Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số
- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá
trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.
- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá
trị lớn nhất của biểu thức ấy.
+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có: a+b≥2ab
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
 |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=1x−x+1 Lời giải:
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì
x−x+1 đạt giá trị nhỏ nhất Có
x−x+1=x−2.12.x+14−14+1=(x−12)2+34 Lại có
(x−12)2≥0∀x≥0⇒(x−12)2+34≥34∀x≥0 Dấu “=” xảy ra ⇔x=12⇔x=14 Min x−x+1=34⇔x=14 Vậy Max A=43⇔x=14 Bài 2: Cho biểu thức A=(1x−x+1x−1):x+1(x−1)2 a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=A−9x Lời giải: a,
A=(1x−x+1x−1):x+1(x−1)2 với x > 0, x ≠ 1
=(1x(x−1)+1x−1):x+1(x−1)2
=1+xx(x−1).(x−1)2x+1=(x−1)2x(x−1)=x−1x b,
P=A−9x=x−1x−9x=1−(1x+9x) với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: 1x+9x≥2.1x.9x=6
⇒−(1x+9x)≤−6⇒1−(1x+9x)≤1−6=−5⇔P≤−5 Dấu “=” xảy ra ⇔1x=9x⇔x=19(thỏa mãn) Vậy max P=−5⇔x=19 Bài 3: Cho biểu thức
A=(x2−x+x2+x)−6+x4−xvới x ≥ 0, x ≠ 4 a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A Lời giải:
a, A=(x2−x+x2+x)−6+x4−xvới x ≥ 0, x ≠ 4
=x(2+x)+x(2−x)(2+x)(2−x)−6+x(2+x)(2−x)
=2x+x+2x−x(2+x)(2−x)−6+x(2+x)(2−x)
=4x−6−x(2+x)(2−x)=3x−6(2+x)(2−x)
=3.(x−2)(2+x)(2−x)=−32+x b, Có
x≥0⇒x≥0⇒x+2≥2⇒3x+2≤32⇒−3x+2≥−32
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 Vậy minA=−32⇔x=0
III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: a. A=3−x−1 b. B=6x−x−1 c. C=1x−x−1
Bài 2: Cho biểu thức:
A=4(x+1)25−x;B=(15−xx−25+2x+5):x+1x−5;(x⩾0;x≠25)
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 3: Cho biểu thức:
A=5x−3x+x+1. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a, A=1x+1 b, B=x+3x+2 c, C=2xx+1 d, D=xx+4 e, E=2x(x+1)2 Bài 5: Cho biểu thức A=(1x−1+xx−1):2x+1x+x−2 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức A=(1x+xx+1):xx+x
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 7: Cho biểu thức M=a2+aa−a+1−2a+aa+1
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: a, A=−3x+2 với x ≥ 0 b, B=x−1x+1với x ≥ 0 c, C=x+4xvới x > 0 d, D=x+x+1xvới x > 0
Bài 9. Cho x,y khác 0 thỏa mãn 2x2+y24+1x2=4. Tìm GTLN, GTNN của A= xy
Bài 10. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn 2x2+y24+1x2=4 . Tìm GTLN, GTNN của A= xy
3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: a, A=−3x+2 với x ≥ 0 b, B=x−1x+1 với x ≥ 0 c, C=x+4x với x > 0 d, D=x+x+1x với x > 0