Tóm tắt lý thuyết và bài tập - Công nghệ thông tin | Trường Đại học Quy Nhơn
Tóm tắt lý thuyết và bài tập - Công nghệ thông tin | Trường Đại học Quy Nhơn được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Công nghệ thông tin (BLA2001)
Trường: Đại học Quy Nhơn
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN và THỐNG KÊ GIẢI TÍCH 1
Tóm tắt lý thuyết và bài tập
Dùng cho khoa: Kỹ thuật - Công nghệ Bình Định - 2021 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 TẬP HỢP
Tập hợp là một khái niệm cơ bản (nguyên thủy, không có định nghĩa) của toán học.
Trong toán học, chúng ta đã biết tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số nguyên Z, tập hợp các
số hữu tỉ Q, tập hợp các số thực R, tập hợp các điểm của một đoạn thẳng, tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẳng,...
Tập hợp chứa các phần tử. Phần tử a của tập hợp A viết là a ∈ A (đọc là a thuộc A). Để chỉ b
không phải là phần tử của tập hợp A ta viết b / ∈ A (b không thuộc A).
Có thể cho một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó, ví dụ X = {x, y, z, ...} hoặc chỉ ra
tính chất chung của các phần tử, ví dụ X = {x ∈ R | x có tính chất a}.
Tập A là một tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B, kí hiệu A ⊆ B.
Nếu A là tập con của B và B có ít nhất 1 phần tử không thuộc A thì ta nói A là tập con thực sự của B, kí hiệu A ⊂ B.
Tập A và tập B là hai tập bằng nhau nếu các phần tử của tập này cũng là các phần tử của tập
kia, hay: A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) (kí hiệu ∧ đọc là và).
Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, kí hiệu Ø. Tập Ø là con của mọi tập hợp. Cần phân biệt
Ø 6= {Ø} ({Ø} có 1 phần tử, phần tử đó là Ø).
Một số kí hiệu logic thường dùng: ⇒: suy ra, kéo theo
⇐⇒: tương đương, khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu
∀ : với mọi (viết ngược của A trong All)
∃ : tồn tại (viết ngược của E trong Existence) ∨ : hoặc ∧ : và
Giao (Intersection) của hai tập A và B là tập hợp chứa tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc
B, kí hiệu A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Hợp (Union) của hai tập A và B là tập hợp chứa tất cả các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B,
kí hiệu A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Hiệu (Difference) của hai tập A và B là tập hợp chứa các phần tử thuộc A nhưng không thuộc
B, kí hiệu A \ B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Phần bù (Complement) của B trong A là tập hợp chứa các phần tử thuộc A nhưng không thuộc
B trong trường hợp B ⊆ A (tập hợp mà khi lấy hợp (bù) với tập B sẽ thu được tập A), kí hiệu CAB := {x | x ∈ A ∧ x / ∈ B, B ⊆ A}.
Phép giao, hợp và phần bù thỏa mãn các tính chất:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) CA(B ∪ C) = CAB ∩ CAC CA(B ∩ C) = CAB ∪ CAC
Tích Decartes của A và B là tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ tự (a, b) với a ∈ A, b ∈ B, kí hiệu A × B.
Tập nghiệm của một mệnh đề chứa biến, phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình là
tập hợp các giá trị của biến sao cho mệnh đề chứa biến, phương trình, bất phương trình hay hệ
phương trình đó trở thành mệnh đề đúng.
Ánh xạ f từ tập D sang tập E là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử của D với một phần tử
xác định của E, kí hiệu: f : D → E. D gọi là tập gốc (tập nguồn), E gọi là tập ảnh (tập đích). Phần
tử y ∈ E tương ứng với phần tử x ∈ D qua ánh xạ f được viết là y = f(x), kí hiệu: x 7→ y = f(x).
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ E thì có nhiều nhất một phần tử x ∈ D sao cho y = f (x).
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mọi y ∈ E thì có ít nhất một phần tử x ∈ D sao cho y = f (x).
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu với mọi y ∈ E thì có duy nhất một phần tử x ∈ D sao cho
y = f (x). Như vậy một song ánh là một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Hai tập D và E gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh f : D → E, kí hiệu: D ∼ E.
Tập A được gọi là hữu hạn nếu A tương đương với tập I = {1, 2, 3, ...n}. Kí hiệu card(A) = n (đọc
là lực lượng (cardinality) của tập A bằng n).
Tập A được gọi là đếm được nếu A tương đương với tập các số tự nhiên N, ta viết card(A) = card(N). 1.2 TẬP CÁC SỐ THỰC
Ta đã biết tập các số tự nhiên N := {0, 1, 2, ..., n, ...}.
Để mở rộng lớp nghiệm của phương trình x + n = 0 (n ∈ N) ta định nghĩa thêm tập các số nguyên
Z := {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...}.
Để mở rộng lớp nghiệm của phương trình mx + n = 0 (m, n ∈ Z) ta định nghĩa thêm tập các số hữu m tỉ Q := {x | x =
, n 6= 0, m, n ∈ Z, m, n chỉ có ước chung là ± 1}. n
Ta có N ⊂ Z ⊂ Q; Z ∼ N, Q ∼ N; Z, Q là những tập vô hạn đếm được.
Để mở rộng lớp nghiệm của các phương trình khác như x2 = 2, hay để xác định các số không phải là √ √
hữu tỉ xuất hiện trong tự nhiên như π, e, .., ta định nghĩa thêm tập các số vô tỉ I := {π, e, 2, 3, ...}.
Tập tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là R. Như vậy R = Q ∪ I. 1
Các số hữu tỉ đều được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn (ví dụ = 0, 25) hoặc số thập 4 1 1
phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ = 0, 33333... = 0, (3);
= 0, 14285714285714... = 0, (142857)). 3 7
Các số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn (ví dụ π = √
3, 141592654..., e = 2, 718281828..., 2 = 1, 414213562...).
Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Tập số thực R là tập vô hạn không đếm được và ta gọi card(R) là continum.
Tập số thực R là một trường thỏa mãn các tiên đề sau:
• Tiên đề về cấu trúc trường: Trong R xây dựng được hai luật hợp thành trong là phép cộng
(+) và phép nhân (.) thỏa mãn các tính chất:
1. Tính giao hoán: a + b = b + a; a.b = b.a (∀a, b ∈ R)
2. Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c); (a.b).c = a.(b.c) (∀a, b, c ∈ R)
3. Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c; (a + b).c = 3 a.c + b.c (∀a, b, c ∈ R)
4. Phép cộng có phần tử trung hòa, kí hiệu là 0: a + 0 = 0 + a = a (∀a ∈ R)
Phép nhân có phần tử trung hòa, kí hiệu là 1: a.1 = 1.a = a (∀a ∈ R)
5. Mọi phần tử a ∈ R đều có phần tử đối, kí hiệu là −a: a + (−a) = (−a) + a = 0.
Mọi phần tử a ∈ R, a 6= 0 đều có phần tử nghịch đảo, kí hiệu là a−1: a.a−1 = a−1.a = 1.
• Tiên đề về quan hệ thứ tự toàn phần: Trong R xây dựng được quan hệ thứ tự toàn phần ≤,
tương thích với cấu trúc trường:
x ≤ y tương đương với x + a ≤ y + a (∀a ∈ R); ax ≤ ay nếu a > 0 x ≤ y tương đương với ax ≥ ay nếu a < 0
• Tiên đề cận trên đúng (về tính đầy đủ của R): Mọi tập hợp a ⊆ R không rỗng, bị chặn trên
đều có cận trên đúng thuộc R.
Tương tự, mọi tập hợp a ⊆ R không rỗng, bị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc R.
Số thực x được gọi là cận trên của tập hợp A ∈ R nếu ∀a ∈ A, a ≤ x. Tương tự, số thực x
được gọi là cận dưới của tập hợp A ∈ R nếu ∀a ∈ A, a ≥ x.
Tập có cận trên gọi là tập bị chặn trên. Tập có cận dưới gọi là tập bị chặn dưới. Tập vừa
bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là tập bị chặn.
Cận trên bé nhất (nếu có) của tập A gọi là cận trên đúng của A, kí hiệu sup A. Cận dưới
lớn nhất (nếu có) của tập A gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu inf A.
Chú ý rằng sup A và inf A có thể thuộc A hoặc cũng có thể không thuộc A. Nếu sup A ∈ A
thì sup A là phần tử lớn nhất của A, kí hiệu max A. Nếu inf A ∈ A thì inf A là phần tử bé
nhất của A, kí hiệu min A.
Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu |x|, là một số thực được định nghĩa như sau: x nếu x ≥ 0 |x| = −x nếu x < 0 Tính chất: a |a| |a.b| = |a|.|b|; =
(b 6= 0); |a + b| ≤ |a| + |b|; |a − b| ≥ ||a| − |b|| b |b|
Trục số thực là một biểu diễn hình học của tập số thực R, có dạng là một đường thẳng nằm ngang,
trên đó xác định một điểm O có tọa độ 0 là gốc tọa độ, một độ dài xác định là đơn vị, có chiều
dương hướng về bên phải, kí hiệu là trục Ox. Mỗi số thực x ∈ R được biểu diễn bởi một điểm có
tọa độ x tương ứng trên Ox. D C A B 17 3 1 5 x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 − − 5 2 4 2
Tập số thực mở rộng R là tập số thực R được thêm vào hai phần tử kí hiệu là −∞ và ∞.
Ta có các kí hiệu tập hợp, khoảng, đoạn, nửa khoảng như sau: R ∗ + = {x ∈ R | x ≥ 0}; R = = / − {x ∈ R | x ≤ 0}; N N {0}; 4 R∗ = R/{0}; R∗+ = R+/{0}; R∗ = R /{0}; − −
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
(a, ∞) = {x ∈ R | x > a} (a, ∞] = {x ∈ R | x ≥ a} (−∞, ∞) = R
Khoảng cách giữa hai điểm a và b trên trục số thực, kí hiệu d(a, b), được định nghĩa: d(a, b) = |a−b|.
Như vậy |x| là khoảng cách giữa x và gốc tọa độ O.
Lấy a ∈ Ox và một số r > 0. Khi đó r - lân cận của điểm a là khoảng v(a, r) = {x ∈ R | |x−a| < r}.
Định lí Archimède: Với mọi ε > 0 cho trước, với mọi x > 0 cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương k sao cho kε > x.
Suy ra, ∀x ∈ R, ∃k ∈ Z sao cho k ≤ x < k + 1.
Khi đó k được gọi là phần nguyên của x, kí hiệu E(x) hoặc [x].
Giữa hai số thực bất kì có vô số số hữu tỉ.
1.3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Một dãy số thực (hay nói gọn là dãy số) là một ánh xạ từ tập N∗ vào R, đặt tương ứng mỗi số tự
nhiên n với một số thực an: N∗ 3 n 7→ an ∈ R. Kí hiệu dãy số {a . Trong đó,
được gọi là số hạng tổng quát của dãy. n} = a1, a2, ..., an, ... an
Dãy số {an} được gọi là dãy số bị chặn nếu ∀n ∈ N∗, ∃M ∈ R∗ sao cho |an| ≤ M.
Số a được gọi là giới hạn của dãy nếu ∀ε > 0, ∃N(ε), ∀n ≥ N(ε) thì |an−a| ≤ ε. Kí hiệu: lim an = a. n→∞
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc giới hạn bằng
∞ được gọi là dãy phân kì.
Dãy số {an} được gọi là dãy vô cùng bé nếu lim an = 0. n→∞
Dãy số {an} được gọi là dãy vô cùng lớn nếu lim |an| = +∞. n→∞
Điều kiện cần để dãy số hội tụ là dãy số đó phải bị chặn.
Một số tính chất của giới hạn hữu hạn: a lim an lim (a n n→∞ n ± bn) = lim an ± lim bn; lim (an.bn) = lim an. lim bn; lim = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ bn lim bn n→∞
(Các tính chất này không đúng với các giới hạn dạng vô định.)
Nếu lim an = 0 và {bn} bị chặn thì lim (an.bn) = 0. n→∞ n→∞
Định lí kẹp: Nếu lim an = lim bn = L và an ≤ cn ≤ bn, ∀n ≥ N0 nào đó thì lim cn = L. n→∞ n→∞ n→∞
Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0. n→∞ (u
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có công sai [2u1 + (n − 1)d]n d là: S 1 + un)n n = hoặc S 2 n = 2 u
với n = n − u1 + 1 và un = u1 + (n − 1)d. d u
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có công bội − qn q là: S 1(1 ) với n = un = u 1 − q 1.qn−1. 5 Tìm giới hạn lim a với: n n→∞ 2 + 4 + 6 + ... + 2n 1. 3n2 + 5n + 4 a (ĐS. 3.) 18. a − n (ĐS. −1.) n = n = n2 + 2 n + 2 3
1 − 2 + 3 − 4 + ... + (2n − 1) − 2n 2. 3n2 + n − 2 27 a 19. a √ √ n = (ĐS. .) n = 4n2 + 2n + 7 64 n2 + 1 + 4n2 + 1 1 4 (ĐS. − .) 3. 2n3 + 2n2 + 1 1 a (ĐS. 3 n = .) 4n3 + 7n2 + 3n + 4 16 20. (n + 3)! a (ĐS. n = −∞.) 4. 2n3 1 − 5n2 1 2(n + 1)! − (n + 2)! a (ĐS. .) n = + 2n2 + 3 5n + 1 5 21. n3 a (ĐS. 3.) 5. n3 3n2 1 n = 2 2 a .) 12 + 2 + 3 + ... + n2 n = − (ĐS. n2 + 1 3n + 1 3 n(n + 1)(2n + 1) (HD. 12+22+32+...+n2 = .) 6. 5n sin n a 6 n = + (ĐS. 5.) n + 1 n 22. 1 1 1 (−1)n−1 a + + ... + 7. n cos n n = 1 − − a 3 9 27 3n−1 n = + (ĐS. 1.) n + 11 10n 3 (ĐS. ) 8. cos n3 3n 1 a .) 4 n = − (ĐS. − n 6n + 1 2 1 1 1 1 + + + ... + 9. n 4 a (ĐS. 1.) 2 4 2n n = √ 23. a (ĐS. .) n2 + 1 n = 1 1 1 3 1 + + ... + √ + 3 9 3n 10. n2 + 4n a (ĐS. 1.) n = √ √ 1 3 n3 − 3n2 24. an = n2 + n − n (ĐS. ) 2 11. n + (−1)n √ a (ĐS. 1.) n = 25. a 1 n − (−1)n n = 3 − n3 + n (ĐS. 0.) 26. √ √ a n + 2 n (ĐS. 0.) 12. (−1)n n = 3 − 3 an = √ (ĐS. 0.) 5 n + 1 √ 27. 1 a .) n = n − 3 n3 − n2 (ĐS. 3 13. n3 + 1 a (ĐS. n = +∞.) n2 − 1 √ 28. 1 a n2 − n3 + n (ĐS. .) √ √ n = 3 3 14. n2 + 1 + n a (ĐS. 1.) n = √ √ 3 1 1 1 n3 + n − n 29. an = + + ... + (ĐS. 1.) 1.2 2.3 n(n + 1) 15. 1 + 7n+2 a (ĐS. n = −49.) 1 1 1 3 − 7n 30. an = + + ... + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 16. 2n+1 + 3n+1 a (ĐS. 3.) 1 1 1 n = 2n + 3n (HD. = − n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) 17. 2 + 4 + 6 + ... + 2n 1 1 a (ĐS. 1.) ĐS. .) n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) (n + 1)(n + 2) 4 6
1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và một điểm x0.
Định nghĩa giới hạn theo Cauchy: Số a được gọi là giới hạn của hàm số f tại điểm x0 nếu với
mọi số thực ε > 0, luôn tồn tại số thực δ(ε) > 0 sao cho với mọi số thực x thỏa mãn |x − x0| < δ(ε) thì |f(x) − a| < ε. Kí hiệu: lim f(x) = a. x→x0
Định nghĩa giới hạn theo Heine: Số a được gọi là giới hạn của hàm số f tại điểm x0 nếu đối với
mọi dãy {xn} (xn ∈ D, xn 6= x0 ∀n) sao cho lim xn = x0 thì lim f(xn) = a. n→∞ n→∞
Số a được gọi là giới hạn bên phải của hàm số f tại điểm x0 nếu với mọi số thực ε > 0, luôn tồn
tại số thực δ(ε) > 0 sao cho với mọi số thực x thỏa mãn x0 < x < x0 + δ(ε) thì |f(x) − a| < ε. Kí hiệu: lim f(x) = a. x→x+ 0
Tương tự, số a được gọi là giới hạn bên trái của hàm số f tại điểm x0 nếu với mọi số thực ε > 0,
luôn tồn tại số thực δ(ε) > 0 sao cho với mọi số thực x thỏa mãn x0−δ(ε) < x < x0 thì |f(x)−a| < ε. Kí hiệu: lim f(x) = a. x→x−0
∃ lim f (x), ∃ lim f (x) Ta có: lim x f (x) = a ⇔ →x+ 0 x→x−0 x→x0 lim f (x) = lim f (x) = a. x→x+ 0 x→x−0
Nếu lim f(x) và lim g(x) hữu hạn thì ta có các tính chất sau: x→x0 x→x0
lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x);
lim [f (x) − g(x)] = lim f(x) − lim g(x); x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 lim f (x) f (x) x
lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x); lim = →x0 . x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 g(x) lim g(x) x→x0
Hàm số f được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim |f(x)| = +∞. x→x0
Hàm số f được gọi là vô cùng bé khi x → x0 nếu lim f(x) = 0. x→x0 f (x)
Hai vô cùng bé f và g được gọi là cùng bậc khi x → x0 nếu lim = k với k hữu hạn. x→x0 g(x) f (x)
Hai vô cùng bé f và g được gọi là tương đương khi x → x0 nếu lim = 1. x→x0 g(x)
Kí hiệu: f(x) ∼ g(x) (x → x0).
Các vô cùng bé tương đương có thể thay thế lẫn nhau khi tính giới hạn. 1x Số 1 1 e = lim 1 +
= lim (1 + x)x = lim (1 + u(x)) u(x) . x→∞ x x→0 u(x)→0
Các giới hạn thường dùng: sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 + x) ex − 1 lim = lim = lim = lim = lim = lim = 1. x→0 x x→0 x x→0 x x→0 x x→0 x x→0 x log (1 + x) Ngoài ra: ax − 1 lim a = log e (a > 0, a = ln a (a > 0) a 6= 1); lim x→0 x x→0 x 7 1.4.1 Dạng vô định 0 : 0 31. x2 − 6x + 9 1 3 lim (ĐS. 0) 40. lim − (ĐS. −1) x→3 x2 − 9 x→1 1 − x 1 − x3 √ 32. 2x2 − 11x − 21 17 x − 2 1 lim (ĐS. ) 41. lim (ĐS. ) x→7 x2 − 9x + 14 5 x→4 x2 − 5x + 4 12 x + 1 33. x3 + 1 lim (ĐS. 3) 42. lim √ (ĐS. 1) x→−1 x + 1 x→−1 6x2 + 3 + 3x √ 34. x3 + 3x2 − 9x − 2 15 2 − x 3 lim (ĐS. ) 43. lim √ (ĐS. ) x→2 x3 − x − 6 11 x→4 3 − 2x + 1 4 √ 35. x3 − 3x + 2 1 1 − x 3 lim (ĐS. ) 44. lim √ (ĐS. ) x→1 x4 − 4x + 3 2 x→1 1 − 3 x 2 4 2 1 1 36. x − x3 + x − 3x + 2 − cos x lim (ĐS. 2.) 45. lim (ĐS. .) x 3 2 →1 x − x − x + 1 x→0 x2 2 tan x − sin x 1 37. x4 + 2x2 − 3 46. lim (ĐS. −8) lim (ĐS. .) x x3 2 x →0 →1 x2 − 3x + 2 πx cos 38. xm − 1 m lim (ĐS. ) 47. π lim 2 (ĐS. .) x→1 xn − 1 n x→1 1 − x 2 10 39. (x2 − x − 2)20 3 x2 − 4 lim (ĐS. ) 48. lim (ĐS. −4.) x→2 (x3 − 12x + 16)10 2 x→−2 arctan(x + 2) 1.4.2 Dạng vô định ∞ : ∞ √ √ 49. x2 + 2x + 3 1 2x2 + 3 2 lim (ĐS. .) 55. lim (ĐS. − ) x→+∞ 2x2 + 3x + 4 2 x→−∞ 4x + 2 4 50. x + 3 lim (ĐS. 0) √ x 3 →+∞ 2x2 + 5x − 6 56. x2 + 1 lim (ĐS. 0.) 51. x3 + 5 x→∞ x + 1 lim (ĐS. +∞.) x→+∞ x2 + 3 √ √x 52. 4x2 + 1 lim (ĐS. 2.) 57. lim (ĐS. 1) x q √ x →+∞ →+∞ x − 1 x + px + x 53. x2 lim √ (ĐS. +∞.) x→+∞ 10 + x x tan 2x 1 √ √ √ 58. lim (ĐS. ) π 54. 2 x + 3 3 x + 5 5 x 2 x→ π 2 lim √ √ (ĐS. √ ) 4 cot − x x→+∞ 3x − 2 + 3 2x + 2 3 4 8
1.4.3 Dạng vô định ∞ − ∞: √ √ 59. 1 4 1 1 lim − (ĐS. .) 65. lim ( x2 + 2 − x2 + x) (ĐS. .) x→2 x − 2 x2 − 4 4 x→+∞ 2 r 60. 1 1 lim tan2 x + − tan x (ĐS. ) √ √ 7 −
66. lim ( x4 + 8x2 + 3 − x4 + x2) (ĐS. ) x π → cos x 2 2 x→+∞ 2 61. 2 lim − cot x (ĐS. 0.) r x→0 sin 2x q 67. √ √ 1 lim x + x + x− x (ĐS. .) x 2 62. 1 →+∞ lim tan x − (ĐS. 0.) x π → cos x 2 r r q q √ √ 63. π lim − 2x tan x (ĐS. 2.) 68. lim x + x + x− x − x − x x π x → cos x →+∞ 2 64. √ lim ( x2 + 4x − x) (ĐS. 2.) (ĐS. 1) x→+∞
1.4.4 Dạng vô định 0.∞: 69. πx 2 π lim(1 − x) tan (ĐS. .) 73. lim x. + arctan x (ĐS. −1.) x→1 2 π x→−∞ 2 1 70. π 1 lim − x (ĐS. 1.) 74. lim x. cot 2x (ĐS. .) x π x 2 → 4 3π →0 4 sin + x 4 75. lim sin 2x. cot x (ĐS. 2.) x→π 71. lim x.arccotx (ĐS. 1.) 76. π (ĐS. x lim x. sin π.) →+∞ x→+∞ x 72. π 1 3 lim cot 2x. cot − x (ĐS. 2.) 77. lim x2. cos − cos (ĐS. 4.) x π → 4 x x x 4 →+∞
1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi lim f(x) = f(x0) hay lim f(x) = x→x0 x→x+ 0 lim f (x) = f (x0). x − →x0 f
Nếu hai hàm f và g liên tục tại điểm x thì các hàm 0 f ± g, f.g,
(g 6= 0) cũng liên tục tại điểm x g 0.
Nếu hàm g liên tục tại điểm x0 và hàm f liên tục tại điểm g(x0) thì hàm hợp f ◦ g liên tục tại điểm x0.
Mọi hàm sơ cấp (được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản như hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm
logarit, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược cùng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép
hợp hàm) đều liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng.
Hàm số liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a, b).
Hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. 9
Hàm số không xác định hoặc không liên tục tại điểm x0 được gọi là hàm gián đoạn tại điểm x0.
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm.
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu các giới hạn bên phải và bên trái hữu hạn.
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được nếu nó là điểm gián đoạn loại I và lim f(x) = x→x+ 0 lim f (x) 6= f(x0). x→x−0
Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu nó là điểm gián đoạn nhưng không phải loại I.
Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số f thì đại lượng δ(x0) = lim f(x) − lim f(x) được gọi là x→x+ 0 x→x−0
bước nhảy của hàm số f tại điểm x0.
Khảo sát tính liên tục, phân loại điểm gián đoạn và tính bước nhảy (nếu có) của hàm số: 78. x2 1 f (x) = e x nếu x 6= 0 x 85. f(x) =
(ĐS. x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được.) 0 nếu x = 0 79. 1
(ĐS. x = 0 là điểm gián đoạn loại II.) f (x) = e− x
(ĐS. x = 0 là điểm gián đoạn loại II.) 86. x , nếu x ≤ 1 80. |2x − 3| f (x) = f (x) = 2x − 3 ln x , nếu x > 1. 3 (ĐS. 3
(ĐS. x = 1 là điểm gián đoạn loại I; δ(1) = −1.) x =
là điểm gián đoạn loại I; δ = 2.) 2 2 1 81. | sin x| . sin x , nếu x 6= 0 f (x) = . 87. f(x) = x sin x
(ĐS. x = kπ là các điểm gián đoạn loại I; 1 , nếu x = 0.
δ(k2π) = 2; δ(π + k2π) = −2.) (ĐS. Liên tục ∀x.) 82. 1 f (x) = sin 1 x x. sin , nếu x 6= 0 (ĐS. 88. x
x = 0 là điểm gián đoạn loại II.) f (x) = 0 , nếu x = 0. 83. x + 2 f (x) = x + (ĐS. Liên tục ∀x.) |x + 2|
(ĐS. x = −2 là điểm gián đoạn loại I; δ(−2) = 2.) x 89. 4.3 , nếu x < 0 84. 2|x − 1| f (x) = f (x) = 2a + x , nếu x x2 ≥ 0. − x3
(ĐS. x = 0 là điểm gián đoạn loại II. x = 1 là (ĐS. Nếu a = 2 hàm liên tục. Nếu a 6= 2 hàm
điểm gián đoạn loại I; δ(1) = −4.)
gián đoạn loại I tại x = 0; δ(0) = 2a − 4.) 10
2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1 ĐẠO HÀM - VI PHÂN CẤP MỘT
Cho hàm y = f(x) xác định trong ε-lân cận nào đó của điểm x0.
Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia của biến số. Do đó x = x0 + ∆x.
Đại lượng ∆y = f(x) − f(x số gia của hàm số
0) = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là . ∆y Nếu giới hạn lim
tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0. ∆x→0 ∆x Kí hiệu: f0, f0(x) hoặc ˙ f . x=x0 Như vậy: ∆y f (x0 + ∆x) − f(x f (x) − f(x f 0(x 0) 0) 0) = lim = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
Hàm số f có đạo hàm f0 trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm f0 tại mọi điểm x0 ∈ (a, b). Các kí df hiệu khác của dy f 0 là , , y0 , y0, ˙y hoặc ˙y. dx dx x x ∆y Nếu giới hạn lim
là hữu hạn thì hàm f được gọi là hàm khả vi tại điểm x0. ∆x→0 ∆x Tính chất đạo hàm: f 0 f 0g − fg0 (f ± g)0 = f0 ± g0; (f.g)0 = f 0g + f g0; = g g2 Bảng đạo hàm:
- Hàm lũy thừa: (xn)0 = nxn−1. Đặc biệt C0 = 0 với C là hằng số.
- Hàm mũ: (ax)0 = ax ln a (0 < a 6= 1). Đặc biệt (ex)0 = ex. 1 1 - Hàm logarit: (log x)0 = (x > 0, 0 < a (x > 0). a 6= 1). Đặc biệt (ln x)0 = x ln a x 1 1
- Hàm lượng giác: (sin x)0 = cos x, (cos x)0 = − sin x, (tan x)0 = , (cot x)0 = − . cos2 x sin2 x 1 1 1
- Hàm lượng giác ngược: (arcsin x)0 = √ , (arccos x)0 = − √ , (arctan x)0 = , 1 − x2 1 − x2 1 + x2 1 (arccotx)0 = − . 1 + x2
Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử hàm y = f(u) có đạo hàm tại điểm u và hàm u = u(x) có đạo
hàm tại điểm x. Khi đó đạo hàm của hàm hợp (f[u(x)])0 = f0(u).u0(x).
Bảng đạo hàm của hàm hợp u = u(x):
- Hàm lũy thừa: (un)0 = nun−1.u0.
- Hàm mũ: (au)0 = au ln a.u0 (0 < a 6= 1). Đặc biệt (eu)0 = eu.u0. u0 u0 - Hàm logarit: (log u)0 = (u > 0, 0 < a (u > 0). a 6= 1). Đặc biệt (ln u)0 = u ln a u u0 u0
- Hàm lượng giác: (sin u)0 = u0 cos u, (cos x)0 = −u0 sin u, (tan x)0 = , (cot u)0 = − . cos2 u sin2 u u0 u0 u0
- Hàm lượng giác ngược: (arcsin u)0 = √ , (arccos u)0 = − √ , (arctan u)0 = , 1 − u2 1 − u2 1 + u2 u0 (arccotu)0 = − . 1 + u2 11
Đối với hàm hợp của nhiều hàm ta cũng có công thức tương tự, ví dụ [f(u[v(x)])]0 = f0(u).u0(v).v0(x).
Nếu đạo hàm biểu thức có chứa hàm logarit của tích, thương, lũy thừa hoặc căn thức thì nên dùng
tính chất của logarit biến đổi biểu thức trước khi tính đạo hàm.
Nếu đạo hàm biểu thức có dạng y = f(x)g(x) thì lấy ln hai vế rồi đạo hàm.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu số gia của hàm ∆y có thể biểu diễn dưới α(∆x)
dạng ∆y = A.∆x + α(∆x), trong đó lim = 0. ∆x→0 ∆x ∆y
Nếu tồn tại đạo hàm f0 tại điểm x0 thì theo định nghĩa đạo hàm f0(x0) = lim . ∆x→0 ∆x
Suy ra ∆y = f0(x0).∆x + α(∆x). Do đó A = f0(x0).
Đại lượng f0(x0).∆x được gọi là vi phân của hàm số f tại điểm x0. Kí hiệu: df hay dy. Như vậy dy = f0(x).∆x. dy
Vì ∆x = dx nên ta biểu diễn vi phân qua đạo hàm: dy = f0(x)dx, hay f0(x) = . dx Tính chất vi phân: u a) vdu − udv d(u + v) = du + dv; d(u − v) = du − dv; b) d(uv) = vdu + udv; c) d = v v2
Vi phân cấp một có tính bất biến đối với biến độc lập cũng như biến phụ thuộc. Bảng vi phân:
- Hàm lũy thừa: d(xn) = nxn−1dx. Đặc biệt dC = 0 với C là hằng số.
- Hàm mũ: d(ax) = ax ln adx (0 < a 6= 1). Đặc biệt d(ex) = exdx. dx - Hàm logarit: dx d(log x) = a
(x > 0, 0 < a 6= 1). Đặc biệt d(ln x) = (x > 0). x ln a xdx dx
- Hàm lượng giác: d(sin x) = cos xdx, d(cos x) = − sin xdx, d(tan x) = , d(cot x) = − . cos2 x sin2 x dx dx dx
- Hàm lượng giác ngược: d(arcsin x) = √ , d(arccos x) = −√ , d(arctan x) = , 1 − x2 1 − x2 1 + x2 dx d(arccotx) = − . 1 + x2
Tính đạo hàm và vi phân cấp một của các hàm số sau: √ √ 90. √ 2 (1 − x)2 y = 5 3 x2 − 3x2 x + . 93. 96. y = . y = x3 arcsin x. x3 x arctan x 91. √ 5 1 1 97. y = x + . √ − + . sin x + cos x y = x3 3 x x2 3x3 94. y = . sin x − cos x 92. x x2 sin x y = x5(2 − + 3x2). 95. 98. y = (0 < x 6= 1). 3 y = x3 cos x. ln x
Tính đạo hàm và vi phân cấp một của các hàm số (hợp) sau: 99. √ √ y = x2 + 3x + 1. 104. y = cos(2x − x3). 109. y = (arcsin x)4. 100. √ y = (x2 + 5x + 7)8. 105. y = ln(x3 + 7x + 2). 110. y = 2 x2+3x+4. 101. y = sin3 x. 106. y = ln(arctan x). 111. y = 3tan4(x2+5x). 102. √ y = sin4(5 − x2). 107. y = earcsinx. 112. y = 3px2 x. 103. √ √ √ y = 1 − x2. arcsin x. 108. y = ln(arctan x). 113. y = 1 + sin 2x. 12
Bằng phương pháp logarit hóa hai vế, tính đạo hàm và vi phân cấp một của các hàm số sau: s 116. y = xx. x3(x2 + 1)4 114. x3(x − 1) 120. y = ln 4 √ . y = . p x2 + 1 117. 1 x(x y = x − 1) x . 121. √ 118. y = exx. y = (cot x)x3. 4 115. x2 + 3x + 1 y = ln √ . 3 119. 122. x2 + 4 y = xxx. y = ex2. tan3 x. arcsin x.
2.2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN CẤP CAO
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp một của nó. Kí hiệu: f00(x), d2y y00 hoặc
. Như vậy: f00(x) = (f0(x))0. dx2
Tương tự, đạo hàm cấp ba của hàm y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp hai: f000(x) = (f00(x))0.
Bắt đầu từ đạo hàm cấp bốn ta kí hiệu là f(4), f(5), ..., f(n), ...
Công thức cơ bản: (f ± g)(n) = f(n) ± g(n). n
Công thức Leibniz: (fg)(n) = X Ckf(k) k n g(n− ). k=0
Một số công thức: (xm)(n) = m.(m − 1)....(m − n + 1)xm−n; (ax)(n) = ax(ln a)n; (ex)(n) = ex; π π (sin x)(n) = sin x + n. ; (cos x)(n) = cos x + n. ; (ekx)(n) = knekx 2 2
hoặc sin x(4k) = sin x; sin x(4k+1) = cos x; sin x(4k+2) = − sin x; sin x(4k+3) = − cos x;
cos x(4k) = cos x; cos x(4k+1) = − sin x; cos x(4k+2) = − cos x; cos x(4k+3) = sin x; với k ∈ N.
Vi phân cấp hai của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp một:
d2y = d(dy) = d(f 0(x)dx) = d(f 0(x)).dx = (f 0(x))0dx.dx = f 00(x)dx2
Hay d2y = f00(x)dx2. (Chú ý: d2y = d(dy) còn dx2 = (dx)2.)
Tương tự ta có: dny = f(n)(x)dxn.
Công thức cơ bản: dn(af(x) ± bg(x)) = a.dnf ± b.dng. n
Công thức Leibniz: dn(fg) = X Ck.dkf.dn−k n g. k=0
Vi phân cấp cao không bất biến đối với biến độc lập và biến phụ thuộc. 123. x2 + 1 √
Cho các hàm số y = tan x; y = ; y =
1 + x2; y = arcsin x. Tính y00. x − 1
124. Cho các hàm số y = (x + 1)5; y = e−x2; y = arctan x; y = x2 sin 2x. Tính y000. 125. x2
Cho các hàm số y = x3ex; y = x4 ln x; y = e2x; y = . Tính y(4). x − 1 126. 1 Cho các hàm số 1 y = (x 6= a); y =
(x 6= ±2); y = ln(x2 + x − 2) (x < −2 hoặc x > x − a x2 − 4
1); y = sin 5x cos 2x. Tính y(n). 13
Tính đạo hàm cấp 2020 của các hàm số sau: 127. y = (2x3 + 4x + 5)e2x.
132. y = (3x3 − 2x + 2) sin 2x.
128. y = (x3 − x2 − 2)e−3x.
133. y = (−5x3 − 2x2 + 5) cos 3x.
129. y = (5x3 + x2 − 4x − 1)ex.
134. y = (2x3 − 3x2 + 3x − 4) cos(−x).
130. y = (−3x3 + 3x2 − 5x − 4)e−x.
135. y = (4x3 − 2x2 − 5x − 1) sin(−x).
131. y = (4x3 − x2 + x − 2)e3x.
136. y = (−2x3 + x2 − x + 4) sin 3x. 2.3 QUY TẮC L’ HOSPITAL Quy tắc L’ Hospital: 0
Nếu giới hạn có dạng vô định hoặc ∞ thì f (x) f 0(x) lim = lim . 0 ∞ x→x0 g(x) x→x0 g0(x) 0
Tìm giới hạn dạng vô định : 0 1 137. x4 − 16 16 1 lim (ĐS. ) e x − cos x→2 x3 + 5x2 − 6x − 16 13 143. lim x (ĐS. +∞) x r →∞ 1 1 − 1 − 138. x2 − 1 + ln x 3 lim (ĐS. ) x2 x→1 ex − e e 144. eax − e−2ax lim (ĐS. 3a) 139. tan x − x x→0 ln(1 + x) lim (ĐS. 2) x→0 x − sin x √3 145. 1 + 2x + 1 4 lim √ (ĐS. ) x 140. ex − e−x − 2x →−1 2 + x + x 9 lim (ĐS. 2) x→0 x − sin x 146. sin 3x2 lim (ĐS. −6) x→0 ln(cos(2x2 − x)) 141. ln(1 + x2) lim (ĐS. 0) x→0 cos 3x − e−x π − arctanx 147. 2 (ĐS. 1 lim +∞) x 1 142. ex2 − 1 →+∞ lim (ĐS. −1) ln 1 + x→+∞ 2 arctan x2 − π 2 x2
Tìm giới hạn dạng vô định ∞: ∞ 148. 2x + 1 ln(1 + x2) lim (ĐS. 0) 152. lim (ĐS. -2) x→+∞ 3x2 + x − 1 x →+∞ π ln − arctan x 149. ln x 2 lim (a > 0) (ĐS. 0) x→+∞ xa xm 150. x 153. (ĐS. 0) lim (ĐS. +∞) lim x→+∞ ax x→+∞ ln(1 + x) ln(sin x) 1 151. ln sin x lim (ĐS. 5) 154. lim (ĐS. ) x ln(1 →O+ ln sin 5x x→0+ − cos x) 2 14
Tìm giới hạn dạng vô định 0.∞: 155. π 159. lim ln x(π lim x − tan x (ĐS. −1) − 2 arctan x) (ĐS. 0) x→+∞ x π → 2 2 160. 1 156. lim x(2 x − 1) (ĐS. ln 2) lim x(π − 2 arctan x) (ĐS. 2) x→+∞ x→+∞ π 157. lim xn ln x (n > 0) (ĐS. 0) 161. lim x2 ln cos (ĐS. −π2) x x x 2 →0 →+∞ 1 r 1 + x 158. x − 3 1 lim arcsin cot(x − 3) (ĐS. ) 162. lim ln (ĐS. 1) x→3 3 3 x→0 x 1 − x
Tìm giới hạn dạng vô định ∞ − ∞: 163. 1 1 1 1 x lim − (ĐS. ) 166. lim − (ĐS. −1) x→1 ln x x − 1 2 x→1 ln x ln x 164. 1 lim tan x − (ĐS. 0) x π → cos x 167. 2 lim (ex − x2) x→+∞ 165. 1 (HD. Đặt nhân tử chung lim − cot2 x ex.)(ĐS. +∞) x→0 x2
(HD. sin2 x − x2 cos2 x = (sin x − x cos x)(sin x + 2 1 1
x cos x). Tách x4 = x3.x.) (ĐS. ) 168. lim x − x2 ln(1 + ) (ĐS. ) 3 x→+∞ x 2
Tìm giới hạn dạng vô định 1∞, 0∞, ∞0: √ 169. 1 lim x 1 − 2x (ĐS. e−2) 177. lim xln(ex−1) (ĐS. e) x→0 x→0 q 170. √ 1 lim x cos x (ĐS. e− 2 ) 178. lim (cot x)tanx (ĐS. 1) x→0+ x→0+ 171. lim(sin x)tanx (ĐS. 1) 1 x π sin x → 5 − 2 179. 1 lim √ (ĐS. e 30 ) 172. x 1 →0 2 + 9 + x lim(1 + a tan2 x) x sin x (ĐS. ea) x→0 180. −1 173. lim(cos x)cot2 x (ĐS. e 2 ) lim(tan x)tan 2x (ĐS. e−1) x→0 x π → 4 1 174. 181. lim (tan x)cot x (ĐS. 1) lim (ln 2x)ln x (ĐS. 1) x→0+ x π → − 2 1 175. 6 lim x 182. lim(1 + sin2 x)tan2 x (ĐS. e) 1+2 ln x (ĐS. e3) x→0 x→0+ √ 176. 1 1 lim (x + x2 + 1) ln x (ĐS. e) 183. lim (cot x)lnx (ĐS. e−1) x→+∞ x→0+ 15
3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
3.1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f nếu f là đạo hàm của F , nghĩa là F 0(x) = f(x).
Hàm số f có nguyên hàm là F thì sẽ có một họ nguyên hàm F + C với C là hằng số tùy ý. Z
Việc đi tìm nguyên hàm của f được gọi là tích phân hàm số f. Kí hiệu: f (x)dx = F (x) + C. Z Z Z Giá trị của tích phân
f (x)dx không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là f (x)dx = f (t)dt = Z f (u)du = ... Z Z Z Z Z Tính chất: (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx; k.f (x)dx = k
f (x)dx với k là hằng số.
Bảng nguyên hàm - tích phân bất định: Z 1 Z - Hàm lũy thừa: xndx = xn+1 + C. Đặc biệt dx = x + C. n + 1 Z ax Z - Hàm mũ: axdx = + C. Đặc biệt exdx = ex + C. ln a Z 1 - Hàm logarit: dx = ln |x| + C. xZ Z - Hàm lượng giác: sin xdx = − cos x + C; cos xdx = sin x + C; Z 1 Z 1 dx = tan x + C; dx = − cot x + C. cos2 x sin2 x Z 1 Z
- Hàm lượng giác ngược: 1 √ = arcsin x + C; = arctan x + C. 1 − x2 x2 + 1 Một số tích phân khác: Z Z tan xdx = − ln | cos x| + C cot xdx = ln | sin x| + C Z dx 1 x Z dx 1 x − a Z dx 1 x + a = arctan + C = ln + C ; = ln + C x2 + a2 a a x2 − a2 2a x + a a2 − x2 2a x − a Z dx x Z √ x √ a2 x √ = arcsin + C a2 − x2dx = a2 − x2 + arcsin + C a2 − x2 a 2 2 a Z dx √ Z √ x√ a √ √ = ln |x + x2 + a| + C x2 + adx = x2 + a + ln |x + x2 + a| + C x2 + a 2 2 Z dx √ Z √ x√ a √ √ = ln |x + x2 − a| + C x2 − adx =
x2 − a − ln |x + x2 − a| + C x2 − a 2 2 16 Tính các tích phân sau: Z Z 184. dx I = (x2 + 5)3dx 189. I = sin2 x. cos2 x 1
(ĐS. I = x7 + 3x5 + 25x3 + 125x + C) (HD. dx = (sin2 x + cos2 x)dx) 7 Z 185. I = x2(5 − x)4dx (ĐS. I = tan x − cot x + C) Z cos 2x 625 10 1 190. I = (ĐS. dx I = x3 −125x4 +30x5 − x6 + x7 + cos x − sin x 3 3 7 C) (ĐS. I = sin x − cos x + C) Z 186. y y2 y3 I = + + dx Z x x2 x3 191. I = (sin 5x − sin 5a)dx y2 y3 (ĐS. I = y ln |x| − − + C) 1 x 2x2
(ĐS. I = − cos 5x − x sin 5a + C) 5 Z 187. x2 + 5x − 1 Z 2x+1 I = √ dx 192. − 5x−1 x I = dx 10x x2 (ĐS. √ 5x 2 1 I = 2 x + − 1 + C) (ĐS. I = − 5−x + 2−x + C) 5 3 ln 5 5 ln 2 Z Z q (ax − bx)2 188. 1 √ I = 1 − x xdx 193. I = dx x2 axbx x x 4 1 a b (ĐS. 7 I = x −1 (ĐS. I = − −2x+C) 4 + 4x 4 + C) 7 ln a − ln b b a
3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Z
Có hai trường hợp đổi biến để tính f (x)dx.
Trường hợp 1. Nếu f(x)dx có dạng f(x)dx = g(u(x))u0(x)dx thì ta đặt t = u(x). Khi đó dt = u0(x)dx và Z Z Z f (x)dx = g(u(x))u0(x)dx = g(t)dt. Z √ √ - Tích phân
R(x, n ax + b)dx thì đổi biến t = n ax + b. Z r r ax + b - Tích phân ax + b R(x, n )dx thì đổi biến t = n . cx + d cx + d x 2dt
- Tích phân lượng giác thông thường thì đổi biến t = tan , khi đó x = 2 arctan t, dx = , 2 1 + t2 2t 1 − t2 sin x = , cos x = . 1 + t2 1 + t2
- Biểu thức dưới dấu tích phân là lẻ đối với cos x thì đổi biến t = sin x.
- Biểu thức dưới dấu tích phân là lẻ đối với sin x thì đổi biến t = cos x.
- Biểu thức dưới dấu tích phân là chẵn đối với sin x và cos x thì đổi biến t = tan x hoặc t = cot x. 17
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số theo trường hợp 1: Z Z 194. √ dx I = x x − 5dx 202. I = √ x 1 + x2 2 √ (ĐS. 5 10 3 I = (x − 5) 1 1 + x2 − 1 2 + (x − 5) 2 + C) 5 3 (ĐS. I = ln √ + C) 2 1 + x2 + 1 Z 195. xdx I = √1 − x2 Z √ 203. I = x2 3 1 + x3dx √ (ĐS. I = − 1 − x2 + C) 1 4 Z 196. xdx (ĐS. I = (1 + x3)3 + C) I = √ 4 2x2 + 3 1 √ Z dx (ĐS. I = 2x2 + 3 + C) 204. I = 2 x ln x ln(ln x) Z 197. x2 + 1 I = √ dx (ĐS. I = ln | ln(ln x)| + C) 3 x3 + 3x + 1 1 (ĐS. 2 Z I = (x3 + 3x + 1) cos3 x 3 + C) 2 205. I = dx sin4 x Z 198. I = 2x(x2 + 1)4dx 1 1 (ĐS. I = − + + C) 3 sin3 x sin x 1 (ĐS. I = (x2 + 1)5 + C) 5 Z 206. √ I = 3 1 + 3 sin x cos xdx Z 199. x2 I = dx 5 − x3 1 (ĐS. 4 I = (1 + 3 sin x) 3 + C) 1 (ĐS. I = − 4 ln |5 − x3| + C) 3 Z Z dx 200. dx I = 207. I = √ 1 + ex cos2 x tan x − 1 ex √ (ĐS. I = ln + C) (ĐS. I = 2 tan x − 1 + C) 1 + ex Z Z 201. dx dx I = √ 208. I = √ ex + 1 (arccos x)5 1 − x2 √ex + 1 − 1 (ĐS. 1 I = ln √ + C) (ĐS. I = + C) ex + 1 + 1 4(arccos x)4
Trường hợp 2. Ta có thể đổi biến x = ϕ(t) với ϕ có đạo hàm liên tục và có hàm ngược. Khi đó Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt. Z √ - Tích phân R(x,
a2 − x2)dx thì đổi biến x = a sin t hoặc x = a cos t. Z √ - Tích phân R(x,
a2 + x2)dx thì đổi biến x = a tan t. Z √ a - Tích phân R(x,
x2 − a2)dx thì đổi biến x = . cos t 18
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số theo trường hợp 2: Z 209. dx 1 3x I = √ (ĐS. I = arcsin + C) a2 − x2 3 2 x Z (ĐS. dx I = arcsin + C) 213. I = a √−x2 − 4x + 5 Z 210. dx I = x + 2 x2 + a2 (ĐS. I = arcsin + C) 3 1 (ĐS. x I = arctan + C) Z √ a a 214. I = a2 − x2dx Z 211. dx I = x √ a2 x x2 + 2 (ĐS. I = a2 − x2 + arcsin + C) 2 2 a 1 x (ĐS. I = √ arctan √ + C) Z 2 dx 2 215. I = (x2 + a2)2 Z 212. dx I = √ 1 ax 4 − 9x2 (ĐS. x I = arctan + + C) 2a3 a x2 + a2
3.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Z Z
Công thức tích phân từng phần: udv = uv − vdu.
Thứ tự ưu tiên đặt hàm u thông thường là: hàm logarit - hàm đa thức - hàm mũ - hàm lượng giác.
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: Z Z 216. I = ln xdx
221. I = (x2 − 2x + 5)e−xdx (ĐS. I = x ln x − x + C)
(ĐS. I = −e−x(x2 + 5) + C) Z Z 217. √ I = x ln xdx
222. I = (3x2 + 6x + 5) arctan xdx 2 √ √ 1 (ĐS. 4 I = x x ln x − x x + C)
(ĐS. I = (x3 + 3x2 + 5x + 3) arctan x − (x + 3 9 2 3)2 − 2 ln(1 + x2) + C) Z 218. I = arctan xdx Z 223. I = e5x cos 4xdx 1
(ĐS. I = x arctan x − ln(1 + x2) + C) 2 e5x (ĐS. I = (5 cos 4x + 4 sin 4x) + C) Z 41 219. I = x cos xdx Z 224. I = cos(ln x)dx (ĐS. I = x sin x + cos x + C) x
(ĐS. I = [cos(ln x) + sin(ln x)] + C) Z 220. 2 I = x3 ln xdx Z 225. √ √ I = ln( 1 − x + 1 + x)dx 1 1 (ĐS. I = x4 ln x − x4 + C) 4 16 19 √ √ 1 (ĐS. 1 I = x ln( 1 − x + 1 + x) − x + arcsin x + C) 2 2
3.4 TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ P (x) Hàm số f có dạng f(x) =
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức, được gọi là một hàm phân Q(x) thức hữu tỉ.
Nếu bậc của đa thức P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x) thì bằng phép chia đa thức ta có: P (x) R(x) = T (x) + Q(x) Q(x)
trong đó T (x) là đa thức thương, còn R(x) là đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của Q(x).
Tích phân của đa thức T (x) luôn tính được dễ dàng. Ta chỉ cần quan tâm đến tích phân của phân R(x) thức
, hay nói cách khác là quan tâm những phân thức mà bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của Q(x) mẫu thức. Các dạng cơ bản: Z A 1. I = dx = A. ln |x − a| + C x − a Z A A 2. I = dx = − + C (x − a)2 x − a Z A 3. A I = dx = − + C (x − a)n (n − 1)(x − a)n−1 Z M x + N 4. I = dx x2 + px + q
• Nếu x2 + px + q có hai nghiệm phân biệt a, b thì Z M x + N Z A B I = dx = +
dx = A ln |x − a| + B ln |x − b| + C. (x − a)(x − b) x − a x − b
• Nếu x2 + px + q có nghiệm kép a thì Z M x + N Z M A A I = dx = + dx = M ln |x − a| − + C. (x − a)2 x − a (x − a)2 x − a
• Nếu x2 + px + q vô nghiệm thì M 2N − Mp 2x + p I = ln(x2 + px + q) + arctan + C. 2 p4q − p2 p4q − p2 20