





























































































































Preview text:
Tất cả vì học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 1
Tất cả vì học sinh thân yêu
GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 10 6 5 4
x 2x y 2x y
Bài 1: Giải hệ phương trình
( x, y ) 2
x 5 2 y 1 6 Bài giải: 1
Điều kiện: 2 y 1 0 y - 2
- Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại) 5 æ y ö æ y ö -
Xét x 0 , chia 2 vế của pt đầu cho 5 x 0 , ta được 5 x 2x 2 ç ÷ ç ÷ (1) è x ø è x ø
Xét hàm số f t 5
t 2t, t . Ta có ' f t 4
5t 2 0, t . y
Vậy hàm số f t 5
t 2t đồng biến trên . Do đó (1) 2 x
y x . Thay vào pt thứ x 2 của hệ ta được:
y 5 2 y 1 6 (2) 1
Xét hàm số g( y)
y 5 2 y 1, y - . 2 1 1 1 æ 1 ö Ta có ' g ( y) 0, y -
. Vậy g(y) đồng biến trên khoảng - ; ç ÷ . 2 y 5 2 y 1 2 è 2 ø
Mà g(4)=6 nên (2) y 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 2
Tất cả vì học sinh thân yêu x 2 x -2 Suy ra 2
y x 4 hoặc y 4 y 4 3 2
xy(x 1) x y x - y 1
Bài 2: Giải hệ phương trình 3y 2
2 9x 3 4y 2 2
1 x x 1 02 Bài giải: y x
Biến đổi PT (1) x - y 2 x - y 1 0 2 y x 1
x = y thế vào PT (2) ta được: 3x 2
2 9x 3 4x 2 2
1 x x 1 0 2x 1 2x 2 1 3 2 ( 3 - x) 2 2 ( 3 - x) 3
f 2x 1 f 3 - x
Xét f t t 2 ( )
t 3 2 có f '(t) 0, t . 1 1
f là hàm số đồng biến nên: 2x 1 - 3x x - y - 5 5 2
y x 1 thế vào (2) 2 x 2 x 2 x 2 3( 1) 2 9 3 4 1 2
1 x x 1 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 3
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm. æ 1 1 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: - ;- . ç ÷ è 5 5 ø 3 3
x y 3(x y) 6 y( y - 2) 14 1
Bài 3: Giải hệ phương trình sau . 3 2 3
27x 27x 20x 4 4. y 2x -1 2 Bài giải: Phương trình (1) 3 x 3 3
x - y 6 2 y -15 y 14
x3 3x 2 - y3 3 2 - y Xét hàm số: f t
( ) t 3 t 3 liên tục trên R.
Ta có f '(t) 3 2
t 3 0 với t
R hàm số đồng biến trên R.
pt : f (x) f (2 - y) x 2 - y y 2 - x
Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta được. 3 2
27 x 2x 20x 4 4 1 x 3x 3 3 3 1 4 3 ( x )
1 x 1 4 x 1 Xét hàm số: g t
( ) t 3 t 4 liên tục trên R.
Ta có g'(t) 3 2
t 4 0 hàm số đồng biến trên R. Suy ra: g 3 ( x )
1 g(3 x 1) 3x 1 3 x 1 27 3 x 27 2
x 9x 1 x 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 4
Tất cả vì học sinh thân yêu
x 0 y 2 27 3 x 27 2
x 8x 0 2
27x 27x 8 ( 0 vn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)
x 1 (x 1)( y - 2) x 5 2 y y - 2
Bài 4: Giải hệ phương trình - x, ( 8)( 1) y x y ( y - 2) x 1 - 3 2 x - 4x 7 Bài giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt ta được phương trình: Từ phương trình ta có thay vào phương trình ta
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 5
Tất cả vì học sinh thân yêu được
Tiếp tục giải phương trình Xét hàm số
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 6
Tất cả vì học sinh thân yêu Do đó hàm số đồng biến trên Từ Giải phương trình +) Với +) Với
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 2
x x 4 2 y y 1 2 1
Bài 5 : Giải hệ phương trình ( ; x y ) . 2 3 3 12
y -10 y 2 2 x 12 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 7
Tất cả vì học sinh thân yêu Ta có: 2 2 (1) x x 4
(-2 y) 4 (-2 y) (*) . 2 t t t 4 t t Xét hàm số đặc trưng 2
f (t) t 4 t f '(t) 1 0. 2 2 2 t 4 t 4 t 4
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: f (x) f (-2 y) x -2 y .
Thay vào phương trình (2) ta được: 2 3 3
3x 5x 2 2 x 1 x 3 1 2 x 1 3 x 3 3 1 2 x 1 (**) Xét hàm số 3
g(t) t 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra x 0 3 3 1 x 1 x 1
. Vậy hệ có hai nghiệm là ( 1 - ; ); (0;0) . x -1 2 3 y 2 2
1 y y 1 x 1
Bài 6: Giải hệ phương trình: 2 (x, y ) 2
x x - 2x 5 1 2 2x - 4y 2 2 Bài giải:
Đk: 2x - 4 y 2 0
Ta có: x - y y y2 2 1 2 4 2 1
thế vào PT (2) ta được
x - x -
y y2 2 2 1 1 4 2 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 8
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x -1 æ x -1 ö 2 1 y y 1 (*) ç ÷ (vì 2
y 1 y y y 0 ) 2 è 2 ø
Xét hàm số f t 2
t t 1 trên 2 t t 1 t
f 't 1 0, t , do 2
t 1 t t t 0, t 2 2 t 1 t 1 æ x -1 ö
f t đồng biến trên , theo (*) ta có f f ç ÷ y è 2 ø
x 2 y 1
Với x 2 y 1 thay vào (1) ta có:
y 1 y2 3 5 2 2 2 4
y 1 y 2
y 1 2 - y y x 4 2 æ 5 3 ö Vậy hệ có nghiệm ; x y ; ç ÷ è 2 4 ø
2 x - 2. y 2
y 8 x y 4x
Bài 7: Giải hệ phương trình .
xy 2x -11 12 - x y 7 - 3x 0 Bài giải: 7
Điều kiện 2 x , y 0 3 Ta có 4x - 8 y 2 x - 2. y 4(x - 2) y
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 9
Tất cả vì học sinh thân yêu 4x y 8
2 y 8 x y 8 4x
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8 2
Suy ra 2 x - 2. y 2 y 8 x y 4x . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8
Như vậy, pt(1) y = 4x – 8. Thế vào pt(2) ta có: 2
4x - 6x -11 4 3x 7 - 3x 0 4 2
x - x - 3 4 3x - x -
1 7 - 3x - x 2 0 2 x - x - 3 2 x - x - 3 æ 7 ö 2
4 x - x - 3 - - 0 do x 2; ç ÷
4 3x x 1 7 - 3x x - 2 è 3 ø 1 1 2
x - x - 3 4 - - 0
4 3x x 1
7 - 3x x - 2 2
x - x - 3 0 ( ) 1 1 4 (3)
4 3x x 1 7 - 3x x - 2 1 13 1- 13 + 2 pt( )
x - x - 3 0 x x 2 2 1 13
Đối chiếu điều kiện ta có x 2 æ 1 13 ö Hệ có nghiệm ç ; 2 13 - 6 ÷ 2 è ø + Xét pt(3)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10
Tất cả vì học sinh thân yêu 7 1 1 x 2;
4 3x x 1 3 10 6 3
4 3x x 1 6 7 ö Xét hàm số x 2; : g(x) 7 - 3x x - 2 ÷ 3 ø 3 2 7 - 3x - 3 g '(x) - 1 0 2 7 - 3x 2 7 - 3x æ 7 ö 1 1
g(x) g 3 ç ÷ . Do đó, è 3 ø 3 7 - 3x x - 2 7 1 1 1 x 2; :
3 4 hay pt(3) vô nghiệm 3
4 3x x 1 7 - 3x x - 2 6 æ 1 13 ö
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất ç ; 2 13 - 6 ÷ 2 è ø 3 2 3
2x - 4x 3x -1 2x 2 - y 3 - 2y 1
Bài 8: Giải hệ phương trình 3
x 2 14 - x 3 - 2 y 1 2 Bài giải:
Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3 x ta được 4 3 1 1 2 - - 2 2 - y 3 - 2 y 2 3 x x x 3 æ 1 ö æ 1 ö 1- 1- ç ÷ ç ÷
3 - 2 y 3 - 2y 3 - 2y * è x ø è x ø Xét hàm 3
f t t t luôn đồng biến trên
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 11
Tất cả vì học sinh thân yêu 1
* 1- 3 - 2y 3 x
Thế (3) vào (2) ta được 3 3
x 2 15 - x 1
x 2 - 3 2 - 15 - x 0 æ ö ç ÷ ç 1 1 ÷ x - 7 0 ç ÷ x 2 3 4 - 2 x 15 ç x 152 3 3 ÷ ç ÷ è 0 ø æ 111 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm ; x y 7; . ç ÷ è 98 ø
2 x y 6 1- y (1)
Bài 9: Giải hệ phương trình 2 9
1 x xy 9 y 0 (2) Bài giải:
x y 6 0 Đk: x -1
+) Nếu y 0 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 .
VT (1) 2 x y 6 2 5
VT (1) VP(1) hệ vô nghiệm.
VP(1) 1 - y 1
+) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0 2 æ 3 ö æ 3 ö
9 1 x xy 9 y 0 9 ç ÷ ç ÷
- y 9 - y2 2 (3) è x ø è x ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 12
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 9 2t Xét hàm số 2
f (t) t 9 t ,t 0; f '(t) 0 t 0 2 9 t æ 3 ö 3 9 (3) f f (- y)
- y x ç ÷ 2 è x ø x y 9 9
Thế vào pt(1) ta có phương trình 2
y 6 1- y (4). Hàm số g( y) 2 y 6 đồng 2 y 2 y biến trên - ;
0 ; hàm số h(y) = 1 – y nghịch biến trên - ;
0 và phương trình có ngiệm y = –3
nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = –3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1; –3). 2 2
y -1 2y 1 x x xy 3y 1
Bài 10: Giải hệ phương trình : 2 2
x y 3
y - 3x 7 2 Bài giải: Đk: 2
y 1, x 0, y 3x æ 1 ö
Từ pt (2) ta có : y - x - 1 ç
2 y -1 x ÷ 0 ç y 1 x ÷ - è ø Suy ra, y = x + 1 Thay vào pt (1) ta được 2 2
x x 1 - x - x 1 7 - 3 Xét hàm số: 2 2 f (x)
x x 1 - x - x 1
Chứng minh hàm số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 13
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vậy nghiệm của hệ là (2;3)
x 3 xy x 3y 3 x 1 2 y y 1 1
Bài 11: Giải hệ phương trình: x-3 y 1 y - 1 2
x - 2x 3 x 1 - 22 Bài giải: Pt(1)
x 3 x 3 y
1 x - 2 y 1 y 1 a x 3 a b Đặt
a,b 0,(1) trở thành: 2 2
a - 2b ab a - b 0 b y 1
a 2b 1 0
+ a 2b 1 0 vô nghiệm do a, b 0
+ Xét a = b y x 2 thay vào (2) ta được:
x - x x 2 3 3
1 x - 2x 3 x 1 - 2 x - 3
x - 3 x 3 x 1 2
x - 2x 3. x 1 2
x 3 y 5(tm)
x 3 x 1 2 x 1 2 x - 2x 3 * 2 2 (*)
x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 - -
Xét hàm số f t t 2
2 t 2 , t 0 có f 't 0 t
Suy ra f t đồng biến mà f x 1 f x - 1 x 1 x -1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 14
Tất cả vì học sinh thân yêu x 1
x 3 y 5 2 x - 3x 0
Vậy hpt có nghiệm: 3;5 x -
x - x - y 2 8 2 1 2 2 1
y - 2 y 4 1
Bài 12: Giải hệ phương trình:
4xy 2 y 2 y 2x 5y 12x - 62 Bài giải: 1 x ĐK: 2
. Từ pt (1) dể pt có nghiệm thì y 0
y 2y 2x 0 3 2 PT x - - x - x - 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 4 2 2
1 y - 2y 4y (*)
Xét hàm số f t 3 2
t - 2t 4t t 0 có f t t - t t t - 2 2 2 3 4 4 2 2 0 t 0 nên f(t) luôn đồng biến
Từ pt (*) f 2 2x -1 f y 2 2x -1 y
Thay vào pt ( 2 ) ta được pt 3
y 2 y 2 y 2 3y y 2
y -2z loaïi 3 3 2 2 2 Đặt z
y 2 ta được pt y 2z 3yz y - zy yz - 2z 0 y z t / m
Với y = z ta được y
y 2 y 2 x 1 (t / m)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 15
Tất cả vì học sinh thân yêu
xx - y x 2 x - y 3 2 2 2 2
Bài 13: Giải hệ phương trình: x, y 3 2 3 x 2 y 2 x - y 2 2
x y 2 1 x x 2x 1 Bài giải: ĐK: 2 x y 0 Từ PT(1) tìm được 2 2 2 x
x - y x x - y
Thế vào (2) đưa về pt chỉ có ẩn x 3 æ 1 ö 1 2 2 Đưa được về hàm 3 ç 1 ÷ 1 1 1 ç x ÷ x x x è ø 1 2 Xét hàm 3
f t t t đồng biến trên từ đó được pt 3 1 1 giải được x x 5 1 5 -1 x - L, x N 2 2 æ 5 -1 ö Nghiệm ; 5 - 2 ç ÷ 2 è ø 2 2
x 1 - 3x y 2 2 4 y 1 2 3 1 8x y 1
Bài 14: Giải hệ phương trình 2
x y - x 2 0 2 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 16
Tất cả vì học sinh thân yêu
+) Với y 0 thì VT 1 0,VP
1 0 Hệ phương trình chỉ có nghiệm (x;y) với y 0
+) vì y 0 nên từ phương trình (2) của hệ suy ra x 2 Khi đó: 2 2 2
x - x y x y 2 1 1 3 2 2 4 y 1 - 1 2 2 2 2
x 1 2 2x y 4 y 1 x y 3 Thay 2
2 x - x y vào phương trình (3) ta được: 2 2 2 2
x 1 x 2x y 4 y 1 2x y 1 1 1 2 1
2 y 4 y 1 2 y 2 x x x
+) xét hàm số: f t 2
t 1 t t với t 0 2 t f 't 2 1 t
1 0 với mọi t 0 2 1 t æ 1 ö 1 1
f(t) là hàm đồng biến trên 0; . Mà f
f 2 y
2 y xy ç ÷ è 2 ø x 2 1 1 +) Thay xy
vào phương trình (2) của hệ ta có: x 4 y 2 8 x 4 Thử lại thấy
1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho. y 8 æ 1 ö
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ; x y 4; ç ÷ è 8 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 17
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài 15: 3 2 2
y 3y y 4x - 22x 21 2x 1 2x -1 1
Giải hệ phương trình
x, y 2
2x -11x 9 2 y 2 Bài giải:
Điều kiện: x 1/ 2 *
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được: 3 2
y y y x 3 2 3 3 2 1
2x -1 - 4 y y 3y 5 y 3 2x 1 2x -1 3 2
y 3y 3y 1 2 y 2 2x -1 2 2x -1 3 y 3 1 2 y
1 2x -1 2 2x -1 3
Xét hàm số: t 3 f
t 2t với t Ta có: t 2 f
3t 2 0 với t
f t đồng biến trên
Do đó: 3 f y
1 f 2x -1 y 1 2x -1 y 2x -1 -1 Thay vào (2) ta được: 2 2
2x -11x 9 2 2x -1 - 2 2 2x -1 2x -11x 11 2
2x -11x 11 0 ** 2 4 2x - 1 2 2x -11x 11 4 4 2 3 2
4 8x - 4 4x 121x 121- 44x 44x - 242x 4 3 2 x - x x - x x - 3 2 4 44 165 250 125 0
1 4x - 40x 125x -125 0
x - x - 2 1
5 4x - 20x 25 0 x 1 tm*,* *
x 1 y 0
x 5 tm*,* *
x 5 y 2
x 5 / 2 ktm * , **
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 18
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là ; x y 1;0,5;2 4 2 2 2 3 2 2
x x y - y y x y x
Bài 16: Giải hệ phương trình: x, y 3 2 2 y - 5 - 2x -1 Bài giải: 5 Điều kiện: x 2 Phương trình (1) 2 x - - y 2 2 1
x y 0 x y 0 hoặc 2 x y 1
Trường hợp x y 0 thế vào (2) không thoả mãn. Trường hợp 2
x y 1 thế vào (2): 3
2 y - 3 - 2 y -1 0 (3) æ 3
Xét hàm f t 3
2t - 3 - 2t -1;t -; ; ma` f ç 1 0 2 è
Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất: y 1 . Với 2
y 1 x 2 x 2 (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 2;1;- 2 ;1 2 2 2x x
x 2 2 y y 2 y 1
Bài 17: Giải hệ phương trình: . 2 2
x 2 y - 2x y - 2 0 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 19
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 Điều kiện: x 2 - , y - 2
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 2
x -2 y 2x - y 2
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được 2 2 2 x ( 2
- y 2x - y 2) x x 2 2 y y 2 y 1 2 2
x 3x 2 x 2 4 y 2 y 2 y 1 2 2
(x 1) (x 1) (x 1) 1 (2 y) 2 y 2 y 1 (1) Xét hàm số 2
f (t) t t t 1 với t 1 - . 1 1 3
Ta có f '(t) 2t 1
; f ' (t) 2 -
; f ' (t) 0 t - 2 t 1 4 t 3 4 1 æ 3 ö 1
Suy ra f '(t) f ' 0 ç ÷ với mọi t 1
- ; . Do đó hàm f(t) đồng biến trên [-1; ) . è 4 ø 2
Suy ra phương trình (1) f (x 1) f(2 y) x 1 2 y x 2 y -1.
Thế vào pt thứ hai của hệ, ta y 1 được 2y 2 2 2 1 2 y 2(2 y 1) y 2 0 6 y 7 y 1 0 - - - - - 1 y 6 æ 2 1 ö
Suy ra nghiệm (x;y) của hệ là (1;1), - ; ç ÷ . è 3 6 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 20
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x x 4 2 y y 1 2
Bài 18: Giải hệ phương trình : 2 3 3 12
y -10 y 2 2 x 1 Bài giải:
Phương trình đầu ên của hệ tương đương với: x x - y2 2 4 2 4 -2 y
f x f 2
- y với y f t 2
t 4 t 2 t t 4 t t t
Ta có f 't 1 0, t
f t là hàm số đồng biết trên R. 2 2 2 t 4 t 4 t 4
Từ đó f x f 2
- y x 2 - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 21
Tất cả vì học sinh thân yêu
Thế x -2 y vào phương trình sau của hệ phương trình đã cho ta được: 2 3 3
3x 5x 2 2 x 1 x 3 1 2 x 1 3 x 3 3 1 2
x 1 với y g t 3 t 2t g x 1 g 3 3 x 1
Ta có g t 2 '
3t 2 0, t
g t là hàm số đồng biến trên R. Từ đó: g x 1 g 3 3 x 1 3 3 x 1 x 1 2
3x 3x 0 x 1 - y 2
x 0 y 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:(-1;2),(0;0) 2x 2 3
2x -1 y 3y 1
Bài 19: Giải hệ phương trình 2
y - xy 5 5x - 6 y 2 Bài giải: 1 Đk x , 1 2x - 1
2x -1 y 3y 2x -13 3 3
3 2x -1 y 3y; x 2
ét hàm số f t 3 '
t t trên co f t 2 3 , ´
3t 3 0 t
f t đồng
biến trên ,pt(1) trở thành f y f 2x -1 y 2x -1 ;
Pt(2) y 5 y - x 1 0 y 5 - ; y x -1;
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 22
Tất cả vì học sinh thân yêu
Với y -5 2x -1 5 - , vô nghiệm x 1
Với y x -1 2x -1 x -1 x 2 2
2x -1 x - 2 1
Với x 2 2 y 1 2. nghiệm của hệ là ;
x y 2 2;1 2 3 2
2x y 5 - 3 - x - y x - 3x -10 y 6
Bài 20: Giải hệ phương trình: 3 2 3
x - 6x 13x y y 10 Bài giải:
Phương trình thứ 2 của hệ được biến đổi thành:
x - 3 x - 3 2
2 y y * Xét hàm số 3
f t t t là hàm số đồng biến trên R. Ta suy ra (*) y x - 2
Thế vào phương trình đầu của hệ: 3 3
3x 3 - 5 - 2x x - 3x -10x 26 3x 3 - 3 1- 5-2x 3 2
x -3x -10x 24 x 2 3 x - 2 2 x - 2 2 x - 2 2 x - x -12 2 3
x - x -12 1 3x 3 3 1 5 2x - 1 5- 2x 3x 33 5
Phương trình (1) vô nghiệm vì với -1 x thì 2 x - x -12 0. 2
Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất x 2 x 2; y 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 23
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 2 2 3
x xy - 2x y - 2 y x - 2 y 0(1)
Bài 21: Giải hệ phương trình 3 2 3
6 y 5 x 3x 2 y - 3(2) Bài giải: 3 2 2 3
(1) (x - 2x y) (xy - 2 y ) (x - 2 y) 0 2 2
x (x - 2 y) y (x - 2 y) (x - 2 y) 0 2 2
(x y 1)(x - 2 y) 0 2 y x ( Vì 2 2
x y 1 0, x , y R ). Thay vào (2), ta có: 3 3 2
3x 5 x 3x 2 y - 3 3 3
3x 5 3x 5 (x 1) (x 1) (*) 3 2
Xét hàm số f (t) t t, R f '(t) 3t 1 0, t
R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R. 1
x 1 y 3 3 3 2
(*) f 3x 5 f (x 1) 3x 5 x 1 x 3x - 4 0 2 . x 2 - y 1 - æ 1 ö
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: 1; ç ÷ ; (-2;-1). è 2 ø 3
y 2 x 8 2 x 10 y - 3xy 12(1)
Bài 22: Giải hệ phương trình 3 2 3 5 y
2 - x - 8 6 y xy 2 - x (2) Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 24
Tất cả vì học sinh thân yêu 3
y 2 x 8 2 x 10 y - 3xy 12(1) 3 2 3 5 y
2 - x - 8 6 y xy 2 - x (2) Điều kiện: x [-2;2]
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) 3 3 æ 2 ö æ 2 ö
(2) 2 - x 3 2 - x 3 ç ÷ ç ÷ (*) y y è ø è ø Xét hàm số 3
f (t) t 3t trên R hàm số đồng biến trên R æ ö (*) f - x 2 2 2 f 2 - x ç ÷ thế vào (1) y y è ø
(1) 3y 2 x 8 2 x 10 y - 3xy 12 3 2 x 4 2 x 2 - x 10 y - 3x 6 2 - x 2
3 2 x - 6 2 - x 4 4 - x 3x -10 0 (**) Đặt 2 2
2 x - 2 2 - x t t 10 - 3x - 4 4 - x t 0
Phương trình (**) trở thành 2
3t - t 0 t 3 6
- với t = 0: x ; y 5 5
- với t = 3: 2 x - 2 2 - x 3 phương trình vô nghiệm, vì vế trái 2 .
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 25
Tất cả vì học sinh thân yêu 4xy ( - 2)2xy xy xy - 3 0
Bài 23: Giải hệ phương trình 2
log (x - y) log . x log y 0 2 2 2 Bài giải:
Điều kiện: x > y > 0
Đặt t = xy > 0, phương trính thứ nhất của hệ trở thành
4t ( - 2)2t - 3 0 (2t 1)(2t - 3) 0 2t t t t
t - 3 0 , vì 2t 1 0 Vì hàm ( ) 2t f t
t - 3 đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên 2t t - 3 0 t 1 . Khi đó ta có 1 xy = 1, hay y . x
Thế vào pt thứ hai của hệ ta được: 2 æ 1 ö 1 x -1 2 2 2 log x - log 0 log log x 2 ç ÷ 2 2 2 è x ø x x 2 2 x -1 x -1 log log x x 2 x 2 2 x x x -1 x x 2 2 2 2 x -1 x -1 1 x -1 1 log - log x 2 2 x x x 1
Suy ra hệ của nghiệm là x 2 , y 2 Bài 24: 2 2
4x 4xy y 2x y - 2 0
Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình:
x, y 2 8
1- 2x y - 9 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 26
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải: 2 2
4x 4xy y 2x y - 2 0 1 Xét hệ phương trình: 2
8 1- 2x y - 9 0 2 1
Điều kiện: 1-2x 0 x
. Đặt t 2x y , phương trình (1) trở thành: 2 t 1 2
t t - 2 0 t -2
Nếu t = 1 thì 2x y 1 1- 2x y 0 . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình 2
8 y y - 9 0 Đặt u
y 0 , phương trình trở thành: x 0 4 u u - u - 3 2 8 9 0
1 u u u 9 0 u 1 . Khi đó hệ có nghiệm y 1
Nếu t = -2 thì 2x y -2 1- 2x y 3 0 . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình y 3 - 2
8 y 3 y - 9 0 8 y 3 y - 3 y 3 0 8y -3 y 3 0 1 x
Với y -3 thì hệ có nghiệm 2 y 3 -
Xét phương trình 8 y - 3 y 3 0 3 Đặt v
y 3 0 , phương trình (3) trở thành: 3
v - 6v 8 0
Xét hàm số f v 3
v - 6v 8 , ta có: f v 2 '
3v - 6 và f 'v 0 v 2
Hàm số f v đạt cực đại tại - 2;8 4 2 , đạt cực tiểu tại 2;8 - 4 2
Vì f 0 8 0 và 8 - 4 2 0 nên f v 0 không có nghiệm v 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 27
Tất cả vì học sinh thân yêu 1
x 0 x
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ; 2 y 1 y -3 4
y - x - 2 2 y - x - 4 0
Bài 25: Giải hệ phương trình ; x y 3 2
x 3x 4x 2 3 4 y y - 1 Bài giải: 3 3
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với x
1 x 1 2 y 2 y (1) Xét hàm số 3
f t t t với t
Ta có f t 2 '
3t t, f 't 0 với mọi t . Do đó hàm f(t) đồng biến trên R. Khi đó phương trình
1 f x
1 f 2y x 1 2y x 2 y -1
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4 3 2
y - 2 y 3y - 2 y - 3 0 2 y - y 1 y - y 2 1 5 2 2 2
y - y - 3 0 y 2 y - y -3 2 æ 1- 5 ö æ 1 5 ö
Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là ç - 5; ÷ và ç 5; ç ÷ 2 ÷ ç ÷ è ø 2 è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 28
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 x 2 4 y
1 x 2 y 3 1
Bài 26: Giải hệ phương trình 2 2
2 y 4 y 1 x x 1 2 Bài giải:
Điều kiện: y 0 PT 2 x x 2 1 4 y
1 2 y 3 x 0 Khi đó, PT 2 2
2 2 y 4 y 1 x x 1 3
Xét hàm f t 2
t t 1 trên 0; t
Có f 't 1 0 t
0 f t đồng biến trên 0; 2 t 1
Khi đó, PT 3 f 2y f x 2 y x
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 5 3
x x x x 3 Đặt t
x 0 có hàm số 10 6 3
g t t t t có g t 9 5 2 '
10t 6t 3t 0 do t 0 Mà g 1 3 t 1
x 1 x 1 1 æ 1 ö
Với x 1 y
. Hệ phương phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; ç ÷ 2 è 2 ø 3 3 2 2
x - y 5x - 2 y 10x - 3y 6 0 1
Bài 27: Giải hệ phương trình: 3 2
x 2 4 - y x y - 4x - 2 y 2 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 29
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện x -2; y 4 3 2 3 2
(1) x 5x 10x 6 y 2 y 3y 3 2 3 2
(x 1) 2(x 1) 3(x 1) y 2 y 3y Xét hàm số 3 2 2
f (t) t 2t 3t, f '(t) 3t 4t 3 0 t R
Suy ra f (x 1) f ( y) y x 1 thay vào pt (2) ta được Phương trình 3 2
x 2 3 - x x x - 4x - 1 2
(x 2)(3 - x) - 2 3 2
x 2 3 - x 2
- 3 x x - 4x - 4
(x 1)(x - 4)
x 2 3 - x 3
2(x 2)(3 - x) - 4 2
(x 2)(x - x - 2)
x 2 3- x 3 (x 2)(3- x) 2 2
2(-x x 2) 2
- (x 2)(x - x - 2) 0
x 2 3- x 3 (x 2)(3- x) 2 2 2 (x x 2) x 2 - - 0 x 2 3 x
3 (x 2)(3 x) 2 - -
0 (vi x -2) x 2 2
x - x - 2 0 x 1 -
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ; x y) (2;3), ( ; x y) (-1;0) Bài 28:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 30
Tất cả vì học sinh thân yêu
xy x 3 2
1 x y x - y
Giải hệ phương trình Giải hệ PT x 3y , , y 2
2 9x 3 4y 2 2
1 x x 1 0 Bài giải: ĐKXĐ x
Ta có xy x 3 3 3 2 2
1 x y x - y x - x y y - xy x - y 0 y x
x - y 2 x 0 y 1 0 2 y x 1
Với y x2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x2 12 9x2 3 4x2 6 1 x x2 1 0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2 9x2 3 4x 2 1 x x2 1 0
x - x x 2 2 3x 2 9 3 2 1 3 2 1 2 x
x - x - x - 2 2 3 2 9 3 2 1 3 2 1 2 2 t
Xét hàm số f t t 2t 2 2 ta có f 't 2 t 2 2 0 suy ra hàm số 2 t 2 đồng biến 1 æ 1 1 ö
Từ đó suy ra 3x 2
- x -1 x - . Vậy HPT có nghiệm ; x y - ; - ç ÷ 5 è 5 5 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 31
Tất cả vì học sinh thân yêu
x 1 x
1 y - 2 x 5 2 y y - 2
Bài 29: Giải hệ phương trình: x -8 y 1 y - 2 x 1 - 3 2 x - 4x 7 Bài giải:
Điều kiện x -1; y 2 Đặt x 1 ; a
y - 2 b a,b 2 , từ (1) ta có: 2
a ab a - 2 b 2 2 2 1 5 2
2 b a - b ab - b a - b 0
a - b1 2a b 0
a b (do a, b 0 1 2a b 0 ) x 1
y - 2 y x 3 Thế vào (2) ta được:
x -8 x 4 x - 8 x 4 x 1 x - 8 x 1 x 1 - 3 2 2 x - 4x 7 x - 4x 7 x 1 3 x 8 x 4 x 1 * 2
x - 4x 7 x 1 3
+ x 8 y 11;
+ x x x 2 * 1 3 4 1 x - 4x+7 x
x 2 x x 2 1 3 1 3 2 3 . 2 3 - - * *
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 32
Tất cả vì học sinh thân yêu
Xét hàm số f t t 2
3 t 3 với t có f t t 2 ' 3 1 0 t nên f(t) đồng biến trên x 2 Do đó *
* f x 1 f x - 2 x 1 x - 2 2
x 1 x - 4x 4 x 2 5 13 x T / M 2 x - 5x 3 0 2 5 13 11 13 x y 2 2 æ 5 13 11 13 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là 8 ;11 và ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø 3 8
x y - 2 y y - 2 - 2x
Bài 30: Giải hệ phương trình y-2 - 3 1
2x+1 8x -13 y - 2 82x - 29 Bài giải: 1 2x 1 0 x - Điều kiện: 2 y - 2 0 y 2 3 Phương trình 3 8x
y - 2 y y - 2 - 2x 2x 2x y - 2 y - 2
Xét hàm đặc trưng: f t 3 t t t 2 , f'
3t 1 0 t
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra: 2x y - 2 Thế 2x
y - 2 vào phương trình thứ hai ta được:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33
Tất cả vì học sinh thân yêu - 3 2 2x 1
2x 1 8x - 52x 82x - 29 - - 2 2x 1 2x 1 2x 1 4x - 24x+29 - 2 - - - 2 2x 1 2x+1 4x 24x 29 0 2x 1
2x 1 - 4x 24x - 29 0 1
2x -1 0 x y 3 2 2
2x 1 - 4x 24x - 29 0 Giải phương trình: 2
2x 1 - 4x 24x - 29 0 Đặt 2 t
2x 1, t 0 2x t -1 2
Ta được phương trình: t - 2 t - 2t - 4 2 1 12
1 - 29 0 t -14t - t 42 0 t 2 t 3 - loai
t - t 2 t - t - 1- 29 2 3 7 0 t loai 2 1 29 t 2 3
Với t 2 x y 11 2 1 29 13 29 103 13 29 Với t x y 2 4 2 æ 1 ö æ 3 æ ö 13 29 103 1 3 29 ö
Vậy hệ phương trình đã cho có3cặp nghiệm: ;3 ; ;11 ; ç ÷ ç ÷ ç ; ÷ 2 2 ç 4 2 ÷ è ø è ø è ø 3 2 3
2x - 4x 3x -1 2x 2 - y 3- 2y 1
Bài 31: Giải hệ phương trình 3
x 2 14 - x 3 - 2 y 1 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 34
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được 4 3 1 1 2 - - 2 2 - y 3 - 2 y 2 3 x x x 3 æ 1 ö æ 1 ö 1- 1- ç ÷ ç ÷
3 - 2 y 3 - 2y 3 - 2 y * è x ø è x ø Xét hàm 3
f t t t luôn đồng biến trên 1
* 1- 3 - 2y 3 x
Thế (3) vào (2) ta được 3 3
x 2 15 - x 1
x 2 - 3 2 - 15 - x 0 æ ö ç ÷ ç 1 1 ÷ x - 7 0 ç x 2 3 ÷ 4 - 2 x 15 ç x 152 3 3 ÷ ç ÷ è 0 ø æ 111 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm ; x y 7; ç ÷ è 98 ø 3 3 2 y 2 y - 2 x 4 x
Bài 32: Giải hệ phương trình:
y 4 2x 12 2
- 8 x y - 2 x 2 2 x - y Bài giải: y 2 - + Đk: 2 x y + Từ pt thứ 2 ta có:
y y 2
- x y - 2 x 2 4 2 12 8 2 x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 35
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
x y - y y - 2 x 2 8 4 2 12 2 x - y 0 2 x y -
y y - 2 x 2 2 8 2 4 2 12 2 2 x - y 0 y -
y x - x - y 2 2 2 2 2 8 6 2 0
2 y 8 y 6 y -2 2 2 x 2 x - y y 2 0 + Thay vào pt 1 ta được: 3 3 2 y 2 y - 2 x 4 x 3 -
3 - - 3 3 3 3 y 2 y 2 x 4 x y 2 4 y 2 x 4 x + Xét hàm số: 3 f
t t 4 t R . Ta có: t 2 3t f ' 1 0, t R f f x y - x t 3 2 3 y-2 3 2 t 4 3 y 2 0 x - 4 + Vậy ta sẽ có: TM 3 y - 2 x y 2 -
Kl: Nghiệm duy nhất của hệ là: x y 3 : - 4; 2 - Bài 33:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 36
Tất cả vì học sinh thân yêu x 2 x
y 2 x 1 y 1
Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: x 1
x, y 2 3
x -8x - 3 4x 1 y 1 Bài giải: x 1 -
Điều kiện y -1 3 2 3
x x x
x x x 1 1
y 2 x 1 y 1
y 2 y 1 x 1 x 1 x 1 3 æ x ö x ç ÷ y 3 1 y 1 è x 1 ø x 1
Xét hàm số f t 3
t t trên có f t 2 '
3t 1 0t suy f(t) đồng biến trên . æ x ö x Nên f ç ÷
f y 1
y 1 . Thay vào (2) ta được è x 1 ø x 1 2
3x - 8x - 3 4x x 1
x - x x 2 2 2 1 2 1 x 1 2 x - 6x - 3 0 x 3 2 3
2 x 1 x -1 1 5 - 2 13 2 x 1 1- 3 x x x 3 9 2 9
x -10x - 3 0 2 x Ta có: y -1 x 1 4 3 3 5 - 2 13 41 7 13
Với x 3 2 3 y . Với x y - 2 9 72
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 37
Tất cả vì học sinh thân yêu æ 4 3 3 ö
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm ;
x y ç 3 2 3; ÷ ç 2 ÷ è ø æ 5 - 2 13 41 7 13 ö & ; x y ç ; - ÷ ç 9 72 ÷ è ø 2 y 4 y 5 x - y -1 ln
Bài 34: Giải hệ phương trình 2 x 2x 2
6 y 2 y 2 3 1
x 2 2x - y 7 Bài giải: 2 y 4 y 5 x - y -1 ln 1 Xét hệ 2 x 2x 2 (Đ/K: x 2 - )
6 y 2 y 2 3 1
x 2 2x - y 7 2
Ta có: x 2
x x y 2 1 1 ln 2 2
2 ln y 4 y 5 x
x 2 y y 2 1 ln 1 1 2 ln 2 1 * 2t 1 t2
Xét hàm f t t 2 ln t
1 , t R . Ta có f 't 1
0t R , dấu bằng 2 2 1 t 1 t
xảy ra khi và chỉ khi t 1 -
Nên f(t) đồng biến trên R theo (*) suy ra f x
1 f y 2 x 1 y 2 x y 1 Thay vào (2) ta được 3 2
6 x -1 2x x 2 2x - x 8 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 38
Tất cả vì học sinh thân yêu Xét 3 2
x 1 6 x -1 2x x 2 2 3 7 2x - x 8 nên (3) không có nghiệm trên ;1 - 4 x 2 x 10x 4 3 2
Xét x 1 , khi đó 6 x -1 2x x 2 2 x - 1 1 1 x 2 2 2 x 10x 4 3 2 Mà 2
2x - x 8
x - 2 0. Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2. 2 2
Do đó hệ có nghiệm ; x y 2
;1 (thỏa mãn điều kiện)
Bài 35: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 2 3 x 3 x -1
x(x - 3x 3) - x - 6x 6 2 y 2 y 3 2 1 2 3 3
x -1 - x - 6x 6 y 2 1 2 Bài giải:
Thế - x2 - 6x 6 3 y 2 1 - 3 x -1 vào PT(1) ta được :
(x -1) (x -1)3 1 3 y 2 y 2 1 2 3t Xét hàm số 3
f (t) t t 1 f '(t) 1
0 suy ra hàm số đồng biến 3 2 t 1 Mà 3 3
f (x -1) f ( y 2) x -1
y 2 .Thế vào PT(2) ta được : 2 3 x -1 -
x - 6x 6 x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 39
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
3 x -1 x x - 6x 6 2 2
9(x -1) 2x - 6x 6 2x x - 6x 6 2 2 2 2
(15x -15 - 2x ) 4x (x - 6x 6)
(x - 5)(x -1)(4x - 5) 0 5 127 - x y Đối chiếu điều kiện 4 64
x 5 y 62 æ 5 127 ö
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ; - ç ÷ và (5;62) è 4 64 ø 3 y 2 2
1 y y 1 x
Bài 36: Giải hệ phương trình: 2
x, y 2
x x - 2x 5 1 2 2x - 4 y 2 Bài giải:
ĐK: x - 2 y 1 0 2 2
1 2 y 4 y 2 2 y y 1 2x 3 2 2 2
y 2 y y 1 y 1 2x - 4 y 2
y y 2 2 1
2x - 4 y 2 x - 2
1 x - 2x 5 (2) ta có:
2x - 4 y 2 2 2 x - x - x 2 x -1 æ x -1 ö y y 1 2 2 1 2 5 2 2 y y 1 1 ç ÷ 2 2 è 2 ø 1 Ta có: 2 y 1 y 2 y 1 - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 40
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x -1 æ x -1 2 2 ö
y 1 - y 0
y 1 y 0 2 y y 1 1 ç ÷ 2 è 2 ø
Xét hàm f t 2
t t 1 t
f 't 1 0 t 2 t 1 æ x -1 ö
f y f ç
÷ 2 y x -1 thay vào (2) ta có: è 2 ø
x x - 2 x - x
x x - 2 1 4 1 2 2 2 2 2 1 4 5 x - 2 1 4 x - 1 - 4 0
Đặt x -1 t ta có: 2
t 4 4 - t t 4 4 - t 0 t 4 3 2 2
t 4 t - 8t 16 8t 12 t TM 2 3 3 5 3 Với t x -1 x y 2 2 2 4 æ 5 3 ö Vậy ; x y ; ç ÷ è 2 4 ø
x 1 x
1 y - 2 x 5 2 y y - 2
Bài 37: Giải hệ phương trình - x, 8 1 y x y y - 2 x 1 - 3 2 x - 4x 7 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 41
Tất cả vì học sinh thân yêu y 2 Đkxđ: x 1 - 1
x 1 x
1 y - 2 2 y - 2 - x - 1 y - 2 x 1 a Đặt a,b 0 y - 2 b 2 2
a ab 2b - a b 1 b b - ab a b 1 b
a - b1 b b
1 0 a - ba 2b 1 0 a b
a 2b 1 0 do a,b 0 a+2b+1>0
Với a = b ta có: x 1 y - 2 y x 3 Thay vào (2) ta có:
x - 8 x 1 3 x 1 x 1-3 x- x x x - 2 8 4 1
1 3 x - 4x 7 2 x - 4x 7
x x - 2 1
8 x - 4x 7
x x - 2 1 2 3
x - 8 x 4
x 8 x 4 - - 0 x 1 3 x 1 3 x 8
x 4 x 1 3 x 1x 22 3 - x 1 a Đặt a 0 x - 2 b
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 42
Tất cả vì học sinh thân yêu Ta có: 2
a a b 2 3 3 3 b 3
Xét hàm f t 2
t 3t 3 t 0
t t t 2 2 2 2 f' 2
3 t 3 2t 6t t 3 3t 6t 3
t t t 2 2 3 6 3 3 1 0 t 0
f(t) đồng biến f a f b 2 2
x 1 x - 2 x 1 x - 4x 4 x - 5x 3 0 5 13 x TM 2 5- 15 x loai 2
Vậy với x 8 y 11 5 13 11 13 Với x y 2 2 æ 5 13 11 13 ö Kết luận: ; x y 8; 11 ;ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø 3
2 y y 2x 1- x 3 1 - x
Bài 38: Giải hệ phương trình , x y R 2 2 2
9 - 4 y 2x 6 y - 7 Bài giải: 3 3
Điều kiện: x 1; y - ; . Ta có 2 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 43
Tất cả vì học sinh thân yêu 3
1 2 y y 2 1 - x 2x 1 - x 1 - x 3
2 y y 2 1 - x 1 - x 1 - x
Xét hàm số f t 3
2t t , ta có f t 2 '
6t 1 0 t
R suy ra f(t) đồng biến trên R. Vậy y 0
1 f y f 1- x y 1- x 2 y 1 - x Thế vào (2) ta được: 2
4x 5 2x - 6x - 1 PT x x - x - x
2 x - 2 2 2 4 5 4 12 2 4 5 1 2 2 1 x x x - vn 2 4 5 2 3
x 1 2 loai
4x 5 1 - 2x x 1- 2 4 y 2
Với x 1 - 2 . Vậy hệ có 2 nghiệm 4 y - 2 4 5 10 6
x y y x x
Bài 39: Giải hệ phương trình: 4 1 x - 2 1- x -3x 1 1- y Bài giải:
Điều kiện: -1 x 1, y 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 44
Tất cả vì học sinh thân yêu
Nếu x = 0 thay vào hệ phương trình ta được ;
x y 0;0 là một nghiệm của hệ phương trình. 5 æ y ö y Nếu x 0 , từ 4 5 10 6 5
x y y x x x x ç ÷ è x ø x Xét f t 5
t t,t R . Ta có f t 4 '
5t 1 0, t
R , nên f(t) đồng biến trên R. æ y ö y
Do đó f x f ç ÷ . Suy ra 2
x y x è x ø x
Thay y = x2 vào phương trình thứ hai ta được 2
4 1 x - 2 1 - x - 3x 1 1 - x (*) 1 x 2 2 u - v
Đặt u 1 x 0, v 1 - x 0 . Ta có 2 2 2 u v 2 3 1
Phương trình (*) trở thành 4u - 2v - 2 2
u - v 2 2
u v uv 2 2 2
u v - 2 2
4 u - v 2v 0 2u - vu v - 2 0 3 9
Nếu v 2u thì 1 - x 2 1 x x - y 5 25
Nếu v 2 - u thì 1 - x 2 - 1 x pt vô nghiệm æ 3 9 ö
Tóm lại phương trình có các nghiệm là x; y 0;0; - ; ç ÷ è 5 25 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 45
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x y x - 2 4
5 -1 4 y - x 2 2 y
Bài 40: Giải hệ phương trình , x y
4 y x - 4 x 2 x -1 Bài giải: x 1 Điều kiện . Với điều kiện đó y 0 2 2
1 x 4xy - 20 y - 1 4 y - x 2 2 y
2 4xy 16xy 2 x -1 - x . Thay vào (1) ta có x
x - y 2 2 2 1 2 1 2 2y 1 -1
Xét hàm số u g t 2
t 2 t -1 với t 1; . Hàm số này luôn đồng biến. 2 Vì thế 2
x 2 x -1 2y 1 2 2y
1 -1 x 2 y 1 x -1 2 y Thay vào (2) ta được
x -1 2x - 2 2 -1
2x - 9x 8 2 x -1 2 x - 2 x -1 2 2 2 1
x -1 - 2x 2 2 -1 2 2x -
9 2 2x 10 4 2 0 x -1 2x - 2 2 -1 2x - 2 2 -1 0 Phương trình bậc hai 2
2x - 9 2 2x 10 4 2 0 có 2 2 2 1 nên có hai nghiệm
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 46
Tất cả vì học sinh thân yêu 5 2 2 là x
và x 2 . Nghiệm x 2x - 2 2 -1 0 1 2 bị loại vì 2 2 2 5 - 2 2
Hoàn toàn tương tự ta có x - 1 - 2x 2 2 -1 x 2 æ 5 - 2 2 3 - 2 2 ö æ 5 2 2 3 2 2 ö
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ç ; ÷ và ç ; ç ÷ 2 4 ÷ ç ÷ è ø 2 4 è ø 4 3 2
2x 2x - 1 - y - 3y 15y 7 2x 1
Bài 41: Giải hệ phương trình y y 2 2 2
6 - x 2x 2 y - 15x 4 y 12 2 Bài giải:
Điều kiện: 1 x 6 1 f y 1 f 2x -1 với f t 4t3 3t . Vì f(t) đồng biến nên y 1
2x - 1 y2 2 y 2x - 2 . Thế vào (2): x - 5 5 - x 2
x -1 6 - x 2x -11x 8 x -1 - 2 6 - x - 2
1 2x -11x 5
x - 52x - 1 2 x -1 1 6 - x 1 1
x - 5 A 0 với A 2x 1 -
0 (do x 1 ) x 5, y 2. 1 6 - x 2 x -1 3 x 2 4 y
1 x 2 y 3 (1)
Bài 42: Giải hệ phương trình 2 2
2 y 4 y 1 x x 1 (2) Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 47
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện: y 0 2 PT x x 2 (1) 4 y
1 2 y 3 x 0 Khi đó, 2 2
PT (2) 2 y 4 y 1 x x 1 (3)
Xé thàm f t 2
t t 1 trên0; t
Có f 't 1 0 t
0 f t đồng biến trên 0; t2 1
Khi đó, PT (3) f 2 y f x 2 y x
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình: x5 x3 x x 3 Đặt t
x > 0 có hàm số g t t10 t6 t3 có g't 10t9 6t5 3t2 0 dot 0
Mà g 1 3 t 1 x 1 x 1 1 æ 1 ö
Với x 1 y
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; x y 1; ç ÷ 2 è 2 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 48
Tất cả vì học sinh thân yêu
xy x 3 2
1 x y x - y
Bài 43: Giải hệ PT x y 3y , ( , ). 2
2 9x 3 4y 2 2
1 x x 1 0 Bài giải: ĐKXĐ x .
Ta có xy x 3 2 3 2 2
1 x y x - y x - x y y - xy x - y 0 y x
x - y 2 x - y 1 0 2 y x 1
Với y x2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x2 12 9x2 3 4x2 6 1 x x2 1 0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2 9x2 3 4x 2 1 x x2 1 0
3x 2 9x 3 -2x 1 3 2x 2 2 1 2
3x 2 9x 3 -2x - 1 3 2 - x - 2 2 1 2 2 t
Xét hàm số f t t 2 ( ) t 2 2 ta có 2
f '(t) t 2 2 0 suy ra hàm số 2 t 2 đồng biến.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 49
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 æ 1 1 ö
Từ đó suy ra 3x 2
- x -1 x - . Vậy HPT có nghiệm ; x y - ; - . ç ÷ 5 è 5 5 ø 5 3
2x - 5 y - 2 y( y - 4) y - 2 - 2x
Bài 44: Giải hệ phương trình: , x y . 3 (
y - 2 -1) 2x 1 8x -13( y - 2) 82x - 29 Bài giải: 1
Đặt đk x - , y 2 2 +) x
x y - y y - y - x
x y - 5 5 2 5 (1) (2 ) 2 ( 4 ) 2 5 2 (2 ) 2 2 y - 2(3)
Xét hàm số f (t) t5 t, f '(t) 5t 4 1 0,x R , suy ra hàm số f(t) liên tục trên R. Từ (3)
ta có f (2x) f ( y - 2) 2x y - 2 Thay 2x
y - 2(x 0) vào (2) được 3 2
(2x -1) 2x 1 8x - 52x 82x - 29 2
(2x -1) 2x 1 (2x -1)(4x - 24x 29) (2x -1) 2
2x 1 - 4x 24x - 29 0 1 x 2 2
2x 1 - 4x 24x - 29 0(4) Với x=1/2. Ta có y=3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 50
Tất cả vì học sinh thân yêu 2x - 3 2
(4) ( 2x 1 - 2) - (4x - 24x 27) 0
- (2x - 3)(2x - 9) 0 2x 1 2 x 3 / 2 1 (2x - 9) 0(5) 2x 1 2 Với x=3/2. Ta có y=11 Xét (5). Đặt 2 t
2x 1 0 2x t -1. Thay vao (5) được 1 29 3 2
t 2t -10 - 21 0 (t 3)(t - t - 7) 0 . Tìm được t . Từ đó tìm được 2 13 29 103 13 29 x , y 4 2 3 3 2 2
x - y 5x - 2 y 10x - 3y 6 0
Bài 45: Giải hệ phương trình : 3 2
x 2 4 - y x y - 4x - 2 y Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 51
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện x -2; y 4 ) 1 (
x3 5x2 10x 6 y 3 2 y 2 3y x 1 3 2 x 1 2 ( 3 x )
1 y3 2 y 2 3y Xét hàm số f t
( ) t 3 t 2 2 t 3 , f ' t ( ) t 3 2 t 4 3 0 t R
Suy ra f(x+1) = f(y) => y= x+1 thay và pt (2) ta đuợc
Phương trình : x 2 3 3 2
- x x x - 4x -1 x x - - x 2 3 - x 3 2 2 23 2
- 3 x x - 4 x - 4 x 1 2 x - 4 x 2 3 - x 3 2
x 23 - x - 4 2 x x - x - x 2 3 - x 3 2 ( 2)
x 23 - x 2 2( 2 - x x 2) 2 - x x - x - x 2 3 - x 3 2 2
x 23 - x 2 0 2 x - x - 2 2 x 2 x 2 3 - x 3 0
x 23 - x 2 0 (vi x -2 ) x 2 2
x - x - 2 0 x -1
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = (2;3) , (x;y)= (-1; 0) 3
2y y 2x 1- x 3 1- x
Bài 46: Giải hệ phương trình: 2 2 2
9 - 4 y 2x 6 y - 7
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 52
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải: ĐK: x 1 , ta có: 3
2 y3 y 2x 1 - x 3 1 - x 2 y3 y 2
. 1 - x 1- x y 1- x
Vì h/s f t t 3 2
t đồng biến trên R.
Thế vào pt kia ta được pt: 2
2x - 6x -1 4x 5 2
4x - 8x 4 4x 5 2 4x 5 1
2x - 2 4x 5 2 2 1
2 - 2x 4x 5 1 vì x 1 x 1- 2 tmđk. 5
(xy - 3) y 2 x x (y - 3x) y 2
Bài 47: Giải hệ phương trình:
(x, y ) 2
9x 16 - 2 2 y 8 4 2 - x Bài giải: 0 x 2 Đk: (*) .Với đk(*) ta có y 2 - x 1
(1) (x -1) ( y 3) y 2 - (x 1) x 0
( y 3) y 2 (x 1) x (3) Nội dung
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 53
Tất cả vì học sinh thân yêu 31
Với x = 1 thay vào (2) ta được: 2 2 y 8 1 y - (loai) 8 Ta có: y 3 3 (3) 2
y 2 ( x ) x (4). Xét hàm số 3 2
f (t) t t f '(t) 3t 1 0; t
Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó:
(4) f ( y 2) f ( x) y 2
x y x - 2 thay vào pt(2) ta được: 2
4 2 - x 2 2x 4 9x 16 2 2 2 2 2
32 - 8x 16 2(4 - x ) 9x 8(4 - x ) 16 2(4 - x ) - (x 8x) 0 x t Đặt: 2 t 2(4 - x )
(t 0) ; PT trở thành: 2 2 2
4t 16t - (x 8x) 0 x
t - - 4 0(loai) 2 0 x 2 x 4 2 4 2 - 6 Hay 2 2(4 - x ) 32 x y 2 2 x 3 3 9 æ 4 2 4 2 - 6 ö
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là: ç ; ÷ ç 3 3 ÷ è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 54
Tất cả vì học sinh thân yêu
1- y x - y x 2 x - y - 1 y 1
Bài 1: Giải hệ phương trình 2
2 y - 3x 6 y 1 2 x - 2 y - 4x - 5y - 3 2 Bài giải chi tiết x y 0
Điều kiện: x 2y;4x -5y -3 0
Phương trình (1) trở thành:
1 1- y x - y x - y - 1 y -
1 - x - y - 1 y 0
1- y x - y -
1 x - y - 1 1- y 0 æ 1 1 ö y 1
1- y x - y - 1 ç ÷ 0 ç x - y 1 y 1 ÷ x y 1 è ø * Với y 1
2 9 - 3x 2 x - 2 - 4x -8
9 - 3x 0 x 3
* Với x y 1
2 2y2 3y - 2 2 1- y - 1- y 2y2 3y - 2 1- y 3
Điều kiện: y 1
Cách 1: Phân tích thành nhân tử
3 21- y - 2y 1- y 2y 1
1- y - y 2x 1 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 55
Tất cả vì học sinh thân yêu
2 1- y 1- y - y 2y
1 1- y - y 0
2 1- y 2y
1 1- y - y 0
2 1- y 2 y 1 0VN 2 1- y y 1- y y 1 - 5 1 5 y
(vì y 0 ) x 4 2
Cách 2: Khảo sát hàm số
y y - y 2 2 3 2 2 1 1- y Xét hàm số t 2 f
2t t t 0 có f't 4t 1 t
0 . Do đó f(t) đồng biến trên 0; 1 - 5 1 5
Mà f y f 1- y nên 2
y 1- y y 1- y y
(vì y 0 ) x 4 2
Sau khi thử lại, ta thấy tất cả các nghiệm của phương trình đều thỏa mãn. 1 5 x x 3 2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: ; y 1 1 - 5 y 2 2 y
5x 44 - x 1
Bài 2. Giải hệ phương trình 2 2
y - 5x - 4xy 16x - 8 y 16 0 2 Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 56
Tất cả vì học sinh thân yêu
y 5x 4
2 y - 5x - 5 y x - 4 0 y 4- x * y 5x 4
x 0 y 4 1
5x 42 5x 4 x 4 0 6x 5x 4 - 4
x - y 0 5 2
* y 4 - x;
1 x - 4 5x 4 x - 4 0 6x x - 4 0
x 0 y 4
* x 4 y 0 4
x 0 x 4 x -
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: ; ; 5 y 4 y 0 y 0
xy x - 2 0 1
Bài 3. Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2x - x y x y - 2xy - y 0 2 Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 57
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
x x - y y y - x - 2 2 2 1 2 1 0
x - y 2x - y 1 0 2 2
x y - xy 4 y 1 0 1
Bài 4. Giải hệ phương trình y 7 x y2 - - 2 2 x 1 2 Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với: y x y2 y xy y y
x y x y2 2 2 7 2 4 0 15 2 - - - - - - - 0 y 0
y x - y - 3 x - y 5 0 y x - 3
y x 5 * y 2
0; 1 x 1 0 (vô lý)
x 1 y 2 -
* y x - 3; 2
1 x - x - 2 0 x 2 - y -5 * y x 2
5; 1 x 9x 46 0 (phương trình vô nghiệm) x 1 x 2 -
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: ; y 2 - y 5 - 2 2 3 5
x y - 4xy 3y - 2 x y 0 1
Bài 5. Giải hệ phương trình: xy
x y 2 x y2 2 2 2 Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 58
Tất cả vì học sinh thân yêu
Phương trình (2) tương đương với: xy 1 2 xy 2 2
x y 2 2 2
x y 2x xy - 1 2 2
x y - 2 0 2 2 x y 2 * Với xy 2 2 3
1; 1 5x y - 4xy 3y - 2xy x y 0 2
y 0 loai vi xy=1 2 2 3
3x y - 6xy 3y 0 3y x - y 0
x y 1 x y * Với 2 2 x y 2 2 3
x y - xy y - 2 2 2; 1 5 4 3
x y x y 0
-x x y - xy y
x - y2 3 2 2 3 4 5 2 0
x - 2y 0 x 1 2 2x 2 y 1 2 2 x y
x y 2 2 x 2 x 2 y 5 y 2 5 2 2 x y 1 2 y 2 5 2 x 5 x 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: ; y 1 2 y 2 5
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 59
Tất cả vì học sinh thân yêu
2x y -1 - x 2y - 2 x - y 1 0 1
Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2
x y - 2xy 4x - 3y 0 2 Bài giải chi tiết x - y 1 1
x - y 1 0
2x y -1 x 2 y - 2 æ 1 ö
x - y 1 ç
1÷ 0 y x 1 ç 2x y 1 x 2 y 2 ÷ - - è ø
x x 2 2 2
1 - 2x x
1 - 4x - 4 x 1 0
x - 2 0 x 2 y 3 (thỏa mãn) x 2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y 3 y 2
x - x - y 1
Bài 7. Giải hệ phương trình: 3 x - y 2 2 2
x y - 3 2x -1 112 Bài giải chi tiết x y Điều kiện: 2
x - x - y 0 1 x 2 y Nếu 2 y 0 0
x - x - y 0 (vô lý). Nên y 0 3 x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 60
Tất cả vì học sinh thân yêu y 0 y 0 Với 2
x - x - y 0; 1
x 0 khong thoa man 2 2 x - x 0 x 1 Với 2
x - x - y 0 , ta có: y y 3 3 1 x - y x - y -1 -1 2 2 x - x - y x - x - y x - y -1
x y x - y - 1 0 x - y2 2 3 3 x - y 1
x - x - y 1 æ ö 1 x y x y 1 ç ÷ - - 0 ç ÷ x - y 2 2 3 3 x - y 1
x - x - y 1 è ø 2 2 2 2
x y 2 2x - 3xy 2y x y 2xy 1
Bài 8. Giải hệ phương trình: x y
x - y 3x - 4 y 42 Bài giải chi tiết x y
Điều kiện: x -y
Phương trình (1) tương đương với:
x - y2 2 2 1
2 2x - 3xy 2 y - x y 0
4 2x - 3xy 2 y - x y 2 2 2 2
x - y 0 2 2
2 2x - 3xy 2 y x y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 61
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 7 x - y2
x - y 0 2 2
2 2x - 3xy 2 y x y æ 7 ö
x - y2 ç1
÷ 0 x y 2 2 ç 2 2x 3xy 2 y x y ÷ - è ø Khi đó: x 4
2 2x 4 - x
x 2 y 2 (thỏa mãn) 2
2x x - 8x 16 x 2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y 2 2 2 2 2
x y x - y 2y 1
Bài 9. Giải hệ phương trình:
x y 5 32 Bài giải chi tiết
Điều kiện: x y 0
Với y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình Với y > 0, ta được: æ 3y ö æ y 2 2 2 2 ö 1 x y - x - y - 0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 2 5 2 2 5 2 x - y x - y 4 4 0 2 2 3 2 2 y x y y x - y 2 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 62
Tất cả vì học sinh thân yêu æ ö 5 ç ö 1 1 ÷ æ 2 2 x - y 0 ç ÷ ç ÷ è 4 3 y ø 2 2 2 2 ç x y y x - y ÷ è 2 2 ø 5 5 2 2 x y x y 4 2 Khi đó: 2
x 4x -12x 9
2 x 2x 3 3 x 2 2
x 1 y (thỏa mãn) 5 x 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 2 y 5 x - 2 1
x 1 - x x - y
y - 2 4x - 3y 0 1
Bài 10. Giải hệ phương trình: 2 y 3 2 2
3 x x y xy 2 x xy 1 Bài giải chi tiết x 1 - 2
x x - y 0
Điều kiện: x xy 1 0 y 2
Phương trình (2) tương đương với:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 63
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 y 3 2 2
3 x x y xy - y - y x xy 1 2 2
x xy y x - y 1 y y
1 y - x 1
3 x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y 2 2
x xy y y y 1
x - y 1 0 3
x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y 2 2
x xy y y y 1 Do
0 y x 1
3 x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y
Thay vào phương trình (1), ta được: x - 2 1 1
x 1 - x -1 x -1 x - 3 0 2
x -1 x -1 - 1 x -1 -
1 x - 2 0 x - 2 x - 2 2 x -1 x - 2 0 x -1 1 x -1 1 2 æ x 1 1 ö - x - 2ç 1÷ 0 ç x 1 1 x 1 1 ÷ - - è ø
x 2 y 3
Sau khi thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn đề bài x 2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 64
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - 3 x 3 3 y - 5 - y 1
Bài 11. Giải hệ phương trình: 2
x 16 y - x y 2 xy 2 Bài giải chi tiết x 0
Điều kiện: y 5
Phương trình (2) tương đương với: 2 2
x 16 y - x - y 2 y x - y 2
2 x 16 y - x - y 2 xy - y 2
x 16 y - x y xy y x 16 2 y -
x - y - 0 2
x 16 y - x y xy y Ta có:
1 x - 3 x 3 3 y - 5 - y 2 æ 3 ö 11 11 y - 5 -
x - 3 x 3
0 x - 3 x 3 0 ç ÷ è 2 ø 4 4 2 æ 11 ö 7 6 10 x 9 ç ÷ x 3 3 - x 16 è 4 ø 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 65
Tất cả vì học sinh thân yêu x -16 2 y Do đó -
0 x y 2
x 16 y - x y xy y Thế vào (1) ta được:
x x x - 2 x 2 1 2 3 3 5 4
9 2x - 2 2 x - 2x -15 2 2
9 x - 2x -15 2x - 9x 9 2
2x - 9x 9 0
x 6 y 6 81
x - 2x -15 2x -9x 92 2 2 x 6
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y 6 2 2
x 2 x y - xy
x - y 2 y 4
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2
1- y x 2 x y - 1 4x - 3 Bài giải chi tiết 2 2
x y - xy x - y 0
Điều kiện: x 2 - 4 - y 1 3 Từ (2) ta có: 2
4x - 3 x 1- y 1- y x 2 0 x x 2 0 4
Phương trình (1) tương đương với: 2 2 x 2 -
y 4 x y - xy x - y - 2 0
x 2 - y 4 2 2
x y - xy x - y - 4 0 2 2 x 2 y 4
x y - xy x - y 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 66
Tất cả vì học sinh thân yêu x - y - 2
x - y - 2 x - y - xy 2 0 2 2 x 2 y 4
x y - xy x - y 2 æ 1 x y xy 2 ö - -
x - y - 2ç ÷ 03 2 2 ç x 2 y 4
x y - xy x - y 2 ÷ è ø 3
Ta có: x - y - xy 2 x 1- y 1- y 1 x
1 1- y 1 0 do x , y 1 4 1
x - y - xy 2 0 2 2 x 2 y 4
x y - xy x - y 2
Nên 3 x - y - 2 0 . Thay vào (2) ta được: 2 - x
x x x - 3 2 3 2
3 4x - 3 x - 3x 4x - 3 - x 2 - 3 - x 0 4 3
Xét hàm số f x 3 2
x - 3x 4x - 3 - x 2 - 3 - x với x ;3 4 1 1 x 2 - 3 - x
Có f ' x 3x - 6x 4 - 3 x - 2 2 1 1 0 2 x 2 2 3 - x 2 x 2 3 - x æ 3 ö
Do x 2 - 3 - x 2x -1 0 x
;3 x 2 3 - x
x 2 3 - x ç ÷ è 4 ø 3
x - 3y -1 x -1 y 2 x - y 1
Bài 13. Giải hệ phương trình: y 2 1 3 2 2
x 3 32x - 242 Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 67
Tất cả vì học sinh thân yêu x 1
Điều kiện: y 0 x y
* Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y =0 thỏa mãn hệ.
* Nếu x > 1 ta có
1 3x - 3y - 3 2 - 2 x - y x -1 - y 0
2 1- x y x -1- y
3 x - y - 1 0 1 x - y x -1 y æ 2 1 ö
x - y - 1 ç 3 - ÷ 0 ç 1 x y x 1 y ÷ - - è ø 2
x - y -1 0 (Do 3 - 3 - 2 1) 1 x - y
Thay vào (2) ta được 2 x 2 2 3
x 3 32x - 24 2 2 2 2 x 3 x 3 32 24 x 3 x 3 æ 4 3 ö - - 8 8 - -1 2 3 2 ç 3 ÷ x x x x x 3 è x x ø 3 2
x - 4x 3 2 2 2
x 3 2x x 3 4x 8 3 2 x - 4x 3 - 3 2 3 3 2 x x x x x 3 x 3x 8 3 2 2 2 2
x - 4x 3 0 3 2 3 3 2 x x x x 3 21 3 2
x - 4x 3 0 x 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 68
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 21
(Do x > 1) suy ra y 2 æ 3 21 1 21 ö
Kết luận: hệ phương trình có nghiệm x, y 1;0,ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø x 2 1
y y 2 y - 2 1
x x 1 x y 1
Bài 14. Giải hệ phương trình: 2 x x 2
x - y 3 2x x y 12 Bài giải chi tiết
Điều kiện: x - y 3 0 2 2
x x x - y 3 - 2 x - y -1 0 2 æ x x ö
x - y - 1 ç
1÷ 0 x - y -1 0 ç x y 3 2 ÷ - è ø
Thay vào (1) ta được: x 2
x - x x - 2 1 2 2
x x 1 2x -1 2 u x - x 2 2 2 2 2 æ v - u 1 ö æ v - u 1 ö Đặt 2 2
u,v 0 ta được 1 u - 2 v - u ç ÷ ç ÷ 2 v x x 1 2 2 è ø è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 69
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 x 2 u v
v - u u v
1 u v - 3 0 x 1 - u v 3 7 x 8 æ 1 1 ö æ 7 1 - ö
Từ đó ta được các nghiệm ; x y ; - , ç ÷ 1 - ; -2, ; ç ÷ è 2 2 ø è 8 8 ø 8
4x -1 4 y -1 6 - 8x 1
Bài 15. Giải hệ phương trình: 2x 1 2 2
2y 1 x 2y 1 x 2 y 2x 12 Bài giải chi tiết 1
Điều kiện: x, y 4
y 2 2 2 2
1 - 2 y 2x 1 x 2 y 1 - x 1 0 4 y - x 2 y - x 0 2 2 y 1 y 2x 1
x 2 y 1 x 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 70
Tất cả vì học sinh thân yêu 4 2
y - x 0 2 2 y 1 y 2x 1
x 2 y 1 x 1 x y Thay vào (1) ta có: 8
2 4x -1 6 8x 2x 1
Dò nghiệm ta được x = ½ là nghiệm kép , ta tìm cách đánh giá như sau :
Áp dụng BĐT Cauchy: khi thay x = ½ vào 4x -1 = 1 ,nên ta áp dụng
2 4x -1.1 4x -11 4x VT 4x 6 8 8 8 Ta thay x = ½ vào
= 4 . nên ta áp dụng 22x 1 2 22x 1 8 2x 1 2x 1 2x 1 8 8
VP 4x - 2 22x 1
4x - 2 2 22x 1
4x - 2 8 4x 6 VT Dấu 2x 1 2x 1 1 1 "=" xảy ra khi x y 2 2 æ 1 1 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm x, y ; ç ÷ è 2 2 ø y 2 xy -1 x 1 1 1 y
Bài 16. Giải hệ phương trình: 3 2 1 2 y 1- 2 x y 3x Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 71
Tất cả vì học sinh thân yêu y 0 xy 1 3 Điều kiện: 1 - 0 x 0 x x 0 x -1 2 1 xy -1 -1 x 1 - 1 0 y 2 x - xy - 2 y 0 xy -1 1 2
x 1 1 y æ ö ç ÷ 1 1 xy 2ç ÷ -
0 xy - 2 0 xy 2 ç xy 1 1 2 ÷ - ç
y x 1 y 1 ÷ y è ø 1 3 1 Thay vào (2) ta được: 1- x x x 3x
Áp dụng BĐT Bunhiaiscopki ta có 2 2 æ 1 3 ö æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 4 ç 1- ÷ ç1 3 - ÷ 4 - ç ÷ ç x x ÷ ç x 3 x ÷ è x 3 x ø 3 è ø è ø 1 3 2 Suy ra 1- x x 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 72
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 1 2
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số thực dương ta có: x 2 x 3x 3x 3 1 1 3 Nên x 1- 3x x x 1 x 3x
Dấu bằng xảy ra khi 1 3 vô nghiệm. 1 1 1 - x 3 x
Kết luận: Vậy hệ đã cho vô nghiệm
2y - 2y - 2x 3 3
4xy - 2x - 4 8 x - 4 3x 1
Bài 17. Giải hệ phương trình: 2 2
y x 2 y x y 2x 2 2 Bài giải chi tiết
4xy - 2x - 4 0 3
y x 4 Điều kiện: 2 x 2 y 0 2
y 2x 2 0
y 2 2 2 1 -
y 2x 2 x 2 y - x 1 0 2 y - 2x -1 2 y - 2x -1 0 y 2 2 1 y 2x 2
x 2 y x 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 73
Tất cả vì học sinh thân yêu æ 1 1 ö
2 y - 2x - 1 ç ÷ 0 ç y 2 2 1 y 2x 2 x 2 y x 1 ÷ è ø
2 y - 2x -1 0 (Do 3 y x 4 ) Thay vào (2) ta được 2 3 3
2x 2x - 4 8 x - 4 3x
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có: 3 x 3
x - x 2 x - 3 2 3 2 4 4 2
2 8 x - 4 2x 2x - 4 3 4 x - 4 5 Dấu bằng xảy ra khi
x 2 (thoả mãn) y 2 2 x - 2 2 æ 5 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2; ç ÷ è 2 ø 2
x x 2 y - 2 3 2
y - 2 3x - 5 y 5 y - 2 1
Bài 18. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 3 3 3x y
x y - xy y x y 2 Bài giải chi tiết
x - y 2 x - x y 2 2 3 3 3 2
x - x y - xy y 0
x x - y
x - y 2 2 2 x y
x - y 0
x x x y x y
x x x y - xy y x y - xy y 2 2 2 4 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 74
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 2 x x y
x - y 1 0 2 2 æ 3 ö 2 2 3 æ 3 x y 3 x y xy y ö - 3 ç x ÷ x y ç x ÷
x y - xy y ç 2 ÷ 4 ç ÷ 2 4 2 3 2 2 3 3 2 4 è ø è ø 2 x 3x - 2
x y . Thay vào (2) ta được: 3 2
x - 2 3x - 5x 5x - 2 3 2
Nhẩm x = 3 là nghiệm kép , ta thay x = 3 vào : x - 2 1; 3 2
x - x x - x - 2 3 5 5 2 3 2 x - x 1 77 x -1
Áp dụng BĐT Cosi ta có: x - 2 1 x - 2 * 2 2 x 2x -1 Và: 3 2
3x - 5x 5x - 2 3x - 2 2 x - x 1 ** 2 2 x 3x - 2
Cộng vế theo vế (*) và (**) ta có: 3 2
x - 2 3x - 5x 5x - 2 2 1 x - 2 Dấu bằng xảy ra khi x 3 2
3x - 2 x - x 1
Nên 3 x 3 y 3
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 3;3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 75
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 y - x
x y 2x - y 1
Bài 19. Giải hệ phương trình: 2x 2
3x - 2 y 2 2 x 4 y 2x -1 2 Bài giải chi tiết 1 x 2
Điều kiện: x y 0 2x - y 0 2 y - x 1
x y - 2x - y 2x - - 2 y - x 0 2 y x 2 y x
x y 2x - y 2x
x y 2x - y 2x
* Nếu x y 2x - y 2x x 2 x y2x - y 0 vô nghiệm do x > 0.
* Nếu 2 y x thay vào (2) ta được: 2
3x - x 2 2 x 2x 2x -1 x x - x - 2 2 2 2
1 x - 2x 1 x - 2 x 1 0 x x - - 2 2 x - 2 2 1 1 1 x - 1 0 3 x 2x -1 - 2 1 0 2 Ta có: x - 1 0 x - 2 1 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 76
Tất cả vì học sinh thân yêu x 0 2x -1 1 1 1 Với x
nên 3 x 1
x 1 y 2 2 x 1 æ 1 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; ç ÷ è 2 ø 3 2 y x xy -
Bài 20. Giải hệ phương trình: 4 2 y x
y 8 3 8x 1 4 2x y 2 3 3 2 1 Bài giải chi tiết 3
Điều kiện: x 0, y 0, xy 4 1 3 1 xy -1 xy -1 1 x - xy - - 0 0 y 4 2 y xy 1 3 1 xy - 4 2 æ ö ç 1 1 ÷ xy - 1 ç ÷ 0 xy 1 ç y xy 1 3 1 ÷ xy - ç ÷ è 4 2 ø Thay vào (2) được: x
x x 2 3 8 1 3 8 1 4 2 1
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 77
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 x x 2 x - x 2 2 2 8 1 2 2 1 4 2
1 2x 1 4x - 2x 1 4x 2
6 8x 1 2.3. 8x 1 9 8x 1 8x 10 Suy ra x
x x x x 2 3 2 2 8 1 6 8 1 4 2 8 10 8 4 1 x
x x 2 3 8 1 3 8 1 4 2 1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 1 y 1 thử lại thấy thỏa mãn
Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 1 ;1 2 2
x - y 4 x - 4 2 x y - 2 1
Bài 21. Giải hệ phương trình:
x - 2 9 - y y 4 - y 3 x - y 2 Bài giải chi tiết 2 2
x - y 4 0
Điều kiện: x 4 y 2 2 2 1
x - y 4 - 2 x x - 4 - y - 2 0 2 2
x - y 4 - 4x
x - 4 - y - 2 0 2 2
x - y 4 2 x x - 4 y - 2
x - y - 2 x y - 2 x - y - 2 0 2 2
x - y 4 2 x x - 4 y - 2 æ x y 2 1 ö -
x - y - 2ç
÷ 0 x - y - 2 0 2 2 ç
x - y 4 2 x x 4 y 2 ÷ - - è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 78
Tất cả vì học sinh thân yêu Thay vào (2) ta được
y 9 - y y 4 - y 6
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
y - y - y y 2 . 9 4 .
y 4 - y9 - y y 36 y 9 - y y 4 - y 6 y 4 - y 36 62 Dấu bằng xảy ra khi y x (thỏa mãn) 9 - y y 13 13 æ 62 36 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ; x y ; ç ÷ è 13 13 ø 2
x x y -1 y x 1- x 1
Bài 22. Giải hệ phương trình: 1 x 2 y 4 với x 0 2 y x 2 y 1 4 Bài giải chi tiết 2
x x y -1 0 Điều kiện: 2 x y 0 y 0 x y -1 y x -1 2 1
x x y -1 - x
y - 1- x 0 0 2
x x y -1 x y 1- x æ 1 1 ö
x y - 1 ç
÷ 0 x y -1 0 (Do x 0 ) 2 ç
x x y -1 x y 1 x ÷ - è ø 1 y 5 Thay vào (2) ta được: 2 y - y -1 y 1 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 79
Tất cả vì học sinh thân yêu y 1 Ta có: 2 y - y -1 với y 0 2 2 2 æ y 1 ö 3 2 Thật vậy: 2 y - y - 1 - ç ÷ y - 1 2
5y - 2 y 5 0 è 2 ø 16 y 1 Suy ra 2 y - y 1 3 2 y 1 1
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 14 4 y 1 1 y 5
Cộng vế tương ứng (3), (4) rồi rút gọn ta được: 2 y - y 1 y 1 4
Dấu "=" xảy ra khi y 1 x 0 (Thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0 ;1 2 2
2x y x - y x xy y
Bài 23. Giải hệ phương trình: 2
x -1 x y x -1 Bài giải chi tiết x 1
Điều kiện: x - y 0 x y 0 Từ (1) ta có: 2 2
x - y - x - y - 2x xy y 0 x - y - x - y - x - y2x y 0 æ 1 ö 1
x - yç1-
- 2x - y ÷ 0 x y (Do 1-
- 2x - y 1- 2x 0 ) ç x y ÷ - è ø x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 80
Tất cả vì học sinh thân yêu Thay vào (2) ta được: 2 x -
x x - x - - x - 2 1 2 1 1 1 2 2 x - 4 1 2 x - 2
- x 2 0 x 2 x -1 1 2x 2 1 2 (Do
- x 2 11- x - 2 -x 0 ) x -1 1 2x 2
Với x 2 y 2 (Thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; x y 2;2
y 2x -1 1- y y 2
Bài 24. Giải hệ phương trình: x x y x - 2 1 x - y Bài giải chi tiết
y 2x -1 0 y 1
Điều kiện: x 0 yx - 1 0 2 x - y 0 (2) tương đương với 2
xy - y x - y x x 3 2 2 xy - x xy - x y - x Ta có: 2
xy - y - x - y 4 2
xy - y x - y x x x 2 y - x
x - x y
Cộng vế (3) với (4) ta được: 2 xy - y x x x x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 81
Tất cả vì học sinh thân yêu
y x - x x - x y y x - x x - x y2 x - x - y2 2 2 2 2 2 2 2 4
0 y x - x Thay vào (1) ta được: 2 2 2
x x -1 -x x 1 x - x 2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 x x -11 x x 2 x x -1 2 2 2 2
-x x 11 -x x 2 2
-x x 1 2 2 2 2 x x -x x 2 Cộng vế ta được: 2 x - x 2 x 1 2 2 x - 2 1
0 x 1 y 0 (thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất x, y 1;0 2 2
x x xy x - y x y 2 2 2 1 y y 1 1 1
Bài 25. Giải hệ phương trình:
2 y - x 5 y 1 x 21x -17 2 Bài giải chi tiết x 1
Điều kiện: 2 y - x 5 0 y -1
x - y 2
x y 2 1 1 2 x - y - 1 0 2
2 x y 2 x - y - 2 2 1 x y 1 æ x y ö - - 0 2 1 2 x - y - 1 ç ÷ 0 2 2 x y 1 x - y 1 ç x y 1 x - y 1 ÷ è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 82
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x y 1 Thay vào (2) ta được 2 2
2x - x 3 x - x - 21x -17 0 2
x - x - x 2 2 3
1 x - 3x 2 3x - 1 - 21x -17 0 æ ö 1 9 2
x - 3x 2ç1 ÷ 0 2 è
2x - x 3 x 1
3x -1 21x -17 ø 17 1 1 9 Do x x 1 0 2 21 3
2x - x 3 x 1 3x -1 21x -17 x 1
Suy ra phương trình có nghiệm x 2
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm ,
x y 1;0,2;3 2 2
4x 8y -10x 9y y 6 x 1 - 5 1
Bài 26. Giải hệ phương trình: 2 x 1 1 x y 1- x - x 1 2 y 1 - 2 x y y Bài giải chi tiết 0 x 1 Điều kiện: 1 - x 0 2 2 1- x x 1 y 1 1 y
Phương trình (2) tương đương với: - - - 2 2 x x y y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 83
Tất cả vì học sinh thân yêu x y
x - y x y 2 2 2 2 æ 1- x 1 y ö æ y 1 x 1 ö xy x y ç - - ÷ - ç ÷ 0 - 0 2 2 ç ÷ ç ÷ 2 2 x y y x 1- x 1 y è ø y 1 x 1 è ø - 2 2 x y y x æ ö ç ÷ x y 1 x - y ç ÷
0 x y 0 x - y ç 2 2 xy 1 x 1 y ÷ - y 1 x 1 ç - ÷ 2 2 ç x y y x ÷ è ø Thay vào (2) ta được: 2
12x -19x 5 -x 6 x 1 -x 2
12x -19x 5 0 -x 2
12x -19x 5 0 2
12x -19x 52 2
x 6x 6 2x - 1 3x - 5 2
24x - 25x 5 0 1 1 x y - 2 2 25 145 25 145 x y - 48 48 æ 1 1 æ ö 25 145 25 145 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm x, y ; - ; ç ÷ ç ; - ÷ 2 2 ç 48 48 ÷ è ø è ø
xy x - y
xy - 2 x y y 1
Bài 27. Giải hệ phương trình: x 1y xy x1-x 4 2 Bài giải chi tiết
Điều kiện: x, y 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 84
Tất cả vì học sinh thân yêu
Nhận thấy x y 0 không thỏa mãn (2) nên ta có x y 0
Phương trình (1) tương đương với xy x - y xy - 2 x - y - y 0
xy x - y xy - 2 2 - y -
x - y xy - 2 y x y x - y 0 0 - - 2 x y - - 2 x y xy x y xy y xy x y xy y xy - 2 y 1 x - y 0 3 - - 2 x y xy x y xy y 4
Ta có phương trình (2) tương đương với 2 y xy x - x x 1 4 4 x 1 2 x - x - 2 x 2 x -1 2 2 Ta có:
x - x - 2 0 với x 0 x 1 x 1 x 1 xy - 2 y 1
Suy ra: xy - 2 y 0 0 - - 2 x y xy x y xy y
x 1 y 1
Nên 3 x y thay vào (2) ta được x 1 2 3x x 4 - 1 17 1 17 x y 4 4 æ 1 17 1 17 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm x, y 1; 1 , ç ; ÷ ç 4 4 ÷ è ø 2 3
x - x - y. x - y y
Bài 28: Giải hệ phương trình: 4
x - 2 4 - x
y -1 3 - y 6 y 3 4 4 1 3x x 30
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 85
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải chi tiết 2
x - x - y 0
Điều kiện: 2 x 4 1 y 3
Phương trình (1) tương đương với: 2 2 x - x - y
x - y - x - x - y 2 3 .
x - x - y - y 0 2
x - x - y x - y -1
x - y -1 x y 2
x - x - y x - y - 1 2 3
x - x - y - y 0 0 x - y2 2 3 3 x - y 1
x - x - y y 2 x - x - y x y x y 1 - -
0 x y 1 2 2 æ 1 ö 3 x x y y - - 3 x - y ç ÷ è 2 ø 4
Thay vào (2) ta được: 4 x - 24 - x 4 4 3
x - 2 4 - x 6x 3x x 30 x - 2 4 - x 4
x - 2 4 - x 1 2 3 3
6x 3x 2 27x x 27
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 111 x - 2 x 1 4 4
x - 2 1.1.1. x - 2 4 4 111 4 - x 7 - x 4 4
4 - x 1.1.1 4 - x 4 4
Từ các BĐT trên ta được: 4 x - 24 - x 4 4 3
x - 2 4 - x 6x 3x x 30
Dấu bằng xảy ra khi x 3 y 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x, y 3;2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 86
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - y 2y 3
1 x y 4 1 0
Bài 29: Giải hệ phương trình: 1 3 2
2x 5x 4x 1 x x y 4 2 x x Bài giải chi tiết 3 y - 2
Điều kiện: x y 4 0 1 2 x 0 x
Phương trình (1) tương đương với: x - y 1
x y 4 x - y 2y 3 0
x - y 1 x y 4 - 2 y 3 x - y 1 2 y 3 0 x - y 1
x - y 1
x - y 1 2 y 3 0
x y 4 2 y 3 æ 1 ö
x - y 1 ç1 2 y 3 ÷ 0 ç x y 4 2 y 3 ÷ è ø
x - y 1 0 y x 1 1 Thay vào (2) ta được: 3 2
2x 5x 4x 1 x 2x 5 2 x x 1 1 1 1 1 2 2x
5x 4 2x 5 2 2 2 2 2 x x - 2x x x - 5 x 5x 4 0 x x x x x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 87
Tất cả vì học sinh thân yêu
x -1 y 0 1 3 1 x y 2 2 x - x 1 2 2 æ 1 ö æ 1 ö 2 2 x ç x
- x ÷ - 5ç x - x ÷ 4 0 4 - - 3 2 3 2 ç x ÷ ç x ÷ 1 x y - è ø è ø 2 x - x 4 4 4 x 4 - 3 2 3 2 x y 4 4 x 2 y
x - y - 2 2
1 2x 3xy 4 y 0 1
Bài 30: Giải hệ phương trình: 3 3
3x - 2 4 2x y - 2 5 x 5y 2 - 3 2 Bài giải chi tiết 2 2
2x 3xy 4 y 0 2
Điều kiện: x 3
2x y 2
Phương trình (1) tương đương với:
x y x - y 2 2 2
2x 3xy 4 y - x 2 y 0
x x - y
x - y x 2 y 0 2 2
2x 3xy 4 y x 2 y æ x ö
x - yç x 2 y ÷ 03 2 2 ç 2x 3xy 4 y x 2 y ÷ è ø 3 Từ (2) ta có: 3 3
5 x 5 y 2 3
x 5 y 2
x 5 y 2 0 5
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 88
Tất cả vì học sinh thân yêu
Mà 2x y 2 x 5y 2 2x y 2 3 x 2y 0 x 2 y 0
Nên 3 x - y 0 x y thay vào (2) ta được: 3
7 3x - 2 5 6x 2 - 3 Đặt 3
a 6x 2, b 3x - 2 a,b 0 ta được: 5a - 3 b 7b 5a 3 - 7 a 2
x 1 y 1 (thỏa mãn) 2 3 2 a - 2b 6 æ 5a - 3 ö b 1 3 a - 2 - 6 0 ç ÷ è 7 ø
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; x y 1; 1 3 2 2 2 2 2 2
2 2x 4x x y 2xy 2x xy 2x 4 x 2 y
Bài 31: Giải hệ phương trình: x - 2 35 38 x - 2 8 - 8y -19 2 y y y Bài giải chi tiết x 2 Điều kiện: 19 y 8
Phương trình (1) tương đương với: 3 2 2 2 2 x x x y xy xy y - 2 2 2 2 4 2 2
2x xy - y x 2 0 4
- y - x x y x 2 2
- y - x y x 0 3 2 2 2 2 2 2
2x 4x x y 2xy xy 2 y
2x xy y x 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 89
Tất cả vì học sinh thân yêu 4 x 2 2
x - y x y
0 x y 3 2 2 2 2 2 2
2x 4x x y 2xy xy 2 y
2x xy y x 2 x - 2 35 38 Thay vào (2) ta được: x - 2 8 - 8x -19 2 2 x x 2
x - 2 x x - 2 8x - 35x 38 x 8x -19 x x - - x - 2 8 19
2 8x - 35x 38 - x - 2 0 x 7x -17
x - 27x -17 0 2 8x -19 x - 2
8x - 35x 38 x - 2 æ x x - 2 ö 7x -17ç ÷ 0 2 8x -19 x - 2 è
8x - 35x 38 x - 2 ø 17 17 x
(do x 2 ) y 7 7 æ 17 17 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x, y ; ç ÷ è 7 7 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 90
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 4 2 3
(x 1) y 1 2xy ( y -1)
Câu 1 : Giải HPT : 2 4 4
xy (3xy - 2) xy (x 2 y) 1 Thế 2 4 4
1 xy (3xy - 2) - xy (x 2 y) vào PT (2) ta được : 4 2 2
y (1 3x y - 4xy) 0 y 0 xy 1 1 xy 3
Thấy y 0 không phải nghiệm của hệ Với 2 4 4 2 2
xy 1 y y 1 2 y - 2 y ( y - y -1)( y y 1) 0 5 1 2 y x 2 5 1 1- 5 2 y x 2 1 - 5 2 4 4 2 1 y 2 y 2 y y y 2 y Với 4 xy y 1 - 1 0 y 3 9 3 3 3 9 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 91
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 2
x y 2xy (1)
Câu 2: Giải HPT : 3 9 4
x y 2xy 2 PT(2) 3 x y 2 3 3
x - xy y 4 ( ) 2xy 2 xy 2 3 3
x - xy y 4 2 2xy x y 0 2 3 6 2
x - xy y - y 0 *
(*) x y 2 3 3 2 - 3xy - y 0 4 3 2
4xy - 3xy - y 0 x y 0 xy 1 1 xy - 4 1
Với xy=1 x y (1) 4 2
y - 2 y 1 0 y 1 x 1 1 1 Với xy - x = - 4 4 y (1) 4 2
4 y 2 y -1 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 92
Tất cả vì học sinh thân yêu 5 -1 5 -1 1 2 y y = x = 4 2 2 5 -1 æ 1 5 1 ö -
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;0), 1 ; 1 , ç ; ÷ ç 2 2 5 1 ÷ - è ø 4 6x - 3 x - x 2
y - y 12 2 x 6 0
Câu 3. Giải HPT : 5
x - x - 2 4 2 2 2
1 y -11x 5 0 6 x - 2 2 2 1 xy 2 x - 2 1 x y 5 x - 2 1
x x - 2 2 2 2 2 1 y
Dễ thấy x=y=0 không phải là nghiệm của hệ. x - 2 2 2 1 x -1 1 6 (*) 2 2 x y x y Ta có: x - 2 1 x - 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 x y y x 2 x -1 a x Đặt (a,b 0) 1 b y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 93
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
6a b a b Hệ trở thành: 2 2 2 2 5
a b a b 1 4 4 2 2
36a b 2ab 5a b ab 2 2 1 x -1 1 Với ab 2 xy 2 1 17 x 3 y 1 y 1 4 (*) 2 2 y y 2 1 5 x 2 æ 1 17 ö æ 1 5 ö
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ç ;1÷, ç ;2 ÷ 4 2 è ø è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 94
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 2
(4x - 4xy 4 y - 51)(x - y) 3 0
Câu 4 : Giải HPT : (2x - 7)(x - y) 1 0 2 2 2
3(x - y) (x y) - 51 (x - y) 3 0
(x y)(x - y)-7
(x - y) 1 0 Đặt 2 b - 7b -1
x y a 4 2 2 2 3
b a b - 51b 3 0 a b
x - y b
(a b - 7) 1 0 2 2
(b - 4b 1)(2b - b 2) 0 x y 3 b 2 3 a 3
x - y 2 3 - x y 3 b 2 3 a 3
x - y 2 - 3 3 3
3x 5 y - 2xy 6
Câu 5 : Giải HPT : 3 3
2x 3y 3xy 8 Rút lần lượt 3 3
x , y theo xy ta được : 3 3 3
x 22 - 21xy
3x 5 y 8 3 3
x y (22 - 21xy)(13xy -12) xy 1 3 3 3 y 13xy - 12 2x 3y 5
x y 1
Đoạn giải PT bậc 3 ẩn xy có 2 nghiệm rất lẻ không biết có phải do đề không ạ…
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 95
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 1 2 2 2
x y 1 x 2 y Câu 6:Giải HPT : 1 1 2 2 - y - x 2 x 2 y ĐK: x, y 0 1 - 2 3 2 y 3x y 1 1 2 3 2 x 3xy 2 3 2
x 3xy 2 Ta có hệ mới: 3 2
y 3x y 1 x y 3 3 3 x y 3
x - y3 1 x - y 1 3 3 1 x 2 3 3 -1 y 2 2 2 4
x xy y (x - y)
Câu 7 : Giải HPT : 2 2
x - xy y x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 96
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 3a b 4 b a x y 4 4 Đặt 2 2
b x - y a 3b b 4 4 b 0 2 2 b 9b Thế ta được : 4 3 2 b - - 3b
0 b 2b - 3b 0 b 1 4 4 b 3 - b 0 a 0 b 1 a 1 b 1 a 1 - 3 1 2 2 x - y - 1 Câu 8: Giải HPT : 2 y x
x y3 5 ĐK: x, y 0 x - y 1
PT(1) x - y x y xy 2 y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 97
Tất cả vì học sinh thân yêu
2 y b - a
x - y a Đặt 2 2 b - a
x y b xy 4 4a 1 ab Hệ trở thành: 2 2 b - a b - a 3 b 5 3 3 b
a - a b 5a b 3
a b b 0 a 1 - 3 b 5 3 5 -1 x 3 x y 5 2 3 x - y 1 - 5 1 y 2 1 x
x y - 3 3 y
Câu 10: Giải HPT : 1
2x y 8 y 1
ĐK: x y 0, x+y 3, y 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 98
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 x a Đặt y a,b 0
x y - 3 b a 1 1 a b 3 b 2
Hệ đã cho trở thành: 2 2 a b 5 a 2 2 b 1 x 4 - 10 1 x 1 y 3 10 1 y x 4 10 x y 7 y 3 - 10 x 3 1 x 4 y 1 2 y x 5 x y 4 y 1 - x 5y 4 1 2 2
x - y x y Câu 11:Giải HPT 2 2 x - 5 y 5 x y 5 2 xy
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 99
Tất cả vì học sinh thân yêu ĐK: 2 2
x - y 0, x+y 0, xy 0 PT(1) 2 2 2 2
x - y xy x y 2 x - y 2 5 5 4 x y x 5 y æ y öæ x ö -
y 5x 4 x - y ç ÷ç ÷ y x è x ø y è ø x y a y
a 5b 5 Đặt
Hệ đã cho trở thành: y
a 5b 4ab x - b x 5 x 5 a y 2 2 y 2
2 y 2x 5 y 1 2 y 1
2x - 2 y x b x - 2 x 2
3 x - y - 2 x - y x y 0 x 1 1 3 y x y 2 2 (*) 3
2x 2 y 3 (*) x - 2 y 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 100
Tất cả vì học sinh thân yêu
7x y 2x y 5
Câu 12 : Giải HPT :
2x y x - y 2 2 2
a 2x y 5
x b - a Đặt 2 2 b 7x y
5 y 7a - 2b Ta có hệ mới : a b 5 a b 5 2 2 2 2 2 2
5a b - a - (7a - 2b ) 10
3(5 - a) - 8a 5a 10 b 5 - a 5 - 77 a 2
(Bài này không hiểu sao ra lẻ vậy ) b 5 - a 5 - - 77 a 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 101
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
x 1 - y y 1 - x 1 Câu 13:
(1 - x)(1 y) 2 ĐK: 2 2
1 - x 0, 1 - y 0 PT(1) : 2 2 x - y y - x 2 2 x - x 2 2 1 1 1
1 - y y 1 2 2 x y x y Dấu “=” xảy ra 2 2 1 - y 1 - x 2 2 x y 1
Với x y thay vào PT(2) không thỏa mãn. Với 2 2 x y 1 PT(2) 2 2
x - y xy 1 0 x y 2xy 1 1 - 2xy xy 0 x 0 Ta giải được thỏa mãn hệ. xy 4 - y 1
3x - 2 y 3 8 x - y 10 Câu 13 :
8 x - y - 2 4 - 2x y 1
3x - 2 y a Đặt 2 2
4 - 2x y b - a - 4 .Ta có hệ mới :
8 x - y b
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 102
Tất cả vì học sinh thân yêu
a 10 - 3b 121 4 55 b
a 3b 10 a 10 3b - 33 2 2 2 2 b
- 2 b - a - 4 1 b
-1 2 b - (10 - 3b) - 4 a 10 - 3b 121 - 4 55 b 33
(Lại một bài lẻ khủng khiếp…) 2
x 2x 6 y 1
Câu 14 : Giải HPT : 2 2
x xy y 7
PT(1) x2 2x 6 y2 2 y 1 (3)
Lấy (3) - (2) 2 y2 (x 2) y - 2x - 12 0 ( y - 2)(2 y x 6) 0 x 1
Với y 2 x 3 - Với 2 2 2 x 2
- y - 6 (2 y 6) - (2 y 6) y y 7 3y 18y 29 0 y 2
x 1 y x y 4 y
Câu 15: Giải HPT 2x
1 x y - 2 y
Thấy y 0 không phải là 1 nghiệm của phương trình.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 103
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
æ x 1ö x y 4 ç ÷ 2 x 1 y è ø a Hệ Đặt y 2 æ x 1ö ç
÷ x y - 2 1
x y b y è ø a b 4 a 1 2 x 1 y
Hệ đã cho trở thành:
a b - 2 1 b 3 x y 3 x 1 y 2 x 2 - y 5 2
x 2x 6 - y 1
Câu 16:Giải HPT : 2 2
x xy y 7 2 2
x - y 2x - 2 y 5 0 2 2
x - y a b - a Đặt xy= x y 2 7 xy
x y b 4 5 a -
ab 2a 5 0 b 2
Hệ đã cho trở thành: 2 2 3b a 28 25 2 3 b 28 2 b 4b 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 104
Tất cả vì học sinh thân yêu a 1 -
x - y 1 - 5 a - b 3 x y 3 b 2 2 a 5 - x - y 5 -
b - 2b - 3 2
3b 18b 29 0 b 1 -
x y 1 -
(x - 1)( y -1)(x y - 2) 6
Câu 17 : Giải HPT : 2 2
x y - 2x - 2 y - 3 0 3 3 2 2 x -1 a
ab(a b) 6
ab(a b) 6 36
- 2a b - 5a b 0 2 2 2 y -1 b a b 5
(a b) - 2ab 5
ab(a b) 6 b 2 x -1 1 ab 2 a 1 y -1 2 a b 3 b 1 x -1 2 a 2 y -1 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 105
Tất cả vì học sinh thân yêu x - 1 y -
1 x y - 2 6 Câu 18: 2 2
x y - 2x - 2 y - 3 0 x - 1 a ab
a b 6 Đặt
, hệ đã cho trở thành: y - 1 b 2 2 a b 5 a 2 x -1 2 b 1 y -1 1 a 2 - x -1 2 - 36 2 (a b) b 1 - y -1 1 - 2 2
a b ab 2 2 2 a 1 x -1 1 a b 5 b 2 y -1 2 a 1 - x -1 1 - b 2 - y -1 2 - 2
2x xy 1 Câu 19 : Giải HPT : 2 9x 3xy 1 4 2 2(1 - x) 2(1 - x) 2 1 - 2x
Dễ thấy x 0 không phải nghiệm của HPT x 0 y . Thế vào PT2 ta x được :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 106
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 9x 3(1 - 2x ) 1 4 2 2(1 - x) 2(1 - x) 2 4 2 2
9x 2(1 - x) 3(1 - 2x )(1 - x) 2 2
(2x 2x -1)(2x - 4x 5) 0 3 -1 x y 2 2 - 3 -1 x y 2 2 3 3
x y x xy x 1
Câu 20 : Giải HPT : 3 2 3
4x y 4x - 8xy - 17x -8 2
(xy x)(x 1) 1 Hệ 2 2
4x(xy x) - 8xy(x 1) -17x -8
xy x a xy a - x Đặt 2 x 1 b ab 1 Hệ trở thành : 2
4a 8b -17 0 1 1 2
(2a -1)(2a 2 - 8) 0 . Do 0 a 1 a b 2 b 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 107
Tất cả vì học sinh thân yêu x 1 1 - 1 y xy x 2 2 2 x 1 - x 1 3 - y 2 2
x xy - 3x y 0
Câu 21 : Giải HPT : 4 2 2 2
x 3x y - 5x y 0 2
x y xy - 3x 0 Hệ 2 2 2 2
(x y) x y - 5x 0 Thế 2
x y 3x - xy vào PT2 ta được 2 2 2 2 2 2
9x x y - 6x y x y - 5x 0 2 2
x ( y - 5 y 4) 0
x 0 y 0
y 1 x 1 2
y 4 x x 4 0(L)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 108
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 2 y 1 2 2 x y -1 x
Câu 22 : Giải HPT : 2x 2 2 x y - 4 y 2 2
x y -1 a 3 2 1 Đặt x a b
giải PT bậc nhất cơ bản b y a - 2b 3 3 1 2 2 x - y - Câu 23 : Giải HPT : 2 y x 3
(x y) 5 3x - 2 y
PT(1) (x y)(x - y)
. Thế PT(2) vào PT(1) ta được : 2xy 5(x - y) 6x - 4 y
5(x - y) - (6x - 4 y) -(x y) 2 2 2 (x y) 4xy
(x y) - 4xy (x - y) 3 3
5(x - y) -(x y) 5
- x - y 1 - x - y 1 - 3 x y 5
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 109
Tất cả vì học sinh thân yêu 4 4
x - 2x y - y
Câu 24 : Giải HPT : 2 2 3 (x - y ) 3 a b x
x y a 2 Đặt : . Đặt kì diệu :
x - y b a - b y 2 3 3 3 3
c 3 a b 3 c ab c .Khi đó : 2 2 æ a b ö æ a - b 4 4 2 2 ö
x - y (x - y)(x y)(x y ) ab ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 3 a - b a 3b a c b
2x - y a b - 2 2 2 2 2 3 æ a b ö a c b 2 2 3
PT (1) ab
c(a b ) a c b ç ÷ è 2 ø 2 2 2 3
c(a b ) a c b Ta có hệ mới : c
ab c b a 2 4 3 c c c ac 1 2 c(a ) a (ac -1)(a - ) 0 2 2 a a a a c
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 110
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 3 a c 3 x y 3
Với a c :
ab c b 1 x - y 1 1 1 1 a x y Với ac 1 : 3 3 c 3 3 2 3 3 b c 9 x - y 9 2 2
2xy y x - y x y x - y 14 2 2
Câu 25 : Giải HPT : 3 3
æ x y ö æ x - y ö 9 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø
x y a 2 2 2
a b x Đặt 3 3
(a b 9 a b 0;a,b 0) . Khi đó 2 2 x - y
a - b y b 2 hệ trở thành : 2 2 2 2 2 2
2(a b )(a - b ) (a - b )2ab a b 14 3 3 a b 9 3 3
(a b) 2(a - b ) -14 0 3 3 a b 9
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 111
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 3 a - b 7 3 a 8 a 2 x y 8 3 3 a b 9 3 b 1 b 1 x - y 2
x 1 y 1 2
Câu 26 : Giải HPT : 72xy 2 2 3
29 x - y 4 x - y a b x 2 Đặt . Hệ trở thành : a - b y 2 2 a b a - b 2 2 8 1 1 2 ( 2) - 2 a b a b - a 2 2 3 2 2 9
b -112b -128 0 18(a - b ) 2 2 3 18(a - b ) 29 ab 4 3 29 ab 4 a 2 b b
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 112
Tất cả vì học sinh thân yêu b 4 4 - b
a ... x ...; y ... 3 8 - b 3 2 2 2
x y 2 y 4 7xy
Câu 26 : Giải HPT : 2 2 2
x 2 y 6 y 3xy
Dễ thấy y 0 không phải nghiệm của hệ . Khi đó hệ tương đương : 2 7x 4 2 æ 2 ö 3x x - 2 0 - x - 2 0 2 y y ç ÷ y y è ø 2 2 æ x ö æ 2 ö æ x ö æ 2 2 3 - x 0 ö ç ÷ ç ÷ 2 3 - x 0 y y ç ÷ ç ÷ è ø è ø y y è ø è ø 2 - x a 2 y
a - 3b 2 0 Đặt
(a b)(a - b - 3) 0 2 x
b 3a 2 0 b y a 1 - b 1 Với 2
a b 0 a 3a 2 0 a 2 - b 2 Với 2
a - b 3 a - 3a 11 0 (Loại)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 113
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
x xy y 3y -1
Câu 27 : Giải HPT : 3 2 2
x x y x - x 1
Dễ thấy x 0 không phải nghiệm của hệ . 2 2 .(
x 1) - (2) 0 x xy - 3xy 1 0 (3) Lấy (3) - (1) ta được : 2 2
xy - y - 4xy 3y 0 y 0
Xét thấy x 1 không phải nghiệm của hệ 4x - 3 y x -1
Với y 0 thay vào không thỏa mãn hệ . 4x - 3 Với y thay vào (2) ta được : x -1 5 -1 5 - 5 x y 2 2 2 2
(x x -1) 0 - 5 -1 5 5 x y 2 2
(x y 3) x - y 2 y 4 0
Câu 28 : Giải HPT : 2 2
(x - y)(x 4) y 1
PT (1) ( x - y 1)(x y 4 - x - y ) 0
x - y x y 4 Thế 4
x - y - x - y vào PT(2) ta được :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 114
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
(x - y)(x
x - y - x - y) y 1 2 3
x (x - y -1) ( x - y ) -1 0 x - y x - y 1 2
(x - y -1)(x ) 0 x - y 1 x - y 1 x 1 - Ta được hệ mới : x y x - y - 4 y 2 - 2
x 2xy y 0
Câu 29 : Giải HPT : 3 2
x 3xy 2 y 1(x x y 2) 4 Thế 2 x y 2
- xy vào PT(2) ta được : 2 2 2 2
- x y - x - y 2x y 1 2 y 1 x y 2 - 4 0 2 2 2
(x y 1 -1) ( x y 2 - y 1) 0 x y 1 1 2 x y 2 y 1 2
x ( y 1) 1 2
x y 2 y 1 2 2
x y 2 3 - x 2
x y 2 y 1 2
x y 2 xy 1 -
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 115
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 - 1
Dễ thấy x 0 không phải nghiệm của hệ 2 y x - 2 x x x 1 - y 1 5 1 2 - x y 2 5 1 5 -1 2 x y 2 1 - 5 5 1 2 -
Đối chiếu điều kiện ( ; x y) ( 1 - ;1);( ; ) 2 5 1
(2x -1) x y (6 - x - y) 2 - x
Câu 30 : Giải HPT : 2 2 3
x - 4xy - 7 y 72 - Xét thấy x 2 2 - x 0
x y 0 y -2 không thỏa PT(2)
x y , 2 - x 0 6 - (x y) 6 - (8 - 4x) PT(1) x y 8 - 4x 2 6 - t -6
Xét hàm số f (t) f '(t)
-1 0 suy ra hàm số nghịch biến 2 t t
Mà f ( x y ) f ( 8 - 4x ) x y 8 - 4x y 8 - 5x
Thế vào PT(2) giải PT bậc 2 cơ bản.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 116
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
x y 2x 3
Câu 31 : Giải HPT : 3 3 2 2 2
2(x y ) 6x 3(x y ) 5 Ta có 3 2 2 2 2 2 .
x (1) - (2) 2 y - 2xy 2x 3(x y ) 5 - 6x 2
y (2 y - 2x - 3) (x -1)(x - 5) Mà 2 2
y 3 - x - 2x (1 - x)(3 x) (x -1)(x 3)(2 y - 2x - 3) (x -1)(5 - x)
Với x 1 y 0 2 5 - x 3 x 4x 7
Với (x 3)(2 y - 2x - 3) (5 - x) y x 2(x 3) 2 x 3
Thế vào PT(1) ta được : 2 2
æ x 4x 7 ö 2 x 2x 3 ç ÷ x 3 è ø 2 2 2 2 2
(x 2x)(x 3) (x 4x 7) 3(x 3) 2 2
(x 1) (x 6x 11) 0 x 1 - y 2 2
x xy x 3 0
Câu 32 : Giải HPT : 2
y(x 3) x 1 2 x y 2 y Lấy 2 2
(1) - (2) x 2 - 3y 2 x y 2 y 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 117
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 ( x 2 -
y )( x 2 3 y ) 0 2
y x 2
Thế vào PT(1) ta được : 3 2
x x 3x 3 0 x 1 - y 3 1 2 2 (x y )(1 ) 5 2 2 Câu 33 : Giải HPT : x y 2 2 2
(xy -1) x - y 2 1 1 2 2
(x ) ( y - ) 5 x y 2 2
(x 1)(y -1) 2xy 1 1 2 2
(x ) ( y - ) 5 x y 1 1
(x )( y - ) 2 x y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 118
Tất cả vì học sinh thân yêu b 2 a 1 b 2 1 - x a 2 2 x a b 5 a 1 - Đặt 1 ab 2 b 1 y - b y a 2 b 1 - a 2 -
Xét từng TH giải x, y đơn giản . 2 2
(x 1) ( y 1) 9xy 0
Câu 34: Giải HPT : 2 2
(x 1)( y 1) 10xy 0 1 1
(x 2 )( y 2 ) 9 - x y 1 1
(x )(y ) 1 - 0 x y b 2 1 x a x
(a 2)(b 2) 9 - a b 3 - a 5 - Đặt 1 ab 10 ab 10 - - b 5 y b - y a 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 119
Tất cả vì học sinh thân yêu
Do vai trò của x, y là như nhau nên ta xét 1 TH của cặp ,
a b rồi hoán đổi lại. 2 2 2
(x y) x 7 y 2y 1 xy 2y
Câu 35 : Giải HPT : 2 2 2
2x x 7 (x y) 2 y 1 3xy - x x 0 Ta thấy
thỏa mãn là một cặp nghiệm của hệ y 0 Xét 2 2 x y 0 Dùng định thức ta có : 2 2
D x y 2 2
D 2 y(x y ) x 2 2
D -x(x y ) y Dx x 2 y D x 2
- x x y 0 (Loại) Dy y -x D Kết hợp ( ;
x y) (0;0) là nghiệm duy nhất
(x y) 2xy 5 4xy - 3y 1
Câu 36 : Giải HPT :
(x 2 y) 2xy 5 6xy x - 7 y - 6 2.(1) - (2)
Xét hệ mới : 3.(1) - 2.(2)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 120
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - y - 3 (2xy - 5) - x 2xy 5
(x - y) 2xy 5 5 y - 2x 15
x - y - 3 (2xy - 5) - x 2xy 5
(x - y - 3)( 2xy 5 5) 3(x - 2xy 5)
(2xy 5 - x 2xy 5)( 2xy 5 5) 3(x - 2xy 5)
(x - 2xy 5)(2xy 5 5 2xy 5 3) 0
x 2xy 5
2xy 5 5 2xy 5 3 0
Có 2xy 5 5 2xy 5 3 0 2 x - 5
x 2xy 5 xy
.Thế vào PT(1) ta được 2 2 2 x - 5 3(x - 5) 2 2 x 2(x - 5) - 1 2 2x 3 2
x - 3x -13x 15 0 x -3(L)
x 5 y 2
x 1 y 2 - 2
y x xy - 6 y 1 0
Câu 37 : Giải HPT : 3 2 2
xy x y x - 8 y 0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 121
Tất cả vì học sinh thân yêu Lấy 2 2
(1) - (2) xy( y x -1) (3y -1) Lại có 2
xy (x y -1) 2(3y -1) 2
xy,( y x -1) là 2 nghiệm của PT 2 2
X - 2(3y -1) X (3y -1) 0 X 3y -1 xy 3y -1 2
x y -1 3y -1
Thấy y 0 không phải nghiệm của hệ. 3y -1 Thế x vào PT(2) ta được : y 3y -1 2 3 2
y 3y y - 3y 3y -1 0 y 1 - x 4 y 3x y 3x - y 8 2 2 x - y
Câu 38 : Giải HPT : 3x - y 3 x y 7 2 2 x - y Đặt 2 2 2 2
x y a
2b a a b 2a b 8ab
2a(b 1) b(a 1) 8ab 2 2 2 2
x - y b
2a b ab 2b a 7ab
2b(a 1) a(b 1) 7ab ( ab 0 ) 2 2
2a(b 1) b(a 1) 8 2 2
2a(b 1) 3b(a 1) 2 2
2b(a 1) a(b 1) 7
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 122
Tất cả vì học sinh thân yêu Mà có 2 2
3a(b 1) 3b(a 1) 15ab 3 5 b 2 2 2
5a(b 1) 15ab b - 3b 1 0 3- 5 b 2 2 3 5 b 1 Với 2 b a 1 2 . a
2a a 1 2 3b x y 1 3 5 x - y 2 2 3 - 5 b 1 Với 2 b a 1 2 . a
2a a 1 2 3b x y 1 3 - 5 x - y 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 123
Tất cả vì học sinh thân yêu
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP
ĐÁNH GIÁ PHẦN SAU BẰNG CASIO THẦY QUANG BABY Bài 1 : 2
2x - 3x - 2 x 2x - 5 2( x - 2) 2x - 2 Bài 2 : 3 2
x 2x - 5 2(x - 2) 2x - 2 x - 7 x 24x - 29 Bài 3 : 2 2
5x 2x 5 - (x - 1) 3x - 3 32x 114x 99(1) 6 BÀI 2 : 2
2x 5x 6 7x 11 4x 9 , Điều kiện : x - 5
Bước 1 , dò nghiệm ta được 2 nghiệm : x = 2 , x = -1 . 2
2x 5x 6 7x 11 4x 9 2
2(x - x - 2) - x 2 - 5x 6 - x 3 - 7x 11 0 1 1 2
(x - x - 2) 2 - - 0
x 2 5x 6
x 3 11x 7
Bước 2 , ta chứng minh biểu thức trong ngoặc luôn dương 1 1
Ta đặt : f (x) 2 - -
x 2 5x 6
x 3 11x 7
Chứng minh f (x) 0 , bằng việc sử dụng casio , chức năng Table như sau : 1
Nhập mode , 7 , g(x)
, start -6/5 , end 5 , step 0,2 thấy g(x) lớn hơn 1,25 , vậy ta tách
x 2 5x 6 5 1 3 1 biểu thức - 0, còn lại ta có - 4
x 2 5x 6 4
x 3 11x 7
Việc còn lại các em biến đổi tương đương thôi .
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 124
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 1
Bước 3 : Kết luận : 2 2 (x - x - 2) 2 - -
0 x - x - 2 0
x 2 5x 6
x 3 11x 7 Nghiệm : 1 - .25 x 1 - hoặc x 2
Video hướng dẫn : https://www.youtube.com/watch?v=fGcVf77I-9g x 1
Giải bài 3 : Điều kiện : 2 - .5 x 1 -
CHÚNG TA GIẢI MỘT BPT CŨNG GIỐNG NHƯ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH , GỒM CÁC BƯỚC SAU :
Bước 1 : Casio ta tìm được nghiệm kép , các em bấm Shift + Cal thì sẽ thầy Eror , nhưng thực tế không
phải là vô nghiệm , các e thử nhật : Mode , 7 , f(x) = VT – VP , Start -2,5 , end -1 , step 0,2 . Các em sẽ thấy x
= -2 thì f(x) = 0 và không đổi dấu , vậy ta sẽ có f(x) = 0 có nghiệm kép
BƯỚC 1: DÒ NGHIỆM : Dùng casio phát hiện ra nghiệm kép (qua chức năng Table ) : x = -2
Tiếp đến chúng ta tạo lien hợp cho các căn : 2x 5 ax b : sử dụng điều kiện để 2 đường tiếp xúc :
f (x) g(x) 2 - a b 1
xét tại điểm có x = - 2 ta có hệ :
f '(x) g '(x) a 1
Vậy ta có được liên hợp : 2x 5 - (x 3) , làm hoàn toàn tương tự ta sẽ có : 2
3x - 3 (2x 1) 2 2
(1) 5x( 2x 5 - x - 3) - (x -1)( 3x - 3 2x 1) 25(x 4x 4) 5x x -1 2 2
(x 4x 4) -
25 0 (x 2) . f (x) 0 2
2x 5 x 3 3x - 3 - 2x -1 5x 5x f (x) - 25 2
2x 5 x 3 3x - 3 - 2x -1
BƯỚC 2 : XỬ LÝ BIỂU THỨC TRONG NGOẶC :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 125
Tất cả vì học sinh thân yêu 5x x -1 Xét : f (x) -
25 , ta chứng minh nó luôn dương với mọi x thuộc tập 2
2x 5 x 3 3x - 3 - 2x -1 xác định
+)Đầu tiên ta khẳng định rằng : x 1thì f (x) 0 , chỗ này em cứ dung table , mode 7 , star 1 , end 100 , step 10 xem , sẽ thầy +)Xét 2 - .5 x 1 - ,dung chức năng table ta thấy 5x x -1 f (x) -
25 0 (bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 2
2x 5 x 3 3x - 3 - 2x -1 0,2) x -1
Chọn riêng hàm g(x) -
(bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 0,2) thì ta 2 3x - 3 - 2x -1 5x
thấy g(x) -25 , vậy ta sẽ có
25 0 , cái này các em dễ chứng minh bằng biến đổi
2x 5 x 3 tương đương .
Vậy trên tập xác định thì f (x) 0 , vậy 2
(1) (x 2) 0 x -2 Đáp sô : x = -2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126