Trọn bộ đề thi cuối học phần môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Đề 01:  a b c  
Câu I: Gọi E  
/ a  b  c  0; , a , b c      b c a    
a) Chứng tỏ E là không gian vecto con của không gian của M
các ma trận cỡ 2x3 trên trường số 2x3 thực  .
b) Tìm một hệ cơ sở của E và số chiều của E Câu II: Cho ánh xạ 3 3 f :  
  được xác định:
f  x , x , x  x  x  x , 2x  x  3x , 4x  x  5x 1 2 3   1 2 3 1 2 3 1 2 3 
a) Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính
b) Tìm ker f  , I  m f  .
Câu III: Cho phép biến đổi f của  -không gian vecto 3
 đối với hệ cơ sở chính tắc e ,e ,e có 1 2 3 1 1 0  ma trận   A  1 0 1  . 0 1 1   
Tìm các trị riêng và vecto riêng của phép biến đổi f .
Câu IV: Cho dạng toàn phương x  2 2 2
 x  3x  4x  2x x  6x x  8 đối với cơ sở 1 2 3 1 2 1 3 x2x3 e ,e , 1 2 e
của  -không gian vecto 3
 .Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên 3
về dạng chính tắc.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở e ,e ,
sang cơ sở e ', e ',e ' để đối với 1 2 3  1 2 3 e 
cơ sở này dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 02:
Câu I: Trong  -không gian vectoM (không gian các ma trận vuông cấp 2 trên  ) cho tập con 2  a b   U   / a 2  b 3
 c 0;b c d  0  c d    
a) Chứng minh U là không gian vecto con của M . 2
c) Tìm một hệ cơ sở và số chiều của U .
Câu II: Cho phép biến đổi 3 3 f :  
  được xác định:
f  x , x , x  2x  x , x  2x ,   . 1 2 3   1 2 2 3 1 x 2 x 3 x 
a) Tìm Im f  , Ker f .
b) Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở u  u  1,1,0 ,u  1,0,1 ,u  0,1,1 1   2   3  
Câu III: Cho phép biến đổi 3 3 f :  
  được xác định: f       1 x , 2 x , 3 x   1 x 2 2 x 2 3 x , 1 x 3 3 x , 1 x 3 2 x 
a) Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của 3  . b) Tìm một cơ sở của 3
 để đối với cơ sở đó phép biến đổi f có dạng chéo.
Câu IV: Cho dạng toàn phương x  2 2
 x  2x  2x x  4x x  6
đối với cơ sở e ,e , 1 2 3 e  1 2 1 2 1 3 x2x3
của  -không gian vecto E .Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng
chính tắc.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở e ,e ,
sang cơ sở e ', e ',e ' để đối với cơ sở này 1 2 3  1 2 3 e 
dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 03:
Câu I: Trong  -không gian vecto các ma trận vuông cấp 2, tìm hạng của hệ vectơ sau:             U  2 1 2 2 1 2 3 1  u   ; u  ; u  ; u  1   2   3   4   1 2  6 4 4 3 3 1          
Câu II: Trong  -không gian vecto 3
 cho hệ vectơ e  e  1; 1
 ; 2 ,e  2;3;1 ,e  4;1; . 1   2   2  a 
a) Tìm a để hệ e là một cơ sở của 3  .
b) Tìm tọa độ của x  2;3;1đối với etrong trường hợp elà cơ sở của 3  .
Câu III: Gọi M là  -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau: 2 f : M  2 M 2  a b 
 a b    a 2c b 3d   f         c d   c d 
   b 3d a 2c
a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm ker  f ,dim ker  f    .
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở            U  1 1 1 1 1 1 1 1  u   ,u  ,u  ,  của 1   2   3 u   4    M . 2   1 1 1 1   1 1 1 1  
Câu IV: Cho phép biến đổi 3 3 f :  
  được xác định:
f x ,x , x
 x 2x ,3x x  x ,2  1 2 3   1 2 1 2 3 x2 x3  Tìm một cơ sở của 3
 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu V: Trong  -không gian vecto 3
 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
e  e ,e , như sau: 1 2 3 e  x 2 2 2
 x  3x 5x 8x x  4x x 10x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở  1 e , 2 e , 3
e  sang cơ sở e1 ',e2 ',e3 
' để đối với cơ sở này dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đề 04:
Câu I: Cho ánh xạ: f :  2 P x 2 P  x  p  x 2
 ax  bx c  f ( p  x)  a 2b c 2
x  a c x a b c Với  , hệ số thực 2 P  
x KGVT các đa thức bậc 2
a) Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính.
b) Tìm Im f ,ker f .
Câu II: Trong  -không gian vecto 3  cho hệ vectơ
e  e  1;1;2 ,e  2;3;1 ,e  4;1;a . 1   2   2  
a) Tìm a để hệ  e là một cơ sở của 3  .
b) Tìm tọa độ của x   2  ; 3  ; 1
 đối với etrong trường hợp  e là cơ sở của 3  .
Câu III: Gọi M là  -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau: 2 f : M  M 2 2  a b 
 a b    c  2d a   f        c d c d b c        2d 
a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm ker  f .
b) Tìm tọa độ của vectơ đối với cơ sở             U  1 1 1 1 1 1 1 1  u    ,u   ,u   ,u  của M . 1 2 3 4    1 1 1 1  1 1 1 1 2          
Câu IV: Cho phép biến đổi 3 3 f :   được xác định:
f x ,x , x
 x  2x ,x  3x x , 2x x 1 2 3  2 3 1 2 3 1 2  Tìm một cơ sở của 3
 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu V: Trong  -không gian vecto 3
 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
e  e ,e , như sau: 1 2 3 e  x  2 2 2
 x  3x  5x  6x x  2  1 2 3 1 2 1 x 3 x x2 3 x
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc.Tìm ma trận chuyển
cơ sở từ cơ sở e ,e ,
sang cơ sở e ',e ',e ' để đối với cơ sở này dạng toàn phương có dạng 1 2 3  1 2 3 e  chính tắc đó. Đề 05:
Câu I: Trong  -không gian vecto 4  cho các vectơ : x  5; 2  ;1; 4  ; x  1; 2  ;0;1 , x  2;3; 1  ; 4  , x  4; 1  ;5; . 1   2   3  m 
Tìm m để vectơ x biểu thị tuyến tính được qua các vectơ x ,x ,x . 1 2 3
Câu II: Cho ánh xạ:
f : P x  P x 2   2   , Với KGVT 2 P x  p  x 2
 ax  bx c  f ( p x)  a 2b c 2
x  a c x a b c
các đa thức bậc  2 , hệ số thực.
Tìm ma trận của f đối với các hệ cơ sở e   2
x  x ; e x  x; e x  1 và đối với các hệ cơ 1 2   3   sở f x  2
 x  x 1; f x  x 1; f x 1 của . 2 P x 1 2   3  
Câu III: Gọi M là  -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau: 2 f : M  2 M2  a b 
 a b    a  b  c 2 d c  d   f         c d c d a  b 2c  d       
a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính .
b) Tìm Im f ,ker f .
c) Tìm một hệ cơ sở của Im f ,ker  f .
Câu IV: Cho phép biến đổi 3 3 f :   được xác định:
f x ,x ,x  2x  x ,x  x  x ,x  2x 1 2 3  1 2 1 2 3 2 3  Tìm một cơ sở của 3
 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu V: Trong  -không gian vecto 3
 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
e  e ,e , như sau: 1 2 3 e   x  2 2 2
 x  5x  9x  4x x  8x x  20 1 2 3 1 2 1 3 x2x3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc.Tìm ma trận chuyển
cơ sở từ cơ sở e ,e ,e sang cơ sở e ',e ',e ' để đối với cơ sở này dạng toàn phương có dạng 1 2 3  1 2 3 chính tắc đó. Đề 06:
Câu I: Trong  -không gian vecto 4  cho các vectơ :
x  5; 2;1;4; x  1;2;0;1 , x  2;3; 1;4 , x   2;3;1; . 1   2   3  m 
Tìm m để vectơ x biểu thị tuyến tính được qua các vectơ x , x , x . 1 2 3
Câu II: Gọi E  x  a b c d  4 ; ; ;
 / 2a 3b  4c  d   0 .
a) Chứng minh rằng E là KGVT con của không gian vectơ 4
 trên trường số thực .
b) Tìm một hệ cơ sở và số chiều của E.
Câu III: Trong  -không gian vectơ 3  cho hai hệ cơ sở:
u u  1,2,3 , u  1,2,10 , u  1,1,8 và 1   2   3  
v  v  1,2,3 , v  1,1,1 , v  1,0,3 . 1   2   1  
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ hệ cơ sở u  sang cơ sở vcủa không gian 3 
Câu IV: Gọi M là  -không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ánh xạ sau: 2 f : M  2 M 2  a b 
 a b    a  2b a  2b  f        c d c d c d        
a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính và tìm Im  f  , dim I  m  f    .
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở và đối với hệ cơ sở               U  1 1 1 1 1 1 1 1 u  ,u  ,u  ,  của 1   2   3   4 u   M . 2   1 1  1 1   1 1  1 1        4 2 
c) Tìm tọa độ của vectơ x  
đối với hệ cơ sở  U . 0 1    
Câu V: Trong  -không gian vecto 3
 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
e  e ,e , như sau: 1 2 3 e 
x   x x 3x x  2 1 2 1 3 x 2x3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc.Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở  
e  e , e , e sang cơ sở  e ' e ', e ', e ' để đối với cơ sở này dạng 1 2 3  1 2 3
toàn phương có dạng chính tắc đó.