Tài liệu tự học mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Quốc Nghĩa Toán 12

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh khối 12 tài liệu tự học mặt nón – mặt trụ – mặt cầu do Trần Quốc Nghĩa biên soạn, đây là chủ đề nằm trong chương trình Hình học 12 chương 2. Mời các bạn đón xem.

106 53 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 1

MẶT NÓN. MẶT TRỤ. MẶT CẦU

Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY.

HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN

I. Khái niệm về mặt tròn xoay

1. Trục của đường tròn





;

O R

: là đường thẳng đi qua tâm

và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn.

2. Trong không gian cho mặt phẳng





chứa đường

thẳng



và một đường

. Khi quay mặt phẳng





quanh



một góc

360



thì mỗi điểm

trên

vạch ra

một đường tròn có tâm

thuộc



và nằm trên mặt

phẳng vuông góc với



. Như vậy khi quay mặt phẳng





quanh đường thẳng



thì

sẽ tạo nên được một

hình gọi là mặt tròn xoay.

Trong đó: đường

được gọi là đường sinh; đường

thẳng



được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón – Hình nón – Khối nón

1. Định nghĩa mặt nón:

Trong mặt phẳng





cho hai đường thẳng

và



cắt

nhau tại điểm

và tạo thành góc



(với

0 90



   

). Khi quay mặt phẳng





xung quanh



thì đường thẳng

sinh ra một mặt tròn xoay được gọi

là mặt nón tròn xoay đỉnh

. Gọi tắt là mặt nón.





gọi là trục của mặt nón.



gọi là đường sinh của mặt nón.



gọi là đỉnh của mặt nón.

 Nếu gọi



là góc giữa

và



thì



gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

2. Hình nón tròn xoay:

 Cho



IOM

vuông tại

. Khi quay tam giác đó

xung quanh cạnh vuông góc

thì đường gấp

khúc

IOM

tạo thành một hình được gọi là hình

nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

 Trong đó

 Hình tròn tâm

sinh bởi các điểm thuộc cạnh

khi

quay quanh trục

được gọi là mặt đáy của mình nón.

 Điểm

được gọi là đỉnh của hình nón.

 Độ dài đoạn

được gọi là chiều cao của hình nón.

 Độ dài đoạn

được gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

 Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh

khi

quay quanh

được gọi là mặt xung quanh của hình nón.

3. Khối nón tròn xoay:

 Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là

khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón.

 Trong đó:

 Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón.

Chủ đề











TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 2



Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường

sinh của khối nón tương ứng.

4. Diện tích hình nón và thể tích khối nón:

a. Định nghĩa:

 Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình

chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

 Thể tích của khối nón: là giới hạn của thể tích của hình chóp đều nội tiếp hình nón

đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b. Công thức:

Gọi

là bán kính đường tròn đáy;

là độ dài đường sinh;

là chiều cao;

là diện

tích đáy của hình nón.

 Diện tích xung quanh:

S rl





 Diện tích toàn phần:

tp xqđáy

S S r rl

 

   

 Thể tích của khối nón:

1 1

3 3

V B h r h



 

5. Hình nón cụt :

a. Định nghĩa:

Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.

b. Công thức:

 Diện tích xung quanh:

 

S R r l



  .

 Diện tích toàn phần:





 

2 2

tp xqđáy

S S r R R r l

 

     

 Thể tích khối nón cụt:

 

2 2

V h R r Rr



   .

Trong đó:

R r

là bán kính hai đáy;



h IJ

là độ cao hình nón cụt.

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón: đường sinh, bán kính

đáy, chiều cao, góc ở đỉnh, diện tích, thể tích

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Hình nón:

 Chiều cao:



SO h

 Đường sinh:



SM l

 Góc ở đỉnh:





MSN

 Bán kính đáy

thì:

2 2 2

 

l r h

 Diện tích xung quanh:



S rl



 Diện tích toàn phần:

   

tp xđáy q

S S S r rl

 

 Thể tích:

1 1

3 3



 

đáy

V S h r h

2. Hình nón cụt:

 Diện tích xung quanh:





 

S R r l



 Diện tích toàn phần:









2 2

     

tp xqđáy

S S S r R R r l

 

 Thể tích:

 

2 2

  

V h R r Rr



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 3

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác

ABC

vuông tại

AB a



và

 . Tính độ dài đường sinh

của hình

nón, nhận được khi quay tam giác

ABC

xung quanh trục

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2: Cho tam giác

ABC

vuông tại

AB a



và

AC a



. Tính độ dài đường sinh

của hình

nón nhận được khi quay tam giác

ABC

xung quanh trục

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 3: a) Một hình nón có đường kính đáy bằng

và chiều cao bằng

. Kí hiệu góc ở đỉnh của hình

nón là



. Tính



b) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có diện tích xung quanh bằng

8 .



Tính chiều cao của hình nón này.

c) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng



và bán kính bằng

. Tính độ dài đường

sinh của hình nón đã cho.

d) Tính thể tích của một khối nón có góc ở đỉnh là

90 ,



bán kính hình tròn đáy là

e) Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích của hình nón bằng



. Tính

đường cao

của hình nón.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 4

Ví dụ 4: Trong không gian cho



OIM

vuông tại

, góc



 

IOM

và



IM a

. Khi quay tam giác

OIM

quanh cạnh góc vuông

thì đường gấp khúc

OMI

tạo thành một hình nón tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay đó.

b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 5: Cho hình nón có bán kính đáy

3cm



r và đường sinh

5cm



l .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 6: Cho tam giác

ABC

vuông tại



AB c



AC b

. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh

bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong khi quay quanh đường thẳng

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 7: Các bán kính đáy của một hình nón cụt lần lượt là

và

, đường sinh là

2,9

. Tính thể tích

khối nón cụt đó.

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình nón có bán kính đáy

3cm



r và đường cao

4cm



h .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 2. Cho tam giác

SAB

đều cạnh

là trung điểm của

, quay tam giác

SAB

quanh cạnh

được hình nón.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 5

Dạng 2. Thiết diện với hình nón

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng





. Nếu:

1. Mặt phẳng





không qua đỉnh thì thiết diện là:

 Một elip nếu





cắt tất cả các đường sinh. Đặc biệt nếu





vuông góc với trục của mặt nón thì thiết diện là đường tròn.

 Một đường Parabol nếu





song song với chỉ một đường sinh.

 Một đường Hypebol nếu





song song với hai đường sinh.

2. Mặt phẳng





qua đỉnh thì thiết diện là:

 Tam giác cân tại đỉnh của hình nón nếu





cắt mặt nón theo 2 đường sinh

 Mặt tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 8: Cho hình nón tròn xoay có đường cao

20cm



, bán kính đáy

25cm



a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa

thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 9: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều

cạnh

. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 6

Ví dụ 10: Cắt hình nón đỉnh

bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung

của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng





SBC

tạo với mặt

phẳng đáy hình nón một góc



. Tính diện tích tam giác

SBC

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 11: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.

b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc



. Tính diện tích thiết diện

được tạo nên.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 7

Ví dụ 12: Một hình nón tròn xoay có đỉnh là

là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

và có

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng



a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi

là một điểm trên đường cao

của hình nón sao cho

(0 )

  

k k l

. Tính

diện tích của thiết diện qua

và vuông góc với trục của hình nón.

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao

40cm



h , bán kính đáy

50cm



r . Một thiết diện đi qua

đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là

24cm

. Tính

diện tích của thiết diện.

Bài 4. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng

. Gọi

là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng





SBC

tạo

với mặt phẳng đáy một góc



. Tính diện tích tam giác

SBC

Bài 5. Cho khối nón đỉnh

, trục

. Măt phẳng trung trực của

chia khối chóp thành hai phần.

Tính tỉ số thể tích của hai phần.

Bài 6. Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm

của đáy và đáy là

một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh

lớn nhất

thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

Bài 7. Cho hình nón đỉnh

có chiều cao

h a



và bán kính đáy

r a



. Mặt phẳng





đi qua

cắt đường tròn đáy tại

và

sao cho

2 3



AB a

. Tính khoảng cách

từ tâm của đường

tròn đáy đến





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 8

Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Một hình nón gọi là nội tiếp một hình chóp nếu hình nón tiếp xúc với tất cả các mặt của

hình chóp.

2. Một hình nón gọi là ngoại tiếp một hình chóp nếu đường tròn đáy của hình nón là

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp và đỉnh của hình nón là đỉnh hình

chóp.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

và đường cao bằng

. Tính thể tích khối nón

nội tiếp hình chóp đó.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 14: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

và đường cao bằng

6 .

Tính thể tích khối nón

ngoại tiếp hình chóp đó.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 9

Ví dụ 15: Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có cạnh đáy bằng

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng



. Một hình nón có đỉnh

và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác

ABCD

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Khi đó thể tích khối nón tương ứng.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 16: Hình lập phương .

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

, một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của

hình vuông

ABCD

và có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông

A B C D

   

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

b) Tính thể tích khối nón tương ứng.

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 8. Tích diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay và thể tích khối nón

ngoại tiếp tứ diện đều cạnh

Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có các cạnh đều bằng

. Tính thể tích

của khối nón

đỉnh

và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác

ABCD

Bài 10. Cho hình lập phương .

ABCD A B C D

   

cạnh

. Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm hình

vuông

ABCD

và có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông

A B C D

   

Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có cạnh đáy bằng

. Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc



. Diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là

, có đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác

ABCD

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 10

Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế

A. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 17: Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng

nhôm có thể tích là

9

V a



. Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ

sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là

sao cho diện tích nhôm cần sử

dụng là ít nhất. Tính

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 18: Một cái ly có dạng hình nón như hình vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao

của lượng nước trong ly bằng

chiều cao của ly (không tính chân lý). Hỏi nếu bịt kín miệng

ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 12. Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ. Người

uống một phần rượu sao cho chiều cao của nó giảm đi

so với

chiều cao của rượu trong cốc. Người

uống phần rượu còn lại

trong cốc. Tính lượng rượu người

đã uống.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 11

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1

Bài 13. Cho tam giác

SOA

vuông tại

có

3cm



5cm



. Quay tam giác

SOA

quanh cạnh

được hình nón.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 14. Cho khối nón có bán kính đáy



và có góc ở đỉnh là

120



 

. Hãy tính diện tích của thiết

diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Bài 15. Cho hình nón

có bán kính đáy là

, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng



. Một

mặt phẳng





song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón một khoảng

và cắt hình nón

theo đường tròn





a) Tính bán kính đường tròn





theo

, ,

R h a

b) Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón

và mặt phẳng





Bài 16. Cho hình nón

có bán kính đáy

, đường cao

. Gọi





là mặt phẳng vuông góc với

tại

sao cho



SO SO

. Một mặt phẳng qua trục của hình nón cắt phần khối nón

nằm

giữa





và đáy nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích

phần hình nón

nằm giữa mặt phẳng





và mặt phẳng chứa đáy hình nón

Bài 17. Cho hình chóp đều .

S ABCD

có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón có đỉnh

và đáy là đường

tròn ngoại tiếp tứ giác

ABCD

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 18. Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có cạnh đáy bằng

, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng



. Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh

, đáy là đường tròn ngoại tiếp

ABCD

Bài 19. Cho hình nón đỉnh

Xét hình chóp .

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác ngoại tiếp đường tròn

đáy của hình nón và có

10 , 12 ,

  

AB BC a AC a

góc tạo bởi hai mặt phẳng





SAB

và





ABC

bằng

45 .



Tính thể tích khối nón đã cho.

Bài 20. Thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang

ABCD

quanh trục



Biết

80,





24,

O D





12,

O C





12,





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 12

Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ

1. Mặt trụ tròn xoay:

Trong mp





cho hai đường thẳng



và

song song

nhau, cách nhau một khoảng bằng

. Khi quay





xung quanh



thì

sinh ra một mặt tròn xoay được gọi

là mặt trụ tròn xoay.



gọi là trục,

gọi là đường

sinh,

là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay:

Xét hình chữ nhật

ABCD

. Khi quay hình đó xung

quanh đường thẳng chứa

cạnh, chẳng hạn

, thì

đường gấp khúc

ADCB

tạo thành 1 hình được gọi là

hình trụ tròn xoay.

 Hai đáy là hai hình tròn: tâm

bán kính



r AD

và

tâm

bán kính



r BC

 Đường sinh: đoạn

 Mặt xung quanh: là mặt do đoạn

tạo thành khi

quay, nếu cắt theo một đường sinh và trải ra ta được

mặt xung quanh là một hình chữ nhật.

 Chiều cao:

 

h AB CD

3. Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn

bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ

tròn xoay.

4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ:

 Diện tích xung quanh: 2

S rh





 Diện tích toàn phần:

2. 2 2

đáytp xq

S S S rh r

 

   

 Thể tích khối trụ:

V Bh r h



 

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình trụ: chiều cao (đường sinh),

bán kính đáy, diện tích, thể tích

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI



Chiều cao:

OO h





 Bán kính đáy:

r OA



 Diện tích xung quanh:

S rh





 Diện tích toàn phần:

2. 2 2

đáytp xq

S S S rh r

 

   

 Thể tích:

đáy

V S h r h



 





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 13

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 19: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ:

a) có bán kính đường tròn đáy

r a



và chiều cao

h a

 .

b) có chiều cao bằng

và thể tích bằng



................................................................................................................................................................................

Ví dụ 20: Tính thể tích

của khối trụ tròn xoay

a) có bán kính đáy bằng

và diện tích toàn phần bằng



b) có bán kính đáy



và chiều cao

4 2

h 

c) có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng



d) có đường kính đáy bằng

, đường sinh bằng

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 21: Trong không gian, cho hình vuông

ABCD

cạnh

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của các

cạnh

và

. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục

ta được một hình trụ tòn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.

b) Tích thể tích khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 22: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm

và



và có chiều cao bằng

. Trên đường tròn

đáy tâm

lấy điểm

sao cho



hợp với mặt phẳng đáy một góc



. Tính diện tích xung

quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 14

Ví dụ 23: Một hình trụ có bán kính

và chiều cao



h r

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm

và

lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng

và trục của hình trụ bằng



. Tính khoảng cách giữa đường thẳng

và trục của

hình trụ.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 24: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông

ABCD

cạnh

có hai đỉnh liên tiếp

nằm trên

đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình

trụ. Mặt phẳng





ABCD

tạo với đáy hình trụ góc



. Tính diện tích xung quanh và diện tích

toàn phần hình trụ theo

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 25: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn





O R

và





O R



. Biết rằng tồn tại dây cung

của đường tròn





sao cho

O AB





đều và





mp O AB



hợp với mặt phẳng chứa đường

tròn





một góc



. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 15

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 21. Trong không gian cho hình chữ nhật

ABCD

có

1, 2

AB AD

 

. Gọi

M N

lần lượt là trung

điểm của

và

. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục

ta được một hình trụ. Tính

diện tích toàn phần của hình trụ đó?

Bài 22. Một hình vuông

ABCD

. Cho hình vuông đó quay quanh trục

và trục

được tạo thành

các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là

1 2

V V

. Tính tỉ số



Bài 23. Cho hình vuông

ABCD

biết cạnh bằng

. Gọi

I K

lần lượt là trung điểm của

AB CD

. Tính

diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi cho hình vuông

ABCD

quay quanh

một

góc

360



Bài 24. Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao có độ dài bằng nhau. Hình vuông

ABCD

có hai

cạnh

và

lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy (các cạnh

không phải

là đường sinh của hình trụ). Tính độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ biết rằng cạnh

hình vuông có độ dài bằng

Bài 25. Trong không gian, cho hình chữ nhật

ABCD

có

AD a



AC a



. Tính theo

độ dài đường

sinh

của hình trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật

ABCD

xung quanh trục

Bài 26. Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng



và độ dài đường sinh bằng đường kính đường

tròn đáy. Tính bán kính

của đường tròn đáy.

Dạng 2. Thiết diện với mặt trụ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là

) bởi một







vuông góc với trục



thì ta được đường tròn

có tâm trên



và có bán kính bằng

với

cũng

chính là bán kính của mặt trụ đó.

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là

) bởi một







không vuông góc với trục



nhưng cắt tất cả

các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp

có trụ nhỏ bằng

và trục lớn bằng

sin



, trong đó



là góc giữa trục



và







với

0 90



   

 Cho







song song với trục



của mặt trụ tròn xoay và cách



một khoảng

 Nếu



k r

thì







cắt mặt trụ theo hai đường sinh



thiết diện là hình chữ

nhật.

 Nếu



k r

thì







tiếp xúc với mặt trụ theo

một đường sinh.

 Nếu



k r

thì







không cắt mặt trụ.

 Cho







qua trục



của mặt trụ tròn xoay thì

thiết diện là hình chữ nhật.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 16

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 26: Cho hình trụ có hình tròn đáy bán kính là

r a



, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính

diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 27: Một hình trụ có bán kính đáy

5cm



và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của

thiết diện được tạo nên.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 28: Một khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh là

. Tính diện tích toàn phần khối

trụ và thể tích khối trụ.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 29: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng

, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có

diện tích bằng

. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 17

Ví dụ 30: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng



và có thiết diện qua trục của nó là một hình

vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 31: Hình trụ có bán kính đáy bằng

chu vi của thiết diện qua trục bằng

10 .

Tính diện tích toàn

phần của hình trụ và thể tích khối trụ.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 32: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật

ABCD

có

và

thuộc hai đáy của khối trụ. Biết



và góc

CAD

bằng

60 .



Thể tích của khối trụ là

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 27. Cho hình trụ có bán kính

và chiều cao

. Cho hai điểm

và



lần lượt nằm trên hai

đường tròn đáy sao cho góc giữa



và trục của hình trụ bằng



. Một mặt phẳng





chứa



và song song với tục của hình trụ.

a) Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng





b) Tính góc giữa hai bán kính đi qua

và



c) Tính khoảng cách giữa



và trục hình trụ.

Bài 28. Cho hình trụ có trục



, bán kính đáy

và chiều cao

. Một điểm

cố định cách trục của

hình trụ một khoảng bằng

. Qua

dựng hai mặt phẳng







và







tiếp xúc với mặt trụ

theo các đường sinh



và



. Gọi

là giao tuyến của







và







. Chứng minh:

vuông góc với đáy của hình thụ.

b) Mặt phẳng





AA BB

 

vuông gócc với mặt phẳng





OO M



c) Tính góc giữa hai mặt phẳng













và tính diện tích thiết diện do mặt phẳng





AA BB

 

cắt hình trụ.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 18

Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai đa

giác đáy của hình lăng trụ.

2. Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai

đa giác đáy của hình lăng trụ.

3. Hình nón nội tiếp hình trụ là hình nón có đáy là đáy hình trụ và đỉnh trùng với tâm của

đáy còn lại của hình trụ.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 33: Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Gọi

là diện tích xung quanh của hình

trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông

ABCD

và

A B C D

   

. Tính

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 34: Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là

đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD

và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 35: Lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

và có hai đáy là hai

tam giác nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ

( )



. Tính thể tích khối trụ

( ).



.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 19

Ví dụ 36: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là











Biết thể tích khối nón có đỉnh là

và đáy là hình tròn







là

tính thể tích khối trụ đã cho?

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 37: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn





O R

và





O R

;

' 3

OO a

 Một hình nón có đỉnh

là

và đáy là hình tròn





O R

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và

hình nón. Tính tỉ số

................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 29. Cho hình thang cân

ABCD

có đáy nhỏ



, đáy lớn



, cạnh bên

AD 

quay

quanh đường thẳng

. Tính thể tích

của khối tròn xoay tạo thành.

Bài 30. Một hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt của hình lập phương cạnh bằng

2 .

Tính

thể tích của khối trụ đó.

Bài 31. Cho một khối lăng trụ tam giác đều có thể tích là

. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp

lăng trụ đó.

Bài 32. Cho hình lập phương có cạnh bằng

và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai

mặt đối diện của hình lập phương. Gọi

là diện tích 6 mặt của hình lập phương,

là diện

tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 20

Bài 33. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn





;

O R

và





;

O R



OO R





. Xét hình nón có đỉnh



, đáy là hình tròn





;

O R

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình

nón. Tính tỉ số

Bài 34. Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có độ dài cạnh đáy bằng

và chiều cao bằng

Tính thể tích

của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Bài 35. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ.

c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ.

Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế

A. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 38: Bên trong một lon sữa hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và bằng

1dm

. Thể tích thực

của lon sữa đó bằng.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 39: Một người có một dãi duy băng độ dài





180 cm

. Người đó cần bọc dãi duy băng đó đi quanh

một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà người này dùng





20 cm

để thắt nơ trên nắp hộp (như hình

vẽ minh họa). Hỏi dãi duy băng đó có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 21

Ví dụ 40: Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là





64 m



. Tìm bán kính đáy

của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

................................................................................................................................................................................

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 36. Một thùng xách nước hình trụ có chiều cao

4dm

, đường kính đáy

2dm

. Người ta dùng các thùng này để xách nước đổ vào một cái bể

hình lập phương cạnh

1,5m

. Giả sử mỗi lần xách đều đầy nước trong

thùng và khi đổ 100 thùng thì được 90% thể tích bể. Hỏi ban đầu số lít

nước có trong bể là bao nhiêu ?

Bài 37. Người ta bỏ

quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc

hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao

bằng

lần đường kính quả bóng bàn. Gọi

là tổng diện tích của ba

quả bóng bàn,

là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính Tỉ số

Bài 38. Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài

1km, đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m; độ

dày của lớp bê tông bằng 10cm. Biết rằng cứ một khối bê tông phải

dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng

đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất?

Bài 39. Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình

bên. Biết bán kính đáy bằng

5cm



, bán kính cổ

2cm



3cm



6cm



16cm



. Tính thể tích phần không gian

bên trong của chai nước ngọt đó.

Bài 40. Một bồn trụ đang chứa dầu được đặt nằm ngang có

chiều dài bồn là

, bán kính đáy

. Người ta rút

dầu ra trong bồn tương ứng với

0,5m

của đường

kính đáy. Tính thể tích gần đúng của dầu còn lại

trong bồn (theo đơn vị

, làm tròn đến ba chữ số

thập phân).

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 22

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2

Bài 41. Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm

và



, bán kính

, chiều cao là

Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ.

Bài 42. Trong không gian cho hình vuông

ABCD

cạnh

. Gọi

và

là trung điểm của các cạnh

và

. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục

ta được một hình trụ tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

b) Tính thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ.

Bài 43. Một hình trụ có bán kính

và chiều cao

h R

 .

a) Tính

và diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay.

b) Tính thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ.

c) Cho hai điểm

và

lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng

và trục của hình trụ bằng



. Tính khoảng cách giữa đường thẳng

và trục của

hình trụ.

Bài 44. Cho hình trục có bán kính

và chiều cao cũng bằng

. Một hình vuông

ABCD

có hai cạnh

và

lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh

và

không phải

là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hình vuông đó và

cosin

của góc giữa hai mặt phẳng

chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Bài 45. Một hình trụ có bán kính đáy

và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

c) Tính

của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.

Bài 46. Một hình trụ có bán kính đáy

và đường cao

và

là hai điểm trên hai đường tròn

đáy sao cho góc hợp bởi

và trục hình trụ là



a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

c) Tính khoảng cách giữa

và trục của hình trụ.

Bài 47. Một hình trụ có bán kính đáy

5cm



và khoảng cách giữa hai đáy bằng

7cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục

. Hãy tính diện tích của

thiết diện được tạo nên.

Bài 48. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

và đường cao

AS a



MNPQ

là thiết

diện song song với đáy,

thuộc

và

AM x



. Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp

MNPQ

và đường sinh là

a) Tính diện tích

MNPQ

theo

và

b) Tính thể tích của khối trụ theo

và

c) Xác định vị trí của

để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Bài 49. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là





và







a) Mặt phẳng qua trục



cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh

. Tính diện tích

xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.

b) Mặt phẳng song song với trục và cách trục



một khoảng

3cm

và cắt hình trụ theo thiết

diện là hình chữ nhật

ABB A

 

;

, ( );

A B O



, ( )

A B O

  



;

8cm



;

5cm





. Tính diện

tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 23

Bài 50. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là





;

C O R

và





;

C O R

 

, đường cao





A C

 ,





A C

 

 , góc hợp bởi



và



bằng



a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ

tương ứng.

b) Tính diện tích thiết diện qua



và song song với trục hình trụ

c) Tính góc giữa

và

O A

 

d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của



và



Bài 51. Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là

60cm

, diện tích đáy

900 cm



. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm

thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).

Bài 52. Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn

dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm

Tính bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết

kiệm nguyên vật liệu nhất.

Bài 53. Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ.

Đường kính của đường tròn đáy là

5cm

, chiều

dài lăn là

23cm

(hình bên). Tính diện tích sau

khi lăn trọn

vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng.

Bài 54. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng

hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi

là tổng

diện tích của ba quả bóng bàn,

là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

bằng:

Bài 55. Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích

5000m

. Vật liệu để làm hai đáy có giá

250000 / m

vật liệu làm phần còn lại có giá

400000 / m

. Tính chiều cao

và bán kính đáy của thùng

chứa để chi phí thấp nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 24

Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU

1. Các định nghĩa

 Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định

một

khoảng

không đổi gọi là mặt cầu tâm

bán kính

. Kí

hiệu:





;

S O R

 Tập hợp các điểm

trong không gian sao cho

OM R



gọi là

khối cầu tâm

bán kính

   

S O ; R = M | OM = R

 Nếu

thuộc





và

qua

thì

gọi là đường kính của mặt cầu





2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu





;

S O R

và mặt phẳng





, gọi

là khoảng cách từ

đến





và

là hình chiếu

của

trên





. Khi đó:

 Nếu

d R



thì





không cắt mặt cầu.

 Nếu

d R



thì





tiếp xúc với mặt cầu





tại

. Ta nói





là tiếp diện của mặt cầu còn

là tiếp điểm của





và





 Nếu

d R



thì





cắt





theo giao tuyến là đường tròn nằm trên





có tâm

và bán kính

2 2

r R d

 

 Chú ý:

 Khi

d R



thì





đi qua tâm

của mặt cầu





lúc đó ta gọi





là mặt phẳng kính và

giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu.

 Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện





gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện





và

hình đa diện





được gọi là nội tiếp mặt cầu.

 Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện





gọi là mặt cầu nội tiếp hình đa diện





và hình đa diện





được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu





;

S O R

và đường thẳng



, gọi

là hình chiếu của

trên



và

d OH



. Khi đó:

 Nếu

d R



thì



cắt mặt cầu





tại hai điểm phân biệt.

 Nếu

d R



thì



tiếp xúc với mặt cầu





tại một điểm, lúc đó



gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 25

và

gọi là tiếp điểm của mặt cầu.

 Nếu

d R



thì



không cắt mặt cầu.

 Chú ý:

 Qua một điểm

nằm trên mặt cầu





;

S O R

có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và các tiếp tuyến

này cùng nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại

 Qua một điểm

nằm ngoài mặt cầu





;

S O R

có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp

tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh

 Định lí: Nếu điểm

nằm ngoài mặt cầu





;

S O R

thì:

 Qua

có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

 Độ dài nối

với các tiếp điểm bằng nhau và ta thường gọi là đoạn tiếp tuyến.

 Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

 Diện tích mặt cầu





;

S O R

S = 4 R



 Thể tích khối cầu





;

S O R

V = R



5. Diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu:

 Diện tích mặt cầu:





2 2

S Rh r h

 

  

 Thể tích khối cầu:

 

2 2 2

3 6

h h

V h R h r



 

   

 

 

Dạng 1. Xác định mặc cầu

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Muốn chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một mặt cầu ta hcusng minh các điểm đó

cùng cách đều một điểm

cố định một khoảng



không đổi.

2. Muốn chứng minh một đường thẳng



tiếp xúc với một mặt cầu





;

S O R

ta chứng

minh





d O R

 

3. Muốn chứng minh một mặt phẳng





tiếp xúc với một mặt cầu





;

S O R

ta chứng

minh









d O P R



4. Tập hợp các điểm

trong không gian nhìn đoạn

cố định dưới một góc vuông là

mặt cầu đường kính

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 41: Tìm tập hợp tất cả các điểm

trong không gian luôn luôn nhìn đoạc thẳng

cố định dưới

một góc vuông



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 26

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 42: Cho tam giác

ABC

. Chứng minh rằng tập hợp các điểm

trong không gian sao cho

MA MB MC a

  

  

là một mặt cầu.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 43: Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông và cạnh bên

vuông góc với đáy. Mặt

phẳng







đi qua

và vuông góc với

, cắt cạnh

lần lượt tại

a) Chứng minh

BD AN



b) Chứng minh năm điểm:

cùng thuộc một mặt cầu.

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 56. Cho hình chóp .

S MNPQ

có đáy

MNPQ

là hình vuông tâm

cạnh





SM MNPQ

 và

SM a

 . Gọi

là hình chiếu của

trên

a) Chứng minh rằng: 5 điểm

cùng nằm trên mặt cầu.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 27

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

Bài 57. Bài 6.2. Từ một điểm

nằm ngoài mặt cầu





;

S O R

ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần

lượt tại

A B

và

C D

a) Chứng minh rằng

. .



MA MB MC MD

b) Gọi



MO d

. Tính

MA MB

theo

và

Bài 58. Cho mặt cầu





;

S O R

tiếp xúc với mặt phẳng





tại

. Gọi

là một điểm nằm trên mặt

cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với

qua

. Từ

ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu

cắt





tại

và

. Chứng minh rằng





AMB AIB

Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. Ta nói hình

chóp nội tiếp mặt cầu.

 Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy của hình chóp và mặt trung trực của một cạnh bên.

2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Ta

nói hình chóp ngoại tiếp mặt cầu.

 Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:

 Mặt phẳng





tiếp xúc với mặt cầu





;

S O R

tại

khi và chỉ khi mặt phẳng





vuông góc với bán ksinh

tại điểm

 Mặt phẳng





tiếp xúc với mặt cầu





;

S O R









;

d O P R

 

 Nếu một khối đa diện có hình cầu nội tiếp thì bán kính hình cầu nội tiếp là



(trong đó

là thể tích và

là diện tích toàn phần hình đa diện).

 Tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.

3. Cách tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cách 1: Nếu

, … cùng nhìn đoạn

theo 1 góc

vuông thì

, …,

cùng thuộc mặt cầu có

đường kính

. Tâm

là trung điểm

Cách 2: (Tổng quát) Dựng tâm

theo các bước:

Bước 1: Dựng trục



của đáy. (vuông góc đáy tại tâm ngoại)

Bước 2:

o Nếu cạnh bên

cắt hoặc song song với



thì trong mặt phẳng







đường trung trực

cắt



tại

(hình a, b).

o Nếu cạnh bên

không đồng phẳng với



thì mặt phẳng trung trực của

cắt



tại

Cách 3:

là giao của hai trục

Bước 1: Dựng trục



của đáy.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 28

Bước 2: Dựng trục



của 1 mặt bên (chọn mặt bên là tam giác đặc biệt). Tâm

là

giao của



và



(hình c).

4. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một số hình đặc biệt:

a) Hình chóp

S ABC

có

vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác

ABC

vuông tại

 Ta có

BC AB



(?)

BC SB

 

(?)



SBC

  

(1)

 Mặt khác ta có:

SA AC





SAC

  

(2)

 Từ (1) và (2) suy ra

cùng thuộc mặt

cầu đường kính

. Tâm

là trung điểm

b) Hình chóp

S ABC

có

vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác

ABC

vuông tại

 Ta có

BC AC



(?)

BC SC

 

(?)



SCB

  

(1)

 Mặt khác ta có:

SA AB





SAB

  

(2)

 Từ (1) và (2) suy ra

cùng thuộc mặt

cầu đường kính

. Tâm

là trung điểm

c) Hình chóp

S ABCD

có

vuông góc với mặt phẳng đáy và

ABCD

là hình chữ

nhật:

 Ta có



SAC

 

(?)



SBC

 

(?)



SDC

 

(?)



cùng thuộc mặt cầu đường

kính

. Tâm

là trung điểm

d) Hình chóp tam giác đều

S ABC

có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng





SAO SBO SCO

    



SOA



SOB



SOC



là các tam giác

vuông cân tại

OS OA OB OC

   



là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

Hình a



Hình b



Hình c

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 29

e) Hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng





SAO SBO SCO SDO

     



SOA



SOB



SOC



SOD



là các

tam giác vuông cân tại

OS OA OB OC OD

    



là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

f) Hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng





SAO SBO SCO SDO

     



SAC



SBD



là các tam giác đều

 Gọi

là trọng tâm

SAC



thì

cũng là trọng tâm

SBD



IS IA IB IC ID

    



là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 44: Cho hình chóp .

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh





SA ABCD

 . Biết góc giữa

và đáy bằng



. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

S ABCD

theo

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 45: Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



và cạnh đáy

bằng

. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .

S ABCD

theo

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 30

Ví dụ 46: Cho hình chóp tam giác đều .

S ABC

có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



và cạnh đáy

bằng

. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp của hình chóp .

S ABC

theo

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 47: Cho hình chóp

S ABC

có đáy là tam giác vuông tại





SA ABC

 .

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu





ngoại tiếp hình chóp.

b) Cho

BC a





ABC

 

SA a

 . Tính bán kính của mặt cầu





ở trên.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 48: Cho

S ABC

có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng

. Các mặt





SAB





SAC

cùng vuông góc

với mặt đáy.

a) Chứng minh

vuông góc với mặt phẳng đáy.

b) Tính thể tích của khối chóp. Biết

SA a



, tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 31

Ví dụ 49: Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

  

có đáy

ABC

là tam giác đều. Mặt phẳng





A BC



tạo với mặt





ABC

góc



và diện tích tam giác





A BC



là

a) Tính thể tích khối lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 50: Cho khối lăng trụ đứng

ABC A B C

  

có đáy là tam giác

ABC

vuông tại



 

AC a



AC a





a) Tính thể tích khối lăng trụ.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 32

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 59. Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông tâm

, cạnh

và có chiều

cao

. Chứng tỏ:

là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

S ABCD

. Tính khoảng cách từ

đến





SCD

và khoảng cách giữa đường thẳng

và mặt phẳng





SCD

theo

Bài 60. Cho hình chóp .

S ABCD

, đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, các mặt chéo





SAC





SBD

là

tam giác đều. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 61. Cho hình chóp .

S ABC

có đáy là tam giác

ABC

vuông tại

, biết

2 2

AC AB a

 

và mặt bên

SAC

là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại

tiếp khối chóp .

S ABC

theo

Bài 62. Cho hình chóp .

S ABC

có

vuông góc mặt phẳng





SAB

. Cho

AB a



BC a



AC a



SA a



. Tính bán kính mặt cầu qua

theo

. Gọi

lần lượt là

trung điểm

. Tính thể tích khối chóp

MNABC

theo

Bài 63. Cho hình chóp .

S ABCD

đáy là hình thoi, cạnh bằng



ABC

 

. Biết

SA SB SC   .

Tính thể tích khối chóp .

S ABCD

theo

. Chứng tỏ hình chóp .

S ABCD

không nội tiếp được

trong một mặt cầu.

Bài 64. Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

. Tìm tâm và bán kính mặt cầu





ngoại tiếp hình chóp

trong các trường hợp sau:

a) Có tất cả các cạnh đều bằng

b) Cạnh bên

SA a



, cạnh đáy

AB a



c) Cạnh đáy

AB a



và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là



d) Cạnh bên

SB  và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là



e) Cạnh bên

SB  và góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là



Bài 65. Cho hình chóp

S ABC

có đáy là tam giác vuông tại





SB ABC

 .

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu





ngoại tiếp hình chóp.

b) Cho

AB a

 ,

AC a



SB a



. Tính bán kính của mặt cầu





ở trên.

Bài 66. Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

. Tìm tâm và bán kính mặt cầu





ngoại tiếp hình chóp

trong các trường hợp sau:

a) Tất cả các cạnh đều bằng a.

SA  ,

AB a



2 3

SA a

 và góc tạo bởi giữa cạnh bên và mặt đáy là



SA a



và góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy là



AB a



và góc giữa cạnh bên và mặt đáy là



Bài 67. Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

, có

AB a



, góc giữa mặt bên và mặt đáy là



a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm và tính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 33

Dạng 3. Vị trí tương đối

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

 Nếu

d R



thì





không cắt mặt cầu.

 Nếu

d R



thì





tiếp xúc với mặt cầu





tại

. Ta nói





là tiếp diện của mặt

cầu còn

là tiếp điểm của





và





 Nếu

d R



thì





cắt





theo giao tuyến là đường tròn nằm trên





có tâm

và bán kính

2 2

r R d

 

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

 Nếu

d R



thì



cắt mặt cầu





tại hai điểm phân biệt.

 Nếu

d R



thì



tiếp xúc với mặt cầu





tại một điểm, lúc đó



gọi là tiếp tuyến

của mặt cầu và

gọi là tiếp điểm của mặt cầu.

 Nếu

d R



thì



không cắt mặt cầu.

3. Tiếp tuyến của mặt cầu

 Qua một điểm

nằm trên mặt cầu





;

S O R

có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và các

tiếp tuyến này cùng nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại

 Qua một điểm

nằm ngoài mặt cầu





;

S O R

có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã

cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 51: Cho mặt cầu





;

S O R

và điểm

, với

OA R



, qua

kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với





tại

và cũng qua

kẻ một cát tuyến cắt





tại

và

với

CD R .

a) Tính

b) Tính khoảng cách từ

đến đường thẳng

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 34

Ví dụ 52: Cho hình lập phương cạnh

. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu tiếp xúc với cả 6

mặt của hình lập phương.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 53: Cho mặt cầu





;

S O R

. Cắt mặt cầu bởi mặt phẳng





sao cho khoảng cách từ

đến





bằng

. Xác định thiết diện của





và mặt cầu.

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 68. Cho khối cầu





;

S O R

có đường kính

. Trên đoạn

lấy điểm

sao cho



. Mặt

phẳng







qua

và vuông góc với

, cắt khối cầu theo hình tròn





a) Tính diện tích hình tròn





b) Gọi

CDE

là tam giác đều nội tiếp trong hình tròn





, tính thể tích các khối chóp

ACDE

và

B CDE

Bài 69. Cho mặt cầu





;

S O R

tiếp xúc với mặt phẳng





tại

. Lấy điểm

tùy ý trên





sao cho

ba điểm

, ,

O I M

không thẳng hàng. Từ

kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt

cầu





, hai tiếp tuyến này cắt





mp P

tại

và

. Chứng minh:

2 2 2

AB IA IB

 

Bài 70. Cho

ABC



có độ dài ba cạnh lần lượt là

13,14,15

. Một mặt cầu





S O tiếp xúc với ba cạnh

của tam giác tại các tiếp điểm thuộc ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng





ABC

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 35

Dạng 4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

 Diện tích mặt cầu





;

S O R

S = 4 R



 Thể tích khối cầu





;

S O R

V = R



2. Diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu

 Diện tích mặt cầu:





2 2

S Rh r h

 

  

 Thể tích khối cầu:

 

2 2 2

3 6

h h

V h R h r



 

   

 

 

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 54: Cho hình vuông

ABCD

cạnh

. Từ tâm

của hình vuông dựng đường thẳng



vuông góc

với mặt phẳng





ABCD

. Trên



lấy điểm

sao cho



a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp thình chóp

S ABCD

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 36

Ví dụ 55: Chứng minh công thức tính thể tích khối chỏm cầu và diện tích xung quanh của chỏm cầu như

hình vẽ.

.................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 71. Cho khối tứ diện đều

ABCD

cạnh

a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

ABCD

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu trên.

ĐS:

2 3

6 3 6

; ;

4 2 8

a a a

R S V

 

  

Bài 72. Cho tứ diện

SABC

có





SA ABC

 , hai mặt phẳng





SBC





SAB

vuông góc với nhau,

SB a





BSC







, 0

ASB



 

 

  

 

 

a) Chứng minh

SB BC



. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

SABC

b) Tính

SABC

V theo

và



. Tìm



để thể tích này lớn nhất.

Bài 73. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là

, cạng bên hợp với đáy một góc



a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp thình chóp.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

ĐS:

2 3

6 8 8 6

; ;

3 3 27

a a a

R S V

 

   .

Bài 74. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông và





SA ABCD

 . Mặt phẳng







qua

và

vuông góc với







cắt

lần lượt tại

, ,

B C D

  

a) Chứng minh rằng 7 điểm



cùng nằm trên một mặt cầu.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 37

Bài 75. Cho

ABC



cân tại

với

BC a



, đường cao



. Trên đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng





ABC

tại

, lấy 2 điểm

sao cho

AM AN

 

. Tính thể tích khối cầu ngoại

tiếp tứ diện

BCNM

Bài 76. Cho

ABC



đều cạnh

, vẽ

và

cùng vuông góc với





ABC

và nằm cùng phía đối với

mặt phẳng





ABC

. Gọi

là trung điểm

. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A DECI

Dạng 5. Một số bài toán vận dụng thực tế

A. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 56: Người ta cắt hai hình cầu bán kính lần lượt là

13cm



và

41cm

r  để làm hồ lô đựng

rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính bằng

5cm





và nút

uống là một hình trụ có bán kính đáy bằng

5 cm

, chiều cao bằng

4cm

. Hỏi hồ lô có đựng

được bao nhiêu lít rượu. (ĐS: 10,2 lít)

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 57: Một khối cầu có bán kính

5dm

, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông góc với

bán kính và cách tâm

3dm

để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 38

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 6

Bài 77. Cho hình chóp .

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

, các mặt bên là tam giác cân và tạo với đáy góc



. Tính theo

thể tích khối trụ có đáy là

ABCD

và đáy kia có tâm là

Bài 78. Tứ diện

OABC

có

đội một vuông góc. BIết

OA a



OB a



OC a



a) Tính diệm tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ có đường sinh

và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác

OAB

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh

và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Bài 79. Một hình trụ có bán kính đáy

và chiều cao

a) Tính tứ diện toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ theo

b) Cho

là 2 điểm lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy, sao cho góc giữa

và trục bằng



. Tính





;

d AB truc

theo

Bài 80. Hình trụ có thiết diện qua trục chính là hình vuông cạnh

. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể

tích khối trụ.

Bài 81. Hình nón có thiết diện qua trục là

đều cạnh

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón theo

b) Thiết diện qua đỉnh hình nón và nghiêng một góc



với đáy hình nón. Tính diện tích thiết diện

theo

Bài 82. Cho khối chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật, cho

vuông góc với mặt đáy





ABCD

. Biết

SA a



AB a



BC a



a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Bài 83. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, cạnh bên





SA ABC

 , góc giữa

mặt bên





SBC

và đáy bằng



a) Tính thể tích khối chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Bài 84. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, cạnh bên

vuông góc với

đáy,

SB a

 .

a) Tính thể tích khối chóp

S ABCD

b) Chứng minh trung điểm của cạnh

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SABCD

Bài 85. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC



vuông tại đỉnh





SA ABC

 . Biết

SA AB BC a

  

a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Bài 86. Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có

AB a



, góc cạnh bên và mặt đáy là



a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm mặt cầu và tính

khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 87. Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có

AB a



, góc mặt bên và mặt đáy là



a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm mặt cầu và tính V khối cầu ngoại tiếp hình chóp

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 39

Bài 88. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC



vuông tại đỉnh





SA ABC

 . Biết

SA a



và

AB AC a

 

a) Tính thể tích khối chóp

S ABC

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Bài 89. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng biết khoảng cách từ

tâm của đáy đến đường sinh bằng

và thiết diện qua trục là một tam giác đều.

ĐS:

8 3

12 ;

S V



 

Bài 90. Cho h.nón có đỉnh

, đường sinh

, góc giữa đường sinh và đáy là

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Một mặt phẳng qua

cắt hình nón theo thiết diện có diện tích

. Tính góc hợp bởi thiết

diện và đáy. ĐS:

2 3

;

2 8

l l

S V

 

  ;



 

( ),( ) arcsin

SMN O 

Bài 91. Cho hình nón có đấy là hình tròn





tâm

, bán kính

50cm



, chiều cao

40cm



. gọi

M N

là hai điểm trên đường tròn đáy. Cho biết tâm

cách mặt phẳng





SMN

một đoạn

24 cm



a) Tính diện tích của thiết diện

SMN

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

ĐS:

2 2 2

100.000

2000 (cm ); 2500 (cm ); (cm )

SMN xq

S S V





  

Bài 92. Cho hình nón có đáy là hình tròn





tâm

, bán kính

, góc giữa đườnh sinh và đáy của

hình nón là



. Một mp





song song với và cách đáy của hình nón một khoảng bằng

và

cắt hình nón theo một hình tròn







a) Tính bán kính của đường tròn







b) Tính diện tích và thể tích hình nón phần nằm giữa đáy hình nón và mặt phẳng





ĐS:

 

.cot ; 2 .cot ;

sin

R R h S R h



 





   

 

2 2 2

3 3 cot cot

V R R h



 

  

Bài 93. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều, cạnh

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng

. Tính

diện tích thiết diện. ĐS:

3 2

3 3 5

2 ; ;

6 8

xq SMN

a a

S a V S





  

Bài 94. Cho hình nón có bán kính đáy là

, đỉnh

. Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là



a) Tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với nhau.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

ĐS:

2 2 3

2 2 3 3

; ; ;

3 3 3

SMN xq

R R R

S S V

 



  

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 40

Bài 95. Cho hình nón có thiết diện qua trục là



vuông cân có cạnh huyền là

a) Tính

và thể tích của hình nón.

b) Gọi

là một điểm trên trục

của hình nón sao cho



. Tính diện tích thiết diện

qua

và vuông góc với

c) Tính khoảng cách từ

đến thiết diện qua đỉnh hình nón. Biết góc tạo bởi thiết diện và đáy

hình nón là



ĐS:

 

2 2

2; 2 1 ; ;

xq tp

S a S a V



 

   

 

; , .cos

S d O SMN a





 

Bài 96. Cho hình nón có bán kính đáy là

, đường cao

. Một mặt phẳng





cố định vuông góc với

tại



, cắt hình nón theo đường tròn có bán kính bằng



. Mặt phẳng





thay đổi vuông

góc với

tại

(

ở giữa

và



), cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính

là

. Hãy tính

theo

và



nếu





chia phần hình nón nằm giữa





và đáy của hình nón

thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS:

3 3

R R







Bài 97. Một mặt phẳng





đi qua đỉnh của một hình nón và cắt đường tròn đáy theo một cung có số

đo bằng



)

 

 

. Biết rằng





hợp với đáy một góc



và khoảng cách từ tâm của đáy

đến





bằng

. Tính thể tích của hình nón theo



và



ĐS:

2 2

3cos .sin .cos



  

 (đvtt)

Bài 98. Cho hình nón đỉnh

, đáy là hình tròn tâm

bán kính

R a



nằm trong mặt phẳng







, góc

ở đỉnh bằng

120



a) Một





mp P

qua

và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác

SMN

biết khoảng cách

từ

đến





mp P

bằng

. Tính diện tích xung quanh của hình nón, thể tích khối nón tương

ứng và diện tích thiết diện

SMN

b) Một





mp Q

song song với đáy của hình nón. Khoảng cách từ

đến





bằng

. Tính

theo

để thể tích của phần khối nón nằm giữa





và đáy của hình nón bằng

thể tích

khối nón trên. Khi đó hãy tính diện tích của phần mặt nón nằm giữa





và đáy của hình

nón.

ĐS: a)

2 3

8 3 8 3

; ;

3 9

a a

S V

 

 

13 13

SMN



 b)

 

2 2 3 8

; 3 12

3 3

a a

x S



  

Bài 99. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là





;

C O R

và





;

C O R

 

( ),

A C



( )

A C

 



a) Biết



, 90

OA O A

 

 

. Chứng minh tứ diện

OAO A

 

có bốn mặt đều là tam giác vuông.

b) Biết







, 90

OA O A

 

 

, góc giữa







, 60

AA OO

 

 

. Cho

OO h





. Tính diện tích xung quanh

và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 41

Bài 100. Cho lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có cạnh đáy

và đường cao

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Tính

thể tích của khối trụ tương ứng.

b) Gọi

là trung điểm

. Đường thẳng

A I



cắt hình trụ nội tiếp trong câu a) theo một đoạn

thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng này.

Bài 101. Một hình trụ có đường cao

và các đường tròn đáy





;

O R

và





;

O R



. Gọi

là một đường

kính cố định của





và

là một điểm bất kì trên







a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

MAB

khi

thay đổi trên



a) Gọi

là điểm đối xứng với

qua điểm



. Chứng minh rằng 2

ABMN ABO M

V V



 . Xác định

vị trí của

sao cho

ABMN

V đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị này.

Bài 102. Một hình trụ có thể tích

không đổi. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để:

a) Diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy đạt GTNN.

Bài 103. Cho hình trụ có bán kính đáy



, chiều cao



. Một hình vuông không song song với

trục có đỉnh lần lượt ở trên hai đường tròn đáy. Tính diện tích hình vuông đó.

Bài 104. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm

và



, bán kính là

, chiều cao là

. Trên 2

đường tròn

và



lấy 2 điểm

sao cho







,OA OB





không đổi.

a) Tính

theo

và



a) Chứng minh rằng khi

di động thì trung điểm

của

luôn di động trên 1 đường tròn

cố định.

Bài 105. Cho hình trụ có bán kính đáy là

và chiều cao

A B

là hai điểm trên 2 đường tròn đáy

sao cho

hợp với trục hình trụ một góc



. Tính khoảng cách giữa

và trục hình trụ.

Bài 106. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm

và



ABCD

là hình vuông nội tiếp đường tròn

tâm



là các đường sinh. Bán kính đáy của hình trụ là

, mặt phẳng

A B CD

 

hợp

với đáy một góc



. Tính diện tích tứ giác

A B CD

 

Bài 107. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm

và



. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.

Trên đường tròn





lấy điểm

, trên đường tròn

( )



lấy điểm B sao cho

AB a



. Tính

OO AB



Bài 108. Cho hình trụ có chiều cao

, 2 đường tròn đáy





và







có bán kính

. Trên





lấy dây

cung

có độ dài bằng

a) Tìm





M O



 sao cho

ABM



có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

a) Với vị trí của

ở trên, gọi

là trung điểm



. Tính





d I ABM

 

 

Bài 109. Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính

(đường tròn đáy hình trụ ở trên mặt cầu).

a) Biết chiều cao của hình trụ là

. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ theo

và

a) Tìm GTLN của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu có bán kính

cho trước.

Bài 110. Trong các hình trụ có cùng thể tích, hãy xác định hình trụ có thể tích nhỏ nhất.

Bài 111. Cho hình trụ có diện tích toàn phần là

. Xác định kích thước của khối trụ để thể tích khối trụ

này là lớn nhất.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 42

Bài 112. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là





;

O R

và





;

O R

 

OO h





. Biết

là một đường

kính của đường tròn





;

O R

. Biết rằng tam giác

O AB



đều. Tính tỉ số

Bài 113. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn





và







, chiều cao bằng

và bán kính đáy

. Một mặt phẳng







đi qua trung điểm của



và tạo với



một góc









cắt

đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo

Bài 114. Trong không gian, cho hình thang vuông

ABCD

(vuông tại

A D

) có

3, 1.

AB DC AD

  

Tính thể tích

của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang

ABCD

xung quanh trục

Bài 115. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục

Bài 116. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối





như hình vẽ bên. Biết rằng thiết

diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng

, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt

đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).

Tính thể tích của





Bài 117. Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là

, độ dài đường sinh là

R và hình trụ có

chiều cao và đường kính đáy đều bằng

, lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần khối

trụ không giao với khối nón.



 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 43

Bài 118. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm

và tâm

. Bán kính đáy bằng chiều cao và

bằng

. Trên đường tròn tâm

lấy điểm

và trên đường tròn tâm

lấy điểm

sao cho

AB a



. Tính thể tích khối tứ diện

OO AB



Bài 119. Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính

, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt

viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể

của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

Bài 120. Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình

chiếu bằng và hình chiếu đứng).

Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ

bề mặt cần số

tiền

150000

đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ

10000

chi tiết máy là bao nhiêu? (làm

tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).

Bài 121. Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính



và chiều dài

3 m



thành một cái xà

hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Tính thể tích gỗ tối thiểu bỏ đi.

10 cm

Hình v

ẽ

Hình v

ẽ

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 44

Bài 122. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay





, một mặt phẳng chứa trục của





cắt





theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của





(đơn vị

Bài 123. Một đống cát hình nón cụt có chiều cao



, bán kính đáy lớn



, bán kính đáy

nhỏ



. Tính thể tích của đống cát.

Bài 124. Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao

12cm

, đường kính đáy

4cm

, lượng nước

trong cốc cao

8cm

. Thả vào cốc nước

viên bi có cùng đường kính

2cm

. Hỏi nước dâng cao

cách miệng cốc bao nhiêu xăng-ti-mét?

Bài 125. Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ bằng

, đáy lớn

bằng

, cạnh bên bằng

; có chiều cao bằng

2 3

. Người ta chế tác khúc gỗ đó thành một

khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích

lớn nhất của khúc gỗ sau khi được chế

tác là bao nhiêu?

Bài 126. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh

của một

hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích

của vật thể tròn xoay

khi quay mô hình trên xung quanh trục

Bài 127. Người ta xếp

viên bi có cùng bán kính

vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi

đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với

viên bi xung quanh và mỗi viên bi

2a 3

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 45

xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Tính diện tích đáy của cái bình

hình trụ.

Bài 128. Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh

chứa đầy nước. Đặt vào

trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy

khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra

ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.

Bài 129. Một đơn vị sản xuất hộp đựng thuốc dung tích 2 dm

dạng hình trụ có đáy là hình tròn. Tính

bán kính đáy của hình hộp mà nhà sản xuất chọn để ít tốn vất liệu nhất?

Bài 130. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp

(nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là

ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp

là

4 dm

Bài 131. Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích

150 m

. Đáy bể làm bằng bê tông giá

100000

đ/m

Phần thân làm bằng tôn giá

90000

đ/m

, nắp bằng nhôm giá

120000

đ/m

. Hỏi khi chi phí sản

suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?

Bài 132. Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa

cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện

qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).

Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Bài 133. Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng

4,2m.

Trong đó,

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng

40cm

cây cột còn lại bên thân nhà có đường

kính bằng

26cm

. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn

cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn

giả đá là

380.000

đ/m

(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để

sơn cột

cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

Bài 134. Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình lập phương. Tỉ số

thể tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng bàn và thể tích hình

hộp là:

13,2cm

1cm

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 46

Bài 135. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải

cần có để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa)

Bài 136. Người ta bỏ

quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn

tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng

lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi

là

tổng diện tích của

quả bóng bàn,

là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

là :

Bài 137. Một ngôi biệt thự có

cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng

4,2 m

. Trong

đó,

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng

40cm

cây cột còn lại bên thân nhà có

đường kính bằng

26cm

. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn

cây cột đó. Nếu giá của một

loại sơn giả đá là

380.000

đ/m

(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu

tiền để sơn

cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?

Bài 138. Một ngôi biệt thự nhỏ có

cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng

4,2m

Trong đó có

cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng

40cm

cây cột còn lại bên thân

nhà có đường kính bằng

26cm

. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn

cây cột đó. Nếu giá

của một loại sơn giả đá là

380.000

đ/m

(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao

nhiêu tiền để sơn cột

cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?

Bài 139. Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp

chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi

quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền

nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài mỗi đường kình của hai quả bóng đó là

Bài 140. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước

được ghi (cùng đơn vị

). Tính thể tích của bồn chứa.

Bài 141. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính

MN PQ

của hai đáy sao cho



MN PQ

Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua

trong

điểm

, , ,

M N P Q

để

thu được khối đá có hình tứ diện

MNPQ

. Biết rằng

60 cm



và thể tích khối tứ diện

MNPQ

. bằng

30dm .

Hãy tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 47

Bài 142. Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác

đều

ABC

có cạnh bằng





90 cm

. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật

MNPQ

từ mảnh tôn

nguyên liệu (với

thuộc cạnh

;

và

tương ứng thuộc cạnh

và

) để tạo

thành hình trụ có chiều cao bằng

. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm

được là:

Bài 143. Cho hình chữ nhật

ABCD

và nửa đường tròn đường kính

như hình vẽ. Gọi

I J

lần lượt

là trung điểm của

AB CD

. Biết

4; 6

AB AD

 

. Tính thể tích

của vật thể tròn xoay khi

quay mô hình trên quanh trục

Bài 144. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn

được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống

trong hộp chiếm:

Bài 145. Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên

chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng

chiều cao của nó. Gọi

lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

Bài 146. Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao



, bán kính đáy R. Đặt vào trong cốc 2 quả bóng hình

cầu có bán kính R. Gọi





ABC

là phần không gian mà 2 quả bóng chiếm chỗ và

là phần

không gian còn lại trong cốc. Tính tỉ số

AA AB a



 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 48

Bài 147. Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là

20cm

bán kính đáy cốc là

4cm

, bán kính miệng cốc là

5cm

. Một con kiến đang đứng ở điểm

của

miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm

. Quãng đường

ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào

dưới đây?

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 49

BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐH - CĐ

Bài 148. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm

và



, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng

Trên đường tròn đáy tâm

lấy điểm

, trên đường tròn đáy tâm



lấy điểm

sao cho

AB a



. Tính thể tích của khối tứ diện

OO AB



ĐH Khối A – 2006 ĐS:

(đvtt)

Bài 149. Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có

AB a



, góc giữa hai mặt phẳng





A BC



và





ABC

bằng



. Gọi

là trọng tâm tam giác

A BC



. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và

tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC

theo

ĐH Khối B – 2010 ĐS:

3a 3

V =

(đvtt),

Bài 150. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB a



;

SA SB SC

 

Góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng





ABC

bằng



. Tính thể tính khối chóp

S ABC

và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

theo

CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS:

3 /3

V a (đvtt),

2 3 /3

R a

Bài 151. Cho tứ diện

SABC

có





SA ABC

 , góc giữa hai mặt phẳng





SAB

và





SBC

bằng



. Biết

SB a





BSC

 



ASB





0 0

)

(



 

 

a) Chứng minh rằng

BC SB



. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện

SABC

b) Tính

SABC

V . Với giá trị nào của



thì thể tích đó lớn nhất.

c) Xác định



để góc giữa hai mặt phẳng





SBC

và





SAC

bằng



ĐH Sư phạm TpHCM - 94

ĐS: a)

R a



; b)

max

1 2

2sin2 ; 45

3 3

V a V

 

    

arctan





Bài 152. Cho hình chóp

S ABC

có đáy là tam giác

ABC

cân,

AB AC a

 

, mặt phẳng





SBC

vuông

góc với mặt phẳng





ABC

và

SA SB a

 

a) Chứng tỏ rằng

SBC

là tam giác vuông tại

b) Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

, biết

SC x



ĐH Tổng hợp TpHCM - 94 ĐS: b)

2 2 2

/ 3

R a a x

 

Bài 153. Trong mặt phẳng





cho một đường thẳng

và điểm

ngoài

. Một góc



xAy

di động quay

quanh

, cắt

tại

và

. Trên đường thẳng qua

và vuông góc với





lấy một điểm

Gọi

và

lần lượt là các hình chiếu vuông góc của

lên

và

a) Chứng minh

, , , ,

A B C H K

cùng thuộc một mặt cầu.

b) Tính bán kính mặt cầu trên biết





BAC

 

c) Giả sử

ABC



vuông tại

. Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

ABCHK

luôn luôn

đi qua một đường tròn cố định khi

thay đổi.

ĐH Y Dược TpHCM - 94 ĐS: b)

21/3

R 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 50

Bài 154. Cho góc tam diện

Sxyz

với



120

xSy

 



ySz

 



zSx

 

. Trên các tia

lần

lượt lấy các điểm

, ,

A B C

sao cho:

SA SB SC a

  

a) Chứng tỏ rằng tam giác

ABC

vuông. Xác định hình chiếu vuông góc

của

lên mặt

phẳng





ABC

b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện

SABC

theo

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng





SAC

và





BAC

ĐH Sư phạm TpHCM - 95 ĐS: b)





2 / 2 1 2 3

r a  

; c)

Bài 155. Cho tứ diện

ABCD

có

AB BC CA AD DB a    

và

CD a



a) Chứng minh rằng

vuông góc với

. Hãy xác định đường vuông góc chung của

và

b) Tính thể tích tứ diện

ABCD

c) Xác định tâm

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

d) Gọi điểm

là hình chiếu vuông góc của điểm

trên mặt phẳng





ABC

. Chứng minh

là

trực tâm của tam giác

ABC

ĐH Qui Nhơn - 97 ĐS: b)

V a

 ; c)

là trung điểm

Bài 156. Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

có đường cao



và đáy

ABC

có cạnh bằng

2 6

Điểm

M N

lần lượt là trung điểm của cạnh

AC AB

. Tính

S AMN

V và bán kính mặt cầu nội tiếp

hình chóp đó.

ĐH Kinh tế QD HN - 97 ĐS:

3/2

V  ;





3/ 1+2 2+ 3

r 

Bài 157. Cho tam giác vuông cân

ABC

có cạnh huyền

AB a



. Trên đường thẳng

đi qua

và

vuông góc với mặt phẳng





ABC

, lấy một điểm

khác

a) Chứng minh tứ diện

SABC

chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

SABC

. Tính bán kính mặt cầu này mặt phẳng





SBC

tạo với mặt phẳng





ABC

một góc



c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện

SABC

khi

chạy trên

(

khác

d) Lấy



đối xứng với

qua

, gọi

là trung điểm của

. Xác định thiết diện tạo bởi mặt

phẳng đi qua



và song song với

cắt tứ diện

SABC

. Tính diện tích của thiết diện

đó khi

SA a



ĐH Vinh - 97 ĐS: b)

42 / 6

R a

; d)

5 10 / 36

S a

Bài 158. Cho góc tam diện ba mặt vuông

Oxyz

. Trên

, ,

Ox Oy Oz

lần lượt lấy ba điểm

, ,

A B C

a) Tính





d O ABC

 

 

theo

OA a



OB b



OC c



b) Giả sử

cố định còn

và

thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:

OB OC OA

 

. Hãy xác định

vị trí của

và

sao cho thể tích tứ diện

OABC

là lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC

lại nhỏ nhất.

ĐH Ngoại thương CSII khối A - 98

ĐS: a)

2 2 2 2 2 2

abc a b b c c a

 

max

/ 24 / 2

V a khi a b a

  

Bài 159. Cho đường tròn tâm

bán kính

. Xét các hình chóp

S ABCD

có

vuông góc với đáy (

và

cố định),

SA h



cho trước, đáy

ABCD

là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho

mà các đường chéo

và

vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 51

b) Hỏi đáy

ABCD

là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất ?

ĐH Quốc gia HN khối B - 98 ĐS: a)

2 2

4 / 2

R h R



  ; b) Hình vuông

Bài 160. Cho hình nón đỉnh

, đáy là đường tròn





bán kính

, chiều cao

h  và cho hình chóp

đỉnh

, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp





. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt

cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp). Biết thể tích

khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.

HV CNBCVT - 98 ĐS:

/ 3; 9

r a S a



 

Bài 161. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông

ABCD

cạnh

nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp

A B

nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy

thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc

. Tính diện tích

xung quanh và thể tích của hình trụ đó.

ĐH Ngoại ngữ HN - 99 ĐS:

3 3 / 2

S a



 ;

3 2 /16

V a





Bài 162. Cho tứ diện

SABC

có các cạnh bên

SA SB SC d

  

và



120

ASB

 



BSC

 



ASC

 

a) Chứng minh tam giác

ABC

là tam giác vuông.

b) Tính thể tích tứ diện

SABC

c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện

SABC

HV Chính trị QG - 99 ĐS: b)

2 /12

V d

; c)





2 / 2 3 2 1

r d

 

  

 

Bài 163. Cho hình chóp

S ABC

có

, ,

SA SB SC

vuông góc với nhau từng đôi một và

SA a



SB b



SC c



a) Tính thể tích hình chóp

S ABC

. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của

trên





ABC

là trực tâm của tam giác

ABC

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

ĐH Bách khoa HN - 00 ĐS: a)

/ 6

V abc



; b)

2 2 2

/ 2

R a b c  

Bài 164. Cho hai hình chữ nhật

ABCD

(

là đường chéo) và

ABEF

(

là đường chéo) không

cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện:

AB a



AD AF a

 

; đường

thẳng

vuông góc với đường

thẳng

. Gọi

là đường vuông góc chung của

và

(

thuộc

)

a) Gọi

là giao điểm của

với mặt phẳng chứa

và song song với

. Tính tỉ số

b) Tính độ dài đoạn

c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

ABHK

ĐH Sư phạm HN Khối A - 01 ĐS: a)



; b)

; c)

3( 2 1)





Bài 165. Trong mặt phẳng





cho tam giác đều

ABC

cạnh có độ dài bằng

. Trên các đường thẳng

vuông góc với





tại

và

lần lượt lấy các điểm

và

nằm về cùng một phía đối với





sao cho

3 / 2, 3

BD a CE a

  .

a) Tính độ dài các cạnh

của tam giác

ADE

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCE

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 52

c) Gọi

là giao điểm của các đường

và

. Chứng minh đường thẳng

vuông góc

với mặt phẳng





ACE

. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng





ADE

và





ABC

ĐH BK HN Khối D - 01 ĐS: a)

7/2, 2 , 7/2

AD a AE a DE a   ;b)

39/6

R a ; c)



Bài 166. Trong mặt phẳng





, cho một hình vuông

ABCD

có cạnh bằng

là một điểm bất kì nằm

trên đường thẳng

vuông góc với





tại

a) Tính theo

thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

khi

SA a



M N

lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh

CB CD

(

thuộc

) và

đặt

CM m



CN n



. Tìm một biểu thức liên hệ giữa

và

để các mặt phẳng





SAM

và





SAN

tạo với nhau một góc



ĐH Luật, Dược HN - 01 ĐS: a)

V a



 ; b)

2 2 ( ) 0

a a m n mn

   

Bài 167. Cho hình lập phương

1 1 1 1

ABCD A B C D

có các cạnh bên

và độ dài cạnh

AB a



. Cho các điểm

M N

trên cạnh

sao cho

CM MN NC

  . Xét mặt cầu





đi

qua 4 điểm

và

a) Chứng minh rằng các đỉnh

và

thuộc mặt cầu





b) Hãy tính độ dài bán kính mặt cầu





theo

ĐH An Giang khối A, B - 01 ĐS:

211/18

;

Bài 168. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Trên

lấy điểm

, trên



lấy

điểm

, trên

D A

 

lấy điểm

sao cho

AM CN D P x



  





x a

 

a) Chứng minh rằng tam giác

MNP

là tam giác đều. Tính diện tích tam giác

MNP

theo

và

. Tìm

để diện tích ấy nhỏ nhất.

b) Khi



, hãy tính thể tích khối tứ diện

B MNP



và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ấy.

ĐH Hàng hải - 01 ĐS: a)

2 2

3( ) / 2

MNP

S a x ax   ;

min

3 3 /8 / 2

S a khi x a

  b)

3 /16

V a ;

5 3 /12

R a

Bài 169. Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có cạnh bên bằng

và mặt chéo





SAC

là tam giác đều.

a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

b) Qua

dựng mặt phẳng

( )



vuông góc với

. Tính diện tích thiết diện tạo bởi

( )



và

hình chóp.

CĐ Sư phạm Khối A - 02 ĐS:

3 / 3

R a ;

3 / 6

S a (đvdt)

Bài 170. Cho hình chóp tứ giác

S ABCD

có độ dài tất cả các cạnh đều bằng

. Chứng minh rằng:

a) Đáy

ABCD

là hình vuông.

b) Năm điểm

, , , ,

S A B C D

cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.

CĐ Sư phạm Hà Tĩnh - 02 ĐS:

2 / 2

R a

Bài 171. Cho hai mặt phẳng





và





vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng



. Trên



lấy hai điểm

A B

với

AB a



. Trong mặt phẳng





lấy điểm

, trong mặt phẳng





lấy

điểm

sao cho

AC BD

cùng vuông góc với



và

AC BD AB

 

. Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện

ABCD

và tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng





BCD

theo

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 53

ĐH Khối D - 03 ĐS:

3 / 2; 2 / 2

a a

Bài 172. Cho tứ diện

ABCD

có

AB AC a

 

BC b



. Hai mặt phẳng





BCD

và





ABC

vuông góc

với nhau và góc



BDC

 

. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

theo

và

Dự bị 1 ĐH Khối A - 03 ĐS:

2 2 2

/ 4

R a a b

 

Bài 173. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm

và



, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng

Trên đường tròn đáy tâm

lấy điểm

, trên đường tròn đáy tâm



lấy điểm

sao

cho

AB a



. Tính thể tích của khối tứ diện

OO AB



ĐH Khối A - 06 ĐS:

3 /12

a (đvtt)

Bài 174. Trong mặt phẳng





, cho hình vuông

ABCD

. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng





lấy một điểm S bất kỳ, dựng mặt phẳng





đi qua

và vuông góc với

. Mặt phẳng





cắt

, ,

SB SC SD

lần lượt tại

, ,

B C D

  

. Chứng minh rằng các điểm



cùng nằm trên một mặt cầu cố định.

CĐ KTKT CN2 - 06

ĐS: Mặt cầu đường kính

Bài 175. Cho hình nón có đường cao

. Một mặt phẳng

( )



đi qua đỉnh

của hình nón tạo với mặt đáy

hình nó một góc



, đi qua hai đường sinh

SA SB

của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón

theo dây cung

, cung

có số đo bằng

. Tính diện tích thiết diện

SAB

CĐ KTKT CN1 - 06 ĐS:

2 / 3 3

h (đvdt)

Bài 176. Cho hình chóp

S ABC

. Đáy

ABC

là tam giác vuông tại

, cạnh

vuông góc với đáy,



ACB

 

BC a



SA a

 . Gọi

là trung điểm cạnh

. Chứng minh mặt phẳng





SAB

vuông góc với mặt phẳng





SBC

. Tính thể tích khối tứ diện

MABC

CĐ KT Y tế I - 06 ĐS:

/ 4

V a (đvtt)

Bài 177. Cho tứ diện

ABCD

có

AB BC CA AD DB a    

và

CD a



a) Chứng minh rằng

vuông góc với

. Hãy xác định đường vuông góc chung của

và

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

CĐ Kinh tế Kỹ thuật CN2 - 07

Bài 178. Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có

AB a



, góc giữa hai mặt phẳng





A BC



và





ABC

bằng



. Gọi

là trọng tâm tam giác

A BC



. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và

tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC

theo

ĐH Khối B - 10 ĐS:

3 3 /8

V a (đvtt),

7 /12

R a



Bài 179. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB a



;

SA SB SC

 

Góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng





ABC

bằng



. Tính thể tính khối chóp

S ABC

và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

theo

CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS:

3 /3

V a (đvtt),

2 3 /3

R a

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 54

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN

Câu 1. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh

, diện tích xung quanh là

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích

. Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng ?

2 1

2 3

S S

 . B.

1 2

S S

 . C.

2 1

S S

 . D.

1 2

S S



Câu 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh

, có thể tích

và hình cầu có

đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích

. Khi đó, tỉ số thể tích

bằng bao nhiêu?



. B.



. C.



. D.



Câu 3. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy

và đường cao là



. B.

2 3



. C.



. D.



Câu 4. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng

Tính diện tích xung quanh của hình nón.



. B.



. C.



. D.

2 2



Câu 5. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh

là tam giác vuông cân

SAB

có cạnh cạnh huyền bằng

. Diện tích toàn phần

của hình nón và thể tích

của khối nón tương ứng đã cho là

2 3

(1 2) 2

;

2 12

a a

S V

 



  . B.

2 3

2 2

;

2 4

a a

S V

 

  .

(1 2);

S a V



   . D.

2 3

( 2 1)

;

2 12

a a

S V

 



  .

Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là

là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng



. Diện tích xung quanh

của hình nón và

thể tích

của khối nón tương ứng là

;

S a V



  . B.

2 3

;

2 12

a a

S V

 

  .

S a V



  . D.

;

S a V



  .

Câu 7. Một hình nón có đường kính đáy là

2 3

, góc ở đỉnh là

120



. Tính thể tích của khối nón đó

theo



. B.



. C.

2 3



. D.



Câu 8. Trong không gian, cho tam giác

ABC

vuông tại

AB a



và

AC a

 . Tính độ dài đường

sinh

của hình nón, nhận được khi quay tam giác

ABC

xung quanh trục

l a



. B.

l a



. C.

l a

 . D.

l a



Câu 9. Một hình nón có chiều cao



cm, bán kính đáy



cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có

khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là

cm. Tính diện tích thiết diện đó.

450 2

. B.

500 2

. C.

500

. D.

125 34

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 55

Câu 10. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh là

. Hãy tính diện tích xung quanh

và thể

tích

của khối nón có đỉnh là tâm

của hình vuông

ABCD

và đáy là hình tròn nội tiếp hình

vuông

A B C D

   

2 3

;

2 12

a a

S V

 

  . B.

2 3

;

4 4

a a

S V

 

  .

2 3

;

2 6

a a

S V

 

  . D.

S a V



  .

Câu 11. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh

là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền

bằng

. Kẻ dây cung

của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp





SBC

tạo với mặt

phẳng chứa đáy hình nón một góc



. Diện tích tam giác

SBC

tính theo

là

. B.

. C.

. D.

Câu 12. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là

là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng



. Gọi

là một điểm trên đường cao

của

hình nón sao cho tỉ số



. Khi đó, diện tích của thiết diện qua

và vuông góc với trục

của hình nón là



. B.



. C.



. D.



Câu 13. Cho hình nón đỉnh

với đáy là đường tròn tâm

bán kính

. Gọi

là một điểm nằm trên

mặt phẳng đáy sao cho

OI R . Giả sử

là điểm nằm trên đường tròn





;

O R

sao cho

OA OI



. Biết rằng tam giác

SAI

vuông cân tại

. Khi đó, diện tích xung quanh

của hình

nón và thể tích

của khối nón là

S R V



  . B.

2 ;

S R V



  .

2 3

;

2 6

R R

S V

 

  . D.

;

S R V



  .

Câu 14. Một hình nón đỉnh

có bán kính đáy bằng

, góc ở đỉnh là

120



. Thiết diện qua đỉnh của

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất

max

của thiết điện đó là bao nhiêu ?

max

S a

 . B.

max

S a . C.

max

S a

 . D.

max

S  .

Câu 15. Bán kính

của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh

là

r  . B.

r  . C.

r  . D.

r  .

Câu 16. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính

là

. B.

. C.

4 3

. D.

2 3

Câu 17. Cho hình nón có chiều cao

. Tính chiều cao

của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong

hình nón theo



. B.



. C.

x  . D.

x 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 56

Câu 18. Cho hình nón đỉnh

, chiều cao là

. Một khối nón khác có đỉnh

là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy

của hình nón đỉnh

đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao

của khối

nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết

x h

 



. B.

x h

 .

x  . D.

x  .

Câu 19. Cho một hình nón có bán kính đáy là

, chiều cao là

, ngoại tiếp một hình cầu





;

S O r

Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu





;

S O r

là

 

5 1





. B.

1 2 5





. C.

 

1 5





. D.

2 5 1





Câu 20. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng

thì bán kính

và chiều cao

của

khối trụ có thể tích lớn nhất là

;

2 2 2

S S

R h

 

  . B. ;

4 4

S S

R h

 

  .

2 2

; 4

3 3

S S

R h

 

  . D. ; 2

6 6

S S

R h

 

  .

Câu 21. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng

. Khi đó thể tích của khối nón bằng

2 2



. B.



. C.

4 2



. D.



Câu 22. Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

   

có

AB a



BC a

 ,

AA a



 . Gọi

là thể tích

hình nón sinh ra khi quay tam giác

AA C



quanh trục



. Khi đó

bằng

2 5



 . B.



 .

4 5



 . D.

4 3



 .

Câu 23. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc



và độ dài đường sinh bằng

. Khi đó diện

tích toàn phần của hình nón bằng

2 2

2 cos .cos

S l



 

 . B.

2 2

2 cos .sin

S l



 

 .

2 2

cos .cos

S l



 

 . D.

2 2

cos .cos

2 2

S l



 

 .

Câu 24. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng

. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam

giác có góc ở đỉnh bằng

120



. Gọi

là thể tích khối nón. Khi đó

bằng





. B.



 . C.



 . D.





Câu 25. Cho hình lăng trụ tứ giác đều

ABCD A B C D

   

có cạnh đáy bằng

, chiều cao

. Biết rằng



là tâm của

A B C D

   

và





là đường tròn nội tiếp đáy

ABCD

. Diện tích xung quanh của

hình nón có đỉnh



và đáy









. B.





. C.





. D.

3 2



 .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 57

Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ

Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy

, chiều cao

và thể tích

; một hình

nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn

lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích

. Khẳng định nào sau

đây là khẳng định đúng ?

2 1

V V

 . B.

1 2

V V

 . C.

1 2

V V

 . D.

2 1

V V



Câu 27. Tính thể tích

của khối trụ có bán kính đáy

, chiều cao là

V R h



 . B.

V Rh



 . C.

V Rh



 . D.

V Rh





Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy

, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung

quanh của hình trụ.



. B.



. C.



. D.



Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy

và đường cao





2 3 1





. B.



. C.





1 3





. D.





2 1 3





Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng

và thiết diện đi qua trục là

một hình vuông.



. B.



. C.



. D.



Câu 31. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng

6 (cm)



và thiết diện đi qua trục

là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng

10 (cm)

48 (cm )



. B.

24 (cm )



. C.

72 (cm )



. D.

18 3472 (cm )

 

Câu 32. Trong không gian, cho hình chữ nhật

ABCD

có



và



. Gọi

lần lượt là

trung điểm của

và

. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục

, ta được một hình

trụ. Tính diện tích toàn phần

của hình trụ đó.



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 33. Cho hình trụ có bán kính đáy là

, thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khối

lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo

. B.

2 2

. C.

4 2

. D.

Câu 34. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước

50cm 240cm



, người ta làm các thùng đựng nước

hình trụ có chiều cao bằng

50cm

, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung

quanh của thùng.

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm

bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung

quanh của một thùng.

Kí hiệu

là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và

là tổng thể tích của hai thùng gò

được theo cách 2. Tính tỉ số



. B.



. C.



. D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 58

Câu 35. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt

đáy theo hai dây cung song song

A B

 

mà

6cm

AB A B

 

 

. Biết diện tích tứ giác

ABB A

 

bằng

60cm

. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.

6 2

cm. B.

4 3

cm. C.

8 2

cm. D.

5 3

cm.

Câu 36. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn





;

O R

và





;

O R



. Tồn tại dây cung AB

thuộc đường tròn





sao cho

O AB





là tam giác đều và mặt phẳng





O AB



hợp với mặt

phẳng chứa đường tròn





một góc



. Khi đó, diện tích xung quanh

hình trụ và thể

tích

của khối trụ tương ứng là

2 3

4 2 7

;

7 7

R R

S V

 

  . B.

2 3

6 7 3 7

;

7 7

R R

S V

 

  .

2 3

3 2 7

;

R R

S V

 

  . D.

2 3

3 7 7

;

7 7

R R

S V

 

  .

Câu 37. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông

ABCD

cạnh

có hai đỉnh liên tiếp

nằm trên

đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình

trụ. Mặt phẳng





ABCD

tạo với đáy hình trụ góc



. Diện tích xung quanh

hình trụ và

thể tích

của khối trụ là

2 3

3 3 2

;

3 8

a a

S V



  . B.

2 3

2 3 2

;

3 32

a a

S V



  .

2 3

3 3 3

;

4 16

a a

S V



  . D.

2 3

3 3 2

;

2 16

a a

S V



  .

Câu 38. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông

ABCD

cạnh

2 3cm

với

là đường kính

của đường tròn đáy tâm

. Gọi

là điểm thuộc cung



sao cho



ABM

 

. Khi đó, thể

tích

của khối tứ diện

ACDM

là

6 3(cm )

V  . B.

2 3(cm )

V  . C.

6(cm )

V  . D.

3(cm )

V  .

Câu 39. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Gọi

là diện tích xung quanh của hình

trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông

ABDC

và

A B C D

   

. Khi đó

bằng

S a



 . B.

S a



 . C.



 . D.



 .

Câu 40. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng



và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi

đó thể tích khối trụ tương ứng bằng



Câu 41. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng

. Gọi

là thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng

trụ nói trên. Khi đó

bằng



 B.





3 3



 D.





Câu 42. Trong không gian cho hình vuông

ABCD

cạnh

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của các

cạnh

và

. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục

ta được một hình trụ tròn

xoay.Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng



. B.



. C.



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 59

Câu 43. Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh

bằng

. Thể tích của khối trụ đó bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 44. Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn

đáy

bằng

R h

. B.

R h

. C.

R h

. D.

R h

Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU

Câu 45. Cho một mặt cầu có diện tích là

, thể tích khối cầu đó là

. Tính bán kính

của mặt cầu.

 . B.

 . C.

 . D.

 .

Câu 46. Cho mặt cầu





;

S O R

và điểm

cố định với

OA d



. Qua

, kẻ đường thẳng



tiếp xúc với

mặt cầu





;

S O R

tại

. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng

2 2

R d

 . B.

2 2

d R

 . C.

2 2

R d

 . D.

2 2

d R

 .

Câu 47. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

. Gọi





là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình

hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu





theo





2 2 2

a b c



  . B.





2 2 2

a b c



  . C.





2 2 2

a b c



  . D.

 

2 2 2

a b c



  .

Câu 48. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

. Gọi





là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình

hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu





là

A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.

B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.

C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.

D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 49. Cho mặt cầu





;

S O R

và đường thẳng



. Biết khoảng cách từ

tới



bằng

. Đường thẳng



tiếp xúc với





;

S O R

khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

d R



. B.

d R



. C.

d R



. D.

d R



Câu 50. Cho đường tròn





và điểm

nằm ngoài mặt phẳng chứa





. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu

chứa đường tròn





và đi qua

. B.

. C.

. D. vô số.

Câu 51. Cho hai điểm

A B

phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua

và

là

A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

. B. đường thẳng trung trực của

C. mặt phẳng song song với đường thẳng

. D. trung điểm của đoạn thẳng

Câu 52. Cho mặt cầu





;

S O R

và mặt phẳng







. Biết khoảng cách từ

tới







bằng

. Nếu

d R



thì

giao tuyến của mặt phẳng







với mặt cầu





;

S O R

là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

. B.

2 2

R d

 . C.

2 2

R d

 . D.

2 2

R d

 .

Câu 53. Từ điểm

nằm ngoài mặt cầu





;

S O R

có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 60

Câu 54. Một đường thẳng

thay đổi qua

và tiếp xúc với mặt cầu





;

S O R

tại

. Gọi

là hình

chiếu của

lên đường thẳng

thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?

A. Mặt phẳng qua

và vuông góc với

. B. Mặt phẳng trung trực của

C. Mặt phẳng qua

và vuông góc với

. D. Mặt phẳng qua

và vuông góc với

Câu 55. Một đường thẳng thay đổi

qua

và tiếp xúc với mặt cầu





;

S O R

tại

. Gọi

là hình

chiếu của

lên đường thẳng

. Biết

OA R



. Độ dài đoạn thẳng

tính theo

là

. B.

. C.

2 3

. D.

3 3

Câu 56. Thể tích của một khối cầu là

113 cm

thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy



 )

6cm

. B.

2cm

. C.

4cm

. D.

3cm

Câu 57. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu

dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính

11m

thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy



 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

379,94 (m )

. B.

697,19 (m )

. C.

190,14cm

. D.

95,07 (m )

Câu 58. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có độ dài mỗi cạnh là

10cm

. Gọi

là tâm mặt cầu đi

qua

đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích

của mặt cầu và thể tích

của hình cầu là

2 3

150 (cm ); 125 3(cm )

S V



  . B.

2 3

100 3 (cm ); 500(cm )

S V



  .

2 3

300 (cm ); 500 3(cm )

S V



  . D.

2 3

250 (cm ); 500 6 (cm )

S V



  .

Câu 59. Cho đường tròn





ngoại tiếp một tam giác đều

ABC

có cạnh bằng

, chiều cao

. Quay

đường tròn





xung quanh trục

, ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là



. B.



. C.

4 3



. D.



Câu 60. Cho tam giác

ABC

vuông tại

có

BC a



và



 

. Quay tam giác vuông này quanh

trục

, ta được một hình nón đỉnh

. Gọi

là diện tích toàn phần của hình nón đó và

là

diện tích mặt cầu có đường kính

. Khi đó, tỉ số

là



. B.



. C.



. D.



Câu 61. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh

. B.

. C.

. D.

Câu 62. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

S ABC

, biết các cạnh đáy có độ

dài bằng

, cạnh bên

SA a

 .

2 3

. B.

3 3

2 2

. C.

. D.

3 6

Câu 63. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

2 14

. B.

2 7

. C.

2 7

3 2

. D.

2 2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 61

Câu 64. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên

SAB

là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại

tiếp hình chóp đã cho.



 . B.

5 15



 . C.

4 3



 . D.

5 15



 .

Câu 65. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

. Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

. B.

. C.

2 3

. D.

Câu 66. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng

a . Gọi

là thể tích khối cầu và

là

diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích

S V

bằng

2 5

3 3

S V



 B.

2 5

S V





2 5

S V





2 5

3 6

S V





Câu 67. Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng



. B.

2 3



. C.



. D.

2 3



Câu 68. Cho tứ diện

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

với

AB a



BC a







SA ABC

 , cạnh bên

tạo với đáy góc



. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp

S ABC

là





. B.





. C.





. D.

500





Câu 69. Cho tứ diện

S ABC

có

vuông góc với nhau từng đôi một,



. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

S ABC

bằng



. B.



. C.



. D.

100



Vấn đề 4. TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP

Câu 70. Thể tích

của khối trụ có bán kính đáy

và độ dài đường sinh

được tính theo công thức

nào dưới đây?

V R l

 . B.

V R l



 . C.

V R l



 . D.

V R l





Câu 71. Cho hình nón có diện tích xung quanh là

và bán kính đáy là

. Công thức nào dưới đây

dùng để tính đường sinh

của hình nón đã cho.

 . B.

 . C. 2π

l S r

 . D.

 .

Câu 72. Tính thể tích

của khối nón có diện tích hình tròn đáy là

và chiều cao là



V Sh

. B.



V Sh

. C.



V Sh

. D.



V Sh

Câu 73. Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng

và chiều cao bằng

là





. B.





. C.





. D.





Câu 74. Cho khối nón có đường cao

và bán kính đáy

. Công thức tính thể tích của khối nón.

2 2

r h r





. B.

r h



. C.

2 2

r h r





. D.

r h



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 62

Câu 75. Gọi

, ,

R S V

lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?

V R



 B.

S R



 C.

3 . .

V S R



4 .

S R





Câu 76. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng

và bán kính đáy bằng

là

V R h





. B.

V Rh



 . C.

V Rh



 . D.

V R h



 .

Câu 77. Công thức tính thể tích

của khối cầu có bán kính bằng

là

V R





. B.

V R



 . C.

V R



 . D.

V R





Câu 78. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh

và bán kính đáy

được

tính bằng công thức nào dưới đây?

S rl



 . B.

S r l



 . C. 2

S rl



 . D. 4

S rl



 .

Câu 79. Diện tích xung quanh của mặt trụ có bán kính đáy

, chiều cao

là

S Rh



 . B. 3

S Rh



 . C. 4

S Rh



 . D. 2

S Rh



 .

Câu 80. Cho khối cầu có bán kính

. Thể tích của khối cầu đó là

V R





V R



 . C.

V R



 . D.

V R



 .

Câu 81. Cho hình nón đỉnh

có đáy là đường tròn tâm

, bán kính

. Biết

SO h



. Độ dài đường

sinh của hình nón bằng

2 2

h R

 . B.

2 2

h R

 . C.

2 2

h R

 . D.

2 2

h R

 .

Câu 82. Diện tích của mặt cầu có bán kính

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 83. Thể tích của một khối cầu có bán kính

là

V R



 . B.

V R



 . C.

V R



 . D.

V R





Câu 84. Gọi

lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện

tích xung quanh

của hình nón là

A. 

S rh



. B. 2

S rl



. C. 

S rl



. D.



S r h



Câu 85. Nếu tăng bán kính đáy của một hình nón lên

lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi

lần,

thì thể tích khối nón tăng hay giảm bao nhiêu lần?

A. tăng

lần. B. tăng

lần.

C. giảm

lần. D. giảm

lần.

Câu 86. Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?

A. Hình tứ diện. B. Hình hộp chữ nhật.

C. Hình chóp ngũ giác đều. D. Hình chóp có đáy là hình thang vuông.

Câu 87. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 63

Câu 88. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

B. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

C. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 89. Nếu điểm

trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng

cố định dưới một góc vuông thì

thuộc

A. Một mặt cầu cố định. B. Một khối cầu cố định.

C. Một đường tròn cố định. D. Một hình tròn cố định.

Câu 90. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.

B. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục thu được thiết diện là hình tròn.

C. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.

D. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.

Câu 91. Cho khối nón có bán kính đáy



, chiều cao

h  . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 92. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình lập phương.

B. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình hộp.

C. Tồn tại một mặt nón tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều.

D. Tồn tại một mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Câu 93. Khi quay một hình chữ nhật và các điểm trong của nó quanh trục là một đường trung bình của

hình chữ nhật đó, ta nhận được hình gì.

A. Khối chóp. B. Khối nón. C. Khối cầu. D. Khối trụ.

Câu 94. Cho đường thẳng

cắt và không vuông góc với



quay quanh



thì ta được

A. Hình nón tròn xoay. B. Mặt nón tròn xoay.

C. Khối nón tròn xoay. D. Mặt trụ tròn xoay.

Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 96.

Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông

, đường gấp

khúc

BCA

tạo thành hình tròn xoay nào trong bốn hình sau đây.

A. Hình nón. B. Hình trụ. C. Hình cầu. D. Mặt nón.

Câu 97. Cho hai điểm

phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua hai điểm

và

là

A. Mặt phẳng song song với đường thẳng

. B. Trung điểm của đường thẳng

C. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

. D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Câu 98. Tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định

và

cho trước là

A. một đường thẳng. B. một mặt phẳng. C. một điểm. D. một đoạn thẳng.

Câu 99. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là

A. một hình chữ nhật. B. một tam giác cân.C. một đường elip. D. một đường tròn.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 64

Câu 100. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung

quanh của hình trụ này?





24 cm



. B.





22 cm



. C.





26 cm



. D.





20 cm



Câu 101. Tính thể tích

của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng





. B.





. C.





. D.





Câu 102. Cho khối nón có bán kính đáy

r  và chiều cao



. Tính thể tích

của khối nón đã

cho.

16 3



 . B.





. C.



. D.





Câu 103. Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 104. Khối trụ tròn xoay có đường kính đáy là

, chiều cao là

h a



có thể tích là

V a



 . B.

V a h



 . C.

V a



 . D.

V a



 .

Câu 105.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng

và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi

đó diện

tích toàn phần của hình trụ đó là

6 .



2 .



8 .



4 .



Câu 106. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính

là

S R

 

S R

 

. C.

S R

 

. D.

4 .

S R

 

Câu 107. Cho hình cầu đường kính

2 3

. Mặt phẳng





cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có

bán kính bằng

. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng





. B.

. C.

a . D.

Câu 108. Cho hình nón có bán kính đáy là

r 

và độ dài đường sinh



. Tính diện tích xung quanh

của hình nón đã cho.





. B.

8 2





. C.

16 2





. D.

4 2





Câu 109. Một hình nón có đường cao

4cm



, bán kính đáy

5cm



. Tính diện tích xung quanh của

hình nón đó.

5 41



. B.



. C.

4 41



. D.



Câu 110. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng

và đường sinh bằng

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 111. Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng 1 thì thể tích bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 112. Cho hình nón có đường sinh



, bán kính đáy



. Diện tích toàn phần của hình nón đó là

15 .



 B.

20 .



 C.

22 .



 D.

24 .





Câu 113. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao

20 m

, chu vi đáy bằng

5 m

50 m

. B.

50 m



. C.

100 m



. D.

100 m

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 65

Câu 114. Cho khối nón có chiều cao bằng

, độ dài đường sinh bằng

. Tính thể tích

của

khối nón tương ứng.

800





. B.

1600





. C.

1600





. D.

800





Câu 115. Cho mặt cầu có diện tích bằng



. Bán kính mặt cầu bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 116. Cho mặt cầu có diện tích bằng





72 cm



. Bán kính

của khối cầu bằng





6 cm

R  . B.





6 cm

R  . C.





3 cm

R  . D.





3 2 cm

R  .

Câu 117. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy

, chiều cao

và đường sinh

Kết luận nào sau đây sai?

V r h



 . B.

S rl r

 

  . C.

2 2 2

h r l

 

. D.

S rl



 .

Câu 118. Cho khối nón có bán kính đáy

r  và chiều cao



. Tính thể tích

của khối nón đã cho.

16 3



 . B.





. C.

16 3



 . D.





Câu 119. Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có cạnh đáy bằng

. Tam giác

SAB

có diện tích bằng

. Thể tích của khối nón có đỉnh

và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác

ABCD



. B.



. C.



. D.



Câu 120. Cho hình lập phương có cạnh bằng

và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp

hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi

lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập

phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính

1 2

S S S

 









4 2400S



 

. B.





2400 4S



 

. C.





2400 4 3



  . D.





4 2400 3



  .

Câu 121. Cho tam giác

SAB

vuông tại



ABS

 

, đường phân giác trong của



ABS

cắt

tại điểm

. Vẽ nửa đường tròn tâm

bán kính

( như hình vẽ). Cho

SAB



và nửa đường tròn trên

cùng quay quanh

tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng

. Khẳng

định nào dưới đây đúng?

1 2

4 9

V V

 B.

1 2

9 4

V V

 C.

1 2

V V

 D.

1 2

2 3

V V



Câu 122. Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng

cạnh bên bằng

. Tính thể tích của khối cầu đi

qua các đỉnh của lăng trụ.

 

2 2

4 3 .

18 3

a b

 

2 2

4 3 .

18 3

a b





 

2 2

4 .

18 3

a b





 

2 2

4 3 .

18 2

a b





Câu 123. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông

ABCD

cạnh bằng





2 3 cm

với

là

đường kính của đường tròn đáy tâm

. Gọi

là điểm thuộc cung



của đường tròn đáy

sao cho



ABM

 

. Thể tích của khối tứ diện

ACDM

là





3 cm .

V  B.





4 cm .

V  C.





6 cm .

V  D.





7 cm .

V 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 66

Câu 124. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao





20 cm

h  , bán kính đáy





25 cm

r  . Một thiết diện đi

qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là





12 cm

Tính diện tích của thiết diện đó.





500 cm .

S  B.





400 cm .

S  C.





300 cm .

S  D.





406 cm .

S 

Câu 125. Cho hình thang

ABCD

vuông tại

và

với

AB BC a

  

. Quay hình thang và miền

trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh

. Tính thể tích

của khối tròn xoay được tạo

thành





. B.





. C.

V a





. D.



Câu 126. Khối cầu có bán kính



có thể tích bằng bao nhiêu?



. B.



. C.

288



. D.

144



Câu 127. Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có thể tích

V a



 . Diện tích xung

quanh

của hình nón đó là

S a



 B.

4 .

S a



 C.

2 .

S a



 D.

2018

x 

Câu 128. Cho một khối nón có chiều cao bằng

, độ dài đường sinh

. Tính thể tích khối nón

này.



. B.



. C.



. D.



Câu 129. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

cạnh bằng

. Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác

A BD



quanh một đường kính của đường tròn ta có một mặt cầu, tính diện tích mặt cầu đó.



. B.



. C.



. D.



Câu 130. Một hình nón có đường sinh bằng

và góc ở đỉnh bằng



. Cắt hình nón bằng một mặp

phẳng







sao cho góc giữa







và mặt đáy hình nón bằng



. Khi đó diện tích thiết diện là

. B.

. C.

. D.

Câu 131. Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng

10 cm

. Biết thể tích khối trụ bằng

90 cm



. Tính

diện tích xung quanh của khối trụ.

81 cm



. B.

60 cm



. C.

78 cm



. D.

36 cm



Câu 132. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Một hình nón có đỉnh là tâm hình

vuông

A B C D

   

và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông

ABCD

. Gọi

là diện tích xung

quanh của hình nón đó. Tính

S a



 . B.

S a



 . C.

S a



 . D.

S a



 .

Câu 133. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình chữ nhật,

vuông góc với đáy,

SA a



AD a



AB a



. Điểm

thuộc cạnh

sao cho

CE a



. Tính theo

bán kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện

SAED

. B.

. C.

. D.

2 26

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 67

Câu 134. Cho mặt cầu





có bán kính

, mặt cầu





có bán kính

2 1

2 .



R R

Tính tỉ số diện tích của

mặt cầu





và





. B.

Câu 135. Cho tứ diện đều

SABC

cạnh

. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh

và đường tròn đáy

là đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

là



. B.



. C.



. D.

2 3



Câu 136. Cho hình chóp

S ABC

có tam giác

ABC

vuông tại

vuông góc với mặt phẳng





ABC



. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

. .

S ABC

5 2

R  B.

5 2

R  C.

5 3

R  D.

5 3

R 

Câu 137. Một hình trụ có bán kính đáy là





2 cm

. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ

theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó.





4 cm



. B.





8 cm



. C.





16 cm



. D.





32 cm



Câu 138. Tính thể tích

của khối nón có đáy là hình tròn bán kính bằng

, diện tích xung quanh của

nón là



16 2



V . B.

16 2



V . C.

16 2



V

. D.

4 2



V .

Câu 139. Cắt một khối trụ cho trước thành hai phần thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích toàn phần

nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu

32 dm



. Biết chiều cao của khối trụ ban

đầu là

7 dm

, tính tổng diện tích toàn phần

của hai khối trụ mới.





120 dm



S . B.





144 dm



S . C.





288 dm



S . D.





256 dm



S .

Câu 140. Cho hình trụ





được sinh ra khi quay hình chữ nhật

ABCD

quanh cạnh

. Biết

2 3



AC a

và góc



 

ACB

. Diện tích toàn phần

của hình trụ





là



. B.



. C.



. D.



Câu 141. Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng

và diện tích xung quanh bằng



là



. B.



. C.



. D.



Câu 142. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có

cạnh bằng

. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.



. B.



. C.



. D.



Câu 143. Cho tam giác

ABC

vuông tại

6cm



8cm



. Gọi

là thể tích khối nón tạo thành

khi quay tam giác

ABC

quanh cạnh

và

là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác

ABC

quanh cạnh

. Khi đó, tỷ số

bằng

. B.

. C.

. D.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 68

Câu 144. Cho mặt cầu





;

S O R

và điểm

cố định nằm ngoài mặt cầu với

OA d



. Qua

kẻ đường

thẳng



tiếp xúc với mặt cầu





;

S O R

tại

. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài

đoạn thẳng

2 2

R d



. B.

2 2

R d

 . C.

2 2

R d

 . D.

2 2

d R

 .

Câu 145. Trong không gian, cho hình chữ nhật

ABCD

có



và



. Gọi

lần lượt là

trung điểm của

và

. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục

, ta được một hình

trụ. Tính diện tích toàn phần

của hình trụ đó.



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 146. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Một hình chóp bất kì luôn có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

B. Cho

cạnh của một tam giác vuông quay quanh cạnh còn lại thì ta được một hình nón tròn xoay.

C. Cho đường thẳng

cắt



và quay quanh



thì ta được một mặt nón tròn xoay.

D. Cho đường thẳng

song song với



và quay quanh



thì ta được một mặt trụ tròn xoay.

Câu 147. Cho lăng trụ tam giác

ABC A B C

  

có thể tích là

. Tính thể tích khối chóp

A BCC B

 

theo

. B.

. C.

. D.

Câu 148. Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh

. Diện tích xung quanh của

hình trụ là

S a



 . B.

S a



 . C.

S a



 . D.

S a



 .

Câu 149. Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng

. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp

hình nón đó là

3 3

R  . B.

2 3

R  . C.

R  . D.

2 3

R  .

Câu 150. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng

πa

và bán kính đáy bằng

. Độ dài đường sinh

của hình nón đã cho bằng

2 2

. B.

. C.

. D.

Câu 151. Cho tam giác

ABC

có



ABC

 



ACB

 

AB  . Quay tam giác

ABC

xung quanh

cạnh

ta được khối tròn xoay có thể tích

bằng





3 1 3





 . B.





1 3





 . C.





1 3





 . D.





1 3





 .

Câu 152. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình thang vuông tại

. Biết





SA ABCD

 ,

AB BC a

 

AD a



SA a



. Gọi

là trung điểm của

. Tính bán kính mặt cầu đi

qua các điểm

. B.

. C.

. D.

Câu 153. Xét hình trụ

có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng

. Tính diện tích

toàn phần

của hình trụ.

S a



 . B.



 . C.



 . D.

S a



 .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 69

Câu 154. Cho khối nón tròn xoay có đường cao

15 cm



và đường sinh

25 cm



. Thể tích

của

khối nón là





4500 cm



 . B.





2000 cm



 . C.





1500 cm



 . D.





6000 cm



 .

Câu 155. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật

ABCD

có

và

thuộc hai đáy của hình trụ,

AB a



AC a



. Tính thể tích khối trụ.

V a



 . B.

V a



 . C.

V a



 . D.

V a



 .

Câu 156. Cho mặt cầu bán kính

ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 3

a R

 . B.

a  . C.

a R



. D.

a  .

Câu 157. . Tam giác

ABC

vuông cân đỉnh

có cạnh huyền là

. Quay tam giác

ABC

quanh trục

thì được khối tròn xoay có thể tích là

2 2



. B.



. C.



. D.



Câu 158. Cho khối trụ





có chiều cao bằng

và thể tích bằng



. Tính diện tích xung quanh của

hình trụ







 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 159. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông,

BD a



. Tam giác

SAC

vuông cân tại

và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là



. B.

4 3



. C.



. D.



Câu 160. Cho tam giác

ABC

có



. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay tam

giác

ABC

quanh cạnh





V . B.





. C.





. D.





Câu 161. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng

, diện tích xung quanh bằng



. Thể tích của

hình trụ đó bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 162. Một hình trụ có bán kính đáy bằng

, chu vi thiết diện qua trục bằng

10 .

Thể tích của

khối trụ đã cho bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 163. Cho hình nón đỉnh

, đáy là hình tròn tâm

, bán kính,

3cm



, góc ở đỉnh hình nón là

120



 

. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh

tạo thành tam giác đều

SAB

, trong đó

thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác

SAB

bằng

3 3 cm

. B.

6 3 cm

. C.

6 cm

. D.

3 cm

Câu 164. Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

  

có đáy là tam giác vuông cân tại

AB AC a

 

AA a





. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện

AB A C

 

là



. B.



. C.



. D.



Câu 165. Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

. Hình nón có đỉnh

và có đường tròn đáy là đường tròn

nội tiếp tam giác

ABC

gọi là hình nón nội tiếp hình chóp

S ABC

, hình nón có đỉnh

và có

đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp

S ABC

. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là

. B.

. C.

. D.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 70

Câu 166. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh bằng

. Cạnh bên

vuông góc với mặt

đáy và

SA a



. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

theo

8 2



. B.



. C.



. D.



Câu 167. Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng

, cạnh bên bằng

2 2

. Tính diện tích

mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.



. B.



. C.



. D.



Câu 168. Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là

cm, diện tích đáy

900



. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm

thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).

A. Chiều dài



cm, chiều rộng

cm. B. Chiều dài

900

cm, chiều rộng

cm.

C. Chiều dài

180

cm, chiều rộng

cm. D. Chiều dài



cm, chiều rộng

cm.

Câu 169. Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có

cạnh bằng nhau và bằng

. Tính diện tích

của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 170. Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm

hình nón chung đỉnh khép

lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc



. Biết

rằng chiều cao của đồng hồ là

30cm

và tổng thể tích của đồng hồ là

1000 cm



. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống

dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu?

. B.

. C.

3 3

. D.

Câu 171. Tính thể tích khối nón có bán kính đáy

và độ dài đường sinh







. B.







. C.







. D.







Câu 172. Một hình trụ có bán kính đáy bằng

và khoảng cách giữa hai đáy bằng

. Một hình nón có

đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung

quanh của hình trụ và hình nón.

. B.

. C.

. D. 3.

Câu 173. Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh

Tính theo

thể tích

của khối trụ đó.



 . B.



 . C.

V a



 . D.

V a



 .

Câu 174. Một hình trụ có bán kính đáy bằng

và khoảng cách giữa hai đáy bằng

. Cắt khối trụ bởi

một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng

. Tính diện tích

của thiết

diện được tạo thành.



. B.



. C.

7 34

S  . D.

14 34

S  .

Câu 175. Cho mặt cầu





tâm

và các điểm

nằm trên mặt cầu





sao cho



và khoảng cách từ

đến mặt phẳng





ABC

bằng

. Thể tích của khối cầu





bằng

7 21



. B.

ABD

. C.

20 5



. D.

29 29



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 71

Câu 176. Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy







và chiều cao































Câu 177. Cho hình nón có chiều cao

và bán kính đáy

. Tính diện tích xung quanh

của hình nón.

S a



 . B.

S a



 . C.



 . D.

S a



 .

Câu 178. Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

   

có

AB a



AC a



AA a





nội tiếp mặt cầu





Tính diện tích mặt cầu .



. B.



. C.



. D.



Câu 179.

Cho khối nón có bán kính đáy





1 cm

r  và góc ở đỉnh



. Tính diện tích xung quanh

của

hình nón.







. B.





2 cm



. C.





3 cm



. D.





2 cm



Câu 180. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng

cạnh

có độ dài bằng

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp

S ABCD

. B.

2 6

. C.

. D.

Câu 181. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh

. Mặt phẳng





song song với trục

và cách trục một khoảng

. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng





2 3

. B.

. C.

. D.



Câu 182. Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến



Đông là



(cm). Độ dài đường xích đạo là

40 3



(cm). B.



(cm). C.



(cm). D.



(cm).

Câu 183. Trong mặt phẳng cho góc

xOy

. Một mặt phẳng





thay đổi và vuông góc với đường phân

giác trong của góc



xOy

cắt

Ox Oy

lần lượt tại

A B

. Trong





lấy điểm

sao cho



 

AMB

. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. Điểm

chạy trên một mặt cầu. B. Điểm

chạy trên một mặt nón.

C. Điểm

chạy trên một mặt trụ. D. Điểm

chạy trên một đường tròn.

Câu 184. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng



, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt

phẳng







song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác

ABB A

 

, biết một cạnh của

thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung

120



. Tính diện

tích thiết diện

ABB A

 

3 2

. B.

. C.

2 3

. D.

2 2

Câu 185. Hình trụ





được sinh ra khi quay hình chữ nhật

ABCD

quanh cạnh

. Biết

2 2

AC a



ACB

 

. Diện tích toàn phần của hình trụ





là

S a



 . B.

S a



 . C.

S a



 . D.

S a



 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 72

Câu 186. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng

và

thiết diện qua trục là tam giác đều bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 187. Một hình trụ tròn xoay có bán kính đáy



. Trên hai đường tròn đáy





và







lần lượt lấy

hai điểm

và

sao cho



và góc giữa

và trục



bằng



. Xét hai khẳng định:





: Khoảng cách giữa



và

bằng





: Thể tích khối trụ là



 .

A. Cả





và





đều đúng. B. Chỉ





đúng.

C. Chỉ





đúng. D. Cả





và





đều sai.

Câu 188. Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

có cạnh đáy bằng

và mỗi cạnh bên bằng

. Khi đó

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

là

. B.

. C.

. D.

Câu 189. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng



, diện tích xung quanh bằng



. Tính thể tích

của

khối nón đã cho.

3 2





. B.

V a





. C.





. D.

V a





Câu 190. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng

5cm

và khoảng cách giữa hai đáy là

7cm

. Cắt khối trụ bởi một

mặt phẳng song song với trục và cách trục

3cm

. Tính diện tích

của thiết diện được tạo thành.

55cm

. B.

56cm

. C.

53cm

. D.

46cm

Câu 191. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao

20cm



, bán kính đáy

25cm



. Mặt phẳng







đi

qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy

12cm

. Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi







400







. B.

406







. C.

300







. D.

500







Câu 192. Cho hình lập phương

ABCD A B C D

   

có cạnh bằng

. Tính thể tích khối nón tròn xoay có

đỉnh là tâm hình vuông

A B C D

   

và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông

ABCD

V a



 . B.

V a



 . C.

V a



 . D.

V a



 .

Câu 193. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng







và bán kính đáy





. Khi đó độ dài

đường sinh là





. B.





. C.





. D.





Câu 194. Một hình trụ có bán kính đáy bằng

, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có

diện tích bằng

. Tính diện tích xung quanh của hình trụ ?



. B.



. C.



. D.



Câu 195. Cho tam giác

SOA

vuông tại

có

3 cm



5 cm



, quay tam giác

SOA

xung quanh

cạnh

được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là





12 cm



. B.





15 cm



. C.

 



. D.





36 cm



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 73

Câu 196. Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính

. Diện

tích xung quanh của hình trụ bằng:



. B.



. C.

2 2



. D.



Câu 197. Thiết diện qua trục của hình nón





là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng

. Tính

diện tích toàn phần của hình nón









2 2





 . B.





2 1





 .





2 1

S a



 

. D.





1 2 2





 .

Câu 198. Thiết diện qua trục của một hình nón





là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng

, diện tích toàn phần của hình nón





bằng



. B.





1 2





. C.





1 3





. D.



Câu 199. Cho Hình nón





có bán kính đáy bằng

và diện tích xung quanh bằng



. Tính thể tích

của khối nón





là



. B.



. C.



. D.



Câu 200. Hình trụ bán kính đáy

. Gọi

và



là tâm của hai đường tròn đáy với

OO r





. Một mặt

cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại

và



. Gọi

và

lần lượt là thể tích của khối

cầu và khối trụ. Khi đó

là

. B.

. C.

. D.

Câu 201. Hình trụ có bán kính đáy bằng

và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh

hình trụ đó bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 202. Hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

vuông góc với mặt phẳng





ABCD

và

SA a



. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 203. Cho hình nón





có bán kính đáy bằng

và diện tích xung quanh bằng



. Tính thể tích

của khối nón





288

 

. B.

 

. C.

432 6

 

. D.

144 6

 

Câu 204. Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện

qua tâm là





68.5 cm

. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng

và đen, mỗi miếng có diện tích





49.83 cm

. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả

bóng trên?



(miếng da). B.



(miếng da).



(miếng da). D.



(miếng da).

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 74

Câu 205. Người thợ gia công của một cơ sở

chất lượng cao X cắt một miếng tôn

hình tròn với bán kính

60cm

thành

ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau

đó người thợ ấy quấn và hàn ba

miếng tôn đó để được ba cái phễu

hình nón. Hỏi thể tích

của mỗi

cái phễu đó bằng bao nhiêu?

16000 2

V  lít. B.

16 2



 lít. C.

16000 2



 lít. D.

160 2



 lít.

Câu 206. Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

  

có các cạnh đều bằng

. Tính diện tích

của mặt

cầu đi qua

đỉnh của hình lăng trụ đó.

144



 . B.

S  . C.



 . D.

144

S  .

Câu 207. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

và chiều cao



. Diện tích của mặt cầu

ngoại tiếp của hình chóp đó là





. B.





. C.





. D.





Câu 208. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng

60 ,



diện tích xung quanh bằng



. Tính thể tích

của

khối nón đã cho.

3 2



 . B.



 . C.

V a





. D.

V a





Câu 209. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta

đổ một lượng nước vào phễu sao cho

chiều cao của lượng nước trong phễu

bằng

chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt

kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên

thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao

nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là

15cm





0,5 cm

. B.





0,3 cm

. C.





0,188 cm

. D.





0,216 cm

Câu 210. Cho hình chóp

S ABC

có

SC a



vuông góc với mặt phẳng





ABC

, tam giác

ABC

đều

cạnh

. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

R a



. B.

R a



. C.

2 3

R a

 . D.

R a

 .

Câu 211. Cho hình chóp tam giác đều .

S ABC

có các cạnh bên

vuông góc với nhau từng

đôi một. Biết thể tích của hình chóp bằng

. Bán kính

mặt cầu nội tiếp của tứ diện là

3 3

r 



. B.

r a



. C.

 

3 3 2 3

r 



. D.

 

3 3 2 3

r 



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 75

Câu 212. Một khối gỗ hình lập phương có thể tích

. Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó

thành một khối trụ có thể tích

. Tính tỷ số lớn nhất



. B.





. C.





. D.





Câu 213. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước

. Người ta muốn tạo tấm bìa đó thành bốn

hình không đáy như hình vẽ, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao

và hai hình

lăng trụ tam giác đều có chiều cao lần lượt

Trong

hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là

A. H

, H

. B. H

, H

. C. H

, H

. D. H

, H

Câu 214. Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh

, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:

 Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác

đều có thể tích là

(Hình 1)

 Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác

đều có thể tích là

(Hình 2)

Tính tỉ số:



3 3

k  B.

4 3

k  C.

3 3

k  D.

3 3

k 

Câu 215. Một hình lập phương có cạnh bằng

vừa nội tiếp hình trụ





, vừa nội tiếp mặt cầu





, hai

đáy của hình lập phương nằm trên hai đáy của hình trụ. Tính tỉ số thể tích

 

giữa khối cầu

và khối trụ giới hạn bởi





và





 

 . B.

 

 . C.

 

 . D.

 

 .

Câu 216. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng

, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng



Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

. C.

2 3

4 3

Hình 1.

Hình

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 76

Câu 217. Cho tứ diện

ABCD

có

ABC

và

DBC

là các tam giác đều cạnh

AD a

 . Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

. B.

. C.

. D.

Câu 218. Gọi

là trung điểm của

suy ra

BC AM



BC DM



AM DM



. Cho một miếng tôn

hình tròn có bán kính

50 cm

. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của

hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là





10 2 cm

. B.





50 2 cm

. C.





20 cm

. D.





25 cm

Câu 219. Cho hình nón đỉnh

có chiều cao bằng bán kinh đáy và bằng

. Mặt phẳng





đi qua

cắt đường tròn đáy tại

và

sao cho

2 3



AB a

. Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn

đáy đến





. B.

. C.

. D.

Câu 220. Cho hình chóp

S ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

, tam giác

SAB

đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

5 15



V . B.



V . C.

4 3



V . D.

5 15



V .

Câu 221. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, tam giác

SBC

vuông tại

và

mặt phẳng





SBC

vuông góc với mặt phẳng





ABC

. Tính thể tích

của khối cầu ngoại tiếp

hình chóp

S ABC

96 3

V a



 . B.

32 3

V a



 . C.

4 3

V a



 . D.

4 3

V a



 .

Câu 222. Cho hình nón





có góc ở đỉnh bằng



. Mặt phẳng qua trục của





cắt





theo một

thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

. Tính thể tích khối nón





3 3



 . B.

4 3



 . C.





. D.





Câu 223. Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

   

có







. Tính diện tích xung

quanh

của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật

ABCD

và

A B C D

   

20 11 .



 B.

10 11 .









10 2 11 5 .



 





5 4 11 5 .



 

Câu 224.

Cho khối trụ có bán kính đáy

và có chiều cao



h R

. Hai đáy của khối trụ là hai đường

tròn có tâm lần lượt là

và

. Trên đường tròn





ta lấy điểm

cố định. Trên đường tròn







ta lấy điểm

thay đổi. Hỏi độ dài đoạn

lớn nhất bằng bao nhiêu?

max

2 2

AB R

max

4 2

AB R

max



AB R

max

AB R

Câu 225.

.Cho khối lăng trụ đứng tam giác

  

ABC A B C

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

và



AB a



AC a





AA a

. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đó.

2 2



R a

. B.



R a

. C.



R a

. D.



R .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 77

Câu 226. Cho hai hình vuông có cạnh đều bằng 5 được xếp lên nhau sao cho đỉnh

của hình vuông

này là tâm của hình vuông kia, đường chéo

vuông góc với cạnh

tạo thành hình phẳng





Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh a, góc



120

 

BAD

. Cạnh bên

vuông góc với đáy





ABCD

và



SA a

. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp

S BCD



R . B.



R . C.



R . D.



R .

Câu 227. Cho hình thang cân

ABCD

có đáy nhỏ



, đáy lớn



, cạnh bên

 BC DA

Cho hình thang đó quay quanh

thì được vật tròn xoay có thể tích bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 228. Suy ra

 

  

AA D BB C

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng

và chiều cao bằng

. Tính thể

tích

của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho.



a h

V . B.

3 3



a h

V .

2 2 2

3 3 4 3



 

  

 

 

a h a

V h . D.

3 3





a h

V .

Câu 229. Cho tứ diện

ABCD

có tam giác

ABC

là tam giác cân với



120

 

BAC

 

AB AC a

. Hình

chiếu của

trên mặt phẳng





ABC

là trung điểm

. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện

ABCD

biết thể tích của tứ diện

ABCD

là



V .



R . B.



R . C.



R . D.



R a

Câu 230. Một người dùng một cái ca hình bán cầu (Một nửa hình cầu)

có bán kính là





3 cm

để múc nước đổ vào một cái thùng

hình trụ chiều cao





10 cm

và bán kính đáy bằng





6 cm

. Hỏi

người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi

lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

lần. B.

lần. C.

lần. D.

lần.

Câu 231. Cho tam giác

ABC

đều cạnh

và nội tiếp trong đường tròn tâm

là đường kính của

đường tròn tâm

. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậmCho hình chóp

S ABC

có

vuông góc với





ABC

AB a



AC a





BAC

 

. Gọi

lần lượt

là hình chiếu vuông góc của

lên

. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

1 1

A BCC B



 . B.

V a





. C.

V a



 . D.



 .

Câu 232. Một kỹ sư thiết kế một cây cột ăng-ten độc đáo gồm các khối cầu kim loại xếp chồng lên nhau

sao cho khối cầu ở trên có bán kính bằng một nửa khối cầu ở dưới. Biết khối cầu dưới cùng có

bán kính bằng

m. Chiều cao của cây cột ăng-ten

A. Không quá

mét. B. Cao hơn

mét.

C. Không quá

mét. D. Cao hơn

mét.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 78

Câu 233. Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

. Tính diện tích xung quanh

của hình trụ có một

đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác

BCD

và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện

ABCD

16 2



 . B.

8 2



 . C.

16 3



 . D.

8 3



 .

Câu 234. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

. Cạnh bên

vuông góc với

mặt đáy





ABCD

và

SA a



. Gọi

là trung điểm của cạnh

. Mặt cầu đi qua bốn điểm

có bán kính là

. B.

. C.

. D.

Câu 235. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước.

Người ta thả vào đó một khối cầu không thấm nước, có đường kính

bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài

là

. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình

nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính

thể tích nước còn lại trong bình.

. B.

. C.

. D.



Câu 236. Cho tứ diện

ABCD

có

AB a



CD a



, các cạnh còn lại có độ dài

. Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

R  . B.

R  . C.

R  . D.

R a



Câu 237. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều

cao bằng

lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối

nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có

đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc

nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước

trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn

lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp

vỏ thủy tinh).

. B.

. D.

Câu 238. Cho hình lăng trụ đều

ABC A B C

  

, biết góc giữa hai mặt phẳng





A BC



và





ABC

bằng



diện tích tam giác

A BC



bằng

a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình

lăng trụ

ABC A B C

  

4 3



. B.



. C.



. D.

8 3



Câu 239. Cho nửa hình tròn tâm

, đường kính

. Người ta ghép hai bán kính

lại tạo thành

mặt xung quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.



. B.



. C.



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 79

Câu 240. Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm

chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác

đều có cạnh

20 cm

; sau khi hoàn thiệnCho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình chữ nhật



. Mặt bên





SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Tính thể tích

của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 241. Một hộp sữa hình trụ có thể tích

Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

. Hình nón





có

đỉnh

và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD

. Tính thể tích

của khối

nón







 . B.

V  . C.



 . D.



 .

Câu 242. Cho hình trụ có diện tích toàn phần là



và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình

vuông. Tính thể tích khối trụ?



. B.

4 6



. C.



. D.



Câu 243. Một tấm tôn hình tam giác đều

SBC

có độ dài cạnh bằng

là trung điểm

. Người ta

dùng compa có tâm là

, bán kính

vạch một cung tròn

. Lấy phần hình quạt gò thành

hình nón không có mặt đáy với đỉnh là

, cung

thành đường tròn đáy của hình nónCho tứ

diện đều

ABCD

có độ dài cạnh bằng





là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện

ABCD

là một điểm thay đổi trên





. Tính tổng

2 2 2 2

T MA MB MC MD

    .

. B.

. C.

. D.

Câu 244. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi

lần lượt là thể tích của khối cầu

nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính

. B.

. C.

. D.

Câu 245. Cho hình thang cân

ABCD

; //

AB CD

;



;



. Khi quay hình thang quanh trục

thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng



. Diện tích hình thang

ABCD

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 246. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác cân tại

, mặt bên





SBC

vuông góc với mặt

phẳng





ABC

và

SA SB AB AC a

   

;

SC a



. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 247. Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích

gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là

30%

. B.

50%

. C.

21%

. D.

11%

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 80

Câu 248. Cho hình chóp

S ABC

có

đối một vuông góc;

SA a



SB a



SC a



. Gọi

lần lượt là trọng tâm các tam giác

ABC

SAB

SBC

SCA

. Tính thể tích khối

tứ diện

MNPQ

theo

. B.

. C.

. D.

Câu 249. Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn











bán kính bằng

, chiều cao hình trụ gấp hai

lần bán kính đáy. Các điểm

tương ứng nằm trên hai đường tròn











sao cho

AB a Tính thể tích khối tứ diện

ABOO



theo

2 5

Câu 250. Cho hình chóp

S ABC

có





SA ABC

 ,

SA a



. Biết tam giác

ABC

cân tại

có

2 2

BC a





cos

ACB



, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC



 . B.

S a



 . C.



 . D.

S a



 .

Câu 251. Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là

cm. Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều

cao của cột nước trong phễu bằng

cm (Hình 1). Nếu bịt

kín miệng phễu và lật ngược phễu lên (Hình 2) thì chiều

cao của cột nước trong phễu gần bằng giá trị nào sau đấy.

. B.

. C.





20 10 7



. D





20 7 10



Câu 252. Cho hình chóp .

S ABC

có đáy là tam giác vuông tại

AB a



AC a



. Mặt bên





SAB





SCA

lần lượt là các tam giác vuông tại

. Biết thể tích khối chóp .

S ABC

bằng

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

S ABC

R a

 . B.

R a



. C.

R  . D.

R  .

Câu 253. Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường

kính của đường tròn đáy là

cm, chiều dài lăn là

(như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn

vòng thì trục

lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là

1500







. B.

150







3000







. D.

300







Câu 254. Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài

30 cm

, chiều rộng

5 cm

và chiều cao

6 cm

. Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một

khối trụ có chiều cao

6 cm



và bán kính đáy

r  . Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu

viên phấn?

150

viên. B.

153

viên. C.

151

viên. D.

154

viên.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 81

Câu 255. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại đỉnh

. Biết

AB BC a

  ,



SAB SCB

  

và khoảng cách từ

đến mặt phẳng





SBC

bằng

. Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC



. B.



. C.



. D.



Câu 256. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc

dày

1,5 cm

, thành xung quanh cốc dày

0,2 cm

và có thể tích

thật (thể tích nó đựng được) là

480 cm



thì người ta cần ít

nhất bao nhiêu

thủy tinh ?

75,66 cm



. B.

80,16 cm



85,66 cm



. D.

70,16 cm



Câu 257. Cho mặt cầu





tâm

, bán kính bằng

và mặt phẳng





. Khoảng cách từ

đến





bằng

. Từ điểm

thay đổi trên





kẻ các tiếp tuyến

tới





với

là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng





ABC

luôn đi qua một điểm

cố định. Tính độ dài

. B.

. C.

. D.

Câu 258. Cho hình thang

ABCD

vuông tại

và

AD CD a

 

AB a



. Quay hình thang

ABCD

quanh đường thẳng

. Thể tích khối tròn xoay thu được là



. B.



. C.



. D.



Câu 259. Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng

không đổi, một đáy là tứ giác

ABCD

với

di động. Gọi

là giao của hai đường chéo

và

của tứ giác đó. Cho biết

. .

IA IC IB ID h

 

. Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

. B.

. C.

. D.

Câu 260. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích





V .

Hỏi bán kính

(cm)

R của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 261. Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính

, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi

một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của

hình quạt còn lại là

. Tìm

để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.

2 6





. B.

2 2





. C.

2 3





. D.





Câu 262. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

AB BC a

  ,



SAB SCB

  

và khoảng cách từ

đến mặt phẳng





SBC

bằng

. Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

theo

S a



 . B.

8 .

S a





S a



 . D.

S a



 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 82

Câu 263. Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài

10,2dm

, chiều rộng

2 dm



được uốn lại thành mặt

xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao

2 dm



(như hình vẽ).

Biết rằng chỗ ghép mất

2cm

. Hỏi thùng

đựng được bao nhiêu lít nước?

lít. B.

100

lít.

20,4

lít. D.

lít.

Câu 264. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng

, tính thể tích

của

khối chóp có thể tích lớn nhất.

144



. B.

576 2

V 

. C.

576



. D.

144 6

V  .

Câu 265. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

, tam giác

SAB

đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

SABCD

7 21



. B.

7 21

162



. C.

7 21

216



. D.

49 21



Câu 266. Một hình thang cân

ABCD

có đáy nhỏ



, đáy lớn



, cạnh bên

BC AD  . Cho

hình thang

ABCD

quay quanh

ta được khối tròn xoay có thể tích là





. B.





. C.





. D.





Câu 267. Cho hình chóp

S ABC

có đáy là tam giác

ABC

vuông tại



. Hai mặt phẳng





SAB





SAC

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng

hợp với mặt phẳng đáy

một góc



. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

là

5 2



 . B.

25 2



 . C.

125 3



 . D.

125 2



 .

Câu 268. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng

. Tính thể tích

của khối chóp có thể tích lớn nhất.

576 2

. B.

576

. C.

144 2

. D.

144

Câu 269. Cho hình nón





có đường cao

SO h



và bán kính đáy bằng

, gọi

là điểm trên đoạn

, đặt

OM x



x h

 





là thiết diện của mặt phẳng





vuông góc với trục

tại

, với hình nón





. Tìm

để thể tích khối nón đỉnh

đáy là





lớn nhất.

. B.

. C.

. D.

Câu 270. Cho lục giác đều

ABCDEF

có cạnh bằng

. Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng

Tính thể tích

của khối tròn xoay được sinh ra





. B.

128





. C.





. D.





Câu 271. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn

làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt

ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần

tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới

đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm

thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ).

Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng

50,24

lít(các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích

không đáng kể. Lấy

3,14





). Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu.

1,8





. B.

2,2





. C.

1,5





. D.

1,2





2 dm



2 dm



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 83

Câu 272. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh



ABC





. Mặt bên

SAB

là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích

của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

S ABCD



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 273. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước

50 cm

và

240 cm

, người ta làm các thùng đựng nước

hình trụ có chiều cao bằng

50 cm

, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng

nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh

của một thùng.

Kí hiệu

là thể tích của thùng gò được theo

cách 1 và

là tổng thể tích của hai thùng gò

được theo cách 2. Tính tỉ số



. B.



. C.



. D.



Câu 274. Cho hình trụ





có





và







là hai đường tròn đáy nội tiếp

hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam

giác cong tạo bởi đường tròn





và hình vuông ngoại tiếp của





có một hình chữ nhật kích thước

a a



(như hình vẽ dưới

đây). Tính thể tích

của khối trụ





theo

100



. B.

250



. C.

250



. D.

100



Câu 275. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật, 3 , ,

AB a AD a SAB

   là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo

diện tích

của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

S a



 . B.

S a



 . C.

S a



 . D.

S a



 .

Câu 276. Cho hình nón





có bán kính đáy

20 cm



, chiều cao

60 cm



và một hình trụ





nội

tiếp hình nón





(hình trụ





có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung

quanh của hình nón). Tính thể tích

của hình trụ





có diện tích xung quanh lớn nhất?

3000 (cm ).



 B.

32000

(cm ).



 C.

3600 (cm ).



 D.

4000 (cm ).





Câu 277. Cho hình nón có chiều cao

. Tính chiều cao

của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong

hình nón theo



. B.



. C.

x  . D.

x 

Câu 278. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh bằng

, mặt bên

SAB

là tam giác

cân tại

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu

ngoại tiếp hình chóp đã cho biết



120

ASB

 

5 15



 . B.

4 3



 . C.



 . D.

13 78



 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 84

Câu 279. Một hình trụ có bán kính đáy

5cm



và khoảng cách giữa hai đáy

7cm



. Cắt khối trụ bởi

một mặt phẳng song song với trục và cách trục

3cm

. Diện tích của thiết diện được tạo thành là





56 cm

S  . B.





55 cm

S  . C.





53 cm

S  . D.





46 cm

S  .

Câu 280. Một tấm kẽm hình vuông

ABCD

có cạnh bằng

30 cm

. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh

và

cho đến khi

và

trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ

khuyết hai đáy.

Giá trị của

để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là





5 cm

x  . B.





9 cm

x  . C.





8 cm

x  . D.





10 cm

x  .

Câu 281. Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng

thì thể tích khối cầu là

216



. B.

144



. C.



. D.

124



Câu 282. Cho đường tròn tâm

có đường kính



AB a

nằm trong mặt phẳng





. Gọi

là điểm đối

xứng với

qua

Lấy điểm

sao cho







SI P

và

2 .



SI a

Tính bán kính

mặt cầu đi

qua đường tròn đã cho và điểm



R C.



R D.



Câu 283. Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường tròn tâm

và tâm



, bán kính bằng

, chiều cao

hình trụ bằng

. Mặt phẳng đi qua trung điểm



và tạo với



một góc



, cắt đường

tròn đáy tâm

theo dây cung

. Độ dài đoạn

là

. B.

. C.

4 3

. D.

2 6

Câu 284. Cho mặt cầu đường kính

AB R



. Mặt phẳng





vuông góc

tại

(

thuộc đoạn

cắt mặt cầu theo đường tròn





. Tính

h AI



theo

để hình nón đỉnh

, đáy là hình tròn





có thể tích lớn nhất?

h R



. B.



. C.

h  . D.

h  .

Câu 285. Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng

, thể tích lớn nhất của

khối chóp là

max

32 3

V  . B.

max

64 3

V  . C.

max

72 3

V  . D.

max

81 3

V  .

30 cm

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 85

Câu 286.

Cho mặt trụ





và một điểm

cố định nằm bên ngoài





. Một đường thẳng



thay đổi

luôn đi qua

và luôn cắt





tại hai điểm

(

có thể trùng nhau). Gọi

là trung

điểm của đoạn thẳng

. Tập hợp các điểm

là

A. Một phần mặt phẳng đi qua

. B. Một phần mặt cầu đi qua

C. Một phần mặt nón có đỉnh là

. D. Một phần mặt trụ.

Câu 287. Tính thể tích

của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều

ABCD

cạnh bằng



V . B.



V . C.



V . D.



V .

Câu 288. Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy

30 cm



r ,

chiều cao

120 cm



h . Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành

một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi

là thể tích lớn

nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính





0,16 m

V



. B.





0,024 m

V







0,36 m

V



. D.





0,016 m

V



Câu 289. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng

, thể tích

của khối

chóp có thể tích nhỏ nhất.



V . B.



V . C.



V a

. D.



V .

Câu 290. Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng

(hình

). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác

thành

đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với

đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình

. Khi quay hình

xung quanh

trục

ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.

5 3



9 3



5 3



5 3



Câu 291. Cho hình tứ diện

ABCD

có





AD ABC

 ,

ABC

là tam giác vuông tại

. Biết

BC a



AB a

 ,

AD a



. Quay các tam giác

ABC

và

ABD

(Bao gồm cả điểm bên trong

tam

giác) xung quanh đường thẳng

ta được

khối tròn xoay. Thể tích phần chung của

khối

tròn xoay đó bằng

3 3



. B.

8 3



. C.

5 3



. D.

4 3



Câu 292. Có

viên bi hình cầu có bán kính bằng

cm. Người ta đặt

viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó

đai chặt

viên bi đó lại và đặt

viên bi thứ

tiếp xúc với

cả

viên bi trên như hình vẽ bên. Gọi

là điểm thuộc bề

mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn

nhất. Khoảng cách từ

đến mặt bàn bằng

6 2 6



. B.

. C.

3 2 6



. D.

4 6

Hình

Hình 2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 86

Câu 293. Cho hình chóp

S ABCD

có



ABC ADC

  

, cạnh bên

vuông góc với





ABCD

, góc

tạo bởi

và đáy

ABCD

bằng



CD a



và tam giác

ADC

có diện tích bằng

Diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

là

S a



 . B.

S a



 . C.

S a



 . D.

S a



 .

Câu 294. Trong không gian mặt cầu





tiếp xúc với

mặt của một hình lập phương cạnh

, thể tích

khối cầu





bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 295. Cho khối chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông, tam giác

SAB

đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S ABCD

có diện tích





84 cm



. Khoảng

cách giữa hai đường thẳng

và

2 21





. B.

3 21





. C.





. D.

6 21





Câu 296. Cho hình chóp .

S ABC

có

SA SB SC a

  

và tam giác

ABC

có góc

bằng

120



và

BC a



. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

. B.

2 3

. C.

. D.

Câu 297. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm

và



, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng

Trên đường tròn đáy có tâm

lấy điểm

, trên đường tròn tâm



lấy điểm

. Đặt



là góc

giữa

và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện

OO AB



đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào

sau đây đúng?

tan 2





. B.

tan





. C.

tan





. D.

tan 1





Câu 298. Cho hình nón





có góc ở đỉnh bằng

60 ,

độ dài đường sinh bằng

. Dãy hình cầu













,...,





,...

S thỏa mãn:





tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón





;





tiếp xúc ngoài với





và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón





;





tiếp xúc ngoài với





và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón





. Tính tổng thể tích

các khối cầu













,...,





,...

S theo



27 3



9 3



Câu 299. Cho hình chóp

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh

, cạnh bên

vuông góc với mặt

phẳng đáy. Gọi

lần lượt là hình chiếu của

trên

. Tính theo

bán kính

của mặt cầu đi qua năm điểm

R  . B.

R  . C.

R  . D.

R  .

Câu 300. Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc.

Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước

đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của

miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

. B.

. C.

3 5



. D.

1 5



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 87

Câu 301. Cho mặt cầu





bán kính

. Hình nón





thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt

cầu





. Thể tích lớn nhất của khối nón





là



. B.

. C.



. D.

Câu 302. Cho mặt cầu





có bán kính

không đổi, hình nón





bất kì nội tiếp mặt cầu





. Thể tích

khối nón





là

; và thể tích phần còn lại của khối cầu là

. Giá trị lớn nhất của

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 303. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như

hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên

cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).

750,25 (cm )



. B.

700 (cm )



756,25 (cm )



. D.

754,25 (cm )



Câu 304. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với

nằm trong



ABC

và 2SH=BC,





SBC

tạo với mặt phẳng





ABC

một góc

. Biết có một điểm O nằm trên

đường cao SH sao cho

















; ; ; 1

d O AB d O AC d O SBC

  

. Tính thể tích khối cầu ngoại

tiếp hình chóp đã cho.

256



. B.

125

162



. C.

500



. D.

343



Câu 305. Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi

một mặt phẳng







qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc



tính

tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng









. B.

 

2 1







. D.

3 4





Câu 306. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

biết rằng

AB CD a

 

BC AD b

 

AC BD c

 

2 2 2

a b c

 

. B.





2 2 2

a b c

 

2 2 2

2 2

a b c

 

. D.

2 2 2

a b c

 

Câu 307. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối

nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào

bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một

khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và

hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy

bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán

kính bằng

lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ

ngập trong nước và lượng nước trào ra là

 

337

cm .



Tính thể tích

nước ban đầu ở trong bể.





885,2 cm

 . B.





1209,2 cm

 . C.





1106,2 cm

 . D.





1174,2 cm

 .

30cm

10cm

35cm

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 88

Câu 308. Trong không gian cho tam giác

ABC

đều cạnh bằng

cố định,

là điểm thỏa mãn

2 2 2

2 12

MA MB MC

  

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tập hợp các điểm

là mặt cầu có bán kính

R  .

B. Tập hợp các điểm

là mặt cầu có bán kính

2 7

R  .

C. Tập hợp các điểm

là mặt cầu có bán kính

R  .

D. Tập hợp các điểm

là mặt cầu có bán kính

2 7

R  .

Câu 309. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

. Tính bán kính

của khối cầu ngoại tiếp khối chóp

S CMN

R  . B.

R  . C.

R  . D.

5 3

R 

Câu 310. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

SAD

là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

(tham khảo

hình vẽ bên). Tính bán kính

của khối cầu ngoại tiếp hình

chóp

S CMN

R  . B.

R  . C.

R  . D.

5 3

R  .

Câu 311. Cho tứ diện

ABCD

có

AB BC CD

  

AC BD

 

AD  . Tính bán kính của mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho.

. B.

. C.

. D.

2 3

Câu 312. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau

và



, vuông góc với nhau và nhận

AB a



làm đoạn vuông góc chung

A d





. Trên

lấy điểm

, trên



lấy điểm

sao cho

AM a



BN a



. Gọi

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABMN

. Khoảng cách

giữa hai đường thẳng

và

là

. B.

. C.

. D.

2 2

Câu 313. Cho tứ diện đều

ABCD

có mặt cầu nội tiếp là





và mặt cầu ngoại tiếp là





, hình lập

phương ngoại tiếp





và nội tiếp trong mặt cầu





. Gọi

lần lượt là bán kính các

mặt cầu













. Khẳng định nào sau đây đúng?



và

 . B.



và

 .



và

 . D.



và

3 3

 .

Câu 314. Cho khối trụ có chiều cao



và hai đáy là hai đường tròn tâm



với bán kính



Gọi

là trung điểm của



và

là một dây cung của đường tròn





sao cho

12 3

AB  . Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng





IAB

A. 120 3 80

 . B. 48

π 24 3

 . C. 60 3 40

 . D.

120 3

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 89

Câu 315. Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng

và chiều cao

bằng

. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm

sao cho cung

có số đo

120



. Người ta cắt khúc gỗ bởi một

mặt phẳng đi qua

và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là

trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình

vẽ. Biết diện tích

của thiết diện thu được có dạng

π 3.

S a b  Tính

P a b

 



. B.



. C.



. D.



Câu 316. Có tấm bìa hình tam giác vuông cân

ABC

có cạnh huyền

bằng

.Người ta muốn

cắt tấm bìa đó thành hình chữ nhật

MNPQ

rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy

như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật đó

bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của

hình trụ là lớn nhất?

Vấn đề 5. TRÍCH 12 ĐỀ THI CỦA BGD NĂM 2017 + 2018

Câu 317. [2H2-1-MH1-2017] Trong không gian, cho tam giác

ABC

vuông tại

AB a



và

AC a

 .Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác

ABC

xung

quanh trục

l a



. B.

l a

 . C.

l a

 . D.

l a



Câu 318. [2H2-1-MH2-2017] Cho hình lăng trụ tam giác đều .

  

ABC A B C

có độ dài cạnh đáy bằng

và chiều cao bằng

. Tính thể tích

của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.





a h

V . B.





a h

V . C.





V a h

. D.





V a h

Câu 319. [2H2-1-MH3-2017] Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng



và bán kính bằng

Tính độ dài đường sinh của hình nón đã cho.

l  B.

2 2 .

l a

 C.

l  D.

3 .

l a



Câu 320. [1H2-1-MH3-2017] Tính thể tích

của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng



 . B.

V a





. C.



 . D.



 .

Câu 321. [2H2-1-101-2017] Tính thể tích

của khối trụ có bán kính đáy



và chiều cao

4 2

h  .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

128





. B.

64 2



 . C.





. D.

32 2



 .

Câu 322. [2H2-1-102-2017] Cho khối nón có bán kính đáy

r  và chiều cao



. Tính thể tích

của khối nón đã cho.

16 3



 . B.





. C.

16 3



 . D.





Câu 323. [2H2-1-104-2017] Cho hình nón có bán kính đáy

r  và độ dài đường sinh



. Tính diện

tích xung quanh của hình nón đã cho.



 . B.

4 3



 . C.



 . D.

8 3



 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 90

Câu 324. [2H3-2-104-2017] Cho mặt cầu





tâm

, bán kính



. Mặt phẳng





cách

một

khoảng bằng

và cắt





theo giao tuyến là đường tròn





có tâm

. Gọi

là giao điểm

của tia

với





, tính thể tích

của khối nón có đỉnh

và đáy là hình tròn







 . B.





. C.



 . D.





Câu 325. [2H2-2-MH1-2017] Trong không gian, cho hình chữ nhật

ABCD

có



và



. Gọi

M N

lần lượt là trung điểm của

và

. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục

, ta

được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần

của hình trụ đó.



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 326. [1H2-2-MH2-2017] Cho khối





có bán kính đáy bằng

và diện tích xung quanh bằng



. Tính thể tích

của khối nón









V . B.





V . C.





V . D.





V .

Câu 327. [2H2-2-MH2-2017] Cho hình hộp chữ nhật .

   

ABCD A B C D

có



AB a



AD a

và





AA a

. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

 

ABB C



R a

. B.



R . C.



R . D.



R a

Câu 328. [1H2-2-MH3-2017] Cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD

có cạnh đáy bằng

3 2 ,

cạnh bên

bằng

5 .

Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

. .

S ABCD

R a

 . B.

R a

 . C.

R  . D.

R a



Câu 329. [2H2-2-101-2017] Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng

R 

. B.

R a



. C.

2 3

R a

 . D.

R a

 .

Câu 330. [2H2-2-101-2017] Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

có các cạnh đều bằng

. Tính thể

tích

của khối nón có đỉnh

và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác

ABCD



 . B.



 . C.



 . D.



 .

Câu 331. [2H2-2-102-2017] Cho mặt cầu bán kính

ngoại tiếp hình lập phương cạnh

. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

2 3

a R

 . B.

a  . C.

a R



. D.

2 3

a  .

Câu 332. [2H2-2-102-2017] Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

. Hình nón





có đỉnh

và đường

tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD

. Tính diện tích xung quanh

của





S a





. B.

3 3

S a



 . C.

S a





. D.

6 3

S a



 .

Câu 333. [2H2-2-102-2017] Cho mặt cầu





có bán kính bằng

, hình trụ





có chiều cao bằng

và hai đường tròn đáy nằm trên





. Gọi

là thể tích khối trụ





và

là thể tích khối cầu





. Tính tỉ số



. B.



. C.



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 91

Câu 334. [2H2-2-103-2017] Cho tứ diện

ABCD

có tam giác

BCD

vuông tại

vuông góc với mặt

phẳng





BCD

AB a



BC a



và

CD a



. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện

ABCD

5 2

R 

5 3

R 

5 2

R 

5 3

R 

Câu 335. [2H2-2-103-2017] Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng



và độ dài đường sinh bằng

đường kính đường tròn đáy. Tính bán kính

của đường tròn đáy.

5 2





. B.



. C. 5r



 . D.

5 2

r 

Câu 336. [2H2-2-103-2017] Trong không gian cho tam giác

ABC

vuông tại



A AB a

và



ACB

 

Tính thể tích

của khối nón nhận được khi quay tam giác

ABC

quanh cạnh





. B.





V a

. C.





. D.





V a

Câu 337. [2H2-2-104-2017] Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình chữ nhật với

AB a



BC a



SA a



và

vuông góc với đáy. Tính bán kính

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

R  . B.

R  . C.

R  . D.

R a



Câu 338. [2H2-3-MH1-2017] Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước

50cm 240cm



, người ta làm

các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao

50cm

, theo hai cách sau (xem hình minh họa bên

dưới):

Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung

quanh của một thùng.

Ký hiệu

là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và

là tổng thể tích của hai thùng

gò được theo cách thứ hai. Tính tỉ số



. B.



. C.



. D.



Câu 339. [2H2-3-MH1-2017] Cho hình chóp .

S ABC

có đáy

ABC

là tam giác đều cạnh bằng

, mặt bên

SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích

của khối cầu

ngoại tiếp hình chóp đã cho.

5 15



 . B.

5 15



 . C.

4 3



 . D.



 .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 92

Câu 340. [2H2-3-101-2017] Cho hình nón

có chiều cao

h a



và bán kính đáy

r a



. Mặt phẳng





đi qua

, cắt đường tròn đáy tại

A B

sao cho

2 3

AB a

 . Tính khoảng cách

từ tâm

đường tròn đáy đến





d  . B.

d a



. C.

d  . D.

d  .

Câu 341. [2H2-3-103-2017] Cho hình nón





có đường sinh tạo với đáy một góc



. Mặt phẳng qua

trục của





được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể

tích V của khối nón giới hạn bởi





9 3 .



 B.

9 .





3 3 .



 D.

3 .





Câu 342. [2H2-3-104-2017] Cho hình hộp chữ nhật .

ABCD A B C D

   

có



12.





Tính diện tích toàn phần

của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp

hình chữ nhật

ABCD

và

A B C D

   

576 .



 B.





10 2 11 5 .



 

26 .



 D.





5 4 11 4 .



 

Câu 343. [2H2-4-MH2-2017] Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5

được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh

của một hình vuông là

tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích

của vật

thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục





125 1 2





V . B.





125 5 2 2





V .





125 5 4 2





V . D.





125 2 2





V .

Câu 344. [2H3-4-104-2017] Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho ba điểm





2;0;0

A  ,





0; 2;0

B  ,





0;0; 2



. Gọi

là điểm khác

sao cho

đôi một vuông góc

nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

. Tính

S a b c

  

 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

Câu 345. [2H1-4-104-2017] Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9,

tính thể tích

của khối chóp có thể tích lớn nhất.

144



. B.

576



. C.

576 2

V  . D.

144 6

V  .

Câu 346. [2H2-2-MH-2018] Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng



và bán kính đáy bằng

Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

2 2

. B.

. C.

. D.

Câu 347. [2H2-3-MH-2018] Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh bằng

. Tính diện tích xung quanh

của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác

BCD

và chiều cao bằng

chiều cao của tứ diện

ABCD

16 2



 . B.

8 2



 . C.

16 3



 . D.

8 3



 .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 93

Câu 348. [2H2-1-MĐ101-2018] Diện tích mặt cầu bán kính

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 349. [2H2-1-MĐ102-2018] Thể tích của khối cầu bán kính

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 350. [2H2-1-MĐ103-2018] Khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là

và chiều cao

thì có thể tích là



. B.

r h



. C.

r h



. D.

r h



Câu 351. [2H2-1-MĐ104-2018] Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy

và độ

dài đường sinh

bằng



. B.



. C.



. D.



Câu 352. [2H2-2-MĐ101-2018] Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy

3 mm

và chiều

cao bằng

200 mm

. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần

lõi có dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính

1 mm

Giả định

1 m

gỗ có giá trị

(triệu đồng),

1 m

than chì có giá trị

(triệu đồng). khi đó giá

nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?

9,7.

(đồng). B.

97,03.

(đồng). C.

90,7.

(đồng). D.

9,07.

(đồng).

Câu 353. [2H2-2-MĐ102-2018] Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy

3 mm

và

chiều cao bằng

200 mm

. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì.

Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình

tròn có bán kính

1 mm

. Giả định

gỗ có giá

triệu đồng,

than chì có giá

triệu

đồng. Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới

đây?

84,5.

đồng. B.

78,2.

đồng. C.

8,45.

đồng. D.

7,82.

đồng.

Câu 354. [2H2-3-MĐ103-2018] Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy

và chiều cao bằng

200

mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than

chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán

kính

mm. Giả định

gỗ có giá

( triệu đồng),

than chì có giá

(triệu đồng). Khi

đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

10,33.

(đồng). B.

97,03.

(đồng). B.

103,3.

(đồng). D.

9,7.

(đồng).

Câu 355. [2H2-2-MĐ104-2018] Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy

3 mm

và chiều

cao bằng

200 mm

. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần

lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính

1 mm

Giả định

1 m

gỗ có giá trị

(triệu đồng),

1 m

than chì có giá trị

(triệu đồng). Khi đó giá

nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?

84,5.

(đồng). B.

90,07.

(đồng). C.

8,45.

(đồng). D.

9,07.

(đồng).

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 94

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D A B B A A B D C A A C A A A B B A C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A C A C A C A D D A C C A B A B D D B A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B A A A A B A D A C A C A A A D A C C A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

C D A D C A D D B D D D A B B D C C D B

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

B C A C A D D A A B B B D B D A D B B A

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

D D D D A D A D A C D D D D A D C B A B

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

B B A A B C B B B A B C C B A C C A A C

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

B D B D B B A C B B B D C B B D C B A A

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

B D A B B C A A C A A A A A D B B A D A

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

A C B C A D A A D B D A C B A A B B A C

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

D D B D B C A C C B A C A C B A A D D D

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

B C A A C C D B A D A C A A B C A C C A

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

D B D C A D C D A C C C A B B A D A B D

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

A C A C A C D B D D C B B B A A B A A D

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

A A D C B D A D D A A A A B D D B A D C

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

A D C D D C B C B A C A C A C D D B D D

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

B B B A A A C C D C D B C C D A C C B D

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

D B C B B B A C A D C D D D C

Tài liệu tham khảo:

[1] Trần Văn Hạo – Hình học 12 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[2] Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học 12 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[3] Trần Văn Hạo - Hình học 12 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[4] Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 12 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[5] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017, 2018 của một số trường, SGD.

[6] Đề thi minh họa, đề tham khảo, đề thử nghiệm, đề chính thức của bộ GD-ĐT Việt Nam

[7] Một số tài liệu trên internet.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 95

GHI CHÉP CÁ NHÂN

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 96

MỤC LỤC

MẶT NÓN. MẶT TRỤ. MẶT CẦU

Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN .......... 1

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón ...................................................................................... 2

Dạng 2. Thiết diện với hình nón .................................................................................................. 5

Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp .................................................................................... 8

Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 10

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ............................................................................................ 11

Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ ............................................................................................. 12

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình trụ ..................................................................................... 12

Dạng 2. Thiết diện với mặt trụ .................................................................................................. 15

Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp .................................................................................................... 18

Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 20

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ............................................................................................ 22

Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU ..................................................................................................................... 24

Dạng 1. Xác định mặc cầu .......................................................................................................... 25

Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp .................................................................... 27

Dạng 3. Vị trí tương đối ............................................................................................................. 33

Dạng 4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ......................................................................... 35

Dạng 5. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 37

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 6 ...................................................................................................................... 38

BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐH - CĐ ..................................................................................................... 49

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................................... 54

Vấn đề 1. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN .................................................................. 54

Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ ...................................................................... 57

Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU ........................................................................................... 59

Vấn đề 4. TRÍCH 7 ĐỀ THI CỦA BGD NĂM 2017 + 2018 ................................................... 61

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 94

MỤC LỤC .....................................................................................................................................................................95

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/98

| | Tải xuống

Preview text:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 1 Chủ đề 6
MẶT NÓN. MẶT TRỤ. MẶT CẦU
Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY.
HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN
I. Khái niệm về mặt tròn xoay 
1. Trục của đường tròn O; R : là đường thẳng đi qua tâm C O
O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn. M
2. Trong không gian cho mặt phẳng  P chứa đường 
thẳng  và một đường C . Khi quay mặt phẳng  P
quanh  một góc 360 thì mỗi điểm M trên C vạch ra
một đường tròn có tâm O thuộc  và nằm trên mặt
phẳng vuông góc với  . Như vậy khi quay mặt phẳng P C
P quanh đường thẳng  thì C sẽ tạo nên được một O
hình gọi là mặt tròn xoay. M
Trong đó: đường C được gọi là đường sinh; đường
thẳng  được gọi là trục của mặt tròn xoay.
II. Mặt nón – Hình nón – Khối nón
1. Định nghĩa mặt nón:
Trong mặt phẳng  P cho hai đường thẳng d và  cắt
nhau tại điểm O và tạo thành góc  (với
0    90 ). Khi quay mặt phẳng  P xung quanh  O
thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi
là mặt nón tròn xoay đỉnh O . Gọi tắt là mặt nón. 
  gọi là trục của mặt nón.
 d gọi là đường sinh của mặt nón.
 O gọi là đỉnh của mặt nón.
 Nếu gọi  là góc giữa d và  thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.  d
2. Hình nón tròn xoay: O
 Cho IOM vuông tại I . Khi quay tam giác đó
xung quanh cạnh vuông góc OI thì đường gấp
khúc IOM tạo thành một hình được gọi là hình
nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.  Trong đó I
 Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM M
quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của mình nón. O
 Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.
 Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.
 Độ dài đoạn OM được gọi là độ dài đường sinh của hình nón.
 Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi
quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón. I
3. Khối nón tròn xoay:
 Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là
khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón.  Trong đó:
 Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 2
 Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường
sinh của khối nón tương ứng.
4. Diện tích hình nón và thể tích khối nón:
a. Định nghĩa:
 Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình
chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
 Thể tích của khối nón: là giới hạn của thể tích của hình chóp đều nội tiếp hình nón
đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b. Công thức:
Gọi r là bán kính đường tròn đáy; l là độ dài đường sinh; h là chiều cao; B là diện tích đáy của hình nón.
 Diện tích xung quanh: S   rl xq
 Diện tích toàn phần: 2
S  S  S
  r   rl tp đáy xq l 1 1
 Thể tích của khối nón: 2 V 
B.h   r h 3 3 r 5. Hình nón cụt :
a. Định nghĩa:
Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.
b. Công thức: O  Diện tích xung quanh: S
  R  r l . xq  
 Diện tích toàn phần: S  S  S
  r  R
  R  r l tp đáy xq  2 2 2    A I r 1
 Thể tích khối nón cụt: V 
 h 2 2
R  r  Rr  . 3 B J R
Trong đó: R, r là bán kính hai đáy; h  IJ là độ cao hình nón cụt.
Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón: đường sinh, bán kính
đáy, chiều cao, góc ở đỉnh, diện tích, thể tích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Hình nón:
 Chiều cao: SO  h  S Đường sinh: SM  l   Góc ở đỉnh: MSN  2
 Bán kính đáy r thì: 2 2 2
l  r  h l h
 Diện tích xung quanh: S   rl xq
 Diện tích toàn phần: 2 S  S  S
  r   rl tp đáy xq M O r 1 1
 Thể tích: 2 V  S .h   r h 3 đáy 3
2. Hình nón cụt:
 Diện tích xung quanh: S    R  r l r xq  h
 Diện tích toàn phần: 2 2 S  S  S   r  R
  R  r l tp 2 đáy xq     1 R
 Thể tích:
V   h  2 2
R  r  Rr  3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 3 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  a và AC  a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  3a và AC  4a . Tính độ dài đường sinh l của hình
nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ 4
Ví dụ 3: a) Một hình nón có đường kính đáy bằng 2 và chiều cao bằng
. Kí hiệu góc ở đỉnh của hình 3
nón là 2 . Tính  .
b) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có diện tích xung quanh bằng 8 .
Tính chiều cao của hình nón này.
c) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2
3 a và bán kính bằng a . Tính độ dài đường
sinh của hình nón đã cho.
d) Tính thể tích của một khối nón có góc ở đỉnh là 90 ,
 bán kính hình tròn đáy là a ?
e) Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích của hình nón bằng 9 . Tính
đường cao h của hình nón.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 4 
Ví dụ 4: Trong không gian cho OIM vuông tại I , góc IOM  30 và IM  a . Khi quay tam giác
OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay đó.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5: Cho hình nón có bán kính đáy r  3cm và đường sinh l  5cm .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  c , AC  b . Tính thể tích của khối tròn xoay sinh
bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong khi quay quanh đường thẳng BC ).
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7: Các bán kính đáy của một hình nón cụt lần lượt là a và 3a , đường sinh là 2,9a . Tính thể tích khối nón cụt đó.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.
Cho hình nón có bán kính đáy r  3cm và đường cao h  4cm .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Bài 2.
Cho tam giác SAB đều cạnh a , O là trung điểm của AB , quay tam giác SAB quanh cạnh SO được hình nón.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 5
Dạng 2. Thiết diện với hình nón
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng  P . Nếu:
1. Mặt phẳng  P  không qua đỉnh thì thiết diện là:
 Một elip nếu P cắt tất cả các đường sinh. Đặc biệt nếu P
vuông góc với trục của mặt nón thì thiết diện là đường tròn.
 Một đường Parabol nếu P song song với chỉ một đường sinh.
 Một đường Hypebol nếu P song song với hai đường sinh.
2. Mặt phẳng  P  qua đỉnh thì thiết diện là:
 Tam giác cân tại đỉnh của hình nón nếu P cắt mặt nón theo 2 đường sinh
 Mặt tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  20cm , bán kính đáy r  25cm .
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa
thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều
cạnh 2a . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 6
Ví dụ 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 .
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt
phẳng đáy hình nón một góc 60 . Tính diện tích tam giác SBC .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a .
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính diện tích thiết diện được tạo nên.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 7
Ví dụ 12: Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng l và có
góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng  .
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên. DI
b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho
 k (0  k  l) . Tính DO
diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  40cm , bán kính đáy r  50cm . Một thiết diện đi qua
đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 24cm . Tính
diện tích của thiết diện. Bài 4.
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo
với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính diện tích tam giác SBC . Bài 5.
Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần.
Tính tỉ số thể tích của hai phần. Bài 6.
Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và đáy là
một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất
thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu? Bài 7.
Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h  a và bán kính đáy r  2a . Mặt phẳng  P đi qua S
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB  2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường
tròn đáy đến  P .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 8
Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Một hình nón gọi là nội tiếp một hình chóp nếu hình nón tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.
2. Một hình nón gọi là ngoại tiếp một hình chóp nếu đường tròn đáy của hình nón là
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp và đỉnh của hình nón là đỉnh hình chóp. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 13: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng 6a . Tính thể tích khối nón
nội tiếp hình chóp đó.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 14: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng 6 .
a Tính thể tích khối nón
ngoại tiếp hình chóp đó.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 9
Ví dụ 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng .
a Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60 . Một hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABC . D
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.
b) Khi đó thể tích khối nón tương ứng.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 16: Hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a , một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của
hình vuông ABCD và có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông A B  C  D  .
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 8.
Tích diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay và thể tích khối nón
ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a . Bài 9.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của khối nón
đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABC . D Bài 10.
Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  cạnh a . Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm hình
vuông ABCD và có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông AB C  D   . Bài 11.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
45 . Diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là S , có đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 10
Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế A. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17: Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là 3
V  9a  . Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ
sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là R sao cho diện tích nhôm cần sử
dụng là ít nhất. Tính R ?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 18: Một cái ly có dạng hình nón như hình vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao 1
của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly (không tính chân lý). Hỏi nếu bịt kín miệng 3
ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 12.
Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ. Người X 1
uống một phần rượu sao cho chiều cao của nó giảm đi so với 3
chiều cao của rượu trong cốc. Người Y uống phần rượu còn lại
trong cốc. Tính lượng rượu người X đã uống.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 11
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 Bài 13.
Cho tam giác SOA vuông tại O có OA  3cm , SA  5cm . Quay tam giác SOA quanh cạnh
SO được hình nón.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Bài 14.
Cho khối nón có bán kính đáy r  12 và có góc ở đỉnh là   120 . Hãy tính diện tích của thiết
diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Bài 15.
Cho hình nón N có bán kính đáy là R , góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng  . Một
mặt phẳng  P song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h và cắt hình nón
theo đường tròn C  .
a) Tính bán kính đường tròn C  theo R, , h a .
b) Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng  P . Bài 16.
Cho hình nón N có bán kính đáy R , đường cao SO . Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với SO 1
tại O sao cho SO 
SO . Một mặt phẳng qua trục của hình nón cắt phần khối nón N nằm 1 1 3
giữa  P và đáy nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích
phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng chứa đáy hình nón N . Bài 17.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón có đỉnh S và đáy là đường
tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD .
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Bài 18.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45 . Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD . Bài 19.
Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn
đáy của hình nón và có AB  BC  10a, AC  12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAB và  ABC bằng 45 .
 Tính thể tích khối nón đã cho. B A O Bài 20.
Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang
ABCD quanh trục OO
Biết OO  80, O D   24, O C 
 12, OA  12, OB  6 . D C O
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 12
Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ
1. Mặt trụ tròn xoay: 
Trong mp  P cho hai đường thẳng  và l song song r
nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi quay  P
xung quanh  thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi l
là mặt trụ tròn xoay.  gọi là trục, l gọi là đường
sinh, r là bán kính của mặt trụ đó. r
2. Hình trụ tròn xoay:
Xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình đó xung
quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB , thì 
đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là D A
hình trụ tròn xoay.
 Hai đáy là hai hình tròn: tâm A bán kính r  AD và
tâm B bán kính r  BC .
 Đường sinh: đoạn CD . B C
 Mặt xung quanh: là mặt do đoạn CD tạo thành khi
quay, nếu cắt theo một đường sinh và trải ra ta được
mặt xung quanh là một hình chữ nhật.
 Chiều cao: h  AB  CD .
3. Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn
bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ r tròn xoay.
4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ: h
 Diện tích xung quanh: S  2 rh xq
 Diện tích toàn phần: 2
S  S  2.S
 2 rh  2 r tp xq đáy  Thể tích khối trụ: 2
V  Bh   r h
Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình trụ: chiều cao (đường sinh),
bán kính đáy, diện tích, thể tích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Chiều cao: OO  h O r
 Bán kính đáy: r  OA
 Diện tích xung quanh: S  2 rh xq h
 Diện tích toàn phần: 2
S  S  2.S
 2 rh  2 r tp xq đáy
 Thể tích: 2 V  S .h   r h đáy O A
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 13 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ:
a) có bán kính đường tròn đáy r  a và chiều cao h  a 3 .
b) có chiều cao bằng 2 và thể tích bằng 8 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 20: Tính thể tích V của khối trụ tròn xoay
a) có bán kính đáy bằng R và diện tích toàn phần bằng 2 8 R .
b) có bán kính đáy r  4 và chiều cao h  4 2 .
c) có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng 2 .
d) có đường kính đáy bằng 2a , đường sinh bằng 3a .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 21: Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tòn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.
b) Tích thể tích khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 22: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O và có chiều cao bằng a . Trên đường tròn
đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo a .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 14
Ví dụ 23: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h  r 3 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng
AB và trục của hình trụ bằng 30 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A , B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng  ABCD tạo với đáy hình trụ góc 45 . Tính diện tích xung quanh và diện tích
toàn phần hình trụ theo a .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 25: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn O, R và O , R . Biết rằng tồn tại dây cung
AB của đường tròn O sao cho O  A
 B đều và mp O A
 B hợp với mặt phẳng chứa đường
tròn O một góc 60 . Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo R .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 15
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 21.
Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB  1, AD  2 . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính
diện tích toàn phần của hình trụ đó? Bài 22.
Một hình vuông ABCD . Cho hình vuông đó quay quanh trục AB và trục AC được tạo thành V
các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V , V . Tính tỉ số 1 k  . 1 2 V2 Bài 23.
Cho hình vuông ABCD biết cạnh bằng a . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AB, CD . Tính
diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi cho hình vuông ABCD quay quanh IK một góc 360 . Bài 24.
Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao có độ dài bằng nhau. Hình vuông ABCD có hai
cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy (các cạnh AD , BC không phải
là đường sinh của hình trụ). Tính độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ biết rằng cạnh
hình vuông có độ dài bằng a . Bài 25.
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AD  a , AC  2a . Tính theo a độ dài đường
sinh l của hình trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB . Bài 26.
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính đường
tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.
Dạng 2. Thiết diện với mặt trụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một
mp   vuông góc với trục  thì ta được đường tròn
có tâm trên  và có bán kính bằng r với r cũng
chính là bán kính của mặt trụ đó.
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một
mp   không vuông góc với trục  nhưng cắt tất cả
các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp 2r
có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó sin 
 là góc giữa trục  và mp   với 0    90.
 Cho mp   song song với trục  của mặt trụ tròn xoay và cách  một khoảng k :
 Nếu k  r thì mp   cắt mặt trụ theo hai đường sinh  thiết diện là hình chữ nhật.
 Nếu k  r thì mp   tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
 Nếu k  r thì mp   không cắt mặt trụ.
 Cho mp   qua trục  của mặt trụ tròn xoay thì
thiết diện là hình chữ nhật.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 16 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 26: Cho hình trụ có hình tròn đáy bán kính là r  a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính
diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo a .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 27: Một hình trụ có bán kính đáy r  5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của
thiết diện được tạo nên.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 28: Một khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh là 3a . Tính diện tích toàn phần khối
trụ và thể tích khối trụ.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 29: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2
6a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 17
Ví dụ 30: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và có thiết diện qua trục của nó là một hình
vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 31: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Tính diện tích toàn
phần của hình trụ và thể tích khối trụ.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 32: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB
và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD  6 và góc CAD bằng 60. Thể tích của khối trụ là
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 27.
Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao R 3 . Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 . Một mặt phẳng  P chứa
AB và song song với tục của hình trụ.
a) Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  P .
b) Tính góc giữa hai bán kính đi qua A và B .
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ. Bài 28.
Cho hình trụ có trục OO , bán kính đáy R và chiều cao h . Một điểm M cố định cách trục của
hình trụ một khoảng bằng 2R . Qua M dựng hai mặt phẳng   và    tiếp xúc với mặt trụ
theo các đường sinh AA và BB . Gọi d là giao tuyến của   và    . Chứng minh:
a) d vuông góc với đáy của hình thụ.
b) Mặt phẳng  AA , BB vuông gócc với mặt phẳng OO M   .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng   ,    và tính diện tích thiết diện do mặt phẳng  AA , BB cắt hình trụ.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 18
Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai đa
giác đáy của hình lăng trụ.
2. Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
đa giác đáy của hình lăng trụ.
3. Hình nón nội tiếp hình trụ là hình nón có đáy là đáy hình trụ và đỉnh trùng với tâm của
đáy còn lại của hình trụ. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 33: Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và AB C  D   . Tính S .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 34: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .
a Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là
đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 35: Lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a và có hai đáy là hai
tam giác nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ ( ) . Tính thể tích khối trụ ( ).
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 19
Ví dụ 36: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là O , O. Biết thể tích khối nón có đỉnh là O
và đáy là hình tròn O là 3
a , tính thể tích khối trụ đã cho?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 37: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O, R và O ', R ; OO '  a 3 Một hình nón có đỉnh
là O ' và đáy là hình tròn O, R . Gọi S , S lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và 1 2 S
hình nón. Tính tỉ số 1 . S2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 29.
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3 , cạnh bên AD  2 quay
quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. Bài 30.
Một hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt của hình lập phương cạnh bằng 2 . a Tính
thể tích của khối trụ đó. 3 a 3 Bài 31.
Cho một khối lăng trụ tam giác đều có thể tích là
. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp 2 lăng trụ đó. Bài 32.
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai
mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S là diện 1 2 S
tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số 2 . S1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 20 Bài 33.
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O; R và O ; R , OO  R 2 . Xét hình nón có đỉnh
O , đáy là hình tròn O; R . Gọi S , S lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình 1 2 S nón. Tính tỉ số 1 . S2 Bài 34.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h .
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. Bài 35.
Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ.
Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế A. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 38: Bên trong một lon sữa hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và bằng 1dm . Thể tích thực của lon sữa đó bằng.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 39: Một người có một dãi duy băng độ dài 180 cm . Người đó cần bọc dãi duy băng đó đi quanh
một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà người này dùng 20cm để thắt nơ trên nắp hộp (như hình
vẽ minh họa). Hỏi dãi duy băng đó có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 21
Ví dụ 40: Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là   3 64
m  . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ A
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN B Bài 36.
Một thùng xách nước hình trụ có chiều cao 4dm , đường kính đáy
2dm . Người ta dùng các thùng này để xách nước đổ vào một cái bể
hình lập phương cạnh 1, 5m . Giả sử mỗi lần xách đều đầy nước trong C
thùng và khi đổ 100 thùng thì được 90% thể tích bể. Hỏi ban đầu số lít
nước có trong bể là bao nhiêu ? Bài 37.
Người ta bỏ 12 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc
hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao
bằng 12 lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S là tổng diện tích của ba 1 S
quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính Tỉ số 1 . 2 S2 Bài 38.
Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài
1km, đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m; độ R
dày của lớp bê tông bằng 10cm. Biết rằng cứ một khối bê tông phải D
dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng
đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất? Bài 39.
Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình
bên. Biết bán kính đáy bằng R  5cm , bán kính cổ r  2cm ,
AB  3cm , BC  6cm , CD  16cm . Tính thể tích phần không gian
bên trong của chai nước ngọt đó. Bài 40.
Một bồn trụ đang chứa dầu được đặt nằm ngang có
chiều dài bồn là 5m , bán kính đáy 1m . Người ta rút
dầu ra trong bồn tương ứng với 0, 5 m của đường
kính đáy. Tính thể tích gần đúng của dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3
m , làm tròn đến ba chữ số thập phân).
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 22
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 Bài 41.
Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính R , chiều cao là R 2 .
Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ. Bài 42.
Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H là trung điểm của các cạnh
AB và CD . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.
b) Tính thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ. Bài 43.
Một hình trụ có bán kính R và chiều cao h  R 3 .
a) Tính S và diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay. xq
b) Tính thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng
AB và trục của hình trụ bằng 30 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Bài 44.
Cho hình trục có bán kính R và chiều cao cũng bằng R . Một hình vuông ABCD có hai cạnh
AB và CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải
là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hình vuông đó và cosin của góc giữa hai mặt phẳng
chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Bài 45.
Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính V của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Bài 46.
Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 . A và B là hai điểm trên hai đường tròn
đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục hình trụ là 30 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Bài 47.
Một hình trụ có bán kính đáy R  5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm .
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Hãy tính diện tích của
thiết diện được tạo nên. Bài 48.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao AS  2a . MNPQ là thiết
diện song song với đáy, M thuộc SA và AM  x . Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp
MNPQ và đường sinh là MA .
a) Tính diện tích MNPQ theo a và x .
b) Tính thể tích của khối trụ theo a và x .
c) Xác định vị trí của M để khối trụ có thể tích lớn nhất. Bài 49.
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O và O .
a) Mặt phẳng qua trục OO cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a . Tính diện tích
xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.
b) Mặt phẳng song song với trục và cách trục OO một khoảng 3cm và cắt hình trụ theo thiết
diện là hình chữ nhật ABB A   ; ,
A B  (O); A ,
 B  (O )
 ; AB  8cm ; BB  5cm . Tính diện
tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 23 Bài 50.
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là C O; R và CO ; R , đường cao R 3 , AC  ,
A  C , góc hợp bởi AA và OO bằng 30 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.
b) Tính diện tích thiết diện qua AA và song song với trục hình trụ
c) Tính góc giữa OA và O A   .
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AA và OO . Bài 51.
Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60cm , diện tích đáy 2
900 cm . Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm
thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp). Bài 52.
Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn
dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 3 1000cm . 23 cm
Tính bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết
kiệm nguyên vật liệu nhất. 5 cm Bài 53.
Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ.
Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều
dài lăn là 23cm (hình bên). Tính diện tích sau
khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng. Bài 54.
Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S là tổng 1 S
diện tích của ba quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 1 bằng: 2 S2 Bài 55.
Một thùng chứa hình trụ kín, có thể tích 3
5000m . Vật liệu để làm hai đáy có giá 2 250 000 / m ,
vật liệu làm phần còn lại có giá 2
400 000 / m . Tính chiều cao h và bán kính đáy của thùng
chứa để chi phí thấp nhất.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 24
Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU 1. Các định nghĩa
 Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định O một
khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O bán kính R . Kí B
hiệu: S O; R O
 Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho OM  R gọi là
khối cầu tâm O bán kính R . A
S O ; R = M | OM =  R
 Nếu A , B thuộc S  và AB qua O thì AB gọi là đường kính của mặt cầu S  .
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S O; R và mặt phẳng  P , gọi d là khoảng cách từ O đến  P và H là hình chiếu
của O trên  P . Khi đó:
 Nếu d  R thì  P không cắt mặt cầu.
 Nếu d  R thì  P tiếp xúc với mặt cầu S  tại H . Ta nói  P là tiếp diện của mặt cầu còn H
là tiếp điểm của  P và S  .
 Nếu d  R thì  P cắt S  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên  P có tâm H và bán kính 2 2 r 
R  d O O O R H H r M H M M P P P  Chú ý:
 Khi d  R thì P đi qua tâm O của mặt cầu S  lúc đó ta gọi P là mặt phẳng kính và
giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu.
 Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H  gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H  và
hình đa diện  H  được gọi là nội tiếp mặt cầu.
 Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện H  gọi là mặt cầu nội tiếp hình đa diện
H  và hình đa diện H  được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng  , gọi H là hình chiếu của O trên  và d  OH . Khi đó:
 Nếu d  R thì  cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt.
 Nếu d  R thì  tiếp xúc với mặt cầu S  tại một điểm, lúc đó  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 25
và H gọi là tiếp điểm của mặt cầu.
 Nếu d  R thì  không cắt mặt cầu.  O H O O  B P A P  H P H  Chú ý:
 Qua một điểm M nằm trên mặt cầu S O; R có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và các tiếp tuyến
này cùng nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại M .
 Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S O; R có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp
tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh M .
 Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O; R thì:
 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
 Độ dài nối A với các tiếp điểm bằng nhau và ta thường gọi là đoạn tiếp tuyến.
 Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
 Diện tích mặt cầu S O; R : 2 S = 4 R h 4 r
 Thể tích khối cầu S O; R : 3 V =  R 3 R
5. Diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu:
 Diện tích mặt cầu: S
  Rh    2 2 2
r  h xq   h   h  Thể tích khối cầu: 2
V   h R      2 2
h  3r   3  6
Dạng 1. Xác định mặc cầu
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Muốn chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một mặt cầu ta hcusng minh các điểm đó
cùng cách đều một điểm O cố định một khoảng R  0 không đổi.
2. Muốn chứng minh một đường thẳng  tiếp xúc với một mặt cầu S O; R ta chứng
minh d O,   R .
3. Muốn chứng minh một mặt phẳng  P tiếp xúc với một mặt cầu S O; R ta chứng
minh d O,  P  R .
4. Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là
mặt cầu đường kính AB . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 41: Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạc thẳng AB cố định dưới một góc vuông
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 26
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 42: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
  
MA  MB  MC  3a là một mặt cầu.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt
phẳng   đi qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P .
a) Chứng minh BD  AN .
b) Chứng minh năm điểm: S , A , M , N , P cùng thuộc một mặt cầu.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 56.
Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình vuông tâm O cạnh a , SM   MNPQ và
SM  a 3 . Gọi H là hình chiếu của N trên SP .
a) Chứng minh rằng: 5 điểm S , O , M , N , H cùng nằm trên mặt cầu.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 27
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. Bài 57.
Bài 6.2. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S O; R ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại ,
A B và C, D .
a) Chứng minh rằng M .
A MB  MC.MD .
b) Gọi MO  d . Tính M .
A MB theo r và d . Bài 58.
Cho mặt cầu S O; R tiếp xúc với mặt phẳng  P tại I . Gọi M là một điểm nằm trên mặt
cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua O . Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu  
cắt  P tại A và B . Chứng minh rằng AMB  AIB .
Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp. Ta nói hình
chóp nội tiếp mặt cầu.
 Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy của hình chóp và mặt trung trực của một cạnh bên.
2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Ta
nói hình chóp ngoại tiếp mặt cầu.
 Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
 Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S O; R tại H khi và chỉ khi mặt phẳng
P vuông góc với bán ksinh OH tại điểm H .
 Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S O; R  d O;P  R . 3V
 Nếu một khối đa diện có hình cầu nội tiếp thì bán kính hình cầu nội tiếp là r  Stp
(trong đó V là thể tích và S là diện tích toàn phần hình đa diện). tp
 Tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.
3. Cách tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M
Cách 1: Nếu A , B , C , … cùng nhìn đoạn MN theo 1 góc I
vuông thì A , B , C , …, M , N cùng thuộc mặt cầu có
đường kính MN . Tâm I là trung điểm MN . N
Cách 2: (Tổng quát) Dựng tâm I theo các bước: A
Bước 1: Dựng trục  của đáy. (vuông góc đáy tại tâm ngoại) B C Bước 2:
o Nếu cạnh bên SA cắt hoặc song song với  thì trong mặt phẳng S , A   ,
đường trung trực SA cắt  tại I (hình a, b).
o Nếu cạnh bên SA không đồng phẳng với  thì mặt phẳng trung trực của SA cắt  tại I .
Cách 3: I là giao của hai trục
Bước 1: Dựng trục  của đáy. 1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 28
Bước 2: Dựng trục  của 1 mặt bên (chọn mặt bên là tam giác đặc biệt). Tâm I là 2 giao của  và  1 2 (hình c). S S  S 1 I I  I 2 A A Hình a Hình b Hình c
4. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một số hình đặc biệt: a) Hình chóp .
S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại B : S
 Ta có BC  AB (?)
 BC  SB (?) I   SBC  90 (1)  
Mặt khác ta có: SA  AC  SAC  90 (2) A C
 Từ (1) và (2) suy ra A , B , S , C cùng thuộc mặt B
cầu đường kính SC . Tâm I là trung điểm SC . b) Hình chóp .
S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại C : S
 Ta có BC  AC (?)
 BC  SC (?)  I  SCB  90 (1)  
Mặt khác ta có: SA  AB  SAB  90 (2) A C
 Từ (1) và (2) suy ra A , C , S , B cùng thuộc mặt cầu đường kính B
SB . Tâm I là trung điểm SB . c) Hình chóp .
S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và ABCD là hình chữ nhật: S  
Ta có SAC  90 (?)  SBC  90 (?) I  SDC  90 (?) D
 A , B , D cùng thuộc mặt cầu đường A
kính SC . Tâm I là trung điểm SC . B C
d) Hình chóp tam giác đều .
S ABC có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 :
 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 S   
 SAO  SBO  SCO  45  S  OA , S  OB , S
 OC là các tam giác vuông cân tại O A C
 OS  OA  OB  OC O
 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . B
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 29
e) Hình chóp tứ giác đều .
S ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 :
 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 S    
 SAO  SBO  SCO  SDO  45  S  OA , S  OB , S  OC , S  OD là các
tam giác vuông cân tại O . A D
 OS  OA  OB  OC  OD O
 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . B C
f) Hình chóp tứ giác đều .
S ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 :
 Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 S    
 SAO  SBO  SCO  SDO  60  S  AC , S
 BD là các tam giác đều I
 Gọi I là trọng tâm S
 AC thì I cũng là trọng tâm S  BD A D
 IS  IA  IB  IC  ID O
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . B C B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD . Biết góc giữa
SC và đáy bằng 30 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD theo a .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 45: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 và cạnh đáy
bằng a . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 30
Ví dụ 46: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 và cạnh đáy
bằng a . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC theo a .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 47: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SA   ABC  .
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp. 
b) Cho BC  2a , ABC  60 , SA  a 6 . Tính bán kính của mặt cầu S  ở trên.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 48: Cho S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Các mặt  SAB ,  SAC  cùng vuông góc với mặt đáy.
a) Chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
b) Tính thể tích của khối chóp. Biết SA  a , tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 31
Ví dụ 49: Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác đều. Mặt phẳng  A B
 C  tạo với mặt
 ABC  góc 30 và diện tích tam giác  A B  C  là 8 .
a) Tính thể tích khối lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ 
Ví dụ 50: Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , C  60 , AC  a , AC  3a .
a) Tính thể tích khối lăng trụ.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 32
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 59.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a và có chiều a cao
. Chứng tỏ: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Tính khoảng cách từ O 2
đến  SCD và khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  SCD theo a . Bài 60.
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các mặt chéo  SAC  ,  SBD là
tam giác đều. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 61.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , biết AC  2 AB  2a và mặt bên
SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABC theo a . Bài 62.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng  SAB . Cho AB  3a , BC  4a ,
AC  5a , SA  6a . Tính bán kính mặt cầu qua S , A , B , C theo a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm SA , SC . Tính thể tích khối chóp MNABC theo a .  Bài 63.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi, cạnh bằng a , ABC  60 . Biết SA  SB  SC  3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . Chứng tỏ hình chóp S.ABCD không nội tiếp được trong một mặt cầu. Bài 64.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Tìm tâm và bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp
trong các trường hợp sau:
a) Có tất cả các cạnh đều bằng a .
b) Cạnh bên SA  a 2 , cạnh đáy AB  a .
c) Cạnh đáy AB  a và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 . a 3 d) Cạnh bên SB 
và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 . 2 a 3 e) Cạnh bên SB 
và góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 60 . 2 Bài 65.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SB   ABC  .
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp.
b) Cho AB  a 3 , AC  2a , SB  a 2 . Tính bán kính của mặt cầu S  ở trên. Bài 66.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Tìm tâm và bán kính mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp
trong các trường hợp sau:
a) Tất cả các cạnh đều bằng a. a 10 b) SA  , AB  a . 2
c) SA  2a 3 và góc tạo bởi giữa cạnh bên và mặt đáy là 60 .
d) SA  a 2 và góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy là 60 .
d) AB  2a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60 . Bài 67.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , có AB  2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy là 30 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm và tính V mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 33
Dạng 3. Vị trí tương đối
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
 Nếu d  R thì  P không cắt mặt cầu.
 Nếu d  R thì  P tiếp xúc với mặt cầu S  tại H . Ta nói  P là tiếp diện của mặt
cầu còn H là tiếp điểm của  P và S  .
 Nếu d  R thì  P cắt S  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên  P có tâm H và bán kính 2 2 r 
R  d
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
 Nếu d  R thì  cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt.
 Nếu d  R thì  tiếp xúc với mặt cầu S  tại một điểm, lúc đó  gọi là tiếp tuyến
của mặt cầu và H gọi là tiếp điểm của mặt cầu.
 Nếu d  R thì  không cắt mặt cầu.
3. Tiếp tuyến của mặt cầu
 Qua một điểm M nằm trên mặt cầu S O; R có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và các
tiếp tuyến này cùng nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại M .
 Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S O; R có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã
cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh M . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 51: Cho mặt cầu S O; R và điểm A , với OA  2R , qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với S  tại
B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt S  tại C và D với CD  R 3 . a) Tính AB .
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 34
Ví dụ 52: Cho hình lập phương cạnh a . Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu tiếp xúc với cả 6
mặt của hình lập phương.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 53: Cho mặt cầu S O; R . Cắt mặt cầu bởi mặt phẳng  P sao cho khoảng cách từ O đến  P R bằng
. Xác định thiết diện của  P và mặt cầu. 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN R Bài 68.
Cho khối cầu S O; R có đường kính AB . Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho OH  . Mặt 3
phẳng   qua H và vuông góc với AB , cắt khối cầu theo hình tròn I  .
a) Tính diện tích hình tròn  I  .
b) Gọi CDE là tam giác đều nội tiếp trong hình tròn  I  , tính thể tích các khối chóp . A CDE và . B CDE . Bài 69.
Cho mặt cầu S O; R tiếp xúc với mặt phẳng  P tại I . Lấy điểm M tùy ý trên S  sao cho
ba điểm O, I , M không thẳng hàng. Từ M kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt
cầu S  , hai tiếp tuyến này cắt mp  P tại A và B . Chứng minh: 2 2 2
AB  IA  IB . Bài 70. Cho A
 BC có độ dài ba cạnh lần lượt là 13,14,15 . Một mặt cầu S O;5 tiếp xúc với ba cạnh
của tam giác tại các tiếp điểm thuộc ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 35
Dạng 4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
 Diện tích mặt cầu S O; R : 2 S = 4 R h 4 r
 Thể tích khối cầu S O; R : 3 V =  R 3
2. Diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu R
 Diện tích mặt cầu: S
  Rh    2 2 2
r  h xq   h   h  Thể tích khối cầu: 2
V   h R      2 2
h  3r   3  6 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 54: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng  vuông góc a
với mặt phẳng  ABCD . Trên  lấy điểm S sao cho SO  . 2
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp thình chóp S.ABCD .
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 36
Ví dụ 55: Chứng minh công thức tính thể tích khối chỏm cầu và diện tích xung quanh của chỏm cầu như hình vẽ.
................................................................................................................................................................................. h
................................................................................................................................................................................. r
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. R
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 71.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a .
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD .
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu trên. 2 3 a 6 3 a  a 6 ĐS: R  ; S  ;V  4 2 8 Bài 72.
Cho tứ diện SABC có SA   ABC  , hai mặt phẳng  SBC  ,  SAB vuông góc với nhau,      
SB  a 2 , BSC  , ASB   , 0      . 4  2 
a) Chứng minh SB  BC . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . b) Tính V
theo a và  . Tìm  để thể tích này lớn nhất. SABC Bài 73.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a , cạng bên hợp với đáy một góc 60 .
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp thình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 3 a 6 8 a 8 a 6 ĐS: R  ; S  ;V  . 3 3 27 Bài 74.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA   ABCD . Mặt phẳng   qua A và
vuông góc với SC ,   cắt SB , SC , SD lần lượt tại B , C , D .
a) Chứng minh rằng 7 điểm A , B , C , D , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 37 a Bài 75. Cho A
 BC cân tại A với BC  2a , đường cao AH 
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt 2 a
phẳng  ABC  tại A , lấy 2 điểm M , N sao cho AM  AN 
. Tính thể tích khối cầu ngoại 2
tiếp tứ diện BCNM . Bài 76. Cho A
 BC đều cạnh a , vẽ BD và CE cùng vuông góc với  ABC  và nằm cùng phía đối với
mặt phẳng  ABC  . Gọi I là trung điểm BC . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A DECI .
Dạng 5. Một số bài toán vận dụng thực tế A. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 56: Người ta cắt hai hình cầu bán kính lần lượt là R  13cm và r 
41 cm để làm hồ lô đựng
rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính bằng r  5 cm và nút
uống là một hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm , chiều cao bằng 4 cm . Hỏi hồ lô có đựng
được bao nhiêu lít rượu. (ĐS: 10,2 lít)
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 57: Một khối cầu có bán kính 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông góc với
bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 38
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 6 Bài 77.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên là tam giác cân và tạo với đáy góc
30 . Tính theo a thể tích khối trụ có đáy là ABCD và đáy kia có tâm là S . Bài 78.
Tứ diện OABC có OA , OB , OC đội một vuông góc. BIết OA  a , OB  2a , OC  3a
a) Tính diệm tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ có đường sinh OC và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác OAB .
c) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh O và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 79.
Một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao a 3
a) Tính tứ diện toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ theo a .
b) Cho A , B là 2 điểm lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy, sao cho góc giữa AB và trục bằng 30 . Tính
d  AB;truc theo a . Bài 80.
Hình trụ có thiết diện qua trục chính là hình vuông cạnh 2R . Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ. Bài 81.
Hình nón có thiết diện qua trục là A đều cạnh 2a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối nón theo a .
b) Thiết diện qua đỉnh hình nón và nghiêng một góc 60 với đáy hình nón. Tính diện tích thiết diện theo a . Bài 82.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy
 ABCD . Biết SA  2a , AB  a , BC  3a .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Bài 83.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA   ABC  , góc giữa
mặt bên  SBC  và đáy bằng 60 .
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Bài 84.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy, SB  a 3 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD . Bài 85.
Cho hình chóp S.ABC có đáy A
 BC vuông tại đỉnh B , SA   ABC  . Biết
SA  AB  BC  a .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Bài 86.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  2a , góc cạnh bên và mặt đáy là 45 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm mặt cầu và tính V khối cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 87.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  2a , góc mặt bên và mặt đáy là 45 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm mặt cầu và tính V khối cầu ngoại tiếp hình chóp
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 39 Bài 88.
Cho hình chóp S.ABC có đáy A
 BC vuông tại đỉnh A , SA   ABC  . Biết SA  3a và
AB  AC  2a .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Bài 89.
Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng biết khoảng cách từ
tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là một tam giác đều. 8 3
ĐS: S  12 ; V  3 Bài 90.
Cho h.nón có đỉnh S , đường sinh l , góc giữa đường sinh và đáy là 0 30 .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. 2 l 2
b) Một mặt phẳng qua S cắt hình nón theo thiết diện có diện tích
. Tính góc hợp bởi thiết 3 2 3  3l  l  diện và đáy. ĐS: S  ; V  ;  SMN O  6 ( ), ( )  arcsin xq 2 8 4 Bài 91.
Cho hình nón có đấy là hình tròn C  tâmO , bán kính R  50cm , chiều cao h  40cm . gọi
M , N là hai điểm trên đường tròn đáy. Cho biết tâm O cách mặt phẳng SMN  một đoạn OH  24 cm .
a) Tính diện tích của thiết diện SMN .
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. 100.000 ĐS: 2 2 2 S  2000 (cm ); S
 2500 (cm ); V  (cm ) SMN xq 3 Bài 92.
Cho hình nón có đáy là hình tròn C  tâm O , bán kính R , góc giữa đườnh sinh và đáy của
hình nón là  . Một mp  P song song với và cách đáy của hình nón một khoảng bằng h và
cắt hình nón theo một hình tròn C .
a) Tính bán kính của đường tròn C .
b) Tính diện tích và thể tích hình nón phần nằm giữa đáy hình nón và mặt phẳng  P .  h  h
ĐS: R  R  .
h cot ; S  2R  .
h cot  ; V   2 2 2
3R  3R cot  h cot   sin 3 Bài 93.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều, cạnh 2a .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. a
b) Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng . Tính 2 3 2 a  3 3a 5 diện tích thiết diện. ĐS: 2 S
 2 a ; V  ; S  xq 6 S  MN 8 Bài 94.
Cho hình nón có bán kính đáy là R , đỉnh S . Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 60 .
a) Tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc với nhau.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. 2 2 3 2R 2 R 3  R 3 ĐS: S  ; S  ; V  ; SMN 3 xq 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 40 Bài 95.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là  vuông cân có cạnh huyền là 2a .
a) Tính S , S và thể tích của hình nón. xq tp a
b) Gọi K là một điểm trên trục SO của hình nón sao cho SK 
. Tính diện tích thiết diện 3
qua K và vuông góc với SO .
c) Tính khoảng cách từ O đến thiết diện qua đỉnh hình nón. Biết góc tạo bởi thiết diện và đáy hình nón là  . 3  a 2  a ĐS: 2 2 S   a 2 ; S   a  V  S 
; d O,SMN   . a cos xq tp  2 1; ; 3 9 Bài 96.
Cho hình nón có bán kính đáy là R , đường cao SO . Một mặt phẳng  P cố định vuông góc với
SO tại O , cắt hình nón theo đường tròn có bán kính bằng R . Mặt phẳng Q thay đổi vuông
góc với SO tại O ( O ở giữa O và O ), cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính 1 1
là x . Hãy tính x theo R và R nếu Q chia phần hình nón nằm giữa  P và đáy của hình nón 3 3 R  R
thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: 3 x  2 Bài 97.
Một mặt phẳng  P đi qua đỉnh của một hình nón và cắt đường tròn đáy theo một cung có số
đo bằng  (0     ) . Biết rằng  P hợp với đáy một góc  và khoảng cách từ tâm của đáy
đến  P bằng a . Tính thể tích của hình nón theo a ,  và  3  a ĐS: V  (đvtt) 2 2
3cos .sin .cos  Bài 98.
Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O bán kính R  2a nằm trong mặt phẳng   , góc ở đỉnh bằng 120 .
a) Một mp  P qua S và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác SMN biết khoảng cách a
từ O đến mp  P bằng
. Tính diện tích xung quanh của hình nón, thể tích khối nón tương 2
ứng và diện tích thiết diện SMN .
b) Một mp Q song song với đáy của hình nón. Khoảng cách từ S đến Q bằng x . Tính x 1
theo a để thể tích của phần khối nón nằm giữa Q và đáy của hình nón bằng thể tích 3
khối nón trên. Khi đó hãy tính diện tích của phần mặt nón nằm giữa Q và đáy của hình nón. 2 3 8 a 3 8 a 3 2 32a 3 2 2a 2 3 8 a ĐS: a) S  ; V  ; S  b) x  ; S   3 3  12  xq 3 9 S  MN 13 13 3 3 3 Bài 99.
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là C O; R và CO ; R , A (C), A(C )  .  a) Biết O , A O A
   90 . Chứng minh tứ diện OAO A
  có bốn mặt đều là tam giác vuông.   b) Biết  , OA O A
   90, góc giữa  AA ,OO  60 . Cho OO  h . Tính diện tích xung quanh
và diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích của khối trụ tương ứng.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 41
Bài 100. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có cạnh đáy a và đường cao h .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Tính
thể tích của khối trụ tương ứng.
b) Gọi I là trung điểm BC . Đường thẳng AI cắt hình trụ nội tiếp trong câu a) theo một đoạn
thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng này.
Bài 101. Một hình trụ có đường cao h và các đường tròn đáy O; R và O ; R . Gọi AB là một đường
kính cố định của O và M là một điểm bất kì trênO .
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB khi M thay đổi trên O .
a) Gọi N là điểm đối xứng với M qua điểm O . Chứng minh rằngV  2V . Xác định ABMN ABOM
vị trí của MN sao cho V
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị này. ABMN
Bài 102. Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để:
a) Diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
a) Diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy đạt GTNN.
Bài 103. Cho hình trụ có bán kính đáy R  70 , chiều cao h  20 . Một hình vuông không song song với
trục có đỉnh lần lượt ở trên hai đường tròn đáy. Tính diện tích hình vuông đó.
Bài 104. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm O và O , bán kính là R , chiều cao là R 2 . Trên 2 đườ 
ng tròn O và O lấy 2 điểm A , B sao cho  ,
OA OB    không đổi.
a) Tính AB theo R và  .
a) Chứng minh rằng khi AB di động thì trung điểm I của AB luôn di động trên 1 đường tròn cố định.
Bài 105. Cho hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao R 3 . ,
A B là hai điểm trên 2 đường tròn đáy
sao cho AB hợp với trục hình trụ một góc 30 . Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Bài 106. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm O và O . ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn
tâm O . AA , BB là các đường sinh. Bán kính đáy của hình trụ là R , mặt phẳng AB C  D hợp
với đáy một góc 60 . Tính diện tích tứ giác AB C  D .
Bài 107. Cho hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn tâm O và O . Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn O lấy điểm A , trên đường tròn (O )
 lấy điểm B sao cho AB  2a . Tính V . OO AB
Bài 108. Cho hình trụ có chiều cao h , 2 đường tròn đáy O và O có bán kính R . Trên O lấy dây
cung AB có độ dài bằng R 3 .
a) Tìm M O sao cho A
 BM có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
a) Với vị trí của M ở trên, gọi I là trung điểm OO . Tính d I , ABM    .
Bài 109. Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R (đường tròn đáy hình trụ ở trên mặt cầu).
a) Biết chiều cao của hình trụ là h . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ theo h và R .
a) Tìm GTLN của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.
Bài 110. Trong các hình trụ có cùng thể tích, hãy xác định hình trụ có thể tích nhỏ nhất.
Bài 111. Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 6 . Xác định kích thước của khối trụ để thể tích khối trụ này là lớn nhất.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 42
Bài 112. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là  ;
O R và O ; R , OO  h . Biết AB là một đường h
kính của đường tròn  ;
O R . Biết rằng tam giác O A
 B đều. Tính tỉ số . R
Bài 113. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O và O , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy
R . Một mặt phẳng   đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30 ,   cắt
đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo R .
Bài 114. Trong không gian, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại ,
A D ) có AB  3, DC  AD  1.
Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục DC .
Bài 115. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF . E F a   30 A B a a D C
Bài 116. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết
diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt
đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).
Tính thể tích của  H  .
Bài 117. Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có
chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần khối
trụ không giao với khối nón.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 43
Bài 118. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O ' . Bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A và trên đường tròn tâm O ' lấy điểm B sao cho
AB  2a . Tính thể tích khối tứ diện OO A  B .
Bài 119. Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt
viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể
của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
Bài 120. Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình
chiếu bằng và hình chiếu đứng). cm 10 6 cm 10 cm Hình vẽ 1 Hình vẽ 2
Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ 2 1m bề mặt cần số
tiền 150000 đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ 10000 chi tiết máy là bao nhiêu? (làm
tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).
Bài 121. Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính d  40 cm và chiều dài h  3 m thành một cái xà
hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Tính thể tích gỗ tối thiểu bỏ đi.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 44
Bài 122. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H  , một mặt phẳng chứa trục của  H  cắt  H 
theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  (đơn vị 3 cm ).
Bài 123. Một đống cát hình nón cụt có chiều cao h  60 cm , bán kính đáy lớn R  1 m , bán kính đáy 1
nhỏ R  50 cm . Tính thể tích của đống cát. 2
Bài 124. Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước
trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 3 viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao
cách miệng cốc bao nhiêu xăng-ti-mét?
Bài 125. Một khúc gỗ có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân, đáy nhỏ bằng a , đáy lớn 5a
bằng 4a , cạnh bên bằng
; có chiều cao bằng 2a 3 . Người ta chế tác khúc gỗ đó thành một 2
khúc gỗ có dạng hình trụ (hình vẽ dưới đây). Thể tích V lớn nhất của khúc gỗ sau khi được chế tác là bao nhiêu? 4a 5a 2 a 2a 3
Bài 126. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một
hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay
khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . X Y
Bài 127. Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi
đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 45
xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Tính diện tích đáy của cái bình hình trụ.
Bài 128. Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào
trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy
khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra
ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.
Bài 129. Một đơn vị sản xuất hộp đựng thuốc dung tích 2 dm3 dạng hình trụ có đáy là hình tròn. Tính
bán kính đáy của hình hộp mà nhà sản xuất chọn để ít tốn vất liệu nhất?
Bài 130. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp
(nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là
ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 3 4 dm
Bài 131. Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 3
150 m . Đáy bể làm bằng bê tông giá 2 100 000 đ/m .
Phần thân làm bằng tôn giá 2
90 000 đ/m , nắp bằng nhôm giá 2
120 000 đ/m . Hỏi khi chi phí sản
suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
Bài 132. Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa
cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện
qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).
Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau 13, 2cm 1cm 13, 2cm 1cm
Bài 133. Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2m. Trong đó,
4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường
kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 2 380.000 đ
/m (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để
sơn cột 10 cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?
Bài 134. Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình lập phương. Tỉ số
thể tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng bàn và thể tích hình hộp là:
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 46
Bài 135. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải
cần có để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa)
Bài 136. Người ta bỏ 5 quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn
tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S là 1 S
tổng diện tích của 5 quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 1 là : 2 S2
Bài 137. Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2 m . Trong
đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40 cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có
đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 2
380.000đ/m (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu
tiền để sơn 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
Bài 138. Một ngôi biệt thự nhỏ có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2m .
Trong đó có 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại bên thân
nhà có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá
của một loại sơn giả đá là 2
380.000đ/m (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao
nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
Bài 139. Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp
chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi
quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền
nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài mỗi đường kình của hai quả bóng đó là
Bài 140. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước
được ghi (cùng đơn vị dm ). Tính thể tích của bồn chứa. 36 18
Bài 141. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN , PQ của hai đáy sao cho MN  P .
Q Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M , N , P, Q để
thu được khối đá có hình tứ diện MNPQ . Biết rằng MN  60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ . bằng 3
30 dm . Hãy tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 47 O M N Q O' P
Bài 142. Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác
đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn
nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo
thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là: A Q P B M N C
Bài 143. Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt
là trung điểm của AB, CD . Biết AB  4; AD  6 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi
quay mô hình trên quanh trục IJ . A B I D C J
Bài 144. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:
Bài 145. Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên 3
chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng
chiều cao của nó. Gọi V , V 4 1 2
lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
Bài 146. Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao AA , bán kính đáy R. Đặt vào trong cốc 2 quả bóng hình
cầu có bán kính R. Gọi  ABC  là phần không gian mà 2 quả bóng chiếm chỗ và 0 45 là phần
không gian còn lại trong cốc. Tính tỉ số AA  AB  a 2 .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 48
Bài 147. Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20 cm ,
bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của
miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường
ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây?
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 49
BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐH - CĐ
Bài 148. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a .
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho
AB  2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO A  B . 3 a 3 ĐH Khối A – 2006 ĐS: (đvtt) 12
Bài 149. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A B  C  và
 ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 3 3a 3 7a ĐH Khối B – 2010 ĐS: V = (đvtt), 8 12
Bài 150. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  a 2 ; SA  SB  SC .
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính thể tính khối chóp S.ABC và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a .
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: 3 V  a
3 / 3 (đvtt), R  2a 3 / 3
Bài 151. Cho tứ diện SABC có SA   ABC  , góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  SBC  bằng 90 . Biết  
SB  a 2 , BSC  45 , ASB   (0    0 9 )  .
a) Chứng minh rằng BC  SB . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . b) TínhV
. Với giá trị nào của  thì thể tích đó lớn nhất. SABC
c) Xác định  để góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  bằng 60 .
ĐH Sư phạm TpHCM - 94 3 1 a 2 6
ĐS: a) R  a ; b) 3 V  a 2 s in2; V 
   45 c)   arctan max 3 3 2
Bài 152. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân, AB  AC  a , mặt phẳng  SBC  vuông
góc với mặt phẳng  ABC  và SA  SB  a .
a) Chứng tỏ rằng SBC là tam giác vuông tại S .
b) Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , biết SC  x .
ĐH Tổng hợp TpHCM - 94 ĐS: b) 2 2 2
R  a / 3a  x 
Bài 153. Trong mặt phẳng  P cho một đường thẳng d và điểm A ngoài d . Một góc xAy di động quay
quanh A , cắt d tại B và C . Trên đường thẳng qua A và vuông góc với  P lấy một điểm S .
Gọi H và K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . a) Chứng minh ,
A B,C, H , K cùng thuộc một mặt cầu. 
b) Tính bán kính mặt cầu trên biết AB  2 , AC  3 , BAC  60 . c) Giả sử A
 BC vuông tại A . Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn luôn
đi qua một đường tròn cố định khi S thay đổi.
ĐH Y Dược TpHCM - 94
ĐS: b) R  21/3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 50   
Bài 154. Cho góc tam diện Sxyz với xSy  120 , ySz  60 , zSx  90 . Trên các tia Sx , Sy , Sz lần lượt lấy các điểm ,
A B,C sao cho: SA  SB  SC  a .
a) Chứng tỏ rằng tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng  ABC  .
b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  BAC  .
ĐH Sư phạm TpHCM - 95
ĐS: b) r  a 2 / 2 1 2  3 ; c) 0 45
Bài 155. Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CA  AD  DB  a 2 và CD  2a .
a) Chứng minh rằng AB vuông góc với CD . Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD .
b) Tính thể tích tứ diện ABCD .
c) Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
d) Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng  ABC  . Chứng minh H là
trực tâm của tam giác ABC . ĐH Qui Nhơn - 97 ĐS: b) 3
V  a /3 ; c) I là trung điểm CD
Bài 156. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO  1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 .
Điểm M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB . Tính V
và bán kính mặt cầu nội tiếp S .AMN hình chóp đó.
ĐH Kinh tế QD HN - 97
ĐS: V  3/2 ; r  3/ 1+2 2+ 3
Bài 157. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB  2a . Trên đường thẳng d đi qua A và
vuông góc với mặt phẳng  ABC  , lấy một điểm S khác A .
a) Chứng minh tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . Tính bán kính mặt cầu này mặt phẳng
SBC tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 30 .
c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện SABC khi S chạy trên d ( S khác A ).
d) Lấy S đối xứng với S qua A , gọi M là trung điểm của SC . Xác định thiết diện tạo bởi mặt
phẳng đi qua S , M và song song với BC cắt tứ diện SABC . Tính diện tích của thiết diện
đó khi SA  a 2 . ĐH Vinh - 97
ĐS: b) R  a 42 / 6 ; d) 2 S  5a 10 / 36
Bài 158. Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz . Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy ba điểm , A B,C .
a) Tính d O, ABC  
 theo OA  a, OB  ,
b OC  c .
b) Giả sử A cố định còn B và C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn: OB  OC  OA . Hãy xác định
vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại nhỏ nhất.
ĐH Ngoại thương CSII khối A - 98 ĐS: a) 2 2 2 2 2 2
abc / a b  b c  c a b) 3 V
 a / 24 khi a  b  a / 2 max
Bài 159. Cho đường tròn tâm O bán kính R . Xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ( S
và A cố định), SA  h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho
mà các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
a) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 51
b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất ?
ĐH Quốc gia HN khối B - 98 ĐS: a) 2 2 R 
h  4R / 2 ; b) Hình vuông 3a
Bài 160. Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn C  bán kính a , chiều cao h  và cho hình chóp 4
đỉnh S , đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C  . Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt
cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp). Biết thể tích
khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. HV CNBCVT - 98 ĐS: 2
r  a / 3; S  9 a tp
Bài 161. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp ,
A B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy
thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 0 45 . Tính diện tích
xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
ĐH Ngoại ngữ HN - 99 ĐS: 2 S  3 a 3 / 2 ; 2 V  3 a 2 / 16 xq  
Bài 162. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA  SB  SC  d và ASB  120 , BSC  60 ,  ASC  90 .
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính thể tích tứ diện SABC .
c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC .
HV Chính trị QG - 99 ĐS: b) 3 V  d 2 / 12 ; c) r d 2 / 2  3 2 1     
Bài 163. Cho hình chóp S.ABC có S ,
A SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA  a, SB  , b SC  c .
a) Tính thể tích hình chóp S.ABC . Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên  ABC 
là trực tâm của tam giác ABC .
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . ĐH Bách khoa HN - 00
ĐS: a) V  abc / 6 ; b) 2 2 2 R 
a  b  c / 2
Bài 164. Cho hai hình chữ nhật ABCD ( AC là đường chéo) và ABEF ( AE là đường chéo) không
cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện: AB  a , AD  AF  a 2 ; đường
thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF . Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và
BF ( H thuộc AC , K thuộc BF ). DI
a) Gọi I là giao điểm của DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF . Tính tỉ số . DF
b) Tính độ dài đoạn KH .
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK . DI 1 a 3 a 3( 2 1)
ĐH Sư phạm HN Khối A - 01 ĐS: a)  ; b) ; c) r  DF 2 3 6
Bài 165. Trong mặt phẳng  P cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài bằng a . Trên các đường thẳng
vuông góc với  P tại B và C lần lượt lấy các điểm D và E nằm về cùng một phía đối với
P sao cho BD  a 3 / 2, CE  a 3 .
a) Tính độ dài các cạnh AD , AE , DE của tam giác ADE .
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 52
c) Gọi M là giao điểm của các đường ED và BC . Chứng minh đường thẳng AM vuông góc
với mặt phẳng  ACE  . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng  ADE  và  ABC  .
ĐH BK HN Khối D - 01
ĐS: a) AD  a 7 /2, AE  2a, DE  a 7 /2 ;b) R  a 39 /6 ; c) 60
Bài 166. Trong mặt phẳng  P , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a . S là một điểm bất kì nằm
trên đường thẳng At vuông góc với  P tại A .
a) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA  2a .
b) M , N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB,CD ( M thuộc CB , N thuộc CD ) và
đặt CM  m , CN  n . Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng SAM  và
SAN  tạo với nhau một góc 45 .
ĐH Luật, Dược HN - 01 ĐS: a) 3 V   a 6 ; b) 2
2a  2a(m  n)  mn  0 C
Bài 167. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D có các cạnh bên AA
BB , CC , DD và độ dài cạnh 1 1 1 1 1 , 1 1 1
AB  a . Cho các điểm M , N trên cạnh CC sao cho CM  MN  NC . Xét mặt cầu  K  đi 1 1
qua 4 điểm A , B , M và N . 1
a) Chứng minh rằng các đỉnh A và B thuộc mặt cầu  K  . 1
b) Hãy tính độ dài bán kính mặt cầu  K  theo a .
ĐH An Giang khối A, B - 01
ĐS: a 211 / 18 ;
Bài 168. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a . Trên AB lấy điểm M , trên CC lấy
điểm N , trên D A
  lấy điểm P sao cho AM  CN  D P
  x 0  x  a .
a) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và
x . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. a b) Khi x 
, hãy tính thể tích khối tứ diện B M
 NP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 ấy. ĐH Hàng hải - 01 ĐS: a) 2 2 S
 3(a  x  ax) / 2 ; MNP 2 S  3a
3 / 8 khi x  a / 2 b) 3
V  3a / 16 ; R  5a 3 /12 min
Bài 169. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo  SAC  là tam giác đều.
a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
b) Qua A dựng mặt phẳng ( ) vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( ) và hình chóp.
CĐ Sư phạm Khối A - 02
ĐS: R  a 3 / 3 ; 2 S  a 3 / 6 (đvdt)
Bài 170. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a . Chứng minh rằng:
a) Đáy ABCD là hình vuông. b) Năm điểm S, ,
A B,C, D cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.
CĐ Sư phạm Hà Tĩnh - 02
ĐS: R  a 2 / 2
Bài 171. Cho hai mặt phẳng  P và Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm ,
A B với AB  a . Trong mặt phẳng  P lấy điểm C , trong mặt phẳng Q lấy
điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và AC  BD  AB . Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD theo a .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 53 ĐH Khối D - 03
ĐS: a 3 / 2; a 2 / 2
Bài 172. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  a , BC  b . Hai mặt phẳng  BCD và  ABC  vuông góc 
với nhau và góc BDC  90 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b .
Dự bị 1 ĐH Khối A - 03 ĐS: 2 2 2 R  a / 4a  b
Bài 173. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a .
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao
cho AB  2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO A  B . ĐH Khối A - 06 ĐS: 3 a 3 /12 (đvtt)
Bài 174. Trong mặt phẳng  P , cho hình vuông ABCD . Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
P lấy một điểm S bất kỳ, dựng mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SC . Mặt phẳng
Q cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ,C , D . Chứng minh rằng các điểm A , B , C , D , B, C , D
cùng nằm trên một mặt cầu cố định. CĐ KTKT CN2 - 06
ĐS: Mặt cầu đường kính AC
Bài 175. Cho hình nón có đường cao h . Một mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy
hình nó một góc 60 , đi qua hai đường sinh S ,
A SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón
theo dây cung AB , cung AB có số đo bằng 0
60 . Tính diện tích thiết diện SAB . CĐ KTKT CN1 - 06 ĐS: 2
2h / 3 3 (đvdt)
Bài 176. Cho hình chóp S.ABC . Đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, 
ACB  60 , BC  a , SA  a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh SB . Chứng minh mặt phẳng
SAB vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích khối tứ diện MABC . CĐ KT Y tế I - 06 ĐS: 3
V  a / 4 (đvtt)
Bài 177. Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CA  AD  DB  a 2 và CD  2a .
a) Chứng minh rằng AB vuông góc với CD . Hãy xác định đường vuông góc chung của AB và CD .
b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
CĐ Kinh tế Kỹ thuật CN2 - 07
Bài 178. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A B  C  và
 ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . ĐH Khối B - 10 ĐS: 3 V  3a
3 / 8 (đvtt), R  7a / 12 .
Bài 179. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  a 2 ; SA  SB  SC .
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính thể tính khối chóp S.ABC và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a .
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: 3 V  a
3 / 3 (đvtt), R  2a 3 / 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 54
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN Câu 1.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là S 1
và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S . Khẳng định nào sau đây là 2 khẳng định đúng ?
A. 2S  3S .
B. S  4S .
C. S  2S .
D. S  S . 2 1 1 2 2 1 1 2 Câu 2.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích V và hình cầu có 1 V
đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V . Khi đó, tỉ số thể tích 1 bằng bao nhiêu? 2 V2 V 2 V V 1 V 1 A. 1  . B. 1  1. C. 1  . D. 1  . V 3 V V 2 V 3 2 2 2 2 Câu 3.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a 3 . A. 2 2 a . B. 2 2 a 3 . C. 2  a . D. 2  a 3 . Câu 4.
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
Tính diện tích xung quanh của hình nón. 2  a 2 2  a 2 2 2 a 2 A. . B. . C. 2  a 2 . D. . 4 2 3 Câu 5.
Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng
a 2 . Diện tích toàn phần S của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho là tp 2 3  a (1  2 )  a 2 2 3  a 2  a 2 A. S  ;V  . B. S  ;V  . tp 2 12 tp 2 4 3  a 2 3  a ( 2  1)  a C. 2 2
S   a (1  2 );V  . D. S  ;V  . tp 6 tp 2 12 Câu 6.
Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và
góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 . Diện tích xung quanh S của hình nón và xq
thể tích V của khối nón tương ứng là 3  a 2 3  a  a 3 A. 2 6 S   a ;V  . B. S  ;V  . xq 12 xq 2 12 3  a 3  a C. 2 6 S   a 2;V  . D. 2 6 S   a ;V  . xq 4 xq 4 Câu 7.
Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Tính thể tích của khối nón đó theo a . A. 3 3 a . B. 3  a . C. 3 2 3 a . D. 3  a 3 . Câu 8.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB  a và AC 
3a . Tính độ dài đường
sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A. l  a . B. l  2a . C. l  3a .
D. l  2a . Câu 9.
Một hình nón có chiều cao h  20 cm, bán kính đáy r  25 cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có
khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó. A. 450 2 cm2. B. 500 2 cm2. C. 500 cm2. D. 125 34 cm2.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 55
Câu 10. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh S và thể xq
tích V của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông AB C  D   . 2 3  a 5  a 2 3  a 5  a A. S  ;V  . B. S  ;V  . xq 2 12 xq 4 4 2 3  a 3  a 3  a C. S  ;V  . D. 2 S   a 5;V  . xq 2 6 xq 4
Câu 11. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền
bằng a 2 . Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp SBC  tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là 2 a 2 2 a 2 2 a 3 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3
Câu 12. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và
góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi I là một điểm trên đường cao SO của SI 1 hình nón sao cho tỉ số 
. Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục OI 3 của hình nón là 2  a 2 2  a 2  a 2  a A. . B. . C. . D. . 18 9 18 36
Câu 13. Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên
mặt phẳng đáy sao cho OI  R 3 . Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn O; R sao cho
OA  OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh S của hình xq
nón và thể tích V của khối nón là 3  R 3 2 R A. 2 S   R 2;V  . B. 2 S
 2 R ;V  . xq 3 xq 3 2 3  R 2  R 3 2 R C. S  ;V  . D. 2 S   R ;V  . xq 2 6 xq 3
Câu 14. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Thiết diện qua đỉnh của
hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất S
của thiết điện đó là bao nhiêu ? max 2 9a A. 2 S  2a . B. 2 S  a 2 . C. 2 S  4a . D. S  . max max max max 8
Câu 15. Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là a 6 a 6 a 6 a 6 A. r  . B. r  . C. r  . D. r  . 12 8 6 4
Câu 16. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là R 3 4R 3 2R 3 A. R 3 . B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 17. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 2 3 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 56
Câu 18. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh O
là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối
nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0  x  h . h h A. x  .
B. x  h 3 . x 3 2h h 3 C. x  . D. x  . 3 3
Câu 19. Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S O; r  .
Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O; r  là 3 16 R 3 4 R 3 16 R 3 4 R A. . B. . C. . D. .  3 5  3 1 1  2 5 1 5 2 5  1
Câu 20. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của
khối trụ có thể tích lớn nhất là S 1 S S S A. R  ; h  . B. R  ; h  . 2 2 2 4 4 2S 2S S S C. R  ; h  4 . D. R  ; h  2 . 3 3 6 6
Câu 21. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng 2
2a . Khi đó thể tích của khối nón bằng 3 2 2 a 3  a 3 4 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 22. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB  a , BC  a 3 , AA  a 5 . Gọi V là thể tích
hình nón sinh ra khi quay tam giác AA C 
quanh trục AA . Khi đó V bằng 3 2 a 5 3  a 5 3 4 a 5 3 4 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 5
Câu 23. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc  và độ dài đường sinh bằng l . Khi đó diện
tích toàn phần của hình nón bằng   A. 2 2
S  2 l cos . cos . B. 2 2
S  2 l cos . sin . tp 2 tp 2  1  C. 2 2
S   l cos . cos . D. 2 2 S 
 l cos. cos . tp 2 tp 2 2
Câu 24. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a . Thiết diện qua trục của hình nón là một tam
giác có góc ở đỉnh bằng 120 . Gọi V là thể tích khối nón. Khi đó V bằng 3  a 3  a 3 3  a 3 3  a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 9 3
Câu 25. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABC . D AB C  D
  có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết rằng
O là tâm của AB C  D
  và C  là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Diện tích xung quanh của
hình nón có đỉnh O và đáy C  . 2 3 a 2 5 a 2  a 2 3 2 a A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . xq 2 xq 2 xq 2 xq 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 57
Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ
Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích V ; một hình 1
nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn h
lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích V . Khẳng định nào sau 2
đây là khẳng định đúng ? R
A. V  3V .
B. V  2V .
C. V  3V .
D. V  V . 2 1 1 2 1 2 2 1
Câu 27. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao là h . A. 2 V   R h . B. 2 V   Rh . C. 2 V   Rh .
D. V  2 Rh .
Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 2  a . B. 2 2 a . C. 2 3 a . D. 2 4 a .
Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 . A. 2 2 a  3   1 . B. 2  a 3 . C. 2  a 1 3 . D. 2 2 a 1  3 .
Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông. 2 A. 3 2 a . B. 3  a . C. 3 4 a . D. 3  a . 3
Câu 31. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6 (cm) và thiết diện đi qua trục
là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) . A. 3 48 (cm ) . B. 3 24 (cm ) . C. 3 72 (cm ) . D. 3
18 34 72 (cm ) .
Câu 32. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1 và AD  2 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình
trụ. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ đó. tp
A. S  6 .
B. S  2 .
C. S  4 .
D. S  10 . tp tp tp tp
Câu 33. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khối
lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R . A. 3 4R . B. 3 2 2R . C. 3 4 2R . D. 3 8R .
Câu 34. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm  240 cm , người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm
bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V là tổng thể tích của hai thùng gò 1 2 V
được theo cách 2. Tính tỉ số 1 . V2 V V V 1 V A. 1  1. B. 1  2 . C. 1  . D. 1  4 . V V V 2 V 2 2 2 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 58
Câu 35. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt
đáy theo hai dây cung song song AB , AB mà AB  AB  6 cm . Biết diện tích tứ giác ABB A   bằng 2
60 cm . Tính chiều cao của hình trụ đã cho. A. 6 2 cm. B. 4 3 cm. C. 8 2 cm. D. 5 3 cm.
Câu 36. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn O; R và O ; R . Tồn tại dây cung AB
thuộc đường tròn O sao cho O  A
 B là tam giác đều và mặt phẳng O A
 B hợp với mặt
phẳng chứa đường tròn O một góc 60 . Khi đó, diện tích xung quanh S hình trụ và thể xq
tích V của khối trụ tương ứng là 2 3 4 R 2 R 7 2 3 6 R 7 3 R 7 A. S  ;V  . B. S  ;V  . xq 7 7 xq 7 7 2 3 3 R 2 R 7 2 3 3 R 7  R 7 C. S  ;V  . D. S  ;V  . xq xq 7 7 7 7
Câu 37. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A , B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng  ABCD tạo với đáy hình trụ góc 45 . Diện tích xung quanh S hình trụ và xq
thể tích V của khối trụ là 2 3  a 3 3 2a 2 3  a 2 3 2a A. S  ;V  . B. S  ;V  . xq 3 8 xq 3 32 2 3  a 3 3 3a 2 3  a 3 3 2a C. S  ;V  . D. S  ;V  . xq 4 16 xq 2 16
Câu 38. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính 
của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung 
AB sao cho ABM  60 . Khi đó, thể
tích V của khối tứ diện ACDM là A. 3 V  6 3 (cm ) . B. 3 V  2 3 (cm ) . C. 3 V  6 (cm ) . D. 3 V  3(cm ) .
Câu 39. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và AB C  D
  . Khi đó S bằng 2  a 2 2  a 2 A. 2 S   a . B. 2 S   a 2 . C. S  . D. S  . 2 4
Câu 40. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi
đó thể tích khối trụ tương ứng bằng  A. 2 B. 4 C. D.  2
Câu 41. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng
trụ nói trên. Khi đó V bằng 3  a 3 3  a 3 3 a 3 3  a A. V  B. V  C. V  D. V  3 3 2 6
Câu 42. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn
xoay.Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng 3  a 3  a 3 4 a 3  a 2 A. . B. . C. . D. . 4 12 3 4
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 59
Câu 43. Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh
bằng 1. Thể tích của khối trụ đó bằng    A. . B. . C. . D.  . 4 3 2
Câu 44. Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn đáy R bằng 2 R h A. 2 2R h . B. 2 R h . C. 2 2R h . D. . 2
Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU
Câu 45. Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu. 3V S 4V V A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . S 3V S 3S
Câu 46. Cho mặt cầu S O; R và điểm A cố định với OA  d . Qua A , kẻ đường thẳng  tiếp xúc với
mặt cầu S O; R tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A. 2 2 2R  d . B. 2 2 d  R . C. 2 2 R  2d . D. 2 2 d  R .
Câu 47. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Gọi S  là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu S  theo a , b , c .  A.   2 2 2
a  b  c  . B.   2 2 2 2
a  b  c  . C.   2 2 2 4
a  b  c  . D.  2 2 2
a  b  c  . 2
Câu 48. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Gọi S  là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu S  là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.
Câu 49. Cho mặt cầu S O; R và đường thẳng  . Biết khoảng cách từ O tới  bằng d . Đường thẳng
 tiếp xúc với S O; R khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?
A. d  R .
B. d  R .
C. d  R .
D. d  R .
Câu 50. Cho đường tròn C  và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa C  . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn C  và đi qua A ? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. vô số.
Câu 51. Cho hai điểm ,
A B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
B. đường thẳng trung trực của AB .
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .
Câu 52. Cho mặt cầu S O; R và mặt phẳng   . Biết khoảng cách từ O tới   bằng d . Nếu d  R thì
giao tuyến của mặt phẳng   với mặt cầu S O; R là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? A. Rd . B. 2 2 R  d . C. 2 2 R  d . D. 2 2 R  2d .
Câu 53. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S O; R có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 60
Câu 54. Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S O; R tại M . Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM .
D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .
Câu 55. Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S O; R tại M . Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng OA . Biết OA  2R . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là R R 3 2R 3 3R 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 4 1 22
Câu 56. Thể tích của một khối cầu là 3
113 cm thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy   ) 7 7 A. 6 cm . B. 2 cm . C. 4 cm . D. 3cm .
Câu 57. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt 22
khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy  
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). 7 A. 2 379, 94 (m ) . B. 2 697,19 (m ) . C. 190,14 cm . D. 2 95, 07 (m ) .
Câu 58. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có độ dài mỗi cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là A. 2 3
S  150 (cm );V  125 3 (cm ) . B. 2 3
S  100 3 (cm );V  500 (cm ) . C. 2 3
S  300 (cm );V  500 3 (cm ) . D. 2 3
S  250 (cm );V  500 6 (cm ) .
Câu 59. Cho đường tròn C  ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn C  xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là 3  a 3 3 4 a 3 4 a 3 3 4 a A. . B. . C. . D. . 54 9 27 3 
Câu 60. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC  2a và B  30 . Quay tam giác vuông này quanh
trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S là diện tích toàn phần của hình nón đó và S là 1 2 S
diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số 1 là S2 S S 1 S 2 S 3 A. 1  1 . B. 1  . C. 1  . D. 1  . S S 2 S 3 S 2 2 2 2 2
Câu 61. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a . a 3 a 6 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4
Câu 62. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy có độ
dài bằng a , cạnh bên SA  a 3 . 2a 3 3a 3 a 3 3a 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 8 8
Câu 63. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . 2a 14 2a 7 2a 7 2a 2 A. . B. . C. . D. . 7 2 3 2 7
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 61
Câu 64. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 5 15 4 3 5 15 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 18 27 54
Câu 65. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ đó. a 39 a 12 2a 3 4a A. . B. . C. . D. . 6 6 3 3
Câu 66. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng 2 a
2 . Gọi V là thể tích khối cầu và S là
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S.V bằng 2 5 3 3 a 2 5 3 a 2 5 3 a 2 5 3 6 a
A. S.V 
B. S.V 
C. S.V 
D. S.V  2 2 2 2
Câu 67. Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng 6 2 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3  3 3
Câu 68. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB  3a , BC  4a ,
SA   ABC  , cạnh bên SC tạo với đáy góc 60 . Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là 3  a 3 50 a 3 5 a 3 500 a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 3
Câu 69. Cho tứ diện S.ABC có SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA  3 , SB  4 ,
SC  5 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng A. 25 . B. 50 . C. 75 . D. 100 .
Vấn đề 4. TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP
Câu 70. Thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R và độ dài đường sinh l được tính theo công thức nào dưới đây? 1 4 4 A. 2 V  R l . B. 2 V   R l . C. 3 V   R l . D. 2 V   R l . 3 3 3
Câu 71. Cho hình nón có diện tích xung quanh là S và bán kính đáy là r . Công thức nào dưới đây xq
dùng để tính đường sinh l của hình nón đã cho. S 2S S A. xq l  . B. xq l  .
C. l  2πS r . D. xq l  . 2πr πr xq πr
Câu 72. Tính thể tích V của khối nón có diện tích hình tròn đáy là S và chiều cao là h . 4 1 1 A. V  Sh . B. 2 V  Sh .
C. V  Sh . D. V  Sh . 3 3 3
Câu 73. Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng V và chiều cao bằng h là 3V 3V V 2V A. r  . B. r  . C. r  . D. r  .  h 2 h  h  h
Câu 74. Cho khối nón có đường cao h và bán kính đáy r . Công thức tính thể tích của khối nón. 1 A. 2 2
2 r h  r . B. 2  r h . C. 2 2  r h  r . D. 2  r h . 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 62
Câu 75. Gọi R, S, V lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai? 4 A. 3 V   R . B. 2 S   R .
C. 3V  S. . R D. 2 S  4 R . 3
Câu 76. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng R là 1 1 1 A. 2 V   R h .
B. V   Rh . C. V  2 Rh . D. 2 V   R h . 3 3 3
Câu 77. Công thức tính thể tích V của khối cầu có bán kính bằng R là 4 4 A. 2 V  4 R . B. 2 V   R . C. 3 V   R . D. 3 V   R . 3 3
Câu 78. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r được
tính bằng công thức nào dưới đây? A. S   rl . B. 2 S   r l . C. S  2 rl . D. S  4 rl . xq xq xq xq
Câu 79. Diện tích xung quanh của mặt trụ có bán kính đáy R , chiều cao h là A. S   Rh . B. S  3 Rh . C. S  4 Rh . D. S  2 Rh . xq xq xq xq
Câu 80. Cho khối cầu có bán kính R . Thể tích của khối cầu đó là 4 1 4 A. 3 V  4 R B. 3 V   R . C. 3 V   R . D. 2 V   R . 3 3 3
Câu 81. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O , bán kính R . Biết SO  h . Độ dài đường sinh của hình nón bằng A. 2 2 h  R . B. 2 2 h  R . C. 2 2 2 h  R . D. 2 2 2 h  R .
Câu 82. Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng A. 2 2 R . B. 2  R . C. 2 4 R . D. 2 R .
Câu 83. Thể tích của một khối cầu có bán kính R là 4 4 1 A. 3 V   R . B. 2 V   R . C. 3 V   R . D. 3 V  4 R . 3 3 3
Câu 84. Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện
tích xung quanh S của hình nón là xq 1 A. S   rh . B. S  2 rl . C. S   rl . D. 2 S   r h . xq xq xq xq 3
Câu 85. Nếu tăng bán kính đáy của một hình nón lên 4 lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi 8 lần,
thì thể tích khối nón tăng hay giảm bao nhiêu lần? A. tăng 2 lần. B. tăng 16 lần. C. giảm 16 lần. D. giảm 2 lần.
Câu 86. Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu? A. Hình tứ diện.
B. Hình hộp chữ nhật.
C. Hình chóp ngũ giác đều.
D. Hình chóp có đáy là hình thang vuông.
Câu 87. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 63
Câu 88. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
B. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
C. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 89. Nếu điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông thì M thuộc
A. Một mặt cầu cố định.
B. Một khối cầu cố định.
C. Một đường tròn cố định.
D. Một hình tròn cố định.
Câu 90. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.
B. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục thu được thiết diện là hình tròn.
C. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.
D. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.
Câu 91. Cho khối nón có bán kính đáy r  2 , chiều cao h  3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 92. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình lập phương.
B. Tồn tại một mặt trụ tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình hộp.
C. Tồn tại một mặt nón tròn xoay chứa tất cả các cạnh bên của một hình chóp tứ giác đều.
D. Tồn tại một mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Câu 93. Khi quay một hình chữ nhật và các điểm trong của nó quanh trục là một đường trung bình của
hình chữ nhật đó, ta nhận được hình gì. A. Khối chóp. B. Khối nón. C. Khối cầu. D. Khối trụ.
Câu 94. Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với  quay quanh  thì ta được
A. Hình nón tròn xoay.
B. Mặt nón tròn xoay.
C. Khối nón tròn xoay.
D. Mặt trụ tròn xoay.
Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 96. Cho tam giác ABC vuông tại A . Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông AB , đường gấp
khúc BCA tạo thành hình tròn xoay nào trong bốn hình sau đây. A. Hình nón. B. Hình trụ. C. Hình cầu. D. Mặt nón.
Câu 97. Cho hai điểm A , B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua hai điểm A và B là
A. Mặt phẳng song song với đường thẳng AB . B. Trung điểm của đường thẳng AB .
C. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB . D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
Câu 98. Tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là
A. một đường thẳng.
B. một mặt phẳng. C. một điểm.
D. một đoạn thẳng.
Câu 99. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là
A. một hình chữ nhật.
B. một tam giác cân.C. một đường elip.
D. một đường tròn.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 64
Câu 100. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này? A.   2 24 cm  . B.   2 22 cm  . C.   2 26 cm  . D.   2 20 cm  .
Câu 101. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2 .
A. V  4 .
B. V  12 .
C. V  16 .
D. V  8 .
Câu 102. Cho khối nón có bán kính đáy r  3 và chiều cao h  4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho.
A. V  16 3 .
B. V  12 . C. V  4 .
D. V  4 .
Câu 103. Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 3 3a A. 6a . B. . C. a 3 . D. 3a . 2
Câu 104. Khối trụ tròn xoay có đường kính đáy là 2a , chiều cao là h  2a có thể tích là A. 3 V   a . B. 2
V  2 a h . C. 2 V  2 a . D. 3 V  2 a .
Câu 105. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện
tích toàn phần của hình trụ đó là A. 2 6 r . B. 2 2 r . C. 2 8 r . D. 2 4 r .
Câu 106. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là 4 3 A. 2 S  R  . B. 3 S  R  . C. 2 S  R  . D. 2 S  4 R  . 3 4
Câu 107. Cho hình cầu đường kính 2a 3 . Mặt phẳng  P cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có
bán kính bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P . a a 10 A. a . B. . C. a 10 . D. . 2 2
Câu 108. Cho hình nón có bán kính đáy là r  2 và độ dài đường sinh l  4 . Tính diện tích xung quanh
S của hình nón đã cho.
A. S  16 .
B. S  8 2 .
C. S  16 2 .
D. S  4 2 .
Câu 109. Một hình nón có đường cao h  4 cm , bán kính đáy r  5cm . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. A. 5 41 . B. 15 . C. 4 41 . D. 20 .
Câu 110. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. 16 . B. 48 . C. 12 . D. 36 .
Câu 111. Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng 1 thì thể tích bằng 1 A.  . B. 2  . C. 2 . D.  . 3
Câu 112. Cho hình nón có đường sinh l  5 , bán kính đáy r  3 . Diện tích toàn phần của hình nón đó là
A. S  15 .
B. S  20 .
C. S  22 .
D. S  24 . tp tp tp tp
Câu 113. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m . A. 2 50 m . B. 2 50 m . C. 2 100 m . D. 2 100 m .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 65
Câu 114. Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm , độ dài đường sinh bằng 26 cm . Tính thể tích V của khối nón tương ứng. 1600 800
A. V  800 3 cm .
B. V  1600 3 cm . C. V  3 cm . D. V  3 cm . 3 3 2 8 a
Câu 115. Cho mặt cầu có diện tích bằng
. Bán kính mặt cầu bằng 3 a 6 a 3 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3
Câu 116. Cho mặt cầu có diện tích bằng   2 72
cm  . Bán kính R của khối cầu bằng
A. R  6 cm .
B. R  6 cm .
C. R  3 cm .
D. R  3 2 cm .
Câu 117. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r , chiều cao h và đường sinh l .
Kết luận nào sau đây sai? 1 A. 2 V   r h . B. 2
S   rl   r . C. 2 2 2
h  r  l . D. S   rl . 3 tp xq
Câu 118. Cho khối nón có bán kính đáy r  3 và chiều cao h  4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 16 3 A. V  .
B. V  4 .
C. V  16 3 .
D. V  12 . 3
Câu 119. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng 2
2a . Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD . 3  a 7 3  a 7 3  a 7 3  a 15 A. . B. . C. . D. . 8 7 4 24
Câu 120. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp
hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S , S lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập 1 2
phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S  S  S  2 cm  . 1 2
A. S  4 2400    .
B. S  2400 4    . C. S  24004  3  . D. S  42400  3  .  
Câu 121. Cho tam giác SAB vuông tại A , ABS  60 , đường phân giác trong của ABS cắt SA tại điểm
I . Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA ( như hình vẽ). Cho S
 AB và nửa đường tròn trên
cùng quay quanh SA tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng V , V . Khẳng 1 2
định nào dưới đây đúng?
A. 4V  9V
B. 9V  4V
C. V  3V
D. 2V  3V 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 122. Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối cầu đi
qua các đỉnh của lăng trụ. 1  A.
4a  3b 3 2 2 . B.  a  b 3 2 2 4 3 . 18 3 18 3   C.  a  b 3 2 2 4 . D.  a  b 3 2 2 4 3 . 18 3 18 2
Câu 123. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 3 cm với AB là
đường kính của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung 
AB của đường tròn đáy 
sao cho ABM  60 . Thể tích của khối tứ diện ACDM là A. V   3 3 cm . B. V   3 4 cm . C. V   3
6 cm . D. V   3 7 cm .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 66
Câu 124. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h  20 cm , bán kính đáy r  25cm . Một thiết diện đi
qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm .
Tính diện tích của thiết diện đó. A. S   2 500 cm . B. S   2 400 cm . C. S   2 300 cm . D. S   2 406 cm . AD
Câu 125. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB  BC 
 a . Quay hình thang và miền 2
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành 3 4 a 3 5 a 3 7 a A. V  . B. V  . C. 3 V   a . D. . 3 3 3
Câu 126. Khối cầu có bán kính R  6 có thể tích bằng bao nhiêu? A. 72 . B. 48 . C. 288 . D. 144 . 3
Câu 127. Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có thể tích 3 V 
 a . Diện tích xung 3
quanh S của hình nón đó là 1 1 A. 2 S   a . B. 2 S  4 a . C. 2 S  2 a . D.  x  2018 2 2018
Câu 128. Cho một khối nón có chiều cao bằng 4 cm , độ dài đường sinh 5 cm . Tính thể tích khối nón này. A. 15 3 cm . B. 12 3 cm . C. 36 3 cm . D. 45 3 cm .
Câu 129. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  cạnh bằng 3a . Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD quanh một đường kính của đường tròn ta có một mặt cầu, tính diện tích mặt cầu đó. A. 2 27 a . B. 2 24 a . C. 2 25 a . D. 2 21 a .
Câu 130. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bằng một mặp
phẳng   sao cho góc giữa   và mặt đáy hình nón bằng 60 . Khi đó diện tích thiết diện là 2 3 3 2 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 2 a . 3 2 2 3
Câu 131. Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10 cm . Biết thể tích khối trụ bằng 3 90 cm . Tính
diện tích xung quanh của khối trụ. A. 2 81 cm . B. 2 60 cm . C. 2 78 cm . D. 2 36 cm .
Câu 132. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng a . Một hình nón có đỉnh là tâm hình vuông AB C  D
  và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD . Gọi S là diện tích xung
quanh của hình nón đó. Tính S . 3 2 3 6 A. 2 S   a . B. 2 S   a . C. 2 S   a . D. 2 S   a . 3 2 2 2
Câu 133. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, SA  a, AD  5a ,
AB  2a . Điểm E thuộc cạnh BC sao cho CE  a . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAED . 26a 26a 26a 2 26a A. . B. . C. . D. . 4 3 2 3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 67
Câu 134. Cho mặt cầu  S
R , mặt cầu  S
R  2R . Tính tỉ số diện tích của 2  1  có bán kính 1 có bán kính 2 1
mặt cầu  S và S . 1  2  1 A. 2 . B. 4 . C. . D. 3 . 2
Câu 135. Cho tứ diện đều SABC cạnh a . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường tròn đáy
là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3 A. 2  a . B. 2  a . C. 2 3 a . D. 2 2 3 a . 3
Câu 136. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  .
SA  5 , AB  3 , BC  4 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 5 2 5 2 5 3 5 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 2 3 3 2
Câu 137. Một hình trụ có bán kính đáy là 2cm . Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ
theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ đó. A.   3 4 cm  . B.   3 8 cm  . C.   3 16 cm  . D.   3 32 cm  .
Câu 138. Tính thể tích V của khối nón có đáy là hình tròn bán kính bằng 2 , diện tích xung quanh của nón là 12 . 16 2 16 2 4 2 A. V  . B. V  .
C. V  16 2 . D. V  . 3 9 3
Câu 139. Cắt một khối trụ cho trước thành hai phần thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích toàn phần
nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu 2
32 dm . Biết chiều cao của khối trụ ban
đầu là 7 dm , tính tổng diện tích toàn phần S của hai khối trụ mới. A. S    2 120 dm  . B. S    2 144 dm  . C. S    2 288
dm  . D. S    2 256 dm  .
Câu 140. Cho hình trụ T  được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB . Biết 
AC  2 3a và góc ACB  45 . Diện tích toàn phần S của hình trụ T  là tp A. 2 12 a . B. 2 8 a . C. 2 24 a . D. 2 16 a .
Câu 141. Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2 2 a là 3  a 3 3  a 3 3  a 3 A. 3  a 3 . B. . C. . D. . 3 6 2
Câu 142. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có
cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho. 2 9 a 2 13 a 2 27 a A. 2 9a  . B. . C. . D. . 2 6 2
Câu 143. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  6cm , AC  8cm . Gọi V là thể tích khối nón tạo thành 1
khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác 2 V
ABC quanh cạnh AC . Khi đó, tỷ số 1 bằng V2 16 4 3 9 A. . B. . C. . D. . 9 3 4 16
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 68
Câu 144. Cho mặt cầu S O; R và điểm A cố định nằm ngoài mặt cầu với OA  d . Qua A kẻ đường
thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O; R tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài
đoạn thẳng AM ? A. 2 2 2R  d . B. 2 2 R  2d . C. 2 2 R  d . D. 2 2 d  R .
Câu 145. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1 và AD  2 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình
trụ. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ đó. tp 4 A. S  .
B. S  4 .
C. S  6 .
D. S  3 . tp 3 tp tp tp
Câu 146. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Một hình chóp bất kì luôn có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.
B. Cho 2 cạnh của một tam giác vuông quay quanh cạnh còn lại thì ta được một hình nón tròn xoay.
C. Cho đường thẳng l cắt  và quay quanh  thì ta được một mặt nón tròn xoay.
D. Cho đường thẳng l song song với  và quay quanh  thì ta được một mặt trụ tròn xoay.
Câu 147. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
  có thể tích là V . Tính thể tích khối chóp . A BCC B   theo V . 2 2 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 5 2 3
Câu 148. Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh 4a . Diện tích xung quanh của hình trụ là A. 2 S  8 a . B. 2 S  24 a . C. 2 S  16 a . D. 2 S  4 a .
Câu 149. Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2 . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là 3 3 2 3 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  2 3 . 2 3 3
Câu 150. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2
3πa và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh
của hình nón đã cho bằng 3a A. 2 2a . B. 3a . C. 2a . D. . 2   2
Câu 151. Cho tam giác ABC có ABC  45 , ACB  30 , AB 
. Quay tam giác ABC xung quanh 2
cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng  3 1 3  1 3  1 3  1 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 24 8 3
Câu 152. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B . Biết SA   ABCD ,
AB  BC  a , AD  2a , SA  a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính mặt cầu đi
qua các điểm S , A , B , C , E . a 30 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. a . 6 3 2
Câu 153. Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng a . Tính diện tích
toàn phần S của hình trụ. 2  a 2 3 a A. 2 S  4 a . B. S  . C. S  . D. 2 S   a . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 69
Câu 154. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  15 cm và đường sinh l  25 cm . Thể tích V của khối nón là A. V    3 4500 cm  . B. V    3 2000
cm  . C. V    3 1500
cm  . D. V    3 6000 cm  .
Câu 155. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và
CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB  4a , AC  5a . Tính thể tích khối trụ. A. 3 V 16 a . B. 3 V 12 a . C. 3 V  4 a . D. 3 V  8 a .
Câu 156. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước a , 2a , 3a .
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3R 14R
A. a  2 3R . B. a  .
C. a  2R . D. a  . 3 7
Câu 157. . Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là 2 . Quay tam giác ABC quanh trục BC
thì được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 4 2 1 A.  . B.  . C.  . D.  . 3 3 3 3
Câu 158. Cho khối trụ T  có chiều cao bằng 2 và thể tích bằng 8 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ T  . A. S  32 . B. S  8 . C. S  16 . D. S  4 . xq xq xq xq
Câu 159. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, BD  2a . Tam giác SAC vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là 3 4 a A. . B. 3 4 a 3 . C. 3  a . D. 3 4 a . 3
Câu 160. Cho tam giác ABC có AB  3 , AC  4 , BC  5 . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay tam
giác ABC quanh cạnh AC .
A. V  1  2 .
B. V  36 .
C. V  16 .
D. V  48 .
Câu 161. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 4 , diện tích xung quanh bằng 48 . Thể tích của hình trụ đó bằng A. 24 . B. 96 . C. 32 . D. 72 .
Câu 162. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , chu vi thiết diện qua trục bằng 10 . a Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 3  a . B. 3 5 a . C. 3 4 a . D. 3 3 a .
Câu 163. Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , bán kính, R  3cm , góc ở đỉnh hình nón là
  120 . Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB , trong đó A ,
B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng A. 2 3 3 cm . B. 2 6 3 cm . C. 2 6 cm . D. 2 3 cm .
Câu 164. Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB  AC  a ,
AA  2a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB A  C là 3 4 a 3  a A. 3  a . B. . C. . D. 3 4 a . 3 3
Câu 165. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn
nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC , hình nón có đỉnh S và có
đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp
S.ABC . Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 70
Câu 166. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA  a 2 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a . 3 8 a 2 4 A. . B. 3 4 a . C. 3  a . D. 3 8 a . 3 3
Câu 167. Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên bằng 2a 2 . Tính diện tích
mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. A. 2 16 a . B. 2 8 a . C. 2 4 a . D. 2 2 a .
Câu 168. Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy
900 cm2. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm
thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).
A. Chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm.
B. Chiều dài 900 cm, chiều rộng 60 cm.
C. Chiều dài 180 cm, chiều rộng 60 cm.
D. Chiều dài 30 cm, chiều rộng 60 cm.
Câu 169. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có 9 cạnh bằng nhau và bằng 2a . Tính diện tích
S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. 2 28 a 2 7 a 2 28 a 2 7 a A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 9 9 3 3
Câu 170. Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh khép
lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60 . Biết
rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là 3
1000 cm . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống
dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 27 3 3 64
Câu 171. Tính thể tích khối nón có bán kính đáy 3 cm và độ dài đường sinh 5 cm . A. 12  3 cm  . B. 15  3 cm  . C. 36  3 cm  . D. 45  3 cm  .
Câu 172. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và khoảng cách giữa hai đáy bằng r 3 . Một hình nón có
đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung
quanh của hình trụ và hình nón. 1 1 A. 3 . B. . C. . D. 3. 3 3
Câu 173. Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a .
Tính theo a thể tích V của khối trụ đó. 3  a 3  a A. V  . B. V  . C. 3 V   a . D. 3 V  2 a . 2 4
Câu 174. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 . Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3 . Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành. A. S  56 . B. S  28 . C. S  7 34 .
D. S  14 34 .
Câu 175. Cho mặt cầu S  tâm O và các điểm A , B , C nằm trên mặt cầu S  sao cho AB  3 ,
AC  4 , BC  5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  bằng 1. Thể tích của khối cầu S  bằng 7 21 20 5 29 29 A. . B. ABD . C. . D. . 2 3 6
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 71
Câu 176. Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy r  4 cm và chiều cao h  2 cm . 32 A. 3 3 3 3 cm  .
B. 32 cm  .
C. 8 cm  .
D. 16 cm  . 3
Câu 177. Cho hình nón có chiều cao a 3 và bán kính đáy a . Tính diện tích xung quanh S của hình nón. xq 2  a A. 2 S   a . B. 2 S  2 a . C. S  . D. 2 S   a . xq xq xq 2 xq
Câu 178. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB  a , AC  2a , AA  3a nội tiếp mặt cầu S  .
Tính diện tích mặt cầu . 7 A. 2 13 a . B. 2 6 a . C. 2 56 a . D. 2  a . 2
Câu 179. Cho khối nón có bán kính đáy r  1 cm và góc ở đỉnh 60 . Tính diện tích xung quanh S của xq hình nón. A.   2 cm  . B.   2 2 cm  . C.   2 3 cm  . D.   2 2 cm  .
Câu 180. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng 2a ,
cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD ? a 6 2a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 12 4
Câu 181. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng  P song song với trục a
và cách trục một khoảng
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  P . 2 A. 2 2 3a . B. 2 a . C. 2 4a . D. 2  a .
Câu 182. Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30 Đông là 40 (cm). Độ dài đường xích đạo là 80 A. 40 3 (cm). B. 40 (cm). C. 80 (cm). D. (cm). 3
Câu 183. Trong mặt phẳng cho góc xOy . Một mặt phẳng  P thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc  xOy cắt O ,
x Oy lần lượt tại ,
A B . Trong  P lấy điểm M sao cho 
AMB  90 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. Điểm M chạy trên một mặt cầu.
B. Điểm M chạy trên một mặt nón.
C. Điểm M chạy trên một mặt trụ.
D. Điểm M chạy trên một đường tròn.
Câu 184. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt
phẳng   song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB A
  , biết một cạnh của
thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120 . Tính diện
tích thiết diện ABB A   . A. 3 2 . B. 3 . C. 2 3 . D. 2 2 .
Câu 185. Hình trụ T  được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB . Biết AC  2a 2 , 
ACB  45 . Diện tích toàn phần của hình trụ T  là A. 2 S  16 a . B. 2 S  10 a . C. 2 S  12 a . D. 2 S  8 a . TP TP TP TP
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 72
Câu 186. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và
thiết diện qua trục là tam giác đều bằng A. 16 . B. 8 . C. 20 . D. 12 .
Câu 187. Một hình trụ tròn xoay có bán kính đáy R  1 . Trên hai đường tròn đáy O và O lần lượt lấy
hai điểm A và B sao cho AB  2 và góc giữa AB và trục OO bằng 30 . Xét hai khẳng định: 3
I  : Khoảng cách giữa OO và AB bằng . 2
II  : Thể tích khối trụ là V   3 .
A. Cả  I  và  II  đều đúng.
B. Chỉ  I  đúng.
C. Chỉ  II  đúng.
D. Cả  I  và  II  đều sai.
Câu 188. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên bằng a 2 . Khi đó
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là a 15 3a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 4
Câu 189. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 3 3 a 2 3  a 2 A. V  . B. 3 V   a . C. V  . D. 3 V  3 a . 4 4
Câu 190. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm . Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành. A. 2 55 cm . B. 2 56 cm . C. 2 53cm . D. 2 46 cm .
Câu 191. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h  20 cm , bán kính đáy r  25 cm . Mặt phẳng   đi
qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy 12 cm . Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp   . A. S  400  2 cm  . B. S  406  2 cm  . C. S  300  2 cm  . D. S  500  2 cm  .
Câu 192. Cho hình lập phương ABC . D AB C  D
  có cạnh bằng 2a . Tính thể tích khối nón tròn xoay có
đỉnh là tâm hình vuông AB C  D
  và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD . 2 1 4 A. 3 V   a . B. 3 V   a . C. 3 V   a . D. 3 V  2 a . 3 3 3 1
Câu 193. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 2  2
cm  và bán kính đáy cm . Khi đó độ dài 2 đường sinh là A. 2 cm . B. 3 cm . C. 1 cm . D. 4 cm .
Câu 194. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2
8a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ? A. 2 4 a . B. 2 8 a . C. 2 16 a . D. 2 2 a .
Câu 195. Cho tam giác SOA vuông tại O có OA  3 cm , SA  5 cm , quay tam giác SOA xung quanh
cạnh SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là 80 A.   3 12 cm  . B.   3 15 cm  . C.  3 cm  . D.   3 36 cm  . 3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 73
Câu 196. Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R . Diện
tích xung quanh của hình trụ bằng: A. 2 2 R . B. 2 4 R . C. 2 2 2 R . D. 2 2 R .
Câu 197. Thiết diện qua trục của hình nón  N  là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . Tính
diện tích toàn phần của hình nón  N  ? 2  a 2  2 2  a  2   1 A. S  . B. S  . tp 2 tp 2 2  a 1 2 2  C. 2
S   a  2   1 . D. S  . tp tp 2
Câu 198. Thiết diện qua trục của một hình nón  N  là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng
a , diện tích toàn phần của hình nón  N  bằng 2  2a     2 1 2 a     2 1 3 a 2  a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
Câu 199. Cho Hình nón  N  có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính thể tích
V của khối nón  N  là A. 12 . B. 20 . C. 36 . D. 60 .
Câu 200. Hình trụ bán kính đáy r . Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO  2r . Một mặt
cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O . Gọi V và V lần lượt là thể tích của khối C T V
cầu và khối trụ. Khi đó C là VT 1 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 5
Câu 201. Hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ đó bằng 2  a A. . B. 2  a . C. 2 3 a . D. 2 4 a . 2
Câu 202. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và
SA  2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng A. 2 2 a . B. 2  a . C. 2 3 a . D. 2 6 a .
Câu 203. Cho hình nón  N  có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng 60 . Tính thể tích
V của khối nón  N  .
A. V  288 .
B. V  96 .
C. V  432 6 .
D. V  144 6 .
Câu 204. Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện
qua tâm là 68.5cm . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng
và đen, mỗi miếng có diện tích  2
49.83 cm  . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
A.  40 (miếng da).
B.  20 (miếng da).
C.  35 (miếng da).
D.  30 (miếng da).
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 74
Câu 205. Người thợ gia công của một cơ sở
chất lượng cao X cắt một miếng tôn
hình tròn với bán kính 60 cm thành l
ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau h
đó người thợ ấy quấn và hàn ba
miếng tôn đó để được ba cái phễu
hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi r O
cái phễu đó bằng bao nhiêu? 16000 2 16 2 16000 2 160 2 A. V  lít. B. V  lít. C. V  lít. D. V  lít. 3 3 3 3
Câu 206. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có các cạnh đều bằng a . Tính diện tích S của mặt
cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. 2 49 a 2 7a 2 7 a 2 49a A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 144 3 3 144
Câu 207. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6 và chiều cao h  1 . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp của hình chóp đó là
A. S  9 .
B. S  6 .
C. S  5 .
D. S  27 .
Câu 208. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 ,
 diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 3 3 a 2 3  a 2 A. V  . B. V  . C. 3 V  3 a . D. 3 V   a . 4 4
Câu 209. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta
đổ một lượng nước vào phễu sao cho
chiều cao của lượng nước trong phễu 1 bằng
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt 3
kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên
thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao
nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm . A. 0, 5 cm . B. 0, 3 cm . C. 0,188 cm . D. 0, 216 cm .
Câu 210. Cho hình chóp S.ABC có SC  2a , SC vuông góc với mặt phẳng  ABC  , tam giác ABC đều
cạnh 3a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2 3
A. R  a .
B. R  2a . C. R  a .
D. R  a 3 . 3
Câu 211. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA , SB , SC vuông góc với nhau từng 3 a
đôi một. Biết thể tích của hình chóp bằng
. Bán kính r mặt cầu nội tiếp của tứ diện là 6 a 2a a A. r  .
B. r  2a . C. r  . D. r  . 3  3 33 2 3 33 2 3
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 75
Câu 212. Một khối gỗ hình lập phương có thể tích V . Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó 1 V
thành một khối trụ có thể tích V . Tính tỷ số lớn nhất 2 k  ? 2 V1 1    A. k  . B. k  . C. k  . D. k  . 4 2 4 3
Câu 213. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a , 6a . Người ta muốn tạo tấm bìa đó thành bốn
hình không đáy như hình vẽ, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a , 6a và hai hình
lăng trụ tam giác đều có chiều cao lần lượt 3a , 6a . 6a 6a 3a 3a H1 H2 H3 H4
Trong 4 hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là A. H1, H 4 . B. H 2 , H 3 . C. H1, H 3 . D. H 2 , H 4 .
Câu 214. Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a , người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:
 Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác
đều có thể tích là V (Hình 1) 1
 Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác
đều có thể tích là V (Hình 2) 2 Hình 1. Hình 2. V Tính tỉ số: 1 k  V2 3 3 4 3 3 3 3 3 A. k  . B. k  . C. k  . D. k  . 2 9 4 8
Câu 215. Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình trụ T  , vừa nội tiếp mặt cầu C  , hai VC
đáy của hình lập phương nằm trên hai đáy của hình trụ. Tính tỉ số thể tích giữa khối cầu VT
và khối trụ giới hạn bởi C  và T  . V V V V C 2 C C C 3 A.  . B.  3 . C.  2 . D.  . V 2 V V V 2 T  T  T  T 
Câu 216. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 2a 4a 2 3a 4 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 76 4
Câu 217. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều cạnh a , AD  a . Tính bán kính 3
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 55 57 59 61 A. a . B. a . C. a . D. a . 11 11 11 11
Câu 218. Gọi M là trung điểm của BC suy ra BC  AM , BC  DM , AM  DM . Cho một miếng tôn
hình tròn có bán kính 50 cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của
hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2 cm . B. 50 2 cm . C. 20cm . D. 25cm .
Câu 219. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kinh đáy và bằng 2a . Mặt phẳng  P đi qua S
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB  2 3a . Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn
đáy đến  P . a a 2 2a A. . B. a . C. . D. . 5 2 5
Câu 220. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 4 3 5 15 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 3 27 54
Câu 221. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6a , tam giác SBC vuông tại S và
mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC . 4 3 4 3 A. 3
V  96 3 a . B. 3
V  32 3 a . C. 3 V   a . D. 3 V   a . 27 9
Câu 222. Cho hình nón  N  có góc ở đỉnh bằng 60 . Mặt phẳng qua trục của  N  cắt  N  theo một
thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 . Tính thể tích khối nón  N  .
A. V  3 3 .
B. V  4 3 .
C. V  3 .
D. V  6 .
Câu 223. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB C  D
  có AB  6 , AD  8, AC  12 . Tính diện tích xung
quanh S của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật xq
ABCD và AB C  D   . A. S  20 11 . B. S  10 11. xq xq C. S
 10 2 11  5. D. S  5   xq 4 11 5 . xq
Câu 224. Cho khối trụ có bán kính đáy R và có chiều cao h  2R . Hai đáy của khối trụ là hai đường
tròn có tâm lần lượt là O và O ' . Trên đường tròn O ta lấy điểm A cố định. Trên đường tròn
O ta lấy điểm B thay đổi. Hỏi độ dài đoạn AB lớn nhất bằng bao nhiêu? A. AB  2R 2 . B. AB  4R 2 . C. AB  4R . D. AB  R 2 . max max max max
Câu 225. .Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. 
A BC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB  a ,
AC  a 3 , A 
A  2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đó. a 2
A. R  2a 2 .
B. R  a .
C. R  a 2 . D. R  . 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 77
Câu 226. Cho hai hình vuông có cạnh đều bằng 5 được xếp lên nhau sao cho đỉnh M của hình vuông
này là tâm của hình vuông kia, đường chéo MN vuông góc với cạnh PQ tạo thành hình phẳng  
H  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD  120 . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy  ABCD và SA  3a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD . 3a 5a 5a 4a A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 3 3 3 3
Câu 227. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3 , cạnh bên BC  DA  2 .
Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng 4 5 2 7 A.  . B.  . C.  . D.  . 3 3 3 3
Câu 228. Suy ra A 
A D  BBC Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể
tích V của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho. 2 3 a h 2 3 3 a h A. V  . B. V  . 4 4 2 2 2   4a  h a 2 3 3  a h C. 2 V  h     . D. V  . 3 3 4 3   4
Câu 229. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với 
BAC  120 , AB  AC  a . Hình
chiếu của D trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm BC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại 3 a
tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là V  . 16 91a a 13 13a A. R  . B. R  . C. R  .
D. R  6a . 8 4 2
Câu 230. Một người dùng một cái ca hình bán cầu (Một nửa hình cầu)
có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào một cái thùng
hình trụ chiều cao 10 cm và bán kính đáy bằng 6cm . Hỏi
người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi
lần đổ, nước trong ca luôn đầy) A. 10 lần. B. 24 lần. C. 12 lần. D. 20 lần.
Câu 231. Cho tam giác ABC đều cạnh 3 và nội tiếp trong đường tròn tâm O , AD là đường kính của
đường tròn tâm O . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậmCho hình chóp 
S.ABC có SA vuông góc với  ABC  , AB  a , AC  a 2 , BAC  45 . Gọi B , C lần lượt 1 1
là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A BCC B . 1 1 3  a 2 4 3  a A. V  . B. 3 V   a 2 . C. 3 V   a . D. V  . 3 3 2
Câu 232. Một kỹ sư thiết kế một cây cột ăng-ten độc đáo gồm các khối cầu kim loại xếp chồng lên nhau
sao cho khối cầu ở trên có bán kính bằng một nửa khối cầu ở dưới. Biết khối cầu dưới cùng có
bán kính bằng 2 m. Chiều cao của cây cột ăng-ten A. Không quá 6 mét. B. Cao hơn 10 mét. C. Không quá 8 mét. D. Cao hơn 16 mét.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 78
Câu 233. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có một xq
đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 3 A. S  . B. S  8 2 . C. S  . D. S  8 3 . xq 3 xq xq 3 xq
Câu 234. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy  ABCD và SA  a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S ,
A , B , E có bán kính là a 41 a 41 a 41 a 2 A. . B. . C. . D. . 8 24 16 16
Câu 235. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước.
Người ta thả vào đó một khối cầu không thấm nước, có đường kính
bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài
là V . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình
nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính
thể tích nước còn lại trong bình. 1 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 3 
Câu 236. Cho tứ diện ABCD có AB  4a , CD  6a , các cạnh còn lại có độ dài a 22 . Tính bán kính
R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a 79 5a a 85 A. R  . B. R  . C. R  .
D. R  3a . 3 2 3
Câu 237. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều
cao bằng 3 lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối
nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có
đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc
nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước
trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn
lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). 5 2 A. . B. . 9 3 1 4 C. . D. . 2 9
Câu 238. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  , biết góc giữa hai mặt phẳng  A B
 C  và  ABC  bằng 45 ,
diện tích tam giác ABC bằng 2 a
6 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình
lăng trụ ABC.AB C   . 2 4 a 3 2 8 a 3 A. . B. 2 2 a . C. 2 4 a . D. . 3 3
Câu 239. Cho nửa hình tròn tâm O , đường kính AB . Người ta ghép hai bán kính OA , OB lại tạo thành
mặt xung quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó. A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 79
Câu 240. Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 10
chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác
đều có cạnh 20 cm ; sau khi hoàn thiệnCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
AB  3 , AD  2 . Mặt bên  SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 32 20 16 10 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 3
Câu 241. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Hình nón  N  có
đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính thể tích V của khối nón  N  . 3  3a 3 6a 3  6a 3  6a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 27 27 9 27
Câu 242. Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Tính thể tích khối trụ?  6 4 6  6 4 A. . B. . C. . D. . 9 9 12 9
Câu 243. Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3 . K là trung điểm BC . Người ta
dùng compa có tâm là S , bán kính SK vạch một cung tròn MN . Lấy phần hình quạt gò thành
hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S , cung MN thành đường tròn đáy của hình nónCho tứ
diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a , S  là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện
ABCD . M là một điểm thay đổi trên S  . Tính tổng 2 2 2 2
T  MA  MB  MC  MD . 2 3a A. . B. 2 a . C. 2 4a . D. 2 2a . 8
Câu 244. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V , V lần lượt là thể tích của khối cầu 1 2 V
nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính 1 . V2 A. 4 . B. 2 . C. 8 . D. 16 .
Câu 245. Cho hình thang cân ABCD ; AB // CD ; AB  2 ; CD  4 . Khi quay hình thang quanh trục CD
thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng 6 . Diện tích hình thang ABCD bằng 9 9 A. . B. . C. 6 . D. 3 . 2 4
Câu 246. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , mặt bên  SBC  vuông góc với mặt
phẳng  ABC  và SA  SB  AB  AC  a ; SC  a 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng A. 2 2 a . B. 2  a . C. 2 8 a . D. 2 4 a .
Câu 247. Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích
gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là A. 30% . B. 50% . C. 21% . D. 11% .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 80
Câu 248. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA  a , SB  2a , SC  3a . Gọi
M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA . Tính thể tích khối
tứ diện MNPQ theo a . 3 2a 3 a 3 2a 3 a A. . B. . C. . D. . 9 9 27 27
Câu 249. Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn O , O bán kính bằng a , chiều cao hình trụ gấp hai
lần bán kính đáy. Các điểm A , B tương ứng nằm trên hai đường tròn O , O sao cho
AB  a 6. Tính thể tích khối tứ diện ABOO theo a . 3 a 3 a 5 3 2a 3 2a 5 A. . B. . C. D. . 3 3 3 3
Câu 250. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  2a . Biết tam giác ABC cân tại A có  1
BC  2a 2 , cos ACB 
, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 3 2 65 a 2 97 a A. S  . B. 2 S  13 a . C. S  . D. 2 S  4 a . 4 4
Câu 251. Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20
cm. Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều
cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm (Hình 1). Nếu bịt
kín miệng phễu và lật ngược phễu lên (Hình 2) thì chiều
cao của cột nước trong phễu gần bằng giá trị nào sau đấy. A. 3 7 . B. 1. C.  3 20 10 7  . D  3 20 7 10 .
Câu 252. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB  a , AC  2a . Mặt bên SAB ,  2
SCA lần lượt là các tam giác vuông tại B , C . Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a . 3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ? 3a 3a
A. R  a 2 .
B. R  a . C. R  . D. R  . 2 2
Câu 253. Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường
kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm
(như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục
lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là A. 1500  2 cm  . B. 150  2 cm  . C. 3000  2 cm  . D. 300  2 cm  .
Câu 254. Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30 cm , chiều rộng 5 cm và chiều cao
6 cm . Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một 1
khối trụ có chiều cao h  6 cm và bán kính đáy r 
cm . Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu 2 viên phấn? A. 150 viên. B. 153 viên. C. 151 viên. D. 154 viên.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 81
Câu 255. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết AB  BC  a 3 ,  
SAB  SCB  90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a 2 . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 2 16 a . B. 2 12 a . C. 2 8 a . D. 2 2 a .
Câu 256. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc
dày 1, 5 cm , thành xung quanh cốc dày 0, 2 cm và có thể tích
thật (thể tích nó đựng được) là 3
480 cm thì người ta cần ít nhất bao nhiêu 3 cm thủy tinh ? A. 3 75, 66 cm . B. 3 80,16 cm . C. 3 85, 66 cm . D. 3 70,16 cm .
Câu 257. Cho mặt cầu S  tâm O , bán kính bằng 2 và mặt phẳng  P . Khoảng cách từ O đến  P
bằng 4 . Từ điểm M thay đổi trên  P kẻ các tiếp tuyến MA , MB , MC tới S  với A , B ,
C là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng  ABC  luôn đi qua một điểm I cố định. Tính độ dài OI . 3 1 A. 3 . B. . C. . D. 1. 2 2
Câu 258. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , AD  CD  a , AB  2a . Quay hình thang ABCD
quanh đường thẳng CD . Thể tích khối tròn xoay thu được là 3 5 a 3 7 a 3 4 a A. . B. . C. . D. 3  a . 3 3 3
Câu 259. Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A , B , C ,
D di động. Gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết 2 I . A IC  I .
B ID  h . Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. h 5 h 3 A. 2h . B. . C. h . D. . 2 2
Câu 260. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V  3 cm  .
Hỏi bán kính R(cm) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất? 3V V V V A. 3 R  . B. 3 R  . C. 3 R  . D. 3 R  . 2  4 2
Câu 261. Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi
một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của
hình quạt còn lại là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. 2 R 6 2 R 2 2 R 3  R 6 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 3 3 3
Câu 262. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  a 3 ,   SAB S
 CB  90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a 2 . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a . A. 2 S  4 a . B. 2 S  8 a . C. 2 S  12 a . D. 2 S  16 a .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 82
Câu 263. Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 10, 2 dm , chiều rộng 2 dm được uốn lại thành mặt
xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao 2 dm (như hình vẽ).
Biết rằng chỗ ghép mất 2 cm . Hỏi thùng
đựng được bao nhiêu lít nước? A. 50 lít. B. 100 lít. 2 dm 2 dm C. 20, 4 lít. D. 20 lít.
Câu 264. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của
khối chóp có thể tích lớn nhất. A. V  144 .
B. V  576 2 . C. V  576 .
D. V  144 6 .
Câu 265. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD . 7 21 7 21 7 21 49 21 A. 3  a . B. 3  a . C. 3  a . D. 3  a . 54 162 216 36
Câu 266. Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3 , cạnh bên BC  AD  2 . Cho
hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là 8 7
A. V  3 .
B. V   .
C. V   .
D. V  2 . 3 3
Câu 267. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB  3 , BC  4 . Hai mặt phẳng
SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy
một góc 45 . Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 5 2 25 2 125 3 125 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 3
Câu 268. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9 . Tính thể tích
V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. 576 2 . B. 576 . C. 144 2 . D. 144 .
Câu 269. Cho hình nón  N  có đường cao SO  h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn
SO , đặt OM  x , 0  x  h . C  là thiết diện của mặt phẳng  P vuông góc với trục SO tại
M , với hình nón  N  . Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là C  lớn nhất. h h 2 h 3 h A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3
Câu 270. Cho lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4 . Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng AD .
Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra
A. V  16 .
B. V  128 .
C. V  32 .
D. V  64 .
Câu 271. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn
làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt
ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần
tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới
đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm
thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ).
Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50, 24 lít(các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích
không đáng kể. Lấy   3,14 ). Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu. A. 1,8  2 m  . B. 2, 2  2 m  . C. 1, 5  2 m  . D. 1, 2  2 m  .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 83 
Câu 272. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 60 
. Mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích S của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 2 13 a 2 5 a 2 13 a 2 5 a A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 12 3 36 9
Câu 273. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm và 240 cm , người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng
nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V là thể tích của thùng gò được theo 1
cách 1 và V là tổng thể tích của hai thùng gò 2 V
được theo cách 2. Tính tỉ số 1 . V2 V V V 1 V A. 1  1. B. 1  2 . C. 1  . D. 1  4 . V V V 2 V 2 2 2 2
Câu 274. Cho hình trụ T  có C  và C là hai đường tròn đáy nội tiếp
hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam
giác cong tạo bởi đường tròn C  và hình vuông ngoại tiếp của
C  có một hình chữ nhật kích thước a2a (như hình vẽ dưới
đây). Tính thể tích V của khối trụ T  theo a . 3 100 a 3 250 a A. . B. 3 250 a . C. . D. 3 100 a . 3 3
Câu 275. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  3a, AD  a, S  AB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. 2 S  5 a . B. 2 S  10 a . C. 2 S  4 a . D. 2 S  2 a .
Câu 276. Cho hình nón  N  có bán kính đáy r  20 cm , chiều cao h  60 cm và một hình trụ T  nội
tiếp hình nón  N  (hình trụ T  có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung
quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T  có diện tích xung quanh lớn nhất? 32000 A. 3
V  3000 (cm ). B. 3 V   (cm ). C. 3
V  3600 (cm ). D. 3
V  4000 (cm ). 9
Câu 277. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 2 3 3 3
Câu 278. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu 
ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ASB  120 . 5 15 4 3 5 13 78 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 54 27 3 27
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 84
Câu 279. Một hình trụ có bán kính đáy r  5cm và khoảng cách giữa hai đáy h  7 cm . Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Diện tích của thiết diện được tạo thành là A. S   2 56 cm  . B. S   2 55 cm  . C. S   2 53 cm  . D. S   2 46 cm  .
Câu 280. Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm . Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh
EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. A E G B E G A B F H D C F H x x D C 30 cm
Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là
A. x  5cm .
B. x  9 cm .
C. x  8cm .
D. x  10cm .
Câu 281. Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích khối cầu là 3 a  6 3 a  3 3 a  3 3 a  6 A. . B. . C. . D. . 216 144 96 124
Câu 282. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB  2a nằm trong mặt phẳng  P . Gọi I là điểm đối xứng với O qua .
A Lấy điểm S sao cho SI   P và SI  2 .
a Tính bán kính R mặt cầu đi
qua đường tròn đã cho và điểm S. a 65 a 65 a 65 7a A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 4 16 2 4
Câu 283. Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường tròn tâm O và tâm O , bán kính bằng a , chiều cao
hình trụ bằng 2a . Mặt phẳng đi qua trung điểm OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường
tròn đáy tâm O theo dây cung AB . Độ dài đoạn AB là 2a 4 3 2 6 A. a . B. . C. a . D. a . 3 9 3
Câu 284. Cho mặt cầu đường kính AB  2R . Mặt phẳng  P vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ),
cắt mặt cầu theo đường tròn C  . Tính h  AI theo R để hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn
C  có thể tích lớn nhất? R 4R 2R
A. h  R . B. h  . C. h  . D. h  . 3 3 3
Câu 285. Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng 6 , thể tích lớn nhất của khối chóp là A. V  32 3 . B. V  64 3 . C. V  72 3 . D. V  81 3 . max max max max
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 85
Câu 286. Cho mặt trụ T  và một điểm S cố định nằm bên ngoài T  . Một đường thẳng  thay đổi
luôn đi qua S và luôn cắt T  tại hai điểm A , B ( A , B có thể trùng nhau). Gọi M là trung
điểm của đoạn thẳng AB . Tập hợp các điểm M là
A. Một phần mặt phẳng đi qua S .
B. Một phần mặt cầu đi qua S .
C. Một phần mặt nón có đỉnh là S .
D. Một phần mặt trụ.
Câu 287. Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. 2 2 2 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 24 12 8 3
Câu 288. Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r  30 cm ,
chiều cao h  120 cm . Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành
một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn
nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V . A. V    3 0,16 m  . B. V    3 0, 024 m . C. V    3 0,36 m  . D. V    3 0, 016 m .
Câu 289. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối
chóp có thể tích nhỏ nhất. 3 8a 3 10a 3 32a A. V  . B. V  . C. 3 V  2a . D. V  . 3 3 3
Câu 290. Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác
thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với
đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh
trục d ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. d 5 3 A. . 3 9 3 B. . 8 5 3 C. . 6 5 3 D. . 2 Hình 1 Hình 2
Câu 291. Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC  a ,
AB  a 3 , AD  3a . Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam
giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 3 3 3 a 3 8 3 a 3 5 3 a 3 4 3 a A. . B. . C. . D. . 16 3 16 16
Câu 292. Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1 cm. Người ta đặt
3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó
đai chặt 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với
cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên. Gọi O là điểm thuộc bề
mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn
nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng 6  2 6 7 3  2 6 4 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 86  
Câu 293. Cho hình chóp S.ABCD có ABC  ADC  90 , cạnh bên SA vuông góc với  ABCD , góc 2 a 3
tạo bởi SC và đáy ABCD bằng 60 , CD  a và tam giác ADC có diện tích bằng . 2
Diện tích mặt cầu S
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mc A. 2 S  16 a . B. 2 S  4 a . C. 2 S  32 a . D. 2 S  8 a . mc mc mc mc
Câu 294. Trong không gian mặt cầu S  tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a , thể tích
khối cầu S  bằng 3  a 3  a 3  a 3 4 a A. . B. . C. . D. . 24 3 6 3
Câu 295. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích   2 84 cm  . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD . 2 21 3 21 21 6 21 A. cm . B. cm . C. cm . D. cm . 7 7 7 7
Câu 296. Cho hình chóp S. ABC có SA  SB  SC  2a và tam giác ABC có góc A bằng 120 và
BC  2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a . a 3 2a 3 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 2
Câu 297. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a .
Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt  là góc
giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO A
 B đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1
A. tan   2 . B. tan   . C. tan   .
D. tan   1. 2 2
Câu 298. Cho hình nón  N  có góc ở đỉnh bằng o
60 , độ dài đường sinh bằng a . Dãy hình cầu  S , 1 
S , S ,..., S
thỏa mãn:  S tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón 1  n  , ... 3  2 
 N ; S tiếp xúc ngoài với S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  N ; S 3  1  2 
tiếp xúc ngoài với  S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  N  . Tính tổng thể tích 2 
các khối cầu  S ,  S ,  S ,..., S theo a . n  , ... 3  2  1  3  a 3 3 27 a 3 3  a 3 3 9 a 3 A. . B. . C. . D. . 52 52 48 16
Câu 299. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi B , C lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính theo a bán kính R 1 1
của mặt cầu đi qua năm điểm A , B , C , B , C . 1 1 a 3 a 3 a 3 a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 6 2 4 3
Câu 300. Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc.
Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước
đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của
miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc). 3  5 1 5 A. 3 . B. 2 . C. . D. . 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 87
Câu 301. Cho mặt cầu S  bán kính R . Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt
cầu S  . Thể tích lớn nhất của khối nón  N  là 3 32 R 3 32R 3 32 R 3 32R A. . B. . C. . D. . 81 81 27 27
Câu 302. Cho mặt cầu S  có bán kính R không đổi, hình nón  H  bất kì nội tiếp mặt cầu S  . Thể tích V
khối nón  H  là V ; và thể tích phần còn lại của khối cầu là V . Giá trị lớn nhất của 1 bằng 1 2 V2 81 76 32 32 A. . B. . C. . D. . 32 32 81 76
Câu 303. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như
hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên 30cm
cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa). A. 2 750, 25 (cm ) . B. 2 700 (cm ) . O 10cm r C. 2 756, 25 (cm ) . D. 2 754, 25 (cm ) . 35cm
Câu 304. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong  ABC
và 2SH=BC,  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 0
60 . Biết có một điểm O nằm trên
đường cao SH sao cho d O; AB  d O ; AC   d  ;
O SBC  1. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 256 125 500 343 A. . B. . C. . D. . 81 162 81 48
Câu 305. Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi
một mặt phẳng   qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 60 tính
tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng   ? 2 1 A. . B. .  2    1 2 3  4 C. . D. . 3 6
Câu 306. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB  CD  a , BC  AD  b ,
AC  BD  c . A. 2 2 2
a  b  c . B.  2 2 2
2 a  b  c  . 1 1 C. 2 2 2
a  b  c . D. 2 2 2
a  b  c . 2 2 2
Câu 307. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối
nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào
bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và
hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy
bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán 4 kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ 3 337
ngập trong nước và lượng nước trào ra là  3 cm . Tính thể tích 3
nước ban đầu ở trong bể. A.   3 885, 2 cm  . B.   3 1209, 2 cm  . C.   3 1106, 2 cm  . D.   3 1174, 2 cm  .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 88
Câu 308. Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn 2 2 2
MA  MB  2MC  12 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R  7 . 2 7
B. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R  . 3 7
C. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R  . 2 2 7
D. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R  . 9
Câu 309. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R
của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN . a 29 a 93 a 37 5a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  8 12 6 12 S
Câu 310. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo A B
hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình M chóp S.CMN . D N C a 93 a 37 a 29 5a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 12 6 8 12
Câu 311. Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CD  2 , AC  BD  1, AD  3 . Tính bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho. 7 39 2 3 A. 1. B. . C. . D. . 3 6 3
Câu 312. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và  , vuông góc với nhau và nhận
AB  a làm đoạn vuông góc chung A  d , B   . Trên d lấy điểm M , trên  lấy điểm N
sao cho AM  2a , BN  4a . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM và BI là 4a 4a 2a 2 A. . B. a . C. . D. . 17 5 3
Câu 313. Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là  S và mặt cầu ngoại tiếp là  S , hình lập 2  1 
phương ngoại tiếp  S và nội tiếp trong mặt cầu  S . Gọi r , r , r lần lượt là bán kính các 3  2  1 2 3
mặt cầu  S ,  S ,  S . Khẳng định nào sau đây đúng? 3  2  1  r 2 r 1 r 2 r 1 A. 1  và 2  . B. 1  và 2  . r 3 r 3 r 3 r 2 2 3 2 3 r 1 r 1 r 1 r 1 C. 1  và 2  . D. 1  và 2  . r 3 r 3 r 3 r 3 3 2 3 2 3
Câu 314. Cho khối trụ có chiều cao h  16 và hai đáy là hai đường tròn tâm O , O với bán kính R  12 .
Gọi I là trung điểm của OO và AB là một dây cung của đường tròn O sao cho
AB  12 3 . Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng  IAB . A. 120 3  80π . B. 48π  24 3 . C. 60 3  40π . D. 120 3 .
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 89
Câu 315. Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao
bằng 8 . Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A , B
sao cho cung AB có số đo 120 . Người ta cắt khúc gỗ bởi một
mặt phẳng đi qua A , B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là A
trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình
vẽ. Biết diện tích S của thiết diện thu được có dạng B
S  aπ  b 3. Tính P  a  b . A. P  60 . B. P  30 . C. P  50 . D. P  45 .
Câu 316. Có tấm bìa hình tam giác vuông cân ABC A
có cạnh huyền BC bằng a .Người ta muốn
cắt tấm bìa đó thành hình chữ nhật MNPQ M N
rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy
như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật đó
bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của hình trụ là lớn nhất? B Q P C 2 a 2 a 2 a 2 a A. . B. . C. . D. . 2 4 12 8
Vấn đề 5. TRÍCH 12 ĐỀ THI CỦA BGD NĂM 2017 + 2018
Câu 317. [2H2-1-MH1-2017] Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB  a và
AC  a 3 .Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung
quanh trục AB
A. l  a .
B. l  2a .
C. l  3a .
D. l  2a .
Câu 318. [2H2-1-MH2-2017] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.  A 
B C có độ dài cạnh đáy bằng a
và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 2  a h 2  a h A. V  . B. V  . C. 2
V  3 a h . D. 2 V   a h . 9 3
Câu 319. [2H2-1-MH3-2017] Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2
3 a và bán kính bằng a .
Tính độ dài đường sinh của hình nón đã cho. 5a 3a A. l  . B. l  2 2 . a C. l  . D. l  3 . a 2 2
Câu 320. [1H2-1-MH3-2017] Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a . 3  a 3  a 3  a A. V  . B. 3
V   a . C. V  . D. V  . 4 6 2
Câu 321. [2H2-1-101-2017] Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r  4 và chiều cao h  4 2 .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. V  128 .
B. V  64 2 .
C. V  32 .
D. V  32 2 .
Câu 322. [2H2-1-102-2017] Cho khối nón có bán kính đáy r  3 và chiều cao h  4 . Tính thể tích V
của khối nón đã cho. 16 3 A. V  .
B. V  4 .
C. V  16 3 .
D. V  12 . 3
Câu 323. [2H2-1-104-2017] Cho hình nón có bán kính đáy r  3 và độ dài đường sinh l  4 . Tính diện
tích xung quanh của hình nón đã cho. A. S  12 . B. S  4 3 . C. S  39 . D. S  8 3 . xq xq xq xq
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 90
Câu 324. [2H3-2-104-2017] Cho mặt cầu  S  tâm O , bán kính R  3 . Mặt phẳng  P cách O một
khoảng bằng 1 và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn C  có tâm H . Gọi T là giao điểm
của tia HO với  S  , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn C  . 32 16 A. V  .
B. V  16 . C. V  .
D. V  32 . 3 3
Câu 325. [2H2-2-MH1-2017] Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1 và AD  2 . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta
được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ đó. tp
A. S  4 .
B. S  2 .
C. S  6 .
D. S  10 . tp tp tp tp
Câu 326. [1H2-2-MH2-2017] Cho khối  N  có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng
15 . Tính thể tích V của khối nón  N .
A. V  12 .
B. V  20 .
C. V  36 .
D. V  60 .
Câu 327. [2H2-2-MH2-2017] Cho hình hộp chữ nhật ABC . D  A  B C 
D có AB  a , AD  2a và A 
A  2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB  B C . 3a 3a
A. R  3a . B. R  . C. R  .
D. R  2a . 4 2
Câu 328. [1H2-2-MH3-2017] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5 .
a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . D 25a
A. R  3a .
B. R  2a . C. R  .
D. R  2a . 8
Câu 329. [2H2-2-101-2017] Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a . a 3 A. R  .
B. R  a .
C. R  2 3a .
D. R  3a . 3
Câu 330. [2H2-2-101-2017] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể
tích V của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD . 3  a 3 2 a 3  a 3 2 a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 6 6 2
Câu 331. [2H2-2-102-2017] Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3R 2 3R
A. a  2 3R . B. a  .
C. a  2R . D. a  . 3 3
Câu 332. [2H2-2-102-2017] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón  N  có đỉnh A và đường
tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh S của  N  . xq A. 2 S  6 a . B. 2 S  3 3 a . C. 2 S  12 a . D. 2 S  6 3 a . xq xq xq xq
Câu 333. [2H2-2-102-2017] Cho mặt cầu  S  có bán kính bằng 4 , hình trụ  H  có chiều cao bằng 4
và hai đường tròn đáy nằm trên  S  . Gọi V là thể tích khối trụ  H  và V là thể tích khối cầu 1 2  V
S  . Tính tỉ số 1 . V2 V 9 V 1 V 3 V 2 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V 16 V 3 V 16 V 3 2 2 2 2
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 91
Câu 334. [2H2-2-103-2017] Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt
phẳng  BCD , AB  5a , BC  3a và CD  4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 3 3 2 2
Câu 335. [2H2-2-103-2017] Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng
đường kính đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy. 5 2 5 2 A. r  . B. r  5 .
C. r  5  . D. r  . 2 2 
Câu 336. [2H2-2-103-2017] Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại ,
A AB  a và ACB  30 .
Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC . 3 3 a 3 3 a A. V  . B. 3 V  3 a . C. V  . D. 3 V   a . 3 9
Câu 337. [2H2-2-104-2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  3a , BC  4a ,
SA  12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 5a 17a 13a A. R  . B. R  . C. R  .
D. R  6a . 2 2 2
Câu 338. [2H2-3-MH1-2017] Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm , người ta làm
các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa bên dưới):
Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Ký hiệu V là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và V là tổng thể tích của hai thùng 1 2 V
gò được theo cách thứ hai. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V V V A. 1  . B. 1  1. C. 1  2 . D. 1  4 . V 2 V V V 2 2 2 2
Câu 339. [2H2-3-MH1-2017] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối cầu
ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 15 4 3 5 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 54 27 3
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 92
Câu 340. [2H2-3-101-2017] Cho hình nón S có chiều cao h  a và bán kính đáy r  2a . Mặt phẳng
P đi qua S , cắt đường tròn đáy tại ,
A B sao cho AB  2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm
đường tròn đáy đến  P . a 3 a 5 a 2 A. d  .
B. d  a . C. d  . D. d  . 2 5 2
Câu 341. [2H2-3-103-2017] Cho hình nón  N  có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua
trục của  N  được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể
tích V của khối nón giới hạn bởi  N  .
A. V  9 3.
B. V  9.
C. V  3 3.
D. V  3 .
Câu 342. [2H2-3-104-2017] Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có AD  8 , CD  6 , AC  12.
Tính diện tích toàn phần S của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp tp
hình chữ nhật ABCD và A B  C  D  .
A. S  576 . B. S  10   tp 2 11 5 . tp
B. S  26 . D. S  5   tp 4 11 4 . tp
Câu 343. [2H2-4-MH2-2017] Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 X
được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là
tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . 1251 2  1255  2 2 A. V  . B. V  . 6 12 1255  4 2 1252  2 Y C. V  . D. V  . 24 4
Câu 344. [2H3-4-104-2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2  ; 0; 0 , B 0; 2
 ; 0 , C 0;0;2 . Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc
nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính S  a  b  c . A. S  4  . B. S  1  . C. S  2  . D. S  3  .
Câu 345. [2H1-4-104-2017] Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9,
tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. V  144 .
B. V  576 .
C. V  576 2 .
D. V  144 6 .
Câu 346. [2H2-2-MH-2018] Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2
3 a và bán kính đáy bằng a .
Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng 3a A. 2 2a . B. 3a . C. 2a . D. . 2
Câu 347. [2H2-3-MH-2018] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh S xq
của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng
chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 3 A. S  . B. S  8 2 . C. S  . D. S  8 3 . xq 3 xq xq 3 xq
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 93
Câu 348. [2H2-1-MĐ101-2018] Diện tích mặt cầu bán kính R bằng 4 A. 2  R . B. 2 2 R . C. 2 4 R . D. 2  R . 3
Câu 349. [2H2-1-MĐ102-2018] Thể tích của khối cầu bán kính R bằng 4 3 A. 3  R . B. 3 4 R . C. 3 2 R . D. 3  R . 3 4
Câu 350. [2H2-1-MĐ103-2018] Khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là r và chiều cao h thì có thể tích là 1 4 A. 2 rh . B. 3  r h . C. 3  r h . D. 2  r h . 3 3
Câu 351. [2H2-1-MĐ104-2018] Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ
dài đường sinh l bằng 4 A.  rl . B. 4 rl . C. 2 rl . D.  rl . 3
Câu 352. [2H2-2-MĐ101-2018] Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều
cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần
lõi có dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính 1 mm . Giả định 3
1 m gỗ có giá trị a (triệu đồng), 3
1 m than chì có giá trị 8a (triệu đồng). khi đó giá
nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 9, 7.a (đồng).
B. 97, 03.a (đồng).
C. 90, 7.a (đồng).
D. 9, 07.a (đồng).
Câu 353. [2H2-2-MĐ102-2018] Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và
chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì.
Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình
tròn có bán kính 1 mm . Giả định 3
1 m gỗ có giá a triệu đồng, 3
1 m than chì có giá 6a triệu
đồng. Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 84,5.a đồng.
B. 78, 2.a đồng.
C. 8, 45.a đồng.
D. 7,82.a đồng.
Câu 354. [2H2-3-MĐ103-2018] Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm
và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than
chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm. Giả định 3
1m gỗ có giá a ( triệu đồng), 3
1m than chì có giá 9a (triệu đồng). Khi
đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 10, 33.a (đồng).
B. 97, 03.a (đồng).
B. 103,3.a (đồng).
D. 9, 7.a (đồng).
Câu 355. [2H2-2-MĐ104-2018] Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều
cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần
lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính 1 mm . Giả định 3
1 m gỗ có giá trị a (triệu đồng), 3
1 m than chì có giá trị 7a (triệu đồng). Khi đó giá
nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 84,5.a (đồng).
B. 90, 07.a (đồng).
C. 8, 45.a (đồng).
D. 9, 07.a (đồng).
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 94
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B B A A B D C A A C A A A B B A C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A C A C A C A D D A C C A B A B D D B A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B A A A A B A D A C A C A A A D A C C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C D A D C A D D B D D D A B B D C C D B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B C A C A D D A A B B B D B D A D B B A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D D D D A D A D A C D D D D A D C B A B
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B B A A B C B B B A B C C B A C C A A C
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 B D B D B B A C B B B D C B B D C B A A
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B D A B B C A A C A A A A A D B B A D A
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 A C B C A D A A D B D A C B A A B B A C
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D D B D B C A C C B A C A C B A A D D D
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 B C A A C C D B A D A C A A B C A C C A
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D B D C A D C D A C C C A B B A D A B D
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 A C A C A C D B D D C B B B A A B A A D
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 A A D C B D A D D A A A A B D D B A D C
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 A D C D D C B C B A C A C A C D D B D D
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 B B B A A A C C D C D B C C D A C C B D
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 D B C B B B A C A D C D D D C Tài liệu tham khảo: [1]
Trần Văn Hạo – Hình học 12 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2]
Trần Văn Hạo – Bài tập Hình học 12 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3]
Trần Văn Hạo - Hình học 12 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4]
Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 12 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5]
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017, 2018 của một số trường, SGD. [6]
Đề thi minh họa, đề tham khảo, đề thử nghiệm, đề chính thức của bộ GD-ĐT Việt Nam [7]
Một số tài liệu trên internet.
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 95 GHI CHÉP CÁ NHÂN
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 96 MỤC LỤC
MẶT NÓN. MẶT TRỤ. MẶT CẦU
Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN .......... 1
Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón ...................................................................................... 2
Dạng 2. Thiết diện với hình nón .................................................................................................. 5
Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp .................................................................................... 8
Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 10
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ............................................................................................ 11
Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ ............................................................................................. 12
Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình trụ ..................................................................................... 12
Dạng 2. Thiết diện với mặt trụ .................................................................................................. 15
Dạng 3. Nội tiếp – Ngoại tiếp .................................................................................................... 18
Dạng 4. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 20
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ............................................................................................ 22
Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU ..................................................................................................................... 24
Dạng 1. Xác định mặc cầu .......................................................................................................... 25
Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp – Ngoại tiếp hình chóp .................................................................... 27
Dạng 3. Vị trí tương đối ............................................................................................................. 33
Dạng 4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ......................................................................... 35
Dạng 5. Một số bài toán vận dụng thực tế ............................................................................... 37
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 6 ...................................................................................................................... 38
BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐH - CĐ ..................................................................................................... 49
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................................... 54
Vấn đề 1. HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN .................................................................. 54
Vấn đề 2. HÌNH TRỤ. MẶT TRỤ. KHỐI TRỤ ...................................................................... 57
Vấn đề 3. MẶT CẦU. KHỐI CẦU ........................................................................................... 59
Vấn đề 4. TRÍCH 7 ĐỀ THI CỦA BGD NĂM 2017 + 2018 ................................................... 61
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 94
MỤC LỤC .....................................................................................................................................................................95

Tài liệu tự học mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Quốc Nghĩa Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề mặt nón Toán12

Trắc nghiệm khối tròn xoay có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018 Toán 12

Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Đặng Việt Đông Toán 12

Phân dạng và bài tập trắc nghiệm mặt cầu – mặt trụ – mặt nón – Nguyễn Bảo Vương Toán 12

Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Lư Sĩ Pháp Toán 12