TOP 90 câu trắc nghiệm vectơ trong không gian (có đáp án)

TOP 90 câu trắc nghiệm vectơ trong không gian có đáp án và lời giải được soạn dưới dạng file PDF gồm 31 trang giúp các bạn ôn tập, tham khảo và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

31 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương (H)
! Trang!1!
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương
tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A¢B¢C¢D¢, ta có:
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có: ;
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: và
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó và không cùng
phương. Khi đó: đồng phẳng Û $! m, n Î R:
• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.
Khi đó: $! m, n, p Î R:
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho . Khi đó:
+ Với . Qui ước:
+
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba
vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n Î R: thì đồng
phẳng
+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở .
Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:
+=
!!!" !!!" !!!"
AB BC AC
AB AD AC+=
!!!" !!!" !!!"
''++ =
!!!" !!!" !!!" !!!!"
AB AD AA AC
0IA IB+=
!!" !!"
"
2+=
!!!" !!!" !! "
OA OB OI
0; 3++ = ++ =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
"
GA GB GC OA OB OC OG
0; 4++ + = ++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
"
GA GB GC GD OA OB OC OD OG
a
!
( 0) ! :ba k Rb ka¹Û$Î =
!!
!
!!
,,
!
!!
abc
a
!
b
!
,,
!
!!
abc
=+
!
!!
cmanb
,,
!
!!
abc
!
x
=++
!
!! !
xmanbpc
∑ ∑
00
,(,)(0180)==Þ= ££
!!!" !!!"
""""
AB u AC v u v BAC BAC
,0¹
!
!!
uv
...cos(,)=
!! ! ! ! !
uv u v u v
00==
!!
!!
u hoaëc v
.0=
!!
uv
.0^Û =
!! !!
uv uv
cmanb=+
!
!!
,,abc
!
!!
x
!
,,abc
!
!!
x ma nb pc=++
!
!! !
2
22
aa a a=Þ=
!! ! !
MN
! Trang!2!
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa
chúng có thể tính được.
- Phân tích
- Khi đó
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
•
là bốn điểm đồng phẳng
•
là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có
trong đó .
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
.
Câu 2: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là tâm của hình bình hành . Ta phân tích như sau:
(do tính chất của đường trung tuyến)
,,abc
!!!
MN ma nb pc=++
!!!!" " " "
( )
2
2
MN MN MN ma nb pc== =++
!!!!" !!!!" " " "
( ) ( ) ( )
222
222
2cos, 2cos, 2cos,ma nb pc mn ab np bc mp ca=+++ + +
!!! !! !! !!
,,,ABCD
DA mDB nDCÛ= +
!!!" !!!" !!! "
,,,ABCD
O
OD xOA yOB zOC=++
!!! " !!!" !!!" !!!"
1xyz++=
.ABC A B C
¢¢¢
M
BB
¢
CA a=
!! !"
"
CB b=
!!!"
"
AA c
¢
=
!!! "
"
1
2
AM b c a=+-
!!!!"
"
""
1
2
AM a c b=-+
!!!!"
"
""
1
2
AM a c b=+-
!!!!"
"
""
1
2
AM b a c=-+
!!!!"
"
""
1
2
AM AB BM CB CA BB
¢
=+ =-+
!!!!" !!!" !!!!" !!!" !! !" !!! "
11
22
ba AA ba c
¢
=-+ =-+
!!!"
""
"""
O
A
B
C
D
A
B
C
D
0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!"
"
ODOBOCOA +=+
ODOCOBOA
2
1
2
1
+=+
ODOBOCOA
2
1
2
1
+=+
ABCD
BD BA BC=+
!!!" !!!" !!!"
O
A
B
C
D
BD BA BC OD OB OA OB OC OB=+ Û -=-+ -
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
OA OC OB ODÛ+ =+
!!!" !!!" !!!" !!!"
.S ABCD
ABCD
SA a=
!!"
"
SB b=
!!"
"
SC c=
!!!"
"
SD d=
!!!"
"
ac db+= +
!!
!!
ab cd+=+
!!
!!
ad bc+=+
!!
!!
0abcd+++ =
!!
!
!!
O
ABCD
2
2
SA SC SO
SB SD SO
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
!!" !! !" !!!"
!! " !!!" !!!"
M
B'
C'
A
C
B
A'
O
B
A
D
C
S
a
!
b
!
c
!
d
!
B
A
D
C
O
! Trang!3!
.
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,
, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta phân tích:
(tính chất đường trung tuyến)
.
Câu 5: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt ,
, , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích:
.
.
.
.
Câu 6: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. .
B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.
C. .
D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A đúng do tính chất đường trung bình trong và tính
chất của hình bình hành .
B đúng do nên bốn điểm , , , đồng
phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
.
SA SC SB SD a c d bÞ+ = + Û+=+
!! " !!!" !!" !!!"
""
""
ABCD
M
P
AB
CD
bAB =
AC c=
!!!"
"
AD d=
!!!"
"
( )
1
2
MP c d b=+-
!!!"
""
"
( )
1
2
MP d b c=+-
!!!"
""
"
( )
1
2
MP c b d=+-
!!!"
""
"
( )
1
2
MP c d b=++
!!!"
""
"
( )
1
2
MP MC MD=+
!!!" !!!!" !!! !"
( ) ( )
11
2
22
AC AM AD AM c d AM=-+-=+-
!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!"
"
"
( )
( )
11
22
cd AB cdb=+-=+-
!!!"
"""
""
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
O
I
ABCD
AC u
¢
=
!!!!"
"
'CA v=
!!! "
"
BD x
¢
=
!!! !"
"
DB y
¢
=
!!! !"
"
( )
1
2
2
OI u v x y=+++
!! "
""""
( )
1
2
2
OI u v x y=- + + +
!! "
""""
( )
1
2
4
OI u v x y=+++
!! "
""""
( )
1
2
4
OI u v x y=- + + +
!! "
""""
( ) ( )
2u v AC CA AC CC CA AA AA
¢¢ ¢ ¢ ¢
+= + = + + + =
!!! !" !!!" !!!" !!!!" !! !" !!! " !!!"
""
( ) ( )
22xyBDDB BDDD DBBB BB AA
¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢
+= + = + + + = =
!!! !" !!! !" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!! " !!! "
""
4 4 4.2uvxy AA AA OI
¢¢
Þ+++= =- =-
!!!" !!!" !! "
""""
( )
1
2
4
OI u v x yÞ=-+++
!! "
""""
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
I
K
ABB A
¢¢
BCC B
¢¢
11
22
IK AC A C
¢¢
==
!! " !!!" !!!!"
I
K
C
A
22BD IK BC+=
!!!" !!" !!!"
BD
!!!"
IK
!!"
BC
¢¢
!!!!"
B AC
¢
D
ACC A
¢¢
// IK AC
I
K
C
A
2BD IK BC CD AC BC CD AD DC+=++=+++
!!!" !! " !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!! "
2BC BC BC=+=
!!!" !!!" !!!"
M
P
B
D
C
A
b
!
c
!
d
!
I
K
D'
B'
C'
B
A
D
C
A'
O
I
D'
B'
C'
B
A
D
C
A'
u
!
v
!
x
!
y
!
! Trang!4!
D sai do giá của ba vectơ ; ; đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó,
theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi
”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. là trung điểm của đoạn ( , lần lượt là trung điểm và ).
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta gọi và lần lượt là trung điểm và .
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
là trung điểm đoạn .
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được
phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương
án D sai.
Câu 8: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là trung điểm .
Ta phân tích:
.
Câu 9: Cho hình hộp có tâm . Đặt ; . là điểm xác định bởi
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là tâm hình bình hành . B. là tâm hình bình hành .
C. là trung điểm . D. là trung điểm .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta phân tích:
.
là trung điểm của .
BD
!!!"
IK
!!"
BC
¢¢
!!!!"
( )
ABCD
ABCD
G
ABCD
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!"
"
G
IJ
I
J
AB
CD
G
AC
BD
G
AD
BC
I
J
AB
CD
02 2 0 0GA GB GC GD GI GJ GI GJ++ + =Û + =Û+=
!!!" !!!" !!!" !!!" !! " !!!" !! " !!!"
"""
GÞ
IJ
ABCD
G
BCD
xAB=
!!!"
"
yAC=
!!!"
"
zAD=
!!!"
"
( )
1
3
AG x y z=++
!!!"
""
"
( )
1
3
AG x y z=- + +
!!!"
""
"
( )
2
3
AG x y z=++
!!!"
""
"
( )
2
3
AG x y z=- + +
!!!"
""
"
M
CD
( )
22
33
AG AB BG AB BM AB AM AB=+=+ =+ -
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!"
( ) ( )
( )
21 1 1
32 3 3
AB AC AD AB AB AC AD x y z
éù
=+ + - = ++ = ++
êú
ëû
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
""
"
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
O
AB a=
!!!"
"
BC b=
!!!"
"
M
( )
1
2
OM a b=-
!!!!"
"
"
M
ABB A
¢¢
M
BCC B
¢¢
M
BB
¢
M
CC
¢
( )
( ) ( )
11 1 1
22 2 2
OM a b AB BC AB AD DB=-= -= - =
!!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
"
"
MÞ
BB
¢
G
J
I
B
D
C
A
G
M
B
D
C
A
x
!
y
!
z
!
O
D'
B'
C'
B
A
D
C
A'
a
!
b
!
! Trang!5!
Câu 10: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ .
Chọn khẳng định đúng?
A. Hai vectơ cùng phương. B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ cùng phương. D. Ba vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ Nhận thấy: nên hai vectơ cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu là hình thang thì
C. Nếu thì là hình bình hành.
D. Nếu thì là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 12: Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng?
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
lần lượt là trung điểm của .
Ta có
đồng phẳng.
Câu 13: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ .
Chọn khẳng định đúng?
A. Ba vectơ đồng phẳng. B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ cùng phương. D. Ba vectơ đôi một cùng phương.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: nên ba vectơ đồng phẳng.
Câu 14: Cho hình hộp . Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
,,abc
!!!
2; 42; 32xaby abz bc=- =-+ =--
!!!"! !!! !!
;yz
!" "
;xy
!"!
;xz
!!
;;xyz
!"!!
2yx=-
!" "
;xy
!"!
ABCD
O
ABCD
0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
ABCD
22 0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
ABCD
22 0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
ABCD
111 1
.ABCD A B C D
11
,,BD BD BC
!!!" !!!!" !!! !"
111
,,CD AD A B
!!!!" !!!" !!!!"
11
,,CD AD A C
!!!!" !!!" !!!"
1
,,AB AD C A
!!!" !!!" !!!"
,,,MNPQ+
11
,,,AB AA DD CD
( )
11
//( ); // ; //( )CD MNP Q AD M NPQ A C M NPQ
11
,,CD AD A CÞ
!!!!" !!!" !!!!"
,,abc
!!!
2; c; 32xabyab z bc=+ =-- =--
!!!"!!!!! !!
;;xyz
!"!!
;xa
!!
;xb
!!
;;xyz
!"!!
( )
1
2
yxz=+
!" " "
;;xyz
!"!!
111 1
.ABCD A B C D
k
11 1 1
AB B C DD k AC++=
!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
4k =
1k =
D
A
1
B
1
C
1
D
1
C
B
A
D
A
1
B
1
C
1
D
1
C
B
A
! Trang!6!
+ Ta có: . Nên .
Câu 15: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt ,
, , . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Gọi lần lượt là trung điểm của .
+Ta có:
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt
trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
+ Dễ thấy: .
11 1 1 1
AB B C DD AB BC CC AC++=++=
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
1k =
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
O
I
ABCD
AC u
¢
=
!!!!" "
CA v
¢
=
!!!" "
BD x
¢
=
!!! !" "
DB y
¢
=
!!! !" !"
1
2( )
4
OI u v x y=- + + +
!! " " " " !"
1
2( )
2
OI u v x y=- + + +
!! " " " " !"
1
2( )
2
OI u v x y=+++
!! " " " " !"
1
2( )
4
OI u v x y=+++
!! " " " " !"
,JK
,AB CD
( )
11
2()
24
OI OJ OK OA OB OC OD u v x y=+ = +++ =- +++
!! " !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " " " !"
111
.ABC A B C
1
,,, ,AA a AB b AC c BC d====
!!! " " !!!" " !!!" " !!!" !"
0abcd+++ =
!!!"!!
abc d++=
!!!"!
0bcd-+ =
!!"! !
abc=+
!!!
00AB BC CA b d c++=Þ+-=
!!!" !!!" !!!" " " !" " "
J
K
O
D
A’
B’
C’
D’
C
B
A
A
B
C
B
1
A
1
C
1
! Trang!7!
Câu 17: Cho hình hộp . Gọi là tâm hình bình hành và là tâm hình bình
hành . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
+ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu không thể có giá cùng song
song với một mặt phẳng.
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Gọi là tâm của hình hộp .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
.ABCD EFGH
I
ABEF
K
BCGF
,,BD AK GF
!!!" !!!" !!!"
,,BD IK GF
!!!" !! " !!!"
,,BD EK GF
!!!" !!!" !!!"
,,BD IK GC
!!!" !! " !!!"
//( )
//( )
BD (ABCD)
IK ABCD
GF ABCD
ì
ï
í
ï
Ì
î
,,IK GF BDÞ
!! " !!!" !!!"
,,AC D
,,abc
!!!
,,abc
!!!
0
!
,,abc
!!!
,,abc
!!!
111 1
.ABCD A B C D
11
2AC A C AC+=
!!!!" !!!" !!!"
111
20AC CA C C++ =
!!!!" !!!" !!!!" "
11 1
AC A C AA+=
!!!!" !!!" !!!"
11
CA AC CC+=
!!!" !!!" !!! !"
O
111 1
.ABCD A B C D
I
K
D
E
F
G
H
C
B
A
O
D
A
1
B
1
C
1
D
1
C
B
A
! Trang!8!
A. Tứ giác là hình bình hành nếu
.
B. Tứ giác là hình bình hành nếu
.
C. Cho hình chóp . Nếu có thì tứ giác là hình bình hành.
D. Tứ giác là hình bình hành nếu
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
là hình bình hành
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Ta có bằng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(Vì )
Câu 22: Trong không gian cho điểm và bốn điểm không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để tạo thành hình bình hành là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 23: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Bốn điểm , , , đồng phẳng B.
C. Ba vectơ không đồng phẳng. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì cùng thuộc
ABCD
AB BC CD DA O+++=
!!!" !!!" !!!" !!!" !"
ABCD
AB CD=
!!!" !!!"
.S ABCD
SB SD SA SC+=+
!!" !!!" !!" !!!"
ABCD
ABCD
AB AC AD+=
!!!" !!!" !!!"
.SB SD SA SC SA AB SA AD SA SA AC+=+Û+++ =++
!!" !!!" !! " !!!" !! " !!!" !! " !!!" !! " !! " !!!"
.AB AD ACÛ+ =
!!!" !!!" !!!"
Û
ABCD
.ABCD EFGH
a
.AB EG
!!!" !!!"
2
2a
2
a
2
3a
2
2
2
a
( )
.. ..AB EG AB EF EH AB EF AB EH=+=+
!!!" !!!" !!!" !!!" !!! " !!!" !!!" !!!" !!!!"
2
.( )AB AB AD EH AD=+ =
!!!" !!!" !!!" !!! " !!!"
2
a=
AB AD^
!!!" !!!"
O
,,,ABC D
,,,ABC D
11
22
OA OB OC OD+=+
!!!" !!!" !!!" !!!"
11
22
OA OC OB OD+=+
!!!" !!!" !!!" !!!"
OA OC OB OD+=+
!!!" !!!" !!!" !!!"
0OA OB OC OD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
+=+
!!!" !!!" !!!" !!!"
OA OC OB OD
Û++ =+++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
OA OA AC OA AB OA BC
Û=+
!!!" !!!" !!!"
AC AB BC
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
I
K
’’ABB A
BCC B
¢¢
I
K
C
A
11
22
IK AC A C
¢¢
==
!! " !!!" !!!! "
;;BD IK B C
¢¢
!!!" !! " !!!!"
22BD IK BC+=
!!!" !!" !!!"
,IK AC
!! " !!!"
( )
BAC
¢
! Trang!9!
B. Đúng vì
C. Sai vì
ba véctơ đồng phẳng.
D. Đúng vì theo câu C
Câu 24: Cho tứ diện . Trên các cạnh và lần lượt lấy sao cho ,
. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng. B. Các vectơ đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng. D. Các vectơ đồng phẳng.
Chọn A.
A. Sai vì
không đồng phẳng.
B. Đúng vì
: đồng phẳng.
C. Đúng. Bằng cách biểu diễn tương tự như trên ta có
D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có .
Câu 25: Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
đây:
A. B. .
C. D. hay .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì là tứ diện đều nên các tam giác là các tam giác đều.
A. Đúng vì .
B. Đúng vì
C. Sai vì
D. Đúng vì
( ) ( ) ( )
11 111
'.
22 222
IK IB B K a b a c b c AC A C
¢¢¢
=+ = ++-+= += =
!! " !!!" !!!! " " " " " " " !!!" !!!! "
( ) ( ) ( )
11 1
'.
22 2
IK IB B K a b a c b c
¢
=+ = ++-+= +
!! " !!!" !!!!" " " " " " "
222BD IK b c b c c B C
¢¢
Þ+ =-+++==
!!!" !!" " " " " " !!!! "
Þ
2222.BD IK b c b c c B C BC
¢¢
Þ+ =-+++== =
!!!" !! " " " " " " !!!!" !!!"
ABCD
AD
BC
,MN
3AM MD=
3BN NC=
,PQ
AD
BC
,,BD AC MN
!!!" !!!" !!!!"
,,MN DC PQ
!!! !" !!!" !!!"
,,AB DC PQ
!!!" !!!" !!!"
,,AB DC MN
!!!" !!!" !!!!"
3333
MN MA AC CN MN MA AC CN
MN MD DB BN MN MD DB BN
ìì
=++ =++
ïï
Þ
íí
=++ = + +
ïï
îî
!!! !" !!!" !!!" !!!" !!! !" !!!" !!!" !!!"
!!! !" !!! !" !!!" !!!" !!!!!" !!!!!" !!!" !!!"
1
43
2
MN AC BD BCÞ=-+
!!! !" !!!" !!!" !!!"
Þ
,,BD AC MN
!!!" !!!" !!!!"
( )
1
2
2
MN MP PQ QN
MN PQ DC MN PQ DC
MN MD DC CN
ì
=++
ï
Þ=+Þ= +
í
=++
ï
î
!!! !" !!!" !!!" !!!"
!!! !" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!! "
!!! !" !!! !" !!! " !!!"
Þ
,,MN DC PQ
!!! !" !!!" !!!"
PQ
!!!"
( )
1
.
2
PQ AB DC=+
!!!" !!!" !!! "
11
44
MN AB DC=+
!!! !" !!!" !!!"
ABCD
a
0AD CB BC DA++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
2
.
2
a
AB BC =-
!!!" !!!"
...AC AD AC CD=
!!!" !!!" !!!" !!!"
AB CD^
.0AB CD =
!!!" !!!"
ABCD
,,,ABC BCD CDA ABD
0AD CB BC DA DA AD BC CB++ + = + + +=
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
2
0
....cos60.
2
a
AB BC BA BC a a
-
=- =- =
!!!" !!!" !! !" !!!"
22
00
...cos60;. . ..cos60 .
22
aa
AC AD a a AC CD CA CD a a== =-=-=-
!!!" !!!" !!!" !!!" !! !" !!!"
.0.AB CD AB CD^Þ =
!!!" !!!" !!!" !!!"
! Trang!10!
Câu 26: Cho tứ diện . Đặt gọi là trọng tâm của tam giác .
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi là trung điểm .
Câu 27: Cho hình hộp . Gọi là trung điểm . Chọn đẳng thức đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A. Sai vì
B. Đúng vì
C. Sai. theo câu B suy ra
D. Đúng vì .
Câu 28: Cho tứ diện và điểm thỏa mãn ( là trọng tâm của tứ
diện). Gọi là giao điểm của và mp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
ABCD
,,,AB a AC b AD c===
!!!" " !!!" " !!!" "
G
BCD
AG a b c=++
!!!" " " "
( )
1
3
AG a b c=++
!!!" " " "
( )
1
2
AG a b c=++
!!!" " " "
( )
1
4
AG a b c=++
!!!" " " "
M
BC
( )
221
.
332
AG AB BG a BM a BC BD=+=+ =+ +
!!!" !!!" !!!" " !!!!" " !!!" !!!"
( ) ( ) ( )
111
2.
333
aACABADABa abc abc=+ - + - =+ - ++ = ++
!"""!"""!"""!"""!! !!! !!!
111 1
.ABCD A B C D
M
AD
111111
BM BB BA BC=+ +
!!!! " !!!" !!!!" !!!!"
111111
1
2
CM CC CD CB=+ +
!!!! " !!!!" !!!!" !!!!"
11 1111
11
22
CM CC CD CB=+ +
!!!! " !!! !" !!!! " !!!!"
11111 1
2BB B A B C B D++ =
!!! " !!!!" !!!!" !!!!"
( ) ( )
11 1 1 1111
11
22
BM BB BM BB BA BD BB BA BD=+ =+ + =+ +
!!!! " !!! " !!!!" !!! " !! !" !!!" !!!" !!!!" !!!! "
( )
111111111111
11
.
22
BB B A B A B C BB B A B C=+ + + =+ +
!!! " !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!"
( ) ( )
11 1 1 1111
11
22
CM CC CM CC CA CD CC CA CD=+=+ + =+ +
!!!! " !!!!" !!!!" !!!!" !! !" !!!" !!! !" !!!!" !!!! "
( )
111111111111
11
.
22
CC CB CD CD CC CD CB=+ + + =+ +
!!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
11111 1 1
BB B A B C BA BC BD++ =+=
!!! " !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!"
ABCD
G
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
G
O
G
GA
()BCD
0
2GA G G=-
!!!" !!!!"
0
4GA G G=
!!!" !!!!"
0
3GA G G=
!!!" !!!!"
0
2GA G G=
!!!" !!!!"
! Trang!11!
Chọn C.
Theo đề: là giao điểm của và mp là trọng
tâm tam giác .
Ta có:
Câu 29: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng. B. Các vectơ không đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng. D. Các vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì
B. Đúng vì từ ta dựng véctơ bằng véctơ thì không nằm trong mặt phẳng .
C. Sai. Tương tự đáp án B thì không nằm trong mặt phẳng .
D. Đúng vì
Câu 30: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi
”. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. là trung điểm của đoạn ( lần lượt là trung điểm và )
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
là trung điểm nên đáp án A đúng
Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.
O
G
GA
( )
BCD
0
GÞ
BCD
000
0GA GB GCÞ++=
!!!!" !!!!" !!!!" "
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
( ) ( )
00 0 0 0 0
333GA GB GC GD GG G A G B G C GG G GÞ=- ++ =- + + + =- =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"!!!!"
ABCD
,MN
,AD BC
,,AB DC MN
!!!" !!!" !!!!"
,,AB AC MN
!!!" !!!" !!! !"
,,AN CM MN
!!!" !!!!" !!! !"
,,BD AC MN
!!!" !!!" !!!!"
( )
1
.
2
MN AB DC=+
!!! !" !!!" !!!"
N
MN
!!!!"
MN
!!!!"
( )
ABC
AN
!!!"
( )
CMN
( )
1
.
2
MN AC BD=+
!!! !" !!!" !!!"
ABCD
G
ABCD
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
G
IJ
, IJ
AB
CD
G
AC
BD
G
AD
BC
( ) ( )
02 2 0GA GB GC GD GI GJ+++ =Û+ =
!!!" !!!" !!!" !!!" " !! " !!!" "
G
IJ
! Trang!12!
Câu 31: Cho hình lập phương . Gọi là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức
đúng?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo quy tắc hình hộp:
Mà nên .
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Từ ta suy ra
B. Nếu thì là trung điểm đoạn .
C. Vì nên bốn điểm đồng phẳng
D. Từ ta suy ra .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Suy ra:
hay bốn điểm đồng phẳng.
Câu 33: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
lần lượt là trung điểm của theo quy tắc trung điểm :
Suy ra:
hay .
Câu 34: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Hãy tìm mệnh đề sai trong những
mệnh đề sau đây:
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
111 1
.ABCD A B C D
O
( )
1
1
3
AO AB AD AA=++
!!!" !!!" !!!" !!! "
( )
1
1
2
AO AB AD AA=++
!!!" !!!" !!!" !!! "
( )
1
1
4
AO AB AD AA=++
!!!" !!!" !!!" !!! "
( )
1
2
3
AO AB AD AA=++
!!!" !!!" !!!" !!! "
11
AC AB AD AA=++
!!!!" !!!" !!!" !!!"
1
1
2
AO AC=
!!!" !!!!"
( )
1
1
2
AO AB AD AA=++
!!!" !!!" !!!" !!! "
3AB AC=
!!!" !!!"
3BA CA=-
!! !" !! !"
1
2
AB BC=-
!!!" !!!"
B
AC
25AB AC AD=- +
!!!" !!!" !!!"
, , , ABCD
3AB AC=-
!!!" !!!"
2CB AC=
!!!" !!!"
25AB AC AD=- +
!!!" !!!" !!!"
,,AB AC AD
!!!" !!!" !!!"
, , , ABCD
ABCD
, MN
, AB CD
G
MN
4MA MB MC MD MG+++ =
!!!" !!! " !!! !" !!! !" !!! !"
GA GB GC GD++ =
!!!" !!!" !!!" !!!"
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
0GM GN+=
!!!!" !!! " "
, ,MNG
, ,AB CD MN
2; 2; 0GA GB GM GC GD GN GM GN+= + = + =
!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" "
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
GA GB GC GD++ =-
!!!" !!!" !!!" !!!"
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
a
20AB B C CD D A
¢¢ ¢¢
+++=
!!!" !!!! " !!!" !!!! " "
2
.AD AB a
¢¢
=
!!!!" !!! !"
.0AB CD
¢¢
=
!!! !" !!!!"
3AC a
¢
=
!!!!"
! Trang!13!
Ta có :
(vô lí)
Câu 35: Cho hình hộp với tâm . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
đây:
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có :
(vô lí)
Câu 36: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ đồng phẳng.
B. Các vectơ đồng phẳng.
C. Các vectơ đồng phẳng.
D. Các vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Các vectơ đồng phẳng
Mà :
(hệ vô nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số
Câu 37: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi là điểm thỏa mãn:
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. không thẳng hàng. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 38: Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
qua các vectơ .
20AB B C CD D A
¢¢ ¢¢
+++=
!!!" !!!! " !!!" !!!!" "
( ) ( )
0AB AB CD B C D A
¢¢ ¢¢
Û+ + + + =
!!!" !!!" !!!" !!!! " !!!!" "
00 0 0AB ABÛ++=Û=
!!!" " " " !!!" "
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
O
AB BC CC AD D O OC
¢¢¢ ¢
++ = + +
!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
AB AA AD DD
¢¢
+=+
!!!" !!!" !!!" !!!!"
0AB BC CD D A
¢¢
+++=
!!!" !!!!" !!!" !!! !" "
AC AB AD AA
¢¢
=++
!!!!" !!!" !!!" !!!"
AB AA AD DD AB AD
¢¢
+=+ Û=
!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!"
,,abc
!!""!
2; 2 3 6; 3 6xab cy a b cz a b c=++ = - - =-+ +
!!! !"! ! ! !! ! ! !
24; 332; 233xa b cy a b cz a b c=- + = - + = - -
!! ! !"! ! ! !! ! ! !
;23; 33xabcy a bcz a b c=++ = - + =-+ +
!!!!"! ! !!! ! ! !
;2 3; 2xabcy ab cz ab c=+- = -+ =--+
!!!!"! !! !! !! !
,,xyz
!"!!
,:mn x my nzÛ$ = +
!"!!
xmynz=+
!"!!
( ) ( )
24 332 233abcmabcnabcÛ- + = - + + - -
!!! !!! !!!
321
33 2
234
mn
mn
mn
+=
ì
ï
Û- - =-
í
ï
-=
î
,:mn x my nz=+
!"!!
.S ABCD
.O
G
0GS GA GB GC GD+++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
, , GSO
4GS OG=
!!!" !!!"
5GS OG=
!!!" !!!"
3GS OG=
!!!" !!! "
0GS GA GB GC GD+++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
( )
40GS GO OA OB OC ODÛ+ + +++ =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
40GS GOÛ+ =
!!!" !!!" "
4GS OGÛ=
!!!" !!!"
.ABC A B C
¢¢¢
,,AA a AB b AC c
¢
===
!!! " " !!! " !" !!!" "
BC
¢
!!! !"
,,ab c
!! !
! Trang!14!
A. B. C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 39: Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. B.
C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
là trọng tâm tứ diện
.
Câu 40: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(quy tắc trung điểm)
Mà (vì là trung điểm ) .
Câu 41: Cho ba vectơ . Điều kiện nào sau đây khẳng định đồng phẳng?
A. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
B. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
C. Tồn tại ba số thực sao cho .
D. Giá của đồng qui.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo giả thuyết tồn tại ít nhất một số khác .
Giả sử . Từ .
đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).
Câu 42: Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
qua các vectơ .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
BC a b c
¢
=+-
!!! !" " " "
BC a b c
¢
=- + -
!!! !" " " "
BC a b c
¢
=- - +
!!! !" " " "
BC a b c
¢
=-+
!!! !" " " "
BC BA AC AB AC AA b c a a b c
¢¢ ¢
=+ =-+ + =-++=-+
!!! !" !! !" !!!!" !!!" !!!" !!!" " " " " " "
ABCD
G
0GA GB GC GD+++=
!!!" !" !!!" !!!" "
( )
1
4
OG OA OB OC OD=+++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
( )
2
3
AG AB AC AD=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
( )
1
4
AG AB AC AD=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
G
ABCD
( )
1
04 0
4
GA G B GC GD GA AB AC AD AG AB AC ADÛ+++ =Û +++ =Û = ++
!!!" !" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!"
ABCD
M
N
AB
CD
k
( )
MN k AC BD=+
!!! !" !!!" !!!"
1
.
2
k =
1
.
3
k =
3.k =
2.k =
( )
1
2
MN MC MD=+
!!! !" !!! !" !!! !"
( )
1
2
MA AC MB BD=+++
!!!" !!!" !!! " !!!"
0MA MB+=
!!!" !!! " "
M
AB
( )
1
2
MN AC BDÞ= +
!!! !" !!!" !!!"
,,abc
!!!
,,abc
!!!
,,mn p
0mn p++ =
0ma nb pc++ =
!! !!
,,mn p
0mn p++ ¹
0ma nb pc++ =
!! !!
,,mn p
0ma nb pc++ =
!! !!
,,abc
!!!
0mn p++ ¹
Þ
0
0m ¹
0
np
ma nb p c a b c
mm
++ =Þ=- -
!! !!! ! !
,,abc
!!!
.ABC A B C
¢¢¢
,,AA a AB b AC c
¢
===
!!! " " !!! " !" !!!" "
BC
¢
!!! !"
,,abc
!!!
.BC a b c
¢
=+-
!!! !" " " "
.BC a b c
¢
=- + +
!!! !" " " "
.BC a b c
¢
=++
!!! !" " " "
.BC a b c
¢
=- - +
!!! !" " " "
! Trang!15!
(qt hình bình hành)
Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Nếu thì là trung điểm của đoạn .
B. Từ ta suy ra
C. Vì nên bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.
D. Từ ta suy ra
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Sai vì là trung điểm .
B. Sai vì .
C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
D. Sai vì (nhân 2 vế cho ).
Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Ba véctơ đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.
B. Ba véctơ đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ .
C. véctơ luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ và .
D. Cho hình hộp ba véctơ đồng phẳng
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
C. Sai
D. Đúng vì 3
vectơ đồng phẳng.
Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương có cạnh .
Ta có bằng:
BC BB BC
¢¢¢¢
=+
!!! !" !!! " !!!!"
.AA BC a AC AB a b c
¢
=- + =- + - =- - +
!!! " !!!" " !!!" !!!" " " "
1
2
AB BC=-
!!!" !!!"
B
AC
3AB AC=-
!!!" !!!"
.CB AC=
!!!" !!!"
25AB AC AD=- +
!!!" !!!" !!!"
,,,ABCD
3AB AC=
!!!" !!!"
3.BA CA=-
!! !" !!!"
1
2
AB BC=- Þ
!!!" !!!"
A
BC
3AB AC-Þ
!!!" !!!"
4CB AC=-
!!!" !!!"
33AB AC BA CA=Þ=
!!!" !!!" !! !" !!!"
1-
,,abc
!!!
,,abc
!!!
0
!
xabc=++
!!!!
a
!
b
!
.’’’ ’ABCD A B C D
,,AB C A DA
¢¢¢ ¢
!!!" !!!!" !!!"
DA AA AD a c
AB a b AB DA CA
CA CA b c
ì
¢¢
=-=-
ï
ï
¢¢¢
=+ Þ = -
í
ï
¢¢
==--
ï
î
!!!" !!! " !!!" " "
!!!" " " !!!" !!!" !! !"
!!!!" !! !" " "
Þ
,,AB C A DA
¢¢¢ ¢
!!!" !!!!" !!!"
.ABCD EFGH
a
.AB EG
!!!" !!!"
! Trang!16!
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 46: Cho hình chóp . Gọi là giao điểm của và . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. Nếu thì là hình thang.
B. Nếu là hình bình hành thì .
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì
.
Vì và thẳng hàng nên đặt
.
Mà không cùng phương nên và
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu là hình thang cân có 2 đáy là thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
A. Từ hệ thức ta suy ra ba véctơ đồng phẳng.
B. Vì nên là trung điểm của đoạn
C. Vì là trung điểm của đoạn nên từ một điẻm bất kì ta có
D. Vì nên bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
B. Đúng
C. Đúng vì
Mà (vì là trung điểm ) .
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.
2
.a
2a
3.a
2
.
2
a
( )( )
2
222
.
.....
0000. 0
AB EG EF EH AE EF FB
EF AE EF EF FB EH AE EH EF EH FB
aEHEAaa
=+ ++
=+++++
=+ ++++ = +=
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
!!!" !!!" !!!" !!!" !!! " !!!" !!! " !!!" !!!" !!!"
!!! " !! !"
.S ABCD
O
AC
BD
22 6SA SB SC SD SO++ + =
!! " !!" !!!" !!!" !!!"
ABCD
ABCD
4SA SB SC SD SO+++ =
!! " !!" !!!" !!!" !!!"
ABCD
22 6SA SB SC SD SO++ + =
!! " !!" !!!" !!!" !!!"
4SA SB SC SD SO+++ =
!! " !!" !!!" !!!" !!!"
ABCD
22 6SA SB SC SD SO++ + =
!! " !!" !!!" !!!" !!!"
22 0OA OB OC ODÛ++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
,,OAC
,,OBD
;OA kOC OB mOD==
!!!" !!!" !!!"
( ) ( )
110kOCmODÞ+ + + =
!!!" !!!" "
,OC OD
!!!" !!!"
2k =-
2m =-
Þ
2//.
OA OB
AB CD
OC OD
==Þ
O
ABCD
,AD BC
1, 1km O=- =- Þ
28AB AC AD=-
!!!" !!!" !!!"
,,AB AC AD
!!!" !!!" !!!"
0NM NP+=
!!!!" !!!" "
N
.MP
I
AB
O
( )
1
.
2
OI OA OB=+
!! " !!!" !!!"
0AB BC CD DA+++=
!!!" !!!" !!!" !!!" "
,,,ABCD
OA OB OI IA OI IB+=+++
!!!" !!!" !!" !!" !!" !!"
0IA IB+=
!!" !!" "
I
AB
2OA OB OIÞ+ =
!!!" !!!" !! "
! Trang!17!
Câu 48: Cho hình hộp có tâm . Đặt ; . là điểm xác định bởi
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là trung điểm B. là tâm hình bình hành
C. là tâm hình bình hành D. là trung điểm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. là trung điểm (quy tắc trung điểm).
(quy tắc hình hộp) .
Câu 49: Cho hai điểm phân biệt và một điểm bất kỳ không thuộc đường thẳng . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
A. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
B. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
C. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
D. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Sai vì ( là trung điểm ) thẳng hàng.
B. Sai vì và thẳng hàng: vô lý
C. thẳng hàng.
D. Sai vì thẳng hàng: vô lý.
Câu 50: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là
trung điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào
đẳng thức vectơ: .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có ,
nên . Vậy
Câu 51: Cho hình hộp . Chọn đẳng thức sai?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
nên D
sai.
Do và nên . A
đúng
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
O
AB a=
!!!" "
BC b=
!!!" "
M
( )
1
2
OM a b=-
!!!!" " "
M
.BB
¢
M
.BCC B
¢¢
M
.ABB A
¢¢
M
.CC
¢
M
BB
¢
( )
1
2
2
OM OB OB B D BD
¢¢¢
Þ=+=- +
!!!!" !!!" !!!" !!! !" !!! !"
( )
1
2
BB b a BB b a
¢¢
=- + - + + -
!!! " " " !!! " " "
( )
1
22
2
abab=- - + = -
!!!!
,AB
O
AB
M
AB
OM OA OB=+
!!!!" !!!" !!!"
M
AB
OM OB k BA==
!!!!" !!!" !! !"
M
AB
( )
1OM kOA k OB=+-
!!!!" !!!" !!!"
M
AB
( )
OM OB k OB OA== -
!!!!" !!!" !!!" !!!"
2OA OB OI+=
!!!" !!!" !! "
I
AB
2OM OIÞ=Þ
!!!!" !!"
,,OM I
OM OB M B=Þº
!!!!" !!!"
OB k BA=Þ
!!!" !! !"
,,OBA
( )
( )
1OM kOA k OB OM OB k OA OB=+- Û-= -
!!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!"
BM k BAÛ=
!!!!" !! !"
,,BAMÞ
( )
OB OA AB OB k OB OA k AB-=Þ = - =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
,,OBAÞ
, MN
AC
BD
ABCD
I
MN
P
k
( )
PI k PA PB PC PD=+++
!!" !!!" !! !" !!!" !!!"
4k =
1
2
k =
1
4
k =
2k =
2PA PC PM+=
!! !" !!!" !!!!"
2PB PD PN+=
!!!" !!!" !!!"
2 2 2( ) 2.2. 4PA PB PC PD PM PN PM PN PI PI++ + = + = + = =
!!!" !! !" !!!!!" !!!" !!! !" !!!" !!! !" !!!" !!" !!"
1
4
k =
111 1
.ABCD A B C D
11 11
BC BA B C B A+= +
!!!" !!!" !!!!" !!!!"
11 11
AD D C D A DC++=
!!!" !!!!" !!!!" !!!"
11
BC BA BB BD++ =
!!!" !!!" !!!" !!!!"
11
BA DD BD BC++=
!!!" !!!!" !!!!" !!!"
11 1111
BA DD BD BA BB BD BA BD BC++=++=+¹
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!"
11
BC B C=
!!!" !!!!"
11
BA B A=
!!!" !!!!"
11 11
BC BA B C B A+= +
!!!" !!!" !!!!" !!!!"
! Trang!18!
Do nên
nên B đúng.
Do nên C đúng.
Câu 52: Cho tứ diện . Gọi là trung điểm của và . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn B.
Ta có : và
nên . Vậy
Câu 53: Cho hình hộp . là điểm trên sao cho . Lấy trên đoạn
sao cho . Với giá trị nào của thì .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn A.
Câu 54: Cho hình hộp . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có nên
Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Vì là trung điểm đoạn nên từ bất kì ta có: .
11 11 11 1 1 11 11
AD D C D A AD D B A D D B A B DC++=+=+==
!!!" !!!!" !!!! " !!!" !!!!" !!!! " !!!! " !!!!" !!!"
11 11
AD D C D A DC++=
!!!" !!!!" !!!!" !!!"
111
BC BA BB BD DD BD++ = + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
ABCD
, PQ
AB
CD
( )
1
4
PQ BC AD=+
!!!" !!!" !!!"
( )
1
2
PQ BC AD=+
!!!" !!!" !!!"
( )
1
2
PQ BC AD=-
!!!" !!!" !!!"
PQ BC AD=+
!!!" !!!" !!!"
PQ PB BC CQ=++
!!!" !! !" !!!" !!!"
PQ PA AD DQ=+ +
!!!" !!!" !!!" !!! "
( ) ( )
2PQ PA PB BC AD CQ DQ BC AD=++++ + =+
!!!" !!!" !! !" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
( )
1
2
PQ BC AD=+
!!!" !!!" !!!"
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
M
AC
3AC MC=
N
CD
¢
xC D C N
¢¢
=
x
//MN D
¢
2
3
x =
1
3
x =
1
4
x =
1
2
x =
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
k
BD D D B D k BB
¢¢¢ ¢
-- =
!!!" !!!!" !!!! " !!! "
2k =
4k =
1k =
0k =
BD DD D B BB
¢¢¢ ¢
++ =
!!!" !!!!" !!!!" !!! "
1k =
I
AB
O
( )
1
2
OI OA OB=+
!!" !! !" !!!"
! Trang!19!
B. Vì nên bốn điểm đồng phẳng.
C. Vì nên là trung điểm đoạn .
D. Từ hệ thức ta suy ra ba vectơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn B.
Do đúng với mọi điểm nên câu B sai.
Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng
B. Ba tia vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
C. Cho hai véctơ không cùng phương và . Khi đó ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi có
cặp số sao cho , ngoài ra cặp số là duy nhất.
D. Nếu có và một trong ba số khác thì ba véctơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn A.
Ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng.
Câu A sai
Câu 57: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là trung
điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng
thức vectơ:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta chứng minh được nên
Câu 58: Cho ba vectơ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu không đồng phẳng thì từ ta suy ra .
B. Nếu có , trong đó thì đồng phẳng.
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn ta có thì đồng phẳng.
D. Nếu giá của đồng qui thì đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn D.
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không
đồng phẳng.
Câu 59: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. . C. . D.
.
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ta có
0AB BC CD DA+++=
!!!" !!!" !!!" !!!" "
, , , ABC D
0NM NP+=
!!!!" !!!" "
N
NP
28AB AC AD=-
!!!" !!!" !!!"
,,AB AC AD
!!!" !!!" !!!"
0AB BC CD DA+++=
!!!" !!!" !!!" !!!" "
,,,ABC D
,,abc
!!!
,,Ox Oy Oz
a
!
b
!
,,abc
!!!
,mn
cmanb=+
!!!
,mn
0ma nb pc++ =
!!!!
,,mn p
0
,,abc
!!!
,,abc
!!!
,MN
AC
BD
ABCD
I
MN
P
k
(2 1) 0IA k IB k IC ID+- + +=
!!" !!" !!" !!" "
2k =
4k =
1k =
0k =
0IA IB IC ID++ + =
!!" !!" !!" !! " "
1k =
,,abc
!!!
,,abc
!!!
0ma nb pc++ =
!!!!
0mn p== =
0ma nb pc++ =
!!!!
22 2
0mn p++ >
,,abc
!!!
0mn p++ ¹
0ma nb pc++ =
!!!!
,,abc
!!!
,,abc
!!!
,,abc
!!!
ABCA B C
¢¢¢
M
’BB
CA a=
!!" "
CB b=
!! !" "
'AA c=
!!!" "
1
2
AM a c b=+-
!!!!" " " "
1
2
AM b c a=+-
!!!!" " " "
1
2
AM b a c=-+
!!!!" " " "
1
2
AM a c b=-+
!!!!" " " "
11
22
AM AB BM CB CA BB b a c
¢
=+ =-+ =-+
!!!!" !!!" !!!!" !!!" !! !" !!! " " " "
! Trang!20!
Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt . Trong các biểu
thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 61: Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Đẳng thức đúng là.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Vì là trọng tâm tam giác nên .
Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
B. Ba véctơ đồng phẳng thì có với là các số duy nhất.
C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có với là véctơ bất kì.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ không cùng phương.
Câu C sai vì với là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ đồng
phẳng.
Câu 63: Cho hình hộp . Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với ta có: .
Câu 64: Cho hình chóp Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho
, trong đó là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa để
mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Nếu thì nên .
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác => là đáp án đúng.
ABCA B C
¢¢¢
,,,AA a AB b AC c BC d
¢
====
!!! " " !!!" " !!!" " !!!" !"
abc=+
!!!
0abcd+++ =
!!!"!!
0bcd-+ =
!!"!
abc d++=
!!!"!
0bcd AB AC BC CBBC-+ = - + = + =
!!"! """!"""!"""! """!"""! !
ABCD
I
ABC
6SI SA SB SC=++
!!" !!" !!" !!!"
SI SA SB SC=++
!!" !! " !!" !!!"
( )
3SI SA SB SC=-+
!!" !!" !! " !! !"
111
333
SI SA SB SC=++
!!" !!" !! " !! !"
I
ABC
111
3
333
SA SB SC SI SI SA SB SC++ = Û= + +
!!" !!" !!!" !!" !!" !!" !!" !! !"
,,abc
!!!
cmanb=+
!!!
,mn
dmanbpc=++
!" " " "
d
!"
,ab
!!
dmanbpc=++
!" " " "
d
!"
,,abc
!!!
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
k
( )
'0AC BA k DB C D
¢
++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!! " "
0k =
1k =
4k =
2k =
1k =
( )
' 1. ' ' 'B 'A' CA 0AC BA DB C D AC BA C AC C AC++ + =++ =+ =+=
!!!" !!! " !!!" !!!! " !!!" !!! " !!! !" !!!" !!!!" !!!" !!!" "
.S ABC
,,ABC
¢¢¢
,,SA SB SC
., ., .SA a SA SB b SB SC c SC
¢¢ ¢
== =
,,abc
,,abc
( )
ABC
¢¢¢
ABC
3abc++=
4abc++=
2abc++=
1abc++=
1abc===
,,SA SA SB SB SC SC
¢¢ ¢
== =
( ) ( )
ABC A B C
¢¢¢
º
( )
ABC
¢¢¢
ABC
3abc++=
! Trang!21!
Câu 65: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt .
Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là tâm hình bình hành . Ta có: =>
Câu 66: Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây sai.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với là một điểm bất kỳ ta luôn có: .
Ta thay điểm bởi điểm thì ta có:
Do vậy là sai.
Câu 67: Cho hình hộp với tâm . Chọn đẳng thức sai.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có mà nên sai.
Câu 68: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt , ,
. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có .
Câu 69: Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng.
A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.
C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 3 véctơ đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng
Câu 70: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác Đặt Khẳng
định nào sau đây đúng?
.S ABCD
ABCD
,,,SA a SB b SC c SD d====
!!" " !! " " !! !" " !!!" !"
ac db+= +
!!"!!
0acdb++ + =
!!"!!!
ad bc+=+
!"!!!
ab cd+=+
!!!"!
O
ABCD
2
2
a c SA SC SO
b d SB SD SO
ì
+= + =
ï
í
+= + =
ï
î
!!""!"""! """!
!"! ""!"""! """!
ac db+= +
!!"!!
ABCD
G
( )
2
3
AG AB AC AD=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
( )
1
4
AG AB AC AD=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
( )
1
4
OG OA OB OC OD=+++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
0GA GB GC GD++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
O
( )
1
4
OG OA OB OC OD=+++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
O
A
( ) ( )
11
44
AG AA AB AC AD AG AB AC AD=+++Û=++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
( )
2
3
AG AB AC AD=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
111 1
.ABCD A B C D
O
11
AB AA AD DD+=+
!!!" !!!" !!!" !!!!"
11
AC AB AD AA=++
!!!!" !!!" !!!" !!!"
11
0AB BC CD D A+++ =
!!!" !!! !" !!!" !!!!" "
111 1
AB BC CC AD D O OC++ = + +
!!!" !!!" !!! !" !!!!" !!!!" !!!!"
11 1 1
, AB AA AB AD DD AD+= + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
11
AB AD¹
!!!" !!!!"
11
AB AA AD DD+=+
!!!" !!!" !!!" !!!!"
ABCD
M
P
AB
CD
AB b=
!!!" "
AC c=
!!!" "
AD d=
!!!" !"
1
()
2
MP c d b=++
!!!" " !" "
1
()
2
MP d b c=+-
!!!" !" " "
1
()
2
MP c b d=+-
!!!" " " !"
1
()
2
MP c d b=+-
!!!" " !" "
( )
1
22 2 ( )
2
cdb AC ADAB AP AM MP MP cdb+-= + - = - = Û = +-
!"!! """!"""!"""! """! """"! """! """! !"!!
111 1
.ABCD A B C D
11
,,BD BD BC
!!!" !!!!" !!! !"
11
,,BA BD BD
!!!" !!!!" !!!"
11
,,BA BD BC
!!!" !!!!" !!!"
111
,,BA BD BC
!!!" !!!!" !!!!"
11
,,BA BD BC
!!!" !!!!" !!!"
( )
11
.BCD A
ABCD
G
.BCD
;xAB=
!"""!
;yAC=
!" ! ! ! "
.zAD=
!"""!
! Trang!22!
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Vì là trọng tâm của tam giác nên
Câu 71: Cho hình chóp Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu thì là hình bình hành.
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp án C sai do nếu là hình thang có 2 đáy lần lượt là và thì ta có
Câu 72: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A. B. . C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
Mà và lần lượt là trung điểm của và nên
Do đó .
Câu 73: Cho tứ diện . Đặt gọi là trung điểm của Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. B.
C. . D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Câu 74: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tam giác Tìm giá trị của thích hợp điền vào
đẳng thức vectơ:
A. . B. C. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
()
3
AG x y z=++
!!!" " !" "
1
()
3
AG x y z=- + +
!!!" " !" "
2
()
3
AG x y z=++
!!!" " !" "
2
()
3
AG x y z=- + +
!!!" " !" "
;;AG AB BG AG AC CG AG AD DG=+ = + = +
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!! "
3AG AB AC AD BG CG DG AB AC AD x y zÞ=+++++=++=++
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!! " !!!" !!!" !!!" "!""
G
BCD
0.BG CG DG++ =
!!!" !!!" !!!" "
..S ABCD
ABCD
SB SD SA SC+=+
!!" !!!" !!" !!!"
SB SD SA SC+=+
!!" !!!" !!" !!!"
ABCD
ABCD
22SB SD SA SC+=+
!!" !!!" !! " !! !"
22SB SD SA SC+=+
!!" !!!" !! " !! !"
ABCD
ABCD
AD
BC
22.SD SB SC SA+=+
!!!" !!" !!!" !! "
ABCD
M
N
AB
.CD
k
( )
MN k AD BC=+
!!! !" !!!" !!!"
3.k =
1
2
k =
2.k =
1
3
k =
2
MN MA AD DN
MN AD BC MA MB DN C N
MN MB BC CN
ü
=++
ï
Þ=+++++
ý
=++
ï
þ
!!! !" !!!" !!!" !!!"
!!! !" !!!" !!!" !!!" !!!" !!! " !!!"
!!! !" !!!" !!!" !!!"
M
N
AB
CD
;MA BM MB DN NC CN==- ==-
!!!" !!!!" !!!" !!! " !!!" !!!"
( )
1
2
2
MN AD BC MN AD BC=+Þ = +
!!! !" !!!" !!!" !!! !" !!!" !!!"
ABCD
,,,AB a AC b AD c===
!!!" " !!!" " !!!" "
M
.BC
( )
1
2
2
DM a b c=+-
!!!!" " " "
( )
1
2
2
DM a b c=-++
!!!!" " " "
( )
1
2
2
DM a b c=-+
!!!!" " " "
( )
1
2
2
DM a b c=+-
!!!!" " " "
( )
11
22
DM DA AB BM AB AD BC AB AD BA AC=++ =-+ =-+ +
!!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" ! ! ! "
( )
11 11 1
2.
22 22 2
AB AC AD a b c a b c=+-=+-=+-
!!!" !!!" !!!" " " " " " "
ABCD
G
.ABC
k
DA DB DC k DG++ =
!!!" !!!" !!! " !!!"
1
3
k =
2.k =
3.k =
1
2
k =
! Trang!23!
Chứng minh tương tự câu 61 ta có .
Câu 75: Cho tứ diện . Gọi là các điểm thỏa nãm còn là các
điểm xác định bởi . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. P, Q, R thẳng hàng B. P, Q, R không đồng phẳng
C. P, Q, R không thẳng hàng D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
Từ ta có
Lấy theo vế ta có
Tương tự
Mặt khác nên
Vậy thẳng hàng.
Câu 76: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của
.
a) Giả sử thì giá trị của a là?
A. 2 B. 1 C. D.
b) Cho các đẵng thức sau, đẵng thức nào đúng?
A. B.
C. D.
c) Xác định vị trí của để nhỏ nhất.
A. Trung điểm AB B. Trùng với G C. Trung điểm AC D. Trung điểm CD
Hướng dẫn giải:
a) .
b)
.
c) Ta có nên
nhỏ nhất khi .
3DA DB DC DG++ =
!!!" !!!" !!! " !!!"
ABCD
,EF
,EA kEB FD kFC==
!!!" !! !" !!!" !!!"
,,PQR
,,PA lPD QE lQF RB lRC===
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
,,PQR
( )
1=++
!!!" !! !" !!!" !!!"
PQ PA AE EQ
( )
2=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
PQ PD DF FQ
( )
2
( )
3=++
!!!" !!!" !!!" !!!"
lPQ lPD lDF lFQ
( ) ( )
13-
( )
1-=-
!!!" !!!" !!!"
lPQ AE lDF
1
11
Þ= -
--
!!!" !!!" !!!"
l
PQ AE DF
ll
1
11
=-
--
!!!" !!!" !!!"
l
QR EB FC
ll
,==
!! !" !!!" !!!" !!!"
EA k EB FD k FC
1
11 11
-
=- =-=-
-- --
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
lkkl
PQ AE DF EB FC kQR
ll ll
,,PQR
ABCD
,IJ
AB
CD
G
IJ
. =+
!!" !!!" !!!"
aIJ AC BD
1-
1
2
0++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" "
GA GB GC GD
2I J++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" ! "
GA GB GC GD
++ + =
!!!" !!!" !!!" !!!" !!"
GA GB GC GD JI
2++ + =-
!!!" !!!" !!!" !!!" !!"
GA GB GC GD JI
M
++ +
!!!" !!!" !!!!" !!! !"
MA MB MC MD
ì
=+ +
ï
Þ
í
=+ +
ï
î
!!" !!" !!!" !!!"
!!" !!" !!!" !!!"
IJ IA AC C J
IJ IB BD DJ
2 =+
!!" !!!" !!!"
IJ AC B D
( ) ( )
+++ = + + +
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
GA GB GC GD GA GB GC GD
( )
22 2 0=+ = +=
!! " !!!" !! " !! !" "
GI GJ GI GJ
4++ + =
!!!" !!!" !!!!" !!! !" !!! !"
MA MB MC MD MG
++ +
!!!" !!!" !!!!" !!! !"
MA MB MC MD
ºMG
Q
A
B
C
D
E
F
R
p
G
A
B
C
D
I
R
J
! Trang!24!
Câu 77: Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm lần lượt trên và
sao cho . Tính tỉ số bằng?
A. B. C. 1 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
.
Giả sử .
Dễ dàng có các biểu diễn và .
Từ đó suy ra
Để thì
Từ và ta có:
.
Vậy các điểm được xác định bởi .
Ta cũng có .
Câu 78: Cho hình hộp có các cạnh đều bằng và các góc
.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng với ; với .
A. ; B. ;
C. ; D. ;
b) Tính diện tích các tứ giác và .
A. ; B. ;
C. ; D. ;
c) Tính góc giữa đường thẳng với các đường thẳng .
A.
B.
C.
.' ' ' 'ABCD A B C D
,MN
AC
'DC
'!MN BD
'
MN
BD
1
3
1
2
2
3
,,'== =
!! !" " !!!" " !!!" "
BA a BC b BB c
,'==
!!!!" !!!" !!! " !!!!"
AM x AC DN yDC
( )
1=- +
!!!!" " "
BM x a xb
( )
1=- ++
!!!" " " "
BN y a b yc
( ) ( ) ( )
1 1=- +- +
!!! !" " " "
MN x y a x b yc
'!MN BD
( )
( )
' 2==++
!!! !" !!!!" " " "
MN zBD z a b c
( )
1
( )
2
( ) ( )
( )
1 =z-+-+ ++
!!!!!!
xya xbyc abc
( ) ( ) ( )
1=0 Û-- +-- +-
!!!!
xyza xzb yzc
2
3
0
1
10
3
0
1
3
ì
=
ï
--=
ì
ï
ïï
Û--=Û =
íí
ïï
-=
î
ï
=
ï
î
x
xyz
xz y
yz
z
,MN
21
,'
33
==
!!!!" !!!" !!!" !!!!"
AM AC DN DC
.' ' ' 'ABCD A B C D
a
∑
∑
∑
00
'''60,'' '' 120===BAD BAA DAA
AB
'AD
'AC
'BD
( )
∑
0
,' 60=AB A D
( )
∑
0
', ' 90=AC B D
( )
∑
0
,' 50=AB A D
( )
∑
0
', ' 90=AC B D
( )
∑
0
,' 40=AB A D
( )
∑
0
', ' 90=AC B D
( )
∑
0
,' 30=AB A D
( )
∑
0
', ' 90=AC B D
''ABCD
''ACC A
2
''
3=
ABCD
Sa
2
''
2=
AA C C
Sa
2
''
=
ABCD
Sa
2
''
22=
AA C C
Sa
2
''
1
2
=
ABCD
Sa
2
''
22=
AA C C
Sa
2
''
=
ABCD
Sa
2
''
2=
AA C C
Sa
'AC
,,'AB AD AA
∑
( )
∑
( )
∑
( )
6
', ', ', ' arccos
2
===AC AB AC AD AC AA
∑
( )
∑
( )
∑
( )
6
', ', ', ' arccos
4
===AC AB AC AD AC AA
∑
( )
∑
( )
∑
( )
6
', ', ', ' arccos
3
===AC AB AC AD AC AA
D'
M
C'
A'
D
A
B
C
D'
N
! Trang!25!
D.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
Ta có nên
.
Để ý rằng , .
Từ đó
Ta có , từ đó tính được
.
b)
nên .
Dễ dàng tính được
, .
Tính được
Vậy .
c) ĐS: .
Câu 79: Cho tam giác , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
Câu 6. Cho tứ diện . Lấy các điểm lần lượt thuộc sao cho
.
Hãy xác định để đồng phẳng.
∑
( )
∑
( )
∑
( )
5
', ', ', ' arccos
3
===AC AB AC AD AC AA
','',''===
!!!" " !!!!!" " !!!!!" "
AA a A B b A D c
' =+
!!!! " " "
AD a c
∑
( )
( )
cos , ' cos , '=
!!!" !!!!"
AB A D AB A D
( )
.'
'
+
==
+
!! !
"""! """"!
"""! """"! ! ! !
aa c
AB A D
AB A D a a c
+=
!!
ac a
( )
2
2
a
aa c+=
!! !
∑
( )
( )
∑
0
1
cos , ' , ' 60
2
=Þ =AB A D AB A D
','=+- =-+
!!!!" " " !!!! " " " "
AC b c a B D a b c
( )( )
( )
∑
0
'' 0 ', ' 90=+- -+=Þ =
!!!!" !!!! " " " " " " "
AC B D b c a a b c AC B D
( )( )
',' '.' 0=++ =-+Þ = ++ -+ =
!!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" !!!! " " " " " " "
AC a b cB D a b c ACB D a b c a b c
''Þ^AC B D
''
1
'.'
2
=
ABDC
SACBD
2
''
1
'2,'2 2.2
2
==Þ= =
ABCD
AC a B D a S a a a
( )
''
' sin ',=
!!!" !!!"
AA C C
SAAACAAAC
', 3==AA a Ac a
( ) ( )
2
6
sin ', 1 cos ',
3
=- =
!!!" !!!" !!!" !!!"
AA AC AA AC
( )
2
''
6
' sin ', . 3. 2
3
===
!!!" !!!"
AA C C
SAAACAAACaa a
∑
( )
∑
( )
∑
( )
6
', ', ', ' arccos
3
===AC AB AC AD AC AA
ABC
22 2
1
2
=-SABACBC
( )
2
22
11
.
22
=+
!!!" !!!"
SABACABAC
( )
2
22
11
.
22
=-
!!!" !!!"
SABACABAC
( )
2
22
1
.
2
=-
!!!" !!!"
S AB AC AB AC
( )
222 2 2 2
11 1
sin sin 1 cos
22 2
== = -
ABC
SABACAABABAABAC A
( )
2
22
1
.
2
=-
!!!" !!!"
AB AC AB AC
ABCD
,,,MNPQ
,,,AB BC CD DA
121
,,,
332
== = =
!!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
AM AB BN BC AQ AD DP k DC
k
,,,MNPQ
C'
B'
A'
D
A
B
C
D'
! Trang!26!
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1.
Ta có
.
Lại có do đó .
Vậy Nếu đồng phẳng thì
hay .
Cách 2. Đặt thì không khó khăn ta có các biểu diễn
, ,
Các điểm đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ đồng phẳng
Do các vec tơ không đồng phẳng nên điều này tương đương với
Câu 80: Cho hình chóp có , . Gọi là mặt phẳng
đi qua và các trung điểm của .
Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi lần lượt là trung điểm của . Thiết diện là tam giác
.
Theo bài tập 5 thì
Ta có
1
2
k =
1
3
k =
1
4
=k
1
5
=k
11
33
=Þ-=-
!!!!" !!!" !!! !" !! !" !! !"
AM AB BM BA BA
2
3
Þ=
!!!!" !! !"
BM BA
2
3
=
!!!" !!!"
BN BC
!MN AC
,,,MNPQ
( ) ( )
Ç=!MNPQ ACD PQ AC
1Þ==
PC QA
PD QD
11
22
=Þ=
!!!" !!!"
DP DC k
,,===
!!!" " !!!" " !!!" "
DA a DB b DC c
22
33
=- +
!!! !" " "
MN a b
21
33
=- - +
!!!" " " "
MP a b k c
11
63
=- -
!!! !" " "
MN a b
,,,MNPQ
,,
!!! !" !!!" !!! !"
MN MP MQ
,:Û$ = +
!!!" !!!!" !!! !"
xy MP xMN yMQ
21 22 11
33 33 63
æöæö
Û- - + = - + + - -
ç÷ç÷
èøèø
!!! !! !!
abkcx acy ab
,,
!"!!
abc
21 2
36 3
11 3 1
,1, .
33 4 2
2
3
ì
-- =-
ï
ï
ï
-=- Û= ==
í
ï
ï
=
ï
î
xy
yxyk
xk
.S ABC
== =SA SB SC a
∑
∑
∑
===ASB BSC CSA
a
( )
b
A
,SB SC
( )
b
2
2
7cos 16cos 9
2
=-+
a
S
aa
2
2
7cos 6cos 9
2
=-+
a
S
aa
2
2
7cos 6cos 9
8
=-+
a
S
aa
2
2
7cos 16cos 9
8
=-+
a
S
aa
', 'BC
,SB SC
''AB C
( )
2
22
''
1
'' '.'
2
=-
!!! !" !!!!"
AB C
S AB AC AB AC
1
''
2
=-= -
!!! !" !!!" !!" !! " !!"
AB SB SA SB SA
Q
A
B
C
D
M
N
P
B'
C'
S
B
A
C
! Trang!27!
. Tính tương tự, ta có
.
Vậy
.
Câu 81: Cho hình chóp , mặt phẳng cắt các tia ( là trọng tâm tam giác
) lần lượt tại các điểm .Ta có . Hỏi k bằng bao nhiêu?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Do là trọng tâm của nên
Mặt khác đồng phẳng nên
.
Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng :
Nếu là điểm thuộc miền trong tam giác thì trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác . Vì vậy ta có bài toán tổng quát hơn như sau:
Cho hình chóp , mặt phẳng cắt các tia ( là điểm thuộc miền trong tam
giác ) lần lượt tại các điểm .
Chứng minh: . ( Với lần lượt là diện tích các tam giác
và là diện tích tam giác ).
Câu 82: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh
lần lượt tại .Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Gọi là tâm của hình bình hành thì
222
1
'
4
Þ= +-
!!" !! "
AB SB SA SASB
( )
2
54cos
4
=-
a
a
( )
2
'' 43cos
4
=-
!!! !" !!!!"
a
AB AC
a
( ) ( )
44
22
''
1
5 4 cos 4 3 cos
2 16 16
AB C
aa
S =-a--a
2
2
7cos 16cos 9
8
=-+
a
aa
.S ABC
( )
a
,,,SA SB SC SG
G
ABC
', ', ', 'ABCG
'' ' '
++ =
SA SB SC SG
k
SA SB SC SG
G
DABC
03++ =Þ =++
!!!" !!!" !!!" " !!!" !! " !!" !!!"
GA GB GC SG SA SB SC
3' ' '
'''
'
'
Û=+
+
!!!" !!!" !!!"
!!! "
SG SA SB
SG SA SB
SG SA SB
SC
SC
SC
', ', ', 'ABCG
3
'' ' '
++ =
SA SB SC SG
SA SB SC SG
M
ABC
0++ =
!!!" !!! " !!! !" "
abc
SMA SMB SMC
,,
abc
SSS
,,MBC MCA MAB
.S ABC
( )
a
,,,SA SB SC SM
M
ABC
', ', ', 'ABCM
.
''' '
++ =
abc
SSA SSB SSC
SSM
SA SB SC SM
,,
abc
SSS
,,MBC MCA MAB
S
ABC
.S ABCD
ABCD
( )
a
,,,SA SB SC SD
', ', ', 'ABCD
22
''''
+=+
SA SC SB SD
SA SC SB SD
'2 ' '2 '
+=+
SA SC SB SD
SA SC SB SD
''''
+=+
SA SC SB SD
SA SC SB SD
''''
-=-
SA SC SB SD
SA SC SB SD
O
ABCD
2+=+=
!! " !!!" !!" !!!" !!!"
SA SC SB SD SO
G'
G
B'
C'
S
B
A
C
A'
O
D
A
B
C
S
A'
B'
C'
D'
! Trang!28!
Do đồng phẳng nên đẳng thức trên
.
Câu 83: Cho hình chóp có . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm
của tam giác , cắt các cạnh lần lượt tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi là trọng tâm của tam giác . Ta có
.
Mà đồng phẳng nên
Theo BĐT Cauchy schwarz:
Ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi
kết hợp với ta được
.
Vậy GTNN của là .
Câu 84: Cho tứ diện , là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng
cắt các mặt lần lượt tại . Mặt phẳng đi qua và
song song với lần lượt cắt tại các điểm .Khẳng định nào sau đây là
đúng nhất. Chứng minh là trọng tâm của tam giác .
A. là trọng tâm của tam giác .
B. là trực tâm của tam giác .
C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Vì nằm trong tứ diện nên
tồn tại sao cho
''' '
'' ' '
Û+ = +
!!!" !!! " !!!" !!! "
SA SB SB SC
SA SC SB SC
SA SB SB SC
', ', ', 'ABCD
''''
Û+ =+
SA SC SB SD
SA SC SB SD
.S ABC
,,===SA a SB b SC c
( )
a
ABC
,,SA SB SC
', ', 'ABC
22 2
111
'' '
++
SA SB SC
222
3
++abc
222
2
++abc
222
2
++abc
222
9
++abc
G
ABC
3 =++
!!!" !!" !!" !!!"
SG SA SB SC
'' '
'' '
=++
!!!" !!!" !!!"
SA SB SC
SA SB SC
SA SB SC
,',','GA B C
33
'' ' '' '
++ =Û++ =
SA SB SC a b c
SA SB SC SA SB SC
( )
2
222
22 2
111
'' ' '''
æöæö
++ ++³++
ç÷ç÷
èøèø
ab c
abc
SA SB SC SA SB SC
22 2222
111 9
'' '
Û++ ³
++SA SB SC a b c
111
'''
==
aSA bSB cSC
3
'' '
++ =
ab c
SA SB SC
222 222 222
',','
333
++ ++ ++
== =
abc abc abc
SA SB SC
ab c
22 2
111
'' '
++
SA SB SC
222
9
++abc
ABCD
M
,,,AM BM CM DM
( ) ( ) ( ) ( )
,,,BCD CDA DAB ABC
', ', ', 'ABCD
( )
a
M
( )
BCD
'','',' 'AB AC AD
11 1
,,BC D
M
11 1
BC D
M
11 1
BC D
M
11 1
BC D
M
11 1
BC D
M
11 1
BC D
M
ABCD
,,, 0>xyzt
( )
0 1+++=
!!!" !!!" !!!!" !!! !" "
xMA yMB z MC tMD
! Trang!29!
Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng
.
Ta có .
Do đó
Trong , chiếu các vec tơ lên đường thẳng theo phương
ta được:
Từ suy ra
Tương tự ta có
Mặt khác chiếu các vec tơ trong lên mặt phẳng theo phương tì thu được
. Vậy từ ta có
, hay là trọng tâm của tam giác .
Câu 85: Cho tứ diện có
Gọi là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Do tứ diện có nên
. Gọi là diện tích và là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì , nên bất
đẳng thức cần chứng minh .
Theo công thức Leibbnitz: Với điểm bất kì và là trọng tâm của tam giác thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta được
.
Câu 86: Cho hình hộp và các điểm xác định bởi
.
Hãy tính theo để ba điểm thẳng hàng.
( )
a
M
( )
BCD
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11
'' '
'' '
ì
ï
Ç= Þ
í
ï
Ç=
î
!
!
BCD
BB A MB MB BA
BB A BCD BA
a
a
( )
1
1
''
' 2
'' '
=Þ=
!!!!" !!! "
MB
MB MB
MB BA
BA BB BB
( )
1
'BB
( )
ACD
( )
'''0 '0++ +=Þ++ +=
!!!!" !!!" !!!!" !!!!" " !!!!" !!! " "
xMB yMB zMB t MB x y z MB yMB
( )
'
''
'
Þ+++ = Þ =
+++
!!!!" !!!"
MB y
xyztMB yBB
BB x y z t
( )
2
( )
1
' 3=
+++
!!!!" !!! "
y
MB BA
xyzt
( )
1
' 4=
+++
!!!!" !!! "
z
MC CA
xyzt
( )
1
' 5=
+++
!!!!" !!! !"
z
MD DA
xyzt
( )
1
( )
BCD
'AA
'''0++=
!!!!" !!!!" !!!!" "
yA B zA C tA D
( ) ( ) ( )
3,4,5
( )
111
1
'''0++= + + =
+++
!!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!! !" "
MB MC MD yBA zCA t DA
xyzt
M
11 1
BC D
ABCD
,,BC DA a CA DB b AB DC c== == ==
S
22 22 22
111
++
ab bc ca
2
9
S
3
S
2
2
S
2
S
ABCD
,,== == = =BC DA a CA DB b AB DC c
D=D=D=DBCD ADC DAB CBA
'S
R
4'==
abc
SS
R
222 2
22 22 22 2
1119
9++ £Û++£abc R
ab bc ca S
M
G
ABC
( )
22 2222 2 222 2
1
39
3
++ =+++ = +++MA MB MC GA GB BC MG a b c MG
M
ABC
2222 2222
99=+++ ³++Raabc OGabc
.' ' ' 'ABCD A B C D
,,MNP
( )
'0, ', '=¹= =
!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!"
MA k MB k NB xNC PC yPD
,xy
k
,,MNP
B
1
M
A
B
D
C
B'
A'
! Trang!30!
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại sao cho
.
Thay các vec tơ vào và lưu ý không đồng phẳng ta tính được .
Câu 87: Cho hình hộp . Một đường thẳng cắt các đường thẳng lần
lượt tại sao cho . Tính .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt .
Vì nên
,
Ta có
Do
. Vậy .
Câu 88: Giả sử là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh
cỏa tứ diện . Gọi là giao điểm của ba mặt
phẳng và là giao điểm của ba mặt phẳng .
Ta được thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?
A. B.
22
,
2
+
==-
-
k
xy
kk
12 1
,
12 2
+
==-
-
k
xy
kk
1
1
2
,
22
+
==-
-
k
xy
kk
11
,
1
+
==-
-
k
xy
kk
,,'== =
!!!" " !!!" " !!!" "
AD a AB b AA c
( )
( )
1
1
=+
-
!!!!" " "
k
AM b c
k
( )
( )
2
1
=+ +
-
!!!" " " "
x
AN b a c
x
( )
( )
3
1
=++ -
-
!!!" " " " "
y
AP a b c b
y
=-
!!!!" !!!" !!!!"
MN AN AM
1
11 11
æö
=-+-
ç÷
-- --
èø
!! !
xxk
ab c
xk xk
11
æö
+-
ç÷
--
èø
!
xy
c
xy
1
()
11 11
æö
=- =- + + -
ç÷
-- --
èø
!!!" !!!" !!!!" " " "
yyk
MP AP AM a b c
yk yk
,,MNP
l
( )
*=
!!! !" !!! "
MN MP
l
,
!!! !" !!! "
MN MP
( )
*
,,
!!!
abc
11
,
1
+
==-
-
k
xy
kk
.' ' ' 'ABCD A B C D
D
', , ' 'AA BC C D
,,MNP
2=
!!!!" !!!"
NM NP
'
MA
MA
1
'
=
MA
MA
2
'
=
MA
MA
2
'
=
MA
MA
3
'
=
MA
MA
,,'== =
!!!" " !!!" " !!!" "
AD a AB b AA c
'ÎM AA
'==
!!!!" !!!" "
AM k AA k c
ÎÞ = =
!!!" !!!" "
NBC BNlBCla
'' 'ÎÞ=
!!!!" "
PCD CPmb
=++ =--+
!!!!" !!!" !!!" !!!!" " " "
NM NB BA AM l a b k c
'''' (1)=+ + + =-++
!!!" !!!" !!!" !!!!!" !!!!" " " "
NP BN BB B C C P l a mb c
( )
22[1]=Þ--+=-++
!!!!" !!!" " " " " " "
NM NP l a b kc l a mb c
( )
21
1
12 2, , 2
2
2
-= -
ì
ï
Û-= Û = =- =
í
ï
=
î
ll
mkml
k
2
'
=
MA
MA
,,MNP
,,SA SB SC
SABC
I
( ) ( ) ( )
,,BCM CAN ABP
J
( ) ( ) ( )
,,ANP BPM CMN
,,SIJ
1
2
+++=
MS NS PS JS
MA NB PC JI
1
4
+++=
MS NS PS JS
MA NB PC JI
P
C'
B'
A'
D
A
B
C
D'
M
N
M
D
C
B
A'
B'
C'
D'
A
N
P
! Trang!31!
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Goi .
Trong có trong có
.
Đặt và
Ta có
.
Do nên
. Vì không cùng
phương nên ta có .
Hoàn toàn tương tự ta có :
.
Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm và ta được :
Suy ra
Vậy thẳng hàng và .
1
3
+++=
MS NS PS JS
MA NB PC JI
1+++=
MS NS PS JS
MA NB PC JI
,,=Ç = ÇEBPCNFCM AP
=ÇT AN BM
( )
BCM
=ÇI BF CT
( )
ANP
Ç=NF PT J
,,===
!!" " !!" " !! !" "
SA a SB b SC c
,,===
!!! " !!!" !!!" !!!" !!" !!!"
SM xMA SN yNB Sp zPC
,,
111
===
+++
!!! " " !!!" " !! " "
xyz
SM a SN b SP c
xyz
( )
0, 0, 0>>>xyz
=ÇT AN BM
( )
( )
1
1
ì
=+-
Î
ì
ï
Þ
íí
Î
=+-
î
ï
î
!!!" !!! " !! "
!!!" !!!" !!"
ST SM SB
TAN
TBM
ST SN SA
aa
bb
( ) ( )
11Þ+- =+-
!!! " !! " !!!" !!"
SM SB SN SA
aabb
( ) ( )
11
11
Û+-=+-
++
!!!!
xy
abba
xy
ab
ab
,
!!
ab
1
1
1
11
1
1
1
ì
ì
=
=-
ï
ï
++
+
ïï
ÛÞ=+
íí
++ ++
ïï
=-
=
+
ïï
++
î
î
!!!" " "
x
x
xy
xy
x
ST a b
y
y
xy xy
y
xy
a
a
b
b
a
b
,
11 11
=+ =+
++ ++ ++ ++
!!" " " !! !" " "
yz zx
SE b c SF c a
yz yz zx zx
=ÇI BF CT
Ç=NF PT J
( ) ( )
11
,
12
=++= ++
+++ +++
!!" " " " !!" " " "
SI xa yb zc SJ xa yb zc
xyz xyz
( )
1
1
2
+++
=Þ=+++
+++
!!" !!" !!" !!"
xyz
SJ SI SJ x y z IJ
xyz
,,SIJ
11=+++= + + +
SI SM SN SP
xyz
IJ MA NB PC
J
F
I
E
T
S
A
C
B
M
N
P
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương
tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý: !!!" !!!" !!!"
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC !!!" !!!" !!!"
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC !!!" !!!" !!!" !!!!"
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A¢B¢C¢D¢, ta có: AB + AD + AA' = AC '
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. !!" !!" " !!!" !!!" !!" Ta có:
IA + IB = 0; OA+OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: !!!" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!"
GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG ! ! ! ! ! !
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b (a ¹ 0) Û !
$ k Î R : b = ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" OA- kOB MA = k ; MB OM = 1- k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. ! ! ! ! !
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a và b không cùng ! ! ! ! ! !
phương. Khi đó: a,b,c đồng phẳng Û $! m, n Î R: c = ma + nb ! ! ! !
• Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý. ! ! ! ! Khi đó:
$! m, n, p Î R: x = ma + nb + pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian: !!!" !!!" " " " " ∑ 0 ∑ 0
AB = u, AC = v Þ (u,v) = BAC (0 £ BAC £180 )
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: ! ! ! ! ! ! ! ! !
+ Cho u,v ¹ 0. Khi đó:
u.v = u . v .cos(u,v) ! ! ! ! ! !
+ Với u = 0 hoaëc v = 0. Qui ước: u.v = 0 ! ! ! !
+ u ^ v Û u.v = 0
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba
vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. ! ! ! ! !
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n Î R: !
c = ma + nb thì a,b,c đồng phẳng ! !
+ Để phân tích một vectơ !x theo ba vectơ !
a,b,c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: ! ! ! !
x = ma + nb + pc
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. !2 ! 2 ! !2
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a = a Þ a = a .
Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau: Trang 1 ! ! !
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa
chúng có thể tính được. !!!!" " " "
- Phân tích MN = ma + nb + pc !!!!" !!!!"2 " " "
- Khi đó MN = MN = MN =
ma + nb + pc ( )2 ! 2 ! 2 ! 2 ! ! ! ! ! ! 2 2 2
= m a + n b + p c + 2mncos a,b + 2npcos b,c + 2mpcos c,a ( ) ( ) ( )
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả !!!" !!!" !!!" • A, ,
B C,D là bốn điểm đồng phẳng Û DA = mDB+ nDC • A, ,
B C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có !!!" !!!" !!!" !!!"
OD = xOA + yOB + zOC trong đó x + y + z = 1. B – BÀI TẬP !!!" !!!" " !!!"
Câu 1: Cho hình lăng trụ " "
ABC.A¢B C
¢ ¢ , M là trung điểm của BB¢ . Đặt CA = a, CB = b , AA¢ = c.
Khẳng định nào sau đây đúng? !!!!" " " 1 " !!!!" 1 " " " !!!!" 1 " " "
A. AM = b + c - a .
B. AM = a - c + b .
C. AM = a + c - b . D. 2 2 2 !!!!" " " 1 "
AM = b - a + c . 2
Hướng dẫn giải: A' Chọn D. C' B' Ta phân tích như sau:
!!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" 1 !!!"
AM = AB + BM = CB - CA + BB¢ 2 M " 1 !!!" " " " 1 A C = "
b - a + AA¢ = b - a + c . 2 2 B
Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là !!!" !!!" !!!" !!!" "
A. OA+ OB + OC + OD = 0.
B. OA + OC = OB + OD. 1 1 1 1
C. OA + OB = OC + OD.
D. OA + OC = OB + OD. 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: O Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là: !!!" !!!" !!!" A
BD = BA+ BC. D
Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
BD = BA+ BC Û OD -OB = OA-OB + OC -OB B !!!" !!!" !!!" !!!" C
Û OA+OC = OB +OD. !!" !!" " !!!"
Câu 3: Cho hình chóp " "
S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a; SB = b ; SC = c ; !!!" "
SD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
A. a + c = d + b .
B. a + b = c + d .
C. a + d = b + c .
D. a +b + c + d = 0.
Hướng dẫn giải: S Chọn A.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau: ! !!" !!!" !!!" ! d
ìïSA+ SC = 2SO ! a !c í!!" !!!"
!!!" (do tính chất của đường trung tuyến) b
ïîSB + SD = 2SO A D O B C Trang 2 !!" !!!" !!" !!!" " " Þ " "
SA+ SC = SB + SD Û a + c = d + b .
Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b, !!!" " !!!" "
AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? !!!" 1 " " " !!!" 1 " " "
A. MP = (c + d -b).
B. MP = (d + b - c). 2 2 !!!" 1 " " " !!!" 1 " " "
C. MP = (c + b - d ).
D. MP = (c + d + b). 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. A Ta phân tích: ! !!!" b ! 1 !!!!" !!!!" M d
MP = (MC + MD) (tính chất đường trung tuyến) 2 !c 1 !!!" !!!!" !!!" !!!!" " !!!!" = ( "
AC - AM + AD - AM ) 1
= (c + d - 2AM ) B D 2 2 1 " !!!" " " P = (" "
c + d - AB) 1
= (c + d -b). C 2 2 !!!!" "
Câu 5: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC¢ = u , !!!" " !!!!" " !!!!" "
CA' = v, BD¢ = x, DB¢ = y . Khẳng định nào sau đây đúng? !!" 1 " " " " !!" 1 " " " "
A. 2OI = (u + v + x + y).
B. 2OI = - (u + v + x + y). 2 2 !!" 1 " " " " !!" 1 " " " "
C. 2OI = (u + v + x + y).
D. 2OI = - (u + v + x + y). 4 4
Hướng dẫn giải: A' ! D' Chọn D. !v x Ta phân tích: !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" " " B' ! C' !
u + v = AC¢ + CA¢ = ( AC + CC¢) + (CA+ AA¢) = 2AA¢. y I u !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " "
x + y = BD¢ + DB¢ = (BD + DD¢) + (DB + BB¢) = 2BB¢ = 2AA¢. A D !!!" !!!" !!" Þ " " " "
u + v + x + y = 4AA¢ = -4A A ¢ = -4.2OI . O !!" B 1 C Þ " " " "
2OI = - (u + v + x + y). 4
Câu 6: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A ¢ ¢ và BCC B
¢ ¢. Khẳng định nào sau đây sai? A' D' !!" 1 !!!" 1 !!!!"
A. IK = AC = A C ¢ ¢. 2 2 B' C'
B. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng. !!!" !!" !!!" I
C. BD + 2IK = 2BC . !!!" !!" !!!!" K A
D. Ba vectơ BD; IK ; B C ¢ ¢ không đồng phẳng. D
Hướng dẫn giải: Chọn D. B C
A đúng do tính chất đường trung bình trong B D AC ¢ và tính
chất của hình bình hành ACC A ¢ ¢.
B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích: !!!"
!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
BD + 2IK = BC +CD + AC = BC +CD + AD + DC !!!" !!!" !!!"
= BC + BC = 2BC. Trang 3 !!!" !!" !!!!"
D sai do giá của ba vectơ BD; IK ; B C
¢ ¢ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng ( ABCD). Do đó,
theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi !!!" !!!" !!!" !!!" "
GA+ GB + GC + GD = 0”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD).
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD .
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải: Chọn D. A
Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau: !!!" !!!" !!!" !!!" " !!" !!!" " !!" !!!" " I
GA+ GB + GC + GD = 0 Û 2GI + 2GJ = 0 Û GI + GJ = 0
Þ G là trung điểm đoạn IJ . G
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được B D
phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai. J C !!!" !!!" " !!!"
Câu 8: Cho tứ diện " "
ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB; y = AC ; z = AD. Khẳng
định nào sau đây đúng? !!!" 1 " " !!!" 1 " " A. " "
AG = ( x + y + z ).
B. AG = - (x + y + z ). 3 3 !!!" 2 !!!" 2 C. " " " " " "
AG = (x + y + z ).
D. AG = - (x + y + z ). 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi M là trung điểm CD . Ta phân tích: A
!!!" !!!" !!!" !!!" 2 !!!!" !!!" 2 !!!!" !!!"
AG = AB + BG = AB + BM = AB + ( AM - AB) ! ! 3 3 x z !!!" ! 2 é1 !!!" !!!" !!!"ù !!!" !!!" !!!" y = " " "
AB + ê ( AC + AD) 1 - AB = ú
(AB+ AC + AD) 1
= (x + y + z ). 3 ë2 û 3 3 B D G M C !!!" " !!!" "
Câu 9: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có tâm O . Đặt AB = a; BC = b . M là điểm xác định bởi !!!!" 1 " "
OM = (a -b). Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. M là tâm hình bình hành ABB A ¢ ¢ .
B. M là tâm hình bình hành BCC B ¢ ¢.
C. M là trung điểm BB¢ .
D. M là trung điểm CC¢ .
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta phân tích: A' D' !!!!" 1 " !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
OM = (a -b) 1 = (AB - BC) 1 = (AB - AD) 1 = DB . B' C' 2 2 2 2
Þ M là trung điểm của BB¢ . O ! A a D B ! C b Trang 4 ! ! ! ! ! ! "! ! ! ! ! !
Câu 10: Cho ba vectơ a,b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a - ; b y = 4 - a + 2 ; b z = 3 - b - 2c .
Chọn khẳng định đúng? !" " ! "!
A. Hai vectơ y; z cùng phương.
B. Hai vectơ x; y cùng phương. ! ! ! "! !
C. Hai vectơ x; z cùng phương. D. Ba vectơ ;
x y; z đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn B. !" " ! "! + Nhận thấy: y = 2
- x nên hai vectơ x; y cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai? !!!" !!!" !!!" !!!" "
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA+OB +OC +OD = 0. !!!" !!!" !!!" !!!" "
B. Nếu ABCD là hình thang thì OA+OB + 2OC + 2OD = 0 !!!" !!!" !!!" !!!" "
C. Nếu OA+OB +OC +OD = 0 thì ABCD là hình bình hành. !!!" !!!" !!!" !!!" "
D. Nếu OA+OB + 2OC + 2OD = 0 thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Câu 12: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Chọn khẳng định đúng? 1 1 1 1 !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" A. ,
BD BD , BC đồng phẳng.
B. CD , A ,
D A B đồng phẳng. 1 1 1 1 1 !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
C. CD , A , D AC đồng phẳng. D. , AB ,
AD C A đồng phẳng. 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. D C
+ M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của ,
AB AA , DD ,CD. 1 1
Ta có CD / /(MNP )
Q ; AD / / MNPQ ; AC / /(MNP ) Q A B 1 ( ) 1 !!!!" !!!" !!!!" Þ CD , A ,
D A C đồng phẳng. 1 1 D 1 C1 A1 B1 ! ! ! ! ! ! "! ! ! ! ! ! !
Câu 13: Cho ba vectơ a,b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a + ;
b y = a - b - c; z = 3 - b - 2c .
Chọn khẳng định đúng? ! "! ! ! ! A. Ba vectơ ;
x y; z đồng phẳng.
B. Hai vectơ x; a cùng phương. ! ! ! "! !
C. Hai vectơ x;b cùng phương. D. Ba vectơ ;
x y; z đôi một cùng phương.
Hướng dẫn giải: Chọn A. !" D 1 " " ! "! ! C
Ta có: y = (x + z) nên ba vectơ ;x y; z đồng phẳng. 2
Câu 14: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Tìm giá trị của 1 1 1 1 A
k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: B !!!" !!!!" !!!!" !!!!"
AB + B C + DD = k AC 1 1 1 1
A. k = 4 .
B. k = 1. C. . D. .
Hướng dẫn giải: Chọn B. D1 C1 Trang 5 A1 B1
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
+ Ta có: AB + B C + DD = AB + BC + CC = AC . Nên k = 1. 1 1 1 1 1 !!!!" "
Câu 15: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC¢ = u , !!!" " !!!!" " !!!!" !"
CA¢ = v , BD¢ = x, DB¢ = y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? !!" 1 " " " !" !!" 1 " " " !"
A. 2OI = - (u + v + x + y).
B. 2OI = - (u + v + x + y). 4 2 !!" 1 " " " !" !!" 1 " " " !"
C. 2OI = (u + v + x + y).
D. 2OI = (u + v + x + y). 2 4
Hướng dẫn giải: Chọn A. K D C
+ Gọi J , K lần lượt là trung điểm của AB,CD . +Ta có: !!" !!!" !!!" J 1 !!!" !!!" !!!" !!!" " " " !" A
OI = OJ + OK = (OA+OB +OC +OD) 1 2
= - (u + v + x + y) B 2 4 O D’ C’ A’ B’
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C . Đặt 1 1 1 !!!" " !!!" " !!!" " !!!" !" AA = , a AB = , b AC = ,
c BC = d,trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 1 ! ! ! "! ! ! ! ! "! ! ! "! ! ! ! !
A. a +b + c + d = 0.
B. a +b + c = d .
C. b - c + d = 0.
D. a = b + c.
Hướng dẫn giải: Chọn C. A C !!!" !!!" !!!" " " !" " "
+ Dễ thấy: AB + BC +CA = 0 Þb + d -c = 0. B A1 C1 B1 Trang 6
Câu 17: Cho hình hộp ABC .
D EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình
hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? !!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!"
A. BD, AK,GF đồng phẳng.
B. BD, IK,GF đồng phẳng. !!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!"
C. BD, EK,GF đồng phẳng.
D. BD, IK,GC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn B. D C ìIK //(ABCD) ï !!" !!!" !!!" + GF í
//(ABCD) Þ IK,GF, BD đồng phẳng. ïBD Ì (ABCD) î A B + Các bộ véctơ ở câu ,
A C, D không thể có giá cùng song
song với một mặt phẳng. K I H G E F
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? ! ! !
A. Nếu giá của ba vectơ a,b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. ! ! ! !
B. Nếu trong ba vectơ a,b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. ! ! !
C. Nếu giá của ba vectơ a,b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. ! ! !
D. Nếu trong ba vectơ a,b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 1 1 !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" "
A. AC + AC = 2AC .
B. AC + CA + 2C C = 0. 1 1 1 1 1 !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
C. AC + AC = AA .
D. CA + AC = CC . 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn A. D
+ Gọi O là tâm của hình hộp ABC . D A B C D . C 1 1 1 1
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra. A B O D1 C1 A1 B1
Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: Trang 7 !!!" !!!" !!!" !!!" !"
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC +CD + DA = O. !!!" !!!"
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD. !!" !!!" !!" !!!"
C. Cho hình chóp S.ABCD . Nếu có SB + SD = SA+ SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. !!!" !!!" !!!"
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC = AD.
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!" !!!" !!" !!!" !!" !!!" !!" !!!" !!" !!" !!!"
SB + SD = SA+ SC Û SA+ AB + SA+ AD = SA+ SA+ AC . !!!" !!!" !!!" Û AB + AD = .
AC Û ABCD là hình bình hành !!!" !!!"
Câu 21: Cho hình lập phương ABC .
D EFGH có cạnh bằng a . Ta có . AB EG bằng? 2 a 2 A. 2 a 2. B. 2 a . C. 2 a 3 . D. . 2
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"!!!!" . AB EG = .
AB (EF + EH ) = . AB EF + . AB EH !!!"2 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" = AB + .
AB AD (EH = AD) 2
= a (Vì AB ^ AD)
Câu 22: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm ,
A B,C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ,
A B,C, D tạo thành hình bình hành là: !!!" 1 !!!" !!!" 1 !!!" !!!" 1 !!!" !!!" 1 !!!"
A. OA + OB = OC + OD.
B. OA + OC = OB + OD. 2 2 2 2 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
C. OA+OC = OB +OD.
D. OA+OB +OC +OD = 0.
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" !!!" !!!" !!!"
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
OA+OC = OB +OD Û OA+OA+ AC = OA+ AB +OA+ BC !!!" !!!" !!!"
Û AC = AB + BC
Câu 23: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành AB ’ B ’ A và BCC B
¢ ¢. Khẳng định nào sau đây sai ? !!" 1 !!!" 1 !!!!"
A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng
B. IK = AC = A C ¢ ¢ 2 2 !!!" !!" !!!!" !!!" !!" !!!"
C. Ba vectơ BD; IK; B C ¢ ¢ không đồng phẳng.
D. BD + 2IK = 2BC
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!" !!!"
A. Đúng vì IK, AC cùng thuộc (B A ¢ C) Trang 8 !!" !!!" !!!!" 1 " " 1 " " 1 " " 1 !!!" 1 !!!!"
B. Đúng vì IK = IB¢ + B ' K = (a +b)+ (-a + c) = (b + c) = AC = A C ¢ .¢ 2 2 2 2 2 !!" !!!" !!!!" 1 " " 1 " " 1 " "
C. Sai vì IK = IB¢ + B ' K = (a +b)+ (-a + c) = (b + c). 2 2 2 !!!" !!" " " " " " !!!!"
Þ BD + 2IK = b
- +c +b +c = 2c = 2B C
¢ ¢ Þ ba véctơ đồng phẳng. !!!" !!" " " " " " !!!!" !!!"
D. Đúng vì theo câu C Þ BD + 2IK = b
- +c +b +c = 2c = 2B C ¢ ¢ = 2 . BC
Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM = 3MD ,
BN = 3NC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!"
A. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng.
B. Các vectơ MN, DC, PQ đồng phẳng. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
C. Các vectơ AB, DC, PQ đồng phẳng.
D. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. Chọn A. !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!"
ìïMN = MA+ AC +CN
ìïMN = MA+ AC +CN
A. Sai vì í!!!!" !!!!" !!!" !!!" Þ í!!!!!" !!!!!" !!!" !!!"
ïîMN = MD + DB + BN 3
ïî MN = 3MD + 3DB + 3BN !!!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!!"
Þ 4MN = AC - 3BD + BC Þ BD, AC, MN không đồng phẳng. 2 B. Đúng vì !!!!" !!!" !!!" !!!"
ìïMN = MP + PQ +QN !!!!" !!!" !!!" !!!!" 1 !!!" !!!"
í!!!!" !!!!" !!!" !!!" Þ 2MN = PQ + DC Þ MN = (PQ + DC)
ïîMN = MD + DC + CN 2 !!!!" !!!" !!!"
Þ MN, DC, PQ: đồng phẳng. !!!" !!!" 1 !!!" !!!"
C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ = ( AB + DC). 2 !!!!" 1 !!!" 1 !!!"
D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN = AB + DC . 4 4
Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: !!!" !!!" !!!" !!!" " 2 !!!" !!!" a
A. AD +CB + BC + DA = 0 B. . AB BC = - . 2 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" C. . AC AD = . AC C . D
D. AB ^ CD hay . AB CD = 0.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC, BC , D CD ,
A ABD là các tam giác đều.
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
A. Đúng vì AD +CB + BC + DA = DA+ AD + BC +CB = 0. 2 !!!" !!!" !!!" !!!" -a B. Đúng vì 0 . AB BC = - . BA BC = - . a . a cos 60 = . 2 C. Sai vì 2 2 !!!" !!!" a !!!" !!!" !!!" !!!" a 0 0 AC.AD = . a . a cos 60 = ; . AC CD = C - . ACD = - . a . a cos 60 = - . 2 2 !!!" !!!" !!!" !!!"
D. Đúng vì AB ^ CD Þ . AB CD = 0 . Trang 9 !!!" " !!!" " !!!" "
Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB = a, AC = ,
b AD = c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? !!!" " " " !!!" 1 " " "
A. AG = a +b + c.
B. AG = (a +b + c). 3 !!!" 1 " " " !!!" 1 " " "
C. AG = (a +b + c).
D. AG = (a +b + c). 2 4
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi M là trung điểm BC .
!!!" !!!" !!!" " 2 !!!!" " 2 1 !!!" !!!"
AG = AB + BG = a + BM = a + . (BC + BD) 3 3 2 ! 1 """! """! """! """! ! ! ! ! ! ! !
= a + (AC - AB + AD - AB) 1
= a + (- a +b+c) 1 2
= (a +b +c). 3 3 3
Câu 27: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng. 1 1 1 1 !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!!"
A. B M = B B + B A + B C .
B. C M = C C + C D + C B . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 !!!!" !!!!" 1 !!!!" 1 !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!"
C. C M = C C + C D + C B .
D. BB + B A + B C = 2B D. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn B.
!!!!" !!!" !!!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!" 1 !!!!" !!!!"
A. Sai vì B M = B B + BM = BB +
BA + BD = BB + B A + B D 1 1 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1) 2 2 !!!" 1 !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" 1 !!!!" = BB +
B A + B A + B C = BB + B A + B C . 1 ( 1 1 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 2 2 B. Đúng vì
!!!!" !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!" !!!" !!!!" 1 !!!!" !!!!"
C M = C C + CM = C C +
CA + CD = C C + C A + C D 1 1 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1) 2 2 !!!!" 1 !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!!" = C C +
C B + C D + C D = C C + C D + C B . 1 ( 1 1 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 2 2
C. Sai. theo câu B suy ra
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!"
D. Đúng vì BB + B A + B C = BA + BC = BD . 1 1 1 1 1 1 1 !!!" !!!" !!!" !!!" "
Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA+GB +GC +GD = 0 ( G là trọng tâm của tứ
diện). Gọi G là giao điểm của GA và mp (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? O !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" A. GA = 2 - G G .
B. GA = 4G G.
C. GA = 3G G.
D. GA = 2G G. 0 0 0 0
Hướng dẫn giải: Trang 10 Chọn C.
Theo đề: G là giao điểm của GA và mp (BCD) Þ G là trọng O 0 tâm tam giác BCD . !!!!" !!!!" !!!!" "
Þ G A+ G B + G C = 0 0 0 0 !!!" !!!" !!!" !!!" "
Ta có: GA+GB +GC +GD = 0 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
Þ GA = -(GB +GC +GD) = -(3GG +G A+G B +G C = -3GG = 3G G 0 0 0 0 ) 0 0
Câu 29: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của ,
AD BC . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai? !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!"
A. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng.
B. Các vectơ AB, AC, MN không đồng phẳng. !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!"
C. Các vectơ AN,CM , MN đồng phẳng.
D. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C. !!!!" 1 !!!" !!!"
A. Đúng vì MN = ( AB + DC). 2 !!!!" !!!!"
B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC). !!!"
C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng (CMN ). !!!!" 1 !!!" !!!"
D. Đúng vì MN = ( AC + BD). 2
Câu 30: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi !!!" !!!" !!!" !!!" "
GA+GB +GC +GD = 0”. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I, J lần lượt là trung điểm AB và CD )
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải: Chọn D. !!!" !!!" !!!" !!!" " !!" !!!" "
Ta có: (GA + GB) + (GC + GD) = 0 Û 2GI + 2GJ = 0
G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng
Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng. Trang 11
Câu 31: Cho hình lập phương ABC .
D A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức 1 1 1 1 đúng? !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
A. AO = ( AB + AD + AA
AO = ( AB + AD + AA1) 1 ) B. 3 2 !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" 2 !!!" !!!" !!!"
C. AO = ( AB + AD + AA
AO = ( AB + AD + AA1) 1 ) D. . 4 3
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!!" !!!" !!!" !!!"
Theo quy tắc hình hộp: AC = AB + AD + AA 1 1 !!!" 1 !!!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
Mà AO = AC nên AO = ( AB + AD + AA1). 1 2 2
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? !!!" !!!" !!!" !!!"
A. Từ AB = 3AC ta suy ra BA = 3 - CA !!!" 1 !!!"
B. Nếu AB = - BC thì B là trung điểm đoạn AC . 2 !!!" !!!" !!!" C. Vì AB = 2
- AC +5AD nên bốn điểm ,
A B, C, D đồng phẳng !!!" !!!" !!!" !!!" D. Từ AB = 3
- AC ta suy ra CB = 2AC.
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" !!!" !!!" Ta có: AB = 2 - AC +5AD !!!" !!!" !!!"
Suy ra: AB, AC, AD hay bốn điểm ,
A B, C, D đồng phẳng.
Câu 33: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của
MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
A. MA+ MB + MC + MD = 4MG
B. GA+GB +GC = GD !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!!" !!!" "
C. GA+GB +GC +GD = 0
D. GM +GN = 0.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
M , N, G lần lượt là trung điểm của , AB C ,
D MN theo quy tắc trung điểm : !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" "
GA + GB = 2GM ;GC + GD = 2GN;GM + GN = 0 !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!"
Suy ra: GA+GB +GC +GD = 0 hay GA+ GB + GC = GD - .
Câu 34: Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây: !!!" !!!!" !!!" !!!!" " !!!!" !!!!"
A. 2AB + B C ¢ ¢ + CD + D A ¢ ¢ = 0 B. 2
AD .¢AB¢ = a !!!!" !!!!" !!!!"
C. AB .¢CD¢ = 0
D. AC¢ = a 3.
Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 12 !!!" !!!!" !!!" !!!!" "
Ta có : 2AB + B C ¢ ¢ + CD + D A ¢ ¢ = 0 !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!" "
Û AB + ( AB + CD) + (B C ¢ ¢ + D A ¢ ¢) = 0 !!!" " " " !!!" "
Û AB + 0 + 0 = 0 Û AB = 0(vô lí)
Câu 35: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
đây: !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
A. AB + BC + CC¢ = AD¢ + D O ¢ + OC¢
B. AB + AA¢ = AD + DD¢ !!!" !!!!" !!!" !!!!" " !!!!" !!!" !!!" !!!"
C. AB + BC¢ + CD + D A ¢ = 0
D. AC¢ = AB + AD + AA¢.
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!"
Ta có : AB + AA¢ = AD + DD¢ Û AB = AD (vô lí) ! !"!
Câu 36: Cho ba vectơ a,b, c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? ! ! ! ! "! ! ! ! ! ! ! !
A. Các vectơ x = a + b + 2 ;
c y = 2a - 3b - 6 ;
c z = -a + 3b + 6c đồng phẳng. ! ! ! ! "! ! ! ! ! ! ! !
B. Các vectơ x = a - 2b + 4 ;
c y = 3a - 3b + 2 ;
c z = 2a - 3b - 3c đồng phẳng. ! ! ! ! "! ! ! ! ! ! ! !
C. Các vectơ x = a + b + ;
c y = 2a - 3b + ;
c z = -a + 3b + 3c đồng phẳng. ! ! ! ! "! ! ! ! ! ! ! !
D. Các vectơ x = a + b - ;
c y = 2a - b + 3 ;
c z = -a - b + 2c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn B. ! "! ! ! "! !
Các vectơ x, y, z đồng phẳng Û $ ,
m n : x = m y + nz ! "! !
Mà : x = m y + nz 3 ì m + 2n = 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! Û ï
a - 2b + 4c = m(3a - 3b + 2c) + n(2a - 3b - 3c) Û í 3 - m - 3n = 2 - (hệ vô nghiệm) ï2m - 3n = 4 î ! "! !
Vậy không tồn tại hai số m, n : x = m y + nz
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm .
O Gọi G là điểm thỏa mãn: !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
GS +GA+GB +GC +GD = 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? !!!" !!!"
A. G, S, O không thẳng hàng.
B. GS = 4OG !!!" !!!" !!!" !!!"
C. GS = 5OG
D. GS = 3OG.
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
GS + GA + GB + GC + GD = 0 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
Û GS + 4GO + (OA + OB + OC + OD) = 0 !!!" !!!" " !!!" !!!"
Û GS + 4GO = 0 Û GS = 4OG !!!" " !!!" !" !!!" "
Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B C
¢ ¢ có AA¢ = a, AB = b, AC = c. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ !!!!" ! ! !
BC¢ qua các vectơ a, , b c. Trang 13 !!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" " " "
A. BC¢ = a +b -c
B. BC¢ = a - +b -c
C. BC¢ = a - -b +c
D. BC¢ = a -b + c.
Hướng dẫn giải: Chọn D. !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" " " " " " "
Ta có: BC¢ = BA+ AC¢ = -AB + AC + AA¢ = b
- +c + a = a -b +c.
Câu 39: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai? !!!" !" !!!" !!!" " !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!"
A. GA + GB + GC + GD = 0
B. OG = (OA + OB + OC + OD) 4 !!!" 2 !!!" !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
C. AG = ( AB + AC + AD)
D. AG = ( AB + AC + AD). 3 4
Hướng dẫn giải: Chọn C.
G là trọng tâm tứ diện ABCD !!!" !" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
Û GA + GB + GC + GD = 0 Û 4GA + AB + AC + AD = 0 Û AG = (AB + AC + AD). 4
Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k !!!!" !!!" !!!"
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k ( AC + BD) 1 A. k = 1 . B. k = .
C. k = 3.
D. k = 2. 2 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. !!!!" 1 !!!!" !!!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!"
MN = (MC + MD) (quy tắc trung điểm) = (MA+ AC + MB + BD) 2 2 !!!" !!!" " !!!!" 1 !!!" !!!"
Mà MA+ MB = 0 (vì M là trung điểm AB ) Þ MN = ( AC + BD .) 2 ! ! ! ! ! !
Câu 41: Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng? ! ! ! !
A. Tồn tại ba số thực ,
m n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0. ! ! ! !
B. Tồn tại ba số thực ,
m n, p thỏa mãn m + n + p ¹ 0 và ma + nb + pc = 0. ! ! ! !
C. Tồn tại ba số thực ,
m n, p sao cho ma + nb + pc = 0. ! ! !
D. Giá của a, b, c đồng qui.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Theo giả thuyết m + n + p ¹ 0 Þ tồn tại ít nhất một số khác 0 . ! ! ! ! ! n ! p !
Giả sử m ¹ 0 . Từ ma + nb + pc = 0 Þ a = - b - c . m m ! ! !
a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ). !!!" " !!!" !" !!!" "
Câu 42: Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B C
¢ ¢ có AA¢ = a, AB = b, AC = c. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ !!!!" ! ! ! B C
¢ qua các vectơ a, b, c. !!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" " " " A. B C ¢ = a +b - . c B. B C ¢ = a - +b + . c C. B C ¢ = a +b + . c D. B C ¢ = a - -b + c .
Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 14 !!!!" !!!" !!!!" B C ¢ = B B ¢ + B C ¢ ¢ (qt hình bình hành) !!!" !!!" " !!!" !!!" " " "
= -AA¢+ BC = a
- + AC - AB = a - -b+ . c
Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? !!!" 1 !!!"
A. Nếu AB = - BC thì B là trung điểm của đoạn AC . 2 !!!" !!!" !!!" !!!" B. Từ AB = 3
- AC ta suy ra CB = A . C !!!" !!!" !!!" C. Vì AB = 2
- AC +5AD nên bốn điểm ,
A B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng. !!!" !!!" !!!" !!!"
D. Từ AB = 3AC ta suy ra BA = 3 - C . A
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" 1 !!!" A.
Sai vì AB = - BC Þ A là trung điểm BC . 2 !!!" !!!" !!!" !!!"
B. Sai vì AB -3AC Þ CB = 4 - AC.
C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ. !!!" !!!" !!!" !!!"
D. Sai vì AB = 3AC Þ BA = 3CA (nhân 2 vế cho 1 - ).
Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: ! ! !
A. Ba véctơ a,b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương. ! ! ! !
B. Ba véctơ a,b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 . ! ! ! ! ! !
C. véctơ x = a+ b+ c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b . !!!" !!!!" !!!"
D. Cho hình hộp ABC . D ’ A ’ B C’ ’
D ba véctơ AB ,¢C A
¢ ,¢ DA¢ đồng phẳng
Hướng dẫn giải: Chọn C.
A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. C. Sai !!!" !!!" !!!" " "
ìDA¢ = AA¢ - AD = a - c ïï!!!" " " !!!" !!!" !!!"
D. Đúng vì íAB¢ = a + b
Þ AB¢ = DA¢ - CA Þ3 ï!!!!" !!!" " " C A ¢ ¢ = CA = b - - c ïî !!!" !!!!" !!!" vectơ AB ,¢C A
¢ ,¢ DA¢ đồng phẳng.
Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABC .
D EFGH có cạnh a . !!!" !!!" Ta có . AB EG bằng: Trang 15 a 2 A. 2 a . B. a 2 C. a 3. D. . 2
Hướng dẫn giải: Chọn A. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" .
AB EG = (EF + EH )( AE + EF + FB) !!!" !!!"
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 2
= EF.AE + EF + EF.FB + EH.AE + EH.EF + EH.FB !!!" !!!" 2 2 2
= 0 + a + 0 + 0 + 0 + EH.EA = a + 0 = a
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai? !!" !!" !!!" !!!" !!!"
A. Nếu SA+ SB + 2SC + 2SD = 6SO thì ABCD là hình thang. !!" !!" !!!" !!!" !!!"
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA+ SB + SC + SD = 4SO . !!" !!" !!!" !!!" !!!"
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA+ SB + 2SC + 2SD = 6SO. !!" !!" !!!" !!!" !!!"
D. Nếu SA+ SB + SC + SD = 4SO thì ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!" !!" !!!" !!!" !!!"
A. Đúng vì SA+ SB + 2SC + 2SD = 6SO !!!" !!!" !!!" !!!" "
Û OA+OB + 2OC + 2OD = 0. !!!" !!!" !!!" Vì , O ,
A C và O, B, D thẳng hàng nên đặt OA = kOC;OB = mOD !!!" !!!" " Þ (k + ) 1 OC + (m + ) 1 OD = 0. !!!" !!!"
Mà OC,OD không cùng phương nên k = 2 - và m = 2 - Þ OA OB =
= 2 Þ AB / /CD . OC OD
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là , AD BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = 1, - m = 1
- Þ O là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai? !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
A. Từ hệ thức AB = 2AC -8AD ta suy ra ba véctơ AB, AC, AD đồng phẳng. !!!!" !!!" "
B. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm của đoạn . MP !!" 1 !!!" !!!"
C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI = (OA+ . OB ) 2 !!!" !!!" !!!" !!!" "
D. Vì AB + BC +CD + DA = 0 nên bốn điểm ,
A B,C, D cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn D.
A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng !!!" !!!" !!" !!" !!" !!"
C. Đúng vì OA+OB = OI + IA+OI + IB !!" !!" " !!!" !!!" !!"
Mà IA+ IB = 0 (vì I là trung điểm AB ) Þ OA+OB = 2OI .
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng. Trang 16 !!!" " !!!" "
Câu 48: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ có tâm O . Đặt AB = a; BC = b. M là điểm xác định bởi !!!!" 1 " "
OM = (a -b). Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. M là trung điểm BB .¢
B. M là tâm hình bình hành BCC B ¢ .¢
C. M là tâm hình bình hành ABB A ¢ .¢
D. M là trung điểm CC .¢
Hướng dẫn giải: Chọn A. !!!!" !!!" !!!" 1 !!!!" !!!!"
A. M là trung điểm BB¢ Þ 2OM = OB + OB¢ = - (B D
¢ + BD¢) (quy tắc trung điểm). 2 1 !!!" " " !!!" " " 1 ! ! ! ! = - (B B
¢ + b - a + BB¢ + b - a) (quy tắc hình hộp)= - ( 2
- a + 2b) = a -b. 2 2
Câu 49: Cho hai điểm phân biệt ,
A B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề
nào sau đây là đúng? !!!!" !!!" !!!"
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OA+OB. !!!!" !!!" !!!"
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = kB . A !!!!" !!!" !!!"
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = kOA + (1- k )OB. !!!!" !!!" !!!" !!!"
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k (OB -OA).
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" !!!" !!" !!!!" !!"
A. Sai vì OA+OB = 2OI ( I là trung điểm AB ) Þ OM = 2OI
Þ O, M , I thẳng hàng. !!!!" !!!" !!!" !!!"
B. Sai vì OM = OB Þ M º B và OB = kBA Þ ,
O B, A thẳng hàng: vô lý !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!"
C. OM = kOA + (1- k )OB Û OM -OB = k (OA-OB) Û BM = kBA Þ , B , A M thẳng hàng. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
D. Sai vì OB - OA = AB Þ OB = k (OB -OA) = k AB Þ O, B, A thẳng hàng: vô lý.
Câu 50: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là
trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào !!" !!!" !!!" !!!" !!!"
đẳng thức vectơ: PI = k (PA + PB + PC + PD). A. k = 1 4 . B. k = 1 . C. k = .
D. k = 2 . 2 4
Hướng dẫn giải: : Chọn C. !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có PA + PC = 2PM , PB + PD = 2PN !!!" !!!"!!!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!" !!" 1
nên PA + PB+PC + PD = 2PM + 2PN = 2(PM + PN ) = 2.2.PI = 4PI . Vậy k = 4
Câu 51: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Chọn đẳng thức sai? 1 1 1 1 !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!"
A. BC + BA = B C + B A .
B. AD + D C + D A = DC . 1 1 1 1 1 1 1 1 !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!"
C. BC + BA + BB = BD .
D. BA + DD + BD = BC . 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có :
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!"
BA + DD + BD = BA + BB + BD = BA + BD ¹ BC nên D 1 1 1 1 1 1 sai. !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
Do BC = B C và BA = B A nên BC + BA = B C + B A . A 1 1 1 1 1 1 1 1 đúng Trang 17
!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!"
Do AD + D C + D A = AD + D B = A D + D B = A B = DC nên 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 !!!" !!!!" !!!!" !!!"
AD + D C + D A = DC nên B đúng. 1 1 1 1
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
Do BC + BA + BB = BD + DD = BD nên C đúng. 1 1 1
Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng? !!!" 1 !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!"
A. PQ = (BC + AD).
B. PQ = (BC + AD). 4 2 !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
C. PQ = (BC - AD).
D. PQ = BC + AD. 2
Hướng dẫn giải: : Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có : PQ = PB + BC + CQ và PQ = PA + AD + DQ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!"
nên 2PQ = (PA + PB) + BC + AD + (CQ + DQ) = BC + AD. Vậy PQ = (BC + AD) 2
Câu 53: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . M là điểm trên AC sao cho AC = 3MC . Lấy N trên đoạn C D ¢ sao cho xC D ¢ = C N
¢ . Với giá trị nào của x thì MN //D¢. 2 A. x = 1 . B. x = 1 . C. x = 1 . D. x = . 3 3 4 2
Hướng dẫn giải: : Chọn A.
Câu 54: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: !!!" !!!!" !!!!" !!!" BD - D D ¢ - B D ¢ ¢ = kBB¢
A. k = 2 .
B. k = 4 .
C. k = 1.
D. k = 0 .
Hướng dẫn giải: : Chọn C. !!!" !!!!" !!!!" !!!"
Ta có BD + DD¢ + D B
¢ ¢ = BB¢ nên k = 1
Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? !!" 1 !!!" !!!"
A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI = (OA + OB). 2 Trang 18 !!!" !!!" !!!" !!!" "
B. Vì AB + BC + CD + DA = 0 nên bốn điểm , A ,
B C, D đồng phẳng. !!!!" !!!" "
C. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm đoạn NP . !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
D. Từ hệ thức AB = 2AC - 8AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: : Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!" "
Do AB + BC + CD + DA = 0 đúng với mọi điểm , A ,
B C, D nên câu B sai.
Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? ! ! ! A. Ba véctơ , a ,
b c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng B. Ba tia , Ox , Oy
Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng. ! ! ! ! !
C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b. Khi đó ba véctơ , a ,
b c đồng phẳng khi và chỉ khi có ! ! ! cặp số ,
m n sao cho c = ma+ nb, ngoài ra cặp số , m n là duy nhất. ! ! ! ! ! ! !
D. Nếu có ma + nb+ pc = 0 và một trong ba số , m ,
n p khác 0 thì ba véctơ , a , b c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: : Chọn A. ! ! ! Ba véctơ , a ,
b c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai
Câu 57: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung
điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng !!" !!" !!" !!" "
thức vectơ: IA + (2k - 1)IB + k IC + ID = 0
A. k = 2 .
B. k = 4 .
C. k = 1.
D. k = 0 .
Hướng dẫn giải: : Chọn C. !!" !!" !!" !!" "
Ta chứng minh được IA + IB + IC + ID = 0 nên k = 1 ! ! !
Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? ! ! ! ! ! ! !
A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma + nb + pc = 0 ta suy ra m = n = p = 0. ! ! ! ! ! ! !
B. Nếu có ma + nb + pc = 0, trong đó 2 2 2
m + n + p > 0 thì a, b, c đồng phẳng. ! ! ! ! ! ! !
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ¹ 0 ta có ma + nb + pc = 0 thì a, b, c đồng phẳng. ! ! ! ! ! !
D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: : Chọn D.
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng. !!" " !!!" " !!!" "
Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA¢B C
¢ ¢ , M là trung điểm của ’
BB . Đặt CA = a ,CB = b, AA' = c.
Khẳng định nào sau đây đúng? !!!!" " " 1 " !!!!" " " 1 " !!!!" " " 1 "
A. AM = a + c - b
B. AM = b + c - a .
C. AM = b - a + c . D. 2 2 2 !!!!" " " 1 "
AM = a - c + b . 2
Hướng dẫn giải: : Chọn C.
!!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" 1 !!!" " " 1 "
Ta có AM = AB + BM = CB - CA + BB¢ = b - a + c 2 2 Trang 19 !!!" " !!!" " !!!" " !!!" !"
Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA¢B C
¢ ¢ . Đặt AA¢ = a, AB = ,
b AC = c, BC = d . Trong các biểu
thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng. ! ! ! ! ! ! "! ! ! ! "! ! ! ! "!
A. a = b + c.
B. a +b + c + d = 0.
C. b - c + d = 0.
D. a +b + c = d .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
! ! "! """! """! """! """! """! !
Ta có: b -c + d = AB - AC + BC = CB + BC = 0.
Câu 61: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là. !!" !!" !!" !!!" !!" !!" !!" !!!"
A. 6SI = SA+ SB + SC.
B. SI = SA+ SB + SC . !!" !!" !!" !!!" !!" 1 !!" 1 !!" 1 !!!"
C. SI = 3(SA- SB + SC).
D. SI = SA + SB + SC . 3 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn D. !!" !!" !!!" !!" !!" 1 !!" 1 !!" 1 !!!"
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI Û SI = SA + SB + SC . 3 3 3
Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. ! ! ! ! ! !
B. Ba véctơ a,b, c đồng phẳng thì có c = ma + nb với ,
m n là các số duy nhất. !" " " " !"
C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng. ! !
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a,b không cùng phương. !" " " " !" ! ! !
Câu C sai vì d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng phẳng.
Câu 63: Cho hình hộp ABC . D A¢B C ¢ D
¢ ¢ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: !!!" !!!" !!!" !!!!" "
AC + BA¢ + k (DB + C 'D) = 0. A. k = 0 . B. k = 1. C. k = 4 . D. k = 2 .
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!" !!!" !!!" !!!!"
!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" "
Với k = 1 ta có: AC + BA' +1.(DB + C 'D) = AC + BA'+ C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = 0.
Câu 64: Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A ,¢ B ,¢C¢ lần lượt thuộc các tia ,
SA SB, SC sao cho SA = . a SA ,¢ SB = . b SB ,¢ SC = .
c SC¢, trong đó a,b, c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a,b, cđể mặt phẳng ( A B ¢ C
¢ ¢) đi qua trọng tâm của tam giác ABC .
A. a + b + c = 3 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 1.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA ,¢ SB = SB ,¢ SC = SC¢ nên ( ABC) º ( A B ¢ C ¢ ¢). Suy ra ( A B ¢ C
¢ ¢) đi qua trọng tâm của tam giác ABC => a + b + c = 3 là đáp án đúng. Trang 20 !!" " !!" " !!!" " !!!" !"
Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a, SB = b, SC = c, SD = d .
Khẳng định nào sau đây đúng. ! ! "! ! ! ! "! ! ! ! "! ! ! ! ! ! "!
A. a + c = d +b.
B. a + c + d +b = 0.
C. a + d = b + c.
D. a +b = c + d .
Hướng dẫn giải: Chọn A. ! ! ""! """! """!
ìïa + c = SA+ SC = 2SO ! ! "! !
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Ta có: í! "! ""! """!
"""! => a + c = d +b b
ïî + d = SB + SD = 2SO
Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai. !!!" 2 !!!" !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
A. AG = ( AB + AC + AD).
B. AG = ( AB + AC + AD). 3 4 !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" "
C. OG = (OA+OB +OC +OD).
D. GA+GB +GC +GD = 0. 4
Hướng dẫn giải: Chọn A. !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!"
Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG = (OA+OB +OC +OD). 4
Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có: !!!" 1 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
AG = ( AA+ AB + AC + AD) 1
Û AG = (AB + AC + AD) 4 4 !!!" 2 !!!" !!!" !!!"
Do vậy AG = ( AB + AC + AD) là sai. 3
Câu 67: Cho hình hộp ABC .
D A B C D với tâm O . Chọn đẳng thức sai. 1 1 1 1 !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!" !!!"
A. AB + AA = AD + DD .
B. AC = AB + AD + AA . 1 1 1 1 !!!" !!!!" !!!" !!!!" "
!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!"
C. AB + BC + CD + D A = 0.
D. AB + BC + CC = AD + D O + OC . 1 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn A.
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!"
Ta có AB + AA = AB , AD + DD = AD mà AB ¹ AD nên AB + AA = AD + DD sai. 1 1 1 1 1 1 1 1 !!!" " !!!" "
Câu 68: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b, AC = c, !!!" !"
AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng. !!!" 1 " !" " !!!" 1 !" " "
A. MP = (c + d + b).
B. MP = (d + b - c) . 2 2 !!!" 1 " " !" !!!" 1 " !" "
C. MP = (c + b - d) .
D. MP = (c + d - b) . 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn D. ! "! ! """! """! """! """! """"! """! """! ! "! !
Ta có c + d - b = AC + AD - AB = AP - AM = (MP) 1 2 2 2
Û MP = (c + d -b). 2
Câu 69: Cho hình hộp ABC .
D A B C D . Chọn khẳng định đúng. 1 1 1 1 !!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" A. ,
BD BD , BC đồng phẳng.
B. BA , BD , BD đồng phẳng. 1 1 1 1 !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!!"
C. BA , BD , BC đồng phẳng.
D. BA , BD , BC đồng phẳng. 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" !!!!" !!!"
Ta có 3 véctơ BA , BD , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng (BCD A . 1 1 ) 1 1 ! """! !" !!!" ! """!
Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác .
BCD Đặt x = AB; y = AC; z = A . D Khẳng
định nào sau đây đúng? Trang 21 !!!" 1 " !" " !!!" 1 " !" "
A. AG = (x + y + z).
B. AG = - (x + y + z) . 3 3 !!!" 2 " !" " !!!" 2 " !" "
C. AG = (x + y + z).
D. AG = - (x + y + z). 3 3
Hướng dẫn giải: Chọn A.
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có: AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " !" "
Þ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z !!!" !!!" !!!" "
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên BG +CG + DG = 0.
Câu 71: Cho hình chóp S.ABC .
D Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? !!" !!!" !!" !!!"
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA+ SC. !!" !!!" !!" !!!"
B. Nếu SB + SD = SA+ SC thì ABCD là hình bình hành. !!" !!!" !!" !!!"
C. Nếu ABCD là hình thang thì SB + 2SD = SA+ 2SC. !!" !!!" !!" !!!"
D. Nếu SB + 2SD = SA+ 2SC thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có !!!" !!" !!!" !!"
SD + 2SB = SC + 2 . SA
Câu 72: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và .
CD Tìm giá trị của k !!!!" !!!" !!!"
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k ( AD + BC) A. k = 1 3. B. k = . C. k = 1 2. D. k = . 2 3
Hướng dẫn giải: Chọn B. !!!!" !!!" !!!" !!!"
MN = MA + AD + DN üï
!!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có: !!!!" !!!" !!!" !!!" ý Þ 2MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN
MN = MB + BC + CN ïþ !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA = BM = -M ;
B DN = NC = CN - !!!!" !!!" !!!" !!!!" 1 !!!" !!!"
Do đó 2MN = AD + BC Þ MN = ( AD + BC). 2!!!" " !!!" " !!!" "
Câu 73: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB = a, AC = ,
b AD = c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng? !!!!" 1 " " " !!!!" 1 " " "
A. DM = (a +b - 2c) B. DM = ( 2
- a + b + c) 2 2 !!!!" 1 " " " !!!!" 1 " " "
C. DM = (a - 2b + c).
D. DM = (a + 2b - c) 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn A.
!!!!" !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!" 1 !!!" !!!"
Ta có: DM = DA + AB + BM = AB - AD + BC = AB - AD + (BA+ AC) 2 2
1 !!!" 1 !!!" !!!" 1 " 1 " " 1 " " "
= AB + AC - AD = a + b - c = (a +b- 2c). 2 2 2 2 2
Câu 74: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào !!!" !!!" !!!" !!!"
đẳng thức vectơ: DA+ DB + DC = kDG 1 A. k = . B. k = 2. C. k = 1 3. D. k = . 3 2
Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 22 !!!" !!!" !!!" !!!"
Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA+ DB + DC = 3DG. !!!" !!!" !!!" !!!"
Câu 75: Cho tứ diện ABCD . Gọi E,F là các điểm thỏa nãm EA = kEB,FD = kFC còn P,Q, R là các !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
điểm xác định bởi PA = lPD,QE = lQF,RB = lRC . Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng.Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. P, Q, R thẳng hàng
B. P, Q, R không đồng phẳng
C. P, Q, R không thẳng hàng
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có PQ = PA + AE + EQ ( ) 1 !!!" !!!" !!!" !!!"
PQ = PD + DF + FQ (2) !!!" !!!" !!!" !!!" A
Từ (2) ta có lPQ = lPD + lDF + lFQ (3) Lấy ( ) 1 -( ) 3 theo vế ta có E ( !!!" !!!" !!!"
1- l) PQ = AE -lDF p !!!" 1 !!!" l !!!" Þ PQ = AE - DF 1- l 1- l Q !!!" B 1 !!!" l !!!" Tương tự QR = EB - FC 1- l 1- l R !!!" !!!" !!!" !!!" D
Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên F C !!!" 1 !!!" l !!!" -k !!!" kl !!!" !!!" PQ = AE - DF = EB - FC = -kQR 1- l 1- l 1- l 1- l Vậy , P , Q R thẳng hàng.
Câu 76: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ . !!" !!!" !!!" a) Giả sử .
a IJ = AC + BDthì giá trị của a là? A. 2 B. 1 C. 1 - 1 D. 2
b) Cho các đẵng thức sau, đẵng thức nào đúng? !!!" !!!" !!!" !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!" !"
A. GA+GB +GC +GD = 0
B. GA+GB +GC +GD = 2IJ !!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!"
C. GA+GB +GC +GD = JI
D. GA+GB +GC +GD = 2 - JI !!!" !!!" !!!!" !!!!"
c) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
A. Trung điểm AB
B. Trùng với G
C. Trung điểm AC
D. Trung điểm CD
Hướng dẫn giải: !!" !!" !!!" !!!"
ìïIJ = IA+ AC + CJ !!" !!!" !!!" A
a) í!!" !!" !!!" !!!" Þ 2IJ = AC + BD.
ïîIJ = IB + BD + DJ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
b) GA + GB + GC + GD = (GA+GB) + (GC +GD) I !!" !!!" !!" !!!" "
= 2GI + 2GJ = 2(GI +GJ ) = 0. G !!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" B
c) Ta có MA + MB + MC + MD = 4 MG nên !!!" !!!" !!!!" !!!!"
MA + MB + MC + MD nhỏ nhất khi M º G . R D J C Trang 23
Câu 77: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' . Xác định vị trí các điểm M , N lần lượt trên AC và DC ' MN
sao cho MN ! BD'. Tính tỉ số bằng? BD ' 1 1 2 A. B. C. 1 D. 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. !!!" " !!!" " !!!" "
BA = a, BC = , b BB ' = c . !!!!" !!!" !!!" !!!!"
Giả sử AM = xAC, DN = yDC '. !!!!" " " !!!" " " "
Dễ dàng có các biểu diễn BM = (1- x)a + xb và BN = (1- y)a + b + yc. D' C' !!!!" " " "
Từ đó suy ra MN = (x - y)a + (1- x)b + yc ( ) 1 !!!!" !!!!" " " "
Để MN ! BD ' thì MN = zBD ' = z (a + b + c) (2) A' D' ! ! ! ! ! ! Từ ( )
1 và (2) ta có: ( x - y)a + (1- x)b + yc =z(a + b + c) N ! ! ! ! D C
Û (x - y - z)a + (1- x - z)b + ( y - z)c=0 ì 2 M x = ï A 3 B
ìx - y - z = 0 ï ï ï 1 Û 1
í - x - z = 0 Û íy = . 3 ïy z 0 ï - = î ï 1 z = ïî 3 !!!!" 2 !!!" !!!" 1 !!!!"
Vậy các điểm M , N được xác định bởi AM = AC, DN = DC '. 3 3 !!!!" !!!!" 1 !!!!" MN 1
Ta cũng có MN = zBD ' = BD ' Þ = . 3 BD ' 3
Câu 78: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' có các cạnh đều bằng a và các góc ∑ 0 ∑ ∑ 0
B' A' D' = 60 , B' A' A = D' A' A =120 .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A' D ; AC ' với B' D . A. (∑ AB A D) 0 , ' = 60 ; (∑ AC B D) 0 ', ' = 90 B. (∑ AB A D) 0 , ' = 50 ; (∑ AC B D) 0 ', ' = 90 C. (∑ AB A D) 0 , ' = 40 ; (∑ AC B D) 0 ', ' = 90 D. (∑ AB A D) 0 , ' = 30 ; (∑ AC B D) 0 ', ' = 90
b) Tính diện tích các tứ giác A' B 'CD và ACC ' A' . A. 2 S = a 3; 2 S = a 2 B. 2 S = a ; 2 S = a 2 2 A'B'CD AA'C 'C A'B 'CD AA'C 'C 1 C. 2 S = a ; 2 S = 2a 2 D. 2 S = a ; 2 S = a 2 A'B'CD 2 AA'C 'C A'B 'CD AA'C 'C
c) Tính góc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA'. A. ∑ (AC AB) ∑ = (AC AD) ∑ = (AC AA ) 6 ', ', ', ' = arccos 2 B. ∑ (AC AB) ∑ = (AC AD) ∑ = (AC AA ) 6 ', ', ', ' = arccos 4 C. ∑ (AC AB) ∑ = (AC AD) ∑ = (AC AA ) 6 ', ', ', ' = arccos 3 Trang 24 D. ∑ (AC AB) ∑ = (AC AD) ∑ = (AC AA ) 5 ', ', ', ' = arccos 3
Hướng dẫn giải: !!!" " !!!!!" " !!!!!" "
a) Đặt AA' = a, A' B ' = ,
b A' D ' = c !!!!" " "
Ta có A'D = a + c nên ∑ !!!" !!!!"
cos( AB, A'D) = cos( , AB A' D) D' C' """! """"! ! ! ! . AB A' D a (a + c) = """! """"! = ! ! ! . AB A' D a a + c A' B' ! ! ! ! ! a
Để ý rằng a + c = a, a a + c = . ( ) 22 D 1 C Từ đó ∑
cos( AB, A'D) = Þ (∑ AB, A' D) 0 = 60 2 !!!!" " " !!!!" " " "
Ta có AC ' = b + c - a, B ' D = a - b + c , từ đó tính được !!!!"!!!!" " " " " " " A B
AC B D = (b +c -a)(a -b +c) = Þ (∑ AC B D) 0 ' ' 0 ', ' = 90 . !!!!" " " " !!!!" " " " !!!!" !!!!" " " " " " "
b) A'C = a + b + c, B ' D = a - b + c Þ A'C.B ' D = (a +b + c)(a -b + c) = 0 Þ 1
A'C ^ B ' D nên S
= A'C.B ' D . A'B'DC 2 1 Dễ dàng tính được 2
A'C = a 2, B ' D = a 2 Þ S = a 2 . a 2 = a A'B'CD 2 !!!" !!!" S
= AA' AC sin AA', AC
AA' = a, Ac = a 3 AA'C 'C ( ), . !!!" !!!" !!!" !!!" 6
Tính được sin ( AA', AC) 2
= 1- cos (AA', AC) = 3 !!!" !!!" 6 Vậy S
= AA' AC sin AA', AC = . a a 3. = a 2 AA'C 'C ( ) 2 . 3 c) ĐS: ∑ (AC AB) ∑ = (AC AD) ∑ = (AC AA ) 6 ', ', ', ' = arccos . 3
Câu 79: Cho tam giác ABC , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 !!!" !!!" A. 2 2 2 S =
AB AC - BC B. S = AB AC + (A . B AC)2 2 2 2 2 2 1 1 !!!" !!!" 1 !!!" !!!" C. S = AB AC - (A . B AC)2 2 2 D. S = AB AC - ( . AB AC )2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 2 2 2 2 2 S = ABAC sin A = AB AB sin A = AB AC A ABC ( 2 1- cos ) 2 2 2 1 !!!" !!!" = AB AC - ( . AB AC )2 2 2 . 2
Câu 6. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N, ,
P Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho
!!!!" 1 !!!" !!!" 2 !!!" !!!" 1 !!!" !!!" !!!"
AM = AB, BN = BC, AQ = AD, DP = k DC . 3 3 2
Hãy xác định k để M , N, , P Q đồng phẳng. Trang 25 1 1 1 A. k = B. k = 1 C. k = D. k = 2 3 4 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. A Cách 1. !!!!" 1 !!!" !!!!" !!!" 1 !!!"
Ta có AM = AB Þ BM - BA = - BA 3 3 M !!!!" 2 !!!" Q Þ BM = BA. 3 !!!" 2 !!!"
Lại có BN = BC do đó MN ! AC . 3 B D
Vậy Nếu M , N, ,
P Q đồng phẳng thì
(MNPQ)Ç(ACD) = PQ! AC N P !!!" !!!" Þ PC = QA = 1 1 C
1 hay DP = DC Þ k = . PD QD 2 2 !!!" " !!!" " !!!" "
Cách 2. Đặt DA = a, DB = b, DC = c thì không khó khăn ta có các biểu diễn !!!!" 2 " 2 " !!!" 2 " 1 " " !!!!" 1 " 1 "
MN = - a + b, MP = - a - b + kc, MN = - a - b 3 3 3 3 6 3 !!!!" !!!" !!!!"
Các điểm M , N, ,
P Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN, MP, MQ đồng phẳng !!!" !!!!" !!!!"
Û $x, y : MP = xMN + yMQ 2 ! 1 ! ! æ 2 ! 2 ! ö æ 1 ! 1 ! ö
Û - a - b + kc = x - a + c + y - a - b ç ÷ ç ÷ 3 3 è 3 3 ø è 6 3 ø ! "!!
Do các vec tơ a,b,c không đồng phẳng nên điều này tương đương với ì 2 1 2 - x - y = - ï 3 6 3 ï ï 1 1 3 1 í- y = -
Û x = , y = 1, k = . 3 3 4 2 ï ï2 x = ï k î3
Câu 80: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , ∑ ∑ ∑
ASB = BSC = CSA = a . Gọi (b ) là mặt phẳng
đi qua A và các trung điểm của , SB SC .
Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (b ). 2 a 2 a A. 2 S = 7cos a -16cosa + 9 B. 2 S = 7cos a - 6cosa + 9 2 2 2 a 2 a C. 2 S = 7cos a - 6cosa + 9 D. 2 S = 7cos a -16cosa + 9 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. S
Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của ,
SB SC . Thiết diện là tam giác AB 'C ' . 1 !!!!" !!!!"
Theo bài tập 5 thì S =
AB ' AC ' - AB '.AC ' AB 'C ' ( )2 2 2 2 B' !!!!" !!!" !!" 1 !!" !!"
Ta có AB ' = SB ' - SA = SB - SA C' A 2 B Trang 26 C 1 !!"!!" 2 2 2
Þ AB ' = SB + SA - SASB 4 2
= a (5- 4cosa ). Tính tương tự, ta có 4 2 !!!!"!!!!" a AB 'AC ' = (4-3cosa). 4 4 4 1 a a Vậy S = 5 - 4cosa - 4 - 3cosa AB'C' ( )2 ( )2 2 16 16 2 a 2 = 7cos a -16cosa + 9 . 8
Câu 81: Cho hình chóp S.ABC , mặt phẳng (a ) cắt các tia ,
SA SB, SC, SG( G là trọng tâm tam giác SA SB SC SG
ABC ) lần lượt tại các điểm A',B',C',G'.Ta có + + = k . Hỏi k bằng bao nhiêu?
SA' SB ' SC ' SG ' A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. S
Do G là trọng tâm của DABC nên !!!" !!!" !!!" " !!!" !!" !!" !!!"
GA+GB +GC = 0 Þ 3SG = SA+ SB + SC A' SG !!!" SA !!!" SB !!!" B' Û 3 SG ' = SA' + SB ' SG ' SA' SB ' G' C' A SC !!!" + SC ' SC ' B G
Mặt khác A', B ',C ',G ' đồng phẳng nên
SA + SB + SC = SG 3 . C
SA' SB ' SC ' SG '
Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng : !!!" !!!" !!!!" "
Nếu M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC thì S MA+ S MB + S MC =
0 trong đó S , S , S a b c a b c
lần lượt là diện tích các tam giác MBC, M ,
CA MAB. Vì vậy ta có bài toán tổng quát hơn như sau:
Cho hình chóp S.ABC , mặt phẳng (a ) cắt các tia ,
SA SB, SC, SM ( M là điểm thuộc miền trong tam
giác ABC ) lần lượt tại các điểm A', B ',C ', M '. S SA S SB S SC S.SM Chứng minh: a + b + c =
. ( Với S , S , S lần lượt là diện tích các tam giác SA' SB ' SC ' SM ' a b c MBC, M ,
CA MAB và S là diện tích tam giác ABC ).
Câu 82: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (a ) cắt các cạnh ,
SA SB, SC, SD lần lượt tại A', B ',C ', D '.Đẳng thức nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD A. + 2 = + 2 B. + = + SA' SC ' SB ' SD ' SA' 2SC ' SB ' 2SD ' SA SC SB SD C. + = + D. SA' SC ' SB ' SD ' S
SA - SC = SB - SD SA' SC ' SB ' SD '
Hướng dẫn giải: C' !!" !!!" !!" !!!" !!!" D'
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì SA+ SC = SB + SD = 2SO A' B' C D Trang 27 O A B SA !!!" SB !!!" SB !!!" SC !!!" Û SA' + SC ' = SB ' +
SC 'Do A', B ',C ', D ' đồng phẳng nên đẳng thức trên SA' SB ' SB ' SC '
Û SA + SC = SB + SD . SA' SC ' SB ' SD '
Câu 83: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = ,
b SC = c. Một mặt phẳng (a ) luôn đi qua trọng tâm
của tam giác ABC , cắt các cạnh ,
SA SB, SC lần lượt tại A', B ',C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 + + . 2 2 2 SA' SB ' SC ' 3 2 2 9 A. B. C. D. 2 2 2 a + b + c 2 2 2 a + b + c 2 2 2 a + b + c 2 2 2 a + b + c Hướng dẫn giải: Chọn D. !!!" !!" !!" !!!"
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có 3SG = SA+ SB + SC SA !!!" SB !!!" SC !!!" = SA' + SB ' + SC '. SA' SB ' SC ' SA SB SC a b c
Mà G, A', B ',C ' đồng phẳng nên + + = 3 Û + + = 3
SA' SB ' SC '
SA' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: æ 1 1 1 ö æ a b c ö Ta có + +
a + b + c ³ + + ç 2 2 2 ÷ ( ) 2 2 2 2 ç ÷ è SA' SB ' SC ' ø
è SA' SB ' SC ' ø 1 1 1 9 Û + + ³ . 2 2 2 2 2 2 SA' SB ' SC ' a + b + c Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 = = a b c kết hợp với + + = 3 ta được
aSA' bSB ' cSC '
SA' SB ' SC ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a + b + c a + b + c SA' = , SB ' = , SC ' = . 3a 3b 3c 1 1 1 9 Vậy GTNN của + + là . 2 2 2 SA' SB ' SC ' 2 2 2 a + b + c
Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM , BM ,CM , DM
cắt các mặt (BCD),(CDA),(DAB),( ABC) lần lượt tại A', B',C ', D'. Mặt phẳng (a ) đi qua M và
song song với (BCD) lần lượt cắt A'B', A'C ', A'D' tại các điểm B ,C , D .Khẳng định nào sau đây là 1 1 1
đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B C D . 1 1 1
A. M là trọng tâm của tam giác B C D . 1 1 1
B. M là trực tâm của tam giác B C D . 1 1 1
C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B C D . 1 1 1
D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác B C D . 1 1 1 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên !!!" !!!" !!!!" !!!!" "
tồn tại x, y, z,t > 0 sao cho xMA + yMB + zMC + tMD = 0 ( ) 1 Trang 28
Gọi (a ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (BCD). A ( ì a ) ! (BCD) ï Ta có (
í BB ' A') Ç(a ) = MB Þ MB ! BA'. 1 1 ( ï BB'A' B' î )Ç(BCD) = BA' MB MB ' !!!!" MB' !!!" M Do đó 1 = Þ MB = BA' 2 B1 D 1 ( ) BA' BB ' BB ' B Trong ( )
1 , chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương A' (ACD) ta được: !!!!" !!!" !!!!" !!!!" " !!!!" !!!" "
xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = 0 Þ (x + y + z)MB ' + yMB = 0 C !!!!" !!!" Þ ( + + + ) MB ' y
x y z t MB ' = yBB ' Þ = BB '
x + y + z + t !!!!" y !!!" Từ (2) suy ra MB = BA' 3 1 ( )
x + y + z + t !!!!" z !!!"
Tương tự ta có MC = CA' 4 1 ( )
x + y + z + t !!!!" z !!!!" MD = DA' 5 1 ( )
x + y + z + t
Mặt khác chiếu các vec tơ trong ( )
1 lên mặt phẳng (BCD)theo phương AA' tì thu được !!!!" !!!!" !!!!" "
y A' B + z A'C + t A' D = 0. Vậy từ (3),(4),(5) ta có !!!!" !!!!" !!!!" 1 !!!" !!!" !!!!" "
MB + MC + MD =
yBA' + zCA' + tDA' = 0 M B C D 1 1 1 (
) , hay là trọng tâm của tam giác .
x + y + z + t 1 1 1
Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c
Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 1 1 1 + + . 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 9 3 2 2 A. B. C. D. 2 S S 2 S S Hướng dẫn giải:
Do tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = ,
b AB = DC = c nên DBCD = DADC = DDAB = DCBA
. Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì = 4 ' = abc S S , nên bất R 1 1 1 9
đẳng thức cần chứng minh 2 2 2 2 + + £
Û a + b + c £ 9R . 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a S
Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 2 2 2 2 2 2 2
MA + MB + MC = GA + GB + BC + 3MG = ( 2 2 2 2
a + b + c + 9MG ) 3
Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được 2 2 2 2 2 2 2 2
9R = aa + b + c + 9OG ³ a + b + c .
Câu 86: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' và các điểm M , N, P xác định bởi !!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!!"
MA = kMB '(k ¹ 0), NB = xNC ', PC = yPD'.
Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N, P thẳng hàng. Trang 29 1 + 2 + k 2 1+ 2k 1 k 1 1+ k 1 A. x = , y = - B. x = , y = - C. 2 x = , y = - D. x = , y = - 2 - k k 1- 2k 2k 2 - k 2k 1- k k Hướng dẫn giải: Chọn D. !!!" " !!!" " !!!" "
Đặt AD = a, AB = , b AA' = c . P Từ giả thiết ta có : !!!!" k " " AM = (b+c) ( )1 D' k -1 C' !!!" " x " " !!!" " " y " " AN = b +
(a+c) (2) AP =a+b+ (c-b)(3) x -1 y -1 A' B' Từ đó ta có !!!!" !!!" !!!!" D x ! 1 ! æ x k ö ! C
MN = AN - AM = a - b + - c ç ÷ x -1 k -1 è x -1 k -1ø M æ x y ö ! + - c . A ç ÷ B è x -1 y -1ø !!!" !!!" !!!!" " y 1 " æ y k ö "
MP = AP - AM = a - ( + )b + - c ç ÷ y -1 k -1 è y -1 k -1ø
Ba điểm M , N, P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại l sao cho N !!!!" !!!" MN = lMP ( ) * . !!!!" !!!" ! ! ! 1+ k 1
Thay các vec tơ MN, MP vào ( )
* và lưu ý a,b, c không đồng phẳng ta tính được x = , y = - . 1- k k
Câu 87: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' . Một đường thẳng D cắt các đường thẳng AA', BC,C ' D ' lần !!!!" !!!" MA
lượt tại M , N, P sao cho NM = 2NP. Tính . MA' MA MA MA MA A. =1 B. = 2 C. = 2 D. = 3 MA' MA' MA' MA' Hướng dẫn giải: Chọn C. !!!" " !!!" " !!!" "
Đặt AD = a, AB = , b AA' = c . !!!!" !!!" " A D
Vì M Î AA' nên AM = k AA' = kc !!!" !!!" " !!!!" "
N ÎBC Þ BN = lBC = la, PÎC 'D' Þ C 'P = mb !!!!" !!!" !!!" !!!!" " " " C
Ta có NM = NB + BA+ AM = -la -b + kc B N !!!" !!!" !!!" !!!!!" !!!!" " " "
NP = BN + BB ' + B 'C ' + C ' P = (1- l)a + mb + c !!!!" !!!" " " " " " " Do D'
NM = 2NP Þ -la - b + kc = 2[(1-l)a + mb + c] A' ì-l = 2(1- l) ï 1 P Û MA í 1 - = 2m
Û k = 2, m = - ,l = 2. Vậy = 2. 2 B' ï MA' C' k = 2 î
Câu 88: Giả sử M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh M ,
SA SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt
phẳng (BCM ),(CAN ),( ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng ( ANP),(BPM ),(CMN ).
Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng? MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS A. + + + = B. + + + = MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI Trang 30 MS NS PS 1 JS MS NS PS JS C. + + + = D. + + +1 = MA NB PC 3 JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D. S
Goi E = BP ÇCN, F = CM Ç AP, T = AN Ç BM .
Trong (BCM ) có I = BF ÇCT trong ( ANP) có
NF Ç PT = J . M !!" " !!" " !!!" " !!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!" P
Đặt SA = a, SB = b, SC = c và SM = xM ,
A SN = yNB, Sp = zPC F !!!" x " !!!" y " !!" z " Ta có SM = a, SN = , b SP = c x +1 y +1 z +1 J T N E
(x > 0, y > 0,z > 0). I !!!" !!!" !!" A C ìT Î ì AN ST = a SM + ï (1-a )SB
Do T = AN Ç BM nên í Þ í!!!" !!!" !!" îT Î BM ïST = b SN + î (1- b )SA !!!" !!" !!!" !!"
Þ a SM + (1-a )SB = b SN + (1- b )SA B a x ! ! b y ! ! ! ! Û a + (1-a )b =
b + (1- b )a. Vì a,b không cùng x +1 y +1 ì a x ì x =1- b a = ïïx +1 ïï x + y +1 !!!" x " y " phương nên ta có í Û í Þ ST = a + b . b y y x + y +1 x + y +1 ï =1-a ïb = ïî y +1 ïî x + y +1
Hoàn toàn tương tự ta có : !!" y " z " !!!" z " x " SE = b + , c SF = c + a . y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1
Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm I = BF Ç CT và NF Ç PT = J ta được : !!" 1 " " " !!" " " " SI =
(xa+ yb+zc) 1 , SJ =
(xa+ yb+zc)
x + y + z +1
x + y + z + 2 !!"
x + y + z +1 !!" !!" !!" Suy ra SJ =
SI Þ SJ = (x + y + z + ) 1 IJ
x + y + z + 2 SI SM SN SP
Vậy S, I, J thẳng hàng và
= x + y + z +1 = + + + . 1 IJ MA NB PC Trang 31