Tài liệu chủ đề giới hạn hàm số

Tài liệu gồm 46 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề giới hạn hàm số, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.

25 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

46 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số
f x
xác định trên khoảng
;
a b
, có thể trừ điểm
0
;
x a b
. Nếu với mọi dãy số
n
x
mà
0 0
; \ ; lim
n n
x a b x x x
ta đều có
lim
n
f x L
thì ta nói hàm số
f x
có giới hạn là số
L
khi
x
dần đến
0
x
. Khi đó ta kí hiệu
0
lim
x x
f x L
hoặc
f x L
khi
0
x x
.
b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là

thì ta nói
f x
có giới hạn vô cực khi
0
x x
và kí hiệu
0
lim
x x
f x

hay
f x

khi
0
x x
.
2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số
f x
xác định trong khoảng
;a
. Khi đó nếu với mọi dãy số
n
x
với
, lim
n n
x a n x

ta đều có
lim
n
f x L
(hoặc
,

) ta nói hàm số
f x
có giới hạn là L (hoặc
,

) khi x dần tới vô cực.
Khi đó viết lim
x
L

(hay

) hoặc
f x L
(hay

)
Khi
x

hàm số
f x
trong
;
b
 , với mọi dãy
n
x
mà lim
n n
x b x

ta đều có
lim
n
f x L
(hay

) thì ta có
lim
x
f x L

(hay

) hoặc
f x L
(hay

) khi
x

Một số giới hạn của hàm số tại vô cực
*
1 1
lim 0, lim 0
x x
x x
 
* lim
k
x
x


(với ); lim
k
x
x


nếu k chẵn và
nếu k lẻ.
*
1 1
lim lim *
k k
x x
k
x x
 
3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí: Nếu
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
, c là hằng số thì
*
0
lim
x x
f x g x L M
*
0
lim . .
x x
f x g x L M
và
0
lim . .
x x
c f x c L
(c là hằng số)
* Nếu
0
M
thì
0
lim
x x
f x
L
g x M
Trang 2
*
0
lim
x x
f x L
*
0
3
3
lim
x x
f x L
*
0
lim
x x
f x L
với
0
L
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số và những quy tắc cơ bản
Phương pháp giải:
* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số
f x
trên cơ sở giới hạn các dãy
n
f x
.
Nếu có 2 dãy
n
x
và
n
x
cùng tiến đến
0
x
mà
lim lim
n n
f x f x
thì không tồn tại
0
lim
x x
f x
* Với mọi số nguyên dương k, ta có:
2 2 1
1
lim ; lim , lim , lim 0
k k k
k
x x x x
x x x
x
   
  
* Xác định dấu

hoặc

dựa trên dấu của tích số, thương số,
0 0
, ,x x x x x

Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số
a)
2 10
f x x
khi
3
x
b)
2
2 3
6
x
f x
x
khi
3
x
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là
5;
. Chọn dãy số
n
x
với
5;
n
x
sao cho
lim 3
n
x
.
Theo định nghĩa
3
lim 2 10 lim 2 10
n
x n
x x

Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có
2.lim 10 2. 3 10 4 2
n
n
x

. Vậy
3
lim 2 10 2
x
x
b) Tập xác định của hàm số là nên chọn dãy số
n
x
sao cho
Ta có
2 2 2
3 3
lim(2 3)
2 3
2 3
lim ( ) lim lim
3 6 6 lim( 6)
n
n n
x x n
n n
n
x
x
x
f x
x x


2 2
2.lim 3
2.3 3 3
5
lim 6 3 6
n
n
n
n
x
x

. Vậy
2
3
2 3 3
lim
5
6
x
x
x
Chú ý: Nếu hàm số
f x
là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm số lượng giác có tập xác
định là D thì với mỗi
0
x D
ta có
0
0
lim
x x
f x f x
Trang 3
Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số
a)
2
1
2
x
f x
x
khi
3
x
b)
2
2
3 10
2 6
x x
f x
x x
khi
2
x
Lời giải:
a) Theo định lí 1, ta có
2
2
3
3 3
3
lim 1
1
lim lim
2 lim2
x
x x
x
x
x
f x
x x
2
3 3 3 3 3
3 3 3 3
lim lim1 lim.lim lim1
3.3 1 5
lim2.lim lim2. lim 2 3 3
x x x x x
x x x x
x
x x
. Vậy
2
3
1 5
lim
2 3
x
x
x
b) Vì
2
2 6 0
x x
khi
2
x
nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1.
Nhưng với
2
x
, ta có
2
2
3 10 2 5
2 6 2 2 3
x x x x
x x x x
suy ra
5
2 3
x
f x
x
.
Vậy
2 2 2
2 2
2 2 2
lim 5 lim lim5
5 2 5
lim ( ) lim 1
2 3 lim 2 3 2.lim lim3 2.2 3
x x x
x x
x x x
x x
x
f x
x x x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
3
1
lim
1
x
x
x
b)
2
2
4
lim
2
x
x
x
c)
6
3 3
lim
6
x
x
x
Lời giải:
a)
2
2
3 3
3 1
1 8
lim lim 4
1 3 1 2
x x
x
x
b)
2
2 2 2
2 2
4
lim lim lim 2 4
2 2
x x x
x x
x
x
x x

c)
6 6 6
3 3 3 3
3 3 6
lim lim lim
6 6
6 3 3
x x x
x x
x x
x x
x x
6
1 1
lim
6
3 3
x
x
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
a)
2 6
lim
4
x
x
x

b)
2
17
lim
1
x
x

c)
2
2 1
lim
3
x
x x
x

Lời giải:
Trang 4
a)
6
2
2 6
lim lim 2
4
4
1
x x
x
x
x
x
 
b)
2
17
lim 0
1
x
x

c)
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
2 1
lim lim lim
3 3
3
1 1
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
  

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)
2
lim 2 3
x
x
b)
3
2
lim 2 3 4
x
x x
c)
3
1 2
lim
1
x
x x
x
d)
2
2
1
4 1
lim
1
x
x x
x x
Lời giải:
a)
2 2
lim 2 3 lim 2.2 3 7
x x
x
b)
3
3
2 2
lim 2 3 4 lim 2. 2 3 2 4 6
x x
x x
c)
3 3
1 3 2. 3
1 2
lim lim 2
1 3 1
x x
x x
x
d)
2 2
2 2
1 1
4 1 1 4.1 1
lim lim 6
1 1 1 1
x x
x x
x x
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)
3
1
lim 2
x
x x
b)
2
5
25
lim
2
x
x
x
c)
3
1 2
lim
1
x
x x
x
d)
2
2
1
4 1
lim
1
x
x x
x x
Lời giải:
a)
3
3
1 1
lim 2 lim 1 2 1 0
x x
x x
b)
2 2
5 5
25 5 25
lim lim 0
2 5 2
x x
x
x
c)
3 3
1 3 2 3
1 2
lim lim 2
1 3 1
x x
x x
x
d)
2 2
2 2
1 1
4 1 1 4.1 1
lim lim 6
1 1 1 1
x x
x x
x x
Trang 5
Ví dụ 7. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
0
1
lim sin
x
x
Lời giải:
Giả sử tồn tại
0
1
lim sin
x
x
. Xét 2 dãy sau:
2
4 1
2
4 1
n
n
x
n
x
n
với
*
n N
0
1 1
lim sin lim sin 1
lim lim 0
1 1
lim sin lim sin 1
x x
n
n n
x x
x n
n
x x
x x
x x


( vô lý)
Ví dụ 8. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
lim sin
x
x

Lời giải:
Giả sử tồn tại
lim sin
x
x

. Xét 2 dãy sau:
1
2
2
1
2
2
n
n
x n
x n
với
*
n N
lim sin lim sin 1
lim lim
lim sin lim sin 1
n
x n
n n
n
x n
x x
x x
x x
 
 

(vô lý)
Ví dụ 9. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
0
3
lim cos
x
x
Lời giải:
Giả sử tồn tại
0
3
lim cos
x
x
. Xét 2 dãy sau:
1
2
1
2 1
n
n
x
n
x
n
0
0
3 3
lim cos lim cos 1
lim lim 0
3 3
lim cos lim cos 1
x n
n
n n
x n
n
x x
x x
x x


(vô lý)
Trang 6
Ví dụ 10. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
0
1
lim cos
5
x
x
Lời giải:
Giả sử tồn tại
0
1
lim cos
5
x
x
. Xét 2 dãy sau:
5
2
5
2 1
n
n
x
n
x
n
0
0
1 1
lim cos lim cos 1
5 5
lim lim 0
1 1
lim cos lim cos 1
5 5
x n
n
n n
x n
n
x x
x x
x x


(vô lý)
Ví dụ 11. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
lim sin 3
x
x

Lời giải:
Giả sử tồn tại
lim sin 3
x
x

. Xét 2 dãy sau:
1 1
2
3 2
1 1
2
3 2
n
n
x n
x n
với
*
n N
lim sin 3 lim sin3 1
lim lim
lim sin 3 lim sin 3 1
x n
n n
n
x n
x x
x x
x x
 
 

(vô lý)
Dạng 2. Khử dạng vô định về 0/0
Xét bài toàn: Tính
0
lim
x x
f x
g x
khi
0 0
lim lim 0
x x x x
f x g x
, trong đó
,
f x g x
là các đa thức và căn
thức.
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước:
0 0
0
0
.
lim lim lim
.
x x x x x
f x x x A x A x
g x x x B x B x

Nếu
,
A x B x
đều chứa nhân tử
0
x x
ta sẽ tiếp tục phân tích thành các nhân tử.
Chú ý:
- Với
,
f x g x
là đa thức (thường là hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) thì ta phân tích nhân tử bằng
việc giải phương trình
0
f x g x
- Với
,
f x g x
là căn thức, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp số hoặc liên hợp biến)
để phân tích nhân tử.
- Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócne,…
Trang 7
- Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số mà các
giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định
0
0
.
- Nếu
0 0
lim ; lim
x x x x
f x g x

thì
0 0
lim ; lim .
x x x x
x g x x g x

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
a)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
b)
2
2
2
2
lim
2 6 4
x
x x
x x
c)
3
4
1
3 2
lim
4 3
x
x x
x x
d)
3 2
2
1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
Lời giải:
a)
2
2 2 2
1 2
3 2
lim lim lim 1 1
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
b)
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
lim lim lim lim 1
2 6 4 2 1 2 2 1
2 3 2
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x
c)
2
3
4 2 2
2
1 1 1
1 2
3 2 2 3 1
lim lim lim
6 2
4 3 2 3
1 2 3
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
d)
2
3 2
2
1 1 1
1 1 1 1
1
lim lim lim 0
1 2 2
3 2
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn các hàm số sau:
a)
4 2
2
3
72
lim
2 3
x
x x
x x
b)
3 2
4 2
3
5 3 9
lim
8 9
x
x x x
x x
c)
2 6
2
1
5 4
lim
1
x
x x x
x
d)
4 4
lim
x a
x a
x a
Lời giải:
a)
3 2
4 2 3 2
2
3 3 3
3 3 8 24
72 3 8 24 51
lim lim lim
1 3 1 2
2 3
x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x x
b)
2
3 2 2
4 2 3 2
3 2
3 3 3
3 2 3
5 3 9 2 3
lim lim lim 0
8 9 3 3
3 3 3
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
c)
5 4 3 2
2 6 5 4 3 2
2 2
1 1 1
1 4 4 4 4
5 4 4 4 4 4
lim lim lim
1
1 1
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x
d)
3 2 2 3
4 4
3 2 2 3 3
lim lim lim 4
x a x a x a
x a x ax a x a
x a
x ax a x a a
x a x a
Trang 8
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
4
16
lim
20
x
x
x x
b)
2
3
2
4
lim
8
x
x
x
c)
2
2
2
3 2
lim
2 6
x
x x
x x
Lời giải:
a)
2
2
4 4 4
4 4
16 4 8
lim lim lim
4 5 5 9
20
x x x
x x
x x
x x x
x x
b)
2
3 2
2
2 2 2
2 2
4 2 1
lim lim lim
3
8 2 4
2 2 4
x x x
x x
x x
x x x
x x x

c)
2
2
2 2 2
1 2
3 2 1 1
lim lim lim
2 2 3 2 3 9
2 6
x x x
x x
x x x
x x x
x x

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
5
30
lim
2 9 5
x
x x
x x
b)
2
2
1
2
2 5 2
lim
4 1
x
x x
x
c)
2
2
1
2 3 1
lim
4 5
x
x x
x x
Lời giải:
a)
2
2
5 5 5
5 6
30 6
lim lim lim 1
2 9 5 5 2 1 2 1
x x x
x x
x x x
x x x x x
b)
2
2
1 1 1
2 2 2
2 1 2
2 5 2 2 3
lim lim lim
2 1 2 1 2 1 4
4 1
x x x
x x
x x x
x x x
x
c)
2
2
1 1 1
2 1 1
2 3 1 2 1 1
lim lim lim
1 5 5 6
4 5
x x x
x x
x x x
x x x
x x
 
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)
3
3 2
1
3 2
lim
1
x
x x
x x x
b)
3 2
2
1
2 4
lim
3 4
x
x x x
x x
c)
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x
Lời giải:
a)
2
3
3 2 2
1 1 1
1 2
3 2 2 3
lim lim lim
1 2
1
1 1
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x
b)
2
3 2 2
2
1 1 1
1 2 4
2 4 2 4 7
lim lim lim
1 4 4 5
3 4
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x

Trang 9
c)
2 2 2
4 2
3 2 2
2
3 3 3
3 9 3 3
6 27 36
lim lim lim
5
3 3 1
1 3
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)
3
4
1
3 2
lim
4 3
x
x x
x x
b)
2
3
2
4 18
lim
8
x
x x
x
c)
4 2
2
3
72
lim
2 3
x
x x
x x
Lời giải:
a)
2
3
4 2 2
2
1 1 1
1 2
3 2 2 3 1
lim lim lim
6 2
4 3 2 3
1 2 3
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
b)
2
3 2
2
2 2 2
2 4 9
4 18 4 9 17
lim lim lim
12
8 2 4
2 2 4
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
c)
2 2
4 2
2
3 3 3
8 3 3 8 3
72 51
lim lim lim
1 3 1 2
2 3
x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau
a)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
b)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
c)
3 2
4 2
3
5 3 9
lim
8 9
x
x x x
x x
Lời giải:
a)
4 3 2
5 4 3 2
3 2
2
1 1 1
1 1
1 1 5
lim lim lim
1 1 3
1 1
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
b)
4 3 2
5 4 3 2
3 2
2
1 1 1
1 1
1 1 5
lim lim lim
1 1 3
1 1
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
c)
2
3 2 2
4 2
2 2
3 3 3
3 2 3
5 3 9 2 3
lim lim lim 0
8 9
1 3 3 1 3
x x x
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau
a)
2
1
2 1
lim
1
1
x
x
x
b)
3
1
1 3
lim
1
1
x
x
x
c)
2
2
1 4
lim
2
4
x
x
x
Lời giải:
a)
2 2 2
1 1 1 1
2 1
2 1 1 1 1
lim lim lim lim
1 1 2
1 1 1
x x x x
x
x
x x
x x x
Trang 10
b)
2
3
2 2
1 1 1
1 3
1 2
1 3
lim lim lim
1
1
1 1 1 1
x x x
x x
x x
x
x
x x x x x x
2
1
2
lim 1
1
x
x
x x
c)
2
2 2 2
1 4 2 4 1 1
lim lim lim
2 2 2 2 4
4
x x x
x
x x x x
x

Ví dụ 9. Tìm giới hạn các hàm số sau
a)
2
7
3 2
lim
49
x
x
x
b)
2
2
2 2
lim
3 2
x
x
x x
c)
3 2
1
2 7 3
lim
4 3
x
x
x x
Lời giải:
a)
2
7 7 7
3 2 3 2
3 2 1 1
lim lim lim
56
49
3 2 7 7 7 3 2
x x x
x x
x
x
x x x x x
b)
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
4
3 2
1 2 2 2 1 2 2
x x x
x x
x
x x
x x x x x
c)
3 2
2 2
1 1 1
2 7 3 2 7 3
2 7 3 2 1
lim lim lim
4 3 15
1 3 3 2 7 3 3 3 2 7 3
x x x
x x
x
x x
x x x x x x x
Ví dụ 10. Tìm giới hạn các hàm số sau
a)
2
2
1
1 3
lim
3 2
x
x
x x
b)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
c)
3
2
2
lim
8
x
x x
x
Lời giải:
a)
2 2
2
2
1 1 1
2 2
2 3 3 2 3
2 3 1 1
lim lim lim
3 2 2
2 3 3 1 2 2 3 3 2
x x x
x x
x x
x x
x x x x x
b)
2
2 2 2
4 1 3 4 1 3
4 1 3 4 1
lim lim lim
6
4
2 2 4 1 3 2 4 1 3
x x x
x x
x
x
x x x x x
c)
3
2 2
2 2 2
2 2 2
2 1 1
lim lim lim
16
8
2 2 4 2 2 4 2
x x x
x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x
Ví dụ 11. Tìm giới hạn các hàm số sau
a)
3
3
1
1
lim
2 5 3
x
x
x x
b)
3
2
0
1 1
lim
2
x
x
x x
Trang 11
c)
3
2
2
2 12
lim
2
x
x x
x x
d)
4
3 2
1
1
lim
2
x
x
x x
Lời giải:
a)
3 2
3 3
3
2
1 1 1
3 32 2
3 3
1 .1 1
1 1
lim lim lim 1
2 5 3
1 2 3 .1 1 2 3 .1 1
x x x
x x x
x
x x
x x x x x x x
b)
2
3 3
3
3
2
0 0 0
2 2
3 3
3 3
1 1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim
6
2
2 1 1 1 2 1 1 1
x x x
x x x
x
x x
x x x x x x x
c)
2
2
3 3
3
3
2
2 2
2 2
3
3
2 12 2 12 2 12
2 12
lim lim
2
2 (2 12) 2 12
x x
x x x x x x
x x
x x
x x x x x x
2
2
2 2
2 2 2 2
3 3
3 3
2 2 12
2 12 5
lim lim
6
2 (2 12) 2 12 (2 12) 2 12
x x
x x x
x x
x x x x x x x x x x x
d)
4 4
4
3 2
2
4
1 1
1 1 1
1
lim lim
2
1 2 1 1
x x
x x x
x
x x
x x x x x
2 2
1 14 4
1 1
1 1
lim lim
12
1 2 1 1 2 1 1
x x
x x
x x x x x x x x x
Ví dụ 12. Tính các giới hạn sau
a)
3 2
1
2 7 4
lim
4 3
x
x x
x x
b)
3
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
c)
2 3
1
3 3
lim
1
x
x x x
x
Lời giải:
a) Ta có
2
3 2
3 2 2
1 1
2 7 4
2 7 4
lim lim
4 3
3 3 2 7 4
x x
x x
x x
x x
x x x x x
2
2 2
1
1 9
10 9
lim
3 1 2 7 4 1 3 1 2 7 4
x
x x
x x
x x x x x x x x x
2
1
9 9 1 4
lim
1 3.2 3 1 4 15
3 1 2 7 4
x
x
x x x x
b)
2 3 6 6
2
2 3 3
1 1 1
3 3 3 2 1 3 3
lim lim lim
1
1 3 2 1 1 3 2
x x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x
Trang 12
3 2
3 3
3 3
1 1
1 1 1 3
1 1 3 1
lim lim
1 1 3 2 1 1 3 2
x x
x x x x
x x x
x x x x x x x x
3 2 2
3
1
1 1 3
1 1 1 1 1 3
2.3 3 3
lim
1 1 1 1 2.2 4
1 3 2
x
x x x
x x x
c)
2
2 3
2 3 2 6 4 2
1 1 1
2 3 2 3
3 3
3 3 3 6 9
lim lim lim
1
1 3 3 1 3 3
x x x
x x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x x
6 4 2 6 4 4 2 2
1 1
2 3 2 3
6 8 3 5 5 3 3
lim lim
1 3 3 1 3 3
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
2 4 2 4 2
1 1
2 3 2 3
1 5 3 1 5 3
1 1 1 5 3
1
lim lim
2 1 3 2
1 3 3 3 3
x x
x x x x x x
x x x x x x x
Ví dụ 13. Cho hàm số
2
1 1
5
mx mx
f x
x
. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
f x
có
giới hạn bằng 1 khi x dần tới 0
Lời giải:
Ta có
2 2 2
1 1 1 1 1 1
mx mx mx mx mx mx
Suy ra
2
2
2 2
1
1 1
1 1 1 1
mx x
mx mx
mx mx
mx mx mx mx
Khi đó
2 2
1 1
0
10
5 1 1 5 1 1
m x m x
m
f x g x g
mx mx mx mx
Vậy giới hạn
0
lim 0 1 10
10
x
m
f x g m
Dạng 3. Khử dạng vô định ∞/∞, 0.∞ hoặc ∞ - ∞
Bài toán 1: Tính
lim
x
f x
g x
khi
lim lim
x x
f x g x

, trong đó
,
f x g x
là các đa thức và căn
thức.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho
n
x
với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu thức. Nếu
,
f x g x
có
chứa biến x trong dấu căn thức thì đưa
k
x
ra ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu
căn).
Chú ý:
Trang 13
* Khi
x

thì ta xử lý giống như với giới hạn của dãy số.
* Khi
x

ta cần lưu ý khi đưa
2
k
x
ra ngoài dấu căn thức bậc chẵn.
Dạng hay gặp chính là
2
x x x
khi
x

và
x
khi
x

* Xét hàm số
f x
h x
g x
có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của
,
f x g x
lần lượt là a, b
Và kí hiệu
deg , deg
f x g x
lần lượt là bậc của
,
f x g x
- Nếu
deg deg
f x g x
thì
lim
x
f x
g x
- Nếu
deg deg
f x g x
thì
lim
x
f x
a
g x b
- Nếu
deg deg
f x g x
thì
lim 0
x
f x
g x
Bài toán 2: Tính
0
lim .
x x
f x g x
khi
0
lim 0
x x
f x
và
0
lim
x x
g x

Phương pháp giải:
Ta biến đổi
0 0
lim . lim
1
x x x x
f x
f x g x
g x
để đưa về dạng
0
0
Hoặc biến đổi
0 0
lim . lim
1
x x x x
g x
f x g x
f x
để đưa về dạng
.
Bài toán 3: Tính
0
lim
x x
f x g x
khi
0
lim
x x
f x
và
0
lim
x x
g x
Phương pháp giải:
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.
Ta xét các ví dụ dưới đây để hiểu rõ bản chất các bài toán:
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a)
2 1
lim
1
x
x
x

b)
2
2
1
lim
1 3 5
x
x
x x

c)
2
1
lim
1
x
x x
x x

Lời giải:
a)
1
2
2 1 2 0
lim lim 2
1
1 1 0
1
x x
x
x
x
x
 
Trang 14
b)
2
2
2
2
1
1
1 1 0 1
lim lim
1 3
1 3 5 0 3.0 5 5
5
x x
x
x
x x
x x
 
c)
2
2
2
1 1
1 0 0
lim lim 0
1 1
1 1 0 0
1
x x
x x
x
x
x x
x x
 
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
3 2 1
lim
5 1 2
x
x x
x x x

b)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2
x
x x
x x

c)
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1
x
x x
x x

Lời giải:
a)
2
2
2
3
6
3 2 1
6 3.0 6
lim lim
1 2
5 0 1 2.0 5
5 1 2
5 1
x x
x x
x
x x x
x x
 
b)
3 2
2 4
4
3 4
3 2 1
3 2 1 3.0 2.0 0
lim lim 0
3 2
4 3.0 2.0
4 3 2
4
x x
x x
x
x x
x x
x x
 
c)
3
2 3
3 2
3
2 2
3
3 2 2 3 2.0 2.0 3
lim lim
2 1
2 2.0 0 2
2 2 1
2
x x
x x
x x
x x
x
x
 
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x

b)
2
2
2 3 1
lim
4 1 1
x
x x x
x x

c)
2
3
lim
1
x
x x
x

Lời giải:
a) Đặt
x t
. Với
x t
 
Khi đó
2 2
3
1 2
3 2 3 2 1 3.0 2 1
lim lim lim
1
3 1 3 1 3 0 3
3
x t t
x x x t t t
t
x t
t
  
Trang 15
b)
2
2
2
2
1 2 1
1 3
2 3 1
lim lim 4
1 1
4 1 1
4 1
x x
x x x
x x
x
x x
x
x
 
Đặt
x t
. Với
x t
 
. Khi đó
2 2
2
2 2
2
1 2 1
1 3
2 3 1 2 3 1 2
lim lim lim
3
1 1
4 1 1 4 1 1
4 1
x t t
x x x t t t
t t
t
x x t t
t
t
  
c)
2
2
2
1 3
3 0 3.0
lim lim 0
1
1 0
1
1
x x
x x
x
x
x
x
 
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x

b)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
x x

c)
3 3 2
2
lim
2 2
x
x x x
x

Lời giải:
a)
2
2
2
2 1 2
4 1
4 2 1 2 1
lim lim
5
3
9 3 2
9 2
x x
x x x
x x
x
x x x
x
 
Đặt
x t
. Với
x t
 
. Khi đó
2 2
2
2 2
2 1 2
4 1
4 2 1 2 4 2 1 2
lim lim lim 3
3
9 3 2 9 3 2
9 2
x t t
x x x t t t
t t
t
x x x t t t
t
  
b)
2
2
2
2
2 3 1
1 4
2 3 4 1
lim lim 5
1 2
4 1 2
4 1
x x
x x x
x x x
x x
x x
 
Đặt
x t
. Với
x t
 
Khi đó
2 2
2
2 2
2
2 3 1
1 4
2 3 4 1 2 3 4 1
lim lim lim 1
1 2
4 1 2 4 1 2
4 1
x t t
x x x t t t
t t
t
x x t t
t
t
  
Trang 16
c)
3
3 3 2
3
2
1 1
2 1 2.0 1
lim lim 1
2
2 2 2 2.0
2
x x
x x x
x
x
x
 
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)
2
3
3 2 3 2 2
3
2
2 2
lim
3 2
x
x x x x x x
x x

b)
2
2
2 3 1
lim
3 5
x
x x
x x
Lời giải:
a) Đặt
x t
. Với
x t
 
. Khi đó
2 2
3 3
3 2 3 2 2 3 2 3 2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
lim lim
3 2 3 2
x t
t t t t t t t t t t t t
L
t t t t
 
2
3 3
2
3
3
2 2
1 1 1
1 2.0 1 2.0 1
lim 1
2
3 2.0
3
t
t t
t

b)
2
2
2
2
3 1
2
2 3 1 2 3.0 0 2
lim lim
1 5
3 0 5.0 3
3 5
3
x x
x x
x
x
x x
x
x

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)
1 1
lim
2 1
x
x x x x
x x

b)
5 2
3
2 1
lim
1
x
x x
x
c)
2
1
lim
2 3
x
x
x

Lời giải:
a)
1 1 1
1 1
1 1
1 0 0 1 0
lim lim 1
2 1
2 1 1 2.0 1 0
1 1
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
 
b)
3
5 2
2 3 5
2 2
3 3
3
1 2 1
2 1
2 1
lim lim . lim .
1
1 1
1
x x x
x
x x
x x x
x x
x x
x

5 2
3 5 3 5
2 2
3
3 3
2 1 2 1
1 1
1 2.0 0 2 1
lim ; lim 1 0 lim . lim
1 1
1 0
1
1 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x
 
  
Trang 17
c)
2
2
1
1
1 1 0 1
lim lim
3
2 3 2 3.0 2
2
x x
x
x
x
x
 
Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau
a)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x

b)
2
lim 3 2 2
x
x x x

Lời giải:
a) Ta có
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x


và
2
2
4
lim 2 1 4 4 3 lim 0
2 1 4 4 3
x x
x x x
x x x
 
b)
2
2
3 2 2
lim 3 2 2 lim 1 1
x x
x x x x
x x
x
 
Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau
a)
2
lim 3 2 9 12 3
x
x x x

b)
2
lim 3 2 2
x
x x x

Lời giải:
a) Ta có
2
lim 3 2 9 12 3
x
x x x


2
2
7
lim 3 2 9 12 3 lim 0
3 2 9 12 3
x x
x x x
x x x
 
b)
2
2
2
1
2 1 1
lim 3 2 2 lim lim
2
3 2 1 1
3 2 2
1 2 1
x x x
x
x
x x x
x x x
x x
  
Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau
a)
2
lim 3 2 1
x
x x x

b)
2
lim 3 1 3
x
x x x

Lời giải:
a) Ta có
2
lim 3 2 1
x
x x x


;
2
2
1
1
1 1
lim 3 2 1 lim lim
2
3 1
3 2 1
1 2 1
x x x
x
x
x x x
x x x
x x
  
b) Ta có
2
2
3 1 3
lim 3 1 3 lim 1 1
x x
x x x x
x x
x
 

Trang 18
2
2
2
8
3
3 8 3 3
lim 3 1 3 lim lim
2
3 1 3 1 1
3 1 3
1 1
x x x
x
x
x x x
x x x
x x
x
  
Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau
a)
2
lim 4 3 2 1
x
x x x

b)
32 3
lim 1 1
x
x x

Lời giải:
a) Ta có
2
lim 4 3 2 1
x
x x x


2
2
2
2
3
3 2 3 3
lim 4 3 2 1 lim lim
4
1 3 1 4 2
4 3 2 1
4 2
x x x
x
x
x x x
x x x
x x
x
  
b) Ta có
3 32 3 2 3
lim 1 1 lim 1 1
x x
x x x x x x
 
2 2
32 3 3
3
1 1
lim 0
1
1 1
x
x x
x x x x

Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau
a)
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
L
x

b)
2
2
2 3 1
lim
2 5
x
x x
M
x
Lời giải:
a) Ta có:
2 2 2 2
2
1 1
4 1 1 4 1
4
x x x x x
x
x
2
1 1
. 1 2 1
4
x
x
x
và
3
2 3 2 1
2
x x
x
Khi đó
2
2 2
1 1
. 1 2 1
4
4 1
lim lim
3
2 3
2 1
2
x x
x
x
x
x x x
L
x
x
x
 
Vì
x

suy ra
x x
, do đó
. 1 2
1 1
lim lim
2 2 2
x x
x
L
x
 
b) Ta có
2 2
2 2
3 1 3 1
2 3 1 2 1 2 1x x x x x x
x x
x x
Trang 19
Và
2 2
2 2
5 5
2 5 2 2x x x
x x
, khi đó ta được
2
2
2
2 2 2
3 1
3 1
3 1
2 1
2 1
2 1
lim lim lim 2
5 5 5
2 2 2
x x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
M
x x
x x x

Ví dụ 12. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
1
lim
2
x
x x
A
x

b)
2
3
3
4 2
lim
8
x
x x
B
x x

Lời giải:
a) Ta có
2
2
2
2
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
1
lim lim lim
2 2
2
1 1
x x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
  
2 2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
lim lim lim 0
2 2
1 1
x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
  
b) Ta có
2 2
2 2
4 4
4 2 1 2 1 2
x x x x x x
x x
Và
3 3 3
3
3
2 2
1 1
8 8 1 2 . 1
8 8
x x x x
x x
, khi đó ta được:
2
2 2
3 3 3
2 2 2
4
4 4
1 2
1 2 1 2
3
lim lim lim
2
1 1 1
2 . 1 2 . 1 2 1
8 8 8
x x x
x x
x x x
x
x x
B
x x
x x x
  
Dạng 4. Giới hạn một bên
Phương pháp giải:
* Nếu
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
thì không tồn tại
0
lim
x x
f x
* Nếu
0 0
lim lim
x x x x
f x f x L
thì
0
lim
x x
f x L
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
4
lim
2
x
x
x
b)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
c)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
Trang 20
Lời giải:
a)
2
2 2
4 2
lim lim
2 2
x x
x x
x x

b)
2
2 2 2
2
2 1 1
lim lim lim
2 2 1 2 1 3
2 5 2
x x x
x
x
x x x
x x
c)
2
2 2 2
2
2 1 1
lim lim lim
2 2 1 2 1 3
2 5 2
x x x
x
x
x x x
x x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các hàm số tại các điểm chỉ ra:
a)
2
3
4
2
2
8
16
2
2
x x
khi x
x
f x
x
khi x
x
tại
2
x
b)
2
2
3 2
1
1
1
2
x x
khi x
x
f x
x
khi x
tại
1
x
Lời giải:
a)
2
3 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 1
lim lim lim lim
8 2 4 2 2.2 4 6
2 4 2
x x x x
x x
x x x
f x
x x x
x x x
2
4
2
2 2 2 2
2 2 4
16
lim lim lim lim 2 4 4.8 32
2 2
x x x x
x x x
x
f x x x
x x
2 2
lim lim .
x x
f x f x
. Do đó, không tồn tại
2
lim
x
f x
b)
2
2
1 1 1 1
1 2
3 2 2 1 2 1
lim lim lim lim
1 1 1 1 1 2
1
x x x x
x x
x x x
x x x
x
1 1
1
lim lim
2 2
x x
x
f x
Nhận thấy
1 1
1
lim lim
2
x x
f x f x
. Do đó
1
1
lim
2
x
f x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số tại các điểm chỉ ra:
a)
2
0
100 3
0
3
x m khi x
f x
x x
khi x
x
tại
0
x
b)
2
3 1
3 1
x m khi x
f x
x x m khi x
tại
1
x
Lời giải:
a)
0 0
lim lim
x x
f x x m m
Trang 21
2
0 0
100 3 3
lim lim 1
3 0 3
x x
x x
f x
x
Để tồn tại
1
lim
x
f x
thì
0 0
lim lim 1
x x
f x f x m
Với
1
m
thì
0 0
lim 1 lim
x x
f x f x
Vậy với
1
m
thì
1
lim 1
x
f x
b)
1 1
lim lim 3 3 1
x x
f x x m m
2
1 1
lim lim 3 1 1 3 3
x x
f x x x m m m
Để tồn tại
1
lim
x
f x
thì
1 1
lim lim ( ) 3 1 3 2 4 2
x x
f x f x m m m m
Với
2
m
thì
1
1 1
1
lim 3.2 1 5
lim lim 5
lim 2 3 5
x
x x
x
f x
f x f x
f x
Vậy với
2
m
thì
1
lim 5
x
f x
Dạng 5. Một số bài toán giới hạn ẩn tham số đặc sắc
Ví dụ 1. Kết quả giới hạn
2
2 7 12
lim
3 17
x
x x a
L
x b

, với
a
b
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu
thức
2 2
P a b
a) 7 b) 5
c) 9 d) 13
Lời giải:
Ta có
2
2
2
2
7 12
7 12
2
2
2 7 12
lim lim lim
3 17 3 17 3 17
x x x
x
x
x x
x x
x x
L
x x x
  
2 2
7 12 7 12
2 2
2
2
lim lim
17
3
3 17 3
3
x x
x
a
a
x x
x x
b
x b
x
 
Chọn D
Ví dụ 2. Cho giới hạn
2
2
1
1 3
lim
2
1
x
x ax b
x
. Giá trị của biểu thức
2
T a ab
là:
a)
0
T
b)
2
T
c)
4
T
d)
2
T
Lời giải:
Đặt
2
1 1 0
f x x ax b f
Trang 22
Khi đó
2
0
0
0
2 2
1 1 1
1
1 3
1 lim lim lim
1 2
1 1
x x x
x x x
x x
x ax b
f x x x x
x
x x
2
0
0
1
3
2 1 2 2 1; 1 0
2 2
x
x f x x x x x a b T
. Chọn A
Ví dụ 3. Cho giới hạn
2
2
2
3 3 2
lim 4
3 2
x
x a x b
x x
. Giá trị của biểu thức
2 2
T a b
là:
a)
90
T
b)
80
T
c)
16
T
d)
20
T
Lời giải:
Đặt
2
3 2 1 2 0
f x x a x b f
Khi đó:
2
2
2 2
3 3 2 2 3
2 3 lim lim 4
2 1
3 2
x x
x a x b x x m
f x x x m
x x
x x
2
3
lim 4 6 4 2
1
x
x m
m m
x
Suy ra
2
2
2 3 2 3 8 4 20
4
a
f x x x x x T
b
. Chọn D
Ví dụ 4. Cho giới hạn
2
2
3
2 2
lim 1
3
x
x a x b
x x
. Giá trị của biểu thức
T a b
là
a)
20
T
b)
20
T
c)
18
T
d)
18
T
Lời giải:
Đặt
2
2 2 3 0
f x x a x b f
Khi đó
2
2
3 3
2 2 3 2
3 2 lim lim 1
3
3
x x
x a x b x x m
f x x x m
x x
x x
3
2 6
lim 1 1 3
3
x
x m m
m
x
Suy ra
2
9
3 2 3 2 9 9 20
11
b
f x x x x x a b
a
. Chọn B
Ví dụ 5. Giả sử
2
4
2
lim 6
4
x
x ax b
x
. Tính giá trị của
2
a b
a) 8 b) 10
c) 38 d) 4
Lời giải:
Để
2
4
2
lim 6
4
x
x ax b
x
thì phương trình
2
2 0
f x x ax b
có nghiệm
4
x
Do đó
2
4 0 4 4 2 0 4 14 0
f a b a b
Trang 23
Ta có
2
4 4 4
2
4
2 2 2
4
lim lim lim 4 4 6 6, 2
4 4 4 4
x x x
b
x x
x ax b b b
x b a
x x
Do đó ta có
2
10
a b
. Chọn B
Ví dụ 6. Giả sử
2
1
3
6 1 2 1
5
lim
3 1 3
x
x a x b
x
. Tính giá trị của
2 2
a b
a) 3 b) 1
c) 2 d) 5
Lời giải:
Để
2
1
3
6 1 2 1
5
lim
3 1 3
x
x a x b
x
thì phương trình
2
6 1 2 1 0
f x x a x b
có nghiệm
1
3
x
.
Do đó
2
1 1 1
0 6. 1 . 2 1 0 6 4 0
3 3 3
f a b a b
Ta có
2
1 1 1
3 3 3
6 1 2 1 3 1 2 2 1
1 5
lim lim lim 2 2 1 2
3 1 3 1 3 3
x x x
x a x b x x b
x b b
x x
1, 2
b a
. Do đó ta có
2 2
5
a b
. Chọn D
Ví dụ 7. Giả sử
2
2
2
3 2 6 3 1
4
lim
5
2 3 2
x
x a x b
x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
a)
2
a b
b)
2 2
2
a b
c)
1
a b
d)
2 3
a b
Lời giải:
Để
2
2
2
3 2 6 3 1
4
lim
5
2 3 2
x
x a x b
x x
thì phương trình
2
3 2 6 3 1
f x x a x b
có nghiệm
2
x
.
Do đó ta có
2
2 0 3.2 2 6 .2 3 1 0 4 3 1 0
f a b a b
Ta có
2
2
2 2 2
3 1
3 1 11 3
2 3
3
3 2 6 3 1
4
2
2 2
lim lim lim
2 2 1 2 1 5 5
2 3 2
x x x
b
b b
x x
x
x a x b
x x x
x x
1, 1
b a
. Do đó ta có
2 2
2
a b
. Chọn B
Ví dụ 8. Cho
2
2
2
lim 1
2
x
x ax b
x
với a, b là các số hữu tỉ. Tính
2
2
P a b
a)
9
P
b)
5
P
c)
4
P
d)
8
P
Lời giải:
Đặt
2
2
f x x ax b
. Vì
2
lim 1 2 0 2 2 2
2
x
f x
f a b b a
x
Trang 24
Khi đó
2 2 2
2 2 2 2 4 4 2 2 2
f x x ax a x ax a x a x x x a
Suy ra
2 2 2
2 2
lim lim lim 2 4 1 5
2 2
x x x
f x x x a
x a a a
x x
Vậy
2
5 2.8 9
P
. Chọn A
Ví dụ 9. Cho
2
3
3 1
lim
7
2
x
x
x ax b
với a, b là các số hữu tỉ. Tính
3
P a b
a)
25
P
b)
31
P
c)
37
P
d)
42
P
Lời giải:
Đặt
2
2
f x x ax b
. Vì
3
3 1
lim 3 0 3 7 3 7
7
x
x
f a b b a
f x
Khi đó
2 2
3 9 9 3 3 3
f x x ax a x a x x x a
Suy ra
3 3 3
3 3 1 1 1
lim lim lim 1
3 3 3 6 7
x x x
x x
a
f x x x a x a a
Vậy
31
P
. Chọn B
Ví dụ 10. Cho
3 2
2
1
2
lim 1
3 2
x
x ax bx
x x
với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
a)
5
a b
b)
2
3
a b
c)
3 2 2; 4
a b d)
2
2 0
a b
Lời giải:
Đặt
3 2
2
f x x ax bx
. Vì
2
1
lim 1 1 0 1
3 2
x
f x
f b a
x x
Khi đó
3 2 3 2
- ax 1 2 2 . 1 1 2
f x x a x x x ax x x a x
Suy ra
2
1 1
1 2
lim lim 4 1 5
1 2 2
x x
f x x a x
a a
x x x
Vậy
3 2 3 2;4
a b . Chọn C
Ví dụ 11. Cho
2
1
2
lim 6
1
x
x ax b
x
. Tính
S a b
a)
3
S
b)
3
S
c)
7
S
d)
7
S
Lời giải:
Ta có
2
1 2 .1 0 2 1 0
a b a b
Phân tích
2
2 1 2 1
x ax b x x b ax bx x x x b
2
1 1
2
lim lim 6 1 6 5 2 3
1
x x
x ax b
x b b b a S
x
. Chọn A
Trang 25
Ví dụ 12. Cho
2
1
lim 14
2
x
x ax b
x
. Tính
2
S a b
a)
124
S
b)
586
S
c)
76
S
d)
564
S
Lời giải:
Ta có
2
2 .2 0 2 4 0
a b a b
Phân tích
2
2 2 2
2 2
b bx b
x ax b x x ax x x x
a
2
1 2
lim lim 2 14 24 10 586
2 2 2
x x
x ax b b b
x b a S
x
. Chọn B
Ví dụ 13. Cho
2
2
1
2
lim 5
x
x ax b
x x
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
a)
2
70 80
a b
b)
2
80 90
a b
c)
2
90 100
a b d)
2
70
a b
Lời giải:
Ta có
2
2.1 .1 0 2 0
a b a b
Phân tích
2
2 1 2 2 1 2
x ax b x x b ax bx x x x b
2
2
2
1 1
2 2
lim lim 2 5 7 9 88
x x
x ax b x b
b b a a b
x x x
. Chọn B
Trang 26
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giới hạn
3 2
lim 2
x
x x

bằng
A. 0 B. -∞ C. +∞ D. 2
Câu 2. Cho
2
lim 9 3 2
x
x ax x

. Tính giá trị của a
A. -6 B. 12 C. 6 D. -12
Câu 3. Tính giới hạn
2017
2019
1
lim
x
x
x
x

ta được kết quả là
A. -∞ B. 1 C. -1 D. 0
Câu 4. Giá trị của giới hạn
0
1 1
lim
x
x
x
bằng
A.
1
2
B.
1
2
C. +∞ D. 0
Câu 5. Tính
4
3
2
16
lim
8
x
x
x
A. -2 B.
1
3
C. -∞ D. 0
Câu 6.
3 2
lim 2
x
x x

bằng
A. 0 B. -∞ C. +∞ D. 2
Câu 7. Biết
2
3
lim 8 ,
3
x
x bx c
b c
x
. Tính
P b c
A.
13
P
B.
11
P
C.
12
P
D.
13
P
Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng +∞?
A.
2
2 1
lim
1
x
x x
x

B.
3 5
lim
1 2
x
x
x

C.
2
1
1
lim
2 1
x
x
x x
D.
0
lim
x
x
x
Câu 9.
1
1
lim
1
x
x
x
bằng
A. 1 B. +∞ C. 0 D.
1
2
Câu 10.
2
2
2
2
lim
4
x
x x
x
bằng
A. 0 B. 1 C.
3
4
D.
3
4
Câu 11. Tính
2
1
lim
2
x
x
x

A. -∞ B. 0 C. -1 D. 1
Trang 27
Câu 12. Giới hạn
2
2
3 2
lim
2 4
x
x x
x
bằng
A. +∞ B.
1
2
C.
1
2
D.
3
2
Câu 13. Giới hạn
3
lim 2
x
x x

bằng
A. +∞ B. 1 C. -∞ D. -1
Câu 14. Giới hạn
2
5
12 35
lim
5
x
x x
x
bằng
A. +∞ B.
2
5
C. -2 D. 5
Câu 15. Giới hạn
1
2
lim
1
x
x
x
bằng
A.
1
2
B. -∞ C. +∞ D. 0
Câu 16.
1
1
lim
1
x
x
x
bằng
A. +∞ B. 1 C. -∞ D. 0
Câu 17.
2
lim 4 8 1 2
x
x x x

bằng
A. -2 B. +∞ C.

D. 0
Câu 18. Giá trị của giới hạn
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
x

bằng
A. 0 B. -∞ C.
1
2
D.
1
2
Câu 19. Cho giới han
3
1 5 1
lim
4 3
x
x x a
b
x x
(phân số tối giản). Giá trị của
2
T a b
là
A.
1
8
T
B.
1
T
C.
10
T
D.
9
8
T
Câu 20. Tìm a để hàm số
2
2
1 2
2 1 2
x ax khi x
f x
x x khi x
có giới hạn tại
2
x
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
Câu 21. Kết quả của
1
2 1
lim
1
x
x
x
bằng
A. +∞ B. -∞ C.
2
3
D.
1
3
Câu 22.
3
lim
2
x
x
x

bằng
Trang 28
A.
3
2
B. -3 C. -1 D. 1
Câu 23. Tìm giới hạn
3 1
lim
1 2
x
x
x

A.
3
2
L
B.
3
L
C.
3
2
L
D.
1
2
L
Câu 24. Cho giới hạn
2
2
2
3 2
lim
4
x
x x a
b
x
trong đó
a
b
là phân số tối giản. Tính
2 2
S a b
A.
20
S
B.
17
S
C.
10
S
D.
25
S
Câu 25. Tính giới hạn
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
L
x
A.
1
4
L
B.
1
2
L
C.
1
4
L
D.
1
2
L
Câu 26. Cho biết
2
3
1
1 2
lim ,
3 2
x
ax bx
a b
x x
có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức
2 2
a b
bằng
A.
6 5 3
B.
45
16
C.
9
4
D.
87 48 3
Câu 27. Tính giới hạn
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
Câu 28. Tìm giới hạn
2 2
lim 4
x
M x x x x

A.
3
2
M
B.
1
2
M
C.
3
2
M
D.
1
2
M
Câu 29. Giới hạn
3
1 5 1
lim
4 3
x
x x
x x
bằng
a
b
(phân số tối giản). Giá trị của
a b
là (giống câu 35)
A.
1
9
B.
9
8
C. 1 D. -1
Câu 30. Tính giới hạn
2018 2
2019
4 1
lim
2 1
x
x x
x

A. 0 B.
2018
1
2
C.
2019
1
2
D.
2017
1
2
Câu 31. Trong bốn giới hạn sau, giới hạn nào bằng -∞?
A.
3 4
lim
2
x
x
x

B.
2
3 4
lim
2
x
x
x
C.
2
3 4
lim
2
x
x
x
D.
3 4
lim
2
x
x
x

Câu 32. Giới hạn
2
1
2 3
lim
1
x
x x
x
bằng
Trang 29
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
Câu 33. Giá trị của
2
3
lim
3
x
x
x

bằng
A. -∞ B. -1 C. +∞ D. 1
Câu 34. Tính
2
1
1
lim
1
x
x
x
A. 2 B.
1
2
C.
1
2
D. 1
Câu 35. Giá trị
2
1
1
lim
1
x
x
x
bằng
A. 2 B. 1 C. 0 D. -2
Câu 36. Tính
2
2
3 5
lim
2 3
x
x x
x

A.
1
2
B. +∞ C.
1
3
D.
2
3
Câu 37. Tính giới hạn
2
2
2
2
lim
4
x
x x
x
A. 1 B. 0 C.
3
4
D.
3
4
Câu 38. Tính
2
2 3
lim
1
x
x
x x

A. 0 B. -∞ C. -1 D. 1
Câu 39. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0 0 0
3
3 3lim lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x
B.
0 0 0
3 3 3
lim lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x
C.
0 0
3
3
lim lim
x x x x
f x g x f x g x
D.
0 0
3 3 3
lim lim
x x x x
f x g x f x g x
Câu 40. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả bằng 0?
A.
2
lim 1
x
x x

B.
3
1
1
lim
1
x
x
x
C.
2
2
2
4
lim
3 2
x
x
x x
D.
2
2 5
lim
10
x
x
x
Câu 41. Cho hàm số
2
1
1
x
f x
x
. Chọn đáp án đúng.
A.
lim 1; lim 1
x x
f x f x
 
B.
lim lim 1
x x
f x f x
 
Trang 30
C.
lim lim 1
x x
f x f x
 
D.
lim ; lim
x x
f x f x
 
 
Câu 42. Cho hàm số
3
1 1
0 1
x khi x
f x
khi x
. Khi đó,
1
lim
x
f x
bằng
A. 1 B. 2 C. 0 D. Không tồn tại
Câu 43. Cho
2
2 4
x
f x
x
. Kết luận nào dưới đây đúng?
A.
2
lim
x
f x
B.
2
lim
x
f x

C.
2
1
lim
2
x
f x
D.
2
1
lim
2
x
f x
Câu 44. Để
2
4 1 4 1
lim
2 2
x
x x
mx

thì giá trị m thuộc tập hợp nào?
A.
3; 6
B.
3; 0
C.
6; 3
D.
1; 3
Câu 45. Cho biết
2
4 7 12 2
lim
17 3
x
x x
a x

. Giá trị của a bằng
A. -3 B. 3 C. 6 D. -6
Câu 46. Giới hạn
3
3
1 5
lim
3
x
x x
x
bằng
A. 0 B.
1
2
C.
1
3
D.
1
6
Câu 47. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
1
3 2
lim
1
x
x
x

B.
2
lim 1 2
x
x x x

C.
1
3 2
lim
1
x
x
x

D.
2
3
lim 1 2
2
x
x x x

Câu 48. Tính giới hạn
2
2
1
2
lim
3 8 5
x
x x
L
x x
A.
3
2
L
B.
1
2
L
C.
L

D.
0
L
Câu 49.
2
4
3 4
lim
4
x
x x
x
bằng
A. Không tồn tại B. 0 C. 5 D. 4
Câu 50. Tính
2
3
1
2 1
lim
1
x
x a x a
x
A.
2
3
a
B.
2
3
a
C.
3
a
D.
3
a
Câu 51. Biết rằng
2
lim 1 2
x
x bx x

, khi đó b bằng
Trang 31
A. 2 B. 3 C. 4 D. -4
Câu 52. Biết
2
lim 4 3 1 0
x
x x ax b

. Tính giá trị biểu thức
4
T a b
A.
3
T
B.
2
T
C.
1
T
D.
5
T
Câu 53. Cho giới hạn
2 2
lim 1 2 1
x
ax x x bx

. Tính
.
P a b
A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
Câu 54. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
2
18
c a
và
2
lim 2
x
ax bx cx

. Tính giá trị biểu
thức
5
P a b c
A.
18
P
B.
12
P
C.
9
P
D.
5
P
Câu 55. Cho
1
10
lim 5
1
x
f x
x
. Giới hạn
1
10
lim
1 4 9 3
x
f x
x f x
bằng
A. 10 B. 2 C.
5
3
D. 1
Câu 56. Gọi a, b là các giá trị để hàm số
2
2
2
4
1 2
x ax b
khi x
f x
x
x khi x
có giới hạn hữu hạn khi x
dần tới -2. Tính
3
a b
A. 24 B. 8 C. 12 D. 4
Câu 57. Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn
2
1
lim 3
1
x
x mx n
x
thì m.n bằng
A. -3 B. -1 C. 3 D. -2
Câu 58. Giới hạn
3
1 5 1
lim
4 3
x
x x a
b
x x
, là phân số tối giản,
0
a
. Giá trị của
a b
là
A. 1 B.
1
9
C. -1 D.
9
8
Câu 59. Cho biết
2
3
1
2
1 2
lim
4 3 1
x
ax bx
c
x x
, với
, ,a b c
. Tập nghiệm của phương trình
4 2
0
ax bx c
trên
có số phần tử là
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 60. Trong các bộ số
,
a b
là các số nguyên dương,
thỏa mãn
32 3 2
7
lim 9 27 5
27
x
x ax x bx

, tồn tại bộ số
,
a b
hệ thức nào sau đây?
A.
2 33
a b
B.
2 34
a b
C.
2 35
a b
D.
2 36
a b
Trang 32
Câu 61. Biết
2
2
0
5 5
lim
16 4
x
x a
b
x
, trong đó a là số nguyên, b là số nguyên tố. Giá trị của biểu thức
2
a b
bằng
A. 3 B. 8 C. 13 D. 14
Câu 62. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
1
lim 2
2
x
f x
x
, hãy tìm
3
2
2
7 2
lim
4
x
f x
I
x
A.
1
24
B.
1
8
C.
1
24
D.
1
8
Câu 63. Giá trị của
2018 2017
2018
1
... 2018
lim
1
x
x x x
x
bằng
A. 2018 B.
2019
2018
C.
2019
2
D.
2018
2
Câu 64. Tính
0
1 1 2 1 3 ... 1 2018 1
lim
x
x x x x
x
A. 2018.2019 B. 2019 C. 2018 D. 1009.2019
Câu 65. Biết
2
2 3
lim
1
x
a x
x x


với a là tham số. Giá trị nhỏ nhất của
2
2 4
P a a
là
A. 4 B. 3 C. 5 D. 1
Câu 66. Cho số thực a thỏa mãn
2
2 3 2017 1
lim
2 2018 2
x
a x
x

. Khi đó giá trị của a là
A.
2
2
a
B.
2
2
a
C.
1
2
a
D.
1
2
a
Câu 67. Giá trị của m để
2
4 1 4 1
lim
2 2
x
x x
mx

thuộc tập hợp nào?
A.
3; 0
m B.
6; 3
m
C.
1; 3
m D.
3; 6
m
Câu 68. Biết
0
3 1 1
lim
x
x a
x b
, trong đó a, b là hai số nguyên dương và phân số
a
b
tối giản. Tính giá
trị biểu thức
2 2
P a b
A.
13
P
B.
0
P
C.
5
P
D.
40
P
Câu 69. Cho hàm số
4 2
, 0
1
, 0
4
x
x
x
f x
mx m x
m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có
giới hạn tại
0
x
A.
1
m
B.
0
m
C.
21
2
m
D.
1
2
m
Trang 33
Câu 70. Cho hàm số
2
1
1
1
2 2 1
x
voi x
f x
x
x voi x
. Khi đó
1
lim
x
f x
là
A. +∞ B. -1 C. 0 D. 1
Câu 71. Cho hàm số
2 3 2
1 2
x voi x
f x
ax voi x
. Tìm a để tồn tại
2
lim
x
f x
A.
1
a
B.
2
a
C.
3
a
D.
4
a
Câu 72. Cho hàm số
2
2
2 3 3
1 3
3 2 3
x x voi x
f x voi x
x voi x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
3
lim 6
x
f x
B. Không tồn tại
3
lim
x
f x
C.
3
lim 6
x
f x
D.
3
lim 15
x
f x
Câu 73. Biết rằng
2
2 3
1
a x
x x
có giới hạn là +∞ khi
x

với a là tham số. Tính giá trị nhỏ nhất cuả
biểu thức
2
2 4
P a a
A.
min
1
P
B.
min
3
P
C.
min
4
P
D.
min
5
P
Câu 74. Biết rằng
2
2
4 2 1 2
lim 0
3
x
x x x
L
ax x bx

là hữu hạn, với a, b là tham số. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
0
a
B.
3
L
a b
C.
3
L
b a
D.
0
b
Câu 75. Biết rằng
4
a b
và
3
1
lim
1
1
x
a b
x
x
hữu hạn. Tính
3
1
lim
1
1
x
b a
L
x
x
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
Câu 76. Giá trị của giới hạn
3
2
1
lim 1
1
x
x
x
x
là
A. 3 B. +∞ C. 0 D. -∞
Câu 77. Cho a, b là các số nguyên và
2
1
5
lim 7
1
x
ax bx
x
. Tính
2 2
a b a b
A. 18 B. 1 C. 15 D. 5
Câu 78. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn giới hạn
2
lim 2 2018
x
I ax bx x

hữu hạn. Tính I
A.
1
a b
B.
a b
C.
1
a
D.
2
a b
Trang 34
Câu 79. Biết rằng
0, 5
b a b
và
3
0
1 1
lim 2
x
ax bx
x
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
2 2
10
a b
B.
0
a b
C.
1 3
a
D.
2 2
6
a b
Câu 80. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để cho bất phương trình
2 3 2
2
2 7 3 1 2
0
2 2 3
m m x x m x
m x x
đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số
phần tử của S bằng
A. 13 B. 19 C. 1 D. 5
Trang 35
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-B 2-B 3-C 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9-D 10-C
11-C 12-B 13-A 14-C 15-B 16-A 17-A 18-D 19-C 20-A
21-B 22-C 23-A 24-B 25-B 26-B 27-D 28-C 29-C 30-B
31-C 32-A 33-B 34-C 35-D 36-C 37-D 38-C 39-C 40-A
41-A 42-D 43-D 44-C 45-B 46-D 47-D 48-A 49-C 50-C
51-C 52-D 53-A 54-B 55-D 56-C 57-D 58-D 59-D 60-A
61-D 62-C 63-C 64-D 65-A 66-A 67-B 68-A 69-B 70-A
71-B 72-C 73-B 74-A 75-A 76-C 77-A 78-C 79-D 80-C
Câu 1:
3 2
lim 2
x
x x

. Chọn B
Câu 2:
2 2
2
2 2
9 9
lim 9 3 lim lim
9 3 9 3
x x x
x ax x ax
x ax x
x ax x x ax x
  
lim lim 2 12
6
. 9 3 9 3
x x
ax a a
a
a a
x x
x x
 
. Chọn B
Câu 3:
2017 2019 2
2019 2019 2017
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x x x
x
x x x
  
. Chọn C
Câu 4:
0 0 0
1 1 1 1 1 1
lim lim lim
2
1 1
1 1 .
x x x
x x
x
x
x x
. Chọn A
Câu 5:
2 2 2
4
3 2
2
2 2 2
4 . 4 2 . 4
16
lim lim lim 2
8 2 4
2 . 4 2 2
x x x
x x x x
x
x x x
x x x
Chọn A
Câu 6:
3 2
lim 2
x
x x


. Chọn B
Câu 7: Theo bài ra, ta có
3
x
là nghiệm của phương trình:
2
0 3 9
x bx c b c
Do đó
2 2
3 3 3
3 . 3
3 9
lim lim lim 6
3 3 3
x x x
x x b
x bx c x bx b
b
x x x
Suy ra
6 8 2 9 3.2 15
b b c
. Vậy
13
b c
. Chọn D
Câu 8:
2
2 2
2
1 1 1
1
1
1
lim lim lim
2 1
1
1
x x x
x
x
x x
x
x

. Chọn C
Câu 9:
1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim
1 2
1
1 1
x x x
x x
x
x
x x
. Chọn D
Trang 36
Câu 10:
2
2
2 2 2
2 . 1
2 1 3
lim lim lim
2 . 2 2 4
4
x x x
x x
x x x
x x x
x
. Chọn C
Câu 11:
2
2 2
1 1
. 1 1
1
lim lim lim 1
2
2 2
1
x x x
x
x
x x
x x
x
  
Chọn C
Câu 12:
2
2 2 2
2 . 1
3 2 1 1
lim lim lim
2 4 2. 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x
. Chọn B
Câu 13:
3
lim 2
x
x x


. Chọn A
Câu 14:
2
5 5 5
5 . 7
12 35
lim lim lim 7 2
5 5
x x x
x x
x x
x
x x
. Chọn C
Câu 15:
1
2
lim
1
x
x
x

. Chọn B
Câu 16:
1
1
lim
1
x
x
x

. Chọn A
Câu 17:
2 2
2
2 2
4 8 1 4 8 1
lim 4 8 1 2 lim lim
4 8 1 2 4 8 1 2
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
  
2 2
1
8
8 1 8
lim lim 2
8 1 8 1 4 2
. 4 2 4 2
x x
x
x
x x
x x
x x
 
. Chọn A
Câu 18:
2 2
2 2
1 1 1 1
. 1 . 4 1 4
4 1 1
lim lim lim
3
2 3 2 3 2
2
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
  
. Chọn D
Câu 19:
2
2
2 2
3 3 3
1 5 1
1 5 1 3 4 3
1 5 1
lim lim lim .
4 3 4 3
4 3 1 5 1
4 3
x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
=
3 3
. 3
4 3 4 3 9
lim . lim .
1 . 3 1 8
1 5 1 1 5 1
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x
Vậy
9; 8 2 2.9 8 10
a b a b
. Chọn C
Câu 20: Ta có
2
2 2
lim lim 1 2 5
x x
f x x ax a
Lại có
2 2
2 2
lim lim 2 1 2.2 2 1 7
x x
f x x x
Theo bài ra, ta có
2 5 7 1
a a
. Chọn A
Trang 37
Câu 21:
21
2 1
lim
1
x
x
x

. Chọn B
Câu 22:
3
1
3 1
lim lim 1
2
2 1
1
x x
x
x
x
x
 
Chọn C
Câu 23:
1
3
3 1 3 3
lim lim
1
1 2 2 2
2
x x
x
x
x
x
 
. Chọn A
Câu 24:
2
2
2 2 2
1 . 2
3 2 1 1
lim lim lim
2 . 2 2 4
4
x x x
x x
x x x
x x x
x
Vậy
2 2 2 2
1; 4 1 4 17
a b a b
. Chọn B
Câu 25:
2
2
1 1 1
2 1 . 1
2 3 1 1 2 1
lim lim lim
1 . 1 1 2
1
x x x
x x
x x x
x x x
x
. Chọn B
Câu 26:
2
2
2
2
1 1
2
4 . 3
1 2
lim lim
1 . 2
1 . 2 . 1 2
x x
a b x b x
ax bx
x x
x x ax bx
Để tồn tại giới hạn
→ nhân t
ử
2
1
x
bị triệt tiêu
2
4 3
1 2 1
a b b
3
2
b
và
2
2
3 3
3 3
2 4
a b
. Vậy
2 2
9 9 45
16 4 16
a b
. Chọn B
Câu 27:
2
1 1 1
1 . 2
3 2
lim lim lim 2 1 2 1
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
. Chọn D
Câu 28:
2 2
2 2
2 2 2 2
4 3
lim 4 lim lim
4 4
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
  
2 2 2 2
3 3 3 3
lim lim
1 1 2
4 1 4 1
. 1 . 1 1 1
x x
x
x x
x x x x
 
. Chọn C
Câu 29:
2
2
2 2
3 3 3
1 5 1
1 5 1 3 4 3
1 5 1
lim lim lim .
4 3 4 3
4 3 1 5 1
4 3
x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
=
3 3
. 3
4 3 4 3 9
lim . lim .
1 . 3 1 8
1 5 1 1 5 1
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x
Vậy
9; 8 9 8 1
a b a b
. Chọn C
Trang 38
Câu 30:
2019
2018 2
2 2
2019 2019 2019 2019 2018
1 1
. 4 4
4 1 4 1
lim lim lim
2 2
2 1 2 1 1
2
x x x
x
x x
x x
x x
x
  
. Chọn B
Câu 31: Vì
2
lim 3 4 2
x
x
nên
2
3 4
lim
2
x
x
x

. Chọn C
Câu 32:
2 2
1
2 3 1 2.1 3
lim 1
1 1 1
x
x x
x
. Chọn A
Câu 33:
2
2 2
3 3
. 1 1
3
lim lim lim 1
3
3 3
1
x x x
x
x
x x
x x
x
  
. CHọn B
Câu 34:
2
1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim
1 . 1 1 2
1
x x x
x x
x x x
x
. Chọn C
Câu 35:
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x
x
x x
. Chọn D
Câu 36:
2
2
2
2
3 5
1
3 5 1
lim lim
2
3
2 3
3
x x
x x
x
x
x
x
 
. Chọn C
Câu 37:
2
2
2 2 2
1 2
2 1 3
lim lim lim
2 2 2 4
4
x x x
x x
x x x
x x x
x
. Chọn D
Câu 38:
2 2
2
2
3 3
2 2
2 3 2
lim lim lim 1
2
1
1 1
1 1
1
x x x
x
x x
x x x
x
x
  
. Chọn C
Câu 39: Chọn C
Câu 40:
2
2
1
lim 1 lim 0
1
x x
x x
x x
 
. Chọn A
Câu 41:
2
2 2
1
1
1 1
lim lim lim lim 1
1 1
1
. 1 1
x x x x
x x
x
f x
x
x
x x
   
Và
2
2 2
1
1
1 1
lim lim lim lim 1
1 1
1
. 1 1
x x x x
x x
x
f x
x
x
x x
   
. Chọn A
Câu 42: Ta có
3
1 1 1 1
lim lim 0 0; lim lim 1 2
x x x x
f x f x x
Trang 39
Suy ra
1 1
lim lim
x x
f x f x
nên không tồn tại
1
lim
x
f x
. Chọn D
Câu 43:
2 2 2
2 1 1
lim lim lim
2 4 2 2
x x x
x
f x
x
. Chọn D
Câu 44:
2
2 2
1 1 1 1 4
. 4 4 4
4 1 4 2
lim lim lim
2
2 2
x x x
x
x x
x x x x x
mx mx m
m
x
  
Do đó
2 1
4 6; 3
2
m
m
. Chọn C
Câu 45:
2
2 2
7 12 7 12
. 4 4
4 7 12 2 2
lim lim lim 3
17
17 . 17 3
x x x
x
x x
x x
x x
a
a x a x a
a
x
  
. Chọn B
Câu 46:
3 3
3 3 3
1 5 1 2 2 5
lim lim lim
3 3 3
x x x
x x x x
x x x
* Xét
3 3
1 2 1 1 1
lim lim
3 4
1 2 3 1 2
x x
x
x
x
* Xét
3
2
3 3
3 3
2 5 1 1
lim lim
3 12
4 2 5 5
x x
x
x
x x
Vậy
3
3
1 5 1 1 1
lim
3 4 12 6
x
x x
x
. Chọn D
Câu 47: Ta có
1 1
3 2 3 2
lim , lim
1 1
x x
x x
x x
 
Mặt khác
2
2
1 1 2
lim 1 2 lim 1 1 lim 2
x x x
x x x x x
x x x
  

. Chọn D
Câu 48:
2
2
1 1 1 1
1 2
2 2 3
lim lim lim lim
1 3 5 3 5 2
3 8 5
x x x x
x x
x x x
L
x x x
x x

. Chọn A
Câu 49:
2
4 4 4
4 1
3 4
lim lim lim 1 5
4 4
x x x
x x
x x
x
x x
. Chọn C
Câu 50: Ta có
2 2
3
2
1 1
2 1 1 1
lim lim
1
1 1
x x
x a x a x x a x a
x
x x x
2
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1
1
lim lim lim
3
1
1 1 1 1
x x x
x x a x x x a
x a a
x x
x x x x x x
. Chọn C
Trang 40
Câu 51:
2
2
2
1
1
lim 1 lim lim
2
1
1
1 1
x x x
b
bx b
x
x bx x
b
x bx x
x x
  
Vây
2
lim 1 2 4
2 2
x
b b
x bx x b

. Chọn C
Câu 52:
2
2
2
2
4 3 1
lim 4 3 1 lim
4 3 1
x x
x x ax b
x x ax b
x x ax b
 
=
2
2 2
2 2 2
2
2
1
4 . 3 2
4 . 3 2 . 1
lim lim 0
3 1
4 3 1
4
x x
b
a x ab
a x ab x b
x
b
x x ax b
a
x x
x
 
Khi và chỉ khi
2
4 0
2 2
4 5
3 2
3 2 0 4 3
0
2
a
a a
a b
ab
ab b
a
. Chọn D
Câu 53:
2
2
2 2
1 . 1 . 3
lim 1 2 lim
1 2
x x
a x b x
ax x x bx
ax x x bx
 
2 2
3
1 . 1
lim 1
1 1 2
1
x
a x b
x
b
a
x x
x x

khi
1 0
1
. 3
1
1
3
1
a
a
a b
b
b
a
. Chọn A
Câu 54:
2 2 2
2
2
. .
lim lim lim 2
x x x
a c x bx a c x b
ax bx cx
b
ax bx cx
a c
x
  
Khi và chỉ khi
2
2
0
2
2 2
a c
a c
b
b a c
a c
. Kết hợp với
2
18
c a
Do đó
2 2
2 18 9 9
c c a
và
3
c
(vì
c a
)
Vậy
2 2 2 9 2.3 12
b a c
nên
5 9 12 5.3 12
a b c
. Chọn B
Câu 55:
1
10
lim 5 10 5. 1 5 5
1
x
f x
f x x f x x
x
Do đó
1 1
10
5 5
lim lim 1
1 . 20 29 3
1 4 9 3
x x
f x
x
x x
x f x
. Chọn D
Câu 56:
2 2
lim lim 1 1
x x
f x x

;
Do đó để tồn tại
2
lim
x
f x
thì
2 2
lim lim
x x
f x f x

Trang 41
Suy ra
2
2
2 2
lim lim 1
4
x x
x ax b
f x
x
nên
2
x
là nghiệm của tử số
2
2
2
2
2 4
2 . 2 0 2 4 lim
4
x
x ax a
a b b a
x
2
2 4
lim 1 8 12
2 4
x
x a a
a b
x
. Vậy
3 12
a b
. Chọn C
Câu 57:
2
2
1
lim 3 1
1
x
x mx n
x mx n x x n
x
Khi đó
2
1 1 1
1
lim lim lim 1 3 2
1 1
x x x
x x n
x mx n
x n n n
x x
Suy ra
2 2
2 1 2 2 1
x mx x x x x m
Do đó
2
mn
. Chọn D
Câu 58:
2
2
2 2
3 3 3
1 5 1
1 5 1 3 4 3
1 5 1
lim lim lim .
4 3 4 3
4 3 1 5 1
4 3
x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
3 3
3
4 3 4 3 9
lim lim
3 1 1 8
1 5 1 1 5 1
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x
. Chọn D
Câu 59:
2 2
3 2
1 1
2 2
1 2 1 2
lim lim
4 3 1
2 1 1
x x
ax bx ax bx
x x
x x
Khi đó phương trình
2 2 2
2
2
1 4 4
1 2 0
1 2
ax b x bx
ax bx
ax bx
có nghiệm kép
1
2
x
2 2
4 3
a b x bx
có nghiệm kép
1
2
x
2 2
2
2
2 2 2
2 2
2
2 1
4
3 3
2
3 0 4
4 3 0
4 4
3 3
b b
b
a a
b a b
a b
b a b b
b a b
b b b
0
3, 3
a b loai
b a
suy ra
2 2
3 3
1 1
2 2
1 2 1 3 3 2
lim lim
4 3 1 4 3 1
x x
ax bx x x
x x x x
2 2
2
2
2
2
1 1
2
2 2
1 3 9 12 4
12 12 3
1 3 3 2
lim lim
2 1 1
1 3 3 2 2 1 1
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x x
2
2
1 1
2 2
2 2
3 2 1
3 1
lim lim
2
1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 1
x x
x
c
x x x x x x x
Trang 42
Khi đó
2
4 2 4 2
2
3 3
1
6
0 3 3 0
2
3 3
6
x
ax bx c x x
x
nên phương trình có 4 nghiệm.
Chọn D
Câu 60: Ta có
3 32 3 2 2 3 2
lim 9 27 5 lim 9 3 27 5 3
x x
x ax x bx x ax x x bx x
 
=
2 2 3 2 3
2
2
3 3
3 2 3 2 2
9 9 27 5 27
lim
9 3
27 5 27 5 9
x
x ax x x bx x
x ax x
x bx x bx x

=
2
2
2
3 3
3 2 3 2 2
5
lim
9 3
27 5 3 27 5 9
x
ax bx
x ax x
x bx x x bx x

2
2
3 3
2 2
5
7
lim
6 27 27
5 5
9 3
27 3 27 9
x
b
a a b
x
a
b b
x
c c
x x

9 2 14
2 9 14
54 54 54
a b
b a
Ta được các bộ số thỏa mãn là
16; 2 , 25; 4 ...
Suy ra tồn tại bộ số
2 25 4.2 33
a b
.Chọn A
Câu 61:
2
2 2
2
2
2 2
0 0 0
2
5 5
5 5 16 4 8 4
5 5
lim lim lim
16 16
2 5 5
16 4 5 5
16 4
x x x
x
x x
x
x
x x
x
Do đó
4
2 14
5
a
a b
b
. Chọn D
Câu 62: Do
2
1
lim 2 1 . 2
2
x
f x
f x A x x
x
Suy ra
2 1 0 2 1
f f
Ta có:
2
3
3
3
2
2
7 8
7 2 7 4
7 2
lim
2 2
4
x
f x
f x f x
f x
I
x x
x
Trang 43
2 2
2
2
3
3
1
1 1 1
lim. . 2.
2 24
2 2.2 2 2 2
7 2 7 4 2
x
f x
x
f x f x x
. Chọn C
Câu 63:
2018 2017
2018 2017
2018 2018
1 1
1 1 ... 1
... 2018
lim lim
1 1
x x
x x x
x x x
I
x x
Xét
1 2
1 2
2018 2017 2016
2017 2016
1 1 1
1 ... 1
1 ... 1
lim lim lim
2018
1 ... 1
1 ... 1
n n
n n n
x x x
x x x
x x x n
x x x
x x x
Do đó
2019.2018
2018 2017 ... 1 2019
2
2018 2018 2
I
. Chọn C
Câu 64:
0
1 1 2 1 3 ... 1 2018 1
lim
x
x x x x
x
0
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 ...
lim
x
x x x x x x x x x
x
0
1 .2 1 1 2 .3 1 1 2 ...2018
lim 1 ...
x
x x x x x x x x
x x x
0
lim 1 2 1 3 1 1 2 ...2018 1 1 2 ... 1 2017
x
x x x x x x
2018.2019
1 2 3 ... 2018 1009.2019
2
. Chọn D
Câu 65:
2 2
2 2
2
2 3 2 3
lim lim . 1 lim 2 3 1
1
1
x x x
a x a x
I x x a x x x
x x
x x

Để
I

thì
2 0 2
a a
do đó
2
min
2 2.2 4 4
P
. Chọn A
Câu 66:
2
2
2
3 2017
2 3 2017
2
2 3 2017 2
lim lim lim
2018 2018
2 2018 2
2 2
x x x
x
a
a
a x a
x
x
x x
x
x x
  
Do đó
2
2 3 2017 1 2 1 1
lim
2 2018 2 2 2
2
x
a x a
a
x

. Chọn A
Câu 67:
2
2
2
1 1 4
4 1 4
4
4 1 4 2 1
lim lim lim
2 2
2 2
x x x
x x
x x
x x
x
x
mx m
m m
x x
  
4
m
. Chọn B
Câu 68:
0 0 0 0
3 1 1 3 1 1 3 3 3
lim lim lim lim
2
3 1 1
3 1 1 3 1 1
x x x x
x x x
x
x
x x x x
Khi đó
3, 2 13
a b P
. Chọn A
Trang 44
Câu 69: Ta có
0
1
lim 0
4
x
f x f m
Lại có
0 0
0 0 0
4 2 4 4 1 1
lim lim lim lim lim
4
4 2
4 2 4 2
x x
x x x
x x x
f x
x
x
x x x x
Để hàm số có giới hạn tại
0
x
thì
1 1
0
4 4
m m
. Chọn B
Câu 70:
2
1 1
1
lim lim
1
x x
x
f x
x

. Chọn A
Câu 71:
2
lim 2 3
x
f x f
Mặt khác
2 2
lim lim 1 2 1
x x
f x ax a
Để tồn tại
2
lim
x
f x
thì
3 2 1 2
a a
. Chọn B
Câu 72:
2 2
3 3 3 3
lim lim 2 3 6, lim lim 3 2 15
x x x x
f x x x f x x
Do
3 3
lim lim
x x
f x f x
nên không tồn tại
3
lim
x
f x
Khẳng định sai là C. Chọn C
Câu 73:
2
2
2 2
2
2 3 1
2 3
lim lim lim 2 3 1
1
1
x x x
a x x x
a x
a x x x
x x
x x
  
2 2
2
3 1
lim 2 1 1 lim 2 .2 2 0 2
x x
x a a x a a
x
x
 

Khi đó
2
2
2 4 1 3 3
P a a a
Dấu bằng xảy ra
1
a
. Chọn B
Câu 74:
2
2
2 2
4 2 1 2
1
4 2 1 2
lim lim
3 3
x x
x x
x x x
x x
L
ax x bx ax x
b
x
 
2
2 1 2
4 1
3 3
lim 0
3
x
x x
x
a b
a b a b
a b
x

(trong đó
0
a
). Chọn A
Câu 75:
2
3
2
1 1
1
lim lim
1
1
1 1
x x
a x x b
a b
x
x
x x x
Vì
2
3
1
lim 1
1
1
x
a b
f x a x x b
x
x
có nghiệm
1
x
Trang 45
Khi đó
1 3 0
f a b
, kết hợp
1
4
3
a
a b
b
Suy ra
2
3 3
2
1 1 1
3 1
3 1
lim lim lim
1 1
1 1
1 1
x x x
x x
b a
L
x x
x x
x x x
2
2
2 2
1 1 1
1 2
2 2
lim lim lim 1
1
1 1 1 1
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
. Chọn A
Câu 76:
3 2
2
1 1
lim 1 lim 1 1
1 1
1
x x
x x
x x x x
x x
x
2
2 2
1 1
1 1
lim 1 lim 1 0
1 1 1
x x
x x x x
x x x x
x x x
. Chọn C
Câu 77: Do
2
2 2
0 0 0
1
5
lim 7 5 1 1
1
x
ax bx
ax bx a x x x ax a x x ax
x
Do đó
0
5
ax
Khi đó
2
0 0
1 1
5
lim 7 lim 1 7 5 7 2
1
x x
ax bx
a x x a x a a
x
Với
0 0
5
2 1 3
2
a x b a x
Do đó
2 2
18
a b a b
. Chọn A
Câu 78:
2 2 2
2
2
2 2018
lim 2 2018 lim
2 2018
x x
a x bx x
I ax bx x
ax bx x
 
2
2 2 2
2 2
2
2
2018
2
2 2018
lim lim
2 2018
2 2018
x x
a b x
a b x x
x
ax bx x
a b
x x
 
Để I hữu hạn thì
2
a b
khi đó
2
2 2 1
I
a a a
a a
. Chọn C
Câu 79:
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
lim lim
x x
ax bx ax bx
x x
2
3
3
2
0 0
3
3
1 1
1 1 1
1 1
lim lim
1 1
1 1
1 1 1
x x
ax
ax ax
bx a b
x
bx
bx x
ax ax
2
3 2
a b
, mặt khác
3
5
2
a
a b
b
. Chọn D
Trang 46
Câu 80: Đặt
2 3 2
2
2 7 3 1 2
2 2 3
m m x x m x
f x
m x x
Ta có:
2
lim lim 2 7 3
x x
y m m x
Nếu
2
2 7 3 0
m m
thì lim
x
y


khi đó điều kiện bài toán không thỏa mãn
Nếu
2
2 7 3 0
m m
thì lim
x
y


khi đó điều kiện bài toán không thỏa mãn
Vậy điều kiện cần để
2 3 2
2
2 7 3 1 2
0
2 2 3
m m x x m x
m x x
đúng với mọi x thuộc tập xác định là
2
3
2 7 3 0
1
2
m
m m
m
Điều kiện đủ:
* Với
2
2
2 2
1 1
2 2
3 0
2 3
1 2
x
x x
m f x x
x x
x
* Với
2
2
1
2
1
3
2
2 3
2
x x
x
m f x
x x
không thỏa mãn
0
f x x
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m là
3
m
. Chọn C
| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số f  x xác định trên khoảng  ;
a b , có thể trừ điểm x  ;
a b . Nếu với mọi dãy số  x mà n  0   x   ;
a b \ x ; lim x  x ta đều có lim f  x  L thì ta nói hàm số f  x có giới hạn là số L khi x n  n 0  n 0
dần đến x . Khi đó ta kí hiệu lim f  x  L hoặc f  x  L khi x  x . 0 0 x 0 x b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là  thì ta nói f  x có giới hạn vô cực khi x  x 0
và kí hiệu lim f  x   hay f  x   khi x  x . x 0 0 x
2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số f  x xác định trong khoảng  ;
a   . Khi đó nếu với mọi dãy số  x với n  x  a n
 , lim x   ta đều có n n
lim f  x  L (hoặc ,   ) ta nói hàm số f  x có giới hạn là L (hoặc ,   ) khi x dần tới vô cực. n 
Khi đó viết lim  L (hay  ) hoặc f  x  L (hay  ) x
Khi x   hàm số f  x trong  ;
 b , với mọi dãy  x mà x  blim x   ta đều có n  n n
lim f  x  L (hay  ) thì ta có lim f  x  L (hay  ) hoặc f  x  L (hay  ) khi x   n  x
Một số giới hạn của hàm số tại vô cực 1 1 * lim  0, lim  0 x x x  x * lim k x   (với ); lim k
x   nếu k chẵn và   nếu k lẻ. x x 1 1 * lim  lim k  * k k  x x x  x
3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí: Nếu lim f  x  L, lim g  x  M , c là hằng số thì x  0 x x 0 x * lim  f
  x  g  x  L  M  x 0 x * lim  f
  x.g  x  . L M  và lim . c f  x  . c L (c là hằng số) x  0 x x 0 x f  x L * Nếu M  0 thì lim  x 0 x g  x M Trang 1 * lim f  x  L x 0 x * f  x 3 3 lim  L x 0 x
* lim f  x  L với L  0 x 0 x
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số và những quy tắc cơ bản Phương pháp giải:
* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f  x trên cơ sở giới hạn các dãy f  x . n 
Nếu có 2 dãy x và x cùng tiến đến x mà lim f  x   lim f  x thì không tồn tại lim f  x n  n  n n 0 x 0 x k k k  1
* Với mọi số nguyên dương k, ta có: 2 2 1
lim x  ; lim x  , lim x  , lim  0 k x x x x x
* Xác định dấu  hoặc  dựa trên dấu của tích số, thương số, x x , x x   , x   0 0
Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số 2x  3
a) f  x  2x 10 khi x  3  b) f  x  khi x  3 2 x  6 Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là 5;   . Chọn dãy số  x với x 5;   sao cho lim x  3  . n  n  n
Theo định nghĩa lim 2x  10  lim 2x 10  3 n x  n
Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có
 2.lim x 10  2.3 10  4  2 . Vậy lim 2x 10  2 n n x 3 
b) Tập xác định của hàm số là nên chọn dãy số  x sao cho n  lim(2x  3) 2x  3 2x  3 n Ta có lim f (x)  lim  lim n n  2 2 2 x3 x3 3  6 n x  6 lim(x  6) n n n 2.lim x  3 n  2x  3 3 n 2.3 3 3    . Vậy lim  2 2 lim x  6 3  6 5 2 x3 x  6 5 n n
Chú ý: Nếu hàm số f  x là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm số lượng giác có tập xác
định là D thì với mỗi x  D ta có lim f  x  f  x 0  0 x 0 x Trang 2
Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số 2 x 1 2 x  3x 10 a) f  x  khi x  3 b) f  x  khi x  2 2 x 2 2x  x  6 Lời giải: lim  2 2 x x   1 1
a) Theo định lí 1, ta có lim f  x x3  lim  x3 x3 2 x lim 2 x x3 2
lim x  lim1 lim.lim lim1 3.31 5 2 x 1 5 x3 x3 x3 x3 x3     . Vậy lim  lim 2.lim x lim 2. limx 2 3 3 x3 2 x 3 x3 x3 x3 x3 b) Vì  2
2x  x  6  0 khi x  2 nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1. 2 x  3x 10   x  2x  5 x 
Nhưng với x  2 , ta có  suy ra f  x 5  . 2 2x  x  6   x  22x  3 2x  3 lim x  x 5 lim x  lim 5 5 2  5 Vậy x2 x2 x2 lim f (x)  lim     1 x2 x2 2x  3
lim 2x  3 2.lim x  lim3 2.2  3 x2 x2 x2
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 2  x 1 2  4  x  a) lim   b) lim   x 3   x 1  x 2   x  2   x  3  3  c) lim   x6  x 6     Lời giải:  x 1    3  2 2 1 8 a) lim  lim      4   x 3  x3  x 1   3 1  2   2  4  x 
 2  x2  x  b) lim    lim 
  lim 2  x  4 x 2  x2 x 2  x  2  x  2                x  x 3 3 x 3 3 3 3  x  6 1 1 c) lim   lim   lim     lim  x6   x6     x6 x 6 x 6    x  6 x6  x  3  3 6     x3 3
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau  2x  6   17  a) lim   b) lim   x  4  x  2 x  x  1  2  2x  x 1 c) lim   x  3  x  Lời giải: Trang 3  6  2   2x  6    a) lim  lim x      2 x  4 x  x   4  1   x   17  b) lim  0  2  x  x  1  1 1   1 1      2 2 2 2      2   2 2x x 1 x  c) lim    lim x x    lim x x x     x  3 x  x   x 3 x 3  1     1   x   x 
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau a) lim 2x  3 b) lim  3 2x  3x  4 x2 x 2  1 x  2x 2 x  4x 1 c) lim d) lim x3 x 1 2 x 1  x  x 1 Lời giải:
a) lim 2x  3  lim2.2  3  7 x2 x2
b) lim 2x  3x  4  lim 2. 2   3 2  4  6 x 2  x 2    3 3    1 x  2x 1  3    2. 3   c) lim  lim  2 x 3  x3 x  1 3 1 2 2 x  4x  1 1  4.1 1 d) lim  lim  6 2 2 x 1  x 1 x  x  1  1 1 1
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau 2 x  25 a) lim   b) lim   3 x 2 x x 1  x5 x  2 1 x  2x 2 x  4x 1 c) lim d) lim x3 x 1 2 x 1  x  x 1 Lời giải: a) lim x  2  x  lim 1  2  1  0 x 1   3  x 1   3   2 2 x  25 5  25 b) lim  lim  0 x5 x5 x  2 5  2 1 x  2x
1  3  23 c) lim  lim  2 x 3  x 3 x  1   3   1 2 2 x  4x 1 1  4.11 d) lim  lim  6 2 2 x 1  x 1 x  x 1  1 1 1 Trang 4  1 
Ví dụ 7. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim sin   x0  x  Lời giải:  2 x   n  1  4n   1 Giả sử tồn tại lim sin   . Xét 2 dãy sau:  với n  N * x0  x  2 x  n  4n    1    1   1  lim sin  lim   sin   1  x x   x   x    lim x  lim x  0 n  ( vô lý) n n  x x   1   1  lim sin  lim    sin   1 x0 n   x   x  n 
Ví dụ 8. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim sin x x Lời giải:   1  x  2n    n     2 
Giả sử tồn tại lim sin x. Xét 2 dãy sau:  với n  N * x   1  x  2n   n     2 
 lim sin x  lim sin x   n  1   lim x  lim x n x      (vô lý) n n
 lim sin x  lim sin x   n  1 x n  3 
Ví dụ 9. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim cos   x0  x  Lời giải:  1 x   3   n  2n Giả sử tồn tại lim cos   . Xét 2 dãy sau:  x0  x  1 x  n  2n   1    3   3  lim cos  lim   cos   1 x0 n   x   x    lim x  lim x  0 n  (vô lý) n n    3   3  lim cos  lim    cos   1  x0 n   x   x  n  Trang 5  1 
Ví dụ 10. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim cos   x0  5x  Lời giải:  5 x   1   n  2n Giả sử tồn tại lim cos   . Xét 2 dãy sau:  x0  5x  5 x  n  2n   1    1   1  lim cos  lim   cos   1 x0   5 n x   5x    lim x  lim x  0 n  (vô lý) n n    1   1  lim cos  lim    cos   1  x0   5 n x   5x  n 
Ví dụ 11. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim sin 3x x Lời giải:  1  1  x  2n    n    3  2 
Giả sử tồn tại lim sin 3x . Xét 2 dãy sau:  với n  N * x 1   1  x  2n   n    3  2 
 lim sin 3x  lim sin 3x  1   lim x  lim x n x      (vô lý) n n
 lim sin3x  lim sin3x   n  1 x n
Dạng 2. Khử dạng vô định về 0/0 f  x Xét bài toàn: Tính lim
khi lim f  x  lim g  x  0 , trong đó f x, g x là các đa thức và căn x 0 x g  x x  0 x x 0 x thức. Phương pháp giải: f  x x  x .A x A x 0     
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước: lim  lim  lim x   0 x g  x x 0 x  x  x . x B x B x 0     
Nếu A x, B x đều chứa nhân tử x  x ta sẽ tiếp tục phân tích thành các nhân tử. 0 Chú ý:
- Với f  x, g  x là đa thức (thường là hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) thì ta phân tích nhân tử bằng
việc giải phương trình f  x  g  x  0
- Với f  x, g x là căn thức, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp số hoặc liên hợp biến) để phân tích nhân tử.
- Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócne,… Trang 6
- Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số mà các 0
giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định . 0 - Nếu lim f  x  ;
 lim g x   thì lim x  g x   ;  lim  
 x.g  x    x    0 x x 0 x x 0 x x 0 x
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau 2 x  3x  2 2 x  2x a) lim b) lim x2 x  2 2 x2 2  x  6x  4 3 x  3x  2 3 2 x  x  x 1 c) lim d) lim 4 x 1  x  4x  3 2 x 1  x  3x  2 Lời giải: 2 x  3x  2 x   1  x  2 a) lim  lim  lim x   1  1 x2 x2 x2 x  2 x  2 2 x  2x x  x  2 x  x  2 x b) lim  lim  lim  lim  1  2 x 2x  6x  4 x 2   2 2 2
x  3x  2 x2 2x   1  x  2 x2 2   x   1 x  3x  2 x  2 3 1  x  2  x  2  3 1 c) lim  lim  lim   4   x 1  x 1 x  4x  3  x  2 1 x  2x  3 2 2 x 1   x  2x  3  6 2 x  x  x  1 x  2 3 2 1  x   1 x   1 x   1 d) lim  lim  lim  0 2 x 1  x 1 x  3x  2    x   1  x  2 x 1  x  2
Ví dụ 2. Tìm giới hạn các hàm số sau: 4 2 x  x  72 3 2 x  5x  3x  9 a) lim b) lim 2 x3 x  2x  3 4 2 x3 x  8x  9 2 6 x  5x  4x 4 4 x  a c) lim d) lim x 1 x2 1 xa x  a Lời giải: x  x  x  3 3 2 4 2 x  3x  8x  24 72  3 2 x  3x  8x  24 51 a) lim  lim  lim  2 x3 x3 x  2x  3 x  1x  3 x3 x  1 2 x  x  x  x  3 2 3 2 x  2x  3 5 3 9  2 x  2x  3 b) lim  lim  lim  0 4 2 x x  8x  9 x  x  3 3 2 3 3 x  3x  x  3 3 2 x3 x  3x  x  3   x   1  5 4 3 2 2 6 4x  4x  4x  4 5 4 x  x x x x  5 4 3 2 4x  4x  4x  4x  x c) lim  lim  lim   x 1 x2 x 1 x2 1 1 x 1  x  1  x  a 3 2 2 3 4 4 x  ax  a x  a x a  d)    3 2 2 3 x  ax  a x  a  3 lim lim lim  4a xa xa xa x  a x  a Trang 7
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau 2 x 16 2 4  x a) lim b) lim 2 x4 x  x  20 3 x 2  x  8 2 x  3x  2 c) lim 2 x 2  2x  x  6 Lời giải: 2 x 16 x  4x  4 x  4 8 a) lim  lim  lim  2 x4 x4 x  x  20
x  4x  5 x4 x  5 9 2 4  x 2  x2  x 2  x 1 b) lim  lim  lim  3 x x  8 x  x  2 2 2 2 x  2x  4 2 x 2  x  2x  4 3 2 x  3x  2 x  1x  2 x 1 1 c) lim  lim  lim  2 x 2  x2 2x  x  6
x  22x  3 x 2 2x  3 9
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 2 x  x  30 2 2x  5x  2 a) lim b) lim 2 x5 2x  9x  5 2 1 x 4x 1 2 2 2x  3x  1 c) lim 2 x 1  x  4x  5 Lời giải: 2 x  x  30 x 5x  6 x  6 a) lim  lim  lim 1 2 x5 x5 2x  9x  5
x 52x   x5 1 2x 1 2 2x  5x  2 2x  1x  2 x  2 3 b) lim  lim  lim   2 1 1 x 4x 1 x  2x   1 2x   1 1 x 2x  1 4 2 2 2 2 2x  3x 1 2x  1x  1 2x 1 1  c) lim  lim  lim  2 x 1  x1 x  4x  5 x   1 5  x x1 5  x 6
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau 3 x  3x  2 3 2 x  x  2x  4 a) lim b) lim  3 2 x 1  x  x  x  1 2 x 1  x  3x  4 4 2 x  6x  27 c) lim 3 2 x 3  x  3x  x  3 Lời giải: x  3x  2 x  2 3 1  x  2 x  2 3 a) lim  lim  lim  3 2 x x  x  x  1 x  x  2 1 1 1 x   x 1 1  x  1 2 x  x  x  x   1  2 3 2 x  2x  4 2 4  2 x  2x  4 7 b) lim   lim  lim   2 x 1  x1 x  3x  4 x   1  x  4 x1 x  4 5 Trang 8 x  x   2x 3 2x 9  2 4 2 x  3x  3 6 27  36 c) lim  lim  lim   3 2 x x  3x  x  3 x  2 3 3 x   1  x  3 2 x3 x  1 5
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau 3 x  3x  2 2 4x  x 18 a) lim b) lim 4 x 1  x  4x  3 3 x2 x  8 4 2 x  x  72 c) lim 2 x3 x  2x  3 Lời giải: x  3x  2 x  2 3 1  x  2 x  2 3 1 a) lim  lim  lim   4 x 1  x 1 x  4x  3  x  2 1 x  2x  3 2 2 x 1  x  2x  3 6 2 2 4x  x 18 x  24x  9 4x  9 17 b) lim  lim  lim  3 x x  8 x  x  2 2 2 2 x  2x  4 2 x2 x  2x  4 12 x  x 
 2x 8x 3x 3  2 4 2 x  8x  3 72  51 c) lim  lim  lim  2 x3 x3 x  2x  3 x   1  x  3 x3 x  1 2
Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau 5 x  1 5 x 1 a) lim b) lim 3 x 1  x  1 3 x 1  x 1 3 2 x  5x  3x  9 c) lim 4 2 x3 x  8x  9 Lời giải: x 1 x   1  4 3 2 5 x  x  x  x   4 3 2 1 x  x  x  x 1 5 a) lim  lim  lim  3 x x 1 x x   1  2 1 1 x  x   2 x1 1 x  x 1 3 x 1 x  1 4 3 2 5 x  x  x  x   4 3 2 1 x  x  x  x 1 5 b) lim  lim  lim  3 x x 1 x x   1  2 1 1 x  x   2 x 1 1  x  x 1 3 x  x  x  x  3 2 3 2 x  2x  3 5 3 9  2 x  2x  3 c) lim  lim  lim  0 4 2 x x  8x  9 x  2 x  
1  x  3 x  3 x  2 3 3 3 x   1  x  3
Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau  2 1   1 3  a) lim   b) lim  2    x 1   x 1 x 1 3 x 1  1  x 1 x   1 4  c) lim   2  x 2   x  2 x  4  Lời giải:  2 1   2   x   1   1 x   1   1 a) lim   lim      lim  lim   2 2  2    x 1  x 1  x 1  x 1  x 1 x 1 x 1    x 1    x 1 2 Trang 9  1 3    2 1  x  x   3 
 x  1x  2   x  2  b) lim   lim    lim      lim  1  3    x  1  x 1 x  x   1 x 2 1 x  x  x  1 x 2 1 1 1 1 x  x  2     x 1  1  x  x   1 4   x  2  4  1 1 c) lim   lim      lim   2 x 2  x 2  x  2 x  4  
 x  2 x  2 x2 x  2 4 
Ví dụ 9. Tìm giới hạn các hàm số sau x  3  2 2  x  2 a) lim b) lim 2 x7 49  x 2 x2 x  3x  2 2x  7  3 c) lim 3 2 x 1  x  4x  3 Lời giải: x  
 x3 2 x3 2 3 2  1 1 a) lim  lim  lim  2 x7 x7 49  x
 x3 27 x7 x x7 7 x x3 2 56  x  2 x22 x 2 2 2  1  1 b) lim  lim  lim   2 x2 x2 x  3x  2 x  
1 x  22  x  2 x2 x   1 2  x  2 4 x  
 2x7 3 2x7 3 2 7 3  2 1 c) lim  lim  lim   3 2 x 1  x 1 x  4x  3  x   1  2
x  3x  3 2x  7  3 x 1   2
x  3x  3 2x  7  3 15
Ví dụ 10. Tìm giới hạn các hàm số sau 2 1 x  3 4x  1  3 a) lim b) lim 2 x 1  x  3x  2 2 x2 x  4 x  x  2 c) lim 3 x2 x  8 Lời giải:  x   2 2  3x  3 2 2 2  x  3 2 3  x 1 1 a) lim  lim  lim   2 x 1  x 1 x  3x  2   2 
x  x  x   x 1   2  x  x   2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 x  
 4x13 4x13 4 1 3  4 1 b) lim  lim  lim  2 x2 x2 x  4
x  2x  2 4x 1  3 x2 x  2 4x 1 3 6 x  x 
x x 2x 2 x 2 2  x  1 1 c) lim  lim  lim  3 x2 x2 x  8
x  2 2x  2x  4x  x  2 x2  2x  2x  4x  x  2 16
Ví dụ 11. Tìm giới hạn các hàm số sau 3 x 1 3 1 1  x a) lim b) lim 3 x 1  2x  5x  3 2 x0 2x  x Trang 10 3 2x  12  x 4 x 1 c) lim d) lim 2 x2 x  2x 3 2 x 1  x  x  2 Lời giải: x 3 x  13 2 3 3 x  x.1  1 1 1 a) lim  lim  lim 1 2 x 1  x 1 2x  5x  3  x   1 2x  3 3 2 3 x  x.1  x 1 1  2x  33 2 3 x  x.1  1  
1 1 x   x   x 1 1 x 1 1 1 2 3 3 3 3  1 1 b) lim  lim  lim  2 x0 x0 2x  x x  x  2 x 3
1  1  x  1 x2  0 x  2 3 1 1  x  1 x2 3 3  6       x   x 3 2x 12 x3 3 2x 122 3 2 x 2x 12 x 2 12  c) lim  lim 2 x 2  x2 x  2x x  x  2 3 2 3 2
(2x 12)  x 2x 12  x 
x  2 2x  2x 12 2 x  2x 12 5  lim  lim   x2 x x   3 2 3 2 x   x x   x  x 2 3 2 3 2 x   x x   x  6 2 (2 12) 2 12 (2 12) 2 12 x 4 x  1 4 4 x   1  x x   1 1 d) lim  lim 3 2 x 1  x 1 x  x  2   x   1  2
x  x  2 4 x   1  x   1  x  1 x  1 1 1  lim  lim  x 1  x   1  2
x  x  2 4 x   1  x   x 1 1   2
x  x  2 4 x   1  x   1 12
Ví dụ 12. Tính các giới hạn sau 2x  7  x  4 3 x  3x  2 a) lim b) lim 3 2 x 1  x  4x  3 2 x 1  x 1 2 3 x  3  x  3x c) lim x 1  x 1 Lời giải: 2x  7  x  4 2x  7   x  42 a) Ta có lim  lim 3 2 x 1  x 1 x  4x  3   3 2 2
x  x  3x  3 2x  7  x  4 2 x 10x  9 x   1 9  x  lim  x 1   2 x  3 x  
1  2x  7  x  4 x   1  2 x  3 x  
1  2x  7  x  4 9  x 9 1 4  lim    x 1   2 x  3 x  
1  2x  7  x  4 1 3.23 1 4 15 2 3 6 6 x  3  x  3x x  3x  2 x 1 3x  3 b) lim  lim  lim 2 x 1  x 1 x 1   2 x   1  3 x  3x  2  x 1   x   1  x   1  3 x  3x  2  Trang 11
 3x  1 3x  13x  1 x   1  3 x   1  2 x  x   1  3  lim  lim x 1  x   1  x   1  3 x  3x  2  x 1  x   1  x   1  3 x  3x  2   3x  1 2 2 x  x   1  3
1 111 1  3 2.3  3 3  lim    x 1 
x  1 3x  3x  2 1 11  1 2.2 4 x  3     x 3 3 3 x x x x 2 2 3 2 3 2 6 4 2 x  3  x  6x  9x c) lim  lim  lim x 1  x 1 x 1  x   1  2 3 x  3  x  3x x 1  x   1  2 3 x  3  x  3x 6 4 2 6 4 4 2 2 x  6x  8x  3
x  x  5x  5x  3  3x  lim  lim x 1  x   1  2 3 x  3  x  3x x 1  x  1 2 3 x  3  x  3x  2x  1 4 2 x  5x  3 x   1  4 2
x  5x  3 1  1  1   5  3 1  lim  lim   x 1  x   2 3 x   x  x x 1   2 3 x   x  x 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 1 mx  1 mx
Ví dụ 13. Cho hàm số f  x 
. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f  x có 5x
giới hạn bằng 1 khi x dần tới 0 Lời giải: Ta có   mx   2  mx    2  mx   mx  2 1 1 1 1 1 mx  1 mx  2 mx  mx mx 1 x 2  
Suy ra 1 mx  1  mx   2 2 1 mx  1  mx 1  mx  1  mx m 1 x m 1 x m Khi đó f  x          mx   mx  g x  
 mx  mx  g0 2 2 10 5 1 1 5 1 1 m
Vậy giới hạn lim f  x  g 0   1  m  10 x0 10
Dạng 3. Khử dạng vô định ∞/∞, 0.∞ hoặc ∞ - ∞ f  x Bài toán 1: Tính lim
khi lim f  x  lim g  x   , trong đó f  x, g  x là các đa thức và căn x g  x x x thức. Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho n
x với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu thức. Nếu f  x, g  x có
chứa biến x trong dấu căn thức thì đưa k
x ra ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn). Chú ý: Trang 12
* Khi x   thì ta xử lý giống như với giới hạn của dãy số.
* Khi x   ta cần lưu ý khi đưa 2k
x ra ngoài dấu căn thức bậc chẵn. Dạng hay gặp chính là 2
x  x  x khi x   và  x khi x   f x * Xét hàm số h  x   
có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của f  x, g x lần lượt là a, b g  x
Và kí hiệu deg f  x, deg g  x lần lượt là bậc của f  x, g  x f  x
- Nếu deg f x  deg g x thì lim   x g  x f  x a
- Nếu deg f x  deg g x thì lim  x g  x b f  x
- Nếu deg f x  deg g  x thì lim   g  x 0 x
Bài toán 2: Tính lim  f  x.g  x 
 khi lim f  x  0 và lim g  x   x   0 x x 0 x x 0 x Phương pháp giải: f x 0 Ta biến đổi lim  f   x.g  x     lim  để đưa về dạng xx xx 1 0 0 0 g  x g x  Hoặc biến đổi lim  f   x.g  x     lim  để đưa về dạng . xx xx 1 0 0  f  x
Bài toán 3: Tính lim  f  x  g  x 
 khi lim f  x   và lim g  x   x   0 x x 0 x x 0 x Phương pháp giải:
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.
Ta xét các ví dụ dưới đây để hiểu rõ bản chất các bài toán:
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 2x 1 2 x 1 a) lim b) lim x x 1 2 x 1 3x  5x x x 1 c) lim 2 x x  x 1 Lời giải: 1 2  2x 1 2  0 a) lim  lim x   2 x x 1 x 1 1 0 1 x Trang 13 1 2 1 2 x 1 1 0 1 b) lim  lim x    2 x 1 3x  5 x x  1 3 0  3.0  5 5   5 2 x x 1 1  2 x x 1 x x 0  0 c) lim  lim   0 2 x x  x 1 x 1 1 1 0  0 1  2 x x
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 3x  2 2x   1 3 2 3x  2x 1 a) lim b) lim x 5x   1  2 x  2x 4 x 4x  3x  2 3 3x  2x  2 c) lim 3 2 x 2x  2x 1 Lời giải: x  3 2 x  6 3 2 1   2 x 6  3.0 6 a) lim    x 5x   1  lim 2 x  2x x  1  2  5  01 2.0 5 5  1     x  x  3 2 1   3 2 2 4 3x  2x 1 x x x 3.0  2.0  0 b) lim  lim   0 4 x 4x  3x  2 x 3 2 4  3.0  2.0 4   3 4 x x 2 2   3 3 2 3 3x  2x  2 x x 3  2.0  2.0 3 c) lim  lim    3 2 x 2x  2x  1 x 2 1 2   2.0  0 2 2    3 x x
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau 2 x  3x  2x 2 x  x  2  3x 1 a) lim b) lim x 3x 1 x 2 4x 1 1  x x x  3 c) lim 2 x x  1 Lời giải: a) Đặt x  t
 . Với x    t   3   2 2 1 2 x  3x  2x t  3t  2t t 1 3.0  2 1 Khi đó lim  lim   lim   x 3x 1 t 3t 1 t 1 3  0 3 3  t Trang 14 1 2 1 1    3  2 2 x  x  2  3x  1 b) lim  lim x x x  4 x 2 4x 1 1 x  x  1 1 4   1 2 x x Đặt x  t
 . Với x    t   . Khi đó 1 2 1 1   3  2 2 2 x  x  2  3x  1 t  t  2  3t  1 t t t 2 lim  lim  lim   x 2 t 2 4x 1 1  x 4t 1 1 t  t  1 1 3 4   1 2 t t 1 3  2 x x  3 x x 0  3.0 c) lim  lim   0 2 x x 1 x 1 1  0 1  2 x
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 2 4x  2x 1  2  x 2 x  2x  3  4x 1 a) lim b) lim x 2 9x  3x  2x x 2 4x 1  2  x 3 3 2 x  2x  x c) lim x 2x  2 Lời giải: 2 1 2 4    1 2 2 4x  2x 1  2  x x x x 1 a) lim  lim  x 2 9x  3x  2 x x  3 5 9   2 x Đặt x  t
 . Với x    t   . Khi đó 2 1 2 4    1 2 2 2 4x  2x 1  2  x 4t  2t 1  2  t lim  lim  lim t t t  3 x 2 t 2 9x  3x  2x 9t  3t  2 t t  3 9   2 t 2 3 1     2 1 4 2 x  2x  3  4x 1 b) lim  lim x x x  5 x 2 4x 1  2 x  x  1 2 4   1 2 x x Đặt x  t
 . Với x    t   2 3 1 1   4  2 2 2 x  2x  3  4x  1 t  2t  3  4t  1 Khi đó lim  lim  lim t t t  1 x 2 t 2 4x 1  2  x 4t 1  2 t  t  1 2 4   1 2 t t Trang 15 2 3 1  1 3 3 2 3 x  2x  x x 1 2.0  1 c) lim  lim   1 x 2x  2 x 2 2  2.0 2  x
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau  3 2 x  2x 2 3 3 2 2 3  x x  2x  x 2 2x  3x  1 a) lim b) lim 2 x 3x  2x 2 x 3x  x  5 Lời giải: a) Đặt x  t
 . Với x    t   . Khi đó  3 2 t  2t 2 3 2 2  t t  2t  t  3 2 t  2t 2 3 3 3 2 2 3 3  t t  2t  t L  lim  lim 2 2 x 3t  2 t t  3t  2t 2  2  2 3 3 1   1 1   3  t  t 1 2.02 3  1 2.0 1  lim   1 t 2 3  2.0 3  t 3 1   2 2 2 2x  3x 1 x x 2  3.0  0 2 b) lim  lim   2 x 3x  x  5 x 1 5 3  0  5.0 3 3   2 x x
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
x x  x 1 x  1 5 2 x  2x 1 a) lim b) lim x x  2x   1 3 x x  1 2 x 1 c) lim x 2x  3 Lời giải:     x x  x   x   1 1 1 1   1 1 1      x x x 
x  1 0  01 0 a) lim    x x  2x   lim 1 x    1 2.01 0 1 2 1 1 1     x  x  1 2 1 3     5 2 x 2 1 2 3 5 x  2x  1 b) 2 x 2 lim  lim .  lim . x x x x 3 3 x x 1 x x 1 x 1 1  3 x 2 1 2 1 1  1  5 2 3 5 3 5 x x 1  2.0  0 x x x  2x 1 2 2 lim x   ;  lim   1  0  lim x .    lim   3 x x 1 1 0 x 1 x x 1 1 1 3 3 x x Trang 16 1 1  2 2 x  1 x 1  0 1 c) lim  lim    x 2x  3 x 3 2   3.0 2 2   x
Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau a)     b)       2 lim x 3x 2 x 2 x    2 lim 2x 1 4x 4x 3 x  Lời giải: a) Ta có         2 lim 2x 1 4x 4x 3 x  4 và lim x   x  x    x  2 2 1 4 4 3 lim 0 x 2 2x 1  4x  4x  3  3 2 2  b) lim x  x   x   x        x  2 3 2 2 lim 1 1  2 x x x x   
Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau a)     b)       2 lim x 3x 2 x 2 x    2 lim 3x 2 9x 12x 3 x  Lời giải: a) Ta có         2 lim 3x 2 9x 12x 3 x  lim x   x  x    x  7 2 3 2 9 12 3 lim 0 x 2 3x  2  9x 12x  3 2 1 x  2 1 1 b) lim x x  x   x       x  2 3 2 2 lim lim x 2 x  3x  2  x  2 x 3 2  1 1 2  1  2 1 x x
Ví dụ 9. Tính các giới hạn sau a)  2 lim x  3x  2  x  b)       2 lim x 3x 1 x 3 x   1 x Lời giải: a) Ta có  2 lim x  3x  2  x    ;  1 x 1   x  lim x x  x   x     x  1 1 1 2 3 2 1 lim lim x 2
x  3x  2  x 1 x 3 1 2  1  2 1 x x  3 1 3  b) Ta có lim x  x   x   x         x  2 3 1 3 lim   1 1  2 x x x x    Trang 17 8  x  lim x x  x   x       x  3 3 8 3 3 2 3 1 3 lim lim x 2
x  3x 1   x  3 x 3 1 3 1  1 2 1  1 2 x x x
Ví dụ 10. Tính các giới hạn sau a)  2 lim 4x  x  3  2x  b)      2 3 3 lim x 1 x 1 x   1 x Lời giải: a) Ta có  2 lim 4x  x  3  2x     1 x 2  x  lim x x  x   x      x  3 3 2 3 3 2 4 3 2 1 lim lim x 2
4x  x  3  2x   1 x 1 3 1 4  2 4 4    2  2 x x x b) Ta có            2 3 3 x x   2 3 3 lim 1 1 lim x 1 x x x 1 x x     1 1   lim   0   x 2 2 3
 x 1  x x  x x 1   3 3 x  2 3 1   
Ví dụ 11. Tính các giới hạn sau 2 2 x  x  4x  1 2 2x  3  x 1 a) L  lim b) M  lim x 2x  3 x 2 2x  5 Lời giải:  1   1  a) Ta có: 2 2 2 2 x  x  4x 1  x 1  4x 1    2   x   4x   1 1    3  x . 1  2 1   và 2x  3  2x 1  2   x 4x     2x   1 1  x . 1  2 1   2 2 2 x x 4x 1 x 4x     Khi đó L lim lim     x 2x  3 x  3  2x 1     2x   . x 1 2 1 1
Vì x   suy ra x  x , do đó L  lim    lim  x 2 x x  2 2    3   1   3  1 b) Ta có 2 2
2x  3  x  1  x 2   x 1  x 2   x 1    2    2  x   x   x  x Trang 18  5  5 Và 2 2 2x  5  x 2   x 2   , khi đó ta được 2  2  x  x 3 1  3 1    3 1 x 2   x 1 x  2   1     2  2   1  2 x 2  x x  x lim lim      lim x x M  2 x 5 x 5 x 5 x 2  x 2  2  2 2 2 x x x
Ví dụ 12. Tính các giới hạn sau 2 x  x 1 2 x  4  2x a) A  lim b) B  lim 2 x x  2 x 3 3 8x  x Lời giải:  1 1  1 1 x 1    x 1   2 2 2 x  x 1  x x  a) Ta có lim  lim  lim x x 2 x x  2 x  2 x   2 2 2  x 1 x 1  2   2   x   x  1 1 1 1 x 1  1  2 2 x x x x 1  lim  lim  lim  0 x  2 x   2 x 2  x x 1 x 1  2   2   x   x   4  4 b) Ta có 2 2 x  4  2x  x 1   2x  x 1  2x  2  2  x  x  1  1 Và 3 3 3 8x  x  3 3 8x 1   2 . x 1  , khi đó ta được: 2  2  8x  8x  4 4  4 x    1  2 1 2 x x x   2  1  2x 2 2 x x   x 3 B  lim  lim  lim  x 1 x 1 x 1 2 3 3 3 2 . x 1 2 . x 1 2 1  2 2 2 8x 8x 8x
Dạng 4. Giới hạn một bên Phương pháp giải:
* Nếu lim f  x  lim f  x thì không tồn tại lim f  x x     xx 0 x x 0 x 0
* Nếu lim f x  lim f  x  L thì lim f  x  L x      0 x x 0 x x 0 x
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 2 x  4 2  x a) lim b) lim x 2  x  2  2 x2 2x  5x  2 2  x c) lim  2 x2 2x  5x  2 Trang 19 Lời giải: 2 x  4 x  2 a) lim  lim   x 2  x 2 x 2    x  2 2  x x  2 1 1 b) lim  lim  lim   2 x 2   x 2 2x 5x 2
  x  22x   x 2 1     2x 1 3 2  x 2  x 1  1 c) lim  lim  lim    2 x 2   x 2 2x 5x 2
  x  22x   x 2 1     2x 1 3
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các hàm số tại các điểm chỉ ra: 2  x  2x khi x  2  3   a)   8 x f x   tại x  2 4  x 16 khi x  2  x  2 2  x  3x  2 khi x 1  2  b) f  x x 1   tại x  1 x  khi x  1  2 Lời giải: 2 x  2x x x  2 x 2 1 a) lim f x    lim  lim   lim       3 x x 8  x x   2 x 2 2 2 2 4  2x  x   2 2 x2 x  2x  4 2  2.2  4 6 x 
x  2x  2 2 4 x  4 16  lim f  x  lim  lim  lim x  2         2x 4 4.8 32 x2 x2  x2  x2 x 2 x 2
 lim f x  lim f x.. Do đó, không tồn tại lim f x x 2 x 2   x2 2 x  3x  2 x   1  x  2 x  2 1 2 1 b) lim  lim  lim  lim      2 x 1 x 1  x 1 x 1   x   1 x   x 1 1      x 1 1 1 2  f  x x 1 lim  lim   x 1 x 1   2 2 1 1
Nhận thấy lim f  x  lim f  x   . Do đó lim f  x   x 1 x 1   2 x 1  2
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số tại các điểm chỉ ra: x  m khi x  0  a) f  x 2   x 100x  3 tại x  0 khi x  0  x  3 x  3m khi x  1  b) f  x   tại x  1 2
x  x  m  3 khi x  1   Lời giải:
a) lim f  x  lim  x  m  m x 0 x 0   Trang 20 2   f x x 100x 3 3 lim  lim   1 x 0 x 0   x  3 0  3
Để tồn tại lim f  x thì lim f  x  lim f  x  m  1 x 1  x 0 x 0  
Với m  1 thì lim f  x  1  lim f  x x 0 x 0  
Vậy với m  1 thì lim f  x  1 x 1 
b) lim f  x  lim  x  3m  3m 1 x 1 x 1   lim f  x  lim             2 x x m 3 1 1 m 3 m 3 x 1  x 1 
Để tồn tại lim f  x thì lim f  x  lim f (x)  3m 1  m  3  2m  4  m  2 x 1  x 1 x 1  
lim f  x  3.2 1  5   Với m  2 thì x 1 
  lim f  x  lim f  x  lim f  x 5 x1 x1  2  3  5   x 1  
Vậy với m  2 thì lim f  x  5 x 1 
Dạng 5. Một số bài toán giới hạn ẩn tham số đặc sắc 2 2x  7x 12 a a
Ví dụ 1. Kết quả giới hạn L  lim 
, với là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu x 3 x 17 b b thức 2 2 P  a  b a) 7 b) 5 c) 9 d) 13 Lời giải: 2  7 12  7 12 x 2       2 2 x 2 2 2x  7x 12  x x  Ta có  lim  lim  lim x x L x 3 x 17 x 3 x 17 x 3 x 17 7 12 7 12 x 2   2   2 2 x x x x 2 a a  2  lim  lim     x 3  x 17 x 17 3 b b   3 3  x Chọn D 2 x  ax  b 1 3
Ví dụ 2. Cho giới hạn lim
 . Giá trị của biểu thức 2 T  a  ab là: 2 x 1  x 1 2 a) T  0 b) T  2 c) T  4 d) T  2  Lời giải: Đặt f  x 2
 x  ax  b 1  f   1  0 Trang 21 2 x  ax  b 1 x 1 x  x x  x 3
Khi đó f  x   x   1  x  x    0  0  lim  lim  lim  0 2 2 x 1  x 1  x 1 x 1 x 1  x  1 2 1  x 3 0    x  2
  f x  x 1 x  2  x  x  2  a  1; b  1  T  0. Chọn A 0      2 2 2 2 3x  3a  2 x  b
Ví dụ 3. Cho giới hạn lim
 4 . Giá trị của biểu thức 2 2 T  a  b là: 2 x2 x  3x  2 a) T  90 b) T  80 c) T  16 d) T  20 Lời giải: Đặt f  x 2  3x  2a   1 x  b  f 2  0 2 3x  3a  2 x  b x  2 3x  m
Khi đó: f  x   x  23x  m       lim  lim  4 2 x2 x2 x  3x  2 x  2x  1 3x  m  lim
 4  6  m  4  m  2 x2 x 1 a  2
Suy ra f  x   x  23x  2 2  3x  8x  4    T  20 . Chọn D b   4 2 2x  a  2 x  b
Ví dụ 4. Cho giới hạn lim
 1. Giá trị của biểu thức T  a  b là 2 x3 x  3x a) T  20 b) T  20 c) T  1  8 d) T  18 Lời giải: Đặt f  x 2
 2x  a  2 x  b  f 3  0 2 2x  a  2 x  b x  3 2x  m
Khi đó f  x   x  32x  m       lim  lim  1 2 x3 x3 x  3x x  x  3 2x  m 6  m  lim  1   1  m  3 x3 x 3 b   9
Suy ra f  x   x  32x  3 2  2x  9x  9  
 a  b  20 . Chọn B a  1  1 2 x  ax  b  2 Ví dụ 5. Giả sử lim
 6 . Tính giá trị của 2 a  b x4 x  4 a) 8 b) 10 c) 38 d) 4 Lời giải: 2 x  ax  b  2 Để lim
 6 thì phương trình f  x 2
 x  ax  b  2  0 có nghiệm x  4 x4 x  4 Do đó f   2
4  0  4  4a  b  2  0  4a  b 14  0 Trang 22 Ta có  b  2  x  4 x  2   x ax b 2       4   b  2  b  2 lim  lim  lim x   4 
 4  6  b  6, a  2    x4 x4 x4 x  4 x  4  4  4 Do đó ta có 2 a  b  10 . Chọn B 2 6x  a   1 x  2b 1 5 Ví dụ 6. Giả sử lim  . Tính giá trị của 2 2 a  b 1 x 3x 1 3 3 a) 3 b) 1 c) 2 d) 5 Lời giải: 2 6x  a   1 x  2b 1 5 1 Để lim
 thì phương trình f x 2  6x  a  
1 x  2b 1  0 có nghiệm x  . 1 x 3x 1 3 3 3 2  1   1  1 Do đó f  0  6.      a  
1 .  2b 1  0  a  6b  4  0  3   3  3 2 6x  a   1 x  2b 1 3x   1 2x  2b   1 1 5 Ta có lim  lim  lim 2x  2b   1  2b   1 1 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3 3 3 3 3
 b  1, a  2 . Do đó ta có 2 2 a  b  5. Chọn D 2
3x  2a  6 x  3b 1 4 Ví dụ 7. Giả sử lim
 . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 x2 2x  3x  2 5 a) a  2b b) 2 2 a  b  2 c) a  b  1 d) 2a  3b Lời giải: 2
3x  2a  6 x  3b 1 4 Để lim
 thì phương trình f  x 2
 3x  2a  6 x  3b 1 có nghiệm x  2 . 2 x2 2x  3x  2 5 Do đó ta có f   2
2  0  3.2  2a  6.2  3b 1  0  4a  3b 1  0  3b 1 3b  1 11 3  2 3 b x x  2        3 3 2 6  3 1 x x a x b   2  4 Ta có 2 2 lim  lim  lim   2 x2 x2 2x  3x  2 x  22x   x2 1 2x 1 5 5
 b  1, a  1. Do đó ta có 2 2 a  b  2 . Chọn B 2 x  ax  b  2 Ví dụ 8. Cho lim  1
 với a, b là các số hữu tỉ. Tính 2 P  a  2b x2 x  2 a) P  9 b) P  5 c) P  4 d) P  8 Lời giải: f  x Đặt f  x 2
 x  ax  b  2 . Vì lim
 1  f 2  0  2a  b  b  2a  2 x2 x  2 Trang 23 Khi đó f  x 2 2 2
 x  ax  2a  2  2  x  ax  2a  4  x  4  a x  2  x  2x  a  2 f  x
x  2x  a  2 Suy ra lim  lim
 lim x  a  2  4  a  1   a  5 x2 x2 x2 x  2 x  2 Vậy 2
P  5  2.8  9 . Chọn A x  3 1 Ví dụ 9. Cho lim
 với a, b là các số hữu tỉ. Tính P  a  3b 2 x3 x  ax  b  2 7 a) P  25 b) P  31 c) P  37 d) P  42 Lời giải: x  3 1 Đặt f  x 2
 x  ax  b  2 . Vì lim   f
  a  b    b   a  x f  x 3 0 3 7 3 7 3 7 Khi đó f  x 2 2
 x  ax  3a  9  x  9  a x  3  x  3x  a  3 x  3 x  3 1 1 1 Suy ra lim  lim  lim    a  1 x3 f  x
x3  x  3 x  a  3 x3 x  a  3 a  6 7 Vậy P  31. Chọn B 3 2 x  ax  bx  2 Ví dụ 10. Cho lim
 1 với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 x 1  x  3x  2 a) a  b  5 b) 2 a  b  3 c) 3a  2b  2; 4 d) 2 2a  b  0 Lời giải: f  x Đặt f  x 3 2
 x  ax  bx  2 . Vì lim
 1  f 1  0  b  a 1 2   x 1  x  3x  2 Khi đó f  x 3 2  x  a   3
x   x  x   ax  x   2 - ax 1 2 2 .
1  x  1 a x  2   f  x 2 x  1 a x  2 Suy ra lim  lim
 a  4  1  a  5 x 1   x   1  x  2 x 1  x  2
Vậy 3a  2b  3 2;4. Chọn C 2 x  2ax  b Ví dụ 11. Cho lim  6 . Tính S  a  b x 1  x 1 a) S  3 b) S  3 c) S  7  d) S  7 Lời giải: Ta có 2 1  2 .
a 1 b  0  2a  b  1  0 Phân tích 2
x  2ax  b   x  
1  x  b  2ax  bx  x   x   1  x  b 2 x  2ax  b  lim
 lim x  b  6  1 b  6  b  5   a  2  S  3  . Chọn A x 1  x 1 x 1  Trang 24 2 x  ax  b Ví dụ 12. Cho lim  14 . Tính 2 S  a  b x 1  x  2 a) S  124 b) S  586 c) S  76 d) S  564 Lời giải: Ta có 2 2  .
a 2  b  0  2a  b  4  0  b  bx  b  Phân tích 2
x  ax  b   x  2 x   ax 
 2x   x  2 x       a  2  2  2 x  ax  b  b  b  lim  lim x   2   14  b  2
 4  a  10  S  586   . Chọn B x 1  x2 x  2  2  2 2 2x  ax  b Ví dụ 13. Cho lim  5
 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 x 1  x  x a) 2 70  a  b  80 b) 2 80  a  b  90 c) 2 90  a  b  100 d) 2 a  b  70 Lời giải: Ta có 2 2.1  .
a 1  b  0  a  b  2  0 Phân tích 2
2x  ax  b  x  
1 2x  b  ax  bx  2x   x   1 2x  b 2 2x  ax  b 2x  b 2  lim  lim
 2  b  5  b  7  a  9  a  b  88 . Chọn B 2 x 1  x 1 x  x  x Trang 25 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Giới hạn  3 2
lim x  x  2 bằng x A. 0 B. -∞ C. +∞ D. 2 Câu 2. Cho  2 lim
9x  ax  3x   . Tính giá trị của a   2 x A. -6 B. 12 C. 6 D. -12 2017 x 1
Câu 3. Tính giới hạn lim x ta được kết quả là 2019 x x A. -∞ B. 1 C. -1 D. 0 1 x 1
Câu 4. Giá trị của giới hạn lim bằng x0 x 1 1 A.  B. C. +∞ D. 0 2 2 4 x 16 Câu 5. Tính lim 3 x2 8  x 1 A. -2 B. C. -∞ D. 0 3 Câu 6.  3 2
lim x  x  2 bằng x A. 0 B. -∞ C. +∞ D. 2 2 x  bx  c Câu 7. Biết lim  8  ,
b c   . Tính P  b  c x3 x  3 A. P  13 B. P  1  1 C. P  12 D. P  13
Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng +∞? 2 2x  x 1 3x  5 1 x x A. lim B. lim C. lim D. lim x x  1 x 1  2x 2 x 1  x  2x  1 x 0  x x 1 Câu 9. lim bằng x 1  x 1 1 A. 1 B. +∞ C. 0 D. 2 2 x  x  2 Câu 10. lim bằng 2 x2 x  4 3 3  A. 0 B. 1 C. D. 4 4 2 x 1 Câu 11. Tính lim x x  2 A. -∞ B. 0 C. -1 D. 1 Trang 26 2 x  3x  2 Câu 12. Giới hạn lim bằng x2 2x  4 1 1 3 A. +∞ B. C.  D. 2 2 2 Câu 13. Giới hạn  3 lim x  2x bằng x A. +∞ B. 1 C. -∞ D. -1 2 x 12x  35 Câu 14. Giới hạn lim bằng x5 x  5 2 A. +∞ B. C. -2 D. 5 5 x  2 Câu 15. Giới hạn lim bằng x 1  x 1 1 A.  B. -∞ C. +∞ D. 0 2 x  1 Câu 16. lim bằng x 1  x 1 A. +∞ B. 1 C. -∞ D. 0 Câu 17.    bằng   2 lim 4x 8x 1 2x x  A. -2 B. +∞ C.  D. 0 2 2 x  x  4x  1
Câu 18. Giá trị của giới hạn lim bằng x 2x  3 1 1 A. 0 B. -∞ C.  D. 2 2 x  1 5x  1 a Câu 19. Cho giới han lim
 (phân số tối giản). Giá trị của T  2a  b là x3 x  4x  3 b 1 9 A. T  B. T  1 C. T  10 D. T  8 8 2 x  ax 1 khi x  2
Câu 20. Tìm a để hàm số f  x  
có giới hạn tại x  2 2 2x  x 1 khi x  2 A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2  x 1 Câu 21. Kết quả của lim bằng x 1  x 1 2 1 A. +∞ B. -∞ C. D. 3 3 x  3 Câu 22. lim bằng x x  2 Trang 27 3  A. B. -3 C. -1 D. 1 2 3x 1 Câu 23. Tìm giới hạn lim x 1  2x 3 3 1 A. L   B. L  3 C. L  D. L   2 2 2 2 x  3x  2 a a Câu 24. Cho giới hạn lim
 trong đó là phân số tối giản. Tính 2 2 S  a  b 2 x2 x  4 b b A. S  20 B. S  17 C. S  10 D. S  25 2 2x  3x  1
Câu 25. Tính giới hạn L  lim 2 x 1  1  x 1 1 1 1 A. L  B. L   C. L   D. L  4 2 4 2 2 ax 1  bx  2 Câu 26. Cho biết lim
a, b   có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức 2 2 a  b 3   x 1  x  3x  2 bằng 45 9 A. 6  5 3 B. C. D. 87  48 3 16 4 2 x  3x  2
Câu 27. Tính giới hạn lim x 1  x 1 A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
Câu 28. Tìm giới hạn M       2 2 lim x 4x x x x  3 1 3 1 A. M   B. M  C. M  D. M   2 2 2 2 x 1 5x 1 a Câu 29. Giới hạn lim
bằng (phân số tối giản). Giá trị của a  b là (giống câu 35) x3 x  4x  3 b 1 9 A. B. C. 1 D. -1 9 8 2018 2 x 4x  1
Câu 30. Tính giới hạn lim x 2x  2019 1 1 1 1 A. 0 B. C. D. 2018 2 2019 2 2017 2
Câu 31. Trong bốn giới hạn sau, giới hạn nào bằng -∞? 3x  4 3  x  4 3x  4 3  x  4 A. lim  B. lim C. lim D. lim x x  2 x 2  x  2 x 2  x  2 x x  2 2 x  2x  3 Câu 32. Giới hạn lim bằng x 1  x  1 Trang 28 A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 2 x  3 Câu 33. Giá trị của lim bằng x x  3 A. -∞ B. -1 C. +∞ D. 1 x 1 Câu 34. Tính lim 2 x 1  x 1 1 1 A. 2 B.  C. D. 1 2 2 2 x 1 Câu 35. Giá trị lim bằng x 1  x  1 A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 2 x  3x  5 Câu 36. Tính lim 2 x 2  3x 1 1 2 A. B. +∞ C.  D.  2 3 3 2 x  x  2
Câu 37. Tính giới hạn lim 2 x2 x  4 3 3 A. 1 B. 0 C.  D. 4 4 2x  3 Câu 38. Tính lim x 2 x 1  x A. 0 B. -∞ C. -1 D. 1
Câu 39. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3
lim f  x  g  x  3 lim f  x  3 lim g  x x   0 x x 0 x x 0 x B. 3 f  x  g  x 3  f  x 3 lim lim  lim g  x x   0 x x 0 x x 0 x C. 3
lim f  x  g  x  3 lim  f  x  g  x   x  0 x x 0 x D.
3 f  x  g  x   3 f x 3 lim lim  g x x    0 x x 0 x
Câu 40. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả bằng 0? x 1 2 x  4 2x  5 A.   B. lim C. lim D. lim   2 lim x 1 x x  3 x 1  x 1 2 x 2  x  3x  2 x2 x  10 x 1
Câu 41. Cho hàm số f  x  . Chọn đáp án đúng. 2 x 1
A. lim f  x  1; lim f x  1 
B. lim f  x  lim f  x  1 x x x x Trang 29
C. lim f  x  lim f  x  1 D. lim f  x   ;  lim f x   x x x x 3 x 1 khi x  1
Câu 42. Cho hàm số f  x  
. Khi đó, lim f  x bằng 0 khi x  1 x 1  A. 1 B. 2 C. 0 D. Không tồn tại x  Câu 43. Cho f  x 2 
. Kết luận nào dưới đây đúng? 2x  4 1 1 A. lim f  x   B. lim f  x   C. lim f  x  D. lim f  x  x 2  x2 x2 2 x 2  2 2 4x  x 1  4 1 Câu 44. Để lim
 thì giá trị m thuộc tập hợp nào? x mx  2 2 A. 3; 6 B. 3; 0 C. 6;   3 D. 1;  3 2 4x  7x 12 2 Câu 45. Cho biết lim
 . Giá trị của a bằng x a x 17 3 A. -3 B. 3 C. 6 D. -6 3 x  1  x  5 Câu 46. Giới hạn lim bằng x3 x  3 1 1 1 A. 0 B. C. D. 2 3 6
Câu 47. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 3x  2 A. lim   B.         2 lim x x 1 x 2 x  x   1    x 1 3x  2 3 C. lim   D. lim x  x   x    x  2 1 2 x   1    x  1 2 2 x  x  2
Câu 48. Tính giới hạn L  lim 2 x1 3x  8x  5 3 1 A. L   B. L  C. L   D. L  0 2 2 2 x  3x  4 Câu 49. lim bằng x4 x  4 A. Không tồn tại B. 0 C. 5 D. 4 2
x  a  2 x  a 1 Câu 50. Tính lim 3 x 1  x 1 2  a 2   a a a A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 51. Biết rằng  2 lim
x  bx  1  x  , khi đó b bằng   2 x Trang 30 A. 2 B. 3 C. 4 D. -4 Câu 52. Biết    
 . Tính giá trị biểu thức T  a  4b   2 lim 4x 3x 1 ax b 0 x A. T  3 B. T  2  C. T  1  D. T  5 Câu 53. Cho giới hạn       . Tính P  . a b   2 2 lim ax x 1 x bx 2  1 x A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
Câu 54. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 c  a  18 và  2 lim
ax  bx  cx   . Tính giá trị biểu   2 x thức P  a  b  5c A. P  18 B. P  12 C. P  9 D. P  5 f  x 10 f x 10 Câu 55. Cho lim  5. Giới hạn lim bằng x 1  x 1 x 1
  x  1 4 f x  9  3 5 A. 10 B. 2 C. D. 1 3 2  x  ax  b  khi x  2 
Câu 56. Gọi a, b là các giá trị để hàm số f  x 2   x  4
có giới hạn hữu hạn khi x x 1 khi x  2 
dần tới -2. Tính 3a  b A. 24 B. 8 C. 12 D. 4 2 x  mx  n
Câu 57. Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn lim  3 thì m.n bằng x 1  x 1 A. -3 B. -1 C. 3 D. -2 x  1 5x  1 a Câu 58. Giới hạn lim
 , là phân số tối giản, a  0 . Giá trị của a  b là x3 x  4x  3 b 1 9 A. 1 B. C. -1 D. 9 8 2 1 ax  bx  2 Câu 59. Cho biết lim  c , với a, ,
b c   . Tập nghiệm của phương trình 3 1 x 4x  3x 1 2 4 2
ax  bx  c  0 trên  có số phần tử là A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 60. Trong các bộ số a,b là các số nguyên dương, 7 thỏa mãn lim x  ax  x  bx  
, tồn tại bộ số a,b hệ thức nào sau đây? x  2 3 3 2 9 27 5 27 A. a  2b  33 B. a  2b  34 C. a  2b  35 D. a  2b  36 Trang 31 2 5  5  x a Câu 61. Biết lim 
, trong đó a là số nguyên, b là số nguyên tố. Giá trị của biểu thức x0 2 x 16  4 b a  2b bằng A. 3 B. 8 C. 13 D. 14 f  x 1 3 f  x  7  2
Câu 62. Cho hàm số f  x thỏa mãn lim  2 , hãy tìm I  lim x2 x  2 2 x2 x  4 1 1 1 1 A.  B.  C. D. 24 8 24 8 2018 2017 x  x  ...  x  2018 Câu 63. Giá trị của lim bằng 2018 x 1  x 1 2019 2019 2018 A. 2018 B. C. D. 2018 2 2
1 x1 2x1 3x...1 2018x 1 Câu 64. Tính lim x0 x A. 2018.2019 B. 2019 C. 2018 D. 1009.2019 2  a x 3 Câu 65. Biết lim
  với a là tham số. Giá trị nhỏ nhất của 2 P  a  2a  4 là x 2 x  x 1 A. 4 B. 3 C. 5 D. 1 2 a 2x  3  2017 1
Câu 66. Cho số thực a thỏa mãn lim
 . Khi đó giá trị của a là x 2x  2018 2 2 2 1 1 A. a  B. a   C. a  D. a   2 2 2 2 2 4x  x 1  4 1
Câu 67. Giá trị của m để lim  thuộc tập hợp nào? x mx  2 2 A. m  3  ; 0 B. m 6;   3 C. m 1;  3 D. m 3; 6 3x  1 1 a a Câu 68. Biết lim
 , trong đó a, b là hai số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá x0 x b b trị biểu thức 2 2 P  a  b A. P  13 B. P  0 C. P  5 D. P  40  x  4  2  , x  0  Câu 69. Cho hàm số   x f x  
m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hàm số có 1 mx  m  , x  0  4 giới hạn tại x  0 21 1 A. m  1 B. m  0 C. m  D. m   2 2 Trang 32 2  x 1  voi x  1
Câu 70. Cho hàm số f  x   1 x . Khi đó lim f  x là  x 1   2x  2 voi x  1 A. +∞ B. -1 C. 0 D. 1  x   voi x 
Câu 71. Cho hàm số f  x 2 3 2 
. Tìm a để tồn tại lim f  x ax 1 voi x  2 x2 A. a  1 B. a  2 C. a  3 D. a  4 2 x  2x  3 voi x  3 
Câu 72. Cho hàm số f  x  1 
voi x  3 . Khẳng định nào dưới đây sai?  2 3  2x voi x  3  A. lim f  x  6
B. Không tồn tại lim f  x x 3  x3 C. lim f  x  6 D. lim f  x  1  5 x 3  x 3  2  a x  3 Câu 73. Biết rằng
có giới hạn là +∞ khi x   với a là tham số. Tính giá trị nhỏ nhất cuả 2 x 1  x biểu thức 2 P  a  2a  4 A. P  1 B. P  3 C. P  4 D. P  5 min min min min 2 4x  2x 1  2  x
Câu 74. Biết rằng L  lim
 0 là hữu hạn, với a, b là tham số. Khẳng định nào x 2 ax  3x  bx dưới đây đúng? 3 3 A. a  0 B. L   C. L  D. b  0 a  b b  a  a b   b a 
Câu 75. Biết rằng a  b  4 và lim   hữu hạn. Tính L  lim  3    x 1  1 x 1  x  3 x 1   1 x 1 x  A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 x
Câu 76. Giá trị của giới hạn lim  là   3 x 1 x  2 1 x 1 A. 3 B. +∞ C. 0 D. -∞ 2 ax  bx  5
Câu 77. Cho a, b là các số nguyên và lim  7 . Tính 2 2 a  b  a  b x 1  x 1 A. 18 B. 1 C. 15 D. 5
Câu 78. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn giới hạn I     hữu hạn. Tính I   2 lim ax bx 2x 2018 x  1 1 2 A. B. a  b C. D. a  b a a  b Trang 33 3 ax 1  1 bx
Câu 79. Biết rằng b  0, a  b  5 và lim
 2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x0 x A. 2 2 a  b  10 B. a  b  0 C. 1  a  3 D. 2 2 a  b  6
Câu 80. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để cho bất phương trình  2 2m  7m  3 3 2 x  x  m   1 x  2 
 đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số 2  m 0 2 x  2x  3 phần tử của S bằng A. 13 B. 19 C. 1 D. 5 Trang 34
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-B 3-C 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9-D 10-C 11-C 12-B 13-A 14-C 15-B 16-A 17-A 18-D 19-C 20-A 21-B 22-C 23-A 24-B 25-B 26-B 27-D 28-C 29-C 30-B 31-C 32-A 33-B 34-C 35-D 36-C 37-D 38-C 39-C 40-A 41-A 42-D 43-D 44-C 45-B 46-D 47-D 48-A 49-C 50-C 51-C 52-D 53-A 54-B 55-D 56-C 57-D 58-D 59-D 60-A 61-D 62-C 63-C 64-D 65-A 66-A 67-B 68-A 69-B 70-A 71-B 72-C 73-B 74-A 75-A 76-C 77-A 78-C 79-D 80-C Câu 1:  3 2
lim x  x  2   . Chọn B x 9x  ax  9x ax Câu 2: lim x  ax  x   x  9 3  2 2 2 lim lim x 2 x 2 9x  ax  3x 9x  ax  3x ax a a  lim  lim
   2  a  12 . Chọn B x x a  a 6  . x 9   3x  9   3 x x 2017 2019 2 x 1  x  x   1  Câu 3: lim x  lim     lim   1  1  . Chọn C 2019 2019    2017 x x x x x  x      1 x 1 1  x 1  1  1 Câu 4: lim  lim  lim      . Chọn A x0 x0 x  1 x   x0 1 .x  1 x  1 2 x 
 2x  4. 2x  4 x  2. 2 4 x  4 16  Câu 5: lim  lim  lim  2  Chọn A 3 x 8 x  x  2  x. 2 2 2 4  2x  2x  2 x2 x  2x  4 Câu 6:  3 2
lim x  x  2   . Chọn B x
Câu 7: Theo bài ra, ta có x  3 là nghiệm của phương trình: 2
x  bx  c  0  3b  c  9 2 2 x  bx  c x  bx  3b  9
x  3.x  3  b Do đó lim  lim  lim  b  6 x3 x3 x3 x  3 x  3 x  3
Suy ra b  6  8  b  2  c  9  3.2  15 . Vậy b  c  13. Chọn D 1 x x  2 1 1 Câu 8: lim  lim  lim   . Chọn C 2 x 1  x 1 x  2x 1  x  2 x 1 1  x  2 1 x 1 x 1 1 1 Câu 9: lim  lim  lim  . Chọn D x 1  x 1 x 1   x   1  x   x 1 1  x 1 2 Trang 35 2 x  x  2 x  2.x  1 x 1 3 Câu 10: lim  lim  lim  . Chọn C 2 x2 x2 x  4
x  2.x  2 x2 x  2 4 1 1  . x 1   1 2 2 2 x  1 Câu 11: lim  lim x  lim x  1  Chọn C x x  2 x x  2 x 2 1  x 2 x  3x  2 x  2.x   1 x 1 1 Câu 12: lim  lim  lim  . Chọn B x2 x2 2x  4 2. x  2 x2 2 2 Câu 13:  3
lim x  2x   . Chọn A x 2 x 12x  35 x  5.x  7 Câu 14: lim  lim  limx  7  2  . Chọn C x5 x5 x5 x  5 x  5 x  2 Câu 15: lim    . Chọn B x 1  x 1 x  1 Câu 16: lim   . Chọn A x 1  x 1 4x  8x 1  4x 8x 1 Câu 17: lim x  x   x   x  4 8 1 2  2 2 2 lim lim x 2 x 2 4x  8x 1  2x 4x  8x 1  2x 1 8  8x 1 x 8  lim  lim   2  . Chọn A x 8 1 x 8 1  4  2  . x 4    2x  4    2 2 2 x x x x 1 1 1 1  . x 1  . x 4   1  4  2 2 2 2 x  x  4x 1 x x x x 1 Câu 18: lim  lim  lim  . Chọn D x 2x  3 x 2x  3 x 3 2 2  x x  2 1  5x 1 2 x 1  5x  1 x  1 5x  1  x  3x x  4x  3  Câu 19: lim  lim  lim  .  2 2 x3 x3 x3 x  4x  3 x  4x  3 x  4x  3  x 1  5x 1  x  4x  3  . x  x  3 x  4x  3   x x  4x  3  9 = lim  .   lim  .   x3  x   1 . x  3 x3 x  1 5x  1 x 1   x  1 5x 1 8 
Vậy a  9; b  8  2a  b  2.9  8  10 . Chọn C
Câu 20: Ta có lim f  x  lim        2 x ax 1 2a 5 x2 x2
Lại có lim f  x  lim  2 2x  x         2 1 2.2 2 1 7 x2 x2
Theo bài ra, ta có 2a  5  7  a  1 . Chọn A Trang 36 2x 1 Câu 21: lim   . Chọn B x 21  x 1 3 1   x  3 x 1 Câu 22: lim  lim   1  Chọn C x x  2 x 2 1 1  x 1 3  3x 1 x 3 3 Câu 23: lim  lim    . Chọn A x 1  2 x x  1 2  2  2 x 2 x  3x  2 x   1 . x  2 x 1 1 Câu 24: lim  lim  lim  2 x2 x2 x  4
x  2.x  2 x2 x  2 4 Vậy 2 2 2 2
a  1; b  4  a  b  1  4  17 . Chọn B 2 2x  3x 1 2x  1.x  1 1 2x 1 Câu 25: lim  lim  lim   . Chọn B 2 x 1  x 1 1 x   x   1 . x   x 1 1  x 1 2 2 ax  1  bx  2
a  b 2x  4 .bx  3 Câu 26: lim  lim x 1  x  2 1 . x  2 x 1  x  2 1 . x  2. 2 ax 1  bx  2 2 a  b 4  b 3
Để tồn tại giới hạn → nhân tử  x  2 1 bị triệt tiêu    1 2 1 3 2   3  3 9 9 45 b   và 2 a  b  3    3     . Vậy 2 2 a  b    . Chọn B 2  2  4 16 4 16 2 x  3x  2 x  1.x  2 Câu 27: lim  lim
 lim x  2  1 2  1. Chọn D x 1  x 1  x 1 x 1 x 1  x  4x  x  x 3x Câu 28: lim x  x  x  x   x  4  2 2 2 2 lim lim x 2 2 x 2 2 x  4x  x  x x  4x  x  x 3  x 3  3  3  lim  lim   . Chọn C x 4 1 x 4 1 11 2  . x 1  . x 1  1  1 2 2 2 2 x x x x x  2 1  5x 1 2 x 1  5x  1 x  1 5x  1  x  3x x  4x  3  Câu 29: lim  lim  lim  .  2 2 x3 x3 x3 x  4x  3 x  4x  3 x  4x  3  x 1  5x 1  x  4x  3  . x  x  3 x  4x  3   x x  4x  3  9 = lim  .   lim  .   x3  x   1 . x  3 x3 x  1 5x  1 x 1   x  1 5x 1 8 
Vậy a  9; b  8  a  b  9  8  1. Chọn C Trang 37 1 1 2019 x . 4  4  2018 2 2 2 x 4x 1 x x 4 1 Câu 30: lim  lim  lim   . Chọn B x 2x  2019 1 x 2x  2019 2019 2019 2018 1 x  1  2 2 2     x  3x  4 Câu 31: Vì lim  3  x  4  2  nên lim   . Chọn C x 2  x 2  x  2 2 2 x  2x  3 1  2.1 3 Câu 32: lim   1. Chọn A x 1  x  1 1 1 3 3  . x 1  1 2 2 2 x  3 Câu 33: lim  lim x  lim x  1. CHọn B x x  3 x x  3 x 3 1  x x 1 x 1 1 1 Câu 34: lim  lim  lim  . Chọn C 2 x 1  x 1 x 1   x   1 . x   x 1 1  x  1 2 2 x 1 x   1  x   1 Câu 35: lim  lim  lim x   1  2  . Chọn D x 1  x1 x1 x 1 x 1 3 5   2 1 2 x  3x  5 x x 1  Câu 36: lim  lim  . Chọn C 2 x 2  3 x x  2 3  3 2 x 2 x  x  2 x  1x  2 x 1 3 Câu 37: lim  lim  lim  . Chọn D 2 x2 x2 x  4
x  2x  2 x2 x  2 4 3 3 2  2  2x  3 2 Câu 38: lim  lim x  lim x   1  . Chọn C x 2 x 2 x 1  x x 1 x 1 2  1  1 1 2 2 x x Câu 39: Chọn C 1 Câu 40: lim x   x   . Chọn A x  2 1  lim 0 x 2 x 1  x 1 1  x 1 x 1 Câu 41: lim    lim  lim  lim x f x  1 x x 2 x 1 x 1 x 1 . x 1 1  2 2 x x 1 1  x 1 x 1 Và lim    lim  lim  lim x f x  1  . Chọn A x x 2 x 1 x 1 x 1  . x 1  1 2 2 x x
Câu 42: Ta có lim f  x  lim 0  0; lim f  x  lim  3 x       1 2 x 1  x 1  x 1  x 1  Trang 38
Suy ra lim f  x  lim f x nên không tồn tại lim f  x. Chọn D x 1 x 1   x 1  x  2 1 1
Câu 43: lim f  x  lim  lim  . Chọn D x 2 x 2  x 2 2x 4     2 2 1 1 1 1 4         2 . x 4 4 4 2 2 4x  x 1  4 x x x x x 2 Câu 44: lim  lim  lim   x mx  2 x mx  2 x 2 m m  x 2 1 Do đó    m  4   6  ;   3 . Chọn C m 2 7 12 7 12  . x 4   4   2 2 2 4x  7x 12 x x x x 2 2 Câu 45: lim  lim  lim    a  3. Chọn B x a x 17 x  . a x 17 x 17 a 3 a  x 3 3 x  1  x  5 x  1  2 2  x  5 Câu 46: lim  lim  lim x3 x3 x3 x  3 x  3 x  3 x  1  2 1 1 1 * Xét lim  lim   x3 x3 x  3 x  1  2 3  1  2 4 3 2  x  5 1 1 * Xét lim  lim   x x  3 x  x    x  2 3 3 3 3 12 4 2 5 5 3 x  1  x  5 1 1 1 Vậy lim    . Chọn D x3 x  3 4 12 6 3x  2 3x  2 Câu 47: Ta có lim   ,  lim   x   1  x  1 x   1      x  1  1 1 2  Mặt khác lim x  x   x   x        x   . Chọn D x  2 1 2 lim 1 1 lim 2 2 x   x x x x    2 x  x  2 x   1  x  2 x  2 3 Câu 48: L  lim  lim  lim  lim . Chọn A 2 x1 x1 3x  8x  5
x  13x  5 x 1 x 1 3x  5  2 2 x  3x  4 x  4x   1 Câu 49: lim  lim  limx   1  5 . Chọn C x4 x4 x4 x  4 x  4 2 x  a  2 2 x  a 1 x  x  a   1 x  a 1 Câu 50: Ta có lim  lim 3 x x 1 x x  1 2 1 1 x  x   1 x  x   1  a   1  x   1
x  1x  a   1 x  a 1 a  lim    . Chọn C x x  1 lim lim 2 x  x   1 x  x   1  2 1 1 x  x   2 x 1 1  x  x  1 3 Trang 39 1  1 b bx b Câu 51: lim x x  bx   x    x  2 1  lim lim x 2 x  bx 1 x  x  b 1 2 1  1 2 x x b b Vây x  bx   x     b  . Chọn C x  2 lim 1  2 4 2 2 4x  3x  1 ax  b Câu 52: lim  4x 3x 1 ax b  2 2 2       lim x   x 2 4x  3x  1  ax  b   1 b   4 a  2 2 2 2 2 2 .x  3  2 4 . 3 2 . 1 ab a x ab x b       = lim  lim x  0 x 2 4x  3x  1 x  ax  b  3 1 b 4    a  2 x x x 2 4  a  0  a  2 a  2 Khi và chỉ khi        a  4b  5 3 2ab . Chọn D  0   3   2ab  0 4b  3  2  a 2 a 1 .x  1  b .x  3 Câu 53: lim
ax  x   x  bx   x  2 1 2      lim x 2 2
ax  x  1  x  bx  2 a   3 1 .x  1 b  a 1  0  a  1  lim x  1 khi  1 b    . a b  3 . Chọn A x 1 1 b 2  1 b    3  a    1   a 1 2 2 x x x x 2 2 2 a  c .x  bx a  c .x  b Câu 54: lim         2 ax bx cx     lim lim 2 x x 2 x ax  bx  cx  b a   c x 2 a  c  0 2  a  c Khi và chỉ khi  b  2    . Kết hợp với 2 c  a  18  b   2  a  2c  a  c Do đó 2 2
2c  18  c  9  a  9 và c  3 (vì c   a ) Vậy b  2  a  2c  2
 9  2.3  12 nên a  b  5c  9 12  5.3  12 . Chọn B f  x 10 Câu 55: lim
 5  f x 10  5.x   1  f  x  5x  5 x 1  x 1 f  x 10 5x  5 Do đó lim  lim  1. Chọn D x 1   x  
1  4 f x  9  3 x 1   x   1 . 20x  29  3
Câu 56: lim f  x  lim  x   1  1; x 2 x 2  
Do đó để tồn tại lim f  x thì lim f  x  lim f  x x2 x 2 x 2   Trang 40 2 x  ax  b Suy ra lim f x  lim
 1 nên x  2 là nghiệm của tử số   2 x 2  x 2  x  4 2  2       a   x ax 2a 4 2
. 2  b  0  b  2a  4  lim  2 x 2  x  4 x  2  a a  4  lim 
 1  a  8  b  12 . Vậy 3a  b  12 . Chọn C x 2  x  2 4  2 x  mx  n Câu 57: 2 lim
 3  x  mx  n  x   1  x  n x 1  x 1 2 x  mx  n x   1  x  n Khi đó lim  lim
 lim x  n  1 n  3  n  2 x 1  x 1  x 1 x 1 x 1  Suy ra 2
x  mx    x   x   2 2 1
2  x  x  2  m  1
Do đó mn  2 . Chọn D x  2 1  5x   1 2 x 1  5x  1 x 1  5x  1 x  3x x  4x  3 Câu 58: lim  lim  lim . 2 2 x3 x3 x3 x  4x  3 x  4x  3
x  4x  3 x 1 5x 1 x  4x  3 x  x  3 x  4x  3 x x  4x  3 9  lim  lim  . Chọn D
x3  x  3 x   x3 1 x 1 5x 1 x 1 x 1 5x 1 8 2 2 1 ax  bx  2 1  ax  bx  2 Câu 59: lim  lim 3 x 4x  3x 1 x 2x  2 1 1 1  x   1 2 2 2 2 2 ax  1 b x  4bx  4 1 Khi đó phương trình 2 1 ax  bx  2   0 có nghiệm kép x  2 1 ax  bx  2 2   2 1 a  b  2
x  4bx  3 có nghiệm kép x  2 2 2  2 1  b   b b 2 a  a          2 4b a b  3  3  a  b 2       
  4b  3a b  2 2 2 2 2 b     3a  0  b  4b 2 0 4b   b 4b     3  3 a  b  0 loai 2 2        1 ax bx 2 1 3x 3x 2  suy ra lim  lim b  3, a  3 3 3 1 1 x 4x  3x 1 x 4x  3x 1 2 2 2 2 1 3x  9x 12x  4 2 2 1 3x  3x  2 1  2x 12x  3  lim  lim 1 x 2x  2 1  x   1 1 x  2 1  3x  3x  2 2x 1 x  1 2 2  2  32x  2 1 3 1  lim  lim    c 1
x   x  x   x  2 x   1 2 x  2 2 1 3 3 2 2 1 1 1 3x  3x  2 x  1 2 2   Trang 41  3  3 2 x  1 Khi đó 4 2 4 2 6
ax  bx  c  0  3x  3x   0  
nên phương trình có 4 nghiệm. 2  3  3 2 x   6 Chọn D Câu 60: Ta có              2 3 3 2 x ax x bx   2 3 3 2 lim 9 27 5 lim 9x ax 3x 27x bx 5 3x x x    2 2 3 2 3  9x  ax  9x 27x  bx  5  27x  = lim    x 9x   ax  3x   3 2 27x  bx  5 2 2 3 3 3 2 2
 27x  bx  5  9x    2  ax bx  5  = lim    x 9x   ax  3x   3 2 27x  bx  5 2 2 3 3 3 2 2
 3x 27x  bx  5  9x     5  b   2 a x  a b 7  lim       2 x a 6     27 27 b 5 b 5 9 3     3 3   27     3 27    9  2  2 x c x c x      9  a 2b 14     2b  9a  14 54 54 54
Ta được các bộ số thỏa mãn là 16; 2, 25; 4...
Suy ra tồn tại bộ số a  2b  25  4.2  33 .Chọn A 2 5  5  x 2 2 2 5  5  x 5  5  x x 16  4 8 4 Câu 61: lim  lim  lim   2 x0 2 x0 x0 2 x  16  4 x  16 16 5  5  x 2 5 5 2 x 16  4 a  4 Do đó 
 a  2b  14 . Chọn D b   5 f x 1 Câu 62: Do lim
 2  f x 1  Ax. x  2 x2 x  2
Suy ra f 2 1  0  f 2  1 f  x  7  8 3 f  x  7  2  f x  72 3 3  2 f x  7  4 Ta có: I  lim  2 x2 x  4 x  2x  2 Trang 42 f x 1 1 1 1  lim. .  2.  . Chọn C x x  2
  f x  7  2 f x  7  4x  2  2 2 2 2 2  2.2  2 2  2 24 3 3        2018 x   1   2017 2018 2017 x   1  ...   x x x x      1 ... 2018 Câu 63: I  lim  lim 2018 2018 x 1  x 1 x 1  x 1 n   x  x   1  n 1 n 2 x  x  ...   n 1  n2 1 1 x  x  ... 1 n Xét lim  lim  lim  2018 x x 1 x x   1  2017 2016 1 1 x  x  ...   2017 2016 x 1 1  x  x  ... 1 2018 2019.2018 2018  2017  ... 1 2019 Do đó 2 I    . Chọn C 2018 2018 2
1 x1 2x1 3x...1 2018x 1 Câu 64: lim x0 x 1
  1 x  1 x  1 x1 2x  1 x1 2x  1 x1 2x1 3x...  lim x0 x 
1 x.2x 1 x1 2x.3x
1 x1 2x...2018x   lim 1   ...  x0 x x x  
 lim1 21 x  31 x1 2x  ...20181 x1 2x...1 2017 x x0 2018.2019
 1 2  3  ...  2018   1009.2019 . Chọn D 2 2  a x  3 2  a x 3 Câu 65: I  lim  lim . x  x    a  x   x   x   x x  2 1 lim  2 3 x  2 1 2 2 2    x  x 1 x x 1
Để I   thì a  2  0  a  2 do đó 2 P
 2  2.2  4  4 . Chọn A min 2 2x  3 2017 3 2017 a  a 2   2 2 a 2x  3  2017 x x x x a 2 Câu 66: lim  lim  lim  x 2x  2018 x 2018 x 2018 2 2  2  x x 2 a 2x  3  2017 1 a 2 1 1 Do đó lim     a  . Chọn A x 2x  2018 2 2 2 2 2 4x  x 1  4 1 1 4  4    2 2 4x  x  1  4 x x x x 2  1 Câu 67: lim  lim  lim   x mx  2 x 2 x 2 m 2 m  m  x x  m  4 . Chọn B 3x 1 1 3x 1 1 3x 3 3 Câu 68: lim  lim  lim  lim  x0 x0 x x  3x 1   x0 1 x  3x 1   x0 1 3x 1 1 2
Khi đó a  3, b  2  P  13 . Chọn A Trang 43 1
Câu 69: Ta có lim f  x  f 0  m  x 0  4 x  4  2 x  4  4 x 1 1
Lại có lim f  x  lim  lim  lim  lim  x0 x0 x0 x
 x x  4  2 x0 x x  4  2 x0 x  4  2 4 1 1
Để hàm số có giới hạn tại x  0 thì m    m  0 . Chọn B 4 4 2 x  1
Câu 70: lim f  x  lim   . Chọn A x 1 x 1   1 x
Câu 71: lim f  x  f 2  3 x 2 
Mặt khác lim f  x  lim ax   1  2a 1 x 2 x 2  
Để tồn tại lim f  x thì 3  2a 1  a  2. Chọn B x2
Câu 72: lim f  x  lim  2
x  2x  3  6, lim f x  lim  2 3  2x        15 x3 x3 x3 x3
Do lim f  x  lim f  x nên không tồn tại lim f  x x 3 x 3   x3
Khẳng định sai là C. Chọn C      2  a x 3    2 x 1 2 3  x a x  Câu 73: lim  lim
 lim 2  a x  3 x   x  x x x  2 1 2 2 2    x  1 1  x x x  3  1  2  lim x 2  a    1 1  lim 2  a 2
.2x    2  a  0  a  2  2 x  x  x  x   
Khi đó P  a  a   a  2 2 2 4 1  3  3
Dấu bằng xảy ra  a  1 . Chọn B 2 4x  2x 1 2 2  1 4x  2x 1  2  x Câu 74:  lim  lim x x L x 2 x 2 ax  3x  bx ax  3x b x 2 1 2  4    1 2 x x x 3 3  lim  
 0  a  b (trong đó a  0). Chọn A x 3  a  b a  b  a   b x a    2 1  x  x   b a b Câu 75: lim   lim  3  x  1  x 1 x  x   1 x 2 1 1 1 x  x   a b  Vì lim   f   x  a 2
1 x  x  b có nghiệm x  1 3  x 1  1  x 1  x  Trang 44 a  1 Khi đó f  
1  3a  b  0 , kết hợp a  b  4   b   3 3       2 1 3 1  x  x b a  Suy ra L  lim   lim   lim  3   3  x  1 x 1 x  x   1 x 1 x  x   1 x 2 1 1 1 1 x  x  2 2  x  x 1 x2  x 2  x  lim    . Chọn A x 1 x lim lim 1 2
1 x  x  x 1 x 2 1 1 1 x  x  2 x 1  1  x  x x x Câu 76: lim        3 x 1 lim  x  1   2x x 1 2  x  1 x 1 x  1 x  1x  1 2 x x  x x   lim       . Chọn C   1 1 2 x x    1 lim   2 x x    1 0 x  1 x  1x   1 x  1 x 1 2 ax  bx  5 Câu 77: Do 2 lim
 7  ax  bx  5  a x   1  x  x  2  ax  a 1 x x  ax 0  0  0 x 1  x 1 Do đó ax  5 0 2 ax  bx  5 Khi đó lim
 7  lim a x  x  a 1 x  7  a  5  7  a  2 0   0  x 1  x 1 x 1  5
Với a  2  x    b  a 1 x  3 0  0  2 Do đó 2 2
a  b  a  b  18 . Chọn A a x  bx  2x  2018
Câu 78: I  lim ax  bx  x   x  2 2018  2 2 2 2 lim x 2 ax  bx  2x  2018 a b x x  2 2018 2 2 2 a  b x  2 2 2018      lim  lim x x 2 2 ax  bx  2x  2018 x 2 2 2018 a  b   2 x x 2 2 1 Để I hữu hạn thì 2 a  b khi đó I    . Chọn C 2  a  a a a a 3 3 ax  1  1  bx ax  1 1 1 1  bx Câu 79: lim  lim x0 x0 x x  ax  1 1    3  ax 2 3 1 ax 1 1       11  bx  a b lim lim         x0 x  1 1bx x0 x     3  ax  2 3 1 1 1  ax  1  1 bx       a b a  3
   2 , mặt khác a  b  5   . Chọn D 3 2 b   2 Trang 45  2 2m  7m  3 3 2 x  x  m   1 x  2 Câu 80: Đặt f  x   2  m 2 x  2x  3 Ta có: y   2 lim lim 2m  7m  3 x x x  Nếu 2
2m  7m  3  0 thì lim y   khi đó điều kiện bài toán không thỏa mãn x Nếu 2
2m  7m  3  0 thì lim y   khi đó điều kiện bài toán không thỏa mãn x  2 2m  7m  3 3 2 x  x  m   1 x  2
Vậy điều kiện cần để 
 đúng với mọi x thuộc tập xác định là 2  m 0 2 x  2x  3 m  3 2 2m 7m 3 0      1 m   2 Điều kiện đủ: 2 2 x  2x  2 x 1 1 * Với m  3  f  x      0 x    2
x  2x  3 x  2 1  2 1 2 x  x  2 1 * Với     x m f x 
không thỏa mãn f  x  0  x   2 3 2 x  2x  3 2
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m là m  3 . Chọn C Trang 46