-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Toán cao cấp chương 5: Hàm số 1 biến số | Trường đại học Lao động - Xã hội
Toán cao cấp chương 5: Hàm số 1 biến số | Trường đại học Lao động - Xã hội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán cao cấp(TCC101) 9 tài liệu
Trường: Đại học Lao động - Xã hội 592 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHƯƠNG 5: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Trong chương này, chúng tôi lần lượt trình bày một số vấn đề cơ bản nhất của
hàm số một biến số thực như khái niệm, các phép toán vi phân, tích phân. Ngoài ra
chúng tôi có đưa vào một số khái niệm cơ bản của Kinh tế học, qua đó đưa ra một vài
ứng dụng của hàm một biến trong kinh tế. Các kiến thức trong chương được chúng
tôi trình bày tương đối đầy đủ nhưng cô đọng, các định lý tính chất chúng tôi đều
công nhận kết quả mà không chứng minh.
5.1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
5.1.1. Dãy số và giới hạn của dãy số
a) Khái niệm dãy số
Định nghĩa 5.1: Cho tương ứng mỗi số nguyên dương n với một số thực x f n n ( ) ta
được dãy số thực, ký hiệu là {x x f n n ( ) n}, phần tử
được gọi là số hạng tổng quát của dãy. Ví dụ 1: 1 1 1 1 x 1, , ,..., ,... n 1) Dãy số {x }
n cho bởi công thức n là dãy số: 2 3 n
2) Trong chương trình phổ thông chúng ta đã gặp hai dãy số quan trọng là cấp
số cộng và cấp số nhân.
+ Cho a và d là hai số thực. Xét cấp số cộng {xn} có số hạng đầu là x1 =a và công sai là d.
Khi đó x x d a d, x x d a 2d, x x d a 3d,... 2 1 3 2 4 3 Bằng quy nạp ta
thu được số hạng tổng quát của dãy số này là
x a (n 1)d, n 1 n .
+ Cho a và q là hai số thực khác không. Xét cấp số nhân {xn} có số hạng đầu là x1 =a 2 3
và công bội là q. Khi đó x qx aq, x qx aq , x qx aq ,... 2 1 3 2 4 3 Bằng quy nạp n 1
ta cũng chứng minh được số hạng tổng quát của dãy số này là x aq n n , 1 .
Thông thường, một dãy số được cho dưới các dạng sau đây:
- Dãy số cho dưới dạng liệt kê: liệt kê các số hạng của dãy.
- Dãy số cho bởi công thức tổng quát: xn = f(n).
- Dãy số cho bởi công thức truy hồi: số hạng thứ n được tính thông qua các số hạng đứng trước nó.
Trong ví dụ trên, cấp số cộng có công thức tổng quát là x n = a + (n - 1)d, n 1 và
công thức truy hồi là x a xn x d n n 1 ; 1 , 2. n 1 -
Cấp số nhân có công thức tổng quát là x aq , n n 1
và công thức truy hồi là x a x qx n n 1 , 1 , n 2 .
Định nghĩa 5.2: Cho dãy số x ,x ,x ,...,xn ,... 1 2 3
Nếu n1; n2; ... nk; ... là một dãy tăng
thực sự các số tự nhiên thì dãy số: x x x
n , n ,..., n ,... 1 2 k
được gọi là một dãy con của dãy đã cho và kí hiệu là {xnk}
b) Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 5.3: Ta nói rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a (hay hội tụ đến a) a R limx a và viết n xn a k h i n n hoặc nếu 0 nhỏ tùy ý, n n ( ) n n x n a o o sao cho 0 thì .
Dãy số không hội tụ được gọi là dãy phân kì. Ví dụ 2. 1) Dãy số x n 1 n = c
có giới hạn bằng c. Thật vậy:
x c c c n 0
với 0 và n 1. 1 x 2) Dãy số n n với n 1
có giới hạn bằng 0. Thật vậy, ta có: 1 1 x 0 0 n n n 1 1 1 n n 1 o Do đó 0 , để n thì . Vì vậy ta chọn . Khi đó 1 n n x 0 0 ta có n và do đó n .
c) Các định lý cơ bản về giới hạn
1. Tính chất cơ bản của dãy hội tụ
- Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn của một dãy số {xn} (nếu có) là duy nhất.
- Giới hạn của dãy chỉ phụ thuộc vào phần đuôi của dãy, tức là nếu ta thay đổi giá trị
của một số hữu hạn các số hạng của dãy thì tính hội tụ và giới hạn của dãy không thay đổi. x a xn a - Nếu n n thì n . x a - Nếu n n n n n và b < a thì
o sao cho xn > b với 0 . x a Nếu n n n n n và b > a thì
o sao cho xn < b với 0 . x a
- Nếu n n thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a. - Nếu dãy {x 0
n} hội tụ thì nó bị chặn, tức là tồn tại hằng số M sao cho x M n 1 . n - Nếu x n y n ví i n 1
và cả hai dãy {xn} và {yn} đều có giới hạn thì limx lim y n n n n .
2. Các phép toán trên dãy hội tụ
Định lí 5.1: Nếu dãy {xn} hội tới a và {yn} hội tụ tới b thì:
lim(x y ) a b i) Dãy tổng {x n n n
n + yn} cũng hội tụ và .
lim cx .clim x c a n n .
ii) Với mọi hằng số c, dãy {cx n n n} hội tụ và . lim x y a b . iii) Dãy tích {x n n
nyn} hội tụ và n . x xn a n lim
iv) Nếu b 0 thì dãy thương y n y
n cũng hội tụ và b n .
3. Một số khái niệm và tiêu chuẩn hội tụ i) Nguyên lí Cauchy.
Định nghĩa 5.4: Ta nói dãy số {x 0
n} là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi
nhỏ tùy ý, tồn tại một số n n ( ) m ,n n o o sao cho o thì: x x m n .
Chú ý: Trong định nghĩa trên ta có thể coi m n và đặt m = n + p. Khi đó n no v à p 1 ta có: x x n p n .
Định lý 5.2 (Nguyên lí Cauchy): Dãy số {xn} hội tụ khi và chỉ khi dãy {xn} là dãy Cauchy.
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của dãy {xn} với: 1 1 1 x n 1 ... 2 2 2 2 3 n , n 1 Giải: Ta có: 1 1 1 x x n p n ... 2 2 2 (n 1) (n 2) (n p) 1 1 1 ... n(n 1 ) n(n 2)
(n p 1)(n p) 1 1 1 1 1 1 ...
n n 1 n 1 n 2
n p 1 n p 1 1 1 ( p 1) n n p n 1 1 x x n
Với mọi 0 cho trước, để | n p n | ta cần n , hay . 1 n 1 1 1 o x x Vì vậy ta chọn
> . Khi đó, nếu n no thì n nên np n .
Vậy dãy {xn} là dãy Cauchy. Do đó, dãy {xn} là dãy hội tụ.
ii) Sự hội tụ của dãy đơn điệu.
Định nghĩa 5.5: Ta nói rằng dãy số {xn} là dãy không giảm (không tăng) nếu x x n n n 1 1
( tương ứng x x n n n ; 1 1
). Nếu xn+1 > xn ( tương ứng xn+1 < xn)
thì dãy số {xn} gọi là dãy đơn điệu tăng (đơn điệu giảm).
Các dãy đơn điệu tăng và đơn điệu giảm được gọi chung là các dãy đơn điệu.
Định lí 5.3: Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ.
Từ định lí 5.3 suy ra: Dãy không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy không tăng và bị
chặn dưới thì hội tụ.
Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của dãy {xn} cho bởi: 1 2 x n 1 x x 1 , n1 n 1. 2 2
Giải: Từ cách xác định dãy {x n n} ta có xn > 0 1. 2 x n 1 x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 n . x x Từ đó n n n 1 1
, hay dãy {xn} là dãy số không giảm.
Ta chứng minh bằng quy nạp dãy {xn} bị chặn trên bởi 1. Thật vậy: 1 x 1 Với n = 1 ta có: 1 2 . Giả sử x n n 1 , 1 . Khi đó: 2 x n 1 12 1 x n 1 1 2 2 . Vậy x 1 , n 1 n
. Do đó, dãy {xn} là không giảm và bị chặn trên nên nó hội tụ. iii) Tiêu chuẩn kẹp.
Định lí 5.4: Cho ba dãy số {xn}, {yn} và {zn}. lim y lim z a lim x a Nếu n
1 ta có y x z n n n n n n và n n thì n . n sin n x n
Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của dãy n n > 1. n 1 n n sin n 1
Giải: Ta có: 1 si n n 1 nên n n n với n 1. n 1 n 1 lim lim 1 Mặt khác n n n n
nên theo định lí 5.4 ta có: n s n in lim 1 n n
d) Giới hạn vô cùng
Khái niệm giới hạn đưa ra trong mục trước là giới hạn hữu hạn. Bây giờ ta mở rộng
khái niệm giới hạn hữu hạn cho trường hợp giá trị của giới hạn bằng vô cùng. limx
Định nghĩa 5.6: Ta nói dãy {x x n n n} có giới hạn và viết , hay n
khi n nếu với M 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số n N 0
sao cho với mọi n > n0 thì xn > M. limx Dãy {x n xn n n n} có giới hạn và viết , hay khi nếu với
M 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số n N 0
sao cho với mọi n > n0 thì xn < - M.
Chú ý: Các dãy số có giới hạn vô cùng không phải là dãy hội tụ. Chỉ có dãy số có
giới hạn hữu hạn mới được gọi là dãy hội tụ. Ví dụ 6: 1) Dãy x n = 2n + 1 có giới hạn . 2) Dãy x 2 n = - n có giới hạn .
e) Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn
Định nghĩa 5.7: Cho dãy số {xn}. Ta nói: limxn 0
i) xn là một vô cùng bé (VCB) nếu n . lim x ii) x n
n là một vô cùng lớn (VCL) nếu n . 1 1 Rõ ràng nếu x x x n là VCL thì
n là VCB và ngược lại, nếu xn là VCB thì n là VCL Ví dụ 7: 1 x 1 lim 0 n 1) n là VCB vì n n . lim ( ) 1 n n . limn 2) x n
n = ( - 1) .n là VCL vì n n . n ( 1) 3) x n n
không là VCB cũng không là VCL. Thật vậy:
Xét hai dãy con x2n và x2n+1 ta có: x n 2 2 n 1 x n 2 1 0 2n 1
Vậy xn không là VCB và cũng không là VCL. g) Số e n 1 x 1 n
Ta có thể chứng minh được dãy số
n là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên
bởi 3. Do đó dãy {xn} hội tụ và giới hạn của nó được gọi là số e. Vậy: 1 n lim1 e n n
Người ta chứng minh được e là số vô tỷ và có giá trị gần đúng là: e 7 , 2 18 . 2 .. 8
Số e chính là cơ số của logarit tự nhiên. 5.1.2. Chuỗi số
a) Một số khái niệm và tính chất
Định nghĩa 5.8: Cho dãy số u , u , ..., u
u u ... u n ... n,... 1 2
. Biểu thức dạng 1 2 un
được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là
u , u , ..., un,... n 1 . Các số 1 2 được gọi là
các số hạng của chuỗi số. n S u u u u n k ... 1 2 n Tổng k 1
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Khi đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 5.9: Nếu dãy tổng riêng S
n hội tụ tới giới hạn S hữu hạn thì ta nói un chuỗi n 1 hội tụ và viết:
u u u ... u S n ... n 1 2 n 1 .
S được gọi là tổng của chuỗi số trên.
Ngược lại ta nói chuỗi số phân kỳ. n u u k l im n k Nhận xét: k 1 k 1 . 1 nq q 0
Ví dụ 1: Xét chuỗi số n 1
. Đây là tổng của một cấp số nhân với công bội là q. n 2 n1 1 q S 1 q q n q - Với q 1 ta có: 1 q . n 1 q n 1 S 1 n q n n
Nếu q 1 thì q 0 nên 1 q
1 q . Do đó chuỗi số n 1 hội tụ 1 S và có tổng 1 q . n 1 q n S n Nếu q 1 thì 1 q
, do đó chuỗi số phân kỳ. limS
Nếu q 1 thì không tồn tại n n
, do đó chuỗi số phân kỳ.
Nếu q = - 1 thì Sn = 0 với n chẵn, Sn = 1 với n lẻ, tức là Sn không có giới hạn hữu hạn
khi n , vậy chuỗi số phân kỳ. n - Với q = 1 thì S n n , chuỗi số phân kỳ. 1
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 n(n 1) . Giải: Ta có: n 1 1 1 1 S n k(k 1) 1.2 2.3 n(n 1) k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 limS lim 1 1 n n n n 1 .
Vậy chuỗi số trên hội tụ. 2n 1 n 3 .5
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 . n 2n 1 n 9 3 .5 5 . Giải: Ta có: 5 . n 9 5. 9 5 q Dãy số
là một cấp số nhân với a = 5, công bội 5 . Theo ví dụ 1 ta có chuỗi số trên phân kỳ. un limun 0
Định lý 5.5: Nếu chuỗi số n 1 hội tụ thì n . limu 0
Chú ý: Mệnh đề đảo của định lý 5.5 không đúng, tức là nếu có n n thì cũng un
chưa thể kết luận được chuỗi số n 1 hội tụ. limu un n 0
Hệ quả: Nếu n
hoặc không tồn tại thì chuỗi số n 1 phân kỳ. 2 n 2
Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi số n 1 2n 4n 3 . 2 n 1 1 lim lim 0 2 n n 2n 4n 3 4 3 2 2 Giải: Ta có: 2 n n . 2 n 2 Vậy chuỗi số n 1 2n 4n 3 phân kỳ. u v .cu n n n
Định lý 5.6: Nếu các chuỗi số n 1 và n 1
đều hội tụ thì các chuỗi số n 1 (c là u v n n
hằng số bất kỳ) , n 1 cũng hội tụ và: .cu c u n . n n 1 n 1 u v u v n n n n n 1 n 1 n 1
Chú ý: Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số
hữu hạn số hạng đầu tiên. b) Chuỗi số dương
1. Định nghĩa chuỗi số dương un *
Định nghĩa 5.10: Chuỗi số u n N n 0, n 1 với
được gọi là chuỗi số dương. S Sn n
Dễ thấy dãy tổng riêng
là dãy đơn điệu tăng, do đó nếu dãy bị chặn trên thì limS un tồn tại S n n
, suy ra chuỗi số n 1
hội tụ, còn nếu dãy n không bị chặn thì limS u n n n
, suy ra chuỗi số n 1 phân kỳ.
2. Các định lý so sánh u v n n *
Định lý 5.7: Cho hai chuỗi số dương u v n n N n n , n 1 và n 1 , trong đó 0 . v u u n n n
Khi đó nếu chuỗi số n 1
hội tụ thì chuỗi số n 1
cũng hội tụ, nếu chuỗi số n 1 vn
phân kỳ thì chuỗi số n 1 cũng phân kỳ. 1 n
Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 4 . n . 1 1 * , n N Giải: Ta có: n n 4 . n 4 . 1 n
Mặt khác chuỗi số n 1 4 hội tụ (theo ví dụ 1). 1 Vậy chuỗi số n n 1 4 . n hội tụ. u v n n
Định lý 5.8: Cho hai chuỗi số dương n 1 và n 1
. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn u lim n k 0 n vn
thì hai chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n
Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 3 2 . 1 n n 3 1 3 2 lim l im l im 1 n n 1 n n 3 2 2 1 n n Giải: Ta có: 3 3 . 1 n
Mặt khác chuỗi số n 1 3 hội tụ (theo ví dụ 1). 1 n
Vậy chuỗi số n 1 3 2 hội tụ.
3. Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số dương u u n 1 lim k n
Định lý 5.9 (Quy tắc D’Alembert): Cho chuỗi số dương n u n 1 . Nếu n thì
chuỗi số hội tụ khi k < 1, phân kỳ khi k > 1. n! n
Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 n . Giải: Ta có: n n n n u (n 1)! n (n 1).n n 1 n 1 1 n 1 n 1 u (n 1) n! (n 1) n 1 n n n u 1 1 n 1 1 lim l im 1 e 1 n n u n e n . Vậy chuỗi số hội tụ. un n lim u k
Định lý 5.10 (Quy tắc Cauchy): Cho chuỗi số dương n n 1 . Nếu n thì
chuỗi số hội tụ khi k < 1, phân kỳ khi k > 1. n 2 2n sin 2
Ví dụ 8: Xét sự hội tụ của chuỗi số: n 1 n 6 . Giải: Ta có: n 2 2n 2 3 3 1 3 n lim s in l im lim 1 2 2 2ln n n n n n 3 4 2 2 n n n e .
Vậy chuỗi số đã cho phân kỳ.
5.1.3. Hàm số một biến số thực a. Định nghĩa
1. Định nghĩa hàm số một biến số thực
Định nghĩa 5.11: Cho X là một tập hợp con không rỗng của tập số thực R. Một hàm
số f xác định trên tập X là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x X với một số
thực y xác định và duy nhất .
Người ta thường kí hiệu:
f : X R
x y f ( ) x
để chỉ hàm số f từ tập X vào R. Tập X được gọi là tập xác định của hàm số f. Với mỗi
x X , số y tương ứng với x được gọi là giá trị của f tại x và kí hiệu là f(x). f (X )
y R x X : f (x) Tập
y được gọi là tập giá trị của hàm số f(x).
Ví dụ 1: Cho X = R+ là tập các số thực không âm. Qui tắc cho tương ứng mỗi số thực x R y với một số thực
x là một hàm số trên R+. Hàm số này được kí hiệu như sau:
f : R R x y x
2. Tập xác định và đồ thị.
Cho f(x) là một biểu thức chỉ chứa một biến số x và xác định trên một tập hợp X. Khi
đó qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x X với một số thực y = f(x) là một hàm số
xác định trên tập X. Hàm số này được gọi là hàm số cho bởi công thức y = f(x). Đôi
khi để cho thuận tiện, hàm số cho bởi công thức y = f(x) thường được gọi tắt là hàm
số y = f(x) hay ngắn gọn hơn, hàm số f(x).
Định nghĩa 5.12: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của
biến số x sao cho f(x) có nghĩa. 2x 1 y
Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số x 3 là: X
x R x 3 R \ 3 .
Định nghĩa 5.13: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X. Tập hợp tất cả các điểm
M có tọa độ M = (x,y) trong đó x X và y = f(x) được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
Để vẽ đồ thị hàm số y = f(x), về nguyên tắc ta phải xác định tất cả các điểm M(x, f(x))
với x X . Tuy nhiên điều này không thực hiện được khi X có vô hạn điểm. Trong
trường hợp này ta chỉ có thể xác định một số hữu hạn các điểm (khá đặc biệt) thuộc
đồ thị rồi nối chúng lại để được một đồ thị gần chính xác của hàm số.
3. Một số đặc trưng của hàm số i) Hàm số đơn điệu
Ta nói hàm số f(x) không giảm (không tăng) trên khoảng (a, b) nếu với mọi x x x f x ( ) f x ( f x ( ) f x ( 1 , x 2 (a,b) , 1 2 kéo theo ) 1 2 (tương ứng ) 1 2 ).
Trong định nghĩa trên nếu bất đẳng thức f(x1) f(x2) được thay bằng bất đẳng thức
ngặt f(x1) < f(x2) (tương ứng: f(x1) f(x2) thay bằng f(x1) > f(x2)) thì ta nói hàm f là
đơn điệu tăng (tương ứng: đơn điệu giảm) trên khoảng (a; b).
Các hàm số đơn điệu tăng và hàm số đơn điệu giảm được gọi chung là các hàm số đơn điệu.
Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng là một đường đi lên (từ trái sang phải). Đồ thị của
hàm số đơn điệu giảm là một đường đi xuống. ii) Hàm bị chặn
Hàm y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập X nếu có hằng số M sao cho f (x) M ; x X .
Hàm y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập X nếu có hằng số m sao cho f (x) ;
m x X .
Hàm y = f(x) được gọi là bị chặn trên tập X nếu f(x) vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dưới trên X. Điều này tương đương với tồn tại hằng số c > 0 sao cho f (x) c ; x X . iii) Hàm số chẵn, lẻ
Tập X được gọi là tập đối xứng nếu: xX thì - xX
- Hàm số f : X R được gọi là hàm số chẵn nếu:
+ X là tập đối xứng (thường lấy là tập (-a, a))
+ Với mọi x X ta có x X và f(- x) = f(x).
- Hàm số f : X R được gọi là hàm số lẻ nếu:
+ X là tập đối xứng( thường lấy là tập (-a, a))
+ Với mọi x X ta có x X và f(- x) = - f(x).
Ví dụ 3: Các hàm số x2, x4, cosx,… là các hàm số chẵn. Các hàm số x, x3, sinx, tanx,
cotx,… là các hàm số lẻ.
- Đồ thị của hàm số chẵn thì đối xứng qua trục tung và đồ thị của hàm số lẻ thì đối 1 Q 656 p d
2 . Hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, biết hàm tổng chi 3 2 phí TC
Q 77Q 1000Q 40000 0 Q 6 0 0 .
Giải: Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, doanh nghiệp cần bán theo đơn giá 1 Q Q Q 656 p p 1312 2Q p sao cho d 2 . 2 Hàm doanh thu: TR p .Q ( 1312 2Q).Q 1 312Q 2Q .
Lợi nhuận của doanh nghiệp: TP T R TC 2 1312Q 2Q 3 2
Q 77Q 1000Q 40000 3 2
= Q 75Q 312Q 40000 TP Q Q 2 (loai) 2 3Q 150Q 312 0 Q 5 2
Mà TP'' = - 6Q + 150. Tại Q0 = 52 thì TP'' = - 162 < 0
Vậy tại mức sản lượng Q0 = 52 với giá tương ứng p =1208, hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa và TPCĐ = 38416.
2. Tối đa hóa doanh thu
Ví dụ 6: Cho hàm cầu một loại sản phẩm Q 1
0000 125p . Hãy xác định mức sản
lượng và giá bán để doanh thu là tối đa. Giải: Q 1 0000 125p p 8 0 0,008Q 2 Hàm doanh thu: TR p .Q ( 80 0,008Q).Q 8 0Q 0,008Q . TR '(Q) 8 0 0,016Q 0 Q 5 000
Mà TR’’(Q) = - 0,016 < 0, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại Q 5 000 0 . Khi đó giá bán sản phẩm p = 40.
Vậy tại mức sản lượng Q0 = 5000 và mức giá p0 = 40 thì doanh thu là tối đa và TRCĐ = 200.000.
3. Tối thiểu hóa chi phí
Ví dụ 7: Gọi Q là lượng hàng dự trữ một loại hàng hóa nào đó ở siêu thị và giả sử chi phí để lưu trữ: 2430 TC
30Q 750000 Q 0 Q
Hãy xác định mức sản lượng để chi phí lưu trữ là tối thiểu. 2430 TC'(Q) 30 0 Q 9 2 Giải: Ta có: Q . 4860 TC'(Q) TC'(9) 0 3 Mà Q
Vậy tại mức sản lượng Q = 9 thì chi phí lưu trữ là tối thiểu. Bài tập
Đạo hàm và vi phân của hàm một biến. x 1
f (x) x x arcsin Bài 5.21: Cho
x 2 . Tính f’(2).
Bài 5.22: Tính đạo hàm của các hàm số: 1 3 3 2
1. y x x x . y x x 2 2. x . x
y tan cotx
3. y x x x x . 4. 2 . 2 sin x 3 y 1 x 3 y 5. 2 sinx . 6. 3 1 x . arctan x x 7. y e . x x
8. y x x x (x 0) . x 9. y e lnsin x . y 2
ln x 1 x 10. .
Bài 5.23: Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2). .(x 100) . Tính f’(0).
Bài 5.24: Tìm vi phân của các hàm số sau: x x 1. y xe . y 2. 2 1 x .
Bài 5.25: Dùng công thức số gia của hàm số khả vi, hãy tính gần đúng các giá trị sau: 1. 3 1,02 . 2. 0 sin 29 3. lg11 4. arctan1,05
Bài 5.26: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số: 2 2 x x
1. y x 1 x 2. y e y 3. 2 1 x
Bài 5.27: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: ax b 1. y e 2. y s inax 2 x 3x 2 3. y c osax y 4. 2 2x x 1
Bài 5.28: Xác định a, b để các hàm số sau có đạo hàm tại x = 0: ( ) bx x a e khi x 0 y 2 1. a
x bx 1 khi x 0 ( 1) x x e khi x 0 y 2 2.
x ax 1 khi x 0
acos x bsin x khi x 0 y 3. ax b 1 khi x 0 1 n x sin khi x 0 y x Bài 5.29: Cho hàm số: 0 khi x 0 . Xác định n sao cho: 1.
Hàm số liên tục tại x = 0 2.
Hàm số có đạo hàm tại x = 0. arcsin x y
Bài 5.30: Cho hàm số 2 1 x . Chứng minh rằng: 2 (1 x )dy (1 xy)dx 0 . 2 Bài 5.31: Cho xy 1
ln y . Chứng minh rằng y dx (xy 1)dy 0 .
Bài 5.32: Chứng minh các bất đẳng thức: sinx sin y x y 1.
arctan x arctan y x y 2. x y l n x x y , 0 y x x y y 3.
Bài 5.36: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: 3 y x x
1. y x x 2 2. arctan
Bài 5.37: Tìm cực trị của hàm số: 2 3 2 3x 4x 4
1. y x 2x 7x 3 y 2. 2 x x 1 2 3 2
3. y x x 1
4. y x 3 x
Bài 5.38: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 3 3 2
y x 2x 4x 1 x ;2 1. , 2 . 2
y x ln x, x 1; e 2. . 1 x y a rctan , x 1; 0 3. 1 x . 4 3 2 x 2;4 4. y 3
x 8x 6x 24x 1 , .
Ứng dụng hàm một biến trong kinh tế.
Bài 5.50: Cho hàm cung và cầu của một thị trường cạnh tranh hoàn hảo là P 1 Q 0 80 S P 280 1 Q 0 D
Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá tại mức giá cân bằng của thị trường và nêu
ý nghĩa của kết quả tìm được.
Bài 5.51: Một doanh nghiệp có hàm cầu là Q = 360 – 2P và hàm chi phí TC = Q3 –
3,5Q2 – 60Q +500, trong đó P là giá sản phẩm, Q là sản lượng.
1. Xác định hàm doanh thu và hàm doanh thu cận biên.
2. Xác định hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 2 và nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.
3. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 5.52: Cho hàm cầu và hàm tổng chi phí của một hãng tương ứng là P = 12 – 0,4Q
và TC = 0,6Q2 + 4Q + 5. Hãy xác định mức sản lượng Q, giá cả P, doanh thu TR và
lợi nhuận TP khi hãng theo đuổi mục tiêu:
1. Tối đa hoá lợi nhuận. 2. Tối đa hoá doanh thu.
Bài 5.53: Hàm cầu và hàm chi phí của một loại sản phẩm tương ứng là P = 180 – Q và TC = Q2 + 2000
1. Tìm hàm doanh thu, doanh thu biên, chi phí biên.
2. Doanh nghiệp phải sản xuất mức sản lượng nào và giá bán bằng bao nhiêu để đạt mức lợi nhuận 1600?
Bài 5.54: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A có hàm cầu và hàm chi
phí tương ứng là P = 600 – 2Q và TC = 0,2Q2 + 28Q + 200.
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, tính giá bán và lợi nhuận khi đó.
Bài 5.55: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu Q = 300 – 20P và hàm chi phí bình quân AC = 1 + 0,02Q.
1. Xác định mức giá và sản lượng tối đa hóa doanh thu.
2. Xác định mức giá và sản lượng để hãng tối đa hóa lợi nhuận, mức lợi nhuận khi đó bằng bao nhiêu?
Bài 5.56: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với hàm cầu và hàm chi phí tương ứng là 1 QD 656 P; 3 TC Q 77 2
Q 1000Q 100 2 .
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất?
Bài 5.57: Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: MC 1000 Q
và chi phí cố định FC = 10000. Hãy tìm hàm tổng chi phí và chi phí biến đổi.
Bài 5.58: Cho biết hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: 2 MR 10000 4Q
Hãy tìm hàm tổng doanh thu và xác định hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất.
CHƯƠNG 6. HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ
Ở những chương trước, chúng ta đã nghiên cứu hàm y = f(x) với x là biến số và
gọi là hàm một biến. Tuy nhiên trong thực tế, một đại lượng biến thiên không chỉ phụ
thuộc vào một mà vào hai hay nhiều đại lượng biến thiên khác, do vậy ta phải nghiên
cứu hàm số nhiều biến số. Nói chung việc nghiên cứu hàm nhiều biến khá phức tạp,
nên ở chương này chỉ dừng lại nghiên cứu hàm hai biến, song từ việc nghiên cứu hàm
hai biến ta có thể suy ra các tính chất của hàm nhiều biến.
Đan xen với các nội dung toán học, chúng tôi trình bày một số mô hình toán
kinh tế, với mục đích giúp sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong phân tích kinh tế
6.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
6.1.1. Định nghĩa hàm số hai biến số Định nghĩa 6.1.
Cho D là một tập con của mặt phẳng xOy.
Một qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x, y) D với một và chỉ một số thực z=f(x,y) f: D R
(x,y) z f (x, y)
được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D.
Trong đó: + D gọi là miền xác định của hàm số z f (x, y)
+ x, y là các biến độc lập
+ z f (x, y) hay z f (M )được gọi là giá trị của hàm số tại điểm M(x,y) Ví dụ 1. 2 2
1. z 1 x y 2. z arc
sin(x y 1)
là các hàm số hai biến x và y
6.1.2. Miền xác định của hàm số hai biến số
a. Tập hợp trong không gian R2
Định nghĩa 6.2. Trong không gian vectơ 2 chiều 2 R
M (x, y) x, y R
Khoảng cách giữa hai điểm M(x1,y1) và N(x2,y2), ký hiệu là d(M,N), được xác định theo công thức: 2 2
d (M , N) (x x y y 2 1 ) ( 2 1 ) Hình cầu tâm M 2
o, bán kính r ( r > 0) trong R , kí hiệu là S(M0,r):
S(M ,r) 2
M R d(M, M ) r 0 0
S(M0, r) còn được gọi là r lân cận của điểm Mo
Mọi tập con của R2 chứa một r - lân cận của điểm M0 được gọi là một lân cận
của điểm M là điểm trong của D nếu tồn tại một r lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong D
D là tập mở nếu mọi điểm của D đều là điểm trong của D
M là điểm biên của D nếu mọi r lân cận của M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa
điểm không thuộc D. Tập tất cả các điểm biên của D gọi là biên của D.
Tập D được gọi là đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó. Ví dụ : D 2
M R d(M , M ) r 0 +
là tập mở và được gọi là hình cầu mở tâm M0 bán kính r
L M R 2 d(M ,M ) r 0 +
là tập đóng và được gọi là hình cầu đóng tâm M0 bán kính r
b. Miền xác định của hàm số hai biến số
Cho hàm số z f (x, y) . Miền xác định của z là tập hợp tất cả các cặp 2
(x, y) R làm cho biểu thức f (x,y) có nghĩa và được ký hiệu là Df
Quy ước: Nếu hàm số được cho bởi biểu thức z f (x, y) f (M ) mà không nói
gì thêm về miền xác định của hàm số thì ta hiểu miền xác định của z là tập hợp những
điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, hay D
z f (x, y
f = { M(x, y) R2| biểu thức ) có nghĩa} 2 2 2
Ví dụ 1: Hàm số z x y được xác định với (
x, y) R
Ví dụ 2: Hàm số z y x được xác định trong miền D
(x, y) R 2 y x 0
(x, y) R2 y x
là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng y x , kể cả đường thẳng này (Hình 6.1) 2 2 2
Ví dụ 3: Hàm số z R x y được xác định trong miền D 2 2 2 2
x y R R x y 2 2 2 2 ( , ) 0 ( ,
x y) R x y R
là hình cầu đóng tâm O, bán kính R (Hình 6.2)
c. Miền giá trị và đồ thị của hàm số hai biến số
+ Miền giá trị của hàm số z f (x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi
M (x, y) thay đổi trong miền xác định, ký hiệu Df , và
D z f x y x y D f ( , ) ( , ) 2 2
Ví dụ 1: Cho hàm số z x y . Giá trị của hàm số tại các điểm M0(0;0); M1(4;3) là: 2 2
z f (0,0) 0 0 0 z f 0 ; (4,3) 16 9 5 1 2 2
Ví dụ 2: Hàm số z x y có miền giá trị là: D f 0; 2 2
Ví dụ 3: Hàm số z sin(
x y ) có miền giá trị là D 1; 1 f
+ Đồ thị của hàm hai biến
Trên hệ trục tọa độ Oxyz, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x, y, z) với (x,y) D
và zD f gọi là đồ thị của hàm hai biến z f (x, y)
Nói chung đồ thị của hàm số z f (x, y) tạo thành một mặt S nào đó trong không gian ba chiều Oxyz. 2 2 2
Ví dụ 4: Đồ thị của hàm số: z R x y là nửa mặt cầu nằm phía trên mặt phẳng xOy (Hình 6.3)
d. Đường mức
Cho hàm số z f (x, y) xác định
trên miền D và z0 là một giá trị
cố định cho trước của hàm số.
Định nghĩa 6.3. Đường mức
của hàm số z f (x, y) là tập
hợp tất cả các điểm M (x, y)
thỏa mãn điều kiện f(x,y) z0
Ví dụ 1: Cho hàm số z 3 x 2y
Các đường mức của hàm số ứng với các giá trị z 2 z 0 z 2 0 ; 0 ; 0 lần lượt là
3x 2 y 2; 3x 2y 0
; 3x 2y 2 (Hình 6.4)
Ví dụ 2: Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A(0,1) của hàm số 2 2 x y
z 2x 6y 2 2 0 1 1
z f (0,1)
Giá trị của hàm số tại điểm A(0,1) là: 0 2.0 6.1 6 1 z
Phương trình đường mức của hàm số tại giá trị 0 6 là: 2 2 x y 1 2 2 1 2 1 2 10
6x 6y 2x 6y 0
(x ) (y ) 2 x 6 y 6 6 2 36 1 1 1 z I ( ; )
Vậy đường mức của hàm số tại giá trị 0 6 là đường tròn tâm 6 2 và bán kính 10 R 6
6.1.3. Một số hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế.
a. Hàm sản xuất
+ Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa ( tổng
số lượng sản phẩm hiện vật) của một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố đầu
vào của sản xuất. Nếu trong hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế chỉ quan tâm đến 2
yếu tố sản xuất quan trọng nhất là vốn (capital) và lao động (labor) thì hàm sản xuất có dạng: Q = f(K, L)
trong đó: Q là sản lượng ; K là vốn; L là lao động,
Q = f(K, L) > 0 K , 0 L 0
Các dạng hàm sản xuất phổ biến là: + Dạng tuyến tính: Q = a + bK+cL
+Hàm sản xuất dạng hàm Cobb-Douglas:
Q = a.KαLβ với a, α, β là các hằng số dương
b. Hàm chi phí, hàm doanh thu và hàm lợi nhuận + Hàm chi phí
Trong kinh tế, chi phí sản xuất giữ một vai trò quan trọng và là vấn đề quan tâm
của các doanh nghiệp, của người tiêu dùng và của cả xã hội nói chung.Chi phí sản
xuất là số tiền mà doanh nghiệp phải chi để mua các yếu tố đầu vào cần thiết cho quá
trình sản xuất nhằm thu được lợi nhuận.
Gọi wK là giá thuê một đơn vị vốn ( chẳng hạn như tiền thuê một giờ sử dụng
xưởng máy), wL là giá thuê một đơn vị lao động ( chẳng hạn như tiền phải trả cho một
giờ lao động của một công nhân), C0 là chi phí cố định, thì chi phí sản xuất theo các
yếu tố sản xuất, kí hiệu TC, là hàm số có dạng: TC = wK .K + wL .L + C0 + Hàm doanh thu
Doanh thu là số tiền mà doanh nghiệp thu được sau khi bán các sản phẩm và dịch
vụ của mình. Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = f( K,L )
và giá thị trường của sản phẩm là P thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số
của 2 biến số K , L như sau: TR = P.Q = P. f( K,L) + Hàm lợi nhuận
Lợi nhuận là mục tiêu kinh tế cao nhất, là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và
tổng chi phí. Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm lợi nhuận là hàm số của các
yếu tố sản xuất, kí hiệu là TP, có dạng:
TP = TR – TC = P. f(K, L) – ( wK .K + wL .L + C0)
Ví dụ: Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm có hàm sản xuất
Q = 25. K0.5. L0.5 với Q, K, L
Hãy lập hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của công ty theo K và L,
biết giá bán sản phẩm trên thị trường là 4$, giá tư bản wK là 15$, giá lao động wL là $8
và chi phí cố định của công ty là $50.
Giải. Hàm doanh thu của công ty là: TR = P.Q = 4. 25. K0.5. L0.5 0.5 = 100 K0.5. L
Hàm chi phí của công ty là: TC = wK .K + wL .L + C0 = 18K + 8L + 50
Hàm lợi nhuận của công ty là:
TP = TR – TC = P. f(K, L) – ( wK .K + wL .L + C0)
= 100 K0.5. L0.5 - (18K + 8L + 50 )
c. Hàm chi phí khi doanh nghiệp cùng sản xuất nhiều loại sản phẩm khác nhau
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Q1 và Q2. Để sản xuất Q1 đơn
vị sản phẩm 1 và Q2 đơn vị sản phẩm 2 thì doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí
TC. Khi đó chi phí của doanh nghiệp được xác định là hàm số của 2 biến Q1 và Q2: TC = TC(Q1, Q2)
e. Hàm lợi ích
Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có 2 mặt hàng x và y. Mỗi giỏ
hàng là một bộ số thực (x, y), trong đó x là lượng hàng hóa thứ nhất và y là lượng
hàng hóa thứ hai (x ≥ 0, y ≥ 0) do người mua thiết lập. Hàm lợi ích là hàm số đặt
tương ứng với mỗi giỏ hàng (x,y) một giá trị U nhất định theo qui tắc: giỏ hàng nào
được ưa chuộng hơn thì gán cho giá trị lợi ích lớn hơn, kí hiệu là:U= U( x,y) ( U(x,y) >0 với x , 0 y ) 0 .
Một trong những hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm dạng Cobb-Douglas:
U(x,y) = a. xα .yβ (a, α , β là các hằng số dương).
6.2GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ
6.2.1. Giới hạn của hàm hai biến số
a. Giới hạn của dãy điểm trong mặt phẳng: Cho dãy điểm {M n(xn,yn)} D ( với D 2
R ). Ta nói dãy điểm {Mn} hội tụ tới M0 khi n lim d(M M n , ) 0 nếu 0 n lim M M Kí hiệu: n 0 M M n hay n 0 khi n x x 2 2 0
d (M ,M ) (x x y y n ) ( m ) 0 n n 0 0 0
Nhận xét: M M y y n 0 n 0
Như vậy, sự hội tụ của dãy điểm trong không gian R2 chính là sự hội tụ theo tọa độ. 1 n M n ( ; ) lim M
Ví dụ 1: Cho dãy điểm n n 1 . Tìm n n 1 n lim x lim y n lim 1 n lim 0 Ta có: n n n và n n n 1 1 n lim M M n( ; ) (0,1)
Vậy dãy điểm M n hội tụ về điểm M (0,1) khi n hay n n n 1 3 2n 1 M n ( ; ) lim M
Ví dụ 2: Cho dãy điểm n n 1 .Tìm n n 3 2n 1 lim x lim y n lim 2 n lim 0 Ta có: n n n và n n n 1
Vậy dãy điểm M n hội tụ về điểm M (0,2)
b. Giới hạn của hàm số hai biến số. Cho hàm số z f
(x, y) xác định trong miền 2 D R , M 2
M (x , y ) n n n 0 R , là một dãy
điểm trong miền D. Với hàm số z = f (x,y), mỗi dãy điểm
M (x , y ) M (x , y ) M x y 1 1
1 ; 2 2 2 ;…; n ( n, n ) ;… (1)
cho tương ứng với một dãy số
z f (M ) z f (M ) z f M 1 1 ; 2 2 ; …; n ( n) ;… (2)
Khi đó, dãy số (2) được gọi là dãy các giá trị của hàm z tương ứng với dãy điểm
(1) lấy từ miền xác định D.
Định nghĩa 6.4. Nếu với mọi dãy điểm (1) lấy từ miền xác định D M (x , y ) 0 0 0 của hàm
số z f (x, y) và hội tụ tại điểm M (x , y ) 0 0
0 , mà dãy số (2) tương ứng luôn luôn có giới
hạn L thì số L được gọi là giới hạn của hàm số đã cho khi M M
(x, y) (x , y ) 0 hay 0 0 và ký hiệu: lim f ( , x ) y L x x
lim f (M ) L 0 y y0 hay M M 0
Cũng như khi xét giới hạn của hàm số một biến, có thể chứng minh rằng định
nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau:
Định nghĩa 6.5. Hằng số L được gọi là giới hạn của hàm số z f (x, y) khi (x, y) (x , y ) 0
0 nếu với mọi 0 bé tùy ý cho trước, đều tồn tại số 0 sao cho
0 x x
0 y y
f x y L 0 và 0 thì ( , ) Chú ý:
- Khái niệm giới hạn vô hạn cho hàm hai biến cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một biến.
- Việc chứng minh các định lý sau về giới hạn của tổng, tích, thương đối với các hàm
số hai biến cũng tương tự như khi chứng minh cho hàm một biến lim f ( , x y) m lim g(x, y) n x a x a
Định lý 6.1: Nếu y b và y b thì:
lim f (x, y) g (x, y) l
im f (x, y) lim g (x, y) m n x a x a x a + y b y b y b
lim f (x, y).g(x, y ) lim f (x, y).lim g(x, y) . m n x a x a x a + y b y b y b lim f ( , x y) f ( , x ) x a y m lim y b x a g (x, y) lim g(x, y) n y b + x a y b với (n 0 )
Định lý 6.2. (Nguyên lý kẹp) Giả sử g(x, y) f (x, y) h
(x, y) với (
x, y) thuộc lân cận lim g(x, y) lim ( h , x y) L
lim f (x, y) L x x x x x x của điểm M(x 0 0 y y y y y y 0,y0) và 0 0 . Khi đó: 00 2 2
lim( x 2 x y 6 y 4) x 1
Ví dụ 1: Tìm giới hạn y3 Giải:
+ Tập xác định của hàm số 2 2
f (x, y) (
x 2x y 6 y 4) là R2
+ Với mọi dãy điểm M (x , y ) M (1,3) n n n hội tụ đến điểm 0 , ta luôn có: 2 2 d d
(M M x y khi n n , ) ( n 1) ( n 3) 0 0 + Ta có 2 2 lim f (M
x x y y n ) lim( n 2 n n 6 n 4) x 1 x 1 y 3 y 3 2 2 2 l im (x y d n 1) ( n 3) 6 lim( 6) 6 x 1 d 0 y 3 2 2
lim(x 2x y 6y 4) x 1
Vậy theo định nghĩa 6.4 ta có y 3 = - 6 2 2 x y lim x 0 2 2
Ví dụ 2: Tìm giới hạn y 0 x y 1 1 Giải. 2 2 x y
f (x, y) 2 2 + Hàm số
x y 1 1 không xác định tại điểm O(0,0)
+ Với mọi dãy điểm M x y M (0,0) n ( n , n ) hội tụ đến điểm 0 , ta luôn có: 2 2 2 2 d d
(M M x y x y khi n n , ) ( n 0) ( n 0) n n 0 0 + Ta có 2 2 2 2 x y d d d n n ( 1 1) 2 lim f (M d n) lim lim lim lim( 1 1) 2 2 x 0 x 0 2 2 d 0 2 d 0 d 0 (d x y d 1) 1 y 0 y 0 n n 1 1 1 1 2 2 x y lim 2 x 0 2 2 Vậy y 0 x y 1 1 2 lim xy 2 2 x 0
Ví dụ 3: Giới hạn x y y 0 có tồn tại hay không? Giải.
Giới hạn này không tồn tại vì xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến O(0,0) x y n n 1 1 ( , ) ( ; ) (0,0) n n khi n x y n n 1 1 ( ' , ' ) ( ; ) (0,0) 2 n n khi n
nhưng các dãy giá trị tương ứng của hàm số lại hội tụ đến hai giá trị khác nhau 1 1 1 2. . 2. 2 ( , ) n n n f x y 1 n n 1 1 1 2. 2 2 2 n n n khi n 1 1 2 2. . 2 3 ( ' , ' ) n n n f x y 0 n n 1 1 1 1 2 4 2 4 n n n n khi n 3 3 x 2 y lim 2 2 x 0
Ví dụ 4: Tìm giới hạn x y y 0 Giải. 3 3 x 2y f ( , x ) y +Hàm số 2 2
x y không xác định tại điểm O(0,0) . 3 3 3 3 x 2y x 2y 0
x 2 y ; x 0, y 0. 2 2 2 2 2 2 + Ta có: x y x y x y 3 3 x y lim( 2 x 2 y ) 0 lim 0 x 0 2 2 x 0 + Vì x y y 0
nên theo định lí 6.2 (nguyên lý kẹp) ta có y0 3 3 x 2 y lim 0 2 2 x Vậy 0 x y y 0
c. Các giới hạn lặp
Giới hạn theo định nghĩa trên được gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép (các quá trình x x y y 0 và
0 diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau). Ngoài giới hạn
kép, ta có thể xét các giới hạn lặp theo cách thức sau:
lim f (x, y ) (y)
+ Với y y0 cố định y, ta tính trước giới hạn xx0 , sau đó tính giới hạn lim ( ) y E y y0 lim lim f ( , x y) E
Trong trường hợp này, ta viết: yy 0 x x0
lim lim f (x, y) F
Tương tự, ký hiệu xx0 yy0
lim f (x, y) (x) lim (x) F
Có nghĩa: y 0y và x 0x
Nói chung, giới hạn kép L và các giới hạn lặp E, F là các giới hạn có giá trị khác
nhau, thậm chí các giới hạn lặp E và F cũng có thể khác nhau. x y f ( ,x ) y
Ví dụ: Cho hàm số x y
+ Khi ( ,x y) (0,0) hàm số trên không có giới hạn kép x y ( x' y n , 'n) 2 1 n n 1 1 ( , ) ( ; ) ( ; )
Thật vậy: Xét hai dãy điểm n n và n n
đều hội tụ đến điểm O(0,0) khi n , trong khi đó các dãy giá trị tương ứng của hàm
số lại hội tụ tới những giới hạn khác nhau 1 1 2 1 1 n n n 1 ( n n f x y
f (x' , y ' ) n , n ) 0 1 1 n n 2 1 3 3 n n khi n và n n n khi n lim f ( , x y) x Do đó: 0 y 0 không tồn tại
+ Các giới hạn lặp tồn tại nhưng có giá trị khác nhau x y y E l
im(lim f (x, y)) l im(lim ) l im 1 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x y y x y x F l
im(lim f (x, y)) l im (lim ) l im 1 x 0 x 0 x 0 y 0
y 0 x y x
6.2.2. Tính liên tục của hàm hai biến số
a. Các định nghĩa về tính liên tục
Định nghĩa 6.6. Hàm số z f (x, y) được gọi là liên tục điểm (x , y ) D 0 0 nếu:
lim f (x, y) f (x , y ) 0 0 x x 0 y y0
và điểm (x , y ) 0 0
gọi là điểm liên tục của hàm số 2 2
lim(3x 2xy y ) 6 f (1,1) x 1 Ví dụ: Hàm số 2 2 z 3
x 2xy y liên tục tại M(1,1) vì y1
Nhận xét: Cũng như đối với hàm một biến, để xét tính liên tục của hàm số hai biến tại M(x , y ) 0
0 , chúng ta phải kiểm tra ba điều kiện sau:
Hàm số xác định tại (x , y ) 0 0 lim f ( , x ) y b x x Tồn tại giới hạn 0 y y0
b f (x , y ) 0 0
Định nghĩa 6.7. Hàm số z f (x, y) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục
tại mọi điểm (x , y ) D 0 0
Định nghĩa 6.8. Nếu tại điểm (x , y ) 0
0 hàm số z f (x, y) không liên tục thì hàm f (x, y)
gọi là gián đoạn tại (x , y ) (x , y ) 0 0
và điểm 0 0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số
b. Các phép tính về hàm liên tục
Nếu các hàm f (x, y) và g(x, y) liên tục tại điểm (x , y ) 0 0 thì:
f (x, y) g
(x, y) liên tục tại (x , y ) 0 0
f (x, y).g(x, y) liên tục tại (x , y ) 0 0 f (x ,y )
g (x, y) liên tục tại (x , y )
g(x , y ) 0 0 0 (với 0 0 ) xy
khi (x ,y ) (0,0) 2 2 f ( ,
x y) x y
Ví dụ: Khảo sát tính liên tục của hàm số 0
khi (x, y) ( 0,0)
trong đó α là một hằng số dương. Giải:
Hàm f (x, y) liên tục tại mọi điểm ( ,x y) (
0,0) vì là thương của hai hàm liên tục mà mẫu khác 0 Xét tại điểm O(0,0)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 2 2 2 2 1 xy ( x y ) f ( , x ) y ( x y ) 2 2 Do đó:
lim f (x, y) 0
Nếu 1 thì (x,y)(0,0)
, vậy f (x, y) liên tục tại O(0,0) 2 x 1 f ( , x ) x Nếu 1, ta có: 2 2(1 ) 2x 2x
không dần tới 0 khi x 0 , suy ra
hàm f (x, y) không liên tục tại O(0,0)
6.3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 6.3.1. Đạo hàm riêng
a. Định nghĩa.
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong một miền D, M0 (x0, y0) là một điểm của D
+Cố định y = y0 và cho x một số gia ∆x thì số gia theo biến x của hàm số tương ứng là:
∆xz = f (x0 + ∆x, y0 ) – f(x0,y0) xz f (x0 x , y0) f (x0, y0) lim lim Nếu x 0 x x 0 x
tồn tại giới hạn thì giới hạn đó
được gọi là đạo hàm riêng của hàm số z theo biến x tại điểm M0 (x0, y0) và kí hiệu f z ' (x0,y0) (x0,y0) ' là:f x(x 0, y0) , x , x hay zx(x0, y0)
+ Tương tự, đạo hàm riêng của hàm số z = f(x,y) theo biến y tại điểm M0 (x0, y0) yz f (x0,y0 y ) f (x0, y0) lim lim y 0 y y 0 y
là giới hạn (nếu có) của tỷ số f z ' f (x ,y ) (x0, 0 y ) ( 0 x , 0 y ) ' z (x ,y ) và kí hiệu là: y 0 0 , y , y hay y 0 0
b. Cách tính đạo hàm riêng
Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến x tại điểm M0 (x0, y0) , ta
coi y như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với biến x.
Để tìm đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến y tại điểm M0 (x0, y0) , ta
coi x như hằng số và lấy đạo hàm như hàm số một biến đối với biến y.
Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của hàm số z = 5x2 + 2xy2 - 7y2 + 1 Ta có z’ 2 x = 10x + 2y z’y = 4xy – 14y Ví dụ 2: Tính z’ ’ 2
x và z y tại điểm M(1, 2) của hàm số z = 3 x y3 + x+ y Ta có z’ 3 x = 6 xy +1 z’x(1, 2) = 6.1.8 + 1 = 49 z’ 2 ’ y = 9x y2 + 1 z y(1, 2) = 9.1.4 + 1 = 37
Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của hàm số z = xy (x > 0) Ta có : z’ y 1 x x = y. z ’ y y = x .ln x
c. Đạo hàm riêng của hàm số hợp
Trường hợp 1:
Cho hàm số z =f (u, v) là hàm hai biến khả vi,với u= u(x), v = v(x) là các hàm khả vi. Khi đó: z f f u f v ' ' ' ' . . f
u (u,v).ux (x) fv (u,x). x v (x) x x u x v x z f ' ' ' f x(x,y) fy(x,y).yx x x
Đặc biệt nếu z =f (x, y) và y = ( y) thì Trường hợp 2:
Cho hàm số z =f (u, v) trong đó u, v lại là các hàm số của hai biến x và y :
u = u(x, y), v = v(x, y). Khi đó: z f f u f v ' ' ' ' . . uf (u,v). x u (x, y) vf (u,x). x v (x,y) x x u x v x z f f u f v ' ' ' ' . . f
u(u,v).uy(x, y) fv(u,v).vy(x,y) y y u y v y
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số hợp sau
f(u, v) = ln(u2 + v2), u = x+y, v = xy
Giải. Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có f f u f v u 2 v 2 . . .1 .y x u x v
x u 2 v2 u 2 v 2 2 2(x y) 2( ) xy
2(x y xy ) .y 2 2 2 2 2 2 = ( x ) y ( ) xy ( x ) y ( ) xy
(x y) (xy) Tương tự, ta có f f u f v u 2 v 2 . . 1 . x . y u y
v y u 2 v 2 u 2 v 2 2 ( 2 x y ) 2(xy)
2(x y x ) y .x 2 2 2 2 2 2
(x y ) (xy) ( x ) y ( ) xy
(x y) (xy)
6.3.2. Vi phân toàn phần
Nếu hàm số z = f( x,y ) xác định trong miền D. Tại điểm: M
0( x0, y0) D , cho x một số gia x
và y một số gia y sao cho M(x0 x;y0 y ) thuộc miền D. Biểu thức z f ( 0 x x ; 0 y y) f (x0, 0
y ) được gọi là số gia toàn phần của hàm số z = f( x,y ).
Định nghĩa 6.9. Nếu số gia z biểu diễn dưới dạng:
z Ax By ( x ) (y)
trong đó A, B chỉ phụ thuộc vào điểm M ( x ); ( y ) 0( x0, y0) còn là các vô cùng bé khi M 0
M ( tức làx 0, y 0 ) thì ta nói hàm số z khả vi tại M0( x0, y0) và biểu thức:
dz = df = A.x B. y
được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f( x,y ) tại điểm M0
Định nghĩa 6.10. Hàm số z = f( x,y ) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi
tại mọi điểm của miền D '
Định lý 6.3. Nếu hàm z = f( x,y) khả vi tại điểm M( x ,y ), thì tồn tại fx( ,x ) y và ' f (x, y ) y đồng thời ' ' ' ' dz f x(x,y). x fy(x,y).y f x(x,y).dx+fy(x,y).dy 2
Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm sốz l n(x y ) ' 1 ' 2y zx ; zy 2 2 Ta có: x y x y 1 2y dz dx + dy 2 2 Vậy x y x+y
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hàm hai biến số z = f( x,y ) có các đạo hàm riêng tại
một điểm thì chưa chắc khả vi tại điểm đó, mà chỉ khi có đạo hàm riêng liên tục thì
hàm số mới khả vi. Ngược lại, một hàm 2 biến số khả vi tại một điểm thì có các đạo
hàm riêng tại điểm đó. Vì vậy, đối với hàm 2 biến, khái niệm hàm số khả vi và hàm
số có đạo hàm riêng là không tương đương. Đây là điểm khác nhau căn bản của hàm
số hai biến số so với hàm một biến số.
6.3.3. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao
a. Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm số z =f( x, y), các đạo hàm riêng z’x, z’y được gọi là các đạo hàm riêng cấp
một của hàm số z =f( x, y).
Nói chung các đạo hàm riêng( nếu tồn tại) này lại là các hàm số của hai biến số x và Trên cạnh OB có: x = 0, 2 2 z 2
y 1 ( y 1) 1
Ta có z’y = 6y - 2=0 khi y = 3 1 5
Vậy trên cạnh OB hàm số z có một điểm dừng M 3 3 2(0; ) và z (M2)=
Trên cạnh AB có: y = 1 - x, 2 2 z 3
x 3(x 1) 1 2
Ta có z’x =12x - 6 = 0 khi x = 1 1 ( ; ) 2 2
Vậy trên cạnh AB hàm số z có một điểm dừng M3 và z(M3)= 3/2
+ Ngoài trên biên hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại các đỉnh O, A, B
Ta có: z(O) = 2; z(A) = 3; z(B) = 3
So sánh tất cả các giá trị tìm được trong miền tam giác OAB, trên các cạnh và tại các
đỉnh của tam giác ta thấy:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại A , tại B
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4/3 tai điểm N(1/3;1/3)
6.6. ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
6.6.1. Một số bài toán về sự lựa chọn tối ưu của nhà sản xuất
a. Bài toán về sự lựa chọn tối ưu mức sử dụng các yếu tố sản xuất
1. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận.
Giả sử một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo (sản xuất một loại sản phẩm, có hàm sản xuất là: Q= f(K,L).
Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp lý các yếu
tố đầu vào là vốn và lao động, với giả thiết các yếu tố sản xuất khác không thay đổi.
Vì cạnh tranh hoàn hảo nên doanh nghiệp phải chấp nhận giá cả của thị trường, kể cả
giá đầu vào và đầu ra. Gọi P là giá thị trường của sản phẩm do doanh nghiệp sản xuất;
w K,wL là giá thuê vốn và giá thuê lao động. Khi đó hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là: TP f
(K,L).P (w KK+wLL C0) (C là chi phí cố định) 0
trong đó: P.f (K,L) là tổng doanh thu;w KK+w LL là tổng chi phí cho các yếu tố đầu
vào của quá trình sản xuất
Bài toàn tối đa hóa lợi nhuận có nội dung như sau: Chọn (K,L) để hàm TP f
(K,L).P (w KK+wLL C0) đạt giá trị cực đại.
Để giải bài toán trên ta áp dụng quy tắc tìm cực trị cho hàm số 2 biến số: TP = TP(K,L) 2 1
Ví dụ 1: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 3 4 Q 300 K L
Doanh nghiệp bán sản phẩm của mình trong một thị trường canh tranh hoàn hảo với
giá cố định là $1 một đơn vị sản phẩm và mua 2 yếu tố đầu vào K và L với giá lần
lượt là wK =$100 và wL=$150 một đơn vị.
Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố (K, L) sao cho việc sản xuất của
doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải. 2 1
Hàm doanh thu: TR = PQ = 1.(300 3 4 K L )
Hàm chi phí : TC = 100K +150L 2 1
Hàm lợi nhuận: TP = PQ – TC = .300 3 4 K L - (100K +150L)
Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình 1 1 T P 1 1 3 4 1 0 3 4 K L (1) K 200K L 100 2 T P 2 3 2 3 0 3 4 75K L 1 50 3 4 L K L 2 (2)
Chia phương trình (1) cho phương trình (2) theo vế với vế ta được: K = 4L L 1 6
Thay vào K = 4L vào phương trình (1) ta có nghiệm của hệ phương trình là K 6 4
Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm TP là: 4 1 1 3 2 7 2 2 2 2 TP 1 3 4 TP 1 3 4 TP TP 3 3 4 200( )K L ; 200 K L ; 75( )K L 2 2 K 3 K L 4 L K L 4 L 1 6 Tại điểm K 6 4 ta có 4 2 1 TP 1 3 4 A (64,16) 200( )64 16 0,52083 0 2 K 3 1 3 2 TP 1 3 4 B (64,16) 200 .64 16 1 ,5626 0 KL 4 2 7 2 TP 3 3 4 C (64,16) 75( )64 16 7,03125 0 2 L 4 A 0 2 Suy ra AC B 1 ,220703 0 L 1 6 Vậy khi K 6
4 thì doanh nghiệp sẽ đạt giá trị lợi nhuận tối đa là 2 1 TP 3 4 64 16 max = 300.
- (100.64 +150.16) = 800 ( đơn vị tiền tệ)
2. Tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định.
Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo sản xuất 1 loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = f(K,L)
Giả sử hãng tiến hành sản xuất với một ngân sách cố định b dùng chi cho việc mua
các yếu tố đầu vào K và L. Khi đó: TP = TR -TC f (K,L).P (wKK+wLL 0 C ) f (K,L).P b
Vì b cố định, giá sản phẩm P là yếu tố do thị trường quyết định nên dẫn đến là đồng
nhất mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận TP với mục tiêu tối đa hóa sản lượng Q = f(K,L)
Bài toán tối đa hóa lợi nhuận được đặt ra như sau:
Chọn (K,L) để hàm số Q = f(K,L) đạt cực đại với điều kiện w KK+w LL b
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán trên về bài toán tìm cực trị có điều kiện quen thuộc.
Ví dụ: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = 2. 0.3 0.5 K L
Giả sử giá thuê tư bản là wK = 6, giá thuê lao động là wL=2 và doanh nghiệp tiến
hành sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định là 4800. Hãy cho biết doanh nghiệp
đó sử dụng bao nhiêu đơn vị vốn và lao động thì thu được sản lượng tối đa. Giải:
Bài toán trở thành tìm cực trị của hàm số
Q = f(K,L) =2.K0.3.L0.5 với điều kiện 3K + L = 2400
Hàm Lagrange tương ứng là:
L(K,L, ) = 2.K0.3.L0.5 + [ 2400-3K-L ]
Tọa độ điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ phương trình: ' L 0 2400 3K L 0 ' L K 0 0,7 0,5 0,6K L 3 0 ' L L 0 0,3 0,5 K L 0 3K L 2400 (1) 0,7 0,5 0,6K L 0,3 0,5 K L (2)
Giải hệ phương trình 3
Từ (2) ta có: 0.2 L = K L = 5K K 300 L 1500 0,3 0,5
Thay vào (1) ta có (300) (1500) Điều kiện đủ:
Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(K, L) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange: ' ' 1 g g K 3 ;g2 g L 1 ' 1,7 0,5 L ' 0,3 1,5 ' 0,7 0,5 2 K 0,42K
L 0 ; L 2L 0,5K L 0 ; LKL 0 ,3K L 0
Tại K= 300 và L = 1500 thì 0 3 1 H 3 1 L 1 1 L 2 3 1 L 2 3 2 L 1 1 L 1 9 2 L 2 6 1 L 2 1 L 1 9 2 L 2 0 1 2 L 1 2 L 2 K 3 00
Vậy hàm số đạt giá trị cực đại khi L 1 500
Hay nói cách khác, doanh nghiệp nên sử dụng K = 300 và L=1500 thì sản lượng thu 0,3 0,5
được đạt giá trị tối đa Qmax 2
.300 .1500 ( đơn vị sản lượng)
3.Tối thiểu hóa chi phí khi sản xuất một lượng sản phẩm cố định.
Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo với hàm sản xuất Q= f(K,L)
Giả sử doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định Q0
Khi đó hàm lợi nhuận TP = TR- TC =P.Q0 – (WK .K + WL.L) Vì TR =P. 0
Q cố định nên mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối
thiểu hóa chi phí sản xuất TC.
Trong trường hợp này bài toán tối đa hóa lợi nhuận được đặt ra như sau:
Tìm (K,L) để hàm số TC = WK .K + WL.L đạt cực tiểu với điều kiện f(K,L) = Q0
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán trên về bài toán tìm cực trị của
hàm 2 biến có điều kiện thông thường.
Ví dụ: Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = K(L+5)
công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử
dụng các yếu tố K, L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng nói trên
tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản WK = 70, và giá thuê lao động WL =20.
Giải: Bài toán trở thành: Tìm (K,L) để hàm số TC = 70K + 20L đạt giá trị cực tiểu
với điều kiện K(L+5) = 5600 Lập hàm Lagrange
L(K,L, )= 70K+ 20L+ (5600 – KL -5K).
Hệ phương trình điều kiện cần: ' L 0 5 600 KL 5K 0 (1) ' L K 0 7 0 ( L 5) 0 (2) ' L L 0 20 K 0 (3) 70 L 50 20 K 2 7 L K 5
Từ (2) và (3) ta có: K L 5 7 2 7 L 7 K 5 5600 K( K 5) 5K 0 Thế 2 vào (1): 2 7 2 K 40 K 5600 0 2 K 40 1 L 135 ; Với K = 40 2 1 L 145; Với K = - 40 2 1 1 (40;135; ) ( 40; 145; )
Vậy hàm Lagrange có 2 điểm dừng M M 1 2 và 2 2 1 (40;135; )
Vì K > 0, L > 0 nên ta chỉ xét tại điểm M 1 2
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(K,L) và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm ' ' Lagrange là: g g g 1 K L+5; g2 L K; ' ' ' L L 2 L L 2
11 = K = 0, L12 = L21 = KL = - ; L22 = L = 0 0 L 5 K H L 5 0 2 K (L 5) K 0 1 ; ) Tại M 1 ( 40, 135 2
H = -5600 < 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm
M1 (40,135) và TCmin = 70K + 20L = 5500
Hay nói cách khác: để cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng nói trên tốn
ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản WK = 70, và giá thuê lao động WL =20
thì doanh nghiệp nên sử dụng 40 đơn vị vốn và 135 đơn vị lao động.
b. Một số bài toán về lựa chọn mức sản lượng tối ưu
1. Bài toán về lựa chọn mức sản lượng tối ưu của doanh nghiệp cạnh tranh
sản xuất hai loại sản phẩm
Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi
phí kết hợp được tính theo số lượng sản phẩm TC = TC(Q1,Q2)
Q1: số lượng sản phẩm thứ nhất
Q2: số lượng sản phẩm thứ hai
Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản
phầm, gọi P1, P2 tương ứng là giá thị trường của hai loại sản phẩm Q1, Q2; hàm tổng lợi nhuận có dạng:
TP = TR – TC = P1Q1 + P2Q2 - TC(Q1Q2)
Bài toán đặt ra là hãy tìm một cơ cấu sản lượng (Q1,Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ: Giả sử hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất hai loại 2 2 TC 6
Q 3Q 4Q Q sản phẩm là 1 2
1 2 và giá của các sản phẩm tương ứng là: P1 = 60,
P2 = 34. Hãy xác định mức sản lượng (Q1,Q2) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải:
Hàm doanh thu TR = 60Q1 + 34Q2 2 2 (6Q 3Q 4 1 2 1 Q 2 Q )
Hàm tổng lợi nhuận TP = TR - TC = 60Q1 + 34Q2 -
Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình T P 0 1 Q T P
60 12Q 4Q 0 0 1 2 2 Q 3 4 6 2 Q 4 1 Q 0 1 Q 4
Giải hệ phương trình ta có Q 3 2 2 2 2 TP TP TP 12; 4; 6 2 Q Q 2 Q 1 2 Q
Xét các đạo hàm riêng cấp hai: 1 2 Q 4 1 Tại Q 3 2 tacó 2 2 2 TP TP TP A (4,3) 12;B (4,3) 4;C (4,3) 6 2 Q Q 2 Q 1 2 1 2 Q A 12 0 2
và AC B 1 2.6 16 5 6 0
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 4 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 3
đơn vị hàng hóa thứ hai.
2. Bài toán về sự lựa chọn mức sản lượng tối ưu của doanh nghiệp sản xuất độc quyền
Trường hợp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm hàng hóa
Giả sử tổng chi phí tính theo số lượng sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền sản
xuất hai loại hàng hóa là TC=TC(Q1,Q2)
Q1:số lượng sản phẩm hàng hóa thứ nhất
Q2: số lượng sản phẩm hàng hóa thứ hai
Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản xuất và
cầu của thị trường, giả sử hàm cầu của hai loại sản phẩm trên là: 1 1 Q 1 D ( 1 P ) P1 D ( 1 1 Q ) 1
Q D (P ) P D (Q ) 2 2 2 2 2 2
Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là: TP =P1Q1+P2Q2 -TC(Q1,Q2) 1(Q ).Q 1 D (Q ).Q = 1 D 1 1+ 2 2 2 - TC(Q1,Q2)
Bài toán trở thành: tìm một cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Để giải bài toán này, chúng ta áp dụng phương pháp giải bài toán cực trị của hàm hai
biến thông thường, từ đó xác định được mức sản lượng (Q ,Q )
1 2 để lợi nhuận đạt giá
trị lớn nhất và từ đó xác định được giá bán tối ưu tương ứng là: 1 P D (Q ) 1 1 1 1 P D (Q ) 2 2 2
Ví dụ 1: Giả sử một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi 2 2 TC Q
Q 2Q Q 20 phí 1 2 1 2
Giả sử cầu của các loại hàng hóa đó là: Q1= 25 – 0.5P1 và Q2= 30 – P2
Hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu cho từng sản phẩm.
Giải: Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là: TP = P1Q1+P2Q2 -TC(Q1,Q2)
Từ hàm cầu của hai loại hàng hóa ta có: Q 1 = 25 – 0.5P1 P1= 50 – 2Q1 Q 2 = 30 – P2 P2= 30 – Q2 suy ra hàm lợi nhuận 2 2
(Q Q 2Q Q 20) TP = (50 – 2Q 1 2 1 2 1). Q1 + (30 – Q2). Q2 - 2 2
Q Q Q Q Q Q = 50 1 30 2 3 2 2 1 2 1 2 20
Giải bài toán cực trị không điều kiện đối với hàm số hai biến số TP(Q1,Q2) ta xác định
được mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa là:( 1 Q 7 , 2 Q 4
) và giá bán để đạt được lợi nhuận tối đa là: 1 P D (Q ) 5 0 2Q 3 6 1 1 1 1 1 P D (Q ) 3 0 Q 2 6 2 2 2 2
Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa
nhưng tại hai cơ sở sản xuất khác nhau
Trong trường hợp này, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng và giá bán tối ưu căn
cứ vào chi phí ở từng cơ sở sản xuất của các nhà máy và cầu đối với sản phẩm.
Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là TP = D-1(Q).Q – TC(Q1) – TC(Q2) trong đó:
Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp Q = Q1+Q2
Q1 là lượng sản phẩm sản xuất ở cơ sở thứ nhất
Q2 là lượng sản phẩm sản xuất ở cơ sở thứ hai
P =D-1(Q) là hàm cầu ngược
Bài toán trở thành tìm cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa
và từ đó suy ra giá bán tối ưu của sản phẩm.
Ví dụ 2: Một công ty độc quyền sản xuất một loại hàng hóa tại hai nhà máy với các
hàm chi phí cận biên tương ứng là MC1= 2+ 0,1.Q1 và MC2= 4 + 0,08.Q2 (Qi là lượng
sản phẩm sản xuất ở nhà máy thứ i, i =1,2). Công ty bán sản phẩm trên thị trường với
hàm cầu P = 58 - 0,05.Q. Nếu công ty đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất
bao nhiêu sản phẩm và bán với giá bao nhiêu?
Giải: Tổng lợi nhuận của công ty là:
TP = (58 – 0,05Q).Q – TC1(Q1) – TC2(Q2)
Với Q = Q1 +Q2 ta có TP = 58(Q1+Q2) – 0,05(Q1+Q2)2 – TC1(Q1) – TC2(Q2) Điều kiện cần: TP 0 Q
58 0,1(Q Q ) TC ' (Q ) 0 1 1 2 1 1 TP
58 0,1(Q Q ) TC' (Q ) 0 1 2 2 2 0 2 Q 58
0,1(Q Q ) MC (Q ) 0 1 2 1 1
58 0,1(Q Q ) MC (Q ) 0 1 2 2 2 5 6 0,2 1 Q 0,1 2 Q 0 1 Q 1 80 5
4 0,1Q 0,18Q 0 1 2 Q 2 00 2 Điều kiện đủ: 2 2 2 TP TP TP 0,2; 0,1; 0,18 2 Q Q 2 Q 1 2 Q
Các đạo hàm riêng cấp hai: 1 2
Tại điểm (Q1,Q2) = (180; 200) ta có 2 2 2 TP TP TP A
(180;200) 0,2; B
(180;200) 0,1; C (180;200) 0,18 2 Q Q 2 Q 1 2 1 2 Q 2 TP A 0,2 0 2 1 Q 2 2 2 2 TP TP TP 2 AC B . ( ) 0 2 2 Q Q và Q Q 1 2 1 2
Như vậy, công ty đạt lợi nhuận tối đa khi sản xuất 180 sản phẩm tại nhà máy thứ nhất
và 200 sản phẩm ở nhà máy thứ 2. Tổng sản lượng tối ưu của nhà máy là
Q = Q1+Q2= 180 + 200 = 380 với giá bán tối ưu là P= 58 - 0,05.380 = 39
Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa,
nhưng tiêu thụ sản phẩm ở hai thị trường riêng biệt.
Do tính chất độc quyền nên nhà sản xuất ra quyết định sản xuất và quyết định giá
bán sản phẩm căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu của thị trường đối với sản phẩm của mình.
Giả sử chi phí của doanh nghiệp là TC = TC(Q1+Q2) và hàm cầu đối với các sản phẩm là: 1(Q )
Cầu của thị trường 1: Q 1 D 1 1 = D1(P1) P1= 2(Q )
Cầu của thị trường 2: Q 2 D 2 2= D2(P2) P2 =
Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là TP = P1Q1+P2Q2 – TC(Q) với ( Q = Q1+Q2)
Trường hợp 1: Nhà sản xuất được phép phân biệt giá bán
Bài toán được đặt ra là chọn (Q ,Q ) 1 2 để hàm số: TP= P1Q1+P2Q2 – TC(Q1+Q2) 1(Q ) 1(Q ) = 1 D 1 .Q 2 D 2 1+ .Q2 - TC(Q1+Q2)
đạt giá trị cực đại, từ đó ra quyết định mức sản lượng tối ưu Q = 1 Q 2 Q 1 P D Q 1 P D Q
và giá bán tối ưu cho mỗi thị trường ( ) 1 1 1 ) ; ( ) 2 2 2 .Nhìn từ góc độ
của toán học thì đây thực chất là bài toán tìm cực trị không điều kiện của hàm số hai biến số.
Trường hợp 2 : Nhà sản xuất không được phép phân biệt giá bán
Bài toán đặt ra là chọn (Q ,Q ) 1 2 để hàm số : TP= D1Q1+P2Q2- TC(Q1+Q2) = D (Q ) 1 1 .Q D (Q ) 1+ 2 2 .Q2 - TC(Q1+Q2)
đạt giá trị cực đại với điều kiện ràng buộc là : P D (Q ) 1 1 2 D 2 Q 1 = P2 = ( )
Rồi từ đó đưa ra quyết định mức sản lượng tối ưu Q = 1 Q 2
Q và giá bán tối ưu cho 1 P D Q 1 P D Q sản phẩm là ( ) 1 1 1 ; ( ) 2 2
2 .Nhìn từ góc độ của toán học thì đây thực
chất là bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số.
Ví dụ 3: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với hàm chi phí TC
= 35+40Q với (Q = Q1+Q2). Doanh nghiệp bán sản phẩm trên hai thị trường có hàm cầu tương ứng:
Cầu của thị trường 1: Q1 = 24 – 0,2P1
Cầu của thị trường 2: Q2 = 10 – 0,05P2
Hãy xác định mức sản lượng tối ưu và giá bán tối ưu cho mỗi thị trường trong hai trường hợp:
a. Doanh nghiệp được phép phân biệt giá.
b. Doanh nghiệp không được phép phân biệt giá.
Giải: Hàm cầu ngược trên 2 thị trường tương ứng:
P1 = 120 – 5Q1; P2 = 200 – 20Q2
Tổng doanh thu của doanh nghiệp trên cả 2 thị trường là TP = P1Q1+P2Q2 – TC(Q1,Q2) 1 Q 1 Q = ( ).Q 1 D 1 1 + ( ).Q 2 D 2 2 - TC(Q1,Q2)
= (120-5Q1).Q1+(200 – 20Q2).Q2 – 35 – 40(Q1+Q2) 2 2 = 80Q 1 Q 2 Q 1 + 160Q2 - 5 – 20 – 35
a. Doanh nghiệp được phép phân biệt giá
Khi doanh nghiệp được phân biệt giá bán thì các biến Q1,Q2 độc lập với nhau, bài
toán trở về tìm cực trị không điều kiện của hàm 2 biến TP(Q1,Q2). Điều kiện cần: T P 0 1 Q T P 8 0 10Q 0 Q 8 0 1 1 2 Q 1 60 40Q2 0 2 Q 4
Hàm số có một điểm dừng là (Q1;Q2) = (8; 4) Điều kiện đủ:
Các đạo hàm riêng cấp hai 2 TP 2 TP 2 TP 10 0 40 2 2 1 Q Q Q Q ; 1 2 ; 2
Tại điểm (Q1;Q2) = (8; 4) ta có: 2 TP 2 TP 2 TP A (8;4) 10 B (8;4) 0 C (8;4) 40 2 2 1 Q Q Q Q ; 1 2 ; 2 A 10 0 2 và AC B 4 00 0
Suy ra hàm số đạt cực đại tại(Q 8 ,Q 4) 1 2
Như vậy, để tối đa hóa lợi nhuận trong trường hợp được phép phân biệt giá, doanh
nghiệp sẽ bán 8 sản phẩm trên thị trường thứ nhất và 4 sản phẩm trên thị trường thứ
hai. Khi đó tổng lợi nhuận thu được là TP = 605 tại mức sản lượng tối ưu là Q = Q P Q
1+Q2=8+4 =12 và giá trị tối ưu trên hai thị trường tương ứng là 120 5 80 1 1 ; P 2 00 20Q 1 20 2 2
b . Doanh nghiệp không được phép phân biệt giá
Bài toán đưa về tìm cực trị của hàm số 2 2 TP = 80Q 1 Q 2 Q 1 + 160Q2 - 5 – 20 – 35 với điều kiện P 1=P2 120-5Q1= 200 - 20Q2 - Q1 + 4Q2=16 Lập hàm Lagrange 2 2 L(Q 1 Q 2 Q 1,Q2, ) = 80Q1 + 160Q2 - 5 – 20 – 35+ [16 +Q1-4Q2]
Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện 176 Q 1 L' Q 0
80 10Q 1 1 0 50 244 L' Q
0 160 40Q Q 2 4 0 2 2 50 L ' Q Q 0 16 4 0 1 2 224 5
Hàm Lagrange có một điểm dừng là 176 244 224 (Q Q 1; 2; ) ( ; ; ) 50 50 5 Điều kiện đủ
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(Q1;Q2) = Q1 - 4Q2 và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange là: g1 = - 1 ; g2 = 4
L11= -10 ; L12= 0 = L21 ; L22= -40 176 244 224 (Q Q 1; 2 ; ) ( ; ; ) Tại điểm dừng 50 50 5 ta có 0 1 4 H 1 10 0 2 00 0 4 0 40 176 244 (Q ;Q ) ( ; )
suy ra hàm số TP đạt giá trị cực đại tại 1 2 50 50
Như vậy, nếu không được phép phân biệt giá thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận 176 244
tối đa khi bán 50 sản phẩm ở thị trường thứ nhất và 50 sản phẩm ở thị trường thứ
hai, với giá bán tối ưu là P = P P 1 2 10 ,
2 4 và lợi nhuận thu được tối đa là TPmax = 489,16.
6.6.2. Một số bài toán về sự lựa chọn tối ưu của người tiêu dùng
a. Bài toán tối đa hóa lợi ích
Với giá cả các loại hàng hóa và ngân sách tiêu dùng cho trước, người tiêu dùng
cần quyết định chọn mua loại hàng nào, khối lượng bao nhiêu sao cho chi tiêu không
vượt quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích của mình.
Kí hiệu: M là ngân sách tiêu dùng (lượng tiền dùng cho việc tiêu dùng)
P1 là giá của hàng hóa x
P2 là giá của hàng hóa y
U(x,y) là hàm lợi ích của người tiêu dùng với túi hàng (x,y)
Ràng buộc về ngân sách của người tiêu dùng được biểu diễn bởi phương trình P1x1+P2y2 = M
Từ các yêu cầu trên ta có bài toán tối đa hóa lợi ích có nội dung như sau :
Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = U(x,y) đạt cực đại với điều kiện P1x+P2y = M Nhận xét:
Giải bài toán tối đa hóa lợi ích trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm được
nghiệm của bài toán cực trị là: x x ( 1 P , 2 P , M) (1) y y ( 1 P , P2, M) (2)
Các hàm (1), (2) (phụ thuộc vào giá P1, P2 và ngân sách chi cho tiêu dùng M) xác
định như vậy được gọi là các hàm cầu Marsshall - hàm cầu của người tiêu dùng theo
quan điểm tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu dùng cố định.
Ví dụ 1: Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = (x+3).y, trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B
Hãy chọn giỏ hàng (x,y) đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là
$5, giá hàng hóa B là $20, ngân sách tiêu dùng là $185
Giải: Phương trình thể hiện ràng buộc ngân sách là 5x + 20y = 185
Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = (x+3).y đạt cực đại, với điều kiện 5x+20y =185. Lập hàm Lagrange
L(x,y,λ) = (x+3)y + λ[185 – 5x – 20y]
+ Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện ' L 0 1 85 5x 20y 0 ' L x 0 y 5 0 ' L y 0 x 3 20 0
Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ điểm dừng của hàm Lagrange là : (x=17 ;y =5 ;λ=1) + Điều kiện đủ
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) = 185 - 5x-20y và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange là:
g1= g’x=5 ; g2= g’y =20; L11 = 0 ; L12=1 ; L22= 0
Tại điểm dừng (x =17 ;y =5 ;λ=1) ta có: 0 5 20 H 5 0 1 2 00 0 20 1 0
Vậy hàm số U(x,y) đạt cực đại khi x = 17; y = 5 và Umax = (17+3).5 = 100.
Hay nói cách khác: Để đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu
dùng là $185 thì người tiêu dùng nên sử dụng giỏ hàng (17;5), tức là mua 17 sản
phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B.
Ví dụ 2: Cho hàm lợi ích của người tiêu dùng U = 40x0,25y0,5 trong đó x là mức tiêu
dùng cho hàng hóa A; y là mức tiêu dùng cho hàng hóa B
a) Hãy chọn giỏ hàng (x,y) để lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5,
giá hàng hóa B là $10, ngân sách tiêu dùng là $600
b) Có ý kiến cho rằng hàng hóa A luôn thay thế hàng hóa B và hệ số thay thế là
1:1. Hãy cho nhận xét ý kiến này. Giải:
a). Phương trình thể hiện ràng buộc ngân sách là 5x + 10y = 600
Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = 40x0,25y0,5 đạt cực đại, với điều kiện 5x + 10y = 600.
Lập hàm Lagrange: L(x,y,λ) = 40x0,25y0,5+ λ[600 – 5x – 10y] x 4 0
Áp dụng phương pháp Lagrange ta tìm được hàm số đạt cực đại tại điểm y 40
Hay nói cách khác: Để đem lại lợi ích tối đa trong điều kiện ngân sách chi cho tiêu
dùng là $600 thì người tiêu dùng nên sử dụng giỏ hàng (40,40), tức là mua 40 sản
phẩm loại A và 40 sản phẩm loại B. 0,75 0,5 dy U x' 10x y y 0,25 0,5
b).Hệ số thay thế giữa hai hàng hóa là dx U'y 20x y 2x y
Theo kết quả này, để thay thế 1 đơn vị hàng hóa A cần 2x đơn vị hàng hóa B, tỷ y
số 2x không nhất thiết phải bằng 1, do đó ý kiến cho rằng hệ số thay thế 1:1 là chưa chấp nhận được.
b. Bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng
Khi mua sắm hàng hóa, không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ
thu nhập để hưởng lợi ích tối đa. Một vấn đề lựa chọn khác được đặt ra là: người ta
đưa ra một mức lợi ích U0 nhất định và thực hiện lợi ích đó với chi phí phải là nhỏ nhất..
Kí hiệu : M là ngân sách tiêu dùng
P1 là giá của hàng hóa x
P2 là giá của hàng hóa y
U(x,y) là hàm lợi ích của người tiêu dùng với túi hàng (x,y)
Chi phí tiêu dùng được biểu diễn bởi phương trình TC = P1x + P2y
Từ các yêu cầu trên ta có bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng có nội dụng như
sau: Chọn (x,y) để hàm chi phí tiêu dùng TC = P1x + P2y
đạt giá trị cực tiểu với điều kiện : U(x,y) = Uo Nhận xét:
Giải bài toán tối thiểu hóa chi phí trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm
được nghiệm của bài toán cực trị là: x x ( 1 P , 2 P , U0) (1) y y( 1 P , 2 P , 0 U ) (2)
Các hàm (1), (2)( phụ thuộc giá hàng hóa P1, P2 và mức lợi ích U0 cho trước) được
gọi là các hàm cầu Hick- hàm cầu của người tiêu dùng theo quan điểm tối thiểu hóa
chi phí cho một mức lợi ích U0 không đổi.
Ví dụ: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U(x,y) = (x+3)y; trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B
Với giá của hàng hóa A là $5; giá của hàng hóa B là $20. Hãy xác định túi hàng (x,y)
để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu dùng là Uo=196
Giải : Hàm chi phí tiêu dùng TC= 5x + 20y
Mức lợi ích tiêu dùng cho trước là (x+3)y = 196
Bài toán trở thành: Chọn (x,y) để hàm số TC= 5x + 20y đạt giá trị cực tiểu với điều kiện là (x+3)y=196 Giải:
Lập hàm Lagrange L(x,y,λ) = 5x+20y+λ[196-(x+3)y]
Điều kiện cần của bài toán cực trị có điều kiện ' L x 2 5 0 196 (x 3)y 0 5 20 ' y 7 L x 0 5 y 0 y x 3 ' 5 20 ( x 3) 0 196 xy 3y 0 L y 0 7
Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của hai điểm dừng là: 5 5 1 M (25;7; ); M2 ( 31; 7; ) 7 7 5 1 M (25;7; )
Vì x > 0 và y>0 nên ta chỉ xét tại điểm 7
Điều kiện đủ của bài toán cực trị có điều kiện:
Xét các đao hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) =196-(x+3)y và các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange g1= g’x= y ; g2= g’y = x+3 L11= 0 ; L12=- ; L22= 0 0 7 28 5 H 7 0 0 7 5 5 28 0
Tại x =25, y =7, = 7 ta có 7
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 25, y =7
Hay nói cách khác để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu
dùng là Uo=196 thì người tiêu dùng nên sử dụng đơn vị 25 hàng hóa A và 7 đơn vị hàng hóa B. BÀI TẬP x f ( , x x) x y 1 f ( ,3) 6.1: Cho
y . Tính 2 , f (1, 1) 2 2 ( , y) x y 1 1 1 f x f ( , ) 6.2: Cho
2xy . Tính f (y, x) , f ( ,x y) , x y , f (x, y)
6.3. Tìm miền xác định của các hàm số 2 2
1. z 4 x 1 y 2 2 2 2 2
2. (x y a)(2a x y ) (a ) 0
3. z ysin x y z arcsin 4. x x y z arctan 5. 2 2 1 x y 2 6. z sin( 2 x y ) 2 x xy
f (x, y)
6.4. Chứng minh rằng đối với hàm số 2 2 x y
lim(lim f (x, y)) 1 y 0 x 0
lim(lim f (x, y)) 1 x 0 y 0 lim f ( , x y) x 0 trong khi đó y 0 không tồn tại. 2x lim 2 2
x 0 x y
6. 5. Giới hạn y 0 có tồn tại không?
lim(lim f (x, y))
lim(lim f (x, y))
6. 6. Tìm y b x a
và xa yb biết 2 2 x y f ( , x ) y a. 2 4
x y ; a ; b y x f ( , x y) b. 1 y
x ; a ; b 0 x f ( ,x ) y s in c.
2 x y ; a ; b 1 xy f ( , x ) y tan d. xy 1 xy ; a 0 ; b e. f( ,x ) y log x y x ( ) ; a 1 ; b 0
6.7.Tìm các giới hạn sau: x y lim 2 2
x x xy y 1. y 2 2 x y lim 4 4
x x y 2. y sin xy lim x 0 x 3. ya xy 2 x lim ( ) 2 2
x x y 4. y 2 2 2 2 x y lim(x y ) x 0 5. y0 2 1 x
lim(1 ) x y x x 6. y a ln( y x e ) lim x 1 2 2 7. x y y 0 2xy 2 2 khi x +y 0 2 2 f ( ,
x y) x y 2 2
6.8. Chứng minh rằng hàm số 0 khi x y 0
liên tục theo từng biến x và y riêng biệt nhưng không liên tục đồng thời theo cả hai biến đó
6.9. Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau 1. 3 3
z x y y x 3axy x y z 2. x y 2 2
3. z x y x z 2 2 4. x y 2 2 5. z l
n(x x y ) y z arcta n 6. x
6. 10. Tính đạo hàm riêng theo x,y của các hàm số hợp sau 2 2 u 2v 2 2 1. z e ;u c os ;
x v x y 2 2 x z l
n(u v );u x ; y v 2. y u 2
z x ln y; x ; y 3 u 2v 3. v 6. 11. Cho hàm số 2 2 z ln(
x xy y ) chứng minh rằng xz' yz x ' y 2 x 6. 12. Cho y
z xy xe chứng minh rằng xz ' yz xy z x 'y
6.13.Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau x y z a rctan 1. x y y z ln(tan ) 2. x 3. 2 2 z sin( x y ) 2 2 4. z l
n(y x y ) x 5. z e (xsin x + cosy)
6. 14. Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của các hàm số sau y 2 2 2
z z z z ln(tan ) ; ; 1. x Tính 2 2 x y x y 2. z s
in xsin y Tính 2 d z x y 2 2 z z z a rctan ; 3. 1 xy Tính 2 x y x 2 z
4. z xsin xy y o
c sxy Tính 2x 3 z 5. z s in(x o
c sy) Tính 2x y 1 2 2 z ln(x y ) 6. 2 Tính 2 d z 7. z c os(x+y) Tính 2 d z
6. 15. Tìm cực trị của các hàm số sau 1. 2 2 z 4(
x y) x y 2 2
2. z x y xy x y 1 3. y
z x y xe 4. 4 4 2 2 z 2
x y x 2y 5. 2 2
z x xy y 3x 6y 6. 2
z xy (1 x y) 3 3
7. z x y 15xy 8. 2 2 2/3 z 4
(x y ) 2 2 9. 2 2 (x y ) 2 2 z ( x y ) e x y 10. 2 2 z 1
6x x xy y 2 2 11. z (
x 1) 2y 2 2
12. z x xy y 2x y 2 2 13. x y z e ( x ) y 2x 3 y 2 2 14. z e
(8x 6xy 3y ) 50 20 z xy
(x 0, y 0) 15. x y
6.16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của các hàm số trong các miền cho tương ứng: 1. 2 2
z x y xy 4x trong miền đóng x = 0 , y = 0, 2x +3y -12 = 0 2 2
2. z xy trong hình tròn x y 1 2 2
3. z x y trong hình tròn 2 2 x y 4 3 3
4. z x y 3xy trong hình chữ nhật 0 x 2 ; 1 y 2 0 x ;0 y 5. z s
in x sin y sin(x y) trong hình chữ nhật 2 2
6. 17. Tính đạo hàm của các hàm ẩn được xác định từ các biểu thức sau y x xy 1. xe ye e 2. y a rctan(x y) y x 3. x y
6. 18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau
1. z xy với điều kiện x + y =1 2 2
2. z x 2y với điều kiện x y 5 x y 2 2 1
3. z x y với điều kiện 2 3 x y 1 4. 2 2
z x y với điều kiện a b 0,5 0,5
5. z x y với điều kiện 2x 3y 1 3 6. 0,3 0,7 z x y
với điều kiện 5x 4y 2 00
7. z = 12x+3y với điều kiện 25x0,5y0,5 =1250
6.19. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q= 25. K0,25.L0,75
a. Tính sản lượng cận biên theo vốn và theo lao động tại K=16, L=64.
b. Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm số trên có hiệu quả thu được giảm dần hay không? Giải thích.
c. Nếu K tăng 1% và L không đổi thì sản lượng tăng bao nhiêu %.
6. 20. Cho hàm sản suất Q=20. K0,3L0,6
Trong đó K và L là lượng vốn và lao động được sử dụng hàng ngày.
a. Với K=27 và L=64 hãy cho biết mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp. b.
Giữ nguyên mức K=27 và sử dụng thêm 1% lao động mỗi ngày thì sản lượng
sẽ thay đổi là bao nhiêu.
6.21. Cho hàm lợi ích U=5x1,75y0,25
Với x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B, U là lợi ích tiêu dùng hàng ngày.
Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 16 đơn vị hàng hóa A và 64 đơn vị hàng hóa B.
Xác định lợi ích cân biên theo các hàng hóa tại điểm đó.
6. 22. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U=x0,6y0,4, trong đó x là lượng hàng
hóa A, y là lượng hàng hóa B.
a. Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích
này có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần không?
b. Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích tăng bao nhiêu %.
6. 23. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q= 2 K0,75L0,45.
Hãy tính tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên của vốn cho lao động khi K=100, L=40 và
khi K=100, L= 450. Giải thích ý nghĩa của kết quả tìm được.
6. 24. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U=200 x0,75y0,25, trong đó x, y là số đơn vị của hàng
hóa A và B. Tại mức sử dụng x=16 ; y=81 hãy
a. Viết phương trình đường bàng quang.
b. Tính hệ số bổ sung của hàng hóa A cho hàng hóa B và giải thích ý nghĩa.
6. 25. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiê ¦p cạnh tranh là: 2 2 TC= 6Q 3 Q 4Q Q 1 2 1 2
Và giá sản phẩm là p1=32; p2=45. Hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuâ ¦n tối đa.
6.26. Giả sử doanh nghiê ¦p đô ¦c quyền sản xuất một loại sản phẩm bán trên hai thị
trường với hàm chi phí kết hợp TC= 2 2
Q 5Q Q Q 1 1 2 2
Giả sử hàm cầu đối với từng thị trường là: p 5 6 4Q 1
1 (đối với thị trường thứ nhất); p 4 8 2Q 2
2 (đối với thị trường thứ hai).
a. Hãy xác định mức sản lượng và giá để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
( Giả sử hãng tự quyết định giá bán trên từng thị trường)
b. Nếu hãng không được phép phân biệt giá bán. Hãy xác định mức sản lượng và
giá bán để lợi nhuận tối đa.
6.27. Doanh nghiê¦p có hàm sản xuất Q = L0,3K0,4 , gia§ sử giá lao đô ¦ng là wL=3 ,gia¨
thuê tư bản là wK=4 ,ngân sa¨ch cố định 1050. Lâ¦p kế hoạch sản xuất để sản lượng tối đa.
6.28. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = 25. K0.5. L0.5
Công ty này dự kiến sản xuất 1250 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các
yếu tố K,L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm trên tốn ít chi phí nhất trong điều
kiện thuê tư bản WK = 12 và giá thuê lao động WL = 3
6. 29.Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U(x,y) = (x+3)y
Trong đó x là lượng hàng hóa A; y là lượng hàng hóa B
Và giá của hàng hóa A là $5 ; giá của hàng hóa B là $20.
Hãy xác định túi hàng (x,y) để chi phí tiêu dùng tối thiểu nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích tiêu dùng là Uo=196