Top 32 bài toán phương trình và bất phương trình mũ – logarit chứa tham số

Tài liệu gồm 25 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Văn Nghiệp, tuyển chọn 32 bài toán phương trình và bất phương trình mũ – logarit chứa tham số có đáp án và lời giải chi tiết; tài liệu hỗ trợ học sinh lớp 12 

20 10 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

25 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 1 -
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Cho phương trình
4 10.2 16 3 0
x x
x m
, với
m
là tham số thực. Có bao nhiêu số
nguyên
m
để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt?
A.
7
. B.
2
. C.
1
. D.
6
.
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên
a
,
3
a
sao cho tồn tại số thực
x
thỏa mãn
2021
2021
log
log
3 3
a
x
a x
A.
2019
. B.
. C.
. D.
2003
.
Câu 3. Gọi
S
là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình
2
2
log
2 2 2
2 2
log 2 log
x
mx mx x
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để tập hợp
S
có đúng 8 phần tử ?
A. 5. B. 6. C. 10. D. 11.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 2
3 9 2 0
x x x
m
có 5 nghiệm nguyên?
A. 65021. B. 65022. C. 65023. D. 65024.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên
m
để phương trình
3 2 2 2
2 2 9 5 9
m m
x x x x
có
nghiệm?
A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.
Câu 6. Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
và
2021;2021
m
để phương trình
3
2
log
f x
x f x mx mx f x
mx
có hai
nghiệm phân biệt dương ?
A.
. B.
2021
. C.
. D.
.
Câu 7. Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
10;10
m
để phương trình
2 2 2
2 3 1 2 2
2 2 1 2 2
x x m x
m x x
có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của
S
là
A.
17
. B.
15
. C.
18
. D.
16
.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
thuộc
20;20
để bất phương trình
2 3
3 3
log log 1 0
x a x a
có không quá 20 nghiệm nguyên?
A.
22
. B.
23
. C.
21
. D.
24
.
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên
2021
m
để có nhiều hơn một cặp số
;x y
thỏa
mãn
2 2
4
log 4 2 1
x y
x y m
và
4 3 1 0
x y
?
A.
2017
. B.
. C.
2019
. D.
2022
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 2 -
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
trên đoạn
10;10
để phương trình
ln 1 ln 1
x a x
e e x a x
có nghiệm duy nhất?
A.
2
. B.
10
. C.
1
. D.
20
.
Câu 11. Cho phương trình
3
2020
log
2021
x a
x
với
a
là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
phương trình là
32
. Mệnh đề nào sau đây là đúng
A.
1 2
a
. B.
3 4
a
. C.
4 5
a
. D.
2 3
a
.
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên
20;20
m
để phương trình
2 3
log log 2
x m x
có
nghiệm thực
A.
15
. B.
14
. C.
24
. D.
21
.
Câu 13. Cho phương trình
2 2
sin 2 cos cos 1
cos
1 1
2 2 3 cos 8 4 2(cos 1) 3
9 2 3
m
m x x x
x
m x x
(1)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình (1) có nghiệm thực?
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
9
.
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên
m
thỏa mãn
ln 1 ln
1 1
x x m
x x x x
,
0, 1x x
?
A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
5;5
m
để phương trình
3 2
2 1
2
2
log 1 log 1 2 8 log 1 2 0
f x f x m f x m
có nghiệm
1;1
x
?
A.
7
. B.
5
. C. vô số. D.
6
.
Câu 16. Cho phương trình
2
3 3
log 3log 2 7 0
x x m
có hai nghiệm thực phân biệt
1 2
,x x
thỏa
mãn
1 2
3 3 72
x x
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
7
2;
2
m
. B.
7
;
2
m

. C.
;2
m 
. D.
7
;
2
m
.
Câu 17. Cho phương trình
2
3 3 3
log 4log 5 log 1
x x m x
với
m
là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm thuộc
[27; )
.
A.
0 1
m
. B.
0 2
m
. C.
0 1
m
. D.
0 2
m
.
Câu 18. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như sau.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 3 -
Tổng các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
4
( )
2
( )
2
2 log ( ) 4 ( ) 5
f x
f x
f x f x m
có đúng hai nghiệm phân biệt bằng
A.
34
. B.
50
. C.
67
. D.
83
.
Câu 19. Biết rằng
a
là số thực dương để bất phương trình
9 1
x
a x
nghiệm đúng với mọi
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
0;10
a
. B.
2 3
10 ;10
a
. C.
4
10 ;a
. D.
3 4
10 ;10
a
.
Câu 20. Giả sử
,a b
là các số thực sao cho
3 3 3 2
.10 .10
x x
x y a b đúng với mọi số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
log
x y z
và
2 2
log 1x y z
. Giá trị của
a b
bằng
A.
29
2
. B.
31
2
. C.
31
2
. D.
25
2
.
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số
m
để phương trình
16.3 4 4.9 18.3 4
x x x
m m
có đúng một nghiệm ?
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D. Vô số.
Câu 22. Gọi
S
là tập các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
( 1)
3
2
1
3 27 1 log
2 4
x m
x
x m
x x
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần
tử của
S
bằng
A.
3
. B.
13
4
. C.
5
4
. D.
2
.
Câu 23. Cho phương trình
3 2
2 2
log 5 6 log 3 1
m
mx mx x x
, với
m
là tham số. Số
các giá trị
x
nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi
1
m
là
A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1.
Câu 24. Cho hàm số
2
2f x x x
. Tìm
m
để phương trình
3 2 1
f x f m
f x f m
có
nghiệm
0 ;1
x
.
A.
3 ; 1 \ 1
. B.
5 ; 1 \ 1
. C.
3 ; 4 \ 1
m
D.
3 ; 4 \ 2
m
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
1 1 2 2
4 4 1 2 2 16 8
x x x x
m m
có nghiệm thuộc đoạn
0;1
.
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 26. Gọi
S
là tập hợp các số nguyên
2020; 2020
m
để phương trình
2
2 2
2
log log logx x m m x
có đúng hai nghiệm. Số phần tử của
S
bằng
A.
2021
. B.
0
. C.
2020
. D.
1
.
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực
;x y
thỏa mãn
2 2
2
log 2 2 5 1
x y
x y
, có bao nhiêu giá
trị thực của
m
để tồn tại duy nhất cặp số thực
;x y
sao cho
2 2
4 6 13 0
x y x y m
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 4 -
Câu 28. Tìm số các giá trị nguyên của
m
để phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 3 2
ln 1
x m m x m x
nghiệm đúng với mọi số thực
x
?
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
m
để tập nghiệm của phương trình
2 2
2 4 3 4
2 2 2 2
x x m x x m x m x
có đúng hai phần tử?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 31. Gọi
S
tập hợp các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
2 2
2 7 5 3 2 8 7
.3 3 3
x x x x
m m
có đúng
3
nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập
S
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
3 9
log 1 log 9 1
m
x x x
có hai nghiệm thực phân biệt.
A.
1;0
m
. B.
2;0
m
. C.
1;m

. D.
1;0
m
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D 8.A 9.A 10.D
11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.D 17.A 18.B 19.D 20.A
21.C 22.A 23.D 24.A 25.C 26.C 27.B 28.C 29.C 30.B
31.D 32.C
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 5 -
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1. Cho phương trình
4 10.2 16 3 0
x x
x m
, với
m
là tham số thực. Có bao nhiêu số
nguyên
m
để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt?
A.
7
. B.
2
. C.
1
. D.
6
.
Lời giải
Điều kiện:
3
m
x
.
4 10.2 16 3 0
x x
x m
4 10.2 16 0
3
x x
m
x
2 2
2 8
3
x
x
m
x
1
3
3
x
x
m
x
.
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
1 3
3
m
3 9
m
.
Vậy có 6 giá trị
m
thỏa mãn.
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên
a
,
3
a
sao cho tồn tại số thực
x
thỏa mãn
2021
2021
log
log
3 3
a
x
a x
A.
2019
. B.
. C.
. D.
2003
.
Lời giải
Điều kiện có nghiệm:
3
x
.
2021
2021
log
log
3 3
a
x
a x
2021
2021
log
log
3 3
a
a
x x
.
Đặt
2021
log
3
a
t x
,
0t
. Ta được:
2021
2021
log
log
3
3
a
a
x t
t x
2021 2021
log loga a
x t t x
2021 2021
log loga a
x x t t
.
Xét hàm số
2021
log a
f X X X
đồng biến trên khoảng
0;

.
Do đó
2021 2021
log loga a
x x t t
x t
.
Suy ra, ta có phương trình:
2021
log
3
a
x x
2021
log
3
a
x x
2021 2021 2021
log .log log 3
a x x
2021
2021
2021
log 3
log
log
x
a
x
.
1
Vì
3
a
và
3
x
nên
2021
2021
2021
log 3
log 0
log
x
a
x
mà
2021
log 0
x
suy ra
2021 2021
0 log 3 log
x x
,
3
x
nên
2021
2021
log 3
1
log
x
x
,
3
x
.
Suy ra, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là:
2021
log 1
a
0 2021
a
.
Kết hợp với điều kiện
3
a
, suy ra
3;4;5;....;2020
a
.
Ngược lại, nếu
3 2021
a
, đặt
2021
log
a m
, với
0 1
m
. Khi đó, phương trình
1
tương đương với
2021
2021
log 3
log
x
m
x
log 3
x
x m
3
m
x x
3 0
m
x x
.
Xét hàm số
3
m
g x x x
liên tục trên
3;

,
3 3 0
m
g
và
lim
x
g x

nên
phương trình
3 0
m
x x
có nghiệm
3;x
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 6 -
Vậy có 2018 số nguyên
a
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Gọi
S
là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình
2
2
log
2 2 2
2 2
log 2 log
x
mx mx x
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để tập hợp
S
có đúng 8 phần tử ?
A. 5. B. 6. C. 10. D. 11.
Lời giải
Điều kiện:
x
và
0
m
.
Bất phương trình tương đương với:
2 2 2
2 2 2
log log log
2 2 2
2 2
log 2 log 2 2
x x x
mx mx f mx f
(1)
Với hàm
2
logf t t t
,
0t
. Ta có:
1
1 0
ln 2
f t
t
với
0t
nên hàm số
f t
đồng biến trên
0;
. Khi đó ta được:
(1)
2
2
log
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 log 2 log log log log 2 log
x
mx m x x m x x g x
Ta có:
2 2
2 2 2
log log 1
ln 2 ln 2 ln 2
g x x x
x x x
;
2
0 log 1 2
g x x x
(nhận)
Để
S
có đúng 8 nghiệm nguyên (gồm các nghiệm là: 1; 2; 3; 4; …; 8) thì
2
3 log 3,708 8 13,068
m m
.
Do
m
nên ta chọn
9;10;11;12;13
m
. Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số
m
.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 2
3 9 2 0
x x x
m
có 5 nghiệm nguyên?
A. 65021. B. 65022. C. 65023. D. 65024.
Lời giải
Trường hợp 1:
0
m
Ta có:
2
2 0
x
m
nên bất phương trình tương đương với
2
2
3 9 2 0 1 2
x x
x x x
.
Do
x
nên ta chọn
1;0;1;2
x
, có 4 giá trị nguyên là nghiệm (không thỏa đề bài).
Trường hợp 2:
m
(do
m
)
2
2
3 9 0 2 1 2
x x
x x x x
.
2
2
2 0 0 0
x
m x x
.
Ta có bảng xét dấu sau:
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 7 -
Vậy có các giá trị nguyên là nghiệm của bất phương trình gồm
1;0;1;2
, tức là có 4
nghiệm nguyên (không thỏa đề bài).
Trường hợp 3:
2
m
(do
m
)
2
2
2 2 2
2 0 log log log
x
m x m x m x m
.
Do số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 nên ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên thì
2 2
3 log 4 9 log 16 512 65536
m m m (thỏa mãn điều kiện)
Do
m
nên ta chọn
512;513;....;65535
m
tức là có
655035 512 1 65024
giá trị
nguyên của tham số
m
thỏa đề bài.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên
m
để phương trình
3 2 2 2
2 2 9 5 9
m m
x x x x
có
nghiệm?
A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.
Lời giải
*Điều kiện xác định:
3 3
x
.
Đặt
2
2 2
9
9 9
2
y
y f x x x x x
.
Ta có
2
2 2
9
' 1 .
9 9
x x x
y f x
x x
Do đó
2
2
2 2
0
0
3
' 0 9
9
9
2
2
x
x
f x x x x
x
x x
.
Bảng biến thiên
2
9
y f x x x
trên
3;3
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 8 -
Suy ra
3 3 2 3;3 .
y x
*Phương trình trở thành:
2
3 2 1 3 3 2
9
2 2 . 5 2 2 1
2
m m m m
y
y y y
Đặt
1
2
m
t
3 3
t t y y
(1).
Ta có (1)
3 3 2 2
0 1 0
t y t y t y t ty y
2
2
3
1 0
2 4
y y
t y t
.t y
Vậy phương trình có nghiệm
1
3 2 3 2
m
. Suy ra
2
log 3 2 1
m
.
Vì
m
là số tự nhiên nên
0;1 .
m
Vậy có hai số tự nhiên
m
thỏa mãn yêu cầu.
Câu 6. Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
và
2021;2021
m
để phương trình
3
2
log
f x
x f x mx mx f x
mx
có hai
nghiệm phân biệt dương ?
A.
. B.
2021
. C.
. D.
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
ta thấy
3
f x
và
0
f x
có ba nghiệm phân biệt
1;0;1
nên
2 4 2
' 1
4 2
a a
f x ax x f x x x b
.
Ta có
4 2
0 4
4
2 4 .
4
1 3
4
f b
a
f x x x
a
b
f b
Mặt khác, từ phương trình suy ra
0
m
.
2 2 3
log log
PT f x mx xf x mx mx f x
2 2 2
log ( ) log .
f x xf x f x mx x mx mx
Cộng vào hai vế của phương trình trên với
log 1 0
x x
ta được :
2 2
log 1 1 ( ) log 1 1 *
x f x x f x x mx x mx
Đặt
log , 0g t t t t
. Dễ thấy hàm
g t
luôn đồng biến
0
t
.
Từ (*)
2 2 2
2 2
4
1 1 2
f x
x f x x mx f x mx m x m
x x
.
Xét hàm
2
2 3
4 8
' 2 , 0 2
h x x h x x h x x
x x
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 9 -
Vậy PT đã cho có hai nghiệm dương phân biệt
2 4 2
m m
.
Vì
2021;2021
m
nên có 2019 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Câu 7. Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
10;10
m
để phương trình
2 2 2
2 3 1 2 2
2 2 1 2 2
x x m x
m x x
có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của
S
là
A.
17
. B.
15
. C.
18
. D.
16
.
Lời giải
Ta có:
2 2 2
2 3 1 2 2
2 2 1 2 2
x x m x
m x x
2 2 2
2 3 2 1 2 2
2 2 3 2 1
x x m x
x x m x
. (*)
Xét ( ) 2
t
f t t
, với
1t
.
( ) 2 .ln 2 1 0 , 1
t
f t t
.
( )f t
đồng biến trên
1;
.
Do đó, pt
2 2 2
(*) 2 3 1
f x x f m x
2 2 2
2 3 1
x x m x
2 2
1 2 2 0
m x x
. (1)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2
2
1
1
1 0
2 2
0 8 4 0
2 2
m
m
m
m
m m
.
Mà
m
và
10;10
m
nên suy ra
9; 8;...;9 \ 1;0;1
m
.
Vậy tập
S
có 16 phần tử.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
thuộc
20;20
để bất phương trình
2 3
3 3
log log 1 0
x a x a
có không quá 20 nghiệm nguyên?
A.
22
. B.
23
. C.
21
. D.
24
.
Lời giải
Điều kiện
3
3
3
0
0
1
log 0
1
x
x
x
x
x
.
Với điều kiện trên, ta có:
2 3
3 3
log log 1 0
x a x a
3 3
2log 3log 1 0
x a x a
.
Đặt
3
3log
x t
,
0
t
2
3
log
3
t
x
.
Ta có bất phương trình
2
2
1 0
3
t at a
2
2 3
3
1
t
a
t
.
Nhận xét:
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 10 -
Xét hàm số
2
2 3
1
t
f t
t
trên
0;
, ta có:
2
2
2 4 3
'
1
t t
f t
t
. Giải phương trình
' 0
f t
2 10
2
2 10
2
t l
t n
.
Bảng biến thiên
Bảng giá trị
x
1
2
3
…
20 21
t
0
3
3log 2
3
…
3
3log 20
3
3log 21
f t
3
3
3
6 log 2 3
3log 2 1
9
3 1
…
3
3
6log 20 3
3log 20 1
3
3
6log 21 3
5,054
3log 21 1
Bất phương trình
2 3
3 3
log log 1 0
x a x a
có không quá 20 nghiệm nguyên
3 3
3 3
6 log 21 3 2 log 21 1
3 1, 685
3log 21 1 3log 21 1
a a
Tập các giá trị của
a
thỏa đề là
1;0;....;20
Có 22 giá trị của
a
thỏa đề.
Cách 2:
Điều kiện
3
3
3
0
0
1
log 0
1
x
x
x
x
x
.
Với điều kiện trên, ta có:
2 3
3 3
log log 1 0
x a x a
3 3
2log 3log 1 0
x a x a
(*)
Đặt
3
3log
x t
,
0
t
2
3
log
3
t
x
.
Do bất phương trình có không quá 20 nghiệm nguyên nên suy ra:
1 21
x
3
0 3log 21
t .
Ta có bất phương trình (*)
2
2
1 0
3
t at a
2
2 3
3
1
t
a
t
.
Xét hàm số
2
2 3
1
t
f t
t
trên
0;

, ta có:
2
2
2 4 3
1
t t
f t
t
.
0
f t
2 10
2
2 10
2
t l
t n
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 11 -
Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán tương đương với
5
3 5 1,67
3
a a
.
Mà
20;20
a
nên có 22 giá trị
a
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên
2021
m
để có nhiều hơn một cặp số
;x y
thỏa
mãn
2 2
4
log 4 2 1
x y
x y m
và
4 3 1 0
x y
?
A.
2017
. B.
. C.
2019
. D.
2022
.
Lời giải
Ta có:
2 2
2 2
4
log 4 2 1 4 2 4
x y
x y m x y m x y
.
2 2
2 2
4 2 4 0 2 1 1 * .
x y x y m x y m
Như vậy,
*
là phương trình hình tròn
C
tâm
2; 1
I
, bán kính
1
R m
(với
1
m
)
Bài toán đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng
: 4 3 1 0
d x y
và hình tròn
C
.
Để có nhiều hơn một cặp
;x y
thì
;
d I d R
.
2
2
4.2 3. 1 1
12 144 119
1 1 1 4,76
5 25 25
4 3
m m m m
.
Kết hợp điều kiên
2021
m
, suy ra
5 2021
m
.
Vậy có
2017
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
trên đoạn
10;10
để phương trình
ln 1 ln 1
x a x
e e x a x
có nghiệm duy nhất?
A.
2
. B.
10
. C.
1
. D.
20
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
1 0
*
1 0
x a
x
.
Phương trình đã cho tương đương với
ln 1 ln 1 0
x a x
e e x a x
.
Đặt
x a x
f x e e
;
ln 1 ln 1
g x x a x
;
P x f x g x
.
Với
0
a
thì
0
P x
(luôn đúng với mọi
x
thỏa mãn
*
).
Với
0
a
thì
* 1,
x f x
đồng biến và
g x
nghịch biến với
1
x
. Khi đó
P x
đồng biến với
1 1
x
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 12 -
Ta có:
1 1 1
1
lim lim ln lim ln 1
1 1
2
lim lim 1 ln 1
1
x a x x a x
x x x
x a
x x
x a a
P x e e e e
x x
a
P x e e
x
 


Kết hợp
1
và
2
thì phương trình
0
P x
có nghiệm duy nhất.
Với
0
a
thì
* 1 ,
x a g x
đồng biến và
f x
nghịch biến với
1x a
. Khi
đó
P x
nghịch biến với
1 3
x a
.
Ta có:
1 1 1
1
lim lim ln lim ln 1
1 1
4
lim lim 1 ln 1
1
x a x x a x
x a x a x a
x a
x x
x a a
P x e e e e
x x
a
P x e e
x
 


Kết hợp
3
và
4
thì phương trình
0
P x
có nghiệm duy nhất.
Kết hợp cả
3
trường hợp, yêu cầu bài toán
10 0
0 10
a
a
.
Vậy có tất cả
20
giá trị nguyên của
a
thỏa mãn.
Câu 11. Cho phương trình
3
2020
log
2021
x a
x
với
a
là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
phương trình là
32
. Mệnh đề nào sau đây là đúng
A.
1 2
a
. B.
3 4
a
. C.
4 5
a
. D.
2 3
a
.
Lời giải
Điều kiện:
0
x
.
3
2020
log
2021
x a
x
2020
3log log 2021
x
x a
2020
2020
2020
log 2021
3log
log
x a
x
2
2020 2020 2020
3log log log 2021 0
x a x
.
1
Ta có:
1 2
. 32
x x
. Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình
1
ta có:
2020 1 2020 2 2020 1 2 2020
log log log . log 32
3
a
x x x x
1,366
a
.
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên
20; 20
m
để phương trình
2 3
log log 2
x m x
có
nghiệm thực
A.
15
. B.
14
. C.
24
. D.
21
.
Lời giải
Cách 1: Điều kiện:
0
x
m x
.
Đặt:
2 3
1
log log
4
x
t
m x
2
4.2
4
1
1
3
3
t
t
t
t
x
x
m x
m x
1
4.2
3
t
t
m t
.
Xét phương trình:
1
4.2
3
t
t
f t t
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 13 -
ln 3
' 4.ln 2.2 0
3
t
t
f t
6
ln 3 1
log
4ln 2 2
t
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi:
4,56
m
.
Mà
, 20;20 5;6;7;...;19
m m m
.
Vậy có
15
số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Điều kiện:
0
x m
.
2 3
log log 2
x m x
3 2
4
log logm x
x
2
4
log
3
x
m x
2
log 3
4
m x
x
.
Đặt
2
log 3
n , ta được:
1
4 4 4
1 4,56
n n n
n
n n n
n x x x
m x n
x n x n n n n
( có
n
số hạng
x
n
)
Vậy có
19 5 1 15
số nguyên
20; 20
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13. Cho phương trình
2 2
sin 2 cos cos 1
cos
1 1
2 2 3 cos 8 4 2(cos 1) 3
9 2 3
m
m x x x
x
m x x
(1)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình (1) có nghiệm thực?
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
9
.
Lời giải
Phương trình (1) tương đương
2
2
1 cos 2cos 3
1 cos 2 2cos 3
1 1
2 1 cos 2 2 cos 3
3 3
m x x
m x x
m x x
(2).
Xét hàm số
1
( ) 2
3
t
t
f t t
có
( ) 2 ln 2 1 3 ln 3 0
t t
f t
,
t
.
Suy ra hàm số
( )f t
đồng biến trên
.
Do đó (2)
2 2
1 cos 2 cos 3 cos 2 cos 2
m x x m x x
(3).
Vì
1 cos 1x
nên
2 2
1 cos 2 cos 2 (cos 1) 1 5
x x x
.
Suy ra phương trình (3) có nghiệm thực khi và chỉ khi
1 5
m
.
Vậy có
5
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 14 -
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên
m
thỏa mãn
ln 1 ln
1 1
x x m
x x x x
,
0, 1x x
?
A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0.
Lời giải
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2 ln
1
1
x x
m
x
,
0, 1x x
. (1)
Xét hàm số
2
2 ln
( )
1
x x
f x
x
,
0, 1x x
.
Ta có
2
2
2 2
2 2 2 2 2
1
2 ln
1
2[( 1) ln 1]
( )
( 1) ( 1)( 1)
x
x
x
x x x
f x
x x x
.
Xét hàm số
2
2
1
( ) ln
1
x
g x x
x
,
x
.
Ta có
2 2
2 2
( 1)
( ) 0
( 1)
x
g x
x x
,
0
x
,
1x
;
( ) 0 1g x x
.
Suy ra
( ) (1) 0
g x g
khi
1x
và
( ) (1) 0
g x g
khi
1x
.
Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
(1) 1 1 0
m m
.
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
5;5
m
để phương trình
3 2
2 1
2
2
log 1 log 1 2 8 log 1 2 0
f x f x m f x m
có nghiệm
1;1
x
?
A.
7
. B.
5
. C. vô số. D.
6
.
Lời giải
Xét phương trình:
3 2
2 1
2
2
3 2
2 2 2
log 1 log 1 2 8 log 1 2 0
log 1 4 log 1 4 log 1 2 0 1
f x f x m f x m
f x f x m f x m
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 15 -
Điều kiện:
1 0
f x
Đặt
2
log 1
t f x
.
Vì
1;1
x
nên từ đồ thị suy ra:
1;3 1 0; 4 ;2
f x f x t 
3 2 2
2 2
1 4 4 2 0 2 2 0 2
2 ( )
2 0 2 3
t t m t m t t t m
t L
t t m t t m
Xét hàm
2
2g t t t
với
;2
t 
Để PT
3
có nghiệm thì:
1
m
, kết hợp
5;5
m
và m nguyên
1;0;...;5
m
.
Vậy có
7
giá trị của m thỏa mãn.
Câu 16. Cho phương trình
2
3 3
log 3log 2 7 0
x x m
có hai nghiệm thực phân biệt
1 2
,x x
thỏa
mãn
1 2
3 3 72
x x
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
7
2;
2
m
. B.
7
;
2
m

. C.
;2
m 
. D.
7
;
2
m
.
Lời giải
Điều kiện:
x
Ta có:
2
3 3
log 3log 2 7 0 1
x x m
Đặt
3
log
x t
, với
t
. Khi đó PT
2
1 3 2 7 0 2
t t m
PT
1
có 2 nghiệm thực dương phân biệt
1 2
,x x
PT
2
có 2 nghiệm thực phân biệt
1 2
,t t
37
9 4 2 7 0
8
m m
Theo Vi-et ta có:
3 1 3 2 3 1 2
1 2
1 2 3 1 3 2
3 1 3 2
1 2
3 1 3 2
log log 3 log . 3
3
. 2 7 log .log 2 7
log .log 2 7
. 27
log .log 2 7 3
x x x x
t t
t t m x x m
x x m
x x
x x m
Theo giả thiết ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 72 3 9 72 27 3 9 72 12
x x x x x x x x x x
Vậy
1 2 1
1 2 2
. 27 9
12 3
x x x
x x x
Thay vào
3
ta có:
3 3
9
log 9.log 3 2 7
2
m m
(tmđk) .
Câu 17. Cho phương trình
2
3 3 3
log 4log 5 log 1
x x m x
với
m
là tham số thực. Tìm tất cả
các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm thuộc
[27; )
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 16 -
A.
0 1
m
. B.
0 2
m
. C.
0 1
m
. D.
0 2
m
.
Lời giải
Đặt
3
log , 27; 3;t x x t
 
.
Khi đó
2 2
3 3 3
log 4log 5 log 1 1 4 5 1 , 3x x m x t t m t t
2
2 2
3
1 0
4 5 1
t
m t
t t m t
2
5
0
5
1
t
m
t
m
t
( do
2
2 2
4 5 1 0 5t t m t t
).
Xét hàm số
5
2
1
t
f t
t
với
5t
. Có
2
6
0 5
1
f t t
t
.
Bảng biến thiên
Để phương trình
1
có nghiệm
27;x

thì phương trình
2
có nghiệm
5 0 1
t m
Câu 18. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên như sau.
Tổng các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
4
( )
2
( )
2
2 log ( ) 4 ( ) 5
f x
f x
f x f x m
có đúng hai nghiệm phân biệt bằng
A.
34
. B.
50
. C.
67
. D.
83
.
Lời giải
Xét hàm số
4
( )
2
( )
2
2 log ( ) 4 ( ) 5
f x
f x
g x f x f x
.
Ta có
4
( )
( )
2
2
ln
2
2
4 2 ( ) 4
2
( )
( ) 4 ( ) 5 ln
f x
f x
f x f x f x f x
g x f x
f x
f x f x
4
( )
( )
2
2
2
2
2 .2
( )
( ) 4 ( )
l
2
2
ln
n
5
f x
f x
f x
f x f x
f x
f x f x
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 17 -
1
2
0
0 3
2
1; 2
2;3
x
x
f x
g x x
f x
x a
x b
.
Bảng biến thiên
Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì
2
16
33 32 log 5
m
m
.
Do
m
nguyên nên
16
34
m
m
.
Câu 19. Biết rằng
a
là số thực dương để bất phương trình
9 1
x
a x
nghiệm đúng với mọi
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
0;10
a
. B.
2 3
10 ;10
a
. C.
4
10 ;a
. D.
3 4
10 ;10
a
.
Lời giải
9 1 9 1 0
x x
a x a x
Đặt
( ) 9 1
x
f x a x
.
Ta có
(0) 0
f
và
( ) ln 9
x
f x a a
.
Để 9 1
x
a x x
thì
( ) 0f x x
. Tức là
min ( ) 0 (0).
f x f
Điều này xảy ra khi
( )f x
đồng biến trên
0;
và nghịch biến trên
;0

.
Do đó
9 3 4
(0) 0 ln 9 0 ln 9 10 ;10
f a a a e
Câu 20. Giả sử
,a b
là các số thực sao cho
3 3 3 2
.10 .10
x x
x y a b đúng với mọi số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
log
x y z
và
2 2
log 1x y z
. Giá trị của
a b
bằng
A.
29
2
. B.
31
2
. C.
31
2
. D.
25
2
.
Lời giải
Điều kiện:
2 2
0
0
x y
x y
Ta có:
log 10
z
x y z x y
2 2 2 2
log 1 10.10
z
x y z x y
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 18 -
Khi đó
2
2
2 2
10( )
10( ) 2 10( )
2
x y x y
x y x y x y xy x y xy
2
10 10.10
2
z z
xy
Để tồn tại
,x y
thì
2
2 2
4 10 2 10 10.10 10 20 log 20
z z z z
x y xy z
Mặt khác
3
3 3 3 2 3 2
.10 .10 3 ( ) .10 .10
x x x x
x y a b x y xy x y a b
2 3 2
3 3 2 3 3 2
10 10.10 10 10.10
10 3. .10 .10 .10 10 3. .10 .10
2 2
z z z z
z z x x z x x
a b a b
3 2 3 2
10 30.10 2 .10 2 .10 (1)
z z x x
a b
Vì (1) đúng với mọi
0 log 20
z
nên
1
2 1
2
2 30
15
a
a
b
b
Do đó, giá trị
29
2
a b
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số
m
để phương trình
16.3 4 4.9 18.3 4
x x x
m m
có đúng một nghiệm ?
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D. Vô số.
Lời giải
Đặt
16.3 4; 0
x
u m u
2 2
16.3 4 4 16.3
x x
u m m u
Phương trình trở thành:
2
2.3 1
4.9 2.3 0
2.3 ( )
x
x x
x
u
u u
u L
Với
2.3 1:
x
u
1
0 2.3 1 0 3
2
x x
u
2
2
) 2.3 1 16.3 4 2.3 1
16.3 4 2.3 1
4.3 20.3 5 (*)
x x x
x x
x x
u m
m
m
Đặt
1
3 ;
2
x
t t
. Phương trình
2
(*) 4 20 5
t t m
Xét hàm số
2
( ) 4 - 20 5f t t t
trên
1
;
2

có bảng biến thiên
Ứng với mỗi
1
2
t
thì có một
x
nên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi
20
.
4
m
m
m
nguyên âm nên
20; 3; 2; 1
m
. Vậy có 4 giá trị
m
thỏa mãn.
Câu 22. Gọi
S
là tập các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
( 1)
3
2
1
3 27 1 log
2 4
x m
x
x m
x x
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần
tử của
S
bằng
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 19 -
A.
3
. B.
13
4
. C.
5
4
. D.
2
.
Lời giải
Phương trình tương đương với
2
2
3
( 1)
3
2
2
3
( 1)
3 3
3 3
3 3 log
( 1) 3
3 log 1 3 3 log 3 3 (*)
x m
x
x m
x
x m
x
x x m
Xét hàm số
3
( ) 3 log 3
t
f t t
trên
0;

. Ta thấy hàm số
( )f t
liên tục và đồng
biến trên
0;

2
2
2
2
1 3
(*) ( 1) 3 1 3
5 1 3
x x m
f x f x m x x m
x x m
Vẽ đồ thị hai hàm số
2
1y x x
và
2
5 1y x x
trên cùng một hệ trục
Từ đồ thị ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
3 7
3
4 4
21 1 7 1
3 ; ; 1
4 4 4 4
3 3 1
m m
m m S
m m
Vậy tổng tất cả các phần tử của
S
bằng
3.
Câu 23. Cho phương trình
3 2
2 2
log 5 6 log 3 1
m
mx mx x x
, với
m
là tham số. Số
các giá trị
x
nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi
1
m
là
A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1.
Lời giải
Gọi
0
x
là giá trị
x
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vì
0
x
nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi
1
m
nên cũng nghiệm đúng với
0
m
.
Thay
0
m
ta được:
2 0 2 0
log 6 log 3 1
x x
0
0 0
1 6
6 3 1
x
x x
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 20 -
0
0 0
1 6
5 2 6 1 9
x
x x
0
2
0 0
1 6
7 10 0
x
x x
0
0
5
2
x
x
Với
0
2
x
ta có:
2 2
log 12 2 log 2
m
m
không thỏa mãn với
1
m
nên loại
0
2
x
Với
0
5
x
ta có
2 2
log 1 log 1
m
đúng với mọi
1
m
.
Vậy
0
5
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 24. Cho hàm số
2
2f x x x
. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số
m
để phương
trình
3 2 1
f x f m
f x f m
có nghiệm
0 ;1
x
.
A.
3 ; 1 \ 1
. B.
5 ; 1 \ 1
. C.
3 ; 4 \ 1
m
D.
3 ; 4 \ 2
m
Lời giải
Phương trình
3 2 1
f x f m
f x f m
Đặt
t f x f m
ta được phương trình
3 2 1 1
t
t
Xét hàm số
3 2
t
g t t
' 3 ln 3 2
t
g t
3
2
' 0 log
ln 3
g t t a
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình
1
có tối đa 2 nghiệm
Mặt khác,
0 1 1
g g
nên từ đó
0
1
1
t
t
Hay
1
f x f m
f x f m
Ta có bảng biến thiên
f x
trên
0 ; 1
Từ bảng biến thiên thì yêu cầu bài toán tương đương
0 1 3
0 3
f m
f m
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 21 -
1 3
f m
2
2
2 1 0
2 3 0
m m
m m
1
3 1
m
m
Vậy
3 ;1 \ 1
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
1 1 2 2
4 4 1 2 2 16 8
x x x x
m m
có nghiệm thuộc đoạn
0;1
.
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
1 1 2 2
4 4 1 2 2 16 8 (1)
1 1
4 1 2 4 2
4 2
x x x x
x x
x x
m m
m m
Đặt:
1
2
2
x
x
t
. Vì
0;1
x
nên
3
0;
2
t
.
Khi đó phương trình trở thành:
2 2
2 1 4 2 2 2 1 (2)
t m t m t t m t t m
.
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn
0;1
khi và chỉ khi phương trình (2) có
nghiệm thuộc đoạn
3
0;
2
.
Mà (2) có nghiệm thuộc đoạn
3
0;
2
3 5
0 1 1
2 2
m m
.
Vì
m
nên
1; 2
m
.
Câu 26. Gọi
S
là tập hợp các số nguyên
2020; 2020
m
để phương trình
2
2 2
2
log log logx x m m x
có đúng hai nghiệm. Số phần tử của
S
bằng
A.
2021
. B.
0
. C.
2020
. D.
1
.
Lời giải
2 2
2 2 2 2 2
2
log log log log 2log log (*)
x x m m x x x m m x
Điều kiện:
2
0
log 0
x
x m
Đặt:
2
logt x
Phương trình trở thành:
2 2
2 1 0 (**)
t t m m t t m t t m t t m t t m t
0 (1)
1 0 (2)
t m t
t m t
.
2
0
(1)
( )
t
m t t
f t t t m
Bảng biến thiên:
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 22 -
2
1
(2) 1
( ) 3 1
t
m t t
g t t t m
Bảng biến thiên:
Phương trình (*) có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có đúng 2 nghiệm
TH1:
1
4
m
.
1
(1)
2
t
và
1
(2)
2
t
.
Do đó
1
4
m
không thỏa đề.
( )a
TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vô nghiệm
1
0
4
1
m
m
Không có giá trị
m
thỏa.
( )b
TH3: (1) có 1 nghiệm
1t
và (2) có 1 nghiệm
1t
0
0
1
m
m
m
.
( )c
Từ
( )( )( ) 0
a b c m
thỏa đề.
Do
m
và
2020, 2020
m
nên
1; 2;...; 2020
S
.
Vậy số phần tử của
S
bằng
2020
.
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực
;x y
thỏa mãn
2 2
2
log 2 2 5 1
x y
x y
, có bao nhiêu giá
trị thực của
m
để tồn tại duy nhất cặp số thực
;x y
sao cho
2 2
4 6 13 0
x y x y m
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Lời giải
Điều kiện
2 2 5 0
x y
.
Ta có
2 2
2 2
2 2
2
log 2 2 5 1 2 2 2 5 1 1 5
x y
x y x y x y x y
. (1)
Tập hợp các cặp số thực
;x y
là hình tròn
1
C
có tâm
1
1;1
I
bán kính
1
5
R
.
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 23 -
Mặt khác ta lại có
2 2
2 2
4 6 13 0 2 3
x y x y m x y m
. (2)
Khi
0
m
thì không tồn tại cặp số
;x y
.
Khi
0
m
thì
2 2
2
2 3 0
3
x
x y
y
không thõa mãn (1).
Khi
0
m
thì (2) là đường tròn
2
C
có tâm
2
2; 3
I
2
R m
.
Ta có
1 2
5
I I
. Để tồn tại cặp số thực
;x y
thì hai đường tròn
1
C
và
2
C
phải tiếp xúc
nhau
1 2 1 2
1 2 1 2
I I R R
I I R R
Khi
2
1 2 1 2
5 5 5 5
I I R R m m .
Khi
2
1 2 1 2
5 5 5 5
I I R R m m .
Vậy có 2 giá trị thực của
m
.
Câu 28. Tìm số các giá trị nguyên của
m
để phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
có ít
nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Đặt
2
3
log 1t x
. Điều kiện
1t
.Phương trình trở thành
2
2 2 0
t t m
(*) .
Khi
3
1;3 1;2
x t
. Ta có (*)
2
2
2
t t
f t m
.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
0 2
m
. Vậy có 3 giá trị nguyên.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 3 2
ln 1
x m m x m x
nghiệm đúng với mọi số thực
x
?
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Ta có
2 3 2
ln 1
x m m x m x
2 3 2
ln 1 0
x m m x m x
(1).
Hàm số
2 3 2
ln 1
f x x m m x m x
lên tục trên
, gọi đồ thị là
C
.
3
2
2
2
1
mx
f x x m m
x
.
Vì (1) nghiệm đúng với mọi
x
nên các điểm của đồ thị
C
đều nằm phía trên trục
Ox
.
Mà
0;0
O C
điều kiện cần là
C
tiếp xúc với
Ox
tại điểm
0; 0
O
3
0
0 0 0
1
m
f m m
m
.
Thử lại:
Với
0
m
,
1
trở thành
2
0
x
( đúng
x
).
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 24 -
Với
1
m
,
1
trở thành
2 2
ln 1 0
x x
.
Xét hàm số
ln 1 , 0f t t t t
.
1
1 0, 0
1 1
t
f t f t t
t t
.
Vì
0 0 ln 1 0
t f t f t t
2 2
ln 1 0
x x
( đúng
x
).
Với
1
m
,
1
trở thành
2 2
ln 1 0
x x
( đúng
x
).
Vậy có
3
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu là
0; 1
m m
.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
m
để tập nghiệm của phương trình
2 2
2 4 3 4
2 2 2 2
x x m x x m x m x
có đúng hai phần tử?
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Ta có
2 2
2 4 3 4
2 2 2 2
x x m x x m x m x
(1)
2
4 2 4 4 2 4
2 2 1 2 2 1
x x m x m x x m
2
2 4 4 4
2 1 2 2 0
x m x x m x
2
2 4
4 4
2 1
2 2
x m
x x m x
2
2 4 0
4 4
x m
x x m x
2
4
2
2 0 2
m
x
x x m
.
Phương trình (1) có đúng hai nghiệm
2
thỏa mãn một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
4
2
m
1 0
1
4
1
2
m
m
m
.
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là
4
2
m
x
2
1 0
4 4
2. 0
2 2
m
m m
m
2
1
4 4 4 4 0
m
m m m
0
m
.
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là
1
m
và
0
m
.
Câu 31. Gọi
S
tập hợp các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
2 2
2 7 5 3 2 8 7
.3 3 3
x x x x
m m
có đúng
3
nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập
S
là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
2 2
2 7 5 3 2 8 7
.3 3 3
x x x x
m m
2 2
2 7 5 3 2 8 7
.3 3 3 0
x x x x
m m
2 2 2
2 7 5 3 2 3 2
3 3 3 0
x x x x
m m
2 2
2 7 5 3 2
3 1 3 0
x x x
m
2
2
2 7 5
3 2
3 1 0
3
x x
x
m
.
2
3
5
1;
2
3 log
*
2
x x
m
x
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 25 -
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình
*
chỉ có nghiệm kép
0
x
hoặc phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là
1x
hoặc
5
2
x
Phương trình
2
3
3 log
2
m
x
với
3
3 log
0
2
m
luôn có hai nghiệm là
3
3 log
2
m
x
và
3
3 log
2
m
x
nên phương trình đã cho có
3
nghiệm phân biệt khi
Trường hợp 1:
3 3
3
3 log 3 log
1 1 log 1 3.
2 2
m m
m m
Trường hợp 2:
19
3 3
2
3
3 log 3 log
5 25 19
log 3
2 2 2 4 2
m m
m m
.
Trường hợp 3:
3
0 log 3 27
x m m
.
Vậy tập
S
có ba phần tử.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
3 9
log 1 log 9 1
m
x x x
có hai nghiệm thực phân biệt.
A.
1;0
m
. B.
2;0
m
. C.
1;m

. D.
1;0
m
.
Lời giải
Điều kiện
1 0 1
x x
.
Phương trình đã cho tương đương với
:
3 3
log 1 log 3 1
m
x x x
3 3
log 1 1 log 1 1
x x m x
Dễ thấy
0
x
không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Xét
0
x
, khi đó
3
1
1
log 1
m x
x
Đặt
3
1
log 1
f x x
x
.
Khi đó
2
3
1
' 1 0
1 ln 3 log 1
f x
x x
, với mọi
1
x
, suy ra
f x
là hàm
đồng biến trên
1; 0
và
1;

.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và
chỉ khi
1;m

.
----------HẾT----------
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Cho phương trình 4x 10.2x 16 3x m  0 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu số
nguyên m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt? A. 7 . B. 2 . C. 1. D. 6 .
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên a , a  3 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn  a log x a  3log2021 2021  x  3 A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2003.
Câu 3. Gọi S là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình 2 mx  log  2 mx  2 log x 2 2  2  log x . 2 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập hợp S có đúng 8 phần tử ? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. 2 2
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 3x x  92x m  0 có 5 nghiệm nguyên? A. 65021. B. 65022. C. 65023. D. 65024. Câu 5.
Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình m 3m2    2 x   x  2 2 2 9
5  x 9  x  có nghiệm? A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.
Câu 6. Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m f x và m  202  1; 2  021 để phương trình log
x f x 3
mx  mx f x 2 mx   có hai
nghiệm phân biệt dương ? A. 2019 . B. 2021. C. 2022 . D. 2020 .
Câu 7. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m   1
 0;10 để phương trình 2 2 2 x  2 x 3 m x 1     2  m  2 2 2 1
x  2x  2 có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là A. 17 . B. 15. C. 18. D. 16. Câu 8.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc  20 
; 20 để bất phương trình 2 3
log x a log x a 1  0 có không quá 20 nghiệm nguyên? 3 3 A. 22 . B. 23. C. 21 . D. 24 . Câu 9.
Có bao nhiêu số nguyên m  2021 để có nhiều hơn một cặp số  x; y thỏa mãn log
4x  2 y m  1 và 4x  3y 1  0 ? 2 2   x y 4 A. 2017 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2022 .
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 1 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn 10;10 để phương trình xa x e
e  ln 1 x a  ln 1 x có nghiệm duy nhất? A. 2 . B. 10 . C. 1. D. 20 . log  3x a 2020 
Câu 11. Cho phương trình x
 2021 với a là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
phương trình là 32 . Mệnh đề nào sau đây là đúng
A. 1 a  2 .
B. 3  a  4 .
C. 4  a  5.
D. 2  a  3 .
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên m  2
 0; 20 để phương trình log x  log m x  2 có 2 3   nghiệm thực A. 15. B. 14 . C. 24 . D. 21.
Câu 13. Cho phương trình m 2 2 m x 1 x  1 sin 2 cos  cos x 1 2  2  3
m  cos x  8  4  2(cos x 1)   3  (1) cos   9 x  2  3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thực? A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 9 . ln x 1 ln x m
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn   
, x  0, x  1 ? x 1 x x 1 x A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5
 ;5 để phương trình 3
log  f x   2 1  log
f x 1  2m  8 log
f x 1  2m  0 có nghiệm x   1   ;1 ? 2 2       1   2 A. 7 . B. 5 . C. vô số. D. 6 .
Câu 16. Cho phương trình 2
log x  3log x  2m  7  0 có hai nghiệm thực phân biệt x , x thỏa 3 3 1 2
mãn  x  3 x  3  72 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1  2   7   7   7  A. m  2;   . B. m  ;    .
C. m  ;2 . D. m  ;     .  2   2   2 
Câu 17. Cho phương trình 2
log x  4 log x  5  m log x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả 3 3  3 
các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [27; ) .
A. 0  m  1.
B. 0  m  2 .
C. 0  m  1.
D. 0  m  2 .
Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như sau.
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 2 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4
f ( x ) f (x) 2 2
 log  f (x)  4 f (x)  5  m 2  
có đúng hai nghiệm phân biệt bằng A. 34 . B. 50 . C. 67 . D. 83 .
Câu 19. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình x
a  9x  1 nghiệm đúng với mọi
x   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a   2 0;10  4  . B. a   2 3 10 ;10  .
C. a 10 ;  . D. a   3 4 10 ;10  .
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho 3 3 3 x 2   .10  .10 x x y a b
đúng với mọi số thực dương
x , y , z thỏa mãn log  x y  z và  2 2
log x y   z 1 . Giá trị của a b bằng 29 31 31 25 A. . B. . C.  . D.  . 2 2 2 2
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình x x x
16.3  m  4  4.9 18.3  4  m có đúng một nghiệm ? A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số.
Câu 22. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để phương trình 2 x m 1 ( x 1  ) 3
 27 xm 1  log
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần 3 2 x  2x  4 tử của S bằng 13 5 A. 3  . B. . C. . D. 2  . 4 4
Câu 23. Cho phương trình log  3 2
mx  5mx  6  x  log
3  x 1 , với m là tham số. Số 2  2m  
các giá trị x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m  1 là A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1.
Câu 24. Cho hàm số f x 2
x  2x . Tìm m để phương trình f x f m 3
 2 f x  f m 1 có
nghiệm x 0 ;  1 . A.  3  ;  1 \   1 . B.  5  ;  1 \   1 . C. m   3  ; 4 \  
1 D. m   3  ; 4 \   2
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x 1  1 x
    2x 2 4 4 1 2  2 x m
 16  8m có nghiệm thuộc đoạn 0  ;1 . A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp các số nguyên m 2020; 2020 để phương trình 2 log x  log
x m m  log x có đúng hai nghiệm. Số phần tử của S bằng 2 2 2 A. 2021. B. 0 . C. 2020 . D. 1.
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực  x; y thỏa mãn log
2x  2 y  5  1, có bao nhiêu giá 2 2   x y 2 trị thực của
m để tồn tại duy nhất cặp số thực
x; y sao cho 2 2
x y  4x  6 y  13  m  0 ? A.1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 3 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp Câu 28. Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình 2 2
log x  log x 1  2m 1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1  ;3  . 3 3   A.1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 x   3
m mx m  2 ln x  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x ? A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của phương trình 2 2
x x2m
x xm4 3xm x4 2  2  2  2 có đúng hai phần tử? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 31. Gọi S tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình 2 2 2 x 7 x 5 3 2 x 87 .3  3   3 x m m
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập S là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m x log  x  1 log 9 x 2 1     3 9  
có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  1  ; 0 . B. m  2  ;0 . C. m  1  ;  . D. m 1  ;0 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.D 17.A 18.B 19.D 20.A 21.C 22.A 23.D 24.A 25.C 26.C 27.B 28.C 29.C 30.B 31.D 32.C
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 4 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1. Cho phương trình 4x 10.2x 16 3x m  0 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu số
nguyên m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt? A. 7 . B. 2 . C. 1. D. 6 . Lời giải m Điều kiện: x  . 3   x
4x 10.2x 16  0 2  2 x  1  
4x 10.2x 16 3x m  0   x m
 2  8  x  3 .    x   3  mmx  x   3  3 m
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 
 3  3  m  9 . 3
Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn.
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên a , a  3 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn  a log x a  3log2021 2021  x  3 A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2003. Lời giải
Điều kiện có nghiệm: x  3.  a log a log x a  3log2021 log a 2021
x  3   x  3 2021 2021  x  3. Đặt log2021 a t x
 3 , t  0 . Ta được: log a 2021  xt  3 log a log a log a log a  2021 2021  xtt x 2021 2021  xx tt . log a 2021 t   x  3  Xét hàm số   log2021 a f X X
X đồng biến trên khoảng 0;  . Do đó log a log a 2021 2021 xx t
t x t .
Suy ra, ta có phương trình: log x  3 2021   log a log a 2021 x x  3 2021  xx  3  log . a log x  log x  3   log a 2021 2021 2021   2021 log x 2021 .   1 log x  3 2021  
Vì a  3 và x  3 nên  log a  0 mà log x  0 suy ra 2021 log x 2021 2021 log x  3 2021   0  log x  3  log x , x   3 nên  1, x   3 . 2021   2021 log x 2021
Suy ra, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là: log
a  1  0  a  2021. 2021
Kết hợp với điều kiện a  3, suy ra a 3; 4;5;....;202  0 .
Ngược lại, nếu 3  a  2021, đặt log
a m , với 0  m  1. Khi đó, phương trình   1 2021 log x  3 2021   tương đương với
m  log  x  3  m   3 m xx m
x x  3  0 . x  log x 2021 Xét hàm số   m
g x x x  3 liên tục trên 3;  , 3 3m g  
 0 và lim g x   nên x phương trình m
x x  3  0 có nghiệm x 3;  .
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 5 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Vậy có 2018 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Gọi S là tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình 2 mx  log  2 mx  2 log2 x 2  2  log x . 2 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập hợp S có đúng 8 phần tử ? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. Lời giải
Điều kiện: x  0 và m  0 .
Bất phương trình tương đương với: 2  log  2  2 log  2 x  log  2 log 2
x    2  2 x mx mx f mx f (1) 2 2   2 2 2 log2  1
Với hàm f t   t  log t , t  0 . Ta có: f t   1
 0 với t  0 nên hàm số f t  2 t ln 2
đồng biến trên 0;  . Khi đó ta được: 2 (1) 2 log x 2 2 2  mx  2
 log m  2 log x  log x  log m  log x  2 log x g x 2 2 2 2 2 2   2 2 2
Ta có: g x  log x  
log x 1 ; g x  0  log x  1  x  2 (nhận) 2  2  x ln 2 x ln 2 x ln 2 2
Để S có đúng 8 nghiệm nguyên (gồm các nghiệm là: 1; 2; 3; 4; …; 8) thì
3  log m  3, 708  8  m  13, 068 . 2
Do m   nên ta chọn m 9;10;11;12;1 
3 . Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m . 2 2
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 3x x  92x m  0 có 5 nghiệm nguyên? A. 65021. B. 65022. C. 65023. D. 65024. Lời giải
 Trường hợp 1: m  0 2
Ta có: 2x m  0 nên bất phương trình tương đương với 2 x x 2 3
 9  x x  2  0  1   x  2 .
Do x   nên ta chọn x  1  ;0;1; 
2 , có 4 giá trị nguyên là nghiệm (không thỏa đề bài).
 Trường hợp 2: m  1 (do m   ) 2 x x 2 3
 9  0  x x  2  x  1   x  2 . 2 x 2 2
m  0  x  0  x  0 . Ta có bảng xét dấu sau:
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 6 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Vậy có các giá trị nguyên là nghiệm của bất phương trình gồm  1  ;0;1;  2 , tức là có 4
nghiệm nguyên (không thỏa đề bài).
 Trường hợp 3: m  2 (do m   ) 2 x 2
2  m  0  x  log m x   log m x  log m . 2 2 2
Do số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 nên ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên thì
3  log m  4  9  log m  16  512  m  65536 (thỏa mãn điều kiện) 2 2
Do m   nên ta chọn m 512;513;....;6553 
5 tức là có 655035  512 1  65024 giá trị
nguyên của tham số m thỏa đề bài. Câu 5.
Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình m 3m2    2 x   x  2 2 2 9
5  x 9  x  có nghiệm? A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số. Lời giải
*Điều kiện xác định: 3   x  3. 2 y  9
Đặt y f x 2 2
x  9  x x 9  x  . 2 2 x 9  x x
Ta có y  f ' x  1  . 2 2 9  x 9  xx  0 x  0  3
Do đó f ' x 2  0 
9  x x     9  x  . 2 2 2 9  x x x  2    2
Bảng biến thiên y f x 2
x  9  x trên  3  ;  3
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 7 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Suy ra 3  y  3 2  x   3  ;  3 . 2     y m m 9
*Phương trình trở thành: 3 2 m 1  3m3 2  2  y. 5   2  2  y  2 y     1 2   Đặt 1 2m t   3 3
t t y y (1). Ta có (1) 2 2  y 3y      3 3
t y  t y  t y 2 2 0
t ty y  
1  0  t y  t   1     0  2  4    t  . y
Vậy phương trình có nghiệm m 1 3 2    
 3 2 . Suy ra m  log 3 2 1. 2  
Vì m là số tự nhiên nên m   0; 
1 . Vậy có hai số tự nhiên m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 6. Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m f x và m  202  1; 2  021 để phương trình log
x f x 3
mx  mx f x 2 mx   có hai
nghiệm phân biệt dương ? A. 2019 . B. 2021. C. 2022 . D. 2020 . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy f x  3 và f  x  0 có ba nghiệm phân biệt a a
1; 0;1 nên f x  ax  2
x    f x 4 2 ' 1  x x b . 4 2
f 0  b  4  a  4 Ta có     f ax 4 2
x  2x  4 . f    1    b  3 b  4   4
Mặt khác, từ phương trình suy ra m  0 . PT f x 2 
mx xf x 2 3 log log
mx mx f x 
f x  xf x f x 2  mx x  2 mx  2 log ( ) log .  mx
Cộng vào hai vế của phương trình trên với log  x   1  x   0 ta được :
x   f x  x   f x   x   2
mx    x   2 log 1 1 ( ) log 1 1 mx *
Đặt g t   log t t, t
  0 . Dễ thấy hàm g t  luôn đồng biến t   0 . f x 4 2 2  
Từ (*)   x  
1 f x   x  
1 mx f x 2  mx   m x   m  2 . 2 2 x x 4 8
Xét hàm h x 2  x
h ' x  2x
, hx  0  x   2 . 2   3   x x
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 8 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Vậy PT đã cho có hai nghiệm dương phân biệt  m  2  4  m  2 . Vì m  202  1; 2 
021 nên có 2019 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Câu 7. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m   1
 0;10 để phương trình 2 2 2 x  2 x 3 m x 1     2  m  2 2 2 1
x  2x  2 có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của S là A. 17 . B. 15. C. 18. D. 16. Lời giải 2 2 2
Ta có: x 2x3 m x 1     2  m  2 2 2 1 x  2x  2 2 x x  x x  2 2 2 3 2 m x 1         2 2 2 2 3 2 m x   1 . (*) Xét ( )  2t f t
t , với t  1. (  )  2t f t .ln 2  1  0 , t   1.
f (t) đồng biến trên 1;  . Do đó, pt  f  2
x x    f  2 2 (*) 2 3 m x   1 2 2 2
x  2x  3  m x  1   2  m  2 1
x  2x  2  0 . (1)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m  1 2 1   m  0 m  1         . 2  2 2   0 8m  4  0   m   m    2 2
Mà m   và m   1
 0;10 nên suy ra m  9  ; 8;...;  9 \  1  ;0;  1 .
Vậy tập S có 16 phần tử. Câu 8.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc  20 
; 20 để bất phương trình 2 3
log x a log x a 1  0 có không quá 20 nghiệm nguyên? 3 3 A. 22 . B. 23. C. 21 . D. 24 . Lời giải x  0 x  0 Điều kiện     x  1 . 3 3 log x  0 x  1  3 
Với điều kiện trên, ta có: 2 3
log x a log x a 1  0  2 log x a 3log x a 1  0 . 3 3 3 3 2 t
Đặt 3log x t , t  0  log x  . 3 3 3 2 2 2t  3 Ta có bất phương trình 2
t at a 1  0  3a   . 3 t 1 Nhận xét:
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 9 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp 2 2t  3
Xét hàm số f t   
trên 0; , ta có: t  1  2   10 t  l  2 2t  4t  3 2
f 't   
. Giải phương trình f 't  0   . t  2 1  2   10 t  n  2 Bảng biến thiên Bảng giá trị x 1 2 3 … 20 21 t 0 3log 2 3 … 3log 20 3log 21 3 3 3 f t 3  6 log 2  3 9 6 log 20  3 6 log 21 3 3 … 3  3   5, 054 3log 2  1 3  1 3log 20 1 3log 21 1 3 3 3 Bất phương trình 2 3
log x a log x a 1  0 có không quá 20 nghiệm nguyên 3 3 6 log 21 3 2 log 211 3 3  3a    a    1, 685 3log 21 1 3log 21 1 3 3
Tập các giá trị của a thỏa đề là  1  ;0;....; 2  0
Có 22 giá trị của a thỏa đề. Cách 2: x  0 x  0 Điều kiện     x  1. 3 3 log x  0 x  1  3 
Với điều kiện trên, ta có: 2 3
log x a log x a 1  0  2 log x a 3log x a 1  0 (*) 3 3 3 3 2 t
Đặt 3log x t , t  0  log x  . 3 3 3
Do bất phương trình có không quá 20 nghiệm nguyên nên suy ra:
1  x  21  0  t  3log 21 . 3 2 2 2t  3
Ta có bất phương trình (*) 2 
t at a  1  0  3a   . 3 t 1 2 2t  3
Xét hàm số f t   
trên 0; , ta có: t  1  2   10 2 t   l  2t  4t  3
f t   
. f t  0 2   . t  2 1  2   10 t  n  2
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 10 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán tương đương với 5 3a  5   a    1  , 67 . 3
Mà a 20; 20 nên có 22 giá trị a thỏa yêu cầu bài toán. Câu 9.
Có bao nhiêu số nguyên m  2021 để có nhiều hơn một cặp số  x; y thỏa mãn log
4x  2 y m  1 và 4x  3y 1  0 ? 2 2   x y 4 A. 2017 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2022 . Lời giải Ta có: 2 2 log
4x  2 y m  1  4x  2 y m x y  4 . 2 2   x y 4
x y x y   m    x  2   y  2 2 2 4 2 4 0 2 1  m 1   * .
Như vậy, * là phương trình hình tròn C  tâm I 2;  
1 , bán kính R m 1 (với m  1)
Bài toán đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng d : 4x  3y 1  0 và hình tròn C  .
Để có nhiều hơn một cặp  x; y thì d I; d   R . 4.2  3.  1 1 12 144 119   m 1  m 1   m 1   m   4, 76 .   2 2 5 25 25 4 3
Kết hợp điều kiên m  2021, suy ra 5  m  2021 .
Vậy có 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 10 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn 10;10 để phương trình xa x e
e  ln 1 x a  ln 1 x có nghiệm duy nhất? A. 2 . B. 10 . C. 1. D. 20 . Lời giải
x 1 a  0
Điều kiện xác định:  * . x 1  0 
Phương trình đã cho tương đương với xa x e
e  ln 1 x a  ln 1 x  0   . Đặt   xa x f x e
e ; g x  ln 1 x a  ln 1 x ; P x  f x  g x .
Với a  0 thì P x  0 (luôn đúng với mọi x thỏa mãn * ).
Với a  0 thì *  x  1, f x đồng biến và g x nghịch biến với x  1 . Khi đó
P x đồng biến với x  1   1 .
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 11 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp          x aa x a x 1
lim P x  lim ee  ln  lim x a x ee  ln 1             x  1 x  1   1 x x  1    1 x  Ta có:  2    a 
lim P x  lim x e   a e   1  ln 1     x x    1 x  Kết hợp  
1 và 2 thì phương trình P x  0 có nghiệm duy nhất.
Với a  0 thì *  x  1 a, g x đồng biến và f x nghịch biến với x  1 a . Khi
đó P x nghịch biến với x  1 a 3 . Ta có:          x aa x a x 1 lim
P x  lim ee  ln  lim x a x ee  ln 1             x 1  ax 1  a   1 x
x1a    1 x   4    a 
lim P x  lim x e   a e   1  ln 1     x x    1 x 
Kết hợp 3 và 4 thì phương trình P x  0 có nghiệm duy nhất. 10  a  0
Kết hợp cả 3 trường hợp, yêu cầu bài toán   . 0  a  10 
Vậy có tất cả 20 giá trị nguyên của a thỏa mãn. log  3x a 2020 
Câu 11. Cho phương trình x
 2021 với a là số thực dương. Biết tích các nghiệm của
phương trình là 32 . Mệnh đề nào sau đây là đúng
A. 1  a  2 .
B. 3  a  4 .
C. 4  a  5 .
D. 2  a  3 . Lời giải
Điều kiện: x  0 . log  3x a 2020  x  2021  3log
x a  log 2021 2020 x log 2021 2020  3log x a  2  3log x a log x  log 2021  0 .   1 2020 log x 2020 2020 2020 2020
Ta có: x .x  32 . Áp dụng định lí Vi-et vào phương trình   1 ta có: 1 2 a log x  log x  log x .x  log 32  2020 1 2020 2 2020  1 2  2020 3  a  1, 366 .
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên m   2
 0; 20 để phương trình log x  log m x  2 có 2 3   nghiệm thực A. 15 . B. 14 . C. 24 . D. 21 . Lời giải x  0 Cách 1: Điều kiện:  . m x   x   1  Đặt: t  log  log 2   3    4   m x   x  2tx  4.2t   4  1  t    1  m   4.2 t   . t   1 m x   3 3t    3t   m x 1
Xét phương trình: f t    4.2t t   . t   3
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 12 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp ln 3  ln 3  1
f 't   
 4.ln 2.2t  0  t  log     . 3t 6  4ln 2  2 Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi: m  4,56 .
Mà m  , m   20 
; 20  m 5;6;7;  ...;19 .
Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Điều kiện: 0  x m . log x  log m x  2 2 3    4   log m x  log 3   2    x   4  log2   3  x m     x log 3 2  4   m   x   .  x  4n n 4n x x x 4n
Đặt n  log 3 , ta được: m x  nn 1 1           4, 56 2 n n n x n x n n n n x ( có n số hạng ) n
Vậy có 19  5 1  15 số nguyên m  20; 20 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 13. Cho phương trình m 2 2 m x 1 x  1 sin 2 cos  cos x 1 2  2  3
m  cos x  8  4  2(cos x 1)   3  (1) cos   9 x  2  3 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thực? A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 9 . Lời giải
Phương trình (1) tương đương 2 m 1  cos x 2cos x3 2 m  x  1  x  1 1 cos 2 2cos 3  2
m 1 cos x   2  2 cos x  3      (2).  3   3  t t  1 
Xét hàm số f (t)  2  t tt   có f (
t)  2 ln 2  1  3 ln 3  0 , t    .  3 
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên  . Do đó (2) 2 2
m 1 cos x  2 cos x  3  m  cos x  2 cos x  2 (3). Vì 1
  cos x  1 nên 2 2
1  cos x  2 cos x  2  (cos x 1) 1  5 .
Suy ra phương trình (3) có nghiệm thực khi và chỉ khi 1  m  5.
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 13 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp ln x 1 ln x m
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn   
, x  0, x  1 ? x 1 x x 1 x A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0. Lời giải 2  x ln x
Bất phương trình đã cho tương đương với
m 1, x  0, x  1 . (1) 2 x 1 2  x ln x
Xét hàm số f (x) 
, x  0, x  1. 2 x 1 2  x 1  2 ln x  2 2  2 
2[(x 1) ln x x 1] x 1 Ta có   f (  x)   . 2 2 2 2 2 (x 1) (x 1)(x 1) 2 x 1
Xét hàm số g(x)  ln x  , x  0 . 2 x 1 2 2 (x 1) Ta có g (  x)   0 , x
  0 , x  1; g (
x)  0  x  1. 2 2 x(x 1)
Suy ra g(x)  g(1)  0 khi x 1 và g(x)  g(1)  0 khi x  1 .
Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra (1)  m 1  1  m  0 .
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 15. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5
 ;5 để phương trình 3
log  f x   2 1  log
f x 1  2m  8 log
f x 1  2m  0 có nghiệm x   1   ;1 ? 2 2       1   2 A. 7 . B. 5 . C. vô số. D. 6 . Lời giải Xét phương trình: 3
log  f x   2 1  log
f x 1  2m  8 log
f x 1  2m  0 2 2       1   2 3
 log  f x   2 1  4 log
f x 1  m  4 log
f x 1  2m  0 1 2 2       2      
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 14 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Điều kiện: f x 1  0 Đặt t  log f x 1 . 2     Vì x   1  
;1 nên từ đồ thị suy ra: f x  1
 ;3  f x 10; 4  t  ;  2   3 2
1  t  4t  m  4t  2m  0  t  2 2
t  2t m  0 2 t  2 (L)   2 2
t  2t m  0  t  2t m 3 
Xét hàm g t 2
t  2t với t  ;  2
Để PT 3 có nghiệm thì: m  1
 , kết hợp m 5
 ;5 và m nguyên  m  1  ; 0;...;  5 .
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 16. Cho phương trình 2
log x  3log x  2m  7  0 có hai nghiệm thực phân biệt x , x thỏa 3 3 1 2
mãn  x  3 x  3  72 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1  2   7   7   7  A. m  2;   . B. m  ;    .
C. m  ;2 . D. m  ;     .  2   2   2  Lời giải
Điều kiện: x  0 Ta có: 2
log x  3log x  2m  7  0 1 3 3  
Đặt log x t , với t   . Khi đó PT   2
1  t  3t  2m  7  0 2 3 PT  
1 có 2 nghiệm thực dương phân biệt x , x  PT 2 có 2 nghiệm thực phân biệt 1 2 t , t 1 2 37
   9  4 2m  7  0  m  8 Theo Vi-et ta có: t   t  3
log x  log x  3 log x . x  3 1 2 3 1 3 2  3  1 2      
t .t  2m  7
log x .log x  2m  7  
log x .log x  2m  7 1 2 3 1 3 2  3 1 3 2 x . x  27  1 2
 log x .log x  2m7 3   3 1 3 2   Theo giả thiết ta có:
x  3 x  3  72  x x  3 x x  9  72  27  3 x x  9  72 x x  12 1  2  1 2  1 2   1 2  1 2 x . x  27 x  9 Vậy 1 2 1    x x  12 x  3  1 2  2 9
Thay vào 3 ta có: log 9.log 3  2m  7  m  (tmđk) . 3 3 2
Câu 17. Cho phương trình 2
log x  4 log x  5  m log x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả 3 3  3 
các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [27; ) .
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 15 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
A. 0  m  1.
B. 0  m  2 .
C. 0  m  1.
D. 0  m  2 . Lời giải
Đặt t  log x, x  27;   t  3;  . 3     Khi đó 2
log x  4 log x  5  m log x   1   2
1  t  4t  5  m t 1 , t  3 3 3 3    t   3 t   5   
 mt   1  0  m  0
( do t t   m t  2 2 2 4 5 1  0  t  5 ).  
t  4t  5  m t t  5  2 2 2 1  2   mt 1 t  5 6
Xét hàm số f t  
2 với t  5 . Có f t   0 t   5 . t 1 t  2 1 Bảng biến thiên Để phương trình  
1 có nghiệm x 27;  thì phương trình 2 có nghiệm
t  5  0  m  1
Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như sau.
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4
f ( x ) f (x) 2 2
 log  f (x)  4 f (x)  5  m 2  
có đúng hai nghiệm phân biệt bằng A. 34 . B. 50 . C. 67 . D. 83 . Lời giải 4 f ( x)
Xét hàm số g xf ( x) 2  2
 log  f (x)  4 f (x)  5 2   .  4 f x 4 f ( x)   2 f (
x) f x  4 f x f ( x)    
Ta có g x  f  x  2 ln 2   2  2 f (x)
f (x)  4 f (x)  5 ln 2       f x 4 f ( x) 2   2   
f  x  f xf ( x)  2    .2 ln 2   . 2   2 f (x)
f (x)  4 f (x)  5 ln 2        
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 16 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp x  1  x  2
f  x  0 g x 0       x  3 .  f x 2   
x a  1; 2 
x b  2;3  Bảng biến thiên m  16
Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì  .
33  m  32  log 5  2 m  16 Do m nguyên nên  . m  34 
Câu 19. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình x
a  9x  1 nghiệm đúng với mọi
x   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a   2 0;10  4  . B. a   2 3 10 ;10  .
C. a 10 ;  . D. a   3 4 10 ;10  . Lời giải x  9 1 x a x
a  9x 1  0 Đặt ( ) x
f x a  9x 1. Ta có f (0)  0 và (  ) x
f x a ln a  9 . Để x a  9x 1 x
   thì f (x)  0 x   . Tức là min f (x)  0  f (0). 
Điều này xảy ra khi f (x) đồng biến trên 0;  và nghịch biến trên ;0 . Do đó 9 f    a    a
a e   3 4 (0) 0 ln 9 0 ln 9 10 ;10 
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho 3 3 3 x 2   .10  .10 x x y a b
đúng với mọi số thực dương
x , y , z thỏa mãn log  x y  z và  2 2
log x y   z 1 . Giá trị của a b bằng 29 31 31 25 A. . B. . C.  . D.  . 2 2 2 2 Lời giải
x y  0 Điều kiện:  2 2 x y  0  Ta có:
log       10z x y z x y  2 2   2 2 log  1    10.10z x y z x y
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 17 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp x y 10(x y) 2 2  2 2
Khi đó x y  10(x y)   x y  2xy  10(x y)  xy  2 2 10 z 10.10zxy  2 2
Để tồn tại x , y thì    2 z     2 4 10
2 10 z 10.10z   10z x y xy
 20  z  log 20 Mặt khác x x       3 3 3 3 2 3x 2 .10 .10  3
(  )  .10  .10 x x y a b x y xy x y a b 2 z z 3z 2   z 10 10.10 z x x z 10 10.10 z 3 3 2 3 3x 2  10  3. .10  .10  .10  10  3.  .10  .10 x a b a b 2 2  3z 2 z 3x 2 10  30.10  2 .10  2 .10 x a b (1)  1 2a  1 a  
Vì (1) đúng với mọi 0  z  log 20 nên    2 2b  30   b  15  29
Do đó, giá trị a b  2
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình x x x
16.3  m  4  4.9 18.3  4  m có đúng một nghiệm ? A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số. Lời giải Đặt  16.3x u
m  4; u  0 2 x x 2
u  16.3  m  4  4  m  16.3  u xu  2.3 1
Phương trình trở thành: 2
u u  4.9x  2.3x  0  u  2.3x  (L)  x x 1 Với 2.3x u
1: u  0  2.3 1  0  3  2
) u  2.3x 1  16.3x m  4  2.3x 1
 16.3x m  4  2.3x  2 1 2
 4.3 x  20.3x  5  m (*) x 1
Đặt t  3 ; t  . Phương trình 2
(*)  4t  20t  5  m 2  1  Xét hàm số 2
f (t)  4t - 20t  5 trên ;    có bảng biến thiên  2  1 Ứng với mỗi t
thì có một x nên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi 2 m  2  0. 
m nguyên âm nên m 2  0; 3  ; 2  ;  
1 . Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn. m  4  
Câu 22. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để phương trình 2 x m 1 ( x 1  ) 3
 27 xm 1  log
có có đúng 3 nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần 3 2 x  2x  4 tử của S bằng
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 18 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp 13 5 A. 3  . B. . C. . D. 2  . 4 4 Lời giải
Phương trình tương đương với 2 3 x m  3 ( x 1  ) 3 3
 3 xm  log3 2 (x 1)  3 2 ( x 1  ) 3 log  x 1 3    
 3 xm  log 3 x m  3 (*) 3  2 3 3    
Xét hàm số ( )  3t f t
 log t  3 trên 0; . Ta thấy hàm số f (t) liên tục và đồng 3   biến trên 0; 2
x x 1  3m
(*)  f (x 1)   f 3 x m    x  2 2 1
 3 x m   2
x  5x  1  3m
Vẽ đồ thị hai hàm số 2
y  x x 1 và 2
y x  5x 1 trên cùng một hệ trục
Từ đồ thị ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  3   7  3m m   4  4   21  1   7  1   3m    m   S   ; ; 1    4  4  4 4    3m  3  m  1     
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 3  . 3
Câu 23. Cho phương trình log  2
mx  5mx  6  x  log
3  x 1 , với m là tham số. Số 2  2m  
các giá trị x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m  1 là A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1. Lời giải
Gọi x là giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề bài. 0
Vì x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m  1 nên cũng nghiệm đúng với 0 m  0 .
Thay m  0 ta được: log 6  x  log 3  x 1 2  0  2  0  1   x  6  0  
6  x  3  x 1   0 0
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 19 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp 1   x  6 0     5  2  6  x x 1  9 0   0   1   x  6  0   2
x  7x 10  0  0 0  x  5 0   x  2  0
Với x  2 ta có: log 12  m  2  log
2 không thỏa mãn với m  1 nên loại x  2 2   0 2m 0
Với x  5 ta có log 1  log
1 đúng với mọi m  1. 0 2 2m
Vậy x  5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0
Câu 24. Cho hàm số f x 2
x  2x . Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương
trình f x f m 3
 2 f x  f m 1 có nghiệm x 0 ;  1 . A.  3  ;  1 \   1 . B.  5  ;  1 \   1 . C. m   3  ; 4 \  
1 D. m   3  ; 4 \   2 Lời giải
Phương trình f x f m 3
 2 f x  f m 1
Đặt t f x  f m ta được phương trình 3t  2t  1  1
Xét hàm số    3t g t  2t '  3t g t  ln 3  2 2
g 't   0  t  log  a 3 ln 3 Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình   1 có tối đa 2 nghiệm t  0
Mặt khác, g 0  g   1  1 nên từ đó   1   t  1 
f x  f m 1 Hay 
f x  f m 
Ta có bảng biến thiên f x trên 0 ;  1
Từ bảng biến thiên thì yêu cầu bài toán tương đương
0  f m 1  3 
0  f m  3 
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 20 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp  1
  f m  3 2 
m  2m 1  0   2
m  2m  3  0  m  1   3  m  1 
Vậy m 3 ;  1 \  
1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x 1  1 x
    2x 2 4 4 1 2  2 x m
 16  8m có nghiệm thuộc đoạn 0  ;1 . A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải x 1  1 x
 m   2x 2 4 4 1 2
 2 x  16  8m (1) x 1  x 1   4   m   1 2   4  2m   4x  2x   3 x 1  Đặt: t  2  . Vì x 0  ;1 nên t  0; . 2x  2   
Khi đó phương trình trở thành: 2 t   m   2 2
1 t  4  2m t t  2  m t  2  t m 1 (2) .
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 0 
;1 khi và chỉ khi phương trình (2) có  3  nghiệm thuộc đoạn 0;  . 2     3  3 5
Mà (2) có nghiệm thuộc đoạn 0;   0  m 1   1  m  . 2    2 2
Vì m   nên m 1;  2 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp các số nguyên m  2020 
; 2020 để phương trình 2 log x  log
x m m  log x có đúng hai nghiệm. Số phần tử của S bằng 2 2 2 A. 2021. B. 0 . C. 2020 . D. 1. Lời giải 2 2 log x  log
x m m  log x  log x  2 log x m m  log x (*) 2 2 2 2 2 2 x  0 Điều kiện: 
log x m  0  2
Đặt: t  log x 2 Phương trình trở thành: 2 2
t  2t m m t t  m t   t m t  t m t t m t   1  0 (**)
t m t  0 (1)   .
t m t  1  0 (2)  t   0 (1) 
m t t   2
f (t)  t t m  Bảng biến thiên:
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 21 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp t   1 (2) 
m t  1  t   2
g(t)  t  3t  1  m  Bảng biến thiên:
Phương trình (*) có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có đúng 2 nghiệm 1 TH1: m   . 4 1 1 (1)  t  và (2)  t  . 2 2 1
Do đó m   không thỏa đề. (a) 4
TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vô nghiệm  1   m  0  4
 Không có giá trị m thỏa. (b) m  1 
TH3: (1) có 1 nghiệm t  1 và (2) có 1 nghiệm t  1 m  0 
m  0 . (c) m  1 
Từ (a)(b)(c)  m  0 thỏa đề.
Do m   và m 2020, 2020 nên S  1; 2;...;  2020 .
Vậy số phần tử của S bằng 2020 .
Câu 27. Trong tất cả các cặp số thực  x; y thỏa mãn log
2x  2 y  5  1, có bao nhiêu giá 2 2   x y 2 trị thực của m
để tồn tại duy nhất cặp số thực
x; y sao cho 2 2
x y  4x  6 y  13  m  0 ? A.1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải
Điều kiện 2x  2 y  5  0 . 2 2 Ta có 2 2 log
2x  2y  5  1  x y  2  2x  2 y  5  x 1  y 1  5 . (1) 2 2       x y 2
Tập hợp các cặp số thực  x; y là hình tròn C có tâm I 1;1 bán kính R  5 . 1   1  1
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 22 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp 2 2 Mặt khác ta lại có 2 2
x y  4x  6y 13  m  0   x   2   y   3  m . (2)
Khi m  0 thì không tồn tại cặp số  x; y . 2 2 x  2 
Khi m  0 thì  x  2   y   3  0   không thõa mãn (1). y  3  
Khi m  0 thì (2) là đường tròn C có tâm I 2; 3 R m . 2   2  2
Ta có I I  5 . Để tồn tại cặp số thực  x; y thì hai đường tròn C và C phải tiếp xúc 2  1  1 2
I I R R nhau 1 2 1 2  
I I R R  1 2 1 2
Khi I I R R m  5  5  m  5  52 . 1 2 1 2
Khi I I R R
m  5  5  m   5  52 . 1 2 1 2
Vậy có 2 giá trị thực của m .
Câu 28. Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình 2 2
log x  log x 1  2m 1  0 có ít 3 3
nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1  ;3  .   A.1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Đặt 2
t  log x 1 . Điều kiện t  1.Phương trình trở thành 2
t t  2m  2  0 (*) . 3 2 t t  2 Khi 3 x  1
 ;3   t 1;2 . Ta có (*)  f t   m .   2 Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có 0  m  2 . Vậy có 3 giá trị nguyên.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 x   3
m mx m  2 ln x  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x ? A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Lời giải Ta có 2 x   3
m mx m  2 ln x   1 2  x   3
m mx m  2 ln x   1  0 (1).
Hàm số f x 2  x   3
m mx m  2 ln x  
1 lên tục trên  , gọi đồ thị là C  . 2mx f  x 3
 2x m m  . 2 x 1
Vì (1) nghiệm đúng với mọi x   nên các điểm của đồ thị C  đều nằm phía trên trục Ox .
Mà O 0;0C  điều kiện cần là C  tiếp xúc với Ox tại điểm m  0
O 0;0  f 0 3
 0  m m  0   . m  1   Thử lại:
Với m  0 ,   1 trở thành 2
x  0 ( đúng x    ).
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 23 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp Với m  1,   1 trở thành 2 x   2 ln x   1  0 .
Xét hàm số f t  t  ln t   1 , t  0 . 1 t
f t   1 
f t   0, t   0 . t 1 t 1
Vì t  0  f t  f 0  t  ln t   1  0  2 x   2 ln x   1  0 ( đúng x    ).
Với m  1,   1 trở thành 2 x   2 ln x   1  0 ( đúng x    ).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu là m  0; m  1.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của phương trình 2 2
x x2m
x xm4 3xm x4 2  2  2  2 có đúng hai phần tử? A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải 2 2
Ta có x x2m
x xm4 3xm x4 2  2  2  2 (1) 2
x xm4 
 2xm4   x4   2xm4 2 2 1 2 2   1
  xm   2 2 4
x xm4 x4 2 1 2  2   0  m  4 2 xm4 2  1
2x m  4  0 x       2 . 2 
x xm4 x4 2  2  2 
x x m  4  x  4  2
x  2x m  02 
Phương trình (1) có đúng hai nghiệm  2 thỏa mãn một trong hai trường hợp sau:
  1 m  0 m  4 
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép     m  1 m  4  . 2  1   2 m  4
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x  2
  1 m  0  m  1   2   m  4  m  4    m  0 . 2  2.  m  0    m  4 
  4m  4  4m  0   2   2
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m  1 và m  0 .
Câu 31. Gọi S tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình 2 2 2 x 7 x 5 3 2 x 87 .3  3   3 x m m
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của tập S là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải 2 2 2 x 7 x5 32 x 87 2 2 .3  3   3 x m m 2 x 7 x5 32 x 87  .3  3   3 x m m  0 2 2 x 7 x5  2 3 1  0 x x 2 2   2  x   2 2 7 5 3 2 32 3 3  3 x m m
  0   2x 7x5   32 3 1  3 x m   0   . 2 32   3 x m   5 x  1; x   2   3  log m  2 3 x  *  2
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 24 -
Taøi lieäu hoïc theâm moân Toaùn 12 – oân thi ñaïi hoïc
Lôùp Toaùn Thaày Nghieäp
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  Phương trình * chỉ có nghiệm kép
x  0 hoặc phương trình * có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là x  1 5 hoặc x  2 3  log m 3  log m 3  log m Phương trình 2 3 x  với 3
 0 luôn có hai nghiệm là 3 x  và 2 2 2 3  log m 3 x  
nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi 2 3  log m 3  log m Trường hợp 1: 3 3  1 
 1  log m  1  m  3. 3 2 2 19 3 log m 5 3 log m 25 19    Trường hợp 2: 3 3 2     log m    m  3 . 3 2 2 2 4 2
Trường hợp 3: x  0  log m  3  m  27 . 3
Vậy tập S có ba phần tử. Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m x log  x  1 log 9 x 2 1     3 9  
có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  1  ; 0 . B. m  2  ;0 . C. m  1  ;  . D. m 1  ;0 . Lời giải
Điều kiện x 1  0  x  1.
Phương trình đã cho tương đương với m : x log x 1 log 3 x 1      x log
x 1  1 m log x 1 1 3   3     3   3    
Dễ thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. 1
Xét x  0 , khi đó  
1  m x  log x 1 3   1
Đặt f x  x  . log x 1 3   1
Khi đó f ' x  1
 0 , với mọi x  1 , suy ra f x là hàm  x  
1 ln 3 log  x   2 1  3     đồng biến trên  1  ; 0 và  1  ;  . Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m  1  ;  .
----------HẾT----------
Giaùo vieân giaûng daïy: Phaïm Vaên Nghieäp Trang - 25 -