Tài liệu chủ đề giới hạn dãy số
Tài liệu gồm 53 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề giới hạn dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Dãy số có giới hạn hữu hạn a. Giới hạn hữu hạn
limu 0 u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
Dãy số u có giới hạn là L nếu: limu L lim u L n n 0 n
Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim u 0, lim u . L n n b. Giới hạn đặc biệt 1 lim 0 lim C C, C lim n q nếu q 1 n 1 lim 0 lim n q 0 nếu q 1 k * lim n , k n 1 lim 0 1 * lim 0, k 3 n k n
c. Định lí về giới hạn
Định lí 1: Nếu hai dãy số u và v cùng có giới hạn thì ta có: n n
+) limu v limu limv +) limu .v u v n n lim .lim n n n n n n u limu +) lim n n (Nếu lim v 0 )
+) limk.u k.lim u , k n n v lim v n n n +) lim u lim u n n +) 2k 2 lim k u
lim u (nếu u 0 ) (căn bậc chẵn) n n n +) 2k 1 2k 1 lim u lim u (căn bậc lẻ)
+) Nếu u v và lim v 0 thì lim u 0. n n n n n n
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba dãy số u ,v , w và L . n n n Nếu *
u v w , và limu lim w L thì v có giới hạn và limv . L n n n n n n n u
Định lí 3: Nếu lim u a và lim v thì lim n 0. n n vn
Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. 1 n Chú ý: e lim 1 2,718281828459..., là một số vô tỉ. n
d. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Một cấp số nhân có công bội q với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. u
Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 2
S u u q u q ... (với q 1) 1 1 1 1 q
2. Dãy số có giới hạn vô cực a. Định nghĩa
lim u u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n n
lim u u có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n n lim u lim u n n n n
Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim u . n b. Định lí 1 lim u thì lim 0 n un Nếu u u n 1 lim 0, 0, lim n n un
c. Một vài qui tắc tìm giới hạn Quy tắc 1: Quy tắc 2: Quy tắc 3: Nếu lim u và Nếu lim u và
Nếu lim u L và lim v 0 n n n n
lim v , thì limu .v
lim v L 0, thì limu .v
và v 0 hoặc v 0 kể từ n n n n n n n n là: là:
một số hạng nào đó trở đi thì: lim u lim v limu .v Dấu n n n n limu limu .v n n Dấu n u của L lim n L của v v n n + + + + + +
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Dãy số có giới hạn 0 Phương pháp giải
Dãy u có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số n
hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: limu 0 hoặc limu 0 hoặc u 0. n n n * limu 0 0, n
: n n u n 0 0 n
Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, …
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn 0 1 n 1 1 sin 2n a) u b) u n n 1 n 2 n 3 2n 1 Lời giải: 1 2 1 1 0 a) lim lim n u n n 1n 2 lim lim 0. 2 n 3n 2 3 2 1 3.0 2.0 1 2 n n Vậy lim u 0. n 1 n 1 1 sin 2n 1 n 1 1 sin 2n 3 1 0 b) 0 0 lim lim lim n 0 3 3 3 3 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 2 0 2 3 n n 1 1 sin 2n lim 0 (Nguyên lý kẹp). 3 2n 1 n 1 1 sin 2n Suy ra lim
0 limu 0. Vậy limu 0. 3 2n 1 n n
Ví dụ 2. Tính giới hạn của các dãy số sau 1 5n cos 3n 6n a) u b) u n 5n 2 n 2n 2.7n Lời giải: 1 n 1 5 0 a) lim u lim lim 0. Vậy limu 0. n 5n 2 1 n 1 2.0 n 1 2. 5 Trang 3 5n cos 3n 6n 6n 5n cos 3n b) lim u lim lim lim A . B n 2n 2.7n 2n 2.7n 2n 2.7n 6 n 6n 7 0 Có A lim lim 0. 2n 2.7n 2 n 0 2 2 7 5 n 5n cos 3n 5n 5n cos 3n 5n 7 0 Có 0 0 lim lim lim 0 2n 2.7n 2n 2.7n 2n 2.7n 2n 2.7n 2 n 0 2 2 7 5n cos 3n n 5 cos 3n lim
0 (Nguyên lý kẹp). Suy ra lim 0 B 0. 2n 2.7n 2n 2.7n
Vậy lim u A B 0 0 0. n
Ví dụ 3. Tính giới hạn của các dãy số sau a) 2 u 4n 1 2n b) 2 2 u n 4 n 2 n n Lời giải: 2 2 4n 1 4n 1 a) lim u lim n n n 2 4 1 2 lim lim 2 2 4n 1 2n 4n 1 2n 1 0 lim n 0. Vậy limu 0. 1 4 0 2 n 4 2 2 n 2 2 n 4 n 2 2 b) lim u lim n n n 2 2 4 2 lim lim 2 2 2 2 n 4 n 2 n 4 n 2 2 2.0 lim 0. Vậy limu 0. 4 2 1 4.0 1 2.0 n 1 1 2 2 n n
Ví dụ 4. Tính giới hạn của các dãy số sau 2 n 2n n 2 2 n 2n n n a) u b) u n n n n Lời giải: 2 2 n 2n n n 2n 2 a) lim u lim lim
1 lim 1 1 1 2.0 1 0. n 2 n n n Vậy lim u 0. n n 2n n n 2n 2n 2 2 2 n n n b) lim u lim lim n n n lim 2 2 n 2n n n n 2 2 n 2n n n Trang 4 1 1 0 lim lim n 0. Vậy limu 0. 2 2 n n 2n n n 2 1 1 2.0 1 0 1 1 n n n
Ví dụ 5. Cho dãy số u , n 1 n 5n u 3 a) Chứng minh rằng n 1 u 5 n b) Tìm lim u n Lời giải: n 1 1 n n 1 u 5n n n 1 n 1 1 1 a) Ta có n 1 5 u u . . n n n 1 n 1 n 1 5 5 u n 5 n 5n 5 5n n 5n 1 1 1 u 1 1 2 3 u 3 Do n 1 n 1 0
. Vậy n 1 . 5n 5.1 5 u 5 5 5 5 u 5 n n b) Ta sẽ chứng minh * lim u 0, n * . Thật vậy n n
Với n 1 hiển nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với n k tức lim u 0 (đây là giả thiết quy nạp). k k
Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n k 1. k 1 k 1 k 1 Quả vậy lim u lim lim lim lim k 1 k 1 k 1 k 1 5 5 5 5.5k 5.5k k k k k k u 1 1 k 0 1 lim k lim .0 0 k 5 5 k 5 5 5
Suy ra (*) đúng với n k 1. Do đó (*) luôn đúng, Vậy lim u 0. n n
Dạng 2. Khử dạng vô định / Phương pháp giải:
Dãy u có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số n
hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: limu 0 hoặc limu 0 hoặc u 0. n n n m m 1 a n a n ... a Đối với dãy 0 1 m u
, a 0,b 0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy thừa n k k 1 0 0 b n b n ... b 0 1 k
lớn nhất của n ở tử m n hoặc mẫu k
n , việc này cũng như đặt thừa số chung cho m n hoặc mẫu k n rồi rút
gọn, khử dạng vô định. Trang 5 0 khi m k a a Kết quả: 0
lim u khi m k ( dấu hoặc tùy theo dấu của 0 ) n b b 0 0 khi m k
Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa
ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.
Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như
đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn,… và sử dụng các kết quả đã biết.
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 2 3n 4n 1 3 n 4 n 1 2n 1 a) lim . b) lim . c) lim . 2 2n 3n 7 3 5n n 8 3n 2n 3 Lời giải: 4 1 2 3 2 3n 4n 1 3 a) lim lim n n . 2 2n 3n 7 3 7 2 2 2 n n 1 3 1 3 n 4 1 b) lim lim n . 3 5n n 8 1 8 5 5 2 3 n n 1 1 n n 1 2 1 2 1 n n 1.2 2 c) lim 3n 2n 3 lim . 2 3 3.1 3 3 1 n n
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 2 2 n n 3 n 1 3 3 8n n 2n 1 2 2 n n 1 2n 3 a) lim . b) lim . c) lim . n 1 3n 1 2 3n n 1 Lời giải: 2 2 n n 3 n 1 1 1 2 2 1 3 1 2 n n 3 n 1 n n n 1 3 1 a) lim lim lim 4. n 1 1 1 1 1 1 n n 1 1 3 3 3 8 2 2 2 8n n 2n 1 n n 8 2 4 b) lim lim . 3n 1 1 3 3 3 n Trang 6 2 2 n n 1 2n 3 1 3 2 2 1 2 2 2 2 n n 1 2n 3 n n n 1 2 c) lim lim lim 1. 2 2 3n n 1 3n n 1 1 1 3 3 2 2 n n n
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau n 2n 1 3n 2 2n 1 n 2 n a) lim . b) lim . 6n 3 1 3 n n Lời giải: 1 2 n n n 2 3 2 1 3 2 n n 2.3 1 a) lim lim . 6n 3 3 3 1 1 6 36 6 n 1 1 2 1 2n 1 n 2 2 1 2 n n n n n b) lim lim 0. 3 n n 1 1 2 n
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 2 2 4n n 3n 2 9n n 3n 1 a) lim . b) lim . 2 n 1 2 n 2 Lời giải: 4 1 2 2 3 2 3 4n n 3n a) lim lim n n 3. 2 n 1 1 1 2 n 9 1 3 1 2 2 3 2 9n n 3n 1 b) lim lim n n n n 0. 2 n 2 2 1 2 n
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau n 1 2 2n n 2 n 1 2 3n 2n 3 2 n a) lim b) lim . n 1 . 2 n 2 3 3n 3 2n 1 Lời giải 1 1 1 1 n 1 2 2n n 2 1 2 3 n 1 n n n n 1.2 a) lim n 1 lim 1. 2 n 2 3 3n 1 2 1.1 3 1 1 3 2 n n 2 3 1 2 3n 2n 3 2 3 1 2 n n n n b) lim lim 3. 3 2n 1 1 1 3 n Trang 7
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau 1 4n 2n 5.3n 3n 4n a) lim . b) lim . c) lim . 1 4n 3n 1 3n 4n Lời giải 1 n 1 1 4 n 1 a) 4 lim lim 1 1 4n 1 1 1 4n 2 n 5 2n 5.3n 3 b) lim lim 5 3n 1 1 1 3n 3 n 1 3n 4n c) 4 lim lim 1 3n 4n 3 n 1 4
Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau 3n 4n 5n n n 1 3 4 n n n 1 3 6 4 a) lim . b) lim . c) lim . 3n 4n 5n n2 3 4n n n 1 3 6 Lời giải a) Nhận xét 1 lim n q q 0 3 n 4 n 1 3n 4n 5n 5 5 0 0 1 Do đó, lim lim 1 . 3n 4n 5n 3 n 4 n 0 0 1 1 5 5 3 n 4 n n 1 3 4 4 0 4 b) lim lim 4. n2 3 4n 3 n 9.0 1 9. 1 4 1 n 2 n 1 4 n n n 1 3 6 4 2 3 0 1 4.0 1 c) lim lim . n n 1 3 6 1 n 0 6 6 6 2
Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau n n 1 2 2 n n 1 4.3 7 n2 n 1 2 4.6 2 a) lim . b) lim . c) lim . 2n 4.3n 2.5n 7n n 1 n 1 3 6 1 Lời giải Trang 8 2 n 3. n n 1 2 2 3 3.0 a) lim lim 0. 2n 4.3n 2 n 0 4 4 3 3 n 4. 7 n n 1 4.3 7 7 4.0 7 b) lim lim 7. 2.5n 7n 5 n 2.0 1 2 1 7 1 n 2 1 n 2 4 2. n2 n 1 4.0 2.0 2 4.6 2 c) 3 3 6 3 lim lim 4. n 1 n 1 3 6 1 n n 1 1 1 1 3.0 0 3. 6 2 6 6 n 1 3n 2 2 n 1 a a Ví dụ 9. Cho u n
Biết limu , với *
a,b và là phân số tối n ; 1. 2 n 2n 6n 3 2 4n 5 b b giản. Tính 2 P a 2 . b A. P 17. B. P 26. C. P 25. D. P 18. Lời giải: n 13n 2 2 n 1 2 3n n 2 2 n 1 Ta có lim u lim n lim 2 2n 6n 3 2 4n 5 2 2n 6n 3 2 4n 5 1 2 1 1 2 1 3 . n 1 3 1 2 2 2 2 n n n n n n 3.1 3 k h lim lim vì lim 0;lim 0. 6 3 5 6 3 5 2.2 4 2 2 n n 2 . n 4 2 4 2 2 2 2 n n n n n n a 3 a 3 Mà 2 lim u
P 3 2.4 17. Chọn A. n b 8 b 4 3 2n 1 n 4 a a Ví dụ 10. Cho u ; n
2. Biết limu , với *
a,b và là phân số tối n n 2 1 3n 1 9n 1 n b b giản. Tính 3 P a 2 . b A. P 5. B. P 1. C. P 3. D. P 2. Lời giải: 3 2n 3 1 n 4 2n 1 n 4 Ta có lim u lim lim .lim n n 2 1 3n 1 9n 1 n 2 1 3n 1 9n 1 Trang 9 1 4 2 1 3 n 4 2 2 1 2 k h lim n .lim .lim n vì lim 0;lim 0. 2 1 1 9n 1 3 1 3 9 9 2 2 9 n n 1 3 n n n a 2 a 2 Mà 3 lim u
P 2 9 1. Chọn B. n b 9 b 9 n 2n n 1 4 3.2 2.3 a a Ví dụ 11. Cho u ; n
1. Biết limu , với *
a,b và là phân số tối giản. n n2 5.4 2n n b b Giá trị 2
P a 3b thuộc khoảng nào dưới đây? A. 9;7. B. 7; 5 . C. 12; 9 . D. 5;2. Lời giải: n n 2 n n 2 n n 2n n 1 4 3.4 .3 4.4 .3 4 3.2 2.3 Ta có 3 3 lim u lim lim lim n n2 5.4 2n 5 n n 5 .4 2 .4n 2n 16 16 2 3 n 4 . 3 4 5 64 n n a 64 a 64 3 1 lim 4 : vì lim lim 0. Mà lim u . 5 1 n 16 5 4 2 n b 5 b 5 16 2 Vậy 2 2
P a 3b 64 3.5 1112; 9 . Chọn C. n 6. 32 n 1 3 2n a a Ví dụ 12. Cho u ; n
1. Biết limu , với *
a,b và là phân số tối giản. n n n b b n 1 2 4.9 5.2
Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. 2a b 9. B. 2 5a b 1. C. 2 2 a b 25. D. 2 a 2b 1. Lời giải: n 6. 32 n 1 3 2n 6.3n 3.3n 2n 3.3n 2n Ta có lim u lim lim lim n n 4.3n 10.2n 4.3n 10.2n n 1 2 4.9 5.2 n 3.3n 2n 2 3 n 3n 3 2 3 a a 3 lim lim mà lim 0 suy ra lim u . Chọn D. 4.3n 10.2n 2 n 3 n 4 b b 4 n 4 10. 3 3
n 1 n n 3 2 1 a a 2 ab Ví dụ 13. Cho u Biết lim u (với a,b ; tối giản). Tính P n 2 n 2n 1 3 n 1 b 2 b 2 2 a b 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Trang 10 Lời giải: n 1 n n 3 2 1
n 1 2n n 2 1 n n 1 Ta có lim u lim lim n 2 2n 1 3 n 2 1 2n 1 3 n 1 1 1 1 3 n 2 1 1 3 2 1 n n 1 n n n 1 1 lim lim
a 1,b 1 P . Chọn B. 2 2n 1 3 n 1 1 1 2 2 2 1 2 3 n n 2 2n 1 3n 3 1 n 1 a a Ví dụ 14. Cho u . Biết lim u (với a,b ; tối giản). Tính n n 5n 2 n 3 3 1 b 5 b 2 P a b A. 7. B. 6 5. C. 11. D. 41. Lời giải: 1 1 1 2 2n 1 3n 3 2 3 1 2 3 1 n 1 n n n 6 Ta có lim u lim lim . n 3 5n 2 n 3 3 1 2 1 5 5 1 3 n n Do đó suy ra 2
a 6,b 1 P a b 7. Chọn A. n 2n 1 n 1 7 2 3 a a Ví dụ 15. Cho u
. Biết lim u (với a,b ;
tối giản). Tính P a b n n 1 n 1 7 5 n b b A. 3. B. 13. C. 8. D. 5. Lời giải: 1 4 n 3 n 1 3 n 2n 1 n 1 7 2 3 2 7 7 1 Ta có lim u lim lim . n n 1 n 1 7 5 1 5 n 7 7 5 7
Do đó suy ra a 1,b 7 P a b 8. Chọn C. n 1 2n 1 11 3 2n a a Ví dụ 16. Cho u
. Biết lim u (với a,b ;
tối giản). Tính P a b n n n 1 11 7 n b b A. 10. B. 12. C. 11. D. 22. Lời giải: 9 n 2 n 11 3 n 1 2n 1 11 3 2n 11 11 11 Ta có lim u lim lim . n n n 1 11 7 1 7 n 1 1 7 11
Do đó suy ra a 11,b 1 P a b 10. Chọn A. Trang 11 2n 33n 3 1 4n 1 a a Ví dụ 17. Cho u . Biết lim u với *
a,b và là phân số tối giản. Đặt n n 4n 2 3 1 9n 2 b b 2 2
S a 4b , mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 54 S 60 B. 60 S 64 C. S 54 D. S 64 Lời giải: 3 2 . n 3n 4n 1 Ta có lim u lim S 65. Chọn D. n 4n2 3 9n 4 2n 34n 3 1 n 1 a a Ví dụ 18. Cho u . Biết lim u với *
a,b và là phân số tối giản. Đặt n n 2n 2 3 1 9n 1 b b 2 2
S a b , mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. S 8 B. 8 S 14 C. 14 S 20 D. S 20 Lời giải: 3 2 . n 4n n 2 Ta có lim u lim S 13. Chọn B. n 2n2 3 9n 3 n2 2.6 4n a a Ví dụ 19. Cho u . Biết lim u với *
a,b và là phân số tối giản. Đặt S a b, n n 1 n 1 3.6 5 n b b
mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 310 S 320 B. 320 S 330 C. 330 S 340 D. 340 S 350 Lời giải: n 2 4 2.6 2 6 2.6 1 Ta có lim u lim S 325. Chọn B. n 5 n 3.6 324 3.6 5. 6 n 1 5.6 2n a a Ví dụ 20. Cho u . Biết lim u với *
a,b và là phân số tối giản. Đặt S a b, n n n2 4.6 3 n b b
mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 10 S 20 B. 20 S 30 C. 30 S 40 D. 40 S 50 Lời giải: 2 n 5.6 6 5.6 15 Ta có lim u S 17. Chọn A. n 3 n 4 2 4 9. 6
Dạng 3. Khử dạng vô định Phương pháp giải: Trang 12 Đối với dãy m m 1
u a n a n ... a , a 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n là n m m 1 0 m m
n . Khi đó: lim u nếu a 0 và lim u nếu a 0 n m n m
Đối với các biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng: 2 3 A B A B A B 3 A B A B 3 2 3 2 A . B A B 3 A B A B A B 3 A B A B 3 2 3 2 A . B A B 2 A B A B A B 3 3 A B A B 3 2 3 3 2 A . A B B A B A B A B 3 3 A B A B 3 2 3 3 2 A . A B B
Đặt biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn: 3 3 2 n n 3 3 n n 2 2 1 2 n n 1; 2 3 3 n n
n 2n n n 3 3 2 n 2 n
Đối với các biểu thực khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau a) 3 3 2 lim n 3n n. b) 3 3 2 lim n 3 n 2 . Lời giải 3 2 3 n 3n n 3 a) lim 3 3 2 n 3n n lim lim 3 2 n 3n 2 2 2 3 3 2 3 n . n n 3n 3 3 3 3 1 1 1 n n 2 1 3 3 3 Khi n thì: 3 3 3 lim 0 lim 1 1 lim 1 1 1 1 n n n n Do đó, 3 3 2 lim n 3n n 3 b) 3 3 2 n n 3 3n n 2 lim 3 2 lim 3 lim n n 2 3 3 2 2 n 3 n n n 2 3 2 lim lim lim lim 3n 2 2 3 n n 2 n n n 3n 2 2 2 3 2 3 3 3 3 n n 2 3 . 3 3 n . n n 3 2 Khi n thì: 3 n 2 3 3 n n n 2 3 lim 3 . 3
;lim n n 2 Trang 13 3 2 lim lim 0. Do đó, 3 3 2 lim n 3 n 2 0 3 2 2 2 3 3 3 2 3 . 3 n n n n n n
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 2 n n n a) 2 lim n 1 n n . b) lim . 2 4n 3n 2n Lời giải 1 2 2 1 n 1 n n n 1 1 a) lim 2 1 lim lim lim n n n n 2 n 1 n n n 1 n n 1 1 1 2 1 1 n n 1 Do đó, lim 2 n 1 n n . 2 3 2 2 2 2 4 2 n n n n n n 4n 3n 2n 1 n 2 b) lim lim . lim 2 2 2 2 4n 3n 2n 4n 3n 4n n n n 3 1 3 1 1 n 2 n n n 2 Do đó, lim 2 4n 3n 2n 3
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau 3 2 3 2n n n a) 2 3 2 3 lim 4n n 2n 8n . b) lim . 2 n n n Lời giải a) 2 3 2 3 n n n n
2n n n 3 2 3 lim 4 2 8 lim 4 2 lim 2n 8n 2n 2 2 2 3 3 4n n 4n 2n 8n 8n lim lim 4n n 2n 2 3 2n 8n 2 2 2 3 2 3 3 4n 2n 2n 8n 2 n 2n lim lim 2 4n n 2n 2n 8n 2 2 3 2 3 1 3 4n 2 . n 3 8n 1 4n 1 1 2 1 1 3 3 lim 4 2 1 1 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n Trang 14 1
lim 4 2 2 2 0 n 1
Khi n thì: lim 0 2 1 n 3 3 1 1 lim 2. 1 2 2 1 2 2 2 2 4n 4n 1 1 2 1 1 3 3 lim 4 2 1 1 lim 2. 1 2 2 1 n 4n 4n Do đó, 2 3 2 3 lim
4n n 2n 8n 3 2 3 2 3 3 2 2n n n 2n n n n n n b) lim lim . 2 2 2 n n n n n n 2 3 2n n 2 2 3 2 3 3 n n 2n n 1 1 n n 1 n 1 1 n lim lim n 2 2 2 2 3 6 2 3 2 2 3 n . 1 n . n 3 n 1 3 1 1 1 n n n n 2 3 2 2 3 lim 1 1 1 111 1 1 n n
Khi n thì: lim 0 n 1 lim 1 1 1 n 1 1 1 3 2 3 2n n n lim n 1. Do đó, lim 1 2 2 3 2 2 n n n 3 1 1 1 n n
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 3 3 2 n n n n 1 2 4n 1 2n 1 a) lim . b) lim . 3n 1 2 n 4n 1 n Lời giải 1 1 1 3 3 3 2 1 1 2 2 n n n n 1 a) lim lim n n n 3n 1 1 3 n Trang 15 1 1 1 3 lim 1 1 11 2 2 2 1 n n n Khi n thì: lim 0 n 1 lim 3 3 n 3 3 2 n n n n 1 2 Do đó lim 3n 1 3 2 4n 1 2n 1 4n 1 2n 2 2 2 1 n 4n 1 n b) lim lim . 2 2 2 2 n 4n 1 n n 4n 1 n 4n 1 2n 1 4 1 4 1 2 2 1 1 1 1 2 2 4n 1 4n 4n 1 n n 1 n n 1 lim . lim . 4n 1 1 1 1 1 1 2 4 2 1 4 2 2 2 4n n n n n 2 4n 1 2n 1 1 Do đó lim 2 n 4n 1 n 2
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau 1 1 1 1 1 1 a) lim ... b) lim ... 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1.3 2.4 n n 2 Lời giải 1 1 1 a) Xét A ... Ta có: n n . 1.3 3.5 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n 2A ... n n 1 ... 1 1.3 3.5 2 1 2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2 Suy ra lim A lim lim 1 2n 1 1 2 n 1 1 1 b) Xét B ... Ta có n n . 1.3 2.4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2B ...
nn 1 ... 1 1.3 2.4 2 3 2 4 3 5 n n 2 2 n 2 2 n 2 1 3 1 3 3 Suy ra lim lim lim n B 2 n 2 2 2 2 1 n
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau 1 2 ... n 2 1 2 2 ... 2n a) lim b) lim 2 n 3n 2 1 3 3 ... 3n Lời giải Trang 16 nn 2 1 n n
a) Ta có 1 2 ... n . 2 2 1 2 1 1 2 ... n n n 1 Suy ra lim lim lim n 2 2 n 3n 2n 6n 6 2 2 n n 1 2 1 2 n n 1 n 1 1 2 2 ... 2 2 1 3 3 b) Ta có lim lim lim 2. 0 2 n n 1 1 3 3 ... 3 3 1 1 1 n 1 2 3
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: u Ta có 2 1
S u u q u q ... , với q 1. 1 1 1 1 q
Ví dụ 1. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,7777777777777... b) 0, 27777777777... Lời giải 1 1 1 1 a)
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 2 3 10 10 10 10 1 1 1 1 1 10 ... 2 3 10 10 10 1 9 1 10 1 1 1 7
Suy ra 0,7777777777777... 7.0,11111111111... 7 ... 2 3 10 10 10 9 1 1 1 1 b)
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 2 3 4 10 10 10 10 1 1 1 1 1 100 ... . Suy ra 2 3 4 10 10 10 1 90 1 10 2 1 25 5
0, 27777777777... 0, 2 0,07777777 7. 10 90 90 18
Ví dụ 2. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,3211111... b) 0,313131... c) 3,1525252.... Lời giải 1 1 1 1 a) Ta có
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 3 4 5 10 10 10 10 Trang 17 1 3 1 1 1 1 10 32 1 289 ... suy ra 0,321111... 3 4 5 10 10 10 1 900 1 100 900 900 10 1 1 1 1 b) Ta có
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 2 4 6 10 10 10 2 10 1 2 1 1 1 1 10 1 1 1 1 31 ... suy ra 0,313131... 31 ... 31. 2 4 6 10 10 10 1 99 2 4 6 1 10 10 10 99 99 2 10 1 1 1 1 c) Ta có
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội nên 3 5 7 10 10 10 2 10 1 3 1 1 1 1 10 ... suy ra 3 5 7 10 10 10 1 990 1 2 10 31 1 1 1 31 52 3121 3,1525252.... 52 ... 3 5 7 10 10 10 10 10 990 990 12
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là và tổng 5
của cấp số nhân lùi này bằng 15. Lời giải u 1 2 q u u q 12 Ta có 1 1 2 5 S 15 q q 1 q 1 q 1 q 5q 1 q 25 25 4 0 4 q 5 1 u +) Nếu 2 q u 12 1 5 q 4 u +) Nếu 2 q u 3. 1 5 q 3
Ví dụ 4. Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng , số 4
hạng đầu là một số dương. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi này. Lời giải u 3 3 Ta có 1 S
u 12 1 q . Và u u u 1 q 1 2 1 1 1 q 4 4 3 q 3 Suy ra q2 4 12 1 4 5 q 4 Trang 18 3 3
Ta chỉ chọn q vì q 1, khi đó u 12 1 3. 4 1 4 Ví dụ 5*. 1 1 1 a) Chứng minh: * n N n n n . 1 1 n n n 1 1 1 1 b) Rút gọn u ... n n n n . 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n c) Tìm lim u . n Lời giải 1 n1 n n1 1 n n n a) Ta có n n 1 n 1 n n n 1 n n 1 nn 1 n n 1 n 1 n 1 1 nn 1 n n 1
b) Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u ... u 1 n 1 2 2 3 n 1 n n n 1 n n 1 1 c) lim u lim 1 1 n n 1 u 1 1
Ví dụ 6*. Cho dãy số u được xác định bởi: n 1 u u n 1 n 1 n n 2 a) Đặt v u
u . Tính v v ... v theo n . n n 1 n 1 2 n b) Tính u theo n . n c) Tìm lim u . n Lời giải 1 1 a) Ta có v u u u u n n 1 n n 2n n 2n 1 1 1 A 1 1 1 1
Khi đó A v v ... v ... ... 1 2 n 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2n A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... A 1 2 n 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n
b) Từ câu a, suy ra A v v ... v u u u u ... u u u u 1 2 n 2 1 3 2 n n 1 n 1 n Trang 19 n 1 1 1 1
A v u u u 1 u 11 u 1 u 2 i n 1 1 n 1 n n n n n n n 1 i 1 2 2 2 2 1 c) lim u lim 2 2 n n 1 2 u 0;u 1
Ví dụ 7*. Cho dãy số u được xác định bởi: 1 2 n 2u u u , n 1 n2 n 1 n 1 a) Chứng minh rằng: u u 1, n 1. n 1 2 n 2
b) Đặt v u . Tính v theo n . Từ đó tìm lim u . n n 3 n n Lời giải 1 a) Ta có: 2u
u 2u u 2u u
... 2u u 2u u 2 u u 1 n 1 n n n 1 n 1 n2 3 2 2 1 n 1 2 n 2
b) v u 3v 3u 2 3v 2u u u u u u u u u n n n n n n 2 n 2 2 2 n n 1 n n n 1 n n 1 3 1 3 1 1 1 2 1 3v u u
u 1 u u 1 v u u v n n n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 2 2 2 3 2 3 2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 2
Từ đó, ta suy ra v v v v . n n 1 n2 1 2 2 2 2 2 3 n 1 n 1 2 1 2 2 2 1 u v . 1 n n 3 2 3 3 3 2 n 1 2 1 2
Suy ra, lim u lim 1 n 3 2 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN sin5n
Câu 1. Kết quả của giới hạn lim 2 bằng 3n 5 A. -2. B. 3. C. 0. D. . 3 k 1 n 2 n cos 1
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim n ? 2n 2 A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. 3sin n 4cos n
Câu 3. Kết quả của giới hạn lim bằng n 1 A. 1 B. 0. C. 2. D. 3. Trang 20 n cos 2n
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 bằng 2 n 1 1 A. 4. B. . C. 5. D. -4. 4 n
Câu 5. Kết quả của giới hạn 2 3 lim n sin 2n là 5 A. . B. -2. C. 0. D. 1 n
Câu 6. Giá trị của giới hạn lim 4 bằng n 1 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. 1 n 1
Câu 7. Cho hai dãy số u và v có u và v
. Khi đó lim u v có giá trị bằng n n n n n 2 n 1 n 2 n 2 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 3
Câu 8. Giá trị của giới hạn lim là 2 4n 2n 1 3 A. B. . C. 0. D. -1. 4 2 n 2n
Câu 9. Giá trị của giới hạn lim bằng 3 n 3n 1 2 A. 2. B. 1. C. . D. 0. 3 3 3n 2n 1
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim là 4 4n 2n 1 2 3 A. B. 0. C. . D. . 7 4 n n 1
Câu 11. Giá trị của giới hạn bằng 2 n 2 3 A. . B. 2. C. 1. D. 0. 2 1 2 v
Câu 12. Cho hai dãy số u và v có u và v
. Khi đó lim n có giá trị bằng n n n n 1 n n 2 un A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. an 4
Câu 13. Cho hai dãy số u với u
trong đó a là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn n n n 5n 3
bằng 2, giá trị của a là A. a 10. B. a 8. C. a 6. D. a 4. Trang 21 2n b
Câu 14. Cho hai dãy số u với u
trong đó b là tham số thực. Để dãy số u có giới hạn n n n 5n 3
hữu hạn, giá trị của b là
A. b là một số thực tùy ý. B. b 2. B. không tồn tại . b D. b 5. 2 n n 5
Câu 15. Tính giới hạn L lim . 2 2n 1 3 1 A. L . B. L . C. L 2. D. L 1. 2 2 2 4n n 2
Câu 16. Cho dãy số u với u
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là n n 2 an 5 A. a 4. B. a 4. C. a 3. D. a 2. 2 3 n 3n
Câu 17. Tính giới hạn L lim . 3 2n 5n 2 3 1 1 A. L . B. L . C. L . D. L 0. 2 5 2 2 4 5n 3an
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L lim 1 a 0. 4 n 2n 1 A. a 0, a 1. B. 0 a 1. C. a 0, a 1. D. 0 a 1. 3 2n n 2 3n 1
Câu 19. Tính giới hạn L lim 2n 1 . 4 n 7 3 A. L . B. L 1. C. L 3. D. L . 2 2n 2n 3 2n 1 4n 5
Câu 20. Tính giới hạn L lim . 4 n 3n 1 2 3n 7 8 A. L 0. B. L 1. C. L . D. L . 3 3 n 1
Câu 21. Tính giới hạn L lim . 3 n 8 1 1 A. L . B. L 1. C. L . D. L . 2 8 3 n 2n
Câu 22. Kết quả của giới hạn lim là 2 1 3n 1 2 A. . B. . C. D. . 3 3 Trang 22 3 2n 3n
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim là 2 4n 2n 1 3 5 A. . B. . C. 0. D. . 4 7 4 3n n
Câu 24. Kết quả của giới hạn lim là 4n 5 3 A. 0. B. . C. . D. . 4
Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 3 3 2n 2 2n 3 3 2n 3n 2 4 2n 3n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 2n 1 3 2n 4 2 2 n 1 4 2 2n n 1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 3 2 n 2n 4 3 n 2n 1 A. u . B. u . n 2 3n 5 n 3 2 3n 2n 1 2 3 n 3n 2 n 2n 5 B. u . D. u . n 3 2 9n n 1 n 3 3n 4n 2
Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 1 2n 2 n 2 2 n 2n 1 2n A. u . B. u . C. u . D. u . n 5n 5 n 3 5n 5n n 2 5n 5n n 2 5n 5n
Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 1 2n 3 n 2n 1 2 4 2n 3n 2 n 2n A. u . B. u . C. u . D. u . n 2 5n 5n n 3 n 2n n 2 3 n 2n n 5n 1
Câu 29. Tính giới hạn L 2 lim 3n 5n 3. A. L 3. B. L . C. L 5. D. L . Câu 30. Tính giới hạn 4 2 lim 3n 4n n 1 . A. L 7. B. L . C. L 3. D. L . 2 n
Câu 31. Cho dãy số u với u 2
Mệnh đề nào sau đây đúng? n 2 ... 2 . n 2 A. lim u . B. lim u . n n 1 2 B. lim u . D. Không tồn tại lim u . n n 1 3 n 1 ...
Câu 32. Giá trị của giới hạn 2 2 2 lim bằng 2 n 1 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . 8 2 4 Trang 23 1 2 n 1
Câu 33. Giá trị của giới hạn lim ... bằng 2 2 2 n n n 1 1 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 2
1 3 5 ... 2n 1
Câu 34. Giá trị của giới hạn lim bằng 2 3n 4 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 3 1 1 1
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim ... là 1.2 2.3 nn 1 1 A. . B. 1. C. 0. D. . 2 1 1 1
Câu 36. Giá trị của giới hạn lim ... bằng 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 4 1 1 1
Câu 37. Giá trị của giới hạn lim ... bằng 1.4 2.5 nn 3 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 2 2 2 1 2 ... n
Câu 38. Giá trị của giới hạn lim bằng n 2 n 1 1 1 A. 4. B. 1. C. . D. . 2 3 1 u n 2
Câu 39. Cho dãy số có giới hạn u xác định bởi . Tính lim u . n 1 n u ,u 1 n 1 2 u n 1 A. lim u 1. B. lim u 0. C. lim u . D. lim u 1. n n n 2 n u 2 n
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn u xác định bởi u 1 . Tính lim u . n n u ,u 1 n n 1 2 A. lim u 1. B. lim u 0. C. lim u 2. D. lim u . n n n n 2 9n n 1
Câu 41. Kết quả của giới hạn lim bằng 4n 2 Trang 24 2 3 A. . B. . C. 0. D. 3. 3 4 2 n 2n 1
Câu 42. Kết quả của giới hạn lim bằng 4 3n 2 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 2n 3
Câu 43. Kết quả của giới hạn lim là: 2n 5 5 5 A. . B. . C. . D. 1. 2 7 n 1 4
Câu 44. Kết quả của giới hạn lim bằng n 1 n 1 A. 1. B. 0. C. 1. D. . 2 2 n n 1 Câu 45. Biết rằng lim asin . b Tính 3 3 S a b . 2 n n 2 4 A. S 1. B. S 8. C. S 0. D. S 1. 10
Câu 46. Kết quả của giới hạn lim là: 4 2 n n 1 A. . B. 10. C. 0. D. . 2n 2
Câu 47. Kết quả của giới hạn lim n 1 là: 4 2 n n 1 A. . B. 1. C. 0. D. . 3 3 2 an 5n 7 Câu 48. Biết rằng lim b 3 c với a, ,
b c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức 2 3n n 2 a c P . 3 b 1 A. P 3. B. P . C. P 2. D. P 27. 3
Câu 49. Kết quả của giới hạn 5 5 2 lim 200 3n 2n là: A. . B. 1. C. 0. D. .
Câu 50. Giá trị của giới hạn lim n 5 n 1 bằng A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Câu 51. Giá trị của giới hạn 2 lim n n 1 n là Trang 25 1 A. . B. 0. C. 1. D. . 2
Câu 52. Giá trị của giới hạn 2 2 lim n 1 3n 2 là A. 2. B. 0. C. . D. .
Câu 53. Giá trị của giới hạn 2 2 lim n 2n n 2n là A. 1. B. 2. C. 4. D. .
Câu 54. Có bao nhiêu giá trị của a để 2 2 2 lim
n a n n a nn 1 0? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 55. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
2n n 1 2n 3n 2 là 2 A. 0. B. . C. . D. . 2
Câu 56. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n 1 2n n là A. 1. B. 1 2. C. . D. .
Câu 57. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn 2 2 lim
n 8n n a 0? A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Câu 58. Giá trị của giới hạn 2 lim n 2n 3 n là A. 1. B. 0. C. 1. D. .
Câu 59. Cho dãy số u với 2 2
u n an 5 n 1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để n n lim u 1. n A. 3. B. 2. C. 2. D. 3 .
Câu 60. Giá trị của giới hạn 3 3 3 3 lim n 1 n 2 bằng A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 61. Giá trị của giới hạn 3 2 3 lim n n n là 1 A. . B. . C. 0. D. 1. 3
Câu 62. Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim n 2n n là 1 2 A. . B. . C. 0. D. 1. 3 3 Trang 26
Câu 63. Giá trị của giới hạn lim n
n1 n1 là A. 1. B. . C. 0. D. 1.
Câu 64. Giá trị của giới hạn lim n n1 nlà 1 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 3 4 1
Câu 65. Giá trị của giới hạn lim là 2 2 n 2 n 4 A. 1. B. 0. C. . D. . 2 9n n n 2
Câu 66. Giá trị của giới hạn lim là 3n 2 A. 1. B. 0. C. 3. D. .
Câu 67. Giá trị của giới hạn 3 3 lim n 1 n là A. 2. B. 0. C. . D. . n2 2 5
Câu 68. Kết quả của giới hạn lim bằng 3n 2.5n 25 5 5 A. B. C. 1 D. 2 2 2 n n 1 3 2.5
Câu 69. Kết quả của giới hạn lim bằng n 1 2 5n A. 15 B. 10 C. 10 D. 15 n n 1 3 4.2 3
Câu 70. Kết quả của giới hạn lim bằng 3.2n 4n A. 0 B. 1 C. . D. . 3n 1
Câu 71. Kết quả của giới hạn lim bằng 2n 2.3n 1 1 1 3 A. 1 B. C. D. 2 2 2 n 5 n 1 2 1 2 2n 3 a 5 Câu 72. Biết rằng lim c với a, , b c .
Tính giá trị của biểu thức n n 1 2 n 1 5.2 5 3 b 2 2 2 S a b c A. 26 B. 30 C. 21 D. 31 n n 2 3 2 n
Câu 73. Kết quả của giới hạn lim là n n 2n2 3 3 2 Trang 27 1 1 A. 1 B. C. . D. 3 4 n
Câu 74. Kết quả của giới hạn lim 3n 5 là A. 3 B. 5 C. . D. .
Câu 75. Kết quả của giới hạn 4 n 1 lim 3 .2 5.3n là 2 A. B. 1 C. . D. . 3 n 1 2 3n 10
Câu 76. Kết quả của giới hạn lim là 2 3n n 2 2 3 A. . B. C. D. . 3 2 n n 1 4 2 1
Câu 77. Tìm tất cả các giá trị nguyên cả a 0;2018 để lim 3n 4na 1024 A. 2007 B. 2008 C. 2017 D. 2016 2 n 2n 1 n
Câu 78. Kết quả của giới hạn lim bằng 3n 1 3n 2 1 1 A. B. 1 C. D. 3 3 3 3 1 n n cos 3n
Câu 79. Kết quả của giới hạn lim bằng n 1 3 A. B. 3 C. 5 D. 1 2 2 an 1 1
Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a 0;20 sao cho lim 3 là một số nguyên? 2 3 n 2n A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 81. Kết quả của giới hạn lim 2.3n n 2 là A. 0 B. 2 C. 3 D. .
Câu 82. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
9 . Số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng 4 9 A. 3 B. 4 C. D. 5 2 1 1 1
Câu 83. Tính tổng S 9 3 1 ... ... 3 3 9 3n Trang 28 27 A. B. 14 C. 16 D. 15 2 1 1 1 1
Câu 84. Tính tổng S 2 1 ... ... 2 4 8 2n 1 A. 1 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 2 4 2n
Câu 85. Tính tổng S 1 ... ... 3 9 3n A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 1 1 n 1 1
Câu 86. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , , ,..., ,... bằng n 1 2 6 18 2.3 3 8 2 3 A. B. C. D. 4 3 3 8 1 1 1 1 1 1 Câu 87. Tính tổng S ... ... 2 3 4 9 2n 3n 2 3 1 A. 1 B. C. D. 3 4 2 2 1 a a ... n a
Câu 88. Giá trị của giới hạn lim
(với a 1, b 1) bằng 2 1 b b ... n b 1 b 1 a A. 0 B. C. D. Không tồn tại 1 a 1 b Câu 89. Rút gọn 2 4 6 2 1 cos cos cos ... cos n S x x x
x ... với cos x 1 1 1 A. 2 sin x B. 2 cos x C. D. 2 sin x 2 cos x Câu 90. Rút gọn 2 4 6 n 2 1 sin sin sin ... 1 sin n S x x x x ... với sin x 1 1 A. 2 sin x B. 2 cos x C. D. 2 tan x 2 1 sin x Câu 91. Thu gọn 2 3
S 1 tan tan tan ... với 0 4 1 cos tan A. B. C. D. 2 tan x 1 tan 1 tan 2 sin 4 a
Câu 92. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111... được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính a b b A. 17 B. 68 C. 133 D. 137 a
Câu 93. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535... được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính ab b A. 3456 B. 3465 C. 3645 D. 3546 Trang 29 a
Câu 94. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5, 231231... được biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính a b b A. 1409 B. 1490 C. 1049 D. 1940 b
Câu 95. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản . Khẳng a
định nào dưới đây đúng? A. 15 a b 2 B. 14 a b 2 C. 13 a b 2 D. 12 a b 2
1 3 5 ... 2n 1 Câu 96. Giá trị lim bằng 2 3n 4 2 1 A. B. 0 C. D. 3 3
Câu 97. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 1? 2 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 A. lim B. lim C. lim D. lim 3 2 n 4 3 2 n 1 3 2 2n 2n 2 2n 1
Câu 98. Phát biểu nào trong các phát biểu sau sai?
A. lim u c ( u c là hằng số) B. lim n q 0 q 1 n n 1 1 C. lim 0k 1 D. lim 0 k n n Câu 99. Giá trị của 2 lim n 3n 1 n bằng 3 A. 3 B. C. 0 D. 2 2 5 3n n a 3 a Câu 100. Giới hạn lim
với a,b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính 23n 2 b b a b A. 21 B. 11 C. 7 D. 9 1 2 3 n Câu 101. Giá trị của lim ... bằng 2 2 2 2 n n n n 1 1 A. 1. B. 0. C. . D. . 3 2 u
Câu 102. Cho các dãy số u , v và limu a,limv thì lim n bằng n n n n vn A. 1. B. 0. C. . D. .
Câu 103. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? n 1 3 2n 2 3n n A. lim . B. lim . 5 3n 2 4n 5 Trang 30 3 2n 3 C. 2 2 lim n 2n n 1. D. lim . 2 1 2n 1 u v u 1 1 1
Câu 104. Dãy số u xác định bởi 3
và dãy số v xác định bởi u . Tính n n n 1 n v v u u n 1 n n 1 n 3 n n lim v . n 5 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 6 6 3 2 4n 1 n 2
Câu 105. Tính giới hạn lim bằng 2n 3 3 A. . B. 1. C. 2. D. . 2
Câu 106. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 0;2019 để n n 1 9 3 1 lim ? 5n 9na 2187 A. 2018. B. 2011. C. 2012. D. 2019. 1
Câu 107. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u 1 và công bội q . 1 2 2 3 A. S 1. B. S . C. S . D. S 2. 3 2 n
Câu 108. Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u 2 và công sai d 3. Tìm L lim . n 1 un 1 1 A. . B. . C. 3. D. 2. 3 2
Câu 109. Cho cấp số nhân lùi vô hạn u có công bội q 0, có tổng S 12 và u 2u . Tìm số hạng n 3 4
đầu u của cấp số nhân u n . 1 A. u 18. B. u 8. C. u 24. D. u 6. 1 1 1 1 1 1 1 Câu 110. lim ... bằng 5.9 9.13 4n 1 4n 5 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 5 36 20 u 2,u 4 u
Câu 111. Cho dãy số u xác định bởi: 1 2 . Tính lim n . n u 2u u 5 n 1 2 n n n2 n 1 n 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 Trang 31 u 2 1 1 1 1
Câu 112. Cho dãy số u thỏa mãn 1 với n 2. Đặt S ... . Tìm lim S . n u 3u n u u u u n n n 1 1 2 3 n 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 8
Câu 113. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim u 0 thì lim u 0
B. Nếu lim u thì lim u . n n n n
C. Nếu lim u thì lim u .
D. Nếu lim u a thì lim u . a n n n n u 5
Câu 114. Cho dãy số u xác định bởi 1
. Tính I lim u 2.5n n . n * u 5u 20, n n 1 n A. I 100. B. I . C. I 1 00. D. I 5. u 1 u
Câu 115. Cho dãy số u xác định bởi 1 . Tính I lim n . n u 2u 5 2n 1 n 1 n 3 1 A. I . B. I 1. C. I 3. D. I . 2 2
Câu 116. Cho dãy số u xác định bởi u 2,u 2 u với mọi n nguyên dương. Tính limu . n 1 n 1 n n A. 2. B. 4. C. 2. D. 1 . 2.4n 1 2n Câu 117. Biết lim a b 2, với a,b .
Tính giá trị biểu thức 3 3 T a b . 2.4n 1 2n A. T 19. B. T 35. C. T 1. D. T 17.
Câu 118. Cho dãy số u thỏa mãn u 3 và 2 * u
u 3u 4,n . Biết dãy số u tăng và n n 1 n 1 n n 1 1 1 1
không bị chặn trên. Đặt * v ... , n . Tìm lim v . n u 1 u 1 u 1 u 1 n x 1 2 3 n A. . B. . C. 1. D. 0. u 2
Câu 119. Cho dãy số u thỏa mãn 1
với n 1, 2,3,... Khi đó n u u 2 n 1 n 1 n 1 1 1 lim ... bằng n u u u 1 2 n A. 0. B. . C. 2. D. 1. 3 2 2an 6n 2 Câu 120. Biết lim
4 với a là tham số thực. Khi đó, hãy tính giá trị của 4 M a . a 3 n n A. M 10. B. M 6. C. M 12. D. M 14. 1 1 1 1
Câu 121. Cho tổng S 2 ... ... Tổng S bằng 2 4 8 2n A. . B. 2. C. 3. D. 4. Trang 32
Câu 122. Khi biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn P 0,323232... 0,32 dưới dạng phân số tối m giản P trong đó *
m, N . Tính hiệu H n 3 . m n A. 0. B. 3. C. 2. D. 67.
Câu 123. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,... sao cho A B C 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2, tam giác A B C là tam giác trung n n n
bình của tam giác A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S tương ứng là diện tích hình tròn n 1 n 1 n 1 n
ngoại tiếp tam giác A B C . Tính tổng S S S ... S ...? n n n 1 2 n 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5. 4 2 2
Câu 124. Cho dãy số u thỏa mãn 2 * u 1;u u a, n . Biết rằng n 1 n 1 3 n lim 2 2 2
u u ... u 2n .
b Giá trị của biểu thức T ab là 1 2 n A. 2. B. 1. C. 1. D. 2. 2 5 3n n a 3 a Câu 125. Giới hạn lim
(với a,b là các số nguyên dương và
là phân số tối giản). 23n 2 b b Tính T a . b A. T 7. B. T 21. C. T 9. D. T 11. u 2 1 1 1
Câu 126. Cho dãy số u với 1 . Gọi S ... . Tính lim S n u u 3 n u u u u u u n n 1 n 1 2 2 3 n n 1 1 1 A. B. 1 C. 0 D. 6 3 u 1 1 u u u
Câu 127. Cho dãy số u với 1 1 . Gọi 2 3 S u ... n . Tính lim S n u 1 u ,n 1 n 1 n 2 3 n n 1 3 n n 3 2 5 5 A. . B. C. D. 2 3 2 3
Câu 128. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi A B C D là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm 1 1 1 1 các tam giác BCD,CD ,
A DAB, ABC và có thể tích là V . Gọi A B C D là tứ diện với các đỉnh lần lượt 1 2 2 2 2
là trọng tâm các tam giác B C D ,C D A , D A B , A B C và có thể tích là V .... cứ như vậy cho đến tứ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
diện A B C D có thể tích *
V , n . Tính giá trị của P lim V V ...V 1 2 n n n n n n n 27V V 8V 82V A. B. C. D. 26 27 9 81 Trang 33 1 1 1
Câu 129. Cho dãy số u với u ... . Tìm lim u n n 1.3 3.5 2n 1 .2n 1 n 1 1 A. B. 0 C. 1 D. 2 4
Câu 130. Cho dãy số u được xác định như sau: u 1,u 3,u
2u u 1, n 1,2... Tính n 1 2 n2 n 1 n u lim n 2 n n 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 4 LỜI GIẢI CHI TIẾT sin 5n sin 5n
Câu 1: Vì 1 s in5n 1 nên lim 0 lim 2 2 . Chọn A. 3n 3n k 1 k 1 n 2 n .cos n .cos 1 1 Câu 2: lim n lim n
nên có vô số giá trị k. Chọn D. 2n 2 n 2 Câu 3: Ta có n n2 2 2 2 2 3sin 4 cos 3 4 . sin n cos n 25 3sin n 4cos n
Do đó 5 3sin n 4cos n 5 lim 0. Chọn B. n 1 . n cos 2n Câu 4: Ta có cos 2n 1 ; 1 . n cos 2n ; n n nên lim 0 2 n 1 . n cos 2n Suy ra lim 5 5. Chọn C. 2 n 1 n
Câu 5: Vì bậc cao nhất của dãy số là 3 2 3 2n lim n .sin 2n . Chọn A. 5 1 n 1n
Câu 6: Vì n nên lim 0 lim 4 4. Chọn C. n 1 n 1 1 n 1
Câu 7: Ta có lim u v Chọn B. n n lim 0. 2 2 n 1 n 2 3 2 3 0 Câu 8: lim lim n 0. Chọn C. 2 4n 2n 1 2 1 4 4 2 n n 1 2 2 2 n 2n 0 Câu 9: lim lim n n 0. Chọn D. 3 n 3n 1 3 1 1 1 2 3 n n Trang 34 3 2 1 3 2 4 3n 2n 1 0 Câu 10: lim lim n n n 0. Chọn B. 4 4n 2n 1 2 1 4 4 3 4 n n 1 1 2 n n 1 n n Câu 11: lim lim 0. Chọn D. 2 n 2 1 1 2 n 2 2 v 2 1 2n 2 v 2n 2 Câu 12: Ta có n : lim n lim lim n 2. Chọn B. u n 2 n 1 n 2 u n 2 2 n n 1 n 4 4 a an a Câu 13: Ta có lim lim lim n u
2 a 10. Chọn A. n 5n 3 3 5 5 n b 2 2n b 2 Câu 14: Vì lim lim lim n u
nên giới hạn không phụ thuộc vào . b Chọn A. n 5n 3 3 5 5 n 1 5 2 1 2 n n 5 1 Câu 15: lim lim n n . Chọn B. 2 2n 1 1 2 2 2 n 1 2 2 4 2 4n n 2 4 Câu 16: lim lim lim n n u
2 a 2. Chọn D. n 2 an 5 5 a a 2 n 1 2 3 3 n 3n 3 Câu 17: lim lim n . Chọn A. 3 2n 5n 2 5 2 2 2 2 3 n n 5 3a 2 3 a Câu 18: lim n L 0 a ;
0 1;. Chọn C. 2 1 1 1 a a 3 4 n n 3 2 2n n 3n 1 2 1 . 1 . 3 2 2 3 2 n n n n 1.3 3 Câu 19: L lim lim . Chọn A. 4 2n 1 n 7 1 7 2.1 2 . 2 . 1 4 4 n n n n 2 3 n 2n 2n 1 4n 5 2 1 5 . . 1 . 2 . 4 3 2 3 n n n n n n 1.2.4 8 Câu 20: L lim lim . Chọn C. 4 2 n 3n 1 3n 7 3 1 7 1.3 3 . 1 . 3 4 2 3 4 2 n n n n n Trang 35 1 1 3 3 n 1 n 1 Câu 21: lim lim 1. Chọn B. 3 n 8 8 1 1 3 n 2 3 2 n n n n Câu 22: lim lim n lim . Chọn C. 2 1 3n 1 3 3 2 n 2 3 3 2 3 n n n 3n Câu 23: lim lim n lim . Chọn B. 2 4n 2n 1 2 1 4 4 2 n n 4 3 3 3n n 3 n n Câu 24: lim lim lim . Chọn C. 4n 5 5 4 4 n
Câu 25: Để tồn tại giới hạn bằng 0 thì dãy số có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu. Chọn B. 1 2 3 3 n 3n 1 Câu 26: Xét đáp án C: lim lim lim n u . Chọn C. n 3 2 9n n 1 1 1 3 9 3 n n 2 2 1 n n n
Câu 27: Xét đáp án A: lim u lim lim lim . Chọn A. n 5n 5 5n 5 2 4 2 2 2n 3n 2 3n 3 n 3n
Câu 28: Xét đáp án C: lim u lim lim lim lim . Chọn C. n 2 3 n 2n 1 2n 2n 2
Câu 29: Vì n nên L . Chọn D. 4 1 1 Câu 30: lim 4 2 3n 4n n 4 1 lim n 3 . Chọn D. 2 3 4 n n n n n u 2 1 2 2 1 1
Câu 31: Ta có u là cấp số nhân với u 2. 2. n n q 2 1 2 2 1 n 2 1 Do đó lim u lim 2. . Chọn C. n 2 1 1 3 n 1 2 3 ... n n n 1
Câu 32: Ta có: 1 ... 2 2 2 2 4 1 3 n 1 1 ... 2 2 2 nn 1 1 1 Do đó lim lim lim n . Chọn D. 2 n 1 4 2 n 1 4 4 4 2 n Trang 36 nn 1 1 2 n 1 n 1 1 1 1 Câu 33: 2 lim ... lim lim lim . Chọn C. 2 2 2 2 n n n n 2n 2 2n 2 1 2n 1
. 1 3 5 ... 2 1 n n 2 n n 1 Câu 34: lim lim lim 2 2 2 3n 4 3n 4 3n 4 1 1 1 lim n . Chọn B. 4 3 3 2 n 1 1 1 Câu 35: Ta có: k k 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó lim ... n n lim 1 ... lim 1 1. 1.2 2.3 1 2 2 3 n n 1 n 1 Chọn B. 1 1 k 2 k 1 1 1 Câu 36: Ta có k k . 2
2 k k 2 2 k k 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó lim ... n n lim 1 .. 1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 . Chọn A. 2 2n 1 2 1 1 k 3 k 1 1 1 Câu 37: Ta có k k . 3
3 k k 3 3 k k 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó lim ... n n lim 1 .. 1.4 2.5 3 3 4 2 5 n n 3 1 1 1 1 1 1 11 lim 1 . Chọn A. 3 2 3 n 1 n n 1 18 n n 1 2n 1 2 2 2
Câu 38: Dựa vào phương pháp quy nạp ta chứng minh được 1 2 ... n 6 3 1 2 2 2 1 2 ... n nn n 2 2 1 2 1 2 2n 3n 1 1 Do đó lim n n Chọn D. n lim lim lim . 2 n 1 6n 2 n 1 6 2 n 1 1 3 6 1 2 n 1 Câu 39: Ta có: u u 2 u 1 lim u 2 u 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 u n
Giả sử lim u a limu a a Chọn D. 2 a 2 1 a 2a 1 0 a 1. n n 1 Trang 37 u 1 1 Câu 40: Ta có n u u 1 u 1 n 1 n 1 n 2 2 2 v 1 n 1 n 1 1 1 1 Đặt v u 1 suy ra 1 v u v 1 1 n n n v v 2 n n 2 n 1 2 n n 1 1 Do đó lim u lim 1 1. Chọn A. n 2 1 1 2 9 2 9n n 1 n n 3 Câu 41: lim lim . Chọn B. 4n 2 2 4 4 n 2 n 2n 1 2 1 1 2 2 2 n 2n 1 n n n 1 Câu 42: lim lim lim . Chọn C. 4 4 3n 2 3n 2 2 3 3 2 4 n n 2n 3 3 2 2n 3 Câu 43: lim lim n lim n 1. Chọn D. 2n 5 2n 5 5 2 n n n 1 4 1 1 4 2 n 1 4 Câu 44: lim lim n n lim n n n 0. Chọn B. n 1 n n 1 1 1 1 1 2 n n n 2 n 1 1 2 1 1 1 2 n n 1 n n 2 Câu 45: lim lim lim 2 0sin 2 2 2 n n 2 n n 2 1 2 1 4 1 2 n n n Do đó 3 3
S a b 8. Chọn B. 100 4 10 100 Câu 46: lim lim lim n 0. Chọn C. 4 2 4 2 n n 1 n n 1 1 1 1 2 4 n n n 2 1 2n 2 2 . 2n 2 n 1 2n 2 2 2 Câu 47: lim 1 lim lim n n n 4 2 4 2 n n 1 n n 1 1 1 1 2 4 n n 2 1 2 2 1 . 2 n n n lim 0. Chọn C. 1 1 1 2 4 n n Trang 38 3 3 2 an 5n 7 5 7 3 3 3 2 a 3 3 3 an 5n 7 n n n a a Câu 48: lim lim lim 3 2 2 3n n 2 3n n 2 1 2 3 3 3 2 n n n 3 a a 0 Do đó b ,b 0 P 27. Chọn D. 3 a 27 200 2 Câu 49: 5 5 2 5 5 5
lim 200 3n 2n lim 5 n 3 lim 3n . Chọn D. 5 3 n n n 5 n 1 4
Câu 50: lim n 5 n 1 lim lim 0. Chọn A. n 5 n 1 n 5 n 1 Câu 51: 1 n n n n lim 1 2 2 1 1 1 1 2 lim lim lim n n n n . 2 2 n n 1 n n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n Chọn A. 2 2 2 n 1 3n 2 2n 3 Câu 52: lim 2 2 n 1 3n 2 lim lim 2 2 2 2 n 1 3n 2 n 1 3n 2 3 2 2 lim n . Chọn C. 1 1 3 2 2 4 2 4 n n n n n 2n n 2n 4n
Câu 53: lim n 2n n 2n 2 2 2 2 lim lim 2 2 2 2 n 2n n 2n n 2n n 2n 4 4 lim 2. Chọn B. 2 2 2 1 1 n n 2 2 2
n a n n a n n 1 Câu 54: lim 2 2 2
n a n n a nn 1 0 lim 0 2 2 2
n a n n a n n 1 2 n 2 a an 1 lim 2 2 2
n a n n a n n 1
Vậy không tồn tại giá trị của . a Chọn A. 2 2
2n n 1 2n 3n 2 Câu 55: lim 2 2
2n n 1 2n 3n 2 lim 2 2
2n n 1 2n 3n 2 Trang 39 1 2 2n 1 2 2 lim lim n . Chọn B. 2 2
2n n 1 2n 3n 2 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n Câu 56: n n n n n n
lim n 2n 1 2n n 2 2 1 2 2 2 1 2 2 lim lim 2 2 2 2 n 2n 1 2n n n 2n 1 2n n 1 1 1 2 lim n n . Chọn C. 1 2 1 2 1 2 3 4 2 3 n n n n n n 8n n
Câu 57: lim n 8n n a 2 2 2 2 2 0 lim a 0 2 n 8n n 8 n 8 2 2 2 lim a 0 lim a 0 4 a 0 a 2 2 n 8n n 8 1 1 2 n
Kết hợp a có 2 giá trị của . a Chọn B. n 2n 3 n 2 n 3
Câu 58: lim n 2n 3 n 2 2 2 lim lim 2 2 n 2n 3 n n 2n 3 n 3 2 lim n 1 . Chọn A. 2 3 1 1 2 n n 2 2 n an 5 n 1 Câu 59: lim u lim n an n n 2 2 5 1 lim 2 2 n an 5 n 1 4 4 a an a lim lim n 1 a 2 . Chọn C. 2 2 n an 5 n 1 a 5 1 2 1 1 2 2 n n n 3 3 n 1 n 2 Câu 60: lim 3 3 3 3 n 1 n 2 lim 3n 2 3 3 1 n 1 n 2 3 3 3 n 22 3 3 1 lim 0. Chọn C. 3n 2 3 3 1 n 1 n 2 3 3 3 n 22 3 3 2 3 3 n n n Câu 61: lim 3 2 3 n n n lim 2 3 n n 2 3 2 3 2 3 n n n n Trang 40 2 n 1 1 lim lim lim 2 3 n n 2 2 3 2 n n n n n n 1 1 n n 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 1 1 1 1 6 3 n n n n 1 . Chọn A. 3 3 2 3 n 2n n Câu 62: lim 3 3 2 n 2n n lim 3 2 n 2n 2 3 3 2 2 3 n 2n n n 2 2 n 2 2 lim lim . Chọn B. 3 2 n 2n 2 2 3 3 2 2 3 3 n 2n n n 2 2 3 3 1 1 1 n n n 1 n 1 2 Câu 63: lim n n1 n1 lim n. lim n. n 1 n 1 n 1 n 1 2 2 lim 1. Chọn D. 1 1 11 1 1 n n n n Câu 64: n n n 1 1 lim 1 lim n. lim n. n 1 n n 1 n 1 1 1 lim . Chọn B. 1 11 2 1 1 n 2 2 2 2 1 n 2 n 4 n 2 n 4 Câu 65: lim lim lim . Chọn D. 2 n 2 n 4 n 2 2 2 2 n 4 2 2 9n n n 2 1 1 2 2 9 2 9n n n 2 n n n n 3 Câu 66: lim lim lim 1. Chọn A. 3n 2 2 2 3 3 3 n n 3 3 n 1 n 1 Câu 67: lim 3 3 n 1 n lim lim 0. 3n 2 3 2 1 n 1.n n 3n 2 3 3 3 2 3 3 1 n 1.n n Chọn B. 1 n 2. 25 n2 2 5 2 25.5n 5 25 Câu 68: lim lim lim . Chọn A. 3n 2.5n 3n 2.5n 3 n 2 2 5 Trang 41 3 n 10 n n 1 3 2.5 3n 10.5n Câu 69: 5 lim lim lim 1 0. Chọn B. n 1 2 5n 2.2n 5n 2 n 2. 1 5 3 n 1 n 1 n 8. 3. n n 1 3 4.2 3 3n 8.2n 3 Câu 70: 4 2 4 lim lim lim 0. Chọn A. 3.2n 4n 3.2n 4n 1 n 3. 1 2 1 n 1 3n 1 3 1 Câu 71: lim lim . Chọn B. 2n 2.3n 1 2 n 1 n 2 2 3 3 n 5 n 1 2 1 2 2n 3 Câu 72: Ta có L lim n lim n 1 2 n 1 5.2 5 3 n n n 5 2 1 3 3 n 1 2. 2.2 1 2 2 2 2 n 5 5 lim n n n n 5.2n 5. 5 lim lim lim 1 1 3 2 1 1 1 2 5. 5 3. 2 n 5 5 n a 1 1 1. 5 . a 5 2 2 2 2 2 c b
5 a b c 30. Chọn B. 5 5 b c 2 n 3 n 1 n n 2 3 2 n n 3n 4n 4 4 1 Câu 73: lim lim lim . Chọn D. n n 2n2 3 3 2 3 n 3n 4.4n n 3 n 4 3. 4 4 4 lim3n n n Câu 74: n n n 3 lim 3 5 lim 3 . 1 vì 3 . Chọn D. 5 lim 1 1 5 n n n n n 2 n Câu 75: lim 4 1 3 .2
5.3 lim162.2 5.3 lim3 . 1 62. 5 . Chọn C. 3 n 1 n 2 3. 10. n 1 2 3n 10 2n 2n 2 2n 2 Câu 76: lim lim . lim . . Chọn A. 2 2 2 3n n 2 n 1 2 n 3 3 2 n n Trang 42 1 n 1 2. n n 1 n n 1 4 2 4 2 2 1 1 Câu 77: lim lim lim 3n 4na 3n 4na a 3 n 4a 1024 4 4 1 1 a a 5 2
4 4 5 a 10 mà a có 2008 số nguyên . a Chọn B. a 5 4 2 0a2018 2 4 2 2 n 2n n 2 1 1 n 2n n 1 Câu 78: lim lim lim . Chọn C. 3n 1 3n 3n 1 1 3 3 n 3 1 n n cos 3n 3n 3 Câu 79: lim lim lim 3. Chọn B. n 1 n 1 1 1 n 1 2 a 2 an 1 1 Câu 80: lim 3 lim 3 n lim 3 a 3 a 2 3 n 2n 3 1 2 n
Theo bài ra, ta có 3 a là số nguyên a 3là số chính phương Mặt khác 0;20 a a a 1;6;1
3 là giá trị cần tìm. Chọn B. n n n 1 n
Câu 81: lim 2.3 n 2 lim 3 . 2 2. 3n 2 n n n n n 2 Lại có lim 3 ; lim 0 n 2 3 C . n n 1 n 1 3n n 2
Do đó lim 2.3n n 2 . Chọn D. u 9 Câu 82: Ta có 1 S
2 u 2 2q và u u u 1 1 q 1 2 3 4 u 2 2q u 2 2q 9 1 1 1 2. 3 1 q q Do đó 9 9 8 2 . Chọn A. 2 u u .q u .q u . 2 1 q q 1 1 1 1 u 2 2q u 3 4 4 1 1 1 u 9 27 Câu 83: Với 1 u 9; q S . Chọn A. 1 3 1 q 1 2 1 3 1 u 1 Câu 84: Với 1 u 1; q S 2. 2. 2 2. Chọn C. 1 2 1 q 1 1 2 Trang 43 2 u 1 Câu 85: Với 1 u 1; q S 3. Chọn A. 1 3 1 q 2 1 3 1 1 1 3
Câu 86: Với u 1; q S . . Chọn D. 1 3 2 1 8 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 87: Ta có S ... ... ... ... 2 4 8 2n 3 9 27 3n 1 1 1 1 1 1
Với T ...
... là tổng của CSN lùi vô hạn với: u ;q 1 2 4 8 2n 1 2 2 1 1 1 1 1 1 Và T ...
... là tổng của CSN lùi vô hạn với: u ;q 2 3 9 27 3n 1 3 3 1 1 1 1 1 Vậy S T T : 1 : 1 . Chọn D. 1 2 2 2 3 3 2 1 2 1 a a ... n a b 1 b 1 Câu 88: Ta có 1 lim lim a lim . Chọn B. 2 1 b b ... n b 1 a 1 a 1 1 b
Câu 89: Ta có S là tổng CSN lùi vô hạn với 2 u 1; q cos x 1 u 1 1 Suy ra 1 S . Chọn C. 2 2 1 q 1 cos x sin x
Câu 90: Ta có S là tổng CSN lùi vô hạn với 2 u 1; q sin x 1 u 1 Suy ra 1 S . Chọn C. 2 1 q 1 sin x Câu 91: Ta có 0 0 tan 1 4
Do đó S là tổng CSN lùi vô hạn với u 1; q tan 1 u 1 cos cos Suy ra 1 S . Chọn B. 1 q 1 tan sin cos 2 sin 4 1 1 1
Câu 92: x 0,511111 0,5 ..... 3 4 100 10 10 1 n 1 1 10 n 23 0,5 . x
a b 23 45 68. Chọn B. 2 10 1 45 1 10 Trang 44 1 n 1 2 35 25 35 10 Câu 93: x 0,3535..... .... . 2 4 2 10 10 10 1 1 2 10 35 1 35 a 35 Khi n x . ab 3465. Chọn B. 2 10 1 99 b 99 1 100 1 n 1 3 231 231 231 231 10 231 1
Câu 94: x 5, 231231 5 .... 5 . 5 . 2 5 8 2 2 10 10 10 10 1 10 1 1 1 3 10 100 1742 a 1742
a b 1409. Chọn A. 333 b 333 1 n 1 2 23 23 23 10 Câu 95: x 0,172323.. 0,17 ... 0,17 . 4 6 4 10 10 10 1 1 2 10 17 23 853 b 853 12
a b 4097 2 . Chọn D. 100 9900 4950 a 4950 1 2n 1
. 1 3 5 ... 2 1 n n 2 n n 1 Câu 96: lim lim lim 2 2 2 3n 4 3n 4 3n 4 1 1 1 lim n . Chọn C. 4 3 3 2 n 3 2 2 2 2n 3 2 Câu 97: lim lim n 1 . Chọn D. 2 2n 1 1 2 2 2 n Câu 98: lim n q q 1 và lim n q 0 q
1 nên khẳng định sai là B. Chọn B. n 3n 1 n 3n 1
Câu 99: lim n 3n 1 n 2 2 2 lim lim 2 2 n 3n 1 n n 3n 1 n 1 3 3 3 lim n . Chọn B. 3 1 11 2 1 1 2 n n Trang 45 2 3n n 1 2 3 5 3n n 5 n n 3 5 3 Câu 100: lim 23n 2 lim5. lim . 5. 4 2 2 6 6 6 3 n n a 5 Suy ra a b 11. Chọn B. b 6 nn 1 1 2 n n 1 1 1 1 Câu 101: 2 lim ... lim lim lim . Chọn D. 2 2 2 2 n n n n 2n 2 2n 2 u
Câu 102: lim n 0. Chọn B. vn n 2n n 1 2n 1
Câu 103: lim n 2n n 1 2 2 2 2 lim lim 2 2 2 2 n 2n n 1 n 2n n 1 1 2 2 lim n 1. Chọn C. 2 1 11 1 1 n n 1 1 u 1 u u 1 1 1 u Câu 104: Ta có: 3 3 1 3
do đó n là cấp số nhân với n 1 u 1 u n 1 n 1 u u . n q n 1 3 n n n 1 3 n 3 n 1 u 1 1 1 n n . n 3 3 3 1 v 1 3 1 v v 1 2 1 3 v 1 1 Do đó 3 , ta có v v 1 3 2 2 3 v v n 1 n 3n . .............. 1 v v n n 1 n 1 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
Cộng vế theo vế ta được v ... . n 2 n 1 3 3 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 5 Do đó n
thì v . . Chọn B. n 3 3 2 6 3 Trang 46 2 4n 1 n 2 2 2 2 4n 1 n 2 4n 1 n 2 4n n 1 Câu 105: lim lim lim 2n 3 2n 3 2
4n 1 n 2 2n 3 1 1 4 2 4 lim n n 1. Chọn B. 1 1 2 3 2.2 4 2 2 2 n n n n n 1 3 n n 1 1 9 3 n 1 1 Câu 106: 9 lim lim lim 5n 9na 5 n a 9 3a a 9 9 n n 1 9 3 1 1 1 Do đó 3a 2187 a 7 5n 9na 2187 3a 2187
Kết hợp a và a 0;2019 suy ra có 2012 giá trị của a . Chọn C. 1 n 1 1 q 2 2 1 n n Câu 107: Ta có: S u . 1 n 1 1 q 1 3 2 1 2 2 1 n 2 Khi đó lim S lim 1 . Chọn B. n 3 2 3
Câu 108: Ta có: u u n 1 d 2 3 n 1 3n 1 n 1 n n 1 1 Khi đó L lim lim lim . Chọn A. u 3n 1 1 3 n 3 n 1 n 1 u 1 1 2 2 1 n n q Câu 109: Ta có: 4 q suy ra S u . u . u 1 u 2 1 1 1 1 q 1 3 2 3 1 2 2
Do đó lim S u 12 u 18. Chọn B. n 1 1 3 1 1 k 4 k 1 1 1 Câu 110: Ta có: k k . 4
4 k k 4 4 k k 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó lim ... n n lim .. 5.9 9.13 4 1 4 5 4 5 9 9 13 4n 1 4n 5 1 1 1 1 lim . Chọn D. 4 5 4n 1 20 Trang 47 Câu 111: Ta có: u 2u u 5 u u u u 5 n2 n 1 n
n2 n 1 n 1 n v 4 2 2 Đặt v u u thì 1
v v n 1 d 2 5 n 1 5n 3 1 n 1 n2 n 1 v v 5 n n 1 n u 2 1 u u 5.13 u 2 2 1 Khi đó 1 , ta có: u u 5.2 3 u u 5n 3 3 2 n 1 n . ................... u u 5. n1 3 n n 1
Cộng vế theo vế ta được n n n n u
n n n n 2 1 5 11 10 2 5 1 2 .. 1 3 1 2 5. 3 3 2 2 2 u 5n 11n 10 5 Do đó lim n lim . Chọn B. 2 2 n n n 2n 2 u 2 1
Câu 112: Dễ thấy u là cấp số nhân với 1 là cấp số nhân với n q 3 un 1 1 n u 1 1 2 1 n q 1 3 3 1 S u . 1 n 1 1 1 q 2 1 4 3n q 1 3 3 3 1 3 Suy ra lim S lim 1 . Chọn B. n 4 3n 4
Câu 113: Nếu lim u 0 thì lim u 0. Chọn A. n n Câu 114: Ta có: u
5u 20 u 5 5 u 5 n 1 n n 1 n v 1 0 Đặt u 5 v thì 1 n 1 n 1 v v q 10.5 2 .5n n n n 1 v 5v n 1 n Suy ra u 2
.5n 5 I lim5 5. Chọn D. n Câu 115: Ta có u
2u 5 u 5 2 u 5 n 1 n n 1 n v 6 v 6 Đặt v u 5 suy ra 1
v là cấp số nhân với 1 n 1 v 6.2 3.2n n n v 2 n v q 2 n n 1 n 5 n 3 u 3.2 5 n Suy ra u 3.2n 5 nên n 2 I lim lim lim 3. Chọn C. n 2n 1 2n 1 1 1 2n Trang 48 Câu 116: u 2 1
Cách 1: Dễ thấy u là dãy số không đổi và u 2 với mọi n vì u 2 2 2 n n 2 . ...........
Do đó lim u lim 2 2. n Cách 2: Giả sử lim u limu a 0 ta có: n 1 n 2 a0 lim u
lim 2 u a 2 a a a 2 0 a 2. Chọn A. n 1 n 2.4n 1 1 n n 1 2 1 2.4 1 2 4n 4n 2 1 Câu 117: lim lim lim 3 2 2 2.4n 1 2n 2.4n 1 1 2 1 1 2 1 4n 4n
Do đó a 3,b 2 T 19. Chọn A. Câu 118: Ta có: 2 u
u 3u 4 u 2 u 1 u 2 n 1 n n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: u 2 u 1 u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 n 1 n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó v .... n
u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 1 2 2 2 n n 1 1 n 1 1 1 1 Vậy lim v lim lim1 n u 2 u 2 u 2 1 n 1 n 1 Dễ thấy lim u
0 nên lim v 1. Chọn C. n 1 n u 2 1 u u 2.12 2 1 Câu 119: Ta có u u 2.2 2 3 2 . .................... u u 2 n1 2 n n 1 n n
Cộng vế theo vế ta được u
n n n n 1 2 2 1 2 3 ... 1 2 1 2 2. 2 2 2 2 2
n n 2n n n 1 1 1 1 1 Khi 2 u n n nn 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ... 1 ... 1 u u u 2 2 3 n n 1 n 1 1 2 n 1 1 1 1 Suy ra lim ... lim 1 1. Chọn D. n u u u n 1 1 2 n Trang 49 6 2 3 2 2a 3 2an 6n 2 Câu 120: Ta có lim lim n n 2a 4 a 2. 3 n n 1 1 2 n Do đó 4
M a a 16 2 14. Chọn D. 1 n 1 1 1 1 1 2 1 Câu 121: Ta có S 2 ... 2 . 2 1 2 2 2 2n 2 1 2n 1 2
Khi n S 3. Chọn C. 1 n 1 32 32 32 32 32 10 Câu 122: Ta có P .... . 2 4 6 2n 2 10 10 10 10 10 1 1 2 10 32 1 32 Khi n P .
. Vậy m 32, n 99 H 99 32.3 3. Chọn B. 2 10 1 99 1 2 10 3 3
Câu 123: Tam giác đều cạnh 3 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2
3 S r 3 3 1
Với mỗi tam giác đề bài cho, độ dài cạnh của tam giác sau bằng độ dài cạnh của tam giác trước nên 2
diện tích đường tròn ngoại tiếp giảm đi 4 lần 1 1 1 Khi đó S S S ... S ... 3 1 ... .. 1 2 n 4 16 2n 1 n 1 1 1 1 2 3. 1 .. ... 3 . 2 4 2n 2 2 2 2 1 1 2 1
Khi n S 3 . 4. Chọn B. 1 1 4 2 2 2 Câu 124: Ta có 2 2 2 u u a u u a u a u a n n n n 2 3 n 2 3 1 1 1 n 3 3 3 v 1 3a 1 2 Đặt 2 v u 3a thì
v là cấp số nhân với v 1 3a,q n n 2 n v v 1 3 n 1 3 n n 1 n 1 2 2 Ta có: 2 v u 3a a u a a n n 1 3 2 . n 1 3 . 3 3 3 Trang 50 1 2 2 2 2 n Do đó 2 2 2
u u ... u 2n 1 3a .. 3na 2n 1 2 n 3 3 3 2 n 1 a 2 3 1 3 . . 3na 2n 3 2 1 3 2 Do đó lim 2 2 2
u u ... u 2n lim 2 1 3a 3na 2n b a 1 2 n 3 2 Suy ra b 2 1 3. 3 ab 2. Chọn A. 3 1 2 5. 3 5 3n n n 5 3 a 5 Câu 125: lim T a b Chọn D. 23n 2 lim 11. 2 6 b 6 2 3 n u 2
Câu 126: u là cấp số cộng có 1
u u n 1 d 2 3 n 1 3n 1 1 n d 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: u u u u 3 3 u u 3 3 u u n n 1 n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: S ... 3 u u u u u u 3 2 u 3 2 3 n 1 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 1 1 1 Do đó lim S lim Chọn A. n n . 3 2 3 1 1 6 1 1 u 1 u u 1 1 1 u Câu 127: Ta có 3 3 1 3
do đó n là cấp số nhân với n 1 u 1 u n 1 n 1 u u . n q n 1 3 n n n 1 3 n 3 n 1 u 1 1 1 n n . n 3 3 3 1 n v 1 1 u 1 1 1 1 3 3 1 n Đặt n v thì do đó S 1 ... 1. 1 n 1 n v n 2 3 3 3 3n 1 2 3 n 3n 1 3 3
Khi n thì S . Chọn A. n 2 Trang 51
Câu 128: Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB . x
Vì B , D là trọng tâm của tam giác A 1 1 MD MB 2 1 1 ABC, ACD MB MD 3 B D MD 1 BD Suy ra 1 1 1 B D / /BD B D . C 1 1 1 1 BD MB 3 3 1
Tương tự, ta được A B C D là tứ diện đều cạnh B D B D 1 1 1 1 1 1 x V V 27 V . 1 3 3 V 3 A 1 1 V V V V V Khi đó 1 V ;V ;V V . 2 3 2.3 3 3.3 4 3.4 n 3 3 3 3 3 3 n C 1 1 1 1
Suy ra V V ...V V 1 ... V.S 1 n 3 6 9 3 3 3 3 3 n 1 n 1 1 27. n 27 127
Tổng S là tổng của cấp số nhân với u 1; q S 1 27 1 26 1 27 V.271 27n 27 n 1 Vậy P lim V vì lim 27 lim 0. Chọn A. n 26 26 27n n n 1 1 k 2 k 1 1 1 Câu 129: Ta có: k k . 2
2 k k 2 2 k k 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó lim ... n n lim 1 .. 1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 . Chọn A. 2 2n 1 2 Câu 130: Ta có u 2u u 1 u u u u 1 n2 n 1 n
n2 n 1 n 1 n v 2 Đặt v u u thì 1
v v n 1 d 2 n 1 n 1 1 n 1 n2 n 1 v v 1 n n 1 n u 1 1 u u 11 u 1 2 1 Khi đó 1 , ta có u u 2 1 u u n 1 3 2 n 1 n . ................. u u n1 1 n n 1 n n n n
Cộng vế theo vế ta được u n n n n 2 1 1 1 2 .. 1 1 1 1 2 2 Trang 52 2 u n n 1 Do đó lim n lim . Chọn C. 2 2 n n n 2n 2 Trang 53