Tổng hợp lý thuyết và một số mẹo khi làm bài thi môn Toán kinh tế | Học viện Ngân hàng

lOMoARcPSD|38179491
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT TOÁN KINH TẾ 1 VÀ MỘT SỐ MẸO KHI LÀM BÀI THI
Toán kinh tế (Học viện Ngân hàng) Scan to open on Studeersnel
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT TOÁN KINH TẾ 1
VÀ MỘT SỐ MẸO KHI LÀM BÀI THI
A. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH
1,Ứng dụng dãy số trong phân tích tài chính a)Lãi đơn:
Gửi A đồng vào ngân hàng trong n kỳ với lãi suất mỗi kì là r. Sau
mỗi kỳ lãi được rút ra chỉ để lại gốc cho kỳ sau, ta gọi là lãi đơn. A.(1+ n.r)
b)Lãi gộp( lãi kép):
Gửi A đồng vào ngân hàng trong n kỳ với lãi suất mỗi kỳ là r. Sau
mỗi kì lãi được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ sau, ta gọi là lãi gộp( lãi kép) A.(1+r)n
c)Giá trị hiện tại ròng:
giá trị hiện tại ròng của một dự án là hiệu của giá trị hiện tại của
khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí dự án:
NPV= B.(1+r)−t – C
Trong đó: C là khoản chi phí hiện tại cho dự án
B là khoản do dự án đem lại sau t năm r là lãi suất/năm
d)Lãi gộp liên tục:
+)Nếu lãi suất một năm là r và mỗi năm chia ra thành n kì thì lãi
của mỗi kì là rn.
+)Nếu vốn đầu tư ban đầu là VO thì giá trị nhận được sau t năm
( theo cách tính lãi gộp) là: nt
V(n,t)= VO.(1+ r ) n
+)Nếu lãi được tính gộp liên tục, nghĩa là thời gian của kì tính lãi là
rất nhỏ, không xác định được, do đó số kì tính lãi n tăng lên vô hạn: V(t)= V o.ert 1
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
e)Kỳ khoản và các luồng vốn:
Kỳ khoản: là các khoản tiền tích góp đều đặn theo định kỳ. n
Công thức: PV= A.∑ ( 1 )
k =1 (1+ r )k
✍ Lãi suất:
✅Đa phần sẽ không hỏi đến lãi đơn mà tập trung vào lãi kép( lãi gộp)
✅✅Nếu đề bài chỉ ghi là lãi gộp thì mình chỉ cần đọc kĩ đề và áp
dụng công thức( chú ý đề bài có chia kì không để làm chuẩn xác)
✅✅✅Nếu đề bài ghi là lãi gộp liên tục thì mình dùng công thức có e nhé
🧐🧐🧐Chú ý nhỏ của phần này: Trong giáo trình phần lãi gộp
liên tục còn một công thức nữa nhưng thực chất là công thức của
lãi gộp( người ta chỉ khai triển ra để các bạn áp dụng hết các số
liệu một cách máy móc thôi, nếu các bạn làm phần bài tập có chia
kì thì các bạn sẽ thấy rõ).
✍✍Phân biệt NPV và PV:
✅Nhiều bạn nhầm lẫn khi dùng 2 công thức này nhưng chú ý
những gì chị viết sau đây thì sẽ trở lên dễ dàng:
👉Nếu đề bài có chữ đều đặn và kèm theo đó có 2 số tiền nhưng
trọng tâm là 2 chữ " đều đặn" nhé
👉👉PV thì mình sẽ so sánh vớ số tiền đầu tư ( các bạn chú
ý khi nhập công thức PV vào máy tính nhé, mũ ở dưới mẫu
là X nha vì mình đang dùng tổng xích ma)
👉👉👉NPV thì mình sẽ so sánh với 0
✍✍✍Tối đa hóa lợi nhuận:
✅Khi giải mình nên ghi rõ điều kiện cần và điều kiện đủ ra
nhé (phần này chắc easy với các bạn rồi)
✅✅Theo chị thì các bạn nên sử dụng công thức chị thường làm,
có nhiều thầy cô dạy các bạn dùng công thức ở điều kiện cần là
MR=MC... okie là đúng nhưng đôi khi nó sẽ ra số lẻ và điều đó
được kiểm chứng ở đi thi kì trước rồi nên các bạn cứ áp dụng
công thức pi đạo hàm bằng 0 nhé
✅✅✅Đề sẽ có câu hỏi đề cập đến đánh thuế
👉Nếu chính phủ đánh thuế t trên 1 sản phẩm thì mình sẽ lập
lại hàm chi phí mới nhé: TC mới = TC cũ + t.Q
👉Nếu chính phủ đánh thuế T trên toàn bộ sản phẩm thì TC mới =TC cũ +T
( phần này khi các bạn tìm Q để tối đa hóa lợi nhuận thì Q vẫn ra
như cũ chỉ là lợi nhuận của mình giảm đi một lượng bằng đúng T). 2
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
2. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:
- Nhiều bài toán trong kinh tế thường được đưa về dạng tìm cực trị của hàm y = f(x)
- Giả sử P là giá, hàm sản lượng Q = f(P), hàm doanh thu: TR =P.Q,
hàm chi phí : TC = C(Q), hàm lợi nhuận π=TR−TC
- Các bài toán thường gặp :
+ Tìm P để sản lượng Q đạt max
+ Tìm P hoặc Q để doanh thu tối đa
+ Tìm P hoặc Q để LN đạt max
+ Tìm Q để chi phí đạt min
- Cách làm :Để đạt max hay đạt min thì phải xem xét đến 2 điều
kiện : điều kiện cần và điều kiện đủ.
Đối với bài toán max : điều kiện cần là : đạo hàm của hàm cần xét
phải =0,đk đủ : đạo hàm bậc 2 < 0
B. CHƯƠNG II: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
Hàm số y =f(x) cho ta thấy được sự biến đổi của đại lượng y phụ
thuộc vào sự thay đổi của đại lượng x
-> Nếu hàm y phụ thuộc vào 1 biến x thì dc gọi là hàm số 1 biến,
nếu hàm y phụ thuộc vào từ 2 biến trở lên thì dc gọi là hàm số nhiều biến.
* Một số hàm hai biến trong kinh tế
1, Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
2, Hàm chi phí : TC = TC (K,L)
3, Hàm doanh thu TR =P. Q = P. f( K,L)
4, Hàm lợi nhuận : pi = TR – TC = P.f(K,L) – TC (K,L)
5, Hàm lợi ích : Biểu diễn mức độ ưa thích của NTD đối với mỗi tổ hợp hàng hóa U = U (Q1, Q2…) 6, Hàm cung cầu :
- Cung : QS=Si( p1 , p2)
- Cầu : QD=Di( p1, p2)
1. Hàm số nhiều biến tự do
- Hàm số không có điều kiện ràng buộc bởi các biến( Dùng cực trị không điều kiện)
2. Hàm 2 biến có điều kiện.( Dùng cực trị có điều kiện)
Tìm x,y để f(x;y) → Min ( Max) với điều kiện g(x;y) = b
B1: Lập hàm Lagrange: La = f(x;y) + λ.( b – g(x;y) )
B2: Giải hệ (Điều kiện cần) 3
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH {La'(x)=0
La'( y)=0  M (x0; y0; λ0) là điểm dừng duy nhất L a' ( λ)=0
B3: Xét định thức H tại M: ( Điều kiện đủ)
H = | 0 g'(x) g'(y)
g'(x) L a''(x2) La''(xy)|
g'( y) La''( yx) L a''( y2)
+ H > 0 thì tại x0 y0, f(x;y) max
+ H < 0 thì tại x0 y0, f(x;y) min
* Gọi f*(x;y) là f(x;y) min hoặc max, có: ∂f ¿(x; y)=λ ∂ b 0
C. CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH TRONG KINH TẾ VÀ
MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN CƠ BẢN.
I. Các kiến thức cần nhớ:
1. Sự thay đổi tuyệt đối (Đơn vị- Đạo hàm) * Cho Y= F(X1, X2)
+ tại X1= a, khi X1 thay đổi 1 đơn vị, các biến khác không đổi ∂ F
thìy thay đổi ∂ X ( X1 = a) đơn vị { ¿0:Fvà X1thayđổicùngchiều 1
¿0:F v à X 1thay đổ ingượ c chiề u
+ Khi các biến Xi đều thay đổi thì sự thay đổi của Y là: ∂ F ∂ F
∆Y = ∂ X . ∆X1 + .∆X2 + . . . 1 ∂ X2
* Phân tích tác động của a tới b thì: + Tính ∂b ∂ a + Xét dấu ∂b ∂ a và kết luận
* Hàm ẩn( dùng trong mô hình cân bằng thị trường)
Nếu Y, Xi biểu diễn dưới dạng F (Y,Xi) = 0
Ta có: ∂Y =−∂ F/∂ Xi ∂ Xi ∂ F /∂ Y 4
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
2. Đo lường sự thay đổi tương đối ( Phần trăm- Hệ số co giãn)
a) Hệ số co giãn.
+ Hệ số co giãn riêng: εYXi= ∂Y . Xi ∂ Xi Y (%) n
+ Hệ số co giãn toàn phần: εY=¿ ∑ εYXi i=1 *Với hàm Y=A.X a b 1 X2 thì: + εYX =a 1 + εYX =b 2
b) Hệ số tăng trưởng.
+ Với X=X(t), ta có hệ số tăng trưởng X là:
rX = dX/dt = X't hay r X =¿ r X X Y X + rY
+ Với Y =F(X1(t); X2(t); ...) có: n r Y Y = ∑ εXi. rXi i=1
c) Hệ số thay thế, bổ sung. ∆ X MRS (i; j) = dXi i =¿
dXj =∆ X
-∂F/∂ Xj j
∂ F /∂ Xi = k
MRS là hệ só thay thế(bổ sung) cận biên của Xi và Xj
 Nếu MRS(i,j) <0 thì ta nói Xi thay thế cho Xj vơi tỉ lệ
|MRS(i, j)| và gọi là hệ số thay thế cận biên của Xi cho Xj
Ý nghĩa: MRS(i,j) cho biết khi tăng(giảm) Xj một đơn vị thì
phải tăng(giảm) Xi đi|MRS(i , j)| đơn vị để giữ nguyên mức Y
 Nếu MRS(i,j) >0 thì ta nói Xi thay thế cho Xj vơi tỉ lệ
MRS(i,j) và gọi là hệ số thay thế cận biên của Xi cho Xj
Ý nghĩa: MRS(i,j) cho biết khi tăng(giảm) Xj một đơn vị thì
phải tăng(giảm) Xi đi MRS(i,j) đơn vị để giữ nguyên mức Y
d) Tăng quy mô, hiệu quả.
Cho hàm sản xuất thuần nhất: Y= F(X1, X2,...) Với t>1, nếu:
+ F( t.X1, tX2,...) > t.F(X1, X2,...)  Quy mô tăng, hiệu quả tăng. 5
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
+ F( t.X1, tX2,...) < t.F(X1, X2,...)  Quy mô tăng, hiệu quả giảm.
+ F( t.X1, tX2,...) = t.F(X1, X2,...)  Quy mô tăng, hiệu quả không đổi.
* LƯU Ý: đề nhắc đến % thì mình tính hệ số co giãn, đề nhắc
đến đơn vị hay phân tích ảnh hưởng ( không đề cập đến %) thì tính đạo hàm.
- Một số mô hình kinh tế phổ biến :
+ Mô hình 1: tối đa hóa lợi nhuận 1 thị trường, 1 hàng hóa
+ Mô hình 2: tối đa hóa lợi nhuận nhiều thị trường
+ Mô hình 3: tối đa hóa sản lượng và tối đa hóa lợi ích
+ Mô hình 4: tối thiểu hóa chi phí
+Mô hình 5: cân bằng một thị trường
+ Mô hình 6: cân bằng vĩ mô
=> Dấu hiệu và cách làm từng mô hình
Mô hình 1: Tối đa hóa lợi nhuận 1 thị trường, 1 hàng hóa
+)Dấu hiệu: Đề cho p theo Q hoặc ngược lại, TC => Yêu cầu tìm p
hoặc Q để tối đa hóa lợi nhuận,
+)Cách giải: Điều kiện cần: giải π’=0
Điều kiện đủ: π’’(Q2) <0
* Chú ý: - Đạo hàm của Q theo FC bằng 0
Đạo hàm của π theo FC bằng -1
Mô hình 2: Tối đa hóa lợi nhuận nhiều thị trường
+)Dấu hiệu: Đề cho p1,p2 theo Q1,Q2 hoặc ngược lại và yêu cầu
tìm (p1,p2) hoặc (Q1,Q2) để tối đa hóa lợi nhuận.
 Đề cho MC1,MC2 theo Q1,Q2
 Cứ xuất hiện 2 p hoặc 2 Q
+)Cách giải: Dùng cực trị không điều kiện * Chú ý:
 Trong trường hợp 2 giá + 1 thị trường: TR=(p1+p2).Q
 Trường hợp 1 giá + 2 sản phẩm( 2 thị trường): TR= p.(Q1 + Q2)
 Đôi khi 2 thị trường nhưng chỉ viết 1 Q thì phải hiểu đó là Q1,Q2 6
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
 Trong nhiều trường hợp : Q1,Q2 là hàm của giá p1,p2 thì sẽ
có khái niệm hệ số co giãn
Mô hình 3: Tối đa hóa sản lượng
+)Dấu hiệu nhận biết:
 Đề cho hàm sản xuất Q= F(K,L), giá WL, WK, M
 Yêu cầu tìm (K,L) để Q max
+)Cách giải: Dùng cực trị có điều kiện ( hàm Lagrange)
Mô hình 4: Tối thiểu hóa chi phí
+)Dấu hiệu nhận biết:
 Đề cho hàm sản xuất Q= F(K,L), giá WL,WK,M
 Yêu cầu tìm TCmin với điều kiện F(K,L)=M
+)Cách giải: Dùng cực trị có điều kiện( hàm Lagrange)
Mô hình 5: Mô hình cân bằng thị trường +)Dấu hiệu nhận biết:
 Đề cho hàm cung, hàm cầu
 Yêu cầu phân tích tác động của M đến p* hoặc Q* −F'
 CHÚ Ý CÔNG THỨC: p' M M= F'P
HOẶC đề hỏi về mối quan hệ giữa hai hàng hóa( bổ sung hay thay thế)
+) Cách giải: Sẽ dùng công thức đạo hàm của cầu hàng hóa A theo giá hàng hóa B.
Nếu đạo hàm dương => tức là giá hàng hóa B tăng làm cho
cầu hàng hóa A tăng=> hai hàng hóa thay thế
Nếu đạo hàm âm=>hai hàng hóa bổ sung
Mô hình 6: Mô hình cân bằng vĩ mô +)Dấu hiệu nhận biết:
 Đề sẽ cho một mô hình gồm Y,C,I,T
 Đề hỏi tính Y*,t, phân tích tác động của cái này đến cái kia
 CÔNG THỨC CHÚ Ý: cân đối ngân sách: T*= G* hay t.Y*= G* 7
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
D.CHƯƠNG IV : BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I – Lý thuyết
1. Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng tổng quát và dạng đặc biệt
a, Dạng tổng quát: n
f(x) =∑ ci xj→ min (max) i=1 n aixj=bi(1)
{∑j=1n∑aijxj≥bi(2) j=1
b, Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc n
f(x) =∑ ci xj→ min (max) i=1 ¿
Nhận xét : BT qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc chính là
BTQHTT tổng quát trong đó :
+ Các ràng buộc chính là các phương trình
+ Các ẩn đều không âm
Ví dụ : f(x) = 2x1 -4x2 + x3 -5x4 → min
{ 2x1+x2+x4=2
x1+5 x2+3x3−2x4=10
3 x1−x2−x3=6
xj ≥ 0, j= 1,2,3,4
c, Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc 8
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH n
(1)f (x)=∑ c j xj→min(max) j=1 (2){x1
+a1(m+1)xm+1+⋯a1nxn=b1 x2
+a2(m+1)xm+1+⋯a2nxn=b2 ⋱
........................................
xm +am(m+1) xm+1+⋯amnxn=bm
(3) xj≥0 ( j=1,n);bi≥0(i=1,m) x1 x2 xm xm+1 xn
A=[1 0 ...... 0 a1(m+1) ... a1n
0 1 ...... 0 a2(m+1) ... a2n ] … … …… … … … … 0 0 ...... 1 a m(m+1) ... amn
Nhận xét : Bài toán QHTT dạng chuẩn là bài toán QHTT dạng chính tắc trong đó :
+ Các hệ số tự do đều không âm
+ Ma trận hệ số ràng buộc A chứa một ma trận đơn vị cấp m Định nghĩa :
1) ẩn cơ bản: Các ẩn ứng với véc tơ cột đơn vị trong ma trận A gọi
là ẩn cơ bản, trên ma trận A ta có x1;x2;…; xm là các ẩn cơ bản.
- ẩn cơ bản ứng với véc tơ cột đơn vị thứ i gọi là ẩn cơ bản thứ i.
Các ẩn còn lại là không cơ bản.
2) Phương án cơ bản: 1 phương án mà các ẩn không cơ bản đều
bằng 0 gọi là phương án cơ bản.
- Một phương án cơ bản có đủ m thành phần dương được gọi là
không suy biến, ngược lại một phương án cơ bản có ít hơn m thành
phần dương được gọi là suy biến.
1.1 Biến đổi dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính
a, Đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc: n ∑aijxj≤bi
1) Nếu gặp ràng buộc dạng: j=1
ta cộng thêm vào vế trái 1
ẩn phụ không âm xi+1≥0 để biến về dạng phương trình: n
∑ aijxj+xn+1=bi j=1 9
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH n ∑aijxj≥bi
2) Nếu gặp ràng buộc dạng: j=1
ta cộng thêm vào vế trái 1
ẩn phụ không âm xi+1≥0 , với hệ số -1 để biến về dạng phương trình: n
∑ aijxj−xn+1=bi j=1
Chú ý: Các ẩn phụ chỉ là những số giúp ta biến bất phương trình
thành phương trình, chứ không đóng vai trò gì về kinh tế, nên nó
không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu. Vì vậy hệ số của nó trong hàm mục bằng 0.
3) Nếu gặp ẩn xj≤0ta thay xj=−t j ,t j≥0 4) Nếu gặp ẩn x ' ' ' ' ' ' j tu ̀9 y
y' ta thay x j=x j−x j , x j , x j ≥0 Ví dụ :
Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:
(1) f ( x )=2 x1−x2+2 x3+x4−2 x5→min
(2) {x1−2x2+x3+2x4+x5≤7
x2+2 x3+x4≥−1 ⇔ 2 x
{x1−2x2+x3+2x4+x5≤7(a)
−x2−2 x3−x4≤1 (b)
3 + x4 +3 x5≥10
2 x3+ x4+3 x5≥10 (c)
x1+x2−2 x3+ x4=20
x1+x2−2 x3+x4=20( d )
(3) x1; x5≥0; x4≤0; x2; x3tù9 y y' GIẢI
 Cộng vào (a) ẩn phụ x6≥0 .
 Cộng vào (b) ẩn phụ x7≥0 .
 Cộng vào (c) ẩn phụ x8≥0 .với hệ số -1
 Thay x4=−t4; t4≥0  Thay x ' ' ' ' ' '
2= x2− x 2 ; x2≥0 x2 ≥0  Thay x ' ' ' ' ' '
3= x 3− x 3 ; x3≥0 x3 ≥0
Bài toán đưa về dạng chính tắc như sau: (1)
f ( x) = 2x1 – (x'2 - x} rsub {2 ¿) + 2¿- x} rsub {3 ¿) - t4 + 2x5 + 0.
x6 + 0.x7 +0. x8 →min ¿ 10
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH Chú ý:
Nếu (x°1, x' °2 ,x °} rsub {2} , {x '°} rsub {3} , {x °3,t °4,x°5 , x°6, x°7 ,x °8 là
phương án tối ưu của bài toán mới thì (x°1, x°2,x °3 , x°4 , x°5 ¿v ớ i x °2=¿-
x° } rsub {3 ¿), x°4=−t4 là phương án tối ưu của bài toán gốc.
b, Đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn:
Giả sử bài toán đã có dạng chính tắc : n
f(x) =∑ ci xj→ min (max) i=1 n
{∑aijxj=bi(i=1,m)
j=1 xj≥0( j=1,n)
Không làm mất tính tổng quát, giả thiết bi≥0 Bài toán phụ : n
P(x) =∑ xg1→min i=1
{n∑a gij+xi=bi g g g j=1
kí hiệu :xg =(x1, x2 ,…,xm¿. x là phương án của bài toán x g
j ≥ 0 , xi ≥ 0
gốc khi và chỉ khi (x,xg¿ là phướng án của bài toán phụ. Ví dụ:
(1) f ( x)=2x1+x2+ x3−x4→max
(2){x1+5x2+5x4=25
−4 x2−x3+6 x4=18 3 x2+8 x4=28
(3) xj≥0; j=1,4 A=[1 5 0 5 0 −4 −1 6 ] 0 3 0 8
Ta thấy còn thiếu vector cột đơn vị thứ 2 và thứ 3 nên phải thêm
ẩn giả vào phương trình thứ 2 và thứ 3. Bài toán đưa về dạng chuẩn.
Xét bài toán phụ : P(x) = xg g 1 + x2 → min
{ x1+5x2+5x4=25 −4 x g
2− x3+6 x4+ x1=18 3x g 2+8 x4+ x2=28 11
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
→B ài ¿ánđã đượ c đư av ềd ạng chuẩnt ắc.
1.2. Phương pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn
a, Thuật toán giải bài toán min:
Bảng đơn hình thứ nhất :
1, Lập bảng đơn hình xuất phát
Vẽ bảng đơn hình và ghi vào đó các thành phần của bài toán dạng chuẩn
+ Dòng 1. Ghi các ẩn của bài toán kể cả ẩn phụ
+ Dòng 2 . Ghi các hệ số của các ẩn trong hàm mục tiêu
+ Cột 2 . Ghi các ẩn cơ bản của bài toán theo thứ tự từ ẩn cơ
bản thứ nhất đến ẩn cơ bản cuối cùng, ta gọi cột này là cột ẩn cơ bản.
+ Cột 1 . Ghi các hệ số của các ẩn cơ bản trong hàm mục tiêu,
ta gọi cột này là cột hệ số cơ bản.
+ Cột 3. Ghi các số hạng tự do của hệ ràng buộc chính theo
thứ tự từ trên xuống dưới, ta gọi cột này là cột phương án.
+ Cột 4. Ghi ma trận điều kiện A của bài toán .
Tính hệ số ước lượng ∆j của các ẩn xj( j =1,2,…,n) và ghi tương ứng
vào dòng dưới cột 4, với ∆j tính theo công thức sau : ∆j = (cot1)x
Aj - hsxj (hsxj : hệ số ẩn xj trong hàm mục tiêu )
Chú ý : nếu xj là hàm cơ bản thì ∆j=0
Tính trị số f ° = cot1 x cot3 và ghi dưới cột 3
2, Xác định phương án cơ bản xuất phát
Với bảng đơn hình vừa lập được thì phương án cơ bản xuất phát x°
của bài toán được xác định như sau : Cho các ẩn ở cột 2 nhận giá
trị tương ứng ở cột 3, các ẩn còn lại nhận giá trị 0.Trị số của hàm
mục tiêu tại phương án cơ bản xuất phát x° là f(x°¿ =f0
3, Đánh giá tính tối ưu của phương án cơ bản xuất phát
+ Dấu hiệu tối ưu . Nếu hệ số ước lượn của các ẩn đều không
âm ,∆j ≤0 ,∀ j thì phương án cơ bản xuất phát x° là phương án tối ưu
của bài toán. Thuật toán kết thúc với kết luận bài toán có PATU là f(x°¿.
+ Dấu hiệu của bài toán không có PATU: nếu có ẩn không cơ bản
xkcó hệ số ước lượng âm và cột điều kiện Ak của ẩn đó có các
thành phần đều không dương, ∆k>0vàaik≤0 ,∀i thì bài toán không có
phương án tối ưu . Thuật toán kết thúc với kết luận : Bài toán không có PATU
Nếu không xảy ra cả hai trường hợp trên thì thuật toán tiếp tục 12
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH bảng đơn hình thứ hai. Bảng đơn hình hai 1, Tìm đưa ẩn vào
Trong tất cả các ∆ j>0ta chọn ∆v lớn nhất , khi đó xv là ẩn mà ta sẽ
đưa vào hệ số cơ bản . Cột Av được gọi là cột chủ yếu 2, Tìm ẩn đưa ra
Thực hiện phép chia lần lượt các số của cột phương án cho các số
dương cỉa cột chủ yếu và ghi các thương số γi đó vào cột cuois cùng
Xác định γr=min { γi } . khi đó xr là ẩn mà ta đưa ra khỏi hệ cơ bản.
Dòng chứa xr được gọi là dòng chủ yếu . Số dương nằm trên dòng
chủ yếu và cột chủ yếu gọi là hệ số chủ yếu
3, Lập bảng đơn hình thứ hai
+ Cột 2 : Thay ẩn đưa ra bằng ẩn đưa vào, các ẩn cơ bản còn
lại giữ nguyên. Dòng có ẩn đưa vào gọi là dòng chuẩn.
+ Cột 1 : Thay hệ số của ẩn đưa ra bằng hệ số của ẩn đưa
vào, các hệ sso của cá ẩn cơ bản còn lại giữ nguyên.
Các thành phần còn lại được xác định theo dòng như sau
+ Dòng chuẩn = Dòng chủ yếu chia cho hệ số chủ yếu
+ Dòng thứ i = Dòng thứ i cũ – aiv.dòng chuẩn ( aiv số nằm
trên giao của dòng thứ I và cột chủ yếu.)
Các hệ số ước lượng và trị số của hàm mục tiêu tong bảng thứ hai
được tính và ghi như bảng thứ nhất.
4, Xác định và đánh giá phương án cơ bản thứ hai ( như bước lập thứ nhất).
b, Bài toán max : có 2 cách :
+ cách 1 : chuyển từ f(x)→max thành –f(x) → min, các bước giải
tương tự .( NÊN LÀM CÁCH NÀY)
+ cách 2: Cách làm như min nhưng chú ý :
* Điều kiện tối ưu ∆j ≤0 ,∀ j
* Điều kiện không có PATU :∃ ∆k<0,aik ≤0, ∀
* Ẩn được đưa vào : ẩn tương ứng ∆k>0 bé nhất .
VD: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 –x4 → Min ¿ Giải: Hệ số Tích chéo Ta có bảng đơn hình 13
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH Phương 1 2 3 -1 Hệ số Cơ sở án x1 x2 x3 x4 Hệ số 1 x1 15 1 0 (3) 0 chuẩ 2 x2 20 0 1 3 0 -1 x4 10 0 0 1 1 f 45 0 0 [5] 0 3 x3 5 1/3 0 1 0 2 x2 5 -1 1 0 0 -1 x4 5 -1/3 0 0 1 f 20 -5/3 0 0 0
Do ∆1 = -5/3 < 0  bài toán có phương án tối ưu duy nhất x*= (0, 5, 5, 5) với fmin = 20 Bài tập ví dụ :
Bài 1 : cho bài toán quy hoạch tuyến tính :
f(x) =−2 x1 + x2 +2x3+2x4+x5 → min
{ x1−2x2+2x3−x4≤8
x1+2 x2+x3+x4+x5=10 2 x
1+ x2− x3≤ 15
xj ≥0,( j=1,5)
a, giải bài toán bằng phương pháp đơn hình.
b, Tìm phương án tối ưu có thành phần x2=15 GIẢI :
a, chuyển bài toán về dạng chính tắc :
f(x) =−2 x1 + x2 +2x3+2x4+x5 → min
{x1−2x2+2x3−x4+x6=8
x1+2x2+x3+x4+ x5=10 2 x
1+ x2− x3+ x7=15
xj ≥ 0,( j=1…7) Ta có bảng đơn hình : 14
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH phươ hệ số Cơ sở ng -2 1 2 2 1 0 0 án x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x6 8 1 -2 2 -1 0 1 0 1 x5 10 1 2 1 1 1 0 0 0 x7 15 (2) 1 -1 0 0 0 1 f(x) 10 [3] 1 -1 -1 0 0 0 0 x6 ½ 0 -5/2 (5/2) -1 0 1 1 x5 5/2 0 3/2 3/2 1 1 0 -2 x1 15/2 1 1/2 -1/2 0 0 0 f(x) -25/2 0 -1/2 [½] -1 0 0 2 x3 1/5 0 -1 1 -2/5 0 1 x5 11/5 0 3 0 8/5 1 -2 x1 38/5 1 0 0 1/5 0 f(x) -63/5 0 0 0 -8/5 0
¿>¿ Bài toán có phương án tối ưu là x¿ = (38 ,0, 1 ,0, 11 ¿ 5 5 5 với f(x) min = −63 5 .
b,Vì ∆2 =0 , mà A2 không nằm trong cơ sở, theo phương z2 ta có tập phương án tối ưu :
x(θ) =x¿+θ. z2 = (38 ,0, 1 ,0, 11 ¿+θ.(0,1,1,0,−3) 5 5 5 với 0≤ θ≤ 11 15.
= ( 38 ,θ , 1 +θ,0, 11−3.θ ¿ 5 5 5 với 0≤θ≤ 11 15.
Phương án có thành phần x2= 1 →θ= 1 5 5. 15
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
Vậy phương án có thành phần x2=15 là
x¿=( 38 , 1 , 2 ,0, 8 ) 5 5 5
5 Bài 2 : ( Đề thi ngày 30/05/2016)
cho bài toán qui hoạch tuyến tính :
f ( x)=3 x1+x2−15 x3−14 x4+3 x5−x6→min
{ 3x1−x3+x4+2x5−3x6=42
−2x1+x2+2x3−x4−x5+2x6=16
x1−3 x3−2 x4+x5=18
xj≥0(∀ j=1…6)
a,Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình.
b, Tìm một phương án có f(x) =70. GIẢI :
Xét bài toán phụ : P = xg g 1+ x2 → min g=42 −2x
{3x1−x3+x4+2x5−3x6+x1
1+ x2+ 2 x3− x4− x5+ 2 x6=16 x g
1−3 x3− 2 x4+ x5+ x2=18 x g
j ≥ 0 ( ∀ j=1 … 6) , x1,2 ≥ 0 Ta có bảng đơn hình : Hệ Cơ Phươ số sở ng 3 1 -15 -14 3 -1 1 1 án x g g 1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 1 xg1 42 (3) 0 -1 1 2 -3 1 0 0 x2 16 -2 1 2 -1 -1 2 0 0 1 xg2 18 1 0 -3 -2 1 0 0 1 P 60 [4] 0 -4 -1 3 -3 0 0 0 x1 14 1 0 -1/3 1/3 2/3 -1 0 0 x2 44 0 1 4/3 -1/3 1/3 0 0 1 xg2 4 0 0 -8/3 -7/3 1/3 (1) 1 P 4 0 0 -8/3 -7/3 1/3 [1] 0 3 x1 18 1 0 -3 -2 1 0 1 x2 44 0 1 4/3 -1/3 1/3 0 -1 x6 4 0 0 -8/3 -7/3 1/3 1 16
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH f (x) 0 0 10 10 0 0
Ta có :∆4>0m à xj4<0 ∀ j ∈ J0={ 1,2,6} =>z4 giảm vô hạn , bài toán không giải được .
b, Theo phương z4 ta có tập PATU : x (θ)=x¿+θ. z4v ớ iθ ≥0
suy ra : x (θ)=(18,44 ,0,0,0,4)+θ.¿,0,1,0,73) với θ≥0
= ( 18+2θ, 44+1 θ ¿.
3 ,0,θ ,0, 4+ θ . 73
theo đề ta có f ( x)=70, suy ra:70=3.( 18+2θ) + 34 +1 θ 3 – 14.0 + 3.θ - θ . 73
↔θ= 75 ( thỏa mãn)
vậy phương án cần tìm : x (θ)=(104 , 667,0,7 ,0,109 5 15 5 15 ).
3. Các dạng bài toán phụ.
Dạng 1: Tìm tập phương án tối ưu của bài toán
Dạng 2:Tìm PA có thành phần xk = a
Dạng 3:Tìm PA ( PATU) để f(x) = a; f(x) ≥ a; f(x) ≤ a * 2 công thức cần nhớ:
+ x(θ¿ = x* + θ.zk
+ f(x(θ¿) = f(x*) –θ.∆ k * Cách xác định zk Zk = { 1nế u j=k
0nế u jkh ôngthuộc Jn∩(k) – xjk nế u j∈ Jn
 Xác định điều kiện θ:
+ θ≥ 0 nếu xjk ≤0với mọi j ∈ Jn + 0≤θ ≤Min( PA )
xjk>0t ươ ngứ ng 4. Bài toán đối ngẫu Định nghĩa :
Cho (P) là bài toán QHTT có dạng chính tắc như sau :
f ( x)=c1 x1+c2x2+…+cnxn→max (min)
a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=b1 17
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2…………
an1 x1+an2 x2+…+ann xn=bn
xj ≥0,∀ j=1,ntừ bài toán (P) ta lập được bài toán QHTT (D) và ta gọi
bài toán (D) là bài toán đối ngẫu của bài toán (P)
f ( y)=b1 y1+b2 y2+…+bn yn→min(max)a11 y1+a21 y2+…+a1n yn≥(≤) c1
a12 y1+a22 y2+…+a2n yn≥(≤)c2…………
a1n y1+a2n y2+…+ann yn≥ (≤)cn
Chú ý : Bài toán (D) được lập từ bài toán (P) theo nguyên tắc sau :
1.Số ẩn của bài toán (D) bằng số ràng buộc chính của bài toán (P)
và số ràng buộc chính của bài toán (D) bằng số ẩn của bài toán (P).
2. Hệ số của ẩn yitrong hàm mục tiêu của bài toán (D) là số hạng
tự do bi trong hệ ràng buộc chính của bài toán (P).
3.Các hệ số của các ẩnvà hệ số tự do trong ràng buộc chính thứ j
của bài toán (D) là các hệ số tương ứng của ẩn xj trong hệ ràng
buộc chính và hàm mục tiêu của bài toán (P).
4. Nếu (P) là bài toán max thì (D) là bài toán min và hệ ràng buộc
chính của bài toán (D) là hệ với bất phương trình có dấu là ≥ . Và ngược lại.
Ví dụ : tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau :
f ( x)=3 x1+2x2−5 x3+x4 →min
{4x1−6x2+5x3−5x4≤50
7 x1+x3+x4=30 2 x GIẢI :
1+3 x2−5 x3≥− 25
x1, x2≥0
bài toán đối ngẫu là : g( y)=50 y1+30 y2−25 y3 →max
{4y1+7y2+2y3≤3
−6 y1+3 y3≤ 2
5 y1+ y2−5 y3=−5 3.3 Các cặp ràng buộc đối ngẫu : −5 y1+ y2=1
y1≤0, y2t ù y ý , y3 ≥ 0
Trong một cặp ràng buộc đối ngẫu (P) và (D) như trong định nghĩa
thì ta có n cặp ràng buộc đối ngẫu như sau :
Trường hợp 1 :f ( x)=c1x1+c2 x2+…+cn xn→min
xj ≥ 0↔a1 j y1+a2j y2+…+anj yn≤ cj , j=1,2…nTrường hợp 2 :
f ( x)=c1x1+c2 x2+…+cn xn→max
xj ≥0↔ a1j y1+a2j y2+…+anj yn≥ c j, j=1,2…n 18
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com) lOMoARcPSD|38179491
Phạm lan anh – phụ trách toán KINH TẾ 1 TẠI MCC – ÔN THI HVNH
3.3 Định lý đối ngẫu :
Định lý độ lệch bù yếu .Điều kiện cần và đủ để phương án x0của
bài toán (P) và phương án y0 của bài toán (D) đều là phương án tối
ưu là trong các cặp ràng buộc đối ngẫu của phương án đó : Nếu
một ràng buộc thỏa mãn phương án với dấu bất đẳng thức thực sự
thì ràng buộc còn lại phải thỏa mãn phương án với dấu bằng.
Ứng dụng : Nhờ định lý độ lệch bù yếu , khi ta biết được phương
án tối ưu của một trong hai bài toán của cặp bài toán đối ngẫu thì
ta có thể tìm được tập phương án tối ưu của bài toán còn lại. *LƯU Ý:
Đa phần ý a sẽ hỏi bài toàn bằng phương pháp đơn hình. Để nhận
diện được ý a mình làm đúng bảng đơn hình đến 80% (20% còn lại
là do sai số) thì mình phải để ý cả ý b của đề bài:
+)Nếu đề bài ý b hỏi tìm PA sao cho f(x)= C HOẶC đề bài cho hàm
mục tiêu mới HOẶC yêu cầu tìm PATU khi thay đổi thành phần nào
đó. Nói chung là đề cho thay đổi 1 thứ gì đó thì SUY RA ý a của
mình sẽ là bài toán KHÔNG GIẢI ĐƯỢC.
+)Nếu đề bài ý b hỏi tìm PATU có thành xj=c HOẶC tìm một
phương án cực biên tối ưu khác thì SUY RA ý a của mình sẽ là bài
toán GIẢI ĐƯỢC VÀ CÓ TẬP PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU. 19
Downloaded by Minh ?? Hoàng (dohoangminh11042007@gmail.com)