Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
* Cách làm bài toán như sau:
+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m
+ Một số bất đẳng thức thường dùng: - Với mọi A≥0:A2≥0;A≥0
- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a+b≥2ab
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá
trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham
số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x12+x22+x1x2 Lời giải: Ta có:
∆' = b'2 - ac = (m + 1)2 - (m2 - m + 1) = m2 - 2m + 1 - m2 + m - 1 = -m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0
Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi- ét:
{x1+x2=−ba=−2(m+1)x1x2=m2−m+1 Có
A=x12+x22+x1x2=(x1+x2)2−2x1x2+x1x2=(x1+x2)2−x1x2
A = [-2 (m + 1)]2 - (m2 - m + 1) A = 4 (m + 1)2 - m2 + m - 1 A = 4m2 + 8m + 4 - m2 + m - 1 A = 3m2 + 9m + 3 A = (m2 + 3m + 1) Có
m2+3m+1=m2+2.32.m+94−94+1=(m+32)2−54
(m+32)2≥0∀m<0⇔(m+32)2−54≥−54∀m<0
⇔3[(m+32)2−54]≥−154∀m<0 Dấu “=” xảy ra ⇔m+32=0⇔m=−32(tm) Vậy min A=−154⇔m=−32
Bài 2: Cho phương trình x2−2(m+4)x+m2−8=0 (x là
ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức B=x1+x2−3x1x2 đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Ta có
Δ′=b′2−ac=(m+4)2−(m2−8)=m2+8m+16−m2+8=8m+24
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔8m+24>0⇔m>−3
Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
{x1+x2=−ba=2(m+4)x1x2=ca=m2−8
Có B = x1 + x2 - 3x1x2 = 2 (m + 4) - 3 (m2 - 8)
=−3m2+2m+32=−3(m2+2.13.m+19)+973=−3(m+13)2+973
(m+13)2≥0∀m>−3⇔−3(m+13)2≤0∀m>−3
⇔−3(m+13)2+973≤973∀m>−3 Dấu “=” xảy ra ⇔m+13=0⇔m=−13 Vậy max B=973⇔m=−13
Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M = |x1 - x2|
Có ∆' = (m + 1)2 - (m - 4) = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5
=(m2+2.32.m+94)+114=(m+32)2+114>0∀m
Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi- ét:
{x1+x2=−ba=2(m+1)x1x2=ca=m−4 Có
M=|x1−x2|⇒M2=(|x1−x2|)2=x12+x22−2x1x2
M2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = [2(m + 1)]2 - 4 (m - 4) = 4(m2 + 2m + 1) - 4m + 16 = 4m2 + 8m + 4 - 4m + 16
= 4m2 + 4m + 20 = 4 (m2 + m + 5) Có
m2+m+5=(m2+2.12.m+14)−14+5=(m+12)2+194
(m+12)2≥0∀m⇔(m+12)2+194≥194∀m⇔4[(m+12)2+194]≥19∀m M=|x1−x2|⇒M≥19
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m+12=0⇔m=−12 Vậy min M=19⇔m=−12
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 (m tham số) a, Tìm m để biểu thức
A=x12+x22−x1−x2 đạt giá trị nhỏ nhất b, Tìm m để biểu thức
C=x12+x22−x1x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho phương trình x2 + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức
A=x12+x22−4x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho phương trình x2 - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức
A=x12x2+x1x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho phương trình x2 - 2 (m + 4)x + m2 - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số) a, Tìm m để biểu thức
A=x12+x22−x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất b, Tìm m để biểu thức
B=x1+x2−3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Cho phương trình x2 - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=2x1x2+3x12+x22+2(x1x2+1)
Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2x2 - 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|
Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức
B=x1x2−x12−x22 đạt giá trị lớn nhất