Thực nghiệm-dòng chảy chất lưu

lOMoARcPSD| 36006477 lOMoARcPSD| 36006477 Mục Lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................................................ 3
1.Giới thiệu tổng quan về Æp suất và đơn vị đo áp suất ............................................................................. 3
1.Áp suất chất lưu ( Chất lỏng và chất khí ) ......................................................................................... 4
1.1Áp suất tĩnh ........................................................................................................................................ 5
1.2Áp suất trong chất lưu chuyển ộng ................................................................................................ 6
2. Phương pháp o áp suất ......................................................................................................................... 7
2.1 Đo áp suất khí quyển ........................................................................................................................ 7
2.2 Đo áp suất trong một bình khí. ........................................................................................................ 7
2.3 Đo áp suất bằng ống Pitot................................................................................................................. 8
2.4 Một số cảm biến áp lực thông dụng ................................................................................................. 9
3. Dòng chảy và o dòng chảy .................................................................................................................. 10
3.1 Các ặc trưng của dòng chảy ......................................................................................................... 10
3.2 Một số phương pháp o dòng chảy ............................................................................................... 12
4. Đo sóng biển........................................................................................................................................... 15
5.Một số b i toÆn t nh thời gian nước chảy ............................................................................................. 16
5.1 Giải b i toÆn bằng đại số .................................................................................................................. 17 5.1.2
Bể nước dạng hình trụ ứng
................................................................................................... 19 5.1.3
Bể nước dạng hình trụ nằm ngang
......................................................................................... 20 5.2 Giải bài toán bằng phương
pháp xấp xỉ Euler ............................................................................. 22
6.Thực nghiệm kiểm tra kết quả ................................................................................................................ 23
6.1 Giải bằng phương pháp ại số ....................................................................................................... 24
6.2 Giải bằng phương pháp xấp xỉ Euler ............................................................................................ 24
6.3 Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm ................................................................................................ 26 lOMoARcPSD| 36006477 MỞ ĐẦU
Lý do chọn ề tài
Ở trung học phổ thông chúng em ã ược học về áp suất khí quyển,
áp suất của chất lỏng chỉ ở mức biết ến cơ bản, những thông số mà ầu
bài ưa ra iều có sẵn mà không cần phải o ạc kiểm tra. Các thông số ó
thường lấy giá trị trung bình và iều trong iều kiện lý tưởng nhất khiến
cho các bạn học sinh vẫn chưa hiểu rõ về các thông số
và chuyển ộng của chất lỏng. Chính vì vậy em lựa chọn ề tài: “ĐO
ĐẠC THỰC NGHIỆM TRONG CƠ HỌC CHẤT LƯU” ể làm nội
dung chính cho bài tiểu luận.
1.Giới thiệu tổng quan về áp suất và ơn vị o áp suất
Áp suất là khái niệm mô tả mật ộ phân bố lực trên một diện tích. Nếu trên một mặt
có diện tích A của một vật thể tác dụng một lực phân bố ều với ộ lớn tổng cộng bằng F và
hướng tác dụng vuông góc với bề mặt, thì áp suất tác dụng trên bề mặt ấy ược xác ịnh bằng
Như vậy áp suất trên bề mặt là lực tác dụng vuông góc với bề mặt trên một ơn vị diện tích
bề mặt. Trường hợp tổng quát áp suất ược tính bằng
Đơn vị o áp suất là Niutơn trên mét vuông, ký hiệu N/m2 hay ược gọi là Pascal (Pa).
Trong thực tế, ơn vị o áp suất khác ược sử dụng là Atmosphe (atm) và Milimét thuỷ ngân
(mmHg) hay còn có tên gọi khác Torơ (torr) liên quan với Pascal qua hệ thức
Bảng 1.1 Đơn vị o áp suất lOMoARcPSD| 36006477
1.Áp suất chất lưu ( Chất lỏng và chất khí )
Chất lưu là một dạng tồn tại của vật chất khác với vật rắn là không có hình dáng cố ịnh,
luôn tự iều chỉnh ề thích nghi với không gian chứa nó. Chất lưu là thuật ngữ ể chỉ hai
dạng vật chất thông thường là chất lỏng và chất khí. Cả hai dạng vật chất này ều tuân theo
những ịnh luật cơ học như nhau, nhưng có một số iểm khác riêng biệt: Chất lỏng có thể
chảy dễ dàng và chất khí thì có thể nén ược. Chất lỏng nói chung nặng hơn chất khí. Một
chất có thể tồn tại ở cả ba dạng lỏng, khí và rắn. Đó là nước, hơi nước và nước á. Nước á
khác hẳn với nước và hơi nước, á là chất rắn vì các phân tử uợc sắp xếp thành một mạng
tinh thể 3 chiều rất bền chặt và ổn ịnh. Như vậy, có thể thấy các dạng vật chất khác nhau lOMoARcPSD| 36006477
ở sự liên kết giữa các phần tử, trong ó liên kết của chất rắn là mạnh nhất rồi ến chất lỏng và chất khí.
Khái niệm áp suất trong chất lưu ược xác ịnh như sau: Nếu tại một vị trí nào ó trong chất
lưu ta ặt vào một lá mỏng và phẳng, thì chất lưu sẽ tác dụng lên phần tử này một lực phân
bố vuông góc với phần tủ. Tỷ số giữa lực tổng cộng và diện tích của phần tử
chính là áp suất của chất lưu tại vị trí ó. Áp suất trong chất lưu phụ thuộc vào trạng thái
chuyển ộng của chất lưu (chuyển ộng hay ứng yên, chuyển ộng có xóay hay không có
xoáy,…). Ngoài ra, áp suất trong chất lưu còn phụ thuộc vào khối lượng riêng và nhiệt ộ của chất lưu. 1.1Áp suất tĩnh
Áp suất thủy tĩnh là áp suất của chất lỏng ứng yên. Áp suất thủy tĩnh ược xác ịnh như
sau: Trong một cốc hình trụ có tiết diện là A chứa một chất lưu có ộ cao kể từ áy là h. Giả
sử khối lượng riêng của chất lưu là ρ và gia tốc trọng trường là g . Khí ó, xét các lực tác
dụng lên khối chất lỏng ta có phương trình
Trong ó Fd , F0 và P lần lượt là lực tác dụng lên áy, lên mặt trên và trọng lực của khối chất lưu và bằng
với pd và p0 là áp suất ở áy và ở mặt trên. Như vậy, thay các biểu thức trên vào phương trình ã cho ta ược
Trong trường hợp này ại lượng nằm ở vế phải của phương trình trên gọi là áp suất thủy
tĩnh của chất lỏng. Nếu p0 là áp suất khí quyển, thì ps ược gọi là áp suất áp kế (gauge
pressure). Tong trường hợp tổng quát ps là áp suất chênh lệchgiữa hai ộ cao khác nhau.
Như vậy áp suất thủy tĩnh chỉ phụ thuộc vào ộ sâu chứ không phụ thuộc vào các kích
thước ngang khác. Điều này ưa ến một hiện tượng rất lý thú là áp lực của nước trong hồ
tác dụng lên một ập không phụ thuộc vào chiều rộng mà chỉ phụ thuộc vào chiều sâu của
hồ. Máy o ộ sâu của mực nước, thực chất là một máy o áp suất thủy tĩnh. Như vậy, áp
suất thủy tĩnh tại một ộ sâu nào ó trong chất lỏng chính bằng trọng lượng của cột chất
lỏng có chiều cao bằng ộ sâu và tiết diện 1 ơn vị diện tích.
Áp suất khí quyển. Trong khí quyển không có gió, áp suất tại một vị trí ở ộ cao nào ó kể
từ mặt ất cũng ược ịnh nghĩa tương tự như áp suất thuỷ tĩnh trong chất lỏng, tức cũng
bằng trọng lượng của cột không khí có tiết diện ơn vị nằm trên vị trị ó. Tuy nhiên lúc này
chưa thể tính ược áp suất bằng các công thức nêu trên vì mặt trên của cột không xác ịnh.
Nhưng người ta có thể xác ịnh như sau: Một ống nghiệm chứa thuỷ ngân, lật ngược ống
nghiệm chứa thuỷ ngân và nhúng ngay vào một cốc ựng thuỷ ngân sao cho thuỷ ngân lOMoARcPSD| 36006477
trong ống nghiệm và trong cốc tạo thành một khối thống nhất và không khí không vào ược ống
nghiệm khi thao tác. Khi ó trong ống nghiệm ở phần trên sẽ tạo ra một khoảng trống có
áp suất có thể coi bằng không và trên mặt thóang của thuỷ ngân trong cốc tác dụng áp
suất của khí quyển p0 và cách mặt trên của thủy ngân trong ống nghiệm một khoảng
bằng h. Như vậy ta có
với ρ là khối lượng riêng của thuỷ ngân. Để o áp suất khí quyển người ta hay dùng ơn vị
atmosphe (atm) hoặc milimét thuỷ ngân (mmHg). Trong khí quyển, ộ cao càng lớn thì áp suất càng nhỏ.
Áp suất tĩnh trong chất lưu là áp suất trong chất lưu ứng yên. Áp suất thủy tĩnh và áp suất
khí quyển là áp suất tĩnh của chất lưu. Đặc iểm nổi bật của áp suất tĩnh trong chất lưu là
một ại lượng vô hướng, tác dụng như nhau theo mọi hướng.
1.2Áp suất trong chất lưu chuyển ộng
Áp suất trong chất lưu chuyển ộng rất phức tạp. Người ta ịnh nghĩa áp suất
trong chất lưu chuyển ộng gồm 3 thành phần: áp suất tĩnh (như ã xác ịnh ở trên),
áp suất ộng tỷ lệ với vận tốc của chuyển ộng và áp suất tổng cộng (hay áp suất
tắc nghẽn) bằng tổng hai áp suất tĩnh và áp suất ộng nêu trên. Nếu áp suất tĩnh là
một ại lượng vô hướng tác dụng theo mọi phương như nhau và ộc lập với áp suất
ộng, thì áp suất ộng không chỉ phụ thuộc vào tốc ộ chuyển ộng mà còn phụ thuộc
vào hướng chuyển ộng của chất lưu.
Trong lý thuyết chuyển ộng của chất lưu lý tưởng, ở thành các ống chứa chất lưu
ang chuyển ộng, vận tốc của chất lưu bằng 0 và vận tốc tăng dần khi ra xa biên.
Vì vậy, nếu chất lỏng chuyển ộng trong một ống hay kênh, vận tốc lớn nhất ạt
ược ở chính tâm tiết diện ngang ( iểm cách xa biên nhất). Chính những gợi ý này
giúp ta o áp suất chất lưu chuyển ộng trong ống.
2. Phương pháp o áp suất
2.1 Đo áp suất khí quyển
Áp suất khí quyển ược o bằng một thiết bị gọi là phong vũ biểu (Hình 6.1), có cấu tạo
và nguyên lý hoạt ộng như sau: Một ống thủy tinh chứa thủy ngân lộn ngược ược nhúng
vào một cốc thủy tinh ựng thủy ngân có mặt thoáng chịu tác dụng của áp suất khí quyển.
Thủy ngân trong cốc và trong ống hòa lẫn và cân bằng nhau ở trạng thái mà mặt trên của
thủy ngân trong ống ứng cách mặt thoáng của thủy ngân trong cốc một oạn bằng h. Với
iều kiện áp suất trong phần trống của ống thủy tinh coi như bằng 0, ta có áp suất khí
quyển bằng p0 = gh với ρ là khối lượng riêng của thuỷ ngân. Trên ống thủy tinh có chia lOMoARcPSD| 36006477
ộ sẵn, nhìn vào mức thủy ngân trong ống ta ọc ược ngay áp suất khí quyển tại thời iểm ó là bao nhiêu.
Ngoài ra chúng ta có thể quy ổi mmHg thành mH2O . Khi quy ổi sang áp suất ể lắp
cảm biến người ta cũng sử dụng ơn vị o này. 1 mH2O = 9800 Pa
2.2 Đo áp suất trong một bình khí.
Sự thay ổi ộ cao z trong một chất lỏng tĩnh tương ứng với P/ g, iều này cho
thấy cột chất lỏng có thể ược sử dụng ể o sự khác biệt về áp suất. Một thiết bị dựa trên
nguyên tắc này ược gọi là một áp kế ống, áp kế loại này thường ược sử dụng ể o sự thay
ổi áp suất nhỏ và trung bình. Một áp kế ống chủ yếu bao gồm một ống thủy tinh hoặc
nhựa hình chữ U chứa một hoặc nhiều chất lỏng như thủy ngân, nước, rượu, hoặc dầu. Để
giữ cho kích thước của áp kế không quá lớn, chất lỏng nặng như thủy ngân thường ược sử
dụng nếu chênh lệch áp suất cần o là lớn.
Hai cột chất lỏng trong ống có chiều cao chênh lệch là h và ang ở trong trạng
thái cân bằng tĩnh, một ầu ống tiếp xúc với khí quyển. Vì vậy, áp suất tại iểm 2 ược
xác ịnh trực tiếp từ biểu thức:
trong ó là mật ộ chất lỏng trong ống. Mặc dù diện tích thiết diện không ảnh hưởng
ến chiều cao h, tuy nhiên ống cần ược chọn ủ lớn (vài milimét) ể hiệu ứng mao dẫn có thể bỏ qua. lOMoARcPSD| 36006477
2.3 Đo áp suất bằng ống Pitot
Để o áp suất ộng của chất lưu ang chuyển dộng trong ống dẫn, người ta sử
dụng một thiết bị thông dụng là ống Pi-tô (do ông Pitot sáng tạo ra) có cấu tạo và
nguyên lý hoạt dộng như sau (Hình 2.3): Một ống hình thước thợ ược luồn ống dẫn,
sao cho một nửa ống thước thợ hở ược ặt song song với dòng chảy và tiết diện ngang
của miệng ống hở ối diện trực tiếp với dòng chảy. Đầu kia của ống thước thợ ở bên
ngòai ược gắn với một cảm biến áp lực ể o áp suất tổng cộng tác dụng vào tiết diện
ầu bên trong của ống. Để o ồng thời áp suất tĩnh, ngƣời ta lắp các cảm biến lực vào
thành ống Pitot song song với chiều dòng chảy, tức không chịu sự tác dụng của áp
suất ộng. Hai cảm biến lực này cho ta hai ại lượng áp suất tổng cộng pt (hay áp suất
tắc nghẽn) và áp suất tĩnh p0. Khi ó áp suất ộng (phụ thuộc vào vận tốc) pd = pt –
p0. Từ áp suất ộng này có thể xác ịnh vận tóc của dòng chảy. Để o chính xác áp suất
ộng, vị trí gắn cảm biến rất quan trọng. Vị trí o áp suất tổng phải là chỗ có vận tốc
lớn nhất và vuông góc với hướng dòng chảy. Chỗ gắn cảm biến áp lực tĩnh phải ảm
bảo trơn ể áp suất ộng không tác dụng lên cảm biến.
2.4 Một số cảm biến áp lực thông dụng
Các loại cảm biến áp lực có thể chia thành 3 loại: cơ, iện và quang. Cảm
biến áp lực cơ ơn giản nhất là ống chữ U sử dụng nguyên lý trọng lực. Ngoài ra
còn có các loại cảm biến sử dụng các phần tử àn hồi ể cảm nhận sự chuyển vị
hoặc biến dạng của phần tử dưới tác dung của áp lực rồi từ ó tính ra lực và áp lực.
Nguyên lý hoạt ộng của bộ cảm biến chuyển vị nêu trên là dùng áp lực ể làm
xoay kim chỉ thị, góc xoay tỷ lệ với áp suất. Kim chỉ thị sẽ chỉ trực tiếp giá trị của
áp suất. Đây là áp suất tuyệt ối. Dạng cảm biến biến dạng dựa trên nguyên lý như
sau : áp lực p1 cần o làm cho màng bị uốn và bị co giãn theo mặt trung bình.
Dùng là o biến dạng trên màng rồi từ ó xác ịnh áp lực tác dụng lên màng. Trong
trường hợp này o ược áp suất chênh lệch giữa áp suất cần o và áp suất gốc p2.
Nguyên tắc hoạt ộng của cảm biến dây cộng hưởng như sau : sử dụng một dây bị
kéo căng ặt trong một ống kim loại một ầu chịu sự tác dụng của áp suất cần o. Sử lOMoARcPSD| 36006477
dụng một bộ gây rung cho dây (như dây àn) ể o dao ộng của dây. Khi áp lực tác
dụng vào một ầu nối của dây làm sức căng trong dây thay ổi và do ó tần số dao
ộng của dây cũng thay ổi. Đo sự thay ổi tần số này ta có thể xác ịnh ngược lại áp
lực tác dụng vào ầu dây.
Bộ cảm biến cơ iện trong hình trên hoạt ộng như sau: Dưới tác dụng của áp suất, lò
xo bị kéo nén theo và kim sẽ bị quay theo chuyển vị của lò xo. Kim chỉ thị sẽ di
chuyển trên một iện trở làm thay ổi iện trở của một mạch. Từ sự thay ổi iện trở và do
ó dòng iện hay iện áp trong mạch ta có thể xác ịnh ược chuyển vị của lò xo và từ ó xác ịnh ược áp suất.
Bộ cảm biến iện thuần túy là bộ cảm biến iện dung có cấu tạo và nguyên lý
hoạt ộng như sau : áp suất tác dụng trực tiếp vào một mặt phẳng của tụ iện làm
cho khoảng cách giữ hai cực của tụ iện thay ổi và do ó iện dung thay ổi. Sự
thay ổi iện dung làm dòng iện trong mạch thay ổi. Đo sự thay ổi dòng iện này
ta có thể suy ngược lại chuyển dịch của cực tụ iện và từ ó xác ịnh ược áp suất.
Cảm biến áp suất áp iện hoạt ộng tương tự ầu o lực áp iện. Khi áp suất tác dụng
lên bề mặt của một lá gốm áp iện, thì trên hai mặt ối diện xuất hiện một iện áp tỷ
lệ với áp lực. Đo iện áp này ta có thể suy ra áp lực tác dụng.
3. Dòng chảy và o dòng chảy
3.1 Các ặc trưng của dòng chảy lOMoARcPSD| 36006477 lOMoARcPSD| 36006477
3.2 Một số phương pháp o dòng chảy lOMoARcPSD| 36006477 lOMoARcPSD| 36006477 lOMoARcPSD| 36006477 4. Đo sóng biển
Sóng là một hiện tượng thường xuyên trên biển, nó ược gây nên bởi nhiều lý
do khác nhau, nhưng phổ biến nhất là sóng gây nên do gió. Sóng gió ược tạo nên
và lan truyền trên bề mặt nước biển và là sự dao ộng của mặt nước biển. Cũng như
các sóng khác, sóng biển ược ặc trưng bởi các ại lượng : chiều cao sóng, bước
sóng, chu kỳ (hay tần số) sóng, hướng truyền sóng,..( Hình 4.1)
Đo sóng là việc xác ịnh các ặc trưng cơ bản của sóng như chiều cao sóng, chu
kỳ sóng, hướng sóng. Việc o sóng ược thực hiện bằng nhiều cách, trong ó có hai cách phổ biến sau ây:
Đo bằng thiết bị cố ịnh tại iểm trên áy biển: Thực chất là o áp suất của cột
nước bằng một cảm biến áp lực gắn trong thiết bị. Áp lực này chính là áp suất tĩnh
trong chất lỏng ược xác ịnh bằng ộ sâu hay chiều cao từ cảm biến ến mặt thóang. Nếu
tại vị trí o có sóng, thì mực nước sẽ thay ổi do sóng truyền qua nó
và giá trị áp suất o ược ở cảm biến sẽ mô tả quá trình sóng xảy ra tại vị trí o. Cụ
thể, nếu tín hiệu là iều hòa thì, giá trị cực ại là tương ứng với ỉnh sóng và giá trị
cực tiểu – áy sóng và khoảng thời gian giữa hai giá trị này chính là nửa chu kỳ
sóng. Trong trường hợp tín hiệu không iều hòa có thể sử dụng phân tích Phurie ể
xác ịnh các thành phần sóng khác nhau. Tuy vậy, nếu chỉ sử dụng một cảm biến
ơn tại một vị trí cố ịnh chúng ta không xác ịnh ược bước sóng và hướng truyền
sóng. Để khắc xác ịnh các tham số này, người ta sử dụng một hệ nhiều cảm biến
lắp theo trên một ường tròn cố ịnh, gọi là một mảng o sóng (Hình 6.7). Các tín lOMoARcPSD| 36006477
hiệu thu ược ở các cảm biến này cho phép ta xác ịnh ược ầy ủ các thông số sóng.
Phương pháp o này chỉ có thể thực hiện ược ở vùng biển nông, ể o sóng ở vùng
biển sâu người ta sử phương pháp ược trình bày dưới ây.
Đo bằng thiết bị gắn với phao nổi trên mặt nước: Nguyên lý o của phương
pháp này là o dịch chuyển (hoặc gia tốc) thẳng ứng của phao dưới tác dụng của sóng.
Thực chất là o sự thay ổi mực nứớc biển khi có sóng. Hiển nhiên phao ược ịnh vị bằng
một dây neo với áy biển. Khi mực nước biển tại vị trí neo phao thay ổi lực căng trong
dây neo cũng thay ổi và do ó làm cho phao dao ộng theo chiều thẳng ứng. Gắn ầu o gia
tốc vào phao ể o gia tốc thẳng ứng của phao ta sẽ ược tín hiệu mô tả gia tốc của mặt
sóng. Từ ó xác ịnh biểu ồ của chiều cao sóng tại vị trí o. Tuy nhiên, cũng như trường
hợp trên, nếu chỉ sử dụng một ầu o chuyển ộng thẳng ứng của phao, chúng ta không thể
o ược hướng sóng. Vì vậy, ngƣời ta ã lắp thêm vào phao hai ầu o gia tốc theo hai
hướng nằm ngang (Bắc-Nam và Đông-Tây). Khi ó chúng ta sẽ ược dịch chuyển của
phao trong không gian và hơn nữa chúng ta không chỉ xác ịnh ược hướng sóng mà còn
xác ịnh ược cả năng lượng của sóng. Để tận dụng phao o, người ta còn có thể lắp thêm
ống hồ o gió ể làm căn cứ xác ịnh các tham số sóng, gió. Việc thu thập và xử lý số liệu
o của các ầu o ược thực hiện một cách tự ộng bằng các phần mềm cài sẵn trong thiết bị.
5.Một số bài toán tính thời gian nước chảy Phương pháp gải chung : - Chọn gốc tọa ộ
-Với biên dạng bất kỳ luôn ược diện tích mặt cắt ngang ∯𝑆 ⅆ𝐒
- Diện tích của vòi 𝐴 = 𝜋𝐷2/4
- Phương trình năng lương ( Phương trình Becnuli ) 𝑃 𝑣12 𝑃 𝑣22
𝜌 + 2 + 𝑔𝑧1 = 𝜌 + 2 + 𝑔𝑧2 + ℎ𝐿𝑔
- Tìm vận tốc nước với mực nước bất kỳ bằng phương trình năng lượng
- Lưu lượng nước chảy: Q= 𝑣 × A
- Lượng nước chảy ra : ∆𝑉 = 𝑄 × ∆𝑡
- Lượng nước mất i : ∆𝑉 = S × ∆𝑧
- Giải phương trình thu ược biểu thức của thời gian nước chảy phụ thuộc vào ộ cao cột nước lOMoARcPSD| 36006477
5.1 Giải bài toán bằng ại số
5.1.1 Bể nước dạng hình hộp
Bể nước có kích thước a× 𝑏 ×c
Vòi nước có ường kính d
Diện tích của vòi 𝐴 = 𝜋𝑑2 4
Diện tích mặt cắt ngang của bể S = a × 𝑏
Bỏ qua sức căng bề mặt và tổn thất trong ường ống từ phương trình năng lượng: 𝑃 𝑣12 𝑃 𝑣22
𝜌 + 2 + 𝑔𝑧1 = 𝜌 + 2 + 𝑔𝑧2 + ℎ𝐿𝑔
Tổn thất năng lượng dọc ường ống : ℎ𝐿 = 0 Áp suất : P1 = P2
Vận tốc ban ầu 𝑣1 = 0
Lấy mốc tại tâm vòi : 𝑧2 = 0
Vận tốc nước chảy tại vòi tại vị trí bất kỳ:
𝑣2 = √2 × 𝑔 × 𝑧1 lOMoARcPSD| 36006477 Lưu lương nước chảy : 𝜋𝑑 2 Q = 𝑣 × 𝐴 =
× √ 2 × 𝑔 × 𝑧 4
Thể tích nước chảy ược trong khoảng thời gian rất nhỏ ta ược: ∆𝑉 = 𝑄 × ∆𝑡
Mà lượng nước mà bể nước mất i là: ∆𝑉 = S× ∆𝑧
Từ ó suy ra : 𝑄 × ∆𝑡 = S× ∆𝑧 𝜋𝑑2
× √2 × 𝑔 × 𝑧 × ⅆ𝑡 = a × 𝑏 × ⅆ𝑧 4
 ⅆ𝑡 = 𝜋𝑑2 𝑎 ×𝑏 × ⅆ𝑧 4 ×√2×𝑔×𝑧
 ∫ ⅆ𝑡 = ∫𝑧𝑧2 2 𝑎 ×𝑏 × ⅆ𝑧 𝜋𝑑 1 4 × √ 2×𝑔×𝑧
 t = √𝜋𝑑2×𝑎 ×𝑏2 ) 4 ×√𝑔 Biểu diễn z theo t: −𝐴 2 𝑧2 = ( × × 𝑡 + √𝑧1 ) 𝑆 2
5.1.2 Bể nước dạng hình trụ ứng lOMoARcPSD| 36006477
Do diện tích mặt cắt ngang không ổi nên cách làm tương tự bài 5.1.1 Kích
thước của trụ : 𝜋 × 𝐷2 × ℎ 4
Thời gian nước chảy là:
 t = √2 × 𝑆 × ( ) 𝑔 𝐴  t = lOMoARcPSD| 36006477
5.1.3 B ể nướ c d ạ ng hình tr ụ n ằ m ngang Kích thướ 𝐷 2 c c ủ a tr ụ : 𝜋× ×𝐿 4
Vòi nước có ường kính : d , vông góc với mặt phẳng nằm ngang
Diện tích của vòi 𝐴 = 𝜋𝑑2 4
Diện tích mặt cắt ngang của bể thay ổi theo thời gian
Độ rộng của hình tròn 𝑘 = 2 × √ 𝑟 2 − (𝑧−𝑟 ) 2 =2×√2×𝑟 ×𝑧 −𝑧 2
Diện tích mặt cắt ngang của trụ là :
S= 𝑘 × 𝐿 = 2𝐿 × √2𝑟𝑧 − 𝑧2 lOMoARcPSD| 36006477
Bỏ qua sức căng bề mặt và tổn thất trong ường ống từ phương trình năng lượng: 𝑃 𝑣12 𝑃 𝑣22
𝜌 + 2 + 𝑔𝑧1 = 𝜌 + 2 + 𝑔𝑧2 + ℎ𝐿𝑔
Tổn thất năng lượng dọc ường ống : ℎ𝐿 = 0 Áp suất : P1 = P2
Vận tốc ban ầu 𝑣1 = 0
Lấy mốc tại tâm vòi : 𝑧2 = 0
Vận tốc nước chảy tại vòi tại vị trí bất kỳ:
𝑣2 = √2 × 𝑔 × 𝑧1 Lưu lương nước chảy : 𝜋𝑑 2 Q = 𝑣 × 𝐴 =
× √ 2 × 𝑔 × 𝑧 4
Thể tích nước chảy ược trong khoảng thời gian rất nhỏ ta ược: ∆𝑉 = 𝑄 × ∆𝑡
Mà lượng nước mà bể nước mất i là:
∆𝑉 = 2𝐿 × √2𝑟𝑧 − 𝑧2 × ∆𝑧
Từ ó suy ra : 𝑄 × ∆𝑡 = S× ∆𝑧 𝜋ⅆ2
× √2 × 𝑔 × 𝑧 × ⅆ𝑡 = 2𝐿 × √2𝑟𝑧 − 𝑧2 × ⅆ𝑧 4
 ⅆ𝑡 = 𝜋𝑑2𝐿×2 √2𝑟𝑧 −𝑧2 × ⅆ𝑧 4 ×√2×𝑔×𝑧 𝜋𝑑
 ∫ ⅆ𝑡 = ∫1 𝑧𝑧2 2𝐿×× √2 √22𝑟𝑧 −𝑧×𝑔×𝑧2 × ⅆ𝑧 4 lOMoARcPSD| 36006477 Đặt u = du= − 1 × ⅆ𝑧 2√2𝑟− 𝑧 dz = × du  t =
−2𝑡2 ⅆ𝑡  t
=3 √𝑔 × 𝜋𝑑𝐿 2 × [ (2𝑟 − 𝑧2) − (2𝑟 − 𝑧1) ]
5.2 Giải bài toán bằng phương pháp xấp xỉ Euler
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0)′ × ∆𝑥
V(z) = V(z0) + 𝑉(𝑧0)′ × ∆𝑡
V = 𝑉0 + 𝑄 × dt Đặt e = 𝑒0 + 𝑉𝑆
Tại thời iểm ban ầu 𝑉0 = 0 ; 𝑒0 = 0 ; 𝑡 = 0;  = ∆𝑉 ∆𝑉
1 = √2𝑔(𝑧 + ℎ) × 𝐴 × ∆𝑡 và 𝑒1 𝑆1  = ∆𝑉 = 2𝑔 × 𝐴 × ∆𝑡 và 𝑒2 ∆𝑉𝑆2  = ∆𝑉 = 2𝑔 × 𝐴 × ∆𝑡 và 𝑒3 ∆𝑉𝑆3
 ………………………
 V = ∆𝑉1 + ∆𝑉2 + ∆𝑉3 + ⋯ ∆𝑉𝑛 lOMoARcPSD| 36006477
 t = ∆𝑡 × 𝑛 ;
6.Thực nghiệm kiểm tra kết quả
Cho trụ tròn có ường kính trong D = 0.082 m , chiều dài của vòi L = 0.025 m , ường kính
trong của vòi nước d = 0.006 m , ℎ1 = 0.137, ℎ2 = 𝑑2 = 0.003. Biết gia tốc trong trường
là 9.78 𝑚⁄𝑠2 , hệ số ma sát trong lòng ống là 𝑓 = 0.03 ,tính thời gian nước chảy từ ℎ1 đế𝑛 ℎ2 . lOMoARcPSD| 36006477
Từ phương trình năng lượng : 𝑃 𝑣12 𝑃 𝑣22
𝜌 + 2 + 𝑔𝑧1 = 𝜌 + 2 + 𝑔𝑧2 + ℎ𝐿𝑔 𝐿×𝑣2 𝑣2 ℎ𝐿 = 𝑓 × 𝑑×2𝑔 ≈ 0.125 × 2 𝑔 ≈ 0.125𝑧
Vận tốc của nước ở vị trí bất kì là: v =
6.1 Giải bằng phương pháp ại số
Ta thu ược kết quả 2 4 t = √ × 𝐷 × = 28.476 (s) 1.75𝑔 𝑑
6.2 Giải bằng phương pháp xấp xỉ Euler Kết
quả thu ược bằng Matlab như sau: lOMoARcPSD| 36006477
Đồ thị thể tích nước chảy ược thay ổi theo thời gian có dạnh Parabol: lOMoARcPSD| 36006477
6.3 Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm
Tạo một lọ nhựa có kích thước như bài toán, cắt và dán keo lại. Kẻ sẵn 3
vạch như bài toán. Bịt vòi nước bằng nút cao su hoặc bằng gỗ. Đổ ầy
nước tới vạch chỉ ịnh , bắt ầu mở nước ồng thời bấn ồng hồ. Thu ược
kết qua như sau: Lần 1 𝑡1 = 28.57 𝑔𝑖â𝑦 Lần 2 𝑡2 = 28.68 𝑔𝑖â𝑦
Lần 3 𝑡3 = 28.47 𝑔𝑖â𝑦
𝑡𝑇𝐵 = 𝑡1+𝑡32+𝑡3 = 28.5733 giây
Sai số giữa kết quả mô phỏng Matlab với thực tế
𝑡𝑇𝐵 − 𝑡𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏 ∆= × 100% = 0.443% 𝑡𝑇𝐵
Sai số giữa kết quả tính toán ại số với thực tế 𝑡𝑇𝐵 − 𝑡 ∆= × 100% = 0.3405% 𝑡𝑇𝐵 lOMoARcPSD| 36006477