Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Mục lục bài viết
1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1.1. Định nghĩa
- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn
hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi
là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập K (K ⊂ R) Khi đó:
a) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ K sao cho f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ K thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của
hàm số f(x) trên K. Kí hiệu:
b) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ K sao cho f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ K thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của
hàm số f(x) trên K. Kí hiệu:
- Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên K ta phải chỉ ra được :
a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ M) với mọi x ∈ K.
b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 ∈ K sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).
- Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) (mà không nói rõ “trên tập K’’) thì ta
hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.
- Mỗi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Hơn nữa:
a) Nếu hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì ,
b) Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì
- Cho phương trình f(x) = m với y = f(x) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi
- Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được
giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn:
a) Xét hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c trên tập xác định K = R .
+ Khi a > 0 thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số tại
+ Khi a < 0 thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số tại
b) Xét trên tập K = R hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
c) Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
d) Xét hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c trên tập xác định K = R .
+ Khi a > 0 thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số.
+ Khi a < 0 thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số.
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
1.2. Các dạng bài tập thường gắp
Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn.
Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a,b] .
Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a,b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a,b] làm cho f'(x) không xác định.
Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M=max f(x), [a,b] ; m= min f(x), [a,b] Lưu ý:
- Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên khoảng, nửa đoạn làm tương tự.
- Trong trường hợp trên khoảng đó không tồn tại giá trị f’(x) = 0 hoặc không xác định thì kết luận không tìm
được GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Dạng 2. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số vào bài toán thực tế.
Bước 1: Từ các điều kiện của bài toán xây dựng hàm số.
Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa xây dựng trên tập xác định của nó phù hợp với yêu cầu bài toán. Bước 4: Kết luận.
2. Phương pháp giải dạng bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của biểu thức chứa căn
2.1. Phương pháp 1. Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm và hằng số
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành tổng của một số không âm và hằng số.
Còn đối với giá trị lớn nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành hiệu của một số và một số không âm.
2.2. Phương pháp 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi
Cho hai số a, b không âm. Theo bất đẳng thức Cosi học sinh cần chứng minh theo công thức:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Nhận xét:
Tích của hai số a,b trong căn có giá trị không đổi thì tổng hai số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
Ngược lại, tổng của hai số a,b có giá trị không đổi thì tích của hai số đó đạt trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b.
2.3. Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Theo công thức bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh cần chứng minh:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích A và B bằng 0.
3. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
cho biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Điều kiện để xác định
Để A đạt giá trị lơn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất Có Lại có Dấu "=" xảy ra Min Vậy Max Bài 2. Cho biểu thức a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a. với x>0, x#1 b. với x>0, x#1
Với x>0, x#1, áp dụng bất đẩng thức Cauchy có:
Dấu "=" xảy ra (thỏa mãn) Vậy max
Bài 3: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4 a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A Lời giải: a, với x ≥ 0, x ≠ 4 b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 Vậy min
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Lời giải:
Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
5. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: a. b.
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: a. b. c. Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức: . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: Cho biểu thức: a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A