Tài liệu học tập HK2 Toán 11 – Huỳnh Phú Sĩ

Tài liệu gồm 74 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Huỳnh Phú Sĩ, tổng hợp lý thuyết cần nắm và tuyển chọn các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm môn Toán 11 

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

74 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 1 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
KẾ HOẠCH HOẠT ĐỘNG
Học kỳ II
Tuần Thứ Nội dung
20
21
22
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 2 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
23
24
25
26
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 3 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
27
28
29
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 4 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
30
31
32
33
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 5 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
34
35
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 6 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
Chương 3. Dãy số Trang 7 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
1
n
Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với
1
n k
. (giả thiết quy nạp)
Bước 3. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với
n
.........
Chú ý
Trong bước 3, ta phải sử dụng giả thiết quy nạp (Bước 2) để chứng minh cho
1
n k
Nếu đề yêu cầu chứng minh mệnh đề đúng với
n p
, ở Bước 1, ta sẽ kiểm tra mệnh đề đúng
với
n
...... , còn giả thiết quy nạp thì
n k
......
Ví dụ: Chứng minh rằng
a)
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n
,
*
n
b)
3
n
n
chia hết cho 3,
*
n
c)
3 3 1
n
n
,
*
n
và
2
n
Chương 3. Dãy số Trang 8 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
3.1.1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với
*
n
:
a)
2
1 3 5 ... (2 1)
n n
b)
(3 1)
2 5 8 ... (3 1)
2
n n
n
c)
1
...
1 1 1 1 2
2 4 8
2 2
n
n n
d)
( 1) ( 1)( 2)
1 3 6 10 ...
2 6
n n n n n
e)
2
2 2 2 2
1)
3 5 ..
(4
1 . (2 1)
3
n
n n
f)
2
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
4 9 1
1
2
6
n
n
n
g)
( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1)
3
n n n
n n
h)
2
1.4 2.7 3.10 ... (3 1) ( 1)
n n n n
3.1.2. Với
*
n
, chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3 3 1
n
n
,
2
n
b)
1
3 ( 2)
n
n n
,
4
n
c)
1
2 2 3
n
n
,
2
n
d)
3
1
2
3
n
n
,
8
n
e)
2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
2
.. 2
1
3
n
n
,
2
n
f)
1 1 1 13
...
1 2 24
n n n n
,
2
n
3.1.3. Chứng minh rằng với
*
n
, ta có:
a)
3 2
3 5
n
n
n
chia hết cho 3 b)
13
1
n
chia hết cho 6
c)
4
15 1
n
n
chia hết cho 9 d)
2 1
2
3 2
n n
chia hết cho 7
e)
2 2 2 1
7.2 3
n n
chia hết cho 5
Chương 3. Dãy số Trang 9 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Dãy số Trang 10 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi ........... số u xác định trên tập các số nguyên dương ......... được gọi là một dãy số
vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
*
( )
:
n
n u n u
u
(
)
n
u
: dãy số
(
)
n
u
1
u
: số hạng ….......
n
u
: số hạng thứ n, còn gọi là số hạng …...................
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập
{1,2,3,..., }
M m
,
*
m
, được gọi là dãy số hữu
hạn.
Khi đó dãy số có m số hạng, với số hạng đầu
1
u
và số hạng cuối
m
u
.
Ví dụ 1. -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là một dãy số hữu hạn có
1
u
....... và
7
u
.......
II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ 2. Viết 5 số hạng đầu của dãy số
(
)
n
u
có số hạng tổng quát
2
3 1
n
n
u
n
.
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ 3. Dãy số
(
)
n
u
với các số hạng là giá trị gần đúng thiếu của số
π
với sai số tuyệt
đối
10
n
thì
1
3,1
u
;
2
3,14
u
;
3
3,131
u
;
4
3,1415
u
;…
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ 4. Dãy số Fibonacci được xác định bởi công thức truy hồi sau
1 2
1 2
1
n n n
u
u u u
u
với
3
n
Hãy liệt kê 5 số hạng đầu của dãy số trên.
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Vì dãy số là một hàm số trên
*
nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó, trong
mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ
;
n
n u
.
Ví dụ 5. Dãy số
(
)
n
u
với
1
n
n
u
n
có biểu diễn hình học như sau:
Chương 3. Dãy số Trang 11 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là dãy số ............ nếu
1
n n
u
u
với mọi
*
n
.
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là dãy số ............ nếu
1
n n
u
u
với mọi
*
n
.
Ví dụ 6. Xét tính tăng giảm của các dãy số
(
)
n
u
sau, biết:
a)
2 1
n
u n
b)
1
n
u
n
2. Dãy số bị chặn
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là bị chặn ............ nếu tồn tại số M sao cho
n
u
M
,
*
n
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là bị chặn ............ nếu tồn tại số m sao cho
n
u
m
,
*
n
Dãy số
(
)
n
u
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
Ví dụ 7. Dãy số Fibonacci bị chặn dưới vì
n
u
......,
*
n
;
Dãy số
(
)
n
u
với
1
n
u
n
bị chặn vì ......
1
n
......,
*
n
B. THỰC HÀNH
3.2.1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát
n
u
cho bởi công thức:
a)
2
1
n
n
n
u
b)
1
2
1
2
n
n
n
u
c)
1
1
n
n
u
n
d)
2
1
n
n
u
n
e)
1
1
1
2 3
n n
u
u u
f)
2
1 1
1
15, 9
n n n
u
u u
u
3.2.2. Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh các công thức số hạng tổng quát sau:
a)
3 4
n
u
n
với
1
1
1
3
n n
u
u u
b)
8
n
u n
với
1
1
2
3
1
n n
u
u u
3.2.3. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un của các dãy số
n
u
cho bởi:
a)
1
1
2
1
3
nn
u
u
u
b)
1
1
1
5
nn
u
u
u
c)
1
1
5
1
n
n
u
u
u
d)
1
1
3
n n
u
u
u n
3.2.4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số
n
u
, biết:
a)
1
5
3
n
n
n
u
b)
2
2
n
n
u
n
c)
2 1
3 2
n
n
u
n
d)
2
n
n
u
n
e)
( 1)
2
n
n
u
n
f) 1
3
4
( )
n
n
n
u
n
g)
2
1
1
n
n
nn
u
n
h) 3
n
u n
n
3.2.5. Xét tính bị chặn của các dãy số
n
u
, biết:
n
u
n
u
5
u
4
u
3
u
2
u
1
5
43
2
1
0
Chương 3. Dãy số Trang 12 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
a) co
2
s
n
u
n
π
b)
c s
2
( o1)
n
n
u
n
π
c)
2
2 1
n
u n
d)
1
( 2)
n
n
u
n
e)
1
2
1
n
n
u
f)
2
2
n
n n
n
u
n
Chương 3. Dãy số Trang 13 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Dãy số Trang 14 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một ............ số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó ............. với một số không đổi d.
Số d được gọi là công .......... của cấp số cộng.
*
1
,
n
d nu
Ví dụ 1. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số cộng, trong đó điểm hai
bài đầu lần lượt là 1,2 và 3,6. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 3 của Nhân được bao nhiêu điểm?
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Nếu cấp số cộng
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai d thì số hạng tổng quát
n
u
được
xác định bởi công thức:
1
, 2
n
u d
u
n
Ví dụ 2. Bạn Nhân hít đất mỗi lần chỉ được 10 cái. Bạn quyết tâm nâng con số này lên bằng
cách luyện tập, cứ mỗi ngày sẽ tăng thêm 2 cái. Hỏi sau một tuần, bạn Nhân sẽ hít đất được mấy cái?
III. TÍNH CHẤT
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình
cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
1 1
,
2
k k k
u k
u u
Ví dụ 3. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số cộng, trong đó bài đầu
và bài cuối lần lượt là 1,2 và 3,6. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 2 của Nhân được bao nhiêu điểm?
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số cộng
n
u
. Đặt
1 2
...
n n
S
u u u
. Khi đó
1 1
( ) [ ]
2 2
n
n n
uS
u d
Ví dụ 4. Bạn Nhân trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ 1 có 1 cây, hàng
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây… Hỏi có bao nhiêu hàng?
Chương 3. Dãy số Trang 15 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
3.3.1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó, hãy tìm công sai của cấp số cộng đó:
a)
2
n
u
n
b)
2
3
n
n
u
c)
7 3
2
n
n
u
d)
( 1) 2
n
n
u
n
3.3.2. Hãy điền các số thích hợp vào ô trống:
1
u
d
n
u
n
n
S
-2 55 20
4
15 120
3
4
27
7
17 12 72
2
5
205
3.3.3. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau:
a)
1 3 5
1 6
10
17
u u
u u
u
b)
9 2
13 6
2
5
5
u
uu
u
c)
7 3
2 7
8
75
u
u
u
u
d)
2 2
1 2
2 4
5
25
u
u
u
u
3.3.4. Một cấp số cộng có 16 số hạng, biết tổng của số hạng đầu và cuối là 45. Hãy tính tổng của các số
hạng đó.
3.3.5. Cho một cấp số cộng có
5 31
24
u
u
. Tính tổng 35 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
3.3.6. Cho cấp số cộng có
2000 2011
500
u
u
. Tính tổng 4010 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
3.3.7. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
3.3.8. Tính các tổng sau:
a)
15 20 25 7515
P
b)
2 2 2 2 2 2
1000 998
999 997 2 1
S
Chương 3. Dãy số Trang 16 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Dãy số Trang 17 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số nhân là một ........... số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số hạng đều là ........... của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công .......... của cấp số nhân.
*
1
,.
n
u q n
Ví dụ 1. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số nhân, trong đó điểm hai
bài đầu lần lượt là 1,2 và 2,4. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 3 của Nhân được bao nhiêu điểm?
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Nếu cấp số nhân
(
)
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công bội q thì số hạng tổng quát
n
u
được
xác định bởi công thức:
1
1
.
, 2
n
n
u nu
Ví dụ 2. Bạn Nhân thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng
nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới, và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích
của đế tháp. Biết rằng diện tích mặt đế tháp là 12288
2
m
. Tính diện tích mặt trên cùng.
III. TÍNH CHẤT
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều
là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
1 1
,
2
k k
u k
u
Ví dụ 3. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số nhân, trong đó bài đầu
và bài cuối lần lượt là 1,2 và 7,5. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 2 của Nhân được bao nhiêu điểm?
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
Cho cấp số nhân
(
)
n
u
. Đặt
1 2
n n
u u
S
u
. Khi đó
1
1
n
n
q
S
q
Ví dụ 4. Để đón Tết, hai bạn Bình và Dương quyết định lì xì lẫn nhau trong suốt 15 ngày theo
quy tắc sau: ngày thứ nhất, Bình lì xì Dương 1 triệu, còn Dương lì xì Bình 1 nghìn; kể từ ngày thứ hai,
Bình vẫn lì xì Dương 1 triệu nhưng Dương sẽ lì xì cho Bình số tiền gấp đôi của ngày hôm trước. Hỏi
sau khi kết thúc, ai nhận được nhiều tiền lì xì hơn?
Chương 3. Dãy số Trang 18 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
3.4.1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân, khi đó, hãy tìm công bội của cấp số nhân đó:
a)
3
n
u
n
b)
2
n
n
u
c)
5
2
n
n
u d)
1
2
1
2
n n
u
u
u
3.4.2. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
a)
3 5
2 6
90
240
u
u u
u
b)
1 3 5
1 7
5
325
6
u u
u
u
u
c)
1 5
2 3 4
1
25
3
.u
u u u
u
d)
1 2 3
1 2 3
14
64
u u u
u u u
3.4.3. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số
hạng sau là 62.
3.4.4. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi
với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
3.4.5. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
A. Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?
B. Nếu có
5
10
tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
3.4.6. Tính các tổng sau:
a)
10
1 2 4 2
A
b)
27 81 243 531441
B
c)
9
1 1
1
3 9
1
3
C
Chương 3. Dãy số Trang 19 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Dãy số Trang 20 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ÔN TẬP CHƯƠNG 3
Câu 1. Với mọi số nguyên dương n, tổng
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 ( 1)
n n
bằng
A.
1
1
n
B.
1
n
n
C.
2
n
n
D.
1
2
n
n
Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng
1 3 5 (2 1)
n
bằng
A.
2
n
B.
2
( 1)
n
C.
2
( 1)
n
D.
2
(2 1)
n
Câu 3. Bất đẳng thức
1 1 1 13
1 2 24
n n n n
đúng với số nhừng số nguyên nào sau đây?
A.
0
n
B.
1
n
C.
2
n
D.
3
n
Câu 4. Với
2
n
, đẳng thức
(3 1)
2 5 8 (3 1)
2
n n
n
trở thành
A.
2(3.2 1)
2
2
B.
1(3.1 1)
2
2
C.
2(3.2 1)
2 5
2
D.
1(3.1 1)
2 5
2
Câu 5. Với mọi số tự nhiên
2
n
, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
3
4 1
n
n
B.
3
4 2
n
n
C.
3
3 2
n
n
D.
3
3 5
n
n
Câu 6. Với mọi số nguyên dương n, tổng
3
11
n
n
chia hết cho
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
Câu 7. Với mọi số nguyên dương n, tổng
3 2 3 1
5.2 3
n n
chia hết cho
A. 5 B. 7 C. 4 D. 19
Câu 8. Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh, với
3
n
, là
A.
.180
o
n
B.
( 1).180
o
n C.
( 2).180
o
n D.
(2 5).180
o
n
Câu 9. Tìm số nguyên p nhỏ nhất để
2
2 1
n
n
với mọi số nguyên
n
p
.
A.
2
p
B.
3
p
C.
4
p
D.
5
p
Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n để
2 2 2 2
2 3 2018
1
n
.
A.
17
n
B.
18
n
C.
19
n
D.
20
n
Câu 11. Dãy số
(
)
n
u
: xác định bởi
2 1
n
u
n
là
A. Dãy các số tự nhiên B. Dãy các số tự nhiên lẻ
C. Dãy các số tự nhiên chẵn D. Dãy số 1; 1; 1; 1; ...
Câu 12. Số hạng thứ 5 của dãy số
(
)
n
u
:
1
1
1
3
n n
u
u u
là
A. 2 B. 5 C. 8 D. 11
Câu 13. Số hạng tổng quát của dãy số
(
)
n
u
:
1
1
2
1
1
n n
u
u u
là
A.
2
n
u B.
2 1
n
u n
C.
3 2
n
u n
D.
n
u
n
Câu 14. Cho dãy số
(
)
n
u
có số hạng tổng quát
( 1)
2
n
n n
u
. Tổng của 10 số hạng đầu bằng
A. 55 B. 220 C. 286 D. 165
Câu 15. Hãy cho biết tính đơn điệu của dãy số
2 1
:
1
n n
n
u
n
u
.
A. Tăng B. Giảm
Chương 3. Dãy số Trang 21 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
C. Không tăng không giảm D. Vừa tăng vừa giảm
Câu 16. Hãy cho biết tính đơn điệu của hay dãy số
5cos
n
u n
và
3.( 1)
n
n
u
.
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng không giảm D. Vừa tăng vừa giảm
Câu 17. Dãy số nào sau đây đơn điệu?
A.
3.( 1)
n
n
u
B.
1
7
n
n
u
C.
5cos
n
u n
D.
2 1
1
n
n
n
u
Câu 18. Kết luận nào sau đây đúng về dãy số
1
1
:
( )
n n
n
u
n
u
?
A.
n
u
bị chặn trên bởi
1
2
B.
n
u
bị chặn trên bởi 1
C.
n
u
bị chặn dưới bởi 0 D. Cả a, b, c đều đúng
Câu 19. Kết luận nào sau đây đúng về dãy số
2
1
:
n n
u u
n
n
?
A.
n
u
bị chặn dưới B.
n
u
bị chặn trên C.
n
u
bị chặn D.
n
u
không bị chặn
Câu 20. Dãy số nào sau đây bị chặn?
A.
2 1
n
u n
B.
2
1
n
u
n
n
C.
2
n
n
u
D.
2
1
n
u
n
n
Câu 21. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
A. -6;-3;3;6;9;... B. ...;2;4;8;12;16;... C. 1;2;4;8;16;... D.
3; ; 3
x x x
Câu 22. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
A.
u ( 1)
n
n
B.
3 2
n
u
n
C.
3 2
n
n
u
D.
1
2
n
n
u
Câu 23. Số đo ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng, kết quả nào sau đây có thể xảy ra:
A.
40 ;60 ;80
o o o
B.
30 ;60 ;90
o o o
C.
10 ;60 ;110
o o o
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 24. Một tứ giác có số đo bốn góc lập thành một cấp số cộng. Biết rằng một góc có số đo
30
o
, tìm
các góc còn lại.
A.
75 ;120 ;165
o o o
B.
72 ;114 ;156
o o o
C.
70 ;110 ;150
o o o
D.
80 ;110 ;135
o o o
Câu 25. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng có
4
10
u
và
7
19
u
:
A.
1
1
u
và
3
d
B.
1
1
u
và
2
d
C.
1
2
u
và
2
d
D.
1
2
u
và
3
d
Câu 26. Cho một cấp số cộng có
5
19
u
và
10
34
u
. Số hạng thứ 20 có giá trị bằng
A. 54 B. 94 C. 64 D. 104
Câu 27. Một cấp số cộng có
4
12
u
và
14
18
u
. Tổng của 16 số hạng đầu tiên bằng
A. 24 B.
24
C. 26 D.
25
Câu 28. Cho cấp số cộng có
10
100
S
và
100
10
S
. Khi đó
110
S
bằng
A. 90 B.
90
C. 110 D. -110
Câu 29. Xác định x để ba số
2
1 ; ;1
x x x
lập thành một cấp số cộng.
A. 1 B. .. C.
1
D. 0
Câu 30. Tính tổng
1 3 5 99
S
:
A. 2500 B. 50 C. 100 D. 250
Câu 31. Dãy số nào sau đây không phải cấp số nhân?
Chương 3. Dãy số Trang 22 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
A.
1 1 1
; ;
5 2 1 5
;
5
1
2
B.
1 1 1
; ; ;1
8 4 2
C.
4 4 4 4
2;2 2;4 2;8 2
D.
1 1 1
; ;
3 9
1;
27
Câu 32. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
A.
7 3
n
u n
B.
7 3
n
n
u
C.
7 3
n
n
u
D.
3( 7)
n
u n
Câu 33. Cấp số nhân
n
x
có
2
3
x
và
4
27
x
. Tìm số hạng đầu và công bội của nó?
A.
1
1
1 3
1 3
qx
x q
B.
1
1
1 3
1 3
q
q
x
x
C.
1
1
3 1
3 1
x
x
q
q
D.
1
1
3 1
3 1
x q
x q
Câu 34. Cấp số nhân
n
a
có
2
3
a
và
4
27
a
. Tìm số hạng thứ 10 của nó?
A.
1024
B.
19683
C. 19683 D.
19683
Câu 35. Tìm x, y sau cho dãy số x, 12, y, 192 lập thành một cấp số nhân?
A.
3; 48
4; 36
x y
x y
B.
3; 48
2; 72
x y
x y
C.
3; 48
3; 48
x y
x y
D.
3; 48
3; 48
x y
x y
Câu 36. Cho cấp số nhân
n
u
có
1
5
u
,
3
q
và
200
n
S
. Tìm n.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Câu 37. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc thứ ba
gấp 9 lần số đo của góc nhỏ nhất. Hãy tìm số đo của các góc trong tứ giác đó?
A.
5 ; 15 ; 45 ; 225
o o o o
B.
9 ; 27 ; 81 ; 243
o o o o
C.
7 ; 21 ; 63 ; 269
o o o o
D.
8 ; 32 ; 72 ; 248
o o o o
Câu 38. Tính tổng
2 12
1 10 10 10
S
?
A.
13
1
10
9
1
B.
13
10
1
C.
13
1
1 10
9
D. Đáp án khác
Câu 39. Cho cấp số nhân
n
u
có
2
4
S
và
3
13
S
. Tìm
5
S
.
A. 121 hoặc
181
16
B. 121 hoặc
35
16
C. 144 hoặc
185
16
D. 141 hoặc
183
16
Câu 40. Bạn Cảnh gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% một năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (lãi
kép). Hỏi sau 10 năm, số tiền cả vốn lẫn lãi mà Cảnh nhận được là khoảng bao nhiêu?
A. 196.715.000 đồng B. 196.716.000 đồng C. 183.845.000 đồng D. 183.846.000 đồng
Chương 4. Giới hạn Trang 23 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 4. GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Ta nói dãy số
(
)
n
u
có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu
n
u
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
lim 0
n
n
u

(hay
lim 0
n
u
) hay
0
n
u
khi
n

Định nghĩa 2. Ta nói dãy số
n
v
có giới hạn là số a (hay
n
v
dần tới a) khi
n

,
nếu
(
lim ) 0
n
n
v
a

.
Kí hiệu:
lim
n
n
v
a

(hay
lim
n
v a
) hay
n
v
a
khi
n

Ví dụ 1. Cho dãy số
(
)
n
u
với
3
2 3
2
2018
5
2
1
n
n
n n
n
u
. Ghi các giá trị tương ứng vào bảng sau:
n
1
10
100
999
999999
999999999
n
u
Khi
n

thì
n
u
......
2. Một vài giới hạn hữu hạn
lim
1
n
lim
1
k
n
,
*
k
lim
c
(c là hằng số) lim
n
q
nếu
1
1
q
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
) li
lim
m lim
(
n n n n
v u v
u
) li
lim
m lim
(
n n n n
v u
u
v
) li
lim
m lim
(
n n n n
v u v
u
lim
lim
lim
n n
n n
u u
v v
Nếu
0
n
u
với mọi n thì
lim
0
n
u
và lim lim
n n
u
u
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
a)
3
1 3
5
lim 2016
n
n
b)
2
3
im
1
1
l
1
n
n
c)
2
2
3
lim
1
n n
n
d)
1 4
lim
1 2
n
n
e)
2.5
3
lim
7 3.5
n n
n
Chương 4. Giới hạn Trang 24 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân hạn
(
)
n
u
có công bội q (
q
), được gọi là cấp số nhân lùi vô
hạn.
VD: 1;
1
2
;
1
4
;
1
8
;…
lim
1
n
S S
Ví dụ 3. Tính các tổng sau:
a)
1
1 1 1
2 4 8
S
b)
2
2 4 8
1
3 9 27
S
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn
khi
n

, nếu
n
u
có thể lớn hơn một số dương
bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
lim
n
u

hay
n
u

khi
n

Ta nói dãy số
n
u
có giới hạn

khi
n

, nếu
lim
n
u

.
Kí hiệu:
lim
n
u

hay
n
u

khi
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt
lim
k
n
,
*
k
lim
n
q
nếu
1
q
Chương 4. Giới hạn Trang 25 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
3. Định lí
lim 0
lim
lim
n
n n
v
u a
v
u v

lim 0
lim
lim
n
n n
v
u a
v
u v

lim 0
lim 0 lim
0
n
n
v
n
n
v
u a
u
v
v
lim 0
lim 0 lim
0
n
n
v
n
n
v
u a
u
v
v
lim
lim
lim
n
n
v
n
u a
u
v
v

Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
l
2 5
3
)
im( n n
b)
2 3
2 3 5
lim
2 3
n n
n
B. THỰC HÀNH
4.1.1. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
6 1
lim
3
2
n
n
b)
2
2
5
1
3
lim
2
nn
n
c)
2
im
4
9 1
l
2
n n
n
d)
3
3
2
lim
5 3
n
n
n
e)
2
9 2 3
lim
4 3
n n n
n
f)
3
2 6
4 2
li
1
m
1
n
n
n n
g)
2.5
3
lim
7 3.5
n n
n
h)
1
1
11
5
lim
3 11
n n
n n
i)
2
1lim
n n n
j)
2
4 2 2
lim
n n n
k)
3
3 2
l m 2i
n n n
4.1.2. Tìm các giới hạn sau:
a)
3 2
2li
1
m n nn
b)
2
im
5 2
l nn
c)
3
6 3
2 5lim
7
n n n
d)
lim 2
3
n n
e)
3
2
35
lim
1
1
nn
n
f)
2
1lim
n n n
g)
2
4 2 2
lim
n n n
4.1.3. Tính các tổng sau:
a)
1 1 1
2 4 8
A
b)
1 1 1
3 9 27
B
c)
1 1
1
10 100
C
4.1.4. Hãy viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 0,333… b)
0,111...
c) 0,999…
d) -1,020202… e) 0,353535… f) 3,123123123…
4.1.5. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình
vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, …, n, …,
trong đó cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.
Chương 4. Giới hạn Trang 26 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
3
2
1
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) Gọi
n
u
là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính
1
u
,
2
u
,
3
u
và
n
u
.
b) Tính
lim
n
S
với
1 2 3
n n
u u u
S
u
.
Chương 4. Giới hạn Trang 27 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 4. Giới hạn Trang 28 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số
( )
y f x
xác định trên K hoặc trên
0
\
K x
.
Ta nói hàm số
( )
y f x
có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số
(
)
n
x
bất kì,
0 0
\
x K x
và
0
n
x
x
, ta có
)
(
n
f x
L
.
Kí hiệu:
0
(
l m
)
i
x x
f x L
hay
( )
f x
khi
0
x
x
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
6
3 3
( )
x
f x
x
. Ghi các giá trị tương ứng vào bảng sau:
x
5,9
9
5,99
99
5,9999
99
6
6,
0
1
6,0
00
1
6,000
00
1
( )
f x
Khi
6
x
thì
( )
f x
?
Nhận xét
0
lim
x x
x
0
lim
x x
c
, với c là hằng số
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
0 0 0
lim li( ) ( ) m l( ) i
)
m
(
x x x x x x
f x g x f x g x
0 0 0
lim li( ) ( ) m l( ) i
)
m
(
x x x x x x
f x g x f x g x
0 0 0
lim li( ) ( ) m l( ) i
)
m
(
x x x x x x
f x g x f x g x
0
0
0
( )
( )
lim
lim
m( ) l
)
i
(
x x
x x
x x
f x
f x
g x g x
, nếu
0
)
im 0
(
l
x x
g x
Nếu
( )
0
f x
thì
0
)
im 0
(
l
x x
f x
và
0 0
lim ( ) l m
(
i
)
x x x x
f
x
x
f
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
a)
3
1
2
lim 3 2016
x
x x
b)
2
2
4
lim
2
x
x
x
3. Giới hạn một bên
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
0
;
x
b
.
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số
( )
y f x
khi
0
x
x
nếu với dãy số
n
x
bất kì,
0 n
x
x b
và
0
n
x
x
, ta có
)
(
n
f x
L
.
Kí hiệu:
0
lim
( )
x x
f x L
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
0
;
a x
.
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số
( )
y f x
khi
0
x
x
nếu với dãy số
n
x
bất kì,
0
n
a
x x
và
0
n
x
x
, ta có
)
(
n
f x
L
.
Kí hiệu:
0
lim
( )
x x
f x L
0
0
0
(lim
lim
lim
)
( )
( )
x x
x x
x x
f x
f x L
f x
Chương 4. Giới hạn Trang 29 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra (nếu có):
a)
2
5 2
( )
1
3 1
x
f x
x
khi x
khi x
tại
0
1
x
b)
( ) | 2|
f x x
tại
0
2
x
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
(
)
;
a
.
Ta nói hàm số
( )
y f x
có giới hạn là số L khi
x

nếu với dãy số
n
x
bất kì,
n
x
a
và
n
x

, ta có
)
(
n
f x
L
.
Kí hiệu:
(
im
)
l
x
f x L

hay
( )
f x
L
khi
n

Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
(
; )
a
.
Ta nói hàm số
( )
y f x
có giới hạn là số L khi
x

nếu với dãy số
n
x
bất kì,
n
x
a
và
n
x

, ta có
)
(
n
f x
L
.
Kí hiệu:
(
im
)
l
x
f x L

hay
( )
f x
L
khi
n
x

Nhận xét
lim
k
x
c
x

lim
x
c

, với c là hằng số
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
lim 1
2
x
x x

b)
2
2
m
2
l
3
1
i
x
x
x
x

c)
2
l m
5 2
1
i
x
x
x
x

Chương 4. Giới hạn Trang 30 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
(
)
;
a
.
Ta nói hàm số
( )
y f x
có giới hạn là
khi
x

nếu với dãy số
n
x
bất kì,
n
x
a
và
n
x

, ta có
)
(
n
f x

.
Kí hiệu:
lim
( )
x
f x

hay
( )
f x

khi
x

.
Nhận xét
( ) ( )
lim lim
x x
f x f x
 
2. Một vài giới hạn đặc biệt
lim
k
x
x

với
*
k
lim
k
x
x

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
0
(
im
)
l
x x
f x
0
(
im
)
l
x x
g x
0
( )i
( )
l m
x x
f x g x
0
L
0
L
b) Quy tắc tìm giời hạn của thương
( )
( )
f x
g x
0
(
im
)
l
x x
f x
0
(
im
)
l
x x
g x
Dấu của g(x)
0
( )
( )
lim
x x
f x
g x
L

Tùy ý
0
L
0
+
0
L
+
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
2
( 2
im
)
l
7
x
x
x
b)
2
2
l m
2
i
7
x
x
x
c)
2
2
l m
2
i
7
x
x
x
Chương 4. Giới hạn Trang 31 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
4.2.1. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
1
3
lim 2 1
x
x x
b)
3
2
2
3 )( 1)
lim
(
3
x
x
x
xx
c)
2
3
3
lim
6
x
x
x x
d)
3
2
3 2
l m
4
i
x
x x
x
e)
2
1
lim
1
1
x
x
x
f)
2
2
4
li
2
m
x
x
x
g)
2
3
4 3
l m
3
i
x
x x
x
h)
2
2
2
3 10
lim
5 2
3
x
x
x
x
x
i)
3 2
3
2
3 9 2
lim
6
x
x x
x
x
x
j)
6
3 3
l m
6
i
x
x
x
k)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
l)
0
3
1 4 1
lim
x
x
x
4.2.2. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
lim
1
17
x
x

b)
2
lim
6
4
x
x
x

c)
2
2
m
2
l
3
1
i
x
x
x
x

d)
2
2
lim
3
1
x
x x
x

e)
2
lim 1
2
x
x x

f)
2
5
2| | 1
2
lim
x
xx
x

g)
2 2
lim 1 9 2
x
x x x

h)
2
l m
5 2
1
i
x
x
x
x

i)
2
2
3
3 4
( 3
lim
)
x
xx
x
j)
3 2
2 2
2
3
lim
2 )
(
x
x x
x
x
k)
1
2
l m
1
7
i
x
x
x
l)
1
2
l m
1
7
i
x
x
x
m)
2
3
| 3
4
|
3
lim
x
xx
x
n)
2
3
| 3
4
|
3
lim
x
xx
x
p)
2
3
4 3
|
m
3
i
|
l
x
xx
x
4.2.3. Tìm giới hạn của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
( )
1 0
2 0
x
x
x
x
f
x
tại
0
0
x
b)
2
2
1 1
1
( )
1
x x x
f x
x
tại
0
1
x
c)
2
(
4
)
4
16
4
f x
x
x
x
x
tại
0
4
x
d)
2
2
3 2
1
1
1
2
( )
x
x
f x
x
x
x
x
tại
0
1
x
e)
2
3
3
9
( )
3
1
x
f x
x
x
x
x
tại
0
3
x
f)
2
|2 8| 3
4 3
3
( )
| 3|
f x
x
x
x x
x
x
tại
0
3
x
4.2.4. Hãy chỉ ra lỗi sai trong các lời giải sau:
a)
2
3 3
1 1
3 1 0 1
l
2 3 3
3
3
im lim lim lim
2
0 3
2
x x x x
x
x
x x
x x
x
x
x
   
b)
2
3 3 3
3 3)
lim lim lim
(
3
| 3| 3
x x x
x x x
x
x
x
x
Chương 4. Giới hạn Trang 32 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 4. Giới hạn Trang 33 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng K và
0
x
K
.
Hàm số
( )
y f x
được gọi là liên tục tại x0 nếu
0
l
(
i
)
m
x x
f x
.
Nếu hàm số
( )
y f x
không liên tục tại x0 thì ta gọi là ………………. tại x0.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
2
(
2
) 3f x xx
tại
0
3
x
b)
2
( )
2
4
x
f x
x
tại
0
2
x
c)
2
( )
2
4
x
f x
x
tại
0
3
x
d)
2
1 0
1 0
( )
x
x x
x
f x
tại
0
0
x
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số
( )
y f x
được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại …….. điểm
của khoảng đó.
Hàm số
( )
y f x
được gọi là liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
nếu nó liên tục trên khoảng
( ; )
a b
, đồng thời
( )
lim
x a
f x
và
( )
lim
x b
f x
Chương 4. Giới hạn Trang 34 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 2. Hàm số
2
(
2
) 3f x xx
liên tục trên
.
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là “đường ………......” trên khoảng đó.
Liên tục trên
Gián đoạn trên
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Định lí 1
Hàm đa thức liên tục trên …….
Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên ………………… của
tập xác định của chúng.
Ví dụ 3. Hàm số
2
( )
2
4
x
f x
x
liên tục trên …………………………….
Định lí 2
Giả sử hai hàm số
( )
y f x
và
( )
y g x
đều liên tục
tại
0
x
. Khi đó:
Các hàm số
( ) ( )
y f x g x
,
( ) ( )
y f x g x
và
( ) ( )
y f x g x
cũng liên tục tại
0
x
.
Hàm số
( )
( )
f x
y
g x
cũng liên tục tại x0 nếu
0
)
(
0
g x
.
Định lí 3
Nếu hàm số
( )
y f x
liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
và
( ) ( ) 0
f a f b
thì phương trình
( ) 0
f x
có ít nhất
một nghiệm nằm trong khoảng
( ; )
a b
.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình
a)
3
3 1 0
x
x
có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1)
b)
cos
x x
có nghiệm.
Chương 4. Giới hạn Trang 35 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
4.3.1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
3
( ) 2 5 7
f x x x
tại
0
2
x
b)
2 3
( )
3 2
x
f x
x
tại
0
2
3
x
c)
2
( )
1
1
x
x
f
x
tại
0
2016
x
d)
2
(
2
)
3
3
x
f x
x
x
tại
0
3
x
e)
3
1
( )
1
1 1
x
khi x
f x
x
khi x
tại
0
1
x
f)
2
2
1
1
( )
1
4 1 1
x
khi x
f x
x
x khi x
tại
0
1
x
g)
2
2 3
3
( )
3
3
x x
khi x
f x
x
khi x
tại
0
3
x
h)
2
2 5 4
( )
16
4
4
x khi x
f x
x
khi x
x
tại
0
4
x
i)
3
1 1
( )
3 2 1
x x khi x
f x
x khi x
tại
0
1
x
j)
2
5
5
( )
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x
x
x khi x
tại
0
5
x
4.3.2. Chứng minh rằng phương trình:
a)
3 2
3 5 1 0
x
x
x
có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1)
b)
4
2
4
3 0
x
x x
có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1;1)
c)
3
2
6 1 0
x
x
có ít nhất hai nghiệm d)
sin
x x
có nghiệm
e)
5
3 3 0
x
x
có nghiệm f)
4 3 2
3 1 0
x x
x
x
có nghiệm
g)
3
3 1 0
x
x
có đúng ba nghiệm h)
3 2
8 1 0
x x
x
có đúng ba nghiệm
Chương 4. Giới hạn Trang 36 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 4. Giới hạn Trang 37 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ÔN TẬP CHƯƠNG 4
Câu 1.
3 2
3 2
5
7
2 3
lim
n n n
n
n
bằng
A.
3
B. 1 C. 2 D. 0
Câu 2.
2
1
lim 5n n
bằng
A.
B.
C. 5 D.
1
Câu 3.
3
2
3
m
1
i
2
2
l
n
n
n
n
bằng
A. 1 B. 0 C.
D.
3
2
Câu 4.
( 1)
lim
( 1)
n
n n
bằng
A. 1 B.
1
C.
D. 0
Câu 5.
2
2l 3im nn
n
bằng
A. 1 B.
1
C.
D. 0
Câu 6.
2
2l 3im nn
n
bằng
A. 1 B.
1
C.
D. 0
Câu 7.
3
3
3im 8
2
l n n n
bằng
A.
B.
1
C.
D. 0
Câu 8.
3
2 3
lim
1 3 2
nn n n
bằng
A.
B.
C.
1
2
D.
1
2
Câu 9.
lim 5
2
n n
bằng
A.
B.
C. 3 D.
5
2
Câu 10.
1
lim 3.2 5.3 7
n n n
bằng
A.
B.
C. 3 D. -5
Câu 11.
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
bằng
A. 1 B. 7 C.
3
5
D.
7
5
Câu 12. Tổng
1 1
9 27
1 1
3 81
S
bằng
A.
20
81
B.
61
243
C.
1
4
D.
1
4
Câu 13. Số thập phân 0,515151… viết dưới dạng phân số là
A.
17
33
B.
51
100
C.
5151
10000
D.
515151
1000000
Chương 4. Giới hạn Trang 38 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 14.
2
3
1
lim
3
2
x
x
bằng
A.
B. 0 C.
5
3
3
D.
1
2
Câu 15.
2
2
2
4
lim
3 2
x
x
x
x
bằng
A. 1 B. 4 C.
2
D.
4
Câu 16.
3
1
2 1 3 2
im
1
l
x
x x
x
bằng
A. 1 B. 0 C.
D.
Câu 17.
3
5lim 2
x
x x

bằng
A.
2
B. 3 C.
D.
Câu 18.
3
5lim 2
x
x x

bằng
A.
2
B. 3 C.
D.
Câu 19. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A.
2
lim 2 5
x
xx


B.
2
lim 2 5
x
xx


C.
2
2
3 4
5 1
lim
3
x
xx
x

D.
2
2
3 4
5 1
lim
3
x
xx
x

Câu 20.
0
1 1
lim 1
1
x
x x
bằng
A. 0 B.
1
C. 1 D.
Câu 21. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A.
3
| 3|
i 1
3
l m
x
x
x
B.
3
| 3
li 1
|
3
m
x
x
x
C.
3
| 3|
3
lim
x
x
x
không tồn tại D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 22.
2
3
l m
2
i
7
x
x
x
bằng
A.
B.
C. 3 D.
7
2
Câu 23. Giới hạn nào sau đây là vô cực?
A.
2
3
2
2
1
lim
2
x
x
x
x
x
B.
3 2
2
2
2
2
lim
6
x
x
x
x
x
C.
2
4
3
9
(2 1)
lim
3
x
xx
x x
D.
2
4
1
(2 1)
lim
1
x
x
x
x
x
Câu 24. Cho hàm số
2
2
(
1
)
3
5
1
x kh
x kh
i x
i x
f x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
)
im
( 7
l
x
f x
B.
1
)
im
( 2
l
x
f x
C.
1
( )
m
7
li
x
f x
D.
1
( )
m
7
li
x
f x
Câu 25. Cho hàm số
2
2
( )
2
5 3
3
x khi x
m
khi
f x
x
x
x
. Tìm m để f(x) có giới hạn khi
3
x
?
A. 19 B. 1 C.
1
D.
19
Chương 4. Giới hạn Trang 39 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 26. Với giá trị nào của m thì hàm số
3
1
1
2 1
1 3
( )
1
khi x
mx khi
f
x
x
x
x
có giới hạn tại điểm
0
1
x
?
A. 2 B.
1
C. 1 D. 3
Câu 27. Cho hàm số
3 2
( )
7
x
f x
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng nhất?
A. f(x) liên tục tại mọi điểm B. f(x) liên tục tại
0
7
x
C. f(x) liên tục tại mọi điểm, trừ
0
7
x
D. f(x) gián đoạn tại
0
2019
x
Câu 28. Hàm số có đồ thị ở hình bên gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 29. Trường hợp nào làm cho hàm số
( )
f x
gián đoạn tại
0
x
?
A.
0
(
im
)
l
x x
f x
không tồn tại
B.
0
(
)
f x
không tồn tại
C.
0
0
( )
lim ( )
x x
f
f
x
x
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 30. Hàm số
2
2
( 1) 1
( )
1
1
5
3
1
khi x
x khi x
f x x
x khi x
gián đoạn tại
0
1
x
vì
A.
1 1
lim lim
( ) ( )
x x
f x f x
B.
)
(1
f
không tồn tại C.
1
(
1
)
lim ( )
x
f x
f
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 31. Hàm số
2 5
( )
4
x
f x
x
liên tục trên khoảng nào sau đây?
A.
5
;4
2
và
(4;
)
B.
5
;
2

C.
\{4}
D.
Câu 32. Tìm m để hàm số
2
3 2
2
(
2
)
2
3 2
x
khi x
mx khi
x
f
x
x
x
liên tục tại
0
2
x
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 33. Tìm m để hàm số
2
( )
2
3 2
2
2 2
x
khi x
x m khi
x
f
x
x
x
liên tục tại
0
2
x
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 34. Cho hàm số
2
2
2
3
( 1) 1
( )
1
1
khi x
k
x khi x
f x x
khi x
. Tìm k để
( )
f x
gián đoạn tại
0
1
x
?
A.
2
k
B.
2
k
C.
2
k
D.
1
k
Câu 35. Phương trình
4 3
8
24 8 1 0
x
x x
có đúng bao nhiêu nghiệm trên khoảng
( 1;3)
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 36. Phương trình
4 2
5 1 0
2
x
x
x
A. Không có nghiệm trên khoảng
( 1;1)
B. Không có nghiệm trên khoảng
( 2;0)
C. Chỉ có một nghiệm trên khoảng
( 2;1)
D. Có ít nhất hai nghiệm trên khoảng
(0;2)
Chương 5. Đạo hàm Trang 40 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 5. ĐẠO HÀM
ĐỊNH NGHĨA & Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Quảng đường s của chuyển động của một chất điểm là
một hàm số của thời gian t. Khi đó, vận tốc tức thời của chuyển động tại
thời điểm t0 là giới hạn sau (nếu có):
0
0
0
( ) (
)
lim
t t
s t s t
t t
b) Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t. Khi đó, cường độ
tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là giới hạn sau (nếu có):
0
0
0
( ) (
)
lim
t t
Q t Q t
t t
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng (a;b) và
0
( ; )
x
a b
. Nếu tồn tại giới hạn
(hữu hạn)
0
0
0
( ) (
)
lim
x x
f x f x
x x
thì giới hạn đó được gọi là ...................... của hàm số
( )
y f x
tại điểm x0 và kí hiệu là ........... (hoặc
0
'(
)
y x
), tức là:
0
0
0
0
)
) li
)
m
( (
'(
x x
f x f x
f x
x x
Chú ý
Đại lượng
0
Δ
x x x
được gọi là ............... của x tại
0
x
.
Đại lượng
0
Δ ( ) ( )
y f x f x
được gọi là ................ tương ứng của f.
Như vậy:
0
Δ 0
) lim'(
x
f x
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử
Δ
x
là số gia của x tại
0
x
. Khi đó:
0 0
Δ ( Δ ) ( )
y f x x f x
Bước 2. Lập tỉ số
Δ
Δ
y
x
Bước 3. Tìm
Δ 0
Δ
lim
Δ
x
y
x
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
2
( )
f x x
tại
0
3
x
b)
3
( )
f x x
tại
0
1
x
c) ( )
1
f x
x
tại
0
2
x
Chương 5. Đạo hàm Trang 41 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số ( )y f x có đạo hàm tại
0
x thì nó
liên tục tại điểm đó.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng (a;b) và có
đạo hàm tại
0
( ; )x a b . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Khi đó,
0
'( )f x là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm
0 0
; ( )x f xM .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0)
( )( )fy x
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
y x
a) Tại điểm (1;1)N b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Tại điểm có tung độ bằng 1 d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời:
0 0
'( ) ( )sv tt
b) Cường độ tức thời:
0 0
) ( )(I t Q t
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số ( )y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại .......
điểm x trên khoảng đó.
Chương 5. Đạo hàm Trang 42 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 3: Hàm số
2
y x
có đạo hàm
' 2
y x
trên
;
1
y
x
có đạo hàm
2
'
1
y
x
trên
\{0}
.
B. THỰC HÀNH
5.1.1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
y x
a) Tại điểm
( 1; 1)
M
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Tại điểm có tung độ bằng
8
d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
5.1.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
1
y
x
a) Tại điểm N
1
;2
2
b) Tại điểm có hoành độ bằng
1
c) Tại điểm có tung độ bằng 3 d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1
4
5.1.3. Cho đường cong
3 2
3
( ) :C y x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a) Tại điểm
(1; 2)
K
b) Tại điểm có hoành độ bằng
1
c) Tại giao điểm của (C) với trục tung d) Tại giao điểm của (C) với trục hoành
5.1.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
3
( ) :
1
1
x
C y
x
, biết tiếp tuyến đó
a) Có hệ số góc
1
k
b) Song song với
1
1
: 2016
4
y xd
c) Song song với
2
3
:
4 0
d x y
d) Vuông góc với
3
2 2 9
:
0
d x y
Chương 5. Đạo hàm Trang 43 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 5. Đạo hàm Trang 44 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
y y’
n
x
1
x
x
x
H
ằ
ng s
ố
C
sin
x
cos
x
tan
x
cot
x
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG
Định lí
( )'
u v
( )'
u v
( . )'
u v
'
u
v
0
v
Hệ quả
. '
k u
(k là hằng số)
1
'
v
0
v
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 3
2
3
2 3
x
x x
y b)
2sin 3cos
y x x
c)
1 2
3
x
y
x
III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
1. Hàm hợp
Ví dụ 2:
3 10
(1 2 )
y x ;
2
3 2016
x xy … là các hàm hợp.
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số
( )
u g x
có đạo hàm
'
x
u
và hàm số
( )
y f u
có đạo hàm
'
u
y
thì hàm
hợp
( )
y f g x
có đạo hàm tại x là
' ' .
x u
y y
Chương 5. Đạo hàm Trang 45 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
10
3
1 2y x b)
2
3 2016
x xy c)
3
1 cot3
cos x
x
y
B. THỰC HÀNH
5.2.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 3
1
2 2 5
3
y x x x
b)
5sin 3cos
y x x
c)
3 2
( 2)(1 )
y x x
d)
3 1
1
x
x
y
e)
2
3
1
3
xx
y
x
f)
cot
y x x
g)
2sin cos
y x x
h)
cos
sin
x
y
x
k)
sin cos
sin cos
x x
x x
y
5.2.2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 4
( 1)
y x x
b)
2 5
2
1
(
5)
y
xx
c)
2
2 5 2
y x x
d)
2
( 2) 3
y x x
e)
2
tan(
)
1
y x
f)
2
sin 1y
x
g)
1 2cot
y x
h)
2
2
1 cos
x
x
y
i)
2 2
ctan
ot
x x
y j)
2
(sin cos )
y x x
k)
sin(sin )
y x
5.2.3. Cho
3 2
3 2
y x x
. Tìm x để
a)
' 0
y
b)
' 3
y
5.2.4. Giải bất phương trình sau:
a)
0
'
y
, với
2
3
1
x
x
y
b)
' 0
y
, với
2
1
2
xx
y
x
c)
' 0
y
, với
2
1
4
2
x
y
x
x
d)
0
'
y
, với
2 2
2 5)
1
(
y
x x
5.2.5. Cho hai hàm số
3 2
( )
3
2f x x x
và
2
3
2
)
3
(g x x
x
. Giải bất phương trình
'
'(
(
)
)
f
g
x
x
.
5.3.6. Giải phương trình
' 0
y
, biết
a)
3cos 4sin 5
y x x x
b)
2
s n
cos
i
x x
y
Chương 5. Đạo hàm Trang 46 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 5. Đạo hàm Trang 47 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
VI PHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Ta gọi tích
'( .
Δ
)
f x
x
là vi phân của hàm số
( )
y f x
tại x ứng với số gia
Δ
x
, kí hiệu
là
( )
df x
hoặc
dy
, tức là
dy
dx
Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau:
a)
3
5 1
x
y x
b)
3
sin
y x
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
0 0 0
Δ ) ( )
(
'( ).
Δ
x f x f x x
f x
Ví dụ 2. Tính giá trị gần đúng của
99
và
3,99
(lấy 4 chữ số thập phân).
B. BÀI TẬP
5.3.1. Tìm vi phân của các hàm số sau:
a)
3
5 1
y x x
b)
3
sin
y x
c)
2 2
( 4 1)( )
y x x x x
d)
2
3
1
5
xx
y
x
e)
sin
y
x
x
f)
2
tan
y x
5.3.2. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân):
a)
3,99
b)
8,99
c)
9,01
d)
16,02
e)
cos91
o
f)
tan44
o
Chương 5. Đạo hàm Trang 48 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
Đạo hàm cấp 2: '' ( ')'y y
Đạo hàm cấp 3: ''' ( '')'y y
Đạo hàm cấp 4:
(4)
( ''')'y y
Đạo hàm cấp 4:
(5) (4)
'y y
(n) ( )
y y '
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp của hàm số
5
y x .
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Xét chuyển động của một chất điểm xác định bởi phương trình ( )s f t , khi
đó
Vận tốc tức thời: ( ) '( )v t f t
Gia tốc tức thời: ( ) '( ) ''( )a t v t f t
Ví dụ 2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo có phương trình li độ là
cos( )A φx ωt
trong đó A, ω , φ là những hằng số, và t là biến thời gian. Hãy tìm vận tốc và
gia tốc.
B. THỰC HÀNH
5.4.1. Tìm đạo hàm cấp hai và cấp ba của các hàm số sau:
a)
3
2
3 8
3
5
x
y x x b)
4 2
3 4 7y x x c)
3
4
x
y
x
d)
3
3y x x
e) f) cosy x g) tany x h)
2
cosy x
5.4.2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
3
'' 1 0y y , với
2
2y x x b)
2 2 2
'' 2( )(1 ) 0x y x y y , với tany x x
Chương 5. Đạo hàm Trang 49 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ÔN TẬP CHƯƠNG 5
Câu 1. Tìm đạo hàm của hàm số ( )
1
f x x
tại điểm
0
1
x
?
A.
2
4
B.
2
2
C.
2
2
D.
2
3
Câu 2. Cho hàm số
2
(
|
)
| 1
x
f
x
x
x
. Tính
'( 1)
f
?
A. 2 B. 1 C. 0 D. Không tồn tại
Câu 3. Cho hàm số
2
1
(
1
)
x khi x
x
f x
khi x
. Phát biểu nào sau đây không đúng?
A.
1
'(1 )
2
f
B. )'(1
2
f
C.
'(1) 1
f
D.
'(1)
f
không tồn tại
Câu 4. Số gia của hàm số
3
( )
f x x
ứng với
0
2
x
và
Δ 1
x
bằng bao nhiêu?
A. -19 B. 19 C. 7 D. -7
Câu 5. Số gia của hàm số
2
(
1
) 4f x
x
x
ứng với x và
Δ
x
là
A.
Δ (Δ 2 4)
x x x
B.
2
Δ
x
x
C.
Δ (2 4Δ )
x x x
D.
2 4
Δ
x
x
Câu 6. Cho hàm số
3 2
3( )
1
f x x x
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( 1;3)
M
là
A.
3
y x
B.
3
y x
C.
6 9
y x
D.
9 6
y x
Câu 7. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
4
1
y
x
tại điểm có hoành độ
0
1
x
là
A.
2
y x
B.
2
y x
C.
1
y x
D.
3
y x
Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
4 2
2 1
xy x
tại điểm có tung độ
0
2
y
là
A.
8 6
y x
và
8 6
y x
B.
8 6
y x
và
8 6
y x
C.
8 8
y x
và
8 8
y x
D.
41 17
y x
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
2
3 2
3
x
y x
với hệ số góc
9
k
có phương trình là
A.
9 11
y x
B.
9 27
y x
C.
9 43
y x
D.
9 11
y x
Câu 10. Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2 2
1
x
y
x
biết rằng nó song song với đường
thẳng
: 1 4
d y x
?
A.
4 2
y x
và
4 14
y x
B.
4 21
y x
và
4 14
y x
C.
4 2
y x
và
4 1
y x
D.
4 12
y x
và
4 14
y x
Câu 11. Đạo hàm của hàm số
5
2
4y
x x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
4
1
10
x
x
B.
4
4
10
x
x
C.
4
2
10
x
x
D.
4
1
2
0
x
x
Câu 12. Đạo hàm của hàm số
2 1
2
x
y
x
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
2
3
( 2)
x
B.
2
3
( 2)
x
C.
2
5
( 2)
x
D.
2
5
( 2)
x
Chương 5. Đạo hàm Trang 50 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 13. Đạo hàm của hàm số
2 5
( 1)
y x x
là
A.
2 4
1)
4( (2 1)
xx x
B.
2 4
1
(
)
5 xx C.
2 4
1)
5( (2 1)
xx x
D.
2 4
1)
( (2 1)
x x x
Câu 14. Đạo hàm của hàm số
2
1 1
(
1 3 1
)
x khix
f
x
x khi
x
x
là
A. '( )
1
2
2 1
1
1
f
x khi x
khi
x
x
x
B.
2x 1 khi x 1
f '(x)
1
x 1
khi x 1
C. '( )
1
2 1
1
1
1
2
f x
x
x khi x
khi x
D. '( )
1
2 1
1
1
1
2
f x
x
x khi x
khi x
Câu 15. Đạo hàm của hàm số
2
1
1
3
2
(
1
)
khi x
khi x
x
x
f x
là
A.
2
1
1
'( )
1
x khi
f x
x
x
khi x
B.
2
'( )
1
1
1
f x
x khi x
khi
x
x
C.
2
1
'( )
1
1
1 1
x khi x
khi x
khi x
f x
x
D.
2
1
'( )
1
1
1 1
x khi x
khi x
khi
f
x
x
x
Câu 16. Cho hàm số
2 4
( ) 1 4
2
x
f x x . Tập hợp các giá trị của x để
'( ) 0
f x
là
A.
( 1;0
;
)
(1 )

B.
( 1;0)
C.
(1;
)
D.
(
;0)
Câu 17. Đạo hàm của hàm số
2sin3 cos5
y x x
là biểu thức nào sau đây?
A.
30cos3 sin5
x x
B.
2cos2 8cos8
x x
C.
8cos8 2cos2
x x
D.
30sin5 30cos3
x x
Câu 18. Đạo hàm của hàm số
cot
y x
là
A.
2
1
sin . cot
x x
B.
2
1
2sin . cot
x x
C.
1
2
cot
x
D.
2
sin
cot
x
x
Câu 19. Cho hai hàm số
4 4
( ) s cin
os
f x
x x
và
1
cos4
4
( )g
x
x . Chọn mệnh đề đúng:
A.
'( ) '( ) 0
f x g x
B.
2 '( ) 3 '( ) 1
f x g x
C.
3 '( ) 2 '( ) 1
f x g x
D. '( ) '
1
4
( )f x g x
Câu 20. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số
1
y
x
?
A.
5
4
x
B.
5
4!
x
C.
5
4!
x
D.
6
4!
x
Câu 21. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình
3 2
3
5 2
t
s t t
, trong
đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi
3
t
là
A.
2
24 /
m s
B.
2
17 /
m s
C.
2
14 /
m s
D.
2
12 /
m s
Câu 22. Phương trình chuyển động của một chất điểm
3 2
3 9 2
t
s t
t
với s tính bằng mét và t tính
bằng giây. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.
A.
2
10 /
m s
B.
2
12 /
m s
C.
2
8 /
m s
D.
2
16 /
m s
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 51 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
HÌNH HỌC
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 52 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
A
B
C
D
D
'
C'
B
'
C
A
B
D
A
'
Chương 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng . Kí hiệu
AB
chỉ vectơ có điểm
đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là
a
,
b
,
x
,
y
…
2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
Quy tắc ba điểm:
AB BC AC

Quy tắc hình bình hành:
AB AD AC

(ABCD là hình bình hành)
Quy tắc trừ:
AC AB BC

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a)
AC BD AD BC

b)
AC AB DC DB

Quy tắc hình hộp:
' '
AB AD AA AC

3. Phép nhân vectơ với một số
I là trung điểm AB
0
IA IB
2
MA MB MI
(M tùy ý)
G là trọng tâm
Δ
ABC
0
GA GB GC
3
MA MB MC MG
(M tùy ý)
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, G là trọng
tâm tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng
3
AB AC AD AG

.
b) Xác định trọng tâm S của tứ diện ABCD.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 53 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
N
M
A
B
C
D
II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
1. Định nghĩa
Trong không gian, 3 vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ........ của chúng cùng ............
.............. với một mặt phẳng.
2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1. Trong không gian cho 3 vectơ
a
,
b
,
c
trong đó
a
và
b
không cùng
phương. Khi đó
a
,
b
,
c
đồng phẳng
,
m n
sao cho
c ma nb
Cặp số m, n là duy nhất.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ
BC

,
AD
,
MN

đồng phẳng.
Định lí 2. Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng
a
,
b
,
c
. Khi đó với
mọi vectơ
x
ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho
x ma nb pc
. Ngoài ra
bộ ba số m, n, p là .......................
B. THỰC HÀNH
3.1.1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành.
Chứng minh rằng:
SA SC SB SD
.
3.1.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a)
2
AD BC MN

b) Ba vectơ
MN

,
AC

,
BD
đồng phẳng
3.1.3. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm S sao cho
0
SA SB SC SD
.
3.1.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD, BC lần
lượt lấy các điểm P, Q sao cho
2
3
AP AD
và
2
3
BQ BC
. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng thuộc
một mặt phẳng.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 54 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 55 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho
u
và
v
là hai vectơ khác
0
. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và
C là hai điểm sao cho
AB u

và
AC v

. Khi đó:
, 0 180
o o
u v BAC BAC
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
u.v u . os ,
. c
cos u,
.
v
v
Chú ý
2
2
u.u u u
u.v 0 u v
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm CD. Tính:
a)
,
AB AC

b)
,
AB CD

c)
,
AB BD

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa
Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng đó.
2. Nhận xét
Nếu
a
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
thì vectơ
k
a
(với
k
0
) cũng là vectơ
chỉ phương của
.
Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một .......... và
một vectơ ........................ của nó.
Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ
phương.
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
một điểm O và lần lượt ......................... với a và b.
H
B
C
D
A
a
O
b'
a'
b
a
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 56 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
2. Nhận xét
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta có thể chọn
điểm O thuộc một trong hai đường thẳng.
Nếu a có vectơ chỉ phương
u
, b có vectơ chỉ phương
v
và
,u v
α
. Khi đó góc giữa a và b bằng
α
nếu
0
90
o
o
α
và bằng
180
o
α
nếu
8
90
1 0
o o
α
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC AB AC a
và
2
BC a
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc
giữa chúng bằng ........
Kí hiệu: a b
2. Nhận xét
Nếu a có vectơ chỉ phương
u
, b có vectơ chỉ phương
v
thì:
a
b u v
Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng
này thì cũng ......................... với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc ................ nhau.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có
AB
AC
và
AB
BD
. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng:
AB
PQ
.
a 2
A
B
C
S
Q
P
B
C
D
A
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 57 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
3.2.1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH, cạnh a.
a) Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ
AB
và
EG

,
AF
và
EG

,
AB
và
DH
,
AC

và
GF
.
b) Chứng minh rằng:
BH AC

.
c) Tính độ dài cạnh BH.
3.2.2. Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng
. . . 0
AB CD AC DB AD BC

b) Từ đẳng thức trên chứng tỏ rằng nếu tứ diện ABCD có
AB
CD
và
AC DB
thì
AD
BC
.
3.2.3. Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC
và
ASB BSC CSA
. Chứng minh rằng
SA
BC
,
SB
AC
,
SC
AB
.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 58 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 59 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng ( )α nếu d vuông góc với .........
đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( )α .
Nhận xét:
Δ ( )
( )
α
d α
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Định lí
Nếu một đường thẳng vuông
góc với ........ đường thẳng .......
nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vuông góc với
mặt phẳng ấy.
), (
Δ
Δ
Δ
α
a b I
a
b
a b
Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với ....... cạnh
của một tam giác thì nó cũng ..................... với
cạnh thứ ba của tam giác đó.
Δ
Δ
Δ
AB
AC
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh rằng ( )BC SAB .
b) Gọi AH là đường cao của Δ SAB. Chứng minh AH SC .
III. TÍNH CHẤT
Tính chất 1: Có ............................... mặt phẳng đi qua một
điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Tính chất 2: Có ............................... đường thẳng đi qua
một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là ................
............ đi qua ........................... của đoạn thẳng đó, đồng thời
......................... với đoạn thẳng đó.
A
C
B
S
H
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 60 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG - VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG
Tính chất 1:
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì
cũng ........................ với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì .................... với
nhau.
Tính chất 2:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì
cũng ........................ với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì .................... với
nhau.
Tính chất 3:
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng
(
)
α
song song với nhau. Đường thẳng nào vuông
góc với
(
)
α
thì cũng ......................... với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông
góc với một đường thẳng khác thì chúng ........................... với nhau.
V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
1. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng
Δ
vuông góc với mặt phẳng
(
)
α
. Phép chiếu ..................... theo
phương ...... lên mặt phẳng
(
)
α
được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng
(
)
α
.
2. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
(
)
α
và b là đường thẳng không thuộc
(
)
α
đồng thời không vuông góc với
(
)
α
. Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên
(
)
α
. Khi đó a vuông
góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với ......
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
Δ
và mặt phẳng
(
)
α
.
Trường hợp đường thẳng
Δ
vuông góc với
(
)
α
thì
Δ
,( )
α
.........
Trường hợp đường thẳng
Δ
không vuông góc
với
(
)
α
thì
,( )
Δ Δ,
α d
, trong đó d là ......................... của
Δ
lên
(
)
α
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a và
SA SB SC SD a
. Gọi O là giao điểm của
AC và BD.
a) Chứng minh rằng
( )
A
SO
BCD
.
b) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
(ABCD).
H
O
A
d'
d
φ
α
O
C
A
D
B
S
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 61 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. THỰC HÀNH
3.3.1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm BC, gọi AH là đường cao của tam giác AID. Chứng minh rằng:
a)
( )
BC
AID
b)
( )
AH
BCD
3.3.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có
SA SB SC SD
. Gọi O là giao điểm
của AC và BD. Chứng minh rằng:
a)
( )
A
SO
BCD
b)
( )
AC
SBD
c)
BD
SA
3.3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và
( )
A
SA
BCD
. Chứng minh rằng:
a)
( )
AB
SAD
b)
( )
BC
SAB
c)
( )
BD
SAC
3.3.4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B;
( )
SA
ABC
;
AB BC a
;
3
SA a
.
a) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABC)
b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao của
Δ
SAB
và
Δ
SAC
. Chứng minh
( )
SC
AHK
.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 62 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 63 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt ...................... với hai
mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng
nhau thì góc giữa chúng bằng .......
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Bước 1. Xác định giao tuyến
) )
(
(
α β
c
Bước 2. Chọn một điểm
I
c
Bước 3. Trong
(
)
α
, dựng đthẳng
a
c
và
a
c I
Trong
(
)
β
, dựng đthẳng
b c
và
b
c I
Khi đó,
),(
( ( ,
)
)
α β .
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác cân có chung cạnh BC. Hãy
xác định góc giữa hai mặt (ABC) và (DBC).
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho H là một đa giác nằm trong mặt phẳng
(
)
α
. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H
lên mặt phẳng
(
)
β
. Khi đó:
.......... (
),( )
H H
αS
β
S
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
2
SA
a
.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC)
b) Xác định hình chiếu vuông góc của
Δ
SAB lên mặt đáy
c) Tính diện tích
Δ
SBC
c
b
a
β
α
I
S
A
C
B
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 64 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ........
Kí hiệu:
(
) ( )
α β
2. Các định lí
Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng
này chứa một ....................... vuông góc với mặt phẳng kia.
Δ ( )
( ) ( )
Δ ( )
α
α β
β
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Chứng minh
rằng các mặt bên (ABC), (ABD), (ACD) cũng đôi một vuông góc.
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng này và vuông góc với .......................... thì vuông góc với mặt phẳng
kia.
Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng
(
)
α
và
(
)
β
vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm
thuộc mặt phẳng
(
)
α
ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(
)
β
thì
đường thẳng này nằm .............. mặt phẳng
(
)
α
.
Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
.......................... của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG
1. Định nghĩa
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên ........................ với các mặt đáy.
Độ dài cạnh bên được gọi là ....................... của hình lăng trụ đứng.
Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác… được gọi tương ứng là hình
lăng trụ ........... tam giác, lăng trụ đứng tứ giác, lăng trụ đứng ngũ giác…
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ .........
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình .......... đứng.
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình ...................................
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi
là hình ...........................
B
A
D
C
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 65 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Hình lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn ................... với mặt đáy và đều là hình
........................
IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
1. Hình chóp đều
Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác .......... và có chân đường cao
trùng với .......... đa giác đáy.
Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác ......... bằng nhau, và tạo với mặt
đáy các góc ....................
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc .......................
2. Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một
thiết diện ....................... với đáy cắt các cạnh bên
của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt
đều.
B. THỰC HÀNH
3.4.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và
SA SB SC SD
. Chứng minh rằng:
a)
(
( )
)
A
SAC
BCD
b)
(
( )
)
SAC
SBD
3.4.2. Cho tứ diện SABC có
( )
SA
ABC
, ABC là tam giác vuông tại B và
2
SA AB a
,
3
BC a
.
Gọi M là trung điểm AB.
a) Tính đường cao AI của
Δ
AMC b) Tính
( ),( )
SMC ABC
c) Tính diện tích tam giác SBC
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 66 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 67 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nếu K là hình chiếu của điểm O trên
Δ
thì
,Δd O
......
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nếu K là hình chiếu của điểm O trên
( )
α
thì
( )
,d O α
......
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng
2
a
.
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng SM là đường cao của hình chóp.
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp.
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI
MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng
Δ
/ /(
)
α
và M là một điểm bất kì trên
Δ
. Khi đó
Δ,( )
(
)
,αd d
α
.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một ............. bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
) / /( )
),( ) ,( )
( )
(
(
α β
d
α β d β
M α
III. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1. Định nghĩa
Đường thẳng
Δ
cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với hai đường
thẳng ấy được gọi là đường vuông góc ................. của a và b.
Nếu đường thẳng vuông góc chung
Δ
cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại
M, N thì
( , )
d a b
........
a
b
N
M
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 68 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
2. Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Gọi
(
)
β
là mặt phẳng chứa b và song song với a.
Gọi
(
)
α
là mặt phẳng chứa a và vuông góc với
(
)
β
.
Gọi
) )
(
(
α β
c
và
N
c
b
Gọi
Δ
là đường thẳng đi qua N và vuông góc với a.
Khi đó
Δ
là đường vuông góc chung.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính khoảng cách giữa AB và CD.
B. THỰC HÀNH
3.5.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
SA a
.
a) Tính khoảng cách
,( )
d B SAC
. b) Tính khoảng cách
,( )
d A SBD
.
c) Tính khoảng cách
,
d SA BC
. d) Tính khoảng cách
,
d SC BD
3.5.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
3
SA a
.
a) Tính diện tích tam giác SBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt (SBC).
3.5.3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại A và
2
AB AC a
, cạnh bên
' 2
AA a
, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC.
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 69 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 70 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ÔN TẬP CHƯƠNG 3
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mệnh đề nào sau đây
sai?
A.
AC BD AD BC

B.
1
2
MN AD BC

C.
4
AC AD BC BD NM

D.
4
MC MD MN

Câu 2. Cho tứ giác ABCD nằm trên mặt phẳng
(
)
α
và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
AC BD AB CD

B.
SA SC SB SD
C. Nếu
SA SC SB SD
thì ABCD là hình bình hành
D.
0
OA OB OC OD

khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD
Câu 3. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
a
,
b
,
c
đồng phẳng là:
A. Có hai số x, y sao cho
c xa yb
B. Có ba số x, y, z sao cho
0
a zx yb c
C. Có hai số x, y không đồng thời bằng 0 sao cho
c xa yb
D. Có ba số x, y, z không đồng thời bằng 0 sao cho
0
a zx yb c
Câu 4. Cho ba vectơ
a
,
b
,
c
không đồng phẳng. Khi đó, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A.
, 0,
a b c
B.
, 2 , 2
a b a b
C.
, ,
a b c b
D.
, , 2
a b c a b
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A.
, ' ', '
AB A B D B

B.
, , '
AB AC AA

C.
, , '
AB AC CC

D.
, , '
AB BC CC

Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AA’,
O là tâm của hình bình hành ABCD (như hình). Ba vectơ nào sau đây
đồng phẳng?
A. , ,
MO AB B C

B.
, , ' '
MO AB A D

C. , ',
MO DC B C

D.
, ' , '
MO A D B C

Câu 7. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm
Δ
BCD
. Khi đó
A.
1
4
AG AB AC AD
 
B.
1
4
AG BA CA DA

C.
1
3
AG AB AC AD
D.
AG AB AC AD
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G (như hình). Khi đó:
A.
1
4
AG AB AC AD
 
B.
1
4
AG BA CA DA

C.
1
3
AG AB AC AD
D.
AG AB AC AD
Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Tích vô hướng
.
AB AC

bằng
A.
2
a
B. 0 C.
2
a
2
D.
2
a
2
M
O
D'
D
C'
C
B'
B
A'
A
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 71 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Tích vô hướng
.
AB CD

bằng
A.
2
a
B. 0 C.
2
2
a
D.
2
2
a
Câu 11. Hai đường thẳng a , b lần lượt có các vectơ chỉ phương là
u
,
v
. Gọi
φ
là góc giữa hai đường
thẳng a, b. Khi đó
A.
,
φ u v
B.
cos cos ,
φ u v
C.
180 ,
o
φ u v
D.
cos cos ,
φ u v
Câu 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì song song với nhau
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì vuông góc với nhau
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì cắt nhau
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì có thể chéo nhau
Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Mệnh đề nào
sau đây không đúng?
A.
2
.
AD CC a

B.
2
.
AD AB a

C.
. 0
AB CD

D. '
3
AC a
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’ (như hình). Xác định số đo góc giữa
hai đường thẳng MN và AP.
A.
30
o
B.
45
o
C.
60
o
D.
90
o
Gợi ý: Tam giác ACD’ đều.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I sao cho
SA SC
và
SB SD
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
A
SI
BCD
B.
( )
AC
SBD
C.
( )
BD
SAC
D.
( )
A
SA
BCD
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I sao cho
SA SC
và
SB SD
. Mệnh
đề nào sau đây không đúng?
A.
( )
A
SI
BCD
B.
( )
AC
SBD
C.
( )
BD
SAC
D.
( )
A
SA
BCD
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có ACD và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy CD. Gọi M là
trung điểm CD. Mệnh đề nào sau đây đúng nhất?
A.
( )
AM
BCD
B.
( )
BM
BCD
C.
(B )
CD
AM
D.
(B )
AM
AM
Câu 18. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Mệnh đề nào sau đây đúng
nhất?
A.
( )
AB
ACD
B.
AB
CD
C.
AC
BD
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 19. Cho hình chóp đều ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Mệnh đề nào sau đây không
đúng?
A.
AG
CD
B.
( )
AG
BCD
C.
( )
BG
ACD
D.
3
AB AC AD AG

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ACD và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy CD. Gọi M là
trung điểm CD. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CD là
A. (BAM) B. (BCD) C. (ACD) D. AB
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I sao cho
SA SC
và
SB SD
.
Hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là
A. AB B. CB C. DB D. IB
P
N
M
D'
D
C'
C
B'
B
A'
A
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 72 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm I và
2
2
a
SI . Số đo góc
giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng
A.
30
o
B.
45
o
C.
60
o
D.
90
o
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
( )
A
SC
BCD
và
SC a
. Số đo
góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng
A.
30
o
B.
45
o
C.
60
o
D.
90
o
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và
BC SB a
. Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của BC. Tính số đo góc giữa SA và (ABC).
A.
30
o
B.
45
o
C.
60
o
D.
75
o
Câu 25. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu
a
b
và
( )
a
P
thì b//(P) B. Nếu a//b và
( )
a
P
thì
( )
b
P
C. Nếu a//(P) và
a
b
thì
( )
b
P
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 26. Một hình chóp tam giác là hình chóp đều khi và chỉ khi
A. Đường cao của hình chóp đi qua trọng tâm của đáy
B. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau
C. Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
D. Đáy là tam giác đều và các cạnh bên có độ dài bằng nhau
Câu 27. Cho tứ diện đều ABCD. Cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng
A.
3
2
B.
1
3
C.
2
2
D.
3
3
Câu 28. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến c và một điểm
( )
A
P
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu
( )
a
P
thì
( )
a
Q
B. Nếu
( )
a
Q
thì
( )
a
P
C. Nếu
a
c
và
A
a
thì
( )
a
Q
D. Nếu
( )
a
Q
và
A
a
thì
( )
a
P
Câu 29. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) và một đường thẳng a. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu (P)//(Q) và
( )
a
P
thì
( )
a
Q
B. Nếu
(
(
)
)
P
Q
và
( )
a
P
thì a//(Q)
C. Nếu
(
(
)
)
P
Q
và a//(P) thì
( )
a
Q
D. Cả a, b, c đều sai
Câu 30. Cho đường thẳng
( )
a
P
. Qua a, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P)?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 31. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Qua a, có bao nhiêu mặt phẳng
vuông góc với (P)?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 32. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
A. Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia
B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau
C. Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng kia
D. Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với một đường thẳng nằm trong
mặt phẳng kia
Câu 33. Hình nào trong các hình sau đây không có đủ 6 mặt là hình chữ nhật?
A. Hình lập phương B. Hình lăng trụ tứ giác đều
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 73 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
C. Hình hộp đứng D. Hình hộp chữ nhật
Câu 34. Hình nào trong các hình sau đây có tất cả các cạnh bằng nhau?
A. Hình hộp chữ nhật B. Hình hộp C. Hình lăng trụ đều D. Hình hộp thoi
Câu 35. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là
A. 50 B.
5 2
C.
2
5
D. 12
Câu 36. Hình lập phương có cạnh bằng 7 thì đường chéo có độ dài là
A. 147 B.
3
7
C.
7
3
D. 21
Câu 37. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Kết luận nào sau
đây không đúng?
A.
(
( )
)
ABC
ACD
B.
(
( )
)
ABC
ABD
C.
(
( )
)
ACD
ABD
D.
(
(BCD)
)
ABC
Câu 38. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Chọn kết luận sai.
A.
(
( )
)
SAC
SBD
B.
( ) ( )
SAC ABCD
C.
(
( )
)
A
SAB
BCD
D.
( ) ( )
SBD ABCD
Câu 39. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB AC AD a
. Tính
tan ( ),( )
ABC DBC
.
A. 1 B.
C.
2
2
D.
1
2
Câu 40. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB AC a
,
2
2
a
AD . Tính số đo góc
( ),( )
ABC DBC
.
A.
45
o
B.
54
44'
o
C.
35
16'
o
D.
26
34'
o
Câu 41. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB AC a
,
2
2
a
AD . Tính diện tích tam giác BCD.
A.
2
2
a
B.
2
2
a
C.
2
2
2
a
D.
2
2
2
a
Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA SB SC SD a
. Tính cosin của góc
(SAB),(SAD)
.
A.
1
4
B.
1
3
C.
3
2
D.
1
3
Câu 43. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB AC AD a
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
A. a B.
2
2
a
C.
2
a
D.
3
3
a
Câu 44. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây chưa đúng?
A. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng
( )
b
P
sao cho a//b
B. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và hình chiếu của nó trên (P)
C. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng
( )
b
P
sao cho
a
b
D. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng
( )
b
P
sao cho a và b
không song song
Câu 45. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 74 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt đi qua hai đường thẳng đó
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song
song lần lượt cắt hai đường thẳng đó
Câu 46. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn thẳng ngắn nhất nối hai
điểm thuộc hai đường thẳng đó
B. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng vuông góc với hai
đường thẳng đó
C. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cắt cả hai đường thẳng đó
D. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với mặt phẳng song song
với hai đường thẳng đó
Câu 47. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy chỉ ra đoạn
vuông góc chung của AB và A’D’?
A. AA’ B. BD’ C. BC D. B’D
Câu 48. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Để tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’, bạn Trân đã giải như sau:
Bư
ớ
c 1
Gọi
' '
' '
C
M B D
A
Từ điểm M, dựng
'
MN
AC
(1)
Bư
ớ
c 2
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
' '
' ' ( ' ')
' ' '
' ' A C
B D AA C
B D A
D
A
B
' '
B D MN
(2)
Bư
ớ
c 3
T
ừ
(1) và (2) suy ra MN là đo
ạ
n vuông góc chung
của AC’ và B’D’.
Bước 4
Ta th
ấ
y
Δ
AA’C’ và
Δ
MNC’ đ
ồ
ng d
ạ
ng vì
ˆ
90
ˆ
o
A
C chung
'
' '
MN MC
AA AC
'. '
2
' 6
2
6
3
a
a
AA MC a
AC
N
a
M
Từ đó suy ra ( ', ' ')
6
6
a
d AC B D
Lời giải trên đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Đúng B. Sai từ Bước 2
C. Sai từ Bước 3 D. Sai từ Bước 4
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình
vuông tâm I, cạnh a và
2
2
a
SI . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC và SB.
A.
2
2
a
B.
2
a
C.
2
3
a
D. a
N
M
D'
D
C'
C
B'
B
A'
A
I
D
B
C
A
S
| 1/74
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

KẾ HOẠCH HOẠT ĐỘNG Học kỳ II Tuần Thứ Nội dung 20 21 22
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 1 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 23 24 25 26
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 2 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 27 28 29
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 3 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 30 31 32 33
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 4 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 34 35
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 5 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 6 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. LÝ THUYẾT
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1
Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với n  k  1 . (giả thiết quy nạp)
Bước 3. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n  . . . . . Chú ý
 Trong bước 3, ta phải sử dụng giả thiết quy nạp (Bước 2) để chứng minh cho n  k  1
 Nếu đề yêu cầu chứng minh mệnh đề đúng với n  p , ở Bước 1, ta sẽ kiểm tra mệnh đề đúng
với n  . . . , còn giả thiết quy nạp thì n  k  . . . Ví dụ: Chứng minh rằng a) ( n n 1) 1 2 3 . . n       , * n    2 b) 3 n  n chia hết cho 3, * n    c) 3n  3n  1 , * n    và n  2 Chương 3. Dãy số Trang 7 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
3.1.1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với * n    : a) 2 1 
 3  5  . .  (2n 1)  n b) ( n 3n 1)
2  5  8  . . (3n 1)  2 n c) 1 1 1 1 2  1       . .  d) ( n n 1) ( n n 1)(n 2)
1 3  6  10  . .   2 4 8 2n 2n 2 6 2 e) 2 2 2 2 n n 1)  1  1  1   1  n  1  3  5  . (4 1 . (2n  1) 
f) 1 1 1 . .1  3 2 4 9 16 n        2n g) ( n n  1)(n  2)
1.2  2.3  3.4  . . ( n n  1)  h) 2
1.4  2.7  3.10  . .  ( n 3n  1)  ( n n  1) 3 3.1.2. Với *
n  , chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3n  3n  1 , n   2 b) n1 3  ( n n  2) , n   4 c) n1 2  2n  3 , n   2 d) n3 2  3n  1, n   8 e) 1 1 1 1 1    . .   2  , n   2 f) 1 1 1 13   . .   , n   2 2 2 2 2 1 2 3 n n n  1 n  2 n  n 24
3.1.3. Chứng minh rằng với * n  , ta có: a) 3 2
n  3n  5n chia hết cho 3 b) 13n 1 chia hết cho 6
c) 4n  15n  1 chia hết cho 9 d) 2n1 n2 3  2 chia hết cho 7 e) 2n2 2n1 7.2  3 chia hết cho 5 Chương 3. Dãy số Trang 8 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 3. Dãy số Trang 9 Mr. Huỳnh Phú Sĩ DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số
Mỗi . . . . . . số u xác định trên tập các số nguyên dương . . . . . được gọi là một dãy số
vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: * u :    n  ( u ) n  un  (u ) : dãy số (u ) n n
 u : số hạng …. . . . 1
 u : số hạng thứ n, còn gọi là số hạng …. . . . . . . . . . n
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M  {1,2,3,. ., } m , *
m  , được gọi là dãy số hữu hạn.
Khi đó dãy số có m số hạng, với số hạng đầu u và số hạng cuối u . 1 m
Ví dụ 1. -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là một dãy số hữu hạn có u  . . . . và u  . . . . 1 7 II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát n
Ví dụ 2. Viết 5 số hạng đầu của dãy số (u ) có số hạng tổng quát 2 u  . n n 3n 1
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ 3. Dãy số (u ) với các số hạng là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt n
đối 10n thì u  3,1; u  3,14 ; u  3,131; u  3,1415 ;… 1 2 3 4
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ 4. Dãy số Fibonacci được xác định bởi công thức truy hồi sau u   u  1 1 2 với n  3 u     u   u n n 1 n2
Hãy liệt kê 5 số hạng đầu của dãy số trên.
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Vì dãy số là một hàm số trên *
 nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó, trong
mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ  ; n u . n 
Ví dụ 5. Dãy số (u ) với n  1 u 
có biểu diễn hình học như sau: n n n Chương 3. Dãy số Trang 10 Mr. Huỳnh Phú Sĩ un u1 u2 u u34 u5 0 1 2 3 4 5 n
IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số (u ) được gọi là dãy số . . . . . . nếu u  với mọi * n  .  u n n 1 n
Dãy số (u ) được gọi là dãy số . . . . . . nếu u  với mọi * n  .  u n n 1 n
Ví dụ 6. Xét tính tăng giảm của các dãy số (u ) sau, biết: n a) u  2n 1 b) 1 u  n n n 2. Dãy số bị chặn
Dãy số (u ) được gọi là bị chặn . . . . . . nếu tồn tại số M sao cho u  M , * n    n n
Dãy số (u ) được gọi là bị chặn . . . . . . nếu tồn tại số m sao cho u  m , * n    n n
Dãy số (u ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới n
Ví dụ 7. Dãy số Fibonacci bị chặn dưới vì u  . . . , * n    ; n Dãy số (u ) với 1 u  bị chặn vì . . . 1   . . . , * n    n n n n B. THỰC HÀNH
3.2.1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u cho bởi công thức: n n a) n u 2n    b) 1 u   c) 1 u  n 1  d) u  n 2n 1 n 2n  1 n n    n 2 n  1 u   1 u   15,  9 e) 1 f) 1 2 u       u      u u  2u 3 n 1 n n 1 n n1
3.2.2. Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh các công thức số hạng tổng quát sau: u   1  u   3 a) u  3n  4 với 1 b) u  n  8 với  1 n u       n 2  u 3 n 1 n u      1 u n 1 n
3.2.3. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un của các dãy số u cho bởi: n  u   1 u   1 u   1 u   3 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 u         u     u    u      u n  5u  u 5  2u 3 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n
3.2.4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số u , biết: n  2 a) 5n u    b) 2n u n n  c) 2 1 u  d) 2 u  n n1 3 n n n 3n  2 n n n n e) ( 1  ) u  n  n  1  f) u  ( 1 n 3  )n g) u  h) u  n  3  n n n  2 n n  4 n 2 n  1 n
3.2.5. Xét tính bị chặn của các dãy số u , biết: n  Chương 3. Dãy số Trang 11 Mr. Huỳnh Phú Sĩ a) u cos π  b) u ( 1)n c s o π   c) 2 u  2n 1 d) 1 u  n 2n n 2n n n ( n n  2) e) 1 u  f) n u  n 2n 1 n 2 n  2n  n Chương 3. Dãy số Trang 12 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 3. Dãy số Trang 13 Mr. Huỳnh Phú Sĩ CẤP SỐ CỘNG A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một . . . . . . số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó . . . . . . . với một số không đổi d.
Số d được gọi là công . . . . . của cấp số cộng. * u       d, n n 1
Ví dụ 1. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số cộng, trong đó điểm hai
bài đầu lần lượt là 1,2 và 3,6. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 3 của Nhân được bao nhiêu điểm? II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Nếu cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u được n  1 n
xác định bởi công thức: u  u  d, n   2 n 1
Ví dụ 2. Bạn Nhân hít đất mỗi lần chỉ được 10 cái. Bạn quyết tâm nâng con số này lên bằng
cách luyện tập, cứ mỗi ngày sẽ tăng thêm 2 cái. Hỏi sau một tuần, bạn Nhân sẽ hít đất được mấy cái? III. TÍNH CHẤT
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình
cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: u      u  u , k 2 k 1 k 1 k
Ví dụ 3. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số cộng, trong đó bài đầu
và bài cuối lần lượt là 1,2 và 3,6. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 2 của Nhân được bao nhiêu điểm?
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số cộng u . Đặt S  u  u . . u . Khi đó n  n 1 2 n n S  (  ) n u  u [ ]d n 1  1  2 2
Ví dụ 4. Bạn Nhân trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ 1 có 1 cây, hàng
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây… Hỏi có bao nhiêu hàng? Chương 3. Dãy số Trang 14 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
3.3.1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó, hãy tìm công sai của cấp số cộng đó: a) 2 u   n b) n u   3 c) 7 3n u  d) u  ( 1  )n  2n n n 2 n 2 n
3.3.2. Hãy điền các số thích hợp vào ô trống: u u S 1 d n n n -2 55 20 4 15 120 3 4 7 27 17 12 72 2 5 205
3.3.3. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau: u   u  u  10 u   5u u   u  8 u   u  5 a) 1 3 5 b) 9 2 c) 7 3 d) 2 4 u        u  17 u    2u  5 u    u  75 2 2 u    u  25 1 6 13 6 2 7 1 2
3.3.4. Một cấp số cộng có 16 số hạng, biết tổng của số hạng đầu và cuối là 45. Hãy tính tổng của các số hạng đó.
3.3.5. Cho một cấp số cộng có u  u  24 . Tính tổng 35 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 5 31
3.3.6. Cho cấp số cộng có u  u
 500 . Tính tổng 4010 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 2000 2011
3.3.7. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó. 3.3.8. Tính các tổng sau:
a) P  15  20  25  7515 b) 2 2 2 2 2 2
S  1000  999  998  997  2 1 Chương 3. Dãy số Trang 15 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 3. Dãy số Trang 16 Mr. Huỳnh Phú Sĩ CẤP SỐ NHÂN A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số nhân là một . . . . . . số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số hạng đều là . . . . . . của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công . . . . . của cấp số nhân. * u      .q, n n 1
Ví dụ 1. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số nhân, trong đó điểm hai
bài đầu lần lượt là 1,2 và 2,4. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 3 của Nhân được bao nhiêu điểm? II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Nếu cấp số nhân (u ) có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát u được n 1 n
xác định bởi công thức: n1 u  u . , n   2 n 1
Ví dụ 2. Bạn Nhân thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng
nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới, và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích
của đế tháp. Biết rằng diện tích mặt đế tháp là 12288 2
m . Tính diện tích mặt trên cùng. III. TÍNH CHẤT
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều
là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: u      u  , k 2 k 1 k 1
Ví dụ 3. Ba bài kiểm tra một tiết của bạn Nhân lập thành một cấp số nhân, trong đó bài đầu
và bài cuối lần lượt là 1,2 và 7,5. Hỏi điểm kiểm tra một tiết lần 2 của Nhân được bao nhiêu điểm?
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
Cho cấp số nhân (u ) . Đặt S  u  u  u . Khi đó n n 1 2 n 1 n  q S  n 1 q
Ví dụ 4. Để đón Tết, hai bạn Bình và Dương quyết định lì xì lẫn nhau trong suốt 15 ngày theo
quy tắc sau: ngày thứ nhất, Bình lì xì Dương 1 triệu, còn Dương lì xì Bình 1 nghìn; kể từ ngày thứ hai,
Bình vẫn lì xì Dương 1 triệu nhưng Dương sẽ lì xì cho Bình số tiền gấp đôi của ngày hôm trước. Hỏi
sau khi kết thúc, ai nhận được nhiều tiền lì xì hơn? Chương 3. Dãy số Trang 17 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
3.4.1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân, khi đó, hãy tìm công bội của cấp số nhân đó: u   2 a) u  n  3 b) u  2n c) 5 u  d) 1 n n n 2n  2 u     u n 1 n
3.4.2. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau: u   u  90 u   u  u  65 u  .u  25 u   u  u  14 a) 3 5 b) 1 3 5 c) 1 5 d) 1 2 3 u        u  240 u    u  325 u    u  u  31 u    u u  64 2 6 1 7 2 3 4 1 2 3
3.4.3. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
3.4.4. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi
với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
3.4.5. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
A. Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào? B. Nếu có 5
10 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? 3.4.6. Tính các tổng sau: a) 10
A  1 2  4  2 b) B  27  81 243  531441 c) 1 1 C  1 1    9 3 9 3 Chương 3. Dãy số Trang 18 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 3. Dãy số Trang 19 Mr. Huỳnh Phú Sĩ ÔN TẬP CHƯƠNG 3
Câu 1. Với mọi số nguyên dương n, tổng 1 1 1 1    bằng 1 2 2 3 3 4 ( n n  1) A. 1 B. n C. n D. n  1 n  1 n  1 n  2 n  2
Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng 1 3  5  (2n 1) bằng A. 2 n B. 2 (n 1) C. 2 (n  1) D. 2 (2n  1) Câu 3. Bất đẳng thức 1 1 1 13   
đúng với số nhừng số nguyên nào sau đây? n  1 n  2 n  n 24 A. n  0 B. n  1 C. n  2 D. n  3 Câu 4. Với n   2 , đẳng thức ( n 3n 1)
2  5  8  (3n 1)  trở thành 2 A. 2(3.2  1) 2     B. 1(3.1 1) 2  C. 2(3.2 1) 2  5  D. 1(3.1 1) 2  5  2 2 2 2
Câu 5. Với mọi số tự nhiên n  2 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 3n  4n  1 B. 3n  4n  2 C. 3n  3n  2 D. 3n  3n  5
Câu 6. Với mọi số nguyên dương n, tổng 3 n  11n chia hết cho A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
Câu 7. Với mọi số nguyên dương n, tổng 3n2 3n1 5.2  3 chia hết cho A. 5 B. 7 C. 4 D. 19
Câu 8. Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh, với n  3 , là A. .180o n B. ( 1).180o n  C. ( 2).180o n  D. (2 5).180o n 
Câu 9. Tìm số nguyên p nhỏ nhất để 2n  2n  1 với mọi số nguyên n  p . A. p  2 B. p  3 C. p  4 D. p  5
Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n để 2 2 2 2
1  2  3  n  2018 . A. n  17 B. n  18 C. n  19 D. n  20
Câu 11. Dãy số (u ) : xác định bởi u  2n 1 là n n A. Dãy các số tự nhiên
B. Dãy các số tự nhiên lẻ
C. Dãy các số tự nhiên chẵn D. Dãy số 1; 1; 1; 1; . . u   1 
Câu 12. Số hạng thứ 5 của dãy số (u ) : 1 là n u       u 3 n 1 n A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 u   1
Câu 13. Số hạng tổng quát của dãy số (u ) :  1 là n  2 u      1 u n 1 n A. u  2 B. u  2n 1 C. u  3n  2 D. u  n n n n n
Câu 14. Cho dãy số (u ) có số hạng tổng quát ( n n 1) u  
. Tổng của 10 số hạng đầu bằng n n 2 A. 55 B. 220 C. 286 D. 165
Câu 15. Hãy cho biết tính đơn điệu của dãy số  n u u   . n  2 1 : n n1 A. Tăng B. Giảm Chương 3. Dãy số Trang 20 Mr. Huỳnh Phú Sĩ C. Không tăng không giảm D. Vừa tăng vừa giảm
Câu 16. Hãy cho biết tính đơn điệu của hay dãy số u  5cosn và u  3.(1)n . n n A. Tăng B. Giảm C. Không tăng không giảm D. Vừa tăng vừa giảm
Câu 17. Dãy số nào sau đây đơn điệu? n A. u  3.(1)n B. 1 u     C. u  5cosn D. 2n 1 u   n n  7    n n n  1
Câu 18. Kết luận nào sau đây đúng về dãy số u u  ? n  1 : n ( n n  1)
A. u bị chặn trên bởi 1
B. u bị chặn trên bởi 1 n  n  2
C. u bị chặn dưới bởi 0 D. Cả a, b, c đều đúng n 
Câu 19. Kết luận nào sau đây đúng về dãy số u  2 : u n  ? n n n  1
A. u bị chặn dưới B. u bị chặn trên C. u bị chặn D. u không bị chặn n  n  n  n 
Câu 20. Dãy số nào sau đây bị chặn? 2 A. u  2n  1 B. u n  C. u  2n D. 2 u n  n n n  1 n n n  1
Câu 21. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? A. -6;-3;3;6;9;. . B. . .;2;4;8;12;16;. . C. 1;2;4;8;16;. . D. x  3;x;x  3
Câu 22. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? A. u  ( 1  )n B. u  3n  2 C. u  3n  2 D. 1 u  2n n n n n
Câu 23. Số đo ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng, kết quả nào sau đây có thể xảy ra: A. 40o;60o;80o B. 30o;60o;90o C. 10o;60o;110o D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 24. Một tứ giác có số đo bốn góc lập thành một cấp số cộng. Biết rằng một góc có số đo 30o , tìm các góc còn lại. A. 75o;120o;165o B. 72o;114o;156o C. 70o;110o;150o D. 80o;110o;135o
Câu 25. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng có u  10 và u  19 : 4 7 A. u  1 và d  3 B. u  1 và d  2 C. u  2 và d  2 D. u  2 và d  3 1 1 1 1
Câu 26. Cho một cấp số cộng có u  19 và u  34 . Số hạng thứ 20 có giá trị bằng 5 10 A. 54 B. 94 C. 64 D. 104
Câu 27. Một cấp số cộng có u  12 và u  18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên bằng 4 14 A. 24 B. 24 C. 26 D. 25
Câu 28. Cho cấp số cộng có S  100 và S  10 . Khi đó S bằng 10 100 110 A. 90 B. 90 C. 110 D. -110
Câu 29. Xác định x để ba số 2
1 x;x ;1 x lập thành một cấp số cộng. A. 1 B. . C. 1  D. 0
Câu 30. Tính tổng S  1 3  5  99 : A. 2500 B. 50 C. 100 D. 250
Câu 31. Dãy số nào sau đây không phải cấp số nhân? Chương 3. Dãy số Trang 21 Mr. Huỳnh Phú Sĩ A. 1 1 1  ; 1  ; ; B. 1 1 1  ; ; ;1 C. 4 4 4 4 2;2 2;4 2;8 2 D. 1 1 1 1; ; ; 5 25 1 5 2 8 4 2 3 9 27
Câu 32. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. u  7  3n B. u  7  3n C. u  7  3n D. u  3(n  7) n n n n
Câu 33. Cấp số nhân x có x  3
 và x  27 . Tìm số hạng đầu và công bội của nó? n  2 4 x  1  q  3  x  1  q  3 x  3 q  1  x  3 q  1 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  x  1 q  3 x  1 q  3 x  3  q  1 x  3  q  1  1 1 1 1
Câu 34. Cấp số nhân a có a  3
 và a  27 . Tìm số hạng thứ 10 của nó? n  2 4 A. 1024 B. 19683 C. 19683 D. 19683
Câu 35. Tìm x, y sau cho dãy số x, 12, y, 192 lập thành một cấp số nhân? x  3; y  48 x  3  ; y  48 x  3; y  48 x  3; y  4  8 A.  B. C. D. x  4; y      36 x  2; y   72 x  3  ; y    48 x  3  ; y   48
Câu 36. Cho cấp số nhân u có u  5, q  3 và S  200 . Tìm n. n  1 n A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Câu 37. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc thứ ba
gấp 9 lần số đo của góc nhỏ nhất. Hãy tìm số đo của các góc trong tứ giác đó? A. 5o; 15o; 45o; 225o B. 9o; 27o; 81o; 243o C. 7o; 21o; 63o; 269o D. 8o; 32o; 72o; 248o Câu 38. Tính tổng 2 12
S  1 10  10  10 ? A. 1  13 10 1 B. 13 10  1 C. 1  13 1 10  D. Đáp án khác 9 9
Câu 39. Cho cấp số nhân u có S  4 và S  13 . Tìm S . n  2 3 5 A. 121 hoặc 181 B. 121 hoặc 35 C. 144 hoặc 185 D. 141 hoặc 183 16 16 16 16
Câu 40. Bạn Cảnh gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% một năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (lãi
kép). Hỏi sau 10 năm, số tiền cả vốn lẫn lãi mà Cảnh nhận được là khoảng bao nhiêu? A. 196.715.000 đồng B. 196.716.000 đồng C. 183.845.000 đồng D. 183.846.000 đồng Chương 3. Dãy số Trang 22 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 4. GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Ta nói dãy số (u ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n
u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n
Kí hiệu: lim u  0 (hay limu  0 ) hay u  0 khi n   n n n n
Định nghĩa 2. Ta nói dãy số v có giới hạn là số a (hay v dần tới a) khi n   , n  n nếu lim(v  a)  0 . n n
Kí hiệu: lim v  a (hay lim v  a ) hay v  a khi n   n n n n 3
Ví dụ 1. Cho dãy số (u ) với 2n  5n  1 u 
. Ghi các giá trị tương ứng vào bảng sau: n n 2 3 2018  2n  n n 1 10 100 999 999999 999999999 u n
 Khi n   thì u  . . . n
2. Một vài giới hạn hữu hạn  lim 1   lim 1  , * k    n k n
 lim c  (c là hằng số)  lim n q  nếu 1  q  1
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
 lim(u  v )  limu  lim v
 lim(u  v )  limu  lim v n n n n n n n n u limu
 lim(u  v )  limu  lim v  lim n n  n n n n v lim v n n
 Nếu u  0 với mọi n thì limu  0 và lim u  limu n n n n
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 1 n   3  2 a) 1  3 lim  3n  n   n    2016 b) lim c) lim 3 n  5 2    1 1 1 n 2 n 2 n n d) 1 4 lim n e) 3  2.5 lim 1 2n 7 3.5n  Chương 4. Giới hạn Trang 23 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân hạn (u ) có công bội q (  q  ), được gọi là cấp số nhân lùi vô n hạn. VD: 1; 1 ; 1 ; 1 ;… 2 4 8 S  limS  n 1
Ví dụ 3. Tính các tổng sau: a) 1 1 1 S     b) 2 4 8 S  1    1 2 4 8 2 3 9 27 IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa
Ta nói dãy số u có giới hạn  khi n   , nếu u có thể lớn hơn một số dương n  n
bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limu   hay u   khi n   n n
Ta nói dãy số u có giới hạn  khi n   , nếu limu   . n  n 
Kí hiệu: limu   hay u   khi n   n n
2. Một vài giới hạn đặc biệt  lim k n  , * k     lim n q  nếu q  1 Chương 4. Giới hạn Trang 24 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 3. Định lí limu  a  0 limu  a  0  n   limu v   n   limu v  n n  n n  lim v   lim v   v v limu  a  0 limu  a  0 n  u n  u  lim v  0  lim n   lim v  0  lim n  v v v  v v  0 n   v  0 n n  n limu  a u  n   lim n  lim v   v v n
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 2 3 a) 2 lim(3n 2  3n  5n  2n  5) b) lim 2n  3 B. THỰC HÀNH
4.1.1. Tìm các giới hạn sau: 2 2 3 3 a) 6n 1 lim b) 3n  n  5 lim c) im 9n  n  1 l d) n  2 lim n 2 3n  2 2 2n  1 4n  2 5  3n 2 2 3 6 n n n n1 e) 9n  2n  3 lim n f) lim n  1n g) 3  2.5 lim h) 5  11 lim 4n  3 4 2 n  1  n 7 3.5n  n1 3  11n
i) lim 2n  n1 n j) lim 2
4n  2n  2n k) i  3 3 2 l m n  n  2n 
4.1.2. Tìm các giới hạn sau: a) lim 3 2
n  2n  n  1 b) l  2 im n  5n  2 c) 3 6 3
lim 2n  5n  7n d) lim2n 3n   3 e) 5n  3 lim n  1
f) lim 2n  n1  n g) lim 2 4n  2n  2n 2 1 n 4.1.3. Tính các tổng sau: a) 1 1 1 A     b) 1 1 1 B     c) 1 1 C  1     2 4 8 3 9 27 10 100
4.1.4. Hãy viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 0,333… b) 0,111. . c) 0,999… d) -1,020202… e) 0,353535… f) 3,123123123…
4.1.5. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình
vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, …, n, …,
trong đó cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Chương 4. Giới hạn Trang 25 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 3 2 1
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) Gọi u là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u , u , u và u . n 1 2 3 n
b) Tính limS với S  u  u  u  u . n n 1 2 3 n Chương 4. Giới hạn Trang 26 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 4. Giới hạn Trang 27 Mr. Huỳnh Phú Sĩ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y  f (x) xác định trên K hoặc trên K  \ x . 0 
Ta nói hàm số y  f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (x ) bất kì, n
x  K\ x và x  x , ta có f (x )  L . 0  0 n 0 n Kí hiệu: l m
i f (x)  L hay f (x)  L khi x  x . xx 0 0 Ví dụ 1. Cho hàm số  3  3 ( ) x f x 
. Ghi các giá trị tương ứng vào bảng sau: x  6 x 5,99 5,9999 5,999999 6 6,01 6,0001 6,000001 f (x)
 Khi x  6 thì f (x)  ? Nhận xét  lim x 
 lim c  , với c là hằng số xx0 x 0 x
2. Định lí về giới hạn hữu hạn  lim  f (x)  (
g x)  lim f (x)  lim g(x)    lim  f (x)  (
g x)  lim f (x)  lim ( g x)   xx0 xx0 x 0 x xx0 x 0 x xx0 f (x) f (x) lim  lim  f (x) ( g x)  lim f (x) lim g(x) xx     0 lim  , nếu lim ( g x)  0 xx0 x 0 x xx0 xx0 g(x) lim g(x) x 0 x x 0 x
 Nếu f (x)  0 thì lim f (x)  0 và lim f (x)  lim f (x) x 0 x xx0 x 0 x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: a) lim 3 2x  3x  2016  x1 2 b) x  4 lim  x2 x  2 3. Giới hạn một bên
 Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng x ;b . 0 
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f (x) khi x  x nếu với dãy số 0
x bất kì, x  x  b và x  x , ta có f(x )  L . n  0 n n 0 n Kí hiệu: lim f (x)  L x x  0
 Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng a;x . 0 
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f (x) khi x  x nếu với dãy số 0
x bất kì, a  x  x và x  x , ta có f(x )  L . n  n 0 n 0 n Kí hiệu: lim f (x)  L x x  0 lim f (x)  x x  0 lim f (x)  L   x 0 x lim f (x)  xx0 Chương 4. Giới hạn Trang 28 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra (nếu có): 5x  2 khi x  1 a) f (x)   tại x  1 b) f (x) |  x  2| tại x  2 2  0 0 x  3 khi x  1
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
 Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;) .
Ta nói hàm số y  f (x) có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số x bất kì, n 
x  a và x   , ta có f (x )  L . n n n
Kí hiệu: lim f (x)  L hay f (x)  L khi n   x
 Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (;a) .
Ta nói hàm số y  f (x) có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số x bất kì, n 
x  a và x   , ta có f (x )  L . n n n
Kí hiệu: lim f (x)  L hay f (x)  L khi x   x n Nhận xét c  lim 
 lim c  , với c là hằng số k x x x
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 2 2 a)  2 lim 2  x  x 1 x  1  x  x  x 1 b) im 2 l c) lim x 2 x 3  x x 5  2x Chương 4. Giới hạn Trang 29 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vô cực
Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;) .
Ta nói hàm số y  f (x) có giới hạn là  khi x   nếu với dãy số x bất kì, n 
x  a và x   , ta có f (x )   . n n n
Kí hiệu: lim f (x)   hay f (x)   khi x   . x Nhận xét
lim f (x)    lim  f (x)  x x
2. Một vài giới hạn đặc biệt   lim k x  với * k    lim k x   x x 
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) lim f (x) lim ( g x) lim  f (x) g(x) x   x0 x 0 x xx0  L  0   L  0 
b) Quy tắc tìm giời hạn của thương f (x) g(x) lim f (x) lim ( g x) f (x) Dấu của g(x) lim xx0 x 0 x xx0 g(x) L  Tùy ý + L  0  0 + L  0 
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: a) 2 lim x  7 b) 2 lim x  7 c) 2 lim x  7 2 x2 (x  2) x 2  x  2 x 2  x  2 Chương 4. Giới hạn Trang 30 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
4.2.1. Tìm các giới hạn sau: 3 2 3 a) lim 2 3x x  3x)(x  1) x x  3x  2  2x  1 b) lim ( c) lim d) lim x 1  2 x2 x  3 3 x3 x  x  6 x2 x  4 2 2 2 2 e) lim x 1 f) 4 lim  x g) x  4x  3 lim h) x  3x 10 lim x 1  x  1 x2 x  2 x3 x  3 2 x2 3x  5x  2 3 2 3 i) x  3x  9x  2 lim j) x  3  3 lim k) 4x  1  3 lim l) 1 4x  1 lim 3 x2 x  x  6 x6 x  6 2 x2 x  4 x0 x
4.2.2. Tìm các giới hạn sau: 2 2 a) lim 17 b) 2 lim x  6 c) m 2 l  x  x 1 i d) 2 lim  x  x 1 2 x x  1 x 4  x 2 x 3  x x 3  x 2 e)  2 lim 2 x  5x  2  x  x 1 f) lim g)      2 2 lim x 1 9x 2x x  x x 2|x|1 2 2 3 2 h) l m x  1 i  x i) x  3x  4 lim j) x  3 lim x k) 2 l m x  7 i x 5  2x 2 x3 (x  3) 2 2 x2 (x  2x) x 1  x 1 2 2 2 l) 2 l m x  7 i m) x  4x  3 lim n) x  4x  3 lim p) x  4x  3 lim x 1  x 1 x 3  |x  3| x 3  |x  3| x3 |x  3|
4.2.3. Tìm giới hạn của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:  2 x  x  1 x  1 a) f (x)  x  1 x  0   tại x  0 b) f (x)   tại x  1  0 0 2x x  0 2    1 x  1 2  x  4 x  3x  2  x  1 c)  2   2 f (x) x   16 tại x  4 d) x 1 f (x)  tại x  1 0  0  x  4  x  x  4 x  1  2 2 9  x |  2x  8| x  3 e)  x  3 f (x)    x  3 tại x  3 f)  2 f (x) tại x  3 0 x  4x  3 0 1    x  3  x x  3  |x  3|
4.2.4. Hãy chỉ ra lỗi sai trong các lời giải sau: 3 3 2 x 1 1 a) x  3x x x 1 0 1 lim  lim  lim  lim  x 2  3 x  2 x  2 x x  0  3 x  3  3 3  x   x 2 b) x  3x ( x x  3) lim  lim  lim x  3  x 3 |x  3| x 3 x  3 x 3    Chương 4. Giới hạn Trang 31 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 4. Giới hạn Trang 32 Mr. Huỳnh Phú Sĩ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. LÝ THUYẾT
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng K và x  K . 0
Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x)  . x 0 x
Nếu hàm số y  f (x) không liên tục tại x0 thì ta gọi là ………………. tại x0.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 2 a) 2 f (x) x  4
 x  3x  2 tại x  3 b) f (x)  tại x  2  0 x  2 0 2 2 x  1 x  0 c) f (x) x  4  tại x  3 d) f (x)  tại x  0 x   2 0  0 x  1 x  0
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại ……. điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng
(a;b) , đồng thời lim f (x)  và lim f (x)  x a  x b  Chương 4. Giới hạn Trang 33 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Ví dụ 2. Hàm số 2
f (x)  x  3x  2 liên tục trên  .
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là “đường ………. . . ” trên khoảng đó. Liên tục trên  Gián đoạn trên 
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1
 Hàm đa thức liên tục trên …….
 Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên ………………… của
tập xác định của chúng. 2
Ví dụ 3. Hàm số f (x) x  4 
liên tục trên ……………………………. x  2 Định lí 2
Giả sử hai hàm số y  f (x) và y  g(x) đều liên tục tại x . Khi đó: 0
 Các hàm số y  f (x)  ( g x) , y  f (x)  ( g x) và
y  f (x) g(x) cũng liên tục tại x . 0 f x  Hàm số ( ) y  cũng liên tục tại x g(x )  0 . g(x) 0 nếu 0 Định lí 3
Nếu hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và
f (a) f (b)  0 thì phương trình f (x)  0 có ít nhất
một nghiệm nằm trong khoảng (a;b) .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình a) 3
x  3x  1  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) b) cosx  x có nghiệm. Chương 4. Giới hạn Trang 34 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
4.3.1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) 3 f (x) 
 2x  5x  7 tại x  2 b) 2x 3 f (x)  tại 2 x  0 3x  2 0 3 2 c) ( )  1 x x f x  x  3  tại x  2016 d) f( 2 x)  tại x  3 2 x  1 0 x  3 0 x  3 2 x  1 e)  khi x  1    f (x) khi x 1   x 1 tại x  1 f) f(x)  tại x  1  0  x  1 0  1  khi x   1  2 4x 1 khi x  1   2 x  2x  3 2x  5 khi x  4 g)  khi x  3 f (x)    x  3 tại x  3 h)  2 f (x) tại x  4 0 x 16 0  khi x   khi x  4  3  x  4  x  5 3  khi x   5 i) x  x  1 khi x  1 f (x)   tại x  1 j) f(x)   2x 1  3 tại x  5  0 0 3x  2 khi x  1  2 (x  5)  3 khi x   5
4.3.2. Chứng minh rằng phương trình: a) 3 2
x  3x  5x  1  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) b) 4
4x  2x  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1;1) c) 3
2x  6x  1  0 có ít nhất hai nghiệm d) sinx  x có nghiệm e) 5
x  3x  3  0 có nghiệm f) 4 3 2
x  x  3x  x  1  0 có nghiệm g) 3
x  3x  1  0 có đúng ba nghiệm h) 3 2
x  x  8x  1  0 có đúng ba nghiệm Chương 4. Giới hạn Trang 35 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 4. Giới hạn Trang 36 Mr. Huỳnh Phú Sĩ ÔN TẬP CHƯƠNG 4 3 2 Câu 1. 2  3   5 lim n n n bằng 3 2 n  n  7 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Câu 2. lim 2 5n  n  1 bằng A.  B.  C. 5 D. 1 3 Câu 3. 3 l m n  n 1 i 2 bằng 2 2n  n A. 1 B. 0 C.  D. 3 2 n Câu 4. (1) lim bằng ( n n  1) A. 1 B. 1 C.  D. 0
Câu 5. lim 2n  2n 3 n bằng A. 1 B. 1 C.  D. 0
Câu 6. lim 2n  2n 3 n bằng A. 1 B. 1 C.  D. 0 Câu 7. lim 3 3
n  8n  3n  2  bằng A.  B. 1 C.  D. 0 Câu 8.  2 3 3
lim n  n  1  n  3n  2  bằng A.  B.  C. 1  D. 1 2 2 Câu 9. lim5n 2n   bằng A.  B.  C. 3 D. 5 2 Câu 10.  n1
lim 3.2  5.3n  7n  bằng A.  B.  C. 3 D. -5 n n1 Câu 11. 4.3  7 lim bằng 2.5n  7n A. 1 B. 7 C. 3 D. 7 5 5 Câu 12. Tổng 1 1 1 1 S      bằng 3 9 27 81 A. 20 B. 61 C. 1 D. 1  81 243 4 4
Câu 13. Số thập phân 0,515151… viết dưới dạng phân số là A. 17 B. 51 C. 5151 D. 515151 33 100 10000 1000000 Chương 4. Giới hạn Trang 37 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 2 Câu 14. x  1 lim bằng x3 2 3 A.  B. 0 C. 5 3 D. 1 3 2 2 Câu 15. x  4 lim bằng 2 x2 x  3x  2 A. 1 B. 4 C. 2 D. 4 3 Câu 16. 2x 1  3x  2 lim bằng x1 x 1 A. 1 B. 0 C.  D.  Câu 17. lim  3 5x  2x  bằng x A. 2 B. 3 C.  D.  Câu 18. lim  3 5x  2x  bằng x A. 2 B. 3 C.  D. 
Câu 19. Khẳng định nào sau đây không đúng? A. 2 lim x  2x  5   B. 2 lim x  2x  5   x x 2 2 C. x  2x  5 1 lim x  2x  5 1  D. lim  x 3x  4 3 x 3x  4 3 Câu 20. 1  1 lim 1    bằng x 0  x  x  1  A. 0 B. 1 C. 1 D. 
Câu 21. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. |x  3| lim   1 B. |x 3 li | m  1 x 3  x  3 x 3  x  3 C. |x  3| lim không tồn tại D. Cả A, B, C đều đúng x3 x  3 Câu 22. 3 lim x  7 bằng x 2  x  2 A.  B.  C. 3 D. 7 2
Câu 23. Giới hạn nào sau đây là vô cực? 2 3 2 2 2 A. x  x  1 x  2x 9x  x x (2x 1) 3 lim B. lim C. lim D. lim 2 x2 x  2x x   x x62 2 2 x   (2x 1) 4 3 x  3 4 x1 x  x  1 5x  2 khi x  1
Câu 24. Cho hàm số f (x)  
. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 x  3 khi x  1 A. lim f (x)  7 B. lim f (x)  2 C. lim f (x)  7 D. lim f (x)  7 x1 x1 x 1  x 1   2 x  5 khi x  3
Câu 25. Cho hàm số f (x)   2 x  m
. Tìm m để f(x) có giới hạn khi x  3 ?  khi x  3  x  2 A. 19 B. 1 C. 1 D. 19 Chương 4. Giới hạn Trang 38 Mr. Huỳnh Phú Sĩ  1 3   khi x  1
Câu 26. Với giá trị nào của m thì hàm số 3 f (x)  x 1 x 1
có giới hạn tại điểm x  1? 0 mx  2 khi x  1 A. 2 B. 1 C. 1 D. 3 Câu 27. Cho hàm số 3x  2 f (x) 
. Mệnh đề nào sau đây đúng nhất? x  7
A. f(x) liên tục tại mọi điểm
B. f(x) liên tục tại x  7 0
C. f(x) liên tục tại mọi điểm, trừ x  7
D. f(x) gián đoạn tại x  2019 0 0
Câu 28. Hàm số có đồ thị ở hình bên gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 29. Trường hợp nào làm cho hàm số f (x) gián đoạn tại x ? 0
A. lim f (x) không tồn tại xx0 B. f (x ) không tồn tại 0 C. lim f (x)  f (x ) 0 xx0 D. Cả A, B, C đều đúng 2 (  x 1) khi x  1  Câu 30. Hàm số 2
f (x)  x  3 khi x  1 gián đoạn tại x  1 vì 0 1   5x khi x  1 
A. lim f (x)  lim f (x) B. f ( )
1 không tồn tại C. lim f (x)  f (1) D. Cả A, B, C đều đúng x 1 x 1   x1 Câu 31. Hàm số 2x  5 f (x) 
liên tục trên khoảng nào sau đây? 4  x 5 A.    ;4  và (4;) B. 5  ; C. \{4} D.  2  2   2 x  3x  2
Câu 32. Tìm m để hàm số  khi x  2 f (x)   x  2 liên tục tại x  2 ? 0 2mx 3 khi x  2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 x  3x  2
Câu 33. Tìm m để hàm số f (x)  khi x  2   x  2 liên tục tại x  2 ? 0 2x m khi x  2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 (  x  1) khi x  1  Câu 34. Cho hàm số 2
f (x)  x  3 khi x  1 . Tìm k để f (x) gián đoạn tại x  1? 0  2 k khi x  1  A. k  2 B. k  2  C. k  2 D. k  1  Câu 35. Phương trình 4 3
8x  24x  8x 1  0 có đúng bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 1  ;3) ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 36. Phương trình 4 2 2x  5x  x  1  0
A. Không có nghiệm trên khoảng ( 1  ;1)
B. Không có nghiệm trên khoảng ( 2  ;0)
C. Chỉ có một nghiệm trên khoảng ( 2  ;1)
D. Có ít nhất hai nghiệm trên khoảng (0;2) Chương 4. Giới hạn Trang 39 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 5. ĐẠO HÀM
ĐỊNH NGHĨA & Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Quảng đường s của chuyển động của một chất điểm là
một hàm số của thời gian t. Khi đó, vận tốc tức thời của chuyển động tại
thời điểm t0 là giới hạn sau (nếu có): ( s t)  ( s t ) 0 lim tt0 t  t0
b) Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t. Khi đó, cường độ
tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là giới hạn sau (nếu có): ( Q t)  ( Q t ) 0 lim tt0 t  t0
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;b) và x (a;b) . Nếu tồn tại giới hạn 0 f (x)  f (x ) (hữu hạn) 0 lim
thì giới hạn đó được gọi là . . . . . . . . . . . của hàm số xx0 x  x0
y  f (x) tại điểm x0 và kí hiệu là . . . . . . (hoặc y'(x ) ), tức là: 0 f (x)  f (x ) 0 f '(x )  lim 0 x 0 x x  x0 Chú ý
 Đại lượng Δx  x  x được gọi là . . . . . . . . của x tại x . 0 0
 Đại lượng Δy  f (x)  f (x ) được gọi là . . . . . . . . tương ứng của f. 0 Như vậy: f '(x )  lim 0 Δx0
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử Δx là số gia của x tại x . Khi đó: Δy  f (x  Δx)  f(x ) 0 0 0
Bước 2. Lập tỉ số Δy Δx Bước 3. Tìm Δ lim y Δx0 Δx
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) 2 f (x)  x tại x  3 b) 3 f (x)  x tại x  1 c) ( ) 1 f x  tại x  2 0 0 x 0 Chương 5. Đạo hàm Trang 40 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số y  f (x) có đạo hàm tại x thì nó 0
liên tục tại điểm đó.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;b) và có
đạo hàm tại x (a;b) . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Khi đó, 0
f '(x ) là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm Mx ; f (x ) . 0 0  0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) y   f ( )(x  )
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 y  x a) Tại điểm N(1;1)
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Tại điểm có tung độ bằng 1
d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm a) Vận tốc tức thời: ( v t )  s'(t ) 0 0
b) Cường độ tức thời: I(t )  Q (t ) 0 0
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số y  f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại . . . .
điểm x trên khoảng đó. Chương 5. Đạo hàm Trang 41 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Ví dụ 3: Hàm số 2
y  x có đạo hàm y'  2x trên  ; 1 y  có đạo hàm ' 1 y   trên \{0} . x 2 x B. THỰC HÀNH
5.1.1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 y  x a) Tại điểm M( 1  ; 1  )
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Tại điểm có tung độ bằng 8
d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
5.1.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol 1 y  x a) Tại điểm N 1 ;2 
b) Tại điểm có hoành độ bằng 1 2   
c) Tại điểm có tung độ bằng 3
d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1  4 5.1.3. Cho đường cong 3 2
(C) : y  x  3x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) a) Tại điểm K(1; 2  )
b) Tại điểm có hoành độ bằng 1
c) Tại giao điểm của (C) với trục tung
d) Tại giao điểm của (C) với trục hoành
5.1.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 (C) : x  1 y  , biết tiếp tuyến đó 1 x a) Có hệ số góc k  1 b) Song song với 1 d : y  x  2016 1 4
c) Song song với d : 4x  y  3  0
d) Vuông góc với d : 2x  2y  9  0 2 3 Chương 5. Đạo hàm Trang 42 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 5. Đạo hàm Trang 43 Mr. Huỳnh Phú Sĩ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP y y’ n x 1 x x x Hằng số C sin x cosx tan x cot x
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG Định lí  (u  v)'   (u  v)'   u   ( . u v)'   '   v  0  v  Hệ quả  
 k.u'  (k là hằng số)  1 '   v  0  v 
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 4 3 a) x 2x y     3 x b) y  2sin x  3cos x c) 1 2x y  2 3 x  3
III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP 1. Hàm hợp Ví dụ 2: 3 10 y  (1 2x ) ; 2
y  x  3x  2016 … là các hàm hợp.
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u  g(x) có đạo hàm u' và hàm số y  f ( )
u có đạo hàm y' thì hàm x u hợp y  f  (
g x) có đạo hàm tại x là y'  y' . x u Chương 5. Đạo hàm Trang 44 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y    x 10 3 1 2 b) 2 y  x  3x  2016 c) y  cos 3 x 1  cot3x B. THỰC HÀNH
5.2.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 1 3 y  2x  x  2 x  5 b) y  5sin x  3cosx 3 2 c) 3 2 y x  3x  3  (x  2)(1 x ) d) 3x 1 y   e) y  f) y  xcot x 1 x x 1 g) y  2sin xcosx h) cosx y  k) sin x cos x y   sin x sin x  cos x
5.2.2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 4 y  (x  x  1) b) 1 y  c) 2 y  2x  5x  2 d) 2 y  (x  2) x  3 2 5 (x  2x  5) e) 2 y  tan(1 x ) f) 2 y  sin 1 x g) y  1 2cot x h) x 2 y   2 1 cos x i) 2 2 y  tan x  cot x j) 2 y  (sin x  cosx) k) y  sin(sin x) 5.2.3. Cho 3 2
y  x  3x  2 . Tìm x để a) y'  0 b) y'  3
5.2.4. Giải bất phương trình sau: 2 2 a) y' x 3 x  x  2  0 , với y   b) y'  0, với y  x  1 x 1 c) y'   0 , với 2x 1 y  d) y'  0 , với 1 y  2 x  x  4 2 2 (x  2x  5) 2 5.2.5. Cho hai hàm số 3 2 f (x)  2x  x  3 và 3 g(x)  x x 
 3 . Giải bất phương trình f '(x)  g'(x) . 2
5.3.6. Giải phương trình y'  0 , biết
a) y  3cosx  4sin x  5x b) 2 y  cos x  sin x Chương 5. Đạo hàm Trang 45 Mr. Huỳnh Phú Sĩ Chương 5. Đạo hàm Trang 46 Mr. Huỳnh Phú Sĩ VI PHÂN A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
Ta gọi tích f '(x).Δx là vi phân của hàm số y  f (x) tại x ứng với số gia Δx , kí hiệu
là df (x) hoặc dy , tức là dy  dx
Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau: a) 3 y  x  5x  1 b) 3 y  sin x
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
f (x  Δx)  f(x )  f '(x ).Δx 0 0 0
Ví dụ 2. Tính giá trị gần đúng của 99 và 3,99 (lấy 4 chữ số thập phân). B. BÀI TẬP
5.3.1. Tìm vi phân của các hàm số sau: a) 3 y  x  5x  1 b) 3 y  sin x c) 2 2
y  (x  4x  1)(x  x) 2 d) x  3x  5 y  e) sin y x  f) 2 y  tan x x 1 x
5.3.2. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân): a) 3,99 b) 8,99 c) 9,01 d) 16,02 e) cos91o f) tan 44o Chương 5. Đạo hàm Trang 47 Mr. Huỳnh Phú Sĩ ĐẠO HÀM CẤP HAI A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA
 Đạo hàm cấp 2: y'  (y')'
 Đạo hàm cấp 3: y' '  (y' )'  Đạo hàm cấp 4: (4) y  (y' ')'  Đạo hàm cấp 4: (5) y   (4) y ' (n)   ( ) y y '
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp của hàm số 5 y  x .
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Xét chuyển động của một chất điểm xác định bởi phương trình s  f (t) , khi đó
 Vận tốc tức thời: ( v t)  f '(t)  Gia tốc tức thời: ( a t)  v'(t)  f ' (t)
Ví dụ 2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo có phương trình li độ là x  Acos(ωt  φ)
trong đó A, ω , φ là những hằng số, và t là biến thời gian. Hãy tìm vận tốc và gia tốc. B. THỰC HÀNH
5.4.1. Tìm đạo hàm cấp hai và cấp ba của các hàm số sau: 3 a) x 2 y    3x  5x  8 b) 4 2 y  3x  4x  7 c) x 3 y  d) 3 y  3x  x 3 x  4 e) f) y  cosx g) y  tan x h) 2 y  cos x
5.4.2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) 3 y y'  1  0 , với 2 y  2x  x b) 2 2 2
x y'  2(x  y )(1 y)  0 , với y  xtan x Chương 5. Đạo hàm Trang 48 Mr. Huỳnh Phú Sĩ ÔN TẬP CHƯƠNG 5
Câu 1. Tìm đạo hàm của hàm số f (x)  x  1 tại điểm x  1? 0 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 4 2 3 2 Câu 2. Cho hàm số f ( x  x  | x) | 1  . Tính f '( 1  )? x A. 2 B. 1 C. 0 D. Không tồn tại  Câu 3. Cho hàm số   1 f (x) x khi x  
. Phát biểu nào sau đây không đúng? 2 x khi x  1 A.  1 f '(1 )  B. f '(1)  2 C. f '(1)  1 D. f '(1) không tồn tại 2
Câu 4. Số gia của hàm số 3
f (x)  x ứng với x  2 và Δx  1 bằng bao nhiêu? 0 A. -19 B. 19 C. 7 D. -7
Câu 5. Số gia của hàm số 2
f (x)  x  4x  1 ứng với x và Δx là A. Δ ( x Δx  2x  4) B. 2x  Δx C. Δ ( x 2x  4Δx) D. 2x  4Δx Câu 6. Cho hàm số 3 2
f (x)  x  3x  1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( 1  ;3) là A. y  3  x B. y  3  x C. y  6  9x D. y  9x  6
Câu 7. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): 4 y 
tại điểm có hoành độ x  1  là x  1 0 A. y  2  x B. y  x  2 C. y  x 1 D. y  x  3
Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): 4 2
y  x  2x 1 tại điểm có tung độ y  2 là 0
A. y  8x  6 và y  8x  6
B. y  8x  6 và y  8x  6
C. y  8x  8 và y  8x  8 D. y  41x 17 3
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 2 y 
 3x  2 với hệ số góc k  9 có phương trình là 3 A. y  9  x  11 B. y  9x  27 C. y  9x  43 D. y  9  x  11
Câu 10. Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2x  2 y 
biết rằng nó song song với đường x 1 thẳng d : y  1 4x ?
A. y  4x  2 và y  4x  14
B. y  4x  21 và y  4x  14
C. y  4x  2 và y  4x  1
D. y  4x  12 và y  4x  14
Câu 11. Đạo hàm của hàm số 5
y  4 x  2x bằng biểu thức nào sau đây? A. 1 4  10x B. 4 4  10x C. 2 4  10x D. 2 4   10x x x x x
Câu 12. Đạo hàm của hàm số 2x  1 y 
bằng biểu thức nào sau đây? x  2 A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 2 (x  2) 2 (x  2) 2 (x  2) 2 (x  2) Chương 5. Đạo hàm Trang 49 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 13. Đạo hàm của hàm số 2 5 y  (x  x  1) là A. 2 4 4(x  x  1) (2x 1) B. 2 4 ( 5 x  x  1) C. 2 4
5(x  x  1) (2x  1) D. 2 4 (x  x  1) (2x  1) 2
x  x  1 khi x  1
Câu 14. Đạo hàm của hàm số f (x)   là
 x 1  3 khi x  1 2x khi x  1 2  x 1 khi x  1 A. f '(x)     1 B. f '(x) khi x  1  1  khi x  1 2 x  1  x 1 2x  1 khi x  1 2x  1 khi x  1 C. f '(x)     1 D. f '(x)  khi x  1  1  khi x  1  2 x  1 2 x  1 2 3  x  khi x  1
Câu 15. Đạo hàm của hàm số  2 f (x)   là 1 khi x  1 x x khi x  1 x khi x  1 A. f '(x)     1 B. f '(x)   1   khi x  1  khi x  1 2  x 2 x x khi x  1 x khi x  1   C.  1 f '(x)  1   khi x  1 D. f '(x)   khi x  1 2  x 2  x  1  khi x  1  1  khi x  1  Câu 16. Cho hàm số 2 4
f (x)  1 4x  2x . Tập hợp các giá trị của x để f '(x)  0 là A. ( 1  ;0) ( ; 1 ) B. ( 1  ;0) C. (1;) D. (;0)
Câu 17. Đạo hàm của hàm số y  2sin3xcos5x là biểu thức nào sau đây? A. 30cos3x sin5x B. 2cos2x  8cos8x C. 8cos8x  2cos2x D. 30sin5x  30cos3x
Câu 18. Đạo hàm của hàm số y  cot x là A. 1  B. 1 C. 1 D. sinx 2 sin . x cot x 2 2sin . x cot x 2 cot x 2 cot x Câu 19. Cho hai hàm số 4 4 f (x)  sin x  cos x và 1
g(x)  cos4x . Chọn mệnh đề đúng: 4 A. f '(x)  g'(x)  0
B. 2 f '(x)  3g'(x)  1 C. 3 f '(x)  2g'(x)  1  D. f '(x)  g' 1 (x)  4
Câu 20. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số 1 y  ? x A. 4  B. 4! C. 4!  D. 4!  5 x 5 x 5 x 6 x
Câu 21. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình 3 2
s  t  3t  5t  2 , trong
đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là A. 2 24m / s B. 2 17 m / s C. 2 14m / s D. 2 12m / s
Câu 22. Phương trình chuyển động của một chất điểm 3 2
s  t  3t  9t  2 với s tính bằng mét và t tính
bằng giây. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0. A. 2 10m / s B. 2 12m / s C. 2 8m / s D. 2 16m / s Chương 5. Đạo hàm Trang 50 Mr. Huỳnh Phú Sĩ HÌNH HỌC
Trường THCS & THPT Mỹ Thuận Trang 51 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa 
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng . Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm 
đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a , b , x , y …
2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
   A
 Quy tắc ba điểm: AB  BC  AC
  
 Quy tắc hình bình hành: AB  AD  AC (ABCD là hình bình hành)
  
 Quy tắc trừ: AC  AB  BC D
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: B
   
    a) AC  BD  AD  BC b) AC  AB  DC  DB C B C A D
   
 Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA'  AC' B' C'
3. Phép nhân vectơ với một số   
 I là trung điểm AB  IA  IB  0 D' A'   
 MA  MB  2MI (M tùy ý)
   
 G là trọng tâm Δ ABC  GA  GB  GC  0
   
 MA  MB  MC  3MG (M tùy ý)
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, G là trọng tâm tam giác BCD.
   
a) Chứng minh rằng AB  AC  AD  3AG .
b) Xác định trọng tâm S của tứ diện ABCD.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 52 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ 1. Định nghĩa
Trong không gian, 3 vectơ được gọi là đồng phẳng nếu . . . . của chúng cùng . . . . . .
. . . . . . . với một mặt phẳng.
2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng  
Định lí 1. Trong không gian cho 3 vectơ   
a , b , c trong đó a và b không cùng phương. Khi đó A    
a , b , c đồng phẳng  m,n sao cho c  ma  nb M
Cặp số m, n là duy nhất.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm D
   B
của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC , AD , MN đồng phẳng. N C 
Định lí 2. Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a , b , c . Khi đó với   
mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x  ma  nb  pc . Ngoài ra
bộ ba số m, n, p là . . . . . . . . . . . . B. THỰC HÀNH
3.1.1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành.
   
Chứng minh rằng: SA  SC  SB  SD .
3.1.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:   
   a) AD  BC  2MN
b) Ba vectơ MN , AC , BD đồng phẳng
    
3.1.3. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm S sao cho SA  SB  SC  SD  0 .
3.1.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD, BC lần    
lượt lấy các điểm P, Q sao cho 2 AP  AD và 2
BQ  BC . Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng thuộc 3 3 một mặt phẳng.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 53 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 54 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. LÝ THUYẾT
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian 
Trong không gian, cho u và v là hai vectơ khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và  
C là hai điểm sao cho AB  u và AC  v . Khi đó: ,  o   0  180o u v BAC BAC 
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian    u.v  u . . o c s ,     cosu,v   . v Chú ý      2 2 u.u  u  u      u.v  0  u v
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm CD. Tính:       a) AB,AC
b) AB,CD c) AB,BD A B C H D a
II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa
Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó. 2. Nhận xét  
 Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì vectơ ka (với k  0 ) cũng là vectơ chỉ phương của  .
 Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một . . . . . và
một vectơ . . . . . . . . . . . . của nó.
 Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ a phương.
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG b GIAN a' 1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian O b'
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
một điểm O và lần lượt . . . . . . . . . . . . . với a và b.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 55 Mr. Huỳnh Phú Sĩ 2. Nhận xét
 Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta có thể chọn S
điểm O thuộc một trong hai đường thẳng.
 Nếu a có vectơ chỉ phương u , b có vectơ chỉ phương v và
u,v  α. Khi đó góc giữa a và b bằng α nếu 0o   90o α và bằng 180o  α A B nếu 90o   180o α . a 2
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a C
và BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. A
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC P 1. Định nghĩa B
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc C giữa chúng bằng . . . . Q Kí hiệu: a b D 2. Nhận xét  
 Nếu a có vectơ chỉ phương u , b có vectơ chỉ phương v thì: a  b  u v
 Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng
này thì cũng . . . . . . . . . . . . . với đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc . . . . . . . . nhau.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng: AB  PQ .
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 56 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
3.2.1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH, cạnh a.        
a) Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ AB và EG , AF và EG , AB và DH , AC và GF .  
b) Chứng minh rằng: BH  AC .
c) Tính độ dài cạnh BH.
3.2.2. Cho tứ diện ABCD.       a) Chứng minh rằng A . B CD  AC.DB  A . D BC  0
b) Từ đẳng thức trên chứng tỏ rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC .
3.2.3. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC và     
ASB BSC CSA . Chứng minh rằng SA  BC , SB  AC , SC  AB .
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 57 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 58 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với . . . . .
đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) . Δ  (α) Nhận xét:  d  (α) 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định lí Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông
Nếu một đường thẳng vuông góc với . . . . cạnh
góc với . . . . đường thẳng . . . .
của một tam giác thì nó cũng . . . . . . . . . . . với
nhau cùng thuộc một mặt
cạnh thứ ba của tam giác đó.
phẳng thì nó vuông góc với Δ  AB  mặt phẳng ấy.   Δ  Δ  AC a,b  (α)
a  b  I  Δ  Δ  a  Δ  b 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh rằng BC  (SAB) .
b) Gọi AH là đường cao của Δ SAB. Chứng minh AH  SC . S H A C B III. TÍNH CHẤT
 Tính chất 1: Có . . . . . . . . . . . . . . . . mặt phẳng đi qua một
điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
 Tính chất 2: Có . . . . . . . . . . . . . . . . đường thẳng đi qua
một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là . . . . . . . .
. . . . . . đi qua . . . . . . . . . . . . . . của đoạn thẳng đó, đồng thời
. . . . . . . . . . . . . với đoạn thẳng đó.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 59 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG - VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  Tính chất 1:
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì
cũng . . . . . . . . . . . . với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì . . . . . . . . . . với nhau.  Tính chất 2:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì
cũng . . . . . . . . . . . . với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì . . . . . . . . . . với nhau.  Tính chất 3:
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông
góc với (α) thì cũng . . . . . . . . . . . . . với a.
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông
góc với một đường thẳng khác thì chúng . . . . . . . . . . . . . . với nhau.
V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 1. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) . Phép chiếu . . . . . . . . . . . theo
phương . . . lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α) .
2. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α)
đồng thời không vuông góc với (α) . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α) . Khi đó a vuông
góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với . . .
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng d A
Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) .
 Trường hợp đường thẳng Δ vuông góc với (α) φ d'
thì Δ,(α)  . . . . . H O α
 Trường hợp đường thẳng Δ không vuông góc
với(α) thì Δ,(α)  Δ,d, trong đó d là . . . . . . . . . . . . . của Δ lên (α) .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình S
vuông cạnh a vàSA  SB  SC  SD  a . Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng SO  (ABCD) .
b) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A B (ABCD). D O C
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 60 Mr. Huỳnh Phú Sĩ B. THỰC HÀNH
3.3.1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm BC, gọi AH là đường cao của tam giác AID. Chứng minh rằng: a) BC  (AID) b) AH  (BCD)
3.3.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA  SB  SC  SD . Gọi O là giao điểm
của AC và BD. Chứng minh rằng: a) SO  (ABCD) b) AC  (SBD) c) BD  SA
3.3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  (ABCD). Chứng minh rằng: a) AB  (SAD) b) BC  (SAB) c) BD  (SAC)
3.3.4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; SA  (ABC) ; AB  BC  a ; SA  a 3 .
a) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABC)
b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC . Chứng minh SC  (AHK) .
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 61 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 62 Mr. Huỳnh Phú Sĩ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. LÝ THUYẾT
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt . . . . . . . . . . . với hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng
nhau thì góc giữa chúng bằng . . . . β b
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Bước 1. Xác định giao tuyến c  (α) (β)
Bước 2. Chọn một điểm I c I a α
Bước 3. Trong (α) , dựng đthẳng a  c và a  c  I c Trong ( )
β , dựng đthẳng b  c và b  c  I
Khi đó, (α),(β)  ( , ) .
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác cân có chung cạnh BC. Hãy
xác định góc giữa hai mặt (ABC) và (DBC).
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho H là một đa giác nằm trong mặt phẳng (α) . Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng ( ) β . Khi đó: S S   S . . . . . (α),( ) β H H 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC A
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA a  . C 2
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC)
b) Xác định hình chiếu vuông góc của Δ SAB lên mặt đáy B c) Tính diện tích ΔSBC
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 63 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng . . . . Kí hiệu: (α) (β) 2. Các định lí
Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng
này chứa một . . . . . . . . . . . . vuông góc với mặt phẳng kia.
Δ  (α)  (α) (β) Δ ( ) β 
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Chứng minh
rằng các mặt bên (ABC), (ABD), (ACD) cũng đôi một vuông góc. B A D C
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng này và vuông góc với . . . . . . . . . . . . . thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng (α) và ( )
β vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm
thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) β thì
đường thẳng này nằm . . . . . . . mặt phẳng (α) .
Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
. . . . . . . . . . . . . của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG 1. Định nghĩa
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên . . . . . . . . . . . . với các mặt đáy.
Độ dài cạnh bên được gọi là . . . . . . . . . . . . của hình lăng trụ đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác… được gọi tương ứng là hình
lăng trụ . . . . . . tam giác, lăng trụ đứng tứ giác, lăng trụ đứng ngũ giác…
 Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ . . . . .
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình . . . . . đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi
là hình . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 64 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Hình lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương 2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn . . . . . . . . . . với mặt đáy và đều là hình . . . . . . . . . . . .
IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU 1. Hình chóp đều
 Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác . . . . . và có chân đường cao
trùng với . . . . . đa giác đáy.  Nhận xét:
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác . . . . . bằng nhau, và tạo với mặt
đáy các góc . . . . . . . . . .
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc . . . . . . . . . . . . 2. Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một
thiết diện . . . . . . . . . . . . với đáy cắt các cạnh bên
của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều. B. THỰC HÀNH
3.4.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và
SA  SB  SC  SD . Chứng minh rằng: a) (SAC)  (ABCD) b) (SAC)  (SBD)
3.4.2. Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) , ABC là tam giác vuông tại B và SA  AB  2a , BC  a 3 . Gọi M là trung điểm AB.
a) Tính đường cao AI của Δ AMC b) Tính (SMC),(ABC)
c) Tính diện tích tam giác SBC
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 65 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 66 Mr. Huỳnh Phú Sĩ KHOẢNG CÁCH A. LÝ THUYẾT
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nếu K là hình chiếu của điểm O trên Δ thì dO,Δ  . . .
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nếu K là hình chiếu của điểm O trên (α) thì dO,(α)  . . .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng a 2 .
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng SM là đường cao của hình chóp.
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp.
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng Δ / /(α) và M là một điểm bất kì trên Δ . Khi đó dΔ,(α)  d ,(α) .
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một . . . . . . . bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. (α) / /(β) a M
  d(α),(β)  d ,(β) M (α) 
III. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU N b 1. Định nghĩa
 Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với hai đường
thẳng ấy được gọi là đường vuông góc . . . . . . . . . của a và b.
 Nếu đường thẳng vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì ( d a,b)  . . . .
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 67 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
2. Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.  Gọi ( )
β là mặt phẳng chứa b và song song với a.
 Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với ( ) β .
 Gọi c  (α) (β) và N  b  c
 Gọi Δ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với a.
Khi đó Δ là đường vuông góc chung.
Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính khoảng cách giữa AB và CD. B. THỰC HÀNH
3.5.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA  a .
a) Tính khoảng cách dB,(SAC) .
b) Tính khoảng cách dA,(SBD) .
c) Tính khoảng cách dSA,BC.
d) Tính khoảng cách dSC,BD
3.5.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA  a 3 .
a) Tính diện tích tam giác SBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt (SBC).
3.5.3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại A và AB  AC  a 2 , cạnh bên
AA'  2a , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC.
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 68 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 69 Mr. Huỳnh Phú Sĩ ÔN TẬP CHƯƠNG 3
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mệnh đề nào sau đây sai?
       A. AC  BD  AD  BC B. 1 MN  AD  BC 2
    
  
C. AC  AD  BC  BD  4  NM D. MC  MD  4MN
Câu 2. Cho tứ giác ABCD nằm trên mặt phẳng (α) và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
    A. AC  BD  AB  CD B. SA  SC  SB  SD
   
C. Nếu SA  SC  SB  SD thì ABCD là hình bình hành
    
D. OA  OB  OC  OD  0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD 
Câu 3. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng là:       
A. Có hai số x, y sao cho c  xa  yb
B. Có ba số x, y, z sao cho a x  yb  zc  0   
C. Có hai số x, y không đồng thời bằng 0 sao cho c  xa  yb    
D. Có ba số x, y, z không đồng thời bằng 0 sao cho a x  yb  zc  0 
Câu 4. Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Khi đó, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng?                 A. a  b, 0, c B. a  b, 2a, 2b C. a  b, c, b D. a  b, c, 2a  b
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng?
  
   A. AB, A'B', D'B B. AB, AC, AA' B C
  
   C. AB, AC, CC' D. AB, BC, CC' O
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AA’, A D
O là tâm của hình bình hành ABCD (như hình). Ba vectơ nào sau đây đồng phẳng? M B' C'
  
   A. MO, AB, B C  B. MO, AB, A'D' D'
  
   A' C. MO, DC', B C  D. MO, A'D, B C  '
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm ΔBCD . Khi đó 
   
   A. 1 AG  AB  AC  AD B. 1 AG  BA CA  DA 4 4 
   
   C. 1 AG  AB AC  AD
D. AG  AB AC  AD 3
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G (như hình). Khi đó: 
   
   A. 1
AG  AB  AC  AD B. 1 AG  BA CA  DA 4 4 
   
   C. 1
AG  AB AC  AD D. AG  AB AC  AD 3  
Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Tích vô hướng A . B AC bằng 2 2 A. a a 2 a B. 0 C. D.  2 2
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 70 Mr. Huỳnh Phú Sĩ  
Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Tích vô hướng A . B CD bằng 2 2 A. 2 a B. 0 C. a D. a  2 2
Câu 11. Hai đường thẳng a , b lần lượt có các vectơ chỉ phương là u , v . Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a, b. Khi đó A. φ  u,v
B. cosφ  cosu,v C.  180o φ  u,v
D. cosφ  cosu,v
Câu 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì song song với nhau
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì vuông góc với nhau
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì cắt nhau
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng d thì có thể chéo nhau
Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Mệnh đề nào N B C sau đây không đúng?  
  M A. 2 AD .CC  a B. 2 AD .AB  a
  A D C. AB .CD  0 D. AC'  a 3 P
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’ (như hình). Xác định số đo góc giữa B' C'
hai đường thẳng MN và AP. A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o A' D'
Gợi ý: Tam giác ACD’ đều.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I sao cho SA  SC và SB  SD .
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SI  (ABCD) B. AC  (SBD) C. BD  (SAC) D. SA  (ABCD)
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I sao cho SA  SC và SB  SD . Mệnh
đề nào sau đây không đúng? A. SI  (ABCD) B. AC  (SBD) C. BD  (SAC) D. SA  (ABCD)
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có ACD và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy CD. Gọi M là
trung điểm CD. Mệnh đề nào sau đây đúng nhất? A. AM  (BCD) B. BM  (BCD) C. CD  (B AM) D. AM  (B AM)
Câu 18. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. Mệnh đề nào sau đây đúng nhất? A. AB  (ACD) B. AB  CD C. AC  BD D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 19. Cho hình chóp đều ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
    A. AG  CD B. AG  (BCD) C. BG  (ACD) D. AB  AC  AD  3AG
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ACD và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy CD. Gọi M là
trung điểm CD. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CD là A. (BAM) B. (BCD) C. (ACD) D. AB
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I sao cho SA  SC và SB  SD .
Hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là A. AB B. CB C. DB D. IB
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 71 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm I và a 2 SI  . Số đo góc 2
giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SC  (ABCD) và SC  a . Số đo
góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và BC  SB  a . Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của BC. Tính số đo góc giữa SA và (ABC). A. 30o B. 45o C. 60o D. 75o
Câu 25. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu a  b và a  (P) thì b//(P)
B. Nếu a//b và a  (P) thì b  (P)
C. Nếu a//(P) và a  b thì b  (P) D. Cả A, B, C đều sai
Câu 26. Một hình chóp tam giác là hình chóp đều khi và chỉ khi
A. Đường cao của hình chóp đi qua trọng tâm của đáy
B. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau
C. Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
D. Đáy là tam giác đều và các cạnh bên có độ dài bằng nhau
Câu 27. Cho tứ diện đều ABCD. Cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng A. 3 B. 1 C. 2 D. 3 2 3 2 3
Câu 28. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến c và một điểm A (P) .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu a  (P) thì a  (Q)
B. Nếu a  (Q) thì a  (P)
C. Nếu a  c và A  a thì a  (Q)
D. Nếu a  (Q) và A  a thì a  (P)
Câu 29. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) và một đường thẳng a. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu (P)//(Q) và a  (P) thì a  (Q)
B. Nếu (P)  (Q) và a  (P) thì a//(Q)
C. Nếu (P)  (Q) và a//(P) thì a  (Q) D. Cả a, b, c đều sai
Câu 30. Cho đường thẳng a  (P) . Qua a, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P)? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 31. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Qua a, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P)? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 32. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
A. Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia
B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau
C. Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng kia
D. Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia
Câu 33. Hình nào trong các hình sau đây không có đủ 6 mặt là hình chữ nhật? A. Hình lập phương
B. Hình lăng trụ tứ giác đều
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 72 Mr. Huỳnh Phú Sĩ C. Hình hộp đứng D. Hình hộp chữ nhật
Câu 34. Hình nào trong các hình sau đây có tất cả các cạnh bằng nhau?
A. Hình hộp chữ nhật B. Hình hộp
C. Hình lăng trụ đều D. Hình hộp thoi
Câu 35. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là A. 50 B. 5 2 C. 2 5 D. 12
Câu 36. Hình lập phương có cạnh bằng 7 thì đường chéo có độ dài là A. 147 B. 3 7 C. 7 3 D. 21
Câu 37. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Kết luận nào sau đây không đúng? A. (ABC)  (ACD) B. (ABC)  (ABD) C. (ACD)  (ABD) D. (ABC)  (BCD)
Câu 38. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Chọn kết luận sai. A. (SAC)  (SBD) B. (SAC)  (ABCD) C. (SAB)  (ABCD) D. (SBD)  (ABCD)
Câu 39. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB  AC  AD  a . Tính tan(ABC),(DBC) . A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 2 2
Câu 40. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB  AC  a , a 2 AD 
. Tính số đo góc (ABC),(DBC) . 2 A. 45o B. 54o44' C. 35o16' D. 26o34'
Câu 41. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB  AC  a , a 2 AD 
. Tính diện tích tam giác BCD. 2 2 2 2 A. a B. 2 a 2 C. a 2 D. a 2 2 2 2
Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA  SB  SC  SD  a . Tính cosin của góc (SAB),(SAD  ) . 3 A. 1 B. 1 C. D. 1  4 3 2 3
Câu 43. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
AB  AC  AD  a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). A. a B. a 2 C. a 2 D. a 3 2 3
Câu 44. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây chưa đúng?
A. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng b  (P) sao cho a//b
B. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và hình chiếu của nó trên (P)
C. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng b  (P) sao cho a  b
D. Khoảng cách giữa a và (P) bằng khoảng cách giữa a và đường thẳng b  (P) sao cho a và b không song song
Câu 45. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 73 Mr. Huỳnh Phú Sĩ
B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt đi qua hai đường thẳng đó
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song
song lần lượt cắt hai đường thẳng đó
Câu 46. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn thẳng ngắn nhất nối hai
điểm thuộc hai đường thẳng đó
B. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng đó
C. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cắt cả hai đường thẳng đó
D. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với mặt phẳng song song
với hai đường thẳng đó
Câu 47. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy chỉ ra đoạn B C
vuông góc chung của AB và A’D’? A. AA’ B. BD’ C. BC D. B’D A D
Câu 48. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Để tính khoảng N
cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’, bạn Trân đã giải như sau: B'
Bước 1 Gọi M  B'D' A'C' C'
Từ điểm M, dựng MN  AC' (1) M
Bước 2 Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên A' D'
B'D'  A'C' B'D' (AA'C')  B'D'  MN (2) B'D'  AA' 
Bước 3 Từ (1) và (2) suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AC’ và B’D’.
Ta thấy Δ AA’C’ và Δ MNC’ đồng dạng vì Bước 4  ˆ    90o A  ˆ C    chung a 2 MN MC' a   AA'.MC' 2 a 6  N M    AA' AC' AC' a 3 6 Từ đó suy ra ( d AC',B'D') a 6  6
Lời giải trên đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bước nào? S A. Đúng B. Sai từ Bước 2 C. Sai từ Bước 3 D. Sai từ Bước 4
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm I, cạnh a và a 2 SI 
. Tính khoảng cách giữa hai A 2 B đường thẳng AC và SB. I A. a 2 B. a C. a 3 D. a D C 2 2 2
Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian Trang 74 Mr. Huỳnh Phú Sĩ