-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Tích phân - Môn đại số tuyến tính | Học viện nông nghiệp
Học viện nông nghiệp với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp các bạn định hướng và học tập dễ dàng hơn. Mời bạn đọc đón xem. Chúc bạn ôn luyện thật tốt và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.
Đại số tuyến tính (HVNG) 5 tài liệu
Học viện Nông nghiệp Việt Nam 392 tài liệu
Tích phân - Môn đại số tuyến tính | Học viện nông nghiệp
Học viện nông nghiệp với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp các bạn định hướng và học tập dễ dàng hơn. Mời bạn đọc đón xem. Chúc bạn ôn luyện thật tốt và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới.
Môn: Đại số tuyến tính (HVNG) 5 tài liệu
Trường: Học viện Nông nghiệp Việt Nam 392 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Học viện Nông nghiệp Việt Nam
Preview text:
TÍCH PHÂN f x 0; 1 f Câu 6. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn thoả mãn 1 0, 1 1 1 1
f ' x 2 dx 7 2 d x f x x f x d . x 3 0 và 0 . Tính tích phân 0 7 7 . . A. 5 B. 1. C. 4 D. 4. f x 0; 1 f Câu 6a. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn thoả mãn 1 3, 1 1 7 1 f x 2 4 ' dx 4
x f x dx f x d . x 11 11 0 và 0 . Tính tích phân 0 35 65 23 9 . . . . A. 11 B. 21 C. 7 D. 4 f x 0; 1 f Câu 6b. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn thoả mãn 1 3, 1 1 7 f x 2 4 ' dx 4
x f x dx 11 11
f 1 f 2 . 0 và 0 . Tính giá trị A. 19. B. 19. C. 17. D. 17. f x 0; f Câu 6c. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 thoả mãn 1 1, 1 1 2 2 f x 2 9 ' dx
f x dx
f x ln x d . x 5 5 0 và 0 . Tính tích phân 1 15 2 ln 2 . 15 4ln 2 . 1 ln 2 . 1 ln 2 . A. 16 B. 16 C. 16 D. 16
Lời giải và phân tích Câu 6: Lời giải:
u f x
du f ' x dx 1 1 1 2 3x f x 3 dx x
. f x 3
x f ' x dx 2 3 0 Đặt dv 3 x dx v x , khi đó 0 0 1 1 1 f 1 3
x f ' x dx 3
x f ' x dx 1. Ta có 0 suy ra 0 2 b b b f
x g x 2 x f x 2 d dx g x dx.
Áp dụng bất đẳng thức tích phân a a a f x kg x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
với k là hằng số. 2 1 1 1 1 7 1 ' d d ' 2 3 6 d 7 x x f x x x x f x x 1 Ta có 7 0 0 0 0 . f ' 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x kx
với k là hằng số. 1 1 3 x f ' x dx 1 6 kx dx 1 Mà 0 hay 0 suy ra k 7. 7 f x 7 4 x C
f x 4 1 x f ' x 3 f 1 Vậy 7x nên 4 mà 0 nên 4 , suy ra 1 f x 7 dx . 5 0 Câu 6a: 1 1 1 f '
x 2dx 7 2 d x f x x f 1 0 , 3
Phân tích: Thay các giả thiết 0 , 0 thành 1 1 7 f x 2 4 ' dx 4
x f x dx f 1 3 , 11 11 0 , 0 . Lời giải: d
u f ' x dx u f x 1 1 1 5 1 1 7 4 4 5 5 d d x v x x
x f x dx x . f x x f ' x v dx Đặt 5 , khi đó 5 5 11 0 0 0 1 2 5
x f ' xdx 11 0 1 1 10 x dx Ta có 11 0 nên 1 1 1 f ' x 2 5
dx 4 x f ' x 10 dx 4 x dx 0 0 0 0 1 f '
x2x 2 5 dx 0
f ' x 5 2x 0 6 f x x 10 C C 3 3 f (do 1 0 ) 1 1 f x 6 x 10 23 dx d x . 3 3 7 0 0 Câu 6b: 1 1 1
f ' x 2 dx 7 2 d x f x x f 1 0, 3
Phân tích: Thay các giả thiết 0 , 0 thành 1 1 7 f x 2 4 ' dx 4
x f x dx f 1 3 , 11 11 0 , 0
. Thay yêu cầu bài toán thành tính giá trị f 1 f 2 . Lời giải:
du f ' x dx u f x 1 1 1 5 1 1 7 4 4 5 5 d d x v x x
x f x dx x . f x x f ' x v dx Đặt 5 , khi đó 5 5 11 0 0 0 1 2 5
x f ' xdx 11 0 1 1 10 x dx Ta có 11 0 nên 1 1 1 f ' x 2 5
dx 4 x f ' x 10 dx 4 x dx 0 0 0 0 1
f ' x 2x 2 5 dx 0
f ' x 5 2x 0 6 f x x 10 C C 3 3 f (do 1 0 ) f 6 x 10 x
f 1 f 2 1 18 Do đó 3 3 . Vậy 19 . Câu 6c: 1 1 1 f '
x 2dx 7 2 d x f x x f 1 0, 3
Phân tích: Thay các giả thiết 0 , 0 thành 1 1 2 f x 2 9 ' dx
f x dx f 1 1 , 5 5 0 , 0
. Thay yêu cầu bài toán thành tính tích phân 1
f x ln x d . x 0 Lời giải: Đặt 2
t x x t dx 2 d
t t. Đổi cận x 0 t 0 ; x 1 t 1 . 1 1 1 1
2 2t.f tdt t
. f t 1 2 2
t . f 't dt f 1 2
t . f ' t 2 dt 1
t . f 't dt 0 Ta có: 5 0 0 0 0 1 3 1 3 2
t .f ' t dt 2
x . f ' x dx . 1 5 5 0 hay 0 1 1 1 f x2 9 ' dx 2 4 x dx . 3 Mặt khác ta có 5 5 0 và 0 1 1 1 1
f ' x 3x 2 2 dx f ' x 2 2
dx 6 x . f ' x 4
dx 9 x dx 9 3 1 6. 9. 0 . Xét tích phân 0 0 0 0 5 5 5
f x x 2 2 ' 3 0 , x 0; f x 2 ' 3 x . Mà 1 . Vậy f x 3
x C C 0 f 1 1 f x 3 x . Do đó (do ). Vậy dx x du u ln x 3 4
dv x dx x v Đặt 4 , khi đó 2 2 2 2
x f x 3 x x x 1 4 x x x 1 3 x x 15 ln d .ln d .ln d 4ln 2 . 4 4 16 1 1 1 1 NHỊ THỨC NEWTON 1 n 7 x
Câu 10. Tìm hệ số của 26
x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x , biết rằng: 1 2 n 20 C C ... C 2 1. 2 n 1 2 n 1 2 n 1 A. 210. B. 120. C. 151200. D. 252. 1 n 7 x
Câu 10a. Tìm hệ số của 48
x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x , biết rằng: 1 2 n 20 C C ... C 2 1. 2 n 1 2 n 1 2 n 1 A. 54. B. 45. C. 210. D. 120. x2 2 3 n
Câu 10b. Tìm hệ số của 7
x trong khai triển thành đa thức của , trong đó n là 1 3 5 2n 1
số nguyên dương thoả mãn C C C ... C 1024. 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 A. 414720. B. 2449440. C. 2099520. D. 1088640. 1 n 5 x
Câu 10c. Tìm hệ số của 8
x trong khai triển nhị thức Newton của 3 x , biết rằng: n 1 n C C 7 n 3 n 4 n 3
(n là số nguyên dương, x 0 ). A. 495. B. 924. C. 66. D. 220.
Lời giải và phân tích Câu 10: Lời giải: n n n
Xét khai triển 1 x 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 C C x C x ... C x . 2n1 2n1 2n1 2n1 0 1 2 2 n 1 2 n 1 C C C ... C 2 , 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 Chọn x 1 ta được k 2 n1 k Áp dụng công thức 2 C C n 1 2 n 1 , ta có: 1 0 1 2 n n 2 1 0 2n 1 C C C ... C C ... C C C 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 0 1 2 C C C ... n C n n n n 2 n 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 n 2 C C C ...C 2 n 2n1 2n1 2n1 2n1 1 2 n 2 C C ...C 2 n n n n 1 2 1 2 1 2 1
Từ giả thiết ta có: 2n 20 2 1 2 1 n 1 0 n 10 10 1 1 k k k k k x x C x x C x 4 4 10 10 7 7 4 7 11 40 10 10 Khi đó x x k 0 k 0 k 11k 40
Số hạng tổng quát trong khai triển là 10 C x k Hệ số của 26
x trong khai triển là C10 với k thoả mãn 11k 40 26 k 6. 6 Vậy hệ số của 26
x trong khai triển là C 210. 10 Câu 10a:
Phân tích: Thay đổi yêu cầu bài toán từ tìm hệ số của 26
x thành tìm hệ số của 48 x . Lời giải: n n n
Xét khai triển 1 x 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 C C x C x ... C x . 2n1 2n1 2n1 2n1 0 1 2 2 n 1 2 n 1 C C C
...C 2 , 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 Chọn x 1 ta được k 2 n1 k Áp dụng công thức 2 C C n 1 2 n 1 , ta có: 1 0 1 2 n n 2 1 0 2n 1 C C C C C C C C n n n ... n n ... n n n 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 C C C C n n n ... n n 2 n 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 n 2 C C C ...C 2 n 2n1 2n1 2n1 2n1 1 2 n 2 C C ...C 2 n 1 2n 1 2n 1 2n 1
Từ giả thiết ta có: 2n 20 2 1 2 1 n 1 0 n 10 10 1 1 k k k k k x x C x x C x 4 4 10 10 7 7 4 7 11 40 10 10 Khi đó x x k 0 k 0 k 11k 40
Số hạng tổng quát trong khai triển là 10 C x k Hệ số của 48
x trong khai triển là C10 với k thoả mãn 11k 40 48 k 8. 8 Vậy hệ số của 48
x trong khai triển là C 4 5. 10 Câu 10b:
Phân tích: Thay đổi yêu cầu bài toán từ tìm hệ số của 26
x thành tìm hệ số của 7 x , biểu 1 n 7 x
2 3x2n 1 2 n 20 thức 4 x thành và giả thiết C C ... C 2 1 2n 1 2n 1 2n 1 thành 1 3 5 2n 1 C C C ... C 1024. 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 Lời giải: 1 x 2n 1 0 1 2 2 2n 1 2n 1 Xét khai triển C C x C x ... C x . 2n1 2n1 2n1 2n1 0 1 2 2 n 1 2 n 1 C C C C n n n ... n 2 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Chọn x 1 ta được 0 1 2 2n 1
Chọn x 1 ta được C C C ... C 0 2n1 2n1 2n1 2n1 0 2 4 2 n 1 3 5 2 n 1 C C C ... C C C C ... 2 C n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n1 1 2 0 1 2 C C C ... n C 2 n 2n1 2n1 2n1 2n1 2 1 Từ suy ra 0 1 2 n 2 C C C ... C 2 n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 Theo giả thiết ta có 2 2 n 1 024 n 5 . 10 10
2 3x 2n
2 3x 10 k k 10
1 C 2 k 3x k k k k 10 1 3 C 2 k k 10 10 x Từ đó suy ra k 0 k 0 k k k k k
Số hạng tổng quát trong khai triển là 1 10 3 C 2 x 10 17 7 7 3 7 7 3 Vậy hệ số của 7
x trong khai triển là
3 C 2 C 3 2 2099520. 10 10 Câu 10c:
Phân tích: Thay đổi yêu cầu bài toán từ tìm hệ số của 26
x thành tìm hệ số của 8 x , biểu 1 n 1 n 7 x 5 x 1 2 n 20 thức 4 x thành 3 x
và giả thiết C C ... C 2 1 2n 1 2n 1 2n 1 thành n 1 n C C 7 n 3 n 4 n 3 . Lời giải:
n 4! n3! 7 n 3 n 1 n C 3 ! n C 7 n 3 1 ! 3!n! n 4 n 3 Ta có:
n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 7 n 3 6 6
n 4 n 2 n 2 n 1 7 6 6
n 4 n 2 n 2 n 1 42 3n 6 4 2 n 1 2 12 12 1 n 5 12 5 k k 5 x 3 2 k x x C 3 x 2 x 12 Khi đó 3 x = k 0 12 5 k 60 11 C k 3 x k k 2 k 2 12 x 1 C 2 x
Số hạng tổng quát trong khai triển là
60 11k 8 60 11k 1 6 k 4. Hệ số chứa 8 x thì 2 4 Vậy hệ số của 8
x trong khai triển là C 4 95. 12 ĐỒ THỊ
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2
x m cắt đồ 2x 4 y C thị hàm số x 1
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4S 15 I AB , với I là
giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. A. m 5. B. m 5. C. m 5. D. m 0.
Câu 4a. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ 2x 1 y C thị hàm số x 1
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB vuông
tại O , với O là gốc toạ độ. 1 m . A. m 2. B. 2 C. m 0 . D. m 1 .
Câu 4b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y x m 2 cắt 2 x y C đồ thị hàm số x 1
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất. A. m 3. B. m 1. C. m 1. D. m 3.
Câu 4c. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3x m cắt đồ 2x 1 y C thị hàm số x 1
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác
OAB thuộc đường thẳng : x 2y 2 0
, với O là gốc toạ độ. 1 11 m . m . A. m 2. B. m 0 . C. 5 D. 5
Lời giải và phân tích Câu 4: Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x 4 2x m x 1 2 x 1
2x 4 2x m x 1 2x m 4 x m 4 0. * C Để d cắt
tai hai điểm phân biệt
* có hai nghiệm phân biệt m 4 2
m 2m 5 0 . m 4 4 m x x 1 2 2 4 m x x 1 2 Gọi x , *
1 x 2 là hai nghiệm của
. Theo định lí Vi-et, ta có 2 .
A x ; 2x m , B x ; 2 1 1 2 2x Giả sử m . m 4S 1 5 2 A . B d I AB AB IAB , 15 2 . 15
Yêu cầu bài toán tương đương với 5 4AB .m 1125
20 x x 2 m 1125
4 x x 2 2 2 2 2 4x x m 225 1 2 1 2 1 2 2 m 2 2
16 m 225 m 25 m 5 (thoả mãn). Câu 4a: 2x 4 y
Phân tích: Thay đổi đường thẳng d : y
2x m thành d : y x m , hàm số x 1 2x 1 y thành
x 1 và giả thiết 4S 15 I AB
thành tam giác OAB vuông tại O . Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x
m x 1 2x 1x m x 1 2
x m 3 x m 0 . * x 1
Để d cắt C tai hai điểm phân biệt
* có hai nghiệm phân biệt 2 m
2m 5 0,m C Do đó d luôn cắt
tại hai điểm phân biệt. x x 3 1 2 m x x 1 Gọi x , * m
1 x 2 là hai nghiệm của
. Theo định lí Vi-et, ta có 1 2 .
A x ; x m , B x ; 1 1 2 2x m Giả sử . O . A OB 0
x x x m x m 0 1 2 1 2
Yêu cầu bài toán tương đương với
2x x m x x 2 m 0
m m m 2 2 1 3 m 0 m 2 0 m 2. 1 2 1 2 Câu 4b:
Phân tích: Thay đổi đường thẳng d : y 2x m thành d : y x m 2 , hàm số 2x 4 2x y y x 1 thành
x 1 và giả thiết 4S 15 I AB
thành độ dài AB ngắn nhất. Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x x m 2 x 1 2 x 1 2x
x m 2 x x m 1 x m 2 0. * 1 C Ta có: 2
m 2m 9 0, m
nên d luôn cắt
tại hai điểm phân biệt.
x x m 1 1 2 Gọi x , x x m 2
1 x 2 là hai nghiệm của
* . Theo định lí Vi-et, ta có 1 2 .
A x ; x m 2 , B x ; x m 2 C 1 1 2 2 Giả sử
là toạ độ giao điểm của d và . Ta có: AB 2
x x 2 2 x x 2 8x x 2
m 1 2 8 m 2 2 m 1 2 2 16 1 6. 2 1 1 2 1 2 Dấu " "
xảy ra khi và chỉ khi m 1 . Câu 4c:
Phân tích: Thay đổi đường thẳng d : y 2x m thành d : y 3x m , hàm số 2x 4 2x 1 y y x 1 thành
x 1 và giả thiết 4S 15 IAB
thành trọng tâm tam giác OAB
thuộc đường thẳng : x 2 y 2 0 . Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x 1 3x m x 1 2x1 3xm x 1 2
3x 1 m x m 1 0 . * x 1
Để d cắt C tai hai điểm phân biệt
* có hai nghiệm phân biệt m 1 2
m 10m 11 0 m 11 . 1 m x x 1 2 3 m 1 * x x 1 2 Gọi x ,
1 x 2 là hai nghiệm của
. Theo định lí Vi-et, ta có 3 .
x x 3 x x 2m 1 2 1 2 G ; Giả sử
A x ; 3x m , B x ; 3 3 3 1 1 2 2 x m . Suy ra . x x
3 x x 2m 1 2 1 2 G 2. 2 0
Yêu cầu bài toán tương đương với 3 3 1 m m 1 2 m 11 2. 2 0 m 9 3 5 (thoả mãn).