Thừa số là gì? Cách phân tích một số thành các thừa số?
Trong Toán học, khi học tới phép nhân, chắc hẳn chúng ta sẽ được làm quen với các khái niệm như thừa
số. Tuy nhiên việc phân tích một số thành các thừa số có rất nhiều bạn còn lúng túng và chưa biết cách phân tích. 1. Thừa số là gì?
Thừa số ta hiểu đơn giản là những số khi nhân với nhau sẽ có tích bằng với số trước đó. Thực tế hầu hết
mọi số đều là tích của nhiều thừa số, tùy thuộc vào tính chất của phép toán mà ta gọi tên các giá trị tham gia và phép toán đó.
Ví dụ: 10 x 2 x 4= 800 + 10 là thừa số + 2 là thừa số + 4 là thừa số + 800 là tích
Như vậy bên cạnh các giá trị có thể đọc được của các số, ta có thể gọi tên nó theo ý nghĩa của phép toán.
Cũng như trong một tổng, các giá trị được gọi là số hạng, trong một hiệu có sự xuất hiện của số trừ và số bị
trừ, trong một thương có sự xuất hiện của số chia và số bị chia. Ý nghĩa của việc gọi tên giúp ta hiểu thêm
thế nào là thừa số trong Toán học, các tính chất của thừa số rất được quan tâm. Qua thừa số ta thấy được
ý nghĩa của giá trị các phép tính để thực hiện các chức năng tính toán một tích có thể là giá trị tìm được của
nhiều thừa số khác nhau.
2. Thế nào là thừa số nguyên tố?
Thừa số nguyên tố bản chất vẫn là thừa số. Nhưng thay vì các số tự nhiên nó lại là các số nguyên tố.
Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1 và là tích của hai thừa số là 1 và chính nó. Ví dụ 2 chỉ có thể
bằng 1 x 2, 3 chỉ có thể bằng 1 x 3, 5 chỉ có thể là 1 x 5. Nên 2, 3 và 5 là các số nguyên tố. Qua các phép
tính được thực hiện ta có thể xác định rõ được đâu là các thừa số nguyên tố.
3. Cách phân tích một số thành tích của các thừa số
3.1. Phân tích số nguyên cơ bản ra thừa số
Đối với trường hợp này ta sử dụng số nguyên để phân tách, vì chúng không có cấu tạo phân số hoặc số thập phân. Ví dụ số 15
Bước 1: tìm hai số mà tích của chúng là con số ban đầu chúng ta lấy ví dụ là 15. Bất kì số nguyên nào cũng
đều phân tách được thành tích của hai số nguyên. Ví dụ số 15 ta có các tích như 15 x 1, 3 x 5 vì vậy ta
nhận được thừa số của 15 là 15, 1, 3, 5
Bước 2: xác định các thừa số ta tìm được có thể phân tách được nữa hay không. Bởi vì với những số lớn
chúng ta có thể phân tách được rất nhiều lần. Tùy vào từng trường hợp, việc chúng ta phân tích thừa số có thể có lợi hoặc không.
Ví dụ 20 phân tích thành 4 x 5 và 4 phân tích thành 2 x 2 vì vậy 20 = 2 x 2 x 5
Bước 3: Dừng phân tích tất cả các thừa số đều là số nguyên tố. Số nguyên tố là những số chia hết cho 1 và
chính nó ví dụ 2, 3, 5, 7, 11. Khi chúng ta phân tích thêm sẽ trở nên thừa. Ví dụ 12 = 2 x 2 x 3. Nếu phân
tích tiếp ta được 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 do đó cần bỏ qua bước này.
3.2. Cách phân tích các số lớn thành thừa số
Để phân tích số lớn thành các thừa số chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: viết số của bạn phía trên một bảng có 2 cột. Việc phân tích số lớn ra thừa số sẽ phức tạp hơn
những số này thông thường sẽ có 4 đến 5 chữ số trở lên. Vì vậy, quá trình kẻ bảng sẽ giúp chúng ta dễ dàng hơn khi phân tích
Bước 2: chia số đã cho cho một số nguyên tố nhỏ nhất. Chú ý cách chia này phải là chia hết và không có
phần dư. Khi đó ta cần viết số nguyên tố ở cột bên trái và ghi thương ngang hàng với cột bên phải.
Bước 3: Tiếp tục phân chia theo bước 2, sau mỗi lần chia số ta sẽ thu được một con số bé hơn.
Bước 4: Phân tích số lẻ bằng những cách thử chia cho các số nguyên tố nhỏ. Đây là cách tìm khó hơn so
với số chẵn. Chúng ta có thể thử chia cho 3, 5, 7, 11 đến khi không thể chia nữa và không có số dư.
Bước 5: tiếp tục chia và tìm ra thương số là 1
4. Ý nghĩa của việc xác định thừa số trong phép tính
Đối với việc phân tích số ra thừa số tách một số thành tích của các thừa số là 1 trong những kiến thức Toán
học cơ bản và quan trọng. nó giúp chúng ta hiểu được bản chất và ý nghĩa khi thực hiện phép nhân. Đồng
thời nhìn nhận được giá trị của một số trong cấu thành của nó.
Việc xác định thừa số được áp dụng rộng rãi trong Toán học cơ bản, trong đại số, tích phân và cao hơn.
Điều này làm cho chúng ta có được tư duy cao hơn dựa trên kiến thức cơ bản.
Xác định giá trị của phép nhân, việc xác định giá trị tích của các thừa số là cách học xuôi trong khi phân tích
một tích thành các thừa số là cách học ngược. Điều này giúp chúng ta có logic hơn cũng như tìm được
nhiều câu trả lời đúng hơn trước một bài toán.
Việc nhìn nhận vấn đề theo nhiều chiều, nhiều khía cạnh sẽ nâng cao hiệu quả trong học tập, tư duy logic và sáng tạo
5. Lưu ý khi thực hiện phân tích thừa số
Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2 3 5 7 11 13 19
Khái niệm về số nguyên tố cần được nắm vững
Số nguyên tố là một số có hai thừa số là 1 và Chính nó
Chỉ phân tích thành thừa số với những số tự nhiên
Một vài số đặc biệt có thể phân tích nhanh hơn tuy nhiên chúng ta nên thực hiện phương pháp liệt kê
để tránh mất thừa số một số được gọi là thừa số của số lớn hơn nếu số lớn hơn chia hết cho số nhỏ hơn
6. Dạng bài tập vận dụng thường gặp
6.1. Dạng 1: phân tích một số tự nhiên cho trước lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố
Cách giải đối với dạng bài này chúng ta dùng phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc hoặc theo hàng ngang Bài tập vận dụng
Câu 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng phương pháp phân tích theo cột dọc a. 30, 70, 42 30 2 15 3 5 5 1 Vậy 30 = 2 x 3 x 5 70 2 35 5 7 7 1 Vậy 70 = 2 x 5 x 7 42 2 21 3 7 7 1 Vậy 42 = 2 x3 x 7 b. 16, 48, 54 16 2 8 2 4 2 2 2 2 Vậy 16 = 2^42 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Vậy 48 = 2^4 x 3 54 2 27 3 9 3 3 3 1 Vậy 54 = 2 x 3^3
Câu 2: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng phương pháp phân tích theo hàng ngang a. 24, 72, 40
24 = 6 x 4 = 2 x 3 x 2 x 2 = 2^3 x 3
72 = 9 x 8 = 3 x 3 x 2 x 4 =3 x 3 x 2 x 2 x2 = 2^3 x 3^2
40 = 4 x 20 = 2 x 2 x 2 x 5 = 2^3 x 5 b. 10, 100, 1000 10 = 2 x 5
100 = 10 x 10 = 2 x 5 x 2 x 5 = 2^2 x 5^2
1000 = 10 x 10 x 10 = 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 = 2^3 x 5^3
6.2. Dạng 2: tìm các ước của một số dựa vào dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó.
Cách làm đối với dạng bài này chúng ta dùng phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng
một trong hai cách đã nêu ở trên và kiến thức mở rộng
Ví dụ: Cho số a = 2^3 x 5^2 x 11. Mỗi số 4, 8, 16, 20 có là ước của a không? a = 2^3 x 5^2 x 11
Ta có: 4 = 2^2 nên 4 là ước của a
8 = 2^3 nên 8 là ước của a
16 = 2^4 có số mũ của 2 là 4 > 3 nên 16 không là ước của a
20 = 2^2 x 5 nên 20 là ước của a