Toán Đại Số
1. Chương 2: Không gian Vectơ..............................................................3
1.1. Bài 1: Vectơ n chiều......................................................................3
1.1.1. Khái niệm...............................................................................3
1.1.2. Các phép toán Vectơ................................................................3
1.1.3. Không gian Vectơ n chiều........................................................3
1.1.4. Nhân hai vectơ cùng chiều.......................................................3
1.2. Bài 2: Hệ PT tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên tiếp................4
1.2.1. Các khái niệm.........................................................................4 ·
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.........................................4 ·
Ma trận hệ số và ma trận mở rộng..............................................4 ·
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính......................................5
1.2.2. Hệ phương trình tuyến tính tam giác và hình thang...................5 ·
Hệ tam giác...............................................................................5 ·
Hệ hình thang............................................................................5
1.2.3. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Gauss)......................................6 ·
Một cách khử ẩn khác................................................................8
1.2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất....................................9
1.3. Bài 3: Quan hệ tuyến tính trong không gian Vectơ..........................9
1.3.1. Tổ hợp tuyến tính và biểu diễn tuyến tính................................9 ·
Dẫn nhập..................................................................................9
1.3.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính........................10 ·
Dẫn nhập.................................................................................10 ·
Định nghĩa...............................................................................10 ·
Thực hành...............................................................................11
1.4. Bài 4: Cơ sở và hạng của hệ Vectơ...............................................11
1.4.1. Định nghĩa hạng của hệ Vectơ................................................12
1.4.2. Các định lý cơ bản về hạng....................................................12
1.4.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng............................13
1.5. Bài 5: Cơ sở của không gian Vectơ...............................................13
1.5.1. Cơ sở của không gian Vectơ R^n............................................13 ·
Định nghĩa...............................................................................13 ·
Tọa Độ....................................................................................14
1.5.2. Không gian con.....................................................................14 ·
Định nghĩa...............................................................................14 ·
Ví dụ.......................................................................................14 ·
Cơ sở.......................................................................................15
2. Chương 3: Ma trận và định thức.......................................................15
2.1. Bài 1: Các khái niệm và phép toán ma trận..................................15
2.1.1. Các khái niệm cơ bản.............................................................15 ·
Mô hình I-O..............................................................................16
2.1.2. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận...............................16 ·
Ví dụ.......................................................................................17
2.1.3. Các phép biến đổi ma trận.....................................................17 ·
Ba phép biến đổi sơ cấp...........................................................18 ·
Phép chuyển vị........................................................................18
2.1.4. Phép nhân ma trận................................................................18 ·
Dẫn nhập.................................................................................19 ·
Định nghĩa...............................................................................19 1 ·
Ví dụ tính bảo doanh thu..........................................................20 ·
Mô hình I-O..............................................................................21 ·
Các tính chất...........................................................................22
2.2. Bài 2: Định thức..........................................................................22
2.2.1. Hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên.........................................22
2.2.2. Định nghĩa định thức cấp n....................................................24 ·
Ví dụ về định thức cấp 3...........................................................25
2.2.3. Định thức cấp thấp 1,2,3........................................................25
2.2.4. Các tính chất cơ bản của định thức.........................................26
2.3. Bài 3: Các phương pháp tính định thức.........................................27
2.3.1. Khai triển định thức theo dòng hoặc cột bất kỳ.......................27
2.3.2. Biến đổi định thức về dạng tam giác.......................................29
2.4. Bài 4: Ma trận nghịch đảo...........................................................30
2.4.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo..............................................30
2.4.2. Ma trận phụ hợp....................................................................31
2.4.3. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo......................................32
2.4.4. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo................................33
2.4.5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo................................................33 ·
Giải phương trình ma trận........................................................33 ·
Mô hình input-output Leontief..................................................34
2.5. Bài 5: Hạng của ma trận..............................................................34
2.5.1. Định nghĩa hạng của ma trận.................................................34
2.5.2. Liên hệ giữa hạng ma trận với định thức con...........................35
2.5.3. Phương pháp định thức bao quanh tìm hạng ma trận...............36
2.5.4. Phương pháp biến đổi tìm hạng ma trận.................................38
2.5.5. Hạng của tổng và tích ma trận...............................................39
2.5.6. Khảo sát hệ Vectơ.................................................................40
3. Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính (Lý thuyết tổng quát).............15
3.1. Hệ phương trình Cramer.............................................................41
3.1.1. Định nghĩa hệ phương trình Cramer........................................41
3.1.2. Quy tắc Cramer.....................................................................42
3.2. Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính............................42
3.2.1. Các dạng biểu diễn của một hệ phương trình tuyến tính..........42
3.2.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.........43
3.2.3. Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính.......................43
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất........................................45
3.3.1. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường...........................45
3.3.2. Cấu trúc tập hợp nghiệm.......................................................45 2
1. Chương 2: Không gian Vectơ
1.1. Bài 1: Vectơ n chiều 1.1.1. Khái niệm
1.1.2. Các phép toán Vectơ
1.1.3. Không gian Vectơ n chiều
1.1.4. Nhân hai vectơ cùng chiều 3
1.2. Bài 2: Hệ PT tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên tiếp
1.2.1. Các khái niệm ·
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ·
Ma trận hệ số và ma trận mở rộng 4 ·
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
1.2.2. Hệ phương trình tuyến tính tam giác và hình thang · Hệ tam giác · Hệ hình thang 5
1.2.3. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Gauss) 6 7 ·
Một cách khử ẩn khác 8
1.2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1.3. Bài 3: Quan hệ tuyến tính trong không gian Vectơ
1.3.1. Tổ hợp tuyến tính và biểu diễn tuyến tính · Dẫn nhập 9
1.3.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính · Dẫn nhập · Định nghĩa 10 · Thực hành
1.4. Bài 4: Cơ sở và hạng của hệ Vectơ 11
1.4.1. Định nghĩa hạng của hệ Vectơ
1.4.2. Các định lý cơ bản về hạng 12
1.4.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng
1.5. Bài 5: Cơ sở của không gian Vectơ
1.5.1. Cơ sở của không gian Vectơ n R · Định nghĩa 13 · Tọa Độ 1.5.2. Không gian con · Định nghĩa · Ví dụ 14 · Cơ sở
2. Chương 3: Ma trận và định thức
2.1. Bài 1: Các khái niệm và phép toán ma trận
2.1.1. Các khái niệm cơ bản 15 · Mô hình I-O
2.1.2. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận 16 · Ví dụ
2.1.3. Các phép biến đổi ma trận 17 ·
Ba phép biến đổi sơ cấp · Phép chuyển vị
2.1.4. Phép nhân ma trận 18 · Dẫn nhập · Định nghĩa 19 ·
Ví dụ tính bảo doanh thu 20 · Mô hình I-O 21 · Các tính chất
2.2. Bài 2: Định thức
2.2.1. Hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên 22 23
2.2.2. Định nghĩa định thức cấp n 24 ·
Ví dụ về định thức cấp 3
2.2.3. Định thức cấp thấp 1,2,3 25
2.2.4. Các tính chất cơ bản của định thức 26
2.3. Bài 3: Các phương pháp tính định thức
2.3.1. Khai triển định thức theo dòng hoặc cột bất kỳ 27 28
2.3.2. Biến đổi định thức về dạng tam giác 29
2.4. Bài 4: Ma trận nghịch đảo
2.4.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 30
2.4.2. Ma trận phụ hợp 31
2.4.3. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 32
2.4.4. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo
2.4.5. Ứng dụng ma trận nghịch đảo ·
Giải phương trình ma trận 33 ·
Mô hình input-output Leontief
2.5. Bài 5: Hạng của ma trận
2.5.1. Định nghĩa hạng của ma trận 34
2.5.2. Liên hệ giữa hạng ma trận với định thức con 35
2.5.3. Phương pháp định thức bao quanh tìm hạng ma trận 36 37
2.5.4. Phương pháp biến đổi tìm hạng ma trận 38
2.5.5. Hạng của tổng và tích ma trận 39
2.5.6. Khảo sát hệ Vectơ 40
3. Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính (Lý thuyết tổng quát)
3.1. Hệ phương trình Cramer
3.1.1. Định nghĩa hệ phương trình Cramer 41 3.1.2. Quy tắc Cramer
3.2. Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính
3.2.1. Các dạng biểu diễn của một hệ phương trình tuyến tính 42
3.2.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
3.2.3. Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính 43 44
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
3.3.1. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường 3.3.2.
Cấu trúc tập hợp nghiệm 45 46