Thông tin
Hỏi đáp

Tóm tắt kiến thức và công thức giải toán nhanh - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen

Tóm tắt kiến thức và công thức giải toán nhanh - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học.

Môn:

Kinh tế quản trị, Quản trị kinh doanh (TV181)

Trường:

Đại học Hoa Sen

Thông tin:

118 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Kim Oanh

Đang cập nhật

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để viết bình luận.

Tóm tắt kiến thức và công thức giải toán nhanh - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen

17 9 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ

CÔNG THỨC

GIẢI NHANH TOÁN 12

SƯU TẤM & BIÊN SOẠN: NH PA

Good luck to you

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG I: HÀM SỐ ...................................................................................... 1

CHƯƠNG II: MŨ – LOG ................................................................................ 21

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ............................................................................ 27

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC ................................................................................ 45

CHƯƠNG V: KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................... 47

CHƯƠNG VI: TỌA ĐỘ OXYZHÌNH KG .................................................... 78

CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH .............................................. 101

BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................................. 111

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

VÀ GIÂI NHANH

TOÁN 12

PHÆN 1. HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Đðnh nghïa

x x K x x

1 2 1 2

, ,  

( K là kho ng ho

â ặc đoạ

n ho

ặ

c n a kho ng).

ử â

   

f x f x

1 2



 

y f x 

đồng biến

trên

đồ thð đi lê

tÿ trái sang phâi.

   

f x f x

1 2



 

y f x 

nghðch biến

trên

đồ thð đi xuống

tÿ trái sang phâi.

Chú ý:

+ N

   



   f x x a b0, ;

hà

m s

 

f x

ng bi

tr n khoâng

 

a b; .

+ N

   

0, ;f x x a b



   

hà

m s

 

f x

ngh

ðch bi

trên kho ng

 

a b; .

+ N

   



  f x x a b0, ;



hà

m s

 

f x

h ng đ

trên kho ng

 

a b; .

+ N

 

f x

trên kho ng

ng bi

     



   a b f x x a b; 0, ; .

+ N

ế

 

f x

ngh

ðch bi

trên kho ng

     

a b f x x a b; 0, ; .



   

Quy t c và công th o hàm

ắ ức tính đä

Quy t o hàm:

ắc tính đạ

Cho

   

 u u x v v x C; ; :

là h ng s .

ì ố

ổ

ng, hi u:

ệ

 



 

  u v u v .

Tích:

   

 

  

   u v u v v u C u C u. . . . . .

Thương:

 



     



    

   

   

u u v v u C C u

v u

2 2

. . .

, 0

Đạ

o hàm hàm h

ợ

N u

ế

   

     

x u x

y f u u u x y y u, .

ng công th

ức tính đä

o h : àm

Đäo hàm của hàm sơ cçp

Đäo hàm của hàm hợp

 



C 0

(C là hìng số).

 

 







x x

 

 







x x



 

  

 

 

1 1

( 0)

 



 x x

 

. .u u u

 









 



  

  

 

 

 



 

u u

 



x xsin cos

 



u u usin .cos

 



 x xcos sin

 



 u u ucos .sin

Nguyễn Chiến Nguyễn Hồng Quân

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

 



x

tan

cos

 





tan

cos

 



 x

cot

sin

 



 

cot

sin

 





x x

e e

 





u u

e u e.

 





x x

a a a.ln

 





u u

a u a a. .ln

 



x

 





 

log

x a





 





u a

log

.ln

Công th

ức tính nhanh đạ

o hàm hàm phân th

ứ

 



 

 



 



 



ax b ad bc

cx d

;

 

c b c

f e f

a b a

x x

d e d

ax bx c

dx ex f

2 2

 

 

 



 

 



 

 

 

 

Đạ

o hàm c p 2 :

ấ

Đðnh nghïa:

   

f x f x



  



 

Ý nghïa cơ họ

Gia t c t c th i c a chuy

ố Ā ą û ển độ

 

s f t

t i th

ä ąi điể

là:

   



a t f t

0 0

Một số chú ý:

 Nếu hàm số

 

f x

và

 

g x

cùng đồng biến (nghðch biến) tr n thì hàm số

   

f x g x

cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể kh ng đúng đối vĆi hiệu

   

f x g x

 Nếu hàm số

 

f x

và

 

g x

là các hàm số dþĄng và cùng đồng biến (nghðch biến) tr n

K thì h

àm số

   

f x g x.

cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể

kh ng đúng khi các hàm số

   

f x g x,

kh ng là các hàm số dþĄn

g trên K.

 Cho hàm số

 

u u x

, xác đðnh vĆi

 

x a b;

và

   

u x c d;

. Hàm số

 

f u x

 

 

cüng xác đðnh vĆi

 

x a b;

Quy t

ắc xét tính đơn điệ

u c

ủ

a hàm s .

ố

s hàm s

ā ố

cò đä

o hàm trên



ế

 

f x' 0

v i m

Ć ọ

x K

và

 

f x' 0

t i m t s h u h

ä ộ ố Ă än điể

x K

thì

hàm s

ố

đồ

ng bi

ế

n trên



ế

 

f x' 0

v i m

Ć ọ

x K

và

 

f x' 0

t i m t s h u h

ä ộ ố Ă än điể

x K

thì hàm s

ố

ngh ch bi n trên

ð ế

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

Chú ý:

i v i hàm phân th c h u t *

Đố Ć Ā Ă î

ax b d

y x

cx d c

 

  

 



 

thì d

" "

khi xét d

çu đä

hàm



không x

y ra.

   

y f x ax bx cx d f x ax bx c

3 2 2

3 2 .

        

Hàm s ng bi n trên

ố đồ ế

 

f x x

0; .













 









   























Hàm s ngh

ố ð

ch bi

ế

n trên

 

f x x

0; .













 









   























Trþą

ng h p 2 thì h s

ợ ệ ố

khác

vì khi

a b c 0  

thì

 

f x d

(Đþą

ng th

ng song song ho c trùng v

ð Ć

i tr

thì kh ng đĄn điệ

* V

ớ

i d

ạ

ng toán tìm tham s hàm s

ố m để ố c a đơn điệ

u m

ộ

t chi u trên kho

ề âng cò độ

dài b ng

ằ

ta gi

âi như sau:

 BþĆ

c 1: Tính

 

y f x m ax bx c

; .

 

   

 BþĆ

c 2: Hàm s

ố đĄn điệ

u trên

 

x x y

1 2

; 0



 

có

nghi m phân bi

ệ ệ



 













 

 BþĆ

c 3: Hàm s

ố đĄn điệ âng cò độ

u trên kho dài b ng

 

x x l x x x x l

1 2 1 2 1 2

4      

2 2

4  S P l

 

* *

 BþĆ

c 4: Gi

 

và giao v

 

* *

để

suy ra giá tr

n tìm.

CỰC TRỊ HÀM SỐ

Đð

nghïa

Giâ sā hàm số

xác đðnh tr n têp K và

x K

là

điểm cực tiểu

cûa hàm số

nếu tồn täi một khoâng

 

;a b

chĀa

sao cho

 

;a b K

và

       

  f x f x x a b x

0 0

, ; \

Khi đò

 

f x

đþợc gọi là cûa hàm sốgiá trð cực tiểu

là

điểm cực đäi

cûa hàm số

nếu tồn täi một khoâng

 

a b;

chĀa

sao cho

 

;a b K

và

       

  f x f x x a b x

0 0

, ; \

Khi đò

 

f x

đþợc gọi là cûa hàm sốgiá trð cực đäi

Điểm căc đäi và điểm căc tiểu gọi chung là điểm cực trð

Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu gọi chung là cực trð

Điể

m c

ăc đäi và điể ểu đþợ

m c

c ti c g

ọ

i chung là

điể

m c c tr c a hàm s

ự ð ủ ố

và điể

c tr

i là m

ột điể

m trong t p h

ê ợ

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

+ Giá tr c i và giá tr c c ti c g i chung là

ð ăc đä ð ă ểu đþợ ọ

giá tr c tr (hay c c tr )

ự ð ự ð

ủ

hàm

ố

+ Nếu

là điểm căc trð cûa hàm số thì điểm

 

x f x

0 0

; ( )

đþợc gọi là điểm cực trð

của đồ thð hàm số

Điề ệ

u ki n c hàm s t c c tr

æn để ố đä ự ð

Đð

nh lí 1:

s hàm s

ā ố

 

y f x

đä ă ð

t c c tr t

äi điể

. Khi đò, nế

 

y f x

cò đä

o hàm

äi điể

thì

 



f x

Chú ý:

 Đä

o hàm

 

f x



có th

ể

äi điể

nhþng hàm số

kh ng đä

t c

c tr

điể



Hàm s

ố

có th

ể đä

t c

c tr t i m

ð ä ột điể

m mà t

äi đò hàm số kh ng cò đä

o hàm.



Hàm s

ố

có th

ể

đä ă ð û

t c c tr t

i m m mà t o hàm c

ột điể äi đò đä

a hàm s

ố

c t

äi đò hàm số kh ng cò đä

o hàm.

Điều iện đủ để hàm số đät cực trð

Đðnh lí 2:

Giâ sā hàm số

đät căc trð täi điểm

Khi đò, nếu hàm số

cò đäo hàm täi

điểm

thì

 

' 0f x 

 



f x 0

tr n khoâng

 

x h x

0 0

;

và

 



f x 0

trên

khoân

 

x x h

0 0

;

thì

m clà

đa i cûa hà

m s

 

f x .

 N

 



f x 0

trên kho

 

x h x

0 0

;

và

 



f x 0

trên kho

 

0 0

;x x h

thì

là

m c c ti u c

þ û

a hàm

 

f x .

Quy tắc tìm cực trð

Quy tắc 1:

 Bướ

c 1:

Tìm t p xác nh. Tìm

ê đð

 



f x .

 Bướ

c 2:

Tìm các điể

 

i 1;2;...

mà t

äi đò đạ

o hàm c

ủ

a hàm s b ng

ố ằ

0 ho

hàm s

ố

liên t

ục nhưng không cò đạ

o hàm

 Bướ

c 3:

p b

ng bi

ế

n thiên ho c b ng xét d

ð â ç

 



f x

. N

ế

 



f x

đổ

i d

ấu khi đi

qua

thì hàm s t c

ố đä ă

c tr t

ð ä

Đð

nh lí 3:

 

y f x

o hàcó

đä m cå

p 2 trong kho ng

 

 x h x h

0 0

;

h 0.



ế

 



f x

 



f x

thì hàm s

ố

đä

t c i t i

ăc đä ä



ế

 

0,f x





 



f x

thì hàm s

ố

đä ă

t c c ti

ể

u t i

Từ đðnh lí trên, ta cò một quy tắc khác để tìm cực trð của hàm số

Quy tắc 2:

 Bướ

c 1:

Tìm t

êp xác đð

nh. Tìm

 



f x .

 Bướ

c 2:

Tìm các nghi

ệ

 

i 1;2;...

ûa phþĄng trình

 



f x 0.

 Bướ

c 3:

Tính

 



f x

và tính

 



f x .



ế

 





f x 0

thì hàm s

ố

đä

t c i t

ăc đä äi điể

x .



ế

 





f x 0

thì hàm s

ố

đä ă

t c c ti

ể

u t

äi điể

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I. C C TR C C B

Ự Ị ỦA HÀM ĐA THỨ Ậ

C BA:

1. u ki

Tìm điề ện để

hàm s có c

ố ự

đạ ể

i, c

ự

c ti u th

ỏa mãn hoành độ cho trướ

ài to n t ng qua

Cho hàm s

ố

 

y f x m ax bx cx d

3 2

; .    

Tìm tham s hàm

ố

để

ố

có c

ăc đä

i, c c ti u t

ă ể ä

x x

1 2

óa mãn điề

u ki

ệ

cho trþĆ

Phương ph p

 ướ

c 1:



êp xác đð

nh:

D 

 Đä

o hàm:

y ax bx c Ax Bx C

2 2

3 2



     

 ướ

c 2:

Hàm s có c

ố ă

c tr (hay có hai c c tr

ð ă ð

, hai c c tr

ă ð

phân bi t hay có c

ệ ăc đä

i và c c ti

ă ể

y 0



 

có hai nghi m phân bi t và

ệ ệ



đổ

i d

u qua 2 nghi

ệm đò



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t

ệ ệ

A a a

m D

B AC b ac b ac

2 2 2

3 0 0

4 4 12 0 3 0



   

 

   

 

       

 

 

 ướ

c 3:

ọ

x x

1 2

là hai nghi m c

ệ ûa phþĄng trình

y 0.





Khi đò:

B b

x x

A a

C c

x x

A a

1 2



    







 





ướ

c 4:

u ki

v da

ng t ng

và ti

. T ó gi i ra tìm

đ â đþĄ

m D

.

ướ

c 5

t lu

n các giá tr

a mãn:

m D D

1 2

. 

* Chú ý:

Hàm s b c ba:

ố ê

 

y ax bx cx d a

3 2

0 .    

Ta có:

y ax bx c

' 3 2 .  

Điều kiện

Kết luận

b ac

3 0 

Hàm số kh ng cò căc trð.

b ac

3 0 

Hàm số cò hai điểm căc trð.

 Điề

u ki

ện để

hàm s có c c tr cùng d u, trái d

ố ự ð ấ ấ



Hàm s có 2 c

ố ự

c tr trái d u

ð ấ



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t trái d

ệ ệ ç

ac 0. 



Hàm s có hai c c tr

ố ự ð

cùng d u

ấ



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t cùng d u

ệ ệ ç

P x x

1 2

. 0





 







  







Hàm s có hai c c tr

ố ự ð

cùng d

ấu dương



phþĄng trình

y 0





có hai nghi

ệm dþĄng phån biệ

S x x

P x x

1 2

. 0





 



     





  





Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |



Hàm s có hai c c tr

ố ự ð

cùng d u âm

ấ



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m âm phân bi

ệ ệ

S x x

P x x

1 2

. 0



 



     





  





 Tìm điề ện để

u ki hàm s có hai c c tr

ố ự ð

x x

1 2

a mãn: th

ỏ

x x

1 2



 



Hai c c tr

ă ð

x x

1 2

a mãn th

x x

1 2



 

    

x x x x x x

1 2 1 2 1 2

0 . 0

   

        



Hai c c tr

ă ð

x x

1 2

a mãn th

x x

1 2



 

    

x x x x x x

x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

 

      

 

 

 

   

 

 



Hai c c tr

ă ð

x x

1 2

a mãn th

x x

1 2



 

    

x x x x x x

x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

 

      

 

 

 

   

 

 

 PhþĄng trình bê

c 3 có 3 nghi m l p thành c

ệ ê ç

p s c ng

ố ộ

khi có 1 nghi

ệ

m là





, có 3 nghi m l p thành c

ệ ê ç

p s

ố

nhân khi có 1 nghi

ệ

m là

 

2. u ki

Tìm điề ện để

đồ ð ố

th hàm s

có c c điể ực đạ

m c i, c

ự

c ti u n m cùng phía,

ể ằ

khác phía so v i m

ớ ột đườ

ng th

ẳ

i tri tương đ

i gi

a 2

m v

đươ

ng th

Cho 2 đi

   

A A B B

A x y B x y; , ;

và đþą

ng th

ax by c: 0.   

  

A A B B

ax by c ax by c 0    

thi

hai điểm

A B,

në

m v

hai phía so v ng th ng

đþĄ ë

.

  

A A B B

ax by c ax by c 0    

thi

hai điể

A B,

m cunë

phía so v

đþĄ

ng th ng

.

ộ

t s

ố trươ

ng h

c bi

+ Các điể

m c c tr

ă ð

c n

ûa đồ

ð ì

cùng v

ề 1 phía đố

i v

ớ

i tr c Oy

ụ



hàm s có 2 c

ố ă

c tr cùng d

ð ç



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t cùng d

ệ ệ ç

+ Các điể

m c

c tr c

ð ûa đồ

cùng v

ề

2 phía đố

i v i tr

ớ ụ

c Oy



hàm s có 2 c c tr trái d

ố ă ð ç



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m trái d u

ệ ç

+ Các điể

m c

c tr c

ð ûa đồ

cùng v

ề

1 phía đố

i v i tr

ớ ụ

c Ox



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t và

ệ ệ

CC T

y y. 0

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

Đặ ệ

c bi t:

Các điể

m c

c tr

ûa đồ

cùng v

ề phía trên đố

i v i tr c Ox

ớ ụ



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t và

ệ ệ

CTC

y y

. 0









 





Các điể

m c c tr c

ă ð ûa đồ

cùng v

ề

phía dưới đố

i v i tr

ớ ụ

c Ox



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t và

ệ ệ

CTC

y y

. 0









 





Các điể

m c c tr c n

ă ð ûa đồ

ð ì

ề

2 phía đố

i v

ớ

i tr

ụ

c Ox



phþĄng trình

y 0





có hai nghi m phân bi t và

ệ ệ

CC T

y y. 0

(

p du ng khi không nh

đươ

c nghi m và

ết được phương trình đườ

ng th

ẳng đi qua hai

điể

m c

ự

c tr c

ð ủa đồ

hàm s

ố

)

ðc: Các điể

m c c tr c

ă ð ûa đồ

ề

2 phía đố

i v

ớ

i tr c Ox

ụ



đồ ð

th c t tr

í ý

äi 3 điể

m phân bi t

ệ



phþĄng tri

nh hoành

giao

 

f x 0

co 3 nghi

m phân bi

t (

p du ng khi

đượ

c nghi

)

3. P

hương trình đườ ẳng qua c c điể

ng th m c

ự

c tr

 

c b bc

g x x d

a a

2 2

3 9 9

 

   

 

 

ặ

 

 

 

y y

g x ay

ặ

 

y y

g x y

 

 



Khoâng cách giữa hai điểm cực trð của đồ thð hàm số ậc 3 là

e e

4 16



vĆi

b ac





II. C C TR C A HÀM B

Ự Ị Ủ ẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

 

y ax bx c a

4 2

0   

Ộ

T S

Ố

Ế

T QU

C N NH

Æ Ớ



Hàm s có m t c c tr

ố ộ ă ð

ab 0. 



Hàm s có ba c c tr

ố ă ð

ab 0. 



Hàm s

ố cò đúng mộ

t c

c tr

và c

c tr

là c

c ti

ể



















Hàm s

ố cò đúng mộ

t c

c tr

và c

c tr

là c

ăc đä



















Hàm s có hai c c ti u và m

ố ă ể ộ

t c

ăc đä



















Hàm s có m t c c ti

ố ộ ă ể

u và hai c

ăc đä

















Giâ sā hàm số

y ax bx c

4 2

  

có

căc trð:

b b

A c B C

a a a a

(0; ), ; , ;

2 4 2 4

   

 

       

   

   

täo thành tam giác

ABC

thóa mãn dĂ kiện:

ab 0

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

ổ

ng quát:

cot

2 8







Dữ kiện

Công thức thỏa mãn

ab 0

Tam gi{c

ABC

vuông c}n tại

b a

8

Tam gi{c

ABC

đều

b a

24

Tam gi{c

ABC

có diện tích

ABC

S S





a S b

3 2 5

32 ( ) 0 

Tam gi{c

ABC

có diện tích

max S

( )

 

Tam gi{c

ABC

có b{n kính đường tròn nội tiếp

ABC

r r





4 1 1



 

 

 

 

 

Tam gi{c

ABC

có b{n kính đường tròn ngoại tiếp

ABC

R R





b a

a b





Tam gi{c

ABC

có độ d|i cạnh

BC m



am b

2 0 

Tam gi{c

ABC

có độ d|i

AB AC n

 

a n b ab

2 2 4

16 8 0  

Tam gi{c

ABC

có cực trị

B C Ox, 

b ac

4

Tam gi{c

ABC

có

góc nhọn

b a b

(8 ) 0 

Tam gi{c

ABC

có trọng t}m

b ac

6

Tam gi{c

ABC

có trực t}m

b a ac

8 4 0  

Tam gi{c

ABC

cùng điểm

tạo th|nh hình thoi

b ac

2

Tam gi{c

ABC

có

l| t}m đường tròn nội tiếp

b a abc

8 4 0  

Tam gi{c

ABC

có

l| t}m đường tròn ngoại tiếp

b a abc

8 8 0  

Tam gi{c

ABC

có cạnh

BC kAB kAC 

b k a k

3 2 2

. 8 ( 4) 0  

Trục ho|nh chia tam gi{c

ABC

th|nh

hai phần có diện tích bằng nhau

b ac

4 2

Tam giác

ABC

cò điểm căc trð cách đều trýc hoành

b ac

8

Đồ thð hàm số

 

C y ax bx c

4 2

:   

cít trýc

täi

4 điểm phån biệt lêp thành cçp số cộng

b ac

100



Đðnh tham số để hình phîng giĆi hän bći đồ thð

 

C y ax bx c

4 2

:   

và trýc hoành cò diện tích

phæn tr n và phæn dþĆi bìng nhau.

b ac



PhþĄng trình đþąng trñn ngoäi tiếp

ABC

x y c y c

b a b a

2 2

4 4

    

      

   

   

Nguyễn Chiến Hồng Quân- : 0973.514.674

Page |

GIÁ TR L N NH - GIÁ TR

Ị Ớ Ç

Ị

Ỏ

I. Đðnh nghïa.

Cho hàm s

ố

 

y f x

xác đð

nh trên t



ố

ọ

i là

giá tr l n nh

ð ớ ấ

a hàm s

ố

 

y f x

trên

n u:

ế

f x M x D

x D f x M

0 0

( ) ,

, ( )



  





  





Kí hi u:

ệ

max ( )

x D

M f x







ố

ọ

i là

giá tr

ỏ

ấ

a hàm s

ố

 

y f x

trên

n u:

ế

f x m x D

x D f x m

0 0

( ) ,

, ( )



  





  





Kí hi u:

ệ

x D

m f xmin ( )





Phương pháp tìm GTLN,GTNN

* Tìm GTLN, GTNN c a hàm s b ng cách kh o sát tr c ti p

ủ ố ằ â ự ế

 Bướ

c 1:

Tính

 

f x



và tìm các điể



x x x D

1 2

, ,...,

mà t

äi đò

 



f x 0

c hàm s

ố

kh ng cò đä

o hàm.

Bước 2

Lêp bâng biến thi n và rồi suy ra giá trð lĆn nhçt, giá trð nhó nhçt cûa hàm số.

* Tìm GTL

N, GTNN của hàm số tr n một đoän

 Bướ

c 1:



Hàm s

ố đã cho

 

y f x

xác đð

nh và liên t

ýc tr n đoä

 

 

a b; .

 Tìm các điể

x x x

1 2

, ,...,

trên kho ng

 

a b;

, t

äi đò

 



f x 0

 



f x

kh ng xác đð

nh.

 Bướ

c 2:

Tính

         

f a f x f x f x f b

1 2

, , ,..., , .

 Bướ

c 3:

Khi đò:



           

 

a b

max f x max f x f x f x f a f b

1 2

, ,..., , , .

 

 





           

 

 

 



a b

min f x min f x f x f x f a f b

1 2

, ,..., , , .

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một hoâng

 Bước 1

Tính đäo hàm

f x( )



 Bước 2

Tìm tçt câ các nghiệm

x a b( ; )

cûa phþĄng trình

f x( ) 0





và tçt câ các điểm

a b( ; )





làm cho

f x( )



kh ng xác đðnh.

 Bước 3.

Tính

x a

A f xlim ( )







x b

B f xlim ( )







f x( )

f ( )



 Bước 4.

So sánh các giá trð tính đþợc và kết luên

a b

M f x

( ; )

max ( )

a b

m f x

( ; )

min ( )

Nếu giá trð lớn nhất (nhó nhất) là A hoặc B thì

kết luận không cò giá trð lớn nhất (nhó nhất).

 

y f x

ng bi

n trên

a b;

 

 

thì

   

a b

f x f a

f x f b

;

min

max

 

 

 

 















 

y f x

nghich bi

n trên

a b;

 

 

thì

 

 

 

 

 















a b

f x f b

f x f a

;

min ( )

max ( )

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/118

| | Tải xuống

Preview text:

TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12
SƯU TẤM & BIÊN SOẠN: NH PA Good luck to you MỤC LỤC Trang
CHƯƠNG I: HÀM SỐ ...................................................................................... 1
CHƯƠNG II: MŨ – LOG ................................................................................ 21
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ............................................................................ 27
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC ................................................................................ 45
CHƯƠNG V: KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................... 47
CHƯƠNG VI: HÌNH KG TỌA ĐỘ OXYZ .................................................... 78
CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH ............................................. .101
BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................................. 111
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TOÁN 12
Nguyễn Chiến - Nguyễn Hồng Quân PHÆN 1. HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Đðnh nghïa x
 ,x K,x  x ( K là khoâng hoặc đoạn hoặc nửa khoâng). 1 2 1 2
f x   f x
 y  f x  đồng biến trên K đồ thð đi lên tÿ trái sang phâi. 1 2 
f x   f x  y  f x  nghðch biến trên K đồ thð đi xuống tÿ trái sang phâi. 1 2 
Chú ý: + N u f x  0, x  a b
;   hàm s f x đ ng bi n tr n khoâng a;b . + N u f   x  0, x    ; a 
b  hàm s f x  nghðch bi n trên khoâng a;b .
+ N u f x  0,  x  a b
;   hàm s f x h ng đ i trên khoâng a;b  .
+ N u f x  đ ng bi n trên khoâng a b
;   f  x   0, 
x  a;b .
+ Nếu f x  nghðch bi n trên khoâng a;b  f x  0, x
  a;b.
2. Quy tắc và công thức tính đäo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x; v  v x; C : là hìng số .
Tổng, hiệu: u  v   u  v .
Tích: u v.  u v.  v u .  C u .     C u . .  u   u v .  v u . C  C u .  Thương:    , 0 2
v        v  v  u  u 2
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u, u  ux  y  y u .  . x u x
Bâng công thức tính đäo hà : m
Đäo hàm của hàm sơ cçp Đäo hàm của hàm hợp  
C   0 (C là hìng số).  x      x 1 .    x      x 1 . u   1 .u .u    1   1  u   1 x (    0)   u    0  x  x 2  u  u2  1  u  x   x  0  u  u  0 2 x 2 u
sinx cosx
sinu u.cosu
cosx  sinx
cosu   u.sinu
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 1  1  tan x   tan    u u 2 cos x 2 cos u  1  cot x    cot     u u 2 sin x 2 sin u
 x   x e e
 u  u e u e .
 x  x a a .lna
 u    u a u a . .lna  1  ln x   ln    u u x u    u x  log u a    a  1 log xln a u.lna
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a b a c b c 2    x 2 x   ax  b  ad  2 d e d f e f      bc ax bx c   . ;    . cx   d  2
dx 2 ex  f 2 2   cx  d
dx  ex  f
Đạo hàm cấp 2 : + Đðnh nghïa:  f   x  f  x 
+ Ý nghïa cơ học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t  täi thąi điểm t là: 0
a t   f  t . 0 0  * Một số chú ý:
 Nếu hàm số f x và g x  cùng đồng biến (nghðch biến) tr n K thì hàm số
f x  gx
cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể kh ng đúng đối vĆi hiệu
f x  g x .
 Nếu hàm số f x  và g x  là các hàm số dþĄng và cùng đồng biến (nghðch biến) tr n
K thì hàm số f x  g
. x  cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể
kh ng đúng khi các hàm số f x,g x kh ng là các hàm số dþĄng trên K.
 Cho hàm số u  u x , xác đðnh vĆi x  a b
;  và u x c; 
d . Hàm số f u  x  
cüng xác đðnh vĆi x  a b ; .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giâ sā hàm số f cò đäo hàm trên K
 Nếu f ' x   0 vĆi mọi x  K và f ' x   0 chî täi một số hĂu hän điểm xK thì
hàm số f đồng biến trên K .
 Nếu f ' x   0 vĆi mọi x  K và f 'x  0 chî täi một số hĂu hän điểm x  K
thì hàm số f nghðch biến trên K .
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 2 Chú ý:   
* Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tî ax b d y  x   
 thì dçu "  " khi xét dçu đäo cx  d c  
hàm y không xây ra.
Giâ sā y  f x   ax 3 bx 2 cx d  f x   ax 2 3  b 2 x  c.
Hàm số đồng biến trên Hàm số nghðc h biến trên  a    0  a    0      0     0    
f  x   0; x   0 .
 fx  0;x   0 .    b   0 b  0   c  0    c 0 
Trþąng hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a  b  c  0 thì f x  d
(Đþąng thîng song song hoðc trùng vĆi trýc Ox thì kh ng đĄn điệu)
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu một chiều trên khoâng cò độ
dài bằng l ta giâi như sau:
 BþĆc 1: Tính y  f x m  ax 2 ;  bx  c.
 BþĆc 2: Hàm số đĄn điệu trên x ;x   y  0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2   0   *  a  0 
 BþĆc 3: Hàm số đĄn điệu trên khoâng cò độ dài bìng l 2
 x  x  l  x  x   x 4 x  l2 2 2
 S  4P  l * * 1 2 1 2 1 2
 BþĆc 4: Giâi * và giao vĆi * 
* để suy ra giá trð m cæn tìm. CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Đðnh nghïa
Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K và x  K. 0
+ x là điểm cực tiểu cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng a;b chĀa x sao cho 0 0
a;b K và f x   f x ,x  a b; \x . 0 0 
Khi đò f  x đþợc gọi là giá trð cực tiểu cûa hàm sốf . 0 
+x là điểm cực đäi cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng a;b chĀa x sao cho 0 0
a;b K và f x   f x ,x  a b; \x . 0 0 
Khi đò f x đþợc gọi là giá trð cực đäi cûa hàm sốf . 0 
+ Điểm căc đäi và điểm căc tiểu gọi chung là điểm cực trð.
+ Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu gọi chung là cực trð.
+ Điểm căc đäi và điểm căc tiểu đþợc gọi chung là điểm cực trð của hàm số và điểm
căc trð phâi là một điểm trong têp hợp K.
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 3
+ Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu đþợc gọi chung là giá trð cực trð (hay cực trð)
của hàm số.
+ Nếu x là điểm căc trð cûa hàm số thì điểm x ;f x
( ) đþợc gọi là điểm cực trð 0 0  0
của đồ thð hàm số f .
2. Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð
Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x . Khi đò, nếu y  f x cò đäo hàm 0
täi điểm x thì f x 0. 0   0 Chú ý:
 Đäo hàm f x có thể bìng 0 täi điểm x nhþng hàm số f kh ng đät căc trð täi 0 điểm x . 0
 Hàm số có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm.
 Hàm số chî có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng 0
hoðc täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm.
3. Điều iện đủ để hàm số đät cực trð
Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x . Khi đò, nếu hàm số f cò đäo hàm täi 0
điểm x thì f ' x  0 . N u f x  0 tr n khoâng x  h;x và f x  0 trên khoâng 0 0  0  0
x ;x h thì x là m t đi m cþ c đa i cûa hàm s f x . 0 0  0
 N u f x  0 trên khoân
g x  h;x v
à f x  0 trên khoân
g  x ; x  h thì 0 0  0 0 
x là m t đi m cþ c ti u cûa hàm s f x . 0
Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:
 Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f x .
 Bước 2: Tìm các điểm x i  1;2;.. . mà täi đò đạo hàm của hàm số bằng 0 hoðc i
hàm số liên tục nhưng không cò đạo hàm.
 Bước 3: Lêp bâng biến thiên hoðc bâng xét dçu f x  . Nếu f  x  đổi dấu khi đi
qua x thì hàm số đät căc trð täi x . i i
Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x c óđäo hàm cå p 2 trong khoâng x  h;x  h vĆi h  0. 0 0 
 Nếu f x 0, f  x
0 thì hàm số f đät căc đäi täi x . 0   0   0
 Nếu f  x  0, f  x
0 thì hàm số f đät căc tiểu täi x . 0   0 0
Từ đðnh lí trên, ta cò một quy tắc khác để tìm cực trð của hàm số Quy tắc 2:
 Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f x .
 Bước 2: Tìm các nghiệm x i  1;2;.. . cûa phþĄng trình f x  0. i
 Bước 3: Tính f  x và tính f  x . i 
 Nếu f x   0 thì hàm số f đät căc đäi täi điểm x . i i
 Nếu f x   0 thì hàm số f đät căc tiểu täi điểm x . i i
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 4
MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:
1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
ài to n t ng qua t: Cho hàm số y  f x m  ax 3 bx 2 ;
cx  d. Tìm tham số m để hàm
số có căc đäi, căc tiểu täi x , x thóa mãn điều kiện K cho trþĆc. 1 2 Phương ph p:  ước 1:
 Têp xác đðnh: D 
 Đäo hàm: y  ax 2  bx c  Ax 2 3 2  Bx C  ước 2:
Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi và căc tiểu)
 y  0 có hai nghiệm phân biệt vày đổi dçu qua 2 nghiệm đò
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt A   a 3  0 a     0    m    D .   B2  A 4 C  b2 4  a 12 c  0 b2  a 3 c 1  0  y  
 ước 3: Gọi x , x là hai nghiệm cûa phþĄng trình y  0. 1 2  B b 2 x  x      Khi đò: 1 2  A a 3  . C c x x .   1 2  A a 3
ước 4: Bi n đ i đi u ki n
K v da ng t ng S và ti ch P . Tÿ đó giâi ra tìm đþĄ c m  D . 2
ước 5: K t luå n các giá trð m thóa mãn: m  D  D . 1 2
* Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax3  bx2  cx  d a  0.
Ta có: y  ax2 ' 3  b 2 x  c. Điều kiện Kết luận b 2  a 3 c  0
Hàm số kh ng cò căc trð. b 2  a 3 c  0
Hàm số cò hai điểm căc trð.
Điều kiện để hàm số có cực trð cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có 2 cực trð trái dấu
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt trái dçu  ac  0.
Hàm số có hai cực trð cùng dấu   0 y 
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu   C P  x x .   0  1 2  A
Hàm số có hai cực trð cùng dấu dương   0  y    B
phþĄng trình y  0 có hai nghiệm dþĄng phån biệt  S
  x  x    0 1 2 A  C P   x x.   0 1 2  A
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 5
Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm    0 y'   phþĄng trình B
y  0 có hai nghiệm âm phân biệt  S
  x  x    0 1 2 A  C P   x x.   0 1 2  A
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x , x thỏa mãn: 1 2 x    x 1 2 x  x   1 2   x  x 1 2
Hai căc trð x , x thóa mãn x    x 1 2 1 2
  x   x    0  x .x  x  x  2    0 1 2 1 2 1 2
Hai căc trð x , x thóa mãn x  x   1 2 1 2
 x   x    0 x x.   x  x  2      0 1 2 1 2 1 2     x  x  2 x  x  2  1 2   1 2 
Hai căc trð x , x thóa mãn   x  x 1 2 1 2
 x   x    0 x x.   x  x  2    0 1 2 1 2 1 2     x  x  2 x x  2  1 2   1 2 
PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng b  d
khi có 1 nghiệm là x 
, có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là x 3   . a 3 a
2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng
i tri tương đ i giư a 2 điê m vơ i đươ ng th ng:
Cho 2 đi m Ax ;y , B x ;y và đþąng thë ng  : ax  by  c  0. A A   B B 
N u ax  by  c ax by  c  0 thi hai điểm A, B në m v A A  B B 
hai phía so vĄ i đþĄ ng thë ng . 
N u ax  by  c ax by  c  0 thi hai điểm A, B n m ë cu ng A A  B B 
phía so vĆi đþĄ ng thîng . 
Một số trươ ng hơ p đ c biê t:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trái dçu
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm trái dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y y .  0 C Đ CT
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 6 Đặc biệt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía trên đối với trục Ox y  y .  0
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và C Đ T C  y  y  0  CĐ CT 
Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía dưới đối với trục Ox y  y .  0
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và C Đ T C  . y  y  0  CĐ CT 
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y y .  0 CĐ CT
(áp du ng khi không nh m đươ c nghiê m và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trð của đồ thð hàm số)
Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phía đối với trục Ox
 đồ thð cít trýc Ox täi 3 điểm phân biệt
 phþĄng tri nh hoành đ giao đi m f x   0 co 3 nghi m phân bi t (áp du ng khi nh m được nghiê m)
3. Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð 2   y y     c 2 b 2 bc . g x    x  d  hoặc gx    ay  . 9 hoặc   y y g x  y  3 a 9 a 9   2 3y
Khoâng cách giữa hai điểm cực trð của đồ thð hàm số ậc 3 là e  e 3 4 16 2  3 AB  vĆi b ac e  a a 9
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c a   0
MỘT SỐ KẾT QUÂ CÆN NHỚ
 Hàm số có một căc trð  ab  0.
 Hàm số có ba căc trð  ab  0. a    0
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc tiểu   . b  0  a   0
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc đäi   . b  0  a   0
 Hàm số có hai căc tiểu và một căc đäi   . b  0  a  0
 Hàm số có một căc tiểu và hai căc đäi   . b  0        Giâ sā hàm số b b y ax4 bx2  
 c có 3 căc trð: A(0 c ; ) B ,    ;  C ,   ;   a 2 a 4   a 2 a 4     
täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  0 .
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 7
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y  b3  2 A Tổng quát: cot  2 a 8 O x B C Dữ kiện
Công thức thỏa mãn ab  0
Tam gi{c ABC vuông c}n tại A b 3  a 8 Tam gi{c ABC đều b3  2 a 4
Tam gi{c ABC có diện tích S  S 3 a3 2 S 2 ( )  b5  0 A  BC 0 0
Tam gi{c ABC có diện tích max S ( ) 5 0 b S   0 a3 32
Tam gi{c ABC có b{n kính đường tròn nội tiếp b2  r  r r ABC 0   b3 4 a 1  1    a 8   
Tam gi{c ABC có b{n kính đường tròn ngoại tiếp b3  a 8 R  R R  A  BC 8 a b
Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m am2  b 2  0 0 0
Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n a 16 n 2 2  b 4  a 8 b  0 0 0
Tam gi{c ABC có cực trị B,C Ox b2  a 4 c
Tam gi{c ABC có 3 góc nhọn b a  b3 (8 )  0
Tam gi{c ABC có trọng t}m O b2  a 6 c
Tam gi{c ABC có trực t}m O b3  a 8  a 4 c  0
Tam gi{c ABC cùng điểm O tạo th|nh hình thoi b2  a 2 c
Tam gi{c ABC có O l| t}m đường tròn nội tiếp b3  a 8  a 4 bc  0
Tam gi{c ABC có O l| t}m đường tròn ngoại tiếp b3  a 8  a 8 bc  0
Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC
b3 k2  a k2 . 8 (  4)  0 Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh b2  4 2 ac
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác ABC cò điểm căc trð cách đều trýc hoành b2  a 8 c
Đồ thð hàm số C  y ax4 bx2 :  
c cít trýc Ox täi b 2 100  ac
4 điểm phån biệt lêp thành cçp số cộng 9
Đðnh tham số để hình phîng giĆi hän bći đồ thð
C  y ax4 bx2 :  
c và trýc hoành cò diện tích b 2 36  ac 5
phæn tr n và phæn dþĆi bìng nhau.      
PhþĄng trình đþąng trñn ngoäi tiếp A
 BC: x2  y2 2 2    c y  c   0     b a 4 b a 4    
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 8
GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT I. Đðnh nghïa.
Cho hàm số y  f x xác đðnh trên têp . D f x ( )  M, x   D 
 Số M gọi là giá trð lớn nhất cûa hàm số y  f x trên D nếu:  x  D,f x ( )  M  0 0  Kí hiệu: M  max f( ) x . x D  f x
( )  m,x  D
 Số m gọi là giá trð nhỏ nhất cûa hàm số y  f x trên D nếu: 
x  D,f x ( )  m  0 0 
Kí hiệu: m  minf x ( ) . x D 
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khâo sát trực tiếp
 Bước 1: Tính f x và tìm các điểm x ,x ,...,x  D mà täi đò f x  0 hoðc hàm số 1 2 n kh ng cò đäo hàm.
+ Bước 2: Lêp bâng biến thi n và rồi suy ra giá trð lĆn nhçt, giá trð nhó nhçt cûa hàm số.
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một đoän  Bước 1:
 Hàm số đã cho y  f x xác đðnh và liên týc tr n đoän a;b  .
 Tìm các điểm x , x ,...,x trên khoâng a;b, täi đò f  x   0 hoðc f x  1 2 n kh ng xác đðnh.
 Bước 2: Tính f a , f x , f x ,..., f x , f b . 1 2 n     Bước 3: Khi đò:
 max f x  max f x ,f x ,..., f x , f a , f b . 1 2 n      a  b ,   
 min f x   minf x ,f x ,...,f x ,f a ,f b . 1 2 n      a ,    b
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một hoâng
 Bước 1: Tính đäo hàm f x ( ) .
 Bước 2: Tìm tçt câ các nghiệm x  a
( ;b) cûa phþĄng trình i f  x
( )  0 và tçt câ các điểm   a ( b
; ) làm cho f  x ( ) kh ng xác đðnh. i
 Bước 3. Tính A  lim f x
( ), B  lim f x ( ), f x ( ) , f ( ) . i i x a  x b 
 Bước 4. So sánh các giá trð tính đþợc và kết luên M  maxf x
( ) , m  min f(x) . a ( b; ) a ( b ; )
Nếu giá trð lớn nhất (nhó nhất) là A hoặc B thì kết luận không cò giá trð lớn nhất (nhó nhất).
min f x   f a  + N  u  
y  f x  đ ng bi n trên a  ;b a b ;     thì  . max f 
x  f b a  b ;    
min f(x)  f b + N  u a b; 
y  f x  nghi ch bi n trên a  ;b     thì  . max f x ( )   f a  a;    b
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 9