Tóm tắt lý thuyết chương 1 Xác suất - Xác suất thống kê (MI2020) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kết cục khác nhau

44 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

5 trang 3 tháng trước

Tác giả:

Profile Tin Hin
lOMoARcPSD| 45254322
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1.
XÁC SUẤT
1.1 C c kh i niệm cơ bản
1.1.1 Ph p thử, sự kiện
- Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều
kết cục khác nhau.
- Tập hợp các kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu, ký hiệu là S.
- Mỗi kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là một sự kiện sơ cấp.
- Một sự kiện là một tập hợp con của không gian mẫu, tức là tập một số kết cục của phép thử
1.1.2 Quan hệ v c c ph p to n của c c sự kiện
- Hợp (tổng) của 2 sự kiện A v B, k hiệu bởi A∪B (hoặc A+B) l sự kiện xảy ra khi t nhất
một trong 2 sự kiện A hoặc B xảy ra.
- Giao (t ch) của 2 sự kiện A v B, k hiệu l A ∩ B (hoặc AB), l sự kiện xảy ra khi cả A v B
đồng thời xảy ra.
- Hai sự kiện A v B gọi l xung khắc nếu A v B kh ng thể đồng thời xảy ra. nghĩa l A ∩ B =
AB = ∅.
- Đối lập của sự kiện A, k hiệu l A
c
hoặc , l sA
¯
ự kiện xảy ra khi A kh ng xảy ra.
- Sự kiện A trừ sự kiện B, k hiệu l A\B, l sự kiện xảy ra khi A xảy ra v B kh ng xảy ra.
- Sự kiện A k o theo sự kiện B, k hiệu l A⊂B hoặc A⇒B nếu sự kiện A xảy ra th sự kiện B
cũng xảy ra.
- Hai sự kiện A v B gọi l tương đương (bằng nhau), k hiệu l A = B, nếu A⊂B v
B⊂A
1.1.3 Giải t ch kết hợp
- Quy tắc nh n: Để ho n th nh một c ng việc, ta cần thực hiện li n tiếp k h nh động, h nh động
1 c n
1
c ch thực hiện, h nh động 2 c n
2
c ch thực hiện, , h nh động k c n
k
c ch thực hiện.
Khi đ c tổng số n
1
n
2
…n
k
c ch thực hiện c ng việc.
- Chỉnh hợp chập k từ n phần tử l một nh m c thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đ cho.
Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử l :
k
= n(n − 1)...(n − k + 1) = n!
A
n
(n − k)!
!!! Chỉnh hợp chập k từ n phần tử: c thứ tự, kh ng lặp lại.
lOMoARcPSD| 45254322
- Chỉnh hợp chập n từ n phần tử gọi l ho n vị của n phần tử (ho n vị của n l một nh m gồm n
phần tử được sắp xếp theo thứ tự). Số ho n vị của n phần tử l :
P
n
= A
n
n
= n(n − 1)...2.1 = n!
- Tổ hợp chập k từ n phần tử l một nh m (kh ng ph n biệt thứ tự) gồm k phần tử kh c nhau
lấy từ n phần tử đ cho. Số c c tổ hợp chập k của n l :
k
= n!
C
n
k!(n − k)!
!!! Tổ hợp chập k từ n phần tử: Kh ng lặp lại, kh ng thứ tự.
- Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử l một nh m c thứ tự gồm k phần tử c thể giống nhau lấy
từ n đ cho. Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử l A¯
k
n
= n
k
.
1.2 C c định nghĩa x c suất
1.2.1 Định nghĩa cổ điển của x c suất
- Định nghĩa cổ điển của x c suất p dụng cho c c ph p thử c hữu hạn kết cục đồng khả năng
(tức l c c kết cục c khả năng xảy ra như nhau).
- X t một ph p thử đồng khả năng với kh ng gian mẫu Ω (hoặc ) c phS n ần tử (kết
cục):
x c suất xảy ra của mỗi kết cục l 1/n. Khi đ x c suất hiện sự kiện A l :
m
P(A) = , với m l số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục nằm trong A) n
1.2.2 Định nghĩa x c suất theo tần suất (định nghĩa thống k )
- Để t nh x c suất của sự kiện A trong một ph p thử, ta c thể xấp xỉ bằng tần suất xuất hiện A
như sau:
Ta thực hiện ln ần ph p thử, gọi n
A
l số lần sự kiện A xảy ra (gọi l tần số xuất hiện A). Tần
suất xuất hiện A l :
n
A
f
n
(A) =
n
Theo luật số lớn th :
lim f
n
(A) = P(A)
n→+∞
n
A
Khi đ nếu n đủ lớn th P(A) ≈ f
n
(A) = . n
lOMoARcPSD| 45254322
1.2.3 Định nghĩa x c suất theo ti n đề
X t một ph p thử với kh ng gian mẫu Ω bất kỳ. Gọi 𝒜 l tập c c sự kiện tr n Ω (tức tập c c tập
con của Ω). Một h m P : 𝒜→ [0;1] thoả m n 3 ti n đề sau:
i) P(A) ≥ 0,∀A ∈𝒜
ii) P(Ω) = 1
iii) Nếu A, B xung khắc th P(A ∪ B) = P(A) + P(B) th gP ọi
l một x c suất (định nghĩa theo ti n đề).
1.2.4 T nh chất của x c suất
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1,∀A ∈𝒜 ii)
P(Ω) = 1; P(∅) = 0
iii) Nếu A, B xung khắc th P(A ∪ B) = P(A) + P(B) iv) P(A¯)
= 1 − P(A)
v) Nếu A ⊂ B th P(A) ≤ P(B).
1.3 C c c ng thức t nh x c suất
1.3.1 C ng thức phần b : P(A
¯
) = 1 − P(A)
1.3.2 C ng thức cộng x c suất:
¥ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
¥ Nếu A v B xung khắc (i.e, A ∩ B = ∅) th P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
¥ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
¥ Tổng qu t,
n
P (A
i
A
j
) + ∑ P(A
i
A
j
A
k
) − … + (−1)
n−1
P(A
1
A
2
…A
n
) i=1 i<j
i<j<k
1.3.3 C ng thức x c suất c điều kiện: X c suất c điều kiện của sự kiện A với điều kiện B k hiệu l
P(A|B), l x c suất cảu A khi biết B đ xảy ra v t nh bằng c ng thức sau:
P(AB)
P(A|B) = P(B)
1.3.4 C ng thức nh n x c suất:
¥ P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
¥ P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
¥ Tổng qu t, P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
|A
1
)P(A
3
|A
1
A
2
)…P(A
n
|A
1
…A
n−1
)
lOMoARcPSD| 45254322
¥ A v B được gọi l độc lập nếu P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B) hoặc P(AB) = P(A)P(B)
¥ Tổng qu t, A
1
, A
2
,…, A
n
độc lập từng đi nếu P(A
i
A
j
) = P(A
i
)P(A
j
),∀i ≠ j
1.4 C ng thức x c suất to n phần v c ng thức Bayes
1.4.1 C ng thức x c suất to n phần
¥ Cho 2 sự kiện A v B, khi đ
P(B) = P(AB) + P(AB¯ ) = P(A)P(B|A) + P(A¯)P(B|A¯)
¥ Cho kh ng gian c c sự kiện {A
1
, A
2
,…, A
m
} với P[A
i
] > 0 với mọi v si ự kiện A, c ng thức x c
suất to n phần để t nh x c suất của A l
P(A) = P(AA
1
) + P(AA
2
) + … + P(AA
n
)
= P(A
1
)P(A|A
1
) + P(A
2
)P(A|A
2
) + … + P(A
n
)P(A|A
n
)
1.4.2 C ng thức Bayes
¥ Cho 2 sự kiện A v B, khi đ x c suất hậu nghiệm P(A|B) l :
P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)
P(A|B) = =
P(B) P(A)P(B|A) + P(A¯)P(B|A¯)
¥ Cho kh ng gian c c sự kiện {A
1
, A
2
,…, A
m
} với P[A
i
] > 0 với mọi v si ự kiện A, x c suất hậu
nghiệm P(A
i
|A) l :
P(A
i
)P(A|A
i
) P(A
i
)P(A|A
i
)
P(A
i
|A) = =
P(A) P(A
1
)P(A|A
1
) + P(A
2
)P(A|A
2
) + … + P(A
n
)P(A|A
n
)
1.5 C ng thức Bernoulli
- Một d y ph p thử Bernoulli l d y ph p thử độc lập, mỗi ph p thử c 2 kết quả l th nh c ng v thất bại ,
x c suất th nh c ng ở c c ph p thử l bằng nhau v bằng .p
- Khi đ x c suất để trong d y gồm ph p thn ử Bernoulli c đng k lần th nh c ng l :
Pn(k) = Cnk pk(1 − p)n−k
- Khi n lớn v p rất nhỏ th ta c thể xấp xỉ Poa-x ng:
(np)k
P
n
(k) = C
n
k pk(1 − p)n−k ≈ e−np k!
lOMoARcPSD| 45254322
ϕ
- Khi n lớn v p kh ng qu b v qu lớn th ta c thể xấp xỉ chuẩn:
k
p
k
(1 − p)
n−k
≈ φ(x
k
) , với
x
k
= k
−
np v
φ(x) = 1 e
− x
2
2
l h m Gao-xơ (bảng
P
n
(k) =
C
n
npq npq
1).
- Khi n lớn v p kh ng qu b v qu lớn th ta c thể xấp xỉ chuẩn:
k2 kj − np 1 x t2
Pn(k1, k2) = ∑ Cnk pk(1 − p)n−k ≈ϕ(x2) −ϕ(x1), với xj = v dt npq 2π 0 k=k
1
l h m L p-la-xơ (bảng 2).
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 45254322
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT
1.1 C c kh i niệm cơ bản
1.1.1 Ph p thử, sự kiện
- Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kết cục khác nhau.
- Tập hợp các kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu, ký hiệu là S.
- Mỗi kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là một sự kiện sơ cấp.
- Một sự kiện là một tập hợp con của không gian mẫu, tức là tập một số kết cục của phép thử
1.1.2 Quan hệ v c c ph p to n của c c sự kiện
- Hợp (tổng) của 2 sự kiện A v B, k hiệu bởi A∪B (hoặc A+B) l sự kiện xảy ra khi t nhất
một trong 2 sự kiện A hoặc B xảy ra.
- Giao (t ch) của 2 sự kiện A v B, k hiệu l A ∩ B (hoặc AB), l sự kiện xảy ra khi cả A v B đồng thời xảy ra.
- Hai sự kiện A v B gọi l xung khắc nếu A v B kh ng thể đồng thời xảy ra. nghĩa l A ∩ B = AB = ∅.
- Đối lập của sự kiện A, k hiệu l Ac hoặc , l sA¯ ự kiện xảy ra khi A kh ng xảy ra.
- Sự kiện A trừ sự kiện B, k hiệu l A\B, l sự kiện xảy ra khi A xảy ra v B kh ng xảy ra.
- Sự kiện A k o theo sự kiện B, k hiệu l A⊂B hoặc A⇒B nếu sự kiện A xảy ra th sự kiện B cũng xảy ra.
- Hai sự kiện A v B gọi l tương đương (bằng nhau), k hiệu l A = B, nếu A⊂B v B⊂A
1.1.3 Giải t ch kết hợp
- Quy tắc nh n: Để ho n th nh một c ng việc, ta cần thực hiện li n tiếp k h nh động, h nh động
1 c n1 c ch thực hiện, h nh động 2 c n2 c ch thực hiện, , h nh động k c nk c ch thực hiện.
Khi đ c tổng số n1n2…nk c ch thực hiện c ng việc.
- Chỉnh hợp chập k từ n phần tử l một nh m c thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đ cho.
Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử l :
k = n(n − 1)...(n − k + 1) = n! An (n − k)!
!!! Chỉnh hợp chập k từ n phần tử: c thứ tự, kh ng lặp lại. lOMoAR cPSD| 45254322
- Chỉnh hợp chập n từ n phần tử gọi l ho n vị của n phần tử (ho n vị của n l một nh m gồm n
phần tử được sắp xếp theo thứ tự). Số ho n vị của n phần tử l : P n
n = An = n(n − 1)...2.1 = n!
- Tổ hợp chập k từ n phần tử l một nh m (kh ng ph n biệt thứ tự) gồm k phần tử kh c nhau
lấy từ n phần tử đ cho. Số c c tổ hợp chập k của n l : k = n! Cn
k!(n − k)!
!!! Tổ hợp chập k từ n phần tử: Kh ng lặp lại, kh ng thứ tự.
- Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử l một nh m c thứ tự gồm k phần tử c thể giống nhau lấy
từ n đ cho. Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử l A¯kn = nk.
1.2 C c định nghĩa x c suất
1.2.1 Định nghĩa cổ điển của x c suất
- Định nghĩa cổ điển của x c suất p dụng cho c c ph p thử c hữu hạn kết cục đồng khả năng
(tức l c c kết cục c khả năng xảy ra như nhau).
- X t một ph p thử đồng khả năng với kh ng gian mẫu Ω (hoặc ) c phS n ần tử (kết cục):
x c suất xảy ra của mỗi kết cục l 1/n. Khi đ x c suất hiện sự kiện A l : m
P(A) = , với m l số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục nằm trong A) n
1.2.2 Định nghĩa x c suất theo tần suất (định nghĩa thống k )
- Để t nh x c suất của sự kiện A trong một ph p thử, ta c thể xấp xỉ bằng tần suất xuất hiện A như sau:
Ta thực hiện ln ần ph p thử, gọi nA l số lần sự kiện A xảy ra (gọi l tần số xuất hiện A). Tần suất xuất hiện A l : nA fn(A) = n Theo luật số lớn th :
lim fn(A) = P(A) n→+∞ nA
Khi đ nếu n đủ lớn th P(A) ≈ fn(A) = . n lOMoAR cPSD| 45254322
1.2.3 Định nghĩa x c suất theo ti n đề
X t một ph p thử với kh ng gian mẫu Ω bất kỳ. Gọi 𝒜 l tập c c sự kiện tr n Ω (tức tập c c tập
con của Ω). Một h m P : 𝒜→ [0;1] thoả m n 3 ti n đề sau: i)
P(A) ≥ 0,∀A ∈𝒜 ii) P(Ω) = 1
iii) Nếu A, B xung khắc th P(A ∪ B) = P(A) + P(B) th gP ọi
l một x c suất (định nghĩa theo ti n đề).
1.2.4 T nh chất của x c suất i)
0 ≤ P(A) ≤ 1,∀A ∈𝒜 ii)
P(Ω) = 1; P(∅) = 0
iii) Nếu A, B xung khắc th P(A ∪ B) = P(A) + P(B) iv) P(A¯) = 1 − P(A) v)
Nếu A ⊂ B th P(A) ≤ P(B).
1.3 C c c ng thức t nh x c suất
1.3.1 C ng thức phần b : ¯
P(A ) = 1 − P(A)
1.3.2 C ng thức cộng x c suất:
¥ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
¥ Nếu A v B xung khắc (i.e, A ∩ B = ∅) th P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
¥ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C) ¥ Tổng qu t, n P
( AiAj) + ∑ P(AiAjAk) − … + (−1)n−1P(A1A2…An) i=1 i<j
i<j<k
1.3.3 C ng thức x c suất c điều kiện: X c suất c điều kiện của sự kiện A với điều kiện B k hiệu l
P(A|B), l x c suất cảu A khi biết B đ xảy ra v t nh bằng c ng thức sau: P(AB) P(A|B) = P(B)
1.3.4 C ng thức nh n x c suất:
¥ P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
¥ P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
¥ Tổng qu t, P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1…An−1) lOMoAR cPSD| 45254322
¥ A v B được gọi l độc lập nếu P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B) hoặc P(AB) = P(A)P(B)
¥ Tổng qu t, A1, A2,…, An độc lập từng đi nếu P(AiAj) = P(Ai)P(Aj),∀i ≠ j
1.4 C ng thức x c suất to n phần v c ng thức Bayes
1.4.1 C ng thức x c suất to n phần
¥ Cho 2 sự kiện A v B, khi đ
P(B) = P(AB) + P(AB¯
) = P(A)P(B|A) + P(A¯)P(B|A¯)
¥ Cho kh ng gian c c sự kiện {A1, A2,…, Am} với P[Ai] > 0 với mọi v si ự kiện A, c ng thức x c
suất to n phần để t nh x c suất của A l
P(A) = P(AA1) + P(AA2) + … + P(AAn)
= P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + … + P(An)P(A|An)
1.4.2 C ng thức Bayes
¥ Cho 2 sự kiện A v B, khi đ x c suất hậu nghiệm P(A|B) l :
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A) P(A|B) = = P(B)
P(A)P(B|A) + P(A¯)P(B|A¯)
¥ Cho kh ng gian c c sự kiện {A1, A2,…, Am} với P[Ai] > 0 với mọi v si
ự kiện A, x c suất hậu
nghiệm P(Ai|A) l :
P(Ai)P(A|Ai)
P(Ai)P(A|Ai)
P(Ai|A) = = P(A)
P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + … + P(An)P(A|An)
1.5 C ng thức Bernoulli
- Một d y ph p thử Bernoulli l d y ph p thử độc lập, mỗi ph p thử c 2 kết quả l th nh c ng v thất bại ,
x c suất th nh c ng ở c c ph p thử l bằng nhau v bằng .p
- Khi đ x c suất để trong d y gồm ph p thn ử Bernoulli c đng k lần th nh c ng l :
Pn(k) = Cnk pk(1 − p)n−k
- Khi n lớn v p rất nhỏ th ta c thể xấp xỉ Poa-x ng: (np)k
Pn(k) = Cnk pk(1 − p)n−k ≈ e−np k! lOMoAR cPSD| 45254322
- Khi n lớn v p kh ng qu b v qu lớn th ta c thể xấp xỉ chuẩn: k −
pk(1 − p)n−k ≈ φ(xk) , với xk = k np v
φ(x) = 1 e− x 2 2 l h m Gao-xơ (bảng P C n(k) = n npq npq 1).
- Khi n lớn v p kh ng qu b v qu lớn th ta c thể xấp xỉ chuẩn: k2 kj − np 1 x t2
Pn(k1, k2) = ∑ Cnk pk(1 − p)n−k ≈ϕ(x2) −ϕ(x1), với xj = v dt npq 2π 0 k ϕ =k 1 l h m L p-la-xơ (bảng 2).