Tuyển tập những bài phương trình, hệ phương trình hay – Nguyễn Đức Thắng

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác giả Lê Văn Đoàn
+ Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH – tác giả Đặng Thành Nam
+ Các bài toán trong đề thi thử THPTQG
Về lời giải:
+ Các lời giải của thầy Nguyễn Tiến Trung, thầy Trần Quốc Thịnh, Dương Văn Vũ, Phùng Quyết Thắng, Phong Hồng, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Châu Thanh Hải
+ Các lời giải của bạn Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngô Văn Tiệp, Nguyễn Nam, Trần Lương, Peter Thái Học
+ Một vài bài là lời giải của mình
Chúc các bạn học tốt!

209 105 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

Tuyển tập những bài

PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 2

LỜI NÓI ĐẦU



                   

 !



Về đề bài:

 Các 



 

 Các bài toán trong sách Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác gi Lê Vn oàn;

Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –

tác gi ng Thành Nam; ...

 

Về lời giải:

              



Hai, ...

        



 



TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 3

Bài 1: 

x y x y

y x y



   











Cách 1:



12x y x y   



 

12 12y x y  

hay

12 12 12

  

    

(1)



12 12



  









0y 



144 12 12yy



  

  





 

12 12 144y y y     

  

4 3 0y y y   





































     

; 5;3 ; 5;4xy 



Cách 2:

Trường hợp 1:

0xy



x y a

và

x y b



 

b ab

b a ab





















   

2 2 2

60b ab ab b a   

   

3 2 0b b a b a b a    



 

;xy

Trường hợp 2:

yx



y x a

và

x y b  



 

ab b

ab a b

















TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 4



Cách 3:



12x y x y   

 

12x y x y    

12 72

  





(2) (sau khi xét

12y 







Bài 2: 

 

3 1 2 1

x x x    

Cách 1:



 

1 2 1 2

xx     





2 2 0

xx    

 





2 2. 2 2





  



   





0x



 

3 1 2 1

x x x    









4 2 5 4 3 1 7 1 0x x x x        

 





   

  

1 63 78 3

1 15

4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x

x x x x

  



  

  

     

 





   

63 78 3 15

4 3 1 7 1

16 2 4 5 2 5

x x x

x x x x





  

   



  

     









Cách 2:

Xét

2x 

thì

 

3 1 1 2 2

x x x x      

xx   

(vô lý)

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 5

Xét

2x 























Suy ra

 

3 3 5 4

1 3 1 2

2 4 3

x x x



      

1x

1x 

nên suy ra

 

3 3 1

3 1 1 2

x x x



     

 

3 1 0x  

1x



Bài 3: 

 

1 2 2



   





2x 



  

 

1 2 2



   



  

 

2 2 2 2 4

1 2 2

x x x

    

    



 

2 2 4

2 2 1 0



  



     







   

 

2 2 2 2 4 1 2 3 0x x x x x x



          



 

2 2 4 2 1 1 1 0x x x x x x x



           



 

  

2 2 4 2 1 1 2 1 2 1 0x x x x x x x x x



               



  

 

2 2 2 1 1 2 3 0x x x x x x x



           



Chú ý:

 

1 11

1 2 3 2 2 0 2

x x x x x x x x



               







2 2 0

2 1 0



  





   







TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 6



Bài 4: 

 

5 16 1 20 5 5 9x x x x x      



5x 

Chú ý:

5 16

5 9 5



  





x 





 

1 5 9 5 20x x x x     

  

1 5 9 5 1 20x x x x x       

  





1 5 9 5 1 20x x x x x       

 

2 5 2 5 1 20x x x x x      

 

   

 

2 4 5 3 4 5 4 4 5x x x x x x        









4 5 4 2 4 5 3 4 0x x x x x x         





Bài 5: 

   

2 2 5 1 5 7 5x x x x x      



55x  



 





 





2 2 5 2 1 5 3 0x x x x       

       

2 2 1 1 1 2 2

5 2 5 3

x x x x x x

     

  

   

  

 

2 1 0

5 2 5 3







    



   



TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 7

     

2 5 2 1 5 2 5

x x x x x







  



      





Xét

     

2 5 2 1 5 2 5x x x x x      



     

   

2 5 2 1 5 2 5

2 2 5 1 5 7 5

x x x x x



      





      





Xem

5 x

và

5x 







Bài 6: 

2 2 2

1 2 1 6 2x x x x x      



10xx  

và

2 1 0xx  



x



AM GM



   

2 2 2 2

1 1 1 2 1 1 1

6 2 1 2 1 2

x x x x

x x x x x x

       

          



6 2 2xx  

hay

0x 



Bài 7: 

   

 

2 2 2

4 1 5 1 1 2 4 4x x x x x x x x          



 

4 1 5 1 0

1 2 4 0

x x x x x

x x x



     





    





Chú ý:

 

4 1 5 1 0x x x x x     

suy ra

x 



 

4 3 2 2

2 2 9 8 8 4 1 5 1x x x x x x x x x         

 

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x x

x x x x

x x x x x x



     

      

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 8

 

8 4 5

2 2 7 0

4 1 5 1 2 1

x x x x

x x x x x x







     



      



Chú ý:

2 2 7 0x x x   

;

4 5 0xx

và

 

4 1 5 1 2 1 0x x x x x x       



x 



0x 



Bài 8: 

 

2 4 0

2 2 3

xy x x x x

xy x x xy



     





    







xy x

  

















0x 



1 1 4

y x x y



    









    













và

xb



1 1 4

a b ab



   





  





  

2 1 1 14

a b a b

a b ab



    







  





(*)



3a b ab  



2 4 11ab ab ab   





Câu 9: 

 

   

 

2 4 2

4 12 16 9

1 1 1 1 0

x y y

x y y x x y



  





      







0x 

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 9



xa

và

yb



      

4 12 16 9

1 1 1 1 0

a b b

a b b a a b



  





      







16 12 9







5 4 3 2

256 192 32 148 139 29 0b b b b b     

(*)



3 3 2

256 4 148 139 29 0 0

b b b b b b



       









Bài 10: 

2 4 4 2 1 3x x x x     



 

2 2 2

2 1 3x x x x x      

Chú ý:

     

2 2 2

2 1 2 1 2 1 3x x x x x x x x x              



0x 





Bài 11: 





3 2 2

5 14 9 2 2 1 1x x x x x x       



5 14 9 0

2 1 0

x x x



   





  









3 2 2

5 14 9 2 2 1 1x x x x x x       





3 2 2

2 5 14 9 2 2 1x x x x x x        

   





3 2 3 2

2 2 1 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x x x x x x x



    

         

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 10

   





3 2 3 2

2 1 2 0

2 2 5 14 9 5 14 9

x x x x x x x x







    



         









Bài 12: 

























 

3 2 2 2

78 20

78 15

x xy y x y

y x y x x y



   





   





Xét

0x 



0y 









 

4 2 2 2 2

78 20

78 15

x x y xy x x y

y x y xy y x y



   





   







 

    

4 4 2 2 2 2 2 2

20 15 20 15 0x y y x y x y x y x y         

3 2 2

20 15 0x xy x xy    



 

3 2 2

3 2 2 2

20 15 0

78 20

x xy x xy

x xy y x y



   





   







2 15 78 20xy xy y y  

Hay

2 15 78 20xy x y  



2 15 78 20 0

20 15 0

xy x y

x y x y

   





   







Bài 13: 

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 11

 





1 1 2 2 1 1x x x x x x      



 





1 1 2 2 1 1x x x x x x      





 

2 2 1 1 1 1x x x x x x x       

 

2 2 1 1 1 1x x x x       

 

2 2 1 1 1 0x x x x x x



        



 

3 1 3 1

2 2 1 1

x x x x

   

  



   





Bài 14: 

2 3 2

4 6 2 7 12 6x x x x x      



7 12 6 0

4 6 0

x x x



   









2 3 2

4 6 2 7 12 6x x x x x      

 





2 3 2

2 7 12 6 4 6 0x x x x x        

 





3 2 3 2

7 12 6 4 6

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6

x x x x

x x x x x x x x



    



   



         





 

  





 

2 4 3 2

3 2 3 2 3 2

2 14 75 144 90

7 12 6 7 12 6 4 6 4 6 7 12 6 4 6

x x x x x

x x x x x x x x x x x x

    

   



              









Bài 15: 

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 12

2 3 2

4 5 5 1 0x x x x x      



10x x x   

hay

1x 



2 3 2

4 5 5 1 0x x x x x      

 





2 3 2

5 1 1 0x x x x x x        

 

x x x



   

  

 





   



  







Bài 16: 

4 6 3 2 2x x x x x      



4 6 0



  



  











4 6 0x x a   

và

30x x b   







 

3 16 4a b b a   

 

3 2 2

19 31 49 61 0a b a a b ab     



ab





Bài 17: 

 

3 2 1 2 1 4 4 1 8x x x x     



x 

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 13



2 1 2 1 2x x a    

suy ra

2 4 4 1 8a x x  



32aa





Bài 18: 

2 6 2

2 3 2

y x y

x x y x y



   







    





x x y









  





Xét

0y 



Trường hợp 1:

0y 



y y y y

   

y y y y



     





Trường hợp 2:

0y 



y y y y

   

y y y y



     









Bài 19: 

 

2 2 3





  





 

2 2 3





  



     

4 3 2

2 2 8 6 2 4 6 2 8 2 2 0x x x x         

     

1 2 3 2 5 4 2 2 1 0x x x x



         





TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 14



Bài 20: 

 

1 2 1 2 2 2

x x x x

      





1x 

Cách 1:



 

1 2 1 2 2 2

x x x x

      



 

1 1 1 1 2 2 2 0

x x x x x



          







 

2 2 2 0

1 1 1





     



  



 

2 1 2 2 1 0

1 1 1







       





  







 

2 3 2 3

1 1 1

2 2 2 2 1







   



  

   





  

 

2 2 3 0

1 1 1

2 2 2 2 1





    



  

   





















Cách 2:



2 2 0

1 1 1



   

  







2 2 0

1 1 1



   

  

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 15

 

2 2 0

1 1 1

x x x



    

   

 

   

 

2 1 1

1 2 2 1 0

2 1 2 1 2 1 2 1 1

x x x x x





       



      





 

2 3 1

2 3 2 3

2 1 2 1

2 1 2 1 1

2 2 2 2 1

x x x



   



  

   

   







Bài 21: 

 

2 3 3 21 2

  







 

2 3 3 21 2

  





 

3 3 2 21 2 3 3x x x x      

 

3 3 3 1 2 2 2 3 3 3x x x x x x         



3x 



   

1 2 1 2

    



  



 

2 2 0xx



   







Bài 22: 

1 2 9 18 14 53x x x x x      















1 2 9 18 14 53x x x x x      

(1)

 





1 14 53 2 9 18 0x x x x x        

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 16

 

19 3

1 1 0

14 53 2 9 18

x x x x





   



    



Xét

19 3

14 53 2 9 18

x x x x





    

14 53 2 9 18 19 3 0x x x x x        

(2)





Bài 23: 

1 2 2 3 3 1 1x x x x x x x         



1x 

Chú ý:

 

1 2 2 3 3 1 2 3 1 5 1 1x x x x x x x x x x x                



1x 



Bài 24: 

3 2 2 2 2

2 4 1 3 2 15 2x x x x x x x x      



2 4 1 0x x x   

x



3 2 2 2 2

2 4 1 3 2 15 2x x x x x x x x      









2 2 2

3 2 1 15 2 4 1 0x x x x x x x        

 

6 1 0

3 2 1 15 2 4 1

x x x x x x



    



     







Bài 25: 

   

 

3 3 3 3

3 1 2 1 1 2 1 2 2

x y y x

xy xy

y x x y x x



  











         







TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 17

     

xy x y x y x y

xy xy xy

   





  

3 3 1

xy xy x y xy xy









    





Xét

  

3 3 1xy xy x y xy xy    



  

 

1 2 1 2xy xy x y xy xy      

Chú ý

 

       

1 2 1 2 1 2 2xy xy xy xy x y xy xy xy          

Suy ra

    

 

4 2 4 2

1 2 1 2 2t t t t t     



t xy

Hay

 

1 2 2 0t t t t   

(vô lý)

1t

        

1 2 0







  















 

1xy 

thì

1xy





xy



    

3 1 2 1 1 1 2 1 2 2x x x x x x        

 

2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 0x x x x x x           

  

2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0x x x x x x x              

 

  

2 1 1 1 2 2 1 2 1 0x x x x x



         







Bài 26: 

2 5 4 2 4 1x x x x     



x  



x

Chú ý:

   

2 5 4 2 2 5 4 2 3x x x x       

Suy ra

4 1 3xx  

hay

 

20x 

2x

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 18

Bài 27: 

     

3 1 2 2 5 7 3 2 2 4 4 3 0x x x x x x        



x 



       

3 1 2 2 5 7 3 2 2 4 4 3f x x x x x x x        

Xét

4x 

thì

 

0fx

Xét

24x

thì

     

3 1 2 2 6 2 4 4 3 7 6 6 16 0f x x x x x          

Xét

x



3 2 5

4 3 2 1





















Suy ra

       

3 2 5 4 3 2 1

3 1 5 7 3 2 2 4 0

f x x x x x

   

   

       

   

   

1x



Bài 28: 

6 2 3. 5x x x x    



x 



6 2 3. 5x x x x    

 

6 1 2 3 2 3 5 1x x x x x x x          

 

   

3 2 2 3

2 3 3 5 1 2 3 0

5 1 5 1

x x x

x x x x

  



        



     

   

 

   

3 5 1 2 3

3 2 2 3

2 2 3 3

5 1 5 1

x x x x

x x x

x x x x



    

  



  



     





TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 19

Bài 29: 

2 2 3 1

10 21 3 2

x y x y

x y y



   









  





2x y a

và

x y b



2 2 2 2

2 3 1

3 7 21 2 2

a b a b













    











8 10

39bb





...



Bài 30: 

 

4 3 2

3 2 0

3 4 6 4

x x y y

x x x x x

y y y y y



    





     



    



     

     



Xét

0y 

             

x x x

y y y y



   







4 3 2

3 4 6 4

x x x

y y y y

x x x x x

y y y y y





   











     





    

     



     





4 3 2

6 4 2

2 2 0

x x x x x

y y y y y y

     



     

     

     

(*)











và

1 b





20a ab b  





TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 20

Bài 31: 

 

x y x y



  







  





 

x y x y



  







  



 

2 4 4 4

x x y x

x y x y



  









  



 

   

2 4 4 4

2 2 2 4 4 4

9 4 4

x x y x

x y y x y x y



  









    





     

4 4 4 2 2 4 4 4

2 4 4

x y x y y x y x y

      

Hay

   

4 4 4 2 2 4 4 2

1 32 4 4 0



     



x y x y y x y y

   

4 4 3 4 2

2 1 36 0



    





x y y x y

Trường hợp 1:

 









  





x y x y

hay

0xy

(vô lý)

Trường hợp 2:

 

2 1 6 0



  





  





y x y

x y x y

   

3 2 4 4

2 1 6 0

3 2 6 2



  







   





y x y

x y y x y x y

2 2 4

2 1 6 0

3 6 2



  













y x y

x x y x

2 6 1

2 6 3

















y x y

x xy























Trường hợp 3:

 

2 1 6 0



  





  





y x y

x y x y

2 6 1

2 6 3

















y x y

x xy



z x yi

, ta suy ra

 

3 2 2 3 3

     

x xy x y y i z

Ta có:

 

3 10 10 cos sin

10 10





    



















 

cos sin



  zi

5 2 2

cos sin

2 3 3

   





  







0,1,2k

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 21



cos

sin

























0,1,2k



Bài 32: 

x y x y









  







 

   

7 4 3x y x y x y   





Bài 33: 

x x y



   







   







1x x a  

và

yb

suy ra

21xa

  



1 1 1











   









Bài 34: 

 

3 2 2

4 1 2 2

x x x x y xy











     





 

3 2 2

4 1 2 2

x x x x y xy











     



   

 

4 1 1 1 1

x y x y

x x x x y x



   







      





TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 22

   

 

2 1 1 1

x y x y

x x x y



   







    





   

 

     

2 2 2 2

2 1 1

x y x y

x x x y x y x y



   









       







   

 

2 1 1 0

x y x y

x x x y



   







    





xy  



Bài 35: 

  

3 2 2 2 2

3 6 5 2 6 3 1

2 4 2 3 2 1 2 2

x y y x

x y y x x y x y x



     









          





23x y a  



3 4 2 8 3 6a a a a   

Chú ý:

2 2 2 2

3 4 2 8 3 8 3 6

a a a a a a



       

2a

21xy  



  

3 2 2 2 2

1 1 4 2 2x x x x x x x x x           

4 3 2 2 2

2 2 3 1 4 0x x x x x x x x           

   

2 2 2 2

3 1 4 0x x x x x x x x           



1x x b  



4 2 2

3 3 0b b b b     

 





4 2 2

1 3 2 0b b b b       

 

  

1 1 0

b b b



     



 

1 1 0

b b b





     











Bài 36: 

 

2 2 1 2 1xx   



0 2 1x  



22xz

và

 

2 2 1 2xy  

21yx   

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 23



 









  









Bài 37: 

   

4 2 1 2 2 4 2

x x x x

     





  



24x



 

    

9 16 2 2 4 4 2 4 2 3 11 0x x x x x x x x            

 

      

2 4 2 1 2 2 4 4 4 2 6 14 0x x x x x x x x x x



                







Bài 38: 

1 2 1 13

5 3 3 1



  

   



xa



3a 



1 2 1 13

5 3 3 1



  

   

Ta có

 

1 1 1

2 6 5

173 2 1

200

a a a



  

  













  



























Suy ra

       

 

2 1 173 2 1 13 2 7 1 118 833 1502

1 2 1 13 13 1

5 2 6 5 200 5 200

2 6 5

5 3 3 1

a a a a a a a

a a a

      



      



   





TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 24

Bài 39: 

5 5 0

2 2 3

x y y y



  





     







2 2 3

x y y y













     







   

2 1 2 1x x y y      





Bài 40: 

4 3 3 3

xy xy x

x y x xy xy



  





  







 

4 1 0

y y y









      







 

4 1 4 3 3 1 0x xy x y x



     

















Bài 41: 

3 4 8 0x x x x    



0x 

Cách 1: 

xa

, 

4 2 2

8 3 4 0a a a a    

  

 





2 2 2 3 4 0       a a a a a a

  

 





2 2 2

3 2 2

2 2 2 0

a a a a

a a a

a a a a

  

     

   

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau

Page 25

   

 





2 2 2

2 2 2 0

a a a

a a a a







     



   









Cách 2: 

3 4 8 0x x x x    

2 2 3

3 4 8 0

x x x x x

   

       

   

   

3 4 8 0

2 2 2 4

x x x

x x x x x



   

        



   

   







Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/25

| | Tải xuống

Preview text:

NGUYỄN ĐỨC THẮNG Tuyển tập những bài PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
MỘT THỜI ĐỂ NHỚ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) LỜI NÓI ĐẦU
Những bài phương trình, hệ phương trình đẹp và hay là niềm đam mê một thời cûa nhiều học
sinh cçp 2 và cçp 3. File này mình tuyển chọn và trình bày läi những bài phương trình, hệ
phương trình mà mình câm thçy hay !
Mình lçy các đề toán và lời giâi từ nhiều nguồn:
Về đề bài:
 Các bài toán trong Nhóm Toán, Nhóm LIKE, Nhóm Giao lưu Toán (Diễn đàn Toán
học BoxMath), Nhóm Học tập, ...
 Các bài toán trong các file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, ...
 Các bài toán trong sách Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác giâ Lê Văn Đoàn;
Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –
tác giâ Đặng Thành Nam; ...
 Các bài toán trong đề thi thử THPTQG
Về lời giải:
 Các lời giâi cûa thæy Trung Nguyentien, thæy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu,
Phùng Quyết Thắng, Phong Hong, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Chau Thanh Hai, ...
 Các lời giâi cûa bän Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngô Văn Tiệp, Nguyễn Nam,
Træn Lương, Dinh De Tai, Peter Thái Học, ...
 Một vài bài là lời giâi cûa mình Chúc các bän học tốt !
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 2
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 1: Giâi hệ phương trình 2 2
x  y  x  y 12  2 2
y x  y  12  Cách 1: Thế 2 2
x  y  12  x  y từ phương trình thứ nhçt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được 2 12
y 12y 12
y 12  x  y 12 hay x   y  12  (1) y y
Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được 2 2
 y 12y 12  2 y 
  y 12 (nhận thçy y  0 không là nghiệm cûa phương trình)  y  x  5  2 2 144
 y 12y 12   y  3 2      y   
y 12 y 122 2 4  
 y y  4 y 3  0 2 y 144 y  y  x  5  y  4
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  ;
x y  5;3;5;4  Cách 2:
Trường hợp 1: x  y  0 2 b   ab 12 Đặt 
x  y  a và x  y  b thì ta có hệ  2 2 b  a  ab  24
Nhận thçy phương trình thứ hai có bậc 4 và phương trình thứ nhçt có bậc 2 nên ta bình phương
hai vế phương trình thứ nhçt để thế vào phương trình thứ hai
Hệ suy ra b  ab2 2  ab 2 2 6
b  a   0  bb  3ab  2ab  a  0
Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm  ;x y
Trường hợp 2: y  x 2
ab  b 12 Đặt 
y  x  a và x  y  b thì ta có hệ  ab   2 2
a  b   12
Thực hiện tương tự trường hợp 1 đã xét.
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 3
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)  Cách 3: 2   
Phương trình thứ nhçt cûa hệ suy ra y 12 y 72 2 2
x  y  12  x  y  x  y    x  y2 2 2 12  x  y 12
(2) (sau khi xét y 12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên)
Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y . 
Bài 2: Giâi phương trình: 3 2 3 3 3x 1  2  x  x   1 2 Cách 1:
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 3 x   3 3 3 3 1  2  x  1   2 2 2   3 2    3 x x   3 3 3
2  2  x   0  x   0    x  0 2 2  3 2 3 3  2. 2  x   3 2  x 2 2 3 3   
Phương trình tương đương 3 2 3 3 3x 1  2  x  x   1 2   3 3
 x  x   2 4 2 5
4 3x 1  7x   1  0 x  1 2
63x  78x  3
x  1x 15     0 3
 x 2  x   3
 x  x   2 2 3 3
4 3x 1  7x 1 16 2 4 5 2 5          x   2 63x 78x 3 x 15 1      0  3
 x 2  x   3
 x  x   2 2 3 3
4 3x 1  7x 1 16 2 4 5 2 5   
Đến đåy bän đọc tự giâi ...  Cách 2: Xét 3 3 5 x  2 thì 2 3x 1  x   3 3 1 
2  x  2x  2
 x  6x   0 (vô lý) 2 2 4
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 4
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 2  3x  5 2 3x 1   Xét 
x  2 , ta có các đánh giá 4  3 4  x 3 3 2  x   3   Suy ra 3 x   2 3 3x 5 4 x 2 3 3
1  3x 1  2  x    x 1 2 4 3 Do 3 3x 1 x  1 nên suy ra 2 3x 1  x   3 3 1  x  2   x  2 3 1  0  x 1 2 2 
Bài 3: Giâi phương trình: 2
x  2x  8  x 1 x  2 2 2    x  2x  3
Điều kiện xác định: x  2 
Khi đó phương trình tương đương
x2x4  x1 x22 2    x  2x  3
 x2 2 x2 2x4   x 1 x  2  2 2    x  2x  3    x   x   x  2  2  2 2 4   x 1  0 2  x  2x  3   
  x    x  
x x  2 2 2 2 2 4
1 x  2x  3  0 
  x   x  
 x x x  2 2 2 4 2 1
1 x  x   1   0 
  x2 2 x4 
 x2x 1x 1 x2x 1 x2x 10 
  x    x   x     x   2 2 2 2 1 1
x  2  x  x  3  0   Chú ý:    x   1
x  2  x  x  3   x  2 2 3 1 11 2
 x  2  x    0 x   2     2  4    
Vậy phương trình tương đương x 2 2 0 
 x  2  x 1 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 5
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 
Bài 4: Giâi phương trình:  x   2 5 16 x 1 
x  x  20 5  5x  9 
Điều kiện xác định: x  5 5x 16
Chú ý: 5x  9  5  (sau khi đã xét 16 x 
không là nghiệm cûa phương trình) 5x  9  5 5 Phương trình trên suy ra x   x    2 1 5 9 5  x  x  20
  x   x   2 1 5 9  5 x 1  x  x  20
 x   x     x   x  x  2 2 1 5 9 5 1 20 2
 x  x   x   2 2 5 2 5
1 x  x  20
  2x  x   x   x  2 2 4 5 3 4 5
4 x  4x  5
  2x  x  x  2 4 5 4
2 x  4x  5  3 x  4   0
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 5: Giâi phương trình: x   2
 x  x   2 2 2 5 1
x  5  7x  5
Điều kiện xác định:  5  x  5
Phương trình tương đương x   2
 x  x  2 2 2 5 2 1 x  5  3  0
2 x  21 x x   1 x  
1  x  2 x  2    0 2 2 5  x  2 x  5  3      
x   x   2 x  1 x 2 2 1     0 2 2  5  x  2 x  5  3
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 6
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) x  2   x  1   x  2 2
5  x  2  x   2 1
x  5  2  x  5 Xét x   2
 x  x   2 2 5 2 1
x  5  2 x  5 kết hợp với phương trình ban đæu ta có hệ x  2   2
5  x  2 x   2 1
x  5  2 x  5  2  x  2 2
5  x   x   2 1
x  5  7x  5 Xem 2 5  x và 2
x  5 là hai èn cûa hệ phương trình bậc nhçt hai èn
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 6: Giâi phương trình: 3 2 3 2 2
x  x 1  2x  x 1  6x  2 Để ý thçy 2
x  x 1  0 và 2
2x  x 1  0 với mọi x 
nên ta áp dụng bçt đẳng thức AM GM như sau
x  x 1 11
2x  x 1 11 2 2 2  2   2 3 3  2 6x  2 
x  x 1  2x  x 1    x  2 3 3 Từ đó suy ra 2 2
6x  2  x  2 hay x  0 
Bài 7: Giâi phương trình:
x x  x    x  x   x  x  2 2 2 2 4 1 5 1
1  2 x  4  4 4x   2 x  x   2
1  x  5x 1  0 Điều kiện xác định:
x  x  2 2
1  2 x  4  0 Chú ý: x 2 x  x   2 4
1  x  5x 1  0 suy ra 1 x   2
Ta bình phương hai vế cûa phương trình để được 4 3
x  x  x  x   x  2 x  x   2 2 2 9 8 8 4
1  x  5x 1  x x  x 
 x x  2x  2x  7 8  2 4 5 3 2    4x  0 2 x  x   2
1  x  5x 1  2x 1
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 7
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)   8 2 4x  x  5  3 2  
 x x  2x  2x  7     4x  0 2 x  x   2
1  x  5x 1  2x 1   Chú ý: 2 2 3 2
x  2x  2x  7  0 ; 2
4x  x  5  0 và
4x x  x  
1  x  5x 1  2x 1  0 với mọi 1 x   2
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x  0 
Bài 8: Giâi hệ phương trình: 2
 xy  x  2  x  x  4 x  0   2
xy  x  2  x   xy2 3
xy  x  2  0 
Điều kiện xác định: xy  2  0 x  0   2
 y  1  x 1  4  x
Nhận thçy x  0 không là nghiệm cûa hệ nên hệ tương đương   2  2  y 
 x  x y   3    x   x       Đặt 2 a b y 
 a và x  b hệ tương đương s 1 1 4  x
a  b  ab  3
a b  2 a   1 b   1  14   (*)
a  b  ab  3
Thế a  b  ab  3 lên phương trình thứ nhçt cûa (*) suy ra 2 ab  ab  4 11 ab
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Câu 9: Giâi hệ phương trình: 2 4
4 x 12y 16y  9   x   2 y   4 1  y 
 x  1 x  1 2y  10
Điều kiện xác định: x  0
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 8
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 2
4a 12b 16b  9
Đặt: x  a và 2
y  b thì hệ tương đương  2 a  b   2
1  b a   1  a   1 b   1  0 2  
Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta được 16b 12b 9 a 
thế xuống phương trình thứ hai để được 4 5 4 3 2
256b 192b  32b 148b 139b  29  0 (*) 2 Chú ý: (*) tương đương  3  3 3 2 256b b 
 4b 148b 139b  29  0 b   0    8 
Vậy hệ phương trình vô nghiệm 
Bài 10: Giâi phương trình: 2 2
2x  4x  4 
2x  x 1  3
Phương trình tương đương
x   x  2 2 2 2 2
 x  x  x 1  3
Chú ý: x  x  2 2 2 2 2
 x  x  x 1  x  2  1 x  x  21 x  3
Vậy x  0 là nghiệm cûa phương trình 
Bài 11: Giâi phương trình: 3 3 2 x  x 
x   x   2 5 14 9 2
x  2x 1   1 3 2
x 5x 14x 9  0 Điều kiện:  2
x  2x 1 0 3 3 2 x  x 
x   x   2 5 14 9 2
x  2x 1   1   3 3 2
x   x  x  x   2 2 5 14
9  2 x  2x 1 2 x  2x 1 2 
 2 x  2x 1  0
x 2 x 2 3 2
x  5x 14x  9   3 2
x  5x 14x  9 2 2 3 3
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 9
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)   2  x  2x 1  2
 x  2x 1  2  0  
x  2  x  2 3 2
x  5x 14x  9   3 2
x  5x 14x  9 2 2 3 3   
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 12: Giâi hệ phương trình:  78 y x   20  2 2  x  y  78x y  15 2 2  x  y 3 2
x  xy  78y  20   2 2 x  y  Hệ tương đương:  3 2
y  x y  78x 15   2 2 x  y 
Xét x  0 hoặc y  0 đều không thôa mãn hệ 4 2 2
x  x y  78xy  20x   2 2 x  y 
Nhån phương trình đæu với x và phương trình hai với y để có hệ  4 2 2
y  x y  78xy 15y   2 2 x  y  Trừ vế theo vế: 4 4 x  y    y 2 2
x  y    2 2 x  y  x  y 2 2 20 15 20 15 x  y   3 2 2
0  x  xy  20x 15xy  0 3 2 2
x  xy  20x 15xy  0 Ta có hệ:  3 2
x  xy  78y  20   2 2 x  y 
Lçy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình thứ nhçt, ta được 2 2
2xy 15xy  78y  20y Hay
2xy 15x  78  20 y
Vậy cuối cùng ta có hệ: 2xy 15x  78  20y  0  2 2
x  y  20x 15y  0
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 13: Giâi phương trình:
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 10
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)   x  2 1 1
2x  2x 1  x   1  x x
Phương trình tương đương   x  2 1 1
2x  2x 1  x   1  x x  x 2
2x  2x 1  x  
1  x x  x 1   1 2
 2x  2x 1  x 1   x 1   1 2  2x 2x 1 x  x  1      
 x 1 x  0   2 2 x  3x 1 x  3x 1    0 2
2x  2x 1  x  x   1 x 1 x
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 14: Giâi phương trình: 2 3 3 2
4x  6  2  x  x  7x 12x  6 3 2
Điều kiện: x  7x 12x  6  0  4x  6  0
Phương trình tương đương 2 3 3 2
4x  6  2  x  x  7x 12x  6   2 x     3 3 2 2
x  7x 12x  6  4x  6   0  
x  7x 12x  6  4x  6   2  3 3 2
 x  2     0  3 2
x  7x 12x  6 2 3 3 3 2
 x  7x 12x  6 4x  6  4x  6    x  x  x  x  x   x  2  2 2 4 3 2 14 75 144 90 2      0  3 2  
x  7x  12x  6 2 3 2 3 2
 x  7x 12x  6 4x  6  4x  6 x  7x 12x  6     4x63 3 3    
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 15: Giâi phương trình:
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 11
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 2 3 2
x  4x  5  5 x  x  x 1  0 Điều kiện: 3 2
x  x  x 1  0 hay x  1 
Phương trình tương đương 2 3 2
x  4x  5  5 x  x  x 1  0   2
x  x   3 2
5 x 1 x  x  x 1  0   
 x  x 5 x 1 2 x x 2    0 2 x 1  x 1    5 x 1  2 x  x 1     0 2 
x 1  x 1 
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 16: Giâi phương trình: 4 3 4 3 4
x  4x  6  x  x  3  2 x  2 3
x  4x  6  0  Điều kiện: 3
x  x  3  0 x  2  0  Đặt 4 3
x  4x  6  a  0 và 4 3
x  x  3  b  0
Phương trình tương đương 4 4 4b  a 4 a  b  2
 a  b4   4 4 3 16 4b  a  3
 a b 3 2 2
19a  31a b  49ab  6  1  0 Vậy a  b
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 17: Giâi phương trình:
 x  x  2 3 2 1 2
1  4 4x 1  8x Điều kiện: 1 x  2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 12
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Đặt 2x 1  2x 1  a  2 suy ra 2 2
2a  4 4x 1  8x
Phương trình tương đương 2 3a  2a
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 18: Giâi hệ phương trình:  x 2  6 y   x  2y  y 
 x  x 2y  x 3y 2 
x  2y  0  Điều kiện: 
x  x  2y  0 
Xét y  0 không là nghiệm cûa hệ
Trường hợp 1: y  0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương 2 x x 2    x 2 x 2 6         6  0   2 2 y y y y 2 2  y y  y y
Trường hợp 2: y  0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương 2 x x 2    x 2 x 2 6         6  0   2 2 y y y y 2 2  y y  y y
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 19: Giâi phương trình: 8x  2
1 x  2 2x x  3      2  2 2 2 2 1 1  x x
Phương trình tương đương 8x  2
1 x  2 2x x  3      2  2 2 2 2 1 1  x x     4x    3 2 2 2 8
6 2 x  4x  6 2 8 x  2  2  0  x   3 x      2 1 2 3
2 x  5 4 2 x  2 1  0 
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 13
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 
Bài 20: Giâi phương trình: 1 x 1
 2 x 1  2 x 3 2x  2 x 1 Điều kiện: x 1 Cách 1:
Phương trình tương đương 1 x 1
 2 x 1  2 x 3 2x  2 x 1  
 x   x    1 1 1 1   x 1  
 x  2 3 2x  2  0  x 1     x   x  2 1 1 3    2x  2  0 x 1 1 x 1        x   x 1 1 2   1  
  3 2x  2   1   0  x 1 1 x 1            x   2x 3 2x 3 2     x 1   x1 1   2x2 0 2 3 3  2x  2 1   x  2   
 x   x   1 1 2 2 3       3 x 1    x1 1 x    2x2 0 2 3 3  2x  2 1  2  Cách 2: Phương trình x 1 1 3 
 2x  2  0 sau khi liên hợp læn thứ nhçt ở cách 1 còn có hướng x 1 1 x 1 xử lý sau
Phương trình tương đương x 1 1 3   2x  2  0 x 1 1 x 1
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 14
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) x 1 1 3      x   2x 2 0 1  x 1 x 1 2 x   1 1  1 1    1   
   3 2x  2     x    x   x   1 0 2 1 2 1 2 1  2 x 1 x 1  2x  3
2x 3 x 1 2x  3     2 x   1  2 x 1 2x   1  2 x 1 x 1    2x2 0 2 3 3  2x  2 1
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 21: Giâi phương trình:  x    x x  3 2 3 32 2 3 21 2 2  2 x  3
Phương trình tương đương  x    x x  3 2 3 32 2 3 21 2 2  2 x  3
 x  2 x   x   x 2 2 2 3 3 3 2 21 2 3 3
 x  x  x  x   x   x 2 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 3 3  3 Nhận thçy x  3
 không là nghiệm nên phương trình tương đương  3 x  3 1  2 x   3 3      3 1   2 3  x 1  x  x 3 2 2  0 x  3 x  3 x  3  
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 22: Giâi phương trình: 2 2
1 2 x  9x 18  x  x 14x  53   Điều kiện: x 6  x  3
Phương trình tương đương 2 2
1 2 x  9x 18  x  x 14x  53 (1)
 x    2 2 1
x 14x  53  2 x  9x 18   0
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 15
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)      19  3x  x 1 1     0 2 2 
x 14x  53  2 x  9x 18   Xét 19 3x 1  0 2 2
 x 14x 53  2 x 9x 18 19 3x  0 (2) 2 2
x 14x  53  2 x  9x 18
Kết hợp (1) và (2) để giâi ... 
Bài 23: Giâi phương trình: 2
x 1 x  2  x  2 x  3  x  3 x 1  x 1 Điều kiện: x  1  Chú ý: 2 x  x   x  x   x  x   x  x 
 x   x   2 1 2 2 3 3 1 2 3 1 5 1  x 1 Vậy, x  1  
Bài 24: Giâi phương trình: 3 2 2 2 2
2x  x  4x 1  x
3x  2x  15x  2x Điều kiện có nghiệm: 3 2
2x  x  4x 1  1 0  x  4
Phương trình tương đương 3 2 2 2 2
2x  x  4x 1  x
3x  2x  15x  2x 2  x  2
x  x  x     2 3 2 1
15x  2x  4x   1  0   x 
 x  6x   2 1 2 1     0 2 2
 3x  2x  x 1
15x  2x  4x 1
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 25: Giâi hệ phương trình:
3x 3 y 33y x x y     xy  xy 1 y x     3y    2 1
2x 1  1 x  2
 y  x 1  2x  2
Phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 16
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
3 xy3 x y  x y x y  xy  xy 1 xy x  y  
3xy  3 xy  
 x  yxy xy  1
Xét 3xy 3 xy   x  yxy  xy  1 tương đương
xy xy  12 x  y 1 xy xy 2
Chú ý   xy xy    xy  xy    x  y  xy  xy   4 1 2 1 2 1 2  2 xy  Suy ra  4
t  2t     4 2 1 2 t  t  
1 2  2t  với 4 t  xy
Hay t t  2  2 1
2t  t  2  0 (vô lý)  t 1  
Điều kiện rút ra từ phương trình thứ hai: x 1 x 1   
, nếu xy 1 thì x  y 1 2
x 1 2y  0 0  y 1 (không thôa mãn)
Vậy x  y thế xuống ta được 3x   1
2x 1  1 x  1 x2x   1  2x  2
 2x 13x  1 x  2x 1 2x 11 1 x  0
 2x 1 1 x  2x 1 2x 11 1 x  2x 11 1 x  0
  2x11 1 x2x2 1 x2x 1  0  
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 26: Giâi phương trình: 2
x  2x  5  4  2x  4x 1 Điều kiện: 5
  x  2 . Điều kiện có nghiệm thì 1  x  2 2 4
Chú ý: 2x  5  4  2x  2x 54 2x  3 Suy ra 2
4x 1  x  3 hay  x  2 2  0  x  2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 17
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 27: Giâi phương trình: 3x  1
2x  2  5x  7 3x  2  2 x  4 4x  3  0 Điều kiện: 3 x  4
Đặt f x  3x   1
2x  2  5x  7 3x  2  2 x  4 4x  3
Xét x  4 thì f x  0
Xét 2  x  4 thì f x  3x   1
2x  2  6  24  x 4x  3  7 6  6 16  0  3x  2  5  2x  2   Xét 3  3
x  2 . Ta có các bçt đẳng thức sau  4  4 3x  2 1 4x  3   3        
Suy ra f x   x   3x 2 5 
   x   x   x   4 3x 2 1 3 1 5 7 3 2 2 4    0      x 1 3 3     
Bài 28: Giâi phương trình: 2 3
x  x  6  2x  3. x  5 Điều kiện: 3 x   2
Phương trình tương đương 2 3
x  x  6  2x  3. x  5 2
 x  x   x   x   x   3 6 1 2 3 2 3
x  5  x   1      x   
x 3 2x 2
x  x   2x 3 1 2 3 3 5 1 2x  3     2  x5 0
2 x  1 x 5 x  2 3 3 1
x 3x 5x  1 2x 3 x 3  
 2x 2 2x3    2 2x  3  3  x5 0
2 x  1 x 5 x  2 3 3 1
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 18
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 29: Giâi hệ phương trình:
2 2x  y 3 x  y 1   5 4   3
 x 10y  21 3y  2  2a 3b 1 
Đặt 2x  y  a và x  y  b , hệ tương đương  5 4   3  2 2 2 2  3
 a  7b  21 a  2b  2 Thế 3b 1 a 
xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được 8 10   3 2 b  3 b  9
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 30: Giâi hệ phương trình: 2
x  x y  3 2  y  2  0  4 3 2  x 
 x   x  3x  4 6x  4   2    1       2 4  y  
 y   y  y y
Xét y  0 không phâi là nghiệm cûa hệ, phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương 2  x  x 2 3x   1    2 2  y  y y y 2  x  x 2 3x    1    2 2
Hệ tương đương  y  y y y  4 3 2   x   x   x  3x  4 6x  4  2     1        2 4  y    y   y  y y 4 3 2
Thế phương trình thứ nhçt xuống ta được  x   x   x  x 6x  4 2  2  2     0       (*) 4 2  y   y   y  y y y 2 2 Đặt  x  x     a   và
1 b thì (*) trở thành 2 2
a  ab  2b  0  2 y  y y
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 19
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 31: Giâi hệ phương trình:  9 1   2   4 4 y  x 2 2  x y 
3x  y  2   4 4 x  y   9 1   2   4 4 y  x 2 2  Hệ tương đương x y 
3x  y  2   4 4 x  y  4  4  x x 2 4 9x   2x   4 4 y  x 2  2 4 9x   2x   4 4 y  x 2   y  y    2  3x  y  2 2 2 2 4 4 4   4 4 x  y 
9x  y  4 y 
x  y 4x  y  4
Trừ vế theo vế để được x  2x  y  x   y  4yx  y  4x  y 2 4 4 4 2 2 4 4 4 2 y Hay    4 4
 x  y  2y  2 4 4 3 4 2 x  y  4 2 2   x y   x y   y  4 4 x  y  2 1 32 4  4y   0  1 36 0   4 4 x  y  0
Trường hợp 1: 
hay x  y  0 (vô lý)
3x  y  2 4 4 x   y  3 2
2y 1 6x y  0
Trường hợp 2: 
3x  y  2 4 4 x   y  3  2 1 3 2  x 
2 y 1 6x y  0  3 2
 y   x y  3 2
 y  x y   2 1 6 0 2 6 1       2   3x  y  3 2
2 y  6x y  2 4 4 x   y  2 2 4 3
 x  6x y  2x 3 2
2x  6xy  3 3  2 1 y   2 3 2
2y 1 6x y  0 3 2
 y  x y  Trường hợp 3:  2 6 1   
3x  y  2 4 4 x   y  3 2
2x  6xy  3 Đặt 3
z  x  yi , ta suy ra 3 2  3   2 3 3   3    i x xy x y y i z 2 2 Ta có:  3 i   3  i  10   10  
cos isin với      ;0    10 10   2  10 5    k2   k2  3  z  cos isin 6  z  cos  isin   với k  0,1,2 2 2  3 3 
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 20
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)  5   k2 6 x  cos Vậy,  2 3  với k  0,1,2  5   k2 6 y  sin  2 3 
Bài 32: Giâi hệ phương trình: 3
x  y  7  4 4
x  y  4x 3y
Ta sử dụng đồng bậc để suy ra x  y   x  y3 4 4 7 4x 3y
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 33: Giâi hệ phương trình:  5 2 4 x  x 1  y   4  1 1 2 2
2 x 1  y   2  y 2 Đặt 2
x  x 1  a và 2 y  b suy ra 1 2
2 x 1  a  a  5 2 a  b   Hệ tương đương  4  1 1 1
a   b    a b 2
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 34: Giâi hệ phương trình:  1 2 2 x  y   2  4x   3 2
x  x  x   2
1  y  2xy  2  1 2 2 2 2 x  y   x  y 
 x  y 1 Hệ tương đương 2    
4xx   1 
x  1 x y2 2   2 x    4x 1 1   3 2
x  x  x   2
1  y  2xy  2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 21
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)  2 2 x  y 
2 x  y2 1 
 x  y x  y 1       2 2 2 2 2x  2 1 2            
x  1 x y2 2 1
2x 1 x 1 x y x y x y    x  y 
2 x  y2 1  1   x  y   2x  2 1 
x  1x y2 2  0 2 
Bài 35: Giâi hệ phương trình:  6
3x  6 y  5  2 6 y  3x 1   x  2 y  3   3 2 2
x  2 y  4 y  x  x  2 y  3    2x 2 2
1 2 y  x   2
Đặt x  2y  3  a thì phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương 2 2
a 3a  4  2a 8  3a  6 2 2   Chú ý: 3a a 4 2 2 2 2
a 3a  4  2a 8  3a 
 a 83a  6  a  2  x  2y 1 2
Thế xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được 3 2 2 x  x   x  x   x  x    2 x   2 1 1 4 2
x  x  2 4 3 2 2 2
 x  2x  2x  x 3 x  x 1 x  x  4  0
 x  x2 2   2 x  x 2 2
 3 x  x 1  x  x  4  0 Đặt 2
x  x 1  b , phương trình tương đương 4 2 2
b  b  b  3  b  3  0   4 2
b  b  b     2 1 b  3  2  0    b  b    b 1  b 1  1 1 3 2
b  b      1 
 0  b   3 2
1 b  b 1   0 2 b  3  2 2  b  3  2 
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 36: Giâi phương trình:  x   4 2 2 1  2x  1
Điều kiện: 0  x  2 1 Đặt 4 4 2x  2z và  x   4 2 2 1  2 y  y  2 1 x
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 22
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày) 4
 2  y  z  Ta có hệ 1  2 4
y  z  2 1
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 37: Giâi phương trình:
x  4 x  2 1 22x  4 x  2 
4  x  x  5 x 1
Điều kiện: 2  x  4
Phương trình tương đương  2
x  9x 16 x  2  2 4 x  4 2x 4 xx  2 3x 11 0
  x   x     x x   x x    xx  2 2 4 2 1 2 2 4 4 4
2  x  6x 14  0  
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 38: Giâi phương trình: x 1 2 x 1 13    0 x  5  3 x  3 1 5
Đặt x  a , dễ thçy điều kiện là a  3   Phương trình trở thành: a 1 2a 1 13    0 2 2     5 a 5 3 a 3 1  a 1 a 1 a 1 2a a   1     2 2 1       1 a 5 3 5  2a  6a  5    a  a   3     Ta có a a 3 2     a a   2a 1 1732a   1   2    200 3 1 a a Suy ra a 1 2a 1 13 2a a   1 1732a   1 13
1 132a  72 a   2
1 118a  833a 1502       .  0 2     5 2a  6a  5 200a 5 200 a 5 3 a 3 1 a  2 2 2
2a  6a  5
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 23
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 39: Giâi hệ phương trình: 2
y 5 x  5  0  2  y 2
 x  2  y  2y  3   y  5 2  y x  1  Hệ tương đương  5   2  y 2 x  2 
y  2 y  3   y  5
Cộng vế theo vế ta được x   x   y  2 2
1  2   y   1
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Bài 40: Giâi hệ phương trình:
xy  xy  x 1  2 4x
y  3 x  3xy xy  3  x 1
Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta suy ra 
  y   y   4 4 1  0  y   x  3  
Phương trình thứ hai cûa hệ tương đương x 1 x xy 4   x  
1  4  3y  3 
 x 10   y  0 
Bài 41: Giâi phương trình: 3 2
x  3 x x  4  x 8  0
Điều kiện: x  0
Cách 1: Đặt x  a , phương trình tương đương 4 2 3 2
a  a  8  3a a  4  0
 a  a   2
a    a 3 2 2 2 2 3
a  a  4   0 2  a a  a  a 
 a  2a  2 3 2 2 2 a  2       0 2 a  4 2 3 3 2 2
 a a  4  a
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 24
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)   2   a a  a  
 a  2 a  2 3 2 2 a  2       0  2 a  4 2 3 3 2 2
 a a  4  a   
Đến đåy bän đọc tự giâi ... 
Cách 2: Phương trình tương đương 3 2
x  3 x x  4  x 8  0  x   3  3 2 2 3  3 x
 x  4  x  x 8 x  0      2   2  2  x  3  x   x  3 2  3 x
 x  4  x  x        x 8  0  2  2  2   4 
Đến đåy bän đọc tự giâi bằng cách liên hợp ... 
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Page 25

Tuyển tập những bài phương trình, hệ phương trình hay – Nguyễn Đức Thắng

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề một số phương pháp đếm trong các bài toán tổ hợp

Các dạng toán vectơ Toán 10 thường gặp

Các dạng toán mệnh đề và tập hợp Toán 10 thường gặp

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hoàng Văn Thụ – Hà Nội

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Xuân Đỉnh – Hà Nội