Tâm tỉ Cự Giải nhanh cực trị Oxyz - Tài liệu tổng hợp
Cho n điểm 1 2 , , ..., A A A n với n số 1 2 , , ..., n k k k mà 1 2 ... 0 n k k k k + + + = và đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P) ). Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P) ) sao cho 1 1 2 2 ... n n k MA k MA k MA + + + nhỏ nhất. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Tài liệu Tổng hợp 2.3 K tài liệu
Trường: Tài liệu khác 2.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học LIVE – M môn Toán
website: www.bschool.vn
Kiến thức cơ bản Cho 3 điểm ,
A B, C (có thể cho 2 điểm hoặc n điểm trong trường hợp tổng quát). Điểm I gọi là tâm
tỉ cự của hệ 3 điểm ,
A B, C gắn với các hệ số , , ( + + 0) :
x + x + x A B C x = I + + y + y + y
1) Tọa độ điểm I thỏa mãn IA + IB + IC = 0 A B C y = I + +
z + z + z A B C z = I + +
MA+ MB + MC = ( + + )MI
2) Với mọi điểm M , ta đều có 2 2 2
MA + MB + MC = ( + + ) 2 2 2 2
MI + IA + IB + IC
Đặc biệt: Nếu = = = 1 thì M là trọng tâm ABC.
1. CỰC TRỊ ĐỘ DÀI VECTƠ Giả thiết
Cho n điểm A , A , ..., A với n số k , k , ..., k mà k + k + ... + k = k 0 và đường thẳng d (hoặc 1 2 n 1 2 n 1 2 n
mặt phẳng ( P) ). Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P) ) sao cho
k MA + k MA + ... + k MA nhỏ nhất 1 1 2 2 n n Phương pháp giải
Gọi I là tâm tỉ cự hệ n điểm A , A , ..., A với n số k , k , ..., k , nghĩa là điểm I thỏa mãn 1 2 n 1 2 n
k IA + k IA ++ k IA = 0 . 1 1 2 2 n n
Áp dụng công thức: k MA + k MA + ... + k MA = k + k + ... + k
MI = k + k + ... + k .MI 1 1 2 2 n n ( 1 2 n ) 1 2 n
Bài toán trở về tìm vị trí điểm M để MI nhỏ nhất 1.
Cho 3 điểm A(2; − 3;7), B (0; 4; − 3), C (4; 2;3). Biết M (a ;b;c) là điểm thuộc (Oxy) để biểu thức
T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng A. 3. B. 6. C. 9. D. 0. 2.
Cho ABC có A(1;0;0), B (3; 2; 4), C (0;5; 4). Biết M (a ;b;c) là điểm thuộc (Oxy) sao cho
MA + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan 1
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học LIVE – M môn Toán
website: www.bschool.vn 3.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; − 2; − ) 1 , B ( 2
− ;− 4;3), C (1;3;− ) 1 và mặt phẳng
(P): x + y − 2z −3 = 0. Điểm M (P) thỏa mãn MA+ MB + 2MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hoành độ của điểm M bằng 3 3 1 1 A. − . B. . C. − . D. . 2 2 2 2 4.
Cho tứ diện ABCD có A(0;1;0), B (1;0 ) ;1 , C (5; − )
1;1 , D (3; − 3; 2). Điểm M (a ;b;c) thỏa mãn
MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng: 3 1 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 5.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2;3), B (2;1; − 3), C (0; − )
1;1 và ( P) : x + y − z = 0. Điểm
M (a ;b;c) thuộc ( P) thỏa mãn MA + 3MB − 2MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của c bằng 1 1 1 A. 1. B. − . C. − . D. − . 6 3 2 x −1 y +1 6.
Trong không gian Oxyz, cho A(0;1; 2), B ( 1;
− 0;3), C (3;2;− 2) và đường thẳng d : = = . z 3 2
Điểm M (a;b;c) thuộc d thỏa mãn MA − 3MB + MC nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng 53 53 55 48 A. − . B. − . C. − . D. − . 8 7 7 7 7.
Trong không gian Oxyz, cho A( 1; − 3;5), B(2;6;− ) 1 , C ( 4
− ;−12;5) và (P) : x + 2y − 2z −5 = 0. Gọi
M là điểm thuộc ( P) sao cho MA − 4MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Cao độ của điểm M bằng 5 3 3 3 A. z = . B. z = . C. z = . D. z = . M 2 M 8 M 4 M 2 8.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2;3), B (2; −1;3), C (1;3;0) và ( P) : x + y + z = 0. Gọi M là điểm
bất kỳ thuộc ( P) . Giá trị nhỏ nhất của MA + MB + 2MC + 3MB + MC là 446 223 A. 446. B. . C. 223. D. . 4 4 2 11 10 9.
Trong không gian Oxyz, cho B (1; 2;3), C ( 2
− ;1;4) và mặt cầu (S) 2 2
: x + y + z − = . Điểm 2 23
M (a ;b;c) thuộc (S ) thỏa mãn MO + 2MB + MO + MB − 5MC đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của
a + b −14c bằng A. −80. B. −81. C. −82. D. −83.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan 2
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học LIVE – M môn Toán
website: www.bschool.vn
2. DẠNG 2 – CỰC TRỊ ĐỘ DÀI BÌNH PHƯƠNG VÔ HƯỚNG CỦA VECTƠ Giả thiết
Cho n điểm A , A , ..., A với n số k , k , ..., k mà k + k + ... + k = k 0 và đường thẳng d (hoặc 1 2 n 1 2 n 1 2 n
mặt phẳng ( P) ). Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P) ) sao cho 2 2 2
T = k MA + k MA ++ k MA nhỏ nhất 1 1 2 2 n n Phương pháp giải
Gọi I là tâm tỉ cự hệ n điểm A , A , ..., A với n số k , k , ..., k , nghĩa là điểm I thỏa mãn 1 2 n 1 2 n
k IA + k IA ++ k IA = 0 . 1 1 2 2 n n Áp dụng công thức: 2 2 2
T = k IA + k IA + ... + k IA + (k + k + ... + k MI n n n ) 2 1 1 2 2 1 2
Bài toán trở về tìm vị trí điểm M để MI nhỏ nhất
10. Cho 3 điểm A(1;1 ) ;1 , B ( 1; − 2 )
;1 , C (3;6; − 5). Biết M (a ;b;c) thỏa mãn M (Oxy) và biểu thức 2 2 2
T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0; − ) 1 , B ( 1;1 − ;0), C (1;0 )
;1 . Điểm M (a ;b;c) thỏa mãn 2 2 2
3MA + 2MB − MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 4a + 2b + c bằng A. −3. B. 3. C. −2. D. 2. 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
(P): x − y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; − )
1 , B (3;1; − 2), C (1; − 2 )
;1 . Điểm M (a ;b;c) thuộc ( P) sao cho 2 2 2
MA − MB − MC lớn
nhất. Giá trị của a + b + c bằng A. 0. B. −2. C. −4. D. −6. x = 2 + t
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng () : y = 1
− + 2t (t ) và hai điểm z = 3t
A(2;0;3), B (2; − 2; − 3). Điểm M thuộc đường thẳng (). Giá trị nhỏ nhất của 4 4 MA + MB là A. 200. B. 400. C. 100. D. 300.
14. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( ) 8 4 8 2; 2;1 , B − ; ; .
Đường thẳng d đi qua tâm đường tròn 3 3 3
nội tiếp của OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) . Biết M là 1 điểm di động trên d. Giá trị nhỏ nhất của 2 2
MA + 2MB bằng A. 20. B. 25. C. 30. D. 35.
15. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1; − ) 1 , B ( 1
− ;2;0), C (3;−1;− 2). Giả sử M (a;b;c) thuộc
(S) (x − )2 + y +(z + )2 2 : 1 1 = 861 sao cho 2 2 2
P = 2MA − 7MB + 4MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của
a + b + c bằng A. 49. B. 51. C. 55. D. 47.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan 3
Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học LIVE – M môn Toán
website: www.bschool.vn LUYỆN TẬP
16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; 2;5), B (0; 4; 3
− ), C (2;−3;7). Biết điểm
M ( x ; y ; z nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 0 0 0 )
P = x + y + z 0 0 0
A. P = −3.
B. P = 0.
C. P = 3.
D. P = 6. x −1 y z + 2
17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : = = và hai điểm 2 1 1 −
A(0; −1;3), B (1; − 2 )
;1 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho 2 2
MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất?
A. M (5; 2; − 4). B. M ( 1; − −1;− ) 1 .
C. M (1;0; − 2).
D. M (3;1; − 3).
Nguồn: Đề thi học kỳ 2 Toán 12 năm 2017 – 2018 trường chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan 4
Document Outline
- 1. CỰC TRỊ ĐỘ DÀI VECTƠ
- 2. DẠNG 2 – CỰC TRỊ ĐỘ DÀI BÌNH PHƯƠNG VÔ HƯỚNG CỦA VECTƠ