Tính Toán cao cấp | Trường Đại học Kinh tế – Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 47167580
NHỮNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT & NHỮNG VẤN ĐỀ TRAO ĐỔI VỀ TOÁN CAO CẤP
Ch.I, II & III (Tổng hợp)
1. Hạng của ma trận
Cho A là ma trận cấp m n, B là ma trận cấp m p. Chú
ý mỗi dòng, cột của A ều có thể ược xem là một vector trong
m n, tương ứng. Khi ó ta có các khẳng ịnh dưới ây. 1.1.
Hạng của ma trận là một BẤT BIẾN ối với phép chuyển vị và các phép BĐSC. 1.2.
(Hạng(A) = r) (0 ≤ r ≤ min(m, n)); Hơn nữa: (r = 0) (A = O). 1.3. (Hạng(A) = r)
(Trong A, chọn ược r DÒNG ltt, ồng thời mọi hệ
gồm nhiều hơn r dòng ều pttt)
(Trong A, chọn ược r CỘT ltt, ồng thời mọi hệ
gồm nhiều hơn r cột ều pttt) 1.4. (Hạng(A) = r)
(Trong A chọn ược một ĐỊNH THỨC CON cấp r khác
không và mọi ịnh thức con cấp cao hơn r ều bằng 0) 1.5.
(A vuông cấp n & Hạng(A) = n) detA 0 (A khả nghịch)
(tất cả n dòng của A ltt) (tất cả n cột của A ltt) 1.6.
(A vuông cấp n & Hạng(A) < n) detA = 0 (A không khả nghịch) 1.7.
Hạng (A) Hạng [A B] m (số dòng chung của chúng).
Đặc biệt (Hạng (A) = m ) (Hạng (A) = Hạng [A B] = m). 2. Định thức
Xét hệ n vector dòng d1, …, dn; n vector cột c1, …, cn trong
n . Gọi D là ma trận vuông cấp n mà các dòng là d1, …,
dn; C là ma trận vuông cấp n mà các cột là c1, …, cn. Ta
ịnh nghĩa det(d1, …, dn) = detA; det(c1, …, cn) = detC. Khi ó ta có 2.1.
Tính tuyến tính của ịnh thức theo hệ vec tơ dòng, cột (i)
det(d1, …, d’i + d”i, …, dn) = lOMoAR cPSD| 47167580
det(d1, …, d’i, …, dn) + det(d1, …, d”i, …, dn)
(ii) det(c1, …, c’j + c”j, …, cn) =
det(c1, …, c’i, …, cn) + det(c1, …, c”i, …, cn)
(iii) ((d1, …, dn) pttt) det(d1, …, dn) = 0. ((d1, …, dn) ltt) det(d1, …, dn) 0.
(iv) ((c1, …, cn) pttt) det(c1, …, cn) = 0. ((c1, …, cn) ltt) det(c1, …, cn) 0. 2.2.
Định thức của ma trận BẤT BIẾN (tức là không thay ổi) qua phép
chuyển vị ma trận nhưng KHÔNG BẤT BIẾN (tức là nói chung
sẽ thay ổi) qua các phép BĐSC trên các dòng của ma trận. 3. Hệ PTTT 3.1.
Mọi hệ PTTT gồm m PT, n ẩn số (m, n nguyên dương tùy ý) ều có
dạng ma trận (1): AX = B với A là ma trận hệ số ã cho cấp m n, B là
cột vế phải m phần tử ã cho và X là cột n ẩn số cần tìm. 3.2.
Định lý Kronecker-Capelli:
(Hệ (1) có nghiệm) (Hạng(A) = Hạng([A B])) 3.3.
Lưu ý vài trường hợp ặc biệt:
1) Hạng(A) = Hạng([A B]) = r min(m, n) n. Hơn nữa -
(Hệ có duy nhất nghiệm) (r = n).
- (Hệ có vô số nghiệm) (r < n).
2) Hạng(A) min(m, n) m ; Hạng([A B]) min(m, n + 1) m.
Hạng(A) Hạng([A B]). Do ó
(Hạng(A) = m) (Hạng(A) = Hạng([A B]) = m) (Hệ có nghiệm)
Tuy nhiên không ảm bảo có nghiệm duy nhất.
3) Xét hệ n PT, n ẩn (tức là m = n, n nguyên dương bất kỳ). Lúc
này A là ma trận vuông cấp n. Do ó dù cột vế phải B như thế nào, ta luôn có
- (Hạng(A) = n) (Hệ có nghiệm duy nhất).
- Tóm lại hệ n PT, n ẩn dạng AX = B có nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi một trong ba iều sau ây thỏa mãn • (Hạng(A) = n) lOMoAR cPSD| 47167580 • detA 0 • A khả nghịch.
- Hệ thuần nhất n PT, n ẩn dạng AX = O có nghiệm duy nhất
tầm thường X = O khi và chỉ khi một trong ba iều sau ây thỏa
mãn • (Hạng(A) = n) • detA 0 • A khả nghịch.
4. Sự ộc lập, phụ thuộc tuyến tính, hạng của hệ vectơ trong n
Trong n(n chiều) cho hệ S gồm m vectơ (m, n là các số
nguyên dương). Khi ó ta có các khẳng ịnh dưới ây. 4.1.
(S ltt) (mọi vector của S ều khác không).
Ngược lại sai. Có vô số hệ mà mọi vector khác không nhưng vẫn pttt. 4.2.
(S chứa ít nhất một vector không) (S pttt)
Ngược lại sai. Có vô số hệ pttt mà mọi vector ều khác không. 4.3.
Khi hệ S = {s} gồm 1 vector s duy nhất, tức là m = 1 thì ta luôn có
- (S = {s} ltt) s 0.
- (S = {s} pttt) s = 0. 4.4.
(S gồm nhiều hơn n vectơ trong n , tức là m n) (S pttt).
Nhưng ngược lại sai, có vô số hệ S pttt mà số vector m n. 4.5.
(S ltt trong nthì số vector m của hệ không quá n, tức là m ≤ n).
Nhưng ngược lại sai, có vô số hệ không quá n vector nhưng vẫn pttt. 4.6. (Hạng(S) = r)
(Trong S, trích ra ược một hệ con S1 ltt gồm r vectơ
và mọi hệ con có nhiều hơn r vectơ ều pttt)
S1 ược gọi là một hệ con ltt TỐI ĐẠI của S. Tất nhiên trong S có
thể có nhiều hệ con ltt tối ại, hơn nữa mọi vector của S ều biểu thị
tuyến tính qua mỗi hệ con ltt tối ại. 4.7.
Đối với hệ S gồm m vector, các mệnh ề sau ây tương ương (a) S ltt
(b) Hạng(S) = m (số vectơ của S)
(c) Hạng(A) = m (số vectơ của S), với A là ma trận nhận ược khi xếp
các vectơ của S thành dòng. lOMoAR cPSD| 47167580
(d) Hạng(B) = m (số vectơ của S), với B là ma trận nhận ược khi xếp
các vectơ của S thành cột.
(e) Không có vectơ nào của S biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại.
(f) Vectơ không O chỉ có duy nhất một cách biểu thị tuyến tính qua
S bởi tổ hợp tuyến tính tầm thường (tức là tổ hợp tuyến tính mà
mọi hệ số ều là 0). 4.8.
Đối với hệ S, các mệnh ề sau ây tương ương (a) S pttt.
(b) Hạng(S) < m (số vectơ của S)
(c) Hạng(A) < m (số vectơ của S), với A là ma trận nhận ược khi xếp
các vectơ của S thành dòng.
(d) Hạng(B) < m (số vectơ của S), với B là ma trận nhận ược khi xếp
các vectơ của S thành cột.
(e) Trong S, tồn tại ít nhất một vectơ nào ó của S biểu thị tuyến tính
qua các vectơ còn lại.
(f) Vectơ không O có ít nhất một cách biểu thị tuyến tính qua S bởi
tổ hợp tuyến tính không tầm thường (tức là tổ hợp tuyến tính
mà có ít nhất một hệ số khác 0)
5. Cơ sở, số chiều, tọa ộ
Trong n ta luôn có các khẳng ịnh dưới ây. 5.1.
nlà không gian n-chiều. 5.2.
Khi nói về một cơ sở (B) của n ta luôn nhấn mạnh hệ (B) sắp thứ
tự, nghĩa là nếu hoán vị (B) ta sẽ ược một cơ sở khác. 5.3.
Hệ (B) là cơ sở của n khi và chỉ khi (B) ltt và gồm úng n vectơ. 5.4.
Hệ (B) là cơ sở của n khi và chỉ khi (B) ltt và (B) sinh ra n , tức là
mọi vec tơ của nều biểu thị tuyến tính qua (B). 5.5.
Tọa ộ của mỗi vectơ x của n ố
i với một cơ sở (B) = (b1, b2, …, bn)
là duy nhất. Đó cũng chính là bộ tất cả các hệ số trong biểu thị
tuyến tính của x qua các vec tơ b1, b2, …, bn của cơ sở (B). 5.6.
Khi nói ến cơ sở của ta có ý nhấn mạnh việc sắp xếp thứ tự các
vectơ trong cơ sở là rất quan trọng. Do ó, thứ tự của bộ tọa ộ ối
với cơ sở cũng tối quan trọng.
Ví dụ trong 3với cơ sở (B) = (b1, b2, b3), nếu x = 2b1 – 5b2 + 8b3 thì
tất nhiên tọa ộ của x trong (B) là (2, – 5, 8) nhưng tọa ộ của x trong
cơ sở (b2, b3, b1) không phải là (2, – 5, 8) mà là (– 5, 8, 2). 5.7.
((B) là cơ sở của n ) lOMoAR cPSD| 47167580
(Mọi hệ hoán vị của (B) cũng là cơ sở của n )
6. GTR, VTR & chéo hóa
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n và C là một ma trận
vuông cấp n khả nghịch.
Đ/n: Vết của một ma trận vuông là tổng các phần tử trên
ường chéo của nó. Vết của A ký hiệu TrA.
Hãy ghi nhớ các tính chất quan trọng dưới ây. 6.1.
detA = “Tích tất cả các GTR của A (mỗi GTR ược kể với số lần
bằng bội của nó)”. Nói riêng muốn A khả nghịch, điều kiện cần là
mọi GTR đều khác 0. 6.2.
A khả nghịch thì (A chéo ược) (A– 1 chéo ược) với dạng chéo
cũng là nghịch dảo của nhau. Nói riêng, mọi GTR của A đều khác
0 và của tập các GTR của A– 1 chính là tập các nghịch đảo của các GTR của A. 6.3.
Tr(AB) = Tr(BA). Nói riêng Tr(AB – BA) = 0. 6.4.
Nếu B = C– 1 AC (hay cũng vậy: CB = AC) thì ta nói A, B ồng dạng
và khi ó ta luôn có a) detA = detB
b) A, B cũng khả nghịch hoặc cùng không khả nghịch.
c) A, B cùng a thức ặc trưng, cùng GTR nhưng NÓI CHUNG KHÔNG CÙNG VTR.
d) A, B có cùng vết: TrA = TrB = “Tổng tất cả các GTR của A (mỗi
GTR ược kể với số lần bằng bội của nó)”.
e) A, B cùng chéo ược hoặc không cùng chéo ược. Khi chéo ược thì
có cùng một dạng chéo.
VÀI ỨNG DỤNG CỦA GTR, VTR
1. Tại một thành phố, hệ thống siêu thị hiện ại ang cạnh tranh thị phần với
hệ thống chợ truyền thống. Do siêu thị có nhiều chương trình ưu ãi, hàng
tuần, người ta quan sát thấy -
Khoảng 40% số người i chợ truyền thống của tuần trước ó chuyển
sang i siêu thị trong tuần kế tiếp. lOMoAR cPSD| 47167580 -
Ở nhóm người tuần trước i siêu thị lại cũng có khoảng 12% số
người tuần kế tiếp i chợ vì muốn mua một số mặt hàng thông dụng ở chợ với giá rẻ hơn.
Giả sử mỗi tuần mọi người ều i chợ hoặc siêu thị và ta có ma trận
chuyển giữa hai hệ thống là M = 0,6 0,12 . 0,4 0,88
Từ ó ra một loạt câu hỏi thực tiễn liên quan ến GTR, VTR và chéo hóa ể
tính lũy thừa của ma trận chuyển.
2. Một xí nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa. Trong cùng một khoảng thời
gian sản xuất như nhau, sản lượng từng loại hàng hóa (tính bằng ơn vị
sản phẩm) trước và sau cải tiến kỹ thuật lần lượt là Q1 ( 0), Q2 ( 0) và
Q1’ ( 0), Q2’ ( 0). Biết rằng (Q1, Q2), (Q1’, Q2’) ược liên hệ với nhau bởi hệ thức Q1 ' a b Q1 .
Q2 ' c d Q2 4 12
Ở ây M = gọi là ma trận cải tiến kỹ thuật 1 lần. 3 4
Giả sử cải tiến kỹ thuật cùng kiểu như thế ược tiến hành theo nhiều năm
liên tiếp. Ký hiệu Q 1,n và Q 2,n là sản lượng ở năm thứ n, khi n = 0 chính là năm xuất phát.
Từ ó nảy sinh hàng loạt các câu hỏi liên quan ến tính GTR, VTR và chéo
hóa M ể tính lũy thừa của M.
Ch.V & VI: Các câu khó nhiều khả năng liên quan ến những vấn ề dưới ây.
1. Hàm ẩn và cực trị hàm ẩn cho bởi PT tổng quát hoặc tham số nhưng lạ và tính toán khó
2. Cực trị hàm 2 biến nhưng rơi vào trường hợp = AC – B2 = 0.