Tài liệu chủ đề hai đường thẳng vuông góc

Tài liệu gồm 25 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề hai đường thẳng vuông góc

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

25 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Góc giữa hai vectơ
a
và
b
khác
0
được định nghĩa bằng góc
AOB
với
OA a
;
OB b
.
Nếu
a
hoặc
b
bằng
0
ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá
trị tùy ý.
Tích vô hướng của hai vectơ
a
và
b
là một số, được ký hiệu
.
a b
và
được xác định bởi
. . cos ;
a b a b a b
từ đó suy ra cosin góc giữa hai
vectơ
a
và
b
là
.
cos ;
.
a b
a b
a b
Đặc biệt khi
cos ; 0 . 0
a b a b a b
.
Tính chất của tích vô hướng:
Cho 3 vectơ
a
;
b
;
c
và số thực
k
. Khi đó ta có:
i)
. .
a b b a
. ii)
. .
a b c a b a c
.
iii)
. . .
ka b k a b a kb
. iv)
2
2
a a
.
2) Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Định nghĩa:
Trong không gian cho 2 đường thẳng
a
,
b
bất kỳ. Từ một điểm
O
nào đó ta vẽ 2 đường thẳng
a
,
b
lần lượt song song với
a
và
b
. Ta nhận thấy rằng khi điểm
O
thay đổi thì góc giữa 2 đường
thẳng
a
và
b
không thay đổi.
Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng
a
và
b
trong không gian là
góc giữa 2 đường thẳng
a
và
b
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với
a
và
b
.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:
Để xác định góc giữa 2 đường thẳng
a
và
b
ta có thể lấy điểm
O
thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi
vẽ một đường thẳng qua
O
và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu
u
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
a
và
v
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
b
và
;u v
thì góc giữa 2 đường thẳng
a
và
b
bằng
nếu
0 90
và bằng 180
nếu
90 180
.
Nếu 2 đường thẳng
a
và
b
song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng
0
.
Trang 2
Góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo
0 180
.
Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng:
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta cần nhớ các công thức sau:
– Định lý hàm số cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
cos
2. .
AB AC BC
BAC
AB AC
Tương tự ta có:
2 2 2
cos
2. .
BA BC AC
ABC
BA BC
và
2 2 2
cos
2. .
CA CB AB
ACB
CA CB
.
Chú ý công thức đặc biệt:
2 2 2
1
. . cos
2
AB AC AB AC BAC AB AC BC
.
– Tính góc giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
ta tính góc giữa hai vectơ
AB
và
CD
dựa vào công thức
.
cos ;
.
AB CD
AB CD
AB CD
.
cos ;
.
AB CD
AB CD
AB CD
Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
.
3) Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng
90
.
Ký hiệu:
a b
hoặc
b a
Mối quan hệ giữa quan hệ song song và vuông góc:
//a b
c b
c a

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
,
SA ABC
và
3
SA a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm
AB
và
SC
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AN
và
CM
.
Lời giải:
Cách 1: Dựng hình bình hành
AMCE
suy ra
2
a
AM CE
.
Khi đó
// ; ;AE CM AN CM AN AE
.
Mặt khác
2 2
2
SC SA AC a
độ dài đường trung tuyến
AN
là
2
SC
AN a
.
3
2
a
AE CM
.
Do
ABC
đều nên
CM AM
AMCE
là hình chữ nhật.
Khi đó
CE AE
mà
CE SA
CE SAE CE SE
.
SEC
vuông tại
E
có đường trung tuyến
1
2
EN SC a
.
Ta có:
2 2 2
3
cos 0
2. . 4
AN AE NE
NAE
AN AE
3
cos
4
.
Trang 3
Cách 2: Ta có:
1 1
;
2 2
AN AS AC CM AM AC AB AC

.
Khi đó
2
1 1 1 1
. AS .
2 2 4 2
AN CM AC AB AC AB AC AC
2 2
2
1 3
cos60
4 2 8
a a
a
.
Lại có
2
3
8
3 3
; os =
2 2 4
3
.
2
a
SC a
AN a CM c
a
a
.
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ
để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!
Ví dụ 2. Cho hình chóp .
S ABC
có
; 2
SA SB SC AB a AC a
và
3
BC a
. Tính cosin góc
giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
.
Lời giải:
Cách 1: Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm
,
SA SB
và
AC
.
Khi đó
//
//
MP SC
MN AB
; ;
SC AB MP MN
.
Ta có ;
2 2 2 2
AB a SC a
MN MP
.
Mặt khác
SAC
vuông tại
2
2 2
AC a
S SP
.
2 2 2
2 2
3 6
2 4 2 2
BA BC AC a
BP a BP
.
Suy ra
2 2 2
2 2
3 3
2 4 4 2
PS PB SB a
PN a NP
.
Khi đó
2 2 2
1
cos
2. . 2
MN MP NP
NMP
MN MP
120 ; 60
NMP SC AB
.
Cách 2: Ta có:
. . . .
AB SB SA AB SC SB SA SC SB SC SA SC
2
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2
a
SB SC AC SA SC AB
.
Suy ra
2
2
1
cos ; ; 60
. 2
a
SC AB SC AB
a a
.
Ví dụ 3. Cho tứ diện
ABCD
có
1 2 1 2 1 2
, ; , , ,
AB x CD x AC y BD y BC z AD z
. Tính góc giữa hai
đường thẳng
BC
và
AD
.
Lời giải:
Ta có
. . .
BC DA BC DC CA CB CD CB CA
Trang 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
CB CD BD CB CA AB AB CD BD CA
Khi đó
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
.
cos ;
. 2
BC DA
x x y y
BC DA
BC DA z z

.
Đặc biệt: Nếu
;
AB CD x AC BD y
và
BC AD z
ta đặt
;
;
;
BC AD
AB CD
AC BD
thì ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
cos = ; cos = ; cos =
x y y z z x
z x y
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
2
a
,
SA ABCD
và
5
SB a
.
Gọi
M
là trung điểm
AB
và
N
là trung điểm
BC
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
SM
và
DN
.
Lời giải:
Cách 1: Do
SA ABCD
.
Ta có:
2 2
SA SB AB a
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
và
I
là trung
điểm
AE
. Dễ thấy
BNDE
là hình bình hành và
MI
là đường trung bình
trong tam giác
ABE
. Khi đó
// //
DN BE MI
.
Ta có:
;
2 2
AE a
AM a AI
.
Mặt khác:
2
2 2 2 2 2
5
2 ;
4
a
SM SA AM a SI
.
2
2 2 2
5
4
a
MI AI AM
. Do vậy
2 2 2
10
cos cos ;
2. . 5
SM MI SI
SMI SM DN
SM MI
Cách 2: Ta có:
. . .
SM DN SM SN SD SM SN SM SD
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
SM SN MN SM SD MD
Mặt khác:
2 2 2 2 2 2 2
6
SN SA AN SA AB BN a
,
2
2
AC
MN a
,
2 2 2 2
5 , 5
SD a MD a
.
Do đó
2
2
2
2
2 10
. 2 cos ;
. 5
2. 5
a
a
SM DN a SM DN
SM DN
a a
.
Ví dụ 5. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
; 2
AB a AD a
,
SA ABCD
và
2
SA a
.
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
BC
và
SD
.
b) Gọi
I
là trung điểm của
CD
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
SB
và
AI
.
Trang 5
Lời giải:
a) Do
// ; ;
BC AD SD BC SD AD SDA
SAD
vuông tại
A
2 2
1
cos
3
AD AD
SDA
SD
AD SA
.
b) Gọi
,
M K
lần lượt là trung điểm của
AB
và
SA
thì
MK
là đường trung
bình của tam giác
SAB
. Khi đó
//
MK SB
, mặt khác
//
MC AI
.
Suy ra
; ;
SB AI MK CM
.
Ta có:
2 2
2 2
5 3
;
2 2 2 2
SB SA AB a a
MK MC MB BC
;
2 2
2
KC KA AC a
.
Khi đó
2 2 2
1 1
cos cos ;
2. .
3 5 3 5
KM MC KC
KMC SB AI
KM MC
.
Cách 2: Ta có:
. . .
SB AI SB SI SA SB SI SB SA
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
SB SI BI SB SA AB
Do
2
2 2 2 2 2 2 2 2
25 3
5 ; ;
4 2
a a
SB a SI SA AD DI AI AD DI IB
.
Suy ra
2
2
.
1
2
. os ;
3
2 .
3 5
5.
2
a
SB AI
a
SB AI c SB AI
a
SB AI
a
.
Ví dụ 6. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
60
ABC
. Tam giác
SAB
cân tại
S
và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng
SC
tạo với đáy một góc
30
. Tính cosin của góc giữa
a)
SD
và
BC
.
b)
DH
và
SC
, với
H
là chân đường cao hạ từ
S
xuống mặt đáy
ABCD
.
Lời giải:
a) Do
, 60
AB BC a ABC ABC
đều cạnh
a
.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
, do tam giác
SAB
tại
S
nên
SH AB
.
Mặt khác
SAB ABCD
SH ABC
AB SAB ABCD
.
ABC
đều nên
3
, ; 30
2
a
CH SC ABC SCH
Ta có:
SH HC
tan 30
2
a
.
Trang 6
Do
2 2
7
60 120 2 . cos120
2
a
ABC BAD HD AH AD AH AD
.
Suy ra
2 2 2 2
2
, 2
2
a
SA SH HA SD SH HD a
.
Mặt khác
//
AD BC
2 2 2
5 2
; ; ,cos
2. . 8
DS DA SA
BC SD AD SD SDA
DS DA
.
Do vậy
5 2
cos ;
8
BC SD
.
b) Ta có
. . .
SC DH SC SH SD SC SH SC SD

2
2 2 2 2 2 2
1 1 3
2 2 4
a
SH SC HC SC SD CD
Mặt khác
2
2 2
3
.
3 7
4
cos ;
. 14
7
.
2
a
SC DH
SC SH HC a SC DH
SC DH
a
a

Cách 2: Gọi
I
là trung điểm
CD
/ /
7
2
DH BI
a
DH BI
Gọi
M
là trung điểm
SD
/ /
2 2
MI SC
SC a
MI
. Lại có
2 2
2
3;
2
a
BD a SB SH HB .
Do đó
2 2 2
2 2
5
2 4 4
BD BS SD
BM a
2 2 2
3 17
cos
2. . 14
MI IB MB
MIB
IM IB
.
Suy ra
3 17
cos ;
14
DH SC
.
Ví dụ 7. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
có
2
AD AB
2 2
CD a
và
SA ABCD
. Biết rằng
SC
tạo với đáy một góc
60
. Tính cosin góc giữa:
a)
BC
và
SD
.
b)
AI
và
SD
với
I
là trung điểm
CD
.
Lời giải:
a) Ta có:
2 2
2
AC AB BC a
.
Do
SA ABCD
; 60
SC ABC SCA
.
Khi đó
tan 60 6
SA AC a
.
Do
/ / ; ;
AD BC BC SD AD SD
.
Trang 7
Mặt khác
2 2
cos
AD AD
ADS
SD
SA AD
2 2
2 10
cos ;
5
6 4
a
BC SD
a a
.
b) Gọi
E
là trung điểm
AD
AE DE BC a ABCE
là hình vuông cạnh
a
.
Do
1
2
CE AD ACD
vuông tại
C
.
Ta có:
2 2
2
2
2
a
CD CE ED a ID
.
Lại có:
. . . .
AI SD SI SA SD SI SD SA SD
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
SI SD DI SA SD AD
Trong đó
2 2
2 2 2 2 2 2
5 17
2 2
a a
AI AC CI SI SA AI
.
Do đó
2 2
2
3 3 3
. 3 cos ;
. 5
10
. 10
2
a a
AI SD a AI SD
AI SD
a
a
.
Cách 2: Gọi
M
là trung điểm
SC
/ /
10
2 2
MI SD
SD a
MI
,
10
, 2
2 2
a SC
AI AM a
.
Khi đó
2 2 2
3
cos
2. . 5
IA IM AM
MIA
IA IM
.
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ .
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, hình chiếu của điểm
A
xuống
mặt đáy
ABC
trùng với trung điểm của
BC
. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc
60
.
a) Tính tan góc tạo bởi
B C
và
A C
.
b) Cosin góc tạo bởi
CC
và
AB
.
Lời giải
a) Gọi
H
là trung điểm
BC
.
Ta có:
/ / ; ;
BC B C B C A C BC A C A CH
.
Mặt khác
; 60
A H ABC AA ABC A AH
.
3 3
tan 60
2 2
a a
AH A H AH
.
Xét tam giác vuông
A HC
ta có
tan 3
A H
A CH
HC
.
Vậy tan
; 3
B C A C
.
b) Do
/ / ; ;
CC AA CC AB AA AB
Trang 8
Ta có:
2 2
3
A A A H HA a
2 2 2
2 2
10 3
cos
2 2. . 4
a AA AB A B
A B A H HB A AB
AA AB
.
Vậy
3
cos ;
4
CC AB
.
Ví dụ 9. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với mặt phẳng
BCD
. Biết tam
giác
BCD
vuông tại
C
và
6
, 2,
2
a
AB AC a CD a
. Gọi
E
là trung điểm
của
AC
(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng
AB
và
DE
bằng
A.
45
B.
60
C.
30
D.
90
Lời giải
Gọi
H
là trung điểm của
BC
khi đó
/ /
EH AB EH BCD EH HD
.
Suy ra
; ;
AB DE EH DE
Ta có:
2 2
6 2
,
2 4 2
AB a a
HE BC AC AB
2 2
3 2
4
a
DH DC CH
tan 3 60
DH
DEH DEH
EH
.
Vậy
; ; 60
AB DE EH DE DEH
. Chọn B.
Ví dụ 10. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với mặt phẳng
BCD
.
Biết tam giác
BCD
vuông tại
C
và
6
, 2,
2
a
AB AC a CD a
. Gọi
E
là trung điểm của
AC
(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng
AB
và
CE
bằng
A.
60
B.
45
C.
30
D.
90
Lời giải
Gọi
H
là trung điểm
BD
/ /
EH AB EH BCD
Vậy
EH CH
, ta có
2 2
2
2
a
BC AC AB
Trang 9
Suy ra
2 2
6 6
2 2 4
a BD a
BD BC CD CH
Lại có
6
2 4
AB a
EH CH EHC
vuông cân tại
H
Do đó
; ; 45
AB CE EH CE CEH
. Chọn B.
Ví dụ 11. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
, ,
AB BC C D
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
MN
và
AP
.
A.
60
B.
90
C.
30
D.
45
Lời giải
Dễ thấy
MN
là đường trung bình trong tam giác
ABC
nên
/ / ; ;
MN AC MN AP AC AP
.
Lại có
2 2
5
2,
2
a
AC a CP CC C P
2 2 2 2 2
3
2
a
AP A P AA A D D P AA
Do đó
2 2 2
2
cos
2. . 2
AP AC CP
CAP
AP AC
45 ;
CAP MN CP
. Chọn D.
Ví dụ 12. Cho hình chóp .
S ABC
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của
,
SA BC
. Tính số đo của góc hợp bởi
IJ
và
SB
.
A.
45
B.
30
C.
60
D.
90
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm
AB
thì
,
MI MJ
lần lượt là đường trung bình của tam giác
ASB
và
ABC
.
Ta có:
2
a
MI MJ
Mặt khác
3
2
a
JA JS
tam giác
JSA
cân tại
J JI SA
Khi đó
2 2 2 2 2
2
2
a
IJ SJ SI MI MJ IJ
nên tam giác
MIJ
vuông
cân tại
M
; ; 45
IJ SB IJ IM
. Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
đáy
ABCD
là hình vuông,
E
là điểm đối xứng với
D
qua trung điểm
SA
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AE
và
BC
. Góc giữa hai đường thẳng
MN
và
BD
bằng
Trang 10
A.
90
B.
60
C.
45
D.
75
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm
SA
thì
MICN
là hình bình hành nên
/ /
MN CI
Mặt khác
BD AC
BD SO
(với
O
là tâm của hình vuông
ABCD
)
Suy ra
BD SAC
BD CI BD MN
Vậy
; 90
MN BD
. Chọn A.
Ví dụ 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
AB a
và
2
AA a
. Góc giữa hai đường
thẳng
AB
và
BC
bằng
A.
30
B.
90
C.
45
D.
60
Lời giải
Gọi
E
là điểm thuộc
A B
sao cho
B A B E
Ta có
ABEB
là hình bình hành nên
/ /
AB BE
Lại có
1
2 ,
2
A E a B C A E EA C
vuông tại
C
Khi đó
2 2
3, 3
C E A E A C a BE AB a
2 2
3
BC BB C B a BEC
là tam giác đều.
Do đó
; ; 60
AB BC BE BC EBC
. Chọn D.
Ví dụ 15. Cho tứ diện
ABCD
có
6, 3
AB CD
, góc giữa
AB
và
CD
là
60
và điểm
M
trên
BC
sao
cho 2
BM MC
. Mặt phẳng
P
qua
M
song song với
AB
và
CD
cắt
, ,
AC AD BD
lần lượt tại
, ,
N P Q
. Diện tích
MNPQ
bằng
A.
2 2
B.
3
C.
2 3
D.
3
2
Lời giải
Do
/ /
MN AB
, theo định lý Talet ta có
1
3
MN CM
AB CB
2
3
AB
MN
Tương tự
2 2
/ / 2
3 3
MQ BM
MQ CD MQ CD
CD BC
Lại có
/ /
MN AB
,
/ / ; ; 60
MQ CD MN MQ AB CD
Khi đó
2 . sin ;
MNPQ MNQ
S S MN MQ MN MQ
2.2.sin 60 2 3
. Chọn C.
Trang 11
Ví dụ 16. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với
CD
,
4, 6
AB CD
.
M
là điểm thuộc cạnh
BC
sao cho 2
MC BM
. Mặt phẳng
P
qua
M
song song với
AB
và
CD
. Diện tích thiết diện của
P
với tứ diện là
A. 5 B. 6 C.
17
3
D.
16
3
Lời giải
Mặt phẳng
P
qua
M
song song với
AB
và
CD
cắt
, ,
AC AD BD
lần lượt tại
, ,
N P Q
.
Do
/ /
MN AB
, theo định lý Talet ta có
2
3
MN CM
AB CB
2 8
3 3
AB
MN
Tương tự
1 1
/ / 2
3 3
MQ BM
MQ CD MQ CD
CD BC
Lại có
/ /
MN AB
,
/ / ; ; 90
MQ CD MN MQ AB CD
Khi đó
2 . sin ;
MNPQ MNQ
S S MN MQ MN MQ
8 16
.2.sin 90
3 3
. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với
đường thẳng còn lại.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường
thẳng kia.
Câu 2. Trong không gian cho 3 đường thẳng phân biệt
, ,
a b c
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu
/ /
a b
và
c a
thì
c b
B. Nếu góc giữa
a
và
c
bằng góc giữa
b
và
c
thì
/ /
a b
C. Nếu
a
và
b
cùng vuông góc với
c
thì
/ /
a b
D. Nếu
a
và
b
cùng nằm trong mặt phẳng
/ /
c
thì góc giữa
a
và
c
bằng góc giữa
b
và
c
Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt
,
a b
và mặt phẳng
P
, trong đó
a P
. Mệnh đề nào sau đây là
sai?
Trang 12
A. Nếu
b P
thì
/ /
b a
B. Nếu
b P
thì
b a
C. Nếu
/ /
b a
thì
b P
D. Nếu
b a
thì
/ /
b P
Câu 4. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Gọi
M
là trung điểm
BC
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
,
AB DM
.
A.
3
2
B.
3
6
C.
3
3
D.
1
2
Câu 5. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
. Góc giữa hai đường thẳng
,
BA CD
bằng
A.
90
B.
60
C.
30
D.
45
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có
,
AB a O
là trung điểm
AC
và
SO b
. Gọi
là
đường thẳng đi qua
,
C
chứa trong mặt phẳng
ABCD
và khoảng cách từ
O
đến
là
14
6
a
. Giá
trị lượng giác
cos ,SA
bằng
A.
2 2
2
3 4 2
a
b a
B.
2 2
2 4
a
b a
C.
2 2
2
3 2 4
a
b a
D.
2 2
3 4 2
a
b a
Câu 7. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy. Đường thẳng
SD
tạo với mặt phẳng
SAB
một góc
45
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
CD
. Góc
giữa hai đường thẳng
BI
và
SD
bằng (số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị)
A.
39
B.
42
C.
51
D.
48
Câu 8. Cho hình chóp .
S ABCD
đều có
SA AB a
. Góc giữa
SA
và
CD
là
A.
60
B.
30
C.
90
D.
45
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC DEF
có cạnh bằng
a
, chiều cao bằng
2
a
. Tính cosin góc tạo bởi
hai đường thẳng
,
AC BF
A.
5
10
B.
3
5
C.
5
5
D.
3
10
Câu 10. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
(tham khảo hình vẽ). Góc
giữa hai đường thẳng
AC
và
BD
là
A.
30
B.
90
C.
60
Trang 13
D.
45
Câu 11. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
(tham khảo hình vẽ). Góc giữa
hai đường thẳng
AC
và
A D
là
A.
45
B.
30
C.
60
D.
90
Câu 12. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là
trung điểm của các cạnh
, ,
AB AD C D
. Cosin của góc giữa hai đường thẳng
,
MN CP
bằng
A. .
10
5
B.
15
5
C.
1
10
D.
3
10
Câu 13. Cho hình hộp .
ABCD A B C D
. Giả sử tam giác
AB C
và
A DC
đều có 3 góc nhọn. Góc giữa
hai đường thẳng
AC
và
A D
là góc nào sau đây?
A.
AB C
B.
DA C
C.
BB D
D.
BDB
Câu 14. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa
AC
và
B D
bằng
90
B. Góc giữa
AA
và
B D
bằng
60
C. Góc giữa
AD
và
B C
bằng
90
D. Góc giữa
BD
và
A C
bằng
90
Câu 15. Cho hình lập phương
.
ABCD EFGH
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
AB
và
DH

?
A.
45
B.
90
C.
60
D.
120
Câu 16. Cho hình lập phương
.
ABCD EFGH
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
AB
và
EG
?
A.
90
B.
60
C.
45
D.
120
Câu 17. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
.Góc giữa
AC
và
DA
là
A.
45
B.
90
C.
60
D.
120
Câu 18. Cho tứ diện
ABCD
có
AB AC AD
và
60
BAC BAD
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
AB
và
CD

?
A.
60
B.
45
C.
120
D.
90
Câu 19. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB SC
và
ASB BSC CSA
,
60
BAC BAD
. Hãy xác
định góc giữa cặp vectơ
AB

và
SC
?
A.
120
B.
45
C.
60
D.
90
Trang 14
Câu 20. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB
và
CA CB
. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo
nhau
SC
và
AB
.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 21. Cho hình chóp
.
S ABC
có
AB AC
và
SAC SAB
. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng
chéo nhau
SA
và
BC
.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 22. Cho tứ diện
ABCD
có
AB AC AD
và
60
BAC BAD
,
90
CAD
. Gọi
I
và
J
lần lượt
là trung điểm của
AB
và
CD
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
AB

và
IJ
?
A.
120
B.
90
C.
45
D.
45
Câu 23. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
và các cạnh bên đều bằng
a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm
AD
và
SD
. Số đo của góc
,
MN SC
bằng
A.
45
B.
30
C.
90
D.
60
Câu 24. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
. Cạnh bên
SA ABCD
,
SA a
. Góc giữa hai đường thẳng
,
SB CD
bằng
A.
90
B.
60
C.
30
D.
45
Câu 25. Cho hình chóp đều
.
S ABC
có
9 , 6
SA a AB a
. Gọi
M
là điểm thuộc cạnh
SC
sao cho
1
2
SM MC
. Cosin của góc giữa hai đường thẳng
, ?
SB AM
A.
7
2 48
B.
1
2
C.
19
7
D.
14
3 48
Câu 26. Cho hình chóp .
S ABCD
đều có đáy là hình vuông
ABCD
,
E
là điểm đối xứng của
D
qua
trung điểm
SA
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm
AE
,
BC
. Tính góc giữa đường thẳng
MN
và
BD
.
A.
60
B.
90
C.
45
D.
75
Câu 27. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
.Góc giữa hai đường thẳng
BA
và
B D
bằng
A.
45
B.
90
C.
30
D.
60
Câu 28. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh
1
SA
và vuông góc với đáy. Gọi
M
là trung điểm
CD
. Tính
cos
với
là góc
tạo bởi hai đường thẳng
SB
và
AM
.
A.
2
5
B.
2
5
C.
1
2
D.
4
5
Trang 15
Câu 29. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
. Gọi
M
là trung điểm
DD
(tham khảo hình vẽ bên). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
B C
và
C M
.
A.
2 2
9
B.
1
10
C.
1
3
D.
1
3
Câu 30. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
,
SA
nằm trên đường vuông góc với
mặt phẳng
ABCD
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
AD SC
B.
SA BD
C.
SO BD
D.
SC BD
Câu 31. Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
. Tính số đo góc
giữa hai đường thẳng
BC
và
B D
.
A.
60
B.
90
C.
30
D.
45
Câu 32. Cho tứ diện
ABCD
có
AB CD
. Gọi
, , ,
I J E F
lần lượt là trung điểm
, , ,
AC BC BD AD
. Góc
giữa
IE
và
JF
bằng
A.
30
B.
45
C.
90
D.
60
Câu 33. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với mặt phẳng
BCD
. Biết tam
giác
BCD
vuông tại
C
và
6
, 2,
2
a
AB AC a CD a
. Gọi
E
là trung điểm
AC
(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa
AB
và
DE
bằng
A.
45
B.
60
C.
30
D.
90
Câu 34. Cho tứ diện
OABC
có
, ,
OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau và
OA OB OC
. Gọi
M
là trung điểm
BC
(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa
hai đường thẳng
AB
và
OM
bằng
A.
90
B.
30
C.
45
D.
60
Câu 35. . Cho tứ diện đều
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm
CD
. Cosin của góc
giữa hai đường thẳng
AC
và
BM
bằng
A.
3
B.
3
3
C.
3
6
D.
3
2
Trang 16
Câu 36. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
(tham khảo hình vẽ
bên) có
, 2
AD a BD a
. Góc giữa hai đường thẳng
A C
và
BD
là
A.
60
B.
120
C.
90
D.
30
Câu 37. Cho tứ diện
ABCD
có
14, 6
AD BC
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AC BD
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
BC
và
MN
. Biết
8
MN
, tính
sin
.
A.
2
4
B.
3
2
C.
1
2
D.
2 2
3
Câu 38. Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có
AB a
và
2
AA a
. Góc
giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
bằng
A.
30
B.
90
C.
45
D.
60
Câu 39. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với
CD
. Mặt phẳng
P
song song với
AB
và
CD
lần
lượt cắt
, , ,
BC DB AD AC
tại
, , ,
M N P Q
. Tứ giác
MNPQ
là hình gì?
A. Hình thang. B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải hình thang.
Câu 40. Trong không gian cho hai tam giác đều
ABC
và
ABC
có chung cạnh
AB
và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trung điểm các cạnh
, ,
AC CB BC
và
C A
. Tứ giác
MNPQ
là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang.
Câu 41. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với
CD
,
6
AB CD
.
M
là điểm thuộc cạnh
BC
sao
cho
0 1
MC xBM x
. Mặt phẳng
P
song song với
AB
và
CD
lần lượt cắt
, , ,
BC DB AD AC
tại
, , ,
M N P Q
. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
A. 9. B. 11. C. 10. D. 8.
Trang 17
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-C 7-C 8-A 9-A 10-B
11-B 12-C 13-B 14-B 15-B 16-C 17-C 18-D 19-D 20-D
21-D 22-B 23-C 24-D 25-D 26-B 27-D 28-A 29-B 30-A
31-A 32-C 33-B 34-D 35-C 36-C 37-B 38-D 39-C 40-C
41-A
Câu 1: Trong không gian một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
vuông góc với đường thẳng kia. Chọn D.
Câu 2: Nếu
/ /
a b
và
c a
thì
c b
. Chọn A.
Câu 3: Khẳng định sai là B. Chọn B.
Câu 4: Gọi
N
là trung điểm của
AC
thì
/ /
MN AB
và
1
2 2
a
MN AB
(tính chất đường trung bình)
Khi đó
; ;
AB DM NM DM
Lại có
2 2 2
3
cos
2 2. .
a MD MN DN
DM DN DMN
MD MN
3
0
6
.
Vậy
3
cos ;
6
AB DM . Chọn B.
Câu 5: Do
/ /
CD AB
nên
; ; 45
BA CD BA AB A BA
. Chọn D.
Câu 6: Gọi
K
là điểm thuộc
CD
sao cho
/ /
AK
Dựng
OE AK
thì
14
6
a
OE
Mặt khác
SO AK
AE SOE
Ta có
; ;
SA SA AK SAE
Xét tam giác vuông
SAK
ta có
cos
AE
SAK
SA
Trong đó
2 2
2 2
2 14
2 6
a a
AE OA OE
Trang 18
2
2 2 2
,
3 2
a a
AE SA OA SO b
2
2
os
3
2
a
c SAK
a
b
=
2 2
2
3 2 4
a
a b
. Chọn C.
Câu 7: Đặt
2
AB a
, do
DA AB
DA SAB
DA SA
Do đó
; 45 2
SD SAB DSA SA AD a
Gọi
K
là trung điểm
AB
/ /
DK BI
Do đó
; ;
BI SD DK SD
Mặt khác
2 2, 5
SD a SK DK a
Suy ra
2 2 2
10
cos
2. . 5
DS DK SK
SDK
DS DK
50,77
SDK
. Chọn C.
Câu 8: Ta có
/ /
AB CD
nên
; ;
SA CD SA AB
Mặt khác .
S ABCD
là chóp đều nên
SA SB
do đó tam giác
SAB
đều
nên
60
SAB
.
Vậy
; ;
SA CD SA AB
60
SAB
. Chọn A.
Câu 9: Ta có / /
AC DF
; ;
AC BF DF BF
Mặt khác
2 2
4 5,
BD BF a a a DF a
Do đó
2 2 2
5
cos 0
2. . 10
FD FB BD
DFB
FD FB
Vậy
5
cos ;
10
AC BF . Chọn A.
Câu 10: Ta có
AC BD
AC BDD AC BD
AC BB
Vậy góc giữa hai đường thẳng
AC
và
B D
là
90
. Chọn B.
Câu 11: Đặt
AB a
, ta có
/ / ; ;
AC A C AC A D A C A D
Mặt khác 2
A D DC A C a A DC
là tam giác đều nên
60
DA C
Vậy
; ;
AC A D A C A D
60
DA C
. Chọn B.
Câu 12: Đặt
2
AD a
, gọi
Q
là trung điểm
B C
thì / / / /
PQ B D MN
do đó
; ;
MN CP PQ CP
Ta có
2 2
2
2 2
B D a
PQ a
Trang 19
2
2
2 5
CQ CP a a a
Do đó
2 2 2
1
cos
2. .
10
PQ PC CQ
CPQ
PQ PC
Vậy
1
cos ;
10
MN CP . Chọn C.
Câu 13: Ta có
/ /
AC A C
(
A B CD
là hình bình hành)
Mà
DA C
nhọn nên
; ;
AC A D A C A D DA C
Chọn B.
Câu 14: Ta có
; ; 90
AA B D BB B D BB C
. Khẳng định B sai. Chọn B.
Câu 15: Vì
DH AE

(
ADHE
là hình vuông)
Nên
; ; 90
AB DH AB AE BAE
(
ABFE
là hình vuông).
Chọn B.
Câu 16: Vì
EG AC
(
AEGC
là hình vuông)
Nên
; ; 45
AB EG AB AC BAC
(
ABCD
là hình vuông).
Chọn C.
Câu 17: Gọi
a
là độ dài cạnh của hình lập phương. Khi đó, tam giác
AB C
là
tam giác đều
2 60
AB B C CA a B CA
Lại có / /
DA CB
nên
; ; 60
AC DA AC CB ACB
.
Chọn C.
Câu 18: Ta có
. . .
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
    
. cos ; . cos ;
AB AD AB AD AB AC AB AC

. cos 60 . cos60
AB AD AB AC
.
Mà
. 0 ; 90
AC AD AB CD AB CD

. Chọn D.
Trang 20
Câu 19: Ta có
. . .
SC AB SC SB SA SC SB SC SA
. cos ; . cos ;
SC SB SC SB SC SA SC SA

. .cos . .cos
SC SB BSC SC SA ASC
.
Mà
SA SB SC
và
. 0
BSC ASC SC AB
Do đó
; 90
SC AB

. Chọn D.
Câu 20: Xét
. . .
SC AB CS CB CA CS CA CS CB
 
. .cos . .cos
CS CA SCA CS CB SCB
2 2 2 2 2 2
. . . .
2. . 2. .
SC CA SA SC CB SB
CS CA CS CB
SC CA SC CB
2 2 2 2 2 2
0
2 2
SC CA SA SC CB SB
(do
SA SB
CA CB
)
Vậy
SC AB
. Chọn D.
Câu 21: Xét
. . .
SA BC SA SC SB SA SC SA SB
. cos ; . cos
SA SC SA SC SA SB SAB
 
. .cos . .cos
SA SC ASC SA SB SAB
(1)
Ta có
chungSA
AB AC SAB SAC
SAB SAC
(c – g – c)
Suy ra
SC SB
ASC ASB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
. 0
SA BC
. Vậy
SA BC
. Chọn D.
Câu 22: Xét tam giác
ICD
có
J
là trung điểm
1
2
CD IJ IC ID
Tam giác
ABC
có
60
AB AC
BAC
ABC
đều
CI AB
Tương tự ta có
ABD
đều nên
DI AB
Ta có
1 1 1
. . . . 0
2 2 2
IJ AB IC ID AB IC AB ID AB
 
Trang 21
; 90
IJ AB AB IJ
 
. Chọn B.
Câu 23: Do
ABCD
là hình vuông cạnh
a
2
AC a
2 2 2 2
2
AC a SA SC SAC
vuông tại
S
Ta có
MN
là đường trung bình của
1
2
DSA NM SA
 
Khi đó
1
. . 0 ; 90
2
NM SC SA SC MN SC MN SC

.
Chọn C.
Câu 24: Vì
/ /
AB CD
nên
; ;
SB CD SB AB SBA
Ta có
SA ABCD SA AB
mà
SA AB a
SAB
 vuông cân tại
A
45
SBA
.
Vậy
;SB CD
45
SBA
.Chọn D.
Câu 25: Kẻ
/ /
MN SB N BC
; ;
SB AM MN AM AMN

Ta có
1
2 ; 3
3 3 3
BN SM BC SC
BN a SM a
BC SC
Suy ra
2 2 2 2
2 . .cos60 28
AN AB BN AB BN a
Lại có
2 2 2
7
cos
2. . 9
SA SC AC
ASC
SA SC
Suy ra
2 2 2 2
2 . .cos 48
AM SA SM SA SM ASC a
Do đó
2 2 2
56 14
cos
2. .
12 48 3 48
AM MN AN
AMN
AM MN
.
Chọn D.
Câu 26: Gọi
I
là trung điểm
SA I
là trung điểm
ED
Suy ra
MI
là đường trung bình
EAD
/ /
1
2
MI AD
MI AD
Ta có
/ / / /
NC AD NC MI
mà
1
2
NC AD NC MI
Do đó
MNCI
là hình bình hành
/ /
MN IC
; ;
MN BD IC BD

Lại có
BD SAC BD IC
nên
; 90
IC BD
.
Trang 22
Chọn B.
Câu 27: Vì
/ /
B D BD
nên
; ;
BA B D BA BD A BD
Xét
A BD
có
A B BD DA
(3 đường chéo của ba mặt)
Suy ra
A BD
đều
60
A BD

. Chọn D
Câu 28: Gọi
I AM BD
nên
IDM IBA
1 2 2 5
2 3 3
IM
IA AM
IA

Kẻ
/ /
IN SB
N SD
nên
; ;
SB AM IN AI AIN
Ta có
1 5
3 3
IN SB
;
Và
2 2
17
2 . .cos
3
AN AD DN AD DN ADN
;
Suy ra
2 2 2
2
cos
2. . 5
AI IN AN
AIN
AI IN
. Chọn A.
Câu 29: Gọi
N
là trung điểm
A D
/ /
MN A D
mà
/ / / /
A D B C MN B C
Do đó
; ;
B C C M MN C M C MN
Tam giác
C MN
có
5 1 2
;
2 2 2
C M C N MN A D
Suy ra
2 2 2
1 2 1
cos : 5.
2. . 2 2
10
C M MN C N
C MN
C M MN
. Chọn B.
Câu 30: Ta có
SA BD
BD SAC BD SO
AC BD
. Chọn A.
Câu 31: Ta có
/ / ; ;
B D BD BC B D BC BD C BD
Tam giác
C BD
có
BC DC BD
(3 đường chéo 3 mặt bên)
Suy ra
C BD
là tam giác đều
60
C BD
. Chọn A.
Câu 32: Ta có
1
/ / ,
2
IF CD IF CD
và
1
/ / ,
2
EJ CD EJ CD
Suy ra
/ / ,
IF EJ IF EJ IJEF
là hình bình hành
Lại có
1 1
2 2
IJ AB CD IJ IF IJEF
là hình thoi
IE JF
. Chọn C.
Trang 23
Câu 33: Gọi
F
là trung điểm
/ /
BC EF AB

Do đó
; ;
AB DE EF DE DEF
Ta có
BC CD
CD ABC CD AC
AB CD
Tam giác
DEF
vuông tại
F
, có
6
4
a
EF
;
6
2
a
DE
Suy ra
6 6 1
cos : 60
4 2 2
EF a a
DEF DEF
DE
. Chọn B.
Câu 34: Gọi
N
là trung điểm
AB
/ /
MN AC

Do đó
; ;
AC OM MN OM OMN
Tam giác
OMN
có
2 2
;
2 2 2
a AC a
OM ON MN
Suy ra
OM ON MN OMN

đều
60
OMN
Chọn D.
Câu 35: Gọi
N
là trung điểm
AD
/ /
MN AC

Do đó
; ;
AC BM MN BM BMN
Tam giác
BMN
có
3
;
2 2
a a
BM BN MN
Suy ra
2 2 2 2
3 3
cos :
2. . 4 2 6
BM MN BN a a
BMN
BM MN
.
Chọn C.
Câu 36: Ta có
A C B D
A C BDD B A C BD
A C B B
. Chọn C.
Câu 37: Gọi
P
là trung điểm
CD
/ /
NP BC

Do đó
; ;MN BC MN NP MNP
Tam giác
MNP
có
8, 7, 3
MN MP NP
Suy ra
2 2 2
1 3
cos sin
2. . 2 2
MN PN MP
MNP
MN PN
.
Chọn B.
Câu 38: Gọi
M
là điểm đối xứng với
A
qua
B
/ /
AB BM

Do đó
; ;
AB BC BM BC MBC
Trang 24
Tam giác
BB M
vuông tại
2 2
3
B BM BB B M a
Tam giác
BB C
vuông tại
2 2
3
B BC BB B C a
Và
2 2
2 . .cos 3
MC B M B C B M B C MB C a
Suy ra
BMC
đều
60
MBC

. Chọn D.
Câu 39:
/ /
/ /
P ABC MQ
MQ AB
P AB
Tương tự ta có
/ / / /
NP AB NP MQ
và
/ / / /
PQ MN CD
Do đó tứ giác
MNPQ
là hình bình hành
Mặt khác / /
/ /
AB CD
AB MQ PQ MQ
CD PQ
do đó tứ giác
MNPQ
là hình chữ
nhật. Chọn C.
Câu 40: Đặt cạnh các tam giác đều bằng
a
.
Gọi
I
là trung điểm
AB
thì
CI AB
Mặt khác
C I AB
nên
AB A IC AB CC
Lại có
/ /
MQ CC
và
2 2
CC a
MQ
(tính chất đường trung bình),
tương tự ta có
/ / , ,
2 2
a a
NP CC NP PQ
Suy ra
MNPQ
là hình thoi, mặt khác
/ /
/ /
MQ CC
PQ AB
CC AB
MQ PQ
suy ra
MNPQ
là hình vuông. Chọn C.
Câu 41: Do
/ /
MN AB
, theo định lý Talet ta có
. 6
MN CM
x MN x AB x
AB CB
Tương tự
/ / 1
MQ BM
MQ CD x
CD BC
1 6 1
MQ x CD x
Lại có
/ /
MN AB
,
/ / ; ; 90
MQ CD MN MQ AB CD
Khi đó
2 . sin ;
MNPQ MNQ
S S MN MQ MN MQ
Trang 25
2
2
36 1 sin 90 36 36 9 6 3 9
x x x x x
Do đó
max
9
MNPQ
S
. Chọn A.
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian   
 Góc giữa hai vectơ a và b khác 0 được định nghĩa bằng góc 
   
AOB với OA  a ; OB  b .   
Nếu a hoặc b bằng 0 ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá trị tùy ý.    
 Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, được ký hiệu . a b và       được xác định bởi . a b  a . b cos ;
a btừ đó suy ra cosin góc giữa hai       a b vectơ a và b là a b . cos ;    a . b      
Đặc biệt khi a  b  cos ; a b  0  . a b  0 .
 Tính chất của tích vô hướng:   
Cho 3 vectơ a ; b ; c và số thực k . Khi đó ta có:            i) . a b  . b a . ii) a b  c  . a b  . a c .        2 2 iii) ka.b  k  . a b  . a kb. iv) a  a .
2) Góc giữa hai đường thẳng trong không gian  Định nghĩa:
Trong không gian cho 2 đường thẳng a , b bất kỳ. Từ một điểm O
nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a , b lần lượt song song với a và
b . Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường
thẳng a và b không thay đổi.
Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là
góc giữa 2 đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b .
 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:
Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi
vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.    
Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và u;v 
thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng  nếu 0    90 và bằng 180  nếu 90    180 .
Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 . Trang 1
Góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo 0    180 .
 Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng:
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta cần nhớ các công thức sau: AB  AC  BC
– Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC :  2 2 2 cosBAC  2.A . B AC BA  BC  AC CA  CB  AB Tương tự ta có:  2 2 2 cos ABC  và  2 2 2 cos ACB  . 2.B . A BC 2.C . A CB   1
Chú ý công thức đặc biệt: A . B AC  A . B AC cos  BAC   2 2 2 AB  AC  BC  . 2  
– Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB và CD dựa vào công thức       A . B CD AB CD A . B CD cos ;
    cos A ;
B CD    AB . CD AB . CD
Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
3) Hai đường thẳng vuông góc
 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Ký hiệu: a  b hoặc b  a a//b
 Mối quan hệ giữa quan hệ song song và vuông góc:   c  b c  a
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA   ABC và SA  a 3 . Gọi M ,
N lần lượt là trung điểm AB và SC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM . Lời giải: a
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra AM  CE  . 2 Khi đó AE//CM   AN;CM  AN;AE . Mặt khác 2 2
SC  SA  AC  2a  độ dài đường trung tuyến AN là SC a 3 AN   a . AE  CM  . 2 2 Do A
 BC đều nên CM  AM  AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó CE  AE mà CE  SA  CE  SAE  CE  SE . 1 S
 EC vuông tại E có đường trung tuyến EN  SC  a . 2 AN  AE  NE Ta có:  2 2 2 3 cosNAE    3 0  cos  . 2.AN.AE 4 4 Trang 2
 1      1  
Cách 2: Ta có: AN   AS  AC;CM  AM  AC  AB  AC . 2 2
  1    1   1   1 2 2 1 a 3a
Khi đó AN.CM  AS AC 2 AB  AC  A . B AC  AC   2  a cos 60   . 2  2  4 2 4 2 8 2 3a SC a 3 8 3 Lại có AN   a; CM   cos=  . 2 2 a 3 4 . a 2
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ
để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  ;
a AC  a 2 và BC  a 3 . Tính cosin góc
giữa hai đường thẳng SC và AB . Lời giải:
Cách 1: Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm S , A SB và AC . MP//SC Khi đó   SC AB   MP MN   ; ; . MN //AB AB a SC a Ta có MN   ; MP   . 2 2 2 2 AC a 2 Mặt khác S
 AC vuông tại S  SP   . 2 2 2 2 2 BA  BC AC 3 a 6 2 2 BP    a  BP  . 2 4 2 2 2 2 2 PS  PB SB 3 a 3 Suy ra 2 2 PN    a  NP  . 2 4 4 2 MN  MP  NP Khi đó  2 2 2 1 cosNMP      NMP      SC AB  120 ;  60 . 2.MN.MP 2
           
Cách 2: Ta có: AB  SB  SA  A .
B SC  SB  SA.SC  S . B SC  S . A SC 1  SB  SC  AC  1  SA  SC  AB  2 a 2 2 2 2 2 2   . 2 2 2 2 a 2 1 Suy ra cos SC; AB 
  SC; AB  60. . a a 2
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB  x ,CD  x ; AC  y , BD  y , BC  z , AD  z . Tính góc giữa hai 1 2 1 2 1 2 đường thẳng BC và AD . Lời giải:
        
Ta có BC.DA  BC DC  CA  C . B CD  C . B CA Trang 3 1   1 1 2 2 2 CB  CD  BD    2 2 2 CB  CA  AB    2 2 2 2 AB  CD  BD  CA  2 2 2   2 2 2 2 BC.DA x  x  y  y Khi đó cos BC; DA 1 2 1 2   . BC.DA 2z z 1 2    BC; AD   
Đặc biệt: Nếu AB  CD  x; AC  BD  y và BC  AD  z ta đặt    AB;CD  thì ta có:  AC;BD   2 2 2 2 2 2 x  y y  z z  x cos = ; cos = ; cos = . 2 2 2 z x y
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a , SA   ABCD và SB  a 5 .
Gọi M là trung điểm AB và N là trung điểm BC . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN . Lời giải:
 Cách 1: Do SA   ABCD . Ta có: 2 2
SA  SB  AB  a . Gọi E là trung điểm của AD và I là trung
điểm AE . Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình
trong tam giác ABE . Khi đó DN //BE//MI . AE a Ta có: AM  a; AI   . 2 2 2 5a Mặt khác: 2 2 2 2 2
SM  SA  AM  2a ; SI  . 4 2 5a 2 2 2 SM  MI  SI 10 2 2 2 MI  AI  AM  . Do vậy cos  SMI    cosSM; DN   4 2.SM.MI 5
        
 Cách 2: Ta có: SM.DN  SM SN  SD  SM.SN  SM.SD 1   1 2 2 2 SM  SN  MN    2 2 2 SM  SD  MD  2 2 AC Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2
SN  SA  AN  SA  AB  BN  6a , MN   a 2 , 2 2 2 2 SD  5a , MD  5a . 2 2 2   2a 2a 10 Do đó 2
SM .DN  2a  cos SM ; DN     . SM .DN a 2.a 5 5
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  ;
a AD  a 2 , SA   ABCD và SA  2a .
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD .
b) Gọi I là trung điểm của CD . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI . Trang 4 Lời giải:
a) Do BC //AD  SD; BC    SD; AD    SDA AD AD 1 S
 AD vuông tại A  cos  SDA    . 2 2 SD AD  SA 3
b) Gọi M , K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung
bình của tam giác SAB . Khi đó MK //SB , mặt khác MC//AI . Suy ra SB AI    MK CM   ; ; . 2 2 SB SA  AB a 5 3a Ta có: 2 2 MK    ; MC  MB  BC  ; 2 2 2 2 2 2 KC  KA  AC  2a . 2 2 2 KM  MC  KC 1 1 Khi đó cos  KMC     cosS ; B AI    . 2.KM.MC 3 5 3 5
         Cách 2: Ta có: S .
B AI  SB SI  SA  S . B SI  S . B SA 1   1 2 2 2 SB  SI  BI    2 2 2 SB  SA  AB  2 2 2 25a 3a Do 2 2 2 2 2 2 2 2
SB  5a ; SI  SA  AD  DI  ; AI  AD  DI   IB . 4 2 2   a 2   S . B AI a 1 Suy ra SB AI   c SB AI  2 . os ;    . 2 S . B AI 3a 3 5 a 5. 2
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , 
ABC  60 . Tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc 30 . Tính cosin của góc giữa a) SD và BC .
b) DH và SC , với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy  ABCD . Lời giải: a) Do AB  BC  a,  ABC  60  A  BC đều cạnh a .
Gọi H là trung điểm của AB , do tam giác SAB tại S nên SH  AB .   SAB     ABCD Mặt khác   SH   ABC . AB   SAB ABCD a 3 A  BC đều nên CH  ,SC; ABC    SCH  30 2 a
Ta có: SH  HC tan 30  . 2 Trang 5 a 7 Do  ABC  60   2 2
BAD  120  HD  AH  AD  2AH.AD cos120  . 2 a 2 Suy ra 2 2 2 2 SA  SH  HA  , SD  SH  HD  a 2 . 2 DS  DA  SA
Mặt khác AD//BC  BC SD   AD SD   2 2 2 5 2 ; ; ,cos SDA   . 2.DS.DA 8 Do vậy BC SD  5 2 cos ;  . 8
        
b) Ta có SC.DH  SC SH  SD  S . C SH  SC.SD 1  SH  SC  HC  1  SC  SD  CD  2 3a 2 2 2 2 2 2   2 2 4 2   3a SC.DH 3 7 Mặt khác 2 2 SC  SH  HC  a  SC DH  4 cos ;    SC.DH a 7 14 . a 2 DH / /BI 
Cách 2: Gọi I là trung điểm CD   a 7 DH  BI   2 MI / /SC  a 2
Gọi M là trung điểm SD   SC a . Lại có 2 2
BD  a 3; SB  SH  HB  . MI    2  2 2 2 2 2 BD  BS SD 5 MI  IB  MB Do đó 2 2 BM    a   2 2 2 3 17 cos MIB   . 2 4 4 2.IM.IB 14 Suy ra DH SC  3 17 cos ;  . 14
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD  2AB  2CD  2a và
SA   ABCD . Biết rằng SC tạo với đáy một góc 60. Tính cosin góc giữa: a) BC và SD .
b) AI và SD với I là trung điểm CD . Lời giải: a) Ta có: 2 2 AC  AB  BC  a 2 .
Do SA   ABCD  SC; ABC    SCA  60 .
Khi đó SA  AC tan 60  a 6 . Do AD BC  BC SD   AD SD  / / ; ; . Trang 6 AD AD Mặt khác cos  ADS   2 2 SD SA  AD 2a 10    cosBC; SD  . 2 2 6a  4a 5
b) Gọi E là trung điểm AD  AE  DE  BC  a  ABCE là hình vuông cạnh a . 1
Do CE  AD  ACD vuông tại C . 2 a 2 Ta có: 2 2
CD  CE  ED  a 2  ID  . 2
         1 1
Lại có: AI.SD  SI  SA.SD  SI.SD  S . A SD   2 2 2 SI  SD  DI    2 2 2 SA  SD  AD  2 2 2 2 5a 17a Trong đó 2 2 2 2 2 2 AI  AC  CI   SI  SA  AI  . 2 2 2 2   3a 3a 3 Do đó 2
AI.SD  3a  cos  AI;SD    . AI.SD a 10 5 .a 10 2 MI / /SD  a 10 SC
Cách 2: Gọi M là trung điểm SC   SD a 10 , AI  , AM   a 2 . MI   2 2  2 2 IA  IM  AM Khi đó  2 2 2 3 cos MIA   . 2.I . A IM 5
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu của điểm A xuống
mặt đáy  ABC trùng với trung điểm của BC . Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 .
a) Tính tan góc tạo bởi B C   và A C  .
b) Cosin góc tạo bởi CC và AB . Lời giải
a) Gọi H là trung điểm BC . Ta có: BC / /B C    B C  ; AC    BC; AC    ACH . Mặt khác A H
   ABC   AA ; ABC    AAH  60 . a 3 3a AH   A H   AH tan 60  . 2 2 A H  Xét tam giác vuông A H  C ta có tan  A C  H   3. HC Vậy tan B C   AC   ;  3 .
b) Do CC AA  CC AB   AA AB  / / ; ; Trang 7 Ta có: 2 2
AA  AH  HA  a 3 a 10 AA  AB  AB AB  A H   HB   cos  2 2 2 3 2 2 AAB   . 2 2.AA .AB 4 Vậy CC AB 3 cos ;  . 4
Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam a 6
giác BCD vuông tại C và AB 
, AC  a 2,CD  a . Gọi E là trung điểm 2
của AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng A. 45 B. 60 C. 30 D. 90 Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC khi đó
EH / / AB  EH  BCD  EH  HD . Suy ra  AB DE   EH DE  ; ; AB a 6 a 2 Ta có: 2 2 HE   , BC  AC  AB  2 4 2 3a 2 2 2  DH  DC  CH  4 DH tan  DEH   3   DEH  60 . EH Vậy  AB; DE    EH;DE    DEH  60 . Chọn B.
Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . a 6
Biết tam giác BCD vuông tại C và AB 
, AC  a 2,CD  a . Gọi E 2
là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng A. 60 B. 45 C. 30 D. 90 Lời giải
Gọi H là trung điểm BD  EH / / AB  EH  BCD a 2 Vậy EH  CH , ta có 2 2 BC  AC  AB  2 Trang 8 a 6 BD a 6 Suy ra 2 2 BD  BC  CD   CH   2 2 4 AB a 6 Lại có EH  
 CH  EHC vuông cân tại H 2 4 Do đó  AB;CE   EH;CE    CEH  45 . Chọn B.
Ví dụ 11. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  cạnh a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C D
 . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 Lời giải
Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên MN AC  MN AP   AC AP  / / ; ; . a 5 Lại có 2 2
AC  a 2,CP  CC  C P   2 3a 2 2 2 2 2
AP  AP  AA  AD  D P   AA  2 AP  AC  CP Do đó  2 2 2 2 cosCAP   2.A . P AC 2   CAP    MN CP  45 ; . Chọn D.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của S ,
A BC . Tính số đo của góc hợp bởi IJ và SB . A. 45 B. 30 C. 60 D. 90 Lời giải
Gọi M là trung điểm AB thì MI, MJ lần lượt là đường trung bình của tam giác ASB và ABC . a Ta có: MI  MJ  2 a 3 Mặt khác JA  JS 
 tam giác JSA cân tại J  JI  SA 2 a 2 Khi đó 2 2 2 2 2 IJ  SJ  SI 
 MI  MJ  IJ nên tam giác MIJ vuông 2 cân tại M  IJ SB   IJ IM   ; ;  45 . Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D
qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng Trang 9 A. 90 B. 60 C. 45 D. 75 Lời giải
Gọi I là trung điểm SA thì MICN là hình bình hành nên MN / /CI BD  AC Mặt khác 
(với O là tâm của hình vuông ABCD ) BD  SO
Suy ra BD  SAC  BD  CI  BD  MN Vậy MN BD  ;  90 . Chọn A.
Ví dụ 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
  có AB  a và AA  a 2 . Góc giữa hai đường
thẳng AB và BC bằng A. 30 B. 90 C. 45 D. 60 Lời giải
Gọi E là điểm thuộc AB sao cho B A    B E 
Ta có ABEB là hình bình hành nên AB / /BE 1 Lại có AE  2a, B C    AE  E
 AC vuông tại C 2 Khi đó 2 2 C E   A E 
 AC  a 3, BE  AB  a 3 2 2 BC  BB  C B    a 3  B
 EC là tam giác đều. Do đó  AB ; BC   BE;BC    EBC  60 . Chọn D.
Ví dụ 15. Cho tứ diện ABCD có AB  6, CD  3, góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên BC sao
cho BM  2MC . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC, AD, BD lần lượt tại
N, P,Q . Diện tích MNPQ bằng 3 A. 2 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 Lời giải MN CM 1
Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có   AB CB 3 AB  MN   2 3 MQ BM 2 2 Tương tự MQ / /CD     MQ  CD  2 CD BC 3 3
Lại có MN / / AB , MQ CD  MN MQ   AB CD  / / ; ;  60 Khi đó S  S  MN MQ MN MQ  2 . sin ; MNPQ MNQ
 2.2.sin 60  2 3 . Chọn C. Trang 10
Ví dụ 16. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB  4, CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC
sao cho MC  2BM . Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của P với tứ diện là 17 16 A. 5 B. 6 C. D. 3 3 Lời giải
Mặt phẳng P qua M song song với AB và CD cắt AC, AD, BD lần lượt tại N , P,Q . MN CM 2
Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có   AB CB 3 2AB 8  MN   3 3 MQ BM 1 1 Tương tự MQ / /CD     MQ  CD  2 CD BC 3 3
Lại có MN / / AB , MQ CD  MN MQ   AB CD  / / ; ;  90 Khi đó S  S  MN MQ MN MQ  2 . sin ; MNPQ MNQ 8 16 .2.sin 90  . Chọn D. 3 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Câu 2. Trong không gian cho 3 đường thẳng phân biệt a,b, c . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu a / /b và c  a thì c  b
B. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a / /b
C. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a / /b
D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng   / /c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c
Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng P , trong đó a  P . Mệnh đề nào sau đây là sai? Trang 11
A. Nếu b   P thì b / /a
B. Nếu b  P thì b  a
C. Nếu b / /a thì b  P
D. Nếu b  a thì b / / P
Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB, DM . 3 3 3 1 A. B. C. D. 2 6 3 2
Câu 5. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Góc giữa hai đường thẳng BA ,CD bằng A. 90 B. 60 C. 30 D. 45
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a,O là trung điểm AC và SO  b . Gọi  là a 14
đường thẳng đi qua C, chứa trong mặt phẳng  ABCD và khoảng cách từ O đến  là . Giá 6
trị lượng giác cos SA,   bằng 2a a 2a a A. B. C. D. 2 2 3 4b  2a 2 2 2b  4a 2 2 3 2b  4a 2 2 3 4b  2a
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45. Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc
giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 39 B. 42 C. 51 D. 48
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD đều có SA  AB  a . Góc giữa SA và CD là A. 60 B. 30 C. 90 D. 45
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.DEF có cạnh bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AC, BF 5 3 A. B. 10 5 5 3 C. D. 5 10
Câu 10. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  (tham khảo hình vẽ). Góc
giữa hai đường thẳng AC và BD là A. 30 B. 90 C. 60 Trang 12 D. 45
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  (tham khảo hình vẽ). Góc giữa
hai đường thẳng AC và A D  là A. 45 B. 30 C. 60 D. 90
Câu 12. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Gọi M , N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, AD,C D
 . Cosin của góc giữa hai đường thẳng MN,CP bằng 10 15 A. . B. 5 5 1 3 C. D. 10 10 Câu 13. Cho hình hộp ABC . D A B  C  D
  . Giả sử tam giác AB C  và A D
 C đều có 3 góc nhọn. Góc giữa
hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây? A.  AB C  B.  DA C   C.  BB D  D.  BDB
Câu 14. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B D   bằng 90 B. Góc giữa AA và B D   bằng 60 C. Góc giữa AD và B C  bằng 90
D. Góc giữa BD và AC bằng 90  
Câu 15. Cho hình lập phương ABC .
D EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45 B. 90 C. 60 D. 120  
Câu 16. Cho hình lập phương ABC .
D EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90 B. 60 C. 45 D. 120
Câu 17. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  .Góc giữa AC và DA là A. 45 B. 90 C. 60 D. 120
Câu 18. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và  BAC  
BAD  60 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ   AB và CD ? A. 60 B. 45 C. 120 D. 90
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC và  ASB   BSC   CSA ,  BAC   BAD  60 . Hãy xác  
định góc giữa cặp vectơ AB và SC ? A. 120 B. 45 C. 60 D. 90 Trang 13
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB và CA  CB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB . A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có AB  AC và  SAC  
SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC . A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 22. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và  BAC   BAD  60 , 
CAD  90 . Gọi I và J lần lượt  
là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120 B. 90 C. 45 D. 45
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm AD và SD . Số đo của góc MN, SC  bằng A. 45 B. 30 C. 90 D. 60
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a . Cạnh bên SA   ABCD ,
SA  a . Góc giữa hai đường thẳng SB,CD bằng A. 90 B. 60 C. 30 D. 45
Câu 25. Cho hình chóp đều S.ABC có SA  9a, AB  6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1
SM  MC . Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AM ? 2 7 1 19 14 A. B. C. D. 2 48 2 7 3 48
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD đều có đáy là hình vuông ABCD , E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AE , BC . Tính góc giữa đường thẳng MN và BD . A. 60 B. 90 C. 45 D. 75
Câu 27. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  .Góc giữa hai đường thẳng BA và B D   bằng A. 45 B. 90 C. 30 D. 60
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh
SA  1và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm CD . Tính cos với  là góc
tạo bởi hai đường thẳng SB và AM . 2 2 A. B.  5 5 1 4 C. D. 2 5 Trang 14
Câu 29. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Gọi M là trung điểm
DD (tham khảo hình vẽ bên). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng B C  và C M  . 2 2 1 A. B. 9 10 1 1 C. D. 3 3
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA nằm trên đường vuông góc với
mặt phẳng  ABCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. AD  SC B. SA  BD C. SO  BD D. SC  BD
Câu 31. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
  . Tính số đo góc  giữa hai đường thẳng BC và B D   . A.   60 B.   90 C.   30 D.   45
Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I, J , E, F lần lượt là trung điểm AC, BC, BD, AD . Góc giữa IE và JF bằng A. 30 B. 45 C. 90 D. 60
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết tam a 6
giác BCD vuông tại C và AB 
, AC  a 2,CD  a . Gọi E là trung điểm 2
AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa AB và DE bằng A. 45 B. 60 C. 30 D. 90
Câu 34. Cho tứ diện OABC có O ,
A OB,OC đôi một vuông góc với nhau và
OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa
hai đường thẳng AB và OM bằng A. 90 B. 30 C. 45 D. 60
Câu 35. . Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm CD . Cosin của góc
giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 3 A. 3 B. 3 3 3 C. D. 6 2 Trang 15
Câu 36. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  (tham khảo hình vẽ
bên) có AD  a, BD  2a . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD là A. 60 B. 120 C. 90 D. 30
Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AD  14, BC  6 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC, BD . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng BC và MN . Biết MN  8, tính sin . 2 3 1 2 2 A. B. C. D. 4 2 2 3
Câu 38. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B  C
  có AB  a và AA  a 2 . Góc
giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 30 B. 90 C. 45 D. 60
Câu 39. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần
lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P,Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật.
D. Tứ giác không phải hình thang.
Câu 40. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC,CB, BC và C A  . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang.
Câu 41. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB  CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao
cho MC  xBM 0  x  
1 . Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại
M , N, P,Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu? A. 9. B. 11. C. 10. D. 8. Trang 16
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-C 7-C 8-A 9-A 10-B 11-B 12-C 13-B 14-B 15-B 16-C 17-C 18-D 19-D 20-D 21-D 22-B 23-C 24-D 25-D 26-B 27-D 28-A 29-B 30-A 31-A 32-C 33-B 34-D 35-C 36-C 37-B 38-D 39-C 40-C 41-A
Câu 1: Trong không gian một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
vuông góc với đường thẳng kia. Chọn D.
Câu 2: Nếu a / /b và c  a thì c  b . Chọn A.
Câu 3: Khẳng định sai là B. Chọn B. 1 a
Câu 4: Gọi N là trung điểm của AC thì MN / / AB và MN  AB  2 2
(tính chất đường trung bình) Khi đó  AB DM    NM DM   ; ; a MD  MN  DN 3 Lại có DM  DN    2 2 2 3 cos DMN    0 . 2 2.M . D MN 6 Vậy  AB DM   3 cos ;  . Chọn B. 6
Câu 5: Do CD / / AB nên BA ;CD   BA;AB    ABA  45 . Chọn D.
Câu 6: Gọi K là điểm thuộc CD sao cho AK / / a 14 Dựng OE  AK thì OE  6
Mặt khác SO  AK  AE  SOE Ta có S ; A    S ;A AK    SAE AE
Xét tam giác vuông SAK ta có cos SAK  SA 2 2  a 2   a 14  Trong đó 2 2 AE  OA  OE        2   6      Trang 17 2 a a 2a 2 2 2  a AE  , SA  OA  SO   b  o c s SAK  = . Chọn C. 3 2 2 a 2 2 a  2 3 2 4b 3  b 2 DA  AB
Câu 7: Đặt AB  2a , do   DA  SAB DA  SA Do đó S ; D SAB   
DSA  45  SA  AD  2a
Gọi K là trung điểm AB  DK / /BI Do đó BI SD   DK SD  ; ;
Mặt khác SD  2a 2, SK  DK  a 5 DS  DK  SK Suy ra  2 2 2 10 cos SDK   2.DS.DK 5   SDK  50,77 . Chọn C.
Câu 8: Ta có AB / /CD nên SA CD   SA AB  ; ;
Mặt khác S.ABCD là chóp đều nên SA  SB do đó tam giác SAB đều nên  SAB  60 . Vậy SA CD   SA AB  ; ;   SAB  60 . Chọn A.
Câu 9: Ta có AC / /DF   AC BF    DF BF  ; ; Mặt khác 2 2
BD  BF  4a  a  a 5, DF  a FD  FB  BD Do đó  2 2 2 5 cos DFB    0 2.F . D FB 10 Vậy  AC BF   5 cos ;  . Chọn A. 10 AC  BD Câu 10: Ta có 
 AC  BDD  AC  BD AC  BB
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và B D  là 90 . Chọn B.
Câu 11: Đặt AB  a , ta có AC AC   AC AD   AC AD  / / ; ;
Mặt khác AD  DC  A C
   a 2  ADC là tam giác đều nên  DAC  60 Vậy  AC AD   AC A D    ; ;  
DAC  60 . Chọn B.
Câu 12: Đặt AD  2a , gọi Q là trung điểm B C   thì PQ / /B D
  / /MN do đó MN CP   PQ CP  ; ; B D   2a 2 Ta có PQ    a 2 2 2 Trang 18 CQ  CP   a2 2 2  a  a 5 PQ  PC  CQ Do đó  2 2 2 1 cos CPQ   2.P . Q PC 10 Vậy MN CP  1 cos ;  . Chọn C. 10
Câu 13: Ta có AC / / AC ( AB C  D là hình bình hành) Mà  DA C
  nhọn nên  AC; A D     AC ; AD    DAC Chọn B.
Câu 14: Ta có  AA ; B D     BB ;B D    BB C
  90 . Khẳng định B sai. Chọn B.  
Câu 15: Vì DH  AE ( ADHE là hình vuông)     Nên  A ; B DH    A ;BAE   
BAE  90 ( ABFE là hình vuông). Chọn B.  
Câu 16: Vì EG  AC ( AEGC là hình vuông)     Nên  A ; B EG   A ;BAC   
BAC  45 ( ABCD là hình vuông). Chọn C.
Câu 17: Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương. Khi đó, tam giác AB C  là
tam giác đều  AB  B C
  CA  a 2    B C  A  60
Lại có DA / /CB nên  AC; DA   AC;CB    ACB  60 . Chọn C.
         Câu 18: Ta có A .
B CD  AB  AD  AC  A . B AD  A . B AC          AB . AD cos A ; B AD  AB . AC cos A ; B AC     
 AB . AD cos 60  AB . AC cos 60 .     Mà AC  AD  A .
B CD  0   AB;CD  90 . Chọn D. Trang 19
        
Câu 19: Ta có SC.AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA        
 SC . SB cosSC;SB SC . SA cosSC;SA  SC.S . B cos  BSC  SC.S . A cos  ASC .   Mà SA  SB  SC và  BSC   ASC   SC.AB  0  
Do đó SC; AB  90 . Chọn D.  
      
Câu 20: Xét SC.AB  CS CB CA  CS.CA  CS.CB  CS.C . A cos  SCA  CS.C . B cos  SCB 2 2 2 2 2 2 SC  CA  SA SC  CB  SB  CS.C . A  CS.C . B 2.SC.CA 2.SC.CB 2 2 2 2 2 2 SC  CA  SA SC  CB  SB SA  SB    0 (do  ) 2 2 C  A  CB Vậy SC  AB . Chọn D.
    
    Câu 21: Xét S .
A BC  SASC  SB  S . A SC  S . A SB        SA . SC cosS ; A SC   SA . SB cos  SAB  S . A SC.cos  ASC  S . A S . B cos  SAB (1) SA chung  Ta có AB  AC  S  AB  S  AC (c – g – c)  SAB   SAC SC  SB  Suy ra  (2)  ASC   ASB   Từ (1) và (2) suy ra S .
A BC  0 . Vậy SA  BC . Chọn D.
Câu 22: Xét tam giác ICD có J là trung điểm
 1   CD  IJ  IC  ID 2 AB  AC  Tam giác ABC có 
 ABC đều  CI  AB  BAC  60
Tương tự ta có ABD đều nên DI  AB
  1    1   1  
Ta có IJ.AB  IC  ID.AB  IC.AB  I . D AB  0 2 2 2 Trang 20      IJ  AB   A ; B IJ   90. Chọn B.
Câu 23: Do ABCD là hình vuông cạnh a  AC  a 2 2 2 2 2
 AC  2a  SA  SC  SAC vuông tại S  1 
Ta có MN là đường trung bình của DSA  NM  SA 2
  1   Khi đó NM .SC  S .
A SC  0  MN  SC  MN; SC    90 . 2 Chọn C.
Câu 24: Vì AB / /CD nên S ; B CD   S ;B AB    SBA
Ta có SA   ABCD  SA  AB mà SA  AB  a 
SAB vuông cân tại A   SBA  45 . Vậy SB CD  ;   SBA  45 .Chọn D.
Câu 25: Kẻ MN / /SB  N  BC   SB; AM    MN; AM     AMN BN SM 1 BC SC Ta có    BN   2a; SM   3a BC SC 3 3 3 Suy ra 2 2 2 2 AN  AB  BN  2A . B BN.cos 60  28a SA  SC  AC Lại có  2 2 2 7 cos ASC   2.S . A SC 9 Suy ra 2 2 2 AM  SA  SM  SA SM  2 2 . .cos ASC  48a AM  MN  AN Do đó  2 2 2 56 14 cos AMN    . 2.AM .MN 12 48 3 48 Chọn D.
Câu 26: Gọi I là trung điểm SA  I là trung điểm ED Suy ra MI / / AD 
MI là đường trung bình EAD   1 MI  AD  2 1
Ta có NC / / AD  NC / /MI mà NC  AD  NC  MI 2
Do đó MNCI là hình bình hành  MN / /IC  MN BD   IC BD  ; ;
Lại có BD  SAC  BD  IC nên IC BD  ;  90 . Trang 21 Chọn B. Câu 27: Vì B D
  / /BD nên BA ; B D     BA;BD    A B  D Xét A B
 D có AB  BD  DA (3 đường chéo của ba mặt) Suy ra A B  D đều    ABD  60 . Chọn D
Câu 28: Gọi I  AM  BD nên IDM  IBA IM 1 2 2 5     IA  AM  IA 2 3 3
Kẻ IN / /SB  N  SD nên S ; B AM    IN; AI    AIN 1 5 Ta có IN  SB  ; 3 3 17 Và 2 2 AN  AD  DN  2A . D DN.cos  ADN  ; 3 AI  IN  AN Suy ra  2 2 2 2 cos AIN   . Chọn A. 2.AI.IN 5
Câu 29: Gọi N là trung điểm AD  MN / / AD mà AD / / B C   MN / /B C  Do đó B C  ;C M     MN;C M      C M  N 5 1 2 Tam giác C M  N có C M   C N   ; MN  AD  2 2 2 C M   MN  C N    Suy ra  2 2 2 1 2 1 cos C M  N   :  5.   . Chọn B. 2.C M  .MN 2  2  10   SA  BD Câu 30: Ta có 
 BD  SAC  BD  SO . Chọn A. AC  BD Câu 31: Ta có B D
  / /BD  BC ; B D     BC ;BD    C B  D Tam giác C B
 D có BC  DC  BD (3 đường chéo 3 mặt bên) Suy ra C B
 D là tam giác đều   C B  D  60 . Chọn A. 1 1
Câu 32: Ta có IF / /CD, IF  CD và EJ / /CD, EJ  CD 2 2
Suy ra IF / /EJ, IF  EJ 
 IJEF là hình bình hành 1 1
Lại có IJ  AB  CD  IJ  IF  IJEF là hình thoi  IE  JF . Chọn C. 2 2 Trang 22
Câu 33: Gọi F là trung điểm BC   EF / / AB Do đó  A ; B DE    EF;DE    DEF BC  CD Ta có 
 CD   ABC  CD  AC AB  CD a 6 a 6
Tam giác DEF vuông tại F , có EF  ; DE  4 2 EF a 6 a 6 1 Suy ra cos  DEF   :    DEF  60 . Chọn B. DE 4 2 2
Câu 34: Gọi N là trung điểm AB   MN / / AC Do đó  AC;OM    MN;OM     OMN a 2 AC a 2
Tam giác OMN có OM  ON  ; MN   2 2 2 Suy ra OM  ON  MN   OMN đều   OMN  60 Chọn D.
Câu 35: Gọi N là trung điểm AD   MN / / AC Do đó  AC; BM    MN;BM     BMN a 3 a
Tam giác BMN có BM  BN  ; MN  2 2 BM  MN  BN a a Suy ra  2 2 2 2 3 3 cos BMN   :  . 2.BM .MN 4 2 6 Chọn C. AC  B D   Câu 36: Ta có   AC  BDD B    A C    BD . Chọn C. AC  B B 
Câu 37: Gọi P là trung điểm CD   NP / /BC Do đó MN; BC   MN;NP    MNP  
Tam giác MNP có MN  8, MP  7, NP  3 MN  PN  MP Suy ra  2 2 2 1 3 cos MNP    sin  . 2.MN.PN 2 2 Chọn B.
Câu 38: Gọi M là điểm đối xứng với A qua B   AB / /BM Do đó  AB ; BC   BM;BC    MBC Trang 23 Tam giác BB M  vuông tại 2 2 B  BM  BB  B M   a 3 Tam giác BB C   vuông tại 2 2
B  BC  BB  B C    a 3 Và 2 2 MC  B M   B C    2B M  .B C  .cos  MB C    a 3 Suy ra BMC đều    MBC  60 . Chọn D.   P     ABC   MQ Câu 39:     MQ / / AB P / / AB
Tương tự ta có NP / / AB  NP / /MQ và PQ / /MN / /CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành AB  CD 
Mặt khác AB / /MQ  PQ  MQ do đó tứ giác MNPQ là hình chữ C  D / /PQ  nhật. Chọn C.
Câu 40: Đặt cạnh các tam giác đều bằng a .
Gọi I là trung điểm AB thì CI  AB
Mặt khác C I  AB nên AB   AIC   AB  CC CC a
Lại có MQ / /CC và MQ 
 (tính chất đường trung bình), 2 2 a a
tương tự ta có NP / /CC , NP  , PQ  2 2 MQ / /CC 
Suy ra MNPQ là hình thoi, mặt khác PQ / / AB C  C  AB 
 MQ  PQ suy ra MNPQ là hình vuông. Chọn C.
Câu 41: Do MN / / AB , theo định lý Talet ta có MN CM   x  MN  . x AB  6x AB CB MQ BM Tương tự MQ / /CD    1 x CD BC
 MQ  1 xCD  61 x
Lại có MN / / AB , MQ CD  MN MQ   AB CD  / / ; ;  90 Khi đó S  S  MN MQ MN MQ  2 . sin ; MNPQ MNQ Trang 24  x   x   x  x    x  2 2 36 1 sin 90 36 36 9 6 3  9 Do đó S   9  MNPQ  . Chọn A. max Trang 25