Bài 2
2.4. Liên hệ giữa các biến cố Hình ảnh Tập hợp Biến cố A là tập hợp con của B
Biến cố A thuận lợi cho biến cố B Hai tập hợp bằng nhau Hai biến cố bằng nhau
Phần bù của tập hơp A là
Biến cố đối lập của A là Sẽ chứng minh được Giao của 2 tập hợp:
Tích các biến cố: hoặc
(tất cả các thành phần cùng xảy ra) Hợp của 2 tập hợp:
Tổng hai biến cố: hoặc
(có ít nhất 1 thành phần xảy ra) Hai tập hợp ko giao nhau: Hai biến cố xung khắc
(không đồng thời xảy ra) Hiệu 2 tập hợp: Hai biến cố độc lập
(không ảnh hưởng về xác suất) Chú ý
 và là hai biến cố và thì: •
và xung khắc và không độc lập
Chứng minh: ý tưởng là chỉ ra và xung khắc
Vậy A và B không độc lập •
và độc lập và không xung khắc •
Có thể chỉ ra 2 biến cố vừa không độc lập, vừa không xung khắc
VD: Một người thi tuyển công ty A phải dự thi 2 vòng, qua vòng 1 mới được dự thi
vòng 2. Tỉ lệ người dự thi bị loại ở 2 vòng lần lượt là 70% và 80%. … Gọi A = “qua vòng 1”
Gọi B = “qua vòng 2” Không cho sẵn , cho
Qua vòng 1 mới được dự thi vòng 2
Vậy A và B không độc lập
Theo đề bài, mỗi vòng không loại 100% số người dự thi nên có những người thi qua
cả 2 vòng A và B có thể đồng thời xảy ra, nghĩa là A và B không xung khắc
 Độc lập toàn phần độc lập từng đôi
 và độc lập và độc lập và độc lập
và độc lập  Quy tắc đối ngẫu • • Ví dụ 2.11.
Xác suất một sinh viên thi đạt hai môn A và B lần lượt là 0,6 và 0,8. Nếu sinh viên đó thi
đạt môn A thì xác suất để anh ta thi đạt môn B là 0,75.
a) Tính xác suất sinh viên thi đạt cả hai môn.
b) Các biến cố “Thi đạt môn A” và “Thi đạt môn B” có độc lập không?
c) Hãy tính xác suất sinh viên đó thi đạt môn A biết rằng anh ta đã thi đạt môn B. BL
Gọi A = “Thi đạt môn A” và B = “Thi đạt môn B” Đề cho a) Tìm
b) A và B có độc lập không?
C1: A và B không độc lập
C2: A và B không độc lập c) Tìm Lập bảng
BT: Công ty đấu thầu 2 dự án với XS trúng thầu lần lượt là 0,5 và 0,6. XS không trúng
thầu dự án nào là 0,3. Tìm XS trúng thầu dự án 2 biết rằng không trúng dự án 1. Ví dụ 2.12.
Hộp gồm 16 bóng trắng và 4 bóng đen. Lấy lần lượt có hoàn lại 5 quả bóng. Tính xác suất
để lấy được 5 quả bóng màu trắng.
= “ lần i lấy được bóng trắng” (i=1,2,3,4,5)
Do lấy có hoàn lại nên độc lập toàn phần VD 2.11.
d) Tính xác suất sinh viên thi đạt ít nhất một môn.
Cách 1: dùng công thức XS của biến cố tổng
Cách 2: tách tổng thành 3 biến cố tích xung khắc
Cách 3: dùng biến cố đối (dùng hiệu quả khi A và B độc lập)
e) Tính xác suất có ít nhất một môn không đạt. Hoặc Học bù 4/4
Bài tập: Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án với XS trúng thầu dự án 1, 2 lần lượt là 0,3 và
0,4. XS không trúng thầu dự án nào là 0,55.
a) Tìm xác suất công ty trúng thầu cả hai dự án
VD: A. 0,12 B. 0,45 C. 0,25 D. 0,3
Cách 2: trúng thầu dự án 1; trúng dự án 2 trúng 2 = trúng 1
b) Hai biến cố “trúng thầu dự án 1” và “trúng thầu dự án 2” có độc lập không? Có xung khắc không?
VD: A. độc lập và xung khắc (luôn sai)
B. độc lập và không xung khắc
C. phụ thuộc và xung khắc
D. phụ thuộc và không xung khắc Du A và B không độc lập
(Cách khác: A và B không độc lập)
A và B có thể đồng thời xảy ra A và B không xung khắc
c) Biết rằng công ty đã không trúng thầu dự án 1, tìm XS công ty trúng thầu dự án 2.
VD: A. 0,42 B. 0,05 C. 0,4 D. 0,08 E. Đáp án khác
Ví dụ 2.13. Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,7.
Tính xác suất người đó bán được hàng ở đúng 2 nơi. Bài làm
A = “bán được hàng ở đúng 2 nơi” độc lập toàn phần
Trình bày bài 2.13 theo công thức (B)
+ Coi việc đến chào hàng ở 1 nơi là 1 phép thử có 3 phép thử độc lập
+ Trong mỗi phép thử, chỉ quan tâm biến cố “bán được hàng” có xảy ra hay không
+ Trong mỗi phép thử, XS “bán được hàng” đều bằng 0,7
Bài toán thỏa mãn lược đồ (B) với
XS bán được hàng ở đúng 2 nơi là
Ví dụ 2.13 (2). Một người đi chào hàng ở 10 nơi độc lập, xác suất bán được ở mỗi nơi đều
bằng 0,7. Tính xác suất người đó bán được hàng ở đúng 2 nơi.
Ví dụ 2.14. Hai hộp giống nhau:
Hộp loại I chứa 20 sản phẩm, trong đó có 6 phế phẩm;
Hộp loại II chứa 20 sản phẩm, trong đó có 9 phế phẩm.
Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản phẩm. Tính xác suất để đó là chính phẩm.
Bước 1: Lấy 1 hộp bất kì từ 2 hộp giống hệt nhau
Bước 2: Từ hộp đã lấy ở bước 1, lấy ra 1 sản phẩm bất kì Gọi
Trình bày 2.14a theo công thức XS đầy đủ là nhóm đầy đủ
“lấy được chính phấm” A có thể xảy ra đồng thời với hoặc với
a) Áp dụng công thức XS đầy đủ:
b) Biết chọn được chính phẩm. Tính xác suất đã lấy được hộp loại I.
Trình bày 2.14a,b bằng cách lập bảng: loại I loại II Tổng a) b)
c) Lô hàng có 100 hộp sản phẩm, trong đó có 40 hộp loại I, còn lại là hộp loại II. Làm lại
câu a, b trong trường hợp này. loại I loại II Tổng Ví dụ 2.15.
Một công ty có 65% nhân viên là nam, còn lại là nữ.
Trong số nhân viên nam: 40% đã có bằng đại học, còn lại chưa có bằng đại học.
Trong số nhân viên nữ: 20% đã có bằng đại học, còn lại chưa có bằng đại học.
a) Chọn 1 nhân viên bất kì, tìm xác suất người đó có bằng đại học.
b) Chọn 1 nhân viên có bằng đại học bất kì, tìm xác suất người đó là nữ.
c) Trong số nhân viên có bằng đại học, chọn 3 người, tìm xác suất chọn được đúng 1 nhân viên nữ.
Bài toán thỏa mãn lược đồ (B) với
Chọn 3 người có bằng ĐH, XS chọn được đúng 1 nữ là
Mức xác suất 0,01 có được coi là đủ nhỏ hay không? Cho VD minh họa.
Có, ví dụ: XS mua được bút bi hỏng là 0,01 đủ nhỏ
Không, ví dụ: XS nhảy dù mà dù không mở là 0,01 không đủ nhỏ
Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1. Khái niệm Ví dụ 3.1.
 Tung 1 con xúc xắc, gọi là số chấm xuất hiện là biến số, sau mỗi phép thử chỉ nhận
đúng một giá trị trong 6 giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6
là bnn, nhận 1, 2, 3, 4, 5, 6
: là biến cố ngẫu nhiên
: là biến cố ngẫu nhiên
 Quan sát siêu thị trong 1 ngày mở cửa, gọi là số khách vào siêu thị
là bnn, nhận 0, 1, 2, …, n, …
 Làm một đề thi trắc nghiệm môn Toán gồm 40 câu với thời gian tối đa là 60 phút, mỗi
câu đúng được 0,25 điểm. •
là điểm đạt được là bnn, nhận 0; 0,25; 0,5; …; 9,75; 10. • là thời gian hoàn thành
là bnn, nhận giá trị bất kì trên khoảng (0; 60] (đơn vị: phút) Ví dụ 3.2.
a) Hộp có 16 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy đồng t
số chính phẩm lấy được.
Gọi là số chính phẩm lấy được
b) Học sinh làm đề thi có 2 câu hỏi độc lập với xác s
bảng PPXS của số câu trả lời đúng.
VD khác: hs làm đề có 4 câu hỏi độc lập, xs đúng mỗi câu đều là 0,4. Lập bảng ppxs của số câu đúng Số câu đúng
Ví dụ 3.3. Tại 1 phân xưởng mỗi ngày có 4 máy cùng loại hoạt động. Bảng sau là PPXS của số máy hỏng trong 1 ngày: X 0 1 2 3 4 P 0,6 0,2 0,12 0,07 0,01
a) Tìm xác suất một ngày bất kì có ít nhất là 2 máy hỏng.
“một ngày bất kì có ít nhất là 2 máy hỏng”
b) Số máy hỏng trong các ngày khác nhau là độc lập với nhau. Tìm xác suất trong 3 ngày
liên tiếp không có máy nào hỏng. = ngày 1 ko có máy hỏng và ngày 2 không có máy
hỏng và ngày 3 không có máy hỏng Cách 1
là độc lập toàn phần và
A = “3 ngày liên tiếp không có máy hỏng” Cách 2
Bài toán thỏa mãn lược đồ (B) với
XS 3 ngày liền không có máy hỏng là