Tóm tắt kiến thức Toán 11 – Nguyễn Thanh Nhàn
Tài liệu gồm 37 trang, hệ thống toàn bộ kiến thức trong chương trình 11, bao gồm các nội dung:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Preview text:
Lưu hành nội bộ
Điều chỉnh, bổ sung năm 2011
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 MỤC LỤC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .................................................................... 4
1. Độ và radian .......................................................................................... 4
2. Các hệ thức cơ bản ................................................................................. 4
3. Các hệ quả cần nhớ ................................................................................ 4
4. Các cung liên kết ................................................................................... 5
5. Các công thức biến đổi ........................................................................... 6
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ............................................................................ 8
1. Các hàm số lượng giác ........................................................................... 8
2. Tập xác định của hàm số ........................................................................ 9
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ..................................... 9
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ................................................................... 9
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................................... 10
1. Phương trình lượng giác cơ bản............................................................ 10
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ............................ 12
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................... 12
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx .............................. 13
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng ................................................. 13
6. Phương trình lượng giác khác............................................................... 13
ĐẠI SỐ TỔ HỢP ....................................................................................... 14
1. Phép đếm ............................................................................................. 14
2. Hoán vị ................................................................................................ 14
3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 14
4. Tổ hợp ................................................................................................. 15
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ...................................................... 15
NHỊ THỨC NEWTON .............................................................................. 15
1. Khai triển nhị thức Newton .................................................................. 15
2. Tam giác Pascal ................................................................................... 15
3. Giải phương trình ................................................................................. 16
XÁC SUẤT ................................................................................................. 16
DÃY SỐ ...................................................................................................... 17
1. Tính đơn điệu của dãy số ..................................................................... 17
2. Tính bị chặn của dãy số ........................................................................ 17
CẤP SỐ CỘNG .......................................................................................... 18
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18
2. Tính chất.............................................................................................. 18
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng .............................................. 18
CẤP SỐ NHÂN .......................................................................................... 18
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 1 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
2. Tính chất.............................................................................................. 18
3. Tổng n số hạng đầu tiên ....................................................................... 18
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................... 19
1. Định nghĩa ........................................................................................... 19
2. Tính chất.............................................................................................. 19
3. Một số giới hạn cơ bản ......................................................................... 19
4. Cách tìm giới hạn ................................................................................. 19
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 20
HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................. 22
1. Xét tính liên tục của hàm số y f (x) tại x ........................................ 22 0
2. Tìm m để hàm số y f (x) liên tục tại điểm đã chỉ ra .......................... 22
3. Chứng minh phương trình có nghiệm ................................................... 22
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 22
1. Bảng các đạo hàm ................................................................................ 22
2. Các qui tắc tính đạo hàm ...................................................................... 23
3. Đạo hàm cấp cao .................................................................................. 23
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ........................................................ 23
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG .................................... 26
I. Các phép biến hình ............................................................................... 26
II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình ............................................. 27
III. Tìm phương trình của ảnh .................................................................. 27
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................ 28
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................ 28
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ............................. 28
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng ............................................................ 28
4. Tìm thiết diện ...................................................................................... 29
QUAN HỆ SONG SONG ........................................................................... 29
I. Các định nghĩa...................................................................................... 29
II. Các tính chất ....................................................................................... 29
III. Chứng minh hai đường thẳng song song ............................................. 30
IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ................................. 30
V. Chứng minh hai mặt phẳng song song ................................................. 31
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ............................................ 31
QUAN HỆ VUÔNG GÓC.......................................................................... 31
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................... 31
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .................................. 32
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ............................................... 32
GÓC ........................................................................................................... 33
1. Góc giữa hai đường thẳng a, b ......................................................... 33 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 2 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)........................................ 33
3. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)................................................... 33
KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 33
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a .......................................... 33
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)........................................... 33
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a // (P) ................................................. 34
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) // (Q) ........................................... 34
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...................................... 34
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ............................................... 34
1. Định lí cô sin ....................................................................................... 34
2. Định lí sin ............................................................................................ 35
3. Công thức tính diện tích tam giác ......................................................... 35
4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông .............................................. 36 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 3 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian: 0 0 180 180 (rad) ; 0 1 (rad); 1(rad) 180
2. Các hệ thức cơ bản: sin cos * tan cos 0 ; * cot sin 0 cos sin * 2 2
sin cos 1, ; 1 * 2 1 tan
k , k Z 2 cos 2 1 * 2 1 cot
( k , k Z) 2 sin k
* tan.cot 1 , k Z . 2
3. Các hệ quả cần nhớ:
sin( k2 ) sin;
cos( k2 ) cos
tan( k ) tan;
cot( k ) cot
tan xác định khi
k ,k Z 2
cot xác định khi k ,k Z 1 sin 1 1 cos 1 1 * 4 4 2
sin x cos x 1 sin 2x 2 3 * 6 6 2
sin x cos x 1 sin 2x 4 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 4 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
Dấu các giá trị lượng giác: Góc phần tư I II III IV GTLG sin + + – – cos + – – + tan + – + – cot + – + –
4. Các cung liên kết:
a. Cung đối: và cos( ) cos; sin( ) sin tan( ) tan; cot( ) cot
b. Cung bù: và
sin( ) sin;
cos( ) cos
tan( ) tan;
cot( ) cot
c. Cung phụ: và 2 sin
cos; cos
sin 2 2 tan
cot; cot
tan 2 2
d. Cung hơn kém nhau : và
tan( ) tan;
cot( ) cot
sin( ) sin;
cos( ) cos
e. Cung hơn kém nhau : và 2 2 sin
cos; cos
sin 2 2 tan
cot; cot
tan 2 2 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
5. Các công thức biến đổi:
a. Công thức cộng:
sin(a b) = sina cosb cosa sinb
cos(a b) = cosa cosb sina sinb tan a tan b tan(a b) =
1 tan a tan b
1 tan a tan b cot(a b) = tan a tan b
b. Công thức nhân đôi: sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a 2 tan a 2 cot a 1 tan2a = ; cot2a = 2 1 tan a 2 cot a x
* Công thức tính theo t tan 2 2 2t 2t 1 t tan x ;sin x ;cos x 2 2 2 1 t 1 t 1 t
c. Công thức hạ bậc: 1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a cos2a = ; sin2a = ; tan2a = 2 2 1 cos2a Lưu ý: x * 2 1 cos x 2 cos 2 x * 2 1 cos x 2sin 2
d. Công thức biến đổi tích về tổng: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 6 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 1
sina.cosb = [sin(a b) sin(a ) b ] 2 1
cosa.cosb = [cos(a b) cos(a b)] 2 1
sina.sinb = [cos(a b) cos(a b)] 2
e. Công thức biến đổi tổng về tích: A B A B sinA + sinB = 2sin cos 2 2 A B A B sinA – sinB= 2cos sin 2 2 A B A B cosA + cosB = 2cos cos 2 2 A B A B cosA – cosB = –2sin sin 2 2
sin( ) tan tan = ;
k , k Z cos .cos 2 Chú ý:
* sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4
* sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 7 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Góc 2 3 5 0 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin 0 1 0 2 2 2 2 2 2 – 3 2 1 1 3 cos 1 0 – 2 – 1 2 2 2 2 2 2 1 1 tan 0 1 3 || 3 1 – 0 3 3 1 1 cot || 3 1 0 1 – 3 || 3 3
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Các hàm số lượng giác: y sin x y cos x - TXĐ: D= - TXĐ: D= - Là hàm số lẻ - Là hàm số chẳn
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
- Tập giá trị: T 1 ;1
- Tập giá trị: T 1 ;1
- Hàm số đồng biến trong
- Hàm số đồng biến trong
k2 ;k2 k2 ; k2 2 2
- Hàm số nghịch biến trong
- Hàm số nghịch biến trong 3
k2; k2 k2 ; k2 2 2 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 8 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 y tan x y cot x
- TXĐ: D= \ k
- TXĐ: D= \ k 2 2 - Là hàm số lẻ - Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì
- Hàm tuần hoàn với chu kì
- Tập giá trị: T
- Tập giá trị: T
- Hàm số đồng biến trong
- Hàm số nghịch biến trong
k; k k ; k 2 2
- Có các đường tiệm cận x k
- Có các đường tiệm cận x k 2
2. Tập xác định của hàm số: P x a) y
xác định khi Q x 0 Q x
b) y P x xác định khi P x 0 P x c) y
xác định khi Q x 0 Q x
d) y sin f x; y cos f x xác định khi f x xác định.
e) y tan f x xác định khi f x k 2
f) y cot f x xác định khi f x k
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
a) Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức, và với mọi x ta có: 2 2 1
sin x 1; 1 cos x 1; 0 sin x 1; 0 cos x 1
b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y a sin x b cos x c x ta có 2 2 2 2
a b ainx b cos x a b 2 2 2 2
c a b a sin x b cos x c c a b
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 9 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 x
D x D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu
f (x) f (x) x
D x D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu
f (x) f (x)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
a) Phương trình sin x m
* Điều kiện có nghiệm: m 1
* Tìm góc a sao cho sin a m (sử dụng MTCT: 1 a sin m ). Ta
được: sin x sin a và áp dụng công thức:
u v k2
sin u sin v u v k2 k 0
u v k360 Hay
nếu trong phương trình có cho độ. 0 0
u 180 v k360
* Trường hợp đặc biệt:
sinu 0 u k
sinu 1 u k2 2 sin u 1 u k2 2
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u arcsin m k2
sin u m arcsin m
u arcsin m k2 2 2
* sin u sin u; cosu sin
u ; cosu sin u 2 2
b) Phương trình cos x m
* Điều kiện có nghiệm: m 1
* Tìm góc a sao cho cos a m (sử dụng MTCT: 1 a cos m ). Ta
được: cos x cos a và áp dụng công thức: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 10 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
u v k2
cosu cos v u v k2 k 0
u v k360 Hay
nếu trong phương trình có cho độ. 0
u v k360
* Trường hợp đặc biệt:
cosu 0 u k 2
cosu 1 u k2 cosu 1
u k2
* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u arccos m k2
cosu m arcsin m
u arccos m k2 2 2
* cosu cos u; sin u cos
u ; sin u cos u 2 2
c) Phương trình tan x m x k 2
* Tìm góc a sao cho tan a m (sử dụng MTCT: 1 a tan m )
Ta được: tan x tan a và áp dụng công thức
tan u tan v u v k Hay 0 u v 1
k 80 nếu trong phương trình có độ. * Đặc biệt:
tan u 0 u k tan u 1 u k 4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
tan u m u arctan m k arctan m 2 2
* tan u tan u; cot u tan
u ; cot u tan u 2 2
d) Phương trình cot x m x k 1
* Tìm góc a sao cho cot a m (sử dụng MTCT: 1 a tan ) m GV: NGUYỄN THANH NHÀN 11 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
Ta được: cot x cot a và áp dụng công thức
cot u cot v u v k Hay 0 u v 1
k 80 nếu trong phương trình có độ. * Đặc biệt:
cot u 0 u k 2 tan u 1 u k 4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
cot u m u arc cot m k
0 arccot m
* cot u cot u; tan u cot
u ; tan u cot u 2 2
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng Đặt Điều kiện 2
asin x bsin x c 0 t = sinx 1 t 1 2
a cos x b cos x c 0 t = cosx 1 t 1 2
a tan x b tan x c 0 t = tanx x
k (k Z) 2 2
a cot x b cot x c 0 t = cotx
x k (k Z)
Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản. Chú ý: 2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2sin x 2 2
sin x 1 cos x 2 2
cos x 1 sin x
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
a) Dạng phương trình: asin x b cos x c
b) Điều kiện có nghiệm: 2 2 2
a b c
c) Phương pháp giải:
Chia hai về của phương trình cho 2 2 a b a b c Ta được phương trình: sin x cos x 2 2 2 2 2 2 a b a b a b GV: NGUYỄN THANH NHÀN 12 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 a b Đặt cos sin
. Ta được phương trình: 2 2 2 2 a b a b c c
sin x cos sin cos x
sin x (*) 2 2 2 2 a b a b
(*) là phương trình dạng cơ bản.
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx a) Dạng: . 2 . . . 2
a sin x b sinx cosx c cos x d 1
b) Phương pháp giải:
* Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? Lưu ý: cosx = 0 2 x
k sin x 1 sin x 1. 2
* Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho 2
cos x 0 ta được: 2 2 . a tan x .
b tan x c d(1 tan x)
* Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2
(a d)t .
b t c d 0
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng: a) Dạng: .(
a sinx cosx) .
b sinx.cosx c 0
b) Phương pháp giải:
* Đặt: t cos x sin x
2.cos x ; t 2. 4 1 2 2
t 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t 1). 2
* Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.
Giải phương trình này tìm t thỏa t 2. Suy ra x. Chú ý:
* cos x sin x
2 cos x 2 sin x 4 4
* cos x sin x
2 cos x 2 sin x 4 4
6. Phương trình lượng giác khác:
Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc
ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng quen GV: NGUYỄN THANH NHÀN 13 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
thuộc, có thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp
dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng:
* Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản
đã biết (đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm số lượng giác,...). A 0
* Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: . A B 0 B 0
* Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt x t tan ,…) 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1. Phép đếm:
a) Qui tắc cộng:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta có thể thực hiện qua các trường
hợp A hoặc B hoặc C ... (mỗi trường hợp đều hoàn thành công việc)
Nếu A có m cách, B có n cách, C có p cách thì có m n p ... cách để hoàn thành (H).
b) Qui tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta phải qua nhiều công đoạn (bước) A, B, C liên tiếp nhau.
Công đoạn A có m cách, công đoạn B có n cách, công đoạn C có p
cách... Khi đó để hoàn thành (H) thì có . m . n p ... cách 2. Hoán vị: a) Hoán vị:
Cho tập A có n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của A gọi là một hoán vị.
b) Số các hoán vị n phần tử: P n! n Chú ý: Giai thừa * n! . n n 1 ...3.2.1 * Qui ước: 0! 1 3. Chỉnh hợp:
a) Chỉnh hợp: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 14 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
Cho tập A có n phần tử, mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy trong n
phần tử của A ( k ,0 k n ) gọi là một chỉnh hợp chập k của n.
b) Số các chỉnh hợp chập k của n: n k ! A . n n n k n 1 ... 1 n k! 4. Tổ hợp: a) Tổ hợp:
Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A
( k ,0 k n ) gọi là một tổ hợp chập k của n. n k !
b) Số các tổ hợp chập k của n: C n
k!n k!
c) Tính chất: 0 n k nk k k 1 k 1 C C 1 C C C C C n n n n n n n 1
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
* Chỉnh hợp có tính đến thứ tự của k phần tử.
* Tổ hợp không tính đến thứ tự của k phần tử. NHỊ THỨC NEWTON
1. Khai triển nhị thức Newton:
a bn 0 b 1 n 1 2 n2 2 k nk k n 1 n 1 C a C a b C a
b ... C a b ... n n C ab C b Số n n n n n n
hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển: k nk k T C a b k 1 n
2. Tam giác Pascal: (cho biết giá trị của k C ) n n \ k 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 Muốn tìm k
C ta tìm số ở dòng n, cột k. Ví dụ: 3
C 20 (dòng 6, cột 3) n 6 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 15 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
3. Giải phương trình:
Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng công thức
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải.
Chú ý chỉ lấy những nghiệm thỏa mãn điều kiện. XÁC SUẤT
1. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu. a) Gieo n con súc sắc thì 6n b) Gieo n đồng tiền thì 2n
c) Lấy k viên bi trong hộp có n viên bi thì k C n
d) Hộp 1 có m viên bi, hộp 2 có n viên bi. Lấy k viên ở hộp 1 và h viên ở hộp 2 thì k h C C m n
2. Một biến cố A liên quan tới phép thử T là . Biến cố A xảy ra khi A
và chỉ khi kết quả của T thuộc . Mỗi phần tử của gọi là kết quả thuận A A lợi cho A.
3. Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B không đồng thời xảy ra.
4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biế cố
nay không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
5. Xác suất của A là A P A
6. A , A ,..., A là các biến cố đôi một xung khắc thì 1 2 k
P A A ... A P A P A ... P A 1 2 k 1 2 k
7. A , A ,..., A là các biến cố độc lập thì 1 2 k
P A A ...A P A P A ...P A 1 2 k 1 2 k
8. A là biến cố đối của biến cố A thì: P A 1 P A
9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là x ,x ,..., x 1 2 n n
a) Kỳ vọng của X là E X x p
với p P X x i n i i , 1,2,3,..., i i i 1 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 16 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 n
b) Phương sai của X là V X x p hay i 2 i i 1 n V X 2 2 x p
trong đó p P X x i
n và E X i i , 1,2,..., i i 1
c) Độ lệch chuẩn: X E X DÃY SỐ
1. Tính đơn điệu của dãy số:
a) Định nghĩa: Cho dãy số u nếu n * ta có: n * u u
thì dãy số u là dãy số tăng. n n n 1 * u u
thì dãy số u là dãy số giảm. n n n 1
* Một dãy tăng (hay giảm) gọi là dãy số đơn điệu.
b) Cách xét tính đơn điệu của dãy số:
Để xét tính đơn điệu của một dãy số ta có thể áp dụng tính chất bất đẳng
thức để suy trực tiếp. Hoặc xét hiệu T u u n1 n
* Nếu T 0, n
* thì u là dãy số tăng. n
* Nếu T 0, n
* thì u là dãy số giảm. n u Nếu u 0, n ta có thể xét n n un1 u * n
1 thì u là dãy số giảm. n un 1 u * n
1 thì u là dãy số tăng. n un 1
2. Tính bị chặn của dãy số:
a) Định nghĩa: Cho dãy số u nếu n * ta có: n * M
: u M thì dãy số u bị chặn trên. n n * m
: u m thì dãy số u bị chặn dưới. n n
* Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 17 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa:
u là một cấp số cộng nếu n
* tồn tại số d sao cho u u d n n 1 n d: công sai
u : số hạng tổng quát thứ n. n 2. Tính chất:
a) Số hạng tổng quát thứ n: u u n 1 d n 1
b) u là cấp số cộng u u 2u , n 1 n n 1 n 1 n
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
n u u
n 2u n 1 d 1 n 1 S n 2 2 CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa:
u là một cấp số nhân nếu n
* tồn tại số q sao cho u u .q n n1 n q: công bội
u : số hạng tổng quát thứ n. n 2. Tính chất: a) Số hạng tổng quát: 1 u u . n q n 1 2
b) u là cấp số nhân u .u u n n n 1 n 1 n , 1
3. Tổng n số hạng đầu tiên:
* q 1 thì S . n u n 1 n q 1
* q 1 thì S u . n 1 q 1 u
* CSN lùi vô hạn là CSN có công bội q 1 có tổng 1 S 1 q GV: NGUYỄN THANH NHÀN 18 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa:
a) lim u 0 ,
n u nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ n n
một số hạng nào đó trở đi.
b) lim u L lim u L 0 n n
c) lim u ,
n u lớn hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một n n
số hạng nào đó trở đi.
d) lim u ,
n u nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một n n
số hạng nào đó trở đi. 2. Tính chất:
a) lim u v lim u lim v
b) lim u .v u v n n lim .lim n n n n n n u lim u
c) lim k.u k.lim u d) lim n n lim v 0 n n n v lim v n n e) 3 3
lim u L lim u L;lim u L (L 0) n n n u v f) n n lim u 0 lim v 0 n n
3. Một số giới hạn cơ bản: 1 a) lim 0 b) * lim n n 0, q 1 1 c) lim n q e) lim 0 , q 1 3 n
4. Cách tìm giới hạn:
a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao nhất trong cả tử số và mẫu số, sau đó
đơn giản thừa số chung đó rồi áp dụng các tính chất và các giới hạn cơ bản để tính.
b) Khi trong giới hạn có căn thức ta có thể nhân chia cho biểu thức liên hợp. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 19 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. lim u v lim u lim v xa xa x a 2. lim .
u v lim u.lim v xa xa x a lim u u 3. lim xa v xa lim 0 xa v lim v xa 4. lim u lim u limu 0 x a x a xa (
g x) f (x) ( h x) 5.
lim f (x) L lim ( g x) lim ( h x) L xa xa x a 1
6. lim f (x) lim 0 xa
xa f (x)
7. Qui tắc tính giới hạn:
lim f (x) xa
lim f (x). (
g x) () (tùy theo dấu của lim f (x) lim g(x) x a L xa xa và L . 8. Hàm số liên tục:
Hàm số y f (x) liên tục tại a lim f (x) f (a) xa
9. Hàm số y f (x) liên tục trong ( ;
a b) và f (a). f ( )
b 0 thì phương trình
f (x) 0 có nghiệm trong ( ; a b) .
10. Giới hạn một bên:
a) lim f (x) x ; a
lim f (x) x a x a x a b) Giới hạn vô cực: f (x) f (x) f (x) lim
khi f (a) 0, (
g a) 0 . Phân tích . x a g(x) ( g x)
(x a).g (x) 1 f (a) f (x) Tính M . Ta có: lim M.() g(a) x a g(x)
11. Một số dạng vô định: 0
a) Dạng vô định 0 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 20 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 f (x) Phương pháp: Tìm lim mà f (a) ( g a) 0
xa g(x)
Phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số trong đó có chứa (x a)
sau đó đơn giản tử và mẫu cho (x a) . Chú ý: * Phương trình 2
ax bx c 0 có nghiệm x thì 0 c 2
ax bx c x x ax 0 x 0
* Cũng có thể thực hiện phép chia đa thức cho (x x ) 0
* Khi trong giới hạn có căn thức ta có thể nhân chia cho biểu thức liên hợp.
b) Dạng vô định
Phương pháp: Áp dụng các công thức 1 * x * lim * lim 0 x x x
neáu n chaün * lim n x x neáu n leû
* Nếu tính giới hạn dạng hữu tỷ ta đặt nhân tử x lũy thừa cao nhất ở cả
tử số và mẫu số, đơn giản và áp dụng các công thức trên. Chú ý: b c x. a khi x 2 x x Nếu a 0 thì 2
ax bx c b c x. a khi x 2 x x
c) Dạng vô định và 0. 0
Phương pháp: Thực hiện phép biến đổi đưa về dạng hoặc 0 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 21 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Xét tính liên tục của hàm số y f (x) tại x 0
* Tính f (x ) (nếu f (x ) không tồn tại thì hàm số không liên tục) 0 0
* Tìm lim f (x) , khi cần có thể tính giới hạn 1 bên. x x0
* So sánh f (x ) và lim f (x) để kết luận. 0 x x0
2. Tìm m để hàm số y f (x) liên tục tại điểm đã chỉ ra Phương pháp:
* Tính f (a) và tìm lim f (x) xa
* Hàm số liên tục tại x a lim f (x) f (a) . Từ điều kiện này tìm m, xa
khi cần có thể tìm giới hạn 1 bên.
3. Chứng minh phương trình có nghiệm: Phương pháp:
* Đặt f (x) là vế trái của phương trình, f (x) liên tục trong D.
* Tìm hai số a, b D sao cho f (a). f ( )
b 0 thì phương trình có nghiệm x ( ; a b)
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
1. Bảng các đạo hàm:
Hàm số y f (x)
Hàm số hợp y f ( ) u ,u ( g x)
(C)' 0 C: hằng số / / /
y y .u x u x / (x) 1 u x / 1 u/ ' 2 x 2 u / / 1 1 1 u' 2 x 2 x u u x / 1 .x u / 1 .u .u' GV: NGUYỄN THANH NHÀN 22 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
Hàm số y f (x)
Hàm số hợp y f ( ) u ,u ( g x) x/ sin cos x u/ sin u'.cosu x/ cos sin x u/ cos
u'.sin u u' tan x/ 1 2 1 tan x tanu/ 2 cos x 2 cos u u ' x/ 1 cot cot u/ 2 sin x 2 sin u
2. Các qui tắc tính đạo hàm:
Cho các hàm số u, v, w lần lượt có đạo hàm / / /
u ,v ,w . Ta có: a) / / / /
u v w u v w b) / / / .
u v u v uv Hệ quả: C u/ / .
C.u (C: hằng số) / / / u u v uv c) 2 v v d) u (
u x) có đạo hàm theo x là /
u , y f (u) có đạo hàm theo u là / y thì x u
hàm số y f [ (
u x)] có đạo hàm theo x là / / /
y y .u x u x
3. Đạo hàm cấp cao: * Đạo hàm của /
y gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu // y * Đạo hàm của //
y gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu /// y
* Đạo hàm của đạo hàm cấp n
1 gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu (n) y
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
- Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến 0
của đồ thị hàm số đó tại điểm M x ; y . 0 0 0
- Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x thì tiếp tuyến của đồ thị 0
hàm số tại điểm M x ; y có phương trình là: 0 0 0
y y f ' x x x 0 0 0 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 23 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y f x :
Có 7 dạng sau:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y C (với y f x ) 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y y f ' x x x 0 0 0
Dạng 2: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x x thuộc (C) 0 - Tìm y f x
và f ' x 0 0 0 -
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y f ' x x x 0 0 0
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
(C) và trục tung thì x 0 0
Dạng 3: Tiếp tuyến tại điểm có tung độ y y thuộc (C) 0 -
Giải phương trình f x y tìm x x 0 0 - Tìm f ' x 0 -
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y f ' x x x 0 0 0
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
(C) và trục hoành thì y 0 0
Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước -
Tính y ' f ' x . Giải phương trình f ' x k tìm nghiệm x x 0 - Tính y f x 0 0 -
Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y f ' x x x 0 0 0
Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y ax b -
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp
tuyến bằng a (tức là k a , viết như dạng 4) tt
Dạng 6: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y ax b 1 -
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên k .a 1 k tt tt a (viết như dạng 4)
Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y ax b một góc
, 0 90 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 24 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 -
Gọi , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ) với
chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó ta
có: suy ra:
tan tan k a tan tan tan (1)
1 tan tan 1 ak
- Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến (như dạng 4) GV: NGUYỄN THANH NHÀN 25 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
I. Các phép biến hình:
1. Phép tịnh tiến theo vectơ v :
a) Định nghĩa và kí hiệu: / /
T (M) M MM v v b) Biểu thức tọa độ: /
M(x; y), M (x '; y '),v ( ; a ) b . Ta có:
x ' x a /
T (M) M v
y ' y b
2. Phép đối xứng trục d:
a) Định nghĩa và kí hiệu: /
Ñ (M ) M d là đường trung trực của d / MM .
b) Biểu thức tọa độ: x ' x * /
M(x; y), M (x '; y') qua phép đối xứng trục Ox: y ' y x ' x * /
M(x; y), M (x '; y') qua phép đối xứng trục Oy: y ' y
3. Phép đối xứng tâm I:
a) Định nghĩa và kí hiệu: /
Ñ (M ) M I là trung điểm của / MM I b) Biểu thức tọa độ: /
M(x; y), M (x '; y '),I( ; a b) . Ta có:
x ' 2a x /
Ñ (M) M I
y' 2b y
4. Phép quay tâm O, góc quay :
Định nghĩa và kí hiệu: / / Q
(M) M (OM,OM ) ( là góc định hướng) (O, )
5. Phép vị tự tâm I, tỷ số k:
a) Định nghĩa và kí hiệu: / / V
(M) M IM kIM (I ,k ) b) Biểu thức tọa độ: /
M(x; y), M (x '; y '),I( ; a b) . Ta có: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 26 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
x ' a k(x ) a / V (M) M (I ,k )
y' b k(y b) Chú ý: F / M M F / / / ( H ) (
H ) M (H ) M (H)
II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình:
1. Vẽ ảnh của một điểm:
a) Qua phép tịnh tiến: Lấy / M sao cho / MM v
b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy /
M sao cho d là đường trung trực của / MM
c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy /
M sao cho I là trung điểm / MM
d) Qua phép Vị tự V
: Trên đường thẳng IM lấy / M sao cho đoạn (I ,k ) /
IM k .OM * /
M, M cùng phía đối với I nếu k 0 * /
M, M khác phía đối với I nếu k 0
2. Vẽ ảnh của tam giác: Lần lượt vẽ ảnh của các đỉnh.
3. Vẽ ảnh của đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh / / A ,B
của A,B. Ảnh của d là đường thẳng / / A B
4. Vẽ ảnh của một đường tròn: * Vẽ /
I là ảnh của tâm I qua phép biến hình. * Vẽ đường tròn tâm /
I có bán kính bằng R (nếu là phép tịnh tiến, phép
đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay), bán kính bằng k .R (nếu là phép vị tự)
III. Tìm phương trình của ảnh: Phương pháp:
Cho hình (H) có phương trình f (x; y) 0 , viết phương trình / (H ) là ảnh x ' ( u x)
của (H) qua phép biến hình F có biểu thức tọa độ
y ' v(y) Cách giải: * Gọi /
M(x; y), M (x '; y') F(M) GV: NGUYỄN THANH NHÀN 27 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 x ' ( u x) * Khi đó:
tính x theo x’, y theo y’
y ' v(y)
* M(x; y)(H ) f ( ;
x y) 0 thay x,y vừa tìm được vào phương trình
f (x; y) 0 ta được phương trình (
g x '; y ') 0 . / /
M (x '; y ')(H ) nên phương trình của / (H ) là (
g x '; y ') 0 .
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Cách 1: Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta tìm hai điểm
chung phân biệt A,B. Giao tuyến là đường thẳng AB.
* A (P), A (Q) A là điểm chung thứ nhất.
* B (P), B (Q) A là điểm chung thứ hai.
Vậy (P) (Q) AB
b) Cách 2: (Khi đã học xong chương quan hệ song song)
* Tìm một điểm chung S của (P) và (Q) (P) (Q) Sx
* Chứng minh Sx song song với 1 đường thẳng cho trước.
A (d),(d) (P) A (P)
A (d) (a) A (d) vaø A (a) Chú ý:
A (d) (P) A (d) vaø A (P) (
d) (P) (Q) (d) (P) vaø (d) (Q)
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P): a) Cách 1:
* Tìm một mặt phẳng phụ (Q) chứa d
* Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
* Trong mặt phẳng (Q) tìm M a d . Suy ra M d (P)
b) Cách 2: Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a d M M , a M (P)
M d (P) M d
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt nào đó. GV: NGUYỄN THANH NHÀN 28 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
A (P), A (Q)
B (P), B (Q) , A , B C thẳng hàng. C
(P),C (Q)
4. Tìm thiết diện:
Để tìm thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với một khối đa diện ta tìm các
giao điểm của mặt phẳng đó với các cạnh của khối đa diện (nếu có). Các giao
điểm đó chính là đỉnh của thiết diện. Ta cũng có thể tìm các đoạn giao tuyến
của mặt phẳng đó với các mặt của đa diện. QUAN HỆ SONG SONG
I. Các định nghĩa:
1. Hai đường thẳng song song: a // b a, b cùng nằm trong một mặt
phẳng và không có điểm chung.
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // (P) a (P)
3. Hai mặt phẳng song song: (P) // (Q) (P) (Q) II. Các tính chất: a c 1. a b b c a ;
c (P) (Q) b 2.
a b c
a (P);c (Q)
3. Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó song song hoặc đồng qui. a ; b a (P) 4. a (P) b (P)
a (P);a (Q) 5. a b
(P) (Q) b
a (P),a (Q) 6. a b
(P) (Q) b a (Q) 7. a (P) (Q) (P) GV: NGUYỄN THANH NHÀN 29 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
8. Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song
mặt phẳng (Q) thì (P) (Q) ( P) (R) 9. (P) (Q) (Q) (R) ( P) (Q) 10. (
P) (R) a a b (
Q) (R) b
III. Chứng minh hai đường thẳng song song:
Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau: a c 1. a b b c
a (P),a (Q) 2. a b
(P) (Q) b
a (P),c (Q) 3. a b a ,
c (P) (Q) b
a (P),a (Q) 4. a b
(P) (Q) b ( P) (Q) 5. (
P) (R) a a b (
Q) (R) b
6. Chứng minh ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt và 3giao
tuyến không đồng qui thì chúng song song nhau.
7. Sử dụng các tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét,
tính chất hình bình hành,.. a (P) 8. Chứng minh a b b (P)
IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: a b 1. a (P) b (P) GV: NGUYỄN THANH NHÀN 30 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 a (Q) 2. a (P) (Q) (P) a b
3. b (P) a (P) a (P) a (Q) 4. (
P) (Q) a (P) a (Q)
V. Chứng minh hai mặt phẳng song song: ,
a b (P),a b I 1. (P) (Q)
a (Q).b (Q) ( P) (R) 2. (P) (Q) (Q) (R) ( P) a 3. (P) (Q) (Q) a
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau:
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử a, b không chéo nhau suy ra a và b cùng nằm trong mặt phẳng. Từ
các điều kiện đã cho dẫn đến điều trái với giả thiết. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
1. Sử dụng các phương pháp của Hình học phẳng: Góc nột tiếp, định lí Pitago
2. a b góc giữa 2 đường thẳng a, b bằng 0 90
3. a b a .b 0 a c 4. a b b c GV: NGUYỄN THANH NHÀN 31 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 a (P) 5. a b b (P) a (P) 6. a b b (P)
7. Áp dụng định lí 3 đường vuông góc: /
a là hình chiếu của a lên (P) , /
b (P),a b b a
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a , b a c 1. ,
b c (P) a (P)
b c I ( Q) (P) 2. ( R) (P) a (P) (
Q) (R) a ( P) (Q) 3. (
P) (Q) b a (P)
a (Q),a b a b 4. a (P) b (P) a (Q) 5. a (P) (Q) (P)
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: a (P) 1. (P) (Q) a (Q) a (P)
2. b (Q) (P) (Q) a b
3. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 0 90 . GV: NGUYỄN THANH NHÀN 32 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a, b:
Từ một điểm O tùy ý dựng / / a ,
a b b (thường chọn O trên a hoặc b) thì
bằng góc giữa hai đường thẳng / a và / b .
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P):
* Nếu a vuông góc với (P) thì 0 90
* Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và / a ; trong đó / a là
hình chiếu của a lên (P) (Tìm M a (P) , trên a lấy điểm A khác M, H là
hình chiếu của A lên (P) thì AMH )
3. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): a (P) a)
góc giữa hai đường thẳng a, b. b (Q) (P) (Q) b) 0 0 (P) (Q)
c) Khi (P) (Q) d , trong (P) dựng a d , trong (Q) dựng b d thì =
góc giữa hai đường thẳng a, b. Chú ý:
* Với là góc giữa a và b, a và (P), (P) và (Q) thì 0 0 0 90
* Cho hình chóp S.ABCD có SH là đường cao thì ta có:
- SAH là góc giữa cạnh bên SA với (ABCD).
- M là hình chiếu của S lên AB ta có MH AB nên SMH là góc giữa (SAB) và (ABCD). KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a:
H là hình chiếu của O lên đường thẳng a thì d(O,a) OH
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P):
H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) thì d(O,(P)) OH GV: NGUYỄN THANH NHÀN 33 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song nhau: a (P) d ,
a (P) d O,(P) O a
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau: ( P) (Q)
d (P),(Q) d O,(P) O (Q)
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Đường vuông góc chung: của hai đường thẳng a, b là đường thẳng c
vuông góc với a, b và cắt a, b tại hai điểm A, B. AB gọi là đoạn vuông góc
chung của a, b. d a,b AB .
b) Cách dựng:
* Dựng (P) chứa b và (P) song song a. * Dựng /
a là hình chiếu của a lên (P). * Dựng /
B b a . Qua B dựng c vuông góc với (P), c cắt a tại A.
Chú ý: d a,b d a,(P)
Đặc biệt: Khi a b
* Qua b dựng (P) a , dựng A a (P) , trong (P) dựng c qua A và
c b , c cắt b tại B.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A c b ma B a C M
1. Định lí cô sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC a, CA b, AB c , ta có: GV: NGUYỄN THANH NHÀN 34 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 2 2 2
a b c 2 . b . c cos A 2 2 2
b a c 2 . a . c cos B 2 2 2
c a b 2 . a . b cosC Hệ quả: 2 2 2
b c a 2 2 2
a c b 2 2 2
a b c cos A ; cos B ; cosC 2bc 2ac 2ab
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi m ,m ,m lần a b c
lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có: 2 2 2
2(b c ) a 2 m a 4 2 2 2
2(a c ) b 2 m b 4 2 2 2
2(a b ) c 2 m c 4
2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là a b c
bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: 2R sin A sin B sin C
3. Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 S . a h . b h . c h 2 a 2 b 2 c 1 1 1
S absinC bcsin A casin B 2 2 2 abc S 4R S pr
S p( p a)( p b)( p c) (Hê – rông)
a b c với p 2 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 35 : 0987. 503.911
GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11
4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông A B C H M
* Các hệ thức lượng giác: AC AB
sin B cosC
cos B sinC BC BC AC AB
tan B cotC
cot C tanC AB AC
* Các hệ thức về cạnh, đường cao, hình chiếu: 2 2 2
AB AC BC (Pi ta go) A .
B AC BC.AH 2.SABC 1 1 1 2
AB BH.BC 2 2 2 AB AC AH 2
AC CH.BC 2 AH H . B HC
MA MB MC R GV: NGUYỄN THANH NHÀN 36 : 0987. 503.911