Ứng dụng định lý Viète trong phương trình bậc ba – Nguyễn Thanh Hải

ĐỊNH LÝ VIÈTE. Cho phương trình
Giả sử tuyến của (C) tại M là d : y = px + q . Khi 3 2
ax + bx + cx + d = 0 (a  0) , có các nghiệm là
đó ta có phương trình hoành độ giao điểm: 3 2
x , x , x ( kể cả nghiệm bội). Khi đó:
x − 3x − px + 2 − q = 0 ( ) * . 1 2 3 
Theo đề bài (*) có hai nghiệm x , x trong đó
x + x + x = − b M N  1 2 3  a
nghiệm x là nghiệm kép (do M là tiếp điểm).  M c
x x + x x + x x = Theo định lý Viète thì 1 2 2 3 3 1  a 
x + x + x = 3  x = 3 − 2x M M N N M x x x = − d  1 2 3  a
dẫn đến: P = x + ( − x M M )2 2 5 3 2 Thí dụ 1. Cho phương trình = x − x + = x M M ( − M )2 2 9 12 9 3 2 + 5  5. 3 2
x − 6mx + 5 − 5m = 0 với m là tham số. Tìm tất 2 x = P =
cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm Đẳng thức xảy ra khi . Vậy min 5. M 3
phân biệt lập thành cấp số cộng.
Thí dụ 3. Cho hàm số
Lời giải. Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d
nghiệm phân biệt là x , x , x theo thứ tự lập 1 2 3
có các điểm cực trị là x = 2
− và x = 3. Tìm tất 1 2
thành cấp số cộng, suy ra: x + x = 2x (1). 1 3 2
cả các giá trị của tham số m để phương trình Theo định lý Viète thì
x + x + x = 0 (2).
f ( x) = f (m) 1 2 3
có ba nghiệm phân biệt.
Từ (1) và (2) được x = 0. Thay x = 0 vào 2
Lời giải. Không mất phương trình: 3 2 0 − 6 .
m 0 + 5 − 5m = 0  m = 1  .
tổng quát ta chỉ cần xét
Điều kiện đủ:  Với m =1 phương trình là: với a  0 . x = 0
Một tính chất của đồ 3
x − 6x = 0   (thỏa mãn). thị hàm số bậc ba: x =  6
Điểm uốn I là trung  Với m = 1 − phương trình là:
điểm của hai điểm cực 3
x + 6x = 0  x = 0 (không thỏa mãn). trị, do đó:
Kết luận: m =1. x + x b 1 b 3 x = CD CT  − =  − = I
Thí dụ 2. Gọi M ( x ; y
là một điểm thuộc 2 3a 2 a 2 M M )
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi 3 2
(C) : y = x − 3x + 2, biết tiếp tuyến của (C) tại
chỉ khi f ( x )  f (m)  f x . CT ( CD ) ( ) *
M cắt (C) tại điểm N ( x ; y
(khác M). Tìm giá N N )
Áp dụng định lý Viète cho trường hợp nghiệm bội
trị nhỏ nhất của 2 2
P = 5x + x . M N
của phương trình f ( x) = f ( 2 − ) suy ra:
Lời giải. Số 528 (6-2021) 1 b 3 11
Kết luận: a = 3, b = 1
− 7, c = 33, d = 1 − 8. 2x + x = −  4
− + x =  x = . CD 1 1 1 a 2 2
Thí dụ 5. Cho hàm số 3
y = x − 3x + 2 (C) . Biết
Tương tự cho trường hợp nghiệm bội của phương
đường thẳng d : y = mx + n cắt (C) tại ba điểm
trình f ( x) = f (3) suy ra: phân biệt ,
A B, C . Các tiếp tuyến tại ba điểm b 3 9 2x +  x = −  6 +  x =   x = − . ,
A B, C của đồ thị (C) cắt đồ thị (C) lần lượt tại CT 2 2 2 a 2 2 các điể  A B C Do đó m , ,
(tương ứng khác ,
A B, C ). :  A B C 
Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng. 9 11 −  m   2 2
Lời giải. Gọi tọa độ A( 3 ,
a a − 3a + 2)(C) và ( )   9 11 *  m  2 −  m − ; \    2 − ;  3 .   2 2 
tiếp tuyến tại A của (C ) cắt (C ) tại điểm thứ hai m  3   là 
A ( x ; y) . Theo định lý Viète thì
Lưu ý: Những kết quả hay nhầm 2
−  m  3 hoặc 3
a + a + x = 0  x = 2
− a  A ( 2 − ; a 8
− a + 6a + 2).  9 11
A d  a − a + = ma + là m  − ;   . Do 3 3 2
n , nhân hai vế với  2 2  8
− và biến đổi ta được: Thí dụ 4. Cho hàm số 3 8
− a + 24a −16 = 8 − ma − 8n f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d (a  0) có đồ thị (C) đi 3  8
− a + 6a + 2 = (9+ 4 ) m ( 2
− a) +18−8n
qua các điểm M (1; )
1 , N (2;4), P (3;9) . Các
 y = (9 + 4m) x +18 − 8 . n
đường thẳng MN, N ,
P PM cắt đồ thị lần lượt tại Suy ra 
A thuộc đường thẳng có phương trình các điểm ,
A B, C (khác M , N, P ). Xác định các
d  : y = (9 + 4m) x +18 − 8n . Làm tương tự ta hệ số a, , b ,
c d biết tổng các hoành độ của cũng suy ra được B ,  C thuộc ,
A B, C bằng 5.
d  : y = (9 + 4m) x +18 − 8n . Do đó ba điểm
Lời giải. Dễ thấy Parabol đi qua ba điểm A ,
 B , C cùng thuộc đường thẳng có phương
M , N, P có phương trình là 2
y = x . Suy ra ba
trình d  : y = (9 + 4m) x +18 − 8n , tức ba điểm này
điểm M, N, P là giao của (P) và đồ thị (C) . thẳng hàng. Nên f (x) 2
− x = a(x − )
1 (x − 2)(x − ) 3 Thí dụ 6. Cho hàm số bậc ba  f (x) 3
= ax + ( − a) 2 1 6
x +11ax − 6a (*). f (x) 3 2
= ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như
Áp dụng định lý Viète ta được: hình vẽ  1 − 6 x − 2 4 +
x + x + x = − a  M N A f (  x) + 0 − 0 +  a  1 − 6a +
x + x + x = − .  N P B a f (x) m  n 1 − 6
x + x + x = − a  −  P M C a Với ,
m n là các số nguyên thuộc khoảng
Suy ra: x + x + x + ( x + x + x ) 3 2 =18 − (−10;10). ; m n A B C M N P Có bao nhiêu cặp ( ) để phương a 3
trình f ( x + 3 ) = 5 có đúng bốn nghiệm phân  5 + 2.6 = 18 −  a = 3. a biệt? Vậy f (x) 3 2
= 3x −17x + 33x −18 .
Lời giải. Đặt t = x + 3 phương trình đã cho trở
thành f ( t ) = 5 , cứ mỗi x cho duy nhất một giá 2 Số 528 (6-2021)
trị của t và ngược lại. Nên số nghiệm của phương − b = ( 2 − ) +1+ 2 =1.
trình f ( x + 3 ) = 5 cũng bằng số nghiệm của a
phương trình f ( t ) = 5 hay cũng chính là số Xét phương trình tương giao của đồ thị (C) và
nghiệm của phương trình f ( x ) = 5. Do đó yêu đường tiếp tuyến d : 3 2
ax + bx + cx + d = mx + n
cầu bài toán tương đương với tìm số cặp ( ; m n) 3 2
 ax + bx + c − m x + d − n = để ( ) 0 (*).
phương trình f ( x) = 5 có đúng hai nghiệm Phương trình x = − dương phân biệ (*) có nghiệm kép 1 và một
t (do y = f ( x ) là hàm số chẵn).
nghiệm đơn x =  . Áp dụng định lý Viète cho
Điểm uốn của đồ thị là trung điểm của hai điểm
phương trình này ta được: b
cực trị và có hoành độ x = − . Suy ra b U
2.(− ) +  = − =   = 3a 1 1 3. a b 2 + 4 − = = b 3  − = 9.
Xét biểu thức g (x) = (mx + n) − ( 3 2
ax + bx + cx + d ). 3a 2 a Xét f (x) 3 2
= n  ax +bx + cx + d − n = 0 . Từ Do g (x) là đa thức bậc ba và có nghiệm kép x = x = − x =
bảng biến thiên đã cho ta nhận thấy phương trình 1 , 3 nên suy ra: 1 2 3 2
này có nghiệm đơn x và nghiệm kép x = x = 4.
g (x) = −a(x + ) 1 (x − ) 3 . 1 2 3 1 Theo định lý Viète thì: + + = − b x x x Mặt khác g ( )
1 = 2 − 0 = 2 , từ đó tìm được a = . 1 2 3 a 4 x =
Suy ra diện tích phần gạch chéo:
 x + 4 + 4 = 9  x =1. Vậy f (x) 4 = n  . 2 1 1  3 3 x =1 =  ( ) ( + )1 ( −3) 16 = =  x x S g x dx dx . −
Lại do hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng 4 3 1 − 1 − ( Thí dụ 8. Cho hàm số bậc ba ;
− 2) nên suy ra f (0)  f ( ) 1 = . n Từ đó dựa f (x) 3 2
= ax + bx + cx + vào đồ
d có đồ thị (C) và M là
thị hàm số y = f ( x) dẫn đến: Phương
một điểm bất kỳ thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
trình f ( x) = 5 có đúng hai nghiệm dương phân
(C) tại M cắt (C) tại một điểm thứ hai N. Tiếp
biệt ứng với hai trường hợp sau:
tuyến của (C) tại N lại cắt (C) tại điểm thứ hai P.
TH1: m = 5  n  n  9 − ; 8 − ;....;  4 có 14 cặp.
Gọi S , S lần lượt là diện tích hình phẳng giới 1 2
TH2: n = 5  m  m 6;7;8;  9 có 4 cặp.
hạn bởi đường thẳng MN và (C), đường thẳng NP
Kết luận: Có 18 cặp.
và (C). Chứng minh rằng S = 16S . 2 1
Thí dụ 7. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có
Lời giải. Không giảm tổng quát ta chỉ cần xét
đồ thị (C) như hình vẽ, đường thẳng f (x) 3 = ax +b .
x Gọi hoành độ các điểm
d : y = mx + n là tiếp tuyến của (C) tại x = 1. − 0
M , N, P lần lượt là x , x , x . Giả sử MN có
Tính diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ 1 2 3
phương trình y = mx + n . Khi đó phương trình
f ( x) = mx + n có nghiệm x (nghiệm kép) và x . 1 2
Theo định lý Viète: 2x + x = 0  x = 2 − x . 1 2 2 1 2
Mặt khác: f (x) − mx − n = a(x − x x + 2x 1 ) ( 1 ) 3 2
= a(x − x + 3ax x − x . 1 ) 1 ( 1 ) 2 x
Lời giải. Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại các điểm
Dẫn đến tính được: S =
 f x − mx − n  dx 1  ( )  có hoành độ 1 x là 2
− , 1, 2. Theo định lý Viète suy ra: Số 528 (6-2021) 3
a(x − x )4 4
Thí dụ 10. Cho các số thực dương a, , b c thỏa =
+ ax (x − x )3 a(3x ) = − ax (3x )3 2 1 1 . 1 2 1 1 1 4 4 a 1 
mãn: abc = 1000 .
Lập luận hoàn toàn tương tự ta cũng thu được 
bc(1− a) + a(b + c) = 110 3 x x = 2
− x và S = a x − x + 3ax x −   x dx
Chứng minh rằng c  (10;100). 2 ( 2 )3 2 ( 2 )2 3 2   2 x abc =1000
Lời giải. Từ  , suy ra
a(x − x )4 4 = +
bc(1−a)+ a(b+c) =110
ax (x − x )3 a(3x ) = − ax (3x )3 3 2 2 . 2 3 2 2 2 4 4
ab+bc+ca =1110  . Do đó a, , b c là ba nghiệm Do x = 2
− x nên suy ra S = 16S (đpcm). 2 1 2 1 abc =1000
Thí dụ 9. Tìm tham số m để phương trình của phương trình 3 2
x − mx +1110x −1000 = 0 với 3
x − 3x = m có ba nghiệm dương phân biệt
m = a + b + c  0. Phương trình được viết lại: (x − ) 1 (x −1 )
0 (x −100) = (m −11 ) 2 x , x , x 1 x (*).
thỏa mãn x + x + x = 2 + 3. 1 2 3 1 2 3
Do x = a là nghiệm của (*) và 0  a 1 nên
Lời giải. Lập bảng biến thiên của hàm số 2 3 (m 1 − 1 ) 1 a =(a− ) 1 (a 1 − ) 0 (a 1 − 0 ) m− 
y = x − 3x trên (0;+) . 0 0 111 0. 2 x (c− 
)1(c−10)(c−100)=(m−11 )1c  0 0 1 3 + Dẫn đến:  2 2 + (b− 
)1(b−10)(b−100)=(m−11 )1b 0 y  , b c  (0; ) 1  (10;100) . 0 0 Nhận thấy phương trình 3
x − 3x = m có ba Nếu c ( ) 1000 1000 0;1  b =  100 (vô lý). ac 1
nghiệm dương phân biệt khi m  (0; 2) (*). Với
Vậy c  (10;100) (đpcm).
m  (0; 2) thì ba nghiệm 0  x  x  3  x . 1 2 3 Suy ra:
x là nghiệm của phương trình 3 BÀI TẬP CỦNG CỐ 3
x − 3x = m , còn x , x là nghiệm của phương 1 2
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ trình 3 x − 3x = − ,
m hay −x , − x , x là ba nghiệm thị hàm số 3
y = x − (m + ) 2
1 x − mx + 2m cắt 2 1 3 của phương trình 3
x − 3x − m = 0. Theo định lý
đường thẳng y = −x +1 tại 3 điểm phân biệt có
Viète và giả thiết có hệ:
hoành độ lập thành cấp số cộng.
−x − x + x = 0  1 2 3 3
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để   x =1+ . 3
x + x + x = 2 + 3 2  phương trình 3 2
x − 7x + (m + 6)x − m = 0 có ba 1 2 3 1 3 3
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:
Từ đó tìm được m = ( x )3 − 3x = + (thỏa 3 3 4 8
Câu 3. Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị mãn (*)).
như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 3 3
điểm M có hoành độ bằng 2
− cắt đồ thị tại điểm
Kết luận: m = + . 4 8 thứ hai N (1; )
1 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 9
bằng 4 . Biết diện tích phần gạch chéo là . 16 4 Số 528 (6-2021) 1
A( x ; y ), B ( x ; y ), C ( x ; y
(khác M , N, P A A B B C C )
Tính tích phân  f (x)dx.
x + x + x = − 1 − ). Biết 2
5 . Tính giá trị của biểu A B C
thức T = 2a + b + c + d . Câu 6. Cho hàm số 3
y = x − 2020x (C) , xét
điểm A có hoành độ x =1 thuộc đồ thị (C) . 1 1
Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại điểm thứ 1
hai là A khác A có tọa độ ( x ; y . Tiếp tuyến 2 2 ) 2 1
của (C ) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai là A
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 2 3
để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị của hàm số khác A có tọa độ ( x ; y . Cứ tiếp tục như thế, 3 3 ) 2 3 2
y = x − 3x − m + 2 tại ba điểm phân biệt
tiếp tuyến của (C ) tại A
cắt (C ) tại điểm thứ n 1 − , A ,
B C sao cho AB = BC .
hai là A khác A
có tọa độ ( x ; y . Tìm n n n ) n n 1 − Câu 5. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d (a  0) biết 2025 2020x + y + 2 = 0 . n n
có đồ thị đi qua các điểm
Câu 7. Cho hai số thực dương a, b và phương M ( 1 − ;2), N (1; 2 − ), P(0;− ) 1 . Các đường thẳng trình 3 2
x − x + ax − b = 0 có ba nghiệm. Chứng MN, N ,
P PM lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm minh rằng: 10 7 a) a + b  . b) a − 2b  . 27 27 Số 528 (6-2021) 5