Tổng hợp lý thuyết nón – trụ – cầu – Lê Minh Tâm Toán 12

Tài liệu gồm 50 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Minh Tâm, tổng hợp lý thuyết chung và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề nón – trụ – cầu, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12 phần Hình học chương 2.Mời các bạn đón xem.

58 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Môn: Toán 12

Thông tin:

50 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12
Chủ đề 01. KHỐI NÓN
Dạng 1.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao ...................................................... 5
Dạng 1.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích ....................................................... 6
Dạng 1.3. Thiết diện ............................................................................................................................. 8
Dạng 1.4. Nội – ngoại tiếp .................................................................................................................. 9
Dạng 1.5.
Min – max liên quan khối nón ........................................................................................ 11
Dạng 1.6. Bài toán thực tế ............................................................................................................... 13
Chủ đề 02. KHỐI TRỤ
Dạng 2.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao .................................................... 18
Dạng 2.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích ..................................................... 19
Dạng 2.3. Thiết diện ........................................................................................................................... 21
Dạng 2.4. Nội – ngoại tiếp ................................................................................................................ 24
Dạng 2.5. Min – max liên quan khối trụ.......................................................................................... 26
Dạng 2.6. Bài toán thực tế ............................................................................................................... 29
Chủ đề 03. KHỐI CẦU
Dạng 3.1. Tính bán kính khối cầu cơ bản ...................................................................................... 39
Dạng 3.2. Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu .................................................................. 40
Dạng 3.3. Thiết diện ........................................................................................................................... 42
Dạng 3.5. Nội – ngoại tiếp ................................................................................................................ 44
Dạng 3.6. Min – max liên quan khối nón ........................................................................................ 47
Mục lục
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 2
A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng
P
:
Cho 2 đường thẳng
d
, cắt nhau tại
O
và chúng tạo thành
góc với
00
0 90
.
Quay
P
xung quanh trục với góc không thay đổi
được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh
O
.
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng gọi là trục,
Đường thẳng
d
được gọi là đường sinh,
Góc
2
gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay.
Cho
OIM
vuông tại
I
quay quanh cạnh góc vuông
OI
thì đường gấp khúc
OIM
tạo thành một hình,
gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).
Đường thẳng
OI
gọi là trục,
O
là đỉnh,
OI
gọi là đường cao,
OM
gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm
I
, bán kính
R IM
là đáy của hình nón.
3. Diện tích – Thể tích.
Cho hình nón có chiều cao là
h
, bán kính đáy
r
và đường sinh là ℓ thì có:
Diện tích xung quanh:
..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
tp xq d
SSS
Thể tích khối nón:
2
11
33
..V B h r h
KHỐI NÓN
KHỐI TRÒN XOAY
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 3
4. Tính chất.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng:
Đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh
→Thiết diện là tam giác cân.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh
→Mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Mặt phẳng cắt mặt nón tạo góc
Không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón
→Giao tuyến là một đường tròn.
Mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón
→Giao tuyến là đường parabol.
Mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón
→Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 4
5. Mối liên hệ thường gặp.
Trường hợp
Nội dung
Công thức
Hình minh họa
Lo
ại 1
VUÔNG
Quay quanh cạnh góc
vuông
1
C
và
2
C
là cạnh
góc vuông còn lại.
1
2
/
hC
RC
l c huyen
Lo
ại 2
Quay quanh cạnh huyền
tạo 2 nón:
+ Nón trên (nón chứa C).
+ Nón dưới (nón chứa B).
12
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 1 1
/
&
c huyen h h
R R C C
l C l C


Lo
ại 3
ĐỀU
Quay quanh đường cao
Thiết diện qua trục là tam
giác đều.
3
2
2
l
h
lR
Lo
ại 4
Quay quanh 1 cạnh
tạo
2 nón bằng nhau.
12
12
12
2
3
2
l l C
C
RR
C
hh



Thiết di
ện
Qua trục
VUÔNG
22
hR
Rl
ĐỀU
2
3
2
lR
l
h
Không
qua trục
+ Vẽ trung điểm của dây.
+ Nối với tâm
kí hiệu vuông góc.
+ Xem giả thiết:
/ ; /t dien m day
.
/ ; /t dien d cao
.
;/d O t dien d
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 5
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.
Diện tích xung quanh:
..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
tp xq d
SSS
Thể tích khối nón:
2
11
33
..V B h r h
Ví dụ 1.1.1
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB a
và
3AC a
. Tính độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AB
.
A.
a
. B.
3a
. C.
2a
. D.
3a
.
Lời giải
Chọn C
Hình nón có đỉnh là
B
, Tâm đường tròn đáy là
A
,
Bán kính đáy là
3AC a
,
Chiều cao hình nón là
AB a
.
Vậy độ dài đường sinh là:
22
2 .BC AB AC a
Ví dụ 1.1.2
Cho hình nón có đường sinh
2a
và hợp với đáy góc
0
60
. Tính đường kính
d
của hình nón đó.
A.
2da
. B.
3da
. C.
da
. D.
5da
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
0
2
60
SA a
SAO
0
60 2.cosR OA SA a d a
Ví dụ 1.1.3
Cho hình nón đỉnh
S
với đáy là đường tròn tâm
O
bán kính
R
. Gọi
I
là một điểm
nằm trên mặt phẳng đáy sao cho
3OI R
. Giả sử
A
là điểm nằm trên đường tròn
( ; )OR
sao cho
OA OI
. Biết rằng tam giác
SAI
vuông cân tại
S
. Tính đường cao
của hình nón.
A.
2R
. B.
R
. C.
2R
. D.
2R
.
Lời giải
Chọn B
Xét
AOI
có:
2 2 2 2
42IA OA OI R IA R
SAI
vuông cân tại
S
:
2
2
22
IA R
SA R
.
Xét
SOA
ta có:
2 2 2 2
2SO SA OA R R R
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 6
Dạng 1.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích
Cho hình nón
H
có bán kính đáy bằng
r
, chiều cao
SO h
và độ dài đường sinh là
l
.
Ký hiệu
xq
S
,
tp
S
lần lượt là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
H
, khi đó ta có
Diện tích xung quanh:
..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
tp xq d
SSS
Thể tích khối nón:
2
11
33
..V B h r h
Lưu ý:
SAB
là tam giác cân đỉnh
S
và được gọi là thiết diện qua trục của khối nón.
2 2 2
l h r
.
Ví dụ 1.2.1
Cho hình nón có đường sinh
5l
, bán kính đáy
3r
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đó.
A. . B.
15
. C.
2
15
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình nón đó là
3 5 15..
xq
S rl
.
Ví dụ 1.2.2
Tính diện tích toàn phần của hình nón có chiều cao bằng
3a
và bán kính đáy bằng
a
.
A.
2
2 a
. B.
2
33a
. C.
2
32 a
. D.
2
3 a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3ha
,
ra
2 2 2 2
32l h r a a a
.
Vậy
2 2 2
23. . .
tp
S rl r a a a a
.
Ví dụ 1.2.3
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
bằng
a
.
A.
2
3
a
. B.
2
3
3
a
. C.
2
2
5
a
. D.
2
2
2
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
và
M
là
trung điểm
BC
.
Ta có
2 2 3 3
3 3 2 3
aa
AO AM
.
2
33
33
. . . .
xq
aa
S OASA a
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 7
Ví dụ 1.2.4
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
bằng
a
.
A.
2
a
. B.
2
23a
. C.
3
3
3
a
. D.
2
22a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2l CB a
,
30BCA 
.
Xét
ABC
:
1
30 30 2
2
sin .sin .
AB r
r l a a
CB l
.
3
30 30 2 3
2
cos .cos .
CA h
h l a a
CB l
.
Suy ra
3
22
1 1 3
3
3 3 3
.
a
V r h a a
.
Ví dụ 1.2.5
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng
10
và diện tích xung quanh bằng
60
.
Tính thể tích của khối nón đã cho.
A.
2
3
a
. B.
2
3
3
a
. C.
2
2
5
a
. D.
2
2
2
a
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
10l
60 60 10 60 6
xq
S rl r r
.
2 2 2 2
10 6 64 8h l r
.
.
Do đó thể tích là:
22
11
6 8 96
33
..V r h
.
Ví dụ 1.2.6
Cho khối nón có đường cao
5h
, khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh bằng
4. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A.
2000
9
. B.
2000
27
. C.
16
3
. D.
80
3
.
Lời giải
Chọn B
Khối nón có
5h SO
,
,d O SA
4OH
.
Xét
SAO
:
2 2 2
1 1 1
OH SO OA

2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 9
4 5 4 5.OA OH SO
2
400
9
OA
.
Thể tích khối nón:
2
1 2000
3 27
..V OA SO
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 8
Dạng 1.3. Thiết diện
Mặt phẳng
P
đi qua
trục, cắt khối chóp theo
một thiết diện là
SAB
cân tại đỉnh
S
.
Mặt phẳng
P
đi qua
đỉnh của hình nón và cắt
mặt nón theo 2 đường sinh
⇒ Thiết diện là cân.
Mặt phẳng cắt vuông góc
với trục hình nón
⇒ Thiết diện là đường tròn.
Ví dụ 1.3.1
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao
20 cmh
, bán kính đáy
25 cmr
. Một
thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là
12 cm
. Tính diện tích của thiết diện đó.
A.
2
500 cm
. B.
2
5 cm
. C.
2
260 cm
. D.
2
350 cm
.
Lời giải
Chọn A
Theo bài ra ta có
25;AO r
20;SO h
12OK
.
Lại có
2 2 2
1 1 1
15 cmOI
OK OI OS
22
2 25 15 40 cm ;AB AI
22
25 cmSI SO OI
2
1
25 40 500
2
. . cm .
SAB
S
Ví dụ 1.3.2
Cho một khối nón có bán kính đáy là
9cm
, góc giữa đường sinh và mặt đáy là
30
. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh
vuông góc với nhau.
A.
2
12 cm
. B.
54
2
cm
. C.
2
20 cm
. D.
2
10 cm
.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc là
SA
và
AM
cắt khối nón theo thiết diện là
SAM
Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
30SAO 
.
Ta có
30cos
r
SM SA
63
.
Vì
SA AM
nên
SAM
vuông tại
S
.
Diện tích
SAM
là:
1
2
.S SA SM
54
2
cm
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 9
Dạng 1.4. Nội – ngoại tiếp
Bài toán 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp
Loại 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình chóp
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình chóp
+ Bán kính đáy
r
bằng
3
3
AB
.
Loại 2: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều
Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình chóp
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình chóp
+ Bán kính đáy
r
bằng
2
2
AB
Bài toán 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp
Loại 1: Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều
Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh
l
là
SN
.
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình chóp.
+ Bán kính đáy
3
6
AB
r OM
.
Loại 2: Hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác đều
Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh
l
là
SN
.
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình chóp.
+ Bán kính đáy
2
AB
r
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 10
Ví dụ 1.4.1
Cho hình chóp lục giác đều
.S ABCDEF
có cạnh bên bằng
2a
và tạo với đáy một
góc
60
. Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Chọn C
Bán kính đáy:
12
60 2
22
.cos .
a
r HB SB a a
.
Chiều cao:
3
60 2 3
2
.sin .h SH SB a a
.
Thể tích hình nón
2
1
3
..V r h
3
2
13
3
33
..
a
aa
Ví dụ 1.4.2
Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy
bằng
60
. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh
S
, có đáy là hình tròn
ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
I
là tâm đường tròn
ABC
3
3
a
IA r
.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
AB SMC
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc
60
o
SMC
23
2
6
a
SM IM
3
3
a
22
SA SM MA
22
34
aa

21
6
a
.
xq
S rl
3 21
36
..
aa
2
7
6
a
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 11
Dạng 1.5. Min – max liên quan khối nón
Xây dựng công thức cần tìm min – max.
Dùng các cách dưới đây để tìm min – max.
BĐT
Bunyakovsky
Dạng
Dấu “=” xảy ra khi
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
n n n n
a a a b b b a b a b a b
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
BĐT
AM – GM
2
ab
ab
ab
12
12
1
...
. ....
n
n
n
a a a
a a a n
n

Khảo sát hàm
số trên khoảng
xác định
Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán.
Đánh giá
lượng giác
1
2
. .sin ;
ABC
S AB AC AB AC
.
Khi đó, để
max
ABC
S


0
1 90
max
sin ; sin ; ;AB AC AB AC AB AC AB AC



Ví dụ 1.5.1
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh
S
đáy là đường tròn tâm
O
có thiết diện qua trục là
một tam giác đều cạnh bằng
a
.
A
,
B
là hai điểm bất kỳ trên
O
. Thể tích khối
chóp
.SOAB
đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.
3
3
48
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
3
a
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
3
.
.
S OAB AOB
V S SO
.
Lại có
1
2
. .sin
AOB
S OAOB AOB
.
Mặt khác
2
a
OA OB
,
3
2
a
SO h
.
Do đó
.S OAB
max
V


khi
1sin AOB
OA OB
.
Khi đó
3
1 1 3 3
3 2 2 2 2 48
max
a a a a
V
.
Ví dụ 1.5.2
Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm
trên mặt cầu. Tìm chiều cao
h
của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu
có bán kính
R
cho trước.
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
12
...
n
a a a
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 12
Chọn C
Gọi chiều cao của hình nón là
x
,
02xR
.
Gọi bán kính đáy của hình nón là
r
Ta có
2 2 2
r OM OH
2
2
R x R
2
2Rx x
2x R x
.
2
1
3
.V r x
2
1
2
3
x R x
.
Mặt khác
3
2
22
2
2 2 3
..
xx
Rx
xx
Rx







23
8
2
4 27
xR
Rx
33
2
1 32 32
2
3 27 27
max
RR
V x R x V
.
Dấu
""
xảy ra khi
2
2
x
Rx
4
3
R
x
Ví dụ 1.5.3
Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
27
3
cm
, với chiều cao
h
và bán kính đáy
r
. Giá trị
r
để lượng giấy tiêu thụ ít nhất:
A.
6
4
2
3
2
r
. B.
8
6
2
3
2
r
. C.
8
4
2
3
2
r
. D.
6
6
2
3
2
r
.
Lời giải
Chọn B
Ta có thể tích cốc hình nón
2
1
27
3
..V r h
2
81
.
h
r

.
Khi đó
2
2
2
81
.
lr
r



. Suy ra
2
2
2
81
..
.
xq
S r r
r


8
4
22
3
.
r
r

.
Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất.
Ta xét
8
4
22
3
.
f r r
r

8
3
23
8
4
22
23
4
3
2
.
.
.
r
r
fr
r
r

.
0fr
8
6
0
2
3
2
rr
.
Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì
8
6
2
3
2
r
.
S
M
H
O
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 13
Dạng 1.6. Bài toán thực tế
Bài toán 1: Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một bài toán hình học.
Sử dụng công cụ hình học, đại số (nếu cần) giải quyết bài toán.
Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Bài toán 2: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học.
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Hình học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ
Hình học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn.
Bước 2: Sử dụng công cụ giải quyết bài toán hình học được hình thành từ
bước 1.
Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Ví dụ 1.6.1
Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn
với bán kính
60cm
thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy
quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích
V
của
mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
A.
16 2
3
. B.
2
3
. C.
3
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Đổi
60 6cm dm
.
Đường sinh của hình nón tạo thành là
6dml
.
Chu vi đường tròn ban đầu là
2 16CR
.
Gọi
r
là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.
Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là
26
24
3
.
. dmr 
4
2
2
dmr
.
Đường cao của khối nón tạo thành là
2 2 2 2
6 2 4 2h l r
.
Thể tích của mỗi cái phễu là
22
1 1 16 2 16 2
2 4 2
3 3 3 3
3
. . dmV r h
lít.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 14
Ví dụ 1.6.2
Một tấm tôn hình tam giác đều
SBC
có độ dài cạnh bằng
3
.
K
là trung điểm
BC
. Người ta dùng compa có tâm là
S
,
bán kính
SK
vạch một cung tròn
MN
. Lấy phần hình quạt
gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là
S
, cung
MN
thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể
tích khối nón trên.
A.
2
64
. B.
23
5
. C.
105
64
. D.
103
12
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 3 3
22
SK SB
.
Diện tích phần hình quạt là
2
1 1 27 9
6 6 4 8
quat
S SK
.
Gọi
r
là bán kính đáy của hình nón.
Suy ra
13
22
6 6 4
SK
r SK r
.
Chiều cao của khối nón bằng
22
105
4
h SK r
.
Thể tích bằng
2
1 1 3 105 105
3 3 16 4 64
V r h
.
Ví dụ 1.6.3
Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình
vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một
hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt
bỏ hình quạt tròn
AOB
rồi dán hai bán kính
OA
và
OB
lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ
không đáng kể). Gọi
500
là góc ở tâm hình quạt
tròn dùng làm phễu. Tìm
x
để thể tích phễu
lớn nhất?
A.
2
64
. B.
23
5
. C.
105
64
. D.
103
12
.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ, độ dài cung
57
lớn bằng
500
, bán kính hình nón
n
Đường cao của hình nón
500 1 0 005.,
n
10
10
Thể tích khối nón (phễu)
n
10
n
Theo Cauchy ta có
10 1 0 005.,
n
10
.
Dấu bằng xảy ra khi
1n
1
10 1 0 005.,
n
.
Vậy thể tích phễu lớn nhất khi
10
.
----------Hết----------
M
B
C
S
K
N
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 15
A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng
P
:
Cho 2 đường thẳng
d
, song song với nhau, cách nhau một
khoảng bằng
r
.
Quay
P
xung quanh trục thì ℓ sinh ra một mặt tròn xoay,
được gọi là mặt trụ.
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng gọi là trục,
Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh,
r
gọi là bán kính.
2. Hình trụ tròn xoay.
Cho hình chữ nhật
ABCD
quay quanh
AB
thì đường gấp khúc
ADCB
tạo thành một hình,
gọi là hình trụ tròn xoay (gọi tắt là hình trụ).
Đường thẳng gọi là trục,
AB
gọi là đường cao,
CD
gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm
B
, bán kính
R BC
là đáy của hình nón.
3. Diện tích – Thể tích.
Cho hình trụ có chiều cao là
h
, bán kính đáy
r
và đường sinh là ℓ thì có:
Diện tích xung quanh:
2 ..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
2
tp xq d
S S S
Thể tích khối nón:
2
..V B h r h
KHỐI TRỤ
KHỐI TRÒN XOAY
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 16
4. Tính chất.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi mặt phẳng:
Cắt 2 mặt đáy thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh
→Thiết diện là tứ giác (hình vuông/hình chữ nhật).
Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh, song song
với trục
Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh, cắt trục
Chỉ cắt 1 mặt đáy thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh
→Mặt phẳng tiếp diện của mặt trụ.
Mặt phẳng cắt 1 đường sinh hình trụ và 1 mặt đáy
→Giao tuyến là đường parabol.
Song song 2 đáy thì có trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón
→Giao tuyến là một đường tròn.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 17
5. Mối liên hệ thường gặp.
Trường hợp
Nội dung
Công thức
Hình minh họa
Thiết di
ện
Qua trục
Thiết diện là hình
vuông
2h l R
Không
qua trục
Song song với trục:
+ Vẽ trung điểm của dây.
+ Nối với tâm mặt đáy.
+ Xem giả thiết: cách trục 1 khoảng
d d OH
Cắt trục tại
I
:
+ Vẽ trung điểm hai dây.
+ Nối hai trung điểm
cắt trục tại
I
.
+ Xem giả thiết:
/ ; /t dien m day O MI OHI

.
/;t dien truc OIH O IM

.
Liên quan v
ới kh
ối h
ộp
– lăng tr
ụ
Nội tiếp
Nội tiếp hình hộp đứng
1
2
/
/
h l c ben
R c day

.
Ngoại tiếp
Ngoại tiếp hình hộp đứng
2
2
/
h canh
c day
R
.
Ngoại tiếp lăng trụ đứng
/h c ben
Rr
.
Với
r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 18
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 2.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.
Diện tích xung quanh:
2 ..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
2
tp xq d
S S S
Thể tích khối trụ:
2
..V B h r h
Ví dụ 1.1.1
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
8 a
và bán kính đáy bằng
a
. Độ dài
đường sinh của hình trụ bằng:
A.
4a
. B.
3a
. C.
2a
. D.
3a
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2π
xq
S Rl
2π
xq
S
l
R

2
8
2
π
π
a
a
4a
.
Ví dụ 1.1.2
Cho hình chữ nhật
ABCD
có
35,BC AC
. Tính độ dài đường sinh của khối
trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh trục
AB
.
A.
5
. B.
4
. C.
6
. D.
9
.
Lời giải
Chọn B
Độ dài đường sinh của khối trụ là:
2 2 2 2
5 3 4.AB AC BC
Ví dụ 1.1.3
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
50
và độ dài đường sinh bằng đường
kính của đường tròn đáy. Tính bán kính
r
của đường tròn đáy.
A.
5r
. B.
5r
. C.
52
2
r
. D.
52
2
r
.
Lời giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ:
2 rl
(
l
: độ dài đường sinh) có
2lr
2
xq
S rl
2 50rl
2 2 50rr
52
2
r
Ví dụ 1.1.4
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ. Biết
5AC a
và bán kính đáy
của khối trụ bằng
2a
. Tính độ dài đường sinh của khối trụ đã cho.
A.
3a
. B.
6a
. C.
21a
. D.
4a
.
Lời giải
Chọn A
Xét
ABC
có
24AB r a
.
Đường sinh của khối trụ đã cho là
22
3l BC AC AB a
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 19
Dạng 2.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích
Cho hình trụ
H
có bán kính đáy bằng
r
, chiều cao
h
và độ dài đường sinh là
l
. Ký
hiệu
xq
S
,
tp
S
lần lượt là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
H
,
khi đó ta có
Diện tích xung quanh:
2 ..
xq
S r l
.
Diện tích đáy (hình tròn):
2
d
Sr
.
Diện tích toàn phần hình tròn:
2
tp xq d
S S S
Thể tích khối trụ:
2
..V B h r h
Ví dụ 2.2.1
Một hình trụ có bán kính đáy
a
, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính
diện tích xung quanh của hình trụ.
A.
2
a
. B.
2
2 a
. C.
2
3 a
. D.
2
4 a
.
Lời giải
Chọn D
Hình trụ có bán kính đáy
a
,
Thiết diện qua trục là một hình vuông
Nên chiều cao hình trụ bằng
2a
.
Diện tích xung quanh hình trụ:
2
2 2 2 4..
xq
S Rh a a a
Ví dụ 2.2.2
Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy
a
và đường cao
3a
.
A.
2
2 1 3a
. B.
2
2 3 1a
. C.
2
3a
. D.
2
13a
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2 3 2 3.
xq
S a a a
;
2
day
Sa
2 2 2
2 3 2 2 1 3
tp
S a a a
Ví dụ 2.2.3
Cho hình trụ có chiều cao bằng
53
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song
với trục và cách trục một khoảng bằng
1
, thiết diện thu được có diện tích bằng
30
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A.
10 3
. B.
5 39
. C.
20 3
. D.
10 39
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
, OO
lần lượt là tâm của hai đáy
ABCD
là thiết diện song song trục ;
,A B O
;
,C D O
.
Gọi
H
là trung điểm
AB
1,OH d OO ABCD
.
30 30.
ABCD
S AB BC
2 3 3AB HA HB
.
22
3 1 2r OH HA
.
2 2 2 5 3 20 3..
xq
S rh
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 20
Ví dụ 2.2.4
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy
4r
và chiều cao
42h
.
A.
32 .V
B.
64 2 .V
C.
128 .V
D.
32 2 .V 
.
Lời giải
Chọn B
Thể tích của khối trụ là
22
4 4 2 64 2.V r h
Ví dụ 2.2.5
Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
4
.
Thể tích khối trụ là
A.
2
3
. B.
2
. C.
4
. D.
4
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
ABB A

là hình vuông
2hr
.
2
2 2 2 4 4 1 2.
xq
S rh r r r h
.
Thể tích khối trụ
22
22..V r h l
.
Ví dụ 2.2.6
Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt
phẳng ta được hình vuông có chu vi bằng
8
. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A.
2
2
. B.
3
2
. C.
4
. D.
2
4
.
Lời giải
Chọn A
Chu vi hình vuông bằng
8
Nên cạnh hình vuông bằng
2
.
Do đó hình trụ có bán kính
1R
, đường sinh
2lR
.
Vậy thể tích của hình trụ là
22
2V R h
.
Ví dụ 2.2.7
Cho hình trụ có các đáy là
2
hình tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng
a
. Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
sao cho
2AB a
. Thể tích khối tứ diện
OO AB
theo
a
là.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
3
12
a
V
. C.
3
3
8
a
V
. D.
3
3
4
a
V
.
Lời giải
Chọn B
Kẻ đường sinh
AA
.
Gọi
D
là điểm đối xứng với
A
qua
O
và
H
là hình chiếu của
B
trên đường thẳng
AD
.
Do
BH A D
,
BH AA BH AOO A
.
2 2 2 2
3A B AB A A a BD A D A B a
.
O BD
đều nên
3
2
a
BH
;
2
2
AOO
a
S
3
3
12
a
V
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 21
Dạng 2.3. Thiết diện
Qua trục
Không qua trục
Cắt trục
Thiết diện là hình vuông
2h l R
Song song với trục:
+ Vẽ trung điểm của dây.
+ Nối với tâm mặt đáy.
+ Xem giả thiết: cách trục 1
khoảng
d d OH
Cắt trục tại
I
:
+ Vẽ trung điểm hai dây.
+ Nối hai trung điểm
cắt
trục tại
I
.
+ Xem giả thiết:
/ ; /t dien m day O MI OHI

.
/;t dien truc OIH O IM

.
Ví dụ 2.3.1
Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một
thiết diện có diện tích bằng
2
8a
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ?
A.
2
4 a
. B.
2
8 a
. C.
. D.
2
2 a
.
Lời giải
Chọn B
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật, có độ
dài một cạnh là
2a
, có diện tích là
2
8a
,
Suy ra chiều cao của hình trụ là
2
8
4
2
a
ha
a

.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
xq
S rh
24. . .aa
2
8 a
.
Ví dụ 2.3.2
Một hình trụ có bán kính đáy
5cmr
và khoảng cách giữa hai đáy
7cmh
. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng
P
song song với trục và cách trục
3cm
. Diện tích
của thiết diện được tạo thành là:
A.
56
2
cmS
. B.
55
2
cmS
. C.
53
2
cmS
. D.
46
2
cmS
.
Lời giải
Chọn A
P
cắt
O
,
O
theo hai dây cung
AB
,
CD
Và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh
AD
,
BC
.
Khi đó
ABCD
là hình chữ nhật.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
.
Ta có
OH AB
;
OH AD
OH ABCD
,,d OO P d O ABCD

OH
3cm
.
A
B
O
O
D
C
H
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 22
Khi đó,
2AB AH
22
2 OA OH
22
2 5 3
8
;
'AD OO
7cmh
.
Diện tích hình chữ nhật
ABCD
là:
2
56.
ABCD
S AB AD cm
.
Ví dụ 2.3.3
Cho hình trụ có chiều cao bằng
62 cm
. Biết rằng một mặt phẳng không vuông
góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song
AB
,
AB

và
6 cmAB A B


, diện tích hình chữ nhật
ABB A

bằng
2
60 cm
. Tính bán
kính đáy của hình trụ.
A.
12
. B.
4
. C.
25
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình chữ nhật
ABB A

bằng
2
60 cm
Nên
60.AB BB
6 60.BB

10 5BB MK
Chiều cao hình trụ bằng
62 cm
nên
32MO
.
22
25 18 7OK MK MO
;
63AB KB
.
22
7 9 4BO OK KB
.
Ví dụ 2.3.4
Một hình trụ có bán kính đáy bằng
4
(cm) và có chiều cao bằng
5
(cm). Gọi
AB
là dây cung đáy dưới sao cho
43AB
(cm). Người
ta dựng mặt phẳng
P
đi qua hai điểm
, AB
và tạo với đáy hình
trụ góc
0
60
như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt
bởi mặt phẳng
P
.
A.
12
. B.
4
. C.
25
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Thiết diện hình trụ cắt bởi
P
có hình chiếu lên mặt đáy
là miền cung tròn nhỏ
AB
Gọi
S
là diện tích thiết diện
Và
S
diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt đáy.
2 2 2
0
1
120
22
cos
.
OA OB AB
AOB AOB
OAOB
0
0
1
43
2
1 1 4 120 16
4
2 2 3
180
. .sin
.
. . . .
OAB
OAmB
AB
S OA OB AOB
S l R

4 4 3 3
3
'
AmB OAmB OAB
S S S S
Lại có:
8 4 3 3
3
'
' .cos ,(OAB)
cos ,(OAB)
S
S S P S
P
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 23
Ví dụ 2.3.5
Cho khối trụ có chiều cao
. Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng được thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng
10cm
. Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa,
nửa trên có thể tích là
1
V
, nửa dưới có thể tích là
2
V
(như
hình vẽ). Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần
đáy dưới nhất và điểm thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất
lần lượt là
8cm
và
14cm
. Tính tỉ số
1
2
.
V
V
A.
1
2
12
V
V
. B.
1
2
9
11
V
V
. C.
1
2
1
2
V
V
. D.
1
2
2
3
V
V
.
Lời giải
Chọn B
Qua
A
và
B
, dựng mặt phẳng vuông góc với
đường sinh và cắt khối trụ theo thiết diện là một
đường tròn (Kí hiệu các điểm như hình vẽ)
Ta có
6
10
BC cm
AB cm
22
AC AB BC
8cm
.
Phân chia khối hình, sử dụng phép đối xứng tâm.
Xét khối trụ ở giữa:
Thiết diện qua
,AB
cắt trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau (Phần này có được
bằng phép đối xứng tâm phần kia qua tâm
L
, với
L
là trung điểm của
AB
)
Và bằng một nửa khối trụ và bằng
22
1
4 6 48
2
. . . cm
.
Từ đó suy ra thể tích nửa trên là:
2
1
4 6 48.V
2
144 cm
.
Thể tích nửa dưới là:
2
2
4 8 48..V
2
176 cm
.
Tỉ số thể tích
1
2
9
11
V
V
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 24
Dạng 2.4. Nội – ngoại tiếp
Bài toán 1: Hình trụ ngoại tiếp
Loại 1: Hình trụ ngoại tiếp hình hộp đứng
Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình hộp
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình hộp
+ Bán kính đáy
r
bằng
2
2
/c day
.
Loại 2: Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình lăng trụ
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình lăng trụ
+ Bán kính đáy
r
bằng
d
r
.
Với
d
r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
Bài toán 2: Hình trụ nội tiếp
Loại 1: Hình trụ nội tiếp hình hộp đứng
Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình hộp
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình hộp
+ Bán kính đáy
r
bằng
2
/c day
.
Loại 2: Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đứng
Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh
l
là cạnh bên của hình lăng trụ
+ Chiều cao
h
là chiều cao của hình lăng trụ
+ Bán kính đáy
r
bằng
3
2
33
/.
dd
c day
rh
.
Với
d
r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 25
Ví dụ 1.4.1
Một hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng
2a
và cạnh bên bằng
2a
nội tiếp
trong một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
A.
2
6 a
. B.
2
1 2 2a
. C.
2
3 a
. D.
2
1 2 2
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh
2a
Nên có
ra
.
Diện tích toàn phần hình trụ là
2 2 2
2 2 2 2 2 6. . .
tp
S rh r a a a a
.
Ví dụ 1.4.2
Một hình tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Xét hình trụ có một đáy là đường tròn nội
tiếp tam giác
ABC
và chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh
của hình trụ đó bằng:
A.
2
3
3
a
. B.
2
2
3
a
. C.
2
22
3
a
. D.
2
23
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Đáy là đường tròn nội tiếp
ABC
3
1
36
.r BI a
Đường cao tứ diện
ABCD
là
22
6
3
a
DO DB OB
.
Diện tích xung quanh:
2
3 6 2
22
6 3 3
. . .
a a a
S rh
.
Ví dụ 1.4.3
Cho hình lăng trụ đứng
.ABC ABC
có độ dài cạnh bên bằng
2a
, đáy
ABC
là tam
giác vuông cân tại
A
, góc giữa
AC
và mặt phẳng
BCC B

bằng
30
. Tính thể
tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
A.
3
4 a
. B.
3
2a
. C.
3
22a
. D.
3
5a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi bán kính của hình trụ là
R
.
Ta có:
CC ABC CC AI

Mà
ABC
vuông cân tại
A
AI BC
AI BCC B


hay
30;AC BCC B IC A
.
Xét
AIC
:
3
tan
AI
IC R
IC A

.
Xét
CIC
:
2 2 2 2 2 2
3 4 2IC IC CC R R a R a

.
2
23
2 2 4.V r h a a a
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 26
Dạng 2.5. Min – max liên quan khối trụ
Xây dựng công thức cần tìm min – max.
Dùng các cách dưới đây để tìm min – max.
BĐT
Bunyakovsky
Dạng
Dấu “=” xảy ra khi
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
n n n n
a a a b b b a b a b a b
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
BĐT
AM – GM
2
ab
ab
ab
12
12
1
...
. ....
n
n
n
a a a
a a a n
n

Khảo sát hàm
số trên khoảng
xác định
Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán.
Đánh giá
lượng giác
1
2
. .sin ;
ABC
S AB AC AB AC
.
Khi đó, để
max
ABC
S


0
1 90
max
sin ; sin ; ;AB AC AB AC AB AC AB AC



Ví dụ 2.5.1
Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn
hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ
nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng
thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn
nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được là:
A.
3
91125
4
()cm
. B.
3
91125
2
()cm
.
C.
3
108000 3
()cm
. D.
3
13500 3.
()cm
.
Lời giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm
.BC
Suy ra I là trung điểm MN
Đặt
0 90,MN x x
Ta có:
3
90
2
()
MQ BM
MQ x
AI BI
Gọi R là bán kính của trụ
2
x
R
2
32
33
90 90
2 2 8
T
x
V x x x


Xét
32
3
90
8
f x x x
với
0 90x
.
Khi đó:
0 90
13500 3
( ; )
.
max
x
fx
khi
60.x
12
...
n
a a a
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 27
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 28
Ví dụ 2.5.2
Cho
ABC
cân tại
A
,
5 ,AB AC a
6BC a
. Hình chữ nhật
MNPQ
có
, MN
lần lượt thuộc cạnh
, AB AC
và
, PQ
thuộc cạnh
BC
. Quay hình chữ nhật
MNPQ
(và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác
ABC
được một khối tròn
xoay. Tính độ dài đoạn
MN
để thể tích khối tròn xoay lớn nhất.
A.
MN a
. B.
2MN a
. C.
5MN a
. D.
4MN a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
34;BH a AH a
.
Đặt
3HQ x BQ a x
03xa
.
Ta có:
43
3
ax
MQ BQ
MQ
AH BH
.
Khi đó:
3
22
43
4 0 3
33
..
T
ax
x
V x ax x a



.
Xét hàm số
3
2
03
3
x
f x x x a
2
0
20
2
xL
f x x x
xN
Hàm số
fx
đạt giá trị lớn nhất tại
24x a MN a
.
Ví dụ 2.5.3
Cho hình nón có chiều cao
h
. Tính chiều cao
x
của khối trụ có thể tích lớn nhất
nội tiếp trong hình nón theo
h
.
A.
2
h
x
. B.
3
h
x
. C.
2
3
h
x
. D.
3
h
x
.
Lời giải
Chọn B
Theo Ta-Let:
SO h x r
SO x h r


,
0 xh
.
Ta có:
2
2
2
2
22
.
h x r
r
V r x x x h x
hh


.
Xét
2
M x x h x
3
3
4
22
44
2 2 3 27
...
h x h x
x
h x h x h
x









Dấu
""
xảy ra khi
23
h x h
xx
.
r
r'
O'
O
S
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 29
Dạng 2.6. Bài toán thực tế
Bài toán 1: Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một bài toán hình học.
Sử dụng công cụ hình học, đại số (nếu cần) giải quyết bài toán.
Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Bài toán 2: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học.
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Hình học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ
Hình học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn.
Bước 2: Sử dụng công cụ giải quyết bài toán hình học được hình thành từ
bước 1.
Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Ví dụ 2.6.1
Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài
1 km
, đường
kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng
1m
, độ dày của lớp bê tông bằng
10 cm
. Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng. Số bao xi
măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là bao nhiêu?
A.
2765
. B.
11234
. C.
2000
. D.
1255
.
Lời giải
Chọn A
Đường kính của đường ống là
1 0 1 2 1 2 m, . ,
Thể tích:
2
23
0 6 1000 360 m. , .V r h
.
Thể tích của khối trụ không chứa bê tông (phần rỗng) là
2
23
1
0 5 1000 250 m. , .V r l
Thể tích phần bê tông:
3
21
110 mV V V
.
Số bao xi măng công ty cần phải dùng:
110 8 2765.
(bao).
Ví dụ 2.6.2
Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và
tay cầm cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính đáy bằng
12
,
chiều cao bằng
6
, chiều dài tạ bằng
30
và bán kính tay cầm là
2
. Hãy tính thể tích
vật liệu làm nên tạ tay đó.
A.
108
. B.
6480
. C.
502
. D.
504
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
1 1 1
,,h R V
là chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối
trụ nhỏ mỗi đầu.
22
1 1 1
6 6 216. . .V h R
.
Gọi
2 2 2
,,h R V
là chiều cao, bán kính đáy, thể tích của
tay cầm.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 30
22
2 2 2
30 2 6 2 72. . . .V h R
.
Thể tích vật thể làm nên tạ tay bằng
12
2 504V V V
Ví dụ 2.6.3
Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).
A.
2
750 25, cm
. B.
2
700 cm
. C.
2
756 25, cm
. D.
2
754 25, cm
.
Lời giải
Chọn C
Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung quanh
của hình trụ và diện tích một đáy, với diện tích hình vành
khăn.
Ta có:
2 2 2
2 7 5 30 7 5 17 5 7 5 756 25. , . . , , , ,S
.
Ví dụ 2.6.4
Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu có bán kính
27, cm
vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc
54, cm
và chiều cao
của mực nước ban đầu trong cốc bằng
45, cm
. Khi đó chiều
cao của mực nước trong cốc là
A.
54, cm
. B.
57, cm
.
C.
56, cm
. D.
55, cm
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
27, cmR
là bán kính của viên bi.
Ta có bán kính phần trong đáy cốc là
2R
.
Thể tích nước ban đầu là
2
2
1
2 4 5 18.,V R R
.
Thể tích viên bi là
3
2
4
3
VR
.
Thể tích nước sau khi thả viên bi:
2
12
2
29
3
V V V R R


.
Gọi
h
là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào.
Mà
2
2
2
9
3
2 5 4
2
2
, cm
R
V
V R h h
R
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 31
A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Định nghĩa.
Tập hợp các điểm
M
trong không gian cách điểm
O
cố định một khoảng
R
.
Gọi là mặt cầu tâm
O
, bán kính
R
, ký hiệu:
;S O R
. Khi đó
;|S O R M OM R
.
2. Vị trí tương đối ca một điểm vi mặt cầu.
Cho mặt cầu
;S O R
và một điểm
A
bất kì, khi đó:
Nếu
OA R
;A S O R
.
OA
là bán kính mặt cầu.
Nếu
OA R A
nằm trong mặt cầu.
Nếu
OA R A
nằm ngoài mặt cầu.
3. Vị trí tương đối ca mặt phẳng vi mặt cầu.
Cho mặt cầu
;S O R
và một
P
. Gọi
d
là khoảng cách từ tâm
O
của mặt cầu đến
P
và
H
là hình chiếu của
O
trên
P
d OH
.
Nếu
;d R P S O R
theo giao tuyến là đường
tròn trên
P
tâm
H
, bán
kính
r HM
2 2 2 2
R d R OH
.
Nếu
d R P
không cắt mặt cầu
;S O R
.
Nếu
d R P
có
một điểm chung duy
nhất. Ta nói mặt cầu
;S O R
tiếp xc
P
.
Do đó, điều kiện cần và đủ để
P
tiếp xc với mặt cầu
;S O R
là
,d O P R
.
KHỐI CẦU
KHỐI TRÒN XOAY
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 32
4. Vị trí tương đối ca mặt phẳng vi mặt cầu.
Cho mặt cầu
;S O R
và một đường thẳng . Gọi
H
là hình chiếu của
O
trên
đường thẳng và
d OH
là khoảng cách từ tâm
O
của mặt cầu đến .
Khi đó:
Nếu
dR
không cắt
mặt cầu
;S O R
.
Nếu
dR
cắt
mặt cầu
;S O R
tại
hai điểm phân biệt.
Nếu
dR
và
mặt cầu tiếp xc nhau (tại
mt điểm duy nht).
Do đó: điều kiện cần và đủ để tiếp xc với mặt cầu là
,d d O R
.
5. Định lý.
Nếu điểm
A
nằm ngoài mặt cầu
;S O R
thì:
Qua
A
có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
;S O R
.
Độ dài đoạn thẳng nối
A
với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu
;S O R
.
6. Diện tích – Thể tích.
Diện tích mặt cầu:
2
4
C
SR
. Thể tích khối cầu:
3
4
3
C
VR
7. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Trục đa giác đáy (Trục đáy):
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với
mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Bt kì mt điểm nào nằm trên trc của đa giác thì cách đều các đnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng:
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bt kì mt điểm nào nằm trên đường trung trc thì cách đều hai đầu mt của đoạn thng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng:
Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bt kì mt điểm nào nằm trên mt trung trc thì cách đều hai đầu mt của đoạn thng.
8. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hnh chp:
Tâm mặt cu ngoại tiếp hnh chp
:
Là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp.
Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng
đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính:
Là khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 33
9. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện:
9.1. Kỹ thuật xác định đường tròn ngoại tiếp đa giác:
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy.
Trục đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn
ngoại tiếp đáy.
9.2. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Định nghĩa:
Trc đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt
phẳng đáy.
Tính chất:
:M MA MB MC
. Suy ra:
MA MB MC M
.
Bước 1:
Xác định tâm
H
của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2:
Qua
H
dựng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt:
ABC
vuông tại
A
,
có
H
là trung điểm
BC
.
Khi đó trục đường tròn
ngoại tiếp
ABC
là
qua
H
.
đều
ABC
,
có
H
là trọng tâm
ABC
.
Khi đó trục đường tròn
ngoại tiếp
ABC
là
qua
H
.
thường
ABC
, gọi
H
là giao
điểm của 3 đường trung trực.
Khi đó trục đường tròn
ngoại tiếp
ABC
là qua
H
∆ vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.
O
∆ thường: O là giao điểm của hai đường
trung trực của hai cạnh ∆.
O
Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đường chéo.
O
O
∆ đều: O là giao điểm của 2 đường
trung tuyến (trọng tâm).
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 34
9.3. Kỹ năng tam giác đồng dạng:
SMO
đồng dạng với
SIA
SO SM
SA SI

.
9.4. Nhận xét quan trọng:
,:
MA MB MC
M S SM
SA SB SC



là trục đường tròn ngoại tiếp
ABC
9.5. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cho hình chóp
12
. ...
n
S A A A
(thoả mãn điều kiện tồn tại mt cầu ngoại tiếp).
Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên.
Lc đó:
– Tâm của mặt cầu:
O
– Bán kính:
R SA SO
. Tuỳ vào từng trường hợp.
9.2. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ca một số hnh đa diện:
1. Hnh hộp ch nht, hnh lp phương
:
Tâm:
Tâm là
I
, là trung điểm của
AC
.
Bán knh:
Bán kính:
2
AC
R
.
2. Hnh lăng trụ đứng c đáy nội tiếp đường trn
:
Xét hình lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
, trong đó
có 2 đáy
ABCD
và
ABC D
nội tiếp đường tròn
O
và
O
.
Lc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm:
I
với
I
là trung điểm của
OO
.
Bán knh:
Bán kính:
...R IA IA IB IB

.
O
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 35
3. Hnh chp c các đỉnh nhn đoạn thẳng nối 2 đỉnh cn lại dưới 1 gc vuông:
Chóp
.S ABC
có
0
90SAC SBC
.
Lc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:
Tâm:
I
là trung điểm của
SC
.
Bán knh:
Bán kính:
2
SC
R IA IB IC
.
Chóp
.S ABCD
có
0
90SAC SBC SDC
.
Lc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:
Tâm:
I
là trung điểm của
SC
.
Bán knh:
Bán kính:
2
SC
R IA IB IC ID
.
4. Hnh chp đều:
Cho hình chóp đều
. ....S ABC
Tâm:
Gọi
O
là tâm của đáy
SO
là trục của đáy.
Trong
SAO
, ta vẽ đường trung trực của cạnh
SA
là
SA M
và
SO I
I
là tâm mặt cầu
Bán knh:
SM SI
SMI SOA
SO SA
Bán kính:
2
2
.
...
SM SA SA
R IS IA IB
SO SO
.
5. Hnh chp c cạnh bên vuông gc với mặt phẳng đáy:
Cho hình chóp
. ....S ABC
có cạnh bên
...SA ABC
và đáy
...ABC
nội tiếp được trong
đường tròn tâm
O
.
Tâm:
Từ tâm
O
ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng vuông góc với
...ABC
tại
O
.
Trong
;d SA
, dựng đường trung trực của
cạnh
SA
là
SA M
và
dI
I
là tâm mặt cầu
Bán knh:
Ta có:
MIOA
là hình chữ nhật.
Xét
MAI
vuông tại
M
có:
2
2 2 2
2
SA
R AI MI MA AO



.
d
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 36
6. Hnh chp c mặt bên vuông gc với mặt phẳng đáy:
Cho hình chóp
. ....S ABC
có mặt bên
...SAB ABC
và đáy
...ABC
nội tiếp được
trong đường tròn tâm
O
.
Tâm:
Từ tâm
O
ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng vuông góc với
...ABC
tại
O
.
Trong
;d SH
, dựng đường trung trực của
cạnh
SH
là
SH M
và
dI
I
là tâm mặt cầu.
Bán knh:
Xét
SMI
vuông tại
M
có:
22
22
b
b
R
HO
R SI SM MI R HO
.
Xét
AHO
vuông tại
H
có:
2
22
2
1
2
1
2
d
d
R
AB
HO AO AH R AB



Từ
2
22
2
&
bd
AB
R R R



7. Hnh chp khác:
Tâm:
Dựng trục của đáy.
Dựng mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên bất kì.
II
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
I
là tâm mặt cầu
Bán knh:
khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
d
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 37
10.Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay:
1. Chỏm cu:
22
2
xq
S Rh r h
2 2 2
3
36
hh
V h R h r


2. Hình trụ cụt:
12xq
S R h h
2
12
2
hh
VR


3. Hình nêm loại 1:
3
2
3
tanVR
4. Hình nêm loại 2:
3
2
23
tanVR



5. Parabol bc hai-Paraboloid tròn xoay:
4
3
parabol
S Rh
2
11
22
tru
V R h V
6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip:
.S a b
2
2
4
3
xoayquanh b
V a b
2
2
4
3
xoayquanh a
V ab
7. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip:
22
S R r
8. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip:
2
2
2
22
R r R r
V

R
r
h
h
2
h
1
R
R
h
R
b
a
b
a
R
r
R
r
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 38
11. Tổng hợp tính bán kính mặt cầu:
Nội dung
Công thức
Loại 1
Cạnh bên
SA day
.
Đáy bất kỳ.
2
2
4
mc
d
h
RR
ABC
vuông tại
B
.
2
SC
R
ABC
vuông tại
C
.
2
SB
R
Loại 2
Chóp đều.
2
2.
SA
SO
R
Loại 3
Mặt bên vuông góc với đáy.
2
22
4
bd
AB
R R R
Loại 4
Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng và đáy nội tiếp đường tròn.
2
2
4
mc
d
h
RR
Loại 5
Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao lần lượt
;;a b c
.
2 2 2
2
a b c
R

Loại 6
Nội tiếp hình lập phương cạnh
a
.
2
a
R
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 39
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 3.1. Tính bán kính khối cầu cơ bản
Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.
Diện tích mặt cầu:
2
4
C
SR
.
Thể tích khối cầu:
3
4
3
C
VR
.
Ví dụ 3.1.1
Tính bán kính của khối cầu có thể tích bằng
3
36 cm
?
A.
6 cm
. B.
3 cm
. C.
9 cm
. D.
6 cm
.
Lời giải
Chọn B
33
44
36 3
33
cmV R R R
.
Ví dụ 3.1.2
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có ba kích thước
2 3 6,,
có bán kính:
A.
7
2
. B.
7
. C.
49
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có bán kính
2 2 2
2 3 6 7
22
R


.
Ví dụ 3.1.3
Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì bán kính khối cầu
đó tăng lên bao nhiêu lần?
A.
8
. B.
2
. C.
4
. D.
16
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
R
là bán kính khối cầu lc đầu,
'R
là bán kính khối cầu sau khi tăng.
Theo đề ta có:
22
2' =4 'R R R R
Ví dụ 3.1.4
Cho mặt cầu
S
tâm
O
và các điểm
A
,
B
,
C
nằm trên mặt cầu
S
sao cho
3AB
,
4AC
,
5BC
và khoảng cách từ
O
đến
ABC
bằng
1
. Bán kính của
khối cầu
S
bằng
A.
29
2
. B.
29
. C.
5
2
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 2
25AB AC BC ABC
vuông tại
A
.
Gọi
H
là hình chiếu của
O
trên
ABC
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Vì
ABC
vuông tại
A
nên
H
là trung điểm
BC
.
Vì khoảng cách từ
O
đến
ABC
bằng
1
nên
1OH
.
OHB
:
22
OB OH BH
29 29
22
R OB
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 40
Dạng 3.2. Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu
Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.
Diện tích mặt cầu:
2
4
C
SR
.
Thể tích khối cầu:
3
4
3
C
VR
.
Ví dụ 3.2.1
Cho khối cầu
S
có thể tích bằng
3
36 cm
. Diện tích mặt cầu bằng bao nhiêu?
A.
2
16 cm
. B.
2
18 cm
. C.
2
36 cm
. D.
2
27 cm
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3 3 2
4
36 27 3 4 36
3
V R R R S R
.
Ví dụ 3.2.2
Cho mặt cầu
1
S
bán kính
1
R
, mặt cầu
2
S
bán kính
2
R
. Biết rằng
21
2RR
, tính
tỉ số diện tích mặt cầu
2
S
và mặt cầu
1
S
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
22
11
2 2 2
21
22
2
1
11
22
4
4
24
4
4
;.
SR
S R R
RR
S
RR
SR
Ví dụ 3.2.3
Khinh khí cầu của Montgolfier nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi
khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính
11m
thì thể tích của khinh khí
cầu là bao nhiêu? (lấy
22
7
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2).
A.
380 29,
. B.
697 19,
. C.
190 14,
. D.
95 07,
.
Lời giải
Chọn B
Bán kính của khi khí cầu là
11
2
mR
3
4
697 19
3
2
.mVR
.
Ví dụ 3.2.3
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).
Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của
bồn chứa nước là
128
3
. Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước
theo đơn vị
2
m
.
A.
48
. B.
18
. C.
36
. D.
27
.
Lời giải
Chọn A
3
m
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 41
Gọi
4 mx
là đường sinh hình trụ.
Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là
mx
.
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy
Rx
đường
sinh
4l h x
và thể tích khối cầu có bán kính
Rx
.
Do đó:
23
4 128
42
33
.mx x x x


.
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
2
4 2 4 48
2
. . mx x x
.
Ví dụ 3.2.4
Cho đường tròn tâm
O
có đường kính
2AB a
nằm trong mặt phẳng
P
. Gọi
I
là điểm đối xứng với
O
qua
.A
Lấy điểm
S
sao cho
SI P
và
2 .SI a
Tính diện
tích mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm
.S
A.
2
65 .Sa
B.
2
65
4
.
a
S
C.
2
65
2
.
a
S
D.
2
65
16
.
a
S
Lời giải
Chọn B
Nhận xét:
SI SAB
SAB P
SI P

.
Mặt khác:
SAB
chứa đường kính của đường tròn tâm
O
Nên
SAB
cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn đi qua ba điểm
S
,
A
,
B
.
Do đó tâm của mặt cầu cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
SAB
.
Gọi mặt cầu tâm
H
qua đường tròn tâm
O
và điểm
S
.
Khi đó ta có tứ giác
HOIS
là hình thang vuông tại
O
và
I
.
Ta có
22SI OI a OA
. Gọi
R HA HS HB
là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kẻ
HK SI
K SI
, đặt
HO x KI
0x
2 2 2 2
2
2 2 2
24
HA HO OA x a
HS HK SK a x a
Vì
HA HS
nên
2
2 2 2
24a x a x a
7
4
a
x
.
Suy ra
2
2
7 65
44
aa
R HA a



. Vậy
2
65
4
.
a
S
23
4 128
.4 2 m
33
x x x x



S
H
A
B
x
y
I
P
R
R
x
a
O
R
x
K
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 42
Dạng 3.3. Thiết diện
Cho mặt cầu
;S O R
và một
P
. Gọi
d
là khoảng cách từ tâm
O
của mặt cầu đến
P
và
H
là hình chiếu của
O
trên
P
d OH
.
Nếu
;d R P S O R
theo giao tuyến là đường tròn
trên
P
tâm
H
, bán kính
r HM
2 2 2 2
R d R OH
.
Nếu
d R P
không
cắt mặt cầu
;S O R
.
Nếu
d R P
có một
điểm chung duy nhất. Ta nói
mặt cầu
;S O R
tiếp xc
P
.
Do đó, điều kiện cần và đủ để
P
tiếp xc với mặt cầu
;S O R
là
,d O P R
.
Ví dụ 3.3.1
Cho hình cầu đường kính
43a
. Mặt phẳng
P
cắt hình cầu theo thiết diện là
hình tròn có bán kính bằng
2a
. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến
P
.
A.
10a
. B.
10a
. C.
5a
. D.
.
Lời giải
Chọn A
Bán kính hình cầu đã cho là
23Ra
.
Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng
P
là
22
2 3 2 10d a a a
.
Ví dụ 3.3.2
Cho mặt cầu
2;S O R
,
A
là một điểm trên mặt cầu
S
và
P
là mặt phẳng qua
A
sao cho
60;OA P
. Diện tích của giao tuyến giữa khối cầu và
P
:
A.
2
8
R
. B.
2
R
. C.
2
4
R
. D.
2
2
R
.
Lời giải
Chọn D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
O
trên
P
thì.
* H là tâm của đường tròn giao tuyến
P
và
S
.
*
60,,OA P OA AH
.
Đường tròn giao tuyến có:
2
60
2
.cos
R
r HA OA
.
Diện tích đường tròn giao tuyến:
2
2
2
2
22
RR
r




.
P
R
A
I
H
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 43
Ví dụ 3.3.3
Cho mặt cầu
S
có tâm
O
, bán kính
3R
. Đường thẳng cố định cách
O
một
khoảng bằng
1
. Mặt phẳng
P
thay đổi chứa và cắt
S
theo giao tuyến là
đường tròn
C
. Tính bán kính nhỏ nhất của đường tròn
C
.
A.
22
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
I
là hcvg của
O
trên
1,OI d O
.
Ta có
,d O P OI
.
Gọi
x
là bán kính
C
2
2
,x R d O P
.
min
x
khi
,
max
d O P
,
max
d O P
khi
,d O P OI
.
Khi
1,d O P OI
22
22x R OI
.
Vậy bán kính đường tròn
C
nhỏ nhất bằng
22
.
Ví dụ 3.3.4
Cho mặt cầu
;S O R
và
P
cách
O
một khoảng bằng
h
0 hR
. Gọi
L
là
đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S
và
P
có bán kính
r
. Lấy
A
là một điểm
cố định thuộc
L
. Một góc vuông
xAy
trong
P
quay quanh điểm
A
. Các cạnh
Ax
,
Ay
cắt
L
ở
C
và
D
. Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
P
cắt mặt
cầu ở
B
. Tính diện tích lớn nhất của
BCD
.
A.
22
24r r h
. B.
22
4r r h
. C.
22
24rh
. D.
22
2r r h
.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng qua
A
và vuông góc
P
cắt mặt cầu ở
B
BL

là đáy của mặt trụ nội tiếp
S
2AB h
.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
CD
.
Ta có:
1
AH AO r
, với
1
O
là tâm đường tròn
L
.
Xét
90,AABH 
2
2 2 2 2 2
24BH AB AH h r h r
.
2 2 2 2
11
4 2 4
22
. . .
BCD
S BH CD h r r r r h
.
Vậy diện tích
BCD
lớn nhất bằng
22
4r r h
.
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 44
Dạng 3.5. Nội – ngoại tiếp
Tóm tắt các dạng bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Nội dung
Công thức
Loại 1
Cạnh bên
SA day
.
Đáy bất kỳ.
2
2
4
mc
d
h
RR
ABC
vuông tại
B
.
2
SC
R
ABC
vuông tại
C
.
2
SB
R
Loại 2
Chóp đều.
2
2.
SA
SO
R
Loại 3
Mặt bên vuông góc với đáy.
2
22
4
bd
AB
R R R
Loại 4
Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng và đáy nội tiếp đường tròn.
2
2
4
mc
d
h
RR
Loại 5
Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao lần lượt
;;a b c
.
2 2 2
2
a b c
R

Loại 6
Nội tiếp hình lập phương cạnh
a
.
2
a
R
Ví dụ 3.5.1
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với độ dài đường chéo
bằng
2a
, cạnh
SA
có độ dài bằng
2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
?
A.
6
2
a
. B.
2a
. C.
5
2
a
. D.
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm của
SC
,
Các
SAC
,
SBC
,
SCD
là vuông cạnh huyền
SC
Nên
S
,
A
,
B
,
C
,
D
nằm trên mặt cầu đường kính
SC
có
tâm
I
,
Bán kính
1
2
R SC
22
1
2
SA AC
22
1
24
2
aa
6
2
a
.
Ví dụ 3.5.2
Cho hình chóp
.S ABC
,
SA ABC
.
ABC
vuông tại
A
,
2SA BC a
. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
A.
6a
. B.
5a
. C.
2a
. D.
10a
.
Lời giải
Chọn C
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 45
Gọi
M
là trung điểm
BC
.
Gọi
d
là đường thẳng qua
M
và vuông góc
ABC
.
Khi đó,
d
là trục của đường tròn ngoại tiếp
ABC
1
.
Gọi
N
là trung điểm
SA
,
Dựng qua
N
song song với
AM
và
dI
.
Khi đó,
NI
là đường trung trực của đoạn
SA
2
Từ
1
và
2
IA IB IC ID
hay
I
là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
22
22
2
44
SA BC
R IA NA AM a
Ví dụ 3.5.3
Tính theo
a
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
.S ABC
, biết
các cạnh đáy có độ dài bằng
a
, cạnh bên
3SA a
.
A.
2
a
. B.
. C.
a
. D.
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm của
SA
.
Trong
SAO
kẻ d qua
H
và
d SA
cắt
d SO I
.
Khi đó
IS IA IB IC
.
Ta có
3
2
a
AM
;
3
3
a
AO
;
22
SO SA OA
26
3
a
Do
SHI SOA
:
SI SH
SA SO
.SH SA
SI
SO

36
8
a
.
Ví dụ 3.5.4
Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có
AB a
,
3AD a
và
45AC A


. Thể
tích của khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó bằng
A.
3
42
3
a
. B.
3
4
3
a
. C.
3
82
3
a
. D.
3
16 2
3
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
AC
Khi đó
I
là trung điểm của
AC
và
I
là tâm khối cầu
ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
.ABCD ABC D
.
Ta có:
22
32A C a a a

22
45cos
AC
AC a


2
2
AC
Ra
.
Vậy thể tích khối cầu là:
3
4
3
VR
3
4
2
3
a
3
82
3
a
45
°
a
3
a
I
D
C
B
C'
A'
D'
B'
A
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 46
Ví dụ 3.5.5
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
bằng
A. . B.
2
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
R
là bán kính của mặt cầu.
Ta có
2
1
2
R A C
22
1
2
A A AC

2 2 2
1
2
A A AB BC
3
2
Diện tích mặt cầu là
2
43SR
.
Ví dụ 3.5.6
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
32AB BC a
,
90SAB SCB
. Biết khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
()SBC
bằng
23a
. Tính
thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
A.
3
72 18 a
. B.
3
18 18 a
. C.
3
6 18 a
. D.
3
24 18 a
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
,IH
lần lượt là trung điểm của cạnh
SB
và
AC
Ta có
,SAB SCB
lần lượt là các vuông tại
A
và
C
IA IB IC IS
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
ABC
vuông tại
B
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
IH ABC
Ta có:
23
,
,
,
d A SBC
AC
d H SBC a
HC
d H SBC
Gọi
K
là trung điểm
BC
/ / ,HK BC HK AB AB BC
Lại có:
BC IH IH ABC BC IHK
Mặt khác:
BC SBC SBC IHK
theo giao tuyến
IK
Trong
IHK
, gọi
HP IK HP SBC
tại
P
3;HP d H SBC a
Xét
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3
4
:IHK HI a
HP HI HK HI AB
.
Xét
22
32:IHB IB IH HB a R
. Vậy
33
4
24 18
3
V R a
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 47
Dạng 3.6. Min – max liên quan khối nón
Xây dựng công thức cần tìm min – max.
Dùng các cách dưới đây để tìm min – max.
BĐT
Bunyakovsky
Dạng
Dấu “=” xảy ra khi
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
n n n n
a a a b b b a b a b a b
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
BĐT
AM – GM
2
ab
ab
ab
12
12
1
...
. ....
n
n
n
a a a
a a a n
n

Khảo sát hàm
số trên khoảng
xác định
Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán.
Đánh giá
lượng giác
1
2
. .sin ;
ABC
S AB AC AB AC
.
Khi đó, để
max
ABC
S


0
1 90
max
sin ; sin ; ;AB AC AB AC AB AC AB AC



Ví dụ 3.6.1
Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính
3Ra
cho trước bằng
A.
3
64 3
27
a
. B.
23
32
81
a
. C.
3
32 3
27
a
. D.
23
64
81
a
.
Lời giải
Chọn C
Bán kính đáy hình nón là
x
,
Chiều cao hình nón là
y
0 0 2,x R y R
.
'SS
là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón
Thì ta có
2
2x y R y
.
Gọi
1
V
là thể tích khối nón thì ta có:
2
1
11
2
33
.V x y y y R y
42
6
..R y y y
3
3
42
32
6 3 81
R y y y
R




Vậy thể tích
1
V
đạt giá trị lớn nhất bằng
33
32 32 3
81 27
Ra
42R y y
4
3
R
y
, từ đó
2
2
4 4 8
2
3 3 9
R R R
xR



hay
2 2 2 6
33
Ra
x 
.
Ví dụ 3.6.2
Cho mặt cầu có bán kính
R
, và một hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu.
Thể tích nhỏ nhất của khối chóp bằng
A.
3
43R
. B.
3
63R
. C.
3
83R
. D.
3
16 3R
.
12
...
n
a a a
Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv
Lê Minh Tâm
- 093.337.6281 Trang 48
Lời giải
Chọn C
Tâm mặt cầu
I SH
(
()SH ABC
tại
H
).
Đặt
,AB a SH h
Do mặt cầu
R
tiếp xúc với 4 mặt nên
IH IJ R
SI h R
.
Ta có
SHM SJI
2
2
3
3
6
6
SI IJ h R R
SM HM
a
a
h




2
22
2
12
Ra
h
aR

2 2 4
2 2 2 2
1 1 2 3 3
3 3 4 6
12 12
.
. . . . .
S ABC ABC
Ra a R a
V SH S
a R a R


Xét hàm
4
22
12
a
fa
aR
trên
23;R 
.
Ta có
5 2 3
2
22
0
2 48
0
26
12
a
a R a
fa
aR
aR

.
Suy ra
2
2 6 48
min
f f R R
. Vậy
3
83
min
.VR
Ví dụ 3.6.3
Cho mặt cầu
S
có bán kính
5 cmR
. Mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao
tuyến là đường tròn
C
có chu vi bằng
8 cm
. Bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
thay đổi
sao cho
A
,
B
,
C
thuộc đường tròn
C
,
DS
DC
và
ABC
là tam giác
đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD
.
A.
32 3
. B.
25
. C.
18 3
. D.
12
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
I
là tâm của mặt cầu
S
và
H
là hình chiếu của
I
trên
P
.
H
là tâm đường tròn
C
và là trọng tâm của
ABC
Đường tròn
C
có chu vi bằng
8
43r IH
.
Và đều
ABC
nội tiếp đường tròn
C
nên có cạnh
bằng
43
và có diện tích không đổi.
Do đó thể tích của tứ diện
ABCD
lớn nhất
khoảng cách từ
D
đến
ABC
là lớn nhất
H
,
I
,
D
thẳng hàng. Khi đó
8.DH
Vậy
2
1 1 3
8 4 3 32 3
3 3 4
max
. . . .
ABC
V DH S
.
----------Hết----------
| 1/50
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÀ T I À I L I L Ệ I U Ệ U D À D N À H N H C H C O H O K H K ỐI Ố 1 2 1 Mục lục
Chủ đề 01. KHỐI NÓN
Dạng 1.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao ...................................................... 5
Dạng 1.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích ....................................................... 6
Dạng 1.3. Thiết diện ............................................................................................................................. 8
Dạng 1.4. Nội – ngoại tiếp .................................................................................................................. 9
Dạng 1.5. Min – max liên quan khối nón ........................................................................................ 11
Dạng 1.6. Bài toán thực tế ............................................................................................................... 13
Chủ đề 02. KHỐI TRỤ
Dạng 2.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao .................................................... 18
Dạng 2.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích ..................................................... 19
Dạng 2.3. Thiết diện ........................................................................................................................... 21
Dạng 2.4. Nội – ngoại tiếp ................................................................................................................ 24
Dạng 2.5. Min – max liên quan khối trụ.......................................................................................... 26
Dạng 2.6. Bài toán thực tế ............................................................................................................... 29
Chủ đề 03. KHỐI CẦU
Dạng 3.1. Tính bán kính khối cầu cơ bản ...................................................................................... 39
Dạng 3.2. Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu .................................................................. 40
Dạng 3.3. Thiết diện ........................................................................................................................... 42
Dạng 3.5. Nội – ngoại tiếp ................................................................................................................ 44
Dạng 3.6. Min – max liên quan khối nón ........................................................................................ 47
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI TRÒN XOAY KHỐI NÓN A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng P :
 Cho 2 đường thẳng d , cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc với 0 0 0   90 .
 Quay P xung quanh trục với góc không thay đổi
được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O . 
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. 
Đường thẳng gọi là trục, 
Đường thẳng d được gọi là đường sinh, 
Góc 2 gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay.
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI
thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình,
gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). 
Đường thẳng OI gọi là trục,   O là đỉnh, 
OI gọi là đường cao, 
OM gọi là đường sinh của hình nón. 
Hình tròn tâm I , bán kính R IM là đáy của hình nón.
3. Diện tích – Thể tích.
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:  Diện tích xung quanh:
S  .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn:
S S S tp xq d   1 1 Thể tích khối nón: 2 V  . B h r .h 3 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 2
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 4. Tính chất.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng:
Đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
 Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh
→Thiết diện là tam giác cân.
 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh
→Mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
 Mặt phẳng cắt mặt nón tạo góc
Không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
 Mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón
→Giao tuyến là một đường tròn.
 Mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón
→Giao tuyến là đường parabol.
 Mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón
→Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 3
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Mối liên hệ thường gặp. Trường hợp Nội dung Công thức
Hình minh họa Quay quanh cạnh góc h C1  ại 1 vuông C và C là cạnh R C 1 2 2 Lo  góc vuông còn lại.
l c/huyen VUÔNG    Quay quanh cạnh huyền c/huyen h h 1 2    1 1 1 1 ại 2 tạo 2 nón:     2 2 2 2 Lo + Nón trên (nón chứa C). R R C C  1 2 1 2
+ Nón dưới (nón chứa B).
l C & l   C 1 1 2 2 Quay quanh đường cao   l 3 h ại 3
Thiết diện qua trục là tam  2 Lo  giác đều. l  2R ĐỀU     l l C 1 2   C ại 4
Quay quanh 1 cạnh  tạo R R 1 2 Lo 2 nón bằng nhau. 2   C 3 h h  1 2  2 h   R VUÔNG  2  R l 2 Qua trục l  2Rệni ĐỀU  l 3 h ết d  2 hi T
+ Vẽ trung điểm của dây.
+ Nối với tâm  kí hiệu vuông góc. + Xem giả thiết: Không
 t/die ;nm/day  . qua trục  t/d ;
ien d/cao  .  d ;
O t/dien  d .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 4
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 1.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
 Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.  Diện tích xung quanh:
S  .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn: S S S tp xq d   1 1 Thể tích khối nón: 2 V  . B h r .h 3 3  Ví dụ 1.1.1
Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và AC a 3 . Tính độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. a . B. a 3 . C. 2a . D. 3a . Lời giải Chọn C
Hình nón có đỉnh là B , Tâm đường tròn đáy là A ,
Bán kính đáy là AC a 3 ,
Chiều cao hình nón là AB a .
Vậy độ dài đường sinh là: 2 2
BC AB AC  2 . a Ví dụ 1.1.2
Cho hình nón có đường sinh  2a và hợp với đáy góc 0
 60 . Tính đường kính
d của hình nón đó.
A. d  2a .
B. d a  3 .
C. d a .
D. d a 5 . Lời giải Chọn A S
 A   2a Ta có:  0
R OA S .
A cos60  a d  2a 0 S  AO  60  Ví dụ 1.1.3
Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm
nằm trên mặt phẳng đáy sao cho OI R 3 . Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn
(O; R) sao cho OA OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Tính đường cao của hình nón. A. R 2 . B. R . C. 2R .
D. R  2 . Lời giải Chọn B Xét AOI có: 2 2 2 2
IA OA OI  4R IA  2R IA 2R
SAI vuông cân tại S :  SA    R 2 . 2 2 Xét SOA ta có: 2 2 2 2
SO SA OA  2R R R .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 5
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích
 Cho hình nón H có bán kính đáy bằng r , chiều cao SO h và độ dài đường sinh là l .
Ký hiệu S , S lần lượt là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón xq tp
H, khi đó ta có  Diện tích xung quanh:
S  .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn: S S S tp xq d   1 1 Thể tích khối nón: 2 V  . B h r .h 3 3  Lưu ý:
SAB là tam giác cân đỉnh S và được gọi là thiết diện qua trục của khối nón.  2 2 2
l h r .  Ví dụ 1.2.1
Cho hình nón có đường sinh l  5 , bán kính đáy r  3. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. A. . B. 15 . C. 2 15 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Diện tích xung quanh của hình nón đó là S rl  3 . 5 .  15 . xqVí dụ 1.2.2
Tính diện tích toàn phần của hình nón có chiều cao bằng a 3 và bán kính đáy bằng a . A. 2 2 a . B. 2 3 3 a . C. 2 32 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn D
Ta có h a 3 , r a 2 2 2 2
l h r  3a a  2a . Vậy 2 2 2
S rl r  .a 2
. a  .a  3 a . tpVí dụ 1.2.3
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a . 2 a 2 a 3 2 2 a 2 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 2 Lời giải Chọn B
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và M là trung điểm BC . 2 2 a 3 a 3 Ta có AO AM    . 3 3 2 3 2 a 3 a 3 S  .O . A SA  . .a  . xq 3 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 6
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.2.4
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a . 3 3a A. 2 a . B. 2 a 2 3 . C. . D. 2 a 2 2 . 3 Lời giải Chọn C
Ta có l CB  2a , BCA  30 . AB r 1
Xét ABC : sin 30 
  r  .lsin30  2 . aa. CB l 2 CA h 3 cos30 
  h  .lcos30  2 . aa 3 . CB l 2 3 1 1 3a Suy ra 2 2 V r h a .a 3  . 3 3 3  Ví dụ 1.2.5
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng 60 .
Tính thể tích của khối nón đã cho. 2 a 2 a 3 2 2 a 2 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 2 Lời giải Chọn B Ta có: l 10
S  60  rl  60  10 r  60  r  6 . xq 2 2 2 2
h l r  10  6  64  8 .. 1 1 Do đó thể tích là: 2 2 V r h  6 . 8 .  96 . 3 3  Ví dụ 1.2.6
Cho khối nón có đường cao h  5, khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh bằng
4. Thể tích của khối nón đã cho bằng 2000 2000 16 80 A. . B. . C. . D. . 9 27 3 3 Lời giải Chọn B
Khối nón có h SO  5, dO,SA  OH  4 . 1 1 1 Xét SAO:   2 2 2 OH SO OA 1 1 1 1 1 9       400 2  OA  . 2 2 2 2 2 2 2 OA OH SO 4 5 4 5 . 9 1 2000 Thể tích khối nón: 2 V  .OA .SO  . 3 27
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 7
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.3. Thiết diện
 Mặt phẳng P đi qua  Mặt phẳng P đi qua  Mặt phẳng cắt vuông góc
trục, cắt khối chóp theo
đỉnh của hình nón và cắt với trục hình nón ⇒ một thiết diện là SAB
mặt nón theo 2 đường sinh
Thiết diện là đường tròn. cân tại đỉnh S . ⇒ Thiết diện là cân.  Ví dụ 1.3.1
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h  20cm , bán kính đáy r  25cm . Một
thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là 12cm . Tính diện tích của thiết diện đó. A.  2 500 cm  . B.  2 5 cm  . C.  2 260 cm  . D.  2 350 cm  . Lời giải Chọn A
Theo bài ra ta có AO r  25; SO h  20; OK 12 . 1 1 1 Lại có    OI 15 cm 2 2 2   OK OI OS 2 2
AB  2AI  25 15  40 cm; 2 2
SI SO OI  25cm 1  S  2 . 5 4 . 0  500 2 cm . SAB 2  Ví dụ 1.3.2
Cho một khối nón có bán kính đáy là 9cm , góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30
. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. A.  2 12 cm  . B. 54  2 cm  . C.  2 20 cm  . D.  2 10 cm  . Lời giải Chọn B
Mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc là SA và
AM cắt khối nón theo thiết diện là SAM
Góc giữa đường sinh và mặt đáy là SAO  30 . r
Ta có SM SA   6 3 . cos30
Vì SA AM nên SAM vuông tại S . 1
Diện tích SAM là: S S . A SM  54 2 cm  . 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 8
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.4. Nội – ngoại tiếp
Bài toán 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp
Loại 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình chóp
+ Chiều cao h là chiều cao của hình chóp AB 3
+ Bán kính đáy r bằng . 3
Loại 2: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình chóp
+ Chiều cao h là chiều cao của hình chóp AB 2
+ Bán kính đáy r bằng 2
Bài toán 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp
Loại 1: Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh l là SN .
+ Chiều cao h là chiều cao của hình chóp. AB 3
+ Bán kính đáy r OM  . 6
Loại 2: Hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác đều Khi đó hình nón có:
+ Đường sinh l là SN .
+ Chiều cao h là chiều cao của hình chóp. AB
+ Bán kính đáy r  2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 9
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.4.1
Cho hình chóp lục giác đều .
S ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và tạo với đáy một
góc 60. Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C 1 2a
Bán kính đáy: r HB S . B cos 60  2 . a   a . 2 2 3
Chiều cao: h SH S . B sin 60  2 . aa 3 . 2 1 3 1 a 3 Thể tích hình nón 2 V  .r .h 2  .a .a 3  3 3 3  Ví dụ 1.4.2
Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy
bằng 60. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , có đáy là hình tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C a 3
Gọi I là tâm đường tròn ABC  IA r  . 3
Gọi M là trung điểm của AB AB  SMC
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc 60o SMC  2a 3  a SM  2IM  3  6 3 2 2  a a a 2 2
SA SM MA   21  . 3 4 6 a a 2 a 7 S  3 21 rl  . .  . xq 3 6 6
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 10
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.5. Min – max liên quan khối nón
 Xây dựng công thức cần tìm min – max.
 Dùng các cách dưới đây để tìm min – max. Dạng
Dấu “=” xảy ra khi a b BĐT
      2 2 2 2 2 a b c d ac bd c d Bunyakovskya a a
a a  ...  a b b  ... b   a b a b  ... a b 1 2   ... nn n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 b b b 1 2 n
a b ab a b BĐT 2 AM – GM
a a  ...  a 1 2 n n
a .a ....a n 1
a a  ...  a 1 2 n   n 1 2 n
Khảo sát hàm
số trên khoảng Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán. xác định 1 SA . B AC.sinA ; B AC . ABC  2 Đánh giá Khi đó, để S     lượng giác ABC max    sin 
A ;BAC sin 
A ;BAC A ;BAC 0 1
 90  AB AC max  Ví dụ 1.5.1
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là
một tam giác đều cạnh bằng a . A , B là hai điểm bất kỳ trên O . Thể tích khối chóp .
S OAB đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 48 12 6 3 Lời giải Chọn A 1 Ta có VS .SO . S.OAB 3 AOB 1 Lại có SO . A O . B sin AOB . AOB 2 a a 3
Mặt khác OA OB  , SO h  . 2 2 Do đó V  
sin AOB   OA OB. S.OAB  khi 1 max 3 1 1 a a a 3 a 3 Khi đó V       . max 3 2 2 2 2 48  Ví dụ 1.5.2
Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm
trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu
có bán kính R cho trước. 3 a 3 3 a 3 a 3 3 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 11
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Chọn C
Gọi chiều cao của hình nón là x , 0  x  2R . S
Gọi bán kính đáy của hình nón là r Ta có 2 2 2
r OM OH     2 2 R x R 2  O
2Rx x x2R x . 1 1 2  V r .x 2 
x 2R x . H 3 3 M 3  x x    2R   x x x  2 3 x 8R
Mặt khác . . R x 2 2 2    
2Rx  2 2 3     4 27   1    R R V
x 2R x 3 3 32 32 2   V  . 3 27 max 27 x R Dấu "  " xảy ra khi  2R  4 x x  2 3  Ví dụ 1.5.3
Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27 3 cm , với chiều cao
h và bán kính đáy r . Giá trị r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất: 6 3 8 3 8 3 6 3 A. 4 r  . B. 6 r  . C. 4 r  . D. 6 r  . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 1 81 2
Ta có thể tích cốc hình nón V
.r .h  27  h  . 3 2 .r 2  2 81   81  8 3 2 2 4 Khi đó l     r S  .r.    r   r 2  . .r  . Suy ra xq 2  .r  2 2 .r
Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất. 8 2.3 3 4r  3 2 3
Ta xét f r 8 4   r    .r f r  . 2 2 .r 8 3 4 2  r 2 2 .r 8 3
f r  0 6  r   r . 2 0 2 8 3
Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì 6 r  . 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 12
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 1.6. Bài toán thực tế
Bài toán 1: Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một bài toán hình học. 
 Sử dụng công cụ hình học, đại số (nếu cần) giải quyết bài toán. 
 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Bài toán 2: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học.
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Hình học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ
Hình học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn.
Bước 2: Sử dụng công cụ giải quyết bài toán hình học được hình thành từ bước 1. 
 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .  Ví dụ 1.6.1
Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn
với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy
quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của
mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu? 16 2 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Lời giải Chọn A Đổi 60cm  6dm .
Đường sinh của hình nón tạo thành là l  6dm .
Chu vi đường tròn ban đầu là C  2 R 16 .
Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành. 2 6 .
Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là 2 .r   4 4 dm  r   2dm . 3 2
Đường cao của khối nón tạo thành là 2 2 2 2
h l r  6  2  4 2 . 1 1 16 2 16 2
Thể tích của mỗi cái phễu là 2 2 V r h  2 4 2 3 . .  dm  lít. 3 3 3 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 13
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.6.2
Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3
. K là trung điểm BC . Người ta dùng compa có tâm là S ,
bán kính SK vạch một cung tròn MN . Lấy phần hình quạt
gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S , cung
MN thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên. 2 2 3 105 103 A. . B. . C. . D. . 64 5 64 12 Lời giải Chọn C 3 3 3 Ta có SK SB  . 2 2 1 1 27 9
Diện tích phần hình quạt là 2 SSK   . quat S 6 6 4 8
Gọi r là bán kính đáy của hình nón. 1 SK 3 M N
Suy ra 2 r  2 SK r   . 6 6 4 B C K 105
Chiều cao của khối nón bằng 2 2
h SK r  . 4 1 1 3 105 105 Thể tích bằng 2 V r h    . 3 3 16 4 64  Ví dụ 1.6.3
Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình
vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một
hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt
bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính
OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ
không đáng kể). Gọi 500 là góc ở tâm hình quạt
tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? 2 2 3 105 103 A. . B. . C. . D. . 64 5 64 12 Lời giải Chọn C
Dựa vào hình vẽ, độ dài cung 57 lớn bằng 500 , bán kính hình nón n n
Đường cao của hình nón 500.1 0,005 10 10
Thể tích khối nón (phễu) n 10 n n
Theo Cauchy ta có 10.1 0,005 10. n
Dấu bằng xảy ra khi n 1 .  ,  1 10 1 0 005 .
Vậy thể tích phễu lớn nhất khi 10.
----------Hết----------
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 14
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI TRÒN XOAY KHỐI TRỤ A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng P :
 Cho 2 đường thẳng d , song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r .
 Quay P xung quanh trục thì ℓ sinh ra một mặt tròn xoay,
được gọi là mặt trụ. 
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. 
Đường thẳng gọi là trục, 
Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh, 
r gọi là bán kính.
2. Hình trụ tròn xoay.
Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh AB
thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình,
gọi là hình trụ tròn xoay (gọi tắt là hình trụ). 
Đường thẳng gọi là trục, 
AB gọi là đường cao, 
CD gọi là đường sinh của hình nón. 
Hình tròn tâm B , bán kính R BC là đáy của hình nón.
3. Diện tích – Thể tích.
Cho hình trụ có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:  Diện tích xung quanh:
S  2 .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn:
S S  2S tp xq d  Thể tích khối nón: 2 V  .
B h r .h
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 15
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 4. Tính chất.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi mặt phẳng:
Cắt 2 mặt đáy thì có các trường hợp sau xảy ra:
 Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh
→Thiết diện là tứ giác (hình vuông/hình chữ nhật).
 Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh, song song với trục
 Mặt phẳng cắt mặt trụ theo 2 đường sinh, cắt trục
Chỉ cắt 1 mặt đáy thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh
→Mặt phẳng tiếp diện của mặt trụ.
 Mặt phẳng cắt 1 đường sinh hình trụ và 1 mặt đáy
→Giao tuyến là đường parabol.
Song song 2 đáy thì có trường hợp sau xảy ra:
 Mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón
→Giao tuyến là một đường tròn.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 16
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
5. Mối liên hệ thường gặp. Trường hợp Nội dung Công thức
Hình minh họa Thiết diện là hình Qua trục
h l  2R vuông
Song song với trục:
+ Vẽ trung điểm của dây. ệni
+ Nối với tâm mặt đáy. ết d
+ Xem giả thiết: cách trục 1 khoảng hi
d d OH T Không
Cắt trục tại I : qua trục
+ Vẽ trung điểm hai dây.
+ Nối hai trung điểm  cắt trục tại I . + Xem giả thiết:
 t/die ;nm/day  O MI OHI .  t/d ;
ien truc  OIH O IM .
h l c/benNội tiếp
Nội tiếp hình hộp đứng   1 . R   c/day  2 p ộ i h ố h canh ụi kh
Ngoại tiếp hình hộp đứng   . ớ c/day 2 g trR vn 2 a u – lăn q n iê L Ngoại tiếp
h c / ben
Ngoại tiếp lăng trụ đứng   . R   r
Với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 17
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 2.1. Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
 Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.  Diện tích xung quanh:
S  2 .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn: S S  2S tp xq d  Thể tích khối trụ: 2 V  .
B h r .h Ví dụ 1.1.1
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2
8 a và bán kính đáy bằng a . Độ dài
đường sinh của hình trụ bằng: A. 4a . B. a 3 . C. 2a . D. 3a . Lời giải Chọn A S 2 8πa
Ta có: S  2πRl xql    4a . xq 2πR 2πaVí dụ 1.1.2
Cho hình chữ nhật ABCD có BC  3, AC  5 . Tính độ dài đường sinh của khối
trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB . A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 9 . Lời giải Chọn B
Độ dài đường sinh của khối trụ là: 2 2 2 2
AB AC BC  5 3  4.  Ví dụ 1.1.3
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường
kính của đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy. 5 2 5 2 A. r  5 .
B. r  5. C. r  . D. r  . 2 2 Lời giải Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ: 2 rl ( l : độ dài đường sinh) có l  2r
S  2 rl  2 rl  50  2 r2r  5 2 50  r xq 2  Ví dụ 1.1.4
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AC  5a và bán kính đáy
của khối trụ bằng 2a . Tính độ dài đường sinh của khối trụ đã cho. A. 3a . B. 6a .
C. a 21 . D. 4a . Lời giải Chọn A
Xét ABC có AB  2r  4a .
Đường sinh của khối trụ đã cho là 2 2
l BC AC AB  3a .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 18
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.2. Tính diện tích xung quanh – toàn phần – thể tích
 Cho hình trụ H có bán kính đáy bằng r , chiều cao h và độ dài đường sinh là l . Ký
hiệu S , S lần lượt là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ H , xq tp khi đó ta có  Diện tích xung quanh:
S  2 .r.l . xq 
Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r . d 
Diện tích toàn phần hình tròn: S S  2S tp xq d  Thể tích khối trụ: 2 V  .
B h r .h Ví dụ 2.2.1
Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính
diện tích xung quanh của hình trụ. A. 2 a . B. 2 2 a . C. 2 3 a . D. 2 4 a . Lời giải Chọn D
Hình trụ có bán kính đáy a ,
Thiết diện qua trục là một hình vuông
Nên chiều cao hình trụ bằng 2a .
Diện tích xung quanh hình trụ: 2
S  2 Rh  2 .a 2 . a  4 a xqVí dụ 2.2.2
Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 . A. 2
2 a 1 3 . B. 2 2 a  3   1 . C. 2 a 3 . D. 2
a 1 3 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 S  2 . a a 3  2 a 3 ; 2 Sa 2 2 2
S  2 a 3  2 a  2 a 1 3 tpxq dayVí dụ 2.2.3
Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song
với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 10 3 . B. 5 39 . C. 20 3 . D. 10 39 . Lời giải Chọn C
Gọi O, O lần lượt là tâm của hai đáy
ABCD là thiết diện song song trục ; A, BO ;
C, DO .
Gọi H là trung điểm AB OH d OO, ABCD  1. S  30  A .
B BC  30  AB  2 3  HA HB  3 . ABCD 2 2
r OH HA  3 1  2 .
S  2 rh  2 2 . 5 . 3  20 3 xq
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 19
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 2.2.4
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r  4 và chiều cao h  4 2 .
A. V  32 .
B. V  64 2 .
C. V 128 .
D. V  32 2 . . Lời giải Chọn B
Thể tích của khối trụ là 2 2
V r h  4 4 . 2  64 2 Ví dụ 2.2.5
Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4 . Thể tích khối trụ là 2 4 A. . B. 2 . C. 4 . D. . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có ABB A
  là hình vuông  h  2r. 2
S  2 rh  2 r 2
. r  4 r  4 1 h  2 . xq Thể tích khối trụ 2 2
V r h  .l 2 .  2 .  Ví dụ 2.2.6
Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt
phẳng ta được hình vuông có chu vi bằng 8 . Thể tích khối trụ đã cho bằng A. 2 2 . B. 3 2 . C. 4 . D. 2 4 . Lời giải Chọn A Chu vi hình vuông bằng 8
Nên cạnh hình vuông bằng 2 .
Do đó hình trụ có bán kính R  1 , đường sinh l  2R .
Vậy thể tích của hình trụ là 2 2 V R h  2 .  Ví dụ 2.2.7
Cho hình trụ có các đáy là 2 hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O
lấy điểm B sao cho AB  2a . Thể tích khối tứ diện OO A
B theo a là. 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 12 8 4 Lời giải Chọn B
Kẻ đường sinh AA.
Gọi D là điểm đối xứng với A qua O và
H là hình chiếu của B trên đường thẳng A D  . Do BH A D
 , BH AA  BH  AOO A  . 2 2 2 2 A B
  AB A A
a 3  BD A D   A B   a . a 3 2 a 3 3a O B
D đều nên BH  ; S     V . 2 AOO 2 12
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 20
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.3. Thiết diện Qua trục
Không qua trục Cắt trục
 Thiết diện là hình vuông  Song song với trục:
Cắt trục tại I :
h l  2R
+ Vẽ trung điểm của dây.
+ Vẽ trung điểm hai dây.
+ Nối với tâm mặt đáy.
+ Nối hai trung điểm  cắt
+ Xem giả thiết: cách trục 1 trục tại I .
khoảng d d OH + Xem giả thiết:
 t/die ;nm/day  O MI OHI .  t/d ;
ien truc  OIH O IM .  Ví dụ 2.3.1
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một
thiết diện có diện tích bằng 2
8a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ? A. 2 4 a . B. 2 8 a . C. 2 16 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn B
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật, có độ
dài một cạnh là 2a , có diện tích là 2 8a , 2 8a
Suy ra chiều cao của hình trụ là h   4a . 2a
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: S  2 rh xq  2. . 4 . a a 2  8 a .  Ví dụ 2.3.2
Một hình trụ có bán kính đáy r  5cm và khoảng cách giữa hai đáy h  7cm . Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng P song song với trục và cách trục 3cm . Diện tích
của thiết diện được tạo thành là: A. S  56  2
cm  . B. S  55 2 cm  . C. S  53 2
cm  . D. S  46 2 cm  . Lời giải Chọn A
P cắt O, O theo hai dây cung AB, CD B O
Và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh AD , BC . H A
Khi đó ABCD là hình chữ nhật.
Gọi H là trung điểm của AB .
Ta có OH AB; OH AD OH  ABCDCO
d OO,P  dO, ABCD  OH  3cm . D
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 21
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Khi đó, AB  2AH 2 2  2 OA OH 2 2
 2 5  3  8; AD OO'  h  7cm .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SA . B AD cm . ABCD  2 56   Ví dụ 2.3.3
Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng không vuông
góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , A B   và AB A B
   6 cm , diện tích hình chữ nhật ABB A   bằng  2 60 cm  . Tính bán
kính đáy của hình trụ. A. 12 . B. 4 . C. 25 . D. 8 . Lời giải Chọn B
Diện tích hình chữ nhật ABB A   bằng  2 60 cm  Nên A .
B BB  60  6.BB  60  BB 10  MK  5
Chiều cao hình trụ bằng 6 2 cm nên MO  3 2 . 2 2
OK MK MO  25 18  7 ; AB  6  KB  3 . 2 2
BO OK KB  7  9  4 .  Ví dụ 2.3.4
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 4 (cm) và có chiều cao bằng 5
(cm). Gọi AB là dây cung đáy dưới sao cho AB  4 3 (cm). Người
ta dựng mặt phẳng P đi qua hai điểm A, B và tạo với đáy hình trụ góc 0
60 như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt
bởi mặt phẳng P . A. 12 . B. 4 . C. 25 . D. 8 . Lời giải Chọn B
Thiết diện hình trụ cắt bởi P có hình chiếu lên mặt đáy
là miền cung tròn nhỏ AB
Gọi S là diện tích thiết diện
Và S diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt đáy. 2 2 2
OA OB AB 1  0 cos AOB    AOB 120 2O . A OB 2  1 S  . OA .
OB sin AOB  4 3  4 4  3 3 OAB  2   S'  SSS  0  1 1 4 12 . 0 16 AmB OAmB OAB 3 S   .l .R  . .4  OAmB 0  2 AB 2 180 3 8  S' 4 3 3 Lại có: S'  .
S cos P,(OAB)  S   cos P,(OAB) 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 22
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 2.3.5
Cho khối trụ có chiều cao 20cm . Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng được thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng
10cm . Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa,
nửa trên có thể tích là V , nửa dưới có thể tích là V (như 1 2
hình vẽ). Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần
đáy dưới nhất và điểm thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất V
lần lượt là 8cm và 14cm . Tính tỉ số 1 . V2 V V 9 V 1 V 2 A. 1  12 . B. 1  . C. 1  . D. 1  . V V 11 V 2 V 3 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
Qua A và B , dựng mặt phẳng vuông góc với
đường sinh và cắt khối trụ theo thiết diện là một
đường tròn (Kí hiệu các điểm như hình vẽ)BC  6cm Ta có  2 2
AC AB BC  8cm . AB 10cm
Phân chia khối hình, sử dụng phép đối xứng tâm.
Xét khối trụ ở giữa:
Thiết diện qua A, B cắt trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau (Phần này có được
bằng phép đối xứng tâm phần kia qua tâm L , với L là trung điểm của AB ) 1
Và bằng một nửa khối trụ và bằng 2 . 4 . 6 .  48  2 cm  . 2
Từ đó suy ra thể tích nửa trên là: 2 V  4 6 .  48   2 144 cm  . 1
Thể tích nửa dưới là: 2 V  4 . 8 .  48   2 176 cm  . 2 V 9 Tỉ số thể tích 1  . V 11 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 23
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.4. Nội – ngoại tiếp
Bài toán 1: Hình trụ ngoại tiếp
Loại 1: Hình trụ ngoại tiếp hình hộp đứng Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình hộp
+ Chiều cao h là chiều cao của hình hộp c/day 2
+ Bán kính đáy r bằng . 2
Loại 2: Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình lăng trụ
+ Chiều cao h là chiều cao của hình lăng trụ
+ Bán kính đáy r bằng r . d
Với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy d
Bài toán 2: Hình trụ nội tiếp
Loại 1: Hình trụ nội tiếp hình hộp đứng Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình hộp
+ Chiều cao h là chiều cao của hình hộp c/day
+ Bán kính đáy r bằng . 2
Loại 2: Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đứng Khi đó hình trụ có:
+ Đường sinh l là cạnh bên của hình lăng trụ
+ Chiều cao h là chiều cao của hình lăng trụ 2 c / da . y 3
+ Bán kính đáy r bằng r h  . d 3 d 3
Với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy d
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 24
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 1.4.1
Một hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a nội tiếp
trong một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ. 2 a 1 2 2  A. 2 6 a . B. 2
a 1 2 2 . C. 2 3 a . D. . 2 Lời giải Chọn A
Đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a 2
Nên có r a .
Diện tích toàn phần hình trụ là 2 2 2
S  2 rh  2 r  2. .a 2
. a  2 a  6 a . tpVí dụ 1.4.2
Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Xét hình trụ có một đáy là đường tròn nội
tiếp tam giác ABC và chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh
của hình trụ đó bằng: 2 a 3 2 a 2 2 2 a 2 2 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Đáy là đường tròn nội tiếp ABC 1 3  r  .BI a 3 6 a 6
Đường cao tứ diện ABCD là 2 2
DO DB OB  . 3 2 a 3 a 6 a 2
Diện tích xung quanh: S  2 rh  2. . .  . 6 3 3  Ví dụ 1.4.3
Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông cân tại A , góc giữa AC và mặt phẳng BCC B
  bằng 30. Tính thể
tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho. A. 3 4 a . B. 3 a 2 . C. 3 2 a 2 . D. 3 a 5 . Lời giải Chọn B
Gọi bán kính của hình trụ là R .
Ta có: CC  ABC  CC  AI
Mà ABC vuông cân tại A AI BC
AI  BCC B
  hay AC ;BCC B  IC A   30 . AI
Xét AIC: IC   R 3 . tan IC A  Xét CIC : 2 2 2 2 2 2
IC  IC CC  3R R  4a R a 2 . 
V r h  .a 2 2 3 2 2a  4 a
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 25
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.5. Min – max liên quan khối trụ
 Xây dựng công thức cần tìm min – max.
 Dùng các cách dưới đây để tìm min – max. Dạng
Dấu “=” xảy ra khi a b BĐT
      2 2 2 2 2 a b c d ac bd c d Bunyakovskya a a
a a  ...  a b b  ... b   a b a b  ... a b 1 2   ... nn n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 b b b 1 2 n
a b ab a b BĐT 2 AM – GM
a a  ...  a 1 2 n n
a .a ....a n 1
a a  ...  a 1 2 n   n 1 2 n
Khảo sát hàm
số trên khoảng Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán. xác định 1 SA . B AC.sinA ; B AC . ABC  2 Đánh giá Khi đó, để S     lượng giác ABC max    sin 
A ;BAC sin 
A ;BAC A ;BAC 0 1
 90  AB AC max  Ví dụ 2.5.1
Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn
hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ
nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng
thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn
nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được là: 91125 91125 A. 3 (cm ) . B. 3 (cm ) . 4 2 108000 3 13500. 3 C. 3 (cm ) . D. 3 (cm ) . Lời giải Chọn D
Gọi I là trung điểm .
BC Suy ra I là trung điểm MN
Đặt MN x,0  x  90 MQ BM 3 Ta có:   MQ  (90  x) AI BI 2 x
Gọi R là bán kính của trụ  R  2 2  x  3  V   x  x    x T   3 90  3 2 90   2  2 8 3
Xét f x   3 2
x  90x  với 0  x 90. 8 13500. 3
Khi đó: max f x  khi x  60. x (  0;90)
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 26
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 27
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 2.5.2
Cho ABC cân tại A , AB AC  5a, BC  6a . Hình chữ nhật MNPQ có M, N
lần lượt thuộc cạnh AB, AC và P, Q thuộc cạnh BC . Quay hình chữ nhật MNPQ
(và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác ABC được một khối tròn
xoay. Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn nhất.
A. MN a .
B. MN  2a .
C. MN  5a .
D. MN  4a . Lời giải Chọn D Ta có: BH  3 ; a AH  4a .
Đặt HQ x BQ  3a x 0  x  3a . 4 MQ BQ 3ax Ta có:   MQ  . AH BH 3 4 3a xx  2   3 Khi đó: 2 V  .x .  4 ax    x a . T 0 3  3 3   3 xx  0 L
Xét hàm số f x 2  x
0  x  3a  fx 2  
 2x x  0   3 x  2  N
Hàm số f x đạt giá trị lớn nhất tại x  2a MN  4a . Ví dụ 2.5.3
Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất
nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 2 3 3 3 Lời giải Chọn B SOh x r Theo Ta-Let: 
 , 0  x h . SO  x h r S
hx 2 2 r 2  r Ta có: 2
V rx  .x x h x . 2 2   h h Xét      2 M x x h x O' r' 3
h x h x       x 3 h x h x  4 2 2 h  4. . .x  4   2 2 3 27       h x h r O Dấu "  " xảy ra khi
x x  . 2 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 28
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 2.6. Bài toán thực tế
Bài toán 1: Các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một bài toán hình học. 
 Sử dụng công cụ hình học, đại số (nếu cần) giải quyết bài toán. 
 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .
Bài toán 2: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học.
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Hình học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ
Hình học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn.
Bước 2: Sử dụng công cụ giải quyết bài toán hình học được hình thành từ bước 1. 
 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp
với bài toán thực tế đã cho chưa .  Ví dụ 2.6.1
Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài 1km , đường
kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 
1 m , độ dày của lớp bê tông bằng
10cm . Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng. Số bao xi
măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là bao nhiêu? A. 2765 . B. 11234. C. 2000 . D. 1255 . Lời giải Chọn A
Đường kính của đường ống là 1 0 1 , 2 .  1,2m 2 Thể tích: 2
V r h  . ,  .   3 0 6 1000 360 m  .
Thể tích của khối trụ không chứa bê tông (phần rỗng) là
V r l  .0,52 2 1 . 000  250  3 m 1 
Thể tích phần bê tông: V V V  110  3 m . 2 1 
Số bao xi măng công ty cần phải dùng: 110 8 .  2765(bao).  Ví dụ 2.6.2
Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và
tay cầm cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính đáy bằng 12 ,
chiều cao bằng 6 , chiều dài tạ bằng 30 và bán kính tay cầm là 2 . Hãy tính thể tích
vật liệu làm nên tạ tay đó. A. 108 . B. 6480 . C. 502 . D. 504 . Lời giải Chọn D
Gọi h , R ,V là chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối 1 1 1 trụ nhỏ mỗi đầu. 2 2 
V h .R  6. 6 .  216 . 1 1 1
Gọi h , R ,V là chiều cao, bán kính đáy, thể tích của 2 2 2 tay cầm.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 29
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 2 
V h .R  30 2 6 .  2 . 2 .  72 . 2 2 2
Thể tích vật thể làm nên tạ tay bằng V  2V V  504 1 2  Ví dụ 2.6.3
Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa). A. 2 750, 25 cm . B. 2 700 cm . C. 2 756, 25 cm . D. 2 754, 25 cm . Lời giải Chọn C
Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung quanh
của hình trụ và diện tích một đáy, với diện tích hình vành khăn. Ta có: 2 S  . , .  . ,   2 2 2 7 5 30 7 5 17,5  7,5   756,25 .  Ví dụ 2.6.4
Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu có bán kính 2,7cm
vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc 5,4cm và chiều cao
của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm . Khi đó chiều
cao của mực nước trong cốc là A. 5,4cm . B. 5,7 cm . C. 5,6cm . D. 5,5cm . Lời giải Chọn A
Gọi R  2,7cm là bán kính của viên bi.
Ta có bán kính phần trong đáy cốc là 2R .
Thể tích nước ban đầu là V  2R2 2 4 . ,5  18 R . 1 4 Thể tích viên bi là 3 V R . 2 3
Thể tích nước sau khi thả viên bi:  2  2
V V V  2 R 9   R  . 1 2  3 
Gọi h là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào. 2 9  R 2 V
Mà V   R 3 2 h h     . R 5, 4 cm 2 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 30
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 KHỐI TRÒN XOAY KHỐI CẦU A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa.
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R .
Gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , ký hiệu: SO; R. Khi đó S ;
O R  M |OM   R .
2. Vị trí tương đối của một điểm với mặt cầu.
Cho mặt cầu SO; R và một điểm A bất kì, khi đó:
 Nếu OA R
 Nếu OA R A  Nếu OA R AAS ; O R . nằm trong mặt cầu. nằm ngoài mặt cầu.
OA là bán kính mặt cầu.
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu.
Cho mặt cầu SO; R và một P . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến
P và H là hình chiếu của O trên P d OH.
 Nếu d R  PS ;
O R  Nếu d R  P  Nếu d R  P có
theo giao tuyến là đường
không cắt mặt cầu một điểm chung duy
tròn trên P tâm H , bán
SO; R. nhất. Ta nói mặt cầu
SO; R kính r HM
tiếp xúc P . 2 2 2 2
R d R OH .
Do đó, điều kiện cần và đủ để P tiếp xúc với mặt cầu SO; R là dO,P  R .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 31
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
4. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu.
Cho mặt cầu SO; R và một đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng
và d OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến . Khi đó:
 Nếu d R  không cắt  Nếu d R  cắt  Nếu d R  và
mặt cầu SO; R.
mặt cầu SO; R tại mặt cầu tiếp xúc nhau (tại hai điểm phân biệt.
một điểm duy nhất).
Do đó: điều kiện cần và đủ để
tiếp xúc với mặt cầu là d dO,   R . 5. Định lý.
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu SO; R thì:
 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu SO; R.
 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
 Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu SO; R.
6. Diện tích – Thể tích.  4
Diện tích mặt cầu: 2 S  4 R .
Thể tích khối cầu: 3 V R C C 3
7. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Trục đa giác đáy (Trục đáy):
Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với
mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng:
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng:
Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
8. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp.
Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng
đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.  Bán kính:
Là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 32
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
9. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện:
9.1. Kỹ thuật xác định đường tròn ngoại tiếp đa giác:
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy.
Trục đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. O O O Hình vuông: O là giao
Hình chữ nhật: O là giao
∆ đều: O là giao điểm của 2 đường điểm 2 đường chéo.
điểm của hai đường chéo. trung tuyến (trọng tâm). O O
∆ vuông: O là trung điểm
∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền.
trung trực của hai cạnh ∆.
9.2. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Định nghĩa:
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua
tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: M
  : MA MB MC . Suy ra:
MA MB MC M .  Bước 1:
Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Qua H dựng
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt:
ABC vuông tại A , đều ABC ,
thường ABC , gọi H là giao
có H là trung điểm BC .
có H là trọng tâm ABC . điểm của 3 đường trung trực.
 Khi đó trục đường tròn  Khi đó trục đường tròn  Khi đó trục đường tròn
ngoại tiếp ABC là
ngoại tiếp ABC là
ngoại tiếp ABC là qua H qua H . qua H .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 33
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
9.3. Kỹ năng tam giác đồng dạng: SO SM
SMO đồng dạng với SIA   . SA SI
9.4. Nhận xét quan trọng:
MA MB MC M  ,S : 
SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC SA SB   SC
9.5. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp .
S A A ...A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). 1 2 n
Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp ta thực hiện theo hai bước:  Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng
: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực   của một cạnh bên. Lúc đó:
– Tâm O của mặt cầu:     O
– Bán kính: R SA SO . Tuỳ vào từng trường hợp.
9.2. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện:
1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương: Tâm:
Tâm là I , là trung điểm của AC.
Bán kính:   AC Bán kính: R  . 2
2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn:
Xét hình lăng trụ đứng ABC . D A BCD   , trong đó
có 2 đáy ABCD và A BCD
  nội tiếp đường tròn
O và O.
Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:  Tâm:
I với I là trung điểm của OO .
Bán kính:
Bán kính: R IA  IA IB IB  ....
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 34
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông: Chóp . S ABC có 0
SAC SBC  90 .
Lúc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:  Tâm:
I là trung điểm của SC .
Bán kính:SC Bán kính: R
IA IB IC . 2 Chóp . S ABCD có 0
SAC SBC SDC  90 .
Lúc đó, mặt cầu nội tiếp chóp có:  Tâm:
I là trung điểm của SC .
Bán kính:SC Bán kính: R
IA IB IC ID . 2
4. Hình chóp đều: Cho hình chóp đều . S AB . C ...  Tâm:
Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy.
Trong SAO, ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là
SA M và SO I
I là tâm mặt cầu  SM SI Bán kính: SMI SOA   SO SA 2  SM.SA SA
Bán kính: R IS  
IA IB  .... SO 2SO
5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy: Cho hình chóp . S AB . C ... có cạnh bên
SA   AB ...
C  và đáy AB ...
C nội tiếp được trong
đường tròn tâm O .  Tâm:
Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng d vuông góc với AB ... C  tại O .
Trong d;SA , dựng đường trung trực của cạnh SA là
SA M và d I
I là tâm mặt cầu
Bán kính:
Ta có: MIOAlà hình chữ nhật. 2   SA
Xét MAI vuông tại M có: 2 2 2
R AI MI MA AO    .  2 
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 35
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
6. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy: Cho hình chóp . S AB . C ... có mặt bên
SAB AB ...
C  và đáy AB ...
C nội tiếp được
trong đường tròn tâm O .  Tâm:
Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng d vuông góc với AB ... C  tại O .
Trong d;SH , dựng đường trung trực của cạnh SH là
SH M và d I
I là tâm mặt cầu.
Bán kính:
Xét SMI vuông tại M có: 2 2 2 2
R SI SM MI R HO  . b   Rb HO 2   1 
Xét AHO vuông tại H có: 2 2 2
HO AO AH R   AB  d      2 R  1 dAB 2 2   AB
Từ  &  2 2
R R R b d    2 
7. Hình chóp khác: Tâm:
 Dựng trục của đáy.
 Dựng mặt phẳng trung trực   của một cạnh bên bất kì.
    I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
I là tâm mặt cầu
Bán kính:
khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 36
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
10.Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay:
1. Chỏm cầu: S Rh   2 2 2 r h xqh rh h 2
V h R     2 2 h  3r   3  6 R
2. Hình trụ cụt:
S R h h xq  1 2  h h  2 1 2 h V R   2 h 2   1 R
3. Hình nêm loại 1: 2 3 V R tan 3
4. Hình nêm loại 2:  2  3 V     R tan  2 3 
5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay: 4 SRh R R parabol 3 1 1 h 2 V R h V 2 2 tru
6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip: S  . a b b a a 4 4 2 Va b 2 Vab xoayquanh2b 3 xoay quanh 2a 3 b
7. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip: R   2 2 S R r r
8. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip: r 2
R r  R r  2 V  2    R  2  2 
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 37
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
11. Tổng hợp tính bán kính mặt cầu: Nội dung Công thức 2 h Đáy bất kỳ. 2   mc R R d 4
Loại 1 Cạnh bên SA  day . SC
ABC vuông tại B . R  2 SB
ABC vuông tại C . R  2 2 SA
Loại 2 Chóp đều. R 2.SO 2 AB
Loại 3 Mặt bên vuông góc với đáy. 2 2
R R R b d 4 2 h
Loại 4 Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng và đáy nội tiếp đường tròn. 2   mc R Rd 4 2 2 2
a b c
Loại 5 Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao lần lượt a ; b; c . R 2 a
Loại 6 Nội tiếp hình lập phương cạnh a . R  2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 38
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng 3.1. Tính bán kính khối cầu cơ bản
 Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.  4 Diện tích mặt cầu: 2 S  4 R .  Thể tích khối cầu: 3 V R . C C 3  Ví dụ 3.1.1
Tính bán kính của khối cầu có thể tích bằng  3 36 cm  ? A. 6 cm . B. 3 cm . C. 9 cm . D. 6 cm . Lời giải Chọn B 4 4 3 3 V R  36 
R R  3 cm . 3 3  Ví dụ 3.1.2
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2,3,6 có bán kính: A. 7 . B. 7 . C. 49 . D. 5 . 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2  3  6 7
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có bán kính R   . 2 2  Ví dụ 3.1.3
Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì bán kính khối cầu
đó tăng lên bao nhiêu lần? A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 16 . Lời giải Chọn B
Gọi R là bán kính khối cầu lúc đầu, R' là bán kính khối cầu sau khi tăng. Theo đề ta có: 2 2
R' =4 R R'  2R Ví dụ 3.1.4
Cho mặt cầu S tâm O và các điểm A , B , C nằm trên mặt cầu S sao cho
AB  3, AC  4 , BC  5 và khoảng cách từ O đến ABC bằng 1 . Bán kính của
khối cầu S bằng A. 29 . B. 29 . C. 5 . D. 5 . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2
AB AC  25  BC ABC vuông tại A .
Gọi H là hình chiếu của O trên ABC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
Vì khoảng cách từ O đến ABC bằng 1 nên OH 1. OHB: 2 2 OB OH  29 29 BH   R OB  . 2 2
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 39
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 3.2. Tính diện tích mặt cầu – thể tích khối cầu
 Trường hợp đơn giản, áp dụng công thức đã có.  Diện tích mặt cầu: 2 S  4 R . C   4 Thể tích khối cầu: 3 V R . C 3  Ví dụ 3.2.1
Cho khối cầu S có thể tích bằng  3 36
cm  . Diện tích mặt cầu bằng bao nhiêu? A.  2 16 cm  . B.  2 18 cm  . C.  2 36 cm  . D.  2 27 cm  . Lời giải Chọn C 4 Ta có: 3 3 2 V
R  36  R  27  R  3  S  4 R  36 . 3  Ví dụ 3.2.2
Cho mặt cầu S bán kính R , mặt cầu S bán kính R . Biết rằng R  2R , tính 2  1  1 2 2 1
tỉ số diện tích mặt cầu S và mặt cầu S . 1  2  1 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. . 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 S  4 R  S 4 R R Ta có: 1 1 2 2 2 R  2R ;      4. 2 1 2 2 2 S  4 R S 4 R R 2 2  1 1 1  Ví dụ 3.2.3
Khinh khí cầu của Montgolfier nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi
khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì thể tích của khinh khí 22
cầu là bao nhiêu? (lấy 
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2). 7 A. 380, 29 . B. 697 1 , 9 . C. 190 1 , 4 . D. 95,07 . Lời giải Chọn B 11 4
Bán kính của khi khí cầu là R  m 3  V R  697 19 2 . m  . 2 3  Ví dụ 3.2.3
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).
Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của 128 bồn chứa nước là  3
m  . Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước 3 theo đơn vị 2 m . A. 48 . B. 18 . C. 36 . D. 27 . Lời giải Chọn A
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 40
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Gọi 4xm là đường sinh hình trụ.
Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là xm .
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R x đường
sinh l h  4x và thể tích khối cầu có bán kính R x .  4  128 4 128 Do đó: 2 3  x 4 . x x    x  2m 2 3    x .4x x   x  2   m .  3  3  3  3
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:  2
4x  2 x 4x  48  2 . . m  .  Ví dụ 3.2.4
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB  2a nằm trong mặt phẳng P . Gọi I
là điểm đối xứng với O qua .
A Lấy điểm S sao cho SI  P và SI  2 . a Tính diện
tích mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm . S 2 65 a 2 65 a 2 65 a A. 2
S  65 a . B. S  . C. S  . D. S  . 4 2 16 Lời giải Chọn B SI   SAB Nhận xét:    . SI   P
SAB P
Mặt khác: SAB chứa đường kính của đường tròn tâm O
Nên SAB cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn đi qua ba điểm S , A , B .
Do đó tâm của mặt cầu cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . x S R H K x R x R a O I A B y P
Gọi mặt cầu tâm H qua đường tròn tâm O và điểm S .
Khi đó ta có tứ giác HOIS là hình thang vuông tại O và I .
Ta có SI OI  2a  2OA . Gọi R HA HS HB là bán kính mặt cầu cần tìm.  2 2 2 2
HA HO OA x a
Kẻ HK SI K SI  , đặt HO x KI x  0  
HS HK SK   a x2 2 2 2 2  4aa
Vì HA HS nên  a x2 2 2 2 2  4a x  7 a x  . 4 2  7a a 65 2 65 a Suy ra 2 R HA   a    . Vậy S  .  4  4 4
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 41
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 3.3. Thiết diện
Cho mặt cầu SO; R và một P . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến P và
H là hình chiếu của O trên P  d OH .
 Nếu d R  PS ; O R
 Nếu d R  P không  Nếu d R  P có một
theo giao tuyến là đường tròn
cắt mặt cầu SO; R.
điểm chung duy nhất. Ta nói
trên P tâm H , bán kính
mặt cầu SO; R tiếp xúc P . r HM 2 2 2 2
R d R OH .
Do đó, điều kiện cần và đủ để P tiếp xúc với mặt cầu SO; R là dO,P  R .  Ví dụ 3.3.1
Cho hình cầu đường kính 4a 3 . Mặt phẳng P cắt hình cầu theo thiết diện là
hình tròn có bán kính bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến P . a 10 A. 10a . B. 10a . C. a 5 . D. . 2 Lời giải Chọn A
Bán kính hình cầu đã cho là R  2a 3 .
Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng P là I R H A
d   a 2 a 2 2 3 2  10a . PVí dụ 3.3.2
Cho mặt cầu S O; 2R , A là một điểm trên mặt cầu S và P là mặt phẳng qua
A sao cho O ;
A P  60 . Diện tích của giao tuyến giữa khối cầu và P : 2 R 2 R 2 R A. . B. 2 R . C. . D. . 8 4 2 Lời giải Chọn D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên P thì.
* H là tâm của đường tròn giao tuyến P và S .
* OA,P  OA, AH  60. R 2
Đường tròn giao tuyến có: r HA O . A cos 60  . 2 2 2  2R R
Diện tích đường tròn giao tuyến: 2 r      . 2  2  
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 42
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 3.3.3
Cho mặt cầu S có tâm O , bán kính R  3. Đường thẳng cố định cách O một
khoảng bằng 1 . Mặt phẳng P thay đổi chứa và cắt S theo giao tuyến là
đường tròn C . Tính bán kính nhỏ nhất của đường tròn C . A. 2 2 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Gọi I là hcvg của O trên
OI dO,  1.
Ta có d O,P  OI .
Gọi x là bán kính C  x R  dO P 2 2 , .
 x khi dO,P
 dO,P khi min max max
d O,P  OI .
Khi d O,P  OI  1 2 2
x R OI  2 2 .
Vậy bán kính đường tròn C nhỏ nhất bằng 2 2 .  Ví dụ 3.3.4
Cho mặt cầu SO; R và P cách O một khoảng bằng h 0  h R . Gọi L là
đường tròn giao tuyến của mặt cầu S và P có bán kính r . Lấy A là một điểm
cố định thuộc L . Một góc vuông xAy trong P quay quanh điểm A . Các cạnh
Ax , Ay cắt L ở C và D . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với P cắt mặt
cầu ở B . Tính diện tích lớn nhất của BCD . A. 2 2
2r r  4h . B. 2 2 r r  4h . C. 2 2
2 r  4h . D. 2 2
2r r h . Lời giải Chọn B
Đường thẳng qua A và vuông góc P cắt mặt cầu ở B
BL là đáy của mặt trụ nội tiếp S  AB  2h.
Gọi H là hình chiếu của A lên CD .
Ta có: AH AO r , với O là tâm đường tròn L . 1 1 Xét ABH, A  90
BH AB AH   h2 2 2 2 2 2 2
r  4h r . 1 1 2 2 2 2 S
BH.CD  . 4h r 2
. r r r  4h . BCD 2 2
Vậy diện tích BCD lớn nhất bằng 2 2 r r  4h .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 43
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 3.5. Nội – ngoại tiếp
Tóm tắt các dạng bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện. Nội dung Công thức 2 h Đáy bất kỳ. 2   mc R R d 4
Loại 1 Cạnh bên SA  day . SC
ABC vuông tại B . R  2 SB
ABC vuông tại C . R  2 2 SA
Loại 2 Chóp đều. R 2.SO 2 AB
Loại 3 Mặt bên vuông góc với đáy. 2 2
R R R b d 4 2 h
Loại 4 Ngoại tiếp khối lăng trụ đứng và đáy nội tiếp đường tròn. 2   mc R Rd 4 2 2 2
a b c
Loại 5 Ngoại tiếp khối hộp chữ nhật dài; rộng; cao lần lượt a ; b; c . R 2 a
Loại 6 Nội tiếp hình lập phương cạnh a . R  2  Ví dụ 3.5.1 Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo
bằng 2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD ? a 6 a 5 a 10 A. . B. 2a . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A
Gọi I là trung điểm của SC , Các
SAC , SBC , SCD là
vuông cạnh huyền SC
Nên S , A , B , C , D nằm trên mặt cầu đường kính SC có tâm I , 1 1 1 a
Bán kính R SC 2 2  SA AC 2 2  2a  6 4a  . 2 2 2 2  Ví dụ 3.5.2 Cho hình chóp .
S ABC , SA  ABC . ABC vuông tại A , SA BC  2a. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. A. a 6 . B. a 5 . C. a 2 .
D. a 10 . Lời giải Chọn C
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 44
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Gọi M là trung điểm BC .
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc ABC .
Khi đó, d là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC   1 .
Gọi N là trung điểm SA , Dựng
qua N song song với AM và d I .
Khi đó, NI là đường trung trực của đoạn SA 2 Từ  
1 và 2  IA IB IC ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . 2 2 SA BC 2 2
R IA NA AM    a 2 4 4  Ví dụ 3.5.3
Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều . S ABC , biết
các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA a 3 . a 3 6a a 10 A. . B. . C. a . D. . 2 8 2 Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm của SA .
Trong SAO kẻ d qua H và d SA cắt dSO I .
Khi đó IS IA IB IC . a 3 a 3 a Ta có AM  ; AO  ; 2 2 SO SA  2 6 OA  2 3 3 SI SH SH SA a Do SHI SOA:  .  SI  3 6  . SA SO SO 8  Ví dụ 3.5.4
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB a , AD a 3 và AC A    45 . Thể
tích của khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó bằng 3 4 a 2 3 4 a 3 8 a 2 3 16 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
Gọi I là giao điểm của AC và A C
Khi đó I là trung điểm của AC và I là tâm khối cầu A a 3 D
ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD   . a A C   B Ta có: 2 2 A C
   a  3a  2a AC   2a 2 C cos 45 I AC  A' R   a 2 . D' 2 45° 4 3 8 a 2 B' C'
Vậy thể tích khối cầu là: 3 V R  a 3 4 2  3 3 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 45
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Ví dụ 3.5.5
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương bằng A. . B. 2 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn C
Gọi R là bán kính của mặt cầu. 1 1 Ta có 2 R A C  2 2  A A   AC 2 2 1 2 2 2  A A   AB  3 BC  2 2 Diện tích mặt cầu là 2
S  4 R  3 .  Ví dụ 3.5.6 Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC  3a 2 ,
SAB SCB  90 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a 3 . Tính
thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. 3 72 18 a . B. 3 18 18 a . C. 3 6 18 a . D. 3 24 18 a . Lời giải Chọn D
Gọi I,H lần lượt là trung điểm của cạnh SB và AC
Ta có SAB, SCB lần lượt là các vuông tại A và C
IA IB IC IS
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC
ABC vuông tại B
H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
IH  ABC
d A,SBC AC Ta có:     d  2
d H, SBC a H ,SBC   3 HC
Gọi K là trung điểm BC HK BC HK / /AB, AB BC
Lại có: BC IH IH   ABC  BC  IHK
Mặt khác: BC  SBC  SBC  IHK theo giao tuyến IK
Trong IHK , gọi HP IK HP  SBC tại P HP dH;SBC  a 3 1 1 1 1 1 Xét IHK :      HI  3a . 2 2 2 2 2 HP HI HK HI AB 4 4 Xét 2 2
IHB : IB IH HB  3a 2  R. Vậy 3 3 V R  24 18 a 3
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 46
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024
Dạng 3.6. Min – max liên quan khối nón
 Xây dựng công thức cần tìm min – max.
 Dùng các cách dưới đây để tìm min – max. Dạng
Dấu “=” xảy ra khi a b BĐT
      2 2 2 2 2 a b c d ac bd c d Bunyakovskya a a
a a  ...  a b b  ... b   a b a b  ... a b 1 2   ... nn n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 b b b 1 2 n
a b ab a b BĐT 2 AM – GM
a a  ...  a 1 2 n n
a .a ....a n 1
a a  ...  a 1 2 n   n 1 2 n
Khảo sát hàm
số trên khoảng Tính đạo hàm rồi lập BBT, từ đó kết luận theo yêu cầu bài toán. xác định 1 SA . B AC.sinA ; B AC . ABC  2 Đánh giá Khi đó, để S     lượng giác ABC max    sin 
A ;BAC sin 
A ;BAC A ;BAC 0 1
 90  AB AC max  Ví dụ 3.6.1
Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R a 3 cho trước bằng 3 64 3 a 2 3 32 a 3 32 3 a 2 3 64 a A. . B. . C. . D. . 27 81 27 81 Lời giải Chọn C
Bán kính đáy hình nón là x ,
Chiều cao hình nón là y 0  x R,0  y  2R .
SS' là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón Thì ta có 2
x y 2R y .
Gọi V là thể tích khối nón thì ta có: 1 1 1 2 V x y  .
y y 2R y 1   3 3 3 3        4R 2y y y 32 R 4R  2y. . y y     6 6  3  81 3 3 32 R 32 3 a
Vậy thể tích V đạt giá trị lớn nhất bằng  1 81 27 2    R 4R 4R 8R 2R 2 2a 6 4R  2y  4 y y  , từ đó 2 x  2R     hay x   . 3 3  3  9 3 3  Ví dụ 3.6.2
Cho mặt cầu có bán kính R , và một hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu.
Thể tích nhỏ nhất của khối chóp bằng A. 3 4 3R . B. 3 6 3R . C. 3 8 3R . D. 3 16 3R .
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 47
Tổng Hợp Lý Thuyết
Năm học: 2023-2024 Lời giải Chọn C
Tâm mặt cầu I SH (SH  (ABC) tại H ).
Đặt AB a, SH h
Do mặt cầu R tiếp xúc với 4 mặt nên IH IJ R
SI hR. Ta có SHM SJI SI IJ h R R 2     2Rah  2 SM HM a 2 2 3  a 12R a 3  2 h    6  6    2 2 4 1 1 2Ra a 3 R 3 a V  .SH.S  . .  . S.ABC ABC 2 2 2 2 3 3 a 12R 4 6 a 12R a
Xét hàm f a 4 
trên 2R 3;  . 2 2 a 12R 5 2 3  a  0 2a 48R a
Ta có f a      . a R  0 2 2 2 a  2  R 6 12 Suy ra ff R  2 2 6  48R . Vậy 3 V  8R 3. min min  Ví dụ 3.6.3
Cho mặt cầu S có bán kính R  5cm . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao
tuyến là đường tròn C có chu vi bằng 8 cm . Bốn điểm A , B , C , D thay đổi
sao cho A , B , C thuộc đường tròn C , DS D C và ABC là tam giác
đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD . A. 32 3 . B. 2 5 . C. 18 3 . D. 12 . Lời giải Chọn A
Gọi I là tâm của mặt cầu S
và H là hình chiếu của I trên P .
H là tâm đường tròn C và là trọng tâm của ABC
Đường tròn C có chu vi bằng 8  r  4  IH  3. Và
đều ABC nội tiếp đường tròn C nên có cạnh
bằng 4 3 và có diện tích không đổi.
Do đó thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất
 khoảng cách từ D đến ABC là lớn nhất
H , I , D thẳng hàng. Khi đó DH  8. Vậy VDH.S  . . .  . max ABC  2 1 1 3 8 4 3 32 3 3 3 4 ----------Hết----------
Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 48