TOP 160 câu trắc nghiệm tiếp tuyến (có đáp án)
TOP 160 câu trắc nghiệm tiếp tuyến có đáp án và lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF gồm 49 trang giúp các bạn ôn tập, tham khảo và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TIẾP TUYẾN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Tiếp tuyến tại điểm M (x ; y 0
0 ) thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số (C): y = f (x) và điểm M (x ; y Î C 0 0 )
( ). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f '(x). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f '(x0 )
- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = f '(x)(x - x + y 0 ) 0
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi (D) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M (x ; y x f '(x = k 0 ) 0
0 ) là tiếp điểm. Khi đó thỏa mãn: (*) . 0
- Giải (*) tìm x . Suy ra y = f x 0 ( 0). 0
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k (x - x + y 0 ) 0
3. Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số (C): y = f (x) và điểm A( ;
a b). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
- Gọi (D) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó (D): y = k (x - a) +b(*)
ìï f (x) = k (x - a) + b ( ) 1
- Để (D) là tiếp tuyến của (C) Û í có nghiệm. ï f ' î ( x) = k (2)
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương
trình tiếp tuyến cần tìm. Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M (x ; y
k = f '(x0 ) 0 0 ) thuộc (C) là:
2. Cho đường thẳng (d ) : y = k x +b d 1
+) (D) / / (d ) Þ k = k
+) (D) ^ (d ) Þ k .k = 1 - Û k = - D d D d D kd k - k +) ( , D d ) = a Þ tan D a = d +) ( ,
D Ox) =a Þ k = ± tana 1+ k .k D D d
3. Cho hàm số bậc 3: 3 2
y = ax + bx + cx + d,(a ¹ 0)
+) Khi a > 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a < 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) , có đồ thị (C) và điểm M x ; f (x ) Î(C) 0 ( 0 0 )
. Phương trình tiếp tuyến
của (C) tại M là: 0
A. y = f (
¢ x)(x - x + y y = f (
¢ x ) x - x 0 ( 0 ) 0 ) . B. . 0
C. y - y = f (¢x ) x - x
y - y = f ( ¢ x )x 0 0 ( 0 ). D. . 0 0
Hướng dẫn giải: Chọn C
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + )2
1 (x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là
A. y = –8x + 4.
B. y = 9x +18.
C. y = –4x + 4.
D. y = 9x -18.
Hướng dẫn giải: Trang 1 Chọn D.
Gọi M (x ; y 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có x = 2 Þ y = 0. 0 0
y = (x + )2 (x ) 3 1
– 2 = x -3x + 2 2
Þ y¢ = 3x -3 Þ y¢(2) = 9.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x - 2) + 0 Û y = 9x -18.
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x( x)2 3 –
tại điểm có hoành độ x = 2 là
A. y = –3x + 8.
B. y = –3x + 6.
C. y = 3x – 8.
D. y = 3x – 6.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi M (x ; y 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có x = 2 Þ y = 2. 0 0
y = x( - x)2 3 2 3
= x -6x +9x 2
Þ y¢ = 3x -12x + 9 Þ y¢(2) = - . 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3
- (x - 2)+ 2 Û y = 3 - x + 8.
Câu 4. Cho đường cong (C) 2
: y = x . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (–1; ) 1 là
A. y = –2x +1.
B. y = 2x + . 1
C. y = –2x –1.
D. y = 2x – . 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2
y = x Þ y¢ = 2x . y¢(- ) 1 = 2 - .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 2 - (x + ) 1 +1 Û y = 2 - x - . 1 2 x + x
Câu 5. Cho hàm số y =
. Phương trình tiếp tuyến tại A(1; –2) là x - 2
A. y = –4(x – ) 1 – 2.
B. y = –5(x – ) 1 + 2.
C. y = –5(x – ) 1 – 2.
D. y = –3(x – ) 1 – 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 x + x x - 4x - 2 y = Þ y¢ = , y¢( ) 1 = 5 - . x - 2 (x - 2)2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 5 - (x - ) 1 - 2 Û y = 5 - x + 3. 1 Câu 6. Cho hàm số 3 2
y = x – 3x + 7x + 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A(0;2) là: 3
A. y = 7x + 2.
B. y = 7x - 2 . C. y = 7 - x + 2 . D. y = 7 - x - 2.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : 2
y¢ = x - 6x + 7
Hệ số góc tiếp tuyến y¢(0) = 7
Phương trình tiếp tuyến tại A(0;2) :
y = 7(x - 0) + 2 = 7x + 2.
Câu 7. Gọi (P) là đồ thị của hàm số 2
y = 2x - x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà
(P) cắt trục tung là:
A. y = -x + 3.
B. y = -x - 3.
C. y = 4x - . 1
D. y =11x + 3.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 2
Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M (0; ) 3 . y¢ = 4x -1
Hệ số góc tiếp tuyến : y¢(0) = - 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M (0; ) 3 là y = - (
1 x - 0) +3 = -x + . 3 3x +1
Câu 8. Đồ thị (C) của hàm số y =
cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của (C) tại điểm A x -1 có phương trình là: A. y = 4 - x -1.
B. y = 4x - . 1
C. y = 5x -1. D. y = 5 - x -1.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : điểm A(0; ) 1 - 4 - y¢ =
Þ hệ số góc tiếp tuyến y¢(0) = 4 - (x - )2 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0; ) 1 - là : y = 4 - (x -0) -1= 4 - x - . 1 2x - 4
Câu 9. Cho hàm số y =
có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với x - 3 trục hoành là:
A. y = 2x - 4 .
B. y = 3x +1. C. y = 2 - x + 4.
D. y = 2x.
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 -
Giao điểm của (H) với trục hoành là (
A 2;0). Ta có: y ' = Þ y '(2) = 2 - 2 (x - 3)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2(
- x - 2) hay y = 2 - x + 4.
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) 3 2
= x - 2x + 3x tại điểm có hoành độ x = 1 - 0 là:
A. y = 10x + 4.
B. y = 10x - 5.
C. y = 2x - 4.
D. y = 2x - 5.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 2
y¢ = 3x - 4x + 3. y¢(- ) 1 =10; y(- ) 1 = 6 -
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d ): y =10(x + ) 1 - 6 =10x + 4. -1
Câu 11. Gọi (H ) là đồ thị hàm số = x y
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) tại các giao x
điểm của (H ) với hai trục toạ độ là: é y = x -1
A. y = x - 1. B. .
C. y = -x +1.
D. y = x +1. ê ë y = x +1
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! \{ } 0 . 1 Đạo hàm: y¢ = . 2 x
(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x =1 và không cắt trục tung. y¢( ) 1 = 1 Trang 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y = x -1. x -1
Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H ) : y =
tại giao điểm của (H ) và trục hoành: x + 2 1
A. y = (x -1). B. y = 3 . x
C. y = x - 3.
D. y = 3(x -1). 3
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! \{- } 2 . 3 Đạo hàm: y¢ = . (x + 2)2 1
(H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 1Þ y¢( ) 1 = ; y ( ) 1 = 0 o 3 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y = (x - ) 1 . 3
Câu 13. Gọi (P)là đồ thị hàm số 2
y = x - x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P)tại giao điểm của(P) và trục tung là
A. y = -x + 3.
B. y = -x - 3.
C. y = x - 3. D. y = 3 - x +1.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Tập xác định: D = ! .
Giao điểm của (P)và trục tung là M (0; ) 3 .
Đạo hàm: y¢ = 2x -1Þhệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là 1 - .
Phương trình tiếp tuyến tại M (0; )
3 là y = -x + 3. 4
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hoành độ x = - c 1 ó phương trình là: x -1 0
A. y = -x + 2.
B. y = x + 2.
C. y = x - . 1
D. y = -x - 3.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
Tập xác định: D = ! \{ } 1 . 4 Đạo hàm: y¢ = - . (x - )2 1
Tiếp tuyến tại M ( 1 - ; 2
- ) có hệ số góc là k = 1 - .
Phương trình của tiếp tuyến là y = -x - 3
Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y = x + 2x -
1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A. y = 8x - 6, y = 8 - x - 6.
B. y = 8x - 6, y = 8 - x + 6.
C. y = 8x -8, y = 8 - x + 8.
D. y = 40x - 57.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 3
y¢ = 4x + 4x. éx =1
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 4 2 2 = x + 2x -1 Û . ê ëx = 1 -
Tại M (1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8x - 6. Tại N ( 1
- ;2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8 - x - 6. Trang 4 x + 2
Câu 16. Cho đồ thị (H ) : y =
và điểm AÎ(H ) có tung độ y = 4 . Hãy lập phương trình tiếp x -1
tuyến của (H ) tại điểm A .
A. y = x - 2. B. y = 3 - x -1 . 1
C. y = 3x +11. D. y = 3 - x +10 .
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
Tập xác định: D = ! \{ } 1 . 3 Đạo hàm: y¢ = - . (x - )2 1 x + 2
Tung độ của tiếp tuyến là y = 4 nên 4 = Û x = 2. x -1 Tại M (2;4).
Phương trình tiếp tuyến là y = 3 - x +10 . 2 x - 3x +1
Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có 2x -1 phương trình là:
A. y = x - . 1
B. y = x + . 1
C. y = x .
D. y = -x .
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2x - 2x +1 Ta có: y ' = . (2x - )2 1
Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x = 0 Þ y = - 1 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k = y '(0) = . 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y = k (x - x + y Û y = x -1 0 ) . 0 2 x - x +1
Câu 18. Cho đường cong (C) : y =
và điểm AÎ (C) có hoành độ x = 3. Lập phương trình x -1
tiếp tuyến của (C) tại điểm A . 3 5 3 5 1 5
A. y = x + .
B. y = 3x + 5.
C. y = x - .
D. y = x + . 4 4 4 4 4 4
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x - 2x 7 Ta có: y ' =
. Tại điểm AÎ (C)có hoành độ: x = 3 Þ y = (x - )2 1 0 0 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y ( ) 3 ' 3 = . 4 3 5
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k (x - x + y Û y = x + 0 ) . 0 4 4 1 æ 1 ö
Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm A ;1 có phương trình là: ç ÷ 2x è 2 ø
A. 2x + 2y = 3 - .
B. 2x - 2y = - . 1
C. 2x + 2y = 3.
D. 2x - 2y = . 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 æ 1 ö Ta có: y ' = -
. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y ' = - . 1 ç ÷ 2x 2x è 2 ø
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k (x - x + y Û 2x + 2y = 3 0 ) . 0 Trang 5
Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) 3 2
= x - 2x - 2 tại điểm có hoành độ x = 2 - có phương 0 trình là:
A. y = 4x - 8.
B. y = 20x + 22.
C. y = 20x - 22.
D. y = 20x -16.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có: f (x) 2 '
= 3x - 4x. Tại điểm A có hoành độ x = 2 - Þ y = f x = 1 - 8 0 0 ( 0)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = f '( 2 - ) = 20.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k (x - x + y Û y = 20x + 22 0 ) . 0
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3
(C) : y = 3x - 4x tại điểm có hoành độ x = 0 là: 0
A. y = 3x.
B. y = 0.
C. y = 3x - 2. D. y = 12 - x .
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 2
y ' = 3 -12x . Tại điểm AÎ (C)có hoành độ: x = 0 Þ y = 0 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y '(0) = 3.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k (x - x + y Û y = 3x 0 ) . 0 1 Câu 22. Cho hàm số 3 2
y = x + x - 2 có đồ thị hàm số (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 3
có hoành độ là nghiệm của phương trình y" = 0 là 7 7 7 7
A. y = -x -
B. y = -x +
C. y = x - D. y = x 3 3 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 2
y¢ = x + 2x và y¢¢ = 2x + 2
Theo giả thiết x là nghiệm của phương trình y (
¢¢ x ) = 0 Û 2x + 2 = 0 Û x = - 1 0 0 0 æ 4 ö 7
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1 - ;- là: y = -x - ç ÷ è 3 ø 3 2x -1
Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =
với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với x - 2
đồ thị hàm số trên tại điểm M là: 3 1 3 1 3 1 3 1
A. y = x -
B. y = - x +
C. y = x +
D. y = - x - 2 2 4 2 4 2 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn B. æ 1 ö
Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy Þ M 0; ç ÷ è 2 ø 3 - 3 y¢ = Þ k = y (0 ¢ ) = - 2 (x - 2) 4 3 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y = - x + 4 2 Câu 24. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x + 3x +1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao
điểm của (C) với trục tung là:
A. y = 3x +1 B. y = 8 - x +1
C. y = 8x +1
D. y = 3x -1
Hướng dẫn giải: Trang 6 Chọn đáp án A.
Giao điểm của (C) với trục tung là (0 A ;1) Þ y (0 ¢ ) = 3. 4 2 x x
Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = + -
1 tại điểm có hoành độ x = - 1 là: 4 2 0 A. – 2 B. 0 C. 1 D. 2
Hướng dẫn giải: Ta có f ( ¢ 1 - ) = 2 - . Chọn đáp án A. 1 Câu 26. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + 3x + .
1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 3
nghiệm của phương trình y¢¢ = 0 có phương trình: 11 1 1 11
A. y = x + .
B. y = -x - .
C. y = x + .
D. y = -x + . 3 3 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2
y¢ = x - 4x + 3
y¢ = 2x - 4 = 0 Û x = 2. æ 5 ö
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm Þ M 2; 0 0 ç ÷ è 3 ø 11
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = y¢ (x - ) 5 (2)
2 + Û y = -x + . 3 3
Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của (C) : 3
y = x tại điểm M ( 1 - ;-1) là: 0
A. y = 3x - 2.
B. y = 3x + 2.
C. y = 3x + 3. D. y = 3 - x + 3.
Hướng dẫn giải: Chọn B. + 2
y¢ = 3x Þ y ( ¢ 1 - ) = 3
+ PTTT của (C) tại điểm M ( 1
- ;-1)là y = 3(x +1) -1 Û y = 3x + 2. 0
Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của (C) : 3
y = x tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. y = 3x + 2.
B. y = 3x - 2.
C. y = 3x.
D. y = 3x - 3.
Hướng dẫn giải: Chọn B. + 2
y¢ = 3x Þ y ( ¢ 1) = 3.
+ x =1Þ y = y(1) = . 1 0 0
+PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y = 3(x -1) +1 Û y = 3x - 2. 2 x 11
Câu 29. Cho hàm số y = f (x) =
+ , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có 8 2 hoành độ x = 2 - là: 0 1 1 1
A. y = (x + 2) + 7 .
B. y = - (x - 2) + 7.
C. y = - (x + 2) + 6. D. 2 2 2 1
y = - (x + 2) - 6. 2
Hướng dẫn giải: Đáp án C
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x ; y
y - y = f ¢ x x - x 0 ( 0)( 0 ) 0 0 ) có phương trình là: x 1 f (
¢ x) = Þ f (¢ 2 - ) = - ; y = 6 4 2 0 Trang 7 1
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y = - ( x + 2) + 6 2 2 x + x -1
Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f (x) =
tại điểm có hoành độ x = 1 - là: x -1 0 3 5 3 5 4 5 4 5
A. y = x - .
B. y = x + .
C. y = x - .
D. y = x + . 4 4 4 4 3 4 3 4
Hướng dẫn giải: Chọn B
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x ; y
y - y = f ¢ x x - x 0 ( 0)( 0 ) 0 0 ) có phương trình là: 2 ¢ 2 æ x + x -1ö x - 2x 3 1 f ( ¢ x) = ç ÷ = , f ¢(- ) 1 = ; y (- ) 1 = è x -1 ø (x - )2 1 4 2 3 5
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 1
- có dạng y = x + . 0 4 4 Câu 31. Cho hàm số 2
y = f (x) = x + 5x + 4, có đồ thị (C). Tại các giao điểm của (C)với trục Ox ,
tiếp tuyến của (C) có phương trình:
A. y = 3x + 3 và y = 3 - x -12.
B. y = 3x - 3 và y = 3 - x +12. C. y = 3
- x + 3 và y = 3x -12.
D. y = 2x + 3 và y = 2 - x -12.
Hướng dẫn giải:. Đáp án A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm. éx = 1 - 2
x + 5x + 4 = 0 Û ê ëx = 4 -
f ¢(x) = 2x + 5 TH1: x = 1 - ; y = 0;f¢ 1 - = 3 y = 3x + 3 0 0 ( ) PTTT có dạng : TH2: x = 4; - y = 0;f¢ 4 - = 3 - y = 3 - x -12 0 0 ( ) PTTT có dạng : æ p ö
Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f ( x) = tan
- 3x tại điểm có hoành độ ç ÷ è 4 ø p x = là: 0 6 p p p
A. y = -x + + 6 .
B. y = -x - - 6. C. y = 6 - x +p - . 1
D. y = -x - + 6. 6 6 6
Hướng dẫn giải: Chọn C f ( x) 3 - ¢ = ; p 2 æ ö cos - 3 ç x ÷ è 4 ø p x = ; y = 1 - ; f ¢(x = 6 - 0 ) 0 6 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 6 - x +p - . 1 æ 3 ö Câu 33. Cho hàm số 3 2
y = 2x - 3x +1 có đồ thị (C), tiếp tuyến với (C)nhận điểm M ; y làm 0 ç 0 ÷ è 2 ø
tiếp điểm có phương trình là: 9 9 27 9 23 9x 31
A. y = x.
B. y = x - .
C. y = x - . D. y = - . 2 2 4 2 4 2 4
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Trang 8
Tập xác định: D = ! . 3
Ta có x = Þ y = 1. 0 0 2 Đạo hàm của hàm số 2
y¢ = 6x - 6x. æ 3 ö 9
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M ; y là k = . 0 ç 0 ÷ è 2 ø 2 9 23
Phương trình của tiếp tuyến là y = x - 2 4 Câu 34. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x - 6x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
A. y = 3x - 6
B. y = 3x - 7
C. y = 3x - 4
D. y = 3x - 5 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y ' = 3x + 6x - 6.
Ta có: x =1Þ y = 1 - , y '(1) = 3 0 0
Phương trình tiếp tuyến là: y = y '(x )(x - x ) + y = 3(x -1) -1 = 3x - 4 0 0 0 Câu 35. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x - 6x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ tiếp điểm bằng 9 é y =18x + 81 é y = x + 81 é y =18x +1 é y = x + 81 A. ê y = 9 - x
B. ê y = 9x C. ê y = 9 - x D. ê y = 9 - x ê ê ê ê ê y =18x - 27 ë ê y = 9x - 2 ë ê y = 9x - 7 ë ê y = 9x - 2 ë Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y ' = 3x + 6x - 6. Ta có: 3 2
y = 9 Û x + 3x - 6x - 8 = 0 Û x = 1, - x = 2, x = 4 - . 0 0 0 0 0 0 0 • x = 4
- Þ y '(x ) =18. Phương trình tiếp tuyến là: y =18(x + 4) + 9 =18x + 81 0 0 • x = 1 - Þ y '(x ) = 9
- . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9( - x +1) + 9 = 9 - x 0 0
• x = 2 Þ y '(x ) =1 . P
8 hương trình tiếp tuyến là: y =18(x - 2) + 9 =18x - 27. 0 0 Câu 36. Cho hàm số 3
y = x - 3x + (C). V 1
iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y = 3 - x +12 B. y = 3 - x +11 C. y = 3 - x +1 D. y = 3 - x + 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2 y ' = 3x - . G 3
ọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm
Ta có: x = 0 Þ y =1, y '(x ) = 3 - 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 3 - x +1. Câu 37. Cho hàm số 3
y = x - 3x + (C). V 1
iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 3
A. y = 9x -1 hay y = 3
B. y = 9x - 4 hay y = 3
C. y = 9x - 3 hay y = 3
D. y = 9x -13 hay y = 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2 y ' = 3x - . G 3
ọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 3
y = 3 Û x - 3x - 2 = 0 Û x = 2, x = - 1 0 0 0 0 0 Trang 9 • x = 1
- Þ y '(x ) = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 3 0 0
• x = 2 Þ y '(x ) = 9. Phương trình tiếp tuyến: 0 0
y = 9(x - 2) + 3 = 9x -13.
Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 4 2
y = 2x - 4x +1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1 é y = 1 é y = 1 é y = 1 é y = 1 ê ê ê ê
A. y = 8 2x - 5
B. y = 8 2x -15
C. y = 8 2x -1
D. y = 8 2x -10 ê ê ê ê ê y = -8 2x -5 ê ê ê ë y = -8 2x -15 ë y = 8 - 2x -1 ë y = -8 2x -10 ë Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 3
y ' = 8x -8x
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm. Ta có: 4 2
y =1Û 2x - 4x = 0 Û x = 0, x = ± 2 0 0 0 0 0
• x = 0 Þ y '(x ) = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 1 0 0
• x = 2 Þ y '(x ) = 8 2 . Phương trình tiếp tuyến 0 0
y = 8 2 (x - 2) +1= 8 2x -15
• x = - 2 Þ y '(x ) = 8
- 2 . Phương trình tiếp tuyến 0 0 y = 8 - 2 (x + 2)+1= 8 - 2x -15. Câu 39. Cho hàm số 4 2
y = x + x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 1
A. y = 2 B. y = 1 C. y = 3 D. y = 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 3
y ' = 4x + 2x. Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có 4 2
y = 1 Û x + x = 0 Û x = 0, y '(x ) = 0 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 1 2x + 2
Câu 40. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng x -1 2 - . é y = -x + 7 é y = -x + 7 é y = -x + 27 é y = -x + 27 A. B. C. D. ê ê ê ê ë y = -x -1 ë y = -x - 21 ë y = -x - 21 ë y = -x -1 4 - 2x + 2 0 D : y = (x - x ) + . 2 0 (x -1) x -1 0 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 -
Hàm số xác định với mọi x ¹ 1. Ta có: y ' = 2 (x -1)
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 0 0
Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 - nên ta có 4 - = 1
- Û x = 3, x = 1 - 2 0 0 (x -1) 0
• x = 2 Þ y = 4 Þ D : y = -x + 7 0 0 • x = 1
- Þ y = 0 Þ D : y = -x -1 0 0 Trang 10 ax + b
Câu 41. Cho hàm số y =
, có đồ thị là (C). Tìm a, bbiết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao x - 2 1
điểm của (C) và trục Ox có phương trình là y = - x + 2 2
A. a = - 1, b = 1
B. a = - 1, b = 2
C. a = - 1, b = 3
D. a = - 1, b = 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1
Giao điểm của tiếp tuyến d : y = - x + 2 với trục Ox là A(4;0),hệ số góc của d : k = - và 2 2 4a + b A(4;0), Î(C) Û
= 0 Û 4a + b = 0. 2 2 - a -b 2 - a -b Ta có: y ' = Þ y 4 = 2 ( ) (x - 2) 4 1 1 2 - a - b 1
Theo bài toán thì: k = - Û y '(4) = - Û
= - Û 2a + b = 2 2 2 4 2 ì4a + b = 0 Giải hệ í ta được a = - 1, b = 4 î2a + b = 2 Câu 42. Cho hàm số 3
y = x - 3x +
1 có đồ thị là (C).Giả sử (d )là tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ x = 2 , đồng thời (d ) cắt đồ thị (C) tại N, tìm tọa độ N. A. N (1; ) 1 -
B. N (2;3) C. N ( 4; - 5 - ) 1
D. N (3;19) Hướng dẫn giải: Chọn C.
Tiếp tuyến (d ) tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ x = 2 Þ y = 3 0 0 Ta có 2
y '(x) = 3x - 3 Þ y '(x ) = y '(2) = 9 0
Phương trình tiếp tuyến (d ) tại điểm M của đồ thị (C) là
y = y '(x )(x - x ) + y Þ y = 9(x - 2) + 3 Þ y = 9x -15 0 0 0 Xét phương trình 3 3
x - x + = x -
Û x - x + = Û (x - )( 2 3 1 9 15 12 16 0
2 x + 2x -8) = 0 Û x = 4
- hoặc x = 2 ( không thỏa ) Vậy N ( 4; - 5 - ) 1 là điểm cần tìm
Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x - 6x +11x -
1 tại điểm có tung độ bằng 5.
A. y = 2x +
1 ; y = -x + 2 ; y = 2x - 1
B. y = 2x + 3 ; y = -x + 7 ; y = 2x - 2
C. y = 2x +
1 ; y = -x + 2 ; y = 2x - 2
D. y = 2x + 3 ; y = -x + 7 ; y = 2x - 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 3 2
y = 5 Û x - 6x +11x - 6 = 0 Û x =1; x = 2; x = 3
Phương trình các tiếp tuyến: y = 2x + 3 ; y = -x + 7 ; y = 2x - 1 2x + m +1
Câu 44. Cho hàm số y =
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = 2 x -1 0 25
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 2 Trang 11 é 23 é 23 é 23 é 23 m = 2; - m = - ê m = 2;m = ê m = 2; - m = - ê m = 2;m = - ê A. 9 ê B. 9 ê C. 9 ê D. 9 ê 28 ê 28 28 28 m = 7; - m = - ê ê ê ê m = 7; - m = - m = 7;m = m = 7; - m = ë 9 êë 9 êë 9 êë 9 Hướng dẫn giải:
Chọn A. -m-3 Ta có: y ' = 2 (x -1)
Ta có x = 2 Þ y = m + 5, y '(x ) = -m - 3. Phương trình tiếp tuyến D của (Cm) tại điểm có hoành độ 0 0 0 x = 2 là: 0
y = (-m - 3)(x - 2) + m + 5 = (-m - 3)x + 3m +1 . 1 æ m + • 3 11 ö
D Ç Ox = A Þ A ;0 , với m + 3 ¹ 0 ç ÷ è m + 3 ø
• D ÇOy = B Þ B(0;3m+1 ) 1 2 1 1 (3m +11)
Suy ra diện tích tam giác OAB là: S = O . A OB = 2 2 m + 3 2 1 (3m +11) 25
Theo giả thiết bài toán ta suy ra: = 2 m + 3 2 2 9
é m + 66m +121= 25m + 75 2
Û (3m +11) = 25 m + 3 Û ê 2 9
ë m + 66m +121= 2 - 5m - 75 é 23 2 m = 2; - m = -
é9m + 41m + 46 = 0 ê 9 Û ê Û ê . 2
ë9m + 91m +196 = 0 28 êm = 7; - m = - êë 9 ( )
Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị = ( ), = ( ), = f x y f x y g x y
tại điểm của hoành độ x = 0 g(x)
bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 1
A. f (0) <
B. f (0) £
C. f (0) >
D. f (0) ³ 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. '(0). (0) - '(0) (0)
Theo giả thiết ta có: '(0) = '(0) = f g g f f g 2 g (0)
ì f '(0) = g '(0) 2 ï 1 æ 1 ö 1 2 Û í
g(0) - f (0) Þ f (0) = g(0) - g (0) = - g(0) - £ 1 ç ÷ = 4 ï è 2 ø 4 2 î g (0)
Câu 46. Tìm trên (C) : 3 2
y = 2x - 3x +
1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng 8. A. M ( 1 - ; 4) - B. M ( 2 - ; 2 - 7)
C. M (1;0)
D. M (2;5) Hướng dẫn giải: Chọn A.
Giả sử M (x ; y )Î(C) Þ 3 2
y = 2x - 3x +1. Ta có: 2
y¢ = 3x - 6x . 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến D tại M: 2 3 2
y = (6x - 6x )(x - x ) + 2x - 3x +1. 0 0 0 0 0 D đi qua P(0;8) Û 3 2 8 = 4 - x + 3x + 1 Û x = - . V 1 ậy M ( 1 - ; 4) - . 0 0 0 x
Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f (x) = tại điểm M ( 1 - ; - ) 1 là: x + 2 Trang 12 A. y = 2 - x -1. B. y = 2 - x + . 1
C. y = 2x + . 1
D. y = 2x - . 1
Hướng dẫn giải: Chọn C f ¢( x) 2 = (x + 2)2 Ta có x = 1 - ; y = 1 - ; f ¢(x = 2 0 ) 0 0
Phương trình tiếp tuyến y = 2x + . 1
Câu 48. Tiếp tuyến của parabol 2
y = 4 - x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Hướng dẫn giải: Chọn D. + y¢ = 2
- x Þ y (¢1) = 2 - .
+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y = 2(
- x -1) + 3 Û y = 2 - x + 5 (d) . æ 5 ö
+ Ta có (d) giao Ox tại A
;0 , giao Oy tại B(0;5) khi đó (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác ç ÷ è 2 ø
vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25
Diện tích tam giác vuông OAB là: S = O . A OB = . .5 = . 2 2 2 4 1
Câu 49. Trên đồ thị của hàm số y =
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x -1
độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là: æ 1 ö æ 3 4 ö æ 3 ö A. (2 ) ;1 . B. 4; . C. - ;- . D. ; 4 - . ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 4 7 ø è 4 ø
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có: y ' = -
. Lấy điểm M (x ; y Î C 0 0 ) ( ). (x - )2 1 1 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = - . x - x + D 2 ( 0 ) ( ). (x - )1 x -1 0 0
Giao với trục hoành: (D)ÇOx=A(2x -1;0 0 ). æ 2x 1 ö - Giao với trục tung: (D) 0 Ç Oy=Bç0; ÷ ç (x )2 1 ÷ - è 0 ø 2 1 æ 2x -1ö 3 æ 3 ö 0 S = O . AOB Û 4 = x M ; -4 . OAB ç ÷ Û = . Vậy 0 ç ÷ 2 x -1 4 è è 4 ø 0 ø Câu 50. Cho hàm số 2
y = f (x) = -x + 5, có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ y = 1
- với hoành độ x < 0 là 0 0
A. y = 2 6 (x + 6) - .1 B. y = 2 - 6 (x + 6) -1.
C. y = 2 6 (x - 6) + . 1
D. y = 2 6 (x - 6) - .1
Hướng dẫn giải: Chọn A f ¢(x) = 2 - x
Do x < 0 nên x = - 6 ; f ¢( x = 2 6 0 ) . 0 0 Trang 13
Phương trình tiếp tuyến: y = 2 6 (x + 6) - .1 Câu 51. Cho hàm số 4 2
y = x -8x + m +
1 (C ). Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có m hoành độ x =
1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. 0 A. (
A 1;m - 6), B ( 1
- ± 3;m +18 ± 3) B. (
A 1;m - 6), B ( 1 - ± 7;m +18 ! 7 ) C. (
A 1;m - 6), B ( 1
- ± 2;m +18 ± 2 ) D. (1
A ;m - 6), B ( 1
- ± 6;m +18 ! 6) Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 3
y ' = 4x -16x
Vì x =1Þ y = m - 6, y '(x ) = 1
- 2. Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 0 0 0 0 là: y = 12( -
x -1) + m - 6 = 12 - x + m + 6.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d 4 2 4 2
x -8x + m +1 = 1
- 2x + m + 6 Û x -8x +12x - 5 = 0 2 2
Û (x -1) (x + 2x - 5) = 0 Û x =1, x = 1 - ± 6
Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt (1
A ;m - 6), B ( 1
- ± 6;m +18 ! 6) 2x + m +1
Câu 52. Cho hàm số y =
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = 0 x -1 0 đi qua (4 A ;3) 16 6 1 16 A. m = -
B. m = -
C. m = - D. m = - 5 5 5 15 Hướng dẫn giải:
Chọn D. -m-3 Ta có: y ' = 2 (x -1)
Vì x = 0 Þ y = -m -1, y '(x ) = -m - 3. Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ 0 0 0 x = 0 là: 0
y = (-m - 3)x - m - 1 16
Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 = (-m - 3)4 - m -1 Û m = - . 5 Câu 53. Cho hàm số 4 2
y = x + 2x - 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến 5 điểm M (0; 3 - ) bằng . 65
A. y = 2x + 1
B. y = 3x - 2
C. y = 7x + 6
D. Đáp án khác Hướng dẫn giải:
Gọi AÎ(C) Þ A( 4 2 ; a a + 2a -3) Ta có: 3
y = x + x Þ y (a) 3 ' 4 4 ' = 4a + 4a
Phương trình tiếp tuyến (t ): ( 3 a + a) 4 2 4
4 x - y -3a - 2a -3 = 0 4 2 3a + 2a 5 d (M (t)) 5 ; = hay = hay 65 ( a + a)2 3 65 4 4 +1 (a- )(a+ )( 6 4 2 5 1
1 117a +193a +85a + 5) = 0
Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm. Trang 14 4 2 x x
Câu 54. Cho hàm số y = +
+ 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết 4 2 9
khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng . 4 5 1 3 3 3
A. y = 2x + , y = 2 - x +
B. y = 2x + , y = 2 - x + 4 4 4 14 3 3 3 3
C. y = 2x + , y = 2 - x +
D. y = 2x + , y = 2 - x + 4 4 14 4 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = y '(x )(x - x + +y(x ) 0 0 0
(trong đó x là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). 0 4 2 x x 3 1 Phương trình (d): 3 0 0 3 4 2
y = (x + x )(x - x ) + +
+ 2 = (x + x )x - x - x + 2 0 0 0 0 0 0 0 4 2 4 2 3 1 3 4 2
Û (x + x )x - y - x - x + 2 = 0. 0 0 0 0 4 2 3 4 1 2 - x - x -1 0 0 9 4 2 9 d( ; A (d)) = Û = 3 2 4 5 (x + x ) +1 4 5 0 0 4 2 2 2 2
Û 3x + 2x + 4 5 = 9 x (x +1) +1 4 2 2 2 2 2
Û 5(3x + 2x + 4) = 81[x (x +1) +1] 0 0 0 0 0 0 0 0 Đặt 2
t = x , t ³ 0. Phương trình (1) trở thành: 2 2 2
5(3t + 2t + 4) = 81[t(t +1) +1] 0 4 2 3 2 3 2
Û 5(9t + 4t +16 +12t + 24t +16t) = 81t +162t +81t +81 4 3 2 3 2
Û 45t - 21t - 22t -t -1= 0 Û (t -1)(45t + 24t + 2t +1) = 0 3 2
Û t =1 (do t ³ 0 ê
n n 45t + 24t + 2t +1 > 0) Với t = 1,ta có 2 x = 1 Û x = 1 ± . 0 0 3 3
Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x + , y = 2 - x + 4 4 Câu 55. Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c (a ¹ 0) , có đồ thị là (C). Tìm a, b,cbiết (C) có ba điểm cực
trị, điểm cực tiểu của (C) có tọa độ là (0;3)và tiếp tuyến d của (C) tại giao điểm của (C)với trục Ox
có phương trình là y = 8 - 3x + 24 . A. a = 1 - , b = 2, c = 3
B. a =1, b = 21, c = 3 C. a = 1 - , b = 21, c =13 D. a = 1 - 2, b = 22, c = 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. (
ìa < 0,b > 0
C)có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của (C) có tọa độ là (0;3) Û í îc = 3
Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B ( 3;0) và hệ số góc của d là 8 - 3 ìB Î(C) 9
ì a + 3b + c = 0 ï ï 9
ì a + 3b + c = 0 Û íïîy ( ) Û í Û í = - 4 ïî a( 3)3 . ' 3 8 3 + 2b 3 = 8 - 3 î6a + b = 4 - ìc = 3 ï Giải hệ 9
í a + 3b + c = 0 ta được 4 2 a = 1
- , b = 2, c = 3 Þ y = -x + 2x + 3 ï6a +b = 4 - î Trang 15 2x + 2
Câu 56. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x -1
tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
A. y = -x -1, y = -x + 6.
B. y = -x - 2 y = -x + 7.
C. y = -x -1, y = -x + 5.
D. y = -x -1, y = -x + 7. Hướng dẫn giải: Chọn D. -4
Hàm số đã cho xác định với "x ¹ 1. Ta có: y ' = (x - )2 1
Gọi M (x ; y (C): 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của 4 - 2x + 2 4 - 2x + 2 y = x - x + y '( x = 0 y = 0 ) 2 ( 0 ) 0 với và (x - )1 x -1 (x -1 0 x -1 0 )2 0 0 0
Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 ± .
Mặt khác: y '(x < 0 y '(x = 1 - 0 ) 0 ) , nên có: 4 - Tức = 1 - Û x = 1 - hoặc x = 3. (x -1 0 0 )2 0 * Với x = 1
- Þ y = 0 Þ D : y = -x -1 0 0
* Với x = 3 Þ y = 4 Þ D : y = -x + 7 0 0
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -x -1, y = -x + 7. 2x + 2
Câu 57. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x -1
tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 4 2
A. y = - x - , y = 4x +14.
B. y = - x - , y = 4x + . 1 9 9 9 9 4 1 4 2
C. y = - x - , y = 4x + . 1
D. y = - x - , y = 4x +14. 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. -4
Hàm số đã cho xác định với "x ¹ 1. Ta có: y ' = (x - )2 1
Gọi M (x ; y (C): 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của 4 - 2x + 2 4 - 2x + 2 y = x - x + y '( x = 0 y = 0 ) 2 ( 0 ) 0 với và (x - )1 x -1 (x -1 0 x -1 0 )2 0 0 0 æ 2 ö
Khoảng cách từ M (x ; y Oy 2 x = 2 ± M 2; - M (2;6) 0 0 ) đến trục bằng suy ra , hay , . 0 ç ÷ è 3 ø æ 2 ö 4 2
Phương trình tiếp tuyến tại M 2; - là: y = - x - ç ÷ è 3 ø 9 9
Phương trình tiếp tuyến tại M (2;6) là: y = 4x +14 4 2
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = - x - , y = 4x +14. 9 9 2 2
x + 2mx + 2m -1
Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số y =
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các x -1
tiếp tuyến với (Cm ) tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m = B. m = 1 -
C. m = , m = 1 -
D. m = 0 3 3 Trang 16 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Hàm số đã cho xác định trên ! \{ } 1 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và trục hoành: 2 2
x + 2mx + 2m -1 2 2
= 0 Û x + 2mx + 2m -1= 0, ( x ¹ ) 1 ( ) 1 x -1 Để (C , A B ( ) 1
m ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình
phải có hai nghiệm phân biệt 2 2
ìïD' = m - 2m +1> 0 ( ì 1- ï m)(1+ m) > 0 ì-1 < m < 1
khác 1. Tức là ta phải có: í hay í tức í (2). 2 1
ïî + 2m + 2m -1¹ 0 ï2 î m(m + ) 1 ¹ 0 îm ¹ 0
Gọi x ; x là hai nghiệm của ( )
1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x + x = 2 - , m 2
x .x = 2m - 1 1 2 1 2 1 2
Giả sử I (x ;0 (C (C I m ) m ) 0 ) là giao điểm của
và trục hoành. Tiếp tuyến của
tại điểm có hệ số góc
(2x + 2m)(x - )1-( 2 2
x + 2mx + 2m -1 0 0 0 0 ) ( 2x + 2m y ' x = = 0 ) 0 (x - )2 1 x -1 0 0 2x + 2m 2x + 2m
Như vậy, tiếp tuyến tại ,
A B lần lượt có hệ số góc là y '( x = y '( x = 2 ) 2 1 ) 1 , . x -1 x -1 1 2 Tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc nhau khi và chỉ khi y '(x y' x = 1 - 1 ) ( 2) hay
æ 2x + 2m öæ 2x + 2m ö 1 2 ç ÷ç ÷ = 1
- Û 5x .x + 4m -1 x + x + 4m +1= 0 2
3m + m - 2 = 0 Û m = 1 - 1 2 ( )( 1 2) 2 tức x -1 x -1 è 1 øè 2 ø 2 2
hoặc m = . Đối chiếu điều kiện chỉ có m = thỏa mãn. 3 3 Trang 17
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC 2 - 3x
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục x -1 hoành bằng : 1 A. 9 . B. . C. 9. - 1 D. - . 9 9
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! \{ } 1 . 1 Đạo hàm: y¢ = . (x - )2 1 æ 2 ö
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A ; 0 . ç ÷ è 3 ø æ 2 ö
Hệ số góc của tiếp tuyến là y¢ = 9. ç ÷ è 3 ø 3 x
Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y =
+ 3x - 2 có hệ số góc k = 9, - có phương trình là : 3 A. y -16 = 9( - x + 3) . B. y = 9( - x + 3). C. y -16 = 9( - x - 3). D. y +16 = 9( - x + 3) .
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 2
y¢ = x + 6x . k = - Û ¢ y (x x x x x y o ) = - Û + = - Û o o ( + o )2 2 9 9 6 9 3 = 0 Û = 3 - Þ =16 o o
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d ): y = 9 - (x + ) 3 +16 Û y -16 = 9 - (x +3). x -1
Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại giao điểm với trục tung bằng : x +1 A. 2. - B. 2. C. 1. D. 1. -
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Tập xác định: D = ! \{- } 1 . 2 Đạo hàm: y¢ = . (x + )2 1
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có x = 0 Þ y¢ = 2. o o Câu 4. Cho hàm số 3 2
y = x - 3x có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường
thẳng y = 9x +10? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 2 y¢ = 3x - 6 . x éx = 3 2 2
k = 9 Þ 3x - 6x - 9 = 0 Û x - 2x - 3 = 0 Û o . o o o o êx = 1 - ë o
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 4
y = x + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
d : x + 5y = 0 có phương trình là: Trang 18
A. y = 5x - 3.
B. y = 3x - 5.
C. y = 2x - 3.
D. y = x + 4.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : 3 y¢ = 4x +1 1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x nên tiếp tuyến có hệ số góc y¢( 3 x = 4x +1 = 5 0 ) 5 0 Þ x = 1 ( y = 2 0 ) 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1;2) có dạng y = 5(x - ) 1 + 2 = 5x - . 3 2 x + 3x + 2
Câu 6. Gọi (C) là đồ thị hàm số y =
. Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó x -1
với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4.
A. (1+ 3;5 + 3 3),(1- 3;5 - 3 3). B. (2; 12). C. (0; 0). D. ( 2; - 0).
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Tập xác định: D = ! \{ } 1 .
(2x +3)(x - )1-( 2x +3x + 2) 2x -2x -5 Đạo hàm: y¢ = = . (x - )2 1 (x - )2 1
Giả sử x là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán Þ y¢(xo ) = - 1 o 2 x - 2x - 5 Þ o o = 1
- Þ x - 2x - 5 = - x -1 2 o o ( o )2 2 (x - o )1 2 2
Û 2x - 4x - 4 = 0 Û x - 2x - 2 = 0 o o o o
Û x =1± 3 Þ y = 5± 3 3. o
Câu 7. Biết tiếp tuyến (d ) của hàm số 3
y = x - 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất. Phương trình (d ) là: 1 18 - 5 3 1 18 + 5 3
A. y = -x + + , y = -x + + . 3 9 3 9
B. y = x, y = x + 4 . 1 18 - 5 3 1 18 + 5 3
C. y = -x + + , y = -x - + . 3 9 3 9
D. y = x - 2, y = x + 4.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: D = ! . Chọn C. 2 y¢ = 3x - 2.
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình D : x = . y
Þ (d) có hệ số góc là 1. - y¢(x x x o ) 1 2 = 1 - Û 3 - 2 = 1 - Û = ± . o o 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là - + (d ) 1 18 5 3 1 18 5 3 : y = -x + + , y = -x - + . 3 9 3 9 Trang 19 p
Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x = . 4 1 2 A. k = 1. B. k = . C. k = . D. 2 . 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1
y = tan x Þ y¢ = . 2 cos x p æ p ö
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x = là k = y¢ = 2. ç ÷ 4 è 4 ø
Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong = ( ) 1 = - x y f x
sin tại điểm có hoành độ x = p là: 2 3 0 3 1 A. - 3 . B. . C. - 1 . D. . 12 12 12 12
Hướng dẫn giải: Chọn C ¢( ) 1 p = - x f x cos Þ f ¢(p ) 1 1 = - cos = - 6 3 6 3 12 Câu 10. Cho hàm số 3 2
y = x – 6x + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng 2 - ? A. (–1; –9); (3; ) –1 . B. (1;7); (3;– ) 1 .
C. (1;7); (–3; –97).
D. (1;7); (–1; –9).
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi M (x ; y 2
y¢ = 3x -12x + 7 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có . Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 - Þ y¢(x = 2 - 2
Û 3x -12x + 7 = 2 - 0 ) 0 0 éx =1Þ y = 7 2 0 0
Û 3x -12x + 9 = 0 Û . 0 0 êx = 3Þ y = 1 - ë 0 0 2 x + 3x + 3
Câu 11. Cho hàm số y =
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng. x + 2
d : 3y – x + 6 = 0 là
A. y = –3x – 3; y = –3x – . 11
B. y = –3x – 3; y = –3x + . 11
C. y = –3x + 3; y = –3x – . 11
D. y = –3x – 3; y = 3x –11.
Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1
d : 3y – x + 6 = 0 Û y = x - 2 Þ k = . 3 d 3 2 x + 4x + 3
Gọi M (x ; y y¢ = 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có . (x + 2)2 1
Tiếp tuyến vuông góc với d Þ k .k = 1 - Û k = - = 3 - Þ y¢(x = 3 - tt 0 ) tt d kd é 3 x = - 2 x + 4x + 3 ê 0 0 0 Û = 3 - 2 2
Û 4x +16x +15 = 0 Û ê . (x + 2)2 0 0 5 0 êx = - 0 êë 2 3 3 æ ö
Với x = - Þ y = Þ 3 3 pttt: y = 3 - x + + Û y = 3 - x - 3. 0 0 ç ÷ 2 2 è 2 ø 2 Trang 20 5 7 æ ö
Với x = - Þ y = - Þ 5 7 pttt: y = 3 - x +
- Û y = -3x -1 . 1 0 0 ç ÷ 2 2 è 2 ø 2 5
Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – ) 4
1 x – m + tại điểm có hoành độ x = –1 4
vuông góc với đường thẳng d : 2x – y – 3 = 0. 3 1 7 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 16
Hướng dẫn giải: Chọn D.
d : 2x – y – 3 = 0 Û y = 2x -3 Þ k = 2. d y = (2m – ) 5 4
1 x – m + Þ y¢ = 4(2m - ) 3 1 x . 4 5
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – ) 4
1 x – m + tại điểm có hoành độ x = –1 là 4
k = y¢(- ) = ( m- )(- )3 1 4 2 1 1 = 4 - (2m- tt )1. Ta có k k = - Û - m m tt d ( - ) 9 . 1 8 2 1 = 1 - Û = 16 ax + b
Câu 13. Cho hàm số y =
có đồ thị cắt trục tung tại A(0; – )
1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc x -1 k = 3
- . Các giá trị của a , b là
A. a = 1, b = 1.
B. a = 2 , b = 1.
C. a = 1, b = 2.
D. a = 2 , b = 2.
Hướng dẫn giải: Chọn B. ax + b b A(0; – ) 1 Î(C) : y = Þ = 1 - Û b = . 1 x -1 1 - -a - b Ta có y¢ =
. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k = y¢(0) = -a -b = - ( 3 x - )2 1
Û a = 3- b = 2.
Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số 3 2
y = x – 3x –
1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong
tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là
A. M (1; –3), k = –3.
B. M (1;3), k = –3.
C. M (1; –3), k = 3. D. M ( 1 - ; – ) 3 , k = –3.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi M (x ; y 2
y¢ = 3x - 6x 0 0 ) . Ta có .
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là k = y¢(x = 3x -6x = 3 x -1 -3 ³ 3 - 0 ) 0 0 ( 0 )2 2
Vậy k bé nhất bằng 3 - khi x = , 1 y = 3 - . 0 0 Câu 15. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x - 6x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 1
tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x + 1 18
A. : y =18x + 8 và y = 18x - 27.
B. : y =18x + 8 và y = 18x - 2.
C. : y = 18x + 81 và y = 18x - 2.
D. : y = 18x + 81 và y =18x - 27. Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y ' = 3x + 6x - 6. Trang 21 1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - x + 1 nên 18 Ta có: 2
y '(x ) = 15 Û x + 2x - 8 = 0 Û x = 4 - , x = 2 0 0 0 0 0
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x - 27. Câu 16. Cho hàm số 3
y = x - 3x + (C). V 1
iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9
A. y = 9x -1 hay y = 9x +17
B. y = 9x -1 hay y = 9x + 1
C. y = 9x -13 hay y = 9x + 1
D. y = 9x -13 hay y = 9x +17 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2 y ' = 3x - . G 3
ọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y '(x ) = 9 Û 3x - 3 = 9 Û x = 2 ± 0 0 0
• x = 2 Þ y = 3. Phương trình tiếp tuyến: 0 0
y = 9(x - 2) + 3 = 9x -13. • x = 2 - Þ y = 1
- . Phương trình tiếp tuyến: 0 0
y = 9(x + 2) -1 = 9x +17. Câu 17. Cho hàm số 3
y = x - 3x + (C). V 1
iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.
A. y = 2, y = 1 -
B. y = 3, y = 1 -
C. y = 3, y = 2 - D. x = 3, x = 1 - Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 2 y ' = 3x - . G 3
ọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y '(x ) = 0 0 Hay x = 1
± . Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 3, y = 1 - . 0
Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 4 2
y = 2x - 4x +1 biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng y = 48x -1.
A. y = 48x - 9
B. y = 48x - 7
C. y = 48x -10
D. y = 48x - 79 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 3
y ' = 8x -8x
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x -1 Nên ta có: 3
y '(x ) = 48 Û x - x - 6 = 0 Û x = 2 0 0 0 0
Suy ra y = 17. Phương trình tiếp tuyến là: 0
y = 48(x - 2) +17 = 48x - 79 . Câu 19. Cho hàm số 4 2
y = x + x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
song song với đường thng y = 6x - 1
A. y = 6x - 2
B. y = 6x - 7
C. y = 6x - 8
D. y = 6x - 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 3
y ' = 4x + 2x. Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x - 1 nên ta có: 3
y '(x ) = 6 Û 4x + 2x = 6 Û x = 1Þ y = 3 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 6x - 3. Trang 22 2x + 2
Câu 20. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song x -1
với đường thẳng d : y = 4 - x + . 1 é y = 4 - x + 2 é y = 4 - x + 21 é y = 4 - x + 2 é y = 4 - x +12 A. B. C. D. ê ê ê ê ë y = 4 - x +14 ë y = 4 - x +14 ë y = 4 - x +1 ë y = 4 - x +14 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 -
Hàm số xác định với mọi x ¹ 1. Ta có: y ' = 2 (x -1)
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 0 0
Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y = 4 - x + 1 nên ta có: 4 - y '(x ) = 4 - Û = 4
- Û x = 0, x = 2. 0 2 0 0 (x -1) 0
• x = 0 Þ y = 2 Þ D : y = 4 - x + 2 0 0
• x = 2 Þ y = 6 Þ D : y = 4 - x +14. 0 0 2x + 2
Câu 21. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với x -1
hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. é y = -x -11 é y = -x -11 é y = -x -1 é y = -x -1 A. B. C. D. ê ê ê ê ë y = -x + 7 ë y = -x +17 ë y = -x +17 ë y = -x + 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 -
Hàm số xác định với mọi x ¹ 1. Ta có: y ' = 2 (x -1)
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 0 0
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một
trong hai đường phân giác y = ±x, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
± hay y '(x ) = ± . M 1 à 0
y ' < 0, "x ¹ 1 nên ta có 4 - y '(x ) = 1 - Û = 1 - Û x = 1 - , x = 3 0 2 0 0 (x -1) 0 • x = 1
- Þ y = 0 Þ D : y = -x -1 0 0
• x = 3 Þ y = 4 Þ D : y = -x + 7. 0 0 2x +1
Câu 22. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc x -1 1
với đường thẳng y = x + 2 3 A. y = 3 - x -1 1 hay y = 3 - x +11 B. y = 3 - x -1 1 hay y = 3 - x +1 C. y = 3 - x - 1 hay y = 3 - x +1 D. y = 3 - x - 1 hay y = 3 - x +11 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 - 1 Ta có y ' =
. Gọi M (x ; y y = x + 2 0
0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 (x -1) 3 nên ta có 3 - y '(x ) = 3 - Û = 3
- Û x = 0, x = 2 0 2 0 0 (x -1) 0
• x = 0 Þ y = - , phươ 1 ng trình tiếp tuyến là: 0 0 y = 3 - x - 1 Trang 23
• x = 2 Þ y = 5, phương trình tiếp tuyến là: 0 0 y = 3( - x - 2) + 5 = 3 - x +1 . 1 Câu 23. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + 8x + 5 có đồ thị là (C). Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm M (1;17)
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 2
y '(x) = 3x - 4x +8
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với nhau.
Gọi x , x tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. 1 2
Gọi k , k lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ x , x . 1 2 1 2 Khi đó ' k ,k = 1 - Þ y (x ) ' .y (x ) = 1 - Þ ( 2 3x - 4x +8)( 2 3x - 4x +8 = 1 - ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ) Tam thức f (t) 2 = 3t - 4t +
8 có D ' < 0 nên f (t) > 0"t ÎR từ đó và từ ( ) 1 suy ra mâu thuẫn.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) 2 x - 3x +1
Câu 24. Cho hàm số y =
và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 của đồ thị x - 2 hàm số là
A. y = 2x –1; y = 2x – 3.
B. y = 2x – 5; y = 2x – 3.
C. y = 2x –1; y = 2x – 5.
D. y = 2x –1; y = 2x + 5.
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x - 4x + 5
Gọi M (x ; y y¢ = 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có . (x - 2)2 2 x - 4x + 5 éx =1
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 2 Þ y¢(x = 2 0 0 Û = 2 2 0
Û x - 4x + 3 = 0 Û 0 ) . ( ê x - 2)2 0 0 x = 3 0 ë 0
Với x =1Þ y =1 Þ pttt: y = 2(x - )
1 +1 Û y = 2x - . 1 0 0
Với x = 3 Þ y =1Þ pttt: y = 2(x -3) +1Û y = 2x -5. 0 0
Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2x – , 1 y = 2x – 5. Câu 25. Cho hàm số 2
y = x - 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. x = 3. - B. y = 4. - C. y = 4. D. x = 3.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Tập xác định: D = ! .
Đạo hàm: y¢ = 2x - 6 .
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có: y¢(x x x y d y o ) = 0 Þ 2 -6 = 0 Û = 3Þ = 4 - Þ : = 4 - . o o o
Câu 26. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số 3 2
y = x - 3x + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3 - . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: ¢
y = x - x = (x - )2 2 3 6 3 1 -3 ³ 3 - . Trang 24
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 - . 4
Câu 27. Cho hàm số y = 2 - có đồ thị (H ). Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng x
d : y = -x + 2 và tiếp xúc với (H ) thì phương trình của D là é y = x - 2 é y = x - 2
A. y = x + 4. B. . C. . D. Không tồn tại. ê ê ë y = x + 4 ë y = x + 6
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.
Tập xác định: D = ! \{ } 0 . 4 Đạo hàm: y¢ = 2 x
Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng d : y = -x + 2 nên D có hệ số góc bằng 1. Ta có phương 4 éx = 2 trình 1 = Û . 2 ê x ëx = 2 -
Tại M (2;0). Phương trình tiếp tuyến là y = x - 2. Tại N ( 2;
- 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 6.
Câu 28. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
(C) : y = x + 3x -8x + , 1 biết tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng D : y = x + 2017?
A. y = x + 2018.
B. y = x + 4.
C. y = x - 4; y = x + 28.
D. y = x - 2018.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 2
y¢ = 3x + 6x -8.
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng D : y = x + 2017nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1. éx =1 Ta có phương trình 2
1 = 3x + 6x - 8 Û . ê ëx = 3 - Tại M (1; 3
- ). Phương trình tiếp tuyến là y = x - 4. Tại N ( 3;
- 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 28.
Câu 29. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số 3
y = x - 3x + 2 là
A. x = 1và x = 1 - . B. x = 3 - và x = 3.
C. x = 1và x = 0 .
D. x = 2 và x = 1 - .
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Tập xác định: D = ! . Đạo hàm: 2 y¢ = 3x - 3. éx =1
Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình 2 0 = 3x - 3 Û ê ëx = 1 - Câu 30. Cho hàm số 3 2
y = -x + 3x - 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9 - x là: A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2 y ' = 3
- x + 6x. Lấy điểm M (x ; y Î C 0 0 ) ( ).
Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y = 9
- x suy ra y'(x = 9 - 0 ) Trang 25 éx = 1 - 2 0 Û 3
- x + 6x + 9 = 0 Û . 0 0 êx = 3 ë 0 Với x = 1
- Þ y = 2ta có phương trình tiếp tuyến: y = 9 - x - 7. 0 0
Với x = 3 Þ y = 2
- ta có phương trình tiếp tuyến: y = 9 - x + 25. 0 0
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. 1
Câu 31. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = song song với trục 2 x -1 hoành bằng: A. 1 - . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x Ta có: y ' = -
. Lấy điểm M (x ; y Î C 0 0 ) ( ). (x - )2 2 1 2x
Tiếp tuyến tại điểm M song song với trục hoành nên y '(x = 0 Û - = 0 Û x = 0 0 ) 0 . ( 2x -1 0 )2 0 x + 8
Câu 32. Tiếp tuyến của hàm số y =
tại điểm có hoành độ x = 3 có hệ số góc bằng x - 2 0 A. 3 B. 7 - C. 10 - D. 3 -
Hướng dẫn giải: 10 - 10 - Ta có: y¢ = Þ k = y (
¢ x ) = y (¢3) = = 1 - 0 2 (x - 2) 0 2 (3 - 2) 3 x
Câu 33. Gọi (C) là đồ thị hàm số 2 y =
- 2x + x + 2. Có hai tiếp tuyến của (C) cùng song song với 3 đường thẳng y = 2
- x + 5. Hai tiếp tuyến đó là 4 A. y = 2
- x + 4 và y = 2 - x - 2 B. y = 2 - x - và y = 2 - x - 2 3 2 C. y = 2 - x + và y = 2 - x + 2 C. y = 2
- x + 3 và y = 2 - x - 1 3
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 2
y¢ = x - 4x + 1
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 2
- x + 5 Þ k = y¢ = 2 - é é 4 x = 1 y = y(1) = Suy ra 2 x - 4x +1 = 2 - 2
Û x - 4x + 3 = 0 0 Û ê 0 Û 3 0 0 0 0 êx = 3 ë ê 0 ê y = y(3) = 4 - ë 0 2 Vậy d : y = 2
- x + và d : y = 2 - x + 2 1 3 2 x +1
Câu 34. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm A( 1
- ;0) có hệ số góc bằng x - 5 1 6 1 A. B. C. - 6 D. - 6 25 6 25
Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 26 6 - 1 Ta có y¢ =
. Theo giả thiết: k = y ( ¢ 1 - ) = - 2 (x - 5) 6 Câu 35. Cho hàm số 2
y = -x - 4x + 3 có đồ thị (P). Nếu tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ số góc
bằng 8 thì hoành độ điểm M là: A. 12 B. 6 - C. 1 - D. 5
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có y¢ = 2 - x - 4
Gọi tiếp điểm M (x ; y ). Vì tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ số góc bằng 8 nên 0 0 y ( ¢ x ) = 8 Û 2
- x - 4 = 8 Û x = 6 - 0 0 0 Câu 36. Cho hàm số 3 2
y = -x + 3x - 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông 1
góc với đường thẳng y = x + 2017 là: 9 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. 1
Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2017 có dạng D : y = 9 - x + . c 9 3 2
ì-x + 3x - 3 = 9 - x + c 3 2
ìï-x +3x -3 = 9 - x + c D ï
là tiếp tuyến của (C) Û í
có nghiệm Û íéx = 1 - . 2 ïî 3x - + 6x = 9 - ïê îëx = 3
Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.
Câu 37. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3
f (x) = -x + x + 2 tại điểm M ( 2 - ; 8) là: A. 11. B. 12 - C. 11. - D. 6.
Hướng dẫn giải: Ta có f ( ¢ 2 - ) = 1 - 1 Chọn đáp án C. 2 x - 2x -1
Câu 38. Cho hàm số f (x) =
có đồ thị (H ). Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng x - 2
D song song với đường thẳng d : y = 2x -
1 và tiếp xúc với (H ). æ 1 ö A. M 0; B. M (2; 3) ç ÷ è 2 ø C. M 2; 3 M 1; 2 2 ( ) 1 ( ) và D. Không tồn tại
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.
Đường thẳng D song song với đường thẳng d : y = 2x -
1 có dạng D : y = 2x + c (c ¹ -1). 2 D x - 2x -1
là tiếp tuyến của (H ) Û
= 2x + c có nghiệm kép 2
Û x + (c - 2)x +1- 2c = 0có nghiệm x - 2 2 ìc + 4c = 0 éc = 0 kép x ¹ 2 Û í Û ê
î4 + 2(c - 2) +1- 2c ¹ 0 ëc = 4 -
Vậy có hai giá trị c thỏa mãn nên có hai tiếp tuyến tương ứng với hai tiếp điểm. 1 Câu 39. Cho hàm số 3 2
y = - x - 2x - 3x +1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến với(C), tiếp tuyến 3
có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? A. k = 3 B. k = 2 C. k = 1 D. k = 0
Hướng dẫn giải: Trang 27 Chọn đáp án C.
Xét tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x bất kì trên (C). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là 0 2 2 y (
¢ x ) = -x - 4x - 3 =1- (x + 2) £1" . x 0 0 0 0 p
Câu 40. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = sin x +
1 tại điểm có hoành độ là 3 1 3 1 3 A. k = . B. k = .
C. k = - . D. k = - . 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. æ p ö æ p ö 1
y¢ = cos x , k = y¢ = cos = . ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø 2 x +1
Câu 41. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
song song với đường thẳng x -1
D : 2x + y -1 = 0là
A. 2x + y - 7 = 0.
B. 2x + y = 0 . C. 2
- x - y +1 = 0.
D. 2x + y + 7 = 0.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
+Gọi M (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm (x ¹1 0 ). 0 0 2 - + y¢ = 2 (x -1)
+Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng D : y = 2 - x +1 suy ra 2 - éx = 2 0 y ( ¢ x ) = = 2 - Û . 0 2 ê (x -1) x = 0 0 ë 0
+ với x = 2 Þ y = 3, PTTT tại điểm (2;3) là y = 2
- (x - 2)+3 Û 2x + y -7 = 0 0 0
+ với x = 0 Þ y = 1
- , PTTT tại điểm (0;-1) là y = 2
- x -1 Û 2x + y +1 = 0. 0 0 x
Câu 42. Phương trình tiếp tuyến của (C) : 3
y = x biết nó vuông góc với đường thẳng D : y = - + 8 27 là: 1 1 A. y = - x + 8.
B. y = 27x ± 3. C. y = - x ± 3.
D. y = 27x ± 54. 27 27
Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 y¢ = 3x .
+Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm. 0 0 1 -
+ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D : y = x + 8 suy ra 27 éx = 3 2 0 y (
¢ x ) = 27 Û 3x = 27 Û . 0 0 êx = 3 - ë 0
+Với x = 3 Þ y = 27. PTTT là: y = 27(x - )
3 + 27 Û y = 27x -54 0 0 + Với x = 3 - Þ y = 2
- 7. PTTT là: y = 27(x + )
3 - 27 Û y = 27x + 54. 0 0 Câu 43. Cho hàm số 2
y = 3x - 2x + 5, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
x + 4y +1 = 0 là đường thẳng có phương trình:
A. y = 4x + . 1
B. y = 4x + 2.
C. y = 4x - 4 .
D. y = 4x - 2 .
Hướng dẫn giải: Đáp án C.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x ; y
y - y = f ¢ x x - x 0 ( 0)( 0 ) 0 0 ) có phương trình là: Trang 28 1 1
d : x + 4y +1 = 0 Û y = - x - 4 4 y¢ = 6x - 2 æ 1 ö
Tiếp tuyến vuông góc với d nên y¢(x . - = 1
- Û y¢ x = 4 Û 6x - 2 = 4 Û x =1 0 ) ç ÷ ( 0) , 0 0 è 4 ø y ( )
1 = 6. Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = 4x + 2 æ p x ö
Câu 44. Cho đường cong y = cos +
và điểm M thuộc đường cong. Điểm M nào sau đây có ç ÷ è 3 2 ø 1
tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng y = x + 5? 2 æ 5p ö æ 5 - p ö æ 5 - p ö æ 5 - p ö A. M ;1 . B. M ; -1 . C. M ;1 . D. M ; 0 . ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø
Hướng dẫn giải:. Chọn đáp án C
Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau. æ p xM ö
Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc : y¢( xM ) 1 = - sin + ç ÷ 2 è 3 2 ø 1
Hệ số góc của đường thẳng k = 2 1 æ p x p x p x p p M ö 1 æ M ö 5 Ta có - sin + = Û sin + = 1
- Û + M = - + k2p Û x = - + k4p ç ÷ ç ÷ 2 è 3 2 ø 2 è 3 2 ø 3 2 2 M 3
Câu 45. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong (C): 2
y = x - x +1, biết hoành độ M , N theo thứ tự là 1 và 2. 7 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2
Hướng dẫn giải:. Đáp án C. M (1; )
1 , N (2; 3) Phương trình đường thẳng MN là : y = 2x - . V 1
ậy hệ số góc của cát tuyến là 2 Câu 46. Cho hàm số 2
y = x - 2x + 3, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
y = 2x + 2018 là đường thẳng có phương trình:
A. y = 2x + . 1
B. y = 2x - . 1
C. y = 2x + 4.
D. y = 2x - 4 .
Hướng dẫn giải:. Đáp án B.
d : y = 2x + 2018
Tiếp tuyến của (C)song song với d Û y¢(x = 2 Û 2x - 2 = 2 Û x = 2 ; y = 3 0 ) 0 0 0
Vậy PTTT có dạng : y = 2x - . 1
Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của (C): 3
y = x biết nó có hệ số góc k = 12 là:
A. y =12x ± 24.
B. y = 12x ±16.
C. y = 12x ± 4.
D. y = 12x ± 8.
Hướng dẫn giải:. Đáp án B. éx = 2 Þ y = 8 2
y¢ = 3x . Ta có y¢(x =12 Û 3x =12 Û 0 ) 2 0 0 0 êx = 2 - Þ y = 8 - ë 0 0
PPTT có dạng y = 12x ±16 1
Câu 48. Phương trình tiếp tuyến của (C): 3
y = x biết nó song song với đường thẳng d : y = x -10 là 3 Trang 29 1 2 1 1 1 1 1
A. y = x ± .
B. y = x ± .
C. y = x ± .
D. y = x ± 27. 3 27 3 3 3 27 3
Hướng dẫn giải:. Đáp án A é 1 1 x = Þ y = ê 2 1 1
y¢ = 3x . Ta có y¢( 3 27
x = Û 3x = Û ê 0 ) 0 0 2 0 3 3 1 1 êx = - Þ y = - 0 0 êë 3 27 1 2
PPTT có dạng y = x ± 3 27
Câu 49. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong (C) : y f (x) 3 =
= x - x , biết hoành độ
M , N theo thứ tự là 0 và 3. 1 5 A. 4 . B. . C. . D. 8. 2 4
Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C). Dy f ( x f x M ) - ( N ) ( 3 - )-( 3 0 0 3 - 3) Ta có k = = = = 8 Dx x - x 0 - 3 M N 1 1 4
Câu 50. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x + x - 2x - , biết tiếp tuyến vuông 3 2 3
góc với đường thẳng x + 4y -1 = 0. 7 2 73 26
A. y = 4x + ; y = 4x -
B. y = 4x + ; y = 4x - 6 3 6 3 73 2 7 26
C. y = 4x +
; y = 4x -
D. y = 4x + ; y = 4x - 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y -1 = 0 1 1
Û y = - x + Þ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 4 4 2
Þ y ' = 4 Û x + x - 6 = 0 Û x = 3 - ; x = 2 1 73 * x = 3
- Þ Phương trình tiếp tuyến y = 4(x + 3) + = 4x + 6 6 2 26
* x = 2 Þ Phương trình tiếp tuyến y = 4(x - 2) - = 4x - 3 3 1
Câu 51. Tìm m để đồ thị : 3
y = mx + (m - ) 2
1 x + (3m - 4) x +
1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông 3
góc với đường thẳng x - y + 2013 = 0. 1 1 1
A. m £ 1
B. - £ m
C. - £ m £ 1
D. - < m < 1 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C
Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng x - y + 2012 = 0 khi và chỉ khi y '.1 = - 1 hay 2 1 mx + (m + )
1 x + 3m -3 = 0 có nghiệm "Î ! . Đáp số: - £ m £ . 1 2 Trang 30
Câu 52. Tìm m để đồ thị 3
y = x - 3mx + 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc a 1 sao cho os c a = . 26
A. m = 2
B. m = 3
C. m = 1, m = 4
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải: !"
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n = k; 1 - d 1 ( ), có vec tơ pháp !!" tuyến n = 1;1 2 ( ) !"!!" n n 1 k -1 3 Ta có 1 2 cosa 2 = !" !!" Û =
Û k = hoặc k = 2 n n 26 2 k +1 2 3 1 2
Yêu cầu bài toán Û ít nhất một trong hai phương trình y ' = k hoặc y ' = k có nghiệm x tức 1 2 é 3 2
3x + 2(1- 2m) x + 2 - m = ó c nghiê ê m 2 ê . 2 ê 2
3x + 2(1- 2m) x + 2 - m = ó c nghiê ê m ë 3
Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. 2x + 2
Câu 53. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x -1
tuyến có hệ số góc bằng 1 - .
A. y = -x - 2, y = -x + 7.
B. y = -x - 5, y = -x + 6.
C. y = -x -1, y = -x + 4.
D. y = -x -1, y = -x + 7. Hướng dẫn giải: Chọn D -4
Hàm số đã cho xác định với "x ¹ 1. Ta có: y ' = (x - )2 1
Gọi M (x ; y (C): 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của 4 - 2x + 2 4 - 2x + 2 y = x - x + y '( x = 0 y = 0 ) 2 ( 0 ) 0 với và (x - )1 x -1 (x -1 0 x -1 0 )2 0 0 0
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 - 4 - Nên có:
= -1 Û x = 3, x = - ( 1 x - )2 0 1 0 * Với x = 1
- Þ y = 0 Þ D : y = -x -1 0 0
* Với x = 2 Þ y = 4 Þ D : y = -x + 7 0 0
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -x -1, y = -x + 7. 2x + 2
Câu 54. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x -1
tuyến song song với đường thẳng d : y = 4 - x + . 1 A. y = 4 - x + 3, y = 4 - x + 4. B. y = 4 - x + 2, y = 4 - x + 44. C. y = 4 - x + 2, y = 4 - x + . 1 D. y = 4 - x + 2, y = 4 - x +14. Hướng dẫn giải: Chọn D -4
Hàm số đã cho xác định với "x ¹ 1. Ta có: y ' = (x - )2 1
Gọi M (x ; y (C): 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của 4 - 2x + 2 4 - 2x + 2 y = x - x + y '( x = 0 y = 0 ) 2 ( 0 ) 0 với và (x - )1 x -1 (x -1 0 x -1 0 )2 0 0 0 Trang 31
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 4 - x + . 1 4 -
Nên có: y '( x = 4 - Û = 4 - Û x = 0 x = 2 0 ) hoặc (x -1 0 0 )2 0
* Với x = 0 Þ y = 2 Þ D : y = 4 - x + 2 0 0
* Với x = 2 Þ y = 6 Þ D : y = 4 - x +14 0 0
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = 4 - x + 2, y = 4 - x +14. 2x
Câu 55. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng x -1 2 - A. y = 2 - x +1, y = 2 - x B. y = 2 - x + 2, y = 2 - x + 4 C. y = 2 - x + 9, y = 2 - x D. y = 2 - x + 8, y = 2 - x Hướng dẫn giải: Chọn D 2( x - ) 1 - 2x 2 - Ta có: y ' = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 - Gọi (x ; y (x ; y y '( x = 0 ) 0 0 ) 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại bằng (x - )2 1 0 2 -
Theo giải thiết, ta có: y '( x = -2 Û = -2 0 ) (x - )2 1 0 x x y Û ( é -1 =1 é = 2 Þ = 4 x -1 =1 Û Û 0 )2 0 0 0 êx 1 1 ê - = - x = 0 Þ y = 0 ë 0 ë 0 0
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 2 - x + 8, y = 2 - x 2x
Câu 56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
, biết tiếp tuyến song song với x -1
đường thẳng (d ): x + 2y = 0 1 7 1 7 1 27 1 7
A. y = - x + , y = - x +
B. y = - x + , y = - x - 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 7 1 27 1 7
C. y = - x + , y = - x -
D. y = - x +
, y = - x + 2 4 2 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 2( x - ) 1 - 2x 2 - Ta có: y ' = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 - Gọi (x ; y (x ; y y '( x = 0 ) 0 0 ) 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại bằng (x - )2 1 0 2 - 1 1 Theo giải thiết, ta có: = - Û x -1 = 2 ( 0 )2 (x -1 2 4 0 ) 1 27 1 7
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = - x + , y = - x - 2 4 2 4 2x
Câu 57. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
, biết tiếp tuyến vuông góc với x -1
đường thẳng (D):9x - 2y +1= 0 2 2 2 8 2 32 2 8
A. y = - x + , y = - x +
B. y = - x + , y = - x + 9 9 9 9 9 9 9 9 Trang 32 2 1 2 8 2 32 2 4
C. y = - x + , y = - x +
D. y = - x +
, y = - x - 9 9 9 9 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn B 2( x - ) 1 - 2x 2 - Ta có: y ' = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 - Gọi (x ; y (x ; y y '( x = 0 ) 0 0 ) 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại bằng (x - )2 1 0 2 - 2 1 Theo giải thiết, ta có: = - Û x -1 = 2 ( 0 )2 (x -1 9 9 0 ) 2 32 2 8
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = - x + , y = - x + 9 9 9 9 2x
Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
, biết tạo với chiều dương của trục x -1 hoành một góc a 2 sao cho cosa = - 5 1 3 1 3 1 13
A. y = x +
B. y = x -
C. y = x +
D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4
Hướng dẫn giải: 2( x - ) 1 - 2x 2 - Ta có: y ' = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 - Gọi (x ; y (x ; y y '( x = 0 ) 0 0 ) 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại bằng (x - )2 1 0 -2
Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành,khi đó tồn tại a Î[0;p ]để tana < 0 và tana = . (x - )2 1 0 1 1 1 Ta có: 2 tan a = -1 = Þ tana = - , nên có: 2 cos a 4 2 -2 1 = - Û x -1 = 4 2 ( 0 )2 (x -1 2 0 ) 2x
Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =
, biết tại điểm M thuộc đồ thị và x -1
vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 1 3 1 3 1 13
A. y = x +
B. y = x -
C. y = x +
D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4
Hướng dẫn giải: 2( x - ) 1 - 2x 2 - Ta có: y ' = = . (x - )2 1 (x - )2 1 2 - Gọi (x ; y (x ; y y '( x = 0 ) 0 0 ) 0
0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại bằng (x - )2 1 0 2 k =
, theo bài toán nên có: k .y '(x = 1 - Û (x -1 = 4 0 )2 IM 0 ) IM (x - )2 1 0 4 2 x x
Câu 60. Cho hàm số y = +
+ 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với 4 2
đường thẳng : y = 2x - 2. Trang 33 3 1 3
A. y = 2x +
B. y = 2x +
C. y = 2x -
D. y = 2x + 1 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A
y '(x ) = 2 (trong đó x là hoành độ tiếp điểm của (t) với (C)). 0 0 Û 3 3
x + x = 2 Û x + x - 2 = 0 Û x = 1. 0 0 0 0 0 11 3
Phương trình (t): y = y '(1)(x -1) + y(1) = 2(x -1) + = 2x + 4 4 Câu 61. Cho hàm số 4 2
y = 2x - 4x -
1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng x - 48y +1 = 0 . A. D : y = 4 - 8x -81 B. D : y = 4 - 8x + 81 C. D : y = 4 - 8x - 1 D. D : y = 4 - 8x -8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có 3
y ' = 8x -8x
Gọi M (x ; y ). Tiếp tuyến D tại M có phương trình: 0 0 3 4 2
y = (8x - 8x )(x - x ) + 2x - 4x - .V
1 ì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x - 48y +1 = 0 0 0 0 0 0 1
Nên ta có: y '(x ). = 1 - Û y '(x ) = 4 - 8 0 0 48 3
x - x + 6 = 0 Û x = 2 - Þ y =15. 0 0 0 0
Phương trình D : y = 4 - 8(x + 2) +15 = 4 - 8x -8 . 1 3 x
Câu 62. Cho (C) là đồ thị của hàm số 2 y =
- x + 2x +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông 3 x
góc với đường thẳng y = - + 2. 5 2 8
A. y = 5x + hoặc y = 5x – 8
B. y = 5x + hoặc y = 5x – 9 3 3 8 8
C. y = 5x + hoặc y = 5x – 5
D. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D x
Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng y = - + 2,suy ra phương trình (d) có 5 dạng : y = 5x + m. 3 ì x 2 ï
- x + 2x +1 = 5x + m (1)
(d) tiếp xúc với (C) Û í 3 có nghiệm. ï 2
îx - 2x + 2 = 5 (2)
Giải hệ trên, (2) Û x = -1 Ú x = 3. 8
Thay x = - 1 vào (1) ta được m = . 3
Thay x = 3 vào (1) ta được m = - 8. 8
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + hoặc y = 5x – 8. 3 x
Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = - + 2 suy ra hệ số góc của (d) : k = 5. 5
Gọi x là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C),ta có : 2
k = f '(x ) Û 5 = x - 2x + 2 Û x = 1 - , x = 3. 0 0 0 0 0 0 Trang 34 é 8
y = 5(x +1) + f (1) = 5x + Suy ra phương trình (d): ê 3 . ê
ë y = 5(x + 3) + f (3) = 5x - 8
Câu 63. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + (m -1)x + 2m có đồ thị là (C ). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị m
(C ) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3x +10. m
A. m = 2
B. m = 4
C. m = 0
D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2
y ' = 3x - 4x + m - . T
1 iếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình m
y = (m - 2)(x -1) + 3m - 2 = (m - 2)x + 2m ìm - 2 = 3 Yêu cầu bài toán Û í vô nghiệm. î2m ¹ 10
Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 64. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + (m -1)x + 2m có đồ thị là (C ). Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc m
nhỏ nhất của đồ thị (C ) vuông góc với đường thẳng D : y = 2x + . 1 m 11 6
A. m = 1
B. m = 2 C. m = D. m = 6 11 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 æ 4 4 ö 7 æ 2 ö 7 7 Ta có: 2
y ' = 3x - 4x + m - .T 1 a có: 2
y ' = 3 x - x + + m - = 3 x -
+ m - Þ y ' ³ m - . ç ÷ ç ÷ è 3 9 ø 3 è 3 ø 3 3 2 7
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : k = m - . 3 3 æ 7 ö 11
Yêu cầu bài toán Û k.2 = 1 - Û m - .2 = 1 - Û m = . ç ÷ è 3 ø 6 2x +1
Câu 65. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy x -1 1
lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 4 1 A. y = 3 - x +1, y = 3 - x +1, y = 1
- 2x + 2, y = - x - 3 3 4 2 B. y = 3 - x +1, y = 3 - x -11, y = 1
- 2x - 2, y = - x + 3 3 4 3 C. y = 3 - x +11, y = 3 - x -11, y = 1
- 2x, y = - x - 3 4 4 2 D. y = 3 - x +1, y = 3 - x +11, y = 1
- 2x + 2, y = - x - 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 - Ta có y ' =
. Gọi M (x ; y D 0
0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 (x -1) 3 - 2x +1 y = x - x + 2 ( 0 ) 0 . (x -1) x -1 0 0 ìy = 0 • ï
D Ç Ox = A : í 3 - 2x +1 0 (x - x ) + = 0 ï 2 0 (x -1) x -1 î 0 0 Trang 35 2 æ 2x + 2x -1 ö Suy ra 0 0 Aç ;0 . ÷ 3 è ø ìx = 0 • ï
D Ç Oy = B : í 3x 2x +1 0 0 y = + ï 2 (x -1) x -1 î 0 0 2 æ 2x + 2x -1ö Suy ra: 0 0 Bç0; 2 ÷ (x -1) è 0 ø 2 2 1
1 æ 2x + 2x -1ö
Diện tích tam giác OAB : 0 0 S = O . AOB = ç ÷ 2 6 x -1 è 0 ø 2 2 1 æ 2x + 2x -1ö Suy ra 0 0 S = Û OAB ç ÷ = 1 6 x -1 è 0 ø é 1 2 2 é x = x = -
2x + 2x -1 = x -1 é2x + x = 0 0, ê 0 0 0 0 0 0 0 Û ê Û ê 2 Û ê 2 2
ê2x + 2x -1 = -x +1 ë
ê2x + 3x - 2 = 0 1 0 0 0 ë 0 0 êx = , x = 2 - 0 0 êë 2
Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y = 3 - x +1, y = 3 - x +11, y = 1
- 2x + 2, y = - x - . 3 3 2
x - 2mx + m
Câu 66. Cho hàm số y =
. Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x + m
tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 .
Hướng dẫn giải: Chọn C. 2
x - 2mx + m
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = và trục hoành: x + m 2 2
x - 2mx + m
ìïx - 2mx + m = 0 ( ) * = 0 Û í . x + m ïîx ¹ -m 2
x - 2mx + m
Đồ thị hàm số y =
cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt Û phương trình ( ) * có hai x + m
ìm < Ú m > 2 0 1
ìïD¢ = m - m > 0 ï
nghiệm phân biệt khác -m Û í Û í 1 . 2 3 ïî m + m ¹ 0 m ¹ - ïî 3
Gọi M (x ; y (C) 2
y = x - 2mx + m = 0 0
0 ) là giao điểm của đồ thị với trục hoành thì và hệ số góc của 0 0 0
tiếp tuyến với (C) tại M là:
(2x - 2m)(x - )1-( 2x -2mx + m 0 0 0 0 ) 2x -2m
k = y¢(x = 0 = 0 ) . (x + m)2 x + m 0 0 2x - 2m
Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai giao điểm với trục hoành là 1 k = , 1 x + m 1 2x - 2m 2 k = . 2 x + m 2
æ 2x - 2m öæ 2x - 2m ö
Hai tiếp tuyến này vuông góc Û k .k = 1 - 1 2 Û ç ÷ç ÷ = 1 - 1 2 x + m x + è m 1 øè 2 ø Trang 36
Û 4éx x - m(x + x ) 2
+ m ù = -éx x + m(x + x ) 2 + m ù ** ë 1 2 1 2 û ë 1 2 1 2 ( ). û ìx x = m ém = 0 Ta lại có 1 2 í , do đó ( ) 2
** Û m - 5m = 0 Û . Nhận m = 5 . x + x = 2 ê î m ëm = 5 1 2 x +1
Câu 67. Cho hàm số y =
(C). Có bao nhiêu cặp điểm ,
A B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó x -1 song song với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Chọn D. -2 Ta có: y ' = . (x - )2 1 x +1
Đồ thị hàm số y =
có tâm đối xứng I (1; ) 1 . x -1
Lấy điểm tùy ý A(x ; y Î C 0 0 ) ( ).
Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B(2 - x ;2 - y Î C 0 0 ) ( ). Ta có: -2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: k = y ' x A ( = . 0 ) (x - )2 1 0 2 -
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: k = y ' x B (2- = . 0 ) (1- x )2 0
Ta thấy k = k nên có vô số cặp điểm ,
A B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau A B Câu 68. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + 2x có đồ thị (C). Gọi x , x là hoành độ các điểm M , N trên 1 2
(C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = -x + 2017. Khi đó x + x bằng: 1 2 4 -4 1 A. . B. . C. . D. 1 - . 3 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 2
y ' = 3x - 4x + 2.
Tiếp tuyến tại M , N của (C) vuông góc với đường thẳng y = -x + 2017. Hoành độ x , x của các 1 2
điểm M , N là nghiệm của phương trình 2 3x - 4x +1 = 0. 4
Suy ra x + x = . 1 2 3
Câu 69. Số cặp điểm ,
A B trên đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x + 3x + 5, mà tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc với nhau là A. 1 B. 0 C. 2 . D. Vô số
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 2
y¢ = 3x + 6x + 3. Gọi (
A x ; y ) và B(x ; y ) A A B B
Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là: 2
d : y = (3x + 6x + 3)(x - x ) + y 1 A A A A 2
d : y = (3x + 6x + 3)(x - x ) + y 2 B B B B
Theo giả thiết d ^ d Û k .k = - 1 1 2 1 2 2 2
Û (3x + 6x + 3).(3x + 6x + 3) = 1 - 2 2
Û 9(x + 2x +1).(x + 2x +1) = 1 - A A B B A A B B Trang 37 2 2
Û 9(x +1) .(x +1) = - 1 ( vô lý) A B
Suy ra không tồn tại hai điểm , A B Câu 70. Cho hàm số 3 2
y = x - 3x + 2 có đồ thị (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C)
và có hệ số góc nhỏ nhất: A. y = 3 - x + 3 B. y = 0 C. y = 5 - x +10 D. y = 3 - x - 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi 3 2
M (x ; x - 3x + 2) là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 0 0 0 2
y ' = 3x - 6x 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y = k(x - x ) + y 0 0 Mà 2 2
k = y '(x ) = 3x - 6x = 3(x - 2x +1) - 3 0 0 0 0 0 2 Û 3(x -1) - 3 ³ 3 - 0
Hệ số góc nhỏ nhất khi x = 1 Þ y = y(1) = 0; k = 3 - 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;0) có hệ số góc nhỏ nhất là : y = 3 - x + 3 1 2
Câu 71. Cho hai hàm f (x) = và ( ) = x f x
. Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã x 2 2
cho tại giao điểm của chúng là: A. 90° B. 30° . C. 45°. D. 60° .
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. 2 1 x 1 1 æ 1 ö
Phương trình hoành độ giao điểm 2 =
Û = x Û x =1Þ y = Þ M 1; ç ÷ x 2 2 x 2 è 2 ø 1 2 Ta có f (1 ¢ ) = - , g (1 ¢ ) = Þ f (1 ¢ ). g (1 ¢ ) = 1 - 2 2 Câu 72. Cho hàm số 3 2
y = x - 3mx + (m +1)x - m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với Oy . Tìm
m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng y = 2x - 3. -3 1 3 1 A. B. C. D. - 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có (0 A ; - ) m Þ f (0 ¢ ) = m + . V 1
ì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng 3
y = 2x - 3 nên 2.(m +1) = 1 - Û m = - . 2 ( m + ) 2 3
1 x - m + m
Câu 73. Cho hàm số y = có đồ thị là (C m Î ! m ¹ 0 m ) , và .Với giá trị nào của x + m
m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x - y -10 = 0. 1 1 1 1 A. m = 1 - ; m = -
B. m = 1; m = - C. m = 1 - ; m =
D. m = 1; m = 5 5 5 5 Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A. Trang 38
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: (3m+ ) 2
1 x - m + m ìx ¹ - , m m ¹ 0 ï = 0,m ¹ 0 Û í x + m ( ï 3m + î ) 2
1 x - m + m = 0 ì 1 ì 1 x ¹ - , m m ¹ 0, m ¹ - m ¹ 0, m ¹ - ï 3 ï ï ï 3 2 2 2 æ m - m ö Û 4m 4m í Û í . Mà y ' = Þ y 'ç ÷ = 2 2 m - m m - 2 2 ï ï 2 è 3m +1 = = m (x + m) x x ¹ - ø æ m - m ö ï m + î m 3m +1 ïî 3m +1 ç ÷ è 3m +1 ø 2 æ m - m ö 1
. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x - y -10 = 0 nên y 'ç ÷ =1 Û m = 1 - hoặc m = - è 3m +1 ø 5 * m = 1 - giao điểm là A( 1
- ;0), tiếp tuyến là y = x + . 1 1 * æ 3 ö 3
m = - giao điểm là B
;0 , tiếp tuyến là y = x - . ç ÷ 5 è 5 ø 5
Câu 74. Tìm m Î ! để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C 3 2
y = x - 2x + (m - ) 1 x + 2m m ) :
vuông góc với đường thẳng y = -x 10 1 10 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 3 3 13 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 æ 2 ö 7 7 7 7 2 2
y ' = 3x - 4x + m -1 = 3 x -
+ m - ³ m - Þ y ' ³ m - Þ y ' = m - khi x = .Theo bài toán ç ÷ è 3 ø 3 3 3 3 3 æ 7 ö 10 ta có: y '(- ) 1 = 1 - Û m - ç ÷(- ) 1 = 1 - Û m = . è 3 ø 3
Câu 75. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị 4 2
y = -x + 2mx - 2m +
1 tại A(1;0) và B( 1 - ;0) hợp với nhau một góc µ 15 sao cho cos µ = . 17 5 7 15 17
A. m = 0, m = 2, m = , m = .
B. m = 0, m = 2, m = , m = . 16 6 16 16 15 7 5 7
C. m = 0, m = 2, m = , m = .
D. m = 0, m = 2, m = , m = . 16 16 6 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy, ,
A B là 2 điểm thuộc đồ thị với "m Î ! .
Tiếp tuyến d tại A : (4m - 4) x - y - 4m + 4 = 0 1
Tiếp tuyến d tại B : ( 4
- m + 4) x - y - 4m+ 4 = 0 2 15 17
Đáp số: m = 0, m = 2, m = , m = . 16 16 1
Câu 76. Tìm m để đồ thị 3
y = mx + (m - ) 2
1 x + (4 - 3m) x +
1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ 3
dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x + 2y - 3 = 0. æ 1 ö æ 1 2 ö æ 1 ö æ 1 7 ö A. m Î 0; È ; B. m Î 0; È ; ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 2 3 ø è 4 ø è 2 3 ø æ 1 ö æ 1 8 ö æ 1 ö æ 1 2 ö C. m Î 0; È ; D. m Î 0; È ; ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 3 ø è 2 ø è 2 3 ø Hướng dẫn giải: Chọn D.
Hàm số đã cho xác định trên ! . Trang 39 Ta có: 2
y ' = mx + 2(m- ) 1 x + 4 -3m. æ 1 ö
Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y -
= -1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt, tức ç ÷ è 2 ø ìm ¹ 0 ìm ¹ 0 ï 1 ï ïm ¹ ïD ' > 0 2 ï mx + 2(m - )
1 x + 2 -3m = 0 có đúng 2 dương phân biệt Û 2 í Û í hay S > 0 ï 0 < m < 1 ï ïîP > 0 ï 2 ï0 < m < î 3 æ 1 ö æ 1 2 ö m Î 0; È ; . ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 3 ø Trang 40
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM x + 2
Câu 1. Cho hàm số y =
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (–6;5) là x - 2 1 7 1 7
A. y = –x – 1 ; y = x + .
B. y = –x – 1 ; y = - x + . 4 2 4 2 1 7 1 7
C. y = –x + 1 ; y = - x + .
D. y = –x + 1 ; y = - x - . 4 2 4 2
Hướng dẫn giải: Chọn B. x + 2 4 - y = Þ y¢ = . x - 2 (x - 2)2 x +
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 2 : y =
tại điểm M (x ;y Î C x ¹ 2 0 0 ) ( ) với là: x - 2 0 4 - x + 2 y = y¢(x
x - x + y Û y = x - x + 2 ( 0 ) 0 0 ) ( 0 ) . 0 (x - 2) x - 2 0 0 -4 x + 2 Vì tiếp tuyến đi qua điểm (–6;5) nên ta có 5 = -6 - x + 2 ( 0 ) 0 (x - 2) x - 2 0 0 éx = 0 2 0
Û 4x - 24x = 0 Û 0 0 êx = 6 ë 0 1 7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = –x –
1 và y = – x + . 4 2 3x + 4
Câu 2. Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2;3) tới đồ thị hàm số y = là x -1 A. y = 28
- x + 59 ; y = x + . 1
B. y = –24x + 51; y = x + . 1 C. y = 28 - x + 59. D. y = 28 - x + 59; y = 24 - x + . 51
Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x + 4 7 - y = Þ y¢ = . x -1 (x - )2 1 x +
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) 3 4 : y =
tại điểm M (x ;y Î C x ¹ 2 0 0 ) ( ) với là: x -1 0 7 - 3x + 4 y = y¢(x
x - x + y Û y = x - x + 2 ( 0 ) 0 0 ) ( 0 ) . 0 (x - )1 x -1 0 0 7 - 3x + 4 3
Vì tiếp tuyến đi qua điểm (2;3) nên ta có 3 = 2 - x + Û x = 2 ( 0 ) 0 . (x - )1 x -1 0 2 0 0
Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = –28x + 59 . 2 x + x +1
Câu 3. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm x +1 A( 1 - ;0) là: 3 3 A. y = x
B. y = (x + ) 1
C. y = 3(x + ) 1
D. y = 3x +1 4 4
Hướng dẫn giải: Chọn B. Trang 41
Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k , Vì A( 1
- ;0)Îd suy ra d : y = k (x + ) 1 2
ì x + x +1 = k(x+1) (1) ïï x +1
d tiếp xúc với (C) khi hệ í có nghiệm 2 x + 2 ï x = k (2) 2 ïî(x +1) 3 Thay (2) vào ( )
1 ta được x = 1Þ k = y (1 ¢ ) = . 4 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 1
- ;0) là: y = (x + ) 1 4
Câu 4. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 4 2
y = x - 2x + 2 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vì (0
A ;2) Î d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2 4 2
ìïx - 2x + 2 = kx + 2 (1)
Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ í có nghiệm 3
ïî4x - 4x = k (2) éx = 0 Thay (2) và ( ) 1 ta suy ra được ê 2 êx = ± êë 3
Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Câu 5. Cho hàm số 4 2
y = -x + 2x có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:
(I) Đường thẳng D : y =
1 là tiếp tuyến với (C) tại M ( 1 - ;1)và tại N(1;1)
(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I) B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có y ( ¢ 1 - ) = y (¢ 1 - ) = 0 Þ (I) đúng. Ta có y (0 ¢ ) = 0 Þ (II) đúng. Câu 6. Cho hàm số 3 2
y = x - 6x + 9x -1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C): A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng D : y = k(x - 2) = x k -2k. 3 2
ìïx -6x +9x-1=kx - 2k 3 2
ìï2x -12x + 24x-17=0
D là tiếp tuyến của (C) Û í có nghiệm Û í 2 3x ïî -12x + 9 = k 2 3x ïî -12x + 9 = k
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến. Trang 42
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng y = a song song với trục Ox cũng chỉ
kẻ được một tiếp tuyến.
Câu 7. Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y = x + 2 khi m bằng A. 1 hoặc 1 - .
B. 4 hoặc 0 . C. 2 hoặc 2 - . D. 3 hoặc 3 - .
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Đường thẳng y = 3x + m và đồ thị hàm số 3
y = x + 2 tiếp xúc nhau 3 3
ìïx + 2 = 3x + m
ìm = x -3x + 2 ém = 0 Û í Û í Û . ê 2 3 ïî x = 3 îx = 1 ± ëm = 4
Câu 8. Định m để đồ thị hàm số 3 2
y = x - mx +1 tiếp xúc với đường thẳng d : y = 5? A. m = 3 - .
B. m = 3 . C. m = 1 - . D. m = 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn A. Đường thẳng 3 2
y = x - mx +1 và đồ thị hàm số y = 5 tiếp xúc nhau 3 2
ìïx - mx +1= 5 (1) Û í có nghiệm. 2 3
ïî x - 2mx = 0 (2) éx = 0 . (2)
x(3x 2m) 0 ê Û - = Û 2m . êx = ë 3
+ Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2 + Với = m x thay vào (1) ta có: 3 m = 27 - Û m = 3 - . 3
Câu 9. Phương trình tiếp tuyến của (C) : 3
y = x biết nó đi qua điểm M (2;0) là:
A. y = 27x ± 54.
B. y = 27x - 9 Ú y = 27x - 2.
C. y = 27x ± 27.
D. y = 0 Ú y = 27x - 54.
Hướng dẫn giải: Vậy chọn D. + 2 y ' = 3x . + Gọi (
A x ; y ) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại ( A x ; y ) là: 0 0 0 0 2
y = 3x x - x + x (d) 0 ( 0 ) 3 . 0
+ Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2;0) nên ta có phương trình: éx = 0 2
3x 2 - x + x = 0Û 0 ( 0 ) 3 0 . 0 êx = 3 ë 0
+ Với x = 0thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 0. 0
+ Với x = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 27x - 54. 0 Câu 10. Cho hàm số 2
y = x - 5x -8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C)thì
tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. M (4;12). B. M ( 4; - 12). C. M ( 4; - -12).
D. M (4; -12).
Hướng dẫn giải: Đáp án D.
Đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với (C) Þ d là tiếp tuyến với (C) tại M (x ; y 0 0 )
y¢ = 2x - 5 Þ y¢(x = 3 Û 2x -5 = 3 Û x = 4 y = 12 - 0 ) ; . 0 0 0 2 x
Câu 11. Cho hàm số f (x) = - x + ,
1 có đồ thị (C). Từ điểm M (2; - )
1 có thể kẻ đến (C) hai tiếp 4
tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: Trang 43
A. y = -x +1và y = x - 3.
B. y = 2x - 5và y = 2 - x + 3.
C. y = -x -1và y = -x + 3.
D. y = x + và 1 y = -x - 3.
Hướng dẫn giải: Chọn A 2 x x
Gọi N (x ; y 0 y =
- x +1 f ¢(x = -1 0 ) 0 0 0 ) là tiếp điểm; ; 0 0 4 2 2 æ x ö x
Phương trình tiếp tuyến tại N là: 0 y = -1 ç ÷(x - x + - x +1 0 ) 0 0 è 2 ø 4 2 2 æ x ö x x
Mà tiếp tuyến đi qua M (2; - ) 1 0 Þ 1 - = -1 ç ÷(2 - x + - x +1Û - + x = 0 0 ) 0 0 0 0 è 2 ø 4 4
éx = 0; y = 1; f ¢ 0 = 1 - 0 0 ( ) Û ê
êx = 4; y = 1; f ¢ 4 = 1 ë 0 0 ( )
Phương trình tiếp tuyến : y = -x +1 và y = x - 3. Câu 12. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x - 6x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến đi qua điểm N(0;1). 33 33 33 33 A. y = - x + 11 B. y = - x +12 C. y = - x + 1 D. y = - x + 2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có: 2
y ' = 3x + 6x - 6.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2
y = (3x + 6x - 6)(x - x ) + x + 3x - 6x +1 0 0 0 0 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có: 2 3 2
1 = (3x + 6x - 6)(-x ) + x + 3x - 6x +1 0 0 0 0 0 0 3 3 2
Û 2x + 3x = 0 Û x = 0, x = - 0 0 0 0 2
• x = 0 Þ y '(x ) = 6
- . Phương trình tiếp tuyến: y = 6 - x + . 1 0 0 • 3 107 33 x = - Þ y = , y '(x ) = -
. Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 2 8 4 33 æ 3 ö 107 33 y ' = - x + + = - x + . 1 ç ÷ 4 è 2 ø 8 4 Câu 13. Cho hàm số 4 2
y = x + x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M ( 1 - ;3). A. y = 6 - x - 2 B. y = 6 - x - 9 C. y = 6 - x - 3 D. y = 6 - x -8 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: 3
y ' = 4x + 2x. Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = ( 3 4x + 2x
x - x + x + x +1 0 0 )( 0 ) 4 2 0 0
Vì tiếp tuyến đi qua M ( 1 - ;3) nên ta có: 3 = ( 3 4x + 2x 1
- - x + x + x +1 4 3 2
Û 3x + 4x + x + 2x + 2 = 0 0 0 )( 0 ) 4 2 0 0 0 0 0 0 2 2
Û (x +1) (3x - 2x + 2) = 0 Û x = 1
- Þ y = 3, y '(x ) = 6 - 0 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 6 - x - 3. Trang 44 2x + 2
Câu 14. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm x -1 (4 A ;3) é 1 1 é 1 31 é 1 1 é 1 31 y = - x + ê y = - x + ê y = - x + ê y = - x + ê A. 9 9 ê B. 9 9 ê C. 9 9 ê D. 9 9 ê 1 1 ê 1 31 1 31 1 1 y = - x + ê ê ê ê y = - x + y = - x + y = - x + ë 4 4 êë 4 4 êë 4 4 êë 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D 4 -
Hàm số xác định với mọi x ¹ 1. Ta có: y ' = 2 (x -1)
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 0 0 4 - 2x + 2 Vì tiếp tuyến đi qua (4 A ;3) nên ta có: 3 = 4 - x + 2 ( 0 ) 0 (x -1) x -1 0 0 2 2
Û 3(x -1) = 4(x - 4) + 2(x -1) 2
Û x -10x - 21 = 0 Û x = -3, x = 7 0 0 0 0 0 0 0 • 8 1
x = 7 Þ y = , y '(x ) = - . Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 3 9 1 y = - ( x - ) 8 1 31 7 + = - x + . 9 3 9 9 • 1 x = 3
- Þ y =1, y '(x ) = - . Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 4 1 y = - (x + ) 1 1 3 +1 = - x + . 4 4 4 2x +1
Câu 15. Cho hàm số y =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua x -1 A( 7; - 5). 3 1 3 29 3 1 3 2
A. y = - x + , y = x +
B. y = - x - , y = x + 4 4 16 16 4 2 16 16 3 1 3 9 3 1 3 29
C. y = - x - , y = x +
D. y = - x - , y = x + 4 4 16 16 4 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 - Ta có y ' =
. Gọi M (x ; y A( 7; - 5) 0
0 ) là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua nên ta có: 2 (x -1) 3 - 2x +1 éx = 1 - 5 = 7 - - x +
Û x - 4x - 5 = 0 Û 2 ( 0 ) 0 2 0 0 0 ê (x -1) x -1 x = 5 0 0 ë 0 3 1 3 29
Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y = - x - , y = x + . 4 4 16 16 2x +1
Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C): y =
biết d cách đều 2 điểm A(2;4) x +1 và B( 4; - 2 - ). 1 1 1 5
A. y = x + , y = x + 3, y = x + 1
B. y = x + , y = x + 5, y = x + 4 4 4 4 2 1 5 1 5
C. y = x + , y = x + 4, y = x + 1
D. y = x + , y = x + 5, y = x + 1 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 45
Gọi M (x ; y x x ¹ 1 - d (C) 0 ( 0)),
là tọa độ tiếp điểm của và 0 1
Khi đó d có hệ số góc y '( x = 0 )
và có phương trình là : (x + )2 1 0 1 1 y = x - x + 2 - 2 ( 0 ) (x + )1 x +1 0 0 Vì d cách đều ,
A B nên d đi qua trung điểm I ( 1 - )
;1 của AB hoặc cùng phương với AB .
TH1: d đi qua trung điểm I ( 1 - ) ;1 , thì ta luôn có: 1 1 1 = 1 - - x + 2 - x = 1 2 ( 0 )
, phương trình này có nghiệm (x + )1 x +1 0 0 0 1 5 Với x = t
1 a có phương trình tiếp tuyến d : y = x + . 0 4 4 y - y
TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y '( x = k = B A = 1 0 ) AB x - x B A 1 hay = 1 Û x = 2 - hoặc x = 0 (x + )2 1 0 0 0 Với x = 2
- ta có phương trình tiếp tuyến d : y = x + 5. 0
Với x = 0ta có phương trình tiếp tuyến d : y = x + . 1 0 1 5
Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = x + , y = x + 5, y = x + 1 4 4
Câu 17. Tìm m Î ! để từ điểm M (1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C y x x m x m m ) 3 2 : = - 2 + ( - ) 1 + 2 . 10 100 10 100 A. m = , m = 3 - B. m = , m = 3 C. m = , m = 3 D. m = , m = 3 - 81 81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi N (x ; y Î C (d ) A N 0 0 )
( ). Phương trình tiếp tuyến của tại là: y = ( 2
3x - 4x + m - ) 1 (x - x ) 3 2
+ x - 2x + m-1 x + 2m 0 0 0 0 0 ( ) 0 M Î(d ) 3 2
Û 2x +5x - 4x = 3-3 m * 0 0 0 ( )
Dễ thấy (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = 3- 3m và f (x = 2x +5x - 4x 0 ) 3 2 . 0 0 0
Xét hàm số f (x = 2x +5x - 4x
f '(x = 6x +10x - 4 0 ) 2 0 ) 3 2 có 0 0 0 0 0 1
f '(x = 0 Û x = 2 - x = 0 ) hoặc . 0 0 3 100
Lập bảng biến thiên, suy ra m = , m = 3 - 81 Câu 18. Cho hàm số 4 2
y = 2x - 4x -
1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua (1 A ; -3). 64 1 64 1 A. D : y = 3
- hay D : y = - x - B. D : y = 3
- hay D : y = - x - 27 81 27 8 64 51 64 51 C. D : y = 3
- hay D : y = - x - D. D : y = 3
- hay D : y = - x - 27 2 27 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có 3
y ' = 8x -8x Trang 46
Gọi M (x ; y ). Tiếp tuyến D tại M có phương trình: 0 0 3 4 2
y = (8x - 8x )(x - x ) + 2x - 4x - .V
1 ì tiếp tuyến D đi qua (1 A ; -3)nên ta có 0 0 0 0 0 3 4 2 3
- = (8x -8x )(1- x ) + 2x - 4x - 1 0 0 0 0 0 4 3 2
Û 3x - 4x - 2x + 4x -1 = 0 2
Û (x -1) (x +1)(3x -1) = 0 0 0 0 0 0 0 0 • x = 1 ± Þ D : y = - 3 0 • 1 64 51
x = Þ D : y = - x - . 0 3 27 81 Câu 19. Cho hàm số 4 2
y = 2x - 4x -
1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. D : y = 3 -
B. D : y = 4
C. D : y = 3 D. D : y = 4 - Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có 3
y ' = 8x -8x
Gọi M (x ; y ). Tiếp tuyến D tại M có phương trình: 0 0 3 4 2
y = (8x - 8x )(x - x ) + 2x - 4x - .G
1 iả sử D tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai 4 2 N( ;
n 2n - 4n -1) 0 0 0 0 0 Suy ra: 3 4 2 D : y = (8n -8 )
n (x - n) + 2n - 4n - 1 3 3 8
ìï x -8x = 8n -8n 2 2
ìïx + nx + n -1= 0 Nên ta có: 0 0 í 0 0 Û í 4 2 4 2 ï 6 - x + 4x -1= 6 - n + 4n -1 î 2 2
ï(x + n)(3x + 3n - 2) = 0 0 0 î 0 0 2 2
ìïx + x n + n -1= 0 2 2
ìïx + x n + n -1= 0 0 0 Û í (I) hoặc 0 0 Û í (II) ïx + n = 0 î 2 2 3
ï x + 3n - 2 = 0 0 î 0 ì 2 2 2 ì x + n = x = -n 0 ïï Ta có (I) 0 Û 3 í ; (II) Û í
vô nghiệm. Vậy D : y = 3 - . în = 1 ± 1 ïx n = 0 ïî 3 3 x
Câu 20. Cho (C) là đồ thị của hàm số 2 y =
- x + 2x +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết 3
tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 1 4 4 4 A. y = x + . B. y = x + . C. y = x + . D. y = x - . 3 3 13 3 Hướng dẫn giải: Chọn B
Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 0
45 ,suy ra hệ số góc của (D) là k = 1 ± D
Trường hợp k = 1,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a ¹ 0) D 3 ì x 2 ï
- x + 2x +1 = x + a (3) (D) tiếp xúc (C) Û í 3 có nghiệm. ï 2
îx - 2x + 2 =1 (4) 2
(4) Û x - 2x +1 = 0 Û x = . 1 4
Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = . 3 4
Vậy trong trường hợp này,phương trình (D): y = x + 3 Trang 47 Trường hợp k = 1
- , khi đó phương trình (D): y = - x + a. D 3 ì x 2 ï
- x + 2x +1 = -x + a (5)
(D) tiếp xúc với (C) Û í 3 có nghiệm ï 2 îx - 2x + 2 = 1 - (6) (6) 2
Û x - 2x + 3 = 0.P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C). 4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . 3 Câu 21. Cho hàm số 3 2
y = x - 2x + (m -1)x + 2m có đồ thị là (C ). Tìm m để từ điểm M (1;2) vẽ m
đến (C ) đúng hai tiếp tuyến. m ém = 3 - ém = 3 ém = 3 ém = -3 A. ê 10 B. ê 100 C. ê 10 D. ê 100 êm = êm = êm = êm = ë 81 ë 81 ë 81 ë 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2
y ' = 3x - 4x + m - . G 1 ọi (
A x ; y ) là tọa độ tiếp điểm. 0 0
Phương trình tiếp tuyến D tại A: y = ( 2
3x - 4x + m -1 (x - x ) + x - 2x + (m -1)x + 2m 0 0 ) 3 2 0 0 0 0 M ÎD Û 2 = ( 2
3x - 4x + m -1 (1- x ) + x - 2x + (m-1)x + 2m 3 2
Û 2x + 5x - 4x + 3m - 3 = 0 0 0 ) 3 2 (*) 0 0 0 0 0 0 0
Yêu cầu bài toán Û (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: 3 2 (
h t) = 2t + 5t - 4t, t Î! 1 Ta có: 2
h '(t) = 6t +10t - 4 Þ h '(t) = 0 Û t = ,t = 2 - 3 Bảng biến thiên x -¥ 2 - 1 +¥ 3 y ' + 0 - 0 + 12 +¥ y -¥ 19 - 27 é3- 3m =12 ém = -3
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) ê Û 19 ê Û
100 là những giá trị cần tìm. ê3-3m = - êm = ë 27 ë 81 2x +1
Câu 22. Tìm điểm M trên đồ thị (C) : y =
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D : x -1
x + 3y - 3 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. æ 1 ö æ 7 ö A. M ( 2; - ) 1
B. M (2;5) C. M -1; D. M 3; ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Hướng dẫn giải: Chọn A æ 2m +1ö Gọi M ; m
là tọa độ điểm cần tìm (m ¹ ) 1 . ç ÷ è m -1 ø Trang 48 æ 2m +1ö m + 3 - 3 ç ÷ è m -1 2 1 m + 2m + 6
Khoảng cách từ M đến đường thẳng D là: ø d = hay d = . 2 2 1 + 3 10 m -1 2
ìm + 2m + 6 kh im <1 2 ï
m + 2m + 6 ï - m -1
Xét hàm số: f (m) ( ) = = í 2 m -1
ïm + 2m + 6 kh im >1 ïî m -1
Ta có: f '(m) = 0 Û m = 2
- thỏa m <1 hoặc m = 4 thỏa m >1. 2
Lập bảng biến thiên suy ra min d = khi m = 2 - tức M ( 2; - ) 1 . 10 1 1
Tiếp tuyến tại M là y = - x + , tiếp tuyến này song song với D . 3 3 Trang 49