Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
1
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
2
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 1: Gi
ải hệ phương trình
10 6 5 4
2
2 2
5 2 1 6
x x y x
y
x y
(
,x y
)
Bài giải:
Điều kiện:
1
2 1 0
2
y y
-
- Xét
x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại)
- Xét
0
x
, chia
2 vế của pt đầu cho
5
0
x
, ta đư
ợc
5
5
2 2
y y
x x
x x
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
(1)
Xét hàm số
5
2 ,f t t
t t
. Ta có
' 4
5 2 0,f
t t t
.
Vậy hàm số
5
đồng biến trên
. Do đó (1
)
2
y
x y x
x
. Thay và
o pt thứ
2 của hệ ta được:
5 2 1 6
y y
(2)
Xét hàm số
1
( ) 5 2
1,
2
g y y y
y
-
.
Ta có
'
1 1 1
( ) 0,
2
2 5 2 1
g
y y
y y
-
. Vậy g(y) đồng biến trên khoảng
1
;
2
æ ö
- 
ç ÷
è ø
.
Mà g(4)=6 nên (2)
4
y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
3
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Suy ra
2
2
4
4
x
y x
y
hoặc
2
4
x
y
-
Bài 2: Gi
ải hệ phương trình
3 2
2 2
( 1) 1
3 2 9 3
4 2 1 1 0 2
xy x x y
x y
y x y x x
-
Bài giải:
Biến đổi PT
2
2
(1) 1 0
1
y x
x y x
y
y x
- -
x = y thế vào PT (2) ta được:
2 2
2
2
3 2 9 3
4 2 1 1 0
2 1 2 1
3 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 3
2 1 3
x x
x x x
x x x x
f x f x
- -
-
Xét
2
( ) 3 2
f t t t
'( ) 0
, .
f t t
f là hàm số đồng biến nên:
1 1
2 1 3
5 5
x x x y
-
- -
2
1
y x
thế vào
(2)
2 2 2 2
3( 1)
2 9 3 4 1 2 1 1 0
x x x x x
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
4
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
1 1
; .
5 5
æ ö
- -
ç ÷
è ø
Bài 3: Gi
ải hệ phương trình sau .
3 3
3 2
3
3( ) 6
( 2) 14 1
27 27 20 4
4. 2 1 2
x y x y
y y
x x x y x
-
-
Bài giả
i:
Phương
trình (1) 141563
233
-- yyyxx
yyxx -- 2323
3
3
Xét hàm số
:
tttf 3)(
3
liên t
ục trên R.
Ta có
033)('
2
ttf
với
Rt
hàm số đồng bi
ến trên R.
xyyxyfxfpt
---
22)2()(:
Thế
y = 2-x vào phương trình (2) ta được.
3
3
3
23
141)13(41314420227 xxxxxxxx
Xét hàm số: tttg 4)(
3
liên tục trên R.
Ta có
043)('
2
ttg
hàm số đồng biến trên R.
Suy ra:
1192727113)1()13(
23
33
xxxxxxxgxg
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
5
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
)(082727
2
0
082727
2
23
vnxx
yx
xxx
Vậy hệ
phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)
Bài 4: Giải hệ phương trình
2
1 ( 1)(
2) 5 2 2
,
( 8)( 1)
( 2) 1 3
4 7
x x y x y y
x y
x y
y x
x x
- -
-
- -
-
Bài giả
i:
Điều kiện:
Xét phương trình:
Đặt ta đượ
c phương trình:
Từ phương
trình
ta c
ó
thay vào phương t
rình
ta
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
6
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
được
Tiếp tục giải phương trình
Xét hàm số
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
7
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Do đó hàm số đồng biến trên
Từ
Giải phương trình
+) Với
+) Với
Vậy hệ phương t
rình đã cho có nghiệm là:
Bài 5 : G
iải hệ phương trình
2 2
2 3
3
4 1 2 1
( ; )
12 10 2 2 1 2
x x y y
x y
y y x
-
.
Bài giải:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
8
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Ta có:
2 2
(1) 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) (*)
x x y y - -
.
Xét hàm số
đặc trưng
2
2
2 2 2
4
( ) 4 '
( ) 1 0.
4 4 4
t t
t t t
f t t t f t
t t t
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra:
( ) ( 2
) 2
f x f y
x y
-
-
.
Thay v
ào phương trình (2) ta được:
32 3
3
33 3
3 5 2 2
1
1 2 1 1
2 1 (**)
x x x
x x
x x
Xét hàm số
3
( ) 2g t t t
ta thấy
g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra
3 3
0
1 1
1
x
x x
x
-
. Vậy hệ
có hai nghiệm là
1
( 1; );
(0;0)
2
-
.
Bài 6: Gi
ải hệ phương trình:
2
2
2
3
1 1 1
2
( , )
2 5 1 2
2 4 2 2
y y y x
x y
x x x x y
- -
Bài giải:
Đk:
2 4 2 0
x y
-
Ta có:
2
2
1 2 4 2
1
x y y y
-
thế vào PT (2) ta được
2
2
2
1 1 4 2
1
x x y y
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
9
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
2
1 1
1 1 (*)
2 2
x x
y y
-
-
æ ö
ç ÷
è ø
(vì
2
1 0
y y y y
)
Xét hàm
số
2
1
f t t t
trên
2
2 2
1
' 1 0,
1 1
t
t t
f t t
t t
, do
2
1 0,t t t t t
f t
đồng biến
trên
, theo (*
) ta có
1
2
x
f f y
-
æ ö
ç ÷
è ø
2 1x y
Với
2 1x y
thay v
ào (1) ta có:
2
2 2 2
3 5
1 4 1 2
1 2
4 2
y y y y
y y y x
-
Vậy hệ
có nghiệm
5 3
; ;
2 4
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 7: Gi
ải hệ phương trình
2 2. 2
8 4
2 11 12
7 3 0
x y y x
y x
xy x x y x
-
- -
-
.
Bài giả
i:
Điều kiện
7
2 , 0
3
x y
Ta có
4 8
2 2. 4( 2)
2
x y
x y x y
-
- -
. Dấu
“=” xẩy ra khi y=4x–8
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
10
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
4 8
2 8 8 4
2
x y
y x y
x
. Dấu
“=” xẩy ra khi y=4x–8
Suy ra
2 2. 2
8 4
x y y x
y x
-
. Dấu
“=” xẩy ra khi y=4x–8
Như vậy, pt(1)
y = 4x
8. Thế vào pt(2) ta có:
2
2
2 2
2
2
2
4 6 11 4
3 7 3 0
4 3 4 3 1 7 3 2 0
3 3
7
4 3 0 do
2;
3
4 3 1 7
3 2
1 1
3 4 0
4 3 1 7 3 2
3 0 ( )
1 1
4 (3)
4 3 1 7 3 2
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
- - -
- - - - - -
- - - -
æ ö
- - - -
ç ÷
-
-
è ø
- -
- -
- -
- -
- -
+
2
1 13 1 13
( ) 3 0
2 2
pt x x x x
-
- -
Đối chiếu điều
kiện ta có
1 13
2
x
Hệ có nghiệ
m
1 13
;2 13 6
2
æ ö
-
ç ÷
è ø
+ Xét pt(3)
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
11
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
7 1 1
2; 4 3 1 3 10 6
3 6
4 3 1
x x x
x
x
Xét hàm số
7
2; : (
) 7 3 2
3
x g x x x
ö
-
-
÷
ø
3 2 7 3
3
'( ) 1 0
2 7 3 2 7 3
x
g x
x x
- -
-
- -
7 1 1
( ) 3
3 3
7 3 2
g
x g
x x
æ ö
ç ÷
- -
è
ø
. Do
đó,
7
2;
3
x
:
1 1 1
3 4
6
4 3 1 7
3 2x x x x
-
-
hay pt(
3) vô nghiệm
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất
1 13
;2 13 6
2
æ ö
-
ç ÷
è ø
Bài 8: Gi
ải hệ phương trình
3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2 1
2 14 3 2
1 2
x x x x y y
x x y
- - - -
- -
Bài giả
i:
Ta thấy
0
x
không phả
i là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho
3
x
ta được
2 3
4 3 1
1 2 2 2 3
2
y y
x x x
- -
- -
3
1 1
1 1 3 2 3 2 3 2 *
y y y
x x
æ ö æ ö
- - - - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xét hàm
3
f t t t
luôn đồng
biến trên
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
12
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
1
* 1 3 2
3
y
x
- -
Thế
(3) vào (2) ta được
3 3
2 15 1 2
3 2 15 0
x x x x
-
- - -
2
3 3
0
1 1
7 0
2 3
4 2 15
15
x
x
x x
æ ö
ç ÷
ç ÷
-
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
è ø


Vậy hệ
đã cho có nghiệm
111
; 7; .
98
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 9: Gi
ải hệ phương trình
2
2 6 1
(1)
9 1 9 0
(2)
x y y
x xy
y
-
Bài giả
i:
Đk:
6 0
1
x y
x
-
+) Nếu
0y
, để
hệ có nghiệm thì
1 0y
.
(1) 2
6 2 5
(1) (
1)
(1) 1
1
VT x y
VT VP
VP y
-
hệ vô nghiệm
.
+) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0
2
2
2
3 3
9 1 9 0
9 9 (3)
x xy y y y
x
x
æ ö æ ö
- -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
13
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Xét hàm số
2
2
2
9 2
( ) 9 , 0; '( ) 0 0
9
t
f t t t
t f t t
t
2
3 3 9
(3) ( )f
f y y x
y
x x
æ ö
- -
ç ÷
è ø
Thế vào pt(1)
ta có phương trình
2
9
2 6 1
y y
y
-
(4). H
àm số
2
9
( ) 2 6
g y y
y
đồng
biến trên
;0-
; hàm số h(y) = 1 – y nghịch biến trên
;0-
và phương trình có ngiệm y = –3
nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = –3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1; –3).
Bài 10: Gi
ải hệ phương trình :
2 2
2 2
1 2 1 3 1
3 3 7 2
y y x x
xy y
x y y x
-
-
Bài giả
i:
Đk:
2
1, 0, 3y x y x
Từ pt (2) ta có :
1
1 2 1 0
1
y x y x
y x
æ ö
- - -
ç ÷
ç ÷
-
è ø
Suy ra, y = x
+ 1
Thay vào pt (1) ta được
2 2
1 1 7 3
x x x x
- - -
Xét hàm số
:
2 2
( ) 1 1f x x x
x x
-
-
Chứng minh hà
m số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
14
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Vậy nghiệm của hệ là (2;3)
Bài 11: Gi
ải hệ phương trình:
2
3 3 3 1
2 1 1
3 1 1 2
3 1 2 2
x xy x
y x y y
x y y x x x
- - - -
Bài giả
i:
Pt(1)
3 3 1 2
1 1
x x y x
y y
-
Đặt
3
, 0 ,(
1)
1
a x
a b
b y
trở thành:
2 2
2 0
2 1 0
a b
a b ab
a b
a b
- -
+
2 1 0
a b
vô nghiệ
m do
, 0
a b
+ Xét a
= b
2
y x
thay v
ào (2) ta được:
2
3 3 1 2
x 3 1 2
x x x x x
-
- -
2
3
3 3 1 2
x 3 .
1 2
x
x x x x
x
-
-
-
2
3 5( )
3 1 2 1
2x 3 *
x y tm
x
x x x
-
(*)
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x
- -
Xét hàm số
2
2 2
f t t t
,
0t
' 0f t t
Suy ra
f t
đồng biến mà
1 1 1 1f x f x
x x
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
15
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
1
3 5
3x 0
x
x y
x
-
Vậy hpt c
ó nghiệm:
3;5
Bài 12: Gi
ải hệ phương trình:
2
8 2 1 2 2 1 2 4 1
4 2 2 2
5 12 6 2
x x x y y y
xy y y x y x
- - - -
-
Bài giả
i:
ĐK:
1
2
2 2 0
x
y y x
. Từ
pt (1)
dể pt có nghi
m thì
0y
PT
3 2
3 2
1 2 2 1
2 2 2 1 4 2 2 1 2 4
x x x y y
y
- - -
- -
(*)
Xét hàm số
3 2
2 4 0
f t t t t t
-
2
2 2
3 4 4 2
2 0 0
f t t t
t t t
-
-
nên f(
t)
luôn đồng biến
Từ pt (*)
2 2 1 2
2 1
f x f y
x y
-
-
Thay vào pt ( 2 ) ta được pt
3
2 2 2 3 2
y y y y y
Đặt
2
z y
ta được pt
-
- -
3 3 2 2 2
2
2 3 2 0
/
y z loaïi
y z yz y
z y yz z
y z t m
Với y = z
ta được
2 2 1
( / )
y y y x
t m
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
16
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 13: Giải hệ phương trình:
3
2 2 2 2
3 2 2
2
3
2
2
,
2 2
1
2 1
x x
y x x y
x y
x x y x y
y
x
x x
- -
-
Bài giả
i:
ĐK:
2
0
x y
Từ PT(1) tìm được
2 2 2
x x y x
x y
-
-
Thế
vào (2) đưa về pt chỉ có ẩn x
Đưa được về hàm
3
3
1 1 2 2
1 1 1 1
x x x x
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Xét hàm
3
f t t t
đồng bi
ến trên
từ đó được
pt
3
1 2
1 1
x x
giải đư
ợc
5 1 5 1
,
2 2
x L x N
-
-
Nghiệm
5 -1
2
; 5 - 2
æ
è
ç
ö
ø
÷
Bài 14: Gi
ải hệ phương trình
2 2 2 2 3
2
1 3 2 4
1 1 8 1
2 0
2
x x y y
x y
x y x
-
-
Bài giả
i:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
17
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
+) Với
0
y
thì
1 0, 1
0
VT VP
Hệ phươ
ng trình chỉ có nghiệm (x;y) với
0
y
+) vì
0
y
nên từ
phương trình (2) của hệ suy ra
2
x
Khi đó
:
2 2 2 2
1 1 3 2
2 4 1 1
x x y x
y y
-
-
2 2 2 2
1 2 2 4
1 3
x x y y
x y
Thay
2
2
x x y
-
vào phương trình (3) ta được:
2 2 2 2
1 2 4 1
2
x x x y
y x y
2
2
1 1 1
1 2 4 1
2
y y y
x x x
+) xét
hàm số:
2
1
f t t t t
với
0t
2
2
2
' 1 1 0
1
t
f t t
t
với mọi
0t
f(t) là hàm đồng bi
ến trên
0;

. Mà
1 1 1
2 2
2 2
f f y y
xy
x
æ ö
ç ÷
è ø
+) Thay
1
2
xy
vào phương tr
ình (2) của hệ ta có:
1
4
8
x y
Thử lại th
ấy
4
1
8
x
y
thỏa mãn
hệ phương trình đã cho.
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
; 4;
8
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
18
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 15:
Giải hệ phương trình
3 2 2
2
3 4 22
21 2 1 2 1 1
,
2 11 9 2 2
y y y x x x x
x y
x x y
- -
-
Bài giả
i:
Điều kiện:
1/ 2 *
x
Lấy phư
ơng trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được:
3 2 3 2
3 3 2 1
2 1 4 3 5 3 2 1 2 1
y y y x
x y y y y x x
- - -
3 2
3 3 1 2
2 2 1 2 2 1
y y y y
x x
- -
3
3
1 2 1 2
1 2 2 1 3
y y x x
- -
Xét hàm số:
3
f 2t t t
với
t
Ta có
:
2
f 3 2 0
t t
với
ft t
đồng biến
trên
Do đó:
3 f 1 f
2 1 1 2 1 2 1 1
y x y x
y x
-
- - -
Thay vào (2)
ta được:
2 2
2 11 9 2
2 1 2 2 2 1 2 11 11
x x x x x
x
- -
- - -
2
2
2
2 11 11 0
**
4 2 1 2
11 11 4
x x
x x x
-
- -
4 2 3 2
4 8 4 4 121 121 44 44 242x x x x x x
- - -
4 3 2 3 2
4 44 1
65 250 125 0 1 4 40 125 125 0
x x x x x
x x x
- -
- - -
2
1 5 4 2
0 25 0
x x x x
- - -
1 * ,
**
1 0
5 * ,
**
5 2
5 / 2
* , **
x tm
x y
x tm
x y
x ktm
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
19
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là
; 1;0
, 5;2
x y
Bài 16: Giải hệ phương trình:
4 2 2 2
3 2 2
3 2
,
2 5 2 1
x x y y y x y x
x y
y x
-
- - -
Bài giả
i:
Điều kiện:
5
2
x
Phương
trình (1)
2 2 2
1 0 0
x y x y
x y
- -
hoặc
2
1x y
Trường hợp
0
x y
thế v
ào (2) không thoả mãn.
Trường hợp
2
1x y
thế vào (2):
3
2 3 2 1 0 (3)
y y- - -
Xét hàm
3
3
2 3 2 1; ; ; ` 1 0
2
f t t t
t ma f
æ
- - - -
ç
è
Suy ra phương
trình (3) có nghiệm duy nhất:
1y
. Với
2
1 2 2
y x x
(thoả đi
ều
kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
2;1 ; 2;1
-
Bài 17: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2 2 2
1
2 2 2 0
x x x y
y y
x y x y
- -
.
Bài giả
i:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
20
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiện:
1
2,
2
x y
- -
Phương trì
nh thứ hai của hệ tương đương với
2
2 2 2
x y x y
- -
Thế vào phươn
g trình thứ nhất, ta được
2 2 2
( 2 2 2
) 2 2 2 1
x y x y
x x y y y
- -
2 2
3 2 2 4 2 2 1x x x y y y
2 2
( 1) (
1) ( 1) 1 (2 ) 2 2 1
x x x y
y y
(1)
Xét hàm s
2
( ) 1f t t t t
với
1
t
-
.
Ta có
3
1 1 3
'( ) 2
1 ; ''( ) 2 ; ''( ) 0
4
2 1
4 1
f t
t f t f t t
t
t
-
-
Suy
ra
3 1
'( ) '
0
4 2
f t f
æ
ö
ç ÷
è ø
với mọi
1;t
- 
. Do
đó hàm f(t) đồng biến trên
[ 1; )- 
.
Suy
ra phương trình (1)
( 1) f(2 y) 1 2 2 1f x x y x y -
.
Thế vào pt thứ
hai của hệ, ta
được
2
2 2
1
2 1 2 2(2 1) 2 0 6 7 1 0
1
6
y
y y y y y y
y
- - -
- -
Suy
ra nghiệm (x;y) của hệ là (1;1),
2 1
;
3 6
æ ö
-
ç ÷
è ø
.
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
21
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 18: Giả
i hệ phương trình :
2 2
2 3 3
4 1 2
12 10 2 2
1
x x y y
y y x
-
Bài giả
i:
Phương trình đầu ên của hệ tương đương với:
2
2
4 2 4 2x x y y
-
-
2f x f y
-
với
2
4y f t t
t
Ta có
2
2 2 2
4
' 1 0,
4 4
4
t t
t t t
f t t f t
t t t
là hàm số đồng biết trên R.
Từ đó
2 2f x f y
x y
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
22
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Thế
2x y -
vào ph
ương trình sau của hệ phương trình đã cho ta được
:
2 3 3
3
3 3 3
3
3
3 5 2 2 1
1 2 1 1
2 1
1 1
x x x
x
x x x
g x g x
với
3
2y g t t
t
Ta có
2
' 3 2 0
,
g t t t
g t
là hàm số
đồng biến trên R. Từ đó:
3 3
3 3
2
1 1
1 1
3 3 0
1 2
0 0
g x g x
x x
x x
x y
x y
-
Vậy nghi
ệm của hệ phương trình đã cho là:(-1;2),(0;0)
Bài 19: Giả
i hệ phương trình
3
2
2 2 2 1
3 1
5 5 6 2
x x y y
y
xy x y
-
- -
Bài giả
i:
Đk
3
3 3
1
, 1 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 ;
2
x x x y y x x y y
- - - -
x
ét hàm số
3 ' 2
3 , ´ 3
3 0
f t t t
trên co f t t t f t
đồng
biến tr
ên
,pt(1) trở thành
2 1 2 1f y f x y x - -
;
Pt(2)
5 1 0 5
; 1;
y y x y
y x
-
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
23
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Với
5 2 1 5
,
y x
- -
-
ng
hiệm
Với
2
1
1 2 1 1 2 2
2 1 1
x
y x
x x x
x x
- - -
- -
Với
2 2 1 2
.
x y
nghiệm của hệ
; 2 2;1
2
x y
Bài 20: Giả
i hệ phương trình:
3 2
3 2 3
2 5 3 3 10
6
6 13 10
x y x y x x y
x x x y y
- -
- - -
-
Bài giả
i:
Phương trình thứ 2 của hệ được biến đổi thành:
3
3
2 2 *x x y y
- -
t h
àm s
3
f t t t
là hàm số
đồng biến trên R. Ta suy ra (*)
2
y x
-
Thế vào ph
ương trình đầu của hệ:
3 3
3 3 5 2
3 10 26
x x x x
x
- -
- -
3 2
2 2
3 3 3 1
5 2 3 10 24
2
3 2 2 2
2
2 12 12
1
3
3 3 3 1
5 2 1 5 2
3 3 3
x x x x x
x
x x
x x x x x
x x x
x
- - - - -
- -
- - - - -
- -
Phương t
rình (1) vô nghiệm vì với
5
1
2
x
-
thì
2
12 0.
x x
- -
Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nht
2
x
2; 0
x y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
24
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 21: Giải hệ phương trình
3 2 2 3
3 2
3
2 2 2 0(
1)
6 5 3 2 3(2)
x xy x
y y x y
y x x y
- - -
-
Bài giả
i:
3 2 2 3
(1) (
2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
x x y x
y y x y
- -
-
2 2
( 2 ) (
2 ) ( 2 ) 0
x x y y
x y x y
- -
-
2 2
( 1)( 2
) 0 2
x y x y
y x
-
( Vì
2 2
1 0, ,
x y x y
R
).
Thay
vào (2), ta có:
3 2
3
3 5 3 2 3x x x y -
3
3
3 5 3 5 ( 1) ( 1)
x x x x
(*)
Xét hàm s
3 2
( ) , '
( ) 3 1 0,
f t t t
R f t t t R
. Suy ra hàm s
ố f(t) đồng biến trên
R.
(*)
3
3 5 ( 1)
f x f x
3
3 5 1x x
3 2
3 4 0
x x
-
1
1
2
2 1
x y
x y
-
-
.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
1
1;
2
æ ö
ç ÷
è ø
;
(-2;-1).
Bài 22: Gi
ải hệ phương trình
3 2 3
3 2 8 2
10 3 12(1)
5 2 8 6 2 (2)
y x x y
xy
y x y xy x
-
- - -
Bài giả
i:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
25
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 2 3
3 2 8 2
10 3 12(1)
5 2 8 6
2 (2)
y x x y
xy
y x y xy x
-
- - -
Điều kiện: x
[-2;2]
Nhậ
n xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
(2)
3
3
2 2
2 3 2 3x x
y y
æ ö æ ö
- -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
(*)
Xét hàm s
3
( ) 3f t t t
trên R
hàm s
ố đồng biến trên R
(*)
2 2
2 2f x f x
y y
æ ö
-
-
ç ÷
è ø
t
hế vào (1)
(1)
3 2 8 2 10 3 12
y x x y xy
-
3 2 4 2 2 10 3 6 2
x x x y x x - - -
2
3 2 6 2
4 4 3 10 0
x x x x
- -
- -
(**)
Đặt
2 2
2 2 2 10
3 4 4
x x t t
x x
- -
- - -
Phương trì
nh (**) trở thành
2
0
3 0
3
t
t t
t
-
- với t = 0:
6
; 5
5
x y
- với t = 3:
2 2 2 3
x x
- -
phương
trình vô nghiệm, vì vế trái
2
.
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
26
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 23: Gi
ải hệ phương trình
2
2 2 2
4 ( 2)2
3 0
log (
) log .log 0
xy xy
xy xy
x
y x y
- -
-
Bài giả
i:
Điều kiện: x > y > 0
Đặt t = xy > 0, phương trính thứ nhất của hệ trở thành
4 ( 2)2
3 0 (2 1)(2 3) 0 2 3 0
t t t t t
t t t t
- -
- -
, vì
2 1 0
t
Vì hàm
( ) 2 3
t
f t t -
đồng biến trên
R, mà f(1) = 0 nên
2 3 0
t
t
-
1t
. Khi đó
ta có
xy = 1, hay
1
y
x
.
Thế vào pt thứ
hai của hệ ta được:
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
log log
0 log log
x
x x
x x x
-
æ ö
-
ç ÷
è ø
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
1 1
log l
og
1
2
1 1
1 1 1
log
log
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x
x x x
- -
-
-
- -
-
Suy
ra hệ của nghiệm
2
x
,
1
2
y
Bài 24:
Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình:
2 2
2
4 4 2 2 0
,
8 1 2 9 0
x xy y x y
x y
x y
-
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
27
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài giải:
Xét hệ phương trình:
2 2
2
4 4 2 2 0 1
8 1 2 9
0 2
x xy y x y
x y
-
- -
Điều kiện
:
1
1-2x 0 x
2
. Đặt
2
t x y
, phương
trình (1) trở thành:
2
1
2 0
2
t
t t
t
-
-
Nếu t =
1 thì
2 1 1 2
0
x y x y
-
. Thế
vào phương trình (2) ta được phương trình
2
8 9 0
y y
-
Đặt
0
u y
, phương trình
trở thành:
4 3 2
8 9 0 1 9
0 1
u u u u
u u u
-
-
. Khi đó
hệ có nghiệm
0
1
x
y
Nếu t =
-2 thì
2 2 1 2
3 0
x y x y
-
-
. Thế v
ào phương trình (2) ta được phương trình
2
3
8 3 9 0
8 3 3 3 0
8 3 3 0
y
y y y y y
y
y
-
- -
-
Với
3
y
-
thì hệ có ng
hiệm
1
2
3
x
y
-
Xét phương trình
8 3 3 0
3
y y -
Đặt
3 0
v y
, phương
trình (3) trở thành:
3
6 8 0
v v
-
Xét hàm số
3
6 8f v v v -
, ta c
ó:
2
' 3 6
f v v
-
' 0 2
f v v
Hàm số
f v
đạt cực đại
tại
2;8 4
2
- , đạt cự
c tiểu tại
2;8 4
2
-
0 8 0
f
8 4 2 0-
nên
0
f v
không có nghiệm
0
v
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
28
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
1
0
;
2
1
3
x
x
y
y
-
Bài 25: Giả
i hệ phương trình
4 2
3 2 3
2 4 0
;
3 4
2 4 1
y x y x
x y
x x x y y
- - - -
-
Bài giả
i:
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
3 3
1 1 2 2x x y y
(1)
Xét hàm số
3
f t t t
với
t
Ta có
2
' 3 , '
0
f t t t
f t
với mọi
t
. Do đó hàm f(t) đồng biến trên R. Khi đó
phương trình
1 1 2 1
2 2 1
f x f y
x y x y
-
Thay vào phương t
rình thứ nhất của hệ ta được
4 3 2
2 3 2 3 0
y y y y
- - -
2
2
2 2
2
1
1 5
2 3 0
2
3
y y
y y y
y y
y y
-
- - -
- -
Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là
1 5
5;
2
æ ö
-
-
ç ÷
ç ÷
è ø
1 5
5;
2
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
29
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 26: Giải hệ phương trình
3 2
2 2
4 1 2 3 1
2 4 1 1
2
x y x y
y
y x x
Bài giả
i:
Điều kiện:
0
y
2 2
1 4 1 2
3 0
PT x x
y y x
Khi đó,
2 2
2 2 4 1
1 3
PT y y
x x
Xét hà
m
2
1
f t t t
trên
0;

2
' 1 0 0
1
t
f t t f t
t
đồng biế
n trên
0;

Khi đó,
3 2 2
PT f y f x y x
Thay v
ào phương trình (1) ta được phương trình:
5 3
3
x x x x
Đặt
0
t x
có hàm s
10 6 3
g t t t
t
9 5 2
' 10 6
3 0
g t t t
t
do
0t
1 3 1 1
1
g t x x
Với
1
1
2
x y
. Hệ phươ
ng phương trình có nghiệm duy nhất
1
; 1;
2
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 27: Gi
ải hệ phương trình:
3 3 2 2
3
2
5 2 10 3
6 0 1
2 4 4 2 2
x y x y
x y
x y x y x y
- - -
- - -
Bài giả
i:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
30
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiện
2; 4
x y
-
3 2 3 2
3 2 3 2
(1) 5
10 6 2 3
( 1) 2(
1) 3( 1) 2 3
x x x y
y y
x x x y
y y
Xét hàm
số
3 2 2
( ) 2 3
, '( ) 3 4 3 0
f t t t
t f t t t t R
Suy ra
( 1) (
) 1
f x f y
y x
thay vào pt (2) ta được
Phương trình
3 2
2 3 4 1x x x x
x
-
- -
3 2 2
2
2
2
2 ( 2)(3
) 2
2 3 3 4
4 ( 1)( 4)
2 3 3
2 (
2)(3 ) 4
( 2)( 2)
2 3 3 ( 2)(3 ) 2
2( 2)
( 2)( 2) 0
2 3 3 ( 2)(3 ) 2
x x
x x x x x x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x x
x x x x
- -
-
- - - -
-
- -
- -
- -
-
- - -
- -
2
2
( 2) 2 0
2 3 3 (
2)(3 ) 2
x x x
x x x x
- -
- -
0 (
2)
vi x
-
2
2
2 0
1
x
x x
x
- -
-
Vậy hệ
phương trình có nghiệm:
( ; ) (2;3), ( ; ) ( 1;0)
x y x y
-
Bài 28:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
31
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Giải hệ phương trì
nh Giải hệ PT
3 2
2 2
1
, , y
3 2
9 3 4 2 1 1 0
xy x x y x y
x
y x y x x
-
Bài giả
i:
ĐKXĐ
x
Ta có
3 3 3 2 2
1 0
xy x x
y x y x x y y xy x y
- - - -
2
2
0 1 0
1
y x
x y x
y
y x
-
2
2
3x 2 9 3
2 1 3 2 1 2
x x x
-
2
2
3 2 9 3
2 1 3 2 1 2
x x x x
- - -
Xét hàm số
2
2 2
f t t t
ta có
2
2
2
' 2 2 0
2
t
f t t
t
suy ra hàm số
đồng biến
Từ đó suy ra
1
3 2 1
5
x x x
- -
-
. Vậy HPT có nghiệm
1 1
; ;
5 5
x y
æ ö
- -
ç ÷
è ø
Với
y x
2
1
thay vào PT thứ 2 ta được
3
x
2
1
2 9x
2
3
4x
2
6
1 x x
2
1
0
. Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với
y x
thay vào PT thứ 2 ta được
3x
2 9x
2
3
4x 2
1 x x
2
1
0
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
32
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 29: Gi
ải hệ phương trình:
2
1 1 2 5 2 2
8 1
2 1 3
4 7
x x y x y y
x y
y x
x x
- -
-
-
-
-
Bài giả
i:
Điều kiện
1; 2
x y
-
Đặt
1 ; 2 ,
2
x a y b
a b
-
, từ
(1) ta có:
2 2 2 2 2
1 5 2 2 0
a ab a b
b a b ab b a b
-
- - -
1 2a 0
a b b
-
a b
(do
, 0 1 2
a 0
a b b
)
1 2 3x y y x -
Thế vào (2) ta
được:
2 2
8 4 8 4 1
8
1 1 3
4x
7 4x 7
1 3
x x x x x
x
x x
x x
x
- -
-
-
- -
2
8
4 1
*
4 7
1 3
x
x x
x x
x
-
+
8 11;
x y
+
2
* 1 3 4
1 4x+7
x x x x
-
2
2
1 3 1 3
2 3 . 2 3 **
x x x x
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
33
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Xét hàm số
2
3 3
f t t t
với
t
2
' 3 1 0f
t t t
nên f(t) đ
ồng
biến trên
Do đó
2
2
** 1 2
1 2
1 4x 4
x
f x f x
x x
x x
- -
-
2
2
5 13
/
2
5x 3
0
x
x T M
x
-
5 13 11 13
2 2
x y
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là
8;11
5 13 11 13
;
2 2
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Bài 30: Gi
ải hệ phương trình
3
3
8x 2 2 2x
2 1 2x+1
8x 13 2 82x 29
y y y
y y
- - -
- - -
- -
Bài giả
i:
Điều kiện:
1
2 1 0
2
2 0
2
x
x
y
y
-
-
Phương tr
ình
3
3
8 2 2 2 2 2 2 2
x y y y x x x y y
- - - - -
Xét hàm đặc trưng
:
3 2
,f' 3
1 0
f t t t
t t t
Hàm số f(t) liên
tục và đồng biến trên R. Suy ra:
2 2
x y
-
Thế
2x 2
y
-
vào phương tr
ình thứ hai ta được:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
34
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 2
2x 1 2
x 1 8x 52x 82x 29
- -
-
2
2x 1 2x 1 2x 1 4x 24x+29
- - -
2 2
2x 1 2
x+1 4x 24x 29 0 2x 1 2x 1 4x 24x 29 0
- -
- - - -
2
1
2 1 0 3
2
2 1 4 24
29 0
x x y
x x
x
-
- -
Giải phương tr
ình:
2
2 1 4 24
29 0
x x x
- -
Đặt
2
2 1, 0
2 1
t x t x
t
-
Ta được phương
trình:
2
2 2 4 2
1 12 1 29 0 14 42 0
t t t t t t
- - - - - -
2
2
3
1 29
2 3 7
0
2
1 29
2
t
t loai
t t t t
t loai
t
-
-
-
- -
Với
3
2 11
2
t x y
Với
1 29 13 29
103 13 29
2 4 2
t x y
Vậy hệ
phương trình đã cho có3cặp nghiệm:
1 3 13 29 103 13 29
;3 ; ;
11 ; ;
2 2 4 2
æ ö
æ ö æ ö
ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø
è ø
Bài 31: Gi
ải hệ phương trình
3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2 1
2 14 3 2
1 2
x x x x y y
x x y
- - - -
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
35
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x
3
ta được
2 3
4 3 1
1 2 2 2 3
2
y y
x x x
- -
- -
3
1 1
1 1 3 2
3 2 3 2 *
y y y
x x
æ
ö æ ö
- - - - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xét hàm
3
f t t t
luôn đồ
ng biến trên
1
* 1 3 2
3
y
x
- -
Thế (3) vào (2) ta được
3 3
2 15 1 2 3 2 15 0
x x x x
- - - -
2
3 3
0
1 1
7 0
2 3
4 2 15
15
x
x
x x
æ ö
ç ÷
ç ÷
-
ç ÷
-
ç ÷
ç ÷
è ø

Vậy hệ
đã cho có nghiệm
111
; 7;
98
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 32: Giải hệ phương trình:
3
3
2 2 2
2 2 2 4
4 2 12 8 2
y y x x
y x x y
x x y
-
-
- -
Bài giả
i:
+ Đk:
2
2
y
x y
-
+ Từ pt thứ 2 ta có:
2 2 2
4 2 12 8 2
y y x y x x y - - -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
36
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2 2
8 4 2 1
2 2 0
x y y y
x x y
-
- -
2 2 2
2 8 2 4
2 12 2 2 0
x y y y
x x y
-
- -
2
2
2 2
2 8 6 2 0
y y x x
y
-
- -
2 2
2 8 6
2
2
y y
y
x x y
-
-
y
+ Thay v
ào pt 1 ta được:
3
3
2 2 2 4
y y x x -
-
- -
3
3 3
3 3 3
y 2 y 2
x 4 x y 2 4 y 2 x 4 x
+ Xét hàm
số:
3
4
t
f t t
t R
. Ta
có:
3
2
3
2
3
3
' 1 0, 2
2 4
t
y
t
f t R f f x y x
t
-
-
+ Vậy ta
sẽ có:
3
3
2 0
4
2
2
y
x
TM
y
y x
-
-
-
Kl: Nghi
ệm duy nhất của hệ là:
3
: 4; 2
x y
- -
Bài 33:
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
37
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình:
2
2
2 1 1
1
,
3 8 3
4 1 1
- -
x
x y x y
x
x y
x
x x y
Bài giải:
Điều kiện
1
1
-
-
x
y
3
3 2
1
1 2 1 1 2 1
1
1 1
x x x
x x
x
y x y y y
x
x x
3
3
1 1
1 1
æ ö
ç ÷
è ø
x x
y y
x x
Xét hàm số
3
f t t t
trên
2
' 3 1 0
f t t t
suy f(t) đồng biến trên
.
Nên
1 1
1 1
æ ö
ç ÷
è ø
x x
f f y y
x x
. Thay
vào (2) ta được
2
3x 8 3 4 1- - x x x
2
2
2 1 2 1 -
x x x
2
2
1
6 3 0
3 2 3
2 1 1
1
5 2 13
2 1 1 3
3
9
9 10
3 0
- -
-
-
-
- -
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
Ta có:
2
1
1
-
x
y
x
Với
4 3 3
3 2 3
2
x y
. Với
5 2 13 41 7
13
9 72
-
-x y
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
38
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm
4 3 3
; 3 2 3;
2
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
x y
&
5 2 13 41 7
13
; ;
9 72
æ ö
-
-
ç ÷
ç ÷
è ø
x y
Bài 34: Giả
i hệ phương trình
2
2
2
3
4 5
1 ln
2x
2
6 2 1 2 2
x 7
- -
-
y y
x y
x
y y x
y
Bài giải:
Xét hệ
2
2
2
3
4 5
1 ln 1
2 2
6 2 1 2 2 7 2
- -
-
y y
x y
x x
y y x x y
(Đ/K:
2 -
x
)
Ta có:
2 2
1 1 ln 2
2 2 ln 4 5
x x x y y
y
2 2
1 ln 1 1
2 ln 2 1 *
x x y y
Xét hàm
2
ln 1 ,
f t t t t
R
. Ta có
2
2 2
1
2
' 1 0
1 1
t
t
f t t R
t t
, dấu bằng
xảy ra khi và chỉ khi
1 -
t
Nên f(t) đ
ồng biến trên R theo (*) suy ra
1 2 1 2
f x f y x
y
1 x y
Thay vào (2)
ta được
2
3
6 1 2 2 2
8 3
- -
x x x x x
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
39
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Xét
2
3
1 6 1 2 2 2 3 7 2 8 - - x x x x x x
nên (3) không có nghiệm trên
;1-
Xét
1x
, khi đó
2
3
4 2
10 4
6 1 2 2
2 1 1 1
2 2
-
-
x
x x
x x x x x
2
2
2
10 4 3
2 8 2 0
2 2
-
-
x x
x x x
. Do đó (3)
xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Do đó hệ có nghiệm
; y 2;1
x
(thỏa
mãn điều kiện)
Bài 35: Gi
ải hệ phương trình sau trên tập số thực:
2 2
3
2
3
3 1 ( 3 3) 6 6 2 2 3 2 1
3 1 6 6 2 1 2
x x x x x x x y y
x x x y
- - - -
- - -
Xét hàm số
2
3
3
3
( ) 1 '
( ) 1 0
2 1
t
f t t t
f t
t
suy ra hàm s
ố đồng biến
3 3
( 1) (
2) 1 2
f x f y
x y
-
-
.Thế vào PT
(2) ta được :
2
3 1 6 6
x x x x- - -
Bài giải:
Thế
- x
2
- 6x 6
3
y 2 1- 3 x -1
vào PT(1) ta được :
(x -1) (x -1)
3
1
3
y 2 y 2 1
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
40
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
2 2
2 2 2
2
3 1 6 6
9( 1) 2
6 6 2 6 6
(15 15 2 ) 4 ( 6 6)
( 5)( 1)(4 5) 0
x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
- -
- -
-
- - -
- - -
Đối chiếu điều
kiện
5 127
4 64
5 62
x y
x y
-
Vậy hệ
phương trình có hai nghiệm phân biệt
5 127
;
4 64
æ ö
-
ç ÷
è ø
và (5;62)
Bài 36: Giải hệ phương trình:
2
2
2
3
1 1
2
,
2 5 1
2 2 4 2
y y y x
x y
x x x x y
- -
Bài giả
i:
ĐK:
2 1 0
x y
-
2 2
1 2 4 2 2 1 2 3y y y y x
2 2 2
2 1 1 2
4 2
y y y y
x y
-
2
2
1 2 4 2
y y x y
-
(2) ta có:
2
1 2 5
2 4 2
2
x x x
x y
- -
-
2
2
2
1 2 5
1
2
x x x
y y
- -
2
2
2
1 1
1 1
2 2
x x
y y
-
-
æ ö
ç ÷
è ø
Ta có:
2
2
1
1
1
y y
y y
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
41
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
1 0 1 0
y y y y
-
2
2
1 1
1 1
2 2
x x
y y
-
-
æ ö
ç ÷
è ø
Xét hàm
2
1
f t t t
2
' 1 0
1
t
f t t
t
1
2
x
f y f
-
æ ö
ç ÷
è ø
2 1y x -
thay vào (
2) ta có:
2 2
1 4 1 2
2 2 2 2 1 4 5
x x x x x
x
-
- -
2
1 4 1 4
0
x x
-
- -
Đặt
1x t-
ta có:
2
4 4t t -
2 2
4
4 0
4
3
8 12
4 8 16
2
t
t
t
t
t TM
t t t
-
-
Với
3
2
t
3 5 3
1
2 2 4
x x y
-
Vậy
5 3
; y ;
2 4
x
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 37:
Giải hệ phương trình
2
1 1 2 5 2 2
,
8 1
2 1 3
4 7
x x y x y y
x y
x y
y x
x x
- -
-
-
-
-
Bài giả
i:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
42
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Đkxđ:
2
1
y
x
-
1 1 1 2 2 2 1 2
x x y y x y
- - - - -
Đặt
1
a,b 0
2
x a
y b
-
2 2
2 1 1
a ab b
a b b b a b a b b
-
-
1 1 0
a b b b
-
2 1 0
a b a b
-
2 1 0
a,b 0 a+2b+1>0
a b
a b d
o
Với a = b ta
có:
1 2
x y
-
3y x
Thay v
ào (2) ta có:
2
8 1 3
1 1 3
4 7
x x
x x
x x
-
-
-
2
8 4 1 1
3 4 7
x x x x
x x
-
- -
2
1 8 4 7
8 4
1 3
x x
x x
x x
x
- -
-
2
1 2 3
8 4 0
1 3
x x
x x
x
-
- -
2
8
4 1 3 1
2 3
x
x x x x
-
Đặt
1
a 0
2
x a
x b
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
43
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Ta có:
2 2
3 3 3 3
a a b b
Xét hàm
2
3 3 t 0
f t t t
2 2 2 2
f' 2 3
3 2 6 3 3 6 3
t t t t
t t t t t
2
2
3 6 3 3
1 0 t 0
t t t
f(t) đồng biến
f
a f b
2 2
1 2 1 4
4 5 3 0
x x x x
x x x
-
- -
5 13
2
5 15
2
x TM
x loai
-
Vậy vớ
i
8 11
x y
Với
5 13 11 13
2 2
x y
Kết luận:
5 13 11 1
3
; 8;11
; ;
2 2
x y
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Bài 38: Giải hệ phương trình
3
2 2 2
2 2 1 3
1
,
9 4 2 6 7
y y x x x
x y R
y x y
- -
- -
Bài giả
i:
Điều kiện:
3 3
1; ;
2 2
x y
-
. Ta
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
44
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3
1 2 2 1
2 1 1
y y x x
x x
-
- -
3
2 2 1 1 1
y y x x x - - -
Xét hàm số
3
2
, ta có
2
' 6 1 0
f t t t
R
suy ra f(t) đồng
biến trên R. Vậy
2
0
1 1 1
1
y
f y f
x y x
y x
-
-
-
Thế vào (2) ta được:
2
4 5 2 6 1x x x - -
2
2
2
2 4 5 4
12 2 4 5 1 2 2
PT x x
x x x - - -
1
2
4 5 2 3
1
2
4 5 1 2
1 2
x
x x vn
x loai
x x
x
-
-
-
Với
4
4
2
1 2
2
y
x
y
-
-
. Vậy hệ có 2 nghiệm
Bài 39: Giả
i hệ phương trình:
4 5 10 6
4 1 2 1
3 1 1
x y y x x
x x x y
- - -
-
Bài giả
i:
Điều kiện:
1 1, 1x y-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
45
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Nếu x = 0 thay vào hệ phương trình ta được
; 0;0
x y
là một nghiệ
m của hệ phương
trình.
Nếu
0
x
, từ
5
4 5 10 6 5
y y
x y y x
x x x
x x
æ ö
ç ÷
è ø
Xét
5
,
f t t t
t R
. Ta có
4
' 5 1 0
,
f t t t
R
, nên f
(t) đồng biến trên R.
Do đó
y
f x f
x
æ ö
ç ÷
è ø
. Suy r
a
2
y
x y x
x
Thay y = x
2
vào phương trình
thứ hai ta được
2
4 1 2 1
3 1 1
x x x x - - -
-
(*)
Đặt
1 0, 1
0
u x v x
-
. Ta có
2 2
2 2
1
2
2
x u v
u v
-
Phương trì
nh (*) trở thành
2 2 2 2
3 1
4 2
2 2
u v u v
u v uv
- - -
2 2
2 4 2 0
2 2 0
u v u v
v u v u v
- -
- -
Nếu
2v u
thì
3 9
1 2 1
5 25
x x x y-
-
Nếu
2
v u -
thì
1 2 1
x x- -
pt vô nghiệm
Tóm lại phương trình có các nghiệm
3 9
;y 0;0 ; ;
5 25
x
æ ö
-
ç ÷
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
46
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 40: Giả
i hệ phương trình
2 2
4 5 1 4
2 2
,
4 4 2 1
x y x y x y
x y
y x x x
- - -
- -
Bài giả
i:
Điều kiện
1
0
x
y
. Vớ
i điều kiện đó
2 2
1 4 20 1
4 2 2
x xy y y
x y
- -
-
2 4 16 2
1
xy xy
x x
-
-
. Th
ay vào (1) ta có
2
2
2 1 2 1
2 2 1 1
x x y y
-
-
Xét hàm số
2
2 1u g t t
t
-
với
1;t

. Hàm số
này luôn đồng biến.
Vì thế
2
2
2 1 2 1
2 2 1 1 2 1 1 2
x x y y x
y x y
-
- -
Thay vào (2
) ta được
2
2
2
1 2 2 2
1
2 9 8 2
1 2 2 1 1
1 2 2 2 1
x x
x x x
x x
x x
- - -
- -
- -
- - -
2
2 9 2 2
10 4 2 0
1 2 2 2
1
2 2 2 1 0
x x
x x
x
-
- - -
- -
Phương trình bậc hai
2
2 9 2 2
10 4 2 0
x x
-
2
2 2 1
nên có h
ai nghiệm
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
47
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
1
5 2 2
2
x
2
2
x
. Nghiệm x
2
bị loại v
ì
2
2 2 2 1
0
x
- -
Hoàn toàn tương
tự ta có
5 2 2
1 2 2 2
1
2
x x x
-
- -
-
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
5 2 2 3
2 2
;
2 4
æ ö
- -
ç ÷
ç ÷
è ø
5 2 2 3
2 2
;
2 4
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Bài 41: Giả
i hệ phương trình
3 2
2 2
4 2 2 1 3 15 7 2 1
2
6 2 2 15
4 12
2
x x y y
y x
y y
x x y x y
- - -
-
-
2 2
5 5
1 6 2 11
8 1 2 6 1 2 11 5 5 2 1
2 1 1 6
x x
x
x x x x x x x x x
x x
- -
- -
- - - - - - - -
- -
5 0
x A
-
với
1 1
2 1 0
1 6 2 1
A x
x x
-
- -
(do
1x
)
5, 2.
x y
Bài 42: Gi
ải hệ phương trình
3 2
2 2
4 1 2 3 (1)
2 4 1 1 (
2)
x y x y
y y x x
Bài giả
i:
Bài giải:
Điều kiện
:
1 x 6
1
f
y 1
f
2x -1
với
f
t
4t
3
3t
. Vì f(t) đồng biến nên
y 1 2x -1 y
2
2y 2x - 2
. Thế vào (2):
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
48
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiệ
n:
0
y
2 2
(1) 4
1 2 3 0
PT x x
y y x
Khi đó,
2 2
(2) 2
4 1 1
PT y y
x x
(3)
Xé thà
m
2
1
f t t t
trên
0;

' 1 0 0
t
f t t
f t
đồng bi
ến trên
0;

Với
1
1
2
x y
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1
; 1;
2
x y
æ ö
ç ÷
è ø
t
2
1
Khi đó,
PT (3) f
2y
f
x
2y x
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình:
x
5
x
3
x x 3
Đặt
t x
> 0 có hàm số
g
t
t
10
t
6
t
3
có g'
t
10t
9
6t
5
3t
2
0 dot 0
g
1
3 t 1 x 1 x 1
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
49
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 43: Giả
i hệ PT
3 2
2 2
1
,( , ).
3 2 9 3 4
2 1 1 0
xy x x y x y
x y
y x y x x
-
Bài giải:
ĐKXĐ
.
x
Ta có
3 2 3 2 2
1 0
xy x x y
x y x x y y xy x y
-
- - -
2
2
1 0
1
y x
x y x y
y
x
- -
2
2
2
2
3 2 9 3 2
1 3 2 1 2
3 2 9 3 2 1 3 2 1 2
x x x x
x x x x
-
- - - -
Xét hàm số
2
( ) 2 2
f t t t
ta có
2
2
2
'( ) 2 2
0
2
t
f t t
t
suy ra hàm
số
đồng biến.
Với
y x
2
1
thay vào PT thứ 2 ta được
3
x
2
1
2 9x
2
3
4x
2
6
1 x x
2
1
0
. Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với
y x
thay vào PT thứ 2 ta được
3x
2 9x
2
3
4x 2
1 x x
2
1
0
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
50
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Từ đó suy ra
1
3 2 1 .
5
x x x
- -
-
Vậy HPT có ng
hiệm
1 1
; ; .
5 5
x y
æ ö
- -
ç ÷
è ø
Bài 44: Gi
ải hệ phương trình:
5
3
32 5 2 ( 4) 2 2
,
( 2 1) 2 1 8 13( 2) 82 29
x y y y y x
x y
y x x y x
- - - - -
- - - - -
.
Bài giả
i:
Đặt đk
1
x y
+)
5
5 2 5
(1) (2 ) 2 ( 4 ) 2 5 2 (2 ) 2 2 2(3)
x x y y y y x x y y - - - - -
3 2
2
2
2
(2 1)
2 1 8 52 82 29
(2 1)
2 1 (2 1)(4 24 29)
(2 1) 2 1 4 24 29 0
1
2
2 1 4 24 29 0(4)
x x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x x
- - -
- - -
- - -
- -
Với x=1/2. Ta có y=3
Xét hàm số
f (t) t
5
t, f '(t) 5t
4
1 0,x R
, suy ra hàm số f(t) liên tục trên R. Từ (3)
ta có
f (2x) f ( y - 2) 2x y - 2
Thay
2x y -2(x 0)
vào (2) được
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
51
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 45: Giải hệ phương trình :
---
---
yxyxyx
yxyxyx
2442
0631025
23
2233
Bài giải:
2
2 3
(4) ( 2 1
2) (4 24 27) 0 (2 3)(2 9) 0
2 1 2
x
x x x x
x
x
-
- - -
- - -
3/ 2
1
(2 9) 0(5
)
2 1 2
x
x
x
-
Với x=3/2. Ta có y=11
Xét (5). Đặt
2
2 1 0 2 1
t x x t
-
. Thay vao (5) được
3 2
2 10 21 0 (
3)( 7) 0
t t t t t
- -
- -
. Tìm đượ
c
1 29
2
t
. Từ đó
tìm được
13 29 103
13 29
,
4 2
x y
Tất cả vì h
c sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
52
CÁC EM HỌC TOÁN K
HÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiện
4y-2;x
yyyxxx
yyyxxx
32)1(3121
326105)1(
23
23
2323
Xét hàm số
Rttttfttttf 0343)(',32)(
223
Suy ra f(x+1) = f(y) => y= x+1 thay và pt (2) ta đuợc
Phương trình :
1432
23
--- xxxxx
022
232332
)2(2
)2(2
232332
4322
41
332
2322
44332
2
2
2
223
---
--
-
--
--
--
-
-
--
----
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
)2(0
0
232332
2
22
2
-
--
--
xvi
xxxx
xxx
-
--
1
2
02
2
x
x
xx
Vậy hệ pt
có nghiệm (x; y) = (2;3) , (x;y)= (-1; 0)
Bài 46: Giải
hệ phương trình:
--
--
76249
13122
222
3
yxy
xxxyy
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
53
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài giải:
ĐK:
1
x
, ta
có:
xyxxyyxxxyy ----- 111.2213122
3
33
Vì h/s
tttf
3
2
đồng biế
n trên R.
Thế vào pt kia ta được pt:
2
2
2
2
15422
154254484
54162
-
-
--
xx
xxxx
xxx
15422 - xx
1
x
21- x
tmđk.
Bài 47: Gi
ải hệ phương trình:
5
2
( 3) 2 (
3 ) 2
9 16 2 2
8 4 2
xy y x x y x y
x y x
-
-
- -
( , )
x y
Bài giải:
Đk:
0 2
(*)
2
x
y
-
.Vớ
i đk(*) ta
(1)
1
( 1) (
3) 2 ( 1) 0
( 3) 2
( 1) (3)
x
x y y x
x
y y x x
- -
Nội dung
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
54
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Với x = 1 thay vào (2) ta được:
31
2 2 8 1
( )
8
y y loai
-
Ta có:
3
3
(3) 2 2 ( )
y y x x
(4). Xét hàm số
3 2
( ) '( )
3 1 0;
f t t t
f t t t
Hàm số
f(t) là hs đồng biến, do đó:
(4)
( 2) ( ) 2 2
f y f x y x y x
-
thay vào pt(2) ta được:
2
4 2 2 2
4 9 16
x x x
-
2 2 2 2 2
32 8 1
6 2(4 ) 9 8(4 ) 16 2(4 ) ( 8 ) 0
x x x x x
x x
- -
- - -
Đặt:
2
2(4 )
( 0)
t x t
-
; PT trở thành:
2 2
2
4 16 ( 8 ) 0
4 0( )
2
x
t
t t x x
x
t loai
-
- -
Hay
2
2
0 2
4 2 4 2
6
2(4 )
32
2 3 3
9
x
x
x x y
x
-
-
Vậy hệ
pt có nghiệm (x; y) là:
4 2 4 2
6
;
3 3
æ ö
-
ç ÷
ç ÷
è ø
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
55
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 1: Giả
i hệ phương trình
2
1 2 1 1
2 3 6 1 2
2 4 5 3 2
y x y x x
y y
y x y x y x y
- - - -
- - - - -
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
0
2 ;4 5 3
0
x y
x y x y
- -
Phương
trình (1) trở thành:
1 1 1 1 1 0
y x y x y
y x y y
- - -
- - - - -
1 1 1 1 0
y x y x y y
- - - - - -
1
1 1
1 1 0
1
1 1
y
y x y
x y
x y y
æ ö
- -
-
ç ÷
ç ÷
-
è ø
Điều kiện:
1y
Cách 1: Ph
ân tích thành nhân tử
3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0
y y y y y y x
- - - - -
* Với
y 1
2
9 - 3x 2 x - 2 - 4x -8
9 -3x 0 x 3
* Với
x y 1
2
2y
2
3y - 2 2 1- y - 1- y 2y
2
3y - 2 1- y
3
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
56
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 1 1 2 1
1 0
y y y y y
y
- - -
- -
2 1 2 1 1
0
y y y y
- -
-
2
2 1 2 1 0
1
1
y
y VN
y y
y y
-
-
-
1 5
4
y
-
(vì
0
y
)
1 5
2
x
Cách 2: K
hảo sát hàm số
2
2
3 2 2 1 1
y y y y -
-
Xét hàm số
2
f 2 0
t t t t
f' 4 1 0t t t
. Do đó f(t) đồng biến trên
0;

f f 1
y y -
nên
2
1 5
1 1
4
y y y y y
-
- -
(vì
0
y
)
1 5
2
x
Sau khi thử l
ại, ta thấy tất cả các nghiệm của phương trình đu thỏa mãn.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:
1 5
3
2
;
1
1 5
2
x
x
y
y
-
Bài 2. Giải h
ệ phương trình
2
2 2
5 4 4 1
5 4 16 8 16
0 2
y x x
y x x
y x y
-
- - -
Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
57
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
5 4
2 5 5 4
0
4
y x
y x y x
y x
- -
-
-
*
5 4
y x
2
0 4
1 5 4 5
4 4 0 6 5 4
4
0
5
x y
x x x x
x
x y
-
-
*
2
4 ; 1 4 5 4 4 0 6 4 0
y x x x x x x
- - - -
*
0 4
4 0
x y
x y
Kết luận:
Hệ phương trình có nghiệm là:
4
0 4
; ;
5
4 0
0
x x
x
y y
y
-
Bài 3. G
iải hệ phương trình
3 2 2 2
2 0 1
2 2 0 2
xy x
x x
y x y xy y
-
- - -
Bài giả
i chi tiết
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
58
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2 1 2
1 0 2 1 0
x x y y
y x x y x y
-
- - - -
Bài 4. G
iải hệ phương trình
2 2
2
2
4 1 0 1
7 2 1 2
x y xy y
y x y x
-
- -
Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với:
2 2
2
2 7 2 4 0
15 2 0
y x y y
xy y y x y x y
- -
- - - - -
0
3 5 0 3
5
y
y x y x y y x
y x
- - - -
*
2
0; 1 1
0
y x
(vô lý)
*
2
1 2
3; 1 2 0
2 5
x y
y x x
x
x y
-
- - -
-
-
*
2
5; 1 9
46 0
y x x x
(phương trình vô nghiệm)
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:
1 2
;
2 5
x x
y y
-
- -
Bài 5. G
iải hệ phương trình:
2 2 3
2
2 2
5x 4 3
2 0 1
2 2
y xy
y x y
xy x y x y
- -
Bài giải chi tiết
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
59
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Phương trình (2) tương đương với:
2 2 2 2 2 2
2
2
1
2 2 2 1 2
0
2
xy
xy x y
x y x xy x y
x y
- -
* Với
2 2 3
1; 1 5
4 3 2 0
xy x y
xy y xy x y
-
-
2
2 2 3
0 vi xy
=1
3 6 3 0
3 0
y loai
x y xy y y x y
x y
- -
x y
* Với
2 2 2 2 3 2
2
2; 1 5
4 3 0
x y x y x
y y x y x y
-
-
2
3 2 2 3
4 5 2 0 2
0
x x y xy
y x y x y
- -
- -
2
2 2
2
2 2
1
2 2
1
2
2
2
5 2
5
2
1
2
5
x
x
y
x y
x y
x
x y
y
x
y
y
Kết luận
: Hệ phương trình có nghiệm là:
2
1
5
;
1
2
2
5
x
x
y
y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
60
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 6. G
iải hệ phương trình:
2 2
2 1 2 2 1 0 1
2 4 3 0
2
x y x y x y
x y xy x y
- - - -
- -
Bài giả
i chi tiết
1
1 1 0
2 1 2 2
x
y
x y
x y x y
-
-
-
-
1
1 1 0 1
2 1 2 2
x y y x
x y x y
æ ö
-
ç ÷
ç ÷
-
-
è ø
2
2
2 1 2 1
4 4 1 0
x x x x
x x
-
- -
2 0 2 3
x x y
-
(thỏa mãn)
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:
2
3
x
y
Bài 7. G
iải hệ phương trình:
2
3
2 2
1
2 3 2 1 11 2
y
x x y
x y
x
y x
- -
-
- -
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
2
0
1
2
x y
x x y
x
- -
Nếu
2
3
0 0 0
y
y x x y
x
y
- -
-
(vô lý). Nên
0
y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
61
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Với
2
2
0
0
0; 1 0 man
2
0
1
y
y
x x y x k
hong thoa
x x
x
- -
-
Với
2
0
x x y
- -
, ta có:
3 3
2 2
1 1 1
y y
x y x y
x
x y x x y
- -
- -
- - - -
2 2
3
3
1
1
0
1
x 1
x y x
y
x y
x x y
x y y
- -
- -
- -
-
-
2 2
3
3
1
1 0
1
x 1
x y
x y
x
x y
x y y
æ ö
ç ÷
- -
ç ÷
- -
-
-
è ø
Bài 8. G
iải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 2x 3
2 2 1
3 4 4 2
x y xy y
x y xy
x y x y
x y
-
- -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
x y
x y
-
Phương
trình (1) tương đương với:
2
2 2
1 2 2 3 2 0
x y x xy y x y
- - -
2
2 2
2
2 2
4 2 3 2
0
2 2 3 2
x
xy y x y
x y
x xy y x y
- -
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
62
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
2
2 2
7
0
2 2 3 2
x
y
x y
x xy y x y
-
-
-
2
2 2
7
1 0
2 2 3
2
x y x y
x xy y
x y
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
-
è ø
Khi đó:
2
4
2 2 4 2 2
2 8 16
x
x x x
y
x x x
-
-
(thỏa
mãn)
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:
2
2
x
y
Bài 9. G
iải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 1
5 3 2
x y x y
y
x y
-
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
0
x y
Với y =
0 không thỏa mãn hệ phương trình
Với y > 0, ta được:
2 2 2 2
3
1 0
2 2
y y
x y x y
æ ö
æ ö
-
- -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2 2 2
2 2 2
2
5 5
4 4
0
3
2 2
x y x y
y
x
y y x y
- -
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
63
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2 2 2
5 1 1
0
3
4
2 2
x y
y
x y
y x y
æ ö
ç ÷
æ ö
-
ç ÷
ç ÷
è ø
ç ÷
-
è ø
2 2
5 5
4 2
x y x y
Khi đó:
2
4 12 9
2 2 3
3
2
x x
x
x x
x
-
2
1
5
x y
(thỏa
mãn)
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:
1
2
5
x
y
Bài 10.
Giải hệ phương trình:
2
2
3 2 2
3
1 1 2 4 3
0 1
2
1
x x x x y y x y
y
x x y xy
x xy
- - - - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2
1
0
1 0
2
x
x x y
x x
y
y
-
-
Phương
trình (2) tương đương với:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
64
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
3 2 2
3
1
y
x x y xy y y
x xy
- -
2 2
2
3 2 2 3
2 2 2
3
3
1
1 1
1
x xy y
x y
y y y x
x xy
x x y xy y x x y xy y
-
-
2 2
2
3 2 2 3
2 2 2
3
3
1
1 0
1
x xy y
y y
x y
x xy
x x y xy y x x y xy y
-
Do
2 2
2
3 2 2 3
2 2 2
3
3
1
0 1
1
x xy y
y
y
y x
x xy
x x
y xy y x x y xy y
Thay vào phương trình (1), ta được:
2
1 1 1 1
1 3 0
x x x x
x
- -
- - -
2
1 1 1 1
1 2 0
x x x x
- - -
- - -
2
2 2
1 2 0
1 1 1 1
x
x
x x
x x
- -
- -
- -
2
1 1
2 1 0
1 1 1 1
x
x
x
x
æ ö
-
-
ç ÷
ç ÷
- -
è ø
2 3
x y
Sau khi thử
lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn đề bài
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:
2
3
x
y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
65
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 11. G
iải hệ phương trình:
2
3 3 3 5
1
16 2 2
x x y y
x
y x y xy
- - -
-
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
0
5
x
y
Phương
trình (2) tương đương với:
2 2
2
2
16 2
2 16 2
1
6
x y x y
y x y
x y x y
xy y
xy y
x y x y
- - -
- -
-
-
2
16 2
0
16
x y
x y
xy
y
x y x y
-
- -
-
Ta có:
1 3 3 3
5
x x y y -
- -
2
3 11 11
5 3 3 0
3 3 0
2 4 4
y x x x x
æ ö
- -
- -
ç ÷
è ø
2
11 7 6 10
9 3 3 16
4 4
x x x
æ ö
-
ç ÷
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
66
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Do đó
2
16 2
0
16
x y
x y
xy y
x y
x y
-
-
-
Thế
vào (1) ta được:
2 2
1 2 3 3
5 4 9 2 2 2 2 15
x x x x
x x x - - - -
2 2
9 2 15
2 9 9
x x x x
- -
-
2
2
2 2
2 9 9 0
6 6
81 2 15 2
9 9
x x
x y
x x x x
-
- - -
Kết luận
: Hệ phương trình có nghiệm là:
6
6
x
y
Bài 12. G
iải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 4
1 2 1 4
3
x x y xy x y y
y x x y x
-
-
-
- -
Điều kiệ
n:
2 2
0
2
4 1
x y x
y x y
x
y
- -
-
-
T
ừ (2) ta có:
2
3
4x 3 1
1 2 0 2 0
4
x y y x
x x
- -
-
Phương
trình (1) tương đương với:
2 2
2 4 2 0
x y x y
xy x y
-
- - -
2 2
2 2
2 4 4
0
2 4
2
x y x
y xy x y
x y
x y xy x y
- - - -
-
-
Bài giải chi tiết
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
67
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2
2
0
2 4
2
x y x
y xy
x y
x y
x y xy x y
- - - -
- -
-
-
2 2
1 2
2 0 3
2 4
2
x y xy
x y
x y
x y xy x y
æ ö
- -
ç ÷
- -
ç ÷
- -
è ø
Ta có:
2 1 1 1
1 1 1 0
x y xy
x y y x y
- -
- - -
do
3
, 1
4
x y
2 2
1 2
0
2 4
2
x y xy
x
y
x y xy x y
- -
-
-
Nên
3 2 0
x y
- -
. Tha
y vào (2) ta được:
2 3 2
3 2 3 4 3 3 4 3 2 3 0 4
x x x x x x x x x x- - - - - - - -
Xét hàm số
3 2
3 4 3 2
3
f x x x
x x x
- -
- - -
với
3
;3
4
x
2
2
1 1 2 3
' 3 6 4 3
1 1 0
2 2 2 3 2
2 3
x x
f x x x x
x x x x
- -
- -
-
- -
Do
3
2 3 2 1
0 ;3 2 3 2 3
4
x x x x
x x x x
æ ö
- -
- - -
ç ÷
è ø
Bài 13. G
iải hệ phương trình:
2
2 2
3 3 1 1
2 1
1 3 3 32
24 2
x y x y
x y
y x x
- -
- -
-
Bài giả
i chi tiết
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
68
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiện:
1
0
x
y
x y
* Nếu x = 1
thì từ (2) suy ra y =0 thỏa mãn hệ.
* Nếu x > 1 ta có
1 3 3 3 2 2 1 0
x y x y x y
- - - - - -
2 1
1
3 1 0
1 1
x y
x y
x
y
x y x y
-
- -
- -
- -
2 1
1 3 0
1 1
x y
x y
x y
æ ö
- - -
ç ÷
ç ÷
- -
è ø
1 0
x y
- -
(Do
2
3 3 2 1
1 x y
- -
-
)
Thay v
ào (2) ta được
2 2 2
3 3 32 24
x x x
-
2 2 2 2
2 3 2 3
3 3 32 24
3 3 4 3
8 8 1
3
x x x x
x x
x x x x x
æ ö
- -
- -
ç ÷
è ø
3 2 2 2 2
3 2
3
3
2
4 3 3 2 3 4
8 4 3
3 2
x x x
x x x
x x
x
x x x
-
-
-
2
2 2
3 2
3
3 2
3 3
8
4 3 0
3 2
x x x
x
x
x
x x x
-
3 2
3 21
4 3 0
2
x x x
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
69
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
(Do x > 1) suy ra
1 21
2
y
Kết luận
: hệ phương trình có nghiệm
3 21 1 21
, 1;0
, ;
2 2
x y
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Bài 14. G
iải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 2 1 1 1
3 2 1 2
x y y y x x x y
x x x y x x y
-
-
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
3 0
x y
-
2
2 3 2 1
0
x x x y
x y
-
- - -
2
1 1 0 1 0
3 2
x x
x y x
y
x y
æ ö
- - - -
ç ÷
ç ÷
-
è ø
Thay v
ào (1) ta được:
2 2
1 2 2 1
2 1
x x x x
x x x
-
- -
Đặt
2
2
2
, 0
1
u x x
u v
v
x x
-
ta đượ
c
2 2 2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
v u v u
u v u
æ ö æ ö
- -
-
-
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
70
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
1
2
1 3 0 1
3
7
8
x
u v
v u u
v u v x
u v
x
-
- -
Từ đó ta đư
ợc các nghiệm
1 1 7 1
; ; , 1
; 2 , ;
2 2 8 8
x y
-
æ ö æ ö
- - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 15. Giải hệ phương trình:
2 2
8
4 1 4 1
6 8 1
2 1
2 1 2 1
2 2 1 2
x y x
x
y x y x y x
- - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
1
,
4
x y
2 2
2 2 1 2 2 1 2 1 1 0
y y x x y x
- -
2 2
4 2
0
1 2 1 2
1 1
y x y x
y y x x y x
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
71
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
4 2
0
1 2 1 2
1 1
y x
y y x x y x
-
x y
Thay v
ào (1) ta có:
8
2 4 1 6
8
2 1
x x
x
-
Dò nghiệm
ta được x = ½ là nghiệm kép , ta tìm cách đánh giá như sau :
Áp dụng BĐT Cauchy: khi thay x = ½ vào
4 1x -
= 1 ,n
ên ta áp dụng
2 4 1.
1 4 1 1 4 4 6
x x x V
T x
- -
Ta thay
x = ½ vào
8
2 1x
= 4 . nên ta á
p dụng
8 8
2 2 1 2
2 2 1 8
2 1 2 1
x x
x x
8 8
4 2 2 2 1 4 2 2 2 2 1 4 2 8 4 6
2 1 2 1
VP x x x x x x
VT
x x
- - -
Dấu
"=" xảy ra khi
1 1
2 2
x y
Kết luận
: Vậy hệ có nghiệm
1 1
, ;
2 2
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 16. Giải hệ phương trình:
2
1 1 1 1
3 2 1
2 1 2
3
y
xy x
y
y
x y x
-
-
Bài giả
i chi tiết
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
72
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Điều kiện:
0
1
3
1 0 0
0
1
y
xy
x
x
x
x
-
-
2
1 1 1 1 1
0
xy x
y
- -
-
2
2
0
1 1 2
1 1
x
xy
y
xy
x
y
-
-
-
1 1
2 0 2 0 2
1 1 2
1 1
xy xy
xy
xy
y x y
y
æ ö
ç ÷
ç ÷
- -
ç ÷
-
ç ÷
è ø
Thay và
o (2) ta được:
1 3 1
1
3
x
x x x
-
Áp dụng BĐT Bunhiaiscopki ta có
2 2
1 3 1 1 1
1 1 1 4
1 1 3 4
3 3 3
x x x x x
x
æ ö æ ö
æ
ö
- - -
ç ÷ ç ÷
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è
ø
è ø è ø
Suy ra
1 3 2
1
3
x x
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
73
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số thực dương ta có:
1 1 2
2
3 3
3
x x
x x
Nên
1 1 3
1
3
x
x x x
-
Dấu bằng xảy
ra khi
1
3
1 3
1 1 1
3
x
x
x x
-
vô nghiệ
m.
Kết luận: Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 17. G
iải hệ phương trình:
3 3
2 2
2 2 2 4 2 4 8 4 3 1
2 2 2 2
y
y x xy x x x
y x y x y x
- - - - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
3
2
2
4 2 4 0
4
2 0
2 2 0
xy x
y x
x
y
y x
- -
2 2
2 1 2 2
2 1 0
y y x x
y x
-
-
2 2
2 2 1 2
2 1
0
1 2 2 2
1
y x y x
y y x x y x
- - - -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
74
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
1 1
2 2 1 0
1 2 2 2
1
y x
y y x x y x
æ ö
ç ÷
- -
ç ÷
è ø
2 2 1 0
y x
- -
(Do
3
4
y x
)
Thay v
ào (2) ta được
2 3 3
2 2 4 8
4 3
x x x x
- -
Áp dụng BĐT
Côsi cho các số dương ta có:
3 3 2 3 2
3 2 4 4
2 2 8 4 2 2 4
x x x x
x x x
-
- - -
Dấu bằng xảy
ra khi
3
2
4 4
2
2 2
x
x
x
-
-
(thoả
mãn)
5
2
y
Kết luận
: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
5
2;
2
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 18. G
iải hệ phương trình:
2
3 2
2 2 3
2
3 3
2 2
2 3 5 5
2 1
2
3 2
x x y
y x y y
x y x y xy y x y
-
- - -
-
Bài giải chi tiết
2 2 2 3
3 3
2 0
x y x x
y x x y xy y
- -
- -
2 2
2
2
2 2 4
2
3 3
2 2 2 3 2 2 3
3 3
0
x y x y
x x y
x y
x x x y x y
x x x y xy y x y xy y
-
-
-
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
75
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2 2
2
2
3
2 2
3
3
2
4 2
3
2 2 3
3
1 0
3
3
2 4
2 4
x x y
x
y
x y
x y xy y
x x y
x x y xy y
-
æ ö
æ ö
-
ç ÷
ç ÷ -
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
x y
. Thay
vào (2) ta được:
2
3 2
3 2
2 3 5 5
2 3
2
x x
x x x
x
-
- - -
Nhẩm x = 3
là nghiệm kép , ta thay x = 3 vào :
2 1
x
-
;
3 2 2
3 5 5 2
3 2 1 7 7
x x x x
x x- - - -
Áp dụng BĐT
Cosi ta có:
1
2 1 2 *
2
x
x x
-
- -
Và:
2
3 2 2
2 1
3 5 5 2
3 2 1 **
2
x x
x x x x x x
-
- - - -
Cộng vế
theo vế (*) và (**) ta có:
2
3 2
3 2
2 3 5 5
2
2
x x
x x x x
-
- -
-
Dấu bằng xảy
ra khi
2
1 2
3
3 2 1
x
x
x x
x
-
- -
Nên
3 3 3
x y
Kết luận
: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3;3
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
76
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 19. G
iải hệ phương trình:
2
2
2 1
2
3 2 2 2 4 2 1 2
y x
x y x
y
x
x y x y x
-
-
- -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
1
2
0
2 0
x
x y
x y
-
2
1 2
2
y x
x y x y
x
-
- -
2 0
2 2
2 2
2 2
y x
y x
y x
x y x y
x
x y x y
x
-
- -
-
-
* Nếu
2 2 2 2 0
x y x y x x x y x y
- -
vô nghiệm do
x > 0.
* Nếu
2
y x
thay vào (2
) ta được:
2
3 2 2 2
2 1
x x x x
x
-
-
2
2 2 2 1
2 1 2 1 0
x x x x
x x x
- -
- -
2 2
2
2 1 1 1
1 0 3
x x x x
- - - -
Ta có:
2
2
2
2 1 1 0
1 0
1 0
x x
x
x
- -
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
77
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Với
1
2
x
nên
0
2 1 1
1
3 1 1
2
1
x
x
x x y
x
-
Kết luận
: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1
1;
2
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 20. G
iải hệ phương trình:
2
3 3 2
2
3
4
2
8 3 8 1
4 2 1
y
x xy
y
x y
x x y
-
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
3
0, 0,
4
x y xy
1 3 1 1 1
1 0 0
4 2
3 1
1
4 2
xy xy
x xy
y
y xy
xy
- -
- - -
-
1 1
1 0 1
3 1
1
4 2
xy xy
y xy
xy
æ ö
ç ÷
ç ÷
-
ç ÷
-
ç ÷
è ø
Thay v
ào (2) được:
2
3
8 1 3 8
1 4 2 1
x x x
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
78
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 2 2 2
2 8 1 2
2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 4 2
x x x x
x x x x
-
-
6 8 1 2.
3. 8 1 9 8 1 8 10
x x x x
Suy ra
2
3 2
2 8 1 6 8 1 4 2 8 10 8 4 1
x x x x x
2
3
8 1 3 8 1 4 2 1
x x x
Dấu "="
xảy ra khi và chỉ khi
1 1x y
thử lại thấy thỏa
mãn
Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
1;1
Bài 21. G
iải hệ phương trình:
2 2
4 4 2 2
1
2 9 4 3
2
x y x x
y
x y y y x y
- - -
- - - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2 2
4 0
4
2
x y
x
y
-
2 2
1 4 2 4
2 0
x y x x
y
- -
- - -
2 2
2 2
4 4
4 2
0
4 2
4 2
x y
x
x y
x y
x y x
- -
- - -
- -
-
2 2
2 2
2
0
4 2
4 2
x y
x y
x y
x y
x y x
- - -
- -
- -
-
2 2
2 1
2 0 2 0
4 2
4 2
x y
x
y x y
x y
x y x
æ ö
-
ç ÷
- -
- -
ç ÷
- -
-
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
79
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Thay vào (2) ta được
9 4 6
y y y y
- -
Áp dụng BĐT
Bunhiacopxki ta có:
2
. 9 4 .
4 9 36 9 4 6
y y y y
y y y y y y y y
- -
- - - -
Dấu bằng xảy
ra khi
4 36 62
9 13 13
y y
y x
y y
-
-
(thỏa mãn)
K
ết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
62 36
; ;
13 13
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Bài 22. Giải hệ phương trình:
2
2
1 1 1
1 2 4
2
1 4
x x y y
x x
x y
y x
y
- -
với
0
x
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2
2
1 0
0
0
x x y
x y
y
-
2
2
1 1
1 1 1 0 0
1
1
x y y x
x x
y x y x
y x
x x y x
- -
-
- - -
-
-
2
1 1
1 0 1 0
1
1
x y x y
y x
x x y x
æ ö
ç ÷
-
-
ç ÷
-
-
è ø
(Do
0
x
)
Thay v
ào (2) ta được:
2
1 5
1
1 4
y
y y
y
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
80
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Ta có:
2
1
1
2
y
y y
- -
với
0
y
Thật
vậy:
2
2
2
2 2
1 3
1 1 5 2
5 0
2 16
y
y y y y
y
æ ö
- - -
- -
ç ÷
è ø
Suy ra
2
1
1 3
2
y
y y
-
Áp dụng BĐT
Cauchy ta có:
1 1
1 4
4 1
y
y
Cộng vế
tương ứng (3), (4) rồi rút gọn ta được:
2
1 5
1
1 4
y
y y
y
-
Dấu "="
xảy ra khi
1 0
y x
(Thỏa mãn)
K
ết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
0;1
Bài 23. G
iải hệ phương trình:
2 2
2
2
1 1
x y x y
x xy y
x x y x
-
- -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
1
0
0
x
x y
x y
-
Từ (1) ta có:
2 2
2 0 2 0
x y x y
x xy y x y x y x y x y
- - - -
- - - - -
1
1 2 0
x y x y x
y
x y
æ ö
- - -
-
ç ÷
ç ÷
-
è ø
(Do
1
1 2 1 2 0
x y x
x y
- - - -
-
)
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
81
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Thay vào (2) ta được:
2 2
1 2 1 1
1 2 2 4
x x x x x
x
- -
- - - -
1 2
2 2 0 2
1 1 2 2
x x x
x
x
- -
-
(Do
1 2
2 1 1 2
0
1 1 2 2
x x
x
x x
-
- - -
-
)
Với
2 2
x y
(Thỏa m
ãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
x y
Bài 24. G
iải hệ phương trình:
2
2 1 1 2
1
y x y y
x x y x x y
- -
- -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2
2 1 0
1
0
1 0
0
y x
y
x
y x
x y
-
-
-
(2) tương
đương với
2
3
xy y x
y x x- -
Ta có:
2 2
2
2
4
xy x xy x y x
xy y x y
x x x
xy y x y
- - -
- - -
- -
Cộng vế
(3) với (4) ta được:
2
2
y x x x
y
xy y x
x
x x
- -
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
82
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 0
y x x x
x y y x x x x y x x y y x x
- -
- - - - -
Thay v
ào (1) ta được:
2 2 2
1 1 2
x x x x
x x
- -
-
Áp dụng BĐT
Cauchy ta có:
2 2
2
1 1
1
2 2
x x x x
x x
-
-
2 2
2
1 1 2
1
2 2
x x x x
x x
- -
-
Cộng vế
ta được:
2 2
2
2
2 1
2 2
x x x x
x x x
-
-
2
1 0 1 0
x x y
-
(thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 1;0
x y
Bài 25. G
iải hệ phương trình:
2 2 2
2 2 1 1
1 1
2 5 1 21
17 2
x x xy x y x y y y
y x y x x
-
- -
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
1
2 5 0
1
x
y x
y
-
-
2 2
1 1 2 1 0
x y x y
x y
-
- -
2 2
2 2
2
2 2
2 1
1 2 1
0 1 0
1 1
1 1
x y x
y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
- -
æ ö
- -
ç ÷
- -
ç ÷
-
-
è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
83
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
1x y
Thay v
ào (2) ta được
2 2
2 3 21
17 0
x x x x
x
- -
- -
2 2
2 3 1 3
2 3 1 21 17 0
x x x x
x x x
- -
- - - -
2
2
1 9
3 2 1 0
3 1 21 17
2 3 1
x x
x x
x x x
æ ö
-
ç ÷
- -
-
è ø
Do
2
17 1 1 9
1 0
21 3
3 1 21 17
2 3 1
x x
x x
x x x
- -
-
Suy ra phương tr
ình có nghim
1
2
x
x
Kết luận
: Vậy hệ đã cho có các nghiệm
, 1;0
, 2;3
x y
Bài 26. G
iải hệ phương trình:
2 2
2
2
4 8 10 9
6 1 5 1
1
1 1
1 1 2
x y x y
y x
x y
x
x x y
x y y
- -
- - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
0 1
1 0
x
x
-
Phương trình (2) tương đương với:
2 2
2 2
1 1 1 1
x x y y
x x y y
-
- -
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
84
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
0 0
1 1
1 1
x y
x y
x y
x y y x
xy x y
x y y x
x y
y x
x y
y x
-
æ ö
æ ö
-
- - -
-
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
-
è ø
è ø
-
2 2
2 2
1
0 0
1 1
1 1
x
y x y
x y x y
xy
x y
y x
x
y
y x
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
-
ç ÷
-
-ç ÷
ç ÷
è ø
Thay v
ào (2) ta được:
2
12 19
5 6 1
x x x x
- -
2
2
2
2
2 2
12 19 5 0
12
19 5 0
2 1 3 5
24 25 5 0
12 19 5 6
6
x x x
x x x
x x x x
x x x x
- -
- -
- - -
-
1 1
2 2
25 145 25 145
48 48
x y
x y
-
-
Kết luận
: Vậy hệ đã cho có các nghiệm
1 1 25 145
25 145
, ; ; ;
2
2 48 48
x y
æ ö
æ ö
- -
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
Bài 27. G
iải hệ phương trình:
2 1
1 1 4
2
xy x y xy x y y
x y xy x x
- -
-
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
, 0
x y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
85
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Nhận thấy
0
x y
không thỏa
mãn (2) nên ta có
0
x y
Phương
trình (1) tương đương với
2 0
xy x y xy x y y
- - - -
2
2 2
0 0
2 2
xy x y xy y x y xy y
x y x y
x y x y
xy x y xy y xy x y xy y
- - - - -
- -
- -
- -
2
1
0 3
2
xy y
x y
x
y
xy x y xy y
-
-
- -
Ta có phương tr
ình (2) tương đương với
2
4
1
y xy x x
x
-
Ta có:
2
2
2
4 1 2
2 1
4
2 0
1 1 1
x x x
x x
x
x
x x x
- -
-
- -
vớ
i
0
x
Suy ra:
2
1
2 0 0
2
xy y
xy
y
x y
xy x y xy y
-
-
- -
Nên
3
x y
thay vào
(2) ta được
2
1 1
1 3 4
1 17 1 17
4 4
x y
x x x
x y
-
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm
1 17 1 17
, 1;1
, ;
4 4
x y
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
Bài 28: Gi
ải hệ phương trình:
2
3
3
4 4
4
.
2 4 1 3 6 1 3 30
x x y x
y y
x x y y y x x
- - -
- - - -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
86
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài giải chi tiết
Điều kiện:
2
0
2 4
1 3
x x y
x
y
- -
Phương
trình (1) tương đương với:
2 2 2
3
. 0
x x y x
y x x y x x y y
- - - -
- - - - -
2
2 2
3
2 2
3
3
1 1
1 0 0
1
x x y x
y x y x y
x x y x y x x y y
x x y y
x y x y
- - - - - -
- - -
- - - -
- -
-
-
2
2
2
3
1 0 1
1 3
2 4
x x
y
x y
x y x y
x x y y
x
y
- -
- -
- -
æ
ö
-
ç ÷
è ø
Thay vào (2) ta được:
3
4 4
4
2 4 2 4
6 3 30
x x x x
x x x
- - -
-
Áp dụng BĐT
Cauchy ta có:
4
3 3
4 4
4 4
2 4
2 4 1
2
6 3
2 27 27
1 1 1 2
1
2 1.1.1. 2
4 4
1 1 1 4
7
4 1.1.1 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
- -
-
-
-
- -
-
-
- -
Từ các BĐT
trên ta được:
3
4 4
4
2 4 2 4
6 3 30
x x x x
x x x
- - -
-
Dấu bằng xảy ra khi
3 2
x y
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
, 3;2
x y
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
87
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bài 29: Giả
i hệ phương trình:
3 2 2
2 3 1 4 1 0
1
2 5 4 1 4
x
y y x y
x x x x x y x
x
-
Bài giải
chi tiết
Điều kiện:
2
3
2
1
y
x y
x
x
-
Phương
trình (1) tương đương với:
1 4 2 3 0
x y x y x y y
- -
1 4 2 3 1
2 3 0
x y x y y
x y y
-
- -
1
1 1 2 3 0
4 2 3
x y
x y x y y
x y y
-
- -
1
1 1 2 3 0
4 2 3
x y y
x y
y
æ ö
-
ç ÷
ç ÷
è ø
1 0 1x y y x -
Thay và
o (2) ta được:
3 2 2
1
2 5 4 1 2
5x x x x x x
x
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 5 4 2 5 2 5 5 4 0
x x x x x x x x x x
x x x x x
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
88
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
2
2 2
2
1 0
1 3
1
1
2 2
1 1
5 4
0
4 3 2 3
2
1
4 4
4
4 3 2 3
2
4 4
x y
x y
x x
x
x
x x x
x x
x y
x x
x
x y
-
-
æ ö æ ö
- - -
ç ÷ ç ÷
- -
ç ÷ ç ÷
-
è ø è ø
-
-
Bài 30: Gi
ải hệ phương trình:
2 2
3
2 1 2 3 4 0 1
3 3 2 4
2 2 5 5 2 3 2
x y x y x xy y
x x y x y
- -
- - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2 2
2 3 4 0
2
3
2 2
x xy
y
x
x y
Phương
trình (1) tương đương với:
2 2
2 2 3 4
2 0
x y x y
x xy y x y
-
-
2 2
2 0
2 3 4 2
x
x y
x y x y
x xy y x y
-
-
2 2
2 0 3
2 3 4 2
x
x y x y
x xy y x y
æ ö
ç ÷
-
ç ÷
è ø
Từ (2) ta có:
3 3
3
5 5 2 3
5 2 5 2 0
5
x y x y x
y
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
89
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2 5 2
2 2 3 2 0 2 0
x y x y
x y x y x y
Nên
3 0
x y x y -
thay vào
(2) ta được:
3
7 3 2 5
6 2 3
x x
- -
Đặt
3
6 2, 3
2 , 0
a x b x
a b
-
ta đượ
c:
2
3 2
3
5 3
7 5 3
7
2
1 1
1
5 3
2 6
2 6
0
7
a
b
b a
a
x y
b
a
a b
a
-
-
-
-
æ ö
-
-
ç ÷
è ø
(thỏa mãn)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
; 1;1
x y
Bài 31: Gi
ải hệ phương trình:
3 2 2 2
2 2 2
2
2 2 4 2
2 2 4 2
2 35 38
2 8 8
19
x x x y
xy x xy x x y
x
x y
y y y
-
- - -
Bài giả
i chi tiết
Điều kiện:
2
19
8
x
y
Phương
trình (1) tương đương với:
3 2 2 2
2 2 2
2 2 4 2
2 2 2 0
x x x y
xy xy y x xy y x
-
-
3 2 2 2
2 2 2
4 2 2
0
2 4 2 2
2 2
y x x y x y x y x
x x x y xy xy y x xy y x
- - - -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
90
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 2 2 2
2 2 2
4 2
2
0
2 4 2
2 2 2
x
x y x y x
y
x x x y
xy xy y x xy y x
-
Thay v
ào (2) ta được:
2
2 35 38
2 8 8 19
2
x
x x
x x
-
- - -
2
2 2 8 3
5 38 8 19
x x x x
x x x
- -
- -
2
8 19 2 8
35 38 2 0
x x x x
x x
- - -
- - -
2
7 17 2 7 17
0
8 19 2
8 35
38 2
x x x x
x x
x x x
- - -
- -
-
-
2
2
7 17 0
8 19 2
8 35
38 2
x x
x
x x
x x x
æ ö
-
-
ç ÷
- -
- -
è ø
17
7
x
(do
2
x
)
17
7
y
Vậy hệ
có nghiệm duy nhất
17 17
, ;
7 7
x y
æ ö
ç ÷
è ø
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
91
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 1 : Giải HPT :
2 4 2 3
2 4 4
( 1) 1 2
( 1)
(3 2) ( 2 )
1
x y xy y
x
y xy xy x y
-
-
Thế
2 4 4
1 (3 2)
( 2 )
xy xy x
y x y
- -
vào PT
(2) ta được
:
4 2 2
(1 3 4 )
0
y x y xy
-
0
1
1
3
y
xy
xy
Thấy
0y
không phả
i nghiệm của h
Với
2 4 4 2 2
1 1 2 2 (
1)( 1) 0
xy y y y
y y y y y
- - -
5 1 2
2
5 1
1 5 2
2
1 5
y x
y x
-
-
Với
2 4 4 2
4
1 2 2 2
1 1 0
3 9 3 3 3 9
3
y y y y y
y
xy y y
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
92
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 2: Giải HPT :
3 2
3 9 4
2 (1)
2 2
x y xy
x
y xy
PT(2)
3 2 3 3 4
( ) 2x y x xy
y xy
-
2 2 3 3 4
2 2xy x xy y xy
-
2 3 6 2
0
0 *
x y
x xy
y y
- -
(*)
2
3 3 2
3 0
x y xy y
- -
4 3 2
4 3 0
xy xy
y
- -
0
1
1
4
x y
xy
xy
-
Với xy=1
1
x
y
(1)
4 2
2 1 0
y y
-
1y
1x
Với
1 1
x =
4 4
xy
y
- -
(1)
4 2
4 2 1 0
y y
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
93
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
5 1 5 1 1
y = x =
4 2
2 5 1
y
- -
-
Vậy hệ c
ó nghiệm (x;y) = (0;0),
1 5 1
1; 1 , ;
2
2 5 1
æ ö
-
ç ÷
ç ÷
-
è ø
Câu 3. Giả
i HPT :
4 3 2 2
2
4 2 2 2
6 12 6
0
5 1 11 5
0
x x x y y x
x x y x
- - -
- - -
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
6 1 1
5 1 1
x xy x x y
x x x y
- -
- -
Dễ thấy x=y=0 không phải là nghiệm của hệ.
Ta có:
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1
1 1
6 (*)
1 1
1
5
x
x
x y x y
x x
x y y x
-
-
- -
Đặt
2
1
(a,b 0)
1
x
a
x
b
y
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
94
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Hệ trở thành:
2 2
2 2 2 2
6
5
a b a b
a b a b
4 4 2 2
36 2 5a b ab a
b
1
2
ab
Với
2
1 1 1
2 2
x
ab
xy
-
(*)
3 1
2 2
y
y
1 17
1
4
2
1 5
2
x
y
y
x
Vậy hệ c
ó nghiệm (x;y) =
1 17 1 5
;1 ,
;2
4 2
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
95
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 4
:
Giải
HPT :
2 2 2
(4 4 4
51)( ) 3 0
(2 7)(
) 1 0
x xy y x y
x x y
- - -
- -
2 2 2
3( ) (
) 51 ( ) 3 0
( ) ( )
7 ( ) 1 0
x y x y x y
x y x y x y
- -
-
- - -
Đặt
x y a
x y b
-
2
4 2 2 2
2 2
7 1
3 51 3
0
( 7) 1 0
( 4 1)(
2 2) 0
b b
b a b
b a
b
a b
b b b b
- -
-
-
- -
3
2 3
3 2 3
3
2 3
3 2 3
x y
b
a x y
x y
b
a x
y
-
-
- -
Câu 5 : Giải HPT :
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y
xy
-
Rút lầ
n lượt
3 3
,x y
theo
xy
ta đư
c :
3 3 3
3 3
3 3
3
22 21 3 5 8
(22 21 )(
13 12) 1
13 12 2 3
5
1
x xy x y
x
y xy xy xy
y xy x y
x y
-
-
-
-
Đoạn giải
PT bc 3 ẩn
xy
có 2 nghiệ
m rất lẻ không biết có phải do đề không ạ…
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
96
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 6:G
iải HPT :
2 2
2 2
1 1
2
1
2
1 1
2
2
x y
x y
y x
x
y
- -
ĐK:
, 0x y
3 2
3 2
1 2 y 3 1
1 2 x 3
2
x y
xy
-
Ta có hệ
mới:
3 2
3 2
3 2
3 1
x xy
y x y
3
3
3
3
3
1
1
x y
x y
x y
x
y
-
-
3
3
3 1
2
3 1
2
x
y
-
Câu 7 : Gi
ải HPT :
2 2 4
2 2
( )x xy y
x y
x xy y
x y
-
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
97
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Đặt
2 2
4
2 2
3
4 4
3
4 4
a b
b
a x y
b x y
a b
b
-
Thế ta đ
ược :
2 2
4 3 2
0
9
3 0 2 3
0 1
4 4
3
b
b b
b b b b
b b
b
- -
-
-
b
a
b
a
b
a
Câu 8: Giải HPT :
2 2
3
3 1
1
2
5
x y
y x
x y
- -
ĐK:
, 0x y
PT(1)
1
2
x y
x y x
y
xy y
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
98
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Đặt
2 2
2
4
y b a
x y a
b a
x y b
xy
-
-
-
Hệ trở t
hành:
2 2
3
4 1
5
a
ab
b a b a
b
- -
3 3
3
5
5
b a a b
a b
b
-
3
0 1a b b a
-
3
3
3
5 1
5
2
1
5 1
2
x
x y
x y
y
-
- -
Câu 10: Giải HPT :
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x
y
y
-
y
ĐK:
x
1
0, x+y 3, y 0
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
99
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Đặt
1
a,b
0
3
x a
y
x y b
-
Hệ đã cho t
rở thành:
2 2
3
5
a b
a b
1
1
2
2
2
1
a
b
a
b
4 10
1
3 10
1
1
4 10
7
3 10
x
y
x
y
x
x y
y
-
-
3
1
1
4
2
5
4
1
x
y
x
y
x
x y
y
-
Câu 11:Giải HPT
2 2
2 2
5
4 1
5
5 5 2
x y
x y x
y
x y
x y
xy
-
-
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
100
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
ĐK:
2 2
0, x+y 0, xy 0
x y
-
PT(1)
2 2 2 2 2 2
5 5 4
x y xy x y
x y x y
- -
5
5 4
x y y x
y x x y
y x x y
æ ö
æ ö
- -
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
Đặt
x
y a
y
y
x b
x
-
Hệ
đã cho trở thành:
5 5
5 4
a b
a b ab
5
2
1
2
a
b
2
2
5
2 2 5
2
1
2 2
2
x
y
y x y
y
y
x y x
x
x
-
-
3 2 0
x y x y x y
- - -
3
2
2 2 3 (
*)
x y
x y
(*)
1
1
2
3
2
3
x
y
x
y
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
101
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 12
:
Giải
HPT :
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
-
Đặt
2 2
2 2
2
5
5 7 2
7
a x y
x b a
y a b
b x y
-
-
Ta có h
mới :
2 2 2 2 2
2
5 5
5 (7 2 ) 10 3(5 ) 8 5 10
a b a b
a b a a b a a a
- - - - -
5
5 77
2
5
5 77
2
b a
a
b a
a
-
-
-
- -
(Bài này k
hông hiểu sao ra lẻ vậy )
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
102
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 13:
2 2
1 1 1
(1 )(1 ) 2
x y y x
x y
- -
-
ĐK:
2 2
1 0, 1 0
x y
- -
PT(1) :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x y y x
x x y y
- -
- -
Dấu “=
” xảy ra
2 2
2 2
1 1
x y
y x
- -
2 2
x y
x y
Với
x y
thay vào PT(2) không thỏa mãn.
Với
2 2
1
x y
PT(2)
2 2
1 0 x 2 1 1 2x y xy y xy xy
- -
0
4
xy
xy
-
Ta giải được
0
1
x
y
thỏa mãn hệ.
Câu 13 :
3 2 3 8
10
8 2 4 2
1
x y x y
x y x y
- -
- - -
Đặt
2 2
3 2
4 2 4
8
x y a
x y
b a
x y b
-
- - -
-
.Ta có h
ệ mới :
Tất cả vì hc
sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
103
CÁC EM HỌC TOÁN K
NG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 2
10 3
121 4 55
10 3
3 10
33
10 3
1 2 (10 3 ) 4
2 4 1
121 4 55
33
a b
b
a b
a b
a b
b b b
b
b a
b
-
-
-
- - - -
- - -
-
(Lại một bài lẻ
khủng khiếp…)
Câu 14 : Giải HPT
:
2
2 2
2 6 1
7
x x y
x xy y
Với
1
2
3
x
y
x
-
Với
2 2 2
2 6 (2 6) (2
6) 7 3 18 29 0
x y y y y y y
y y
- - -
Câu 15: Giải HPT
2
2
1 4
1 2
x y x y y
x x y y
-
Thấy
0y
không phải là 1 nghi
ệm của phương trình.
PT(1)
x
2
2x 6 y
2
2y 1
(3)
Lấy
(3) - (2) 2y
2
(x 2)y - 2x -12 0 (y - 2)(2y x 6) 0
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
104
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Hệ
2
2
1
4
1
2 1
x
x y
y
x
x y
y
æ ö
ç ÷
è ø
æ ö
-
ç ÷
è ø
Đặ
t
2
1x
a
y
x y b
Hệ đã cho t
rở thành:
4
2 1
a b
a b
-
1
3
a
b
2
1
3
x y
x y
1
2
2
5
x
y
x
y
-
Câu 16:Giả
i HPT :
2
2 2
2 6 1
7
x x y
x xy y
-
2 2
2
2 2 5 0
7
x y x y
x
y xy
- -
Đặt
2 2
xy=
4
x y a
b a
x y b
-
-
Hệ đã cho t
rở thành:
2 2
2 5 0
3 28
ab a
b a
2
2
5
2
25
3 28
4 4
a
b
b
b b
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
105
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
5
2
2 3 3 18 29 0
a
b
b b b b
-
- -
1
3
5
1
a
b
a
b
-
-
-
1
3
5
1
x y
x y
x y
x
y
- -
- -
-
Câu 17
:
Giải
HPT :
2 2
( 1)( 1
)( 2) 6
2 2 3 0
x y x y
x
y x y
- - -
- - -
3 3 2 2
2
2 2
( ) 6 (
) 6
1
36 2 5 0
1
5 ( ) 2
5 ( ) 6
ab a b ab a b
x a
a b a b
y b
a b a b ab ab a b
-
- -
-
-
2 1 1
1 1 2
2
3
1 1 2
2 1 1
b x
a y
ab
a b
b x
a y
-
-
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
106
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 18:
2 2
1 1 2 6
2 2 3 0
x y x y
x
y x y
- -
-
- - -
Đặt
1
1
x a
y b
-
-
, hệ đã
cho trở thành:
2 2
6
5
ab a b
a b
2
2 2
2 2
36
( )
5
a b
a b
a b
2ab
2
1
2
1
1
2
1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
-
-
-
-
1 2
1 1
1 2
1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
x
y
x
y
x
y
x
y
-
-
- -
- -
-
-
- -
- -
Câu 19 : Gi
ải HPT :
2
2
4 2
2 1
9 3
1
2(1 ) 2(1 )
x xy
x xy
x x
- -
Dễ thấy
0x
không ph
ải nghiệm của HPT
2
1 2
0
x
x y
x
-
. Thế
vào PT2 ta
được :
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
107
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
4 2
9 3(1 2
)
1
2(1 ) 2(
1 )
x x
x x
-
- -
2 4 2 2
2 2
9 2(1 ) 3
(1 2 )(1 )
(2 2 1)
(2 4 5) 0
x x x x
x x x x
- -
-
- -
3 1
2
2
3 1
2
2
x y
x y
-
- -
Câu 20 : Giả
i HPT :
3 3
3 2 3
1
4 4 8 17
8
x y x xy x
x
y x xy x
- - -
Hệ
2
2 2
( )( 1) 1
4 ( ) 8 (
1) 17 8
xy x x
x xy x xy x x
- -
-
Đặt
2
1
xy x a xy a x
x b
-
Hệ trở thành :
2
1
4 8 17 0
ab
a b
-
2
(2 1)(
2 2 8) 0
a a
- -
. Do
1 1
0 1 2
2
a a b
b
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
108
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
1
1
1
2
2
1
1
3
2
x
y
xy x
x
x
y
-
-
-
Câu 21 : Gi
ải HPT :
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x
x y x y
-
-
Hệ
2
2 2 2 2
3 0
( ) 5 0
x y xy
x
x y x y x
-
-
Thế
2
3
x y x x
y
-
vào PT2 ta được
2 2 2 2
2 2
9 6 5 0
x x y x y x y x
- -
2 2
2
( 5 4) 0
0
0
1 1
4 4 0( )
x y y
x y
y
x
y x x L
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
109
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 22 : Gi
ải HPT :
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x
x
x y
y
-
-
Đặt
2 2
1
3 2
1
2 3
x y a
a b
x
b
a
b
y
-
-
giải PT bậc nhất cơ bản
Câu 23 : Giải HPT :
2 2
3
3 1
2
( ) 5
x y
y x
x y
- -
PT(1)
3 2
( )( )
2
x y
x y x y
xy
-
-
. Thế
PT(2) vào PT(1) ta được :
2 2 2
5( ) 6
4 5( ) (6 4 ) ( )
( ) 4 (
) 4 ( )
x y x y
x y x y x y
x y xy
x y xy x y
- - - -
- -
- -
3 3
5( ) (
) 5 1
x y x y
x y
- -
- - -
3
1
5
x y
x y
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
110
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 24 : Gi
ải HPT :
4 4
2 2 3
2
( ) 3
x x y y
x y
- -
-
Đặt :
2
2
a b
x
x y a
x y b a
b
y
- -
. Đặ
t kì diệu :
3 3 3 3
3 3c a b c
ab c
.Khi đó :
2 2
4 4 2 2
3
( )( )( )
2 2
3
2
2 2 2
a b a b
x
y x y x y x y ab
a b a b a c b
x y a b
-
æ ö æ ö
- -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
-
-
-
2 2 3
2 2 3
(1) ( )
2 2
a b a c b
PT ab c a b a c b
æ ö
ç ÷
è ø
Ta có hệ mới :
2 2 3
( )
c a b a
c b
c
ab c b
a
2 4 3
2
2 2
1
( ) ( 1)( ) 0
ac
c c c
c a a
ac a
a c
a a a
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
111
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Với
a c
:
3 3
3 3
1 1
a c x y
ab c
b x y
-
Với
1ac
:
3 3
2
3 3
1 1 1
3 3
9 9
a x y
c
b c
x y
-
Câu 25 : Gi
ải HPT :
2 2
3 3
2
14 2 2
9
2 2
xy y
x y
x y x y
x y x y
-
-
-
æ ö
æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Đặt
2
2
x y
a
x y
b
-
3 3
( 9 0; , 0)
a b a b a b
2 2
2 2
a b x
a b y
-
. Khi
đó
hệ trở thành :
2 2 2 2
2 2
3 3
2( )( ) ( )2
14
9
a b a b a b ab
a b
a b
-
-
3 3
3 3
( ) 2( )
14 0
9
a b a b
a
b
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
112
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 3
3 3
7
9
a b
a b
-
3
3
8 2 8
1 2
1
a a x y
b
x y
b
-
Câu 26 : Gi
ải HPT :
2 2
3
1 1 2
72
29 4
x y
xy
x y
x y
-
-
Đặt
2
2
a b
x
a b
y
-
. Hệ
trở thành :
2
2 2
3
2 2
2 2
3
3
8
( 2) 21 1 2
2 2
9 112 128 0
18( )
18(
)
29 4
2
29 4
a b a b
a b
a b a
b b
a b
a b
ab
a
ab
b
b
-
- -
- -
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
113
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
4
4
... ...; .
..
3
8
3
b
b a x y
b
-
-
Câu 26 : Gi
ải HPT :
2 2 2
2 2 2
2 4 7
2 6 3
x y y xy
x y y xy
Dễ thấy
0y
không ph
ải nghiệm của hệ . Khi đó h tương đương :
2
2
2
2
2
7 4
2 3
2 0
2 0
2
2
2 3 0
2 3 0
x
x
x
x
y y
y y
x
x
x
x
y y
y y
æ ö
-
- -
ç ÷
è ø
æ ö æ ö
æ ö æ ö
-
-
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è
ø
è ø è ø
Đặt
2
2
2
3 2 0
( )( 3) 0
3 2 0
x a
a
b
y
a b a b
x
b a
b
y
-
-
- -
Với
2
1 1
0 3 2 0
2 2
a b
a b a
a
a b
-
-
Với
2
3 3 11
0
a b a a- -
(Loại
)
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
114
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 27 : Gi
ải HPT :
2 2
3 2 2
3 1
1
x xy y y
x x y x x
-
-
Dễ thấy
0x
không ph
ải nghiệm của hệ .
2 2
.(1) (
2) 0 3 1 0
x x xy
xy
-
-
(3)
Lấy
(3) (
1)
-
ta được :
2 2
4 3 0
xy y x
y y
- -
Xét thấ
y
1x
không
phải nghiệm của hệ
0
4 3
1
y
x
y
x
-
-
Với
0y
thay vào không thỏa mãn hệ .
Với
4 3
1
x
y
x
-
-
thay vào (2) ta được :
2 2
5 1 5 5
2 2
( 1) 0
5 1 5 5
2 2
x y
x x
x y
- -
-
- -
Câu 28 : Gi
ải HPT :
2 2
( 3) 2
4 0
( )( 4)
1
x y x y y
x y x y
-
-
(1) ( 1)( 4 ) 0 4
PT x y x y x y x y x y
- - - -
Thế
4
x y x y - - -
vào PT(2) ta
được :
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
115
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
2 3
2
( )( ) 1
(
1) ( ) 1 0
1
( 1)( )
0
1
x y x x
y x y y
x x y x y
x y x y
x y x
x y
- - - -
- - - -
- -
- -
-
Ta được hệ mới :
1
1
2
4
x y
x
y
x y x
y
-
-
-
- -
Câu 29 : Gi
ải HPT :
2
3 2
2 0
3 2 1(
2) 4
x xy y
x xy y x x y
Thế
2
2x y xy -
vào PT
(2) ta được :
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2 2 1 2 1 2 4 0
( 1 1)
( 2 1) 0
1 1
2 1
( 1) 1
2 1
2 3
2 1
2 1
x y x y x y y x y
x y x y y
x y
x y y
x y
x y y
x y x
x y y
x y xy
- - - -
-
-
-
-
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
116
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Dễ thấy
0x
không phả
i nghim của h
2
1 1
2
y x
x x
-
-
1 1
5 1 2
2
5 1
5 1 2
2
1 5
x y
x y
x y
-
-
-
-
Đối chiếu đ
iều kiện
5 1 2
( ; ) ( 1
;1);( ; )
2
5 1
x y
-
-
Câu 30 : Giải HPT :
2 2
(2 1) (6 ) 2
3 4 7 72
x x y x y x
x xy y
- - - -
- - -
, 2 0
x y x
-
PT(1)
6 ( ) 6 (
8 4 )
8 4
x y x
x y x
- - -
-
Xét hàm
số
2
2
6 6
( ) '( ) 1
0
t
f t f t
t t
- -
-
suy ra hà
m số nghịch biến
( ) ( 8 4
) 8 4 8 5
f x y f x
x y x y x
-
- -
Thế vào PT(2) gi
ải PT bậc 2 cơ bản.
Xét thấy
x 2 2 - x 0 x y 0 y -2
không thỏa PT(2)
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
117
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Câu 31 : Gi
ải HPT :
2 2
3 3 2
2 2
2 3
2( ) 6 3( ) 5
x y x
x y
x x y
Ta có
3 2 2 2
2
2 .(1
) (2) 2 2 2 3( ) 5 6
x y xy
x x y x
- -
-
2
(2 2 3
) ( 1)( 5)
y y x x
x
- -
- -
2 2
3 2 (1 )(3 ) ( 1)( 3)(2 2 3) ( 1)(5 )y x x x x x x y x x x - - - - - - - -
Với
1 0x y
Với
2
5 3 4 7
( 3)(
2 2 3) (5 )
2( 3) 2
3
x x x
x y
x x y x
x x
-
- -
-
Thế vào PT(1) ta được :
2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
4 7
2 3
3
( 2 )( 3) ( 4 7) 3( 3)
( 1) ( 6 11) 0
1 2
x x
x x
x
x x x x x x
x x x
x y
æ ö
ç ÷
è ø
-
Câu 32 : Gi
ải HPT :
2
2
3 0
( 3) 1 2 2
x xy x
y x x x y y
Lấy
2 2
(1) (
2) 2 3 2 2 0
x y x y
y
- -
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
118
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2 2
( 2 )(
2 3 ) 0
x y x y
-
2
2
y x
Thế vào PT(1) ta được :
3 2
3 3 0 1 3x x x x y -
Câu 33
:
Giải
HPT :
2 2
2 2
2 2
2
1
( )(1
) 5
( 1) 2
x y
x y
xy
x y
- -
2 2
2 2
2 2
1 1
( ) ( )
5
( 1)(
1) 2
1 1
( ) ( )
5
1 1
( )(
) 2
x y
x y
x y xy
x y
x y
x y
x
y
-
-
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
119
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Đặt
2 2
2
1
2
1
1
5
1
2
1
2
1
2
b
a
b
x a
a
a b
x
ab
b
y b
y
a
b
a
-
-
-
-
-
Xét từ
ng TH giải
,x y
đơn giả
n .
Câu 34: Giả
i HPT :
2 2
2 2
( 1) ( 1) 9 0
( 1)( 1) 10 0
x y xy
x y xy
1 1
( 2 )(
2 ) 9
1 1
( )(
) 10
x y
x y
x y
x y
-
-
Đặt
2
1
5
( 2)( 2)
9 3
1
10 10
5
2
b
x a
a
a b a b
x
ab ab
b
y
b
y
a
-
-
-
- -
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
120
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Do vai trò của
,x y
là như nhau nên ta xét 1 TH của cặp
,a b
rồi hoán đổi lại.
Câu 35 : Gi
ải HPT :
2 2 2
2 2 2
( ) 7 2
1 2
2 7 ( )
2 1 3
x y x y
y xy y
x x x y
y xy x
-
Ta thấ
y
0
0
x
y
thỏa mãn là một
cặp nghiệm của h
Xét
2 2
0
x y
Dùng đ
nh thức ta có :
2 2
2 2
2 2
2 ( )
( )
x
y
D x y
D y x y
D x x y
-
2
2 0
x
y
D
x y
D
x x x
y
D
y x
D
-
-
(Loại
)
Kết hợp
( ; ) (
0;0)
x y
nghiệm duy nhất
Câu 36 : Gi
ải HPT :
( ) 2 5
4 3 1
( 2 ) 2
5 6 7 6
x y xy
xy y
x y xy
xy x y
-
- -
Xét hệ
mới :
2.(1) (2)
3.(1) 2.
(2)
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
121
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3 (2 5
) 2 5
( ) 2 5
5 2 15
x y xy
x xy
x y xy y x
- - -
-
- -
3 (2 5
) 2 5
( 3)( 2 5 5) 3( 2 5)
(2 5 2
5)( 2 5 5) 3( 2 5)
( 2 5)
(2 5 5 2 5 3) 0
2 5
2 5 5 2 5 3 0
x y xy x xy
x y xy x xy
xy x xy xy x xy
x xy xy xy
x xy
xy xy
- - - -
- - -
-
-
-
2 5 5 2
5 3 0
xy xy
2
5
2 5
2
x
x xy x
y
-
.Thế vào PT(1) ta được
2 2
2 2
5 3( 5
)
2( 5) 1
2 2
x x
x x
x
- -
- -
3 2
3 13 15 0
3( )
5 2
1
2
x x x
x L
x y
x y
- -
-
-
Câu 37 : Gi
ải HPT :
2
3 2 2
6 1 0
8 0
y x xy
y
xy x y x y
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
122
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Lấy
2 2
(1) (
2) ( 1) (3 1)
xy y x
y
- -
-
Lại có
2
( 1) 2
(3 1)
xy x y
y
-
-
2
,( 1)
xy y x
-
là 2 n
ghiệm của PT
2 2
2(3 1) (3 1) 0 3 1X y X y X y- - - -
2
3 1
1 3 1
xy y
x y y
-
- -
Thấy
0y
không ph
ải nghiệm của hệ.
Thế
3 1y
x
y
-
vào PT(2)
ta được :
2 3 2
3 1
3 3 3 1
0 1 4
y
y y y y
y y x
y
-
-
- -
Câu 38 : Gi
ải HPT :
2 2
2 2
3
3 8
3
3 7
x y
x y
x y
x y
x y
x y
-
-
-
-
Đặt
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 8 2
( 1) ( 1) 8
2 2 7 2 ( 1) ( 1) 7
x y a b
a a b a b ab a b b a ab
x y b
a b ab b a ab b a a b ab
-
(
0ab
)
2 2
2 2
2 2
2 ( 1)
( 1) 8
2 ( 1)
3 ( 1)
2 ( 1)
( 1) 7
a b b a
a b b a
b a a b
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
123
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Mà có
2 2
3 ( 1)
3 ( 1) 15
a b b a
ab
2 2
3 5
2
5 ( 1)
15 3 1 0
3 5
2
b
a b ab b b
b
-
-
Với
2
2
3 5 1
1 2 . 2
1
2 3
b
b a a a
a
b
1
3 5
2
x y
x y
-
Với
2
2
3 5 1
1 2 . 2 1
2 3
b
b a a a a
b
-
1
3 5
2
x y
x y
-
-
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
124
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
THẦY QUANG B
ABY
Bài
1 :
2
2 3 2 2
5 2( 2) 2 2
x x x x
x x
- - -
- -
Bài
2 :
3 2
2 5 2(
2) 2 2 7 24 29
x x x x
x x x
- - -
- -
Bài
3 :
2 2
5 2 5 (
1) 3 3 32 114 99(1)
x x x x
x x - - -
BÀI 2
:
2
2 5 6 7
11 4 9
x x x x
, Điều kiện :
6
5
x
-
Bước 1 , dò n
ghiệm ta được 2 nghiệm : x = 2 , x = -1 .
2
2
2
2 5 6 7 11 4 9
2( 2) 2 5
6 3 7 11 0
1 1
( 2) 2 0
2 5 6 3
11 7
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
- - -
- - -
- - - -
Bước 2 , ta c
hứng minh biểu thc trong ngoặc luôn dương
Ta đặt :
1 1
( ) 2
2 5 6 3
11 7
f x
x x x
x
- -
Chứng minh
( ) 0
f x
, bằ
ng việc sử dụng casio , chức năng Table như sau :
Nhập mode , 7 ,
1
( )
2 5 6
g x
x x
, start
-6/5 , end 5 , step 0,2 thấy g(x) lớn hơn 1,25 , vậy ta tách
biểu thức
5 1
0
4
2 5 6x x
-
, còn lại
ta có
3 1
4
3 11 7
x x
-
Việc còn lại các em biến đổi tương đương thôi .
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP
ĐÁNH GIÁ PH
ẦN SAU BẰNG CASIO
Tất cả vì h
ọc sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
125
CÁC EM HỌC
TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Bước
3 : Kết luận
:
2 2
1 1
( 2) 2 0 2
0
2 5 6 3 1
1 7
x x x x
x x x x
- - - - -
-
Nghiệm :
1.25 1
x
- -
hoặc
2
x
Video hư
ớng dẫn : https://www.youtube.com/watch?v=fGcVf77I-9g
Giải bài 3
: Điều k
iện :
1
2.5 1
x
x
- -
( ) ( )
'( ) '(
)
f x g x
f x g x
xét tại
điểm có x = - 2 ta có hệ :
2 1
1
a b
a
-
Vậy ta
được liên hợp :
2 5 ( 3)
x x
-
, làm
hoàn toàn tương tự ta sẽ có :
2
3 3 (2 1
)
x x
-
2 2
2 2
2
2
(1) 5 (
2 5 3) ( 1)( 3 3 2 1) 25( 4 4)
5 1
( 4 4) 25
0 ( 2) . ( ) 0
2 5 3
3 3 2
1
5 5
( ) 25
2 5 3
3 3 2 1
x x x x x x x x
x x
x x x f x
x x
x x
x x
f x
x x
x x
- - - - -
-
-
- -
-
-
- - -
BƯỚC 2
: XỬ LÝ BIỂU THỨC TRONG NGOẶC :
CHÚNG TA GIẢI MỘT BPT CŨNG GIỐNG NHƯ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH , GỒM CÁC BƯỚC SAU :
Bước
1 : Casio ta tìm được nghiệm kép , các em bấm Shift + Cal thì sẽ thầy Eror , nhưng thực tế không
phải là vô nghiệm , các e thử nhật : Mode , 7 , f(x) = VT – VP , Start -2,5 , end -1 , step 0,2 . Các em sẽ thấy x
= -2 thì f(x) = 0 và không đổi dấu , vậy ta sẽ có f(x) = 0 có nghiệm kép
BƯỚC 1: DÒ NGHIỆM : Dùng casio phát hiện ra nghiệm kép (qua chức năng Table ) : x = -2
Tiếp đến chúng ta tạo lien hợp cho các căn :
2x 5 ax b
: sử dụng điều kiện để 2 đường tiếp xúc :
Tất cả vì
học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
126
CÁC EM HỌ
C TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
Xét :
2
5 1
( ) 25
2 5 3
3 3 2 1
x x
f x
x x
x x
-
-
- - -
, ta chứ
ng minh nó luôn dương với mọi x thuộc tập
xác định
+)Đầu tiên ta khẳng định rằng :
1x
thì
( ) 0
f x
, chỗ
này em cứ dung table , mode 7 , star 1 , end 100 ,
step 10 xem , sẽ thầy
+)Xét
2.5 1
x
- -
,dung chức năng table ta thấy
2
5 1
( ) 25 0
2 5 3
3 3
2 1
x x
f x
x x
x x
-
-
- -
-
(bấm mod
e 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step
0,2)
Chọn riêng m
2
1
( )
3 3 2 1
x
g x
x x
-
-
- - -
(bấm mod
e 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 0,2) thì ta
thấy
( ) 25
g x
-
, vậ
y ta sẽ
5
25 0
2 5 3
x
x x
,
i này các em dễ chứng minh bằng biến đổi
tương đương .
Vậy trên tập xác định thì
( ) 0
f x
, vậy
2
(1) (
2) 0 2
x x
-
Đáp sô : x = -2

Preview text:

Tất cả vì học sinh thân yêu
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 1
Tất cả vì học sinh thân yêu
GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 10 6 5 4
x  2x y  2x y
Bài 1: Giải hệ phương trình 
( x, y   ) 2
x  5  2 y  1  6  Bài giải: 1
Điều kiện: 2 y 1  0  y  - 2
- Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại) 5 æ y ö æ y ö -
Xét x  0 , chia 2 vế của pt đầu cho 5 x  0 , ta được 5 x  2x   2 ç ÷ ç ÷ (1) è x ø è x ø
Xét hàm số f t  5
t  2t, t    . Ta có ' f t  4
 5t  2  0, t    . y
Vậy hàm số f t  5
t  2t đồng biến trên  . Do đó (1) 2  x
y x . Thay vào pt thứ x 2 của hệ ta được:
y  5  2 y 1  6 (2) 1
Xét hàm số g( y) 
y  5  2 y 1, y   - . 2 1 1 1 æ 1 ö Ta có ' g ( y)    0, y   -
. Vậy g(y) đồng biến trên khoảng - ;  ç ÷ . 2 y  5 2 y 1 2 è 2 ø
Mà g(4)=6 nên (2)  y  4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 2
Tất cả vì học sinh thân yêu x  2 x  -2 Suy ra 2
y x  4   hoặc  y  4  y  4  3 2
xy(x  1)  x y x - y   1
Bài 2: Giải hệ phương trình  3y   2
2  9x  3   4y  2 2
1  x x   1  02  Bài giải: y x
Biến đổi PT (1)   x - y 2 x - y   1  0   2 y x  1 
x = y thế vào PT (2) ta được: 3x 2
2  9x  3  4x  2 2
1  x x   1  0  2x   1 2x    2 1  3  2 ( 3 - x) 2 2  ( 3 - x)  3 
f 2x   1  f  3 - x
Xét f t t  2 ( )
t  3  2 có f '(t)  0, t  . 1 1
f là hàm số đồng biến nên: 2x  1  - 3x x  -  y  - 5 5  2
y x  1 thế vào (2) 2 x   2  x     2 x    2 3( 1) 2 9 3 4 1 2
1  x x   1  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 3
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm. æ 1 1 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: - ;- . ç ÷ è 5 5 ø 3 3
x y  3(x y)  6 y( y - 2) 14    1
Bài 3: Giải hệ phương trình sau .  3 2 3
27x  27x  20x  4  4. y  2x -1  2  Bài giải: Phương trình (1) 3  x  3 3
x  - y  6 2 y -15 y  14
x3  3x  2 - y3   3 2 - y Xét hàm số: f t
( )  t 3  t 3 liên tục trên R.
Ta có f '(t)  3 2
t  3  0 với  t
  R  hàm số đồng biến trên R.
pt : f (x)  f (2 - y)  x  2 - y y  2 - x
Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta được. 3 2
27 x  2x  20x  4  4 1  x  3x  3 3 3 1  4 3 ( x  )
1  x  1  4 x  1 Xét hàm số: g t
( )  t 3  t 4 liên tục trên R.
Ta có g'(t)  3 2
t  4  0  hàm số đồng biến trên R. Suy ra: g 3 ( x  )
1  g(3 x  1)  3x  1 3  x  1  27 3 x  27 2
x  9x  1  x  1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 4
Tất cả vì học sinh thân yêu
x  0  y  2  27 3 x  27 2
x  8x  0   2
27x  27x  8  ( 0 vn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)
x 1  (x 1)( y - 2)  x  5  2 y y - 2 
Bài 4: Giải hệ phương trình  -   x, ( 8)( 1) y x y     ( y - 2) x 1 - 3 2    x - 4x  7 Bài giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt ta được phương trình: Từ phương trình ta có thay vào phương trình ta
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 5
Tất cả vì học sinh thân yêu được
Tiếp tục giải phương trình Xét hàm số
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 6
Tất cả vì học sinh thân yêu Do đó hàm số đồng biến trên Từ Giải phương trình +) Với +) Với
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  2
x x  4   2 y y 1  2  1
Bài 5 : Giải hệ phương trình  ( ; x y  ) . 2 3 3 12 
y -10 y  2  2 x 12  Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 7
Tất cả vì học sinh thân yêu Ta có: 2 2 (1)  x x  4 
(-2 y)  4  (-2 y) (*) . 2 t t t  4 t t Xét hàm số đặc trưng 2
f (t)  t  4  t f '(t)  1    0. 2 2 2 t  4 t  4 t  4
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: f (x)  f (-2 y)  x  -2 y .
Thay vào phương trình (2) ta được: 2 3 3
3x  5x  2  2 x 1   x  3 1  2  x   1   3 x   3 3 1  2 x 1 (**) Xét hàm số 3
g(t)  t  2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra x  0 3 3 1 x 1  x 1  
. Vậy hệ có hai nghiệm là ( 1 - ; ); (0;0) . x  -1  2  3  y  2 2
1  y y  1  x    1 
Bài 6: Giải hệ phương trình: 2  (x, y  ) 2
x x - 2x  5  1 2 2x - 4y  2 2  Bài giải:
Đk: 2x - 4 y  2  0
Ta có:    x - y    y   y2 2 1 2 4 2 1
thế vào PT (2) ta được
x -    x -   
y   y2 2 2 1 1 4 2 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 8
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x -1 æ x -1 ö 2   1  y y 1 (*) ç ÷ (vì 2
y 1  y y y  0 ) 2 è 2 ø
Xét hàm số f t  2
t t 1 trên  2 t t 1  t
f 't   1   0, t    , do 2
t 1  t t t  0, t    2 2 t 1 t 1 æ x -1 ö
f t  đồng biến trên  , theo (*) ta có ff ç ÷  y è 2 ø
x  2 y 1
Với x  2 y 1 thay vào (1) ta có:
y 1 y2 3 5 2 2 2  4 
y 1  y  2 
y 1  2 - y y   x  4 2 æ 5 3 ö Vậy hệ có nghiệm  ; x y   ; ç ÷ è 2 4 ø
2 x - 2. y  2 
y  8 x y  4x
Bài 7: Giải hệ phương trình  .
xy  2x -11  12 - x y  7 - 3x  0  Bài giải: 7
Điều kiện 2  x  , y  0 3 Ta có 4x - 8  y 2 x - 2. y  4(x - 2) y
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 9
Tất cả vì học sinh thân yêu 4x y  8
2  y  8 x   y  8 4x
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8 2
Suy ra 2 x - 2. y  2  y  8 x y  4x . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8
Như vậy, pt(1)  y = 4x – 8. Thế vào pt(2) ta có: 2
4x - 6x -11 4  3x  7 - 3x  0  4 2
x - x - 3   4  3x - x - 
1   7 - 3x - x  2  0  2 x - x - 3  2 x - x - 3 æ  7  ö 2 
 4 x - x - 3 - -  0 do x  2; ç   ÷
4  3x x 1 7 - 3x x - 2 è  3  ø   1 1 2 
x - x - 3 4 - -  0   
4  3x x 1
7 - 3x x - 2  2
x - x - 3  0 ( )    1 1    4 (3)
 4  3x x 1 7 - 3x x - 2 1 13 1- 13 + 2 pt( )
  x - x - 3  0  x   x  2 2 1 13
Đối chiếu điều kiện ta có x  2 æ 1 13 ö Hệ có nghiệm ç ; 2 13 - 6 ÷ 2 è ø + Xét pt(3)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10
Tất cả vì học sinh thân yêu  7  1 1 x   2; 
4  3x x  1  3  10  6     3 
4  3x x 1 6  7 ö Xét hàm số x   2; : g(x)  7 - 3x x - 2  ÷  3 ø 3 2 7 - 3x - 3  g '(x)  - 1   0 2 7 - 3x 2 7 - 3x æ 7 ö 1 1
g(x)  g    3 ç ÷ . Do đó, è 3 ø 3 7 - 3x x - 2  7  1 1 1 x   2;  :  
 3  4 hay pt(3) vô nghiệm 3   
4  3x x 1 7 - 3x x - 2 6 æ 1 13 ö
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất ç ; 2 13 - 6 ÷ 2 è ø 3 2 3
2x - 4x  3x -1  2x 2 - y 3 - 2y   1 
Bài 8: Giải hệ phương trình  3
x  2  14 - x 3 - 2 y 1 2  Bài giải:
Ta thấy x  0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3 x ta được 4 3 1   1  2 -  -  2 2 - y 3 - 2 y 2 3   x x x 3 æ 1 ö æ 1 ö  1-  1-  ç ÷ ç ÷
3 - 2 y 3 - 2y  3 - 2y * è x ø è x ø Xét hàm   3
f t t t luôn đồng biến trên 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 11
Tất cả vì học sinh thân yêu 1
*  1-  3 - 2y 3 x
Thế (3) vào (2) ta được 3 3
x  2  15 - x 1 
x  2 - 3  2 - 15 - x  0 æ ö ç ÷ ç 1 1  ÷  x - 7   0 ç ÷ x  2  3 4 - 2 x 15  ç  x 152 3 3 ÷ ç    ÷ è 0 ø æ 111 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm  ; x y   7; . ç ÷ è 98 ø
2 x y  6  1- y (1) 
Bài 9: Giải hệ phương trình  2 9 
1 x xy 9  y  0 (2)  Bài giải:
x y  6  0 Đk: x  -1 
+) Nếu y  0 , để hệ có nghiệm thì 1  y  0 .
VT (1)  2 x y  6  2 5  
  VT (1)  VP(1) hệ vô nghiệm.
VP(1)  1 - y  1  
+) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0 2 æ 3 ö æ 3 ö
9 1  x xy 9  y  0  9   ç ÷ ç ÷
- y 9  - y2 2 (3) è x ø è x ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 12
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 9  2t Xét hàm số 2
f (t)  t 9  t ,t  0; f '(t)   0 t   0 2 9  t æ 3 ö 3 9 (3)  ff (- y) 
 - y x  ç ÷ 2 è x ø x y 9 9
Thế vào pt(1) ta có phương trình 2
y  6  1- y (4). Hàm số g( y)  2  y  6 đồng 2 y 2 y biến trên - ;
 0 ; hàm số h(y) = 1 – y nghịch biến trên - ;
 0 và phương trình có ngiệm y = –3
nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = –3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1; –3). 2 2
y -1  2y 1  x x xy  3y   1 
Bài 10: Giải hệ phương trình :  2 2
x y  3 
y - 3x  7 2  Bài giải: Đk: 2
y  1, x  0, y  3x æ 1 ö
Từ pt (2) ta có :  y - x -  1 ç
 2 y -1 x ÷  0 ç y 1 x ÷ -  è ø Suy ra, y = x + 1 Thay vào pt (1) ta được 2 2
x x 1 - x - x 1  7 - 3 Xét hàm số: 2 2 f (x) 
x x 1 - x - x 1
Chứng minh hàm số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 13
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vậy nghiệm của hệ là (2;3)
x  3  xy x  3y  3  x 1  2 y y 1  1 
Bài 11: Giải hệ phương trình: x-3   y   1   y -  1  2
x - 2x  3 x 1 - 22  Bài giải: Pt(1) 
x  3   x  3 y  
1  x - 2 y 1  y 1 a x  3  a b Đặt 
a,b  0,(1) trở thành: 2 2
a - 2b ab a - b  0   b   y 1
a  2b 1  0  
+ a  2b 1  0 vô nghiệm do a, b  0
+ Xét a = b  y x  2 thay vào (2) ta được:
x -  x     x   2 3 3
1 x - 2x  3 x 1 - 2 x - 3
  x - 3 x  3   x   1  2
x - 2x  3. x 1 2
x  3  y  5(tm)  
 x  3  x 1  2   x   1  2 x - 2x  3  *  2 2   (*)
x 1 2  x 1 2 x 1 2    x  1 2       -  -         
Xét hàm số f t   t   2
2 t  2 , t  0 f 't  0 t   
Suy ra f t đồng biến mà f x 1  f x -  1  x 1  x -1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 14
Tất cả vì học sinh thân yêu x  1  
x  3  y  5 2 x - 3x  0 
Vậy hpt có nghiệm: 3;5 x - 
x - x -   y 2 8 2 1 2 2 1
y - 2 y  4  1
Bài 12: Giải hệ phương trình: 
4xy  2  y  2 y  2x  5y 12x - 62  Bài giải:  1 x   ĐK:  2
. Từ pt (1)  dể pt có nghiệm thì y  0 
y  2y  2x  0  3 2 PT     x -  -  x -    x -  3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 4 2 2
1  y - 2y  4y (*)
Xét hàm số f t 3 2
t - 2t  4tt  0 có f t  t - t   t  t - 2 2 2 3 4 4 2 2  0 t   0 nên f(t) luôn đồng biến
Từ pt (*)  f 2 2x -1  f y  2 2x -1  y
Thay vào pt ( 2 ) ta được pt 3
y  2 y  2 y  2  3y y  2 
y  -2z loaïi 3 3 2 2 2   Đặt z
y  2 ta được pt y  2z  3yz  y - zy yz - 2z   0  y   zt / m
Với y = z ta được y
y  2  y  2  x  1 (t / m)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 15
Tất cả vì học sinh thân yêu
xx - y   x  2 x - y 3 2 2 2 2  
Bài 13: Giải hệ phương trình:  x, y   3 2 3 x  2 y   2 x - y  2 2  
x y  2 1  x     x 2x 1 Bài giải: ĐK: 2 x y  0 Từ PT(1) tìm được 2 2 2 x
x - y x x - y
Thế vào (2) đưa về pt chỉ có ẩn x 3 æ 1 ö 1 2 2 Đưa được về hàm 3 ç 1 ÷  1  1  1 ç x ÷ x x x è ø 1 2 Xét hàm   3
f t t t đồng biến trên  từ đó được pt 3 1  1 giải được x x 5 1 5 -1 x  -  L, x   N  2 2 æ 5 -1 ö Nghiệm ;  5 - 2 ç ÷ 2 è ø  2 2 
x 1 - 3x y  2   2 4 y 1   2 3 1  8x y   1
Bài 14: Giải hệ phương trình  2
x y - x  2  0 2  Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 16
Tất cả vì học sinh thân yêu
+) Với y  0 thì VT   1  0,VP  
1  0  Hệ phương trình chỉ có nghiệm (x;y) với y  0
+) vì y  0 nên từ phương trình (2) của hệ suy ra x  2 Khi đó:   2 2 2 
x  - x y   x y  2 1 1 3 2 2 4 y 1 -  1 2 2 2 2 
x 1  2  2x y 4 y 1  x y 3 Thay 2
2  x - x y vào phương trình (3) ta được: 2 2 2 2
x 1  x  2x y 4 y 1  2x y 1 1 1 2  1 
 2 y 4 y 1  2 y 2 x x x
+) xét hàm số: f t  2
t 1 t t với t  0 2 t f 't  2  1 t
1  0 với mọi t  0 2 1 t æ 1 ö 1 1
 f(t) là hàm đồng biến trên 0;  . Mà f
f 2 y 
 2 y xy  ç ÷ è 2 ø x 2 1 1 +) Thay xy
vào phương trình (2) của hệ ta có: x  4  y  2 8 x  4  Thử lại thấy 
1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho. y    8 æ 1 ö
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  ; x y   4; ç ÷ è 8 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 17
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài 15: 3 2 2
y  3y y  4x - 22x  21   2x   1 2x -1   1
Giải hệ phương trình 
x, y   2
2x -11x  9  2 y  2  Bài giải:
Điều kiện: x  1/ 2  *
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được: 3 2
y y y    x   3 2 3 3 2 1
2x -1 - 4 y y  3y  5 y  3  2x   1 2x -1 3 2
y  3y  3y 1 2 y  2  2x -1 2 2x -1 3   y  3 1  2  y  
1   2x -1  2 2x -1 3
Xét hàm số: t  3 f
t  2t với t   Ta có: t  2 f
 3t  2  0 với t
    f t  đồng biến trên 
Do đó: 3  f  y  
1  f  2x -1  y 1  2x -1  y  2x -1 -1 Thay vào (2) ta được: 2 2
2x -11x  9  2 2x -1 - 2  2 2x -1  2x -11x 11 2
2x -11x 11  0 **    2 4 2x -  1   2 2x -11x   11 4    4 2 3 2
4  8x - 4  4x 121x 121- 44x  44x - 242x 4 3 2  x - x x - x     x -  3 2 4 44 165 250 125 0
1 4x - 40x 125x -125  0
  x -  x -  2 1
5 4x - 20x  25  0 x  1 tm*,*  *  
x  1  y  0
 x  5 tm*,*  * 
 x  5  y  2  
x  5 / 2 ktm   * , ** 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 18
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là  ; x y    1;0,5;2 4 2 2 2 3 2 2
x x y - y y x y x
Bài 16: Giải hệ phương trình:  x, y   3 2   2 y - 5 - 2x -1  Bài giải: 5 Điều kiện: x  2 Phương trình (1)   2 x - - y  2 2 1
x y   0  x y  0 hoặc 2 x y 1
Trường hợp x y  0 thế vào (2) không thoả mãn. Trường hợp 2
x y 1 thế vào (2): 3
2 y - 3 - 2 y -1  0 (3) æ 3 
Xét hàm f t  3
 2t - 3 - 2t -1;t  -; ; ma` f ç   1  0 2  è 
Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất: y  1 . Với 2
y  1  x  2  x   2 (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  2;1;- 2  ;1 2 2  2x x
x  2  2 y y  2 y 1
Bài 17: Giải hệ phương trình:  . 2 2 
x  2 y - 2x y - 2  0  Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 19
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 Điều kiện: x  2 - , y  - 2
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 2
x  -2 y  2x - y  2
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được 2 2 2 x  ( 2
- y  2x - y  2)  x x  2  2 y y  2 y 1 2 2
x  3x  2  x  2  4 y  2 y  2 y 1 2 2
 (x 1)  (x 1)  (x 1) 1  (2 y)  2 y  2 y 1 (1) Xét hàm số 2
f (t)  t t t 1 với t  1 - . 1 1 3
Ta có f '(t)  2t 1
; f ' (t)  2 -
; f ' (t)  0  t  - 2 t 1 4 t  3 4 1 æ 3 ö 1
Suy ra f '(t)  f '   0 ç ÷ với mọi t  1
- ;  . Do đó hàm f(t) đồng biến trên [-1; ) . è 4 ø 2
Suy ra phương trình (1)  f (x 1)  f(2 y)  x 1  2 y x  2 y -1.
Thế vào pt thứ hai của hệ, ta  y  1 được 2y 2 2 2 1 2 y 2(2 y 1) y 2 0 6 y 7 y 1 0  -  - -  -   -    1  y   6 æ 2 1 ö
Suy ra nghiệm (x;y) của hệ là (1;1), - ; ç ÷ . è 3 6 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 20
Tất cả vì học sinh thân yêu  2   x x  4  2 y y 1  2
Bài 18: Giải hệ phương trình :  2 3 3 12 
y -10 y  2  2 x 1  Bài giải:
Phương trình đầu ên của hệ tương đương với: x x   - y2 2 4 2  4  -2 y
f x  f  2
- y với y f t  2
t  4  t 2 t t  4  t t t
Ta có f 't   1    0, t
  f t  là hàm số đồng biết trên R. 2 2 2 t  4 t  4 t  4
Từ đó f x  f  2
- y  x  2 - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 21
Tất cả vì học sinh thân yêu
Thế x  -2 y vào phương trình sau của hệ phương trình đã cho ta được: 2 3 3
3x  5x  2  2 x 1   x  3 1  2  x   1   3 x   3 3 1  2
x 1 với y g t  3  t  2t g x   1  g  3 3 x 1
Ta có g t  2 '
 3t  2  0, t
  g t  là hàm số đồng biến trên R. Từ đó: g x   1  g  3 3 x 1 3 3  x 1  x 1 2
 3x  3x  0  x  1 -  y  2
 x  0  y  0 
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:(-1;2),(0;0)   2x  2 3
2x -1  y  3y   1
Bài 19: Giải hệ phương trình  2
y - xy  5  5x - 6 y 2  Bài giải: 1  Đk x  ,   1  2x -  1
2x -1  y  3y   2x -13 3 3
 3 2x -1  y  3y; x 2
ét hàm số f t  3 '
t t trên co f t  2 3 , ´
 3t  3  0 t
  f t  đồng
biến trên  ,pt(1) trở thành f y  f  2x -1  y  2x -1 ; 
Pt(2)   y  5 y - x   1  0  y  5 - ; y x -1;
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 22
Tất cả vì học sinh thân yêu
Với y  -5  2x -1  5 - , vô nghiệm x  1
Với y x -1  2x -1  x -1    x  2  2
2x -1   x - 2 1 
Với x  2  2  y  1 2. nghiệm của hệ là  ;
x y   2  2;1 2  3 2 
 2x y  5 - 3 - x - y x - 3x -10 y  6
Bài 20: Giải hệ phương trình:  3 2 3
x - 6x 13x y y 10  Bài giải:
Phương trình thứ 2 của hệ được biến đổi thành:
x - 3   x -  3 2
2  y y * Xét hàm số   3
f t t t là hàm số đồng biến trên R. Ta suy ra (*)  y x - 2
Thế vào phương trình đầu của hệ: 3 3
3x  3 - 5 - 2x x - 3x -10x  26   3x 3 -  3  1- 5-2x 3 2
x -3x -10x  24 x  2 3 x - 2 2 x - 2 2     x - 2 2 x - x -12  2  3 
x - x -12  1 3x 3 3 1 5 2x     - 1 5- 2x  3x 33 5
Phương trình (1) vô nghiệm vì với -1  x  thì 2 x - x -12  0. 2
Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất x  2 x  2; y  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 23
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 2 2 3
x xy - 2x y - 2 y x - 2 y  0(1) 
Bài 21: Giải hệ phương trình  3 2 3 
6 y  5  x  3x  2 y - 3(2)  Bài giải: 3 2 2 3
(1)  (x - 2x y)  (xy - 2 y )  (x - 2 y)  0 2 2
x (x - 2 y)  y (x - 2 y)  (x - 2 y)  0 2 2
 (x y 1)(x - 2 y)  0  2 y x ( Vì 2 2
x y 1  0, x  , y R ). Thay vào (2), ta có: 3 3 2
3x  5  x  3x  2 y - 3 3 3
 3x  5  3x  5  (x 1)  (x 1) (*) 3 2
Xét hàm số f (t)  t t, R f '(t)  3t 1  0, t
  R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.  1
x  1  y  3 3 3 2 
(*)  f  3x  5   f (x 1)  3x  5  x 1  x  3x - 4  0  2 .  x  2 -  y  1 -  æ 1 ö
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: 1; ç ÷ ; (-2;-1). è 2 ø 3 
y 2  x  8 2  x  10 y - 3xy 12(1)
Bài 22: Giải hệ phương trình  3 2 3  5 y
2 - x - 8  6 y xy 2 - x (2)  Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 24
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 
y 2  x  8 2  x  10 y - 3xy 12(1)  3 2 3  5 y
2 - x - 8  6 y xy 2 - x (2)  Điều kiện: x [-2;2]
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) 3 3 æ 2 ö æ 2 ö
(2)   2 - x   3 2 - x   3 ç ÷ ç ÷ (*) y y è ø è ø Xét hàm số 3
f (t)  t  3t trên R  hàm số đồng biến trên R æ ö (*)  f  - x  2 2 2  f  2 - x  ç ÷ thế vào (1) y y è ø
(1)  3y 2  x  8 2  x  10 y - 3xy 12  3 2  x  4 2  x 2 - x  10 y - 3x  6 2 - x 2
 3 2  x - 6 2 - x  4 4 - x  3x -10  0 (**) Đặt 2 2
2  x - 2 2 - x t t  10 - 3x - 4 4 - xt  0
Phương trình (**) trở thành 2
3t - t  0  t  3  6
- với t = 0: x  ; y  5 5
- với t = 3: 2  x - 2 2 - x  3 phương trình vô nghiệm, vì vế trái  2 .
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 25
Tất cả vì học sinh thân yêu  4xy  ( - 2)2xy xyxy - 3  0
Bài 23: Giải hệ phương trình  2
log (x - y)  log . x log y  0  2 2 2 Bài giải:
Điều kiện: x > y > 0
Đặt t = xy > 0, phương trính thứ nhất của hệ trở thành
4t  ( - 2)2t  - 3  0  (2t 1)(2t  - 3)  0  2t t t t
t - 3  0 , vì 2t 1  0 Vì hàm ( )  2t f t
t - 3 đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên 2t t - 3  0  t  1 . Khi đó ta có 1 xy = 1, hay y  . x
Thế vào pt thứ hai của hệ ta được: 2 æ 1 ö 1 x -1 2 2 2 log x -  log  0  log  log x 2 ç ÷ 2 2 2 è x ø x x 2 2  x -1  x -1 log  log xx  2 x 2 2  x xx -1  x       x  2  2 2 2  x -1  x -1 1 x -1  1  log  - log x   2 2 x    x x 1
Suy ra hệ của nghiệm là x  2 , y  2 Bài 24: 2 2
4x  4xy y  2x y - 2  0 
Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: 
x, y   2 8 
1- 2x y - 9  0 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 26
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải: 2 2
4x  4xy y  2x y - 2  0    1 Xét hệ phương trình:  2
8 1- 2x y - 9  0  2  1
Điều kiện: 1-2x  0  x 
. Đặt t  2x y , phương trình (1) trở thành: 2 t  1 2
t t - 2  0  t  -2 
Nếu t = 1 thì 2x y  1  1- 2x y  0 . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình 2
8 y y - 9  0 Đặt u
y  0 , phương trình trở thành: x  0 4 u u -   u -  3 2 8 9 0
1 u u u  9  0  u  1 . Khi đó hệ có nghiệm y 1 
Nếu t = -2 thì 2x y  -2  1- 2x y  3  0 . Thế vào phương trình (2) ta được phương trình  y  3 - 2
8 y  3  y - 9  0  8 y  3   y - 3 y  3  0  8y -3 y 3  0   1 x
Với y  -3 thì hệ có nghiệm  2  y  3 - 
Xét phương trình 8   y - 3 y  3  0 3 Đặt v
y  3  0 , phương trình (3) trở thành: 3
v - 6v  8  0
Xét hàm số f v 3
v - 6v  8 , ta có: f v 2 '
 3v - 6 và f 'v  0  v   2
Hàm số f v đạt cực đại tại - 2;8  4 2  , đạt cực tiểu tại  2;8 - 4 2 
f 0  8  0 và 8 - 4 2  0 nên f v  0 không có nghiệm v  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 27
Tất cả vì học sinh thân yêu  1
x  0 x
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  ;  2 y  1   y  -3  4
y -  x - 2 2 y - x - 4  0 
Bài 25: Giải hệ phương trình   ; x y   3 2
x  3x  4x  2  3 4 y y -   1  Bài giải: 3 3
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với  x  
1  x 1  2 y  2 y (1) Xét hàm số   3
f t t t với t  
Ta có f t  2 '
 3t t, f 't   0 với mọi t   . Do đó hàm f(t) đồng biến trên R. Khi đó phương trình  
1  f x  
1  f 2y  x 1  2y x  2 y -1
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4 3 2
y - 2 y  3y - 2 y - 3  0 2  y - y  1    y - y 2 1 5 2  2 2
y - y  - 3  0   y   2 y - y  -3 2  æ 1- 5 ö æ 1 5 ö
Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là ç - 5; ÷ và ç 5; ç ÷ 2 ÷ ç ÷ è ø 2 è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 28
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 x   2 4 y  
1  x 2 y  3   1
Bài 26: Giải hệ phương trình  2 2
2 y  4 y 1  x x 1 2  Bài giải:
Điều kiện: y  0 PT   2  x x  2 1 4 y  
1  2 y   3  x  0   Khi đó, PT   2 2
2  2 y  4 y 1  x x 1 3
Xét hàm f t  2
t t 1 trên 0;  t
f 't   1  0 t
  0  f t  đồng biến trên 0;  2 t 1
Khi đó, PT 3  f 2y  f x  2 y x
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 5 3
x x x x  3 Đặt t
x  0 có hàm số   10 6 3
g t t t t g t  9 5 2 '
 10t  6t  3t  0 do t  0 Mà g   1  3  t  1 
x  1  x  1 1 æ 1 ö
Với x  1  y
. Hệ phương phương trình có nghiệm duy nhất  x; y  1; ç ÷ 2 è 2 ø 3 3 2 2
x - y  5x - 2 y 10x - 3y  6  0    1
Bài 27: Giải hệ phương trình:  3 2
x  2  4 - y x y - 4x - 2 y  2  Bài giải:
Facebook cá nhân
: https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 29
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện x  -2; y  4 3 2 3 2
(1)  x  5x  10x  6  y  2 y  3y 3 2 3 2
 (x  1)  2(x  1)  3(x  1)  y  2 y  3y Xét hàm số 3 2 2
f (t)  t  2t  3t, f '(t)  3t  4t  3  0 t   R
Suy ra f (x  1)  f ( y)  y x  1 thay vào pt (2) ta được Phương trình 3 2
x  2  3 - x x x - 4x - 1 2
(x  2)(3 - x) - 2 3 2  
  x  2  3 - x  2
- 3  x x - 4x - 4 
 (x  1)(x - 4)
x  2  3 - x  3
2(x  2)(3 - x) - 4 2 
 (x  2)(x - x - 2)
x  2  3- x  3 (x  2)(3- x)  2 2
2(-x x  2) 2 
- (x  2)(x - x - 2)  0
x  2  3- x  3 (x  2)(3- x)  2   2 2 (x x 2) x 2   - -    0   x 2 3 x
3 (x 2)(3 x) 2   -   -   
 0 (vi x  -2)  x  2 2
x - x - 2  0  x  1 - 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ; x y)  (2;3), ( ; x y)  (-1;0) Bài 28:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 30
Tất cả vì học sinh thân yêu
xy x   3 2
1  x y x - y
Giải hệ phương trình Giải hệ PT  x   3y   , , y 2
2  9x  3   4y  2 2
1 x x     1  0  Bài giải: ĐKXĐ x   
Ta có xy x   3 3 3 2 2
1  x y x - y x - x y y - xy x - y  0  y x
  x - y 2 x 0 y   1  0   2 y x 1 
Với y x2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x2 12  9x2  3  4x2  6 1 x x2 1  0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2  9x2  3  4x  2 1 x x2 1  0 
  x    - x   x   2 2 3x 2 9 3 2 1 3 2 1  2  x  
x    - x    - x -   2 2 3 2 9 3 2 1 3 2 1  2 2 t
Xét hàm số f t   t  2t  2  2 ta có f 't 2  t  2  2   0 suy ra hàm số 2 t  2 đồng biến 1 æ 1 1 ö
Từ đó suy ra 3x  2
- x -1  x  - . Vậy HPT có nghiệm  ; x y   - ; - ç ÷ 5 è 5 5 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 31
Tất cả vì học sinh thân yêu
x 1   x  
1  y - 2  x  5  2 y y - 2 
Bài 29: Giải hệ phương trình: x -8 y   1   y - 2 x 1 - 3 2     x - 4x  7 Bài giải:
Điều kiện x  -1; y  2 Đặt x 1  ; a
y - 2  b a,b  2 , từ (1) ta có: 2
a ab a -    2 b   2 2 2 1 5 2
2  b a - b ab - b a - b  0
 a - b1 2a  b  0
a b (do a, b  0  1 2a  b  0 )  x 1 
y - 2  y x  3 Thế vào (2) ta được:
x -8 x  4 x - 8 x  4 x 1 x - 8   x   1  x 1 - 3         2 2 x - 4x  7 x - 4x  7 x 1  3  x  8   x  4 x 1   * 2  
 x - 4x  7 x 1  3
+ x  8  y  11;
+     x    x     x   2 * 1 3 4 1 x - 4x+7  x
 x 2  x     x 2 1 3 1 3 2 3 . 2 3       -  -  *  *        
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 32
Tất cả vì học sinh thân yêu
Xét hàm số f t   t   2
3 t  3 với t  có f t   t  2 ' 3 1  0 t    nên f(t) đồng biến trên  x  2 Do đó * 
*  f x 1  f x - 2  x 1  x - 2   2
x 1  x - 4x  4  x  2 5  13    x  T / M  2 x - 5x  3  0 2  5  13 11  13 x   y  2 2 æ 5  13 11 13 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là 8  ;11 và ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø 3 8
 x  y - 2  y y - 2 - 2x 
Bài 30: Giải hệ phương trình  y-2 -   3 1
2x+1  8x -13 y - 2  82x - 29  Bài giải:  1 2x 1  0 x  - Điều kiện:    2 y - 2  0   y  2  3  Phương trình 3 8x
y - 2  y y - 2 - 2x  2x  2x   y - 2   y - 2
Xét hàm đặc trưng: f t  3  t tt 2 , f'
 3t 1  0 t
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra: 2x y - 2 Thế 2x 
y - 2 vào phương trình thứ hai ta được:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33
Tất cả vì học sinh thân yêu  -  3 2 2x 1
2x 1  8x - 52x  82x - 29   -     -  2 2x 1 2x 1 2x 1 4x - 24x+29   -  2 -  -     -  2 2x 1 2x+1 4x 24x 29 0 2x 1
2x 1 - 4x  24x - 29  0  1
2x -1  0  x   y  3   2  2
 2x 1 - 4x  24x - 29  0  Giải phương trình: 2
2x 1 - 4x  24x - 29  0 Đặt 2 t
2x 1, t  0  2x t -1 2
Ta được phương trình: t -  2 t -    2t -  4 2 1 12
1 - 29  0  t -14t - t  42  0 t  2 t  3 - loai  
 t - t   2 t - t -  1- 29 2 3 7  0  t  loai  2  1 29 t   2 3
Với t  2  x   y  11 2 1 29 13  29 103 13 29 Với t   x   y  2 4 2 æ 1 ö æ 3 æ ö 13 29 103 1  3 29 ö
Vậy hệ phương trình đã cho có3cặp nghiệm: ;3 ; ;11 ; ç ÷ ç ÷ ç ; ÷ 2 2 ç 4 2 ÷ è ø è ø è ø 3 2 3
2x - 4x  3x -1  2x 2 - y 3- 2y   1 
Bài 31: Giải hệ phương trình  3
x  2  14 - x 3 - 2 y 1 2 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 34
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải:
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được 4 3 1   1  2 -  -  2 2 - y 3 - 2 y 2 3   x x x 3 æ 1 ö æ 1 ö  1-  1-  ç ÷ ç ÷
3 - 2 y 3 - 2y  3 - 2 y * è x ø è x ø Xét hàm   3
f t t t luôn đồng biến trên  1
*  1-  3 - 2y 3 x
Thế (3) vào (2) ta được 3 3
x  2  15 - x 1 
x  2 - 3  2 - 15 - x  0 æ ö ç ÷ ç 1 1  ÷  x - 7   0 ç x 2 3 ÷   4 - 2 x 15  ç  x 152 3 3 ÷ ç    ÷ è 0 ø æ 111 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm  ; x y  7; ç ÷ è 98 ø 3  3 2 y  2  y - 2  x  4  x
Bài 32: Giải hệ phương trình: 
  y  4 2x 12 2
- 8  x y -  2 x  2 2 x - y  Bài giải: y  2 - + Đk:  2 x y  + Từ pt thứ 2 ta có:
y   y   2
-  x y -  2 x   2 4 2 12 8 2 x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 35
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
x   y -  y   y   -  2 x   2 8 4 2 12 2 x - y  0   2 x   y -
y   y   -  2 x   2 2 8 2 4 2 12 2 2 x - y  0   y  -
y     x  - x - y 2 2 2 2 2 8 6 2  0
 2 y  8  y  6     y  -2 2 2  x  2  x - y   y  2  0 + Thay vào pt 1 ta được: 3 3 2 y  2  y - 2  x  4  x 3    - 
3     -    -  3 3 3 3 y 2 y 2 x 4 x y 2 4 y 2 x  4  x + Xét hàm số: 3 f
t t  4 t R . Ta có: t 2 3t f '  1  0, t   R ff x y -  x t   3 2 3      y-2 3  2 t  4 3  y  2  0   x  - 4 + Vậy ta sẽ có:    TM  3  y - 2  xy  2 -  
Kl: Nghiệm duy nhất của hệ là:  x y   3 : - 4; 2 -  Bài 33:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 36
Tất cả vì học sinh thân yêu x 2 x
  y  2  x   1  y    1
Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: x 1 
x, y   2 3
x -8x - 3  4x   1 y 1  Bài giải: x  1 -
Điều kiện  y  -1  3 2 3
x x x
x x x   1   1 
  y  2  x   1  y   1 
  y  2 y 1 x 1  x   1 x 1 3 æ x ö x    ç ÷  y  3 1  y 1 è x 1 ø x 1
Xét hàm số f t  3
t t trên  có f t  2 '
 3t 1  0t   suy f(t) đồng biến trên  . æ x ö x Nên f  ç ÷
f y 1  
y 1 . Thay vào (2) ta được è x 1 ø x 1 2
3x - 8x - 3  4x x 1
  x -    x x  2 2 2 1 2 1 x  1  2 x - 6x - 3  0   x  3  2 3
2 x 1  x -1      1   5 - 2 13 2 x 1  1- 3  x x    x  3    9 2  9
x -10x - 3  0  2 x Ta có: y  -1 x 1 4  3 3 5 - 2 13 41  7 13
Với x  3  2 3  y  . Với x   y  - 2 9 72
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 37
Tất cả vì học sinh thân yêu æ 4  3 3 ö
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  ;
x y   ç 3  2 3; ÷ ç 2 ÷ è ø æ 5 - 2 13 41 7 13 ö &  ; x y  ç ; - ÷ ç 9 72 ÷ è ø 2  y  4 y  5 x - y -1  ln 
Bài 34: Giải hệ phương trình 2 x  2x  2 
6 y  2 y   2 3 1
x  2  2x - y  7  Bài giải: 2  y  4 y  5 x - y -1  ln    1 Xét hệ 2 x  2x  2  (Đ/K: x  2 - )
6 y  2 y   2 3 1
x  2  2x - y  7 2 
Ta có:    x    2
x x    y    2 1 1 ln 2 2
2 ln y  4 y  5  x  
x 2    y    y  2 1 ln 1 1 2 ln 2   1 * 2t 1 t2
Xét hàm f t   t   2 ln t  
1 , t R . Ta có f 't   1 
 0t R , dấu bằng 2 2 1 t 1 t
xảy ra khi và chỉ khi t  1 -
Nên f(t) đồng biến trên R theo (*) suy ra f x  
1  f y  2  x 1  y  2  x y 1 Thay vào (2) ta được 3 2
6 x -1  2x x  2  2x - x  8 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 38
Tất cả vì học sinh thân yêu Xét 3 2
x  1  6 x -1  2x x  2  2 3  7  2x - x  8 nên (3) không có nghiệm trên   ;1 - 4  x  2 x 10x  4 3   2
Xét x  1 , khi đó 6 x -1  2x x  2  2 x -  1 1  1  x  2 2 2 x 10x  4 3 2 Mà 2
 2x - x  8 
x - 2  0. Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2. 2 2
Do đó hệ có nghiệm  ; x y  2 
;1 (thỏa mãn điều kiện)
Bài 35: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 2  3 x  3 x -1 
x(x - 3x  3) - x - 6x  6  2 y  2  y  3  2    1  2 3 3 
x -1 - x - 6x  6  y  2   1 2  Bài giải:
Thế - x2 - 6x  6  3 y  2  1 - 3 x -1 vào PT(1) ta được :
(x -1)  (x -1)3  1  3 y  2  y  2  1 2 3t Xét hàm số 3
f (t)  t t  1  f '(t)  1 
 0 suy ra hàm số đồng biến 3 2 t  1 Mà 3 3
f (x -1)  f ( y  2)  x -1 
y  2 .Thế vào PT(2) ta được : 2 3 x -1 -
x - 6x  6  x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 39
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
 3 x -1  x x - 6x  6 2 2
 9(x -1)  2x - 6x  6  2x x - 6x  6 2 2 2 2
 (15x -15 - 2x )  4x (x - 6x  6)
 (x - 5)(x -1)(4x - 5)  0  5 127 - x   y  Đối chiếu điều kiện   4 64
x  5 y  62  æ 5 127 ö
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ; - ç ÷ và (5;62) è 4 64 ø  3  y  2 2
1  y y 1  x  
Bài 36: Giải hệ phương trình: 2 
x, y    2
x x - 2x  5  1 2 2x - 4 y  2  Bài giải:
ĐK: x - 2 y 1  0   2 2
1  2 y  4 y  2  2 y y 1  2x  3 2 2 2
y  2 y y 1  y 1  2x - 4 y  2
  y y  2 2 1
 2x - 4 y  2  x -  2
1  x - 2x  5 (2) ta có:
2x - 4 y  2  2 2  x -  x - x  2 x -1 æ x -1 ö  y y 1   2 2 1 2 5 2    2 y y 1   1 ç ÷ 2 2 è 2 ø 1 Ta có: 2 y 1  y  2 y 1 - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 40
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x -1 æ x -1 2 2 ö
y 1 - y  0 
y 1  y  0 2  y y 1   1 ç ÷ 2 è 2 ø
Xét hàm f t  2
t t 1 t
f 't   1  0 t  2 t 1 æ x -1 ö
f y  f ç
÷  2 y x -1 thay vào (2) ta có: è 2 ø
x   x - 2    x - x  
x   x - 2 1 4 1 2 2 2 2 2 1  4  5   x - 2 1  4   x -  1 - 4  0
Đặt x -1  t ta có: 2
t  4  4 - t t   4 4 - t  0 t  4        3 2 2
t  4  t - 8t 16 8t  12 t    TM    2 3 3 5 3 Với t   x -1   x   y  2 2 2 4 æ 5 3 ö Vậy  ; x y  ; ç ÷ è 2 4 ø
x 1   x  
1  y - 2  x  5  2 y y - 2 
Bài 37: Giải hệ phương trình   -    x, 8 1 y x y    y - 2 x 1 - 3 2     x - 4x  7 Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 41
Tất cả vì học sinh thân yêu y  2 Đkxđ: x  1 -    1 
x 1   x  
1  y - 2  2 y - 2 -  x -  1  y - 2  x 1  a  Đặt  a,b  0  y - 2  b  2 2
a ab  2b - a b  1 b  b - ab a  b 1 b
 a - b1 b b  
1  0  a - ba  2b   1  0 a b
 a  2b 1 0 do a,b  0  a+2b+1>0 
Với a = b ta có: x 1  y - 2  y x  3 Thay vào (2) ta có:
x - 8 x 1 3  x 1 x 1-3  x- x   x  x -  2 8 4 1
1 3  x - 4x  7 2    x - 4x  7  
x   x -  2 1
8 x - 4x  7 
x    x - 2 1 2  3 
  x - 8 x  4 
x 8 x 4     -  -  0 x 1  3  x 1 3       x  8
 x 4 x 1 3 x 1x 22 3      -       x 1  a Đặt  a  0 x - 2  b
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 42
Tất cả vì học sinh thân yêu Ta có:  2
a  a    b   2 3 3 3 b  3
Xét hàm f t    2
t  3t  3 t   0
t  t t   2 2 2 2 f' 2
3  t  3  2t  6t t  3  3t  6t  3
t t   t  2 2 3 6 3 3 1  0 t  0
 f(t) đồng biến  f a  f b 2 2 
x 1  x - 2  x 1  x - 4x  4  x - 5x  3  0  5  13 x   TM  2   5- 15  x  loai  2
Vậy với x  8  y  11 5  13 11  13 Với x   y  2 2 æ 5  13 11 13 ö Kết luận:  ; x y   8;  11 ;ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø 3
2 y y  2x 1- x  3 1 - x
Bài 38: Giải hệ phương trình   , x y R 2 2 2
 9 - 4 y  2x  6 y - 7  Bài giải:  3 3 
Điều kiện: x  1; y  - ;  . Ta có 2 2   
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 43
Tất cả vì học sinh thân yêu   3
1  2 y y  2 1 - x  2x 1 - x  1 - x 3
 2 y y  2 1 - x 1 - x  1 - x
Xét hàm số f t  3
 2t t , ta có f t  2 '
 6t  1  0 t
  R suy ra f(t) đồng biến trên R. Vậy  y  0  
1  f y  f  1- x   y  1- x   2 y  1 - x  Thế vào (2) ta được: 2
4x  5  2x - 6x - 1 PT x   x - x -   x
 2   x - 2 2 2 4 5 4 12 2 4 5 1 2 2  1 x    x   x - vn 2 4 5 2 3   
 x 1 2 loai
 4x  5  1 - 2x   x  1- 2  4  y  2
Với x  1 - 2   . Vậy hệ có 2 nghiệm 4  y  - 2  4 5 10 6
x y y x x
Bài 39: Giải hệ phương trình: 4 1 x - 2 1- x -3x 1 1- yBài giải:
Điều kiện: -1  x  1, y  1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 44
Tất cả vì học sinh thân yêu
Nếu x = 0 thay vào hệ phương trình ta được  ;
x y  0;0 là một nghiệm của hệ phương trình. 5 æ y ö y Nếu x  0 , từ 4 5 10 6 5
x y y x x    x x ç ÷ è x ø x Xét f t  5
t t,t R . Ta có f t  4 '
 5t  1  0, t
  R , nên f(t) đồng biến trên R. æ y ö y
Do đó f x  f ç ÷ . Suy ra 2
x y x è x ø x
Thay y = x2 vào phương trình thứ hai ta được 2
4 1  x - 2 1 - x - 3x  1  1 - x (*)  1 x   2 2 u - v
Đặt u  1  x  0, v  1 - x  0 . Ta có  2 2 2 u   v  2  3 1
Phương trình (*) trở thành 4u - 2v -  2 2
u - v    2 2
u v   uv 2 2 2
u  v -  2 2
4 u - v  2v  0  2u - vu v - 2  0 3 9
Nếu v  2u thì 1 - x  2 1  x x  -  y  5 25
Nếu v  2 - u thì 1 - x  2 - 1  x  pt vô nghiệm æ 3 9 ö
Tóm lại phương trình có các nghiệm là  x; y  0;0; - ; ç ÷ è 5 25 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 45
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 x y   x -  2 4
5 -1  4 y - x  2 2 y
Bài 40: Giải hệ phương trình   , x y  
4 y x - 4  x  2 x -1  Bài giải: x  1 Điều kiện  . Với điều kiện đó y  0    2 2
1  x  4xy - 20 y - 1  4 y - x  2 2 y
2  4xy  16xy  2 x -1 - x . Thay vào (1) ta có x
x -   y  2 2 2 1 2 1  2 2y   1 -1
Xét hàm số u g t  2
t  2 t -1 với t 1; . Hàm số này luôn đồng biến. 2 Vì thế 2
x  2 x -1  2y   1  2 2y  
1 -1  x  2 y  1  x -1  2 y Thay vào (2) ta được
x -1  2x - 2 2 -1
2x - 9x  8  2 x -1  2 x - 2   x -1  2 2 2 1  
x -1  - 2x  2 2 -1  2 2x - 
9  2 2x 10  4 2  0 x -1  2x - 2 2 -1    2x - 2 2 -1  0  Phương trình bậc hai 2
2x - 9  2 2x 10  4 2  0 có     2 2 2 1 nên có hai nghiệm
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 46
Tất cả vì học sinh thân yêu 5  2 2 là x
x  2 . Nghiệm x 2x - 2 2 -1  0 1 2 bị loại vì 2 2 2 5 - 2 2
Hoàn toàn tương tự ta có x - 1  - 2x  2 2 -1  x  2 æ 5 - 2 2 3 - 2 2 ö æ 5  2 2 3  2 2 ö
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ç ; ÷ và ç ; ç ÷ 2 4 ÷ ç ÷ è ø 2 4 è ø 4 3 2
2x 2x - 1 - y - 3y   15y  7  2x 1  
Bài 41: Giải hệ phương trình  yy  2 2 2 
 6 - x  2x  2 y - 15x  4 y  12   2 Bài giải:
Điều kiện: 1  x  6 1  f  y 1  f  2x -1 với f t  4t3  3t . Vì f(t) đồng biến nên y  1 
2x - 1  y2  2 y  2x - 2 . Thế vào (2): x - 5 5 - x 2
x -1  6 - x  2x -11x  8   x -1 - 2   6 - x -  2
1  2x -11x  5  
  x - 52x -  1 2  x -1 1  6 - x 1 1
  x - 5 A  0 với A  2x  1 -
 0 (do x  1 )  x  5, y  2. 1  6 - x 2  x -1 3 x   2 4 y  
1  x 2 y  3 (1)
Bài 42: Giải hệ phương trình  2 2
2 y  4 y  1  x x  1 (2)  Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 47
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện: y  0 2 PTx x  2 (1) 4 y  
1  2 y   3  x  0   Khi đó, 2 2
PT (2)  2 y  4 y  1  x x  1 (3)
Xé thàm f t  2
t t  1 trên0;  t
f 't   1   0 t
  0  f t  đồng biến trên 0;  t2  1
Khi đó, PT (3)  f 2 y  f x  2 y x
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình: x5  x3  x x  3 Đặt t
x > 0 có hàm số g t   t10  t6  t3 có g't   10t9  6t5  3t2  0 dot  0
g 1  3 t  1  x  1  x  1 1 æ 1 ö
Với x  1  y
. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ; x y   1; ç ÷ 2 è 2 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 48
Tất cả vì học sinh thân yêu
xy x   3 2
1  x y x - y
Bài 43: Giải hệ PT  x y   3y   , ( , ). 2
2  9x  3   4y  2 2
1 x x   1  0  Bài giải: ĐKXĐ x   . 
Ta có xy x   3 2 3 2 2
1  x y x - y x - x y y - xy x - y  0  y x
  x - y 2 x - y   1  0   2 y x 1 
Với y x2 1 thay vào PT thứ 2 ta được
3 x2 12  9x2  3  4x2  6 1 x x2 1  0 . Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y x thay vào PT thứ 2 ta được 3x 2  9x2  3  4x  2 1 x x2 1  0
 3x 2  9x  3  -2x   1 3  2x    2 2 1  2
 3x 2  9x  3  -2x -  1 3   2 - x -   2 2 1  2 2 t
Xét hàm số f t t  2 ( ) t  2  2 ta có 2
f '(t)  t  2  2   0 suy ra hàm số 2 t  2 đồng biến.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 49
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 æ 1 1 ö
Từ đó suy ra 3x  2
- x -1  x  - . Vậy HPT có nghiệm  ; x y   - ; - . ç ÷ 5 è 5 5 ø 5 3
 2x - 5 y - 2  y( y - 4) y - 2 - 2x
Bài 44: Giải hệ phương trình:   , x y   . 3 ( 
y - 2 -1) 2x 1  8x -13( y - 2)  82x - 29  Bài giải: 1
Đặt đk x  - , y  2 2 +)  x
x y - y y -  y -  x
x   y - 5 5 2 5 (1) (2 ) 2 ( 4 ) 2 5 2 (2 ) 2 2  y - 2(3)
Xét hàm số f (t)  t5  t, f '(t)  5t 4 1  0,x R , suy ra hàm số f(t) liên tục trên R. Từ (3)
ta có f (2x)  f ( y - 2)  2x y - 2 Thay 2x
y - 2(x  0) vào (2) được 3 2
(2x -1) 2x 1  8x - 52x  82x - 29 2
 (2x -1) 2x 1  (2x -1)(4x - 24x  29)  (2x -1)  2
2x 1 - 4x  24x - 29  0  1 x   2  2
 2x 1 - 4x  24x - 29  0(4)  Với x=1/2. Ta có y=3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 50
Tất cả vì học sinh thân yêu 2x - 3 2
(4)  ( 2x 1 - 2) - (4x - 24x  27)  0 
- (2x - 3)(2x - 9)  0 2x 1  2 x  3 / 2   1  (2x - 9)  0(5)  2x 1  2 Với x=3/2. Ta có y=11 Xét (5). Đặt 2 t
2x 1  0  2x t -1. Thay vao (5) được 1 29 3 2
t  2t -10 - 21  0  (t  3)(t - t - 7)  0 . Tìm được t  . Từ đó tìm được 2 13  29 103 13 29 x  , y  4 2 3 3 2 2 
x - y  5x - 2 y  10x - 3y  6  0
Bài 45: Giải hệ phương trình :  3 2
x  2  4 - y x y - 4x - 2 y Bài giải:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 51
Tất cả vì học sinh thân yêu
Điều kiện x  -2; y  4 ) 1 (
x3  5x2  10x  6  y 3  2 y 2  3y  x   1 3   2 x   1 2  ( 3 x  )
1  y3  2 y 2  3y Xét hàm số f t
( )  t 3  t 2 2  t 3 , f ' t ( )  t 3 2  t 4  3  0 t   R
Suy ra f(x+1) = f(y) => y= x+1 thay và pt (2) ta đuợc
Phương trình : x  2  3 3 2
- x x x - 4x -1 x x    - - x  2  3 - x  3 2 2  23  2
- 3  x x - 4 x - 4   x   1  2 x - 4 x  2  3 - x  3 2 
x  23 - x - 4 2    x x - x - x  2  3 - x  3 2 ( 2)
x  23 - x  2   2( 2 - x x  2) 2   - x x - x -  x  2  3 - x  3 2 2
x  23 - x  2    0     2 x - x - 2 2  x  2      x  2  3 - x  3 0
x  23 - x  2  0 (vi x  -2 )  x  2  2
x - x - 2  0  x  -1
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = (2;3) , (x;y)= (-1; 0) 3 
2y y  2x 1- x  3 1- x
Bài 46: Giải hệ phương trình:  2 2 2
 9 - 4 y  2x  6 y - 7
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 52
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải: ĐK: x  1 , ta có:  3
2 y3  y  2x 1 - x  3 1 - x  2 y3  y  2 
. 1 - x   1- x y  1- x
Vì h/s f t  t 3 2
t đồng biến trên R.
Thế vào pt kia ta được pt: 2
2x - 6x -1  4x  5 2
 4x - 8x  4  4x  5  2 4x  5 1
 2x - 2   4x  5  2 2 1
 2 - 2x  4x  5 1 vì x  1  x  1- 2 tmđk. 5
(xy - 3) y  2  x x  (y - 3x) y  2 
Bài 47: Giải hệ phương trình:
(x, y  ) 2
 9x 16 - 2 2 y  8  4 2 - xBài giải: 0  x  2 Đk:  (*) .Với đk(*) ta có y  2 -   x  1
(1)  (x -1) ( y  3) y  2 - (x 1) x   0    
( y  3) y  2  (x 1) x (3)  Nội dung
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 53
Tất cả vì học sinh thân yêu 31
Với x = 1 thay vào (2) ta được: 2 2 y  8  1  y  - (loai) 8 Ta có:   y  3 3 (3) 2 
y  2  ( x )  x (4). Xét hàm số 3 2
f (t)  t t f '(t)  3t 1  0; t
  Hàm số f(t) là hs đồng biến, do đó:
(4)  f ( y  2)  f ( x)  y  2 
x y x - 2 thay vào pt(2) ta được: 2
4 2 - x  2 2x  4  9x 16 2 2 2 2 2
 32 - 8x 16 2(4 - x )  9x  8(4 - x ) 16 2(4 - x ) - (x  8x)  0  x t   Đặt: 2 t  2(4 - x )
(t  0) ; PT trở thành: 2 2 2
4t 16t - (x  8x)  0   x
t  - - 4  0(loai)  2 0  x  2 x  4 2 4 2 - 6 Hay 2 2(4 - x )    32  x   y  2 2 x  3 3   9 æ 4 2 4 2 - 6 ö
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là: ç ; ÷ ç 3 3 ÷ è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 54
Tất cả vì học sinh thân yêu
 1- yx - y x  2   x - y -   1 y   1
Bài 1: Giải hệ phương trình  2
2 y - 3x  6 y 1  2 x - 2 y - 4x - 5y - 3 2  Bài giải chi tiết x y  0
Điều kiện: x  2y;4x -5y -3  0 
Phương trình (1) trở thành:  
1  1- y x - y    x - y -  1   y - 
1 -  x - y -  1 y  0
 1- y x - y - 
1   x - y -  1 1- y   0 æ 1 1 ö  y  1
 1- y x - y -  1 ç  ÷  0   ç x - y 1 y 1 ÷ x y 1 è ø  * Với y  1
2  9 - 3x  2 x - 2 - 4x -8
 9 - 3x  0  x  3
* Với x y 1
2  2y2  3y - 2  2 1- y - 1- y  2y2  3y - 2  1- y 3
Điều kiện: y  1
Cách 1: Phân tích thành nhân tử
3  21- y - 2y 1- y  2y   1
1- y - y 2x   1  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 55
Tất cả vì học sinh thân yêu
 2 1- y  1- y - y  2y  
1  1- y - y  0
 2 1- y  2y  
1  1- y - y  0
2 1- y  2 y 1  0VN  2    1- y y  1- y y  1 -  5 1 5  y
(vì y  0 )  x  4 2
Cách 2: Khảo sát hàm số
   y y   - y 2 2 3 2 2 1  1- y Xét hàm số t  2 f
 2t t t  0 có f't   4t 1  t
  0 . Do đó f(t) đồng biến trên 0;  1 -  5 1 5
Mà f  y  f  1- y  nên 2
y  1- y y  1- y y
(vì y  0 )  x  4 2
Sau khi thử lại, ta thấy tất cả các nghiệm của phương trình đều thỏa mãn.  1 5 x  x 3    2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  ;  y  1   1 -  5 y    2 2  y  
5x  44 - x  1
Bài 2. Giải hệ phương trình  2 2
y - 5x - 4xy 16x - 8 y 16  0  2  Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 56
Tất cả vì học sinh thân yêu
y  5x  4
2   y - 5x - 5 y x - 4  0  y  4- x  * y  5x  4
x  0  y  4   1
5x 42 5x 4 x 4 0 6x 5x 4      -     4
x  -  y  0  5 2
* y  4 - x; 
1   x - 4  5x  4 x - 4  0  6x x - 4  0
x  0  y  4
*  x  4  y  0   4
x  0 x  4 x  -
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  ;  ;  5 y  4 y  0    y  0 
xy x - 2  0    1
Bài 3. Giải hệ phương trình  3 2 2 2
2x - x y x y - 2xy - y  0  2  Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 57
Tất cả vì học sinh thân yêu   2
x x - y    y y - x -     2 2 2 1 2 1 0
x - y 2x - y   1  0 2 2
x y - xy  4 y 1  0   1 
Bài 4. Giải hệ phương trình  y 7 x y2 - -  2  2 x    1 2    Bài giải chi tiết
Phương trình (2) tương đương với:   y   x y2   y xy yy
x y  x y2 2 2 7 2 4 0 15 2   - -  -    - - - -  0      y  0 
y x - y - 3 x - y  5  0  y x - 3 
y x  5  * y    2
0; 1  x 1  0 (vô lý)
x  1  y  2 -
* y x - 3;  2
1  x - x - 2  0  x  2 -  y  -5  * y x    2
5; 1  x  9x  46  0 (phương trình vô nghiệm) x  1 x  2 -
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:  ;  y  2 - y  5 -   2 2 3 5
 x y - 4xy  3y - 2  x y  0  1 
Bài 5. Giải hệ phương trình: xy
x y   2  x y2 2 2 2  Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 58
Tất cả vì học sinh thân yêu
Phương trình (2) tương đương với: xy  1 2  xy  2 2
x y   2   2 2
x y   2x   xy -  1  2 2
x y - 2  0   2 2 x y  2  * Với xy    2 2 3
1; 1  5x y - 4xy  3y - 2xy x y  0 2
y  0 loai vi xy=1 2 2 3  
 3x y - 6xy  3y  0  3y x - y  0  
x y  1 x y  * Với 2 2 x y    2 2 3
x y - xy y -  2 2 2; 1 5 4 3
x y  x y  0
 -x x y - xy y
  x - y2 3 2 2 3 4 5 2 0
x - 2y  0 x  1  2  2x  2 y  1     2 2 x y
x y  2    2       x   2 x 2 y    5   y  2  5     2 2 x y  1   2  y  2    5  2 x     5 x  1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  ;  y  1  2  y  2   5
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 59
Tất cả vì học sinh thân yêu
 2x y -1 - x  2y - 2  x - y 1  0    1
Bài 6. Giải hệ phương trình:  2 2
x y - 2xy  4x - 3y  0  2  Bài giải chi tiết x - y 1   1 
  x - y   1  0
2x y -1  x  2 y - 2 æ 1 ö
  x - y   1 ç
1÷  0  y x 1 ç 2x y 1 x 2 y 2 ÷  -   - è ø
   x   x  2 2 2
1 - 2x x  
1 - 4x - 4  x   1  0
x - 2  0  x  2  y  3 (thỏa mãn) x  2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  y  3   y 2
x - x - y    1 
Bài 7. Giải hệ phương trình: 3 x - y  2 2 2
x y  - 3 2x -1  112  Bài giải chi tiết  x y  Điều kiện: 2
x - x - y  0  1 x   2 y Nếu 2 y  0   0 
x - x - y  0 (vô lý). Nên y  0 3 x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 60
Tất cả vì học sinh thân yêu y  0  y  0  Với 2
x - x - y  0;  1    
x  0 khong thoa man 2 2    x - x  0   x 1  Với 2
x - x - y  0 , ta có: y y   3 3 1  x - y   x - y -1  -1 2 2 x - x - y x - x - y x - y -1
x y x - y -  1    0  x - y2 2 3 3  x - y 1
x - x - y 1 æ ö 1 x yx y  1 ç ÷  - -   0 ç  ÷ x - y 2 2 3 3  x - y 1
x - x - y 1 è ø 2 2 2 2
x y  2 2x - 3xy  2y x y  2xy    1
Bài 8. Giải hệ phương trình:   x y
x - y  3x - 4 y  42  Bài giải chi tiết x y
Điều kiện: x  -y
Phương trình (1) tương đương với:
    x - y2 2 2 1
 2 2x - 3xy  2 y -  x y  0
4 2x - 3xy  2 y - x y 2    2 2 2
  x - y   0 2 2
2 2x - 3xy  2 y x y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 61
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 7  x - y2
  x - y   0 2 2
2 2x - 3xy  2 y x y æ 7 ö
  x - y2 ç1
÷  0  x y 2 2 ç 2 2x 3xy 2 y x y ÷ -    è ø Khi đó: x  4
2  2x  4 - x  
x  2  y  2 (thỏa mãn) 2
2x x - 8x 16  x  2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  y  2  2 2 2 2
x y x - y  2y    1
Bài 9. Giải hệ phương trình: 
x y 5  32  Bài giải chi tiết
Điều kiện: x y  0
Với y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình Với y > 0, ta được: æ 3y ö æ y   2 2 2 2 ö 1  x y -  x - y -  0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 2 5 2 2 5 2 x - y x - y 4 4    0 2 2 3 2 2 y x y y x - y  2 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 62
Tất cả vì học sinh thân yêu æ ö 5 ç ö 1 1 ÷ æ 2 2  x - y   0 ç ÷ ç ÷ è 4 3 y ø 2 2 2 2 ç x y y x - y  ÷ è 2 2 ø 5 5 2 2  x y x y 4 2 Khi đó: 2
x  4x -12x  9  
2  x  2x  3   3 x    2 2
x  1  y  (thỏa mãn) 5 x  1 
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  2 y    5   x -  2 1
x 1 - x x - y
y - 2  4x - 3y  0   1 
Bài 10. Giải hệ phương trình: 2  y 3 2 2
3 x x y xy   2 x xy 1  Bài giải chi tiết x  1 -  2
x x - y  0
Điều kiện: x xy 1 0   y  2 
Phương trình (2) tương đương với:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 63
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 y 3 2 2
3 x x y xy - y  - y x xy 1  2 2
x xy y  x - y   1 y y  
1  y - x   1  
3  x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y    2 2
x xy y y y    1  
x - y   1   0   3
  x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y     2 2
x xy y y y   1 Do 
 0  y x 1
3  x x y xy2 3 2 2 3 2 2 2 3 x xy 1
y x x y xy y
Thay vào phương trình (1), ta được:     x -  2 1 1
x 1 - x -1  x -1  x - 3  0 2 
x -1  x -1 -  1   x -1 - 
1   x - 2  0 x - 2 x - 2 2  x -1    x - 2  0 x -1 1 x -1 1 2 æ x 1 1 ö -   x - 2ç  1÷  0 ç x 1 1 x 1 1 ÷ -  -  è ø
x  2  y  3
Sau khi thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn đề bài x  2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  y  3 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 64
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - 3 x  3  3 y - 5 - y   1 
Bài 11. Giải hệ phương trình:  2
x 16 y - x  y  2 xy 2  Bài giải chi tiết x  0
Điều kiện:  y  5 
Phương trình (2) tương đương với: 2 2
x 16 y - x - y 2 y x - y 2  
2  x 16 y - x - y  2 xy - y     2
x 16 y - x  y xy yx 16 2 y  -
  x - y  -   0 2
x 16 y - x  y xy y    Ta có:  
1  x - 3 x  3  3 y - 5 - y 2 æ 3 ö 11 11  y - 5 -
x - 3 x  3 
 0  x - 3 x  3   0 ç ÷ è 2 ø 4 4 2 æ 11 ö 7  6 10  x   9 ç ÷  x  3  3 -  x   16 è 4 ø 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 65
Tất cả vì học sinh thân yêu x -16 2 y Do đó -
 0  x y 2
x 16 y - x  y xy y Thế vào (1) ta được:
   x   x   x -  2  x   2 1 2 3 3 5 4
9 2x - 2  2 x - 2x -15  2 2
 9 x - 2x -15  2x - 9x  9 2
2x - 9x  9  0   
x  6  y  6 81 
x - 2x -15  2x -9x  92 2 2  x  6
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:  y  6  2 2
x  2  x y - xy
x - y  2  y  4
Bài 12. Giải hệ phương trình:  2
 1- y x  2  x y -  1  4x - 3  Bài giải chi tiết 2 2
x y - xy x - y  0 
Điều kiện: x  2 -  4 -  y  1  3 Từ (2) ta có: 2
4x - 3  x 1- y  1- y x  2  0  x   x  2  0 4
Phương trình (1) tương đương với: 2 2 x  2 -
y  4  x y - xy x - y - 2  0
x  2 -  y  4 2 2
x y - xy x - y - 4    0 2 2 x  2  y  4
x y - xy x - y  2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 66
Tất cả vì học sinh thân yêu x - y - 2
x - y - 2 x - y - xy  2    0 2 2 x  2  y  4
x y - xy x - y  2 æ 1 x y xy 2 ö - - 
  x - y - 2ç  ÷  03 2 2 ç x  2  y  4
x y - xy x - y  2 ÷ è ø 3
Ta có: x - y - xy  2  x 1- y  1- y 1   x  
1 1- y 1  0 do x  , y  1 4 1
x - y - xy  2    0 2 2 x  2  y  4
x y - xy x - y  2
Nên 3  x - y - 2  0 . Thay vào (2) ta được: 2 - x
x x x -  3 2 3 2
3  4x - 3  x - 3x  4x - 3 - x  2 - 3 - x  0 4  3 
Xét hàm số f x 3 2
x - 3x  4x - 3 - x  2 - 3 - x với x  ;3  4    1 1 x  2 - 3 - x
f ' x  3x - 6x  4 -   3 x - 2 2 1 1  0 2 x  2 2 3 - x 2 x  2 3 - x æ 3 ö
Do  x  2 - 3 - x  2x -1  0 x  
;3  x  2  3 - x
x  2  3 - x ç ÷ è 4 ø 3
x - 3y -1 x -1  y  2 x - y   1 
Bài 13. Giải hệ phương trình: y 2 1  3 2 2
x  3  32x - 242  Bài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 67
Tất cả vì học sinh thân yêu x  1 
Điều kiện:  y  0 x y
* Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y =0 thỏa mãn hệ.
* Nếu x > 1 ta có  
1  3x - 3y - 3  2 - 2 x - y x -1 - y  0
2 1- x yx -1- y
 3 x - y -  1    0 1 x - y x -1  y æ 2 1 ö
  x - y -  1 ç 3 -  ÷  0 ç 1 x y x 1 y ÷  - -  è ø 2
x - y -1  0 (Do 3 -  3 - 2  1) 1 x - y
Thay vào (2) ta được  2 x   2 2 3
x  3  32x - 24 2 2 2 2 x  3 x  3 32 24 x  3 x  3 æ 4 3 ö   -  - 8  8 - -1 2 3 2 ç 3 ÷ x x x x x 3 è x x ø  3 2
x - 4x  3 2 2 2
x  3  2x x  3  4x  8 3 2 x - 4x  3   -  3 2  3 3 2 x x x x   x  3  x  3x  8  3 2  2 2 2
  x - 4x  3   0      3  2  3 3 2 x x x x    3  21 3 2
x - 4x  3  0  x  2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 68
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 21
(Do x > 1) suy ra y  2 æ 3  21 1 21 ö
Kết luận: hệ phương trình có nghiệm  x, y  1;0,ç ; ÷ ç 2 2 ÷ è ø   x    2 1
y y  2   y -  2 1
x x 1  x y   1
Bài 14. Giải hệ phương trình:  2  x x 2
x - y  3  2x x y 12  Bài giải chi tiết
Điều kiện: x - y  3  0     2 2
x x x - y  3 - 2  x - y -1  0 2 æ x x ö 
  x - y -  1 ç
1÷  0  x - y -1  0 ç x y 3 2 ÷ -   è ø
Thay vào (1) ta được:  x   2
x - x    x -  2 1 2 2
x x 1  2x -1 2 u    x - x  2 2 2 2 2 æ v - u 1 ö æ v - u 1 ö Đặt 2 2 
u,v  0 ta được 1 u  - 2  v - u ç ÷ ç ÷ 2 v x x 1 2 2  è ø è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 69
Tất cả vì học sinh thân yêu  1 x   2 u v
 v - u u v  
1 u v - 3  0   x  1 -   u v  3   7 x   8 æ 1 1 ö æ 7 1 - ö
Từ đó ta được các nghiệm  ; x y   ; - , ç ÷  1 - ; -2, ; ç ÷ è 2 2 ø è 8 8 ø  8
4x -1  4 y -1  6 -  8x   1 
Bài 15. Giải hệ phương trình: 2x 1  2 2
2y 1 x  2y 1  x  2 y  2x 12  Bài giải chi tiết 1
Điều kiện: x, y  4
    y   2 2 2 2
1 - 2 y  2x 1  x  2 y 1 -  x   1  0 4  y - x 2 y - x    0 2 2 y 1 y  2x 1
x  2 y 1  x 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 70
Tất cả vì học sinh thân yêu  4 2 
  y - x     0 2 2  y 1 y  2x 1
x  2 y 1  x 1    x y Thay vào (1) ta có: 8
2 4x -1  6  8x  2x 1
Dò nghiệm ta được x = ½ là nghiệm kép , ta tìm cách đánh giá như sau :
Áp dụng BĐT Cauchy: khi thay x = ½ vào 4x -1 = 1 ,nên ta áp dụng
2 4x -1.1  4x -11  4x VT  4x  6 8 8 8 Ta thay x = ½ vào
= 4 . nên ta áp dụng 22x   1   2 22x   1  8 2x  1 2x 1 2x 1  8  8
VP  4x - 2  22x   1 
 4x - 2  2 22x   1
 4x - 2  8  4x  6  VT  Dấu  2x 1   2x 1 1 1 "=" xảy ra khi x   y  2 2 æ 1 1 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm  x, y  ; ç ÷ è 2 2 ø  y  2 xy -1  x 1  1    1 y
Bài 16. Giải hệ phương trình:   3 2 1 2 y  1-   2  x y 3xBài giải chi tiết
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 71
Tất cả vì học sinh thân yêu y  0 xy 1   3 Điều kiện: 1  -  0  x  0 x  x  0 x  -1  2   1  xy -1 -1 x 1 - 1  0 y 2 x - xy - 2 y    0 xy -1 1 2
x 1  1 y æ ö ç ÷ 1 1  xy 2ç ÷  - 
 0  xy - 2  0  xy  2 ç xy 1 1 2 ÷ -  ç
y x 1  y 1 ÷ y è ø 1 3 1 Thay vào (2) ta được:  1-  x x x 3x
Áp dụng BĐT Bunhiaiscopki ta có 2 2 æ 1 3 ö æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 4 ç  1- ÷  ç1  3 - ÷  4  -  ç ÷ ç x x ÷ ç x 3 x ÷ è x 3 x ø 3 è ø è ø 1 3 2 Suy ra  1-  x x 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 72
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 1 2
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số thực dương ta có: x   2 x  3x 3x 3 1 1 3 Nên x    1- 3x x x  1 x   3x  
Dấu bằng xảy ra khi  1 3 vô nghiệm.   1 1 1  -   x 3 x
Kết luận: Vậy hệ đã cho vô nghiệm 
 2y - 2y - 2x   3 3
4xy - 2x - 4  8 x - 4  3x   1
Bài 17. Giải hệ phương trình:  2 2
y x  2 y x y  2x  2 2  Bài giải chi tiết
4xy - 2x - 4  0  3
y x  4 Điều kiện:  2 x  2 y  0   2
y  2x  2  0 
    y   2 2 2 1 -
y  2x  2  x  2 y -  x   1  0 2 y - 2x -1 2 y - 2x -1    0  y   2 2 1  y  2x  2
x  2 y x 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 73
Tất cả vì học sinh thân yêu æ 1 1 ö
 2 y - 2x -  1 ç  ÷  0 ç  y  2 2 1 y 2x 2 x 2 y x 1 ÷        è ø
 2 y - 2x -1  0 (Do 3 y x  4 ) Thay vào (2) ta được 2 3 3
2x 2x - 4  8 x - 4  3x
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có: 3 x     3
x -   x    2 x -  3 2 3 2 4 4 2
2   8 x - 4  2x 2x - 4     3  4  x - 4 5 Dấu bằng xảy ra khi 
x  2 (thoả mãn)  y  2 2  x - 2  2 æ 5 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2; ç ÷ è 2 ø 2 
x x  2 y - 2 3 2
y - 2  3x - 5 y  5 y - 2     1
Bài 18. Giải hệ phương trình: 2   2 2 3 2 3 3 3x y
x y - xy y x y 2  Bài giải chi tiết
    x - y   2 x - x y    2 2 3 3 3 2
x - x y - xy y   0
x x - y
x - y 2 2 2 x y
  x - y    0
x x x y x y
x x x y - xy y   x y - xy y 2 2 2 4 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 74
Tất cả vì học sinh thân yêu      2 2 2 x x y  
  x - y 1      0 2 2  æ 3 ö 2 2 3 æ 3 x y 3 x y xy y ö -  3   ç x  ÷  x y ç x  ÷ 
x y - xy y  ç 2 ÷ 4 ç ÷  2 4 2 3 2 2 3 3  2 4 è ø   è ø  2 x  3x - 2
x y . Thay vào (2) ta được: 3 2
x - 2  3x - 5x  5x - 2  3 2
Nhẩm x = 3 là nghiệm kép , ta thay x = 3 vào : x - 2  1; 3 2
x - x x -   x -  2 3 5 5 2 3 2 x - x   1  77 x -1
Áp dụng BĐT Cosi ta có: x - 2  1 x - 2  * 2 2 x  2x -1 Và: 3 2
3x - 5x  5x - 2  3x - 2 2 x - x   1  ** 2 2 x  3x - 2
Cộng vế theo vế (*) và (**) ta có: 3 2
x - 2  3x - 5x  5x - 2  2 1   x - 2 Dấu bằng xảy ra khi   x  3 2
3x - 2  x - x 1 
Nên 3  x  3  y  3
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 3;3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 75
Tất cả vì học sinh thân yêu  2 y - x
x y  2x - y    1 
Bài 19. Giải hệ phương trình: 2x   2
3x - 2 y  2  2 x  4 y 2x -1 2  Bài giải chi tiết  1 x   2 
Điều kiện: x y  0 2x - y  0   2 y - x   1 
x y - 2x - y  2x - - 2 y - x  0 2 y x 2 y x    
x y  2x - y 2x
x y  2x - y  2x
* Nếu x y  2x - y  2x x  2  x y2x - y  0 vô nghiệm do x > 0.
* Nếu 2 y x thay vào (2) ta được: 2
3x - x  2  2 x  2x 2x -1  x x - x -  2 2 2 2
1  x - 2x 1 x - 2 x 1  0  x x - - 2 2   x - 2 2 1 1 1   x -  1  0 3 x   2x -1 - 2 1  0  2 Ta có:  x -   1  0  x - 2 1  0 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 76
Tất cả vì học sinh thân yêu x  0  2x -1 1  1  1 Với x
nên 3  x  1
x  1  y   2 2  x 1    æ 1 ö
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; ç ÷ è 2 ø  3 2  yx xy -  
Bài 20. Giải hệ phương trình: 4 2 y   x
y 8  3 8x 1  4  2x y  2 3 3 2 1  Bài giải chi tiết 3
Điều kiện: x  0, y  0, xy  4 1 3 1 xy -1 xy -1   1  x -  xy - -  0    0 y 4 2 y xy   1 3 1 xy -  4 2 æ ö ç 1 1 ÷   xy -  1 ç  ÷  0  xy  1 ç y xy   1 3 1 ÷ xy -  ç ÷ è 4 2 ø Thay vào (2) được: x  
x     x  2 3 8 1 3 8 1 4 2 1
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 77
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 x    x   2 x - x   2 2 2 8 1 2 2 1 4 2
1  2x 1 4x - 2x 1  4x  2
6 8x 1  2.3. 8x 1  9  8x 1  8x 10 Suy ra x  
x   x   x     x  2 3 2 2 8 1 6 8 1 4 2 8 10 8 4 1  x  
x     x  2 3 8 1 3 8 1 4 2 1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  1  y  1 thử lại thấy thỏa mãn
Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 1  ;1 2 2
x - y  4  x - 4  2 x y - 2    1
Bài 21. Giải hệ phương trình: 
  x - 2 9 - y  y 4 - y  3 x - y 2  Bài giải chi tiết 2 2
x - y  4  0 
Điều kiện: x  4  y  2    2 2 1 
x - y  4 - 2 x x - 4 - y - 2  0  2 2
x - y  4 - 4x
x - 4 -  y - 2    0 2 2
x - y  4  2 x x - 4  y - 2
x - y - 2 x y - 2 x - y - 2    0 2 2
x - y  4  2 x x - 4  y - 2 æ x y 2 1 ö  -
  x - y - 2ç 
÷  0  x - y - 2  0 2 2 ç
x - y  4  2 x x 4 y 2 ÷ -  - è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 78
Tất cả vì học sinh thân yêu Thay vào (2) ta được
y 9 - y  y 4 - y  6
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
y - y  - y y 2 . 9 4 .
  y  4 - y9 - y y  36  y 9 - y  y 4 - y  6 y 4 - y 36 62 Dấu bằng xảy ra khi   y   x  (thỏa mãn) 9 - y y 13 13 æ 62 36 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  ; x y   ; ç ÷ è 13 13 ø 2
x x y -1  y x  1- x   1 
Bài 22. Giải hệ phương trình:  1 x  2 y  4 với x  0 2 y x    2 y 1 4  Bài giải chi tiết 2
x x y -1  0  Điều kiện: 2 x y  0  y  0  x y -1 y x -1   2 1 
x x y -1 - x
y - 1- x  0    0 2
x x y -1  x y  1- x æ 1 1 ö
  x y -  1 ç 
÷  0  x y -1  0 (Do x  0 ) 2 ç
x x y -1  x y 1 x ÷  - è ø 1 y  5 Thay vào (2) ta được: 2 y - y -1   y 1 4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 79
Tất cả vì học sinh thân yêu y 1 Ta có: 2 y - y -1  với y  0 2 2 2 æ y 1 ö 3 2 Thật vậy:  2 y - y -  1 -  ç ÷  y -  1  2
5y - 2 y  5  0 è 2 ø 16 y 1 Suy ra 2 y - y 1  3 2 y 1 1
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:   14 4 y 1 1 y  5
Cộng vế tương ứng (3), (4) rồi rút gọn ta được: 2 y - y 1   y 1 4
Dấu "=" xảy ra khi y  1  x  0 (Thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0  ;1 2 2
2x y x - y x xy y
Bài 23. Giải hệ phương trình:  2
x -1  x y x -1  Bài giải chi tiết x  1 
Điều kiện: x - y  0 x y  0  Từ (1) ta có: 2 2
x - y - x - y - 2x xy y  0   x - y - x - y -  x - y2x y  0 æ 1 ö 1
  x - yç1-
- 2x - y ÷  0  x y (Do 1-
- 2x - y  1- 2x  0 ) ç x y ÷ - è ø x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 80
Tất cả vì học sinh thân yêu Thay vào (2) ta được: 2 x - 
x x -   x - -    x -  2 1 2 1 1 1 2 2  x - 4  1 2    x - 2 
-  x  2  0  x  2    x -1 1 2x  2  1 2 (Do 
-  x  2  11- x - 2  -x  0 ) x -1 1 2x  2
Với x  2  y  2 (Thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y  2;2
y  2x -1  1- y y  2 
Bài 24. Giải hệ phương trình:  x x y x -  2 1  x - yBài giải chi tiết
y  2x -1  0  y 1  
Điều kiện: x  0  yx -  1  0  2 x - y  0  (2) tương đương với 2
xy - y x - y x x 3 2 2 xy - x xy - x y - x Ta có: 2
xy - y - x - y    4 2
xy - y x - y x x x 2 y - x
x - x y
Cộng vế (3) với (4) ta được: 2 xy - y x x   x x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 81
Tất cả vì học sinh thân yêu
y x - x  x - x y y x - x   x - x y2   x - x - y2 2 2 2 2 2 2 2 4
 0  y x - x Thay vào (1) ta được: 2 2 2
x x -1  -x x 1  x - x  2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 x x -11 x x 2 x x -1   2 2 2 2
-x x 11 -x x  2 2
-x x 1   2 2 2 2 x x -x x  2 Cộng vế ta được: 2 x - x  2    x 1 2 2   x - 2 1
 0  x  1  y  0 (thỏa mãn)
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  1;0 2 2
x x xy x - y x   y   2 2 2 1  y y 1 1   1
Bài 25. Giải hệ phương trình: 
 2 y - x  5  y 1  x  21x -17 2  Bài giải chi tiết x  1 
Điều kiện: 2 y - x  5  0  y  -1 
    x - y   2
x y    2 1 1 2 x - y -  1  0  2
2 x y  2 x - y -  2 2 1 x y 1 æ x y ö - -     0   2 1 2 x - y -  1 ç  ÷  0 2 2 x y 1 x - y 1 ç x y 1 x - y 1 ÷     è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 82
Tất cả vì học sinh thân yêu 2  x y 1 Thay vào (2) ta được 2 2
2x - x  3  x - x - 21x -17  0 2 
x - x  -  x   2 2 3
1  x - 3x  2  3x -  1 - 21x -17  0 æ ö   1 9 2
x - 3x  2ç1  ÷  0 2 è
2x - x  3  x 1
3x -1 21x -17 ø 17 1 1 9 Do x   x   1   0 2 21 3
2x - x  3  x 1 3x -1 21x -17 x  1
Suy ra phương trình có nghiệm x  2 
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm  ,
x y  1;0,2;3 2 2
4x  8y -10x  9y y 6 x   1 - 5   1  
Bài 26. Giải hệ phương trình: 2  x 1 1 xy  1- x -  x  1 2 y     1  - 2  x y yBài giải chi tiết 0  x  1 Điều kiện:  1 -  x  0  2 2 1- x x 1 y 1 1 y
Phương trình (2) tương đương với: -  -  - 2 2 x x y y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 83
Tất cả vì học sinh thân yêu x y
x - y x y 2 2 2 2 æ 1- x 1 y ö æ y 1 x 1 ö xy x y  ç - - ÷ - ç  ÷  0  -  0 2 2 ç ÷ ç ÷ 2 2 x y y x 1- x 1 y è ø y 1 x 1 è ø  -  2 2 x y y x æ ö ç ÷ x y 1 x - y ç ÷  
 0  x y  0  x  - y ç 2 2 xy 1 x 1 y ÷ -  y 1 x 1 ç  -  ÷ 2 2 ç x y y x ÷ è ø Thay vào (2) ta được: 2
12x -19x  5  -x 6 x   1 -x  2
12x -19x  5  0 -x    2
12x -19x  5  0      2
 12x -19x  52 2
x 6x  6   2x -  1 3x - 5 2
24x - 25x  5  0    1 1 x   y  -  2 2    25  145 25  145 x   y  -  48 48 æ 1 1 æ ö 25  145 25  145 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm  x, y  ; - ; ç ÷ ç ; - ÷ 2 2 ç 48 48 ÷ è ø è ø
xy  x - y 
xy - 2  x y y  1
Bài 27. Giải hệ phương trình: x 1yxy x1-x  4 2    Bài giải chi tiết
Điều kiện: x, y  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 84
Tất cả vì học sinh thân yêu
Nhận thấy x y  0 không thỏa mãn (2) nên ta có x y  0
Phương trình (1) tương đương với xy   x - y xy - 2  x - y - y  0
xy   x - y xy -  2 2 - y -
x - y xy - 2  y x yx - y    0    0   -  - 2 x y    -  - 2 x y xy x y xy y xy x y xyy    xy - 2  y 1    x - y   0 3      -  - 2 x y xy x y xyy    4
Ta có phương trình (2) tương đương với 2 y xy   x - x x 1 4 4   x   1  2 x - x - 2 x  2 x -1 2    2 Ta có:
x - x - 2    0 với x  0 x 1 x 1 x 1 xy - 2  y 1
Suy ra: xy - 2  y  0    0   -  - 2 x y xy x y xyy
x  1  y  1
Nên 3  x y thay vào (2) ta được  x  1  2 3x x  4   -   1 17 1 17 x   y   4 4 æ 1 17 1 17 ö
Kết luận: Vậy hệ đã cho có các nghiệm  x, y  1;  1 , ç ; ÷ ç 4 4 ÷ è ø 2  3
x - x - y. x - y y
Bài 28: Giải hệ phương trình:  4
  x - 2 4 - x 
y -1  3 - y  6  y   3 4 4 1 3x x  30 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 85
Tất cả vì học sinh thân yêu Bài giải chi tiết 2
x - x - y  0 
Điều kiện: 2  x  4 1   y  3 
Phương trình (1) tương đương với:  2 2 x - x - y
x - y - x - x - y    2 3 .
x - x - y - y  0 2
x - x - y x - y -1
x - y -1 x y 2 
x - x - y x - y -  1   2 3
x - x - y - y       0    0  x - y2 2 3 3  x - y 1
x - x - y y    2  x - x - y x yx y  1    - - 
 0  x y 1 2 2  æ 1 ö 3 x x y y  - -  3  x - y   ç ÷   è 2 ø 4 
Thay vào (2) ta được: 4  x - 24 - x 4 4 3
x - 2  4 - x  6x 3x x  30  x - 2  4 - x 4
  x - 2 4 - x   1 2   3 3
6x 3x  2 27x x  27 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:  111 x - 2 x 1 4 4
x - 2  1.1.1. x - 2    4 4  111 4 - x 7 - x 4 4
4 - x  1.1.1 4 - x     4 4
Từ các BĐT trên ta được: 4  x - 24 - x 4 4 3
x - 2  4 - x  6x 3x x  30
Dấu bằng xảy ra khi x  3  y  2
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x, y  3;2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 86
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - y 2y  3  
1  x y  4 1  0 
Bài 29: Giải hệ phương trình:  1 3 2
2x  5x  4x 1  x x y  4 2 x   x Bài giải chi tiết  3 y  -  2 
Điều kiện: x y  4  0  1 2 x   0  x
Phương trình (1) tương đương với: x - y 1
x y  4   x - y 2y  3  0
x - y 1 x y  4 - 2 y  3   x - y   1 2 y  3  0 x - y 1
x - y 1
  x - y   1 2 y  3  0
x y  4  2 y  3 æ 1 ö
  x - y   1 ç1  2 y  3 ÷  0 ç x y 4 2 y 3 ÷     è ø
x - y 1  0  y x 1 1 Thay vào (2) ta được: 3 2
2x  5x  4x 1  x 2x  5 2 x x 1 1 1 1 1 2  2x
 5x  4  2x  5 2 2 2 2 2 x   x  - 2x x   x - 5 x   5x  4  0 x x x x x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 87
Tất cả vì học sinh thân yêu
x  -1  y  0  1 3  1 x   y  2 2 x  - x  1   2 2 æ 1 ö æ 1 ö 2 2 x  ç x
- x ÷ - 5ç x  - x ÷  4  0     4 - - 3 2 3 2 ç x ÷ ç x ÷  1 x   y  - è ø è ø 2  x  - x  4  4 4  x  4 -  3 2 3 2 x   y   4 4   x  2 y
 x - y -  2 2
1  2x  3xy  4 y  0   1
Bài 30: Giải hệ phương trình:  3 3 
3x - 2  4 2x y - 2  5 x  5y  2 - 3 2  Bài giải chi tiết 2 2
2x  3xy  4 y  0   2
Điều kiện: x  3 
2x y  2 
Phương trình (1) tương đương với:
x y x - y 2 2 2
 2x  3xy  4 y -  x  2 y  0
x x - y
  x - y x  2 y   0 2 2
2x  3xy  4 y x  2 y æ x ö
  x - yç x  2 y  ÷  03 2 2 ç 2x 3xy 4 y x 2 y ÷     è ø 3 Từ (2) ta có: 3 3
5 x  5 y  2  3 
x  5 y  2 
x  5 y  2  0 5
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 88
Tất cả vì học sinh thân yêu
Mà 2x y  2   x  5y  2  2x y  2  3 x  2y  0  x  2 y  0
Nên 3  x - y  0  x y thay vào (2) ta được: 3
7 3x - 2  5 6x  2 - 3 Đặt 3
a  6x  2, b  3x - 2 a,b  0 ta được:  5a - 3 b  7b 5a 3   -  7 a  2     
x  1  y  1 (thỏa mãn) 2 3 2 a - 2b  6  æ 5a - 3 ö b  1 3 a - 2 - 6  0  ç ÷   è 7 ø
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ; x y  1;  1 3 2 2 2 2 2 2
2 2x  4x x y  2xy  2x xy  2x  4  x  2 y  
Bài 31: Giải hệ phương trình:  x - 2 35 38   x - 2  8 -   8y -19 2  y y yBài giải chi tiết x  2  Điều kiện:  19 y    8
Phương trình (1) tương đương với: 3 2 2 2 2  x x x y xyxy y     -      2 2 2 2 4 2 2
2x xy - y x  2   0 4
-  y - x x y x  2 2
-  y - x y x   0 3 2 2 2 2 2 2
2x  4x x y  2xy xy  2 y
2x xy y x  2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 89
Tất cả vì học sinh thân yêu  4 x 2 2  
  x - y x y  
  0  x y 3 2 2 2 2 2 2
 2x  4x x y  2xy xy  2 y
2x xy y x  2    x - 2 35 38 Thay vào (2) ta được:  x - 2  8 -   8x -19 2 2 x x 2
x - 2  x x - 2  8x - 35x  38  x 8x -19  x x - - x -  2 8 19
2  8x - 35x  38 -  x - 2  0 x 7x -17
x - 27x -17    0 2 8x -19  x - 2
8x - 35x  38  x - 2 æ x x - 2 ö  7x -17ç  ÷  0 2 8x -19  x - 2 è
8x - 35x  38  x - 2 ø 17 17  x
(do x  2 )  y  7 7 æ 17 17 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x, y  ; ç ÷ è 7 7 ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 90
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 4 2 3
(x  1) y  1  2xy ( y -1)
Câu 1 : Giải HPT :  2 4 4
xy (3xy - 2)  xy (x  2 y)  1  Thế 2 4 4
1  xy (3xy - 2) - xy (x  2 y) vào PT (2) ta được : 4 2 2
y (1  3x y - 4xy)  0   y  0   xy  1   1 xy   3
Thấy y  0 không phải nghiệm của hệ Với 2 4 4 2 2
xy  1 y y  1  2 y - 2 y  ( y - y -1)( y y  1)  0  5  1 2 y   x   2 5  1    1- 5 2  y   x   2 1 - 5 2 4 4 2 1 y 2 y 2 y y y 2 y Với 4 xy    y  1  -     1  0 y  3 9 3 3 3 9 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 91
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 2
x y  2xy (1) 
Câu 2: Giải HPT :  3 9 4
x y  2xy  2  PT(2)  3 x y  2 3 3
x - xy y  4 ( )  2xy  2 xy  2 3 3
x - xy y  4 2  2xyx y  0   2 3 6 2
x - xy y - y  0 * 
(*)   x y 2 3 3 2 - 3xy - y  0  4 3 2
4xy - 3xy - y  0  x y  0   xy  1   1 xy  -  4 1
Với xy=1  x y (1)  4 2
y - 2 y  1  0  y  1   x  1  1 1 Với xy  -  x = - 4 4 y (1)  4 2
4 y  2 y -1  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 92
Tất cả vì học sinh thân yêu 5 -1 5 -1 1  2 y   y =   x =  4 2 2 5 -1 æ 1 5 1 ö -
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;0),  1  ;  1 , ç  ; ÷ ç 2 2 5 1 ÷ - è ø 4 6x -  3 x - x 2
y -  y 12 2 x  6  0 
Câu 3. Giải HPT : 5
x -  x - 2 4 2 2 2
1 y -11x  5  0  6   x - 2 2 2 1  xy  2 x -  2 1  x y   5   x - 2 1
x   x - 2 2 2 2 2 1 y
Dễ thấy x=y=0 không phải là nghiệm của hệ.  x - 2 2 2 1 x -1 1 6   (*) 2 2  x y x y Ta có:    x - 2 1 x - 2 2 2 1 1 5    2 2 2 2 x y y x  2  x -1  a   x Đặt  (a,b  0) 1   by
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 93
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 
6a b a b Hệ trở thành:  2 2 2 2 5
a b a b  1  4 4 2 2
36a b  2ab  5a b ab  2 2 1 x -1 1 Với ab    2 xy 2  1  17 x  3 y 1  y 1   4 (*)        2 2 y y  2   1  5 x    2 æ 1 17 ö æ 1 5 ö
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ç ;1÷, ç ;2 ÷ 4 2 è ø è ø
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 94
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 2
(4x - 4xy  4 y - 51)(x - y)  3  0
Câu 4 : Giải HPT : (2x - 7)(x - y) 1 0  2 2 2
3(x - y)  (x y) - 51 (x - y)  3  0  
 (x y)(x - y)-7 
(x - y) 1 0  Đặt 2  b -  7b -1
x y a 4 2 2 2 3
b a b - 51b  3  0 a       b
x - y b
(a b - 7)  1  0  2 2
(b - 4b 1)(2b - b  2)  0       x y  3 b 2 3    a  3 
x - y  2  3         - x y  3 b 2 3      a 3   
x - y  2 - 3  3 3
3x  5 y - 2xy  6
Câu 5 : Giải HPT :  3 3
2x  3y  3xy  8  Rút lần lượt 3 3
x , y theo xy ta được : 3 3 3
x  22 - 21xy
3x  5 y  8 3 3 
x y  (22 - 21xy)(13xy -12)  xy  1   3 3 3 y  13xy - 12 2x  3y  5  
x y  1
Đoạn giải PT bậc 3 ẩn xy có 2 nghiệm rất lẻ không biết có phải do đề không ạ…
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 95
Tất cả vì học sinh thân yêu  1 1   2   2 2
x y    1  x 2 y Câu 6:Giải HPT : 1 1 2 2  -  y - x 2  x 2 y  ĐK: x, y  0   1 - 2 3 2  y  3x y  1   1  2 3 2  x  3xy  2 3 2 
x  3xy  2 Ta có hệ mới:  3 2
y  3x y  1    x y  3 3  3  x y  3     
x - y3  1 x - y  1   3  3  1 x    2   3  3 -1 y    2 2 2 4
x xy y  (x - y)
Câu 7 : Giải HPT :  2 2
x - xy y x - y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 96
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 3a b 4   ba x y     4 4 Đặt    2 2
b x - ya 3b    b   4 4 b  0 2 2 b 9b  Thế ta được : 4 3 2 b - - 3b
 0  b  2b - 3b  0  b  1 4 4  b  3 -   b   0 a  0    b   1    a  1   b   1   a  1 -   3 1 2 2 x - y  -   1  Câu 8: Giải HPT : 2 y x  
x y3  5  ĐK: x, y  0 x - y 1
PT(1)   x - y x y   xy 2 y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 97
Tất cả vì học sinh thân yêu
2 y b - a
x - y a  Đặt 2 2    b - a
x y bxy    4  4a 1 ab    Hệ trở thành: 2 2  b - a b - a 3 b  5  3 3 b
a - a b  5a b    3
a b b  0  a  1 - 3 b   5  3  5 -1 x  3 x y 5      2     3 x - y  1 -   5  1 y    2  1 x  
x y - 3  3   y
Câu 10: Giải HPT :  1
2x y   8  y  1
ĐK: x y  0, x+y  3, y  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 98
Tất cả vì học sinh thân yêu  1 x   a  Đặt y  a,b  0
x y - 3  b  a  1    1 a b  3 b  2  
Hệ đã cho trở thành:   2 2 a b  5   a  2  2  b  1   x  4 - 10 1  x  1    y  3  10    1  y     x  4  10 x y  7    y  3 - 10  x  3  1  x   4 y  1    2 y     x  5 x y  4    y  1 -   x 5y   4 1 2 2  
x - y x yCâu 11:Giải HPT  2 2 x - 5 y 5  x y   5 2  xy
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 99
Tất cả vì học sinh thân yêu ĐK: 2 2
x - y  0, x+y  0, xy  0 PT(1)  2 2 2 2
x - y xy x y   2 x - y 2 5 5 4 x y x 5 y æ y öæ x ö  -
y  5x  4 x -  y ç ÷ç ÷ y x è x ø y è ø  x y   a   y
a  5b  5 Đặt 
Hệ đã cho trở thành:  y
a  5b  4abx -  b   x  5  x 5 a y    2   2  y 2 
2 y  2x  5 y       1 2 y 1 
2x - 2 y x b   x  -    2   x 2
 3 x - y - 2 x - y x y  0 x  1   1  3  y x y    2   2 (*)    3
2x  2 y  3 (*)  x  -  2  y  3 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 100
Tất cả vì học sinh thân yêu
 7x y  2x y  5 
Câu 12 : Giải HPT : 
 2x y x - y  2  2 2
a  2x y  5
x b - a Đặt    2 2 b   7x y
5 y  7a - 2b   Ta có hệ mới : a b  5 a b  5    2 2 2 2 2 2
5a b - a - (7a - 2b )  10
3(5 - a) - 8a  5a  10    b   5 - a   5 -  77  a    2  
(Bài này không hiểu sao ra lẻ vậy ) b   5 - a   5 - - 77  a    2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 101
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 
x 1 - y y 1 - x  1 Câu 13: 
(1 - x)(1  y)  2  ĐK: 2 2
1 - x  0, 1 - y  0 PT(1) :  2 2 x - y y - x    2 2 x  - x  2 2 1 1 1
1 - y y  1 2 2 x yx y Dấu “=” xảy ra    2 2  1 - y 1 - x 2 2 x y  1 
Với x y thay vào PT(2) không thỏa mãn. Với 2 2 x y  1 PT(2)  2 2
x - y xy 1  0  x y  2xy  1  1 - 2xyxy  0 x  0   Ta giải được  thỏa mãn hệ. xy  4 -  y  1 
 3x - 2 y  3 8  x - y  10  Câu 13 :
 8  x - y - 2 4 - 2x y  1 
 3x - 2 y a  Đặt 2 2 
 4 - 2x y b - a - 4 .Ta có hệ mới :
 8  x - y b
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 102
Tất cả vì học sinh thân yêu
a  10 - 3b   121  4 55  b
a  3b  10 a 10 3b   -     33      2 2 2 2 b
 - 2 b - a - 4  1 b
 -1  2 b - (10 - 3b) - 4 a  10 - 3b    121 - 4 55  b    33
(Lại một bài lẻ khủng khiếp…) 2 
x  2x  6  y  1
Câu 14 : Giải HPT :  2 2
x xy y  7 
PT(1)  x2  2x  6  y2  2 y 1 (3)
Lấy (3) - (2)  2 y2  (x  2) y - 2x - 12  0  ( y - 2)(2 y x  6)  0  x  1
Với y  2  x  3 -  Với 2 2 2 x  2
- y - 6  (2 y  6) - (2 y  6) y y  7  3y 18y  29  0 y  2
x  1  y x y  4 y
Câu 15: Giải HPT  2x   
1  x y - 2  y
Thấy y  0 không phải là 1 nghiệm của phương trình.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 103
Tất cả vì học sinh thân yêu 2
æ x 1ö  x y  4 ç ÷ 2  x  1 y è ø   a Hệ   Đặt  y 2 æ  x  1ö  ç
÷ x y - 2  1
x y b   y è  ø a b  4 a  1 2 x  1  y
Hệ đã cho trở thành:     
a b - 2  1  b  3  x y  3  x  1  y  2    x  2 -   y  5  2 
x  2x  6 - y  1
Câu 16:Giải HPT :  2 2
x xy y  7  2 2
x - y  2x - 2 y  5  0  2 2
x - y a b - a   Đặt   xy=  x y  2  7  xy
x y b 4    5 a  -
ab  2a  5  0   b  2
Hệ đã cho trở thành:    2 2 3b a  28  25 2 3  b   28 2   b  4b  4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 104
Tất cả vì học sinh thân yêu a  1 -
x - y  1 -  5   a  -  b  3   x y  3    b  2       2  a  5 - x - y  5 -
b - 2b - 3 2
3b  18b  29  0     b  1 - 
x y  1 - 
(x - 1)( y -1)(x y - 2)  6
Câu 17 : Giải HPT :  2 2
x y - 2x - 2 y - 3  0  3 3 2 2 x -1  a
ab(a b)  6
ab(a b)  6 36 
- 2a b - 5a b  0        2 2 2 y -1  b a b  5
(a b) - 2ab  5
ab(a b)  6      b   2 x -1  1   ab  2 a  1 y -1  2         a b 3   b  1     x -1  2      a  2   y -1  1 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 105
Tất cả vì học sinh thân yêu   x -   1  y - 
1  x y - 2  6 Câu 18:  2 2
x y - 2x - 2 y - 3  0  x - 1  aab
a b  6 Đặt 
, hệ đã cho trở thành:  y - 1  b  2 2 a b  5  a  2 x -1  2   b  1   y -1  1   a  2 - x -1  2 -  36   2 (a b)    b  1 -   y -1  1 -   2 2 
a b ab  2     2 2  a  1 x -1  1 a b  5       b  2   y -1  2    a  1 - x -1  1 -    b  2 -   y -1  2 -  2
2x xy  1  Câu 19 : Giải HPT : 2  9x 3xy  1   4 2 2(1 - x) 2(1 - x)  2 1 - 2x
Dễ thấy x  0 không phải nghiệm của HPT  x  0  y  . Thế vào PT2 ta x được :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 106
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 9x 3(1 - 2x )  1  4 2 2(1 - x) 2(1 - x) 2 4 2 2
 9x  2(1 - x)  3(1 - 2x )(1 - x) 2 2
 (2x  2x -1)(2x - 4x  5)  0  3 -1 x   y  2  2   - 3 -1 x   y  2   2 3 3
x y x xy x  1
Câu 20 : Giải HPT :  3 2 3
4x y  4x - 8xy - 17x  -8  2
(xy x)(x  1)  1 Hệ   2 2
4x(xy x) - 8xy(x  1) -17x  -8 
xy x a xy a - x Đặt  2 x  1  b  ab  1 Hệ trở thành :  2
4a  8b -17  0  1 1 2
 (2a -1)(2a  2 - 8)  0 . Do 0  a   1  a   b  2 b 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 107
Tất cả vì học sinh thân yêu x  1   1 -  1  y  xy x     2   2   2 x  1 - x 1     3 - y    2 2
x xy - 3x y  0
Câu 21 : Giải HPT :  4 2 2 2
x  3x y - 5x y  0  2
x y xy - 3x  0 Hệ   2 2 2 2
(x y)  x y - 5x  0  Thế 2
x y  3x - xy vào PT2 ta được 2 2 2 2 2 2
9x x y - 6x y x y - 5x  0 2 2
x ( y - 5 y  4)  0
x  0  y  0 
y  1  x  1  2
y  4  x x  4  0(L) 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 108
Tất cả vì học sinh thân yêu  3 2 y   1 2 2   x y -1 x
Câu 22 : Giải HPT :  2x 2 2 x y -  4  y  2 2
x y -1  a  3 2     1 Đặt  x  a b
 giải PT bậc nhất cơ bản  bya - 2b  3    3 1 2 2 x - y  -  Câu 23 : Giải HPT : 2 y x  3
(x y)  5  3x - 2 y
PT(1)  (x y)(x - y) 
. Thế PT(2) vào PT(1) ta được : 2xy 5(x - y) 6x - 4 y
5(x - y) - (6x - 4 y) -(x y)    2 2 2 (x y) 4xy
(x y) - 4xy (x - y) 3 3
 5(x - y)  -(x y)  5
-  x - y  1 - x - y  1 -    3 x y  5 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 109
Tất cả vì học sinh thân yêu 4 4
x - 2x y - y
Câu 24 : Giải HPT :  2 2 3 (x - y )  3   a b x
x y a   2 Đặt :    . Đặt kì diệu :
x - y b a - b   y    2 3 3 3 3
c  3  a b  3  c ab c .Khi đó : 2 2 æ a b ö æ a - b  4 4 2 2 ö
x - y  (x - y)(x y)(x y )  ab   ç ÷ ç ÷  è 2 ø è 2 ø   3 a - b a  3b a c b
 2x - y a b -   2 2 2 2 2 3 æ a b ö a c b 2 2 3
PT (1)  ab
c(a b )  a c b ç ÷ è 2 ø 2 2 2 3
c(a b )  a c b  Ta có hệ mới :  c
ab c b    a 2 4 3 c c cac  1 2  c(a  )  a   (ac -1)(a - )  0  2 2  a a a a c
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 110
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 3  a c  3  x y  3
Với a c :    
ab c b  1  x - y  1   1 1  1 a   x y    Với ac  1 : 3 3  c 3   3   2 3  3 b c  9 x - y  9   2 2
 2xy y x - y x y x - y     14 2 2
Câu 25 : Giải HPT :  3 3
 æ x y ö æ x - y ö   9  ç ÷ ç ÷  è 2 ø è 2 ø
x y a   2 2 2
a b x Đặt 3 3 
(a b  9  a b  0;a,b  0)   . Khi đó 2 2  x - y
a - b y   b   2 hệ trở thành : 2 2 2 2 2 2
 2(a b )(a - b )  (a - b )2ab   a b  14 3 3 a b  9  3 3
(a b) 2(a - b ) -14  0      3 3 a b  9 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 111
Tất cả vì học sinh thân yêu 3 3 a - b  7 3 a  8 a  2 x y  8         3 3 a b  9 3  b  1 b  1 x - y  2   
x 1  y 1  2 
Câu 26 : Giải HPT :  72xy 2 2 3
 29 x - y  4  x - y   a b x    2 Đặt  . Hệ trở thành : a - by    2  2 a b a - b 2 2  8  1   1  2 (  2) -  2  a b a b - a   2 2   3   2 2   9
b -112b -128  0 18(a - b ) 2 2 3 18(a - b )    29 ab  4 3  29 ab  4 a  2  b b   
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 112
Tất cả vì học sinh thân yêu  b  4  4 -   b
a  ...  x  ...; y  ...  3  8 - b   3 2 2 2
x y  2 y  4  7xy
Câu 26 : Giải HPT :  2 2 2
x  2 y  6 y  3xy
Dễ thấy y  0 không phải nghiệm của hệ . Khi đó hệ tương đương : 2 7x 4   2 æ 2 ö 3x x -  2   0  - x -  2  0 2  y y ç ÷ y y  è ø   2  2 æ x ö æ 2 ö  æ  x ö æ 2  2  3 - x  0 ö ç ÷ ç ÷  2  3 - x  0  y y ç  ÷ ç ÷ è  ø è ø y y è  ø è ø  2 - x a 2   y
a - 3b  2  0 Đặt   
 (a b)(a - b - 3)  0 2 x
b  3a  2  0   b   y  a  1 -  b  1 Với 2
a b  0  a  3a  2  0  a  2 -  b  2  Với 2
a - b  3  a - 3a 11  0 (Loại)
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 113
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
x xy y  3y -1
Câu 27 : Giải HPT :  3 2 2
x x y x - x  1 
Dễ thấy x  0 không phải nghiệm của hệ . 2 2  .(
x 1) - (2)  0  x xy - 3xy 1  0 (3) Lấy (3) - (1) ta được : 2 2
xy - y - 4xy  3y  0  y  0
Xét thấy x  1 không phải nghiệm của hệ   4x - 3  y   x -1
Với y  0 thay vào không thỏa mãn hệ . 4x - 3 Với y  thay vào (2) ta được : x -1  5 -1 5 - 5 x   y   2 2 2 2
(x x -1)  0   - 5 -1 5  5 x   y    2 2 
(x y  3) x - y  2 y  4  0
Câu 28 : Giải HPT :  2 2
(x - y)(x  4)  y  1 
PT (1)  ( x - y 1)(x y  4 - x - y )  0 
x - y x y  4 Thế 4 
x - y - x - y vào PT(2) ta được :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 114
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
(x - y)(x
x - y - x - y)  y  1 2 3
x (x - y -1)  ( x - y ) -1  0 x - y x - y  1 2
 (x - y -1)(x  )  0 x - y  1 x - y  1  x  1 - Ta được hệ mới :    x y x - y - 4 y  2 -   2
x  2xy y  0 
Câu 29 : Giải HPT :  3 2
x  3xy  2 y  1(x x y  2)  4  Thế 2 x y  2
- xy vào PT(2) ta được : 2 2 2 2
- x y - x - y  2x y  1  2 y  1 x y  2 - 4  0 2 2 2
 (x y  1 -1)  ( x y  2 - y  1)  0 x y 1  1    2  x y  2  y  1  2
x ( y  1)  1   2
x y  2  y  1  2 2
x y  2  3 - x   2
x y  2  y  1  2
x y  2  xy  1 -
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 115
Tất cả vì học sinh thân yêu 1 - 1
Dễ thấy x  0 không phải nghiệm của hệ 2  y   x -  2 x x  x  1 -  y  1   5  1 2 -  x   y   2 5  1   5 -1 2 x   y   2 1 - 5 5  1 2 -
Đối chiếu điều kiện  ( ; x y)  ( 1 - ;1);( ; ) 2 5  1 
(2x -1) x y  (6 - x - y) 2 - x
Câu 30 : Giải HPT :  2 2 3
x - 4xy - 7 y  72 -  Xét thấy x  2  2 - x  0 
x y  0  y  -2 không thỏa PT(2)
x y , 2 - x  0 6 - (x y) 6 - (8 - 4x) PT(1)   x y 8 - 4x 2 6 - t -6
Xét hàm số f (t)   f '(t) 
-1  0 suy ra hàm số nghịch biến 2 t t
f ( x y )  f ( 8 - 4x )  x y  8 - 4x y  8 - 5x
Thế vào PT(2) giải PT bậc 2 cơ bản.
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 116
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2
x y  2x  3
Câu 31 : Giải HPT :  3 3 2 2 2
2(x y )  6x  3(x y )  5  Ta có 3 2 2 2 2 2 .
x (1) - (2)  2 y - 2xy  2x  3(x y )  5 - 6x 2
y (2 y - 2x - 3)  (x -1)(x - 5) Mà 2 2
y  3 - x - 2x  (1 - x)(3  x)  (x -1)(x  3)(2 y - 2x - 3)  (x -1)(5 - x)
Với x  1  y  0 2 5 - x 3 x  4x  7
Với (x  3)(2 y - 2x - 3)  (5 - x)  y   x   2(x  3) 2 x  3
Thế vào PT(1) ta được : 2 2
æ x  4x  7 ö 2 x  2x   3 ç ÷ x  3 è ø 2 2 2 2 2
 (x  2x)(x  3)  (x  4x  7)  3(x  3) 2 2
 (x  1) (x  6x  11)  0  x  1 -  y  2 2
x xy x  3  0 
Câu 32 : Giải HPT :  2
y(x  3)  x  1  2 x y  2 y  Lấy 2 2
(1) - (2)  x  2 - 3y  2 x y  2 y  0
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 117
Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2  ( x  2 -
y )( x  2  3 y )  0 2
y x  2
Thế vào PT(1) ta được : 3 2
x x  3x  3  0  x  1 -  y  3  1 2 2 (x y )(1  )  5  2 2 Câu 33 : Giải HPT : x y  2 2 2
(xy -1)  x - y  2   1 1 2 2
(x  )  ( y - )  5   x y  2 2
(x 1)(y -1)  2xy   1 1 2 2
(x  )  ( y - )  5   x y   1 1
(x  )( y - )  2  x y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 118
Tất cả vì học sinh thân yêu b   2 a 1    b   2  1 - x   a  2 2   xa b  5  a  1 -  Đặt     1  ab  2 b     1 y -  by     a  2    b   1 -   a  2 - 
Xét từng TH giải x, y đơn giản . 2 2
(x  1) ( y  1)  9xy  0
Câu 34: Giải HPT :  2 2
(x  1)( y  1)  10xy  0   1 1
(x  2  )( y  2  )  9 -   x y   1 1
(x  )(y  )  1 - 0  x y   b   2  1 x   a    x
(a  2)(b  2)  9 - a b  3 - a  5 -   Đặt       1 ab 10 ab 10   -  -    b   5 y   b -  y     a  2 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 119
Tất cả vì học sinh thân yêu
Do vai trò của x, y là như nhau nên ta xét 1 TH của cặp ,
a b rồi hoán đổi lại. 2 2 2
(x y) x  7  y 2y 1  xy  2y
Câu 35 : Giải HPT :  2 2 2
2x x  7  (x y) 2 y  1  3xy - x  x  0 Ta thấy 
thỏa mãn là một cặp nghiệm của hệ y  0  Xét 2 2 x y  0 Dùng định thức ta có : 2 2
D x y  2 2
D  2 y(x y ) x  2 2
D  -x(x y ) y   Dx x   2 y   D    x  2
- x x y  0 (Loại) Dyy   -x   D Kết hợp  ( ;
x y)  (0;0) là nghiệm duy nhất
(x y) 2xy  5  4xy - 3y 1 
Câu 36 : Giải HPT : 
(x  2 y) 2xy  5  6xy x - 7 y - 6  2.(1) - (2)
Xét hệ mới : 3.(1) - 2.(2) 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 120
Tất cả vì học sinh thân yêu
x - y - 3  (2xy - 5) - x 2xy  5  
(x - y) 2xy  5  5 y - 2x  15 
x - y - 3  (2xy - 5) - x 2xy  5   
(x - y - 3)( 2xy  5  5)  3(x - 2xy  5) 
 (2xy  5 - x 2xy  5)( 2xy  5  5)  3(x - 2xy  5)
 (x - 2xy  5)(2xy  5  5 2xy  5  3)  0
x  2xy  5  
2xy  5  5 2xy  5  3  0 
Có 2xy  5  5 2xy  5  3  0 2 x - 5
x  2xy  5  xy
.Thế vào PT(1) ta được 2 2 2 x - 5 3(x - 5) 2 2 x   2(x - 5) -  1 2 2x 3 2
x - 3x -13x  15  0  x  -3(L) 
x  5  y  2 
x  1  y  2 -  2
y x xy - 6 y  1  0
Câu 37 : Giải HPT :  3 2 2
xy x y x - 8 y  0 
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 121
Tất cả vì học sinh thân yêu Lấy 2 2
(1) - (2)  xy( y x -1)  (3y -1) Lại có 2
xy  (x y -1)  2(3y -1) 2
xy,( y x -1) là 2 nghiệm của PT 2 2
X - 2(3y -1) X  (3y -1)  0  X  3y -1 xy  3y -1   2
x y -1  3y -1 
Thấy y  0 không phải nghiệm của hệ. 3y -1 Thế x  vào PT(2) ta được : y 3y -1 2 3 2
y  3y y - 3y  3y -1  0  y  1 -  x  4 y  3x y 3x - y   8 2 2   x - y
Câu 38 : Giải HPT :  3x - y 3  x y   7 2 2  x - y  Đặt 2 2 2 2
x y a
2b a a b  2a b  8ab
2a(b  1)  b(a  1)  8ab      2 2 2 2
x - y b
2a b ab  2b a  7ab
2b(a  1)  a(b  1)  7ab   ( ab  0 ) 2 2
2a(b  1)  b(a  1) 8 2 2  
 2a(b  1)  3b(a  1) 2 2
2b(a  1)  a(b  1) 7
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 122
Tất cả vì học sinh thân yêu Mà có 2 2
3a(b 1)  3b(a 1)  15ab  3  5 b   2 2 2
 5a(b  1)  15ab b - 3b  1  0   3- 5 b    2 2 3  5 b  1 Với 2 b   a  1  2 . a
 2a a  1 2 3bx y  1    3  5 x - y    2 2 3 - 5 b  1 Với 2 b   a  1  2 . a
 2a a  1 2 3bx y  1    3 - 5 x - y    2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 123
Tất cả vì học sinh thân yêu
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP
ĐÁNH GIÁ PHẦN SAU BẰNG CASIO THẦY QUANG BABY Bài 1 : 2
2x - 3x - 2  x 2x - 5  2( x - 2) 2x - 2 Bài 2 : 3 2
x 2x - 5  2(x - 2) 2x - 2  x - 7 x  24x - 29 Bài 3 : 2 2
5x 2x  5 - (x - 1) 3x - 3  32x  114x  99(1) 6 BÀI 2 : 2
2x  5x  6  7x 11  4x  9 , Điều kiện : x  - 5
Bước 1 , dò nghiệm ta được 2 nghiệm : x = 2 , x = -1 . 2
2x  5x  6  7x 11  4x  9 2
 2(x - x - 2) -  x  2 - 5x  6  -  x  3 - 7x 11  0      1 1 2 
 (x - x - 2) 2 - -  0   
x  2  5x  6
x  3  11x  7 
Bước 2 , ta chứng minh biểu thức trong ngoặc luôn dương  1 1 
Ta đặt : f (x)  2 - -   
x  2  5x  6
x  3  11x  7 
Chứng minh f (x)  0 , bằng việc sử dụng casio , chức năng Table như sau : 1
Nhập mode , 7 , g(x) 
, start -6/5 , end 5 , step 0,2 thấy g(x) lớn hơn 1,25 , vậy ta tách
x  2  5x  6 5 1 3 1 biểu thức -  0, còn lại ta có - 4
x  2  5x  6 4
x  3  11x  7
Việc còn lại các em biến đổi tương đương thôi .
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 124
Tất cả vì học sinh thân yêu  1 1 
Bước 3 : Kết luận : 2 2 (x - x - 2) 2 - -
 0  x - x - 2  0   
x  2  5x  6
x  3  11x  7  Nghiệm : 1 - .25  x  1 - hoặc x  2
Video hướng dẫn : https://www.youtube.com/watch?v=fGcVf77I-9g x  1
Giải bài 3 : Điều kiện :  2 - .5  x  1 - 
CHÚNG TA GIẢI MỘT BPT CŨNG GIỐNG NHƯ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH , GỒM CÁC BƯỚC SAU :
Bước 1 : Casio ta tìm được nghiệm kép , các em bấm Shift + Cal thì sẽ thầy Eror , nhưng thực tế không
phải là vô nghiệm , các e thử nhật : Mode , 7 , f(x) = VT – VP , Start -2,5 , end -1 , step 0,2 . Các em sẽ thấy x
= -2 thì f(x) = 0 và không đổi dấu , vậy ta sẽ có f(x) = 0 có nghiệm kép
BƯỚC 1: DÒ NGHIỆM : Dùng casio phát hiện ra nghiệm kép (qua chức năng Table ) : x = -2
Tiếp đến chúng ta tạo lien hợp cho các căn : 2x  5  ax b : sử dụng điều kiện để 2 đường tiếp xúc :
f (x)  g(x)  2 - a b  1 
xét tại điểm có x = - 2 ta có hệ : 
f '(x)  g '(x)  a  1 
Vậy ta có được liên hợp : 2x  5 - (x  3) , làm hoàn toàn tương tự ta sẽ có : 2
3x - 3  (2x  1) 2 2
(1)  5x( 2x  5 - x - 3) - (x -1)( 3x - 3  2x 1)  25(x  4x  4)  5x x -1  2 2
 (x  4x  4) -
 25  0  (x  2) . f (x)  0   2
2x  5  x  3  3x - 3 - 2x -1  5x 5x f (x)  -  25 2
2x  5  x  3 3x - 3 - 2x -1
BƯỚC 2 : XỬ LÝ BIỂU THỨC TRONG NGOẶC :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 125
Tất cả vì học sinh thân yêu 5x x -1 Xét : f (x)  -
 25 , ta chứng minh nó luôn dương với mọi x thuộc tập 2
2x  5  x  3 3x - 3 - 2x -1 xác định
+)Đầu tiên ta khẳng định rằng : x  1thì f (x)  0 , chỗ này em cứ dung table , mode 7 , star 1 , end 100 , step 10 xem , sẽ thầy +)Xét 2 - .5  x  1 - ,dung chức năng table ta thấy 5x x -1 f (x)  -
 25  0 (bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 2
2x  5  x  3 3x - 3 - 2x -1 0,2) x -1
Chọn riêng hàm g(x)  -
(bấm mode 7 , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 0,2) thì ta 2 3x - 3 - 2x -1 5x
thấy g(x)  -25 , vậy ta sẽ có
 25  0 , cái này các em dễ chứng minh bằng biến đổi
2x  5  x  3 tương đương .
Vậy trên tập xác định thì f (x)  0 , vậy 2
(1)  (x  2)  0  x  -2 Đáp sô : x = -2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ ,
THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126