Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm véctơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Sau một khoảng thời gian nghỉ học kéo dài do ảnh hưởng của tình hình dịch bệnh, thì hiện tại, nhiều trường THPT trên toàn quốc đã bắt đầu cho học sinh đi học trở lại. Đây là thời điểm các em học sinh lớp 12 

141 71 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

29 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1/30
CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và các phép toán:
Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
Phép cộng, trừ vectơ:
• Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có:
AB BC AC
+=
  
.
• Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
DAB A AC+=
  
.
• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp
.' ' ' 'ABCD A B C D
, ta có:
''AB AD AA AC++ =
   
.
Lưu ý:
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ
a
và
b
(
0
b ≠

)
! :.k a kb⇔∃ ∈ =

.
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (
), điểm O tùy ý.
Ta có:
.MA k MB=
 
1
OA kOB
OM
k
−
=
−
 

• Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.
Ta có:
0IA IB+=
 
2OA OB OI+=
  
• Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm
∆
ABC, điểm O tùy ý.
Ta có:
0
GA GB GC
++ =
  
3OA OB OC OG
++ =
   
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, , abc

, trong đó
a
và
b
không cùng
phương.
Khi đó:
, , abc

đồng phẳng
! , : . .
m n c ma nb⇔∃ ∈ = +

Cho ba vectơ
, , abc

không đồng phẳng,
x
tùy ý.
Khi đó:
! , , : . . .m n p x ma nb pc∃ ∈ = ++

3. Tích vô hướng của hai vectơ:
Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có:
,
AB u AC v= =
 
.
Khi đó:
( )
,u v BAC=

00
(0 180 )BAC≤≤
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
Cho
, 0uv≠

. Khi đó:
(
)
. . .cos ,uv u v u v
=

• Với
0u =

hoặc
0v =

, quy ước:
.0
uv=

• Với
, 0uv≠

, ta có:
.0u v uv⊥⇔ =

II. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.
• Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một
vectơ với một số).
• Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng
tâm của tam giác.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
,
M
là trung điểm của
BB
′
. Đặt
CA a=

,
CB b=

,
'AA c=

. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 2/30
A.
1
2
AM b a c
=−+

. B.
1
2
AM a c b=−+

. C.
1
2
AM a c b=+−

. D.
1
2
AM b c a=+−

.
Hướng dẫn :
Cần lưu ý tính chất
M
là trung điểm của thì
11
22
AM AB AB
′
= +
  
. Khi đó :
11 111 1 1 1
22 222 2 2 2
AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c
′ ′′ ′
=+=++=+=++=−++
          
.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song
với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng
• Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
A.
OA OC OB OD+=+
   
. B.
0OA OB OC OD+++ =
   
.
C.
11
22
OA OB OC OD
+=+
   
. D.
11
22
OA OC OB OD
+=+
   
.
Hướng dẫn:
Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì
AB CD=
 
hoặc
AC BD=
 
. Khi đó
A.
( )
OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD AB DC+=+ ⇔−= −⇔= =
           
.
B.
0OA OB OC OD+++ =
   
: Với
O
là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện)
ABCD
.
C.
11
22
OA OB OC OD
+=+
   
11
22
OA OC OD OB⇔−= −
   
1
2
CA BD⇔=
 
.
D.
1 1 11 1
2 2 22 2
OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD+ =+ ⇔−= − ⇔=
         
.
Vậy chọn A.
Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
III. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ
0a ≠

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
a
song song hoặc trùng
với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho
// 'aa
,
// 'bb
và
'a
,
'b
cùng đi qua một điểm. Khi đó:
( )
( )
, ', 'ab a b=
Giả sử
, uv

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và
(
)
,uv
ϕ
=

.
Khi đó:
( )
( )
( )
00
0 00
0 90
,
180 90 180
ab
ϕϕ
ϕϕ
≤≤
=
− <≤
Nếu
//ab
hoặc
ab≡
thì
( )
0
,0ab =
.
3. Hai đường thẳng vuông góc:
( )
0
, 90a b ab⊥⇔ =
.
Giả sử
, uv

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó:
.0a b uv⊥⇔ =

Cho
//ab
. Nếu
ac⊥
thì
bc⊥
.
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :
Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Trang 3/30
Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?
A.
A C BD
′′
⊥
. B.
BB BD
′
⊥
. C.
A B DC
′′
⊥
. D.
BC A D
′′
⊥
.
Hướng dẫn
Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên
BB BD
′
⊥
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
V. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
() , ()d da a
αα
⊥ ⇔ ⊥ ∀⊂
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
()
, ()
da
db
d
ab
abI
α
α
⊥
⊥
⇒⊥
⊂
∩=
3. Tính chất:
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
( )
( )
α
α
∈
⇒⊥
⊥
ab
b
a
(
)
( )
//
ab
a ab
b
α
α
≠
⊥⇒
⊥
( ) ( )
( )
( )
//
a
a
αβ
β
α
⇒⊥
⊥
( ) ( )
(
)
( )
(
) ( )
//a
a
αβ
α αβ
β
≠
⊥⇒
⊥
( )
( )
//a
ba
b
α
α
⇒⊥
⊥
( )
( )
( )
//
a
ab a
b
α
α
α
⊄
⊥⇒
⊥
4. Định lý ba đường vuông góc:
Cho
( )
a
α
⊂
và
( )
b
α
⊄
,
'b
là hình chiếu của b lên
( )
α
. Khi đó:
'ab ab⊥⇔⊥
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu
d
vuông góc với
( )
α
thì góc giữa
d
và
( )
α
là
0
90
.
Nếu
d
không vuông góc với
( )
α
thì góc giữa
d
và
( )
α
là thì góc giữa
d
và
'd
với
'd
là
hình chiếu của d trên
( )
α
.
Chú ý: góc giữa
d
và
( )
α
là
ϕ
thì
00
0 90
ϕ
≤≤
.
VI. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?
Trang 4/30
A. Nếu đường thẳng
(
)
d
α
⊥
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
(
)
α
.
B. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì
( )
d
α
⊥
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
( )
α
thì
d
vuông góc với
bất kì đường thẳng nào nằm trong
( )
α
.
D. Nếu
( )
d
α
⊥
và đường thẳng
(
)
||
a
α
thì
da
⊥
.
Hướng dẫn :
A. Đúng vì
() , ()d da a
αα
⊥ ⇔ ⊥ ∀⊂
.
B. Sai vì Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
( )
α
thì
( )
d
α
⊥
.
C. Đúng vì
( )
( ) ( )
,
,
da
db
d dc c
ab
abI
αα
α
⊥
⊥
⇒ ⊥ ⇔ ⊥ ∀⊂
⊂
∩=
.
D. Đúng vì
( )
( )
//a
da
d
α
α
⇒⊥
⊥
Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
VII. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Nếu
( )
( )
a
b
β
α
⊥
⊥
thì góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
là góc giữa hai đường thẳng
a
và
.b
Giả sử
() () d
αβ
∩=
. Từ điểm
Id∈
, dựng
, ()
, ()
a da
b db
α
β
⊥⊂
⊥⊂
thì góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
là góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
.
Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
là
ϕ
thì
00
0 ;90
ϕ

∈

.
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Gọi S là diện tích của đa giác
ℋ
nằm trong
( )
α
và S’ là diện tích của đa giác
ℋ
’ là hình chiếu
vuông góc của đa giác
ℋ
lên
( )
β
. Khi đó
' .cosSS
ϕ
=
với
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
3. Hai mặt phẳng vuông góc:
Nếu hai mặt phẳng
( )
α
vuông góc mặt phẳng
( )
β
thì góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
bằng
90
0
.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
() ()
()
a
a
α
αβ
β
⊂
⇒⊥
⊥
4. Tính chất:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
d
a
a
ad
αβ
αβ
β
α
⊥
∩=
⇒⊥
⊂
⊥
Trang 5/30
S
B
A
C
H
( ) ( )
( )
( )
( )
A
a
Aa
a
αβ
α
α
β
⊥
∈
⇒⊂
∈
⊥
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
d
d
αγ
βγ γ
αβ
⊥
⊥ ⇒⊥
∩=
VIII. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có
( )
SA ABC
⊥
và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau
đây sai?
A.
( ) ( )
SAB ABC⊥
.
B.
( ) ( )
SAB SAC⊥
.
C. Vẽ
AH BC⊥
,
H BC
∈
thì góc
ASH∠
là góc giữa hai
mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
D. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
SAC
là góc
.SCB
∠
Hướng dẫn :
A. Đúng vì
( )
( )
SA SAB
SA ABC
⊂
⊥
( ) ( )
SAB ABC⇒ ⊥
.
B. Đúng vì
( )
AB AC
AB SAC
AB SA
⊥
⇒⊥
⊥
,
( )
( )
AB SAB
AC SAC
⊂
⊥
( ) ( )
SAB SAC⇒ ⊥
C. Đúng vì
( ) ( )
AH BC
BC SAH BC SH SAH
AH SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥⊃
⊥
.
( ) (
)
( )
( )
;;
BC AH
SBC ABC SH AH SHA
BC SH
⊥
⇒==
⊥
nên góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
là góc giữa hai đường thẳng
SH
và
AH
, là góc
SHA
.
D. Sai do cách xác định như câu C.
Trang 6/30
BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều
ABCD
. Khẳng định nào sau đây là sai:
A.
AD DC
⊥
 
. B.
AC BD⊥
 
. C.
AD BC⊥
 
. D.
AB BC AC+=
  
.
Câu 2. Trong không gian cho hình hộp
.' ' ' 'ABCD A B C D
. Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A.
,,, 'AC AB AD AC
   
. B.
' , ', ' ', '
AD AA AD DD
   
.
C.
,,,'
AC AB AD AA
   
. D.
', , , 'AB AB AD AA
   
.
Câu 3. Cho tứ diện
ABCD
.
,MN
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
1
()
2
MN AD BC= +
  
. B.
2( )MN AB CD
= +
  
.
C.
1
()
2
MN AC CD= +
  
. D. .
2( )MN AC BD
= +
  
.
Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng
a
và
b
lần lượt có vectơ chỉ phương là
,uv

. Gọi
α
là
góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A.
( , ).uv
α
=

B.
cos cos( , )
uv
α
=

.
C. Nếu
a
và
b
vuông góc với nhau thì
. sinuv
α
=

.
D. Nếu
a
và
b
vuông góc với nhau thì
.0uv
=

.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
A. Nếu
0AB BC CD DA+++=
   
thì bốn điểm
,,,ABC D
đồng phẳng
B. Tam giác
ABC
có
I
là trung điểm cạnh
BC
thì ta có đẳng thức:
2AI AB AC
= +
  
C. Vì
0
BA BC+=
 
nên suy ra
B
là trung điểm của
AC
D. Vì
23AB AC AD=−+
  
nên 4 điểm
,,,ABC D
đồng phẳng.
Câu 6. Cho tứ diện
ABCD
có trọng tâm
G
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
1
()
4
AG AB AC CD= ++
   
. B.
1
()
3
AG BA BC BD= ++
   
.
C.
1
()
4
AG AB AC AD= ++
   
. D.
1
()
4
AG BA BC BD= ++
   
.
Câu 7. Cho tứ diện đều
ABCD
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
. .0AD CD AC DC= =
   
. B.
.0AC BD =
 
.
C.
.0AD BC =
 
. D.
.0AB CD =
 
.
Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ
, ,w
uv

không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Các vectơ
,,u vvw+

đồng phẳng.
B. Các vectơ
, ,2uv u w+ − 2

đồng phẳng.
C. Các vectơ
, ,2u vv w+

không đồng phẳng.
D. Các vectơ
( )
2,uv u v+ , − −

không đồng phẳng.
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác
.' ' 'ABC A B C
. Đặt
'AA u
=

,
AB v=

,
wAC
=

. Biểu diễn vectơ
'BC

qua
các vectơ
,,uvw

. Chọn đáp án đúng:
A.
'w
BC u v=−+
 
. B.
'w
BC u v=++
 
.
C.
'wBC u v=+−
 
. D.
'wBC u v=−−
 
.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
Trang 7/30
A. Nếu
34
AB AC AD= −
  
thì 4 điểm
,,,ABC D
đồng phẳng.
B.
1
3
3
AB AC BC CA= ⇔=
   
C. Nếu
1
2
AB BC
= −
 
thì
B
là trung điểm của
AC
.
D. Cho
()d
α
⊂
và
' ()d
β
⊂
. Nếu mặt phẳng
()
α
và
()
β
vuông góc với nhau thì hai đường
thẳng
d
và
'd
cũng vuông góc với nhau.
Câu 11. Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
,
M
là trung điểm của
BB
′
. Đặt
CA a=

,
CB b=

,
'
AA c=

.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
2
AM a c b
=−+

. B.
1
2
AM b a c=−+

.
C.
1
2
AM a c b
=+−

. D.
1
2
AM b c a=+−

.
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
A.
11
22
OA OC OB OD
+=+
   
. B.
0OA OB OC OD
+++ =
   
.
C.
11
22
OA OB OC OD+=+
   
. D.
OA OC OB OD+=+
   
.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt
SA

=
a
;
SB

=
b
;
SC

=
c
;
SD

=
d

. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
ac db+= +

. B.
abcd+=+

.
C.
ad bc+=+

. D.
0
acdb++ +=

.
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt
AB b=

,
AC c
=

,
AD d=

.Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
1
2
MP c b d= +−

. B.
( )
1
2
MP d b c= +−

.
C.
( )
1
2
MP c d b= +−

. D.
(
)
1
2
MP c d b= ++

.
Câu 15. Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
có tâm
O
. Gọi
I
là tâm hình bình hành
ABCD
. Đặt
'AC u=

,
'CA v=

,
'BD x
=

,
'DB y=

. Chọn khẳng định đúng?
A.
(
)
1
2
4
OI u v x y= +++

. B.
( )
1
2
2
OI u v x y=− +++

.
C.
( )
1
2
4
OI u v x y=− +++

. D.
( )
1
2
2
OI u v x y= +++

.
Câu 16. Cho chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
( )
SA ABCD⊥
,
6SA a=
. Tính góc
α
giữa
đường
SC
và mặt phẳng
( )
SAD
?
A.
0
20 42'
α
≈
. B.
0
20 70'
α
≈
. C.
0
69 17 '
α
≈
. D.
0
69 30 '
α
≈
.
Câu 17. Cho
.S ABC
có
( )
SAC
và
( )
SAB
cùng vuông góc với đáy,
ABC∆
đều cạnh
a
,
2SA a=
Tính góc
α
giữa
SB
và
()SAC
?
A.
0
22 47'
α
≈
. B.
0
22 79'
α
≈
. C.
0
37 45'
α
≈
. D.
0
67 12
α
≈
.
Trang 8/30
Câu 18. Cho
SAB∆
đều và hình vuông
ABCD
nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa
SC
và
( )
ABCD
?
A.
0
18 35'
α
≈
. B.
0
15 62'
α
≈
. C.
0
37 45'
α
≈
. D.
0
63 72'
α
≈
.
Câu 19. Cho
.
S ABCD
có đáy hình thang vuông tại
A
và
, 2, ,B AD a AB BC a SA = = =
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết
SC
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60
0
. Tính góc giữa
SD
và
mặt phẳng
( )
SAC
?
A.
0
24 5'
α
≈
. B.
0
34 15'
α
≈
. C.
0
73 12 '
α
≈
. D.
0
62 8'
α
≈
.
Câu 20. Cho hình chóp
.S ABC
có
2SA SB SC a= = =
, đáy là tam giác vuông tại
A
,
0
60ABC
=
,
, AB a=
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
ABC
?
A.
0
76 24'
α
≈
B.
0
44 12'
α
≈
C.
0
63 15'
α
≈
D.
0
73 53'
α
≈
Câu 21. Cho
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SC
tạo đáy góc 45
0
,
SA
vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
()SAB
và
()SCD
?
A.
0
35 15'
α
≈
. B.
0
75 09'
α
≈
. C.
0
67 19 '
α
≈
. D.
0
38 55'
α
≈
.
Câu 22. Cho chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,a SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
( )
SCD
tạo với mặt phẳng đáy góc 45
0
. Tính góc giữa
(
)
SBC
và
( )
SCD
.
A.
0
74 12'
α
=
. B.
0
42 34'
α
=
. C.
0
30
α
=
. D.
0
60
α
=
.
Câu 23. Cho
.
S ABC
có
,,SA SB SC
đôi một vuông góc. Biết rằng
, 2.SA SB a SC a= = =
Hỏi góc
giữa
( )
SBC
và
( )
ABC
?
A.
0
50 46'
α
≈
. B.
0
63 12 '
α
=
. C.
0
34 73'
α
=
. D.
0
42 12'
α
=
.
Câu 24. Cho
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
,AB a SA=
vuông góc mặt phẳng đáy,
SC
hợp với mặt
phẳng đáy góc 45
0
và hợp với
( )
SAB
góc 30
0
. Tính góc giữa
( )
SBC
và mặt phẳng đáy?
A.
0
83 81'
α
=
. B.
0
79 01'
α
=
. C.
0
62 33'
α
=
. D.
0
54 44'
α
≈
.
Câu 25. Cho chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
4a, 3a.AB AD= =
Các cạnh bên đều
có độ dài
5.a
Tính góc giữa
( )
SBC
và
( )
ABCD
?
A.
0
75 46'
α
=
B.
0
71 21'
α
=
C.
0
68 31'
α
=
D.
0
65 12'
α
≈
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
( )
α
()
α
thì d
vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong
( )
α
.
B. Nếu đường thẳng
( )
d
α
⊥
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
( )
α
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong
()
α
thì
( )
d
α
⊥
.
D. Nếu
( )
d
α
⊥
và đường thẳng
( )
//a
α
thì
ad⊥
.
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm
O
. Qua
O
có bao nhiêu đường thẳng vuông
góc với ∆?
A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 28. Qua điểm
O
cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Trang 9/30
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
A.
52
. B. 50. C.
25
. D. 12.
Câu 31. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
( )
SA ABC
⊥
và
ABC
vuông ở
B
.
AH
là đường cao của
SAB
.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A.
SA BC
⊥
. B.
AH BC⊥
. C.
AH AC⊥
. D.
AH SC⊥
.
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng
( )
P
. Gọi H là hình chiếu của A lên
( )
P
. M, N là các điểm
thay đổi trong
( )
P
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu
AM AN=
thì
HM HN=
. B. Nếu
AM AN>
thì
HM HN>
.
C. Nếu
AM AN>
thì
HM HN<
. D. Nếu
HM HN>
thì
AM AN>
.
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A. Ba mặt phẳng
( )
( )
(
)
;;
ABC ABD ACD
đôi một vuông góC.
B. Tam giác BCD vuông.
C. Hình chiếu của
A
lên mặt phẳng
( )
BCD
là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A.
(
)
MA MB M P= ⇒∈
. B.
( )
MN P MN AB⊂⇒ ⊥
.
C.
( )
MN AB MN P⊥⇒ ⊂
. D.
( )
M P MA MB∈⇒=
.
VẬN DỤNG THẤP
Câu 35. Cho hình lập phương
.' ' ' 'ABCD A B C D
. Phân tích vectơ
'AC

theo các vectơ
,,'AB AD AA
  
.
Chọn đáp án đúng:
A.
1
''
2
AC AA AB AD= ++
   
. B.
( )
' '2AC AA AB AD=++
   
.
C.
( )
1
'2 '
2
AC AA AB AD=++
   
. D.
''AC AA AB AD= ++
   
.
Câu 36. Cho hình lập phương
.' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tích vô hướng của hai vectơ
AB

và
''AC

có giá trị bằng:
A.
2
a
. B.
2a
. C.
2
2a
. D.
2
2
2
a
.
Câu 37. Cho hình hộp
.' ' ' 'ABCD A B C D
có:
'' ' 'AB B C DD k AC+ +=
   
. Giá trị của
k
là:
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 38. Cho tứ diện
ABCD
, gọi
,MN
là trung điểm của các cạnh
AC
và
BD
,
G
là trọng tâm của tứ
diện
ABCD
và
O
là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị
k
thỏa mãn đẳng thức
( )
OG k OA OB OC OD= +++
    
là:
A. 4. B.
1
2
. C.
1
4
. D. 2..
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác
.' ' 'ABC A B C
. Đặt
'AA a=

,
AB b=

,
AC c=

, Gọi
I
là điểm thuộc
'CC
sao cho
1
''
3
CI CC=
 
,
G
là trọng tâm của tứ diện
'''BA B C
. Biểu diễn vectơ
IG

qua các
vectơ
,,abc

. Chọn đáp án đúng :
Trang 10/30
A.
11
2
43
IG a b c

= +−



. B.
( )
1
2
3
IG a b c= ++

.
C.
11
2
43
IG b c a

= +−



. D.
( )
1
2
4
IG a c b= +−

..
Câu 40. Cho chóp
.
S ABC
có
SAB
∆
đều cạnh
,a ABC
∆
vuông cân tại
B
và
( ) ( ).SAB ABC⊥
Tính góc giữa
SC
và
()ABC
?
A.
0
39 12'
α
=
. B.
0
46 73'
α
=
. C.
0
35 45'
α
≈
. D.
0
52 67 '
α
=
Câu 41. Cho chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh
, 3,a SA a SA =
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính góc giữa
SB
và
AC
?
A.
0
69 17 '
α
≈
. B.
0
72 84'
α
≈
. C.
0
84 62'
α
≈
. D.
0
27 38'
α
≈
.
Câu 42. Cho lăng trụ đều
.' ' 'ABC A B C
có
1,AB =
(
)
' 0.AA m m
= >
Hỏi
m
bằng bao nhiêu để góc
giữa
'AB
và
'BC
bằng 60
0
?
A.
2.m =
B.
1m =
. C.
3.m =
D.
5.m =
Câu 43. Cho chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh
a
,
SAB∆
là tam giác vuông cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa
SC
và
AD
?
A.
0
39 22 '
α
≈
. B.
0
73 45'
α
≈
. C.
0
35 15'
α
≈
. D.
0
42 24'
α
≈
.
Câu 44. Cho hình chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh
0
, 60 ,a ABC SA =
vuông góc mặt
phẳng đáy là
3.SA a=
Tính góc giữa
( )
SBC
và
( )
ABCD
?
A.
0
33 11'
α
≈
B.
0
14 55'
α
≈
C.
0
62 17 '
α
≈
D.
0
26 33'
α
≈
Câu 45. Cho hình chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật,
( )
SA ABCD⊥
, gọi
E
,
F
lần lượt
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
SB
và
SD
. Chọn mệnh đề đúng :
A.
( )
SC AEF
⊥
. B.
( )
SC ADE⊥
. C.
( )
SC ABF⊥
. D.
( )
SC AEC⊥
.
Câu 46. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA SB SC= =
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
S
lên
( )
ABC
.
Khi đó khẳng định nào đúng?
A.
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
B.
H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
C.
H
là trọng tâm tam giác
ABC
.
D.
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác
SBD
đều,
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm
A
và vuông góc đường thẳng
SB
cắt các
đường
SB
,
SC
lần lượt tại
M
,
N
.
1.
1
2
MN BC=
.
2.
SA MN⊥
3.
,, ,ADM N
không đồng phẳng.
4.
( ) ( )
SBC
α
⊥
.
5. Thiết diện cắt hình chóp
.S ABCD
bởi mặt phẳng
( )
α
là hình bình hành.
Có bao nhiêu nhận định sai?
A. 0 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
không liền kề nhau.
Trang 11/30
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
5
3
. D.
1
2
.
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
liền kề nhau.
A.
1
3
−
. B.
1
2
. C.
5
3
−
. D.
1
2
.
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
E
là trung điểm cạnh
SC
. Tính
cosin của góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
EBD
.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
5
3
−
. D.
1
2
.
Câu 51. Cho tam giác cân
ABC
có đường cao
3AH a=
, mặt phẳng đáy
3
BC a
=
,
( )
BC P⊂
,
( )
AP∉
0. Gọi
A
′
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
( )
P
. Tam giác
A BC
′
vuông tại
A
′
. Gọi
α
là góc giữa
( )
P
và
( )
ABC
. Chọn khẳng định đúng.
A.
0
30
α
=
. B.
0
60
α
=
. C.
0
45
α
=
. D.
2
3
cos
α
=
.
Câu 52. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
.
B
d
,
C
d
lần lượt là đường thẳng đi qua
B
,
C
và vuông góc
( )
ABC
.
( )
P
là mặt phẳng đi qua
A
và hợp với
( )
ABC
một góc bằng
60
o
.
( )
P
cắt
B
d
,
C
d
tại
D
và
E
.
6
2
a
AD =
,
3AE a
=
. Đặt
DAE
β
=
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.
30
o
β
=
. B.
2
sin
6
β
=
. C.
6
sin
2
β
=
. D.
60
o
β
=
.
Câu 53. Cho hình tứ diện
ABCD
có hai mặt phẳng
(
)
ABC
và
(
)
ABD
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
BCD
. Gọi
BE
và
DF
là hai đường cao của tam giác
BCD
,
DK
là đường cao của tam giác
ACD
, bảy điểm
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
K
không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
A.
( )
( )
ABE DFK⊥
. B.
( )
( )
ADC DFK⊥
.
C.
( ) ( )
ABC DFK⊥
. D.
( ) ( )
ABE ADC⊥
.
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có
O
là tâm của hình vuông
ABCD
,
AB a=
,
2SO a=
.
Gọi
( )
P
là mặt phẳng qua
AB
và vuông góc với mặt phẳng
( )
SCD
. Thiết diện của
( )
P
và
hình chóp
.S ABCD
là hình gì?
A. Hình thang vuông. B. Tam giác cân.
C. Hình thang cân. D. Hình bình hành.
Câu 55. Cho tứ diện đều
ABCD
có các cạnh có độ dài bằng
a
,
M
là trung điểm đoạn
CD
. Gọi
α
là
góc giữa
AC
và
BM
. Chọn khẳng định đúng?
A.
30
o
α
=
. B.
3
cos
4
α
=
. C.
1
cos
3
α
=
. D.
3
cos
6
α
=
.
Trang 12/30
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
B
A
D
A
C
A
C
A
A
B
D
A
C
C
A
A
D
A
B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
A
A
B
D
C
A
D
D
A
C
C
B
C
D
A
D
C
A
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
B
D
D
C
A
A
C
A
A
D
A
B
A
C
D
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều
ABCD
. Khẳng định nào sau đây là sai:
A.
AD DC⊥
 
. B.
AC BD⊥
 
. C.
AD BC⊥
 
. D.
AB BC AC+=
  
.
Hướng dẫn giải
Tứ diện
ABCD
là đều nên
AD

không thể vuông góc với
DC

.
Câu 2. Trong không gian cho hình hộp
.' ' ' 'ABCD A B C D
. Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A.
,,, 'AC AB AD AC
   
. B.
' , ', ' ', '
AD AA AD DD
   
.
C.
,,,'
AC AB AD AA
   
. D.
', , , '
AB AB AD AA
   
.
Hướng dẫn giải
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ
' , ', ' ', 'AD AA AD DD
   
cùng thuộc mặt phẳng
(
)
''AA D D
.
Câu 3. Cho tứ diện
ABCD
.
,MN
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
1
()
2
MN AD BC= +
  
. B.
2( )MN AB CD= +
  
.
C.
1
()
2
MN AC CD= +
  
. D. .
2( )MN AC BD= +
  
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
MN MA AD DN
MN MB BC CN
=++
= ++
   
   
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:
2 ( )( )( )MN MB MA BD AC DN CN=++++ +
      
1
2() ()
2
MN BD AC MN AC BD⇔ =+⇔= +
     
Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng
a
và
b
lần lượt có vectơ chỉ phương là
,uv

. Gọi
α
là
góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
A
B
C
D
N
M
Trang 13/30
A.
( , ).uv
α
=

B.
cos cos( , )uv
α
=

.
C. Nếu
a
và
b
vuông góc với nhau thì
. sinuv
α
=

.
D. Nếu
a
và
b
vuông góc với nhau thì
.0uv=

.
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
) (
)
4 ' 2 ' '' ''IG IC IC IC CB C B C A⇔ =+ ++ + +
      
. (Theo tính chất tích vô hướng của hai
vectơ)
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
A. Nếu
0AB BC CD DA
+++=
   
thì bốn điểm
,,,ABC D
đồng phẳng
B. Tam giác
ABC
có
I
là trung điểm cạnh
BC
thì ta có đẳng thức:
2AI AB AC= +
  
C. Vì
0
BA BC+=
 
nên suy ra
B
là trung điểm của
AC
D. Vì
23AB AC AD=−+
  
nên 4 điểm
,,,ABC D
đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng
0AB BC CD DA+++=
   
đúng với mọi điểm
,,,ABC D
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 6. Cho tứ diện
ABCD
có trọng tâm
G
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
1
()
4
AG AB AC CD
= ++
   
. B.
1
()
3
AG BA BC BD
= ++
   
.
C.
1
()
4
AG AB AC AD= ++
   
. D.
1
()
4
AG BA BC BD= ++
   
.
Hướng dẫn giải
Vì
G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
nên suy ra:
0GA GB GC GD
+++ =
   
AG GB GC GD
⇔ =++
   
(
) ( )
( )
AG GA AB GA AC GA AD⇔=+++++
      
4
AG AB AC AD⇔ =++
   
( )
1
4
AG AB AC AD⇔ = ++
   
Câu 7. Cho tứ diện đều
ABCD
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
. .0AD CD AC DC= =
   
. B.
.0AC BD
=
 
.
C.
.0AD BC =
 
. D.
.0AB CD =
 
.
Hướng dẫn giải
Vì tứ diện
ABCD
là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc.
Vậy
. . .0AC BD AD BC AB CD= = =
     
.
Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ
, ,wuv

không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Các vectơ
,,u vvw+

đồng phẳng.
B. Các vectơ
, ,2
uv u w+ − 2

đồng phẳng.
C. Các vectơ
, ,2u vv w+

không đồng phẳng.
D. Các vectơ
( )
2,uv u v+ , − −

không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Vì
,,
uvw

không đồng phẳng nên :
Trang 14/30
•
,,u vvw+

không đồng phẳng,
•
, ,2u vv w+

không đồng phẳng.
•
, ,2uv u w
+ − 2

không đồng phẳng.
Các vectơ
(
)
2,uv u v+ , − −

hiển nhiên là đồng phẳng.
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác
.' ' 'ABC A B C
. Đặt
'
AA u=

,
AB v=

,
wAC
=

. Biểu diễn vectơ
'BC

qua
các vectơ
,,
uvw

. Chọn đáp án đúng:
A.
'wBC u v
=−+
 
. B.
'wBC u v
=++
 
.
C.
'w
BC u v
=+−
 
. D.
'w
BC u v
=−−
 
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
' ' 'w wBC BC CC BA AC CC v u u v=+=++=−++=−+
     
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu
34
AB AC AD
= −
  
thì 4 điểm
,,,ABC D
đồng phẳng.
B.
1
3
3
AB AC BC CA= ⇔=
   
C. Nếu
1
2
AB BC= −
 
thì
B
là trung điểm của
AC
.
D. Cho
()d
α
⊂
và
' ()d
β
⊂
. Nếu mặt phẳng
()
α
và
()
β
vuông góc với nhau thì hai đường
thẳng
d
và
'
d
cũng vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
34
AB AC AD
= −
  
thỏa mãn biểu thức
c ma nb= +

(với
,mn
là duy nhất) của định lý về các
vectơ đồng phẳng.
Câu 11. Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
,
M
là trung điểm của
BB
′
. Đặt
CA a=

,
CB b=

,
'AA c=

.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
2
AM a c b
=−+

. B.
1
2
AM b a c=−+

.
C.
1
2
AM a c b
=+−

. D.
1
2
AM b c a=+−

.
Hướng dẫn giải
Cần lưu ý tính chất
M
là trung điểm của thì
11
22
AM AB AB
′
= +
  
.
Khi đó:
11 111 1 1 1
22 222 2 2 2
AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c
′ ′′ ′
=+=++=+=++=−++
          
.
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
A.
11
22
OA OC OB OD+=+
   
. B.
0OA OB OC OD+++ =
   
.
C.
11
22
OA OB OC OD+=+
   
. D.
OA OC OB OD+=+
   
.
Hướng dẫn giải
Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì
AB CD=
 
hoặc
AC BD=
 
.
Khi đó
Trang 15/30
•
OA OC OB OD OA OB OD OC AB CD
+=+ ⇔−= −⇔=
         
•
0
OA OB OC OD
+++ =
   
:
O
là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện)
ABCD
. (Loại)
•
11
22
OA OB OC OD+=+
   
11
22
OA OC OD OB
⇔−= −
   
1
2
CA BD⇔=
 
(Loại)
•
1 1 11 1
2 2 22 2
OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD+ =+ ⇔−= − ⇔=
         
(Loại)
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt
SA

=
a
;
SB

=
b
;
SC

=
c
;
SD

=
d

. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
ac db
+=+

. B.
abcd
+=+

.
C.
ad bc+=+

. D.
0acdb++ +=

.
Hướng dẫn giải
Gọi
O
là tâm hình bình hành
ABCD
, khi đó
2SA SC SB SD SO+=+=
    
. Vậy
ac db+= +

.
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt
AB b=

,
AC c=

,
AD d=

.Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
1
2
MP c b d= +−

. B.
( )
1
2
MP d b c= +−

.
C.
( )
1
2
MP c d b= +−

. D.
( )
1
2
MP c d b
= ++

.
Hướng dẫn giải
( )
1 1 11 111 1
2 2 22 222 2
MP MC MD MA AC AD AB AC AD c d b= + =++=−++=+−
        

.
Câu 15. Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
có tâm
O
. Gọi
I
là tâm hình bình hành
ABCD
. Đặt
'AC u
=

,
'CA v=

,
'BD x=

,
'DB y=

. Chọn khẳng định đúng?
A.
( )
1
2
4
OI u v x y= +++

. B.
( )
1
2
2
OI u v x y=− +++

.
C.
( )
1
2
4
OI u v x y=− +++

. D.
( )
1
2
2
OI u v x y= +++

.
Hướng dẫn giải
Do
I
là tâm hình bình hành ABCD nên
4OI OA OB OC OD=+++
    
( )
1
4
2
OI CA DB AC BD
′′′ ′
⇔ = +++
    
( )
1
4
2
OI AC BD CA DB
′′′′
⇔ =− + ++
    
( )
1
2
4
OI u v x y⇔ =− +++

Câu 16. Cho chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
( )
SA ABCD
⊥
,
6SA a=
. Tính góc
α
giữa
đường
SC
và mặt phẳng
( )
SAD
?
A.
0
20 42'
α
≈
. B.
0
20 70 '
α
≈
.
C.
0
69 17 '
α
≈
. D.
0
69 30 '
α
≈
.
Trang 16/30
Hướng dẫn giải
Ta có
( )
CD AD
CD SAD
CD SA
⊥
⇒⊥
⊥
. Tức
D
là
hình chiếu vuông góc của
C
lên
(
)
SAD
⇒
Góc giữa
SC
và
( )
SAD
là
CSD
.
22
7SD SA AD a= +=
;
0
1
tan 20 42'
7
CD
CSD CSD
SD
==⇒≈
Câu 17. Cho
.S ABC
có
( )
SAC
và
( )
SAB
cùng vuông
góc với đáy,
ABC∆
đều cạnh
a
,
2SA a=
Tính
góc
α
giữa
SB
và
()SAC
?
A.
0
22 47'
α
≈
. B.
0
22 79 '
α
≈
.
C.
0
37 45'
α
≈
. D.
0
67 12
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Lấy
H
là trung điểm
.
AC
Dễ chứng minh
(
)
BH SAC
⊥
suy ra
H
là hình chiếu vuông góc của
B
lên
( )
SAC
.
⇒
Góc giữa
SB
và
( )
SAC
là góc
.
BSH
22
17 3
;
22
aa
SH SA AH BH= += =
0
3
tan 22 47'
17
BSH
α
⇒ = ⇒≈
Câu 18. Cho
SAB∆
đều và hình vuông
ABCD
nằm trong 2 mặt
phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa
SC
và
( )
ABCD
?
A.
0
18 35'
α
≈
. B.
0
15 62'
α
≈
.
C.
0
37 45'
α
≈
. D.
0
63 72'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Lấy
H
là trung điểm
AB
khi
đó
( )
.SH ABCD⊥
⇒
Góc giữa
SC
và
( )
ABCD
là
.SCH
22
0
35
,
22
3
tan 37 45'
5
aa
SH CH HB BC
SCH
α
= = +=
⇒ = ⇒≈
S
A
C
B
H
S
B
C
D
H
A
B
A
D
C
S
Trang 17/30
Câu 19. Cho
.S ABCD
có đáy hình thang vuông tại
A
và
, 2, ,B AD a AB BC a SA = = =
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết
SC
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60
0
. Tính góc giữa
SD
và
mặt phẳng
( )
SAC
?
A.
0
24 5'
α
≈
. B.
0
34 15'
α
≈
.
C.
0
73 12 '
α
≈
. D.
0
62 8'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh
DC AC⊥
và
DC SA
⊥
nên
(
)
DC SAC
⊥
, vậy góc giữa
SD
và
( )
SAC
là
SDC
.
Dễ thấy góc giữa
SC
tạo mặt phẳng đáy là góc
SCA
nên
0
60 .SCA =
6, 10, 2SA a SD a CD a= = =
0
1
tan S 24 5'
5
CD
DC
SD
α
⇒ = = ⇒≈
Câu 20. Cho hình chóp
.S ABC
có
2SA SB SC a
= = =
, đáy là tam
giác vuông tại
A
,
0
60ABC =
,
, AB a=
. Tính góc giữa hai
mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
ABC
?
A.
0
76 24'
α
≈
B.
0
44 12'
α
≈
C.
0
63 15'
α
≈
D.
0
73 53'
α
≈
Hướng dẫn giải
Từ giải thiết có .
2SA SB SC a= = =
, nếu ta hạ
( )
SH ABC⊥
thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC H∆⇒
là trung điểm
.BC
Ta có:
( ) (
)
( )
SAC ABC AC
AC SHM
∩=
⇒
⊥
Góc giữa
( )
SAC
và
( )
ABC
là
.SMH
,3
2
a
HM SH a= =
tan 2 3
SH
SMH
MH
⇒==
0
73 53'SMH⇒≈
Câu 21. Cho
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SC
tạo đáy góc 45
0
,
SA
vuông góc với đáy.
Tính góc giữa
()SAB
và
()SCD
?
A.
0
35 15'
α
≈
. B.
0
75 09'
α
≈
.
C.
0
67 19 '
α
≈
. D.
0
38 55'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Ta thấy giao tuyến của
( )
SAB
và
(
)
SCD
là
đường
d
qua
S
và song song với
.AB
Dễ chứng minh
( )
d SAD⊥
nên góc giữa
( )
SAB
và
()SCD
là
DSA
.
S
D
C
B
A
S
B
A
C
H
M
S
d
D
A
Trang 18/30
Ta dễ thấy góc giữa
SC
và mặt phẳng đáy là góc
0
45SCA =
.Từ đó dễ dàng tính
được
2,
SA AC a AD a
= = =
.
0
1
tan 35 15'
2
DSA
α
⇒ = ⇒≈
.
Câu 22. Cho chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,a SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
( )
SCD
tạo với mặt phẳng đáy góc 45
0
. Tính góc giữa
(
)
SBC
và
( )
SCD
.
A.
0
74 12'
α
=
. B.
0
42 34'
α
=
.
C.
0
30
α
=
. D.
0
60
α
=
.
Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh được góc giữa
( )
DSC
và đáy là
0
45SDA =
nên
SA a=
Lấy
,MN
là trung điểm
,.
SB SD
Dễ chứng minh
( ) ( )
,AN SCD AM SBC⊥ ⊥
suy ra góc giữa
(
)
SBC
và
(
)
SCD
là góc giữa
,AN AM
.
2
22
DB a
AM AN MN
= = = =
0
60
MAN⇒=
.
Câu 23. Cho
.
S ABC
có
,,SA SB SC
đôi một vuông góc.
Biết rằng
, 2.SA SB a SC a= = =
Hỏi góc giữa
( )
SBC
và
(
)
ABC
?
A.
0
50 46'
α
≈
. B.
0
63 12 '
α
=
.
C.
0
34 73'
α
=
. D.
0
42 12'
α
=
.
Hướng dẫn giải
Hạ
()SH BC BC SAH⊥⇒⊥ ⇒
Góc giữa
()SBC
và
()ABC
là
.SHA
0
.6 6
tan 50 46'
32
SB SC a
SH SHA
BC
α
= = ⇒ = ⇒≈
.
Câu 24. Cho
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
,AB a SA
=
vuông góc mặt phẳng đáy,
SC
hợp với mặt
phẳng đáy góc 45
0
và hợp với
( )
SAB
góc 30
0
. Tính góc giữa
( )
SBC
và mặt phẳng đáy?
A.
0
83 81'
α
=
. B.
0
79 01'
α
=
.
C.
0
62 33'
α
=
. D.
0
54 44'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy rằng
00
45 , S 30 .SCA B C= =
22
SA x a⇒= +
2 2 22
2SBA SB SA AB x a∆ ⇒= + = +
0
.tan 30SBC SB BC∆⇒ =
22
2 3.x a x xa⇔ + = ⇔=
22
BC x AC x a=⇒=+
2.SA a⇒=
Xét
SAB∆
có
tan 2SBA =
nên
0
54 44'
α
≈
.
S
B
A
D
C
S
M
D
A
B
C
N
Trang 19/30
Câu 25. Cho chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
4a, 3a.AB AD= =
Các cạnh bên đều
có độ dài
5.a
Tính góc giữa
( )
SBC
và
( )
ABCD
?
A.
0
75 46'
α
=
B.
0
71 21'
α
=
C.
0
68 31'
α
=
D.
0
65 12'
α
≈
Hướng dẫn giải
Hạ
( ).SH ABCD⊥
Do các cạnh bên bằng nhau
nên
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy,
tức
H
là tâm đáy. Lấy
I
là trung điểm
BC
nên
góc giữa
( )
SBC
và
( )
ABCD
là
.SIH
22
53
2,
2
a
IH a SH SC HC= = − =
.
0
53
tan 65 12'
4
SIH
α
⇒ = ⇒≈
.
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong
( )
α
()
α
thì d
vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong
( )
α
.
B. Nếu đường thẳng
( )
d
α
⊥
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
(
)
α
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong
()
α
thì
( )
d
α
⊥
.
D. Nếu
( )
d
α
⊥
và đường thẳng
( )
//a
α
thì
ad⊥
.
Hướng dẫn giải:
• Đường thẳng
d
có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng
( )
α
nên
đáp án này sai.
• Nếu đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
α
thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
α
nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng.
• đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ
vuông góc với mặt phẳng
(
)
α
và do đó
d
vuông với mọi đường thẳng nằm trong
()
α
là hiển
nhiên đúng.
• Đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
α
thì
d
song song hoặc trùng với giá của véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng
()
α
do đó nếu đường thẳng
(
)
//a
α
thì
ad⊥
là đúng.
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm
O
. Qua
O
có bao nhiêu đường thẳng vuông
góc với ∆?
A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải
Qua điểm
O
có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm trong
mặt phẳng qua
O
và vuông góc với đường thẳng ∆.
Câu 28. Qua điểm
O
cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải:
Qua điểm
O
cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua
O
và vuông góc với một đường
thẳng cho trước
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
S
A
B
C
D
I
H
Trang 20/30
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai
đường thẳng này đồng phẳng. Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau
trong không gian.
Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
A.
52
. B. 50. C.
25
. D. 12.
Hướng dẫn giải:
Độ dài đường chéo của hình hộp là
222
345 5052++= =
Vậy đáp án đúng là
52
.
Câu 31. Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABC⊥
và
ABC
vuông ở
B
.
AH
là đường cao của
SAB
.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A.
SA BC⊥
. B.
AH BC⊥
. C.
AH AC⊥
. D.
AH SC
⊥
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
SA ABC⊥
nên
SA BC⊥
.
Mà
ABC
vuông tại B:
AB BC⊥
.
SA BC
AB BC
⊥
⊥
(
)
BC AH SAB⇒⊥ ⊂
;
( )
AH BC
AH SC SBC
AH SB
⊥
⇒ ⊥⊂
⊥
.
Nếu
( )
AH AC
AC AB SAB
SA AC
⊥
⇒⊥⊂
⊥
thì
ABC
vuông tại A (Vô lý).
Vậy
AH AC⊥
là sai.
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng
(
)
P
. Gọi H là hình chiếu của A lên
(
)
P
. M, N là các điểm
thay đổi trong
( )
P
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu
AM AN
=
thì
HM HN=
.
B. Nếu
AM AN>
thì
HM HN>
.
C. Nếu
AM AN>
thì
HM HN<
.
D. Nếu
HM HN>
thì
AM AN>
.
Hướng dẫn giải
Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên
( )
,AM AN
và hình chiếu
( )
,HM HN
. Đường
xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại. Mệnh đề sai là “Nếu
AM AN>
thì
HM HN<
”.
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A. Ba mặt phẳng
( ) ( ) ( )
;;ABC ABD ACD
đôi một vuông góC.
B. Tam giác BCD vuông.
C. Hình chiếu của
A
lên mặt phẳng
( )
BCD
là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
Trang 21/30
Hướng dẫn giải:
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
( )
AB ACD⊥
;
( )
AC ABD⊥
;
( )
AD ABC⊥
do đó ba mặt phẳng
( )
ABC
;
( )
ABD
;
( )
ACD
đôi một vuông góc.
• Gọi H là hình chiếu của A trên
(
)
BCD
.
( )
AH BCD⊥
( ) ( )
AH BCD AH CD CD ABH CD BH⊥ ⇒⊥⇒⊥ ⇒⊥
Tương tự
( ) ( )
AH BCD AH BC CD ADH BC DH⊥ ⇒ ⊥⇒⊥ ⇒⊥
Do đó H là trực tâm của tam giác
BCD
.
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
( )
( )
(
)
AB ACD AB CD
AC ABC AC BD
AD ABC AD BC
⊥ ⇒⊥
⊥ ⇒⊥
⊥ ⇒⊥
Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
• Vậy tam giác BCD vuông là sai.
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A.
(
)
MA MB M P
= ⇒∈
. B.
( )
MN P MN AB⊂⇒ ⊥
.
C.
( )
MN AB MN P⊥⇒ ⊂
. D.
( )
M P MA MB∈⇒=
.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm
A và B
⇒
Nếu
(
)
M P MA MB∈⇒=
Mặt phẳng
( )
P
là mặt phẳng trung trực của
AB
⇒
( )
AB P⊥
do đó Nếu
( )
MN P MN AB⊂⇒ ⊥
.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm
A và B
⇒
Nếu
( )
. MA MB M P= ⇒∈
Nếu
()MN AB MN P⊥⇒ ⊂
là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vuông góc với AB
lúc đó
( )
//MN P
.
VẬN DỤNG THẤP
Câu 35. Cho hình lập phương
.' ' ' 'ABCD A B C D
. Phân tích vectơ
'AC

theo các vectơ
,,'AB AD AA
  
.
Chọn đáp án đúng:
A.
1
''
2
AC AA AB AD= ++
   
. B.
( )
' '2AC AA AB AD=++
   
.
C.
( )
1
'2 '
2
AC AA AB AD=++
   
. D.
''AC AA AB AD= ++
   
.
Hướng dẫn giải
Lưu ý phép cộng vectơ đối với hình vuông
ABCD
:
AB AD AC+=
  
.
Ta có:
' ''AC AC AA AA AB AD=+ = ++
     
Câu 36. Cho hình lập phương
.' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tích vô hướng của hai vectơ
AB

và
''AC

có giá trị bằng:
A.
2
a
. B.
2a
. C.
2
2a
. D.
2
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Trang 22/30
Ta có:
(
)
(
)
' ', , 45A C AB AC AB BAC= = = °
   
( )
2
''. ''. .cos '', ..1
A C AB A C AB A C AB a a a
⇒= ==
     
Câu 37. Cho hình hộp
.' ' ' 'ABCD A B C D
có:
'' ' '
AB B C DD k AC+ +=
   
. Giá trị của
k
là:
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Hướng dẫn giải
Ta có
' ' '' 'AC AB BC CC AB B C DD=++ == +
      
. Vậy
1k =
.
Câu 38. Cho tứ diện
ABCD
, gọi
,MN
là trung điểm của các cạnh
AC
và
BD
,
G
là trọng tâm của tứ
diện
ABCD
và
O
là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị
k
thỏa mãn đẳng thức
(
)
OG k OA OB OC OD= +++
    
là:
A. 4. B.
1
2
. C.
1
4
. D. 2..
Hướng dẫn giải
Vì
G
là trọng tâm tứ diện nên:
0GA GB GC GD+++ =
   
( ) ( ) ( ) ( )
0
GO OA GO OB GO OC GO OD⇔+++++++=
       
4 04GO OA OB OC OD OG OA OB OC OD⇔ ++++ =⇔ =+++
         
( )
1
.
4
OG OA OB OC OD⇔ = +++
    
Vậy
1
4
k =
.
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác
.' ' 'ABC A B C
. Đặt
'
AA a=

,
AB b
=

,
AC c=

, Gọi
I
là điểm thuộc
'CC
sao cho
1
''
3
CI CC=
 
,
G
là trọng tâm của tứ diện
'''BA B C
. Biểu diễn vectơ
IG

qua các
vectơ
,,abc

. Chọn đáp án đúng :
A.
11
2
43
IG a b c

= +−



. B.
( )
1
2
3
IG a b c= ++

.
C.
11
2
43
IG b c a

= +−



. D.
( )
1
2
4
IG a c b= +−

..
Hướng dẫn giải
Ta có:
G
là trọng tâm của tứ diện
'''
BA B C
nên :
4 '''IG IB IA IB IC=+++
    
( ) (
) ( )
4 ' '' ' '' '
IG IC CB IC C A IC C B IC⇔=+++ ++ +
       
(
) ( )
4 ' 2 ' '' ''IG IC IC IC CB C B C A⇔ =+ ++ + +
      
11
4 '02 '2
33
IG CC CB AC AA CB AC⇔= ++−= +−
      
( )
1
4 2b c c
3
IG a⇔ = + −−

11
2b 3
43
IG a c

⇔ = +−



Câu 40. Cho chóp
.S ABC
có
SAB
∆
đều cạnh
,a ABC ∆
vuông cân tại
B
và
( ) ( ).SAB ABC⊥
Tính góc giữa
SC
và
()ABC
?
Trang 23/30
A.
0
39 12'
α
=
. B.
0
46 73'
α
=
. C.
0
35 45'
α
≈
. D.
0
52 67 '
α
=
Hướng dẫn giải
Lấy
H
là trung điểm
.AB
Dễ thấy
( )
SH ABC⊥
nên
CH
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên
( )
ABC
. Góc giữa
SC
và
( )
ABC
là
.SCH
0
35 3
, tan 35 45'
22
5
aa
SH HC SCH
α
= = ⇒ = ⇒≈
.
Câu 41. Cho chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh
, 3,a SA a SA
=
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính góc giữa
SB
và
AC
?
A.
0
69 17 '
α
≈
. B.
0
72 84'
α
≈
. C.
0
84 62'
α
≈
. D.
0
27 38'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
Lấy
M
là trung điểm
.
SD
Khi đó góc cần tìm là
góc giữa
OM
và
.OC
Ta có
MC
là trung tuyến
2 22
22
2
24
SC DC SD
SCD MC a
+
∆⇒ = − =
2MC a
⇒=
Xét
MOC∆
có :
22 2
1
2. .
22
MO OC MC
cosMOC
MO OC
+−
= = −
0
69 17 '
α
⇒≈
Câu 42. Cho lăng trụ đều
.' ' 'ABC A B C
có
1,AB =
( )
' 0.AA m m= >
Hỏi
m
bằng bao nhiêu để góc
giữa
'AB
và
'
BC
bằng 60
0
?
A.
2.m =
B.
1
m =
. C.
3.m =
D.
5.m =
Hướng dẫn giải
Lấy
,,MNP
là trung điểm
', ' ',BB B C AB
khi đó
// ', // '.
MP AB MN BC
Suy ra góc cần tìm là góc giữa
,.MP MN
2
1
2
m
MP MN
+
= =
. Lấy
Q
là trung điểm
' '.AB
22 2
1
4
PN PQ QN m⇒= + = +
.
Suy ra
2 22
1
2. . 2
PM MN PN
cosPMN
PM MN
+−
= = ±
, từ đó
tính được
2.m =
Câu 43. Cho chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình vuông
cạnh
a
,
SAB∆
là tam giác vuông cân tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
góc giữa
SC
và
AD
?
A.
0
39 22 '
α
≈
. B.
0
73 45'
α
≈
. C.
0
35 15'
α
≈
. D.
0
42 24'
α
≈
.
Hướng dẫn giải
S
D
C
B
A
O
M
A
C
B
P
Q
'
A
'B
'C
M
N
Trang 24/30
Ta có
//BC AD
nên góc giữa
SC
và
AD
là góc giữa
SC
và
BC
, vậy góc cần tìm là
.SCB
Dễ
chứng minh
SBC∆
vuông tại
B
nên
1
tan
2
SCB =
0
35 15'
α
⇒≈
.
Câu 44. Cho hình chóp
.
S ABCD
có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh
0
, 60 ,a ABC SA =
vuông góc mặt
phẳng đáy là
3.
SA a=
Tính góc giữa
( )
SBC
và
(
)
ABCD
?
A.
0
33 11'
α
≈
B.
0
14 55'
α
≈
C.
0
62 17 '
α
≈
D.
0
26 33'
α
≈
Hướng dẫn giải
Lấy
H
là trung điểm
.BC
Do
0
60ABC =
nên
ABC∆
đều. Dễ chứng minh
()BC SAH⊥⇒
Góc
cần tìm là
SHA
.
3
,3
2
a
AH SA a
= =
.
0
1
tan 26 33'
2
SHA SHA
⇒ =⇒≈
.
Câu 45. Cho hình chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình
chữ nhật,
( )
SA ABCD
⊥
, gọi
E
,
F
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
A
lên
SB
và
SD
. Chọn mệnh đề đúng :
A.
( )
SC AEF⊥
. B.
( )
SC ADE
⊥
.
C.
( )
SC ABF⊥
. D.
( )
SC AEC⊥
.
Hướng dẫn giải
( )
( )
SA ABCD
BC SA
BC ABCD
⊥
⇒⊥
⊂
;
BC SA
BC AE
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
;
AE BC
AE SC
AE SB
⊥
⇒⊥
⊥
Tương tự ta cũng có
AF SC⊥
.
Vậy
(
)
SC AEF⊥
.
Câu 46. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA SB SC= =
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
S
lên
( )
ABC
. Khi đó khẳng định nào đúng?
A.
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
B.
H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
C.
H
là trọng tâm tam giác
ABC
.
D.
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
Hướng dẫn giải
Do
SA SB SC= =
nên hình chiếu vuông góc của
,,SA SB SC
lên mặt phẳng
( )
ABC
lần lượt
là
,,HA HB HC
thỏa
HA HB HC= =
. Vậy
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
S
A
B
H
C
D
Trang 25/30
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABCD
có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác
SBD
đều,
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm
A
và vuông góc đường thẳng
SB
cắt các
đường
SB
,
SC
lần lượt tại
M
,
N
.
1.
1
2
MN BC=
.
2.
SA MN⊥
3.
,, ,ADM N
không đồng phẳng.
4.
( )
( )
SBC
α
⊥
.
5. Thiết diện cắt hình chóp
.
S ABCD
bởi mặt phẳng
( )
α
là hình bình hành.
Có bao nhiêu nhận định sai?
A. 0 B. 3 C. 2 D. 4
Hướng dẫn giải
Do tam giác
SBD
đều nên
SB SD BD= =
22 22 22
SA AB SA AD AB AD⇔ += += +
SA AB AD⇔= =
⇒
SAB∆
vuông cân tại
A
.
( )
( )
SB
SB M
α
α
⊥
∩=
⇒
M
là trung điểm
SB
.
SBC∆
vuông tại
B
có
( )
MN SB MN SB
α
⊂ ⊥⇒ ⊥
. Vậy
MN
là đường
trung bình tam giác
SBC∆
1
|| ,
2
MN BC MN BC

=


.
( )
//MN BC
MN SA
SA ABCD BC
⇒⊥
⊥⊃
// //MN BC AD ⇒
bốn điểm
,, ,ADM N
đồng phẳng. Thiết diện được tạo thành là hình thang
vuông
ADNM
.
( ) ( ) ( )
AMN SBC MN
α
≡ ∩=
có
( )
AM MN
α
⊃⊥
nên
( ) ( )
SBC
α
⊥
Vậy có 2 nhận định sai.
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
không liền kề nhau.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
5
3
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Gọi
M
,
N
là trung điểm các cạnh
AD
và
BC
,
SM AD⊥
và
SN BC⊥
. Giao tuyến của hai mặt
phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
là đường thẳng
d
qua
S
và song song
AD
,
BC
.
Vì
SM AD⊥
và
SN BC⊥
nên
SM d⊥
và
SN d⊥
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
là góc
MSN
.
S
A
B
M
O
N
Trang 26/30
Mặt bên là các tam giác đều cạnh
a
nên
3
2
a
SM SN= =
,
MN AB a= =
.
Khi đó :
22 2
1
cos
2. 3
SM SN MN
MSN
SM SN
+−
= =
.
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
liền kề nhau.
A.
1
3
−
. B.
1
2
. C.
5
3
−
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Gọi
E
là trung điểm các cạnh
SC
,
AC DE⊥
và
SC BE
⊥
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SCD
và
(
)
SBC
là đường thẳng
SC
.
Vì
AC DE
⊥
và
SC BE⊥
nên góc giữa hai mặt
phẳng
( )
SCD
và
( )
SBC
là góc
BED
.
Mặt bên là các tam giác đều cạnh
a
nên
3
2
a
DE BE= =
,
2
22BD AB a
= =
.
Khi đó :
222
1
cos
2. 3
BE DE BD
MSN
BE DE
+−
= = −
.
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
đều bằng
a
. Gọi
E
là trung điểm cạnh
SC
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(
)
SBD
và
( )
EBD
.
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
5
3
−
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Gọi
O
là trung điểm cạnh
BD
. Theo tính chất hình chóp đều
SO BD⊥
.
Mặt bên là các tam giác đều cạnh
a
nên
3
2
a
DE BE= =
,
2
22BD AB a= =
.
Nên tam giác
EBD
cân tại
E
,
EO BD⊥
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
EBD
là
góc
SOE
22
2
2
a
SO SB OB= −=
,
22
2
a
OE BE BO= −=
.
2 22
21
cos
2. 2
2
SO OE SE
SOE
SO OE
+−
= = =
Câu 51. Cho tam giác cân
ABC
có đường cao
3AH a
=
, mặt phẳng đáy
3
BC a=
,
( )
BC P⊂
,
( )
AP∉
0. Gọi
A
′
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
( )
P
. Tam giác
A BC
′
vuông tại
A
′
. Gọi
α
là góc giữa
( )
P
và
( )
ABC
. Chọn khẳng định đúng.
S
D
C
A
B
E
S
B
A
C
D
O
E
Trang 27/30
A.
0
30
α
=
. B.
0
60
α
=
. C.
0
45
α
=
. D.
2
3
cos
α
=
.
Hướng dẫn giải
Tam giác
ABC
có hình chiếu vuông góc lên
( )
P
là tam giác
A BC
′
.
2
1 33
.
22
ABC
a
S AH BC= =
.
AB AC=
và lần lượt có hình chiếu vuông góc lên
( )
P
là
AB
′
và
AC
′
nên
AB AC
′′
=
. Vậy tam giác
A BC
′
vuông cân tại
A
′
.
2
2
19
44
A BC
a
S BC
′
′
= =
3
cos 30
2
o
A BC
ABC
S
S
αα
′
= = ⇒=
Câu 52. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
.
B
d
,
C
d
lần lượt là đường thẳng đi qua
B
,
C
và vuông góc
( )
ABC
.
(
)
P
là mặt phẳng đi qua
A
và hợp với
( )
ABC
một góc bằng
60
o
.
(
)
P
cắt
B
d
,
C
d
tại
D
và
E
.
6
2
a
AD
=
,
3AE a=
. Đặt
DAE
β
=
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.
30
o
β
=
. B.
2
sin
6
β
=
. C.
6
sin
2
β
=
. D.
60
o
β
=
.
Hướng dẫn giải
Tam giác
ADE
có hình chiếu vuông góc lên
( )
ABC
là tam giác
ABC
nên :
22
33
cos60 ,
44
o
ABC
ABC
ADE
S
AB a
S
S
= = =
.
Mặt khác
11
. sin . sin
22
ADE
S AD AE DAE AD AE
β
= =
.
Vậy :
0
2
2
2
cos60
sin
..
6
ABC
ADE
S
S
AD AE AD AE
β
= = =
.
Câu 53. Cho hình tứ diện
ABCD
có hai mặt phẳng
(
)
ABC
và
(
)
ABD
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
BCD
. Gọi
BE
và
DF
là hai đường cao của tam giác
BCD
,
DK
là đường cao của tam giác
ACD
, bảy điểm
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
K
không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
A.
( ) ( )
ABE DFK⊥
. B.
( )
( )
ADC DFK⊥
.
C.
( ) ( )
ABC DFK⊥
. D.
( ) ( )
ABE ADC⊥
.
Hướng dẫn giải
( ) ( ) ( )
CD BE
CD ABE ABE ACD
CD AB
⊥
⇒⊥ ⇒ ⊥
⊥
Trang 28/30
•
( ) ( ) ( )
DF BC
DF ABC ABC DFK
DF AB
⊥
⇒⊥ ⇒ ⊥
⊥
•
( )
DF ABC DF AC⊥ ⇒⊥
;
( ) ( ) ( )
DF AC
AC DFK ACD DFK
DK AC
⊥
⇒⊥⇒⊥
⊥
•
(
) ( )
( )
( )
( )
ABE DFK
AB DFK AB DK
ABC DFK
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
( )
DK AB
DK ABC
DK AC
⊥
⇒⊥
⊥
( )
( )
//
DK ABC
DF DK
DF ABC
⊥
⇒
⊥
hoặc
DF DK≡
(vô lý)
Vậy
( )
( )
ABE DFK⊥
là khẳng định sai.
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có
O
là tâm của hình vuông
ABCD
,
AB a=
,
2SO a
=
.
Gọi
( )
P
là mặt phẳng qua
AB
và vuông góc với mặt phẳng
( )
SCD
. Thiết diện của
( )
P
và
hình chóp
.S ABCD
là hình gì?
A. Hình thang vuông. B. Tam giác cân.
C. Hình thang cân. D. Hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Gọi
I
,
J
là trung điểm
AB
,
CD
. Hiển nhiên
( ) ( )
SIJ SCD⊥
Khi đó
22
17
cos 0
17
IO IO
SIJ
SI
IO SO
= = = >
+
nên góc
SIJ∠
là góc nhọn. Gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
( )
SCD
thì
K
nằm trên đoạn
SJ
.
Do cách xác định
K
,
( )
IK SCD⊥
, nên
( ) ( )
;AB IK P
≡
hay
( )
P
chính là
( )
ABK
.
Gọi
( ) ( )
P SCD MN∩=
khi đó
M
,
N
nằm trên
đoạn
SC
,
SD
.
Khi đó :
( )
AB P⊂
,
( )
CD SCD⊂
,
//AB CD
// // DMN AB C⇒
nên thiết diện của
( )
P
và hình chóp
.S ABCD
là hình là hình thang
ABMN
.
Mặt khác
IK
vuông góc
AB
,
MN
tại các trung điểm
I
,
K
của hai đoạn
AB
,
MN
nên
ABMN
là hình thang cân.
Câu 55. Cho tứ diện đều
ABCD
có các cạnh có độ dài bằng
a
,
M
là trung điểm đoạn
CD
. Gọi
α
là
góc giữa
AC
và
BM
. Chọn khẳng định đúng?
A.
30
o
α
=
. B.
3
cos
4
α
=
. C.
1
cos
3
α
=
. D.
3
cos
6
α
=
.
Hướng dẫn giải
Gọi
N
là trung điểm
AD
, khi đó
//MN AC
nên góc giữa AC và BM bằng góc giữa MN và BM,
là góc
BMN
, vậy
BMN
α
=
.
Trang 29/30
3
2
a
BM BN= =
;
2
a
MN =
.
2 22
3
cos cos
2. 6
BM MN BN
BMN
BM MN
α
+−
= = =
.
| 1/29
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa và các phép toán:
 Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
 Phép cộng, trừ vectơ:
  
• Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB + BC = AC .
  
• Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + D A = AC .
   
• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D ' , ta có: AB + AD + AA' = AC '.  Lưu ý:
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:      
Hai vectơ a và b (b ≠ 0 ) ⇔ !
∃ k ∈ : a = k.b .
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1), điểm O tùy ý.      −
Ta có: MA = k.MB OA kOB OM = 1− k
• Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.      
Ta có: IA + IB = 0 OA + OB = 2OI
• Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ ABC, điểm O tùy ý.
   
   
Ta có: GA + GB + GC = 0 OA + OB + OC = 3OG
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.     
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng phương.      
Khi đó: a, b, c đồng phẳng ⇔ ! ∃ ,
m n∈ : c = . m a + . n b    
 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.     Khi đó: ! ∃ ,
m n, p∈ : x = .
m a + .nb + .pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ:
   
Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB = u, AC = v . Khi đó: (  u v) =  , BAC 0 ≤  0 (0 BAC ≤180 )
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:         
Cho u, v ≠ 0 . Khi đó: .
u v = u . v .cos(u,v)      
• Với u = 0 hoặc v = 0 , quy ước: u.v = 0       
• Với u, v ≠ 0 , ta có: u ⊥ v ⇔ u.v = 0
II. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.
• Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số).
• Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.
   
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′, M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a ,CB = b ,  
AA' = c . Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 1/30            1      A. 1
AM = b − a + c . B. 1
AM = a − c + b .
C. AM = a + c − b . D. 1
AM = b + c − a . 2 2 2 2 Hướng dẫn :   
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1
AM = AB + AB′ . Khi đó : 2 2
 1  1  1  1  1   1    1    1 
AM = AB + AB′ = AB + AB + BB′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = −a + b + c . 2 2 2 2 2 2 2 2
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song
với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng
• Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
   
    
A. OA + OC = OB + OD .
B. OA + OB + OC + OD = 0 .         C. 1 1
OA + OB = OC + OD . D. 1 1
OA + OC = OB + OD . 2 2 2 2 Hướng dẫn:    
Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD . Khi đó
   
   
   
A. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD ( AB = DC).
    
B. OA + OB + OC + OD = 0 : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .           C. 1 1
OA + OB = OC + OD 1 1
⇔ OA − OC = OD − OB 1 ⇔ CA = BD . 2 2 2 2 2           D. 1 1 1 1 1
OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD . 2 2 2 2 2 Vậy chọn A.
Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
III. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:   
Vectơ a ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng
với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho a//a ' , b//b ' và a ', b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó:  (a,b)=  (a',b')    
 Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và (u,v) = ϕ . 0 0 ϕ  0 ≤ ϕ ≤ 90 Khi đó:  (a,b)  ( ) =  0 180  −ϕ  ( 0 0 90 < ϕ ≤180 )
 Nếu a//b hoặc a ≡ b thì  (a b) 0 , = 0 .
3. Hai đường thẳng vuông góc:  ⊥ ⇔  a b (a b) 0 , = 90 .     
 Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a ⊥ b ⇔ . u v = 0
 Cho a//b . Nếu a ⊥ c thì b ⊥ c .
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :
Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc Trang 2/30
Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?
A. A′C′ ⊥ BD .
B. BB′ ⊥ BD .
C. A′B ⊥ DC′ .
D. BC′ ⊥ A′D . Hướng dẫn
Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB′ ⊥ BD
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
V. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: d ⊥ (α) ⇔ d ⊥ a, a ∀ ⊂ (α) d ⊥ a  d ⊥ b
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:  ⇒ d ⊥ (α) a,b ⊂ (α) 
a ∩b = I 3. Tính chất:
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng. a∈ b
 (α) ⇒ (α) ⊥ b ⊥  aa ≠ b   a ⊥ (α ) ⇒  a//b b  ⊥  (α ) (  α  ) // (β )   ⇒ a ⊥ (β ) a ⊥  (α ) (  α ) ≠ (β )   (
 α ) ⊥ a ⇒ (α ) // (β ) (  β  ) ⊥ a a//(α )    ⊥  ( ⇒ ⊥ α ) b a ba ⊄ (α ) 
 a ⊥ b ⇒ a// (α ) (  α  ) ⊥ b
4. Định lý ba đường vuông góc:
Cho a ⊂ (α ) và b ⊄ (α ) , b' là hình chiếu của b lên (α ) . Khi đó: a ⊥ b ⇔ a ⊥ b'
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 Nếu d vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là 0 90 .
 Nếu d không vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là thì góc giữa d và d ' với d ' là
hình chiếu của d trên (α ) .
 Chú ý: góc giữa d và (α ) là ϕ thì 0 0 0 ≤ ϕ ≤ 90 .
VI. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ? Trang 3/30
A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d vuông góc với
bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .
D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a || (α ) thì d ⊥ a . Hướng dẫn :
A. Đúng vì d ⊥ (α) ⇔ d ⊥ a, a ∀ ⊂ (α) .
B. Sai vì Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) . d ⊥ ad ⊥  b C. Đúng vì 
⇒ d ⊥ α ⇔ d ⊥ c c ∀ ⊂ α . a,b ⊂  (α ) ( ) , ( )
a∩b = I a//(α ) D. Đúng vì   ⊥  ( ) ⇒ d ⊥ a d α
Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
VII. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc giữa hai mặt phẳng: a ⊥ (α )  Nếu 
thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ) là góc giữa hai đường thẳng a và . b b  ⊥  (β )
a ⊥ d, a ⊂ (α)
 Giả sử (α) ∩ (β ) = d . Từ điểm I ∈ d , dựng
thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) b
 ⊥ d,b ⊂ (β )
và (β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b .
 Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ) là ϕ thì 0 0 ϕ ∈ 0 ;90    .
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong (α ) và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu
vuông góc của đa giác ℋ lên (β ). Khi đó S ' = S.cosϕ với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ).
3. Hai mặt phẳng vuông góc:
Nếu hai mặt phẳng (α ) vuông góc mặt phẳng (β ) thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ) bằng 900. a ⊂ (α)
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:  ⇒ (α) ⊥ (β ) a ⊥ (β ) 4. Tính chất: (  α ) ⊥ (β ) (   α ) ∩ (β ) = d   ⇒ a ⊥ (β ) a ⊂ (α )  a ⊥ d Trang 4/30 (  α ) ⊥ (β )  A∈(α )   ⇒ a ⊂ (α ) A∈  aa ⊥  (β ) (  α ) ⊥ (γ )   (  β ) ⊥ (γ ) ⇒ d ⊥ (γ ) (  α  ) ∩(β ) = d
VIII. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC) và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau
đây sai? S
A. (SAB) ⊥ ( ABC) .
B. (SAB) ⊥ (SAC) .
C. Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC thì góc A
∠ SH là góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và ( ABC)
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc ∠ B SC . B A Hướng dẫn : H
SA ⊂ (SAB) A. Đúng vì 
⇒ (SAB) ⊥ ( ABC) . SA ⊥  ( ABC) CAB ⊥ AC
AB ⊂ (SAB) B. Đúng vì 
⇒ AB ⊥ (SAC) , 
⇒ (SAB) ⊥ (SAC) AB ⊥ SAAC ⊥  (SAC) AH ⊥ BC C. Đúng vì 
⇒ BC ⊥ (SAH ) ⇒ BC ⊥ SH ⊃ (SAH ). AH ⊥ SABC ⊥ AH
⇒ ((SBC) ( ABC))  = (SH AH )  =  ; ;
SHA nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và BC ⊥ SH
(ABC) là góc giữa hai đường thẳng SH và AH , là góc  SHA .
D. Sai do cách xác định như câu C. Trang 5/30 BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:      
  
A. AD ⊥ DC .
B. AC ⊥ BD .
C. AD ⊥ BC .
D. AB + BC = AC .
Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
   
   
A. AC, AB, AD, AC '.
B. A'D, AA', A'D ', DD '.
   
   
C. AC, AB, AD, AA' .
D. AB ', AB, AD, AA' .
Câu 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:       A. 1
MN = (AD + BC) . B. MN = 2(AB + CD) . 2       C. 1
MN = (AC + CD) . D. . MN = 2(AC + BD) . 2  
Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u,v . Gọi α là
góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:  
A. α = (u,v) .  
B. cosα = cos(u,v) .  
C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì . u v = sinα .  
D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v = 0 .
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
    
A. Nếu AB + BC + CD + DA = 0 thì bốn điểm ,
A B,C, D đồng phẳng   
B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI = AB + AC   
C. Vì BA + BC = 0 nên suy ra B là trung điểm của AC    D. Vì AB = 2
− AC + 3AD nên 4 điểm ,
A B,C, D đồng phẳng.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:
A.  1    
  
AG = (AB + AC + CD) . B. 1
AG = (BA + BC + BD) . 4 3
C.  1    
  
AG = (AB + AC + AD) . D. 1
AG = (BA + BC + BD) . 4 4
Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
        A. A .
D CD = AC.DC = 0.
B. AC.BD = 0.       C. A . D BC = 0. D. A . B CD = 0 .   
Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ u, v , w
không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?    
A. Các vectơ u + v, v , w đồng phẳng.    
B. Các vectơ u + v, − u 2 , 2 w đồng phẳng.    
C. Các vectơ u + v, v , 2
w không đồng phẳng.    
D. Các vectơ 2(u + v), −u, −v không đồng phẳng.
      
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C '. Đặt AA' = u , AB = v , AC = w . Biểu diễn vectơ BC ' qua    các vectơ u, v , w
. Chọn đáp án đúng:        
A. BC ' = u − v + w .
B. BC ' = u + v + w .        
C. BC ' = u + v − w .
D. BC ' = u − v − w .
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? Trang 6/30   
A. Nếu AB = 3AC − 4AD thì 4 điểm ,
A B,C, D đồng phẳng.     B. 1
AB = 3AC ⇔ BC = CA 3   C. 1
Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của AC . 2
D. Cho d ⊂ (α) và d ' ⊂ (β ) . Nếu mặt phẳng (α) và (β ) vuông góc với nhau thì hai đường
thẳng d và d ' cũng vuông góc với nhau.
     
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′, M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a ,CB = b , AA' = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?         A. 1
AM = a − c + b . B. 1
AM = b − a + c . 2 2         C. 1
AM = a + c − b . D. 1
AM = b + c − a . 2 2
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:    
     A. 1 1
OA + OC = OB + OD .
B. OA + OB + OC + OD = 0 . 2 2    
    C. 1 1
OA + OB = OC + OD .
D. OA + OC = OB + OD . 2 2
      
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA= a ; SB = b ; SC = c ; SD = 
d . Khẳng định nào sau đây đúng?        
A. a + c = d + b .
B. a + b = c + d .         
C. a + d = b + c .
D. a + c + d + b = 0 .
   
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b, AC = c ,  
AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng?         A. 1
MP = (c +b − d ) . B. 1
MP = (d +b −c) . 2 2         C. 1
MP = (c + d −b) . D. 1
MP = (c + d +b). 2 2
Câu 15. Cho hình hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt  
   
AC ' = u ,  
CA' = v , BD ' = x , DB ' = y . Chọn khẳng định đúng?  1      1    
A. 2OI = (u + v + x + y) .
B. 2OI = − (u + v + x + y). 4 2           C. 1
2OI = − (u + v + x + y). 1
D. 2OI = (u + v + x + y) . 4 2
Câu 16. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) , SA = a 6 . Tính góc α giữa
đường SC và mặt phẳng (SAD)? A. 0 α ≈ 20 42'. B. 0 α ≈ 20 70'. C. 0 α ≈ 69 17' . D. 0 α ≈ 69 30' .
Câu 17. Cho S.ABC có (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy, A
∆ BC đều cạnh a , SA = 2a
Tính góc α giữa SB và (SAC) ? A. 0 α ≈ 22 47'. B. 0 α ≈ 22 79'. C. 0 α ≈ 37 45' . D. 0 α ≈ 67 12 . Trang 7/30 Câu 18. Cho S
∆ AB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa
SC và ( ABCD) ? A. 0 α ≈18 35'. B. 0 α ≈ 15 62' . C. 0 α ≈ 37 45' . D. 0 α ≈ 63 72' .
Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) ? A. 0 α ≈ 24 5' . B. 0 α ≈ 34 15'. C. 0 α ≈ 73 12'. D. 0 α ≈ 62 8'.
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a , đáy là tam giác vuông tại A ,  0 ABC = 60 ,
, AB = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và ( ABC) ? A. 0 α ≈ 76 24' B. 0 α ≈ 44 12' C. 0 α ≈ 63 15' D. 0 α ≈ 73 53'
Câu 21. Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy. Tính
góc giữa (SAB) và (SCD) ? A. 0 α ≈ 35 15'. B. 0 α ≈ 75 09' . C. 0 α ≈ 67 19' . D. 0 α ≈ 38 55'.
Câu 22. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SCD)
tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa (SBC) và (SCD) . A. 0 α = 74 12' . B. 0 α = 42 34' . C. 0 α = 30 . D. 0 α = 60 .
Câu 23. Cho S.ABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc. Biết rằng SA = SB = a, SC = a 2. Hỏi góc
giữa (SBC) và ( ABC) ? A. 0 α ≈ 50 46' . B. 0 α = 63 12'. C. 0 α = 34 73'. D. 0 α = 42 12'.
Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,SA vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
phẳng đáy góc 450 và hợp với (SAB) góc 300. Tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy? A. 0 α = 83 81' . B. 0 α = 79 01'. C. 0 α = 62 33'. D. 0 α ≈ 54 44' .
Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5 .
a Tính góc giữa (SBC) và ( ABCD) ? A. 0 α = 75 46' B. 0 α = 71 21' C. 0 α = 68 31' D. 0 α ≈ 65 12'
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) (α) thì d
vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .
D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a// (α ) thì a ⊥ d .
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ∆? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Trang 8/30
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: A. 5 2 . B. 50. C. 2 5 . D. 12.
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC) và ABC vuông ở B . AH là đường cao của SAB .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. SA ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .
C. AH ⊥ AC .
D. AH ⊥ SC .
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu của A lên (P) . M, N là các điểm
thay đổi trong (P) . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu AM = AN thì HM = HN .
B. Nếu AM > AN thì HM > HN .
C. Nếu AM > AN thì HM < HN .
D. Nếu HM > HN thì AM > AN .
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Ba mặt phẳng ( ABC); ( ABD); ( ACD) đôi một vuông góC.
B. Tam giác BCD vuông.
C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. MA = MB ⇒ M ∈(P) .
B. MN ⊂ (P) ⇒ MN ⊥ AB .
C. MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ (P) .
D. M ∈(P) ⇒ MA = MB . VẬN DỤNG THẤP 
  
Câu 35. Cho hình lập phương ABC .
D A'B 'C 'D' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA'.
Chọn đáp án đúng: 
       A. 1
AC ' = AA' + AB + AD .
B. AC ' = AA'+ 2( AB + AD) . 2
   
    C. 1
AC ' = 2AA' + ( AB + AD) .
D. AC ' = AA'+ AB + AD . 2 
Câu 36. Cho hình lập phương ABC .
D A'B 'C 'D' có cạnh bằng a . Tích vô hướng của hai vectơ AB và 
A'C ' có giá trị bằng: 2 A. 2a 2 a . B. a 2 . C. 2 a 2 . D. . 2
   
Câu 37. Cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D' có: AB + B'C '+ DD' = k AC '. Giá trị của k là: A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ
diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức 
   
OG = k (OA+OB +OC +OD) là: A. 4. B. 1 . C. 1 . D. 2.. 2 4
     
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C '. Đặt AA' = a , AB = b, AC = c , Gọi I là điểm thuộc CC '    sao cho 1
C ' I = C 'C , G là trọng tâm của tứ diện BA' B 'C ' . Biểu diễn vectơ IG qua các 3   
vectơ a,b,c . Chọn đáp án đúng : Trang 9/30         A. 1  1 IG 1  a b 2c  = + − .
B. IG = (a +b + 2c). 4 3    3         C. 1  1 IG 1 b c 2a  = + − .
D. IG = (a + c − 2b) .. 4 3    4
Câu 40. Cho chóp S.ABC có S
∆ AB đều cạnh a, A
∆ BC vuông cân tại B và (SAB) ⊥ (ABC).
Tính góc giữa SC và (ABC) ? A. 0 α = 39 12' . B. 0 α = 46 73' . C. 0 α ≈ 35 45'. D. 0 α = 52 67'
Câu 41. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 3, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? A. 0 α ≈ 69 17' . B. 0 α ≈ 72 84'. C. 0 α ≈ 84 62'. D. 0 α ≈ 27 38' .
Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có AB =1, AA' = m(m > 0). Hỏi m bằng bao nhiêu để góc
giữa AB ' và BC ' bằng 600 ? A. m = 2. B. m =1. C. m = 3. D. m = 5.
Câu 43. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a , S
∆ AB là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ? A. 0 α ≈ 39 22' . B. 0 α ≈ 73 45'. C. 0 α ≈ 35 15'. D. 0 α ≈ 42 24'.
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh  0
a, ABC = 60 , S A vuông góc mặt
phẳng đáy là SA = a 3. Tính góc giữa (SBC) và ( ABCD) ? A. 0 α ≈ 33 11' B. 0 α ≈14 55' C. 0 α ≈ 62 17' D. 0 α ≈ 26 33'
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD) , gọi E , F lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng :
A. SC ⊥ ( AEF ).
B. SC ⊥ ( ADE) .
C. SC ⊥ ( ABF ).
D. SC ⊥ ( AEC) .
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC).
Khi đó khẳng định nào đúng?
A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
C. H là trọng tâm tam giác ABC .
D. H là trực tâm tam giác ABC .
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các
đường SB , SC lần lượt tại M , N . 1. 1 MN = BC . 2 2. SA ⊥ MN 3. ,
A D, M , N không đồng phẳng. 4. (α ) ⊥ (SBC) .
5. Thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (α ) là hình bình hành.
Có bao nhiêu nhận định sai? A. 0 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau. Trang 10/30 A. 1 . B. 1 . C. 5 . D. 1 . 3 2 3 2
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau. A. 1 − . B. 1 . C. 5 − . D. 1 . 3 2 3 2
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (EBD) . A. 1 . B. 1 . C. 5 − . D. 1 . 3 2 3 2
Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3 , mặt phẳng đáy BC = 3a , BC ⊂ (P),
A∉(P) 0. Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên (P) . Tam giác A′BC vuông tại A′. Gọi
α là góc giữa (P) và ( ABC). Chọn khẳng định đúng. A. 0 α = 30 . B. 0 α = 60 . C. 0 α = 45 . D. 2 cosα = . 3
Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a . d , d lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc B C
(ABC). (P) là mặt phẳng đi qua A và hợp với (ABC) một góc bằng 60o . (P) cắt d , d tại B C D và E . a 6 AD =
, AE = a 3 . Đặt β = 
DAE . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 đúng? A. 30o β = . B. 2 sin β = . C. 6 sin β = . D. 60o β = . 6 2
Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC) và ( ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(BCD) . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác
ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. ( ABE) ⊥ (DFK ) .
B. ( ADC) ⊥ (DFK ) .
C. ( ABC) ⊥ (DFK ).
D. ( ABE) ⊥ ( ADC) .
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB = a , SO = 2a .
Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) . Thiết diện của (P) và
hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình thang vuông. B. Tam giác cân. C. Hình thang cân. D. Hình bình hành.
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a , M là trung điểm đoạn CD . Gọi α là
góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 3 A. 30o α = . B. cosα = . C. 1 cosα = . D. cosα = . 4 3 6 Trang 11/30
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 7.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 B D D C A A C A A D A B A C D
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:      
  
A. AD ⊥ DC .
B. AC ⊥ BD .
C. AD ⊥ BC .
D. AB + BC = AC . Hướng dẫn giải 
Tứ diện ABCD là đều nên 
AD không thể vuông góc với DC .
Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
   
   
A. AC, AB, AD, AC '.
B. A'D, AA', A'D ', DD '.
   
   
C. AC, AB, AD, AA' .
D. AB ', AB, AD, AA' . Hướng dẫn giải
   
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ A' D, AA', A' D ', DD ' cùng thuộc mặt phẳng ( AA'D 'D). A B D C A′ B′ D′ C′
Câu 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:       A. 1
MN = (AD + BC) . B. MN = 2(AB + CD) . 2 A       C. 1
MN = (AC + CD) . D. . MN = 2(AC + BD) . 2 Hướng dẫn giải M
   
MN = MA+ AD + DN
Ta có:    
MN = MB + BC + CN B D
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:        N 2MN = (MB + )
MA + (BD + AC) + (DN + CN)   
 1   C
⇔ 2MN = (BD + AC) ⇔ MN = (AC + BD) 2  
Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u,v . Gọi α là
góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng: Trang 12/30  
A. α = (u,v) .  
B. cosα = cos(u,v) .  
C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì . u v = sinα .  
D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v = 0 . Hướng dẫn giải    
  
Ta có: ⇔ 4IG = IC ' + (2IC '+ IC)+(CB +C 'B')+C ' A'. (Theo tính chất tích vô hướng của hai vectơ)
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
    
A. Nếu AB + BC + CD + DA = 0 thì bốn điểm ,
A B,C, D đồng phẳng   
B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI = AB + AC   
C. Vì BA + BC = 0 nên suy ra B là trung điểm của AC    D. Vì AB = 2
− AC + 3AD nên 4 điểm ,
A B,C, D đồng phẳng. Hướng dẫn giải
    
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng AB + BC + CD + DA = 0 đúng với mọi điểm ,
A B,C, D
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:
A.  1    
  
AG = (AB + AC + CD) . B. 1
AG = (BA + BC + BD) . 4 3
C.  1    
  
AG = (AB + AC + AD) . D. 1
AG = (BA + BC + BD) . 4 4 Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên suy ra:
    
GA + GB + GC + GD = 0
   
⇔ AG = GB + GC + GD       
⇔ AG = (GA+ AB) +(GA+ AC) +(GA+ AD)
   
⇔ 4AG = AB + AC + AD
 1   
⇔ AG = ( AB + AC + AD) 4
Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
        A. A .
D CD = AC.DC = 0.
B. AC.BD = 0.       C. A . D BC = 0. D. A . B CD = 0 . Hướng dẫn giải
Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc.
      
Vậy AC.BD = A . D BC = A . B CD = 0 .   
Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ u, v , w
không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?    
A. Các vectơ u + v, v , w đồng phẳng.    
B. Các vectơ u + v, − u 2 , 2 w đồng phẳng.    
C. Các vectơ u + v, v , 2
w không đồng phẳng.    
D. Các vectơ 2(u + v), −u, −v không đồng phẳng. Hướng dẫn giải    Vì u, v , w
không đồng phẳng nên : Trang 13/30    
• u + v, v , w không đồng phẳng,    
• u + v, v , 2
w không đồng phẳng.    
• u + v, − u 2 , 2
w không đồng phẳng.    
Các vectơ 2(u + v), −u, −v hiển nhiên là đồng phẳng.
      
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C '. Đặt AA' = u , AB = v , AC = w . Biểu diễn vectơ BC ' qua    các vectơ u, v , w
. Chọn đáp án đúng:        
A. BC ' = u − v + w .
B. BC ' = u + v + w .        
C. BC ' = u + v − w .
D. BC ' = u − v − w . Hướng dẫn giải Ta có:
           
BC ' = BC + CC ' = BA + AC + CC ' = −v + w + u = u − v + w
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?   
A. Nếu AB = 3AC − 4AD thì 4 điểm ,
A B,C, D đồng phẳng.     B. 1
AB = 3AC ⇔ BC = CA 3   C. 1
Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của AC . 2
D. Cho d ⊂ (α) và d ' ⊂ (β ) . Nếu mặt phẳng (α) và (β ) vuông góc với nhau thì hai đường
thẳng d và d ' cũng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải      
AB = 3AC − 4AD thỏa mãn biểu thức c = ma + nb (với ,
m n là duy nhất) của định lý về các vectơ đồng phẳng.
     
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′, M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a ,CB = b , AA' = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?         A. 1
AM = a − c + b . B. 1
AM = b − a + c . 2 2         C. 1
AM = a + c − b . D. 1
AM = b + c − a . 2 2 Hướng dẫn giải
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì  1  1 
AM = AB + AB′ . 2 2 Khi đó:
 1  1  1  1  1   1    1    1 
AM = AB + AB′ = AB + AB + BB′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = −a + b + c . 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:    
     A. 1 1
OA + OC = OB + OD .
B. OA + OB + OC + OD = 0 . 2 2    
    C. 1 1
OA + OB = OC + OD .
D. OA + OC = OB + OD . 2 2 Hướng dẫn giải    
Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD . Khi đó Trang 14/30
   
     
• OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ AB = CD
    
• OA + OB + OC + OD = 0 : O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD . (Loại)
 1   1 
  1  1   1 
• OA + OB = OC + OD ⇔ OA − OC = OD − OB ⇔ CA = BD (Loại) 2 2 2 2 2
 1   1 
  1  1   1 
• OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD (Loại) 2 2 2 2
2      
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA= a ; SB = b ; SC = c ; SD = 
d . Khẳng định nào sau đây đúng?        
A. a + c = d + b .
B. a + b = c + d .         
C. a + d = b + c .
D. a + c + d + b = 0 . Hướng dẫn giải
        
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD , khi đó SA + SC = SB + SD = 2SO . Vậy a + c = d + b .
   
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b, AC = c ,  
AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng?         A. 1
MP = (c +b − d ) . B. 1
MP = (d +b −c) . 2 2         C. 1
MP = (c + d −b) . D. 1
MP = (c + d +b). 2 2 Hướng dẫn giải
 1  1   1  1 
1  1  1  1   
MP = MC + MD = MA + AC + AD = − AB + AC + AD = (c + d −b) . 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 15. Cho hình hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt  
   
AC ' = u ,  
CA' = v , BD ' = x , DB ' = y . Chọn khẳng định đúng?           A. 1
2OI = (u + v + x + y) . 1
B. 2OI = − (u + v + x + y). 4 2           C. 1
2OI = − (u + v + x + y). 1
D. 2OI = (u + v + x + y) . 4 2 Hướng dẫn giải
Do I là tâm hình bình hành ABCD nên
    
4OI = OA + OB + OC + OD
 1    
⇔ 4OI = (C A′+ D B
′ + A′C + B D ′ ) 2 
1    
⇔ 4OI = − ( AC′+ BD′+CA′+ DB′) 2  1    
⇔ 2OI = − (u + v + x + y) 4
Câu 16. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) , SA = a 6 . Tính góc α giữa
đường SC và mặt phẳng (SAD)? A. 0 α ≈ 20 42'. B. 0 α ≈ 20 70'. C. 0 α ≈ 69 17' . D. 0 α ≈ 69 30' . Trang 15/30 Hướng dẫn giải S CD ⊥ AD Ta có 
⇒ CD ⊥ (SAD) . Tức D là  CD ⊥ SA
hình chiếu vuông góc của C lên (SAD)
⇒ Góc giữa SC và (SAD) là  CSD . 2 2
SD = SA + AD = a 7 ;  CD 1 = = ⇒  0 tan CSD CSD ≈ 20 42' A D SD 7
Câu 17. Cho S.ABC có (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy, A
∆ BC đều cạnh a , SA = 2a Tính
góc α giữa SB và (SAC) ? B C A. 0 α ≈ 22 47'. B. 0 α ≈ 22 79'. C. 0 α ≈ 37 45' . D. 0 α ≈ 67 12 . Hướng dẫn giải S
Lấy H là trung điểm AC. Dễ chứng minh BH ⊥ (SAC)
suy ra H là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC) .
⇒ Góc giữa SB và (SAC) là góc  BSH. 2 2 a 17 a 3
SH = SA + AH = ; BH = 2 2 A H ⇒  3 0 tan BSH = ⇒ α ≈ 22 47' C 17 Câu 18. Cho S
∆ AB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt
phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa SC và ( ABCD) ? B A. 0 α ≈18 35'. B. 0 α ≈ 15 62' . C. 0 α ≈ 37 45' . D. 0 α ≈ 63 72' . Hướng dẫn giải
Lấy H là trung điểm AB khi
đó SH ⊥ ( ABCD). S
⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là  SCH. a 3 2 2 a 5 SH =
,CH = HB + BC = 2 2 ⇒  3 0 tan SCH = ⇒ α ≈ 37 45' 5 A D H B C Trang 16/30
Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) ? A. 0 α ≈ 24 5' . B. 0 α ≈ 34 15'. C. 0 α ≈ 73 12'. D. 0 α ≈ 62 8'. Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh DC ⊥ AC và DC ⊥ SA nên S
DC ⊥ (SAC), vậy góc giữa SD và (SAC) là  S D C .
Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc  SCA nên  0 SCA = 60 .
SA = a 6,SD = a 10,CD = a 2 D ⇒  CD 1 0 tan S D C = = ⇒ α ≈ 24 5' SD 5 A
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a , đáy là tam
giác vuông tại A ,  0
ABC = 60 , , AB = a . Tính góc giữa hai B
mặt phẳng (SAC) và ( ABC) ? C A. 0 α ≈ 76 24' B. 0 α ≈ 44 12' C. 0 α ≈ 63 15' D. 0 α ≈ 73 53' Hướng dẫn giải
Từ giải thiết có . SA = SB = SC = 2a , nếu ta hạ S
SH ⊥ ( ABC) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp A
∆ BC ⇒ H là trung điểm BC.
(SAC)∩(ABC) = AC Ta có:  ⇒ Góc giữa  AC ⊥  (SHM )
(SAC) và (ABC) là  B H C SMH. a
HM = , SH = a 3 M 2 A ⇒  tan SH SMH = = 2 3 ⇒  0 SMH ≈ 73 53' MH
Câu 21. Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy.
Tính góc giữa (SAB) và (SCD) ? A. 0 α ≈ 35 15'. B. 0 α ≈ 75 09' . C. 0 α ≈ 67 19' . D. 0 α ≈ 38 55'. Hướng dẫn giải
Ta thấy giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
đường d qua S và song song với A . B S
Dễ chứng minh d ⊥ (SAD) nên góc giữa
(SAB) và (SCD) là  DSA . d Trang 17/30 A D
Ta dễ thấy góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc  0
SCA = 45 .Từ đó dễ dàng tính
được SA = AC = a 2, AD = a . ⇒  1 0 tan DSA = ⇒ α ≈ 35 15'. 2
Câu 22. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và (SCD)
tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa (SBC) và (SCD) . A. 0 α = 74 12' . B. 0 α = 42 34' . C. 0 α = 30 . D. 0 α = 60 . Hướng dẫn giải S
Dễ chứng minh được góc giữa (SCD) và đáy là  0
SDA = 45 nên SA = a
Lấy M , N là trung điểm SB, . SD Dễ chứng minh N
AN ⊥ (SCD), AM ⊥ (SBC) suy ra góc giữa M
(SBC) và (SCD) là góc giữa AN, AM . DB a 2
AM = AN = MN = = ⇒  0 MAN = 60 . D 2 2 A
Câu 23. Cho S.ABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc.
Biết rằng SA = SB = a, SC = a 2. Hỏi góc giữa B C
(SBC) và (ABC) ? A. 0 α ≈ 50 46' . B. 0 α = 63 12'. C. 0 α = 34 73'. D. 0 α = 42 12' . Hướng dẫn giải
Hạ SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAH ) ⇒ Góc giữa (SBC) và (ABC) là  S . HA . SB SC a 6 = = ⇒  6 0 SH tan SHA = ⇒ α ≈ 50 46' . BC 3 2
Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,SA vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
phẳng đáy góc 450 và hợp với (SAB) góc 300. Tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy? A. 0 α = 83 81' . B. 0 α = 79 01' . C. 0 α = 62 33'. D. 0 α ≈ 54 44' . Hướng dẫn giải Dễ thấy rằng  0 =  0 SCA 45 , S B C = 30 . S 2 2
⇒ SA = x + a 2 2 2 2 SB
∆ A ⇒ SB = SA + AB = x + 2a 0 S ∆ BC ⇒ S . B tan 30 = BC 2 2
⇔ x + 2a = 3.x ⇔ x = a 2 2
BC = x ⇒ AC = x + a A D ⇒ SA = a 2. Xét S ∆ AB có  tan SBA = 2 nên 0 α ≈ 54 44' . C B Trang 18/30
Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5 .
a Tính góc giữa (SBC) và ( ABCD) ? A. 0 α = 75 46' B. 0 α = 71 21' C. 0 α = 68 31' D. 0 α ≈ 65 12' Hướng dẫn giải
Hạ SH ⊥ (ABCD). Do các cạnh bên bằng nhau S
nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy,
tức H là tâm đáy. Lấy I là trung điểm BC nên
góc giữa (SBC) và ( ABCD) là  SIH. 2 2 5a 3
IH = 2a, SH = SC − HC = . 2 ⇒  5 3 0 tan SIH = ⇒ α ≈ 65 12' . A D 4
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai I H
đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) (α) thì d B C
vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .
D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a// (α ) thì a ⊥ d . Hướng dẫn giải:
• Đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng (α ) nên đáp án này sai.
• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α ) thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng (α ) nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng.
• đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ
vuông góc với mặt phẳng (α ) và do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong (α) là hiển nhiên đúng.
• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α ) thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng (α) do đó nếu đường thẳng a// (α ) thì a ⊥ d là đúng.
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ∆? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải
Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm trong
mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ∆.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải:
Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? Trang 19/30
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai
đường thẳng này đồng phẳng. Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau trong không gian.
Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: A. 5 2 . B. 50. C. 2 5 . D. 12. Hướng dẫn giải:
Độ dài đường chéo của hình hộp là 2 2 2 3 + 4 + 5 = 50 = 5 2
Vậy đáp án đúng là 5 2 .
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC) và ABC vuông ở B . AH là đường cao của SAB .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. SA ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .
C. AH ⊥ AC .
D. AH ⊥ SC . Hướng dẫn giải:
Ta có SA ⊥ ( ABC) nên SA ⊥ BC .
Mà ABC vuông tại B: AB ⊥ BC . SA ⊥ BCAH ⊥ BC
⇒ BC ⊥ AH ⊂ (SAB) ; 
⇒ AH ⊥ SC ⊂ (SBC). AB ⊥ BCAH ⊥ SBAH ⊥ AC Nếu 
⇒ AC ⊥ AB ⊂ (SAB) thì ABC vuông tại A (Vô lý). SA ⊥ AC
Vậy AH ⊥ AC là sai.
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu của A lên (P) . M, N là các điểm
thay đổi trong (P) . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu AM = AN thì HM = HN .
B. Nếu AM > AN thì HM > HN .
C. Nếu AM > AN thì HM < HN .
D. Nếu HM > HN thì AM > AN . Hướng dẫn giải
Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên ( AM , AN ) và hình chiếu (HM , HN ) . Đường
xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại. Mệnh đề sai là “Nếu AM > AN thì
HM < HN ”.
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Ba mặt phẳng ( ABC); ( ABD); ( ACD) đôi một vuông góC.
B. Tam giác BCD vuông.
C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. Trang 20/30 Hướng dẫn giải:
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên AB ⊥ ( ACD); AC ⊥ ( ABD) ;
AD ⊥ ( ABC) do đó ba mặt phẳng ( ABC); ( ABD); ( ACD) đôi một vuông góc.
• Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) . AH ⊥ (BCD)
AH ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ BH
Tương tự AH ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ BC ⇒ CD ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD .
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
AB ⊥ ( ACD) ⇒ AB ⊥ CD
AC ⊥ ( ABC) ⇒ AC ⊥ BD
AD ⊥ ( ABC) ⇒ AD ⊥ BC
Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
• Vậy tam giác BCD vuông là sai.
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. MA = MB ⇒ M ∈(P) .
B. MN ⊂ (P) ⇒ MN ⊥ AB .
C. MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ (P) .
D. M ∈(P) ⇒ MA = MB . Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm
A và B ⇒ Nếu M ∈(P) ⇒ MA = MB
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB ⇒ AB ⊥ (P) do đó Nếu
MN ⊂ (P) ⇒ MN ⊥ AB .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm
A và B ⇒ Nếu MA = MB ⇒ M ∈(P) .
Nếu MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ (P) là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vuông góc với AB
lúc đó MN // (P) . VẬN DỤNG THẤP 
  
Câu 35. Cho hình lập phương ABC .
D A'B 'C 'D' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA'.
Chọn đáp án đúng: 
       A. 1
AC ' = AA' + AB + AD .
B. AC ' = AA'+ 2( AB + AD) . 2
   
    C. 1
AC ' = 2AA' + ( AB + AD) .
D. AC ' = AA'+ AB + AD . 2 Hướng dẫn giải
  
Lưu ý phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD : AB + AD = AC .
     
Ta có: AC ' = AC + AA' = AA' + AB + AD 
Câu 36. Cho hình lập phương ABC .
D A'B 'C 'D' có cạnh bằng a . Tích vô hướng của hai vectơ AB và 
A'C ' có giá trị bằng: 2 A. a 2 2 a . B. a 2 . C. 2 a 2 . D. . 2 Hướng dẫn giải Trang 21/30
   
Ta có: ( A C AB) = ( AC AB) =  ' ', , BAC = 45°
   
 
⇒ A C AB = A C AB (A C AB) 2 ' '. ' ' . .cos ' ', = . a . a 1 = a
   
Câu 37. Cho hình hộp ABC .
D A'B 'C 'D' có: AB + B'C '+ DD' = k AC '. Giá trị của k là: A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải
      
Ta có AC ' = AB + BC + CC ' = AB = B 'C ' + DD ' . Vậy k =1.
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ
diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức 
   
OG = k (OA+OB +OC +OD) là: A. 4. B. 1 . C. 1 . D. 2.. 2 4 Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm tứ diện nên:
    
GA + GB + GC + GD = 0         
⇔ (GO + OA) +(GO + OB) +(GO + OC) +(GO + OD) = 0
     
    
⇔ 4GO + OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ 4OG = OA + OB + OC + OD
 1    
⇔ OG = (OA+OB +OC + OD). 4 Vậy 1 k = . 4
     
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C '. Đặt AA' = a , AB = b, AC = c , Gọi I là điểm thuộc CC '    sao cho 1
C ' I = C 'C , G là trọng tâm của tứ diện BA' B 'C ' . Biểu diễn vectơ IG qua các 3   
vectơ a,b,c . Chọn đáp án đúng :         A. 1  1 IG 1  a b 2c  = + − .
B. IG = (a +b + 2c). 4 3    3         C. 1  1 IG 1 b c 2a  = + − .
D. IG = (a + c − 2b) .. 4 3    4 Hướng dẫn giải
Ta có: G là trọng tâm của tứ diện BA'B 'C ' nên :
    
4IG = IB + IA' + IB ' + IC '   
 
  
⇔ 4IG = (IC +CB) +(IC '+C ' A') + (IC '+C 'B') + IC '    
  
⇔ 4IG = IC ' + (2IC '+ IC) +(CB +C 'B') +C ' A'
 1     1   
⇔ 4IG = CC ' + 0 + 2CB − AC = AA' + 2CB − AC 3 3  1    
⇔ 4IG = a + 2(b −c) −c 3  1  1    IGa 2b 3c  ⇔ = + − 4 3   
Câu 40. Cho chóp S.ABC có S
∆ AB đều cạnh a, A
∆ BC vuông cân tại B và (SAB) ⊥ (ABC).
Tính góc giữa SC và (ABC) ? Trang 22/30 A. 0 α = 39 12' . B. 0 α = 46 73' . C. 0 α ≈ 35 45'. D. 0 α = 52 67' Hướng dẫn giải
Lấy H là trung điểm A .
B Dễ thấy SH ⊥ ( ABC) nên CH là hình chiếu vuông góc của SC
lên ( ABC). Góc giữa SC và ( ABC) là  SCH. a 3 a 5 = = ⇒  3 0 SH , HC tan SCH = ⇒ α ≈ 35 45' . 2 2 5
Câu 41. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 3, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? A. 0 α ≈ 69 17' . B. 0 α ≈ 72 84'. C. 0 α ≈ 84 62'. D. 0 α ≈ 27 38' . Hướng dẫn giải
Lấy M là trung điểm .
SD Khi đó góc cần tìm là S
góc giữa OM và OC. Ta có MC là trung tuyến 2 2 2 2 SC + DC SD 2 S ∆ CD ⇒ MC = − = 2a 2 4 M ⇒ MC = a 2 Xét MO ∆ C có :  2 2 2
MO + OC − MC 1 A cosMOC = = − D 2. . MO OC 2 2 0 ⇒ α ≈ 69 17' O
Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C ' có AB =1,
AA' = m(m > 0). Hỏi m bằng bao nhiêu để góc C B
giữa AB ' và BC ' bằng 600 ? A. m = 2. B. m =1. C. m = 3. D. m = 5. Hướng dẫn giải
Lấy M , N, P là trung điểm BB ', B 'C ', AB khi đó A C
MP//AB ', MN //BC '.
Suy ra góc cần tìm là góc giữa MP, MN. P 2 m 1 MP MN + = =
. Lấy Q là trung điểm A'B '. 2 B 2 2 2 1
⇒ PN = PQ + QN = m + . 4 Suy ra  2 2 2
PM + MN − PN 1 cosPMN = = ± , từ đó M 2.PM.MN 2 A' C ' tính được m = 2.
Câu 43. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông Q N cạnh a , S
∆ AB là tam giác vuông cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính B '
góc giữa SC và AD ? A. 0 α ≈ 39 22' . B. 0 α ≈ 73 45'. C. 0 α ≈ 35 15'. D. 0 α ≈ 42 24'. Hướng dẫn giải Trang 23/30
Ta có BC//AD nên góc giữa SC và AD là góc giữa SC và BC , vậy góc cần tìm là  SC . B Dễ chứng minh S
∆ BC vuông tại B nên  1 tan SCB = 0 ⇒ α ≈ 35 15'. 2
Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh  0
a, ABC = 60 , S A vuông góc mặt
phẳng đáy là SA = a 3. Tính góc giữa (SBC) và ( ABCD) ? A. 0 α ≈ 33 11' B. 0 α ≈14 55' C. 0 α ≈ 62 17' D. 0 α ≈ 26 33' Hướng dẫn giải
Lấy H là trung điểm BC. Do  0 ABC = 60 nên S A
∆ BC đều. Dễ chứng minh BC ⊥ (SAH ) ⇒ Góc cần tìm là  SHA . a 3 AH = , SA = a 3 . 2 A D ⇒  1 = ⇒  0 tan SHA SHA ≈ 26 33'. 2 H
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình B C
chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD) , gọi E , F lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng :
A. SC ⊥ ( AEF ).
B. SC ⊥ ( ADE) .
C. SC ⊥ ( ABF ).
D. SC ⊥ ( AEC) . Hướng dẫn giải
SA ⊥ ( ABCD)  ;  ⊂  ( ) ⇒ BC ⊥ SA BC ABCDBC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AE ; BC ⊥ AB AE ⊥ BC  ⇒ AE ⊥ SC AE ⊥ SB
Tương tự ta cũng có AF ⊥ SC .
Vậy SC ⊥ ( AEF ).
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC . Gọi
H là hình chiếu vuông góc của S lên
(ABC). Khi đó khẳng định nào đúng?
A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
C. H là trọng tâm tam giác ABC .
D. H là trực tâm tam giác ABC . Hướng dẫn giải
Do SA = SB = SC nên hình chiếu vuông góc của ,
SA SB, SC lên mặt phẳng ( ABC) lần lượt là ,
HA HB, HC thỏa HA = HB = HC . Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Trang 24/30
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các
đường SB , SC lần lượt tại M , N . 1. 1 MN = BC . 2 2. SA ⊥ MN 3. ,
A D, M , N không đồng phẳng. 4. (α ) ⊥ (SBC) .
5. Thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (α ) là hình bình hành.
Có bao nhiêu nhận định sai? A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải
Do tam giác SBD đều nên SB = SD = BD 2 2 2 2 2 2
⇔ SA + AB = SA + AD = AB + AD
⇔ SA = AB = AD ⇒ S
∆ AB vuông cân tại A . (  α  ) ⊥ SB ( 
⇒ M là trung điểm SB .  α  ) ∩ SB = M S ∆ BC vuông tại B có
MN ⊂ (α ) ⊥ SB ⇒ MN ⊥ SB . Vậy MN là đường trung bình tam giác S ∆ BC  1
MN || BC, MN BC  =  . 2    MN //BC   ⊥  ( ) ⇒ MN ⊥ SA SA ABCD ⊃ BC
MN //BC//AD ⇒ bốn điểm ,
A D, M , N đồng phẳng. Thiết diện được tạo thành là hình thang vuông ADNM .
(α ) ≡ (AMN)∩(SBC) = MN có (α ) ⊃ AM ⊥ MN nên (α ) ⊥ (SBC)
Vậy có 2 nhận định sai.
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau. A. 1 . B. 1 . C. 5 . D. 1 . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải
Gọi M , N là trung điểm các cạnh AD và BC , S
SM ⊥ AD và SN ⊥ BC . Giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S
và song song AD , BC .
Vì SM ⊥ AD và SN ⊥ BC nên SM ⊥ d và
SN ⊥ d . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc  MSN . A B Trang 25/30 M O N
Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên a 3 SM = SN =
, MN = AB = a . 2 Khi đó :  2 2 2
SM + SN − MN 1 cos MSN = = . 2SM.SN 3
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau. A. 1 − . B. 1 . C. 5 − . D. 1 . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải
Gọi E là trung điểm các cạnh SC , AC ⊥ DE S
và SC ⊥ BE . Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SCD) và (SBC) là đường thẳng SC .
Vì AC ⊥ DE và SC ⊥ BE nên góc giữa hai mặt
phẳng (SCD) và (SBC) là góc  BED . A E B
Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên a 3 DE = BE = , 2
BD = 2AB = a 2 . 2 D C Khi đó :  2 2 2
BE + DE − BD 1 cos MSN = = − . 2BE.DE 3
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (EBD) . A. 1 . B. 1 . C. 5 − . D. 1 . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải
Gọi O là trung điểm cạnh BD . Theo tính chất hình chóp đều SO ⊥ BD .
Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên S a 3 DE = BE = , 2
BD = 2AB = a 2 . 2
Nên tam giác EBD cân tại E , EO ⊥ BD .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (EBD) là E góc  SOE 2 2 a 2
SO = SB − OB = , A B 2 2 2 a
OE = BE − BO = . 2 O  2 2 2
SO + OE − SE 2 1 cos SOE = = = D C 2S . O OE 2 2
Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3 , mặt phẳng đáy BC = 3a , BC ⊂ (P),
A∉(P) 0. Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên (P) . Tam giác A′BC vuông tại A′. Gọi
α là góc giữa (P) và ( ABC). Chọn khẳng định đúng. Trang 26/30 A. 0 α = 30 . B. 0 α = 60 . C. 0 α = 45 . D. 2 cosα = . 3 Hướng dẫn giải
Tam giác ABC có hình chiếu vuông góc lên (P) là tam giác A′BC . 2 1 3a 3 S = AH BC =
. AB = AC và lần lượt có hình chiếu vuông góc lên (P) là A′B và ABC . 2 2 2
A′C nên A′B = A′C . Vậy tam giác A′BC vuông cân tại A′. 1 2 9a S′ = = ′ BC A BC 4 4 SA′BC 3 cosα = = ⇒ α = 30o SABC 2
Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a . d , d lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc B C
(ABC). (P) là mặt phẳng đi qua A và hợp với (ABC) một góc bằng 60o . (P) cắt d , d tại B C D và E . a 6 AD =
, AE = a 3 . Đặt β = 
DAE . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 đúng? A. 30o β = . B. 2 sin β = . C. 6 sin β = . D. 60o β = . 6 2 Hướng dẫn giải
Tam giác ADE có hình chiếu vuông góc lên ( ABC) là tam giác ABC nên : 2 2 o S AB a ABC 3 3 cos60 = , S = = ABC . SADE 4 4 Mặt khác 1 =  1 S AD AE DAE = AD AE β . ADE . sin . sin 2 2 2 SABC 0 Vậy : 2SADE cos60 2 sin β = = = . A . D AE A . D AE 6
Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC) và ( ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(BCD) . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác
ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. ( ABE) ⊥ (DFK ) .
B. ( ADC) ⊥ (DFK ) .
C. ( ABC) ⊥ (DFK ).
D. ( ABE) ⊥ ( ADC) . Hướng dẫn giải CD ⊥ BE
⇒ CD ⊥ ( ABE) ⇒ ( ABE) ⊥ ( ACD) CD ⊥ AB Trang 27/30 DF ⊥ BC • 
⇒ DF ⊥ ( ABC) ⇒ ( ABC) ⊥ (DFK ) DF ⊥ AB •
DF ⊥ ( ABC) ⇒ DF ⊥ AC ; DF ⊥ AC
⇒ AC ⊥ (DFK ) ⇒ ( ACD) ⊥ (DFK ) DK ⊥ AC (
 ABE) ⊥ (DFK ) • 
⇒ AB ⊥ (DFK ) (  ) ⊥ ( ) ⇒ AB ⊥ DK ABC DFKDK ⊥ AB
⇒ DK ⊥ ( ABC) DK ⊥ AC
DK ⊥ ( ABC) 
hoặc DF ≡ DK (vô lý)  ⊥  ( ) ⇒ DF//DK DF ABC
Vậy ( ABE) ⊥ (DFK ) là khẳng định sai.
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB = a , SO = 2a .
Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) . Thiết diện của (P) và
hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình thang vuông. B. Tam giác cân. C. Hình thang cân. D. Hình bình hành. Hướng dẫn giải
Gọi I , J là trung điểm AB , CD . Hiển nhiên (SIJ ) ⊥ (SCD) IO IO 17 Khi đó  cos SIJ = = = > 0 2 2 SI IO + SO 17 nên góc S
∠ IJ là góc nhọn. Gọi K là hình chiếu vuông góc của
I lên (SCD) thì K nằm trên đoạn SJ .
Do cách xác định K , IK ⊥ (SCD) , nên ( A ; B IK ) ≡ (P)
hay (P) chính là ( ABK ) .
Gọi (P) ∩(SCD) = MN khi đó M , N nằm trên
đoạn SC , SD .
Khi đó : AB ⊂ (P) , CD ⊂ (SCD) , AB//CD
⇒ MN //AB//CD nên thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là hình là hình thang ABMN .
Mặt khác IK vuông góc AB , MN tại các trung điểm I , K của hai đoạn AB , MN nên
ABMN là hình thang cân.
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a , M là trung điểm đoạn CD . Gọi α là
góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? A. 30o α = . B. 3 cosα = . C. 1 cosα = . D. 3 cosα = . 4 3 6 Hướng dẫn giải
Gọi N là trung điểm AD , khi đó MN //AC nên góc giữa AC và BM bằng góc giữa MN và BM, là góc  BMN , vậy α =  BMN . Trang 28/30 a 3 BM + − = BN = BM MN BN ; a MN = . α =  2 2 2 3 cos cos BMN = = . 2 2 2BM.MN 6 Trang 29/30
Document Outline

  • DS_C6_QUAN HE VUONG GOC_LOP 11
    • Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
      • I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
      • II. KỸ NĂNG CƠ BẢN
    • Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
      • III. KIẾN THỨC CƠ BẢN
      • IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :
    • Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
      • V. KIẾN THỨC CƠ BẢN
      • VI. KỸ NĂNG CƠ BẢN
    • Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
      • VII. KIẾN THỨC CƠ BẢN
      • VIII. KỸ NĂNG CƠ BẢN
    • BÀI TẬP
    • ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM