Tổng hợp một số dạng đề thi - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

TỔNG HỢP MỘT SỐ DẠNG ĐỀ THI Học phần MT -100 và H MT -101 H
Dạng 1 : Tập Xác Định Của Hàm Số
1. Khi tìm tập xác định của hàm số f ( ) x 1 = 0 x 3
+ , ta thu được kết quả là : Đáp số : D =
2. Khi tìm tập xác định của hàm số f ( ) x = 2 x 4
+ , ta thu được kết quả là : Đáp số : D =[ − 2;+ )
3. Khi tìm tập xác định của hàm số f ( ) x =ln(2 x 4
+ ), ta thu được kết quả là : Đáp số : D = ( 2 − ;+ ) 2x+ 1
4. Khi tìm tập xác định của hàm số f ( ) x =
, ta thu được kết quả là : x−3 Đáp số : D =
Dạng 2 : Giá Trị Của Hàm Số
1. Giả sử chi phí sản xuất ra x sản phẩm của công ty A là : C( ) x 1 = 0x +200
triệu đồng. Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ 5 là : Đáp số : C(5)-C(4)
2. Giả sử chi phí sản xuất ra x sản phẩm của công ty A là : C( ) x 1 = 0x +200
triệu đồng. Chi phí sản xuất ra 5 sản phẩm là : Đáp số : C(5)
3. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =150 − x (nghìn đồng). Vậy doanh thu của công ty khi bán 6 sản phẩm là : Đáp số : (6
R ) = 6.(150 − )6 = 864 (nghìn đồng)
4. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =120 − x (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là 2 C( )
x = x + 5 x+ 300 (nghìn đồng). Vậy lợi nhuận của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là: Đáp số : 2
P(5) = 5.(120− 5)− (5 + 5.5+ 300)= 225 (nghìn đồng) Dạng 3 : Hàm Tuyến Tính
1. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm
với một tốc độ không đổi là 6 đôla/ tháng. Khi đó hệ số góc m của hàm biểu
diễn giá mặt hàng S theo thời gian là: Đáp số : m = 6 −
2. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm
với một tốc độ không đổi là 4000 đồng/ tháng. Biết giá mặt hàng S hiện tại là
200 nghìn đồng. Hàm biểu diễn giá p(x) (đvt: nghìn đồng) của mặt hàng S theo thời gian x là: Đáp số : p( )
x =−4x+ 200 (nghìn đồng)
3. Một công ty cho thuê thuyền đánh cá mua một cái thuyền mới có giá là
224,000 (đô la) và giả sử rằng nó có giá trị là 115,200 (đô la) sau 16 năm. Hãy
tìm một mô hình tuyến tính biểu diễn giá trị V của chiếc thuyền sau t năm khi nó được bán. Đáp số : V( ) t =−6800t+ 224000 (đô la)
4. Biểu thức đại số của hàm tuyến tính có dạng như thế nào ? Đáp số : y = . a x + b với a 0 . Dạng 4 : Hàm Bậc Hai
1. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =150 − x (nghìn đồng). Hàm doanh thu của công ty là: Đáp số : 2 ( R ) x = . x p=150 x− x
2. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =120 − x (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là 2 C( )
x = x + 5 x+ 300 (nghìn đồng). Hàm lợi nhuận của công ty là: Đáp số : 2 P(x) = ( R ) x − ( C ) x =− 2 x + 115 x− 300
Dạng 5 : Hàm Mũ Và Hàm Lôgarit
1. Nếu 2000 (đô la) được đầu tư trong tài khoản với lãi suất 10% mỗi năm và
lãi được tính theo Tháng. Thì số tiền có trong tài khoản sau 10 năm là :
Đáp số : A =5414,08 (đô la)
2. Một người dự định mở một công ty với kinh phí 20 nghìn đô la sau 4 năm
nữa. Hỏi người đó nên đầu tư bao nhiêu tiền ngay từ bây giờ để đủ tiền thành
lập công ty, nếu lãi suất hàng năm là 7% và tiền lãi được tính hàng Quý.
Đáp số : P = 15,15 (nghìn đô la)
3. Bạn gửi 300 triệu đồng vào Ngân hàng Vietcombank với lãi suất 6%/năm.
Bạn chọn phương thức tính lãi theo Tuần. Hỏi trong thời gian bao lâu bạn sẽ
nhận được số dư là 350 triệu đồng khi đáo hạn. Đáp số : t = 2,57 (năm)
4. Trong thời gian bao lâu thì số tiền trong tài khoản sẽ tăng gấp đôi, biết rằng
lãi suất hàng năm là 10% và tiền lãi được tính theo Năm ? Đáp số : t = 7,27 (năm)
5. Nếu số tiền 400 (triệu đồng) được gửi vào ngân hàng, sau 10 năm thu được
số tiền 450 (triệu đồng) khi tiền lãi được tính theo Quý. Vậy hệ số lãi suất của ngân hàng là bao nhiêu ?
Đáp số : r = 0,01179 = 1,18%
Dạng 6 : Đạo Hàm Và Phân Tích Cận Biên
1. Doanh thu khi sản xuất x đvsp là 2 ( R ) x = 0
− ,4. x + 60 x (đô la). Tính tốc
độ thay đổi trung bình của doanh thu khi lượng sản xuất thay đổi từ 500 đvsp xuống 460 đvsp. A. 1481,2 (đô la/đvsp) B. -317,12 (đô la/đvsp) C. -382,63 (đô la/đvsp) D. 382,63 (đô la/đvsp) f (460) − f(500)
Đáp số : Tốc độ thay đổi trung bình là : = 3 − 82,63 460 − 500 f(500) − f(460) Hoặc có thể tính : = 3 − 82,63 500 −460
2. Tại một nhà máy sản xuất máy tính, mỗi nhân viên mới trung bình có thể ráp được 0,4 ( ) 10(1 t N t e− = −
) máy sau t ngày được đào tạo. Tìm tốc độ sản xuất sau 5 ngày. A. 0,64 máy/ngày B .0,44 máy/ngày C. 0,54 máy/ngày D .0,74 máy/ngày ' Đáp số : + Ta có : − 0,4t = − = ( −0,4 − ) 't − 0,4 '( ) 10(1 ) 10. = 4. t N t e e e + Vậy ta có : 0,4.5 N '(5) 4.e− = = 0,54
3. Tại một nhà máy sản xuất máy tính, mỗi nhân viên mới trung bình có thể ráp được 0,4 ( ) 10(1 t N t e− = −
) máy sau t ngày được đào tạo. Tìm số ngày (làm tròn
phần nguyên) mà tốc độ sản xuất ít hơn 0, 25 (máy/ngày). A. 9 ngày B .7 ngày C. 11 ngày D .5 ngày ' Đáp số : + Ta có : − 0,4t = − = ( −0,4 − ) 't − 0,4 '( ) 10(1 ) 10. = 4. t N t e e e + T a có : 0,4. '( ) 0,25 4. t N t e− 0, 25 1
+ Giải bất phương trình ta có : 0 − ,4t ln t 7 16
4. Tổng lợi nhuận (tính bằng đô la) từ việc bán x ván trượt là 2
P(x) = 20x− 0.3x − 250. Sử dụng lợi nhuận cận biên tính gần đúng lợi nhuận
từ việc bán ván trượt thứ 2 ? A. 18 đôla B. 18.8 đôla C. 19.4 đôla D. 19 đôla
Đáp số : P(2)− P (1) P '(1)= 19,4
5. Giả sử rằng nhu cầu hàng ngày (tính bằng pound) về kẹo socola tại giá x đô
la mỗi pound được cho bởi 2
D =1000 −20x . Nếu giá tăng từ 3.1 đô la mỗi
pound đến 3.3 đô la cho mỗi pound, tính gần đúng sự thay đổi trong nhu cầu ? A. Nhu cầu tăng 24.8 pound
B. Nhu cầu giảm 26.4 pound
C. Nhu cầu giảm 24.8 pound D. Nhu cầu tăng 26.4 pound
Đáp số : D(3,3) − D(3,1) D '(3,1).0,2 = 2 − 4,8
6. Một Công ty sản xuất và bán hết x ti vi mỗi ngày thì tổng doanh thu là 2 ( R ) x = 3 − x 1
+ 50 x triệu đồng. Dùng hàm doanh thu cận biên hãy tính doanh
thu gần đúng khi sản xuất và bán cái ti vi thứ 11 ? A. 87 triệu đồng B. 90 triệu đồng C. 84 triệu đồng D. 1287 triệu đồng Đáp số : ( R 11) − ( R 10) ' R(10) =90
7. Lợi nhuận của công ty A sau t năm từ năm 2020 là 2 P(t ) =− 2t + 60t− 120
(tỷ đồng). Ước tính lợi nhuận của công ty sẽ tăng bao nhiêu trong 6 tháng cuối năm 2024. A. 25 tỷ đồng B. 23 tỷ đồng C. 24 tỷ đồng D. 21 tỷ đồng
Đáp án : P(5)− P (4,5) P '(4,5).0,5
Dạng 7 : Cực trị (Sự tối ưu)
1. Một công ty sản xuất và bán ra x cái máy tính mỗi tuần. Phương trình giá
bán - nhu cầu được cho như sau: p = 400 −0.5x đôla/máy tình. Hỏi công ty
nên bán máy tính với giá bao nhiêu để doanh thu lớn nhất ? A. 400 đôla/máy tính. B. 300 đôla/máy tính. C. 200 đôla/máy tính D. 350 đôla/máy tính. Đáp số : + ( R ) x = ( x 400 0 − ,5 ) x + R'( ) x 0 = x= 400 + p = 400− 0,5.400= 200
2. Một Resort có 200 phòng hoạt động hết công suất mỗi đêm khi giá cho thuê
mỗi phòng là 30 USD. Họ ước tính rằng cứ tăng thêm 1 USD trong giá cho thuê
thì sẽ có 5 phòng bị bỏ trống. Hãy xác định giá cho thuê của mỗi phòng để
doanh thu mỗi đêm của Resort là lớn nhất ? A. 65 USD B. 55 USD C. 45 USD D. 35 USD Đáp số : + ( R ) x ( = 30+ ) x (200− 5 ) x + R'( ) x 0 = x= 5 + Giá cho thuê là : 35 USD
Dạng 8 : Tích Phân Bất Định
1. Dân số tăng trưởng với tốc độ là ' ( ) = 4 t P t
e +10 (ngàn người/năm). Xác
định biểu thức hàm dân số. (với C là hằng số bất kì ) A. ( ) = 4 t P t e + 10t+ C (ngàn người) B. ( ) = 4 t P t e + C (ngàn người) C. ( ) = 4 t P t e (ngàn người) D. ( ) = 4 t P t e + 10+ C (ngàn người) Đáp số : Tìm ( ) = '( ) = (4 t 1 + 0) =4 t P t P t dt e dt e 1 + 0t + C
2. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số 2 f ( ) x = 3 x −2 x+ 10 A. 3 2 F (x) = 3x − x 1 + 0+ C B. 3 2 F (x) = x − x+ 10 x+ C C. 3 2 F (x) =x − 2x + 10 x+ C D. F (x) = 6x −2 Đáp số : 2 3 2 F (x) = f ( ) x dx = (3 x 2 − x 10 + ) dx =x − x +10 x+ C 1
3. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S ( ) 2 ' t = 30t
(đvsp/tháng). Hiện tại doanh số bán hàng đạt 1000 (đvsp). Xác định doanh số bán hàng sau 4 tháng. A. 1260 (đvsp) B. 1160 (đvsp) C. 1360 (đvsp) D. 1060 (đvsp) 1 1 1 + 3 2 t Đáp số : + Tìm S( ) 2 2 t = S'( ) t dt = 30.t dt =30. + C= 20t + C 1 +1 2 3 + Ta có : S( ) 0 = 1000 C= 1000 . Suy ra : S( ) 2 t = 20t +1000 3 + Vậy : S ( ) 2 4 = 20.4 +1000= 1160 Cách 2 : S( ) 4 = ( S 4) − ( S 0)+ ( S 0) 4 4 1 2 = S'( )tdt + ( S 0)= 30 t dt+ 1000= 1160 0 0 1
4. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S ( ) 2 ' t = 30t
(đvsp/tháng). Hiện tại doanh số bán hàng đạt 1000 (đvsp). Xác định khoảng thời
gian để doanh số bán hàng đạt 1160 (đvsp). A. Sau 4 tháng B. Sau 9 tháng C. Sau 1 tháng D. Sau 5 tháng 1 1 + 1 3 2 t Đáp số : + Tìm S( ) 2 2 t = S'( ) t dt = 30.t dt =30. + C= 20t + C 1 +1 2 3 + Ta có : S( ) 0 = 1000 C= 1000 . Vậy : S( ) 2 t = 20t +1000 3 + Ta có : 2 20t +1000 = 1160 t= 4
5. Giá cận biên tại mức cung cấp x chai nước giặt mỗi ngày được cho bởi 600 ' p( ) x =
. Nhà sản xuất sẳn sàng cung cấp 40 chai nước giặt mỗi 2 (2 x+ 20)
ngày với giá 5 đô la mỗi chai. Tìm biểu thức giá theo mức cung. 3 − 00 3 − 00 A. ( p ) x = + 7 B. ( p ) x = + 8 2 x+ 20 2 x+ 20 3 − 00 6 − 00 C. ( p ) x = + 5 D. ( p ) x = +11 2 x+ 20 2 x+ 20 600 −300 Đáp số : + Ta có : ( p ) x = p'( ) x dx= dx= + C 2 (2x+ 20) 2x+ 2 3 − 00 + Vì p(40) = 5 nên ta có : +C = 5 C= 8 2.40 + 2 3 − 00 + Vậy : ( p ) x = +8 2 x+ 2
Dạng 9 : Phương trình vi phân dA
1. Tìm số dư sau t năm, biết rằng = 0,02 A và ( A 0) 1 = 500 dt Đáp số : 0,02 =1500. t A e dA
2. Tìm số dư sau 5 năm, biết rằng = 0,04 A và ( A 0) =4500 dt Đáp số : + Ta có : 0,04 ( ) = 4500. t A t e + Vậy : 0,04.5 ( A 5) = 4500.e = 5496,31
3. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình vi phân? dy A. 3 x + x = 1 B. = 4t dt C. y"− x =0 D. dy = ( x+ )1 dx Đáp án : 3
x + x = 1 (vì không chứa đạo hàm hoặc vi phân) dy
4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân : 2 x = e và y( )0 = 0 dx 1 x 1 A. 2 y = e − B. 2 x 1 y = e − 2 2 2 C. 2 = 2 x y e −2 D. 2 x 1 y = e − 2 dy x x 1 Đáp số : + Ta có : 2 2 2 x = e dy= e dx y = e+ C dx 2 1 1 + Ta có : y( ) 2.0 0 = 0 e + C= 0 C = − 2 2 1 x 1 + Vậy : 2 y = e − 2 2 dp 5. Giá cận biên
của mức cung cấp x đvsp mỗi ngày tỉ lệ thuận k = 0,03 dx
với giá bán p. Mức cung bằng 0 với giá 10 đô la/đvsp [ p(0) =10 ]. Hỏi khi
mức cung là 50 đvsp thì giá là bao nhiêu? A. 44 đôla B. 11 đôla C. 44.8 đôla D. 43 đôla dp dp Đáp số : + Ta có : = k.p = 0,03dx dx p + Ta có nghiệm là : 0,03 = . x p C e + Mà p(0) =10 nên C =10 . + Vậy ta có : 0,03 =10 x p e
+ Giá bán khi mức cung x = 50 là : 0,03.50 p = 10e = 44,8 (đô la) dp 6. Giá cận biên
của mức cung cấp x đvsp mỗi ngày tỉ lệ thuận với giá bán dx
p . Mức cung bằng 0 với giá 10 đô la/đvsp [p(0) = 10]. Mức cung bằng 50 với
giá 12,84 đô la/đvsp [p(50) = 12,84]. Hỏi khi mức cung là 100 đvsp thì giá là bao nhiêu? A. 16,7 đôla B. 16,3 đôla C. 16,5 đôla D. 16,1 đôla dp dp Đáp số : + Ta có : = k.p = kdx dx p + Ta có nghiệm là : . = . k x p C e
+ Mà p(0) =10 nên C =10 . Suy ra : . = 10. k x p e + Mà p(50) = 12,84 nên k .50 12,84 =10.e k= 0,005 + Vậy ta có : 0,005. =10. x p e
+ Giá bán khi mức cung x =100 là : 0,005.100 p = 10.e = 16,5 (đô la)
Dạng 10 : Tích phân xác định
1. Cho tốc độ thay đổi lợi nhuận sau t năm tính từ thời điểm hiện tại là P ( ) 2
' t =− 3t + 100t+ 3000(đvtt/năm). Tính lợi nhuận thu được trong năm thứ 3. A. 3231 (đvtt) B. 9423 (đvtt) C. 6374 (đvtt) D. 6423 (đvtt) 3 3 Đáp số : 2
P(3) −P (2) = P '(t )dt = (− 3t + 100t + 3000)dt = 3231 (đvtt) 2 2
2. Tốc độ thay đổi của dân số sau t năm là P '( )t (ngàn người/năm), tính từ
năm 2015. Tích phân nào dưới đây biểu diễn sự thay đổi của dân số từ năm 2016 đến năm 2020. 5 2020 A. P = P '( ) t dt B. P = P ' (t) dt 1 2016 5 5 C. P = P '( ) t dt D. P = P '( ) t dt 4 0 Đáp số :
+ 2016 tương ứng với t =1 và 2020 tương ứng với t = 5. 5
+ Tích phân cần chọn là : P(5)− P (1)= P '(t) dt 1
3. Một công ty sản xuất xe đạp leo núi có hàm chi phí cận biên là : 1 C '( ) x = 500 − x với C( )
x tính bằng đô la và x là số lượng xe đạp sản xuất 3
mỗi tháng. Hãy tính toán mức tăng chi phí khi tăng mức sản xuất từ 300 xe mỗi
tháng tới mức 900 xe mỗi tháng. A. 180000 (đô la) B. 160000 (đô la) C. 170000 (đô la) D. 190000 (đô la) 900 Đáp số : C(900)− C(300)= C ' ( ) x dx= 180000 (đô la) 300 900 C(900) − C(300)= C ' ( ) x dx= 180 (nghìn đô la) 300
4. Doanh thu cận biên của một cửa hàng thể thao khi bán x đôi giày quần vợt được cho bởi : R'( ) x 6 = 0 0 − ,02 x với ( R )
x là doanh thu tính bằng đôla. Hỏi
doanh thu thay đổi bao nhiêu khi số lượng bán ra tăng từ 400 đến 600 đôi giày. A. 32400 đôla. B. 22400 đôla C. 10000 đôla. D. 12000 đôla. 600 600 Đáp số : ( R 600) − ( R 400) = '
R ( )x dx= ( 60− 0,02 )x dx= 10000 (đô la) 400 400
Dạng 11 : Giá Trị Của Hàm 2 Biến
1. Một nhà máy nhỏ sản xuất hai mẫu ván lướt sóng: mẫu 1 và mẫu 2. Biết hàm
chi phí sản xuất mỗi tháng được cho là : C( , x ) y 6 = 000+ 210 x+ 300 y trong
đó x và y lần lượt là số lượng ván lướt mẫu 1 và 2 được sản xuất hàng tháng. Tính C(20;10) . A. 7200 B. 14100 C. 8100 D. 13200
Đáp số : C(20;10) = 6000+ 210.20+ 300.10
2. Một siêu thị bán hai nhãn hiệu cà phê: nhãn hiệu A với giá p đô la mỗi
pound và nhãn hiệu B với giá q đô la mỗi pound. Phương trình đường cầu hàng
ngày của nhãn hiệu A và B lần lượt là : x = 200 −5 p+ 4q, y = 300 +2 p− 4q
(cả hai đều tính bằng pound). Tìm hàm doanh thu hàng ngày ( R , p ) q . A. 2 2 ( R , p )
q = 200 p −5 p + 4 pq+ 300q− 4q B. 2 2 ( R , p )
q =200 p −5 p + 6 pq+ 300q− 4q C. 2 2 ( R , p )
q = 200− 5 p+ 4 pq+ 300q− 4q D. 2 2 ( R , p ) q =200 p −5 p +4 pq 3 + 00− 4q Đáp số : ( R , p ) q = . x p + .
y q= (200− 5 p+ 4q).p+ (300+ 2 p− 4q . ) q
3. Lợi nhuận (triệu đồng) của công ty A khi sản xuất x sản phẩm loại 1 và y
sản phẩm loại 2 được cho bởi: 2 2 P( , x )
y = 4 xy− x− 3 y+ 50 x+ 40 y. Khi đó
lợi nhuận của công ty A khi sản xuất 3 sản phẩm loại 1 và 5 sản phẩm loại 2 là: A. 300 triệu đồng B. 320 triệu đồng C. 326 triệu đồng D. 350 triệu đồng Đáp số : 2 2
P(3,5) = 4.3.5− 3 − 3.5 + 50.3+ 40.5
Dạng 12 : Đạo Hàm Riêng
1. Các đạo hàm riêng của hàm số 4 f ( , x ) y = (3 x− 2 ) y là: A. 3 3 f = x− y f = x− y x 4(3 2 ) , y 8(3 2 ) B. 3 3 f = x − y f = x− y x 12(3 2 ) , y 8(3 2 ) C. 3 3 f = 12(3x− 2 ) y , f =− 8(3 x− 2 )y x y D. 3 3 f = 12(3x− 2 ) y , f = 12(3 x − 2 )y x y Đáp số : + 4 1 − ' 3 f = 4.(3 x− 2 )
y .(3 x− 2 )y = 12.(3 x− 2 )y x ( ) x + 4 1 − ' 3 f = 4.(3x− 2 ) y .(3 x− 2 ) y =− 8(3 x− 2 )y y ( y) 2. Cho hàm số f (x ) 2 2 , y 2 = xy −x +4 y. Tính f x y y ( , ) . A. f x y = xy + B. f x y = xy− x+ y ( ) 2 , 4 4 y ( , ) 4 4 C. f ( , x )y =4 y 4 + D. f x y = y − x+ y ( ) 2 2 , 2 4 y Đáp số : f ( , x )y (=2 xy x − 4 + ) ' 2 2 y 4 = xy 4 + y ( ) y 3. Cho hàm số ( , ) x f x y =e +xy. Tính f (0;1) . xy A. f (0;1) 1 = B. f (0;1) = 0 xy xy C. f (0;1) = e D. f (0;1) =1 + e xy xy Đáp số : + f ( , x )y ( x = e + ) ' x xy =e + y x (x) + f ( , x )y ( x = e + y = xy ) ' 1 ( ) y + f = xy (0; ) 1 1
Dạng 13 : Cực Trị (Sự Tối Ưu)
1. Với hàm lợi nhuận cho bởi P(x, )
y và khi tìm cực trị ta có được : 2
D(2;5) = f (2;5). f (2;5)− f (2;5) = 12 và f (2;5) = 3 − xx yy xy xx
Khi ấy ta có kết luận của điểm M(2;5) là : A. Điểm cực đại B. Điểm cực tiểu C. Điểm yên ngựa
D. Không kết luận được
Đáp án : Cực đại (vì = D(2;5) = 12 0 và A = f =− ) xx (2; 5) 3 0 2. Với hàm số 2 biến 2 2 f ( , x )
y = x+ 2 xy+ 2 y− 10 x− 14 y, khi giải hệ f ( , x ) y = 0 x
thì nghiệm thu được là : f ( , x ) y 0 = y x = 3 − x = 3 A. B. y = 2 − y 2 = x = 3 x = 3 − C. D. y = 2 − y 2 = f ( , x ) y = 0 + − = = x 2 x 2 y 10 0 x 3 Đáp số : Giải hệ f ( , x ) y = 0 + − = = y 2 x 4 y 14 0 y 2
3. Khi tìm cực trị của hàm f ( , x ) y 2
= xy thoả điều kiện x + y =6 ta thu được điểm cực trị là : A. M(3;3) B. M(3; 3 − ) C. M( 3 − ;3) D. M( 3 − ; 3 − ) ' 2xy − ( x + y−6) =0 ( ) x 2 y− = 0 x= 3 Đáp số : Giải hệ ' 2xy− ( x+ y− 6) = 0 2 x − = 0 = y 3 ( ) y x + y= 6 = + = 6 x y 6
TỔNG HỢP MỘT SỐ ĐỀ THI TỰ LUẬN
DẠNG 1 : CỰC TRỊ CỦA HÀM 1 BIẾN Bài 1 :
Một công ty sản xuất và bán ra x điện thoại mỗi tuần. Phương trình giá
bán - nhu cầu và phương trình chi phí lần lượt được cho như sau, p =500 −0,5x ; C( ) x =20000 1 + 35x
a) Giá bán của điện thoại, số lượng điện thoại được sản xuất hằng tuần là
bao nhiêu để công ty thu được doanh thu lớn nhất? Tính doanh thu lớn nhất đó ?
b) Lợi nhuận hằng tuần lớn nhất là bao nhiêu? Giá bán của điện thoại, số
lượng điện thoại được sản xuất hằng tuần là bao nhiêu để công ty thu được lợi nhuận lớn nhất? Bài 2 :
Một công ty sản xuất và bán ra x t i vi mỗit háng. Ch i phí hàng tháng và
phương trình giá bán–nhu cầu là: x p = 200 − ; C( ) x =72000 +60x 30
a) Tìm doanh thu lớn nhất.
b) Tìm lợi nhuận lớn nhất, xác định lượng sản phẩm để thu được lợi
nhuận lớn nhất đó và giá bán tương ứng của mỗi chiếc ti vi.
c) Nếu chính phủ đánh thuế công ty với mức thuế là $5 cho mỗi sản
phẩm, công ty nên sản xuất bao nhiêu chiếc ti vi mỗi tháng để thu được lợi
nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất? Giá bán tương ứng của một chiếc ti vi là bao nhiêu? Bài 3 :
Một quán cà phê tại trường đại học bán được 600 ly cà phê mỗi ngày với
giá là $2.40. Một khảo sát thị trường cho thấy cứ giảm 0
$ .05 trong giá bán thì sẽ bán thêm được 50 ly.
Quán cà phê nên bán với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất? Bài 4 :
Một quán cà phê tại trường đại học bán được 600 ly cà phê mỗi ngày với
giá là $2.40. Một khảo sát thị trường khác cho thấy cứ giảm $0.10 từ giá ban
đầu $2.40 thì sẽ bán thêm được 60 ly.
Quán nên bán với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất? Bài 5 :
Một đại lý cho thuê xe mỗi ngày có 200 xe được thuê với giá $30. Nếu
giá thuê tăng thêm $1 thì đại lý sẽ có ít hơn 5 xe được thuê. Đại lý nên cho thuê
xe với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất? Tính doanh thu lớn nhất tương ứng? Bài 6 :
Một khách sạn 300 phòng ở Las Vegas cho thuê với giá $80 cho một
phòng. Nếu giá thuê tăng thêm 1$ thì khách sạn sẽ có ít hơn 3 phòng được thuê.
Nếu mỗi phòng được thuê tốn chi phí dịch vụ là $10 mỗi ngày, đại lý nên cho
thuê phòng với giá bao nhiêu để thu được lợi nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất tương ứng. Bài 7 :
Theo các ghi chép trước đây của người trồng cây anh đào, nếu trồng 30
cây trên cùng một diện tích thì mỗi cây trung bình cho 50 kg quả vào mùa thu
hoạch. Nếu, cứ trồng thêm một cây vào cùng diện tích đó (không quá 20), sản
lượng trung bình một cây sẽ giảm đi 1 kg, vậy, người trồng nên trồng bao nhiêu
cây để thu được sản lượng lớn nhất? Tính sản lượng lớn nhất đó? Bài 8 :
Những người trồng lê cần phải chọn thời điểm tối ưu để thu hoạch quả và
bán cho khách hàng. Nếu thu hoạch ngay từ bây giờ, họ bán được với giá 30￠
mỗi kg và sản lượng trung bình mỗi cây là 60 kg. Nếu sản lượng trung bình một
cây tăng 6 kg sau mỗi tuần trong vòng 4 tuần tới thì giá bán lại giảm 2￠ cho mỗi kg sau mỗi tuần, v
ậy người trồng lê nên chọn thời điểm thu hoạch nào để
thu được tiền lớn nhất? Tính số tiền lớn nhất đó. Bài 9 :
Một hiệu thuốc cần 200 chai thuốc kháng sinh mỗi năm. T rong một năm,
chi phí bảo quản một chai thuốc là $10 và chi phí đặt hàng mới là $40.
Hiệu thuốc nên đặt hàng bao nhiêu lần trong một năm để tổng chi phí bảo
quản và đặt hàng là nhỏ nhất? Bài 10 :
Một cửa hàng dụng cụ cần 9000 cái cưa xích cao cấp mỗi năm. Trong
một năm, chi phí bảo quản một cái cưa xích là $5 và chi phí đặt hàng mới là $2500.
Cửa hàng nên đặt sản xuất bao nhiêu cái cưa xích trong một đơn đặt hàng
để tổng chi phí bảo quản và đặt hàng đạt giá trị nhỏ nhất?
DẠNG 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM 2 BIẾN Bài 1 :
Một công ty thời trang cao cấp chuyên sản xuất 2 loại áo sơ mi mã S1 và
S2, mỗi tuần công ty sản xuất và bán hết x cái áo S1 và y cái áo S2. Biết giá bán
hai loại áo được cho lần lượt là: p =230 9 − x+ y q = +x− y ; 130 4
trong đó p (đôla) là giá bán của một cái áo S1 và q (đôla) là giá bán của một cái áo S2.
a) Lập hàm doanh thu hàng tuần của công ty.
b) Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu cái áo mỗi loại để doanh thu lớn nhất? Bài 2 :
Một công ty chuyên sản xuất 2 loại sản phẩm A và B, mỗi ngày công ty
sản xuất và bán hết x sản phẩm loại A và y sản phẩm loại B. Biết giá bán hai sản
phẩm được cho lần lượt là: p 1 = 20− 3x+ , y q=120+ 2 x− 3 y
trong đó p đôla là giá bán của một sản phẩm A và q đôla là giá bán của một sản phẩm B.
a) Lập hàm doanh thu hàng ngày của công ty.
b) Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để doanh thu lớn nhất? Bài 3 :
Một công ty sản xuất 2 loại bánh A và B. Hàm giá-cầu và chi phí được cho như sau: p =260 8 − x+ 2 y ; q 1 = 40 +2x− 2 y C( , x ) y 2 = 00+ 120 x+ 40 y
trong đó $p là giá của một hộp bánh A và $q là giá của một hộp bánh B, x
là nhu cầu mỗi ngày của bánh A, y là nhu cầu mỗi ngày của bánh B và C(x, y) là hàm tổng chi phí.
a) Lập hàm lợi nhuận hàng ngày của công ty.
b) Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu hộp mỗi loại bánh để tổng lợi
nhuận hàng ngày lớn nhất? Bài 4 :
Một công ty sản xuất x đơn vị sản phẩm A và y đơn vị sản phẩm B (cả hai
đều tính theo đơn vị trăm đơn vị mỗi tháng). Hàm lợi nhuận hàng tháng (ngàn USD) được cho bằng 2 2 P( , x )
y =− 4 x + 4 xy− 3 y + 4 x+ 10 y+ 81
Hỏi mỗi tháng công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị mỗi loại để lợi
nhuận lớn nhất? Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu? Bài 5 :
Công ty PFT chuyên sản xuất hai mặt hàng. Giả sử khi sản xuất x đơn vị
mặt hàng 1 và y đơn vị mặt hàng hai, thì giá bán lần lượt là p =105 − x triệu
đồng/ đơn vị và q =120 − y triệu đồng/đơn vị. Biết rằng tổng chi phí để sản xuất hai mặt hàng trên là 2 2 C( , x ) y = x+ xy + y (triệu đồng).
a) Hãy lập hàm lợi nhuận của công ty theo x và y ?
b) Công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị mặt hàng một và bao nhiêu đơn
vị mặt hàng hai để tổng lợi nhuận thu được lớn nhất ? Bài 6 :
Một công ty sản xuất và và bán độc quyền hai loại mặt hàng A và B. Giả
sử nếu bán một sản phẩm của mặt hàng loại A, B lần lượt với giá x, y (đvtt) thì
sẽ bán được 70 -5x + 4y sản phẩm loại A và 80 + 6x − 7ysản phẩm loại B.
Biết rằng, chi phí để sản xuất một sản phẩm của mặt hàng loại A, B lần lượt là
30, 40 (đvtt). Xác định giá bán của mỗi loại mặt hàng để lợi nhuận thu được lớn
nhất. Tính lợi nhuận thu được tương ứng. Bài 7 :
Một công ty sản xuất và và bán độc quyền hai loại mặt hàng A và B. Giả
sử nếu bán một sản phẩm của mặt hàng loại A, B lần lượt với giá x, y (đvtt) thì
sẽ bán được 120 - 6x + 4y sản phẩm loại A và 80 +4x −4 y sản phẩm loại B.
Biết rằng, chi phí để sản xuất một sản phẩm của mặt hàng loại A, B lần lượt là
40, 50 (đvtt). Xác định giá bán của mỗi loại mặt hàng để tổng lợi nhuận thu
được lớn nhất. Tính lợi nhuận thu được tương ứng. Bài 8 :
Một cửa hàng giới thiệu 2 sản phẩm mới A và B ra thị trường tiêu dùng.
Chi phi sản xuất của một sản phẩm A, B lần lượt là 10, 30 (đvtt).
Cửa hàng ước tính rằng nếu mỗi sản phẩm A, B được bán với giá lần lượt
là x, y (đvtt) thì khách hàng sẽ mua khoảng 40 −8x +5 y sản phẩm A và 50 +9x −7 y sản phẩm B .
(a) Xác định hàm tổng lợi nhuận mà cửa hàng thu được.
(b) Xác định giá bán của mỗi loại sản phẩm để tổng lợi nhuận thu được lớn nhất. Bài 9 :