32 trang 59 lượt tải

Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về hệ phương trình và hình phẳng Oxy – Đặng Việt Hùng

118

Tài liệu tuyển chọn các bài toán đặc sắc về hệ phương trình và hình học tọa độ phẳng Oxy được biên soạn bởi thầy giáo Đặng Việt Hùng.

Tài liệu gồm 32 trang được chia làm 2 phần:
+ Phần 1 gồm 30 bài toán hệ phương trình.
+ Phần 2 gồm 22 bài toán hình học Oxy.

Tất cả các bài toán đều có lời giải chi tiết.

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10 397 tài liệu

Môn: Toán 10 2.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/32
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM
TUYỂN CHỌN
CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HÌNH PHẲNG
OXY
(Sách quý, chỉ bán chứ không tặng)
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 1. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
(
)
(
)
( )
2 2
2
3 2 1
2 1 1
x y xy x y xy
x x y y
+ + = + + −
+ + = + −
Lời giải
ĐK:
2
0
1
x y
y
+ ≥
≤
. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1
PT x y xy x y xy x y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 1 1 1
x y x y xy x y x y xy x y
⇔ + − + + = + − ⇔ + − = + −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 0 1 1 1 0
x y x y xy x y x y
⇔ + − + − − = ⇔ + − − − =
• V
ớ
i
1
1 2 2 1
3
x y y y
= ⇒ + = − ⇔ = −
• V
ớ
i
2
2
1
1 2 2 1 1
2 1 0
x
y x x x
x x
≤
=
⇒
+ + = ⇔ ⇔ = −
+ + =
• V
ớ
i
(
)
(
)
( )
2 2
1 2 1 1 2 1 1
x y x x x x x x x x
+ = ⇒ + − + = + ⇔ − + = − +
Đặ
t
1 ;
a x b x
= − = ta có:
( )
( )
2 2
2
0
2 0
0
a b
a b a b a b
a b
+ ≥
+ = + ⇔ ⇔ = ≥
− =
.
Khi đó
2
1
3 5
1
2
3 1 0
x
x x x
x x
≤
−
− = ⇔ ⇔ =
− + =
Vậy HPT có 3 nghiệm
( ) ( )
1 3 5 1 5
; 1;1 ; 1; ; ;
3 2 2
x y
− − +
= − −
Câu 2. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )( )
2
3
3 1
2
9 16
6 7 4 2
8
x
x y y
x
y x
+
= + −
+
− + − =
Lời giải:
Đ
K:
7
; 2
6
3 0
y x
x y
≥ ≤
+ ≥
. Khi đó:
( ) ( ) ( )( )
1 3 3 1 2 3 1
PT x y y x y y
⇔ + − − = + −
.
Đặt
(
)
3 ; 1 ; 0
u x y v y u v
= + = − ≥
Ta có:
(
)
(
)
2 2
2 3 0 3 0 3 3 9 9 6 9
u uv v u v u v u v x y y x y
− − = ⇔ + − =
⇒
= ⇔ + = − ⇔ = −
Thay vào (2) ta có:
( )
(
)
2 2 2
2 2 4 4 2 9 16 4 2 4 16 16 16 2 4 9 16
x x x x x x x
+ + − = + ⇔ + + − + − = +
(
)
(
)
2 2 2
8 4 16 2 4 8
x x x x
⇔ − + − = +
. Đặt
(
)
2
2 4 0
t x
= − ≥
ta có:
2 2
4 16 8
t t x x
+ = +
( )( )
( )
2
2 2 8 0
2 8
t x
t x t x
t x loai
=
⇔ − + + = ⇔
= − −
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Với
( )
2
2
0
4 2 4 2 27
2 2 4
2 3 18
9 32
x
x
t x x x y
x
≥
+
= ⇒ − = ⇔ ⇔ = ⇒ =
=
Câu 3. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
2
2 2
2
2 2
2
3
2
3
y
x x x y
y
x x y
− + + =
+ =
Lời giải:
Đ
K:
0
x
≥
. Th
ế
PT(2) vào PT(1) ta có:
(
)
2 2
2 2
2
2
x x y
x x x y
+
− + + =
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
2 2
2 2
4
2 2 0 2 2 0
2
4
x
x y
x x x x x x y
x x y
=
+
⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔
= +
V
ớ
i
( ) ( )
2
2 2 4 4 2
9 657
4 16 9 16 9 144 0
3 2
y
x y y y y y y
+
= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ = ±
Với
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
4
4
0; 0
3 3
4
2
1; 3
2
3
3 3
y y
x x y
x y x
x y
x x y
y
x y
y y
x
x x
= +
+ = =
= =
= + ⇒ ⇔ ⇔ ⇔
= = ±
=
= =
Kết luận:
V
ậ
y HPT có nghi
ệ
m
( ) ( )
( )
9 657
; 0;0 ; 1; 3 ; 4;
2
x y
+
= ± ±
Câu 4. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )
( )
(
)
2
3 1 2 2 3 4 3 (1)
3 2 2 3 2 4 4 (2)
+ + + = + +
+ − − − + + + − =
x y xy y y x y
x y x x x y
Lời giải:
ĐK:
2
1
1
2 4 0
x
y
x x y
≥ −
≥
+ + − ≥
(*). Khi đó
( ) ( ) ( )
(1) 3 1 . 2 1 3 4 3
x y y x y x y
⇔ + + + = + +
Đặt
( ) ( )
2 2
2 2 2
3
2 1 ; , 0 3 4
2 2
a a
x a y b a b b ab b b
+ = = ≥ ⇒ + = +
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 3 2 2 3
6 3 8 6 3 8 0
ab a b b a b b a ab a b b
⇔ + = + ⇔ + − − =
(
)
(
)
2 2
2 4 0
b a b a ab b
⇔ − − + =
(3)
Vì
1 0
y b y
≥ ⇒ = >
và
2
2
2 2
15
4 0.
2 4
b b
a ab b a
− + = − + >
Do
đ
ó
( )
(3) 2 0 2 2 1 2 1 2 .
a b a b x y x y
⇔ − = ⇔ =
⇒
+ =
⇒
+ =
Th
ế
2 1
y x
= +
vào (2) ta
được
(
)
(
)
2
3 1 2 3 1 4 4
x x x x x x
+ − + − − + + + + − =
(
)
(
)
2
3 1 3 2 3 4
x x x x x
⇔ + − − − + + − =
(4)
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Do
1 3 1 0
x x x
≥ ⇒ + + − >
nên
( )
(
)
(
)
2
(4) 3 1 3 2 3 4 3 1
x x x x x x x
⇔ + − + − + + − = + + −
2
3 2 4 3 1
x x x x x
⇔ − + + − = + + −
(5)
Đặ
t
( )
2 2
3 1 0 2 2 2 3. 1 2 2 2 2 3
x x t t t x x x x x x
+ + − = ≥ ⇒ = + + + − = + + + −
2
2
2
2 3 .
2
t
x x x
−
⇒
+ + − = Khi
đ
ó (5) tr
ở
thành
2
2
2
2
3 2 8 0
4
2
t
t
t t t
t
= −
−
− = ⇔ − − = ⇔
=
Do
0
t
≥
nên ch
ỉ
có
4
t
=
th
ỏ
a mãn
3 1 4 3 4 1
x x x x
⇒
+ + − = ⇔ + = − −
( )
1 17
1 17
4 1 0 1 4
13
13
4 1 9
4
3 15 8 1 2 1 3
4
x
x
x x
x
x
x
x x x x
≤ ≤
≤ ≤
− − ≥ − ≤
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− =
=
+ = + − − − =
13 17 17
2 1 .
4 4 8
y y⇒ = + = ⇒ = Th
ử
l
ạ
i
( )
13 17
; ;
4 8
x y
=
th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
Đ
/s:
( )
13 17
; ; .
4 8
x y
=
Câu 5. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
1 4 1
3
1 (1)
2 1
2 2
2 3 2 1 1 5 3 (2)
+ − +
= +
− +
− +
+ + + − + = − + + +
x y
x y
x y
x x y y x y x
Lời giải:
Đ
K:
2 2
2 0; 3 0; 1 0; 5 3 0
x y x y y x y x
− + > + + ≥ + ≥ + + + ≥
(*).
Đặ
t
( )
2 2 0.
x y t
− + = ≥
Khi
đ
ó (1) tr
ở
thành
(
)
( ) ( )
( )
2
2
3
2 2 3 2
2
1 2
3
1 2 2 2
2
t
t t t t f t f t
t t
+ −
= + ⇔ − + − = + ⇔ − =
−
(3)
Xét hàm s
ố
(
)
3
g u u u
= +
v
ớ
i u
∈
ℝ
có
(
)
2
' 3 1 0, g u u u
= + > ∀ ∈
ℝ
(
)
g u
⇒
đồ
ng bi
ế
n trên
.
ℝ
Do
đ
ó
2
1
(3) 2
2
t
t t
t
= −
⇔ − = ⇔
=
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
0
t
≥
⇒
ch
ỉ
có
2
t
=
th
ỏ
a mãn
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 .
x y x y x y
⇒
− + = ⇔ − + = ⇔ =
Th
ế
y x
=
vào (2) ta
đượ
c
( )
(
)
2
2 2 3 2 1 1 2 5 3
x x x x x
+ + − + = − + +
( )
(
)
( )( )
2 2 3 2 1 1 1 2 3
x x x x x
⇔ + + − + = − + +
(4)
Đặ
t
(
)
2 3 ; 1 , 0 .
x a x b a b+ = + = ≥ Khi
đ
ó (4) tr
ở
thành
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 0
a b a b a b ab a b a b a b a b a b
− − = − − ⇔ + − − − + − =
(
)
(
)
(
)
2 1 0
a b a b a b
⇔ + − − − =
(5)
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Với
1 2 3 1 0.
x a b x x
≥ − ⇒ + = + + + >
Do đó
2
(5)
1
a b
a b
=
⇔
= +
•
( )
1 0
1 0
1
2 2 3 2 1
1
2 3 4 1
2
2
x
x
a b x x x
x x
x
+ ≥
+ ≥
= ⇒ + = + ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ = +
= −
1
.
2
y
⇒ = −
Th
ử
l
ạ
i
1
2
x y
= = −
th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
•
1 1
1 2 3 1 1
2 3 2 2 1 2 1 1
x x
a b x x
x x x x x
≥ − ≥ −
= + ⇒ + = + + ⇔ ⇔
+ = + + + + = +
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1 ; 1; 1
1 0 1
3 3 ; 3;3
3
1 2
x
x
x y x y
x x
x y x y
x
x
≥ −
≥ −
= − ⇒ = − ⇒ = − −
⇔ + = ⇔ = − ⇔
= ⇒ = ⇒ =
=
+ =
Th
ử
l
ạ
i
(
)
(
)
(
)
{
}
; 1; 1 , 3;3
x y = − − th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
Đ
/s:
( ) ( ) ( )
1 1
; 1; 1 , 3;3 , ; .
2 2
x y
= − − − −
Câu 6. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
(1)
( , ).
2 3
3 6 1 5 8 2 1 4 2 1 (2)
x y x xy y
x y
x y
xy x y x x y
+ + +
+ = +
∈
− − = − + − + + +
ℝ
Lời giải:
Đ
K:
2 1 0; 2 1 0; 6 1 0
x x y xy x
− ≥ + + ≥ − − ≥
(*). Khi đó có
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 0 2
x y x y x y xy x y x y x y
+ − + = + − = − ≥ ⇒ + ≥ +
( )
2
2 2 2 2
1 1
0
2 2 2 2 2
x y x y x y
x y x y
+ + +
⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ + ≥ +
(3)
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 3 2 0 4 3
x xy y x y x y xy x y x xy y x y
+ + − + = + − = − ≥ ⇒ + + ≥ +
( )
2
2 2 2 2
1 1
0
3 2 3 2 2
x xy y x y x xy y
x y x y
+ + + + +
⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ + ≥ +
(4)
Từ (3) và (4) ta có
2 2 2 2
.
2 3
x y x xy y
x y
+ + +
+ ≥ +
Dấu
" "
=
xả
y ra
0.
x y
⇔ = ≥
Do
đ
ó
(1) 0.
x y
⇔ = ≥
Th
ế
y x
=
vào (2) ta
đượ
c
2
3 6 1 5 8 2 1 4 3 1
x x x x x
− − = − + − + +
3 2 1. 3 1 5 8 2 1 4 3 1
x x x x x
⇔ − + = − + − + +
(5)
Đặ
t
2 2
3 1 0
8 5 2 6.
2 1 0
x a
x a b
x b
+ = ≥
⇒
− = + −
− = ≥
Khi
đ
ó (5) tr
ở
thành
2 2
3 2 6 4
ab a b b a
= − − + + +
(
)
2 2
3 1 2 4 6 0.
b a b a a
⇔ + − + − − =
Coi
đ
ây là ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
ẩ
n b v
ớ
i a là tham s
ố
.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Xét
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 3 5
3
2
3 1 4 2 4 6 10 25 5 0
1 3 5
2 2
2
a a
b a
a a a a a a
a a
b a
− + +
= = − +
∆ = − − − − = + + = + ≥ ⇒
− − −
= = − −
•
3 2 1 3 3 1 2 1 3 1 3
b a x x x x
= − + ⇒ − = − + ⇔ − + + =
(6)
Với
1
x
> ⇒
VT
(6) 2.1 1 3.1 1 3
> − + + = ⇒
Lo
ại.
Với
1
1
2
x
≤ < ⇒
VT
(6) 2.1 1 3.1 1 3
< − + + = ⇒
Lo
ạ
i.
V
ớ
i
1
x
=
th
ế
vào (6) ta th
ấ
y th
ỏ
a mãn. Do
đ
ó
(6) 1 1.
x y
⇔ = ⇒ =
Đã thỏa mãn (*).
•
2 2 2 2 0 2 3 1 2 1 2 0.
b a a b x x
= − − ⇔ + + = ⇒ + + − + =
Phương trình vô nghiệm.
Đ/s:
(
)
(
)
; 1;1 .
x y =
Câu 7. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
8 3 2 1 (1)
( , ).
2 1 2 2 (2)
x x x y x x y
x y
x x x y y y x y
+ − + = + + +
∈
− + + + + + + = +
ℝ
Lời giải:
ĐK:
8 0
x y
− + ≥
(*). Khi đó
(
)
(
)
(
)
2 2
(1) 8 3 1 0
x x x y x x x y
⇔ + − + − + + − − =
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
2 2
8 9
8 3 1 0 . 1 0
8 3
x y
x x x y x y x x x y
x y
− + −
⇔ + − + − + − − = ⇔ + + − − =
− + +
( ) ( )
( )
2
2
1 1 0 1 3 8 0
3 8
x x
x y x y x x x y
x y
+
⇔ − − + = ⇔ − − + + + − + =
+ − +
(3)
Ta có
2
2
1 11
3 8 8 0.
2 4
x x x y x x y
+ + + − + = + + + − + >
Do
đ
ó
(3) 1 0 1.
x y y x
⇔ − − = ⇔ = −
Th
ế
1
y x
= −
vào (2) ta
đượ
c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 1 1 2 1 1 2 1
x x x x x x x x
− + + + − + − + − + = + −
( ) ( )
2 2
2 1 1 2 2 1
x x x x x x x
⇔ − + + + + − + = −
(4)
Đặ
t
( )
2 2
1 ; 2 , 0 .
x x a x x b a b+ + = − + = ≥
Khi
đ
ó (4) tr
ở
thành
2 2 2 2
2 2
1 1
2 1
2 2
a b a b
a b a b
+ − + −
− + + = −
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
3 3 2
a a b b a b a b
⇔ − − + − + = −
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
3 2 0
a b ab a b a b a b
⇔ − + − − − − − =
(
)
(
)
2 2
3 2 2 0
a b a ab b ab a b
⇔ − + + + − − − =
( ) ( ) ( )
2
2 3 0
a b a b a b
⇔ − + − + − =
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
(
)
(
)
(
)
1 3 0
a b a b a b
⇔ − + + + − =
(5)
Do
, 0 1 0
a b a b
≥ ⇒ + + >
nên
( )( )
(5) 3 0
3
a b
a b a b
a b
=
⇔ − + − = ⇔
= −
•
2
2
2 2
2 2
1 0
1 0
1
1 2
1
2
1 2
2
x x
x x
a b x x x x x
x
x x x x
+ + ≥
+ + ≥
= ⇒ + + = − + ⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ + = − +
1 1
1 .
2 2
y
⇒ = − = −
Th
ử
l
ạ
i
( )
1 1
; ;
2 2
x y
= −
th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
•
2 2 2 2 2
3 1 3 2 1 11 6 2
a b x x x x x x x x x x
= − ⇒ + + = − − + ⇒ + + = − + − − +
( )
( )
2
2
2
2
5 0
5
3 2 5
9 2 5
8 7 0
x
x
x x x
x x x
x x
− ≥
≤
⇔ − + = − ⇔ ⇔
− + = −
+ − =
( ) ( )
( )
5
1 1 1 2 ; 1; 2
1
7 7 1 7 1
1 ; ;
7
8 8 8 8 8
8
x
x y x y
x
x y x y
x
≤
= − ⇒ = − − = − ⇒ = − −
= −
⇔ ⇔
= ⇒ = − = − ⇒ = −
=
Th
ử
l
ạ
i
( ) ( )
7 1
; 1; 2 , ;
8 8
x y
= − − −
th
ỏ
a mãn h
ệ
đ
ã cho.
Đ
/s:
( ) ( )
7 1 1 1
; 1; 2 , ; , ; .
8 8 2 2
x y
= − − − −
Câu 8. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
(
)
( ) ( )
2
3 2 3 2 3 2
2 1 2 3 1 (1)
( , ).
6 4 4 2 2 3 8 (2)
x x y x y y y y
x y
y x y y x y x
+ + + − = + −
∈
+ + + + = + +
ℝ
Lời giải:
Đ
K:
3 2
2 1 0
2 1
3 1 0
1
3
4 0
x y
x y
y
y
y y
+ − ≥
+ ≥
− ≥ ⇔
≥
+ + ≥
(*)
3 2 3 2 3 2
6 4 0; 2 3 8 0; 4 0.
y x y x y y
⇒ + + > + + > + + >
Khi
đ
ó t
ừ
(2) 0.
x
⇒ >
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
V
ớ
i
( )
(
)
2
1
VT (1) 2 1 2 3 1 VP (1)
3
x y y y y y y y y y
> ≥ ⇒ > + + + − = + − = ⇒
Lo
ạ
i.
V
ớ
i
( )
(
)
2
0 VT (1) 2 1 2 3 1 VP (1)
x y y y y y y y y y
< < ⇒ < + + + − = + − = ⇒
Lo
ạ
i.
V
ớ
i
x y
=
th
ế
vào (1) ta th
ấ
y
đ
ã th
ỏ
a mãn. Do
đ
ó
(1) .
x y
⇔ =
Th
ế
y x
=
vào (2) ta
đượ
c
(
)
(
)
3 2 3 2 3 2
6 4 4 2 2 3 8
x x x x x x x
+ + + + = + +
(3)
Đặ
t
( ) ( )
3 2 2 2
3 2
3 2 2 2
6 4 5
4 0
2 2 3 8 2 2
x x a x
x x a
x x x x a x
+ + = +
+ + = > ⇒
+ + = +
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Khi đó (3) trở thành
(
)
(
)
2 2 2 2 3 2 2 3
5 2 2 2 5 4 0
a a x x a x x ax a x a
+ = + ⇔ − + − =
( ) ( )
2
2 0
2
x a
x a x a
x a
=
⇔ − − = ⇔
=
•
3 2
2 3 2 3
0 0
4 .
4 4 0
x x
x a x x x x
x x x x
≥ ≥
= ⇒ = + + ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
= + + + =
•
( ) ( )
3 2
2
2 3 2
0
0
2 2 4 2.
4 4
2 1 0
x
x
x a x x x x
x x x
x x
≥
≥
= ⇒ = + + ⇔ ⇔ ⇔ =
= + +
− + =
(
)
(
)
2 ; 2;2 .
y x y⇒ = ⇒ = Th
ử
l
ạ
i
2
x y
= =
thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s:
(
)
(
)
; 2;2 .
x y =
Câu 9. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
3 2 2 3
2 2
,
3 2 7
.
2 1
x xy y x y y x
x y
x
y x
+ − = + −
− +
+ =
+
Lời giải.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2
0 1 0
x xy x x y y y x y x y x y
+ + − − − = ⇔ − + + = ⇔ =
.
Khi đó phương trình thứ hai trở thành
( )
( )
( )
2
2 2
3 7
2 2 3 7
2 1
x
x x x x x
x x
+
+ = ⇔ + + = +
+
.
Đặt
( )
2
3 ; 0; 0
x u x v u v
+ = = > >
ta thu được
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 4 2 2 2
2
uv
v u u v uv v u v u
v u
=
+ = + ⇔ − = − ⇔
=
( )
(
)
3 3 2
2 3 2 3 4 0 1 4 0 1
uv x x x x x x x x
= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ =
.
2
1
2 3 4
3
x
v u x x
x
=
= ⇔ + = ⇔
=
Phương trình ẩn x có nghiệm
{
}
1;3
S =
dẫn đến
(
)
(
)
(
)
; 1;1 , 3;3
x y =
. Thử lại nghiệm đúng hệ ban đầu.
Câu 10. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2 2
2
4 4 2 2,
8 1 2 9.
x xy y x y
x y
+ + + + =
− + =
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
2
x
≤
. Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
{ }
2
2
2
2
2 2 2 0
2;1
2 0
x y t
x y t
x y x y
t
t t
+ =
+ =
+ + + − = ⇔ ⇔
∈ −
+ − =
Xét
( )
( )
2
3 2
4
; 0
0
; 0
1 8 9 1
1
1 9 0
8 9
y u u
x
y u u
t y y u
y
u u u u
u u
= ≥
=
= ≥
= ⇒ + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒
=
− + + + =
+ =
Xét
2 2 2 1 2 3 3 0
t x y x y y
= −
⇒
+ = − ⇔ − = +
⇒
+ ≥
.
Ta có
( )( )
( )
2
3
8 3 9 0 8 3 3 3 0
8 3 3 0
y
y y y y y
y y
= −
+ + − = ⇔ + + + − = ⇔
+ − + =
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Đặt
3
3 , 0 6 8 0
y v v v v
+ = ≥ ⇒ − + =
(1).
Xét hàm số
(
)
(
)
3 2
6 8; 0 3 6
f v v v v f v v
′
= − + ≥ ⇒ = −
.
Ta có
(
)
0 2
f v v
′
= ⇔ = ± . Khảo sát hàm số có
( )
(
)
( ) ( )
0 2 0 8 4 2 0
f f f v f
< ⇒ > = − >
.
Do đó (1) vô nghiệm. Kết luận hệ có nghiệm
( ) ( )
1
; 0;1 , ; 3
2
x y
= −
.
Câu 11. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 3
2 2
2 2 3 3 ,
2 2 3 3 4 19 28.
xy y x y
y x y y x
− + =
− + + − = + −
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n các c
ă
n th
ứ
c xác
đị
nh.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
( )
2 3 2
2
2 3 2 3 0 2 3 0
2 3
x y
xy x y y x y y x y
y
=
+ − − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ =
= −
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
tr
ở
thành
2 2
2 2 3 3 4 19 28
− + + − = + −
x x x x x
( )
2 2
2 2 3 3 4 8 2 3 3 4
⇔ − + + − = − + + −
x x x x x x
Đặ
t
( )
2
2 3 ; 3 4 0; 0
x a x x b a b
− = + − = ≥ >
ta thu
đượ
c
( )
2 2 2 2 2 2
0
2 8 4 4 8 0
a
a b a b a ab b a b a a b
a b
=
+ = + ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔
=
•
3
0
2
a x
= ⇔ =
.
•
2 2
1 5 1 5
2 3 3 4 1 0 ;
2 2
a b x x x x x x
− − − +
= ⇔ − = + − ⇔ + − = ⇔ ∈
.
Đố
i chi
ế
u
đ
i
ề
u ki
ệ
n và th
ử
tr
ự
c ti
ế
p suy ra nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
3
2
x y
= =
.
Câu 12. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( ) ( )
2
2
2
1 2 1 1
9 1 5 3 3 8 3
− + − + + + =
− − = − − +
x y y xy x y
y x y x x
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
1
;3 8 3 0
2
y x x
≥ − + ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 0
1 2 1 1 0 1
x y y xy x y x y y x y y
x y y y y x
− + − + + = − ⇔ − + − + − + + =
⇔ − + − + + = ⇔ = +
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai khi
đ
ó tr
ở
thành
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
9 5 2 3 8 3 3 1 1 2 2 1 3 1
x x x x x x x x x x x
− = − − + ⇔ − + − = − − − − −
.
Đặ
t
( )
2
1 3 ; 3 8 3 0
x t x x y y
− = − + = ≥
ta thu
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
( )
( )( ) ( )( )
2
2 2
2
1 2
2 2 0
2
1 2
t x x y
t y
t y x y t t y t y x
t y x
y x x t
+ − = −
=
⇒ − = − − ⇔ − + + − = ⇔
+ = −
+ − = −
•
2
2 2 2
1 1
1 13
1 3 3 8 3
3 3
6
3 8 3 9 6 1 3 1 0
x x
t y x x x x
x x x x x x
≤ ≤
+
= ⇔ − = − + ⇔ ⇔ ⇔ = −
− + = − + + − =
.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
•
2
2
3
2 3 8 3 4 3
4
13 16 6 0
x
t y x x x x
x x
≥
+ = − ⇔ − + = − ⇔
− + =
(Hệ vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm
13 1 13 5
;
6 6
x y
+ − +
= − = .
Câu 13. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )
2
4
4 4
2 1 4 4,
3 15 1 3 2.
x y x y x x y
x y x y
− + + + + + = −
+ − + + = −
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
3; 2;
15
x y y x
+ ≥ ≥ ≥ −
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 1 4 4 0 2 1 2 0
2 1 2 2 0 2 1 2 0 2
− + + + + + + − = ⇔ − + + + + + − =
⇔ − + + + + + + − + = ⇔ − + + + + + + = ⇔ = +
x y x y x x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y y x
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình th
ứ
hai tr
ở
thành
4 4 4
2 1 15 1 3
x x x
− + + = .
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
2
x
≥
.
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
4 4
4 4
4 4
2 1 15 1 1 1
3 2 15 3
x x
x x
x x
− +
+ = ⇔ − + + =
.
Đặ
t
( )
4 4
1 1
2 ; 15 0; 0
a b a b
x x
− = + = ≥ ≥
ta thu
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
4
4 3 2
4 4
4
3
3
3
6 27 54 32 0
17
3 17
b a
b a
a b
a a a a
a b
a a
= −
= −
+ =
⇔ ⇔
− + − + = ∗
+ =
+ − =
Ta có
( )
(
)
(
)
2
4 3 2 2 2 3
6 9 18 54 32 0 3 18 3 32 0
∗ ⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
a a a a a a a a a
( )( )
( )( )
( )
{ } { }
2 2 2
1
3 2 3 16 0 1 2 3 16 0 1;2 14;1 1
⇔ − + − + = ⇔ − − − + = ⇒ ∈ ⇒ ∈ − ⇒ =
a a a a a a a a a x
x
K
ế
t lu
ậ
n bài toán có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
1; 3
x y
= =
.
Câu 14. [ĐVH]: Giải hệ phương trình:
( )
( )
2
2
4
1
4 3 3 6 4
xy
x y
x y
x x y x y x y
− + =
+
+ + = + − + +
Lời giải
Điều kiện:
0
3 0
x y
x y
+ >
+ ≥
( ) ( )
2
4
(1) 1 0
xy
x y x y
x y
⇔ + − + − + =
+
( ) ( )
2
1 0 1
x y x y x y x y
⇔ + − − + + = ⇔ + =
(Do
0
x y
+ >
)
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )( )
2 2
2 3
2 1 4 24 29 2 1 2 4 24 27 2 3 2 9
2 1 2
x
x x x x x x x x
x
−
+ = − + ⇔ + − = − + ⇔ = − −
+ +
( )
3 1
2 2
1
2 9 *
2 1 2
x y
x
x
= ⇒ = −
⇔
= −
+ +
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Xét
(*)
: Đặt
(
)
2 1 0
t x t
= + ≥
ta được
2 3 2
3
1 1 29
10 2 10 21 0
2 2
1 29
2
t
t t t t t
t
t
= −
+
= − ⇔ + − − = ⇔ =
+
−
=
Do
0
t
≥
nên
1 29 13 29 9 29
2 4 4
t x y
+ + − −
= ⇒ = ⇒ =
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m
( )
3 1 13 29 9 29
, , , ,
2 2 4 4
x y
+ +
= − −
.
Câu 15. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )( )
3
2 1
1 1 2 5 2 2
y x
x x y x y y
= + −
+ + + − + + = + −
Lời giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1, 2
x y
≥ − ≥
( )( ) ( )
(2) 1 1 1 2 2 2 2 0
x x x y y y
⇔ + + + + + − − − − − =
Đặ
t
(
)
1, 2 , 0
a x b y a b
= + = − ≥
ta
đượ
c
(
)
(
)
2 2
2 0 2 1 0
a a ab b b a b a b
+ + − − = ⇔ − + + =
a b
⇔ =
(Do
, 0
a b
≥
)
V
ớ
i
1 2 1 2 3
a b x y x y y x
= ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = +
thay vào (1)
đượ
c
3
3 1 2
x x
+ − − =
Đặ
t
3
3, 1
u x v x
= + = −
v
ớ
i
0
u
≥
ta có
2 3
2
4
u v
u v
− =
+ =
( )
2
3 3 2
2 4 4 0 0 1 4
v v v v v v x y
⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
(th
ỏ
a mãn)
V
ậ
y h
ệ
đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
(
)
(
)
, 1;4
x y =
.
Câu 16. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
2
2 2
1 4
1
2 2 2
xy
x y x y
x y
x y x x y y
−
− + − − =
+
+ − = − +
Lời giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
x y
+ ≠
( ) ( )
2
1 4
(1) 4 1
xy
x y xy x y
x y
−
⇔ + − + − + =
+
( ) ( ) ( )
2
1
1 4 1 0
x y x y xy
x y
⇔ + − + + − − =
+
( )( )
(
)
(
)
( )
1 4 1
1 4
1 0 1 0
xy x y
xy
x y x y x y x y
x y x y
− + −
−
⇔ + − + + = ⇔ + − + + =
+ +
( ) ( ) ( )
2 2
1
1 4 0 1 0
x y
x y xy x y loai
+ =
⇔
+ + − = ⇔ − + =
V
ớ
i
1
x y
+ =
thay vào (2) ta
đượ
c
( )
2 2
2 3 1 2 1 2 3
x x x x x
− + = − − +
Đặ
t
2
2 3
t x x
= − +
ta
đượ
c
(
)
2 2
2 1 2 0
t x t x x
− − + − − =
Ta có
( )
(
)
2
2
2 1 4 2 9
x x x
∆ = − − − − =
nên
2 1 3
1
2
2 1 3
2
2
x
t x
x
t x
− +
= = +
− −
= = −
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Với
2
2 2
1
1 1
1 2 3 1
2 3 2 1
2 2
x
t x x x x x y
x x x x
≥ −
= + ⇔ − + = + ⇔ ⇔ = ⇔ =
− + = + +
Với
2
2 2
2
2
2 2 3 2
1
2 3 4 4
2
x
x
t x x x x
x x x x
x
≥
≥
= − ⇔ − + = − ⇔ ⇔
− + = − +
=
vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( )
1 1
, ,
2 2
x y
=
.
Câu 17. [ĐVH]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
2 2 0 (1)
2 2 3 (2)
− − − − =
− + + =
x xy y x y
x y
Lời giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 0 2
2 0 2
x x
y y
− ≥ ≥
⇔
+ ≥ ≥ −
Ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng
( )( ) ( ) ( )( )
2 0
2 2 0 2 1 0
1 0
x y
x y x y x y x y x y
x y
+ =
+ − − + = ⇔ + − − = ⇔
− − =
Vì
2, 2 2 2.2 2 2 0
x y x y
≥ ≥ − ⇒ + ≥ − = >
Với
1 0 1
x y y x
− − = ⇒ = −
thay vào phương trình (2) ta được
( )( )
2
2 2
2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 2
2
3 2
2 4 4
x x x x x x x x
x
x y
x x x x
− + + = ⇔ − + − + = ⇔ − − = −
≤
⇔ ⇒ = ⇒ =
− − = − +
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(
)
(
)
; 3;2
x y =
Câu 18. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
2
3 3 2 2
2
(1)
3 10
2 5 (2)
1
x y x y x y
x y
y
x
+ = + + −
− +
= −
+
Lời giải
Điều kiện:
5 0 5
1 0 1
y y
x x
− ≥ ≤
⇔
+ ≠ ≠ −
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 3 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 3 2 6
2 0
2 3 2 0 2 0
0
+ = + − ⇔ + − + = + −
+ − =
⇔ + + − − + − = ⇔ + − − + = ⇔
− + =
x y x y xy x y xy x y x y xy
x y
x y x y xy x y x y x xy y
x xy y
Ta có
2
2
2 2
3
0
2 4
y y
x xy y x
− + = − + >
Với 2 0 2
x y y x
+ − = ⇒ = −
thay vào phương trình (2) ta được
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
3 4
2 3 3 4 2 1 3 1 2 1 3 3 0
1
1
1
1 1
1 3 0 1 3
2 ( )
2 0
1 3
x x
x x x x x x x x x
x
x
x
x y
x x x x
x loai
x x
x x
+ +
= + ⇔ + + = + + ⇔ + − + + + + =
+
≥ −
≥ −
= ⇒ =
⇔ + − + = ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔
= −
+ − =
+ = +
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
(
)
(
)
; 1;1
x y =
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 19. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
(
)
2 2
2
3 3 (1)
3 (2)
x x y xy y x y y y
x x y y
− = + − −
+ = +
Lời giải
Điều kiện:
0
y
≥
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
3 3 3 0 3 0
x x y xy x y y y y x x y y y x y y x y y x y
− = + − − ⇔ − − − − − = ⇔ − − − =
Với
0
x y y x y y
− − = ⇒ = +
thay vào phương trình (2) ta được
2 2
3 3 0 0 0
x y y y y x x y
+ + = + ⇔ = ⇔ = ⇒ =
Với
2 2
3 0 3
x y y x
− = ⇒ = thay vào phương trình (2) ta được
2 2 2
3 3 3 3 0 0
x x x x x x x y
+ = + ⇔ = ⇒ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(
)
(
)
; 0;0
x y =
Câu 20. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2
2
2
1
5
2 1
2
+ + + = +
−
= − + +
−
x x x xy y
y x
x x
y
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
0
0
1
2 1 0
0
2
≥
+ ≥ ⇒
≤ −
− + + ≥
≥
≥
x
x x
x
x x
xy
y
và
( )
2 2
1
2 1 0 0
3
+ + − + + ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥
x x x x x x
N
ế
u
0 1
=
⇒
=
x y không th
ỏ
a mãn h
ệ
.
N
ế
u
0
≠
x thì
(
)
( )
2
2
1
(1) 1 0 1 0
+ −
⇔ + − + + − = ⇔ + + − =
+ +
x x y
x x xy x y x y
x x xy
1 0
⇔ + − =
x y (do
0
>
x ) thay vào (2)
đượ
c
( )
2
2 2 2
3 1
2 1 3 1 1 2 1 0
1
− +
= − + + ⇔ − + − − − + + =
−
x x
x x x x x x x
x
Đặ
t
2
2 1
= − + +
t x x
ta
đượ
c
(
)
2 2
3 1 2 1 2
− + = − − − −
x x x x x
Ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2 0 1 2 0
− − − − − = ⇔ + − + − =
t x t x t x t x
(
)
(
)
1 2 0
⇔ − − + =
t t x
V
ớ
i
1 2
= ⇔ =
t x (do
0
>
x )
V
ớ
i
2
2
3 3
3 3 5 3
2 2 1 2
2
2 2
3 3
2
≥
+
+ +
=
= − ⇔ − + + = − ⇔ ⇔ = ⇔ =
−
=
x
x
t x x x x x y
x
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
( )
3 3 5 3
, ;
2 2
+ +
=
x y
.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 21. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2
2
3
1
2 2 8
1 1
+ +
+ = +
+ = + −
x
x x
y
x
y
y x
y y
Lời giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
0
2 0
≥
>
+ + ≥
x
y
x
x
y
(1)
(
)
( )
2 2 2
1
1 1 1
0 0 1 0 1
−
−
⇔ − + − = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ =
+ +
x xy
x xy x
x y x xy xy
y y y y
x y x x y x
Thay vào (2)
đượ
c
2 2 2 2
3 3
2 2 8 2 8 2
+ + + = + − ⇔ + + − + − = −
x x x x x x x x
Đặ
t
2
2 3
2
3
2
10
2
8
= + +
− =
⇒
− = −
= + −
a x x
a b
a b
b x x
( ) ( )
(
)
2
3 2
2 0 1 2 6 0 1
⇒ − − = ⇔ + − + = ⇔ = −
b b b b b b
V
ớ
i
2 2
29 1 2
1 8 1 7 0
2
29 1
−
= − ⇔ + − = − ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =
−
b x x x x x y
(do
, 0
≥
x y )
Vậy hệ có nghiệm
( )
29 1 2
, ,
2
29 1
−
=
−
x y
.
Câu 22. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2 2 2
1 1 2 1 1,
9
8 5 .
2 8
x x y y y
x
x y x
x y
+ + + + − + = +
+ + − =
− +
Lời giải:
Điều kiện
0
0
x
y
≥
≥
( )
(
)
(
)
( )
( )
2 2 2
2 2 2
1
1 1
1 2 1
1
0
1 1
1 2 1
x y x y
x y
x y
x y y
x y
x y x y
x y
x y y
− +
−
⇔ +
+ + +
+ + + +
+
⇔ − + = ⇒ =
+ + +
+ + + +
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2
9
2 8 6 0
8
8 9 6 8 0 5 4 3 8
4
4
5 4 0
5
1
5
25 40 16 9 8
16 32 16 0
1 0
x
x x
x
x x x x x x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x
⇔ + + − =
+
⇔ + + − + = ⇔ + = +
+ ≥
≥ −
≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
+ + = +
− + =
− =
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 23. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
(
)
( )
3 2 2
2 3 1 4 1 0,
1
2 5 4 1 4 .
x y y x y
x x x x x y x
x
− + + + + + + =
+ + + = + + +
Lời giải:
Điều kiện căn thức xác định.
(
)
(
)
( )
( )
( )
1 1 4 2 3 0
1 4 2 3 1 2 3 0
1
1 1 2 3 0
4 2 3
1
1 1 2 3 0 1
4 2 3
x y x y x y y
x y x y y x y y
x y
x y x y y
x y y
x y y y x
x y y
⇔ − + + + + + − + =
⇔ − + + + + − + + − + + =
− +
⇔ − + + + − + + =
+ + + +
⇔ − + + + + = ⇒ = +
+ + + +
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 5 4 1 2 5 2 5 4 2 5
1 1 1 1 1
2 5 5 4 0 5 4 0
⇔ + + + = + + ⇔ + + + = + +
⇔ + − + + − + + + = ⇔ + − − + − + =
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
Câu 24. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
2
2 1 4 2 5 3 1 3 2 ,
2 2
.
19 6
3 9 9 3
x y x y x y x y
y
x
x y x
− + + − + + + = +
+
=
+
− + + −
Lời giải:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1 2 1 3 3 1 2 2 2 1 3 1 0
3 2 1
2 1 2 2 1 3 1 0
3 1 2
3
2 1 1 2 3 1 0 2 1 0
3 1 2
x y x y x y x y x y
x y
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y
⇔ − + + + + − + + − + + + =
− +
⇔ − + + + − + + + =
+ + + +
⇔ − + + + + + = ⇔ − + =
+ + + +
( ) ( )
(
)
(
)
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 3
2 38 12 6 9 9 11 2
19 6
3 9 11 2
9 11 2 6 9 11 2 9 9 9 11 2 27 14 0
9 11 2 3 9 9 11 2 3 14 0
x
x x x x
x
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
+
⇔ = ⇔ + = + − + −
+
− + −
⇔ − + − − − + − + − − + − + + =
⇔ − + − − − − + − − + =
Câu 25. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )( )
( )
2
2
2 2 (1)
( , ).
6 5 1
5 2 1 2 (2)
4 4
x y x y xy y
x y
x
xy x y
+ − − + =
∈
−
+ + − = + −
ℝ
Lời giải:
ĐK:
( )( )
2
0
1
2
2 0
xy
y
x y x y
≥
≥ −
+ − − ≥
(*).
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Khi đó từ (1)
0.
y
⇒ ≥
Kết hợp với
0 0.
xy x
≥ ⇒ ≥
Ta có
( )( )
(
)
(
)
( )( )
2 2
2
2
2
2
(1) 2 0 0
2
x y y x y
xy y
x y x y y xy y
xy y
x y x y y
− + − −
−
⇔ + − − − + − = ⇒ + =
+
+ − − +
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
2 2
2
2 2
0 0
2 2
x y x y y y x y
x y y
x y
xy y xy y
x y x y y x y x y y
− + + − −
+ −
⇔ + = ⇔ − + =
+ +
+ − − + + − − +
(3)
L
ạ
i có
(
)
( )
6 5 1 1
(2) 5 2 5 4 2 1 2 1 5 3
4 4 2
x
xy x y y y xy x x y
−
⇔ + + − = + − + ⇔ + + + + = +
(4)
Do
( )
1 2 2 5
, 0 3 2 1 5 1 5 .
2 3 3
y
x y x y y xy x x
+
≥ ⇒ + = + + + + ≥ + ⇒ + ≥
V
ớ
i
2 2 5
, 0 2 2 2 2 2 0.
3 3
y
x y x y x x y x y
+
≥ ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ > ⇒ + − >
Do
đ
ó
( )( )
2
2 2
0
1
x y y
xy y
x y x y y
+ −
+ >
+
+ − − +
v
ớ
i
, 0.
x y
∀ ≥
Khi
đ
ó
(3) 0 .
x y y x
⇔ − = ⇔ =
Th
ế
vào (4) ta
đượ
c
( ) ( )
2
2
1 19
2 1 5 2 2 1 2 1 2 1 1
4 4
x x x x x x x
+ + + + = ⇔ + + + + = + −
Đặ
t
(
)
2 1 0 .
x t t+ = ≥
Ph
ươ
ng trình m
ớ
i
4 2
1 19
1
4 4
t t t
+ + = −
(
)
(
)
(
)
2
4 2 4 2 4 2
2 19 2 1 19 2 1 19 4 1
t t t t t t t t t
⇔ + + = − ⇔ + = − − ⇒ + = − −
(
)
4 3 2 4 4 3 2
4 2 2 1 19 0 3 8 4 8 15 0
t t t t t t t t t
⇔ − − + + − − = ⇔ − − + − =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
3 3 3 3 5 3 0 3 3 5 0
t t t t t t t t t t t
⇔ − + − − − + − = ⇔ − + − + =
(5)
V
ớ
i
0
x
≥
có
(
)
3 2 3
2 1 1 3 5 3 5 1 0.
t x t t t t t t
= + ≥
⇒
+ − + = + + − >
Khi
đ
ó
(5) 3 0 3 2 1 3 4 4.
t t x x y
⇔ − = ⇔ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ =
Thử lại
4
x y
= =
thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: Hệ có nghiệm là
(
)
(
)
; 4;4 .
x y =
Câu 26. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )( )
2 2
3
2 1 2 3 4 0 (1)
( , ).
3 3 2 4 2 2 5 5 2 3 (2)
x y x y x xy y
x y
x x y x y
+ − − + + + =
∈
− + + − = + + −
ℝ
Lời giải:
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
ĐK:
2 2
2 3 4 0
2
3
2 2
x xy y
x
x y
+ + ≥
≥
+ ≥
(*)
Khi đó
( )( ) ( )
2 2
(1) 2 2 3 4 2 0
x y x y x xy y x y
⇔ + − + + + − + =
( )( )
2 2 2 2
2 2
2 3 4 4 4
2 0
2 3 4 2
x xy y x y xy
x y x y
x xy y x y
+ + − − −
⇒ − + + =
+ + + +
( )( )
(
)
2 2
2 0
2 3 4 2
x x y
x y x y
x xy y x y
−
⇔ − + + =
+ + + +
( )
2 2
2 0
2 3 4 2
x
x y x y
x xy y x y
⇔ − + + =
+ + + +
(3)
Từ (2)
3 3
3
5 5 2 3 0 5 2 0 5 2 0.
5
x y x y x y
⇒ + + − ≥ ⇒ + + ≥ > ⇒ + + >
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
2 2 5 2 2 2 3 2 0 2 0.
x y x y x y x y x y
+ ≥ ⇒ + + + + > ⇒ + > ⇒ + >
M
ặ
t khác
2 2
2
0 2 0.
3
2 3 4 2
x
x x y
x xy y x y
≥ > ⇒ + + >
+ + + +
Do đó
(3) 0 .
x y y x
⇔ − = ⇔ =
Thế
y x
=
vào (2) ta được
3 3
3 3 2 4 3 2 5 6 2 3 5 6 2 7 3 2 3 0.
x x x x x
− + − = + − ⇔ + − − − =
Đặt
3
2
3 2
3
5 3
5 7 3 0
7
6 2 ; 3 2
5 3
2 6
2 6 0
7
a
b
a b
x a x b
a
a b
a
−
=
− − =
+ = − = ⇒ ⇔
−
− =
− − =
Ta có
( )
2
3 3 2
5 3
2 6 0 49 2 25 30 9 294 0
7
a
a a a a
−
− − = ⇔ − − + − =
(
)
(
)
3 2 2
49 50 60 312 0 2 49 48 156 0
a a a a a a
⇔ − + − = ⇔ − + + =
(4)
V
ớ
i
2
3
2
6 2 0 49 48 156 0.
3
x a x a a
≥ ⇒ = + > ⇒ + + >
Khi
đ
ó
(4) 2 0 2
a a
⇔ − = ⇔ =
3
6 2 2 1 1.
x x y
⇒ + = ⇔ = ⇒ =
Thử lại
1
x y
= =
đã thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: Hệ có nghiệm là
(
)
(
)
; 1;1 .
x y =
Câu 27. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
( )
2
2 2
3
1 2 1 (1)
( , ).
1 2 2 2 3 3 3 (2)
x x y x y
x y
x y x y x y
+ + − = − +
∈
+ − + + − = + −
ℝ
Lời giải:
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
ĐK:
( )
2
2 2
1 0
2 2 0
0
x x y
x y
x y
+ + − ≥
+ − ≥
− ≥
(*).
Khi đó
( )
2
2 2
(1) 1 1
x y x x x y
⇔ + − + − = − +
( )
( )
( )( )
( )
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1
1 1
x x y x x y x y
x y x y
x x y x x x y x
+ + − − − + + +
⇒ = − + ⇔ = − +
+ + − + + + − +
(3)
Do
0 1 1 0
x y x y
− ≥ ⇒ − + ≥ >
nên
( )
2
2 2
(3) 1 1
x x y x x y
⇔ + + − + = + +
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
1 0
1
1
1 0
2 2 2 2
1 1
y
y
y
x y x y
x x y y
x x y y
+ ≥
≥ −
≥ −
⇔ ⇔ ⇔
− + + =
+ = +
+ + − = +
(4)
Từ (1) và (2) ta có
3
2 1 0 2 1 0
2 2 0 2 2 0
3 3 0
3 3 0
x y x y
x y x y
x y
x y
− + ≥ − + ≥
+ − ≥ ⇒ + − ≥
+ − >
+ − >
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 2 3 3 0 4 4 1 2 0.
x y x y x y x y x y
⇒ − + + + − + + − > ⇒ + > ⇒ + + > >
Do đó
1 1
(4)
0
y y
x y y x
≥ − ≥ −
⇔ ⇔
− = =
Thế
y x
=
vào (2) ta được
3
1 2 3 2 3 4 3.
x x
+ − = −
Đặt
3
2
2 3
3
3 1
1 2 3
2
3 2 0; 4 3
3 1
4 3 1
4 3 1
2
b
a
a b
a x b x
b
a b
b
−
=
+ =
= − ≥ = − ⇒ ⇔
−
− =
− =
Ta có
2
3 3 2
0
3 1
4 3 13 9 6 0 1
2
2
b
b
b b b b b
b
=
−
− ⇔ − + = ⇔ =
=
V
ớ
i
1
0
2
b a
= ⇒ = − ⇒
Lo
ạ
i vì
0.
a
≥
V
ớ
i
3
1 4 3 1 1 1.
b x x y
= ⇒ − = ⇔ = ⇒ =
Với
3
11 11
2 4 3 2 .
4 4
b x x y= ⇒ − = ⇔ = ⇒ =
Thử lại
( ) ( )
11 11
; 1;1 , ;
4 4
x y
=
đều thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: Hệ có nghiệm là
( ) ( )
11 11
; 1;1 , ; .
4 4
x y
=
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 28. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2 2
1
3 2
2
1 2 1 5 1
x
x x y x y
x y xy y
+
+ − = + +
− + − = + − +
Lời giải:
ĐK:
1; 2
5 1 0
x y
xy x
≥ ≥
− + ≥
.
Khi đó:
( )
2 2 2 2 2
1 2 3 2 2 1 3 2 2 3 2 1 0
PT x x y x y x x x y x y x x y x
⇔ + − = + + + ⇔ + − − + + + − − − =
2 2
2 2 2
2 4 2
0
3 2 2 3 2 1
x x y y x y
x x y x y x x y x
− − − −
⇔ + =
+ − + + + − + +
( ) ( )
2 2 2
2 1 1
2 0 1
3 2 2 3 2 1
x y
x y
x x y x y x x y x
+ −
⇔ − + =
+ − + + + − + +
Do
(
)
1; 2: 1 2
x y x y
≥ ≥ ⇔ =
thế vào PT (2) ta có:
2
2 1 2 1 2 5 1
y y y y
− + − = + − +
Đặ
t
( )( )
( )
2 1 1
1
2 1; 2 1 1 1 0
3; 6
2 1
y
y loai
a y b y a b ab a b
y x
y
− =
=
= − = −
⇒
+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔
= =
− =
V
ậ
y
6; 3
x y
= =
là nghiệm của PT đã cho
Câu 29. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 3 3
2 1 3 2
x y y
x y x
+ + + =
+ − + =
Lời giải:
Ta có:
( )
2 2 2 2
2 2
2 4
2 2 1 2 3 3 2 1 2
1 3
PT x x y y x x
x x y
⇔ + − = + ⇔ = + ⇔ + + =
+ + +
2 2
2
4
4 1 3
3
x y
y
⇒ + = + +
+
thế vào PT(1) ta có:
2
2
5 3
1
3
4
3
y
y
y
+
+ =
+
( )
2 2 2 2
4 2 4 2
0
5 3 4 8 3 5 19 12 3
25 190 361 144 432
y
y y y y y y
y y y y
≥
⇔ + + = + ⇔ + = + ⇔
+ + = +
1 0
y x
⇔ = ⇒ =
là nghiệm của HPT đã cho.
Câu 30. [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2
4 3 2
1 1 10
x y y x y
y x y y
− + = +
− + + + + =
Lời giải:
ĐK:
1; 1
2 0
y x
x y
≥ ≥ −
+ ≥
. Khi đó:
( ) ( ) ( )
8 2 2
1 4 0 4 1 0
3 2 3 2
y x
PT x y x y
y x y y x y
−
⇔ − + = ⇔ − − =
+ + + +
Do
1 1 1
1
3 0 3
3 2
y
y x y
≥ ⇒ ≤ =
+
+ +
nên
(
)
1 4
PT x y
⇔ = th
ế
vào PT(2) ta có:
2 2
1 4 1 10 1 1 4 1 3 6 0
y y y y y y y y
− + + + + = ⇔ − − + + − + + − =
( )
1 4
2 3 0 2 8
1 1 4 1 3
y y y x
y y
⇔ − + + + = ⇔ = ⇒ =
− + + +
là nghi
ệ
m c
ủ
a PT
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
; 8;2
=x y
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 1. [ĐVH]: Trong mặt phẳng cho đường tròn
2 2
( ): 2 4 0
+ − − =
C x y x y
và điểm A(−1; 3). Tìm tọa độ
các đỉnh của hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (C) và có diện tích bằng 10.
Lời giải:
Tâm
(1;2); 5
I R = .
Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) tâm I nên I cũng là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
Suy ra C(3;1).
Gọi
α
là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD suy ra
1
. .sin 10
2
ABCD
S AC BD
α
= =
1
.2 5.2 5.sin 10 sin 1 90
2
α α α
↔ = ↔ = ↔ =
.
Nên ABCD là hình vuông. Ph
ươ
ng trình AC : x + 2y – 5 = 0.
Suy ra ph
ươ
ng trình BD là 2x – y = 0.
T
ọ
a
độ
c
ủ
a B và D là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2 2
0
0
2 0 2
2 4 0 5 10 0
2
4
x
y
x y y x
x y x y x x
x
y
=
=
− = =
↔ ↔
+ − − = − =
=
=
V
ậ
y t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD là (3 ;1) ; (0 ;0) và (2 ;4).
Câu 2. [ĐVH]:
Cho hai
đườ
ng tròn
2 2 2 2
1 2
( ): 2 2 14 0,( ): 4 2 20 0
+ − − − = + − + − =
C x y x y C x y x y . Vi
ế
t
ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ c
ắ
t (C
1
) t
ạ
i A, B c
ắ
t (C
2
) t
ạ
i C, D sao cho
2 7; 8
= =
AB CD
Lời giải:
Xét
đườ
ng tròn
(
)
1
C
và
(
)
2
C
ta d
ễ
dàng tìm
đượ
c
(
)
(
)
1 2
; ; 3
d I d I
∆ = ∆ =
nên có các tr
ườ
ng h
ợ
p v
ề
(
)
∆
nh
ư
sau:
TH1:
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
∆
song song v
ớ
i
1 2
I I
và cách
1 2
I I
1 kho
ả
ng =3.
Ph
ươ
ng trình
1 2
I I
là 2x + y – 3 = 0
Suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
∆
2x + y + m = 0
( )
( )
( )
1 2
3 5 3 : 2 3 5 3 0
3
; 3
5
3 5 3 : 2 3 5 3 0
m x y
m
d I I
m x y
= − ⇒ ∆ + + − =
+
∆ = = ↔
= − − ⇒ ∆ + − − =
.
TH2 :
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
1 2
I I
và kho
ả
ng cách t
ừ
I
1
và I
2
đế
n
∆
=3
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
3
;0
2
M
là trung điểm của
1 2
I I
.
Phương trình
(
)
∆
qua M là :
3
0
2
a x by
− + =
.
( )
2 2
1
2 2
35
2
; 3 8 0
4
a
b
d I a ab b
a b
− +
∆ = = ↔ + + =
+
( vô nghiệm do a và b không đồng thời =0)
Vậy có 2 đường thẳng
∆
thỏa mãn là
2 3 5 3 0
x y
+ + − =
và
2 3 5 3 0
x y
+ − − =
.
Đ/s:
2 3 5 3 0; 2 3 5 3 0
+ + − = + − − =
x y x y
Câu 3. [ĐVH]: Cho tam giác ABC biết đường cao và trung tuyến xuất phát từ A lần lượt là 6x – 5y – 7 =
0 và x – 4y + 2 = 0. Tính diện tích tam giác ABC biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành và đường cao
từ đỉnh B đi qua E(1; –4)
Lời giải:
Dễ dàng tìm được tọa độ điểm
(
)
2;1
A
(
)
;0
G
G x
là trọng tâm tam giác, mà G thuộc trung tuyến suy ra tọa độ
(
)
2;0
G −
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
2AG GM
= ⇒
tọa độ
1
4;
2
M
− −
Ta có:
1
4;
:5 6 23 0
2
: 6 5 7 0
M BC
BC x y
BC AH x y
− − ∈
⇒ + + =
⊥ − − =
Giả sử:
(
)
(
)
(
)
(
)
6 1; 3 5 , 7 6 ;5 2 2 6 ;5 1 , 9 6 ;5 1
B t t C t t BE t t AC t t
− − − − − + ⇒ = − − = − − +
Mà
( )( ) ( )( )
2
1
. 0 2 6 9 6 5 1 5 1 0 61 42 19 0
19
61
t
BE AC t t t t t
t
= −
= ⇔ − − − + − + = ⇔ + − = ⇔
=
+) Với
(
)
(
)
1 7;2 , 1; 3 61
t B C BC= − ⇒ − − − ⇒ =
( )
5.2 6.1 23
1 1 39
, . . . 61
2 2 2
61
ABC
S d A BC BC
+ +
⇒ = = =
+) Với
19 53 278 541 217 99
; , ;
61 61 61 61 61
61
t B C BC
= ⇒ − − ⇒ =
( )
5.2 6.1 23
1 1 99 3861
, . . .
2 2 122
61 61
ABC
S d A BC BC
+ +
⇒ = = =
Đáp số:
( ) ( )
1 2
39 3861
;
2 122
ABC ABC
S S= =
Câu 4. [ĐVH]:
Cho tam giác ABC có M(1; –2) là trung
đ
i
ể
m AB, tr
ụ
c Ox là phân giác góc A,
đỉ
nh B, C
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua N(–3; 0) và P(0; 2). Tìm A, B, C và di
ệ
n tích tam giác.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Lời giải:
Điểm A thuộc Ox, gọi tọa độ
(
)
;0
A a
B, C thuộc đường thẳng qua
(
)
(
)
3;0 & 0;2 :2 3 6 0
N pt BC x y
− → − + =
Giả sử tọa độ
(
)
3 ;2 2
B b b
+
, mà
(
)
1; 2
M
−
là trung điểm AB nên ta có hệ:
( ) ( )
3 2 11
11;0 & 9; 4
2 2 4 3
a b a
A B
b b
+ = =
↔ ⇔ ⇒ − −
+ = − = −
Gọi phân giác góc A là AD, từ M kẻ đường thẳng d cắt AD và AC lần lượt tại E và F:
(
)
(
)
(
)
(
)
: 1, 1;0 1;2
pt d x E d AD E F⇒ = = ∩ → ⇒
( do M và F đối xứng nhau qua E)
Suy ra phương trình AC là:
(
)
5 11 0 ,
x y do A F AC
+ − = ∈
.
Từ đây ta xác định được tọa độ điểm C là nghiệm của AC và BC:
3 28
;
13 13
C
Di
ệ
n tích tam giác ABC là:
( )
2.11 3.0 6
1 1 40 560
. ; . . .
2 2 13
13 13
ABC
S d A BC BC
− +
= = =
Đáp số:
( ) ( )
3 28 560
11;0 , 9; 4 , ; ,
13 13 13
ABC
A B C S
− − =
Câu 5. [ĐVH]:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn có tâm thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
: 2x + y – 4 = 0 qua
đ
i
ể
m M(1;
–1) c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
2
: 1 0
d x y
− − =
t
ạ
i A, B sao cho
2 7.
=AB
Lời giải:
G
ọ
i I là tâm
đườ
ng tròn
(
)
C
c
ầ
n tìm,
(
)
(
)
1
;4 2
I d I t t
∈ ⇒ −
Vì
đườ
ng tròn
(
)
C
c
ắ
t
(
)
2
: 1 0
d x y
− − =
theo dây cung
2 7.
=AB
nên ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
/
2
9 30 39
2 2
I d
AB t t
d R R
− +
= − ⇔ = ∗
M
ặ
t khác
đườ
ng tròn
(
)
C
qua
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1; 1 1 2 5 5 22 26M t t R t t R
− → − + − = ↔ − + = ∗∗
T
ừ
( ) ( )
2
2
1
9 30 39
& 5 22 26
13
2
t
t t
t t
t
=
− +
∗ ∗∗
⇒
= − + ⇔
=
Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 9 / 13 22 585
x y x y− + − = − + + =
Câu 6. [ĐVH]:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1; -1) c
ắ
t
đườ
ng tròn tâm I(4; 0) bán kính R = 5
t
ạ
i A, B sao cho MA = 3MB.
Lời giải:
G
ọ
i
(
)
;
n a b
=
là VTPT c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d qua
(
)
1; 1
M
−
(
)
(
)
(
)
: 1 1 0 0
pt d a x b y ax by a b
⇒ − + + = ↔ + − + =
Vì
( )
( )
2 2
/
15 0
M C
P IM R
= − = − < ⇒
đ
i
ể
m M n
ằ
m trong d
ườ
ng tròn.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Mà:
( )
( )
/
. 15 . 15 3 . 15 5 3 5
M C
P MA MB MA MB MB MB MB MA= = − ⇒ − = − ⇔ = ⇔ = ⇒ =
4 5
AB MA MB⇒ = + = .
Vậy ta đi viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn tâm
(
)
4;0 & 5
I R
=
đã cho theo dây
cung
4 5
AB =
Do
( )
( )
2
2
/
2 2
2
3
4 5 5 5
2
2
I d
a b
a b
AB
AB d R
b a
a b
= −
+
= ⇒ = − = ⇔ = ⇔
=
+
+) V
ớ
i
2 ,
a b
= −
ch
ọn
(
)
1 2 :2 3 0
b a pt d x y
= − → = ⇒ − − =
+) Với
2 ,
b a
=
chọn
(
)
1 2 : 2 1 0
a b pt d x y
= → = ⇒ + + =
Đáp số:
(
)
1/2
: 2 3 0; 2 1 0
d x y x y
− − = + + =
Câu 7. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp
2 2
( ): 2.
+ =
C x y
Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác biết điểm A thuộc tia Ox.
Lời giải:
(
)
C
có
(
)
0;0 , 2
O r = . Điểm A thuộc tia Ox suy ra
(
)
;0 , 0
A a a
>
.
Từ O hạ OI vuông góc AB, ta tính được:
2
sin 45 sin 45
o o
OI r
OA
= = =
Ta có:
(
)
2 2
1 4 2 2;0
OA a a A= ⇔ = ⇔ = ± ⇒
AB/AC qua
(
)
2;0
A
nên AB/AC có d
ạ
ng:
(
)
2 2
2 0, 0
a x by a b
− + = + ≠
.
M
ặ
t khác:
( )
2 2
2
cos / , cos45
2
. 1
o
b
AB AC Ox a b
a b
= = = ⇔ = ±
+
Nên giả sử:
: 2 0; : 2 0
AB x y AC x y
+ − = − − =
Kẻ OA cắt BC tại
(
)
,0
H k
khi đó
2
OH r k
= ⇔ = ±
Mà
{
}
, 2
AH BC H B C x
⊥ =
⇒
∈ = ±
+) TH1:
, 2
B C x∈ = khi đó suy ra:
(
)
(
)
2;2 2 , 2; 2 2
B C
− −
+) TH2:
(
)
(
)
, 2 2;2 2 , 2; 2 2
B C x B C∈ = −
⇒
− + − − −
Vậy có 2 bộ tọa độ 3 đỉnh tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu là:
( )
(
)
(
)
2;0 , 2;2 2 , 2; 2 2
A B C± ± − ±
∓
Câu 8. [ĐVH]: Cho hai đương tròn
2 2
1
2 2
2
( ): 4 2 4 0
( ): 10 6 30 0
+ − + − =
+ − − + =
C x y x y
C x y x y
có tâm là I và J. Gọi H là tiếp điểm
của (C
1
) và (C
2
). Gọi d là tiếp tuyến chung ngoài không qua H của (C
1
) và (C
2
). Tìm giao điểm K của d và
IJ. Viết phương trình đường tròn qua K tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) tại H.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Lời giải:
Nhận xét:
(
)
1
C
có tâm
(
)
1
2; 1 & 3
I R
− =
và
(
)
2
C
có tâm
(
)
1
5;3 & 2
J R
=
Ta có:
1 2
5
IJ R R
= = +
. Suy ra
(
)
(
)
1 2
&
C C
tiếp xúc ngoài với nhau. Mà H là tiếp điểm của 2 đường tròn:
( ) ( )
( ) ( )
19
2 3
19 7
5
2 3 ;
7
5 5
2 3
5
H
I H J H
I H J H
H
x
x x x x
HI HJ H
y y y y
y
=
− = − −
↔ = − ⇔ ⇔ ⇒
− = − −
=
K là giao của tiếp tuyến chung d và IJ nên ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2 3
11
2 3 11;11
11
2 3
I K J K
K
K
I K J K
x x x x
x
KI KJ K
y
y y y y
− = −
=
⇔ = ↔ ⇔ ⇒
=
− = −
K thuộc đường tròn
(
)
C
và
(
)
C
tiếp xúc
(
)
(
)
1 2
&
C C
tại H nên tâm M của
(
)
C
là trung điểm KH
( )
( )
2 2
37 31 37 31
; , 6 : 36
5 5 5 5
C
M R MH pt C x y
⇒ = = ⇒ − + − =
Đáp số:
( ) ( )
2 2
37 31
11;11 , : 36
5 5
K C x y
− + − =
Câu 9. [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm ngoài
2 2
( ): 6 2 6 0.
+ − + + =
C x y x y
Viết
phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB = BC.
Lời giải:
Gọi B(m, n)
Do A nằm ngoài (C) và AB = BC nên dễ thấy B là trung điểm của AC
Ta có:
2 2
( ) : 6 2 6 0
C x y x y
+ − + + =
hay
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 4 3, 1 , 2
x y I R
− + + = ⇒ − =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2,4 2 1,2 2,1 :2 1 3 0: 2 5 0
IA
IA n IA x y x y
⇒ = − = − ⇒ = ⇒ − + − = + − =
G
ọ
i M, N là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a IA v
ớ
i (C). Hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a M,N là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 5 0 5 2
5 2
5 30 41 0
3 1 4 3 6 2 4
x y y x
y x
x x
x y x x
+ − = = −
= −
⇔ ⇔
− + =
− + + = − + − =
15 2 5 5 4 5
,
5 5
15 2 5 5 4 5
,
5 5
x y
x y
+ +
= = −
⇔
− − +
= =
15 2 5 5 4 5 15 2 5 5 4 5
, ; ,
5 5 5 5
M N
+ + − − +
⇒ −
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
. . 16 2 16 8 1 3 8 2 6 2 0
AB AC AM AN AB AB m n m n m n
= = ⇒ = ⇒ = ⇒ − + − = ⇒ + − − + =
Mà B n
ằ
m trên (C) nên ta có h
ệ
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
2 2
2
2 2
1, 3
2 1
2 6 2 0
1 7
,
5 6 1 0
6 2 6 0
5 5
n m
m n
m n m n
n m
n n
m n m n
= =
= +
+ − − + =
⇒ ⇒
= =
− + =
+ − + + =
(
)
(
)
3,1 5, 1 : 4 0
7 1 9 13
, , : 7 10 0
5 5 5 5
B C d x y
B C d x y
⇒ − ⇒ + − =
⇒
⇒ − ⇒ + − =
Vậy đường thẳng cần tìm:
4 0
x y
+ − =
,
7 10 0
x y
+ − =
Câu 10. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:
0128
22
=+−+ xyx
và I(8; 5). Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M thu
ộ
c tr
ụ
c tung sao cho qua M k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n MA, MB
đế
n
đườ
ng
tròn (T)
đồ
ng th
ờ
i
đườ
ng th
ẳ
ng AB
đ
i qua I (A, B là hai ti
ế
p
đ
i
ể
m).
Lời giải:
(
)
(
)
2 2
: 8 12 0 4,0 , 2
T x y x J R
+ − + = ⇒ =
G
ọ
i
(
)
0,
M m
(
)
(
)
(
)
(
)
4, :4 8 5 0
MJ m AB x m y
⇒ = − ⇒ − − − =
Ta có:
( )
( )
(
)
2
2 2
0,4
4
16 5
4
/ 16 5 4
12
12
0,
16 16
5
5
M
m
m
R
d J AB m
IM
m
M
m m
=
− +
= = = ⇔ − + = ⇔ ⇔
=
+ +
•
( )
( ) ( )
( )
2 2
4 4 4 2
0,4
7
7
: 3 0 /
2 2
IM
M
AB x y MH d M AB IM
= + =
⇒ ⇒
−
− − = ⇒ = = = <
thỏa mãn
•
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
12 4 34
4
5 5
12
12
0,
20
5
5
12 161
4 20 0 /
5
5 34
12
4
5
IM
M
AB x y MH d M AB MI
= + =
⇒ ⇒
+
= − − = ⇒ = = = >
+
l
oại
Đ/s: M(0; 4)
Câu 11. [ĐVH]: Cho 3 đường thẳng
1
2
3
: 3 0
: 4 0
: 2 0
+ + =
− + =
− =
d x y
d x y
d x y
. Viết phương trình đường tròn có tâm I là giao
điểm của d
1
và d
2
đồng thời cắt d
3
tại AB sao cho AB = 2.
Lời giải:
•
1 2
7
3 0
7 1
2
,
4 0 1
2 2
2
I
I I
I I
I
x
x y
I d d I
x y
y
= −
+ + =
= ∩ ⇒ ⇒ ⇒ −
− + =
=
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
•
( ) ( )
( )
2
2
2
3 3
2
7 1
2.
9 101
2 2
/ /
2 20
2 5
1 2
AB
d I d R d I d
− −
= = ⇒ = + =
+
Suy ra phương trình đường tròn cần tìm là:
2 2
7 1 101
.
2 2 20
x y
+ + − =
Đ/s:
2 2
7 1 101
.
2 2 20
+ + − =
x y
Câu 12. [ĐVH]: Cho các đường tròn
( )
( )
2
2
1
2
2
2
1
( ): 1
2
( ): 2 ( 2) 4
− + =
− + − =
C x y
C x y
. Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp
xúc với đường tròn (C
1
) cắt đường tròn (C
2
) theo dây cung có độ dài bằng
2 2.
Lời giải:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1
2
2
2 2
1 1
( ): 1 1,0 ,
2
2
( ): 2 ( 2) 4 2,2 , 2
C x y I R
C x y J R
− + = ⇒ =
− + − = ⇒ =
Gọi
(
)
: 0
d ax by c
+ + =
•
( ) ( ) ( )
2
2 2
1
2 2
1
/ 2 1
2
a c
R d I d a b a c
a b
+
= = = ⇔ + = +
+
•
( )
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 /
2
a b c
R d J d
a b
+ +
− = = =
+
Suy ra
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
/ 2 / 2 2 2 2
a b c a c
d J d d I d a b c a c
a b a b
+ + +
= ⇒ = ⇒ + + = +
+ +
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c a c
a b c a c
+ + = +
⇔
+ + = − −
2
4 2 3 0
b c
a b c
=
⇔
+ + =
•
( ) ( )
(
)
( )
2
2 2 2 2
: 2 0
, 2
2 1 : 2 2 8 7 0
7 7 , 2
: 7 2 0
d x y
a b a b c b
b c a b a b a ab b
a b a b c b
d x y
− + + =
= − = − =
= ⇒ + = + ⇔ + + = ⇔ ⇒ ⇒
= − = − =
− + + =
•
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 ,
4 2 3 0 1 :4 4 3 8 12 8 0
6 6 , 7
c a c a b a
a b c a a c a c a ac c
c a c a b a
= − = − =
+ + = ⇒ + + = + ⇔ + + = ⇔ ⇔
= − = − =
(
)
( )
: 2 0
: 7 6 0
d x y
d x y
+ − =
⇔
+ − =
Vậy
(
)
: 2 0
d x y
− + + =
;
7 2 0
x y
− + + =
;
2 0
x y
+ − =
;
7 6 0
x y
+ − =
Câu 13. [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng
1 2 3
: 3 0; :2 5 0; : 0
− = + − = − =
d x y d x y d x y
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng
1 2 3
; ; , .
∈ ∈ ∈
A d C d B D d
Lời giải:
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Gọi
(
)
(
)
3 , , ,5 2
A a a C c c
−
, I là tâm hình vuông
⇒
I là trung điểm của AC và thuộc BD
3 5 2
,
3 5 2 2 3 5
2 2
I I
a c a c
I
a c a c a c
x y
+ + −
⇒ ⇒ + = + − ⇔ + =
=
(1)
Ta có:
3 5 2
,
3 5 2 2 3 5
2 2
I I
a c a c
I
a c a c a c
x y
+ + −
⇒ ⇒ + = + − ⇔ + =
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1, 1 3,1 ; 1,3 2,2 2 : 2 2 2
a c A C I IA I x y
= = ⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ − + − =
T
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a B,D là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2
0
3,3 , 1,1
3
1
1,1 , 3,3
: 2 2 2 2 1
x y x y
B D
x y
x y
B D
I x y x
− = =
= =
⇔ ⇔ ⇒
= =
− + − = − =
V
ậ
y
(
)
(
)
3,1 ; 1,3
A C ,
(
)
(
)
3,3 , 1,1
B D ho
ặ
c
(
)
(
)
3,1 ; 1,3
A C ;
(
)
(
)
1,1 , 3,3
B D
Câu 14. [ĐVH]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình vuông ABCD có các
đỉ
nh
( 1;2)
−
A
;
(3; 2)
−
C
. G
ọ
i E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh AD, BM là
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i CE t
ạ
i M ; N là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a c
ủ
a BM và P là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AN v
ớ
i DM. Bi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng BM:
2 4 0
− − =
x y
. Tìm
t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m P
Lời giải.
G
ọ
i I là tâm hình vuông ta có
(
)
1;0
I
,
(
)
4; 4
AC
= −
suy ra ph
ươ
ng trình BD:
1 0
x y
− − =
.
Do
( ) ( )
2
2
2 2 , : 1 8
2
AC
IA IB IC ID B D C x y
= = = = = ⇒ ∈ − + =
.
T
ọ
a
độ
B, D th
ỏ
a mãn
( )
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
1
1; 2 , 3;2
; 1; 2 , 3;2
1; 2 , 3;2
1 8
x y
B D
x y
D B
x y
= +
− −
⇔ = − − ⇒
− −
− + =
L
ạ
i có BM:
2 4 0
− − =
x y
nên ch
ọ
n
(
)
(
)
3;2 , 1; 2
B D
− −
; N là trung
đ
i
ể
m BM nên AN song song v
ớ
i CE.
T
ọ
a
độ
trung
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1;0 : 2 1 0
E CE x y
− ⇒ + + =
; (AN):
2 3 0
x y
+ − =
và
(
)
(
)
: 2 1;
M CE M m m
∈ − −
.
6 7 6
. 0 ; : 3 5 0
5 5 5
BM CE m M DM x y
= ⇔ = − ⇒ − ⇒ − − =
.
T
ọ
a
độ
đ
i
ể
m P th
ỏ
a mãn
3 5 0
19 2
;
2 3 0
5 5
x y
P
x y
− − =
⇒ −
+ − =
.
Câu 15. [ĐVH]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A ngo
ạ
i ti
ế
p hình ch
ữ
nh
ậ
t MNPQ. Bi
ế
t các
đ
i
ể
m M(–3; –1) và N(2; –1) thu
ộ
c c
ạ
nh BC, Q thu
ộ
c c
ạ
nh AB, P thu
ộ
c c
ạ
nh AC,
đườ
ng th
ẳ
ng AB có ph
ươ
ng trình
5 0
− + =
x y
. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Lời giải.
Ta có
(
)
(
)
(
)
5;0 : 1
MN BC MN y
= ⇒ ≡ = −
, suy ra (MQ) qua M và vuông góc v
ớ
i BC:
3
x
= −
.
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
(
)
(
)
: 5 0 3;2
Q AB x y Q∈ − + = ⇒ −
;
(
)
(
)
6; 1
B AB B
∈ ⇒ − −
.
(NP) đi qua N và vuông với (BC):
2
x
=
; (PQ) đi qua Q và song song với (BC):
(
)
2 2;2
y P=
⇒
.
(AP) đi qua P và vuông góc với (AB):
4 0
1 9
4 0 : ;
5 0
2 2
x y
x y A A
x y
+ − =
+ − = ⇒ ⇔ −
− + =
.
(
)
(
)
(
)
5; 1
C AP BC C
= ∩
⇒
−
. Vậy ta có
( ) ( )
1 9
; , 6; 1 , 5; 1
2 2
A B C
− − − −
.
Câu 16. [ĐVH]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông Oxy, cho
đườ
ng tròn
2 2
( ): 4 2 11 0
+ − + − =
C x y x y và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 3 9 0
− + =
d x y
. G
ọ
i A; B là hai
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng
th
ẳ
ng d, C là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng tròn (C) . Bi
ế
t
đ
i
ể
m
22 11
;
5 5
H
là m
ộ
t giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AC v
ớ
i
đườ
ng tròn
(C) ,
đ
i
ể
m
6 7
;
5 5
H
−
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh AB. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m A, B, C bi
ế
t di
ệ
n tích t
ứ
giác
AHIK b
ằ
ng 24 và hoành
độ
đ
i
ể
m A d
ươ
ng.
Lời giải.
Đườ
ng tròn (C) có tâm
(
)
2; 1 , 4
I R
− =
. Ta có
12 16
;
5 5
IH
=
nên IH song song v
ớ
i d,
: 4 3 11 0
IH x y
− − =
.
Ta có
(
)
; 4
d I AB
=
nên d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C), suy ra
(
)
(
)
; ; 4
d K IH d H AB
= =
.
( ) ( )
1 1 1 1
. . ; . . ; 24 .4.4 . .4 24 8
2 2 2 2
AHIK IHK AHK
S S S R d K IH AK d H AB AK AK
= + = + = ⇔ + = ⇔ =
.
( )
2 2
4 3 9 0
4 3 9 0
6 7 39 18 39
; ; 0 64 ; 5 ;
5 5 5 5 5
0 0
x y
x y
A x y x x y y A
x x
− + =
− + =
> ⇒ + + − = ⇒ ∈ − ⇒
> >
. Suy ra
(
)
6; 5
B
− −
.
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng AC:
26 17
7 33 0 ;
5 5
x y C
+ − = ⇒ −
ho
ặ
c
22 11
;
5 5
C
.
Câu 17. [ĐVH]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
đ
i
ể
m A(1; 0) và các
đườ
ng tròn
2 2
1
( ) : 2
C x y
+ =
và
2 2
2
( ): 5
C x y
+ =
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m B và C l
ầ
n l
ượ
t n
ằ
m trên (C
1
) và (C
2
)
để
tam
giác ABC có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t, v
ớ
i
1
B
x
<
Lời giải:
Nh
ậ
n th
ấ
y khi di
ệ
n tích tam giác ABC
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t thì O chính là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác ABC.
Và ta có:
,
OC AB OA BC
⊥ ⊥
. Khi
đ
ó g
ọ
i
(
)
(
)
; , ;
B B C C
B x y C x y
thì
B C
x x
=
do
OA BC
⊥
Ta l
ạ
i có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1; , ; , ; , 1;
B B B C B B C C
AB x y OC x y OB x y AC x y
= − = = = −
M
ặ
t khác:
(
)
2
. 0 1 . 0 .
B B B C B C B B
CO AB AB CO x x y y y y x x
⊥ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = −

(
)
2 2 4 3 2
2
B C B B B
y y x x x
⇔ = − + ∗
Và
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 1
5 5
B B B B
B
C C C B
x y y x
x
x y y x
+ = = −
⇒ − < <
+ = = −
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Thay vào
(
)
∗
ta có:
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2
2 5
B B B B
x x x x
− − = − ⇔
(
)
(
)
3 2 2
2 8 10 0 1 5 5 0 1
B B B B B B C
x x x x x x x
− + = ⇔ + − + = ⇔ = = −
Khi đó tọa độ các điểm B và C cần tìm là:
(
)
(
)
1; 1 , 1; 2
B C
− ± − ±
Câu 18. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có
0
60
BAD = . Trên
các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB. Biết
(
)
3;1
P thuộc đường thẳng DN và
đường phân giác trong của góc
MDN
có phương trình là
: 3 6 0
− + =
d x y
. Tìm toạ độ đỉnh D của hình
thoi ABCD.
Lời giải:
Giả thiết:
60 &
o
BAC ABD CBD
= ⇒ ∆ ∆
là các tam giác đều. Theo bài ta có:
,
AM BN BM CN
= =
Ta có:
60
o
DAM DBN
AD BD ADM BDN ADM BDN
AM BN
= =
= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
=
Tương tự ta có:
BMD CND NDC MDB
∆ = ∆ ⇒ =
Từ trên suy ra
60
o
MDN = .
Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường phân giác:
: 3 6 0
− + =
d x y
. Suy ra điểm Q thuộc DM.
Suy ra tam giác PDQ là tam giác đều
( )
( )
3 6
2 , 2. 6
4
P P
x y
DP PQ d P d
− +
⇒ = = = =
Điểm
( )
(
)
: 3 6 0 3 6;
D d x y D d d
∈ − + = ⇒ −
Ta có:
( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
3 3;3 3 1
3 3 1
3 6 3 3 36
1
3 6;1
D
d
PD d d
d
D
+ +
= +
⇒ = − − + − = ⇔ ⇒
=
−
Vậy có 2 điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
(
)
(
)
3 3;3 3 1 , 3 6;1
D D+ + −
Câu 19. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường
thẳng
1
:2 2 0
− + =
d x y , đỉnh C thuộc đường thẳng
2
: 5 0
− − =
d x y . Gọi H là hình chiếu của B xuống
đường chéo AC . Biết
9 2
;
5 5
M
; K(9; 2) l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AH và CD. Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a
hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD bi
ế
t hoành
độ
đỉ
nh C l
ớ
n h
ơ
n 4.
Lời giải:
Ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2
;2 2 , ; 5 4
B d B b b C d C c c c
∈ ⇒ + ∈ ⇒ − >
G
ọ
i E là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a B qua C nên
(
)
2 ;2 2 12
E c b c b→ − − −
Trong tam giác ABE, CK chính là
đườ
ng trung bình nên K c
ũ
ng là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AE.
Trong tam giác AHE có M, K l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m AH và AE nên MK là trung bình c
ủ
a tam giác:
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
72 16 72 76
2 ; 2 ;2 2
5 5 5 5
HE MK H c b c b
⇒ = = ⇒ − − − −
Ta có:
( ) ( )
72 86 9 27
9 ; 7 , ; 2 7 , 2 2 ;2 4 , ;
5 5 5 5
CK c c BC c b c b BH c b c b MC c c
= − + = − − − = − − − − = − −

Lại có: BH vuông góc AC
(
)
H AC
∈
, CK vuông góc BC:
( )
2
2
1
2 3 23 23 49 0
. 0
4
126 594
4 6 46 0
. 0
95 5
b
c bc b c
CK BC
c L
c bc b c
BH MC
c
=
− + − + =
=
⇔ ⇔ ⇔ =
− + − + =
=
=
(
)
(
)
1;4 , 9;4
B C⇒
, mà K là trung
đ
i
ể
m CD
(
)
9;0
D⇒
M
ặ
t khác, C là trung
đ
i
ể
m BE,
(
)
(
)
17;4 , 1;0
E KA KE A= ⇒
V
ậ
y t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t là:
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0 , 1;4 , 9;4 , 9;0
A B C D
Câu 20. [ĐVH]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngo
ạ
i ti
ế
p
đườ
ng
tròn (C):
2 2
32
( 5) ( 6)
5
− + − =x y
. Bi
ế
t r
ằ
ng các
đườ
ng th
ẳ
ng AC và AB l
ầ
n l
ượ
t
đ
i qua các
đ
i
ể
m M(7; 8)
và N(6; 9). Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thoi ABCD.
Lời giải:
Đườ
ng tròn
( )
(
)
5;6
:
4 10
5
I
C
R
=
do
đ
ó
(
)
5;6
I
là tâm c
ủ
a hình thoi:
Ta có:
AC
qua
(
)
(5;6), (7;8) 2;2 : 1 0
AC
I M u AC x y
⇒ ⇒ − + =
Đườ
ng th
ẳ
ng BD qua
(
)
5;6
I
và vuông góc v
ớ
i AC nên ph
ươ
ng trình
: 11 0
BD x y
+ − =
G
ọ
i
( )
(
)
2 2
; : ( 6) ( 9) 0, 0
AB
n a b AB a x b y a b
= ⇒ − + − = + ≠
M
ặ
t khác
( ) ( )( )
2 2
3
32
; 9 13 3 0
5
a b
R d I AB a b a b
a b
+
= ⇒ = ⇔ − + =
+
+) V
ớ
i
9 13
a b
=
ch
ọ
n
13, 9 :13 9 159 0
a b AB x y
= =
⇒
+ − =
Khi
đ
ó t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
13 9 159 0
75 86 35 46
: ; ;
1 0
11 11 11 11
x y
A AB AC A C
x y
+ − =
= ∩ ⇒ ⇒
− + =
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
/ /
CD AB
và qua
35 46
; :13 9 79 0
11 11
C CD x y
⇒ + − =
Khi
đ
ó t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
( ) ( )
13 9 79 0
: 5;16 15; 4
11 0
x y
D BD CD C D
x y
+ − =
= ∩ ⇒ − ⇒ −
+ − =
+) V
ớ
i
3
a b
= −
ch
ọ
n
1, 3 : 3 21 0
a b AB x y
= = −
⇒
− + =
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Khi đó tọa độ điểm
( ) ( )
3 21 0
: 9;10 1;2
1 0
x y
A AB AC A C
x y
− + =
= ∩ ⇒ ⇒
− + =
Phương trình đường thẳng
/ /
CD AB
và qua
(
)
1;2 : 3 5 0
C CD x y
⇒ − + =
Khi đó tọa độ điểm
( ) ( )
3 5 0
: 7;4 3;8
11 0
x y
D BD CD C D
x y
− + =
= ∩ ⇒ ⇒
+ − =
Kết luận: Vậy có 2 hình thoi thõa mãn yêu cầu bài toán
Câu 21. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) có bán
kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4;2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn (O
1
)
và (O
2
) lần lượt tại D và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối tâm O
1
, O
2
có phương trình
3 0
− − =
x y
và diện tích tam giác BCD bằng
24
5
Lời giải:
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
CD
(
)
( )
qua 4;2
: 3 2 0
3;1
A
CD x y
u
⇒ − + =
=
M
ặ
t khác
A,B,
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
d:
3 0
x y
− − =
G
ọ
i
( )
. 0
;
d
AB u
B a b
I d
=
⇒
∈
(v
ớ
i I là trung
đ
i
ể
m AB)
Ta có:
(
)
(
)
( )
4 2 0
5
5;1
4 2
1
3 0
2 2
a b
a
B
a b
b
− + − =
=
⇒ ⇒
+ +
=
− − =
( )
1 1 4 24 12
. ; . 10
2 2 5 5
10
BCD
S CD d B CD CD CD= = = ⇒ =
M
ặ
t khác nh
ậ
n th
ấ
y
BCD
∆
cân t
ạ
i B do
BCD BDC
= ( cùng ch
ứ
a cung AB và 2
đườ
ng tròn này b
ằ
ng
nhau)
G
ọ
i K là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a B lên CD ta có:
(
)
(
)
3 2; 3 7; 1 . 0
CD
K t t BK t t BK u
− ⇒ − − ⇒ =

11 23 11
;
5 5 5
t K
⇒ = ⇒
G
ọ
i
( )
( )
( )
2 2
2
41 17
1 1;1 ;
5 5
33 11 72
3 2; 3
5 5 5
17 41 17
; 1;1
5 5 5
u C D
C u u KC u u
u C D
= ⇒ ⇒
− ⇒ = − + − = ⇒
= ⇒ ⇒
K
ế
t lu
ậ
n:
(
)
5;1
B
( )
41 17
1;1 , ;
5 5
C D
ho
ặ
c
(
)
5;1
B
,
( )
41 17
; , 1;1
5 5
C D
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Câu 22. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
2
2
5
( ): ( 1) 2
4
− + − =
C x y
. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông ABCD bi
ế
t các
đỉ
nh B và C thu
ộ
c
đườ
ng tròn (C), các
đỉ
nh A và D
thu
ộ
c tr
ụ
c Ox.
Lời giải:
(
)
:
C
tâm
5
;1 , 2
4
I R
=
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d là trung tr
ự
c c
ủ
a
,
AD BC
xác
đị
nh:
Qua
5
;1
4
I
và vuông góc v
ớ
i Ox
: 1
d x
⇒ =
Ta có:
(
)
; 1 2
d I AD R
= < =
do
đ
ó AD c
ắ
t (C)
Đặ
t
độ
dài c
ạ
nh c
ủ
a hình vuông là
m
ta có:
(
)
; 1
d I BC m R
= − <
M
ặ
t khác
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
; 1 2 2
2
2 4
5
m
BC m
d I BC R m m
m
=
+ = ⇒ + − = ⇔ ⇒ =
−
=
V
ớ
i
2
m
=
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0 , 2;0 , 0;2 , 2;2
A D B C
ho
ặ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
2;0 , 0;0 , 2;2 , 0;2
A D B C

Tài liệu khác của Toán 10

Preview text:

Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM TUYỂN CHỌN
CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HÌNH PHẲNG OXY
(Sách quý, chỉ bán chứ không tặng)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 2 2
x + y + 3xy = 
(x + y)(xy + 2)−1
Câu 1. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  x + 2 
( 2x + y) =1+ 1− y Lời giải 2 x + y ≥ 0 2 ĐK:  . Ta có: PT ( )
1 ⇔ ( x + y) + xy = ( x + y) xy + 2( x + y) −1  y ≤ 1
⇔ (x + y)2 − (x + y) + = xy(x + y − ) ⇔ (x + y − )2 2 1 1 1
= xy (x + y − ) 1 ⇔ (x + y − )
1 ( x + y −1− xy) = 0 ⇔ ( x + y − ) 1 ( x − ) 1 ( y − ) 1 = 0 • 1
Với x = 1 ⇒ 2 + 2 y = 1− y ⇔ y = − 3 x ≤ 1 • Với 2
y = 1 ⇒ x + 2x + 2 = 1 ⇔  ⇔ x = −1 2 x + 2x +1 = 0
• Với x + y = ⇒ x +
( 2x − x+ ) = x + ⇔ ( 2 1 2 1 1 2 x − x + )
1 = (1− x) + x a  + b ≥ 0 Đặt a = 1− ;
x b = x ta có: 2( 2 2
a + b ) = a + b ⇔ ( ⇔ = ≥ .  a  − b) a b 0 2 = 0 x ≤ 1 3 − 5
Khi đó 1− x = x ⇔  ⇔ x = 2
x − 3x +1 = 0 2      − − + 
Vậy HPT có 3 nghiệm ( x y) = (  − ) 1 3 5 1 5 ; 1;1 ;1; − ; ;      3    2 2   x + 3 
= (x + 3y)( y − ) 1  2
Câu 2. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2  9x +16
6 y − 7 + 4 − 2x =  8 Lời giải:  7
y ≥ ; x ≤ 2 ĐK:  6 . Khi đó: PT ( )
1 ⇔ x + 3y − 3( y − )
1 = 2 ( x + 3y)( y − ) 1 .
x + 3y ≥ 0
Đặt u = x + 3y;v =
y −1 (u;v ≥ 0) Ta có: 2 2
u − 2uv − 3v = 0 ⇔ (u + v)(u − 3v) = 0 ⇒ u = 3v ⇔ x + 3y = 9y − 9 ⇔ x = 6y − 9 Thay vào (2) ta có: 2 x + + − x = x +
⇔ ( x + ) + − x + ( 2 − x ) 2 2 2 4 4 2 9 16 4 2 4 16 16 16 2 4 = 9x +16 ⇔ ( 2 − x ) + ( 2 − x ) 2 8 4 16 2 4
= x +8x . Đặt t = ( 2
2 4 − x ) ≥ 0 ta có: 2 2
4t +16t = x + 8x ⇔ (  =
t − x)( t + x + ) 2t x 2 2 8 = 0 ⇔  2t
= −x − 8 (loai)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] xx ≥ 0 4 2 4 2 + 27
Với 2t = x ⇒ 2( 2 4 − x ) = ⇔  ⇔ x = ⇒ y = 2 2 9  x = 32 3 18 2  y 2 2
x − 2 x + x + y =  3
Câu 3. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
x(x + y ) 2 2 y 2 2 =  3 Lời giải: x ( 2 2 x + y 2 2 )
ĐK: x ≥ 0 . Thế PT(2) vào PT(1) ta có: x − 2 x + x + y = 2  + = ⇔ x ( x y x x − 2) 2 2 +
(2− x)=0⇔( x −2) x − x + y = ⇔  2 ( 4 2 2 2 ) 0 2 2
4x = x + y 2 y 9 + 657 Với x = 4 ⇒ ( 2 16 + y ) = ⇔ 9( 2 16 + y ) 4 4 2
= y ⇔ y − 9y −144 = 0 ⇔ y = ± 3 2 2 2   2 2 4 y y 2 2 2
4x = x + yx + y = x =    x = 0; y = 0 3 3 Với 2 2 ⇒ 2
4x = x + y  2 y ⇔  ⇔  ⇔  2 2 2x =  yy
x = 1; y = ± 3  3 x = x =  3    3     + 
Kết luận: Vậy HPT có nghiệm ( x y) ( ) ( ) 9 657 ; 0; 0 ; 1; 3 ; 4;  = ± ±   2       (x +3y + 
)1 2xy + 2y = y(3x + 4y +3) (1)
Câu 4. [ĐVH]: Giải hệ phương trình ( 
x + 3 − 2 y − 2  )( 2
x − 3 + x + x + 2 y − 4 ) = 4 (2) Lời giải: x ≥ −1  ĐK:  y ≥ 1
(*). Khi đó (1) ⇔ ( x + 3y + ) 1 y. 2( x + )
1 = y (3x + 4y + 3)  2
x + x + 2 y − 4 ≥ 0  a   3a  Đặt 2( x + ) 1 = ;
a y = b (a,b ≥ 0) 2 2 2 2 2 ⇒ 
+ 3b ab = b  + 4b   2   2  ⇔ ab( 2 2 a + b ) 2 = b ( 2 2
a + b ) ⇔ b( 3 2 2 3 6 3 8
a + 6ab − 3a b − 8b ) = 0
⇔ b(a − b)( 2 2 2
a − ab + 4b ) = 0 (3) 2 2  b  15b
Vì y ≥ 1 ⇒ b = y > 0 và 2 2
a − ab + 4b =  a −  + > 0.  2  4
Do đó (3) ⇔ a − 2b = 0 ⇔ a = 2b ⇒ 2 ( x + )
1 = 2 y ⇒ x +1 = 2 . y
Thế 2 y = x +1 vào (2) ta được ( x + − x + − )( 2 3 1 2
x − 3 + x + x + x +1− 4 ) = 4
⇔ ( x + − x − )( 2 3 1
x − 3 + x + 2x − 3 ) = 4 (4)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Do x ≥ 1 ⇒ x + 3 + x −1 > 0 nên
⇔ (x + − x + )( 2 (4) 3
1 x − 3 + x + 2x − 3 ) = 4( x + 3 + x −1) 2
⇔ x − 3+ x + 2x − 4 = x + 3 + x −1 (5)
Đặt x + + x − = t (t ≥ ) 2 2 3 1
0 ⇒ t = 2x + 2 + 2 x + 3. x −1 = 2x + 2 + 2 x + 2x − 3 2 t − 2 2 t − 2 t = 2 − 2
⇒ x + x + 2x − 3 = . Khi đó (5) trở thành 2
− 3 = t ⇔ t − 2t −8 = 0 ⇔  2 2 t = 4
Do t ≥ 0 nên chỉ có t = 4 thỏa mãn ⇒ x + 3 + x −1 = 4 ⇔
x + 3 = 4 − x −1 1  ≤ x ≤ 17
4 − x −1 ≥ 0  x −1 ≤ 4 1  ≤ x ≤ 17  13 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ = x + = x + − x −  x − =  ( x − ) 13 x 4 1 = 9 x = 4 3 15 8 1 2 1 3  4 13 17 17   ⇒ 2y = +1 = ⇒ y = . Thử lại ( x y) 13 17 ;
=  ;  thỏa mãn hệ đã cho. 4 4 8  4 8    Đ/s: ( x y) 13 17 ; =  ; .  4 8  1
 + 4(x − y + )2 1 3  =1+ (1)   x − y + x − y +
Câu 5. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2 ( 2) 2 ( )1 (x + 2 
)( x+ y +3 −2 y +1) 2 2
=1− x + y + 5x + 3 (2) Lời giải: ĐK: 2 2
x − y + 2 > 0; x + y + 3 ≥ 0; y +1 ≥ 0; x + y + 5x + 3 ≥ 0 (*).
Đặt 2( x − y + 2) = t ≥ 0. Khi đó (1) trở thành 1+ (t − 2)2 2 3 3 =1+ ⇔ ( 2t − 2) 2 3
+ t − 2 = t + t ⇔ f ( 2t − 2 = f t (3) 2 ) ( ) t t − 2 Xét hàm số ( ) 3
g u = u + u với u ∈ ℝ có g (u) 2 '
= 3u +1 > 0, u ∀ ∈ ℝ t = −1
⇒ g (u) đồng biến trên . ℝ Do đó 2
(3) ⇔ t − 2 = t ⇔  t = 2
Kết hợp với t ≥ 0 ⇒ chỉ có t = 2 thỏa mãn ⇒ 2( x − y + 2) = 2 ⇔ 2( x − y + 2) = 4 ⇔ x = . y
Thế y = x vào (2) ta được ( x + )( x + − x + ) 2 2 2 3 2
1 = 1− 2x + 5x + 3
⇔ (x + 2)( 2x +3 −2 x +1) =1− (x + )1(2x +3) (4)
Đặt 2x + 3 = a; x +1 = b (a,b ≥ 0). Khi đó (4) trở thành ( 2 2
a − b )(a − b) 2 2 2
= a − 2b − ab ⇔ (a + b)(a −b)(a − 2b) −(a + b)(a − 2b) = 0
⇔ (a + b)(a − 2b)(a −b − ) 1 = 0 (5)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]a = 2b
Với x ≥ −1 ⇒ a + b = 2x + 3 + x +1 > 0. Do đó (5) ⇔  a = b +1 x +1 ≥ 0 x +1 ≥ 0 •  1
a = 2b ⇒ 2x + 3 = 2 x +1 ⇔  ⇔  ⇔ = −  x  + = (x + ) 1 x 2 3 4 1 x = − 2  2 1 ⇒ 1
y = − . Thử lại x = y = − thỏa mãn hệ đã cho. 2 2 x ≥ 1 − x ≥ −1
• a = b +1⇒ 2x + 3 = x +1 +1 ⇔  ⇔ 
2x + 3 = x + 2 + 2 x +1
2 x +1 = x +1 x ≥ −1 x ≥ −1    x = 1
− ⇒ y = −1⇒ ( ;x y) = ( 1 − ;− ) 1
⇔  x +1 = 0 ⇔ x = 1 − ⇔    x
 = 3 ⇒ y = 3 ⇒ ( ; x y ) = (3;3) x  + =  = 3 x 1 2 Thử lại ( ; x y ) = (
{ −1;− )1, (3;3)} thỏa mãn hệ đã cho.    Đ/s: ( x y) = (  − − ) ( ) 1 1 ;
1; 1 , 3;3 ,  − ; − .   2 2   2 2 2 2 x + y
x + xy + y  + = x + y (1)
Câu 6. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 3
(x, y ∈ ℝ). 3 
6xy − x −1 = 5 − 8y + 2x −1 + 4 x + 2 y +1 (2) Lời giải:
ĐK: 2x −1 ≥ 0; x + 2 y +1 ≥ 0; 6xy − x −1 ≥ 0 (*). Khi đó có
(x + y )−(x+ y)2 = x + y − xy =(x− y)2 ≥ ⇒ (x + y ) ≥(x+ y)2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 x + yx + y x + y 1 1 ⇒ ≥   ≥ 0 ⇒
≥ x + y ≥ (x + y) (3) 2  2  2 2 2
(x + xy+ y )− (x+ y)2 = x + y − xy =(x− y)2 ≥ ⇒ (x + xy+ y )≥ (x+ y)2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 0 4 3 2 2 2 2 2
x + xy + yx + y
x + xy + y 1 1 ⇒ ≥   ≥ 0 ⇒
≥ x + y ≥ (x + y) (4) 3  2  3 2 2 2 2 2 2 x + y
x + xy + y Từ (3) và (4) ta có + ≥ x + .
y Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y ≥ 0. 2 3
Do đó (1) ⇔ x = y ≥ 0. Thế y = x vào (2) ta được 2
3 6x − x −1 = 5 − 8x + 2x −1 + 4 3x +1
⇔ 3 2x −1. 3x +1 = 5 −8x + 2x −1 + 4 3x +1 (5)
 3x +1 = a ≥ 0 Đặt 2 2 
⇒ 8x − 5 = 2a + b − 6. Khi đó (5) trở thành 2 2
3ab = −2a − b + 6 + b + 4a
 2x −1 = b ≥ 0 2
⇔ b + ( a − ) 2 3
1 b + 2a − 4a − 6 = 0. Coi đây là phương trình bậc hai ẩn b với a là tham số.
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  1− 3a + a + 5 b  = = −a + 3 2 2 2 Xét ∆ = (3a − ) 1 − 4( 2 2a − 4a − 6) 2
= a +10a + 25 = (a + 5) ≥ 0 ⇒  
1− 3a − a − 5 b = = −2a − 2  2
• b = −a + 3 ⇒ 2x −1 = 3− 3x +1 ⇔ 2x −1 + 3x +1 = 3 (6)
Với x > 1 ⇒ VT (6) > 2.1−1 + 3.1+1 = 3 ⇒ Loại. 1 Với
≤ x <1⇒ VT (6) < 2.1−1 + 3.1+1 = 3 ⇒ Loại. 2
Với x = 1 thế vào (6) ta thấy thỏa mãn. Do đó (6) ⇔ x = 1 ⇒ y = 1. Đã thỏa mãn (*). • b = 2
− a − 2 ⇔ 2a + b + 2 = 0 ⇒ 2 3x +1 + 2x −1 + 2 = 0. Phương trình vô nghiệm. Đ/s: ( ; x y ) = (1; ) 1 . ( 2  x  + x) 2
x − y + 8 = 3x + 2x + y +1 (1)
Câu 7. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
(x, y ∈ ℝ). (x  − 2) 2
x + x +1 + ( y + 2) 2
y + y + 2 = x + y (2) Lời giải:
ĐK: x − y + 8 ≥ 0 (*). Khi đó
⇔ ( 2x + x) x − y + − ( 2 (1) 8
3 x + x) + ( x − y − ) 1 = 0 ⇔ (
x − y + 8 − 9 2
x + x)( x − y + 8 −3) + (x − y − ) 1 = 0 ⇔ ( 2 x + x) ( ) . + (x − y − ) 1 = 0 x − y + 8 + 3 ( − − ) 2  x x  + ⇔ x y  +  = ⇔  
(x − y − )( 2 1 1 0
1 x + x + 3 + x − y + 8 ) = 0 (3)
 3 + x − y + 8  2  1  11 Ta có 2
x + x + 3 + x − y + 8 =  x +  +
+ x − y + 8 > 0.  2  4
Do đó (3) ⇔ x − y −1 = 0 ⇔ y = x −1. 2
Thế y = x −1 vào (2) ta được ( x − ) 2 2
x + x +1 + ( x −1+ 2) ( x − ) 1 + ( x − )
1 + 2 = x + ( x − ) 1 ⇔ (x − ) 2
x + x + + ( x + ) 2 2 1 1
x − x + 2 = 2x −1 (4) Đặt 2 2 x + x +1 = ;
a x − x + 2 = b (a,b ≥ 0). 2 2 2 2  a +1− b   a +1− b  Khi đó (4) trở thành 2 2 a  − 2 + b
+1 = a − b  2   2  ⇔ a( 2 2
a − b − ) + b( 2 2
a − b + ) = ( 2 2 3 3 2 a − b ) ⇔ ( 3 3
a − b ) + ab(a − b) − (a − b) − ( 2 2 3 2 a − b ) = 0 ⇔ (a −b)( 2 2
a + ab + b + ab − 3 − 2a − 2b) = 0
(a b)(a b)2 2(a b) 3 ⇔ − + − + − = 0 
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
⇔ (a −b)(a + b + )
1 (a + b − 3) = 0 (5) a = b
Do a, b ≥ 0 ⇒ a + b +1 > 0 nên (5) ⇔ (a − b)(a + b − 3) = 0 ⇔  a = 3 − b 2  + + ≥ 2 x x 1 0  + + ≥ • x x 1 0  1 2 2
a = b ⇒ x + x +1 = x − x + 2 ⇔  ⇔  1 ⇔ x = 2 2
x + x +1 = x − x + 2 x = 2  2 1 1  
⇒ y = −1 = − . Thử lại (x y) 1 1 ;
=  ;−  thỏa mãn hệ đã cho. 2 2  2 2  • 2 2 2 2 2
a = 3 − b ⇒ x + x +1 = 3 − x − x + 2 ⇒ x + x +1 = x − x +11− 6 x − x + 2 5  − x ≥ 0 x ≤ 5 2
⇔ 3 x − x + 2 = 5 − x ⇔  ⇔  9
 ( x − x + 2) = (5 − x)2 2 2 8
x + x − 7 = 0 x ≤ 5 x
= −1⇒ y = −1−1 = −2 ⇒ ( ;x y) = ( 1 − ; 2 − ) x = 1 −  ⇔  ⇔   7 7 1    7 x = ⇒ y = − = − ⇒   (x y) 7 1 1 ; =  ;−  x =  8 8 8  8 8   8    Thử lại ( x y) = (  − − ) 7 1 ;
1; 2 ,  ; −  thỏa mãn hệ đã cho.   8 8       Đ/s: ( x y) = (  − − ) 7 1 1 1 ;
1; 2 ,  ; − ,  ; − .   8 8   2 2   2 x + 
(x + y) x + 2y −1 = y(y +2 3y −1) (1)
Câu 8. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ∈ ( (x, y ℝ). 3 2  y + 6x + 4  ) 3 2
y + y + 4 = 2x ( 3 2
2 y + 3x + 8) (2) Lời giải:
x + 2y −1≥ 0 x + 2y ≥ 1   ĐK: 3  y −1 ≥ 0 ⇔  1 (*) 3 2 3 2 3 2
⇒ y + 6x + 4 > 0; 2y + 3x + 8 > 0; y + y + 4 > 0.   y ≥ 3 2
y + y + 4 ≥ 0  3
Khi đó từ (2) ⇒ x > 0. Xét phương trình (1) ta có 1 Với 2 x > y ≥
⇒ VT (1) > y + ( y + y) y + 2y −1 = y( y + 2 3y −1) = VP (1) ⇒ Loại. 3 Với 2
0 < x < y ⇒ VT (1) < y + ( y + y) y + 2y −1 = y ( y + 2 3y −1) = VP (1) ⇒ Loại.
Với x = y thế vào (1) ta thấy đã thỏa mãn. Do đó (1) ⇔ x = . y
Thế y = x vào (2) ta được ( 3 2 x + x + ) 3 2 x + x + = x( 3 2 6 4 4 2 2x + 3x + 8) (3) 3 2 2 2
x + 6x + 4 = a + 5x Đặt 3 2
x + x + 4 = a > 0 ⇒  2x  ( 3 2
2x + 3x + 8) = 2x( 2 2 2a + x )
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Khi đó (3) trở thành a ( 2 2
a + x ) = x( 2 2 a + x ) 3 2 2 3 5 2 2
⇔ 2x − 5ax + 4a x − a = 0 ⇔ ( − )  = 2 ( x a x a
2x − a) = 0 ⇔  2x = ax ≥ 0 x ≥ 0 • 3 2
x = a ⇒ x = x + x + 4 ⇔  ⇔  ⇔ x ∈ . ∅ 2 3 2 3
x = x + x + 4 x + 4 = 0 x 0  ≥ x  ≥ 0 • 3 2
2x = a ⇒ 2x = x + x + 4 ⇔  ⇔  ⇔ x =
4x = x + x + 4 (x  − 2) 2. 2 2 3 2 (x + )1 = 0 ⇒ y = 2 ⇒ ( ;
x y ) = (2;2). Thử lại x = y = 2 thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( ; x y ) = (2;2). 3 2 2 3
x + xy − y = x y + y − x, 
Câu 9. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2 2  3 2x − y + 7  x + = y  (x + ) . 2 1 Lời giải.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 3 2 2 3
x + xy + x − x y − y − y = ⇔ ( x − y)( 2 2 0 x + y + )
1 = 0 ⇔ x = y . 2 3 x + 7
Khi đó phương trình thứ hai trở thành 2 2 x + = ⇔ x + x + = x + x . x 2 ( x + ) (2 2) 3 ( 7) 1 Đặt 2
x + 3 = u; x = v (u > 0;v > 0) ta thu được ( uv = 2 2 2v + 2)u = ( 2
u + 4)v ⇔ uv(2v − u) = 2(2v − u) ⇔  2v = u 3 3 uv = ⇔
x + x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − )( 2 2 3 2 3 4 0
1 x + x + 4) = 0 ⇔ x =1. x = 1 2
2v = u ⇔ x + 3 = 4x ⇔  x = 3
Phương trình ẩn x có nghiệm S = {1; } 3 dẫn đến ( ; x y ) = (1; )
1 , (3;3) . Thử lại nghiệm đúng hệ ban đầu. 2 2
4x + 4xy + y + 2x + y = 2,
Câu 10. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 8
 1− 2x + y = 9. Lời giải. 1 Điều kiện x ≤
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 (
x + y = t
 x + y = t 2x + y) 2 2
2 + 2x + y − 2 = 0 ⇔  ⇔  2 t  + t − 2 = 0 t  ∈{−2; } 1  
y = u;u ≥ 0
y = u;u ≥ 0 x = 0 Xét 2
t = 1 ⇒ 8 y + y = 9 ⇔  ⇔  ⇔ u =1⇒  4 8  u + u = 9 (u −  )1( 3 2
u + u + u + 9) = 0  y = 1
Xét t = −2 ⇒ 2x + y = 2
− ⇔ 1− 2x = y + 3 ⇒ y + 3 ≥ 0 .  y = −3 Ta có 2
8 y + 3 + y − 9 = 0 ⇔ 8 y + 3 + ( y + 3)( y − 3) = 0 ⇔  8
 + ( y − 3) y + 3 = 0
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Đặt 3
y + 3 = v, v ≥ 0 ⇒ v − 6v + 8 = 0 (1).
Xét hàm số f (v) 3
= v − v + v ≥ ⇒ f ′(v) 2 6 8; 0 = 3v − 6 .
Ta có f ′(v) = 0 ⇔ v = ± 2 . Khảo sát hàm số có f (0) < f ( 2) ⇒ f (v) > f (0) = 8 − 4 2 > 0 .  
Do đó (1) vô nghiệm. Kết luận hệ có nghiệm ( x y) = ( ) 1 ; 0;1 ,  ; 3 − .  2  2 3
2xy − 2y + 3x = 3y,
Câu 11. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 2
2 2y − 3 + x + 3y − 4 = y +19x − 28. Lời giải.
Điều kiện các căn thức xác định.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x = y 2 3
2xy + 3x − 2 y − 3y = 0 ⇔ ( x − y)( 2 2 y + 3) = 0 ⇔  ⇔ x = y . 2 2 y = −3
Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 2
2 2x − 3 + x + 3x − 4 = x +19x − 28 2 ⇔
x − + x + x − = ( x − ) 2 2 2 3 3 4 8 2
3 + x + 3x − 4 Đặt 2 2x − 3 = ; a
x + 3x − 4 = b (a ≥ 0;b > 0) ta thu được a = 0 2 2 2 2 2 2
2a + b = 8a + b ⇔ 4a + 4ab + b = 8a + b ⇔ a (a − b) = 0 ⇔  a = b • 3 a = 0 ⇔ x = . 2   • 1 − − 5 −1+ 5  2 2
a = b ⇔ 2x − 3 = x + 3x − 4 ⇔ x + x −1 = 0 ⇔ x ∈  ;  .  2 2  3
Đối chiếu điều kiện và thử trực tiếp suy ra nghiệm duy nhất x = y = . 2
(x − y + ) 2 1
2 y −1 + xy + x +1 = y
Câu 12. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  9  ( y − )2
1 − 5x = (3 − y) 2 3x − 8x + 3 Lời giải. 1 Điều kiện 2
y ≥ ;3x − 8x + 3 ≥ 0 . 2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (x − y + ) 2 1
2 y −1 + xy + x = y −1 ⇔ ( x − y + ) 1
2 y −1 + ( x − y + ) 1 ( y + ) 1 = 0 ⇔ (x − y + )
1 ( 2y −1 + y + )
1 = 0 ⇔ y = x +1
Phương trình thứ hai khi đó trở thành
x − x = ( − x)
x − x + ⇔ ( x − )2 2 2 9 5 2 3 8 3 3
1 + x −1 = (2 − x) (2 − x)(1− 3x) − ( x − ) 1 . Đặt 2
1− 3x = t; 3x − 8x + 3 = y ( y ≥ 0) ta thu được hệ phương trình 2 t
 + x −1 = (2 − x) yt = y 2 2 
⇒ t − y = (2 − x)( y − t) ⇔ (t − y)(t + y + 2 − x) = 0 ⇔  2  y
+ x −1 = (2 − x)t
t + y = x − 2  1  1  ≤  ≤ • x x 1+ 13 2
t = y ⇔ 1− 3x = 3x − 8x + 3 ⇔  3 ⇔  3 ⇔ x = − . 6  2 2  2 3
x − 8x + 3 = 9x − 6x +1 3
x + x −1 = 0
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  3  ≥ • x 2
t + y = x − 2 ⇔ 3x − 8x + 3 = 4x − 3 ⇔  4 (Hệ vô nghiệm).  2 1
 3x −16x + 6 = 0 13 +1 − 13 + 5
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = − ; y = . 6 6
(x − y + 2) x + y +1+ x(4+ x) 2 = y − 4,
Câu 13. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  4 4 4
 x + y − 3 + 15x +1 = 3 y − 2. Lời giải. 1
Điều kiện x + y ≥ 3; y ≥ 2; x ≥ − . 15
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
(x − y + ) x + y + + x + x + − y = ⇔ (x − y + ) x + y + +(x + )2 2 2 2 2 1 4 4 0 2 1 2 − y = 0
⇔ (x − y + 2) x + y +1 + (x + y + 2)(x − y + 2) = 0 ⇔ (x − y + 2)( x + y +1+ x + y + 2) = 0 ⇔ y = x + 2 1
Khi đó phương trình thứ hai trở thành 4 4 4
2x −1 + 15x +1 = 3 x . Điều kiện x ≥ . 2 4 4 2x −1 15x +1 1 1
Phương trình đã cho tương đương với 4 4 + = 3 ⇔ 2 − + 15 + = 3 . 4 4 x x x x 1 1 Đặt 4 4 2 − = ; a 15 +
= b (a ≥ 0;b ≥ 0) ta thu được hệ phương trình x xa b 3 b  + =  = 3 − a b  = 3 − a  ⇔  ⇔  4 4 4 a + b = 17 a  + (a −3)4 4 3 2 =17 a
− 6a + 27a − 54a + 32 = 0 (∗) 2 Ta có (∗) 4 3 2 2
⇔ a − a + a + a − a + = ⇔ ( 2 a − a) + ( 3 6 9 18 54 32 0 3
18 a − 3a) + 32 = 0 ⇔ ( 1 2 a − 3a + 2)( 2
a − 3a +16) = 0 ⇔ (a − ) 1 (a − 2)( 2
a − 3a +16) = 0 ⇒ a ∈{1; } 2 ⇒ ∈{ 1 − 4; } 1 ⇒ x = 1 x
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất x = 1; y = 3 .  ( − )2 4xy x y + = 1
Câu 14. [ĐVH]: Giải hệ phương trình: x  + y 4x
+ 3x + y = (3x + y − 6)2 + 4 x + y Lời giải x + y > 0 Điều kiện:  3x + y ≥ 0 ⇔ (x + y)2 4xy (1) −1+ − (x + y) = 0 (x y ) + > ( x y )2 1 x y ⇔ + − − + +
= 0 ⇔ x + y = 1 x y ) x + y  (Do 0 Thay vào (2) ta được 2x − 3 2 2
2x + 1 = 4x − 24x + 29 ⇔ 2x + 1 − 2 = 4x − 24x + 27 ⇔
= (2x − 3)(2x − 9) 2x + 1 + 2  3 1 x = ⇒ y = −  2 2 ⇔  1  = 2x − 9(*)  2x +1 + 2
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  t = −3  1  1 + 29
Xét (*) : Đặt t = 2x + 1 (t ≥ 0) ta được 2 3 2
= t −10 ⇔ t + 2t −10t − 21 = 0 ⇔ t = t 2  + 2   1 − 29 t =  2 1 + 29 13 + 29 −9 − 29
Do t ≥ 0 nên t = ⇒ x = ⇒ y = 2 4 4     + +
Vậy hệ có nghiệm ( x y) 3 1 13 29 9 29 , =  ,− , , −  .  2 2  4 4   3
 y = 2 + 1− x
Câu 15. [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x + 1 + 
(x + )1( y − 2) + x + 5 = 2y + y − 2 Lời giải Điều kiện: x ≥ 1 − , y ≥ 2
(2) ⇔ x + 1 + x + 1 + ( x + )
1 ( y − 2) − 2 ( y − 2) − y − 2 = 0 Đặt a = x + 1,b =
y − 2 (a,b ≥ 0) ta được 2 2
a + a + ab − 2b − b = 0 ⇔ (a − b)(a + 2b + ) 1 = 0
⇔ a = b (Do a,b ≥ 0 )
Với a = b ⇔ x + 1 =
y − 2 ⇔ x + 1 = y − 2 ⇔ y = x + 3 thay vào (1) được 3
x + 3 − 1 − x = 2 u − v = 2 Đặt 3
u = x + 3, v = 1 − x với u ≥ 0 ta có  2 3 u + v = 4 ⇒ v + (v + )2 3 3 2 2
= 4 ⇔ v + v + 4v = 0 ⇔ v = 0 ⇔ x = 1 ⇔ y = 4 (thỏa mãn)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x, y) = (1;4) .  ( − )2 1 − 4xy x y +1− x − y =
Câu 16. [ĐVH]: Giải hệ phương trình x + y   2 2x
+ y − 2x = (x − y) 2 y + 2 Lời giải
Điều kiện: x + y ≠ 0 ( −   ⇔ 2 1
x + y )2 − xy + − ( x + y) 1 4xy (1) 4 1 =
⇔ (x + y) − (x + y) + (1− 4xy)1−  = 0 x + yx + y  ⇔ ( + − )( − + −  − 
x + y) (1 4xy)( x y )1 +
= ⇔ (x + y − ) 1 4xy x y 1 0 1  x + y +  = 0 x + yx + y   x + y = 1 ⇔ 
( x + y)2 +1− 4xy = 0 ⇔ ( x − y)2 +1 = 0(loai)
Với x + y = 1 thay vào (2) ta được 2
x − x + = ( x − ) 2 2 3 1 2 1 x − 2x + 3 Đặt 2 t =
x − 2x + 3 ta được 2 t − ( x − ) 2 2
1 t + x − x − 2 = 0  2x − 1 + 3 t = = x +1  2 2
Ta có ∆ = ( x − ) − ( 2 2 1
4 x − x − 2) = 9 nên  2x  −1− 3 t = = x − 2  2
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]x ≥ −1 1 1 Với 2
t = x + 1 ⇔ x − 2x + 3 = x + 1 ⇔  ⇔ x = ⇔ y = 2 2
x − 2x + 3 = x + 2x + 1 2 2 x ≥ 2 x ≥ 2  Với 2 t = x − 2 ⇔
x − 2x + 3 = x − 2 ⇔  ⇔  vô nghiệm. 2 2 1
x − 2x + 3 = x − 4x + 4 x  =  2  
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x y) 1 1 , =  ,  .  2 2  2 2
 2x − xy − y − 2x − y = 0 (1)
Câu 17. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
 x − 2 + y + 2 = 3 (2) Lời giải x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 Điều kiện:  ⇔   y + 2 ≥ 0  y ≥ −2
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương (  + =
x + y)( x − y) − ( x + y) = ⇔ ( x + y)( x − y − ) 2x y 0 2 2 0 2 1 = 0 ⇔ 
x − y −1 = 0
Vì x ≥ 2, y ≥ −2 ⇒ 2x + y ≥ 2.2 − 2 = 2 > 0
Với x − y −1 = 0 ⇒ y = x −1 thay vào phương trình (2) ta được
x − 2 + x + 1 = 3 ⇔ 2x −1 + 2 ( x − 2)( x + ) 2 1 = 3 ⇔
x − x − 2 = 2 − xx ≤ 2 ⇔ 
⇒ x = 3 ⇒ y = 2 2 2
x − x − 2 = x − 4x + 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; x y ) = (3;2)
x + y = x + y + (x − y)2 3 3 2 2 (1) 
Câu 18. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2  x − 3y +10  = 2 5 − y (2)  x + 1 Lời giải 5  − y ≥ 0  y ≤ 5 Điều kiện:  ⇔  x + 1 ≠ 0 x ≠ −1
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương
x + y = 2x + 2 y − 2xy ⇔ ( x + y)3 − 3xy ( x + y) = 2( x + y)2 3 3 2 2 − 6xy x y ⇔ (x + y)  + − 2 = 0
2 (x + y − 2) −3xy(x + y − 2) = 0 ⇔ (x + y − 2)( 2 2
x − xy + y ) = 0 ⇔  2 2
x − xy + y = 0 2 2  y  3y Ta có 2 2
x − xy + y =  x −  + > 0  2  4
Với x + y − 2 = 0 ⇒ y = 2 − x thay vào phương trình (2) ta được 2
x + 3x + 4 = 2 x + 3 ⇔ x + 3x + 4 = 2(x + )1 x + 3 ⇔ (x + )1 − 2(x + )1 x + 3 + ( x +3)2 2 2 = 0 x + 1 ⇔ (  ≥ −  ≥ −  = ⇒ = x + − x + )2 x 1 x 1 x 1 y 1 1 3
= 0 ⇔ x +1 = x + 3 ⇔ ( ⇔  ⇔   x  + )2 2 1 = x + 3
x + x − 2 = 0 x = 2 − (loai)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; x y ) = (1; ) 1
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  2 3
x ( x − y) = xy + y ( 2
3x − y y − y) (1)
Câu 19. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2
 3x + x = y + y (2) Lời giải
Điều kiện: y ≥ 0
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương 2
x ( x − y) 2 2 2
= xy + x y − y − y y ⇔ x (x − y − y ) − y(x − y − y ) = ⇔ (x − y − y )( 2 3 3 3 0 3x − y) = 0
Với x − y − y = 0 ⇒ x = y + y thay vào phương trình (2) ta được 2 2 3x + y + y = y +
y ⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 Với 2 2
3x − y = 0 ⇒ y = 3x thay vào phương trình (2) ta được 2 2 2
3x + x = 3x + 3x ⇔ x = 3 x ⇒ x = 0 ⇒ y = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; x y ) = (0;0)  2
x + x + x + 1 = xy + y
Câu 20. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2  y − 5x 2  = −x + 2x +1  y − 2 Lời giải:   x ≥ 0 2 x + x ≥ 0 ⇒    x ≤ −1  1 Điều kiện: 2
−x + 2x +1 ≥ 0 và 2 x + x + ( 2 −x + 2x + )
1 ≥ 0 ⇒ x ≥ − ⇒ x ≥ 0  3 xy ≥ 0   y ≥ 2
Nếu x = 0 ⇒ y = 1 không thỏa mãn hệ. x x + 1 − y 2 ( )
Nếu x ≠ 0 thì (1) ⇔
x + x − xy + x + 1 − y = 0 ⇔
+ (x +1− y) = 0 2
x + x + xy
⇔ x +1− y = 0 (do x > 0 ) thay vào (2) được 2 x − 3x + 1 2 2
= −x + 2x +1 ⇔ x − 3x +1− (x − ) 2 1
−x + 2x +1 = 0 x − 1 Đặt 2
t = −x + 2x + 1 ta được 2 2
x − 3x + 1 = x − 2x − 1 − ( x − 2) Ta được 2
−t − (x − )t − (x − ) 2 1
2 = 0 ⇔ t + ( x − )
1 t + ( x − 2) = 0 ⇔ (t − )
1 (t − x + 2) = 0
Với t = 1 ⇔ x = 2 (do x > 0 ) x ≥ 2   3 + 3 x = 3 + 3 5 + 3 Với 2
t = x − 2 ⇔ −x + 2x + 1 = x − 2 ⇔  2 ⇔ x = ⇔ y =  2 2  3  − 3 x =  2   + +
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x y) 3 3 5 3 , =  ;  . 2 2  
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]   1  1 x  + y  = x + 2   yy
Câu 21. [ĐVH]: Giải hệ phương trình   x 1 2
+ x + 2 + 2 = 3 x + − 8   y y Lời giải:  x ≥ 0 
Điều kiện:  y > 0 
x + x + 2 ≥ 0  y x 1 xy − 1 x ( xy )1  1  − x (1) ⇔ −
+ x y − x = 0 ⇔ + = 0 ⇔ xy −1  +  = 0 ⇔ xy = 1 2 2 ( ) 2  y y y x y + xy x y + x  Thay vào (2) được 2 3 2 2 3 2 x + x + 2 + 2 =
x + x − 8 ⇔ x + x + 2 − x + x − 8 = −2  2 2 3
a = x + x + 2 a − b = 10 2 Đặt  ⇒  ⇒ (b − ) 3
− b = ⇔ (b + )( 2 2 0
1 b − 2b + 6) = 0 ⇔ b = −1 3 2
b = x + x −
a − b = −2 8 29 − 1 2 Với 2 2
b = −1 ⇔ x + x − 8 = −1 ⇔ x + x − 7 = 0 ⇔ x = ⇔ y =
(do x, y ≥ 0 ) 2 29 −1   −
Vậy hệ có nghiệm ( x y) 29 1 2 , =  ,  . 2  29 − 1   2 2 2
x +1 + x + y +1 − 2 y +1 = y +1, 
Câu 22. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  9xx + 8 + − 5 y = x.  2x − y + 8 Lời giải: x ≥ 0 Điều kiện   y ≥ 0 ( ) x − y
(x − y)(x + y) 1 ⇔ + 2 2 2 x +1 + y +1
x + y +1 + 2 y +1   ( + ⇔ x − y) 1 (x y)  +
 = 0 ⇒ x = y 2 2 2  x +1 + y +1
x + y +1 + 2 y +1    ( ) 9x 2 ⇔ x + 8 + − 6 x = 0 x + 8 2 2
⇔ x + 8 + 9x − 6 x + 8x = 0 ⇔ 5x + 4 = 3 x + 8x  4  4 5  x  + 4 ≥ 0 x ≥ − x ≥ − ⇔  ⇔  5 ⇔  5 ⇔ x =1 2
25x + 40x +16 = 9  ( 2x +8x)   1
 6x − 32x +16 = 0 (x  − )2 2 1 = 0
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] (x − y) 
( 2y+3+ )1+ x+ y+4+1=0,
Câu 23. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  1 3 2
2x + 5x + 4x +1 = x(x + y + 4) 2 x + .  x Lời giải:
Điều kiện căn thức xác định.
( )1 ⇔ x − y +1+ x + y + 4 +(x − y) 2y +3 = 0
⇔ x − y +1+ x + y + 4 − 2y + 3 + (x − y + ) 1 2 y + 3 = 0 x − y +1 ⇔ x − y +1+ + (x − y + ) 1 2 y + 3 = 0
x + y + 4 + 2 y + 3 (   ⇔ x − y + ) 1 1 1+
+ 2y + 3  = 0 ⇒ y = x +1   
x + y + 4 + 2 y + 3  (2) 1 1 1 3 2
⇔ 2x + 5x + 4x +1 = x(2x + 5) 2 2 x +
⇔ 2x + + 5x + 4 = (2x + 5) 2 x + x x x 2 1 1 1  1   1  2 2 2 2 2 2
⇔ x + − 2x x + + x − 5 x + + 5x + 4 = 0 ⇔  x + − x − 5 x + − x + 4 = 0     x x xx   x
2x − y +1+ (4x − 2y +5) 3x + y +1 = 3 x + 2y, 
Câu 24. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 y + 2  = . 2 19x  − + + − + 6 3 9x y 9x 3 Lời giải:
( )1 ⇔ 2x − y +1+3( 3x+ y +1− x+2y)+2(2x− y + )1 3x+ y +1 = 0 3(2x − y + ) 1 ⇔ 2x − y +1+ + 2(2x − y + ) 1 3x + y +1 = 0
3x + y +1 + x + 2 y (   ⇔ x − y + ) 3 2 1 1+
+ 2 3x + y +1 = 0 ⇔ 2x − y +1 = 0   
3x + y +1 + x + 2 y  ( ) 2 2x + 3 2 ⇔ =
⇔ 38x +12 = (6x + 9) 2 9 − x +11x − 2 2 19x − + − + 6 3 9x 11x 2 2 2 2 2
⇔ −9x +11x − 2 − 6x −9x +11x − 2 + 9x − 9 9
− x +11x − 2 + 27x +14 = 0 ⇔ ( 9
− x +11x − 2 − 3x)2 2 − 9( 2
−9x +11x − 2 − 3x)+14 = 0  2
x + ( y − 2)( x − y) + xy = 2y (1) 
Câu 25. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  ∈ℝ 6 − 5 1 x y x
xy + x + 5 − =  ( 2y+1−2) ( , ). 2 (2) 4 4 Lời giải: xy ≥ 0   1 ĐK:  y ≥ − (*). 2  2 x
+ ( y − 2)(x − y) ≥ 0
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Khi đó từ (1) ⇒ y ≥ 0. Kết hợp với xy ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. 2 2 2
x − y + y − 2 x − y xy − y Ta có 2 (1) ⇔
x + ( y − 2)( x − y) ( )( )
− y + xy − y = 0 ⇒ + = 0 2
x + ( y − 2)( x − y) + y xy + y (  
x − y)( x + y + y − 2)
y ( x − y) ( + − x y ) x 2 y 2 y 0   ⇔ + = ⇔ − + = 0 2
x + ( y − 2)( x − y)  2 + y xy y x
+ ( y − 2)(x − y) + y xy y  + +  (3) 6x − 5 1 1 Lại có (2) ⇔ xy + x + 5 −
= (2y +5− 4 2y +1) ⇔ 2y +1+ xy + x +5 = (3x + y) 4 4 2 (4) 1 y 2 + 2 5
Do x, y ≥ 0 ⇒
(3x + y) = 2y +1+ xy + x +5 ≥1+ 5 ⇒ x + ≥ . 2 3 3 y 2 + 2 5
Với x, y ≥ 0 ⇒ x + 2 y ≥ x + ⇒ x + 2y ≥
> 2 ⇒ x + 2y − 2 > 0. 3 3 x + 2 y − 2 y Do đó + > 0 với x
∀ , y ≥ 0. Khi đó (3) ⇔ x − y = 0 ⇔ y = . x 2 x + ( y − )
1 ( x − y) + y xy + y 1 2 19 Thế vào (4) ta được 2
2x +1 + x + x + 5 = 2x ⇔ 2x +1 +
(2x + )1 + = (2x + )1−1 4 4 1 19
Đặt 2x +1 = t (t ≥ 0). Phương trình mới 4 2 t + t + = t −1 4 4 ⇔ t + t +
= (t − ) ⇔ t + = (t −t − ) ⇒ t + = (t −t − )2 4 2 4 2 4 2 2 19 2 1 19 2 1 19 4 1 ⇔ ( 4 3 2
t − t − t + t + ) 4 4 3 2 4 2 2
1 − t −19 = 0 ⇔ 3t − 8t − 4t + 8t −15 = 0 3 ⇔ t (t − ) 2
+ t (t − ) −t (t − ) + (t − ) = ⇔ (t − )( 3 2 3 3 3 3 5 3 0
3 3t + t − t + 5) = 0 (5) Với x ≥ 0 có 3 2 3
t = 2x +1 ≥ 1 ⇒ 3t + t − t + 5 = 3t + 5 + t (t − ) 1 > 0.
Khi đó (5) ⇔ t − 3 = 0 ⇔ t = 3 ⇒ 2x +1 = 3 ⇔ x = 4 ⇒ y = 4.
Thử lại x = y = 4 thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ; x y ) = (4;4).
(x + 2y)(x − y − ) 2 2
1 + 2x + 3xy + 4 y = 0 (1)
Câu 26. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
(x, y ∈ ℝ). 3 3
 3x − 2 + 4 2x + y − 2 = 5 x + 5y + 2 − 3 (2) Lời giải:
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 2 2
2x + 3xy + 4y ≥ 0   2 ĐK: x ≥ (*) 3  2x + y ≥ 2  Khi đó
⇔ (x + y)(x − y) 2 2 (1) 2
+ 2x + 3xy + 4y − (x + 2y) = 0 ( )( + + − − − ⇒ − + y) 2 2 2 2 2x 3xy 4 y x 4 y 4xy x y x 2 + = 0 2 2
2x + 3xy + 4 y + x + 2 y ⇔ ( − )( x x − y x y x + 2 y) ( ) + = 0 2 2
2x + 3xy + 4 y + x + 2 y   ⇔ ( − ) x x
y x + 2 y +  = 0  (3) 2 2  
2x + 3xy + 4 y + x + 2 y  3 Từ (2) 3 3
⇒ 5 x + 5y + 2 − 3 ≥ 0 ⇒ x + 5y + 2 ≥ > 0 ⇒ x + 5y + 2 > 0. 5
Kết hợp với 2x + y ≥ 2 ⇒ ( x + 5y + 2) + (2x + y) > 2 ⇒ 3( x + 2y) > 0 ⇒ x + 2y > 0. 2 x Mặt khác x ≥
> 0 ⇒ x + 2y + > 0. 2 2 3
2x + 3xy + 4 y + x + 2 y
Do đó (3) ⇔ x − y = 0 ⇔ y = . x
Thế y = x vào (2) ta được 3 3
3 3x − 2 + 4 3x − 2 = 5 6x + 2 − 3 ⇔ 5 6x + 2 − 7 3x − 2 − 3 = 0.  5a − 3 b  = 5
a − 7b − 3 = 0  7
Đặt 3 6x + 2 = a; 3x − 2 = b ⇒  ⇔  2 3 2 a − 2b = 6   5a − 3  3 a − 2   − 6 = 0   7  2  5a − 3  Ta có 3 3 a − 2
 − 6 = 0 ⇔ 49a − 2( 2
25a − 30a + 9) − 294 = 0  7  3 2
⇔ a − a + a − = ⇔ (a − )( 2 49 50 60 312 0
2 49a + 48a +156) = 0 (4) 2 Với 3 2 x ≥
⇒ a = 6x + 2 > 0 ⇒ 49a + 48a +156 > 0. Khi đó (4) ⇔ a − 2 = 0 ⇔ a = 2 3 3
⇒ 6x + 2 = 2 ⇔ x = 1⇒ y = 1. Thử lại x = y = 1 đã thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ; x y ) = (1; ) 1 .   ( x + )2 2 2
1 + x − y = 2x − y +1 (1)
Câu 27. [ĐVH]: Giải hệ phương trình 
(x, y ∈ ℝ).  3 1
 + x − y + 2 x + 2 y − 2 = 3 x + 3y − 3 (2) Lời giải:
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] (x + )2 2 2
1 + x − y ≥ 0 
ĐK: x + 2 y − 2 ≥ 0 (*). x − y ≥ 0  Khi đó ⇔ (x + )2 2 2 (1)
1 − y + x − x = x − y +1 (x + )2 2 2 2
1 + x − y − x
(x − y + )1(x + y + )1 ⇒ = x − y +1 ⇔ = x − y +1 (3) (x + )2
1 + x − y + x (x + )2 2 2 2 2
1 + x − y + x
Do x − y ≥ 0 ⇒ x − y +1 ≥ 1 > 0 nên ⇔ (x + )2 2 2 (3)
1 + x − y + x = x + y +1  y  +1 ≥ 0  y ≥ 1 −  y ≥ −1 ⇔ ( ⇔  ⇔  (4)  x  + )2 2 2
1 + x − y = ( y + )2 2 2 1
2x + 2x = 2 y + 2 y (x
− y)(x + y + ) 1 = 0
2x − y +1≥ 0
2x − y +1 ≥ 0  
Từ (1) và (2) ta có x + 2 y − 2 ≥ 0 ⇒ x + 2 y − 2 ≥ 0   3 x  + − >  + 3y − 3 > 0 x 3y 3 0
⇒ (2x − y + )
1 + ( x + 2y − 2) + ( x + 3y − 3) > 0 ⇒ 4( x + y) > 4 ⇒ x + y +1 > 2 > 0.  y ≥ 1 −  y ≥ −1 Do đó (4) ⇔  ⇔  x − y = 0  y = x
Thế y = x vào (2) ta được 3
1+ 2 3x − 2 = 3 4x − 3.  3b −1 a  = 1  + 2a = 3b  2 Đặt 3
a = 3x − 2 ≥ 0; b = 4x − 3 ⇒  ⇔  2 2 3 4a − 3b = 1   3b −1  3 4   − 3b = 1   2  b = 0 2  3b −1  Ta có 3 3 2 4 
 − 3b ⇔ 13b − 9b + 6b = 0 ⇔ b = 1   2  b = 2 1
Với b = 0 ⇒ a = − ⇒ Loại vì a ≥ 0. 2 11 11 Với 3
b = 1 ⇒ 4x − 3 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1. Với 3
b = 2 ⇒ 4x − 3 = 2 ⇔ x = ⇒ y = . 4 4    Thử lại ( x y) = (  ) 11 11 ; 1;1 ,  ;
 đều thỏa mãn hệ đã cho.   4 4    
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( x y) = (  ) 11 11 ; 1;1 ,  ; .   4 4 
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]x +1 2 2
x + 3x − 2 y = x + y +
Câu 28. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 
x −1 + y − 2 = 1+ xy − 5y +1 Lời giải:
x ≥ 1; y ≥ 2 ĐK:  .
xy − 5x +1 ≥ 0 Khi đó: PT ( ) 2 2 2 2 2
1 ⇔ 2 x + 3x − 2 y = 2 x + y + x +1 ⇔ x + 3x − 2 y − 2 x + y + x + 3x − 2 y − x −1 = 0 2 2
x − x − 2 y − 4 y x − 2 y ⇔ + = 0 2 2 2
x + 3x − 2 y + 2 x + y
x + 3x − 2 y + x +1   ( + − ⇔ x − y) x 2 y 1 1 2  +  = 0 ( ) 1 2 2 2
 x + 3x − 2y + 2 x + y
x + 3x − 2 y + x +1
Do x ≥ 1; y ≥ 2 : ( )
1 ⇔ x = 2 y thế vào PT (2) ta có: 2
2 y −1 + y − 2 = 1+ 2 y − 5y +1  2y −1 =1  y =1 loai
Đặt a = 2 y −1;b =
y − 2 ⇒ a + b = 1+ ab ⇔ (a − ) 1 (b − ) ( ) 1 = 0 ⇔  ⇔   y − 2 =1  y = 3; x = 6
Vậy x = 6; y = 3 là nghiệm của PT đã cho  2 2
x +1 + y + 3 = 3y
Câu 29. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 2
2 x +1 − y + 3 = 2x Lời giải: 2 4 Ta có: PT (2) 2 2 2 2
⇔ 2 x +1 − 2x = y + 3 ⇔
= y + 3 ⇔ 2 x +1 + 2x = 2 2 x +1 + x y + 3 4 2 5 y + 3 1 2 2
⇒ 4 x +1 = y + 3 + thế vào PT(1) ta có: + = 3y 2 y + 3 2 4 y + 3  y ≥ ⇔ 5( 0 2 y + 3) 2 2 2
+ 4 = 8y y + 3 ⇔ 5y +19 =12y y + 3 ⇔  4 2 4 2
25y +190 y + 361 = 144 y + 432 y
⇔ y =1⇒ x = 0 là nghiệm của HPT đã cho.
x − 4y + 3 y = 2x + y
Câu 30. [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2
 y −1 + x +1 + y + y = 10 Lời giải:
y ≥ 1; x ≥ 1 − 8 y 2x  2  − ĐK:  . Khi đó: PT ( )
1 ⇔ ( x − 4y) +
= 0 ⇔ (x − 4y)1−  = 0 2x + y ≥ 0  
3 y + 2x + y
3 y + 2x + y  1 1 1 Do y ≥ 1 ⇒ ≤ = nên PT ( )
1 ⇔ x = 4 y thế vào PT(2) ta có:
3 y + 2x + y 3 + 0 3 2 2
y −1 + 4 y +1 + y + y = 10 ⇔
y −1 −1+ 4 y +1 − 3 + y + y − 6 = 0 (   ⇔ y − ) 1 4 2  +
+ y + 3 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 8   là nghiệm của PT  y −1 +1 4 y +1 + 3 
Vậy hệ có nghiệm là ( ; x y ) = (8;2)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Câu 1. [ĐVH]: Trong mặt phẳng cho đường tròn 2 2
(C) : x + y − 2x − 4 y = 0 và điểm A(−1; 3). Tìm tọa độ
các đỉnh của hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (C) và có diện tích bằng 10. Lời giải:
Tâm I (1; 2); R = 5 .
Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) tâm I nên I cũng là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Suy ra C(3;1). 1
Gọi α là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD suy ra S = AC.B . D sin α = 10 ABCD 2 1
↔ .2 5.2 5.sinα =10 ↔ sinα =1 ↔ α = 90 . 2
Nên ABCD là hình vuông. Phương trình AC : x + 2y – 5 = 0.
Suy ra phương trình BD là 2x – y = 0. x = 0  2x − y = 0  y = 2x  y = 0
Tọa độ của B và D là nghiệm của hệ phương trình  ↔  ↔ 2 2 2 x y 2x 4 y 0 5  x 10x 0  + − − = − = x = 2  y = 4
Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD là (3 ;1) ; (0 ;0) và (2 ;4).
Câu 2. [ĐVH]: Cho hai đường tròn 2 2 2 2
(C ) : x + y − 2x − 2 y −14 = 0, (C ) : x + y − 4x + 2y − 20 = 0 . Viết 1 2
phương trình đường thẳng ∆ cắt (C AB = CD =
1) tại A, B cắt (C2) tại C, D sao cho 2 7; 8 Lời giải:
Xét đường tròn (C và (C ta dễ dàng tìm được d ( I ;∆ = d I ;∆ = 3 nên có các trường hợp về 1 ) ( 2 ) 2 ) 1 ) (∆) như sau:
TH1: đường thẳng (∆) song song với I I và cách I I 1 khoảng =3. 1 2 1 2
Phương trình I I là 2x + y – 3 = 0 1 2
Suy ra phương trình (∆) 2x + y + m = 0  + = − ⇒ ∆ + + − = d ( m 3 m 3 5 3 : 2x y 3 5 3 0 ; ∆ I I = = 3 ↔  . 1 2 ) ( ) 5 m
 = −3 5 − 3 ⇒ (∆) : 2x + y − 3 5 − 3 = 0
TH2 : đường thẳng ∆ qua trung điểm của I I và khoảng cách từ I 1 2 1và I2 đến ∆ =3
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  3 
M  ;0 là trung điểm của I I .  2  1 2  3 
Phương trình (∆) qua M là : a x −  + by = 0 .  2  a − + b d ( I ;∆) 2 35 2 2 = = 3 ↔
a + ab + 8b = 0 ( vô nghiệm do a và b không đồng thời =0) 1 2 2 4 a + b
Vậy có 2 đường thẳng ∆ thỏa mãn là 2x + y + 3 5 − 3 = 0 và 2x + y − 3 5 − 3 = 0 .
Đ/s: 2x + y + 3 5 − 3 = 0; 2x + y − 3 5 − 3 = 0
Câu 3. [ĐVH]: Cho tam giác ABC biết đường cao và trung tuyến xuất phát từ A lần lượt là 6x – 5y – 7 =
0 và x – 4y + 2 = 0. Tính diện tích tam giác ABC biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành và đường cao
từ đỉnh B đi qua E(1; –4) Lời giải:
Dễ dàng tìm được tọa độ điểm A(2; ) 1
G ( x ;0 là trọng tâm tam giác, mà G thuộc trung tuyến suy ra tọa độ G (−2;0) G )  1 
Gọi M là trung điểm của BC ta có: AG = 2GM ⇒ tọa độ M  −4; −   2    1 
M  −4; −  ∈ BC Ta có:   2 
⇒ BC : 5x + 6y + 23 = 0 
BC ⊥ AH : 6x − 5 y − 7 = 0
Giả sử: B (6t −1;−3 − 5t), C (−7 − 6t;5t + 2) ⇒ BE = (2 − 6t;5t − )
1 , AC = (−9 − 6t;5t + ) 1 t = 1 − 
Mà BE. AC = 0 ⇔ (2 − 6t )( 9
− − 6t) + (5t − ) 1 (5t + ) 2
1 = 0 ⇔ 61t + 42 −19 = 0 ⇔ 19  t =  61
+) Với t = −1 ⇒ B ( 7
− ;2),C (−1;−3) ⇒ BC = 61 1 + + ⇒ S = d A BC BC = = ABC ( ) 1 5.2 6.1 23 39 , . . . 61 2 2 61 2 19  53 278   541 217  99 +) Với t = ⇒ B  ; − ,C  − ; ⇒  BC = 61  61 61   61 61  61 1 + + ⇒ S = d A BC BC = = ABC ( ) 1 5.2 6.1 23 99 3861 , . . . 2 2 61 61 122 39 3861 Đáp số: S = S = ABC( ) ; 1 ABC(2) 2 122
Câu 4. [ĐVH]: Cho tam giác ABC có M(1; –2) là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C
thuộc đường thẳng đi qua N(–3; 0) và P(0; 2). Tìm A, B, C và diện tích tam giác.
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Lời giải:
Điểm A thuộc Ox, gọi tọa độ A( ; a 0)
B, C thuộc đường thẳng qua N ( 3
− ;0) & (0;2) → pt BC : 2x −3y + 6 = 0
Giả sử tọa độ B (3 ;
b 2b + 2) , mà M (1;−2) là trung điểm AB nên ta có hệ: a + 3b = 2 a = 11 ↔  ⇔ 
⇒ A(11;0) & B(−9;−4) 2b + 2 = −4 b  = −3
Gọi phân giác góc A là AD, từ M kẻ đường thẳng d cắt AD và AC lần lượt tại E và F:
⇒ pt (d ) : x = 1, E = (d ) ∩ AD → E (1;0) ⇒ F (1;2) ( do M và F đối xứng nhau qua E)
Suy ra phương trình AC là: x + 5y −11 = 0 (do , A F ∈ AC ) .  3 28 
Từ đây ta xác định được tọa độ điểm C là nghiệm của AC và BC: C  ;   13 13  1 1 − + 40 560
Diện tích tam giác ABC là: S = .d A BC BC = = ABC ( ; ) 2.11 3.0 6 . . . 2 2 13 13 13   Đáp số: A( ) B(− − ) 3 28 560 11; 0 , 9; 4 , C  ; , S =  13 13 ABC  13
Câu 5. [ĐVH]: Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d1 : 2x + y – 4 = 0 qua điểm M(1;
–1) cắt đường thẳng (d : x − y −1 = 0 tại A, B sao cho AB = 2 7. 2 ) Lời giải:
Gọi I là tâm đường tròn (C ) cần tìm, I ∈(d ⇒ I t;4 − 2t 1 ) ( )
Vì đường tròn (C ) cắt (d : x − y −1 = 0 theo dây cung AB = 2 7. nên ta có: 2 ) 2 2 2  AB  9t − 30t + 39 (d = R −   ⇔ R = ∗ I / d2 ) 2 2 ( ( ) ( ))  2  2 2 2
Mặt khác đường tròn (C ) qua M ( − ) → ( − t ) + ( t − ) 2 2 2 1; 1 1 2 5
= R ↔ 5t − 22t + 26 = R (∗∗) 9t − 30t + 39 t = 1 Từ (∗) & (∗∗) 2 2 ⇒
= 5t − 22t + 26 ⇔  2 t = 13 2 2 2 2
Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài là: ( x − )
1 + ( y − 2) = 9 / ( x −13) + ( y + 22) = 585
Câu 6. [ĐVH]: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; -1) cắt đường tròn tâm I(4; 0) bán kính R = 5
tại A, B sao cho MA = 3MB. Lời giải:
Gọi n = (a;b) là VTPT của đường thẳng d qua M (1;− ) 1
⇒ pt (d ) : a(x − ) 1 + b ( y + )
1 = 0 ↔ ax + by − a + b = 0 Vì 2 2 ( P
= IM − R = −15 < 0 ⇒ điểm M nằm trong dường tròn. M /(C ))
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Mà: (P = M .
A MB = −15 ⇒ −M .
A MB = −15 ⇔ 3M .
B MB = 15 ⇔ MB = 5 ⇒ MA = 3 5 M /(C ))
⇒ AB = MA + MB = 4 5 .
Vậy ta đi viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn tâm I (4;0) & R = 5 đã cho theo dây cung AB = 4 5 2  AB  3a + ba = 2 − b Do 2 AB = 4 5 ⇒ d( = R −   = 5 ⇔ = 5 ⇔  I /(d )) 2 2  2  b +  = 2a a b
+) Với a = −2b, chọn b = 1
− → a = 2 ⇒ pt (d ): 2x − y −3 = 0
+) Với b = 2a, chọn a = 1 → b = 2 ⇒ pt (d ) : x + 2y +1 = 0 Đáp số: (d
: 2x − y − 3 = 0; x + 2 y +1 = 0 1/ 2 )
Câu 7. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp 2 2
(C) : x + y = 2. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác biết điểm A thuộc tia Ox. Lời giải:
(C) có O(0;0), r = 2 . Điểm A thuộc tia Ox suy ra A( ;a0), a > 0. OI r
Từ O hạ OI vuông góc AB, ta tính được: OA = = = 2 sin 45o sin 45o Ta có: 2 2
OA = 1 ⇔ a = 4 ⇔ a = ±2 ⇒ A(2;0)
AB/AC qua A(2;0) nên AB/AC có dạng: a ( x − ) 2 2
2 + by = 0, a + b ≠ 0 . b o 2
Mặt khác: cos ( AB / AC, Ox) = cos 45 = = ⇔ a = ±b 2 2 2 a + b . 1
Nên giả sử: AB : x + y − 2 = 0; AC : x − y − 2 = 0
Kẻ OA cắt BC tại H (k,0) khi đó OH = r ⇔ k = ± 2
Mà AH ⊥ BC = {H} ⇒ B, C ∈ x = ± 2
+) TH1: B, C ∈ x = 2 khi đó suy ra: B ( 2;2 − 2 ), C ( 2; 2 − 2)
+) TH2: B, C ∈ x = − 2 ⇒ B (− 2;2 + 2), C (− 2; 2 − − 2 )
Vậy có 2 bộ tọa độ 3 đỉnh tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu là:
A(2;0), B (± 2;2 ∓ 2), C (± 2; 2 − ± 2 ) 2 2
(C ) : x + y − 4x + 2y − 4 = 0
Câu 8. [ĐVH]: Cho hai đương tròn 1 
có tâm là I và J. Gọi H là tiếp điểm 2 2
(C ) : x + y −10x − 6y + 30 = 0 2
của (C1) và (C2). Gọi d là tiếp tuyến chung ngoài không qua H của (C1) và (C2). Tìm giao điểm K của d và
IJ. Viết phương trình đường tròn qua K tiếp xúc với (C1) và (C2) tại H.
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Lời giải:
Nhận xét: (C có tâm I (2;− )
1 & R = 3 và (C có tâm J (5;3) & R = 2 2 ) 1 ) 1 1
Ta có: IJ = 5 = R + R . Suy ra (C & C tiếp xúc ngoài với nhau. Mà H là tiếp điểm của 2 đường tròn: 1 ) ( 2) 1 2  19 x   =
2( x − x ) = −3( x − x ) H    I H J H 5 19 7
↔ 2HI = −3HJ ⇔  ⇔  ⇒ H   2  ( y − y = − y − y    I H ) 3( J H ) ; 7 5 5 y = H  5
K là giao của tiếp tuyến chung d và IJ nên ta có:
2(x − x = x − xx = I K ) 3( J K ) 11 ⇔ 2KI = 3 K KJ ↔  ⇔  ⇒ K 2  ( y − y = y − yy = I K ) 3( J K ) (11;1 )1 11 K
K thuộc đường tròn (C ) và (C ) tiếp xúc (C & C tại H nên tâm M của (C ) là trung điểm KH 1 ) ( 2) 2 2  37 31  37   31  ⇒ M  ;  , ( R
= MH = ⇒ pt C x −  +  y −  = C ) 6 ( ): 36  5 5   5   5  2 2  37   31 
Đáp số: K (11;1 )
1 , (C ) :  x −  +  y −  = 36  5   5 
Câu 9. [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm ngoài 2 2
(C) : x + y − 6x + 2 y + 6 = 0. Viết
phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB = BC. Lời giải: Gọi B(m, n)
Do A nằm ngoài (C) và AB = BC nên dễ thấy B là trung điểm của AC 2 2 Ta có: 2 2
(C) : x + y − 6x + 2 y + 6 = 0 hay ( x − 3) + ( y + ) 1 = 4 ⇒ I (3,− ) 1 , R = 2
⇒ IA = (−2,4) = 2(−1,2) ⇒ n = (2, )
1 ⇒ ( IA) : 2( x − )
1 + y − 3 = 0 : 2x + y − 5 = 0 IA
Gọi M, N là giao điểm của IA với (C). Hoành độ giao điểm của M,N là nghiệm của hệ 2x  + y − 5 = 0  y  = 5 − 2xy = 5 − 2x ( ⇔  ⇔   x  − 3)2 + ( y + )2 1 = 4 (x  − 3)2 + (6 − 2x)2 2 = 4 5
x − 30x + 41 = 0  15 + 2 5 5 + 4 5 x = , y = − 5 5      ⇔ 15 + 2 5 5 + 4 5 15 − 2 5 5 − + 4 5 ⇒ M  , − ; N  ,       15 − 2 5 5 − + 4 5  5 5   5 5  x = , y =  5 5 Ta có: AB AC = AM AN = ⇒ AB =
⇒ AB = ⇒ (m − )2 + (n − )2 2 2 2 2 . . 16 2 16 8 1 3
= 8 ⇒ m + n − 2m − 6n + 2 = 0
Mà B nằm trên (C) nên ta có hệ
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  = = 2 2 n 1, m 3
m + n − 2m − 6n + 2 = 0 m = 2n +1   ⇒  ⇒ 1 7 2 2 2
m + n − 6m + 2n + 6 = 0 5
n − 6n + 1 = 0 n = ,m =  5 5 B (3, ) 1 ⇒ C (5, − )
1 ⇒ d : x + y − 4 = 0  ⇒   7 1   9 13  B  , ⇒  C  , − ⇒ 
d : 7x + y −10 = 0   5 5   5 5 
Vậy đường thẳng cần tìm: x + y − 4 = 0 , 7x + y −10 = 0
Câu 10. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: 2 2
x + y − 8x +12 = 0
và I(8; 5). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường
tròn (T) đồng thời đường thẳng AB đi qua I (A, B là hai tiếp điểm). Lời giải: (T ) 2 2
: x + y − 8x +12 = 0 ⇒ J (4,0), R = 2
Gọi M (0, m) ⇒ MJ = (4, −m) ⇒ ( AB) : 4( x − 8) − m ( y − 5) = 0 m 4  = M 0, 4 2 ( ) −16 + 5m R 4   Ta có:
= d (J / ( AB)) = = ⇔ −16 + 5m = 4 ⇔ 12 ⇔   12  2 2  16 IM + m 16 + m m = M  0,   5   5   2 2 IM = 4 + 4 = 4 2  • M (0,4) ⇒  ⇒ ( − thỏa mãn
AB) x − y − = ⇒ MH = d (M ( AB)) 7 7 : 3 0 / = = < IM  2 2  2  12  4 34 2 IM = 4 +   =   5  5  2 •  12     12 M  0, ⇒     20 ⇒ + l  5  (   AB
) = x − y − = ⇒ MH = d (M (AB)) 5 12 161 4 20 0 / = = > MI 2 5 5 34   12  2 4 +      5  oại Đ/s: M(0; 4)
d : x + y + 3 = 0 1 
Câu 11. [ĐVH]: Cho 3 đường thẳng d : x − y + 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm I là giao 2 
d : x − 2 y = 0 3
điểm của d1 và d2 đồng thời cắt d3 tại AB sao cho AB = 2. Lời giải:  7 x  = − I  + + = • x y 3 0    I I 2 7 1
I = d ∩ d ⇒  ⇒  ⇒ I  − , 1 2 
x − y + 4 = 0 1  2 2  I Iy = I  2
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 7 1 − − 2. • 2 2 9  AB  101
d (I / d ) = =
⇒ R = (d (I / d )) 2 2 2 +   = 3 3 2 1 + 2 2 5  2  20 2 2  7   1  101
Suy ra phương trình đường tròn cần tìm là:  x +  +  y −  = .  2   2  20 2 2  7   1  101
Đ/s:  x +  +  y −  = .  2   2  20   C (x − )2 2 1 ( ) : 1 + y = 1
Câu 12. [ĐVH]: Cho các đường tròn  2
. Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp (C ):  (x − 2)2 2 + (y − 2) = 4 2
xúc với đường tròn (C1) cắt đường tròn (C2) theo dây cung có độ dài bằng 2 2. Lời giải: C  (x − )2 2 1 1 ( ) : 1
+ y = ⇒ I 1,0 , R = 1 ( ) 1 2  2 (C ):  (x − 2)2 2
+ (y − 2) = 4 ⇒ J 2,2 , R = 2 2 ( ) 2
Gọi (d ) : ax + by + c = 0 • 1 a + c
= R = d (I / d ) =
⇔ a + b = 2(a + c)2 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 a + b 2   • 2 2
2a + 2b + c 2 R − 
 = 2 = d J / d = 2   ( ) 2 2 2   a + b
2a + 2b + c a + c
Suy ra d ( J / d ) = 2d (I / d ) ⇒ = 2
⇒ 2a + 2b + c = 2 a + c 2 2 2 2 a + b a + b
2a + 2b + c = 2a + 2c  = ⇔ 2b c  ⇔ 
2a + 2b + c = 2 − a − 2c
4a + 2b + 3c = 0   = −  = − = − + + = • a b a b,c 2b d : x y 2 0 2b = c ⇒ ( )
1 : a + b = 2(a + 2b)2 2 2 2 2 ( )
⇔ a + 8ab + 7b = 0 ⇔ ⇒ ⇒    a = −7ba = 7
− b,c = 2b (d ) : 7
− x + y + 2 = 0 • c = 2 − ac = 2
− a,b = a
4a + 2b + 3c = 0 ⇒ ( )
1 : 4a + (4a + 3c)2 = 8(a + c)2 2 2 2
⇔ 12a + 8ac + c = 0 ⇔  ⇔  c = 6 − ac = 6
− a,b = 7a
(d ): x + y − 2 = 0 ⇔ 
(d ) : x + 7 y − 6 = 0
Vậy (d ) : −x + y + 2 = 0 ; 7
− x + y + 2 = 0 ; x + y − 2 = 0 ; x + 7 y − 6 = 0
Câu 13. [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d : x − 3y = 0;d : 2x + y − 5 = 0;d : x − y = 0 1 2 3
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A∈d ;C ∈ d ; B, D ∈d . 1 2 3 Lời giải:
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Gọi A(3a, a),C (c,5 − 2c) , I là tâm hình vuông ⇒ I là trung điểm của AC và thuộc BD
  3a + c a + 5 − 2c  I  ,  ⇒   2 2
 ⇒ 3a + c = a + 5 − 2c ⇔ 2a + 3c = 5 (1)  x = y I I
  3a + c a + 5 − 2c  I  ,  Ta có: ⇒   2 2
 ⇒ 3a + c = a + 5 − 2c ⇔ 2a + 3c = 5 (2)  x = y I I 2 2
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, c = 1 ⇔ A(3, )
1 ;C (1,3) ⇒ I (2, 2) ⇒ IA = 2 ⇒ ( I ) : ( x − 2) + ( y − 2) = 2
Tọa độ giao điểm của B,D là nghiệm của hệ phương trình: x  − y = 0 x  = yx y 3  = = B (3,3), D (1, ) 1 ( ⇔  ⇔ ⇒    I
 ) : ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 2 (x
− 2)2 =1 x = y =1 B  (1, ) 1 , D (3,3) Vậy A(3, )
1 ;C (1,3) , B (3,3), D (1, ) 1 hoặc A(3, )
1 ;C (1,3) ; B (1, ) 1 , D (3,3)
Câu 14. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh ( A −1; 2) ;
C(3; −2) . Gọi E là trung điểm của cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm
của của BM và P là giao điểm của AN với DM. Biết phương trình đường thẳng BM: 2x − y − 4 = 0 . Tìm tọa độ điểm P Lời giải.
Gọi I là tâm hình vuông ta có I (1;0) , AC = (4;−4) suy ra phương trình BD: x − y −1 = 0 . AC
Do IA = IB = IC = ID = =
⇒ B D ∈(C) ( x − )2 2 2 2 , : 1 + y = 8 . 2 x = y +1  
B −1; −2 , D 3; 2
Tọa độ B, D thỏa mãn  ( ⇔ = − − ⇒  x − ) x; y 1; 2 , 3; 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + y = 8 D
 (−1; −2), B (3; 2)
Lại có BM: 2x − y − 4 = 0 nên chọn B (3;2), D ( 1 − ; 2
− ); N là trung điểm BM nên AN song song với CE.
Tọa độ trung điểm E ( 1
− ;0) ⇒ (CE): x + 2y +1= 0 ; (AN): x + 2y −3 = 0 và M ∈(CE): M ( 2 − m −1;m) . 6  7 6 
BM .CE = 0 ⇔ m = − ⇒ M  ;− ⇒ 
DM : x − 3y − 5 = 0 . 5  5 5 
x − 3y − 5 = 0  19 2 
Tọa độ điểm P thỏa mãn  ⇒ P  ; −  .
x + 2 y − 3 = 0  5 5 
Câu 15. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp hình chữ
nhật MNPQ. Biết các điểm M(–3; –1) và N(2; –1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC,
đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải.
Ta có MN = (5;0) ⇒ ( BC ) ≡ (MN ) : y = −1, suy ra (MQ) qua M và vuông góc với BC: x = 3 − .
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Q ∈( AB) : x − y + 5 = 0 ⇒ Q( 3
− ;2) ; B∈( AB) ⇒ B( 6 − ;− ) 1 .
(NP) đi qua N và vuông với (BC): x = 2 ; (PQ) đi qua Q và song song với (BC): y = 2 ⇒ P (2;2) .
x + y − 4 = 0  1 9 
(AP) đi qua P và vuông góc với (AB): x + y − 4 = 0 ⇒ A :  ⇔ A − ;  .
x − y + 5 = 0  2 2   1 9 
C = ( AP) ∩(BC) ⇒ C (5;− )
1 . Vậy ta có A − ; , B (−6;− ) 1 , C (5; − ) 1 .  2 2 
Câu 16. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông Oxy, cho đường tròn 2 2
(C) : x + y − 4x + 2 y −11 = 0 và đường thẳng d : 4x − 3y + 9 = 0 . Gọi A; B là hai điểm thuộc đường  22 11
thẳng d, C là điểm thuộc đường tròn (C) . Biết điểm H  ;
 là một giao điểm của AC với đường tròn  5 5   6 7 
(C) , điểm H  − ;  là trung điểm của cạnh AB. Xác định tọa độ các điểm A, B, C biết diện tích tứ giác  5 5 
AHIK bằng 24 và hoành độ điểm A dương. Lời giải.  12 16 
Đường tròn (C) có tâm I (2;− )
1 , R = 4 . Ta có IH =  ;
 nên IH song song với d, IH : 4x − 3y −11 = 0 .  5 5 
Ta có d ( I; AB) = 4 nên d tiếp xúc với (C), suy ra d ( K; IH ) = d (H; AB) = 4 . 1 S = S + S
= R d K IH + AK d H AB = ⇔ + AK = ⇔ AK = . AHIK IHK AHK ( ) 1 ( ) 1 1 . . ; . . ; 24 .4.4 . .4 24 8 2 2 2 2
4x − 3y + 9 = 0
4x − 3y + 9 = 0  2 2           A( x y) 6 7 39 18 39 ;
; x > 0 ⇒  x +  +  y −  = 64 ⇒  y ∈  ; 5
−  ⇒ A ;  . Suy ra B( 6 − ; 5 − ) .  5   5   5   5 5    x 0  >  x > 0  26 17   22 11
Phương trình đường AC: 7x + y − 33 = 0 ⇒ C  ; −  hoặc C  ;  .  5 5   5 5 
Câu 17. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; 0) và các đường tròn 2 2
(C ) : x + y = 2 và 2 2
(C ) : x + y = 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C 1 2 1) và (C2) để tam
giác ABC có diện tích lớn nhất, với x < 1 B Lời giải:
Nhận thấy khi diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất thì O chính là trực tâm của tam giác ABC.
Và ta có: OC ⊥ AB, OA ⊥ BC . Khi đó gọi B ( x ; y ), C ( x ; y thì x = x do OA ⊥ BC B B C C ) B C
Ta lại có: AB = ( x −1; y ),OC = ( x ; y ),OB = ( x ; y ), AC = ( x −1; y B B B C B B C C )
Mặt khác: CO ⊥ AB ⇔ AB CO = ⇔ x ( x − ) 2 . 0
1 + y .y = 0 ⇔ y .y = x − x B B B C B C B B 2 2 4 3 2
⇔ y y = x − 2x + x ∗ B C B B B ( ) 2 2 2 2 x + y = 2
 y = 2 − x Và B B B B  ⇒  − 2 < x <1 2 2 2 2 ( B ) x + y = 5
 y = 5 − x C C C B
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Thay vào (∗) ta có:
( − x )( − x ) = (x − x )2 2 2 2 2 5 ⇔ 3 2 x − x + = ⇔ x + x − x +
= ⇔ x = x = − B B ( B )( 2 2 8 10 0 1 5 5 B B ) 0 1 B B B B B C
Khi đó tọa độ các điểm B và C cần tìm là: B ( 1 − ;± ) 1 , C ( 1 − ; 2 ± )
Câu 18. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có 0 BAD = 60 . Trên
các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB. Biết P ( 3; )
1 thuộc đường thẳng DN và
đường phân giác trong của góc
MDN có phương trình là d : x − 3y + 6 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh D của hình thoi ABCD. Lời giải: Giả thiết: = 60o BAC ⇒ A ∆ BD & C
∆ BD là các tam giác đều. Theo bài ta có: AM = BN, BM = CN  = = 60o DAM DBN  Ta có:  AD = BD ⇒ A ∆ DM = B
∆ DN ⇒ ADM = BDN AM = BN  Tương tự ta có: B ∆ MD = C
∆ ND ⇒ NDC = MDB Từ trên suy ra 60o MDN = .
Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường phân giác: d : x − 3y + 6 = 0 . Suy ra điểm Q thuộc DM. x − y + P P
Suy ra tam giác PDQ là tam giác đều ⇒ DP = PQ = d (P (d )) 3 6 2 , = 2. = 6 4
Điểm D ∈(d ) : x − 3y + 6 = 0 ⇒ D ( 3d − 6;d )   D 3 + 3;3 3 +1 2 2 d = 3 3 +1  Ta có: 2
⇒ PD = ( 3d −6 − 3) +(d − 3) ( ) = 36 ⇔  ⇒  d = 1 D  ( 3 − 6; ) 1
Vậy có 2 điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán là: D (3+ 3;3 3 + ) 1 , D ( 3 − 6; ) 1
Câu 19. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường
thẳng d : 2x − y + 2 = 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − 5 = 0 . Gọi H là hình chiếu của B xuống 1 2  9 2 
đường chéo AC . Biết M  ;  ; K(9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm toạ độ các đỉnh của  5 5 
hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4. Lời giải:
Ta có: B ∈ d ⇒ B ;
b 2b + 2 , C ∈ d ⇒ C ;
c c − 5 c > 4 1 ( ) 2 ( )( )
Gọi E là điểm đối xứng của B qua C nên → E (2c − ;
b 2c − 2b −12)
Trong tam giác ABE, CK chính là đường trung bình nên K cũng là trung điểm của AE.
Trong tam giác AHE có M, K lần lượt là trung điểm AH và AE nên MK là trung bình của tam giác:
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  72 16   72 76 
⇒ HE = 2MK =  ; ⇒ 
H  2c − b − ; 2c − 2b −   5 5   5 5     
Ta có: CK = ( − c c + ) BC = (c − b c − b − ) 72 86 9 27 9 ; 7 , ; 2
7 , BH =  2c − 2b − ; 2c − 4b −
, MC =  c − ;c −   5 5   5 5 
Lại có: BH vuông góc AC ( H ∈ AC) , CK vuông góc BC: 2 b  = 1
2c − 3bc + 23b − 23c + 49 = 0 CK.BC = 0   ⇔  ⇔  ⇔ c = 4 126 594 L 2 ( ) BH.MC = 0 4c − 6bc + b − 46c + = 0   5 5 c = 9
⇒ B(1;4),C (9;4), mà K là trung điểm CD ⇒ D(9;0)
Mặt khác, C là trung điểm BE, E (17;4), KA = KE ⇒ A(1;0)
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(1;0), B (1;4), C (9;4), D(9;0)
Câu 20. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường 32 tròn (C): 2 2
(x − 5) + ( y − 6) =
. Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua các điểm M(7; 8) 5
và N(6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. Lời giải:I (5;6) 
Đường tròn (C ) : 
4 10 do đó I (5; 6) là tâm của hình thoi: R =  5
Ta có: AC qua I (5; 6), M (7;8) ⇒ u
(2;2) ⇒ AC : x− y +1= 0 AC
Đường thẳng BD qua I (5;6) và vuông góc với AC nên phương trình BD : x + y −11 = 0 Gọi n
= (a b) ⇒ AB a x − + b y − = ( 2 2 ; : ( 6) ( 9) 0, a + b ≠ 0 AB ) 32 a + 3b
Mặt khác R = d (I; AB) ⇒ =
⇔ (9a −13b)(3a + b) = 0 2 2 5 a + b
+) Với 9a = 13b chọn a = 13,b = 9 ⇒ AB :13x + 9 y −159 = 0 1
 3x + 9y −159 = 0  75 86   35 46 
Khi đó tọa độ điểm A = AB ∩ AC :  ⇒ A ; ⇒  C  ; 
x − y +1 = 0  11 11   11 11   35 46 
Phương trình đường thẳng CD / / AB và qua C  ; ⇒ 
CD :13x + 9 y − 79 = 0  11 11  1
 3x + 9y − 79 = 0
Khi đó tọa độ điểm D = BD ∩ CD : 
⇒ C (−5;16) ⇒ D(15;−4)
x + y −11 = 0 +) Với 3a = b
− chọn a =1,b = −3 ⇒ AB : x − 3y + 21 = 0
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
x − 3y + 21 = 0
Khi đó tọa độ điểm A = AB ∩ AC : 
⇒ A(9;10) ⇒ C (1;2)
x − y +1 = 0
Phương trình đường thẳng CD / / AB và qua C (1; 2) ⇒ CD : x − 3y + 5 = 0
x − 3y + 5 = 0
Khi đó tọa độ điểm D = BD ∩ CD : 
⇒ C (7;4) ⇒ D(3;8)
x + y −11 = 0
Kết luận: Vậy có 2 hình thoi thõa mãn yêu cầu bài toán
Câu 21. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán
kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4;2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn (O1)
và (O2) lần lượt tại D và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối tâm O1, O2 24
có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng 5 Lời giải: qua A(4;2)
Phương trình đường thẳng CD  ⇒ − + = u  = ( ) CD : x 3y 2 0 3;1
Mặt khác A,B, đối xứng nhau qua đường thẳng d: x − y − 3 = 0   AB u = Gọi B (a b) . 0 ; d ⇒ 
(với I là trung điểm AB) I ∈ d
(a − 4)+(b − 2) = 0  a = 5 Ta có:  ⇒  ⇒ B a + b + (5; )1 4 2  − − 3 = 0 b  = 1  2 2 1 S = CD d B CD = CD = ⇒ CD = BCD ( ) 1 4 24 12 . ; . 10 2 2 10 5 5
Mặt khác nhận thấy B
∆ CD cân tại B do
BCD = BDC ( cùng chứa cung AB và 2 đường tròn này bằng nhau)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên CD ta có: K (3t − 2;t ) ⇒ BK (3t − 7;t − ) 1 ⇒ BK.u = 0 CD 11  23 11  ⇒ t = ⇒ K  ;  5  5 5    41 17 
u = 1 ⇒ C 1;1 ⇒ D  ;  2 2 ( )  33   11  72  5 5 
Gọi C (3u 2;u) 2 KC 3u u  − ⇒ = − + − = ⇒      5   5  5  17  41 17  u = ⇒ C ; ⇒    D (1; ) 1  5  5 5     41 17  Kết luận: B (5; ) 1 C ( ) 41 17 1;1 , D  ;  hoặc B (5; ) 1 , C  ; , D (1; ) 1  5 5   5 5 
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95
Tuyển chọn các bài toán đặc sắc về Hệ PT và hình phẳng Oxy Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 2  5 
Câu 22. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2
(C) :  x −  + ( y −1) = 2 . Xác  4 
định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox. Lời giải: (  5 
C ) : tâm I  ;1, R = 2  4 
Phương trình đường thẳng d là trung trực của AD, BC xác định:  5 
Qua I  ;1 và vuông góc với Ox ⇒ d : x = 1  4 
Ta có: d (I; AD) = 1 < R = 2 do đó AD cắt (C)
Đặt độ dài cạnh của hình vuông là m ta có: d (I; BC) = m −1< R  = 2 m 2 2  BC  2 m 2  Mặt khác   + d  ( I; BC ) 2  = R ⇒ + (m − ) 1 = 2 ⇔ −2 ⇒ m = 2  2  4 m =  5
Với m = 2 ta có: A(0;0), D(2;0), B(0; 2),C (2;2) hoặc A(2;0), D (0;0), B(2;2),C (0;2)
Luyện thi trực tuyến tại www.Moon.vn Facebook: Lyhung95

Tài liệu liên quan: