Tổng hợp công thức Toán THPT – Nguyễn Viết Hiếu

Tài liệu gồm 33 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Viết Hiếu, tổng hợp công thức Toán THPT (cả ba khối 10 – 11 – 12), giúp học sinh tra cứu trong quá trình học chương trình Toán 10 – 11 – 12 và ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

21 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

33 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
TỔNG HỢP CÔNG THỨC
TOÁN THPT
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
BRVT
089908.3939
viethieu220284@gmail.com
Face:viethieu220284
Zalo:089908.3939
LỜI TỰA
Tác giả xin cám ơn quý thầy cô, các em học sinh đọc và nghiên
cứu tài liệu. Tác giả viết tài liệu với mong muốn góp một phần nhỏ
giúp các em học sinh trong việc học môn Toán ở THPT. Thông qua tài
liệu tác giả cũng mong nhận được sự chia sẽ từ quý thầy cô giảng dạy.
Viết tài liệu trong thời gian ngắn, kinh nghiệm chưa nhiều nên không
thể tránh được thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp
của quý độc giả.
Xuyên Mộc, 9/2021
I. HÀM SỐ
1.Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho K là khoảng, nữa khoảng hoặc đoạn và
hàm số
y f x
xác định trên K.
+Định lí 1: Cho hàm số
y f x
có đạo
hàm trên K.
-Nếu
' 0,f x x K
thì hàm số đồng
biến trên K.
-Nếu
' 0,f x x K
thì hàm số nghịch
biến trên K.
+Định lí 2: Cho hàm số
y f x
có đạo
hàm trên K.
-Nếu
' 0,f x x K
và
'0fx
chỉ
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K.
-Nếu
' 0,f x x K
và
'0fx
chỉ
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch
biến trên K.
2.Tìm điều kiện
,,a b c
để hàm số
32
y f x ax bx cx d
đồng biến, nghịch biến trên
2
' 3 2f x ax bx c
+Hs
y f x
đồng biến trên
' 0,f x x
0
0
0
0
y
ab
c
a
+Hs
y f x
nghịch biến trên
' 0,f x x
0
0
0
0
y
ab
c
a
2
0 3 0
y
b ac
3.Tìm điều kiện để hàm số
0; 0
ax b
f x c ad bc
cx d
đồng biến, nghịch biến.
2
'
ad bc
fx
cx d
+Hs
ax b
fx
cx d
đồng biến trên
từng khoảng xác định
' 0, 0
d
f x x ad bc
c
+Hs
ax b
fx
cx d
nghịch biến trên
từng khoảng xác định
' 0, 0
d
f x x ad bc
c
+Hs
ax b
fx
cx d
đb trên khoảng
;

' 0, ;
0
;
f x x
ad bc
dd
d
or
cc
c









+Hs
ax b
fx
cx d
nb trên khoảng
;

' 0, ;
0
;
f x x
ad bc
d
d
c
c






+Hs
ax b
fx
cx d
đồng biến trên
;

' 0, ;
0
;
f x x
ad bc
dd
d
or
cc
c









4.Cho hs
y f x
liên tục trên
;ab
.
;
, ; max
ab
m f x x a b m f x
;
, ; min
ab
m f x x a b m f x
BT1a/Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để hàm số
2
5
x
y
xm
đồng biến trên khoảng
( ; 10)
?
2
52
' , 5
5
m
y x m
xm
Hs đồng biến trên
( ; 10)
' 0, ( ; 10)
5 ( ; 10)
5 2 0
2
2
5 10
5
yx
m
m
m
m



b/ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
tham số m để hs
3
5
1
5
y x mx
x
đồng biến trên khoảng
0;
?
2
6
1
'3y x m
x
Hs đb trên khoảng
0;
' 0,yx
0;
2
6
1
3,m x x
x
0;
2
6
0;
1
max 3mx
x




4m
.
KL: 4 số nguyên âm m thỏa.
5.Cực trị của hàm số
+Cho hs
y f x
đạt cực đại tại
0
xx
0
xx
là điểm cực đại của hàm số
y f x
00
y f x
là giá trị cực đại (cực đại) của hs.
0 0 0
;M x y
là điểm cực đại của đths
y f x
.
+Cho hs
y f x
đạt cực tiểu tại
2
xx
2
xx
là điểm cực tiểu của hàm số
y f x
22
y f x
là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hs.
2 2 2
;M x y
là điểm cực tiểu của đths
y f x
.
+Định lí 1: Nếu hàm số
y f x
có
đạo hàm trên khoảng
;ab
và đạt
cực trị tại
0
;x a b
thì
0
'0fx
.
+Định lí 2: Giả sử hs
y f x
liên
tục trên khoảng
00
;K x h x h
và có đạo hàm trên K hoặc trên
0
\Kx
, với
0h
.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 1
+Định lí 3: Cho hàm số
y f x
có đạo
hàm cấp 2 trên khoảng
;ab
và
0
;x a b
.
Nếu
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
thì hàm số
y f x
đạt cực tiểu tại
0
.x
Nếu
󰆒
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜
thì hàm số
y f x
đạt cực đại tại
0
.x
6. Cực trị hàm số bậc 3
0A
32
y f x Ax Bx Cx D
2
2
' 3 2f x Ax Bx C
ax bx c
0A
0A
+Hs có 2 điểm cực trị
'0y
có hai nghiệm phân biệt
2
'
0
0
0
30
y
a
A
B AC
+Hs ko có cực trị
'
0
y
+ Đths có 2 đ.cực trị nằm về 2 phía Oy
'0y
có hai nghiệm trái dấu
.0ac
+Đths bậc 3 có hai điểm cực trị nằm về
2 phía trục Ox
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
+ Pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
B1. Tìm đk hs có 2 điểm cực trị.
B2. C1: Lấy y chia cho y’ ta được
thương là
qx
và dư là
r x mx n
Ptđt đi qua 2 điểm cực trị:
y mx n
C2: Ptđt đi qua 2 điểm cực trị của
đths:
' . ''
18
f x f x
y f x
A

7.Cực trị hàm trùng phương

󰇛 󰇜
32
' 4 2 2 2y ax bx x ax b
2
0
'0
2
x
y
b
x
a

+Đths trùng phương
+Hs có 3 điểm cực trị
.0ab
(
,ab
trái dấu)
+Hs có 1điểm cực trị
.0ab
+Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm
cực tiểu
0
0
a
b
+Hàm số có 1 điểm cực tiểu và hai
điểm cực đại
0
0
a
b
.
+Khi hs có 3 điểm cực trị (
0ab
) thì
đths có 3 điểm cực trị
0;Ac
,
;
24
b
B
aa






,
;
24
b
C
aa





với
2
4b ac
.
Đặt 
, có
3
3
8
cos
8
ba
ba
Diện tích
ABC
bằng
5
3
32
b
S
a

-Tam giác ABC vuông cân
3
80ba
-Tam giác ABC đều
3
24 0ba
-Tam giác ABC có 

3
3 8 0ba
-Tam giác ABC có bán kính đường
tròn ngoại tiếp:
3
. . 8
48
AB AC BC b a
R
S a b

-Tam giác ABC có bán kính đường
tròn nội tiếp:
2
3
2
4 1 1
8
Sb
r
AB BC AC
b
a
a







+Tam giác ABC cân tại A,
4
2
8
;2
16 2
b ba b
AB AC BC
aa
8.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hs
+Cho hàm số
y f x
xác định trên
tập hợp D.
- Số M đgl giá trị lớn nhất của hs
y f x
trên D nếu
00
,
:
f x M x D
x D f x M
.
Kí hiệu:
max
D
M f x
.
-Số m đgl giá trị nhỏ nhất của hs
y f x
trên D nếu
00
,
:
f x m x D
x D f x m
.
Kí hiệu:
min
D
m f x
.
+Định lí: Mọi hàm số liên tục trên
đoạn
;ab
đều có GTLN, GTNN trên
đoạn đó.
+PP tìm GTLN, GTNN của hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
B1: Tính
'fx
. Tìm
12
; ;...;
n
x x x
thuộc khoảng
;ab
thỏa
'0fx
hay
'fx
không xác định.
B2: Tính
1
, , ,...,
n
f a f b f x f x
B3: Tìm số lớn nhất M, số nhỏ nhất m
trong các số ở B2.
Kết luận:
;
max
ab
M f x
,
;
min
ab
m f x
.
+Ta có thể sử dụng BBT để tìm
GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Zalo: 089908.3939
Trang 2
BT2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
24f x x x
trên đoạn
2;19
.
2
' 3 24f x x
22
'0
2 2 2;19
x
fx
x

Ta có:
2 40f 
;
19 6403f
2 2 32 2f 
KL:
2;19
min 32 2fx
.
BT3: Cho một tấm nhôm hình vuông
cạnh
a
. Người ta cắt ở bốn góc bốn
hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm
nhôm lại như hình dưới đây để được
một cái hộp không nắp. Tính cạnh của
hình vuông bị cắt sao cho thể tích của
khối hộp lớn nhất.
Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt.
Đk:
0
2
a
x
.
Thể tích khối hộp:
2
3 2 2
2 . 4 4V a x x x ax a x
Có
12
26
aa
V x x
,
do đó
0
6
a
Vx
Lập bảng biến thiên của hs V=V(x).
3
0;
2
2
max
27
a
a
Vx



tại
6
a
x
.
9.Đường tiệm cận đứng, tiệm cận
ngang của đths
y f x
+
0
yy
là TCN của đths
y f x
nếu
thỏa ít nhất 1 trong hai đk:
0
lim
x
yy
;
0
lim
x
yy
+Đường thẳng
0
xx
đgl tiệm cận
đứng của đths
y f x
nếu thỏa ít
nhất 1 trong 4 đk:
0
lim
xx
y
;
0
lim
xx
y
0
lim
xx
y
;
0
lim
xx
y
+Đths nhất biến
0; 0
ax b
f x c ad bc
cx d
có
một đường tiệm cận ngang
a
y
c
và một đường tiệm đứng
d
x
c
.
10.Đồ thị hàm số
+Đths bậc 3
32
0y ax bx cx d a
+Đths trùng phương (7. Cực trị hstp)
+Đths
0; 0
ax b
f x c ad bc
cx d
0ad bc
0ad bc
BT4. Cho hs
1
,,
ax
f x a b c
bx c

có bảng biến thiên như sau:
Trong 3số
,,a b c
có bao nhiêu số dương?
-TCĐ:
22x c b
-TCN:
1y a b
-Hs đồng biến trên từng khoảng xác
định:
1
00
2
ac b b
KL:Trong 3 số
,,a b c
có 1 số dương.
11.PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số
PTTT của đths
y f x
tại điểm
00
;M x y
là:
0 0 0
'y f x x x y
0
x
là hoành độ tiếp điểm.
0
y
là tung độ tiếp điểm.
0
'fx
là hệ số góc của tiếp
tuyến tại
00
;M x y
.
Cho đường thẳng d:
y ax b
Tiếp tuyến có hệ số góc k
0
'f x k
Tiếp tuyến song song với đt d
0
'f x a
(viết pttt kiểm tra song
song hay trùng d, nếu trùng loại)
Tiếp tuyến vuông góc với đt d
0
1
'fx
a

12.Tương giao của hai đồ thị hàm số
12a/Dựa vào đths
()y f x
, biện luận
theo m số nghiệm pt
()f x m
.
+Số no pt
()f x m
là số giao điểm
của đths
()y f x
và đth
ym
.
+Lập BBT, vẽ đths
()y f x
.
+Dựa vào đths
()y f x
biện luận.
BT5. Tìm m để pt
3
2 6 0x x m
có 1 nghiệm.
+Số no pt đã cho là số giao điểm đths
3
26y x x
và đt
ym
.
+Xét hs
3
26y x x
2
' 6 6yx
' 0 1yx
Lập BBT.
+ pt
3
2 6 0x x m
có 1 nghiệm
4
4
m
m
12b/ Tìm tọa độ giao điểm của 2đths
;y f x y g x
B1: Lập pt hoành độ giao điểm của
2đths:
f x g x
(*)
B2: PT(*) vô nghiệm, 2đths ko cắt nhau
PT(*) có n nghiệm pb
12
; ;...;
n
x x x
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 3
KL: 2đths cắt nhau tại n điểm pb
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
BT6. Tìm m để đths
32
22f x x mx mx
cắt trục Ox tại
ba điểm phân biệt.
Giải: pt hoành độ giao điểm:
32
2 2 0x mx mx

󰇛
󰇜
󰇛󰇜
Ycbt pt (*) có 2 nghiệm pb khác 1
2
6
m
m
.
12c/Tương giao giữa đường thẳng d:
y kx m
và đths
ax b
y
cx d
Pt hoành độ giao điểm của d và
(C):
2
0
ax b
kx m Ax Bx C
cx d
(5)
d cắt (C) tại hai điểm pb pt (5)
có hai nghiệm pb khác
d
c
.
Khi d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
với
12
;xx
là hai nghiệm phân biệt của
pt (5).
22
21
1 . 1 .MN k x x k
A
13.Đặc biệt
+Cho hàm số
y f x
đồng biến trên
khoảng
;ab
và
,;u v a b
f u f v u v
f u f v u v
f u f v u v
+Cho hàm số
y f x
nghịch biến
trên khoảng
;ab
và
,;u v a b
f u f v u v
f u f v u v
f u f v u v
+Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;ab
.
Pt
f x m
có nghiệm trên
;ab
;
;
min max
ab
ab
f x m f x
.
;
, ; max
ab
m f x x a b m f x
;
, ; min
ab
m f x x a b m f x
+Cho hs
y f x
liên tục trên khoảng
󰇛󰇜.
;
, ; max
ab
m f x x a b m f x
(nếu tồn tại
;
max
ab
fx
)
;
, ; sup
ab
m f x x a b m f x
(nếu không tồn tại
;
max
ab
fx
)
;
, ; min
ab
m f x x a b m f x
(Nếu tồn tại
;
min
ab
fx
)
;
, ; inf
ab
m f x x a b m f x
(Nếu không tồn tại
;
min
ab
fx
)
BT7. Xét các số thực dương
,xy
thỏa
mãn
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
. Tìm
giá trị nhỏ nhất
min
P
của
P x y
.
(Câu 47 đề 101, THPTQuốc Gia 2017)
A.
min
9 11 19
9
P
B.
min
9 11 19
9
P
C.
min
18 11 29
9
P
D.
min
2 11 3
3
P
Giải: Đk:
0, 0, 1x y xy
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
33
log 3 3 3 3 log 2 2
*
xy xy x y x y
Xét hàm số
3
log , 0f t t t t
.
Có
1
' 1 0, 0
ln3
f t t
t
, nên
hs
y f t
đồng biến trên
0;
.
* 3 3 2
3 3 2
3
32
f xy f x y
xy x y
x
y
x

Suy ra:
3
32
x
Px
x

min
2 11 3
3
P
. ĐA: D.
BT8.Có bao nhiêu giá trị m nguyên để pt
3
3
3 3sin sinm m x x
có nghiệm
thực? (Câu 35, Đề MH2018)
Giải:
3
3
3 3sin sinm m x x
3
3
3sin 3 3sin sin 3sinm x m x x x
3
3sin sinf m x f x
(với
3
3,f t t t t
,
2
' 3 3 0,f t t t
nên hs
3
3f t t t
đồng biến trên )
3
3
3sin sin
sin 3sin
m x x
m x x
Đặt
sin , 1 1u x u
, có pt
3
3m u u
33
1;1
1;1
min 3 max 3ycbt u u m u u
22m
KL: 5 số nguyên m.
BT9. Cho hs
fx
, hs
'y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình
vẽ bên. Tìm tất cả m để bpt
f x x m
nghiệm đúng với mọi
0;2x
.
Giải: Xét hs
, 0;2g x f x x x
' ' 1 0, 0;2g x f x x
Hs
y g x
nghịch biến trên
0;2
.
Bpt
f x x m
no đúng
0;2x
( ), 0;2m g x x
22mf
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 4
II.HÀM SỐ MŨ, HS LŨY THỪA, HS LOGARIT
1.Lũy thừa mũ số nguyên
Cho số thực
a
và số nguyên dương n
. . ... .
n
a a a a
(n thừa số
a
)
0
10aa
1
0
n
n
aa
a

2.Lũy thừa mũ số hữu tỉ
*
0, ;
m
nm
n
a a a m n
3. Điều kiện xác định
n
A
*
;2nn
+ n chẵn: Điều kiện
0A
+ n lẻ: Điều kiện A xác định
4. Phương trình
n
xb
*
n
+ n lẻ:
n
n
x b x b
+ n chẵn:
( 0)
n
x b b
Vô nghiệm.
00
n
xx
0:
n
n
b x b x b
5. Tính chất
n
*
, ; , 2n k n k
.
n n n
a b ab
n
n
n
aa
b
b
m
nm
n
aa
n
k nk
aa
nn
a n le
a
a n chan
6.Tính chất lũy thừa với mũ số thực
Cho
, 0; ,ab


.
.a a a
a
a
a

aa

..a b a b

aa
bb



+Nếu
1a
thì
aa


+Nếu
01a
thì
aa


7.Công thức logarit
+
log
a
a b b
0 1; 0ab
+
log
a
b
có điều kiện
01
0
a
b

+
log 1 0; log 1 0 1
aa
aa
+
log 0 1;
a
aa

+
log
a
b
ab
0 1; 0ab
+
log
log
log
c
a
c
b
b
a
0 , 1; 0a c b
+
log .log log
a b a
b c c
0 , 1; 0a b c
+
1
log
log
a
b
b
a
0 , 1ab
+
log log
bb
ca
ac
0 , , 1abc
+
1 2 1 2
12
01
log . log log
;0
a a a
a
b b b b
bb






+
1
12
12
2
01
log log log
;0
a a a
a
b
bb
bb
b









+
01
log log
0;
aa
a
bb
b





+
01
1
log log
0; 0
a
a
a
bb
b






+
01
log log
0; 0
a
a
a
bb
b






+Chú ý:
log ;
a
b
*
;
chẵn
2
log 2log 0 1; 0
aa
b b a b
2
log 2log 0 1; 0
aa
b b a b
Kí hiệu:
10
log log lgb b b
;
log ln
e
bb
8.Hàm số lũy thừa
yx

a/Txđ hs lũy thừa
yx
tùy thuộc
b/Đạo hàm của hàm số lũy thừa
1
.xx

1
..u u u

c/Đồ thị hs lũy thừa
yx
trên
0;
9.Hàm số mũ
x
ya
01a
+TXĐ:
+Tập giá trị:
0;
(Vì
0,
x
ax
)
+HS đồng biến trên khi
1a
.
+HS nghịch biến trên khi
01a
.
+ Đths mũ
01
x
y a a
Trục Ox là TCN đths
x
ya
+ Đạo hàm hàm mũ:
xx
ee
.
uu
e e u
.ln
xx
a a a
. .ln
uu
a u a a
10.Hs logarit
log
a
yx
01a
+TXĐ:
0;
+Tập giá trị:
+HS đồng biến trên
0;
khi
1a
.
+HS nb trên
0;
khi
01a
.
+Đạo hàm:
1
ln 0xx
x

ln 0
u
uu
u

1
log 0
ln
a
xx
xa

log 0
ln
a
u
uu
ua

1
ln ( 0)xx
x

ln 0
u
uu
u

1
log 0
ln
a
xx
xa

log 0
ln
a
u
uu
ua

+Đồ thị hs
log
a
yx
01a
+ Trục Oy là TCĐ đths
log
a
yx
+ Chú ý: Đồ thị các hs
x
ya
và
log (0 1)
a
y x a
đối xứng nhau qua
đt
yx
.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 5
11.a/Pt mũ cơ bản
01
x
a b a
+
0b
:
x
a b x
+
0b
:
log
x
a
a b x b
b/Phương pháp giải phương trình mũ
PP1: Đưa về cùng cơ số
01a
f x g x
a a f x g x
( 0) log
fx
a
a b b f x b
Bài 1. Giải pt a)
2
3
4
5 5 125
xx
1
2
2
4
5
3 log 5 125
7
2
x
xx
x

b/
21
7
1
8 0,25. 2
x
x
x
(Đk:
1x 
)
21
7
3.
2
1
2
22
1
2 1 7
3. 2
2
12
7
x
x
x
xN
xx
x
xN







PP2: Đặt ẩn phụ
2
2
2
fx
f x f x
a a a



2
2
3 3 9
f x f x f x



Bài 2. Giải các pt sau:
a)
9 4.3 45 0
xx
2
3 4.3 45 0
xx
39
35
x
x
VN

3
log 5x
b)
5 24 5 24 98
xx
1
5 24 98
5 24
x
x
2
5 24 98 5 24 1 0
xx
2x
c)
21
25 10 2
x x x

25 10 2.4 0
x x x
(Chia hai vế cho
25
x
hoặc
4
x
)
2
55
20
22
xx
0x
d/
22
2
2 2 3
x x x x

2
2
2
2 2 3
xx
xx

2
2
2
2 3.2 4 0
xx
xx
2
2
24
1
2
21
xx
xx
x
x
VN



e/
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
Đặt
2
2
xx
u
;
2
2
x
v
;
2
.2
xx
uv
.
Pt trở thành:
. 4 4 0u v u v
1 4 0uv
11
40
ux
vx






PP3: Logarit hóa (Lấy logarit 2 vế)
Bài 3. Giải pt a/
2
3 .2 1
xx
Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được pt:
2
33
log 3 .2 log 1
xx
3
1 .log 2 0xx
2
0
log 3
x
x

b/
1
5 .8 500
x
x
x
(Đk:
0x
)
3 3 3
3 2 3
5 .2 5 .2 5 .2 1
xx
xx
xx

Lấy logarit cơ số 5 hai vế ta được pt:
5
5
3
1
3 1 log 2 0
log 2
xN
x
x
xN




PP4. Phương pháp hàm số
Bài 4. Giải pt a)
3 11
x
x
+Hs
3
x
fx
đồng biến trên .
+Hs
11g x x
nghịch biến trên
+x=2 là 1 nghiệm của pt đã cho.
KL:x=2 là nghiệm duy nhất của pt.
b)
4 6 25 2
xx
x
Xét hs
4 6 25 2
xx
f x x
22
4 ln 4 6 ln 6 0
xx
fx

Ta có: x=0;x=2 là nghiệm.
KL: Tập nghiệm
0;2S
c)
2
82
2 2 8 2
x x x
xx

2
28
2 2 8
x x x
x x x

(HS
2
t
f t t
đb trên )
2
8f x x f x
2
8x x x
4
2
x
x

12. a/Pt logarit
log
a
xb
01a
log
b
a
x b x a
b/ Phương pháp giải pt logarit
PP1: Đưa về cùng cơ số
log log 0 1
( ) 0( ( ) 0)
aa
f x g x a
f x g x
f x g x

+
log
b
a
f x b f x a
Bài 5.Giải pt: a/
3 9 27
log log log 11x x x
Đk: x>0
23
3
33
log log log 11pt x x x
3
log 6 729( )x x N
b/
22
log 5 log 2 3xx
Đk: x>5
2
log 5 2 3pt x x


3
6 ( )
5 2 2
3 ( )
xN
xx
xL

PP2: Đặt ẩn phụ
Bài 6. Giải pt a)
12
1
5 log 1 logxx


Đk:
51
0; 10 ; 10x x x
pt
2
log 5log 6 0xx
100
log 2
log 3
1000
xN
x
x
xN

b)
1
33
log 3 1 .log 3 3 6
xx
Đk:
0x
pt
33
log 3 1 .log 3 3 1 6
xx


2
33
log 3 1 log 3 1 6 0
xx
33
28
log 10; log
27
xx



PP3: Mũ hóa
Giải pt
2
log 5 2 2
x
x
Đk:
5 2 0
x

pt
2
0
5 2 2
2
xx
xN
xN
PP4: Hàm số biến thiên
Bài 7. Giải các pt:
a)
2
31
2
3
1
log 3 2 2 2
5
xx
xx




Đk:
1
2
x
x
Đặt
2
3 2, 0u x x u
Pttt:
2
3
1
log 2 .5 2
5
u
u
Hs
2
3
1
log 2 .5
5
u
f u u
đồng biến
trên
0;
và
12f
+
1u
là nghiệm duy nhất.
KL: Tập nghiệm
35
2
S





b)
23
log log 1 3xx
Đk:
1x
Hs
23
log log 1f x x x
đồng
biến trên
1; 
;
43f
.
KL: x=4 là nghiệm duy nhất.
Face: viethieu220284
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 6
Zalo: 089908.3939
c)
1
2
1
2 2 log
xx
x
x




Đk:
01x
pt
1
22
2 log 2 log 1
xx
xx
+Hs
2
2 log
t
f t t
đồng biến trên
khoảng
0;1
.
Pt
1f x f x
1
1
2
x x x
13. BPT MŨ, BPT LOGARIT
a/Bpt mũ cơ bản
01
x
a b a
+
0b
:
x
a b x
+
0; 1ba
:
log
x
a
a b x b
+
0;0 1ba
:
log
x
a
a b x b
b/Bpt mũ cơ bản
01
x
a b a
+
0b
:
x
a b x
+
0; 1ba
:
log
x
a
a b x b
+
0;0 1ba
:
log
x
a
a b x b
c/Bpt logarit cơ bản
log 0 1
a
x b a
Đk:
0x
+
1a
:
log
b
a
x b x a
+
01a
:
log 0
b
a
x b x a
d/Bpt logarit cơ bản
log 0 1
a
x b a
Đk:
0x
+
1a
:
log 0
b
a
x b x a
+
01a
:
log
b
a
x b x a
e/Công thức BPT mũ, logarit
+
1a
:
()
f x g x
a a f x g x
()
log log
( ) 0
aa
f x g x
f x g x
gx

+
01a
:
()
f x g x
a a f x g x
()
log log
( ) 0
aa
f x g x
f x g x
fx

Bài 8. Giải các bpt sau:
a/
2
22
3 1 2 0
xx
xx
02x
b/
2
1
2
log 2 3xx
2
2
2 0 2 0
24
28
x x x
x
xx



c/
2
4 2.5 10
x x x

2.25 10 4 0
x x x
2
55
2. 1 0
22
xx
5
2
51
22
1
log
2
5
1
2
x
x
x
VN










c/
22
log 3 log 2 1xx
Đk:
3x
2
log 3 2 1Bpt x x


2
3 2 2
5 4 0
14
xx
xx
x
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của
bpt là:
3;4S
d/
2
0,5 0,5
log 5 10 log 6 8x x x
Đk:
2
5 10 0
2
6 8 0
x
x
xx

2
2
5 10 6 8
2 0 2 1
Bpt x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của
bpt là:
2;1S 
14. Lãi suất kép
a/Một người gửi số tiền A đồng vào
một ngân hàng với lãi suất
r
/năm. Biết
rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ
được nhập vào vốn ban đầu (người ta
gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được
lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm (
*
n
),
nếu trong khoảng thời gian này không
rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?
Giải: Giả sử
2n
+Sau năm thứ 1, số tiền lĩnh là:
1
1T A r
.
+Sau năm thứ 2, số tiền lĩnh là:
2
21
11T T r A r
+ Tương tự, sau n năm, số tiền lĩnh là:
1
n
n
T A r
b/BT: Một người gửi 6 triệu đồng vào
ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn
1 năm với lãi suất
7,56%
/năm. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu năm người gửi sẽ có
nhiều hơn 12 triệu đồng từ số tiền gởi
ban đầu (giả sử lãi suất không thay
đổi)? Giải:
6
6.10A
;
7,56%r
Sau n năm, số tiền thu được
1
n
Ar
Theo đề:
12
n
A r A
1
log 2 9,51
r
n
(năm)
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn
10n
KL: 10 năm.
15. Trong Vật lí, sự phân rã của các
chất phóng xạ được biểu diễn bởi CT:
0
1
2
t
T
m t m



Trong đó:
0
m
là khối lượng chất phóng
xạ ban đầu (tại thời điểm
0t
)
+
mt
là khối lượng chất phóng xạ tại
thời điểm t.
+ T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời
gian để một nữa số nguyên tử của chất
phóng xạ bị biến thành chất khác).
16.Số các chữ số của số tự nhiên x
bằng :
log 1x
Với
logx
là phần nguyên của
log x
Vd: Số các chữ số của
2008
2
bằng:
2008
log2 1 2008log2 1


604,468 1 605
17.Độ pH của dung dịch
logpH H



H


:nồng độ ion
H
trong dung dịch
+
7pH
: dung dịch có tính axit.
+
7pH
: dung dịch có tính bazơ.
+
7pH
: dung dịch trung tính.
18. Độ chấn động M của một địa chấn
biên độ
I
được đo trong thang độ
Richte (Charles Francis Richter, nhà địa
vật lí Mĩ, 1900 – 1985) xác định bởi:
0
ln
I
M
I
(
0
I
là biên độ của dao
động bé hơn
1 m
trên máy đo địa
chấn, đặt cách tâm địa chấn 100km,
0
I
được lấy làm chuẩn).
19. Mức cường độ âm được tính theo
CT:
0
10log
I
L dB
I
(Graham Bell)
+
I
là cường độ của âm, tức là năng
lượng truyền đi bởi sóng âm trong 1
đơn vị thời gian và qua 1 đơn vị diện
tích bề mặt vuông góc với phương
sóng truyền (đơn vị:
2
/Wm
)
+
12 2
0
10 /I W m
là cường độ âm ở
ngưỡng nghe.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 7
III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
1/
0dx C
20/
f x dx F x C
(
'F x f x
)
39/
'f x dx f x C
2/
1dx x C
21/
.0k f x dx k f x dx k

40/
..
bb
aa
k f x dx k f x dx

(với k là hằng số).
3/
1
1
1
x
x dx C
22/
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
41/
f x g x dx f x dx g x dx


4/
1
1 1 1
. ( 2)
1
nn
dx C n
x n x
23/
1
1 1 1 1
..
1
nn
dx C
an
ax b ax b


42/
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx


5/
1
2dx x C
x

Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
24/
11
.2dx ax b C
a
ax b
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
43/
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
(Newton–Leibniz)
44/
udv uv vdu

45/
bb
b
a
aa
udv uv vdu

6/
1
1
1
nn
n
n
dx x C
n
x

25/
1
11
..
1
n
n
n
n
dx ax b C
an
ax b
46/
ba
ab
f x dx f x dx

47/
0
a
a
f x dx
d7/
2
3
xdx x x C
26/
12
. . .
3
ax bdx ax b ax b C
a
48/
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
(với
a c b
)
8/
1
nn
n
xdx x x C
n

27/
1
.
1
nn
n
ax bdx ax b ax b C
an
49/
11
ln
ax b
dx C
ax b cx d ad bc cx d

9/
1
ln | |dx x C
x

28/
11
lndx ax b C
ax b a
50/
22
1 1 1
ln
2
xa
dx dx C
x a x a x a a x a

10/
2
11
dx C
xx
29/
2
1 1 1
dx C
a ax b
ax b

51/Hs
y f x
liên tục trên
󰇟
󰇠
.Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đths
y f x
, trục Ox và hai đt
;x a x b
được tính
bởi CT:
b
a
S f x dx
(Chú ý với hình vẽ trên
thì:
( ) ( ) ( )
c d b
a c d
S f x dx f x dx f x dx
)
11/
xx
e dx e C
30/
1
ax b ax b
e dx e C
a


12/
ln
x
x
A
A dx C
A

31/
1
.
ln
ax b
ax b
A
A dx C
aA

13/
sin cosxdx x C
32/
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
14/
cos sinxdx x C
33/
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
15/
2
1
cotx
sin
dx C
x
34/
2
11
()
sin ( )
dx cot ax b C
ax b a
52/Hs
y f x
liên tục trên
󰇟

󰇠
.
Diện tích hình
phẳng giới hạn
bởi đths
1
y f x
, đths
2
y f x
và hai đt
;x a x b
được tính bởi công thức:
12
b
a
S f x f x dx
16/
2
1
tanx
os
dx C
cx

35/
2
11
tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
17/
tan ln cosxdx x C
36/
1
tan ln cosax b dx ax b C
a
18/
cot ln sinxdx x C
37/
1
cot ln sinax b dx ax b C
a
22
1
19 / arctan
0
dx x
C
x k k k
k

2
2
11
38 / . arctan
0
dx ax b
C
a k k
ax b k
k


53/Hàm số
y f x
liên tục trên
󰇟
󰇠
. Gọi (H) là hình phẳng giới
hạn bởi đths
y f x
, trục Ox và hai đt
;x a x b
.
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) quanh
trục Ox là:
2
b
a
V f x dx


Face: viethieu220284
c
d
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 8
55/ Một vật chuyển động với pt
vận tốc v(t). Quãng đường vật
di chuyển trong khoảng thời
gian từ
ta
đến
,t b a b
là:
󰇛󰇜

56/ PP tính nguyên hàm,TP
PP1: Đổi biến.
PP2: Tính nguyên hàm, TP
từng phần.
Face: viethieu220284
57a/ HS 󰇛󰇜 là hàm
chẵn và liên tục trên đoạn
󰇟

󰇠
thì
󰇛
󰇜


󰇛󰇜

57b/ Hs 󰇛󰇜 là hàm lẻ
và liên tục trên đoạn
󰇟

󰇠
thì
󰇛
󰇜


54/Cắt một vật thể T bởi hai mp (P) và (Q) vuông góc với
trục Ox lần lượt tại
; ( )x a x b a b
. Một mp tùy ý vuông
góc với Ox tại điểm x (
a x b
) cắt T theo thiết diện có
diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn
󰇟

󰇠
. Thể
tích của phần vật thể T được tính bởi CT:
b
a
V S x dx
Bài1.Tính: a)
2
7x x dx
Đặt
2 2 2
77u x u x
udu xdx
, Tích phân trở
thành:
3
2
3
u
u du C
2 2 2
1
7 ( 7) 7
3
x x dx x x C
b/
/2
sin
0
cos
x
I e x dx
Đặt
sin cost x dt xdx
1
0
t
I e dt
1
0
1
t
ee
B3.a
Tính
diện tích
hp giới
hạn bởi
đths
3
yx
, trục hoành và 2
đường thẳng
1; 2xx
.
2
3
1
17
4
S x dx
B5. Tính a)
ln xdx
1
lnu x dv dx
x
dv dx
, chọn
.vx
1
ln ln .xdx x x x dx
x
lnx x x C
b)
5
sin2 .cosx xdx
Đặt
cos sint x dt xdx
Tích phân trở thành:
7
6
2
2
7
t
t dt C
7
5
2cos
sin2 .cos
7
x
x xdx C
c/
1
3
42
0
32
x
I dx
xx

Đặt
2
2t x dt xdx
1
2
0
1
2 3 2
t
I dx
tt
1
0
1 2 1 3
ln3 ln 2
2 2 1 2
dx
tt
B3b) Tính diện tích hp giới
hạn bởi 2 đt
0;xx
và
đt2hs
cosyx
;
sinyx
0
sin cos 2 2S x x dx
b)
1
0
x
I xe dx
u x du dx
x
dv e dx
, chọn
.
x
ve
1
1
0
0
1
xx
I xe e dx
c)
2
1
2 ( 1)
x
x x x
e
dx dx
e e e
Đặt
1
xx
t e dt e dx
Tích phân trở thành:
2
1dt
C
tt
11
21
x x x
dx C
e e e
d/
1
2
0
1
1
I dx
x
Đặt
tan , ;
22
x t t
2
1 tandx t dt
2
44
2
00
1 tan
1
1 tan 4
t
I dt dt
t


B3c) Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi 2đths
3
y x x
và
2
.y x x
Pt
32
0
1; 2
x
x x x x
x
1
32
2
37
( ) ( )
12
S x x x x dx
2
1
ln
)
e
x
c I dx
x
1
lnu x du dx
x
2
1
dv dx
x
, chọn
1
.v
x
2
1
1
1 1 2
ln 1
e
e
I x dx
x x e
Bài 2/ Tính các tích phân sau:
a/
1
2
0
1I x x dx
Đặt
2
1t x tdt xdx
1
01
3
22
10
0
1
33
t
I t dx t dx
e/
1
22
0
1I x x dx
Đặt
sin , ;
22
x t t
cosdx tdt
2
2
0
1
sin 2
4 16
I tdt

Bài 3d) Cho hp (H) giới hạn
bởi đths
sin , ,y x Ox
2 đt
0;xx
. Tính thể tích
khối tròn xoay thu được khi
quay (H) quanh Ox.
2
2
0
sin
2
V xdx
B4/Tính thể tích V của phần vật thể
giới hạn bởi hai mp x = 1 và x = 3, biết
rằng khi cắt vật thể bởi mp tùy ý vuông
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
13x
thì được thiết diện là
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
là 3x và
2
32x
.
3
2
1
124
3 3 2
3
V x x dx
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 9
IV.SỐ PHỨC
1.Số phức
z a bi
(
2
, ; 1a b i
)
a
: phần thực của z.
b
: phần ảo của z.
i
: đơn vị ảo.
1 2 3 4
; 1; ; 1i i i i i i
+ Số phức liên hợp của z là
z a bi
+ Số phức nghịch đảo của
z là:
2 2 2 2
1
.
ab
i
z a b a b


2.Cho 2 số phức:
a bi
, , ,c di a b c d
ac
a bi c di
bd
0
0
0
a
a bi
b
a bi
là số thực
0b
a bi
thuần ảo
0a
( ) ( )
( ) ( )
a bi c di
a c b d i
( ) ( )
( ) ( )
a bi c di
a c b d i
( ).( )
( ) ( ) .
a bi c di
ac bd ad bc i

2 2 2 2
( )( )
( )( )
c di c di a bi
a bi a bi a bi
ac bd ad bc
i
a b a b



3. Điểm biểu diễn số
phức
z a bi
là
;M a b
4. Modun của số phức
z a bi
là
z
.
22
z OM a b
5. 2 số phức z,w:
2
.z z z
| . | | |.| |z w z w
||
0
||
zz
w
ww

| | | |zz
z w z w
..z w z w
;0
zz
w
w
w




6.2 số phức z,w có 2
điểm bd lần lượt là M,
N thì:
||z w MN
7. Số phức w đgl căn bậc hai của số phức
z nếu
2
wz
.
+Số thực
0a
có 2 căn bậc hai
a
.
+Số 0 có 1 CBH là 0.
+Số thực
0a
có 2 CBH là
ia
.
8. Ptbậc 2hệ số thực
2
0 ( 0; , , )az bz c a a b c
2
4b ac
+
0
, pt có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
z
a
+
0
, pt có nghiệm kép thực
2
b
z
a
+
0
, pt có 2 nghiệm phức
1,2
2
bi
z
a
.
9. Pt bậc n hệ số phức
1
1 1 0
... 0
nn
nn
a z a z a z a
,
0
n
a
có n nghiệm.
10. +Tập hợp điểm bdsp z
thỏa
z a bi k
, ; 0a b k
là
đường tròn tâm
;I a b
,
bán kính
.Rk
+Tập hợp điểm bdsp z thỏa
z a bi k
, ; 0a b k
là hình
tròn tâm
;I a b
, bán kính
.Rk
+ Tập hợp điểm bdsp z thỏa
z a bi z c di
, , ,a b c d
là đường
trung trực của đoạn thẳng
PQ, với
; ; ;P a b Q c d
+Trong mp Oxy, cho hai
điểm
12
;FF
thỏa
12
20FF c
. Tập hợp
điểm M trong mp Oxy thỏa
12
2MF MF a a c
là 1 đường Elip nhận
12
;FF
là 2 tiêu điểm.
-Nếu O là trung điểm
12
FF
và
12
;FF
thuộc
Ox thì pt chính tắc của
đường Elip là:
22
22
1
xy
ab

2 2 2
0;b a a b c
Vd1a/Tập hợp điểm
bdsp z thỏa
1 2 5zi
là
đường tròn tâm
1; 2I
Bán kính
5.R
b/Tập hợp điểm bdsp z
thỏa
3 4 2zi
là
hình tròn tâm
3;4I
,
bán kính
2.R
c/Tập hợp điểm bdsp z
thỏa
32z z i
là
đường trung trực d của
đoạn thẳng PQ với
3;0P
;
0; 2Q
.
Pt d:
6 4 5 0xy
.
Vd2: Cho số phức z
thỏa
4z
. Tìm tập
hợp điểm bdsp w thỏa
(3 4 )w i z i
.
Giải:
34
wi
z
i
4 20z w i
Tập hợp điểm bdsp w
là đường tròn tâm
0;1I
,bán kính
20.R
11. Trong tất cả số
phức z thỏa
z a bi R
, ; 0a b R
thì:
max
z OI R
min
z OI R
12. Dạng lượng giác của số phức
22
2 2 2 2
.
ab
z a bi a b i
a b a b
22
r a b
là modun của z.
là một argument của z thỏa
22
22
cos
sin
a
ab
b
ab
Dạng lượng giác của số phức z là:
. cos sinz r i


13. Cho 3 số phức
. cos sinz r i


1 1 1 1
. cos sinz r i


2 2 2 2
. cos sinz r i


1 2 1 2 1 2 1 2
. . . cos sinz z r r i


11
1 2 1 2
22
. cos sin
zr
i
zr


. cos sin
nn
z r n i n


(CT Moirve)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu
089908.3939
Trang 10
V.THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Hình đa diện, khối đa diện, khối đa
diện lồi, khối đa diện đều
+Khối đa diện đều loại
;pq
là khối
đa diện lồi có các tính chất sau:
a)Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p
cạnh.
b)Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của
đúng q mặt.
+Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều.
Đó là loại
3;3
, loại
3;4
, loại
4;3
,
loại
3;5
và loại
5;3
.
2. Thể tích khối chóp:
1
..
3
KC day
V S h
3. Thể tích khối lăng trụ:
.
LT day
V S h
4.Khối lập phương cạnh
a
3
3
KLP
V canh a
Độ dài đường chéo:
3a
5. Khối hộp chữ
nhật:
..
KHCN
V abc
Độ dài đường
chéo:
2 2 2
abc
Với
,,abc
lần lượt
là chiều dài, rộng, cao của hhcn.
6.Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi
một vuông góc. Thể tích khối tứ diện
ABCD là:
1
..
6
ABCD
V AB AC AD
7. Cho khối chóp S.ABC có
SA a
;
;SB b SC c
;
;
;

. Thể tích khối chóp S.ABC là:
2 2 2
1 2cos .cos .cos cos cos cos
6
abc
V
8. Thể tích khối chóp
12
. ...
n
S A A A
V
:
1 2 1 2
...
12
. .sin
2
.
3
n
SA A A A A
SS
V
AA
Biết
1 2 1 2
; ...
n
SA A A A A
9. Thể tích khối tứ diện có khoảng cách
và góc giữa cặp cạnh đối diện
;AD a BC b
;
;d AD BC d
;
󰇛

󰇜
bằng:
1
.sin
6
ABCD
V abd
10. Thể tích khối bát
diện đều cạnh
a
3
3
22
33
V canh a
11. Thể tích khối
tứ diện đều
3
2
12
V canh
12.
ABC đều:
+ Diện tích:
2
3
.
4
ABC
S canh
+ Độ dài đường
cao:
3
.
2
canh
13. Tam giác ABC vuông A
22
BC AB AC
;
22
AC BC AB
22
AB BC AC
;
22
.AB AC
AH
AB AC
11
..
22
ABC
S AB AC AH BC
1
2
AI BC
(I trung điểm BC)
14.
ABC
vuông cân tại A (AB=AC=)
D.tích:
2
1
2
ABC
Sa
Độ dài cạnh huyền:
2BC a
12
22
a
AI BC
(I là trung điểm BC)
15.Diện tích
;b AC;c ABABC a BC
1 1 1
. b. c.
2 2 2
ABC a b c
S a h h h
111
.sinC .sinA sin
222
ab bc ac B
.
42
abc a b c
p r vs p
R




()p p a p b p c
p: nữa chu vi tam giác ABC.
R: bán kính đtròn ngoại tiếp
.ABC
r: bán kính đtròn nội tiếp
.ABC
;;
abc
h h h
lần lượt là độ dài đường cao
kẻ từ A,B,C của
.ABC
16. Hình vuông
+Diện tích:
2
S canh
+Độ dài đường chéo:
2canh
17. Hình chữ nhật có chiều dài, chiều
rộng lần lượt là
,ab
.
+Diện tích HCN: S =
.ab
+Độ dài đường chéo:
22
ab
18. Diện tích hình bình hành:
.S a h
19. Diện tích hình thoi
11
..
22
S a h AC BD
20. Diện tích hình thang:
.
2
a b h
S
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 11
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
21. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
. ' ' '
.
' ' '
..
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
22. Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác, đáy
ABCD là hình bình hành.
. ' ' 'D'
.
4
S A B C
S ABCD
V a b c d
V abcd
; ; ;
' ' ' '
SA SB SC SD
a b c d
SA SB SC SD
a c b d
23. Tỉ số thể tích hình lăng trụ
.MNP
. ' ' '
1
3 ' ' '
ABC
ABC A B C
V AM BN CP
V AA BB CC



24. Tỉ số thể tích hình lăng trụ, đáy
hình bình hành
.MNPQ
. ' ' 'D'
1
4 ' ' ' '
ABCD
ABCD A B C
V
AM BN CP DQ
V AA BB CC DD



25.Tỉ số V hai khối chóp có chung
đường cao.
.
.
.
S AMN AMN
S ABC ABC
V S AN AM
V S AC AB

26. Thể tích khối chóp cụt
Gọi B và B’ lần lượt là diện tích của đáy
lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt, h là
chiều cao của nó (h là khoảng cách
giữa 2mp chứa 2 đáy). Thể tích khối
chóp cụt:
1
' . '
3
V h B B B B
27. Thể tích khối nón cụt
Gọi R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn,
bán kính đáy nhỏ, chiều cao của hình
nón cụt.
22
.
3
h
V R r R r
28.Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng: Cho đt d và mp
.
+Nếu
d
thì
0
; 90d
+Nếu d ko vuông
thì
; ; 'd d d
Với d’ là hcvg
của d trên mp
.
+
;AO AOH
29. Góc giữa 2 mặt phẳng
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đường
thẳng lần lượt vuông góc 2mp đó.
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau
c


; Tìm mp
c
a


;
b


;;ab


+
;SBC

SH
;
BC
.
K, P lần lượt là hình chiếu vuông góc
của H trên BC, SK.
22
.
;
SH HK
d H SBC HP
SH HK

30. Khoảng cách từ điểm đến mp
+
;d O OH
H là hcvg của O
trên
.
+MN // (P)
M; ;d P d N P
+MN cắt (P) tại I
M;
;
dP
MI
d N P NI
31. K/c giữa 2đt chéo nhau
;'
1: ; ' ;CT d d M
(
chứa
và song song
'
)
2: ; 'CT d HK
(HK:đoạn vuông góc chung của
;'
)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 12
VI.KHỐI TRÒN XOAY
1. Hình nón, khối nón
h:chiều cao của hình nón.
r: bán kính đáy hình nón.
l: độ dài đường sinh
h.nón.
2 2 2
l h r
+Diện tích xung quanh
của hình nón:
.
xq
S rl
+Diện tích toàn phần:
2
.
tp
S rl r


+Thể tích khối nón:
2
1
.
3
KN
V r h
2. Hình trụ, khối trụ
h:chiều cao hình trụ
r: bán kính đáy hình trụ.
l:độ dài đường sinh htrụ.
hl
+Diện tích xung quanh
của hình trụ:
2.
xq
S rl
+Diện tích toàn phần:
2
2 2 .
tp
S rl r


+Thể tích khối trụ:
2
.
KT
V r h
3. Mặt cầu, khối cầu
R là bán kính mặt cầu
+ Diện tích mặt cầu:
2
4SR
+ Thể tích khối cầu:
3
4
3
VR
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
BT1a)Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
, tam giác ABC vuông tại B.
2AC a
2SA a
. Bán kính mặt cầu ngoại
tiếp h.chóp S.ABC bằng:
2
2
4
Cau day
h
RR

2
2
22
2
2
44
day
a
SA
R a a
b) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mp vuông góc với
đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC.(Minh họa 2017)
+Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC bằng:
2
22
4
day ben
AB
R R R
22
2
3 3 1 15
3 3 4 6
.
4. VTTĐ của đt và mặt cầu
Cho mặt cầu (S), tâm O,
bán kính R và đt
.Gọi H
là hcvg của O trên
.
;d O OH
+
;d O R
thì
không cắt (S).
+
;d O R
thì
tiếp
xúc với (S) tại H.
+
;d O R
thì
cắt
(S) tại 2 điểm pb MN.
22
2;MN R d O
(H là trung điểm MN)
5. VTTĐ của mp và
m.cầu
Cho mặt cầu (S), tâm O,
bán kính R và mp(P).Gọi
H là hcvg của O trên (P).
;( )d O P OH
+
;d O P R
thì (P)
không cắt (S).
+
;d O P R
thì (P)
tiếp xúc (S) tại H.
+
;d O P R
thì (P)
cắt (S) theo đường tròn
(C), tâm H, bk r:
22
;r R d O P
6. Mặt cầu ngoại tiếp
hình đa diện
a)Mặt cầu ngoại tiếp
HHCN ABCD.A’B’C’D’
có tâm I là trung điểm
AC’,A’C, BD’,B’D và bk
2 2 2
2
abc
R

(
,,abc
3
l
chiều dài,
rộng, cao của HHCN)
b)Mặt cầu ngoại tiếp
hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có tâm
O là trung điểm
AC’,A’C,BD’,B’D và bk
3
2
a
R
, với
a
là
cạnh của h.lập phương
ABCD.A’B’C’D’.
c)Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có
bán kính
2
2.
Cau
canhben
R
chieucao
+Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp
hình chóp đều
S.ABCD là:
2
2
Cau
SA
R
SE
,E là
tâm đáy ABCD.
d)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
có cạnh bên vuông góc mặt đáy là:
2
2
4
Cau day
h
RR

(h là chiều cao hình chóp).
e/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp có mặt bên vuông góc mặt đáy là:
2
22
4
Cau day ben
AB
R R R
(với AB là giao tuyến mặt bên vuông
góc mặt đáy và đáy).
f/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
lăng trụ đứng (hình lăng trụ có mặt
cầu ngoại tiếp) là:
2
2
4
Cau day
h
RR

(h là chiều cao hình lăng trụ đứng)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
l
h
r
l
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 13
VII.KHÔNG GIAN OXYZ
1. Tọa độ vectơ
;;u x y z u xi y j zk
2.
1 2 3
( ; ; ),a a a a
1 2 3
( ; ; ),b b b b k R
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
+
1 2 3
( ; ; )ka ka ka ka
+
11
22
33
ab
a b a b
ab
0 (0;0;0), (1;0;0)
(0;1;0), (0;0;1)
i
jk


+
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b
+
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b
+
222
1 2 3
a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
ab
ab
ab
a b a b a b
a a a b b b

(với
,0ab
)
3. Tọa độ điểm:
( ; ; )
C C C
C x y z
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
( ; ; ) ( ; ; )M x y z OM x y z
+
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
+
I
là trung điểm AB
2
2
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
zz
z

+G là trọng tâm
ABC
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
y
zzz
z




4. Tích có hướng 2 vectơ
1 2 3
( , , )a a a a
1 2 3
( , , )b b b b
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
; ( ; ; )a b a b a b a b a b a b a b


5.
,,a b c
đồng phẳng
[ , ]. 0a b c
6. Diện tích hình bình hành ABCD
,
ABCD
S AB AD


7. Diện tích tam giác ABC
1
,
2
ABC
S AB AC


8. Thể tích khối tứ diện ABCD
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD
9.
a
cùng phương
0bb
,0ab

a kb k
10. Mp(P) đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có 1 vtpt
( ; ; )n a b c
. Pttq của (P):
0 0 0
0a x x b y y c z z
11. Mp (P) đi qua 3 điểm
;0;0Aa
,
0; ;0Bb
,
0;0;Cc
với
, , 0abc
.
Pt (P) theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
.
12.Cho 2 mp
;

có pt
1 1 1 1
:0A x B y C z D
2 2 2 2
:0A x B y C z D
+
;

cắt nhau
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
+
//

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
+

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
+

1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
13. Đt d đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có 1 vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
.
Ptts của d:
1
2
3
o
o
o
x x a t
y y a t
z z a t



+Nếu
1 2 3
0a a a
thì pt chính
tắc của d:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

14. Cho 2đt
11
1 1 1
11
:
x x ta
d y y tb
z z tc



(tham số t)
22
2 2 2
22
:
x x sa
d y y sb
z z sc



(tham số s)
+
1
d
đi qua
1 1 1 1
( ; ; )M x y z
và có
1 vtcp
1
111
( ; ; )u a b c
.
+
2
d
đi qua
2 2 2 2
( ; ; )M x y z
và có
1 vtcp
2
222
( ; ; )u a b c
.
Xét hệ (I)
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x ta x sa
y tb y sb
z tc z sc
+
12
12
12
//
u ku
dd
Md
+
12
12
12
u ku
dd
Md

+
1
d
cắt
2
d
12
u kocung phuongu
He I conghiem
+
1
d
chéo
2
d
12
u kocung phuong u
He I vonghiem
+
1
d
chéo
2
d
1 2 1 2
, . 0u u M M



+
1 2 1 2
.0d d u u
15. VTTĐ giữa mp và đt
:0Ax By Cz D
Đt d:
01
02
03
x x ta
y y ta
z z ta



Xét pt (*):
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0A x ta B y ta C z ta D
+d//
(*) vô nghiệm.
+d

(*) có vô số ng.
+ d cắt
(*) có
nghiệm duy nhất.
(Khi (*) có nghiệm duy
nhất
0
tt
thì d cắt
tại
điểm
0 0 1 0 0 2 0 0 3
;;A x t a y t a z t a
)
+ d vuông góc
d
n cung phuongu
.
d
n k u

16.a/Khoảng cách từ điểm
0 0 0 0
;;M x y z
đến mp
:0Ax By Cz D
bằng:
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
dM
A B C

b/Cho đt
đi qua M
0
và có 1
vtcp
a
. Khoảng cách từ điểm A
đến đt
:
0
;
( , )
M A a
dA
a

c/ Cho 2đt chéo nhau
1
d
và
2
d
+
1
d
đi qua
1 1 1 1
( ; ; )M x y z
và có 1
vtcp
1
111
( ; ; )u a b c
.
+
2
d
đi qua
2 2 2 2
( ; ; )M x y z
và có 1
vtcp
2
222
( ; ; )u a b c
.
Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau
1
d
và
2
d
là:
1 2 1 2
12
12
,.
( , )
,
u u M M
d d d
uu


d/ Cho 2mp
;

có:
//

1
:0Ax By Cz D
2
:0Ax By Cz D
Khoảng cách giữa 2 mp
;

là:
12
2 2 2
( );
DD
d
A B C


Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 14
17. a/Cho 2đt
1
d
và
2
d
có 2vtcp lần lượt
là
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ;u a b c u a b c
.Góc
giữa 2 đt
1
d
và
2
d
được tính bởi CT:
1 2 1 2 1 2
12
12
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
.
.
cos ;
.
.
a a bb c c
uu
dd
uu
a b c a b c

b/cho 2mp
;

có 2 vtpt lần lượt
là
1 1 1 1
( ; ; )n a b c
;
2 2 2 2
( ; ; )n a b c
. Góc
giữa 2 mp
;

được tính bởi CT:
12
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2
.
.
cos ;
.
.
a a b b c c
nn
nn
a b c a b c


c/Cho đt d có 1vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
và
mp
có 1vtpt
( ; ; )n A B C
. Góc
giữa đt d và mp
được tính bởi CT:
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
.
sin ,( )
.
.
Aa Ba Ca
an
d
an
a a a A B C

18. +Mặt cầu (S) có tâm
0 0 0
( ; ; )I x y z
và bk R. Pt (S) là:
2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( )x x y y z z R
+Pt mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
(Đk:
2 2 2
0a b c d
).
Mặt cầu (S) có tâm
( ; ; )I a b c
và bk
2 2 2
R a b c d
.
19. VTTĐ giữa đt
và mặt cầu (S) có
tâm O và bk R.
+
ko cắt (S)
( , )d O R
+
tiếp xúc (S)
( , )d O R
+
cắt (S)
( , )d O R
Khi
cắt (S) tại 2 điểm M,N thì
22
2 2 ( , )MN MH R d O
(H là hcvg của O trên
; H là trung
điểm MN).
20. VTTĐ giữa mp(P) và mặt cầu (S) có
tâm O và bk R.
+(P) ko cắt (S)
( , )d O P R
+ (P) tiếp xúc (S)
( , )d O P R
+ (P) cắt (S)
( , )d O P R
.
(Khi (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có tâm H và bk r thì:
H là hcvg của O trên (P).
2 2 2 2
( , )r R d O P R OH
21. Mp
:0Ax By Cz D
đặc biệt
+
0D
:
đi qua gốc tọa độ O.
+
0A
:
chứa Ox hoặc // Ox.
+
0B
:
chứa Oy hoặc // Oy.
+
0C
:
chứa Oz hoặc // Oz.
+
0AB
:
// Oxy
hoặc
Oxy
.
+
0AC
:
// Oxz
hoặc
Oxz
.
+
0BC
:
// Oyz
hoặc
Oyz
+Ptmp
:0Oxy z
. +Ptmp
:0Oxz y
+Ptmp
:0Oyz x
. +Pt Ox:
0
0
xt
y
z
.
+Pt Oy:
0
0
x
yt
z
. +Pt Oz:
0
0
x
y
zt
.
22. Điểm M trên đường thẳng, mp
+
; ;0M Oxy M a b
+
;0;M Oxz M a b
+
0; ;M Oyz M a b
+
;0;0M Ox M t
+
0; ;0M Oy M t
+
0;0;M Oz M t
23. a/Tìm hcvg H của điểm
;;
A A A
A x y z
trên mp (P):
0ax by cz d
.
+Đt AH đi qua
;;
A A A
A x y z
và có
1vtcp
;;
P
n a b c
. Pt AH:
.
A
A
A
x x a t
y y bt
z z ct



+
;;
A A A
H AH H x at y bt z ct
+
2 2 2
A A A
ax by cz d
H P t
abc




KL:
;;
A A A
H x at y bt z ct
b/Tìm điểm đối xứng A’ của A qua
mp(P).
+B1: Tìm hcvg H của A trên (P).
+B2: H là trung điểm AA’.
'
'
'
2
2
2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z



Đặc biệt: Điểm
;;
A A A
A x y z
+Hcvg của A trên(Oxy) là
1
; ;0
AA
H x y
+Hcvg của A trên(Oxz) là
2
;0;
AA
H x z
+Hcvg của A trên(Oyz) là
3
0; ;
AA
H y z
Điểm đx của A qua(Oxy) là
1
;;
A A A
A x y z
Điểm đx của A qua(Oxz) là
2
;;
A A A
A x y z
Điểm đx của A qua(Oyz) là
3
;;
A A A
A x y z
24. a/Tìm hcvg H của
;;
M M M
M x y z
trên đt
:d
1
2
3
o
o
o
x x a t
y y a t
z z a t



.
B1:
1 2 3
;;
o o o
H d H x a t y a t z a t
B2:
.0
d
MH u
(
1 2 3
( ; ; )
d
u a a a
vtcp của d)
1 0 2 0 3 0
222
1 2 3
M M M
a x x a y y a z z
t
aaa





KL:
1 2 3
;;
o o o
H x a t y a t z a t
b/Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đt d
B1: Tìm hcvg H của M trên d.
B2: H là trung điểm MM’
'
'
'
2
2
2
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z



Đặc biệt: Điểm
;;
A A A
A x y z
+Hcvg của A trên Ox là:
4
;0;0
A
Hx
+Hcvg của A trên Oy là:
5
0; ;0
A
Hy
+Hcvg của A trên Oz là:
6
0;0;
A
Hz
Điểm đx của A qua Ox là
4
;;
A A A
A x y z
Điểm đx của A qua Oy là
5
;;
A A A
A x y z
Điểm đx của A qua Oz là
6
;;
A A A
A x y z
25. I là tâm đtròn nội tiếp
ABC
. . .
. . .
. . .
A B C
I
A B C
I
A B C
I
BC x AC x AB x
x
AB AC BC
BC y AC y AB y
y
AB AC BC
BC z AC z AB z
z
AB AC BC







Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 15
VIII.PHÉP BIẾN HÌNH
1. Phép tịnh tiến
(M) M' '
v
T MM v
(M) M' (M') M
vv
TT
+Phép tịnh tiến theo
v
biến đường
thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó.
Đt
:0ax by c
( ) '
v
T
. Suy ra
'/ /
'

Pt
'
có dạng:
0ax by m
+Phép tịnh tiến theo
v
biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, tâm biến thành tâm.
Đường tròn (C) tâm
;I a b
và bk R.
'
v
T C C
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’
+
'RR
+
(I) ' II'
v
T I v
+Biểu thức tọa độ:
; , ' '; 'M x y M x y
(M) M'
v
T
với
;v a b
Bttđ:
'
'
x x a
y y b


2. Phép quay
;O
Q
;
'
(M) M'
;'
O
OM OM
Q
OM OM

;;
(M) M' (M') M
OO
QQ

+Phép quay
;
2
O
Q



biến đường thành
thành đường thẳng vuông góc với nó.
Đt
:0ax by c
;
2
( ) '
O
Q



Suy ra
'
Pt
'
có dạng:
0bx ay m
+Phép quay biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính, tâm biến thành
tâm.
;
'
O
Q C C
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’
'RR
;
(I) '
O
QI
+Bttđ phép
;O
Q
:
' cos .sin
' sin .cos
x x y
y x y




3. Phép vị tự
O;k
0Vk
O;k
''V M M OM kOM
O;k 1
O;
''
k
V M M V M M



+Phép vị tự
O;k
V
biến đường thẳng
thành đường thẳng song song hoặc
trùng với nó. Đt
:0ax by c
O;k
( ) 'V
Suy ra
'/ /
'

Pt
'
có dạng:
0ax by m
+Phép vị tự
O;k
V
biến đường tròn bk R
thành đường tròn bk
kR
, tâm biến
thành tâm.
O;k
'V C C
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’
'R k R
O;k
(I) ' OI'V I kOI
+ Bttđ
O;k
V
:
'k
'
xx
y ky
4. Phép dời hình là phép biến hình
bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
bất kì.
+Phép đồng nhất, phép tịnh tiến, đối
xứng trục, đối xứng tâm, phép quay
là những phép dời hình.
+Phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình là
một phép dời hình.
+T/c phép dời hình:
-Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3
điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy.
-Biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
-Biến tam giác thành tam giác bằng
nó, biến góc thành góc bằng nó.
-Biến đtròn thành đường tròn có
cùng bán kính.
+Phép dời hình biến tam giác ABC thành
tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng
tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội
tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương
ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam
giác A’B’C’.
+Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành
đa giác n cạnh, đỉnh biến thành đỉnh, cạnh
biến thành cạnh.
+Hai hình đgl bằng nhau nếu có một phép
dời hình biến hình này thành hình kia.
5.Phép biến hình F đgl phép đồng dạng
tỉ số k
0k
, nếu với hai điểm M, N
bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của
chúng ta luôn có
''M N kMN
+Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số
1.k
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ
số
.k
+Phép đồng dạng tỉ số k:
-Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm
thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các
điểm ấy.
-Biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
-Biến tam giác thành tam giác đồng
dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó.
-Biến đường tròn bk R thành đường
tròn có bán kính kR.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 16
+Nếu một phép đồng dạng biến tam
giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
của tam giác ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường
tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
A’B’C’.
+Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh
thành đa giác n cạnh, đỉnh biến
thành đỉnh, cạnh biến thành cạnh.
+Hai hình đgl đồng dạng với nhau
nếu có 1 phép đồng dạng biến hình
này thành hình kia.
6. Hình vẽ đẹp của họa sĩ
Maurits Comelis Escher
+ Hình đối xứng
hocthoi.net
Wikiwand.com
+ Hình Fractal
Ảnh: Huanqiu
sprott.physics.wisc.edu/fractals/carlson
scp-foundation-database.fandom.com/wiki/SCP-001
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
https://vuihocly.wordpress.com/2011/12/18/hin
h-hoc-fractal/
khoahoc.tv
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 17
IX. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.Cách xác định 1 mặt phẳng
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó đi qua 3 điểm pb không thẳng hàng.
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó đi qua 1 điểm và chứa 1 đường
thẳng không đi qua điểm đó.
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó chứa 2 đường thẳng cắt nhau.
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó chứa 2 đường thẳng song song.
2.Hình chóp, hình tứ diện
+Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa
giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt
đáy trùng với tâm đa giác đáy.
3.Hình lăng trụ
+Hình lăng trụ có đáy hình bình hành là
hình hộp.
+Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng,
có đáy là đa giác đều.
+Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ
có cạnh bên vuông góc mặt đáy.
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
bình hành đgl hình hộp đứng.
+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
chữ nhật đgl hình hộp chữ nhật.
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
vuông và các mặt bên là hình vuông
đgl hình lập phương.
4.Hình chóp cụt:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
. ' ' ' ' 'A A A A A A A A A A
5.4VTTĐ của 2đt
;ab
trong không gian
TH1:
a
cắt b tại M TH2:
//ab
TH3:
ab
TH4:
a
chéo b
6.Định lí giao tuyến 3mp và hệ quả
+Nếu 3mp cắt nhau theo 3 giao tuyến
phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc
đồng quy hoặc đôi 1 song song với
nhau.
+Nếu 2mp phân biệt lần lượt chứa 2đt
song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đt đó
hoặc trùng với một trong 2đt đó.
7.Đường thẳng song song mặt phẳng
+ Nếu đường thẳng d không nằm trong
mp
và d song song với đt d’ nằm
trong
thì d song song với
.
+Định lí: Cho đt
a
song song mp
.
Nếu mp
chứa
a
và cắt
theo giao
tuyến b thì
//ba
.
8.Hai mp song song
+Nếu mp
chứa 2 đường thẳng cắt
nhau
,ab
và
,ab
cùng song song với mp
thì
//

.
+Định lí: Cho hai mp song song. Nếu một
mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và hai
giao tuyến song song với nhau.
9.Định lí Thales
+Ba mp đôi một song song chắn trên
2 cát tuyến bất kì những đoạn thẳng
tỉ lệ.
' ' ' ' ' '
AB BC AC
A B B C A C




10.Vectơ trong không gian
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
QT hình hộp:
''AB AD AA AC
11. Trong kg cho 3 vectơ không đồng
phẳng
,,abc
. Khi đó mọi vectơ
x
ta
đều tìm được bộ 3 số m,n,p sao cho
x ma nb pc
. Ngoài ra bộ 3 số
m,n,p là duy nhất.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Zalo: 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 18
12.Góc giữa 2 đt
,ab
trong không gian
là góc giữa 2 đt
', 'ab
cùng đi qua 1
điểm và lần lượt song song với
,ab
.
+Cho
u
;
v
lần lượt là vtcp của 2đt
,ab
và
;uv
.
Nếu
00
0 90

thì
;ab
Nếu
00
90 180

thì
0
; 180ab

Vd.Cho hình chóp S.ABC có
2BC a
SA SB SC AB AC a
.Tính góc
giữa 2 đt AB và SC.
2
.1
cos ; .
.
SC AB
SC AB SA AC AB
SC AB a
2
11
. . .cos ;
2
AS AB AS AB
a
00
; 120 ; 60SC AB SC AB
13.Đt vuông góc mặt phẳng
+Nếu một đt vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vuông góc với mp ấy.
+Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là mp vuông góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của đoạn thẳng đó.
+Định lí: Nếu một đường thẳng và 1mp
(không chứa đt đó) cùng vuông góc với
một đường thẳng khác thì chúng song
song với nhau.
14.Góc giữa đt và mặt phẳng
Cho đt d và mp
.
+Nếu
d
thì
0
; 90d
+Nếu d ko vuông
thì
; ; 'd d d
Với d’ là hcvg
của d trên mp
.
15.Hai mp vuông góc
Định lí: Đk cần và đủ để hai mp vuông
góc với nhau là mp này chứa 1 đường
thẳng vuông góc với mp kia.
+Định lí: nếu 2mp vuông góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mp này và vuông góc với giao tuyến thì
vuông góc với mp kia.
16.Góc giữa 2 mặt phẳng
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đt lần lượt
vuông góc 2mp đó.
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau
c


; Tìm mp
c
a


;
b


;;ab


17.Diện tích hình chiếu của đa giác
Cho đa giác (H) nằm trong mp
có
diện tích S và (H’) là hình chiếu vuông
góc của (H) trên mp
. Khi đó diện
tích S’ của (H’) là:
' cosSS
.
Với
là góc giữa
và
.
18. Khoảng cách từ điểm đến mp
+
;d O OH
H là hcvg của O
trên
.
+MN // (P)
M; ;d P d N P
+MN cắt (P) tại I
M;
;
dP
MI
d N P NI
19. K/c giữa 2đt chéo nhau
;'
1: ; ' ;CT d d M
(
chứa
và song song
'
)
2: ; 'CT d HK
(HK:đoạn vuông góc chung của
;'
)
20. Định lí Thales trong mặt phẳng
+Nếu 1 đt song song với 1 cạnh của tam
giác và cắt 2 cạnh còn lại thì nó định ra
trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
//DE BC
AD AE DE
AB AC BC

21. Cho đường tròn (O); 2 cát tuyến
của đt (O) là AMN và ABC cắt nhau tại
A. Ta có:
..AM AN AB AC
+Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn
(O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt
tiếp xúc với (O) tại A. Ta có:
2
.MB MC MA
22. Trong tam giác vuông, đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa
cạnh huyền.
+Nếu một tam giác có đường trung
tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh
ấy thì tam giác đó vuông.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 19
X.ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1. Quy tắc cộng
+ Một công việc được hoàn thành bởi
một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành
động kia có n cách thực hiện không
trùng với bất kì cách nào của hành động
thứ nhất thì công việc đó có
mn
cách
thực hiện.
+ Quy tắc cộng phát biểu dưới dạng tập
hợp: Nếu A, B là hai tập hợp hữu hạn
không giao nhau
AB
thì
n A B n A n B
+ Quy tắc cộng có thể mở rộng cho
nhiều hành động.
2. Quy tắc nhân
+ Một công việc được hoàn thành bởi
hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách
thực hiện hành động thứ nhất và ứng
với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai thì có
.mn
cách
hoàn thành công việc.
+Quy tắc nhân có thể mở rộng cho
nhiều hành động liên tiếp.
3.Hoán vị
+ Cho tập hợp A có n phần tử
1n
.
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n
phần tử của tập hợp A đgl một hoán vị
của n phần tử đó.
+Số các hoán vị của n
1n
phần tử
là:
! 1.2.3...(n 1).n
n
Pn
Quy ước:
0! 1
4. Chỉnh hợp
+ Cho tập hợp A có n phần tử
1n
.
Kết quả của việc lấy k phần tử khác
nhau từ n phần tử của A và sắp xếp
chúng theo thứ tự nào đó đgl một chỉnh
hợp chập k của n phần tử đã cho.
+Số các chỉnh hợp chập k
1 kn
của n phần tử là:
!
!
k
n
n
A
nk
5.Tổ hợp: + Cho tập hợp A có n phần tử
1n
. Mỗi tập con gồm k phần tử của
A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử
đã cho.
+Số các tổ hợp chập k
0 kn
của
n phần tử là:
!
!. !
k
n
n
C
k n k
Tính chất:
.k!
kk
nn
AC
0 kn
0
k n k
nn
C C k n
1
11
1
k k k
n n n
C C C k n

6. Phép thử, biến cố, xác suất:
+Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy
ra của một phép thử đgl không gian
mẫu của phép thử, kí hiệu
.
+Biến cố là tập con của không gian mẫu.
+Tập
là biến cố không thể (biến cố
không).
+Tập
là biến cố chắc chắn.
+Cho A là 1 biến cố liên quan 1 phép
thử. Tập
\AA
đgl biến cố đối của
biến cố A.
+
AB
thì A, B đgl hai biến cố
xung khắc.
+Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu
chỉ có một
số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Xác suất của biến cố A là:
nA
PA
n
Với
nA
là số phần tử của A hay số khả năng thuận lợi cho biến cố A.
n
là số phần tử không gian mẫu.
Tính chất xác suất:
0; 1PP
01PA
, với mọi biến cố A
Nếu 2 biến cố A, B xung khắc thì
P A B P A P B
1P A P A
7. Tam giác Pascal: Khai triển
*
n
x y n
1
2
22
3
3 2 2 3
4
4 3 2 2 3 4
5
5 4 3 2 2 3 4 5
1: 1 1
2: 1 2 1 2
3: 1 3 3 1 3 3
4: 1 4 6 4 1 4 6 4
5: 1 5 10 10 5 1 5 10 10 5
n x y x y
n x y x xy y
n x y x x y xy y
n x y x x y x y xy y
n x y x x y x y x y xy y
8. Công thức nhị thức Newton
0 1 1 2 2 2 1 1
(1)
. . ... . ... .
n
n n n k n k k n n n n
n n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C a b C b
0
.
n
k n k k
n
k
C a b
Trong vế phải (1) có
1n
hạng tử; tính từ trái sang phải các hạng tử có: số mũ của
a
giảm dần từ n đến 0, số mũ của b
tăng dần từ 0 đến n và tổng số mũ của
a
, b bằng n.
Số hạng tổng quát:
1
.
k n k k
kn
T C a b
.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 20
Đặc biệt:
+
0 1 2
2 1 1 ...
n
nn
n n n n
C C C C
+Cho tập hợp A có n phần tử
*
n
Số tập con có 1 phần tử của A là:
1
n
C
Số tập con có k
0 kn
phần tử
của A là:
k
n
C
.
Số tất cả tập hợp con của A là:
0
2
n
kn
n
k
C
0 1 2
0 1 1 ... 1
... 1
nk
k
n n n n
n
n
n
C C C C
C
+
2
2 0 1 2 2
2 2 2 2
2 1 1 ...
n
nn
n n n n
C C C C
(*)
2
0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 ... 1 ...
nk
k n n
n n n n n n n
C C C C C C C
(**)
Từ (*), (**) có:
0 2 4 2 1 3 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2
... ... 2
n n n
n n n n n n n
C C C C C C C

+
21
2 1 0 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 ... ...
n
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
Mà
0 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
; ;...;
n n n n
n n n n n n
C C C C C C

Suy ra:
2 0 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 ... ...
n n n n
n n n n n n
C C C C C C

+ Đa thức
2
0 1 2
...
n
n
n
f x a bx a a x a x a x
Tổng tất cả các hệ số trong khai triển đa thức
fx
bằng:
0 1 2
... 1
n
n
T a a a a f a b
BT1. Bạn H có 2 áo màu khác nhau và ba
quần kiểu khác nhau. Hỏi H có bao nhiêu
cách chọn 1 bộ quần áo?
Giải: Hai áo được ghi
chữ
a
và b, ba quần
được đánh số 1,2,3.
Để chọn 1 bộ quần
áo, ta phải thực hiện
liên tiếp hai hành
động:
HĐ1: Chọn áo. Có hai
cách chọn (chọn
a
hoặc b).
HĐ2: Chọn quần. Ứng với cách chọn áo có
ba cách chọn quần (Chọn 1, hoặc 2, hoặc 3).
Vậy số cách chọn 1 bộ quần áo là: 2.3 = 6
cách.
2.Cho đa giác lồi (H) có n cạnh
(
4n
).
+ Số vectơ khác
0
có điểm đầu và
điểm cuối là hai đỉnh của (H) là:
2
n
A
.
+ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của
(H) là:
3
n
C
.
+Số đoạn thẳng có 2 điểm đầu mút
là 2 đỉnh của (H) là:
2
n
C
.
+ Số đường chéo của đa giác (H) là:
2
n
Cn
BT3. Từ khai triển biểu thức
17
34x
, hãy tính tổng tất cả các
hệ số của đa thức nhận được.
G:
17
17
17 1 0
3 4 . ...f x x a x a x a
+Tổng tất cả các hệ số từ khai triển biểu
thức
17
34x
là:
17 16 1 0
... 1 1a a a a f
4. Quy tắc cộng mở rộng cho 2 tập hữu
hạn A, B và
AB
n A B n A n B n A B
(Quy tắc bao hàm và loại trừ)
BT4. Một tổ 10 học sinh sẽ được chơi 2
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn.
Có 5 bạn đăng kí chơi cầu lông, 4 bạn
đăng kí chơi bóng bàn, trong đó có 2
bạn đăng kí chơi cả 2 môn. Hỏi có bao
nhiêu bạn đăng kí chơi thể thao? Bao
nhiêu bạn không đăng kí chơi thể thao?
Giải: Kí hiệu X là tập hợp 10 học sinh trong
tổ; A là tập hợp các học sinh đăng kí chơi
cầu lông; B là tập hợp các học sinh đăng kí
chơi bóng bàn.
10; 5; 4n X n A n B
2.n A B
AB
là tập hợp các bạn đăng kí chơi thể
thao.
7n A B n A n B n A B
Số bạn không đăng kí chơi thể thao là:
3n X n A B
BT5. Bài kiểm tra trắc nghiệm gồm
50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả
lời và chỉ có 1 phương án trả lời
đúng, điểm cho mỗi câu trả lời đúng
là 0,2. Bạn H làm chắc chắn đúng 30
câu và 20 câu còn lại bạn chọn ngẫu
nhiên. Tính gần đúng xác suất bạn H
được đúng 7 điểm.
Giải:
Số phần tử không gian mẫu:
20
4n 
Gọi A là biến cố: “H được 7 điểm”.
5 15
20
.3n A C
.
Vậy xác suất bạn H được đúng 7
điểm là:
5 15
20
20
.3
20,233%
4
C
PA
9.Quy tắc nhân xác suất:
+ Hai biến cố A và B đgl độc lập với
nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này không làm ảnh hưởng
tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
+ Nếu hai biến cố A, B độc lập với
nhau thì A và
B
;
A
và B;
A
và
B
cũng độc lập với nhau.
+ Quy tắc: Nếu hai biến cố A và B độc
lập với nhau thì
..P A B P A P B
.A B A B
BT6. Một chiếc máy có hai động cơ I và
II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất
để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần
lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để
cả 2 động cơ đều không chạy tốt.
Giải: Gọi A là bc “Động cơ I chạy tốt”, B
là biến cố “Động cơ II chạy tốt”, D là
biến cố “Cả 2 động cơ đều không chạy
tốt”.
. . 6%P D P A B P A P B
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 21
XI.CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
1.CẤP SỐ CỘNG
+
n
u
là CSC (vô hạn) với
công sai d:
*
1
,
nn
u u d n
+
n
u
là CSC (hữu hạn, m
phần tử) với công sai d
1
, 1, 1
nn
u u d n m
2.Tính chất CSC
n
u
có số
hạng đầu
1
u
, công sai d
+
1
1
n
u u n d
+
11
,2
2
kk
k
uu
uk

(
11
;;
k k k
u u u

là 3 số hạng liên
tiếp của CSC
n
u
)
+ Tổng n số hạng đầu của CSC
n
u
là:
12
...
nn
S u u u
1
1
1
22
n
n u u n n d
nu

3.CẤP SỐ NHÂN
+
n
u
là CSN (vô hạn) với công
bội q:
*
1
*,
nn
u u q n
+
n
u
là CSN (hữu hạn, m phần
tử) với công bội q
1
* , 1, 1
nn
u u q n m
4.Tính chất CSN
n
u
, có số
hạng đầu
1
u
, công bội q:
+
1
1
*
n
n
u u q
+
2
11
* , 2
k k k
u u u k

(
11
;;
k k k
u u u

là 3 số hạng liên
tiếp của CSN
n
u
)
+ Tổng n số hạng đầu của CSN
n
u
là:
12
...
nn
S u u u
Nếu q=1 thì
1
.
n
S nu
Nếu
1q
thì
1
1
1
n
n
uq
S
q
5.Giới hạn dãy số
n
u
1
lim 0,
k
n
k
lim ,
k
n 
k
lim ,C C C
hằng số.
lim 0, 1
n
qq
lim , 1
n
qq 
6.Định lí về giới hạn hữu
hạn của dãy số
Nếu
lim ;lim
nn
u a v b
thì
lim
nn
u v a b
lim
nn
u v a b
lim * *
nn
u v a b
lim 0
n
n
u
a
b
vb




+ Nếu
0
n
u
và
lim
n
ua
thì
0a
và
lim
n
ua
7.Tổng của CSN lùi vô hạn
n
u
,công bội q,
1q
bằng:
12
... ...
n
S u u u
1
1
u
q
8.Nếu
lim
n
ua
và
lim
n
v 
thì
lim 0
n
n
u
v
.
+Nếu
lim 0
n
ua
;
lim 0
n
v
và
0,
n
vn
thì
lim
n
n
u
v

.
+Nếu
lim 0
n
ua
;
lim 0
n
v
và
0,
n
vn
thì
lim
n
n
u
v

.
+ Nếu
lim
n
u
và
lim 0
n
va
thì
lim .
nn
uv 
+ Nếu
lim
n
u
và
lim 0
n
va
thì
lim .
nn
uv 
9.Định lí giới hạn hữu hạn hs
Nếu
00
lim ;lim
x x x x
f x L g x M


0
lim
xx
f x g x L M


0
lim
xx
f x g x L M


0
lim * *
xx
f x g x L M


0
lim 0
xx
fx
L
M
g x M





Nếu
0
0; lim
xx
f x f x L

thì
0
0;lim
xx
L f x L

10.
0
lim
xx
f x L
khi và chỉ khi
00
lim lim
x x x x
f x f x L



11.Giới hạn hàm số đặc biệt
lim
x
CC

, C hằng số.
1
lim 0
k
x
x

,k nguyên dương.
lim
k
x
x


, k nguyên dương.
lim
k
x
x

,
k
,k chẵn.
lim
k
x
x
,
k
, k lẻ.
12. Giới hạn tích, thương hs
13. Hàm số liên tục
+Hs
y f x
xác định trên
khoảng
;ab
và
0
;x a b
.
Hs
y f x
liên tục tại
0
x
0
0
lim
xx
f x f x

00
0
lim lim
x x x x
f x f x f x


+ Hàm số
y f x
liên tục trên
1 khoảng khi nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó.
“Đồ thị hs liên tục trên 1 khoảng
là một đường liền nét trên
khoảng đó”.
+Hs
y f x
liên tục trên
đoạn
;ab
nếu nó liên tục
trên khoảng
;ab
và
lim
xa
f x f a
;
lim
xb
f x f b
.
14. +Hàm số đa thức liên
tục trên .
+Hàm số phân thức hữu tỉ
và các hàm lượng giác liên
tục trên từng khoảng xác
định của chúng.
15.Cho hs
y f x
và
y g x
liên tục tại
0
x
. Khi
đó:
+ Các hs
y f x g x
;
.y f x g x
liên tục tại
0
x
.
+Hs
fx
y
gx
liên tục tại
0
x
nếu
0
0gx
.
16. Nếu hs
y f x
liên
tục trên
;ab
và
.0f a f b
thì pt
0fx
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
khoảng
;ab
.
17.Đạo hàm
Cho hs
y f x
xác định trên
;ab
và
0
;x a b
. Nếu tồn tại
0
0
0
lim
xx
f x f x
xx
hữu hạn thì
0
0
00
0
' ' lim
xx
f x f x
y x f x
xx

18. Định lí: Nếu hs
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên
tục tại điểm đó.
19. Pt tiếp tuyến của đths
y f x
tại điểm
00
;M x y
là:
0 0 0
'y f x x x y
+
0
x
là hoành độ tiếp điểm.
+
0
y
là tung độ tiếp điểm.
+
0
0
'
xx
d
f x f x
dx
là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý: cho đt d:
y ax b
.
+Tiếp tuyến vuông góc d
0
1
'fx
a

+Tiếp tuyến //d
0
'f x a
(Tìm
0
x
, viết pttt, loại tt
d
)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 22
Face: viethieu220284
20. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm sơ cấp
󰆒

󰇛
󰇜
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰆒

󰆒



󰆒
󰆒

󰇛
󰇜
󰆒
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰆒

󰆒
󰆒



󰇛
󰇜
󰆒
(C là hằng số)
󰇛
󰇜
󰆒

󰇡
󰇢
󰆒
󰆒
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒
󰆒
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒
󰆒
󰆒
󰇛
󰇜
󰆒
󰆒
(k là hằng số)
󰇛

󰇜
󰆒

󰇛

󰇜
󰆒

󰇛

󰇜
󰆒




󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰆒


󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒

󰇛

󰇜
󰆒
󰆒

󰇛

󰇜
󰆒
󰆒

󰆒
󰇛 
󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰆒

󰆒


󰆒
󰇛 
󰇜
󰇛

󰇜
21. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Xét chuyển động thẳng có pt quãng
đường chuyển động theo thời gian t
là
s s t
(Với
s s t
là hàm số có
đạo hàm cấp hai).
+Vận tốc tức thời của chuyển động tại
thời điểm
0
t
là
00
'v t s t
+ Gia tốc tức thời của chuyển động tại
thời điểm
0
t
là
00
''a t s t
.
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛 󰇜
󰇛

󰇜
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒



󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒



󰇛

󰇜
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛 󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒



󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰆒
󰆒



󰇛

󰇜
22.Vi phân: Cho hs
y f x
xác
định trên
;ab
và có đạo hàm tại
;x a b
. Giả sử
x
là số gia của x.
Vi phân của hàm số
y f x
tại x ứng
với số gia
x
là:
'.
x
dy df x f x
23. Ứng dụng vi phân tính gần
đúng:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
24. Đạo hàm cấp n:
1nn
f x f x


Đặc biệt:
22
( ) ( )
ab
cd
ax b ad bc
cx d cx d cx d
2
22
22
2
2
( ) ( )
bc
adx aex
de
ax bx c adx aex be dc
dx e dx e dx e
2
2
2 2 2
2
()
a b a c b c
xx
d e d f e f
ax bx c
dx ex f dx ex f
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛󰇜
󰇛
󰇜
23.Ứng dụng vi phân tính gần
đúng giá trị của
3,99
.
Xét hàm số
,0y x x
và
0
4x
0
0,01
x
là số gia của
0
4x
.
1
'
2
y
x
. Ta có công thức tính gần đúng
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
3,99 4 0,01 4 ' 4 . 0,01f f f
Vậy:
1
3,99 4 . 0,01 1,9975.
24
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Zalo 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 23
XII.TẬP HỢP, HÀM SỐ, PT, BẤT PT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC
1. Giao của 2 tập hợp
A B x x A va x B
xA
x A B
xB
2. Hợp của 2 tập hợp
A B x x A hoac x B
xA
x A B
xB
3. Hiệu của 2 tập hợp
\A B x x A va x B
\
xA
x A B
xB

+ Khi
BA
thì
\AB
đgl
phần bù của B trong A, kí
hiệu
\
A
C B A B
4. Các tập hợp số
+ Tập hợp các số tự nhiên
0;1;2;3;4;...
*
1;2;3;4;...
+Tập hợp các số nguyên
...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...
+Tập hợp các số hữu tỉ
; ; 0
m
m n n
n



+Tập hợp các số thực
+ Tập hợp các số phức
2
, ; 1a bi a b i
5. Các tập con thường gặp
của :
+ Khoảng
;a b x a x b
;a x x a
;b x x b
+ Đoạn
;a b x a x b
+ Nữa khoảng
;a b x a x b
;a b x a x b
;a x x a
;b x x b
6. Tập xác định của hàm số
y f x
là tập hợp tất cả số
thực x sao cho biểu thức
fx
có nghĩa.
+Chú ý: A, B là hai đa thức
A
xác định
0A
A
B
xác định
0B
A
B
xác định
0B
7. Hs
y f x
đgl hàm đồng
biến trên khoảng
;ab
nếu
12
;;x x a b
thỏa
12
xx
12
f x f x
.
+Hs
y f x
đgl hàm
nghịch biến trên khoảng
;ab
nếu
12
;;x x a b
thỏa
12
xx
12
f x f x
.
8. Hs
y f x
với tập xác
định D gọi là hàm số chẵn
nếu
xD
thì
xD
và
f x f x
.
Hs
y f x
với tập xác định
D gọi là hàm số lẻ nếu
xD
thì
xD
và
f x f x
.
+Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy
làm trục đối xứng
(Đths
2
yx
)
+ Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm
tâm đối xứng.
(Đths
3
yx
)
9. Hs bậc nhất
0y ax b a
+ Txđ:
D
+
0a
: hs đồng biến trên
+
0a
: hs nghịch biến trên
+ Đths là 1 đường thẳng d đi
qua 2 điểm
0; , 1;A b B a b
.
(
a
là hệ số góc của đường
thẳng d:
y ax b
)
10.Đths hằng
yb
là một đt
vuông góc Oy tại
0;Ab
11.Hsbậc 2:
2
0y ax bx c a
+ Txđ:
D
+
0a
: hs nb trên
;
2
b
a




Hs đb trên
;
2
b
a




.
+
0a
: hs đb trên
;
2
b
a




Hs nb trên
;
2
b
a



.
+Đths bậc 2 là 1 đường
parabol có đỉnh
;
24
b
I
aa




, trục đối xứng
2
b
x
a

.
12.Pt
0ax b
+pt có no duy nhất
0a
(No duy nhất
b
x
a

)
+Pt có vô số no
0
0
a
b
+Pt có vô no
0
0
a
b
13. Định lí Viet
0a
+Nếu ptb2
2
0ax bx c
có 2 no
12
;xx
thì
12
b
xx
a
và
12
.
c
xx
a
Chú ý:
2
22
1 2 1 2 1 2
2x x x x x x
3
33
1 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x
2
2
1 2 1 2 1 2
4x x x x x x
12
xx
a

14.
0B
AB
AB
AB


+
AB
AB
AB


+
0
0
A khi A
A
A khi A

+
2
0B
AB
AB

+
00B or A
AB
AB


Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 24
15.Pt bậc 2
2
00ax bx c a
+Pt có nghiệm
0
+Pt vô nghiệm
0
+Pt có 2 no pb
0
+Pt có nghiệm kép
0
+Pt có 2 no dương pb
12
12
0
0
.0
b
S x x
a
c
P x x
a

+Pt có 2 no âm pb
12
12
0
0
.0
b
S x x
a
c
P x x
a

+Pt có 2no trái dấu
0ac
+pt có 2 no pb
12
;xx
thỏa
12
xx

12
0
0xx


+pt có 2 no pb
12
;xx
thỏa
12
xx

12
12
0
0
0
xx
xx



+pt có 2 no pb
12
;xx
thỏa
12
xx

12
12
0
0
0
xx
xx



16.Tính chất đẳng thức
17.Bđt Cauchy
+
,0ab
thì
2
ab
ab
(Dấu “=” xảy ra
ab
)
+
1 1 4
, , 0ab
a b a b
+
1 1 1 9
, , , 0abc
a b c a b c

+
, , 0abc
thì
3
3
abc
abc

(Dấu “=” xảy ra
abc
)
18.Bđt Bunhiacopxki
+
2
2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z
, , , , ,a b c x y z
Dấu “=” xảy ra khi
a b c
x y z

+
2
22
, , 0; ;
xy
xy
a b x y
a b a b
Dấu “=” xảy ra
xy
ab
+
2
22
,,
22
x y x y
xy




18.Nhị thức bậc nhất
0f x ax b a
“phải cùng, trái trái”
19.Tam thức bậc hai
2
0f x ax bx c a
+
0
(Pt
0fx
vô no)
+
0
(pt
0fx
có
nghiệm kép
2
b
x
a

)
+
0
(pt
0fx
có
nghiệm 2no pb
1 2 1 2
;x x x x
)
“Trong trái,ngoài cùng”
20. Tam thức không đổi dấu
2
0f x ax bx c a
+
0
0,
0
a
f x x

0
0,
0
a
f x x

0
0,
0
a
f x x

0
0,
0
a
f x x

21.
2
0
0
A
A B B
AB
+
2
0
0
A
A B B
AB
+
0A
AB
AB

+
0A
AB
AB

+
2
0
0
0
B
A
AB
B
AB

+
2
0
0
0
B
A
AB
B
AB

+
22
A B A B
0A B A B
+
22
A B A B
0A B A B
+
AB
AB
AB


+
AB
AB
AB


+
AB
AB
AB


+
AB
AB
AB


22. Trong mp Oxy, tập hợp các
điểm có tọa độ là no của bpt
ax by c
đgl miền nghiệm
của nó.
+ Quy tắc biểu diễn miền
nghiệm của bpt
ax by c
B1: Vẽ đt
:ax by c
B2: Lấy 1 điểm
0 0 0
;M x y
không thuộc
.
B3. Tính
00
ax by
và so sánh
00
ax by
với c.
B4. KL: Nếu
00
ax by c
thì
nữa mp bờ
chứa M
0
là miền
no của bpt
ax by c
.
+ Nếu
00
ax by c
thì nữa mp
bờ
không chứa M là miền no
của bpt
ax by c
23. Thống kê
+Tần số n, tần suất f
+Biểu đồ hình cột, hình quạt,
đường gấp khúc.
+Số trung bình cộng
x
1 1 2 2
...
kk
n x n x n x
x
n
1 1 2 2
...
kk
f x f x f x
(
;
ii
nf
lần lượt là tần số, tần
suất của giá trị
i
x
)
+
12
...
k
n n n n
là số
các số liệu thống kê.
1 1 2 2
...
kk
n c n c n c
x
n
1 1 2 2
...
kk
f c f c f c
(
;;
i i i
n f c
lần lượt là tần số,
tần suất, giá trị đại diện của
lớp ghép thứ i
+
12
...
k
n n n n
là số
các số liệu thống kê)
+ Số trung vị
e
M
Sắp các số liệu thống kê
thành 1 dãy không giảm
(hoặc không tăng). Số trung
vị của các số liệu thống kê
đã cho là số đứng giữa dãy
nếu số phần tử là lẻ và trung
bình cộng của 2 số đứng
giữa dãy nếu số phần tử là
chẵn.
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 25
+Mốt của một bảng phân bố
tần số là giá trị có tần số lớn
nhất và được kí hiệu là
O
M
.
+Phương sai của dãy số liệu
22
11
2
...
kk
n x x n x x
s
n
22
11
...
kk
f x x f x x
+
22
11
2
...
kk
n c x n c x
s
n
22
11
...
kk
f c x f c x
+Độ lệch chuẩn:
2
ss
.
24. Độ và radian:
0
180rad
25. Cung có số đo
rad
của
đường tròn bán kính R có độ
dài là:
lR
.
26.CT lượng giác cơ bản
22
sin cos 1xx
sin
tan cos 0
cos
x
xx
x

cos
cot sin 0
sin
x
xx
x

2
2
1
1 tan cos 0
cos
xx
x
2
2
1
1 cot sin 0
sin
xx
x
tan .cot 1 (sin2 0)x x x
27.Cos đối, sinbù, phụ chéo
+
cos cosxx
(cos đối)
sin sinxx
tan tanxx
cot cotxx
+
sin sinxx

(sin bù)
cos cosxx
tan tanxx
cot cotxx
+
sin cos
2
xx




(phụ chéo)
cos sin
2
xx




tan cot
2
xx




cot tan
2
xx




+
tan tanx k x k
cot cotx k x k
sin
sin
sin
x khi k chan
xk
x khi k le

cos
cos
cos
x khi k chan
xk
x khi k le

+
sin sin sinx x x
cos cosxx
tan tanxx
cot cotxx
+
sin cos
2
xx




cos sin
2
xx



tan cot
2
xx



cot tan
2
xx



28. Công thức cộng
sin sin .cos sin .cosa b a b b a
sin sin .cos sin .cosa b a b b a
cos cos .cos sin .sina b a b a b
cos cos .cos sin .sina b a b a b
tan tan
tan
1 tan .tan
ab
ab
ab

tan tan
tan
1 tan .tan
ab
ab
ab

29.CT nhân đôi
sin2 2sin .cosx x x
22
cos2 cos sinx x x
22
2cos 1 1 2sinxx
Áp dụng:
sin 4 2sin 2 .cos2x x x
sin 2sin .cos
22
xx
x
22
cos6 cos 3 sin 3x x x
22
2cos 3 1 1 2sin 3xx
22
cos cos sin
22
xx
x 
22
2cos 1 1 2sin
22
xx
30. CT hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
x
x
2
1 cos2
cos
2
x
x
2
1 cos2
tan
1 cos2
x
x
x
31.CT nhân 3
3
cos3 4cos 3cosx x x
3
sin3 3sin 4sinx x x
32.CT bđ tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
22
u v u v
uv


cos cos 2sin .sin
22
u v u v
uv

sin sin 2sin .cos
22
u v u v
uv


sin sin 2cos .sin
22
u v u v
uv


33.CT BĐ tích thành tổng
1
cos .cos cos cos
2
a b a b a b


1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b


1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b


34.CT
tan .
2
x
t
2
2
tan
1
t
x
t
2
2
sin
1
t
x
t
2
2
1
cos
1
t
x
t
35.CT đặc biệt
sin cos 2sin
4
x x x



2 cos
4
x




sin cos 2 sin
4
x x x



2 cos
4
x



4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cosx x x x
2
1 3 1
1 sin 2 cos4
2 4 4
xx
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cosx x x x
2
3 5 3
1 sin 2 cos4
4 8 8
xx
36. Pt
sin xa
+ Pt
sin xa
có nghiệm
1 1 1aa
+Pt
sin xa
vô nghiệm
1
1
1
a
a
a

2
sin sin
2
u v k
u v k
u v k


00
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
uk
u
uk


sin 1 1
arcsin 2
arcsin 2
u a a
u a k
k
u a k



+Đb:
sin 0u u k k
sin 1 2
2
u u k k
sin 1 2
2
u u k k
37.PT
cosxa
+ Pt
cosxa
có nghiệm
1 1 1aa
+Pt
cosxa
vô nghiệm
1
1
1
a
a
a

2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k

00
0
00
360
cos cos
360
uk
u
uk


cos 1 1
arccos 2
arccos 2
u a a
u a k
k
u a k


+Đb:
cos 0
2
u u k k
cos 1 2u u k k
cos 1 2u u k k

38.PT
tan xa
+Đk
cos 0x
.
tan tanu v u v k
0 0 0
tan tan 180u u k

tan arctanu a u a k k
39.PT
cot xa
+Đk
sin 0x
.
cot cotu v u v k
0 0 0
cot cot 180u u k

cot arccotu a u a k k
40. Pt
sin cosa x b x c
+Pt có nghiệm
222
a b c
+Pt vô nghiệm
222
a b c
+PP giải khi
222
a b c
:
B1: Chia 2 vế cho
22
ab
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
xx
a b a b a b

22
sin
c
x
ab
(*)
Với
22
cos
a
ab
22
sin
b
ab
B2: Giải (*).
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 26
41.Giải pt đẳng cấp bậc 2 đối
với sinx và cosx
22
sin sin .cos cosa x b x x c x d
B1: Kiểm tra
cos 0x
thỏa pt
hay ko. Nếu
cos 0x
thỏa thì
KL
2
x k k
là no của
pt. Nếu
cos 0x
ko thỏa, ta
chuyển B2.
B2: Xét
cos 0x
. Chia 2 vế pt
cho
2
cos x
ta được pt:
22
tan tan 1 tana x b x c d x
Giải pt trên.B3: Kết luận B1+B2.
VdGiải
22
cos 3sin2 1 sinx x x
+ Ta có:
cos 0x
ko thỏa pt.
+Xét
cos 0x
, chia 2 vế pt
cho
2
cos x
ta được pt:
2
2
1
1 2 3 tan tan
cos
xx
x
2
tan 3tan 0xx
tan 0
tan 3
3
xk
x
xk
x


Vậy no của pt là
;
3
x k x k k

42.Hàm số
sinyx
+TXĐ:
D
+Tập giá trị:
1;1
+Hs
sinyx
tuần hoàn
chu kì
2T
.
+Đồ thị hs
sinyx
:
43.Hàm số
cosyx
+TXĐ:
D
+Tập giá trị:
1;1
+Hs
cosyx
tuần hoàn chu
kì
2T
.
+Đồ thị hs
cosyx
:
44. Hàm số
tanyx
+TXĐ:
\,
2
D k k



+Tập giá trị:
+Hs
tanyx
tuần hoàn chu kì
T
.
+Đồ thị hàm số
tanyx
:
45. Hàm số
cotyx
+TXĐ:
\,D k k
+Tập giá trị:
+Hs
cotyx
tuần hoàn chu
kì
T
.
+Đồ thị hàm số
cotyx
:
46.
2
sin 1 cos 1 cosx x x
2
cos 1 sin 1 sinx x x
sin
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab

sin
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab


44
cos sin cos2x x x
2
1 sin2 sin cosx x x
2
1 sin2 sin cosx x x
2
1 cos2
cot
1 cos2
x
x
x
3
cos3 3cos
cos
4
xx
x
3
3sin sin3
sin
4
xx
x
47.Hệ thức lượng tam giác V
ABC
vuông tại A, đường
cao AH.
2 2 2
BC AB AC
2
.AB BH BC
;
2
.AC CH CB
2
.AH BH CH
..AH BC AB AC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC

22
.AB AC
AH
AB AC
sin
AC
B
BC
cos
AB
B
BC
tan
AC
B
AB
cot
AB
B
AC
48.Hệ thức lượng trong
ABC
;;AB c AC b BC a
Độ dài trung tuyến AM;BN;CP
được kí hiệu LLL
;;
abc
m m m
+Định lí Cosin
2 2 2
2 .cosa b c bc A
2 2 2
2 .cosb a c ac B
2 2 2
2 .cosc a b ab C
+
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc

2 2 2
cos
2
a c b
B
ac

2 2 2
cos
2
a b c
C
ab

+Định lí sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
(R: bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC).
+ Độ dài trung tuyến
2 2 2
2
2
4
a
b c a
m

2 2 2
2
2
4
b
a c b
m

2 2 2
2
2
4
c
a b c
m

+Diện tích tam giác ABC
1 1 1
. . .
2 2 2
ABC a b c
S a h b h c h
(
;;
abc
h h h
LLL độ dài đường cao
ABC
kẻ từ đỉnh A, B,C)
4
ABC
abc
S
R
ABC
S pr
(Với
2
abc
p

là nữa chu
vi
ABC
)
r: bán kính đường tròn nội
tiếp
ABC
.
11
.sin .sin
22
1
.sin
2
ABC
S ab C ac B
bc A

ABC
S p p a p b p c
(CT Herong)
49.Ứng dụng đo đạc
BT1. Đo chiều cao của tháp
mà không đến được chân
tháp.
Giả sử
CD h
là chiều cao
của tháp trong đó C là chân
tháp. Chọn 2 điểm A,B trên
mặt đất sao cho ba điểm
A,B và C thẳng hàng. Ta đo
khoảng cách AB và các góc


. Chẳng hạn ta
đo được
24AB m
;

0
63


0
48

Áp dụng ĐL sin vào
ABD
:
sin sin
AD AB
D
0
15D

0
0
.sin 24.sin48
68,91
sin sin15
AB
AD
D
Trong tam giác vuông ACD :
.sin 61,4h CD AD m
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 27
XIII. VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG,
XIV.HÌNH OXY
1.Vectơ là 1 đoạn thẳng có
hướng.
+ Giá của vectơ là đường
thẳng đi qua điểm đầu và
điểm cuối của vectơ đó.
+Hai vectơ đgl cùng
phương nếu giá của chúng
song song hoặc trùng nhau.
+
AB
cùng phương, cùng
hướng với
CD
+
PQ
cùng phương, ngược
hướng với
RS
.
+Khoảng cách giữa điểm
đầu và điểm cuối của vectơ
là độ dài của vectơ.
AB AB
2. Hai vectơ
a
và
b
đgl bằng
nhau nếu chúng cùng hướng
và cùng độ dài, kí hiệu
ab
.
Với hbh ABCD có tâm O, ta có:
AB DC
;
AD BC
AO OC
;
OD BO
+Vectơ không là vectơ có
điểm đầu và cuối trùng nhau.
+ Vectơ không cùng phương,
cùng hướng với mọi vectơ.
+
0AA BB
3. Quy tắc tổng hiệu 2 vectơ
+QT 3 điểm:
AB BC AC
+QT trừ:
AB AC CB
+QT hbh: Nếu ABCD là hình
bình hành thì
AB AD AC
4.Tính chất phép toán vectơ
Với 3 vectơ
a
;
b
;
c
tùy ý,
với mọi số h,k ta có:
a b b a
a b c a b c
00a a a
k a b ka kb
h k a ha ka
h ka hk a
1aa
;
1 aa
5. Vectơ đối
Cho
a
. Vectơ có cùng độ dài
và ngược hướng với
a
đgl
vectơ đối của
a
, kí hiệu
a
AB BA
6.Trung điểm đoạn thẳng AB
+
I
là trung điểm AB
0IA IB
2MA MB MI
7.Trọng tâm
ABC
+ G là trọng tâm
ABC
0
3
GA GB GC
MA MB MC MG
(M tùy ý)
8. Đk cần và đủ để
a
và
b
0b
cùng phương là có 1
số k để
.a k b
.
9.Cho 3điểm phân biệt A,B,C
+ A,B,C thẳng hàng
AB
cùng phương
AC
0AB k AC k
10.Tích vô hướng 2vectơ
. . .cos ;ab a b a b
+ Nếu
0; 0ab
thì:
.0a b a b
+Bình phương vô hướng
của
a
là:
2
2
aa
2
2
AB AB
11. Tính chất tích vô hướng
Với 3 vectơ
a
;
b
;
c
tùy ý,
với mọi số k ta có:
..ab ba
. . .a b c ab a c
. . . .ka b k a b a kb
2
2
0aa
2
00aa
12.Hệ trục tọa độ Oxy
1;0 , 0;1ij
1 2 1 2
; . .a a a a a i a j
Điểm
; . .
M M M M
M x y OM x i y j
+ Cho
1 2 1 2
; ; ;u u u v v v
1 1 2 2
;u v u v u v
1 1 2 2
;u v u v u v
12
. ; ,k u ku ku k
11
22
uv
uv
uv

+
u
và
v
0v
cùng phương
11
22
u kv
u kv k
u kv
13. Trong mp Oxy, cho tam
giác ABC có
;
AA
A x y
;
; ; ;
B B C C
B x y C x y
+
;
B A B A
AB x x y y
+ I là trung điểm AB
2
2
AB
I
AB
I
xx
x
yy
y
+G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y


22
B A B A
AB x x y y
.
cos cos ;
.
AB AC
BAC AB AC
AB AC

14.Tích vô hướng trong Oxy
Cho
1 2 1 2
; ; ;a a a b b b
+
1 1 2 2
.ab a b a b
+
22
12
a a a
+Góc giữa 2 vectơ
;0ab
:
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos ;
.
.
a b a b
ab
ab
ab
a a b b

15. Đường thẳng trong Oxy
+
u
đgl vectơ chỉ phương
của đường thẳng
nếu
0u
và giá của
u
song song
hoặc trùng
.
+
u
là 1 vtcp của
thì
.0k u k
là vtcp của
.
+
n
đgl vectơ pháp tuyến
của đường thẳng
nếu
0u
và giá của
u
vuông góc
.
+
n
là 1 vtpt của
thì
.0k n k
là vtpt của
.
+Cho đường thẳng
đi qua
điểm
0 0 0
;M x y
và có 1 vtcp
12
;u u u
. Pt tham số của
là:
01
02
x x u t
t
y y u t


+
có 1 vtcp
1 2 1
; , 0u u u u
thì
có hệ số góc
2
1
u
k
u
.
+Cho đường thẳng
đi qua
điểm
0 0 0
;M x y
và có 1 vtpt
;n a b
. Pt tổng quát của
là:
00
0a x x b y y
+Đt
có 1vtcp
12
;u u u
thì
có 1vtpt
21
;n u u
.
+Đt
có 1vtpt
;n a b
thì
có 1vtcp
;u b a
.
+ Đt
có hệ số góc k thì
có 1vtcp
1;uk
và 1
vtpt
;1nk
.
+Đt
có hệ số góc k thì pt
có dạng:
y kx m
+Trục Ox:
0.y
+Trục Oy:
0.x
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 28
16.Đt đặc biệt trong Oxy
Đường thẳng
:0ax by c
+
0c
:
đi qua gốc O(0;0).
+
0a
:
//Ox
hoặc
Ox
.
+
0b
:
//Oy
hoặc
Oy
.
17. Đường thẳng
đi qua
hai điểm
;0Aa
và
0;Bb
với
,0ab
. Pt đt
:1
xy
ab
.
18. VTTĐ của 2 đt
Cho 2 đt
1 1 1 1
:0a x b y c
và
2 2 2 2
:0a x b y c
+Xét hệ:
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
I
a x b y c
+(I) có 1 no duy nhất
00
;xy
Thì
12
;
cắt nhau tại
0 0 0
;M x y
+(I) có vô số no thì
12
+(I) vô nghiệm thì
12
//
Đặc biệt: Nếu
2 2 2
; ; 0a b c
thì
+
1
cắt
2
11
22
ab
ab

.
+
12
//
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
+
12
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
19.Góc giữa 2đt
Cho 2 đt
1 1 1 1
:0a x b y c
và
2 2 2 2
:0a x b y c
1
có 1vtpt
1 1 1
;n a b
2
có 1vtpt
2 2 2
;n a b
Góc giữa 2đt
12
;
tính bởi:
12
1 2 1 2
12
2 2 2 2
12
1 1 2 2
.
cos ;
.
.
nn
a a bb
nn
a b a b

1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0n n a a bb
+Nếu
1 1 1
: y k x m
2 2 2
: y k x m
1
có 1vtpt
11
;1nk
2
có 1vtpt
22
;1nk
1 2 1 2 1 2
. 0 . 1n n k k
20.Khoảng cách từ điểm
0 0 0
;M x y
đến đt
:0ax by c
00
0
22
;
ax by c
dM
ab


+ Khoảng cách giữa 2 đt song
song
11
:0ax by c
Và
2 2 2 1
:0ax by c c c
12
12
22
;
cc
d
ab
21.Đường tròn (C) có tâm
;I a b
và có bk R. Pt đường
tròn (C):
22
2
x a y b R
+Pt đường tròn (C):
22
2 2 0x y ax by c
22
0a b c
. Đt (C) có tâm
;I a b
và bk
22
R a b c
22.VTTĐ giữa đường tròn (C)
và đường thẳng
:0ax by c
(C) có tâm
;I a b
và bk R.
+
;d I R
:
ko cắt (C).
+
;d I R
:
tiếp xúc (C)
+
;d I R
:
cắt (C) tại 2
điểm phân biệt A, B.
Gọi H là hcvg của I trên
.
H là trung điểm của AB.
22
2 2 ;AB HB R d I
23.Tiếp tuyến của đường
tròn (C) có tâm
;I a b
, bk R,
tại điểm
0 0 0
;M x y
là
.
+
đi qua
0 0 0
;M x y
và có 1
vtpt
0 0 0
;IM x a y b
+Pt
:
0 0 0 0
0x a x x y b y y
24. Trong mp cho hai điểm
cố định
12
;FF
và một độ dài
không đổi
2a
, lớn hơn
12
FF
.
Elip là tập hợp các điểm M
trong mp thỏa:
12
2MF MF a
+2 điểm
12
;FF
là 2 tiêu điểm
của Elip. Độ dài
12
2FF c
là
tiêu cự của Elip.
25.PT chính tắc của Elip (E):
22
22
10
xy
ba
ab
2 2 2
c a b
0 ca
22
c a b
+Tiêu điểm:
12
;0 , ;0F c F c
+Tiêu cự:
12
2F F c
+4 đỉnh:
12
;0 , ;0A a A a
12
0; , 0;B b B b
+Độ dài trục lớn:
12
2A A a
+Độ dài trục nhỏ:
12
2B B b
+Đường thẳng
:0Ax By C
tiếp xúc (E) khi
2 2 2 2 2
A a B b C
26.Dấu hiệu nhận biết hình
bình hành:
+Tứ giác có các cặp cạnh đối
song song là hbh.
+Tứ giác có các cặp cạnh đối
bằng nhau là hbh.
+Tứ giác có hai cạnh đối
song song và bằng nhau là
hbh.
+Tứ giác có các góc đối bằng
nhau là hbh.
+Tứ giác có hai đường chéo
cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường là hbh.
27.Dấu hiệu nhận biết hcn
+Tứ giác có 3góc vuông là hcn
+Hình thang cân có 1 góc
vuông là hình chữ nhật.
+Hình bình hành có 1 góc
vuông là hình chữ nhật.
+Hình bình hành có 2 đường
chéo bằng nhau là hcn.
28.Dấu hiệu nhận biết hình
vuông
+Hcn có hai cạnh kề bằng
nhau là hình vuông.
+Hình chữ nhật có hai đường
chéo vuông góc là h.vuông.
+HCN có một đường chéo là
đường phân giác của một góc
là hình vuông.
+Hình thoi có 1 góc vuông là
hình vuông.
+Hình thoi có hai đường chéo
bằng nhau là hình vuông.
29.Dấu hiệu nhận biết hình
thoi
+Tứ giác có 4 cạnh bằng
nhau là hình thoi.
+Hình bình hành có hai cạnh
kề bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai
đường chéo vuông góc là
hình thoi.
+Hình bình hành có một
đường chéo là đường phân
giác của một góc là hình thoi.
30. Cho tam giác ABC. Gọi
D,E lần lượt là chân đường
phân giác trong và ngoài của
góc A của
ABC
. Ta có:
AB DB
AC DC
;
AB EB
AC EC
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguy
ễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 29
G. Polya (1887-1985)
Giải một bài toán như thế nào?
Theo G.Polya giải toán không chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số của lời giải, mà “Giải
bài toán” là bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải, tìm mối liên hệ
mật thiết giữa giả thiết kết luận, giải toán và tìm hướng phát triển cho lời giải.
4 bước giải toán theo G.Polya: 1.Understand, 2.Plan, 3.Solve, 4.Check.
1. UNDERSTAND
Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn điều kiện bài toán hay
không? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu
thuẫn?
Vẽ hình. Sử dụng kí hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành
công thức không?
2. PLAN
Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng được không?
Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn
tương tự.
Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không?
Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp? Có cần phải đưa
thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về định
nghĩa.
Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan.
Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng
quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần
bài toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được
xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ
kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể
giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hai nếu
cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau không?
Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
3. SOLVE
Khi thực hiện giải bạn hãy kiểm trạ lại từng bước giải.Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước
đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
4. CHECK
Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán
không?
Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả
không?
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán nào khác không?
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1. HÀM SỐ Trang 1
2. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT Trang 5
3. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Trang 9
4. SỐ PHỨC Trang 10
5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trang 11
6. KHỐI TRÒN XOAY Trang 13
7. KHÔNG GIAN OXYZ Trang 14
8. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 16
9. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang 18
10. ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 20
11. CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM Trang 22
12. TẬP HỢP, HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC Trang 24
13. VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG Trang 28
14. HÌNH OXY Trang 28
| 1/33
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN THPT Th.S Nguyễn Viết Hiếu BRVT 089908.3939 viethieu220284@gmail.com Face:viethieu220284 Zalo:089908.3939 LỜI TỰA
Tác giả xin cám ơn quý thầy cô, các em học sinh đọc và nghiên
cứu tài liệu. Tác giả viết tài liệu với mong muốn góp một phần nhỏ
giúp các em học sinh trong việc học môn Toán ở THPT. Thông qua tài
liệu tác giả cũng mong nhận được sự chia sẽ từ quý thầy cô giảng dạy.
Viết tài liệu trong thời gian ngắn, kinh nghiệm chưa nhiều nên không
thể tránh được thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của quý độc giả. Xuyên Mộc, 9/2021 Face: viethieu220284 I. HÀM SỐ
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1.Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 2.Tìm điều kiện , a , b c để hàm số 2 0 b 3ac 0 y
Cho K là khoảng, nữa khoảng hoặc đoạn và    3 2 y
f x ax bx cx d
3.Tìm điều kiện để hàm số
hàm số y f x xác định trên K.
đồng biến, nghịch biến trên   ax b f x
c  0;ad bc  0
+Định lí 1: Cho hàm số y f x có đạo f x 2 '
 3ax  2bx c cx d hàm trên K.
đồng biến, nghịch biến.
+Hs y f x đồng biến trên
-Nếu f ' x  0, x
 K thì hàm số đồng ad bc a b 0 f ' x  biến trên K. cx d2 c 0
-Nếu f ' x  0, x
 K thì hàm số nghịch  
f ' x  0, x   +Hs   ax b f x  đồng biến trên biến trên K. a 0 cx d
+Định lí 2: Cho hàm số y f x có đạo 0 từng khoảng xác định y hàm trên K. d
f 'x        + 0, x ad bc 0
Hs y f x nghịch biến trên
-Nếu f ' x  0, x
 K và f 'x  0 chỉ c a b 0 
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng +Hs   ax b f x  nghịch biến trên  biến trên K. c 0 cx d từng khoảng xác định
-Nếu f ' x  0, x
 K và f 'x  0 chỉ
f 'x  0, x   a 0 d
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch
f ' x  0, x
    ad bc  0 0 c biến trên K. y
4.Cho hs y f x liên tục trên  ;
a b . b/ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của +Hs   ax b f x
đb trên khoảng ;  cx d 1
m f x, x   ;
a b  m  max f x 3 tham số m để hs y x mx  5
f ' x  0, x
 ;  ad bc  0 a;b 5x    
m f x, x   ;
a b  m  min f x đồ d
ng biến trên khoảng 0; ?    d d  a;b ;  
  or      cc c
BT1a/Có bao nhiêu giá trị nguyên 1 2 y ' 3x m
của tham số m để hàm số 6 x +Hs   ax b f x  nb trên khoảng  ;    cx d x  2 Hs đb trên khoả y
đồng biến trên khoảng ng 0;  
f ' x  0, x   ;
   ad bc  0 x 5m
y ' 0, x 0;     5m  2 d    y '  , x  5  m 1    d  ( ; 10) ? ;        2 m 3x , x 0;  x5m2 cc 6 x  Hs đồng biến trên ( ;  1  0) +   Hs   ax b f x
đồng biến trên ;  1 2  m  max 3  x cx d    y '  0, x  ( ;  10)    6 0;  x    
f ' x  0, x
 ; ad bc  0       5m ( ; 10) m 4 .   d    
KL: 4 số nguyên âm m thỏa.    d d ; 
  or     5m 2 0 2       cc c m 2  5  m  10  5
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 5.Cực trị của hàm số
+Định lí 1: Nếu hàm số y f x có
+Cho hs y f x đạt cực đại tại x x0
đạo hàm trên khoảng  ; a b và đạt x x
0 là điểm cực đại của hàm số y f x
cực trị tại x  ;
a b thì f ' x  0 . 0  0  
y f x là giá trị cực đại (cực đại) của hs. 0  0
+Định lí 2: Giả sử hs y f x liên
M x ; y là điểm cực đại của đths y f x . 0  0 0 
tục trên khoảng K  x  ; h x h 0 0 
+Cho hs y f x đạt cực tiểu tại x x2
và có đạo hàm trên K hoặc trên x x
K \ x , với h 0 . 0
2 là điểm cực tiểu của hàm số y f x
y f x là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hs. 2  2
M x ; y là điểm cực tiểu của đths y f x . 2  2 2  Face: viethieu220284 Trang 1
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Định lí 3: Cho hàm số y f x có đạo
6. Cực trị hàm số bậc 3  A  0 +Hs có 2 điểm cực trị
hàm cấp 2 trên khoảng  y '
0 có hai nghiệm phân biệt ; a b và    3 2 y
f x Ax Bx Cx D a 0 A 0 x  ; a b . f ' x 2    0   3Ax 2Bx C 2 0 𝑓′(𝑥 y ' B 3AC 0 Nếu 2 {
0) = 0 thì hàm số y f x
ax bx c 𝑓′′(𝑥0) > 0 +Hs ko có cực trị 0 y '
đạt cực tiểu tại x . 0
+ Đths có 2 đ.cực trị nằm về 2 phía Oy 𝑓′(𝑥 Nếu y '
0 có hai nghiệm trái dấu {
0) = 0 thì hàm số y f x 𝑓′′(𝑥0) < 0 . a c 0
đạt cực đại tại x . 0
+Đths bậc 3 có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox A 0 A 0
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
+ Pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị  b     b   
8.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hs
B1. Tìm đk hs có 2 điểm cực trị. B   ;     , C  ;    
+Cho hàm số y f x xác định trên
B2. C1: Lấy y chia cho y’ ta được 2a 4a   2a 4a   tập hợp D.
thương là qx và dư là rx  mx n với 2
  b  4ac .
- Số M đgl giá trị lớn nhất của hs
Ptđt đi qua 2 điểm cực trị: y mx n
y f x trên D nếu
C2: Ptđt đi qua 2 điểm cực trị của  f   x    đths: M , x D Th.  . S N
x D : f x M  0  0 
y f x
f ' x. f '  x  gu y 18A ễ
Kí hiệu: M  max f n x .
7.Cực trị hàm trùng phương D Viết
-Số m đgl giá trị nhỏ nhất của hs
𝑦 = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) H iế
y f x trên D nếu 3 3
y ax bx x  2 ' 4 2 2 2ax b u 089908. Đặt b 8a 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 𝛼, có cos   3  f
  x  m, x   D   x  0 b 8a  .  3939  x
  D : f x m  0  0  y '  0   5 b b 2 x  Diện tích S    ABC  bằng  3 2a 32a Th
Kí hiệu: m  min f x . . +Đths trùng phương -Tam giác ABC vuông cân S N D gu
+Định lí: Mọi hàm số liên tục trên 3
b 8a  0
yễn đoạn  ;ab đều có GTLN, GTNN trên -Tam giác ABC đều Viết đoạn đó. 3
b  24a  0 H i
+PP tìm GTLN, GTNN của hàm số ế
-Tam giác ABC có 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 1200 u 089908.
y f x liên tục trên đoạn  ; a b 3
 3b 8a  0
B1: Tính f 'x. Tìm x ;x ;...;x
-Tam giác ABC có bán kính đường 1 2 n 3939 tròn ngoại tiếp: thuộc khoảng  ;
a b thỏa f 'x  0 hay 3 A . B AC.BC b  8a
f ' x không xác định.
+Hs có 3 điểm cực trị  R   . a b  0 4S 8 a b
B2: Tính f a, f b, f x ,..., f x 1   n
( a,b trái dấu)
-Tam giác ABC có bán kính đường
+Hs có 1điểm cực trị 
B3: Tìm số lớn nhất M, số nhỏ nhất m . a b  0 tròn nội tiếp:
+Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm trong các số ở B2. 2  2S b
Kết luận: M  max f x , a  0   cực tiểu  a;b  r 3
AB BC AC   b   0 b
m  min f x 4 a 1 1  . a;b
+Hàm số có 1 điểm cực tiểu và hai  8a   
+Ta có thể sử dụng BBT để tìm a  0 +Tam giác ABC cân tại A, điểm cực đại   .
GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng. b   0 4 b  8ba b AB AC  ; BC  2 
+Khi hs có 3 điểm cực trị ( ab  0 ) thì 2 16a 2a Zalo: 089908.3939
đths có 3 điểm cực trị A0;c , Face: viethieu220284 Trang 2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
BT2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số +Đths nhất biến Đk: a 0  x  . f x 3
x  24x trên đoạn 2;19. 2   ax b f x
c  0;ad bc  0 có Thể tích khối hộp:  f x 2 '  3x  24 cx d
V  a  2x2 3 2 2      .x 4x 4ax a x
một đường tiệm cận ngang a y c f xx 2 2 '  0    a  a    x  2  2   2;19
Có V 12 x x     ,  2  6 
và một đường tiệm đứng d x . c
Ta có: f 2  40 ; f 19  6403 a
do đó V   0  x  10.Đồ thị hàm số f 2 2  3  2 2 6 +Đths bậc 3 3 2
y ax bx cx d a  0
Lập bảng biến thiên của hs V=V(x).
KL: min f x  3  2 2 .  2a a 2;19 maxV x 3  tại x  .
BT3: Cho một tấm nhôm hình vuông  a 0; 27   6  
cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn 2
hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm 9.Đường tiệm cận đứng, tiệm cận
nhôm lại như hình dưới đây để được ngang của đths y f x
một cái hộp không nắp. Tính cạnh của + y y là TCN của đths y f x nếu
hình vuông bị cắt sao cho thể tích của 0
thỏa ít nhất 1 trong hai đk: khối hộp lớn nhất. lim y y lim y y 0 x ; 0 x +Đường thẳng x x đgl tiệm cận 0
đứng của đths y f x nếu thỏa ít nhất 1 trong 4 đk: lim y ; lim y x x x x 0 0
Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt. lim y ; lim y x x0 x x0
+Đths trùng phương (7. Cực trị hstp)
PTTT của đths y f xtại điểm 12a/Dựa vào đths y
f (x) , biện luận ax b f x m +Đths theo m số nghiệm pt ( ) . f x 
c  0;ad bc  0
M x ; y là: y f 'x
x x y 0  0  0 0  0 cx d
Th. +Số no pt f (x) m là số giao điểm S N gu của đths y
f (x) và đth y m .
yễn +Lập BBT, vẽ đths y f (x) .
Viết +Dựa vào đths y f (x) biện luận. H iế BT5. Tìm m để pt 3 2x 6x m 0 u ad bc 0 ad bc 0 089908. có 1 nghiệm. ax  1
x là hoành độ tiếp điểm. BT4. Cho hs
+Số no pt đã cho là số giao điểm đths f x 
a,b,c  0 bx c  3939 3 y y 2x 6x và đt y m .
0 là tung độ tiếp điểm.
có bảng biến thiên như sau:
f 'x là hệ số góc của tiếp +Xét hs 3 y 2x 6x 0  2 y ' 6x 6 tuyến tại
M x ; y . 0 0  y ' 0 x 1
Cho đường thẳng d: y ax b  Lập BBT.
Tiếp tuyến có hệ số góc k Trong 3số , a ,
b c có bao nhiêu số dương? + pt 3 2x 6x m 0 có 1 nghiệm
f 'x k 0  -TCĐ: x 2 c 2b m 4 -TCN: y 1 a b
 Tiếp tuyến song song với đt d m 4
-Hs đồng biến trên từng khoảng xác
f 'x a (viết pttt kiểm tra song 0  1
12b/ Tìm tọa độ giao điểm của 2đths
song hay trùng d, nếu trùng loại) định: ac b 0 b 0
y f x; y gx 2 
Tiếp tuyến vuông góc với đt d KL:Trong 3 số , a ,
b c có 1 số dương.
B1: Lập pt hoành độ giao điểm của f  1 ' x   0   a
2đths: f xgx(*)
11.PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số
12.Tương giao của hai đồ thị hàm số
B2: PT(*) vô nghiệm, 2đths ko cắt nhau
PT(*) có n nghiệm pb x ;x ;...;x 1 2 n Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 3 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
KL: 2đths cắt nhau tại n điểm pb
 Pt hoành độ giao điểm của d và 13.Đặc biệt 𝐴 (C):
1(𝑥1; 𝑓(𝑥1)), … , 𝐴𝑛(𝑥𝑛; 𝑓(𝑥𝑛))
+Cho hàm số y f x đồng biến trên
BT6. Tìm m để đths ax b 2 kx m Ax Bx C 0 (5) khoảng  ;
a b và u,v ; a bf x 3 2
 2x mx mx  2 cắt trục Ox tại cx d
f u  f v  
ba điểm phân biệt.
 d cắt (C) tại hai điểm pb pt (5) u v
Giải: pt hoành độ giao điểm: d
f u  f v  u v có hai nghiệm pb khác . 3 2 2x mx mx 2 0 c
f u  f v  u v 𝑥 = 1  ↔ [
Khi d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
2𝑥2 + (2 − 𝑚)𝑥 + 2 = 0(∗)  𝑀(𝑥 +Cho hàm số y
f x nghịch biến
1; 𝑘𝑥1 + 𝑚), 𝑁(𝑥2; 𝑘𝑥2 + 𝑚) Ycbt
pt (*) có 2 nghiệm pb khác 1
với x ; x là hai nghiệm phân biệt của trên khoảng  ;
a b và u,v ; a b 1 2 m 2 . pt (5).
f u  f v  u v m 6 2 2 MN 1 k . x x 1 k .
f u  f v  u v
12c/Tương giao giữa đường thẳng d: 2 1 A
f u  f v  u v y kx m ax b và đths y
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 cx d
+Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn
m f x, x   ;
a b  m  min f x 1  xy log
 3xy x  2 y  4   a;b 3  ; a b. x 2 y
(Nếu tồn tại min f x ) a;b
log 3  3xy  3  3xy  log x  2y x  2y 3     3    
Pt f x  m có nghiệm trên ; a b
m f x, x   ;
a b  m  inf f x  *
min f x  m  max f x . a;b a;b a;b
(Nếu không tồn tại min f x )
Xét hàm số f t   log t t,t  0 . 3
m f x, x   ;
a b  m  max f x a;b a;b
BT7. Xét các số thực dương x, y thỏa Có f t  1 '  1  0, t   0 , nên
m f x, x   ;
a b  m  min f x   t ln 3 a;b 1 xy mãn log
 3xy x  2y  4 . Tìm 3
hs y f t  đồng biến trên 0;  .
+Cho hs y f x liên tục trên khoảng x  2y
*  f 33xy  f x  2y (𝑎; 𝑏).
giá trị nhỏ nhất P
của P x y . min
m f x, x   ;
a b  m  max f x (Câu 47 đề
 3  3xy x  2y  101, THPTQuốc Gia 2017) a;b  9 11 19 9 11 19 3 x
(nếu tồn tại max f x )    y   A. P B. Pa;b min 3x 2 9 min 9 
m f x, x   ;
a b  m  sup f x 3 x
Suy ra: P x   18 11  29 2 11  3 a;bC. PD. P  3x  2 min min
(nếu không tồn tại max f x ) 9 3   2 11 3 a;b
Giải: Đk: x  0, y  0, xy  1 P  . ĐA: D. min 3
BT8.Có bao nhiêu giá trị m nguyên để pt Đặt u  sin , x 1   u 1, có pt 3 3 3
m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm
m u  3u
thực? (Câu 35, Đề MH2018) ycbt  min  3
u  3u  m  max 3 u  3u  1  ;  1  1  ;  1 Giải: 2 m 2 3 3
m  3 m  3sin x  sin x  KL: 5 số nguyên m.
m3sin x 3 3
3 m 3sin x  sin x 3sin x BT9. Cho hs f x , hs y f 'x
f  3 m 3sin x   f sin x liên tục trên
và có đồ thị như hình
vẽ bên. Tìm tất cả m để bpt
(với f t  3
t  3t,t  ,
f x  x m nghiệm đúng với mọi f t  2 '
 3t  3  0, t   nên hs x  0; 2 .
Bpt f x  x m no đúng x  0; 2 f t  3
t  3t đồng biến trên )
Giải: Xét hs g x  f x  x, x 0;2
m g(x), x  0;2 3
m  3sin x  sin x
g ' x  f ' x 1  0, x  0;2
m f 2  2 3
m  sin x  3sin x
Hs y g x nghịch biến trên 0; 2 . Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 4 Face: viethieu220284
II.HÀM SỐ MŨ, HS LŨY THỪA, HS LOGARIT
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1.Lũy thừa mũ số nguyên a  n le + log .
b log c  log c 0  ,
a b  1;c  0 n n a b a Cho số thực 
a và số nguyên dương n a   a  n chan + 1  0  ,ab  1 n log b a  . a .
a ... .a (n thừa số a ) a log a
6.Tính chất lũy thừa với mũ số thực b  log c log a n 1 0 b b
0 ,a ,bc   a  
1 a  0 a a
Cho a,b  0; ,   . + a c 1 n  0 aa  0   a 1
2.Lũy thừa mũ số hữu tỉ    
a .a a    a    + log b b b b    a  . log log 1 2  a 1 a 2    m a b ;b 0  1 2  n m n a a  *
a  0, m ;n         
a   a  .
a b  a .b b   0   a 1
3. Điều kiện xác định n     A  * n  ; n  2 + 1 log log b log b       a a 1 a 2   a a b b ;b  0    2 1 2  + n chẵn: Điều kiện  A  0     b b   a  
+ n lẻ: Điều kiện A xác định   +Nếu + b b    a   0 1 log log a  1 thì  
a a     a       4. Phương trình n x b  * b 0; n   
+Nếu 0  a  1 thì  
a a          + n lẻ: n n
x b x b 1 a 7.Công thức logarit + log   b 0 1 log b   a a   + n chẵn: n
x b(b  0) Vô nghiệm.       +  b 0; 0
a b    log b 0  a 1;b  0  a n
x  0  x  0 0  a  1    a  
+ log b có điều kiện      b b     +   0 1 log log 0 : n n b
x b x   b a b  0  a a    b  0;     0 5. Tính chất n  * , n k  ; , n k  2
+ log 1  0; log a 1 0  a   1  a a +Chú ý: log b ; *   ; chẵn an a a
+ log a   0  a 1;  a  2 n .n n a b ab     n
log b  2log b0 a 1;b 0 a an b b log b + a a
b 0 a 1;b  0  2 log
b   2log b 0  a 1;b  0 a a
n a m n ma n k nk a a + log b log c b  0  ,
a c  1;b  0    a
Kí hiệu: log b logb lgb ; log b lnb log a 10 e c 8.Hàm số lũy thừa 
y x    9.Hàm số mũ x
y a 0  a   1  u  ln u   u  0 a/Txđ hs lũy thừa 
y x tùy thuộc  +TXĐ: u
+Tập giá trị: 0; (Vì x a  0, x   )   x x a  1 log  0
+HS đồng biến trên khi a  1 . x ln a
+HS nghịch biến trên khi 0  a 1 .  u  log u u a   0 + Đths mũ x
y a 0  a   1 u ln a   x  1 ln  (x  0) xu  ln u   u  0 u   xx a  1 log  0 x ln a
Trục Ox là TCN đths xu y a log u u a   0
b/Đạo hàm của hàm số lũy thừa + Đạo hàm hàm mũ: u ln a      0 a   x  1  .x    
+Đồ thị hs y log x 1 a x x ee u u ee .u     u  1
 .u  .u    x x a
a .ln a u   . u a
ua .ln a c/Đồ thị hs lũy thừa 
y x trên 0;
10.Hs logarit y  log x 0  a   1 a +TXĐ: 0; +Tập giá trị: 
+HS đồng biến trên 0; khi a 1.
+ Trục Oy là TCĐ đths y log x a  +HS nb trên 
+ Chú ý: Đồ thị các hs x y a và
0; khi 0  a 1 .
y  log x (0  a  1) đối xứng nhau qua 1  a
+Đạo hàm: ln x  x  0 đt y x . x Trang 5
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 11.a/Pt mũ cơ bản x
a b0  a   1 PP2: Đặt ẩn phụ c) x x 2 x 1 25  10  2 2 f x 25x 10x 2.4x     0 + b  0 : x
a b x 
2 f xf xa  a    2 a      T
(Chia hai vế cho 25x hoặc 4x ) h.S N + b  0 : x
a b x  log b a 2 x x f xf x 2 2 f x      5   5  gu
b/Phương pháp giải phương trình mũ 3 3 9      2  0      x  0 y  ễ 2   2  n
PP1: Đưa về cùng cơ số 0  a   1
Bài 2. Giải các pt sau: Vi d/ 2 2 x x 2 xx   ế x x    2 2 3 t f xg xa) 9 4.3 45 0 H aa
f x  g x    2 2 2 x x x x  i 2 ế 3 x 4.3x    45  0  2  2  3 u f x 089908. a
b(b  0)  f x  log b 2 2 x x 2 x x a 3x  9  VN   2  3.2  4  0 Bài 1. Giải pt a) 2 T    x 3x  4 x log 5 5  5 125 2  h. 3939 S N  3 x x   3x  5  2 4 x  1      x    2  gu      x x x x 2  1VNx 2 
x  3x  log 5 125 12 2 4   5 7 y b) ễ
5 24 5 24   98 x   2 n V e/ 2 2 x x x x 2 2  4.2
 2 x  4  0 i x 2 x 1  ế 1 7 x t  5 24   b/ 98 x 1
8   0, 25. 2  (Đk: x  1) H iế  x Đặt 2 2x x u   ; 2 2 x v ; 2 . 2x x u v   . 5  24  u
Pt trở thành: u.v  4u v  4  0  2x 1   7 3. x    2 089908.  2x x x 1   2  2  2
 5 24 985 24 1 0
 u  
1 v  4  0
x  1  N   3939     2x 1  7x    u 1 x 1  x 2 3.   2           2 x 1  2 x  N    v 4 x 0   7
PP3: Logarit hóa (Lấy logarit 2 vế)
PP4. Phương pháp hàm số
(HS    2t f tt đb trên ) 2 x
Bài 3. Giải pt a/ 3x.2x  1
Bài 4. Giải pt a) 3  11  x f  2
x x  f 8  x
Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được pt: +Hs   3x f x đồng biến trên . x  log  2 3x.2x  log 1
+Hs g x 11 x nghịch biến trên 2
x x  8  4 x   3  3 x  2   
+x=2 là 1 nghiệm của pt đã cho.  x 0 x1 . x log 2  0 
KL:x=2 là nghiệm duy nhất của pt.
12. a/Pt logarit log x b 0  a   1 3   a x  log 3  2
b) 4x  6x  25x  2 log b
x b x a a x 1  x x     b/
Xét hs f x 4 6 25x 2
5x.8 x  500 (Đk: x  0 )
b/ Phương pháp giải pt logarit 3x3 x3 f   xx 2 x 2
 4 ln 4  6 ln 6  0
PP1: Đưa về cùng cơ số x 3 2 x3
 5 .2 x  5 .2  5 .2 x 1  log f x g xa a
  loga  0 
Ta có: x=0;x=2 là nghiệm. 1
Lấy logarit cơ số 5 hai vế ta được pt:
KL: Tập nghiệm S  0;  2
 f x  g x x  3   1  N   2
x  3 1 log 2  0      c) x x x 8 2 2  2
 8  2x x
f (x)  0(g(x)  0)  5   x
x  log 2 N  5   2 x x 2 x8  b 2
x x  2  8  x
+ log f x b f x a a    
Bài 5.Giải pt: a/ log x  log x  log x 11 x x 1     x  1 3 9 27 b) log 3 1 .log 3 3 6 3   3  Đk: Đk: x>0  Đk:  x  0 x 2 
pt  log x  log x  log x 11 2 3 3 3 3
pt  log 3x 1 .log 3 3x  1   6 Đặt 2 u
x  3x  2,u  0 3   3    
log x  6  x  729(N) 3 2 1 log 3x 1 log 3x    1  6  0 Pttt: log 2 .5u u    2 3   2 3   3 
b/ log x  5  log x  2  3 2   2   5 Đk: x>5  28 
x  log 10; x  log 1 u 3 3  
Hs f u  log u  2  .5 đồng biến 3   2
pt  log  x  5 x  2   3  27  2    5 PP3: Mũ hóa
trên 0; và f   1  2   x N
x  5 x  2 6 ( ) 3  2  
Giải pt log 5  2x  2  x 2   x  3  (L) 
+ u  1 là nghiệm duy nhất. PP2: Đặt ẩn phụ Đk: 5 2x   0 3 5 
KL: Tập nghiệm S    1 2
x  0N  Bài 6. Giải pt a)  1  2   pt x 2  
5  2  2 x   5  log x 1  log xx  2  N
b) log x  log x 1  3 2 3   Đk: 5 1 x
0; x 10 ; x 10   
PP4: Hàm số biến thiên Đk: x  1 pt 2
 log x  5log x  6  0
Bài 7. Giải các pt:
Hs f x  log x  log x 1 đồng 2 3      log x  2
x 100N x x    1     a)
biến trên 1; ; f 4 . log
x  3x  2  2   2 3 3   2 3 1 2   log x  3  x 1000  N   5 
KL: x=4 là nghiệm duy nhất. Face: viethieu220284 Trang 6
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Zalo: 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939    2 x x    x
d/Bpt logarit cơ bản log x b a a 0 1 x x 1     c) 1 2  2  log 5 5      2    2. 1 0 x  Đk:     x  0  2   2 
Đk: 0  x  1
+ a  1 : log x b  0 bx a x a  5  1 pt x 1
 2  log  2 x x  log 1 x          2 2   + 0 a 1 : log b x b x a a  2  2  1  +Hs    2t f t
 log t đồng biến trên
e/Công thức BPT mũ, logarit   x  log    2 5 x    2 5  f xg x 2  khoảng 0;  1 . + a  1 : aa
f x  g(x)      1 VN   2 
Pt  f x  f 1 x
 f x g x f x g x  
c/ log x 3  log x  2 1 2   2   a   a     ( ) log log 1  g(x)  0 
x  1 x x  Đk: x  3 2 f xgx
+ 0  a  1 : a
a f x  g(x)
Bpt  log  x  3 x  2   1 2    13. BPT MŨ, BPT LOGARIT  
 x  3x  2 a/Bpt mũ cơ bản x f x g x
a b0  a   1 2 f x g x   a   a     ( ) log log   2 + b  0 : x
a b x f (x) 0 
x  5x  4  0
+ b  0;a 1: x
a b x  log b Bài 8. Giải các bpt sau:  1 x  4 a 2 x 2 x 2
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của +    
b  0;0  a 1 : x
a b x  log b a/ 3 1 x 2x 0 a   
bpt là: S  3;  4 b/Bpt mũ cơ bản x 0 x 2
a b0  a   1 b/ log  2 x  2x  3  2     1  d/ log 5x 10 log x 6x 8 0,5   0,5   + b  0 : x
a b x  2
+ b  0;a 1: x
a b x  log b    2 5x 10 0 a
x  2x  0  2   x  0        Đk: x 2 2
+ b  0;0  a 1 : x
a b x  log b     2 x 6x 8 0  a
x  2x  8 2  x  4   c/Bpt logarit cơ bản 2
log x b0  a   1
Bpt  5x 10  x  6x  8 a c/ x 2 4 2.5 x 10x   Đk: x  0 2         2.25x 10x 4x      0 x x 2 0 2 x 1 + a  1 : log b
x b x a
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của a
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+ 0  a  1 : log x b  0 bx a bpt là: S   2  ; 1 a 14. Lãi suất kép Theo đề:  n
A 1  r   2A
17.Độ pH của dung dịch pH  log H     
a/Một người gửi số tiền A đồng vào  n  log 2  9,51 (năm)
một ngân hàng với lãi suất r /năm. Biết 1rH   
  :nồng độ ion H  trong dung dịch
rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n  10
+ pH  7 : dung dịch có tính axit.
hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ KL: 10 năm.
+ pH  7 : dung dịch có tính bazơ.
được nhập vào vốn ban đầu (người ta
15. Trong Vật lí, sự phân rã của các
+ pH  7 : dung dịch trung tính.
gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được
chất phóng xạ được biểu diễn bởi CT:
18. Độ chấn động M của một địa chấn
lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm ( * n  ), t
biên độ I được đo trong thang độ
nếu trong khoảng thời gian này không   mt  1 T
Richte (Charles Francis Richter, nhà địa
rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? m0    2 
vật lí Mĩ, 1900 – 1985) xác định bởi:
Giải: Giả sử n  2 I
+Sau năm thứ 1, số tiền lĩnh là:
Trong đó: m là khối lượng chất phóng 0 M  ln
( I là biên độ của dao 0
T A 1 r .
xạ ban đầu (tại thời điểm t  0 ) I0 1  
+Sau năm thứ 2, số tiền lĩnh là:
+ mt là khối lượng chất phóng xạ tại
động bé hơn 1m trên máy đo địa
T T 1 r   A1 r 2 thời điểm t.
chấn, đặt cách tâm địa chấn 100km, I 0 2 1
+ Tương tự, sau n năm, số tiền lĩnh là:
+ T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời được lấy làm chuẩn).
gian để một nữa số nguyên tử của chất 19. Mức cường độ âm được tính theo T Ar nn 1 
phóng xạ bị biến thành chất khác). I
b/BT: Một người gửi 6 triệu đồng vào 
16.Số các chữ số của số tự nhiên x
CT: L dB 10log (Graham Bell)
ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn I0
bằng : log x 1
1 năm với lãi suất 7,56% /năm. Hỏi sau
+ I là cường độ của âm, tức là năng
ít nhất bao nhiêu năm người gửi sẽ có
Với log x là phần nguyên của log x
lượng truyền đi bởi sóng âm trong 1
nhiều hơn 12 triệu đồng từ số tiền gởi
đơn vị thời gian và qua 1 đơn vị diện
Vd: Số các chữ số của 2008 2 bằng:
ban đầu (giả sử lãi suất không thay
tích bề mặt vuông góc với phương 2008 log2  1   2008log21 đổi)? Giải: 6
A  6.10 ; r  7,56% sóng truyền (đơn vị: 2 W / m )  604,46  8 1  605 + 1  2 2 I  10
W / m là cường độ âm ở
Sau n năm, số tiền thu được  n A 1  r  0 ngưỡng nghe. Face: viethieu220284 Trang 7
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1/ 0dx C  20/ f
 xdx FxC (F'x f x ) 39/ f '
 xdx f xC 2/ b b
1dx x C  21/ k. f
 xdx k f
 xdx k  0 40/ (với k là hằng số). k. f
xdx k. f  xdx a a  1   1   x  1 (ax b)
f x g x dx f x dx g x dx    3/ x dx   C     1       22/ (ax b) dx . C  41/         1 a  1 1  1 1 1 1 1  1 b b b 4/ dx   C n   23/ dx  . .  C  42/  f
 x gxdx f
 xdx g
 xdx nxn . ( 2) n 1 1 x
axbn a n  
1 ax bn 1 a a a 1 1 1 b 5/
dx  2 x C  24/ dx
.2 ax b Cb 43/ f
 xdx Fx  Fb Fa(Newton–Leibniz) x ax b a a a b b Th.S Nguyễn Viết Hiếu b
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
44/ udv uv vdu
 45/ udv uv vdu   089908.3939 a a a 1 n 1 1 n b a a n 6/ n n 1 dx x    C  25/ dx  . .n
ax b 1 C 46/ f
 xdx   f
 xdx 47/ f
 xdx  0 n x n 1 n ax b a n 1 a b a 2 1 2 b c b d7/ xdx x x C  26/ ax bdx  . . 
ax b. ax b C 48/ f
 xdx f
 xdx f
 xdx (với a c b ) 3 a 3 a a c n 1 n  8/ n n xdx x x C
27/ n ax bdx  . 
ax bn ax b C 1 1 ax b 49/ dx  ln  Cn  1 a n 1
ax bcx dad bc cx d 1 1 1  9/
dx  ln | x | C  28/ dx
ln ax b C  1 1 1 x a 50/ dx dx  ln  C   x ax b a 2 2 x a
x ax a 2a x a 1 1 1 1 1   liên tục trên [ 10/ y f x
𝑎; 𝑏].Diện tích hình dx    C  29/ dx   C  51/Hs   2 x xax b2 a ax b
phẳng giới hạn bởi đths y f x , trục Ox và hai đt 11/ x x
e dx e C axb 1 axb x  ;
a x b được tính  30/ e dx eCb a x axb
bởi CT: S f AA ax b 1  xdx x     c d a 12/ A dx C  31/ A dx . C  ln A a ln A
(Chú ý với hình vẽ trên
13/ sin xdx  cos x C 1 thì:
32/ sin(ax b)dx   cos(ax b)  Cc d b a S
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx   1    )
14/ cos xdx sin x C
33/ cos(ax b)dx
sin(ax b)  C a c da 1 1 1   15/ 52/Hs y f x
dx   c otx  C  34/
dx   cot(ax b)  C  2 sin x 2 sin (ax b) a
liên tục trên [𝑎; 𝑏]. 1 1 1 Diện tích hình 16/
dx  tanx  C  35/ dx
tan(ax b)  C  2 2 phẳng giới hạn os c x cos (ax b) a
bởi đths y f x 1  
17/ tan xdx  ln cos x C  1 36/ tan
 axbdx   ln cosaxb C , đths y f x a 2     1 và hai đt
18/ cot xdx ln sin x C  T 37/ cot
 ax bdx  ln sinax b C h. x  ;
a x b được tính bởi công thức: S N a gu b dx 1 x dx 1 1 ax b y 19 /  arctan  C  38 /  . arctan  C  ễ 2 2 2 2 ax bk a k k
S f x f x dx n x k k k    1   2   Vi a  ế k  0 k  0 t Hi 53/Hàm số ế
y f x liên tục trên [𝑎; 𝑏]. Gọi (H) là hình phẳng giới u 089908.
hạn bởi đths y f x , trục Ox và hai đt x  ; a x b .
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) quanh 3939 b
trục Ox là: V    f
 x 2 dxa Trang 8
55/ Một vật chuyển động với pt 57a/ HS 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm
54/Cắt một vật thể T bởi hai mp (P) và (Q) vuông góc với
vận tốc v(t). Quãng đường vật chẵn và liên tục trên đoạn
trục Ox lần lượt tại x  ; a x  ( b a  )
b . Một mp tùy ý vuông
di chuyển trong khoảng thời [−𝑎; 𝑎] thì
góc với Ox tại điểm x ( a x b ) cắt T theo thiết diện có gian từ t a đến t , b a b 𝑎 𝑎
diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑎; 𝑏]. Thể là: 𝑏
𝑆 = ∫ |𝑣(𝑡)|𝑑𝑡 b −𝑎 0 𝑎
57b/ Hs 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm lẻ
tích của phần vật thể T được tính bởi CT: V S  xdx
56/ PP tính nguyên hàm,TP PP1: Đổ và liên tục trên đoạn a i biến. [−𝑎; 𝑎] 𝑎
PP2: Tính nguyên hàm, TP
thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 −𝑎 từng phần. Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  /2 B3.a Bài1.Tính: a) 2 x x 7dx B5. Tính a) ln xdx b/ sin x I e cos x dx  Tính diện tích Đặt 2 2 2 u x 7 u x 7 0 1 hp giới  u ln x dv dx Đặt t sin x dt cos xdx udu
xdx , Tích phân trở hạn bởi x 3 u đths 3
y x , trục hoành và 2  dv dx , chọn v . x thành: 2 u du C đường thẳng x 1;x 2 . 1 3 ln xdx x ln x x. dx 1 2 1 x t 1 t 17 2 2 2 3 x x 7dx (x 7) x 7 C I e dt e e 1 S x dx x ln x x C 3 0 4 0 1 1 1 b) 5 sin2x.cos xdx 3 x c/ I dx  b) x I xe dx 4 2 Đặt t cos x dt sin xdx x  3x  2 0 0 Tích phân trở thành: Đặt 2 t x dt 2xdx u x du dx 7 2 x 6 tv e 2t dt C x dv e dx , chọn . 7 1 1
B3b) Tính diện tích hp giới 1 x x I xe e dx 1 7 2cos 1 t hạn bởi 2 đt x 0;x và 5 x sin2x.cos xdx C I dx 0 2 0 7 2 t 3t 2 đt2hs y
cos x ; y sin x 0  1 1 2 1 3
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 dx ln3 ln2 S
sin x cos x dx 2 2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 2 t 2 t 1 2 0 0 x 1 B3c) Tính diện tích hình e c) 1 e 1 ln x dx dx d/  c)I dx x x x 2 I dx
phẳng giới hạn bởi 2đths e e 2 (e 1) 2 1 x 2 x 0 3 y x x và 2 y x x . 1 Đặt x 1 x t e dt e dx 1 Tích phân trở thành: Đặt x tan t,t ; x 0  u ln x du dx 2 2 Pt 3 2 x x x x x dt 1 x 1; 2 C 1 1 2 t t 1  dv dx , chọn v . 2 dx 1 tan t dt 37 2 3 2 x x 1 1 S
(x x) (x x )dx dx C   12 e e x x 1 1 2 e e 2 x e 1 4 2 4 2 1 tan tI ln x dx 1 I dt  1dt    2 x x e 2 1 tan t 4 1 1 0 0
Bài 2/ Tính các tích phân sau: 1
Bài 3d) Cho hp (H) giới hạn
B4/Tính thể tích V của phần vật thể 2 2 1 e/ I x 1 x dx  bởi đths y sin x,Ox, 2 đt
giới hạn bởi hai mp x = 1 và x = 3, biết a/ 2
I x 1 x dx
rằng khi cắt vật thể bởi mp tùy ý vuông 0 x 0;x . Tính thể tích
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0
khối tròn xoay thu được khi Đặt x sin t,t ; 1 x  3 quay (H) quanh Ox.
thì được thiết diện là Đặt 2 t 1 x tdt xdx 2 2
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 2 3x  2 dx cos tdt là 3x và . 1 3 0 1  3 124 t 1 2 2 2 2  V 3x 3x 2dx I t dx t dx 1  2   2 3 3 I sin 2tdt  3 2 1 1 0 4 16 0 V sin xdx 0 2 Face: viethieu220284 0 Trang 9 Face: viethieu220284 IV.SỐ PHỨC
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1.Số phức z a bi
(a bi)  (c di) 5. 2 số phức z,w:
7. Số phức w đgl căn bậc hai của số phức ( 2 , a b ;i  1  )  2 2
(a c)  (b d )i .
z z z
z nếu w z .
a : phần thực của z.
(a bi)  (c di) | . z w | |  z | .| w |
+Số thực a  0 có 2 căn bậc hai  a . T
b : phần ảo của z.
h.S N +Số 0 có 1 CBH là 0. i : đơn vị ảo.
 (a c)  (b d)i z | z | 
w  0 guy +Số thực a  0 có 2 CBH là i a . 1 2 3 4 i  ; i i  1
 ; i   ;i i 1 (a bi).(c di) w | w | ễn V
+ Số phức liên hợp của z là   iế 8. Ptbậc 2hệ số thực
(ac bd)  (ad bc) .i | z | | z | t H
az bz c a a b c
z a bi 2 0 ( 0; , , ) i c di
(c di)(a bi)
z w z w ếu
+ Số phức nghịch đảo của  089908. 2       . z w  . z w b 4ac 1 a b a bi (a bi)(a bi)   z là:   + 0, pt có 2 nghiệm thực .i   3939 2 2 2 2 z z z a b a b ac bd ad bc     i ; w 0   b    z
2.Cho 2 số phức: a bi 2 2 2 2 a b a bw w 1,2 2a
c di a,b,c,d   3. Điểm biểu diễn số 6.2 số phức z,w có 2
+   0, pt có nghiệm kép thực
điểm bd lần lượt là M, 
phức z a bi là M a;ba c   b
a bi c di   N thì: | z w | MN  4. Modun của số phức z b   d 2a
z a bi là z .
+   , pt có 2 nghiệm phức  0 a  0
a bi  0   2 2 z OM a b b i b   0 z  . 1,2 2a
a bi là số thực  b  0
9. Pt bậc n hệ số phức
a bi thuần ảo  a  0
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 n n 1 a z a
z   ...  a z a  0 n n 1  1 0
, a  0 có n nghiệm. n
10. +Tập hợp điểm bdsp z -Nếu O là trung điểm Vd2: Cho số phức z
12. Dạng lượng giác của số phức
thỏa z  a bi  k
F F và F ; F thuộc
thỏa z  4 . Tìm tập   1 2 1 2 a b 2 2  Ox thì pt chính tắc của
hợp điểm bdsp w thỏa
z a bi a b .  i
a,b  ; k  0 là 2 2 2 2 đường Elip là:  a b a b
w  (3  4i)z i .
đường tròn tâm I  ; a b , 2 2 x y 2 2   
r a b là modun của z. 1 Giải: w i
bán kính R k. z 2 2  a b
là một argument của z thỏa 3  4i Th
+Tập hợp điểm bdsp z thỏa  .S N 2 2 2 0  b  ;
a a b c z  4  w i  20 a   08
z  a bi  k cos gu
Tập hợp điểm bdsp w  9908 2 2   yễ 
Vd1a/Tập hợp điểm a b n
a,b  ; k  0 . là hình  3939 V bdsp z thỏa
là đường tròn tâm i b ết I 0;  1 si  n  H
tròn tâm I  ;
a b , bán kính z 1 2i  5 là
,bán kính R  20. 2 2   iế 11. Trong tất cả số a b u R k.
đường tròn tâm I 1; 2
  phức z thỏa
Dạng lượng giác của số phức z là:
+ Tập hợp điểm bdsp z thỏa Bán kính R  5.
z r.cos  i sin 
z  a bi  R
z  a bi  z  c dib/Tập hợp điểm bdsp z  13. Cho 3 số phức
a,b  ; R  0 thì: a, , b , c d
là đường thỏa z  3  4i  2 là
z r.cos  i sin 
trung trực của đoạn thẳng hình tròn tâm   I 3;4 , z OI R max
z r . cos  i sin 1 1  1 1  PQ, với P  ; a b;Q  ;
c d bán kính R  2. zOI R min
z r . cos  i sin 2 2  2 2 
+Trong mp Oxy, cho hai c/Tập hợp điểm bdsp z điểm F ; F
thỏa thỏa z  3  z  2i là
z .z r .r .cos     isin    1 2 1 2   1 2   1 2  1 2
F F  2c  0 . Tập hợp đường trung trực d của z r 1 1 1 2  .cos 
   isin    1 2   1 2 
điểm M trong mp Oxy thỏa đoạn thẳng PQ với z r 2 2 P 3;0 
MF MF  2a a c
; Q 0; 2 . n n
z r .cos n  i sin n  1 2  
là 1 đường Elip nhận Pt d: 6x  4y  5  0. (CT Moirve)
F ; F là 2 tiêu điểm.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1 2 Face: viethieu220284 Trang 10 Face: viethieu220284
V.THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1. Hình đa diện, kh ối đa diện, khối đa
3. Thể tích khối lăng trụ: V S .h LT day
diện lồi, khối đa diện đều
4.Khối lập phương cạnh a
+Khối đa diện đều loại  ; p q là khối V  canh3 3  a KLP
đa diện lồi có các tính chất sau:
Độ dài đường chéo: a 3
a)Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b)Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của 5. Khối hộp chữ đúng q mặt. nhật: V  . a . b c KHCN
+Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Độ dài đường Đó là loại 3;  3 , loại 3;  4 , loại 4; 
3 , 2. Thể tích khối chóp: 1 chéo: 2 2 2   V  .S .h a b c KC 3 day Với a, , b c lần lượt loại 3;  5 và loại 5;  3 .
là chiều dài, rộng, cao của hhcn.
6.Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi
một vuông góc. Thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 VA . B AC.AD ABCD 6
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
7. Cho khối chóp S.ABC có SA a ; 10. Thể tích khối bát 2 2 . AB AC AB
BC AC ; AH  2 2 SB  ;
b SC c ;𝐵𝑆𝐶 ̂ = 𝛼;𝐶𝑆𝐴 ̂ = 𝛽; diện đều cạnh a AB AC 𝐴𝑆𝐵
̂ = 𝛾. Thể tích khối chóp S.ABC là: V canh3 2 2 3  a abc 2 2 2 V
1 2cos.cos .cos  cos   cos   cos  3 3 6 11. Thể tích khối
8. Thể tích khối chóp V tứ diện đều
S . A A ...A : 1 2 n 1 1 2 S .S .sin 
V  canh3 2 SA . B AC AH.BC S ABC 1 A 2 A 1 A 2 A ... V  . n A 12 2 2 3 A A 1 AI
BC (I trung điểm BC) 1 2 12.  ABC đều: 2
Biết    SA A ; A A ...A + Diện tích: 14. ABC
vuông cân tại A (AB=AC=𝑎) 1 2   1 2 n  D.tích: 1 2
9. Thể tích khối tứ diện có khoảng cách Sa Scanh ABC ABC  2 3 . 2 4
và góc giữa cặp cạnh đối diện + Độ dài đường Độ dài cạnh huyền: AD  ;
a BC b ; d A ;
D BC   d ; BC a 2 cao: canh 3 (𝐴𝐷; 𝐵𝐶 ̂ ) = 𝛼 . bằng: 2 1 a 2 AI BC  1 13. Tam giác ABC vuông A 2 2 Vabd.sin ABCD 6 2 2 (I là trung điểm BC) BC AB AC ; 2 2 AC BC AB 15.Diện tích A
BC a BC;b  AC;c  AB 16. Hình vuông 19. Diện tích hình thoi 1 1 1 +Diện tích:   2 S canh 1 1   S  . a h  b.h  c.h S . a h AC.BD ABC 2 a 2 b 2 c 2 2
+Độ dài đường chéo: canh 2 1 1 1  a . b sinC  b . c sinA  acsin B
17. Hình chữ nhật có chiều dài, chiều 2 2 2 rộng lần lượt là abc
a b c  , a b .  . p r vs p    4R  2  +Diện tích HCN: S = . a b 20. Diện tích hình thang:
pp a(p  )
b p c +Độ dài đường chéo: 2 2 a b
a b.h
p: nữa chu vi tam giác ABC.
18. Diện tích hình bình hành: S . a h S 2
R: bán kính đtròn ngoại tiếp ABC  .
r: bán kính đtròn nội tiếp ABC  .
h ;h ;h lần lượt là độ dài đường cao a b c
kẻ từ A,B,C của ABC  .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Trang 11 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
21. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
23. Tỉ số thể tích hình lăng trụ
25.Tỉ số V hai khối chóp có chung V
SA' SB ' SC '   đường cao.
S . A' B 'C '  V 1 AM BN CP . . ABC.MNP      V SA SB SC V 3  AA' BB ' CC ' V S AN AM S . ABC
ABC. A' B 'C ' S . AMN AMN   . V S AC AB S . ABC ABC
22. Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác, đáy ABCD là hình bình hành.
24. Tỉ số thể tích hình lăng trụ, đáy V
a b c d hình bình hành
S . A' B 'C 'D' 
26. Thể tích khối chóp cụt V 4abcd VAM BN CP DQ ABCD 1 .MNPQ S . ABCD       V 4  AA' BB ' CC ' DD '
ABCD.A' B 'C 'D'
Gọi B và B’ lần lượt là diện tích của đáy
lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt, h là
chiều cao của nó (h là khoảng cách
giữa 2mp chứa 2 đáy). Thể tích khối SA SB SC SD a  ;b  ;c  ; d  1 SA' SB ' SC ' SD '
chóp cụt: V hB B' . B B '  a c b d 3
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
27. Thể tích khối nón cụt SH.HK +  A ;
O    AOH
d H;SBC  HP  2 2 SH HK
29. Góc giữa 2 mặt phẳng
30. Khoảng cách từ điểm đến mp
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đường
+ d O;   OH
thẳng lần lượt vuông góc 2mp đó.
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau H là hcvg của O trên   . +MN // (P)
Gọi R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn,
d M;P  d N;P
bán kính đáy nhỏ, chiều cao của hình nón cụt.     
c ; Tìm mp   c +MN cắt (P) tại I h V   2 2 R r  . R r
d M;P
   a ;   b MI 3 
d N;P NI
28.Góc giữa đường thẳng và mặt
  ;    ; a b
phẳng: Cho đt d và mp   .
+ SBC ;   𝐻𝐾𝑆 ̂
31. K/c giữa 2đt chéo nhau ;  '
+Nếu d    thì d   0 ;  90 CT1: d  ;
 '  d M; 
+Nếu d ko vuông   thì
(   chứa  và song song  ' )
d; d;d' Với d’ là hcvg của d trên mp   .
SH    ; BC    . CT 2 : d  ;  '  HK
K, P lần lượt là hình chiếu vuông góc   của H trên BC, SK.
(HK:đoạn vuông góc chung của ; ' ) Face: viethieu220284 Trang 12
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 VI.KHỐI TRÒN XOAY
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1. Hình nón, khối nón 2. Hình trụ, khối trụ 3. Mặt cầu, khối cầu
BT1a)Cho hình chóp S.ABC có
SA   ABC, tam giác ABC vuông tại B.
AC  2a SA  2a . Bán kính mặt cầu ngoại l l
tiếp h.chóp S.ABC bằng: h 2 h 2 RR   Cau day 4 r
h:chiều cao của hình nón. SA 2a2 2 2 2
r: bán kính đáy hình nón. h:chiều cao hình trụ  R    a   a 2 day 4 4 l: độ dài đường sinh
r: bán kính đáy hình trụ. R là bán kính mặt cầu
b) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam h.nón.
l:độ dài đường sinh htrụ. + Diện tích mặt cầu:
giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam 2 2 2  2  
l h r h l S 4 R
giác đều và nằm trong mp vuông góc với +Diện tích xung quanh +Diện tích xung quanh + Thể tích khối cầu:
đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình của hình nón:  
chóp S.ABC.(Minh họa 2017) S   rl. của hình trụ: S 2 rl. 4 xq 3   xq V R
+Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp +Diện tích toàn phần: +Diện tích toàn phần: 3 2 2 AB 2     2 2
S   rl   r . S 2 rl 2 r .    tp S.ABC bằng: R RR tp day ben 4 +Thể tích khối nón: +Thể tích khối trụ: Th.S Nguyễn Viết Hiếu 2 2 2 V   r . h 089908.3939 2  3   3  1 15 1 2 KT V   r . h         . KN     3 3 3 4 6    
4. VTTĐ của đt và mặt cầu 5. VTTĐ của mp và 6. Mặt cầu ngoại tiếp
c)Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có
Cho mặt cầu (S), tâm O, m.cầu hình đa diện canhben2
bán kính R và đt  .Gọi H Cho mặt cầu (S), tâm O, bán kính RCau là hcvg của O trên  . bán kính R và mp(P).Gọi 2.chieu cao +Bán kính mặt d  ;
O   OH H là hcvg của O trên (P). cầu ngoại tiếp d  ; O ( ) P   OH hình chóp đều S.ABCD là: T a)Mặt cầu ngoại tiếp 2 SA h.S N  ,E là HHCN ABCD.A’B’C’D’ RCau 2SE gu y có tâm I là trung điểm tâm đáy ABCD. ễ + d  ; O   R thì  n
AC’,A’C, BD’,B’D và bk V
d)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp iế không cắt (S).
+ d O;P  R thì (P) 2 2 2 t
a b c
có cạnh bên vuông góc mặt đáy là: H R  không cắt (S). iếu 2 2 T h h 2 089908. .S N   ( R R a, , b c 3 l chiều dài, Cau day 4 gu
rộng, cao của HHCN) yễ (h là chiều cao hình chóp). 3939 n V
e/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình iế
t chóp có mặt bên vuông góc mặt đáy là: Hi + d  ;
O   R thì  tiếp ế 2 u AB 2 2 089908. R
R  R  xúc với (S) tại H.
+ d O;P  R thì (P) Cau day ben 4 tiếp xúc (S) tại H. 3939
(với AB là giao tuyến mặt bên vuông góc mặt đáy và đáy). b)Mặt cầu ngoại tiếp
f/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hình lập phương
lăng trụ đứng (hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp) là:
ABCD.A’B’C’D’ có tâm + 2 d  ;
O   R thì  cắt O là trung điểm h 2 RR   Cau day (S) tại 2 điểm pb MN. +
AC’,A’C,BD’,B’D và bk
d O; P  R thì (P) 4 a 3
(h là chiều cao hình lăng trụ đứng) 2 2
MN  2 R d  ; O 
cắt (S) theo đường tròn R  , với a là (C), tâm H, bk r: 2 (H là trung điểm MN) cạnh của h.lập phương Th.S Nguyễn Viết Hiếu 2 2
r R d  ; O P ABCD.A’B’C’D’. 089908.3939 Face: viethieu220284 Trang 13 Face: viethieu220284 VII.KHÔNG GIAN OXYZ
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
0  (0;0;0), i  (1;0;0)
+ AB  (x x ; y y ; z z )
a  (a , a , a ) B A B A B A 1 2 3
j  (0;1;0), k  (0;0;1) 2 2 2
AB  (x x ) (y y ) (z z )
b  (b , b , b ) B A B A B A 1 2 3
+ a.b a .b a .b a .b 1 1 2 2 3 3
+ I là trung điểm AB
 ;ab  (a b a b ; ab a b ;ab a b ) 2 3 3 2  1 3 3 1 1 2 2 1          + a b a b a b a b 0 x x 1 1 2 2 3 3 A B x   I 5. , a , b c đồng phẳng 2 + 2 2 2 a
a a a  1 2 3  y y   A B   [ , a ] b .c 0 y I 1. Tọa độ vectơ a.b 2  
6. Diện tích hình bình hành ABCD cos(a, b )    z z
u   ;x y; z  u xi y j zk a . b A B z      IS
AB, AD 2 ABCD  
2. a  (a ; a ; a ), a b a b a b 1 1 2 2 3 3 +G là trọng tâm ABC
7. Diện tích tam giác ABC 1 2 3 2 2 2 2 2 2
a a a . b b b
x x x 1   
b  (b ;b ;b ), k R 1 2 3 1 2 3 A B C x S
AB, AC ABC  1 2 3  G 3 2
(với a, b  0 )
a b  (a b ; a b ; a b ) 
y y y
8. Thể tích khối tứ diện ABCD 1 1 2 2 3 3 A B C
3. Tọa độ điểm:   
C (x ; y ; z ) yG 1
+ ka  (ka ; ka ; ka ) C C C 3  V
 [AB, AC].AD 1 2 3 (
A x ; y ; z ), (
B x ; y ; z )  ABCD
z z z 6  A A A B B B A B C a b z   1 1 G     3
9. a cùng phương b b  0 + M ( ; x ; y z) OM ( ; x ; y z)
a b  a b 2 2 
4. Tích có hướng 2 vectơ
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939    a b
a,b  0  a kbk   3 3 10. Mp(P) đi qua
+Nếu a a a  0 thì pt chính + d chéo d
16.a/Khoảng cách từ điểm 1 2 3 1 2
M (x ; y ; z ) và có 1 vtpt
M x ; y ; z đến mp 0  0 0 0  0 0 0 0 x x y y z z  tắc của d: 0 0 0   ukocung phuong u 1 2 n  ( ; a ; b ) c . Pttq của (P):  a a a
: Ax By Cz D  0 bằng: 1 2 3 He  Ivonghiem
a x x b y y c z z  0 0   0  0 14. Cho 2đt
Ax By Cz D + d chéo d
d M ,()  0  0 0 0 11. Mp (P) đi qua 3 điểm
x x ta 1 2 1 1  2 2 2   
A B C
A a;0;0 , B 0; ; b 0 , 
d :  y y tb (tham số t) u , u .M M 0  1 2  1 2 1 1 1 b/Cho đt  đi qua M  0 và có 1
C 0;0; c với , a , b c  0 .
z z tc
+ d d u .u  0
vtcp a . Khoảng cách từ điểm A 1 1 1 2 1 2 Pt (P) theo đoạn chắn:
x x saM ; A a    2 2   x y z  15. VTTĐ giữa mp và đt đến đt  : 0 d ( , A )   1.
d :  y y sb (tham số s) a 2 2 2      a b c  : Ax By Cz D 0
z z sc
c/ Cho 2đt chéo nhau d và d 1 2
12.Cho 2 mp  ;  có pt 2 2
x x ta 0 1 
+ d đi qua M (x ; y ; z ) và có 1  
+ d đi qua M (x ; y ; z ) và có  1 1 1 1 1
: A x B y C z D  0 1 1 1 1 1
Đt d: y y ta 1 1 1 1 0 2     vtcp u1
(a ;b ; c ) .   1 vtcp u1
(a ;b ; c ) . 1 1 1
: A x B y C z D  0   1 1 1 z z ta  0 3 2 2 2 2
+ d đi qua M (x ; y ; z ) và có
+ d đi qua M (x ; y ; z ) và có 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Xét pt (*):
+  ;  cắt nhau  (
A x ta )  (
B y ta ) C(z ta )  D  0 vtcp u  2
(a ;b ; c ) .  1 vtcp u2
(a ;b ; c ) . 0 1 0 2 0 3 2 2 2
A : B :C A : B :C 2 2 2 1 1 1 2 2 2       +d//   (*) vô nghiệm.
Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau A B C D x ta x sa +  1 1 2 2 / / 1 1 1 1     
+d     (*) có vô số ng. d và d là: A B C D
Xét hệ (I) y tb y sb 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2     A B C D     + d cắt   (*) có u ,u .M M  1 2  1 2 +   1 1 1 1     z tc z sc  1 1 2 2
d (d , d )  1 2 A B C D nghiệm duy nhất.   2 2 2 2 u , u u   ku
(Khi (*) có nghiệm duy  1 2 
+    A A B B C C  0 + 1 2 d / /d   1 2 1 2 1 2 1 2      M d
nhất t t thì d cắt   tại d/ Cho 2mp  ;  có:   / /  0
13. Đt d đi qua M (x ; y ; z ) 1 2 0 0 0 0
điểm Ax t a ; y t a ;z t a )   : Ax By Cz D  0 0 0 1 0 0 2 0 0 3  u   ku 1
và có 1 vtcp a  (a ; a ; a ) .   1 2 3 + 1 2 d d  1 2
 : AxBy Cz D  0  M d 2
x x a t  1 2  o 1 + d vuông góc    + d cắt d
Khoảng cách giữa 2 mp ;  là:
Ptts của d: y y a t 1 2  o 2 n cung phuong u    d D D
z z a tukocung phuong u  
d ();  1 2  o 3 1 2   n k.ud 2 2 2
A B CHe  Iconghiem Face: viethieu220284 Trang 14
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
17. a/Cho 2đt d và d có 2vtcp lần lượt + (P) tiếp xúc (S)  d (O,  P)  R
b/Tìm điểm đối xứng A’ của A qua 1 2 mp(P).
là u a ;b ; c ,u a ;b ;c .Góc
+ (P) cắt (S)  d (O,  P)  R . 1  1 1 1 2  2 2 2
+B1: Tìm hcvg H của A trên (P).
giữa 2 đt d và d được tính bởi CT:
(Khi (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường +B2: H là trung điểm AA’. 1 2
tròn (C) có tâm H và bk r thì:
x  2x x A' H A u u
a a b b c c
 H là hcvg của O trên (P).  cos . . d ;d  
y  2y y 1 2  1 2 1 2 1 2 1 2 A' H A 2 2 2 2 2 2 u . u
a b c . a b c  2 2 2 2      1 2 r R
d (O,P) R OH 1 1 1 2 2 2
z  2z zA' H A
b/cho 2mp  ;   có 2 vtpt lần lượt
Đặc biệt: Điểm Ax ; y ;z A A A
là n  (a ;b ;c ) ; n  (a ;b ;c ) . Góc 1 1 1 1 2 2 2 2
+Hcvg của A trên(Oxy) là H x ; y ;0 1  A A
giữa 2 mp  ;   được tính bởi CT:
+Hcvg của A trên(Oxz) là H x ;0; z 2  A A n n
a a b b c c
+Hcvg của A trên(Oyz) là H 0; y ; z 3  A A  cos  ;  1. 2 .1 2 1 2 1 2  
21. Mp : Ax By Cz D  0 đặc biệt 2 2 2 2 2 2
Điểm đx của A qua(Oxy) là A x ; y ;z 1  A A A  1 n . n2
a b c . a b c 1 1 1 2 2 2
+ D  0 :   đi qua gốc tọa độ O.
c/Cho đt d có 1vtcp a  (a ; a ; a ) và
Điểm đx của A qua(Oxz) là A x ;y ;z 2  A A A  1 2 3
+ A  0 :   chứa Ox hoặc // Ox.
mp   có 1vtpt n  ( ; A ; B C) . Góc
Điểm đx của A qua(Oyz) là A x ; y ;z 3  A A A
+ B  0 :   chứa Oy hoặc // Oy.
giữa đt d và mp   được tính bởi CT:
24. a/Tìm hcvg H của M x ; y ; z M M M
+ C  0 :   chứa Oz hoặc // Oz.
x x a t a n
Aa Ba Ca o 1  sin d,() . 1 2 3  
+ A B  0 :   / /Oxy hoặc    Oxy.
trên đt d : y y a t . 2 2 2 2 2 2 a . n
a a a . A B C o 2 1 2 3
+ A C  0 :   / /Oxz hoặc    Oxz .
z z a t
18. +Mặt cầu (S) có tâm I (x ; y ; z )   o 3 0 0 0
+ B C 0 :   / /Oyz hoặc    Oyz
B1: H d H x a t; y a t; z a t o 1 o 2 o 3  và bk R. Pt (S) là:
+Ptmp Oxy: z  0. +Ptmp Oxz: y  0 2 2 2 2
(x x )  ( y y )  (z z )  R
B2: MH.u  0 (u  (a ; a ; a ) vtcp của d) 0 0 0 x t d d 1 2 3 Th.  S N
a x x a y y a z z  T 1  0 M  2  0 M  3  0 M
+Ptmp Oyz: x  0. +Pt Ox: y  0 . h.   gu  t S   2 2 2 y z  0 Ng ễ 
a a a  1 2 3  n u V y i x  0 x  0 ễ KL: H n
x at; y a t;z a t ế o 1 o 2 o 3  t V +Pt Oy:   H   . +Pt Oz:   . i +Pt mặt cầu (S): y t y 0 ết
b/Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đt d iế   u  Hi 2 2 2 z  0 z t
x y z  2ax  2by  2cz d  0 089908.  
B1: Tìm hcvg H của M trên d. ế T u h.
22. Điểm M trên đường thẳng, mp B2: H là trung điểm MM’ 08 S N (Đk: 2 2 2
a b c d  0 ). 9908    gu 3939
+ M Oxy  M  ; a ; b 0 x 2x x M ' H M y
Mặt cầu (S) có tâm I ( ; a ; b c) và bk ễ .  n 3939
y  2y y V
+ M Oxz  M  ; a 0;bM ' H M iế 2 2 2 R
a b c d .  t z  2z z  H
+ M Oyz  M 0; ; a bM ' H M
19. VTTĐ giữa đt  và mặt cầu (S) có iế
Đặc biệt: Điểm Ax ; y ;z u A A A  089908. tâm O và bk R.
+ M Ox M t;0;0
+  ko cắt (S)  d( , O )   R
+Hcvg của A trên Ox là: H x ;0;0 4  A
+ M Oy M 0;t;0 3939
+  tiếp xúc (S)  d( , O )   R
+Hcvg của A trên Oy là: H 0; y ;0 5  A
+ M Oz M 0;0;t
+  cắt (S)  d( , O )   R
+Hcvg của A trên Oz là: H 0;0; z 6  A
23. a/Tìm hcvg H của điểm
Ax ; y ; z trên mp (P):
Điểm đx của A qua Ox là A x ;y ;z 4  A A A A A A
ax by cz d  0 .
Điểm đx của A qua Oy là A x ; y ;z 5  A A A
+Đt AH đi qua Ax ; y ;z và có
Điểm đx của A qua Oz là A x ;y ;z 6  A A A A A A
Khi  cắt (S) tại 2 điểm M,N thì x x  . a t
25. I là tâm đtròn nội tiếp ABCA      2 2 1vtcp n
 ;a ;bc . Pt AH:    BC.x AC.x . AB x P
MN  2MH  2 R d (O, ) y y bt A B C A x    I
AB AC BC
(H là hcvg của O trên  ; H là trung
z z ct   A
BC.y AC.y  . AB y điểm MN). A B C   
+ H AH H x at; y bt; z ct yI A A A
AB AC BC
20. VTTĐ giữa mp(P) và mặt cầu (S) có 
ax by cz d  
BC.z AC.z  . AB z tâm O và bk R. A B C + H PA A At     zI 2 2 2     
AB AC BC
+(P) ko cắt (S)  d (O,  P)  R a b c
KL: H x at; y bt; z ct
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 A A A  Trang 15 Face: viethieu220284
VIII.PHÉP BIẾN HÌNH
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1. Phép tịnh tiến 2. Phép quay  Q 3. Phép vị tự V k  0 O;k   O;   
T (M)  M'  MM '  v   v OM OM '  V
M M '  OM '  kOM O;k      Q (M)  M'   O;  OM;OM '  
T (M)  M'  T (M')  M vv
+Phép tịnh tiến theo v biến đường
thẳng thành đường thẳng song song Q (M)  M'  Q (M')  M V
M M '  V M '  M O;k    1     
hoặc trùng với nó. O;  O;  O;    k
Đt  : ax by c  0 +Phép quay Q
biến đường thành    O;   +Phép vị tự V
biến đường thẳng O;k    2  '/ /
T ()   ' . Suy ra 
thành đường thẳng vuông góc với nó.
thành đường thẳng song song hoặc v '  
Đt  : ax by c  0
trùng với nó. Đt  : ax by c  0
Pt  ' có dạng: ax by m  0 Q ()   ' V ()   '    O;k O;  
+Phép tịnh tiến theo v biến đường  2  '/ /
tròn thành đường tròn có cùng bán Suy ra  '   Suy ra  '  
kính, tâm biến thành tâm.
Pt  ' có dạng: bx ay m  0    
Đường tròn (C) tâm I a;b và bk R.
+Phép quay biến đường tròn thành đường Pt ' có dạng: ax by m 0
tròn có cùng bán kính, tâm biến thành  +Phép vị tự V
biến đường tròn bk R T CC O;k v     ' tâm.
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’ 
thành đường tròn bk k R , tâm biến Q CC ' Th O;       .S Nguy + R '  R thành tâm.
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’ V CC ' O;k    
+T (I)  I '  I I'  v      ễ v R ' R n Vi
+Biểu thức tọa độ: M  ;
x y, M 'x '; y '  Q (I)  I '
Đtròn (C’) có tâm I’ và bk R’ ế O;  t  H       R ' k R i
T (M)  M' với v   ; a bx ' x cos . y sin ếu v +Bttđ phép  Q :  089908. O;           V (I) I ' OI' kOI
x '  x a y ' xsin . y cos O;k Bttđ:     x ' k x 3939
y '  y b + Bttđ  V :  O;k 
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  y '  ky
4. Phép dời hình là phép biến hình
+Phép dời hình biến tam giác ABC thành
5.Phép biến hình F đgl phép đồng dạng
bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng
tỉ số k k  0 , nếu với hai điểm M, N bất kì.
tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội
bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của
+Phép đồng nhất, phép tịnh tiến, đối
tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương
chúng ta luôn có M ' N '  kMN
xứng trục, đối xứng tâm, phép quay
ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
+Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số
là những phép dời hình.
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam k  1.
+Phép dời hình có được bằng cách giác A’B’C’.
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ
thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình là
+Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành một phép dời hình.
đa giác n cạnh, đỉnh biến thành đỉnh, cạnh số k . +T/c phép dời hình: biến thành cạnh.
+Phép đồng dạng tỉ số k:
-Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3
+Hai hình đgl bằng nhau nếu có một phép -Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm
điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
dời hình biến hình này thành hình kia.
thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các giữa các điểm ấy. điểm ấy.
-Biến đường thẳng thành đường
-Biến đường thẳng thành đường thẳng,
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. thành đoạn thẳng.
-Biến tam giác thành tam giác bằng
-Biến tam giác thành tam giác đồng
nó, biến góc thành góc bằng nó.
dạng với nó, biến góc thành góc bằng
-Biến đtròn thành đường tròn có nó. cùng bán kính.
-Biến đường tròn bk R thành đường Face: viethieu220284 tròn có bán kính kR. Trang 16 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Nếu một phép đồng dạng biến tam
6. Hình vẽ đẹp của họa sĩ + Hình đối xứng
giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó Maurits Comelis Escher
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp Th
của tam giác ABC tương ứng thành .S Ng
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường uy
tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ễn V A’B’C’. iết
+Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh H iế
thành đa giác n cạnh, đỉnh biến u 089908.
thành đỉnh, cạnh biến thành cạnh.
+Hai hình đgl đồng dạng với nhau 3939 hocthoi.net
nếu có 1 phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Wikiwand.com
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 + Hình Fractal
https://vuihocly.wordpress.com/2011/12/18/hin
scp-foundation-database.fandom.com/wiki/SCP-001 h-hoc-fractal/ khoahoc.tv Ảnh: Huanqiu
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
sprott.physics.wisc.edu/fractals/carlson
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 17 Face: viethieu220284
IX. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1.Cách xác định 1 mặt phẳng
2.Hình chóp, hình tứ diện
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó đi qua 3 điểm pb không thẳng hàng.
+Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ
có cạnh bên vuông góc mặt đáy.
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
nó đi qua 1 điểm và chứa 1 đường
+Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa bình hành đgl hình hộp đứng.
thẳng không đi qua điểm đó.
giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt
+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
đáy trùng với tâm đa giác đáy.
chữ nhật đgl hình hộp chữ nhật. 3.Hình lăng trụ
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
vuông và các mặt bên là hình vuông
nó chứa 2 đường thẳng cắt nhau. đgl hình lập phương.
4.Hình chóp cụt: A A A A A .A' A' A' A' A' 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
+Hình lăng trụ có đáy hình bình hành là
nó chứa 2 đường thẳng song song. hình hộp.
+Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng,
có đáy là đa giác đều. 5.4VTTĐ của 2đt ; a b trong không gian
7.Đường thẳng song song mặt phẳng 9.Định lí Thales
TH1: a cắt b tại M TH2: a / /b
+ Nếu đường thẳng d không nằm trong
+Ba mp đôi một song song chắn trên
mp   và d song song với đt d’ nằm
2 cát tuyến bất kì những đoạn thẳng  
trong   thì d song song với   . AB BC AC tỉ lệ.    
A'B ' B 'C ' A'C ' 
TH3: a b TH4: a chéo b Th.S N gu 4 y 8 ễn 2 0
+Định lí: Cho đt a song song mp   . Vi 2 ế 2 t u   H
6.Định lí giao tuyến 3mp và hệ quả
Nếu mp   chứa a và cắt   theo giao iế hie u iet
+Nếu 3mp cắt nhau theo 3 giao tuyến
tuyến b thì b / /a . 089908. : v
phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc
đồng quy hoặc đôi 1 song song với 3939 Face nhau. 10.Vectơ trong không gian
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. 8.Hai mp song song
QT hình hộp: AB AD AA'  AC '
+Nếu mp   chứa 2 đường thẳng cắt
nhau a,b và a,b cùng song song với mp
 thì  / /.
+Định lí: Cho hai mp song song. Nếu một
+Nếu 2mp phân biệt lần lượt chứa 2đt
mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và hai
song song thì giao tuyến của chúng
giao tuyến song song với nhau.
(nếu có) cũng song song với hai đt đó
11. Trong kg cho 3 vectơ không đồng
hoặc trùng với một trong 2đt đó.
phẳng a,b,c . Khi đó mọi vectơ x ta
đều tìm được bộ 3 số m,n,p sao cho
x ma nb pc . Ngoài ra bộ 3 số m,n,p là duy nhất.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Zalo: 089908.3939 Trang 18 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
12.Góc giữa 2 đt a,b trong không gian
SC ABSC.AB 1 cos ;  
SA AC .AB 2  
là góc giữa 2 đt a ',b' cùng đi qua 1 SC.AB a
điểm và lần lượt song song với a,b . 1 1   .AS.A .
B cos AS; AB   T 2   a 2 h.S N  SC AB 0   SC AB 0 ; 120 ;  60 gu
14.Góc giữa đt và mặt phẳng yễn
13.Đt vuông góc mặt phẳng  Viế Cho đt d và mp   . t
+Nếu một đt vuông góc với hai đường H
+Cho u ; v lần lượt là vtcp của 2đt a,b i
thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
+Nếu d    thì d   0 ;  90 ếu 089908. và  ; u v  .
phẳng thì nó vuông góc với mp ấy.
+Nếu d ko vuông   thì Nếu 0 0 0    90 thì  ; a b    3939
d;   d;d ' Nếu 0 0
90    180 thì a b 0 ; 180  Với d’ là hcvg
Vd.Cho hình chóp S.ABC có BC a 2 của d trên mp
SA SB SC AB AC a .Tính góc
+Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng  giữa 2 đt AB và SC. .
là mp vuông góc với đoạn thẳng tại 15.Hai mp vuông góc
trung điểm của đoạn thẳng đó.
Định lí: Đk cần và đủ để hai mp vuông
+Định lí: Nếu một đường thẳng và 1mp
góc với nhau là mp này chứa 1 đường
(không chứa đt đó) cùng vuông góc với
thẳng vuông góc với mp kia.
một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
+Định lí: nếu 2mp vuông góc với nhau
18. Khoảng cách từ điểm đến mp DE / /BC
thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
+ d O;   OH AD AE DE  
mp này và vuông góc với giao tuyến thì H là hcvg của O AB AC BC vuông góc với mp kia. trên   .
21. Cho đường tròn (O); 2 cát tuyến
của đt (O) là AMN và ABC cắt nhau tại +MN // (P)
A. Ta có: AM .AN  . AB AC
d M;P  d N;P +MN cắt (P) tại I
16.Góc giữa 2 mặt phẳng
d M;P MI
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đt lần lượt 
d N;P vuông góc 2mp đó. NI
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau Th.S N
19. K/c giữa 2đt chéo nhau ;  ' gu
+Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn CT1: d  ;
 '  d M;  yễ
(O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt n V
(   chứa  và song song  ' ) i
tiếp xúc với (O) tại A. Ta có: ết 2 H M . B MC MA iế u  089908.
   c ; Tìm mp    c
   a ;   b 3939 CT 2 : d  ;  '  HK
  ;    ; a b
(HK:đoạn vuông góc chung của ;  ')
17.Diện tích hình chiếu của đa giác
20. Định lí Thales trong mặt phẳng
22. Trong tam giác vuông, đường trung
Cho đa giác (H) nằm trong mp   có
+Nếu 1 đt song song với 1 cạnh của tam tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa
diện tích S và (H’) là hình chiếu vuông
giác và cắt 2 cạnh còn lại thì nó định ra cạnh huyền.
góc của (H) trên mp   . Khi đó diện
trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng
+Nếu một tam giác có đường trung
tích S’ của (H’) là: S '  S cos . tương ứng tỉ lệ.
tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Với  là góc giữa   và   .
ấy thì tam giác đó vuông. Face: viethieu220284 Trang 19
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
X.ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1. Quy tắc cộng 3.Hoán vị
+Số các tổ hợp chập k 0  k n của
+ Một công việc được hoàn thành bởi + Cho tập hợp A có n phần tử n   1 . n k !
một trong hai hành động. Nếu hành
n phần tử là: C
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n n
k !.n k
động này có m cách thực hiện, hành !
phần tử của tập hợp A đgl một hoán vị
động kia có n cách thực hiện không k k
0  k n của n phần tử đó. Tính chất: A C .k! n n
trùng với bất kì cách nào của hành động k nk   
thứ nhất thì công việc đó có m n cách +Số các hoán vị của n  n   1 phần tử C C k n n n 0  thực hiện. là: P  ! n 1.2.3...(n1).n k 1  k k CC C 1  k n n 1  n 1  n   n
+ Quy tắc cộng phát biểu dưới dạng tập Quy ước: 0!1
6. Phép thử, biến cố, xác suất:
hợp: Nếu A, B là hai tập hợp hữu hạn 4. Chỉnh hợp
+Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy
không giao nhau  A B   thì + Cho tập hợp A có n phần tử n  
1 . ra của một phép thử đgl không gian
nA B  nA  nB
mẫu của phép thử, kí hiệu  .
Kết quả của việc lấy k phần tử khác +Biến cố là tập con của không gian mẫu.
+ Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhau từ n phần tử của A và sắp xếp nhiều hành động.
chúng theo thứ tự nào đó đgl một chỉnh +Tập  là biến cố không thể (biến cố 2. Quy tắc nhân
hợp chập k của n phần tử đã cho. không).
+Tập  là biến cố chắc chắn.
+ Một công việc được hoàn thành bởi +Số các chỉnh hợp chập k 1  k n +Cho A là 1 biến cố liên quan 1 phép
hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách n k !
thực hiện hành động thứ nhất và ứng của n phần tử là: A
thử. Tập A   \ A đgl biến cố đối của nn k
với mỗi cách đó có n cách thực hiện ! biến cố A.
hành động thứ hai thì có .
m n cách 5.Tổ hợp: + Cho tập hợp A có n phần tử + AB   thì A, B đgl hai biến cố hoàn thành công việc. n  
1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của xung khắc.
+Quy tắc nhân có thể mở rộng cho
A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử
nhiều hành động liên tiếp. đã cho.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Định nghĩa cổ điển của xác suất Tính chất xác suất:
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu  chỉ có một
P  0; P 1
số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Xác suất của biến cố A là:
 0  PA 1, với mọi biến cố A P AnA 
 Nếu 2 biến cố A, B xung khắc thì n
P A B  P A  P B
Với n A là số phần tử của A hay số khả năng thuận lợi cho biến cố A.
P A  1 PA
n  là số phần tử không gian mẫu.
7. Tam giác Pascal: Khai triển   n x y  * n  
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 n  1: 1 1
x y1  x y n  2 : 1 2 1 x y2 2 2
x  2xy y n  3 : 1 3 3 1 x y3 3 2 2 3
x  3x y  3xy y n  4 : 1 4 6 4 1 x y4 4 3 2 2 3 4
x  4x y  6x y  4xy y n  5 : 1 5 10 10 5 1 x y5 5 4 3 2 2 3 4 5
x  5x y 10x y 10x y  5xy y
8. Công thức nhị thức Newton  n
a bn 0 n 1 n 1  2 n2 2 k nk k n 1  n 1
C a C a .b C a .b ... C a .b ... C .  n n a bC b k n k  C a . k b n n n n n n n k 0 (1)
Trong vế phải (1) có n  
1 hạng tử; tính từ trái sang phải các hạng tử có: số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b
tăng dần từ 0 đến n và tổng số mũ của a , b bằng n. Số hạng tổng quát: k nk TC a . k b . k 1  n
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Trang 20 Đặc biệt: n + 2 n  1 2 2 0 1 2 2 1
C C C ... nC (*) 2n 2n 2n 2n n + n     0 1 2 2 1 1
C C C ... nC n n n n 2n k 0 1  0 1 2 3 1 C C C C ... C C              C (**) n n n n   k 2n 1 2 1 ... n 2 2 2 2 2n 2n 2n
+Cho tập hợp A có n phần tử  * n   Từ (*), (**) có:  
Số tập con có 1 phần tử của A là: 1 C 0 2 4 2n 1 3 2n 1 2n 1
C C C
... C C C ... C   2 n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
 Số tập con có k 0  k n phần tử n
+ 2 n  1 2 1 2 1 0 1 2 n n 1  2n 1 1  CCC ... CC ... C  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  của A là: k C . nn n n    n Mà 0 2 1 1 2 1 C C ; C C ;...;C C 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
 Số tất cả tập hợp con của A là: Suy ra: 2n 0 1 2 n n 1  2n 1 2  CCC ... CC ... C  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  n kC  2n n n        n
+ Đa thức f x a bx 2 a a x a x ... a x 0 1 2 n k 0    n 0 1 2 k
Tổng tất cả các hệ số trong khai triển đa thức f x bằng: 0
1 1  C C C ...    1 k C n n n n n
T a a a  ...  a f 1  a b 0 1 2 n     n ...   1 n Cn
BT1. Bạn H có 2 áo màu khác nhau và ba 2.Cho đa giác lồi (H) có n cạnh
+Tổng tất cả các hệ số từ khai triển biểu
quần kiểu khác nhau. Hỏi H có bao nhiêu ( n  4 ). thức  x  17 3 4 là:
cách chọn 1 bộ quần áo?
+ Số vectơ khác 0 có điểm đầu và a a ... a a f 1  1 17 16 1 0   Giải: Hai áo được ghi
điểm cuối là hai đỉnh của (H) là: 2 A .
chữ a và b, ba quần n
4. Quy tắc cộng mở rộng cho 2 tập hữu được đánh số 1,2,3.
+ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của hạn A, B và AB   Để chọn 1 bộ quần (H) là: 3 C . n
n A B  n A  n B  n A B áo, ta phải thực hiện
+Số đoạn thẳng có 2 điểm đầu mút liên tiếp hai hành
(Quy tắc bao hàm và loại trừ) là 2 đỉnh của (H) là: 2 C . n động:
BT4. Một tổ 10 học sinh sẽ được chơi 2
+ Số đường chéo của đa giác (H) là: HĐ1: Chọn áo. Có hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. 2  cách chọn (chọn a C n
Có 5 bạn đăng kí chơi cầu lông, 4 bạn n hoặc b).
BT3. Từ khai triển biểu thức
đăng kí chơi bóng bàn, trong đó có 2
HĐ2: Chọn quần. Ứng với cách chọn áo có 
bạn đăng kí chơi cả 2 môn. Hỏi có bao x  17 3 4
, hãy tính tổng tất cả các
ba cách chọn quần (Chọn 1, hoặc 2, hoặc 3).
nhiêu bạn đăng kí chơi thể thao? Bao
hệ số của đa thức nhận được.
Vậy số cách chọn 1 bộ quần áo là: 2.3 = 6
nhiêu bạn không đăng kí chơi thể thao? cách.
G: f x  3x  417 17
a .x ... a x a 17 1 0
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Giải: Kí hiệu X là tập hợp 10 học sinh trong BT5. Bài kiểm tra trắc nghiệm gồm nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
tổ; A là tập hợp các học sinh đăng kí chơi 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả của biến cố này không làm ảnh hưởng
cầu lông; B là tập hợp các học sinh đăng kí lời và chỉ có 1 phương án trả lời tới xác suất xảy ra của biến cố kia. chơi bóng bàn.
đúng, điểm cho mỗi câu trả lời đúng + Nếu hai biến cố A, B độc lập với
là 0,2. Bạn H làm chắc chắn đúng 30 nhau thì A và B ; A và B; A và B
câu và 20 câu còn lại bạn chọn ngẫu cũng độc lập với nhau.
nhiên. Tính gần đúng xác suất bạn H + Quy tắc: Nếu hai biến cố A và B độc được đúng 7 điểm.
lập với nhau thì P .
A B  P 
A .PB Giải: .
A B A B
Số phần tử không gian mẫu: BT6. Một chiếc máy có hai động cơ I và n  20  4
II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất
Gọi A là biến cố: “H được 7 điểm”.
để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần
n X   10; n A  5; n B  4 n A 5 15  C .3 .
lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để 20
n A B  2.
Vậy xác suất bạn H được đúng 7 cả 2 động cơ đều không chạy tốt.
A B là tập hợp các bạn đăng kí chơi thể điểm là:
Giải: Gọi A là bc “Động cơ I chạy tốt”, B thao.
là biến cố “Động cơ II chạy tốt”, D là P A 5 15 C .3 20  
biến cố “Cả 2 động cơ đều không chạy
n A B  n A  n B  n A B  7 20, 233% 20 4 tốt”.
Số bạn không đăng kí chơi thể thao là:
9.Quy tắc nhân xác suất:
P D  P  .
A B  PA.PB  6%
n X   n A B  3
+ Hai biến cố A và B đgl độc lập với Trang 21
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284 XI.CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀ Th M .
S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1.CẤP SỐ CỘNG 3.CẤP SỐ NHÂN
5.Giới hạn dãy số u
7.Tổng của CSN lùi vô hạn n
+ u là CSC (vô hạn) với
+ u là CSN (vô hạn) với công
u ,công bội q, q 1 bằng: n n n  1 lim  0, k   công sai d: bội q: * u
u *q, n   k n u n 1  n
S u u  ... u  ... 1  * u
u d, n   lim k n  , k   1 2 n 1  q n 1  n
+ u là CSN (hữu hạn, m phần n
+ u là CSC (hữu hạn, m
limC C, C hằng số.
8.Nếu limu a và n  tử) với công bội q n
phần tử) với công sai d n   uu * , q n  1  ,m 1 limq 0, q 1 un n 1  n
limv   thì lim  0 . n u
u d, n  1  ,m 1 n    v n 1  n
4.Tính chất CSN u , có số lim q , q 1 n n
2.Tính chất CSC u có số
6.Định lí về giới hạn hữu
+Nếu limu a  0 ; n
hạng đầu u , công bội q: n 1
hạng đầu u , công sai d hạn của dãy số
limv  0 và v  0, n  thì 1 + 1 u u * n q   n n n 1 Nếu limu  ;
a limv b thì
+ u u n 1 d n n u n 1   + 2 u u *u , k   2 lim n   . k k 1  k 1 
limu v a b v n n uu n + k 1  k 1 u   , k   2 ( u ;u ;u   là 3 số hạng liên k k 1 k k 1
limu v a b
+Nếu limu a  0 ; n n  2 tiếp của CSN  n u ) n  ( u ;u ;u
limu *v a b
limv  0 và v  0, n  thì n n n n k 1  k k 1  là 3 số hạng liên *
+ Tổng n số hạng đầu của CSN
tiếp của CSC u ) u n
u là: S u u ...u u a lim n   . n  lim n    b  0
+ Tổng n số hạng đầu của CSC n 1 2 n vn  Nếu q=1 thì S  . n u v bn u
là: S u u  ... u n 1
+ Nếu limu   và n n 1 2 n n u 1 nq + Nếu u  0 và n 1  
nu u n n 1 d
limv a  0 thì limu .v   n n  1 n     
Nếu q  1 thì Sn nu n limu
a thì a  0 và n 1 1 q 2 2
+ Nếu limu   và lim u a n n
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
limv a  0 thì limu .v   n n n
9.Định lí giới hạn hữu hạn hs
12. Giới hạn tích, thương hs
+Hs y f x liên tục trên 17.Đạo hàm
Nếu lim f x  ;
L lim g x  M đoạn   ;
a b nếu nó liên tục Cho hs y
f x xác định trên xx xx 0 0
 ;ab và x  ;ab . Nếu tồn tại 0   lim  f
 x  g x  L M  trên khoảng  ; a b và xx0
f x  f x0 
lim f x  f a ; lim f x  f b lim  f
 x  g x  L M    lim hữu hạn thì xa x bxxxx 0 x x 0 . 0 lim  f
 x* g x  L *M  
14. +Hàm số đa thức liên f x f x
y 'x f ' x  lim 0   0    0 xx0 xx x x  tục trên . 0 0 f x  L lim    M
+Hàm số phân thức hữu tỉ
18. Định lí: Nếu hs y f x
xx g  x  0 0  M
và các hàm lượng giác liên có đạo hàm tại x thì nó liên 0
Nếu f x  0; lim f x  L thì
tục trên từng khoảng xác xx tục tại điểm đó. 0 định của chúng.
19. Pt tiếp tuyến của đths
L  0; lim f x  L 13. Hàm số liên tục
15.Cho hs y f x và xx0
+Hs y f x xác định trên
y f x tại điểm M x ; y là: 0 0 
y g x
10. lim f x  L khi và chỉ khi
liên tục tại x . Khi  0
y f 'x
x x y 0  0  xx khoảng  ; a b và x ; a b . 0   0 đó: 0
lim f x  lim f x  L
 Hs y f x liên tục tại x
+ x là hoành độ tiếp điểm.  
+ Các hs y f x  gx ; 0 x  0 0 x x 0 x
+ y là tung độ tiếp điểm.
11.Giới hạn hàm số đặc biệt
 lim f x  f x
y f x.g x 0 0  liên tục tại xx0 d
lim C C , C hằng số.  + f ' x f x 0    
lim f x  lim f x  f x x .  0 x x0   0  x dx xx xx 1 0 0 f x lim  0 ,k nguyên dương.  
là hệ số góc của tiếp tuyến. k + Hàm số y
f x liên tục trên +Hs y liên tục tại x x x g x 0
Chú ý: cho đt d: y ax b . lim k
x   , k nguyên dương.
1 khoảng khi nó liên tục tại mọi +Tiếp tuyến vuông góc d x
điểm thuộc khoảng đó.
nếu g x  0 . 0  1 lim k x   , k   ,k chẵn.
“Đồ thị hs liên tục trên 1 khoảng 16. Nếu hs y f x liên f ' x   0  x  
là một đường liền nét trên a lim k x   , k   , k lẻ. tục trên  ; a b và +Tiếp tuyến //d x   khoảng đó”.
f a. f b  0 thì pt f x  0
f 'x a 0 
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
(Tìm x , viết pttt, loại tt  d ) 0 khoảng  ;ab. Trang 22 Face: viethieu220284
20. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm sơ cấp 1 ′ 1 1 ′ 𝑢′
(𝐶)′ = 0 (C là hằng số) ( ) = − (𝑥 ≠ 0) ( ) = − (𝑢 ≠ 0) 𝑥 𝑥2 𝑢 𝑢2 (𝑥)′ = 1 ′ 1 ′ ′ 𝑢′ 𝑢
𝑢′. 𝑣 − 𝑣′. 𝑢 (√𝑥) = (𝑥 > 0) (√𝑢) = (𝑢 > 0) ( ) = (𝑣 ≠ 0) 2√𝑥 2√𝑢 𝑣 𝑣2
(𝑥𝛼)′ = 𝛼. 𝑥𝛼−1
(𝑢𝛼)′ = 𝛼. 𝑢𝛼−1. ( 𝑢′
𝑢. 𝑣)′ = 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′
(𝑢. 𝑣. 𝑤)′ = 𝑢′. 𝑣. 𝑤 + 𝑢. 𝑣′. 𝑤 + 𝑢. 𝑣. 𝑤′ ′ 1 𝑢′ ( ′ √ 𝑛 𝑥) = ( √ 𝑛 𝑢) =
(𝑘. 𝑢)′ = 𝑘. 𝑢′ (k là hằng số) 𝑛 √ 𝑛 𝑥𝑛−1 𝑛 √ 𝑛 𝑢𝑛−1
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑠𝑖𝑛𝑢)′ = 𝑢′. 𝑐𝑜𝑠𝑢
21. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
(𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = − 𝑠𝑖𝑛𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑢)′ = −𝑢′. 𝑠𝑖𝑛𝑢
Xét chuyển động thẳng có pt quãng 1 𝑢′
đường chuyển động theo thời gian t (𝑡𝑎𝑛𝑥)′ =
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑢)′ =
= 𝑢′(1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑢) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑢
là s st (Với s st là hàm số có (𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0) (𝑐𝑜𝑠𝑢 ≠ 0) đạo hàm cấp hai). ( 1 𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = − −𝑢′
+Vận tốc tức thời của chuyển động tại 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑢)′ =
= −(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥) (𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0) 𝑠𝑖𝑛2𝑢
thời điểm t là vt s' t 0   0
= −𝑢′(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑢) (𝑠𝑖𝑛𝑢 ≠ 0) 0
+ Gia tốc tức thời của chuyển động tại
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
thời điểm t là at s'' t . 0   0 0 (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥
(𝑒𝑢)′ = 𝑢′. 𝑒𝑢
22.Vi phân: Cho hs y f x xác
(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥. 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1) (𝑎𝑢)′ = 𝑢′. 𝑎𝑢. 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1) định trên  ;ab và có đạo hàm tại 1 𝑢′
(𝑙𝑛𝑥)′ = (𝑥 > 0) (𝑙𝑛𝑢)′ = (𝑢 > 0) x ;
a b . Giả sử x là số gia của x. 𝑥 𝑢 1
Vi phân của hàm số y f x tại x ứng ( 𝑢′
𝑙𝑛|𝑥|)′ = (𝑥 ≠ 0) 𝑥 (𝑙𝑛|𝑢|)′ = (𝑢 ≠ 0) 𝑢
với số gia x là: dy df x  f 'x. 1 x (𝑙𝑜𝑔 𝑢′
23. Ứng dụng vi phân tính gần 𝑎𝑥)′ = 𝑥. 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢)′ = 𝑢. 𝑙𝑛𝑎 đúng:
(𝑥 > 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)
(𝑢 > 0, 0 < 𝑎 ≠ 1) 1
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0). ∆𝑥 (𝑙𝑜𝑔 𝑢′ 𝑎|𝑥|)′ = 24. Đạo hàm cấp n: 𝑥. 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢)′ = 𝑢. 𝑙𝑛𝑎
(𝑥 ≠ 0, 0 < 𝑎 ≠ 1) n
(𝑢 ≠ 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)   fx n  1   fx   a b Zalo 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 ax b c d ad bc Đặc biệt: 2 2 cx d (cx d ) (cx d ) b c 2 adx 2aex 2 2 ax bx c d e adx 2aex be dc 2 2 dx e (dx e) (dx e) a b a c b c 2 x 2 x 2 ax bx c d e d f e f
(𝑎𝑒−𝑏𝑑)𝑥2+2(𝑎𝑓−𝑑𝑐)𝑥+(𝑏𝑓−𝑒𝑐) 2 2 2 dx ex f (dx ex f ) (𝑑𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)2
23.Ứng dụng vi phân tính gần 1
3,99  f 4  0,0 
1  f 4  f '4.0,0  1 y ' 
. Ta có công thức tính gần đúng
đúng giá trị của 3,99 . 2 x 1 Vậy: 3,99  4  .0,0  1 1,9975.
Xét hàm số y x, x  0 và x  4
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0). ∆𝑥 2 4 0   
0,01 là số gia của x  4 . x0 0 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 T rang 23 Face: viethieu22028 X
4 II.TẬP HỢP, HÀM SỐ, PT, BẤT PT, THỐNG KÊ, LƯỢNG Th. GI S NguyÁ ễ C
n Vi ết Hiếu 089908.3939 1. Giao của 2 tập hợp 3. Hiệu của 2 tập hợp 4. Các tập hợp số
 ;a xx   a
A B  x x A va x   B
A \ B  x x A va x   B
+ Tập hợp các số tự nhiên 0;1;2;3;4;..  . x Ax A  ;
 b  xx  
x A B  
x A \ B   b *  1;2;3;4;..  x Bx B  .
+Tập hợp các số nguyên ...; 3  ; 2  ; 1
 ;0;1;2;3;.. . + Đoạn a;b xa x   b
+Tập hợp các số hữu tỉ m  + Nữa khoảng
  m ;n ;n  0 2. Hợp của 2 tập hợp  n
a;b xa x   b
+ Khi B A thì A \ B đgl +Tập hợp các số thực
A B  x x A hoac x  
B phần bù của B trong A, kí
+ Tập hợp các số phức xA
hiệu C B A \ B
a;b xa x   2 b
x A B   A
a bi ,ab ;i    1 x B
5. Các tập con thường gặp của :
a; xx   a + Khoảng
 ;ab xa x   b  ;
 b  xx   b
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
6. Tập xác định của hàm số
+Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy T 11.Hsbậc 2: 2
y ax bx ca  0 a  0 h.S N +Pt có vô no  
y f x là tập hợp tất cả số làm trục đối xứng + Txđ: D b  0  gu
thực x sao cho biểu thức yễ  b  n
+ a  0 : hs nb trên ;   
 13. Định lí Viet a  0
f x có nghĩa. Vi  2a  ết +Nếu ptb2 2
ax bx c  0
+Chú ý: A, B là hai đa thức H  b  iế Hs đb trên  ;  u   . b   
A xác định  A  0
có 2 no x ; x thì x x 1 2 1 2 (Đths 2 y x ) 089908.  2aa A
xác định  B  0
+ Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm  b c a     B + 0 : hs đb trên ; 3939   và x .x tâm đối xứng.  2a  1 2 a A
xác định  B  0  b
Chú ý: x x x x  2x x 1 2  1 22 2 2 B Hs nb trên  ;    . 1 2  2a
x x  x x 3 3 3
3x x x x 1 2 1 2 1 2  1 2 
7. Hs y f x đgl hàm đồng
+Đths bậc 2 là 1 đường 2 biến trên khoảng  2 ; a b nếu x x
x x  4x x 1 2  1 2  b  
parabol có đỉnh I  ;   1 2 T x  ;x  ;
a b thỏa x x (Đths 3 y x )  2a 4a  h. 1 2   1 2  S N    x x
f x f x .
9. Hs bậc nhất y ax ba  0 b 1 2 gu 1   2
, trục đối xứng x   . a y 2a ễn
+Hs y f x đgl hàm + Txđ: D  B  0 Vi
+ a  0 : hs đồng biến trên  ết
nghịch biến trên khoảng
14. A B  A B H 
+ a  0 : hs nghịch biến trên  iế ; a b nếu x  ;x  ; a b A  B  u 1 2  
+ Đths là 1 đường thẳng d đi 089908.
thỏa x x f x f x .   A B 1   2 1 2
qua 2 điểm A0;b,B1;a b .
+ A B   3939
8. Hs y f x với tập xác
( a là hệ số góc của đường   A B
định D gọi là hàm số chẵn
thẳng d: y ax b )
12.Pt ax b  0  A khi A  0 + A
nếu x D thì x D và
10.Đths hằng y b là một đt
+pt có no duy nhất  a  0  A khi A  0 
f x  f x .
vuông góc Oy tại A0;bb
(No duy nhất x   ) B  0 a  
Hs y f x với tập xác định + A B  2   a  0 A B
D gọi là hàm số lẻ nếu +Pt có vô số no    
B  0or A 0
x D thì x D và b 0 
+ A B  
f x   f x . A B  Trang 24
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 15.Pt bậc 2 2
ax bx c  0a  0 +pt có 2 no pb x ; x thỏa 17.Bđt Cauchy 1 2
+Pt có nghiệm    0
x    x a b 1 2 + a  ,b  0 thì  ab
+Pt vô nghiệm    0   0  2  +Pt có 2 no pb    0   
x  x   0 (Dấu “=” xảy ra a b )  1  2 
+Pt có nghiệm kép    0 +pt có 2 no pb     x ; x thỏa + 1 1 4 , ,ab 0 +Pt có 2 no dương pb 1 2 a b a bx x   1 2 + 1 1 1 9    , , a , b c  0   a b c
a b c 0    0     a b c b T   + a  , ,bc  0 thì 3 abc   h.
 x  x   0 1  2 
S x x    0 1 2 S 3 a  Ng  u
 x   x   0    1   2   (Dấu “=” xảy ra a b c ) c y
P x .x   0  ễ 18.Bđt Bunhiacopxki 1 2  n +pt có 2 no pb a x ; x thỏa 1 2 Viế +    2  t  2 2 2    2 2 2 ax by cz a b c
x y z  +Pt có 2 no âm pb
  x x 1 2 Hi  ế     0 , a , b , c , x , y z   u 0 08   9908
 x  x   0
Dấu “=” xảy ra khi a b c   1  2   x y z b  
S x x    0 .3939
 x   x   0 x yx y2 2 2 1   2  1 2 a  +   , a  ,b  0; ; x y   a b a b c
P x .x   0  1 2   a
16.Tính chất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra x y a b
+Pt có 2no trái dấu  ac  0 2 2 2     + x y x y  , x  , y    2  2  18.Nhị thức bậc nhất   + 2 2
A B A B Th. 23. Thống kê f xa 0  0, x     S
f x  ax ba  0   0    Ng +Tần số n, tần suất f
A B A B  0 u   y
+Biểu đồ hình cột, hình quạt, ễn f xa 0  0, x     + 2 2
A B A B V   đường gấp khúc. 0  iế   t
A B A B  0 Hi
+Số trung bình cộng x a  ế    f x 0  0, x      A B n x n x ... n x u 1 1 2 2 k k 08 x
“phải cùng, trái trái”   0 
+ A B   9908 n A  B  19.Tam thức bậc hai A  0
f x f x  ...  f x  1 1 2 2 k k . A B 3939 f x 2
ax bx ca  0 
21. A B  B  0
+ A B  
( n ; f lần lượt là tần số, tần   i i +   A B
0 (Pt f x  0 vô no)  2
suất của giá trị x ) A B   i A B     A B   +     là số  + A B  + A Bn n ... n n A  0 1 2 k A  BA  B   các số liệu thống kê.     +   + A B B 0
22. Trong mp Oxy, tập hợp các 0 (pt   
f x  0 có n c n c ... n c  1 1 2 2 k k x  2 
điểm có tọa độ là no của bpt n b A B  nghiệm kép x   )
ax by c đgl miền nghiệm
f c f c  ...  f c 2aA  0 1 1 2 2 k k
+ A B   của nó.
( n ; f ;c lần lượt là tần số, A Bi i i
+ Quy tắc biểu diễn miền
tần suất, giá trị đại diện của A  0 T
nghiệm của bpt ax by c h
+ A B   . lớp ghép thứ i S N A B
B1: Vẽ đt  : ax by c gu
+ n n  ...  n n là số 1 2 k
+   0 (pt f x  0 có  y  ễ B2: Lấy 1 điểm M x ; y 0  0 0  B  0 n các số liệu thống kê) nghiệm 2no pb V
x ; x x x )  iế không thuộc  . + Số trung vị M 1 2  1 2  A  0  e t + A B  H   B3. Tính ax by và so sánh
Sắp các số liệu thống kê  0 0 i B  0 ế  u 
ax by với c. thành 1 dãy không giảm 089908. 0 0 2  A B  B4. KL: Nếu   thì
(hoặc không tăng). Số trung
“Trong trái,ngoài cùng” ax by c 0 0 3939
vị của các số liệu thống kê
20. Tam thức không đổi dấu B  0
nữa mp bờ  chứa M0 là miền  no của bpt
đã cho là số đứng giữa dãy
ax by c . f x 2
ax bx ca  0 A  0 
nếu số phần tử là lẻ và trung + Nếu   thì nữa mp  + A B ax by c a   0 0
bình cộng của 2 số đứng +   f x 0  0, x     B 0   
bờ  không chứa M là miền no 0  
giữa dãy nếu số phần tử là 2  A B 
của bpt ax by c chẵn. Face: viethieu220284 Trang 25 Th T .S N . gu S N yễ y n V n iế i t t H iế i u 089908. 3939 089908. Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Mốt của một bảng phân bố 1 + tan
xk  tanxk 
cosa b   2  cos . a cosb sin . a sinb
1  tan x cos x  0 2  
tần số là giá trị có tần số lớn cos x
cot x k   cot xk  
cosa b  cos . a cosb  sin . a sinb
nhất và được kí hiệu là M . 1 O 2
1 cot x sin x  0  x khi k chan a b 2  
+Phương sai của dãy số liệu sin x
x k  sin sin  
a b tan tan tan   1  tan . a tan b tan .
x cot x  1 (sin 2x  0) sin x khi k le
n x x2  ... n x x a b k k 2 1 1
tan a b tan tan 2   s
27.Cos đối, sinbù, phụ chéo
x k  cosx khi kchan cos  1  tan . a tan b n
+ cosx  cos x (cos đối) cos x khi k le  29.CT nhân đôi
f x x2 ... f x x       k k 2 1 1
sinx  sin x
+ sin x sin x sin x sin 2x  2sin . x cos x tanx  
cos x  cos  x 2 2
cos 2x  cos x  sin x
n c x  ...  n c x tan x T 1  1 2 2 k k 2 + h s  .S N 2 2
 2cos x 1 1 2sin x
cot x  cot x
tan x  tanxn gu Áp dụng: 
cot x  cotx 
+ sin  x  sin x (sin bù) y
f c x2 ... f c x ễ sin 4x  2sin 2 . x cos 2x k k 2 1 1 n
cos  x  cos x    V + sin
x  cos x i x x ế +Độ lệch chuẩn: 2   t s s . sin x  2sin .cos
tan  x  tan x  2  H 2 2 24. Độ và radian:   i rad  0 180   ế 2 2  u cos6x  cos
3xsin 3x
cot   x  cot x cos
x  sin x   089908.
25. Cung có số đo  rad  của  2  2 2   
 2cos 3x 11 2sin 3x
đường tròn bán kính R có độ + sin  x  cos x   (phụ chéo)     2  tan
x  cot x   3939 x x 2 2  dài là: cos x  cos sin l   R .  2  T    2 2
26.CT lượng giác cơ bản h. cos  x  sin x S N       x x 2  cot
x   tan x   2 2  2cos 1 1 2sin 2 2
sin x  cos x  1 gu  2  y    2 2 sin x ễn tan
x  cot x 28. Công thức cộng 30. CT hạ bậc tan x  cos x  0   Vi  2  cos x ế sin t
ab sin .acosbsin .bcosa 1  cos 2x H   2 sin x  cos x  cot x  sin x  0 i cot  x  tan x ế  
sina b  sin . a cosb  sin . b cosa 2 sin x u  2  089908. 1  cos 2x
sin u a  1   a   cosu  1
  u   k2 k  2 35.CT đặc biệt 1 cos x  2 3939        38.PT 
sin x  cos x  2 sin x u arcsin a k 2 tan x a 1  cos 2x    k    2 tan x   4  u  
  arcsin a k2 +Đk cos x  0 . 1  cos 2x       
tan u  tan v u v k 31.CT nhân 3  2 cos x    +Đb: sinu 0
u k k    4  0 0 0
tan u  tan   u    1 k 80 3 
cos 3x  4cos x  3cos x   
sin u  1  u
k2 k  
tanu a u  arctan a k k   3
sin 3x  3sin x  4sin x
sin x  cos x  2 sin x    2  4  32.CT bđ tổng thành tích 
39.PT cot x a    sin u  1
  u    k2 k   u v u v   +Đk sin x  0 . 2 cos x  2
cosu  cos v  2cos .cos    4 
cot u  cot v u v k 2 2
37.PT cos x a 4 4 2 2 0 0 0       u v u v
sin x  cos x  1 2sin . x cos x
+ Pt cos x a có nghiệm cot u cot u 1 k 80
cosu  cos v   2sin .sin 2 2 1 3 1 2       
cot u a u  arccot a k k   1 sin 2x   cos4x 1 a 1 a 1 u v u v 2 4 4 +Pt  vô nghiệm  
sin u  sin v  2sin .cos cos x a
40. Pt a sin x b cos x c 6 6 2 2    2 2
sin x cos x 1 3sin . x cos x a  1        +Pt có nghiệm 2 2 2 a b c u v u v 3 5 3 a 1 2    
sin u  sin v  2cos .sin
1 sin 2x   cos4x a  1  +Pt vô nghiệm 2 2 2 a b c 2 2 4 8 8  +PP giải khi 2 2 2   :
u v k2 a b c 33.CT BĐ tích thành tổng
36. Pt sin x a
cosu  cosv  k   
u  v k2   B1: Chia 2 vế cho 2 2 a b 1
+ Pt sin x a có nghiệm cos .
a cosb  cos
 a b  cosa b a b c 0 0 2  1
  a 1  a 1
u    k360 sin x  cos x  0
cosu  cos    2 2 2 2 2 2    1 +Pt a b a b a b
sin x a vô nghiệm 0 0       sin .
a sin b  cos
 a b  cosa b u k360 2  c a  1    
 sinx    (*)
cos u a  1   a   1 1 a 1  2 2 a b sin .
a cosb  sin 
 a b  sina b a 1      2 u arccos a k 2   k    a
u v k2        Với cos
sin u  sin v  k   u arccos a k 2 34.CT x 2t 2 2
t  tan . tan x   u
   v k2 a b 2 2 1  t
+Đb: cosu  0  u   k k   b 0 0  2t 2 1 t
u    k360  2 sin sin x  cos x  0
sinu  sin    2 2 a b 2 1  t 2 1 t 0 0 0 u 180     k360
cosu 1 u k2 k   B2: Giải (*). Face: viethieu220284 Trang 26
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
41.Giải pt đẳng cấp bậc 2 đối VdGiải 2 2
cos x  3 sin 2x 1 sin x
42.Hàm số y  sin x
43.Hàm số y  cos x với sinx và cosx
+ Ta có: cos x  0 ko thỏa pt. +TXĐ: D  +TXĐ: D  2 2
a sin x bsin .
x cos x c cos x d +Xét cos x  0 , chia 2 vế pt +Tập giá trị:  1  ;  1 +Tập giá trị:  1  ;  1
B1: Kiểm tra cos x  0 thỏa pt cho 2 cos x ta được pt:
+Hs y  sin x tuần hoàn
+Hs y  cos x tuần hoàn chu
hay ko. Nếu cos x  0 thỏa thì 1 2  1  2 3 tan x   tan x chu kì T  2 . kì T  2 . 2 KL x
k k   là no của cos x
+Đồ thị hs y  sin x :
+Đồ thị hs y  cos x : 2 2
 tan x  3 tan x  0
pt. Nếu cos x  0 ko thỏa, ta x k chuyển B2. tan x  0     
B2: Xét cos x  0 . Chia 2 vế pt tan x   3
x    k   cho 2 3 cos x ta được pt: Vậy no của pt là 2 a x b
x c d  2 tan tan 1 tan x 
x k ; x  
k k  
Giải pt trên.B3: Kết luận B1+B2.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 3
44. Hàm số y  tan x
45. Hàm số y  cot x 46. 2
sin x  1 cos x1 cos x
47.Hệ thức lượng tam giác V   +TXĐ: D
\ k,k   2
cos x  1 sin x1 sin x +TXĐ: D
\   k ,k    2 
sin a b +Tập giá trị:   +Tập giá trị: cot a cot b sin . a sin b
+Hs y  tan x tuần hoàn chu kì
+Hs y  cot x tuần hoàn chu
 sina b
cot a  cot b T   . kì T   . ABC  vuông tại A, đường sin . a sin b
+Đồ thị hàm số y  tan x :
+Đồ thị hàm số y  cot x : 4 4 cao AH.
cos x  sin x  cos 2x 2 2 2
BC AB AC x   x x2 1 sin 2 sin cos 2
AB BH.BC ; 2
AC CH .CB x   x x2 1 sin 2 sin cos 2
AH BH.CH 1  cos 2x AH .BC  . AB AC 2 cot x  1  cos 2x 1 1 1   2 2 2 cos3x  3cos x AH AB AC 3 cos x  4 A . B AC AH
3sin x  s in3x 2 2  3 sin x AB AC 4 AC AB +Định lí sin
r: bán kính đường tròn nội sin B  cos B BC BC a b c    tiếp ABC  . 2R AC AB sin A sin B sin C 1 1 tan B  cot B S  . ab sin C  . ac sin B AB AC
(R: bán kính đường tròn ABC 2 2
48.Hệ thức lượng trong ABC
ngoại tiếp tam giác ABC). 1 T  . bc sin A + Độ dài trung tuyến h.S Nguy 2 2 2 2 b c  2  a S
p p a p b p c ABC     2 m  ễ a 4 n V (CT Herong) iế 2 a cb t 49.Ứng dụng đo đạc 2  2 2 2  H
Áp dụng ĐL sin vào ABD  : AB  ; c AC  ; b BC a mb i 4 ế
BT1. Đo chiều cao của tháp u AD AB
Độ dài trung tuyến AM;BN;CP 089908.
mà không đến được chân  2 a bc sin  sin D 2  2 2 2
được kí hiệu LLL m ;m ;m m  tháp. a b c c 4 0 3939
D      15 +Định lí Cosin
Giả sử CD h là chiều cao +Diện tích tam giác ABC 0 2 2 2 
a b c  2b . c cos A
của tháp trong đó C là chân . AB sin 24.sin 48 1 1 1 AD    68,91 0 2 2 2   
b a c  2a . c cos B S . a h . b h . c h
tháp. Chọn 2 điểm A,B trên sin D sin15 ABC 2 a 2 b 2 c 2 2 2
c a b  2a . b cos C
mặt đất sao cho ba điểm Trong tam giác vuông ACD :
( h ;h ;h LLL độ dài đường cao     2 2 2 a b c h CD A . D sin 61,4m
b c a
A,B và C thẳng hàng. Ta đo + cos A ABC  kẻ từ đỉnh A, B,C)
khoảng cách AB và các góc 2bc abc 2 2 2   𝐶𝐴𝐷 ̂, 𝐶𝐵𝐷 ̂
a c b S S pr . Chẳng hạn ta ABC Th.S Nguyễn Viết Hiếu ABC cos B  4R
đo được AB  24m ; 2ac
a b c     089908.3939 2 2 2 (Với p là nữa chu 𝐶𝐴𝐷 ̂ 0 63
a b c cosC  2 𝐶𝐵𝐷 ̂ 0    48 2ab vi ABC  ) Face: viethieu220284 Tran g 27
XIII. VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG, Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 XIV.HÌNH OXY 1.Vectơ là 1
đoạn thẳng có 2. Hai vectơ a và b đgl bằng
4.Tính chất phép toán vectơ
MAMB  2MI hướng.
nhau nếu chúng cùng hướng
Với 3 vectơ a ; b ; c tùy ý,
+ Giá của vectơ là đường
và cùng độ dài, kí hiệu a b . với mọi số h,k ta có:
thẳng đi qua điểm đầu và
a b b a T
điểm cuối của vectơ đó.  h.S N
a b  c a  b c +Hai vectơ đgl cùng gu
phương nếu giá của chúng yễ
a  0  0  a a n song song hoặc trùng nhau. V 7.Trọng tâm ABC  iế
k a b
Với hbh ABCD có tâm O, ta có:  ka kb t
+ G là trọng tâm ABC  H i  ;   ế     h k GA GB GC 0 u + AB DC AD BC  
AB cùng phương, cùng a ha k a 089908.  ;      hướng với AO OC OD BO MA MB MC 3MG CD
hka  hka +Vectơ không là vectơ có 3939 (M tùy ý)
điểm đầu và cuối trùng nhau.
1a a ;   1 a   a
8. Đk cần và đủ để a và b
+ Vectơ không cùng phương, 5. Vectơ đối
b0 cùng phương là có 1
cùng hướng với mọi vectơ.
Cho a . Vectơ có cùng độ dài
+ PQ cùng phương, ngược
+ AA BB  0
số k để a k.b .
và ngược hướng với a đgl hướng với RS .
3. Quy tắc tổng hiệu 2 vectơ
9.Cho 3điểm phân biệt A,B,C
vectơ đối của a , kí hiệu a
+Khoảng cách giữa điểm
+QT 3 điểm: AB BC AC + A,B,C thẳng hàng  
đầu và điểm cuối của vectơ AB BA
+QT trừ: AB AC CB
AB cùng phương AC là độ dài của vectơ. +QT hbh: Nếu ABCD là hình
6.Trung điểm đoạn thẳng AB
AB k AC k  0
+ I là trung điểm AB AB AB
bình hành thì AB AD AC
IAIB  0 10.Tích vô hướng 2vectơ
Điểm M x ; y   OM x .i y .j 2 2
+Cho đường thẳng  đi qua M M M M
AB  x xy y B A   B A .
a b a . b .cos ; a b + Cho
điểm M x ; y và có 1 vtcp 0  0 0 
u  u ;u ;v v ;v 1 2   1 2  BAC
AB ACA .BAC cos cos ; 
u  u ;u . Pt tham số của 1 2 
+ Nếu a  0;b  0 thì:
u v  u v ;u v 1 1 2 2  A . B AC
x x u t a b  . a b  0
u v  u v ;u v
14.Tích vô hướng trong Oxy  0 1   1 1 2 2  là: t  +Bình phương vô hướng
Cho a  a ;a ;b b ;b
y y u t  1 2   1 2 
k.u  ku ;ku ,k  0 2 1 2  2 2
của a là: a a
+  có 1 vtcp u  u ;u ,u  0 1 2  u   v + .
a b a b a b 1 1 1 1 1 2 2 u v   u 2 2     AB AB u v  + 2 2 a a a 2 2 thì  có hệ số góc 2 k . 1 2 u
11. Tính chất tích vô hướng 1
+ u và v v  0 cùng phương
+Góc giữa 2 vectơ a;b  0 :
+Cho đường thẳng  đi qua
Với 3 vectơ a ; b ; c tùy ý, u   kv . a b a b a b
điểm M x ; y và có 1 vtpt 0  0 0  với mọi số k ta có:  cosa;b 1 1 2 2
u kvk   1 1     u kv  2 2 2 2 a . b
a a . b b n   ;
a b . Pt tổng quát của . a b  . b a 2 2 1 2 1 2 13. Trong mp Oxy, cho tam Th      .
a b c  . a b  . a c
15. Đường thẳng trong Oxy là: ax x b y y 0 . 0   0  S N 
giác ABC có Ax ; y ; A A  gu
+ u đgl vectơ chỉ phương
ka.b k. . a b  . a kb y
Bx ; y ;Cx ; y ễ
của đường thẳng  nếu n
+Đt  có 1vtcp u  u ;u 1 2  B B C C  V 2 2 iế
u  0 và giá của u song song a a  0
+ AB   x x ; y y t
thì  có 1vtpt n  u ; u  . 2 1  B A B A  H hoặc trùng  . i 2 + I là trung điểm AB ế
+Đt  có 1vtpt n  u  ;ab thì
a  0  a  0  089908.
+ u là 1 vtcp của  thì x x A B
12.Hệ trục tọa độ Oxy x  
 có 1vtcp u   ; b a . I
k.u k  0 2 là vtcp của  .   3939
+ Đt  có hệ số góc k thì y yA B + y
n đgl vectơ pháp tuyến I    2
của đường thẳng  nếu
có 1vtcp u 1;k  và 1
+G là trọng tâm tam giác ABC
u  0 và giá của u vuông góc vtpt n  k;  1 . 
x x x A B Cx  .
+Đt  có hệ số góc k thì pt  G  3  
+ n là 1 vtpt của  thì
 có dạng: y kx m
i  1;0, j  0;  1
y y yA B C y
k.nk  0 là vtpt của  . +Trục Ox: y  0. G
a  a ;a a a .i a . j  3 1 2  1 2 +Trục Oy: x  0.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Trang 28 Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
16.Đt đặc biệt trong Oxy
+(I) có 1 no duy nhất x ; y
và  : a x b y c  0
20.Khoảng cách từ điểm 0 0  2 2 2 2
Đường thẳng  : ax by c  0 Thì 
M x ; y đến đt  : ax by c  0 0  0 0 
; cắt nhau tại M x ; y
 có 1vtpt n a ;b 1  1 1 0  0 0  1 2 1
+ c  0 :  đi qua gốc O(0;0).
+(I) có vô số no thì     có 1vtpt  
n a ;b ax by c 2  2 2
+ a  0 :  / /Ox hoặc   Ox . 1 2 2 d M ;  0  0 0   2 2  + +(I) vô nghiệm thì  
b  0 :  / /Oy hoặc   Oy . / / Góc giữa 2đt tính bởi: a b 1 2 ; 1 2
17. Đường thẳng  đi qua
Đặc biệt: Nếu a ;b ;c  0 thì 2 2 2 Th.S N  n .n a a b b cos  ;   1 2  1 2 1 2 1 2 hai điểm A ;0
a  và B0;b với a b +  cắt  1 1   . 2 2 2 2 gu n . n
a b . a b 1 2 a b 1 2 1 1 2 2 x y y 2 2 ễ
a,b  0 . Pt đt  :  1. n V
    n .n  0  a a bb  0 a b a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 i +  / / 1 1 1    ế 1 2 t   
+ Khoảng cách giữa 2 đt song 18. VTTĐ của 2 đt a b c +Nếu : y k x m H 2 2 2 1 1 1 iế
song  : ax by c  0
Cho 2 đt  : a x b y c  0 a b c u
 : y k x m 1 1 1 1 1 1 2 2 2 +    1 1 1    089908.
Và  :ax by c  0 c c 2 2  2 1
và  : a x b y c  0 1 2 a b c
 có 1vtpt n k ; 1  1  1  2 2 2 2 2 2 2 1  3939 c c
a x b y c  0 19.Góc giữa 2đt
 có 1vtpt n k ; 1  d  ;  1 2  1 2 2  2  +Xét hệ: 1 1 1  I 2 2 2
a x b y c  0 
Cho 2 đt  : a x b y c  0         a b 2 2 2 1 1 1 1 n .n 0 k .k 1 1 2 1 2 1 2
21.Đường tròn (C) có tâm
22.VTTĐ giữa đường tròn (C) 23.Tiếp tuyến của đường 24. Trong mp cho hai điểm I  ;
a b và có bk R. Pt đường
và đường thẳng  :ax by c  0
tròn (C) có tâm I  ; a b , bk R,
cố định F ;F và một độ dài 1 2
tròn (C):   2    2 2
không đổi 2a , lớn hơn x a y b R (C) có tâm I  ; a b và bk R.
tại điểm M x ; y là  . F F . 1 2 0  0 0 
+ d I;  R:  ko cắt (C). +  đi qua
Elip là tập hợp các điểm M
M x ; y và có 1 0  0 0  trong mp thỏa:
+ d I;  R:  tiếp xúc (C)
vtpt IM x  ; a y b 0  0 0 
MF MF  2a 1 2
+ d I;  R :  cắt (C) tại 2
+Pt  : x a xx y b y y 0 0  0  0  0 điểm phân biệt A, B. +Pt đường tròn (C):
Gọi H là hcvg của I trên  . 2 2
x y  2ax  2by c  0 H là trung điểm của AB.  2 2
AB  2HB  2 R d I; 2 2
a b c  0 . Đt (C) có tâm
+2 điểm F ;F là 2 tiêu điểm 1 2
của Elip. Độ dài F F  2c là 1 2 I  ; a b và bk 2 2
R a b c tiêu cự của Elip.
25.PT chính tắc của Elip (E):
26.Dấu hiệu nhận biết hình +Hình thang cân có 1 góc 2 2 x y bình hành:
vuông là hình chữ nhật. 
1 0  b a 2 2   +Hình bình hành có 1 góc a b
vuông là hình chữ nhật.
+Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hcn.
+Tứ giác có 4 cạnh bằng
28.Dấu hiệu nhận biết hình nhau là hình thoi.
+Tứ giác có các cặp cạnh đối vuông
+Hình bình hành có hai cạnh 2 2 2
c a b 0ca song song là hbh.
+Hcn có hai cạnh kề bằng kề bằng nhau là hình thoi.
+Tứ giác có các cặp cạnh đối 2 2
c a b nhau là hình vuông. + Hình bình hành có hai bằng nhau là hbh.
đường chéo vuông góc là +Tiêu điểm:
+Hình chữ nhật có hai đường F  ; c 0 , F ; c 0 1   2 
+Tứ giác có hai cạnh đối
chéo vuông góc là h.vuông. hình thoi.
+Tiêu cự: F F  2c song song và bằng nhau là 1 2
+HCN có một đường chéo là +Hình bình hành có một +4 đỉnh: A  ; a 0 , A ; a 0 hbh.
đường chéo là đường phân 1   2 
đường phân giác của một góc
+Tứ giác có các góc đối bằng B 0; b  ,B 0;b là hình vuông.
giác của một góc là hình thoi. 1   2  nhau là hbh.
+Hình thoi có 1 góc vuông là 30. Cho tam giác ABC. Gọi
+Độ dài trục lớn: A A  2a 1 2
+Tứ giác có hai đường chéo hình vuông.
D,E lần lượt là chân đường
+Độ dài trục nhỏ: B B  2b
cắt nhau tại trung điểm mỗi 1 2
+Hình thoi có hai đường chéo phân giác trong và ngoài của
+Đường thẳng  : Ax By C  0 đường là hbh. bằng nhau là hình vuông. góc A của ABC  . Ta có: tiếp xúc (E) khi
27.Dấu hiệu nhận biết hcn
29.Dấu hiệu nhận biết hình AB DBAB EB ;  2 2 2 2 2
+Tứ giác có 3góc vuông là hcn
A a B b C thoi AC DC AC EC Face: viethieu220284 Trang 29
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 G. Polya (1887-1985)
Giải một bài toán như thế nào?
Theo G.Polya giải toán không chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số của lời giải, mà “Giải
bài toán” là bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải, tìm mối liên hệ
mật thiết giữa giả thiết kết luận, giải toán và tìm hướng phát triển cho lời giải.
4 bước giải toán theo G.Polya: 1.Understand, 2.Plan, 3.Solve, 4.Check. 1. UNDERSTAND
 Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn điều kiện bài toán hay
không? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
 Vẽ hình. Sử dụng kí hiệu thích hợp.
 Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không? 2. PLAN
 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
 Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng được không?
 Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự.
 Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không?
Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp? Có cần phải đưa
thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
 Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về định nghĩa.
 Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan.
Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng
quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần
bài toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được
xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ
kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể
giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hai nếu
cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau không?
 Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? 3. SOLVE
 Khi thực hiện giải bạn hãy kiểm trạ lại từng bước giải.Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước
đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? 4. CHECK
 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?
 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?
 Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán nào khác không?
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1. HÀM SỐ Trang 1
2. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT Trang 5
3. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Trang 9 4. SỐ PHỨC Trang 10
5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trang 11 6. KHỐI TRÒN XOAY Trang 13 7. KHÔNG GIAN OXYZ Trang 14 8. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 16 9. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang 18 10. ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 20
11. CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM Trang 22
12. TẬP HỢP, HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC Trang 24
13. VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG Trang 28 14. HÌNH OXY Trang 28