Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Giải tích 12 – Trần Hoàng Long

Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Giải tích 12 – Trần Hoàng Long được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

34 17 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 1

MỤC LỤC

PHẦN I. HÀM SỐ ................................................................................................................................. 4

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 4

1.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 4

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm ......................................................................................... 4

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm................................................................................................... 5

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ..................................................................... 5

1.5. Đạo hàm cấp 2 .......................................................................................................................... 5

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 7

2.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 7

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ......................................................................................... 8

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị .......................................................................................... 8

2.4. Quy tắc tìm cực trị .................................................................................................................... 8

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ................................................ 9

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

y ax bx cx d

3 2

.   

..................................................... 9

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

 

y ax bx c a

4 2

, 0   

.................................. 12

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................................... 14

4.1. Định nghĩa. ............................................................................................................................. 14

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN .......................................................................................... 14

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................................................................... 15

5.1. Đường tiệm cận ngang .......................................................................................................... 15

5.2. Đường tiệm cận đứng ........................................................................................................... 15

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................................................... 15

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.................................................................. 15

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị ................................................................................................... 17

7. TIẾP TUYẾN ................................................................................................................................ 19

7.1. Tiếp tuyến .............................................................................................................................. 19

7.2. Điều kiện tiếp xúc .................................................................................................................. 20

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .............................................................................................................. 20

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ............................................................................. 20

9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong....................................................................... 20

9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên ....................................................................................... 21

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng ................................................................................ 21

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ................................................................................ 22

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT .............................................................................................................. 24

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ....................................................................................... 24

1.1. Khái niệm lũy thừa ................................................................................................................. 24

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 2

1.2. Phương trình



x b.

............................................................................................................ 24

1.3. Một số tính chất của căn bậc

.............................................................................................. 25

1.4. Hàm số lũy thừa ..................................................................................................................... 25

1.5. Khảo sát hàm số mũ

 

, 0, 1

y a a a

  

. ................................................................... 26

2. LOGARIT ..................................................................................................................................... 27

2.1. Khái niệm Logarit ................................................................................................................... 27

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp ..................................................................... 27

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. .............................................................................. 28

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản .................................................................................................. 28

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................................................. 28

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ........................................................................................ 29

4.1. Lãi đơn ................................................................................................................................... 29

4.2. Lãi kép .................................................................................................................................... 29

4.3. Tiền gửi hàng tháng ............................................................................................................... 30

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng ............................................................................. 30

4.5. Vay vốn trả góp ...................................................................................................................... 30

4.6. Bài toán tăng lương ................................................................................................................ 31

4.7. Bài toán tăng trưởng dân số ................................................................................................... 31

4.8. Lãi kép liên tục ....................................................................................................................... 31

PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ......................................... 32

1. NGUYÊN HÀM ............................................................................................................................ 32

1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................. 32

1.2. Tính chất của nguyên hàm ..................................................................................................... 32

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm ..................................................................................................... 32

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp............................................................................. 32

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng .................................................................................................... 33

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM .......................................................................... 34

2.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 34

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần ................................................................................... 35

3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 36

3.1. Công thức tính tích phân ........................................................................................................ 36

3.2. Tính chất của tích phân .......................................................................................................... 36

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ......................................................................................... 37

4.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 37

4.2. Phương pháp tích phân từng phần ........................................................................................ 38

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ......................................................................... 38

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ ............................................................................................................. 38

5.2. Tích phân hàm vô tỉ ................................................................................................................ 40

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 3

5.3. Tích phân hàm lượng giác ...................................................................................................... 43

6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 46

6.1. Diện tích hình phẳng .............................................................................................................. 46

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay ............................................................................. 46

PHẦN IV. SỐ PHỨC ........................................................................................................................... 48

1. SỐ PHỨC ..................................................................................................................................... 48

1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................................. 48

1.2. Hai số phức bằng nhau .......................................................................................................... 48

1.3. Biểu diễn hình học số phức .................................................................................................... 48

1.4. Số phức liên hợp ..................................................................................................................... 48

1.5. Môđun của số phức ................................................................................................................ 48

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC .............................................................................. 49

2.1. Phép cộng và phép trừ số phức .............................................................................................. 49

2.2. Phép nhân số phức ................................................................................................................. 49

2.3. Chia hai số phức ..................................................................................................................... 49

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 49

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ...................................................................... 50

4.1. Căn bậc hai của số thực âm .................................................................................................... 50

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực ...................................................................................... 50

5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC............................................ 50

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 4

PHẦN I. HÀM SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

Kí hiệu

là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số

 



y f x

xác định trên

ta có:

 Hàm số

 



y f x

được gọi là đồng biến (tăng) trên

nếu:

   

    

x x K x x f x f x

1 2 1 2 1 2

, ,

 Hàm số

 



y f x

được gọi là nghịch biến (giảm) trên

nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

được gọi chung là đơn điệu trên

* Nhận xét:

 Hàm số

 

f x

đồng biến trên K

   



    



f x f x

x x K x x

x x

2 1

1 2 1 2

2 1

 

0 , , .

Khi đó đồ thị

của hàm số đi lên từ trái sang phải.

 Hàm số

 

f x

nghịch biến trên K

   



    



f x f x

x x K x x

x x

2 1

1 2 1 2

2 1

 

0 , , .

Khi đó đồ

thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

 Nếu

   



   

f x x a b0, ;

hàm số

 

f x

đồng biến trên khoảng

 

a b; .

 Nếu

   

0, ;f x x a b



   

hàm số

 

f x

nghịch biến trên khoảng

 

a b; .



Nếu

   



  

f x x a b0, ;



hàm số

 

f x

không đổi trên khoảng

 

a b; .

 Nếu

 

f x

đồng biến trên khoảng

     



   

a b f x x a b; 0, ; .

 Nếu

 

f x

nghịch biến trên khoảng

     

a b f x x a b; 0, ; .



   

 Nếu thay đổi khoảng

 

a b;

bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm

giả thiết “hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho

   

 

u u x v v x C; ; :

là hằng số .

 Tổng, hiệu:

 



 

  u v u v .

 Tích:

   

 

  

   

u v u v v u C u C u. . . . . .

   

    

x x K x x f x f x

1 2 1 2 1 2

, ,

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 5

 Thương:

 



   

  



    

   

   

u u v v u C C u

v u

2 2

. . .

, 0

 Đạo hàm hàm hợp: Nếu

   

  

   

x u x

y f u u u x y y u, .

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp

Đạo hàm của hàm hợp

 





(C là hằng số).

 

 









x x

 

 









x x



 

  

 

 

1 1

( 0)





 



 

x x

 

. .u u u

 









 



 



  

 

 





 



 

u u

 





x xsin cos

 





u u usin .cos

 



 

x xcos sin

 



 

u u ucos .sin

 



x

tan

cos

 





tan

cos

 



 x

cot

sin

 



 

cot

sin

 





x x

e e

 





u u

e u e.

 





x x

a a a.ln

 





u u

a u a a. .ln

 





 





 

log

x a





 





u a

log

.ln

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức



 



 

 



 



 



ax b ad bc

cx d



 

c b c

f e f

a b a

x x

d e d

ax bx c

dx ex f

2 2

  

  

 

 



 

 



 

 

 

 

1.5. Đạo hàm cấp 2

1.5.1. Định nghĩa

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 6

   

f x f x



 

 



 

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

Gia tốc tức thời của chuyển động

 



s f t

tại thời điểm

là:

   





a t f t

0 0

1.5.3. Đạo hàm cấp cao

 





 

  

 

 



n n

f x f x n n

, , 2

* Một số chú ý:

 Nếu hàm số

 

f x

và

 

g x

cùng đồng biến (nghịch biến) trên

thì hàm số

   



f x g x

cũng đồng biến (nghịch biến) trên

Tính chất này có thể không đúng

đối với hiệu

   



f x g x

 Nếu hàm số

 

f x

và

 

g x

là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

thì hàm số

   

f x g x

cũng đồng biến (nghịch biến) trên

Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số

   

f x g x

không là các hàm số dương trên

 Cho hàm số

 



u u x

, xác định với

 



x a b;

và

   



u x c d;

. Hàm số

 

f u x

 

 

cũng

xác định với

 



x a b;

Ta có nhận xét sau:

 Giả sử hàm số

 



u u x

đồng biến với

 



x a b;

. Khi đó, hàm số

 

f u x

 

 

đồng biến

với

   

 

x a b f u

;

đồng biến với

 

;u c d



 Giả sử hàm số

 



u u x

nghịch biến với

 

;x a b



. Khi đó, hàm số

 

 

 

f u x

nghịch

biến với

   

;

x a b f u

 

nghịch biến với

 



u c d;

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số

có đạo hàm trên

 Nếu

 

f x

' 0

với mọi

x K

và

 

f x

' 0

chỉ tại một số hữu hạn điể

x K

thì hàm số

đồng biến trên

 Nếu

 

f x

' 0

với mọi

x K

và

 

f x

' 0

chỉ tại một số hữu hạn điể

x K

thì hàm số

nghịch biến trên

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ

ax b d

y x

cx d c

 



  

 



 

thì dấu

" "

khi xét dấu

đạo hàm



không xảy ra.

Giả sử

   

y f x ax bx cx d f x ax bx c

3 2 2

3 2 .



        

Hàm số đồng biến trên



Hàm số nghịch biến trên



TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 7

 

f x x

0; .













 













    



























 

f x x

0; .













 













    



























Trường hợp 2 thì hệ số

khác

vì khi

a b c 0

  

thì

 

f x d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dài bằng

ta giải như sau:

Bước 1: Tính

 

y f x m ax bx c

; .

 

   

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

 

x x y

1 2

; 0



 

có

nghiệm phân biệt



 













 

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng

x x l

1 2

  

 

x x x x l

1 2 1 2

   

2 2

4  S P l

 

* *

Bước 4: Giải

 

và giao với

 

* *

để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

2.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số

xác định trên tập K và

x K

. Ta nói:



là điểm cực tiểu của hàm số

nếu tồn tại một khoảng

 

;a b

chứa

sao cho

 

;

a b K

và

       

  

f x f x x a b x

0 0

, ; \

. Khi đó

 

f x

được gọi là giá trị cực tiểu

của hàm số



là điểm cực đại của hàm số

nếu tồn tại một khoảng

 

a b;

chứa

sao cho

 

;

a b K

và

       

  

f x f x x a b x

0 0

, ; \

. Khi đó

 

f x

được gọi là giá trị cực đại

của hàm số

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực

trị phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm

số.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 8

 Nếu

là điểm cực trị của hàm số thì điểm

 

x f x

0 0

;

được gọi là điểm cực trị của

đồ thị hàm số

* Nhận xét:

 Giá trị cực đại (cực tiểu)

 

f x

nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

hàm số

trên tập D;

 

f x

chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

trên một

khoảng

 

a b;

nào đó chứa

hay nói cách khác khi

điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn

tại khoảng (a;b) chứa

sao cho

 

f x

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

trên

khoảng

 

a b; .

 Hàm số

có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập

. Hàm số có thể

không có cực trị trên một tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số

 



y f x

đạt cực trị tại điểm

. Khi đó, nếu

 



y f x

có đạo hàm tại điểm

thì

 





f x

Chú ý:

 Đạo hàm

 

f x



có thể bằng

tại điểm

nhưng hàm số

không đạt cực trị tại điểm

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng

hoặc

tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số

đạt cực trị tại điểm

. Khi đó, nếu hàm số

có đạo hàm tại điểm

thì

 

' 0

f x



 Nếu

 





f x

trên khoảng

 



x h x

0 0

;

và

 





f x

trên khoảng

 

x x h

0 0

;

thì

là

một điểm cực đại của hàm số

 

f x .

 Nếu

 

f x





trên khoảng

 

x h x

0 0

;



và

 

f x





trên khoảng

 

0 0

;

x x h

thì

là

một điểm cực tiểu của hàm số

 

f x .

2.4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

 



f x .

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 9

 Bước 2: Tìm các điểm

 

i

1;2;...

mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số

liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu

 



f x

. Nếu

 



f x

đổi dấu khi đi qua

thì hàm số đạt cực trị tại

Định lí 3:

Giả sử

 



y f x

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

 

 x h x h

0 0

;

với

h 0.

Khi đó:

 Nếu

 





f x

 





f x

thì hàm số

đạt cực đại tại

 Nếu

 

f x





 





f x

thì hàm số

đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

 



f x .

 Bước 2: Tìm các nghiệm

 

i

1;2;...

của phương trình

 





f x

 Bước 3: Tính

 

f x



và tính

 

f x .



 Nếu

 





f x

thì hàm số

đạt cực đại tại điểm

x .

 Nếu

 





f x

thì hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

y ax bx cx d

3 2

.   

3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số

 

y f x m ax bx cx d

3 2

; .    

Tìm tham số m để hàm số có cực

đại, cực tiểu tại

x x

1 2

thỏa mãn điều kiện

cho trước?

Phương pháp:

 Bước 1:

 Tập xác định:

D . 

 Đạo hàm:

y ax bx c Ax Bx C

2 2

3 2



     

 Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và

cực tiểu)

y 0



 

có hai nghiệm phân biệt và



đổi dấu qua 2 nghiệm đó



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt

A a a

m D

B AC b ac b ac

2 2 2

3 0 0

4 4 12 0 3 0



 

  

 

   

 

       

 

 

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 10

 Bước 3:

Gọi

x x

1 2

là hai nghiệm của phương trình

y 0.





Khi đó:

B b

x x

A a

C c

x x

A a

1 2



    







 





 Bước 4:

Biến đổi điều kiện

về dạng tổng

và tích

. Từ đó giải ra tìm được

m D



 Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn:

m D D

1 2

 

* Chú ý: Hàm số bậc ba:

 

y ax bx cx d a

3 2

0 .

    

Ta có:

y ax bx c

' 3 2 .  

Điều kiện Kết luận

b ac

3 0 

Hàm số không có cực trị.

b ac

3 0 

Hàm số có hai điểm cực trị.

 Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

 Hàm số có 2 cực trị trái dấu



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt trái dấu

AC ac ac. 3 0 0.    

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

P x x

1 2

. 0





 







  





 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương



phương trình

y 0





có hai nghiệm dương phân biệt

S x x

P x x

1 2

. 0





 



     





  





 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm



phương trình

y 0





có hai nghiệm âm phân biệt

S x x

P x x

1 2

. 0



 



     





  





TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 11

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị

x x

1 2

thỏa mãn:

x x

1 2



 

 Hai cực trị

x x

1 2

thỏa mãn

x x

1 2



 

    

x x x x x x

1 2 1 2 1 2

0 . 0

   

        

 Hai cực trị

x x

1 2

thỏa mãn

x x

1 2



 

    

x x x x x x

x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

 

      

 

 

 

   

 

 

 Hai cực trị

x x

1 2

thỏa mãn

x x

1 2



 

    

x x x x x x

x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 . 0

2 2

   

 

 

      

 

 

 

   

 

 

 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

khi có 1 nghiệm là





, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là

 

3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác

phía so với một đường thẳng

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm

   

A A B B

A x y B x y; , ;

và đường thẳng

ax by c: 0.   

Nếu

  

A A B B

ax by c ax by c

0    

thì hai điểm

A B,

nằm về

hai phía so với đường thẳng

.

Nếu

  

A A B B

ax by c ax by c

0    

thì hai điểm

A B,

nằm cùng

phía so với đường thẳng

.

Một số trường hợp đặc biệt:

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy



hàm số có 2 cực trị cùng dấu



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy



hàm số có 2 cực trị trái dấu



phương trình

y 0





có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt và

CC T

y y. 0

Đặc biệt:

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 12



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt và

CTC

y y

. 0









 





 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt và

CTC

y y

. 0









 





 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox



phương trình

y 0





có hai nghiệm phân biệt và

CC T

y y. 0

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox



đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt



phương trình hoành độ giao điểm

 

f x

0

có 3 nghiệm phân biệt (áp

dụng khi nhẩm được nghiệm)

3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 

c b bc

g x x d

a a

2 2

3 9 9

 

   

 

 

hoặc

 

 

 

y y

g x y

hoặc

 

y y

g x y

 

 



3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

e e

4 16





với

b ac





3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

 

y ax bx c a

4 2

, 0   

3.2.1. Một số kết quả cần nhớ

 Hàm số có một cực trị

ab 0. 

 Hàm số có ba cực trị

ab 0. 

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu

















 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại

















 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

















 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại

















3.2.2. Một số công thức tính nhanh

Giả sử hàm số

y ax bx c

4 2

  

có

cực trị:

b b

A c B C

a a a a

(0; ), ; , ;

2 4 2 4

   

 

   

    

   

   

tạo thành tam giác

ABC

thỏa mãn dữ kiện:

ab 0

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 13

Đặt:



BAC





Tổng quát:

cot

2 8







Dữ kiện Công thức

thỏa mãn

 ab c0; 0

Tam giác

ABC

vuông cân tại

b a

8 

Tam giác

ABC

đều

b a

24 

Tam giác

ABC

có diện tích

ABC

S S





a S b

3 2 5

32 ( ) 0 

Tam giác

ABC

có diện tích

max S

( )

 

Tam giác

ABC

có bán kính đường tròn nội

tiếp

ABC

r r





4 1 1



 

 

 

 

 

Tam giác

ABC

có bán kính đường tròn ngoại

tiếp

ABC

R R





b a

a b





Tam giác

ABC

có độ dài cạnh

BC m



am b

2 0 

Tam giác

ABC

có độ dài

AB AC n

 

a n b ab

2 2 4

16 8 0  

Tam giác

ABC

có cực trị

B C Ox, 

b ac

4

Tam giác

ABC

có

góc nhọn

b a b

(8 ) 0 

Tam giác

ABC

có trọng tâm

b ac

6

Tam giác

ABC

có trực tâm

b a ac

8 4 0  

Tam giác

ABC

cùng điểm

tạo thành hình

thoi

b ac

2

Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn nội

tiếp

b a abc

8 4 0  

Tam giác

ABC

có

là tâm đường tròn ngoại

tiếp

b a abc

8 8 0  

Tam giác

ABC

có cạnh

BC kAB kAC 

b k a k

3 2 2

. 8 ( 4) 0  

Trục hoành chia tam giác

ABC

thành

hai phần có diện tích bằng nhau

b ac

4 2

Tam giác

ABC

có điểm cực trị cách đều trục

hoành

b ac

8

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 14

Đồ thị hàm số

 

C y ax bx c

4 2

  

cắt trục

tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số

cộng

b ac

100



Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị

 

C y ax bx c

4 2

  

và trục hoành có

diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.

b ac



Phương trình đường tròn ngoại tiếp

ABC

là:

x y c y c

b a b a

2 2

4 4

   

 

      

   

   

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

4.1. Định nghĩa.

Cho hàm số

 



y f x

xác định trên tập

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

 



y f x

trên

nếu:

f x M x D

x D f x M

0 0

( ) ,

, ( )



  





  





. Kí

hiệu:

max ( )

x D

M f x





 Số

gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

 



y f x

trên

nếu:

f x m x D

x D f x m

0 0

( ) ,

, ( )



  





  





. Kí

hiệu:

x D

m f xmin ( )





4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính

 

f x



và tìm các điểm



x x x D

1 2

, ,...,

mà tại đó

 





f x

hoặc hàm số

không có đạo hàm.

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1:

 Hàm số đã cho

 



y f x

xác định và liên tục trên đoạn

 

 

a b; .

 Tìm các điểm

x x x

1 2

, ,...,

trên khoảng

 

a b;

, tại đó

 





f x

hoặc

 



f x

không xác

định.

 Bước 2: Tính

         

f a f x f x f x f b

1 2

, , ,..., , .

 Bước 3: Khi đó:



           

 

a b

max f x max f x f x f x f a f b

1 2

, ,..., , , .

 

 



TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 15



           

 

 

 



a b

min f x min f x f x f x f a f b

1 2

, ,..., , , .

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm

f x( )



 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm

x a b( ; )



của phương trình

f x( ) 0





và tất cả các điểm

a b( ; )





làm cho

f x( )



không xác định.

 Bước 3. Tính

x a

A f xlim ( )







x b

B f xlim ( )







f x( )

f ( )



 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

a b

M f x

( ; )

max ( )



a b

m f x

( ; )

min ( )



Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

 Nếu

 

y f x



đồng biến trên

a b;

 

 

thì

   

a b

f x f a

f x f b

;

min

max

 

 

 

 















 Nếu

 



y f x

nghịch biến trên

a b;

 

 

thì

 

 

 

 

 















a b

f x f b

f x f a

;

min ( )

max ( )

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

trên khoảng đó.

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

5.1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số

y f x( )

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

   

 

a b; , ;

hoặc

 

;

 

). Đường thẳng

y y



là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ

thị hàm số

y f x( )

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

x x

f x y f x y

0 0

lim ( ) , lim ( )

 

 

5.2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng

x x

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị

hàm số

( )y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

 

   

x x x x

f x f x

0 0

lim ( ) , lim ( ) ,

0 0

lim ( ) , lim ( )

x x x x

f x f x

 

 

   

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng

 



   



ax b

y c ad bc

cx d

0; 0

luôn có tiệm cận

ngang là



và tiệm cận đứng

 

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 16

6.1.1. Hàm số bậc ba

 

    

y ax bx cx d a

3 2

TRƯỜNG HỢP

a 0

0a 

Phương trình

y

có

2 nghiệm phân biệt

Phương trình

y

có

nghiệm kép

Phương trình



vô

nghiệm

6.1.2. Hàm số trùng phương

 

   

y ax bx c a

4 2

TRƯỜNG HỢP

a 0

0a 

Phương trình

y

có

3 nghiệm phân biệt

(ab<0)

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 17

Phương trình



có

1 nghiệm.

6.1.3. Hàm số nhất biến

 

0, 0

ax b

y c ad bc

cx d



   



  

D ad bc 0

  

D ad bc 0

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị

6.2.1. Dạng 1

Từ đồ thị

   

C y f x: suy ra đồ thị

 



C y f x: .

Ta có:

 

f x khi x

y f x

f x khi x







 



 





và

 

y f x là hàm chẵn nên đồ thị

 



nhận Oy làm trục đối xứng.

* Cách vẽ

 



C từ

 

C :

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị

   

C y f x: .

 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của

 

C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Ví dụ: Từ đồ thị

   

  

C y f x x x

: 3

suy ra đồ thị

 



 C y x x

: 3 .

Biến đổi

 

C :

 Bỏ phần đồ thị của

 

C bên trái

Oy,

giữ nguyên

 

C bên phải

.Oy

 Lấy đối xứng phần đồ thị được

giữ qua

-2

-1

 



 

C y x x

: 3

 

 

C y x x

: 3

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 18

6.2.2. Dạng 2

Từ đồ thị

   

C y f x: suy ra đồ thị

   



C y f x:

Ta có:

 

   







 



 





f x khi f x

y f x

f x khi f x

* Cách vẽ

 



C từ

 

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):

 

y f x .

 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ: Từ đồ thị

   

: 3C y f x x x

  

suy ra đồ thị  y x x

3 .

Biến đổi

 

 Bỏ phần đồ thị của

 

C dưới

,Ox

giữ nguyên

 

C phía trên

.Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị

bỏ qua

Chú ý với dạng:

 

y f x

ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị

 

y f x và

 

y f x

Ví dụ: Từ đồ thị

   

  

C y f x x x

: 3

suy ra đồ thị

 y x x

. Biến đổi

 

C để được đồ thị

 



 

C y x x

: 3 .

Biến đổi

 



 C y x x

: 3 ta được đồ

thị

 



 C y x x

: 3

6.2.3. Dạng 3

Từ đồ thị

     

C y u x v x: . suy ra đồ thị

     



C y u x v x: .

-2

-1

-2

-1

 

: 3C y x x 

 



 

C y x x

: 3

 



 

C y x x

: 3

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 19

Ta có:

   

       

u x v x f x khi u x

y u x v x

u x v x f x khi u x

. 0



 



 



  





* Cách vẽ

 



từ

 

 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền

 



u x

của đồ thị

   



C y f x

 Bỏ phần đồ thị trên miền

 



u x

của

 

, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ

a) Từ đồ thị

   

   

C y f x x x

3 2

: 2 3 1

suy ra đồ thị

 



   

C y x x x

: 1 2 1

b) Từ đồ thị

   

 



C y f x

suy

ra đồ thị

 







C y

 







    



 





f x khi x

y x x x

f x khi x

1 2 1

Đồ thị (C’):

 Giữ nguyên (C) với

1x 

 Bỏ (C) với

x 1

. Lấy đối xứng

phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện

phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm

đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy,

CĐ, CT…

 



 





 







  



 

khi x

Đồ thị (C’):

 Bỏ phần đồ thị của

 

với

x ,1

giữ nguyên

 

vớ

1.x 

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ

qua

Ox.

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì

nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để

thực hiện phép suy đồ thị một cách

tương đối chính xác.

7. TIẾP TUYẾN

7.1. Tiếp tuyến

Cho hàm số

 

y f x



, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

 



M x y C

0 0 0

; ( )

có

dạng:

  



  

y f x x x y

0 0 0

(C)

(C')

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 20

Trong đó:

Điểm

 



M x y C

0 0 0

; ( )

được gọi là tiếp điểm. ( với

 



y f x

0 0

) và

 



k f x

là hệ số góc của

tiếp tuyến.

7.2. Điều kiện tiếp xúc

Cho hai hàm số

   



C y f x

và

   

C y g x

' : 

. Đồ thị

 

và

 



tiếp xúc nhau khi chỉ

khi hệ phương trình:

   















f x g x

/ /

có nghiệm.

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

Cho hàm số

y f x( )

có đồ thị

( )

và

y g x( )

có đồ thị

( )C

Phương trình hoành độ giao điểm của

( )

và

( )C

là

 



f x g x ( ) ( ) 1

. Khi đó:

 Số giao điểm của

( )C

và

( )

bằng với số nghiệm của phương trình

 

 Nghiệm

của phương trình

 

chính là hoành độ

của giao điểm.

 Để tính tung độ

của giao điểm, ta thay hoành độ

vào

 



y f x

hoặc

 



y g x

 Điểm

 

0 0

;M x y

là giao điểm của

( )

và

( )

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong

C( )

có phương trình

y f x m( , )

, trong đó

là hàm đa thức theo biến

với

là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ

đường cong khi

thay đổi?

Phương pháp giải:

 Bước 1: Đưa phương trình

( , )y f x m

về dạng phương trình theo ẩn

có dạng sau:

 Am B 0

hoặc

  Am Bm C

 Bước 2: Cho các hệ số bằng

, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:















hoặc

















 Bước 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong

C( )

không có điểm cố định.

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của

C( )

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 21

9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên

Cho đường cong

C( )

có phương trình

y f x( )

(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có

tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số

nguyên.

Phương pháp giải:

 Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

 Bước 2: Lập luận để giải bài toán.

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng

Cho đường cong

( )C

có phương trình

y f x( )

. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng.

Bài toán 1: Cho đồ thị

 

   C y Ax Bx Cx D

3 2

trên đồ thị

 

tìm những cặp điểm đối xứng

nhau qua điểm

I I

I x y( , )

Phương pháp giải:

 Gọi

   

     

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

3 2 3 2

; , ;

là hai điểm trên

 

đối

xứng nhau qua điểm

 Ta có

 



 





      





a b x

A a b B a b C a b D y

3 3 2 2

( ) 2 2

Giải hệ phương trình tìm được

a b,

từ đó tìm được toạ độ M, N.

Bài toán 2: Cho đồ thị

 

   C y Ax Bx Cx D

3 2

. Trên đồ thị

 

tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

 Gọi

   

     

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

3 2 3 2

, , ,

là hai điểm trên

 

đối

xứng nhau qua gốc tọa độ.

 Ta có

 



 





      





a b

A a b B a b C a b D

3 3 2 2

( ) 2 0

 Giải hệ phương trình tìm được

a b,

từ đó tìm được toạ độ

M N,

Bài toán 3: Cho đồ thị

 

   C y Ax Bx Cx D

3 2

trên đồ thị

 

tìm những cặp điểm đối xứng

nhau qua đường thẳng

 d y A x B

1 1

Phương pháp giải:

 Gọi

   

3 2 3 2

; , ;

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

     

là hai điểm trên

 

đối xứng

nhau qua đường thẳng

 Ta có:















 

I d

MN u

(1)

. 0 (2)

(với

là trung điểm của

và



là vectơ chỉ phương của

đường thẳng

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 22

 Giải hệ phương trình tìm được M, N.

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

9.4.1. Lý thuyết:

 Cho hai điểm

   

A x y B x y

1 1 2 2

; ; ;

   

    

AB x x y y

2 2

2 1 2 1

 Cho điểm

 

M x y

0 0

;

và đường thẳng

: 0d Ax By C  

, thì khoảng cách từ

đến

là

 

 





Ax By C

h M d

A B

0 0

2 2

;

 Cho hàm phân thức:

ax b

cx d







tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là

trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác

MAB

không đổi:

 

MAB

S ad bc

9.4.2. Các bài toán thường gặp

Bài toán 1: Cho hàm số

 





  



ax b

c ad bc

cx d

0, 0

có đồ thị

 

. Hãy tìm trên

C( )

hai điểm

và

thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách

ngắn nhất.

Phương pháp giải:



 

có tiệm cận đứng

 

do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai

phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số

 

là hai số dương.

 Nếu

thuộc nhánh trái:



       

A A

d d d

x x

c c c

;



A A

y f x( )

 Nếu

thuộc nhánh phải:



       

B B

d d d

x x

c c c

;



B B

y f x( )

 Sau đó tính:

         

 

 

         

 

B A B A B A

AB x x y y a a y y

2 2 2

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số

 

có phương trình

y f x( )

. Tìm tọa độ điểm

thuộc

( )C

để tổng

khoảng cách từ

đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

 Gọi

 

M x y;

và tổng khoảng cách từ

đến hai trục tọa độ là

thì

d x y .

 

 Xét các khoảng cách từ

đến hai trục tọa độ khi

nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên

trục hoành, trên trục tung.

 Sau đó xét tổng quát, những điểm

có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ

hoặc tung độ của

khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

 Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo

hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 23

Bài toán 3: Cho đồ thị

C( )

có phương trình

( )y f x

. Tìm điểm

trên

C( )

sao cho khoảng cách từ

đến Ox bằng

lần khoảng cách từ

đến trục

Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có

 



 

  



 





y kx f x kx

y k x

y kx

f x kx

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số

C( )

có phương trình

 

( ) 0, 0

ax b

y f x c ad bc

cx d



    



. Tìm tọa độ

điểm

trên

( )C

sao cho độ dài

ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Phương pháp giải:

 Tiệm cận đứng





; tiệm cận ngang



 Ta tìm được tọa độ giao điểm

 



 

 

d a

c c

;

của hai tiệm cận.

 Gọi

 

M M

M x

;

là điểm cần tìm, thì:

 

   

    

   

   

M M M

d a

IM x y g x

c c

2 2

 Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số

để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số

C( )

có phương trình

y f x( )

và đường thẳng

  d Ax By C: 0

Tìm điểm

trên

C( )

sao cho khoảng cách từ

đến

là ngắn nhất.

Phương pháp giải:

 Gọi

thuộc

C( )

 

 

I x y y f x

0 0 0 0

; ; ( )

 Khoảng cách từ

đến

là

 

 

 



Ax By C

g x h I d

A B

0 0

2 2

( ) ;

 Khảo sát hàm số

y g x( )

để tìm ra điểm

thỏa mãn yêu cầu.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 24

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1.1. Khái niệm lũy thừa

1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho

là một số nguyên dương.

Với

là số thực tùy ý, lũy thừa bậc

của a là tích của

thừa số





a a a a. ......

(

thừa số).

Với

a 0.

thì



 

a a

Ta gọi

là cơ số,

là mũ số. Và chú ý

và

n

không có nghĩa.

1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa

 Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

   



 

a a a ;



 







;

   

a a

( ) ;

  

 ab a b( ) ;



 



 

 

a a

;

 



   

 

   

   

a b

b a

 Nếu

a 1

thì

 

  a a

;

 Nếu

 a0 1

thì

 

  a a

 Với mọi

 a b0

, ta có:

  

m m

a b m 0

  

m m

a b m 0

Chú ý:

 Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

 Khi xét lũy thừa với số mũ

và số mũ nguyên âm thì cơ số

phải khác

 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số

phải dương.

1.2. Phương trình



x b.

Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình

x b

như sau:

 Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực

, phương trình có nghiệm duy nhất.

 Trường hợp n chẵn:

 Với

0b 

, phương trình vô nghiệm.

 Với

b 0

, phương trình có một nghiệm

x 0.

 Với

b 0

, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là

, còn

giá trị âm là



TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 25

1.3. Một số tính chất của căn bậc

Với

 

 a b

, ;n

, ta có:





a a a





 

a a a

2 1



    

n n

ab a b ab

2 2

, 0



  

  

n n n

ab a b a b

2 1 2 1 2 1





   



a a

ab b

, 0, 0





   

a a

a b

2 1

, 0



 

  

a a a, 0

nguyên dương,

nguyên



  

m nm

a a a, 0

nguyên dương

 Nếu



p q

n m

thì

  

n m

p q

a a a m n, 0, ,

nguyên dương

p q,

nguyên

Đặc biệt:





m n

a a

1.4. Hàm số lũy thừa

1.4.1. Khái niệm

Xét hàm số





y x

, với



là số thực cho trước.

Hàm số





y x

, với





, được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa





y x

tùy thuộc vào giá trị của



. Cụ thể.

 Với



nguyên dương, tập xác định là

.

 Với



nguyên âm hoặc bằng

, tập xác định là

 

\ 0 .



 Với



không nguyên, tập xác định

 

0; .

1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa





y x

Tập xác định của hàm số lũy thừa





y x

luôn chứa khoảng

 



với mọi



 

Trong

trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số





y x

trên khoảng này.



 y x , 0.



 y x , 0.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 26

1. Tập xác định:

 

0; .

2. Sự biến thiên





   

y x x

' . 0 0.

Giới hạn đặc biệt:

 







  

x x

lim 0, lim .

Tiệm cận: không có.

3. Bảng biến thiên.



y’





1. Tập xác định:

 

0; .

2. Sự biến thiên





   

y x x

' . 0 0.

Giới hạn đặc biệt:

lim , lim 0.

x x

 







  

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang.

Oy là tiệm cận đứng.

3. Bảng biến thiên.



y’





Đồ thị của hàm số.

Đồ thị của hàm số lũy thừa

y x





luôn đi qua điểm

 

1;1 .

1.5. Khảo sát hàm số mũ

 

, 0, 1

y a a a

  

 

 

y a a

, 1

 

, 1

y a a

 

1. Tập xác định:

.

2. Sự biến thiên.

' ln 0, .

y a a x  

Giới hạn đặc biệt:

 

  

x x

a a

lim 0, lim .

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên.

1. Tập xác định:

.

2. Sự biến thiên.

  

y a a x' ln 0,

Giới hạn đặc biệt:

 

  

x x

a a

lim , lim 0.

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 27



0 1



y '





Đồ thị như hình sau.



0 1



y '





Đồ thị như hình sau.

2. LOGARIT

2.1. Khái niệm Logarit

Cho hai số dương

a b,

với

1a 

. Số



thỏa mãn đẳng thức



a b

được gọi là logarit cơ số

của

và được kí hiệu là

blog

log .

b a b



  

Không có logarit của số âm và số 0.

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp



 

 a a

1, 0 .



 

a a



 





a



 



 









     

.a b a

   







     

  



a b a b. .



 

, 0



 

 

 

 



 

  

log 1 0, 0 1



 

  

a a

log 1, 0 1



 



  

a a

log , 0 1



 

log , 0 1

a a



  



 

log .log , , 0, 1

a a

b b a b a



  







b b

log .log



log .log

b b











 

 

a a a

b c bc

log log log

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 28



   

 





 



a a



 









a a



 



  

a b blog



 

 

 

 

a a a

b c

log log log





log

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng



a b

(hoặc

, ,

x x x

a b a b a b  

) với

 a a0, 1.

Ta xét bất phương trình có dạng



a b.

 Nếu



b 0

, tập nghiệm của bất phương trình là



, vì

  



a b x, .

 Nếu

b 0

thì bất phương trình tương đương với



a a

log

 Với

a 1

, nghiệm của bất phương trình là

x blog .



 Với

a0 1 

, nghiệm của bất phương trình là

x blog .



Ta minh họa bằng đồ thị sau:

 Với



a 1

, ta có đồ thị sau.

 Với

 a0 1

, ta có đồ thị sau.

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng

log

x b

(hoặc

log ,log ,log

a a a

x b x b x b  

) với

 a a0, 1.

Xét bất phương trình



x blog .

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 29

 Trường hợp

a 1

, ta có:

  

x b x alog .

 Trường hợp

 a0 1

, ta có:

log 0 .

x b x a

   

Ta minh họa bằng đồ thị như sau.

 Với

a 1

, ta có đồ thị sau.

 Với

 a0 1

, ta có đồ thị sau.

Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:

 Trường hợp

a 1

log

x b

khi và chỉ khi



x a .

 Trường hợp

0 1a 



x blog

khi và chỉ khi

 

x a0

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

4.1. Lãi đơn

4.1.1. Định nghĩa

Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc

sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp,

cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

4.1.2. Công thức tính

Khách hàng gửi vào ngân hàng

đồng với lãi đơn

/kì hạn thì số tiền khách hàng

nhận được cả vốn lẫn lãi sau

kì hạn (

n * 

) là:

 

S A nAr A nr

1   

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ

là

100

4.2. Lãi kép

4.2.1. Định nghĩa

Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để

tính lãi cho kì hạn sau.

4.2.2. Công thức tính

Khách hàng gửi vào ngân hàng

đồng với lãi kép

/kì hạn thì số tiền khách hàng

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 30

nhận được cả vốn lẫn lãi sau

kì hạn (

n * 

) là:

 

log



 



 

 

 

S A r

1 

% 1 

 





4.3. Tiền gửi hàng tháng

4.3.1. Định nghĩa

Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.

4.3.2. Công thức tính

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền

đồng với lãi kép

/tháng thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

tháng (

n * 

) ( nhận tiền cuối tháng, khi

ngân hàng đã tính lãi) là

 

S r

A r

log 1



 

 

 

 



 

   

S r

r r

1 1 1



 

  

 

 

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Công thức tính

Gửi ngân hàng số tiền là

đồng với lãi suất

/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng

tính lãi, rút ra số tiền là

đồng. Tính số tiền còn lại sau

tháng là bao nhiêu?

4.5. Vay vốn trả góp

4.5.1. Định nghĩa

Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là

đồng với lãi suất

/tháng. Sau đúng một

tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn

nợ số tiền là

đồng và trả hết tiền nợ sau đúng

tháng.

4.5.2. Công thức tính

Cách tính số tiền còn lại sau

tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút

tiền hàng tháng nên ta có



   

S r r

1 1 1

 

   

 

 



 

S A r X

1 1

 

  

 

X A r S

1 1

 

  

 

 

 

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 31

 

S A r X

1 1

 

  

Để sau đúng

tháng trả hết nợ thì

S 0

nên

 

A r X

1 1

1 0

 

  

 

A r r

1 .

1 1





 

4.6. Bài toán tăng lương

4.6.1. Định nghĩa

Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là

đồng/tháng. Cứ sau

tháng thì lương người đó được tăng thêm

/tháng. Hỏi sau

tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

4.6.2. Công thức tính

Tổng số tiền nhận được sau

tháng là

 

S Ak

1 1 



4.7. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính tăng trưởng dân số

 

m n

X X r m n m n

1 , , ,





   



Trong đó:

% là tỉ lệ tăng dân số từ năm

đến năm

dân số năm

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là

m n

% 1



 

4.8. Lãi kép liên tục

Gửi vào ngân hàng

đồng với lãi kép

/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

năm

 





là:

 

S A r

1 

. Giả sử ta chia mỗi năm thành

kì hạn để tính lãi và lãi

suất mỗi kì hạn là

thì số tiền thu được sau

năm là:

m n

S A

 

 

 

 

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là

m  

, gọi là hình thức lãi kép tiên

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

n r

S Ae



( công thức tăng trưởng mũ)

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 32

PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. NGUYÊN HÀM

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số

 

f x

xác định trên

(

là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

 

F x

được gọi là nguyên hàm của hàm số

 

f x

trên

nếu

   



F x f x

với mọi

x K

Kí hiệu:

   

 



f x dx F x C

Định lí:

1) Nếu

 

F x

là một nguyên hàm của

 

f x

trên

thì với mỗi hằng số

, hàm số

   

 G x F x C

cũng là một nguyên hàm của

 

f x

trên

2) Nếu

 

F x

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x

trên

thì mọi nguyên hàm của

 

f x

trên

đều có dạng

 

F x C

, với

là một hằng số.

Do đó

 

  

F x C C,

là họ tất cả các nguyên hàm của

 

f x

trên

1.2. Tính chất của nguyên hàm



 







f x dx f x

và

   

 



f x dx f x C

;

 





d f x f x

dx dx

 Nếu F(x) có đạo hàm thì:

 

 



d F x F x C

( ) ( )



   



 

kf x dx k f x dx

với

là hằng số khác



       

 

  

 

  

f x g x dx f x dx g x dx

 Công thức đổi biến số: Cho

 



y f u

và

 



u g x .

Nếu

 



f x dx F x C

( ) ( )

thì

 



 

f g x g x dx f u du( ) '( ) ( )

 F u C( )

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số

 

f x

liên tục trên

đều có nguyên hàm trên

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp





dx C

 



dx x C

 

 





   





x dx x C

16.

 



    





ax b

ax b c

dx , 1



  



dx C

1 1

17.

 



xdx C

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 33

 



dx x C

18.

  





ax b c

ax b a

dx 1

 



x x

e dx e C

19.

 

 



ax b ax b

e dx e C

 



a dx C

aln

20.



 



kx b

a dx C

k a

 



xdx x C

cos sin

21.

   

   



ax b dx ax b C

cos sin

xdx x C

sin co s

  



22.

   

    



ax b dx ax b C

sin cos

10.

  



x dx x Ctan . ln | cos |

23.

   

    



ax b ax b C

tan dx ln cos

11.

 



x dx x Ccot . ln | sin |

24.

   

   



ax b ax b C

cot dx ln sin

12.

 



dx x C

tan

cos

25.

 

  





dx ax b C

ax b

1 1

tan

cos

13.

  



dx x C

cot

sin

26.

 

   





dx ax b C

ax b

1 1

cot

sin

14.

 

  



x dx x C

1 tan tan

27.

 

    



ax b dx ax b C

1 tan tan

15.

 

   



x dx co x C

1 cot t

28.

 

     



ax b dx co ax b C

1 cot t

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng

 





a a

a x

2 2

dx 1

arctg

   



x x

x a x C

a a

2 2

arcsin dx arcsin



 





a x

a a x

a x

2 2

dx 1

   



x x

x a x C

a a

2 2

arccos dx arccos

 

   





x x a C

x a

2 2

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arctan dx arctan ln

 





a x

2 2

arcsin

 

   



x x a

x a x C

a a

2 2

arc cot dx arccot ln

 





a a

x x a

2 2

dx 1

arccos

 

  





a x a

a x

x x a

2 2

dx 1

 



 





ax b

dx 1

ln tan

sin

   

 

     

 

 



ax b x ax b x C

ln dx ln

 



 





e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

cos sin

cos dx

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 34



   



x a x a x

a x C

2 2 2

2 2

dx arcsin

2 2

 



 





e a bx b bx

e bx C

a b

2 2

sin cos

sin dx

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

2.1. Phương pháp đổi biến

2.1.1. Đổi biến dạng 1

Nếu :

 



f x dx F x C

( ) ( )

và với

 





là hàm số có đạo hàm thì :

 



f u du F t C

( ) ( ( ))



2.1.1.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn

 

x t





, trong đó

 



là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế :

 





dx t dt

 Bước 3: Biến đổi :

     

 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt

( ) '

 Bước 4: Khi đó tính :

  

 

f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( )

2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

a x

2 2

Đặt



x a sint

; với

 

 

 

 

 

; .

2 2

hoặc



x a cost

;

với



 



 

0; .

x a

2 2

Đặt



sint

; với

 

 

 

 

 

 

; \ 0

2 2

hoặc



cost

với



 

 



 

 

 

0; \ .



a x

2 2

Đặt



x a tant

; với

 

 

 

 

 

; .

2 2

hoặc



x a tcot

với

 



t

0; .





a x

hoặc





a x

Đặt

x acos t2

  

 x a b x

Đặt

 

x a b a sin t

–( )

a x

2 2

Đặt

x atant

; với

 

 

 

 

 

; .

2 2

2.1.2. Đổi biến dạng 2

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt

 





x t

. Trong đó

 



cùng với đạo hàm của nó (

 



là những hàm số liên tục) thì ta được :

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 35

   

 

 

   

 

  

f x dx f t t dt g t dt G t C

( ) ' ( ) ( )

2.1.2.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t=

 



. Trong đó

 



là hàm số mà ta chọn thích hợp .

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :

 





dt t dt

 Bước 3: Biểu thị :

   

 

 

 

 

f x dx f t t dt g t dt( ) ' ( )

 Bước 4: Khi đó :

   

 

I f x dx g t dt G t C

( ) ( ) ( )

2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có

là mẫu số

Hàm số :

 



f x x

;

 





t x

Hàm

 



a inx+b.cosx

f x

c inx+d.cosx+e

 

 

 

 

x x

t cos

tan ; 0

Hàm

 

  



 

f x

x a x b

Với :

 x a 0

và

 x b 0

Đặt :

   t x a x b

Với

 x a 0

và

 x b 0

Đặt :

     t x a x b

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

 

 

u x v x dx u x v x v x u x dx( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )

Hay

 

 

udv uv vdu

( với

   

 

du u x dx dv v x dx

’ , ’

)

2.2.1. Phương pháp chung

 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :

 

 

I f x dx f x f x dx

1 2

( ) ( ). ( )

 Bước 2: Đặt :





 



 









du f x dx

u f x

dv f x

v f x dx

' ( )

( )

 Bước 3: Khi đó :

 

 

u dv u v v du. . .

2.2.2. Các dạng thường gặp

2.2.2.1. Dạng 1









 

 









I P x x dx

sin

( ) cos .

. Đặt













 



 



 







u P x

dv x dx

( )

sin

cos .

















 



 



 







u du P x dx

v x

'. '( )

cos

sin

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 36

Vậy:

I P x x

cos

( ) sin

 



 



 

 

 

 



 

 

 

 



x P x dx

cos

sin . '( )

2.2.2.2. Dạng 2

I P x xdx

( ).ln



. Đặt















u x

dv P x dx

( )













 





du dx

v P x dx Q x

( ) ( )

Vậy

 

QI lnx Q xx

( ).. 



2.2.2.3. Dạng 3





 



 









I e dx

sin

cos

Đặt













 



 









u e

dv dx

sin

cos

















 



 









du e dx

cos

sin

Vậy I =

I e

cos

sin







 



 













 

 









e dx

cos

sin

Bằng phương pháp tương tự ta tính được







 

 









e dx

cos

sin

sau đó thay vào

3. TÍCH PHÂN

3.1. Công thức tính tích phân

  



f x dx F x F b F a( ) ( ) ( ) ( )

* Nhận xét: Tích phân của hàm số

từ a đến b có thể kí hiệu bởi



f x dx( )

hay



f t dt( ) .

Tích

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

3.2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số

 

f x

và

 

g x

liên tục trên

, , ,K a b c

là ba số bất kỳ thuộc

. Khi đó

ta có :





f x dx

( ) 0

 

 

b a

a b

f x dx f x dx( ) ( )

 

  

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )

 

  

 

  

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 37



 

b b

a a

kf x dx k f x dx( ) . ( )

6. Nếu f(x)

x a b0, ;

 

  

 

thì :

 

  

 



f x dx x a b( ) 0 ;

7. Nếu

b b

a a

x a b f x g x f x dx g x dx; : ( ) ( ) ( ) ( )

 

    

 

 

8. Nếu

 

 

 

x a b;

Nếu

 M f x N( )

thì

   

   



M b a f x dx N b a

( )

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4.1. Phương pháp đổi biến

4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

4.1.1.1. Định lí

Nếu 1) Hàm

x u t( )

có đạo hàm liên tục trên

 

 

 

;

2) Hàm hợp

f u t( ( ))

được xác định trên

 

 

 

;

 

 u a u b( ) , ( )

Khi đó:





 

 

I f x dx f u t u t dt

( ) ( ( )) ( )

4.1.1.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt

 



x u t

 Bước 2: Tính vi phân hai vế :

  x u t dx u t dt( ) '( )

Đổi cận:





 



 

x b t

x a t

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t

Vậy:

 

 

 

  

 

  

I f x dx f u t u t dt g t dt( ) ( ) '( ) ( )



 



  G t G G

( ) ( ) ( )

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

4.1.2.1. Định lí

Nếu hàm số

u u x( )

đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

 

a b;

sao cho

 

 

f x dx g u x u x dx g u du( ) ( ) '( ) ( )

thì:

 

 

u b

a u a

I f x dx g u du

( )

( ) ( )

4.1.2.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Đặt

  

u u x du u x dx

( ) ( )

 Bước 2: Đổi cận :

 



 

x b u u b

x a u u a

( )

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 38

 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo

Vậy:

 

  

 

  

u b

b b

a a u a

I f x dx g u x u x dx g u du

( )

( ) ( ) . '( ) ( )

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

4.2.1. Định lí

Nếu

 

u x

và

 

v x

là các hàm số có đạo hàm liên tục trên

 

 

a b;

thì:

 

 

 

b b

a a

u x v x dx u x v x v x u x dx

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hay



udv







vdu

4.2.2. Phương pháp chung

 Bước 1: Viết

 

f x dx

dưới dạng

udv uv dx

bằng cách chọn một phần thích hợp

của

 

f x

làm

 

u x

và phần còn lại

dv v x dx'( )

 Bước 2: Tính

du u dx'

và





v dv





v x dx'( )

 Bước 3: Tính



vu x dx'( )

và

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu

tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng



P x e dx

( )



P x xdx

( )ln



P x xdx

( )cos



e xdx

cos

u P(x) lnx P(x)

e dx

P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn

là phần của

 

f x

mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

dv v dx

là

phần của

 

f x dx

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ

5.1.1. Dạng 1

I =



 

 



  

 

 

dx adx

ax b

ax b a ax b a

1 1

. (với a≠0)

Chú ý: Nếu I =

 





 

  

   





 

k k

ax b adx ax b

a a k

ax b

1 1

( ) . .( )

(1 )

( )

5.1.2. Dạng 2

 





 

 



I a

ax bx c

(

  ax bx c

với mọi

 

 



 

;

)

Xét

  b ac

 Nếu

0 

thì

     

 

b b

x x

a a

1 2

;

2 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 39

 

  

 

    

 

 

a x x x x a x x x x x x

ax bx c

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1

( )( ) ( )

thì :

I dx x x x x

a x x x x x x a x x

x x

a x x x x

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 2

1 1 1 1

ln ln

( ) ( )

( )









 

 

     

 

 

 

   

 





 



 Nếu

 

thì

 



 

 

  

 

ax bx c a x x

2 2

1 1

( )

thì I =

 





 

  



  

 

dx dx

a a x x

ax bx c x x

2 2

1 1

( )

 Nếu

 

thì

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

dx dx

ax bx c

a x

Đặt

 

 

    

x t dx t dt

a a

2 2

tan 1 tan

2 2

5.1.3. Dạng 3

 







 

 



mx n

I dx a

ax bx c

, 0

(trong đó





 

mx n

f x

ax bx c

( )

liên tục trên đoạn

 

 

 

;

)

 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm

và

sao cho:

  

 

     

mx n A ax bx c B

ax bx c ax bx c ax bx c

2 2 2

( )'



 

   

A ax b B

ax bx c ax bx c

2 2

(2 )

 Ta có I=







 

 

 

 

     

 

mx n A ax b B

dx dx dx

ax bx c ax bx c ax bx c

2 2 2

(2 )

Tích phân







 



A ax b

ax bx c

(2 )





 

A ax bx c

Tích phân





 



ax bx c

thuộc dạng 2.

5.1.4. Dạng 4





P x

I dx

Q x

( )

với

 

P x

và

 

Q x

là đa thức của

 Nếu bậc của

 

P x

lớn hơn hoặc bằng bậc của

 

Q x

thì dùng phép chia đa thức.

 Nếu bậc của

 

P x

nhỏ hơn bậc của

 

Q x

thì có thể xét các trường hợp:

 Khi

 

Q x

chỉ có nghiệm đơn

  

n1 2

, ,...,

thì đặt

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 40

  

   

  

A A A

P x

Q x x x x

1 2

( )

...

( )

 Khi

 

Q x

có nghiệm đơn và vô nghiệm

 



       

Q x x x px q p q

2 2

( ) , 4 0

thì đặt





 



 

P x A Bx C

Q x x

x px q

( )

 Khi

 

Q x

có nghiệm bội

 

  

Q x x x

( ) ( )( )

với    thì đặt

 

 



  

 



P x B C

Q x x x

( )

 

  

Q x x x

2 3

( ) ( ) ( )

với    thì đặt

 

    

    

 

    

P x A B C D E

x x

x x x x x

2 3 2 3 2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5.2. Tích phân hàm vô tỉ



R x f x dx( , ( ))

Trong đó

 

R x f x

có dạng:



a x

R x

a x

 



 



 

Đặt

x acos t t2 ,



 



















R x a x

2 2

, 

Đặt

a tsin



hoặc

a tcos





ax b

R x

cx d

 



 



 

Đặt

ax b







 

R x f x

ax b x x

( )

  



  

Với

 

k x b

x a

  





Đặt

t x x

  

  

, hoặc Đặt

ax b











R x a x

2 2

, 

Đặt

a ttan



;

2 2

 

 

 

 

 







R x x a

2 2

, 

Đặt

xcos



t [0; ] \





 



 

 







n n n

R x x x

1 2

; ;...; Gọi

 

1 2

; ;...;

k BSCNN n n n

. Đặt

x t

5.2.1. Dạng 1

 

 

 



I dx a

ax bx c





TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 41

Từ :



 

 



 





 

       



 



 

 



 







x u

f(x)=ax bx c a x du dx

Khi đó ta có :

 Nếu

 

        a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

(1)

 Nếu :





 



     



 

  

 





f x a x

f x a x a u

0 ( )

( ) .

(2)

 Nếu :

  0

 Với



     

      

f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(3)

 Với



     

        f x a x x x x f x a x x x x

1 2 1 2

( ) ( ) .

(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

 Phương pháp :

* Trường hợp :

 

        a f x a u k f x a u k

2 2 2 2

0, 0 ( ) ( ) .

Khi đó đặt :

   

ax bx c t a x.





 





 







  



 

 

 

     



 



  







t c

x dx tdt

b a

bx c t ax

b a

x t t x t t

t c

t a x t a

b a

0 1

;

* Trường hợp :





 



     



 

  

 





f x a x

f x a x a u

0 ( )

( ) .

Khi đó :

 

 











 

  

 



 

  



 



 

   

 



 



 

b b

x x

a a

I dx dx

b b

a x x

x x

a a

ln : 0

2 2

1 1 1

ln : 0

2 2

* Trường hợp :

  a0, 0

. Đặt :

  

 





     







x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1 2

* Trường hợp :

  a0, 0

. Đặt :

  

 





     







x x t

ax bx c a x x x x

x x t

1 2

5.2.2. Dạng 2

 



 

 



mx n

I dx a

ax bx c





 Phương pháp :

 Bước 1:

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 42

Phân tích





 

 



  

     

2 2 2

Ad ax bx c

mx n B

f x

ax bx c ax bx c ax bx c

( ) 1

 Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số

,A B

 Bước 3:

Giải hệ tìm

,A B

thay vào (1)

 Bước 4 :

Tính





I A ax bx c B dx

ax bx c









   

 



(2)

Trong đó

 







 



dx a

ax bx c

đã biết cách tính ở trên

5.2.3. Dạng 3

 





 

  



I dx a

mx n ax bx c

 Phương pháp :

 Bước 1:

Phân tích :

 



 

  

 

 

mx n ax bx c

m x ax bx c

1 1

. (1)

 Bước 2:

Đặt :



 

    



 

 



 

  



   



         

   



   



y t dy dx

x t m x t

y m

x t ax bx c a t b t c

y y y

1 1

1 1 1

 Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :





 

 



Ly My N

. Tích phân này chúng ta đã

biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 

 

I R x y dx R x dx

; ;

( Trong đó :

 

;R x y

là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và

   

, , ,

là các hằng số đã

biết )

 Phương pháp :

 Bước 1:

Đặt :

 

 





(1)

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 43

 Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng

 





x t

 Bước 3:

Tính vi phân hai vế :

 





dx t dt

và đổi cận

 Bước 4:

Tính :

 

 

 

 

 

 

 



  

 



 

 

R x dx R t t t dt

; ; '

5.3. Tích phân hàm lượng giác

5.3.1. Một số công thức lượng giác

5.3.1.1. Công thức cộng

  a b a b a bcos cos .c( ) os  sin .sin

a b a b b asin sin .cos sin .) os( c  

a b

atan tan

( )

1 tan .tan

tan  





5.3.1.2. Công thức nhân đôi

a a a a

2 2 2

cos2 cos – sin 2 cos – 1

1 tan

1 – 2 sin

1 tan

  







a a a

sin 2 2 sin .cos

2 tan

1 tan



 

;





2 tan

tan 2

1 tan

cos 3 4 cos 3 cos

  

 

;

sin 3 3 sin 4 sin

  

 

5.3.1.3. Công thức hạ bậc

1 cos2

sin





;

1 cos2

cos





;







1 cos2

tan

1 cos2

 







3 sin sin 3

sin

;

cos 3 3 cos

cos

 







5.3.1.4. Công thức tính theo

Với

tan



Thì

sin





;

cos







;

tan





5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

     

 

   

 

 

   

 

 

   

 

cos .cos cos( ) cos( )

sin .sin cos( ) cos( )

sin .cos sin( ) sin( )

5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 44

Công thức thường dùng:

Hệ quả:

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

 Nếu gặp

 





sin .cos

I f x xdx

ta đặt

 sint x

 Nếu gặp dạng

 





cos .sin

I f x xdx

ta đặt

 cost x

 Nếu gặp dạng

 





tan

cos

I f x

ta đặt

 tant x

 Nếu gặp dạng

 





cot

sin

I f x

ta đặt

 cott x

5.3.2.1. Dạng 1

   

n n

1 2

= sinx dx ; cosx dx

 

I I

* Phương pháp

 Nếu

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

 Nếu



thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi

 Nếu

lẻ

( )2 1

n p

 

thì thực hiện biến đổi:

   

 

n 2p+1

= sinx dx = sinx dx    

   

I x xdx x d x

sin sin 1 cos cos

 

 

 

        

 

 

 

 

 

       

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

cos ... 1 cos ... 1 cos cos

1 1 1

cos cos ... cos ... cos

3 2 1 2 1

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

cos cos 2 cos .cos

2 2

cos cos 2 sin .sin

2 2

sin sin 2 sin .cos

2 2

sin sin 2 cos .sin

2 2

sin( )

tan tan

cos cos

sin( )

tan tan

cos cos



 



 



 



 

4 4

6 6

3 cos 4

cos sin

5 3 cos 4

cos sin

 

   

 

   

   

    

   

   

   

     

   

   

cos sin 2 cos 2 sin

4 4

cos sin 2 cos 2 sin

4 4

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 45

   

 

n 2p+1

= cosx dx = cosx dx   

   

I x xdx x d x

cos cos 1 sin sin

 

 

 

       

 

 

 

 

 

      

 

 

 



k p

p p p p

k p

p p p p

C C x C x C x d x

C x C x C x C x c

k p

0 1 2 2 2

2 1 2 1

0 1 3

sin ... 1 sin ... 1 sin sin

1 1 1

sin sin ... sin ... sin

3 2 1 2 1

5.3.2.2. Dạng 2

 

sin cos ,

m n

I x xdx m n N

 



* Phương pháp

 Trường hợp 1:

,m n

là các số nguyên

a. Nếu

chẵn,

chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu

chẵn,

lẻ

( )2 1

n p

 

thì biến đổi:

   

     

 

m 2p+1

I = sinx cosx dx   

  

m p m

x x xdx x x d x

sin cos cos sin 1 sin sin

   

 

   

 

     

 

        

 

 

 

 

       

     

 

 



k p

m k p

k p

p p p p

m m k m p m

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

m m k m p m

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

sin sin ... 1 sin ... 1 sin sin

sin sin sin sin

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

c. Nếu

lẻ

 

2 1

m p

 

chẳn thì biến đổi:

   

     

 

2p+1 n

I = sinx cosx dx    

  

n p n

x x xdx x x d x

cos sin sin cos 1 cos cos

   

 

   

 

     

 

         

 

 

 

 

        

     

 

 



k p

n k p

k p

p p p p

n n k n p n

k p

p p p p

x C C x C x C x d x

x x x x

C C C C c

n n k n p n

0 1 2 2 2

1 3 2 1 2 1

0 1

cos cos ... 1 cos ... 1 cos cos

cos cos cos cos

... 1 ... 1

1 3 2 1 2 1

d. Nếu

lẻ,

lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

 Nếu

,m n

là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt

u sinx

 

   

 

   

  

n n

m n m

B x xdx x x xdx u u du

1 1

2 2

sin cos sin cos cos 1

(*)

Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số

  m n m k1 1

; ;

2 2 2

là số nguyên

5.3.2.3. Dạng 3

( ).n N



 

    

  

x dx d x x c

1 tan tan tan

cos



 

      

  

x dx d x x C

1 cot cot cot

sin



   

n n

1 2

= tan x dx ; = cot x dx

 

I I

 

     

  

x d x

xdx dx x C

x x

sin cos

tan ln cos

cos cos

 

   

  

x d x

xdx dx x C

x x

cos sin

cot ln sin

sin sin

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 46

6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

6.1. Diện tích hình phẳng

6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y f x( )

liên tục trên đoạn

 

 

a b;

, trục

hoành và hai đường thẳng

x a

x b

được xác định:





S f x dx( )

6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y f x( )

y g x( )

liên tục trên đoạn

 

 

a b;

và hai đường thẳng

x a

x b

được xác định:

 



S f x g x dx( ) ( )

- Nếu trên đoạn

[a b];

, hàm số

f x( )

không đổi dấu thì:



 

b b

a a

f x dx f x dx( ) ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x g y( )

x h y( )

và hai đường thẳng

y c

y d

được xác định:

 



S g y h y dy( ) ( )

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

6.2.1. Thể tích vật thể

Gọi

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và

S x( )

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

 a x b( )

. Giả sử

S x( )

là hàm số liên tục trên đoạn

[a b];





















1 1

2 2

( ) : ( )

( )

C y f x

x a

x b

( )C

 



S f x f x dx

1 2

( ) ( )





















( )

y f x

y 0

x a

x b

 ( )y f x





S f x dx

( )

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 47

6.2.2. Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f x( )

, trục hoành và hai đường thẳng

x a

x b

quanh trục Ox:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

x g y( )

, trục hoành và hai đường thẳng



y c

y d

quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường

y f x( )

y g x( )

và hai đường thẳng

x a

x b

quanh trục Ox:

V f x g x dx

2 2

( ) ( )



 



( ) : ( )

( ) :





















C y f x

O x y 0

x a

x b

 

( )

V f x d x

 



 ( )y f x





S x dx

( )

S(x)

( ) : ( )

( ):





















C x g y

Oy x 0

y c

y d

 

( )

V g y dy

 



TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 48

PHẦN IV. SỐ PHỨC

1. SỐ PHỨC

1.1. Khái niệm số phức

 Số phức (dạng đại số) :

 

z a bi a b; ,  



. Trong đó :

là phần thực,

là phần

ảo,

là đơn vị ảo,

1. 

 Tập hợp số phức kí hiệu:





là số thực



phần ảo của

bằng

 

0



là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo)



phần thực bằng

 

0

 Số

vừa là số thực vừa là số ảo.

1.2. Hai số phức bằng nhau

 Hai số phức

 

z a bi a b

,  



và

 

z c di c d

,  



bằng nhau khi phần thực

và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau.

 Khi đó ta viết

a c

z z a bi c di

b d

1 2







     









1.3. Biểu diễn hình học số phức

Số phức

 

z a bi a b,  



được biểu diễn bởi điểm

 

M a b;

hay bởi

 

u a b;





trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ

Oxy

1.4. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của

 

z a bi a b,  



là

z a bi 



là số thực

z z 

;

là số ảo

z z 

1.5. Môđun của số phức

Độ dài của vectơ



được gọi là môđun của số phức

và kí hiệu là

. Vậy

z OM





hay

z a bi OM a b

2 2

    



Một số tính chất:



z a b zz OM

2 2

   



;

z z



z z

0, ;

  



z z0 0  



z z z z

1 2 1 2

. .



;



;

z z z

1 1 2



z z

z z z z z z z z z z z z a b

z z

2 2

1 1

2 2

; ' ' ; . ' . '; ; . .

 

       

 

 

M (a;b)

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 49



z z z z z z

1 2 1 2 1 2

    

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC

2.1. Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức

 

z a bi a b

,  



và

 

z c di c d

,  



. Khi đó:

   

z z a c b d i

1 2

    

 Số đối của số phức

z a bi 

là

z a bi   

 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số

thực đó:

z a bi z z a, 2   

2.2. Phép nhân số phức

 Cho hai số phức

 

z a bi a b

,  



và

 

z c di c d

,  



Khi đó:

      

z z a bi c di ac bd ad bc i

1 2

 –     

 Với mọi số thực

và mọi số phức

 

z a bi a b,  



, ta có

 

k z k a bi ka kbi. . .

   

Đặc biệt:

z0. 0

với mọi số phức

 Lũy thừa của

i i i i i i i i

0 1 2 3 2

1, , 1, .      

n n n n

i i i i i i n

4 4 1 4 2 4 3

1, , 1, ,

   

       



2.3. Chia hai số phức

Số phức nghịch đảo của

khác

là số

z z





Phép chia hai số phức

z '

và

z 0

là

z z z z z

z z

z z z

' '. '.



  

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:



ax by c 0   

tập hợp điểm là đường thẳng



x 0 

tập hợp điểm là trục tung Oy



y 0 

tập hợp điểm là trục hoành Ox



   

x a y b R

2 2

    

tập hợp điểm là hình tròn tâm

 

I a b; ,

bán kính



   

x a y b R

x y ax by c

2 2

2 2 0



   







    



tập hợp điểm là đường tròn có tâm

 

I a b; ,

bán kính

R a b c

2 2

  



0x  

tập hơp điểm là miền bên phải trục tung



y 0 

tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành



x 0 

tập hợp điểm là miền bên trái trục tung

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 50



y 0 

tập hợp điểm là phía trên trục hoành



y ax bx c

   

tập hợp điểm là đường Parabol



x y

a b

2 2

1  

tập hợp điểm là đường Elip



x y

a b

2 2

1  

tập hợp điểm là đường Hyperbol

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

4.1. Căn bậc hai của số thực âm

 Cho số

, nếu có số phức

sao cho

z z



thì ta nói

là một căn bậc hai của

 Mọi số phức

z 0

đều có hai căn bậc hai.

 Căn bậc hai của số thực

âm là

i z



Tổng quát, các căn bậc hai của số thực

âm là

i a



4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai

ax bx c a b c a

0, , , , 0     

. Xét biệt số

b ac

4  

của

phương trình. Ta thấy:

 Khi

0 

, phương trình có một nghiệm thực

 

 Khi

0 

, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

1,2

  



 Khi

0 

, phương trình có hai nghiệm phức

  



b i

1,2

5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC

 Cho số phức

thỏa mãn

 

1 2

. , 0

z z z r r

  

max

min



 







 





 Cho số phức

thỏa mãn

 

1 2 1 1

. , 0

z z z r r

  

z r

P z

2 1

max    và

z r

P z

2 1

min   

 Cho số phức

thỏa mãn

 

z z z z z z k k

1 2 1 2

. . , 0    

max



và

k z

min





Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/50

| | Tải xuống

Preview text:

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC
PHẦN I. HÀM SỐ ................................................................................................................................. 4
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 4
1.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 4
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm ......................................................................................... 4
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm................................................................................................... 5
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ..................................................................... 5
1.5. Đạo hàm cấp 2 .......................................................................................................................... 5
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 7
2.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 7
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ......................................................................................... 8
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị .......................................................................................... 8
2.4. Quy tắc tìm cực trị .................................................................................................................... 8
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ................................................ 9 3 2
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d. ..................................................... 9 4 2
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y  ax  bx  c, a  0 .................................. 12
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................................... 14
4.1. Định nghĩa. ............................................................................................................................. 14
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN .......................................................................................... 14
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................................................................... 15
5.1. Đường tiệm cận ngang .......................................................................................................... 15
5.2. Đường tiệm cận đứng ........................................................................................................... 15
6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................................................... 15
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.................................................................. 15
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị ................................................................................................... 17
7. TIẾP TUYẾN ................................................................................................................................ 19
7.1. Tiếp tuyến .............................................................................................................................. 19
7.2. Điều kiện tiếp xúc .................................................................................................................. 20
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .............................................................................................................. 20
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ............................................................................. 20
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong....................................................................... 20
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên ....................................................................................... 21
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng ................................................................................ 21
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ................................................................................ 22
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT .............................................................................................................. 24
1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ....................................................................................... 24
1.1. Khái niệm lũy thừa ................................................................................................................. 24
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 1
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 n 1.2. Phương trình x
 b. ............................................................................................................ 24
1.3. Một số tính chất của căn bậc n .............................................................................................. 25
1.4. Hàm số lũy thừa ..................................................................................................................... 25
1.5. Khảo sát hàm số mũ x y  a ,
a  0,a  1 . ................................................................... 26
2. LOGARIT ..................................................................................................................................... 27
2.1. Khái niệm Logarit ................................................................................................................... 27
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp ..................................................................... 27
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. .............................................................................. 28
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản .................................................................................................. 28
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................................................. 28
4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ........................................................................................ 29
4.1. Lãi đơn ................................................................................................................................... 29
4.2. Lãi kép .................................................................................................................................... 29
4.3. Tiền gửi hàng tháng ............................................................................................................... 30
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng ............................................................................. 30
4.5. Vay vốn trả góp ...................................................................................................................... 30
4.6. Bài toán tăng lương ................................................................................................................ 31
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số ................................................................................................... 31
4.8. Lãi kép liên tục ....................................................................................................................... 31
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ......................................... 32
1. NGUYÊN HÀM ............................................................................................................................ 32
1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................. 32
1.2. Tính chất của nguyên hàm ..................................................................................................... 32
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm ..................................................................................................... 32
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp............................................................................. 32
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng .................................................................................................... 33
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM .......................................................................... 34
2.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 34
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần ................................................................................... 35
3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 36
3.1. Công thức tính tích phân ........................................................................................................ 36
3.2. Tính chất của tích phân .......................................................................................................... 36
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ......................................................................................... 37
4.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 37
4.2. Phương pháp tích phân từng phần ........................................................................................ 38
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ......................................................................... 38
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ ............................................................................................................. 38
5.2. Tích phân hàm vô tỉ ................................................................................................................ 40
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
5.3. Tích phân hàm lượng giác ...................................................................................................... 43
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 46
6.1. Diện tích hình phẳng .............................................................................................................. 46
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay ............................................................................. 46
PHẦN IV. SỐ PHỨC ........................................................................................................................... 48
1. SỐ PHỨC ..................................................................................................................................... 48
1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................................. 48
1.2. Hai số phức bằng nhau .......................................................................................................... 48
1.3. Biểu diễn hình học số phức .................................................................................................... 48
1.4. Số phức liên hợp ..................................................................................................................... 48
1.5. Môđun của số phức ................................................................................................................ 48
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC .............................................................................. 49
2.1. Phép cộng và phép trừ số phức .............................................................................................. 49
2.2. Phép nhân số phức ................................................................................................................. 49
2.3. Chia hai số phức ..................................................................................................................... 49
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 49
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ...................................................................... 50
4.1. Căn bậc hai của số thực âm .................................................................................................... 50
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực ...................................................................................... 50
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC............................................ 50
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 3
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f x  xác định trên K ta có:
 Hàm số y  f x  được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:
x , x  K, x  x  f x   f x 1 2 1 2 1 2 
 Hàm số y  f x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
x , x  K, x  x  f x   f x 1 2 1 2 1 2 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K * Nhận xét:
f x2   f x1 
 Hàm số f x  đồng biến trên K   0 
x ,x  K
, x  x . Khi đó đồ thị x  x 1 2 1 2 2 1
của hàm số đi lên từ trái sang phải.
f x2   f x1 
 Hàm số f x  nghịch biến trên K   0 
x ,x  K, x  x . Khi đó đồ x  x 1 2 1 2 2 1
thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
 Nếu f  x   0, x  a;b  hàm số f x  đồng biến trên khoảng a;b.
 Nếu f x  0, x
  a; b  hàm số f x  nghịch biến trên khoảng a;b.
Nếu f  x   0, x  a;b  hàm số f x  không đổi trên khoảng a;b. 
 Nếu f x  đồng biến trên khoảng a;b  f x   0, x  a;b.
 Nếu f x  nghịch biến trên khoảng a;b  f x   0, x
  a;b.
 Nếu thay đổi khoảng a;b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm
giả thiết “hàm số f x  liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : là hằng số .
 Tổng, hiệu: u  v   u  v.  
 Tích: u v
.   uv.  vu .  C u .   C u . .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 4
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12   u  uv .  vu . C  C u . 
 Thương:  , 0 2 v          2  v  v  u  u
 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x   y  y u .  . x u x
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp C    0 (C là hằng số).   x      x 1 .   x       x 1 . u   1  .u .u   1  1   1  u   x (    0)   u    0 x x2 u u2      1  u x   x  0  u   u  0 2 x 2 u
sinx   cosx
sinu u.cosu
cosx    sin x
cosu  u.sinu  1 u tan x    tanu   2 2 cos x cos u  1 u cotx     cotu    2 2 sin x sin u
 x   x e e
 u    u e u e .
 x   x a a .lna
 u    u a u a . . lna  1 u ln x    ln u    x u   u x   log u a    a  1 log x ln a u.lna
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức   ax  b  ad  bc     . cx  2  d  cx  d a b a c b c x2  2 x  2  d e d f e f
 ax  bx  c      .
dx2  ex  f    2
dx2  ex  f 
1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 5
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 
f  x   f x  
1.5.2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s  f t  tại thời điểm t là: a t   f  t . 0 0  0
1.5.3. Đạo hàm cấp cao n n 1  f x     f x  
, n  , n  2 .     * Một số chú ý:
 Nếu hàm số f x  và g x  cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số
f x   g x  cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng
đối với hiệu f x   g x  .
 Nếu hàm số f x  và g x  là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
K thì hàm số f x  g
. x  cũng đồng biến (nghịch biến) trên K.Tính chất này có thể
không đúng khi các hàm số f x ,g x  không là các hàm số dương trên K.
 Cho hàm số u  u x , xác định với x  a;b và u x   c;d  . Hàm số f ux   cũng
xác định với x  a;b .
Ta có nhận xét sau:
 Giả sử hàm số u  u x  đồng biến với x  a;b . Khi đó, hàm số f ux   đồng biến
với x  a;b  f u đồng biến với uc; d .
 Giả sử hàm số u  u x  nghịch biến với x  a; b . Khi đó, hàm số f u x  nghịch  
biến với x a; b  f u nghịch biến với u  c;d .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
 Nếu f ' x   0 với mọi x  K và f ' x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x K thì hàm số f đồng biến trên K .
 Nếu f ' x   0 với mọi x  K và f ' x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
x  K thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax  b  d 
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y  x  
thì dấu "  " khi xét dấu cx d  c    
đạo hàm y không xảy ra.
Giả sử y  f x   ax 3  bx2  cx  d  f x   ax2 3  bx 2  c.
Hàm số đồng biến trên 
Hàm số nghịch biến trên 
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 6
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  a   0  a  0        0    0   
 f  x   0; x      a    0 .
 f  x   0; x     a   0 .    b   0  b   0  c    0   c  0  
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a  b  c  0 thì f x   d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ
dài bằng l ta giải như sau:
Bước 1: Tính y  f  x m  ax2 ;  bx  c.
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x ;x   y  0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2   0   * a   0  
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l 2  x  x
 l  x  x  4  2 2
 S  4P  l * * 1 2  x x l2 1 2 1 2
Bước 4: Giải * và giao với * * để suy ra giá trị m cần tìm.
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x  K . Ta nói: 0
 x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa x sao cho 0 0
a;b  K và f x   f x ,x  a;b \ x . Khi đó f x được gọi là giá trị cực tiểu 0  0 0 của hàm số f .
 x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x sao cho 0 0
a;b  K và f x   f x ,x  a;b \ x . Khi đó f x được gọi là giá trị cực đại 0  0 0 của hàm số f .
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K.
 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 7
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Nếu x là điểm cực trị của hàm số thì điểm x ; f x
được gọi là điểm cực trị của 0 0  0
đồ thị hàm số f . * Nhận xét:
 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 0 
hàm số f trên tập D; f x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một 0 
khoảng a;b nào đó chứa x hay nói cách khác khi x điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn 0 0
tại khoảng (a;b) chứa x sao cho f x là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên 0  0
khoảng a;b.
 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số y  f x  đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y  f x  có đạo hàm tại điểm 0
x thì f x 0. 0   0 Chú ý:
 Đạo hàm f x có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm 0 x . 0
 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x thì 0 0 f 'x  0 . 0 
 Nếu f  x   0 trên khoảng x  h;x và f x   0 trên khoảng x ;x  h thì x là 0 0  0 0  0
một điểm cực đại của hàm số f x .
 Nếu f  x   0 trên khoảng x  h;x và f x   0 trên khoảng x ; x  h thì x là 0 0  0 0  0
một điểm cực tiểu của hàm số f x .
2.4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f  x .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 8
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Bước 2: Tìm các điểm x i  1;2;... mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số i
liên tục nhưng không có đạo hàm.
 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f  x  . Nếu f x  đổi dấu khi đi qua x i
thì hàm số đạt cực trị tại x . i
Định lí 3:
Giả sử y  f x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x  h;x  h với h  0. Khi đó: 0 0 
 Nếu f  x 0, f  x
0 thì hàm số f đạt cực đại tại x . 0   0   0
 Nếu f x  0, f  x
0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x . 0   0  0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f  x .
 Bước 2: Tìm các nghiệm x i  1;2;... của phương trình f x   0. i
 Bước 3: Tính f  x  và tính f  x . i 
 Nếu f  x   0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x . i i
 Nếu f  x   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x . i i
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d.
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số y  f x m   ax 3  bx2 ;
 cx  d. Tìm tham số m để hàm số có cực
đại, cực tiểu tại x , x thỏa mãn điều kiện K cho trước? 1 2 Phương pháp:  Bước 1:
 Tập xác định: D  . 
 Đạo hàm: y  ax 2  bx  c  Ax 2 3 2  Bx  C  Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)  y  0
có hai nghiệm phân biệt vày đổi dấu qua 2 nghiệm đó
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt A   a 3  0 a   0        m  D .
  B2  AC 4  b2 4  a 12 c  0 b2  a 3 c 1  0  y   
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 9
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 3:
Gọi x ,x là hai nghiệm của phương trình y  0. 1 2  B b 2 x  x      1 2  Khi đó: A a 3 .  C c x  x .   1 2   A a 3  Bước 4:
Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m  D . 2  Bước 5:
Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m  D  D . 1 2
* Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d a  0.
Ta có: y  ax 2 ' 3  b 2 x  c. Điều kiện Kết luận b2  a 3 c  0
Hàm số không có cực trị. b2  a 3 c  0
Hàm số có hai điểm cực trị.
 Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
 Hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu  AC .  a
3 c  0  ac  0.
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   0 y    C P  x x .   0  1 2  A
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
 phương trình y  0 có hai nghiệm dương phân biệt   0  y   B  S 
 x  x    0 1 2 A  C P   x x .   0 1 2   A
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
 phương trình y  0 có hai nghiệm âm phân biệt   0  y '   B  S 
 x  x    0 1 2 A  C P   x x .   0 1 2   A
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 10
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x , x thỏa mãn: 1 2 x    x 1 2
x  x   1 2   x  x 1 2
 Hai cực trị x ,x thỏa mãn x    x 1 2 1 2
 x    x     0  x x
.   x  x  2    0 1 2 1 2 1 2
 Hai cực trị x ,x thỏa mãn x  x   1 2 1 2   x 
   x     0 x  x . 
  x  x  2    0 1 2 1 2 1 2    x x 2     x  x  2  1 2   1 2 
 Hai cực trị x ,x thỏa mãn   x  x 1 2 1 2   x 
   x     0 x  x . 
  x  x  2    0 1 2 1 2 1 2    x x 2     x  x  2  1 2   1 2 
 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng b 
khi có 1 nghiệm làx 
, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là a 3 d x 3   . a
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác
phía so với một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Cho 2 điểm Ax ;y , B x ;y và đường thẳng  : ax  by  c  0. A A   B B 
Nếu ax  by  c ax  by  c  0 thì hai điểm A, B nằm về A A  B B 
hai phía so với đường thẳng . 
Nếu ax  by  c ax  by  c  0 thì hai điểm A, B nằm cùng A A  B B 
phía so với đường thẳng . 
Một số trường hợp đặc biệt:
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 cực trị cùng dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm trái dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y y .  0 C Đ CT
Đặc biệt:
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 11
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y  y .  0  CĐ C
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và T y   y  0  CĐ CT 
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox y  y .  0  CĐ C
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và T y   y  0  CĐ CT 
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y y .  0 C Đ CT
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
 đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
 phương trình hoành độ giao điểm f x   0 có 3 nghiệm phân biệt (áp
dụng khi nhẩm được nghiệm)
3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị 2     c 2 b 2 bc  y .  y .  g x     x  d 
hoặc gx  y  . hoặc   y y g x  y  3 a 9 a 9   18a y 3 
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là e  e3 4 16 b2  a 3 c AB  với e  a a 9
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y  ax 4  bx 2  c, a  0
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ
 Hàm số có một cực trị  ab  0.
 Hàm số có ba cực trị  ab  0. a   0 
 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu  . b   0   a   0 
 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại  . b   0   a   0 
 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại  . b   0   a   0 
 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại  . b   0  
3.2.2. Một số công thức tính nhanh  b   b    Giả sử hàm số y ax 4 bx 2  
 c có 3 cực trị: A(0;c), B    ;   C ,   ;    a 2 a 4   a 2 a 4     
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab  0
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 12
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Đặt: 
BAC    y  b3 2 cot  Tổng quát:  2 a 8 A O x B C Dữ kiện Công thức
thỏa mãn ab  0;c  0
Tam giác ABC vuông cân tại A b3   a 8 Tam giác ABC đều b3   a 24
Tam giác ABC có diện tích S  S a3 32 S 2 ( )  b5  0 ABC 0 0
Tam giác ABC có diện tích max S ( ) 5 0 b S   0 a3 32
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội b2 r  tiếp r  r 3   ABC 0 b 4 a 1  1    a 8   
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại b3  a 8 tiếp R  R R  ABC 8 a b
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m am2  b 2  0 0 0
Tam giác ABC có độ dài AB  AC  n a 16 n
2 2  b4  ab 8  0 0 0
Tam giác ABC có cực trị B,C Ox b2  a 4 c
Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a  b3 (8 )  0
Tam giác ABC có trọng tâm O b2  ac 6
Tam giác ABC có trực tâm O b3  a 8  a 4 c  0
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình b2  a2c thoi
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội b3  a 8  a 4 bc  0 tiếp
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại b3  a 8  a 8 bc  0 tiếp
Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC
b3 k 2  a k2 . 8 (  4)  0
Trục hoành chia tam giác ABC thành b2  4 2 ac
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục b2  ac 8 hoành
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 13
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Đồ thị hàm số C  y ax 4 bx2 :    c cắt trục 100 2
Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số b  ac 9 cộng
Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ 36
thị C  y ax 4 bx2 :  
 c và trục hoành có b2  ac 5
diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:  2    2   x 2  y2    c y  c   0  b a 4   b a 4     
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4.1. Định nghĩa.
Cho hàm số y  f x  xác định trên tập D. f x ( )  M, x   D 
 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x  trên D nếu:  . Kí x   D, f x ( )  M  0 0 
hiệu: M  max f (x) . xD f x ( )  m, x   D 
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x  trên D nếu:  . Kí
x  D, f x ( )  m  0 0 
hiệu: m  minf x ( ) . x D 
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
 Bước 1: Tính f x và tìm các điểm x ,x ,...,x  D mà tại đó f  x   0 hoặc hàm số 1 2 n không có đạo hàm.
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn  Bước 1:
 Hàm số đã cho y  f x  xác định và liên tục trên đoạn a;b .  
 Tìm các điểm x , x ,..., x trên khoảng a;b , tại đó f x   0 hoặc f x  không xác 1 2 n định.
 Bước 2: Tính f a , f x , f x ,..., f x , f b . 1 2 n   
 Bước 3: Khi đó:
 max f x   max f x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 2 n      a  b ,   
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 14
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 min f x   min f x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 2 n      a b ,   
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
 Bước 1: Tính đạo hàm f  x ( ) .
 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x  a
( ;b) của phương trình f  x
( )  0 và tất cả các điểm i   a
( ;b) làm cho f  x ( ) không xác định. i
 Bước 3. Tính A  lim f x
( ), B  lim f x ( ), f x ( ), f ( ) . i i x a  x b 
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M  maxf x
( ), m  minf x ( ) . a ( b ; ) a ( b ; )
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:
min f x   f a  a  b ; 
 Nếu y  f x  đồng biến trên a  ;b      thì  . max f 
x   f b a  b ;     min f x
( )  f b  a b;
 Nếu y  f x  nghịch biến trên a  ;b    .   thì  max f x ( )   f a a b ;    
 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f x
( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a;,;b
hoặc ;  ). Đường thẳng y  y là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ 0
thị hàm số y  f x
( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f x
( )  y , lim f x ( )  y x 0  x 0 
5.2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị 0
hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f x ( )  , lim f x
( )  , lim f (x)  , lim f (x)     x x x x x x  x x    0 0 0 0 ax  b
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y 
c  0; ad  bc  0 luôn có tiệm cận cx  d a d ngang là y 
và tiệm cận đứng x   . c c
6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 15
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
6.1.1. Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d a  0 TRƯỜNG HỢP a  0 a  0
Phương trình y/  0 có y y 1
2 nghiệm phân biệt 1 O x 1 1 O x Phương trình y/ y  0 có y nghiệm kép 1 1 1 O x 1 O x Phương trình / y  0 vô y y nghiệm 1 O 1 1 x 1 O x
6.1.2. Hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c a  0 TRƯỜNG HỢP a  0 a  0
Phương trình y/  0 y y có
3 nghiệm phân biệt (ab<0) 1 1 1 1 O O x x
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 16
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Phương trình y/  0 y y có 1 nghiệm. 1 1 1 O x 1 O x ax  b
6.1.3. Hàm số nhất biến y 
c  0, ad  bc  0 cx  d
D  ad  bc  0
D  ad  bc  0
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị 6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị C  : y  f x  suy ra đồ thị C  : y  f  x  . f x khi x  0 
Ta có: y  f  x      f   x   khi x  0 
và y  f  x  là hàm chẵn nên đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng.
* Cách vẽ C  từ C  :
 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C  : y  f x  .
 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
Ví dụ: Từ đồ thị C  y  f x   x3 :  x 3 y 2
C  y  x3 :  x 3 3
suy ra đồ thị C  : y  x  3 x . 1 O -1 x
Biến đổi C  : -2
 Bỏ phần đồ thị của C  bên trái
Oy, giữ nguyên C  bên phải Oy.  3
C  : y  x  3 x
 Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 17
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y -1 O 1 x -2 6.2.2. Dạng 2
Từ đồ thị C  : y  f x  suy ra đồ thị C  : y  f x  .
f x  khi f x    0
Ta có: y  f x   
f x  khi f x    0 
* Cách vẽ C  từ C :
 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):y  f x  .
 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ: Từ đồ thị C  y  f x 3 :  x  3x y 2 C 3
: y  x  3x
suy ra đồ thị y  x 3  x 3 . 1 O -1 x
Biến đổi C : -2
 Bỏ phần đồ thị của C  dưới
C y  x3 :  x 3
Ox, giữ nguyên C  phía trên y Ox. 2
 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . -1 O 1 x
Chú ý với dạng: y  f  x  ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y  f  x  và y  f x 
Ví dụ: Từ đồ thị C  y  f x   x 3 :  x 3 y 3 C : y x 3 x 3    
suy ra đồ thị y  x  3 x . Biến đổi 2  3
C  để được đồ thị C  : y  x  3 x . 3
Biến đổi C  : y  x  3 x ta được đồ -1 O 1 x 3
thị C  : y  x  3 x . 6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị C  : y  u x  v
. x  suy ra đồ thị C  : y  u x  v. x  .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 18
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 u   x  v
. x   f x  khi u x   0
Ta có: y  u x  v . x    u  
x  v. x   f x  khi u x   0 
* Cách vẽ C  từ C :
 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x   0 của đồ thị C  : y  f x  .
 Bỏ phần đồ thị trên miền u x   0 của C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ
a) Từ đồ thị C  y  f x   x 3  x2 : 2 3  1 x
b) Từ đồ thị C  : y  f x   suy x  1
suy ra đồ thị C  y  x   x2 : 1 2  x  1 x
ra đồ thị C  : y  x  1 f x khi x 1  x y x 1  x2 2 x          1  khi x 1;   x     
f x  khi x  x  1  1 y   .   x  1 x 
khi x  ;1   x  1 Đồ thị (C’): Đồ thị (C’):
 Giữ nguyên (C) với x  1 .
 Bỏ phần đồ thị của C  với
 Bỏ (C) với x  1 . Lấy đối xứng x  ,
1 giữ nguyên C  với
phần đồ thị bị bỏ qua Ox. x  1. y (C')
 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 1 y O 1 x 1 O (C) 1 x
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện
phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì
đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để CĐ, CT…
thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. 7. TIẾP TUYẾN 7.1. Tiếp tuyến
Cho hàm số y  f  x , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x ;y   C ( ) có 0 0 0
dạng: y  f  x  x  x   y . 0 0 0
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 19
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Trong đó:
Điểm M x ;y   C
( ) được gọi là tiếp điểm. ( với y  f x ) và k  f 'x là hệ số góc của 0  0 0  0 0 0 tiếp tuyến.
7.2. Điều kiện tiếp xúc
Cho hai hàm số C  : y  f x  và C ' : y  g x . Đồ thị C  và C  tiếp xúc nhau khi chỉ y
f x    g x 
khi hệ phương trình:  có nghiệm.
f / x   /  g x   y0 x
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ x0 O
Cho hàm số y  f x ( ) có đồ thị C
( ) và y  g x
( ) có đồ thị (C ). 1 2
Phương trình hoành độ giao điểm của C
( ) và (C ) là f x ( )  g x ( )   1 . Khi đó: 1 2
 Số giao điểm của (C ) và C
( ) bằng với số nghiệm của phương trình   1 . 1 2
 Nghiệm x của phương trình  
1 chính là hoành độ x của giao điểm. 0 0
 Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ x vào y  f x  hoặc y  g x . 0 0
 Điểm M  x ; y là giao điểm của C ( ) và C ( ) . 0 0  1 2
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong C (
) có phương trình y  f x
( ,m), trong đó f là hàm đa thức theo biến m
x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ
đường cong khi m thay đổi? Phương pháp giải:
 Bước 1: Đưa phương trình y  f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
Am  B  0 hoặc Am2  Bm  C  0 .
 Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A  0 A   0   hoặc B  0 . B  0   C  0 
 Bước 3: Kết luận:
- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong C (
) không có điểm cố định. m
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của C ( ). m
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 20
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên Cho đường cong C
( ) có phương trình y  f x
( ) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có
tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên. Phương pháp giải:
 Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
 Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong (C) có phương trìnhy  f x
( ). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một
điểm, qua đường thẳng.
Bài toán 1: Cho đồ thị C  y  Ax3  Bx2 :
 Cx  D trên đồ thị C  tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểmI x ( ,y ) . I I Phương pháp giải:
 Gọi M a Aa3  Ba2  Ca  D N b Ab3  Bb2 ; , ;
 Cb  D  là hai điểm trên C  đối
xứng nhau qua điểm I . a  b   x 2 I  Ta có  . A a3 (
 b3)  B a2  b2   C a  b  D 2  y 2   I
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.
Bài toán 2: Cho đồ thị C  y  Ax 3  Bx2 :
 Cx  D . Trên đồ thị C  tìm những cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ. Phương pháp giải:
 Gọi M a Aa3  Ba2  Ca  D N b Ab3  Bb2 , , ,
 Cb  D  là hai điểm trên C đối
xứng nhau qua gốc tọa độ. a  b   0  Ta có  . A a3 (
 b3)  B a2  b2   C a  b  D 2  0  
 Giải hệ phương trình tìm đượca,b từ đó tìm được toạ độ M, N .
Bài toán 3: Cho đồ thị C  y  Ax3  Bx2 :
 Cx  D trên đồ thị C  tìm những cặp điểm đối xứng
nhau qua đường thẳng d : y  A x  B . 1 1 Phương pháp giải:  Gọi M  3 2
a Aa  Ba  Ca  D N  3 2 ; ,
b; Ab  Bb  Cb  D là hai điểm trên C đối xứng
nhau qua đường thẳng d . I   d (1) 
 Ta có:   
(với I là trung điểm của MN và u là vectơ chỉ phương của MN u . d d   0 (2)  đường thẳng d ).
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 21
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Giải hệ phương trình tìm được M, N.
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 9.4.1. Lý thuyết: 2 2
 Cho hai điểm Ax ;y ;B x ;y  AB  x  x 2 1   y  y 2 1  1 1 2 2 
 Cho điểm M x ;y và đường thẳng d : Ax  By  C  0 , thì khoảng cách từ M đến d 0 0 
Ax  By  C 0 0
là h M;d   . A2  B2 ax  b
 Cho hàm phân thức: y 
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là cx  d 2
trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác MAB không đổi: S  ad  bc . MAB c2
9.4.2. Các bài toán thường gặp ax  b
Bài toán 1: Cho hàm số y 
c  0, ad bc  0 có đồ thị C  . Hãy tìm trên C ( ) hai điểm cx  d
A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất. Phương pháp giải: d
 C  có tiệm cận đứng x   do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai c
phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số  ,  là hai số dương. d d d
 Nếu A thuộc nhánh trái: x    x       ; y  f x ( ) . A A c c c A A d d d
 Nếu B thuộc nhánh phải: x    x       ; y  f x ( ) . B B c c c B B  Sau đó tính: 2 2 2 2
AB2  x  x y y a a y y . B A     B A 
             B A   
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C  có phương trình y  f x
( ). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. Phương pháp giải:
 Gọi M x;y  và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d  x  y .
 Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
 Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
 Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo
hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 22
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Bài toán 3: Cho đồ thị C
( ) có phương trình y  f (x) . Tìm điểm M trên C
( ) sao cho khoảng cách từ
M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trụcOy . Phương pháp giải: y  kx
f x   kx
Theo đầu bài ta có y  k x     . y  kx  f x kx       ax  b
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số C
( ) có phương trình y  f (x) 
c  0, ad  bc  0 . Tìm tọa độ cx  d
điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận). Phương pháp giải: d a
 Tiệm cận đứng x 
; tiệm cận ngang y  . c c  d a 
 Ta tìm được tọa độ giao điểm I  ;  của hai tiệm cận.  c c  2 2  2 d   a 
 Gọi M x ;y
là điểm cần tìm, thì: IM  x   y    g x M   M   M  M M   c   c 
 Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số C
( ) có phương trình y  f x
( ) và đường thẳng d : Ax  By  C  0 . Tìm điểm I trên C
( ) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. Phương pháp giải:
 Gọi I thuộc C
( )  I x ;y ; y  f x ( ) . 0 0 0 0
Ax  By  C 0 0
 Khoảng cách từ I đến d là g x ( )  h ; 0 I d  A2  B2
 Khảo sát hàm số y  g x
( ) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 23
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT
1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1.1. Khái niệm lũy thừa
1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a . n a   a a .  ..   .. a .. ( n thừa số). n 1 Với a  0. thì 0  a  n 1 a  n a
Ta gọi a là cơ số, n là mũ số. Và chú ý 0
0 và 0n không có nghĩa.
1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa
 Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:  a     
a  a  a ;    a ;     a  a . ( ) ;    a
( b)  a  b ;  a      a  a  a   b     ;         b  b  b   a 
 Nếu a  1 thì  
a  a     ;
 Nếu 0  a  1 thì  
a  a     .
 Với mọi 0  a  b , ta có: m  m a b  m  0 m  m a b  m  0 Chú ý:
 Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. n
1.2. Phương trình x  b.
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình n
x  b như sau:  Trường hợp n lẻ:
Với mọi số thực b , phương trình có nghiệm duy nhất.  Trường hợp n chẵn:
 Với b  0 , phương trình vô nghiệm.
 Với b  0 , phương trình có một nghiệm x  0.
 Với b  0 , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn
giá trị âm là n b .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 24
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1.3. Một số tính chất của căn bậc n Với a b    * , ; n , ta có: 2n 2n a  a  a   2n1 2n
a 1  a a  2n  n 2  2n ab a  b , ab  0  2n1 n 2 1 2n 1 ab  a 
b a,b n a 2  a  n 2 
, ab  0,b  0 b 2n b 2n a 1 a  n 2 1 
 a, b  0 n 2  b 1 b m  n m a
  n a  , a  0 , n nguyên dương, m nguyên  n m  nm a
a,a  0 , n ,m nguyên dương p q  Nếu 
thì n p  m q a
a , a  0,m,n nguyên dương p,q nguyên n m Đặc biệt: n mn  m a a
1.4. Hàm số lũy thừa 1.4.1. Khái niệm Xét hàm số 
y  x , với  là số thực cho trước. Hàm số 
y  x , với    , được gọi là hàm số lũy thừa. Chú ý.
Tập xác định của hàm số lũy thừa 
y  x tùy thuộc vào giá trị của  . Cụ thể.
 Với  nguyên dương, tập xác định là .
 Với  nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là   \  0 .
 Với  không nguyên, tập xác định 0; .
1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa  y  x
Tập xác định của hàm số lũy thừa 
y  x luôn chứa khoảng 0;  với mọi   . Trong
trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số 
y  x trên khoảng này. 
y  x ,  0. 
y  x ,  0.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 25
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1. Tập xác định: 0; .
1. Tập xác định: 0; . 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên  y    x 1 ' .  0 x  0.  y    x 1 ' .  0 x  0. Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:  
lim x  0, lim x  . lim x   , lim x  0.  x 0 x   x0 x Tiệm cận: không có. Tiệm cận: 3. Bảng biến thiên. Ox là tiệm cận ngang. x 0  Oy là tiệm cận đứng. y’  3. Bảng biến thiên. y  x 0  y’  0 y  0 Đồ thị của hàm số.
Đồ thị của hàm số lũy thừa y x 
luôn đi qua điểm I 1;1.
1.5. Khảo sát hàm số mũ x y  a ,
a  0,a  1 .  x y
a ,a  1 x
y  a ,a  1
1. Tập xác định: .
1. Tập xác định: . 2. Sự biến thiên. 2. Sự biến thiên. ' x
y  a ln a  0, . x '  x y
a lna  0,x Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: x lim a x x  0, lim a  . lim a  , lim a  0. x  x  x  x  Tiệm cận: Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên. 3. Bảng biến thiên.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 26
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 x  0 1   0 1 x
y '    
a  y '    y 1  0 1 y Đồ thị như hình sau. a 0 Đồ thị như hình sau. 2. LOGARIT
2.1. Khái niệm Logarit
Cho hai số dương a,b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức 
a  b được gọi là logarit cơ số
a của b và được kí hiệu là log b . a 
  log b  a  . b a
Không có logarit của số âm và số 0.
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp
 a 0  1, a  0.
 log 1  0, 0  a  1 a  1
 a   a
 log a  1, 0  a  1 a    1  log a
 , 0  a  1 a   a     a 1  log     a ,0 a 1 a a      a     
 log b  .log b,a,b  0,a  1 a a  a  1      log b .log b
 a .b  a   a  a   
 a  .b  a b .    log    b .log b a a    a   a    , 
 log b  log c  log bc a a a      b 0    b b 
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 27
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12    b   a     a   * , 
 log b  log c  log a a a    c      
a   a 1  log b  . a log a b
 a   b    log b a
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng x
a  b (hoặc x  , x  , x a b a
b a  b ) với a  0,a  1.
Ta xét bất phương trình có dạng x a  b.
 Nếu b  0 , tập nghiệm của bất phương trình là  , vì x
a  b, x  . .  Nếu b x b
 0 thì bất phương trình tương đương với a  a a log .
 Với a  1, nghiệm của bất phương trình là x  log b. a
 Với 0  a  1, nghiệm của bất phương trình là x  log b. a
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
 Với a  1, ta có đồ thị sau.
 Với 0  a  1, ta có đồ thị sau.
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x  b (hoặc log x  b, log x  b,log x  b ) với a a a a
a  0,a  1.
Xét bất phương trình log x  b. a
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 28
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Trường hợp a  1, ta có: log x  b  x  b a . a
 Trường hợp 0  a  1 , ta có: log x  b  0 b  x  a . a
Ta minh họa bằng đồ thị như sau.
 Với a  1, ta có đồ thị sau.
 Với 0  a  1 , ta có đồ thị sau.
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
 Trường hợp a  1: log x  b khi và chỉ khi a  b x a .
 Trường hợp 0  a  1 : log x  b khi và chỉ khi a 0   b x a .
4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 4.1. Lãi đơn 4.1.1. Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc
sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp,
cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
4.1.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là:
S  A  nAr  A 1  nr n   r
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là . 100 4.2. Lãi kép 4.2.1. Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
4.2.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 29
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là:  S  n n  log    1 r    A    S
S  A 1  r n n n r%   1  n A S n A  1  r n
4.3. Tiền gửi hàng tháng 4.3.1. Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
4.3.2. Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% /tháng thì số
tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi
ngân hàng đã tính lãi) là S . n  S r .  n n  log   1 1 r
   A1  r   n   A S  1 r 1    1  r  n     r     S r . n A 
1 r 1 rn 1       
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu? n r   n
1  r n  1
X  A1  r   S
S  A 1  r  X n n     n   r  1  r  1  
4.5. Vay vốn trả góp 4.5.1. Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn
nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
4.5.2. Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút
tiền hàng tháng nên ta có
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 30
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1  r n n  1
S  A 1  r  X n   r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S  0 nên n 1  n n r  1
A1  r   X  0 r
A1  r n r. X 
1  rn  1
4.6. Bài toán tăng lương 4.6.1. Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A
đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r% /tháng. Hỏi sau kn
tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
4.6.2. Công thức tính
1  rk  1
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là S  Ak kn r
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số  X
X 1 r m n , m,n   
  ,m  n m n   Trong đó:
r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m
X dân số năm m m
X dân số năm n n X
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là m r%  m n   1 Xn
4.8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm n *
   là: S  A1  r n . Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi n m n . r  r  suất mỗi kì hạn là
% thì số tiền thu được sau n năm là: S  A 1  m n  m   
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m   , gọi là hình thức lãi kép tiên
tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: n r S Ae . 
( công thức tăng trưởng mũ)
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 31
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x 
được gọi là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu F ' x   f x  với mọi x  K . Kí hiệu:        f x dx F x C . Định lí:
1) Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x   F x  C cũng là một nguyên hàm của f x  trên K .
2) Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì mọi nguyên hàm của
f x  trên K đều có dạng F x   C , với C là một hằng số.
Do đó F x   C C
,   là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trên K .
1.2. Tính chất của nguyên hàm         f x dx f x  và '        f x dx f x
C ; d  f x dx   f x dx
 Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F x ( )  F x ( )  C 
kf x dx  
k  f x dx với k là hằng số khác 0 .  
 f x   g x dx   f x dx   g x dx  
 Công thức đổi biến số: Cho y  f u  và u  g x . Nếu ( )  ( )   f x dx F x
C thì  f g x ( )g ' x ( dx )  f u ( du )  F u ( )  C 
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí:
Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1. 0   dx C 2.   dx x C 1  1 3.     1   x dx x C     1  1 ax b     1
16. ax  b dx   c ,    1 a   1 1 1 x 2 4.     dx C 17. xdx   C x 2 x  2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 32
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1 dx 1 5.  ln   dx x C 18.  ln   x  ax b c ax  b a 6.    x x e dx e C 1 19.      ax b ax b e dx e C a x a kx b 1 a 7. x a dx    C 20. kx b a dx   C lna  k lna 8. cos  sin   xdx x C 1 21. cos     sin      ax b dx ax b C a
9. sin xdx   co s x  C  1 22. sin      cos      ax b dx ax b C a 10. tan .   ln | cos |   x dx x C 1 23. tan    dx   ln cos      ax b ax b C a 11. cot .  ln | sin |   x dx x C 1 24. cot    dx  ln sin      ax b ax b C a 1 1 1 12.  tan   dx x C 25.   dx tan 2
ax  b C 2 cos x
cos ax  b a 1 1 1 13.   cot   dx x C 26.    dx cot 2
ax  b C 2 sin x
sin ax  b a 14.   2 1 tan   tan   x dx x C 1 27. 1  2
tan     tan     ax b dx ax b C a 15.   2 1 cot    t   x dx co x C 1 28. 1  2 cot      t      ax b dx co ax b C a
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng dx 1 x x x  arctg   C  x  a2  x 2 arcsin dx arcsin  C a2   x 2 a a a a dx 1 a  x x x  ln   C  x  a2  x 2 arccos dx arccos  C a2   x 2 a 2 a  x a a dx x x a  ln   2  2    x x a C  x  a2  x2 arctan dx arctan ln  C x2   a2 a a 2 dx x x x a  arcsin   C  x  a2  x2 arc cot dx arc cot ln  C a2   x 2 a a a 2 dx 1 x  arccos   C 2  2 a a x x a dx 1
a  x2  a2   ln   C dx 1 ax  b 2 ln tan C  2 a x x x a   
sin ax  b a 2 ln ax b   b   dx  ax  x  ln  
ax  b   x   C
e a cosbx b sinbx ax    a  e cosbx dx    C a2  b2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 33
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 x a2  x2 a2 2 2 x a ax  x dx   arcsin   C
e a sinbx b cosbx ax   2 2 a e sinbx dx    C a2  b2
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1. Phương pháp đổi biến
2.1.1. Đổi biến dạng 1 Nếu : ( )  ( ) 
 f x dx F x C và với u   t  là hàm số có đạo hàm thì : ( )  (( ))   f u du F t C
2.1.1.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Chọn x   t  , trong đó  t  là hàm số mà ta chọn thích hợp .
 Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   ' t dt
 Bước 3: Biến đổi : f x ( d ) x  f 
 t  ' t dt  g t dt  
 Bước 4: Khi đó tính : f x ( dx )  g t ( dt )  G t ( )    C .
2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn    
Đặt x  a sint ; với t   
; .hoặc x  a cost ; a2 2 2  x 2  
với t  0;  .   a     a Đặt x  .; với t    ;  \   0 hoặc x  sint  2 2  cost x 2  a2  
với t  0;  \  .    2     
Đặt x  a tant ; với t   
; .hoặc x  a cott 2 2 a2  x 2  
với t  0; . a  x a x .  hoặc
. Đặt x  acos t 2 a  x a  x
x  ab  x 
Đặt x  a  b ( a si ) n t 2 – 1    
Đặt x  atant ; với t    ; . a2  x 2  2 2 
2.1.2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x   t  . Trong đó  t  cùng với đạo hàm của nó ( ' t 
là những hàm số liên tục) thì ta được :
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 34
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 f x ( d ) x  f    
t 't dt  g t( d ) t  G t ( )  C .   
2.1.2.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Chọn t= x . Trong đó  x  là hàm số mà ta chọn thích hợp .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   ' t dt .
 Bước 3: Biểu thị : f x ( d ) x  f 
 t  't dt  g t( d ) t .  
 Bước 4: Khi đó : I  f x ( dx )  g t ( dt )  G t ( )    C
2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số
Hàm số : f x;  x 
t   x  a.sinx+b.cosx x  x 
Hàm f x   t  tan ; cos  0 c.sinx+d.cosx+e   2  2  1
Với : x  a  0 và x  b  0 .
Hàm f x  
x  ax  b
Đặt : t  x  a  x  b
Với x  a  0 và x  b  0 .
Đặt : t  x  a  x  b
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: u x ( ) v . ' x ( dx )  u x ( ) v . x ( )   v x ( ) u . ' x ( dx )
Hay udv  uv  
 vdu ( với du  u’x dx dv ,
 v’ x dx )
2.2.1. Phương pháp chung
 Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I  f x ( d ) x    f x ( ).f x ( d ) x 1 2 u  f x ( ) du   ' ( ) 1  f x dx 1
 Bước 2: Đặt :    dv  f x ( ) v   f x ( d ) x  2    2
 Bước 3: Khi đó : u d . v  u v .    v d.u
2.2.2. Các dạng thường gặp 2.2.2.1. Dạng 1 u  P x ( ) u ' du .  P x '( dx ) sin x         sin x   cos x    I  P x ( ) cosx   d . x . Đặt        dv cos x dx .   v sin x    x  e           x   e  x   e        
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 35
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  cosx    cosx       Vậy: I  P x ( ) sin x   - sin x   P . x '( dx )  x e   x  e     2.2.2.2. Dạng 2 u  ln x  1  du  dx I  P x ( ).ln xdx  . Đặt    x  dv  P x ( dx ) v  P x ( d ) x  Q x ( )    1
Vậy I  lnx Q
. x   Q x ( ). dx  x 2.2.2.3. Dạng 3   x u e   x du e dx sin x      I    e    x dx . Đặt sin x    cos x  cosx         dv  dx . v       cos x    sin x              cos x     cos x    Vậy I = x I  e  - e dx sin x     x sin x          cos x   
Bằng phương pháp tương tự ta tính được    x
e dx sau đó thay vào I sin x     3. TÍCH PHÂN
3.1. Công thức tính tích phân b b f x ( d ) x  F x ( )  F b ( )   F a ( ) . a a b b
* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  f x ( dx ) hay  f t( d ) t. Tích a a
phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
3.2. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f x và g x liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a 1. f x ( dx )   0 a b a 2. f x ( dx )     f x ( dx ) . a b b c b 3. f x ( dx )  f x ( dx )     f x ( d ) x a a c b b b 4. f x ( )  g x (  ) dx  f x ( dx )   g x ( d ) x     . a a a
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 36
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 b b 5. kf x ( dx )   k . f x ( d ) x . a a b 6. Nếu f(x)  0, x   a  ;b  f x ( d ) x 0 x a;b   thì :         a b b 7. Nếu x   a  ;b : f x ( )  g x ( )  f x ( d ) x  g x ( dx )     . a a b
8. Nếu x  a;b  M f x ( ) N M b a f x ( d ) x N b a   Nếu   thì         . a
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp đổi biến
4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 4.1.1.1. Định lí
Nếu 1) Hàm x  u t
( ) có đạo hàm liên tục trên   ;     2) Hàm hợp f u ( t
( )) được xác định trên   ;   ,   3) u 
( )  a, u( )  b b 
Khi đó: I  f x dx    f u t u' ( ) ( ( )) t ( d ) t . a 
4.1.1.2. Phương pháp chung
 Bước 1: Đặt x  u t 
 Bước 2: Tính vi phân hai vế : x  u t
( )  dx  u t '( d ) t x  b t   Đổi cận:  x  a t  
 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t b   
Vậy: I  f x ( d
) x  f u t (  ) u t '( d ) t    g t ( dt ) G t ( ) G( ) G( )          a  
4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2 4.1.2.1. Định lí
Nếu hàm số u  u x
( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b   sao cho b u b ( ) f x ( dx )  g u x ( )u ' x ( d ) x  g u ( du ) thì: I  f x ( d ) x    g u ( du ) . a u a ( )
4.1.2.2. Phương pháp chung
 Bước 1: Đặt u  u x  du  u' ( ) x ( dx ) x  b u  u b ( )
 Bước 2: Đổi cận :  x  a u  u a ( )
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 37
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b b u b ( )
Vậy: I  f x ( dx )  g u x (  ) u . ' x ( dx )    g u ( d ) u    a a u a ( )
4.2. Phương pháp tích phân từng phần 4.2.1. Định lí
Nếu ux và vx là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a;b   thì: b b b b b b
u x v' x dx  u x v x    v x u' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ( dx ) Hay udv  uv  vdu a  a  a a a a
4.2.2. Phương pháp chung
 Bước 1: Viết f xdx dưới dạng udv  uv d
' x bằng cách chọn một phần thích hợp
của f x làm ux và phần còn lại dv  v ' x ( d ) x
 Bước 2: Tính du  u 'dx và v  dv  v ' x ( d ) x b b
 Bước 3: Tính vu ' x ( d ) x và uv a a
* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
Đặt u theo thứ tự ưu b b b b x P x ( e ) dx P x ( )ln xdx P x ( )cos xdx x e cos xdx tiên:     a a a a
Lốc-đa-mũ-lượng u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v d ' x là
phần của f xdx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1. Dạng 1    dx 1 adx 1 I =   ln ax    b . (với a≠0) ax  b a ax  b a      dx 1 1 Chú ý: Nếu I =   1   a
( x  b) ad . x  a .( x    k k b) k  a ( x  b) a a(1  k)   5.1.2. Dạng 2  dx I  
0 (ax2  bx  c  0 với mọi x    ;   ) 2 a  
ax  bx  c   
Xét   b2  a 4 c . b   b  
 Nếu   0 thì x  ;x  1 a 2 2 a 2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 38
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1 1 1  1 1       thì : 2  
ax  bx  c a x (  x x )(  x ) a x
(  x ) x  x x  x 1 2 1 2  1 2  1   1 1  1 I    d  x  l
 n x  x  ln x  x   a x ( x )   x x x x     a x (  x 1 2 )   1 2  1 2  1 2   1 x  x1  ln  a x (  x ) x  x 1 2 2  1 1  b   Nếu   0 thì  x  2 2  
ax  bx  c a x (  x 0 ) 2 0  a    dx 1 dx 1 thì I =      2  2 
ax  bx  c a x (  x ) a x (  x )   0 0   dx dx
 Nếu   0 thì I    2 
ax  bx  c  2 2       b     a x        a  a2 2 4         b  1  Đặt x   tant  dx  1 tan 2 2   2 t dt a 2 a 4 2 a 5.1.3. Dạng 3  mx  n I   dx, 0 . 2 a  
ax  bx  c  mx  n (trong đó f x ( )  liên tục trên đoạn   ;   )
ax 2  bx  c  
 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx  n A ax 2 (  bx  c)' B A( a 2 x  b) B    
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c    mx  n A( a 2 x  b) B  Ta có I=  dx  dx  2  2  dx
ax  bx  c
ax  bx  c
ax2  bx  c     A( ax 2  b)  Tích phân  dx = A ax 2 ln  bx  c
ax2  bx  c    dx Tích phân  thuộc dạng 2.
ax2  bx  c  5.1.4. Dạng 4 b P x ( ) I  
dx với Px và Qx là đa thức của x . Q x ( ) a
 Nếu bậc của Px lớn hơn hoặc bằng bậc của Qx thì dùng phép chia đa thức.
 Nếu bậc của Px nhỏ hơn bậc của Qx thì có thể xét các trường hợp:
 Khi Qx chỉ có nghiệm đơn  , ,..., thì đặt 1 2 n
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 39
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 P x ( ) A A A  1  2  ...  n . Q x ( ) x   x   x   1 2 n
 Khi Qxcó nghiệm đơn và vô nghiệm
Q x  x   x2  px  q   p2 ( ) ,  q 4  0 thì đặt P x ( ) A Bx  C   . Q x ( ) x  
x2  px  q
 Khi Qxcó nghiệm bội
Q x  x   x   2 ( ) ( )(
) với    thì đặt P x ( ) A B C    . Q x ( ) x   x    2 x   
Q x  x   2 x   3 ( ) ( ) (
) với    thì đặt P x ( ) A B C D E      x (   2 ) x (   3 ) x (   2 ) x (  ) x (   3 ) x (   2 ) x  
5.2. Tích phân hàm vô tỉ b  R x ( , f x ( ) d ) x
Trong đó Rx, f x có dạng: a  a x       R  x,
 Đặt x  acos t 2 , t  0;  a    x  2    
 R x a2 x2 , 
 Đặt x  a sint hoặc x  a cost  ax b   ax  b  n R x,  Đặt n t   cx  d  cx  d   1
 R x, f x  
Với x2  x   '  k ax  b ax (
 b) x 2  x   1 Đặt t  x 2 
  x   , hoặc Đặt t  ax  b    
 R x a2 x2 , 
 Đặt x  a tant , t   ;  2 2    a  
 R x x2 a2 ,   Đặt x  , t  [0; ] \ cos x  2    n n n  R  1 2 i
x ; x ;...; x  Gọi k  BSCNNn ;n ;...;n . Đặt k x  t 1 2 i  5.2.1. Dạng 1  1 I   dx a  0 
ax 2  bx  c
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 40
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  b  2  x    u  b  2   a 2
Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x         du  dx  a 2 a2 4         K   a 2 Khi đó ta có :  Nếu   a 
 f x  a u2  k2   f x  a u2  k2 0, 0 ( ) ( ) . (1) 2 a  0  b  
 Nếu :   0  f x ( )  a x      b (2) a 2 f x ( )  a x     a. u   a 2  Nếu :   0 .
 Với a  0 : f x
( )  a x  x x  x   f x
( )  a. x  x x  x (3) 1 2 1 2 
 Với a  0 : f x
( )  a x  x x  x   f x
( )  a. x  x x  x (4) 1 2 1 2 
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :  Phương pháp :
* Trường hợp :   a 
 f x  a u2  k2   f x  a u2  k2 0, 0 ( ) ( ) . Khi đó đặt : 2
ax  bx  c  t  a x .  t2  c 2 x  ;dx   tdt  2
bx  c  t  2 ax  b  2 a b 2 a       
x    t  t ,x    t   t  t2 0 1   c t  a x .  t  a   b  2 a 2 a  0  b  
* Trường hợp :   0  f x ( )  a x      b a 2 f x ( )  a x     a. u   a 2  1  b   b  ln x  : x   0     1 1 1 a a 2     a 2 Khi đó : I  dx  dx     b a b 1  b   b   a x  x   ln x  : x     0 a 2 a 2  a 2  a   a 2   x x t 2   1
* Trường hợp :   0,a  0 . Đặt : ax  bx  c  a x  x
1  x  x2   
x  x2 t   x x t 2   1 
* Trường hợp :   0,a  0 . Đặt : ax  bx  c  a x  x 1 x  x 2
  x x 2 t  5.2.2. Dạng 2  mx  n I   dx a  0 
ax2  bx  c  Phương pháp :  Bước 1:
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 41
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Ad n .  2
ax  bx  c mx   B Phân tích f x ( )    1 2 ax  bx  2 c ax  bx  2 c
ax  bx  c  Bước 2:
Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số , A B  Bước 3: Giải hệ tìm , A B thay vào (1)  Bước 4 :   1 Tính I  A 2  2
ax  bx  c   B dx  (2) 2  
ax  bx  c  1 Trong đó  dx
a  0 đã biết cách tính ở trên 2 
ax  bx  c 5.2.3. Dạng 3  1 I   dx a  0 2
 mx  n  ax  bx  c  Phương pháp :  Bước 1: 1 1 Phân tích :  . (1) mx n 2  ax bx c n     m x  2 ax  bx    c  m   Bước 2:  1  n  1 y  t   dy     dx 1 n  x  t m x  t Đặt :    x    y m 2 1  1   1 
x   t  2
ax  bx  c  a  t  b  t      c   y  y   y   Bước 3:  ' dy
Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I   
. Tích phân này chúng ta đã 2  '
Ly  My  N biết cách tính . 5.2.4. Dạng 4     x
I  Rx;y   
dx  R x;   m dx   x       
( Trong đó : Rx; y là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và , , , là các hằng số đã biết )
 Phương pháp :  Bước 1: x   Đặt : t m  (1)  x  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 42
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 2:
Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x   t   Bước 3:
Tính vi phân hai vế : dx   ' t dt và đổi cận  Bước 4:    ' x   
Tính : R x;m dx  
 R  t;t 'tdt   x        '
5.3. Tích phân hàm lượng giác
5.3.1. Một số công thức lượng giác
5.3.1.1. Công thức cộng cos a
(  b)  cosa.cosb  sina.sinb sin a
(  b)  sina.cosb  sinb. o c sa tana  tanb tan a
(  b)  1  tana.tanb
5.3.1.2. Công thức nhân đôi 2 1  tan 2 2 2 2 a cos a
2  cos a – sin a  2 cos a – 1  1 – 2 sin a  2 1  tan a 2 tana 2 tana sin a
2  2 sina.cosa  ; tan a 2  2 1  tan a 1  2 tan a 3
cos 3  4 cos   3 cos ; 3
sin 3  3 sin  4 sin 
5.3.1.3. Công thức hạ bậc 1  cos 2 1  cos 2 1 cos 2 2 a 2 a 2 a sin a   ; cos a  ; tan a  2 2 1  cos a 2 3 sin sin 3 cos 3  3 cos 3    sin    ; 3 cos   4 4
5.3.1.4. Công thức tính theo t a t 2 1  t2 t 2 Với t  tan Thì sina  ; cosa  ; tana  2 2 1  t2 1  t 1  t2
5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos.cos   c  os(  )  c  os(    )   2 1 sin.sin   cos  (  )  c  os(    )   21 sin.cos   sin  (  )  sin  (    )   2
5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 43
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12       cos  cos   2 cos .cos 2 2      
cos  cos   2 sin .sin 2 2       sin  sin   2 sin .cos 2 2       sin  sin   2 cos .sin 2 2 sin  (  )
tan  tan   cos cos  sin(  )
tan  tan   cos cos
Công thức thường dùng: 3 cos 4 4 4   cos   sin   4 5 3 cos 4 6 6   cos   sin   8 Hệ quả:      
cos  sin  2 cos    2 sin       4 4          
cos  sin  2 cos     2 sin        4   4 
5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác b
 Nếu gặp I   f sin x.cosxdx ta đặt t  sin x . a b
 Nếu gặp dạng I   f cosx.sinxdx ta đặt t  cos x . a b dx
 Nếu gặp dạng I   f tan x
ta đặt t  tan x . 2 cos x a b dx
 Nếu gặp dạng I   f cotx
ta đặt t  cot x . 2 sin x a 5.3.2.1. Dạng 1
I = sinxn dx ; I cosxn dx 1  2  * Phương pháp
 Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
 Nếu n  3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
 Nếu 3n lẻ (n  2 p  )
1 thì thực hiện biến đổi: 2p p
I = sinxn dx = sinx2p+1 dx   x  xdx     2 sin sin
1 cos x  d cos x  1      k k p p C 0 C 1 2 cos x ...  1 k C  2 cos x  ...  1 p C  2 cos x            d cos x    p p p p   1  k p 1 1 0 1 3    2k 1  k   2p 1
  C cos x 
C cos x  ...  C cos x   ...  p
C cos x     c  p p p p  3 k 2  1 2p  1 
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 44
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 2p p
I = cosxn dx = cosx2p+1 dx   x  xdx    2 cos cos
1 sin x  d sin x  2      k k p p C 0 C 1 2 sin x ...  1 k C  2 sin x  ...   p 1 C  2 sin x           d sin x    p p p p   1  k p 1 1 0 1 3    2k 1  k   2p 1
 C sin x 
C sin x  ...  C sin x   ...  p
C sin x     c  p p 3 k 2  p 1 2p  p  1  5.3.2.2. Dạng 2  sinm cosn I x xdx  , m n  N   * Phương pháp
 Trường hợp 1: ,
m n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu m chẵn, n lẻ (n  2 p  ) 1 thì biến đổi: m 2p m p  m  2p+1 I = sinx cosx dx   x   x  xdx   x    2 sin cos cos sin
1 sin x  d sinx     m k k p p
sin x  C 0 C 1 2 sin x ...   k 1 C  2 sin x  ...   p 1 C  2 sin x          
d sin x     p p p p    1 3 2 1 2 1 sin sin sin sin c. Nếu 0 x m  1 x m k 
x  k m p 
x  p m  C  C  ...    k 1 C  ...    p 1 C   c  p m  p 1 m  p 3 k 2  1  p m 2p  1   m 
m lẻ m  2 p  
1 , n chẳn thì biến đổi: n 2p n p  2p+1  n I = sinx cosx dx   x   x  xdx    x    2 cos sin sin cos
1 cos x  d cos x     n k k p p
cos x  C 0 C 1 2 cos x ...  1 k C  2 cos x  ...   p 1 C  2 cos x           
d cos x     p p p p    1 3 2 1 2 1 cos cos cos cos 0 x n  1 x n k 
x  k n p 
x  p n   C  C  ...    k 1 C  ...  1 p C   c  p n  p 1 n  p 3 k 2  1  p n 2p  1   n 
d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.  Nếu ,
m n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx n 1 n 1 m  m n     2  2  m B x xdx x x xdx u   u2     2 sin cos sin cos cos 1 du (*)
m  1 n  1 m  k
Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số ; ; là số nguyên 2 2 2 5.3.2.3. Dạng 3
I = tan xn dx ; I = cot xn dx (n  N ). 1  2  2 dx 
1  tan x dx 
 d tan x   tan x    2  c cos x 2 dx 
1  cot x dx 
  d cot x    cot x    2  C sin x sin x d cos x   tan xdx  dx  
  ln cos x  C    cos x cos x cosx d sin x   cotxdx  dx 
 ln sin x  C    sin x sin x
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 45
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
6.1. Diện tích hình phẳng
6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x
( ) liên tục trên đoạn a;b   , trục b
hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S   f x ( ) dx a y
y  f (x)
y  f (x) b  y  0 S  f x ( ) dx (H )   x  a  a O a c c c x 1 2 3 b  x  b 
6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x ( ), y  g x
( ) liên tục trên đoạn a;b   b
và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f x ( )   g x ( ) dx a y
(C ) : y  f ( x ) 1 1 (C ) 1 
(C ) : y  f ( x ) 2 2 (H )  x   a (C ) 2  x   b b S  f (x )  a c O c 1 b x  f (x ) dx 1 2 2 a b b
- Nếu trên đoạn [a;b ] , hàm số f x
( ) không đổi dấu thì: f x ( ) dx    f x ( dx ) a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g y ( ) , d x  h y
( ) và hai đường thẳng y  c , y  d được xác định: S  g y ( )   h y ( ) dy c
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
6.2.1. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S x
( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , a
(  x  b) . Giả sử S x
( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 46
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 (V ) b x V  a  S x ( d ) x O b x a S(x)
6.2.2. Thể tích khối tròn xoay
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x
( ), trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y
y  f ( x )
 (C ) : y  f ( x ) 
 (O x ) : y  0 b  V   f x d x x  2 ( ) a O b x x    a a  x   b
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g y
( ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d (
 C) : x  g(y)  (
 Oy) : x  0 d  V   g y dy y  2 ( )  y   c c y  d c  O x
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  f x ( ), y  g x
( ) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b
V   f 2 x  g2 ( ) x ( ) dx  a
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 47
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV. SỐ PHỨC 1. SỐ PHỨC
1.1. Khái niệm số phức
 Số phức (dạng đại số) : z  a  bi; a,b   . Trong đó : a là phần thực, b là phần
ảo, i là đơn vị ảo, i2  1.
 Tập hợp số phức kí hiệu:  .
 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 b  0 .
 z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo)  phần thực bằng 0 a  0 .
 Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
1.2. Hai số phức bằng nhau
 Hai số phức z  a  bi a, b   và z  c  di c, d   bằng nhau khi phần thực 2  1 
và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau. a   c 
 Khi đó ta viết z  z  a  bi  c  di  1 2 b   d   y
1.3. Biểu diễn hình học số phức M (a;b)
Số phức z  a  bi a, b   được biểu diễn bởi điểm M a;b 
hay bởi u  a;b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy . O x
1.4. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z  a  bi a, b   là z  a  bi .  z  z  z  z ;
z  z '  z  z ' ; z z . '  z z 1 1 . ';    ; z z
.  a2  b2.  z  z  2  2
 z là số thực  z  z ; z là số ảo z  z  .
1.5. Môđun của số phức  
Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z  OM  hay z a bi OM a2 b2      . Một số tính chất:   z a2 b2   
zz  OM ; z  z
 z  0, z  ;
 z  0  z  0 . z z z z z  z z .  z . z ; 1 1  ; 1 1 2  . 1 2 1 2 z z z 2 2 2 2 z2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 48
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  z  z  z  z  z  z . 1 2 1 2 1 2
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC
2.1. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức z  a  bi a, b   và z  c  di c, d   . Khi đó: 2  1 
z  z  a  c  b  d i 1 2
 Số đối của số phức z  a  bi là z  a   bi .
 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số
thực đó: z  a  bi, z  z  a 2 .
2.2. Phép nhân số phức
 Cho hai số phức z  a  bi a, b   và z  c  di c, d   . 2  1 
Khi đó: z z  a  bi c  di  ac – bd   ad  bci . 1 2
 Với mọi số thực k và mọi số phức z  a  bi a, b   , ta có k z
.  k.a  bi  ka  kbi. Đặc biệt: z
0.  0 với mọi số phức z .
 Lũy thừa của i 0 1 2 3 2
: i  1, i  i, i  1, i  i i.  i  4n 4n 1 4n 2 4n i i i i i 3 1, , 1, i, n           .
2.3. Chia hai số phức 1
Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z 1   z . 2 z z ' '. '. 1 z z z z
Phép chia hai số phức z ' và z  0 là z ' z     . z 2 z z z .
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:
 ax  by  c  0  tập hợp điểm là đường thẳng
 x  0  tập hợp điểm là trục tung Oy
 y  0  tập hợp điểm là trục hoành Ox 2 2  x a  y b R2    
 tập hợp điểm là hình tròn tâm I a;b , bán kính R  2 2
x  a   y  b  R2  
 tập hợp điểm là đường tròn có tâm I a;b , bán kính x2   y2  a 2 x  b 2 y  c  0  R a2 b2    c
 x  0  tập hơp điểm là miền bên phải trục tung
 y  0  tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành
 x  0  tập hợp điểm là miền bên trái trục tung
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 49
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 y  0  tập hợp điểm là phía trên trục hoành  y ax2 
 bx  c  tập hợp điểm là đường Parabol x 2 y2  
 1  tập hợp điểm là đường Elip a2 b2 x 2 y2  
 1  tập hợp điểm là đường Hyperbol a2 b2
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
4.1. Căn bậc hai của số thực âm
 Cho số z , nếu có số phức z sao cho z 2  z thì ta nói z là một căn bậc hai của z . 1 1 1
 Mọi số phức z  0 đều có hai căn bậc hai.
 Căn bậc hai của số thực z âm là i  z .
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i  a .
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a  ,b,c  ,
 a  0 . Xét biệt số   b2  a 4 c của phương trình. Ta thấy: b
 Khi   0 , phương trình có một nghiệm thực x   . a 2 b   
 Khi   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x  . 1,2 a 2 b  i 
 Khi   0 , phương trình có hai nghiệm phức x  . 1,2 a 2
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC  z r max z 2   z z  1 1
 Cho số phức z thỏa mãn z .z  z  r, r  0 . 1 2    z r min z 2    z z 1 1 
 Cho số phức z thỏa mãn z .z  z  r , r  0 . 1 2 1  1  z r z r max P 2   z 1  và min P 2   z 1  z 3 z z 3 z 1 1 1 1
 Cho số phức z thỏa mãn z z .  z  z z
.  z  k, k  0 . 1 2 1 2  2 2 k k  4 z max z 2  và min z  2 z 2 z 1 1
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 50

Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Giải tích 12 – Trần Hoàng Long

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Bộ đề tham khảo tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề minh họa chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hải Dương

Đề học sinh giỏi Toán 12 GDTX cấp tỉnh năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hải Dương

Chuyên đề toán thực tế thống kê môn Toán 11