Tài liệu toán cao cấp - hạng của ma trận

Bài 4. Hạng của ma trận I.
Khái niệm hạng của ma trận 1.
Khái niệm định thức con của ma trận 2.
Định nghĩa hạng của ma trận II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phương pháp định thức bao quanh 2.
Phương pháp biến đổi ma trận III.
Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận I.
Khái niệm hạng của ma trận 1.
Khái niệm định thức con của ma trận
Với ma trận A  aij mn
Xét s dòng và s cột bất kỳ s  m,s  n Chỉ số của s dòng: 1  i  i   i  m 1 2 s Chỉ số của s cột: 1  j  j   j  n 1 2 s
Giữ nguyên s dòng và s cột ở trên, những dòng và những cột còn lại được xóa
hết, ta sẽ thu được một ma trận cấp s, định thức của ma trận này được gọi là
định thức con cấp s của ma trận A và được ký hiệu là: 1 j 2 j s j D 1ii2 is I.
Khái niệm hạng của ma trận 1.
Khái niệm định thức con của ma trận Ví dụ 1: Xét ma trận  2  1 4 3   A  3 1  2 5     4  6 1 3  
Khi đó, giá trị các định thức con:  3 2 14 2 3 D  23  1 4 6 D  13  D  11 13 12 23 4  3 1  6 2 4  1 2  1 3 2  4 3 124 D  3 1  5  134 D  3 2 5   123 79 123 85 4  6 3 4  1 3 I.
Khái niệm hạng của ma trận 2.
Định nghĩa hạng của ma trận ĐN:
Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của một ma trận được gọi
là hạng của ma trận đó.
Hạng của ma trận A được ký hiệu là: r(A) r = rank    1 1   2 1 2 2 2  r  1 1 r 1 2   1  r r
Khi đó hạng của ma trận là r. r  2 1 1 2   1    NX:
Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận. r A  r A
Với A là ma trận vuông cấp n, det(A) = 0 khi và chỉ khi r(A) < n.
det(A) ≠ 0 khi và chỉ khi r(A) = n. II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh Định thức bao quanh:
Giả sử A là ma trận cấp m  ,
n xét định thức con cấp r của A: 1 j 2 j r j D  D 1i i2 ir
Nếu ta có thể thêm 1 dòng khác (dòng i) ngoài r dòng i , i ,…,i và 1 cột 1 2 r
khác (cột j) ngoài r cột j , j ,…,j thì định thức con cấp r + 1: 1 2 r 1 j 2 j r j j D 1i i2 ir i
được gọi là định thức con cấp r + 1 bao quanh định thức D.
Ví dụ 2: Với ma trận A3 5  Định thức con cấp 2 23 D
có 3 định thức con cấp 3 bao quanh nó là: 13 1 3 2 D 4 23 D 5 23 D 1 5 2 D ? 123 123 123 123 II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh Ta chứng minh được:
Nếu ma trận A có một định thức con D  cấp 0
r mà mọi định thức con cấp
r + 1 bao quanh nó (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r
Áp dụng để tìm hạng của ma trận:
● Bắt đầu từ một định thức con D cấp 1 (thường là cấp 2) khác 0;
● Tìm mọi định thức con cấp 3 bao quanh D:
Nếu mọi định thức con cấp 3 đều bằng 0  hạng bằng 2;
Nếu gặp định thức con D' cấp 3 khác 0
● Tìm mọi định thức con cấp 4 bao quanh D':
Nếu mọi định thức con cấp 4 đều bằng 0  hạng bằng 3;
Nếu gặp định thức con D' cấp 4 khác 0 ● ● ● ● ● ● II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh        2  r  3        II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh
Ví dụ 3: Tìm hạng của ma trận  2  3  4 3    A  1 3 1  2     1 6 1 9   2  3  Đầu tiên ta xét: 12 D     12 3 0 1 3
Các định thức con cấp 3 bao quanh nó là: 2  3  4 2  3  3 123 D 124  1 3 1     123 0 D 1 3 2 0 123 1 6 1 1 6 9
Vậy hạng của ma trận A là: r A  2 II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh
Ví dụ 4: Tìm hạng của ma trận  1  2 3 1 2     A  1  5 5 1 4     2 1  4  2  3   1  3 Đầu tiên ta xét: 13 D     12 1  2 0 5
Các định thức con cấp 3 bao quanh nó là: 1  2 3 1  3 1 1  3 2  1 3 2 D 4 13  1  5 5  0 D 5 13  1  5 1  0 D  1  5 4  14 123 123 123 2 1  4  2 4  2  2 4  3
Vậy hạng của ma trận A là: r A  3 II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 1.
Phƣơng pháp định thức bao quanh
Ví dụ 5: Tìm hạng của ma trận  2 k 1  3    4 1 3  5 A    1 4 2 3      3 1 5 2  4 1 Đầu tiên ta xét: 12 D  15  0 23 1 4 4 1 3  3 12
Ta xét định thức cấp 3 bao quanh 12 D23 D  1 4 2 106  0 234 3 1 5 Định thức 123 D
chỉ có một định thức con cấp 4 bao quanh nó, chính là |A|: 234 1234 D  1  04k 12 234 1 ● 3 Nếu k   thì r A  4 26 ● 3 Nếu k   thì r A  3 26 II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 2.
Phƣơng pháp biến đổi ma trận NX: Ma trận dạng  b b b b  11 12 1s 1n   0 b b b 22 2s 2n       B  0 0 b b ss sn    0 0 0 0         0 0 0 0 
Trong đó s  n và b  0 với mọi i 1,2, ,s ii
Rõ ràng là ma trận B có hạng s, với định thức con khác 0 cấp cao nhất là: 12 s D  b b b 12 s 11 22 ss II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 2.
Phƣơng pháp biến đổi ma trận
Cho A là ma trận bất kỳ  b b b b  11 12 1s 1n   0 b b b 22 2s 2n    
Biến đổi sơ cấp trên dòng & cột   A B  0 0 b b mn ss sn    0 0 0 0         0 0 0 0 
Chú ý là phép biến đổi sơ cấp trên dòng & trên cột không làm thay đổi hạng
của ma trận, nghĩa là r(A) = r(B) = s. II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 2.
Phƣơng pháp biến đổi ma trận
Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận  2  3  4 3    A  1 3 1  2     1 6 1 9  
Thực hiện biến đổi sơ cấp trên A ta được:  2  3  4 3  11  2  3  4 3      A  1 3 1  2  2   0 3 2 7 (  3  )     1 6 1 9  2   0 9 6 21   1  2  3  4 3      0 3 2 7     0 0 0 0  
Vậy hạng của ma trận A bằng 2 II.
Các phƣơng pháp tìm hạng của ma trận 2.
Phƣơng pháp biến đổi ma trận
Khi nào thì nên chọn phương pháp định thức bao quanh? Khi nào thì chọn phương pháp biến đổi?
● Khi cấp ma trận nhỏ (2,3,4), ma trận có chứa tham số
PHƢƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC BAO QUANH
● Khi cấp ma trận lớn (5, 6, 7,…), ma trận gồm toàn số
PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI III.
Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận
Hạng của tổng hai ma trận:
Với A, B là hai ma trận cùng cấp m  n ta luôn có
r A  B  r A  r B
Hạng của tích hai ma trận:
Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa thì:
r AB  minr A,r B
Với A, B là hai ma trận vuông cấp n thì:
r A  B  r A  r B  r AB  n