Tóm tắt lí thuyết môn Xác suất thống kê | Học viện Ngân hàng

TÓM TẮT LÍ THUYẾT MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
(sinh viên được mang bản này vào phòng thi nhưng không được viết thêm gì vào)
1. Các công thức tính xác suất
 Công thức Cộng xác suất tổng quát: Nếu các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 (𝑛 ≥ 2) liên quan đến cùng một phép thử thì
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛) = 𝑛
∑ 𝑃(𝐴𝑖) − ∑ 𝑃(𝐴𝑖𝐴𝑗) + ∑
𝑃(𝐴𝑖𝐴𝑗𝐴𝑘) − ⋯ + (−1)𝑛−1𝑃(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛). 𝑖=1 1≤𝑖<𝑗≤𝑛
1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛
Nếu thêm giả thiết 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 đôi một xung khắc thì
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛).
Hệ quả: 𝑃(𝐴𝐵) + 𝑃(𝐴̅𝐵) = 𝑃(𝐵); 𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐵 ̅|𝐴) = 1.
 Công thức Nhân xác suất tổng quát: Nếu các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 (𝑛 ≥ 2) liên quan đến cùng một phép
thử và 𝑃(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛−1) > 0 (𝑛 ≥ 2), thì
𝑃(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴2) ⋯ 𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛−1).
 Nếu hai biến cố 𝐴1, 𝐴2 liên quan đến cùng một phép thử và độc lập thì 𝑃(𝐴1𝐴2) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2).
 Nếu các biến cố 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 (𝑛 ≥ 3) liên quan đến cùng một phép thử và độc lập toàn phần thì
𝑃(𝐴1𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2)𝑃(𝐴3) ⋯ 𝑃(𝐴𝑛).
 Công thức Xác suất đầy đủ, công thức Bayes: Nếu 𝐻1, 𝐻2, … , 𝐻𝑛 là một nhóm đầy đủ các biến cố và 𝐴 là
một biến cố trong cùng một phép thử với 𝑃(𝐴) > 0, 𝑃(𝐻𝑖) > 0, ∀𝑖 ∈ {1; … ; 𝑛}, thì: 𝑛
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖)𝑃(𝐴|𝐻𝑖) (Công thức Xác suất đầy đủ), 𝑖=1 𝑃(𝐻 𝑃(𝐻 𝑘)𝑃(𝐴|𝐻𝑘) 𝑘|𝐴) = (Công thức Bayes). ∑𝑛 𝑃(𝐻 𝑖=1 𝑖)𝑃(𝐴|𝐻𝑖)
2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
 Mode của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu mod(𝑋), là số thực 𝑥∗ được xác định như sau:
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất cho bởi 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑗} = 𝑝𝑗, thì 𝑥∗ là giá trị tại đó xác
suất 𝑃{𝑋 = 𝑥∗} đạt giá trị lớn nhất.
- Nếu 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục thì 𝑥∗ là điểm tại đó hàm mật độ đạt cực đại.
 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu 𝐸(𝑋), là một số được xác định như sau:
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑥 𝑗 ∙ 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑗} 𝑗∈𝑋(Ω) . +∞
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ 𝑓(𝑥) thì 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. −∞ 1  2
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋)) .
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc 2 thì 𝑉(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑥 − (𝐸(𝑋))2. 𝑗∈𝑋(Ω) 𝑗 ∙ 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑗} +∞
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ 𝑓(𝑥) thì 𝑉(𝑋) = ∫
𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − (𝐸(𝑋))2. −∞
 Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋).
3. Một số phân phối xác suất thông dụng
 Phân phối nhị thức
Khi 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) thì: 𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑘
𝑛 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘;
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝; 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝);
mod(𝑋) là số tự nhiên thỏa mãn (𝑛 + 1)𝑝 − 1 ≤ mod(𝑋) ≤ (𝑛 + 1)𝑝.
 Phân phối siêu bội
Khi 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑀, 𝑛) thì: 𝐶𝑘 ∙𝐶𝑛−𝑘
𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝑀 𝑁−𝑀 𝐶𝑛 ; 𝑁 𝑀
𝑀 𝑁 − 𝑀 𝑁 − 𝑛 𝐸(𝑋) = 𝑛 ∙ , 𝑉(𝑋) = 𝑛 ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 − 1
 Phân phối Poisson
Khi 𝑋~𝑃(𝜆), trong đó 𝜆 > 0, thì: 𝜆𝑘
𝑃{𝑋 = 𝑘} = 𝑒−𝜆 ; 𝑘!
𝐸(𝑋) = 𝑉(𝑋) = 𝜆;
mod(𝑋) là số tự nhiên thỏa mãn 𝜆 − 1 ≤ mod(𝑋) ≤ 𝜆.  Phân phối mũ
Khi 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆), trong đó 𝜆 > 0, thì: 0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0
Hàm mật độ của X là 𝑓(𝑥) = { ;
𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0 1 1 𝐸(𝑋) = , 𝑉(𝑋) = . 𝜆 𝜆2
 Phân phối chuẩn
Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), trong đó 𝜎 > 0, thì:
𝐸(𝑋) = 𝜇, 𝑉(𝑋) = 𝜎2, mod(𝑋) = 𝜇; 𝑥−𝜇 𝑥−𝜇 𝑃{𝑋 < 𝑥} = Φ ( ) = 0,5 + Φ ); 𝜎 0 ( 𝜎 𝑏 − 𝜇 𝑎 − 𝜇 𝑏 − 𝜇 𝑎 − 𝜇
𝑃{𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏} = Φ ( ) − Φ ( ) = Φ ) − Φ ). 𝜎 𝜎 0 ( 𝜎 0 ( 𝜎 2
4. Biến ngẫu nhiên rời rạc 2 - chiều
Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc 2-chiều (𝑋; 𝑌) có phân phối xác suất cho bởi 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃{(𝑋; 𝑌) = (𝑥𝑖; 𝑦𝑗)} thì:
 Phân phối xác suất của X xác định bởi: 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑖} = ∑ 𝑝 𝑗 𝑖𝑗.
 Phân phối xác suất của Y xác định bởi: 𝑃{𝑌 = 𝑦𝑗} = ∑ 𝑝 𝑖 𝑖𝑗.
 Phân phối xác suất của X với điều kiện {𝑌 = 𝑦𝑗} xác định bởi: 𝑝𝑖𝑗
𝑃({𝑋 = 𝑥𝑖}|{𝑌 = 𝑦𝑗}) = . 𝑃{𝑌 = 𝑦𝑗} 1
Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện {𝑌 = 𝑦𝑗} là 𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦𝑗) = ∑ 𝑥 . 𝑃{𝑌=𝑦 𝑖 𝑖𝑝𝑖𝑗 𝑗}
 Phân phối xác suất của Y với điều kiện {𝑋 = 𝑥𝑖} xác định bởi: 𝑝𝑖𝑗
𝑃({𝑌 = 𝑦𝑗}|{𝑋 = 𝑥𝑖}) = . 𝑃{𝑋 = 𝑥𝑖} 1
Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện {𝑋 = 𝑥𝑖} là 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥𝑖) = ∑ 𝑦 . 𝑃{𝑋=𝑥 𝑗 𝑗𝑝𝑖𝑗 𝑖}
 Hiệp phương sai (covarian) của hai biến ngẫu nhiên X và Y là
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑗𝑝𝑖𝑗 − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). (𝑖;𝑗)  𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y là 𝜌(𝑋, 𝑌) = . 𝜎(𝑋)∙𝜎(𝑌)
5. Ước lượng tham số
5.1. Một số đặc trưng của mẫu
Với mẫu ngẫu nhiên thu được khi quan sát n lần một biến ngẫu nhiên X: 𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑘 Tần số 𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑘  1
Trung bình mẫu 𝑥̅ = ∑𝑘 𝑥 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖
𝑖 là một ước lượng của 𝐸(𝑋).  1
Phương sai mẫu (điều chỉnh) 𝑠2 = ∑𝑘 (𝑥
là một ước lượng của 𝑉(𝑋). 𝑛−1 𝑖=1 𝑖 − 𝑥̅)2𝑛𝑖
5.2. Khoảng tin cậy
Trong các khoảng tin cậy dưới đây với độ tin cậy 𝛾 = 1 − 𝛼 thì 𝛼1 và 𝛼2 là các số không âm mà 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼.
5.2.1. Khoảng tin cậy của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X:  𝜎 𝜎
Trường hợp 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và đã biết 𝜎: Khoảng tin cậy là (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; 𝑥̅ + 𝑢 ). 2 √𝑛 𝛼1 √𝑛
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau: 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; 𝑥̅ + 𝑢𝛼 ) ; (−∞; 𝑥̅ + 𝑢𝛼 ) ; (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; +∞). 2 √𝑛 2 √𝑛 √𝑛 √𝑛 3  𝑠 𝑠
Trường hợp 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và chưa biết 𝜎: Khoảng tin cậy là (𝑥̅ − 𝑡 (𝑛 − 1); 𝑥̅ + 𝑡 (𝑛 − 1)). √𝑛 𝛼2 √𝑛 𝛼1
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau: 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 (𝑥̅ − 𝑡𝛼(𝑛 − 1); 𝑥̅ +
𝑡𝛼(𝑛 − 1)) ; (−∞; 𝑥̅ +
𝑡𝛼(𝑛 − 1)) ; (𝑥̅ − 𝑡𝛼(𝑛 − 1); +∞). √𝑛 2 √𝑛 2 √𝑛 √𝑛
 Trường hợp kích thước mẫu là 𝑛 ≥ 30 (Không cần giả thiết X có phân phối chuẩn): Khoảng tin cậy là 𝑠 𝑠 (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; 𝑥̅ + 𝑢 ). 2 √𝑛 𝛼1 √𝑛
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau: 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; 𝑥̅ + 𝑢𝛼 ) ; (−∞; 𝑥̅ + 𝑢𝛼 ) ; (𝑥̅ − 𝑢𝛼 ; +∞). 2 √𝑛 2 √𝑛 √𝑛 √𝑛
5.2.2. Khoảng tin cậy của phương sai (𝑛−1)𝑠2 (𝑛−1)𝑠2
Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) nhưng chưa biết 𝜇 thì khoảng tin cậy của 𝑉(𝑋) là ( ; ). 𝜒2 2 𝛼 (𝑛−1) 𝜒 (𝑛−1) 2 1−𝛼1
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau: (𝑛 − 1)𝑠2 (𝑛 − 1)𝑠2 (𝑛 − 1)𝑠2 (𝑛 − 1)𝑠2 ( ; ) ; (0; ) ; ( ; +∞). 𝜒2 2 2 2 𝛼(𝑛 − 1) 𝜒 𝛼(𝑛 − 1) 𝜒 (𝑛 − 1) 𝜒 (𝑛 − 1) 1− 1−𝛼 𝛼 2 2
5.2.3. Khoảng tin cậy của tỉ lệ
Giả sử p là tỉ lệ các phần tử có tính chất A trong tổng thể. Trong một mẫu kích thước n được lấy từ tổng thể đó,
tỉ lệ phần tử có tính chất A là 𝑓. Với điều kiện 𝑛𝑓 > 10, 𝑛(1 − 𝑓) > 10, thì khoảng tin cậy của 𝑝 là √𝑓(1 − 𝑓) √𝑓(1 − 𝑓) (𝑓 − 𝑢𝛼 ; 𝑓 + 𝑢 ). 2 𝛼 √𝑛 1 √𝑛
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau: √𝑓(1 − 𝑓) √𝑓(1 − 𝑓) √𝑓(1 − 𝑓) √𝑓(1 − 𝑓) (𝑓 − 𝑢𝛼 ; 𝑓 + 𝑢𝛼 ) ; [0; 𝑓 + 𝑢𝛼 ) ; (𝑓 − 𝑢𝛼 ; 1] . 2 √𝑛 2 √𝑛 √𝑛 √𝑛
6. Công thức xác định độ chính xác khi ước lượng một kỳ vọng hoặc một tỉ lệ
Với độ tin cậy 𝜸 = 𝟏 − 𝜶:  𝝈
trường hợp 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và đã biết 𝜎, thì ước lượng của 𝜇 bởi 𝑋̅ đạt độ chính xác 𝜺 = 𝒖𝜶 . 𝟐 √𝒏
 trường hợp 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và chưa biết 𝜎, thì ước lượng của 𝜇 bởi 𝑋̅ đạt độ chính xác 𝜺 = 𝒕𝜶(𝒏 − 𝟏) 𝑺 . 𝟐 √𝒏
 trường hợp chưa xác định được hoàn toàn phân phối xác suất của X nhưng với 𝑛 ≥ 30, thì ước lượng của 𝑺
𝐸(𝑋) bởi 𝑋̅ đạt độ chính xác 𝜺 = 𝒖𝜶 . 𝟐 √𝒏  √𝑭(𝟏−𝑭)
ước lượng xác suất 𝒑 bởi tần suất 𝑭 đạt độ chính xác 𝜺 = 𝒖𝜶 . 𝟐 √𝒏 4
7. Kiểm định giả thuyết thống kê
7.1. Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên
Bài toán: Cho mẫu (x1, x2, …, xn) lấy từ biến ngẫu nhiên X. Với mức ý nghĩa  và 𝜇0 cho trước, hãy kiểm định
một trong ba cặp giả thuyết sau về  = 𝐸(𝑋):
- H0: "𝜇 = 𝜇0", H1: "𝜇 ≠ 𝜇0".
- H0: "𝜇 ≤ 𝜇0", H1: "𝜇 > 𝜇0" .
- H0: "𝜇 ≥ 𝜇0", H1: "𝜇 < 𝜇0" .  (𝑿 ̅−𝝁
Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và đã biết 𝜎2 thì ta dùng thống kê kiểm định 𝒁 = 𝟎)√𝒏. 𝝈
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với ba cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑢𝛼) ∪ (𝑢𝛼; +∞); (𝑢𝛼; +∞); (−∞; −𝑢𝛼). 2 2  (𝑿 ̅−𝝁
Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) và chưa biết 𝜎2 thì ta dùng thống kê kiểm định 𝑻 = 𝟎)√𝒏. 𝑺
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với ba cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑡𝛼(𝑛 − 1)) ∪ (𝑡𝛼(𝑛 − 1); +∞); (𝑡𝛼(𝑛 − 1); +∞); (−∞; −𝑡𝛼(𝑛 − 1)). 2 2
 Khi kích thước mẫu là 𝑛 ≥ 30, thì không cần giả thiết X có phân phối chuẩn ta vẫn có thể dùng thống kê kiểm đị (𝑿 ̅−𝝁 (𝑿 ̅−𝝁 nh 𝒁 =
𝟎)√𝒏 nếu biết 𝜎, hoặc dùng thống kê kiểm định 𝒁 =
𝟎)√𝒏 nếu chưa biết 𝜎. 𝝈 𝑺
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với ba cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑢𝛼) ∪ (𝑢𝛼; +∞); (𝑢𝛼; +∞); (−∞; −𝑢𝛼). 2 2
7.2. Kiểm định giả thuyết về phương sai của một biến ngẫu nhiên
Bài toán: Cho mẫu (x 2
1, x2, …, xn) lấy từ biến ngẫu nhiên X, trong đó 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2). Với mức ý nghĩa  và 𝜎0 cho
trước, hãy kiểm định một trong ba cặp giả thuyết sau về 𝜎2 = 𝑉(𝑋): - H 2 2
0: "𝜎2 = 𝜎0 ", H1: "𝜎2 ≠ 𝜎0 ". - H 2 2
0: "𝜎2 ≤ 𝜎0 ", H1: "𝜎2 > 𝜎0 " . - H 2 2
0: "𝜎2 ≥ 𝜎0 ", H1: "𝜎2 < 𝜎0 " . (𝒏−𝟏)𝑺𝟐
Ta dùng thống kê kiểm định 𝝌𝟐 = 𝝈𝟐 . 𝟎
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với ba cặp giả thuyết trên là: (0; 𝜒2 2 2 2
𝛼(𝑛 − 1)) ∪ (𝜒𝛼 (𝑛 − 1); +∞) ; (𝜒 (𝑛 − 1); +∞); (0; 𝜒 (𝑛 − 1)). 1− 𝛼 1−𝛼 2 2
7.3. Kiểm định giả thuyết về một tỉ lệ
Bài toán: Giả sử p là tỉ lệ (chưa biết) các phần tử có tính chất A trong tổng thể. Trong một mẫu kích thước n
được lấy từ tổng thể đó, tỉ lệ phần tử có tính chất A là 𝐹. Với mức ý nghĩa  và 𝑝0 cho trước, hãy kiểm định
một trong cặp giả thuyết sau về 𝑝: 5
- H0: "𝑝 = 𝑝0", H1: "𝑝 ≠ 𝑝0".
- H0:"𝑝 ≤ 𝑝0", H1: "𝑝 > 𝑝0".
- H0: "𝑝 ≥ 𝑝0", H1: "𝑝 < 𝑝0". (𝑭−𝒑 Với điều kiện 𝑛𝑝 𝟎)√𝒏
0 ≥ 5 và 𝑛(1 − 𝑝0) ≥ 5, ta dùng thống kê kiểm định 𝒁 = . √𝒑𝟎(𝟏−𝒑𝟎)
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với ba cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑢𝛼) ∪ (𝑢𝛼; +∞) ; (𝑢𝛼; +∞); (−∞; −𝑢𝛼). 2 2
7.4. So sánh hai kỳ vọng
Bài toán: Giả sử 𝑋~𝑁(𝜇 2 2
𝑋, 𝜎𝑋 ) và 𝑌~𝑁(𝜇𝑌, 𝜎𝑌 ). Dựa trên hai mẫu được quan sát độc lập:
(x1, x2, …, xm) rút ra từ X, (y1, y2, …, yn) rút ra từ Y,
hãy kiểm định một trong hai cặp giả thuyết sau với mức ý nghĩa . -
H0: "𝜇𝑋 = 𝜇𝑌", H1: "𝜇𝑋 ≠ 𝜇𝑌"; -
H0: "𝜇𝑋 ≤ 𝜇𝑌", H1: "𝜇𝑋 > 𝜇𝑌".  𝑿 ̅−𝒀 ̅ Khi biết 𝜎2 2
𝑋 và 𝜎𝑌 thì ta dùng thống kê kiểm định 𝒁 = . 𝟐 𝟐 √𝝈𝑿 𝝈 + 𝒀 𝒎 𝒏
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với hai cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑢𝛼) ∪ (𝑢𝛼; +∞); (𝑢𝛼; +∞). 2 2
Chú ý: Khi 𝑚 ≥ 30 và 𝑛 ≥ 30, ta vẫn có thể dùng phương pháp kiểm định này mà không cần giả thiết X
và Y có phân phối chuẩn.  Khi không biết 𝜎2 2 𝑋 và 𝜎𝑌 : 𝑿 ̅−𝒀 ̅
(𝒎−𝟏)𝒔𝟐 +(𝒏−𝟏)𝒔𝟐 Nếu 𝜎2 2 𝑿 𝒀
𝑋 = 𝜎𝑌 thì ta dùng thống kê kiểm định 𝑻 = với 𝑺𝟐 = . 𝒎+𝒏−𝟐 √ 𝟏 𝟏 𝑺𝟐( + ) 𝒎 𝒏
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với hai cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑡𝛼(𝑚 + 𝑛 − 2)) ∪ (𝑡𝛼(𝑚 + 𝑛 − 2); +∞); (𝑡𝛼(𝑚 + 𝑛 − 2); +∞). 2 2 Nếu 𝜎2 2 2 2
𝑋 ≠ 𝜎𝑌 hoặc ta không biết 𝜎𝑋 và 𝜎𝑋 có bằng nhau hay không, thì ta dùng thống kê kiểm định 𝑿 ̅−𝒀 ̅ 𝑻 = . 𝟐 𝟐 √𝑺𝑿 𝑺 + 𝒀 𝒎 𝒏
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với hai cặp giả thuyết trên là:
(−∞; −𝑡𝛼(𝑘)) ∪ (𝑡𝛼(𝑘); +∞); (𝑡𝛼(𝑘); +∞), 2 2 𝟐 𝑺𝟐 𝑺𝟐 ( 𝑿+ 𝒀) 𝒎 𝒏
trong đó 𝑘 là phần nguyên của . 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝑺 𝟏 𝑺 ( 𝑿) + ( 𝒀) 𝒎−𝟏 𝒎 𝒏−𝟏 𝒏 6
7.5. So sánh hai phương sai
Bài toán: Giả sử 𝑋~𝑁(𝜇 2 2
𝑋, 𝜎𝑋 ) và 𝑌~𝑁(𝜇𝑌, 𝜎𝑌 ). Dựa trên hai mẫu được quan sát độc lập:
(x1, x2, …, xm) rút ra từ X, (y1, y2, …, yn) rút ra từ Y,
ta kiểm định một trong hai cặp giả thuyết sau với mức ý nghĩa . - H 2 2 2 2
0: "𝜎𝑋 = 𝜎𝑌 ", H1: "𝜎𝑋 ≠ 𝜎𝑌 "; - H 2 2 2 2
0: "𝜎𝑋 ≤ 𝜎𝑌 ", H1: "𝜎𝑋 > 𝜎𝑌 ". Khi 𝑺𝟐 𝟐
𝑿 > 𝑺𝒀, ta dùng thống kê kiểm định 𝑺𝟐 𝑭 = 𝑿 𝑺𝟐. 𝒀
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với hai cặp giả thuyết trên là:
(0; 𝑓 𝛼(𝑚 − 1; 𝑛 − 1)) ∪ (𝑓𝛼(𝑚 − 1; 𝑛 − 1); +∞) ; 1−2 2
(𝑓𝛼(𝑚 − 1; 𝑛 − 1); +∞).
7.6. So sánh hai tỉ lệ
Bài toán: Xét hai tổng thể 𝒳 và 𝒴. Giả sử mỗi phần tử của các tổng thể này có thể có hoặc không có tính chất
A. Kí hiệu 𝑝1, 𝑝2 lần lượt là tỉ lệ phần tử có tính chất A trong 𝒳, 𝒴. Ta chưa biết hai tỉ lệ này.
Giả sử mẫu ngẫu nhiên I gồm m phần tử lấy từ 𝒳 và mẫu ngẫu nhiên II gồm n phần tử lấy từ 𝒴. Hai mẫu này
được giả thiết là lấy độc lập với nhau. Trong mẫu I và II lần lượt có 𝑘 và ℎ phần tử có tính chất A. Ta kiểm định
một trong hai cặp giả thuyết sau với mức ý nghĩa . -
H0: "𝑝1 = 𝑝2", H1: "𝑝1 ≠ 𝑝2"; -
H0:"𝑝1 ≤ 𝑝2", H1: "𝑝1 > 𝑝2". Đặ 𝑘+ℎ 𝑘 ℎ t 𝑝̅ = ; 𝑓 ; 𝑓 . 𝑚+𝑛 1 = 𝑚 2 = 𝑛
Với điều kiện (𝑚 + 𝑛)𝑝̅ ≥ 10 và (𝑚 + 𝑛)(1 − 𝑝̅) ≥ 10, ta dùng thống kê kiểm định 𝒇 𝒁 = 𝟏−𝒇𝟐 . √ 𝟏 𝟏 𝒑 ̅(𝟏−𝒑 ̅)( + ) 𝒎 𝒏
Miền bác bỏ 𝑊𝛼 tương ứng với hai cặp giả thuyết trên là
(−∞; −𝑢𝛼) ∪ (𝑢𝛼; +∞); 2 2 (𝑢𝛼; +∞). 7
8. Một số ứng dụng của máy fx-580 VNX trong Xác suất – Thống kê:
 Khi 𝑋  𝐵(𝑛; 𝑝):
Dùng dãy lệnh MENU  7  4  2 để tính 𝑃{𝑋 = 𝒙}.
Dùng dãy lệnh MENU  7  ⇓  1  2 để tính 𝑃{𝑋 ≤ 𝒙}.  Khi 𝑋  𝑃(𝜆):
Dùng dãy lệnh MENU  7  ⇓  2  2 để tính 𝑃{𝑋 = 𝒙}.
Dùng dãy lệnh MENU  7  ⇓  3  2 để tính 𝑃{𝑋 ≤ 𝒙}.
 Đối với hàm Φ(𝑥):
Dùng dãy lệnh MENU  6  AC  OPTN  ⇓  4  1 để tính Φ(𝑥).
Dùng dãy lệnh MENU  7  3 để tìm 𝑥 khi biết 𝑢 = Φ(𝑥).
 Tính các đặc trưng mẫu:
Dùng dãy lệnh SHIFT  MENU  ⇓  3  1  MENU  6  1 để vào khung chờ nhập mẫu.
Nhập các con số trong mẫu vào cột x; nhập tần số tương ứng với các con số đó vào cột n.
Sau khi nhập xong mẫu, dùng chuỗi lệnh OPTN  3 ta sẽ nhận được các đặc trưng của mẫu này. 8