lOMoARcPSD|44744371 lOMoARcPSD|44744371 MỤC LỤC Trang
Lời mở đầu.......................................................................................................................... 8
Một số ký hiệu................................................................................................................... 10
Chương 1. Ma trận – Định thức……………………………………………….……………...12
1.1. Ma trận……………………………………………………………................12
1.1.1. Định nghĩa ma trận.............................................................................. 12
1.1.2. Ma trận bằng nhau...………………………………………………....12
1.1.3. Các ma trận đặc biệt........................................................................... 13
1.1.4. Các phép toán trên ma trận……............................................................15
1.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng........................................................ 18
1.2. Định thức……………………………………….……………………….......20
1.2.1. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n………….…………………...20
1.2.2. Định lý khai triển định thức theo một hàng hay một cột bất kỳ................. 21
1.2.3. Các tính chất định thức………..............................................................23
1.2.4. Định lý sự thay đổi của định thức qua các phép biến đổi………………...24
1.2.5. Phần bù đại số và ma trận phụ hợp…………………….………………...25
1.3. Ma trận nghịch đảo……………….…………….……………………….......26
1.3.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo………….………………….…………...26
1.3.2. Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo.......................................................... 26
1.3.3. Định lý sự tồn tại của ma trận nghịch đảo............................................... 28
1.3.4. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo……………………………….. 28
1.4. Hạng ma trận…..……………….…………….………………………….......29
1.4.1. Định nghĩa tổng quát hạng của một ma trận….……………..…………...29
1.4.2. Tính chất............................................................................................. 29
1.4.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận........................................................ 29
1.4.4. Một số bất đẳng thức về hạng của ma trận............................................ 30
1.5. Bài tập……..…..……………….…………….………………………….......32
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính……………………………………………………….39 2 lOMoARcPSD|44744371
2.1. Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính………………………………………....39
2.1.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng quát………..………………39
2.1.2. Định nghĩa nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính………….……..40
2.1.3. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác…………….………….……..40
2.1.4. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang………….………….……..41
2.1.5. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn Gauss.……..42
2.2. Hệ phương trình Cramer………………………………………………………….45
2.2.1. Định nghĩa hệ phương trình Cramer……………………….………..…..45
2.2.2. Các phương pháp giải hệ phương trình Cramer....................................... 46
2.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát..................................................................... 47
2.3.1. Nhận xét về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát... 47
2.3.2. Định lý Kronecker – Capelli .................................................................. 47
2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất…………………….…………………….50
2.4.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất..................................50
2.4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất….…….…………..50
2.5. Một số bài toán ứng dụng trong kinh tế……….……………………………….....51
2.5.1. Mô hình cân bằng thị trường.................................................................. 51
2.5.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân…………………………..……...54
2.5.3. Mô hình input – output của Leontief…………………………………..58
2.6. Bài tập…………………………………………………………………………....64
Chương 3. Không gian vectơ.…………………………………………………………….......71
3.1. Các khái niệm căn bản…………………………………………………………71
3.1.1. Định nghĩa không gian vectơ….……………………………..………….71
3.1.2. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của các vectơ…………………...…………71
3.1.3. Định nghĩa không gian vectơ con của một không gian vectơ……………72
3.1.4. Định nghĩa không gian con sinh bởi một tổ hợp tuyến tính……………...72
3.1.5. Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính…………………...73
3.2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ…………………………………………..74
3.2.1. Định nghĩa cơ sở của một không gian vectơ….…………………………74
3.2.2. Ma trận chuyển cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.4. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3 lOMoARcPSD|44744371 Chương 1
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1.1. Ma trận
1.1.1. Định nghĩa ma trận
Một bảng số hình chữ nhật gồm có m dòng (hàng) và n cột được gọi là ma trận
có cấp (cỡ) m n.  a11 a a  12 1n  a  a Ký hiệu: A 2n  21    a ij  a  22  (1.1)  am1   m n với a a m2 mn 
i : gọi là chỉ số dòng (hàng).
j : gọi là chỉ số cột.
aij : là phần tử nằm ở dòng i và cột j trong ma trận A.
Ví dụ 1. Cho các ma trận  1 2 3 A   là ma trận cấp 
 2  3  .  4 5 6   1 4   B  
2 5  là ma trận cấp  3  2  .    3 6   1 3 2 
 là ma trận cấp  3  3 (ma trận vuông cấp C   0 1 3  3).    2 4 5 
1.1.2. Ma trận bằng nhau
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và có tất cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau.
Cho hai ma trận: A   a ij B   bij  m và  n mn aij  bij AB  (1.2)
i  1,2,...,m; j  1, 2,...,n 12 lOMoARcPSD|44744371  1 2   1 b  Ví dụ 2.
Cho hai ma trận: A    ;B
 . Tìm a, b để hai ma trận A, B bằng  3 4   a 4  nhau. Giải
Ta có hai ma trận A và B đều có cấp là  2  2 . Do đó A  B   3 .  a  b  2
1.1.3. Các ma trận đặc biệt
1.1.3.1. Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều là số
không. Ví dụ 3. Cho các ma trận không
là ma trân không cấp  2  3 0   0 0 0  . 2 3    0 0 0   0 0  0 
 là ma trận không cấp  3  2
32   0 0   .    0 0 
1.1.3.2. Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp
n  n được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n
được ký hiệu là Mn . Với ma trận vuông A M n , các phần tử a11 , a 22 , ...,ann được gọi
là thuộc đường chéo (chính) của ma trận A. Các phần tử a n1 , a n 1,2 ,..., a1n được gọi là
thuộc đường chéo phụ của ma trận A .  1 2 3  1,  5, 
Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3:  4 5 6 có các phần tử a a a 9   11 22 33    7 8 9
thuộc đường chéo chính còn các phần tử a 31  7, a 22  5, a13  3 thuộc đường
chéo phụ. 1.1.3.3. Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đều là bằng 0.  1 0 0  Ví dụ 5.  0 5 0 
Cho ma trận chéo cấp 3 :   .    0 0 9  13 lOMoARcPSD|44744371
1.1.3.4. Ma trận đơn vị cấp
Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng
1. Ký hiệu In là ma trận đơn vị cấp n. Ví dụ
6. Cho các ma trận đơn vị  1 0 ... 0   1 0 0 I  1 0     0 1 ... 0  2   ; I 3 0 1 0   
0 ;...; In     ...
... ... ...  .  1     0 0 1   1  0 0 ... 
1.1.3.5. Ma trận tam giác trên (dưới)
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới (hoặc ở
phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 7. Cho các ma trận cấp 3  1 3 4  
0 2 5 là ma trận tam giác trên.    0 0 3  1 0 0  
3 2 0 là ma trận tam giác dưới.    5 4 3
1.1.3.6. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang)
Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng khác không đầu tiên của hàng dưới
phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.  a a a a   11 12 1r 1n  a a a  0 22 2r 2n       0 0 arr arn         0 0 0 0 
với r  n và a11 , a 22 , ...,arr gọi là các phần tử chéo.  1 2 3 4 5   
Ví dụ 8. Cho ma trận bậc thang như sau:  0 2 4 3 7     0 0 3 5 4   0 0 0 5 8  14 lOMoARcPSD|44744371
Lưu ý: Ma trận tam giác trên là ma trận bậc thang đặc biệt.
1.1.3.7. Ma trận chuyển vị
Cho A   a ij mn  M mn , chuyển vị của A , ký hiệu A T , là ma trận
cấp n  m xác định bởi A T   a ji n m  M n m.
Nhận xét : Ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được từ A bằng cách
chuyển hàng của A thành cột của A T . Tính chất
(i) AT T  A,
(ii) ABT AT BT,
(iii) ABT  BTAT.
Định nghĩa: Ma trận vuông A được gọi là một ma trận đối xứng nếu A  A
T . Ví dụ 9. Cho ma trận  2 3 4 A  
 là ma trận cấp  2  3  .  4 5 6 Ta có  2 3 T 
 là ma trận chuyển vị của ma trận A có cấp là   A  3 5 3 2.      4 6
1.1.4. Các phép toán trên ma trận
1.1.4.1. Nhân một số thực với ma trận
Nhân số thức với ma trận là nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận:
Cho ma trận A   a ij  và m
k  ta có: n
kA  (k  a ij )m  n (1.3)
Đặc biệt ( 1)A   A   a ij mn .
1.1.4.2. Cộng hai ma trận cùng cấp
Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương ứng các vị trí với nhau:
Cho hai ma trận : A   a ij mn và B   b ij mn . Ta có 15 lOMoARcPSD|44744371
A  B   a ij  bij  (1.4) mn
Ví dụ 10. Cho hai ma trận:  1 2 3  111 A .    , B   4 5 6  1 1 1
Tính 2A,  4B, A  B, 2A  4B. Giải Ta có  2 4 6   4 4 4  2A  
, 4B     8 10 12   444  và  2 1 4  6 0 10 A . B  , 2A4B     3 6 5  4 14 8
1.1.4.3. Các tính chất
Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và  ,   .
a) ABBA
b) (AB)CA(BC)
c) A0A
d) A(A)0
e) 1AA
f) ()A  AA
g) (AB)AB
h) ()A  (A)  (A).
1.1.4.4. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A   a ij   M m
 n , B   b ij  M n p . Ta định nghĩa ma trận tích của
hai ma trận A, B là ma trận cấp m  p , ký hiệu AB   c ij  Mm  p , xác định bởi n
cij  ai1 b1 j  ai 2 b2 j   ain bnj  aik bkj , i  1,m, j  1,p (1.5) k 1 Tính chất
(i) Tính kết hợp : Cho A  M m
 n , B  Mn p và C  Mp  q , ta có 16 lOMoARcPSD|44744371
A BC  ABC .
(ii) Tính phân phối : Với mọi ma trận A, B Mmn và C  Mn p , ta có 
ABCACBC,
và với mọi ma trận C  Mm
 n và A, B  Mn p , ta có
CABCACB.
(iii) Với mọi ma trận A  M m
 n , B  Mn p và với mọi k
 , ta có k  AB    kA  B  A  kB .
Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có An  A  A   A (nhân n lần).
Ví dụ 11. Cho hai ma trận:  1 2    2 3 4  M A   1 1 3x 2  ,B  M  2x3.   3 5 0    2 3
Tính AB và  AB  2 . Giải Ta có  1 2  8 7 4     2 3 4   AB .  1 1   4    3 5  1 8  0     2 3   13 9 8   8 7 48 7 4  AB 2    
 ABAB  1 8  1 8 4  4     13  13 9 8  9 8   123 148 36     36 35 60 .    217 235 123 
Ví dụ 12. Cho hai ma trận vuông cấp 4:  1 0 3 4   3 2 2 4      A    2 3 1 2  ,B   2 1 1 3 .      3 2 4 3   1 0 3 0   1 1 2 1   3 4 3 5  Tính AB và BA. 17 lOMoARcPSD|44744371 Giải Ta có  1 0 3
43 2 2 4  12 18 1 24       AB     231 2 2113 7
9 2 9 .       3 2 4 3
1030  18 20 7 33   1 1 2 1 3435  10 7812   3 2 2 4 1 0 3 4   365 6       BA    2 1 1 3 2 3 1 2 6 8 5 12.       1 0 3 0 3 2 4
3   10 6 15 13  3 4 3 5 1 1 2 1   9 23 15 18
1.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng
1.1.5.1. Ba phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận i)
Phép biến đổi loại 1: Đổi chỗ 2 hàng của ma trận. A (i) (i / ) B 
ii) Phép biến đổi loại 2: Nhân một số thực khác không với một hàng. A (i):(i) B  0
iii) Phép biến đổi loại 3: Thay 1 hàng bất kỳ bằng chính nó rồi cộng với một số
thực nhân cho hàng khác. A
(i):(i) (i / ) B. 
Ví dụ 13. Cho ma trận vuông cấp 3 như sau:  1 2 3    A   2 2 4     3 2 5   1 2 3   1 2 3 
Phép biến đổi loại 1:  2 2 4   3 2 5 .   (2) (3)        3 2 5   2 2 4   1 2 3   1 2 3  (2): 1
Phép biến đổi loại 2:  2 2 4   (2)  1 1 2      . 2      3 2 5   3 2 5   1 2 3   1 2 3 
Phép biến đổi loại 3:  2 2 4  0 2 2. (2):(2   ) 2(1)        3 2 5   3 2 5  18 lOMoARcPSD|44744371
1.1.5.2. Liên hệ giữa phép biến đổi sơ cấp trên hàng và phép nhân ma trận  1 0 0 Cho ma trận A     a ij 
và ma trận đơn vị cấp m: Im   0 1  mn    0  0 0 1 Định nghĩa:  1         0 1  doøng i I(i, j)     1 0  doøng j        1  1      I(i, )       doøng i      1  1         1   doøng i
I(i, j, )     0 1  doøng j        1 Lưu ý:
+) Phép hoán vị hai hàng của ma trận A được coi là thực hiện phép nhân ma trận I(i, j)  A.
+) Phép nhân một hàng của ma trận A với số thực   0 được coi là phép nhân
ma trận I(i,  )  A.
+) Phép cộng vào hàng i hàng j đã nhân với  ( i  j ) được coi là phép nhân
ma trận I(i, j,  )  A. 19 a ij , A ij . lOMoARcPSD|44744371 1.2. Định thức  a a a  12   11 1n a a
Xét ma trận vuông cấp n : A  21 a  22 2n      a a  a n1 n 2 nn 
Với mỗi số hạng aij (số hạng nằm ở hàng i và cột j), ma trận nhận được từ A bằng
cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận bù của A đối với số hạng ký hiệu là
Ví dụ 14. Cho ma trận vuông cấp 3 :  1 4 7    A   2 5 8     3 6 9 
Ta có thể thành lập các ma trận bù cấp 2, chẳng hạn A  5 8 ; A  1 4 ; A  1 4 11  23 33        .   6 9   3 6   2 5 
1.2.1. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n
Định thức của ma trận vuông A M n , ký hiệu det(A) hay A , là số thực được
định nghĩa bằng quy nạp theo n như sau :
 Với n  1, nghĩa là A   a 11  , thì det  A   a11 .
 Với n  2, A  (a ij )n n , thì :
det  A   (  1)11 a 11 det  A11   (  1)1 2 a 12 det  A 12   
( 1)1n a 1n det  A1n  2 n
 det  A    11 j a 1j det  A1j 
det(A)  a11 det (A11 )  a12 det (A12 )  a11a 22  a (1.6) 21a12 Với n  a1 a2 a3 b b b b 3 2 3 1 3  , ta có: b b b  a  a 1 2 3 1 c c 2 c c 2 3 1 3 c1 c2 c3 20 b a 1 b2 3 c1 c2 lOMoARcPSD|44744371
a1  b 2 c3  b3c 2   a 2  b1c3  b3c1   a 3  b1c 2  b 2 c1 
a1b 2 c3  a 2 b3c1  a 3b1c 2  a1b3c 2  a 2 b1c3  a 3 b 2 c1 .
Tính định thức của ma trận vuông cấp 3 bằng quy tắc 6 đường chéo (quy tắc Sarrus) a a  a 11 12 13  a
Cho ma trận vuông cấp 3 : A   a 21  a 31  a 22 a  a 23  11 12 a /  a a 22
Xây dựng ma trận A 32
3x 3   a 21 33   a a a a12  13 11  32  a 31 a a a Định thức của A 23 21 22  a a 33 31
det  A    a11a 22 a 33  a12 a 23a 31  a13a 21a 32    a 31a 22 a13  a 32 a 23a11  a 33a 21a12 
3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song
song với đường chéo chính.
3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song
song với đường chéo phụ.
Ví dụ 15. Tính các định thức
1 2 1432  2. a) 3 4 2 3 4 b)   1 2 3 2
2 3  3 1 3  4 1 2 1. 4 2 5 2 5 4 5 4 2 2 3 4
c) 1 2 3  222335 414524 432 213  1. 5 4 2
305 251 d) 436 11 5 1 1 2  2 1 1 3 2 5   (1)
3 3  6  (1)
0 4 6  (1) (5) 4 3 31.
1.2.2. Định lý khai triển định thức theo một hàng hay một cột bất kỳ
Cho ma trận A   a i j 
n , 1  i 0 , j0  n . Khi đó: n n
det  A   ( 1) i
0  j a i 0 j det  A i 0 j . (1.7) j1 21 lOMoARcPSD|44744371 n
det  A   ( 1) i  j0 a ij det 0  A ij . 0 (1.8) i 1
Công thức (1.7) gọi là công thức khai triển theo hàng i0 và công thức (1.8) là công
thức khai triển theo cột j0 .
Ví dụ 16. Tính các định thức  1 2 3 4    a) A   2 3 4 1     3 4 1 2   4 1 2 3 
Tính định thức của ma trận A. Chúng ta khai triển định thức này theo hàng 1 : 3 4 1 2 4 1
A  (1)111 4 1 2  (1)12 2 3 1 2  1 2 3 4 2 3 2 3 1 2 3 4
 (1)13 3
3 4 2  (1)14 4 3 4 1 4 1 3 4 1 2
36  8 12 176  160.  1 3 0 a    b) B   2 b 0 0     3 4 c 5   d 0 0 0 
Tính định thức của ma trận B. Chúng ta khai triển định thức này theo hàng 4 : 3 0 a
  d(  1) 3 2
B  ( 1) 4 1 d b 0 0  abcd. c 3 a 4 c 5 b 0  1 1 2 0   c) C   2 m 0 2     3 0 4 3   4 2 1 0 
Tính định thức của ma trận C. Chúng ta khai triển định thức này theo cột 4 :
1  1  2 1  1 2 C 
 (1)24 2 3 0
4  (1)34 3 2
m 0  48  9m. 4 2 1 4 2 1 22