
a) Mỗi số tự nhiên khi chia cho 6 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, , 5. Do đó mọi số tự
nhiên đều viết được dưới một trong các dạng
6 2,6 1,6 ,6 1,6 2,6 3n n nn n n− − ++ +
. Vì m là số
nguyên tố lớn hơn 3 nên m không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, do đó m không có
dạng
. vậy m viết được dưới dạng 6n +1 hoặc 6n - 1 (ví dụ: 17 = 6. 3 -
1, 19 = 6. 3 + 1).
b) Không phải mọi số có dạng
đều là số nguyên tố. Chẳng hạn
6. 4 + 1= 25 không là số nguyên tố (đpcm).
Liệu có công thức nào mà với mọi giá trị tự nhiên của chữ đều cho ta các số nguyên tố
không ? Cho đên nay, người ta chưa tìm thấy một công thức như vậy. Tuy nhiên có một số
biểu thức mà với khá nhiều giá trị của chữ, biểu thức đó cho ta các số nguyên tố.
Biểu thức
cho ta các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ... ,28.
Biểu thức
do Ơ_le (Euler 1707 - 1783) đưa ra cho các giá trị nguyên tố với n =
0, 1, 2, ..., 39 (còn n = 40 thì
2
40 40 41 40(40 1) 41+ + = ++
chia hết cho 41).
Biểu thức
cũng cho các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ...., 79 (còn với n
= 80 thì biểu thức bằng 41
2
).
Số Phec-ma. Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec- ma (Pierre de Fermat 1601 - 1665)
xét biểu thức 2
m
+1 trong đó m = 2
n
với n = 0, 1, 2, 3, 4 cho các số nguyên tố 2 + 1 = 3, 2
2
+ 1 =
5, 2
4
+ 1 = 17, 2
8
+ 1 =257, 2
16
+ 1 = 65537. Với n = 5, được số 2
32
+ 1 = 4294967297, Phec- ma
cho rằng đó cũng là số nguyên tố và ông đưa ra giả thuyết: Biểu thức 2
m
+ 1 với m là lũy
thừa của 2 cho ta các số nguyên tố.
Ý kiến này đứng vững rất lâu. Mãi đến năm 1732, Ơ- le mới bác bỏ giả thuyết trên bằng
cách chỉ ra số
chia hết cho 641. Đây là một trong các ví dụ điển hình nhất chứng tỏ
rằng phép quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến sai lầm.
Các số có dạng 2
m
+ 1 với m là một lũy thừa của 2 được gọi là số Phec- ma.
4). BIỂU DIỄN MỘT SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN TỐ.
Năm 1742 nhà toán học Đức Gôn_bách viết thư báo cho Ơ_le biết rằng ông mạo hiểm
đưa ra bài toán: mọi số tự nhiên lớn hơn 5 đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số
nguyên tố. Ơ_ le trả lời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn được dưới
dạng tổng của 2 số nguyên tố.
Nếu chứng minh được một trong hai mệnh đề trên thì chứng minh được mệnh đề còn
lại. Trong 200 năm, các nhà toán học thế giới không giải được bài toán Gôn bách- Ơ le. Đến
năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinôgrađốp đã giải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng
cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3
số nguyên tố.
Cho đến nay bài toán Gônbách- Ơ le vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ.
Công nhận mệnh đề nói trên của Ơ le, hãy chứng minh bài toán Gôn bách.
Giải.
THCS.TOANMATH.com
TÀI LIỆU TOÁN HỌC