Tóm tắt lí thuyết và công thức giải nhanh Toán 12 – Trần Quốc Nghĩa

Tóm tắt lí thuyết và công thức giải nhanh Toán 12 – Trần Quốc Nghĩa được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 1
11
1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Kí hiệu
K
là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
(
)
=
y f x
xác định trên
K
ta có:
Hàm số
(
)
=
y f x
được gọi là đồng biến (tăng) trên
K
nếu:
(
)
(
)
< <
1 2 1 2 1 2
, ,
x x K x x f x f x
.
Hàm số
(
)
=
y f x
được gọi là nghịch biến (giảm) trên
K
nếu:
(
)
(
)
< >
1 2 1 2 1 2
, ,
x x K x x f x f x
.
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
K
được gọi chung là đơn điệu trên
K
.
Nhận xét:
Hàm số
(
)
f x
đồng biến trên K
(
)
(
)
>
2 1
1 2 1 2
2 1
f x f x
x x K x x
x x
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số
(
)
f x
nghịch biến trên K
(
)
(
)
<
2 1
1 2 1 2
2 1
0 , , .
f x f x
x x K x x
x x
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nêu
(
)
(
)
>
0, ;f x x a b hàm sô
(
)
f x
đông biên trên khoảng
(
)
; .
a b
Nêu
(
)
(
)
<
0, ;f x x a b hàm sô
(
)
f x
nghịch biên trên khoảng
(
)
; .
a b
Nêu
(
)
(
)
=
0, ;
f x x a b
hàm sô
(
)
f x
không đôi trên khoảng
(
)
; .
a b
Nêu
(
)
f x
đông biên trên khoảng
(
)
(
)
(
)
; 0, ; .
a b f x x a b
Nếu
(
)
f x
nghịch biên trên khoảng
(
)
(
)
(
)
; 0, ; .
a b f x x a b
Nêu thay đôi khoảng
(
)
;
a b
bằng môt đoan hoặc nửa khoảng thì phải sung thêm giả thiêt “hàm
sô
(
)
f x
liên tuc trên đoan hoăc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho
(
)
=
;
u u x
(
)
=
v v x
;
C
là hằng số.
Tổng, hiệu:
( )
± = ±
.
u v u v
Tích:
( )
= +
. . .
u v u v v u
( )
=
. .
C u C u
.
Thương:
( )
= =
2 2
. . .
, 0
u u v v u C C u
v
v u
v u
Đạo hàm hàm hợp: Nếu
(
)
(
)
= = =
, .
x u x
y f u u u x y y u
.
3. Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
+
=
+
ax b
y
cx d
( )
+
= =
+
+
2
.
ax b ad bc
y
cx d
cx d
+ +
=
+ +
2
2
ax bx c
y
a x b x c
( )
+ +
+ +
= =
+ +
+ +
2
2
2 2
2
2
a b a c b c
x x
a b a c b c
ax bx c
y
a x b x c
dx ex f
(anh bạn-ăn co-bcơm)
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 2
22
2
4. Bảng công thức tính đạo hàm
Hàm sơ cấp Hàm hợp Hàm sơ cấp Hàm hợp
( )
=
0
C
(
C
: hằng số).
( )
α α
α
=
1
.
x x
( )
=
2
1
tan
cos
x
x
( )
=
2
tan
cos
u
u
u
( )
α α
α
=
1
.
x x
( )
α α
α
=
1
. .
u u u
( )
=
2
1
cot
sin
x
x
( )
=
2
cot
sin
u
u
u
=
2
1 1
( 0)
x
x
x
( )
=
2
1
0
u
u
u
u
( )
=
e e
x x
( )
=
u
e e
.
u
u
( )
( )
= >
1
0
2
x x
x
( )
( )
= >
0
2
u
u u
u
( )
=
.ln
x x
a a a
( )
=
. .ln
u u
a u a a
( )
=
sin cos
x x
( )
=
sin .cos
u u u
( )
=
1
ln x
x
( )
=
ln
u
u
u
( )
=
cos sin
x x
( )
=
cos .sin
u u u
( )
=
1
log
ln
a
x
x a
( )
=log
.ln
a
u
u
u a
( )
=
1
sin .sin
n n
x n x
( )
( )
=
1
sin .sin . sin
n n
u n u u
( )
=
1
cos .cos
n n
x n x
( )
( )
=
1
cos .cos . cos
n n
u n u u
( )
=
1
tan .tan
n n
x n x
( )
( )
=
1
tan .tan . tan
n n
u n u u
( )
=
1
cot .cot
n n
x n
( )
( )
=
1
cot .cot . cot
n n
u n u u
5. Đạo hàm cấp 2
a. Định nghĩa:
( ) ( )
=
f x f x
b. Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
(
)
=
s f t
tại thời điểm
0
t
là:
(
)
(
)
=
0 0
.
a t f t
c. Đạo hàm cấp cao:
( )
( )
( )
( ) ( )
=
1
, , 2
n n
f x f x n n (chứng minh bằng qui nạp).
Một số chú ý:
Nếu hàm số
(
)
f x
(
)
g x
ng đồng biến (nghịch biến) trên
K
thì hàm số
(
)
(
)
+
f x g x
ng
đồng biến (nghịch biến) trên
.
K
Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu
(
)
(
)
f x g x
.
Nếu hàm số
(
)
f x
(
)
g x
là các hàm số ơng và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
K
thì hàm
số
(
)
(
)
.
f x g x
cũng đồng biến (nghịch biến) trên
.
K
Tính chất này thể không đúng khi các
hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
không là các hàm sdương trên
.
K
Cho hàm số
(
)
=
u u x
, xác định với
(
)
;
x a b
(
)
(
)
;
u x c d
. Hàm số
(
)
f u x
cũng xác định với
(
)
;
x a b
.
Ta có nhận xét sau:
Giả sử hàm số
(
)
=
u u x
đồng biến với
(
)
;
x a b
.
Khi đó, hàm số
(
)
f u x
đồng biến với
(
)
(
)
;
x a b f u
đồng biến với
(
)
;
u c d
.
Giả sử hàm số
(
)
=
u u x
nghịch biến với
(
)
;
x a b
.
Khi đó, hàm số
(
)
f u x
nghịch biến với
(
)
(
)
;
x a b f u
nghịch biến với
(
)
;
u c d
.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 3
33
3
6. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số
f
đạo hàm trên
K
Nếu
(
)
0
f x với mọi
x K
(
)
=
0
f x chỉ tại một số hữu hạn điểm
x K
thì hàm số
f
đồng biến trên
K
.
Nếu
(
)
0
f x với mọi
x K
(
)
=
0
f x chỉ tại một số hữu hạn điểm
x K
thì hàm số
f
nghịch biến trên
K
.
Chú ý:
Đối với hàm phân thức hữu tỉ
+
=
+
ax b d
y x
cx d c
thì dấu
=
" "
khi xét dấu đạo hàm
y
không xảy ra.
Giả sử
(
)
(
)
= = + + + = + +
3 2 2
3 2 .
y f x ax bx cx d f x ax bx c
Hàm số đồng biến trên
Hàm snghịch biến trên
( )
>
=
=
>
0
0
0; .
0
0
0
a
f x x
a
b
c
( )
<
=
=
<
0
0
0; .
0
0
0
a
f x x
a
b
c
Trường hợp 2 thì hệ số
c
khác
0
vì khi
= = =
0
a b c
thì
(
)
=
f x d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
Với dạng toán tìm tham sm để hàm sbâc ba đơn điệu một chiều trên khoảng độ
dài bằng
l
ta giải như sau:
Bước 1: Tính
(
)
= = + +
2
; .
y f x m ax bx c
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên
(
)
=
1 2
; 0
x x y
2
nghiệm phân biệt
>
0
0
a
(
)
*
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có đdài bằng
l
=
1 2
x x l
( )
+ =
2
2
1 2 1 2
4
x x x x l
=
2 2
4
S P l
(
)
* *
Bước 4: Giải
(
)
*
và giao với
(
)
* *
để suy ra giá tr
m
cần tìm.
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số
f
xác định trên tập K và
0
x K
. Ta nói:
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số
f
nếu tồn tại một khoảng
(
)
;
a b
chứa
0
x
sao cho
(
)
;
a b K
(
)
(
)
(
)
{
}
>
0 0
, ; \
f x f x x a b x
. Khi đó
(
)
0
f x
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm s
f
.
0
x
là điểm cực đại của hàm số
f
nếu tồn tại một khoảng
(
)
;
a b
chứa
0
x
sao cho
(
)
;
a b K
(
)
(
)
(
)
{
}
<
0 0
, ; \
f x f x x a b x
. Khi đó
(
)
0
f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số
f
.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Gtrị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm s điểm cực trị phải là
một điểm trong tập hợp
K
.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 4
44
4
Gtrị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Nếu
0
x
điểm cực trị của hàm số thì điểm
(
)
(
)
0 0
;
x f x
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
f
.
Nhận xét:
Gtrị cực đại (cực tiểu)
(
)
0
f x
nói chung không phải là gtrị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
f
trên tập D;
(
)
0
f x
chỉ gtrị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
f
trên một khoảng
(
)
;
a b
nào
đó chứa
0
x
hay nói cách khác khi
0
x
điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa
0
x
sao
cho
(
)
0
f x
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm s
f
trên khoảng
(
)
.
;
a b
Hàm số
f
thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập
K
. Hàm số thể không
cực trị trên một tập cho trước.
3. Minh họa đồ thị
Với
(
)
;
a b
là khong chứa tất cả các sthực thỏa
< <
a x b
.
Hàm số
f
đạt cực đại tại
=
x c
. Hàm s
f
đạt cực tiểu tại
=
x c
.
4. Một số điểm cần lưu ý
a) Hàm số
f
có cực trị
y
đổi dấu.
b) Hàm số
f
không có cực trị
y
không đổi dấu.
c) Hàm số
f
chỉ có 1 cực tr
y
đổi dấu 1 ln.
d) Hàm số
f
có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)
y
đổi dấu 2 lần.
e) Hàm số
f
có 3 cực tr
y
đổi dấu 3 ln.
f) Chú ý: Đối với một hàm số bất kì, hàm số chỉ có
thể đạt cực trtại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.
g) Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số,
điểm cực trị của đồ thị hàm số,…
5. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số
(
)
=
y f x
đạt cực tr tại điểm
0
x
. Khi đó, nếu
(
)
=
y f x
đạo hàm tại điểm
0
x
thì
(
)
=
0
0.
f x
Chú ý:
Đạo hàm
(
)
f x
có thể bằng
0
tại điểm
0
x
nhưng hàm số
f
không đạt cực trị tại điểm
0
x
.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm sbằng
0
hoặc tại đó hàm
số không có đạo hàm.
O
x
c
(
)
(
)
;
c f c
y
(
)
f c
O
x
c
(
)
(
)
;
c f c
y
(
)
f c
C
Đ
x
y
C
Đ
y
CT
x
CT
y
O
x
G
iá tr
c
c đ
i (c
c đ
i)
của hàm số
Giá tr
c
c ti
u
(cực tiểu)
của hàm số
Điểm cực
tiểu của đồ
th
Đi
m c
c ti
u
của hàm số
Đi
m c
c đ
i
của hàm số
Điểm cực đạ
i
của đồ thị
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 5
55
5
6. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số
f
đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó, nếu hàm số
f
có đạo hàm tại điểm
0
x
thì
(
)
=
0
0
f x .
Nêu
(
)
>
0
f x trên khoảng
(
)
0 0
;
x h x
(
)
<
0
f x trên khoảng
(
)
+
0 0
;
x x h
thì
0
x
môt điêm cưc
đai cua ham sô
(
)
f x
.
Nêu
(
)
<
0
f x trên khoang
(
)
0 0
;
x h x
(
)
>
0
f x trên khoảng
(
)
+
0 0
;
x x h
thì
0
x
môt điêm cưc
tiêu của hàm sô
(
)
f x
.
7. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
(
)
.
f x
Bước 2: Tìm các điểm
i
x
(
)
=
1;2;...
i tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục
nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
(
)
f x
. Nếu
(
)
f x
đổi dấu khi đi qua
i
x
thì hàm
số đạt cực trị tại
i
x
.
Định lí 3:
Giả sử
(
)
=
y f x
có đạo hàm câp 2 trong khoảng
(
)
+
0 0
;
x h x h
vơi
>
0.
h
Khi đó:
Nếu
(
)
=
0
0,
f x
(
)
<
0
0
f x thì hàm số
f
đạt cực đại tại
0
.
x
Nếu
(
)
=
0
0,
f x
(
)
>
0
0
f x thì hàm số
f
đạt cực tiểu tại
0
.
x
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để m cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: m tập xác định. Tìm
(
)
.
f x
Bước 2: m các nghiệm
i
x
(
)
=
1;2;...
i của phương trình
(
)
=
0.
f x
Bước 3: nh
(
)
f x
và tính
(
)
i
f x
.
Nếu
(
)
<
0
i
f x thì hàm số
f
đạt cực đại tại điểm
i
x
.
Nếu
(
)
>
0
i
f x thì hàm số
f
đạt cực tiểu tại điểm
i
x
.
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM S
1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
= + + +
3 2
y ax bx cx d
a. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tông quat:
Cho hàm số
(
)
= = + + +
3 2
; .
y f x m ax bx cx d
Tìm tham số
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu tại
1
x
,
2
x
thỏa mãn điều kiện
K
cho trước.
Phương pháp:
Bước 1:
Tập xác định:
=
D
.
Đạo hàm:
= + + = + +
2 2
3 2
y ax bx c Ax Bx C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 6
66
6
Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
y
đổi dấu qua 2 nghiệm đó
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt
=
= = >
>
2 2
1
2
3 0
0
4 4 12 0
3 0
y
A a
a
m D
B AC b ac
b ac
.
Bước 3:
Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
=
0
y
. Khi đó:
+ = =
= =
1 2
1 2
2
3
.
3
B b
x x
A a
C c
x x
A a
.
Bước 4:
Biên đôi điêu kiên
K
vê dang tông
S
và tich
P
. Từ đó giải ra tìm đươc
2
.
m D
Bước 5:
Kêt luân các giá trị
m
thỏa mãn: =
1 2
.
m D D
Chú ý: Hàm số bậc ba:
(
)
= + + +
3 2
0 .
y ax bx cx d a Ta có:
= + +
2
3 2
y ax bx c
.
Hàm số không có cực trị:
2
3 0
b ac .
Hàm số có hai điểm cực trị:
>
2
3 0
b ac .
Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt trái dấu
. 3 0 0
A C ac ac
= < <
.
Hàm số có hai cực trị cùng dấu
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
>
= = >
1 2
0
. 0
y
C
P x x
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm dương phân biệt
>
= + = >
= = >
1 2
1 2
0
0
. 0
y
B
S x x
A
C
P x x
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm âm phân biệt
>
= + = <
= = >
'
1 2
1 2
0
0
. 0
y
B
S x x
A
C
P x x
A
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
1
x
,
2
x
thỏa mãn:
< <
< <
< <
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
α
αα
α
α
αα
α
α
αα
α
Hai cực trị
1
x
,
2
x
thỏa mãn
α
< <
1 2
x x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 7
77
7
(
)
(
)
(
)
α α α α
< + + <
2
1 2 1 2 1 2
0 . 0
x x x x x x
Hai cực trị
1
x
,
2
x
thỏa mãn
α
< <
1 2
x x
(
)
(
)
(
)
α α α α
α
α
>
+ + >
+ <
+ <
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
0
. 0
2
2
x x x x x x
x x
x x
Hai cực trị
1
x
,
2
x
thỏa mãn
α
< <
1 2
x x
(
)
(
)
(
)
α α α α
α
α
>
+ + >
+ >
+ >
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
0
. 0
2
2
x x x x x x
x x
x x
b. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với
một đường thẳng
Vi tri tương đôi giưa 2 điêm vơi đương thăng:
Cho 2 điêm
(
)
;
A A
A x y
,
(
)
;
B B
B x y
va đương thăng
+ + =
: 0
ax by c
.
Nêu
(
)
(
)
+ + + + <
0
A A B B
ax by c ax by c thi hai điểm
A
,
B
năm vê hai phía so vơi đương thăng
.
Nêu
(
)
(
)
+ + + + >
0
A A B B
ax by c ax by c thi hai điểm
A
,
B
năm cung phía so với đương thẳng
.
Một số trương hơp đăc biêt:
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị cùng dấu
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm trái dấu
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
>
. 0
CT
y y .
Đặc biệt :
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
>
+ >
. 0
0
CT
CT
y y
y y
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
>
+ <
. 0
0
CT
CT
y y
y y
Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
phương trình
=
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
<
. 0
CT
y y
(ap dung khi không nhâm đươc nghiêm viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục
đồ thị cắt trục
Ox
tại 3 điểm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm)
phương trinh hoành đô giao điêm
(
)
=
0
f x co 3 nghiêm phân biêt
c. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
( )
= +
2
2 2
3 9 9
c b bc
g x x d
a a
hoặc
( )
′′
=
.
18
y y
g x y
a
hoặc
( )
=
.
3
y y
g x y
y
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 8
88
8
d. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3
+
=
3
4 16
e e
AB
a
với
=
2
3
9
b ac
e
a
2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
(
)
= + +
4 2
, 0
y ax bx c a
a. Một số kết quả cần nh
Hàm số có một cực trị
0
ab
.
Hàm số có ba cực trị
<
0
ab
.
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu
>
0
0
a
b
.
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại
<
0
0
a
b
.
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại
>
<
0
0
a
b
.
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại
<
>
0
0
a
b
.
b. Một số công thức tính nhanh
Giả s đồ thị hàm số
= + +
4 2
y ax bx c
3
điểm cực trị là:
(0; )
A c
,
;
2 4
b
B
a a
,
;
2 4
b
C
a a
tạo thành tam giác
ABC
thỏa mãn điều kiện:
<
0
ab
.
Đặt:
α
=
BAC
thì
α
=
3
2
cot
2 8
b
a
.
0, 0
a b
> <
Công thức
0, 0
a b
< >
=
1
2
b
x
a
, =
2
2
b
x
a
,
(0; )
A c
,
;
2 4
b
B
a a
,
;
2 4
b
C
a a
Đặt
α
=
BAC
thì
α
=
3
2
cot
2 8
b
a
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
STT
Dữ kiện
Công thức thỏa mãn
<
0
ab
0
c
1 Tam giác
ABC
vuông cân tại
A
=
3
8
b a
2 Tam giác
ABC
đều
=
3
24
b a
3
Tam giác
ABC
diện tích
=
0
ABC
S S
+ =
3 2 5
0
32 ( ) 0
a S b
4
Tam giác
ABC
diện tích
0
( )
max S
=
5
0
3
32
b
S
a
x
y
O
A
B
C
1
x
2
x
x
y
O
A
B
C
1
x
2
x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 9
99
9
5
Tam giác
ABC
bán kính đường tròn nội tiếp
=
0
ABC
r r
=
+
2
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
6
Tam giác
ABC
bán kính đường tròn ngoại tiếp
=
ABC
R R
=
3
8
8
b a
R
a b
7
Tam giác
ABC
độ dài cạnh =
0
BC m
+ =
2
0
2 0
am b
8
Tam giác
ABC
độ dài
= =
0
AB AC n
+ =
2 2 4
0
16 8 0
a n b ab
9
Tam giác
ABC
có cực trị
,
B C Ox
=
2
4
b ac
10 Tam giác
ABC
3
góc nhọn
(
)
+ >
3
8 0
b a b
11 Tam giác
ABC
trọng tâm
O
=
2
6
b ac
12 Tam giác
ABC
trực tâm
O
+ =
3
8 4 0
b a ac
13 Tam giác
ABC
ng điểm
O
tạo thành hình thoi
=
2
2
b ac
14 Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn nội tiếp
=
3
8 4 0
b a abc
15 Tam giác
ABC
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
=
3
8 8 0
b a abc
16 Tam giác
ABC
có cạnh
= =
BC kAB kAC
(
)
=
3 2 2
. 8 4 0
b k a k
17
Trục hoành chia tam giác
ABC
thành
hai phần có diện tích bằng nhau
=
2
4 2
b ac
18 Tam giác
ABC
điểm cực trị cách đều trục hoành
=
2
8
b ac
19
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
+ + + =
2 2
2 2
0
4 4
x y c y c
b a b a
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Định nghĩa.
Cho hàm số
(
)
=
y f x
xác định trên tập
D
.
Số
M
gọi là giá trị lớn nhất của hàm s
(
)
=
y f x
trên
D
nếu:
=
0 0
( ) ,
, ( )
f x M x D
x D f x M
.
Kí hiệu:
=
max ( )
x D
M f x
.
Số
m
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm s
(
)
=
y f x
trên
D
nếu:
=
0 0
( ) ,
, ( )
f x m x D
x D f x m
.
Kí hiệu:
=
min ( )
x D
m f x
.
2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Bước 1: Tính
(
)
f x
tìm các điểm
1 2
, ,...,
n
x x x D
mà tại đó
(
)
=
0
f x hoặc hàm số không
đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Bước 1:
Hàm số đã cho
(
)
=
y f x
xác định và liên tục trên đoạn
; .
a b
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 10
1010
10
m các điểm
1 2
, ,...,
n
x x x
trên khoảng
(
)
;
a b
, tại đó
(
)
=
0
f x hoặc
(
)
f x
không xác định.
Bước 2: Tính
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
, , ,..., ,
n
f a f x f x f x f b
.
Bước 3: Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
=max max
1 2
,
, ,..., , ,
n
a b
f x f x f x f x f a f b
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
=min min
1 2
,
, ,..., , ,
n
a b
f x f x f x f x f a f b
.
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm s trên một khoảng
Bước 1: nh đạo hàm
(
)
f x
.
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm
(
)
;
i
x a b
của phương trình
(
)
=
0
f x tất cả các điểm
(
)
α
;
i
a b
làm cho
(
)
f x
không xác định.
Bước 3. nh
(
)
+
= lim
x a
A f x
,
(
)
= lim
x b
B f x
,
(
)
i
f x
,
(
)
α
i
f .
Bước 4. So sánh các giá tr tính được và kết luận
(
)
=
( ; )
max
a b
M f x
,
(
)
=
( ; )
min
a b
m f x
.
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
Nêu
(
)
=
y f x
đông biên trên
;
a b
thì
(
)
(
)
=
;
min
a b
f x f a
(
)
(
)
=
;
max
a b
f x f b
.
Nêu
(
)
=
y f x
nghich biên trên
;
a b
thì
(
)
(
)
=
;
min
a b
f x f b
(
)
(
)
=
;
max
a b
f x f a
.
Hàm số liên tục trên một khoảng thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
khoảng đó.
Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng các phương pháp: MGT, BĐT, ...
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số
(
)
=
y f x
xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng
(
)
+∞
;a ,
(
)
−∞
;
b
hoặc
(
)
−∞ +∞
; ). Đưng thẳng
=
0
y y
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
(
)
=
y f x
nếu ít nhất mt trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(
)
+∞
=
0
lim
x
f x y
,
(
)
−∞
=
0
lim
x
f x y
.
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng
=
0
x x
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
=
( )
y f x
nếu ít nhất mt trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(
)
+
= +∞
0
lim
x x
f x ,
(
)
= −∞
0
lim
x x
f x ,
(
)
+
= −∞
0
lim
x x
f x ,
(
)
= +∞
0
lim
x x
f x
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng
( )
+
=
+
0; 0
ax b
y c ad bc
cx d
luôntiệm cận ngang đường
thẳng
=
a
y
c
và tiệm cận đứng là đường thẳng
=
d
x
c
.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 11
1111
11
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM S
1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
a. Hàm số bậc ba
(
)
= + + +
3 2
0
y ax bx cx d a
Tập xác định:
=
D
Tính
y
và cho
=
0
y
. (
=
0
y
hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm)
Tính các giới hạn
(
)
+∞
lim
x
f x
,
(
)
−∞
lim
x
f x
.
Lập bảng biến thiên:
Nếu
=
0
y
có hai nghiệm thì dấu của
y
là: Trong trái ngoài cùng”.
Nếu
=
0
y
có nghiệm kép thì dấu của
y
là: Luôn cùng dấu với
a
” (Ngoại trừ tại nghiệm kép)
Nếu
=
0
y
vô nghệm thì dấu của
y
là: Luôn cùng dấu với
a
Kết luận:
Tính chất đơn điệu của hàm số.
Cực trị của hàm số.
Tính
′′
y
và cho
=
0
y
. Suy ra điểm un.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
=
0
y
>
0
a
<
0
a
Có 2 nghiệm
Có nghiệm
kép
Vô nghiệm
b. Hàm số trùng phương
(
)
= + +
4 2
0
y ax bx c a
Tập xác định:
=
D
Tính
y
và cho
=
0
y
(
=
0
y
có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm
=
0
x
)
Tính các giới hạn
(
)
+∞
lim
x
f x
,
(
)
−∞
lim
x
f x
.
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 12
1212
12
Lập bảng biến thiên: “n phải bảng biến thiên, dấu
y
luôn luôn cùng dấu với
a
Kết luận:
Tính chất đơn điệu của hàm số.
Cực trị của hàm số.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
=
0
y
>
0
a
<
0
a
Có 3 nghiệm
phân biệt
<
0
ab
Có 1 nghiệm
c. Hàm số nhất biến
( )
+
=
+
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
Tập xác định:
=
\
d
D
c
Tính
( )
=
+
2
ad bc
y
cx d
(
y
hoặc luôn dương, hoặc luôn âm
x D
)
Đường tiệm cận:
Tiệm cận đứng là đường thẳng
=
d
x
c
, vì
=
lim
d
x
c
y
… và
+
=
lim
d
x
c
y
Tiệm cận ngang là đường thẳng
=
a
y
c
, vì
±∞
=
lim
x
a
y
c
.
Lập bảng biến thiên: Nh: Khi
±∞
x
, thì
a
y
c
“Nghĩa là hai đầu của bảng biếng thiên là giá trị ca tiệm cận ngang”
Kết luận:
Hàm số luôn đng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng
xác định.
Hàm số không có cực trị.
Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có toạ độ giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ.
V đồ thị: Đồ thị có 2 dạng luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận tâm đối xứng.
>
0
ad bc
<
0
ad bc
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 13
1313
13
2. Đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
a. Dạng 1:
(
)
(
)
=:
C y f x
Từ đồ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
suy ra đồ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Ta có:
( )
(
)
( )
= =
<
khi
khi
0
0
f x x
y f x
f x x
(
)
=
y f x
là hàm chẵn nên đồ thị
(
)
C
nhận
Oy
làm trục đối xứng.
Cách v
(
)
C
từ
(
)
C
:
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
(
)
C
, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
Ví dụ:
(
)
= +
3 2
: 6 9
C y x x x
( )
= +
3
2
: 6 9
C y x x x
b. Dạng 2:
(
)
(
)
=:
C y f x
Từ đồ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
suy ra đồ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Ta có:
( )
(
)
(
)
( ) ( )
= =
<
khi
khi
0
0
f x f x
y f x
f x f x
Cách v
(
)
C
từ
(
)
C
:
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đthị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đthị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ:
(
)
= +
3 2
: 3 2
C y x x
(
)
= +
3 2
: 3 2
C y x x
O
x
y
1
2
3
1
2
O
x
y
2
2
1
2
O
x
y
3
4
1
1
3
O
x
y
3
4
1
O
x
y
O
x
y
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 14
1414
14
Chú ý với dạng:
(
)
=
y f x
ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị
(
)
=
y f x
(
)
=
y f x
.
c. Dạng 3:
(
)
(
)
(
)
=: .
C y u x v x
Từ đồ thị
(
)
(
)
(
)
=: .
C y u x v x
suy ra đồ thị
(
)
(
)
(
)
=: .
C y u x v x
.
Ta có:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
=
= =
= <
khi
khi
. 0
.
. 0
u x v x f x u x
y u x v x
u x v x f x u x
Cách v
(
)
C
từ
(
)
C
:
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
(
)
0
u x của đthị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Bỏ phần đồ thị trên miền
(
)
<
0
u x của
(
)
C
, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ
a) Từ
(
)
(
)
= = +
3 2
: 2 3 1
C y f x x x suy ra
(
)
(
)
=
2
: 1 2 1
C y x x x
(
)
(
)
= = +
3 2
: 2 3 1
C y f x x x
(
)
(
)
=
2
: 1 2 1
C y x x x
b) Từ
( ) ( )
= =
2
:
1
x
C y f x
x
suy ra
( )
=
2
:
1
x
C y
x
( ) ( )
= =
2
:
1
x
C y f x
x
( )
=
2
:
1
x
C y
x
3. Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số
(
)
=
y f x
có đồ thị
(
)
C
, hãy suy ra đ thị
(
)
C
của hàm số:
STT
Đ
TH
CÁCH V
1
(
)
=
y f x
Lấy đối xứng
(
)
C
qua trục
Oy
2
(
)
=
y f x
Lấy đối xứng
(
)
C
qua trục
Ox
3
(
)
=
y f x
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đ thị
(
)
(
)
=:
C y f x
.
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
(
)
C
, lấy đối xứng phần đồ thị được
giữ qua Oy.
4
(
)
=
y f x
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đthị
(
)
C
.
x
y
O
1
1
1
x
y
O
1
1
O
x
y
1
1
2
2
O
x
y
1
1
2
2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 15
1515
15
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của
(
)
C
, lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox.
5
(
)
=
y f x
Ta lần lượt biến đổi 2 đ thị
(
)
=
y f x
(
)
=
y f x
6
(
)
(
)
= .
y u x v x
với
(
)
(
)
(
)
=: .
C y u x v x
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
(
)
0
u x của đthị
(
)
C
.
Bỏ phần đồ th trên miền
(
)
<
0
u x của
(
)
C
, lấy đối xứng phần đồ
thị bị bỏ qua Ox.
7
(
)
= +
y f x p
,
>
0
p
Tịnh tiến đồi thị
(
)
C
lên trên
p
đơn vị
8
(
)
=
y f x p
,
>
0
p
Tịnh tiến đồi thị
(
)
C
xuống dưới
p
đơn vị
9
(
)
= +
y f x q
,
>
0
q
Tịnh tiến đồi thị
(
)
C
sang trái
q
đơn vị
10
(
)
=
y f x q
,
>
0
q
Tịnh tiến đồi thị
(
)
C
sang phải
q
đơn vị
11
(
)
=
.
y f k x
,
>
1
k
Co đồ th
(
)
C
theo chiều ngang hệ số
k
12
(
)
=
.
y f k x
,
< <
0 1
k
Giãn đồ thị
(
)
C
theo chiều ngang hệ s
1
k
13
(
)
= .
y k f x
,
>
1
k
Giãn đồ thị
(
)
C
theo chiều dọc hệ s
k
14
(
)
= .
y k f x
,
< <
0 1
k
Co đồ th
(
)
C
theo chiều dọc hệ s
1
k
15
(
)
= +
y f x m
Vẽ đồ thị
(
)
=
y f x
Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống
m
đơn vị.
16
(
)
= +
y f x m
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái
m
đơn vị.
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị hàm
(
)
=
y f x
.
17
(
)
= +
y f x m
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái
m
đơn vị.
Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị hàm
(
)
=
y f x
.
18
(
)
= +
y f x m
Vẽ đồ thị
(
)
=
y f x
Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái
m
đơn vị.
VII. TIẾP TUYẾN
1. Tiếp tuyến
Cho hàm số
(
)
=
y f x
, có đồ thị
(
)
C
. Tiếp tuyến của đthị
(
)
C
tại điểm
(
)
(
)
0 0 0
;
M x y C
có dạng:
(
)
(
)
= +
0 0 0
y f x x x y
Trong đó:
Điểm
(
)
(
)
0 0 0
;
M x y C
được gi là tiếp điểm. ( với
(
)
=
0 0
y f x
)
(
)
=
0
k f x
hệ số góc của tiếp tuyến.
Viết phương trình tiếp tuyến:
a. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
((
(
)
))
)
y f x
=
==
= tại điểm
(
((
(
)
))
)
0 0
;
M x y
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số
a
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm.
Ta có:
=
0
x a
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 16
1616
16
Thế
=
x a
Vào phương trình
(
)
=
y f x
tìm được
0
y
Tính
(
)
f x
, từ đó tính
(
)
0
f x
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
M
có dạng:
(
)
(
)
=
0 0 0
y y f x x x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng số
a
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm
Ta có:
=
0
y b
Thế
=
y b
vào phương trình
(
)
=
y f x
tìm được
0
x
Tính
(
)
f x
, từ đó tính được
(
)
0
f x
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
M
có dạng:
(
)
(
)
=
0 0 0
y y f x x x
b. Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
((
(
)
))
)
y f x
=
==
= phương cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
k
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm.
Hệ số góc tiếp tuyến bằng
k
nên
(
)
=
0
f x k
. Giải phương trình này tìm được
0
x
.
Thế
=
0
x x
vào phương trình
(
)
=
y f x
tìm được
0
y
.
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
M
có dạng:
(
)
(
)
=
0 0 0
y y f x x x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
= +
:
d y ax b
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng
(
)
= + =
0
:
d y ax b f x a
. Giải phương trình này tìm
được
0
x
.
Thế
=
0
x x
vào phương trình
(
)
=
y f x
tìm được
0
y
.
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
M
có dạng:
(
)
(
)
=
0 0 0
y y f x x x
.
Chú ý: nhớ kiểm tra tính cong song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(
)
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
= +
:
d y ax b
Gọi
(
)
0 0
;
M x y
là tiếp điểm.
Tiếp tuyến vương với đường thẳng
( )
= + =
0
1
:d y ax b f x
a
. Giải phương trình này tìm
được
0
x
.
Thế
=
0
x x
vào phương trình
(
)
=
y f x
tìm được
0
y
.
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm
M
có dạng:
(
)
(
)
=
0 0 0
y y f x x x
.
c. Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
((
(
)
))
)
y f x
=
==
= đi qua điểm
(
((
(
)
))
)
0 0
;
M x y
Gọi
k
là hệ s góc của tiếp tuyến
d
đi qua
M
.
Suy ra:
(
)
= = +
0 0 0 0
:
d y y k x x y kx kx y
.
(
)
*
d
tiếp xúc với
(
)
C
khi và chỉ khi hệ phương trình
(
)
(
)
( ) ( )
= +
=
0 0
1
2
f x kx kx y
f x k
có nghiệm
Thế
(
)
2
vào
(
)
1
để tìm hoành đtiếp điểm
x
.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 17
1717
17
Thế
x
vào phương trình
(
)
2
để tìm hệ số góc
k
của tiếp tuyến.
Thế
k
vào
(
)
*
tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua
M
.
Chú ý: Khi thế
(
)
2
vào
(
)
1
giả sử thu được phương trình ẩn số là
x
và được kí hiệu là
(
)
I
. Thông thường
phương trình
(
)
I
có bao nhiêu nghiệm
x
thì qua điểm
M
có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị
(
)
C
. Từ đó ta
giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua
M
có thể vẽ được đến đồ thị
(
)
C
n
tiếp tuyến”.
2. Điều kiện tiếp xúc
Cho hai hàm số
(
)
(
)
=:
C y f x
(
)
(
)
=:
C y g x
. Đồ thị
(
)
C
(
)
C
tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương
trình:
(
)
(
)
( ) ( )
=
=
f x g x
f x g x
có nghiệm.
VIII. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số
(
)
=
y f x
có đồ thị
(
)
1
C
(
)
=
y g x
có đồ thị
(
)
2
C
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
1
C
(
)
2
C
là
(
)
(
)
(
)
=
1
f x g x . Khi đó:
Số giao điểm của
(
)
1
C
(
)
2
C
bằng với số nghiệm của phương trình
(
)
1
.
Nghiệm
0
x
của phương trình
(
)
1
chính là hoành độ
0
x
của giao điểm.
Để tính tung độ
0
y
của giao điểm, ta thay hoành độ
0
x
vào
(
)
=
y f x
hoặc
(
)
=
y g x
.
Điểm
(
)
0 0
;
M x y
là giao điểm của
(
)
1
C
(
)
2
C
.
Một số bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Tìm tham số để đồ thị
( )
:
ax b
C y
cx d
+
=
+
cắt đường thẳng
(
)
d
tại hai điểm
Lập phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
d
:
(
)
= + + =
2
0
g x ax bx c .
(
)
*
(
)
0
x x
. (với
0
x
làn ghiệm của mẫu số)
d
cắt
(
)
C
tại 2 điểm phân biệt
Phương trình
(
)
*
2 nghiệm phân biệt khác
0
x
.
( )
>
0
0
0
0
a
g x
Tìm được tham số.
Bài toán 2: Tìm tham số để đồ thị
(
)
3 2
:
C y ax bx cx d
= + + +
cắt đường thẳng
(
)
d
tại 3 điểm
Lập phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
(
)
d
.
(
)
*
Nhẩm nghiệm của phương trình
(
)
*
gisử được 1 nghiệm
=
0
x x
. Dùng đồ Hoocner
để biến đổi phương trình
(
)
*
về dạng:
( )
( )
( ) ( )
=
+ + =
= + + =
0
2
0
2
0
0 1
x x
x x ax Bx C
g x ax Bx C
(
)
d
cắt
(
)
C
tại 3 điểm
Phương trình
(
)
*
3 nghiệm phân biệt
Phương trình
(
)
1
có hai nghiệm phân biệt khác
0
x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 18
1818
18
( )
>
0
0
0
0
g
a
g x
Tìm được tham số.
Chú ý: Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số
= + + +
3 2
y ax bx cx d
ct trc hoành ti 3 đim hoành đ lập thành cấp số cộng
khi có 1 nghiệm là
=
3
b
x
a
.
Đồ thị hàm số
= + + +
3 2
y ax bx cx d
ct trc hoành ti 3 đim có hoành đ lập thành cấp số nhân
khi có 1 nghiệm là
=
3
d
x
a
.
Bài toán 3: Tìm tham số để đồ thị
(
)
4 2
:
C y ax bx c
= + +
cắt đường thẳng
(
)
d
tại 4 điểm
Lập phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
= + + =
4 2
: 0
d y ax bx c .
(
)
*
Đặt
=
2
t x
,
0
t
. Pơng trình
(
)
*
trở thành
+ + =
2
0
at bt c .
(
)
1
d
cắt
(
)
C
tại 4 điểm
Phương trình
(
)
*
4 nghiệm
Phương trình
(
)
1
có hai nghiệm dương
>
>
>
0
0
0
S
P
(Với
=
b
S
a
=
c
P
a
)
Tìm được tham số.
Chú ý: Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số
= + +
4 2
y ax bx c
ct trc hoành ti 4 đim có hoành độ lập thành cấp scộng khi
phương trình
(
)
1
có hai nghim dương phân bit
1
t
,
2
t
(
<
1 2
t t
) tha mãn =
2 1
9
t t
.
>
>
>
=
2
2 2
4 0
0
0
9 100
b ac
b
a
c
a
ab a c
Bài toán 4: Tìm tham số để đồ thị
(
)
(
)
:
C y f x
= cắt đường thẳng
(
)
d
tại
n
điểm thỏa tính chất nào đó
Lập phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
C
(
)
d
:
(
)
=
0
g x
(
)
*
(
)
d
cắt
(
)
C
tại
n
điểm
Phương trình
(
)
*
n
nghiệm.
Khi đó hoành độ giao điểm của
(
)
C
(
)
d
là nghiệm của phương trình
(
)
*
thông
thường sử dụng định lí Viète để giải quyết điều kiện của bài toán.
IX. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong
(
)
m
C
có phương trình
(
)
=
,
y f x m
, trong đó
f
là hàm đa thức theo biến
x
với
m
là tham
số sao cho bậc của
m
không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi
m
thay đổi?
Phương pháp giải:
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 19
1919
19
Bước 1: Đưa phương trình
=
( , )
y f x m
về dạng phương trình theo ẩn
m
dạng
sau:
+ =
0
Am B
hoặc
+ + =
2
0
Am Bm C .
Bước 2: Cho các hệ s bằng
0
, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
=
=
0
0
A
B
hoặc
=
=
=
0
0
0
A
B
C
.
Bước 3: Kết luận:
Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong
(
)
m
C
không có điểm cố đnh.
Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm c định của
(
)
m
C
.
2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên
Cho đường cong
(
)
C
phương trình
( )
(
)
( )
=:
m
yC
P x
Q x
(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm tọa độ
nguyên của đường cong?
Phương pháp:
Bước 1: Thực hiện chia đa thc, ta được:
(
)
( )
( )
( )
= = +
P x
k
y H x
Q x Q x
, trong đó
(
)
H x
đa thức
k
.
Bước 2:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
k k
y H x k Q x Q x U k
Q x Q x
Bước 3: Lần lượt cho
(
)
Q x
nhận giá tr (là các ước của
k
) để tìm giá trị của
x
y
tương ứng.
Lưu ý: Những điểm tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ tung độ của điểm đó đều số
nguyên.
3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong
(
)
C
có phương trình
(
)
=
y f x
. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua
đường thẳng.
a. i toán 1: Cho đồ thị
(
)
3 2
:
C y Ax Bx Cx D
= + + +
trên đồ thị
(
)
C
tìm những cặp điểm đối xứng nhau
qua điểm
(
)
;
I I
I x y
.
Phương pháp giải:
Gọi
(
)
+ + +
3 2
;
M a Aa Ba Ca D
,
(
)
+ + +
3 2
;
N b Ab Bb Cb D
hai điểm trên
(
)
C
đối xứng nhau
qua điểm
I
.
Ta có
( )
( )
+ =
+ + + + + + =
3 3 2 2
2
( ) 2 2
I
I
a b x
A a b B a b C a b D y
.
Giải hệ phương trình tìm được
a
,
b
từ đó tìm được toạ độ
M
,
N
.
b. Bài toán 2: Cho đồ thị
(
)
3 2
:
C y Ax Bx Cx D
= + + +
. Trên đồ thị
(
)
C
tìm những cặp điểm đối xứng nhau
qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 20
2020
20
Gọi
(
)
+ + +
3 2
;
M a Aa Ba Ca D
,
(
)
+ + +
3 2
;
N b Ab Bb Cb D
hai điểm trên
(
)
C
đối xứng nhau
qua gốc tọa độ.
Ta có
( )
( )
+ =
+ + + + + + =
3 3 2 2
0
( ) 2 0
a b
A a b B a b C a b D
.
Giải hệ phương trình tìm được
a
,
b
từ đó tìm được toạ độ
M
,
N
.
c. i toán 3: Cho đồ thị
(
)
3 2
:
C y Ax Bx Cx D
= + + +
trên đồ th
(
)
C
tìm những cặp điểm đối xứng nhau
qua đường thẳng
1 1
:
d y A x B
= +
.
Phương pháp giải:
Gọi
(
)
+ + +
3 2
;
M a Aa Ba Ca D
,
(
)
+ + +
3 2
;
N b Ab Bb Cb D
hai điểm trên
(
)
C
đối xứng nhau
qua đường thẳng
d
.
Ta có:
=
(1)
. 0 (2)
d
I d
MN u
(với
I
trung điểm của
MN
d
u
vectơ chỉ phương của đường
thẳng
d
).
Giải hệ phương trình tìm được
M
,
N
.
4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
a. thuyết:
Cho hai điểm
(
)
1 1
;
A x y
,
(
)
2 2
;
B x y
, suy ra
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
AB x x y y
= +
Cho điểm
(
)
0 0
;
M x y
đường thẳng
+ + =
: 0
d Ax By C
, thì khoảng cách từ
M
đến
d
( )
+ +
=
+
0 0
2 2
;
Ax By C
h M d
A B
.
Cho hàm phân thức:
+
=
+
ax b
y
cx d
tiếp tuyến tại
M
cắt TCĐ, TCN
A
B
thì
M
trung điểm
của
AB
. Thì diện tích tam giác
MAB
không đổi:
=
2
2
MAB
S ad bc
c
.
b. Các bài toán thường gặp
Bài toán 1: Cho hàm số
( )
+
=
+
0, 0
ax b
cy ad bc
cx d
có đồ thị
(
)
C
. Hãy tìm trên
(
)
C
hai điểm
A
và
B
thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách
AB
ngắn nhất.
Phương pháp giải:
(
)
C
tiệm cận đứng
=
d
x
c
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của
tiệm cận đứng. Nên gọi hai s
α
,
β
là hai số dương.
Nếu
A
thuộc nhánh trái:
α
< = <
A A
d d d
x x
c c c
; =
( )
A A
y f x
.
Nếu
B
thuộc nhánh phải:
β
> = + >
B B
d d d
x x
c c c
; =
( )
B B
y f x
.
Sau đó tính:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
β α
= + = + +
2
2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y a a y y
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 21
2121
21
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
(
)
C
phương trình
(
)
y f x
= . Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
(
)
C
để tổng
khoảng cách từ
M
đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi
(
)
;
M x y
và tổng khoảng cách từ
M
đến hai trục tọa độ là
d
thì = +
.
d x y
Xét các khoảng cách từ
M
đến hai trục tọa đkhi
M
nằm các v trí đặc biệt: Trên trục
hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm
M
có hoành độ, hoặc tung đlớn hơn hoành đ hoặc
tung độ của
M
khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn li ta đưa về tìm giá trnhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi
tìm được giá tr nhỏ nhất của
d
.
Bài toán 3: Cho đồ thị
(
)
C
phương trình
(
)
y f x
= . Tìm điểm
M
trên
(
)
C
sao cho khoảng cách từ
M
đến
Ox
bằng
k
lần khoảng cách từ
M
đến trục
Oy
.
Phương pháp giải:
Theo đầu bài ta có
(
)
( )
=
=
=
=
=
f x kx
y kx
y k x
y kx
f x kx
.
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số
(
)
C
phương trình
( ) ( )
0, 0
ax b
y f x c ad bc
cx d
+
= =
+
. m tọa độ
điểm
M
trên
(
)
C
sao cho độ dài
MI
ngắn nhất (với
I
là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải:
Tiệm cận đứng
=
d
x
c
; tiệm cận ngang
=
a
y
c
.
Ta tìm được tọa độ giao điểm
;
d a
I
c c
của hai tiệm cận.
Gọi
(
)
;
M M
M x
y
là điểm cần tìm, thì:
( )
= + + =
2 2
2
M M M
d a
IM x y g x
c c
Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số
g
để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số
(
)
C
có phương trình
(
)
y f x
= và đường thẳng
+ + =
: 0
d Ax By C
. Tìm
điểm
I
trên
(
)
C
sao cho khoảng cách từ
I
đến
d
là ngắn nhất.
Phương pháp giải:
Gọi
I
thuộc
(
)
C
, suy ra
(
)
0 0
;
I x y
(
)
0 0
y f x
= .
Khoảng cách từ
I
đến
d
( ) ( )
0 0
0
2 2
;
Ax By C
g x h I d
A B
+ +
= =
+
Khảo sát hàm số
(
)
y g x
= để tìm ra điểm
I
thỏa mãn yêu cầu.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 22
2222
22
PHẦN II. MŨ LOGARIT
I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Khái niệm lũy thừa
a. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho
n
là một số nguyên dương.
Với
a
là số thực tùy ý, lũy thừa bậc
n
của
a
là tích của
n
thừa số
a
.
. ......
n
n
a a a a
=
(
n
thừa số).
Với
0.
a
thì
0
1
a
=
,
1
n
n
a
a
=
.
Ta gọi
a
là cơ số,
n
là mũ số. Và chú ý
0
0
0
n
không có nghĩa.
b. Một số tính chất của lũy thừa
Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
a a a
α β α β
+
=
a
a
a
α
α β
β
=
(
)
.
a a
β
α α β
=
( )
ab a b
α
α α
=
a a
b
b
α
α
α
=
b a
a b
α α
=
Nếu
1
a
>
thì a a
α β
α β
> >
; Nếu
0 1
a
< <
thì a a
α β
α β
> <
.
Với mọi
0
a b
< <
, ta có:
0
m m
a b m
< >
0
m m
a b m
> <
Chú ý:
Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ
0
và số mũ nguyên âm thì cơ số
a
phải khác
0
.
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số
a
phải dương.
2. Phương trình
=
n
x b
Ta có kết quả biện luận snghiệm của phương trình
n
x b
=
như sau:
Trường hợp
n
lẻ: Với mọi số thực
b
, phương trình có nghiệm duy nhất.
Trường hợp
n
chẵn:
Với
0
b
<
, phương trình vô nghiệm.
Với
0
b
=
, phương trình có một nghiệm
0.
x
=
Với
0
b
>
, pơng trình có hai nghiệm trái dấu, hiệu g trị dương là
n
b
, còn g trâm
n
b
.
3. Một số tính chất của căn bậc
n
Với
,
a b
,
*
n
ta có:
2
2
n
n
a a a
=,
2 1
2 1
n
n
a a a
+
+
= ,
2 2 2
, 0
n n n
ab a b ab
= ⋅ 
2 1 2 1 2 1
,
n n n
ab a b a b
+ + +
= ,
2
2
2
, 0, 0
n
n
n
a a
ab b
b
b

=

2 1
2 1
2 1
, 0
n
n
n
a a
a b
b
b
+
+
+
= ,
( )
, 0
m
n
m n
a a a
= >
,
n
nguyên dương,
m
nguyên
, 0
n
m nm
a a a
=
,
n
,
m
nguyên dương
Nếu
p q
n m
=
thì
n m
p q
a a
= ,
0
a
>
,
m
,
n
nguyên dương
p
,
q
nguyên .
Đặc biệt:
m n
m
n
a a
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 23
2323
23
4. Hàm số lũy thừa
a. Khái niệm
Xét hàm số
y x
α
=
, với
α
là số thực cho trưc.
Hàm s
y x
α
=
, với
α
, được gọi là hàm s lũy thừa.
Chú ý.
Tập xác định của hàm số lũy thừa
y x
α
=
tùy thuộc vào giá trị của
α
. Cụ thể.
Với
α
nguyên dương, tập xác đnh là
.
Với
α
nguyên âm hoặc bằng
0
, tập xác định
{
}
\ 0 .
Với
α
không nguyên, tập xác định
(
)
0; .
+∞
b. Khảo sát hàm số lũy thừa
y x
α
=
Tập xác định của hàm số lũy thừa
y x
α
=
luôn chứa khoảng
(
)
0;
+∞
với mọi
.
α
Trong trường hợp
tổng quát, ta khảo sát hàm s
y x
α
=
trên khoảng này.
, 0.
y x
α
α
= >
, 0.
y x
α
α
= <
1. Tập xác định:
(
)
0; .
+∞
2. Sự biến thiên
1
' . 0 0.
y x x
α
α
= > >
Giới hạn đặc biệt:
0
lim 0, lim .
x
x
x x
α α
+
→+
= = +∞
Tiệm cận: không có.
3. Bảng biến thiên.
x
0
+∞
y’
+
y
+∞
0
1. Tập xác định:
(
)
0; .
+∞
2. Sự biến thiên
1
' . 0 0.
y x x
α
α
= < >
Giới hạn đặc biệt:
0
lim , lim 0.
x
x
x x
α α
+
→+
= +∞ =
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Oy là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên.
x
0
+∞
y’
y
+∞
0
Đồ thị của hàm số.
Đồ thị của hàm số lũy thừa
y x
α
=
luôn đi qua điểm
(
)
1;1 .
I
1.5. Khảo sát hàm số
(
)
, 0, 1
x
y a a a
= >
.
(
)
, 1
x
y a a
= >
(
)
, 1
x
y a a
= <
1. Tập xác định:
.
2. Sự biến thiên.
' ln 0, .
x
y a a x
= >
1. Tập xác định:
.
2. Sự biến thiên.
' ln 0,
x
y a a x
= <
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 24
2424
24
Giới hạn đặc biệt:
lim 0, lim .
x
x x
a a
−∞ →+∞
= = +∞
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên.
x
−∞
0 1
+∞
'
y
+
+
+
y
a
+∞
1
0
Đồ thị như hình sau.
Giới hạn đặc biệt:
lim , lim 0.
x x
x x
a a
−∞ +∞
= +∞ =
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên.
x
−∞
0 1
+∞
'
y
y
+∞
1
a
0
Đồ thị như hình sau.
II. LOGARIT
2.1. Khái niệm Logarit
Cho hai số dương
,
a b
với
1
a
. Số
α
thỏa mãn đẳng thức
a b
α
=
được gọi là logarit cơ số
a
của
b
được kí hiệu là
log
a
b
.
α
α
= =
log .
a
b a b
Không có logarit của số âm và số 0.
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp
(
)
0
1, 0 .
a a=
( )
1
a a
=
( )
1
a
a
α
α
=
( )
( )
( )
a
a
a
α
α β
β
=
( ) ( ) ( )
.a b a
α β α β
+
=
( ) ( ) ( )
. .
a b a b
α α α
=
( )
( )
( )
, 0
a
a
b
b
b
α
α
α
=
( ) ( )
( )
*
,a a
α
α
β
β
β
=
(
)
( )
a a
β
αβ
α
=
( )
log
a
a b b
α
α
= =
(
)
log 1 0, 0 1
a
a
= <
(
)
log 1, 0 1
a
a a
= <
(
)
log , 0 1
a
a a
α
α
= <
( )
1
log , 0 1
a
a a
α
α
= <
(
)
log .log , , 0, 1
a a
b b a b a
α
α
= >
1
log .log
a
a
b b
β
β
=
log .log
a
a
b b
β
α
α
β
=
(
)
log log log
a a a
b c bc
+ =
log log log
a a a
b
b c
c
=
1
log
log
a
b
b
a
= .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 25
2525
25
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng
x
a b
>
(hoặc , ,
x x x
a b a b a b
<
) với
0, 1.
a a
>
Ta xét bất phương trình có dạng
.
x
a b
>
Nếu
0
b
, tập nghiệm của bất phương trình là
, vì
, .
x
a b x
>
.
Nếu
0
b
>
thì bất phương trình tương đương với
log
.
a
b
x
a a>
Với
1
a
>
, nghiệm của bất phương trình là
log .
a
x b
>
Với
0 1
a
< <
, nghiệm của bất phương trình là
log .
a
x b
<
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
Với
1
a
>
, ta có đồ thị sau : Với
0 1
a
< <
, ta có đồ thị sau :
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log
a
x b
>
(hoặc log ,log ,log
a a a
x b x b x b
<
) với
0, 1.
a a
>
Xét bất phương trình
log .
a
x b
>
Trường hợp
1
a
>
, ta có:
log .
b
a
x b x a
> >
Trường hợp
0 1
a
< <
, ta có:
log 0 .
b
a
x b x a
> < <
Ta minh họa bằng đồ thnhư sau.
Với
1
a
>
, ta có đồ thị sau : Với
0 1
a
< <
, ta có đồ thị sau :
Quan sát đ thị, ta thấy rằng:
Trường hợp
1
a
>
: log
a
x b
>
khi và chỉ khi
.
b
x a
>
Trường hợp
0 1
a
< <
:log
a
x b
>
khi và chỉ khi 0
b
x a
< <
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 26
2626
26
IV. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN NG
4.1. Lãi đơn
4.1.1. Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức
tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho hạn kế tiếp, cho đến hạn
người gửi không đến rút tiền ra.
4.1.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng
A
đồng với lãi đơn
%
r
/kì hạn thì s tiền khách hàng nhận được c
vốn lẫn lãi sau
n
kì hạn (
*
n
) là:
(
)
1
n
S A nAr A nr
= + = +
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ
%
r
100
r
.
4.2. Lãi kép
4.2.1. Định nghĩa
Lãi kép tiền lãi của kì hn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì
hạn sau.
4.2.2. Công thức tính
Khách hàng gi o ngân hàng
A
đồng với lãi kép
%
r
/kì hạn ts tiền khách hàng nhận được cả
vốn lẫn lãi sau
n
kì hạn (
*
n
) là:
( )
1
log
n
r
S
n
A
+
=
( )
1
n
n
S A r
= +
% 1
n
n
S
r
A
=
( )
1
n
n
S
A
r
=
+
4.3. Tiền gửi hàng tháng
4.3.1. Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng mt số tiền vào 1 thời gian cố định.
4.3.2. Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng s tiền
A
đồng với lãi kép
%
r
/tháng thì số tiền khách
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n
tháng (
*
n
) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi)
n
S
.
( ) ( )
= + +
1 1 1
n
n
A
S r r
r
( )
( )
1
.
log 1
1
n
r
S r
n
A r
+
= +
+
( ) ( )
.
1 1 1
n
n
S r
A
r r
=
+ +
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Công thức tính
Gửi ngân ng s tiền
A
đồng với lãi suất
%
r
/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân ng nh lãi, rút
ra số tiền là
X
đồng. Tính số tiền còn lại sau
n
tháng là bao nhiêu?
( )
( )
= +
+
n
n
n
r
X A r S
r
1
1 1
4.5. Vay vốn trả góp
4.5.1. Định nghĩa
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
C T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 12
P TOÁN 12P TOÁN 12
P TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trầ
n Qu
n Qun Qu
n Quố
ốc Ngh
c Nghc Ngh
c Nghĩa
ĩaĩa
ĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên t
ập)
p)p)
p)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 27
2727
27
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng s tiền là
A
đồng với lãi suất
%
r
/tháng. Sau đúng một tháng kể từ
ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn ncách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ stiền là
X
đồng
và trả hết tiền nợ sau đúng
n
tháng.
4.5.2. Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau
n
tháng giống hoàn toàn công thức tính gi ngân hàng rút tiền hàng
tháng nên ta có
( )
( )
1 1
1
n
n
n
r
S A r X
r
+
= +
Để sau đúng
n
tháng trả hết nợ thì
0
n
S
=
nên
( )
( )
1 1
1 0
n
n
r
A r X
r
+
+ =
( )
( )
1 .
1 1
n
n
A r r
X
r
+
=
+
4.6. Bài toán tăng lương
4.6.1. Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là
A
đồng/tháng. Cứ
sau
n
tháng thì lương người đó được tăng thêm
%
r
/tháng. Hỏi sau
kn
tháng ngưi đó lĩnh được tất cả
số tiền là bao nhiêu?
4.6.2. Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau
kn
tháng là
( )
1 1
k
kn
r
S Ak
r
+
=
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số
( )
( )
1 , , ,
m n
m n
X X r m n m n
+
= +
Trong đó:
r
% là tỉ lệ tăng dân số từ năm
n
đến năm
m
m
X
dân số năm
m
;
n
X
dân số năm
n
Từ đó ta cóng thức tính tỉ lệ tăng dân số
% 1
m
m n
n
X
r
X
=
4.8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng
A
đồng với lãi kép
%
r
/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n
năm
(
)
*
n
là:
( )
1
n
n
S A r
= +
. Giả sử ta chia mỗi năm thành
m
kì hạn để tính lãi lãi suất mỗi hạn
%
r
m
thì số tiền thu được sau
n
năm là:
.
1
m n
n
r
S A
m
= +
Khi tăng sốhạn của mi năm lên vô cực, tức là
m
+∞
, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người
ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:
.
n r
S Ae
= ( công thức tăng trưởng mũ)
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 28
2828
28
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PN
1. NGUYÊN HÀM
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số
(
)
f x
xác định trên
K
(
K
khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số
(
)
F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
trên
K
nếu
(
)
(
)
=
F x f x
'
với mọi
x K
.
Kí hiệu:
(
)
(
)
= +
f x dx F x C
.
Định lí:
1) Nếu
(
)
F x
một nguyên hàm của
(
)
f x
trên
K
t vi mỗi hng số
C
, hàm số
(
)
(
)
= +
G x F x C
cũng là một nguyên hàm của
(
)
f x
trên
K
.
2) Nếu
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
trên
K
t mọi nguyên hàm ca
(
)
f x
trên
K
đều dạng
(
)
+
F x C
, với
C
là một hằng số.
Do đó
(
)
+
F x C C,
là họ tất cả các nguyên hàm của
(
)
f x
trên
K
.
1.2. Tính chất của nguyên hàm
( )
( )
( )
=
f x dx f x
(
)
(
)
= +
f x dx f x C
'
;
(
)
(
)
(
)
=
d f x f x
dx dx
Nếu F(x) có đạo hàm t:
(
)
= +
d F x F x C
( ) ( )
(
)
(
)
=
kf x dx k f x dx
với
k
là hằng số khác
0
.
(
)
(
)
(
)
(
)
± = ±
f x g x dx f x dx g x dx
ng thức đổi biến số: Cho
(
)
=
y f u
(
)
=
u g x
.
Nếu
= +
f x dx F x C
( ) ( )
thì
(
)
=
f g x g x dx f u du
( ) '( ) ( )
= +
F u C
( )
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số
(
)
f x
liên tc trên
K
đều nguyên hàm trên
K
.
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
1.
=
dx C
0 2.
= +
dx x C
3.
( )
α α
α
α
+
= +
+
x dx x C
1
1
1
1
16.
( )
(
)
+
+
+ = +
+
ax b
ax b c
a
1
1
dx , 1
1
α
α
α
α
4.
= +
dx C
x
x
2
1 1
17.
= +
x
xdx C
2
2
5.
= +
dx x C
x
1
ln 18.
= + +
+
ax b c
ax b a
dx 1
ln
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 29
2929
29
6.
= +
x x
e dx e C
19.
+ +
= +
ax b ax b
e dx e C
a
1
7.
= +
x
x
a
a dx C
a
ln
20.
+
+
= +
kx b
kx b
a
a dx C
k a
1
ln
8.
= +
xdx x C
cos sin
21.
( ) ( )
+ = + +
ax b dx ax b C
a
1
cos sin
9.
xdx x C
sin co s
= +
22.
( ) ( )
+ = + +
ax b dx ax b C
a
1
sin cos
10.
= +
x dx x C
tan . ln | cos |
23.
( ) ( )
+ = + +
ax b ax b C
a
1
tan dx ln cos
11.
= +
x dx x C
cot . ln | sin |
24.
( ) ( )
+ = + +
ax b ax b C
a
1
cot dx ln sin
12.
= +
dx x C
x
2
1
tan
cos
25.
( )
( )
= + +
+
dx ax b C
a
ax b
2
1 1
tan
cos
13.
= +
dx x C
x
2
1
cot
sin
26.
( )
( )
= + +
+
dx ax b C
a
ax b
2
1 1
cot
sin
14.
(
)
+ = +
x dx x C
2
1 tan tan
27.
( )
( )
( )
+ + = + +
ax b dx ax b C
a
2
1
1 tan tan
15.
(
)
+ = +
x dx co x C
2
1 cot t
28.
( )
( )
( )
+ + = + +
ax b dx co ax b C
a
2
1
1 cot t
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng (dùng cho trắc nghiệm)
= +
+
x
C
a a
a x
2 2
dx 1
arctg
= + +
x x
x a x C
a a
2 2
arcsin dx arcsin
+
= +
a x
C
a a x
a x
2 2
dx 1
ln
2
= +
x x
x a x C
a a
2 2
arccos dx arccos
(
)
= + + +
+
x x a C
x a
2 2
2 2
dx
ln
( )
= + +
x x a
x a x C
a a
2 2
arctan dx arctan ln
2
= +
x
C
a
a x
2 2
dx
arcsin
( )
= + + +
x x a
x a x C
a a
2 2
arc cot dx arc cot ln
2
= +
x
C
a a
x x a
2 2
dx 1
arccos
+ +
= +
+
a x a
C
a x
x x a
2 2
2 2
dx 1
ln
( )
+
= +
+
ax b
C
a
ax b
dx 1
ln tan
2
sin
( ) ( )
+ = + + +
b
ax b x ax b x C
a
ln dx ln
(
)
+
= +
+
ax
ax
e a bx b bx
e bx C
a b
2 2
cos sin
cos dx
= + +
x a x a x
a x C
a
2 2 2
2 2
dx arcsin
2 2
(
)
= +
+
ax
ax
e a bx b bx
e bx C
a b
2 2
sin cos
sin dx
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 30
3030
30
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1. Phương pháp đổi biến
2.1.1. Đổi biến dạng 1
Nếu :
= +
f x dx F x C
( ) ( ) và với
(
)
u
t
ϕ
=
là hàm số có đạo hàm thì :
ϕ
= +
f u du F t C
( ) ( ( ))
2.1.1.1. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn
(
)
x t
ϕ
=
, trong đó
(
)
ϕ
t
là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Lấy vi phân hai vế :
(
)
ϕ
=
dx t dt
'
Bước 3: Biến đổi :
(
)
(
)
(
)
ϕ ϕ
= =
f x dx f t t dt g t dt
( ) '
Bước 4: Khi đó tính :
= = +
f x dx g t dt G t C
( ) ( ) ( ) .
2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu Cách chọn
a x
2 2
Đặt =
x a sint
; với
π π
t
; .
2 2
hoặc =
x a cost
;
vi
π
t
0; .
x a
2 2
Đặt
=
a
x
sint
.
; với
{ }
π π
t
; \ 0
2 2
hoặc
=
a
x
cost
vi
π
π
t
0; \ .
2
+
a x
2 2
Đặt =
x a tant
; với
π π
t
; .
2 2
hoặc =
x a t
cot
vi
(
)
π
t
0; .
+
a x
a x
.
hoặc
+
a x
a x
.
Đặt
=
x acos t
2
(
)
(
)
x a b x
Đặt
= +
x a b a sin t
2
( )
+
a x
2 2
1
Đặt
=
x atant
; với
π π
t
; .
2 2
2.1.2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tc thì đặt
(
)
ϕ
=
x t
. Trong đó
(
)
ϕ
t
cùng với đạo hàm của nó (
(
)
ϕ
t
'
những hàm số liên tục) thì ta được :
(
)
(
)
ϕ ϕ
= = = +
f x dx f t t dt g t dt G t C
( ) ' ( ) ( )
.
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 31
3131
31
2.1.2.1. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn t=
(
)
ϕ
x
. Trong đó
(
)
ϕ
x
là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Tính vi phân hai vế :
(
)
ϕ
=
dt t dt
'
.
Bước 3: Biểu thị :
(
)
(
)
ϕ ϕ
= =
f x dx f t t dt g t dt
( ) ' ( )
.
Bước 4: Khi đó :
= = = +
I f x dx g t dt G t C
( ) ( ) ( )
2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :
Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu số
t
là mẫu số
Hàm số :
( )
(
)
ϕ
f x x
;
(
)
ϕ
=
t x
Hàm
( )
=
a inx+b.cosx
f x
c inx+d.cosx+e
.s
.s
=
x x
t cos
2
tan ; 0
2
Hàm
( )
( ) ( )
=
+ +
f x
x a x b
1
Với :
+ >
x a
0
+ >
x b
0
.
Đặt :
= + + +
t x a x b
Với
+ <
x a
0
+ <
x b
0
.
Đặt :
= +
t x a x b
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
=
u x v x dx u x v x v x u x dx
( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )
Hay =
udv uv vdu
( với
(
)
(
)
= =
du u x dx dv v x dx
,
)
2.2.1. Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : = =
I f x dx f x f x dx
1 2
( ) ( ). ( )
Bước 2: Đặt :
=
=
=
=
du f x dx
u f x
dv f x
v f x dx
1
1
2
2
' ( )
( )
( )
( )
Bước 3: Khi đó : =
u dv u v v du
. . .
2.2.2. Các dạng thường gặp
2.2.2.1. Dạng 1
=
x
x
I P x x dx
e
sin
( ) cos .
. Đặt
=
=
x
u P x
x
dv x dx
e
( )
sin
cos .
=
=
x
u du P x dx
x
v x
e
'. '( )
cos
sin
Vậy:
x
x
I P x x
e
cos
( ) sin
=
-
x
x
x P x dx
e
cos
sin . '( )
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 32
3232
32
2.2.2.2. Dạng 2
I P x xdx
( ).ln=
. Đặt
=
=
u x
dv P x dx
ln
( )
=
= =
du dx
x
v P x dx Q x
1
( ) ( )
Vậy
( )
QI lnx Q xx
dx
x
1
( )..= =
2.2.2.3. Dạng 3
=
x
x
I e dx
x
sin
cos
. Đặt
=
=
x
u e
x
dv dx
x
sin
.
cos
=
=
x
du e dx
x
v
x
cos
sin
Vậy I =
x
x
I e
x
cos
sin
=
-
x
x
e dx
x
cos
sin
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
x
x
e dx
x
cos
sin
sau đó thay vào
I
3. TÍCH PHÂN
3.1. Công thức tính tích phân
= =
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
( ) ( ) ( ) ( )
.
* Nhận xét: Tích phân của hàm số
f
ta đến b thể kí hiệu bởi
b
a
f x dx
( )
hay
b
a
f t dt
( ) .
Tích phân
đó chỉ phụ thuc vào f và các cận a, b mà không phụ thuc vào cách ghi biến số.
3.2. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số
(
)
f x
và
(
)
g x
liên tục trên
, , ,
K a b c
là ba số bất k thuộc
K
. Khi đó ta có :
1.
=
a
a
f x dx
( ) 0
2. =
b a
a b
f x dx f x dx
( ) ( )
.
3. = +
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
( ) ( ) ( )
4.
± = ±
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
.
5. =
b b
a a
kf x dx k f x dx
( ) . ( )
.
6. Nếu f(x)
x a b
0, ;
t :
b
a
f x dx x a b
( ) 0 ;
7. Nếu
b b
a a
x a b f x g x f x dx g x dx
; : ( ) ( ) ( ) ( )
.
8. Nếu
x a b
;
Nếu
M f x N
( )
thì
( ) ( )
b
a
M b a f x dx N b a
( ) .
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 33
3333
33
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp đổi biến
4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
4.1.1.1. Định lí
Nếu 1) Hàm
=
x u t
( )
đạo hàm liên tc trên
α β
;
2) Hàm hợp
f u t
( ( ))
được xác định trên
α β
;
,
3)
α β
= =
u a u b
( ) , ( )
Khi đó:
β
α
= =
b
a
I f x dx f u t u t dt
( ) ( ( )) ( )
.
4.1.1.2. Phương pháp chung
Bước 1: Đặt
(
)
=
x u t
Bước 2: Tính vi phân hai vế :
= =
x u t dx u t dt
( ) '( )
Đổi cận:
β
α
= =
= =
x b t
x a t
Bước 3: Chuyn tích phân đã cho sang tích phân theo biến t
Vậy:
β β
α α
= = =
b
a
I f x dx f u t u t dt g t dt
( ) ( ) '( ) ( )
β
β α
α
= = G t G G
( ) ( ) ( )
4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2
4.1.2.1. Định lí
Nếu hàm số
=
u u x
( )
đơn điệu đạo hàm liên tc trên đoạn
a b
;
sao cho
(
)
= =
f x dx g u x u x dx g u du
( ) ( ) '( ) ( )
thì:
= =
u b
b
a u a
I f x dx g u du
( )
( )
( ) ( )
.
4.1.2.2. Phương pháp chung
Bước 1: Đặt
= =
u u x du u x dx
'
( ) ( )
Bước 2: Đổi cận :
= =
= =
x b u u b
x a u u a
( )
( )
Bước 3: Chuyn tích phân đã cho sang tích phân theo
u
Vậy:
= = =
u b
b b
a a u a
I f x dx g u x u x dx g u du
( )
( )
( ) ( ) . '( ) ( )
4.2. Phương pháp tích phân từng phần
4.2.1. Định lí
Nếu
(
)
u x
(
)
v x
là các hàm số có đạo hàm liên tc trên
a b
;
thì:
( )
=
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hay
b
a
udv
=
b
uv
a
b
a
vdu
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 34
3434
34
4.2.2. Phương pháp chung
Bước 1: Viết
(
)
f x dx
dưới dạng
=
udv uv dx
'
bằng cách chọn một phần thích hợp của
(
)
f x
làm
(
)
u x
và phn còn lại
=
dv v x dx
'( )
Bước 2: Tính
=
du u dx
'
=
v dv
=
v x dx
'( )
Bước 3: Tính
b
a
vu x dx
'( )
b
uv
a
* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
Đ
t u theo th
t
ưu tiên:
Lốc-đa-mũ-lượng
b
x
a
P x e dx
( )
b
a
P x xdx
( )ln
b
a
P x xdx
( )cos
b
x
a
e xdx
cos
u
P(x)
lnx
P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: n chn
u
là phn của
(
)
f x
khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
=
dv v dx
'
là phn
của
(
)
f x dx
là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ
5.1.1. Dạng 1
β
β β
α α
α
= = = +
+ +
dx adx
I ax b
ax b a ax b a
1 1
ln
. (với a≠0)
Chú ý: Nếu
β β
β
α
α α
+
= = + = +
+
k k
k
dx
I ax b adx ax b
a a k
ax b
1
1 1
( ) . .( )
(1 )
( )
5.1.2. Dạng 2
( )
β
α
=
+ +
dx
I a
ax bx c
2
0
(
+ +
ax bx c
2
0
với mọi
α β
x
;
)
Xét
=
b ac
2
4
.
Nếu
0
>
thì
+
= =
b b
x x
a a
1 2
;
2 2
= =
+ +
a x x x x a x x x x x x
ax bx c
2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1
( )( ) ( )
thì :
β
β β
α α
α
= = =
x x
I dx x x x x
a x x x x x x a x x a x x x x
1
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
1 1 1 1 1
ln ln ln
( ) ( ) ( )
Nếu
0
=
t
= =
+ +
b
x
a
ax bx c a x x
0
2 2
0
1 1
2
( )
thì I =
β β
β
α
α α
= =
+ +
dx dx
a a x x
ax bx c x x
2 2
0
0
1 1
( )
( )
Nếu
<
0
thì
β β
α α
= =
+ +
+ +
dx dx
I
ax bx c
b
a x
a
a
2
2
2
2
2
4
Đặt
( )
+ = = +
b
x t dx t dt
a
a a
2
2 2
1
tan 1 tan
2 2
4
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 35
3535
35
5.1.3. Dạng 3
( )
β
α
+
=
+ +
mx n
I dx a
ax bx c
2
, 0
.
(trong đó
+
=
+ +
mx n
f x
ax bx c
2
( ) liên tc trên đoạn
α β
;
)
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm
A
B
sao cho:
+ + +
= +
+ + + + + +
mx n A ax bx c B
ax bx c ax bx c ax bx c
2
2 2 2
( ) +
= +
+ + + +
A ax b B
ax bx c ax bx c
2 2
(2 )
Ta có I=
β
α
β β
α α
+ +
= +
+ + + + + +
mx n A ax b B
dx dx dx
ax bx c ax bx c ax bx c
2 2 2
(2 )
Tích phân
β
α
+
+ +
A ax b
dx
ax bx c
2
(2 )
=
β
α
+ +
A ax bx c
2
ln
Tích phân
β
α
+ +
dx
ax bx c
2
thuộc dạng 2.
5.1.4. Dạng 4
=
b
a
P x
I dx
Q x
( )
( )
với
(
)
P x
(
)
Q x
là đa thức ca
x
.
Nếu bậc ca
(
)
P x
lớn hơn hoặc bằng bậc ca
(
)
Q x
thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc ca
(
)
P x
nhỏ hơn bậc ca
(
)
Q x
t thể xét các trường hợp:
Khi
(
)
Q x
chỉ có nghiệm đơn
α α α
n
1 2
, ,...,
thì đặt
α α α
= + + +
n
n
A A A
P x
Q x x x x
1 2
1 2
( )
...
( )
.
Khi
(
)
Q x
có nghim đơn và vô nghiệm
(
)
(
)
α
= + + = <
Q x x x px q p q
2 2
( ) , 4 0
t đặt
α
+
= +
+ +
P x A Bx C
Q x x
x px q
2
( )
.
( )
Khi
(
)
Q x
có nghiệm bội
α β
=
Q x x x
2
( ) ( )( )
với α β thì đặt
( )
α β
β
= + +
A
P x B C
Q x x x
x
2
( )
( )
.
α β
=
Q x x x
2 3
( ) ( ) ( )
với α β thì đặt
α β
α β α β β
= + + + +
P x A B C D E
x x
x x x x x
2 3 2 3 2
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.2. Tích phân hàm vô tỉ
b
a
R x f x dx
( , ( ))
, trong đó
(
)
(
)
,
R x f x
có dạng:
a x
R x
a x
,
+
Đặt
x acos t t2 ,
0;
2
π
=
(
)
R x a x
2 2
, Đặt x
a t
sin
= hoặc x
a t
cos
=
n
ax b
R x
cx d
,
+
+
Đặt
n
ax b
d
t
cx
+
+
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 36
3636
36
( )
( )
R x f x
ax b x x
2
1
,
( )
α β γ
=
+ + +
Với
(
)
(
)
x
k x b
x a
2
'
α β γ
=+
+
+
Đặt
t x x
2
α β γ
= + +
, hoặc Đặt t
ax b
1
=
+
(
)
R x a x
2 2
, + Đặt x
a t
tan
= ,
t
;
2 2
π π
(
)
R x x a
2 2
, Đặt
x
a
x
cos
=
,
t [0; ] \
2
π
π
(
)
i
n n n
R x x x
1 2
; ;...; Gọi
(
)
1 2
; ;...;
i
k BSCNN n n n
=
. Đặt
k
x t
=
5.2.1. Dạng 1
( )
β
α
=
+ +
I dx a
ax bx c
2
1
0
Từ :
+ =
+ + = + =
=
2
b
x u
b
a
f(x)=ax bx c a x du dx
a
a
K
a
2
2
2
2
4
2
Khi đó ta có :
Nếu
(
)
< > = + = +
a f x a u k f x a u k
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .
(1)
Nếu :
>
= = +
= + =
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
(2)
Nếu :
>
0
.
Với
0
a
>
:
(
)
(
)
(
)
(
)
= =
f x a x x x x f x a x x x x
1 2 1 2
( ) ( ) . (3)
Với
0
a
<
:
(
)
(
)
(
)
(
)
= =
f x a x x x x f x a x x x x
1 2 1 2
( ) ( ) . (4)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
Phương pháp :
* Trường hợp :
(
)
< > = + = +
a f x a u k f x a u k
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .
Khi đó đặt :
+ + =
2
ax bx c t a x
.
(
)
α β
= =
+
+ =
+
= = = =
=
+
t c
x dx tdt
b a
bx c t ax
b a
x t t x t t
t c
t a x t a
b a
2
2
2
0 1
2
;
2
2
2
,
.
2
* Trường hợp :
>
= = +
= + =
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
Khi đó :
β β
α α
β
α
β
α
+ + >
= = =
+ +
+ + <
b b
x x
a a
a
I dx dx
b b
b b
a
a x x
x x
a a
a a
a
1
ln : 0
2 2
1 1 1
1
ln : 0
2 2
2 2
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 37
3737
37
* Trường hợp :
> >
a
0, 0
. Đặt :
( ) ( )
(
)
( )
+ + = =
2
x x t
ax bx c a x x x x
x x t
1
1 2
2
* Trường hợp :
> <
a
0, 0
. Đặt :
( ) ( )
(
)
( )
+ + = =
2
x x t
ax bx c a x x x x
x x t
1
1 2
2
5.2.2. Dạng 2
( )
β
α
+
=
+ +
mx n
I dx a
ax bx c
2
0
Phương pháp :
Bước 1: Phân tích
(
)
( )
+ +
+
= = +
+ + + + + +
2
2 2 2
Ad ax bx c
mx n B
f x
ax bx c ax bx c ax bx c
.
( ) 1
Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hhai ẩn số
,
A B
Bước 3: Giải hệ tìm
,
A B
thay vào (1)
Bước 4 : Tính
(
)
2
2
I A ax bx c B dx
ax bx c
1
2
β
α
β
α
= + + +
+ +
(2)
Trong đó
( )
β
α
+ +
dx a
ax bx c
2
1
0
đã biết cách tính ở trên
5.2.3. Dạng 3
( )
( )
β
α
=
+ + +
I dx a
mx n ax bx c
2
1
0
Phương pháp :
Bước 1: Phân tích :
( )
=
+ + +
+ + +
2
2
n
mx n ax bx c
m x ax bx c
m
1 1
. (1)
Bước 2: Đặt :
= = =
+ +
= +
= + + = + +
2
n
y t dy dx
x t m x t
n
x
y m
x t ax bx c a t b t c
y y y
2
1 1
1
1 1 1
Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì I dạng :
β
α
= ±
+ +
dy
I
Ly My N
'
2
'
. Tích phân này chúng
ta đã biết cách tính .
5.2.4. Dạng 4
( )
β β
α α
α β
γ δ
+
= =
+
m
x
I R x y dx R x dx
x
; ;
( Trong đó :
(
)
;
R x y
là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và
α β γ δ
, , ,
là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
Bước 1: Đặt :
m
t
x
x
α β
γ δ
+
+
= (1)
Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng
(
)
ϕ
=
x t
Bước 3: Tính vi phân hai vế :
(
)
ϕ
=
dx t dt
'
và đổi cận
Bước 4: Tính :
( )
( )
( )
β β
α α
α β
ϕ ϕ
γ δ
+
=
+
m
x
R x dx R t t t dt
x
'
'
; ; '
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 38
3838
38
5.3. Tích phân hàm lượng giác
5.3.1. Một số công thức lượng giác
5.3.1.1. Công thức cộng
± =
a b a b a b
cos cos .c
( )
os sin .sin
a b a b b a
sin sin .cos sin .
)
os
(
c
± = ±
a
b
a b
b
a
tan tan
( )
1 tan .tan
tan ± =
±
5.3.1.2. Công thức nhân đôi
a a a a
a
a
a
2 2 2
2
2
2
cos2 cos sin 2 cos 1
1 tan
1 2sin
1 tan
= = =
+
=
a
a
a a a
2
sin 2 2 sin .cos
2 tan
1 tan
+
= = ; =
a
a
a
2
2 tan
tan 2
1 tan
3
cos 3 4 cos 3 cos
α α α
=
;
3
sin 3 3 sin 4 sin
α α α
=
5.3.1.3. Công thức hạ bậc
a
a
2
1 cos2
sin
2
= ;
a
a
2
1 cos2
cos
2
+
= ;
=
+
a
a
a
2
1 cos2
tan
1 cos 2
α α
α
=
3
3 sin sin 3
sin
4
;
3
cos 3 3cos
cos
4
α α
α
+
=
5.3.1.4. Công thức tính theo
t
Với
a
t
tan
2
=
Thì
t
a
t
2
2
sin
1
=
+
;
t
a
t
2
2
1
cos
1
=
+
;
t
a
t
2
2
tan
1
=
5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + +
= +
= + +
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thànhch
Công thức thường dùng:
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
+
+ =
=
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2 sin .sin
2 2
sin sin 2 sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
α
α α
α
α α
+
+ =
+
+ =
4 4
6 6
3 cos 4
cos sin
4
5 3 cos 4
cos sin
8
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 39
3939
39
Hệ quả:
5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác
Nếu gặp
( )
=
sin .cos
b
a
I f x xdx
ta đặt
=
sin
t x
.
Nếu gặp dạng
( )
=
cos .sin
b
a
I f x xdx
ta đặt
=
cos
t x
.
Nếu gặp dạng
( )
=
2
tan
cos
b
a
dx
I f x
x
ta đặt
=
tan
t x
.
Nếu gặp dạng
( )
=
2
cot
sin
b
a
dx
I f x
x
ta đặt
=
cot
t x
.
5.3.2.1. Dạng 1
* Phương pháp
Nếu
n
chẵn thì sử dng công thức hạ bậc
Nếu
3
n
=
t sử dụngng thức hạ bậc hoặc biến đổi
Nếu
3
n
lẻ
( )
2 1
n p
= +
thì thực hiện biến đổi:
( ) ( )
( )
( )
( )
n 2p+1
1
= sinx dx = sinx dx = =
p
p
I x xdx x d x
2
2
sin sin 1 cos cos
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ +
= + + + +
= + + + + +
+ +
k p
k p
k p
p p p p
k p
k p
k p
p p p p
C C x C x C x d x
C x C x C x C x c
k p
0 1 2 2 2
2 1 2 1
0 1 3
cos ... 1 cos ... 1 cos cos
1 1 1
cos cos ... cos ... cos
3 2 1 2 1
( ) ( )
( )
( )
( )
n 2p+1
2
= cosx dx = cosx dx = =
p
p
I x xdx x d x
2
2
cos cos 1 sin sin
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ +
= + + + +
= + + + + +
+ +
k p
k p
k p
p p p p
k p
k p
k p
p p p p
C C x C x C x d x
C x C x C x C x c
k p
0 1 2 2 2
2 1 2 1
0 1 3
sin ... 1 sin ... 1 sin sin
1 1 1
sin sin ... sin ... sin
3 2 1 2 1
5.3.2.2. Dạng 2
( )
sin cos ,
m n
I x xdx m n=
* Phương pháp
Trường hợp 1:
,
m n
là các số nguyên
a. Nếu
m
chẵn,
n
chẵn thì sử dng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu
m
chẵn,
n
lẻ
( )
2 1
n p
= +
t biến đổi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
m 2p+1
I = sinx cosx dx = =
p
m p m
x x xdx x x d x
2
2
sin cos cos sin 1 sin sin
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ + + + + +
= + + + + =
+ + + + +
+ + + + + +
k p
m k p
k p
p p p p
m m k m p m
k p
k p
p p p p
x C C x C x C x d x
x x x x
C C C C c
m m k m p m
0 1 2 2 2
1 3 2 1 2 1
0 1
sin sin ... 1 sin ... 1 sin sin
sin sin sin sin
... 1 ... 1
1 3 2 1 2 1
π π
α α α α
π π
α α α α
+ = = +
= + =
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
( ) ( )
n n
1 2
= sinx dx ; cosx dx
I I
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 40
4040
40
c. Nếu
m
lẻ
(
)
2 1
m p
= +
,
n
chẳn thì biến đổi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2p+1 n
I = sinx cosx dx = =
p
n p n
x x xdx x x d x
2
2
cos sin sin cos 1 cos cos
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
+ + + + + +
= + + + + =
+ + + + +
+ + + + + +
k p
n k p
k p
p p p p
n n k n p n
k p
k p
p p p p
x C C x C x C x d x
x x x x
C C C C c
n n k n p n
0 1 2 2 2
1 3 2 1 2 1
0 1
cos cos ... 1 cos ... 1 cos cos
cos cos cos cos
... 1 ... 1
1 3 2 1 2 1
d. Nếu
m
lẻ,
n
lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
Nếu
,
m n
các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt
u sinx
=
( )
( ) ( )
= = =
n n
m
m n m
B x xdx x x xdx u u du
1 1
2 2
2 2
sin cos sin cos cos 1 (*)
Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số
+ +
m n m k
1 1
; ;
2 2 2
là số nguyên
5.3.2.3. Dạng 3
( )
.
n N
( )
( )
+ = = = +
dx
x dx d x x c
x
2
2
1 tan tan tan
cos
( )
( )
+ = = = +
dx
x dx d x x C
x
2
2
1 cot cot cot
sin
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
6.1. Diện tích hình phẳng
6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đưng cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
=
y f x
( )
liên tc trên đoạn
a b
;
, trục
hoành và hai đường thẳng
=
x a
,
=
x b
được xác định: =
b
a
S f x dx
( )
6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đưng cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
=
y f x
( )
,
=
y g x
( )
liên tục trên đoạn
a b
;
và hai đường thẳng
=
x a
,
=
x b
được xác định: =
b
a
S f x g x dx
( ) ( )
( ) ( )
n n
1 2
= tan x dx ; = cot x dx
I I
(
)
= = = +
x d x
xdx dx x C
x x
sin cos
tan ln cos
cos cos
(
)
= = = +
x d x
xdx dx x C
x x
cos sin
cot ln sin
sin sin
=
=
=
=
( )
( )
y f x
y 0
H
x a
x b
a
1
c
2
c
=
( )
y f x
y
O
x
3
c
b
=
b
a
S f x dx
( )
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 41
4141
41
- Nếu trên đoạn
[a b]
;
, hàm số
f x
( )
không đổi dấu thì:
=
b b
a a
f x dx f x dx
( ) ( )
- Nắm vững cách nh tích phân ca hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
x g y
( )
,
=
x h y
( )
và hai đường thẳng
=
y c
,
=
y d
được xác định: =
d
c
S g y h y dy
( ) ( )
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
6.2.1. Thể tích vật thể
Gọi
B
phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng vuông c với trục Ox tại c
điểm a b;
S x
( )
là diện tích thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông c với
trục Ox tại điểm
x
,
a x b
( )
. Giả sử
S x
( )
là hàm số liên tc trên đoạn
[a b]
;
.
6.2.2. Thể tích khối tròn xoay
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
y f x
( )
, trục hoành và hai đường thẳng
=
x a
,
=
x b
quanh trục Ox:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phng giới hn bởi các đường
=
x g y
( )
, trục hoành và hai đường thẳng
=
y c
,
=
y d
quanh trục Oy:
- Thể tích khi tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hn bởi các đường
=
y f x
( )
,
=
y g x
( )
và hai đường thẳng
=
x a
,
=
x b
quanh trc Ox:
b
a
V f x g x dx
2 2
( ) ( )
π
=
c
y
O
d
x
( ) : ( )
( ) :
=
=
=
=
C x g y
Oy x 0
y c
y d
[
[[
[ ]
]]
]
2
( )
d
y
c
V g y dy
= π
= π= π
= π
( ) : ( )
( ) :
=
=
=
=
C y f x
O x y 0
x a
x b
[
[[
[ ]
]]
]
2
( )
b
x
a
V f x d x
= π
= π= π
= π
a
=
( )
y f x
y
O
b
x
=
=
=
=
1 1
2 2
( ) : ( )
( ) : ( )
( )
C y f x
C y f x
H
x a
x b
1
( )
C
2
( )
C
=
b
a
S f x f x dx
1 2
( ) ( )
a
1
c
y
O
b
x
2
c
=
b
a
S x dx
V
( )
x
O
a
b
( )
V
S(x)
x
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 42
4242
42
PHẦN IV. SỐ PHỨC
1. SỐ PHỨC
1.1. Khái niệm số phức
Số phức (dạng đại số) :
(
)
z a bi a b; ,= +
. Trong đó :
a
là phần thực,
b
là phần ảo,
i
là đơn vị ảo,
i
2
1.
=
Tập hợp số phức kí hiu:
.
z
là số thực
phần ảo của
z
bằng
0
(
)
b
0
=
.
z
là số ảo (hay còn gọi là thun ảo)
phần thực bằng
0
(
)
a
0
=
.
Số
0
vừa là số thực vừa là số ảo.
1.2. Hai số phức bằng nhau
Hai số phức
(
)
z a bi a b
1
,= +
(
)
z c di c d
2
,= +
bằng nhau khi phần thực và
phn ảo ca chúng tương đương bằng nhau.
Khi đó ta viết
a c
z z a bi c di
b d
1 2
=
= + = +
=
1.3. Biểu diễn hình học số phức
Số phức
(
)
z a bi a b,= +
được biểu diễn bởi điểm
(
)
M a b
;
hay bởi
(
)
u a b
;
=
trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ
Oxy
.
1.4. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của
(
)
z a bi a b,= +
z a bi
=
.
z
là số thực
z z
=
;
z
là số ảo
z z
=
.
1.5. Môđun của số phức
Độ dài của vectơ
OM
được gọi môđun của số phức
z
và hiệu
z
. Vậy
z OM
=
hay
z a bi OM a b
2 2
= + = = +

.
Một số tính chất:
z a b zz OM
2 2
= + = =
;
z z
=
z z
0, ;
z z
0 0
= =
.
z z z z
1 2 1 2
. .
= ;
z
z
z
z
1
1
2
2
= ;
z z z
z
z
1 1 2
2
2
2
.
=
z z z z z z
1 2 1 2 1 2
± +
.
z z
z z z z z z z z z z z z a b
z z
2 2
1 1
2 2
; ' ' ; . ' . '; ; . .
= ± = ± = = = +
x
y
O
M (a;b)
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 43
4343
43
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC
2.1. Phép cộng và phép trsố phức
Cho hai số phức
(
)
z a bi a b
1
,= +
(
)
z c di c d
2
,= +
. Khi đó:
(
)
(
)
z z a c b d i
1 2
± = + ± +
Số đối của số phức
z a bi
= +
z a bi
=
.
Tổng ca một số phức vi số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực
đó:
z a bi z z a
, 2
= + + =
.
2.2. Phép nhân số phức
Cho hai số phức
(
)
z a bi a b
1
,= +
(
)
z c di c d
2
,= +
.
Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
z z a bi c di ac bd ad bc i
1 2
= + + = + +
.
Với mọi số thực
k
và mọi số phức
(
)
z a bi a b,= +
, ta có
(
)
k z k a bi ka kbi
. . .
= + = +
Đặc biệt:
z
0. 0
=
với mọi số phức
z
.
Lũy thừa của
i
:
i i i i i i i i
0 1 2 3 2
1, , 1, .
= = = = =
n n n n
i i i i i i n
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1, ,
+ + +
= = = =
.
2.3. Chia hai số phức
Số phức nghịch đảo ca
z
khác
0
là số
z z
z
1
2
1
= .
Phép chia hai số phức
z
'
z
0
z z z z z
z z
z z z
z
1
2
' '. '.
'
.
= = = .
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Một số tập hp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:
ax by c
0
+ + =
tập hợp điểm là đường thẳng
x
0
=
tập hợp điểm là trục tung Oy
y
0
=
tập hợp điểm là trục hoành Ox
( ) ( )
x a y b R
2 2
2
+ <
tập hợp điểm là hình tròn tâm
(
)
I a b
; ,
bán kính
R
( ) ( )
x a y b R
x y ax by c
2 2
2
2 2
2 2 0
+ =
+ + =
tập hợp điểm đường tròn tâm
(
)
I a b
; ,
bán kính
R a b c
2 2
= +
0
x
>
tập hơp điểm là minn phải trc tung
y
0
<
tập hợp điểm là min pa dưới trục hoành
x
0
<
tập hợp điểm là minn trái trc tung
y
0
>
tập hợp điểm là phía trên trục hnh
y ax bx c
2
= + +
tập hợp điểm là đường Parabol
x y
a b
2 2
2 2
1
+ =
tập hợp điểm là đường Elip
x y
a b
2 2
2 2
1
=
tập hợp điểm là đường Hyperbol
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 44
4444
44
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
4.1. Căn bậc hai của số thực âm
Cho số
z
, nếu số phức
z
1
sao cho
z z
2
1
=
t ta nói
z
1
là một căn bậc hai ca
z
.
Mọi số phức
z
0
đều hai căn bậc hai.
n bậc hai của số thực
z
âm là
i z
±
.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực
a
âm là
i a
±
.
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai
ax bx c a b c a
2
0, , , , 0
+ + =
. Xét biệt số
b ac
2
4
=
của
phương trình. Ta thấy:
Khi
0
=
, phương trìnhmột nghiệm thực
b
x
a
2
=
.
Khi
0
>
, phương trìnhhai nghiệm thực phân biệt
b
x
a
1,2
2
±
=
.
Khi
0
<
, phương trìnhhai nghiệm phức
±
=
b i
x
a
1,2
2
.
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAXMIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC
Cho số phức
z
thỏa mãn
(
)
1 2
. , 0
z z z r r
+ = >
z
r
z
z
z
z
r
z
z
z
2
1
1
2
1
1
max
.
min
= +
=
Cho số phức
z
thỏa mãn
(
)
1 2 1 1
. , 0
z z z r r
= >
.
z r
P z
z
z
2 1
3
1
1
max = + và
z r
P z
z
z
2 1
3
1
1
min =
Cho số phức
z
thỏa mãn
(
)
z z z z z z k k
1 2 1 2
. . , 0
+ + = >
.
k
z
z
1
max
2
=
k z
z
z
2
2
2
1
4
min
2
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 45
4545
45
PHẦN V. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng trụ (chóp) phần không gian được giới hạn bởi một nh ng trụ (chóp) kể
cả hình ng trụ (chóp) y. Khối chóp cụt phần không gian được giới hạn bởi một
hình chóp ct kể cả hình chóp cụt ấy.
Điểm không thuc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của
khối ng trụ (khi chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuc
hình ng trụ ứng với khối ng trụ (khối chóp, khối chóp ct) đó được gọi điểm
trong ca khối lăng trụ (khi chóp, khi chóp ct).
Khi lăng tr lc giác Khi chóp t giác
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) hình được tạo bởi mt shữu hạn các đa giác thỏa
mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt ch thể hoặc không điểm chung, hoặc chỉ một đỉnh
chung, hoặc chỉ một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung ca đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác gọi một mặt
của hình đa diện. Các đỉnh,
cạnh của các đa giác y theo
thứ tự được gọi các đỉnh,
cạnh ca hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được
giới hạn bởi một hình đa diện, kể c
hình đa din đó.
Những điểm không thuộc khối đa
din được gọi điểm ngoài của khối
đa din. Những điểm thuộc khối đa
din nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi điểm trong của khối đa diện. Tập
hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hp những điểm ngoài được gọi là miền
ngoài của khối đa din.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau
là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài chứa hoàn
toàn một đường thẳng nào đó.
S
A
B
C
D
A
B
C
F
D
E
A
F
E
D
C
Đim trong
N
M
d
Đim ngoài
Min ngoài
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 46
4646
46
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm
M
với điểm
M
'
xác định duy nhất được
gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ
v
Nội dung Hình vẽ
phép biến hình biến mỗi điểm
M
thành
M
'
sao cho
MM v
'
=
.
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng
(
)
P
Nội dung Hình vẽ
phép biến hình biến mỗi điểm thuc thành chính nó,
biến mỗi điểm không thuộc thành điểm sao cho
là mặt phẳng trung trực của .
Nếu phép đi xng qua mặt phẳng biến hình thành
chính nó t được gọi là mặt phẳng đối xứng ca .
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm
O
Nội dung Hình vẽ
phép biến nh biến điểm
O
thành chính nó, biến mỗi
điểm
M
khác
O
thành điểm
M
'
sao cho
O
là trung điểm
MM
'
Nếu phép đối xứng tâm
O
biến hình
(
)
H
thành chính nó thì
O
được gọi là tâm đi xứng của
(
)
H
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng
(phép đối xứng trục
)
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến nh biến mọi điểm thuc đường thng
thành chính nó, biến mỗi điểm
M
không thuộc
thành điểm
M
'
sao cho
là đường trung trực của
MM
'
.
Nếu phép đối xứng trục
biến hình
(
)
H
thành chính nó thì
được gọi là trục đối xứng của
(
)
H
* Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện
(
)
H
thành đa diện
(
)
H
'
, biến đỉnh, cạnh, mặt ca
(
)
H
thành đnh, cạnh, mặt tương ứng ca
(
)
H
'
.
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu một phép dời hình biếnnh này thành hình kia.
v
M'
M
(
)
P
M
(
)
P
M
'
(
)
P
MM
'
(
)
P
(
)
H
(
)
P
(
)
H
P
M'
M
I
O
M'
M
I
M'
M
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
47
4747
47
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Nội dung nh vẽ
Nếu khối đa diện hợp của hai khi đa diện ,
sao cho không chung điểm trong nào thì ta i
thể chia được khối đa diện thành hai khối đa diện
và , hay thể lắp ghép hai khối đa diện và với
nhau để được khối đa diện .
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi
nếu với bất hai điểm
A
B
nào ca nó thì
mọi điểm của đoạn
AB
cũng thuc khối đó.
Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều
5.2.1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khi đa diện lồi có hai
tính chất sau đây:
Các mặt là nhng đa giác đều
n
cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng
p
cạnh.
Khối đa diện đều như vy gọi là khối đa diện đều loại .
5.2.2. Định lí
Định lí: Chỉ năm khối đa diện đều. Đó là:
Loại
{
}
3;3
: khối tứ diện đều.
Loại
{
}
4;3
: khối lập phương.
Loại
{
}
3; 4
: khói bát diện đều.
Loại
{
}
5;3
: khối 12 mặt đều.
Loại
{
}
3;5
: khối 12 mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Loại Hình Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt
{
{{
{ }
}}
}
3;3
Tứ diện đều
4
6
4
{
{{
{ }
}}
}
4;3
Lập phương
8
12
6
{
{{
{
}
}}
}
3;4
Bát diện đu
6
12
8
{
{{
{
}
}}
}
5;3
Mười hai mặt đều
20
30
12
{
{{
{
}
}}
}
3;5
Hai mười mặt đều
12
30
20
Chú ý: Giả sử khi đa diện đều loại
{ }
,n p
D
đỉnh ,
C
cạnh và
M
mặt :
2pD C nM= =
= == =
= =
-
phải Đi = 2 Chân và = nước Mắt”
(
)
H
(
)
H
1
(
)
H
2
(
)
H
1
(
)
H
2
(
)
H
(
)
H
1
(
)
H
2
(
)
H
1
(
)
H
2
(
)
H
(H
2
)
(H
1
)
(H)
{
}
n p
,
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
48
4848
48
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
5.3.1. Kết quả 1
Cho một khi tứ diện đều. Khi đó:
Các trọng tâm của các mặt ca nó là các đỉnh ca một khối tứ diện đều;
Các trung điểm của các cạnh ca nó các đỉnh ca một khối bát diện đều (khối tám
mặt đều).
5.3.2. Kết quả 2
Tâm ca các mặt của một khi lập phương là các đỉnh của một khi bát din đều.
5.3.3. Kết quả 3
Tâm ca các mặt của một khi bát diện đều các đỉnh của một khi lập phương.
5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuc một cạnh của khi đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo của khối bát
din đều. Khi đó:
Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp
Nội dung Hình vẽ
: Diện tích mặt đáy.
: Độ dài chiều cao khi chóp.
6.2. Thể tích khối lăng trụ
Nội dung Hình vẽ
: Diện tích mặt đáy.
: Chiu cao ca khối chóp.
Lưu ý:
Lăng tr đứng có chiu cao chính là cạnh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật
Nội dung Hình vẽ
áy
V S h
1
.
3
=
đ
áy
S
đ
h
( )
( )
S.ABCD ABCD
S, ABCD
V d .S
1
3
=
áy
V S h
.
=
đ
áy
S
đ
h
V a b c
. .
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
49
4949
49
6.4. Thể tích khối lập phương
Nội dung Hình vẽ
6.5. Tỉ số thể tích
Nội dung Hình vẽ
Thể tích hình chóp cụt
Với là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
Đường chéo của hình vuông cạnh
Đường chéo của hình lập phương cạnh là :
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là :
Đường cao của tam giác đều cạnh là:
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
7.1.2. Cho
ABC
có độ dài ba cạnh là:
, ,a b c
độ dài các trung tuyến là
, ,
a b c
m m m
bán kính
đường tròn ngoại tiếp
R
; bán kính đường tròn nội tiếp
r
nửa chu vi
.
p
Định hàm số cosin:
Định hàm số sin:
Độ dài trung tuyến:
V a
3
=
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
.
.
. .
=
ABC A B C
.
(
)
h
V B B BB
3
= + +
B B h
, ,
a
a
2
a
a
3
a b c
, ,
a b c
2 2 2
+ +
a
a
3
2
AB AC BC
2 2 2
+ =
AB BH BC
2
.
=
AC CH BC
2
.
=
AH BC AB AC
. .
=
AH BH HC
2
.
=
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
= +
AB BC C BC B AC C AC B
.sin . cos .tan . cot
= = = =
a b c bc A b c a ca B c a b ab C
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 2 . cos ; 2 . cos ; 2 . cos
= + = + = +
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
= = =
a b c
b c a c a b a b c
m m m
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;
2 4 2 4 2 4
+ + +
= = =
S
A’
B’
C’
A
B
C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 50
5050
50
7.2. Các công thức tính diện tích
7.2.1. Tam giác
vuông tại
:
A
đều, cạnh
:
a
,
7.2.2. Hình vuông
(
:
a
cạnh hình vuông)
7.2.3. Hình chữ nhật
(
,
a b
: hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành
S = đáy × cao
. .sin
AB AD BAD
=
7.2.5. Hình thoi
1
. .sin .
2
S AB AD BAD AC BD
= =
7.2.6. Hình thang
(
, :
a b
hai đáy,
h
: chiều cao)
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc
&
AC BD
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp
SABC
với các mặt phẳng
vuông góc với nhau từng đôi một,
din tích các tam giác
lần lượt là .
Khi đó:
a b c
S a h b h c h
1 1 1
. . .
2 2 2
= = =
S bc A ca B ab C
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
= = =
abc
S
R
4
=
S pr
=
(
)
(
)
(
)
S p p a p b p c
=
ABC
AB AC BC AH
S
. .
2 2
= =
ABC
a
AH
3
2
=
a
S
2
3
4
=
S a
2
=
S ab
=
( )
S a b h
1
2
= +
S AC BD
1
.
2
=
(
)
(
)
(
)
SAB SBC SAC
, ,
SAB SBC SAC
, ,
S
1 2 3
, S ,S
S ABC
S
V
1 2 3
.
2 .S .S
3
=
C
S
A
B
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 51
5151
51
Cho hình chóp
.
S ABC
vuông c vi ,
hai mặt phng
và vuông c vi nhau,
,BSC ASB
α β
= =
.
Khi đó:
Cho hình chóp đều
.
S ABC
đáy
ABC
tam giác đều
cạnh bằng
,
a
cạnh bên bằng .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
cạnh đáy bằng
a
và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
các cạnh n
bằng
b
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy c .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
các cạnh đáy
bằng
,
a
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
đáy
ABCD
là
hình vuông cạnh bằng
,
a
.
Khi đó:
Cho hình chóp tgiác đều
.
S ABCD
cạnh đáy bằng
,
a
c tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là .
Khi đó:
SA
(
)
ABC
(
)
SAB
(
)
SBC
S ABC
SB
V
3
.
.sin 2 . tan
12
α β
=
b
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
3
12
=
α
S ABC
a
V
3
.
tan
24
α
=
β
S ABC
b
V
3 2
.
3 .sin cos
4
β β
=
β
S ABC
a
V
3
.
. tan
12
β
=
SA SB SC SD b
= = = =
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
4 2
6
=
α
S ABCD
a
V
3
.
.tan
6
α
=
B
C
A
S
C
A
S
B
M
G
C
A
S
B
M
G
B
S
A
C
M
G
B
S
A
C
M
G
O
B
S
D
A
C
M
O
C
S
A
D
B
M
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 52
5252
52
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
cạnh đáy bằng
,
a
SAB
α
=
với
Khi đó:
Cho hình chóp t giác đều
.
S ABCD
các cạnh bên
bằng
,
a
góc tạo bởi mặt bên mặt đáy vi
.
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
cạnh đáy bằng
.
a
Gọi
mặt phẳng đi qua
A
song song với
BC
vuông góc với , góc giữa
với mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Khi tám mặt đều đỉnh tâm các mặt của hình lập
phương cạnh
.
a
Khi đó:
Cho khi tám mặt đu cạnh
.
a
Nối tâm của các mặt bên
ta được khi lập phương.
Khi đó:
;
4 2
π π
α
S ABCD
a
V
3 2
.
tan 1
6
α
=
α
0;
2
π
α
( )
S ABCD
a
V
3
.
3
2
4 . tan
3 2 tan
α
α
=
+
(
)
P
(
)
SBC
(
)
P
α
S ABCD
a
V
3
.
cot
24
α
=
a
V
3
6
=
a
V
3
2 2
27
=
O
C
A
D
S
B
M
O
C
S
A
D
B
M
x
N
C
A
S
B
F
M
G
E
O1
O3
O4
O2
O
O'
A
B
C
D
B'
C'
D'
A'
B
D
A
S
C
S'
N
G2
M
G1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 53
5353
53
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂCH TỨ DIỆN
Công thức Điều kiện tứ diện
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện
, ,
, ,
SA a SB b SC c
ASB BSC CSA
α β ϕ
= = =
= = =
Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2
cạnh đó
( ) ( )
AB a CD b
d AB CD d AB CD
,
, , ,
α
= =
= =
Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2
mặt kề
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị
din
( ) ( )
( )
, ,
,
,
SA a SB b SC c
SAB SAC
ASB ASC
α
β ϕ
= = =
=
= =
Tứ diện đều
tất cả các cạnh bằng
Tứ diện gần đều
S ABC
abc
V
2 2 2
.
1 cos cos cos 2cos cos cos
6
α β ϕ α β ϕ
= +
ABCD
V abd
1
sin
6
α
=
SABC
S S
V
a
1 2
2 sin
3
α
=
( ) ( )
( )
SAB SAC
S S S S SA a
SAB SAC
1 2
, ,
,
α
= = =
=
S ABC
abc
V
.
sin sin sin
6
α β ϕ
=
ABCD
a
V
3
2
12
=
a
( )( ) ( )
ABCD
V a b c b c a a c b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
= + + +
AB CD a
AC BD b
AD BC c
= =
= =
= =
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
54
5454
54
PHẦN VI. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay
Nội dung nh vẽ
Đường thẳng , cắt nhau tại tạo thành góc
vi , chứa ,
.
quay quanh trục
vi góc không đổi mặt nón tròn xoay đỉnh
gọi là trục.
được gọi là đường sinh.
c gọi là góc ở đỉnh.
1.2. Khối nón
Nội dung nh vẽ
phần không gian được giới hạn bởi một nh nón
tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuc
khối nón gọi là những điểm ngoài ca khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình
nón tương ứng gọi là những điểm trong ca khi nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiu cao
,h
đường sinh
l
và bán kính đáy .
Diện tích xung quanh: của hình nón:
Diện tích đáy (hình tròn):
Diện tích toàn phần: của hình nón:
Thể tích khối nón:
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
Điều kiện Kết qu
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp đi qua đỉnh của mặt nón.
cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
tiếp c với mặt nón theo một đường
sinh.
Thiết diện là tam giác cân.
là mặt phẳng tiếp diện của
hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp không đi qua đỉnh của mặt nón.
vuông góc với trục hình nón.
song song với 2 đường sinh hình nón.
song song vi 1 đường sinh hình nón.
Giao tuyến là 1 đường parabol.
Giao tuyến 2 nhánh của 1
hypebol.
Giao tuyến là một đường tròn.
d
O
β
0 0
0 90
β
< <
(
)
mp P
d
(
)
P
β
O
.
d
2
β
r
xq
S rl
.
π
=
áy
S r
2
.
π
=
đ
tp
S rl r
2
.
π π
= +
V r h
2
1
.
3
π
=
Q
( )
mp Q
( )
mp Q
( )
Q
( )
Q
( )
mp Q
( )
mp Q
( )
mp Q
( )
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
55
5555
55
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Mặt trụ
Nội dung Hình vẽ
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng . Khi
quay mặt phẳng xung quanh thì đường thng
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay,
gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng gọi là trục.
Đường thẳng là đường sinh.
là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Nội dung Hình vẽ
Ta xét nh chữ nhật . Khi quay hình chữ nhật
xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là
hình trụ.
Khi quay quanh hai cạnh và sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi hai
đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính ca hình trụ.
Độ dài đoạn gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh khi quay xung quanh
gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình tr.
Khi trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay
kể cả hình tr tròn xoay đó. Những điểm không thuc khối trụ gọi những điểm ngoài của
khối trụ. Những điểm thuc khối tr nhưng không thuc hình trụ tương ứng gọi những
điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng mặt
đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ chiều cao
,h
đường
sinh
l
và bán kính đáy
Diện tích xung quanh:
Diện tích toàn phần:
Thể tích:
(
)
P
l
r
(
)
P
l
l
r
ABCD
ABCD
ADCB
,
AB
AD
BC
CD
CD
AB
AB
r
.
xq
S rl
2 .
π
=
tp
S rl r
2
2 2 .
π π
= +
V r h
2
.
π
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
56
5656
56
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Mặt cầu
Nội dung nh vẽ
Cho điểm cố định và một số thực dương .
Tập hợp tất cả những điểm
M
trong không gian cách
I
một khoảng
R
được gọi là mặt cầu tâm
,I
bán kính
.R
Kí hiệu: Khi đó:
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi
H
hình chiếu vuông c ca
I
lên
là khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng . Khi đó:
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp c mặt cầ
u:
mặt phẳng tiếp diện củ
a
mặt cầu
:H
tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo
thiết diện là đường tròn có tâm
và bán nh
Lưu ý:
Khi mặt phẳng đi qua tâm
I
của mặt cầu tmặt phẳng được gọi mặt phẳng
kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi
H
là hình chiếu của
I
lên . Khi đó:
không cắt mặt cầu. tiếp xúc với mặt cầu.
: Tiếp tuyến của
:H
tiếp điểm.
cắt mặt cầu tại hai
điểm phân biệt.
Lưu ý:
Trong trường hợp cắt tại 2 điểm
,A B
t bán kính
R
của được tính như sau:
I
R
(
)
S I R
; .
( )
{
}
S I R M IM R
; = =
(
)
S I R
;
(
)
P
(
)
P
d IH
=
(
)
P
d R
>
d R
=
d R
<
(
)
P
I
r R IH
2 2
=
(
)
P
(
)
P
(
)
S I R
;
IH R
>
IH R
=
IH R
<
(
)
S
(
)
S
(
)
S
(
)
d I IH
AB
R IH AH IH
2
2 2 2
;
.
2
=
= + = +
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
57
5757
57
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phng bờ
trục ca mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phng
vuông c với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi hai
cực của mặt cầu
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:
Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp
xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa
din ngoại tiếp mặt cầu.
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh
của hình đa din đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình
đa din nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm bán kính ngoại tiếp hình cp
khi và chỉ khi
Cho mặt cầu
Diện tích mặt cầu: .
Thể tích khối cầu: .
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ NG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung nh vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là nhng tam giác
cânhai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.
Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những
đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.
O
r
S ABCD
.
OA OB OC OD OS r
= = = = =
(
)
S I R
;
S R
2
4
π
=
V R
3
4
3
π
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
58
5858
58
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiu cao , bán kính đáy và đường sinh .
Một thiết din đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm ca đáy đến mặt phẳng chứa
thiết diện là
Nội dung nh vẽ
Gọi
M
là trung điểm của
.AC
Khi đó:
Góc giữa là góc
SMI
.
Góc giữa là góc
MSI
.
Diện tích thiết diện
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
Nội dung nh vẽ
Hình n nội tiếp hình chóp đều nh n
đỉnh , đáy là đường tròn nội tiếp nh vuông
.
Khi đó hình nón:
Bán kính đáy ,
Đường cao , đường sinh
Hình chóp tứ giác đều
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đềuhình nón
đỉnh , đáy đường tròn ngoại tiếp hình vuông
.
Khi đó hình nón:
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đường sinh:
Hình chóp t giác đều
Hình nón nội tiếp hình chóp đều hình nón
đỉnh , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác
Khi đó hình nón
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đường sinh:
Hình chóp tam giác đều
h
r
l
d
.
(
)
AC SMI
(
)
SAC
(
)
ABC
(
)
SAC
SI
(
)
(
)
d I SAC IH d
, .
= =
td SAC
S S SM AC SI IM AI IM
h d h d
r h
h d h d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
. .2
2 2
.
= = = +
= +
S ABCD
.
S
ABCD
AB
r IM
2
= =
h SI
=
l SM
.
=
S ABCD
.
C
D
M
I
S
A
B
S ABCD
.
S
ABCD
AC AB
r IA
2
.
2 2
= = =
h SI
.
=
l SA
.
=
S ABCD
.
D
S
I
A
B
C
S ABC
.
S
ABC
.
AM AB
r IM
3
.
3 6
= = =
h SI
.
=
l SM
.
=
S ABC
.
I
S
M
C
B
A
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
59
5959
59
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều hình nón
đỉnh , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Khi đó hình nón:
Bán kính đáy:
Chiu cao:
Đường sinh:
Hình chóp tam giác đều
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song vi đáy tphần mặt phẳng nằm trong hình
nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.
Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì
được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón ct bởi một mặt phẳng song song với trục t
được mặt cắt là một hình thang cân.
Cho hình nón ct lần lượt n kính đáy lớn, bán
kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt:
Diện tích đáy (hình tròn):
Diện tích toàn phn của hình nón ct:
Thể tích khối nón ct:
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi nh
quạt
Nội dung nh vẽ
Từ hình tròn cắt bỏ đi hình quạt
.AmB
Độ dài
cung
AnB
bằng
.x
Phần còn lại của hình tròn ghép lại được
một hình nón. Tìm bán nh, chiều cao độ dài đường
sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có
S ABC
.
S
ABC
.
AM AB
r IA
2 3
.
3 3
= = =
h SI
.
=
l SA
.
=
S ABC
.
S
I
C
B
M
A
R r h
, ,
(
)
xq
S l R r
.
π
= +
( )
áy
áy
áy
S r
S r R
S R
2
2
1
2
2
2
.
π
π
π
=
= +
=
đ
đ
đ
(
)
tp
S l R r r R
2 2
.
π π π
= + + +
( )
V h R r Rr
2 2
1
.
3
π
= + +
h
R
r
(
)
O R
;
l R
r x r
x
h l r
2 2
2
2 .
π
π
=
= =
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 60
6060
60
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính
Thiết diện chứa trục một hình chữ nhật trong
đó và . Nếu thiết diện qua trc một
hình vuông thì .
Thiết diện song song với trục không chứa trục là hình
ch nhật khong cách tới trục là:
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung Hình vẽ
Nếu như và hai đường nh bất kỳ trên hai
đáy ca hình trụ thì:
* Đặc biệt: Nếu vuông góc nhau thì:
.
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách
Nội dung Hình vẽ
Góc giữa và trục :
(
)
, ' '
AB OO A AB
=
Khong cách giữa và trục :
.
Nếu một hình vuông nội tiếp trong hình tr
thì đường chéo ca hình vuông cũng bằng đường chéo ca
hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông: .
R
ABCD
AB R
2
=
AD h
=
h R
2
=
BGHC
(
)
(
)
d OO BGHC OM
'; =
M
O
A
D
B
C
G
H
AB
CD
( )
ABCD
V ABCD OO AB CD
1
. . '.sin ,
6
=
AB
CD
ABCD
V AB CDOO
1
. . '
6
=
O'
O
A
B
D
C
AB
OO
'
O
O'
A
B
A'
AB
OO
'
(
)
d AB OO OM
; ' =
M
O
O'
A
A'
B
ABCD
AB R h
2 2
2 4
= +
I
O
O'
D
B
A
C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
61
6161
61
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ
trong bài toán tối ưu
Nội dung nh vẽ
Một khối trụ có thể tích
V
không đổi.
Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích toàn phn nhỏ
nhất:
Tìm bán nh đáy chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh
cộng với diện tích 1 đáy và nhnhất:
4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trtam giác đêu nội tiếp trong một hình tr. Thể tích khối lăng tr
V
t
thể tích khối trụ là
Cho hình lăng tr tứ giác đêu ngoại tiếp trong một nh tr. Diện tích
xung quanh hình trụ là
xq
S
t diện tích xung quanh của hình lăng tr
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ NG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp ca đa giác đáy
vuông c với mặt phng chứa đa giác đáy Bất một điểm nào nằm trên trục của đa giác
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng
vuông c với đoạn thng đó.
Bất một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
Bất một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, chính giao điểm
I
ca trục đường tròn ngoại tiếp mặt phng đáy và mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách t
I
đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
tp
V
R
S
V
h
3
3
4
min
2
4
π
π
=
=
V
R
S
V
h
3
3
min
π
π
=
=
V
V
(T)
4
9
π
=
ABCD A B C D
. ' ' ' '
xq
S
S
2
π
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 62
6262
62
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung Hình v
Tâm: trùng với tâm đối xứng của nh hộp ch nhật
(hình lập phương) Tâm là , là trung điểm của .
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hp chữ
nhật (hình lập phương).
Bán kính: .
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung Hình v
Xét hình lăng trụ đứng , trong đó
2 đáy ni tiếp đường tròn
và . Lúc đó, mặt cầu ni tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm: với là trung điểm của .
Bán kính: .
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung Hình v
Hình chóp
0
90
SAC SBC
= =
.
Tâm: là trung điểm của .
Bán kính: .
Hình chóp
90
SAC SBC SDC
= = = °
.
Tâm: là trung đim ca .
Bán kính: .
5.1.3.4. Hình chóp đều
Nội dung Hình v
Cho hình chóp đều
Gọi là tâm ca đáy là trục của đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi một cạnh
bên, chẳng hn như , ta vẽ đường trung
trực của cạnh cắt tại cắt
tại là tâm của mặt cầu.
Bán kính:
Ta có:
SM SI
SMI SOA
SO SA
=
Bán kính:
I
AC
'
AC
R
'
2
=
n n
A A A A A A A A
' ' ' '
1 2 3 1 2 3
... . ...
n
AA A A
1 2 3
...
n
A A A A
' ' ' '
1 2 3
...
(
)
O
(
)
O
'
I
I
OO
'
n
R IA IA IA
'
1 2
...= = = =
S ABC
.
I
SC
SC
R IA IB IC
2
= = = =
S ABCD
.
I
SC
SC
R IA IB IC ID
2
= = = = =
S ABC
. ...
O
SO
SO
(
)
mp SAO
SA
SA
M
SO
I
I
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
2
.
...
2
= = = = = = =
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 63
6363
63
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp
c
ạnh b
ên
(
)
...
SA ABC
và đáy
nội tiếp được trong đường tròn tâm .
Tâm và bán nh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được
xác định như sau:
T tâm ngoại tiếp ca đường trònđáy, ta vẽ đường
thẳng vuông góc với tại .
Trong , ta dựng đường trung trực của cạnh
, cắt tại , cắt tại tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp và bán kính
Tìm bán kính
Ta có: là hình chữ nhật. Xét vuông tại có:
.
5.1.3.6. Hình chóp khác
- Dựng trục ca đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực ca một cạnh bên bất .
- là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách t đến các đỉnh ca hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O ca đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định
tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
S ABC
. ...
ABC
...
O
S ABC
. ...
O
d
(
)
mp ABC
...
O
(
)
mp d SA
,
SA
SA
M
d
I
I
R IA IB IC IS
...
= = = = =
MIOB
MAI
M
SA
R AI MI MA AO
2
2 2 2
2
= = + = +
(
)
α
(
)
I I
α
=
I
∆ vuông: O là trung điểm
ca cạnh huyền.
O
Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đường chéo.
O
O
∆ đều: O là giao điểm của 2
đường trung tuyến (trọng tâm).
∆ thường: O là giao điểm của hai đường
trung trực của hai cạnh ∆.
O
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 64
6464
64
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp (thoả mãn điu kiện tồn ti
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực ca một cạnh bên.
Lúc đó
Tâm
O
ca mặt cầu:
Bán kính: . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung Hình vẽ
Định nghĩa
Trục đường tn ngoại tiếp đa giác đáy đường thẳng đi
qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vuông góc với mặt
phng đáy.
Tính chất
Suy ra:
Các bước xác định trục
Bước 1:
Xác định tâm
H
ca đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2:
Qua
H
dựng vuông c với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
Đáy là tam giác vuông
Đáy là tam giác đều
Đáy là tam giác thường
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung Hình vẽ
đồng dạng với .
5.3.3. Nhận xét quan trọng
là trục đường tròn ngoại tiếp .
n
S A A A
1 2
. ...
( )
α
{
}
mp( O
)
α
=
(
)
R SA SO
= =
α
H
O
I
D
C
B
A
S
M MA MB MC
:
= =
MA MB MC M
= =
H
M
C
B
A
H
A
B
C
C
B
A
H
B
A
C
H
SMO
SO SM
SIA
SA SI
=
A
M
I
O
S
MA MB MC
M S SM
SA SB SC
, :
= =
= =
ABC
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 65
6565
65
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp (thõa mãn điều kiện tồn tại
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2:
Xác định trục
d
ca đường tròn ngoại tiếp một mặt bên
(dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:
Tâm
I
ca mặt cầu:
Bk: . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu
5.5.1. Dạng 1
Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên vuông góc đáy và
0
90
ABC
=
khi đó
và tâm là trung điểm .
5.5.2. Dạng 2
Nội dung Hình vẽ
Cạnh n vuông góc đáy bất kể đáy hình ,
chỉ cần tìm được bán nh đường tròn ngoại tiếp ca đáy
, khi đó :
( : nửa chu vi).
Nếu vuông tại thì:
(
)
2 2 2
1
4
D
R AB AC AS
= + + .
Đáy là hình vuông cạnh t
nếu đáy là tam giác đều cạnh t .
n
S A A A
1 2
. ...
{
}
d I
=
(
)
R IA IS
= =
R
I
Δ
D
d
S
A
B
C
SA
SC
R
2
=
SC
SA
D
R
D
SA
R R
2
2 2
4
= +
( ) ( ) ( )
D
abc
R
p p a p b p c
4
=
p
ABC
A
a
D
a
R
2
2
=
a
D
a
R
3
3
=
S
A
B
C
O
I
K
S
S
A
B
C
A
D
B
C
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 66
6666
66
5.5.3. Dạng 3
Nội dung Hình v
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: :
.
nh vuông, hình chữ nhật, khi đó
giao hai đường chéo.
vuông, khi đó trung điểm cạnh
huyền.
đều, khi đó là trọng tâm, trực tâm.
5.5.4. Dạng 4
Nội dung Hình v
Hai mặt phng vuông c vi nhau
và giao tuyến . Khi đó ta gọi lần lượt n
kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
5.5.5. Dạng 5
Chóp đường cao , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy . Khi đó ta giải
phương trình: . Với giá trị tìm được ta có: .
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: .
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY
6.1. Chỏm cầu
Nội dung Hình vẽ
6.2. Hình trụ cụt
Nội dung Hình vẽ
SA SB SC SD
= = =
SA
R
SO
2
2
=
ABCD
O
ABC
O
ABC
O
S
A
D
B
C
(
)
SAB
(
)
ABC
AB
R R
1 2
,
SAB
ABC
AB
R R R
2
2 2 2
1 2
4
= +
O
K
S
A
B
C
J
I
S.ABCD
SH
O
( )
D
SH x OH x R
2
2 2 2
+ = +
x
D
R x R
2 2 2
= +
tp
V
r
S
3
=
(
)
( )
xq
S Rh r h
h
V
h
h R h r
2 2
2 2 2
2
3
3 6
π π
π
π
= = +
= +
=
R
r
h
( )
xq
S R h h
h h
V R
1 2
2
1 2
2
π
π
= +
+
=
h
2
h
1
R
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 67
6767
67
6.3. Hình nêm loại 1
Nội dung Hình vẽ
6.4. Hình nêm loại 2
Nội dung Hình vẽ
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay
Nội dung Hình vẽ
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip
Nội dung Hình vẽ
6.7. Diện tích hình vành khăn
Nội dung Hình vẽ
6.8. Thể tích hình xuyến (phao)
Nội dung Hình vẽ
V R
3
2
tan
3
α
=
V R
3
2
tan
2 3
π
α
=
parabol
tru
S x a
S Rh
S h R
V R h V
3
3
2
4 '
;
3
1 1
2 2
π
= = =
= =
ɺ
R
h
R
q
elip
xoay
x
uanh a
quaoay nh b
S ab
V ab
V a b
2
2
2
2
4
3
4
3
π
π
π
=
=
=
b
a
b
a
(
)
S R r
2 2
π
=
R
r
R r R r
V
2
2
2
2 2
π
+
=
R
r
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 68
6868
68
PHẦN VII. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trc
, ,
Ox Oy Oz
phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
,
O
truc hoành
,
Ox
trục tung
,
Oy
trục cao
,
Oz
các mặt tọa độ
(
)
(
)
(
)
, , .
Oxy Oyz Ozx
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ
Oxyz
hay không gian
.
Oxyz
Chú ý:
i j k
a a
i j ik jk
2 2 2
2
2
1
0
= = =
=
= = =
 
1.1.3. Tọa độ véc tơ
u x y z u x y z u xi y j zk
( ; ; ) ( ; ; )
= = + +
1.1.4. Tọa độ điểm
M x y z OM xi y j zk
( ; ; )
= + +
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
u a b c v a b c
( ; ; ), ( ; ; )
= =
'
'
'
a a
u v b b
c c
=
= =
=
(
)
u v a a b b c c
; ;
= ± ± ±
1.1.6. Chú ý
Góc ca 2 véc tơ
(
)
u v
,
c hình học (nh) giữa 2 tia mang véc có, giá trị trong
0;
π
là:
(
)
(
)
u v u v
2
sin , 1 cos , 0
=
ku ka kb kc
( ; ; )
=
u v u v u v aa bb cc
. . .cos( , )
= = + +
u v aa bb cc
u v
u v u v
.
cos( , )
. .
+ +
= =
u u a b c
2
2 2 2
= = + +
u v u v
. 0
=
(
)
B A B A B A
AB x x y y z z
; ;=

( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
2 2 2
= = + +
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 69
6969
69
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
M chia AB theo tỉ số k nghĩa
MA kMB
=
. Công thức tọa độ của M là :
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
1
1
1
=
=
=
1.1.8. Công thức trung điểm Nếu
M
là trung điểm
AB
thì
MA MB
0
+ =
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
2
2
2
+
=
+
=
+
=
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác
Nếu
G
là trọng tâm của
ABC
thì
GA GB GC
0
+ + =
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
3
3
3
+ +
=
+ +
=
+ +
=
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu
G
là trọngm của tứ diện
ABCD
thì
GA GB GC GD
0
+ + + =
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
4
4
4
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc tơ
u a b c
( ; ; )
=
v a b c
( ; ; )
=
ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc
tơ, kí hiệu
u v
,
hay
u v
có toạ độ:
b c c a a b
u v
b c c a a b
, ; ;
=
(
)
bc b c ca ac ab ba
; ;
=
1.1.12. Tính chấtch có hướng 2 véc tơ
[
]
,
u v
vuông góc với
u
v
[
]
(
)
, . sin ,
u v u v u v
=
[
]
, 0 ,
u v u v
=
cùng phương
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc
Diện tích hình nh hành
ABCD
:
S AB AD
,
=
Diện tích
ABC
:
S AB AC
1
. ,
2
=
Ba véc tơ
u v w
, ,
đồng phẳng:
u v w
, . 0
=
Th ch khi hp có đáy hình bình hành
ABCD
và cnh bên
AA
:
V AB AD AA
, .
=
Thể tích khi tứ diện
.
S ABC
:
V AB AC SA
1
. , .
6
=
 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 70
7070
70
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
ng thức xác định toạ đ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình hc của các điểm đặc biệt:
, ,
A B C
thẳng hàng cùng phương
ABCD
là hình nh hành
Cho các chân ca các đường phân giác trong ngoài của góc
của trên . Ta có: ,
, , ,
A B C D
không đồng phng không đồng phng
2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến
n
khác
0
và có giá vuông c
(
)
mp P
được gọi là véc tơ pháp tuyến của
(
)
.
P
2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến
Nếu
n
là véc tơ pháp tuyến của
(
)
P
t
, ( 0)
kn k
cũng là véc tơ pháp tuyến của
(
)
.
P
2.1.3. Phương trình tổng quát của
(
)
mp P
Phương trình tổng quát của
(
)
mp P
qua
M x y z
0 0 0
( ; ; )
và véc pháp tuyến
n A B C
( ; ; )
=
A x x B y y C z z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
+ + =
2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là:
Ax By Cz D
0
+ + + =
(trong đó
, ,
A B C
không
đồng thời bằng 0)
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
(
)
P
qua gốc tọa độ
0
D
=
(
)
P
song song hoặc trùng
(
)
0
Oxy A B
= =
(
)
P
song song hoặc trùng
(
)
0
Oyz B C
= =
(
)
P
song song hoặc trùng
(
)
0
Ozx A C
= =
(
)
P
song song hoặc chứa
0
Ox A
=
(
)
P
song song hoặc chứa
0
Oy B
=
(
)
P
song song hoặc chứa
0
Oz C
=
(
)
P
cắt
Ox
tại
(
)
;0; 0 ,
A a cắt
Oy
tại
(
)
0; ; 0
B b
và cắt
Oz
tại
(
)
(
)
0;0;
C c P
phương
trình
AB AC
,
AB k AC
=

AB AC
, 0
=

AB DC
=

ABC
E F
,
A
ABC
BC
AB
EB EC
AC
.
=

AB
FB FC
AC
.
=
AB AC AD
, ,

AB AC AD
, . 0

( )
+ + =
x y z
a b c
a b c
1 , , 0
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 71
7171
71
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Cho
(
)
M x y z
0 0 0
; ;
P Ax By Cz D
(
: 0
)
+ + + =
;
Ax By Cz D
d M P
A B C
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
+ + +
=
+ +
2.1.7. Chùm mặt phẳng
Nội dung nh vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi là giao tuyến ca hai mặt phẳng
và
.
Khi đó nếu là mặt phẳng chứa t mặt phẳng
có dạng :
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
0
m Ax B y C z D n A x B y C z D
+ + + + + + + =
Với
2 2
0
m n
+
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương tnh mặt phẳng ta cần xác định một đim thuộc và một VTPT của nó.
2.2.1. Dạng 1
đi qua điểm VTPT thì:
2.2.2. Dạng 2
đi qua điểm cặp VTCP thì là một VTPT của
2.2.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với
(
)
: 0
Ax By Cz
β
+ + =
t
2.2.4. Dạng 4
đi qua 3 điểm không thẳng hàng .
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của là:
2.2.5. Dạng 5
đi qua một điểm
M
và một đường thẳng không chứa
M
:
Trên lấy điểm và VTCP .
Một VTPT của là:
2.2.6. Dạng 6
đi qua một điểm
M
, vuông góc với đường thẳng tVTCP của đường thng
là một VTPT ca .
(
)
α
( )
β
(
)
d
(
)
A x B y C z D
1 1 1 1
: 0
α
+ + + =
(
)
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
β
+ + + =
(
)
P
(
)
d
(
)
P
(
)
α
(
)
α
(
)
α
(
)
M x y z
0 0 0
; ;
(
)
n A B C
; ;
=
(
)
(
)
(
)
(
)
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
α
+ + =
(
)
α
(
)
M x y z
0 0 0
; ;
a b
,
n a b
,
=
(
)
α
(
)
α
(
)
M x y z
0 0 0
; ;
(
)
(
)
(
)
(
)
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
α
+ + =
(
)
α
A B C
, ,
(
)
α
n AB AC
,
=

(
)
α
(
)
d
(
)
d
A
u
(
)
α
n AM u
,
=

(
)
α
(
)
d
u
(
)
d
(
)
α
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 72
7272
72
2.2.7. Dạng 7
chứa đường thẳng cắt nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc d1 hoặc
2.2.8. Dạng 8
chứa đường thẳng và song song vi đường thẳng
2
d
(
1 2
,
d d
chéo nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
2.2.9. Dạng 9
đi qua điểm
M
và song song với hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,
d d
:
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
2.2.10. Dạng 10
chứa một đường thẳng
d
và vuông góc với một mặt phẳng
Xác định VTCP ca
d
và VTPT ca
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
2.2.11. Dạng 11
đi qua điểm
M
và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau
Xác định các VTPT ca và
Một VTPT của là: .
2.2.12. Dạng 12
chứa đường thẳng
d
cho trước và cách điểm
M
cho trước một khoảng cho trước:
Giả sử (α) có phương trình: .
Lấy 2 điểm ta được hai phương trình
(
)
(
)
1 , 2
)
Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình
Giải hệ phương trình
(
)
(
)
(
)
1 , 2 , 3
(bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
2.2.13. Dạng 13
là tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
Giả sử mặt cầu có tâm và bán kính
Một VTPT của là:
(
)
α
d d
1 2
,
:
a b
,
d d
1 2
, .
(
)
α
n a b
,
=
(
)
d M
2
.
α
(
)
α
d
1
)
:
a b
,
d d
1 2
, .
(
)
α
n a b
,
=
(
)
d M
1
.
α
(
)
α
a b
,
d d
1 2
, .
(
)
α
n a b
,
=
(
)
α
(
)
:
β
u
n
β
(
)
.
β
(
)
α
n u n
,
β
=
(
)
d M
.
α
(
)
α
(
)
(
)
, :
β γ
n n
,
β γ
(
)
β
(
)
.
γ
(
)
α
n u n
,
β γ
=
(
)
α
k
Ax By Cz+D
0
+ + =
(
)
A B C
2 2 2
0
+ +
( ) ( )
A B d A B
, , (
α
d M k
( ,( ))
α
=
(
)
3 .
(
)
α
(
)
S
H
:
(
)
S
I
R
.
(
)
α
n IH
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 73
7373
73
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
Khi đó:
cắt
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Khong cách từ điểm đến mặt phẳng
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khong cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất trên mặt
phng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
Điểm là hình chiếu của điểm trên .
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm đối xứng với điểm qua
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng phương trình:
Góc giữa bằng hoặc với góc giữa hai VTPT .
Chú ý:
( ) ( )
(
)
0 0
0 , 90
α β ;
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳngmặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng và mặt cầu có tâm
I
không có điểm chung
tiếp xúc với với là tiếp diện
(
)
: 0
P A B Dx y Cz
+ + + =
(
)
: 0.
xA zP B Cy D+ +
+
=
(
)
P
(
)
P
: : :
.
:
A B C A B C
(
)
(
)
//
P P
.
A B C D
A B C D
= =
(
)
(
)
P P
.
A B C D
A B C D
= =
=
(
)
(
)
P P
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 0.
P P P P
n n n n AA BB CC
+ +
= =
(
)
M x y z
0 0 0 0
; ;
Ax By Cz D
( )
: 0
α
+ + + =
( )
Ax By Cz D
d M
A B C
0 0 0
0
2 2 2
,( )
α
+ + +
=
+ +
H
M
( )
MH n cung phuong
H P
P
,
( )
M
'
M
(
)
MM MH
P 2
=
 
(
)
(
)
,
α β
(
)
A x B y C z D
1 1 1 1
: 0
α
+ + + =
(
)
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
β
+ + + =
(
)
(
)
,
α β
n n
1 2
,
( )
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
α β
+ +
= =
+ + + +
AA B B C C
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
α β
+ + =
(
)
Ax By Cz D
: 0
α
+ + + =
(
)
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( ) + + =
(
)
α
(
)
S
d I R
( ,( ))
α
>
(
)
α
(
)
S
d I R
( ,( ))
α
=
(
)
α
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 74
7474
74
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm ca và . là tiếp điểm của với .
cắt theo một đường tròn
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm ca . Với là tâm của đường tròn giao tuyến của
với .
Bán kính của đường tròn giao tuyến:
3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa
Cho đường thẳng
d
. Nếu vectơ
a
0
và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng
d
thì
được gọi là vectơ chỉ phương của đưng phẳng
d
. Kí hiệu:
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
3.1.1.2. Chú ý
a
là VTCP của
d
thì
k a
.
k
( 0)
cũng là VTCP của
d
Nếu
d
đi qua hai điểm
A B
,
thì
AB
là một VTCP của
d
Trục
Ox
có vectơ chỉ phương
a i
(1;0;0)
= =
Trục
Oy
có vectơ chỉ phương
a j
(0;1; 0)
= =
Trục
Oz
có vectơ chỉ phương
a k
(0;0;1)
= =
3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thng
( )
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và nhận
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
làm VTCP là :
( )
x x ta
y y ta t
z z ta
0 1
0 2
0 3
( ) :
= +
= +
= +
R
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc ca đường thẳng
( )
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và nhận
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
làm VTCP là
d
I
(
)
S
(
)
α
H
d
(
)
α
H
(
)
S
(
)
α
(
)
α
(
)
S
d I R
( ,( ))
α
<
H
r
d
I
(
)
S
(
)
α
H
d
(
)
α
H
(
)
S
(
)
α
r
r R IH
2 2
=
a
( )
= =
x x y y z z
a a a
a a a
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( ) : , , 0
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 75
7575
75
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
3.2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
Trong không gian
(
)
Oxyz
cho đường thng
x x a t
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
( ) : (2)
(3)
= +
= +
= +
có VTCP
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
và
qua
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và mặt phng
Ax By Cz D
( ) : 0
α
+ + + =
có VTPT
n A B C
( ; ; )
=
Khi đó :
(
)
(
)
1 2 3
. 0 0
a n Aa Ba Ca
α
+ +
( ) ( )
( )
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
/ /
0
a n
Aa Ba Ca
M P
Ax By Cz
α
=
+ + =
+ +
( ) ( )
( )
1 2 3
0 0 0 0
. 0
0
0
a n
Aa Ba Ca
M P
Ax By Cz
α
=
+ + =
+ + =
Đặc biệt
( ) (
)
α
a
và
n
cùng phương
3.2.1.1. Phương pháp đại số
Mun tìm giao điểm
M
ca
(
)
(
)
α
ta giải hphương trình:
pt
pt
( )
( )
α
tìm
x y z
, , .
Suy ra:
(
)
M x y z
, ,
.
Thế
(
)
(
)
(
)
1 , 2 , 3
vào phương trình
(
)
mp P
và rút gọn dưa về dạng:
at b
0 (*)
+ =
d
cắt
(
)
mp P
tại một điểm
(
)
*
pt
có một nghiệm
t
.
d
song song với
(
)
(
)
*
P pt
vô nghiệm.
d
nằm trong
(
)
(
)
P Pt
*
có vô số nghiệm
t
.
d
vuông góc
(
)
P
a
và
n
ng phương
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1
a a a A B C
2 3
: : : :
=
0
M
'
0
M
a
1
2
b
0
M
u
'u
1
2
'
0
M
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
u
'u
0
M
'
0
M
1
2
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
a
a
n
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 76
7676
76
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: đi qua
M
và có một vectơ chỉ phương
đi qua
N
và có mt vectơ chỉ phương
cắt
chéo nhau
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Mun tìm giao điểm
M
của
2
va (
1
( ) )
ta giải hệ phương trình :
pt
pt
1
2
( )
( )
tìm
x y z
, , .
Suy ra:
(
)
M x y z
, ,
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng
:
d
x x a t
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
(2)
(3)
= +
= +
= +
mặt cầu
(
)
x a y bS
z c R
2 2 2 2
( ) ) ( ): ( + + =
tâm
I a b c
( ; ; )
, bán kính
R
.
3.2.3.1. Phương pháp hình học
Bước 1:
Tính khoảng cách từ tâm
I
ca mặt cầu
(
)
S
đến đường thẳng
d
IM a
h d I d
a
0
.
( , )
= =
Bước 2:
So sánh
d I d
( , )
với bán kính
R
của mặt cầu:
Nếu
d I d R
( , )
>
thì
d
không cắt
(
)
S
Nếu thì tiếp c
Nếu thì cắt tại hai điểm phân biệt và vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Thế
(
)
(
)
(
)
1 , 2 , 3
vào phương trình
(
)
S
và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo
(
)
t
*
Nếu phương trình
(
)
*
vô nghiệm thì
d
không cắt
(
)
S
Nếu phương trình
(
)
*
có một nghiệm thì
d
tiếp xúc
(
)
S
Nếu phương trình
(
)
*
có hai nghiệm thì
d
cắt
(
)
S
tại hai điểm phân biệt
M N
,
Chú ý:
Ðể tìm tọa đ
M N
,
ta thay giá tr
t
vào phương trình đường thẳng
d
1
1
.
u
2
2
.
u
1 2
1 2 1
, , 0.
u u u MN
= =

1 2
//
1 2
1
, 0
.
, 0
u u
u MN
=
1
2
1 2
1 2
, 0
.
, . 0
u u
u u MN
=
1
2
1 2
, . 0.
u u MN
d I d R
( , )
=
d
(
)
S
d I d R
( , )
<
d
(
)
S
M N
,
MN
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 77
7777
77
3.3. Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Định lý
Trong không gian
(
)
Oxyz
cho hai mặt phẳng xác
định bởi phương trình :
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ta có công thức:
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng
và mặt phng
Gọi góc giữa hai mặt phẳng ta ng
thức:
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng :
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ta có công
thức:
3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho mặt phẳng điểm
Khong cách từ điểm đến mặt phẳng được tính
bởi :
,
α β
A x B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
α
β
+ + + =
+ + + =
ϕ
( ) & ( )
α β
A A B B C C
A B C A B C
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
ϕ
+ +
=
+ + + +
x x y y z z
a b c
0 0 0
( ) :
= =
Ax By Cz D
( ) : 0
α
+ + + =
ϕ
( ) & ( )
α
Aa Bb Cc
A B C a b c
2 2 2 2 2 2
sin
.
ϕ
+ +
=
+ + + +
= =
= =
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
0 0 0
1
0 0 0
2
' ' '
( ) :
( ) :
ϕ
1 2
( ) & ( )
aa bb cc
a b c a b c
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
ϕ
+ +
=
+ + + +
Ax By Cz D
( ) : 0
α
+ + + =
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
M
0
( )
α
Ax By Cz D
d M
A B C
0 0 0
0
2 2 2
( ; )
+ + +
=
+ +
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 78
7878
78
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung Hình v
Cho đường thẳng đi qua điểm và
VTCP . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến
được tính bởi công thức:
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau
Nội dung Hình v
Định lý:
Trong không gian
(
)
Oxyz
cho hai đưng thng chéo
nhau :
Khi đó khoảng ch giữa được tính bởi
công thức
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP ca nó.
3.5.1. Dạng 1
đi qua điểm và có VTCP .
3.5.2. Dạng 2
đi qua hai điểm Một VTCP ca .
3.5.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP
của cũng là VTCP của .
3.5.4. Dạng 4
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: n
VTPT của cũng là VTCP của .
3.5.5. Dạng 5
là giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
(
)
,
P Q
:
Cách 1:
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
u a b c
( ; ; )
=
( )
M M u
d M
u
0 1
1
;
( , )
=

0
'
0
co VTCP u a b c va qua M x y z
co VTCP u a b c va qua M x y z
1 0 0 0
' ' ' ' ' ' '
2 0 0 0
( ) ( ; ; ) ( ; ; )
( ) ( ; ; ) ( ; ; )
=
=
2
va (
1
( ) )
u u M M
d
u u
'
0 0
1 2
, ' .
( , )
; '
=
d
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
1
2
3
( ): ( )
= +
= +
= +
d
A B
, :
d
AB
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d
/ /
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
(
)
P
(
)
d P
(
)
P
d
d
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 79
7979
79
Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn g
trị cho một ẩn)
Tìm một VTCP của
Cách 2:
Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.5.6. Dạng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng
nên một VTCP của là:
3.5.7. Dạng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .
Cách 1:
Gọi hình chiếu vuông c ca trên đường thẳng . Thì . Khi đó
đường thẳng là đường thẳng đi qua
Cách 2:
Gọi mặt phẳng đi qua và vuông c với mặt phẳng đi qua
chứa Khi đó
3.5.8. Dạng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng
Cách 1:
Gọi Tđiều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng .
Cách 2:
Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP của thể
chn .
3.5.9. Dạng 9
nằm trong mặt phẳng cắt cả hai đường thẳng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thẳng
3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng chứa mặt phẳng chứa
Khi đó
A d
:
P
Q
( )
( )
P Q
a n n
d ,:
=
A B
,
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
d d d d
1 2
,
d
d d
a a a
1 2
,
=
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
H
M
0
H
M H u
0
d
M H
0
, .
(
)
P
A
d
(
)
Q
;
A
d
.
(
)
(
)
d P Q
=
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
M d M d
1 1 2 2
, .
M M M
1 2
, ,
M M
1 2
, .
d
(
)
M d
P
0 1
( , )
=
(
)
M d
Q
0 2
( , )
=
(
)
(
)
d P Q
.
=
d
P Q
a n n
,
=
d
(
)
P
d d
1 2
, :
(
)
(
)
A d P B d P
1 2
, .
= =
d
AB
.
(
)
P
d
1
,
(
)
Q
d
2
.
(
)
(
)
d P Q
.
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 80
8080
80
3.5.11. Dạng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Gọi Từ điều kin , ta tìm được
Khi đó,
đường
thẳng
Cách 2:
nên một VTCP của có thể là: .
Lập phương trình mặt phẳng chứa bằng cách:
Lấy một điểm trên
Một VTPT của có thể là: .
Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa Khi đó
3.5.12. Dạng 12
hình chiếu ca đường thẳng n mặt phng
(
)
P
thì ta Lập phương trình mặt phẳng
chứa và vuông góc với mặt phẳng bằng cách:
Lấy .
chứa và vuông góc với nên .
Khi đó
3.5.13. Dạng 13
đi qua điểm
M
, vuông góc với và cắt
Cách 1:
Gọi giao điểm của Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là
đường thẳng
Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc vi
Viết phương trình mặt phẳng chứa
Khi đó
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thsử dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuc các đường thẳng.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
d
d d
1 2
,
M d M d
1 1 2 2
, .
MN d
MN d
1
2
M N
, .
d
MN
.
d d
1
d d
2
d
d d
a a a
1 2
,
=
(
)
P
d
d
1
,
A
d
1
.
(
)
P
P d
n a a
1
,
=
(
)
Q
d
d
2
.
(
)
(
)
d P Q
.
=
d
(
)
Q
(
)
P
M
(
)
Q
(
)
P
Q P
n a n
,
=
(
)
(
)
d P Q
.
=
d
d
1
d
2
:
N
d
d
2
.
MN d
1
,
N
.
d
MN
.
(
)
P
M
d
1
.
(
)
Q
M
d
2
.
(
)
(
)
d P Q
.
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 81
8181
81
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp
sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP ca đường thẳng và VTPT ca mặt phẳng.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.
3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm
M
đến đường thng
d
Cách 1:
Cho đường thẳng đi qua và VTCP t
Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng
Cách 3:
Gọi Tính theo tham số trong phương trình đường thẳng
Tìm để nhỏ nhất.
Khi đó Do đó
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thng chéo nhau và Biết đi qua điểm M1 và VTCP , đi qua
điểm và có VTCP t
Chú ý:
Khong cách giữa hai đưng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa vi mặt
phng chứa và song song với
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khong cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và mt mặt phẳng song song
Khong cách giữa đường thẳng với mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đến mặt phẳng .
d
M
0
a
M M a
d M d
a
0
,
( , )
=

H
M
d
.
(
)
d M d MH
, .
=
(
)
N x y z d
; ; .
MN
2
t t
(
d
)
.
t
MN
2
N H
.
(
)
d M d MH
, .
=
d
1
d
2
.
d
1
a
1
d
2
M
2
a
2
a a M M
d d d
a a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
=
d d
1 2
,
d
1
(
)
α
d
2
d
1
.
d
(
)
α
M
d
(
)
α
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
M TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang
82
8282
82
3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng lần lượt các VTCP .
Góc giữa bằng hoặc vi góc giữa là:
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng
có VTCP và mặt phẳng có VTPT .
Góc giữa đường thng mặt phẳng bằng c giữa đường thẳng vi nh chiếu
của nó trên là:
( )
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +
4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu
( )
S
tâm
( )
I a b c; ; ,
bán kính
R
là:
( )
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( ) 1 + + =
Phương trình
(
)
1
được gọi là phương trình chính tắc ca mặt cầu
Đặc biệt: Khi
I O
t
C x y z R
2 2 2 2
( ) : + + =
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình :
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0+ + + =
với
a b c d
2 2 2
0+ + >
phương trình
của mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
I a b c; ; ,
bán kính
R a b c d
2 2 2
= + +
.
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt phẳng
( )
α
và mặt cầu
(
)
S
có phương trình :
Ax By Cz D
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : ( ) ( ) ( )
α
+ + + =
+ + =
Gọi
d I( ; )
α
là khoảng cách từ tâm mặt cầu
( )
S
đến mặt phẳng
α
Cho mặt cầu và mặt phng .
Gọi
H
là hình chiếu vuông c ca
I
lên
Mặt cầu mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầ
u:
mặt phẳng tiếp diện củ
a
mặt cầu
H
: tiếp điểm.
Mặt phng cắt mặt cầu
theo thiết diện đường
tròn tâm
và n kính
d d
1 2
,
a a
1 2
,
d d
1 2
,
a a
1 2
,
( )
a a
a a
a a
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
=
d
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=
(
)
α
n A B C
( ; ; )
=
d
(
)
α
d
d
'
(
)
α
(
)
;
S I R
(
)
P
(
)
P
(
)
(
)
, .
d IH d I P
= =
d R
>
d R
=
d R
<
(
)
P
I
r R IH
2 2
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 83
8383
83
4.3. Một số bài toán liên quan
4.3.1. Dạng 1
có tâm bán kính thì
4.3.2. Dạng 2
có tâm đi qua điểm thì bán kính .
4.3.3. Dạng 3
nhn đoạn thẳng cho tớc làm đường kính:
Tâm là trung điểm của đoạn thng:
Bán kính .
4.3.4. Dạng 4
đi qua bốn điểm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:
Thay lần ợt toạ độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
Giải hệ phương trình đó, ta tìm được Phương trình mặt cầu .
4.3.5. Dạng 5
đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng cho trước thì giải tương t
dạng 4
4.3.6. Dạng 6
có tâm và tiếp c với mặt cầu cho trước:
Xác định tâm
I
và bán kính
R
'
ca mặt cầu
(
)
T
.
Sử dụng điều kiện tiếp c ca hai mặt cầu để tính bán kính ca mặt cầu . (Xét
hai trường hợp tiếpc trong và ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu
(
)
S x y z ax by cz d
2 2 2
: 2 2 2 0
+ + + + + + =
với
a b c d
2 2 2
0
+ + >
thì
(
)
S
có m
(
)
I a b c
; ;
và bán kính
R a b c d
2 2 2
= + +
.
Đặc biệt:
Cho hai mặt cầu
(
)
S I R
1 1 1
,
và
(
)
S I R
2 2 2
, .
I I R R
1 2 1 2
<
(
)
(
)
S S
1 2
,
trong nhau
I I R R
1 2 1 2
> +
(
)
(
)
S S
1 2
,
ngoài nhau
I I R R
1 2 1 2
=
(
)
(
)
S S
1 2
,
tiếpc trong
I I R R
1 2 1 2
= +
(
)
(
)
S S
1 2
,
tiếpc ngoài
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
< < +
(
)
(
)
S S
1 2
,
cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao
tuyến).
(
)
S
(
)
I a b c
; ;
R
(
)
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( ) + + =
(
)
S
(
)
I a b c
; ;
A
R IA
=
(
)
S
AB
I
A B A B A B
I I I
x x y
A yB
y z z
x z; ;:
2 2 2
+ + +
= = =
AB
R IA
2
= =
(
)
S
A B C D
, , , (
(
)
S
(
)
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2
*
2 0
.
+ + + + + + =
A B C D
, , ,
(
)
* ,
a b c d
, , ,
(
)
S
(
)
S
A B C
, ,
I
(
)
P
(
)
S
I
(
)
T
R
(
)
S
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 84
8484
84
4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
tâm
(
)
I a b c
; ;
, tiếp c với mặt phẳng
(
)
P
cho trước thì
bán kính mặt cầu
(
)
(
)
R d I P
;=
4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
tâm
(
)
I a b c
; ;
, cắt mặt phng
(
)
P
cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích
đường tròn hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đưng tròn
giao tuyến .
Tính
Tínhn kính mặt cầu
Kết lun phương trình mặt cầu.
4.3.9. Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
tiếp c với một đường thng
cho tớc tâm
(
)
I a b c
; ;
cho trước thì đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu
(
)
S
ta có
(
)
R d I
,
=
.
4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
tiếp c với một đường thẳng
tại tiếp điểm
(
)
o o o
M x y z
, ,
thuộc
và có tâm
I
thuộc đường thng
d
cho trước thì ta làm như sau:
Viết phương trình mặt phng
(
)
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
.
To độ tâm
(
)
I P
=
là nghiệm của phương trình.
Bán kính mặt cầu
(
)
R IM d I
,
= =
.
Kết lun về phương trình mặt cầu
(
)
S
4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm
(
)
I a b c
; ;
và cắt đường thẳng
tại hai điểm
A B
,
thoả
n điều kiện:
Độ dài
AB
là một hằng số.
Tam giác
IAB
là tam giác vuông.
Tam giác
IAB
là tam giác đều.
Thì ta xác định
(
)
d I IH
, =
, vì
IAB
cân tại
I
nên
AB
HB
2
= bán kính mặt cầu
R
được
tính như sau:
R IH HB
2 2
= +
o
IH
R
sin 45
=
S r
2
π
=
P r
2
π
=
r
(
)
(
)
d d I P
,=
R d r
2 2
= +
o
IH
R
sin 60
=
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 85
8585
85
4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm thoả tính chất nào đó.
Tìm hệ thức giữa các toạ đ của điểm
hoặc:
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
Tìm toạ độ của tâm , chẳng hạn:
Kh
t
trong ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN
5.1. Dạng 1
Cho và hai điểm
, .
A B
Tìm đ ?
Phương pháp
Nếu
A
và
B
trái phía so với thẳng hàng
Nếu
A
và
B
cùng phía so với thì tìm là đối xng của qua
5.2. Dạng 2
Cho và hai điểm
, .
A B
Tìm đ ?
Phương pháp
Nếu
A
và
B
cùng phía so với thẳng hàng
Nếu
A
và
B
trái phía so với thì tìm là đi xứng của qua
5.3. Dạng 3
Cho điểm không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình
qua và cắt 3 tia lần lượt tại sao cho nhnhất?
Phương pháp
5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng chứa đưng thẳng , sao cho khoảng cách từ điểm
đến lớn nhất?
Phương pháp
M
(
)
P
x y z
, ,
M
.
x a y b z c R
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
+ + =
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =
I
( )
x f t
y g t
z h t
( )
( )
( )
*
=
=
=
(
)
*
(
)
P
(
)
M P
(
)
MA MB
min
+
(
)
P
M A B
, ,
(
)
M AB P
=
(
)
P
B
'
B
(
)
P
(
)
P
(
)
M P
MA MB
max
(
)
P
M A B
, ,
(
)
M AB P
=
(
)
P
B
'
B
(
)
P
MA MB AB
' '
=
(
)
M M M
M x y z
; ;
(
)
P
M
Ox Oy Oz
, ,
A B C
, ,
O ABC
V
.
( )
M M M
x y z
P
x y z
: 1
3 3 3
+ + =
(
)
P
d
M d
(
)
P
( )
( )
P d d
Qua A d
P
n u AM u
:
, ,
=

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 86
8686
86
5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng qua cách một khảng ln nhất ?
Phương pháp
5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng chứa đưng thẳng , sao cho tạo với ( không
song song với ) mt góc lớn nhất là lớn nhất ?
Phương pháp
5.7. Dạng 7
Cho . Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) song song với cách
một khoảng nhỏ nhất ?
Phương pháp
Lấy , gọi là hình chiếu vuông góc của tn
thì .
5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho tớc và nằm trong mặt phng cho
trước sao cho khoảng cách từ điểm cho trước đến lớn nhất ( không vuông góc với
) ?
Phương pháp
5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thng đi qua điểm cho trưc và nm trong mt phng cho trước
sao cho khoảng cách t điểm cho trưc đến là nhnht ( không vuông góc với )?
Phương pháp
5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước, sao cho nằm trong
và tạo với đường thng một góc nhỏ nhất ( cắt nhưng không vuông góc với )?
Phương pháp
(
)
P
A
M
( )
( )
P
QuaA
P
n AM
:
=
(
)
P
d
(
)
P
d
( )
( )
P d d
Qua A d
P
n u u u
:
, ,
=
(
)
P
/ /
d
A
A
A
(
)
P
d
Qua A
d
u u
:
=
d
A
(
)
P
M
d
AM
(
)
P
( )
d P
Qua A d
d
u n AM
:
,
=
d
A
(
)
P
M
d
AM
(
)
P
( ) ( )
d P P
Qua A d
d
u n AM n
:
,
,
=

d
(
)
A P
d
(
)
P
(
)
P
( ) ( )
d P P
Qua A d
d
u n AM n
:
,
,
=

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 87
8787
87
MỤC LỤC
PHẦN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. 1
I. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 1
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 3
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ............................................. 5
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................................... 9
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.......................................................................... 10
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ....................................................... 11
VII. TIẾP TUYẾN ............................................................................................................................. 15
VIII. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .......................................................................................................... 17
IX. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG .......................................................................... 18
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT ..................................................................................... 22
I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ...................................................................................... 22
II. LOGARIT ..................................................................................................................................... 24
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. ............................................................................ 25
IV. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ..................................................................................... 26
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .............. 28
1. NGUYÊN HÀM............................................................................................................................ 28
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM ........................................................................ 30
3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 32
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ........................................................................................ 33
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ........................................................................ 34
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 40
PHẦN IV. SỐ PHỨC ................................................................................................... 42
1. SỐ PHỨC ...................................................................................................................................... 42
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC ............................................................................ 43
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 43
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Gv. Tr
Gv. TrGv. Tr
Gv. Trần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩaần Quốc Nghĩa
ần Quốc Nghĩa
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầm & bi
ầm & biầm & bi
ầm & biên t
ên tên t
ên tập)
ập) ập)
ập)
ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349ĐT: 098 373 4349
ĐT: 098 373 4349
Trang
Trang Trang
Trang 88
8888
88
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC...................................................................... 44
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC ......................................... 44
PHẦN V. KHỐI ĐA DIN ......................................................................................... 45
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP .......................................................................................... 45
2. KHÁI NIỆM VHÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN .......................................................... 45
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU..................................................................................................... 46
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ............................................................... 47
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .................................................................................................................... 47
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................................ 48
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG .......................................................................................... 49
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP ............ 50
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN .............................................................. 53
PHẦN VI. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU..................................................... 54
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................................ 54
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................................. 55
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................................. 56
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁNCÔNG THỨC GIẢI ..................................................................... 57
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁNCÔNG THỨC GIẢI BÀI TN MẶT CẦU .............................. 61
6. TNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ................................... 66
PHẦN VII. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ........................ 68
1. HỆ TỌA Đ KHÔNG GIAN ...................................................................................................... 68
2. MẶT PHẲNG ............................................................................................................................... 70
3. ĐƯỜNG THẲNG......................................................................................................................... 74
4. MẶT CẦU ..................................................................................................................................... 82
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ..................................................... 85
| 1/90

Preview text:

TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K ta có:
• Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x ,x K,x < x f (x ) < f x . 1 2 1 2 1 ( 2 )
• Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀x ,x K,x < x f (x ) > f x . 1 2 1 2 1 ( 2 )
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .
Nhận xét: f (x f x 2 ) − ( 1 )
• Hàm số f (x) đồng biến trên K ⇔ > 0 ∀
x ,x K, x x . x − 1 2 1 2 x 2 1
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. f (x f x 2 ) − ( 1 )
• Hàm số f (x) nghịch biến trên K ⇔ < 0 ∀
x , x K, x x . x − 1 2 1 2 x 2 1
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Nếu f ′(x) > ∀ 0,
x ∈(a;b) ⇒ hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b).
• Nếu f ′(x) <
0, ∀x ∈(a;b) ⇒ hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
• Nếu f ′(x) = ∀ 0,
x ∈(a;b) ⇒ hàm số f (x) không đổi trên khoảng (a; b).
• Nếu f (x) đồng biến trên khoảng (a b) ⇒ f ′(x) ≥ ;
0, ∀x ∈(a;b).
• Nếu f (x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ⇒ f ′(x) ≤ 0,∀x∈(a;b).
• Nếu thay đổi khoảng (a;b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm
số f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u(x); v = v(x) ; C là hằng số.
• Tổng, hiệu: (u ± v)′ = ′ u ± v′. • Tích: ( . u v)′ = ′
u .v + v′.u ⇒ (C.u)′ = C. ′ u . ′  u  ′
u .v v′.uC C. ′ u • Thương:   = , v 0 2 ( ≠ ) ⇒   = −  v vu  2 u
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u), u = u(x) ⇒ y′ = y′ . ′ u . x u x
3. Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax + b ′  ax + b ad bcy = ⇒ y′ =   = . cx + dcx + d  ( 2 cx + d) a b a c b c 2 x + 2 x + 2 2 ′
ax + bx + c  
ax + bx + c a′ ′ ba c′ ′ b c′ • y = ⇒ y′ =   =
(anh bạn-ăn cháo-bcơm) a′ 2 x + ′ b x + c′  a′ 2 x + ′ b x + c′  ( 2 2
dx + ex + f ) Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. Bảng công thức tính đạo hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp Hàm sơ cấp Hàm hợp (
C)′ = 0 ( C : hằng số). ( α 1 u x )′ α = α −1 .x (tan x)′ = (tanu) ′ ′ = 2 cos x 2 cos u ( α ′ 1 u x )′ α = α −1 .x ( α u ) α =α −1 .u . ′ u (cot x)′ = − (cotu) ′ ′ = − 2 2 sin x sin u ′  1  1 ′  1  ′ u (ex )′ =ex ( u)′ = ′ u e e u .   = − (x ≠ 0)   = − (u ≠ 0)  x  2 xu  2 u ( ′ ′ u x x u u x )′ 1 = (x > 0) ( u) = (u > 0)
(a )′ = a .lna
(a )′ = ′u.a .lna 2 x 2 u (
sin x)′ =cos x (sinu)′ = ′ u .cosu ( )′ 1 u ln x = (ln u ) ′ ′ = x u (
cos x)′ = −sin x (cosu)′ = − ′ u .sinu ( u x (log u a ) ′ ′ = a )′ 1 log = xlna . u ln a ( n nx)′ n− = 1 sin . n sin x ( u) nn u ( u)′ = 1 sin .sin . sin ( n nx)′ n− = 1 cos . n cos x ( u) nn u ( u)′ = 1 cos .cos . cos ( n nx)′ n− = 1 tan . n tan x ( u) nn u ( u)′ = 1 tan .tan . tan ( n nx)′ n− = 1 cot . n cot ( u) nn u ( u)′ = 1 cot .cot . cot
5. Đạo hàm cấp 2
a. Định nghĩa: f ′ (x) = f ′  (x) ′  
b. Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm t là: a(t f t . 0 ) = ′ ( 0 ) 0 n n 1 ′
c. Đạo hàm cấp cao: ( ) f (x)  ( − ) f (x) =
,(n∈ℕ , n ≥ 2)  
(chứng minh bằng qui nạp). Một số chú ý:
• Nếu hàm số f (x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f (x) + g(x) cũng
đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f (x) − g(x) .
• Nếu hàm số f (x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm
số f (x).g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các
hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K.
• Cho hàm số u = u(x) , xác định với x ∈(a; b) và u(x)∈(c; d) . Hàm số  f u(x)   cũng xác định với
x ∈(a; b) .
Ta có nhận xét sau:
• Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈(a; b) . Khi đó, hàm số  f u(x) 
 đồng biến với x ∈( ;
a b) ⇔ f (u) đồng biến với u∈(c;d) .
• Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈(a; b) . Khi đó, hàm số  f u(x) 
 nghịch biến với x ∈( ;
a b) ⇔ f (u) nghịch biến với u∈(c;d) . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 2 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
6. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f ′(x) ≥ 0 với mọi x K f ′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f
đồng biến trên K .
• Nếu f ′(x) ≥ 0 với mọi x K f ′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f
nghịch biến trên K . Chú ý: ax + b d
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ y =
x ≠ −  thì dấu " = " khi xét dấu đạo hàm ycx + d c  không xảy ra. • 3 2 2
Giả sử y = f (x) = ax + bx + cx + d f ′( x) = 3ax + 2bx + c.
Hàm số đồng biến trên ℝ
Hàm số nghịch biến trên ℝ a > 0  a < 0   ∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0 ⇔ f (x)  ′
≥ 0;∀x ∈ ℝ ⇔   a = ⇔ f ′ ℝ  0 .
(x) ≤ 0;∀x∈ ⇔ a = 0 .   b = 0 b = 0    c >  0  c <  0
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f (x) = d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ
dài bằng l ta giải như sau: 2
Bước 1: Tính y′ = f ′( x; m) = ax + bx + c. ∆ > 0
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x ; x ) ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔  (*) 1 2 a ≠ 0
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l 2
x x = l ⇔ (x + x 4x x l ⇔ 2 S P = 2 4 l (* *) 1 2 ) − = 2 1 2 1 2
Bước 4: Giải (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x K . Ta nói: 0
x điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x sao cho (a;b) ⊂ K và 0 0
f (x) > f (x ) ,∀xa;b \ x . Khi đó f (x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . 0 ) 0 ( ) { 0}
x điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x sao cho (a;b) ⊂ K và 0 0
f (x) < f (x ) ,∀x a; b \ x . Khi đó f (x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . 0 ) 0 ( ) { 0}
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là
một điểm trong tập hợp K . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
• Nếu x là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x ; f x
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số 0 ( 0 )) 0 f . Nhận xét:
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số 0 )
f trên tập D; f (x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) nào 0 )
đó chứa x hay nói cách khác khi x điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x sao 0 0 0
cho f (x là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b). 0 )
• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể không có
cực trị trên một tập cho trước.
3. Minh họa đồ thị
Với (a;b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b . y y ( ;c f (c)) f (c) f (c) ( ;c f (c)) O c x c O x
Hàm số f đạt cực đại tại x = c .
Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c . y
4. Một số điểm cần lưu ý
Điểm cực đại
Giá trị cực đại (cực đại)
của đồ thị của hàm số
a) Hàm số f có cực trị ⇔ y′ đổi dấu.
b) Hàm số f không có cực trị ⇔ y′ không đổi dấu. yCĐ
c) Hàm số f chỉ có 1 cực trị ⇔ y′ đổi dấu 1 lần. Điểm cực tiểu
d) Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) Điểm cực đại của hàm số
y′ đổi dấu 2 lần. của hàm số
e) Hàm số f có 3 cực trị ⇔ y′ đổi dấu 3 lần. xCT
f) Chú ý: Đối với một hàm số bất kì, hàm số chỉ có xCĐ O x
thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm y
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định. CT
Giá trị cực tiểu
g) Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, (cực tiểu) Điểm cực
điểm cực trị của đồ thị hàm số,… của hàm số
tiểu của đồ thị
5. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại điểm x thì 0 0 f ′(x ) = 0. 0 Chú ý:
• Đạo hàm f ′(x) có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x . 0 0
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm
số không có đạo hàm. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
6. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x thì f ′(x 0 . 0 ) = 0 0
• Nếu f ′(x) > 0 trên khoảng (x h; x f ′(x) < 0 trên khoảng (x ; x + h thì x là một điểm cực 0 0 ) 0 0 ) 0
đại của hàm số f (x) .
• Nếu f ′(x) < 0 trên khoảng (x h; x f ′(x) > 0 trên khoảng (x ; x + h thì x là một điểm cực 0 0 ) 0 0 ) 0
tiểu của hàm số f (x) .
7. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′(x).
Bước 2: Tìm các điểm x (i = 1; 2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục i
nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′(x) . Nếu f ′(x) đổi dấu khi đi qua x thì hàm i
số đạt cực trị tại x . i Định lí 3:
Giả sử y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h; x + h với h > 0. Khi đó: 0 0 )
• Nếu f ′(x ) = 0, f ′ (x
0 thì hàm số f đạt cực đại tại x . 0 ) < 0 0
• Nếu f ′(x ) = 0, f ′ (x
0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x . 0 ) > 0 0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′(x).
Bước 2: Tìm các nghiệm x (i = 1; 2;...) của phương trình f ′(x) = 0. i
Bước 3: Tính f ′′(x) và tính f ′′(x . i )
Nếu f ′′(x ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x . i i
Nếu f ′′(x ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x . i i
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba = 3 + 2 y ax
bx + cx + d
a. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số y = f (x m) = 3 ax + 2 ;
bx + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x , 1
x thỏa mãn điều kiện K cho trước. 2 Phương pháp: Bước 1: Tập xác định: = ℝ D . 2 2
Đạo hàm: y′ = 3ax + 2bx + c = Ax + Bx + C Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 • Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)
y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y′ đổi dấu qua 2 nghiệm đó
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
A = 3a ≠ 0 a ≠ 0 ⇔  ⇔  ⇒ mD . ∆ = 2 B − 4AC = 2
4b − 12ac > 0  2 1  b ac y  − 3 > ′ 0 • Bước 3: B 2bx + x = − = −  1 2
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 . Khi đó:  A 3a . 1 2  C c x .x = =  1 2 A 3aBước 4:
Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được mD . 2 • Bước 5:
Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D D . 1 2 3 2 2
Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0). Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c . • 2
Hàm số không có cực trị:
b − 3ac ≤ 0 . • 2
Hàm số có hai điểm cực trị: b − 3ac > 0 .
Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ .
A C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0 .
Hàm số có hai cực trị cùng dấu ∆ > 0 y′ 
phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔  C
P = x .x = > 0  1 2 A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương  ∆ > 0 y′   B
phương trình y′ = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = x + x = − > 0 1 2  AC
P = x .x = >  0  1 2 A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm  ∆ > 0 y'   B
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ S = x + x = − < 0 1 2  AC
P = x .x = >  0  1 2 A
x < α < x 1 2
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x , x thỏa mãn: x < x < α 1 2 1 2
α < x < x 1 2
Hai cực trị x , x thỏa mãn x < α < x 1 2 1 2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 ⇔ (x −α x 0 x .x x x 0 1 )( −α 2 ) < ⇔ − α 1 2 ( + 1 2 ) + α 2 <
Hai cực trị x , x thỏa mãn x < x < α 1 2 1 2 (  x −α x 0 x .x x x 0 1 )( −α 2 )  >  − α 1 2 ( + 1 2 ) + α 2 > ⇔  ⇔ 
x + x < α 2 x x 2 1 2  + < α 1 2
Hai cực trị x , x thỏa mãn α < x < x 1 2 1 2 (  x −α x 0 x .x x x 0 1 )( −α 2 )  >  − α 1 2 ( + 1 2 ) + α 2 > ⇔  ⇔ 
x + x > α 2 x x 2 1 2  + > α 1 2
b. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với
một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Cho 2 điểm A(x ; y
, B(x ; y và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 . B B ) A A )
Nếu (ax + by + c)(ax + by + c) < 0 thì hai điểm A , B nằm về hai phía so với đường thẳng ∆. A A B B
Nếu (ax + by + c)(ax + by + c) > 0 thì hai điểm A , B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆. A A B B
Một số trường hợp đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
⇔ hàm số có 2 cực trị cùng dấu
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
⇔ hàm số có 2 cực trị trái dấu
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y .y > 0 . CT
Đặc biệt :
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox
y .y > 0 CT
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và 
y + y > 0 CT
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox
y .y > 0 CT
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và 
y + y < 0 CT
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
⇔ phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y .y < 0 CT
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số
)
• Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục
⇔ đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm)
⇔ phương trình hoành độ giao điểm f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
c. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị  2  y′.y′′ ( ) 2c 2b bc y .y g x =  −  x + d
hoặc g (x) = y hoặc g (x) ′ ′ = y −  3 9a  9a 18a 3y′′ Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
d. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là e + 3 4 16e 2 b − 3ac AB = với e = a 9a
2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y = 4 ax + 2 bx +
c, (a 0)
a. Một số kết quả cần nhớ
• Hàm số có một cực trị ⇔ ab ≥ 0 .
• Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < 0 . a > 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu ⇔  . b ≥ 0 a < 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại ⇔  . b ≤ 0 a > 0
• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại ⇔  . b < 0 a < 0
• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại ⇔  . b > 0
b. Một số công thức tính nhanh   b
Giả sử đồ thị hàm số = 4 + 2 y ax
bx + c có 3 điểm cực trị là: (
A 0;c) , B − − ; −    ,  2a 4a    bC  − ; −  
 tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: ab < 0 .  2a 4a  3 2 α −b
Đặt: BAC = α thì cot = . 2 8a
a > 0, b < 0 Công thức
a < 0,b > 0 y b b y x = − − , x = − , ( A 0;c) , B C 1 2a 2 2a A   b ∆   bx x 1 2 B − − O ; −    , C  − ; −    O x  2a 4a   2a 4a x x 1 2 x 3 A 2 α −b
Đặt BAC = α thì cot = B C 2 8a
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
Công thức thỏa mãn STT Dữ kiện
ab < 0 và c ≠ 0 1
Tam giác ABC vuông cân tại A 3 b = −8a 2 Tam giác ABC đều 3 b = −24a 3
Tam giác ABC có diện tích S = S 3 2 32a (S ) + 5 b = 0 ∆ABC 0 0 5 b 4
Tam giác ABC có diện tích ma ( x S ) 0 S = − 0 3 32a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 2 b r =  3  5
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r = r bABC 0  4 a 1 + 1 −     8a  3 b − 8a 6
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = R R = ∆ABC 8 a b 7
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m 2 am + 2b = 0 0 0 8
Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n 2 2 16a n − 4 b + 8ab = 0 0 0 9
Tam giác ABC có cực trị B,C Ox 2 b = 4ac 10 Tam giác ABC có 3 3 góc nhọn
b(8a + b ) > 0 11
Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b = 6ac 12
Tam giác ABC có trực tâm O 3
b + 8a − 4ac = 0 13
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi 2 b = 2ac 14
Tam giác ABC O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b − 8a − 4abc = 0 15
Tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b − 8a − 8abc = 0 16
Tam giác ABC có cạnh BC 3 2 2 = kAB = kAC
b .k − 8a(k − 4) = 0
Trục hoành chia tam giác ABC thành 17 2 b = 4 2 ac
hai phần có diện tích bằng nhau 18
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b = 8ac  ∆   ∆  19
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là 2 x + 2 2 2 y −  −
+ c y + c −  = 0  b 4a   b 4a
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Định nghĩa.
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D .
 f (x) ≤ M,∀xD
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu:  .
∃x D, f (x ) = M 0 0
Kí hiệu: M = max f (x) . ∈ x D
 f (x) ≥ m,∀xD
• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu:  .
∃x D, f (x ) = m 0 0
Kí hiệu: m = min f ( ) x . ∈ x D
2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Bước 1: Tính f ′(x) và tìm các điểm x , x ,...,x D mà tại đó f ′(x) = 0 hoặc hàm số không có 1 2 n đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Bước 1:
∗ Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn a;b  . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 9 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
∗ Tìm các điểm x ,x ,...,x trên khoảng (a;b) , tại đó f ′(x) = 0 hoặc f ′(x) không xác định. 1 2 n
Bước 2: Tính f (a) , f (x , f x ,..., f x , f b . 1 ) ( 2 ) ( n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
max f (x) = max{ f (x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 ) ( 2 ) ( n ) ( ) ( )} a,b  
min f (x) = min{ f (x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 ) ( 2 ) ( n ) ( ) ( )} a,b  
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm f ′(x) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x ∈(a;b của phương trình f ′(x) = 0 và tất cả các điểm i )
α ∈(a;b làm cho f ′(x) không xác định. i )
Bước 3. Tính A = lim f (x) , B = lim f (x) , f (x , f (α . i ) i ) + xaxb
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = max f (x) , m = min f (x) . ( a;b) (a;b)
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:
• Nếu y = f (x) đồng biến trên a;b 
 thì min f ( x) = f (a) và max f ( x) = f (b) . a;b   a;b  
• Nếu y = f (x) nghịch biến trên a;b 
 thì min f ( x) = f (b) và max f ( x) = f (a) . a;b   a;b  
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
• Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng các phương pháp: MGT, BĐT, ...
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞) , (−∞;b) hoặc
(−∞;+∞)). Đường thẳng y = y là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 0
y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) = y , lim f (x) = y . x→+∞ 0 x→−∞ 0
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0 y = f ( )
x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f x = +∞ , lim f x = −∞ , lim f x = −∞ , lim f x = +∞ − ( ) + ( ) − ( ) + ( ) xx xx xx xx 0 0 0 0 ax + b
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = (c
0; ad bc ≠ 0) luôn có tiệm cận ngang là đường cx + d a d thẳng y =
và tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . c c Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 10 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
a. Hàm số bậc ba y = 3 ax + 2
bx + cx +
d (a 0) Tập xác định: = ℝ D
Tính y′ và cho y′ = 0 . ( y′ = 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm)
Tính các giới hạn lim f (x) , lim f (x) . x→+∞ x→−∞ Lập bảng biến thiên:
Nếu y′ = 0 có hai nghiệm thì dấu của y là: “Trong trái ngoài cùng”.
Nếu y′ = 0 có nghiệm kép thì dấu của y là: “Luôn cùng dấu với a ” (Ngoại trừ tại nghiệm kép)
Nếu y′ = 0 vô nghệm thì dấu của y là: “ Luôn cùng dấu với a ” Kết luận:
Tính chất đơn điệu của hàm số. Cực trị của hàm số.
Tính y′′ và cho y′′ = 0 . Suy ra điểm uốn.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. y′ = 0 a > 0 a < 0 y y Có 2 nghiệm O x O x y y Có nghiệm kép O x O x y y O Vô nghiệm O x x
b. Hàm số trùng phương y = 4 ax + 2 bx +
c (a 0) Tập xác định: = ℝ D
Tính y′ và cho y′ = 0 ( y′ = 0 có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0 )
Tính các giới hạn lim f (x) , lim f (x) . x→+∞ x→−∞ Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 11 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y luôn luôn cùng dấu với a ” Kết luận:
Tính chất đơn điệu của hàm số. Cực trị của hàm số.
Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. y′ = 0 a > 0 a < 0 y y Có 3 nghiệm phân biệt O x O x ab < 0 y y Có 1 nghiệm O x O x
ax + b
c. Hàm số nhất biến y = (c
0, ad bc 0)
cx + dd
Tập xác định: D = ℝ\−   c ad bc Tính y′ =
( y′ hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x D ) ( 2 cx + d) Đường tiệm cận: −d
Tiệm cận đứng là đường thẳng x =
, vì lim y = … và lim y = … c −  + d   d x→ −  x→ −   c   c a a
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = , vì lim y = . c x→±∞ c a
Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ , thì y c
“Nghĩa là hai đầu của bảng biếng thiên là giá trị của tiệm cận ngang” Kết luận:
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có toạ độ giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ.
Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng.
ad bc > 0
ad bc < 0 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 12 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 y y O x O x
2. Đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
a. Dạng 1: (C′) : y = f ( x )
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C′) : y = f ( x ) .
 f (x) khi x ≥ 0
Ta có: y = f ( x ) = 
 f (−x) khi x < 0
y = f ( x ) là hàm chẵn nên đồ thị (C′) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C′) từ (C) :
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C) : y = f (x) .
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. Ví dụ: y y 4 4 O 1 3 x 3 − 1 − O 1 3 x 3 2 3 2
(C) : y = x − 6x + 9x
(C′) : y = x − 6x + 9 x
b. Dạng 2: (C′) : y = f (x)
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C′) : y = f (x) .
 f (x) khi f (x) ≥ 0
Ta có: y = f (x) =  −
f ( x) khi f (x) < 0
Cách vẽ (C′) từ (C) :
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C) : y = f (x) .
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ: y y 2 2 2 − O 1 x 3 − 2 − 1 − O x 1 2 − 3 2 3 2
(C) : y = x + 3x − 2
(C′) : y = x + 3x − 2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 13 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Chú ý với dạng: y = f ( x ) ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = f (x) .
c. Dạng 3: (C′) : y = u(x) .v(x)
Từ đồ thị (C) : y = u(x).v(x) suy ra đồ thị (C′) : y = u(x) .v(x) .
u(x).v(x) = f (x) khi u(x) ≥ 0
Ta có: y = u(x) .v(x) =  −
u(x).v( x) = f ( x) khi u(x) < 0
Cách vẽ (C′) từ (C) :
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) : y = f (x) .
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ
a) Từ (C) y = f (x) = 3 x − 2 : 2
3x + 1 suy ra (C′) y = x − ( 2 :
1 2x x − 1) y y 1 1 O 1 x O 1 x −1
(C) y = f (x) = 3 x − 2 : 2 3x + 1
(C′) y = x − ( 2 :
1 2x x − 1) x 2 x 2 b) Từ (C) : y f (x) − = = suy ra (C ) − ′ : y = x − 1 x − 1 y y 1 2 O x 1 2 1 O x 1 2 2 − x 2 x 2
(C) : y f (x) − = = (C ) − ′ : y = x − 1 x − 1
3. Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) , hãy suy ra đồ thị (C′) của hàm số: STT ĐỒ THỊ CÁCH VẼ 1
y = f (−x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Oy 2
y = − f (x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Ox
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C) : y = f (x) . 3
y = f ( x )
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. 4
y = f (x)
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C) . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 14 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C) , lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox. 5
y = f ( x )
Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = f (x)
y = u(x) .v(x)
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) . 6 với
Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C) , lấy đối xứng phần đồ
(C) : y = u(x).v(x)
thị bị bỏ qua Ox. 7
y = f (x) + p , p > 0 Tịnh tiến đồi thị (C) lên trên p đơn vị 8
y = f (x) − p , p > 0
Tịnh tiến đồi thị (C) xuống dưới p đơn vị 9
y = f (x + q) , q > 0
Tịnh tiến đồi thị (C) sang trái q đơn vị 10
y = f (x q) , q > 0
Tịnh tiến đồi thị (C) sang phải q đơn vị 11
y = f (k.x) , k > 1
Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k 1 12
y = f (k.x) , 0 < k < 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k 13
y = k. f (x) , k > 1
Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k 1 14
y = k. f (x) , 0 < k < 1 Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k
• Vẽ đồ thị y = f (x) 15
y = f (x) + m
• Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn vị.
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 16
y = f (x + m)
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị hàm y = f (x) .
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 17
y = f ( x + m)
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị hàm y = f ( x ) .
• Vẽ đồ thị y = f (x) 18
y = f ( x + m )
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. VII. TIẾP TUYẾN
1. Tiếp tuyến
Cho hàm số y = f (x) , có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (x ; y )∈ C có dạng: 0 0 0 ( )
y = f ′(x )(x x ) + y 0 0 0 Trong đó:
Điểm M (x ; y )∈ C được gọi là tiếp điểm. ( với y = f x ) k = f ′(x hệ số góc của tiếp tuyến. 0 ) 0 ( 0 ) 0 0 0 ( )
Viết phương trình tiếp tuyến:
a. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x ) tại điểm M (x ;y 0 0 )
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a
Gọi M (x ; y là tiếp điểm. 0 0 ) Ta có: x = a 0 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 15 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Thế x = a Vào phương trình y = f (x) tìm được y 0
Tính f ′(x) , từ đó tính f ′(x 0 )
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y y = f ′(x )(x x 0 0 0 )
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng số a
Gọi M (x ; y là tiếp điểm 0 0 ) Ta có: y = b 0
Thế y = b vào phương trình y = f (x) tìm được x 0
Tính f ′(x) , từ đó tính được f ′(x 0 )
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y y = f ′(x )(x x 0 0 0 )
b. Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x ) có phương cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k
Gọi M (x ; y là tiếp điểm. 0 0 )
Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f ′(x ) = k . Giải phương trình này tìm được x . 0 0
Thế x = x vào phương trình y = f (x) tìm được y . 0 0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y y = f ′(x )(x x . 0 0 0 )
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b
Gọi M (x ; y là tiếp điểm. 0 0 )
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b f ′(x ) = a . Giải phương trình này tìm 0 được x . 0
Thế x = x vào phương trình y = f (x) tìm được y . 0 0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y y = f ′(x )(x x . 0 0 0 )
Chú ý: nhớ kiểm tra tính cong song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b
Gọi M (x ; y là tiếp điểm. 0 0 ) 1
Tiếp tuyến vương với đường thẳng d : y = ax + b f ′(x ) = − . Giải phương trình này tìm 0 a được x . 0
Thế x = x vào phương trình y = f (x) tìm được y . 0 0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y y = f ′(x )(x x . 0 0 0 )
c. Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x ) đi qua điểm M (x ;y 0 0 )
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M .
Suy ra: d : y y = k (x x ) ⇔ y = kx kx + y . (*) 0 0 0 0
 f (x) = kx kx + y 1 0 0 ( )
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình  có nghiệm  f ′  (x) = k (2)
Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 16 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.
Thế k vào (*) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M .
Chú ý: Khi thế (2) vào (1) giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí hiệu là (I ) . Thông thường
phương trình (I ) có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Từ đó ta
giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua M có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”.
2. Điều kiện tiếp xúc
Cho hai hàm số (C) : y = f (x) và (C′) : y = g(x) . Đồ thị (C) và (C′) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương
 f (x) = g(x) trình:  có nghiệm.  f
 ( x) = g′(x)
VIII. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C y = g(x) có đồ thị (C . 2 ) 1 )
Phương trình hoành độ giao điểm của (C và (C f (x) = g(x) (1) . Khi đó: 2 ) 1 )
Số giao điểm của (C và (C bằng với số nghiệm của phương trình (1) . 2 ) 1 )
Nghiệm x của phương trình (1) chính là hoành độ x của giao điểm. 0 0
Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ x vào y = f (x) hoặc y = g(x) . 0 0
Điểm M (x ; y là giao điểm của (C và (C . 2 ) 1 ) 0 0 )
Một số bài toán thường gặp: ax + b
Bài toán 1: Tìm tham số để đồ thị (C) : y =
cắt đường thẳng (d) tại hai điểm cx + d
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d : g (x) = 2
ax + bx + c = 0 . (*) (x x . (với x làn ghiệm của mẫu số) 0 ) 0
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác x . 0 a ≠ 0  ⇔ ∆ > 0 ⇔ Tìm được tham số. g(x ) ≠  0 0
Bài toán 2: Tìm tham số để đồ thị (C) 3 2
: y = ax + bx + cx + d cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) . (*)
Nhẩm nghiệm của phương trình (*) và giả sử được 1 nghiệm x = x . Dùng sơ đồ Hoocner 0
để biến đổi phương trình (*) về dạng: x = x
(x x ax Bx C 0 0 ) ( 2 + + ) = ⇔  0  2
g ( x) = ax + Bx + C = 0 (1)
(d) cắt (C) tại 3 điểm ⇔ Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác x 0 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 17 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 a ≠  0  ⇔ ∆ > 0 Tìm được tham số. g  g(x 0 0 ) ≠
Chú ý: Công thức trắc nghiệm 3 2
Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng −b
khi có 1 nghiệm là x = . 3a 3 2
Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân d
khi có 1 nghiệm là x = − 3 . a
Bài toán 3: Tìm tham số để đồ thị (C) 4 2
: y = ax + bx + c cắt đường thẳng (d) tại 4 điểm 4 2
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d : y = ax + bx + c = 0 . (* ) 2 Đặt = 2
t x , t ≥ 0 . Phương trình (*) trở thành at + bt + c = 0 . (1)
d cắt (C) tại 4 điểm
⇔ Phương trình (*) có 4 nghiệm
⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm dương ∆ > 0  b c
⇔ S > 0 (Với S = − và P =
) ⇔ Tìm được tham số.  a a P >  0
Chú ý: Công thức trắc nghiệm 4 2
Đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi
⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t , t (t < t ) thỏa mãn t = 9t . 1 2 1 2 2 1  2 b − 4ac > 0   b − >  0 ⇔  a c >  0 a   2 9ab = 2 100a c
Bài toán 4: Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f (x) cắt đường thẳng (d) tại n điểm thỏa tính chất nào đó
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : g(x) = 0 (*)
(d) cắt (C) tại n điểm ⇔ Phương trình (*) có n nghiệm.
Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình (*) và thông
thường sử dụng định lí Viète để giải quyết điều kiện của bài toán.
IX. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong (C có phương trình y = f (x,m) , trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham m )
số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?
Phương pháp giải: Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 18 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Bước 1: Đưa phương trình y = f (x, )
m về dạng phương trình theo ẩn m có dạng
sau: Am + B = 0 hoặc 2
Am + Bm + C = 0 .
Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A = 0 A = 0   hoặc  B = 0 .  B = 0 C =  0
Bước 3: Kết luận:
Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C không có điểm cố định. m )
Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C . m )
2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên P(x)
Cho đường cong (C) có phương trình (C y
(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ m ) : = Q(x)
nguyên của đường cong? Phương pháp: P (x) k
Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y = = H (x) +
, trong đó H (x) là đa thức và Q(x) Q (x) ∈ ℝ k . k k
Bước 2: y ∈ℤ ⇔ H (x) + ∈ ℤ ⇔ ∈ ℤ ⇔ ⋮
k Q(x) ⇔ Q(x)∈U (k) Q(x) Q(x)
Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k ) để tìm giá trị của x y tương ứng.
Lưu ý: Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.
3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x) . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.
a. Bài toán 1: Cho đồ thị (C) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau
qua điểm I (x ; y . I I )
Phương pháp giải: • 3 2 3 2
Gọi M (a; Aa + Ba + Ca + D) , N ( ;
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm I . a + b =  2xI • Ta có  . 3 ( A a + 3 b ) + B( 2 a + 2
b ) + C(a + b) + 2D =  2yI
• Giải hệ phương trình tìm được a , b từ đó tìm được toạ độ M , N .
b. Bài toán 2: Cho đồ thị (C) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D . Trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải: Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 19 1 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 • 3 2 3 2
Gọi M (a; Aa + Ba + Ca + D) , N ( ;
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ. a + b =  0 • Ta có  . 3 ( A a + 3 b ) + B( 2 a + 2
b ) + C (a + b) + 2D =  0
• Giải hệ phương trình tìm được a , b từ đó tìm được toạ độ M , N .
c. Bài toán 3: Cho đồ thị (C) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau
qua đường thẳng d : y = A x + B . 1 1
Phương pháp giải: • 3 2 3 2
Gọi M (a; Aa + Ba + Ca + D) , N ( ;
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau
qua đường thẳng d . I d (1) • Ta có: 
(với I là trung điểm của MN ud là vectơ chỉ phương của đường MN. d u = 0 (2) thẳng d ).
• Giải hệ phương trình tìm được M , N .
4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách a. Lý thuyết: 2 2
• Cho hai điểm A(x ; y , B(x ; y , suy ra AB = (x x + y y 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 ) 1 1 )
• Cho điểm M (x ; y và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 , thì khoảng cách từ M đến d là 0 0 )
Ax + By + C h(M;d) = 0 0 . 2 A + 2 B ax + b
• Cho hàm phân thức: y =
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCNA B thì M là trung điểm cx + d 2
của AB . Thì diện tích tam giác MAB không đổi: S = ad bc . MAB 2 c
b. Các bài toán thường gặp ax + b
Bài toán 1: Cho hàm số y =
(c ≠ 0, ad bc ≠ 0) có đồ thị (C) . Hãy tìm trên (C) hai điểm A và cx + d
B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
Phương pháp giải: d
• (C) có tiệm cận đứng x = − do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của c
tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α , β là hai số dương. d d d
• Nếu A thuộc nhánh trái: x < − ⇒ x = − − α < − ; y = f (x ) . A A c c c A A d d d
• Nếu B thuộc nhánh phải: x > − ⇒ x = − + β > − ; y = f (x ) . B B c c c B B 2 2 2 2 • 2 Sau đó tính: AB (x x y y a a y y . B A ) ( B A ) ( β ) ( α ) = − + − = + − − + ( −   B A )
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 20 2 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
• Gọi M (x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = x + y .
• Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
• Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc
tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
• Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi
tìm được giá trị nhỏ nhất của d .
Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f (x) . Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ
M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy .
Phương pháp giải:  y = kx
f (x) = kx
Theo đầu bài ta có y = k x ⇔  ⇔  . y = −kx
 f (x) = −kx ax + b
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) =
(c ≠ 0, ad bc ≠ 0) . Tìm tọa độ cx + d
điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải: d a
• Tiệm cận đứng x =
; tiệm cận ngang y = . c c  −d a
• Ta tìm được tọa độ giao điểm I  ;  của hai tiệm cận.  c c   d 2  a 2 • 2
Gọi M ( x ; y
là điểm cần tìm, thì: IM =  x +  +  y −  = g x M M ( M ) M M )  c   c
• Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 . Tìm
điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.
Phương pháp giải:
• Gọi I thuộc (C) , suy ra I (x ; y y = f x . 0 ( 0 ) 0 0 )
Ax + By + C
• Khoảng cách từ I đến d g (x ) = h(I; d) 0 0 = 0 2 2 A + B
• Khảo sát hàm số y = g (x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 21 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT
I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Khái niệm lũy thừa
a. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a . n a = . a . a .....a ( n thừa số). nn 1 Với a ≠ 0. thì 0 a = 1 a = , n . a
Ta gọi a là cơ số, n là mũ số. Và chú ý 0
0 và 0−n không có nghĩa.
b. Một số tính chất của lũy thừa
Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: aα β
aα ⋅ aβ = aα+β = aα−β ( α ) α. a a β = aβ α α −α α α  a ab   a  (ab) aα bα = ⋅   =   =    b bα  a   b
Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β ;
Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β .
Với mọi 0 < a < b , ta có: m m
a < b m > 0 m m
a > b m < 0 Chú ý:
• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
2. Phương trình n
x = b
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình n
x = b như sau:
• Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b , phương trình có nghiệm duy nhất.
• Trường hợp n chẵn:
Với b < 0 , phương trình vô nghiệm.
Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.
Với b > 0 , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là nb .
3. Một số tính chất của căn bậc n
Với a,b ∈ ℝ , * n∈ ℕ ta có: 2n 2n a = a , a ∀ 2n+1 2n+1 a = a, a ∀ 2n 2n 2 n ab = a ⋅ b  ,  ∀ab ≥ 0 2 n a a  2 n+1 a a 2n+1 2n+1 2n+1 ab = a b, a ∀ ,b 2n = , a
b ≥ 0,b ≠ 0 2n+1 = , a ∀ ,∀b ≠ 0 2 n b 2 n+1 b  b b m n m = ( n a
a ) ,∀a > 0 , n nguyên dương, m nguyên n m nm a = a , a
∀ ≥ 0 , n , m nguyên dương p q Nếu = thì n p m q a = a , a
∀ > 0 , m , n nguyên dương p , q nguyên . n m Đặc biệt: n mn m a = a Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 22 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. Hàm số lũy thừa a. Khái niệm Xét hàm số y xα =
, với α là số thực cho trước. Hàm số y xα =
, với α ∈ ℝ , được gọi là hàm số lũy thừa. Chú ý.
Tập xác định của hàm số lũy thừa y xα =
tùy thuộc vào giá trị của α . Cụ thể.
• Với α nguyên dương, tập xác định là . ℝ
• Với α nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là ℝ { \ } 0 .
• Với α không nguyên, tập xác định (0;+∞).
b. Khảo sát hàm số lũy thừa y xα =
Tập xác định của hàm số lũy thừa y xα =
luôn chứa khoảng (0; +∞) với mọi α ∈ ℝ. Trong trường hợp
tổng quát, ta khảo sát hàm số y xα = trên khoảng này.
y = xα ,α > 0.
y = xα ,α < 0.
1. Tập xác định: (0; +∞).
1. Tập xác định: (0; +∞). 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên α α − 1 1 α − = < ∀ > y' = α.x > 0 x ∀ > 0. y' .x 0 x 0. Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim xα = +∞ , lim xα = 0.
lim xα = 0 , lim xα = +∞. x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞ Tiệm cận: Tiệm cận: không có. Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên. Oy là tiệm cận đứng. x 0 +∞ 3. Bảng biến thiên. y’ + x 0 +∞ y +∞ y’ − 0 y +∞ 0 Đồ thị của hàm số.
Đồ thị của hàm số lũy thừa y xα =
luôn đi qua điểm I (1;1).
1.5. Khảo sát hàm số mũ x y = a ,
(a > 0,a ≠ 1) . x
y = a ,(a > 1) x
y = a ,(a < 1) 1. Tập xác định: . ℝ 1. Tập xác định: . ℝ 2. Sự biến thiên. 2. Sự biến thiên. ' x
y = a ln a > 0,∀ . x ' x
y = a ln a < 0,∀x Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 23 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x a = 0, lim a = + . ∞ lim x a = +∞, lim x a = 0. x→−∞ x→+∞ x→−∞ x→+∞ Tiệm cận: Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên. 3. Bảng biến thiên. x −∞ 0 1 +∞ x −∞ 0 1 +∞
y' + + + y' − − −
a +∞ +∞ y 1 y 1 0 a 0 Đồ thị như hình sau. Đồ thị như hình sau. II. LOGARIT
2.1. Khái niệm Logarit
Cho hai số dương a,b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b
được kí hiệu là log b . a α
α = log b a = . b a
Không có logarit của số âm và số 0.
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp • 0
a = 1,(a ≠ 0).
• log 1 = 0,(0 < a ≠ 1 a ) • ( )1 a = a
• log a = 1,(0 < a ≠ 1 a )
• log aα = α ,(0 < a ≠ 1 a ) • ( )−α 1 a = aα 1 ( α • log = < ≠ α a ,(0 a 1) a) a α • − = β ( α β a) (
• log bα = α.log b,(a,b > 0,a ≠ 1 a a ) a) • ( α β α +β
a) .(b) = (a) • 1 log = β b .log b a a β • ( α α α a) .(b) = ( . a b) • log α α = β b .log b ( α α a a β a)   • a =   , ≠ α (b 0) ( )
• log b + log c = log bc a a a ( )  b b    α • b − = • ( α
log b log c log   a) β β = (a) ( * , β ∈ ℕ ) a a a c  β • ( αβ aα ) = (a) • 1 log b = . a log a b • ( α
a) = b ⇒ α = log b a Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 24 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng x
a > b (hoặc x ≥ , x < , x a b a
b a b ) với a > 0,a ≠ 1.
Ta xét bất phương trình có dạng x a > . b
• Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là ℝ , vì x
a > b, x ∀ ∈ . ℝ .
• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với x log b a a > a .
Với a > 1 , nghiệm của bất phương trình là x > log . b a
Với 0 < a < 1 , nghiệm của bất phương trình là x < log . b a
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
Với a > 1 , ta có đồ thị sau :
Với 0 < a < 1 , ta có đồ thị sau :
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x > b (hoặc log x b,log x < b,log x b ) với a > 0,a ≠ 1. a a a a
Xét bất phương trình log x > . b a
• Trường hợp a > 1, ta có: log b
x > b x > a . a
• Trường hợp 0 < a < 1, ta có: log x > b ⇔ 0 b < x < a . a
Ta minh họa bằng đồ thị như sau.
Với a > 1 , ta có đồ thị sau :
Với 0 < a < 1 , ta có đồ thị sau :
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
• Trường hợp a > 1: log x > b khi và chỉ khi b x > a . a
• Trường hợp 0 < a < 1: log x > b khi và chỉ khi 0 b < x < a . a Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 25 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
IV. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 4.1. Lãi đơn 4.1.1. Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức
là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn
người gửi không đến rút tiền ra.
4.1.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả
vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈ ℕ * ) là:
S = A + nAr = A (1 + nr n ) Chú ý: r
trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% . 100 4.2. Lãi kép 4.2.1. Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
4.2.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả
vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈ ℕ * ) là:  S n S S n = log n n n (   S = A + r r% n = − 1 A = n (1 ) 1+r)  A A ( n 1 + r)
4.3. Tiền gửi hàng tháng 4.3.1. Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
4.3.2. Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% /tháng thì số tiền khách
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n∈ ℕ * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S . n A    S .r S .r S r r n = log n  + 1 n A = n ( n 1 )  = + − 1 (1+   )  r
(1+r)  A(1 r)  + n   (  
1 + r) (1 + r) − 1  
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút
ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu? A( r 1 )n  = + − r XS n  
 (1 + r)n − 1
4.5. Vay vốn trả góp 4.5.1. Định nghĩa Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 26 2 TÀI I LIỆU U HỌC TẬP TOÁ TO N 12 1
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Sau đúng một tháng kể từ
ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng
và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
4.5.2. Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có n + − n 1 r 1 S = A + r X n (1 ) ( ) r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S = 0 nên n n + − A ( n 1 + r) n 1 r 1 .r A(1 + r) ( ) − X = 0 X = r ( n 1 + r) − 1
4.6. Bài toán tăng lương 4.6.1. Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ
sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r% /tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả
số tiền là bao nhiêu? 4.6.2. Công thức tính ( k 1 + r ) − 1
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là S = Ak kn r
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số − X X r m n + = + ∈ℤ m n m n ( m n 1 ) ,( , , ) Trong đó:
r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m
X dân số năm m ; X dân số năm n m n X
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r% m = mn − 1 Xn
4.8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm ( * n
n∈ ℕ ) là: S = A + r . Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là n (1 ) m.n rr
% thì số tiền thu được sau n năm là: S = A 1 +  m nm
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞ , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người
ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: n.r S = Ae
( công thức tăng trưởng mũ) Gv. v .Tr T ần n Quốc N gh g ĩa ĩ (S ( ưu ư t ầm m & biê i n n tập) p – ĐT: T :09 0 8 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 27 2 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f (x ) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x )
được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên K nếu F '(x ) = f (x ) với mọi x K .
Kí hiệu: ∫ f (x )dx = F (x ) + C . Định lí:
1) Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G (x ) = F (x ) + C cũng là một nguyên hàm của f (x ) trên K .
2) Nếu F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x )
trên K đều có dạng F (x ) + C , với C là một hằng số.
Do đó F (x ) + C,C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f (x ) trên K .
1.2. Tính chất của nguyên hàm
• (∫ f (x )dx ) = f (x ) và ∫ f ' (x )dx = f (x ) +C ; d (∫ f (x )dx) = f (x ) dx
• Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d (F x ( )) = F x ( ) + C
• ∫ kf (x )dx = k f (x )dx với k là hằng số khác 0 . •  
f (x ) ± g (x ) dx = ∫ f (x )dx ±  
g (x )dx
Công thức đổi biến số: Cho y = f (u ) và u = g (x ). Nếu ∫ f x ( d ) x = F x
( ) + C thì ∫ f (g x ( ))g ' x ( d ) x = ∫ f u ( d ) u = F u ( ) + C
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f (x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1. ∫ d
0 x = C 2. ∫dx = x + C 1 α 1 3. α α + ∫x dx =
x 1 + C (α ≠ − ) 1 α 1 (ax b) + + α + 1
16. (ax + b) dx = + c ,α ≠ − ∫ 1 a α + 1 1 1 2 4. ∫ dx = − + C 17. ∫ x xdx = + C x 2 x 2 1 dx 1
5. ∫ dx = ln x + C 18. ∫ =
ln ax + b + c x ax + b a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 28 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 6. ∫ x = x e dx e + C 1 19. + ax + ∫ ax b = b e dx e + C a x kx +b 1 7. ∫ x a a dx = + C 20. kx + ∫ b a a dx = + C lna k lna
8. ∫ cos xdx = sin x + C 1
21. ∫ cos(ax + b)dx = sin (ax + b) + C a
9. ∫ sin xdx = − co s x + C 1
22. ∫ sin (ax + b)dx = − cos (ax + b) +C a 10. ∫ tan x d
. x = − ln | cos x | +C 1 23. tan ( ∫
ax + b) dx = − ln cos (ax + b ) + C a 11. ∫ cotx d
. x = ln | sin x | +C 1 24. cot ( ∫ ax + b) dx =
ln sin (ax + b) + C a 1 1 1 12. ∫
dx = tan x + C 25. ∫ dx = tan 2
(ax + b) +C 2 cos x cos (ax + b) a 1 1 1 13. ∫
dx = − cot x + C 26. ∫ dx = − cot 2
(ax + b) +C 2 sin x sin (ax + b) a 14. ∫ ( + 2 1
tan x )dx = tan x + C 1 27. ∫ (1 + 2
tan (ax + b))dx = tan (ax + b) +C a 15. ∫ ( + 2 1
cot x )dx = −co tx +C 1 28. ∫ (1 + 2
cot (ax + b))dx = − co t(ax + b) + C a
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng (dùng cho trắc nghiệm) ∫ dx 1 x = arctg + C x x = x + a2 − x 2 arcsin dx arcsin + C a2 + x 2 a a a a dx 1 + ∫ a x = ln + C x x = xa2 − x 2 arccos dx arccos + C a2 − x 2 a 2 a x a a ∫ dx
= ln (x + x 2 + a2 ) + C x x a = x − (a2 + x2 arctan dx arctan ln ) +C x2 + a2 a a 2 ∫ dx x = arcsin + C x x a = x + (a2 + x2 arc cot dx arc cot ln ) +C a2 − x 2 a a a 2 ∫ dx 1 x = arccos + C 2 − 2 a a x x a dx 1 + 2 + 2 ∫ a x a dx 1 + = − ln + C ax b = ln tan + C 2 + 2 a x x x a sin (ax + b) a 2   ln ( ∫ b
ax + b ) dx = x +
 ln (ax + b ) − x + C ax ( ax e
a cosbx + b sinbx )  a  ∫e cosbx dx = + C a2 + b2 2 2 2 − 2 2 ∫ x a x a x a x dx = + arcsin + C ax ( ax e
a sinbx b cosbx ) 2 2 ae sinbx dx = + C a2 + b2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 29 2 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1. Phương pháp đổi biến
2.1.1. Đổi biến dạng 1 Nếu : ∫ f x ( d ) x = F x
( ) + C và với u = ϕ (t ) là hàm số có đạo hàm thì : ∫ f u ( d ) u = F ϕ ( t ( )) + C
2.1.1.1. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn x = ϕ (t ) , trong đó ϕ (t ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ ' (t )dt •  
Bước 3: Biến đổi : f x ( d
) x = f ϕ (t ) ϕ ' (t )dt =  
g (t )dt
Bước 4: Khi đó tính : ∫ f x ( d
) x = ∫ g t( d ) t = G t ( ) + C .
2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn  π π 
Đặt x = a sint ; với t ∈ − ;  . hoặc x = a cost ; 2 2 a 2 − x 2   với  t 0;π  ∈   . a  π π  a Đặt x =
.; với t ∈ − ;  \ { } 0 hoặc x = sint  2 2  cost x 2 − a 2 π  với  t 0;π  ∈ \     .  2   π π 
Đặt x = a tant ; với t ∈  − ; . hoặc x = a cott  2 2  a2 + x 2 với t ∈ (0;π ). a + x a x . hoặc
. Đặt x = acos t 2 a x a + x
(x a)(b x )
Đặt x = a + b ( a s ) in t 2 – 1  π π 
Đặt x = atant ; với t ∈  − ; . a2 + x 2  2 2 
2.1.2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = ϕ (t ) . Trong đó ϕ (t ) cùng với đạo hàm của nó (ϕ ' (t ) là
những hàm số liên tục) thì ta được : ∫ f x ( d ) xf ϕ  (t) =
ϕ ' (t )dt = ∫ g t( d ) t = G t ( ) +   C . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 30 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2.1.2.1. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn t=ϕ (x ). Trong đó ϕ (x ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt = ϕ ' (t )dt . •  
Bước 3: Biểu thị : f x ( d
) x = f ϕ (t ) ϕ '(t )dt =   g t ( d ) t .
Bước 4: Khi đó : I = ∫ f x ( d
) x = ∫ g t( d ) t = G t ( ) + C
2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số
Hàm số : f (x; ϕ (x )) t = ϕ (x ) a. s inx+b.cosx   x x Hàm f (x ) = t = tan ;cos ≠ 0
c. s inx+d.cosx+e 2  2  1
Với : x + a > 0 và x + b > 0 . Hàm f (x ) =
(x + a)(x + b)
Đặt : t = x + a + x + b
Với x + a < 0 và x + b < 0 .
Đặt : t = −x a + −x b
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: ∫u x ( ) v . ' x ( d ) x = u x ( ) v . x ( ) − ∫ v x ( ) u . ' x ( d ) x
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’ (x )dx, d
v = v’ (x )dx )
2.2.1. Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I = ∫ f x ( d ) x = ∫ f x ( ).f x ( d ) x 1 2   u = f x ( )
du = f ' x ( d ) x • 1 1
Bước 2: Đặt :  →  dv =  f x ( ) v =  ( ) 2  ∫ f x dx 2
Bước 3: Khi đó : ∫ u d . v = u v . − ∫ v d . u
2.2.2. Các dạng thường gặp 2.2.2.1. Dạng 1 u = P x ( ) u ' d
. u = P ' x ( d ) x     sin x      sin x    − cos x I = ∫ P x
( ) cos x d . x . Đặt     ⇒      dv =  cos x d . x v =  sin x x  e    x    x  e e         cosx −   − cos x     Vậy: I = P x
( ) sin x - ∫ sinx P . ' x ( d ) x x   xe   e  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 31 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 2.2.2.2. Dạng 2 u = ln x   1 du = dx I = ∫ P x
( ). ln xdx . Đặt  ⇒  x   dv = v = P x ( d ) x = Q x ( )  P x ( d ) x  ∫ 1 Vậy I = lnx Q . (x ) = ∫Q x ( ). dx x 2.2.2.3. Dạng 3  = x u e  = x du e dx   sin x    I = ∫ x e  dx   ⇒   . Đặt  sin x   − cos x  cos x    dv =    d . x v =     cos x  sin x          − cosx  −  cos x  Vậy I = x I = e   - ∫   x e dx sin x     sin x    −  cos x
Bằng phương pháp tương tự ta tính được ∫   x
e dx sau đó thay vào I sin x    3. TÍCH PHÂN
3.1. Công thức tính tích phân b bf x ( d ) x = F x ( ) = F b ( ) − F a ( ) . a a b b
* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫ f x ( d ) x hay ∫ f t ( d ) t. Tích phân a a
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
3.2. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a b a 1. ∫ f x ( d ) x = 0 2. ∫ f x ( d ) x = −∫ f x ( d ) x . a a b b c b b b b 3. ∫ f x ( d ) x = ∫ f x ( d ) x + ∫ f x ( d ) x 4.  ∫ f x ( ) ±  g x ( ) dx = ∫ f x ( d ) x ±   ∫g x ( d ) x . a a c a a a b b 5. ∫ kf x ( d ) x = k ∫ . f x ( d ) x . a a b 6. Nếu f(x) 0, x a  ;b ≥ ∀ ∈   thì : ∫ f x ( d ) x ≥ ∀ 0 x ∈   a;ba b b 7. Nếu ∀x ∈   a;b : f x ( ) ≥ g x ( ) ⇒ f x ( d ) x ≥   ∫ ∫g x ( d ) x . a a b 8. Nếu  
x ∈ a;b Nếu M f x
( ) ≤ N thì M (b a ) ≤ ∫ f x ( d
) x N (b a ). a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 32 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp đổi biến
4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 4.1.1.1. Định lí
Nếu 1) Hàm x = u t
( ) có đạo hàm liên tục trên α  ; β    2) Hàm hợp f u ( t
( )) được xác định trên α  ; β    , 3) u α
( ) = a, u(β ) = b b β
Khi đó: I = ∫ f x ( d ) x = f u ( t ( ) u ) ′ ∫ t ( d ) t . a α
4.1.1.2. Phương pháp chung
Bước 1: Đặt x = u (t )
Bước 2: Tính vi phân hai vế : x = u t
( ) ⇒ dx = u ' t ( d ) t x = b t = β Đổi cận: ⇒ x = a t = α
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t b β β β
Vậy: I = ∫ f x ( d ) x =  
f u t() u ' t( d ) t =  
g t( d)t = G t() = G(β) −G α ( ) α a α α
4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2 4.1.2.1. Định lí
Nếu hàm số u = u x
( ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  
a;b  sao cho b u b ( ) f x ( d
) x = g (u x ( ))u ' x ( d ) x = g u ( d
) u thì: I = ∫ f x ( d ) x = ∫ g u ( d ) u . a u a ( )
4.1.2.2. Phương pháp chung • '
Bước 1: Đặt u = u x ( ) ⇒ du = u x ( d ) x x = b u = u b ( )
Bước 2: Đổi cận : ⇒ x = a u = u a ( )
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b b u b ( )
Vậy: I = ∫ f x ( d ) x =   ∫g u x ( ) u . ' x ( d ) x =   ∫ g u ( d ) u a a u a ( )
4.2. Phương pháp tích phân từng phần 4.2.1. Định lí
Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  
a;b  thì: b b b b b b
u x v' x dx = (u x v x ) − ∫ v x u' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ( d
) x Hay ∫ udv = uv −∫ vdu a a a a a a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 33 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4.2.2. Phương pháp chung • '
Bước 1: Viết f (x)dx dưới dạng udv = uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của
f (x) làm u(x) và phần còn lại dv = v ' x ( d ) x
Bước 2: Tính du = u 'dx v = ∫dv = ∫ v ' x ( d ) x b b
Bước 3: Tính ∫ vu ' x ( d ) x uv a a
* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
Đặt u theo thứ tự ưu tiên: b b b b
Lốc-đa-mũ-lượng x P x ( e ) dx P x
( )ln xdx P x
( )cos xdx x e cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f (x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v d ' x là phần
của f (x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ β β β dx 1 adx 1 5.1.1. Dạng 1 I = ∫ = ∫ = ln ax + b . (với a≠0) ax + b a ax + b a α α α β β dx 1 1 Chú ý: Nếu −kk +1 β I = ∫ = a ( x b) a . dx . a ( x b) k ∫ + = + α a ( x + b) a a(1 − k) α α β 5.1.2. Dạng 2 = ∫ dx I
0 (ax 2 + bx + c ≠ 0 với mọi x α  ; β  ∈ ) 2 (a ≠ )
ax + bx + c   α
Xét ∆ = b2 − a 4 c . −b + ∆ −b − ∆
• Nếu ∆ > 0 thì x = ;x = 1 a 2 2 a 2   1 1 1 1 1 = =  −  thì : 2  
ax + bx + c a x ( − x ) x ( − x ) a x (
x ) x x x − 1 2 1 2  x 1 2  β   1 1 1 1 1 − β 1 β   = ∫ x x I  − dx =
ln x x − ln x x =    ln 1 2  a x ( − x ) x x x x a x ( − x ) α a x ( − x ) x − 1 2  1 2  x α α 1 2 1 2 2  1 1 −  b • Nếu ∆ = 0 thì = x = 
ax2 + bx + c a x ( − x 2 )  0 a 2  0 β β dx 1 dx 1 thì I = β ∫ = 2 ∫ = − 2 α
ax + bx + c a x ( − x ) a x ( − x ) α α 0 0 β β dx dx
• Nếu ∆ < 0 thì I = ∫ = 2 ∫ ax + bx +  2 2  c α α      b −∆  a x + +       2    a 2    a 4    b −∆ 1 −∆ Đặt x + = tan t dx = 1 tan 2 2 ( + 2 t )dt a 2 a 4 2 a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 34 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 β + 5.1.3. Dạng 3 = ∫ mx n I dx , 0 . 2 (a ≠ )
ax + bx + c α mx + n (trong đó f x ( ) = liên tục trên đoạn α  ; β    )
ax 2 + bx + c
• Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A B sao cho: mx + n A a
( x 2 + bx + c ′ ) B A( a 2 x + b) B = + = +
ax2 + bx + c
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c β β β mx + n A( a 2 x + b) B • Ta có I= ∫ dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ dx
ax + bx + c
ax + bx + c
ax 2 + bx + c α α α β (2 + ) β
Tích phân ∫ A ax b dx = A ax2 ln + bx + c
ax 2 + bx + c α α β Tích phân ∫ dx thuộc dạng 2.
ax 2 + bx + c α b 5.1.4. Dạng 4 P x ( ) I = ∫
dx với P (x) và Q(x) là đa thức của x . Q x ( ) a
• Nếu bậc của P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
• Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: P x ( ) A A A • 1 2 n
Khi Q (x) chỉ có nghiệm đơn α ,α ,..., α thì đặt = + + ... + . 1 2 n Q x ( ) x − α x − α x − α 1 2 n
• Khi Q(x)có nghiệm đơn và vô nghiệm P x ( ) A Bx + C
Q x = (x − α ) (x2 + px + q ) ∆ = p2 ( ) , − q 4 < 0 thì đặt = + . Q x ( ) x − α
x2 + px + q
• Khi Q(x)có nghiệm bội P x ( ) A B C
Q x = x − α x − β 2 ( ) ( )( ) với α ≠ β thì đặt = + + . Q x ( ) x − α x − β ( 2 x − β )
Q x = x − α 2 x − β 3 ( ) ( ) ( ) với α ≠ β thì đặt P x ( ) A B C D E = + + + + x ( − α 2 ) x ( − β 3 ) x ( − α 2 ) x ( − α) x ( − β 3 ) x ( − β 2 ) x − β b
5.2. Tích phân hàm vô tỉ R x ( , f x ( ) d
) x , trong đó R( ,
x f (x)) có dạng: aa x  −  π  • R x,  
Đặt x = acos t 2 , t ∈ 0;  a x  +    2  • 2 2
R (x, a x ) Đặt x = a sint hoặc x = a cost ax b  + ax + b •  n R x,   Đặt n t = cx d  +   cx + d Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 35 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 1 • 2
R (x, f (x )) =
Với (αx + βx + γ )' = k (ax + b) a
( x + b) αx 2 + βx + γ 1 Đặt t = x 2 α
+ β x + γ , hoặc Đặt t = ax + b  π π  • 2 2
R (x, a + x ) Đặt x = a tant , t ∈ − ;   2 2  a π  • 2 2
R (x, x a ) Đặt x =
, t ∈ [0;π ] \   cos x  2  n n n • 1 2 i
R ( x ; x ;...; x ) Gọi k = BSCNN (n ;n ;...;n . Đặt k x = t 1 2 i ) β 1 5.2.1. Dạng 1 I = ∫ dx (a ≠ 0) 2 α
ax + bx + cb  2  x + =   u b 2 ∆  Từ :   + + =  +  − ⇒  a f(x)=ax bx c a x 2 ↔ du = dx  a 2  a2 4   ∆   =  Ka 2 Khi đó ta có : • 2 2 2 2
Nếu ∆ < 0,a > 0 ⇒ f x
( ) = a (u + k ) ⇔ f x
( ) = a . u + k (1)  2 a > 0   b
• Nếu : ∆ = 0 ⇒ f x ( ) = a x +  ⇔  b (2)  a 2  f x ( ) = a x + =  a. ua 2 • Nếu : ∆ > 0 .
Với a > 0 : f x
( ) = a (x x ) (x x ) ⇔ f x
( ) = a . (x x )(x x (3) 1 2 1 2 )
Với a < 0 : f x
( ) = −a (x x ) (x x ) ⇔ f x
( ) = −a . (x x )(x x (4) 1 2 1 2 )
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau : Phương pháp :
* Trường hợp : ∆ < a >
f x = a (u2 + k2 ) ⇔ f x = a u2 + k2 0, 0 ( ) ( ) . Khi đó đặt : 2
ax + bx + c = t a x .  t2 − c 2 x = ;dx = tdt
bx + c = t2 − 2 axb + 2 ab 2 a  ⇔  ( + )
x = α → t = t ,x = β → t =  tt2 0 1 − c t a x . = t −  ab + 2 a  2 a > 0   b
* Trường hợp : ∆ = 0 ⇒ f x ( ) = a x +  ⇔  ba 2  f x ( ) = a x + =  a. ua 2    1 b β  b ln x +  : x + > 0 β β 1 1 1  a 2 α   a a 2 Khi đó : I = ∫ dx = ∫ dx =  b a b   1 b β α α  b a x + x + − ln x +  : x + < 0 a 2 a 2  a 2 α    a a 2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 36 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12  x x t 2 ( − 1)
* Trường hợp : ∆ > 0,a > 0 . Đặt : ax + bx + c = a (x x
1 ) (x x2 ) = 
(x x2 )tx x t 2 ( − 1 )
* Trường hợp : ∆ > 0,a < 0 . Đặt : ax + bx + c = a (x x 1 )(x x 2
) = (x x 2 )t β + 5.2.2. Dạng 2 = ∫ mx n I dx (a ≠ 0) 2 α
ax + bx + c Phương pháp : Ad . n ( 2
ax + bx + c mx + ) B
Bước 1: Phân tích f x ( ) = = + (1) 2 ax + bx + 2 c ax + bx + 2 c
ax + bx + c
Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số , A B
Bước 3: Giải hệ tìm , A B thay vào (1) β β 1 • 2
Bước 4 : Tính I = A
2 ( ax + bx + c ) + Bdx (2) α 2 α
ax + bx + c β 1 Trong đó ∫ dx
(a ≠ 0) đã biết cách tính ở trên 2 α
ax + bx + c β 1 5.2.3. Dạng 3 I = ∫ dx (a ≠ 0) 2
α (mx + n ) ax + bx + c Phương pháp : 1 1
Bước 1: Phân tích : = . (1) (mx n) 2   +
ax + bx + c n m x +  2
ax + bx + cm     1 n 1 y = t =  → dy = − dx 1 nx + t m x + t
Bước 2: Đặt : = x + ⇒  2 y m      1 1 1 x = − t 2
ax + bx + c = a  − t  + b  − t  +  cyy   y  β '
Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : = ± ∫ dy I . Tích phân này chúng 2 α '
Ly + My + N ta đã biết cách tính . β β  αx β  + 5.2.4. Dạng 4
I = ∫ R (x;y )dx = R m x;  ∫ dx γ x δ  + α α  
( Trong đó : R (x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và α, β,γ ,δ là các hằng số đã biết )
Phương pháp : αx + β
Bước 1: Đặt : = m t (1) γ x + δ
Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ (t )
Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx = ϕ ' (t )dt và đổi cận β β  αx β  + '
Bước 4: Tính : R m x;  ∫ dx =  
R(ϕ (t);t)ϕ '(t)dt γ x + δ α   α ' Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 37 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.3. Tích phân hàm lượng giác
5.3.1. Một số công thức lượng giác
5.3.1.1. Công thức cộng
cos a
( ± b) = cosa. cosb
sina. sinb sin a
( ± b) = sina.cosb ± sinb. o c sa tana ± tanb tan a
( ± b) = 1 ∓ tana.tanb
5.3.1.2. Công thức nhân đôi 2 − 2 2 2 2 1 tan a cos a
2 = cos a – sin a = 2 cos a – 1 = 1 – 2 sin a = 2 1 + tan a 2 tana 2 tana sin a
2 = 2 sina. cosa = ; tan a 2 = 2 1 + tan a 1 − 2 tan a 3 cos 3α = 4 cos α − 3 cosα ; 3
sin 3α = 3 sin α − 4 sin α
5.3.1.3. Công thức hạ bậc − + 2 1 − 2 1 cos a 2 2 1 cos a 2 cos a 2 sin a = ; cos a = ; tan a = 2 2 1 + cos a 2 α + α 3 3 sinα − sin α 3 sin α = ; 3 cos 3 3 cos cos α = 4 4
5.3.1.4. Công thức tính theo t a t 2 1 − t2 t 2 Với t = tan Thì sin a = ; cosa = ; tan a = 2 2 1 + t2 1 + t 1 − t2
5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosα. cos β cos α ( β ) cos α ( β  = + + −   ) 2 1 sin α. sin β cos α ( β ) cos α ( β  = − − +   ) 21 sin α. cos β sin α ( β) sin α ( β  = + + −   ) 2
5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích α + β α − β cosα + cos β = 2 cos . cos 2 2 α + β α − β cosα − cos β = −2 sin .sin 2 2 α + β α − β sinα + sin β = 2 sin . cos 2 2 α + β α − β sinα − sin β = 2 cos . sin 2 2 sin α ( + β ) tan α + tan β = cosα cos β sin α ( − β )
tan α − tan β = cosα cos β
Công thức thường dùng: 3 cos 4 4 4 + α cos α + sin α = 4 5 3 cos 4 6 6 + α cos α + sin α = 8 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 38 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 Hệ quả:  π   π 
cosα + sin α = 2 cos α −  = 2 sin α +   4   4   π   π 
cosα − sin α = 2 cos α +  = − 2 sin α −   4   4 
5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác b
• Nếu gặp I = ∫ f (sin x).cos xdx ta đặt t = sin x . a b
• Nếu gặp dạng I = ∫ f (cos x).sin xdx ta đặt t = cos x . a b dx
• Nếu gặp dạng I = ∫ f (tan x)
ta đặt t = tan x . 2 cos x a b dx
• Nếu gặp dạng I = ∫ f (cot x)
ta đặt t = cot x . 2 sin x a n n 5.3.2.1. Dạng 1 I = ( ∫ sinx) dx ; I ( ∫ cosx) dx 1 2 * Phương pháp
• Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
• Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
• Nếu 3n lẻ (n = 2 p + )
1 thì thực hiện biến đổi: 2p I = ( ∫ sinx)n dx = ( ∫ sinx)2p+1 dx = ( x) ∫ xdx = − ( ∫ p − 2 sin sin
1 cos x ) d (cos x ) 1 C 0 C1 2 cos x ... ( 1)k C ( 2 cos x ) ... ( 1)p k p C ( 2 cos x )  = −∫ k p  − + + − + + − d (cos x )  p p p p   1 ( k p −1)  k 2 +1 ( 2 1 0 1 3 k −1) C cosx C cos x ... C (cos x ) p ...
C (cos x ) p+  = − − + + + + + c  p p 3 k 2 + p 1 2p + p 1  2p I = ( ∫ cosx)n dx = (
∫ cosx)2p+1 dx = ( x ) ∫ xdx = ( ∫ p − 2 cos cos 1
sin x ) d (sin x ) 2 C 0 C1 2 sin x ... ( 1)k C ( 2 sin x ) ... ( 1)p k p C ( 2 sin x )  = ∫ k p  − + + − + + − d (sin x )  p p p p   1 ( k p −1)  2k +1 ( 2 1 0 1 3 k −1) C sinx C sin x ... C (sin x ) p ...
C (sin x ) p+  = − + + + + + c  p p 3 k 2 + p 1 2p + p 1  5.3.2.2. Dạng 2 = sinm cosn I x xdx ( , m n ∈ ) ∫ ℕ * Phương pháp
Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2 p + ) 1 thì biến đổi: ( )m ( )2p+1 m 2p m I = ∫ sinx cosx dx = ( x ) ( x ) ∫ xdx = ( x ) ( ∫ p − 2 sin cos cos sin
1 sin x ) d (sinx )
(sinx )m C 0 C1 2 sin x ... ( 1)k C ( 2 sin x ) ... ( 1)p k p C ( 2 sin x )  = ∫ k p  − + + − + + − d (sin x )  p p p p  =   ( 1 3 2 1 2 1 0 sin x )m+ ( 1 sin x )m+ k
(sinx ) k+ +m p
(sinx ) p+ +m  C C ... ( ) k 1 C ... ( 1) p  − + + − + + − C + c  p m + p 1 m + p 3 k 2 + 1 + p m
2p + 1 + m  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 39 3 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
c. Nếu m lẻ (m = 2 p + )
1 , n chẳn thì biến đổi: ( )2p+1 ( )n n 2p n I = ∫ sinx cosx dx = ( x ) ( x ) ∫ xdx = − ( x ) ( ∫ p − 2 cos sin sin cos
1 cos x ) d (cos x )
(cosx )n C 0 C 1 2 cos x ... ( 1)k C ( 2 cos x ) ... ( 1)p k p C ( 2 cos x )  = −∫ k p  − + + − + + − d (cos x )  p p p p  =   ( 1 3 2 1 2 1 0 cos x )n+ ( 1 cos x )n+ k
(cosx ) k+ +n p
(cosx ) p+ +n  C C ... ( 1) k C ... ( 1) p  − − + + − + + − C + c  p n + p 1 n + p 3 k 2 + 1 + p n
2p + 1 + n 
d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx n −1 n −1 m = ∫ m n = ( ) ( 2 ) ∫ 2 = m B x xdx x x xdx u ( ∫ − u2 ) 2 sin cos sin cos cos 1 du (*)
m + 1 n − 1 m + k
Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số nguyên 2 2 2 n n 5.3.2.3. Dạng 3 I = ( ∫ tan x) dx ; I = (
∫ cot x) dx (n N). 1 2 2 dx • (
∫ 1 + tan x )dx = ∫ = d (tan x ) tan 2 ∫ = x + c cos x 2 dx • (
∫ 1 + cot x )dx = ∫ = − d (cotx ) cot 2 ∫ = − x + C sin x sin x d (cos x ) • ∫ tanxdx = ∫ dx = −∫
= − ln cos x + C cos x cos x cos x d (sin x ) • ∫ cotxdx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + C sin x sin x
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
6.1. Diện tích hình phẳng
6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x
( ) liên tục trên đoạn  
a;b , trục b
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = ∫ f x ( ) dx a y y = f (x)
y = f (x)  by = 0 S = ∫ f x ( ) dx
(H ) x = a a O a c c c x 1 2 3 b  x = b
6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ( ), y = g x
( ) liên tục trên đoạn   a;b b
và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S = ∫ f x ( ) − g x ( ) dx a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 40 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 y
(C ) : y = f ( x ) (C ) 1  1 1
(C ) : y = f ( x ) ( H )  2 2  x = a (C ) 2   x = b b S = a c O c b x
f (x ) − f (x ) dx 1 2 1 2 a b b
- Nếu trên đoạn [a;b ] , hàm số f x
( ) không đổi dấu thì: ∫ f x ( ) dx = ∫ f x ( d ) x a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y ( ) , d x = h y
( ) và hai đường thẳng y = c , y = d được xác định: S = ∫ g y ( ) − h y ( ) dy c
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
6.2.1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các (V )
điểm ab; S x
( ) là diện tích thiết diện của b x V = aS x ( d ) x
vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với O b x a
trục Ox tại điểm x , a
( ≤ x b) . Giả sử S x ( ) S(x)
là hàm số liên tục trên đoạn [a;b ] .
6.2.2. Thể tích khối tròn xoay
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x ( )
, trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y
y = f ( x )
 (C ) : y = f ( x ) 
 (O x ) : y = 0 bV = π f x d x ax [ ]2 ( ) O b xx = a a  x = b
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g y
( ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d (
C) : x = g(y)
(Oy): x = 0 d
V = π∫ g y dyy [ ]2 ( )y = c ccy = d O x
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = f x ( ), y = g x
( ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b
V = π ∫ f 2 x g2 ( ) x ( ) dx a Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 41 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 PHẦN IV. SỐ PHỨC 1. SỐ PHỨC
1.1. Khái niệm số phức
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi; (a,b ∈ ℝ) . Trong đó : a là phần thực, b là phần ảo, i
là đơn vị ảo, i2 = −1.
• Tập hợp số phức kí hiệu: ℂ .
z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) .
z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0) .
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
1.2. Hai số phức bằng nhau
• Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ và z = c + di (c, d ∈ ℝ bằng nhau khi phần thực và 2 ) 1 )
phần ảo của chúng tương đương bằng nhau. a  = c
• Khi đó ta viết z = z a + bi = c + di ⇔  1 2 b = d 
1.3. Biểu diễn hình học số phức y M (a;b)
Số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) được biểu diễn bởi điểm M (a;b )
hay bởi u = (a;b ) trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy . O x
1.4. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ ℝ) là z = a bi .  z zz = z ;
z ± z ' = z ± z ' ; z z . ' = z z 1 1 . ';   = ; z z . = a 2 + b2.  z z   2 2
z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo z = z − .
1.5. Môđun của số phức
Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z = OM hay z a bi OM a 2 b2 = + = = + . Một số tính chất: • z a 2 b2 = + =
zz = OM ; z = z
z ≥ 0, ∀z ∈ ;
z = 0 ⇔ z = 0 . z z z z zz z . = z . z ; 1 1 = ; 1 1 2 = . 1 2 1 2 z z z 2 2 2 2 z2 • z zz ± zz + z . 1 2 1 2 1 2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 42 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC
2.1. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ và z = c + di (c, d ∈ ℝ . Khi đó: 2 ) 1 )
z ± z = (a + c) ± (b + d )i 1 2
• Số đối của số phức z = a + bi z − = a − − bi .
• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực
đó: z = a + bi,z + z = a 2 .
2.2. Phép nhân số phức
• Cho hai số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ và z = c + di (c, d ∈ ℝ . 2 ) 1 )
Khi đó: z z = (a + bi) (c + di) =( ac bd ) + (ad + bc )i . 1 2
• Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) , ta có k z
. = k.(a + bi ) = ka + kbi. Đặc biệt: 0 z
. = 0 với mọi số phức z .
• Lũy thừa của i : i0 = i1 = i i2 = − i3 = i2 1, , 1, i . = i − 4n 4n +1 4n +2 4n i i i i i +3 1, , 1, i, n ∗ = = = − = − ∀ ∈ ℕ .
2.3. Chia hai số phức − 1
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z 1 = z . 2 z z ' − ' . ' . 1 z z z z
Phép chia hai số phức z ' và z ≠ 0 là = z ' z = = . z 2 z z z .
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:
ax + by + c = 0 ⇒ tập hợp điểm là đường thẳng
x = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục tung Oy
y = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục hoành Ox 2 2 • (x a ) (y b) R2 − + − <
⇒ tập hợp điểm là hình tròn tâm I (a;b), bán kính R 2 2
x a + y b = R2 • ( ) ( )
⇒ tập hợp điểm là đường tròn có tâm I (a;b), bán kính x 2  + y2 − a 2 x b 2 y + c = 0  R a 2 b2 = + − c
x > 0 ⇒ tập hơp điểm là miền bên phải trục tung
y < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành
x < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung
y > 0 ⇒ tập hợp điểm là phía trên trục hoành • y ax 2 =
+ bx + c ⇒ tập hợp điểm là đường Parabol 2 2 • x y +
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Elip a2 b2 2 2 • x y
= 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Hyperbol a2 b2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 43 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
4.1. Căn bậc hai của số thực âm
• Cho số z , nếu có số phức z sao cho z 2 = z thì ta nói z là một căn bậc hai của z . 1 1 1
• Mọi số phức z ≠ 0 đều có hai căn bậc hai.
• Căn bậc hai của số thực z âm là i ± z .
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i ± a .
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a ∀ ,b,c ∈ ,
a ≠ 0 . Xét biệt số ∆ = b2 − a 4 c của phương trình. Ta thấy: b
• Khi ∆ = 0 , phương trình có một nghiệm thực x = − . a 2 b − ± ∆
• Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x = . 1,2 a 2 −b ± i
• Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghiệm phức x = . 1,2 a 2
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC z r max z 2 = +  z z 1 1
• Cho số phức z thỏa mãn z .z + z = r, r > 0  . 1 2 ( )  z r min z 2 = −  z z 1  1
• Cho số phức z thỏa mãn z .z z = r , r > 0 . 1 2 1 ( 1 ) z r z r max P 2 = − z 1 + và min P 2 = − z 1 − z 3 z z 3 z 1 1 1 1
• Cho số phức z thỏa mãn z z . + z + z z . − z
= k, (k > 0 . 1 2 1 2 ) 2 2 k k − 4 z max z = 2 và min z = 2 z 2 z 1 1 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 44 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
PHẦN V. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
• Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể
cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một
hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
• Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của
khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc
hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm
trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). B C S A D F E A B CADF ED C
Khối lăng trụ lục giác
Khối chóp tứ giác
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1. Khái niệm về hình đa diện
• Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
• Mỗi đa giác gọi là một mặt
của hình đa diện. Các đỉnh,
cạnh của các đa giác ấy theo
thứ tự được gọi là các đỉnh,
cạnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện d Đ Miền ngoài iểm trong
• Khối đa diện là phần không gian được
giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả N hình đa diện đó.
• Những điểm không thuộc khối đa M
diện được gọi là điểm ngoài của khối Điểm ngoài
đa diện. Những điểm thuộc khối đa
diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập
hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền
ngoài của khối đa diện.
• Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau
là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn
toàn một đường thẳng nào đó. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 45 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất được
gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho M' v MM ' = v . M
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P ) thành chính nó, M
biến mỗi điểm M không thuộc (P ) thành điểm M ' sao cho
(P) là mặt phẳng trung trực của MM '. I P
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình (H ) thành
chính nó thì (P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H ). M'
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi
điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM '
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H ) thành chính nó thì M' O M
O được gọi là tâm đối xứng của (H )
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆
thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm
M ' sao cho ∆ là đường trung trực của MM ' . I M'
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H ) thành chính nó thì M
∆ được gọi là trục đối xứng của (H ) * Nhận xét:
• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
• Phép dời hình biến đa diện (H ) thành đa diện (H ') , biến đỉnh, cạnh, mặt của (H )
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H ') .
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 46 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện (H ) là hợp của hai khối đa diện (H (H2 ) 1 ) , sao cho (H (H2 ) 1 ) và
không có chung điểm trong nào thì ta nói
có thể chia được khối đa diện (H ) thành hai khối đa diện (H (H ) 1 1 ) và (H (H (H2 ) 1 )
2 ) , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện và với (H)
nhau để được khối đa diện (H ). (H ) 2
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi
nếu với bất kì hai điểm A B nào của nó thì
mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.
Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều 5.2.1. Định nghĩa
• Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
• Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}. 5.2.2. Định lí
Định lí: Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: Loại {3; }
3 : khối tứ diện đều. Loại {4; } 3 : khối lập phương. Loại {3; } 4 : khói bát diện đều. Loại {5; } 3 : khối 12 mặt đều. Loại {3; } 5 : khối 12 mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Loại Hình Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3; } 3 Tứ diện đều 4 6 4 {4; } 3 Lập phương 8 12 6 {3; } 4 Bát diện đều 6 12 8 {5; } 3 Mười hai mặt đều 20 30 12 {3; } 5 Hai mười mặt đều 12 30 20
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại { , n }
p D đỉnh , C cạnh và M mặt :
pD = 2C = nM - phải Đi = 2 Chân và = nước Mắt” Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 47 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 5.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 5.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 5.3.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát
diện đều. Khi đó:
• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
• Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp Nội dung Hình vẽ 1 V = S h . đ áy 3
: Diện tích mặt đáy. áy
h : Độ dài chiều cao khối chóp. 1 V = d .S S.ABCD 3 (S (,ABCD)) ABCD
6.2. Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ V = S h . á đ yS : Diện tích mặt đáy. á đ y
h : Chiều cao của khối chóp. Lưu ý:
Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V = a b . c . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 48 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
6.4. Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V a3 =
6.5. Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ V
SASBSC S A . ′B C ′ ′ = . . S V SA SB SC S A . BC A’ B’
Thể tích hình chóp cụt ABC A . ′B C ′ ′ C’ A B h V =
B + B′ + BB ( ) 3 C
Với B, B ,′h là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
• Đường chéo của hình vuông cạnh a a 2
• Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là : a2 b2 c2 + + a 3
• Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 2
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho
ABC vuông tại A , đường cao AH AB2 AC 2 BC 2 + = • AB2 = BH B . C 2 • AC = CH B . C AH B . C = AB A . C AH 2 = BH H . C 1 1 1 • = + AH 2 AB2 AC 2
AB = BC .sinC = BC. cos B = AC . tanC = AC. cotB
7.1.2. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, ,
b c độ dài các trung tuyến là m , m , m bán kính a b c
đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi . p
• Định lí hàm số cosin:
a2 = b2 + c2 bc
A b2 = c2 + a 2 − ca
B c2 = a 2 + b2 - 2 . cos ; 2 . cos ; − a 2 b. cosC a b c
• Định lí hàm số sin: = = = R 2 sin A sin B sinC + + + 2 b2 c2 a2 2 c2 a2 b2 2 a2 b2 c2
• Độ dài trung tuyến: m = − ; m = − ; m = − a b c 2 4 2 4 2 4 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 49 4 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
7.2. Các công thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác 1 1 1 • S = a h . = b h . = c h . a b c 2 2 2 1 1 1 • S = bc sin A = ca.sin B = ab sinC 2 2 2 abcS = R 4
S = pr S =
p (p a ) (p b) (p c) AB A . C BC A . H
• ∆ABC vuông tại A : S = = 2 2 a 3 a2 3 • A
BC đều, cạnh a : AH = , S = 2 4 7.2.2. Hình vuông S a 2 =
( a : cạnh hình vuông)
7.2.3. Hình chữ nhật S = ab
( a, b : hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành
• S = đáy × cao = A . B A . D sin BAD 7.2.5. Hình thoi • 1 S = A . B A . D sin BAD = A . C BD 2 7.2.6. Hình thang 1 • S =
(a + b)h (a,b : hai đáy, h : chiều cao) 2
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD 1 • S = AC B . D 2
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng A
(SAB),(SBC ),(SAC ) vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là S ,S ,S . 1 2 3 S C S 2 .S .S Khi đó: V 1 2 3 = S A . BC 3 B Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 50 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 Cho hình chóp S
S .ABC SA vuông góc với (ABC ) ,
hai mặt phẳng (SAB ) và (SBC ) vuông góc với nhau, BSC = , α ASB = β . A C SB 3. sin 2α. tan β B Khi đó: V = S .ABC 12
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều S
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . a2 b2 3 − a2 Khi đó: V = S A . BC 12 C A G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a S
và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α . a 3 tan α Khi đó: V = S .ABC 24 C A G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên S
bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β . b3 2 3 . sin β cos β Khi đó: V = S A . BC 4 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy S
bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β . a 3. tan β Khi đó: V = S .ABC 12 A C G M B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD S
hình vuông cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = b . a2 b2 4 − a2 2 Khi đó: V = D A S A . BC 6 O M C B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng S
a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α . a 3. tan α Khi đó: V = S A . BCD 6 A D O M B C Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 51 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng S  π π  a,
SAB = α vớiα ∈  ;   4 2  D A a3 2 tan α − 1 O M Khi đó: V = C B S A . BCD 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên S
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α với  π  α ∈  0;  .  2  A D a3 4 . tan α Khi đó: V = M O S A . BCD 3 (2 + tan α )3 2 B C
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng S .
a Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A song song với BC F N
vuông góc với (SBC ) , góc giữa (P ) với mặt phẳng đáy là A E C 3 x α a cotα . Khi đó: V = G S .ABCD 24 M B
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập A' B' phương cạnh . a O' a 3 D' Khi đó: V = C' O1 6 O4 O2 A O3 B O D C
Cho khối tám mặt đều cạnh .
a Nối tâm của các mặt bên S
ta được khối lập phương. a3 2 2 G2 Khi đó: V = D 27 A G1 N M C B S' Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 52 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức
Điều kiện tứ diện
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện
SA = a, SB = , b SC = c   abc ASB  = , α BSC = β, CSA = ϕ V 2 2 2 =
1−cos α −cos β −cos ϕ +2cosαcosβcosϕ S A . BC 6
Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2 A  B = a C , D = b cạnh đó  d  (AB C
, D) = d,(AB C , D) = α 1 V = abd sin α ABCD 6
Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2 S  = S ,S
= S ,SA = a SAB 1 SAC 2 mặt kề
((SAB),(SAC)) = α S 2 S sin α V 1 2 = SABC a 3
SA = a,SB = , b SC = c
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị  diện  (SAB),(SAC) ( )=α  abcASB V = sin α sin β sin ϕ  = β, ASC = ϕS A . BC 6 3 Tứ diện đều a 2 V = ABCD 12
tất cả các cạnh bằng a
Tứ diện gần đều  2
AB = CD = a V =
a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2  ABCD ( )( )( ) 12 A
C = BD = b
AD = BC = c Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 53 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
PHẦN VI. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d , ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc β với 0 0
0 < β < 90 , mp (P ) chứa d ,∆. (P) quay quanh trục
∆ với góc β không đổi ⇒ mặt nón tròn xoay đỉnh O. • ∆ gọi là trục.
d được gọi là đường sinh.
• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh. 1.2. Khối nón Nội dung Hình vẽ
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc
khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình
nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiều cao ,
h đường sinh l và bán kính đáyr .
Diện tích xung quanh: của hình nón: S = πrl . xq
Diện tích đáy (hình tròn): S = π r 2 . đáy
Diện tích toàn phần: của hình nón: S = π rl + π r 2 . tp 1
Thể tích khối nón: V = πr h 2 . 3
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) đi qua đỉnh của mặt nón. mp Q
( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
• Thiết diện là tam giác cân. mp Q
( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường • Q
( ) là mặt phẳng tiếp diện của sinh. hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) không đi qua đỉnh của mặt nón.mp Q
( ) vuông góc với trục hình nón.
• Giao tuyến là 1 đường parabol. mp Q
( ) song song với 2 đường sinh hình nón.
• Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. mp Q
( ) song song với 1 đường sinh hình nón.
• Giao tuyến là một đường tròn. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 54 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ
Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi
quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ thì đường thẳng l
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.
• Đường thẳng ∆ gọi là trục.
• Đường thẳng l là đường sinh.
r là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ. • Khi quay quanh A ,
B hai cạnh AD BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai
đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
• Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
• Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB
gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay
kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của
khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những
điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt
đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao , h đường
sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh: S = 2πrl . xq
Diện tích toàn phần: S = π rl + π r 2 2 2 . tp
Thể tích: V = π r 2h . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 55 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R .
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I
một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính . R
Kí hiệu: S (I;R).Khi đó: S (I;R) = {M IM = } R
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S (I;R) và mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó: d > R d = R d < R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo không có điểm chung.
(P) là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường tròn có tâm I ′ mặt cầu và và bán kính
H : tiếp điểm. r R2 IH 2 = − Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng
kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S (I;R) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó: IH > R IH = R IH < R ∆ không cắt mặt cầu.
∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆ cắt mặt cầu tại hai
∆ : Tiếp tuyến của (S ) điểm phân biệt.
H : tiếp điểm. Lưu ý:
Trong trường hợp ∆ cắt (S ) tại 2 điểm ,
A B thì bán kính R của (S ) được tính như sau: d  (I;∆) = IH  2    . 2 2 2 AB R
= IH + AH = IH +     2  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 56 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là
trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng
vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp
xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa
diện ngoại tiếp mặt cầu.
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh
của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình
đa diện nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S A
. BCD khi và chỉ khi
OA = OB = OC = OD = OS = r
Cho mặt cầu S (I;R)
Diện tích mặt cầu: S = R2 4π . 4
Thể tích khối cầu: V = π R3 . 3
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác
cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.
Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những
đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 57 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l .
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
AC ⊥ (SMI )
• Góc giữa (SAC ) và (ABC ) là góc SMI .
• Góc giữa (SAC ) và SI là góc MSI .
d (I,(SAC )) = IH = d.
Diện tích thiết diện 1 1 S = S = SM A . C =
SI 2 + IM2.2 AI 2 − IM2 td SAC 2 2 2 h d 2 2 2 h d 2 2 = r − . h + h2 − d2 h2 − d2
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. BCD đều là hình nón
Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD S A . BCD . S Khi đó hình nón có: AB A D
• Bán kính đáy r = IM = , I 2 M B C
• Đường cao h = SI , đường sinh l = SM .
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. BCD đều là hình nón Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông S A . BCD ABCD . S Khi đó hình nón có: AC AB 2
• Bán kính đáy: r = IA = = . A D 2 2 I
• Chiều cao: h = SI . B C
• Đường sinh: l = SA.
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đều
đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . S A . BC Khi đó hình nón có S AM AB 3
• Bán kính đáy: r = IM = = . 3 6
• Chiều cao: h = SI . A I C M
• Đường sinh: l = SM . B Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 58 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón Hình chóp tam giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . S A . BC Khi đó hình nón có: S A 2 M AB 3
• Bán kính đáy: r = IA = = . 3 3 C
• Chiều cao: h = SI . A I M
Đường sinh: l = SA. B
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình
nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì
được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì
được mặt cắt là một hình thang cân.
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán
kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt: S = πl R + r . xq ( ) r S  = πr 2
Diện tích đáy (hình tròn): á đ y1  ⇒ ∑S = π r 2 + R2 . 2 á đ y ( ) S = π R h  áđy2 R
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
S = πl R + r + π r 2 + π R2 . tp ( ) 1
Thể tích khối nón cụt: V =
πh (R2 + r2 + Rr ) . 3
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ
Từ hình tròn (O;R) cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung
AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại được
một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. l  = R   2π
Hình nón được tạo thành có 2
 πr = x r = .  x h  = l2 − r2  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 59 5 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong O A M B G đó AB = R
2 và AD = h . Nếu thiết diện qua trục là một
hình vuông thì h = R 2 .
Thiết diện song song với trục không chứa trục là hình chữ nhật
BGHC có khoảng cách tới trục là: D C H
d (OO ';(BGHC )) = OM
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB CD là hai đường kính bất kỳ trên hai O A B 1
đáy của hình trụ thì: V = AB C . D O
. O '.sin AB,CD ABCD ( ) 6
* Đặc biệt: Nếu AB CD vuông góc nhau thì: 1 C V = AB C . D O . O ' . ABCD 6 O' D
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách Nội dung Hình vẽ O A
Góc giữa AB và trục OO ' : (A , B OO )' = A' AB O' B A' O A
Khoảng cách giữa AB và trục OO ' : d (AB O ; O ') = OM . O' B M A'
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ A O B
thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông: AB = R2 + h2 2 4 . I O' D C Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 60 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ
trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ  V R 3  =  nhất: S 4 min π ⇔  tpV h 3 = 2  4π
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh  V R 3  = 
cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất: S min π ⇔   V h 3 =  π
4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì 4 V π
thể tích khối trụ là V = (T) 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD A
. ' B 'C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích S 2
xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S = xq xq π
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó.
⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 61 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật
(hình lập phương) ⇒ Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ
nhật (hình lập phương). ⇒ AC ' Bán kính: R = . 2
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng A A A .. A . A'
. A'A' .. A' . , trong đó 1 2 3 n 1 2 3 n
có 2 đáyA A A .. A .
A'A'A' .. A' .
nội tiếp đường tròn (O) 1 2 3 n 1 2 3 n
và (O ') . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm: I với I là trung điểm của OO '.
Bán kính: R = IA = IA = ... = IA' . 1 2 n
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ Hình chóp S A . BC có 0
SAC = SBC = 90 .
• Tâm: I là trung điểm của SC . SC • Bán kính: R =
= IA = IB = IC . 2 Hình chóp S A . BCD
SAC = SBC = SDC = 90° .
• Tâm: I là trung điểm của SC . SC • Bán kính: R =
= IA = IB = IC = ID . 2
5.1.3.4. Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp đềuS A . BC...
• Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.
• Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh
bên, chẳng hạn như mp (SAO) , ta vẽ đường trung
trực của cạnh SA là ∆ cắt SA tại M và cắt SO
tại I I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SM SI Ta có: SMI SOA ⇒ = SO SA SM SA SA2 . R = IS = =
= IA = IB = IC = ... ⇒ Bán kính: SO S 2 O Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 62 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A
. BC ... có cạnh bên SA ⊥ (ABC.. ) . và đáy
ABC ... nội tiếp được trong đường tròn tâm O .
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A . BC ... được xác định như sau:
• Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường
thẳng d vuông góc với mp (ABC...) tại O .
• Trong mp (d,SA) , ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh
SA , cắt SA tại M , cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp và bán kính
R = IA = IB = IC = IS = ... • Tìm bán kính
Ta có: MIOB là hình chữ nhật. Xét ∆MAI vuông tại M có: 2   2 2 2 SA
R = AI = MI + MA = AO +   .  2 
5.1.3.6. Hình chóp khác -
Dựng trục ∆ của đáy. -
Dựng mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên bất kì. -
(α ) ∩ ∆ = I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. -
Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định
tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. O O O Hình vuông: O là giao
Hình chữ nhật: O là giao
∆ đều: O là giao điểm của 2 điểm 2 đường chéo.
điểm của hai đường chéo.
đường trung tuyến (trọng tâm). O O
∆ vuông: O là trung điểm
∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền.
trung trực của hai cạnh ∆. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 63 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A . A .. A .
(thoả mãn điều kiện tồn tại 1 2 n
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu S
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: • Bước 1: α
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. I
Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. • Bước 2: O D
Lập mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên. Lúc đó A H C
Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ mp(α) = {O} B
Bán kính: R = SA(= SO ) . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa M
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi
qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. A Tính chất C H M
∈ ∆ : MA = MB = MC B
Suy ra: MA = MB = MC M ∈ ∆
Các bước xác định trục H • Bước 1: B C
Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. A • Bước 2: ∆
Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy. B C
Một số trường hợp đặc biệt H A
• Đáy là tam giác vuông ∆ B
• Đáy là tam giác đều C H A
• Đáy là tam giác thường
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ S SO SM
SMO đồng dạng với SIA ⇒ = . M SA SI O I A
5.3.3. Nhận xét quan trọng M
 A = MB = MC M ∃ ,S : 
SM là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
SA = SB = SC  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 64 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A . A .. A .
(thõa mãn điều kiện tồn tại 1 2 n
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Δ • Bước 1: S
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. R
Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. • Bước 2: I d
Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên D
(dễ xác định) của khối chóp. C Lúc đó: A
• Tâm I của mặt cầu: ∆ ∩ d = {I} B
• Bk: R = IA(= IS ) . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và 0 ABC = 90 khi đó S S SC R =
và tâm là trung điểm SC . 2 A D A C B C B 5.5.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy 2 2 SA2
R , khi đó : R = R + K D D 4 I abc CR = ( p : nửa chu vi). A D
4 p (p a) (p b)(p c) O • Nếu ∆ ABC vuông tại A thì: 1 B R =
AB + AC + AS . D ( 2 2 2 ) 4 a 2
• Đáy là hình vuông cạnh a thì R = D 2 a 3
• nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R = . D 3 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 65 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA = SB = SC = SD : S SA2 R = . S 2 O
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O A D giao hai đường chéo.
• ∆ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh B C huyền. • A
BC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng (SAB ) và (ABC ) vuông góc với nhau S
và có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R ,R lần lượt là bán 1 2 O I
kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB ABC . A C
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: J K 2 2 2 AB2
R = R + R B 1 2 4 5.5.5. Dạng 5
Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải 2
phương trình: (SH x ) OH 2 x 2 R2 − + = +
. Với giá trị x tìm được ta có: R2 x2 R2 = + . D D V 3
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r = . Stp
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ S
= 2πRh = π r 2 + h2 xq ( )  h r    π 2 h h V
= πh R −  = (h2 + r2 3 ) R   3  6 6.2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ S  = π R h + h xq ( 1 2 )    h h  + h2 V = π R2 1 2    h1 2     R Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 66 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
6.3. Hình nêm loại 1 Nội dung Hình vẽ 2 V = R3 tanα 3
6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ  π 2  V =  −  R3 tan α  2 3 
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung Hình vẽ 3  3  4 S '  x   a S = Rh; =   = R R    parabol 3 Sh    R    h 1 1 V  = π R h 2 = Vtru  2 2 ɺ
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ S  = πab b elip  a a 4 V  = πab2 xoay q uanh a 2  3 b  4 V = πa b 2 xoay q uanh b 2  3
6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ R S = (R2 − r2 π ) r
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2 r     + − 2 R r R r V = 2π     R  2   2  Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 67 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
PHẦN VII. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục Ox,Oy,Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O,
truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy),(Oyz),(Ozx).
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2 2 2
i = j = k = 1 2 2 Chú ý: a = a
i j = ik = jk = 0
1.1.3. Tọa độ véc tơ u = x
( ;y;z) ⇔ u x
( ;y;z) ⇔ u = xi + y j + zk
1.1.4. Tọa độ điểm M x
( ;y;z) ⇔ OM = xi + y j + zk
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ Cho u = a ( ;b;c), v = a ( ;′b ;′c ) ′ a  = a '   • u v b  = ⇔  = b ' c  = c' 
u v = (a ± a ;′b ± b ;′c ± c′) • ku = k
( a;kb;kc) • u v
. = u . v .cos u ( v
, ) = aa′ + bb′ + ccu v .
aa′ + bb′ + cc′ • cos u ( v , ) = = u . v u . v 2 • u u a2 b2 c2 = = + +
u v u v . = 0
AB = (x x ;y y ;z z B A B A B A ) 2 2 2
AB = AB = (x x + y y + z z B A ) ( B A ) ( B A) 1.1.6. Chú ý
Góc của 2 véc tơ (u,v) là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;π    là: ( u v ) 2 sin , =
1 − cos (u,v ) ≥ 0 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 68 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng x kx A B x  = M  1 − ky ky
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA = kMB . Công thức tọa độ của M là : A B y  = M  1 − kz kz A B z =  M  1 − kx + x A B x  = M  2  y + y
1.1.8. Công thức trung điểm Nếu M là trung điểm AB thì MA + MB = 0 A By  = M  2  z + z A B z =  M  2
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác x + x + x A B C x  = G  3  y + y + y
Nếu G là trọng tâm của ∆ABC thì GA + GB + GC = 0 A B Cy  = G  3  z + z + z A B C z =  G  3
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
x + x + x + x A B C D x  = G  4 
y + y + y + y
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì GA + GB + GC + GD = 0 A B C Dy  = G  4 
z + z + z + z A B C D z =  G  4
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc tơ u = a
( ;b;c) và v = a ( ;′b ;′c )
′ ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc  b c c a a b    tơ, kí hiệu u  ,v ∧ u,v =  ; ;  = ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′   hay u
v có toạ độ:   
(bc b c;ca ac ;ab ba )
bccaab′   
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
• [u,v ] vuông góc với u v
• [u,v ] = u . v sin(u,v)
• [u,v ]= 0 ⇔ u,v cùng phương
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
• Diện tích hình bình hành  
ABCD : S = AB, AD   1 • Diện tích   ∆ABC : S = . AB, AC 2  
• Ba véc tơ u,v,w đồng phẳng: u,v w . = 0  
• Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành  
ABCD và cạnh bên A
A : V = AB,AD A . A′   1
• Thể tích khối tứ diện  
S.ABC : V = . AB,AC S . A 6   Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 69 6 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
• Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
• Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:   ,
A B, C thẳng hàng ⇔ AB,AC cùng phương ⇔ AB = k AC ⇔ AB, AC  = 0
ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A AB AB
của ∆ABC trên BC . Ta có: EB = − E . C , FB = F . C AC AC ,
A B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng AB,AC  ⇔  A . D ≠ 0 2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến

n khác 0 và có giá vuông góc mp(P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến
Nếu n là véc tơ pháp tuyến của (P) thì kn, (k ≠ 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của (P).
2.1.3. Phương trình tổng quát của mp(P)
Phương trình tổng quát của mp(P)qua M x
( ;y ;z ) và có véc tơ pháp tuyến n = A ( ;B C ; ) là 0 0 0 A x ( − x ) + B y ( − y ) + C z ( − z ) = 0 0 0 0
2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó , A B, C không đồng thời bằng 0)
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
• (P) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0
• (P) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0
• (P) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0
• (P) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0
• (P) song song hoặc chứa Ox A = 0
• (P) song song hoặc chứa Oy B = 0
• (P) song song hoặc chứa Oz C = 0
• (P) cắt Ox tại A( ; a 0; )
0 , cắt Oy tại B(0; ; b )
0 và cắt Oz tại C (0;0;c) ⇔ (P) có phương x y z trình + +
= 1(a,b,c ≠ 0) a b c Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 70 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Ax + By + Cz + D
Cho M (x ;y ;z P ( ) : Ax 0 0 0
+ By + Cz + D = 0 ; d M ( , P ( )) = 0 0 0 )
A2 + B2 + C 2
2.1.7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng (α ) và (β ) được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi (d ) là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α ) : Ax + B y +C z + D = 0 và 1 1 1 1
(β ) : A x + B y +C z + D = 0 . 2 2 2 2
Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa (d ) thì mặt phẳng (P) có dạng : ( m A x+B y C
+ z +D +n A x+B y C + z +D =0 1 1 1 1) ( 2 2 2 2 ) Với 2 2
m + n ≠ 0
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (α ) ta cần xác định một điểm thuộc (α ) và một VTPT của nó. 2.2.1. Dạng 1
(α ) đi qua điểm M (x ;y ;z
n = (A;B C ; ) 0 0 0 ) có VTPT thì:
(α ) : A(x x ) + B (y y ) +C (z z = 0 0 0 0 ) 2.2.2. Dạng 2 ( α )
đi qua điểm M (x ;y ;z a,b n a  ,b  =   (α) 0 0 0 ) có cặp VTCP thì là một VTPT của 2.2.3. Dạng 3
(α ) đi qua điểm M (x ;y ;z 0 0
0 ) và song song với (β ) : Ax + By + Cz = 0 thì
(α ) : A(x x ) + B (y y ) +C (z z = 0 0 0 0 ) 2.2.4. Dạng 4
(α ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B,C .
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (α ) là: nAB,AC  =   2.2.5. Dạng 5
(α ) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M :
• Trên (d ) lấy điểm A và VTCP u .
• Một VTPT của (α ) là: nAM,u =   2.2.6. Dạng 6 (
α ) đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng (d ) thì VTCP u của đường thẳng (d ) là một VTPT của (α ) . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 71 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 2.2.7. Dạng 7
(α ) chứa đường thẳng cắt nhau d , d : 1 2
• Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2
• Một VTPT của (α ) là: n a  ,b  =   .
• Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d M ∈ α . 2 ( ) 2.2.8. Dạng 8
(α ) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d ( d ,d chéo nhau) : 2 1 2 1
• Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2
• Một VTPT của (α ) là: n a  ,b  =   .
• Lấy một điểm M thuộc d M ∈ α . 1 ( ) 2.2.9. Dạng 9
(α ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d ,d : 1 2
• Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2
• Một VTPT của (α ) là: n a  ,b  =   . 2.2.10. Dạng 10
(α ) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β ) :
• Xác định VTCP u của d và VTPT n của (β ). β •
Một VTPT của (α ) là: n u  ,n  = .  β 
• Lấy một điểm M thuộc d M ∈ (α ). 2.2.11. Dạng 11
(α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( β ), (γ ) :
• Xác định các VTPT n ,n của (β ) và (γ ). β γ
• Một VTPT của (α ) là: n u  ,n  = .  β γ  2.2.12. Dạng 12
(α ) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
• Giả sử (α) có phương trình: Ax + By + Cz+D = 0 (A2 + B2 + C 2 ≠ 0).
• Lấy 2 điểm A, B ∈ (d ) ⇒ A, B ∈ (α ) (ta được hai phương trình ( ) 1 ,( ) 2 )
• Từ điều kiện khoảng cách d M
( ,(α)) = k , ta được phương trình (3).
• Giải hệ phương trình ( ) 1 ,( ) 2 ,( )
3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 2.2.13. Dạng 13
(α ) là tiếp xúc với mặt cầu (S)tại điểm H :
• Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
• Một VTPT của (α ) là: n = IH Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 72 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (P′) : A x ′ + B y ′ + C z ′ + D′ = 0. Khi đó:
• (P) cắt (P′) ⇔ A : B : C A′ : B′ : C .′ A B C D
• (P) // (P′) ⇔ = = ≠ . ABCDA B C D
• (P) ≡ (P′) ⇔ = = = . ABCD
• (P) ⊥ (P′) ⇔ n nn .n
= 0 ⇔ AA′ + BB′ + CC′ = 0. ′ ′ (P) (P ) (P) (P )
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M (x ; y ; z
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 0 0 0 0 ) đến mặt phẳng là ( + + + ,(α) = 0 ) Ax By Cz D d M 0 0 0
A2 + B2 + C 2
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng  ,
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P ) MH n cung phuong ⇔  . H  ∈ P ( ) 
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm M ' đối xứng với điểm M qua (P ) ⇔ MM ′ = 2MH
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng
(α ), (β ) có phương trình: (α ) : Ax + B y +C z + D = 0 1 1 1 1
(β ) : A x + B y +C z + D = 0 2 2 2 2
Góc giữa (α ), (β ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2 + + cos ((α),(β ) n n . A A B B C C 1 2 1 2 1 2 1 2 ) = = n . n
A2 + B2 + C 2 . A2 + B2 + C 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Chú ý: 0 ≤ (α) (β) ( ) 0 0 ,
≤ 90 ; (α) ⊥ (β ) ⇔ A A + B B + C C = 0 1 2 1 2 1 2
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng ( ) α : Ax +By C
+ z +D = 0 và mặt cầu (S) x a 2 + y b 2 + z c 2 = R2 : ( ) ( ) ( ) có tâm I
• (α ) và (S ) không có điểm chung ⇔ d I
( ,(α )) > R
• (α ) tiếp xúc với (S ) ⇔ d I
( ,(α )) = R với (α ) là tiếp diện Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 73 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S ) và vuông góc với (α ).
Tìm toạ độ giao điểm H của d và (α ) . H là tiếp điểm của (S ) với (α ).
• (α ) cắt (S ) theo một đường tròn ⇔ d I
( ,(α)) < R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S ) và vuông góc với (α ).
Tìm toạ độ giao điểm H của d và (α ) . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến của
(S ) với (α ).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R2 IH 2 = − 3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3.1.1.1. Ðịnh nghĩa

Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a ≠ 0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì
a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a = a ( ;a ;a ) 1 2 3 3.1.1.2. Chú ý
a là VTCP của d thì k a . k
( ≠ 0) cũng là VTCP của d
• Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d
• Trục Ox có vectơ chỉ phương a = i = (1; 0;0)
• Trục Oy có vectơ chỉ phương a = j = (0;1; 0)
• Trục Oz có vectơ chỉ phương a = k = (0;0;1)
3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a = a ( ;a ;a ) 0 0 0 0 1 2 3 z a làm VTCP là : (∆) M 0
M (x, y, z) y x  = x + ta 0 1  O (∆) : y  = y + ta R 0 2 (t )
z = z + ta x  0 3
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận a = a ( ;a ;a ) 0 0 0 0 1 2 3 x x y y z z làm VTCP là ∆ 0 ( ) : = 0 =
0 (a ,a ,a ≠ 0 1 2 3 ) a a a 1 2 3 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 74 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
M a (∆) (∆) a n n n M M (∆) a a a a
3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý x
 = x + a t (1) 0 1 
Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (∆) : y
 = y + a t (2) có VTCP a = a ( ;a ;a ) và 0 2  1 2 3
z = z + a t (3)  0 3 qua M x
( ;y ;z ) và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = A ( ;B C ; ) 0 0 0 0 Khi đó : • ( )
∆ ∩(α) ⇔ a.n ≠ 0 ⇔ Aa + Ba + Ca ≠ 0 1 2 3  aa.n = 0 
Aa + Ba + Ca = 0 n • ( ) / /(α) 1 2 3   ∆ ⇔  ⇔  M P
Ax + By +Cz ≠ 0 0 ( ) 0 0 0     a   .n = 0 
Aa + Ba + Ca = 0 a • ( ) (α) 1 2 3   ∆ ⊂ ⇔  ⇔  M P
Ax + By +Cz = 0 0 ( ) 0 0 0     Đặc biệt
( ) ( α ) ⇔ a n cùng phương ⇔ a : a : a = A : B : C 1 2 3
3.2.1.1. Phương pháp đại số pt( ) ∆
Muốn tìm giao điểm M của (∆) và (α ) ta giải hệ phương trình: 
tìm x,y,z. Suy ra: pt(α) 
M (x,y,z ) .
Thế (1),(2),(3) vào phương trình mp (P ) và rút gọn dưa về dạng: at + b = 0 (*)
d cắt mp(P) tại một điểm ⇔ pt ( )
* có một nghiệm t .
d song song với (P) ⇔ pt ( ) * vô nghiệm.
d nằm trong (P ) ⇔ Pt (*) có vô số nghiệm t .
d vuông góc (P ) ⇔ a n cùng phương
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ ∆ 1 u 1 ' M a M M 0 0 u ∆ 0 1 b M ' M u u' 0 ∆ 0 ∆ ∆ u' ∆ 1 2 u' 2 2 ' M M ' M 0 ∆ 0 0 2 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 75 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: ∆ đi qua M và có một vectơ chỉ phương u . 1 1
∆ đi qua N và có một vectơ chỉ phương u . 2 2 • ∆ ≡ ∆ u ,uu , MN  ⇔   = =   0. 1 2 1 2  1   u  ,u  =   0 1 2 • ∆ / / ∆ ⇔  . 1 2  u  , MN ≠ 0  1  
u ,u  ≠ 0 • ∆ cắt ∆ 1 2 ⇔  . 1 2 
u ,u  .MN = 0 1 2
• ∆ và ∆ chéo nhau ⇔ u ,u  .MN ≠   0. 1 2 1 2
3.2.2.2. Phương pháp đại số pt(∆ )
Muốn tìm giao điểm M của (∆
) va ( ∆ ) ta giải hệ phương trình : 1 
tìm x,y,z. 1 2 pt(∆ )   2
Suy ra: M (x,y,z )
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x  = x +a t (1) 0 1 
Cho đường thẳng d : y
 = y + a t (2) và mặt cầu (S ) : x a 2 + y
( − b 2 + z c 2 = R2 ( ) ) ( ) có tâm 0 2
z = z +a t (3)  0 3 I a
( ;b;c) , bán kính R.
3.2.3.1. Phương pháp hình học • Bước 1:
Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S ) đến đường thẳng d IM a. 0   h = d I ( ,d) = a • Bước 2: So sánh d I
( ,d) với bán kính R của mặt cầu: Nếu d I
( ,d) > R thì d không cắt (S ) Nếu d I
( ,d) = R thì d tiếp xúc (S ) Nếu d I
( ,d) < R thì d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt M, N MN vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Thế (1), (2), (3) vào phương trình (S ) và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t (*) • Nếu phương trình ( )
* vô nghiệm thì d không cắt (S)
• Nếu phương trình (*) có một nghiệm thì d tiếp xúc (S )
• Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d cắt (S ) tại hai điểm phân biệt M, N Chú ý:
Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 76 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.3. Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý
Trong không gian (Oxyz) cho hai mặt phẳng α, β xác
định bởi phương trình :
(α) : A x + B y + C z + D = 0 1 1 1 1
(β ) : A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) & (β ) ta có công thức:
A A + B B + C C 1 2 1 2 1 2 cosϕ =
A2 + B2 + C 2 . A2 + B2 + C 2 1 1 1 2 2 2
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ x x y y z z Cho đường thẳng 0 0 0 (∆) : = = a b c
và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) ∆ & (α )ta có công
Aa + Bb + Cc thức: sinϕ =
A2 + B2 + C 2 . a2 + b2 + c2
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng : x x y y z z ∆ 0 ( ) : = 0 = 0 1 a b c x xy yz z′ ∆ 0 ( ) : = 0 = 0 2 a' b' c'
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (∆ ) & (∆ ) ta có công 1 2
aa' + bb' + cc' thức: cosϕ =
a2 + b2 + c2 . a'2 + b'2 + c'2 3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M x
( ;y ;z ) 0 0 0 0
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) được tính 0
Ax + By + Cz + D bởi : d M 0 0 0 ( ; ) ∆ = 0 2 2 2 A + B + C Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 77 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và có 0 0 0 0 VTCP u = a
( ;b;c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (∆)
được tính bởi công thức: MM ;u 0 1   d M ( , ) ∆ = 1 u
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ Định lý:
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau : (∆ ) co VTCP u = a ( b ; ;c ) va qua M x ( ;y ;z ) 1 0 0 0 0 ' ' ' ' ' (∆ ) co VTCP u = a ( b ; ;c ) va qua M x' ( ;y' ;z' ) 2 0 0 0 0
Khi đó khoảng cách giữa (∆
) va ( ∆ ) được tính bởi 1 2   ' u,u ' M . M 0 0  
công thứcd(∆ , ∆ ) = 1 2 u  ;u '  
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.5.1. Dạng 1 x  = x +at o 1 
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và có VTCP a = a
( ;a ;a ) là d ( ) : y  = y +a t t ( ∈R). 0 0 0 0 1 2 3 o 2
z = z +a to 3 3.5.2. Dạng 2
d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d AB . 3.5.3. Dạng 3
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / /∆ nên VTCP 0 0 0 0
của ∆ cũng là VTCP của d . 3.5.4. Dạng 4
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước: Vì d ⊥ (P ) nên 0 0 0 0
VTPT của (P ) cũng là VTCP của d . 3.5.5. Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q): • Cách 1: Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 78 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
Tìm một điểm và một VTCP.  P ( )
Tìm toạ độ một điểm A d : bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá  Q ( )  trị cho một ẩn)
Tìm một VTCP của d : a n  ,n  = P Q  • Cách 2:
Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.5.6. Dạng 6
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2
d d , d d nên một VTCP của d là: a a  ,a  = 1 2  d d  1 2 3.5.7. Dạng 7
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ), vuông góc và cắt đường thẳng ∆ . 0 0 0 0 • Cách 1: H  ∈ ∆
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ . Thì  . Khi đó 0 MH u  0 ∆
đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H. 0 • Cách 2:
Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; (Q) là mặt phẳng đi qua A
chứa d. Khi đó d =( P ) ∩ (Q ) 3.5.8. Dạng 8
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2 • Cách 1:
Gọi M d , M d . Từ điều kiện M, M , M thẳng hàng ta tìm được M , M . Từ đó 1 1 2 2 1 2 1 2
suy ra phương trình đường thẳng d . • Cách 2: Gọi (P ) = M (
,d ), (Q ) = M (
,d ). Khi đó d = (P ) ∩ (Q ). Do đó, một VTCP của d có thể 0 1 0 2 chọn là a n  ,n  = . P Q 3.5.9. Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d ,d : 1 2
Tìm các giao điểm A = d ∩ (P ), B = d ∩ (P . 1 2 )
Khi đó d chính là đường thẳng AB. 3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d , mặt phẳng (Q )chứa ∆ và d . 1 2
Khi đó d = (P ) ∩ (Q ). Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 79 7 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 3.5.11. Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d chéo nhau: 1 2 • Cách 1: M  N d
Gọi M d , M d . Từ điều kiện 1 
, ta tìm được M, N. d 1 1 2 2
Khi đó, là đường MN ⊥  d  2 thẳng MN. • Cách 2:
d d d d nên một VTCP của d có thể là: a a  ,a  = . 1 2  d d  1 2
Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứad d , bằng cách: 1
Lấy một điểm A trên d . 1
Một VTPT của (P ) có thể là: n a  ,a  = . Pd  1
Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứad d . Khi đó d = (P ) ∩ (Q ). 2 3.5.12. Dạng 12
d là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P) thì ta Lập phương trình mặt phẳng
(Q ) chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P ) bằng cách: • Lấy M ∈ ∆ .
• Vì (Q ) chứa ∆ và vuông góc với (P ) nên n a  ,n  =   . QP
• Khi đó d = (P ) ∩ (Q ). 3.5.13. Dạng 13
d đi qua điểm M , vuông góc với d và cắt d : 1 2 • Cách 1:
Gọi N là giao điểm củad d . Từ điều kiện MN d , ta tìm được N . Khi đó, d là 2 1
đường thẳng MN. • Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d . 1
Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa M d . 2
Khi đó d = (P ) ∩ (Q ).
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
• Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
• Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 80 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
• Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
• Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
• Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
• Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm
M đến đường thẳng d • Cách 1:   MM,a
Cho đường thẳng d đi qua M và có VTCP a thì d M ( ,d 0 ) = 0 a • Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
d (M,d ) = MH. • Cách 3:
Gọi N (x; y; z ) ∈ d. Tính MN 2theo t t
( tham số trong phương trình đường thẳng d).
Tìm t để MN 2 nhỏ nhất.
Khi đó N H. Do đó d (M,d ) = MH.
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d d . Biết d đi qua điểm M1 và có VTCP a , d đi qua 1 2 1 1 2 a  ,a    M . M
điểm M và có VTCP a thì d d ( ,d 1 2 1 2 ) = 2 2 1 2 a  ,a   1 2  Chú ý:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d , d bằng khoảng cách giữa d với mặt 1 2 1
phẳng (α ) chứa d và song song với d . 2 1
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳngd với mặt phẳng (α ) song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm M bất kì trênd đến mặt phẳng (α ) . Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 81 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d , d lần lượt có các VTCP a ,a . 1 2 1 2 .
Góc giữa d , d bằng hoặc bù với góc giữa a ,a là: cos ( , = 1 2 ) a a a a 1 2 1 2 1 2 a . a 1 2
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a = a
( ;a ;a ) và mặt phẳng (α ) có VTPT n = A ( ;B C ; ) . 1 2 3
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α ) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d '
Aa + Ba + Ca
của nó trên (α ) là: sin d,(α) ( ) 1 2 3 = 2 2 2 2 2 2 A + B + C a + a + a 1 2 3 4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc

Phương trình của mặt cầu (S ) tâm I (a;b;c ), bán kính R là: S
x a 2 + y b 2 + z c 2 = R2 ( ) : ( ) ( ) ( ) (1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi I O thì C x 2 y2 z2 R2 ( ) : + + =
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình : x 2 + y2 + z 2 − a 2 x b 2 y c
2 z + d = 0 với a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình
của mặt cầu (S ) có tâm I (a;b;c ), bán kính R a2 b2 c2 = + + − d .
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S ) có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 S ( ) : x ( − a 2 ) + y ( − b 2 ) + z ( − c 2 ) = R2 Gọi d I
( ;α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S ) đến mặt phẳng α
Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ d = IH = d(I,(P)). d > R d = R d < R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu không có điểm chung.
(P) là mặt phẳng tiếp diện của theo thiết diện là đường tròn có tâm I
mặt cầu và H : tiếp điểm. và bán kính r R2 IH 2 = − Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 82 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4.3. Một số bài toán liên quan 4.3.1. Dạng 1
(S ) có tâm I (a;b;c) và bán kính R thì (S ) x a 2 + y b 2 + z c 2 = R2 : ( ) ( ) ( ) 4.3.2. Dạng 2
(S ) có tâm I (a;b;c) và đi qua điểm A thì bán kính R = IA. 4.3.3. Dạng 3
(S ) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x + x y + y z + z
• Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng: A B A B A B AB : x = ; y = ; z = I I I 2 2 2 AB
• Bán kính R = IA = . 2 4.3.4. Dạng 4
(S ) đi qua bốn điểm A,B,C,D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
• Giả sử phương trình mặt cầu (S ) có dạng: x2 + y2 + z2 + a 2 x + b 2 y + c
2 z + d = 0 (*).
• Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a,b,c,d ⇒ Phương trình mặt cầu (S ) . 4.3.5. Dạng 5
(S ) đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6
(S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước:
• Xác định tâm I và bán kính R ' của mặt cầu (T ) .
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S ) . (Xét
hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S ) x2 + y2 + z2 : + a 2 x + b 2 y + c 2 z + d = 0
với a2 + b2 + c2 − d > 0 thì (S ) có tâm I ( a – ; b – ; c – ) và bán kính R a2 b2 c2 = + + − d . Đặc biệt:
Cho hai mặt cầu S (I , R S (I , R . 2 2 2 ) 1 1 1 )
I I < R R ⇔ (S ), (S trong nhau 1 2 ) 1 2 1 2
I I > R + R ⇔ (S ), (S ngoài nhau 1 2 ) 1 2 1 2
I I = R R ⇔ (S ), (S tiếp xúc trong 1 2 ) 1 2 1 2
I I = R + R ⇔ (S ), (S tiếp xúc ngoài 1 2 ) 1 2 1 2
R R < I I < R + R ⇔ (S ), (S cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 tuyến). Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 83 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b;c) , tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước thì
bán kính mặt cầu R = d (I;(P )) 4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b;c) , cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích
đường tròn S = r 2 π
hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .
• Tính d = d (I,(P ))
• Tính bán kính mặt cầu R d2 r 2 = +
• Kết luận phương trình mặt cầu. 4.3.9. Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu (S ) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm
I (a;b;c) cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S ) ta có R = d (I,∆) . 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S ) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x ,y ,z o o o )
thuộc ∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau:
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆ .
• Toạ độ tâm I = (P ) ∩ ∆ là nghiệm của phương trình.
• Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆) .
• Kết luận về phương trình mặt cầu (S ) 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a;b;c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A,B thoả mãn điều kiện:
• Độ dài AB là một hằng số.
• Tam giác IAB là tam giác vuông.
• Tam giác IAB là tam giác đều. AB
Thì ta xác định d (I, ∆) = IH , vì I
AB cân tại I nên HB =
và bán kính mặt cầu R được 2 tính như sau: • R IH 2 HB2 = + IHR = o sin 45 IHR = o sin 60 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 84 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.
Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M .
x a 2 + y b 2 + z c 2 = R2 ( ) ( ) ( )
hoặc: x 2 + y2 + z2 + a 2 x + b 2 y + c
2 z + d = 0
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu x  = f t ( ) 
Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: y  = g t ( ) ( *) z  = h t() 
Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1. Dạng 1
Cho (P ) và hai điểm ,
A B. Tìm M ∈ (P )để (MA + MB ) ? min Phương pháp
• Nếu A B trái phía so với (P ) ⇒ M,A,B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P )
• Nếu A B cùng phía so với (P ) thì tìm B ' là đối xứng của B qua (P ) 5.2. Dạng 2
Cho (P ) và hai điểm ,
A B. Tìm M ∈ (P ) để MA MB ? max Phương pháp
• Nếu A B cùng phía so với (P ) ⇒ M,A,B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P )
• Nếu A B trái phía so với (P ) thì tìm B ' là đối xứng của B qua (P )
MA MB ' = AB ' 5.3. Dạng 3
Cho điểm M (x ;y ;z (P) M M
M ) không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình
qua M và cắt 3 tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho V nhỏ nhất? O A . BC Phương pháp ( ) x y z P : + + = 1 x 3 y 3 z 3 M M M 5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm M d
đến (P ) là lớn nhất? Qua AdPhương pháp (P) :      n  (P) = ud,AM ,ud      Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 85 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khảng lớn nhất ? Q  uaA Phương pháp (P) :  n  (P) = AM5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d , sao cho (P ) tạo với ∆ ( ∆ không
song song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ? Qua AdPhương pháp (P) :      n  (P) =
ud,u∆ ,ud      5.7. Dạng 7
Cho ∆ / / (P ) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) song song với ∆ và cách ∆
một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Qua A ′ 
Lấy A ∈ ∆ , gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A trên (P ) thì d :  . ud  = u∆  5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng (P )cho
trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất ( AM không vuông góc với (P) ) ? Qua AdPhương pháp d :  u   d = n  (P), AM    5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng (P ) cho trước
sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất ( AM không vuông góc với (P ) )? Qua AdPhương pháp d :      ud = n
(P), AM ,n(P)      5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong (P )
và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất ( ∆ cắt nhưng không vuông góc với (P ) )? Phương pháp Qua Add :      ud = n
(P), AM ,n(P)      Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 86 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 MỤC LỤC
PHẦN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.. 1
I. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 1
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 3
III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ............................................. 5
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................................... 9
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.......................................................................... 10
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ....................................................... 11
VII. TIẾP TUYẾN ............................................................................................................................. 15
VIII. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .......................................................................................................... 17
IX. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG .......................................................................... 18
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT ..................................................................................... 22
I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ...................................................................................... 22
II. LOGARIT ..................................................................................................................................... 24
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. ............................................................................ 25
IV. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ..................................................................................... 26
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .............. 28
1. NGUYÊN HÀM............................................................................................................................ 28
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM ........................................................................ 30
3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 32
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ........................................................................................ 33
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ........................................................................ 34
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 40
PHẦN IV. SỐ PHỨC ................................................................................................... 42
1. SỐ PHỨC ...................................................................................................................................... 42
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC ............................................................................ 43
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 43 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 87 8 TÀI I LIỆ I U Ệ HỌ H C Ọ TẬP TOÁ O N N 12
TÓM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC...................................................................... 44
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC ......................................... 44
PHẦN V. KHỐI ĐA DIỆN ......................................................................................... 45
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP .......................................................................................... 45
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN .......................................................... 45
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU..................................................................................................... 46
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ............................................................... 47
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .................................................................................................................... 47
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................................ 48
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG .......................................................................................... 49
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP ............ 50
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN .............................................................. 53
PHẦN VI. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU..................................................... 54
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................................ 54
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................................. 55
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................................. 56
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ..................................................................... 57
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU .............................. 61
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ................................... 66
PHẦN VII. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ........................ 68
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ...................................................................................................... 68
2. MẶT PHẲNG ............................................................................................................................... 70
3. ĐƯỜNG THẲNG......................................................................................................................... 74
4. MẶT CẦU ..................................................................................................................................... 82
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ..................................................... 85 Gv. v .Tr T ần n Quố u c ố N gh g ĩ h a (S ( ưu u tầm & & b iên n tập) p – ĐT: T :09 0 8 9 37 3 3 7 3 434 3 9 Tr T a r ng n g 88 8