TOP 39 Câu hỏi trắc nghiệm mức vận dụng Toán 12 về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải)

Tài liệu câu hỏi min max của hàm số mức vận dụng có lời giải chi tiết rất hay. Các bạn tham khảo và ôn tập để chuẩn bị cho kỳ kiểm tra và thi tốt nghiệp sắp đến

85 43 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

21 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Tiến Thành
Trang 1
Dạng. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1. Tìm nghiệm
( 1,2,...)
i
xi=
của
0y
=
thuộc
;ab
Bước 2. Tính các giá trị
( ) ( ) ( )
;;
i
f x f a f b
theo tham số
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận
Lưu ý:
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên đoạn
;ab
thì
( ) ( )
( ) ( )
;;
;
a b a b
Max f x f b Min f x f a==
Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên đoạn
;ab
thì
Câu 1. (ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2023-LẦN 1)
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
m
để tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
4 2 3 2
2f x x m x x m= − − −
trên đoạn
0;1
bằng
1−
?
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )( )
3 2 2 2 2
4 4 3 4 1 1 3 0f x x x m x x x x m x
= − − − + − =
với
0;1x
.
Suy ra
( ) ( )
( ) ( )
0;1
0;1
max 0 ;min 1f x f f x f==
.
Theo yêu cầu bài toán ta có
( ) ( )
( )
2 3 2
0 . 1 1 1 1 1 0f f m m m m m m= − − − − − = − + + + =
( )
( )
2
1 1 0 1m m m + + = = −
.
Câu 2. (ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2022): Cho hàm số
( ) ( )
42
1 2 1= − − +f x m x mx
với
m
là tham số
thực. Nếu
( ) ( )
0;3
min 2=f x f
thì
( )
0;3
max fx
bằng
A.
13
3
−
. B. 4 . C.
14
3
−
. D. 1 .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
32
4 1 4 4 1= − − = −
−f x m x mx x m x m
( )
2
0
0 ( 1
1
=
= =
=
−
x
f x m
m
x
m
không thỏa yêu cầu bài toán
)
Vì
( ) ( )
0;3
min 2 2= =f x f x
là nghiệm của
( )
0
=fx
4
4 4 4
13
= = − =
−
m
m m m
m
( )
42
18
1
33
= − +f x x x
( ) ( )
81 72 3 12
0 1, 3 4
3 3 3 3
= = − + = =ff
Vậy
( )
0;3
max 4=fx
Câu 3. (ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2023-LẦN 1)
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ-
MỨC VẬN DỤNG
Chuyên đề 5
Trang 2
Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số
( ) ( )
21g x f x=−
trên đoạn
1;2−
là
A.
3
. B.
5
. C.
6
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Giá trị lớn nhất của hàm số
( ) ( )
21g x f x=−
trên đoạn
1;2−
là
( )
( )
1;2 1;2
max 2max 1 2.3 1 5g x f x
−−
= − = − =
.
Câu 4. (ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2023-LẦN 1) Cho
( )
y f x=
có đồ
thị
( )
fx
như hình vẽ:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) ( )
3
1
3
g x f x x x= + −
trên đoạn
1;2−
bằng
A.
( )
2
1
3
f −
. B.
( )
2
2
3
f +
.
C.
2
3
. D.
( )
2
1
3
f −+
.
Lời giải
Chọn A.
Trang 3
( ) ( )
2
' ' 1= + −g x f x x
*
( ) ( )
2
' 0 ' 1= = −g x f x x
( )
2
'
1
1
1
=
=−

=
=−
y f x
x
x
yx
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;2−
bằng
( )
2
1
3
−f
Câu 5. (Mã 123 2017) Cho hàm số
+
=
−1
xm
y
x
(
m
là tham số thực) thỏa mãn
=
[2;4]
min 3.y
Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
4m
B.
34m
C.
−1m
D.
13m
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
−−
=
−
2
1
'
1
m
y
x
* TH 1.
− − −1 0 1mm
suy ra
y
đồng biến trên


2; 4
suy ra
( ) ( )


+
= = = =
2;4
2
min 2 3 1
1
m
f x f m
(loại)
* TH 2.
− − −1 0 1mm
suy ra
y
nghịch biến trên


2; 4
suy ra
( ) ( )


+
= = = =
2;4
4
min 4 3 5
3
m
f x f m
suy ra
4m
.
Trang 4
Câu 6. (Mã 110 2017) Cho hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
(
m
là tham số thực) thoả mãn
1;2
1;2
16
min max
3
yy+=
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4m
B.
24m
C.
0m
D.
02m
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
1
1
m
y
x
−
=
+
.
Nếu
1 1, 1m y x= = −
. Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu
1m
Hàm số đồng biến trên đoạn
1;2
.
Khi đó:
1;2
1;2
16
min max
3
yy+=
( ) ( )
16 1 2 16
1 2 5
3 2 3 3
mm
y y m
++
+ = + = =
(loại).
Nếu
1m
Hàm số nghịch biến trên đoạn
1;2
.
Khi đó:
( ) ( )
1;2
1;2
16 16 2 1 16
min max 2 1 5
3 3 3 2 3
mm
y y y y m
++
+ = + = + = =
( t/m)
Câu 7. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
1;2
bằng
8
(
m
là
tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
10m
.
B.
8 10m
.
C.
04m
.
D.
48m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
2
1
1
m
y
x
−
=
+
.
- Nếu
11my= =
(loại).
- Nếu
1m
khi đó
0, 1;2yx
hoặc
0, 1;2yx
nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất tại
1, 2xx==
.
Theo bài ra:
( ) ( ) ( )
1;2
1;2
1 2 41
max min 8 1 2 8 8;10
2 3 5
mm
y y y y m
++
+ = + = + = =
.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
2
2xm
y
xm
--
=
-
trên đoạn
[ ]
0;4
bằng
1.-
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
{ }
\Dm=
.
( )
2
2
2
0,
mm
y x m
xm
-+
¢
= > " ¹
-
. Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( )
;m-¥
và
( )
;m +¥
.
Bảng biến thiên của hàm số:
Trang 5
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
[ ]
0;4
bằng
1-
khi
( )
0
41
m
f
ì
<
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
2
0
2
1
4
m
m
m
ì
<
ï
ï
ï
ï
Û
í
-
ï
=-
ï
ï
-
ï
î
2
0
60
m
mm
ì
<
ï
ï
Û
í
ï
+ - =
ï
î
0
2, 3
m
mm
ì
<
ï
ï
Û
í
ï
= = -
ï
î
3mÛ = -
.
Câu 9. Cho hàm số
2
1x
y
xm
+
=
−
(m là tham số thực) thỏa mãn
3; 2
1
min
2
y
−−
=
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
34m
. B.
23m−
. C.
4m
. D.
2m −
.
Lời giải
Chọn B
+TXĐ:
2
\ , 3; 2D m D= − −
.
+ Ta có
( )
2
2
2
1
' 0,
m
y x D
xm
−−
=
−
. Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nên
( )
2
2
3; 2
1 2 1
min 2 2 2 0 2 3
22
y y m m m
m
−−
−+
= = − = − − = − = −
−−
.
Câu 10. Tìm giá trị dương của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
2
mx
y
x
−
=
+
trên đoạn
1;3
bằng
1
.
A.
2m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
2m =
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
\2D =−¡
.
Ta có:
( )
2
2
21
0, 2
2
m
yx
x
+
= −
+
.
Hàm số đồng biến trên đoạn
1;3
nên
( )
1;3
max 3yy=
2
31
1
5
m −
=
2m=
(vì
0m
).
Câu 11. Cho hàm số
2
8
xm
y
x
-
=
+
với
m
là tham số thực. Giả sử
0
m
là giá trị dương của tham số
m
để
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
[ ]
0;3
bằng −3. Giá trị
0
m
thuộc khoảng nào trong các
khoảng cho dưới đây?
A.
( )
2;5
. B.
( )
1;4
. C.
( )
6;9
. D.
( )
20;25
.
Lời giải
Chọn A
Trang 6
+ TXĐ:
{ }
\8D =-
.
+
( )
2
'
2
8
0,
8
m
y x D
x
+
= > " Î
+
Vậy hàm số
2
8
xm
y
x
-
=
+
đồng biến trên
[ ]
0;3
.
[ ]
2
0;3
min (0)
8
m
yy
-
Þ = =
Để
[ ]
2
0;3
min 3 3 2 6.
8
m
ym
-
= - Û = - Û = ±
( )
0
2 6 2;5mÞ = Î
. Vậy chọn A.
Câu 12. (THPT Hai Bà Trưng - Huế 2019) Tìm giá trị của tham số thực
m
để giá trị nhỏ nhất của
hàm số
2
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
0;4
bằng
3
.
A.
3m =
. B.
1m =
. C.
7m =
. D.
5m =
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
2
2
'
1
m
y
x
−
=
+
.
+ Xét
2m =
.
Hàm số trở thành:
2y =
là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3
2m=
(loại)
+ Xét
2m
.
( )
2
2
' 0 ( 1)
1
m
yx
x
−
= −
+
0;4
8
min (4)
5
m
yy
+
= =
.
8
37
5
m
m
+
= =
(thoả mãn).
+ Xét
2m
.
( )
2
2
' 0 ( 1)
1
m
yx
x
−
= −
+
0;4
min (0)y y m = =
.
3m=
(loại).
Vậy
7m =
.
Câu 13. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tìm các giá trị của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của
hàm số
2
1
x m m
y
x
−+
=
+
trên đoạn
0;1
bằng
2−
.
A.
1
2
m
m
=−
=−
. B.
1
2
m
m
=
=
. C.
1
2
m
m
=
=−
. D.
1
2
m
m
=−
=
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
\1D =−R
.
Hàm số đã cho liên tục trên
0;1
.
Ta có:
( )
( ) ( )
2
2
22
1
1
0
11
mm
mm
y
xx
− − +
−+
= =
++
;
xD
.
Trang 7
Hàm số đồng biến trên đoạn
0;1
.
Trên
0;1
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
0x =
.
Ta có:
( )
22
1
0 2 2 2 0
2
m
y m m m m
m
=−
= − − + = − − − =
=
.
Câu 14. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
(
m
là tham số thực) thỏa
mãn
0;1
min 3y
éù
êú
ëû
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
13m£<
B.
6m >
C.
1m <
D.
36m<£
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
{ }
\1D =-¡
.
Với
1m =
1yÞ=
,
0;1x
éù
"Î
êú
ëû
thì
0;1
min 3y
éù
êú
ëû
¹
.
Suy ra
1m ¹
. Khi đó
( )
2
1
1
m
y
x
-
¢
=
+
không đổi dấu trên từng khoảng xác định.
TH 1:
01ym
¢
> Û <
thì
( )
0;1
min 0 3y y m
éù
êú
ëû
= Þ =
(loại).
TH 2:
01ym
¢
< Û >
thì
( )
0;1
min 1 5y y m
éù
êú
ëû
= Þ =
( thỏa mãn).
Câu 15. (Chuyên KHTN 2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
trên
[ ]
1;2
bằng
8
(
m
là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
10m
. B.
8 10m
. C.
04m
. D.
48m
.
Lời giải
Nếu
1m =
thì
1y =
(không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8)
Nếu
1m
thì hàm số đã cho liên tục trên
[ ]
1;2
và
( )
2
1
'
1
m
y
x
-
=
+
.
Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn
1;2
.
Do vậy
( ) ( )
1;2 1;2
1 2 41
1 2 8
2 3 5
xx
mm
Min y Max y y y m

++
+ = + = + = =
.
Câu 16. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi
,AB
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x m m
y
x
++
=
−
trên đoạn
2;3
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
13
2
AB+=
.
A.
1; 2mm= = −
. B.
2m =−
. C.
2m =
. D.
1; 2mm= − =
.
Lời giải
Xét hàm số
2
1
x m m
y
x
++
=
−
trên đoạn
2;3
.
( )
( ) ( )
2 2 2
2
1 3 2
' 0 2;3 3 , 2
21
1
m m m m m m
y x A f B f
x
− − − + + + +
= = = = =
−
.
22
1
13 3 2 13
2
2 2 1 2
m
m m m m
AB
m
=
+ + + +
+ = + =
=−
.
Trang 8
Câu 17. (Sở Hưng Yên) Cho hàm số
( )
2
8
xm
fx
x
−
=
+
với
m
là tham số thực. Giả sử
0
m
là giá trị
dương của tham số
m
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0;3
bằng
3−
. Giá trị
0
m
thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?
A.
( )
20;25
. B.
( )
5;6
. C.
( )
6;9
. D.
( )
2;5
.
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
( )
2
8
xm
fx
x
−
=
+
trên đoạn
0;3
.
Ta có:
( )
2
2
8
0, 0;3
8
m
yx
x
+
=
+
hàm số
( )
2
8
xm
fx
x
−
=
+
đồng biến trên đoạn
0;3
( ) ( )
2
0;3
min 0 .
8
m
f x f
−
= =
Theo giả thiết, ta có:
( )
2
2
0;3
26
min 3 3 24 .
8
26
m
m
f x m
m
=
−
= − = − =
=−
Mà
( )
0, 2 6 4,9 2;5m m m =
.
Câu 18. (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của
hàm số
32
3y x x m= − − +
trên đoạn
1;1−
bằng
0
.
A.
2.m =
B.
6.m =
C.
0.m =
D.
4.m =
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số
32
3y x x m= − − +
trên đoạn
1;1−
, ta có
2
0 1;1
3 6 ; 0
2 1;1
x
y x x y
x
= −

= − − =
= − −
Mà
( 1) m 2
(0) m
(1) m 4
y
y
y
− = −
=
=−
Do đó
1;1
min 4 0 4.y m m
−
= − + = =
Vậy
4m =
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 19. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
3y x x m= − +
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
1;1−
bằng
2
A.
2m=
. B.
22m=+
. C.
42m=+
. D.
22
42
m
m
é
=+
ê
ê
=+
ê
ë
.
Lời giải
Chọn C
2
' 3 6y x x=-
0
'0
2
x
y
x
é
=
ê
=Û
ê
=
ë
Trang 9
Trên
1;1−
thì
( ) ( ) ( )
1 0 1
' 4; ' ; ' 2y m y m y m
-
= - = = -
nên
[ ]
1;1
2 4 2 4 2Miny m m
-
= Û - = Û = +
Câu 20. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Có một giá trị
0
m
của tham số
m
để hàm số
( )
32
11y x m x m= + + + +
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
5
trên đoạn
[ ]
0;1
. Mệnh đề nào sau đây
là đúng?
A.
2
00
2018 0mm-³
. B.
0
2 1 0m -<
. C.
2
00
60mm-<
. D.
0
2 1 0m +<
.
Lời giải
+ Đặt
( )
( )
32
11f x x m x m= + + + +
.
+ Ta có:
22
31y x m
¢
= + +
. Dễ thấy rằng
0y
¢
>
với mọi
x
,
m
thuộc nên hàm số đồng
biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên
[ ]
0;1
. Vì thế
[ ]
0;1
min y
[ ]
( )
0;1
min fx=
( )
0f=
1m=+
.
+ Theo bài ra ta có:
15m+=
, suy ra
4m=
.
+ Như vậy
0
4m =
và mệnh đề đúng là
2
00
2018 0mm-³
.
Câu 21. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số
2
1y x m x= + + −
có giá trị lớn nhất
bằng
22
thì giá trị của
m
là
A.
2
2
. B.
2−
. C.
2
. D.
2
2
−
.
Lời giải
Xét hàm số
2
1y x m x= + + −
Tập xác định:
1;1D =−
.
Ta có:
2
1
1
x
y
x
=−
−
2
2
1
0
10
xx
y
x
−=
=
−
2
10
1
x
xx

−=
2
10
1
10
1
2
21
2
1
2
x
x
x
x
x
x


=
=

=
=−
.
Ta có:
( ) ( )
1
1 1 , 1 1 , 2
2
y m y m y m

− = − + = + = +


.
Do hàm số
2
1y x m x= + + −
liên tục trên
1;1−
nên
1;1
Max 2ym
−
=+
.
Theo bài ra thì
1;1
Max 2 2y
−
=
, suy ra
2 2 2 2mm+ = =
.
Câu 22. (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số
32
23y x x m= − −
. Trên
1;1−
hàm số
có giá trị nhỏ nhất là
1−
. Tính
m
?
A.
6m =−
. B.
3m =−
. C.
4m =−
. D.
5m =−
.
Lời giải
Chọn C
Xét
1;1−
có
2
66y x x
=−
.
Trang 10
0y
=
2
6 6 0xx − =
0 1;1
1 1;1
x
x
= −
= −
.
Khi đó
( )
15ym− = − −
;
( )
0ym=−
;
( )
11ym= − −
Ta thấy
51m m m− − − − −
nên
1;1
min 5ym
−
= − −
.
Theo bài ra ta có
1;1
min 1y
−
=−
nên
51m− − = −
4m = −
.
Câu 23. Biết
S
là tập giá trị của
m
để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2 3 2
2y x m x x m= − − −
trên đoạn
0;1
bằng
16−
. Tính tích các phần tử của
S
.
A.
2
. B.
2−
. C.
15−
. D.
17−
.
Lời giải
TXĐ:
D =
.
Ta có:
3 2 2
4 3 4y x m x x
= − −
( )
3 2 2
2 2 2
0
0 4 3 4 0
4 3 4 0 9 64
x
y x m x x
x m x m
=
= − − =
− − = = +
24
24
0
3 9 64
1
8
3 9 64
0
8
x
mm
x
mm
x
=
++
=
−+
=
Nên hàm số đơn điệu trên
( )
0;1
.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;1
bằng
16−
nên
( ) ( )
( )
22
0 1 16 1 16 2 15 0y y m m m m m+ = − − + − − − = − − − + =
.
Vậy
12
. 15mm =−
.
Câu 24. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tất cả giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
1x mx
y
xm
++
=
+
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0;2
tại một điểm
( )
0
0;2x
.
A.
01m
B.
1m
C.
2m
D.
11m−
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
\ Dm=−
. Hàm số liên tục trên
0;2
00
22
mm
mm
−



− −

Ta có
( )
( )
( )
2
22
22
1
21
xm
x mx m
y
x m x m
+−
+ + −
==
++
. Cho
1
2
1
0
1
xm
y
xm
= − −
=
= − +
.
Ta có bảng biến thiên
Trang 11
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
( )
0
0;2x
nên
0 1 2 1 1mm − + −
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn
0;2
. Ta có
01m
.
CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU:
Điều kiện xác định
xm−
Hàm số liên tục trên đoạn
0;2
nên
( )
00
0;2 *
22
mm
m
mm
−

−

− −

( )
( )
( )
2
22
22
1
21
'
xm
x mx m
y
x m x m
+−
+ + −
==
++
'0y =
có hai nghiệm là
1
2
1
1
xm
xm
= − +
= − −
,
12
2xx−=
nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc
( )
0;2
Ta thấy
1 1,m m m− + − −
và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên
0;2
tại
một điểm
( )
0
0;2x
thì
( )
0 1 2 1 1 **mm − + −
Từ
( ) ( )
* , **
ta có
01m
Câu 25. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số
1 sin
cos 2
mx
y
x
−
=
+
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
0;10
để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn
2−
?
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Tập xác định:
D =
.
Ta có:
1 sin
cos 2
mx
y
x
−
=
+
cos sin 1 2y x m x y + = −
.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2
1 4 4y m y y+ − +
22
3 4 1 0y y m − + −
22
2 1 3 2 1 3
33
mm
y
− + + +
.
Theo đề bài, ta có:
2
2 1 3
min 2
3
0;10
x
m
y
m
m
−+
= −
2
1 3 8
0;10
m
m
m
+

2
3 63
0;10
m
m
m

2
21
0;10
m
m
m

Trang 12
5,6,7,8,9,10m
.
Vậy có
6
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 26. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
3
,0y ax cx d a= + +
có
( )
( ) ( )
;0
min 2
x
f x f
−
=−
. Giá trị
lớn nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
1;3
bằng
A.
11da−
. B.
16da−
. C.
2da+
. D.
8da+
.
Lời giải
Vì
3
,0y ax cx d a= + +
là hàm số bậc ba và có
( )
( ) ( )
;0
min 2
x
f x f
−
=−
nên
0a
và
'0y =
có
hai nghiệm phân biệt.
Ta có
2
' 3 0y ax c= + =
có hai nghiệm phân biệt
0ac
.
Vậy với
0, 0ac
thì
'0y =
có hai nghiệm đối nhau
3
c
x
a
= −
Từ đó suy ra
( )
( )
;0
min
3
x
c
f x f
a
−

= − −



2 2 12
33
cc
ca
aa
− − = − − = = −
Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra
( ) ( )
1;3
max 2 8 2 16
x
f x f a c d a d
= = + + = − +
.
Câu 27. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2
1
xm
y
xx
+
=
++
có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn hoặc bằng 1.
A.
1m
. B.
1m
. C.
1m −
. D.
1m −
.
Lời giải
Chọn A
+ TXĐ:
D =
.
+
lim 0
x
y
→
=
+
( )
2
2
2
21
1
x mx m
y
xx
− − + −
=
++
.
2
0 2 1 0 (*)y x mx m
= − − + − =
2
(*)
1 0,m m m
= − +
nên (*) có 2 nghiệm phân biệt
12
,x x m
+ BBT:
Trang 13
Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là
( )
2
2
1
21
fx
x
=
+
với
2
2
1x m m m= − + − +
2
2
1
1 1 2 2 1 1
2 2 1 1
YCBT m m m
m m m
− + − +
− + − + +
( vì
( )
22
0 2 1 0f x x +
)
2
22
0
0
11
1
m
m
m m m m
m m m
− +
− +
Câu 28. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số
32
1
x x m
y
x
+−
=
+
trên
0;2
bằng
5
. Tham số
m
nhận giá trị là
A.
5−
. B.
1
. C.
3−
. D.
8−
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Tập xác định của hàm số:
\ 1 0;2DD=
.
Ta có:
( )
3 2 3 2
2
2 4 2
1
1
x x m x x x m
yy
x
x
+ − + + +
= =
+
+
.
( )
3 2 3 2
0 2 4 2 0 2 4 2y x x x m x x x m
= + + + = − + + =
(1).
Ta có
( ) ( )
0 ; 2 4
3
m
y m y= − = −
Đặt
( )
( )
( )
( )
3 2 2
1
2 4 2 6 8 2 0 1
3
g x x x x g x x x x x
= − + + = − + + = = − = −
.
Trên
0;2
ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có
( )
36;0 , 0;2g x x −
.
Trường hợp 1:
0m 
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình
0y
=
vô nghiệm.
Dễ thấy
( ) ( )
0 2 4 0
3
m
y m y khi m= − = −
.
Khi đó
( )
0;2
Max 2 4 5 3
3
m
y y m= = − = = −
loại do
0m
.
Trường hợp 2:
36m −
phương trình (1) vô nghiệm
phương trình
0y
=
vô nghiệm.
Dễ thấy
( ) ( )
0 2 4 36
3
m
y m y khi m= − = − −
.
Khi đó
( )
0;2
Max 0 5 5y y m m= = − = = −
loại do
36m −
.
Trường hợp 3:
36;0m −
phương trình
0y
=
có nghiệm duy nhất (giả sử
0
xx=
).
Trang 14
Trên
0;2
ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có:
+
( )
( )
3 2 3 2
0
: 2 4 2 2 4 2 0 0x x g x m x x x m x x x m y
= = − + + = + + + = =
.
+
( ) ( )
( )
3 2 3 2
0
0; : 2 4 2 2 4 2 0 0x x g x m x x x m x x x m y
− + + + + +
.
+
( ) ( )
( )
3 2 3 2
0
;0 : 2 4 2 2 4 2 0 0x x g x m x x x m x x x m y
− + + + + +
.
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy
( ) ( )
0;2
Max 2 ; 0y y y
.
Nếu m
( ) ( )
( ) ( )
0;2
36; 6 0 2 Max 0 5 5y y y y m m l − − = = − = = −
.
Nếu m
( ) ( )
( )
0;2
6;0 0 2 Max 2 4 5 3( )
3
m
y y y y m n − = = − = = −
.
Vậy
3m =−
thỏa đề.
Cách 2:
Tập xác định của hàm số:
\ 1 0;2DD=
.
Ta có:
( )
32
2
2
2
11
1
x x m m m
y x y x
xx
x
+−
= = − = +
++
+
.
Trường hợp 1:
0 0, 0;2m y x
Hàm số đồng biến trên
0;2
.
( )
0;2
Max 2 4 5 3
3
m
y y m = = − = = −
loại do
0m
.
Trường hợp 2:
0m
, giả sử
( )
0
0;2
Max y y x=
với
( )
0
0;2x
. Do hàm số liên tục trên
0;2
( )
( )
( )
2
00
0
32
00
0
0
21
0
5
5
1
m x x
yx
x x m
yx
x
= − +
=


+−
=
=
+
( ) ( )
2
32
0 0 0 0 0 0
5
2 1 5 1 1( ) 8
3
x x x x x x x n m
−
+ + + = + = = = −
.
Trang 15
Khi đó:
( ) ( )
32
22
8 2 4 2 8
2 0 1
11
x x x
y x y x
xx
− + + −

= + = = =
++
.
Ta có bảng biên thiên:
8m = −
không thỏa yêu cầu đề.
Nên không tồn tại
( )
0
0;2x
để
( )
0
0;2
Max y y x=
.
( )
( )
0;2
0;2
Max 2 5
Max 0 3
y y m
y y m
= = −
= = −
.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0;2
17 17
5 0 5; 2 Max 2 5 5
33
m y y y y m l= − = = = = = −
.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0;2
3 0 3; 2 5 Max 2 5 3m y y y y m n= − = = = = = −
.
Vậy
3m =−
thỏa đề.
Câu 29. Cho hàm số
( )
2
3
3y x x m= − +
. Tổng tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn
1;1−
bằng
1
là
A.
1
. B.
4−
. C.
0
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
.D =
Đặt
3
3 , 1;1 2;2 .t x x x t= − − −
Khi đó ta có hàm số
( ) ( )
2
.f t t m=+
( ) ( ) ( )
2 ; 0 .f t t m f t t m

= + = = −
Trường hợp 1:
2 2 2 2.mm− − −
Từ bảng biến thiên ta thấy:
( ) ( )
2;2
min 0f t f m
−
= − =
không thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2:
22mm− −
Từ bảng biến thiên ta thấy:
( ) ( ) ( )
2
2;2
min 2 2f t f m
−
= − = −
.
Theo yêu cầu bài toán:
( )
2
2
3
2 1 3.
1
m
m
mm
m
=
− = ⎯⎯⎯→ =
=
Trang 16
Trường hợp 3:
22mm− −
Từ bảng biến thiên ta thấy:
( ) ( ) ( )
2
2;2
min 2 2 .f t f m
−
= = +
Theo yêu cầu bài toán:
( )
2
2
3
2 1 3.
1
m
m
mm
m
−
=−
+ = ⎯⎯⎯→ = −
=−
Vậy tổng các giá trị của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu là:
( )
3 3 0.+ − =
Câu 30. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của
0m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
31y x x= − +
trên đoạn
1; 2mm++
luôn bé hơn
3
.
A.
( )
0;2m
. B.
( )
0;1m
. C.
( )
1;m +
. D.
( )
0;m +
.
Lời giải
Ta có
2
33yx
=−
,
01yx
= =
do đó
( )
11
CT
yy= = −
và
( )
C
13
Đ
yy= − =
.
Thấy ngay với
0m
thì trên đoạn
1; 2mm++
hàm số luôn đồng biến.
Vậy GTNN của hàm số đã cho trên đoạn
1; 2mm++
là
( ) ( ) ( )
3
1 1 3 1 1y m m m+ = + − + +
.
GTNN luôn bé hơn
3
( ) ( )
3
1 3 1 2 0mm + − + −
12
11
m
m
+
+ −
1
2
m
m
−
.
Kết hợp điều kiện
0m
ta được
( )
0;1m
.
Câu 31. (Chuyên Đh Vinh 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số
36
1
y mx
x
=+
+
trên
0;3
bằng
20
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
02m
. B.
48m
. C.
24m
. D.
8m
.
Lời giải
36
1
y mx
x
=+
+
( )
2
36
1
ym
x
= −
+
Trường hợp 1:
0m =
, ta có
( )
2
36
0, 1
1
yx
x
= − −
+
.Khi đó
( )
0;3
min 3 9
x
yy
==
(loại).
Trường hợp 2:
0m
Nếu
0m
, ta có
0y
,
1x −
Khi đó
( )
0;3
min 3
x
yy
=
11
20 3 9
3
mm = + =
(loại).
Nếu
0m
, khi đó
( )
2
36
00
1
ym
x
= − =
+
( )
2
36
1x
m
+ =
( )
6
1
6
1
x
m
xl
m
=−
= − −
.
64
0 1 3 36
9
m
m
−
,
( )
0;3
4
6
min 1 12 20
100
x
m
y y m m
ml
m
=

= − = − =

=

.
69
13
4
m
m
−
,
( )
0;3
min 3
x
yy
=
( )
11
20 3 9
3
m m l = + =
.
Trang 17
Câu 32. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số
( )
3 2 2
3 3 1 2020y x mx m x= − + − +
. Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên của
m
sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
( )
0;+
?
A.
2
. B.
1
. C. Vô số. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
1
22
2
1
' 3 6 3 1 0
1
xm
y x mx m
xm
=−
= − + − =
=+
.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
( )
0;+
thì
12
0xx
hoặc
12
0 xx
.
TH1:
12
0xx
1 0 1mm − +
11m−
. Do
m
0;1m
.
BBT của hàm số:
TH2:
12
0 xx
.
BBT của hàm số
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
( )
0;+
khi và chỉ khi
( ) ( )
10
10
m
y m y
−
+
.
( ) ( )
( )
( )
32
2
1
1 3 1 3 1 1 2020 2020
m
m m m m m
+ − + + − + +
( ) ( )
2
1
1 2 0
m
mm
+ −
1
2
1
m
m
m
=−
12m
.
Do
m
2m=
.
Vậy
0;1;2m
.
Câu 33. (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số
( )
1f x m x=−
(
m
là tham số thực khác 0). Gọi
12
,mm
là hai giá trị của
m
thoả mãn
( )
( )
2
2;5
2;5
min ax 10f x m f x m+ = −
. Giá trị của
12
mm+
bằng
A. 3. B. 5. C. 10. D. 2.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
'
1
.
21
f x m
x
=
−
;
Trang 18
Do
0m
nên
( )
'
fx
khác 0 và có dấu không thay đổi với
( )
1; .x +
Nếu
0m
thì
( )
'
0, 2;5f x x
. Do đó
( ) ( )
( ) ( )
2;5
2;5
min 2 ; ax 5 2 .f x f m m f x f m= = = =
( )
( )
2
2;5
2;5
2
1
2
2
min ax 10
2 10
2
3 10 0
5
f x m f x m
m m m
m
mm
m
+ = −
+ = −
=−
− − =
=
Do
0m
nên nhận
2
5.m =
Nếu
0m
thì
( )
'
0, 2;5f x x
. Do đó
( ) ( )
( ) ( )
2;5
2;5
min 5 2 ; ax 2 .f x f m m f x f m= = = =
( )
( )
2
2;5
2;5
2
1
2
2
min ax 10
2 10
2
3 10 0
5
f x m f x m
m m m
m
mm
m
+ = −
+ = −
=−
− − =
=
Do
0m
nên nhận
1
2.m =−
Vậy
12
3.mm+=
Câu 34. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số thuộc đoạn
để giá trị nhỏ nhất của nhỏ hơn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: luôn đúng .
(do luôn đúng )
(*).
Phương trình (*) có nghiệm
.
Vậy .
.
Mà nên .
Câu 35. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số sao cho
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 2. Tổng tất cả
các phần tử của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
sin 1
cos 2
mx
y
x
+
=
+
m
5;5−
y
1−
4
2
6
8
cos 2 0x+
x
( )
sin 1
cos 2 sin 1
cos 2
mx
y y x m x
x
+
= + = +
+
cos 2 0x+
x
sin cos 2 1m x y x y − = −
( )
22
2
2 2 2 2
2 1 3 2 1 3
2 1 3 4 1 0
33
mm
m y y y y m y
− + + +
+ − − + −
2
2 1 3
3
m
Min y
−+
=
2
22
2 2 2,82
2 1 3
1 1 1 3 5 8 0
3
2 2 2,82
m
m
Min y m m
m

−+
− − + −
− −
, 5;5mm −
5; 4; 3;3;4;5m − − −
S
m
( )
( )
2
3
34
3 2 1
fx
x x m
=
− + +
0;3
S
8
8−
6−
1−
Trang 19
Chọn B
Ta có
Nhận thấy .
Xét hàm số trên , ta có:
+ ,
+
Do đó , tức .
Từ đây ta có
. Suy ra . Vậy, tổng các phần tử của là .
Câu 36. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số
( )
2
3
31y x x m= − + +
. Tổng tất cả các giá trị
của tham số
m
sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;1−
bằng
1
là
A.
2−
. B.
4
. C.
4−
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
2
3
( ) 3 1y f x x x m= = − + +
là hàm số xác định và liên tục trên đoạn
1;1−
.
Ta có
( )( )
32
( ) 2 3 1 3 3y f x x x m x

= = − + + −
.
3
1
( ) 0
3 1 ( )
x
fx
m x x g x
=
=
= − + − =
.
Ta khảo sát hàm số
()gx
trên đoạn
1;1−
.
Bảng biến thiên của
()gx
Nếu
3;1m−
thì luôn tồn tại
0
1;1x −
sao cho
0
()m g x=
hay
0
( ) 0fx =
. Suy ra
1;1
min 0y
−
=
, tức là không tồn tại
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu
3;1m−
thì
( ) 0 1 1;1f x x
= = −
.
Ta có:
22
1;1
min ( ) min (1); ( 1) min ( 1) ;( 3)f x f f m m
−
= − = − +
Trường hợp 1:
1m
tức là
3 1 0mm+ −
suy ra
( )
2
33
3 2 3 2x x m x x m− + = − +
( )
0;3
min 2fx=
( )
3
0;3
max 3 2 16 1x x m − + =
( )
3
32g x x x m= − +
0;3
( )
2
' 3 3g x x=−
( )
2
' 3 3 0g x x= − =
( )
( )
1 0;3
1 0;3
x
x
=
= −
( ) ( ) ( )
0 2 , 1 2 2, 3 2 18g m g m g m= = − = +
( )
2 2 2 18, 0;3m g x m x− +
3
0;3 0;3
max 3 2 max 2 2 ; 2 18x x m m m− + = − +
( )
0;3
1 max 2 2 ; 2 18 16mm − + =
2 18 2 2
2 18 16
1
7
2 18 2 2
2 2 16
mm
m
m
m
mm
m
+ −
+=
=−

=−
+ −
−=
7; 1S = − −
S
8−
Trang 20
2
1;1
2 ( )
min ( ) ( 1) 1
0 ( )
m TM
f x m
m KTM
−
=
= − =
=
Trường hợp 2:
3m −
tức là
1 3 0mm− +
suy ra
2
1;1
4 ( )
min ( ) ( 3) 1
2 ( )
m TM
f x m
m KTM
−
=−
= + =
=−
Vậy có hai giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán:
2; 4mm= = −
, từ đó tổng tất cả các giá
trị của
m
là
2−
.
Câu 37. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số
( )
( )
22
2 2 4 4 1y f x m x x x m= = + + − + − + +
. Tính tổng tất cả các giá trị của
m
để hàm
số
( )
y f x=
có giá trị nhỏ nhất bằng
4
.
A.
7
2
−
. B.
5
2
. C.
1
2
−
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
TXĐ:
2;2D =−
.
Đặt
22t x x= + + −
;
2;2 2t


.
22
4 2 4tx = + −
22
2 4 4xt − = −
.
( )
( )
22
2 4 1y g t m t t m= = + − + +
22
27t m t m= + + −
với
2;2 2t


.
Ta có:
( )
2
4g t t m
=+
.
( )
2
0
4
m
g t t
−
= =
0; m
( )
gt
đồng biến trên
2;2 2


( ) ( )
2;2 2
min 2g t g


=
4=
.
Mà
( )
2
2 2 1g m m= + +
2
2 1 4mm + + =
1
3
2
m
m
=
=−
.
Tổng các giá trị của
m
thỏa mãn ycbt là
31
1
22
S

= + − = −


.
Câu 38. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số
( )
2
1
xm
fx
x
−
=
+
với
2m−
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
( )
1;3
26
max max ;
24
mm
fx
−−

=


. B.
( )
1;3
6
max
4
m
fx
−
=
khi
2m −
.
C.
( )
1;3
26
min min ;
24
mm
fx
−−

=


. D.
( )
1;3
2
min
2
m
fx
−
=
khi
2m −
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
( )
2
1
xm
fx
x
−
=
+
với
2m−
.
Tập xác định
1x −
.
Trang 21
Ta có
( )
( )
2
2
1
m
fx
x
+
=
+
suy đạo hàm không đổi dấu
1;3x
suy ra
( ) ( ) ( )
1;3
26
max max 1 ; 3 max ;
24
mm
f x f f
−−

==


;
( ) ( ) ( )
1;3
26
min min 1 ; 3 min ;
24
mm
f x f f
−−

==


.
Xét với
2m −
( )
0fx

1;3x
. Vậy
( ) ( )
2
1;3 1
2
m
x f x f
−
=
( )
1;3
2
max
2
m
fx
−
=
.
Xét với
2m −
( )
0fx

1;3x
. Vậy
( ) ( )
2
1;3 1
2
m
x f x f
−
=
( )
1;3
2
min
2
m
fx
−
=
.
Câu 39. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên
m
thuộc đoạn
20 ; 20−
để giá
trị lớn nhất của hàm số
6xm
y
xm
++
=
−
trên đoạn
1; 3
là số dương?
A. 9. B. 8. C. 11. D. 10.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định
\.Dm=
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên
1; 3
thì
1; 3 .m
( )
2
26
.
m
y
xm
−−
=
−
Trường hợp 1:
2 6 0 3.mm− − −
Khi đó
( )
1; 3
9
max 3 .
3
x
m
yy
m
+
==
−
Để giá trị lớn nhất trên đoạn
1; 3
là số dương thì
9
0 9 0 9.
3
m
mm
m
+
+ −
−
Vậy các số nguyên
m
thỏa là
8,−
7,−
6,−
5,−
4.−
Trường hợp 2:
2 6 0 3.mm− − −
Khi đó
( )
1; 3
7
max 1 .
1
x
m
yy
m
+
==
−
Để giá trị lớn nhất trên đoạn
1; 3
là số dương thì
7
0 1 0 1.
1
m
mm
m
+
−
−
Vậy các số nguyên
m
thỏa mãn là
2,−
1,−
0.
Trường hợp 3:
2 6 0 3.mm− − = = −
Khi đó
1.y =
Nên
1; 3
max 1.
x
y
=
Vậy
3m =−
thỏa.
Kết luận: có 9 số nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
| 1/21
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ- Chuyên đề 5 MỨC VẬN DỤNG
Dạng. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1. Tìm nghiệm x (i =1, 2,...) của y = 0 thuộc  ; a bi
Bước 2. Tính các giá trị f (x ); f (a); f b theo tham số i ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý:
 Hàm số y = f (x) đồng biến trên đoạn a;b thì Max f ( x) = f (b);Min f (x) = f (a) a;b a;b
 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên đoạn a;b thì Max f ( x) = f (a);Min f (x) = f (b) a;b a;bCâu 1.
(ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2023-LẦN 1)
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 4 2 3 2
= x − m x − 2x − m trên đoạn 0;  1 bằng −1? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có f ( x) 3 2 2
= x − x − m x = x(x − )(x + ) 2 2 4 4 3 4 1
1 − 3m x  0 với x  0;  1 .
Suy ra max f ( x) = f (0); min f ( x) = f ( ) 1 . 0; 1 0; 1
Theo yêu cầu bài toán ta có
f ( ) f ( ) = −  −m( 2 −m − m − ) 3 2 0 . 1 1 1 = 1
−  m + m + m +1 = 0  (m + )( 2 1 m + ) 1 = 0  m = 1 − . Câu 2.
(ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT 2022): Cho hàm số f (x) = (m − ) 4 2
1 x − 2mx +1 với m là tham số thực. Nếu min
f x = f 2 thì max f x bằng 0;3 ( ) 0;3 ( ) ( )     13 14 A. − . B. 4 . C. − . D. 1 . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có:
f ( x) = (m − ) 3
x − mx = x ((m − ) 2 4 1 4 4 1 x − m) x = 0 f ( x)  = 0 
m (m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán ) 2 x =  m −1 Vì min
f x = f 2  x = 2 là nghiệm của f ( x) = 0 0;3 ( ) ( )   m 4  = 1 8
4  m = 4m − 4  m =  f (x) 4 2 = x − x +1 m −1 3 3 3 f ( ) = f ( ) 81 72 3 12 0 1, 3 = − + = = 4 3 3 3 3 Vậy max f x = 4 0;3 ( )   Câu 3.
(ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2023-LẦN 1) Trang 1
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số g (x) = 2 f (x) −1 trên đoạn  1 − ;2 là A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Giá trị lớn nhất của hàm số g (x) = 2 f (x) −1 trên đoạn  1 − ;2 là
max g ( x) = 2 max f ( x) −1 = 2.3 −1 = 5 .  1 − ;2  1 − ;2 Câu 4.
(ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2023-LẦN 1) Cho y = f (x) có đồ
thị f ( x) như hình vẽ:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x) = f ( x) 1 3
+ x − x trên đoạn  1 − ;2 bằng 3 A. f ( ) 2 1 − . B. f ( ) 2 2 + . 3 3 2 C. . D. f (− ) 2 1 + . 3 3 Lời giải Chọn A. Trang 2
g ( x) = f ( x) 2 ' ' + x −1
* g ( x) =  f ( x) 2 ' 0 ' =1− x
y = f '(x) x = 1 −     2 y =1− xx =1
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1
− ;2 bằng f ( ) 2 1 − 3 x + m Câu 5.
(Mã 123 2017) Cho hàm số y =
( m là tham số thực) thỏa mãn min y = 3. Mệnh đề x − 1 [2;4]
nào dưới đây đúng? A. m  4
B. 3  m  4
C. m  −1
D. 1  m  3 Lời giải Chọn A −1− m Ta có y ' = ( x − 1)2
* TH 1. −1− m  0  m  −1 suy ra y đồng biến trên 2; 4   suy ra m min f (x) f (2) 2 + = = = 3  m = 1 (loại) 2;4   1
* TH 2. −1− m  0  m  −1 suy ra y nghịch biến trên 2; 4   suy ra m min f (x) f (4) 4 + = =
= 3  m = 5 suy ra m  4. 2;4   3 Trang 3 x + m 16 Câu 6.
(Mã 110 2017) Cho hàm số y =
( m là tham số thực) thoả mãn min y + max y = . x +1 1;2 1;2 3
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m  4
B. 2  m  4
C. m  0
D. 0  m  2 Lời giải Chọn A 1− m Ta có y = ( . x + )2 1
 Nếu m = 1  y = 1, x   1
− . Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 Nếu m 1  Hàm số đồng biến trên đoạn 1;  2 . + + Khi đó: 16 m m min y + max y =
y ( ) + y( ) 16 1 2 16 1 2 =  + =  m = 5 (loại). 1;2 1;2 3 3 2 3 3
 Nếu m 1  Hàm số nghịch biến trên đoạn 1;  2 . + + Khi đó: 16 y + y =
y ( ) + y ( ) 16 2 m 1 m 16 min max 2 1 =  + =  m = 5 ( t/m) 1;2 1;2 3 3 3 2 3 x + m Câu 7.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn 1;  2 bằng 8 ( m là x +1
tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. m  10.
B. 8  m 10 .
C. 0  m  4 .
D. 4  m  8. Lời giải Chọn B 1− m Ta có: y = ( . x + )2 1
- Nếu m = 1  y = 1 (loại).
- Nếu m 1khi đó y  0, x 1; 
2 hoặc y  0, x 1; 
2 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất tại x = 1, x = 2 . 1+ m 2 + m 41
Theo bài ra: max y + min y = 8  y ( ) 1 + y (2) = + = 8  m = (8;10) . 1;2 1;2 2 3 5 2 x - m - 2 Câu 8.
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn x - m [0; ] 4 bằng - 1. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn C Tập xác định: D = \ { } m . 2 m - m + 2 y¢=
> 0, " x ¹ m . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ¥ ; ) m và (x - m)2 ( ; m + ¥ ).
Bảng biến thiên của hàm số: Trang 4
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; ] 4 bằng - 1 khi ìï m < 0 ïí ï f (4)= - 1 ïî ìï m < 0 ïï ì ï ï m < 0 ï ìï m < 0 ï 2 Û í 2- m Û í Û í Û m = - 3. ï = - 1 ï 2 ï m + m- 6 = 0 ï m = 2,m = - 3 ï ïî ïî ïî 4- m x +1 1 Câu 9. Cho hàm số y =
(m là tham số thực) thỏa mãn min y =
. Mệnh đề nào dưới đây 2 x − m −3;−2 2 đúng?
A. 3  m  4. B. 2 −  m  3. C. m  4 . D. m  2 − . Lời giải Chọn B +TXĐ: D =  2 \ m , 3 − ; 2 −   D . 2 −m −1 + Ta có y ' = (
   . Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. x − m ) 0, x D 2 2 1 2 − +1 Nên min y = = y ( 2 − ) 2 =
 −2 − m = −2  m = 0  −2  m  3 . − −  2 3; 2 2 2 − − m 2 m x −1
Câu 10. Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn 1;  3 x + 2 bằng 1. A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D = ¡ \−  2 . 2 2m +1 Ta có: y =    − ( x . x + 2) 0, 2 2 2
Hàm số đồng biến trên đoạn  3m −1 1; 
3 nên max y = y (3)  =1  = (vì ).  m 2 m  0 1;  3 5 2 x - m
Câu 11. Cho hàm số y =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m để x + 8 0
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; ]
3 bằng −3. Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0
khoảng cho dưới đây? A. (2; ) 5 . B. (1; 4). C. (6; ) 9 . D. (20;2 ) 5 . Lời giải Chọn A Trang 5 + TXĐ: D = \ {- } 8 . 2 8 + m + ' y =
> 0, " x Î D (x + )2 8 2 Vậy hàm số x - m y = đồng biến trên [0; ] 3 . x + 8 2 - m
Þ min y = y(0) = [0 ] ;3 8 2 Để - m min y = - 3 Û = - 3 Û m = ± 2 6. [0 ] ;3 8
Þ m = 2 6 Î 2;5 . Vậy chọn A. 0 ( )
Câu 12. (THPT Hai Bà Trưng - Huế 2019) Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của 2x + m hàm số y = trên đoạn 0;  4 bằng 3 . x +1 A. m = 3 . B. m =1. C. m = 7 .
D. m = 5 Lời giải Chọn C 2 − m Ta có: y ' = ( . x + )2 1 + Xét m = 2 .
 Hàm số trở thành: y = 2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3  m = 2 (loại) + Xét m  2 . 2 − m +  8 m y ' =    −  = = ( min y y(4) . x + ) 0 ( x 1) 2 1 0;4 5 8 + m
= 3  m = 7 (thoả mãn). 5 + Xét m  2 . 2 − my ' =    −  = = ( min y y(0) m . x + ) 0 ( x 1) 2 1 0;  4  m = 3(loại). Vậy m = 7 .
Câu 13. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của 2
x − m + m hàm số y = trên đoạn 0;  1 bằng 2 − . x +1 m = 1 −  m =1  m =1 m = −1 A.  . B.  . C.  . D.  . m = 2 − m = 2 m = 2 −  m = 2 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D = R \−  1 .
Hàm số đã cho liên tục trên 0;  1 . 1− ( 2 −m + m) 2 m − m +1 Ta có: y = =    ( ; x D . x + ) 0 2 1 (x + )2 1 Trang 6
 Hàm số đồng biến trên đoạn 0;  1 . Trên 0; 
1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 . m = 1 − Ta có: y (0) 2 2 = 2
−  −m + m = 2
−  m − m − 2 = 0   . m = 2 x + m
Câu 14. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y =
(m là tham số thực) thỏa x + 1
mãn min y = 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 é ;1ù êë úû
A. 1 £ m < 3 B. m > 6 C. m < 1
D. 3 < m £ 6 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D = ¡ \ {- } 1 .
Với m = 1 Þ y = 1, x 0 é ;1ù
" Î êë úû thì miny ¹ 3 . 0 é ;1ù êë úû 1 - m
Suy ra m ¹ 1 . Khi đó y ¢=
không đổi dấu trên từng khoảng xác định. (x + )2 1
TH 1: y ¢> 0 Û m < 1 thì min y = y (0) Þ m = 3 (loại). 0 é ;1ù êë úû
TH 2: y ¢< 0 Û m > 1 thì min y = y ( )
1 Þ m = 5 ( thỏa mãn). 0; é 1ù êë úû x + m
Câu 15. (Chuyên KHTN 2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên x + 1
[1; 2] bằng 8 ( m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  10.
B. 8  m 10 .
C. 0  m  4 .
D. 4  m  8. Lời giải
Nếu m =1 thì y = 1 (không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8) Nếu 1- m
m  1 thì hàm số đã cho liên tục trên [1; 2] và y ' = . (x + )2 1
Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn 1;  2 . + +
Do vậy Min y + Max y = y ( ) + y ( ) m 1 m 2 41 1 2 = + = 8  m = . x   1;2 x   1;2 2 3 5
Câu 16. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi ,
A B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 x + m + m 13 y = trên đoạn 2; 
3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A + B = . x −1 2
A. m = 1; m = 2 − . B. m = 2 − . C. m = 2  . D. m = 1 − ;m = 2 . Lời giải 2 + + Xét hàm số x m m y = trên đoạn 2;  3 . x −1 2 −m − m −1 m + m + 3 m + m + 2 y ' =  0 x
  2;3  A = f 3 = , B = f 2 = . 2   ( ) 2 ( ) 2 (x − )1 2 1 2 2 13 m + m + 3 m + m + 2 13 m =1 A + B =  + =   . 2 2 1 2 m = 2 − Trang 7 x − m
Câu 17. (Sở Hưng Yên) Cho hàm số f ( x) 2 =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị x + 8 0
dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  3 bằng 3 − . Giá trị m 0
thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây? A. (20;25) . B. (5;6) . C. (6;9) . D. (2;5) . Lời giải Chọn D x − m
Xét hàm số f ( x) 2 = trên đoạn 0;  3 . x + 8 2 8 + m x − m Ta có: y =  0, x
  0;3  hàm số f (x) 2 =
đồng biến trên đoạn 0;  3 2   (x +8) x + 8 −m
 min f (x) = f (0) 2 = . 0;  3 8 −mm = 2 6
Theo giả thiết, ta có: min f ( x) 2 2 = 3 −  = 3 −  m = 24   . 0; 3 8 m = 2 − 6
Mà m  0, m
m = 2 6  4,9(2;5) .
Câu 18. (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn  1 − ;  1 bằng 0 .
A. m = 2.
B. m = 6.
C. m = 0.
D. m = 4. Lời giải Chọn D Xét hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn  1 − ;  1 , ta có x = 0 1 −  ;1 2 y = 3 − x − 6 ; x y = 0   x = 2 −    1 −  ;1 y ( 1 − ) = m− 2  Mà  y (  0) = m y (1) = m−4  Do đó min y = 4
− + m = 0  m = 4.  1 − ;  1
Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 19. (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + m
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1 − ;  1 bằng 2 m é = 2+ 2 ê A. m = 2 . B. m = 2 + 2 . C. m = 4 + 2 . D. ê . m ê = 4 + 2 ë Lời giải Chọn C 2
y ' = 3x - 6x x é = 0 y ' = 0 Û ê x ê = 2 ë Trang 8 Trên  1 − ;  1 thì y ' = m- 4; y ' = ; m y ' = m- 2 (- ) 1 ( ) 0 ( ) 1 nên Miny = 2 Û m - 4 = 2 Û m = 4 + 2 [- 1; ] 1
Câu 20. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Có một giá trị m của tham số m để hàm số 0 3 y = x + ( 2 m + )
1 x + m + 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn [0 ]
;1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m - m ³ 0 .
B. 2m - 1< 0 . C. 2
6m - m < 0 .
D. 2m + 1< 0 . 0 0 0 0 0 0 Lời giải + Đặt f (x) 3 = x + ( 2 m + ) 1 x + m + 1. + Ta có: 2 2
y¢= 3x + m + 1. Dễ thấy rằng y¢> 0 với mọi x , m thuộc nên hàm số đồng
biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên [0 ]
;1 . Vì thế min y = min f (x) = f ( ) 0 = m+ 1. [0; ] 1 [0; ] 1
+ Theo bài ra ta có: m+ 1= 5, suy ra m = 4.
+ Như vậy m = 4 và mệnh đề đúng là 2
2018m - m ³ 0 . 0 0 0
Câu 21. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất
bằng 2 2 thì giá trị của m là 2 2 A. . B. − 2 . C. 2 . D. − . 2 2 Lời giải Xét hàm số 2
y = x + m + 1− x
Tập xác định: D =  1 − ;  1 . x Ta có: y = 1− 2 1− x 1   x  0  1 1   x  0  x = 1 2     1− x = x 1 x 0        x = y = 0     2 2 2x =1  2  . 2 1  − x  0 2
 1− x = x  1  x = −   2  
Ta có: y (− ) = − + m y ( ) 1 1 1 , 1 = 1+ , m y = 2 + m   .  2  Do hàm số 2
y = x + m + 1− x liên tục trên  1 − 
;1 nên Maxy = m + 2 .  1 − ;  1
Theo bài ra thì Maxy = 2 2 , suy ra m + 2 = 2 2  m = 2 . −1; 1
Câu 22. (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − m . Trên  1 − ;  1 hàm số
có giá trị nhỏ nhất là −1. Tính m ? A. m = 6 − . B. m = 3 − . C. m = 4 − . D. m = 5 − . Lời giải Chọn C Xét  1 − ;  1 có 2
y = 6x − 6x . Trang 9x = 0 1 −  ;1 y = 0 2
 6x − 6x = 0   . x =1   1 −  ;1 Khi đó y (− ) 1 = 5
− − m ; y(0) = m − ; y( ) 1 = 1 − − m Ta thấy 5 − −m  1 − −m m − nên min y = 5 − − m .  1 − ;  1
Theo bài ra ta có min y = 1 − nên 5 − − m = 1 −  m = 4 − .  1 − ;  1
Câu 23. Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 3 2
y = x − m x − 2x − m trên đoạn 0;  1 bằng 16
− . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 − . C. 15 − . D. 17 − . Lời giải TXĐ: D = . Ta có: 3 2 2
y = 4x − 3m x − 4x x = 0 3 2 2
y = 0  4x − 3m x − 4x = 0   2 2
4x − 3m x − 4 = 0  ( 2  = 9m + 64)  x = 0  2 4  3m + 9m + 64  x =  1  8  2 4  3m − 9m + 64 x =  0  8
Nên hàm số đơn điệu trên (0; ) 1 .
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;  1 bằng 16 − nên
y ( ) + y ( ) = −  −m + ( 2 −m − m − ) 2 0 1 16
1 = −16  −m − 2m +15 = 0 . Vậy m .m = 1 − 5. 1 2
Câu 24. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 2 x + mx +1 y =
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 tại một điểm x  0;2 . 0 ( ) x + m A. 0  m 1 B. m 1 C. m  2 D. 1 −  m 1 Lời giải Chọn A −m  0 m  0
Tập xác định: D = \ − 
m . Hàm số liên tục trên 0;2     −m  2 m  2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 x = −m −1 Ta có y = =  =  ( . Cho 1 y 0  . x + m)2 (x + m)2 x = −m +1  2 Ta có bảng biến thiên Trang 10
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  0;2 nên 0  m − +1 2  1 −  m 1 0 ( )
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn 0;2. Ta có 0  m 1. CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU:
Điều kiện xác định x  −m −m  0 m  0
Hàm số liên tục trên đoạn 0;2 nên −m  0;2     ( ) * −m  2 m  2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 y ' = = ( x + m)2 (x + m)2 x = −m +1
y ' = 0 có hai nghiệm là 1  , x = −m −1  2
x − x = 2 nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0;2) 1 2
Ta thấy −m +1  −m −1, m
 và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;2 tại
một điểm x  0;2 thì 0  −m +1 2  1 −  m 1 (* ) * 0 ( ) Từ ( ) * ,(* ) * ta có 0  m 1 1− m sin x
Câu 25. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y = . Có bao nhiêu giá trị cos x + 2
nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 − ? A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Tập xác định: D = . 1− m sin x Ta có: y =
y cos x + msin x =1− 2y . cos x + 2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2
y + m  1− 4 y + 4 y 2 2
 3y − 4y +1− m  0 2 2 2 − 1+ 3m 2 + 1+ 3m   y  . 3 3 2  2 − 1+ 3m min y =  −2 2  +  2   x  3 1 3m 8 3m 63   
Theo đề bài, ta có: m0;10
 m0;10  m0;10    m   m   m    2 m  21   m0;10 m  Trang 11
m5,6,7,8,9,1  0 .
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 26. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số 3
y = ax + cx + d, a  0 có min f ( x) = f ( 2 − ) . Giá trị x (  −;0)
lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn 1;  3 bằng
A. d −11a .
B. d −16a .
C. d + 2a .
D. d +8a . Lời giải Vì 3
y = ax + cx + d, a  0 là hàm số bậc ba và có min f ( x) = f ( 2
− ) nên a  0 và y ' = 0 có x (  −;0) hai nghiệm phân biệt. Ta có 2
y ' = 3ax + c = 0 có hai nghiệm phân biệt  ac  0 . c
Vậy với a  0, c  0 thì y ' = 0 có hai nghiệm đối nhau x =  − 3a   c c Từ đó suy ra c
min f ( x) = f  − −     − − = 2 −  − = 2  c = 1 − 2a x (  −;0) 3a   3a 3a Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra max f ( x) = f (2) = 8a + 2c + d = 16 − a + d . x   1;  3
Câu 27. (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x + m y =
có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn hoặc bằng 1. 2 x + x +1 A. m 1. B. m 1. C. m  1 − . D. m  1 − . Lời giải Chọn A + TXĐ: D = . + lim y = 0 x→ 2
−x − 2mx +1− m + y = ( . x + x + )2 2 1 2
y = 0  −x − 2mx +1− m = 0 (*) 2 
 = m − m +1 0, m
  nên (*) có 2 nghiệm phân biệt x x , m   (*) 1 2 + BBT: Trang 12
Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là f ( 1 x = với 2
x = −m + m − m +1 2 ) 2x +1 2 2 1 2 YCBT
 1  1− 2m + 2 m − m +1  1( vì f (x  0  2x +1 0 2 ) 2 2 2
− m + 2 m − m +1 +1 ) m  0  2
m − m +1  m  m  0  m  1   2 2
m −m+1 m 3 2
x + x − m
Câu 28. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y = trên x +1 0; 
2 bằng 5 . Tham số m nhận giá trị là A. 5 − . B. 1. C. 3 − . D. 8 − . Lời giải Chọn C Cách 1:
Tập xác định của hàm số: D = \   1  0;  2  D . 3 2 3 2
x + x − m
2x + 4x + 2x + m Ta có: y =  y = . x +1 (x + )2 1 3 2 y =
x + x + x + m =  −( 3 2 0 2 4 2 0
2x + 4x + 2x) = m (1). m Ta có y (0) = − ; m y (2) = 4 − 3 Đặ 1
t g ( x) = − ( 3 2
2x + 4x + 2x)  g( x) = −( 2
6x + 8x + 2) = 0  x = −1 x = − . 3 Trên 0; 
2 ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có g ( x) 3 − 6;  0 , x  0;  2 .
Trường hợp 1: m  0  phương trình (1) vô nghiệm  phương trình y = 0 vô nghiệm. m
Dễ thấy y (0) = −m y (2) = 4 − khi m  0 . 3 Khi đó m
Max y = y (2) = 4 − = 5  m = 3 − loại do m  0. 0;2 3
Trường hợp 2: m  36
−  phương trình (1) vô nghiệm  phương trình y = 0 vô nghiệm. m
Dễ thấy y (0) = −m y (2) = 4 − khi m  36 − . 3
Khi đó Max y = y (0) = −m = 5  m = 5 − loại do − .  m  36 0;2
Trường hợp 3: m 3 − 6; 
0  phương trình y = 0 có nghiệm duy nhất (giả sử x = x ). 0 Trang 13 Trên 0; 
2 ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có:
+ x = x : g ( x) = m  − ( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
= m  2x + 4x + 2x + m = 0  y = 0 . 0
+ x  (0; x ) : g ( x)  m  − ( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
m  2x + 4x + 2x + m  0  y  0 . 0
+ x  ( x ;0) : g ( x)  m  −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
m  2x + 4x + 2x + m  0  y  0 . 0
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy Max y y (2); y (0). 0;2 Nếu m 36
− ;− 6  y(0)  y(2)  Max y = y(0) = −m = 5  m = 5 − (l) . 0;2 m Nếu m 6
− ;0  y(0)  y(2)  Max y = y (2) = 4 − = 5  m = 3 − (n) . 0;2 3 Vậy m = 3 − thỏa đề. Cách 2:
Tập xác định của hàm số: D = \   1  0;  2  D . 3 2
x + x − m m m Ta có: 2 y = = x −  y = 2x + . x +1 x +1 (x + )2 1
Trường hợp 1: m  0  y  0, x  0; 
2  Hàm số đồng biến trên 0;  2 . m
 Max y = y (2) = 4 − = 5  m = 3 − loại do m  0. 0;2 3
Trường hợp 2: m  0, giả sử  Max y = y ( x với x  0;2 . Do hàm số liên tục trên 0 ( ) 0 ) 0;2 0;  2  = − + y  ( x ) m 2x ( x )2 1 0 0 = 0  0     + − y  ( x ) 3 2 x x m 0 0 = 5  = 0 5 x +1  0 −
x + x + 2x (x + )2 5 3 2 1 = 5 x +1  x =
x = 1(n)  m = 8 − . 0 0 0 0 ( 0 ) 0 3 Trang 14 3 2 − + + − Khi đó: 8 2x 4x 2x 8 y = 2x + =   =  = ( . x + ) y 0 x 1 2 1 (x + )2 1 Ta có bảng biên thiên:  m = 8
− không thỏa yêu cầu đề.
Nên không tồn tại x  0;2 để Max y = y ( x . 0 ) 0 ( ) 0;2
Max y = y (2)  m = −5 0;2    .
Max y = y (0)  m = −3  0;2
Nếu m = −  y ( ) = y ( ) 17 =  y = y ( ) 17 5 0 5; 2 Max 2 =
 5  m = −5(l) . 3 0;2 3 Nếu m = 3
−  y (0) = 3; y(2) = 5  Max y = y(2) = 5  m = − ( 3 n) . 0;2 Vậy m = 3 − thỏa đề.
Câu 29. Cho hàm số y = ( x − x + m)2 3 3
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn  1 − ;  1 bằng 1 là A. 1. B. 4 − . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn C D = . Đặt 3 t = x − 3 , x x  1 − ;  1  t  2 − ;  2 .
Khi đó ta có hàm số f (t) = (t + m)2 .
f (t ) = 2(t + m); f (t ) = 0  t = − . m Trường hợp 1: 2 −  m −  2  2 −  m  2.
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f (−m) = 0 không thỏa mãn yêu cầu.  2 − ;2
Trường hợp 2: m −  2 −  m  2
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t ) = f ( 2 − ) = (m − 2)2.  2 − ;2 m = 3 
Theo yêu cầu bài toán: (m − 2)2 m 2 =1  ⎯⎯⎯→m = 3.  m =1 Trang 15
Trường hợp 3: m −  2  m  2 −
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t ) = f (2) = (m + 2)2 .  2 − ;2 m = 3 − −
Theo yêu cầu bài toán: (m + 2)2 m 2 =1  ⎯⎯⎯→m = 3 − .  m = 1 −
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là: 3 + (− ) 3 = 0.
Câu 30. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của m  0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn m +1;m +  2 luôn bé hơn 3 . A. m(0;2) . B. m (0; ) 1 .
C. m(1;+ ) .
D. m(0;+ ) . Lời giải Ta có 2
y = 3x − 3 , y = 0  x = 1
 do đó y = y( ) 1 = 1 − và y = y 1 − = 3. CĐ ( ) CT
Thấy ngay với m  0 thì trên đoạn m +1;m + 
2 hàm số luôn đồng biến. 3
Vậy GTNN của hàm số đã cho trên đoạn m +1;m +  2 là y (m + ) 1 = (m + ) 1 − 3(m + ) 1 +1 . m +  m  1 GTNN luôn bé hơn 3 3  (m + ) 1 − 3(m + ) 1 − 2  1 2 0     . m +1  1 − m  2 −
Kết hợp điều kiện m  0 ta được m (0; ) 1 . 36
Câu 31. (Chuyên Đh Vinh 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = mx + 0;3 x + trên   1
bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 0  m  2 .
B. 4  m  8.
C. 2  m  4 . D. m  8 . Lời giải 36 36 y = mx +  y = m − x +1 (x + )2 1 Trườ 36
ng hợp 1: m = 0 , ta có y = −    − min y = y (3) = ( .Khi đó 9 (loại). x + ) 0, x 1 2 1 x   0  ;3
Trường hợp 2: m  0
Nếu m  0 , ta có y  0 , x   1 − Khi đó min y = 11
y (3)  20 = 3m + 9  m = (loại). x   0;  3 3  6 x = −1  36 m
Nếu m  0 , khi đó y = 0  m − =  ( x + )2 36 =   ( 1 . x + ) 0 2 1 m  6 x = − −1 (l)  m 6 4   m = 4 6 0 
−1 3   m  36 , min y = y
−1 =12 m − m = 20     . m 9 x   0  ;3  mm = 100  (l) 6 9 11
−1  3  m  , min y = y (3)  20 = 3m + 9  m = (l) . m 4 x   0;  3 3 Trang 16
Câu 32. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 3 3 m − )
1 x + 2020 . Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+)? A. 2 . B. 1. C. Vô số. D. 3 . Lời giải Chọn D x = m −1 Ta có: 2
y ' = 3x − 6mx + 3( 2 m − ) 1 1 = 0   . x = m +1  2
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+) thì x  0  x hoặc 0  x x . 1 2 1 2
TH1: x  0  x m −1 0  m +1  1
−  m 1. Do m  m0;  1 . 1 2 BBT của hàm số:
TH2: 0  x x . 1 2 BBT của hàm số m −1  0 
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+) khi và chỉ khi  .  y  (m + ) 1  y (0) m 1   ( m +  )3 1 − 3m (m + )2 1 + 3  ( 2 m − ) 1 (m + ) 1 + 2020  2020 m 1   (  m +  )2 1 (m − 2)  0 m 1 
 m  2 1 m  2.  m = 1 − Do m  m = 2 . Vậy m0;1;  2 .
Câu 33. (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số f ( x) = m x −1 ( m là tham số thực khác 0). Gọi
m , m là hai giá trị của m thoả mãn min f ( x) + a
m x f ( x) 2
= m −10 . Giá trị của m + m 1 2  1 2 2;5 2;5 bằng A. 3. B. 5. C. 10. D. 2. Lời giải Chọn A 1 Ta có ' f ( x) = . m ; 2 x −1 Trang 17 Do m  0 nên '
f ( x) khác 0 và có dấu không thay đổi với x  (1;+). Nếu m  0 thì '
f ( x)  0, x  2; 
5 . Do đó min f ( x) = f (2) = ; m a
m x f ( x) = f (5) = 2 . m 2;5 2;5 min f ( x) + a
m x f ( x) 2 = m −10 2;5 2;5 2
m + 2m = m −10 m = 2 − 2 1
m − 3m −10 = 0  m =5  2
Do m  0 nên nhận m = 5. 2 Nếu m  0 thì '
f ( x)  0, x  2; 
5 . Do đó min f ( x) = f (5) = 2 ; m a
m x f ( x) = f (2) = . m 2;5 2;5 min f ( x) + a
m x f ( x) 2 = m −10 2;5 2;5 2
 2m + m = m −10 m = 2 − 2 1
m − 3m −10 = 0  m =5  2
Do m  0 nên nhận m = 2. − 1
Vậy m + m = 3. 1 2 m sin x +1
Câu 34. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của cosx + 2
tham số m thuộc đoạn  5 − ;  5
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn −1. A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: cosx + 2  0 luôn đúng x   . m sin x +1 y =
y (cosx + 2) = msin x +1(do cosx + 2  0 luôn đúng x   ) cosx + 2  msin x − c
y osx = 2 y −1(*).
Phương trình (*) có nghiệm  +  ( − + m + + m m y 2y − ) 2 2 2 2 1 3 2 1 3 2 2 2 2 1
 3y − 4y +1− m  0   y  . 3 3 2 2 − 1+ 3m Vậy Min y = . 3 2 2 − 1+ 3mm  2 2  2,82 2 2 Min y  1 −   1
−  1+ 3m  5  m −8  0   . 3 m  2 − 2  2 − ,82
Mà m , m 5 − ;  5 nên m 5 − ; 4 − ; 3 − ;3;4;  5 .
Câu 35. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 34
giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = trên đoạn 0;  3 bằng 2. Tổng tất cả
(x −3x+2m)2 3 +1
các phần tử của S bằng A. 8 . B. 8 − . C. 6 − . D. −1. Lời giải Trang 18 Chọn B
Ta có ( x − x + m)2 3 3 3 2
= x − 3x + 2m
Nhận thấy min f ( x) = 2 3
 max x −3x + 2m =16 ( ) 1 . 0;  3 0;  3
Xét hàm số g (x) 3
= x −3x + 2m trên 0;  3 , ta có: x = 1 (0;3) + g ( x) 2 '
= 3x −3 , g (x) 2 ' = 3x −3 = 0   x = 1 −   (0;3) + g (0) = 2 , m g ( )
1 = 2m − 2, g ( ) 3 = 2m +18
Do đó 2m − 2  g (x)  2m +18, x  0;  3 , tức 3
max x − 3x + 2m = max 2m − 2 ; 2m +18 . 0; 3 0; 3 Từ đây ta có ( )
1  max 2m − 2 ; 2m +18 =16 0; 3
 2m +18  2m − 2    2m +18 =16  m = 1 −    . Suy ra S =  7 − ;− 
1 . Vậy, tổng các phần tử của S là 8 − . 
 2m +18  2m − 2  m = 7 −   2m − 2 =16 
Câu 36. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y = ( x − x + m + )2 3 3
1 . Tổng tất cả các giá trị
của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1 − ;  1 bằng 1 là A. 2 − . B. 4 . C. 4 − . D. 0 . Lời giải Chọn A
Đặt y = f x = (x − x + m + )2 3 ( ) 3
1 là hàm số xác định và liên tục trên đoạn  1 − ;  1 .
Ta có y = f x = ( 3
x − x + m + )( 2 ( ) 2 3 1 3x − 3) . x = 1  f (  x) = 0   . 3
m = −x + 3x −1 = g(x)
Ta khảo sát hàm số g(x) trên đoạn  1 − ;  1 .
Bảng biến thiên của g(x) Nếu m 3 − ; 
1 thì luôn tồn tại x  1
− ;1 sao cho m = g(x ) hay f (x ) = 0 . Suy ra 0   0 0
min y = 0 , tức là không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  1 − ;  1 Nếu m 3 − ;  1 thì f (
x) = 0  x = 1   1 − ;  1 .
Ta có: min f (x) = min f (1); f ( 1 −  ) = min 2 2
(m −1) ;(m + 3)   1 − ;  1
Trường hợp 1: m 1 tức là m+3  m−1 0 suy ra Trang 19m = 2 (TM ) 2
min f (x) = (m −1) = 1    1 − ;  1 m = 0 (KTM )
Trường hợp 2: m  3
− tức là m−1 m+3  0 suy ra m = 4 − (TM ) 2
min f (x) = (m + 3) = 1    1 − ;  1 m = 2 − (KTM )
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m = 2; m = −4 , từ đó tổng tất cả các giá trị của m là 2 − . Câu 37. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số
y = f ( x) 2
= m ( + x + − x ) 2 2 2
+ 4 4 − x + m +1 . Tính tổng tất cả các giá trị của m để hàm
số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . 7 5 1 1 A. − . B. . C. − . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C TXĐ: D =  2 − ;  2 .
Đặt t = 2 + x + 2 − x ; t  2;2 2    . 2 2
t = 4+ 2 4− x 2 2
 2 4− x = t − 4 .
y = g (t) 2 = m t + ( 2
2 t − 4) + m +1 2 2
= 2t + m t + m − 7 với t  2;2 2   . Ta có: g(t ) 2 = 4t + m . ( ) 2 −m g t = 0  t =  0; m
   g (t) đồng biến trên 2;2 2 
  min g (t) = g (2) = 4 . 4 2;2 2   m =1  Mà g ( ) 2 2 = 2m + m +1 2
 2m + m +1 = 4 3  . m = −  2  
Tổng các giá trị của m thỏa mãn ycbt là 3 1 S = 1+ − = −   .  2  2 x − m
Câu 38. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số f ( x) 2 = với x +1 m  2
− . Mệnh đề nào dưới đây sai?
2 − m 6 − m  6 − m
A. max f ( x) = max  ; .
B. max f ( x) = khi m  2 − . 1  ;3  2 4  1  ;3 4
2 − m 6 − m  2 − m
C. min f ( x) = min  ;  .
D. min f ( x) = khi m  2 − . 1  ;3  2 4  1  ;3 2 Lời giải Chọn B − Xét hàm số ( ) 2x m f x = với m  2 − . x +1
Tập xác định x  1 − . Trang 20 2 + m
Ta có f ( x) = (
suy đạo hàm không đổi dấu x 1;  3 suy ra x + )2 1  − −  f ( x) =
f ( ) f ( ) 2 m 6 m max max 1 ; 3 = max  ;  ; 1  ;3  2 4   − −  f ( x) =
f ( ) f ( ) 2 m 6 m min min 1 ; 3 = min  ;  . 1  ;3  2 4  − Xét với m m  2
−  f (x)  0 x  1;  3 . Vậy x
    f (x)  f ( ) 2 1;3 1 = 2 −  f ( x) 2 m max = . 1  ;3 2 − Xét với m m  2
−  f (x)  0 x  1;  3 . Vậy x
    f (x)  f ( ) 2 1;3 1 = 2 −  f ( x) 2 m min = . 1  ;3 2
Câu 39. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2 − 0 ; 2  0 để giá x + m + 6
trị lớn nhất của hàm số y =
1 ; 3 là số dương? x − trên đoạn   m A. 9. B. 8. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn A
Tập xác định D = \   m .
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên 1 ;  3 thì m1 ;  3 . 2 − m − 6 y = ( x − m) . 2 Trường hợp 1: 2
− m−6  0  m  3 − . + Khi đó y = y ( ) m 9 max 3 = . x   1 ;  3 3 − m +
Để giá trị lớn nhất trên đoạn  m 1 ;  3 là số dương thì
9  0  m + 9  0  m  −9. 3 − m
Vậy các số nguyên m thỏa là 8, − 7, − 6, − 5, − 4. − Trường hợp 2: 2
− m−6  0  m  3 − . + Khi đó y = y ( ) m 7 max 1 = . x   1 ;  3 1− m +
Để giá trị lớn nhất trên đoạn  m 1 ;  3 là số dương thì
7  0 1− m  0  m 1. 1− m
Vậy các số nguyên m thỏa mãn là 2, − −1, 0. Trường hợp 3: 2
− m−6 = 0  m = 3 − .
Khi đó y = 1. Nên max y = 1. x   1 ;  3 Vậy m = 3 − thỏa.
Kết luận: có 9 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 21