.
Lại có
BD AC
BD SAC
BD SA
D đúng.
Khẳng định sai là A. Chọn A.
Câu 44: Tam giác SAC cân tại S có đường trung tuyến SO nên
SO AC
Tương tự ta có
SO BD
Vậy
SO ABCD
. Chọn B.
Câu 45: Nếu
a //
và
b
thì
b a
. Chọn C.
Câu 46:
ABC
đều nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường
cao suy ra
CM AB
Mặt khác
CM SA CM SAB
Do vậy các khẳng định đúng là A, C, D.
Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 47: Do
;
SA ABCD SC ABCD SCA
. Chọn C.
Câu 48:
BD AC
BD SAC BD SC
BD SA
.
Chọn C.
Trang 45
Câu 49: Do
SA ABCD
suy ra
;
SC ABCD SCA
Mặt khác
2 2
2
AC AB AD a
Suy ra
tan 3 ; 60
SA
SCA SC ABCD SCA
AC
Chọn B.
Câu 50:
SA ABCD SA BD
nên A đúng.
BC SA
BC SAB BC SB
BC AB
nên D đúng.
Tương tự
CD SAD CD SD
nên B đúng.
Khẳng định sai là C. Chọn C.
Câu 51: Ta có
SA CD
CD SAD CD SD
AD CD
Gọi H là hình chiếu của D trên
SBC DH SBC
Suy ra
; ;
SD SBC SD SH DSH
Kẻ
AI SB I SB
mà
BC SAB AI SBC
Mà
AD // SBC DH AI DH // AI
Tam giác SAB vuông tại A
2 2
. 2
2
SA AB a
AI
SA AB
Tam giác SDH vuông tại H
2 2
2
sin
4
DH AI
DSH
SD
SA AD
Vậy
2
14 sin 7
cos 1 sin tan
4 cos 7
. Chọn A.
Câu 52: Ta có AC là hình chiếu của SC trên
; ;
ABCD SC ABCD SC AC SCA
Tam giác SAC vuông tại S, có
2
tan
2
2
SA a
SCA
AC
a
. Chọn D.
Trang 46
Câu 53: Gọi H là trung điểm của BC thì
SH BC
Mặt khác
SBC ABC SH ABC
;
3 3
,sin
2 2
d B SAD
AB a
SH
BD
Trong đó
2, ; 2 ;
BD a d B SAD d H SAD
Dựng
2 2
.
;
SH HA
HE SA d H SAD HE
SH AH
3
3 6
2
sin
4 4
2
a
a
a
. Chọn C.
Câu 54: Ta có
SA ABCD
Khi đó
;
SB ABCD SBA
Mặt khác
1
cos 60
2
AB
SBA SBA
SB
.
Chọn C.
Câu 55: Gọi I là trung điểm của BC
Ta có:
,
ABC DBC
là các tam giác cân nên
AI BC
và
DI BC
.
Do đó
BC ADI BC AD
. Chọn C.
Câu 56: Gọi H là hình chiếu của M trên BD
Và O là tâm hình vuông ABCD
SO // MH
Do đó
; ;
BM ABCD BM BH MBH
Ta có
1 2
3 6
MH DM a
SO // MH MH
SO SD
Lại có
1 2 1 2 5 2
3 3 3 3 6
HD a a
OH OD BD BH
DO
Tam giác BMH vuông tại B
1
tan
5
MH
MBH
BH
.
Chọn B.
Trang 47
Câu 57: Kẻ
AH SB
mà
BC SAB AH SBC
Suy ra
; ; sin
AB
SA SBC SA SH ASH ASH
SB
Lại có
2 2
3 1
3 sin 30
2
2 3
a
AB AC BC a ASH ASH
a

. Chọn B.
Câu 58:
SA ABC
nên
,
SA AB SA AC
suy ra các tam giác SAB,
SAC là các tam giác vuông.
Lại có:
BC SA
BC SAB
BC AB
do đó
BC SB
suy ra tam giác SBC
vuông. Chọn B.
Câu 59: Do
SA ABCD
.
Khi đó
;
SC ABCD SCA
Mặt khác
2 2
2
AC AB AD a
Suy ra
3
tan ; 30
3
SA
SCA SC ABCD SCA
AC
.
Chọn A.
Câu 60: Gọi O là giao điểm của AC và BD
SO ABCD
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt BD tại H
MH ABCD
Ta có
MB ABCD B
và
MH ABCD
; ;
MB ABCD MB HB MBH
Ta có
2 2
2
2
2 2
AC a
AC AB BC a OA
Ta có
2 2
2 2
2 2 4
a SO a
SO SA OA MH
Ta có
3 3 3 2
. 2
4 4 4
a
BH BD a
Ta có
2
1 1
4
tan tan ;
3 3
3 2
4
a
MH
MBH MB ABCD
BH
a
. Chọn D.
Trang 48
Câu 61: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó
AH BCD
Gọi M là trung điểm của CD và đặt
AB a
thì ta có:
3 2 3
,
2 3 3
a a
BM BH BM
Do đó
;AB BCD ABH
Suy ra
3
cos
3
BH
AB
. Chọn A.
Câu 62: Gọi I là trung điểm của
A C
Trong mặt phẳng
BMIB
gọi
E MN BI
Ta có
;
3
sin ; ,
2
d M BA C
a
MN BA C BM
ME
Mặt khác
2 2
2 2 2
2
3 3 3
EM MI
ME MN BM BN a
NE BN
2 2
.
; ; ;
B I BB
d M BA C d B BA C d M BA C
BB BI
21 3 21 7
sin ; cos
7 4 14
a
MN BA C
. Chọn D.
Câu 63:
2 2
3
3, 3
2
AB
IC IB BC SI
Do
;
SI ABCD SC ABCD SIC
Lại có:
3
tan 30
3
SI
SIC SCI
IC
.
Chọn A.
Câu 64: Do
SA ABCD
Khi đó
;
SC ABCD SCA
Mặt khác
2 2
2
AC AB AD a
Suy ra
tan 1 ; 45
SA
SCA SC ABCD SCA
AC
Chọn A.
Câu 65: Ta có
,
BO AC BO SA
Trang 49
Suy ra
;
BO SAC SB SAC BSO
Lại có
ABC
cân tại B có
60
ABC
nên tam giác ABC đều nên
3
,
2 2
a a
BO OA
2 2
3
2
a
SO SA AO
Do đó
3
tan 30
3
OB
BSO BSO
SO
. Chọn B.
Câu 66: Chóp A.BCD đều có tất cả cạnh bằng a. Gọi H là trọng tâm
tam giác BCD. Khi đó
AH BCD
Gọi M là trung điểm của CD và đặt
AB a
thì ta có:
3 2 3
,
2 3 3
a a
BM BH BM
Do đó
;AB BCD ABH
Suy ra
3 2
cos cot
3 2
BH
AB
. Chọn C.
Câu 67: Gọi M là trung điểm CD, kẻ
AH SM H SM
Ta có
60
ADC ACD
đều
AM CD CD SAM
Do đó
CD AH AH SCD SH
là hình chiếu của SA trên
; ;
SCD SA SCD SA SH ASH ASM
Tam giác SAM vuông tại A có
3
1
2
tan
2
3
a
AM
ASM
SA
a
Vậy
1
tan ; tan
2
SA SCD ASH
. Chọn A.
Câu 68: Ta có
SA AB
AB SAD SA
AD AB
là hình chiếu của SB
trên
; ;
SAD SB SAD SB SA ASB

Tam giác SAB vuông tại A
1
tan
2
AB
ASB
SA

Suy ra
2
1 2 5
cos
5
1 tan
ASB
ASB
. Chọn D.
Câu 69: Ta có AH là hình chiếu của
AA
trên
ABC
Trang 50
; ; 60
AA ABC AA AH A AH
tan tan 60 . 3
A H
A AH A H AH a
AH
Lại có CH là hình chiếu của
AA
trên
ABC
; ; 60
A C ABC A C CH A CH
tan 3 : 3 1
4
A H
A CH a a A CH
HC
. Chọn A.
Câu 70: Ta có
SA BD
BD SAC
AC BD
Kẻ
AH SO H SO
mà
BD AH AH SBD
Suy ra SH là hình chiếu của SA trên
SBD
; ;
SA SBD SA SH ASH ASO
Tam giác ABC cân có
60
ABC ABC
đều
3
2 tan
3
AO
AB BC AC a AO a ASO
SA
Vậy
; 30
SA SBD ASO
. Chọn C.
Câu 71: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABC
, ta có
SHC SHA HC HA H
thuộc trung trực của
AC. Gọi I là trung điểm của AC thì
CAB
vuông cân tại C (do
2 2 2
,
BA BC BA BC AC
)
Do đó CI là trung trực của AC
Ta có:
;
SB ABC SBH SBI
Mặt khác
2 2
5
2; ;
2 2 2
AC a a
SB a BI SI SA AI
2 2 2
2
cos 45
2 . 2
BS BI SI
SBI SBI
BS BI
. Chọn B.
Câu 72: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
ABCD
.
Gọi N là trung điểm của AC thì
MN // AC
Suy ra
MN SBD
nên
sin cos ;
MN EM
Lại có
2
,
2 2 2 2
AC a SB a
MN EN
Trang 51
2 2
2
,
2 4
SO a
ME MH HE MH
2 2
10
2 . cos 45
4
a
HE CH CE CH CE
2 2 2
3 6
sin cos tan 2
2 2 . 3
a MN ME NE
ME NME
MN ME
. Chọn C.
Câu 73: Gọi
Q MNP AD
Ta có:
AB // MN, PQ ABD MNP PQ // AB // MN
Thiết diện là hình thang cân MNPQ có
3 , 2
MN a PQ a
Lại có
2 2
2 . cos60 13
MQ NP BN BP BN BP a
Chiều cao hình thang cân là
2
2
51
2 2
MN PQ a
h MQ
Diện tích thiết diện:
2
5 51
2 4
MN PQ a
S h
. Chọn D.
Câu 74: Do
SA ABCD
Khi đó
;
SC ABCD SCA
Mặt khác
2 2
3 2
AC AB AD a
,
2 2 2 2
4 34
SA SB AB a SC SA AC a
Suy ra
2 34
sin
17
SA
SCA
SC
. Chọn D.
Câu 75: Gọi K là trung điểm của CD
Ta có
MK AC
MK SAC
MK SA
Suy ra
2
sin cos ; ,
2 2
BD a
MK MN MK
,
2 2
3
2 2 2
SC SA AC a
KN
Gọi H là trung điểm của AD thì
NH AD
2 2
5
2
a
NM NH MN
2 2 2
10 6
sin cos tan
2 . 5 3
MK MN KN
NMK
MK MN
. Chọn A.
Câu 76: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì
SH ABC
Trang 52
Ta có:
AB SC
AB SC
AB CH
, dựng
1
AC SC
Khi đó
1
SC ABC
, để
1
C
nằm giữa S và C thì
ASC
là góc nhọn suy ra
2 2 2 2 2
2
cos 0
2 . 2 .
SA SC AC b a
ASC
SA SC SA SC
2
a b
. Chọn C.
Câu 77: Gọi H là trung điểm AB
SH AB
Suy ra
SH ABCD
(vì
SAB ABCD
)
Kẻ
HM AB M CD HM
.
Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H.
Ta có
3
; 2
2
a
SH HM BC a
.
Vậy
2
1 3 3
. .2
2 2 2
SHM
a a
S a
. Chọn B.
Câu 78: Kẻ
AH SC H SC
nên
AH P
Kẻ
AK SB K SB
mà
BC SAB BC AK
Suy ra
AK SBC AK SC
nên
AK P
Do đó thiết diện cần tìm là tam giác AKH vuông tại K
Ta có
2 2
2
AC AB BC a SAC
cân
2
2
SC
AH a
Tam giác SAB vuông tại A
2 2
. 2 5
5
SA AB a
AK
SA AB
Suy ra
2 2
30
5
a
HK AH AK
2
1 1 2 5 30 6
. . .
2 2 5 5 5
AHK
a a a
S AK HK
. Chọn D.
Câu 79: Kẻ
AI SM I SM
nên
AI P
Ta có
SM P
mà
SM BC BC // P
Qua I kẻ đường thẳng
d // BC
, cắt SB, SC tại H, K
Do đó thiết diện cần tìm là tam giác AHK cân tại A
Ta có 3
SA AM a I
là trung điểm SM
6
2 2
SM a
AI
Lại có
1
2 2
HK SI BC
HK // BC HK a
BC SM
Trang 53
Suy ra
2
1 1 6 6
. . .
2 2 2 4
AHK
a a
S AI HK a
. Chọn C.
Câu 80: Dựng
MN AB N CD N
là trung điểm của
CD. Dựng
MQ // SA Q SB MQ AB
và Q là trung
điểm của SB.
Dựng
QP // MN P SC
thì thiết diện là hình thang MNPQ
vuông tại M và Q.
Ta có:
7, 3
2 2
AD BC BC
MN QP
,
3 . 15
2 2
MNPQ
SA MN PQ
MQ S MQ
. Chọn C.
Câu 81: Dựng
MI // SO I SA
, qua M dựng đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần
lượt tại P và Q.
Ta có:
MI AA
AA PQI
PQ AA
Qua I dựng đường thẳng song song với BC cắt các cạnh SB, SC tại F, E
Thiết diện là hình thang PQEF.
Lại có:
2
3 3
2
PQ AM x x
PQ
BC AA
a
2 2
3 33
,
3 3
a a
OA SO SA OA
3
3
3
2
3 3 2 ,
3 3
3 6
a
a
x
x
IM A M EF SI OM
IM a x
SO A O BC SA OA
a a
Do đó
1
6 2 3
3
EF x a
, diện tích thiết diện là
2 2
3 2 8 2 3 2 8 6 3 3
2
PQ EF
S MI a x x a x ax a
. Chọn A.
| 1/53
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a) Định nghĩa:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng P nếu
d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng P .
b) Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P . c) Các tính chất
 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
đường thẳng a cho trước.
 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng P cho trước.  Tính chất 3:
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 được viết gọn là: a // b   P b .  P      a a  P 
 b  P  a // b a   b  Tính chất 4:
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4 được viết gọn là:   P // Q    a  Q . a   P Trang 1 a  P 
 b  P  P // Q .   P   Q  Tính chất 5:
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng P song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với P thì cũng song song với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường
thẳng thì chúng song song với nhau.
Tính chất 5 được viết gọn là: a // P   a b . b   P   a  P 
 a  b  a // P.   P   b
d) Định lý ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng P .
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên P .
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Trang 2
a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
và mặt phẳng P bằng 90 (hình 1).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P thì góc giữa a và hình chiếu a của nó trên P
được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P (hình 2).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90 .
b) Phương pháp xác định và tính góc:
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tìm hình chiếu a của a trên mặt phẳng P ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm M  a  P .
Tìm một điểm A tùy ý trên đường thẳng a  A  M  và xác định
hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng P . Khi đó, a là
đường thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta có:   a;P    AMH .  HM cos    AM  AH
Xét tam giác vuông AMH ta có: tan   (trong đó d  ;
A P là khoảng cách từ điểm  MH  AH d  ; A P s  in     AM AM
A đến mặt phẳng P ).
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp giải:
Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P ta chứng minh:
 d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong P .
 d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với P .
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là
trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh BC   ADI  .
b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH  BCD . Lời giải: Trang 3
a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A AI  BC và D ta có: 
(trong tam giác cân đường trung tuyến DI  BC
đồng thời là đường cao). Do đó BC   AID .
b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AH  DI .
Mặt khác BC   AID  BC  AH . Do đó AH  BCD .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD . Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng BC  SAB,CD  SAD .
b) Chứng minh rằng AM  SBC, AN  SCD .
c) Chứng minh rằng SC   AMN  và MN // BD .
d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng  AMN . Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. Lời giải:
a) Do SA   ABCD  SA  BC .
Mặt khác ABCD là hình vuông nên BC  AB . BC  AB Khi đó   BC  SAB . BC  SA
Tương tự chứng minh trên ta có: CD  SAD.
b) Do BC  SAB  BC  AM .
Mặt khác AM  SB  AM  SBC
Tương tự ta có: AN  SCD . AM   SBC AM  SC c) Do     SC   AMN  . AN   SCD AN  SC
Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CM  DN .
Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN // BD .
d) Do ABCD là hình vuông nên AC  BD , mặt khác SA  BD  BD  SAC.
Do MN // BD  MN  SAC   MN  AK .
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng BCD trùng với trực tâm của tam giác BCD. Trang 4 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng    . 2 2 2 2 AH AB AC AD
c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. Lời giải:
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng BCD thì AH  BCD . AD  AB Ta có: 
 AD   ABC  AD  BC . AD  AC
Mặt khác AH  BC  BC   ADH   BC  DH
Tương tự chứng minh trên ta có: BH  CD
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD.
b) Gọi E  DH  BC , do BC   ADH   BC  AE . 1 1 1
Xét ABC vuông tại A có đường cao AE ta có:   . 2 2 2 AE AB AC 1 1 1 1 1 1 Lại có:      (đpcm). 2 2 2 2 2 2 AH AD AE AB AC AD 2 2 BC  x  y   c) Đặt AB  ;
x AC  y và AD  z . Ta có: 2 2 BD  x  z  2 2 CD  y  z  2 2 2 2 BC  BD  CD x Khi đó cos B    0   CBD  90 2.BC.BD BC.BD  BDC  90
Tương tự chứng minh trên ta cũng có 
 tam giác BCD có 3 góc nhọn.  BCD  90
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC , các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H
và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy. b) SC  BHK  . c) HK  SBC . Lời giải:
a) Giả sử AH  BC tại M. BC  AM Ta có: 
 BC  SAM   BC  SM BC  SA
Mặt khác SK  BC  S, K, M thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M.
b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên BH  AC Trang 5
Mặt khác BH  SA  BH  SAC  BH  SC .
Lại có: BK  SC  SC  BHK  .
c) Do SC  BHK   SC  HK , mặt khác
BC  SAM   BC  HK . Do đó HK  SBC .
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA  SC, SB  SD .
a) Chứng minh rằng SO   ABCD .
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK  SBD và IK  SD . Lời giải:
a) Do SA  AC  SAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là
đường cao suy ra SO  AC .
Tương tự ta có: SO  BD  SO   ABCD .
b) Do ABCD là hình thoi nên AC  BD
Mặt khác SO   ABCD  AC  SO Do vậy AC  SBD .
IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên IK // AC mà
AC  SBD  IK  SBD .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam
giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông.
b) Chứng minh rằng SI  SCD; SJ  SAB .
c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SH   ABCD. Lời giải: 3
a) Ta có: SAB đều cạnh a nên  a SI 2
Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ  BC  a .  CD a
SCD là tam giác vuông cân đỉnh S  SJ   . 2 2 Do đó 2 2 2 2
SJ  SI  IJ  a  SIJ vuông tại S.
b) Do SCD cân tại S nên SJ  CD Do AB // CD  SJ  AB .
Mặt khác SJ  SI  SJ  SAB.
Chứng minh tương tự ta có: SI  SCD . Trang 6
c) Do SI  SCD  SI  CD
Mặt khác CD  IJ  CD  SIJ   CD  SH .
Do SH  IJ  SH   ABCD .
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của
AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MC  2MI , NA  2NS . Biết
SH   ABC , chứng minh MN   ABC . Lời giải:
Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC  2MI
 M là trọng tâm tam giác ABC  M  AH  CI . NA MA Ta có:   2  MN // SH . NS MH
Mặt khác SH   ABC  MN   ABC .
 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia Phương pháp giải:
 Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta đi tìm mặt phẳng   chứa đường
thẳng b sao cho việc chứng minh a    dễ thực hiện.
 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB.
Tứ diện ABCD đều nên ABD và ABC là các tam giác đều suy DM  AB ra   AB  MCD . CM  AB Do đó AB  CD .
Chứng minh tương tự ta cũng có BC  AD, AC  BD .
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và đáy ABCD là hình thang Trang 7 vuông tại A và D với   AB AD CD . 2
a) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, chứng minh CI  AB và DI  SC .
b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. Lời giải:
a) Đặt AB  2a  AD  CD  a .
Do AB  2CD  AI  AD  CD  CI  a .
Khi đó AICD là hình vuông cạnh a. Do CI  AB . AC  DI Mặt khác 
 DI  SAC  DI  SC . DI  SA
b) Do SA   ABCD  SAD,SAB vuông tại S. CD  AD Mặt khác 
 CD  SAD  CD  SD nên CD  SA SCD vuông tại D. 1
Xét ACD có trung tuyến CI  AB  ACD vuông tại C  BC  AC . 2
Mặt khác BC  SA  BC  SAC   BC  SC  SCB vuông tại C.
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC. 
A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC vuông góc với đáy và CC  a .
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI  BC .
b) Gọi M là trung điểm của BB . Chứng minh BC  AM .
c) Gọi K là điểm trên đoạn  A B sao cho   a B K
và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 4 AM  MK và AM  KJ . Lời giải:
a) Do ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên AI  BC .
Mặt khác AI  CC  AI  BCCB  AI  BC .
b) Dễ thấy BCCB là hình vuông nên BC  BC .
Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác BBC nên
MI // BC suy ra MI  BC .
Lại có: AI  BC  BC   AIM   BC  AM . KB 1 AB c) Ta có: tan  KMB   ; tan  AMB   2 MB 2 BM Suy ra tan  KMB  cot  AMB   KMB   AMB  90 . Do đó  AMK  90  AM  MK . Trang 8 AM  BC Mặt khác   AM  MJ . MJ // BC 
Suy ra AM  MKJ   AM  KJ .
 Dạng 3: Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Loại 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy  ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy  ABC .
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên  ABC . Vậy S ; A  ABC   S ;AHA    SAH .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB  ; a BC  a 3 . Biết
SA   ABC , SB tạo với đáy một góc 60 và M là trung điểm của BC.
a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng  ABC .
b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng  ABC . Lời giải:
a) Do SA   ABC  SB; ABC    SBA  60 . Do đó SA  AB tan  SBA  a tan 60  a 3 . Ta có: 2 2 AC  AB  BC  2 ; a SC; ABC    SCA . AC AC 2a 2 Khi đó: cos  SCA     . 2 2 2 2 SC SA  AC 3a  4a 7
b) Do SA   ABC  SM ; ABC    SMA   . 2  a 3  a 7 Ta có: 2 2 2 AM  AB  BM  a      . 2  2   AM AM 133 Khi đó cos    . 2 2 SM SA  AM 19
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB  2a; AD  a . Tam giác SAB đều và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng  ABCD .
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng  ABCD . Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH  AB . Trang 9   SAB   ABCD Mặt khác   SH   ABCD. AB   SAB ABCD
Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH  a 3 . 2 2 HC  HB  BC  a 2 .
Do SH   ABCD  S ; B  ABCD    SBH  60  SH SC; ABCD    SCH và  3 tan SCH   . HC 2 2  a  a 5 b) Ta có: 2 2 2 HI  HB  BI  a     .  2  2 SH a
Mặt khác SI; ABCD    SIH và  5 2 15 tan SIH   a 3 :  . SI 2 5
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD  2a . Biết SA   ABCD và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc 45 .
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy  ABCD .
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng  ABCD . Lời giải: 1
a) Gọi O là trung điểm của AD  OABC là hình thoi cạnh a  CO  a  AD  ACD vuông tại C. 2
Do SA   ABCD  SB; ABCD    SBA  45.
Do đó SA  AB tan 45  a 2 2
AC  AD  CD  a 3  cos SC; ABC   cos  SCA AC AC a 3 3     . 2 2 2 2 SC SA  AC a  3a 2 SD ABCD    AD 2 cos ; cos SDA   . 2 2 SA  AD 5 2  a  a 13 b) Ta có: 2 2 2 AI  AC  CI  3a     .  2  2 SA Do đó SI ABCD    2 tan ; tan SIA   . AI 13
Loại 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng SHA với SHA  ABH .
Dựng BK  AH , có BK  SH  BK  SHA . Trang 10
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng SAH  . Vậy S ; B SAH    S ;BSK    BSK .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3, SA   ABCD . Biết SC
tạo với đáy một góc 60 . Tính cosin góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng SAB ; SC và mặt phẳng SAD.
b) SD và mặt phẳng SAC  . Lời giải:
a) Do SA   ABCD  SC; ABCD    SCA  60 . Lại có: 2 2
AC  AB  AD  2a  SA  AC tan 60  2a 3 . 2 2 SB  SA  AB  a 13  Khi đó 2 2 SD  SA  AD  a 15  2 2 SC  SA  AC  4  a CB  SA Do 
 CB  SAB  SC;SAB    CSB . CB  AB SB Mặt khác  13 cos CSB   . SC 4 SD
Tương tự CD  SAD  SC;SAD    CSD và  15 cos CSD   . SC 4
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BD  a 3, SA   ABCD . Biết SC tạo
với đáy một góc 60 . Tính tan góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng SAB .
b) SD và mặt phẳng SAC  . Lời giải:
a) Ta có: AC  BD tại O. Khi đó OA  OC,OB  OD . OB
Xét tam giác vuông OAB ta có:  3 sin OAB   AB 2  
OAB  60  ABC đều cạnh a.
Mặt khác SA   ABCD  SC; ABCD    SCA  60 .
Suy ra SA  AC tan 60  a 3 .
Dựng CH  AB  CH  SAB  SC;SAB    CSH .
Do ABC đều cạnh a nên H là trung điểm của AB. a 3 CH 13 Ta có: CH   tan  CSH  trong đó 2 2    a SH SA AH . 2 SH 2 Trang 11 Do đó  3 39 tan CSH   . 13 13 DO  AC b) Ta có:   S ; D SAC    DSO và tan   OD DSO . DO  SA SO a 3 a 13 39 Trong đó 2 2 OD  ; SO  SA  OA   tan  DSO  . 2 2 13
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt  
đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB  2
 HA. Biết AB  3, AD  6 và SH  2 . Tính tan góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng SHD .
b) SB và mặt phẳng SHC . Lời giải: 2 2 SA  SH  AH  5
a) Ta có: AH  1, HB  2   2 2 SB  SH  HB  2 2
Dựng AE  DH  AE  SHD  S ; A SHD    ASE AH.AD 6 Mặt khác AE   2 2 AH  AD 37 AE Suy ra  6 tan ASE   . SA 185
b) Dựng BF  HC  BF  SHC. BH.BC 3 10 Khi đó S ; B SHC    BSF , BF   . 2 2 BH  BC 5 BF Ta có: SB SHC    3 5 tan ; tan BSF   . SB 10
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ ABC . D 
A BCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  2a, AD  2a 3 ,
hình chiếu vuông góc của 
A lên mặt phẳng  ABCD trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên A 
A tạo với đáy một góc 60 . Tính cosin góc tạo với  A C và mặt phẳng   A BD . Lời giải: Ta có: 2 2
AC  AB  BC  4a  OA  2a  OC . Do 
A O   ABCD    A ; O  ABCD     A AO  60 .   A O  OA tan 60  2a 3
Dựng CH  BD  CH    A BD    A C;  A BD    C  A H . Trang 12 BC.CD Ta có: CH   a 3 , 2 2 2 2
AC  OA'  OC  12a  4a  4a . 2 2 BC  CD  A H  A C  HC a  a Suy ra  2 2 2 2 16 3 13 cos C  A H     .  A C  A C 4a 4
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. 
A BC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính góc tạo bởi  A C và 2 mặt phẳng  ABB  A  biết   a AA . 2 Lời giải: 3 Dựng    a CH AB CH . 2 CH  AB Do   CH   ABB  A     A C; ABB  A     C  A H . CH  A  A 2 2 a  a  a 3 Lại có: 2 2 AH  AA'  AH      . 2  2  4 CH Do đó tan  C  A H  1  C  A H  45 .  A H Vậy   A C; ABB  A     C  A H  45 .
Loại 3: Góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng SAB . Dựng HE  AB, HF  SE .
Ta có: AB  SH  AB  SHE  AB  HF .
Mặt khác HF  SE  HF  SAB  F là hình chiếu vuông góc
của H trên mặt phẳng SAB . Vậy SH;SAB   HF;SF    HSF .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên SA  a 3 và vuông góc
với đáy. Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC  . Lời giải:
Từ A kẻ AK vuông góc với BC tại K.
Ta có: SA  BC và AK  BC  BC  SAK  .
Kẻ AH  SK, H  SK . Mà BC  AH .
Suy ra AH  SBC  S ; A SBC    ASH   ASK .
Tam giác SAK vuông tại A, có SA  AK  a 3 . Trang 13
 tam giác SAK vuông cân tại A nên  ASK  45 . Vậy SA SBC  ;  45 .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB  a, AD  2a, SA  2a và SA   ABCD .
Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng SBC,SBD và SCD . Lời giải: BC  AB Do   BC  SAB . BC  SA
Dựng AM  SB  AM  SBC  M là hình chiếu vuông góc của A trên SBC  . Khi đó: S ; A SBC    ASM   ASB   . AB 1 Do đó tan   . SA 2 AD Tương tự ta có: S ; A SCD    ASD   và tan    1. SA BD  AE
Dựng AE  BD, AF  SE ta có: 
 BD  SAE  BD  AF . BD  SA
Mặt khác AF  SE  AF  SBD  S ; A SBD    ASF   ASE . A . B AD 2a AE 1 Khi đó tan   AE ASE , trong đó AE    tan  ASE   . SA 2 2 AB  AD 5 SA 5
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD  2AB  2CD  2a và
SA   ABCD . Biết rằng SC tạo với đáy một góc 60 . Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng
SBC,SCD và SBD. Lời giải: Ta có: 2 2 AC  AB  BC  a 2
Do SA   ABCD  SC; ABCD    SCA  60 .
Suy ra SA  AC tan 60  a 6 . BC  SA Dựng AM  SB , có   BC  AM . BC  AB
Do đó AM  SBC  M là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC  . Suy ra: S ; A SBC    ASM   ASB . AB a Ta có:  1 tan ASB    . SA a 6 6 Trang 14 AD
Gọi I là trung điểm của AD  ABCI là hình vuông cạnh a  CI 
 a  ACD vuông tại C. Khi 2 CD  SA đó   CD  SAC. CD  AC AC a Dựng AN  SC  S ; A SCD    ASN   ASC . Ta có:  2 1 tan ASC    . SA a 6 3 AE  BD Dựng   S ; A SBD    ASF   ASE . AF  SE A . B AD 2a AE 30 Mặt khác AE    tan  ASE   . 2 2 AB  AD 5 SA 15
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD  2a . Biết SA   ABCD và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60 .
a) Tính tan góc tạo bởi SA và SBC  .
b) Tính góc tạo bởi SA và SCD . Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của AD  OABC là hình thoi cạnh 1
a  CO  a  AD  ACD vuông tại C. 2
Do SA   ABCD  SB; ABCD    SBA  60 . 2 2
 SA  AB tan 60  a 3, AC  AD  CD  a 3 .
Dựng AE  BC, AF  SE  S ; A SBC    ASF   ASE . Do  ABE  120   ABE  60 . Mặt khác   3 sin  sin 60  a AE AB ABE AB . 2 AE Suy ra SA SBC    1 tan ; tan ASE   . SA 2 CD  SA b) Do 
 CD  SAC. Dựng AK  SC  AK  SCD CD  AC Khi đó S ; A SCD    ASK   ASC   . AC a 3 Ta có: tan  
1   45. Vậy SA SCD  ;  45 . SA a 3
Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ ABC. 
A BC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B lên 3
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao   a B H
. Tính cosin góc giữa đường 4
thẳng BH và mặt phẳng BCCB . Trang 15 Lời giải: BC  BH
Dựng HE  BC, HF  BE ta có:  suy ra BC  HE
BC  HF  HF  BBCC  BH BCCB  ;   HBF   HBE . a a Ta có: HE  HB  3 sin HBE  sin 60  2 4 BH BH 3 Do đó cos  HBE    . 2 2 BE BH  HE 2
Loại 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên (Nâng cao)
Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng SAB . Đặt SC;SAB
 0   90. d C;SAB
Ta có công thức: sin  . SC
Từ đó suy ra các giá trị cos hoặc tan nếu đề bài yêu cầu.
Chú ý: Để hiểu được nội dung này các bạn phải nắm được kiến thức về khoảng cách, nếu chưa rõ thì sau
khi học xong khoảng cách quay lại nghiên cứu nội dung này nhé!
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD  2a, AB  a 2 . Tam giác SAD
cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc 30 . Tính sin góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng SBC  .
b) SD và mặt phẳng SAC  . Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH  AD
Lại có: SAD   ABCD  SH   ABCD . Ta có: 2 2
HA  a; HB  HA  AB  a 3
Do SH   ABCD  SB; ABCD    SBH  30
Suy ra SH  HB tan 30  a .
a) Do AD // BC  AD // SBC . Do vậy d  ;
A SBC  d H;SBC . HE  BC Dựng 
ta có: BC  HF từ đó suy ra HF  SBC HF  SE
 d H;SBC  HF  d  ; A SBC  . Ta có: 2 2
SA  SH  SA  a 2  SD . 1 1 1 a 6 d  ; A SBC  3 Mặt khác:    HF   sin S ; A SBC   . 2 2 2       HF SH HE 3 SA 3 Trang 16
b) Dựng HN  AC  AC  SHN  , dựng HI  SN  HI  SAC DA d D;SAC Do  2    d  ; D SAC   2d H; SAC   SAC       2HI HA d H ; 2a 2 a HN.SH a Dựng DM  AC  DM   HN   HI 
  d D;SAC  a . 2 2 6 3 HN  SH 2 d D; SAC  a 1 Ta có: sin SD;SAC       . SD a 2 2
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB  a 3; AD  a , tam giác SBD là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi
SA và mặt phẳng SBC  . Lời giải:
Gọi O là trung điểm của BD ta có: SO  BC mặt khác
SBD  ABC  SO   ABC 1 Ta có: 2 2
BD  AB  AD  2a  SO  BD  a . 2
Dựng OE  BC,OF  SE  OF  SBC . d  ; D SBC  2d  ; O SBC  2HF 1 3 Ta có:   a HE AB 2 2 SH.OE 3 a 21  OF   a  2 2 SH  OE 7 7 Suy ra    2 21 ;  a d A SBC . Mặt khác 2 2 SA  SO  OA  a 2 . 7 d  ; A SBC  42 Do đó sin S ; A SBC       . SA 7
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC. 
A BC có đáy là tam giác vuông tại A với AB  ; a AC  a 3 , hình chiếu vuông góc của 
A lên mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết 
A H  a 2 . Tính cosin góc tạo bởi 
A B với mặt phẳng  ACC  A  . Lời giải:
Dựng HE  AC và HF   A E AC   A H Ta có: 
 AC  HF  HF   A  A C  . AC  HE Khi đó d H;  A AC   HF .
Lại có BC  2HC nên d  ; B  A 
A C   2d H; A  A C  . Trang 17
Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC nên  AB  a ME . 2 2 HE.  A M a 2 Khi đó: HF   . 2 2 HE   A M 3 2a 2 Suy ra d B; A  A C  2 2  ; BC  AB  AC  2a . 3 Lại có 2 2  A B   A H  HB  a 3 . Suy ra d B  A AC sin   ;   A ; B   A AC     2 6 57 2  sin  
 cos  1 sin   . B  A 9 9
Ví dụ 4. Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, gọi E là điểm đối xứng của D qua trung
điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng MN  BD . Lời giải:
Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD. IN // AC Ta có:   BD  IN (1). AC  BD IM // BE Mặt khác   IM  PO (*). BE  PO
Mà PO  BD (**) (Do BPD là tam giác cân tại P có đường trung tuyến PO).
Từ (*) và (**) ta có: BD  IM (2).
Từ (1) và (2) ta có: BD  IMN   BD  MN .
 Dạng 4: Thiết diện vuông góc với một đường thẳng cho trước Phương pháp giải:
Giả sử thiết diện là một phần của mặt phẳng P và P  d . Khi đó ta tìm mặt trung gian   dễ thấy
và    d    // P và quy về thiết diện có yếu tố song song đã biết. 3
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, SA   ABC và AB  BC  a ,  a SA . 2
Điểm M  AB, AM  x 0  x  a , mặt phẳng   đi qua M vuông góc với AB.
a) Dựng thiết diện được tạo bởi hình chóp với mặt phẳng   .
b) Tính thiết diện của thiết diện theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất. Lời giải:
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt SB tại Q.
Vì AB  BC  BC // mp   , kẻ MN song song với BC ( N  BC ). Trang 18
Vì SA  AB  SA // mp   , kẻ NP song song với SA ( P  SC ).
Suy ra mp   cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Dễ thấy MNPQ là hình chữ nhật  S  MN.MQ MNPQ MQ BM AM 3 BMQ ∽ BAS    1  MQ  1 x . SA AB AB 2 MN AM 3 AMN ∽ ABC    MN  x  S  x  x . MNPQ  2  BC AB 2 2 1  1  1 3 1 3 3 Mà 2 x  x    x   S  .    . Vậy S  . 4  2  4 MNPQ 2 4 8 max 8
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có BCD đều, gọi BH là đường cao của BCD , O là trung điểm của BH và
AO  BCD, AO  BH  2a , trên OH lấy điểm I sao cho BI  xa  x  2a, mặt phẳng   đi qua I
và vuông góc OH. Dựng và tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi   . Lời giải:
Vì AO  BCD  AO  OH
Qua I kẻ IK // AH K  AH  .
Tam giác BCD đều  BH  CD , qua K kẻ đường thẳng d song song
với đường thẳng CD cắt SC, SD lần lượt tại M, N.
Qua I kẻ đường thẳng Δ song song với đường thẳng CD cắt BC, BD lần lượt tại Q, P.
Suy ra mp   cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ. 1
Diện tích hình thang MNPQ là S  IK.MN  PQ . MNPQ  2 PQ BI x 4a 3 2x 3 Tam giác BCD, có   PQ  .  . CD BH 2a 3 3 MN AK OI OI.CD 4 3 Tam giác ACD, có    MN   x a . CD AH OH OH 3 IK IH IH.AO Tam giác AHO, có   IK   22a  x . AO OH OH 1  2x 3 4 3  2 3
Vậy diện tích hình thang MNPQ là S  .22a  x  x  a 
2a  x3x  2a. 2  3 3  3  
Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,    6 ,  a SO ABCD SO . Mặt 2
phẳng P đi qua A và vuông góc với SC. Xác định và tính diện tích thiết diện của P với hình chóp. Lời giải:
Kẻ AN  SC N  SC và AN  SO  I Trang 19
Ta có BD  SAC  BD  SC , qua I kẻ đường thẳng d song
song với BD cắt SB, SC lần lượt tại M, P  mp P   AMNP .
Suy ra mp P cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác AMNP. Tam giác SAO có 2 2
SA  SO  OA  a 2  AC
 Tam giác SAC đều  N là trung điểm của SC
 I là trọng tâm tam giác SAC MP SI 2 2a 2     MP  . BD SO 3 3 2 1 1 2a 2 a 6 a 3
Vậy diện tích tứ giác AMNP là S  M . P AN  . .  . AMNP 2 2 3 2 3 a 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều bằng . Gọi I là 2
trung điểm của BC,   là mặt phẳng qua A và vuông góc với SI. Hãy xác định thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng   . Lời giải:
Gọi O là tâm của tam giác ABC  SO   ABC .
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SI tại H.
Ta có SI  BC  BC // mp   , qua H kẻ đường thẳng d song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N  mp   cắt khối chóp theo thiết
diện là tam giác cân AMN.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy, SA  a 2 . Kẻ AH vuông góc với SB. SH 2 a) Chứng minh  . SB 3
b) Mặt phẳng P qua A vuông góc với SB cắt SC tại M. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi P và tính thiết diện đó. Lời giải: S . A AB a 6
a) Tam giác SAB vuông tại A, có AH   . 2 2 SA  AB 3 2 3
Tam giác SAH vuông tại H, có 2 2    a SH SA AH 3 Trang 20 SH SH 2a 3 2 SH 2 Suy ra   : a 3    . 2 2 SB SA  AB 3 3 SB 3
b) Ta có SA   ABCD  SA  BC mà AB  BC
Suy ra BC  SAB  BC  SB  BC // mp P .
Kẻ HK song song với BC M  SC   mp P cắt khối chóp đã cho
theo thiết diện là tứ giác AHMD.
Dễ thấy AH  SBC  AH  MH và MH // AD  AHMD là hình thang vuông. SH MH 2 2 2a
Lại có SHM ∽ SBC     MH  BC  . SB BC 3 3 3 2 1 1 a 6  2a  5a 6
Diện tích hình thang vuông AHMD là S  AH HM  AD  .  a    . 2 2 3  3  18
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Cạnh AB  2a , AD  DC  a ,
SA   ABCD, SA  a .
a) Chứng minh SBC  SAC .
b) Gọi   là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mp SAC  . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
 . Tính diện tích thiết diện ấy.
c) Mp   đi qua trung điểm M của SA và N  AD , AN  x0  x  a , vuông góc với SAD. Xác định
và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp   theo a và x. Lời giải: 1
a) Gọi I là trung điểm của AB  IC  AB 2
Suy ra ABC vuông tại C  AC  BC mà SA   ABCD .
 BC  SAC  SAC  SBC  Điều phải chứng minh.
b) Vì ADCI là hình vuông  AC  DI nên thiết diện cắt bởi
mặt phẳng   và hình chóp S.ABCD là tam giác SDI. 2 a 3
Tam giác SDI có SD  SI  DI  a 2  S  (đvdt). SDI 2
c) Dễ thấy AB // CD và AB  mp SAD .
Qua M, N lần lượt kẻ đường thẳng d , d song song với AB và cắt SB, BC tại P, Q suy ra MNPQ là hình 1 2 thang vuông.
Do đó, MNPQ là thiết diện cắt bởi mặt phẳng   và hình chóp S.ABCD. 2
Tam giác AMN vuông tại A, có 2 2 2     a MN AM AN x . 4 Trang 21 MQ SM 1 AB Vì MQ // AB     MQ   a ; AB SA 2 2 NP DN a     x NP // AB  NP  2a  x. AB DA a 2 1 3a  2x a
Vậy diện tích hình thang MNPQ là S  .MN.MQ  NP 2  . x  . 2 2 4
Ví dụ 7. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O; SO  2a . Gọi M là điểm thuộc đoạn AO ( M  ;
A M  O ). Mặt phẳng   đi qua M và vuông góc với AO. Đặt AM  x . Tính diện
tích S của thiết diện tạo bởi   với hình chóp S.ABC. 3 A. 2 S  2a . B. 2 S  2x . C. S  a  x2 . D. S  a  x2 2 . 2 Lời giải:
Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO   ABC (O là tâm của tam giác ABC). Do đó SO  A  A mà    A  A suy ra SO //  .
Tương tự ta cũng có BC //   .
Qua M kẻ IJ // BC với I  AB, J  AC ;
Kẻ MK // SO với K  SA .
Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác KIJ. 1
Diện tích tam giác IJK là S  IJ.MK . IJK 2 IJ 2 2x 3 Trong tam giác ABC, ta có   IJ  . BC 3 3 MK AM
Tương tự trong tam giác SAO, ta có  SO AO AM .SO 1 2x 3 Suy ra MK   2x 3 . Vậy 2 S  . .2x 3  2x . Chọn B. AO IJK 2 3
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  a và vuông góc với đáy. Mặt
phẳng   đi qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. Tính diện tích S của thiết diện tạo
bởi   với hình chóp đã cho. 2 2 21 2 4 21 2 21 2 2 21 A.  a S . B.  a S . C.  a S . D.  a S . 49 49 7 7 Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC  AI  BC .
Kẻ AK  SI K  SI  .
Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N → thiết diện là tam giác AMN. Trang 22 BC  AI Ta có 
 BC  SAI   BC  AK  MN  AK . BC  SA S . A AI a 21
Tam giác vuông SAI, có AK   . 2 2 SA  AI 7 2 MN SK SA 4 4a Tam giác SBC, có     MN  . 2 BC SI SI 7 7 2 1 2a 21 Vậy diện tích S  AK.MN  . Chọn A. AMN 2 49
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  a và vuông góc với đáy. Mặt
phẳng   đi qua trung điểm E của SC và vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi   với hình chóp đã cho. 2 5 3 2 7 2 5 3 2 5 2 A.  a S . B.  a S . C.  a S . D.  a S . 16 32 32 16 Lời giải:
Gọi F là trung điểm AC → EF // SA .
Do SA   ABC  SA  AB nên EF  AB .
Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.
Suy ra CJ  AB và FG // CJ nên FG  AB .
Trong SAB kẻ GH // SAH  SB  GH  AB .
Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH. 1 Do đó S  EF  GH FG . EFGH  . 2 1 a 1 a 3
Ta có EF  SA  ; FG  CJ  ; 2 2 2 4 GH BG 3a Và   GH  BG  . SA BA 4 2 1  a 3a  a 3 5a 3 Vậy S   .  . Chọn C. EFGH   2  2 4  4 32
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và vuông góc với đáy. Gọi
  là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi   với hình chóp đã cho. 2 15 2 5 2 3 2 15 A.  a S . B.  a S . C.  a S . D.  a S . 10 8 12 20 Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AC  BI  AC . Trang 23 BI  AC Ta có 
 BI  SAC  BI  SC . BI  SA
Kẻ IH  SC H  SC  SC  BIH  .
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH.
Do BI  SAC  BI  IH nên IBH vuông tại I.
Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS suy ra IH CI CI.SA CI.SA a 5   IH    . 2 2 SA CS CS SA  AC 5 2 1 a 15
Vậy diện tích cần tính là S  BI.IH  . Chọn D. BIH 2 20 Trang 24 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   thì d vuông góc với bất
kì đường thẳng nào nằm trong   .
B. Nếu đường thẳng d    thì d vuông góc với hai đường thẳng trong   .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong   thì d    .
D. Nếu d    và a //   thì d  a .
Câu 2. Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng P , đường thẳng Δ được gọi
là vuông góc với mặt phẳng P nếu
A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng P .
B. vuông góc với đường a mà a song song với mặt phẳng P .
C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng P .
D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng P .
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Câu 4. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng P , trong đó a  P . Chọn mệnh đề sai trong
các mệnh đề dưới đây?
A. Nếu b  P thì a // b .
B. Nếu b // a thì b  P .
C. Nếu b  P thì b  a .
D. Nếu a  b thì b // P .
Câu 5. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng P , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu a  P và b  a thì b // P .
B. Nếu a // P và b  P thì b  a .
C. Nếu a // P và b  a thì b // P .
D. Nếu a // P và b  a thì b  P .
Câu 6. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Nếu a  b và b  c thì a // c .
B. Nếu a    và b //   thì a  b .
C. Nếu a // b, b  c thì c  a . Trang 25
D. Nếu a  b,b  c và a cắt c thì b  a,c .
Câu 7. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.
C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Với mỗi điểm A  và mỗi điểm B   thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d
của   và   .
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b, với b  P .
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q thì P // Q.
D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng P thì a // b .
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA   ABC . Gọi H, K lần
lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai? A. CH  AK B. CH  SB C. CH  SA D. AK  SB Trang 26
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC . Gọi H là chân đường
cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây sai? A. SA  BC B. AH  BC C. AH  AC D. AH  SC
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH  BCD . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. CD  BD B. AC  BD C. AB  CD D. AB  CD
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA  SC, SB  SD . Khẳng
định nào dưới đây đúng? A. AB  SAC B. CD  AC C. SO   ABCD D. CD   ABCD
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA   ABCD . Khẳng
định nào dưới đây sai? A. SA  BD B. SC  BD C. SO  BD D. AD  SC
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA   ABCD . Gọi I là trung
điểm SC. Khẳng định nào dưới đây sai? A. SO   ABCD B. BC  SB C. SCD vuông tại D
D. SAC  là mặt phẳng trung trực của BD
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AD  CD  a, AB  2a .
Cạnh bên SA   ABCD , E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây? A. CE  SAB B. CB  SAC  C. SDC vuông tại D D. CE  SDC 
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA   ABCD . Gọi AE, AF
lần lượt là đường cao của SAB và SAD . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. SC   AFB B. SC   AEC C. SC   AED D. SC   AEF 
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC, ABC.
Mệnh đề nào sau đây sai? A. BC  SAH  B. SB  CHK  C. HK  SBC D. BC  SAB
Câu 20. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A.  ABD B.  ADC C.  A C  D D.  AB C  D
Câu 21. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O
trên mặt phẳng  ABC . Mệnh đề nào sau đây sai? Trang 27 1 1 1 1 A. OA  BC B.    2 2 2 2 OH OA OB OC C. H là trực tâm A  BC D. 2 2 2 2 3OH  AB  AC  BC
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD . Gọi I, J, K lần lượt là trung
điểm của AB, BC, SB. Khẳng định nào dưới đây sai? A. IJK  // SAC  B. SC BD  ,  60 C. BD  IJK  D. BD  SAC
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. CD, ABD    CBD B.  AC,BCD    ACB C.  AD, ABC    ADB D.  AC, ABD    CBA
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC . Gọi O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của O trên  ABC . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. H là trung điểm của cạnh AB.
B. H là trung điểm của cạnh BC.
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
D. H là trọng tâm của ABC .
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, SA  SB  SC . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của S trên  ABC . Khi đó
A. H là trực tâm của ABC .
B. H là trọng tâm của ABC .
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
D. H là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có  BSC  120 ,   CSA  60 ,  
ASB  90 và SA  SB  SC . Gọi I là hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABC , khi đó
A. I là trung điểm của AB.
B. I là trọng tâm của tam giác ABC.
C. I là trung điểm của AC.
D. I là trung điểm của BC.
Câu 27. Cho hình hộp ABCD.AB C  D
  có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O,  BAD  60 và
AA  AB  AD . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABCD là A. trung điểm của AO.
B. trọng tâm của tam giác ABD.
C. tâm O của hình thoi ABCD.
D. trọng tâm của tam giác BCD.
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng  ABC là
A. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Trang 28
B. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. trọng tâm của tam giác ABC.
D. giao điểm của hai đường thẳng AC và BD.
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD . Gọi M là hình chiếu của A
lên SD. Khẳng định nào sau đây sai? A. AM  SD B. AM  SCD C. AM  CD D. AM  SBC
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA   ABCD . Biết
SA  a 2 . Tính góc giữa SC và  ABCD . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 75 .
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA   ABCD . Biết a 6 SA 
. Tính góc giữa SC và  ABCD . 3 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD và đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi I là trung
điểm của SC. Xét các khẳng định sau (1). OI   ABCD . (2). BD  SC .
(3). SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. (4). SB  SC  SD .
Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 33. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D , đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? 1 1 1 1 1 A.  A DC . B.  A BD . C.  ACD . D.  A B CD . 1 1  1 1  1  1 1 
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB  a, BC  b, CD  c . Độ
dài đoạn thẳng AD bằng A. 2 2 2 a  b  c . B. 2 2 2 a  b  c . C. 2 2 2 a  b  c . D. 2 2 2 a  b  c .
Câu 35. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây cách đều
bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD?
A. Trung điểm của cạnh BD.
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. Trung điểm của cạnh AD.
D. Trọng tâm của tam giác ACD. Trang 29
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB  a, BC  2a . Hai mặt bên
SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD , cạnh SA  a 15 . Tính góc tạo bởi
đường thẳng SC và mặt phẳng  ABD. A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA  2a và vuông
góc với mặt đáy  ABCD . Gọi  là góc giữa SO và mặt phẳng  ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan  2 2 . B.   60 . C. tan  2 . D.   45 .
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA  a vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tang của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng SAB bằng 5 2 A. 2 . B. . C. 5 . D. . 5 2
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
ABC  60 , tam giác SBC là tam
giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Góc giữa đường thẳng SA và mặt
phẳng đáy  ABC bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD . Gọi  là góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy  ABCD .
Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 15 3 A. cot  . B. cot  . C.   30. D. cot  . 15 5 2
Câu 41. Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi  là góc giữa cạnh bên và
mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? 14 A. tan  7 . B.   60 . C.   45 . D. tan  . 2
Câu 42. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi  là góc giữa AB và mặt phẳng BCD . Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau? 3 3 3 A. cos  . B. cos  . C. cos  0 . D. cos  . 3 4 2
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây sai? A. CD  SBC  . B. SA   ABC . C. BC  SAB . D. BD  SAC .
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA  SC, SB  SD . Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 30 A. SA   ABCD B. SO   ABCD C. SC   ABCD D. SB   ABCD
Câu 45. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu a //   và b  a thì b //   .
B. Nếu a //   và b  a thì b    .
C. Nếu a //   và b    thì b  a .
D. Nếu a //   và b // a thì b //   .
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và SB. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. CM  AN B. AN  BC C. CM  SB D. MN  MC
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA   ABCD . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD là A.  SCD B.  CAS C.  SCA D.  ASC
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng nào sau đây? A. SB B. SD C. SC D. CD
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD, SA  a 6 . Gọi
  là góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 A.   45 B.   60 C. cos  D.   30 3
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. SA  BD B. CD  SD C. SD  AC D. BC  SB
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC  .
Khẳng định nào dưới đây đúng? 7 1 7 A. tan  . B. tan  . C. tan  7 . D. tan   . 7 7 7
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD là  . Khi đó tan bằng 1 2 A. 2 . B. . C. 1. D. . 3 2
Câu 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng BD với mặt phẳng SAD. Tính sin . 3 1 6 10 A. B. C. D. 2 2 4 4 Trang 31
Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 30 B. 90 C. 60 D. 45
Câu 55. Cho tứ diện ABCD có AB  AC, DB  DC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB  BC B. CD   ABD C. BC  AD D. AB   ABC
Câu 56. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi điểm M là điểm trên SD sao
cho SM  2MD . Tan góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD là 3 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 5 5 3
Câu 57. Cho khối chóp S.ABC có SA   ABC , tam giác ABC vuông tại B, AC  2a, BC  a ,
SB  2a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBC  . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 58. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC . Số các mặt của hình chóp
S.ABC là tam giác vuông là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 a 6
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD . Biết SA  . 3
Tính góc giữa SC và  ABCD A. 30 B. 60 C. 75 D. 45
Câu 60. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là
trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ). Tan của góc giữa hai đường
thẳng BM và mặt phẳng  ABCD bằng 2 3 A. B. 2 3 2 1 C. D. 3 3
Câu 61. Cho tứ diện đều ABCD. Tính cosin của góc giữa AB và BCD . 3 6 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 2
Câu 62. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B  C
  có tất cả các cạnh bằng a. Điểm M và N tương ứng là trung
điểm của các cạnh AC, BB . Cosin góc giữa đường thẳng MN và BA C   bằng Trang 32 3 21 4 21 A. B. 14 21 105 7 C. D. 21 14
Câu 63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  2, BC  2 2 , I là trung điểm của
AB. Biết SI   ABCD và SAB đều. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD A. 30 B. 45 C. 75 D. 60
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a 2 và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa SC và  ABCD bằng A. 45 B. 30 C. 60 D. 90
Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  ABC  60 ,
 SA  a 2 và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và SAC  A. 90 B. 30 C. 45 D. 60
Câu 66. Cho hình chóp tam giác đều, có tất cả các cạnh bằng a. Tính cotan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp 3 1 2 A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc  ABC  60 ,
 SA   ABCD,SA  a 3 .
Gọi a là góc giữa SA và mặt phẳng SCD . Tính tan . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 5
Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và SAC 
cùng vuông góc với đáy  ABCD và SA  2a . Tính cô- sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD. 1 5 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 2 5 5
Câu 69. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu vuông góc
của A lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm H của AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60 . Góc giữa đường thẳng AC và  ABC là   1  A. . B. . C. arcsin . D. . 4 3 4 6 Trang 33
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a,  ABC  60 ,
 SA  a 3 và SA   ABCD .
Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD . A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 . a 6 a 2
Câu 71. Cho hình chóp S.ABC có SA  SC  , SB  a 2, AB  BC  , AC  a . Tính góc 2 2 SB,ABC . A. 90 B. 45 C. 30 D. 60
Câu 72. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E, M lần lượt là trung điểm
của BC và SA. Gọi  là góc tạo bởi EM và SBD . Khi đó tan bằng A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
Câu 73. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB, P là
điểm trên cạnh BD sao cho BP  2PD . Diện tích của thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng MNP là 2 5a 147 2 5a 147 2 5a 51 2 5a 51 A. B. C. D. 2 4 2 4
Câu 74. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA   ABCD , SB  5a . Tính sin của
góc giữa SC và  ABCD 2 2 3 2 3 17 2 34 A. B. C. D. 3 4 17 17
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD,  là góc giữa đường thẳng MN và
SAC. Giá trị tan là 6 6 3 2 A. B. C. D. 3 2 2 3
Câu 76. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Mặt phẳng   đi qua A và
vuông góc với SC. Tìm hệ thức giữa a và b để   cắt SC tại điểm C nằm giữa S và C 1 A. a  b 2 B. a  b 3 C. a  b 2 D. a  b 3
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, BC  2a . Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng   đi qua S vuông góc với AB. Tính diện tích S
của thiết diện tạo bởi   với hình chóp đã cho. 2 a 3 2 a 3 2 a A. S  . B. S  . C. 2 S  a 3 . D. S  . 4 2 2 Trang 34
Câu 78. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC . Cho
AB  a, BC  a 3, SA  2a . Mặt phẳng P qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng P . 2 a 3 2 a 6 2 a 6 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 5
Câu 79. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, SA   ABC và SA  a 3 .
Gọi M là trung điểm BC, gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SM. Tính diện tích thiết diện
của P và hình chóp S.ABC. 2 a 6 2 a 2 a 6 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4
Câu 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD  8, BC  6 , SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD, SA  6 . Gọi M là trung điểm của AB. Gọi P là mặt phẳng đi qua M
và vuông góc với AB. Thiết diện của P và hình chóp có diện tích bằng A. 10 B. 20 C. 15 D. 16
Câu 81. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O, đường cao
AA ; SO  2a . Gọi M là điểm thuộc đoạn OAM  A ; M  O . Mặt phẳng   đi qua M và vuông góc
với AA . Đặt AM  x . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi   với hình chóp S.ABC. A.   2 2 2 8x  6 3ax  3a  B.  2 2 2 8x  6 3ax  3a  3 C. a  x2 D.   2 2 a x 2 Trang 35
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-D 3-B 4-D 5-B 6-A 7-C 8-D 9-B 10-A 11-D 12-C 13-D 14-C 15-D 16-D 17-C 18-D 19-D 20-A 21-D 22-B 23-B 24-C 25-C 26-D 27-B 28-A 29-D 30-C 31-A 32-A 33-B 34-A 35-C 36-C 37-A 38-B 39-C 40-B 41-D 42-A 43-A 44-B 45-C 46-B 47-C 48-C 49-B 50-C 51-A 52-D 53-C 54-C 55-C 56-B 57-B 58-B 59-A 60-D 61-A 62-D 63-A 64-A 65-B 66-C 67-A 68-D 69-A 70-C 71-B 72-C 73-D 74-D 75-A 76-C 77-B 78-D 79-C 80-C 81-A
Câu 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   thì d    . Khẳng định sai là C. Chọn C.
Câu 2: Đường thẳng   P nếu Δ vuông góc hai đường thẳng cắt nhau nằm trong P khi đó Δ vuông
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng P . Chọn D.
Câu 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song hoặc chéo
nhau. Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 4: Nếu a  b thì b // P hoặc b  P nên khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 5: Nếu a  P và b  a thì b // P hoặc b  P .
Nếu a // P và b  P thì b  a nên mệnh đề B đúng.
Nếu a // P và b  a thì b nằm trong mặt phẳng vuông góc với P nên C và D sai. Chọn B.
Câu 6: Nếu a  b và b  c thì a // c hoặc a chéo c nên mệnh đề A sai. Chọn A.
Câu 7: Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, các
đường thẳng này nằm trên cùng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước. Chọn C.
Câu 8: Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Khẳng định D sai. Chọn D.
Câu 9: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Chọn B.
Câu 10: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng đã cho. Chọn A. Trang 36
Câu 11: CH là đường trung tuyến trong tam giác ABC là tam giác cân tại C.
Do đó CH  AB , mặt khác CH  SA  CH  SAB .
Vậy CH  AK,CH  SB,CH  SA .
Chưa thể kết luận AK  SB nên khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 12: Ta có SA   ABC  SA  BC C  B  AB Mặt khác   CB  SAB C  B  SA
Khi đó CB  AH , do AH  SB  AH  SBC  AH  SC Vậy 
. Khẳng định sai là C. Chọn C. AH  BC
Câu 13: Do AH  BCD  AH  CD
Tam giác BCD có 2 đường chéo là BE và CF C  D  AH Ta có: 
 CD  SBE  CD  AB . Chọn D. C  D  BE
Câu 14: Tam giác SAC cân tại S có đường trung tuyến SO nên SO  AC . Tương tự ta có SO  BD
Vậy SO   ABCD . Chọn C.
Câu 15: Ta có SA   ABCD  SA  BD
ABCD là hình thoi nên AC  BD mặt khác BD  SA nên BD  SAC
Do đó SC  BD và SO  BD
Khẳng định sai là D. Chọn D. Trang 37 BC  AB Câu 16: Do 
 BC  SAB  BC  SB BC  SA
Tương tự ta có CD  SAD  CD  SD nên SCD vuông tại D.
Mặt khác AC  BD tại trung điểm O và BD  SA nên
BD  SAC nên SAC  là mặt phẳng trung trực của BD. Chọn D.
Câu 17: Ta có ADCE là hình vuông nên CE  AB
Mặt khác CE  SA suy ra CE  SAB 1
Lại có CE  AB  ACB vuông tại C 2
Khi đó AC  BC , mặt khác SA  BC nên BC  SAC C  D  SA   CD  SAD  S  DC vuông tại D. C  D  AD Chọn C. C  D  SA Câu 18: 
 CD  SAD  CD  AF C  D  AD
Mặt khác AF  SD  AF  SCD do đó AF  SC
Tương tự ta có AE  SC suy ra  AEF   SC . Chọn D.
Câu 19: Dựng AI  BC mà SA  BC nên BC  SAI 
Do đó BC  SI  H  SI , vậy BC  SAH  C  K  AB Lại có: 
 CK  SAB  CK  SB C  K  SA
Mặt khác CH  SB nên SB  CHK   SB  KH
Tương tự ta có SC  KH nên HK  SBC
Vậy các khẳng định A, B, C đúng.
Khẳng định sai là D. Chọn D. BD  AC Câu 20: Ta có   BD   A A  C C   BD  AA Trang 38 AB  AB
Do đó BD  AC (1), lại có   A B    AB C   AB  B C  
Suy ra AB  AC (2), từ (1) và (2) suy ra AC   ABD . Chọn A.
Câu 21: Ta có: OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên OA  OB
và OA  OC  OA  OBC   OA  BC
Mặt khác H là hình chiếu của O trên mặt phẳng  ABC nên
OH   ABC  OH  BC , gọi E  AH  BC
Do đó BC  OAE  AE  BC , tương tự ta có BH  AC suy ra H là trực tâm tam giác ABC 1 1 1 1 1 1 Mặt khác   ,   2 2 2 2 2 2 OH OA OE OE OB OC 1 1 1 1     . 2 2 2 2 OH OA OB OC
Các khẳng định đúng là A, B, C. Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 22: Dễ thấy IJ là đường trung bình trong tam giác ABC nên
IJ // AC , tương tự KI // SA suy ra IJK  // SAC  (1). BD  AC Mặt khác   BD  SAC (2) BD  SA Do đó BD  SC .
Từ (1) và (2) suy ra BD  IJK  .
Khẳng định sai là B. Chọn B. C  B  BA Câu 23: Ta có   CB   ABD C  B  BD Do đó CD, ABD    CDB
Tương tự ta có  AC,BCD    ACB,  AD, ABC    DAB và AC,ABD    CAB
Do đó khẳng định đúng là B. Chọn B. C  B  AB Câu 24: Ta có 
 CB  SAB  CB  SB C  B  SA
Tam giác SBC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC
là trung điểm cạnh huyền SC Trang 39
Do SA   ABC,OH   ABC   OH // SA  H là trung điểm của cạnh AC nên H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông ABC vuông tại B. Chọn C.
Câu 25: Do H là hình chiếu vuông góc của S trên  ABC nên các tam
giác SHA, SHB, SHC là các tam giác vuông. Ta có SHA  SHB  S
 HC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Do đó HA  HB  HC .
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Chọn C.
Câu 26: Do I là hình chiếu vuông góc của S trên  ABC nên các tam
giác SHA, SHB, SHC là các tam giác vuông.
Ta có SIA  SIB  SIC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Do đó IA  IB  IC .
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Đặt SA  SB  SC  a, SAC đều nên AC  a , SAB vuông tại S nên AB  a 2 . Lại có 2 2 BC  SB  SC  2S . B SC cos  BSC  a 3 Suy ra 2 2 2 2
AB  AC  BC  3a  ABC vuông tại A nên I là trung điểm của cạnh huyền BC. Chọn D.
Câu 27: Do AA  AB  AD nên hình chiếu vuông góc H của A lên
mặt phẳng  ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. AB  AD  Lại có  nên tam giác ABD đều. BAD  60
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cũng là trọng tâm
tam giác ABD đều. Chọn B.
Câu 28: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy  ABC
Gọi E, F, G lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB, BC và CA.
Khi đó theo giả thiết bài toán ta có  SEH   SFH   SGH
Các tam giác vuông SHE  S  HF  S  HG nên
HE  HF  HG  H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chọn A. Trang 40 SA  CD Câu 29: Ta có 
 CD  SAD  CD  AM AD  CD Mà AM  SD 
 AM  SCD . Chọn D.
Câu 30: Ta có AC là hình chiếu của SC trên  ABCD  SC; ABCD   SC; AC    SCA
Tam giác SAC vuông tại S, có SA  AC  a 2   SCA  45 . Chọn C.
Câu 31: AC là hình chiếu của SC trên  ABCD  SC; ABCD   SC; AC    SCA SA a 6 3
Tam giác SAC vuông tại S, có tan  SCA   : a 2    SCA  30 . Chọn A. AC 3 3 Câu 32:
 Vì OI là đường trung bình của tam giác SAC
 OI // SA mà SA   ABCD  OI   ABCD . SA  BD  Ta có 
 BD  SAC  BD  SC . AC  BD
 Vì BD đi qua trung điểm O của AC.
Suy ra SAC  là mặt phẳng trung trực của BD.
 SB  SD  SC . Chọn A.
Câu 33: Ta có AA  AB  A ; D C A  C B  C D 1 1 1 1 1 Suy ra ,
A C cách đều ba đỉnh của tam giác A BD 1 1
Do đó AC là trục đường tròn ngoại tiếp A BD 1 1 Vậy AC  A BD . Chọn B. 1  1  AB  BC Câu 34: Ta có   AB  BCD AB  CD
Tam giác BCD vuông tại C vì BC  CD Do đó 2 2 2 2 2 BD  BC  CD  b  c Lại có 2 2 2 2 2 2
AD  AB  BD  a  b  c Vậy 2 2 2
AD  a  b  c . Chọn A. Trang 41 AB  BC Câu 35: Ta có 
 AB  BCD  AB  BD AB  CD DC  BC Mặt khác 
 DC   ABC  DC  AC DC  AB
Gọi O là trung điểm của AD, do ABD vuông tại B nên OA  OB  OD
Tương tự ta có ACD vuông tại C nên OA  OC  OD
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD. Chọn C.   SAB   ABCD  Câu 36:   SAD   ABCD  SA   ABCD SA  SAB  SAD Khi đó SC; ABCD    SCA Mặt khác 2 2 AC  AB  AD  a 5 SA Suy ra tan  SCA   3  SC; ABCD    SCA  60 AC Chọn C. a 2 Câu 37: AC  a 2  OA  2
Do SA   ABCD  S ; O  ABCD    SOA SA a Mặt khác  2 tan SOA    2 2 . Chọn A. OA a 2 2
Câu 38: Gọi I là trung điểm AB  OI // AD SA  AD Mà 
 AD  SAB  OI  SAB AB  AD Do đó S ; O SAB   SO;SI    ISO a 5 Tam giác SAI vuông tại A 2 2  SI  SA  AI  2 OI
Tam giác SOI vuông tại I   5 tan ISO   . Chọn B. SI 5 Trang 42
Câu 39: Gọi H là trung điểm của BC thì SH  BC
Mặt khác SBC   ABC  SH   ABC  SB 3 BC Ta có SH   a 3, AH 
 a (tính chất đường trung bình 2 2 trong tam giác vuông) SH Khi đó tan  SAH   3   SAH  60 AH Do đó S ; A  ABC    SAH  60. Chọn C.
Câu 40: Gọi H là trung điểm của BC thì SH  BC
Mặt khác SBC   ABC  SH   ABC  Do đó S ; D  ABCD    SDH . AB 3 a 3 a 5 Ta có: 2 2 SH   , HD  AD  AH  2 2 2  SH a 3 a 5 15 cot SDH   :  DH 2 2 5 15 Suy ra cot  . Chọn B. 5
Câu 41: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì SO   ABCD
Ta có: AC  2 2  OA  2 2 2  SO  SA  OA  7 Khi đó: S ; A  ABCD    SAO   SO 7 14 Ta có: tan    . Chọn D. OA 2 2
Câu 42: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó AH  BCD .
Gọi M là trung điểm của CD và đặt AB  a thì ta có: a 3 2 a 3 BM  , BH  BM  2 3 3 Do đó  A ; B BCD    ABH   BH 3 Suy ra cos   . Chọn A. AB 3 Trang 43
Câu 43: Ta có SA   ABCD  B đúng. BC  SA 
 BC  SAB  C đúng. BC  AB BD  AC Lại có 
 BD  SAC  D đúng. BD  SA
Khẳng định sai là A. Chọn A.
Câu 44: Tam giác SAC cân tại S có đường trung tuyến SO nên SO  AC Tương tự ta có SO  BD
Vậy SO   ABCD . Chọn B.
Câu 45: Nếu a //   và b    thì b  a . Chọn C.
Câu 46: ABC đều nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao suy ra CM  AB
Mặt khác CM  SA  CM  SAB
Do vậy các khẳng định đúng là A, C, D.
Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 47: Do SA   ABCD  SC; ABCD    SCA . Chọn C. BD  AC Câu 48: 
 BD  SAC  BD  SC . BD  SA Chọn C. Trang 44
Câu 49: Do SA   ABCD suy ra SC; ABCD    SCA Mặt khác 2 2 AC  AB  AD  a 2 SA Suy ra tan  SCA   3  SC; ABCD    SCA  60 AC Chọn B.
Câu 50: SA   ABCD  SA  BD nên A đúng. BC  SA 
 BC  SAB  BC  SB nên D đúng. BC  AB
Tương tự CD  SAD  CD  SD nên B đúng.
Khẳng định sai là C. Chọn C. SA  CD Câu 51: Ta có 
 CD  SAD  CD  SD AD  CD
Gọi H là hình chiếu của D trên SBC  DH  SBC Suy ra S ; D SBC    S ; D SH     DSH
Kẻ AI  SB I  SB mà BC  SAB  AI  SBC 
Mà AD // SBC  DH  AI DH // AI  S . A AB a 2
Tam giác SAB vuông tại A  AI   2 2 SA  AB 2 DH AI 2
Tam giác SDH vuông tại H  sin  DSH    2 2 SD SA  AD 4 14 sin 7 Vậy 2 cos  1 sin    tan   . Chọn A. 4 cos 7
Câu 52: Ta có AC là hình chiếu của SC trên  ABCD  SC; ABCD   SC; AC    SCA SA a
Tam giác SAC vuông tại S, có  2 tan SCA    . Chọn D. AC a 2 2 Trang 45
Câu 53: Gọi H là trung điểm của BC thì SH  BC
Mặt khác SBC   ABC  SH   ABC  AB 3 a 3 d  ; B SAD SH   ,sin  2 2 BD
Trong đó BD  a 2, d B;SAD  2d H;SAD SH.HA
Dựng HE  SA  d H;SAD  HE  2 2 SH  AH a 3 a 3 6 2   sin   . Chọn C. 4 a 2 4
Câu 54: Ta có SA   ABCD Khi đó S ; B  ABCD    SBA AB 1 Mặt khác cos  SBA     SBA  60 . SB 2 Chọn C.
Câu 55: Gọi I là trung điểm của BC Ta có: ABC, D
 BC là các tam giác cân nên AI  BC và DI  BC .
Do đó BC   ADI   BC  AD . Chọn C.
Câu 56: Gọi H là hình chiếu của M trên BD
Và O là tâm hình vuông ABCD  SO // MH Do đó BM ; ABCD   BM;BH     MBH MH DM 1 a 2 Ta có SO // MH     MH  SO SD 3 6 HD 1 2 1 a 2 5 2a Lại có   OH  OD  BD   BH  DO 3 3 3 3 6 MH
Tam giác BMH vuông tại B   1 tan MBH   . BH 5 Chọn B. Trang 46
Câu 57: Kẻ AH  SB mà BC  SAB  AH  SBC AB Suy ra S ; A SBC   S ;ASH     ASH  sin  ASH  SB a 3 1 Lại có 2 2
AB  AC  BC  a 3  sin  ASH     ASH  30 . Chọn B. 2a 3 2
Câu 58: SA   ABC nên SA  AB, SA  AC suy ra các tam giác SAB,
SAC là các tam giác vuông. BC  SA Lại có: 
 BC  SAB do đó BC  SB suy ra tam giác SBC BC  AB vuông. Chọn B.
Câu 59: Do SA   ABCD . Khi đó SC; ABCD    SCA Mặt khác 2 2 AC  AB  AD  a 2 SA 3 Suy ra tan  SCA    SC; ABCD    SCA  30 . AC 3 Chọn A.
Câu 60: Gọi O là giao điểm của AC và BD  SO   ABCD
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt BD tại H  MH   ABCD
Ta có MB   ABCD    B và MH   ABCD  M ; B  ABCD   MB;HB    MBH AC a 2 Ta có 2 2
AC  AB  BC  a 2  OA   2 2 a 2 SO a 2 Ta có 2 2 SO  SA  OA   MH   2 2 4 3 3 3a 2 Ta có BH  BD  .a 2  4 4 4 a 2 MH 1 1 Ta có  4 tan MBH     tan M ; B  ABCD   . Chọn D. BH 3a 2 3 3 4 Trang 47
Câu 61: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó AH  BCD
Gọi M là trung điểm của CD và đặt AB  a thì ta có: a 3 2 a 3 BM  , BH  BM  2 3 3 Do đó  A ; B BCD    ABH   BH 3 Suy ra cos   . Chọn A. AB 3
Câu 62: Gọi I là trung điểm của AC
Trong mặt phẳng BMIB gọi E  MN  BI d M; BAC  a 3
Ta có sin MN;BAC     , BM  ME 2 EM MI 2 2 2 Mặt khác 2 2   2  ME  MN  BM  BN  a NE BN 3 3 3    
BAC  d B BAC  d M BAC B I.BB d M ; ; ;  2 2 BB  BI a 21   MN BAC  3 21 7 sin ;   cos  . Chọn D. 7 4 14 AB 3 Câu 63: 2 2 IC  IB  BC  3, SI   3 2
Do SI   ABCD  SC; ABCD    SIC SI 3 Lại có: tan  SIC     SCI  30 . IC 3 Chọn A.
Câu 64: Do SA   ABCD Khi đó SC; ABCD    SCA Mặt khác 2 2 AC  AB  AD  a 2 SA Suy ra tan  SCA  1  SC; ABCD    SCA  45 AC Chọn A.
Câu 65: Ta có BO  AC, BO  SA Trang 48
Suy ra BO  SAC  S ; B SAC     BSO a 3 a Lại có A  BC cân tại B có 
ABC  60 nên tam giác ABC đều nên BO  ,OA  2 2 3a 2 2  SO  SA  AO  2 OB 3 Do đó tan  BSO     BSO  30 . Chọn B. SO 3
Câu 66: Chóp A.BCD đều có tất cả cạnh bằng a. Gọi H là trọng tâm
tam giác BCD. Khi đó AH  BCD
Gọi M là trung điểm của CD và đặt AB  a thì ta có: a 3 2 a 3 BM  , BH  BM  2 3 3 Do đó  A ; B BCD    ABH   BH 3 2 Suy ra cos    cot  . Chọn C. AB 3 2
Câu 67: Gọi M là trung điểm CD, kẻ AH  SM H  SM  Ta có  ADC  60  A
 CD đều  AM  CD  CD  SAM  Do đó CD  AH 
 AH  SCD  SH là hình chiếu của SA trên SCD  S ; A SCD   S ;ASH     ASH   ASM a 3 AM 1
Tam giác SAM vuông tại A có  2 tan ASM    SA a 3 2 Vậy SA SCD    1 tan ; tan ASH  . Chọn A. 2 SA  AB Câu 68: Ta có 
 AB  SAD  SA là hình chiếu của SB AD  AB trên SAD   S ; B SAD   SB;SA    ASB AB
Tam giác SAB vuông tại A    1 tan ASB   SA 2 1 2 5 Suy ra cos  ASB   . Chọn D. 2   5 1 tan ASB
Câu 69: Ta có AH là hình chiếu của AA trên  ABC Trang 49  AA ; ABC   AA; AH     A A  H  60 AH  tan  AAH   A H   tan 60 .AH  a 3 AH
Lại có CH là hình chiếu của AA trên  ABC  A C  ; ABC   A C;CH    ACH  60 AH   tan  ACH   a 3 : a 3  1  ACH  . Chọn A. HC 4 SA  BD Câu 70: Ta có   BD  SAC AC  BD
Kẻ AH  SO H  SO mà BD  AH  AH  SBD
Suy ra SH là hình chiếu của SA trên SBD  S ; A SBD   S ;ASH     ASH   ASO Tam giác ABC cân có  ABC  60  A  BC đều
 AB  BC  AC  a  AO  a   AO 3 2 tan ASO   SA 3 Vậy S ; A SBD    ASO  30 . Chọn C.
Câu 71: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
 ABC, ta có SHC  SHA  HC  HA  H thuộc trung trực của
AC. Gọi I là trung điểm của AC thì CAB vuông cân tại C (do 2 2 2 BA  BC, BA  BC  AC )
Do đó CI là trung trực của AC Ta có: S ; B  ABC    SBH   SBI AC a a 5 Mặt khác 2 2 SB  a 2; BI   ; SI  SA  AI  2 2 2  2 2 2 BS  BI  SI 2 cos SBI     SBI  45 . Chọn B. 2BS.BI 2
Câu 72: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên  ABCD .
Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AC Suy ra MN  SBD nên   MN EM   sin cos ; AC a 2 SB a Lại có MN   , EN   2 2 2 2 Trang 50 SO a 2 2 2 ME  MH  HE , MH   2 4 a 10 2 2
HE  CH  CE  2CH.CE cos 45  4 a    ME      2 2 2 3 MN ME NE 6 sin cos NME    tan  2 . Chọn C. 2 2MN.ME 3
Câu 73: Gọi Q  MNP  AD
Ta có: AB // MN, PQ   ABD  MNP  PQ // AB // MN
Thiết diện là hình thang cân MNPQ có MN  3a, PQ  2a Lại có 2 2
MQ  NP  BN  BP  2BN.BP cos 60  a 13 2  MN  PQ  a 51
Chiều cao hình thang cân là 2 h  MQ      2  2 2 MN  PQ 5a 51
Diện tích thiết diện: S  h  . Chọn D. 2 4
Câu 74: Do SA   ABCD Khi đó SC; ABCD    SCA Mặt khác 2 2 AC  AB  AD  3a 2 , 2 2 2 2
SA  SB  AB  4a  SC  SA  AC  a 34 SA Suy ra  2 34 sin SCA   . Chọn D. SC 17
Câu 75: Gọi K là trung điểm của CD MK  AC Ta có   MK  SAC MK  SA BD a Suy ra   MK MN   2 sin cos ; , MK   , 2 2 2 2 SC SA  AC a 3 KN    2 2 2
Gọi H là trung điểm của AD thì NH  AD a 5 2 2 NM  NH  MN  2     2 2 2 MK  MN  KN 10 6 sin cos NMK    tan  . Chọn A. 2MK.MN 5 3
Câu 76: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì SH   ABC Trang 51 AB  SC Ta có: 
 AB  SC , dựng AC  SC AB  CH 1
Khi đó SC   ABC , để C nằm giữa S và C thì  ASC là góc nhọn suy ra 1  1  2 2 2 2 2 SA  SC  AC 2b  a cos ASC    0 2S . A SC 2S . A SC  a  b 2 . Chọn C.
Câu 77: Gọi H là trung điểm AB  SH  AB
Suy ra SH   ABCD (vì SAB   ABCD )
Kẻ HM  AB M CD  HM    .
Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H. a 3 Ta có SH  ; HM  BC  2a . 2 2 1 a 3 a 3 Vậy S  . .2a  . Chọn B. S  HM 2 2 2
Câu 78: Kẻ AH  SC H  SC nên AH  P
Kẻ AK  SB K  SB mà BC  SAB  BC  AK
Suy ra AK  SBC  AK  SC nên AK  P
Do đó thiết diện cần tìm là tam giác AKH vuông tại K SC Ta có 2 2
AC  AB  BC  2a  SAC cân  AH   a 2 2 S . A AB 2a 5
Tam giác SAB vuông tại A  AK   2 2 SA  AB 5 a 30 Suy ra 2 2 HK  AH  AK  5 2 1 1 2a 5 a 30 a 6  S  AK.HK  . .  . Chọn D. A  HK 2 2 5 5 5
Câu 79: Kẻ AI  SM I  SM  nên AI  P
Ta có SM  P mà SM  BC  BC // P
Qua I kẻ đường thẳng d // BC , cắt SB, SC tại H, K
Do đó thiết diện cần tìm là tam giác AHK cân tại A SM a 6
Ta có SA  AM  a 3  I là trung điểm SM  AI   2 2 HK SI 1 BC Lại có HK // BC     HK   a BC SM 2 2 Trang 52 2 1 1 a 6 a 6 Suy ra S  AI.HK  . .a  . Chọn C. A  HK 2 2 2 4
Câu 80: Dựng MN  AB  N CD  N là trung điểm của
CD. Dựng MQ // SA Q  SB  MQ  AB và Q là trung điểm của SB.
Dựng QP // MN P  SC thì thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M và Q. AD  BC BC Ta có: MN   7,QP   3, 2 2 SA MN  PQ MQ   3  S  .MQ  15 . Chọn C. 2 MNPQ 2
Câu 81: Dựng MI // SO I  SA, qua M dựng đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. MI  AA Ta có:   AA  PQI  PQ  AA
Qua I dựng đường thẳng song song với BC cắt các cạnh SB, SC tại F, E
Thiết diện là hình thang PQEF. PQ AM x 2x Lại có:    PQ  BC AA a 3 3 2 a 3 a 33 2 2 OA  , SO  SA  OA  3 3 a 3 a 3  x x  IM AM 2 EF SI OM    IM  3 a 3  2x 3 ,    SO A O  a 3 BC SA OA a 3 3 6 1 Do đó EF 
6x2a 3, diện tích thiết diện là 3 PQ  EF S 
MI  a  x x  a     2 2 3 2 8 2 3
2 8x  6 3ax  3a  . Chọn A. 2 Trang 53