Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2022

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2022. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 32 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

53 27 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

32 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
NĂM 2022
MÔN TOÁN
Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11
I. Cấp số cộng, cấp số nhân
1. Cấp số cộng
a. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số cộng
u
n+1
= u
n
+ d,
n
N* (d: công sai)
b. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d= + −
với n
2
c. Tính chất của các số hạng:
11
2
kk
k
uu
u
−+
+
=
với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
12
()
...
2
n
nn
n u u
S u u u
+
= + + + =
=
1
2 ( 1)
2
n u n d+−
2. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số nhân
u
n+1
= u
n
.q với n
N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
−
=
, với n
2
3. Tính chất các số hạng:
2
11
.
k k k
u u u
−+
=
, với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
,1
(1 )
,1
1
n
n
n
S nu q
uq
Sq
q
==
−
=
−
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
Hướng dẫn giải. Ta có:
1 3 5
16
10
17
u u u
uu
− + =
+=
Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
Hướng dẫn giải. Ta có:
( )
1
1
n
u u n d= + −
54 1
41
53
3
u u d
u u d
=+
=+
.
Giải hệ phương trình, ta được:
1 23 1
143 5 33
, 22
2 2 2
u d u u d= = − = + =
Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân
()
n
u
có 5 số hạng, biết:
35
3, 27uu==
Hướng dẫn giải. Ta có:
Vậy có hai dãy số: và
II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn
1. Quy tắc đếm
1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ.
Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4
có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà
trường. Giải: Tổ 1 có 9 cách chọn +…+ Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn.
Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy và
máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ
Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày.
Giải: Đi bằng ô tô có 10 cách+…+1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn.
1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp nhau.
1
1
1
2 10
16
2 5 17
3
ud
u
ud
d
+=
=

+=
=−
2
31
4
5
1
33
27
27
u u q
u
uq
==

=
=
1
1
,3
3
uq= =
1
,1,3,9,27
3
1
, 1,3, 9,27
3
−−
Trang 2
Ví dụ 1. Nam có 3 áo màu và hai quần kiểu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo.
Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 3.2 = 6 bộ quần áo.
Ví dụ 2. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Biết rằng từ nhà An đến nhà Bình có 4
con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến
nhà Cường. Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 4.6 = 24 con đường.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho
a) Các chữ số có thể giống nhau. b) Các chữ số khác nhau.
Giải:
a) Đặt chữ số cần tìm có dạng
abcd
.
Vì
abcd
chẵn nên
d 0,2,4,6
và
a
là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách.
Trường hợp 2. Nếu d
0 thì d có 3 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách. Vậy có 294+882=1176 cách.
b) Đặt chữ số cần tìm có dạng
abcd
.
Vì
abcd
chẵn nên
d 0,2,4,6
và
a
là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách.
Trường hợp 2. Nếu d
0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách. Vậy có 120+300=420 cách.
2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.1 Hoán vị: Sự sắp xếp thứ tự của
n
phần tử trong một tập hợp gồm
n
phần tử.
Công thức:
( )( )( )
! 1 2 3 ...3.2.1
n
P n n n n n= = − − −
.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào một bàn học sinh gồm ba chỗ.
Giải:
3
3! 3.2.1 6P = = =
(Có thể dùng quy tắc nhân).
Ví dụ 2. Trong một cuộc thi thể thao có 4 đội tham gia A, B, C, D và có bốn giải nhất, nhì, ba và khuyến
khích. Có bao nhiêu khả năng để 4 đội đoạt giải.
Giải:
4
4! 4.3.2.1 24P = = =
(Có thể dùng quy tắc nhân).
2.2. Chỉnh hợp: Chọn
k
phần tử khác nhau (có thứ tự) từ
n
phần tử của tập hợp (
kn
):
( )
!
!
k
n
n
A
nk
=
−
.
2.3. Tổ hợp: Chọn
k
phần tử (không thứ tự) từ
n
phần tử của tập hợp (
kn
):
( )
!
!!
k
n
n
C
k n k
=
−
.
Ví dụ 1. Tổ một lớp 11A8 có 5 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra ba học sinh từ tổ 1 để quét lớp, lau
bảng và xếp bàn ghế. Hỏi GVCN có bao nhiêu cách chọn (HDG.
3
5
60A =
).
Ví dụ 2. Trong một trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11m. HLV của
mỗi đội cần phải trình với trọng tài một danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân
lưu 5 quả 11m. Hỏi HLV mỗi đội có bao nhiêu cách chọn (HDG.
5
11
55.440A =
).
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi Maraton có 50 người tham gia nhưng chỉ có ba giải nhất, nhì, ba. Có bao
nhiêu cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG.
3
50
117.600A =
).
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG.
5
9
15.120A =
)
Ví dụ 5. Có bao cách chọn 3 học sinh trong đội tuyển gồm 8 học sinh giỏi môn văn lớp 12 của trường để đi
dự thi cấp tỉnh. Biết rằng cả 8 em này đều có năng lực như nhau (HDG.
3
8
56C =
).
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P (HDG.
3
7
35C =
).
Ví dụ 7. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra 4 học
sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” của đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn (HDG.
43
20 15
4845.455 2204475CC ==
).
3. Xác suất của biến cố
Trang 3
Xác suất của biến cố A được tính theo công thức
( )
( )
( )
nA
PA
n
=
.
Trong đó:
( )
nA
là số phần tử của biến cố A;
( )
n
là số phần tử của không gian mẫu.
Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi.
Tính xác suất để:
a) Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ.
b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
12
220.nC = =
a) XS của bc A là
( )
( )
( )
35 7
220 44
nA
PA
n
= = =
.
b) XS của bc B là
( )
( )
( )
140 7
220 11
nB
PB
n
= = =
.
Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến thuê phòng cùng một lúc
trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để:
a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
b) Có ít nhất 2 khách nữ.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
( )
6
10
210.nC = =
a) XS của bc A là
( )
( )
( )
90 3
220 7
nA
PA
n
= = =
.
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau:
+ Hai nữ, 4 nam:
24
46
..CC
+ Ba nữ, 3 nam:
33
46
..CC
+ Bốn nữ, 2 nam:
42
46
..CC
Suy ra số phần tử của biến cố B là
24
46
.CC
+
33
46
.CC
+
42
46
.CC
=185.
Vậy XS của bc B là
( )
( )
( )
185 37
210 42
nB
PB
n
= = =
.
Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé
trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để:
a) Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng.
b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
100
.nC=
( )
( )
( )
3
10
3
100
2
)
2695
nA
C
a P A
nC
= = =
( )
( )
( )
12
15
3
100
.
1
)
156200
nB
CC
b P B
nC
= = =
.
Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi.
Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
( )
3
12
220.nC = =
( )
( )
( )
3
12
3.4.5 60 3
220 11
nA
PA
nC
= = = =
.
Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng
5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
( )
10
30
nC=
và
( )
( )
( )
55
10 20
3
12
.
nA
CC
PA
nC
==
.
Ví dụ 6. Cho tập
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9F =
. Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra
là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 (HDG :
( )
( )
( )
4
45
nA
PA
n
==
)
Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.
Tập A bao gồm các pần tử:
0,2 , 0,4 , 0,6 , 2,4
. Khi đó.
4. Nhị thức Newton
+ Với hai số thực a và b, ta có
( )
0 1 1 1 1
0
... .
n
n
n n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C ab C b C a b
- - - -
=
+ = + + + + =
å
+ Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là
k n k k
n
C a b
−
.
Trang 4
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A.
7
2
. B.
2
7
A
. C.
2
7
C
. D.
2
7
.
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được
hai số có tổng là một số chẵn bằng
A.
1
2
. B.
13
25
. C.
12
25
. D.
313
625
.
Câu 4. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho cấp số cộng với và . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn là
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Số cách chọn
2
học sinh từ
6
học sinh là
A.
2
6
A
. B.
2
6
C
. C.
6
2
. D.
2
6
.
Câu 8. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
2u =
và
2
6u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
3
. B.
4−
. C.
8
. D.
4
.
Câu 9. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng
A.
11
21
. B.
221
441
. C.
10
21
. D.
1
2
.
Câu 10. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.
2
8
C
. B.
2
8
. C.
2
8
A
. D.
8
2
.
Câu 11. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
1u =
và
2
4u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.
5
. B.
4
. C.
3−
. D.
3
.
Câu 12. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng
A.
11
23
. B.
1
2
. C.
265
529
. D.
12
23
.
Câu 13. Với
k
và
n
là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn
kn
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )
!
!!
k
n
n
C
k n k
=
−
. B.
!
!
k
n
n
C
k
=
. C.
( )
!
!
k
n
n
C
nk
=
−
. D.
( )
!!
!
k
n
k n k
C
n
−
=
.
Câu 14. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
2u =
và công sai
5d =
. Giá trị
4
u
bằng
A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.
Câu 15. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ,
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh
nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
A.
2
5
. B.
1
20
. C.
3
5
. D.
1
10
.
Câu 16. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm
34
học sinh?
A.
34
2
. B.
2
34
A
. C.
2
34
. D.
2
34
C
.
Câu 17. Từ một hộp chứa
11
quả cầu đỏ và
4
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời
3
quả cầu. Xác
suất
để lấy được
3
quả cầu màu xanh bằng
( )
n
u
1
3u =
2
9u =
6−
3
12
6
2
5
5
2
2
5
C
2
5
A
( )
n
u
1
2u =
2
8u =
4
6−
10
6
27
13
27
14
27
1
2
365
729
Trang 5
α
O
H
M
A.
4
455
. B.
24
455
. C.
4
165
. D.
33
91
.
Câu 18. Hệ số của
5
x
trong khai triển nhị thức
( ) ( )
68
2 1 3 1x x x− + −
bằng
A.
13368−
. B.
13368
. C.
13848−
. D.
13848
.
Câu 19. Ba bạn
A
,
B
,
C
mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
1;17
. Xác suất
để ba
số được viết ra có tổng chia hết cho
3
bằng
A.
1728
4913
. B.
1079
4913
. C.
23
68
. D.
1637
4913
.
(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101)
Giải: Không gian mẫu có số phần tử là
3
17 4913=
. Lấy một số tự nhiên từ
1
đến
17
ta có các nhóm số
sau:
+ Số chia hết cho
3
: có
5
số thuộc tập
3;6;9;12;15
.
+ Số chia cho
3
dư
1
: có
6
số thuộc tập
1;4;7;10;13;16
.
+ Số chia cho
3
dư
2
: có
6
số thuộc tập
2;5;8;11;14;17
.
Ba bạn
A
,
B
,
C
mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
1;17
thỏa mãn ba số
đó có tổng chia hết cho
3
thì các khả năng xảy ra như sau:
TH1: Ba số đều chia hết cho
3
có
3
5 125=
cách; TH2: Ba số đều chia cho
3
dư
1
có
3
6 216=
cách.
TH3: Ba số đều chia cho
3
dư
2
có
3
6 216=
cách.
TH4: Một số chia hết cho
3
, một số chia cho
3
dư
1
, chia cho
3
dư
2
có
5.6.6.3! 1080=
cách.
Vậy xác suất cần tìm là
125 216 216 1080
4913
+++
1637
4913
=
. Chọn D.
Câu 20. Với
n
là số nguyên dương thỏa mãn
12
55
nn
CC+=
, số hạng không chứa
x
trong khai triển của
thức
3
2
2
n
x
x

+


bằng
A.
322560
. B.
3360
. C.
80640
. D.
13440
.
Giải: Điều kiện
2n
và
nZ
.
Ta có
12
55
nn
CC+=
10n=
. Với
10n =
ta có khai triển
10
3
2
2
x
x

+


.
Số hạng tổng quát của khai triển
( )
3 10
30 5
10 10
2
2
.2
k
k
k k k k
C x C x
x
−
−

=


, với
0 10k
.
Số hạng không chứa
x
ứng với
k
thỏa
30 5 0k−=
6k=
.
Vậy số hạng không chứa
x
là
66
10
2 13440C =
. Chọn D.
Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Khối đa diện
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương cạnh a : V = a
3
3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)
4. Thể tích của khối chóp: V =
1
3
B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)
Chú ý: Tỉ số thể tích
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
. ' ' '
.
' ' '
..=
5. Kiến thức liên quan
* Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
sin
MH
OM
•=
cos
OH
OM
•=
tan
MH
OH
•=
cot
OH
MH
•=
Trang 6
b'
c'
h
a
c
b
A
B
C
H
M
* Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho
ABC
vuông ở A
• Định lý Pitago:
2 2 2
BC AB AC=+
hay
2 2 2
a b c=+
•
22
. ; .BA BH BC CA CH CB==
hay
22
. ', . 'b a b c a c==
•
. . AB AC BC AH=
hay
bc ah=
•
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
=+
hay
2 2 2
1 1 1
h b c
=+
* Hệ thức lượng trong tam giác thường
• Định lý côsin:
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
• Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
* Các công thức tính diện tích
a. Công thức tính diện tích tam giác.
•
1 1 1
.
2 2 2
a b c
S a h bh ch= = =
•
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B= = =
•
4
abc
S
R
=
, S = pr
•
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
với
2
abc
p
++
=
(Công thức Hê-rông)
• Đặc biệt:
ABC
vuông ở A:
1
.
2
S AB AC=
,
ABC
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
b. Diện tích hình vuông cạnh a:
2
Sa=
c. Diện tích hình chữ nhật:
.S a b=
d. Diện tích hình thoi:
1
.
2
S m n=
e. Diện tích hình thang:
( )
1
2
S h a b=+
* Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng
• Đường chéo hình vuông cạnh a là
2da=
• Đường cao tam giác đều cạnh a là
3
2
a
h =
II. Góc và khoảng cách
1. Góc:
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và lần
lượt song song với hai đường thẳng đó.
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên
mặt phẳng.
+ Góc giữa hai mặt phẳng
( )
và
( )
:
▪ Bước 1: Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng
( )
và
( )
▪ Bước 2: Trên
lấy điểm
O
bất kỳ. Qua
O
vẽ tia
Ox
vuông góc với
trong
( )
và vẽ tia
Oy
vuông góc với
trong
( )
.
Khi đó: Góc giữa hai mặt phẳng
( )
và
( )
chính là góc giữa tia
Ox
và tia
Oy
hay
xOy
.
2. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên
mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc
đường thẳng đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
Trang 7
H
A
D
B
C
S
60
0
A
C
B
S
M
H
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
▪ Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần
tìm chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó.
▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song.
▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu
1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó:
2 2 2
.l r h=+
+ Diện tích xung quanh:
xq
S rl
=
;
+ Diện tích toàn phần:
2
tp
S rl r

=+
+ Thể tích:
2
1
3
V r h
=
2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó:
.lh=
+ Diện tích xung quanh:
2
xq
S rl
=
;
+ Diện tích toàn phần:
2
22
tp
S rl r

=+
+ Thể tích:
2
V r h
=
3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R.
+ Diện tích mặt cầu:
2
4
MC
SR
=
+ Thể tích khối cầu:
3
4
.
3
KC
VR
=
Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a.
Giải
Gọi H là tâm của hình vuông. Vì
.S ABCD
là hình chóp đều nên
( )
SH ABCD⊥
Vì ABCD là hình vuông nên
22
ABCD
S AB a==
(đvdt)
Ta có
2 2 2 2 2 2
2SA SC AB BC AC a+ = + = =
SAC
vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên
2
22
AC a
SH ==
23
.
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a
V SH S a a = = =
(đvtt)
Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc
0
60
.
Giải
Gọi H là tâm của tam giác
ABC
, M là trung điểm của BC
.S ABC
là hình chóp đều nên
( )
SH ABC⊥
ABC
là tam giác đều nên
AM BC⊥
Trong tam giác vuông
ACM
3
2
AM a=
2
13
.
24
ABC
S AM BC a = =
(đvdt)
Ta lại có
,AM BC SH BC⊥⊥
nên
SM BC⊥
( ) ( )
0
( ),(ABC) , 60SBC SM AM SMA = = =
.
Do H là trọng tâm tam giác
ABC
nên
13
36
HM AM a==
Trong tam giác vuông
SHM
,
0
tan .tan60
2
SH a
SMH SH HM
HM
= = =
Trang 8
60
0
D
C
A
B
S
B
A
C
S
H
23
.
1 1 3
.
3
24
..
3 3 2 4
S ABC ABC
a
V SH S a a = = =
(đvtt)
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
()SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
⊥
⊥ ⊥
=
Do đó,
.
1
.
3
S ABCD ABCD
V SAS=
Diện tích đáy
ABCD
là:
2
.2
ABCD
S AB BC a==
AC là hình chiếu của SC lên mp
( )
ABCD
nên
( ) ( )
0
( ),( , 60SC ABCD SC AC SCA= = =
Ta có:
2 2 0
5 .tan 5.tan60 15AC AB BC a SA AC SCA a a= + = = = =
Vậy thể tích khối chóp là:
3
.
2 15
3
S ABCD
a
V =
(đvtt)
Ví dụ 4. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại A,
,2AB a BC a==
. Các cạnh bên
2SA SB SC a= = =
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
Giải
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng
( )
ABC
Ta có:
SA SB SC==
nên
HA HB HC==
Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
Mà
ABC
vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
SBC
đều cạnh 2a
3
2 . 3
2
SH a a = =
2
13
3.
22
ABC
a
AC a S AB AC= = =
(đvdt).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH
=
3a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.
Giải
Vì
( )
SH ABCD⊥
nên
( )
.
D
23
1
.
3
1
.
3
1 5 5 3
3
3 8 24
S CDMN CDMN
ABC BCM AMN
V SH S
SH S S S
a a a
=
= − −
==
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại A với AC = a,
0
60ACB =
,
biết BC' hợp với
( )
''AA C C
một góc 30
0
. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.
Giải
Ta có
ABC
là tam giác vuông tại A với AC = a,
0
60ACB =
.tan60 3
o
AB AC a = =
.
H
D
C
A
B
S
M
N
Trang 9
a
60
0
30
0
A
B
C
A'
B'
C'
60
0
30
0
A
D
B
C
A'
B'
C'
D'
60
0
a
3
A
C
B
A'
C'
B'
Ta có:
; ( )AB AC AB AA AB AA C C
⊥ ⊥ ⊥
nên AC' là hình chiếu của BC' trên
( )
''AA C C
. Vậy góc
giữa BC’ và mặt phẳng
( )
''AA C C
là góc
0
' 30AC B =
3
tan30
o
AB
AC a
= =
''AC A
vuông tại A’
2 2 2
' ' ' ' 8 2 2AA AC A C a a = − = =
ABC
vuông tại A,
tan 3 3
AB
ACB AB a
AC
= = =
2
13
.
22
ABC
a
S AB AC = =
(đvdt)
Vậy
3
. ' ' '
'. 6
ABC A B C ABC
V AA S a==
(đvtt)
Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh a và
0
60BAD =
, biết
AB' hợp với đáy
( )
ABCD
một góc
0
30
.Tính thể tích của khối hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
.
Giải
Vì
ABD
đều cạnh a nên:
22
3
2
3
4 2
ABCD ABDABD
a
SS
a
S == =
ABB
vuông tại B
tan30 3
o
BB AB a
= =
Vậy
. ' ' ' '
3
3
.
2
ABCDABCD A B C D
a
V S BB
==
(đvtt)
Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
3a
và hợp với đáy
ABC
một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
Ta có
()C H ABC CH
⊥
là hình chiếu của CC' trên (ABC)
Nên góc giữa CC’ và mp
( )
ABC
bằng
0
60
0
3
.sin60
2
a
C H CC

= =
2
3
.
4
ABC
a
S =
Vậy
3
33
.
8
ABC
a
V S C H
==
Ví dụ 6. Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó?
b)Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên?
Giải
a)Ta có
xq
S rl
=
* Bán kính hình nón : r=IM=a
* Xét tam giác OIM vuông tại I ta có
0
0
sin30 2
sin30 1/2
IM IM a
OM a
OM
= = = =
.Vậy
2
. .2 2
xq
S a a a

==
.
b) Tacó
2
11
23
V Bh r h
==
* Bán kính hình nón : r = IM = a
* h=OM=
3.a
Vậy
3
2
13
. . 3
33
a
V a a
==
.
Ví dụ 7. Trong không gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và
CD.Khi quay hình vuông đó quanh trục IH tạo thành hình trụ tròn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó?
b)Tính thể tích khối trụ tròn xoay nói trên?
Hướng dẫn giải.
Trang 10
a) Ta có
2
xq
S rl
=
: * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a.
Vậy
2
2 . .
2
xq
a
S a a

==
.
b) Thể tích
3
22
.( ) .
24
aa
V r h a

= = =
(đvtt)
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích khối cầu đó?
Hướng dẫn giải. Gọi O,O’ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.Ta có OO’ là trục của hai tam
giác đáy.Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của OO’ với bán kính
2
2
22
3 21
3 2 6
a a a
R IA AO OI


= = + = + =





.
Diện tích mặt cầu
22
2
77
44
12 3
aa
SR


= = =


; Thể tích khối cầu
3
3
4 7 21
3 54
a
VR
==
.
Ví dụ 9. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông đỉnh
B
,
AB a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
SA a=
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
.
Hướng dẫn giải. Trong tam giác SAB, kẻ AH vuông góc với SB tại H:
AH SB⊥
(1). Ta có
,BC AB BC SA⊥⊥
nên suy ra được
()BC SAB BC AH⊥ ⊥
hay
AH BC⊥
(2). Từ (1) và (2), ta có:
( ) ( ,( )) .AH SBC d AH SBC AH⊥ =
Tam giác SAB vuông tại A, có AH là đường cao nên
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
22
2
a a a
AH AH
AH AS AB a a a
= + = + = = = =
.
Ví dụ 10. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a=
. Tính góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng.
Hướng dẫn giải. Nhận thấy AC là hình chiếu của SC lên
()ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SC
và mặt
phẳng đáy
()ABCD
là
SCA
. Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC =
2a
.
Tam giác SAC vuông cân tại A nên
0
45SCA =
.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
A.
2
1
.
3
rh
B.
2
.rh
C.
2
4
.
3
rh
D.
2
2.rh
Câu 2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
là
A.
3.Bh
B.
.Bh
C.
4
.
3
Bh
D.
1
.
3
Bh
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
,
2SA a=
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3AB a=
và
BC a=
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
90
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
và
'3AA a=
. Thể tích của
lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Câu 5. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m
và
1,2m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích
bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
A.
1,8 .m
B.
1,4 .m
C.
2,2 .m
D.
1,6 .m
Câu 6. Cho hình trụ có chiều cao bằng
53
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.
10 3
. B.
5 39
. C.
20 3
. D.
10 39
.
Trang 11
Câu 7. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
A
đến
( )
SBD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
2
2
a
. D.
21
28
a
.
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
và . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho khối chóp đứng có đáy là tam giác đều cạnh và .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông
tại , và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Thể tích của khối nón có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
là
A.
2
rh
. B.
2
4
3
rh
. C.
2
2 rh
. D.
2
1
3
rh
.
Câu 16. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
là
A.
4
3
Bh
. B.
3Bh
. C.
1
3
Bh
. D.
Bh
.
Câu 17. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
.
2SA a=
, tam giác
ABC
vuông
cân tại
B
và
AB a=
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
Câu 18. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m
và
1,8m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể
tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A.
2,8m
. B.
2,6m
. C.
2,1m
. D.
2,3m
.
Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
2a
và
3.AA a
=
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
23a
. B.
3
3a
. C.
3
63a
. D.
3
33a
.
Câu 20. Cho hình trụ có chiều cao bằng
32
. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục
một khoảng bằng
1
, thiết diện thu được có diện tích bằng
12 2
. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
h
r
2
rh
2
2 rh
2
1
3
rh
2
4
3
rh
B
h
3Bh
Bh
4
3
Bh
1
3
Bh
1 m
1,4 m
1,7 m
1,5 m
1,9 m
2,4 m
.ABC A B C
a
2AA a
=
3
3
3
a
3
3
6
a
3
3a
3
3
2
a
.S ABC
SA
( )
ABC
2SA a=
ABC
B
AB a=
3BC a=
SC
( )
ABC
90
30
60
45
42
2
16
24 2
82
12 2
16 2
.S ABCD
a
SAB
C
( )
SBD
21
28
a
21
14
a
2
2
a
21
7
a
Trang 12
A.
6 10
. B.
6 34
. C.
3 10
. D.
3 34
.
Câu 21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
D
đến mặt phẳng
( )
SAC
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
28
a
. C.
2
2
a
. D.
21
7
a
.
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
B
và chiều cao
h
là
A.
4
3
Bh
. B.
1
3
Bh
. C.
3Bh
. D.
Bh
.
Câu 23. Thể tích khối nón có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
là
A.
2
2
rh
. B.
2
rh
. C.
2
1
3
rh
. D.
2
4
3
rh
.
Câu 24. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
,
2SA a=
, tam giác
ABC
vuông
cân tại
B
và
2AB a=
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 25. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m
và
1,5m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A.
1,6m
. B.
2,5m
. C.
1,8m
. D.
2,1m
.
Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
và
2AA a
=
. Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
6
4
a
. B.
3
6
6
a
. C.
3
6
12
a
. D.
3
6
2
a
.
Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng
33
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A.
63
. B.
6 39
. C.
3 39
. D.
12 3
.
Câu 28. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SAC
bằng
A.
2
2
a
. B.
21
28
a
. C.
21
7
a
. D.
21
14
a
.
Câu 29. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ
( ) ( )
12
,HH
xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và
chiều cao tương ứng là
1 1 2 2
, , ,r h r h
thỏa mãn
2 1 2 1
1
,2
2
r r h h==
. Biết rằng thể tích của toàn bộ khối
đồ chơi bằng
30
3
cm
, thể tích khối trụ
( )
1
H
bằng
A.
3
24cm
. B.
3
15cm
. C.
3
20cm
. D.
3
10cm
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a=
,
2BC a=
,
SA
vuông góc với
mặt phẳng đáy và
SA a=
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC
và
SB
bằng
A.
6
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
3
a
.
Chủ đề 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (GIẢI TÍCH 12)
I. Sự đồng biến, nghịch biến:
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b).
+ f’(x) ≥ 0,
x
(a;b) f(x) đồng biến trên (a:b).
+ f’(x) ≤ 0,
x
(a;b) f(x) nghịch biến trên (a:b).
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau
Trang 13
a)
3
32y x x= − +
b)
42
21y x x= − −
c) y =
2
1
1
xx
x
−+
−
d) y =
3
2
x
x
−
+
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y =
32
3 ( 1) 1x x m x− + − +
đồng biến trên R.
II. Cực đại, cực tiểu:
1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I
QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
( )
/
fx
. Tìm các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
( )
/
fx
. Cho
( )
/
0fx=
và tìm
các nghiệm
i
x
(
1, 2,...i =
) của nó.
Bước 3: Tính
( )
//
fx
và
( )
//
i
fx
. Kết luận.
2. Sự tồn tại cực trị
a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x
0:
0
0
'( ) 0
"( ) 0
fx
fx
=
b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x
0
:
0
0
'( ) 0
"( ) 0
fx
fx
=
c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x
0
:
0
0
'( ) 0
"( ) 0
fx
fx
=
d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau
a)
32
31y x x= − −
b)
42
43y x x= − + −
c) y =
2
21
1
xx
x
++
+
d) y =
21
2
x
x
+
−
Ví dụ 2: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Ví dụ 3: Cho hàm số
4 2 2
21y x m x= − +
(1). Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực
trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Quy tắc tìm GTLN,GTNN trên một đoạn.
- Tính y’. Tìm các điểm x
1
, x
2
,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’= 0 hoặc không xác định
- Tính f(a), f(b), tính f(x
1
), f(x
2
),….
- Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên.
;
;
max ( ) ; min ( )
ab
ab
f x M f x m==
Ví dụ 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
32
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2], [1;3). b)
2
4y x x= + −
.
c)
2 os2x + 4sinx,yc=
x[0;π/2] d) f(x) = x
2
– ln(1–2x) trên [– 2; 0]
e) f(x) =
2
3 lnx x x+−
trên [1; 2]
Ví dụ 2: Tìm m để GTNN của hàm số
2
()
1
x m m
fx
x
−+
=
+
trên đoạn [0; 1] bằng – 2.
IV. Đường tiệm cận
+ Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng
0
yy=
được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị
hàm số y =f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: i)
0
lim ( )
x
y x y
→+
=
, ii)
0
lim ( )
x
y x y
→−
=
.
a0
0

Trang 14
+ Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng
0
xx=
được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị
hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
i)
0
lim ( )
xx
yx
+
→
= +
, ii)
0
lim ( )
xx
yx
+
→
= −
, iii)
0
lim ( )
xx
yx
−
→
= +
, iv)
0
lim ( )
xx
yx
−
→
= −
.
V. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:
* Sự tương giao của hai hai đồ thị:
Cho 2 hàm số: y = f(x) có đồ thị (C
1
) và y = g(x) có đồ thị (C
2
).
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
=> Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
* Điều kiện tiếp xúc:
+ Dấu hiệu: (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc Hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm
* Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình
- Biến đổi phương trình cần biện luận về dạng: f(x) = g(m) (1)
- Số nghiệm của pt(1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát và đường
thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
* Dạng 2: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =
42
1xx−−
và đường thẳng d: y = -1.
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số
2
( 1)( )y x x x m= − + −
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị (Cm):
32
3 2021y x x m= − − +
cắt trục ox tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng
( ): 2 4d y mx m=−−
cắt đồ thị hàm số
32
6 9 6y x x x= − + −
tại ba điểm
phân biệt.
* Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số
1- PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại
điểm có hoành độ x
0
Bước 1: Tìm y
0
= f(x
0
).
Bước 2: Tính
f
(x) =>
f
(x
0
)
Bước 3: PTTT cần tìm có dạng:
y – y
0
=
f
(x
0
)(x – x
0
)
b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k
Bước 1: Tính
f
(x)
Bước 2: Giải phương trình
f
(x
0
) = k
nghiệm x
0
Bước 3: Tính y
0
= f(x
0
)
Bước 4: Thay x
0
, y
0
và k =
f
(x
0
) vào PT:
y – y
0
=
f
(x
0
)(x – x
0
)
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
31y x x= − + +
tại điểm A(3;1).
Ví dụ 2: Cho hàm số
32
1
2 3 1
3
y x x x= − + +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
đó song song với đường thẳng
31yx=−
Ví dụ 3: Cho hàm số
3
32y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi
qua
( 1; 2)A −−
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
32y x x= − +
biết tiếp tuyến đó có hệ số góc
nhỏ nhất.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( )
fx
Trang 15
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ sau
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
1x =−
. D.
3x =−
.
Câu 4. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
( )
2 3 0−=fx
là
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số
3
( ) 3 2f x x x= − +
trên đoạn
[ 3;3]−
bằng
A.
16−
. B.
20
. C.
0
. D.
4
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
2
'2f x x x=+
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
0
. B. . C.
2
. D.
1
.
Câu 7. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
4.
B.
1.
C.
3.
D.
2.
Câu 8. Cho hàm số
( )
fx
, bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
x
−
3−
1−
1
+
( )
fx
−
0
+
0
−
0
+
Hàm số
( )
32=−y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
4;+
. B.
( )
2;1−
. C.
( )
2;4
. D.
( )
1;2
.
Câu 9. Cho hàm số
( )
fx
, hàm số
( )
=y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình
( )
+f x x m
(
m
là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
( )
0;2x
khi và chỉ khi
( )
2;0−
( )
2;+
( )
0;2
( )
0;+
32
33y x x= − +
32
33y x x= − + +
42
23y x x= − +
42
23y x x= − + +
3
Trang 16
A.
( )
22−mf
. B.
( )
0mf
. C.
( )
22−mf
. D.
( )
0mf
.
Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Câu 16. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 17. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:
42
21= − + +y x x
3
31= − + +y x x
32
31= − +y x x
42
21= − +y x x
( )
fx
( )
0;+
( )
0;2
( )
2;0−
( )
;2− −
( )
y f x=
2x =
2x =−
3x =
1x =
( )
3
32f x x x= − +
3;3−
20
4
0
16−
( )
fx
( ) ( )
2
2,f x x x x
= −
2
1
0
3
()fx
3 ( ) 5 0fx−=
()y f x=
( )
fx
( )
fx
Trang 17
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A.
32
32y x x= − −
. B.
42
22y x x= − −
. C.
32
32y x x= − + −
. D.
42
22y x x= − + −
.
Câu 20. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A.
2x =
. B.
2x =−
. C.
3x =
. D.
1x =
.
Câu 21. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;0−
. B.
( )
1;− +
. C.
( )
;1− −
. D.
( )
0;1
.
Câu 22. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình
( )
2 3 0fx−=
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
3f x x x=−
trên đoạn
3;3−
bằng
A.
18
. B.
2
. C.
18−
. D.
2−
.
Câu 24. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
2
1f x x x
=−
,
x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Câu 25. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
( )
52=−y f x
( )
2;3
( )
0;2
( )
3;5
( )
5;+
( )
fx
( )
y f x
=
( )
f x x m+
m
( )
0;2x
( )
22mf−
( )
22mf−
( )
0mf
( )
0mf
1
2
x
y
O
( )
y f x
=
Trang 18
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 26. Cho hàm số
( )
fx
, bảng xét dấu của
( )
fx
như sau:
Hàm số
( )
32y f x=−
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
3;4
. B.
( )
2;3
. C.
( )
;3− −
. D.
( )
0;2
.
Câu 27. Cho hàm số
( )
fx
, hàm số
( )
y f x
=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình
( )
2f x x m+
(
m
là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
( )
0;2x
khi và chỉ khi
A.
( )
0mf
. B.
( )
24mf−
. C.
( )
0mf
. D.
( )
24mf−
.
Câu 28. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A.
3
2 3 1y x x= − +
. B.
42
2 4 1y x x= − + +
. C.
42
2 4 1y x x= − +
. D.
3
2 3 1y x x= − + +
.
Câu 29. Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;1
. B.
( )
1; +
. C.
( )
1;0−
. D.
( )
0;+
.
Câu 30. Cho hàm số
()fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
2=−x
. B.
1=x
. C.
3=x
. D.
2=x
.
Chủ đề 4. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARÍT (GIẢI TÍCH 12)
1. Công thức lũy thừa: Cho
0, 0ab
và
,mn
. Khi đó:
.
m n m n
a a a
+
=
m
mn
n
a
a
a
−
=
.
()
m n m n
aa=
( ) .
n n n
ab a b=
Trang 19
m
m
m
aa
bb

=


m
m
n
n
aa=
1
n
n
a
a
−
=
1
n
n
a
a
−
=
nn
ab
ba
−
=
2. Công thức lôgarit: Với các điều kiện thích hợp ta có:
+ Định nghĩa:
= =
a
b a blog
+ Tính chất:
1 0 1
= = = =
a
b
a a a
a a b a
log
log ; log ; ; log ( )
+ Quy tắc:
11
• = + +
a n a a n
b b b blog ( ... ) log ... log
• = −
a a a
b
bc
c
log log log
,
=−
aa
b
b
1
log log
•=
aa
bblog log
,
=
n
aa
bb
n
1
log log
+ Đổi cơ số:
=
c
a
c
b
b
a
log
log
log
hay
=
c a c
a b blog .log log
.
•
Tổng quát:
−
=
n
a a a n a n
a a a a
1 2 1 1
23
log .log ...log log
•
Đặc biệt:
=
a
b
b
a
1
log
log
,
=
a
a
bb
1
log log
+ Lôgarit thập phân:
==aa
10
lga log log
+ Lôgarit tự nhiên:
=
e
aaln log
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
a) A =
36
..aaa
b)
3 2 1 2 4 2
9 .3 .3B
+ − − −
=
c)
11
log log
ab
C
ab ab
=+
d)
5
24
3
4
..
log
a
a a a
D
a

=



Ví dụ 2: a) Cho
53==ablog , log
. Tính
450log
theo a, b.
b) Cho
23
55==ablog , log .
Hãy biểu diễn
75log
theo a, b.
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
•
( )
xx
ee
=
;
( )
→=
uu
e e u.
•
( )
xx
a a aln
=
( )
→=
uu
a a auln .
•
( )
=x
x
1
ln
( )
→=
u
u
u
ln
•
( )
=
a
x
xa
1
log
ln
( )
→=
a
u
u
ua
log
ln
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
1
3
1yx()
−
=−
b)
3
2
5
2yx()=−
c)
22
1yx()
−
=−
d)
22
2y x x()= − −
e)
yx
2
log (2 1)=+
f)
y x x
2
3
log ( 3 2)= − +
g)
x
y
x
1
ln
1
−−
=
−
h)
y x x
2
lg( 1)= + +
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
=+
xe
y xe x23
b)
x
y x x
2
5 2 cos=−
c)
y x x x
2
3 ln 4sin= − +
d)
x
x
y
1
3
+
=
e)
y x x
2
log( 1)= + +
f)
x
y
x
3
log
=
4. Phương trình mũ:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa.
5. Phương trình lôgarít:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa.
6. Bất phương trình mũ:
0
0
b
b
Phương trình vô số nghiệm
Trang 20
a.
()fx
ab
Phương trình :
()fx
ab
( ) log
( ) log
a
a
f x b
f x b
khi
khi
1
01
a
a

b.
()fx
ab
0
0
b
b
Phương trình vô nghiệm
Phương trình :
()fx
ab
( ) log
( ) log
a
a
f x b
f x b
khi
khi
1
01
a
a

6. Bất phương trình lôgarít:
a.
()
log ( )
()
b
a
b
f x a
f x b
f x a

khi
khi
1
01
a
a

, Điều kiện
( ) 0fx
b.
()
log ( )
()
b
a
b
f x a
f x b
f x a

khi
khi
1
01
a
a

, Điều kiện
( ) 0fx
Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình mũ:
1.
2
8 1 3
24
x x x− + −
=
2.
2 8 5
3 4.3 27 0
xx++
− + =
3.
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
4.
( 2 3) ( 2 3) 4
xx
− + + =
5.
22
2
2 2 3
x x x x− + −
−=
6.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
7.
22
2.2 9.14 7.7 0
x x x
− + =
8.
1
12.3 3.15 5 20
x x x+
+ − =
9.
( )
9
log log 3 9 1
x
x

−=

10.
1
7 2.7 9 0
xx−
+ −
11.
2 6 7
2 2 17 0
xx++
+ − =
12.
2.16 15.4 8 0
xx
− −
13.
(2 3) (2 3) 4 0
xx
+ + − − =
14. 4.
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+=
15.
2
2
2
2
1
9 2 3
3
xx
xx
−
−

−


Ví dụ 2: Giải các phương trình, bất phương trình lôgarít:
1)
( ) ( )
5 5 5
log log 6 log 2x x x= + − +
2)
5 25 0,2
log log log 3xx+=
.
3)
( ) ( )
23
42
log –1 log –1 25xx+=
4)
3
3
22
log 3 2 3log 2xx= + +
5)
( )
1 1 2
24
log 2log 1 log 6 0xx+ − +
6)
2
22
log log 1
8
x
x
x

+


7)
( ) ( )
22
log 5 1 .log 2.5 2 2
xx
− − =
8)
5
2log log 125 1
x
x −
9)
( )
( )
3
log log 9 1– 72
x
x
10)
( ) ( )
22
log 5 1 .log 2.5 2 2
xx
− − =
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Với là số thực dương tùy, bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Nghiệm phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hàm số
2
3
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
3
(2 3).2 .ln2
xx
x
−
−
. B.
2
3
2 .ln2
xx−
. C.
2
3
(2 3).2
xx
x
−
−
. D.
2
2 3 1
( 3 ).2
xx
xx
−−
−
.
Câu 4. Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
4
16ab=
. Giá trị của
22
4log logab+
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
16
. D. .
Câu 5. Nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 1 1 log 4 1xx+ + = +
là
A.
3x =
. B.
3x =−
. C.
4x =
. D.
2x =
.
Câu 6. Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 3 1 logx x m− − = −
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D. Vô số.
Câu 7. Với là số thực dương tùy ý, bằng
a
2
5
log a
5
2log a
5
2 log a+
5
1
log
2
a+
5
1
log
2
a
21
3 27
x−
=
5x =
1x =
2x =
4x =
8
a
3
5
log a
Trang 21
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. (Nghiệm của phương trình là.
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho và là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Hàm số có đạo hàm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho phương trình ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?
A. . B. . C. Vô số. D. .
Câu 13. Nghiệm của phương trình
21
28
x−
=
là
A.
3
2
x =
. B.
2x =
. C.
5
2
x =
. D.
1x =
.
Câu 14. Với
a
là số thực dương tùy ý,
3
2
log a
bằng
A.
2
3log a
. B.
2
1
log
3
a
. C.
2
1
log
3
a+
. D.
2
3 log a+
.
Câu 15. Hàm số
2
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
( )
2
21
2
xx
xx
−−
−
. B.
( )
2
2 1 .2
xx
x
−
−
. C.
2
2 .ln2
xx−
. D.
( )
2
2 1 .2 .ln2
xx
x
−
−
.
Câu 16. Cho
a
;
b
là hai số thực dương thỏa mãn
23
16ab =
. Giá trị của
22
2log 3logab+
bằng
A.
8
. B.
16
. C.
4
. D.
2
Câu 17. Nghiệm của phương trình
( ) ( )
22
log 1 1 log 3 1xx+ + = −
là
A.
3x =
. B.
2x =
. C.
1x =−
. D.
1x =
.
Câu 18. Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 5 1 logx x m− − = −
(
m
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm
A. Vô số. B.
5
. C.
4
. D.
6
.
Câu 19. Nghiệm của phương trình
21
2 32
−
=
x
là
A.
3x =
. B.
17
2
x =
. C.
5
2
x =
. D.
2x =
.
Câu 20. Với
a
là số thực dương tùy ý,
2
3
log a
bằng?
A.
3
2log a
. B.
3
1
log
2
a+
. C.
3
1
log
2
a
. D.
3
2 log a+
.
Câu 21. Hàm số
2
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
3 .ln3
xx−
. B.
( )
2
2 1 3
xx
x
−
−
. C.
( )
2
21
.3
xx
xx
−−
−
. D.
( )
2
2 1 3 .ln3
xx
x
−
−
.
Câu 22. Nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 2 1 1 log 1xx+ = + −
là
A.
4x =
. B.
2x =−
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Câu 23. Cho
,ab
là hai số thực dương thỏa mãn
3
8ab =
. Giá trị của
22
log 3logab+
bằng
A.
8
. B.
6
. C.
2
. D.
3
.
Câu 24. Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 4 1 logx x m− − = −
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?
A.
5
. B.
3
. C. Vô số. D.
4
.
Chủ đề 5. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (GIẢI TÍCH 12)
5
1
log
3
a
5
1
log
3
a+
5
3 log a+
5
3log a
21
3 27
x+
=
2x =
1x =
5x =
4x =
( ) ( )
22
log 1 1 log 1xx+ = + −
1x =
2x =−
3x =
2x =
a
b
32
32ab =
22
3log 2logab+
5
2
32
4
2
3
3
xx
y
−
=
( )
2
3
2 3 .3
xx
x
−
−
2
3
3 .ln3
xx−
( )
2
2 3 1
3 .3
xx
xx
−−
−
( )
2
3
2 3 .3 .ln3
xx
x
−
−
( )
2
9 3 3
log log 6 1 logx x m− − = −
m
m
6
5
7
m
m
Trang 22
I. Kiến thức cơ bản
1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
dx x C=+
. , aa dx ax C= +
1
, 1
1
x
x dx C
+
= + −
+
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
+
+
+ = +
+
ln , x 0
dx
xC
x
= +
1
.ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
xx
e dx e C=+
1
.
ax b ax b
e dx e C
a
++
=+
ln
x
x
a
a dx C
a
=+
1
.
ln
x
x
a
a dx C
a


+
+
=+
cos sinxdx x C=+
1
cos( ) .sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +
sin cosxdx x C= − +
1
sin( ) .cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +
2
1
tan
cos
dx x C
x
=+
2
11
tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
= + +
+
2
1
sin
dx cotx C
x
= − +
2
11
()
sin ( )
dx cot ax b C
ax b a
= − + +
+
2. Công thức tính tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
II. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
* Dạng 1: Tính I =
'
( ) ( )
b
a
f x x dx

+ Đặt t =
()x
'
( ).dt x dx
=
+ Đổi cận : x = a
t =
()a
, x = b
t =
(b)
,
I =
()
()
()
( ). ( )
()
b
a
b
f t dt F t
a
=
* Dạng 2: Tính I =
()
b
a
f x dx
bằng cách đặt x =
()t
Dạng chứa
22
ax−
: Đặt x = asint, t
;
22


−


(a > 0)
Dạng chứa
22
1
ax+
: Đặt x = atant, t
;
22


−


(a > 0)
2. Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
()
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu= = −
Đặt
Ta thường gặp hai loại tích phân từng phần như sau:
=
=
=
=
)(...
)(...
...
...
hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u
Trang 23
* Loại 1:
()
( ).sin ( ). , ( ).cos ( ).
( ),
( ). .
bb
aa
b
fx
a
P x f x dx P x f x dx
u P x
P x e dx
=

trong đó
()Px
là đa thức bậc n.
* Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x=
1.5. Tính chất tích phân
i)
( ) 0
a
a
f x dx =
ii)
( ) ( )
ab
ba
f x dx f x dx=−

, iii)
. ( ) . ( ) ,
bb
aa
k f x dx k f x dx k=

,
iv)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =
v)
33
2
1 1 2
( ) ( ) ( )
aa
a
a a a
f x dx f x dx f x dx=+
.
III. Ứng dụng tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng
* Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
()
b
a
S f x dx=
* Dạng 2: Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị 2 hàm số f
1
(x), f
2
(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b là:
12
( ) ( )
b
a
S f x f x dx=−
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
2
()
b
a
V f x dx
=
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Biết
( )
1
0
2f x dx =−
và
( )
1
0
3,g x dx =
khi đó
( ) ( )
1
0
f x g x dx−


bằng
A.
5.−
B.
5.
C.
1.−
D.
1.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
25=+f x x
là
A.
2
5.++x x C
B.
2
2 5 .++x x C
C.
2
2.+xC
D.
2
.+xC
Câu 3. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, 0, 1y f x y x= = = −
và
4x =
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − +

. B.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=−

.
C.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
=+

. D.
( ) ( )
14
11
S f x dx f x dx
−
= − −

.
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
21
1
x
fx
x
−
=
+
trên
( )
1;− +
là
Trang 24
A.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
. B.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ + +
+
.
C.
( )
2
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
. D.
( )
3
2ln 1
1
xC
x
+ − +
+
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
2cos 1xxf =
+
,
x
, khi đó
( )
4
0
f x dx
bằng
A.
2
4
16
+
. B.
2
14
16

+
. C.
2
16 4
16

++
. D.
2
16 16
16

++
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên . Biết
( )
41f =
và
( )
1
0
41dxxf x =
, khi đó
( )
4
2
0
dxxxf
bằng
A.
31
2
. B.
16−
. C.
8
. D.
14
.
Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Biết và khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Cho hàm số Biết và khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 12. Biết
có đạo hàm liên tục trên R, và , khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Biết
( )
2
1
d2f x x =
và
( )
2
1
d6g x x =
, khi đó
( ) ( )
2
1
df x g x x−


bằng
( )
26f x x=+
2
6x x C++
2
2xC+
2
26x x C++
2
xC+
( )
1
0
3f x dx =
( )
1
0
4g x dx =−
( ) ( )
1
0
f x g x dx+


7−
7
1−
1
( )
fx
S
( )
y f x=
0y =
1x =−
5x =
( ) ( )
15
11
S f x dx f x dx
−
=+

( ) ( )
15
11
S f x dx f x dx
−
=−

( ) ( )
15
11
S f x dx f x dx
−
= − +

( ) ( )
15
11
S f x dx f x dx
−
= − −

( )
.fx
( )
04f =
2
'( ) 2cos 3, ,f x x x= +
4
0
( )df x x
2
2
8
+
2
88
8

++
2
82
8

++
2
68
8

++
2
31
()
( 1)
x
fx
x
−
=
−
(1; )+
2
3ln( 1)
1
xC
x
− − +
−
1
3ln( 1)
1
xC
x
− + +
−
1
3ln( 1)
1
xC
x
− − +
−
2
3ln( 1)
1
xC
x
− + +
−
( )
fx
( )
51f =
( )
1
0
5 d 1xf x x =
( )
5
2
0
dx f x x
15
23
123
5
25−
Trang 25
A.
4
. B.
8−
. C.
8
. D.
4−
.
Câu 14. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
23f x x=+
là
A.
2
2xC+
. B.
2
3x x C++
. C.
2
23x x C++
. D.
2
xC+
.
Câu 15. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, 0, 1, 2y f x y x x= = = − =
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
12
11
S f x dx f x dx
−
= − −

. B.
( ) ( )
12
11
S f x dx f x dx
−
= − +

.
C.
( ) ( )
12
11
S f x dx f x dx
−
=−

. D.
( ) ( )
12
11
S f x dx f x dx
−
=+

.
Câu 16. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
21
2
x
fx
x
+
=
+
trên
( )
2;− +
là:
A.
( )
1
2ln 2
2
xC
x
+ + +
+
.B.
( )
1
2ln 2
2
xC
x
+ − +
+
. C.
( )
3
2ln 2
2
xC
x
+ − +
+
. D.
( )
3
2ln 2
2
xC
x
+ + +
+
.
Câu 17. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
2sin 1,f x x x
= +
, khi đó
( )
4
0
df x x
bằng
A.
2
15
16

+
. B.
2
16 16
16

+−
. C.
2
16 4
16

+−
. D.
2
4
16
−
.
Câu 18. Biết
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên .
( )
61f =
và
( )
1
0
6 d 1xf x x =
, khi đó
( )
6
2
0
dx f x x
bằng
A.
107
3
. B.
34
. C.
24
. D.
36−
.
Câu 19. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
24f x x=+
là
A.
2
24x x C++
. B.
2
4x x C++
. C.
2
xC+
. D.
2
2xC+
.
Câu 20. Biết
11
00
( ) 2; ( ) 4f x dx g x dx= = −

. Khi đó
1
0
( ) ( )f x g x dx+
bằng
A. 6. B. -6. C.
2−
. D.
2
.
Câu 21. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
, 0, 2y f x y x= = = −
và
3x =
(như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
=−

. B.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
= − +

C.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
=+

. D.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
= − −

.
Câu 22. Cho hàm số
()fx
. Biết
(0) 4f =
và
2
'( ) 2sin 3,f x x x= +
, khi đó
4
0
()f x dx
bằng
A.
2
2
8
−
. B.
2
88
8

+−
. C.
2
82
8

+−
. D.
2
3 2 3
8

+−
.
Trang 26
Câu 23. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
32
2
x
fx
x
-
=
-
trên
( )
2;+¥
là
A.
( )
4
3ln 2
2
xC
x
- + +
-
. B.
( )
2
3ln 2
2
xC
x
- + +
-
.
C.
( )
2
3ln 2
2
xC
x
- - +
-
. D.
( )
4
3ln 2
2
xC
x
- - +
-
.
Câu 24. Biết
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên .
( )
31f =
và
( )
1
0
3 d 1xf x x =
, khi đó
( )
3
2
0
dx f x x
bằng
A.
3
. B.
7
. C.
9−
. D.
25
3
.
Chủ đề 6. SỐ PHỨC (GIẢI TÍCH 12)
1.Tổng quan về số phức:
+ Số phức
z
là biểu thức có dạng
( )
2
, , 1= + = −z a bi a b R i
.
Phần thực của
z
là
a
, phần ảo của
z
là
b
và
i
được gọi là đơn vị ảo.
+ Số phức
( )
,= + z a bi a b R
được biểu diễn bởi điểm
( )
;M a b
trong mặt phẳng tọa độ.
+ Số phức liên hợp của
z
là
= + = −z a bi a bi
.
+ Mô đun của số phức
z
là
22
= = +z OM a b
2.Số phức bằng nhau.
Cho hai số phức
1
z a bi=+
,
2
z c di=+
( )
, , ,a b c d
. Khi đó:
12
ac
zz
bd
=
=
=
3. Phép cộng, phép trừ phép nhân, phép chia số phức:
Cho hai số phức :
( )
1
,z a bi a b= +
và
( )
2
,z c di c d= +
+
( ) ( )
12
z z a c b d i+ = + + +
+
( ) ( )
12
z z a c b d i− = − + −
+
( )( ) ( ) ( )
12
.z z a bi c di ac bd ad bc i= + + = − + +
+
( )( )
1 1 2
22
2
22
.
.
a bi c di
z z z
z c d
zz
+−
==
+
. Lũy thừa của
i
:
1
,ii=
2
1,i =−
3
,ii=−
4
1.i =
4
1,
n
i =
41
,
n
ii
+
=
42
1,
n
i
+
=−
43
.
n
ii
+
=−
4. Phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số thực âm
+ Cho số
z
, nếu có số phức
w
sao cho
w = z
2
thì ta nói
w
là một căn bậc hai của
z
.
+ Mọi số phức
z 0
đều có hai căn bậc hai.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực
a
âm là
ia
.
b. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai
ax bx c a b c a
2
0, , , , 0+ + =
.
+ Tính
2
4b ac = −
.
+ Áp dụng công thức nghiệm.
0:=
phương trình có nghiệm thực
2
b
x
a
=−
.
0
: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:
1,2
2
b
x
a
−
=
.
Trang 27
x
y
2
M
3
O
0
: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
1,2
||
2
bi
x
a
−
=
.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho số phức
34zi=−
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z
.
A. Phần thực là
4−
và phần ảo là
3i
. B. Phần thực là
3
và phần ảo là
4−
.
C. Phần thực là
4−
và phần ảo là
3
. D. Phần thực là
3
và phần ảo là
4i−
.
Câu 2: Số phức liên hợp của số phức
12zi=−
là
A.
12zi=+
. B.
2zi=−
. C.
12zi= − +
. D.
12zi= − −
.
Câu 3: Căn bậc hai của số
−4
là
A.
−2;2
. B.
2i
. C.
2 ,2ii−
. D.không có.
Câu 4: Điểm
M
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức
A.
3 2 .i+
B.
2 3 .i−
C.
2 3 .i−+
D.
3 2 .i−
Câu 5: Cho số phức z thỏa
( )
1 2 4 0i z i+ − − =
. Tìm số phức liên hợp của z
A.
3zi=+
. B.
3zi=−
. C.
32zi=−
. D.
32zi=+
.
Câu 6: Cho hai số phức
1
12zi=+
và
2
34zi=−
. Số phức
1 2 1 2
23z z z z+−
là số phức nào sau đây?
A.
10i
. B.
10i−
. C.
11 8i+
. D.
11 10i−
.
Câu7: Cho số phức
1zi=+
. Tính môđun của số phức
2
1
zi
w
z
+
=
−
.
A.
2w =
. B.
2.w =
. C.
1w =
. D.
3w =
.
Câu 8: Với các số phức
,z
1
,z
2
z
tùy ý, khẳng định nào sau đây sai?
A.
2
.z z z=
. B.
1 2 1 2
..z z z z=
. C.
1 2 1 2
z z z z+ = +
. D.
.zz=
Câu 9: Cho
A
,
B
,
C
tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
1
12zi=+
,
2
25zi= − +
,
3
24zi=+
. Số phức
z
biểu diễn bởi điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành là
A.
17−+i
. B.
5+ i
. C.
15+ i
. D.
35+ i
.
Câu 10: Cho
26
,
3
n
i
z
i
+

=

−

n nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
1;50n
để
z
là số thuần ảo?
A. 26. B. 25. C. 24. D. 50.
Câu 11:
G
ọi
z
1
và
z
2
là các nghiệm của phương trình
zz− + =
2
4 9 0
. Gọi
, MN
là các điểm biểu diễn
của
z
1
và
z
2
trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của
MN
là:
A.
MN = 4
. B.
MN = 5
. C.
MN =−25
. D.
MN = 25
.
Câu 12: Cho
z
là số phức khác 1, thỏa mãn
2019
1z =
. Tính giá trị biểu thức
2 2018
1 ... .T z z z= + + + +
A.
1T =
. B.
0T =
. C.
2019T =
. D.
2018T =
.
Câu 13: Cho số phức
( )
2019
1zi=+
. Phần thực của
z
bằng
A.
1009
2−
. B.
2019
2
. C.
2019
2−
. D.
1009
2
.
Câu 14: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
1 2. . 5 3i z i z i− − = +
. Tính
||z
.
Trang 28
A.
97z =
. B.
65z =
. C.
97z =
. D.
65z =
.
Câu 15: Gọi
1 2 3 4
z , z , z , z
là bốn nghiệm của phương trình
42
4z mz 4 0+ + =
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để
( )( )( )( )
2222
1 2 3 4
z 4 z 4 z 4 z 4 324.+ + + + =
A.
m1=
hoặc
m 35=−
. B.
m1=−
hoặc
m 35=−
.
C.
m1=−
hoặc
m 35=
. D.
m1=
hoặc
m 35=
.
Câu 16: Tìm tập hợp những điểm
M
biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức, biết số phức
z
thỏa mãn
điều kiện
− = +21z i z
.
A. Tập hợp những điểm
M
là đường thẳng có phương trình
+ + =4 2 3 0xy
.
B. Tập hợp những điểm
M
là đường thẳng có phương trình
− + =4 2 3 0xy
.
C. Tập hợp những điểm
M
là đường thẳng có phương trình
+ − =2 4 3 0xy
.
D. Tập hợp những điểm
M
là đường thẳng có phương trình
+ + =2 4 3 0xy
.
Câu 17: Cho số phức
z
thoả
3 4 2zi− + =
và
21w z i= + −
. Khi đó
w
có giá trị lớn nhất là:
A.
16 74+
. B.
2 130+
. C.
4 74+
. D.
4 130+
.
Câu 18: Gọi
T
là tổng phần thực, phần ảo của số phức
2 3 2020
2 3 ... 2020w i i i i= + + + +
. Tính T.
A.
0.T =
B.
1.T =−
C.
2020.T =
D.
2020.T =−
Câu 19: Cho số phức
z
thoả mãn
1 i
z
+
là số thực và
2zm−=
với
m
. Gọi
S
là tập hợp các số thực
m
sao cho với mỗi
mS
có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Tính tổng của các phần tử của tập
S
.
A.
2
. B.
2
. C.
22+
. D.
0
.
Câu 20: Cho số phức
z
thỏa mãn
( 2) 1 ( 2) 1 6z i z i+ + + − − =
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của
z
. Tính tổng
S M m=+
.
A.
5 5 2
2
S
−
=
. B.
51S =−
. C.
6S =
. D.
3 5 2
2
S
−
=
Chủ đề 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH 12)
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1.1 Định nghĩa: Trong không gian, xét ba trục tọa độ
,,Ox Oy Oz
vuông góc với nhau từng đôi một và
chung một điểm gốc O. Gọi
,,i j k
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục
,,Ox Oy Oz
. Hệ ba trục như
vậy gọi là hệ trục tọa độ trong không gian.
* Chú ý:
2 2 2
1i j k= = =
và
. . . 0i j i k k j= = =
.
1.2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
( )
;;u x y z u xi y j zk= = + +
b) Tính chất: Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k= =
•
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b =
•
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka=
•
11
22
33
ab
a b a b
ab
=
= =
=
•
0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k= = = =
•
a
cùng phương
( 0)bb
()a kb k=
•
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b= + +
Trang 29
•
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b⊥ + + =
•
2 2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
•
222
1 2 2
a a a a= + +
•
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b
++
==
+ + + +
(với
,0ab
)
1.3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa:
( ; ; ) . . .M x y z OM x i y j z k = + +
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
•
( ) ( ) ( )
0; 0; 0M Oxy z M Oyz x M Oxz y = = =
•
0; 0; 0M Ox y z M Oy x z M Oz x y = = = = = =
.
b) Tính chất: Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
•
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
• Toạ độ trung điểm
M
của đoạn thẳng
AB
:
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +



• Toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
:
;;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +



1.4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian
Oxyz
cho hai vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a=
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
. Tích có hướng của hai
vectơ
a
và
,b
kí hiệu là
,ab


, được xác định bởi
( )
2 3 3 1
12
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1
12
, ; ; ; ;
a a a a
aa
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b
bb

= = − − −



Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
[ , ] ; [ , ] ; , ,a b a a b b a b b a
⊥ ⊥ = −
•
, ; , ; ,i j k j k i k i j

= = =

•
( )
[ , ] . .sin ,a b a b a b=
•
,ab
cùng phương
[ , ] 0ab=
•
,,abc
đồng phẳng
[ , ]. 0a b c=
c) Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,ab
và
c
đồng phẳng
[ , ]. 0a b c =
• Diện tích hình bình hành
ABCD
:
,
ABCD
S AB AD

=

•
Diện tích tam giác
ABC
:
1
,
2
ABC
S AB AC

=

•
Thể tích khối hộp
ABCDA B C D
:
. ' ' ' '
[ , ].
ABCD A B C D
V AB AD AA
=
•
Thể tích tứ diện
ABCD
:
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD=
2. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình mp() qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt = (A;B;C): A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
• Phương trình tổng quát () : Ax + By + Cz + D = 0 , có VTPT = (A; B; C)
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;,0), B(0;b;0), C(0;0;c) là
1
x y z
a b c
+ + =
n
n
Trang 30
• Vị trí tương đối của hai mp (
1
) và (
2
) :
°
()
cắt
1 1 1 2 2 2
( ) : : : :A B C A B C

°
1 1 1 1
2 2 2 2
( )/ /( )
A B C D
A B C D

= =
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
A B C D

= = =
°
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C

⊥ + + =
• Khoảng cách từ M(x
0;
y
0
; z
0
) đến (): Ax + By + Cz + D = 0:
o o o
222
Ax By Cz D
( , )
A B C
dM
+ + +
=
++
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp
1
()
và
2
()
có VTPT lần lượt là
12
,nn
Ta có:
( )

==
12
1 2 1 2
12
.
cos( , ) cos ,
.
nn
nn
nn
3. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
• Phương trình tham số của đường thẳng d :
01
02
03
x x a t
y y a t
z z a t
=+
=+
=+
• Phương trình chính tắc của d:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
==
• Góc giữa 2 đường thẳng: Gọi
là góc giữa d và d
’
:
/
/
.
(0 90 )
.
d
d
d
d
aa
aa

= cos
4. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
• Phương trình có dạng: x
2
+ y
2
+ z
2
–2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a
2
+ b
2
+ c
2
– d > 0)
là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −
.
• Vị trí tương đối của mặt phẳng
()
và mặt cầu S(I,R):
°
()
và (S) không giao nhau
( )
;d I R
°
()
tiếp xúc ( S )
( )
;d I R
=
.
()
gọi là tiếp diện của (S).
°
()
cắt (S)
( )
;d I R
. Bán kính đường tròn giao là
( )
2
2
;r R d I
=−


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A biết
23OA i j k= − +
. Khi đó, điểm A có tọa độ là:
A. A(–2; 3; –1) B. A(2; –3; 2) C. A(2; –3; 1) D. A(–3; 2; 1)
Câu 2: Khoảng cách d từ điểm M(1; –2; 3) đến mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 5 = 0 bằng :
A. d = 1 B. d = 2 C. d = 3 D. d = 4
Câu 3: Cho hai vectơ
( ) ( )
5; 3;2 , 2;2; 3ab= − = −
. Tọa độ của vectơ
2u b a=−
là:
A.
( )
1;7; 8u = − −
B.
( )
1; 7;4u =−
C.
( )
1;7;8u =−
D.
( )
1; 7;8u =−
Trang 31
Câu 4: Phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có tâm I(5; 4; 3) là:
A.
2 2 2
10 8 6 38 0x y z x y z+ + − − − − =
B.
2 2 2
10 8 6 16 0x y z x y z+ + − − − + =
C.
2 2 2
10 8 6 32 0x y z x y z+ + − − − + =
D.
2 2 2
10 8 6 38 0x y z x y z+ + − − − + =
Câu 5: Cho mặt phẳng
( )
: – 2 2 – 3 0P x y z+=
và
( )
: – 2 1 0Q mx y z+ + =
. Với giá trị nào của m
thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?
A.
6m =
B.
1m =
C.
6m =-
D.
1m =-
.
Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A(1; –3; 5), B(3; 1; –3).
A.
2 4 15 0x y z+ − − =
B.
2 4 13 0x y z+ − + =
C.
2 4 4 0x y z+ − + =
D.
2 4 11 0x y z+ − − =
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 4) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + 1 = 0. Lập phương
trình đường thẳng d
qua A và vuông góc với (P).
A.
1 2 4
:
2 3 1
x y z
d
− + −
==
−
B.
124
:
2 3 1
x y z
d
+ − +
==
−
C.
2 3 1
:
1 2 4
x y z
d
− + −
==
−
D. d: 2x – 3y + z – 12 = 0
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để:
( )
2 2 2 2
4 2 1 6 15 7 0x y z mx m y mz m+ + − + − − + − =
là
phương trình mặt cầu?
A. 7 B. 6 C. 4 D. 5
Câu 9: Trong không gian Oxyz cho M(–3; 2; 4), gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz.
Viết phương trình mặt phẳng(ABC) là:
A. 4x – 6y –3z –12 = 0 B. 4x – 6y –3z + 12 = 0 C. 6x – 4y –3z – 12 = 0 D. 3x – 6y – 4z + 12 = 0
Câu 10: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) có bán kính R là:
A. R = 4 B. R = 5 C. R =
14
D. R =
15
Câu 11: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ) ( )
( ): 3 2 1 1 0P m x y m z+ + + − − =
và
( ) ( ) ( )
: 1 2 3 1 3 0Q n x y n z n+ + + − + − =
song song với nhau. Khi đó giá trị biểu thức m + n bằng:
A. 4 B. – 4 C. 2 D. – 2
Câu 12: Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm
M của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
A. M(1; 2; 0) B. M(–1; –3; 4) C. M(3; 1; 0) D. M(2; 2; –2)
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
(1;2; 1)A −
,
(2; 1;3)B −
,
( 2;3;3)C −
. Điểm
( )
;;M a b c
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM
. Khi đó
2 2 2
P a b c= + −
có giá trị bằng
A.
43.
B.
44.
C.
42.
D.
45.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z
d
+ - +
==
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 21 0S x y z z+ + + − =
cắt nhau tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB = 4 B. AB = 6 C. AB = 8 D. AB = 10
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho tam giác
ABC
có
( ) ( ) ( )
2;1; 2 , 4; 1;1 , 0; 3;1A B C− − −
.
Đường thẳng
d
đi qua trọng tâm của tam giác
ABC
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình
là
A.
2
1 2 .
2
xt
yt
zt
=+
= − −
=−
B.
2
1 2 .
2
xt
yt
zt
= − +
= − −
=−
C.
2
1 2 .
2
xt
yt
zt
=+
=−
=−
D.
2
1 2 .
2
xt
yt
zt
=+
=+
=
Trang 32
Câu 16: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 3) và cắt các trục tọa độ lần lượt tại
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ;0Bb
và
( ) ( )
0;0; , 0, 0, 0C c a b c
sao cho thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức
93P a b c= + +
bằng:
A. 25 B. 27 C. 7 D. 45
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
21
:
1 2 1
x y z
d
−−
==
−
. Viết phương trình
mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB
vuông góc với d.
A.
( )
:2 3 0.P x y− − =
B.
( )
: 2 5 5 0.P x y z+ + − =
C.
( )
: 2 4 0.P x y z+ − − =
D.
( )
: 2 5 4 0.P x y z+ + − =
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
( 2; 2;1),A −−
( )
1; 2; 3B −
và đường thẳng
15
:
2 2 1
x y z
d
+−
==
−
. Tìm vectơ chỉ phương
u
của đường thẳng
qua A, vuông góc với d đồng thời cách
điểm B một khoảng bé nhất.
A.
(2;1;6)u =
B.
(2;2; 1)u =−
C.
(25; 29; 6)u = − −
D.
(1;0;2)u =
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
( ) ( )
1;5;0 , 3;3;6AB
đường thẳng
có
phương trình tham số
= − +
=−
=
12
1
2
xt
yt
zt
. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
sao cho chu vi tam giác
MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi
P
của tam giác ABC là
A.
( )
( )
=+1;0;2 ; 2 11 29MP
B.
( )
( )
=+1;2;2 ; 2 11 29MP
C.
( )
=+1;0;2 ; 11 29MP
D.
( )
=+1;2;2 ; 11 29MP
Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( ) ( )
A 10;6; 2 ,B 5;10; 9−−
và mặt phẳng
( )
:2x 2y z 12 0. + + − =
Điểm M di động trên mặt phẳng
( )
sao cho MA, MB luôn tạo với
( )
các góc
bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn
( )
cố định. Hoành độ của tâm đường tròn
( )
bằng
A.
9
2
B.
2
C.
10
D.
4−
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MÔN TOÁN
Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11
I. Cấp số cộng, cấp số nhân 1. Cấp số cộng
a. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)
b. Số hạng tổng quát: u = u + (n −1)d với n 2 n 1 u + u
c. Tính chất của các số hạng: k 1 k 1 u − + = với k 2 k 2 n(u + u )
n2u + (n −1)d 1 
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1
S = u + u + ... n + u = = n 1 2 n 2 2 2. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát: 1 u u . n q − = , với n 2 n 1
3. Tính chất các số hạng: 2 u = u .u , với k 2 k k 1 − k 1 + S = nu , q = 1 n 1
4. Tổng n số hạng đầu tiên: u (1 n − q )  1 S = , q  1 n  1− q  − + = Ví dụ u u u 10
1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: 1 3 5  u + u = 17  1 6  − + = u + 2d = 10  =
Hướng dẫn giải. u u u 10 u 16 Ta có: 1 3 5   1 1    u + u = 17  2u + 5d = 17  d = 3 − 1 6 1
Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23. u  = u + 53d
Hướng dẫn giải. Ta có: u = u + n −1 d 54 1   . n 1 ( )
u = u + 3d  4 1
Giải hệ phương trình, ta được: 143 5 33 u = , d = −
u = u + 22d = 1 23 1 2 2 2
Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân (u ) có 5 số hạng, biết: u = 3,u = 27 n 3 5 2 u = 3 u q = 3 1
Hướng dẫn giải. Ta có: 3 1     u = ,q = 3  4 1 u = 27   = 3 5 u q 27  1 1 1
Vậy có hai dãy số: ,1,3,9,27 và , 1 − ,3, 9 − ,27 3 3
II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn 1. Quy tắc đếm
1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ.
Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4
có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà
trường. Giải: Tổ 1 có 9 cách chọn +…+ Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn.
Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy và
máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ
Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày.
Giải: Đi bằng ô tô có 10 cách+…+1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn.
1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp nhau. Trang 1
Ví dụ 1. Nam có 3 áo màu và hai quần kiểu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo.
Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 3.2 = 6 bộ quần áo.
Ví dụ 2. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Biết rằng từ nhà An đến nhà Bình có 4
con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến
nhà Cường. Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 4.6 = 24 con đường.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho
a) Các chữ số có thể giống nhau. b) Các chữ số khác nhau. Giải:
a) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd .
Vì abcd chẵn nên d 0, 2, 4, 
6 và a là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách.
Trường hợp 2. Nếu d  0 thì d có 3 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách. Vậy có 294+882=1176 cách.
b) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd .
Vì abcd chẵn nên d 0, 2, 4, 
6 và a là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách.
Trường hợp 2. Nếu d  0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách. Vậy có 120+300=420 cách.
2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.1 Hoán vị: Sự sắp xếp thứ tự của n phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử.
Công thức: P = n!= n(n− )
1 (n − 2)(n − ) 3 ...3.2.1 . n
Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào một bàn học sinh gồm ba chỗ.
Giải: P = 3! = 3.2.1 = 6 (Có thể dùng quy tắc nhân). 3
Ví dụ 2. Trong một cuộc thi thể thao có 4 đội tham gia A, B, C, D và có bốn giải nhất, nhì, ba và khuyến
khích. Có bao nhiêu khả năng để 4 đội đoạt giải.
Giải: P = 4! = 4.3.2.1 = 24 (Có thể dùng quy tắc nhân). 4 n k !
2.2. Chỉnh hợp: Chọn k phần tử khác nhau (có thứ tự) từ n phần tử của tập hợp ( k n ): A = n (n − . k )! n k !
2.3. Tổ hợp: Chọn k phần tử (không thứ tự) từ n phần tử của tập hợp ( k n ): C = n k ( ! n − . k )!
Ví dụ 1. Tổ một lớp 11A8 có 5 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra ba học sinh từ tổ 1 để quét lớp, lau
bảng và xếp bàn ghế. Hỏi GVCN có bao nhiêu cách chọn (HDG. 3 A = 60 ). 5
Ví dụ 2. Trong một trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11m. HLV của
mỗi đội cần phải trình với trọng tài một danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân
lưu 5 quả 11m. Hỏi HLV mỗi đội có bao nhiêu cách chọn (HDG. 5 A = 55.440 ). 11
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi Maraton có 50 người tham gia nhưng chỉ có ba giải nhất, nhì, ba. Có bao
nhiêu cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG. 3 A = 117.600 ). 50
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG. 5 A = 15.120 ) 9
Ví dụ 5. Có bao cách chọn 3 học sinh trong đội tuyển gồm 8 học sinh giỏi môn văn lớp 12 của trường để đi
dự thi cấp tỉnh. Biết rằng cả 8 em này đều có năng lực như nhau (HDG. 3 C = 56 ). 8
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P (HDG. 3 C = 35 ). 7
Ví dụ 7. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra 4 học
sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” của đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn (HDG. 4 3
C C = 4845.455 = 2204475 ). 20 15
3. Xác suất của biến cố Trang 2
Xác suất của biến cố A được tính theo công thức P( A) n( A) = . n ()
Trong đó: n( A) là số phần tử của biến cố A; n() là số phần tử của không gian mẫu.
Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để:
a) Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ.
b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n() 3 = C = 220. 12 n A
a) XS của bc A là P( A) ( ) 35 7 = = = . n() 220 44
b) XS của bc B là P(B) n(B) 140 7 = = = . n () 220 11
Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến thuê phòng cùng một lúc
trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để:
a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
b) Có ít nhất 2 khách nữ.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n() 6 = C = 210. 10 n A 90 3
a) XS của bc A là P( A) ( ) = = = . n () 220 7
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau: + Hai nữ, 4 nam: 2 4
C .C . + Ba nữ, 3 nam: 3 3
C .C . + Bốn nữ, 2 nam: 4 2 C .C . 4 6 4 6 4 6
Suy ra số phần tử của biến cố B là 2 4 C .C + 3 3 C .C + 4 2 C .C =185. 4 6 4 6 4 6
Vậy XS của bc B là P(B) n(B) 185 37 = = = . n() 210 42
Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé
trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để:
a) Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng.
b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n() 3 = C . 100 n A 1 2 C n B C .C 1 a) P ( A) ( ) 3 2 10 = = = ) b P (B) ( ) 1 5 = = = . n () 3 C 2695 n () 3 C 156200 100 100
Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi.
Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu. n A
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là 3.4.5 60 3 n() 3
= C = 220. P(A) ( ) = = = = . 12 n () 3 C 220 11 12
Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng
5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3. 5 5 n A
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n() 10
= C và P(A) ( ) C .C 10 20 = = . 30 n () 3 C12
Ví dụ 6. Cho tập F =0,1,2,3,4,5,6,7,8, 
9 . Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra n A
là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 ( 4
HDG : P ( A) ( ) = = ) n() 45
Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.
Tập A bao gồm các pần tử: 0,  2 ,0,  4 ,0,  6 ,2,  4 . Khi đó. 4. Nhị thức Newton n
+ Với hai số thực a và b, ta có (a+ b)n 0 n 1 n- 1 n- 1 n- 1 = C a + C a b + ... n n k n- k k + C ab + C b = C a b . å n n n n n k= 0
+ Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là k n−k k C a b . n Trang 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho cấp số cộng (u u = 3 u = 9 n ) với và
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 1 2 A. −6 . B. 3 . C. 12. D. 6 .
Câu 2. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 7 2 . B. 2 A . C. 2 C . D. 2 7 . 7 7
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được
hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 13 12 313 A. . B. . C. . D. . 2 25 25 625
Câu 4. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. 2 5 . B. 5 2 . C. 2 C . D. 2 A . 5 5
Câu 5. Cho cấp số cộng (u u = 2 u = 8 n ) với và
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 1 2 A. 4 . B. −6 . C. 10 . D. 6 .
Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn là 13 14 1 365 A. . B. . C. . D. . 27 27 2 729
Câu 7. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là A. 2 A . B. 2 C . C. 6 2 . D. 2 6 . 6 6
Câu 8. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và u = 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. 3 . B. 4 − . C. 8 . D. 4 .
Câu 9. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng 11 221 10 1 A. . B. . C. . D. . 21 441 21 2
Câu 10. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là A. 2 C . B. 2 8 . C. 2 A . D. 8 2 . 8 8
Câu 11. Cho cấp số cộng (u với u = 1 và u = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n ) 1 2 A. 5 . B. 4 . C. −3 . D. 3 .
Câu 12. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng 11 1 265 12 A. . B. . C. . D. . 23 2 529 23
Câu 13. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n n k n − k k (! )! k ! n k ! k ! A. C = C = . C. C = C = . n k ( ! n − . B. k )! n k ! n (n − . D. k )! n n!
Câu 14. Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu u = 2 và công sai d = 5. Giá trị u bằng n ) 1 4 A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.
Câu 15. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ,
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh
nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 5 10
Câu 16. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh? A. 34 2 . B. 2 A . C. 2 34 . D. 2 C . 34 34
Câu 17. Từ một hộp chứa 11 quả cầu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất
để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng Trang 4 4 24 4 33 A. . B. . C. . D. . 455 455 165 91 6 8
Câu 18. Hệ số của 5
x trong khai triển nhị thức x (2x − ) 1 + (3x − ) 1 bằng A. 13368 − . B. 13368 . C. 13848 − . D. 13848 .
Câu 19. Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17. Xác suất để ba
số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1728 1079 23 1637 A. . B. . C. . D. . 4913 4913 68 4913
(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101)
Giải: Không gian mẫu có số phần tử là 3
17 = 4913 . Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau:
+ Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập 3;6;9;12;1  5 .
+ Số chia cho 3 dư 1: có 6 số thuộc tập 1;4;7;10;13;1  6 .
+ Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập 2;5;8;11;14;1  7 .
Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thỏa mãn ba số
đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:
TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 3
5 =125 cách; TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 3 6 = 216 cách.
TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 3 6 = 216 cách.
TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 có 5.6.6.3!=1080 cách.
Vậy xác suất cần tìm là 125+ 216 + 216 +1080 1637 = . Chọn D. 4913 4913
Câu 20. Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
C + C = 55 , số hạng không chứa x trong khai triển của n n n   thức 2 3 x +   bằng 2  x A. 322560 . B. 3360 . C. 80640 . D. 13440 .
Giải: Điều kiện n  2 và n Z . 10  2  Ta có 1 2
C + C = 55  n = 10 . Với n = 10 ta có khai triển 3 x + . n n   2  x k
Số hạng tổng quát của khai triển   k ( 3 10−k ) 2 k k 30−5 . = 2 k C x C x
, với 0  k 10 . 10   2 10  x
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 − 5k = 0  k = 6.
Vậy số hạng không chứa x là 6 6
C 2 = 13440 . Chọn D. 10
Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Khối đa diện
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương cạnh a : V = a3
3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao) 1
4. Thể tích của khối chóp: V =
B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao) 3 V
SA' SB' SC '
Chú ý: Tỉ số thể tích S.A'B'C' = . . V SA SB SC M S.ABC
5. Kiến thức liên quan
* Tỉ số lượng giác của góc nhọn: MH OH MH OH • sin = • cos = • tan = • cot = α OM OM OH MH O H Trang 5
* Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC  vuông ở A • Định lý Pitago: 2 2 2
BC = AB + AC hay 2 2 2
a = b + c • 2 2
BA = BH.BC; CA = CH.CB hay 2 2 b = . a b ', c = . a c ' • A .
B AC = B .
C AH hay bc = ah 1 1 1 1 1 1 A • = + hay = + 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 h b c
* Hệ thức lượng trong tam giác thường c b h
• Định lý côsin: 2 2 2
a = b + c − 2b . c cos A c' b' a b c
• Định lý sin: = = = 2R B H a M C sin A sin B sin C
* Các công thức tính diện tích
a. Công thức tính diện tích tam giác. 1 1 1 • S = . a h = bh = ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 • S = absin C = bcsin A =
ca sin B 2 2 2 • abc S = , S = pr 4R a + b + c • S =
p( p − a)( p − b)( p − c) với p =
(Công thức Hê-rông) 2 2 • 1 a 3
Đặc biệt: ABC
vuông ở A: S = A .
B AC , ABC  đều cạnh a: S = 2 4
b. Diện tích hình vuông cạnh a: 2 S = a
c. Diện tích hình chữ nhật: S = . a b 1 1
d. Diện tích hình thoi: S = . m n
e. Diện tích hình thang: S = h(a + b) 2 2
* Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng
• Đường chéo hình vuông cạnh a là d = a 2 a 3
• Đường cao tam giác đều cạnh a là h = 2
II. Góc và khoảng cách 1. Góc:
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và lần
lượt song song với hai đường thẳng đó.
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ):
▪ Bước 1: Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng ( ) và ( )
▪ Bước 2: Trên  lấy điểm O bất kỳ. Qua O vẽ tia Ox vuông góc với  trong ( ) và vẽ tia Oy
vuông góc với  trong ( ).
Khi đó: Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) chính là góc giữa tia Ox và tia Oy hay xOy . 2. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc
đường thẳng đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Trang 6
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
▪ Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần
tìm chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó.
▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu
1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: 2 2 2
l = r + h .
+ Diện tích xung quanh: S =  rl ; xq
+ Diện tích toàn phần: 2
S =  rl +  r tp 1 + Thể tích: 2 V =  r h 3
2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l = . h
+ Diện tích xung quanh: S = 2 rl ; xq
+ Diện tích toàn phần: 2
S = 2 rl + 2 r tp + Thể tích: 2 V = r h
3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R.
+ Diện tích mặt cầu: 2 S = 4 R MC
+ Thể tích khối cầu: 3 4 V =  R . KC 3
Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Giải
Gọi H là tâm của hình vuông. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH ⊥ ( ABCD) S
Vì ABCD là hình vuông nên 2 2 S
= AB = a (đvdt) ABCD Ta có 2 2 2 2 2 2
SA + SC = AB + BC = AC = 2a AC a 2 B S
AC vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên SH = = C 2 2 H A 1 1 a 2 2 2 3 DV = SH.S = . .a = a (đvtt) S . ABCD 3 ABCD 3 2 6
Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc 0 60 . Giải S
Gọi H là tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC
S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ ( ABC) ABC
là tam giác đều nên AM ⊥ BC 3
Trong tam giác vuông ACM AM = a 2 A 600 B H 1 3 M 2  S = AM.BC = a (đvdt) ABC 2 4 C
Ta lại có AM ⊥ B ,
C SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC  ( SBC ) = (SM AM ) 0 ( ),(ABC) , = SMA = 60 . 1 3
Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HM = AM = a 3 6 SH a
Trong tam giác vuông SHM , 0 tan SMH =
SH = HM.tan 60 = HM 2 Trang 7 1 1 a 3 3 2 3  V = SH.S = . . a = a (đvtt) S . ABC 3 ABC 3 2 4 24
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Giải S
(SAB) ⊥ ( ABCD)  Ta có: (
SAD) ⊥ ( ABCD)
SA ⊥ ( ABCD) (  SAB  )(SAD) = SA 1 B Do đó, V = S . A S A 600 S . ABCD 3 ABCD D C
Diện tích đáy ABCD là: 2 S = A . B BC = 2a ABCD
AC là hình chiếu của SC lên mp ( ABCD) nên ( SC ABCD) = (SC AC) 0 ( ),( , = SCA = 60 Ta có: 2 2 0 AC =
AB + BC = a 5  SA = AC.tan SCA = a 5.tan 60 = a 15 3 2a 15
Vậy thể tích khối chóp là: V = (đvtt) S . ABCD 3
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = ,
a BC = 2a . Các cạnh bên
SA = SB = SC = 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABC . S Giải
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC)
Ta có: SA = SB = SC nên HA = HB = HC
Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  Mà ABC
vuông tại A nên H là trung điểm của BC. B 3 C H S
BC đều cạnh 2aSH = 2 . a = a 3 2 2 A 1 a 3
AC = a 3  S = A . B AC = (đvdt). ABC 2 2
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH
= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a. S Giải
Vì SH ⊥ ( ABCD)nên 1 V = SH.S S .CDMN 3 CDMN M B A 1 N = SH.(S − S − S ABCD BCM AMN ) H 3 D C 1 5 5 3 2 3 = a 3 a = a 3 8 24
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đứng AB .
C A' B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, 0 ACB = 60 ,
biết BC' hợp với ( AA'C 'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ. Giải
Ta có ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, 0 ACB = 60  = .tan 60o AB AC = a 3 . Trang 8
Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA  AB ⊥ ( AA CC
 ) nên AC' là hình chiếu của BC' trên ( AA'C'C). Vậy góc AB
giữa BC’ và mặt phẳng ( AA'C 'C) là góc 0
AC ' B = 30  AC = = 3a tan 30o A' C' A
C ' A' vuông tại A’ 2 2 2
AA' = AC ' − A'C ' = 8a = 2 2a B' 300 AB ABC
vuông tại A, tan ACB = = 3  AB = a 3 AC 2 1 a 3  S = A . B AC = (đvdt) a ABC A 2 2 600 C Vậy 3 V = AA'.S = a 6 (đvtt)
ABC. A' B 'C ' ABC B
Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng ABC .
D A' B'C ' D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 0 BAD = 60 , biết
AB' hợp với đáy ( ABCD) một góc 0
30 .Tính thể tích của khối hộp ABC .
D A' B'C ' D' . Giải B' C' Vì ABD  đều cạnh a nên: 2 2 A' D' a 3 a 3 S =  S = 2S = ABD 4 ABCD ABD 2 ABB   vuông tại B  = tan 30o BB AB = a 3 B 3 C 3a 300 Vậy V = S .BB = (đvtt) 600
ABCD. A' B 'C ' D ' ABCD 2 A D
Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác AB .
C A' B'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3
và hợp với đáy ABC một góc 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ. Giải A' B' Ta có C H
 ⊥ (ABC) CH là hình chiếu của CC' trên (ABC)
Nên góc giữa CC’ và mp ( ABC) bằng 0 60 a 3 C' 3a 0  C H  = CC .sin60 = 600 A 2 B 2 a 3 3  3a 3 S = . Vậy V = S .C H = C ABC 4 ABC 8
Ví dụ 6. Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó?
b)Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên? Giải a)Ta có S =  rl xq
* Bán kính hình nón : r=IM=a
* Xét tam giác OIM vuông tại I ta có IM IM a 0 sin 30 =  OM = = = 2a .Vậy 2 S = . .
a 2a = 2 a . 0 xq OM sin 30 1/ 2 b) Tacó 1 1 2 V = Bh =  r h 2 3
* Bán kính hình nón : r = IM = a 3 1 a 3 * h=OM= a 3. Vậy 2
V = .a .a 3 = . 3 3
Ví dụ 7. Trong không gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và
CD.Khi quay hình vuông đó quanh trục IH tạo thành hình trụ tròn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó?
b)Tính thể tích khối trụ tròn xoay nói trên? Hướng dẫn giải. Trang 9 a) Ta có S
= 2 rl : * Bán kính đáy : r = a/2; * Đường sinh : l = a. xq Vậy a 2 S
= 2. .a = a . xq 2 3  b) Thể tích a a 2 2
V =  r h =  .( ) .a = (đvtt) 2 4
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích khối cầu đó?
Hướng dẫn giải. Gọi O,O’ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.Ta có OO’ là trục của hai tam
giác đáy.Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của OO’ với bán kính 2 2
a 3   a a 21 2 2 R = IA = AO + OI =   + = .     3    2  6 2 2 3 Diện tích mặt cầu  7a  7a 4 7 a 21 2
S = 4 R = 4   = ; Thể tích khối cầu 3 V =  R = .  12  3 3 54
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải. Trong tam giác SAB, kẻ AH vuông góc với SB tại H: AH ⊥ SB (1). Ta có BC ⊥ A ,
B BC ⊥ SA nên suy ra được BC ⊥ (SA )
B BC ⊥ AH hay AH ⊥ BC (2). Từ (1) và (2), ta có:
AH ⊥ (SBC)  d(AH,(SBC)) = AH. Tam giác SAB vuông tại A, có AH là đường cao nên 2 1 1 1 1 1 2 a a a 2 2 = + = + =  AH =  AH = = . 2 2 2 2 2 2 AH AS AB a a a 2 2 2
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
2a . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng.
Hướng dẫn giải. Nhận thấy AC là hình chiếu của SC lên (ABC )
D nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC )
D là SCA . Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC = a 2 .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên 0 SCA = 45 .
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là 1 4 A. 2 r  . h B. 2 r  . h C. 2 r  . h D. 2 2 r  . h 3 3
Câu 2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. 3 . Bh B. . Bh C. . Bh D. . Bh 3 3
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC), SA = 2a , tam giác ABC vuông tại
B , AB = a 3 và BC = a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 .
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA' = 3a . Thể tích của lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 3a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2
Câu 5. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m
và 1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích
bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,8 . m B. 1, 4 . m C. 2, 2 . m D. 1, 6 . m
Câu 6. Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 10 3 . B. 5 39 . C. 20 3 . D. 10 39 . Trang 10
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến (SBD) bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 1 4 A. 2 r h . B. 2 2 r h . C. 2  r h . D. 2  r h . 3 3
Câu 9. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. 3Bh . B. Bh . C. Bh . D. Bh . 3 3
Câu 10. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1 m và 1, 4 m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1, 7 m . B. 1,5 m . C. 1,9 m. D. 2, 4 m .
Câu 11. Cho khối chóp đứng ABC.A BC
  có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 3a 3 a 3 3 3a A. . B. . C. 3 3a . D. . 3 6 2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông
tại B , AB = a và BC = 3a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24 2 . B. 8 2 . C. 12 2 . D. 16 2 .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến (SBD) bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 28 14 2 7
Câu 15. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 4 1 A. 2 r h . B. 2 r h . C. 2 2r h . D. 2  r h . 3 3
Câu 16. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. Bh . B. 3Bh . C. Bh . D. Bh . 3 3
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . SA = 2a , tam giác ABC vuông
cân tại B và AB = a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90
Câu 18. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m
và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể
tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 2,8m . B. 2, 6m . C. 2,1m . D. 2,3m .
Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA = 3 . a
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 2 3a . B. 3 3a . C. 3 6 3a . D. 3 3 3a .
Câu 20. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục
một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Trang 11 A. 6 10 . B. 6 34 . C. 3 10 . D. 3 34 .
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng a 21 a 21 a 2 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 28 2 7
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 4 1 A. Bh . B. Bh . C. 3Bh . D. Bh . 3 3
Câu 23. Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 1 4 A. 2 2r h . B. 2 r h. C. 2 r h . D. 2  r h . 3 3
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), SA = 2a , tam giác ABC vuông
cân tại B và AB = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC) bằng A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
Câu 25. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1,5m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1, 6m . B. 2,5m. C. 1,8m . D. 2,1m .
Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a . Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng 3 6a 3 6a 3 6a 3 6a A. . B. . C. . D. . 4 6 12 2
Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 6 3 . B. 6 39 . C. 3 39 . D. 12 3 .
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng(SAC) bằng a 2 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 2 28 7 14
Câu 29. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H , H xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và 1 ) ( 2) chiều cao tương ứng là 1
r , h , r , h thỏa mãn = =
. Biết rằng thể tích của toàn bộ khối 1 1 2 2 r r , h 2h 2 1 2 1 2 đồ chơi bằng 30 3
cm , thể tích khối trụ (H bằng 1 ) A. 3 24 cm . B. 3 15cm . C. 3 20 cm . D. 3 10 cm .
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 6a 2a a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3
Chủ đề 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (GIẢI TÍCH 12)
I. Sự đồng biến, nghịch biến:
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b). + f’(x) ≥ 0, x
 (a;b)  f(x) đồng biến trên (a:b). + f’(x) ≤ 0, x
 (a;b)  f(x) nghịch biến trên (a:b).
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau Trang 12 2 x − x +1 x − 3 a) 3
y = x − 3x + 2 b) 4 2
y = x − 2x −1 c) y = d) y = x −1 x + 2
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y = 3 2
x − 3x + (m −1)x +1 đồng biến trên R.
II. Cực đại, cực tiểu:
1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: QUY TẮC I QUY TẮC II Bước 1: Tìm TXĐ Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính /
f ( x) . Tìm các điểm tới hạn. Bước 2: Tính / f ( x) . Cho /
f ( x) = 0 và tìm
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
các nghiệm x (i =1, 2,... ) của nó. i Bước 3: Tính // f ( x) và //
f ( x . Kết luận. i )
2. Sự tồn tại cực trịf '(x ) = 0
a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0: 0  f "(x )  0  0  f '(x ) = 0
b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0: 0  f "(x )  0  0  f '(x ) = 0
c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0: 0  f "(x )  0  0
d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):  
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt  a 0    0
e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau 2 2x + x +1 2x +1 a) 3 2
y = x − 3x −1 b) 4 2
y = −x + 4x − 3 c) y = x + d) y = 1 x − 2 Ví dụ 1
2: Định m để hàm số 3 2 2 y =
x − mx + (m − m +1)x +1 đạt cực tiểu tại x = 1. 3
Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 2
y = x − 2m x + 1 (1). Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực
trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Quy tắc tìm GTLN,GTNN trên một đoạn.
- Tính y’. Tìm các điểm x1, x2,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’= 0 hoặc không xác định
- Tính f(a), f(b), tính f(x1), f(x2),….
- Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. max f (x) = M ; min f (x) = m a;b a;b
Ví dụ 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 3 2
y = 2x + 3x −1 trên [-2;-1/2], [1;3). b) 2
y = x + 4 − x . c) y = 2 os2x c + 4sinx, x[0;π/2]
d) f(x) = x2 – ln(1–2x) trên [– 2; 0] e) f(x) = 2
x + 3 − x ln x trên [1; 2] 2 − + Ví dụ x m m
2: Tìm m để GTNN của hàm số f (x) = x +
trên đoạn [0; 1] bằng – 2. 1 IV. Đường tiệm cận
+ Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị 0
hàm số y =f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: i) lim y(x) = y , ii) lim y(x) = y . 0 0 x→+ x→− Trang 13
+ Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị 0
hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
i) lim y(x) = + , ii) lim y(x) = − , iii) lim y(x) = + , iv) lim y(x) = − . + + − − x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0
V. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:
* Sự tương giao của hai hai đồ thị:
Cho 2 hàm số: y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2).
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
=> Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
* Điều kiện tiếp xúc:
f (x) = g(x)
+ Dấu hiệu: (C1) và (C2) tiếp xúc  Hệ phương trình  có nghiệm
f '(x) = g '(x)
* Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình
- Biến đổi phương trình cần biện luận về dạng: f(x) = g(m) (1)
- Số nghiệm của pt(1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát và đường
thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
* Dạng 2: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 4 2
x − x −1 và đường thẳng d: y = -1.
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số 2
y = (x −1)(x + x − )
m cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị (Cm): 3 2
y = x − 3x − m + 2021 cắt trục ox tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng (d) : y = mx − 2m − 4 cắt đồ thị hàm số 3 2
y = x − 6x + 9x − 6 tại ba điểm phân biệt.
* Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số
1- PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại
b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k
điểm có hoành độ x0
Bước 1: Tính f  (x)
Bước 1: Tìm y0= f(x0).
Bước 2: Giải phương trình f  (x0) = k nghiệm x0
Bước 2: Tính f  (x) => f  (x0)
Bước 3: Tính y0 = f(x0)
Bước 3: PTTT cần tìm có dạng:
Bước 4: Thay x0, y0 và k = f  (x0) vào PT:
y – y0 = f  (x0)(x – x0)
y – y0 = f  (x0)(x – x0)
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 = − + + y x 3x 1tại điểm A(3;1). Ví dụ 2: 1 Cho hàm số 3 2 y =
x − 2x + 3x +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến 3
đó song song với đường thẳng y = 3x −1
Ví dụ 3: Cho hàm số 3
y = x − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua ( A 1 − ; 2 − )
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 = − + y x 3x
2 biết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 14 A. ( 2 − ;0) . B. (2;+ ) . C. (0; 2). D. (0;+ ) .
Câu 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ sau A. 3 2
y = x − 3x + 3 . B. 3 2
y = −x + 3x + 3 . C. 4 2
y = x − 2x + 3 . D. 4 2
y = −x + 2x + 3 .
Câu 3. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 2 . B. x = 1 . C. x = 1 − . D. x = 3 − .
Câu 4. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x)−3 = 0 là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ −3;3] bằng A. 16 − . B. 20 . C. 0 . D. 4 .
Câu 6. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x + )2 ' 2 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 7. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 8. Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x) như sau: x − −3 1 − 1 + f ( x) − 0 + 0 − 0 +
Hàm số y = f (3−2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+ ) . B. ( 2 − ; ) 1 . C. (2;4) . D. (1; 2) .
Câu 9. Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f (x)  x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x(0;2) khi và chỉ khi Trang 15
A. m f (2) − 2 .
B. m f (0) .
C. m f (2) − 2 .
D. m f (0) .
Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình A. 4 2
y = −x + 2x + 1. B. 3
y = −x + 3x + 1. C. 3 2
y = x − 3x + 1. D. 4 2
y = x − 2x +1 .
Câu 11. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0;+). B. (0;2) . C. ( 2 − ;0) . D. (− ;  2 − ).
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = 2 . B. x = 2 − . C. x = 3. D. x = 1 .
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3
= x −3x + 2 trên đoạn  3 − ;  3 bằng A. 20 . B. 4 . C. 0 . D. 16 − .
Câu 14. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x − )2 2 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 3 .
Câu 15. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( ) x − 5 = 0 là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
Câu 16. Cho hàm số y = f ( )
x có bảng biến thiên sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 17. Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x) như sau: Trang 16
Hàm số y = f (5−2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2;3) . B. (0;2) . C. (3;5) . D. (5;+) .
Câu 18. Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
trình f ( x)  x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x (0;2) khi và chỉ khi y
y = f ( x) 1 x O 2
A. m f (2) − 2 .
B. m f (2) − 2 .
C. m f (0) .
D. m f (0) .
Câu 19. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? A. 3 2
y = x − 3x − 2 . B. 4 2
y = x − 2x − 2 . C. 3 2
y = −x + 3x − 2 . D. 4 2
y = −x + 2x − 2 .
Câu 20. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = 2 . B. x = 2 − . C. x = 3 . D. x = 1 .
Câu 21. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1 − ;0) . B. ( 1 − ;+ ) . C. (− ;  − ) 1 . D. (0 ) ;1 .
Câu 22. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) − 3 = 0 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 3
= x −3x trên đoạn  3 − ;  3 bằng A. 18 . B. 2 . C. 18 − . D. 2 − .
Câu 24. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x − )2 1 , x
  . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .
Câu 25. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: Trang 17
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 26. Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x) như sau:
Hàm số y = f (3− 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (3; 4) . B. (2;3) . C. (−;− 3) . D. (0; 2) .
Câu 27. Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình f (x)  2x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x(0;2) khi và chỉ khi
A. m f (0).
B. m f (2) − 4 .
C. m f (0) .
D. m f (2) − 4 .
Câu 28. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? A. 3
y = 2x − 3x +1. B. 4 2 y = 2
− x + 4x +1. C. 4 2
y = 2x − 4x +1 . D. 3 y = 2 − x + 3x +1.
Câu 29. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0 ) ;1 . B. (1;+) . C. ( 1 − ;0) . D. (0;+) .
Câu 30. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 2 − . B. x = 1 . C. x = 3 . D. x = 2 .
Chủ đề 4. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARÍT (GIẢI TÍCH 12)
1. Công thức lũy thừa: Cho a  0,b  0 và , m n . Khi đó: m m a . n m n a a a + = − m n = a m n m. ( ) n a = a ( )n n = . n ab a b n a Trang 18 m mn −n a a m = −  a   b n 1 n 1   n m n a = a a = a = =     mb b n a n a−  b   a
2. Công thức lôgarit: Với các điều kiện thích hợp ta có: + Định nghĩa:
log b =   a = b a log b
+ Tính chất: log 1 = 0; log a = 1 a ; a
= b; log (a ) =  a a a + Quy tắc: • log (b .. b
. ) = log b + ... + log b a 1 n a 1 a n b 1 • log
= log b− log c , log = −log b a a a c a a b  1
• log b =  log b, n log b = log b a a a a n log b
+ Đổi cơ số: log b = c
hay log a.log b = log b. a log a c a c c
• Tổng quát: log a .log a ...log a = log a a 2 a 3 a 1 2 − n a n n 1 1 1 1
• Đặc biệt: log b = , log b = log b a  log a aa b
+ Lôgarit thập phân: lga = loga = log a + Lôgarit tự nhiên: lna = log a 10 e
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: + − − − a) A = 3 6 a. a. a b) 3 2 1 2 4 2 B = 9 .3 .3 1 1 2  3 5 4
a . a. a c) C = + d) D = log   log ab log ab a  4 aa b  
Ví dụ 2: a) Cho a = log5, b = log3. Tính log450 theo a, b.
b) Cho a = log 5,b = log 5. Hãy biểu diễn log75 theo a, b. 2 3
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit (   x ) → ( u ) ( x) → ( u ) • x e = e ; = u e eu . • x a = a lna = u a a lna.  u 1 1 u • (lnx) = (ln )   → = u u • (log x (log u a )   → = a ) = x u xlna ulna
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 − 3 − a) 3 y = 1 ( − x) b) 2 5 y = (2 − x ) c) 2 2 y = (x −1) d) 2 2
y = (x − x − 2) −x −1
e) y = log (2x + 1)
f) y = log (x2 − x 3 + 2) g) y = ln h) y = x2 lg( + x +1) 2 3 x −1
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) = x 2 + e y xe x 3 b) 2 x y = x 5 − 2 cosx c) y = x2 3
− lnx + 4sinx x + 1 log x d) y = e) y = x2 log( + x +1) f) y 3 = x 3 x 4. Phương trình mũ:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa.
5. Phương trình lôgarít:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa.
6. Bất phương trình mũ:
b  0 Phương trình vô số nghiệm   b  0  Trang 19 a. f (x) ab
f (x)  log bPhương trình : khi a 1 f ( x) ab a
f (x)  log b
khi 0  a  1 a
b  0 Phương trình vô nghiệm b. f (x) ab
f (x)  log b  
Phương trình : khi a 1 f ( x) ab a   b  0  f (x) log b
khi 0  a  1 a
6. Bất phương trình lôgarít: f (x) ba khi a  1
a. log f (x)  b  
, Điều kiện f ( ) x  0 af (x) ba
khi 0  a  1  f (x) ba khi a  1
b. log f (x)  b  
, Điều kiện f ( ) x  0 af (x) ba
khi 0  a  1
Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình mũ: 2 1. x −x+8 1−3 + + 2 = 4 x 2. 2x 8 x 5 3 −4.3 + 27 = 0 3. 6.9x 13.6x 6.4x − + = 0 2 2 − + − 4. ( 2 3 )x ( 2 3 )x − + + = 4 5. x x 2 2 − 2 x x = 3 6. 3.8x 4.12x 18x 2.27x + − − = 0 7. 2x x 2 2.2 9.14 7.7 x − + = 0 8. x x x 1 12.3 3.15 5 + + −
= 20 9. log log 3x −9  =1 x 9  ( ) 10. x 1
7 + 2.7 −x −9  0 11. 2x+6 x+7 2 + 2 −17 = 0 12. 2.16x 15.4x − −8  0 2 − 1 1 1 2 x x 2 x −   x 1 13. (2 3)x (2 3)x + + −
− 4 = 0 14. 4. 2.4x 6x 9x + = 15. 2 9 − 2 3    3 
Ví dụ 2: Giải các phương trình, bất phương trình lôgarít: 1) log x = log x + 6 − log x + 2 2) log x + log x = log 3 . 5 5 ( ) 5 ( ) 5 25 0,2 2 3 3) 4 (x ) 2 log –1 + log (x – ) 1 = 25 4) 3 3
log x = 3 2 + 3log x + 2 2 2  x  5) log x + 2 log x −1 + log 6  0 6) 2 log + log x 1 1 1 ( ) 2 2 x   2  8  2 4 7) log 5x 1 .log 2.5x − − 2 = 2
8) 2log x − log 125  1 2 ( ) 2( ) 5 x 9) log  10) log 5x 1 .log 2.5x − − 2 = 2 2 ( ) 2( ) x (log 9x – 72 1 3 ( ) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Với a là số thực dương tùy, 2 log a 5 bằng 1 1 A. 2 log a . B. 2 + log a . C. + log a . D. log a . 5 5 5 2 5 2 −
Câu 2. Nghiệm phương trình 2x 1 3 = 27 là A. x = 5. B. x = 1 . C. x = 2 . D. x = 4 . Câu 3. Cho hàm số 2 3 2x x y − = có đạo hàm là 2 2 − 2 2 A. x 3 (2 3).2 . x x − − ln 2 . B. x 3 2 . x ln 2 . C. 3 (2 3).2x x x − − . D. 2 3 1 ( 3 ).2x x x x − − − .
Câu 4. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 4
a b =16 . Giá trị của
4 log a + log b bằng 2 2 A. 4 . B. 2 . C. 16 . D. 8 .
Câu 5. Nghiệm của phương trình log x +1 +1 = log 4x +1 là 3 ( ) 3 ( ) A. x = 3. B. x = 3 − . C. x = 4 . D. x = 2 .
Câu 6. Cho phương trình 2
log x − log 3x −1 = −log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị 9 3 ( ) 3
nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.
Câu 7. Với a là số thực dương tùy ý, 3 log a bằng 5 Trang 20 1 1 A. log a . B. + log a . C. 3 + log a . D. 3log a . 5 3 5 3 5 5 +
Câu 8. (Nghiệm của phương trình 2x 1 3 = 27 là. A. x = 2 . B. x = 1 . C. x = 5. D. x = 4 .
Câu 9. Nghiệm của phương trình log x +1 = 1+ log x −1 2 ( ) 2 ( ) là: A. x = 1 . B. x = 2 − . C. x = 3. D. x = 2 .
Câu 10. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 3 2
a b = 32 . Giá trị của 3log a + 2 log b bằng 2 2 A. 5 . B. 2 . C. 32 . D. 4 . 2 Câu 11. Hàm số 3 3x x y − = có đạo hàm là − A. ( ) 2 3 2 3 .3x x x − − 2 . B. x 3 3 x.ln 3 . C. ( ) 2 2 3 1 3 .3x x x x − − − . D. ( ) 2x 3 2 3 .3 . x x − − ln 3 .
Câu 12. Cho phương trình 2
log x − log 6x −1 = − log m m 9 3 ( ) (
là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị 3
nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 6 . B. 5 . C. Vô số. D. 7 .
Câu 13. Nghiệm của phương trình 2x 1 2 − = 8 là 3 5 A. x = . B. x = 2 . C. x = . D. x = 1 . 2 2
Câu 14. Với a là số thực dương tùy ý, 3 log a bằng 2 1 1 A. 3log a . B. log a . C. + log a . D. 3 + log a . 2 2 3 2 3 2 Câu 15. Hàm số 2 2x x y − = có đạo hàm là 2 A. ( ) 2 2 1 − 2x x x x − − − . B. ( ) 2 2 1 .2x x x − − . C. 2x . x ln 2 . D. ( ) 2 2 1 .2x . x x − − ln 2 .
Câu 16. Cho a ; b là hai số thực dương thỏa mãn 2 3
a b = 16 . Giá trị của 2 log a + 3log b bằng 2 2 A. 8 . B. 16 . C. 4 . D. 2
Câu 17. Nghiệm của phương trình log
x +1 +1 = log 3x −1 là 2 ( ) 2 ( ) A. x = 3. B. x = 2 . C. x = 1 − . D. x = 1 .
Câu 18. Cho phương trình 2
log x − log 5x −1 = − log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị 9 3 ( ) 3
nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm A. Vô số. B. 5 . C. 4 . D. 6 .
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2x 1 2 − = 32 là 17 5 A. x = 3. B. x = . C. x = . D. x = 2 . 2 2
Câu 20. Với a là số thực dương tùy ý, 2 log a bằng? 3 1 1 A. 2 log a . B. + log a . C. log a . D. 2 + log a . 3 3 2 3 2 3 2 − Câu 21. Hàm số = 3x x y có đạo hàm là 2 − − − − − A. 3x . x ln3. B. ( − ) 2 2 1 3x x x . C. ( − ) 2 2 1 .3x x x x . D. ( − ) 2 2 1 3x . x x ln 3 .
Câu 22. Nghiệm của phương trình log 2x +1 = 1+ log x −1 là 3 ( ) 3 ( ) A. x = 4 . B. x = 2 − . C. x = 1 . D. x = 2 .
Câu 23. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 3
ab = 8 . Giá trị của log a + 3log b bằng 2 2 A. 8 . B. 6 . C. 2 . D. 3 .
Câu 24. Cho phương trình 2
log x − log 4x −1 = −log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị 9 3 ( ) 3
nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 5 . B. 3 . C. Vô số. D. 4 .
Chủ đề 5. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (GIẢI TÍCH 12) Trang 21 I. Kiến thức cơ bản
1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
dx = x + C .
a dx = ax + C, a    1 +  1 +  x  1 (ax + b) x dx = + C,   1 −  + = +  (ax b) dx . C +1 a  +1 dx = dx 1
ln x + C, x  0 
= .ln ax + b + C x ax + b a x x
e dx = e + C ax+b 1 = . ax+b e dx e + C a x  + a  + a x 1 x x a dx = + C a dx = . + C ln a  ln a
cos xdx = sin x + C 1 cos(ax + ) b dx = .sin(ax + ) b + C a
sin xdx = −cos x + C 1
sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C a 1 1 1
dx = tan x + C dx =
tan(ax + b) + C 2 cos x 2 cos (ax + b) a 1 1 1 dx = c − otx + C dx = −
cot(ax + b) + C 2 sin x 2 sin (ax + b) a
2. Công thức tính tích phân b b
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a)  a a
II. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số b
* Dạng 1: Tính I = f   x  '
( )  (x)dx a + Đặt t = (x) '
dt =  (x).dx  (b) (b)
+ Đổi cận : x = a  t = (a) , x = b  t = (b) ,  I =
f (t).dt = F (t)   (a)  (a) b
* Dạng 2: Tính I = f (x)dx
bằng cách đặt x = (t) a     Dạng chứa 2 2
a − x : Đặt x = asint, t − ;   (a > 0)  2 2  1     Dạng chứa
: Đặt x = atant, t − ;   (a > 0) 2 2 a + x  2 2 
2. Phương pháp tích phân từng phần b b b b
* Công thức tính :
f (x)dx = udv = uv − vdu    a a a au = ... du =  ...dx (lay dao ha ) m Đặt    dv = ... v = ... (lay nguyen ha ) m
Ta thường gặp hai loại tích phân từng phần như sau: Trang 22 b b
P(x).sin f (x).dx, P(x).cos f (x).dx   
* Loại 1: a a
u = P(x), trong đó P(x) là đa thức bậc n. bf ( x) P(x).e .dx  a b
* Loại 2: P(x).ln f (x).dx
u = ln f (x)  a
1.5. Tính chất tích phân a a b b b i)
f (x)dx = 0  ii)
f (x)dx = − f (x)dx  
, iii) k. f (x)dx = k. f (x)d , x k    , a b a a a b b b a a a 3 2 3
iv) [f (x)  g(x)]dx =
f (x)dx g(x)dx    v) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx    . a a a a a a 1 1 2
III. Ứng dụng tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng
* Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số b
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: S = f (x) dxa
* Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi b đồ thị 2 hàm số f = −
1(x), f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b là: S f (x) f (x) dx  1 2 a
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai b
đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 2 V =  f (x)dxa
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 1 1 Câu 1. Biết
f ( x) dx = 2 −  và g
 (x)dx =3, khi đó  f
 (x)− g(x)dx  bằng 0 0 0 A. 5. − B. 5. C. 1. − D. 1.
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 5 là A. 2 x + 5x + . C B. 2 2x + 5x + . C C. 2 2x + . C D. 2 x + . C
Câu 3. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x), y = 0, x = 1
− và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 4 1 4
A. S = − f
 (x)dx+ f  (x)dx. B. S = f
 (x)dx − f  (x)dx . 1 − 1 1 − 1 1 4 1 4 C. S = f
 (x)dx + f  (x)dx.
D. S = − f
 (x)dx − f  (x)dx . 1 − 1 1 − 1 2x −1
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = − + ( trên ( 1; ) là x + )2 1 Trang 23 A. (x + ) 2 2ln 1 + + C . B. (x + ) 3 2ln 1 + + C . x +1 x +1 C. (x + ) 2 2ln 1 − + C . D. (x + ) 3 2ln 1 − + C . x +1 x +1  4
Câu 5. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 = 2cos x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  + 4 2  +14 2  +16 + 4 2  +16 +16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16
Câu 6. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (4) =1 và 1 4 xf
 (4x)dx =1, khi đó 2x f   (x)dx bằng 0 0 31 A. . B. 16 − . C. 8 . D. 14 . 2
Câu 7. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 6 là A. 2
x + 6x + C . B. 2 2x + C . C. 2
2x + 6x + C . D. 2 x + C . 1 1 1 Câu 8. Biết f
 (x)dx = 3 và g  (x)dx = 4 − khi đó  f
 (x)+ g(x)dx bằng  0 0 0 A. −7 . B. 7 . C. 1 − . D. 1 .
Câu 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x) , y = 0 , x = 1
− và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 5 1 5 A. S = f
 (x)dx + f  (x)dx . B. S = f
 (x)dx − f  (x)dx . 1 − 1 1 − 1 1 5 1 5
C. S = − f
 (x)dx+ f  (x)dx .
D. S = − f
 (x)dx− f  (x)dx. 1 − 1 1 − 1  4
Câu 10. Cho hàm số f ( x). Biết f (0) = 4 và 2
f '(x) = 2 cos x + 3, x
  , khi đó f (x)dx bằng 0 2  + 2 2  + 8 + 8 2  + 8 + 2 2  + 6 + 8 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 3x −1
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên (1; ) + là 2 (x −1) 2 1
A. 3ln(x −1) −
+ C . B. 3ln(x −1) + + C . x −1 x −1 1 2
C. 3ln(x −1) −
+ C . D. 3ln(x −1) + + C . x −1 x −1 1 5
Câu 12. Biết f ( x) có đạo hàm liên tục trên R, f (5) = 1 và xf
 (5x)dx =1, khi đó 2x f  
(x)dx bằng 0 0 123 A. 15 . B. 23 . C. . D. 25 − . 5 2 2 2 Câu 13. Biết f
 (x)dx = 2 và g
 (x)dx = 6, khi đó  f
 (x)− g(x)dx  bằng 1 1 1 Trang 24 A. 4 . B. −8 . C. 8 . D. 4 − .
Câu 14. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 3 là A. 2 2x + C . B. 2
x + 3x + C . C. 2
2x + 3x + C . D. 2 x + C .
Câu 15. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x), y = 0, x = 1
− , x = 2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2
A. S = − f
 (x)dx− f
 (x)dx .
B. S = − f
 (x)dx+ f  (x)dx. 1 − 1 1 − 1 1 2 1 2 C. S = f
 (x)dx − f  (x)dx . D. S = f
 (x)dx+ f  (x)dx. 1 − 1 1 − 1 2x +1
Câu 16. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( trên ( 2; − +) là: x + 2)2 A. (x + ) 1 2 ln 2 + + C .B. (x+ ) 1 2ln 2 − + C . C. (x + ) 3 2 ln 2 − + C . D. (x+ ) 3 2ln 2 + + C . x + 2 x + 2 x + 2 x + 2  4
Câu 17. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 = 2sin x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  +15 2  +16 −16 2  +16 − 4 2  − 4 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 1 6
Câu 18. Biết f ( x) có đạo hàm liên tục trên . f (6) = 1 và xf
 (6x)d x =1, khi đó 2x f   (x)d x bằng 0 0 107 A. . B. 34 . C. 24 . D. 36 − . 3
Câu 19. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 4 là A. 2
2x + 4x + C . B. 2
x + 4x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C . 1 1 1
Câu 20. Biết f (x)dx = 2; g(x)dx = 4 −  
. Khi đó  f (x)+ g(x)dx bằng 0 0 0 A. 6. B. -6. C. 2 − . D. 2 .
Câu 21. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = f (x), y = 0, x = 2
− và x = 3 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 3 1 3 A. S = f
 (x)dx− f  (x)dx .
B. S = − f
 (x)dx+ f  (x)dx 2 − 1 2 − 1 1 3 1 3 C. S = f
 (x)dx+ f  (x)dx .
D. S = − f
 (x)dx− f  (x)dx. 2 − 1 2 − 1  = 2 = +   4
Câu 22. Cho hàm số f (x) . Biết f (0)
4và f '(x) 2sin x 3, x
, khi đó f (x)dx  bằng 0 2  − 2 2  + 8 − 8 2  + 8 − 2 2 3 + 2 − 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Trang 25
Câu 23. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 3x - 2 f (x)= trên (2;+ ¥ ) là (x- )2 2 A. 4 2 3ln(x - ) 2 + + C . B. 3ln(x- ) 2 + + C . x - 2 x - 2 C. 2 4 3ln(x - ) 2 -
+ C . D. 3ln(x - ) 2 - + C . x - 2 x - 2 1 3
Câu 24. Biết f ( x) có đạo hàm liên tục trên . f (3) =1 và xf
 (3x)d x =1, khi đó 2x f   (x)d x bằng 0 0 25 A. 3 . B. 7 . C. −9 . D. . 3
Chủ đề 6. SỐ PHỨC (GIẢI TÍCH 12)
1.Tổng quan về số phức:
+ Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi ( 2
a,b R,i = − ) 1 .
Phần thực của z là a , phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo.
+ Số phức z = a + bi ( ,
a b R)được biểu diễn bởi điểm M ( ;
a b) trong mặt phẳng tọa độ.
+ Số phức liên hợp của z là z = a + bi = a − bi .
+ Mô đun của số phức z là 2 2 z = OM = a + b
2.Số phức bằng nhau. a = c
Cho hai số phức z = a + bi , z = c + di ( , a , b ,
c d  ) . Khi đó: z = z   1 2 1 2 b  = d
3. Phép cộng, phép trừ phép nhân, phép chia số phức:
Cho hai số phức : z = a + bi , a b
và z = c + di , c d  2 ( ) 1 ( )
+ z + z = a + c + b + d i 1 2 ( ) ( )
+ z − z = a − c + b − d i 1 2 ( ) ( )
z .z = a + bi c + di = ac − bd + ad + bc i 1 2 ( )( ) ( ) ( ) + z z .z
(a +bi)(c −di) + 1 1 2 = = 2 2 z z .z c + d 2 2 2
. Lũy thừa của i : 1 i = i , 2 i = 1, − 3 i = −i, 4 i =1. 4n i =1, 4n 1 i + = i , 4n 2 i + = 1 − , 4n+3 i = i − .
4. Phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số thực âm
+ Cho số z , nếu có số phức w sao cho w2 = z thì ta nói w là một căn bậc hai của z .
+ Mọi số phức z  0 đều có hai căn bậc hai.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i a .
b. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a
 ,b,c  ,a  0 . + Tính 2
 = b − 4ac .
+ Áp dụng công thức nghiệm. b
 = 0 : phương trình có nghiệm thực x = − . 2a b −  
  0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x = . 1,2 2a Trang 26 b −  i |  |
  0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x = . 1,2 2a
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho số phức z = 3 − 4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực là − 4 và phần ảo là 3i .
B. Phần thực là 3 và phần ảo là − 4 .
C. Phần thực là − 4 và phần ảo là 3 .
D. Phần thực là 3 và phần ảo là − 4i .
Câu 2: Số phức liên hợp của số phức z = 1− 2i là
A. z = 1+ 2i .
B. z = 2 − i . C. z = 1 − + 2i . D. z = 1 − − 2i .
Câu 3: Căn bậc hai của số −4 là A. −2;2 . B. 2i . C. 2 − i,2i . D.không có. y
Câu 4: Điểm M trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức M 3 A. 3 + 2 . i B. 2 − 3 . i C. 2 − + 3 .i − x D. 3 2 . i 2 O
Câu 5: Cho số phức z thỏa (1+ i) z − 2 − 4i = 0 . Tìm số phức liên hợp của z
A. z = 3 + i .
B. z = 3 − i .
C. z = 3 − 2i .
D. z = 3 + 2i .
Câu 6: Cho hai số phức z = 1+ 2i và z = 3 − 4i . Số phức 2z + 3z − z z là số phức nào sau đây? 1 2 1 2 1 2 A. 10i . B. 10 − i .
C. 11+ 8i .
D. 11−10i . z + 2i
Câu7: Cho số phức z = 1+ i . Tính môđun của số phức w = z − . 1 A. w = 2 . B. w = 2. . C. w = 1. D. w = 3 .
Câu 8: Với các số phức z, z , z tùy ý, khẳng định nào sau đây sai? 1 2 2
A. z.z = z . B. z .z = z . z .
C. z + z = z + z . D. z = z . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 9: Cho A , B , C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = 1+ 2i 1 , z = 2
− + 5i z = 2 + 4i . Số phức 2 , 3
z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là A. 1 − + 7i . B. 5 + i . C. 1+ 5i . D. 3 + 5i . n  2 + 6i Câu 10: Cho z = , 
 n nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị n1;50 để z là số thuần ảo?  3− i A. 26. B. 25. C. 24. D. 50.
Câu 11: Gọi z và z là các nghiệm của phương trình z2 − z
4 + 9 = 0 . Gọi M, N là các điểm biểu diễn 1 2
của z và z trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là: 1 2 A. MN = 4 . B. MN = 5.
C. MN = −2 5 . D. MN = 2 5 .
Câu 12: Cho z là số phức khác 1, thỏa mãn 2019 z
= 1. Tính giá trị biểu thức 2 2018
T =1+ z + z +...+ z . A. T = 1. B. T = 0 . C. T = 2019 . D. T = 2018 .
Câu 13: Cho số phức z = ( + i)2019 1
. Phần thực của z bằng A. 1009 −2 . B. 2019 2 . C. 2019 −2 . D. 1009 2 .
Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn (1− i) z − 2. .
i z = 5 + 3i . Tính | z |. Trang 27 A. z = 97 . B. z = 65 . C. z = 97 . D. z = 65 .
Câu 15: Gọi z , z , z , z là bốn nghiệm của phương trình 4 2
4z + mz + 4 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của m 1 2 3 4
để ( 2z + 4)( 2z + 4)( 2z + 4)( 2z + 4 = 324. 1 2 3 4 )
A. m =1 hoặc m = 3 − 5 . B. m = 1 − hoặc m = 3 − 5 . C. m = 1
− hoặc m = 35 . D. m =1 hoặc m = 35 .
Câu 16: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn
điều kiện z − 2i = z + 1 .
A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0.
B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x − 2y + 3 = 0 .
C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y − 3 = 0 .
D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y + 3 = 0 .
Câu 17: Cho số phức − + = z thoả z 3 4i
2 và w = 2z +1− i . Khi đó w có giá trị lớn nhất là:
A. 16 + 74 . B. 2 + 130 . C. 4 + 74 . D. 4 + 130 .
Câu 18: Gọi T là tổng phần thực, phần ảo của số phức 2 3 2020
w = i + 2i + 3i +...+ 2020i . Tính T. A. T = 0. B. T = 1. − C. T = 2020. D. T = 2020. − 1 + i
Câu 19: Cho số phức z thoả mãn
là số thực và z − 2 = m với m
. Gọi S là tập hợp các số thực z
m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Tính tổng của các phần tử của tập S . A. 2 . B. 2 . C. 2 + 2 . D. 0 .
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn (z + 2)i +1 + (z − 2)i −1 = 6 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của z . Tính tổng S = M + m . 5 5 − 2 3 5 − 2 A. S = . B. S = 5 −1. C. S = 6 . D. S = 2 2
Chủ đề 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (GIẢI TÍCH 12)
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1.1 Định nghĩa: Trong không gian, xét ba trục tọa độ O , x O ,
y Oz vuông góc với nhau từng đôi một và
chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục O , x O ,
y Oz . Hệ ba trục như
vậy gọi là hệ trục tọa độ trong không gian. 2 2 2
* Chú ý:
i = j = k = 1 và . i j = .
i k = k. j = 0 .
1.2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa: u = ( ; x ;
y z)  u = xi + y j + zk
b) Tính chất: Cho a = (a ; a ; a ), b = (b ;b ;b ), k  1 2 3 1 2 3
• a b = (a b ; a b ; a b ) 1 1 2 2 3 3
• ka = (ka ; ka ; ka ) 1 2 3 a = b 1 1 
• a = b  a = b 2 2 a = b  3 3
• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
• a cùng phương b (b  0)  a = kb (k  ) • .
a b = a .b + a .b + a .b 1 1 2 2 3 3 Trang 28
• a ⊥ b a b + a b + a b = 0 1 1 2 2 3 3 • 2 2 2 2
a = a + a + a 1 2 3 • 2 2 2 a =
a + a + a 1 2 2 a.b
a b + a b + a b • 1 1 2 2 3 3 cos(a, b ) = =
(với a, b  0 ) 2 2 2 2 2 2 a . b
a + a + a . b + b + b 1 2 3 1 2 3
1.3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( ;
x y; z)  OM = . x i + .
y j + z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: • M (Oxy)  z = 0;M (Oyz)  x = 0;M (Oxz)  y = 0
• M Ox y = z = 0;M Oy x = z = 0;M Oz x = y = 0 . b) Tính chất: Cho (
A x ; y ; z ), B(x ; y ; z ) A A A B B B
• AB = (x − x ; y − y ; z − z ) B A B A B A • 2 2 2 AB =
(x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) B A B A B A
x + x y + y z + z
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : A B M  ; A B ; A B   2 2 2 
x + x + x y + y + y
z + z + z
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : A B C G  ; A B C ; A B C   3 3 3 
1.4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a ;a ;a ) , b = (b ;b ;b ) . Tích có hướng của hai 1 2 3 1 2 3
vectơ a và b, kí hiệu là a,b 
 , được xác định bởi  a a a a a a  2 3 3 1 1 2
a,b =  ; ;
 = (a b − a b ;a b − a b ;a b − a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ) b b b b b b  2 3 3 1 1 2 
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • [ , a ] b ⊥ ; a [ , a ] b ⊥ ; b  , a b  = −  , b a     • i
 , j= k;  j,k  = i ; k,i  = j • [ , a ]
b = a . b .sin (a,b )
• a, b cùng phương  [a, b] = 0
• a, b, c đồng phẳng  [a, b]. c = 0
c) Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD : S
= AB, AD ABCD 1
• Diện tích tam giác ABC : S
= AB, AC ABC  2
• Thể tích khối hộp ABCDA BCD   : V = [A ,
B AD].AA
ABCD.A' B 'C ' D ' 1
• Thể tích tứ diện ABCD : V = [A , B AC].AD ABCD 6
2. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
• Phương trình tổng quát () : Ax + By + Cz + D = 0 , có VTPT n = (A; B; C) • x y z
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;,0), B(0;b;0), C(0;0;c) là + + = 1 a b c Trang 29
• Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
° ( ) cắt ( )  A : B : C A : B : C 1 1 1 2 2 2 A B C D ° 1 1 1 1 ( ) / / ( )  = =  A B C D 2 2 2 2 A B C D ° 1 1 1 1 ( ) ( )  = = = A B C D 2 2 2 2
° ( ) ⊥ (  )  A A + B B + C C = 0 1 2 1 2 1 2
• Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến (): Ax + By + Cz + D = 0: Ax + By + Cz + D o o o d (M , ) = 2 2 2 A + B + C
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp  ( ) và  (
) có VTPT lần lượt là n , n 1 2 1 2 n .n Ta có: cos  (  , ) = co ( s n , n ) = 1 2 1 2 1 2 n . n 1 2
3. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M =
0(x0; y0; z0) và có VTCP a
(a ; a ; a ) 1 2 3
x = x + a t 0 1 
• Phương trình tham số của đường thẳng d : y = y + a t 0 2
z = z + a t  0 3 − − − • x x y y z z
Phương trình chính tắc của d: 0 0 0 = = a a a 1 2 3 a .a • / d
Góc giữa 2 đường thẳng: Gọi  là góc giữa d và d’: d co  s = (0    90 ) a . a / d d
4. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: ( − )2 +( − )2 +( − )2 2 x a y b z c = R
• Phương trình có dạng: x2 + y2 + z2 –2ax – 2by – 2cz + d = 0, (a2 + b2 + c2 – d > 0)
là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính 2 2 2
R = a + b + c − d .
• Vị trí tương đối của mặt phẳng  ( ) và mặt cầu S(I,R): ° 
( ) và (S) không giao nhau  d (I; )  R ° 
( ) tiếp xúc ( S )  d (I; ) = R . 
( ) gọi là tiếp diện của (S). ° 
( ) cắt (S)  d (I; )  R . Bán kính đường tròn giao là r = R − d (I  ) 2 2 ;   
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A biết OA = 2i − 3 j + k . Khi đó, điểm A có tọa độ là: A. A(–2; 3; –1) B. A(2; –3; 2) C. A(2; –3; 1) D. A(–3; 2; 1)
Câu 2: Khoảng cách d từ điểm M(1; –2; 3) đến mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 5 = 0 bằng : A. d = 1 B. d = 2 C. d = 3 D. d = 4
Câu 3: Cho hai vectơ a = (5; 3 − ;2),b = (2;2; 3
− ) . Tọa độ của vectơ u = 2b − a là: A. u = ( 1 − ;7; 8 − ) B. u = (1; 7 − ;4) C. u = ( 1 − ;7;8) D. u = (1; 7 − ;8) Trang 30
Câu 4: Phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có tâm I(5; 4; 3) là: A. 2 2 2
x + y + z −10x − 8y − 6z − 38 = 0 B. 2 2 2
x + y + z −10x − 8y − 6z +16 = 0 C. 2 2 2
x + y + z −10x − 8y − 6z + 32 = 0 D. 2 2 2
x + y + z −10x − 8y − 6z + 38 = 0
Câu 5: Cho mặt phẳng (P ): x – 2y + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + y – 2z + 1 = 0 . Với giá trị nào của m
thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau? A. m = 6 B. m = 1 C. m = - 6 D. m = - 1.
Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A(1; –3; 5), B(3; 1; –3). A. + − − = + − + = x 2y 4z 15 0 B. x 2y 4z 13 0
C. x + 2y − 4z + 4 = 0
D. x + 2y − 4z −11 = 0
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 4) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + 1 = 0. Lập phương
trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P). x −1 y + 2 z − 4 x +1 y − 2 z + 4 A. d : = = B. d : = = 2 3 − 1 2 3 − 1 x − 2 y + 3 z −1 C. d : = =
D. d: 2x – 3y + z – 12 = 0 1 2 − 4
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để: 2 2 2
x + y + z − mx + (m − ) 2 4 2
1 y − 6mz +15m − 7 = 0 là phương trình mặt cầu? A. 7 B. 6 C. 4 D. 5
Câu 9: Trong không gian Oxyz cho M(–3; 2; 4), gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz.
Viết phương trình mặt phẳng(ABC) là:
A. 4x – 6y –3z –12 = 0 B. 4x – 6y –3z + 12 = 0 C. 6x – 4y –3z – 12 = 0 D. 3x – 6y – 4z + 12 = 0
Câu 10: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6) có bán kính R là: A. R = 4 B. R = 5 C. R = 14 D. R = 15
Câu 11: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) P : (m + )
3 x + 2y + (m − ) 1 z −1 = 0 và
(Q):(n+ )1x+2y +(3n− )1z +n−3= 0 song song với nhau. Khi đó giá trị biểu thức m + n bằng: A. 4 B. – 4 C. 2 D. – 2
Câu 12: Cho hai điểm A(1; –1; 2), B(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm
M của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). A. M(1; 2; 0) B. M(–1; –3; 4) C. M(3; 1; 0) D. M(2; 2; –2)
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( A 1;2; 1 − ) , (2 B ; 1 − ;3) , C( 2 − ;3;3). Điểm M ( ; a ;
b c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM . Khi đó 2 2 2
P = a + b − c có giá trị bằng A. 43. B. 44. C. 42. D. 45. x + y - z +
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 2 3 d : = = và mặt cầu 2 3 2 (S) 2 2 2
: x + y + z + 4z − 21 = 0 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB = 4 B. AB = 6 C. AB = 8 D. AB = 10
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1; 2 − ),B(4; 1 − ; ) 1 ,C (0; 3 − ; ) 1 .
Đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là x = 2 + tx = 2 − + tx = 2 + tx = 2 + t     A. y = 1 − − 2t . B. y = 1 − − 2t .
C. y = 1− 2t .
D. y = 1+ 2t .     z = 2 − tz = 2 − tz = 2 − tz = 2t Trang 31
Câu 16: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 3) và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A( ; a 0;0) , B(0; ; b 0) và
C (0;0;c), (a  0,b  0,c  0) sao cho thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức
P = 9a + 3b + c bằng: A. 25 B. 27 C. 7 D. 45 x − y − z
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 d : = = . Viết phương trình 1 2 1 −
mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d.
A. (P) : 2x − y − 3 = 0.
B. (P) : x + 2y + 5z −5 = 0.
C. (P) : x + 2y − z − 4 = 0.
D. (P) : x + 2y + 5z − 4 = 0.
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( A 2 − ; 2 − ; 1), B(1; 2;− ) 3 và đường thẳng x +1 y − 5 z d : = =
. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng  qua A, vuông góc với d đồng thời cách 2 2 1 −
điểm B một khoảng bé nhất.
A. u = (2;1; 6)
B. u = (2; 2; −1) C. u = (25; 2 − 9; 6 − )
D. u = (1; 0; 2)
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) đường thẳng  có x = −1+  2t
phương trình tham số y = 1− t
. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng  sao cho chu vi tam giác z=  2t
MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi P của tam giác ABC là A. M (1;0; ) 2 ; P = 2( 11+ 29) B. M (1;2; ) 2 ; P = 2( 11+ 29) C. M (1;0; ) 2 ; P = 11 + 29 D. M (1;2; ) 2 ; P = 11 + 29
Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6; 2 − ),B(5;10; 9 − ) và mặt phẳng
():2x +2y+z−12 = 0.Điểm M di động trên mặt phẳng () sao cho MA, MB luôn tạo với () các góc
bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn () cố định. Hoành độ của tâm đường tròn () bằng 9 A. B. 2 C. 10 D. 4 − 2 Trang 32