Tuyển chọn các bài toán hình học trong đề thi học sinh giỏi trong và ngoài nước môn Toán lớp 8

Tuyển chọn các bài toán hình học trong đề thi
học sinh giỏi trong và ngoài nước
Bài 1. Cho hình chữ nhật có AB = 2CD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Nối D với
E. Vẽ Dx ⊥ DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho
DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM .
1) Hạ AP ⊥ DB. Biết AB = 10cm. Tính AP . 2) Tính \ DBK.
3) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM . Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng
nằm trên một đường thẳng.
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AD, BM, CN của tam giác ABC cắt
nhau tại H. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ CF
vuông góc với đường thẳng BE tại F . a) Tính số đo \ F M N .
b) Gọi K, L, R lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ N đến các đường thẳng AC, AD, BC.
Chứng minh rằng ba điểm K, L, R thẳng hàng. c) Tia phân giác của [
BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng
AI tại P , đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng
IQ. Chứng minh đường thẳng P G đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, gọi F là trung điểm của cạnh AB. Tia phân giác trong của góc \
BF C cắt BC tại N , tia phân giác trong của góc [ AF C cắt AC tại Q.
a. Chứng minh rằng QN ∥ AB.
b. Lấy điểm P thuộc F Q sao cho AP = AQ. Gọi G là giao điểm của AP và F C, M là giao điểm
của F N và BG. Chứng minh ∆AP F ∼ ∆CQF và BM = BN . 2. Cho tam giác ABC có b B = 2 b
C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng số đo các cạnh
là ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B và C), tia AM cắt đường thẳng CD tại N . N M M B a) Chứng minh rằng: + = 1. N A DC
b) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng
minh tam giác EOM vuông cân và M E song song với BN .
c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AF = DN . Kẻ F H vuông góc với AN tại H. Trên
tia đối của tia F H lấy điểm P sao cho F P = AN . Chứng minh ba điểm P, B, D thẳng hàng. 1
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng của điểm C qua E.
a) Chứng minh tứ giác AF BD là hình thang.
b) Gọi G và H lần lượt là hình chiếu của điểm F trên đường thẳng AB, AD. Chứng minh ba điểm E, G, H thẳng hàng. ED 9
c) Giả sử CE vuông góc với BD và CE = 2, 4cm, =
. Tính các cạnh của hình chữ nhật EB 16 ABCD.
Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Kẻ EK vuông góc với
AC tại K, DI vuông góc với EC tại I. Chứng minh: 1) CH · CE = CD · CA. 1) IK vuông góc với BC. 1
1) Tam giác EIK đồng dạng tam giác ABC và S∆EIK ≤ S∆ABC. 4
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, từ H kẻ HI vuông góc với AB tại I, HK vuông góc với AC tại K.
a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC suy ra AI · AB = AK · AC. b) Chứng minh góc \ ABK = [ ACI.
c) Gọi O là trung điểm của đoạn IK. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BO tại
R. Đường thẳng AR cắt cạnh BC tại S. Chứng minh S là trung điểm của đoạn thẳng HC.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia đối của
tia BA lấy D sao cho AB = BD. Kéo dài AH cắt CD tại I. Kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại
I, đường thẳng này cắt AD tại K. BD BC
a) Chứng minh AB2 = BH · BC và = . BH BD
b) Chứng minh ∆HDB ∼ ∆DBC và tam giác KHD vuông.
c) Gọi E là điểm đối xứng với A qua H. Kẻ đường thẳng từ K song song với AC, cắt DE tại N .
Chứng minh: KA · KD = KH · KC và CN vuông góc với CD.
Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AD · HD = BD · CD.
b) Chứng minh: H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF .
c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM , cắt các đường thẳng
AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: HP = HQ.
Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ∆AEF ∼ ∆ABC.
b) Chứng minh AH · AE + CH · CF = AC2. (AB + AC + BC)2 c) Chứng minh ≥ 4. AD2 + BE2 + CF 2 2