Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1. Khái niệm
- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức
A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị
của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức
A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên. 2. Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I. Dạng 1: Tam thức bậc hai
Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu)
cộng (hoặc trừ) đi một số tự do. Tổng quát:
 d - (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
 (a ± b)2± c ≥ ± c Ta tìm được giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 - 8x - x2 Lời giải Ta có: B = 6 - 8x - x2 B = - (x2 + 8x) + 6 B = - (x2 + 8x + 16) + 6 + 16 B = - (x + 4)2 + 22
Vì (x + 4)2 ≥ 0 với mọi x
⇒ - (x + 4)2 ≤ 0 với mọi x
⇒ - (x + 4)2 + 22 ≤ 22 với mọi x ⇒ B ≤ 22 với mọi x
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10 Lời giải C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2 . 2x . 2 + 4 + 6 = (2x + 2)2 + 6
Với mọi x ta có: (2x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (2x + 2)2 + 6 ≥ 6 ⇒ C ≥ 6
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6. Ví dụ 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 - 8x + 1
b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 - 4x + 1 Lời giải: a, A = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ≥ -7
Vậy min A = - 7 khi và chỉ khi x = 2 b, Ta có: B=−5(x2+45x)+1 =−5(x2−2.x.25+425)+95 =95−5(x+25)2≤95 Vậy max B=95⇔x=−25
Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c a, Tìm min P nếu a > 0 b, Tìm max P nếu a < 0 Lời giải: Ta có P=a(x2+bax)+c =a(x+b2a)2+(c−b24a) Đặt k=c−b24a. Do (x+b2a)2≥0nên: a, Nếu a > 0 thì
a(x+b2a)2≥0do đó P ≥ k ⇒ min P = k b, Nếu a < 0 thì
a(x+b2a)2≤0do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ x=−b2a
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:
Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá
trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất: ∀x, y ∈ Q ta có:  |x+y|≤|x|+|y|  |x−y|≤|x|−|y|
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. A = (3x - 1)2 - 4|3x - 1| + 5 b. B = |x - 2| + |x - 3| Lời giải:
a, A = (3x - 1)2 - 4|3x - 1| + 5 Đặt y=|3x−1| ⇒A=y2−4y+5=(y−2)2+1≥1 Do đó, min A = 1⇔ y = 2.
⇔|3x−1|=2⇔[3x−1=23x−1=−2⇔[x=1x=−13 b, B=|x−2|+|x−3|
B=|x−2|+|x+3|≥|x−2+3−x|=1
⇒minB=1⇔(x−2)(3−x)≥0⇔2≤x≤3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| Hướng dẫn giải
Ta có: C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2|
≥ |x2 - x + 1 + 2 + x - x2| = 3
MinC = 3 ⇔ (x2 - x + 1)(2 + x - x2) ≥ 0
⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| Hướng dẫn giải
Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - 1 + 4 - x| = 3 (1)
|x - 2| + |x - 3| ≥ |x - 2 +3 - x| = 1 (2) Vậy T ≥ 1 + 3 = 4
Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4
Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
III. Dạng 3: Đa thức bậc cao
Phương pháp: Đưa đa thức về dạng tổng các bình phương.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a. A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
b. B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 c. C = x2 + xy + y2 - 3x - 3 Lời giải: a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12)
Đặt y = x2 - 7x + 6 thì A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ - 36 minA=−36⇔y=0 ⇔x2+7x+6=0 ⇔(x−1)(x−6)=0⇔[x=1x=6
b, B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3
= (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + 2 =(x−y)2+(x−1)2+2≥2 Dấu "=" xảy ra ⇔{x−y=0x−1=0⇔x=y=1 c, C = x2 + xy + y2 - 3x - 3
= x2 - 2x + y2 - 2y + xy - x - y Ta có
C+3=(x2−2x+1)+(y2−2y+1)+(xy−x−y+1)
=(x−1)2+(y−1)2+(x−1)(y−1)
Đặt a = x - 1; b = y - 1 thì C+3=a2+b2+ab =(a2+2.a.b2+b24)+3b24 =(a+b2)2+3b24≥0
Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = - 3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1 C. Bài tập vận dụng
C.1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 - x2 A. 0 B. 10 C. -10 D. 9 Đáp án: B
Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ 10 - x2 ≤ 10 Vậy min B = 10.
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - 2x2 A. 0 B. 1 C. 4 D. 2 Đáp án: D
Ta có: A = 4x - 2x2 = - 2(x2 - 2x) = - 2(x2 - 2x + 1) + 2 = - 2(x - 1)2 + 2
Vì (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x ⇒ - 2(x - 1)2 + 2 ≤ 2
Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.
Câu 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 - x2 A. 7 B. 4 C. 3 D. -1 Đáp án: A Ta có: C = 4x + 3 - x2 = - (x - 2)2 + 7 ≤ 7 Vì
Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7.
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = - x2 + 6x - 11 A. - 11 B. 6 C. - 2 D. 9 Đáp án: C
D = - x2 + 6x - 11 = - (x2 - 6x) - 11 = - (x2 - 6x + 9) + 9 - 11 = - (x - 3)2 - 2 Vì
Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2
Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x - x2 + 1 A. 1 B. 5 C. 3 D. 6 Đáp án: B Ta có: E = 4x - x2 + 1 = - (x2 - 4x) + 1 = - (x2 - 4x + 4) + 4 + 1 = - (x - 2)2 + 5
Vì - (x - 2)2 ≤ 0 ⇒ - (x - 2)2 + 5 ≤ 5
Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5.
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 + 8x + 11 A. 3 B. 8 C. 11 D. 9
Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10 A. 1 B. 10 C. 5 D.8
Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x2 + y2 + 6y + 20 A. 20 B. 11 C. 10 D.16
Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28 A. 10 B. 8 C. 20 D.15
C.2. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a, A=2x2+2xy+y2−2x+2y+2 b,
B=x4−8xy+x3y+x2y2−xy3+y4+200 c, C=x2+xy+y2−3x−3y d, D=x(x+1)(x2+x−4)
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = - x2 - y2 + xy + 2x + 2y
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: a, A = -x2 + x + 1 b, B = x2 + 3x + 4 c, C = x2 - 11x + 30 d, D = x2 - 2x + 5 e, E = 3x2 - 6x + 4 f, F = -3x2 - 12x - 25
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: A = |x - 2004| + |x - 2005| B = |x - 2| + |x - 9| + 1945
C = -|x - 7| - |y + 13| + 1945
Bài 5: Chứng minh rằng không có giá trị x, y, z thoả mãn:
x2 + 4y2 + z2 - 2x + 8y - 6z + 15 = 0