TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng (có đáp án và lời giải)

TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 121 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

121 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn
và Tính tích phân
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Xét tích phân
Đặt
Nên .
Do đó . Lại có (theo BĐT tích phân)
Dấu xảy ra khi .
Suy ra
Do đó .
Vậy .
( )
fx
0;1
( )
10f =
( ) ( ) ( )
11
2
2
00
1
d 1 d .
4
x
e
f x x x e f x x
−
= + =



( )
1
0
d.I f x x=
2.Ie=−
2.Ie=−
1
.
2
e
I
−
=
( ) ( )
1
0
1d
x
x e f x x+
( )
( )
( )
d
d 1 d
x
x
u f x
du f x x
v x e x
v xe
=
=


=+
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
0
0 0 0
1 d . . d . d
x x x x
x e f x x f x xe xe f x x xe f x x

+ = − = −
( )
1
0
1
.d
4
x
x
e
xe f x x
−
=−
( )
( )
( )
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
. d d . d
xx
x e f x x x e x f x x






2
2
1
4
e

−
=


( )
1
2
0
1
d.
4
x
e
xe f x x
−

""=
( )
.
x
f x k xe
=
( )
1
2
2
2
0
1
d
4
x
e
kx e x
−
=
1k = −
( )
x
f x xe
= −
( ) ( )
d d 1
xx
f x x xe x x e C
= − = − +

( )
10fC = =
( )
1
0
dI f x x=
( )
1
0
1 d 2
x
x e x e= − = −
Trang 2
Câu 2:Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và thoả mãn
( )
1
23f x f x
x

+=


với
1
;2
2
x



. Tính
( )
2
1
2
d
fx
x
x
.
A.
3
2
. B.
3
2
−
. C.
9
2
. D.
9
2
−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
2
1
2
d
fx
Ix
x
=
Với
1
;2
2
x



,
( )
1
23f x f x
x

+=


( )
1
23
f
fx
x
xx



+ =
.
( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1
d 2 d 3d (1)
f
fx
x
x x x
xx



+ =
Đặt
2
11
ddt t x
xx
= = −
11
ddtx
tx
− =
.
( )
22
11
22
1
2 d 2 d 2
f
ft
x
x t I
xt



==

.
( )
2
1
2
3
1 3 3d .
2
I x I = =
Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho
( )
1
0
2018f x dx =
ò
. Tính tích phân
( )
4
0
sin 2 cos2f x xdx
p
ò
A.
2018
. B.
1009-
. C.
2018-
. D.
1009
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
sin2 2cos 2t x dt xdx= Þ =
Đổi cận:
0 0; 1
4
x t x t
p
= Þ = = Þ =
( ) ( )
1
4
00
11
sin2 cos2 .2018 1009
22
f x xdx f t dt
p
= = =
òò
Trang 3
Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
( )
( )
2
23F x ax bx c x= + + +
(
,,abc
) là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
20 30 11
23
xx
fx
x
++
=
+
trên khoảng
3
;.
2

− +


Tính
.T a b c= + +
A.
11T =
. B.
10T =
. C.
9T =
. D.
8T =
.
Lời giải
Chọn A.
( )
2
20 30 11
23
xx
fx
x
++
=
+
. Đặt
2
2
3
2 3 2 3
2
dd
t
x
x t x t
x t t
−
=
+ = + =
=
( )
( )
2
2
2
3
20 15 3 11
2
d .dt
t
t
I f x x t
t

−
+ − +


==

( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2
5 15 11 d 5 11 2 3 4 2 5t t t t t t C x x x C= − + = − + + = + + + +
4; 2; 5 11a b c a b c = = = + + =
Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
6
0
2 4d 5 4
ln ln
33
2 5 2 4 8
xx
a b c
xx
+
= + +
+ + +
( , , ).abc
Tính
.T a b c= + +
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
( )
6 6 4
2
2
0 0 2
2 4 2 4
d d 2 4 d
54
2 5 2 4 8 2 4 5 2 4 4
x x t
x x t
tt
x x x x
++
= + =
++
+ + + + + + +
với
24tx=+
.
( )( )
4 4 4 4
2 2 2 2
5 4 1 1 16 1 1 5 16 4
1 d 1d d d 2 ln ln
1 4 3 1 3 4 3 3 3 3
t
t t t t
t t t t

+
= − = + − = + −


+ + + +

.
Suy ra
1 16
2, , 3
33
a b c a b c= = = − + + = −
.
Câu 6: [2D3-3] Cho
()fx
là một hàm số liên tục trên thỏa mãn
( ) ( )
2 2cos2f x f x x+ − = −
. Tính
tích phân
( )
3
2
3
2
dI f x x
−
=
.
A.
3I =
. B.
4I =
. C.
6I =
. D.
8I =
.
3.T =−
5.T =−
4.T =−
7.T =−
Trang 4
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( ) ( ) ( )
33
0
22
33
0
22
d d dI f x x f x x f x x


−−
= = +
.
Xét
( )
0
3
2
df x x
−
Đặt
ddt x t x= − = −
; Đổi cận:
33
22
xt

= − =
;
00xt= =
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
33
00
22
33
00
22
d dt d df x x f t f t t f x x


−
= − − = − = −
.
Theo giả thiết ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
33
22
00
2 2cos2 d 2 2cos df x f x x f x f x x x x

+ − = − + − = −

( ) ( )
3 3 3
2 2 2
0 0 0
d d 2 sin df x x f x x x x
+ − =
( ) ( )
33
0
22
3
0 0 0
2
d d 2 sin d 2 sin df x x f x x x x x x

−
+ = −
( )
3
2
3
2
d6f x x
−
=
.
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số
( )
fx
liên tục trên
1;2018


và :
2017
1
(2018 ) ( ) [1;2018], ( ) 10f x f x x f x dx− = =
. Tính
2017
1
. ( )I x f x dx=
.
A.
10100.I =
B.
20170.I =
C.
20180.I =
D.
10090.=I
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
2018 .t x dt dx= − = −
1 2017, 2017 1x t x t= = = =
1 2017
2017 1
(2018 ) (2018 ) (2018 ) ( )I t f t dt t f t dt= − − − = −

Trang 5
2017 2017
11
2018 ( ) ( )f x dx xf x dx=−

= − =2018.10 10090.I I I
Câu 8:[2D3-3] Hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;


và :
0
( ) ( ) [0; ], ( )
2

− = =
f x f x x f x dx
. Tính
0
. ( )
=
I x f x dx
.
A.
.
2
=I
B.
2
.
2
=I
C.
.
4
=I
D.
2
.
4
=I
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
.t x dt dx
= − = −
0 , 0x t x t

= = = =
0
( ) ( )I t f t dt

= − − −
0
( ) ( )t f t dt
=−
00
( ) ( )f x dx x f x dx

=−

2
..
24
I I I

= − =
Câu 9:[2D3-3] Hàm số
( )
fx
liên tục trên
;ab


và :
( ) ( ) [ ; ]+ − = f a b x f x x a b
;
() =+
b
a
f x dx a b
Tính
. ( )=
b
a
I x f x dx
.
A.
( )
.
2
+
=
ab
I
B.
( )
2
.
4
+
=
ab
I
C.
( )
.
4
+
=
ab
I
D.
( )
2
.
2
+
=
ab
I
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
.t a b x dt dx= + − = −
,.x a t b x b t a= = = =
( ) ( )
a
b
I a b t f a b t dt= − + − + −
( ) ( )
b
a
a b t f t dt= + −
Trang 6
( ) ( ) ( )
bb
aa
a b f x dx xf x dx= + −

( )
2
( ).( ) .
2
ab
I a b a b I I
+
= + + − =
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
1;2
thỏa mãn
( )
14f =
và
( ) ( )
32
. 2 3f x x f x x x
= − −
. Tính giá trị
( )
2f
.
A.
5
. B.
20
. C.
10
. D.
15
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: +
1;2x
:
( ) ( )
32
. 2 3f x x f x x x
= − −
( ) ( )
2
23
f x f x
x
xx
= − −
.
( ) ( )
2
23
f x f x
x
xx
− = +
( )
1
. 2 3f x x
x

=+


.
Vậy
( ) ( )
1
. d 2 3 df x x x x
x

=+



( )
2
3
fx
x x C
x
= + +
.
+ Vì
( )
1 4 0fC= =
. Do đó
( )
32
3f x x x=+
( )
2 20f=
.
Cách 2: Từ giả thiết
( ) ( )
32
23f x xf x x x
= − −
( ) ( )
2
23
xf x f x
x
x
−
=+
( )
( )
2
3
fx
xx
x

=+


.
( )
( )
22
2
11
3
fx
dx x x dx
x

=+



( ) ( )
( )
2
2
1
21
3
21
ff
xx− = +
( )
2 20f =
.
Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,
tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:
1) Cho trước các hàm
( ) ( ) ( )
,,g x u x v x
có đạo hàm liên tục trên
( )
; , 0, ;a b g x x a b
và
hàm
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
;ab
thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x u x v x u x v x
+ = +
. Khi đó,
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
f x g x u x v x

=
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
u b v b u a v a
f b f a
g b g a
− = −
.
Trang 7
2) Cho trước các hàm
( ) ( )
,g x u x
có đạo hàm liên tục trên
( )
; , 0, ;a b g x x a b
và hàm
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
;ab
thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x g x f x g x u x g x
−=
.
Khi đó,
( )
( )
( )
fx
ux
gx

=



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f b f a u b g b u a g a− = −
.
3) Cho trước các hàm
( ) ( ) ( )
,,g x u x v x
có đạo hàm liên tục trên
;ab
và hàm
( )
fx
có đạo
hàm liên tục trên
;ab
thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
u x f x f u x v x g x g v x
=
. Khi đó,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f u x g v x

=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f u b f u a g v b g v a− = −
.
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
( ) ( )
1
7 m/sv t t=
. Đi được
( )
5s
, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc
( )
2
70 m/sa =−
. Tính quãng đường
( )
mS
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A.
( )
87,50 mS =
. B.
( )
94,00 mS =
. C.
( )
95,70 mS =
. D.
( )
96,25 mS =
.
Lời giải
Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là:
( ) ( )
1
5 35 /v m s=
.
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là:
( )
2
70v t t C= − +
. Do
( )
2
0 35v =
35C=
( )
2
70 35v t t = − +
.
Khi xe dừng hẳn tức là
( )
2
0 70 35 0v t t= − + =
1
2
t=
.
Quãng đường
( )
Sm
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
( ) ( )
1
5
2
00
7 . 70 35S m t dt t dt= + − +

( )
96,25 m=
.
Câu 12: [2D3-2] Giả sử
( )
2
1
2 1 ln d ln2x x x a b− = +
,
( )
;ab
. Tính
ab+
.
A.
5
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
Trang 8
( )
ln
21
ux
dv x dx
=
=−
2
1
du dx
x
v x x
=
=−
( )
2
1
2 1 ln dx x x−=
( )
2
2
2
2
1
1
ln d
xx
x x x x
x
−

= − −

2
2
1
2ln2
2
x
x

= − −


1
2ln2
2
=−
nên
2a =
,
1
2
b =−
.
Vậy
ab+
3
2
=
.
Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]
Biết
1
3
2
0
3
ln2 ln3
32
xx
dx a b c
xx
+
= + +
++
với
,,abc
là các số hữu tỉ , tính
22
2.S a b c= + +
A.
515S =
. B.
164S =
. C.
436S =
. D.
9S =−
.
Lời giải
Chọn A.
Xét :
( )( )
1 1 1
3
2
0 0 0
3 10 6 4 14
33
3 2 1 2 1 2
x x x
I dx x dx x dx
x x x x x x

+ + −

= = − + = − + +


+ + + + + +


1
2
11
1
0
00
0
1
3 4ln 1 14ln 2 3 4ln 2 14ln3 14ln 2
22
x
I x x x= − − + + + = − − + −
22
5
2
5
18ln2 14ln3 18 2 515
2
14
a
I b S a b c
c
−
=
−
= − + = − = + + =
=
.
Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và thỏa
mãn
( )
( )
16
2
2
1
4
cot . sin d d 1
fx
x f x x x
x
==

. Tính tích phân
( )
1
1
8
4
d.
fx
Ix
x
=
A.
3.I =
B.
3
.
2
I =
C.
2I =
. D.
5
.
2
I =
Lời giải
Chọn D.
Đặt
2
d
sin d 2sin cos d cot d
2
t
t x t x x x x x
t
= = =
Trang 9
( )
( )
( ) ( )
1 1 1
2
2
1 1 1
4 2 2 2
d1
1 cot . sin d d d 2
22
f x f x
t
x f x x f t x x
t x x
= = = =
Đặt
2
2 d dt t x
tx
xt
=
=
=
( )
( ) ( ) ( )
16 4 4 4
2
1 1 1 1
1
1 d 2td 2 d d
2
fx
f t f x f x
x t x x
x t x x
= = = =
Đặt
4 d 4dt x t x= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 4 4 1 4
1 1 1 1
1
8 2 2 2
4
d5
d d d d
42
4
f x f t f x f x f x
t
I x x x x
t
x x x x
= = = = + =
Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm
( )
fx
nào đó không biết, nhưng sẽ cho
thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích
phân đã biết về giống dạng chưa biết.
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và thỏa mãn
( )
2
ln
d1
ln
e
e
fx
x
xx
=
và
( )
3
0
cos tan d 2f x x x
=
. Tính
( )
2
1
2
d.
fx
x
x
A.
3
. B.
5
2
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
d
ln d
x
t x t
x
= =
( ) ( ) ( )
2
22
11
ln
1 d d d
ln
e
e
f x f t f x
x t x
x x t x
= = =
Đặt
cos d sin dt x t x x= = −
( )
( ) ( )
1
1
3
2
1
01
2
sin
2 cos d d d
cos
f t f x
x
f x x t x
x t x
= = − =
Do đó
Trang 10
( ) ( ) ( )
2 1 2
11
1
22
d d d 3
f x f x f x
x x x
x x x
= + =
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân
ta được kết quả là với với . Khi đó nhận giá
trị
A. 9. B. 8. C. 1. D. 0.
Lời giải
Chọn D
Đặt
4
xt
=−
, ta có
( )
0
4
0
4
4 4 4
0 0 0
1 tan
ln tan( ) 1 ln 1
4 1 tan
2
ln ln2 ln tan 1
1 tan
ln2
4
ln2 1, 8, 0 0
8
t
I t dt dt
t
dt dt t dt
t
I
I a b c P
−
= − − + = +
+

= = − +

+

=−
= = = = =

Câu 17:Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
0;
2



và
( )
00f =
,
( )
2
2
0
d
4
f x x
=


,
( )
2
0
sin . d
4
x f x x
=
. Tính
( )
2
0
dI f x x
=
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
22
2
00
dd
4
f x x f x f x


==



.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
0 0 0
s
4
in . d d cos cos . cos dx f x x f x x x f x f x x x
= − = − + =
Mặt khác ta tính được:
22
2
2
0
00
1 cos2 1 sin 2
cos d d
2 2 2 4
xx
x x x x

+

= = + =



/4
0
ln(tan 1)dI x x
=+
ln2
a
Ic
b
=+
0,( , ) 1, , ,a b c b ab =
P abc=
Trang 11
Vậy
4 2 2
0 0 0 0
2
22
2
d cos . ( )d cos d cos d 0'( ) 2 '( )f x x f x x x x xx f x x
− + = −
=
Suy ra
( ) ( )
cos sinf x x f x x C
= = +
.
Do
( )
0 0 0fC= =
.
Vậy
( )
22
2
0
00
d sin d cos 1I f x x x x x

= = = − =

.
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]
Biết rằng
ln2
0
1
dx=ln 2 ln3 ln5
21
ac
x
b
e
++
+
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Khi đó
S a b c= + −
bằng bao nhiêu.
A.
4S =
. B.
3S =
. C.
5S =
. D.
2S =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
ln2 ln2
00
1
dx= dx
21
21
x
x
xx
e
e
ee
+
+

Đặt
x
et=
dt=e dx
x
Đổi cận: khi
0x =
thì
1t =
, khi
ln2x =
thì
2t =
.
Vậy
( )
( )
ln2 2
01
1
dx dt=
21
21
x
xx
e
tt
ee
=
+
+

( )
2
1
2 1 2
dt=
21
tt
tt
+−
+
2
1
12
dt
21tt

−

+

( ) ( ) ( )
2
1
ln ln 2 1 ln 2 ln5 ln1 ln3tt= − + = − − −


1
ln2 ln3 ln5
−
= + +
Vậy
3S =
.
Hướng 2. Phân tích
( )
( )
ln2 ln2 ln2
0 0 0
2 1 2
ln2
12
1 ln 2 1
0
2 1 2 1 2 1
xx
x
x
x x x
ee
e
dx dx dx x e
e e e
+−


= = − = − +


+ + +

Câu 19: Biết rằng
( )
ln2
2
0
1 1 1
dx= ln2 ln 2 3
2
21
a
x
b
e
+−
+
. Trong đó
a
,
b
là các số nguyên.
Khi đó
2S a b=+
bằng bao nhiêu.
A.
2S =−
. B.
3S =
. C.
1S =
. D.
0S =
.
Lời giải
Trang 12
Chọn B
Ta có
ln2 ln2
2
2 2 2
00
12
dx= dx
2 1 2 2 1
x
x x x
e
e e e++

Đặt
2 2 2
2 1 2 1
xx
e t e t+ = = −
( ) ( )
22
d 2 =d 1
x
et−
2
4 dx=2 dt
x
et
Đổi cận: khi
0x =
thì
3t =
, khi
ln2x =
thì
3t =
.
Vậy
( )
ln2 3
2
2
22
0
3
2
dx dt
1
2 2 1
x
xx
et
tt
ee
=
−
+

3
3
1 1 1
dt
2 1 1tt

−

−+

( ) ( )
3
3
1
ln 1 ln 1
2
tt= − − +


( ) ( )
11
ln2 ln4 ln 3 1 ln 3 1
22

− − − − +

( )
1
11
ln2 ln 2 3
22
−
= + −
Vậy
3S =
.
Câu 20:Biết rằng
( )
( )
2
1
0
dx=a.e+bln
x
x
x x e
ec
xe
−
+
+
+
. Trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Khi đó
2S a b c= + −
bằng bao nhiêu.
A.
1S =−
. B.
2S =−
. C.
1S =
. D.
0S =
.
Lời giải.
Chọn B
Ta có
( )
( )
2
11
00
1
dx=
1
x
xx
xx
x x e
xe x e
dx
x e xe
−
+
+
++

Đặt
1
x
xe t+=
( )
dt= 1 e dx
x
x+
Đổi cận: khi
0x =
thì
1t =
, khi
1x =
thì
1te=+
.
Vậy
( )
( )
( )
( )
2
11
1
1
01
1
dx= ln ln 1
x
e
e
x
x x e
t
dt t t e e
x e t
+
+
−
+
−
= − = − +
+

Vậy
2S =−
.
Trang 13
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục
trên
)
1; +
thỏa mãn
( )
11f =
và
( )
)
2
3 2 5 1;f x x x x
+ − +
. Tìm số nguyên dương
m
lớn nhất sao cho
( )
3;10
min
x
f x m
với mọi hàm số
( )
y f x=
thỏa đề bài.
A.
15m =
. B.
20m =
. C.
25m =
. D.
30m =
.
Lời giải
Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến
( )
'y f x=
nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để
được một bất đẳng thức liên quan đến
( )
y f x=
.
Ta có
( ) ( )
2 3 2
11
( )d (3 2 5)d 1 5 3 1
tt
f x x x x x f t f t t t t
+ − − + − +

.
Suy ra
( )
( )
( )
3 2 3 2
3;10 3;10
5 4 min min 5 4 25
xx
f x x x x f x x x x

+ − + + − + =
.
Vậy
25m =
.
Câu 22:Cho các hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên
0; 1
thỏa mãn
( ) ( )
2018
3 0;1f x xf x x x
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
1
0
df x x
.
A.
1
2019.2020
. B.
1
2019.2021
. C.
1
2020.2021
. D.
1
2018.2020
.
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên
thỏa mãn
( )
( )
( )
32
1
2
2
3 . 0
f x x
x
f x e
fx
−−
−=
và
( )
01f =
. Tích phân
( )
7
0
.dx f x x
bằng
A.
27
3
. B.
15
4
. C.
45
8
. D.
57
4
Lời giải
Chọn C.
Phân tích: Nhận thấy
( )
( )
( ) ( )
3
2
3. .
fx
e f x f x
=
nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân
2 vế
Trang 14
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 3
2
1
21
2
2
3 . 0 3. . . 2 .
f x x f x
x
x
f x e f x f x e x e
fx
−−
+

− = =
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
( ) ( )
( )
( )
3
22
2 1 1 2
3. . . d 2 . d d 1
fx
xx
f x f x e x xe x e x
++
= = +
( )
3
2
1
0
fx
x
e e C
+
− + =
Mặt khác:
( )
0 1 0fC= =
nên
( ) ( )
3
3 2 2
11f x x f x x= + = +
Tính:
( )
77
3
2
00
45
. d . 1.d
8
x f x x x x x= + =

.
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
( ) ( )
1
2
0
1
1 0, d
11
f f x x
==


và
( )
1
4
0
1
d
55
x f x x =−
. Tích phân
( )
1
0
df x x
bằng
A.
1
7
−
. B.
1
7
. C.
1
55
−
. D.
1
11
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( ) ( ) ( )
1
11
55
4
00
0
dd
55
xx
x f x x f x f x x

=−



( )
1
5
0
1
d
11
x f x x
=
mà
( )
1
2
5
0
1
d
11
xx=
nên
( ) ( )
( )
1 1 1
2
2
55
0 0 0
d 2 d d 0f x x x f x x x x

− + =


( )
1
2
5
0
0f x x dx

− =

.
Suy ra
( )
5
f x x
=
( )
6
1
6
=+f x x C
.
Vì
( )
10=f
nên
1
6
=−C
. Vậy
( )
11
6
00
11
dd
67
x
f x x x
−
= = −

.
Câu 25: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
( ) ( )
1
2
0
3
1 0, d 2ln2
2
f f x x
= = −


và
( )
( )
1
2
0
3
d 2ln2
2
1
fx
x
x
=−
+
. Tích phân
( )
1
0
df x x
bằng
A.
1 2ln2
2
−
. B.
3 2ln2
2
−
. C.
3 4ln2
2
−
. D.
1 ln2
2
−
Lời giải
Trang 15
Chọn A.
Ta có
( )
( )
( )
11
2
00
1
d d 1
1
1
fx
x f x
x
x

=−

+

+

( ) ( )
1
1
0
0
11
1 1 d
11
f x f x x
xx

= − − −

++

Suy ra
( )
1
0
13
1 d 2ln2
12
fxx
x

− = −

+

.
Mặt khác
( )
( )
1
2
11
2
00
0
1 1 1 1 3
1 d 1 2 d 2ln 1 2ln2
1 1 1 2
1
x x x x
x x x
x



− = − + = − + − = −




+ + +

+



.
Do đó
( ) ( )
2
1 1 1
2
0 0 0
11
d 2 1 d 1 d 0
11
f x x f x x x
xx

− − + − =


++
( )
2
3
0
1
1 d 0
1
f x x
x

+ − =

+

.
( )
1
1
1
fx
x
= −
+
( ) ( )
ln 1f x x x C = − + +
, vì
( )
10=f
nên
ln2 1=−C
.
Ta được
( ) ( )
11
00
1
d ln 1 ln2 1 d ln2
2
f x x x x x= − + + − = −



.
Câu 26: Xét hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;1
và thỏa mãn điều kiện
( )
( )
22
4 . 3 1 1x f x f x x+ − = −
. Tích
phân
( )
1
0
dI f x x=
bằng:
A.
20
I
=
. B.
16
I
=
. C.
6
I
=
. D.
4
I
=
.
Lời giải:
Chọn A.
Vì
( )
fx
liên tục trên
0;1
và
( )
( )
22
4 . 3 1 1x f x f x x+ − = −
nên ta có
( )
( )
11
22
00
4 . 3 1 d 1 dx f x f x x x x

+ − = −


( )
( )
1 1 1
22
0 0 0
4 . d 3 1 d 1 dx f x x f x x x x + − = −
( )
1
.
Mà
( )
1
2
0
4 . dx f x x
( ) ( )
1
22
0
2df x x=
( )
2
1
0
2d
tx
f t t
=
⎯⎯⎯→
2I=
và
( )
1
0
3 1 df x x−
( ) ( )
1
0
3 1 d 1f x x= − − −
( )
1
1
0
3d
ux
f u u
=−
⎯⎯⎯→
3I=
Trang 16
Đồng thời
1
2
0
1dxx−
2
sin
2
0
1 sin .cos d
xt
t t t
=
⎯⎯⎯→ −
2
2
0
cos dtt
=
( )
2
0
1
1 cos2 d
2
tt
=+
4
=
.
Do đó,
( )
1
23
4
II
+=
hay
20
I
=
.
Câu 27: Cho hàm số
()fx
xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
( ) 0,f x x
và
2
3 '( ) 2 ( ) 0.f x f x+=
Tính
(1)f
biết rằng
(0) 1.f =
A.
1
.
5
B.
2
.
5
C.
3
.
5
D.
4
.
5
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích
phân.
Phân tích: Từ giả thiết
2
3 '( ) 2 ( ) 0f x f x+=
và
( ) 0,f x x
suy ra:
11
2
00
'( ) 2 1 1 2 3
(1)
( ) 3 (1) (0) 3 5
fx
dx dx f
f x f f
− − −
= + = =

.
Câu 28: Cho hàm số
()fx
xác định, liên tục và có đạo hàm trên
(0; )+
thỏa mãn
( ) '( ) 2f x xf x x+=
và
(1) 2f =
. Giá trị
(2)f
bằng:
A.
5
.
2
B.
2.
C.
.e
D.
.
2
e
Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết
( ) '( ) 2 ( ( ))' 2 ( ( ))' 2f x xf x x xf x x xf x dx xdx+ = = =

Suy ra
2
()xf x x C=+
, thay
1x =
vào hai vế ta được
2
1. (1) 1 2 1 1f C C C= + = + =
.
Khi đó
2
2
1
( ) 1 ( )
x
xf x x f x
x
+
= + =
. Vậy
5
(2) .
2
f =
Câu 29: Cho hàm số
()fx
xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
( ) '( ) 2
x
f x f x e+=
và
(0) 1f =
. Giá trị
(2)f
bằng:
A.
.e
B.
ln2
. C.
2
.e
D.
1.
Trang 17
Lời giải
Chọn C.
Từ
22
( ) '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ( ))' 2
x x x x x x
f x f x e e f x e f x e e f x e+ = + = =
Suy ra
22
( ( ))' 2 ( )
x x x x
e f x dx e dx e f x e C= = +

. Thay
0x =
vào hai vế ta được
0.C =
Suy ra
()
x
f x e=
. Vậy
2
(2) .fe=
Câu 30:Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
\ 0; 1−
thỏa mãn điều kiện
( )
1 2ln2f =−
và
( ) ( ) ( )
2
1x x f x f x x x
+ + = +
. Giá trị
( )
2 ln3f a b=+
,
,ab
.Tính
22
ab+
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( ) ( ) ( )
2
1x x f x f x x x
+ + = +
( )
( )
( )
2
1
11
1
xx
f x f x
xx
x
+ =
++
+
( )
11
xx
fx
xx

=

++

.
Lấy tích phân từ
1
đến
2
hai vế ta được
( )
22
11
dd
11
xx
f x x x
xx

=

++


( )
( )
2
2
1
1
ln 1
1
x
f x x x
x
= − +
+
( ) ( ) ( ) ( )
21
2 1 2 ln3 1 ln2
32
ff − = − − −
( )
2
2 ln2 1 ln3 ln2
3
f + = − +
( )
33
2 ln3
22
f = −
. Suy ra
3
2
a =
và
3
2
b =−
.
Vậy
22
22
3 3 9
2 2 2
ab
+ = + − =
.
Câu 31: Biết
2
3
33
2 8 11
1
1 1 1
2d
a
x x c
x x x b

− + − =



, với
,,abc
nguyên dương,
a
b
tối giản và
ca
. Tính
S a b c= + +
.
A.
51S =
. B.
67S =
. C.
39S =
. D.
75S =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
33
2 8 11
1
1 1 1
2dI x x
x x x

= − + −



2
3
23
1
12
1dxx
xx

= − +


.
Trang 18
Đặt
3
2
1
tx
x
=−
2
3
2
3 d 1 dt t x
x

= +


nên
3
7
4
3
0
3dI t t=
3
21
14
32
=
.
Suy ra
67S =
.
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số
( )
fx
liên tục và có đạo hàm tại mọi
( )
0;x +
đồng
thời thỏa mãn điều kiện:
( ) ( )
( )
sin cosf x x x f x x
= + +
và
( )
3
2
2
sin d 4f x x x
=−
. Khi đó,
( )
f
nằm trong khoảng nào?
A.
( )
6;7
. B.
( )
5;6
. C.
( )
12;13
. D.
( )
11;12
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết:
( ) ( )
( )
sin cosf x x x f x x
= + +
( ) ( )
sinx cosf x x x f x x
= + +
( ) ( )
..f x x x f x

−
sin cosx x x= − −
( ) ( )
. . (cos ) x cosf x x x f x x x x
− = −
(*).
Vì
( )
0;x +
, ta chia
2
vế của (*) cho
2
x
ta được
( ) ( )
22
..
(cos ) x cos
f x x x f x
x x x
xx

−

−
=
( )
cos
fx
x
xx


=




( )
cos
fx
x
c
xx
= +
( )
cosf x x cx = +
.
Mặt khác lại có
( )
3
2
2
sin 4f x xdx
=−
.
Xét
( ) ( )
33
22
22
sin d cos sin sin df x x x x x c x x x


=+

( )
33
22
22
cos cos sin dxxd x c x x


= − +

( )
3
3
2
2
2
2
2
cos
cos sin
2
x
c x x x

= − + +


2c=−
.
Mà
( )
3
2
2
sin d 4f x x x
=−
24c − = −
2c=
( )
cos 2f x x x = +
.
Ta có:
( )
12f

= − +
5,28
.
Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
..a x f x b x f x g x
+=
( )
1
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa
( )
1
về dạng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
..u x f x u x f x h x
+=
( )
2
Trang 19
Với
( )
( )
()
()
ax
ux
u x b x
=
, kết hợp với giả thiết ta tìm được
()ux
suy ra biểu thức nhân thêm là
( )
( )
ux
bx
.
Khi có
( )
2
ta sẽ tìm được
( )
fx
.
Câu 33: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn
( ) ( )
2
2 2 .
x
f x xf x x e
−
+=
và
( )
01f =
. Tính
( )
1f
.
A.
e
. B.
1
e
. C.
2
e
. D.
2
e
−
.
Câu 34: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 e
x
x f x x f x
+ + + =
và
( )
1
0
2
f =
. Tính
( )
2f
.
A.
( )
e
2
3
f =
. B.
( )
e
2
6
f =
. C.
( )
2
e
2
3
f =
. D.
( )
2
e
2
6
f =
.
Câu 35:Biết
2
3
2
1
d 5 2 ,
11
x
x a b c
x
= + +
+−
với
,,abc
là các số hữu tỷ. Tính
.P a b c= + +
A.
5
2
P =−
B.
7
2
P =
C.
5
2
P =
D.
2P =
Lời giải
Chọn C.
Ta có
(
)
( )
22
2
3
3
2 2 2
2
1
11
1 1 5 2 3
d 1 1 d 1 5 2 .
3 2 3 3 2
11
x
x x x x x x
x

= + + = + + = − +


+−

Vậy
5 2 3 5
, ; .
3 3 2 2
a b c P= = − = =
Câu 36: Cho tích phân
( )
( )
3
2
6
ln sin
33
3ln ln2 , , .
cos 2
x
I dx a a b c
x b c
= = + +
Tính giá trị của biểu thức
.S a b c= + +
A.
3−
B.
2−
C.
1−
D.
1
Lời giải
Chọn B.
Đặt
( )
2
ln sin d
cos
sin
1
tan
cos
u x x
x
du dx
x
v
vx
x
=
=


=

=
Trang 20
Suy ra
( )
( )
33
3
2
6 6 6
ln sin
3 3 1
tan .ln sin 3ln ln
cos 2 3 2 6
x
dx x x dx
x

= − = − −

33
3ln ln2 1; 3; 6
2 3 6
a b c
= + + = = = −
−
Do đó
2S a b c= + + = −
Câu 37: Cho tích phân
( ) ( )
2
2
2
0
1
2 1 .cos , , .I x xdx a b c
a b c

= − = + +
Tính giá trị của biểu
thức
.S a b c= + +
A.
1
B.
2−
C.
2
D.
1−
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
22
2
00
0
1 1 1 1
cos2 cos2 d sin 2 cos2 d
2 2 2 2 4
x
I x x x x x x x x x x



= − + − = − − +





2
84
J

= − +
Đặt
dd
1
d cos2 d
sin 2
2
ux
ux
v x x
vx
=
=

=
=
Suy ra
2
22
0
00
1 1 1 1
sin 2 sin 2 d cos2
2 2 4 2
J x x x x x

= − = = −
Do đó
2
1
8; 4; 2 2
8 4 2
I a b c S

= − − = = − = − =
Câu 38: Cho tích phân
( )
4
22
0
tan ln2 , , .I x xdx a b c a b c

= = + +
Tính giá trị của biểu thức
.S a b c= + +
A.
9
32
−
B.
7
31
C.
5
16
−
D.
1
32
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
44
22
00
1
1 d d
cos 16 cos
x
I x x x
xx


= − = − +



Đặt
4
2
0
d
cos
x
Jx
x
=
Trang 21
Đặt
2
dd
1
tan d
dd
cos
ux
ux
v x x
vx
x
=
=

=
=
Suy ra
( )
4
44
0
00
2
tan tan d ln cos ln
4 4 2
J x x x x x


= − = + = +
Vậy
2
1 1 1 1 5
ln2
16 4 2 16 4 2 16
IS

= − + − = − + − = −
Câu 39: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
( )
21f −=
,
( )
2
1
2 4 d 1f x x−=
.
Tính
( )
0
2
.dI x f x x
−
=
.
A.
1I =
. B.
0I =
. C.
4I =−
. D.
4I =
.
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số
( )
=y f x
xác
định trên
0;
2



thỏa mãn
( ) ( )
2
2
0
2
2 2. sin
42

−

− − =




f x f x x xd
. Tính
( )
2
0
d
f x x
.
A.
4
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B.
+) Ta có
22
2
2
00
0
12
2 sin 1 cos 2 sin 2
4 2 2 2 2

−
− = − − = − − =

x x x x x xdd
.
+) Từ đó
( ) ( )
2
2
0
2
2 2. .sin
42

−

− − =




f x f x x xd
.
( ) ( )
22
22
00
22
2 2. .sin 2sin
4 4 2 2

− −
− − + − = +



f x f x x x x xdd
( )
2
2
0
2sin 0.
4


− − =




f x x xd
Do
( )
2
2sin 0, 0;
42


− −




f x x x
nên
( )
2
2
0
2 sin 0
4


− −




f x x xd
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )
2sin
4

=−


f x x
.
Trang 22
+) Vậy
( )
22
2
00
0
d 2 sin d 2 cos 0
44


= − = − − =

f x x x x x
.
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “
( )
=y f x
liên tục trên
0;
2



” ở đề
bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.
Câu 41: Cho hàm số
( )
=y f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn
( ) ( )
( )
2
1
2
0
91
6. . d
2
−

−=

x
e
f x f x e x
.
Tính
( ) ( )
1
0
1d+
x f x x
.
A.
1−e
. B.
25+e
. C.
e
. D.
3e
.
Lời giải
Chọn D.
+) Ta có
( ) ( )
( )
2
1
2
0
91
6. . d
2
−

−=

x
e
f x f x e x
( ) ( )
( )
2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
91
6. . d 9 d 9 d
2
−

− + = +

x x x
e
f x f x e x e x e x
( )
1
2
0
30

− =

x
f x e
( )
3.=
x
f x e
+) Vậy
( ) ( ) ( )
11
1
0
00
1 d 3 1 d 3 3+ = + = =

xx
x f x x x e x xe e
.
Câu 42: Cho hàm số
( )
=y f x
liên tục trên
11
;
22

−


thỏa mãn
( ) ( ) ( )
1
2
2
1
2
109
2. . 3 d
12
−

− − = −

f x f x x x
. Tính
( )
1
2
2
0
d
1−
fx
x
x
.
A.
2
ln
9
. B.
5
ln
9
. C.
7
ln
9
. D.
8
ln
9
.
Lời giải
Chọn A.
+) Ta có
( ) ( ) ( )
1
2
2
1
2
109
2. . 3 d
12
−

− − = −

f x f x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
22
2
1 1 1
2 2 2
109
2. . 3 d 3 d 3 d
12
− − −

− − + − = − + −

f x f x x x x x x x
Trang 23
( ) ( )
1
2
2
1
2
3 d 0
−
− − =


f x x x
( )
3. = −f x x
+) Vậy
( )
( )
111
1
222
2
22
0
000
3 1 2 2
d d ln 1 2ln 1 ln
1 1 1 1 9
−

= = − = − − + =

− − − +


fx
x
x x dx x x
x x x x
.
Câu 43: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
0;1
éù
ëû
và thỏa mãn điều kiện
22
4 . ( ) 3. (1 ) 1x f x f x x+ - = -
. Tích phân
1
0
( )dxI f x=
ò
bằng.
A.
4
I
=
. B.
6
I
=
. C.
20
I
p
=
. D.
16
I
=
.
Lời giải
Chọn C
Lấy tích phân hai vế ta có:
1 1 1
22
0 0 0
4 . ( )dx+ 3 (1 )dx 1 dxx f x f x x- = -
ò ò ò
1 1 1
2 2 2
0 0 0
2 ( )d(x ) - 3 (1 )d(1-x) 1 dxf x f x xÛ - = -
ò ò ò
11
00
2 ( )d(t) + 3 ( )d(u)
4
f t f u
p
Û=
òò
d(x) d(x)
11
00
5 ( ) ( )
4 20
f x f x
pp
Û = Þ =
òò
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]
Cho
( )
1
2
0
1 ln2 ln3
ln 2
24
a bc c
x x dx
x
−+

+ + =

+

, với
,,abc
. Tính
T a b c= + +
.
A.
13T =
. B.
15T =
. C.
17T =
. D.
11T =
.
Lời giải.
Chọn A.
Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành
2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân
từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
Ta có
( )
1
0
1
ln 2
2
I x x dx
x

= + +

+

( )
11
00
ln 2
2
x
x x dx dx
x
= + +
+

Trang 24
( )
11
2
00
12
ln 2 2 1
22
x d x dx
x
= + − + −
+

( ) ( )
( )
1
1
22
1
0
0
0
4 4 1
ln 2 . 2ln 2
2 2 2
xx
x dx x x
x
−−
= + − + − +
+
1
2
0
3
ln3 2ln2 1 2ln3 2ln2
24
x
x

= − + − − + − +


77
ln3 4ln2
24
= − + +
2
4 ln 2 2.7ln3 7
4
−+
=
.
Ta có
4a =
,
2b =
,
7c =
. Vậy
4 2 7 13T a b c= + + = + + =
.
Câu 45: Cho
( )
3
2
0
1
ln 1
1
I x x dx
x

= + −

+

ln2 ln5
4
abc b c−−
=
, với
,,abc
. Tính
T a b c= + +
.
A.
13T =
. B.
15T =
. C.
10T =
. D.
11T =
.
Lời giải.
Chọn C.
Ta có
( )
3
2
0
1
ln 1
1
I x x dx
x

= + −

+

( )
33
2
00
ln 1
1
x
x x dx dx
x
= + −
+

( )
3
2
0
1
ln 1
2
x
xd

−
=+


( )
2
3
2
0
1
1
21
dx
x
+
−
+
( )
( )
3
3
3
2
2
0
0
0
1 1 1
ln 1 ln 1
2 2 2
xx
x dx x
−−
= + − − +
31
4ln4 ln10
42
= − −
5.2.3ln 2 2ln5 3
4
−−
=
.
Vậy
10T a b c= + + =
.
Câu 46: Cho
( )
1
2
0
1
ln 2
1
I x x dx
x

= + −

+

ln2 ln3
4
ab bc c+−
=
, với
,,abc
. Tính
T abc=
.
A.
18T =−
. B.
16T =
. C.
18T =
. D.
16T =−
.
Lời giải.
Chọn A.
Ta có
( )
1
2
0
1
ln 2
1
I x x dx
x

= + −

+

( )
11
2
00
ln 2
1
x
x x dx dx
x
= + −
+

( )
( )
2
11
2
2
00
1
41
ln 2
2 2 1
dx
x
xd
x
+

−
= + −

+


( )
( )
1
1
1
22
2
0
0
0
4 4 1 1
ln 2 . ln 1
2 2 2 2
xx
x dx x
x
−−
= + − − +
+
3 3 1
ln3 2ln2 ln 2
2 4 2
= − + + −
( ) ( )
3.2ln 2 2. 3 ln3 3
4
+ − − −
=
Vậy
( )
. . 3.2. 3 18T abc= = − = −
.
Câu 47: Cho
()fx
là hàm liên tục và
0a
. Giả sử rằng với mọi
0;xa
, ta có
( ) 0fx
và
( ) ( )
1f x f a x−=
. Tính
0
1 ( )
a
dx
fx+
được kết quả bằng:
Trang 25
A.
3
a
. B.
2a
. C.
( )
ln 1aa+
. D.
2
a
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
00
()
1
( ) 1
1
()
aa
dx f a x
I dx
f a x
f a x
−
==
−+
+
−

.
Đặt:
a x t−=
thì
dx dt=−
.
Đổi cận
Ta được:
0
0
( ) ( )
(t) 1 ( ) 1
a
a
f t f x
I dt dx
f f x
= − =
++

.
Do đó:
II+=
0
1 ( )
a
dx
fx+
+
0
()
1 ( )
a
f x dx
fx+
=
( )
0
1 ( )
1 ( )
a
f x dx
fx
+
+
=
0
a
dx a=
. Vậy:
2
a
I =
.
Câu 48: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( ) ( )
2
3 2 tanf x f x x− − =
. Tính
( )
4
4
df x x
−
.
A.
1
2
−
. B.
1
2
−
. C.
1
4
+
. D.
2
2
−
.
Lời giải
Chọn D.
( ) ( ) ( )
2
3 2 tan 1f x f x x− − =
Thay
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
. 1 3 2 tan tan 2x x f x f x x x= − − − = − =
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1 .2 2 .3 5tan 5
tan
x f x
f x x
+ = =
=
( )
( )
4 4 4 4
2 2 2
00
44
d tan xd 2 tan xd 2 1+tan x 1 dI f x x x x x

−−

= = = = −

( )
4
0
2 tan 2
2
I x x
= − = −
.
Trang 26
Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm và liên tục trên
0;1
và thỏa
mãn
( )
( )
( )
1
0
2 d 1x f x x f
−=
. Giá trị của
( )
1
0
dI f x x=
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1−
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
( )
d 2 dx
ux
v f x
=
=−
( )
d dx
2x
u
v f x
=
=−
Khi đó
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11
1
0
00
1 2 d 2x 2x dx 1 2 1f x f x x x f x f x f I
= − = − − − = − − +

Suy ra
1I =−
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm và liên tục trên
0;1
và thỏa mãn
( )
( )
( )
1
0
4 d 1x f x x f
−=
. Giá trị
của
( )
1
0
dI f x x=
bằng
A.
0
. B.
2−
. C.
1−
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
( )
( )
d 4 dx
ux
v f x
=
=−
( )
d dx
4x
u
v f x
=
=−
Khi đó
( ) ( )
( )
1
0
1 4 df x f x x
=−
( )
( )
1
0
4xx f x=−
( )
( )
1
0
4x dxfx−−
( )
1 4 2fI= − − +
Suy ra
2I =−
.
Câu 51: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên thỏa mãn
( ) ( )
1
0
1 d 10x f x x
+=
và
( ) ( )
2 1 0 2ff−=
.
Tính
( )
1
0
dI f x x=
A.
12.I =−
B.
8.I =
C.
12.I =
D.
8.I =−
Lời giải
Trang 27
Chọn D
Đặt
( )
( )
d dx
1
d dx
u
ux
v f x
v f x
=
=+

=
=
Khi đó
( )
( )
( ) ( ) ( )
11
1
0
00
10 1 d 1 dxx f x x x f x f x
= + = + −

( )
( )
2 1 0f f I= − −
Suy ra
8I =−
.
Câu 52: Biết rằng hàm số
( )
y f x=
liên tục trên thỏa mãn
( )
2 16;f =
( )
2
0
d4f x x =
. Tính
( )
1
0
2dI xf x x
=
A.
13.I =
B.
12.I =
C.
20.I =
D.
7.I =
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
( )
d dx
1
d 2 dx
2
2
u
ux
v f x
v f x
=
=

=
=
Khi đó
I =
( )
1
0
2dxf x x
=
( ) ( )
1
1
0
0
11
2 2 dx
22
xf x f x−
( )
( )
2
0
11
2 d 8 1 7
24
f f x x= − = − =
Suy ra
7.I =
Câu 53: Cho hàm số
()fx
xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
( )
2
1 ( ) 2 ( )
+ + =
x
x f x xf x xe
và
(0) 1f =
. Giá trị
(1)f
bằng:
A.
e
. B.
1
. C.
ln2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết
( ) ( )
( )
22
1 ( ) 2 ( ) 1 ( )
+ + = + =
xx
x f x xf x xe x f x xe
Suy ra
( )
( )
11
2
00
1 ( )
+=

x
x f x dx xe dx
.
Trang 28
( )
( )
11
1
1
2
0
0
00
1 ( ) 2 (1) (0) + = − = −

x x x
x f x xde f f xe e dx
1
0
2 (1) (0) (1) 1. − = − =
x
f f e e f
Câu 54: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
2 1 3 6f x f x x x+ − = −
,
0;1x
. Tính tích phân
( )
1
2
0
1dI f x x=−
.
A.
4
15
I =−
. B.
1I =
. C.
2
15
I =−
. D.
2
15
I =
.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
1tx=−
,
0;1x
thì
0;1t
.
Ta có
( ) ( )
2
2 1 3 6f x f x x x+ − = −
( ) ( ) ( )
2
2 1 3 1 3f x f x x + − = − −
( ) ( )
2
1 2 3 3f t f t t − + = −
( ) ( )
2
2 1 3 3f x f x x + − = −
.
Xét hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 1 3 6
2 1 3 3
f x f x x x
f x f x x
+ − = −
+ − = −
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 1 3 6
4 2 1 6 6
f x f x x x
f x f x x
+ − = −
+ − = −
( )
2
3 3 6 6f x x x = + −
( ) ( )
2
13f x x = + −
,
0;1x
.
Khi đó
( ) ( )
2
22
1 2 3f x x− = − −
42
41xx= − +
.
Suy ra
( )
1
2
0
1dI f x x=−
( )
1
42
0
4 1 dx x x= − +
1
53
0
4
53
xx
x

= − +


2
15
=−
.
Phân tích:
+ Bước 1: Từ
( ) ( )
2
2 1 3 6f x f x x x+ − = −
ta giải phương trình hàm tìm hàm số
( )
fx
.
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm
( )
2
1fx−
rồi tính
( )
1
2
0
1dI f x x=−
.
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số
( )
y f x=
liên
tục với mọi
1x
thỏa mãn
1
3, 1
1
x
f x x
x
+

= +

−

. Tính
( )
1
2
d
e
I f x x
+
=
.
A.
41Ie=−
. B.
2Ie=+
. C.
42Ie=−
. D.
3Ie=+
.
Lời giải
Đặt
11
1
11
xt
t xt t x x
xt
++
= − = + =
−−
, suy ra
( )
12
34
11
t
ft
tt
+
= + = +
−−
hay
2
( ) 4
1
fx
x
=+
−
Trang 29
Ta có
( )
1
1
2
2
2
4 d 4 2ln 1 4 2
1
e
e
I x x x e
x
+
+

= + = + − = −

−

.
Câu 56: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục với mọi
0x
thỏa mãn
( )
1
2 3 , 0f x f x x
x

+ =


.
Tính
( )
2
1
2
d
fx
Ix
x
=
.
A.
3
2
I =
. B.
9
2
I =
. C.
1
2
I =
. D.
4
3
I =
.
Lời giải
Tương tự ta xác định được
( )
2
f x x
x
= − +
.
Suy ra
( )
2
22
2
1
11
2
22
2 2 3
d 1 d
2
fx
I x x x
x x x
= = − + = − − =

.
Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho
( )
1
0
2 1 d 12f x x+=
và
( )
2
2
0
sin sin 2 d 3f x x x
=
. Tính
( )
3
0
dfxx
.
A.
26
. B.
22
. C.
27
. D.
15
.
Lời giải
Chọn C.
+ Đặt:
d
2 1 d
2
t
x t x+ = =
.
Với
01
13
xt
xt
= =
= =
. Do đó:
( ) ( )
13
01
1
2
2
d1 dxtf x f t+=

( )
3
1
d 24f x x =
.
+ Đặt:
2
sin 2sin cos d dx u x x x u= =
hay
sin2 d dx x u=
.
Với
00
1
2
xu
xu
= =
= =
. Do đó:
( )
( )
1
2
2
00
sin sin 2 d df x x x f u u
=

( )
1
0
d3f x x =
.
Vậy
( ) ( ) ( )
3 1 3
0 0 1
d7d d2f x f xx x f x x= + =
.
Câu 58: Biết
( )
5
1
2 1 3
dx ln2 ln , , ,
5
2 3 2 1 1
x
I a b c a b c Z
xx
−
= = + +
+ − +
. Khi đó, giá trị
2
2P a ab c= − +
A.
10
. B.
8
. C.
9
. D.
0
.
Trang 30
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2x x x x+ − + = − + − +
Đặt
2
2 1 2 1t x t x tdt dx= − = − =
Đổi cận
1 1; 5 3x t x t= = = =
Khi đó
( )( )
( )
3
3 3 3
2
2
1 1 1
1
3 2 1 4
d 1 d 1 d ln 1 4ln 2
3 2 1 2 1 2
tt
I t t t t t t
t t t t t t

− − −

= = + = + + = + + − +



+ + + + + +


( )
3
3 ln4 4ln5 1 ln 2 4ln3 2 ln2 4ln
5
= + − − + − = + +
.
2, 1, 4a b c = = =
.
2
2 10P a ab c = − + =
Câu 59: Biết
( )
4
0
2 1d 5
ln2 ln , ,
3
2 3 2 1 3
xx
a b c a b c
xx
+
= + +
+ + +
. Tính
2T a b c= + +
.
A.
4T =
. B.
2T =
. C.
1T =
. D.
3T =
.
Lời giải
Chọn C
( )( )
( ) ( )
( )( )
4 4 4
0 0 0
2 2 1 1 2 1 2 d
2 1d 2 1d
2 3 2 1 3
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
x x x
x x x x
I
xx
x x x x
+ + − + +
++
= = =
+ + +
+ + + + + + + +
( ) ( )
44
00
2d d
2 1 2 2 1 1
xx
xx
=−
+ + + +

.
Đặt
2 1 d du x u u x= + =
. Với
01xu= =
, với
43xu= =
.
Suy ra
.3 .3 .3 .3
1 1 1 1
2 d d 4 1
2 d 1 d
2 1 2 1
u u u u
I u u
u u u u
= − = − − −
+ + + +
( )
3
5
4ln 2 ln 1 2 4ln ln 2
1
3
u u u= − + + + = − +
2a=
,
1b =
,
1c =
2.1 1 4 1T = + − =
.
Trang 31
Câu 60: Biết
( )
2
1
d
11
x
abc
x x x x
= − −
+ + +
với
a
,
b
,
c
là các số nguyên dương. Tính
P a b c= + +
.
A.
44P =
. B.
42P =
. C.
46P =
. D.
48P =
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
( )
( )
( )
22
11
dd
11
11
xx
I
x x x x
x x x x
==
+ + +
+ + +

.
Đặt
( )
1
1 d d
21
xx
t x x t x
xx
++
= + + =
+
( )
dd
2
1
xt
t
xx
=
+
.
Khi
1x =
thì
21t =+
, khi
2x =
thì
32t =+
.
( )
( )
32
2 3 2
2
21
1
21
d d 1
22
11
xt
I
tt
x x x x
+
+
+
+
= = = −
+ + +

11
2
3 2 2 1

= − −

++

4 2 2 3 2= − −
32 12 4= − −
32a=
,
12b =
,
4c =
.
Vậy
48P a b c= + + =
.
Câu 61: Cho hai hàm
( )
fx
và
( )
gx
có đạo hàm trên đoạn
1;4
và thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 4
. ' ; . '
fg
g x x f x x x gf x
+=
= − = −
. Tính
( ) ( )
4
1
dI f x g x x= +

.
A.
8ln2
. B.
3ln2
. C.
6ln2
. D.
4ln2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) d '( ) '( ) df x g x x f x g x f x g x x x f x g x x+ = − + + = − +

.
( ) ( ) ( ) ( ) dx f x g x f x g x x= − + + +
( ) ( )x f x g x C − + =
( ) ( )
C
f x g x
x
+ = −
Vì
(1) (1) 4f g C C+ = − = −
44
11
4
( ) ( ) d d =8ln2I f x g x x x
x
= + =

.
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Biết
2
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
xx
= + +
+−
, với
, , .a b c
Tính
27P a b c= + + −
.
A.
1
9
−
. B.
86
27
. C.
2−
. D.
67
27
.
Trang 32
Lời giải
Chọn A.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2
22
2
22
1 1 1
3 9 1
d d 3 9 1 d
3 9 1
3 9 1 3 9 1
x x x
x
I x x x x x x
xx
x x x x
−−
= = = − −
+−
+ − − −
( )
( )
2
22
3
2 2 2
1
11
1 2 1 16 35
3 d 9 1d 7 . . 9 1 7 35 35 16 2 7 2 35
18 3 27 27 27
x x x x x x− − = − − = − − = + −

.
Do đó
16 35
7, ,
27 27
a b c= = = −
1
27
9
a b c + + − = −
.
Câu 63: Biết
( )
2
1
1
d
11
x a b c
x x x x
= − −
+ + +
, với
*
, , .a b c
Tính
P a b c= + +
.
A.
24
. B.
12
. C.
18
. D.
46
.
Câu 64: Cho biết
( )
2
2
1
ln 9 ln5 ln 2x dx a b c− = + +
, với
, , .abc
Tính
P a b c= + +
.
A.
34.S =
B.
13.S =
C.
18.S =
D.
26.S =
Câu 65: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( )
2 16f =
,
( )
2
0
d4f x x =
. Tính
4
0
d.
2
x
I xf x

=


A.
12.I =
B.
112.I =
C.
28.I =
D.
144.I =
Lời giải
Chọn B
Đăt
ux=
,
dd
2
x
v f x

=


ddux=
,
2
2
x
vf

=


Suy ra
4
4
0
0
2 2 d
22
xx
I xf f x

=−


( ) ( )
2
0
8 2 4 df f t t=−
112.=
Câu 66: Cho
1
0
82
33
21
dx
a b a
xx
= − +
+ + +
,
*
,ab
. Tính
2ab+
A .
27ab+=
. B.
28ab+=
. C.
21ab+=
. D.
25ab+=
.
Lời giải
Chọn B.
Theo giả thiết ta có:
Trang 33
( )
11
00
21
21
dx
x x dx
xx
= + − +
+ + +

( ) ( )
33
22
1
2
21
0
3
xx

= + − +


82
2 3 2
33
= − +
.
Do đó
2; 3ab==
nên
28ab+=
.
Câu 67: Cho hàm số
( )
0y f x=
xác định, có đạo hàm trên đoạn
0;1
và thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
1 2018 d , .
x
g x f t t g x f x= + =
Tính
( )
1
0
d.g x x
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
C.
2019
.
2
D.
505.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( )
01g =
( ) ( )
0
1 2018 d
x
g x f t t=+
( ) ( ) ( )
' 2018 2018g x f x g x = =
( )
( )
'
2018
gx
gx
=
( )
( )
00
'
2018 d .
tt
gx
dx x
gx
=

( )
( )
2 1 2018g t t − =
( )
1009 1g t t = +
( )
1
0
1011
2
g t dt=
.
Câu 68: Cho hai hàm
( )
fx
và
( )
gx
có đạo hàm trên đoạn
1;4
và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với
mọi
1;4x
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 1 2 1
' . ; ' .
( ) ( )
fg
f x g x
g x f x
x x x x
= =
= = −
. Tính
4
1
( ). ( )I f x g x dx=
.
A.
4ln2
. B.
4
. C.
2ln2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết ta có
1
'( ). ( )f x g x
xx
=
và
2
'( ). ( )g x f x
xx
=−
, suy ra
1
'( ). ( ) '( ). ( )f x g x g x f x
xx
+ = −
, hay
1
( ). ( )f x g x
xx
=−
.
Do đó
( ) ( )
12
.f x g x dx C
x x x
= − = +
. Lại có
( ) ( )
1 . 1 2.1 2fg==
nên
0C =
.
Trang 34
44
11
2
( ). ( ) x x=4I f x g x d d
x
= =

.
Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 1 1f x x x= + − −
trên tập và thảo mãn
( )
13F =
. Tính tổng
( ) ( ) ( )
0 2 3T F F F= + + −
.
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2 khi 1
2 khi 1 1
2 khi 1
x
f x x x
x
= −
− −
.
Hàm
( )
fx
có nguyên hàm là
( )
2
2 khi 1
khi 1 1
2 khi 1
x m x
F x x n x
x p x
+
= + −
− + −
.
Vì
( )
13F =
nên
1m =
.
Hàm
( )
Fx
liên tục tại
1x =
nên suy ra
2n =
.
Hàm
( )
Fx
liên tục tại
1x =−
nên suy ra
1p =
.
Vậy ta có
( ) ( ) ( )
0 2 3 2 5 7 14T F F F= + + − = + + =
.
Câu 70: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
\ 1;1−
và thỏa mãn
( )
2
1
1
fx
x
=
−
,
( ) ( )
3 3 0ff− + =
và
11
2
22
ff
− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 0 4P f f f= − + +
.
A.
9
ln 1
5
P =+
. B.
6
1 ln
5
P =+
. C.
19
1 ln
25
P =+
. D.
16
ln
25
P =
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng
( ) ( ) ( )
; 1 1;1 1;− − − +
.
Trang 35
Khi đó
( )
( )
( )
( )
1
2
3
11
ln 1
21
11
ln 1 1
21
11
ln 1
21
x
Cx
x
x
f x C x
x
x
Cx
x
−
+ −
+
−
= + −
+
−
+
+
.
Dễ thấy
( )
3 ; 1− − −
;
( )
11
;0; 1;1
22
−

−


;
( )
3;4 1; +
.
Nên
( )
1
1
3 ln 2
2
fC− = +
;
2
11
ln3
22
fC

− = +


;
( )
2
0fC=
;
2
11
ln3
22
fC
−

=+


;
( )
3
1
3 ln2
2
fC
−
=+
và
( )
3
13
4 ln
25
fC=+
.
Ta có
( ) ( )
04P f f=+
23
13
ln
25
CC= + +
23
13
ln
25
CC= + +
.
Mặt khác
11
2
22
ff
−
+=
2 2 2
11
ln3 ln3 2 1
22
C C C
−
+ + + = =
.
Và
( ) ( )
3 3 0ff− + =
1 3 1 3
11
ln2 ln2 0 0
22
C C C C
−
+ + + = + =
.
( ) ( ) ( )
2 0 4P f f f= − + +
1 2 3
1 1 3
ln3 ln
2 2 5
C C C= + + + +
19
1 ln
25
=+
.
Câu 71: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
)
0;+
và
( ) ( )
2
0
d .sin
x
f t t x x
=
. Tính
( )
4f
A.
( )
4
f
−
=
. B.
( )
2
f
=
. C.
( )
4
f
=
. D.
( )
1
2
f
=
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( ) ( )
df t t F t=
( ) ( )
F t f t
=
( ) ( )
2
0
d .sin
x
f t t x x
=
( ) ( )
2
.sin
0
x
F t x x
=
( )
( ) ( )
2
0 .sinF x F x x
− =
( )
( ) ( )
2
.2 sin .cosF x x x x x
= +
( )
( ) ( )
2
.2 sin .cosf x x x x x
= +
Trang 36
( )
4
2
f
=
Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân
2 2 2
2
0
2
sin cos
c
d
os sin
xx
a x b x
Ix
+
=
với
0a b
và
22
a b
.
A.
1
I
ab
=
+
. B.
2
I
ab
=
+
. C.
2
I
ab
=
+
. D.
ab
ab+
.
Lời giải
Chọn A.
Do
0
0
0
a
a
b
b
và
22
b
b
ab
a
a
−
.
Ta có
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
00
sin2
cos2
co
1
2 sin2
2
dd
2
2
s2
2
x
I
x
b b x
bb
xx
a
aa x
a

+−
+ + −
==
+

.
Đặt
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
22
d
cos2 2 d 2 sin2 d sin2 d
tt
t a b a b x t t a b x x x x
ab
−
= + + − = − − =
−
.
Đổi cận
2
0 2 2x t a a= = =
,
2
22
2
x t b b
= = =
.
Khi đó
( )
( )
22
2
22
2
0
22
2
2 2 2 2
2 sin 2 2 2
d d d
22
2
cos2
bb
aa
b
b
b
t
x
a
I x t t
t
a a xb
a
−
−
= = =
−
−
+ + −
( )
( )
22
21
22
2
ba
ab
a b−
−
= − =
+
.
Câu 73: Tính tích phân
( )
2
0
sin sin dI x nx x
=+
với
n
.
A.
0I =
. B.
2I =
. C.
1I =
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn A.
Xét tích phân
( )
d
b
a
f a b x x+−
Đặt
ddt a b x t x= + − = −
Đổi cận
x a t b= =
,
x b t a= =
. Khi đó
( ) ( ) ( )
dd
b b b
a a a
f a b x x f t dt f x x+ − = =
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
0 0 0
sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x

= + = + = − +−−
Trang 37
( )
2
0
sin sin dx nx x I
= − + = −
.
Do
0I I I= − =
Câu 74: Tính tích phân
( ) ( )
cos cos dmx nx x
−
với
m
,
n
và
22
m n
.
A.
0I =
. B.
2I =
. C.
1I =
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
cos cos d cos cos d
2
mx nx x m n x m n x x


− −

= − + +


( )
( )
( )
( )
1 1 1
sin sin 0
2
m n x m n x
m n m n
−

= − + + =

−+

Do
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
sin sin sin sin 0m n m n m n m n
− = + = − − = + − =
Câu 75: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
+
thỏa mãn
( )
1
,f x x x
x
+
+
và
( )
1 1.f =
Tìm giá trị
nhỏ nhất của
( )
2.f
A.
3.
B.
2.
C.
5
ln2.
2
+
D.
4.
Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết
( )
1
,f x x x
x
+
+
nên lấy tích phân hai vế với cận từ
1
đến
2
ta được:
( )
22
11
13
d d ln2.
2
f x x x x
x

+ = +



Mà
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
1
d 2 1 2 1f x x f x f f f
= = − = −
nên
( )
3
2 1 ln2.
2
f − +
Suy ra
( )
5
2 ln2.
2
f +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )
1
, 0.f x x x
x
= +
Trang 38
Suy ra
( )
2
ln ,
2
x
f x x C= + +
mà
( )
11f =
nên
1
.
2
C =
Do đó
( )
2
1
ln .
22
x
f x x= + +
Vậy giá trị nhỏ nhất của
( )
5
2 ln2
2
f =+
khi
( )
2
1
ln .
22
x
f x x= + +
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]
Cho hàm số
( )
0fx
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2
23f x x f x
=+
và
( )
1
0
2
f
−
=
. Biết rằng tổng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 2017 2018
a
f f f f f
b
+ + + + + =
với
( )
*
,ab
và
a
b
là phân số tối
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
a
b
−
. B.
1
a
b
. C.
1010ab+=
. D.
3029ba−=
.
Lời giải.
Chọn D
Do
( )
0fx
nên ta chia cả hai vế của
( ) ( ) ( )
2
23f x x f x
=+
cho
( )
2
fx
ta được
( )
( )
2
23
fx
x
fx
=+
. nguyên hàm hai vế ta được
( )
2
1
3x x C
fx
−
= + +
( )
2
1
3
fx
x x C
−
=
++
.
Mà
( )
1
0
2
f
−
=
2C=
( )
( )( )
1 1 1
1 2 1 2
fx
x x x x
−−
= = +
+ + + +
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 2017 2018f f f f f+ + + + +
1 1 1 1 1 1
....
2 3 3 4 2019 2020
− − −
= + + + + + +
1 1 1009
2 2020 2020
−−
= + =
. Vậy
1009; 2020ab= − =
.
Câu 77: Cho hàm số
( )
y f x=
dương có đạo hàm liên tục trên đoạn
0; 3


biết rằng
( ) ( )
2
10f x f x x
− + =
và
( )
3
3fe=
. Tính
( )
3
0
ln dI f x x=


A.
23
.
B.
7
33
3
−
.
C.
7
33
3
+
.
D.
3 3 2−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
2
10f x x f x
− + =
( )
( )
2
1
fx
x
fx
= +
Trang 39
Đặt
( )
ln
dd
u f x
vx
=


=
( )
( )
'
dd
fx
ux
fx
vx
=
=
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
( )
3
0
ln dI f x x=


( )
( )
( )
3
3
0
0
'
ln d
xf x
x f x x
fx
=−


( )
3
32
0
0
ln 1 dx f x x x x= − +


( )
( )
3
3 2 2
0
0
1
ln 1 d 1
2
x f x x x= − + +


( )
( )
3 2 2 3
00
1
ln 1 1
3
x f x x x= − + +


7
33
3
=−
Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm và liên
tục trên thỏa mãn
( ) ( )
2
' 2 2 .
x
f x xf x x e
−
+=
và
( )
01f =
. Tính
( )
1f
.
A.
e
. B.
1
e
. C.
2
e
. D.
2
e
−
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
' 2 2 . . ' 2 . . 2 . ' 2
x x x x
f x xf x x e e f x x e f x x e f x x
−
+ = + = =
.
Lấy tích phân cả hai vế ta được:
( )
( )
( ) ( ) ( )
22
1
11
1
2
0
00
0
. ' 2 . . 1 0 1
xx
e f x dx xdx e f x x e f f= = − =

( ) ( )
2
. 1 2 1e f f
e
= =
.
Câu 79: Cho hàm số
( )
y f x=
thỏa mãn
( ) ( )
42
..f x f x x x
=+
Biết
( )
02f =
Tính
( )
2
2.f
A.
( )
2
313
2.
15
f =
B.
( )
2
332
2.
15
f =
C.
( )
2
324
2.
15
f =
D.
( )
2
323
2.
15
f =
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
2
4 2 2 2
0
00
1
. 2 0
2
x x dx f x f x dx f x d f x f f

+ = = = −

Trang 40
Suy ra
( )
( )
( )
2
2 4 2 2
0
332
2 2 0 .
15
f x x dx f= + + =
Câu 80: Cho hàm số
( )
y f x=
thỏa mãn
( ) ( )
..
x
f x f x xe
=
Biết
( )
1fe=
Tính
( )
2
2.f
A.
( )
2
2 16.f =
B.
( )
22
2 3 .fe=
C.
( )
22
2 4 .fe=
D.
( )
2
2 9.f =
Câu 81: Cho hàm số
( )
y f x=
thỏa mãn
( ) ( )
. .sinxf x f x x
=
Biết
( )
0.
4
f
=
Tính
2
.
2
f



A.
2
2
4.
2
fe

=


B.
2
2
2.
2
fe

=


C.
2
2
.
2
fe

=


D.
2
2
9.
2
fe

=


Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và có
( )
1
0
d2f x x =
;
( )
3
0
d6f x x =
.
Tính
( )
1
1
2 1 df x x
−
−
.
A.
2
3
I =
. B.
4I =
. C.
3
2
I =
. D.
6I =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
1
1
2 1 dI f x x
−
=−
( ) ( )
1
1
2
1
1
2
1 2 d 2 1 df x x f x x
−
= − + −

.
Tính
( )
1
2
1
1
1 2 dI f x x
−
=−
Đặt
12tx=−
d 2dtx = −
; Đổi cận:
1x =−
3t=
;
1
2
x =
0t=
.
( )
0
1
3
1
d
2
I f t t

=−


( )
3
0
1
d
2
f t t=
( )
3
0
1
d3
2
f x x==
.
Tính
( )
1
2
1
2
2 1 dI f x x=−
Đặt
21tx=−
d 2dtx=
; Đổi cận:
1
2
x =
0t=
;
1x =
1t=
.
( )
1
1
0
1
d
2
I f t t=
( )
1
0
1
d
2
f t t=
( )
1
0
1
d1
2
f x x==
.
Trang 41
Vậy
12
4I I I= + =
.
Câu 83: Cho hàm số
()fx
liên tục và có đạo hàm trên , có
( ) 0,f x x
,
( )
01f =
. Biết rằng
()
22
()
fx
x
fx
=−
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
()f x m=
có
2
nghiệm thực phân
biệt.
A.
1 me
B.
0 me
C.
me
D.
1 me
Lời giải
Chọn B
Ta có:
()
22
()
fx
x
fx
=−
()
d (2 2 )d
()
fx
x x x
fx
= −

2
ln | ( )| 2f x x x c = − +
2
ln ( ) 2f x x x c = − +
( )
( >0)do f x
(0) 1f =
ln( (0)) ln1fC = =
0C=
.
2
ln ( ) 2f x x x = −
2
2
( ) e
xx
fx
−
=
2
2
( ) (2 2 ).e
xx
f x x
−
= −
0=
1x=
Ta có bảng biến thiên
0em
Câu 84: Cho hàm số
( )
2
2
ab
fx
xx
= + +
, với
a
,
b
là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện
( )
1
1
2
d 2 3ln2f x x =−
.
Tính
T a b=+
.
A.
1T =−
. B.
2T =
. C.
2T =−
. D.
0T =
.
Lời giải
Chọn C.
Trang 42
Ta có:
( )
1
11
2
1
11
2
22
d + +2 d ln 2
a b a
f x x x b x x
x x x
= = − + +

=
( )
2 2 ln2 1a a b− + − − − +
( )
1 ln2ab= + +
, suy ra
( )
1
1 ln 2 2 3ln2
3
a
ab
b
=
+ + = −
=−
. Vậy
2T a b= + = −
.
Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn
( )
=y f x
liên tục trên và
( )
1
1
2
d8
12
−
=
+
x
fx
x
. Tính
( )
2
0
d
f x x
.
A.
2
. B.
4
. C.
8
. D.
16
.
Lời giải
Chọn D
Vì
( )
fx
là hàm số chẵn trên nên ta có
( ) ( )
,− = f x f x x
.
Đặt
( )
1
1
2
d
12
−
=
+
x
fx
Ix
. Ta có:
( ) ( ) ( )
1 0 1
1 1 0
2 2 2
d d d
1 2 1 2 1 2
−−
= = +
+ + +
x x x
f x f x f x
I x x x
.
Xét
( )
0
1
1
2
d
12
−
=
+
x
fx
Ix
.
Đặt
=−xt
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0 1 1
1
1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
d d dt d
1 2 1 2 1 2 1 2
−
−
−
= = − = =
+ + + +
tx
x t t x
f x f t f t f x
I x t x
.
Do đó ta có
( )
1
0
2d=
I f x x
.
Đặt
2=ux
. Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 2
0 0 0
11
2 d d d
22
I f x x f u u f x x= = =
.
Kết hợp với giả thiết ta được
( )
2
0
d 16f x x =
.
Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:
Cho hàm số chẵn
( )
y f x=
liên tục trên
;−aa
. Với
k
là một số thực khác
0
,
m
là một số
thực dương thì
( )
( )
0
1
dd
1
a ka
x
a
f k x
x f x x
mk
−
=
+

.
Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
,
( )
fx
và
( )
fx
đều nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
( )
02f =
,
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
00
. 1 d 2 . df x f x x f x f x x


+=




. Tính
( )
1
3
0
df x x


.
A.
15
4
. B.
15
2
. C.
17
2
. D.
19
2
.
Lời giải
Trang 43
Chọn D
Vì
( )
fx
và
( )
fx
đều nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
nên từ
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
00
. 1 d 2 . df x f x x f x f x x


+=




suy ra
( ) ( )
1
2
0
. 1 d 0f x f x x

−=

.
Mà
( ) ( )
2
. 1 0f x f x

−

nên
( ) ( )
. 1, 0;1f x f x x
=
hay
( ) ( )
2
. 1, 0;1f x f x x
=


.
Vậy
( ) ( )
2
. d df x f x x x
=



( )
3
3
fx
xC


= +
(*)
Trong (*) thay
0x =
được
8
3
C =
, suy ra
( )
3
38f x x=+


.
Vậy
( ) ( )
11
3
00
19
d 3 8 d
2
f x x x x= + =



.
Câu 87: giá trị của tích phân
( )( ) ( )
100
0
1 2 ... 100x x x x dx− − −
bằng
A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
100x t dx dt= − = −
Đổi cận
0 100; 100 0x t x t= = = =
Khi đó
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0 100
100 0
100 99 ... 100 99 ...I t t t dt t t t dt= − − − − = − − −

( )( )
100
0
100 99 ... .t t t dt= − −
( )( )
100
0
100 99 ... .x x x dt I= − − − = −
Suy ra
0 0.I I I+ = =
Câu 88: Tính tích phân
2 2 2
2
0
2
sin cos
c
d
os sin
xx
a x b x
Ix
+
=
với
0a b
và
22
a b
.
A.
1
I
ab
=
+
. B.
2
I
ab
=
+
. C.
2
I
ab
=
+
. D.
ab
ab+
.
Lời giải
Chọn A.
Do
0
0
0
a
a
b
b
và
22
b
b
ab
a
a
−
.
Trang 44
Ta có
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
00
sin2
cos2
co
1
2 sin2
2
dd
2
2
s2
2
x
I
x
b b x
bb
xx
a
aa x
a

+−
+ + −
==
+

.
Đặt
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
22
d
cos2 2 d 2 sin2 d sin2 d
tt
t a b a b x t t a b x x x x
ab
−
= + + − = − − =
−
.
Đổi cận
2
0 2 2x t a a= = =
,
2
22
2
x t b b
= = =
.
Khi đó
( )
( )
22
2
22
2
0
22
2
2 2 2 2
2 sin 2 2 2
d d d
22
2
cos2
bb
aa
b
b
b
t
x
a
I x t t
t
a a xb
a
−
−
= = =
−
−
+ + −
( )
( )
22
21
22
2
ba
ab
a b−
−
= − =
+
.
Câu 89: Tính tích phân
( )
2
0
sin sin dI x nx x
=+
với
n
.
A.
0I =
. B.
2I =
. C.
1I =
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn A.
Xét tích phân
( )
d
b
a
f a b x x+−
Đặt
ddt a b x t x= + − = −
Đổi cận
x a t b= =
,
x b t a= =
. Khi đó
( ) ( ) ( )
dd
b b b
a a a
f a b x x f t dt f x x+ − = =
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
0 0 0
sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x

= + = + = − +−−
( )
2
0
sin sin dx nx x I
= − + = −
.
Do
0I I I= − =
Câu 90: Tính tích phân
( ) ( )
cos cos dmx nx x
−
với
m
,
n
và
22
m n
.
A.
0I =
. B.
2I =
. C.
1I =
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn A.
Trang 45
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
cos cos d cos cos d
2
mx nx x m n x m n x x


− −

= − + +


( )
( )
( )
( )
1 1 1
sin sin 0
2
m n x m n x
m n m n
−

= − + + =

−+

Do
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
sin sin sin sin 0m n m n m n m n
− = + = − − = + − =
Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết
3
4
0
1
cos
ab
dx
xc
=
, trong đó
,,abc
là các số tự
nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của
2 2 2
2 3 4T a b c= − +
bằng bao nhiêu?
A.
15T =−
. B.
14T =
. C.
13T =−
. D.
17T =
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
3
4
0
1
cos
I dx
x
=
3
22
0
1
.
cos cos
dx
xx
=
( )
3
2
2
0
1 tan .
cos
dx
x
x
=+
( )
( )
3
2
0
1 tan . tanx d x
=+
3
3
0
tan
tan
3
x
x

=+


23=
2, 3, 1a b c = = =
Vậy
2 2 2
2 3 4T a b c= − +
222
2.2 3.3 4.1= − +
15=−
.
Câu 92: Biết
2
3
6
6
sin
cos
x a b c
dx
xd
−
=
, trong đó
,ab
và
,cd
là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
Khi đó giá trị của
T ab cd=+
bằng bao nhiêu?
A.
6T =
. B.
246T =
. C.
13T =−
. D.
17T =
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
2
3
6
6
sin
cos
x
I dx
x
=
3
2
4
6
1
tan
cos
x dx
x
=
3
2
22
6
11
tan . .
cos cos
x dx
xx
=
( )
( )
3
22
6
tan . 1 tan . tanx x d x
=+
( )
( )
3
24
6
tan tan . tanx x d x
=+
53
3
6
tan tan
53
xx

=+


42 3 8
15
−
=
42, 3, 8, 15a b c d = = = =
246T=
Trang 46
Câu 93: Biết
4
3
1 ln
sin
2
ab
dx
x
c
=
, trong đó
,,abc
là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó
giá trị của
32
4 3 2T a b c= + −
bằng bao nhiêu?
A.
5T =
. B.
29T =
. C.
7T =
. D.
17T =
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
4
3
1
sin
2
I dx
x
=
4
3
1
2sin .cos
44
dx
xx
=
4
3
2
11
2
tan .cos
44
dx
xx
=
4
3
1
2 tan
4
tan
4
x
d
x

=


4
3
2ln tan
4
x

=


ln3=
1, 3, 1a b c = = =
29T=
Câu 94: Nếu
2
()
62
x
a
f t dt
x
t
+=
với
0x
thì hệ số
a
bằng
A.
9
. B.
19
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
()Ft
là một nguyên hàm của
2
()ft
t
, suy ra
2
()
'( )
ft
Ft
t
=
.
Ta có
(gt)
Vậy .
2
()
62
x
a
f t dt
x
t
+=
( )| 6 2
x
a
F t x + =
( ) ( ) 6 2F x F a x − + =
1
'( ) 2.
2
Fx
x
=
2
( ) 1fx
x
x
=
()f x x x=
22
( ) 1
2 | 2 2 2 6
x x x
x
a
a a a
f t dt t t
dt dt t x a x
tt
t
= = = = − = −
39aa= =
Trang 47
Câu 95: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và
. Tích phân bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta xét .
Đặt
Mà
Vì nên
.
Câu 96: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và có
( )
00f =
;
( )
10fx
với mọi
x
. Tìm GTLN mà
( )
3f
có thể đạt được?
A.
30.
B.
10.
C.
60.
D.
20.
Lời giải
Chọn A
( )
fx
0;1
( )
10f =
( )
1
2
0
1
dx
11
fx
=


( )
1
4
0
1
dx
55
x f x =−
( )
1
0
xf x d
1
7
−
1
7
1
55
−
1
11
( )
1
4
0
dxI x f x=
( )
( )
5
4
d dx
d dx
5
u f x
u f x
x
vx
v
=
=


=
=
( ) ( )
1
5
15
0
0
1
dx
55
x
I f x x f x
= −
( )
1
5
0
11
dx
55 5
x f x
− = −
( )
1
5
0
1
dx
11
x f x
=
1
10
0
1
dx
11
x =
( ) ( )
( )
(
)
1
2
10 5
0
2x dx 0x f x f x

− + =
( ) ( )
6
5
6
x
f x x f x C
= = +
( )
10f =
( )
6
1
6
x
fx
−
=
11
6
00
11
( )dx dx
67
x
fx
−−
= =

Trang 48
Vì
( )
'
10 0fx−
với mọi
x
nên:
( )
3
0
10 dx 0fx
−


( )
3
0
10 0x f x −


( ) ( )
10.3 3 10.0 0 0ff − − −
( )
3 30f
Vậy GTLN mà
( )
3f
có thể đạt được là 30.
Câu 97: Cho biểu thức
( )
2
2
2cot
4
ln 1 2 sin2
x
m
S x e dx
+


= + −



, với số thực
0m
. Khẳng định đúng là.
A.
5S =
. B.
22
2cot 2ln sin
44
S
mm

=+
++
.
C.
9S =
. D.
22
tan ln
44
S
mm

=+
++
.
Lời giải
Chọn. B.
Ta có
( )
2 2 2
2 2 2
2cot 2cot 2cot
4 4 4
2 sin2 2 sin2
x x x
m m m
x e dx e dx xe dx I J
+ + +
− = − = −
.
Đặt
2cot
2cot
2
2
2
.
sin
11
sin2
cos2 sin
22
x
x
du e dx
ue
x
dv xdx
v x x
=−
=

=
= − + =
2
2
2
2 2cot 2cot
2
4
4
sin . 2
xx
m
m
J x e e dx
+
+
=+
2
2cot
2
4
2
1 sin .
4
m
eI
m
+

= − −

+

.
Vậy
2
2cot
2
4
2
ln sin
4
m
Se
m
+


=



+


22
2cot 2ln sin
44mm

=+
++
.
Cách 2:
Thay
1m =
ta có
1,689976611S
, kiểm tra chỉ có đáp án
B
thỏa mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
, liên tục trên
0;1
và
thỏa mãn
( ) ( )
1
0
1 ' 10x f x dx+=
và
( ) ( )
2 1 0 2ff−=
. Tính
( )
1
0
I f x dx=
.
A.
12I =−
. B.
8I =
. C.
12I =
. D.
8I =−
.
Trang 49
Lời giải
Chọn D.
Đặt
( ) ( )
1
'
u x du dx
dv f x dx v f x
= + =


==

.
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
00
1
10 1 ' 1 2 1 0 2
0
x f x dx x f x f x dx f f I I= + = + − = − − = −



2 10 8I = − = −
.
Câu 99: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( )
2 16f =
,
( )
2
0
d4f x x =
. Tính
4
0
d
2
x
I xf x

=


.
A.
12I =
. B.
112I =
. C.
28I =
. D.
144I =
.
Lời giải
Chọn B
*) Đặt
2
2
2
xt
x
t
dx dt
=
=
=
; với
0 0; 4 2x t x t= = = =
.
*)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
0 0 0
2 2dt 4 4 | 4 dtI tf t tdf t tf t f t
= = = −
( ) ( )
2
0
4.2. 2 4. df f x x=−
4.2.16 4.4 112= − =
.
Câu 100: Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
,
( )
Fx
và
( )
fx
là các hàm liên tục trên , thỏa mãn
( ) ( )
2
1
1 1; 3 3F x dx F
−
+ = =
. Tính
( )
3
0
I xf x dx=
A.
8I =
. B.
9I =
. C.
10I =
. D.
11I =
.
Lời giải
Chọn A
*) Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3
1 1 0 0
1 1 1 ( 1) 1F x dx F x d x F t dt F x dx
−−
= + = + + = =
.
*)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3
0
0 0 0
| 3 3 1 8I xf x dx xdF x xF x F x dx F= = = − = − =
.
Câu 101: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( ) ( )
1 2 0 2ff−=
,
( )
1
0
d5f x x =
. Tính
( )
3
0
6d
3
x
I x f x

=−


.
A.
61I =
. B.
63I =
. C.
65I =
. D.
67I =
.
Lời giải
Chọn B
Trang 50
*) Đặt
3
3
3
xt
x
t
dx dt
=
=
=
; với
0 0; 3 1x t x t= = = =
.
*)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
0
0 0 0
6 3 . .3 9 2 9 2 | 9 2I t f t dt t df t t f t f t d t
= − = − = − − −


( ) ( ) ( )
1
0
9 1 2 0 9 9.2 9.5 63f f f t dt= − + = + =


.
.
Câu 102: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và thỏa mãn
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x− + =
Tính
( )
2
2
?I f x dx
−
=
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x− + =
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x + − =
suy ra
( )
( )
2
1
2018 1 ( ) 2017 sin .sin
2019
f x x x f x x x− = =
.
Do đó
( )
22
22
11
.sin . . cos
2019 2019
I x xdx x d x


−−
= = −

2
22
22
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x x dx x


−−
−


= − − = =



.
Câu 103: Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
\1−
thỏa mãn
( )
3
'
1
fx
x
=
+
;
( )
01f =
và
( ) ( )
1 2 2ff+ − =
. Giá trị của
( )
3f −
bằng
A.
1 2ln2+
. B.
1 ln2−
. C.
1
. D.
2 ln2+
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( ) ( )
'df x f x x=
3
d
1
x
x
=
+
3ln 1xC= + +
( )
( )
( )
1
2
3ln 1 1
3ln 1 1
x C khi x
fx
x C khi x
+ + −
=
− − + −
Trang 51
Theo giả thiết:
( )
( ) ( )
01
1 2 2
f
ff
=
+ − =
1
12
1
3ln2 2
C
CC
=
+ + =
1
2
1
1 3ln2
C
C
=
=−
( )
( )
( )
3ln 1 1 khi 1
3ln 1 1 3ln2 khi 1
xx
fx
xx
+ + −
=
− − + − −
Vậy
( )
3 3ln2 1 3ln2 1f − = + − =
.
Câu 104: Biết
2
2
3
1 tan
d ln
cos
x x a
x
x x x b
−−
=
+−
,
( )
,ab
. Tính
P a b=+
.
A.
2P =
. B.
4P =−
. C.
4P =
. D.
2P =−
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
( )
2
22
33
1 tan cos sin
dd
cos cos cos 1
x x x x x
xx
x x x x x x x


−−
=
++

Đặt
( )
cos d cos sin dt x x t x x x x= = −
.
Đổi cận:
2
33
xt

= = −
;
xt

= = −
Do đó:
( )
2
2
33
1 tan
cos 1
x x dt
dx
x x x t t


−
−
−
=
++

3
11
1
dt
tt
−
−

=−

+

ln ln 1
33
tt


−−
= − +
−−
( )
ln ln ln 1 ln 1
33



= − − − + −


3
ln
1
−
=
−
3a=
;
1b =
.
Vậy
4P =
.
Câu 105: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn
0;1
đồng thời thỏa mãn các điều
kiện
( )
'
01f =−
và
( ) ( )
2
'
f x f x


=

. Đặt
( ) ( )
10T f f=−
, hãy chọn khẳng định đúng?
A.
21T− −
. B.
10T−
. C.
01T
. D.
12T
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
( )
( )
( )
( )
( )
'
22
'
''
1
dx 1.dx dx 1.dx
d f x
fx
xc
fx
f x f x


−

= = = +
Trang 52
Mà
( )
'
01f =−
nên
( )
1
'
0
1
1
ln2
1
1
1
c
T
x
fx
x
=−
= − = −
+
=−
+
Câu 106: Biết rằng
3
2
2
14
1
x x a b
dx
c
xx
− + −
=
+−
với
,,abc
là các số nguyên dương. Tính
.T a b c= + +
A.
31T =
. B.
29T =
. C.
33T =
. D.
27T =
.
Lời giải
Chọn C.
( )
( )
3
2
3 3 3
2 2 2
2
2 2 2
3
1
11
1
3
2
2
11
2
x
x x x x x
dx dx x x dx
x x x x


−
− + − −
= = − − = −

+ − + −


=
19 4 8
6
−
. Vậy
19 8 6 33abc+ + = + + =
.
Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên
[0;3]
và
1
0
( ) 2f x dx =
;
3
0
( ) 8f x dx =
. Giá trị của tích phân
( )
1
1
| 2 1|f x dx
−
−
là:
A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
1
2 1,
2
21
1
2 1,
2
xx
x
xx
− +
−=
−
nên
( )
1
1
| 2 1|f x dx
−
−
=
( )
0,5
1
1 0,5
2 1 (2 1)f x dx f x dx E F
−
− + + − = +

0,5
3
10
1
( 2 1)dx ( )
2
E f x f t dt
−
= − + =

ta đổi biến
2 1,tx= − +
11
0,5 0
1
(2 1) ( ) ,
2
F f x dx f t dt= − =

ta đổi biến
2 1,tx=−
Vậy
( )
1 3 1
1 0 0
11
| 2 1| ( ) ( ) 1 4 5
22
f x dx f x dx f x dx
−
− = + = + =
Trang 53
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi
( )
St
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )( )
( )
2
1
, 0, 0, 0
12
y y x x t t
xx
= = = =
++
. Tìm
( )
lim
t
St
→
.
A.
1
ln2
2
−−
. B.
1
ln2
2
−
. C.
1
ln2
2
−
. D.
1
ln2
2
+
.
Lời giải
Chọn B.
Vì trên
0;t
,
( )( )
2
1
0
12
y
xx
=
++
nên ta có diện tích hình phẳng
( )
( )( )
2
0
1
d
12
t
S t x
xx
=
++
( )
2
0
13
d
1
2
t
x
x
x
x

+
=−


+
+

( )
2
0
1 1 1
d
12
2
t
x
xx
x

= − −


++
+

0
11
ln
22
t
x
xx
+

=+

++

1 1 1
ln ln2
2 2 2
t
tt
+
= + + −
++
.
Vì
1
lim 1
2
t
t
t
→
+

=

+

1
limln 0
2
t
t
t
→
+

=

+

,
1
lim 0
2
t
t
→
=
+
Nên
( )
lim
t
St
→
1 1 1
lim ln ln2
2 2 2
t
t
tt
→
+

= + + −

++

1
ln2
2
=−
.
Câu 109: Cho hàm số
( )
1
1
d4f x x
−
=
, trong đó hàm số
( )
y f x=
là hàm số chẵn trên
1;1−
. Tính
( )
1
1
d
21
x
fx
x
−
+
.
A.
2
. B.
16
. C.
8
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1.
Đặt
ddt x t x= − = −
. Đổi cận
11xt= − =
;
11xt= = −
.
Ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 2
d d d d
1 2 1 2 1 2 1 2
tx
x t t x
I f x x f t t f t t f x x
−
−
− − −
= = − − = =
+ + + +
.
Do đó:
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
12
2 d d d 4 2
1 2 1 2
x
xx
I f x x f x x f x x I
− − −
= + = = =
++
.
Trang 54
Cách 2.
Chọn
( )
2
h x x=
là hàm số chẵn. Ta có:
1
2
1
2
d
3
xx
−
=
. Do đó:
( ) ( )
2
4
6
2
3
f x h x x==
.
Khi đó:
( )
11
2
11
6
d d 2
2 1 2 1
−−
==
++

xx
fx
x
xx
.
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho
lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy
tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số
( )
y f x=
khá đơn giản. Đối với bài toán này
ta có thể chọn hàm số
( )
1hx=
cho đơn giản.
Câu 110: Cho hàm số
()fx
thỏa mãn
( ) ( )
8
3
3 d 25x f x x
+=
và
( ) ( )
33 8 18 3 83ff−=
.
Giá trị
( )
8
3
df x x
là:
A.
83I =
. B.
38I =
. C.
8
3
I =
. D.
3
8
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( ) ( )
8
3
3 d 25x f x x
+=
.
Đặt
( ) ( )
3 d d
d
u x u x
v f x dx v f x
= + =



==


( ) ( ) ( )
8
8
3
3
3dA x f x f x x = + −
( ) ( ) ( )
8
3
11 8 6 3 df f f x x= − −
Ta có
( ) ( )
33. 8 18 3 83ff−=
( ) ( )
83
11 8 6 3
3
ff − =
.
Suy ra
( )
8
3
83
d
3
A f x x=−
. Mà
25A =
( )
8
3
83 8
d 25
33
f x x = − =
.
Câu 111: Giá trị
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin d
x
I x x e x
=
gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
D.
0,038
.
Lời giải
Chọn C.
Trang 55
Ta có:
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin d
x
I x x e x
=
( )
( )
3
3
3
9
4
cos
3
1
6
1
dsin
3
x
ex
=
( )
3
3
3
9
cos
4
1
6
1
3
x
e
=
23
22
1
3
ee

=−



0,371−
Câu 112: Biết
( )
( )
( )
2
4
2
2
1 ln 2 2
1
d ln ln
2 2 4
cc
x x x
I x a b
xx
− − +
= = −
−+
, với
,,abc
là các số nguyên dương. Tính
23
a b c++
.
A.
3
. B.
22
. C.
14
. D.
20
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
( )
( )
2
4
2
2
1 ln 2 2
d
22
x x x
Ix
xx
− − +
=
−+
( ) ( )
( )
4
22
2
1
ln 2 2 d ln 2 2
2
x x x x= − + − +
( )
2 2 4
2
1
ln 2 2
4
xx= − +
( )
22
1
ln 10 ln 2
4
=−
.
Vậy
23
10, 2, 2 22a b c a b c= = = + + =
.
Câu 113:Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
(2) 2f =−
,
2
0
( )d 1f x x =
. Tính
tích phân
( )
4
0
dI f x x
=
.
A.
10I =−
. B.
5I =−
. C.
0I =
. D.
18I =−
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
2dx t dx t t= =
. Đổi cận :
2
0
. '( )dI t f t t=
sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được :
2
2
0
0
2 ( ) ( ).d 10.I tf t f t t

= − = −


( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên
2
0
( ).d 1f t t =
).
Câu 114:Cho
a
là số thực dương. Biết rằng
)(xF
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
+=
x
axexf
x
1
ln
thỏa mãn
0
1
=
a
F
và
( )
2018
2018 eF =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
()y f x=
0;4 0;2xt
Trang 56
A.
1;
2018
1
a
. B.
2018
1
;0a
. C.
)
2018;1a
. D.
)
+ ;2018a
.
Lời giải.
Chọn A.
Câu 115: Biết rằng
( )
Fx
là một nguyên hàm trên của hàm số
( )
( )
2018
2
2017
1
x
fx
x
=
+
thỏa mãn
( )
10F =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của
( )
Fx
.
A.
1
2
m =−
. B.
2017
2018
12
2
m
−
=
. C.
2017
2018
21
2
m
+
=
. D.
1
2
m =
.
Lời giải.
Chọn B.
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2018 2018 2017
2 2 2
1
2017x 2017 1 1
x.
22
1 1 1
dx
F x d C
x x x
+
= = = − +
+ + +

.
Do
( )
10F =
nên
2018
1
2
C =
( )
( )
2017
2017
2018 2018 2018
2
1 1 1 1 1 1 2
.
2 2 2 2 2
1
Fx
x
−
= − + − + =
+
.
Câu 116: Biết rằng
( )
1
0
1
cos2 sin2 cos2
4
x xdx a b c= + +
, với
, , .abc
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A.
1.abc+ + =
B.
0.a b c− + =
C.
2 1.abc+ + = −
D.
2 1.a b c+ + =
Lời giải
Chọn B.
Đặt
1
2
sin 2
2
du dx
ux
dv cos xdx
vx
=
=

=
=
.
( )
11
00
11
1 1 1 1 1
cos2 sin2 sin2 sin2 cos2x 2sin2 cos2 1
00
2 2 2 4 4
x xdx x x xdx= − = + = + −

.
Suy ra
2, 1, 1 0a b c a b c= = = − − + =
Câu 117: Giả sử tích phân
5
1
1
.ln3 .ln5.
1 3 1
I dx a b c
x
= = + +
++
Lúc đó:
A.
4
3
abc+ + =
. B.
5
3
abc+ + =
. C.
7
3
abc+ + =
. D.
8
3
abc+ + =
.
Lời giải
Trang 57
Chọn A
Xét
5
1
1
1 3 1
I dx
x
=
++
Đặt
2
3 1 3 1 2 3t x t x tdt dx= + = + =
Do đó
( )
( )
4
4
2
2
2 2 4 4 4 4
ln 1 ln3 ln5 .
3 1 3 3 3 3 3
t
I dt t t a b c
t
= = − + = + − + + =
+
Câu 118: Cho hàm số
( )
3
()
1
x
a
f x bxe
x
=+
+
. Tìm
a
và
b
biết rằng
'(0) 22f =−
và
1
0
( ) 5f x dx =
.
A.
2, 8ab= − = −
. B.
2, 8ab==
. C.
8, 2ab==
. D.
8, 2ab= − = −
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
4
3
'( ) ( 1)
1
x
a
f x b x e
x
= − + +
+
Suy ra
'(0) 22 3 22f a b= − − + = −
(1)
Ta có
( ) ( )
1
11
32
00
0
3
( ) ( 1)
8
1 2 1
xx
aa
f x dx bxe dx b x e a b
xx
= + = − + − = +
++

.
Theo bài ra
1
0
( ) 5f x dx =
3
5
8
ab + =
(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ
3 22
8
3
2
5
8
ab
a
b
ab
− + = −
=

=
+=
.
Câu 119: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và thỏa mãn
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x− + =
Tính
( )
2
2
?I f x dx
−
=
4
2
5
1
t
x
Trang 58
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x− + =
( ) ( )
2018 sin .f x f x x x + − =
suy ra
( )
( )
2
1
2018 1 ( ) 2017 sin .sin
2019
f x x x f x x x− = =
.
Do đó
( )
22
22
11
.sin . . cos
2019 2019
I x xdx x d x


−−
= = −

2
22
22
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x x dx x


−−
−


= − − = =



.
Câu 120: Biết rằng trên khoảng
1
;
2

+


hàm số
2
25 7 4
()
21
xx
fx
x
−−
=
−
có một nguyên hàm
2
( ) (a ) 2 1F x x bx c x= + + −
( trong đó
,,abc
là các số nguyên). Tổng
S a b c= + +
bằng
A.
3.−
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Lời giải.
Chọn B
Ta tính được
2
5 ( 2 3 )
'( )
21
ax a b x b c
Fx
x
+ − + − +
=
−
. Do
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
nên ta
có
'( ) ( ),F x f x x=
thuộc khoảng
1
;
2

+


suy ra
22
5 ( 2 3 ) 25 7 4
2 1 2 1
ax a b x b c x x
xx
+ − + − + − −
=
−−
.
Đồng nhất hệ số ta được
5, 1, 3.a b c= = = −
Câu 121: Biết rằng trên khoảng
( )
1; +
hàm số
2
15 9 3
()
21
xx
fx
x
−−
=
−
có một nguyên hàm
2
( ) (a ) 1F x x bx c x= + + −
(trong đó
,,abc
là các số nguyên). Tổng
S a b c= + +
bằng
A.
3.
B.
3.−
C.
4.−
D.
4.
Lời giải.
Chọn B
Trang 59
Ta tính được
2
5 ( 4 3 ) 2
'( )
21
ax a b x b c
Fx
x
+ − + − +
=
−
. Do
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
nên
ta có
'( ) ( ),F x f x x=
thuộc khoảng
( )
1; +
hay
22
5 ( 4 3 ) 2 15 9 9
2 1 2 1
ax a b x b c x x
xx
+ − + − + − −
=
−−
Đồng nhất hệ số ta được
3, 1, 7a b c= = = −
.
Câu 122: Xét hàm số
()fx
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x+ − = −
. Tích phân
1
0
( )df x x
bằng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x+ − = −
(1)
.
Đặt
1tx=−
, thay vào
(1)
, ta được:
2 (1 ) 3 ( )f t f t t− + =
hay
2 (1 ) 3 ( )f x f x x− + =
(2)
.
Từ
(1)
&
(2)
, ta được:
32
( ) 1
55
f x x x= − −
.
Do đó, ta có:
1
0
( )df x x
11
00
32
d 1 d
55
x x x x= − −

24
5 15
=−
2
15
=
.
Câu 123: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
3
4
x
f x e x x=−
. Số cực trị của hàm
( )
Fx
là
A. 2. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B.
( )
F f x
=
. Ta có
0F
=
( )
2
3
4
x
e x x−
0
2
x
x
=
=
.
Bảng xét dấu:
x
−
−2
0
2
+
F
−
0
+
0
−
0
+
Vậy hàm số
( )
Fx
có 3 cực trị
Trang 60
Câu 124: Cho hàm số
( )
y f x=
là hàm lẻ và liên tục trên
4;4 ,−
biết
( )
0
2
d2f x x
−
−=
và
( )
2
1
2 d 4.f x x−=
Tính
( )
4
0
d.I f x x=
A.
10I =−
. B.
6I =−
. C.
6I =
. D.
10I =
.
Lời giải
Chọn B.
Vì
( )
fx
là hàm lẻ nên ta có
( ) ( )
− = −f x f x
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 2 2
2 2 0 0
d 2 d 2 d 2 d
tx
f x x f t t f t t f x x
=−
−
− = ⎯⎯⎯→− = = =
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 4 4
2
1 1 2 2 2
1
2 d 2 d d 4 d 8 d 8
2
ux
f x x f x x f u u f u u f x x
=
− = − ⎯⎯⎯→− = = − = −
.
Do đó:
( ) ( ) ( )
4 2 4
0 0 2
d d d 2 8 6.f x x f x x f x x= + = − = −
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
( )
( )
2
1
0
d ln
x
x
x x e
x ae b e c
xe
−
+
= + +
+
với
a
,
b
,
c
. Tính
2P a b c= + −
.
A.
1P =−
. B.
1P =
. C.
2P =−
. D.
0P =
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
( )
( )
2
11
00
1
dd
1
x
xx
xx
x x e
xe x e
xx
x e e x
−
+
+
=
++

( )
( )
1
0
1 1 1
d
1
xx
x
xe x e
x
ex
+ − +
=
+
( )
1
0
1
1 d 1
1
x
x
xe
xe

= − +

+

( )
( )
1
1 ln 1 ln 1
0
xx
xe xe e e

= + − + = − +

. Suy ra
1a =
,
1b =−
,
1c =
.
Vậy,
20P a b c= + − =
.
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân
( )
1
1 ln 2
1
d ln
1 ln
e
xx
e
x ae b
x x e
++
+

=+

+

trong đó
a
,
b
là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
bằng:
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Trang 61
Chọn B.
Ta có:
( )
11
1 ln 2
ln 1
d 1 d
1 ln 1 ln
ee
xx
x
xx
x x x x
++
+

=+

++


( ) ( )
1
ln 1 ln ln 1 1
e
x x x e e= + + = + + −


1
ln
e
e
e
+

=+


. Suy ra:
11
a
ab
b
= = =
.
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân
2
0
sin
d ln 2
2sin cos
x
I x a b
xx
= = +
+
, với
a
,
bQ
. Khi đó
ab+
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
1
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
( ) ( )
2sin cos 2cos sin
sin
2sin cos 2sin cos
A x x B x x
x
x x x x
+ + −
=
++
( ) ( )
2 sin 2 cos
2sin cos
A B x A B x
xx
− + +
=
+
2
21
5
2 0 1
5
A
AB
AB
B
=
−=


+=
=−
.
Khi đó:
22
00
sin 2 1 2cos sin
dd
2sin cos 5 5 2sin cos
x x x
I x x
x x x x

−

= = −

++


21
ln 2sin cos
2
55
0
x x x

= − +


1
ln2
55
=−
.
Suy ra:
1
5
a =
,
1
5
b =−
. Vậy,
0ab+=
.
Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo
hàm trên và
( )
5 10f =
,
( )
5
0
d 30x f x x
=
.Tính
( )
5
0
df x x
.
A.
20−
. B.
70
. C.
20
. D.
30−
.
Lời giải
Chọn C.
Xét
( )
5
1
0
d 30I x f x x
==
Đặt
( ) ( )
dd
dd
u x u x
v f x x v f x
==



==


Trang 62
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5 5 5
1
0 0 0
0
d d 5 5 dI x f x x xf x f x x f f x x
= = − = −
Mà
1
30I =
và
( )
5 10f =
vậy
( )
5
0
d 20f x x=
.
Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo
hàm trên và
( )
2 15f =
,
( )
2
0
d 60x f x x
=
.Tính
( )
5
0
df x x
.
A.
30−
. B.
70
. C.
30
. D.
50−
.
Lời giải
Chọn A.
Xét
( )
5
1
0
d 60I x f x x
==
Đặt
( ) ( )
d
dd
u x du x
v f x x v f x
==



==


Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1
0 0 0
0
d d 2 2 dI x f x x xf x f x x f f x x
= = − = −
Mà
1
60I =
và
( )
2 15f =
vậy
( )
2
0
d 30f x x = −
.
Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo
hàm trên và
( )
4 13f =
,
( )
4
0
d 24x f x x
=
.Tính
( )
4
0
df x x
.
A.
11−
. B.
28−
. C.
76
. D.
28
.
Lời giải
Chọn D.
Xét
( )
4
1
0
d 24I x f x x
==
Đặt
( ) ( )
dd
dd
u x u x
v f x x v f x
==



==


Trang 63
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
4 4 4
1
0 0 0
0
d d 4 4 dI x f x x xf x f x x f f x x
= = − = −
Mà
1
24I =
và
( )
4 13f =
vậy
( )
4
0
d 28f x x=
.
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
4 3 2
4 2 1,f x x x x x x= − + − +
. Tính
( ) ( )
1
2
0
f x f x dx
A.
2
3
. B.
2
. C.
2
3
−
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
11
22
00
1
10
2
0
3 3 3
f x f f
f x f x dx f x df x
−
= = = = −

Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
32
3 3 2,f x x x x x= − + −
. Tính
( ) ( )
1
3
0
f x f x dx
A.
3
4
. B.
15
4
. C.
1
4
. D.
15
4
−
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4 4
11
33
00
1
10
15
0
4 4 4
f x f f
f x f x dx f x df x
−
= = = = −

Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
642
5 3 1,f x x x x x= − + +
. Tính
( ) ( )
1
2017
0
f x f x dx
.
A.
1
2018
. B.
1
1009
. C.
1
2018
−
. D.
1
1009
−
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2018
11
2017 2017
00
1
0
2018
==

fx
f x f x dx f x df x
( ) ( )
2018 2018
10
1
2018 2018
−
= = −
ff
Trang 64
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm
của hàm số
1
1 sin2
y
x
=
+
với
\,
4
x k k

− +


RZ
, biết
( )
01F =
;
( )
0F
=
. Tính
11
12 12
P F F

−
=−
.
A.
23P =−
. B.
0P =
. C. Không tồn tại
P
. D.
1P =
.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có
( )
2
11
dd
1 sin2
2sin
4
F x x x
x
x
p
==
æö
+
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
òò
1
2
13
- cot khi 2 ; 2
2 4 4 4
1 3 7
- cot khi 2 ; 2
2 4 4 4
x C x k k
x C x k k
p p p
pp
p p p
pp
ì
æ ö æ ö
ï
÷÷
ï
çç
+ + Î - + +
÷÷
ï ç ç
÷÷
çç
ï
è ø è ø
ï
=
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
+ + Î + +
ï
÷÷
çç
÷÷
ï
çç
è ø è ø
ï
î
Để
( )
( )
1
2
3
01
2
1
0
2
C
F
F
C
p
ì
ï
ï
=
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
Þ
íí
ïï
=
ïï
î
=
ï
ï
ï
î
.Vậy
( )
1 3 3
- cot khi 2 ; 2
2 4 2 4 4
1 1 3 7
- cot khi 2 ; 2
2 4 2 4 4
x x k k
Fx
x x k k
p p p
pp
p p p
pp
ì
æ ö æ ö
ï
÷÷
ï
çç
+ + Î - + +
÷÷
ï ç ç
÷÷
çç
ï
è ø è ø
ï
=
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
+ + Î + +
ï
÷÷
çç
÷÷
ï
çç
è ø è ø
ï
î
.
Khi đó
11
1
12 12
P F F

−
= − =
Cách 2:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
11 11
00
12 12 12 12
P F F F F F F F F

−
= − = − − − + − + −
0
11
12 12
11
d d 1
1 sin2 1 sin2
xx
xx

−
= − + +
++

.
Ta có
( )
2
2
1 1 1
1 sin 2
sin cos
2cos
4
x
xx
x
==
+

+
−


nên
Trang 65
( )
0
0
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
xx
x
−
−

= − = − +

+

;
( )
11
11
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin 2 2 4 2
xx
x

= − = − +

+

.
Vậy
1P =
.
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm
của hàm số
24yx=-
xác định trên
{ }
\2¡
thỏa mãn
( )
11f =
và
( )
32f =-
. Giá trị của biểu
thức
( ) ( )
14FF-+
bằng
A.
6-
. B.
7
. C.
14-
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2 4 d khi 2
2 khi 2
2 4 d
2 khi 2
2 4 d khi 2
x x x
x C x
F x x x
x C x
x x x
ì
ï
ì
->
ï
ï
- + >
ï
ï
ïï
= - = =
íí
ïï
- - + <
- - <
ïï
ï
î
ï
ï
î
ò
ò
ò
.
Do
( )
( )
21
12
11
1 1 3
1 2 2
32
F
CC
CC
F
ì
ìì
=
ï
- + = = -
ïï
ï
ïï
ÞÛ
í í í
ï ï ï
+ = - =
=-
ïï
ï
îî
î
nên
( )
( )
( )
2
2
2 3 khi 2
2 2 khi 2
xx
Fx
xx
ì
ï
- - >
ï
ï
=
í
ï
- - + <
ï
ï
î
.
Vậy
( ) ( )
1 4 9 2 4 3 6FF- + = - + + - = -
.
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
{ }
\ 1;1-¡
và thỏa mãn
( )
2
2
1
fx
x
¢
=
-
,
( ) ( )
3 3 0ff- + =
và
11
2
22
ff
æ ö æ ö
÷÷
çç
- + =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
. Giá trị của
biểu thức
( ) ( ) ( )
2 0 4f f f- + +
bằng
A.
2ln2 2ln3 ln5--
. B.
6ln2 2ln3 ln5--
.
C.
ln5 2ln3 2ln2 1- + + +
. D.
2ln3 ln5 6-+
.
Lời giải
Chọn C.
Có
( )
11
11
fx
xx
¢
=-
-+
.
Trang 66
Khi đó
( ) ( )
1
2
1
ln +C khi 1 1
1
d
1
ln +C khi 1 1
1
x
xx
x
f x f x x
x
x
x
ì
æö
-
ï
÷
ï
ç
< - È >
÷
ïç
÷
ç
ï
èø
+
ï
¢
==
í
ï
æö
-
ï
÷
ç
- < <
ï
÷
ç
÷
ï
ç
èø
+
ï
î
ò
.
Có
( ) ( )
11
3 3 0 ln2 ln2 0f f C C- + = Û + + + =
1
ln2CÛ=
.
Có
11
2
22
ff
æ ö æ ö
÷÷
çç
- + =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
2 2 2
ln3 ln3 2 1C C CÛ + - + = Û =
.
Khi đó:
( )
1
ln ln2 khi 1 1
1
1
ln 1 khi 1 1
1
x
xx
x
fx
x
x
x
ì
æö
-
ï
÷
ï
ç
+ < - >
÷
ïç
÷
ç
ï
èø
+
ï
=
í
ï
æö
-
ï
÷
ç
+ - < <
ï
÷
ç
÷
ï
ç
èø
+
ï
î
U
.
Vậy
( ) ( ) ( )
2 0 4f f f- + +
ln3 ln2 1 ln3 ln5 ln2= + + + - +
ln5 2ln3 2ln2 1= - + + +
.
Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc
10m/s
thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là
( )
2
3.a t t t=+
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
3
giây kể từ khi vật bắt đầu
tăng tốc.
A.
45
m.
2
B.
201
m.
4
C.
81
m.
4
D.
65
m.
2
Lời giải
Chon B
( ) ( )
( )
32
2
3
dt 3 dt
32
tt
v t a t t t C= = + = + +

Do
0
10 / 10v m s C= =
( )
32
3
10
32
tt
vt = + +
( )
3
32
0
3 201
10 dt m
3 2 4
tt
S

= + + =


Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
3
giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là
201
m
4
Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ
10( / )ms
thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với
( ) 5 10(m/s)v t t=− +
, trong đó
t
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ
lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao
nhiêu mét.
Trang 67
A.
8.m
B.
10 .m
C.
5.m
D.
20 .m
Lời giải
Chọn B.
Thời điểm đạp phanh ứng với
0t=
.
Thời điểm xe dừng hẳn ứng với
( ) 5 10 0v t t= − =
2t=
.
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng.
2
0
( ) 10( )v t dt m=
.
Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc
10m/s
thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là
( )
2
3.a t t t=+
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
3
giây kể từ khi vật bắt đầu
tăng tốc.
A.
45
m.
2
B.
201
m.
4
C.
81
m.
4
D.
65
m.
2
Lời giải
Chon B
( ) ( )
( )
32
2
3
dt 3 dt
32
tt
v t a t t t C= = + = + +

Do
0
10 / 10v m s C= =
( )
32
3
10
32
tt
vt = + +
( )
3
32
0
3 201
10 dt m
3 2 4
tt
S

= + + =


Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
3
giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là
201
m
4
Câu 140: Biết rằng trên khoảng
3
;
2

+


hàm số
2
20 30 7
()
23
xx
fx
x
−+
=
−
có một nguyên hàm
2
( ) (a ) 2 3F x x bx c x= + + −
(trong đó
,,abc
là các số nguyên). Tổng
S a b c= + +
bằng
A.
4.
B.
3.
C.
5.
D.
6.
Lời giải.
Chọn B
Ta có:
2
2
1 (2 )(2 3) (a )
'( ) (2 ) 2 3 (a ).
2 3 2 3
ax b x x bx c
F x ax b x x bx c
xx
+ − + + +
= + − + + + =
−−
Trang 68
Từ đó rút gọn tử thức ta được:
2
5 (6 3 ) 3
'( )
23
ax a b x b c
Fx
x
− − − +
=
−
Do
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
nên ta có:
22
5 (6 3 ) 3 20 30 7
'( ) ( )
2 3 2 3
ax a b x b c x x
F x f x
xx
− − − + − +
= =
−−
trên khoảng
3
;
2

+


Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:
5 20 4
6 3 30 2
3 7 1
aa
a b b
b c c
= =

− + = − = −


− + = =
Suy ra
3S a b c= + + =
.
Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết . Tích phân
A. B. C. D. 1
Lời giải
Chọn B
Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân.
Cách giải:
Ta có mà nên (vì nếu
thì )
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x
= 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm
Từ đề bài ta có
Nên
Từ đó
Chọn B.
0
2 '( )
lim 2
2
x
x f x
x
→
+
=
1
0
'( )f x dx
3
2
1
4
3
4
0
2 '( )
lim 2
2
x
x f x
x
→
+
=
0
lim2 0
x
x
→
=
( )
00
lim 2 '( ) 0 lim '( ) 0 '(0) 0
xx
x f x f x f
→→
+ = = =
( )
0
lim 2 '( ) 0
x
x f x
→
+
0
2 '( )
lim 2
2
x
x f x
x
→
+
=
( )( )
'( ) . 1 2f x m x x x= − −
( )( ) ( )( )
00
2 1 2 2 1 2
22
lim 2 lim 2 2 1
2 2 2
xx
x mx x x m x x
m
m
x
→→
+ − − + − −
+
= = = =
( )( )
32
'( ) 1 2 3 2f x x x x x x x= − − = − +
( )
11
32
00
1
'( ) 3 2 .
4
f x dx x x x dx= − + =

Trang 69
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH
Câu 142: Cho hình
()H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
1yx=+
,
1yx=−
và trục Ox. Diện tích
của hình
( )
H
(H) bằng
A.
4
3
. B.
7
6
. C.
3
2
. D.
5
4
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
( )
1
H
là sình phẳng giới hạn bởi các đường
1; 0; 0y x y x= + = =
(Tam giác cong
OAB
).
( )
2
H
là sình phẳng giới hạn bởi các đường
1 ; 0; 0y x y x= − = =
(Tam giác
OBC
).
Diện tích hình hình phẳng cần tính là:
( ) ( )
( )
( )
12
01
2
3
10
01
2 2 1 7
1 1 1
10
3 2 3 2 6
HH
x
S S S x dx x dx x x
−

= + = + + − = + + − = + =

−


Câu 143: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
4AB =
,
8AD =
(như hình vẽ).
Gọi
, , ,M N E F
lần lượt là trung điểm của
BC
,
AD
,
BN
và
NC
. Tính thể tích
V
của vật thể
trn xoay khi quay hình tứ giác
BEFC
quanh trục
AB
.
A.
100
. B.
96
. C.
84
. D.
90
.
Lời giải
Chọn B.
F
E
C
D
M
B
A
N
Trang 70
Chọn hệ trục tọa độ
Oxy
sao cho
,BO
,AB Ox
.BC Oy
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
;yx=
8;yx=−
0; 2xx==
quay quanh trục
.Ox
( )
2
2
2
0
8dV x x x
= − −
2
0
16 64dxx
=−
96 .
=
Cách khác:
Gọi
I
là trung điểm
AB
.
Gọi
1
V
là thể tích khối nón cụt tạo bởi
CFIB
quay quanh
AB
,
1
V
có chiều cao là
2
, bán kính đáy là
6r =
và
8.R =
( )
22
1
1 296
.2 6 6.8 8
33
V

= + + =
Gọi
2
V
là thể tích khối nón tạo bởi
BEI
quay quanh
AB
,
2
V
có chiều cao là
2
và bán kính đáy là
2.
2
8
3
V
=
.
Ta có thể tích cần tính
12
96 .V V V
= − =
Câu 144: Cho hình thang vuông
ABCD
có
ˆ
ˆ
90AD= =
,
2CD AB=
,
ˆ
45C =
. Gọi
M
là trung điểm
CD
, gọi
,HK
lần lượt là trung điểm các cạnh
,AM BM
. Biết
8CD =
, tính thể tích
V
của vật
thể tròn xoay khi quay tứ giác
HKCD
quanh trục
AD
.
A.
96
. B.
84
. C.
72
. D.
60
.
Lời giải
Chọn B.
Trang 71
Ta có
4AB =
,
BMC
vuông cân tại
M
nên
4AD BM==
. Gọi
O
là trung điểm của
AD
.
Chọn hệ trục tọa độ
Oxy
sao cho
,OD Ox
.OK Oy
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
2;yx=−
2 4;yx=+
0; 2xx==
quay quanh trục
.Ox
( ) ( )
2
22
0
2 4 2 dV x x x
= + − −
2
2
0
32 20 12dx x x
= + +
72
=
.
Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây.
Người ta đo được đường kính của miệng ly là
4cm
và chiều cao là
6cm
. Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích
( )
3
V cm
của vật thể đã
cho.
A.
72
5
V =
. B.
72
5
V
=
. C.
12V
=
. D.
12V =
.
Lời giải
6 cm
A
B
O
4 cm
I
Trang 72
Chọn C.
Chọn hệ trục
Oxy
như hình vẽ.
Gọi phương trình của Parabol là
2
6y ax=−
. Do
( )
P
qua điểm
( )
2;0B
nên
3
2
a =
.
Vậy
( )
2
3
:6
2
P y x=−
suy ra
( )
26
3
y
x
+
=
.
Thể tích vật thể cần tính bằng
( )
0
6
26
d 12
3
y
Vy

−
+
==
.
Câu 145:
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm
ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol
chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần
trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
3
4
chiều cao của bên đó (xem hình).
6 cm
A
B
O
4 cm
I
Trang 73
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi
2,90
3
cm
/ phút. Khi chiều cao của
cát còn
4cm
thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi
8
cm (xem
hình). Biết sau
30
phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều
cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?
A.
8cm
. B.
12cm
. C.
10cm
. D.
9cm
.
Lời giải
Chọn C.
Chiều cao khối trụ bằng
8
3
h
.
Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol . Gọi
( )
P
là đường
Parabol phía trên. Chọn hệ trục
Oxy
như hình vẽ .
Đường tròn thiết diện có chu vi bằng
8
suy ra bán kính của nó bằng
4
.
Do
()P
có đỉnh là
(0;0)O
nên phương trình
2
( ): axPy=
.
()P
đi qua
(4;4)A
nên
1
4
a =
. Vậy phương trình
2
1
( ):
4
P y x=
.
Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của
()P
quay quanh trục
Oy
và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian
30p
.
Ta có
2
0
(2 )
h
V y dy
=
2
2 h
=
.
Trang 74
Lượng cát chảy trong
30p
là
3
2,9.30 87( )m=
.
Vậy
87V =
2
2 87h
=
87
2
h
=
.
Chiều cao hình trụ bên ngoài là
4
2. 10 .
3
l h cm=
Chọn đáp án C.
Câu 146:
Một thùng rượu có bán kính các đáy là
30cm
, thiết diện vuông góc với trục
và cách đều hai đáy có bán kính là
40cm
, chiều cao thùng rượu là
1m
(hình vẽ).
Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,
hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?
A.
425162
lít. B.
21258
lít. C.
212,6
lít. D.
425,2
lít.
Lời giải
Chọn D.
Trang 75
+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm :
30 3 ;cm dm=
40 4cm dm=
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ
Gọi phương trình
2
( ):P x ay by c= + +
()P
đi qua các điểm
(4;0);A
(3;5)B
và
(3; 5)C −
nên ta có
4
0
1
25
a
b
c
=
=
=−
Vậy phương trình của
2
1
( ): 4
25
P x y= − +
Thể tích của thùng rượu là :
5
22
5
1
( 4)
25
V y dy
−
= − +
3
425,2dm
425,2l=
Suy ra đáp án D.
Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá
( )
2
1m
của rào sắt là
700.000
đồng. Hỏi ông An phải trả bao
nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm trn đến hàng phần nghìn).
A.
6.520.000
đồng. B.
6.320.000
đồng. C.
6.417.000
đồng. D.
6.620.000
đồng.
Lời giải
Chọn C.
1,5m
2m
5m
Trang 76
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó
( )
2,5;1,5A −
,
( )
2,5;1,5B
,
( )
0;2C
.
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng
2
y ax bx c= + +
, với
;;abc
.
Do Parabol đi qua các điểm
( )
2,5;1,5A −
,
( )
2,5;1,5B
,
( )
0;2C
nên ta có hệ phương trình
2
2
( 2,5) ( 2,5) 1,5
( 2,5) (2,5) 1,5
2
a b c
a b c
c
− + − + =
− + + =
=
2
25
0
2
a
b
c
=−
= =
=
.
Khi đó phương trình Parabol là
2
2
2
25
yx= − +
.
Diện tích
S
của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số
2
2
2
25
yx= − +
, trục hoành và hai đường thẳng
2,5x =−
,
2,5x =
.
Ta có
2,5
2
2,5
2
2
25
S x dx
−

= − +


55
6
=
.
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là
( )
55
. 700.000 .700000
6
S =
6.417.000
(đồng).
Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
0x =
và
x
=
, biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
( )
0xx

là một tam
giác đều có cạnh là
2 sin x
.
A.
3V =
B.
3V
=
C.
23V
=
D.
23V =
Lời giải
Chọn D.
Trang 77
Diện tích thiết diện là
( )
( )
2
2 sin 3
3sin
4
x
S x x==
Áp dụng công thức
( )
0
3sin 2 3
b
a
V S x dx xdx
= = =

.→ Chọn D.
Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng
100m
, trục nhỏ bằng
80m
. Người ta thiết kế một
mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần cn lại trồng rau.
Biết lợi nhuận thu được là
5000
đồng mỗi
2
m
trồng rau và
10.000
đồng mỗi
2
m
trồng hoa.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm trn đến hàng nghìn).
A.
25.708.000
. B.
51.416.000
. C.
31.415.000
. D.
17.635.000
.
Lời giải
Chọn B
Diện tích phần hoa là:
2
4000S =
Diện tích phần rau là:
1
2000 4000S
=−
Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là:
12
.5000 .10.000 51.416.00 .0T S S= + =
Câu 150: quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình trn đường kính
30 .m
Trong lng hình
trn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường
kính và trục b bằng một phần ba đường kính đường trn trên ( tâm của đường trn và elip
trùng nhau), phần cn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một
2
1m
hoa hồng là
500.000
đồng, chi
phí làm
2
1m
hồ là
2.000.000
đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả
làm trn đến hàng nghìn).
A.
706.858.000
B.
514.160.000
C.
1.413.717.000
D.
680.340.000
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình trn là:
225 .
Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là:
1
75S ab

==
Diện tích phần làm hồ là:
2
150 .S
=
Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là:
12
.500.00 .2.000.000 514.160 0 .. 00T S S= + =
Câu 151: Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
3yx=
và nửa đường trn có phương trình
2
4yx=−
với
22x−
(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của
( )
H
bằng
Trang 78
A.
2 5 3
3
+
. B.
4 5 3
3
+
. C.
43
3
+
. D.
23
3
+
.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
22
34xx=−
, Đk:
22x−
4 2 2
3 4 0 1 1x x x x + − = = =
.
Hình
( )
H
giới hạn bởi:
( )
( )
2
2
:3
:4
1; 1
P y x
C y x
xx
=
=−
= − =
có diện tích là:
(
)
12
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
4 3 4 3d d d
II
S x x x x x x x
− − −
= − − = − −
.
* Ta có:
1
3
2
1
3 2 3
33
Ix
−
==
.
* Xét
1
2
1
1
4 dI x x
−
=−
:Đặt
2sin , ;
22
x t t


= −


;
2cosddx t t=
.
Khi
1
6
xt
= − = −
và
1
6
xt
= =
.
Ta có:
( )
66
22
1
66
4 1 sin 2cos d 4 cos dI x t t t t


−−
= − =

(Do
cos 0t
khi
;
22
t


−


)
( )
6
6
6
6
1
2 1 cos2 2 sin2
2
dt t t t
−
−

= + = +


3
2
32

=+



.
x
y
-2
2
O
2
Trang 79
Vậy
3 2 3 2 3
2
3 2 3 3
S


+
= + − =



.
Cách khác:
- Giao điểm của
( )
2
:3P y x=
và
( )
2
:4C y x=−
là
( ) ( )
1; 3 , ' 1; 3MM−
.
- Có
60 ' 2 30 60AOM MOM= = =
. Suy ra diện tích hình quạt
'OMM
là
2
1
60 2
..
360 3
SR
==
.
- Gọi
2
S
là diện tích giới hạn bởi
( )
2
:3
:3
0, 1
OM y x
P y x
xx
=
=
==
. Suy ra
( )
1
2
2
0
3
33
6
dS x x x= − =
.
- Diện tích hình
( )
H
là:
12
23
2
3
S S S
+
= + =
.
Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số thỏa mãn các điều
kiện: và các số dương . Xt hàm số có đồ thị là .
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành, đường thẳng ; là diện tích
hình phẳng giới hạn bởi các , trục tung, đường thẳng là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng . Khi so sánh và , ta nhận
được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
x
y
-2
2
O
2
M'
1
M
A'
A
,pq
1, 1,pq
11
1
pq
+=
,ab
1
( 0)
p
y x x
−
=
( )
C
1
S
( )
C
xa=
2
S
( )
C
;yb=
S
,x a y b==
12
SS+
S
Trang 80
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Ta lại có:
.
Mặt khác: .
.
Do
.
Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , , . Đường thẳng
chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để
lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn D
Ta có và
Ta có
pq
ab
ab
pq
+
11
11
pq
ab
ab
pq
−−
+
−−
11
11
pq
ab
ab
pq
++
+
++
pq
ab
ab
pq
+
1
1
0
a
p
S x dx
−
=
0
a
p
x
p
=
p
a
p
=
1
( 0)
p
y x x
−
=
1
1
1
x
p
p
yy
−
−
= =
11
1, 1, 1pq
pq
+ =
11p
pq
−
=
1
1
2
0
b
p
S y dy
−
=
1
0
1
.
b
p
p
p
y
p
−
−
=
1
1
p
q
p
pb
b
pq
−
−
==
.S a b=
12
S S S+
Pq
ab
ab
pq
+
( )
H
x
ye=
0y =
0x =
ln4x =
( )
0 ln4x k k=
( )
H
1
S
2
S
k
12
.SS
25
ln
4
k =
9
ln
4
k =
8
ln
3
k =
5
ln
2
k =
1
0
k
x
S e dx=
0
k
k
e=
1
k
e=−
ln4
2
x
k
S e dx=
4
k
e=−
( )( )
12
. 1 4
kk
S S e e= − −
( )
2
54
kk
ee= − + −
2
5 9 9
2 4 4
k
e

= − − +


Trang 81
Suy ra lớn nhất bằng khi .
Câu 154: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Đường thẳng
chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ). Tìm để
A. . B. . C. D.
Lời giải :
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có
●
●
Yêu cầu bài toán
Câu 155: Cho parabol , có đỉnh và là giao điểm khác của và trục hoành.
là điểm di động trên (
không trùng với ) . Tiếp tuyến của tại
cắt lần lượt tại và . là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng
và trục , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và trục . Khi
tổng nhỏ nhất, giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
12
.SS
9
4
5
2
k
e =
5
ln
2
k

=


( )
H
2
,yx=
0,y =
0,x =
4.x =
( )
0 16y k k=
( )
H
12
, SS
k
12
SS=
3k =
4k =
5.k =
8k =
2
x k x k= =
4
2
12
0
S S x dx+=
4
3
0
64
.
33
x
==
( )
4
2
1
k
S x k dx=−
3
0
3
k
x
kx

=−


2 64
4.
33
kk
k= − + +
( )
1 1 2
1
2
S S S = +
2 64 32
4
3 3 3
kk
k − + + =
2 12 32 0k k k − + =
( )
0 4t k t=
⎯⎯⎯⎯⎯→
32
2 12 32 0tt− + =
2 4.tk = =
( )
:P
2
2y x x= − +
S
A
O
( )
P
00
( ; )M x y
SA
00
( ; )M x y
S
d
( )
P
M
Ox
,Oy
E
F
1
S
( )
P
d
0y
2
S
( )
P
d
0x
12
SS+
00
P x y=+
23
9
44
9
20
9
4
Trang 82
Chọn C
Tiếp tuyến tại có phương trình:
Ta có: với
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành: .
Tathấy,
Khảo sát hàm ta được khi .
khi . Khi đó
.
Vậy .
Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
yx=
,
0y =
và
4x =
quanh trục Ox. Đường thẳng
( )
04x a a=
cắt đồ thị hàm
yx=
tại M. Gọi
1
V
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết
1
2VV=
. Tìm giá trị
a
( )
2
;2 ,1 2M m m m m−
( )( )
2
2 2 2y m x m m m= − − + −
( )
2
22y m x m = − +
( )
2
2
0; ; ;0
22
m
E m F
m


−

12m
S
( )
P
2
2
0
4
2
3
S x x dx= − + =
( )
44
1
2 2 2 4 1
OEF
mm
S
mm
==
−−
21
,
OEF
S S S S+ = −
( ) ( )
12
min min
OEF
S S S+
( )
( )
4
12
41
m
f m m
m
=
−
( )
3
4
3
fm
Min

=


4
3
m =
( )
21
3
4 4 28
min
3 3 27
SS

+ = − =


4
3
m =
48
( ; )
39
M
00
20
9
xy+=
Trang 83
A.
2a =
. B.
22a =
. C.
5
2
a =
. D.
3a =
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
V
là thể tích khối tròn xoay do
( )
:0
4
yx
Hy
x
=
=
=
quay quanh
Ox
( )
44
2
00
d8V x dx x x
= = =

Gọi
1
V
là thể tích khối tròn xoay do
( )
1
:H OMH
quay quanh
Ox
Khi
OMH
quay quanh
Ox
tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh
O
, trục
ON
, bán
kính đáy
NM
và khối nón đỉnh
H
, trục
HN
, bán kính đáy
NM
( ) ( )
( )
22
1
11
4
33
V a a a a

= + −
1
1
. .4
3
Va
=
1
4
2 8 2. . 3
3
V V a a

= = =
.
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
2
yx=
và
2yx=−
bằng
A.
13
12
. B.
21
2
. C.
9
2
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
2
yx=
và
2yx=−
là
2
2xx=−
suy ra
2x =−
và
1x =
.
Trang 84
+) Nhận xét rằng đồ thị
2
yx=
chỉ cắt đồ thị
2yx=−
trên
(
;2−
(có thể dựa vào đồ thị vẽ
ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
yx=
và
2yx=−
.
+) Ta có
( )
1
2
2
2dS x x x
−
= − −
=
1
23
2
2
23
xx
x
−

−−


=
9
2
. Chọn C.
Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
;
2
1
=x
;1=x
0=y
và đồ thị hàm số
.log
2
xy =
A.
11
2 2ln2
−+
. B.
1
2ln 2
. C.
11
2 ln2
−+
. D.
11
2 2ln2
+
.
Lời giải
Chọn A
+) Đồ thị
xy
2
log=
cắt đường thẳng
2
1
=x
tại
1
;1
2
A

−


và cắt đường thẳng
1=x
tại
).0;1(B
+) Diện tích hình phẳng cần tính
11
22
11
22
| log |d log d .S x x x x= = −

+)
S
( )
1
2
1
2
1
1
log . d
1
ln2
2
x x x x
x
= − +
+)
S
.
2ln2
1
2
1
2ln
2
1
1
2
1
2
1
1
2ln2
1
log
2
1
2
+−=
−
+−=+=
x
Chọn A.
Câu 159: Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
có đồ thị
( )
C
, biết rằng
( )
C
đi qua điểm
( )
1;0A −
.
Tiếp tuyến
d
tại
A
của
( )
C
cắt
( )
C
tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình
phẳng giới hạn bởi
d
, đồ thị
( )
C
và hai đường thẳng
0; 2xx==
có diện tích bằng
28
5
(phần
gạch chéo trong hình vẽ).
Trang 85
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
d
, đồ thị
( )
C
và hai đường thẳng
1; 0xx= − =
bằng
A.
1
5
. B.
1
9
. C.
2
5
. D.
2
9
.
Lời giải
Chọn A
+) Điểm
( )
1;0A −
thuộc đồ thị
( )
0C a b c + + =
+) Phương trình tiếp tuyến tại
( )
1;0A −
là
( )
:d
( )( )
' 1 1y y x=+
( )( )
4 2 1y a b x = − − +
.
+) Phương trình hoành độ giao điểm của
d
và đồ thị
( )
C
là
( )( ) ( )
42
4 2 1 *a b x ax bx c− − + = + +
+) Mà
0, 2xx==
là nghiệm của (*) suy ra
( )
42
1
12 6 16 4
a b c
a b a b c
− − =
− − = + +
+) Có
( )( )
2
42
0
28
4 2 1 d
5
a b x ax bx c x

= − − + − − −

( ) ( )
32 8 28
4 4 2 2 2
3 3 5
a b a b c − − − − − =
+) Từ
( ) ( )
1 , 2
ta được
1, 3, 2a b c= = − =
suy ra
42
32y x x= − +
.
+) Vậy diện tích cần tính là
0
42
1
1
2 2 3 2 d
5
S x x x x
−
= + − + − =
. Chọn A.
Câu 160: Cho parabol
( )
2
:P y x=
và hai điểm
,AB
thuộc
( )
P
sao cho
2AB =
. Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi
( )
P
và đường thẳng
AB
đạt giá trị lớn nhất bằng:
A.
2
3
. B.
3
4
. C.
4
3
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C.
x
y
1
A
B
Trang 86
+) Gọi đường thẳng
:d y ax b=+
Xt phương trình hoành độ giao điểm của
( )
P
và
d
là:
2
0x ax b− − =
Đường thẳng cắt
( )
P
tại hai điểm phân biệt
,AB
khi
2
40ab = +
.
Gọi hai nghiệm của phương trình là
( )
1 2 1 2
,;x x x x
. Khi đó ta có
12
12
.
x x a
x x b
+=
=−
Gọi giao điểm của
d
và
( )
P
là
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,A x y B x y
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
2 4 4 4 4AB x x y y x x x x a x x x x
= − + − = + − + + − =
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
4
4 4 4 4 *
1
a b a a b a b
a
+ + + = + =
+
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
d
và
( )
P
là:
( )
2
22
11
1
23
22
23
x
xx
xx
x
ax x
S x ax b dx ax b x dx bx

= − − = + − = + −



( ) ( )
2 3 2 3 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 3 2 3 2 3
ax x ax x x x x x
a
bx bx x x x x b
++
= + − − + − = − + + −


( )
(
)
( )
3
3
2
2 2 2
2
2
2
21
3
2
2
4
4 4 1
1
4 . .
2 3 6 6 6 3
1
ab
a a b a b
a
x x b a b
a


+

++
+

= − + − = + = = =


+
.
Vì
( )
2
3
2
1
1 1, 1
1
aa
a
+
+
nên
4
3
S
.
Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình
phẳng giới hạn bởi các đường
,xy=
2, 0y x x= − + =
quay quanh
Ox
có giá trị là kết quả nào sau đây
A.
1
3
V
=
. B.
3
2
V
=
. C.
32
15
V
=
. D.
11
6
V
=
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
;0
xy
xy
xy
=
=
.
Trang 87
Phương trình hoành độ giao điểm là
2
1 ( )
2.
2( )
x TM
xx
xL
=
= − +
=−
Thể tích cần tìm là:
( )
1
2
4
0
32
2d
15
V x x x


= − + − =

Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng
100 m
, trục nhỏ bằng
80 m
được chia thành 2 phần
bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn
trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là
2000
mỗi
2
m
t
rồng cây con và
4000
mỗi
2
m
trồng rau.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm trn đến hàng nghìn ).
A.
31904000
. B.
23991000
. C.
10566000
. D.
17635000
.
Lời giải
Chọn B
Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip
( )
E
:
22
22
1
xy
ab
+=
(với
0ab
) là
ab
Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình
2
2
1
x
yb
a
=−
. Do
,Ox Oy
là
trục đối xứng của elip
( )
E
nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip
( )
E
là
2
2
0
41
a
x
S b dx
a
=−
.
Đặt
sinx a t=
với
;
22
t


−


ta được
( )
22
22
00
4 1 sin sin 4 osS b td a t ab c tdt

= − =

ab
=
.
Xét mảnh vườn:
50, 40ab==
Diện tích trồng cây con là:
( )
( )
2
.40.50 2 500 m
4
c OAB
SS
= − = −
Diện tích trồng rau là:
( ) ( )
.40.50 2 500 3 2 500
r
S
= − − = +
Thu nhập từ mảnh vườn là:
( ) ( )
2 500.2000 3 2 500.4000 23991000

− + +
.
Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính
6cm
. Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip
khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm
1
F
,
2
F
. Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối
Trang 88
cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là
4cm
,
2cm
. Thể tích phần cùi (phần ăn được) của
quả đào bằng
( )
3
cm
a
b
với
,ab
là các số thực và
a
b
tối giản, khi đó
ab−
bằng
A.
97
. B.
36
. C.
5
. D.
103
.
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ
Oxy
sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ
O
, hai tiêu điểm nằm trên trục
Ox
. Khi đó phương trình Elip là
22
1
41
xy
+=
, xét
2
1
4
x
y =-
.
Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là:
2
2
2
2
1
0
0
8
2 2 1
43
x
V y dx dx

= = − =



.
Thể tích quả đào hình cầu
3
4
.3 36
3
V

==
.
Do đó thể tích phần cùi của quả đào là
1
100
3
VV
−=
. Do đó
97ab−=
.
Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là
'8AA =
, độ dài trục nhỏ là
'6BB =
;
đường tròn tâm
O
đường kính là
'BB
như hình vẽ. Tính thể tích vật thể trn xoay
có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường trn (phn hnh phng
được tô đm trên hnh v) quay xung quanh trục
'AA
.
Trang 89
A.
36
. B.
12
. C.
16
. D.
64
3
.
Lời giải
Chọn B
Gắn hệ trục toạ độ
Oxy
sao cho
O
là tâm của đường tròn,
,'A A Ox
,
,'B B Oy
.
Phương trình elip là
22
1
16 9
xy
+=
, xét
2
31
16
x
y =−
.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục
Ox
là:
2
4
1
0
2 9 1 d 48
16
x
Vx


= − =


.
Thể tích khối cầu là:
3
4
.3 36
3
V

==
.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
1
12VV
−=
.
Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật
ABCD
với
55
30 ,
3
AB cm AD cm
==
. Người ta cắt miếng tôn
theo đường hình như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết
20AM cm=
,
15CN cm=
,
5BE cm
=
.Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn
quanh trục
AD
(kết quả làm trn đến hàng trăm).
B
O
A
A'
B'
sin
Trang 90
A.
3
81788cm
. B.
3
87388cm
. C.
3
83788cm
. D.
3
7883cm
.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục
Oxy
sao cho
AO
,
D Ox
,
B Oy
.
Ta có
5BE
=
suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
20T
=
.
Suy ra phương trình đồ thị hình
Sin
cần tìm có dạng:
sin
10
x
y a b

=+


.
Do đồ thị hình đi qua
( )
0;20M
,
55
;15
3
N



nên ta có:
1
sin .0 20
10
10
20
1 55
sin . 15
10 3
ab
a
b
ab

+=

=

=

+=


.
Ta có phương trình đồ thị hình cần tìm là
10sin 20
10
x
y

=+


.
Thể tích cần tìm là:
2
55
3
3
0
10sin 20 d 83788
10
x
x cm


+




.
Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với
vận tốc
(km/h)v
phụ thuộc vào thời gian
()th
có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian
1
giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh
(2;9)I
và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian cn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường
S
mà vật di chuyển được trong
4
giờ đó ( kết quả làm trn đến hàng phần trăm).
A.
23,71S km=
. B.
23,58S km=
. C.
23,56S km=
. D.
23,72S km=
.
Lời giải
Chọn A
sin
sin
Trang 91
Với
0;1t
, gọi
2
( ) .v t at bt c= + +
Ta có :
(0) 4; (2) 9;vv==
hoành độ đỉnh parabol bằng
2
nên ta có hệ phương trình:
4
4 2 9
2
2
c
a b c
b
a
=
+ + =
−=
5
4
5
4
a
b
c
=−
=
=
.
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ
0
đến
1
giờ bằng :
1
2
1
0
5 73
54
4 12
S t t dt km

= − + + =


.
Với
(1;4],t
gọi
( ) .v t mt n=+
Ta có hệ phương trình :
31 5
44
4 4 9
m n m
m n n

+ = =−



+ = =

. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ
1
đến
4
giờ
bằng :
4
2
1
5 141
9
48
S t dt km

= − + =


Quãng đường
S
mà vật di chuyển được trong
4
giờ bằng :
12
23,71S S S km= + =
.
Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
sinyx=
,
cosyx=
,
0,x =
xa=
với
;
42
a




là
( )
1
3 4 2 3
2
− + −
hỏi số
a
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
7
;1
10



. B.
51 11
;
50 10



. C.
11 3
;
10 2



. D.
51
1;
50



Lời giải
Chọn B.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
sinyx=
,
cosyx=
,
0,x =
xa=
là
0
sin cos d
a
S x x x=−
4
0
4
sin cos d + sin cos d
a
x x x x x x
= − −

( ) ( )
4
0
4
cos sin d sin cos d
a
x x x x x x
= − + −

Trang 92
( ) ( )
4
0
4
cos sin d cos sin d
a
x x x x x x
= − − −

( )
4
2 1 sin cos
a
xx
= − − +
2 2 1 cos sinaa= − − −
.
Theo bài ra ta có:
( )
3 4 2 3− + −
2 4 2 2cos 2sinaa= − + − −
3 1 5
sin sin
4 12
22
a

+

+ = =


.
7
4 12
a

+ =
1,047
3
a
=
51 11
,
50 10
a




.
Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho một mảnh vườn hình chử nhật
ABCD
có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường
parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện.
Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại.
A.
1
3
. B.
3
3
. C.
1
2
. D.
2 3 2
7
+
.
Lời giải
Chọn D.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Ta lập được phương trình các parabol là
2
2
9
yx=
và
2
2
2
9
yx= − +
. Khi đó mảnh vườn nằm ở
miền trong hai parabol là hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
2
2
9
yx=
và
2
2
2
9
yx= − +
. Khi đó
diện tích của mảnh vườn nằm trong hai parabol là:
3
2
22
0
4
2 ( 2) 4 2
9
S x dx m= − + =
.
Diện tích hình chử nhật là:
2
12m
Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại
là:
4 2 2 3 2
7
12 4 2
+
=
−
Trang 93
Câu 169: Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường
2
, 0, 0, 4y x y x x= = = =
. Đường thẳng
( )
0 16y k k=
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích
12
,SS
như hình vẽ. Tìm
k
để
12
SS=
.
A.
8
. B.
3
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D.
Xt phương trình
( )
2
0;4x k x k= =
.
Khi đó
( )
4
44
3
22
1
2 64
4
3 3 3
kk
k
x
S x k dx x k dx kx k k k

= − = − = − = − +



.
4
2
2 1 1
0
64
3
S x dx S S= − = −
Theo giả thiết ta có
1 2 1 1 1
64 32 2 32
4 0 4.
3 3 3 3
S S S S S k k k k= = − = − + = =
Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số
2
6y x x=−
và trục hoành. Hai đường
thẳng
,y m y n==
chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính
33
(9 ) (9 )Q m n= − + −
A.
405Q =
. B.
409Q =
. C.
407Q =
. D.
403Q =
.
Trang 94
Câu 171: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường
2
1y x x=+
;
0y =
;
0x =
và
3x =
. Đường thẳng
xk=
với
13k
chia hình (H) thành 2 phần có diện tích là
1
S
và
2
S
. Để
12
6SS=
thì
k
gần bằng
A. 1,37.
B. 1,63.
C. 0,97.
D. 1,24.
Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao
20
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có
độ dài trục lớn bằng
10
. Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích
1
V
,
nửa dưới có thể tích
2
V
. Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm
thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là
8
và
14
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
11
20
. B.
9
11
. C.
9
20
. D.
6
11
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có công thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính
R
là
2
12
2
hh
VR
+

=


.
Theo bài ra ta có
12
8; 14hh==
, thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng
10
.
Trang 95
6
-
6
O
y
x
Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ
22
2 10 6 4RR= − =
.
Khi đó
2
.4 .20 320V

==
;
2
2
8 14
.4 . 176
2
V

+

==


12
144V V V
= − =
.
1
2
9
11
V
V
=
.
Câu 173: Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
yx=
, cung trn có phương trình
2
6yx=−
( )
66x−
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của
vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng
D
quanh trục
.Ox
A.
8 6 2 .V

=−
B.
22
8 6 .
3
V
=+
C.
22
8 6 .
3
V
=−
D.
22
4 6 .
3
V
=+
Lời giải
Chọn D.
phương trình
2
06
6
x
xx

=−
2x=
Tọa độ giao điểm là nghiệm số
Thể tích
V
của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình
D
(
)
(
)
( )
02
22
2
22
0
6
66V x dx x x dx

−

= − + − −



( ) ( )
02
22
0
6
66V x dx x x dx

−
= − + − −

Trang 96
02
3 3 2
60
66
3 3 2
x x x
V x x

−
= − + − −
6 6 8
6 6 12 2
33
V



= − − + + − −





22
4 6 .
3
V
=+
Vậy đáp án D.
Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường trn có đường kính bằng
4
và
2
đường Elip lần lượt nhận
2
đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé
của mỗi Elip đều bằng
1
. Diện tích
S
phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài
2
Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong
4
kết quả dưới đây?
A.
4,8S =
. B.
3,9S =
. C.
3,7S =
. D.
3,4S =
.
Lời giải
Chọn C.
Chọn hệ trục
Oxy
như hình vẽ.
Trang 97
Phương trình của Elip (
1
E
) nằm ngang:
22
1
41
xy
+=
Cung của (
1
E
) nằm trên trục Ox có phương trình :
2
1
4
2
yx=−
Phương trình Elip (
2
E
) đứng:
22
1
14
xy
+=
Cung của (
2
E
) nằm trên trục Ox có phương trình :
2
21yx=−
Xt phương trình:
22
1
4 2 1 ; 0
2
x x x− = −
có nghiệm
25
5
x =
.
Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình :
2
4yx=−
Diện tích cần tính là
25
2
5
2 2 2 2
0
25
5
1
4( ( 4 2 1 ) ( 4 4 ) )
2
S x x dx x x dx= − − − + − − −

25
2
5
2 2 2
0
25
5
1
4( ( 4 2 1 ) 4
2
x x dx x dx= − − − + −

Sử dụng máy tính ta được
3,7S
.
Câu 175: Trên cánh đồng cỏ có hai con b được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai
cọc là
4
mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài
3
mét và
2
mét. Tính phần diện tích mặt cỏ
lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).
x
y
O
Trang 98
A.
2
1,034 .m
B.
2
1,574 .m
C.
2
1,989 .m
D.
2
2, 824 .m
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi hai sợi dây được ko căng và là phần giao của hai
đường tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi
,OM
là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần
được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm
( )
2 2 2
:3+=O x y
và phương trình đường tròn tâm
( ) ( )
2
22
: 4 2- + =M x y
Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục
Ox
là:
2
9=-yx
và
( )
2
44= - -yx
Phương trình hoành độ giao điểm:
( )
2
2
21
4 4 9 4 8 16 9
8
- - = - Û + - = Û =x x x x
Diện tích phần được tô màu là:
( )
21
3
8
2
2
2 21
8
2 4 4 9 1,989
éù
êú
êú
= - - + - »
êú
êú
êú
ëû
òò
S x dx x dx
.
Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm
máy.
Câu 176: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng
16m
và độ dài trục bé bằng
10m
.
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
8m
và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là
100.000
đồng/
2
1m
. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để
trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm trn đến hàng nghìn).
A.
7.862.000
đồng. B.
7.653.000
đồng. C.
7.128.000
đồng. D.
7.826.000
đồng.
Trang 99
8m
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giả sử elip có phương trình
22
22
1+=
xy
ab
, với
0ab
.
Từ giả thiết ta có
2 16 8= =aa
và
2 10 5= =bb
Vậy phương trình của elip là
( )
( )
2
22
1
2
1
5
64
8
1
5
64 25
64
8
= − −
+ =
=−
y y E
xy
y y E
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường
( ) ( )
12
; ; 4; 4= − =E E x x
và diện tích
của dải vườn là
44
22
40
55
2 64 d 64 d
82
−
= − = −

S x x x x
Tính tích phân này bằng php đổi biến
8sin=xt
, ta được
3
80
64

=+


S
Khi đó số tiền là
3
80 .100000 7652891,82 7.653.000
64

= + =


T
.
Câu 177: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
22
1y x x=+
, trục
Ox
và đường thẳng
1x =
bằng
( )
ln 1a b b
c
−+
với
,,abc
là các số nguyên dương. Tính
abc++
.
A.
11.
B.
12.
C.
13.
D.
14.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
11
2 2 2
00
1d . 1dS x x x x x x x= + = +

.
Trang 100
Đặt
( ) ( )
1
2 2 2
2
1
d 1d 1 d 1
2
ux
v x x x x x
=
= + = + +
suy ra
( )
22
dd
1
11
3
ux
v x x
=
= + +
. Khi đó,
( ) ( )
1
1
2 2 2 2
0
0
11
2 2 2
00
1
2
0
11
1 1 1 1d
33
1 1 1
2 2 1d 1d
3 3 3
2 2 1 1
1d
3 3 3
2
.
24
S x x x x x x
S x x x x x
S S I I x x
I
S
= + + − + +
= − + − +

= − − = +


= −

Ta tính
1
2
0
1dI x x=+
.
Đặt
2
1
dd
ux
vx
=+
=
suy ra
2
dd
1
x
ux
x
vx
=
+
=
. Khi đó,
(
)
( )
11
2
1
22
22
0
00
11
2
2
00
1
2
0
1
1 d 2 1 d
11
1
2 1d d
1
21
2 ln 1 ln 1 2 .
22
x
I x x x x x
xx
I x x x
x
I I x x

= + − = − + −

++

= − + +
+
= − + + + = + +


Vậy
( )
( )
3 2 ln 1 2
2 1 2 1
ln 1 2 .
2 4 2 2 8
S
−+

= − + + =



Tức
3, 2, 8a b c= = =
. Vậy
13abc+ + =
.
Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao
18m,
chiều
rộng chân đế
12m.
Người ta căng hai sợi dây trang trí
AB
,
CD
nằm ngang đồng thời chia hình
giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số
AB
CD
bằng
A.
1
2
. B.
4
5
. C.
3
1
2
. D.
3
1 2 2+
.
Trang 101
Lời giải
Chọn C
Thiết lập hệ toạ độ
Oxy
trong mặt phẳng như hình vẽ. Khi đó parabol có phương trình
2
1
2
yx=−
. Gọi phương trình các đường thẳng là
:AB y t=
,
( )
0t
:CD y k=
,
( )
0k
2
B
xt=−
,
2
D
xk=−
.
Đường thẳng
: 18EF y =−
. Diện tích tam giác cong
OKF
là:
6
2
0
1
18 d 72
2
xx

− + =


.
Từ giả thiết suy ra: diện tích tam giác cong
24, 48OBI OJD==
2
2
0
1
d 24
2
t
x t x
−

− − =


và
2
2
0
1
d 48
2
k
x k x
−

− − =


. Từ đó giải được
3
72
B
x =
;
3
144
D
x =
3
1
2
B
D
x
AB
CD x
==
.
Câu 179: Cho hàm số
( ) ( )
32
, , , , 0y f x ax bx cx d a b c a= = + + +
có đồ
thị
( )
C
. Biết rằng đồ thị
( )
C
tiếp xúc với đường thẳng
4y =
tại
12
m
D
C
B
A
18
m
D
K
x
J
I
-18
6
F
E
C
B
A
O
y
O
x
y
1
1−
3−
O
x
y
1
1−
Trang 102
điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số
( )
y f x
=
cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( )
C
và trục hoành.
A.
9S =
. B.
27
4
S =
.
C.
21
4
S =
. D.
5
4
S =
.
Lời giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra
( )
2
33f x x
=−
.
( ) ( )
( )
23
d 3 3 d 3f x f x x x x x x C
= = − = − +

.
Do
( )
C
tiếp xúc với đường thẳng
4y =
tại điểm có hoành độ
0
x
âm nên
( )
2
0 0 0
0 3 3 0 1f x x x
= − = = −
.
Suy ra
( )
1 4 2fC− = =
( )
3
: 3 2C y x x = − +
Xt phương trình
3
2
3 2 0
1
x
xx
x
=−
− + =
=
.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
( )
1
3
2
27
3 2 d
4
S x x x
−
= − + =
.
Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gọi
V
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
,y x y==0
và
x = 4
quay quanh trục
Ox
. Đường
thẳng
()x a a= 04
cắt đồ thị hàm số
yx=
tại
M
(hình vẽ bên). Gọi
V
1
là thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
OMH
quanh trục
Ox
. Biết rằng
VV=
1
2
. Giá trị của
a
thỏa mãn
Trang 103
A.
[ ; )a 34
. B.
[2; )a 3
. C.
[1; )a 2
. D.
( ; )a 01
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
x
V xdx= = =
4
4
2
0
0
8
2
(đvdt)
V =
1
4
(đvdt).
Mặt khác
V
1
là tổng thể tích hai khối nón tròn xoay
OMK
V
và
HMK
V
.
..
OMK
a
V MK OK
= =
2
2
1
33
(vì
MK a=
).
()
..
HMK
aa
V MK HK
−
= =
2
14
33
(vì
HK a=−4
).
OMK HMK
a
V V V
= + =
1
4
3
. Từ đó :
a
a
= =
4
43
3
.
Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Kí hiệu lần lượt là diện tích hình
vuông có cạnh là , hình tròn có bán kính bằng , hình phẳng giới hạn bởi hai đường
. Tính tỉ số .
A.
13
2
1
.
5
+
=
SS
S
B.
13
2
1
.
3
+
=
SS
S
C.
13
2
1
.
2
+
=
SS
S
D.
13
2
1
.
4
+
=
SS
S
Lời giải
Chọn C.
+ Ta có
1
1=S
;
2
=S
.
+ Ta thấy phương trình
2
0
2 1 2(1 )
1
=
− = −
=
x
xx
x
. Khi đó:
1 1 1 1 1
2 2 2 2
3
0 0 0 0 0
1
| 2 1 2(1 )| d 2| 1 (1 )d | 2| 1 (1 )d | 2| 1 |
2
= − − − = − − − = − − − = − −
S x x x x x x x x x x dx
Tính
1
2
0
1d=−
I x x
.
Đặt
sin , 0;
2

=


x t t
, khi đó
22
2
00
1 cos2 1
cos d d sin2
2
2 2 4 4
0
+

= = = + =



tt
I t t t t

.
1 2 3
,,S S S
1
1
( )
2
2 1 , 2 1y x y x= − = −
13
2
SS
S
+
O
K
H
4
M
a
yx=
Trang 104
Suy ra
3
1
2
=−S
Khi đó:
13
2
1
.
2
+
=
SS
S
Nhận xét:
1
2
0
0
1
21
4
−=
x dx S
Trong đó
0
S
là diện tích Elip
2
2
1
4
y
x +=
1
2
0
0
2 2 1
2
S x dx
= − =
Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong:
32
25y x x x= − + + +
,
2
5y x x= − +
, ta được:
A.
2S =
(đvdt). B.
3S =
(đvdt). C.
1S =
(đvdt). D.
0S =
(đvdt).
Lời giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
( )
32
25y f x x x x= = − + + +
,
( )
2
5y g x x x= = − +
là:
3 2 2 3
0
2 5 5 2 2 0
1
x
x x x x x x x
x
=
− + + + = − + − =
=
.
Diện tích giới hạn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 1 0 1
1 0 1 0
d d d dS f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x
−−
= − + − = − + −
( ) ( )
01
01
3 3 4 2 4 2
10
10
11
2 2 d 2 2 d 1
22
S x x x x x x x x x x
−
−
= − + − = − + − =

(đvdt).
Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau:
2
yx=
,
2
1
27
yx=
,
27
y
x
=
, ta được:
A.
27ln2S =
(đvdt). B.
27ln3S =
(đvdt). C.
28ln3S =
(đvdt). D.
29ln2S =
(đvdt).
Lời giải
x
y
1
1−
O
2
Trang 105
Chọn B.
Từ đồ thị ta có:
39
39
9
2 2 2 3 3
3
03
03
1 27 1 26 1
27ln 27ln3
27 27 81 81
S x x x x x x x x
x
= − + − = + − =

dd
.
Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Thể tích khối trn xoay sinh ra khi quay
hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3
; 2; 0y x y x y= = - + =
quanh trục
Ox
là:
A.
4
V.
21
=
B.
10
V
21
=
. C.
V.
7
=
D.
V.
3
=
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm:
3
21x x x= - + Û =
;
2 0 2xx- + = Û =
(Hình vẽ).
Khi đó thể tích cần tìm là:
12
62
01
10
( 2)
21
V x d x x dx
p
pp= + - + =
òò
. Chọn đáp án B.
Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hình tròn
( )
22
:8+=C x y
và
parabol
( )
2
:
2
=
x
Py
chia hình tròn thành hai phần. Gọi
1
S
là diện tích phần nhỏ,
2
S
là diện tích
phần lớn. Tính tỉ số
1
2
S
S
?
Trang 106
A.
1
2
32
92
+
=
−
S
S
. B.
1
2
32
92
−
=
+
S
S
. C.
1
2
32
92
+
=
+
S
S
. D.
1
2
31
91
+
=
−
S
S
.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị trên ta có:
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
0 0 0 0
8
2 8 d 2 8 d d 2 8 d
23
x
S x x x x x x x x

= − − = − − = − −


.
Xét
2
2
0
8dI x x=−
. Đặt
si22n= x t
d 2 2 cos dx t t=
.
Đổi cận:
x
0
2
t
0
4
Do vậy ta có:
22
44
00
8 8sin .2 2cos d 8 1 sin cos dI t t t t t t

= − = −

( )
44
4
0
00
2
cos 1 cos2 sin4228 d d 4tI t t t t t

= = ++ = + =

1
4
2
3
=+S
.
Mặt khác:
( )
2
12
2 2 8+ = = SS

2
4
6
3
=−S
.
Do vậy ta có:
1
2
4
2
32
3
4
92
6
3
+
+
==
−
−
S
S
.
Cách 2: Vì Parabol
( )
P
cắt đường trn
( )
C
tại điểm chính giữa của cung thuộc góc phần tư
thứ nhất có tọa độ là
( )
2;2A
. Xt đường thẳng
:d y x=
thì
2
2
2 2 3
1
0
0
4 6 4
2 2 d 2 2 2
2 2 6 3 3
x x x
S x x
+
= + − = + − = + =
.
21
4 18 4
86
33
SS

−
= − = − =
.
10
8
6
4
2
2
4
6
15
10
5
5
10
15
x
f
x
( )
=
x
2
2
O
Trang 107
Khi đó
1
2
32
92
S
S
+
=
−
.
Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42]
Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
3
2
yx=
và đường Elip có phương trình
2
2
1
4
x
y+=
(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của
( )
H
bằng
-3 -2 -1 1 2 3
-2
2
x
y
A.
23
6
+
. B.
2
3
. C.
3
4
+
. D.
3
4
.
Lời giải
Chọn A
+) Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( )
y f x=
, đồ
thị
( )
y g x=
và các đường thẳng
xa=
;
xb=
( )
ab
là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx=−
.
+) Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Elip đã cho là
2
4
3
1
44
x
x+=
42
3 4 0xx+ − =
suy ra
1x =
.
Phương trình
2
2
1
4
x
y+=
2
1
4
x
y = −
. Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi parabol
2
3
2
yx=
, đồ thị hàm số
2
1
4
x
y =−
và các đường thẳng:
1x =−
;
1x =
.
Trang 108
Vì parabol và Elip đều đối xứng qua
Oy
nên diện tích hình phẳng
( )
H
bằng
( )
1
22
0
3
2 1 d
42
H
xx
Sx

= − −



11
2
2
00
2 1 d 3 d
4
x
x x x= − −

1
1
3
2
0
0
3
4d
3
x
xx= − −
3
3
I=−
,
với
1
2
0
4dI x x=−
,
Đặt
2sinxt=
,
0;
2
t



suy ra
d 2cos dx t t=
;
00xt= =
;
1
6
xt
= =
6
2
0
2cos 4 4sin dI t t t
=−
6
2
0
4cos dtt
=
( )
6
0
2 1 cos2 dtt
=+
6
0
1
2 sin2
2
tt

=+


3
32
=+
Do đó
( )
3
36
H
S
=+
23
6
+
=
. Chọn A.
Câu 187: Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
30xy+=
và đường trn có phương
trình
22
4xy+=
(hình vẽ). Diện tích của
( )
H
bằng
A.
43
3
+
. B.
3
3
. C.
23
3
+
. D.
3
3
+
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường đã cho là
4
2
4
9
x
x +=
42
9 36 0xx+ − =
suy ra
3x =
.
Phương trình
22
4xy+=
2
4yx= −
. Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
y = -
x
2
3
y = -
4 - x
2
y
x
-
3
3
O
Trang 109
bởi các đường:
2
2
4
3
3
3
yx
x
y
x
x
= − −
=−
=−
=
. Vì
( )
H
đối xứng qua
Oy
nên
( )
3
2
2
0
2 4 d
3
H
x
S x x= − −
3
2
2
0
2 4 d
3
x
xx

= − −


33
2
2
00
2 4 d 2 d
3
x
x x x= − −

3
0
1
4 sin2
2
tt

=+


3
3
0
2
9
x
−
43
3
+
=
. Chọn A.
Câu 188: Tính diện tích hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi parabol
2
4y x x=−
và tiếp tuyến với
parabol kẻ từ điểm
5
;6
2
M



.
A.
9
4
. B.
9
2
. C.
3
2
. D.
4
3
.
Lời giải
Trang 110
Chọn A
Phương trình tiếp tuyến với parabol đã cho kẻ từ điểm
5
;6
2
M



là
1
: 2 1d y x=+
và
2
: 4 16d y x= − +
.
Chia hình phẳng
( )
H
thành hai hình lần lượt giới hạn bởi
( )
2
1
21
4
:
1
5
2
yx
y x x
H
x
x
=+
=−
=
=
và
( )
2
2
4 16
4
:
5
2
4
yx
y x x
H
x
x
= − +
=−
=
=
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
12
H H H
S S S=+
5
4
2
22
5
1
2
2 1 4 4 16 4x x x dx x x x dx= + − + + − + − +

( ) ( )
5
4
2
22
5
1
2
14x dx x dx= − + −

( ) ( )
5
4
33
2
5
1
2
14
9
3 3 4
xx−−
= + =
. Chọn A.
Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm
()fx
liên tục trên
R
và đồ thị của hàm số
()y f x
=
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
, , ,a b c d
(hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Trang 111
A.
( ) ( ) ( ) ( )f c f a f b f d
. B.
( ) ( ) ( ) ( )f a f c f d f b
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d
. D.
( ) ( ) ( ) ( )f c f a f d f b
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
1 2 3
,,S S S
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS
()y f x
=
, trục
Ox
từ trái
sang phải.
Ta có:
+
1
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).
b
a
S f x dx f b f a f a f b
− − −
+
12
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).
bc
ab
S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c

− − − −

+
23
( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(3).
cd
bc
S S f x dx f x dx f c f b f c f d f d f b

− − − −

Từ
(1),(2),(3)
ta có
( ) ( ) ( ) ( ).f c f a f b f d
Phân tích: tưởng của bài toán dựa trên sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình
phẳng.
Trang 112
Câu 190: Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm
()fx
liên tục trên
R
và đồ thị của hàm số
()y f x
=
cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ
,,abc
(hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
(c) (a) (b)fff
. B.
(c) (b) (a)f f f
.
C.
(a) (b) (c)f f f
. D.
(b) (a) (c)f f f
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
12
,SS
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS
()y f x
=
, trục
Ox
từ trái
sang phải.
Ta có:
+
1
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).
b
a
S f x dx f b f a f a f b
− − −
+
12
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).
bc
ab
S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c

− − − −

Từ
(1),(2)
ta có
( ) ( ) ( ).f c f a f b
Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
3; 3−
và đồ thị hàm số
( )
y f x=
như hình vẽ bên. Biết
( )
16f =
và
( ) ( )
( )
2
1
2
x
g x f x
+
=−
.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình
( )
0gx=
có đúng hai nghiệm thuộc
3;3−
.
Trang 113
B. Phương trình
( )
0gx=
có đúng một nghiệm thuộc
3;3−
.
C. Phương trình
( )
0gx=
không có nghiệm thuộc
3;3−
.
D. Phương trình
( )
0gx=
có đúng ba nghiệm thuộc
3;3−
.
Lời giải
Chọn B.
2
( 1)
( ) ( ) '( ) '( ) ( 1).
2
x
g x f x g x f x x
+
= − = − +
Ta thấy đường thẳng
1yx=+
là đường thẳng đi qua các điểm
( ) ( ) ( )
3; 2 , 1;2 , 3;4 .−−
Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS
()y f x
=
,đường thẳng
1, 3, 1.y x x x= + = − =
Gọi
'S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS
()y f x
=
, đường thẳng
1, 1, 3.y x x x= + = =
Do
( ) ( )
1 6 1 4.fg= =
Ta có:
1
3
4 ( ) 4 (1) ( 3) 4 ( 3) 0.S g x dx g g g
−
− − −
3
1
' 4 ( ) 4 (1) (3) 4 (3) 0.S g x dx g g g
− −
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
1yx=+
cùng với các kết quả trên ta có bảng biến
thiên sau:
x
3−
1
3
()gx
0
+
0
-
0
()gx
( 3) 0g −
4
(3) 0g
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
( )
0gx=
có đúng một nghiệm thuộc
3;3 .−
Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn
2
2yx=−
và đường thẳng
d
đi qua hai điểm
( )
2;0A −
và
( )
1;1B
(phn tô đm như hnh
v )
Trang 114
A.
22
4
+
. B.
3 2 2
4
+
. C.
22
4
−
. D.
3 2 2
4
−
.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Phương trình đường thẳng
AB
:
( )
2 1 2 2yx= − + −
.
Gọi
S
là diện tích cần tính, ta có
( )
(
)
( )
( )
1 1 1
22
2 2 2
2 2 1 2 2 d 2 d 2 1 2 2 dS x x x x x x x
− − −
= − − − − + = − − − + −
.
+ Tính
1
2
1
2
2dS x x
−
=−
:
Đặt
2sin , ;
22
x t t


= −


. Ta có
d 2 cos dx t t=
.
Đổi cận
2 , 1 .
24
x t x t

= − = − = =
Suy ra
( )
4 4 4 4
22
1
2 2 2 2
2 2sin . 2cos d 2 cos cos d 2cos d 1 cos2 dS t t t t t t t t t t
− − − −
= − = = = +
4
2
1 3 1
sin2
2 4 2
tt
−

= + = +


.
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
2
2 1 2 1
2 1 2 2 d 2 2
22
S x x x x
−
−

−+
= − + − = + − =



.
Vậy
12
3 2 2
4
S S S
−
= − =
.
Cách 2: Sử dụng MTCT.
Phương trình đường thẳng
AB
:
( )
2 1 2 2yx= − + −
.
Gọi
S
là diện tích cần tính, ta có
( )
(
)
1
2
2
2 2 1 2 2 dS x x x
−
= − − − − +
.
Sử dụng MTCT, tính
S
, gán giá trị vào biến
A
. Lấy giá trị
A
trừ đi các kết quả trong các đáp
án, rồi chọn đáp án có kết quả phép trừ bằng
0
. Đó là đáp án
D
.
Trang 115
Câu 193: Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
3
2
yx=
và nửa đường elip có phương
trình
2
1
4
2
yx=−
( với
22x−
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi
S
là diện
tích của, biết
3ab
S
c
+
=
( với
a
,
b
,
c
). Tính
P a b c= + +
.
A.
9P =
. B.
12P =
. C.
15P =
. D.
17P =
.
Lời giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là:
22
34xx=−
42
3 4 0xx + − =
1x =
Vậy
12
22
01
31
2 d 4 d
22
S x x x x

= + −




1
2
3
2
1
0
31
2 4 d
62
x
xx


= + −


1
3
2
6
S

=+



Trong đó
2
2
1
1
1
4d
2
S x x=−
.
Đặt
2sinxt=
d 2cos dx t t=
.
Đổi cận
1x =
6
t
=
.
2
2
xt
= =
.
Vậy
2
2
1
6
2 cos tdSt
=
( )
2
6
1 cos2 dtt
=+
2
6
1
sin2
2
tt

=+


3
34
=−
.
Suy ra
43
2
12
S

−
=



43
6
−
=
.
Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên đoạn
3;3−
.
Biết rằng diện tích hình phẳng
12
,SS
giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
1yx= − −
lần lượt là
;Mm
.
O
y
x
2
2−
1
Trang 116
Tính tích phân
( )
3
3
df x x
−
bằng :
A.
6 mM+−
. B.
6 mM−−
. C.
6Mm−+
. D.
6mM−−
.
Lời giải
Chọn D.
Chia diện tích hình phẳng
1
S
là
11 12
M S S=+
như trong hình vẽ mô tả dưới đây.
Gọi
0
x
là hoành độ giao điểm của đồ thi
( )
C
hàm số
( )
y f x=
với trục
Ox
.
Ta có
( ) ( ) ( )
0
0
33
33
d d d
x
x
f x x f x x f x x
−−
=+
( )
( )
11 12ABC CMQ MNPQ
S S S S S m


= − − + + −

( ) ( )
11 12
2 2 6S S m= − − + + −


6mM= − −
. Vậy chọn D.
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cho
trước. Nếu xác định được
,Mm
và cho trước
( )
gx
ta có thể tính được
( )
b
a
f x dx
.
O
2
y
x
3
1
3−
2−
4−
1yx= − −
( )
fx
Trang 117
Câu 195: Cho hàm số
()y f x=
xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
5;3-
. Biết rằng diện tích hình
phẳng
1 2 3
,,S S S
giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x=
và đường thẳng
( )
2
= = + +y g x ax bx c
lần lượt là
,,m n p
. Tích phân
3
5
()
-
ò
f x dx
bằng
A.
208
45
m n p− + −
B.
208
45
m n p− + +
C.
208
45
m n p− + − −
D.
208
45
m n p− + − +
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm
( )
y g x=
đi qua các điểm
( ) ( ) ( )
0;0 , 2;0 , 3;2O A B−
nên
0
4 2 0
9 3 2
c
ab
ab
=
−=
+=
2
15
4
15
0
a
b
c
=
=
=
( )
2
24
15 15
g x x x=+
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0 3
5 2 0
m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx
−
−−
− + = − − − + −
( ) ( )
33
55
f x dx g x dx
−−
=−

.
( ) ( )
33
55
208
45
f x dx m n p g x dx m n p
−−
= − + + = − + +

Vậy
4
1
6
a
b
c
=
=−
=
9P a b c = + + =
.
y=g(x)
y=f(x)
S
2
S
3
S
1
2
-1
5
-2
2
3
-5
O
x
y
Trang 118
Câu 196: Trong mặt phẳng
Oxy
,
cho hình chữ nhật
( )
H
có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh
trên một đường chéo là
( )
1;0A −
và
( )
;C m m
với
0m
. Biết rằng đồ thị hàm số
yx=
chia
hình
( )
H
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm
m
.
A.
9m =
. B.
4m =
. C.
1
2
m =
. D.
3m =
.
Lời giải
Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm
B
và tính được diện tích một phần mà đường
yx=
chia
hình
( )
H
.
Chọn D
Từ giả thiết suy ra
( )
;0B m Ox
.
( )
1
ABCD
S m m = +
.
Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
; 0; ; 0y x x x m y= = = =
. Suy ra
1
0
0
22
33
m
m
x x m m
S xdx= = =
.
Theo giả thiết ta có
( )
1
1
12
3
2 3 2
ABCD
mm
mm
S S m
+
= = =
.
Câu 197: Trong mặt phẳng
Oxy
,
cho hình thang vuông
ABCD
có
( )
1;0A −
và
( )
( )
( )
;0 ; ; 1 ; 1;5B m C m m D+−
với
1m −
. Biết rằng đồ thị hàm số
1yx=+
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm
m
.
A.
12m =
. B.
6m =
. C.
8m =
. D.
10m =
.
Lời giải
Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Sau đó dùng tích phân để
tính phần diện tích đó.
Trang 119
Chọn C
( )
( )
( )
11
1 5 1
22
ABCD
S AD BC AB m m= + = + + +
.
Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1; 1; ; 0y x x x m y= + = − = =
. Suy ra
( ) ( )
1
1
1
2 1 1 2 1 1
1
33
m
m
x x m m
S x dx
−
−
+ + + +
= + = =
.
Theo giả thiết ta có
( )
( )
( )
1
2 1 1
1 1 1
. . 1 5 1
2 3 2 2
ABCD
mm
S S m m
++
= = + + +
.
1 3 8mm + = =
.
Câu 198: Trong mặt phẳng
Oxy
,
( )
0;2A
và
( )
;0Bm
với
2m
. Biết rằng đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
(C)
chia tam giác
OAB
thành hai phần. Tính diện tích của phần giới hạn bởi
2
;0
1
x
yy
x
−
==
−
và
đường thẳng
AB
theo
m
.
A.
2
34
ln
82
mm−
−
. B.
2
4
ln
82
mm−
−
. C.
2
4
ln
82
mm+
−
. D.
2
4
ln
82
mm−
+
.
Lời giải
Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Chú ý phần diện tích cần
tìm gồm hai phần và tam giác vuông và hình thang cong.
Chọn B
Trang 120
Ta có phương trình đường thẳng
AB
là:
2
12
2
xy
yx
mm
+ = = − +
.
Xt phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
AB
:
22
2
1
x
x
xm
−
= − +
−
(1) ( điều kiện
1x
).
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương với:
( )
2
0
2 2 0
2
2
x
x m x
m
x
=
− + =
+
=
Với
( )
0 2 0;2x y E A= =
.
Với
2 2 2 2
;
2 2 2 2
m m m m
x y F
+ − + −

= =


.
Gọi
1
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
; 2; 0
1
x
y y x y
xm
−
= = − + =
−
. Suy ra
( )
2
2
2
2
2
1
2
2
2 1 2 2 4
ln 1 . . ln
1 2 2 2 8 2
m
m
FHB
x m m m m
S dx S x x m
x
+
+
− + − −

= + = − − + − = −

−

.
Câu 199: Gọi
H
là tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
thỏa mãn
23zz−
và số phức
z
có phần ảo không âm. Tính diện tích hình
H
A.
3
. B.
3
4
. C.
3
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Trang 121
23zz−
( ) ( )
23x yi x yi + − −
( )
2
2
33xy +
2 2 2
2 2 2
9 3 3 1 1
1
33
3
x x y
x y y + + +
2
2
3
9
x
y
−

22
11
33
33
x y x − − −
Mà
y
không âm nên
2
3
0
9
x
y
−

Diện tích cần tìm
3
2
3
1
3
3
S x dx
−
=−
Đặt
3sin 3cosx t dx tdt= =
Cận
3
2
xt
= − = −
;
3
2
xt
= =
2
2
2
3 3sin 3cosS t tdt
−
=−
2
2
2
3cos tdt
−
=
( )
2
2
3
1 cos2
2
t dt
−
=+
2
2
31
sin2
22
tt
−

=+


33
2 2 2 2


= − − =




Câu 200: Cho hình giới hạn bởi các đường và . Khi đó diện tích của hình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình:
Khi đó diện tích của hình được xác định bởi:
(đvdt)
D
2
2yx=−
yx=−
D
13
3
7
3
7
3
13
3
2
2x −=
x−
1x=
1
1
x
x
=
=−
D
1
2
1
2 .dS x x x
−
= − −
( ) ( )
01
22
10
2 .d 2 .dx x x x x x
−
= − + + − − +

01
2 3 2 3
10
22
2 3 2 3
x x x x
xx
−
= − + + − − + =
7 7 7
6 6 3
+=
| 1/121
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1:
[2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn 0;  1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 e − x 1 f ( ) 1 = 0 và  f
 (x) dx = 
(x+ )1e f (x)dx = . Tính tích phân I = f  (x)d .x 4 0 0 0 e e − A. I = 2 − . e
B. I = e − 2. C. I = 1 . D. I = . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xét tích phân ( +  )1 x x
e f ( x)dx 0 u  = f  (x)
du = f (x)dx Đặt    dv =  (x + ) 1 x e d x x v = xe 1 1 1 1 Nên ( + )
1 x ( )d = ( ). x x − .   ( )d x x e f x x f x xe xe f x
x = − xe . f   (x)dx . 0 0 0 0 1 x e − x 1
Do đó xe . f   (x)dx = −
. Lại có (theo BĐT tích phân) 4 0 2 1 1 1   2 2  e −1 1 2 −  e x 1 . x   ( )d    ( x x e f x x x e )2 d . x f   (x) 2 2  dx =    xe f   (x)dx  .    4  4 0  0 0 0
Dấu " = " xảy ra khi ( ) = . x f x k xe . 1 2 2 − e x 1 Suy ra 2 kx  (e ) dx =  k = 1 −  ( ) x f x = −xe 4 0 Do đó   ( )d x = − d =  (1− ) x f x x xe x
x e + C f ( ) 1 = C = 0 . 1 1 Vậy I = f
 (x)dx = (1− ) x
x e dx = e − 2 . 0 0 Trang 1   1 
Câu 2:Cho hàm số y = f ( x) liên tục và thoả mãn f ( x) 1 + 2 f = 3x   với x  ; 2 . Tính    x  2 
2 f ( x) dx  . x 1 2 3 3 9 9 A. . B. − . C. . D. − . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f ( x) Đặt I = dx x 1 2  1  f    1    f ( x)  x  Với x  ; 2   , f (x) 1 + 2 f = 3x    + 2 = 3 . 2   x x x  1  f 2   f ( x) 2 2  x   dx + 2 dx = 3dx (1)    x x 1 1 1 2 2 2 Đặ 1 1 t t =  dt = − 1 1 dx  − dt = dx . 2 x x t x  1  f 2   2  x f  (t) 2 dx = 2 dt = 2I   . x t 1 1 2 2 2 ( ) 3
1  3I = 3dx I = .  2 1 2 1
Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho f
ò (x)dx = 2018 . Tính tích phân 0 p 4 f ò (sin2 ) x cos 2xdx 0 A. 2018 . B.- 1009 . C. - 2018 . D.1009 . Lời giải Chọn D
Đặt t = sin 2x Þ dt = 2cos 2xdx Đổ p
i cận: x = 0 Þ t = 0; x = Þ t = 1 4 p 4 1 1 1 f ò (sin2 ) x cos 2xdx = f
ò (t)dt = .2018 = 1009 2 2 0 0 Trang 2 Câu 4:
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết F ( x) = ( 2
ax + bx + c) 2x + 3 ( x + x +  3  , a ,
b c  ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 20 30 11 = trên khoảng − ; + .   2x + 3  2 
Tính T = a + b + . c A. T =11. B. T = 10 . C. T = 9 . D. T = 8 . Lời giải Chọn A. 2  + + t − 3 x = f ( x) 2 20x 30x 11 = . Đặt 2
2x + 3 = t  2x + 3 = t  2 2x + 3
dx = tdt 2 2  t − 3  20 +15   ( 2t −3)+11   I = f  (x) 2 dx = t.dt  t = ( 4 2 t − t + ) t = t( 4 2 t − t + )+C = x+ ( 2 5 15 11 d 5 11 2
3 4x + 2x + 5) + C
a = 4;b = 2;c = 5 a +b +c =11 6 2x + 4 dx 5 4 Câu 5:
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
= a + bln + c ln 
2x + 5 2x + 4 + 8 3 3 0 ( , a ,
b c  ). Tính T = a + b + . c A. T = 3. − B. T = 5. − C. T = 4. − D. T = 7. − Lời giải Chọn A. 6 6 2x + 4 2x + 4 t dx = d   ( 2x+4) 4 2 = dt  với t = 2x + 4 . 2
2x + 5 2x + 4 + 8
2x + 4 + 5 2x + 4 + 4 t + 5t + 4 0 0 2 4 4 4 4  5t + 4  1 1 16 1 1 5 16 4 = 1− dt = 1dt + dt − dt = 2 + ln − ln     . t 1 t 4  + + 3 t +1 3 t + 4 3 3 3 3 2  ( )( )  2 2 2 1 16
Suy ra a = 2, b = , c = −
a + b + c = 3 − . 3 3 Câu 6:
[2D3-3] Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f ( x) + f (−x) = 2 − 2cos 2x . Tính 3 2 tích phân I = f  (x)dx . 3 − 2 A. I = 3 . B. I = 4 . C. I = 6 .
D. I = 8 . Trang 3 Lời giải Chọn C. 3 3 2 0 2 Ta có I = f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f  (x)dx . 3 3 0 − − 2 2 0 3 3 Xét f
 (x)dx Đặt t = −x dt = d
− x ; Đổi cận: x = −  t =
; x = 0  t = 0 . 2 2 3 − 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f
 (x)dx = − f
 ( t−)dt = f
 ( t−)dt = f  (−x)dx . 3 3 0 0 − 2 2 3 3 2 2
Theo giả thiết ta có: f ( x) + f (−x) = 2 − 2cos 2x   ( f (x) + f (−x))dx = 2 − 2 cos xdx  0 0 3 3 3 2  f  (x) 2 dx + f  (−x) 2 dx = 2 sin x dx 0 0 0 3 3 2 0   f
 (x)dx+ f  (x) 2
dx = 2 sin x dx − 2 sin x dx   0 3 0 0 − 2 3 2  f  (x)dx = 6. 3 − 2
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f ( x) liên tục trên 1  ;2018   và : 2017 2017
f (2018 − x) = f (x) x  [1;2018] ,
f (x)dx = 10  . Tính I = . x f (x)dx  . 1 1
A. I = 10100.
B. I = 20170.
C. I = 20180.
D. I = 10090. Lời giải Chọn.D.
Đặt t = 2018− x dt = d − x.
x =1t = 2017, x = 2017t = 1 1 2017 I = −
(2018−t )f (2018−t )dt =
(2018−t )f (t )dt   2017 1 Trang 4 2017 2017 = 2018
f (x )dx − xf (x )dx   1 1
I = 2018.10− I I =10090.  
Câu 8:[2D3-3] Hàm số f ( x) liên tục trên 0;  
 và : f ( − x) = f (x) x[0; ] , f (x)dx =  . Tính 2 0  I = . x f (x)  dx . 0  2   2  A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 4 4 Lời giải Chọn.D.
Đặt t =  − x dt = d − x.
x = 0 t = , x =  t = 0 0
I = − ( −t )f ( −t )dt  
= ( −t )f (t )dt 0  
=  f (x )dx − xf (x )dx   0 0 2  
I =  . − I I = . 2 4 b
Câu 9:[2D3-3] Hàm số f ( x) liên tục trên  ; a b  
 và : f (a +b − ) x = f ( ) x x [  ; a ] b ;
f (x)dx = a +  b a b Tính I = . x f (x)  dx . a ( + ) ( + )2 ( + ) ( + )2 A. = a b I . B. = a b I . C. = a b I . D. = a b I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn.D.
Đặt t = a+b − x dt = d − x.
x = a t = ,
b x = b t = . a a
I = − (a + b −t )f (a + b −t )dt b b
= (a +b −t )f (t )dt a Trang 5 b b
= (a+b) f (x )dx − xf (x )dx   a a (a+b)2
I = (a+b).(a+b) − I I = . 2
y = f ( x) 1;2
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên f ( ) 1 = 4
f ( x) = x f ( x) 3 2 . − 2x −3x f (2) thỏa mãn và . Tính giá trị . A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Lời giải Chọn B f ( x) f ( x) Cách 1: + x
 1;2: f (x) = x f (x) 3 2 .
− 2x −3x  = − 2x − 3. 2 x x f ( x) f ( x)     − = 2x + 3  f  ( x) 1 . = 2x + 3  . 2 x xx    1  f ( x) Vậy f  (x). dx =  (2x+3)dx 2 
= x + 3x + C .  x x + Vì f ( )
1 = 4  C = 0 . Do đó f ( x) 3 2
= x +3x f (2) = 20.
xf ( x) − f ( x) Cách 2: Từ giả thiết
f ( x) = xf ( x) 3 2 − 2x −3x  = 2x + 3 2 x   f (x)     = (  2 x + 3x) . x   2   f (x) 2  f (2) f ( )    1   dx = ( 2
x + 3x) dx  − = (x + 3x) 2 2  f (2) = 20 . x   1 2 1 1 1
Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,
tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:
1) Cho trước các hàm g (x),u(x),v(x) có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g ( x)  0, x   ; a b và hàm f ( x) có đạo hàm liên tục trên  ;ab thỏa mãn:
f ( x) g( x) + f ( x) g ( x) = u ( x)v( x) + u(x)v (x) . Khi đó, (   u b v b
u (a)v (a)
f ( x) g ( x)) = (u ( x)v ( x))  f (b) − f (a) ( ) ( ) = − . g (b) g (a) Trang 6
2) Cho trước các hàm g (x),u(x) có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g ( x)  0, x   ; a b và hàm
f ( x) có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn: ( ) ( ) − ( ) ( ) = ( ) 2 f x g x f x g x u x g (x) .   f (x)  Khi đó,   =  
f (b)− f (a) = u(b) g (b)−u(a)g (a) . g ( x) u ( x)   
3) Cho trước các hàm g (x),u(x),v(x) có đạo hàm liên tục trên  ;
a b và hàm f ( x) có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn: u( x) f ( x) f (u (x)) = v(x) g(x) g (v(x)) . Khi đó, (  
f (u ( x))) = ( g (v( x)))  f (u(b)) − f (u(a)) = g (v(b)) − g (v(a)) .
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 7t m/s . Đi được 1 ( ) ( )
5(s) , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc a = − ( 2
70 m/s ) . Tính quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S = 87,50(m) .
B. S = 94,00(m) .
C. S = 95,70(m) .
D. S = 96, 25(m) . Lời giải Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: v 5 = 35 m / s . 1 ( ) ( )
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: v t = 70
− t +C . Do v 0 = 35  C = 35 2 ( ) 2 ( )  v t = 7 − 0t + 35 . 2 ( ) 1
Khi xe dừng hẳn tức là v t = 0  7
− 0t + 35 = 0  t = . 2 ( ) 2
Quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là: 1 5 S (m) 2 = 7t.dt +  ( 7
− 0t + 35)dt = 96,25(m). 0 0 2
Câu 12: [2D3-2] Giả sử (2x −1)ln d
x x = a ln 2 + b , (a;b  ) . Tính a + b . 1 5 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D Đặt Trang 7  1 u  = ln x  du = dx    xdv =  (2x −1)dx  2
v = x − x 2 2 ( x − x 2  x  1 2x − 1)ln d x x = 
= (x − x) 2 2 2 2 ln x − dx  
= 2ln 2 −  − x = 2ln2 − nên a = 2, 1 x  2  2 1 1 1 1 b = − . 2 Vậy a + 3 b = . 2
Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] 1 3 x + 3x Biết
dx = a + b ln 2 + c ln 3  với , a ,
b c là các số hữu tỉ , tính 2 2
S = 2a + b + c . 2 x + 3x + 2 0 A. S = 515 . B. S = 164 . C. S = 436 . D. S = 9 − . Lời giải Chọn A. 1 3 1 1 x + 3x  10x + 6   4 − 14  Xét : I = dx =   x −3+
dx = x − 3+ + dx  2   x + 3x + 2 x +1 x + 2    x +1 x + 2  0 0 ( )( ) 0 1 2 x 1 1 1 1 I =
− 3x − 4ln x +1 +14ln x + 2 = − 3 − 4ln 2 +14ln 3 −14ln 2 0 0 0 2 2 0  5 − a =  2 5 −  2 2 I = −18ln 2 +14ln 3  b  = 1
− 8  S = 2a + b + c = 515 . 2 c =14  
Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thỏa  2 16 f x 1 f (4x) mãn cot . x f  ( 2 sin x) ( ) dx = dx = 1  . Tính tích phân I = d . xxx 1 1 4 8 3 5
A. I = 3. B. I = .
C. I = 2 . D. I = . 2 2 Lời giải Chọn D. dt Đặt 2
t = sin x  dt = 2sin x cos d x x  = cot d x x 2t Trang 8  2 t f x f x 1 = cot . x f  ( d 1 2 sin x) 1 1 1 dx = f  (t) ( ) ( ) = dx  dx = 2    2t 2 x x 1 1 1 4 2 2 2 2 d t t = dx
Đặt t = x   2 x = t 16 f ( x ) 4 f (t) 4 f ( x) 4 f ( x) 1 1 = dx = 2tdt =2 dx  dx =     2 x t x x 2 1 1 1 1
Đặt t = 4x  dt = 4dx 1 f (4x) 4 f (t) 4 dt f ( x) 1 f ( x) 4 f ( x) 5 I = dx = = dx = dx + dx =      x t 4 x x x 2 1 1 1 1 1 8 2 2 2 4 Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f ( x) nào đó không biết, nhưng sẽ cho
thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích
phân đã biết về giống dạng chưa biết. 2 e f (ln x)
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số f ( x) liên tục trên và thỏa mãn dx = 1  và x ln x e  3 2 f ( x) f  (cos x)tan d x x = 2 . Tính d . xx 0 1 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A. dx
Đặt t = ln x  dt = x 2 e f (ln x) 2 f (t) 2 f ( x) 1 = dx = dt = dx    x ln x t x e 1 1
Đặt t = cos x  dt = −sin d x x  1 3 2 1 x f t f x 2 = f  (cosx) sin ( ) ( ) dx = − dt = dx   cos x t x 0 1 1 2 Do đó Trang 9 2 f ( x) 1 f ( x) 2 f ( x) dx = dx + dx = 3    x x x 1 1 1 2 2  /4
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân I = ln(tan x +1)dx  0  ta đượ a c kết quả là I = ln 2 + c với với , a ,
b c  ,b  0,( , a )
b =1 . Khi đó P = abc nhận giá b trị A. 9. B. 8. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn D
Đặt x = − t , ta có 4  0 4    1− tan tI = − ln tan(
− t) +1 dt = ln +1 dt          +  4 1 tan t  0 4    4 4 4  2  = ln
dt = ln 2dt − ln    (tant +   ) 1 dt 1+ tan t  0 0 0  = ln 2 − I 4 
I = ln 2  a =1,b = 8,c = 0  P = 0 8     2 2 
Câu 17:Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0; 
 và f (0) = 0 ,  f
 (x) dx = ,   2  4 0   2  2 sin .
x f ( x) dx =  . Tính I = f
 (x)dx ? 4 0 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B.   2 2 2  Ta có  f
 (x) dx = f  
 (x)d( f (x)) = . 4 0 0    2   sin . x f ( x) 2
dx = − f ( x) d (cos x) = − cos . x f ( x) 2 2 +
f ( x) cos x dx =    0 4 0 0 0    2 2 2 1+ cos 2x 1  sin 2x  
Mặt khác ta tính được: 2 cos d x x = dx = x + =     2 2  2  4 0 0 0 Trang 10     4 2 2 2 2 2
Vậy  f '(x) 2 dx − 2 cos . x f (  x)dx + cos d x x =  
 f '(x)−cosx dx = 0 0 0 0 0
Suy ra f ( x) = cos x f ( x) = sin x + C .
Do f (0) = 0  C = 0 .   2 2  Vậy I = f  (x) = = − 2 dx sin d x x cos x = 1  . 0 0 0
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35] ln 2 1 Biết rằng
dx= lna 2 + b ln 3 + ln 5c
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó 2 x e +1 0
S = a + b − c bằng bao nhiêu.
A. S = 4 .
B. S = 3.
C. S = 5.
D. S = 2 . Lời giải Chọn B ln 2 ln 2 1 x e Ta có dx= dx   2 x e +1 x e 2 x e +1 0 0 ( ) Đặt x e = t dt=ex  dx
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1, khi x = ln 2 thì t = 2. ln 2 x 2 e 1 2 2t +1− 2t 2 1 2  Vậy dx = dt=   dt=  − dt   x e 2 x e +1 t 2t +1 t 2t +1  t 2t +1 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 = ln t − ln  (2t + ) 2 1  =  (ln 2−ln5)−(ln1−ln3) 1 ln 2 ln 3 ln 5− = + + 1 Vậy S = 3.
Hướng 2. Phân tích ln 2 ln 2 x x 1 (2e + ) ln 2 1 − 2e  2 x edx = dx =    1−
dx = x − ln  (2 xe +  x x x ) ln2 1  2e +1 2e +1  2e +1 0  0 0 0 ln 2 1 1 a 1 Câu 19: Biết rằng dx= ln 2 + ln 2 − 3 
. Trong đó a , b là các số nguyên. 2 x ( ) + 2 b 0 2e 1
Khi đó S = a + 2b bằng bao nhiêu. A. S = 2 − .
B. S = 3.
C. S = 1.
D. S = 0 . Lời giải Trang 11 Chọn B ln 2 ln 2 2 1 2 x e Ta có dx= dx   2 x 2 x 2 x + + 0 2e 1 0 2e 2e 1 Đặt 2x 2x 2
2e +1 = t  2e
= t −1  ( 2x e ) ( 2 d 2 =d t − ) 1 2  4 x e dx=2 d t t
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 3 , khi x = ln 2 thì t = 3 . ln 2 2 x 3 2e t Vậy dx =   2 x e 2 x e +1 t ( dt 2 2 2 t −1 0 3 ) 3 1  1 1  − 1 dt    = ln (t − ) 1 − ln (t + ) 3 1    2
t −1 t +1 3 2 3 1  −  1 1 − 1 ln 2 ln 4 − ln( 3 − )1−ln( 3 + 1  )1 = ln2 + ln 2− 3 2 2  ( ) 2 2 Vậy S = 3. ( 2 1 x + x) x e Câu 20:Biết rằng dx=a.e+bln e + c
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó x ( ) x + e− 0
S = a + 2b − c bằng bao nhiêu. A. S = 1 − . B. S = 2 − .
C. S = 1.
D. S = 0 . Lời giải. Chọn B ( 2 1 x + x) x 1 x e xe ( x + ) 1 x e Ta có dx= dx  −  x x x + e xe +1 0 0 Đặt x
xe +1 = t  dt=( + ) 1 ex x dx
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1, khi x =1 thì t = e +1. ( 2 1 x + x) x e 1 e + (t − ) 1 e 1 + Vậy dx= dt = t − t = e − e +  −  x ( ln ) ln ( ) 1 1 x + e t 0 1 Vậy S = 2 − . Trang 12
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục
trên 1;+) thỏa mãn f ( )
1 = 1 và f ( x) 2
 3x + 2x −5 x
 1;+) . Tìm số nguyên dương m
lớn nhất sao cho min f ( x)  m với mọi hàm số y = f ( x) thỏa đề bài. x   3;10 A. m = 15 . B. m = 20 . C. m = 25 . D. m = 30 . Lời giải Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến y = f '( x) nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để
được một bất đẳng thức liên quan đến y = f (x) . Ta có t t 2 f (
x)dx  (3x + 2x − 5)dx f   (t)− f ( ) 3 2
1  t + t − 5t + 3 t  1. 1 1 Suy ra f ( x) 3 2
x + x − 5x + 4  min f (x)  min ( 3 2
x + x − 5x + 4) = 25. x   3;10 x   3;10 Vậy m = 25 .
Câu 22:Cho các hàm số
y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn 1
f ( x) + xf ( x) 2018 3  x x  0; 
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) dx  . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2019.2020 2019.2021 2020.2021 2018.2020
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên 7 3 2 f x − x − 2x
thỏa mãn 3 f ( x) ( ) 1 .e −
= 0 và f (0) =1. Tích phân .
x f ( x) dx  bằng 2 f ( x) 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. 3 4 8 4 Lời giải Chọn C.  3 f ( x)
Phân tích: Nhận thấy (e ) = f(x) 2 3.
. f ( x) nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế Trang 13 3 2 3 2 f x −x − 2x Ta có: 3 f ( x) ( ) 1 2 f x x 1 .e −
= 0  3. f x . f x .e = 2 . x e +   2 f ( x) ( ) ( ) ( ) 3 2 2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2
f ( x) f ( x) f (x) x 1 + x 1 e x x e x e +  = = ( 2 3. . . d 2 . d d x +    )1 3 f ( x) 2 x 1 e e +  − + C = 0
Mặt khác: f (0) =1 C = 0 nên 3 f ( x) 2
= x +  f (x) 3 2 1 = x +1 7 7 45 Tính: . x f ( x) 3 2 dx = . x x +1.dx =   . 8 0 0 1 2 1
Câu 24: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0,  f
 (x) dx =  và 11 0 1 1 1 4
x f ( x)dx = −  . Tích phân f ( x) dx  bằng 55 0 0 1 1 1 1 A. − . B. . C. − . D. 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 1 5 1 5  xx 1 1 Ta có 4 x f  (x)dx = f  (x) − f    (x)dx 5
x f (x)dx =   5  5 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 mà ( 5 x ) dx =  nên  f   (x) 5
 dx − 2 x f   
(x)dx + ( 5x) dx =0   f   (x) 5 − x dx = 0   . 11 0 0 0 0 0 1 Suy ra ( ) 5 f
x = x f ( x) 6 = x + C . 6 1 1 1 6 x −1 1 Vì f ( ) 1 = 0 nên C = − . Vậy
f ( x)dx = dx = −   . 6 6 7 0 0 1 2 3
Câu 25: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0,  f
 (x) dx = −2ln2  2 0 1 f ( x) 3 1 và = −  ( . Tích phân f ( x) dx  bằng x + ) dx 2 ln 2 2 1 2 0 0 1− 2 ln 2 3 − 2ln 2 3 − 4ln 2 1− ln 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Trang 14 Chọn A. 1 1 f ( x) 1  1  1  1    1  Ta có dx = f x d 1−     = 1− f   (x) − 1− f     (x)dx 2 ( ) x +1  x +1   x +1   x +1 0 ( ) 0 0 0 1  1  3 Suy ra 1− f  
 (x)dx = − 2ln 2.  x +1 2 0 1 1 2 1  1   1 1   1  3 Mặt khác 1− dx = 1− 2 +  x =    x − x + −  = − .  x +1   x +1  (x + ) d 2 ln 1 2 ln 2 2 1  x +1 2 0 0   ( ) 0 1 1 1 2     Do đó 2 1 1  f
 (x) dx−2 1− f   
 ( x)dx + 1− dx = 0    x +1   x +1  0 0 0 3 2  1   f   (x)+ −1 dx = 0   .  x +1  0  f (x) 1 =1−
f (x) = x −ln(x + )
1 + C , vì f ( )
1 = 0 nên C = ln 2 −1. x +1 1 1 Ta đượ 1 c f
 (x)dx = x−ln  (x + ) 1 + ln 2 −1 dx = − ln 2  . 2 0 0
Câu 26: Xét hàm số f ( x) liên tục trên 0 
;1 và thỏa mãn điều kiện x f ( 2
x ) + f ( − x) 2 4 . 3 1 = 1− x . Tích 1 phân I = f
 (x)dx bằng: 0     A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 20 16 6 4 Lời giải: Chọn A.
Vì f ( x) liên tục trên 0  ;1 và x f ( 2
x ) + f ( − x) 2 4 . 3 1 = 1− x nên ta có 1 1 1 1 4 . x f  2 2  (x ) 1 2 + 3 f (1− x) 2 dx = 1 − x dx    4 . x f
(x )dx + 3f
 (1− x)dx = 1− x dx  ( ) 1 . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4 . x f ( 2 x )dx  = 2 f
 ( 2x)d( 2x) t=x ⎯⎯⎯ →2 f
 (t)dt = 2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f
 (1− x)dx = 3 − f
 (1− x)d(1− x) u 1=−x ⎯⎯⎯→3 f
 (u)du = 3I 0 0 0 Trang 15    1 2 2 2  Đồ 1 ng thời 2 = 1 − x dxx sin t 2 ⎯⎯⎯→ 1 − sin t.cos d t t  2 = cos d t t
= (1+ cos2t)dt = . 2 4 0 0 0 0   Do đó, ( ) 1  2I + 3I = hay I = . 4 20
Câu 27: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f ( ) x  0, x   và 2
3 f '(x) + 2 f (x) = 0. Tính f (1) biết rằng f (0) =1. 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân.
Phân tích: Từ giả thiết 2
3 f '(x) + 2 f (x) = 0 và f ( ) x  0, x   suy ra: 1 1 f '(x) 2 − 1 − 1 2 − 3 dx = dx  + =  f (1) =   . 2 f (x) 3 f (1) f (0) 3 5 0 0
Câu 28: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên (0; ) + thỏa mãn f ( ) x + xf '( ) x = 2x và
f (1) = 2 . Giá trị f (2) bằng: 5 e A. . B. 2. C. . e D. . 2 2 Lời giải Chọn A.
Từ giả thiết f (x) + xf '(x) = 2x  (xf (x)) ' = 2x  (xf (x)) ' dx = 2xdx   Suy ra 2
xf (x) = x + C , thay x =1 vào hai vế ta được 2
1. f (1) = 1 + C  2 = 1+ C C = 1. 2 x +1 Khi đó 2 5
xf (x) = x +1  f (x) = . Vậy f (2) = . x 2
Câu 29: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn ( ) + '( ) = 2 x f x f x e và
f (0) =1. Giá trị f (2) bằng: A. . e B. ln 2 . C. 2 e . D.1. Trang 16 Lời giải Chọn C. Từ x x x 2 x x 2 ( ) + '( ) = 2  ( ) + '( ) = 2  ( ( )) ' = 2 x f x f x e e f x e f x e e f x e Suy ra x 2 x x 2 ( ( )) ' = 2  ( ) x e f x dx e dx e f x = e + C  
. Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 0. Suy ra ( ) x f x = e . Vậy 2 f (2) = e . f ( x) \ 0;  1 − f ( ) 1 = 2 − ln 2 Câu 30:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và
x ( x + ) f ( x) + f (x) 2 1 = x + x
f (2) = a + bln 3 . Giá trị , , a b  .Tính 2 2 a + b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B. x 1 x
Ta có x ( x + ) f ( x) + f (x) 2 1 = x + x f ( x) + f x = 2 ( ) x +1 (x + ) 1 x +1   x  ( ) x f x =   .  x +1  x +1 2 2   xx
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được f  (x) dx = dx     x +1  x +1 1 1 2 x  2 1
f ( x) = ( x − ln x +1 ) 2  f (2) − f ( )
1 = (2 − ln 3) − (1− ln 2) 1 x +1 3 2 1 2  3 3
f (2) + ln 2 =1− ln 3 + ln 2  f ( ) 3 3 2 =
− ln 3 . Suy ra a = và b = − . 3 2 2 2 2 2 2  3   3  9 Vậy 2 2 a + b = + − =     .  2   2  2 2  1 1 1  a Câu 31: Biết 3 3 3  x− + 2 − dx = c  , với , a ,
b c nguyên dương, a tối giản và c a . Tính 2 8 11  x x x b b 1  
S = a + b + c . A. S = 51. B. S = 67 . C. S = 39 . D. S = 75 . Lời giải Chọn B 2  1 1 1  2 1  2  Ta có 3 3 I =  x − + 2 − dx  3 = x − 1+ dx    . 2 8 11  x x x 2 3 x x  1   1 Trang 17 7 3   4 Đặ 1 2 21 t 3 3 t = x − 2  3t dt = 1+ dx
 nên I = 3t dt  3 = 14 . 2 x 3  x  32 0 Suy ra S = 67 .
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x (0;+) đồng
thời thỏa mãn điều kiện: 3 2
f ( x) = x(sin x + f (x)) + cos x và f ( x)sin d x x = 4 − 
. Khi đó, f ( ) nằm trong khoảng nào?  2 A. (6;7) . B. (5;6). C. (12;13) . D. (11;12) . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết: f (x) = x(sin x + f (x)) + cos x f (x) = xsinx + x f (x)+ cos x
f (x).x− x .f (x) = −xsin x −cos xf (x).x− x .f (x) = (cos x)x − xcos x (*).
f ( x).x − x . f ( x)
( cos x) x − x cos x
Vì x (0;+) , ta chia 2 vế của (*) cho 2 x ta được  = 2 2 x xf ( x)     cos x f ( x)  cos x   =    =
+ c f (x) = cos x+cx . x    x x x 3 2 Mặt khác lại có
f ( x)sin xdx = 4 −  .  2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xét f  (x)sin d
x x =  (cos xsin x + c xsin x)dx = − cos xd
(cos x)+c xsin xdx      2 2 2 2 3 2 2   cos x  = −
 + c( x cos x + sin x) 32 = −  2c .  2   2 2 3 2 Mà f ( x)sin d x x = 4 −   2 − c = 4
−  c = 2  f (x) = cos x+2x.  2 Ta có: f ( ) = 1 − + 2  5,28 . Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng a(x). f (x) +b(x). f (x) = g (x) ( ) 1
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa ( )
1 về dạng u( x). f ( x) + u (x). f (x) = h(x) (2) Trang 18 u (
x) a(x) u ( x) Với =
, kết hợp với giả thiết ta tìm được u( )
x suy ra biểu thức nhân thêm là . u(x) b ( x) b ( x)
Khi có (2) ta sẽ tìm được f ( x) .
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 . x f x xf x x e−  + =
và f (0) = 1. Tính f ( ) 1 . 1 2 2 A. e . B. . C. . D. − . e e e
Câu 34: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên
thỏa mãn ( + 2) ( ) + ( + ) 1 ( ) = ex x f x x f x và f ( ) 1 0 = . Tính f (2) . 2 A. f ( ) e 2 = . B. f ( ) e 2 = . C. f ( ) 2 e 2 = . D. f ( ) 2 e 2 = . 3 6 3 6 2 3 x Câu 35:Biết
dx = a 5 + b 2 + c,  với , a ,
b c là các số hữu tỷ. Tính P = a + b + . c 2 + − 1 x 1 1 5 7 5 A. P = − B. P = C. P =
D. P = 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2 3 2 2 3 x  1 1  5 2 3 Ta có dx = x
 ( 2x +1+ )1dx =  ( 2x + ) 2 1 + x = 5 − 2 + .  2 + −  3 2  3 3 2 1 x 1 1 1 1 5 2 3 5 Vậy a = ,b = − ;c =  P = . 3 3 2 2  3 ln (sin x) 3 3 
Câu 36: Cho tích phân I = dx = a 3 ln + ln 2 + a, , b c  . 
Tính giá trị của biểu thức 2 ( )  cos x 2 b c 6
S = a + b + . c A. −3 B. 2 − C. 1 − D. 1 Lời giải Chọn B. u
 = ln(sin x)dx  cos x  du = dx Đặt    sin 1 x v  =  2 v   = tan cos x x Trang 19    3 ln (sin x) 3 3 3 3 1  Suy ra dx = tan . x ln sin x − dx = 3 ln − ln −   2 ( )  cos x   2 3 2 6 6 6 6 3 3  = 3 ln + ln 2 +
a =1;b = 3;c = 6 − 2 3 6 −
Do đó S = a + b + c = 2 −  2 2   1
Câu 37: Cho tích phân I = (2x − ) 2 1 .cos xdx =
+ + (a,b,c 
). Tính giá trị của biểu a b c 0
thức S = a + b + . c A. 1 B. 2 − C. 2 D. 1 − Lời giải Chọn C.    2 2 2  1 1   x 1 1  2 Ta có I = x −
+ x cos 2x − cos 2x dx =   
− x − sin 2x  + xcos2 d x x   2 2   2 2 4  0 0 0 2   = − + J 8 4 du = dx u  = x  Đặt    1 dv = cos 2 d x x v = sin 2x  2    2 1 2 1 1 2 1 Suy ra J = x sin 2x − sin 2 d x x = cos 2x = −  2 2 4 2 0 0 0 2   Do đó 1 I =
− −  a = 8;b = −4;c = −2  S = 2 8 4 2  4
Câu 38: Cho tích phân 2 2
I = x tan xdx = a + b + c ln 2(a, , b c  
). Tính giá trị của biểu thức 0
S = a + b + . c 9 7 5 1 A. − B. C. − D. 32 31 16 32 Lời giải Chọn C.   4 2 4  1   x Ta có I = x −1 dx = − + dx     2 2  cos x  16 cos x 0 0  4 Đặ x t J = dx  2 cos x 0 Trang 20 u  = x  du = dx Đặt  1   dv = dx  v = tan d x x 2  cos x    4 4  4  2
Suy ra J = x tan x − tan d x x = + ln  (cos x) = + ln 4 4 2 0 0 0 2   1 1 1 1 5 Vậy I = − + − ln 2  S = − + − = − 16 4 2 16 4 2 16 2
Câu 39: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( 2 − ) =1, f
 (2x −4)dx =1. 1 0 Tính I = . x f   (x)dx . 2 − A. I =1. B. I = 0 . C. I = 4 − . D. I = 4 .
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số y = f ( x) xác      2     − 2 đị 2 nh trên 0;   thỏa mãn 2
 f (x)−2 2.f (x)sin x− x d =  
. Tính  f ( x)dx .   2    4  2 0 0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải Chọn B.    2 2 2         1     − 2 +) Ta có 2 2 sin x − x d = 1− cos 2x − x
d = x − sin 2x − =           .  4    2   2  2  2 0 0 0 +) Từ đó  2     2 −  2
 f (x)−2 2.f (x).sin x− x d =   .   4  2 0   2 
   f (x)       −  − − 2 2. f (x) 2 2 2 2 2 .sin x − x d + 2sin x − x d = +        4   4  2 2 0 0  2 2 
   f (x)    − 2 sin x − x d = 0.     4  0  2        2 2    
Do  f ( x) − 2 sin x −  0, x  0;   
 nên   f ( x) − 2 sin x − x d  0   .   4   2    4  0   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f ( x) = 2 sin x −  .  4  Trang 21    2 2 2      
+) Vậy  f (x)dx = 2 sin x −
dx = − 2 cos x − = 0      .  4   4  0 0 0   
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y = f ( x) liên tục trên 0;   ” ở đề  2 
bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa. 9 e x ( 2 1 1− 2 )
Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên 0;  1 thỏa mãn 
f (x)−6.f (x).e dx =   . 2 0 1 Tính ( +
x )1 f (x)dx. 0 A. e −1. B. 2e + 5 . C. e . D. 3e . Lời giải Chọn D. +) Ta có 9 e x ( 2 1 1− 2 ) 
f (x)−6.f (x).e dx =   2 0 9 1− e x 2 x ( 2 1 1 ) 1 2  
f (x)−6.f (x) 2
.e  dx + 9e dx = + 9 x e d     x 2 0 0 0 1    ( ) 2 − 3 x f x e  = 0   0  ( ) = 3 x f x e . 1 1 1 +) Vậy ( + ) 1 ( )d = 3
 ( + )1 xd =3 x x f x x x e x xe = 3e . 0 0 0  1 1 
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên − ;   thỏa mãn  2 2 1 1 2 109 2 ( ) 2 
f (x)−2.f (x).(3− x)dx = −   . Tính d  f x x. 12 2 x −1 1 − 0 2 2 5 7 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A. +) Ta có 1 2 109 2 
f (x)−2.f (x).(3− x)dx = −   12 1 −2 1 1 1 2  
f (x)− f (x) ( − x) 2
x +  ( − x) 2 2 109 2. . 3 d 3 dx = − +  (3− x)2 2 d   x 12 1 1 1 − − − 2 2 2 Trang 22 1 2  
  f (x)−(3− x) 2 dx = 0  1 −2
f (x) = 3− .x 1 1 1 2 f ( x) 2 2 1 3 − x  1 2  2 +) Vậy dx = dx = − dx =    
(ln x−1 −2ln x+1) 2 = ln . 2 2 0 x −1 x −1
x −1 x +1 9 0 0 0
Câu 43: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0 é ;1ù
ë û và thỏa mãn điều kiện 1 2 2 4 .
x f (x ) + 3. f (1- x) =
1- x . Tích phân I = f (x)dx ò bằng. 0   pA. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 6 20 16 Lời giải Chọn C 1 1 1
Lấy tích phân hai vế ta có: 2 2 4 .
x f (x )dx+ 3 f (1- x)dx = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 1 2 2 2
Û 2 f (x )d(x ) - 3 f (1- x)d(1-x) = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 p
Û 2 f (t)d(t) + 3 f ( ) u d(u) = ò ò 4 0 0 1 1 p p Û 5 f (x d ) (x) = Þ f (x d ) (x) = ò ò 4 20 0 0
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47] 1 2  1 
a ln 2 − bc ln 3 + c Cho x ln  (x + 2)+ dx =   , với , a , b c
. Tính T = a + b + c .  x + 2  4 0 A. T = 13 . B. T = 15 . C. T = 17 . D. T =11. Lời giải. Chọn A.
Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành
2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân
từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản. 1  1  1 1 x Ta có I = x ln  (x + 2)+ dx   = xln  (x+2)dx+ dx   x + 2  x + 2 0 0 0 Trang 23 1 1     = ln  (x+2) 1 2 2 d x − 2 + 1− dx      2   x + 2  0 0 1 2 1 x − 4 ( − = x + ) 2 x 4 1 ln 2 − . dx + 
(x −2ln(x + 2))1 0 2 2 x + 2 0 0 1 2 3  x  2 − + = − 7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7 ln 3 + 2 ln 2 − 
− x +1− 2ln3+ 2ln 2 = − ln3+ 4ln 2+ = . 2  4  2 4 4 0
Ta có a = 4 , b = 2 , c = 7 . Vậy T = a + b + c = 4 + 2 + 7 = 13 . 3  1  abc −b − c Câu 45: Cho I = x ln  ln 2 ln 5  (x + ) 1 − dx  = , với , a , b c  . Tính 2  x +1 4 0
T = a + b + c . A. T = 13 . B. T = 15 . C. T = 10 . D. T =11. Lời giải. Chọn C. 3  1  3 3 x Ta có I = x ln   (x+ )1− dx  = xln  (x+ )1dx− dx  2  x +1 2 x +1 0 0 0 3 3 2 3 3 1 d ( 2 3 x + ) 1 =  (  −  x −1 x −1 1 x + ) 2 x 1 ln 1 d   −  = ln ( x + ) 1 − dx − ln ( 2 x +  )1  2  2 2 x +1 2 2 2 0 0 0 0 0 3 1 − − = 4ln 4 − − 5.2.3ln 2 2 ln 5 3 ln10 = . 4 2 4
Vậy T = a + b + c = 10 . 1  1  ab + bc − c
Câu 46: Cho I = x ln  ln 2 ln 3  (x + 2) − dx  = , với , a , b c
. Tính T = abc . 2  x +1 4 0 A. T = 18 − . B. T = 16 . C. T = 18 . D. T = 16 − . Lời giải. Chọn A. 1  1  1 1 x Ta có I = x ln   (x+2)− dx  = xln  (x+2)dx− dx  2  x +1 2 x +1 0 0 0 1 2  −  d ( 2 1 1 x 2 1 1 x + ) 2 − − =  ( x 4 x 4 1 1 x + ) 1 4 1 ln 2 d   −  = ln ( x + 2) − . dx − ln  ( 2x + )1 2  2  2 x +1 2 2 x + 2 2 0 0 0 0 0 3 3 1 3.2 ln 2 + 2.( 3 − )ln 3− ( 3 − ) = − ln 3+ 2ln 2 + − ln 2 = 2 4 2 4 Vậy T = . a . b c = 3.2.(− ) 3 = 1 − 8.
Câu 47: Cho f (x) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f ( ) x  0 và a dx
f (x) f (a − x) =1. Tính  được kết quả bằng: 1+ f (x) 0 Trang 24 a a A. . B. 2a .
C. a ln (a + ) 1 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D. a a dx
f (a − x) Ta có: I = = dx   . 1
f (a − x) +1 0 0
1+ f (a − x)
Đặt: a − x = t thì dx = −dt . Đổi cận 0 f (t) a f (x)
Ta được: I = − dt = dx   . f (t) +1 f (x) +1 a 0 a dx a f (x)dx
a (1+ f (x))dx a Do đó: a I + I =  +  =  = dx = a  . Vậy: I = . 1+ f (x) 1+ f (x) 1+ f (x) 2 0 0 0 0  4
Câu 48: Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và f (−x) − f ( x) 2 3 2 = tan x . Tính f  (x)dx .  − 4     A. 1− . B. −1. C. 1+ . D. 2 − . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D.
f (−x) − f ( x) 2 3 2 = tan x( ) 1
Thay x = −x ( )  f ( x) − f (−x) 2 = (−x) 2 . 1 3 2 tan = tan x(2) ( ) 1 .2 + (2) 2
.3 = 5 tan x = 5 f ( x)  f ( x) 2 = tan x     4 I = f  (x) 4 4 4 2 2 dx =
tan x dx = 2 tan x dx = 2    ( 2 1+tan x ) −1 dx    0 0 − − 4 4  
I = 2(tan x − x) 4 = 2 − . 0 2 Trang 25
Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên 0;  1 và thỏa 1 1 mãn x
 ( f (x)−2)dx = f ( )1. Giá trị của I = f
 (x)dx bằng 0 0 A. 1 . B. 2 . C. 1 − . D. 2 − . Lời giải Chọn C u = x  du = dx  Đặt    dv = 
( f (x)−2)dx v = f  (x) − 2x 1 1 Khi đó f ( ) 1 = x
 ( f (x)−2)dx = x( f (x)−2x)1 −( f (x)−2x)dx = f ( )1−2−I +1 0 0 0 Suy ra I = 1 − . 1
Câu 50: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên 0;  1 và thỏa mãn x
 ( f (x)−4)dx = f ( )1 . Giá trị 0 1 của I = f
 (x)dx bằng 0 A. 0 . B. 2 − . C. 1 − . D. 2 . Lời giải Chọn B u = x  du = dx  Đặt    dv = 
( f (x)−4)dx v = f  (x) − 4x 1 1 Khi đó f ( ) 1 = x
 ( f (x)−4)dx = x( f (x)−4x)1 −( f (x)−4x)dx = f ( )1−4−I +2 0 0 0 Suy ra I = 2 − . 1
Câu 51: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên thỏa mãn ( x + )
1 f ( x) dx = 10 và 2 f ( ) 1 − f (0) = 2 . 0 1 Tính I = f  (x)dx 0 A. I = 12. − B. I = 8. C. I = 12. D. I = 8. − Lời giải Trang 26 Chọn D u  = x +1 du = dx  Đặt   
dv = f ( x)dx v = f  (x) 1 1 Khi đó 10 = ( x + ) 1 f  
(x)dx = (x + )
1 f ( x) 1 − f ( x)dx  = 2 f ( )
1 − f (0) − I 0 0 0 Suy ra I = 8 − . 2
Câu 52: Biết rằng hàm số y = f ( x) liên tục trên
thỏa mãn f (2) =16; f
 (x)dx = 4. Tính 0 1 I = xf   (2x)dx 0 A. I = 13. B. I = 12. C. I = 20. D. I = 7. Lời giải Chọn D du = dx u  = x  Đặt   
v = f ( x) 1 d 2 dx v = f  (2x)  2 1 1 1 2 Khi đó 1 1 1 1
I = xf (2x) dx =  xf (2x) − f (2x)dx  = f (2) −
f ( x) dx = 8 −1 = 7  2 2 2 4 0 0 0 0 Suy ra I = 7.
Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn ( 2 + ) 1 (  ) + 2 ( ) = x x f x xf x xe
và f (0) =1. Giá trị f (1) bằng: A. e . B.1. C. ln 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B. x  Từ giả thiết ( 2 + )  + =  ( 2 1 ( ) 2 ( ) + ) 1 ( )) = x x f x xf x xe x f x xe Suy ra 1 ( )  +1 ( )) 1 2 =   x x f x dx xe dx . 0 0 Trang 27  ( + ) 1 ( )) 1 1 1 1 2 = x  2 (1) − (0) = x −   x x f x xde f f xe e dx 0 0 0 0 1
 2 (1) − (0) = − x f f e ef (1) =1. 0
Câu 54: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0; 
1 thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = 3x −6x , 1 x  0; 
1 . Tính tích phân I = f  ( 2 1− x )dx . 0 4 2 2 A. I = − . B. I =1. C. I = − . D. I = . 15 15 15 Lời giải Chọn C.
Đặt t =1− x , x  0;  1 thì t  0;  1 .
Ta có f ( x) + f ( − x) 2 2 1
= 3x −6x f (x) + f ( − x) = (x − )2 2 1 3 1 − 3
f ( −t)+ f (t) 2 1 2
= 3t −3  f (x) + f ( − x) 2 2 1 = 3x −3 .  f
 ( x) + 2 f (1− x) 2 = 3x − 6xf
 ( x) + 2 f (1− x) 2 = 3x − 6x Xét hệ phương trình:    2 f
(x)+ f (1− x) 2 = 3x − 3 4 f
(x)+ 2 f (1− x) 2 = 6x − 6  f (x) 2 3
= 3x + 6x −6  f (x) = (x + )2 1 − 3 , x  0;  1 .
Khi đó f ( − x ) = ( − x )2 2 2 1 2 −3 4 2 = x − 4x +1. 1 1 1 5 3  x 4x  2 Suy ra I = f  ( 2 1− x )dx = ( 4 2 x − 4x + 
)1dx =  − + x = − .  5 3  15 0 0 0 Phân tích:
+ Bước 1: Từ f (x) + f ( − x) 2 2 1
= 3x − 6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f (x) . 1
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f ( 2
1− x ) rồi tính I = f  ( 2 1− x )dx . 0
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y = f ( x) liên  e 1 + x +1
tục với mọi x  1 thỏa mãn f = x + 3, x  1   . Tính I = f  (x)dx.  x −1 2
A. I = 4e −1.
B. I = e + 2 .
C. I = 4e − 2 .
D. I = e + 3 . Lời giải + + + Đặ x 1 t 1 t 2 t t =
xt −t = x +1 x = , suy ra f (t ) 1 2 = + 3 = 4 + hay f (x) = 4 + x −1 t −1 t −1 t −1 x −1 Trang 28 e 1 + e 1 2 +   Ta có I = 4 + dx =   
(4x+ 2ln x−1) = 4e−2. 2  x −1  2  
Câu 56: Cho hàm số y = f ( x) liên tục với mọi x  0 thỏa mãn f ( x) 1 + 2 f = 3 , x x  0   .  x  2 f ( x) Tính I = dx  . x 1 2 3 9 1 4 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 3 Lời giải
Tương tự ta xác định được ( ) 2 f x = −x + . x 2 f ( x) 2 2  2   2  3 Suy ra I = dx = 1 − + dx = −x − =      2 . 1 xx   x  2 1 1 2 2 2  1 2
Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho f  (2x+ )1dx 1 = 2 và f  ( 2 sin x)sin 2 d x x = 3 . Tính 0 0 3 f ( x)dx  . 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C. + Đặ dt
t: 2x +1 = t  dx = . 2
x = 0  t = 1 1 3 1 3 Với  . Do đó: f
 (2x+ )1dx = f
 (t)dt f  (x)dx = 24.
x = 1 t = 3 2 0 1 1 + Đặt: 2
sin x = u  2sin xcos d
x x = du hay sin 2 d x x = du .   x = 0  u = 0  2 1 1 Với   . Do đó: f  ( 2 sin x)sin 2 d x x = f
 (u)du f  (x)dx = 3. x =  u =1  2 0 0 0 3 1 3 Vậy f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f  (x)dx = 7 2 . 0 0 1 5 2x −1 3
Câu 58: Biết I =
dx = a + b ln 2 + c ln , 
( ,a ,b cZ) . Khi đó, giá trị 2
P = a − ab + 2c
2x + 3 2x −1 +1 5 1 A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 0 . Trang 29 Lời giải Chọn A.
Ta có 2x + 3 2x −1 +1 = 2x −1+ 3 2x −1 + 2 Đặt 2
t = 2x −1  t = 2x −1 tdt = dx
Đổi cận x =1t =1; x = 5  t = 3 Khi đó 3 3 2 3 3 t  3 − t − 2   1 4 −  I = dt =  1+ dt = 1+ +
dt = t + ln t +1 − 4 ln t + 2     2 ( ) t + 3t + 2 t +1 t + 2    t +1 t + 2  1 1 ( )( ) 1 1 = + − − ( + − ) 3 3 ln 4 4 ln 5
1 ln 2 4 ln 3 = 2 + ln 2 + 4 ln .  a = 2, b =1, c = 4 . 5 2
P = a −ab + 2c =10 4 2x +1dx 5
= a + bln 2 + cln  (a, ,bc ) 2x + 3 2x +1 + 3 3 Câu 59: Biết 0
. Tính T = 2a + b + c . A. T = 4 . B. T = 2 . C. T = 1. D. T = 3. Lời giải Chọn C 4 4 4 2 + +
( 2x+1+ )1−( 2x+1+2)d 2 1d 2 1d x x x x x I = = =    2x + 3 2x +1 + 3 + + + + + + + + 0 0 ( 2x 1
)1( 2x 1 2) 0 ( 2x 1 )1( 2x 1 2) 4 4 2dx dx = −   . + + + + 0 ( 2x 1 2) 0 ( 2x 1 )1
Đặt u = 2x +1  d
u u = dx . Với x = 0  u =1 , với x = 4  u = 3 . .3 .3 .3 .3 2 d u u d u u  4   1  Suy ra I = − = 2 − du − 1− du       u + 2 u +1  u + 2   u +1  1 1 1 1 = (u − u + + u + ) 3 5 4 ln 2 ln 1 = 2 − 4ln + ln 2 1 3
a = 2, b =1, c =1 T = 2.1+1− 4 =1. Trang 30 2 dx Câu 60: Biết
= a − b − c
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x x +1 + x +1 x 1 ( )
P = a + b + c .
A. P = 44 .
B. P = 42 .
C. P = 46 .
D. P = 48 . Lời giải Chọn D 2 2 Đặ dx dx t I = =   . x x +1 + x +1 x + + + 1 ( ) 1 x ( x ) 1 ( x x 1) + + Đặ x 1 x dx dt t t =
x + x +1  dt =  = 2 .
x ( x + ) dx 2 1 x ( x + ) 1 t
Khi x = 1 thì t = 2 +1, khi x = 2 thì t = 3 + 2 . 2 3+ 2 3+ 2 dx dt 1   I = = 2 = 2 −   1 1 = 2 − −   = 4 2 − 2 3 − 2 x x + x + x + t t  3 + 2 2 +1  1 ( ) 1 ( 1) 2 + 2 1 2 1 +
= 32 − 12 − 4  a = 32, b =12 , c = 4.
Vậy P = a + b + c = 48 . f ( x) g ( x) 1;4 Câu 61: Cho hai hàm và
có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức  f  ( ) 1 + g ( ) 1 = 4 4 
. Tính I =  f
 (x)+ g(x)dx  . g  (x) = − .
x f '( x); f ( x) = − . x g '( x) 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4ln 2 . Lời giải Chọn A
Ta có f (x) + g(x) = −xf '(x) + g '(x)   f (x) + g(x)dx = −x
  f '(x)+ g '(x)dx . = − C
xf (x) + g(x) +  f (x) + g(x)dx  −xf ( ) x + g( )
x  = C f (x) + g(x) = − x
Vì f (1) + g(1) = C − C = 4 − 4
I =  f x + g x  4 4 ( ) ( ) dx = dx=8ln2  . x 1 1
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Biết 2 x
dx = a + b 2 + c 35  , với , a ,
b c  . Tính P = a + 2b + c − 7 . 2 + − 1 3x 9x 1 1 86 67 A. − . B. . C. 2 − . D. . 9 27 27 Trang 31 Lời giải Chọn A. x − − x ( 2 2 2 3x 9x 1) 2 I = dx = dx =
3x − x 9x −1 dx    + − + − − − 1 3x 9x 1 1 (3x 9x 1)(3x 9x 1) ( 2 2 2 2 2 ) 1 2 2 1 2
3x dx − x 9x −1dx = 7 − . .   (9x − ) 23 1 16 35 2 2 2 1 = 7 − (35 35−16 2)=7+ 2 − 35 . 18 3 27 27 27 1 1 1 Do đó 16 35 a = 7, b = , c = − 1
a + 2b + c − 7 = − . 27 27 9 2 1 Câu 63: Biết
dx = a − b − c  , với * a, , b c
. Tính P = a + b + c . x +1 x + x x +1 1 ( ) A. 24 . B. 12 . C. 18 . D. 46 . 2 Câu 64: Cho biết ln  ( 2
9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với , a ,
b c  . Tính P = a + b + c . 1 A. S = 34. B. S = 13. C. S = 18. D. S = 26. 2 4 f ( x) f (2) =16  x Câu 65: Cho hàm số liên tục trên và , f
 (x)dx = 4. Tính I = xf  d .x     2  0 0 A. I = 12. B. I = 112. C. I = 28. D. I = 144. Lời giải Chọn B     Đăt x x
u = x , dv = f  dx
   du = dx , v = 2 f    2   2  4 4   2 x    x  Suy ra I = 2xf − 2 f dx   
   =8f (2)−4 f
 (t)dt =112.   2   2  0 0 0 1 dx 8 2 = a b − a +  x+2+ x+1 3 3 Câu 66: Cho 0 , *
a, b   . Tính a + 2b
A . a + 2b = 7 .
B. a + 2b = 8 .
C. a + 2b = 1 .
D. a + 2b = 5 . Lời giải Chọn B. Theo giả thiết ta có: Trang 32 1 1 dx 3 3 2   1 =  ( 8 2
x + 2 − x +1)dx = (x + 2)2 −(x +  )2 1  = 2 3 − 2 + . x + 2 + x +1 3   0 3 3 0 0
Do đó a = 2;b = 3 nên a + 2b = 8 .
Câu 67: Cho hàm số y = f ( x)  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn: x 1
g ( x) = 1+ 2018 f
 (t)dt,g(x) 2 = f (x). Tính g ( x)d . x  0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có g (0) =1 x
g ( x) = 1+ 2018 f  (t)dt 0 g '( x) t g '( x) t
g '(x) = 2018 f (x) = 2018 g (x)  =  dx = 2018 d . x   g ( x) 2018 0 g ( x) 0 1  1011 2 ( g (t) − )
1 = 2018t g (t) =1009t +1 
g (t )dt =  . 2 0
Câu 68: Cho hai hàm f ( x) và g ( x) có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x 1;4  f ( ) 1 = 2g ( ) 1 = 2  4 
. Tính I =  f (x).g(x)dx. f  ( x) 1 1 = g ( x) 2 1 ' . ; ' = − .  x x g(x) x x f (x) 1 A. 4ln 2. B. 4 . C. 2ln 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B. 1 2
Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) =
và g '(x). f (x) = − , suy ra x x x x 1 
f '(x).g(x) + g '(x). f (x) = − , hay  f x g x  1 ( ). ( ) = − . x x x x
Do đó f ( x) g ( x) 1 2 . = − dx = + C  . Lại có f ( ) 1 .g ( )
1 = 2.1 = 2 nên C = 0 . x x x Trang 33 4
I =  f x g x  4 2 ( ). ( ) x d = x= d 4  . x 1 1
Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số
f (x) = 1+ x − 1− x trên tập và thảo mãn F ( )
1 = 3. Tính tổng T = F (0) + F (2) + F (− ) 3 . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải Chọn C 2 khi x  1 
Ta có f ( x) = 2x khi −1  x  1.  2 − khi x  1 −  2x + m khi x  1 
Hàm f ( x) có nguyên hàm là F ( x) 2 = x + n khi −1  x  1.  2 − x + p khi x  1 −  Vì F ( ) 1 = 3 nên m = 1.
Hàm F ( x) liên tục tại x =1 nên suy ra n = 2 .
Hàm F ( x) liên tục tại x = 1 − nên suy ra p =1.
Vậy ta có T = F (0) + F (2) + F (− ) 3 = 2 + 5 + 7 = 14 . 1
Câu 70: Cho hàm số f ( x) xác định trên \  1 − ; 
1 và thỏa mãn f ( x) = , f (− ) 3 + f ( ) 3 = 0 và 2 x −1  1   1  f − + f = 2    
. Tính giá trị của biểu thức P = f ( 2
− ) + f (0) + f (4) .  2   2  9 6 1 9 1 6 A. P = ln +1. B. P = 1+ ln . C. P = 1+ ln . D. P = ln . 5 5 2 5 2 5 Lời giải Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng (− ;  − ) 1 ( 1 − ; ) 1 (1;+) . Trang 34 1 x −1 ln + C x  1 −  1 ( ) 2 x +1   − Khi đó f ( x) 1 x 1 =  ln + C 1 −  x  1 . 2 ( ) 2 x +1  1 x −1  ln + C x  1 3 ( ) 2 x +1  1 − 1  Dễ thấy −  3 (− ;  − ) 1 ;  ;0; ( 1 − ; ) 1 ; 3;  4 (1;+) .  2 2  1  1  1  1  1 − Nên f ( 3
− ) = ln 2 + C ; f −
= ln 3+ C ; f (0) = C ; f = ln 3 + C ; 1     2 2  2  2 2 2  2  2 − 1 3 f ( ) 1 3 =
ln 2 + C và f (4) = ln + C . 3 2 3 2 5 1 3 1 3
Ta có P = f (0) + f (4) = C + ln + C = ln + C + C . 2 3 2 5 2 3 2 5  1 −   1  1 1 − Mặt khác f + f = 2      ln 3+ C +
ln 3 + C = 2  C = 1.  2   2  2 2 2 2 2 1 1 − Và f (− ) 3 + f ( ) 3 = 0  ln 2 + C +
ln 2 + C = 0  C + C = 0 . 1 3 1 3 2 2 1 1 3 P = f ( 2
− ) + f (0) + f (4) = ln3+ C + C + ln + 1 9 C = 1+ ln . 1 2 3 2 2 5 2 5 2 x
Câu 71: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên 0;+ ) và f
 (t)dt = .xsin(x) . Tính f (4) 0  −   A. f ( ) = . B. f ( ) = . C. f ( ) = . D. f ( ) 1 = . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có f
 (t)dt = F (t)  F(t) = f (t) 2 x 2 x f
 (t)dt = .xsin(x)  F (t) = .xsin(x) 0 0  F ( 2
x ) − F (0) = .
x sin ( x)  F( 2
x ).2x = sin ( x) +  . x cos ( x)  f ( 2
x ).2x = sin ( x) + . x cos ( x) Trang 35   f (4) = 2  2 sin x cos x
Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân I = dx
với a b  0 và 2 2 a b . 2 2 2 2 + 0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I = . B. I = . C. I = . D. . a + b a + b a + b a + b Lời giải Chọn A. a  0 a b Do ab  0   và 2 2 a b   . b   0 a b −  1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I = dx = dx   . 2 2 0 + + − a + + (a − ) 2 2 0 s 2 b x a ( 2 2 2 2 2 2 a b )cos 2 co x b b 2 − Đặ d t t t 2 2 t = a + b + ( 2 2
a − b )cos 2x  2 d t t = 2 − ( 2 2 a − b )sin 2 d x x  = sin 2 d x x . 2 2 a − b  Đổi cận 2
x = 0  t = 2a = 2 a , 2 x =
t = 2b = 2 b . 2  t − 2 b 2 2 b 2 2 − − Khi đó 2 sin 2x 2 2 I = d a b x = dt = dt    2 2 2 2 2 2 2 t + + − 2 a − b 0 a b (a b )cos2x 2 a ( 2 ) 2a − 2 1 = b − a = . 2( 2 2 2 2 a − b ) ( ) a + b 2
Câu 73: Tính tích phân I = sin
 (sin x + nx)dx với n . 0 1 A. I = 0 . B. I = 2 . C. I = 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f
 (a +b − x)dx a
Đặt t = a + b − x  dt = d − x b b b
Đổi cận x = a t = b , x = b t = a . Khi đó f
 (a +b − x)dx = f
 (t)dt = f  (x)dx a a a 2 2 2 Ta có I = sin
 (sin x + nx)dx = sin
 (sin(2 − x)+ n(2 − x))dx = sin
 (−(sin x + nx))dx 0 0 0 Trang 36 2 = − sin
 (sin x + nx)dx = −I . 0
Do I = −I I = 0  2 2
Câu 74: Tính tích phân cos
 (mx)cos(nx)dx với m , n và m n . − 1 A. I = 0 . B. I = 2 . C. I = 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A.   1 Ta có cos
 (mx)cos(nx)dx = cos
  ((m−n)x)+cos((m+n)x)dx  2 − −  1  1  ((  =
m − n) x) 1 sin +
sin ((m + n) x) = 0  2  m − n m + n  −
Do sin ((m − n) ) = sin ((m + n) ) = sin ((m − n)( 
− )) = sin((m + n)(  − )) = 0 f ( x) f ( ) 1 = 1. Câu 75: Cho hàm số liên tục trên
+ thỏa mãn f (x) 1 x , x +   +   và Tìm giá trị x f (2). nhỏ nhất của 5 A. 3. B. 2. C. + ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C.
Theo giả thiết f ( x) 1 x , x +   +  
nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta được: x 2 2   f   (x) 1 3 dx x + dx = + ln 2.    x  2 1 1 2 2 Mà f
 (x)dx = f (x) = f (2)− f ( )1 = f (2)−1 nên f ( ) 3 2 −1  + ln 2. 1 2 1 Suy ra f ( ) 5 2  + ln 2. 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f ( x) 1
= x + , x  0. x Trang 37 x 1 Suy ra f ( x) 2 =
+ ln x + C, mà f ( ) 1 = 1 nên C = . 2 2 Do đó f ( x) 2 x 1 = + ln x + . 2 2 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của f ( ) 5 2 =
+ ln 2 khi f ( x) 2 1 = + ln x + . 2 2 2
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ] −
Cho hàm số f ( x)  0 thỏa mãn điều kiện f ( x) = ( x + ) 2 2
3 f ( x) và f ( ) 1 0 = . Biết rằng tổng 2 ( ) a a
f 1 + f (2) + f (3) + ...+ f (2017) + f (2018) = với ( * a  , b  ) và là phân số tối b b
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 − . B. 1.
C. a + b = 1010 .
D. b − a = 3029 . b b Lời giải. Chọn D
Do f ( x)  0 nên ta chia cả hai vế của f ( x) = ( x + ) 2 2 3 f ( x) cho 2
f ( x) ta được f ( x) − − = 1 1
2x + 3. nguyên hàm hai vế ta được 2
= x + 3x + C f (x) = . 2 f ( x) f ( x) 2
x + 3x + C − 1 − 1 − 1 Mà f ( ) 1 0 =
C = 2  f (x) = = + 2 (x + ) 1 ( x + 2) x +1 x + . 2 − − − Khi đó f ( )
1 + f (2) + f ( ) 3 + ... + f (2017) + 1 1 1 1 1 1 f (2018) = + + + +....+ + 2 3 3 4 2019 2020 1 − 1 1 − 009 = + = . Vậy a = 1 − 009;b = 2020 . 2 2020 2020
Câu 77: Cho hàm số y = f ( x) dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3   biết rằng 3
f ( x) − f ( x) 2 x +1 = 0 và f ( ) 3
3 = e . Tính I = ln  f   (x) dx  0 7 7 A. 2 3 − + − . B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 2 3 . . 3 . Lời giải Chọn B f ( x) Ta có f ( x) 2
− x +1f (x) = 0 2  = + f ( x) x 1 Trang 38  f ' ( x)
u = ln  f  ( x) du = dx Đặt     f ( x) dv = dx  v = x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được 3 3 xf ' x 3 I = ln  f   (x)dx  = x ln  f  ( x) 3 ( )  − dx   = x ln  f  ( x) 3 2  − x x +1 dx 0   f x 0 0 ( ) 0 0 3 = x ln  f  ( x) 1 3 2  − x + 1 d   ( 2x +1 0 ) 2 0 = x ln  f  (x) 1 3  −  ( 2x + ) 2 3 1 x + 1 0 0 3 7 = 3 3 − 3
Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn ( ) ( ) 2 ' 2 2 . x f x xf x x e− + =
và f (0) = 1. Tính f ( ) 1 . 1 2 2 A. e . B. . C. . D. − . e e e Hướng dẫn giải Chọn C. ( )+ ( ) 2 2 − x x =  ( ) 2 x + ( ) =  ( 2 ' 2 2 . . ' 2 . . 2 x f x xf x x e e f x x e f x x
e . f ( x))' = 2x .
Lấy tích phân cả hai vế ta được: x . ' = 2 x e f x dx
xdx e . f x = x  .
e f 1 − f 0 = 1   0 ( 1 1 2 ( )) 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) 0 0 0
e f ( ) =  f ( ) 2 . 1 2 1 = . e
Câu 79: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( x) f ( x) 4 2 .
= x + x . Biết f (0) = 2 Tính 2 f (2). 313 332 324 323 A. 2 f (2) = . B. 2 f (2) = . C. 2 f (2) = . D. 2 f (2) = . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B. 2 2 2 1 Ta có  ( 4 2
x + x )dx = f
 (x).f (x)dx = f
 (x)d f (x) =  ( 2f (2) 2 − f (0)) 0 2 0 0 Trang 39 2 332 Suy ra 2 f (2) = 2 ( 4 2 x + x ) 2 dx + f (0) = . 0 15
Câu 80: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn ( ). ( ) = . x f x f x
x e Biết f ( ) 1 = e Tính 2 f (2). A. 2 f (2) =16. B. 2 f ( ) 2 2 = 3e . C. 2 f ( ) 2 2 = 4e . D. 2 f (2) = 9.    
Câu 81: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( x). f (x) = .
x sinx Biết f (0) = . Tính 2 f .   4  2                  A. 2 2 f = 4e .   B. 2 2 f = 2e .   C. 2 2 f = e .   D. 2 2 f = 9e .    2   2   2   2  1 3
Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có f
 (x)dx = 2; f  (x)dx = 6. 0 0 1 Tính f
 ( 2x−1)dx . 1 − 2 3 A. I = . B. I = 4 . C. I = . D. I = 6 . 3 2 Lời giải Chọn B 1 1 2 1 Ta có I = f
 ( 2x−1)dx = f (1−2x)dx+ f (2x−   ) 1 dx . 1 − 1 − 1 2 1 2 Tính I =
f 1− 2x dx  1 ( ) 1 − Đặ 1
t t = 1− 2x  dt = 2
− dx ; Đổi cận: x = 1
−  t = 3; x =  t = 0 . 2 0  1  3 1 3 1 I = f t − dt  = f
 (t)dt = f  (x)dx =3. 1 ( )   2  2 2 3 0 0 1 Tính I =
f 2x −1 dx  2 ( ) 1 2 Đặ 1
t t = 2x −1  dt = 2dx ; Đổi cận: x =
t = 0 ; x =1  t = 1. 2 1 1 1 1 1 1 I = f t dt  = f
 (t)dt = f  (x)dx =1. 1 ( ) 2 2 2 0 0 0 Trang 40
Vậy I = I + I = 4 . 1 2
Câu 83: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên , có f ( ) x  0, x
  , f (0) =1 . Biết rằng f (
x) = 2−2x. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f ( )x = mcó 2 nghiệm thực phân f (x) biệt.
A. 1  m e
B. 0  m e
C. m e
D. 1  m e Lời giải Chọn B Ta có: f (  x)  = f x 2 − ( ) 2x
dx = (2 − 2x) d x   2
 ln | f (x) |= 2x − x + c 2
 ln f (x) = 2x − x + c f (x) f (x)
(do f ( x) >0)
f (0) =1  ln( f (0)) = ln1 = C C = 0 . 2
 ln f (x) = 2x − 2 x 2 ( ) e x x f x −  = 2 2
 ( ) = (2 − 2 ).e x x f x x −  = 0  x =1 Ta có bảng biến thiên  0  m  e a b 1
Câu 84: Cho hàm số f ( x) =
+ + 2 , với a , b là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện f
 (x)dx = 2−3ln2. 2 x x 1 2
Tính T = a + b . A. T = 1 − . B. T = 2 . C. T = 2 − . D. T = 0 . Lời giải Chọn C. Trang 41 1 1 1  a b   a  Ta có: f  (x)dx = + +2 dx = −
+ bln x + 2x     = −a + 2 −( 2
− a −bln 2 + ) 1 2  x x   x 1  1 1 2 2 2 a = = (a + )
1 + b ln 2 , suy ra (a + ) 1
1 + b ln 2 = 2 − 3ln 2  
. Vậy T = a + b = 2 − . b  = 3 − 1 f (2 x)
Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn y = f ( x) liên tục trên và dx = 8  . Tính 1+ 2x 1 − 2 ( )d  f x x. 0 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 16 . Lời giải Chọn D
Vì f ( x) là hàm số chẵn trên
nên ta có f (−x) = f ( x), x  . 1 f (2 x) 1 f (2 x) 0 f (2 x) 1 f (2 x) Đặt I = d  x . Ta có: I = dx = dx + d  x . xx  1+ 2x 1+ 2 1+ 2 1+ 2x 1 − 1 − 1 − 0 0 f (2 x) Xét I = d  x . 1 1+ 2x 1 − 0 f (2 x) 0 f ( 2 − t) 1 t 1 2 f 2t 2x f 2 x
Đặt x = −t I = dx = d −t = dt = d  x . xtt  1 − ( ) ( ) ( ) 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2x 1 − 1 0 0 1
Do đó ta có I =  f (2x)dx. 0 1 2 2 1 1
Đặt u = 2x . Ta có I = f
 (2x)dx = f
 (u)du = f  (x)dx . 2 2 0 0 0 2
Kết hợp với giả thiết ta được f  (x)dx =16. 0
Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:
Cho hàm số chẵn y = f ( x) liên tục trên − ;
a a. Với k là một số thực khác 0 , m là một số a f (k x) 1 ka thực dương thì dx = f x x   . x ( )d 1+ m k −a 0
Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  1 , f ( x) và
f ( x) đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 và thỏa mãn f (0) = 2 , 1 1  1 3 f
 (x). f (x) 2 +1dx = 2 f  
 (x).f (x)dx     . Tính f  (x) dx  . 0 0 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lời giải Trang 42 Chọn D Vì f ( x) và
f ( x) đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 nên từ 1 1  1 2 f
 (x). f (x) 2 +1dx = 2 f  
 (x).f (x)dx   −  =   suy ra f
(x).f (x) 1 dx 0   . 0 0 0 2 Mà 
f ( x) f ( x) 2 . −1  0   nên
f ( x). f ( x) =1, x  0; 
1 hay f ( x). f  (x) =1, x    0; 1 .  f  (x) 3  Vậy  f
 (x)  f (x) 2 .  dx = dx    = x + C (*) 3
Trong (*) thay x = 0 được 8 C = , suy ra  f  (x) 3  = 3x +8  . 3 1 1 Vậy  f
 (x) 3 x =  ( x+ ) 19 d 3 8 dx = . 2 0 0 100
Câu 87: giá trị của tích phân x
 (x− )1(x−2)...(x−100)dx bằng 0 A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác. Lời giải Chọn A.
Đặt x =100 −t dx = −dt
Đổi cận x = 0  t =100; x =100  t = 0 0 100 Khi đó I =
(100−t)(99−t)...( t
− )(−dt) = (100−t)(99−t)...( t −   )dt 100 0 100
=  (t −100)(t −99)...t.dt 0 100
= −  (x −100)(x −99)... .xdt = −I 0
Suy ra I + I = 0  I = 0.  2 sin x cos x
Câu 88: Tính tích phân I = dx
với a b  0 và 2 2 a b . 2 2 2 2 + 0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I = I = I = a + . B. b a + . C. b a + . D. b a + . b Lời giải Chọn A. a  0 a b Do ab  0   và 2 2 a b   . b   0 a b − Trang 43  1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I = dx = dx   . 2 2 0 + + − a + + (a − ) 2 2 0 s 2 b x a ( 2 2 2 2 2 2 a b )cos 2 co x b b 2 − Đặ d t t t 2 2 t = a + b + ( 2 2
a − b )cos 2x  2 d t t = 2 − ( 2 2 a − b )sin 2 d x x  = sin 2 d x x . 2 2 a − b  Đổi cận 2
x = 0  t = 2a = 2 a , 2 x =
t = 2b = 2 b . 2  t − 2 b 2 2 b 2 2 − − Khi đó 2 sin 2x 2 2 I = d a b x = dt = dt    2 2 2 2 2 2 2 t + + − 2 a − b 0 a b (a b )cos2x 2 a ( 2 ) 2a − 2 1 = b − a = . 2( 2 2 2 2 a − b ) ( ) a + b 2
Câu 89: Tính tích phân I = sin
 (sin x + nx)dx với n . 0 1 A. I = 0 . B. I = 2 . C. I = 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f
 (a +b − x)dx a
Đặt t = a + b − x  dt = d − x b b b
Đổi cận x = a t = b , x = b t = a . Khi đó f
 (a +b − x)dx = f
 (t)dt = f  (x)dx a a a 2 2 2 Ta có I = sin
 (sin x + nx)dx = sin
 (sin(2 − x)+ n(2 − x))dx = sin
 (−(sin x + nx))dx 0 0 0 2 = − sin
 (sin x + nx)dx = −I . 0
Do I = −I I = 0  2 2
Câu 90: Tính tích phân cos
 (mx)cos(nx)dx với m , n và m n . − 1 A. I = 0 . B. I = 2 . C. I = 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. Trang 44   1 Ta có cos
 (mx)cos(nx)dx = cos
  ((m−n)x)+cos((m+n)x)dx  2 − −  1  1  ((  =
m − n) x) 1 sin +
sin ((m + n) x) = 0  2  m − n m + n  −
Do sin ((m − n) ) = sin((m + n) ) = sin ((m − n)( 
− )) = sin((m + n)(  − )) = 0  3 1 a b
Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết dx =  , trong đó , a ,
b c là các số tự 4 cos x c 0
nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của 2 2 2
T = 2a − 3b + 4c bằng bao nhiêu? A. T = 15 − .
B. T =14 . C. T = 13 − . D. T = 17 . Lời giải Chọn A.     3 1 3 1 dx 3 dx 3 Ta có I = dx  = .  = ( 2 1+ tan x). = ( 2
1+ tan x).d (tan x) 4 cos x 2 2 cos x cos x 2 cos x 0 0 0 0  3 3  tan x  =  tan x +
 = 2 3  a = 2,b = 3,c =1  3  0 Vậy 2 2 2
T = 2a − 3b + 4c 2 2 2 = 2.2 −3.3 + 4.1 = 15 − .  3 2 sin x a b − c Câu 92: Biết dx = 
, trong đó a,b và ,
c d là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. 6  cos x d 6
Khi đó giá trị của T = ab + cd bằng bao nhiêu?
A. T = 6 .
B. T = 246 . C. T = 13 − . D. T = 17 . Lời giải Chọn B.    3 2 sin x 3 1 3 1 1 Ta có I = dx  2 = tan x dx  2 = tan . x . dx  6 4 2 2  cos x  cos x  cos x cos x 6 6 6    3 3 5 3 3
 tan x tan x  − 2 = 42 3 8 tan . x  ( 2
1+ tan x).d (tan x) = ( 2 4
tan x + tan x).d (tan x) =  +  =    5 3   15 6 6 6
a = 42,b = 3,c = 8,d =15  T = 246 Trang 45 4 3 1 a ln b Câu 93: Biết dx =  , trong đó , a ,
b c là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó x c  sin 2 giá trị của 3 2
T = 4a + 3b − 2c bằng bao nhiêu?
A. T = 5 .
B. T = 29 .
C. T = 7 . D. T = 17 . Lời giải Chọn B. 4 4 4 3 1 3 1 3 1 1 Ta có I = dx  = dx  = dxx x x x x  2 sin  2sin .cos 2  tan .cos 2 4 4 4 4 4 4 3 1  x  = 3  x  2 d tan    = 2ln tan   = ln3 x  4     tan 4  4
a =1,b = 3,c =1  T = 29 x f (t)dt Câu 94: Nếu + 6 = 2 x
với x  0 thì hệ số a bằng 2 t a A. 9 . B. 19 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A. f (t) f (t)
Gọi F(t) là một nguyên hàm của
, suy ra F '(t) = . 2 t 2 t x f (t)dt Ta có + 6 = 2 x xF t + =
x F (x) − F (a) + 6 = 2 x  ( ) | 6 2 2 t a a 1  f (x) 1 F '(x) = 2.  =
f (x) = x x 2 x 2 x x x f (t) x x dt t t 1  = dt =
dt = 2 t |x = 2 x − 2 a = 2 x − 6    a (gt) 2 2 t t t a a a
Vậy a = 3  a = 9 . Trang 46 1 2 1
Câu 95: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0,  f   (x) dx = và  11 0 1 1 1 4 x f
 (x)dx = − . Tích phân f  (x) x d bằng? 55 0 0 −1 1 −1 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 Ta xét 4 I = x f  (x)dx. 0  =  u  = f (x) du f ( x)dx  Đặt   5  4 x dv = x dx v  =  5 5 1 x 1 1  1 1 1 I = f ( x) 1 1 5 − x f x dx  5  − = − x f   (x)dx 5
x f (x)dx =  0 ( ) 5 5 55 5 11 0 0 0 1 1 Mà 10 x dx =  11 0 1  ( x
x − 2x f ( x) + ( f ( x))2 10 5
)dx=0 f(x)= x f (x) 6 5 = + C 6 0 x − Vì f ( )
1 = 0 nên f ( x) 6 1 = 6 1 1 6 x −1 1 −  f (x)dx = dx = .   6 7 0 0 f ( x) f (0) = 0 f ( x) 10 Câu 96: Cho hàm số liên tục trên và có ; với mọi x  . Tìm GTLN mà
f (3) có thể đạt được? A. 30. B. 10. C. 60. D. 20. Lời giải Chọn A Trang 47 3 Vì '
10 − f ( x)  0 với mọi x  nên: 1  0 − f   (x)dx  0   1  0x − f  (x) 3   0  0 0  1  0.3− f  (3) − 1  0.0 − f   (0)  0   f ( ) 3  30
Vậy GTLN mà f (3) có thể đạt được là 30.    2  
Câu 97: Cho biểu thức S = ln 1+ 
 (2−sin2x) 2cotx e
dx  , với số thực m  0 . Khẳng định đúng là.    2  4+m        A. S = 5. B. S = 2 cot + 2ln sin     . 2 2  4 + m   4 + m        C. S = 9 . D. S = tan + ln     . 2 2  4 + m   4 + m Lời giải Chọn. B.    2 2 2
Ta có  (2 −sin 2x) 2cotx 2cot x 2cot e dx = 2e dx − sin 2 x xe
dx = I − J   .    2 2 2 4+m 4+m 4+m  2 2cot du = − e dx x . x 2cot  =  2  Đặ u e sin x t    dv = sin 2xdx 1 1 2
v = − cos2x + = sin x  2 2    2 2cot    2 2cot x 2cot 2 J = sin . x e + 2 x e dx 2 4+m = − −   2 1 sin .e I   . 2  4 + m  2 4+m  2 4+m   2cot           Vậy 2 2 4 = ln sin +m S e     = 2cot + 2ln sin     . 2   4 m  +   2 2  4 + m   4 + m Cách 2:
Thay m = 1 ta có S 1,689976611, kiểm tra chỉ có đáp án B thỏa mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) , liên tục trên 0;  1 và 1 1 thỏa mãn (x + )
1 f '( x) dx =10 và 2 f ( )
1 − f (0) = 2 . Tính I = f  (x)dx. 0 0 A. I = 12 − . B. I = 8 .
C. I =12 . D. I = 8 − . Trang 48 Lời giải Chọn D. u = x +1  du = dx Đặt    . dv = f '  (x)dx v = f  (x)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được: 1 1
= (x+ )f (x)dx = (x+ ) f (x) 1 10 1 ' 1 − f
 (x)dx = 2f
( )1− f (0) − I = 2− I  0 0 0  I = 2 −10 = 8 − . 2 4  x
Câu 99: Cho hàm số f ( x) liên tục trên và f (2) =16 , f
 (x)dx = 4 . Tính I = xf  dx    . 0 0  2 
A. I =12 . B. I =112. C. I = 28 . D. I =144 . Lời giải Chọn B xx = 2t *) Đặt t =  
; với x = 0  t = 0; x = 4  t = 2. 2 dx = 2dt 2 2 2 *) I = 2tf   (t)2dt = 4 tdf
(t) = 4tf (t) 2| 4 − f t dt  0 ( ) 0 0 0 2 = 4.2. f (2) − 4. f
 (x)dx = 4.2.16−4.4 =112. 0
Câu 100: Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) , F ( x) và f ( x) là các hàm liên tục trên , thỏa mãn 2 3 F
 (x + )1dx =1;F (3) = 3. Tính I = xf  (x)dx 1 − 0
A. I = 8 . B. I = 9 . C. I = 10 . D. I =11. Lời giải Chọn A 2 2 3 3 *) Ta có : 1 = F
 (x + )1dx = F
 (x + )1d(x +1) = F
 (t)dt F  (x)dx =1. −1 1 − 0 0 3 3 3 *) I = xf
 (x)dx = xdF
(x) = xF (x) 3| − F x dx = 3F 3 −1= 8  . 0 ( ) ( ) 0 0 0 1
Câu 101: Cho hàm số f ( x) liên tục trên và f ( ) 1 − 2 f (0) = 2 , f
 (x)dx = 5 . Tính 0 3 =  (  x I 6 − x) f  dx   . 0  3 
A. I = 61. B. I = 63 . C. I = 65 . D. I = 67 . Lời giải Chọn B Trang 49 xx = 3t *) Đặt t =  
; với x = 0  t = 0; x = 3  t =1. 3 dx = 3dt 1 1 1
*) I =  (6 − 3t). f (t).3dt = 9 (2 − t)df (t) = 9 (2 −t) f (t) 1  | 9 − f t d 2 − t   0 ( ) ( ) 0 0 0 1 = 9  f  ( ) 1 − 2 f (0) + 9 f
 (t)dt = 9.2+9.5 = 63. 0 .
Câu 102: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và thỏa mãn f (−x) + 2018 f ( x) = xsin . x Tính  2 I = f  (x)dx?  − 2 1 2 1 1 A. B. C. D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f (−x) + 2018 f ( x) = xsin .
x f ( x) + 2018 f (−x) = xsin . x 1 suy ra ( 2 2018 − )
1 f (x) = 2017x sin x f ( x) = . x sin x . 2019   2 2 Do đó 1 1 I = . x sin . x dx = − . x d   (cosx) 2019  2019  − − 2 2     2  1   1 2 2 2 = − x cos x − cos . x dx = sin x =      . 2019 − −  2019 2019  2  2 −  2  f ( x) \   1 − f (0) = 1
Câu 103: Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn f ( x) 3 ' = ; và x +1 f ( ) 1 + f ( 2 − ) = 2 f ( 3 − ) . Giá trị của bằng A. 1+ 2ln 2 . B. 1− ln 2 . C. 1. D. 2 + ln 2. Lời giải Chọn C. 3
Ta có f ( x) = f '  (x)dx = dx  = 3ln x +1 + C x +1 3  ln  (x + )+  −  f (x) 1 C khi x 1 1 =  3  ln  (−x − ) 1 + C khi x  1 − 2 Trang 50 Theo giả thiết:  f  (0) =1 C  =1 C  =1  1   1    f  ( ) 1 + f ( 2 − ) = 2
3ln 2 + C + C = 2  C = 1− 3ln 2 1 2  2 3  ln  (x + )+  −  f (x) 1 1 khi x 1 =  3  ln  (−x − )
1 +1− 3ln 2 khi x  1 − Vậy f (− ) 3 = 3ln 2 +1− 3ln 2 =1.  1− x tan x  − a dx = ln  2 +  −  x cos x x b 2 Câu 104: Biết 3 , ( ,
a b  ) . Tính P = a + b . A. P = 2 . B. P = 4 − . C. P = 4 . D. P = 2 − . Lời giải Chọn A.   1− x tan x
cos x − x sin x Ta có: dx = dx   2 + +  x cos x x
x cos x x cos x 1 2 2 ( ) 3 3
Đặt t = xcos x  dt = (cos x − xsin x)dx.   Đổ 2 i cận: x =
t = − ; x =   t =  − 3 3  − −  −  − 1− x tan x dt 1 1  Do đó: dx =   = − dt   
= ln t  − ln t +1  2 + +  +  x cos x xt t 1  t t 1  − − 2 ( ) − − 3 3 3 3 3      − = 3 ln  − ln − ln ( − ) 1 + ln −1   = ln
a = 3 ; b = 1. 3  3   −1 Vậy P = 4 .
Câu 105: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0; 
1 đồng thời thỏa mãn các điều 2 kiện ' f (0) = 1 − và '
f (x) = f  (x)  
. Đặt T = f ( )
1 − f (0) , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2 −  T  1 − . B. 1 −  T  0.
C. 0  T  1.
D. 1 T  2 . Lời giải Chọn B f  ( x) '
d f ( x)   1 − Từ giả thiết ta có dx = 1.dx  dx = 1.dx  = x + c      ( ) 2   ( ) 2 ' ' '  f ( x f x f x )     Trang 51 c = 1 − 1  1 Mà ' f (0) = 1 − nên  1  T = − = −ln 2  ' f  ( x) = − x +1 0  x +1 3 2 x −x 1 + a−4 b
Câu 106: Biết rằng dx =  với , a ,
b c là các số nguyên dương. Tính T =a b + + . c x+ x 1 − c 2
A. T =31.
B. T =29 .
C. T =33. D. T =27 . Lời giải Chọn C.   2 2 x −x 1 + x − x 1 −  −  dx = dx=   ( x x x− x 1 − ) 2 ( )3 2 3 3 3 2 1 3 dx= −  x+ x 1 − x+ x 1 − 2 3 2 2 2 2    2  19−4 8 =
. Vậy a+b+c 1 = 9 8 + +6 3 = 3 . 6 1 3
Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và
f (x)dx = 2  ;
f (x)dx = 8 
. Giá trị của tích phân 0 0 1 f
 (|2x−1|)dx là: 1 − A. 6. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn D.  1 2 − x +1, x    2 Ta có: 2x −1 =  nên 1 2x −1, x    2 1 0,5 1 f
 (|2x−1|)dx= f  ( 2 − x + ) 1 dx +
f (2x −1)dx = E + F  1 − 1 − 0,5 0,5 3 1 E = f ( 2 − x +1)dx = f (t)dt   ta đổi biến t = 2 − x +1, 2 1 − 0 1 1 1 F =
f (2x −1)dx = f (t)dt,  
ta đổi biến t = 2x −1, 2 0,5 0 1 3 1 1 1 Vậy f
 (|2x−1|)dx = f (x)dx+ f (x)dx =1+4 =5   2 2 1 − 0 0 Trang 52
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi S (t) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y =
, y = 0, x = 0, x = t t  0 . Tìm lim S (t) . 2 ( ) (x + )1(x + 2) t→ 1 1 1 1 A. − ln 2 − . B. ln 2 − . C. − ln 2 . D. ln 2 + . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. 1
Vì trên 0;t, y =  (
nên ta có diện tích hình phẳng x + ) 1 ( x + 2) 0 2 t t  1 x 3  + t  1 1 1  S (t ) 1 =  =  −  =  − −  ( dx  dx  + ) x x 1 ( x + 2) d 2  x +1 x + 2   x +1 x + 2 x + 2  0  ( )2 0  ( )2 0   tx +1 1  + = t 1 1 1 ln +   = ln + + ln 2 − .
x + 2 x + 2  t + 2 t + 2 2 0  t +1   t +1  1 Vì lim =1    limln = 0   , lim = 0
t→  t + 2  t→  t + 2  t→ t + 2  t +1 1 1  1
Nên lim S (t) = lim ln + + ln 2 −   = ln 2 − . t→ t→  t + 2 t + 2 2  2 1
Câu 109: Cho hàm số f
 (x)dx = 4, trong đó hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên  1 − ;  1 . Tính 1 − 1 f ( x) dx  . 2x +1 1 − A. 2 . B. 16 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Cách 1.
Đặt t = −x  dt = −dx . Đổi cận x = 1
−  t =1; x =1 t = 1 − . 1 1 − 1 t 1 1 1 2 2x Ta được: I = f x x = − f t − t = f t t = f x x     . x ( )d −t ( )d t ( )d x ( )d 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1 − 1 1 − 1 − 1 1 x 1 1 2 Do đó: 2I = f x x + f x x = f x x =  I =    . x ( )d x ( )d ( )d 4 2 1+ 2 1+ 2 1 − 1 − 1 − Trang 53 Cách 2. 1 2 4 Chọn ( ) 2
h x = x là hàm số chẵn. Ta có: 2 x dx = 
. Do đó: f ( x) = h( x) 2 = 6x . 3 2 −1 3 1 f ( x) 1 2 6x Khi đó: dx = dx = 2  . x  2 +1 2x +1 1 − 1 −
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho
lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy
tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y = f ( x) khá đơn giản. Đối với bài toán này
ta có thể chọn hàm số h( x) = 1 cho đơn giản. 8
Câu 110: Cho hàm số f (x) thỏa mãn  (x + 3) f (x)dx = 25 và 33 f (8) −18 f ( ) 3 = 83. 3 8 Giá trị f ( x) dx  là: 3 8 3 A. I = 83 . B. I = 38 . C. I = . D. . 3 8 Lời giải Chọn C. 8
Ta có  ( x + 3) f (x)dx = 25. 3 u  = x + 3  du = dx  Đặ 8 8 t   
A = ( x + 3) f ( x) − f  (x)dx dv = f  
(x)dx v = f  (x) 3 3
= 11 f (8) − 6 f (3) 8 − f  (x)dx 3
Ta có 33. f (8) −18 f ( ) 3 = 83 
f ( ) − f ( ) 83 11 8 6 3 = . 3 8 83 8 83 8 Suy ra A = − f
 (x)dx. Mà A= 25  f (x)dx = −25=  . 3 3 3 3 3 9 3 4 3 cos  x Câu 111: Giá trị 2 I = x sin  ( 3  x ) ( ) e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 D. 0, 038. Lời giải Chọn C. Trang 54 Ta có: 9 9 3 4 3 9  4 2 3   x 1 cos( 3  x ) 1 cos( 3  x ) 1 I = x sin  (x ) cos 2 3 ( 3) e dx = e d sin  ( 3  x ) 3 4 = e 2 2 = e − e  3 1 3 3   1 1 3 6   3 6 3 6  0 − ,371 (x − ) 1 ln ( 2 4 x − 2x + 2) 1
Câu 112: Biết I = dx = lnc a − lnc b  , với , a ,
b c là các số nguyên dương. Tính 2 ( ) x − 2x + 2 4 2 2 3
a + b + c . A. 3 . B. 22 . C. 14 . D. 20 . Lời giải Chọn B. (x − ) 1 ln ( 2 4 x − 2x + 2) 4 1 Ta có: I = dx  = ln
 ( 2x −2x+2)d(ln( 2x −2x+2) 2 x − 2x + 2 2 2 2 1 1 2 = ln ( 2
x − 2x + 2) 4 = ( 2 2 ln 10 − ln 2) . 2 4 4 Vậy 2 3
a = 10,b = 2, c = 2  a + b + c = 22 . 2
Câu 113:Cho hàm số y = f ( )
x liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f (2) = 2
− , f (x)dx =1  . Tính 0 4 tích phân I = f   ( x)dx. 0 A. I = 10 − . B. I = 5 − . C. I = 0 . D. I = 18 − . Lời giải Chọn A
Đặt x = t dx = 2tdt . Đổi cận : x 0;  4  t 0;  2 2
I = t. f '(t)dt
sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được : 0 2   2 2
I = 2 tf (t) − f (t).dt   = 1
− 0. ( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f (t).dt =1  ). 0  0  0 x  1 
Câu 114:Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e ln (ax)+   x   1 
thỏa mãn F  = 0 và F ( ) 2018 2018 = e
. Mệnh đề nào sau đây đúng?a Trang 55  1   1  A. a   1 ; . B. a   ; 0 . C. a  ) 2018 ; 1 . D. a 201 ; 8 ) + .   2018   2018 Lời giải. Chọn A. 2017x
Câu 115: Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm trên
của hàm số f ( x) = = ( thỏa mãn F ( ) 1 0 . x + )2018 2 1
Tìm giá trị nhỏ nhất m của F ( x) . 1 2017 1− 2 2017 2 +1 1 A. m = − . B. m = . C. m = . D. m = . 2 2018 2 2018 2 2 Lời giải. Chọn B. 2017x 2017 d ( 2 x + ) 1 1 1
Ta có F ( x) =  ( = = − +  . x + ) x d . C 2018 1 2 (x + )2018 1 2 (x + )2017 2 2 2 1 1 2017 1 1 1 1 1 1 − 2 Do F ( ) 1 = 0 nên C = F ( x) = − . +  − + = . 2018 2 2 (x + )2017 2018 2018 2018 2 1 2 2 2 2 1 1
Câu 116: Biết rằng x cos 2xdx = 
(asin2+bcos2+c), với ,a ,bc . Khẳng định nào sau đây đúng ? 4 0
A. a + b + c = 1.
B. a − b + c = 0.
C. 2a + b + c = 1 − .
D. a + 2b + c = 1. Lời giải Chọn B. du = dx u  = x  Đặt    1 .
dv = cos2xdx v = sin 2x  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x cos 2xdx = x sin 2x − sin 2xdx = sin 2 + cos2x = (2sin 2 + cos2 −   ) 1 . 2 0 2 2 4 0 4 0 0
Suy ra a = 2,b =1,c = 1
−  a −b + c = 0 5 1
Câu 117: Giả sử tích phân I = dx = a + . b ln 3 + . c ln 5.  Lúc đó: 1+ 3x +1 1 4 5 7 8
A. a + b + c = .
B. a + b + c = .
C. a + b + c = .
D. a + b + c = . 3 3 3 3 Lời giải Trang 56 Chọn A 5 1 Xét I = dx  1+ 3x +1 1 Đặt 2
t = 3x +1  t = 3x +1  2tdt = 3dx x 1 5 t 2 4 4 4 2 t 2 4 4 4 4 Do đó I = dt = 
(t −ln(t + )1) = + ln3− ln5 a+b+c = . 2 3 1+ t 3 3 3 3 3 2 a
Câu 118: Cho hàm số f (x) x = + = − (
. Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 x + ) bxe 3 1 1 và
f (x)dx = 5  . 0 A. a = 2 − ,b = 8 − .
B. a = 2,b = 8.
C. a = 8,b = 2. D. a = 8 − ,b = 2 − Lời giải Chọn C 3a Ta có f '(x) x = − + + ( x + ) ( b x 1)e 4 1 Suy ra f '(0) = 2 − 2  3 − a +b = 2 − 2 (1) 1 1 1  a   ax x 3 Ta có
f (x)dx =  +  = − + −  = +   .
(x + ) bxe dx b(x 1)e a b 3 1   2   (x + )2 1  8 0 0  0 1 Theo bài ra
f (x)dx = 5  3
a + b = 5 (2). 8 0  3 − a + b = 2 − 2  a = 8
Từ (1) và (2) ta có hệ 3   . a + b = 5 b   = 2 8
Câu 119: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và thỏa mãn f (−x) + 2018 f ( x) = xsin . x Tính  2 I = f  (x)dx?  − 2 Trang 57 1 2 1 1 A. B. C. D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f (−x) + 2018 f ( x) = xsin .
x f ( x) + 2018 f (−x) = xsin . x 1 suy ra ( 2 2018 − )
1 f (x) = 2017x sin x f ( x) = . x sin x . 2019   2 2 Do đó 1 1 I = . x sin . x dx = − . x d   (cosx) 2019  2019  − − 2 2     2  1   1 2 2 2 = − x cos x − cos . x dx = sin x =      . 2019 − −  2019 2019  2  2 −  2   1  2 25x − 7x − 4
Câu 120: Biết rằng trên khoảng ; + 
 hàm số f (x) = có một nguyên hàm  2  2x −1 2
F (x) = (a x + bx + c) 2x −1 ( trong đó , a ,
b c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 3. − B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Chọn B 2 + − + − + Ta tính đượ 5ax
( 2a 3b)x b c c F '(x) =
. Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta 2x −1  1  2 2 5ax + ( 2
− a + 3b)x − b + c 25x − 7x − 4 có F '( ) x = f ( ) x , x  thuộc khoảng ; +   suy ra = .  2  2x −1 2x −1
Đồng nhất hệ số ta được a = 5,b =1,c = 3 − . 2 15x − 9x − 3
Câu 121: Biết rằng trên khoảng (1;+) hàm số f (x) = có một nguyên hàm 2 x −1 2
F (x) = (a x + bx + c) x −1 (trong đó , a ,
b c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 3. B. 3. − C. 4. − D. 4. Lời giải. Chọn B Trang 58 2 + − + − + Ta tính đượ 5ax ( 4a 3b)x 2b c c F '(x) =
. Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên 2 x −1 2 2 5ax + ( 4
− a + 3b)x − 2b + c 15x − 9x − 9 ta có F '( ) x = f ( ) x , x
 thuộc khoảng (1;+) hay = 2 x −1 2 x −1
Đồng nhất hệ số ta được a = 3,b =1,c = 7 − .
Câu 122: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn 2 f (x) + 3 f (1− x) = 1− x . Tích phân 1 f (x)dx  bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Lời giải Chọn C.
Ta có: 2 f (x) + 3 f (1− x) = 1− x (1) .
Đặt t =1− x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1− t) + 3 f (t) = t hay 2 f (1− x) + 3 f (x) = x (2) . 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x) = x − 1− x . 5 5 1 1 1 3 2
Do đó, ta có: f (x)dx  = x dx − 1− x dx   2 4 = − 2 = . 5 5 5 15 15 0 0 0 2
Câu 123: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x f x = e ( 3
x − 4x) . Số cực trị của hàm F ( x) là A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B. x = 0 2
F = f ( x) . Ta có F = 0 xe ( 3
x − 4x)   . x = 2 Bảng xét dấu: x − −2 0 2 + F − 0 + 0 − 0 +
Vậy hàm số F ( x) có 3 cực trị Trang 59 0
Câu 124: Cho hàm số y = f ( x) là hàm lẻ và liên tục trên − 4;4 , biết f
 (−x)dx = 2 và −2 2 4 f
 (−2x)dx = 4. Tính I = f  (x)d .x 1 0 A. I = 10 − . B. I = −6 . C. I = 6 . D. I = 10 . Lời giải Chọn B.
Vì f ( x) là hàm lẻ nên ta có f (−x) = − f ( x) . 0 0 2 2
Ta có:  (− )d = 2 t=−x f x x ⎯⎯⎯ →− f
 (t)dt = 2  f
 (t)dt = 2 = f  (x)dx. 2 − 2 0 0 2 2 4 4 4 f ( 2
− x)dx = − f (2x) u = x 1 2 dx ⎯⎯⎯ →−
f (u) du = 4  f (u )du = 8
−  f (x)dx = 8 −      . 2 1 1 2 2 2 4 2 4 Do đó: f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx = 2−8 = 6 − . 0 0 2
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho ( 2 1 x + x) x e = + −
dx = ae + b ln e + c
với a , b , c  . Tính P a 2b c . x ( ) x + e− 0 A. P = 1 − . B. P =1. C. P = 2 − . D. P = 0 . Lời giải Chọn D. ( 2 1 x + x) x 1 x e x x xe ( x + ) 1 x e 1 ( xe +1− ) 1 ( x + ) 1 e 1  1  Ta có: dx = dx  = = 1− d x xe +1  −  dx    x ( ) x x x + e e x +1 x e x +1  xe +1 0 0 0 0 x =  + −  ( x xe xe + ) 1 1 ln 1 
= e − ln (e + ) 1 
. Suy ra a = 1 , b = 1 − , c =1. 0
Vậy, P = a + 2b − c = 0 .
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân e ( x + ) 1 ln x + 2  e +1 a
dx = ae + b ln  
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng: 1+ x ln xe b 1 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải Trang 60 Chọn B. e ( + ) 1 ln + 2 e x x  ln x +1  Ta có: dx = 1+ dx    =  + ln  (1+ ln ) e x x x
= e + ln e +1 −1  1 ( ) 1+ x ln x  1+ x ln x  1 1  e +1 = a e + ln 
. Suy ra: a = b =1 =1.  e b
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân  2 sin x I =
dx = a + b ln 2 
, với a , b Q . Khi đó a + b bằng: 2 sin x + cos x 0 1 A. 1. B. 2 . C. . D. 0 . 2 Lời giải Chọn D. sin x
A(2sin x + cos x) + B (2 cos x − sin x)
(2A− B)sin x +( A+ 2B)cos x Ta có: = = 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x  2 A = 2A − B =1  5     . A + 2B = 0 1 B = −  5    2 2  −    Khi đó: sin x 2 1 2 cos x sin x I = dx = − dx   2 1   =
x − ln 2 sin x + cos x 2   2 sin x + cos x
 5 5 2sin x + cos x  5 5  0 0 0  1 = − ln 2 . 5 5 1 1 Suy ra: a =
, b = − . Vậy, a + b = 0. 5 5
Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo 5 5 hàm trên và f (5) =10 x f   (x) ,
dx = 30 .Tính f ( x)dx  . 0 0 A. 20 − . B. 70 . C. 20 . D. 30 − . Lời giải Chọn C. 5
Xét I = x f x dx = 30  1 ( ) 0 u  = x  du = dx Đặt    dv = f  
(x)dx v = f  (x) Trang 61 5 5 5 5
Vậy  I = x f x dx = xf x
− f x dx = 5 f 5 − f x dx    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 5
Mà I = 30 và f (5) =10 vậy  f  (x)dx = 20. 1 0
Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo 2 5 hàm trên và f (2) =15 x f   (x) ,
dx = 60 .Tính f ( x)dx  . 0 0 A. 30 − . B. 70 . C. 30 . D. 50 − . Lời giải Chọn A. 5
Xét I = x f x dx = 60  1 ( ) 0 u  = x  du = dx Đặt    dv = f  
(x)dx v = f  (x) 2 2 2 2
Vậy  I = x f x dx = xf x
− f x dx = 2 f 2 − f x dx    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2
Mà I = 60 và f (2) =15 vậy  f  (x)dx = 3 − 0 . 1 0
Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo 4 4 hàm trên và f (4) =13 x f   (x) ,
dx = 24 .Tính f ( x)dx  . 0 0 A. 11 − . B. 28 − . C. 76 . D. 28 . Lời giải Chọn D. 4
Xét I = x f x dx = 24  1 ( ) 0 u  = x  du = dx Đặt    dv = f  
(x)dx v = f  (x) Trang 62 4 4 4 4
Vậy  I = x f x dx = xf x
− f x dx = 4 f 4 − f x dx    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 4
Mà I = 24 và f (4) =13 vậy  f  (x)dx = 28. 1 0
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f ( x) 4 3 2
= x − 4x + 2x − x +1, x   . Tính 2
f ( x) f   (x)dx 0 2 2 A. . B. 2 . C. − . D. 2 − . 3 3 Lời giải Chọn C. 1 1 3 3 3 f x 1 f 1 − f 0 2 Ta có 2
f ( x) f ( x) 2 dx =
f ( x)df ( x) ( ) ( ) ( ) = = = −   3 0 3 3 0 0
Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f ( x) 3 2
= x −3x +3x − 2, x   . Tính 3
f ( x) f   (x)dx 0 3 15 1 15 A. . B. . C. . D. − . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. 1 1 4 4 4 f x 1 f 1 − f 0 15 Ta có 3
f ( x) f ( x) 3 dx =
f ( x)df ( x) ( ) ( ) ( ) = = = −   4 0 4 4 0 0
Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f ( x) 6 4 2
= x −5x +3x +1, x   . Tính 2017 f (x)f   (x)dx . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. − . D. − . 2018 1009 2018 1009 Lời giải Chọn C. 1 1 2018 1 2018 f ( ) 2018 1 − f (0) 1 Ta có 2017 ( ) ( ) 2017 = ( ) ( ) ( ) =   f x f x f x dx f x df x = = − 2018 0 2018 2018 0 0 Trang 63
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho F ( x) là một nguyên hàm 1    của hàm số y = với x
 R \ − + k,k Z , biết F (0) =1; F ( ) = 0 . Tính 1+ sin 2x  4    −  11  P = F − F     .  12   12 
A. P = 2 − 3 . B. P = 0 .
C. Không tồn tại P . D. P =1. Lời giải Chọn D. Cách 1: 1 1 Ta có F (x)= dx = dx ò ò 1+ sin 2x æ p ö 2 2sin çx ÷ + ç ÷ çè 4 ÷ ø ìï 1 æ p ö æ p 3p ö ï - cotçx ÷ + + ï ç
÷ C khi x Î ç- + k2p; + k2p÷ ç ÷ 1 ï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø ï = í ï 1 æ p ö 3 æ p 7p ö ïï - cotçx ÷ + + ç
÷ C khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ç ÷ 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø î ìï ì 3 ï 1 æ p ö 3 æ p 3p ö ï ï ç ÷ + + ï ç ÷ Î ç ÷ - + + ï - cot x khi x k 2p; k 2p ç ÷ F ( ) C = ì = ï 1 0 1 ï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø Để ï ï 2 ï í Þ í .Vậy F (x)= í . ï F ï (p)= 0 ï 1 ï î ï 1 æ p ö 1 3 æ p 7p ö ï C = ïï - cotçx ÷ + + ç ÷ khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ç ÷ 2 ïïî 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø î   −     Khi đó 11 P = F − F =1      12   12  Cách 2:   −  11       11  Ta có P = F − F = − F      (0) − F − + F    ( ) − F + F   (0)− F ( )  12   12    12    12  0  1 1 = − dx + dx +1   + + .  1 sin 2x  1 sin 2x 11 −12 12 1 1 1 Ta có = = nên 1+ sin 2x (sin x + cos x)2    2 2 cos x −    4  Trang 64 0 0 1 1    1 dx = tan x − =    ( 1−+ 3); 1+ sin 2x 2  4    2 − − 12 12   1 1    1 dx = tan x − =    ( 1−+ 3). 1+ sin 2x 2  4 11    2 11 12 12 Vậy P =1. F ( x)
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm y = 2x - 4 ¡ \ { } 2 f ( ) 1 = 1 f ( ) 3 = - 2 của hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu F (- ) 1 + F ( ) 4 thức bằng A. - 6 . B. 7 . C. - 14 . D. 0 . Lời giải Chọn A. ìïï (2x- )
4 dx khi x > 2 ìï ï ò ï (x - )2
2 + C khi x > 2 Ta có ï ï F (x) 1 = 2x - 4 dx = í = í ò . 2 ïï - ( ï 2x - )
4 dx khi x < 2 ï - (x- )
2 + C khi x < 2 ò 2 ï ïî ïî ìï 2 ì F ( ) 1 = 1 ìï - 1+ C = 1 ìï C = - 3 ï ï ï ï
ï (x - 2) - 3 khi x > 2 ï Do 2 1 í Þ í Û í nên F (x)= í . ï F ï ( ) 3 = - 2 ï 1+ C = - 2 ï C = 2 2 ï î ïî 1 ïî 2
ï - (x - 2) + 2 khi x < 2 ïî Vậy F (- ) 1 + F ( ) 4 = - 9+ 2+ 4- 3 = - 6 .
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số f (x) xác định trên 2 æ 1ö 1 æ ö ¡ \ {- 1; } 1 và thỏa mãn f ( ¢ x)= , f (- ) 3 + f ( ) 3 = 0 và f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2. Giá trị của 2 ç ÷ è ø ç ÷ x - 1 2 è2ø biểu thức f (- ) 2 + f ( ) 0 + f ( ) 4 bằng
A. 2ln 2 - 2ln 3- ln 5 .
B. 6ln 2 - 2ln 3- ln 5 .
C. - ln 5 + 2ln 3 + 2ln 2 + 1.
D. 2ln 3- ln 5 + 6 . Lời giải Chọn C. 1 1 Có f ( ¢ x)= - . x - 1 x + 1 Trang 65 ìï x æ - 1ö ï lnç + ÷ ï ç
÷ C khi x < - 1È x > 1 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó ï f (x)= f ( ¢ x)dx = í ò . ï 1 æ - xö ïï lnç + ÷ ç
÷ C khi - 1< x < 1 2 ï ç ï èx + 1÷ ø î Có f (- ) 3 + f ( )
3 = 0 Û ln 2 + C + ln 2 + C = 0 Û C = ln 2 . 1 1 1 æ 1ö 1 æ ö Có f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2 ç
Û ln 3+ C - ln 3+ C = 2 Û C = 1. è 2÷ø çè2÷ø 2 2 2 ìï x æ - 1ö ï lnç ÷+ ï ç
÷ ln 2 khi x < - 1U x > 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó: ï f (x)= í . ï 1 æ - xö ïï lnç ÷+ ç
÷ 1 khi - 1< x < 1 ï ç ï èx + 1÷ ø î Vậy f (- ) 2 + f ( ) 0 + f ( )
4 = ln 3 + ln 2 + 1+ ln 3- ln 5 + ln 2 = - ln 5 + 2ln 3 + 2ln 2 + 1.
Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a (t ) 2
= t + 3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B ( ) =  ( ) t t v t
a t dt = (t + 3t) 3 2 3 2 dt = + + C 3 2 t t
Do v = 10m / s C = 10  v (t ) 3 2 3 = + +10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S =  + +10dt = (m)  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4
Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10( / m )
s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với ( v t)= 5 − t 1
+ 0(m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ
lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét. Trang 66 A. 8 . m B. 10 . m C. 5 . m D. 20 . m Lời giải Chọn B.
Thời điểm đạp phanh ứng với t=0 .
Thời điểm xe dừng hẳn ứng với ( v t) 5 = t 1 − 0 0 =  t=2 . 2
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng. v(t)dt 1 = 0( ) m  . 0
Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a (t ) 2
= t + 3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B ( ) =  ( ) t t v t
a t dt = (t + 3t) 3 2 3 2 dt = + + C 3 2 t t
Do v = 10m / s C = 10  v (t ) 3 2 3 = + +10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S =  + +10dt = (m)  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4  3  2 20x − 30x + 7
Câu 140: Biết rằng trên khoảng ; + 
 hàm số f (x) = có một nguyên hàm  2  2x − 3 2
F (x) = (a x + bx + c) 2x − 3 (trong đó , a ,
b c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải. Chọn B 2 1
(2ax + b)(2x − 3) + (a x + bx + c) Ta có: 2
F '(x) = (2ax + b) 2x − 3 + (a x + bx + c). = 2x − 3 2x − 3 Trang 67 2
5ax − (6a − 3b)x − 3b + c
Từ đó rút gọn tử thức ta được: F '(x) = 2x − 3
Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta có: 2 2
5ax − (6a − 3b)x − 3b + c 20x − 30x + 7  3 
F '(x) = f (x)  = trên khoảng ; +   2x − 3 2x − 3  2   5a = 20  a = 4  
Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:  6 − a + 3b = 3 − 0  b  = 2 −   3 − b + c = 7 c = 1  
Suy ra S = a + b + c = 3 .
2x + f '(x)
Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim = 2 . Tích phân x→0 2x 1
f '(x)dx 0 3 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Lời giải Chọn B Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. Cách giải:
2x + f '(x) Ta có lim
= 2 mà lim 2x = 0 nên lim(2x + f '( )
x ) = 0  lim f '( )
x = 0  f '(0) = 0 (vì nếu x→0 2x x→0 x 0 → x 0 →
2x + f '(x)
lim(2x + f '(x))  0 thì lim =   2) x 0 → x→0 2x
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '(x) = . m x ( x − ) 1 ( x − 2)
2x + mx ( x − ) 1 ( x − 2) 2 + m ( x − ) 1 ( x − 2) 2 + 2m Từ đề bài ta có lim = 2  lim = 2  = 2  m = 1 x→0 x→0 2x 2 2
Nên f x = x ( x − )( x − ) 3 2 '( ) 1
2 = x − 3x + 2x 1 1 1 Từ đó
f '(x)dx =  ( 3 2
x − 3x + 2x)dx = . 4 0 0 Chọn B. Trang 68
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH
Câu 142: Cho hình (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x +1 , y =1− x và trục Ox. Diện tích
của hình ( H ) (H) bằng 4 7 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 Lời giải Chọn B.
Gọi (H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y = x +1; y = 0; x = 0 (Tam giác cong OAB ). 1 )
(H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y =1− ;xy =0;x=0 (Tam giác OBC ). 2 )
Diện tích hình hình phẳng cần tính là: 0 1 2 3 2 0  x  1 2 1 7
S = (S + S = x + dx + − x dx = x + +    x −  = + = H ) (H ) 1 (1 ) ( 1) 1 2 3 1 − 2 0 3 2 6   1 − 0
Câu 143: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 , AD = 8 (như hình vẽ). B M C E F D A N Gọi M, N, ,
E F lần lượt là trung điểm của BC , AD , BN và NC . Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh trục AB . A.100 . B. 96 . C. 84 . D. 90 . Lời giải Chọn B. Trang 69
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B  , O AB O , x BC O . y
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = ; x y = 8 − ;
x x = 0; x = 2 quay quanh trục . Ox 2 2 V =  x −  (8− x)2 2
dx =  16x − 64dx  = 96. 0 0 Cách khác:
Gọi I là trung điểm AB .
Gọi V là thể tích khối nón cụt tạo bởi CFIB quay quanh AB , 1 1 296
V có chiều cao là 2 , bán kính đáy là r = 6 và R = 8.  V = .2( 2 2 6 + 6.8 + 8 =  1 ) 1 3 3
Gọi V là thể tích khối nón tạo bởi BEI quay quanh AB , 2
V có chiều cao là 2 và bán kính đáy là 2. 2 8 V =  . 2 3
Ta có thể tích cần tính V = V −V = 96 . 1 2 ˆ ˆ ˆ
Câu 144: Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 90 , CD = 2AB , C = 45 . Gọi M là trung điểm
CD , gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AM, BM . Biết CD = 8 , tính thể tích V của vật
thể tròn xoay khi quay tứ giác HKCD quanh trục AD . A. 96 . B. 84 . C. 72 . D. 60 . Lời giải Chọn B. Trang 70
Ta có AB = 4 , B
MC vuông cân tại M nên AD = BM = 4 . Gọi O là trung điểm của AD .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho OD O , x OK O . y
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = 2 − ;
x y = 2x + 4; x = 0; x = 2 quay quanh trục . Ox 2 2
V =   (2x + 4)2 −(2− x)2 dx 2
=  32x + 20x +12dx  = 72 . 0 0
Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. 4 cm A B O 6 cm I
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích ( 3
V cm ) của vật thể đã cho. 72 72 A. V = . B. V =  . C. V = 12 . D. V =12. 5 5 Lời giải Trang 71 Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 cm A B O 6 cm I 3
Gọi phương trình của Parabol là 2
y = ax − 6 . Do (P) qua điểm B(2;0) nên a = . 2 3 2( y + 6) Vậy ( P) 2 : y =
x − 6 suy ra x =  . 2 3 0 2( y + 6)
Thể tích vật thể cần tính bằng V =  dy = 12  . 3 6 −
Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm
ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol
chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần 3
trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
chiều cao của bên đó (xem hình). 4 Trang 72
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 3
cm / phút. Khi chiều cao của
cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm (xem
hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều
cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 8cm . B. 12cm . C. 10cm . D. 9cm . Lời giải Chọn C. 8
Chiều cao khối trụ bằng h . 3
Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol . Gọi ( P) là đường
Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ .
Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8 suy ra bán kính của nó bằng 4 .
Do (P) có đỉnh là (
O 0;0) nên phương trình 2 (P) : y = ax . 1 1 (P) đi qua ( A 4; 4) nên a = . Vậy phương trình 2 (P) : y = x . 4 4
Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của
(P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 p . h Ta có 2
V =  (2 y ) dy  2 = 2h . 0 Trang 73
Lượng cát chảy trong 30 p là 3 2,9.30 = 87(m ) . Vậy V = 87 2  2h = 87 87  h = . 2 4
Chiều cao hình trụ bên ngoài là l = 2. h  10c . m 3 Chọn đáp án C.
Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục
và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ).
Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,
hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu? A. 425162 lít. B. 21258 lít. C. 212, 6 lít. D. 425, 2 lít. Lời giải Chọn D. Trang 74
+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm : 30cm = 3 ;
dm 40cm = 4dm
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ Gọi phương trình 2
(P) : x = ay + by + c  a = 4 
(P) đi qua các điểm ( A 4;0); (3 B ;5) và C(3; 5 − ) nên ta có b  = 0  1 c = −  25 1 Vậy phương trình của 2 (P) : x = − y + 4 25
Thể tích của thùng rượu là : 5 1 2 2 V =  ( − y + 4) dy  3
 425,2dm = 425,2l 25 5 − Suy ra đáp án D.
Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá ( 2
1 m ) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao
nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). 2m 1,5m 5m
A. 6.520.000 đồng. B. 6.320.000 đồng.
C. 6.417.000 đồng. D. 6.620.000 đồng. Lời giải Chọn C. Trang 75
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A( 2
− ,5;1,5) , B(2,5;1,5) , C(0;2) .
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng 2
y = ax + bx + c , với ; a ; b c  .
Do Parabol đi qua các điểm A( 2
− ,5;1,5) , B(2,5;1,5) , C(0;2) nên ta có hệ phương trình  2 = − 2 a( 2 − ,5) + ( b 2 − ,5) + c = 1,5 a   25  2 a( 2 − ,5) + (
b 2,5) + c = 1,5 = b = 0 .   c = 2  c = 2   2
Khi đó phương trình Parabol là 2 y = − x + 2 . 25
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 2 y = −
x + 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 2 − ,5, x = 2,5 . 25 2,5  2  Ta có 2 S = − x + 2 dx  55   = .  25  6 2 − ,5
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S ( ) 55 . 700.000 = .700000  6.417.000 6 (đồng).
Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =  , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0  x   ) là một tam
giác đều có cạnh là 2 sin x .
A. V = 3
B. V = 3
C. V = 2 3
D. V = 2 3 Lời giải Chọn D. Trang 76 ( x )2 2 sin 3
Diện tích thiết diện là S ( x) = = 3 sin x 4 b
Áp dụng công thức V = S
 (x)dx = 3sin xdx = 2 3  .→ Chọn D. a 0
Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng100m , trục nhỏ bằng 80m . Người ta thiết kế một
mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau.
Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi 2
m trồng rau và 10.000 đồng mỗi 2 m trồng hoa.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
A. 25.708.000 . B. 51.416.000 . C. 31.415.000 . D.17.635.000 . Lời giải Chọn B
Diện tích phần hoa là: S = 4000 2
Diện tích phần rau là: S = 2000 − 4000 1
Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là: T = S .5000 + S .10.000 = 51.416.00 . 0 1 2
Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính 30 . m Trong lòng hình
tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường
kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip
trùng nhau), phần còn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một 2
1m hoa hồng là 500.000 đồng, chi phí làm 2
1m hồ là 2.000.000 đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả
làm tròn đến hàng nghìn). A. 706.858.000 B. 514.160.000 C. 1.413.717.000 D. 680.340.000 Lời giải Chọn B
Diện tích hình tròn là: 225 .
Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là: S = ab = 75 1
Diện tích phần làm hồ là: S = 150 . 2
Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là: T = S .500.00 + S .2.000.000 = 514.160 0 . 0 . 0 1 2
Câu 151: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y =
3x và nửa đường tròn có phương trình 2 y = 4 − x với 2
−  x  2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng Trang 77 y 2 x -2 O 2 2 + 5 3 4 + 5 3 4 + 3 2 + 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
3x = 4 − x , Đk: 2 −  x  2 4 2 2
 3x + x − 4 = 0  x =1 x = 1  . (  P) 2 : y = 3x 
Hình ( H ) giới hạn bởi: (  C) 2 : y =
4 − x có diện tích là: x = 1 − ; x = 1  1
S =  ( 4 − x − 3x ) 1 1 2 2 2 2 dx = 4 − x dx − 3x dx   . 1 − 1 − 1 − 1 I I2 1 3 2 3 * Ta có: 3 I = x = . 2 3 3 1 − 1     * Xét 2 I = 4 − x dx
:Đặt x = 2sin t,t  − ;
; dx = 2costdt . 1    2 2  1 −   Khi x = 1
−  t = − và x = 1 t = . 6 6   6 6     Ta có: I = 4  ( 2 1− sin x) 2 2 cos d t t = 4 cos d t t
(Do cost  0 khi t  − ; ) 1      2 2  − − 6 6   6  (     = +  3 t ) 6 1 2
1 cos 2 dt = 2 t + sin 2t   = 2 +  .  2      − 3 2   − 6 6 Trang 78   3  2 3 2 + 3 Vậy S = 2 +  − =   . 3 2 3 3   Cách khác: y 2 M' M A' A -2 O 1 x 2
- Giao điểm của ( P) 2
: y = 3x và (C) 2
: y = 4 − x là M (1; 3),M '( 1 − ; 3).
- Có AOM = 60  MOM ' = 2  30 = 60 . Suy ra diện tích hình quạt OMM ' là 60 2 2 S = . .R = . 1 360 3 O
M : y = 3x  1 3
- Gọi S là diện tích giới hạn bởi (  P) 2
: y = 3x . Suy ra S = ( 2
3x − 3x dx =  . 2 ) 2  6 x = 0, x = 1 0  2 + 3
- Diện tích hình ( H ) là: S = S + 2S = . 1 2 3
Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số ,
p q thỏa mãn các điều
kiện: p 1,q  1 1 1, + = 1 −
và các số dương a,b. Xét hàm số p 1 y = x
(x  0) có đồ thị là (C). p q
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, đường thẳng x = a ; S là diện tích 1 2
hình phẳng giới hạn bởi các (C), trục tung, đường thẳng y = ;
b S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x = ,
a y = b . Khi so sánh S + S và S , ta nhận 1 2
được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? Trang 79 p q a b p 1 − q 1 a b − p 1 + q 1 a b + p q a b A. +  ab B. +  ab C. +  ab D. +  ab p q p −1 q −1 p +1 q +1 p q Lời giải Chọn D. a a p p − x a Ta có p 1 S = x dx = = .  1 p p 0 0 1 − − Ta lại có: p 1 y = x (x  0) p 1 1  x p = y = y − . 1 1 − p
Mặt khác: p  1, q  1, + = 1 1 1  = . p q p q b b 1 p − p p −1 q − b p 1 p 1 S y −  = dyp 1 = .y − p 1 = b = 2 . p p q 0 0 S = . a b P q a b Do +   +  S S S ab . 1 2 p q Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường x
y = e , y = 0, x = 0 , x = ln 4. Đường thẳng
x = k (0  k  ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2
S .S lớn nhất. 1 2 25 A. k = 9 ln . B. k = 8 ln . C. k = 5 ln . D. k = ln . 4 4 3 2 Lời giải: Chọn D k ln 4 k Ta có x S = e dxk = e k = e −1 x S = e dx  = 4 k −e 1 và 2 0 0 k Ta có . k = −1 4 k S S e
− e = −( k )2 + 5 k e e − 4 1 2 ( )( ) 2   k 5 9 9 = − e − +     2  4 4 Trang 80 9   k 5
Suy ra S .S lớn nhất bằng khi e = 5  k = ln  . 1 2 4 2  2 
Câu 154: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 0, x = 0, x = 4. Đường thẳng
y = k (0  k 16) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S , S (hình vẽ). Tìm k để S = S 1 2 1 2 A. k = 3. B. k = 4 . C. k = 5. D. k = 8 Lời giải : Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x = k x = k Ta có 4 4 3 x 64 ● 2
S + S = x dx = = .  1 2 3 3 0 0 4 k 3  x  2k k 64 ● S =  ( 2 x − k dx =  − kx  = 4 − k + + . 1 )  3  3 3 k 0 Yêu cầu bài toán 1  k k S = S + 2 64 32 S  4 − k + + =
 2k k −12k + 32 = 0 1 ( 1 2) 2 3 3 3
t = k (0t4) ⎯⎯⎯⎯⎯ → 3 2
2t −12t + 32 = 0  t = 2  k = 4 .
Câu 155: Cho parabol (P) : 2
y = −x + 2x , có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành.
M (x ; y ) là điểm di động trên SA ( M (x ; y ) S d (P) 0 0 0 0
không trùng với ) . Tiếp tuyến của tại
M cắt Ox ,Oy lần lượt tại E và F . S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), đường thẳng 1
d và trục 0y , S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), đường thẳng d và trục 0x . Khi 2
tổng S + S nhỏ nhất, giá trị của P = x + y bằng: 1 2 0 0 23 44 20 A. B. C. D. 4 9 9 9 Lời giải: Trang 81 Chọn C
Tiếp tuyến tại M ( 2 ;
m 2m − m ),1  m  2 có phương trình:
y = ( − m)( x − m) 2 2 2
+ 2m − m y = ( − m) 2 2 2 x + m m  Ta có: E ( m ) 2 2 0; ; F
;0 với 1  m  2   2m − 2   2 Gọi 4
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành: 2 S =
−x + 2x dx = .  3 0 4 4 1 m m S = = OEF 2 2m − 2 4(m − ) 1
Tathấy, S + S = S
− S, (S + S min  S min 1 2 ) ( OEF ) 1 2 OEF 4 3   4 Khảo sát hàm ( ) m 4 f m = 1
  m  2 ta được Min = khi m = . −   f (m) 4(m )1  3  3 3 (  4  4 28 4 S + S min = − = m = 4 8 M ( ; ) 1 2 )   khi . Khi đó .  3  3 27 3 3 9 20 Vậy x + y = . 0 0 9
Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x , y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường thẳng
x = a (0  a  4) cắt đồ thị hàm y = x tại M. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 1
quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết V = 2V . Tìm giá trị a 1 Trang 82 5 A. a = 2 . B. a = 2 2 . C. a = . D. a = 3. 2 Lời giải Chọn D. y = x
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do ( H ) :  y = 0 quay quanh Ox x = 4  4 4
V =  ( x)2dx = d x x = 8  0 0
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do (H : O
MH quay quanh Ox 1 ) 1 Khi O
MH quay quanh Ox tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnhO , trục ON , bán
kính đáy NM và khối nón đỉnh H , trục HN , bán kính đáy NM 1 V =  ( a)2 1
a +  ( a )2 4 − a 1 ( ) 3 3 1  V = . . a 4 1 3 4
V = 2V  8 = 2. .a a = 3 . 1 3
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 2
y = x và y = x − 2 bằng 13 21 9 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 2 2 Lời giải Chọn C
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2
y = x và y = x − 2 là 2
x = x − 2 suy ra x = 2 − và x =1. Trang 83
+) Nhận xét rằng đồ thị 2
y = x chỉ cắt đồ thị y = x − 2 trên ( ;
− 2(có thể dựa vào đồ thị vẽ
ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2
y = x và y = 2 − x . 1 1 2 3  x x  +) Ta có S =  ( 2
2 − x − x )dx =  2x − −  = 9 . Chọn C.  2 3  2 2 − 2 − 1
Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = ; x = ;
1 y = 0 và đồ thị hàm số 2 y = log . x 2 1 1 1 1 1 1 1 A. − + . B. . C. − + . D. + . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A   +) Đồ 1 1
thị y = log x cắt đường thẳng x = tại A ; 1
− và cắt đường thẳng x =1 tại ). 0 ; 1 ( B 2   2  2  1 1
+) Diện tích hình phẳng cần tính S = | log x |dx = − log x d . x   2 2 1 1 2 2 1 1 1
+) S = − ( x log x 1 + . x dx  2 ) x ln 2 1 2 2 1 1 1 − 1 1 1 1 1 +) S 2 = x log + = − + = − + Chọn A. 2 1 . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2
Câu 159: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị (C) , biết rằng (C) đi qua điểm A( 1 − ;0).
Tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình 28
phẳng giới hạn bởi d , đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng (phần 5
gạch chéo trong hình vẽ). Trang 84
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 1 − ; x = 0 bằng 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 5 9 5 9 Lời giải Chọn A +) Điểm A( 1
− ;0) thuộc đồ thị (C)  a +b + c = 0
+) Phương trình tiếp tuyến tại A( 1
− ;0) là (d ): y = y'( ) 1 ( x + ) 1  y = ( 4
− a − 2b)(x + ) 1 .
+) Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C) là
(− a − b)(x+ ) 4 2 4 2
1 = ax + bx + c ( ) *  4
− a − 2b = c
+) Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra  ( )1  12
− a − 6b =16a + 4b + c 2 28 32 8 28 +) Có =  ( 4
− a − 2b)(x + ) 4 2
1 − ax − bx − c dx    4( 4
− a − 2b) −
a − b − 2c = (2) 5 3 3 5 0 +) Từ ( )
1 , (2) ta được a =1,b = 3 − ,c = 2 suy ra 4 2
y = x − 3x + 2 . 0 1
+) Vậy diện tích cần tính là 4 2 S =
2x + 2 − x + 3x − 2 dx =  . Chọn A. 5 1 −
Câu 160: Cho parabol (P) 2
: y = x và hai điểm ,
A B thuộc (P) sao cho AB = 2 . Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng: 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải y A B x 1 Chọn C. Trang 85
+) Gọi đường thẳng d : y = ax + b
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2
x − ax −b = 0
Đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt , A B khi 2
 = a + 4b  0.
x + x = a
Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x ; x x . Khi đó ta có 1 2  1 2 ( 1 2) x .x = b −  1 2
Gọi giao điểm của d và ( P) là A( x , y , B x , y . 1 1 ) ( 2 2) 2 2 2 2
Ta có: AB = 2  ( x − x ) + ( y − y ) = 4  ( x + x ) 2
− 4x x  + a x + x − 4x x  = 4 2 1 2 1 2 1 1 2 ( 2 1) 1 2      ( 4 2 a + 4b) 2 + a ( 2 a + 4b) 2 = 4  a + 4b = * 2 ( ) a +1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và ( P) là: x x xax x  2 S =
x − ax − b dx =   ( 2
ax + b − x ) 2 2 3 2 2 dx =  + bx −  1 x 1 x  2 3  1x 2 3 2 3 ax xax x  = + − −  + −  = ( − ) a + +  bx bx x
x  (x + x ) 2 2 x x x x 2 2 1 1 2 1 2 1 + b − 2 1 2 1 2 1  2 3  2 3   2 3  3  2    2 2 2  +  + ( a +4 4 b a a b a b )3 2 (  +  = x − x ) 2 2 a 1 4 1 2 + b − = a + 4b. = = = . . 2 1    2 3  6 6 6 3 (a + )3 2 1 1 4 Vì 2 a +1  1, a    1 ( nên S  . a + )3 2 1 3
Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình
phẳng giới hạn bởi các đường x =
y , y = −x + 2, x = 0 quay quanh Ox có giá trị là kết quả nào sau đây 1 3 32 11 A. V =  . B. V =  . C. V =  . D. V =  . 3 2 15 6 Lời giải Chọn C. 2 x = y Ta có x = y   . x; y  0 Trang 86
Phương trình hoành độ giao điểm là x =1 (TM ) 2 x = −x + 2  .  x = 2 − (L) 1 2 32
Thể tích cần tìm là: V =   (  −x + 2) 4 − x  dx =    15 0
Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m , trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần
bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn
trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2
m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng rau.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ). A. 31904000. B. 23991000 . C. 10566000 . D. 17635000 . Lời giải Chọn B 2 2 x y
Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip ( E) : +
= 1 (với a b  0 ) là  ab 2 2 a b 2 x
Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình y = b 1− . Do O , x Oy là 2 a a 2 x
trục đối xứng của elip ( E) nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip ( E) là S = 4 b 1− dx  2 a 0 .       2 2
Đặt x = asin t với t  − ; 2 2 
 ta được S = 4b 1− sin td
(asint) = 4ab os c tdt  = ab .  2 2  0 0
Xét mảnh vườn: a = 50,b = 40 
Diện tích trồng cây con là: S = − S =  − c OAB ( ) ( 2 .40.50 2 500 m ) 4
Diện tích trồng rau là: S = .40.50 − ( − 2)500 = (3 + 2)500 r
Thu nhập từ mảnh vườn là: ( − 2)500.2000 + (3 + 2)500.4000  23991000 .
Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính 6cm . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip
khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F , F . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối 1 2 Trang 87
cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4cm , 2cm . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của a a quả đào bằng  ( 3
cm ) với a,b là các số thực và tối giản, khi đó a −b bằng b b A. 97 . B. 36 . C. 5 . D. 103 . Lời giải Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ O , hai tiêu điểm nằm trên trục 2 2 x y 2 x
Ox . Khi đó phương trình Elip là + = 1, xét y = 1- . 4 1 4
Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: 2 2 2  x  8 2
V = 2 y dx = 2 
 1− dx =  . 1 0  4  3 0 4
Thể tích quả đào hình cầu 3 V = .3 = 36 . 3 Do đó thể 100
tích phần cùi của quả đào là V −V =
 . Do đó a −b = 97 . 1 3
Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là AA' = 8 , độ dài trục nhỏ là BB ' = 6 ;
đường tròn tâm O đường kính là BB' như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay
có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình phẳng
được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA' . Trang 88 B A A' O B' 64 A. 36 . B. 12 . C. 16 . D.  . 3 Lời giải Chọn B
Gắn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O là tâm của đường tròn, , A A'Ox , , B B 'Oy . 2 2 2 x
Phương trình elip là x y + = 1, xét y = 3 1− . 16 9 16 2 4  x
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục Ox là: V = 2 9
 1− dx = 48 . 1 0  16  4 Thể tích khối cầu là: 3 V = .3 = 36 . 3
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V −V = 12 . 1 55
Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với AB = 30 c , m AD =
cm . Người ta cắt miếng tôn 3
theo đường hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết AM = 20cm,
CN =15cm , BE = 5 cm .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn
quanh trục AD (kết quả làm tròn đến hàng trăm). Trang 89 A. 3 81788cm . B. 3 87388cm . C. 3 83788cm . D. 3 7883cm . Lời giải Chọn C
Chọn hệ trục Oxy sao cho A O , D Ox , B Oy .
Ta có BE = 5 suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T = 20 .   Suy ra phương trình đồ x
thị hình Sin cần tìm có dạng: y = a sin + b   . 10     Do đồ 55
thị hình sin đi qua M (0;20) , N ;15   nên ta có:  3    1  a sin .0 + b = 20     10  a =10    .   1 55  b  = 20 a sin . + b =15    10 3    Ta có phương trình đồ x
thị hình sin cần tìm là y = 10sin + 20   . 10  2 55  x  Thể tích cần tìm là: 3 3    10sin + 20 dx 83788cm      . 0  10  
Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với
vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h)có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường
S mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. S =23, 71km . B. S =23,58km. C. = =
S 23,56 km. D. S 23,72km . Lời giải Chọn A Trang 90 Với t   0;  1 , gọi 2
v(t)=at +bt + . c Ta có : ( v 0) 4 = ; ( v 2) 9
= ; hoành độ đỉnh parabol bằng 2 nên ta có hệ phương trình:   5  a=− c=4   4 
4a+2b+c=9   b=5 .   b  = − = c 4 2   2a
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ bằng : 1  5  73 2 S =
− t +5t+4 dt = km  . 1    4  12 0 Với t ( 1;4], gọi ( v t)=mt+ .
n Ta có hệ phương trình :  31  5 m+n = m = −  4  
4 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 đến 4 giờ 4m+n=4  n=9 4  5  141 bằng : S = − t+9 dt = km  2    4  8 1
Quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ bằng : S=S +S =23,71km . 1 2
Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x , y = cos x , x = 0, x = a với    1 a  ;   là ( 3
− + 4 2 − 3) hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây?  4 2  2  7   51 11  11 3   51  A. ;1  . B. ;   . C. ;   . D. 1;   10   50 10  10 2   50  Lời giải Chọn B.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x , y = cos x , x = 0, x = a là a S =
sin x − cos x dx  0   4 a 4 a
= sin x − cos x dx+ sin x − cos x dx  
= (cos x−sin x)dx +(sin x−cos x)dx 0  0  4 4 Trang 91  4 a = ( a
cos x − sin x)dx − (cos x −sin x)dx = 2 −1−(sin x + cos x)  = 2 2 −1−cosa −sin a . 0  4 4 Theo bài ra ta có: (    +  3 − + 4 2 − 3) = 2
− + 4 2 − 2cos a − 3 1 5
2sin a  sin a + = = sin   .  4  2 2 12  7     a + =  a =  51 11 1, 047  a  ,   . 4 12 3  50 10 
Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho một mảnh vườn hình chử nhật ABCD
có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường
parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện.
Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại. 1 3 1 2 + 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 7 Lời giải Chọn D.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: 2 2
Ta lập được phương trình các parabol là 2 y = x và 2 y = −
x + 2 . Khi đó mảnh vườn nằm ở 9 9 2 2
miền trong hai parabol là hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 2 y = x và 2 y = − x + 2 . Khi đó 9 9 3 2 4
diện tích của mảnh vườn nằm trong hai parabol là: 2 2 S = 2 (−
x + 2)dx = 4 2 m  . 9 0
Diện tích hình chử nhật là: 2 12m
Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại 4 2 2 + 3 2 là: = 12 − 4 2 7 Trang 92
Câu 169: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x , y = 0, x = 0, x = 4 . Đường thẳng
y = k (0  k 16) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S , S như hình vẽ. Tìm k để 1 2 S = S . 1 2 A. 8 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D. Xét phương trình 2
x = k x = k (0; 4) . 4 4 4 3   Khi đó x 2 64 2 S = x − k dx = 
 ( 2x −k dx =  −kx = k k −4k + . 1 )  3  3 3 k k k 4 64 2
S = x dx − S = − S  2 1 1 3 0 64 32 2 32
Theo giả thiết ta có S = S S = − S S =  k k − 4k + = 0  k = 4. 1 2 1 1 1 3 3 3 3
Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số 2
y = 6x − x và trục hoành. Hai đường thẳng y = ,
m y = n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính 3 3 Q = (9 − ) m + (9 − n) A. Q = 405. B. Q = 409. C. Q = 407 . D. Q = 403 . Trang 93
Câu 171: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường 2 y = x x +1 ;
y = 0; x = 0 và x = 3 . Đường thẳng x = k với
1  k  3 chia hình (H) thành 2 phần có diện tích là S 1
và S . Để S = 6S thì k gần bằng 2 1 2 A. 1,37. B. 1,63. C. 0,97. D. 1,24.
Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao 20 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có
độ dài trục lớn bằng 10 . Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích V , 1
nửa dưới có thể tích V . Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm 2 V
thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là 8 và 14 . Tính tỉ số 1 . V2 11 9 9 6 A. . B. . C. . D. . 20 11 20 11 Lời giải Chọn B. h h
Ta có công thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính R là 2 1 2 V =  + R   .  2 
Theo bài ra ta có h = 8; h = 14 , thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng 10 . 1 2 Trang 94
Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ 2 2
2R = 10 − 6  R = 4 .  +  Khi đó 8 14 V 9 2
V = .4 .20 = 320 ; 2 V = .4 .
=176 V = V −V =144 . 1  = . 2    2  1 2 V 11 2
Câu 173: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x , cung tròn có phương trình 2 y = 6 − x ( 6
−  x  6) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của
vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục . Ox y A. V = 8 6 − 2. B. 22 22 22 V = 8 6 + .
C. V = 8 6 − .
D. V = 4 x  6 + . 3 3 3 - 6 O 6 Lời giải Chọn D. 0  x  6
Tọa độ giao điểm là nghiệm số phương trình   x = 2 2
 x = 6 − x
Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình D 0  
V =   ( 6 − x ) 2 2
dx +   ( 6 − x )2 −  ( x)2 2 2 dx    − 6 0 0
V =   (6 − x ) 2 2 dx +  ( 2
6 − x − x)dx − 6 0 Trang 95 0 2 3 3 2  x   x x
V =   6x − 
+  6x − −  3 3 2     − 6 0  6 6   8  V = −  6 − 6 +  + 12 − − 2      3    3  22 V = 4 6 + . 3 Vậy đáp án D.
Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2
đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé
của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2
Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
A. S = 4,8 .
B. S = 3,9 .
C. S = 3,7 . D. S = 3, 4 . Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Trang 96 y x O 2 2 x y
Phương trình của Elip ( E ) nằm ngang: + = 1 1 4 1 1
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y = 4 − x 1 2 2 2 x y
Phương trình Elip ( E ) đứng: + = 1 2 1 4
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y = 2 1− x 2 1 2 5 Xét phương trình: 2 2
4 − x = 2 1− x ; x  0 có nghiệm x = . 2 5
Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình : 2 y = 4 − x Diện tích cần tính là 2 5 5 2 1 2 2 2 2 S = 4(
( 4 − x − 2 1 − x )dx + ( 4 − x − 4 − x )dx)   2 0 2 5 5 2 5 5 2 1 2 2 2 = 4(
( 4 − x − 2 1− x )dx + 4 − x dx   2 0 2 5 5
Sử dụng máy tính ta được S  3,7 .
Câu 175: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai
cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ
lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). Trang 97 A. 2 1, 034m . B. 2 1, 574m . C. 2 1, 989m . D. 2 2, 824m . Hướng dẫn giải Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi hai sợi dây được kéo căng và là phần giao của hai đường tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi ,
O M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm (O) 2 2 2
: x + y = 3 và phương trình đường tròn tâm (M ) (x - )2 2 2 : 4 + y = 2
Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: 2 y = 9 - x và y = - (x - )2 4 4 Phương trình hoành độ 21
giao điểm: 4 - (x - 4)2 2 = 9 - x
Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 21 é ù ê8 3 ú 2 ê ú
Diện tích phần được tô màu là: S = 2 4 - êò (x - 4) 2 dx + 9 - x dx » 1, 989 ò ú . ê ú 2 21 ê ú ë 8 û
Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.
Câu 176: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m .
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2
1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để
trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Trang 98 8m Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 x y
Giả sử elip có phương trình +
= 1, với a b  0 . 2 2 a b
Từ giả thiết ta có 2a =16  a = 8 và 2b =10  b = 5  5 2 y = − 64 − y E 2 2 (  1 ) x y 8
Vậy phương trình của elip là + =1  64 25 5  2 y = 64 − y ( E1 )  8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E ; E ; x = 4
− ; x = 4 và diện tích 1 ) ( 2) 4 4 5 5 của dải vườn là 2 2 S = 2 64 − x dx = 64 − x d   x 8 2 4 − 0   3 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x = 8sin t , ta được S = 80  +   6 4    3 
Khi đó số tiền làT = 80 +
.100000 = 7652891,82 7.653.000  . 6 4 
Câu 177: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 y = x
x +1 , trục Ox và đường thẳng x =1
a b − ln (1+ b ) bằng với , a ,
b c là các số nguyên dương. Tính a + b + c . c A. 11. B. 12. C. 13. D. 14. Lời giải Chọn C. 1 1 Ta có 2 2 2 S = x x +1 dx = . x x x +1 dx   . 0 0 Trang 99 u  = x  =  du dx  Đặt  1 suy ra  1 . Khi đó,
dv = x x +1 dx = (x + )1 2 2 1 d ( 2 2 x +  )1 v =  ( 2x + ) 2 1 x +1  2  3 1 S = x ( x + ) 1 1 1 2 2 1 x +1 − ( 2x + ) 2 1 x +1 dx 3 3 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2  S = 2 2 − x x +1 dx − x +1 dx   3 3 3 0 0 1 2 2 1 1   2  S = − S − II = x +1 dx   3 3 3  0  2 IS = − . 2 4 1 Ta tính 2 I = x +1 dx  . 0  x 2  = + du = dx  Đặ u x 1 t  suy ra 2  x +1 . Khi đó, dv = dx v = x 1 2 1 1 x  1  2 2 I = x x +1 − dx = 2 −   x +1− dx 2 2 0 +  +  0 x 1 0 x 1 1 1 1 2  I = 2 − x +1dx + dx   2 + 0 0 x 1
I = 2 − I + ln (x + x +1)1 2 1 2 = + ln (1+ 2). 0 2 2   3 2 − ln 1+ 2 2 1 2 1 Vậy S = −  + ln  (1+ 2) ( )  = .  2 4 2 2 8  
Tức a = 3, b = 2, c = 8. Vậy a + b + c = 13.
Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều
rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình
giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số AB bằng CD 1 4 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 2 1 + 2 2 Trang 100 A 18m B C D 12m Lời giải Chọn C y 6 O x I A B J D C K -18 E F
Thiết lập hệ toạ độ Oxy trong mặt phẳng như hình vẽ. Khi đó parabol có phương trình 1 2 y = −
x . Gọi phương trình các đường thẳng là AB : y = t , (t  0) CD : y = k ,(k  0) 2  x = 2 − t , x = 2
− k . Đường thẳng EF : y = 1
− 8. Diện tích tam giác cong OKF là: B D 6  1  2
− x +18 dx = 72   .  2  0 2 − t  1 
Từ giả thiết suy ra: diện tích tam giác cong OBI = 24,OJD = 48  2 − − = x t dx 24     2  0 2 − k  1  y và 2
− x − k dx = 48    . Từ đó giải được 3 x = 72 ; 3 x = 144   2  B D 0 AB x 1 B = = . 3 CD xD 2 −1 O 1 x O
Câu 179: Cho hàm số y = f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d,( , a ,
b c  , a  0) có đồ
thị (C) . Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại Trang 101 −3
điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y = f (x) cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 27 A. S = 9 . B. S = . 4 21 5 C. S = . D. S = . 4 4 Lời giải Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f ( x) 2 = 3x −3.
f ( x) = f
 (x) x = ( 2x − ) 3 d 3
3 dx = x − 3x + C .
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ x âm nên 0 f ( x ) 2
= 0  3x −3 = 0  x = 1 − . 0 0 0 Suy ra f (− )
1 = 4  C = 2  (C) 3
: y = x − 3x + 2 x = 2 − Xét phương trình 3
x − 3x + 2 = 0   . x = 1 1 27
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S =
( 3x −3x+2)dx =  . 2 − 4
Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x, y = 0 và x = 4 quay quanh trục Ox . Đường
thẳng x = a (0  a  )
4 cắt đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ bên). Gọi V là thể tích khối 1
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V = V
2 . Giá trị của a 1 thỏa mãn Trang 102 = M y x K H O a 4 A. a [  ; 3 ) 4 . B. a [2; ) 3 . C. a [1; ) 2 . D. a ( ; 0 ) 1 . Lời giải Chọn A. 4 4 x2
Ta có V =  xdx =  = 8 
(đvdt)  V = 4 (đvdt). 2 1 0 0
Mặt khác V là tổng thể tích hai khối nón tròn xoay V và V . 1 OMK HMK 1 a  2 V = .  MK 2.OK = (vì MK = a ). OMK 3 3 1 a  (4 − a) V = .  MK 2.HK =
(vì HK = 4 − a ). HMK 3 3 4 a  4 V = V +V = . Từ đó :
a = 4  a = 3. 1 OMK HMK 3 3
Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Kí hiệu S , S , S lần lượt là diện tích hình 1 2 3
vuông có cạnh là 1 , hình tròn có bán kính bằng 1 , hình phẳng giới hạn bởi hai đường S + S 2
y = 2 1− x , y = 2(1− x) . Tính tỉ số 1 3 . S2 S + S 1 S + S 1 S + S 1 S + S 1 A. 1 3 = . B. 1 3 = . C. 1 3 = . D. 1 3 = . S 5 S 3 S 2 S 4 2 2 2 2 Lời giải Chọn C.
+ Ta có S = 1 ; S =  . 1 2 x = 0 + Ta thấy phương trình 2
2 1− x = 2(1− x)   . Khi đó: x = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
S = | 2 1− x − 2(1− x) | dx = 2 |
1− x − (1− x) dx |= 2 |
1− x − (1− x) dx |= 2 | 1− x dx − |      3 2 0 0 0 0 0 1 Tính 2 I = 1− x d  x . 0       2 2 +    Đặ 1 cos 2 1
t x = sin t, t  0;   , khi đó 2 = cos d = d = + sin 2t 2 =   t t I t t t   .  2  2  2 4  4 0 0 0 Trang 103  Suy ra S = −1 3 2 S + Khi đó: S 1 1 3 = . S 2 2 1 1 2 y Nhận xét: 2 2 1− =  x dx
S Trong đó S là diện tích Elip 2 x + = 1 0 0 4 4 0 1  2
S = 2  2 1− x dx =  0 2 0 y 2 x 1 − O 1
Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: 3 2 y = 2
− x + x + x + 5, 2
y = x − x + 5 , ta được:
A. S = 2 (đvdt).
B. S = 3 (đvdt).
C. S = 1 (đvdt).
D. S = 0 (đvdt). Lời giải Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f (x) 3 2 = 2
− x + x + x + 5 , x = 0
y = g ( x) 2
= x − x + 5 là: 3 2 2 3 − + + + = − +  − =  2x x x 5 x x 5 2x 2x 0  . x = 1  Diện tích giới hạn: 0 1 0 1 S = f
 (x)− g(x) d x+ f
 (x)− g(x) dx =  ( f (x)− g(x))dx + ( f (x)− g (x))dx 1 − 0 1 − 0    
S =  (2x −2x)d x + (2x −2x) 0 1 0 1 1 1 3 3 4 2 4 2 d x = x − x + x − x =1     (đvdt).  2   2  1 − 0 1 − 0
Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườ 1 27 ng sau: 2 y = x , 2 y = x , y = , ta được: 27 x
A. S = 27ln 2 (đvdt).
B. S = 27 ln 3 (đvdt). C. S = 28ln 3 (đvdt).
D. S = 29ln 2 (đvdt). Lời giải Trang 104 Chọn B. 3 9 3 9  1   27 1  26 9 1 Từ đồ thị ta có: 2 2 2 3 3 S = x − x x d + − x x d = x + 27ln x − x = 27ln 3     . 3  27   x 27  81 81 0 3 0 3
Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018] Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay
hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3
y = x ;y = - x + 2;y = 0 quanh trục Ox là: 4 10   A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 21 21 7 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x = - x + 2 Û x = 1 ; - x + 2 = 0 Û x = 2 (Hình vẽ).
Khi đó thể tích cần tìm là: 1 2 10p 6 2 V = p x dx + p (- x + 2) dx = ò ò . Chọn đáp án B. 21 0 1
Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình tròn (C) 2 2 : x + y = 8 và parabol ( ) 2 : = x P y
chia hình tròn thành hai phần. Gọi S là diện tích phần nhỏ, S là diện tích 2 1 2 S
phần lớn. Tính tỉ số 1 ? S2 Trang 105 S 3 + 2 S 3 − 2 10 S 3 + 2 S 3 +1 A. 1 = = = = S 9 . B. 1 − 2 S 9 . C. 1 + 2 S 9 . D. 1 + 2 S 9 . −1 2 2 2 2 x2 f(x) = Lời8 giải 2 Chọn A 6 4 2 x 15 10 5 5 10 15 O 2 4 2 2   2 2 2
Từ đồ thị trên ta có: x 8 2 2 2 2 S = 2 8 − x − dx = 2 8 − x dx − x dx = 2 8 − x dx −  6    . 1   0 0 0 0  2  3 2 Xét 2 I = 8 − x dx
. Đặt x = 2 2 sin t  dx = 2 2 cos tdt . 0 Đổi cận: x 0 2  t 0 4   Do vậy ta có: 2 2 4 4 I = 8 − 8sin t.2 2 cos d t t = 8 1− sin t cos d t t   0 0     4 2 4 I = 8 cos d t t = 4 
 (1+cos2t)dt = 4t +sin2t 4 = +2 0 0 0  4 S = 2 + . 1 3 Mặt khác: 4
S + S =  (2 2)2 = 8  S = 6 − . 1 2 2 3 4 2 + S  + Do vậy ta có: 3 2 1 3 = = . S 4 9 − 2 2 6 − 3
Cách 2: Vì Parabol ( P) cắt đường tròn (C) tại điểm chính giữa của cung thuộc góc phần tư
thứ nhất có tọa độ là A(2;2) . Xét đường thẳng d : y = x thì 2 2 2 2 3  x   x x  4 6 + 4
S = 2 + 2 x − dx = 2 + 2 −  = 2 + = . 1  2   2 6  3 3 0 0 4 18 4 S 8 S 6 − = − = − = . 2 1 3 3 Trang 106  + Khi đó S 3 2 1 = . S 9 − 2 2
Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42] 3
Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y =
x và đường Elip có phương trình 2 2 x 2
+ y = 1 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng 4 y 2 x -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 + 3 2  + 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 4 Lời giải Chọn A
+) Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x) , đồ b
thị y = g ( x) và các đường thẳng x = a ; x = b (a b) là S = f
 (x)− g(x) dx . a
+) Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Elip đã cho là 2 x 3 4 + x = 1  4 2
3x + x − 4 = 0 suy ra x = 1  . 4 4 2 x 2 x Phương trình 2
+ y = 1  y =  1−
. Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn 4 4 3 2 x bởi parabol 2 y =
x , đồ thị hàm số y = 1−
và các đường thẳng: x = 1 − ; x =1. 2 4 Trang 107 4
Vì parabol và Elip đều đối xứng qua Oy nên diện tích hình phẳng 3 (H ) bằng 1 1 2 2  x 3x  1 2 1 x 1 3 3x S 2 2 = − − 2 ( =  − −  x  2 1 dx 3 x dx   = 4 − x dx −  3 = I − , H ) 2 1 d  4 2  4 3 3 0   0 0 0 0 y 1 1 - 3 O 3 với 2 I = 4 − x dx -8  , -6 -4 -2 2 4 6 8 0 x -1    2 
Đặt x = 2sin t , t  0; 
 suy ra dxx = 2cost dt ; x = 0  t = 0; x =1 t =  2  y = - -2 3 y = - 4 - x2 6    -3  6 6 6 6  1   2 3
I = 2 cos t 4 − 4sin t dt  2 = 4cos t dt  = 2
 -4(1+cos2t)dt = 2 t + sin2t   = +  2  3 2 0 0 0 0   + Do đó 3 ( S = + 2 3 = . Chọn A. H ) 3 6 6
Câu 187: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
x + 3y = 0 và đường tròn có phương trình 2 2
x + y = 4 (hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng 4 + 3 3 2 + 3  + 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường đã cho là 4 x 2 x + = 4  4 2
x + 9x − 36 = 0 suy ra x =  3 . 9 Phương trình 2 2 x + y = 4  2
y =  4 − x . Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn Trang 108 2
y = − 4 − x  2  xy = − bởi các đường:  3
. Vì ( H ) đối xứng qua Oy nên x = − 3  x = 3 3 2 x 3 2  x  3 3 2 x 2 S 2 2 ( = − − x x  = 2 4 − x − dx    = 2 4 − x dx − 2 dx   H ) 2 4 d 3  3  3 0 0 0 0  3 3  1  3 = 2x  + 4 t + sin 2t   − 4 3 = . Chọn A.  2  9 3 0 0
Câu 188: Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi parabol 2
y = 4x − x và tiếp tuyến với  5 
parabol kẻ từ điểm M ; 6  .  2  9 9 3 4 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 Lời giải Trang 109 Chọn A   Phương trình tiế 5
p tuyến với parabol đã cho kẻ từ điểm M ; 6 
 là d : y = 2x +1 và  1 2  d : y = 4 − x +16. 2
Chia hình phẳng ( H ) thành hai hình lần lượt giới hạn bởi  y = 2x +1 y = −4x +16   2
y = 4x − x  2 = −  y 4x x  ( H :  = và ( H :  . 2 ) 1 ) x 1 5  x =  5  2 x =   2 x = 4 5 2 4 Suy ra 2 2 ( S = S + S =
2x +1− 4x + x dx + 4
− x +16 − 4x + x dx   H ) ( 1 H ) (H2) 1 5 2 5 5 4 2 4 (x − )3 1 (x −4)3 2 = ( 9 x − )2
1 dx + (x − 4)2 dx = + = . Chọn A. 3 3 4 1 5 5 1 2 2
Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số y = f ( ) x có đạo hàm f (  )
x liên tục trên R và đồ thị của hàm số y = f (
x) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ , a , b ,
c d (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trang 110 A. f ( ) c f ( ) a f ( )
b f (d) . B. f ( ) a f ( )
c f (d)  f ( ) b . C. f ( ) a f ( ) b f ( )
c f (d) . D. f ( ) c f ( )
a f (d)  f ( ) b . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f (
x), trục Ox từ trái 1 2 3 sang phải. Ta có: b + S  0  0 − f (
x) dx  0  − f ( )
b − f (a)  0  f (a)  f (b), (1).  + 1     a b c S S  0 − f (  x) dx f (
x) − 0 dx f (a) − f (b)  f (c) − f ( )
b f (a)  f (c), (2).   1 2     a b c d + S S f (
x) − 0 dx  0 − f (x) dx f (c) − f (b)  f (c) − f (d)  f (d)  f (b),(3).   2 3     b c
Từ (1),(2),(3) ta có f ( ) c f ( ) a f ( )
b f (d).
Phân tích: Ý tưởng của bài toán dựa trên sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Trang 111
Câu 190: Cho hàm số y = f ( )
x có đạo hàm f (  )
x liên tục trên R và đồ thị của hàm số y = f (  x) cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ , a ,
b c (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. f (c)  f (a)  f (b) . B. f (c)  f (b)  f (a) .
C. f (a)  f (b)  f (c) . D. f (b)  f (a)  f (c) . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f (
x), trục Ox từ trái 1 2 sang phải. Ta có: b + S  0  0 − f (
x) dx  0  − f ( )
b − f (a)  0  f (a)  f (b), (1).  + 1     a b c S S  0 − f (  x) dx f (
x) − 0 dx f (a) − f (b)  f (c) − f ( )
b f (a)  f (c), (2).   1 2     a b
Từ (1), (2) ta có f ( ) c f ( ) a f ( ) b .
Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  x + 3 − ; 
3 và đồ thị hàm số y = f  ( x) như hình vẽ bên. Biết f ( )
1 = 6 và g ( x) = f ( x) ( )2 1 − . 2
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình g ( x) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc  3 − ;  3 . Trang 112
B. Phương trình g ( x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc  3 − ;  3 .
C. Phương trình g ( x) = 0 không có nghiệm thuộc  3 − ;  3 .
D. Phương trình g ( x) = 0 có đúng ba nghiệm thuộc  3 − ;  3 . Lời giải Chọn B. 2 (x +1)
g(x) = f (x) −
g '(x) = f '(x) − (x +1). 2
Ta thấy đường thẳng y = x +1 là đường thẳng đi qua các điểm ( 3 − ; 2 − ),(1;2),(3;4).
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f (
x),đường thẳng y = x +1, x = 3 − , x =1.
Gọi S ' là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f (
x), đường thẳng y = x +1, x =1, x = 3. Do f ( ) 1 = 6  g ( ) 1 = 4. 1 Ta có: S  4  g (
x)dx  4  g(1) − g( 3 − )  4  g( 3 − )  0.  3 − 3
S '  4  − g (
x)dx  4  g(1) − g(3)  4  g(3)  0.  1
Từ đồ thị hàm số y = f  ( x) và đường thẳng y = x +1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau: x −3 1 3 g (  ) x 0 0 0 + - g( ) x 4 g(3)  0 g( 3 − )  0
Từ bảng biến thiên ta có phương trình g ( x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc  3 − ;  3 .
Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn 2
y = 2 − x và đường thẳng d đi qua hai điểm A(− 2;0) và B(1; )
1 (phần tô đậm như hình vẽ ) Trang 113  + 2 2 3 + 2 2  − 2 2 3 − 2 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. Cách 1:
Phương trình đường thẳng AB : y = ( 2 − ) 1 x + 2 − 2 .
Gọi S là diện tích cần tính, ta có 1
S =  ( 2 − x −( 2 − ) 1 x − 2 + 2 ) 1 1 2 2 dx = 2 − x dx − 
 ( 2 − )1x+2− 2)dx. − 2 − 2 − 2 1 + Tính 2 S = 2 − x dx  : 1 − 2    
Đặt x = 2 sin t,t  − ; 
 . Ta có dx = 2 cos d t t .  2 2   
Đổi cận x = − 2  t = − , x = 1 t = . 2 4     4 4 4 4 Suy ra 2 2 S = 2 − 2sin t. 2 cos d t t = 2 cos t cos d t t = 2 cos d t t = 1+ cos 2t dt     1 ( )     − − − − 2 2 2 2  4  1  3 1 = t + sin 2t = +   .  2   4 2 − 2  −  + S =  ( 1 1 ( 2 − )1x+2− 2) 2 1 2 1 2 dx = 
x + 2 − 2 x  = . 2  ( )  2 2 −   2 − 2 3 − 2 2
Vậy S = S − S = . 1 2 4
Cách 2: Sử dụng MTCT.
Phương trình đường thẳng AB : y = ( 2 − ) 1 x + 2 − 2 . 1
Gọi S là diện tích cần tính, ta có S =  ( 2 2 − x − ( 2 − )
1 x − 2 + 2 )dx . − 2
Sử dụng MTCT, tính S , gán giá trị vào biến A . Lấy giá trị A trừ đi các kết quả trong các đáp
án, rồi chọn đáp án có kết quả phép trừ bằng 0 . Đó là đáp án D . Trang 114 3
Câu 193: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y =
x và nửa đường elip có phương 2 1 trình 2 y = 4 − x ( với 2
−  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi S là diện 2 a + b 3 tích của, biết S =
( với a , b , c
). Tính P = a + b + c . c y 1 O x 2 − 2 A. P = 9 . B. P = 12 . C. P = 15 . D. P = 17 . Lời giải Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là: 2 2 3x = 4 − x 4 2
 3x + x − 4 = 0  x = 1  1 1 2   3 2  3 1  3x 1  3  Vậy 2 2 S = 2 x dx + 4 − x dx    2 =  + −    2 4 x dx  = 2 + S    2 2   6 2  1 6 0 1  1   0   2 1 Trong đó 2 S = 4 − x dx  . 1 2 1
Đặt x = 2sint  dx = 2cos d t t . 
Đổi cận x =1  t = . 6  x = 2  t = . 2    2 2 2  1   3 Vậy 2 S = 2 cos tdt
= (1+ cos2t)dt = t + sin2t = − . 1      2   3 4 6 6 6  4 − 3  4 − 3 Suy ra S = 2    = . 12   6
Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  3 − ;  3 .
Biết rằng diện tích hình phẳng S , S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng 1 2
y = −x −1 lần lượt là M; m . Trang 115 3 Tính tích phân f
 (x)dx bằng : 3 −
A. 6 + m − M .
B. 6 − m − M .
C. M − m + 6 .
D. m − M − 6 . Lời giải Chọn D.
Chia diện tích hình phẳng S là M = S + S như trong hình vẽ mô tả dưới đây. 1 11 12 y 2 1 3 −3 O x 2 − 4 − y = −x −1 f ( x)
Gọi x là hoành độ giao điểm của đồ thi (C) hàm số y = f ( x) với trục Ox . 0 3 0 x 3 Ta có f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx =(S −S −S +S + S − m ABC 11 ) 12 CMQ  ( MNPQ ) 3 − 3 − 0 x
= (2 − S − S + 2 + 6 − m  = m− M − . Vậy chọn D. 11 )  12 ( ) 6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cho b
trước. Nếu xác định được M,m và cho trước g (x) ta có thể tính được f (x)dx  . a Trang 116
Câu 195: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [- 5; ]
3 . Biết rằng diện tích hình
phẳng S ,S ,S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y g (x) 2 =
= ax + bx + c 1 2 3 3 lần lượt là , m , n p . Tích phân ( ) ò f x dx bằng - 5 208 208 208 208
A. m − n + p −
B. m − n + p +
C. −m + n − p −
D. −m + n − p + 45 45 45 45 Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm y = g (x) đi qua các điểm O(0;0), A( 2 − ;0), B(3;2) nên  2 a =  c = 0 15     4 2 4
4a − 2b = 0  b =  g ( x) 2 = x + x .  15  15 15 9a + 3b = 2  c = 0  2 − 0 3
m − n + p =  f
  (x)− g(x)dx− g
  (x)− f (x)dx+  f
 (x)− g(x)dx  5 − 2 − 0 3 3 = f
 (x)dx− g  (x)dx. 5 − 5 − 3 3 
f ( x) dx = m − n + p + g ( x) 208
dx = m − n + p +   45 5 − 5 − y 5 y= g(x) S3 2 S1 -1 -5 -2 O 2 3 x S2 y= f(x)a = 4  Vậy b  = 1
−  P = a + b + c = 9 . c = 6  Trang 117
Câu 196: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật (H ) có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh
trên một đường chéo là A( 1 − ;0) và C( ; m
m ) với m  0. Biết rằng đồ thị hàm số y = x chia
hình ( H ) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . 1 A. m = 9 . B. m = 4 . C. m = . D. m = 3 . 2 Lời giải
Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm B và tính được diện tích một phần mà đường y = x chia hình ( H ) . Chọn D
Từ giả thiết suy ra B( ;0 m )Ox .  S = (m + ) 1 m . ABCD
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x; x = 0; x = ; m y = 0 . Suy ra 1 m m 2x x 2m m S = xdx = =  . 1 3 3 0 0 1 2m m (m+ ) 1 m
Theo giả thiết ta có S = S  =  m = 3 . 1 2 ABCD 3 2
Câu 197: Trong mặt phẳng
Oxy , cho hình thang vuông ABCD có A( 1 − ;0) và B ( ; m 0);C ( ; m m +1); D( 1 − ;5) với m  1
− . Biết rằng đồ thị hàm số y = x +1 chia hình
(H ) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . A. m =12 . B. m = 6 . C. m = 8 . D. m = 10 . Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Sau đó dùng tích phân để
tính phần diện tích đó. Trang 118 Chọn C 1 S = AD + BC AB = m + + m + . ABCD ( ) 1 ( 1 5)( ) 1 2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
x +1; x = −1; x = ; m y = 0 . Suy ra 1 m m 2( x + ) 1 x +1 2(m + ) 1 m +1 S = x +1dx = =  . 1 3 3 1 − 1 − 1 2(m + ) 1 m +1 1 1
Theo giả thiết ta có S = S
= . . m +1 + 5 m +1 . 1 ABCD ( )( ) 2 3 2 2
m +1 = 3  m = 8 . x − 2
Câu 198: Trong mặt phẳng Oxy , A(0;2) và B( ;0
m ) với m  2 . Biết rằng đồ thị hàm số y = (C) x −1 x − 2
chia tam giác OAB thành hai phần. Tính diện tích của phần giới hạn bởi y = ; y = 0 và x −1
đường thẳng AB theo m . 2 3m − 4 m 2 m − 4 m 2 m + 4 m 2 m − 4 m A. − ln . B. − ln . C. − ln . D. + ln . 8 2 8 2 8 2 8 2 Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Chú ý phần diện tích cần
tìm gồm hai phần và tam giác vuông và hình thang cong. Chọn B Trang 119 Ta có phương trình đườ x y 2 ng thẳng AB là:
+ =1  y = − x + 2 . m 2 m
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB : x − 2 2
= − x + 2 (1) ( điều kiện x 1). x −1 m
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương với: x = 0 2 2x (m 2) x 0  − + =  m + 2  x =  2
Với x = 0  y = 2  E (0;2)  A . m + 2 m − 2
m + 2 m − 2  Với x =  y =  F ;   . 2 2  2 2  x − 2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ; y = −
x + 2; y = 0 . Suy ra 1 x −1 m m+2 2 + x − 2  m +  m − m − m S = dx + S = x − x − + m − = −  . FHB ( m ln 1 ) 2 2 1 2 2 4 2 . . ln 1   2 x −1 2  2  2 8 2 2
Câu 199: Gọi H là tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn 2z − z  3
và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H 3 3 A. 3 . B. . C. . D. 6 . 4 2 Lời giải Chọn C Trang 120
2z − z  3  2( x + yi) − ( x − yi)  3  x + ( y)2 2 3  3 2 2 2 x x y 2 3 − x 1 1 2 2 2
x + 9y  3  + 3y 1  + 1 2  y  2 2  −
3 − x y  3 − x 3 3 1 9 3 3 3 2 3 − x
Mà y không âm nên 0  y  9 3 1 Diện tích cần tìm 2 S = 3 − x dx  − 3 3
Đặt x = 3 sin t dx = 3 costdt  
Cận x = − 3  t = − ; x = 3  t = 2 2     3   2 3 1 2 S =
3 − 3sin t 3 cos tdt  2 2 = 2 = +  3cos tdt   2  (1 cos 2t )  dt = t + sin 2t   − − 2 − 2  2   2 2 2 − 2 3     3 = − − =    2  2  2  2
Câu 200: Cho hình D 2
giới hạn bởi các đường y = x − 2 và y =− x . Khi đó diện tích của hình D là: 13 7 7 13 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình: x =1 2
x − 2 = − x x =1   x = −1
Khi đó diện tích của hình D được xác định bởi: 1 0 1 2 S =
x − 2 − x .dx  =  ( 2
x − x + 2).dx + ( 2
−x − x + 2).dx 1 − 1 − 0 0 1 2 3 2 3  x x   x x  = 7 7 7  −
+ 2x + − − + 2x = + = (đvdt)  2 3   2 3  6 6 3 1 − 0 Trang 121